Appunti di Topologia generale · 2020. 7. 3. · Appunti di Topologia generale Dipartimento di...

Appunti di

Topologia generale

Dipartimento di Matematica e InformaticaUniversita di Catania

Anno Accademico 2014-2015

Introduzione

Questo documento contiene una rielaborazione personale di appunti presi du-rante il corso di Topologia generale tenuto dalla prof.ssa Grazia Raciti presso ilDipartimento di Matematica e Informatica dell’Universita di Catania.Questo documento e libero, e lecito ridistribuirlo e/o modificarlo secondo i ter-mini della Licenza Pubblica Generica GNU come pubblicata dalla Free SoftwareFoundation.

Alessio Borzı

III

Indice

1 Spazi topologici 11.1 Definizione e primi esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Chiusura e Interno di un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Topologia indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Assiomi di numerabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Assiomi di Separazione 152.1 Assioma T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Assioma T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Assioma T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Assioma T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Limite di successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Prodotto e quoziente 233.1 Topologia prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Funzioni quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Spazi quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Connessione e compattezza 314.1 Spazi connessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Spazi compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

V

VI INDICE

Capitolo 1

Spazi topologici

1.1 Definizione e primi esempi

Definizione 1.1.1. Sia X un insieme e ϑ ⊆ P(X), dove P(X) e l’insieme delleparti di X, cioe l’insieme di tutti i sottoinsiemi di X.Diremo che (X,ϑ) e uno spazio topologico se sono verificate le seguenti pro-prieta:

A1. X, ∅ ∈ ϑ

A2. A ⊆ ϑ⇒⋃A∈A

A ∈ ϑ

A3. A1, A2 ∈ ϑ⇒ A1 ∩A2 ∈ ϑ

dove X e lo spazio, ϑ e la topologia e gli insiemi A ∈ ϑ sono detti aperti.

Esempio 1.1.2. Un primo esempio di spazio topologico e ϑi = {X, ∅}, chee detta topologia indiscreta, e facile verificare che (X,ϑi) soddisfa le proprietaA1, A2, A3.

Esempio 1.1.3. La topologia discreta ϑd = P(X), in questo caso ogni sottoin-sieme di X e un aperto.

Esempio 1.1.4. La topologia cofinita ϑc = {X\{x1, x2, ..., xn} : n ∈ N, xi ∈ X}(cioe gli aperti sono i complementari di insiemi finiti), osserviamo che se X eun insieme finito allora la topologia cofinita e uguale a quella discreta.

Definizione 1.1.5. Siano ϑ1,ϑ2 due topologie su X, diremo che ϑ2 e piu finedi ϑ1 se ϑ1 ⊆ ϑ2, cioe se ogni aperto in ϑ1 e anche aperto in ϑ2.

Osserviamo che per un qualsiasi insieme X la topologia indiscreta e la menofine di tutte le topologie mentre la topologia discreta e la piu fine di tutte letopologie.

Definizione 1.1.6. Sia dato uno spazio topologico (X,ϑ), un insieme C ⊆ Xsi dice chiuso se il suo complementare e aperto, cioe se X \ C ∈ ϑ.

La famiglia C degli insiemi chiusi soddisfa le seguenti proprieta:

1

2 CAPITOLO 1. SPAZI TOPOLOGICI

C1. X, ∅ ∈ C

C2. C′ ⊆ C ⇒⋂C∈C′

C ∈ C

C3. C1, C2 ∈ C ⇒ C1 ∪ C2 ∈ C

Una topologia puo essere assegnata a partire dagli insiemi chiusi, ricavandogli insiemi aperti come complementari dei chiusi. Ad esempio nella topologiacofinita (1.1.4) definiamo gli insiemi chiusi come tutti e soli gli insiemi finiti.

Definizione 1.1.7. Sia x ∈ X si definisce intorno di x un insieme U ⊆ Xtale che:

∃A ∈ ϑ : x ∈ A ⊆ U

cioe se esiste un aperto che contiene x contenuto in U .

Una famiglia I(x) di intorni di x ∈ X gode delle seguenti proprieta:

I1. ∀U ∈ I(x) x ∈ U

I2. U, V ∈ I(x)⇒ U ∩ V ∈ I(x)

I3. U ∈ I(x), V ⊇ U ⇒ V ∈ I(x)

I4. ∀U ∈ I(x), ∃V ∈ I(x) : x ∈ V ⊆ U, ∀y ∈ V V ∈ I(y)

La quarta proprieta e un corollario della seguente

Proposizione 1.1.8. Un insieme A ⊆ X e aperto se e solo se e intorno di ognisuo punto

A ∈ ϑ⇐⇒ ∀x ∈ A A ∈ I(x)

Dimostrazione. ⇒ Sia x ∈ A allora A e intorno di x dato che esiste un apertoche contiene x contenuto in A (lo stesso insieme A).⇐ Per ipotesi ∀x ∈ A, ∃Ax ∈ ϑ : x ∈ Ax ⊆ A, dunque avremo

A =⋃x∈A

Ax ∈ ϑ

Assegnata per ogni x ∈ X una famiglia di insiemi I(x) che gode delle pro-prieta I1, I2, I3, I4, esiste una e una sola topologia tale che la famiglia assegnatae una famiglia di intorni per x.

Definizione 1.1.9. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico, si definisce una base diaperti B una famiglia di aperti tale che ogni insieme A ∈ ϑ e unione di elementidi B. In altre parole deve accadere:

∀A ∈ ϑ, ∀x ∈ A, ∃B ∈ B : x ∈ B ⊆ A.

Una base di aperti B gode delle seguenti proprieta:

B1. ∀x ∈ X, ∃B ∈ B : x ∈ B

B2. B1, B2 ∈ B, ∀x ∈ B1 ∩B2, ∃Bx ∈ B : x ∈ Bx ⊆ B1 ∩B2

1.2. CHIUSURA E INTERNO DI UN INSIEME 3

Assegnata una famiglia B di sottoinsiemi di X che gode delle proprieta B1, B2,esiste una e una sola topologia ϑ su X per la quale B risulta una base.

Esempio 1.1.10. Assegniamo una topologia su R attraverso una base che godedelle proprieta B1, B2. Sia B una famiglia di insiemi tale che

B = { ]a, b[ : a, b ∈ R, a < b}

chiamiamo ϑe la topologia euclidea in cui gli insiemi aperti sono unione dielementi di B.

Esempio 1.1.11. Definiamo ancora su R la topologia di Sorgenfrey ϑs in cuigli aperti sono unione di elementi della base B, che si puo verificare goda delleproprieta B1, B2, assegnata come segue

B = { [a, b[ : a, b ∈ R, a < b} .

Osservazione 1.1.12. La topologia di Sorgenfrey e piu fine della topologiaeuclidea, infatti ogni aperto in ϑe e anche aperto in ϑs poiche:

∀a, b ∈ R ]a, b[ =

∞⋃n=1

[a+

1

n, b

[dunque la base di aperti di ϑe e un sottoinsieme della base di aperti di ϑs, dunquesi ha ϑe ⊆ ϑs.

1.2 Chiusura e Interno di un insieme

In questo paragrafo siano (X,ϑ) uno spazio topologico ed M ⊆ X un sottoin-sieme di X. Diamo le seguenti definizioni:

Definizione 1.2.1. Un punto x ∈ X si dice aderente ad M se ogni intornoU di x interseca M , cioe se:

∀U ∈ I(x) U ∩M 6= ∅

Definizione 1.2.2. Un punto x ∈ X si dice di accumulazione per M se ogniintorno U di x interseca M in almeno un punto diverso da x, cioe se:

∀U ∈ I(x) (U \ {x}) ∩M 6= ∅

Definizione 1.2.3. Un punto x ∈ X si dice di frontiera per M se x e aderentead M e ad X \M .

Definizione 1.2.4. Un punto x ∈ X si dice isolato se esiste un intorno di xche interseca M nel solo punto x, cioe se:

∃U ∈ I(x) U ∩M = {x}

Diamo ora la definizione di chiusura di un insieme


Definizione 1.2.5. Sia dato un insieme M ⊆ X, si definisce chiusura di M ,e si indica con M , l’intersezione di tutti i chiusi che contengono M :

F = {C ∈ C : C ⊇M}, M =⋂C∈F

C

cioe il piu piccolo insieme chiuso che contiene M .

Siano M,N ⊆ X. Vediamo alcune proprieta di cui gode la chiusura.

1. M e chiuso

2. M = M ⇐⇒M e chiuso

3. M ⊆ N ⇒M ⊆ N

4. M ∪N = M ∪N

Dimostrazione proprieta 4. Dato che M ⊆M e N ⊆ N si ha

M ∪N ⊆M ∪N ⇒M ∪N ⊆M ∪N = M ∪N.

Analogamente, dato che M ⊆ M ∪ N e N ⊆ M ∪ N si ha M ⊆ M ∪N eN ⊆M ∪N . Pertanto

M ∪N ⊆M ∪N.

Vediamo adesso una caratterizzazione della chiusura di un insieme che verrautilizzata frequentemente:

Teorema 1.2.6. Se M ⊆ X allora M e l’insieme dei punti aderenti ad M .

Dimostrazione. Sia x /∈M , dimostriamo che x non e aderente ad M .Se x /∈M allora ∃C ∈ C : x /∈ C, M ⊆ C ⇒ x ∈ X \C ∈ ϑ. Quindi X \C e unintorno di x, ma, essendo (X \ C) ∩M = ∅, x non e aderente ad M .Viceversa, se x non e aderente ad M allora ∃U ∈ I(x) : U ∩M = ∅ ⇒ ∃A ∈ϑ : x ∈ A ⊆ U . Quindi si ha A ∩ M = ∅, ma, essendo X \ A chiuso conx /∈ X \A ⊇M , x /∈M .

Definizione 1.2.7. Si definisce frontiera di M ⊆ X l’insieme dei punti difrontiera per M . Indichiamo la frontiera di M con F (M).

Dalla definizione di punto di frontiera, un immediata conseguenza del teore-ma 1.2.6 e il seguente

Corollario 1.2.8. Sia M ⊆ X un insieme, allora F (M) = M ∩X \M .

Definizione 1.2.9. Si definisce derivato di M ⊆ X l’insieme dei punti diaccumulazione per M . Indichiamo il derivato di M con D(M).

Proposizione 1.2.10. Se M ⊆ X, allora M = M ∪D(M).

Dimostrazione. Dalle definizioni ogni punto di accumulazione per M e ancheaderente ad M , si ha D(M) ⊆M , ma anche M ⊆M ottenendo M∪D(M) ⊆M .Viceversa sia x ∈ M , se x ∈ M allora x ∈ M ∪ D(M), che e la tesi; se x /∈ Mallora dato che x e aderente ad M (poiche appartiene alla sua chiusura) ognisuo intorno interseca M in punti diversi da x, dunque x e di accumulazione perM , cioe x ∈M ∪D(M), ottenendo infine M ⊆M ∪D(M).

1.2. CHIUSURA E INTERNO DI UN INSIEME 5

Definizione 1.2.11. Un insieme M ⊆ X si dice denso in X se M = X.

Vediamo adesso una caratterizzazione degli insiemi densi:

Proposizione 1.2.12. Un insieme M ⊆ X e denso in X se e solo se ogniaperto interseca M , cioe

M = X ⇐⇒ ∀A ∈ ϑ A ∩M 6= ∅.

Dimostrazione. ⇒ Preso un qualsiasi aperto A ∈ ϑ sia x ∈ A, essendo A apertoallora sara un intorno di x, osserviamo che si ha anche x ∈ X, dal fatto cheM = X segue che x e aderente ad M , dunque ogni suo intorno interseca Mottenendo A ∩M 6= ∅.⇐ Sia x ∈ X preso un qualunque intorno U ∈ I(x) allora per definizione diintorno ∃A ∈ ϑ : x ∈ A ⊆ U , per ipotesi A ∩M 6= ∅ dunque U ∩M 6= ∅, quindix e aderente ad M , dunque x ∈M da cui segue X = M .

Diamo ora la definizione di interno di un insieme:

Definizione 1.2.13. Sia dato un insieme M ⊆ X. Si definisce interno di M ,e si indica con M , l’unione di tutti gli aperti contenuti in M :

A = {A ∈ ϑ : A ⊆M}, M =⋃A∈A

A,

cioe il piu grande insieme aperto contenuto in M .

Siano M,N ⊆ X. Vediamo alcune proprieta di cui gode l’interno:

1. M e aperto.

2. M = M ⇐⇒M e aperto

3. M ⊆ N ⇒ M ⊆ N

4. ˚(M ∩N) = M ∩ N

Definizione 1.2.14. Un punto x ∈ X si dice interno ad M se x ∈ M

Una definizione equivalente di punto interno puo essere ricavata a partiredalla seguente

Proposizione 1.2.15. Un punto x ∈ X e interno a M se e solo se esiste unintorno di x contenuto in M , cioe

x ∈ M ⇐⇒ ∃U ∈ I(x) : x ∈ U ⊆M

Dimostrazione. ⇒ Se x ∈ M allora ∃A ∈ ϑ : x ∈ A ⊆M , ma A e aperto quindie un intorno di x.⇐ Sia U ∈ I(x) con U ⊆M , allora per definizione di intorno∃A ∈ ϑ : x ∈ A ⊆ U ⊆M ⇒ x ∈ A ⊆M dunque x ∈ M poiche esiste un apertoche contiene x contenuto in M .


1.3 Topologia indotta

Definizione 1.3.1. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico e sia Y ⊆ X. Definiamouna topologia ϑ(Y ) su Y tale che:

A ∈ ϑ(Y )⇐⇒ ∃U ∈ ϑ : A = U ∩ Y

la topologia sopra definita e chiamata topologia indotta da X su Y , lo spaziotopologico (Y, ϑ(Y )) si dice sottospazio di (X,ϑ).

Verifichiamo che la topologia indotta verifica le proprieta A1, A2 e A3:

A1. Y, ∅ ∈ ϑ(Y )

Poiche Y = X ∩ Y e ∅ = ∅ ∩ Y

A2. A′ ⊆ ϑ(Y )⇒⋃

A′∈A′

A′ =⋃A∈A

(A ∩ Y ) =

( ⋃A∈A

A

)∩ Y ∈ ϑ(Y )

A3. A′1, A′2 ∈ ϑ(Y )⇒ A′1 ∩A′2 = (Y ∩A1)∩ (Y ∩A2) = Y ∩ (A1 ∩A2) ∈ ϑ(Y )

Dove la famiglia di insiemi A ⊆ ϑ e la famiglia degli aperti che intersecati con Ydanno luogo agli aperti di A′ ⊆ ϑ(Y ), e analogamente i due aperti A1, A2 ∈ ϑintersecati Y danno luogo ai due aperti A′1, A

′2 ∈ ϑ(Y ).

Proposizione 1.3.2. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico e (Y, ϑ(Y )) un suo sot-tospazio. Un insieme C ′ ⊆ Y e chiuso in Y se e solo se esiste un chiuso C inX tale che C ′ = C ∩ Y .

Dimostrazione. ⇒ Per ipotesi C ′ = Y \ A′ con A′ = Y ∩ A, A ∈ ϑ dunqueabbiamo C ′ = Y \A′ = Y \ (Y ∩A) = (Y ∩X)\ (Y ∩A) = Y ∩ (X \A) = Y ∩C,con C chiuso in X.⇐ Analogamente, per ipotesi C ′ = C ∩ Y con C = X \ A, A ∈ ϑ, dunqueabbiamo C ′ = C ∩Y = (X \A)∩Y = (X ∩Y ) \ (A∩Y ) = Y \ (A∩Y ) = Y \A′con A′ aperto in Y .

Proposizione 1.3.3. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico e (Y, ϑ(Y )) un suo sot-tospazio, gli aperti in ϑ(Y ) sono aperti in ϑ se e solo se Y e aperto in ϑ,cioe:

ϑ(Y ) ⊆ ϑ⇐⇒ Y ∈ ϑ

Dimostrazione. ⇒ Banalmente Y ∈ ϑ(Y )⇒ Y ∈ ϑ dato che ϑ(Y ) ⊆ ϑ.⇐ Ogni aperto A′ ∈ ϑ(Y ) si scrive come intersezione tra un aperto A ∈ ϑ e Y ,ma Y ∈ ϑ, quindi Y ∩A e aperto in ϑ da cui segue ϑ(Y ) ⊆ ϑ.

Osservazione 1.3.4. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico e (Y, ϑY ) un suo sotto-spazio, dato l’insieme Z ⊆ Y ⊆ X la topologia indotta da X su Z e uguale allatopologia indotta da Y su Z, cioe ϑ(Z) = ϑY (Z).

Definizione 1.3.5. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico, un insieme M ⊆ X sidira discreto se la topologia indotta da X su M e la topologia discreta.

1.4. ASSIOMI DI NUMERABILITA 7

Esempio 1.3.6. Consideriamo la topologia euclidea (R, ϑe), l’insieme Z e di-screto, infatti:

∀z ∈ Z]z − 1

2, z +

1

2

[∩ Z = {z}

Proposizione 1.3.7. Un insieme M ⊆ X e discreto se e solo se ogni x ∈M eisolato.

Dimostrazione. ⇒ Sia x ∈ M , dato che M e discreto ogni singoletto e apertonella topologia indotta, quindi ∃A ∈ ϑ : A ∩M = {x}, cioe esiste un intorno dix (l’aperto A) che interseca M nel solo punto x, cio equivale a dire che x e unpunto isolato.⇐ Analogamente, sia x ∈ M , per ipotesi x e isolato, dunque esiste un intornoU ∈ I(x) : U ∩ M = {x}, per definizione di intorno ∃A ∈ ϑ : x ∈ A ⊆ Udunque A∩M = {x}, da cio segue che la topologia indotta da X su M e quelladiscreta.

1.4 Assiomi di numerabilita

Definizione 1.4.1. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico, I(x) una famiglia di in-torni di x ∈ X, si chiama sistema fondamentale di intorni (o base diintorni) di x una famiglia di intorni I′(x), tale che:

∀U ∈ I(x), ∃V ∈ I′(x) : x ∈ V ⊆ U

Esempio 1.4.2. Nella topologia discreta (X,ϑd), un esempio di base di intornidi x ∈ X e la famiglia di intorni I(x) formata dal solo singoletto {x}.

Esempio 1.4.3. Nella topologia euclidea (R, ϑe) una base di intorni per x ∈ Re una famiglia del tipo:

I(x) ={

]x− ε, x+ ε[ : ε ∈ R+}

Definizione 1.4.4. Uno spazio topologico (X,ϑ) soddisfa il primo assiomadi numerabilita se per ogni x ∈ X esiste una base di intorni numerabile.

Osserviamo che dal precedente esempio 1.4.2 segue che la topologia discretasoddisfa il prima assioma di numerabilita poiche ogni punto e dotato di unabase di intorni formata da un solo elemento.

Esempio 1.4.5. La topologia euclidea (R, ϑe) soddisfa il primo assioma dinumerabilita in quanto preso x ∈ X consideriamo

I(x) =

{]x− 1

n, x+

1

n

[: n ∈ N \ {0}

}I(x) costituisce una base di intorni numerabile per x.

Esempio 1.4.6. La topologia di Sorgenfrey (R, ϑs) soddisfa il primo assiomadi numerabilita, infatti sia x ∈ X, una base di intorni numerabile per x e:

I(x) =

{[x, x+

1

n

[: n ∈ N \ {0}

}


Definizione 1.4.7. Uno spazio topologico (X,ϑ) soddisfa il secondo assiomadi numerabilita se esiste una base di aperti numerabile.

Osserviamo subito che la topologia indiscreta (X,ϑi) soddisfa il secondoassioma di numerabilita.

Proposizione 1.4.8. La topologia discreta (X,ϑd) verifica il secondo assiomadi numerabilita se e solo se X e numerabile.

Dimostrazione. Osserviamo prima che fissato B = {{x} : x ∈ X}, e facileosservare che B e una base di aperti di ϑd. Inoltre, presa una qualsiasi altrabase di aperti B′, dato che i singoletti sono aperti in ϑd e ogni aperto puo esserescritto come unione di aperti di B′, segue che B′ deve contenere tutti i singoletti,cioe si ha B ⊆ B′. Infine e facile osservare che la cardinalita di B e uguale allacardinalita di X, dunque:⇒ Se (X,ϑd) ha una base numerabile B′ allora anche B ⊆ B′ e numerabile,dunque lo e anche X.⇐ Se X e numerabile, allora lo e anche B, dunque esiste una base di apertinumerabile.

Esempio 1.4.9. La topologia euclidea (R, ϑe) soddisfa il secondo assioma dinumerabilita, infatti consideriamo l’insieme:

B = { ]r, q[ : r, q ∈ Q}

e facile osservare che essa e una base di aperti, inoltre e numerabile poiche Q enumerabile e il prodotto cartesiano di due insiemi numerabili e numerabile.

Teorema 1.4.10. Se uno spazio topologico (X,ϑ) soddisfa il secondo assiamodi numerabilita allora soddisfa anche il primo.

Dimostrazione. Sia B una base di aperti numerabile e sia x ∈ X, un sistemafondamentale di intorni numerabile per x e dato da I(x) = {B ∈ B : x ∈ B}.Infatti sia U un intorno di x, per definizione di intorno ∃A ∈ ϑ : x ∈ A ⊆ U ,ma essendo A un aperto, puo essere scritto come unione di aperti in B, dato chex ∈ A esistera un aperto Ax ∈ B : x ∈ Ax ⊆ A ⊆ U , da cui segue Ax ∈ I(x)con x ∈ Ax ⊆ U , dunque I(x) e un sistema fondamentale di intorni di x (il fattoche sia numerabile segue da I(x) ⊆ B).

Un esempio di spazio topologico che soddisfa il primo ma non il secondoassioma di numerabilita puo essere lo spazio topologico (R, ϑs), cioe R con to-pologia di Sorgenfrey, infatti per l’esempio 1.4.6 esso soddisfa il primo assiomadi numerabilita ma non verifica il secondo, come mostra la seguente

Proposizione 1.4.11. Lo spazio topologico (R, ϑs), cioe l’insieme R con latopologia di Sorgenfrey non soddisfa il secondo assioma di numerabilita.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista una base di aperti B nume-rabile. Sia S = { inf(B) ∈ R : B ∈ B}, dunque S e numerabile quindi R\S 6= ∅,si allora x ∈ R \ S, l’aperto [x, x+ 1[ per definizione di base di aperti e unionedi elementi di B, dunque ∃B ∈ B : x ∈ B ⊆ [x, x+ 1[, dunque x = inf(B) ∈ S,cio porta a un assurdo.

Definizione 1.4.12. Uno spazio topologico (X,ϑ) si dice separabile se esisteun insieme M ⊆ X denso in X e numerabile.

1.5. SPAZI METRICI 9

Esempio 1.4.13. Un esempio di spazio topologico separabile e (R, ϑe) infattil’insieme Q e numerabile e denso in (R, ϑe) poiche vale il seguente fatto (chenon dimostriamo):

∀a, b ∈ R,∃ r ∈ Q : a < r < b

dunque ogni insieme ]a, b[ ha almeno un numero razionale, ne segue che Qinterseca ogni insieme aperto quindi e denso.

Esempio 1.4.14. Un discorso del tutto analogo puo essere fatto per la topolo-gia di Sorgenfrey, infatti ogni insieme aperto [a, b[ contiene almeno un numerorazionale, dunque ogni aperto interseca Q, che risulta essere quindi denso in(R, ϑs) e numerabile, dunque (R, ϑs) e separabile.

Proposizione 1.4.15. Uno spazio topologico (X,ϑ) che soddisfa il secondoassioma di numerabilita e separabile.

Dimostrazione. Sia B una base di aperti numerabile di (X,ϑ), ad ogni B ∈ Bscegliamo un punto xB ∈ B, consideriamo l’insieme di questi puntiA = {xB ∈ B : B ∈ B}, esso e ovviamente numerabile, facciamo vedere chee anche denso. Sia U ∈ ϑ un aperto, dato che, per definizione di base, esso eunione di elementi in B, ∃B ∈ B : B ⊆ U ⇒ xB ∈ U ⇒ A ∩ U 6= ∅, cioe Ainterseca ogni aperto, dunque A e denso.

1.5 Spazi metrici

Definizione 1.5.1. Sia X un insieme, chiamiamo distanza (o metrica) un’ap-plicazione d : X ×X → R che gode delle seguenti proprieta:

D1. d(x, y) = 0 ⇔ x = y

D2. d(x, y) = d(y, x)

D3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Si definisce spazio metrico la coppia (X, d).

Osservazione 1.5.2. Dalle tre proprieta elencate sopra ricaviamo che la di-stanza e sempre positiva

∀x, y ∈ X d(x, y) ≥ 0

infatti, applichiamo la proprieta D3 ponendo x = y:

2 d(x, z) = d(x, z) + d(z, x) ≥ d(x, x) = 0⇒ d(x, z) ≥ 0

Definizione 1.5.3. Si chiama disco (o palla) di centro x ∈ X e raggio r ∈ R+

l’insieme:S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}

Definizione 1.5.4. Sia (X, d) uno spazio metrico, introduciamo attraverso lametrica d una topologia ϑ(d) su X ponendo un insieme A ⊆ X aperto se ∀x ∈ Aesiste un disco di centro x che e contenuto in A. La topologia ϑ(d) cosı definitasi chiama topologia indotta dalla metrica d su X.


Verifichiamo che (X,ϑ(d)) e uno spazio topologico:

A1. X, ∅ ∈ ϑ(d) (nulla da verificare)

A2. A ⊆ ϑ(d)⇒⋃A∈A

A ∈ ϑ(d)

poiche ∀x ∈⋃A∈A

A, ∃A ∈ A : x ∈ A⇒ ∃r ∈ R+ : S(x, r) ⊆ A ⊆⋃A∈A

A

A3. A1, A2 ∈ ϑ(d)⇒ A1 ∩A2 ∈ ϑ(d)

poiche ∀x ∈ A1 ∩A2 ⇒ x ∈ A1, x ∈ A2 ⇒ ∃ r1, r2 ∈ R+ :S(x, r1) ⊆ A1, S(x, r2) ⊆ A2, posto r = min{r1, r2} ⇒ S(x, r) ⊆ A1 ∩A2.

Esempio 1.5.5. Dotiamo l’insieme R della metrica d(x, y) = |x− y|. Come sipuo facilmente verificare (R, d) forma uno spazio metrico. Osserviamo che latopologia indotta dalla metrica e la topologia euclidea ϑe.In generale e possibile definire una distanza su Rn come segue:dati due punti P,Q ∈ Rn di coordinate P = (x1, x2, . . . , xn), Q = (y1, y2, . . . , yn),poniamo

d(P,Q) =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2

osserviamo che essa e la usuale distanza euclidea, chiameremo la topologiaindotta da d su Rn topologia euclidea che indicheremo con ϑe (in analogia aquanto fatto su R).

Osservazione 1.5.6. Notiamo che metriche diverse possono indurre la stessatopologia. Sia infatti X un insieme qualunque, ∀n ∈ N \ {0} definiamo unadistanza dn nel modo seguente:

dn(x, y) =

{0 se x = yn se x 6= y

Osserviamo che comunque sia scelto n, la metrica dn indurra la stessa topologiasu X, ovvero la topologia discreta, poiche S(x, 1) = {x}.

Proposizione 1.5.7. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia ϑ(d) la topologiaindotta dalla metrica d, allora ogni disco S(x, r) e aperto.

Dimostrazione. Sia S(x, r) un disco di centro x ∈ X e raggio r ∈ R+, siay ∈ S(x, r), poniamo s = r − d(x, y) > 0, dimostriamo che S(y, s) ⊆ S(x, y).Sia z ∈ S(y, s), abbiamo:

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + s = d(x, y) + r − d(x, y) = r ⇒⇒ d(x, z) < r ⇒ z ∈ S(x, r).

Corollario 1.5.8. In uno spazio metrico (X, d) l’insieme dei dischi costituisceuna base di ϑ(d).

Corollario 1.5.9. Se (X, d) e uno spazio metrico, allora lo spazio topologico(X,ϑ(d)) soddisfa il primo assioma di numerabilita

1.6. FUNZIONI CONTINUE 11

Dimostrazione. Per ogni x ∈ X, scegliamo come base di intorni la famigliaI(x) =

{S(x, 1

n

): n ∈ N \ {0}

}.

Teorema 1.5.10. Se (X, d) e uno spazio metrico, lo spazio topologico (X,ϑ(d))e separabile se e solo se soddisfa il secondo assioma di numerabilita.

Dimostrazione. ⇒ Sia A ⊆ X denso e numerabile, consideriamo l’insiemeB =

{S(x, 1

n ) : x ∈ A,n ∈ N \ {0}}

, dimostriamo che B costituisce una base diaperti di X. Sia U ∈ ϑ(d) e x ∈ U , proviamo che ∃B ∈ B : x ∈ B ⊆ U . Perdefinizione di ϑ(d), ∃r ∈ R+ : S(x, r) ⊆ U , fissiamo n ∈ N \ {0} tale che 1

n <r2 ,

si ha S(x, 1n ) ∈ ϑ(d) poiche ogni disco e aperto, inoltre A e denso in X, quindi

A ∩ S(x, 1n ) 6= ∅.

Sia y ∈ A∩S(x, 1n ), si ha x ∈ S(y, 1

n ) e S(y, 1n ) ⊆ S(x, r). Per verificare l’ultimo

fatto sia z ∈ S(y, 1n ) abbiamo d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < 1

n + 1n < r dunque

z ∈ S(x, 1n ).

Osserviamo infine che y ∈ A, dunque S(y, 1n ) ∈ B, posto quindi B = S(y, 1

n )abbiamo x ∈ B ⊆ S(x, r) ⊆ U .⇐ Abbiamo gia dimostrato che ogni spazio topologico che soddisfa il secondoassioma di numerabilita e separabile.

Definizione 1.5.11. Uno spazio topologico (X,ϑ) si dice metrizzabile se esisteuna metrica d su X che induce la topologia, cioe tale che ϑ = ϑ(d).

Per il corollario 1.5.9 un qualsiasi spazio topologico che non soddisfa il pri-mo assioma di numerabilita costituisce un esempio di spazio topologico nonmetrizzabile.

Definizione 1.5.12. Sia (X, d) uno spazio metrico, sia A ⊆ X e x ∈ X,definiamo distanza di x da A come segue:

d(x,A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}

Proposizione 1.5.13. Sia (X,ϑ(d)) uno spazio topologico indotto da una me-trica d. Sia dato un insieme A ⊆ X allora A = {x ∈ X : d(x,A) = 0}.

Dimostrazione. Sia x ∈ A allora per ogni r ∈ R+ si ha S(x, r) ∩A 6= ∅, cioe

∀r ∈ R+, ∃ y ∈ A : d(x, y) < r ⇒ d(x,A) = 0.

Viceversa, sia x ∈ X tale che d(x,A) = 0. Supponiamo per assurdo che x /∈ A,allora esiste un intorno U di x tale che U ∩ A = ∅. Per definizione di intorno∃ r ∈ R+ : S(x, r) ⊆ U, S(x, r) ∩A = ∅, cioe

∃ r ∈ R+,∀y ∈ A d(x, y) ≥ r

contro l’ipotesi d(x,A) = 0, arrivando cosı a un assurdo.

1.6 Funzioni continue

Definizione 1.6.1. Siano (X,ϑ) e (Y, ϑ′) due spazi topologici. Una funzionef : X → Y si dice continua se per ogni U ∈ ϑ′ si ha f−1(U) ∈ ϑ, cioe sel’immagine inversa di un aperto e ancora un aperto.


Esempio 1.6.2. Sia (X,ϑd), cioe X con la topologia discreta e (Y, ϑ′) unqualunque altro spazio topologico, allora ogni funzione f : X → Y e continua.

Esempio 1.6.3. Sia (X,ϑ) un qualunque spazio topologico e (Y, ϑ′i), cioe Y conla topologia indiscreta, allora ogni funzione f : X → Y e continua.

Esempio 1.6.4. Siano (X,ϑ) e (Y, ϑ′) due spazi topologici, allora ogni funzionef : X → Y costante (cioe tale che fissato y ∈ Y, ∀x ∈ X f(x) = y) e continua.

Proposizione 1.6.5. Siano (X,ϑ) e (Y, ϑ′) due spazi topologici allora una fun-zione f : X → Y e continua se e solo se per ogni chiuso F di Y , f−1(F ) echiuso in X.

Dimostrazione. ⇒ Sia f : X → Y continua e sia F un chiuso di Y , allora Y \Fe aperto in Y , dunque f−1(Y \ F ) = f−1(Y ) \ f−1(F ) = X \ f−1(F ) e apertoin X, cioe f−1(F ) e chiuso in X.⇐ Viceversa, sia U ∈ ϑ′ allora esiste F chiuso in Y tale che U = Y \F , dunquef−1(U) = f−1(Y \F ) = f−1(Y ) \ f−1(F ) = X \ f−1(F ) che e aperto in X datoche per ipotesi f−1(F ) e chiuso in X.

Per verificare la continuita di una funzione basta verificare che l’immagineinversa di elementi di una base di aperti di Y sia ancora un aperto in X comemostra la seguente

Proposizione 1.6.6. Siano (X,ϑ) e (Y, ϑ′) due spazi topologici e sia B unabase di aperti di Y , allora una funzione f : X → Y e continua se e solo se perogni B ∈ B, f−1(B) e aperto in X.

Dimostrazione. ⇒ Chiaramente, se la funzione f e continua, f−1(B) ∈ ϑ qua-lunque sia B ∈ B.

⇐ Sia U ∈ ϑ′, per definizione di base U =⋃B∈B′

B con B′ ⊆ B, dunque si ha

f−1(U) = f−1(⋃B∈B′

B) =⋃B∈B′

f−1(B)

si ha f−1(U) ∈ ϑ poiche unione di aperti, dunque f e continua.

Diamo adesso la definizione di continuita di una funzione in un punto.

Definizione 1.6.7. Siano (X,ϑ) e (Y, ϑ′) due spazi topologici una funzionef : X → Y e continua in x ∈ X se per ogni intorno U di f(x) esiste un intornoV di x tale che f(V ) ⊆ U .

Teorema 1.6.8. Dati (X,ϑ) e (Y, ϑ′) due spazi topologici, una funzionef : X → Y e continua se e solo se e continua in ogni punto di X.

Dimostrazione. ⇒ Supponiamo che f sia continua e prendiamo x ∈ X. Sia Uun intorno di f(x), allora ∃A ∈ ϑ′ tale che f(x) ∈ A ⊆ U , poiche f−1(A) eaperto esso e un intorno di x, dunque f(f−1(A)) ⊆ A ⊆ U .⇐ Viceversa supponiamo che f sia continua in qualunque punto x ∈ X. SiaU ∈ ϑ′ e x ∈ f−1(U), si ha f(x) ∈ U quindi U e un intorno di f(x) allora,per la continuita di f in x, esiste un intorno Vx di x tale che f(Vx) ⊆ U cioeVx ⊆ f−1(f(Vx)) ⊆ f−1(U). Dall’arbitrarieta di x segue che f−1(U) e intornodi ogni suo punto, dunque e aperto.

1.6. FUNZIONI CONTINUE 13

Proposizione 1.6.9. Siano (X,ϑ) e (Y, ϑ′) due spazi topologici, una funzionef : X → Y e continua se e solo se: ∀A ⊆ X x ∈ A⇒ f(x) ∈ f(A).

Dimostrazione. ⇒ Sia A ⊆ X e x ∈ A. Dato che f e continua, preso unqualunque intorno U di f(x) esiste un intorno V di x tale che f(V ) ⊆ U ,inoltrex ∈ A dunque A ∩ V 6= ∅, quindi si ha

∅ 6= f(A ∩ V ) ⊆ f(A) ∩ f(V ) ⊆ f(A) ∩ U

dunque ogni intorno di f(x) interseca f(A), cioe f(x) ∈ f(A).⇐ Sia F un chiuso di Y , dimostriamo che f−1(F ) e chiuso. Sia x ∈ f−1(F ) alloraper ipotesi si ha f(x) ∈ f(f−1(F )) ⊆ F = F ovvero f(x) ∈ F ⇒ x ∈ f−1(F ),quindi si ha f−1(F ) ⊆ f−1(F ), dunque f−1(F ) e chiuso.

Proposizione 1.6.10. Siano (X,ϑ1),(Y, ϑ2) e (Z, ϑ3) tre spazi topologici,f : X → Y e g : Y → Z due funzioni continue, allora g ◦ f : X → Z e continua.

Dimostrazione. Sia A un aperto di Z, allora (g ◦ f)−1(A) = f−1(g−1(A)), oraper la continuita di g, g−1(A) e aperto in Y , infine per la continuita di f ,f−1(g−1(A)), e aperto in X, dunque la funzione g ◦ f e continua.

Proposizione 1.6.11. Siano ϑ1 e ϑ2 due topologie su un insieme X, allora lafunzione identia 1X : (X,ϑ1) → (X,ϑ2) e continua se e solo se ϑ1 ⊇ ϑ2, cioese ϑ1 e piu fine di ϑ2.

Definizione 1.6.12. Siano (X,ϑ) e (Y, ϑ′) due spazi topologici. Una funzionef : X → Y si dice aperta se per ogni aperto A di X, f(A) e aperto in Y .Similmente f si dice chiusa se per ogni chiuso C di X, f(C) e chiuso in Y .

Definizione 1.6.13. Siano (X,ϑ) e (Y, ϑ′) due spazi topologici. Una funzionef : X → Y si chiama omeomorfismo se e biunivoca, continua e se la suainversa f−1 e continua.

Osservazione 1.6.14. Una funzione f : X → Y biunivoca e continua e unomeomorfismo se e solo se e aperta oppure chiusa.

Definizione 1.6.15. Uno spazio X si dice omeomorfo a Y o in simboli X ' Yse esiste un omeomorfismo f : X → Y . Inoltre osserviamo che la relazione diomeomorfismo e una relazione di equivalenza.

Esempio 1.6.16. L’insieme R (con la topologia euclidea) e omeomorfo all’in-tervallo ] − 1, 1[, basta considerare f : R →] − 1, 1[ con f(x) = x

1+|x| , esso

costituisce un omeomorfismo.

Esempio 1.6.17. Ancora, R e omeomorfo all’intervallo ]0,+∞[ tramite l’ome-momorfismo f : R→]0,+∞[ con f(x) = ex.

Capitolo 2

Assiomi di Separazione

2.1 Assioma T1

Definizione 2.1.1. Uno spazio topologico (X,ϑ) soddisfa l’assioma di separa-zione T1 se per ogni x, y ∈ X con x 6= y, esiste un aperto U tale che x ∈ U, y /∈ Ue esiste un aperto V tale che x /∈ V, y ∈ V .

Teorema 2.1.2. Uno spazio topologico (X,ϑ) e T1 se e solo se ogni singolettoe chiuso.

Dimostrazione. ⇒ Sia x ∈ X e y ∈ X \ {x}, allora per ipotesi esiste un apertoUy tale che x /∈ Uy, y ∈ Uy, allora

{x} =⋂

y∈X\{x}

X \ Uy

dunque {x} e chiuso poiche intersezione di chiusi.⇐ Siano x, y ∈ X con x 6= y, per ipotesi {x}, {y} sono chiusi dunque gli insiemiX \ {x}, X \ {y} sono due aperti tali che x ∈ X \ {y}, y /∈ X \ {y} ex /∈ X \ {x}, y ∈ X \ {x}.

Corollario 2.1.3. La topologia meno fine su X che soddisfa T1 e la topologiacofinita.

Dimostrazione. Sia ϑ una qualsiasi topologia su X tale che (X,ϑ) sia T1, ognisingoletto e chiuso quindi anche ogni insieme finito e chiuso perche unione finitadi chiusi, dunque un insieme complementare di un insieme finito e aperto, cioeogni aperto nella topologia cofinita e aperto in ϑ dunque ϑ e piu fine dellatopologia cofinita.

Corollario 2.1.4. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico con X finito, allora esso eT1 se e solo se ϑ e la topologia discreta.

Dimostrazione. ⇒ Per il corollario 2.1.3, basta osservare che la topologia cofinitadi un insieme finito corrisponde con la topologia discreta.⇐ Nella topologia discreta ogni singoletto e chiuso.

Proposizione 2.1.5. Uno spazio topologico (X,ϑ) e T1 se e solo se i singolettisono intersezione di insiemi aperti.

15

16 CAPITOLO 2. ASSIOMI DI SEPARAZIONE

Dimostrazione. ⇒ Sia x ∈ X allora per ogni y ∈ X \ {x}, esiste un aperto Uytale che x ∈ Uy e y /∈ Uy, dunque

{x} =⋂

y∈X\{x}

Uy

⇐ Sia x, y ∈ X distinti, allora per ipotesi {x} e intersezione di aperti, in parti-colare deve esisterne uno tra questi, diciamo U , tale che y /∈ U , ma ovviamentex ∈ U . Un discorso del tutto analogo puo essere fatto a partire da y, pertanto(X,ϑ) e T1.

Proposizione 2.1.6. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico T1 e sia A ⊆ X, se x eun punto di accumulazione per A allora ogni intorno di x interseca A in infinitipunti.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista un intorno di x che intersecaA in un numero finito di punti:

∃U ∈ I(x) : A ∩ U = {a1, a2, . . . , an}

poiche X e T1 ogni singoletto e chiuso di conseguenza ogni insieme finito echiuso, posto quindi C = {a1, a2, . . . , an} \ {x}, l’insieme V = U ∩ (X \ C) eancora un intorno di x che interseca A in al piu il punto x, contro l’ipotesi chex e di accumulazione per A.

2.2 Assioma T2

Definizione 2.2.1. Uno spazio topologico (X,ϑ) soddisfa l’assioma di separa-zione T2 (o e di Hausdorff) se presi due punti distinti x, y ∈ X esistono dueaperti U, V ∈ ϑ tali che x ∈ U, y ∈ V e U ∩ V = ∅.

Chiaramente, ogni spazio T2 e anche T1, ma non vale il viceversa come mostrail seguente

Esempio 2.2.2. Per costruire un esempio di spazio topologico T1 ma non T2prendiamo un insieme X infinito, esso con la topologia cofinita costituisce unospazio topologico T1 dal momento che ogni singoletto e chiuso, ma non e T2considerato che non esistono in questa topologia due aperti disgiunti.

Osservazione 2.2.3. Siano ϑ1 e ϑ2 due topologie su X tali che ϑ1 ⊆ ϑ2, allorase (X,ϑ1) e Ti ( i = 1, 2 ) lo e anche (X,ϑ2). Basta osservare che se ϑ2 e piufine di ϑ1 allora ogni aperto in ϑ1 e aperto anche in ϑ2.

Proposizione 2.2.4. Uno spazio topologico (X,ϑ) e T2 se e solo se ogni sin-goletto e intersezione di suoi intorni chiusi.

Dimostrazione. ⇒ Sia x ∈ X, fissato y ∈ X \ {x} esistono due aperti Uy eVy tali che x ∈ Uy, y ∈ Vy e Uy ∩ Vy = ∅, dato che Vy e un intorno di y,dall’ultima relazione segue y /∈ Uy, inoltre Uy e un intorno di x dal momentoche x ∈ Uy ⊆ Uy. In conclusione abbiamo

{x} =⋂

y∈X\{x}

Uy

2.3. ASSIOMA T3 17

⇐ Siano x, y ∈ X distinti, per ipotesi {x} e intersezione di suoi intorni chiusidi conseguenza deve esistere un intorno chiuso di x, diciamo F , tale che y /∈ F ,allora y ∈ X \ F , inoltre per definizione di intorno ∃U ∈ ϑ : x ∈ U ⊆ F . Inconclusione posto V = X \ F si ha: x ∈ U, y ∈ V con U ∩ V = ∅.

Proposizione 2.2.5. Siano (X,ϑ1), (Y, ϑ2) due spazi topologici con Y uno spa-zio T2 e A ⊆ X denso, inoltre siano f, g : X → Y due funzioni continue,allora

∀x ∈ A f(x) = g(x) =⇒ f = g

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che ∃x ∈ X : f(x) 6= g(x), per ipotesiesistono due aperti U, V ∈ ϑ2 tali che f(x) ∈ U, g(x) ∈ V e U ∩ V = ∅,gli insiemi f−1(U), g−1(V ) sono due aperti che contengono x quindi sono suoiintorni, pertanto anche f−1(U) ∩ g−1(V ) e un intorno di x. Ma x ∈ X = Aquindi A ∩ (f−1(U) ∩ g−1(V )) 6= ∅. Sia quindi z ∈ A ∩ (f−1(U) ∩ g−1(V )), siha f(z) ∈ U, g(z) ∈ V e z ∈ A⇒ f(z) = g(z), contro U ∩ V = ∅ , assurdo.

2.3 Assioma T3

Definizione 2.3.1. Uno spazio topologico (X,ϑ) soddisfa l’assioma di separa-zione T3 (o e regolare) se e T1 e se per ogni chiuso F e per ogni x /∈ F esistonodue aperti U, V ∈ ϑ tali che x ∈ U, F ⊆ V e U ∩ V = ∅.

Ogni spazio T3 e anche T2. Siano infatti x, y ∈ X, dato che ogni singolettoe chiuso, consideriamo {y}, allora esistono due aperti U, V tali che x ∈ U ,{y} ⊆ V ⇒ y ∈ V e U ∩ V = ∅.Inoltre se dalla definizione di spazio regolare omettiamo la condizione T1, alloraT3 6⇒ T2 dal momento che una tale definizione sarebbe soddisfatta ad esempiodalla topologia indiscreta (su un qualunque insieme X), infatti preso un chiusoF e x /∈ F ⇒ F = ∅, allora esistono due aperti X, ∅ tali che x ∈ X,F ⊆ ∅ eX ∩ ∅ = ∅.

Esempio 2.3.2. Vediamo ora un esempio di spazio topologico T2 ma non T3.Posto Z = { 1n : n ∈ N \ {0}}, costruiamo su R una topologia ϑ avente comebase di aperti l’insieme B = { ]a, b[ \A : a, b ∈ R, A ⊆ Z}. Si puo verificare che(R, ϑ) e uno spazio topologico, inoltre ϑ e piu fine della topologia euclidea (che,come verra dimostrato in seguito, e T2), dunque anche (R, ϑ) e T2, dimostriamoche non e T3. Osserviamo preliminarmente che Z e un insieme chiuso in ϑ,infatti R \ Z = ]−∞, 0[∪ ( ]− 1, 1[ \Z )∪ ]1,+∞[∈ ϑ. Supponiamo per assurdoche esistano due aperti U, V , tali che 0 ∈ U,Z ⊆ V e U ∩V = ∅. Per definizionedi base, ∃ δ > 0 : ( ]−δ, δ[ \Z) ⊆ U , fissiamo n ∈ N\{0} tale che 1

n < δ poniamox = 1

n ∈ Z. Poiche Z ⊆ V , e V e aperto ∃ r > 0 : ]x − r, x + r[⊆ V . A questopunto, ricordando che 1

n < δ, e possibile verificare ( ]−δ, δ[ \Z)∩ ]x−r, x+r[ 6= ∅,pertanto si ha U ∩ V 6= ∅, arrivando a un assurdo.

Proposizione 2.3.3. Uno spazio topologico (X,ϑ) e T3 se e solo se e T1 e ognipunto ha un sistema fondamentale di intorni chiusi.

Dimostrazione. ⇒ Sia x ∈ X e consideriamo la famiglia di tutti gli intorni di xI(x) = {Wi}i∈I , facciamo vedere che I′(x) =

{Wi

}i∈I e un sistema fondamen-

tale di intorni di x.


Sia W un intorno di x, allora ∃A ∈ ϑ : x ∈ A ⊆ W , consideriamo X \ A, peripotesi esistono due aperti U, V tali che x ∈ U,X \A ⊆ V e U ∩ V = ∅.Si ha anche U ∩ V = ∅, infatti se per assurdo y ∈ U ∩ V , essendo V aperto essoe un intorno di y, e dal momento che U ∩ V = ∅ allora y /∈ U il che e assurdo.Ma X \A ⊆ V ⇒ U ∩ (X \A) = ∅ ⇒ U ⊆ A ⊆W con x ∈ U ⊆ U . Dunque perogni intorno W di x esiste un intorno chiuso U di x contenuto in W .⇐ Sia x ∈ X e sia F un chiuso tale che x /∈ F , dunque x ∈ X \ F che e unintorno di x, per ipotesi esiste un intorno G di x chiuso tale che G ⊆ X \ F ,inoltre, per definizione di intorno, esiste un aperto U tale che x ∈ U ⊆ G, postoV = X \G abbiamo x ∈ U, F ⊆ V e U ∩ V = ∅.

2.4 Assioma T4

Definizione 2.4.1. Uno spazio topologico (X,ϑ) soddisfa l’assioma di separa-zione T4 (o e normale) se e T1 e comunque si prendano due chiusi F e G conF ∩G = ∅, esistono due aperti U, V tali che F ⊆ U, G ⊆ V e U ∩ V = ∅.

Ogni spazio T4 e anche T3, infatti per definizione se X e T4 allora e ancheT1 dunque ogni singoletto e chiuso, sia x ∈ X e F un insieme chiuso tale chex /∈ F ⇒ {x} ∩ F = ∅ esistono due aperti U, V tali che {x} ⊆ U ⇒ x ∈ U eF ⊆ V con U ∩ V = ∅.

Teorema 2.4.2. Ogni spazio topologico metrizzabile e normale.

Dimostrazione. Sia (X, d) uno spazio metrico e ϑ(d) la topologia indotta dallametrica. Dimostriamo che X e uno spazio T2 (e dunque anche T1).Siano x, y ∈ X con d(x, y) = r > 0, consideriamo i due dischi S(x, r2 ), S(y, r2 ),essi sono due aperti disgiunti uno contenente x e l’altro y, infatti supponiamoche z ∈ S(x, r2 ) ∩ S(y, r2 ) allora:

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) <r

2+r

2= r ⇒ d(x, y) < r

arrivando a un assurdo.Dimostriamo ora che X e T4. Siano F e G due insiemi chiusi tali che F ∩G = ∅dunque F ⊆ X \ G ∈ ϑ(d) e analogamente G ⊆ X \ F ∈ ϑ(d), quindi per ognipunto x ∈ F, ∃ rx > 0 : S(x, rx) ⊆ X \G, in modo del tutto analogo per ogniy ∈ G, ∃ ry > 0 : S(y, ry) ⊆ X \ F . Poniamo

A =⋃x∈F

S(x,rx2

)∈ ϑ(d), B =

⋃y∈G

S(y,ry2

)∈ ϑ(d)

per costruzione si ha F ⊆ A, G ⊆ B, proviamo che A ∩ B = ∅. Sia z ∈ A ∩ B,dunque ∃x ∈ F : d(x, z) < rx

2 e ∃ y ∈ G : d(z, y) <ry2 , supponiamo, senza

perdita di generalita, che rx = max{rx, ry}, otteniamo:

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) <rx2

+ry2≤ rx ⇒ d(x, y) < rx

pertanto y ∈ S(x, rx) ⊆ X \G che e assurdo poiche y ∈ G.

Esempio 2.4.3. Come abbiamo visto nell’esempio 1.5.5, (Rn, ϑe) e uno spaziotopologico metrizzabile dunque e T4.

2.4. ASSIOMA T4 19

Esempio 2.4.4. Un esempio di spazio topologico non metrizzabile ma T4 e latopologia di Sorgenfrey. Infatti (R, ϑs) e uno spazio topologico separabile (esem-pio 1.4.14) ma non soddisfa il secondo assioma di numerabilita (proposizione1.4.11), dunque non e metrizzabile (ricordando che uno spazio metrizzabile eseparabile se e solo se soddisfa il secondo assioma di numerabilita). Dimostria-mo che esso e T4.Dal momento che ϑe ⊆ ϑs e abbiamo gia osservato che (R, ϑe) e T2 segue dalla2.2.3 che anche (R, ϑs) e T2 (dunque anche T1). Siano adesso C1, C2 due in-siemi chiusi tali che C1 ∩ C2 = ∅ ⇒ C1 ⊆ X \ C2, C2 ⊆ X \ C1, ricordandoche una base di aperti di ϑs e data da B = { [a, a + ε[ : a ∈ R, ε ∈ R+}, alloraper ogni x ∈ C1,∃ εx ∈ R+ : [x, x + εx[⊆ X \ C2, e analogamente per ogniy ∈ C2,∃ εy ∈ R+ : [ y, y + εy[⊆ X \ C1, poniamo

A =⋃x∈C1

[x, x+ εx[∈ ϑs, B =⋃y∈C2

[ y, y + εy[∈ ϑs

ovviamente C1 ⊆ A e C2 ⊆ B, inoltre dimostriamo che [x, x+εx[∩[ y, y+εy[= ∅(con x ∈ C1 e y ∈ C2), infatti se non fossero disgiunti allora si verifica uno deiseguenti fatti: x < y < x+εx ⇒ y ∈ X \C2 oppure y < x < y+εy ⇒ x ∈ X \C1,arrivando in ogni caso a un assurdo, dunque A ∩B = ∅, pertanto (R, ϑs) e T4.

Teorema 2.4.5. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico separabile e supponiamo cheesiste un sottoinsieme S ⊆ X chiuso, discreto e non numerabile allora (X,ϑ)non e T4.

Dimostrazione. Osserviamo preliminarmente che ogni sottoinsieme di S e chiusoin X. Sia A ⊆ S, dato che S e discreto la topologia indotta su S e quelladiscreta, dunque A e chiuso nella topologia indotta, inoltre per la proposizione1.3.2 esiste un chiuso C di X tale che A = S ∩ C, pertanto A e chiuso in Xpoiche intersezione di due chiusi.Per ipotesi X e separabile dunque sia D ⊆ X un insieme denso e numerabile.Supponiamo per assurdo che (X,ϑ) sia T4 e consideriamo ∅ 6= A ( S. I dueinsiemi A e S \A sono entrambi chiusi, per ipotesi esistono due aperti UA, US\Atali che A ⊆ UA, S \ A ⊆ US\A e UA ∩ US\A = ∅. Poiche D e denso si haUA ∩D 6= ∅.Siano allora A,B ( S due sottoinsiemi non vuoti con A 6= B, si ha

UA ∩D 6= UB ∩D

infatti se A \B 6= ∅, allora si ha

UB ∩ US\B ∩D = ∅

poiche UB ∩ US\B = ∅, mentre

UA ∩ US\B ∩D 6= ∅

dato che A \B ⊆ A ⊆ UA e A \B ⊆ S \B ⊆ US\B quindi A \B ⊆ UA ∩ US\B .Infine costruiamo un’applicazione: f : P(S)→ P(D) tramite la legge

f(A) =

∅ se A = ∅UA ∩D se A ( SD se A = S

per quanto dimostrato prima, essa e iniettiva, ma cio e assurdo in quanto lacarindalita di P(S) e strettamente maggiore della cardinalita di P(D).


Esempio 2.4.6. Un esempio di spazio topologico T3 ma non T4 e il piano diNiemytzki. In R2 sia L = {(x, 0) ∈ R2 : x ∈ R}, cioe l’asse delle ascisse,e sia X = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0} ⊆ R2, cioe il semipiano superiore di R2,definiamo su X una topologia ϑ formata da tutti gli aperti di ϑe(X), cioe latopologia indotta da quella euclidea su X, unito a tutti gli insiemi formati daidischi aperti tangenti a L unito il punto di tangenza.In (X,ϑ) ogni singoletto e chiuso, dunque e T1, inoltre ogni punto possiede unsistema fondamentale di intorni chiusi, cioe e T3, ma non e T4 infatti (X,ϑ) eseparabile poiche X ∩ Q2 e un insieme denso e numerabile inoltre la retta L eun insieme chiuso, discreto e non numerabile, quindi per il teorema 2.4.5 (X,ϑ)non e T4.

Definizione 2.4.7. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico. Una proprieta di (X,ϑ)si dice ereditaria se ogni sottospazio di (X,ϑ) gode di tale proprieta.

Proposizione 2.4.8. Le proprieta T1, T2, T3 sono ereditarie.

Dimostrazione. Sia Y ⊆ X un sottospazio di XT1) Per ipotesi (X,ϑ) e T1 ogni singoletto e chiuso. Dato che per ogni y ∈ Y siha {y} = {y} ∩ Y , per la proposizione 1.3.2 {y} e chiuso in Y , dunque Y e T1.T2) Siano y1, y2 ∈ Y allora y1, y2 ∈ X, per ipotesi esistono due aperti U, V diX tali che y1 ∈ U, y2 ∈ V e U ∩ V = ∅. Poniamo U ′ = U ∩ Y, V ′ = V ∩ Y sonodue aperti di Y , inoltre y1 ∈ U ′, y2 ∈ V ′ e U ′ ∩ V ′ = ∅, pertanto Y e T2.T3) Abbiamo gia dimostrato che se X e T1 allora Y e T1. Sia y ∈ Y e F ′ unchiuso di Y tale che y /∈ F ′, sempre per la proposizione 1.3.2 esiste un chiuso Fdi X tale che F ′ = F ∩ Y , inoltre y ∈ X quindi per ipotesi esistono due apertiU, V di X tali che y ∈ U,F ⊆ V e U ∩V = ∅, poniamo U ′ = U ∩Y, V ′ = V ∩Ysono due aperti di Y tali che y ∈ U ′, F ′ ⊆ V ′ e U ′ ∩ V ′ = ∅, pertanto Y eT3.

2.5 Limite di successioni

Sia (X,ϑ) uno spazio topologico, diamo le seguenti definizioni

Definizione 2.5.1. Si definisce successione un’applicazione f : N → X. Glielementi f(n) sono indicati con xn e la successione con {xn}n∈N ⊆ X.

Definizione 2.5.2. Un punto l ∈ X e detto limite della successione {xn}n∈N seper ogni intorno U di l esiste un indice ν tale che ogni termine della successionecon indice maggiore di ν appartiene a U . In altri termini se

∀U ∈ I(l), ∃ν ∈ N : ∀n > ν xn ∈ U

quando cio accade scriveremo limn→+∞

xn = l.

Osserviamo che in generale il limite di una successione non e unico comemostra il seguente

Esempio 2.5.3. Definiamo una striscia aperta di centro x0 e raggio ε l’insiemeS(x0, ε) = {(x, y) ∈ R2 : |x−x0| < ε}. In R2 costruiamo la topologia delle striscein cui un insieme A e aperto se per ogni suo punto P esiste una striscia apertacontenente P e contenuta in A.

2.5. LIMITE DI SUCCESSIONI 21

Consideriamo in questa topologia la successione {xn} ={(

1n , 0)

: n ∈ N \ {0}}

,ogni punto del tipo (0, y) con y ∈ R e limite della successione {xn}. Infatticonsideriamo come intorni di (0, y) le strisce aperte di centro x0 = 0 e raggioun certo ε, scegliamo un indice ν > 1

ε allora per ogni n > ν > 1ε ⇒

1n < ε si ha

xn =(1n , 0)∈ S(0, ε).

Teorema 2.5.4. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico T2 allora se una successione{xn}n∈N ammette limite esso e unico.

Dimostrazione. Sia {xn} ⊆ X una successione. Per assurdo supponiamo che{xn} abbia due limiti diversi l1 e l2. Per ipotesi X e T2 dunque esistono dueaperti U, V tali che l1 ∈ U, l2 ∈ V e U ∩ V = ∅. Dato che U e intorno di l1esiste un indice ν1 tale che ∀n > ν1 si ha xn ∈ U , analogamente V e intornodi l2 quindi esiste un indice ν2 tale che ∀n > ν2 si ha xn ∈ V . Infine, postoν = max{ν1, ν2} per ogni n > ν si ha xn ∈ U ∩ V , che e assurdo poiche U e Vsono disgiunti.

Capitolo 3

Prodotto e quoziente

3.1 Topologia prodotto

Proposizione 3.1.1. Siano X un insieme, (Y, ϑy) uno spazio topologico e siaf : X → Y una funzione. La topologia meno fine definibile su X affinche f siacontinua e data da

ϑf = {f−1(A) : A ∈ ϑy}.

Dimostrazione. Sia ϑ una topologia su X che renda f continua allora per ogniA ∈ ϑy, f−1(A) e un aperto di ϑ, cioe ogni aperto di ϑf e aperto in ϑ, pertantoϑf ⊆ ϑ.

Definizione 3.1.2. Dati due insiemi X e Y , consideriamo il prodotto cartesia-no X × Y , chiameremo proiezioni canoniche le funzioni

p : X × Y → X, p(x, y) = x

q : X × Y → Y, q(x, y) = y

Definizione 3.1.3. Siano (X,ϑ1), (Y, ϑ2) due spazi topologici. Sul prodottocartesiano X × Y definiamo una topologia ϑp in due modi equivalenti:

1. La topologia prodotto ϑp e la topologia meno fino che rende le proiezionicanoniche p : X × Y → X e q : X × Y → Y continue.

2. Definiamo la topologia prodotto ϑp attraverso la base di aperti

B = {A×B : A ∈ ϑ1, B ∈ ϑ2},

e facile verificare che B soddisfa le proprieta B1 e B2. In particolare perla seconda proprieta basta osservare che:

A1×B1, A2×B2 ∈ B (A1×B1)∩(A2×B2) = (A1∩A2)×(B1∩B2) ∈ B.

Esempio 3.1.4. Consideriamo (R, ϑe), la topologia prodotto della topologia eu-clidea con se stessa ha per base l’insieme B = { ]a, b[×]c, d[ : a, b, c, d ∈ R}, chee una base per (R2, ϑe), dunque il prodotto della topologia euclidea su R con sestessa e uguale alla topologia euclidea su R2.

23

24 CAPITOLO 3. PRODOTTO E QUOZIENTE

Esempio 3.1.5. Effettuando il prodotto tra la topologia euclidea (R, ϑe) e latopologia indiscreta (R, ϑi) otteniamo la topologia delle strisce vista nell’esempio2.5.3, infatti una base per questa topologia e data da

B = { ]a, b[×R : a, b ∈ R} = {(x, y) ∈ R2 : a < x < b}.

Proposizione 3.1.6. Sia (x, y) ∈ X × Y , un insieme W ⊆ X × Y e intornodi (x, y) se e solo se esiste un intorno U di x e un intorno V di y tali cheU × V ⊆W .

Dimostrazione. ⇒ Se W e intorno di (x, y) allora esiste un aperto A ∈ ϑp :(x, y) ∈ A ⊆W , per definizione di topologia prodotto esiste un aperto U di X eun aperto V di Y tali che (x, y) ∈ U ×V ⊆ A ⊆W , dato che U e V sono apertisono anche intorni rispettivamente di x e di y.⇐ Sia U un intorno di x e V un intorno di y con U × V ⊆ W , allora esisteun aperto A di X e un aperto B di Y tali che (x, y) ∈ A × B ⊆ U × V ⊆ W ,dunque W e un intorno di (x, y) dato che A×B e un aperto di X × Y .

Proposizione 3.1.7. Siano B1 una base di X e B2 una base di Y , alloraB = {A1 × A2 : A1 ∈ B1, A2 ∈ B2} e una base per la topologia prodotto suX × Y .

Dimostrazione. Sia A un aperto di X × Y con (x, y) ∈ A, per definizione ditopologia prodotto esiste un aperto U di X e un aperto V di Y tali che(x, y) ∈ U × V ⊆ A. Per ipotesi B1 e una base di X, dunque esiste A1 ∈ B1 :x ∈ A1 ⊆ U analogamente per B2 esiste A2 ∈ B2 : y ∈ A2 ⊆ V , infine si ha(x, y) ∈ A1 ×A2 ⊆ U × V ⊆ A.

Corollario 3.1.8. Se (X,ϑ1) e (Y, ϑ2) soddisfano il secondo assioma di nume-rabilita allora anche (X × Y, ϑp) soddisfano tale assioma.

Dimostrazione. Questo fatto segue direttamente dalla proposizione preceden-te una volta osservato che il prodotto cartesiano di due insiemi numerabili enumerabile.

Proposizione 3.1.9. Siano A ⊆ X e B ⊆ Y allora A×B = A×B.

Dimostrazione. Per la proposizione 3.1.6 un punto (x, y) ∈ A×B se e solo seper ogni intorno U di x e ogni intorno V di y si ha (U × V ) ∩ (A × B) 6= ∅ ⇔(U ∩A)× (V ∩B) 6= ∅ ⇔ U ∩A 6= ∅, V ∩B 6= ∅ cio accade se e solo se x ∈ A ey ∈ B, cioe (x, y) ∈ A×B.

Corollario 3.1.10. Se F e un chiuso di X e G e un chiuso di Y allora F ×Ge un chiuso di X × Y .

Dimostrazione. F = F , G = G⇒ F ×G = F ×G = F ×G.

Proposizione 3.1.11. Se A e un insieme denso in X e B e un insieme densoin Y allora A×B e denso in X × Y .

Dimostrazione. A = X, B = Y ⇒ A×B = A×B = X × Y .

Proposizione 3.1.12. Siano A ⊆ X e B ⊆ Y allora ˚(A×B) = A× B.

3.1. TOPOLOGIA PRODOTTO 25

Dimostrazione. Da A ⊆ A, B ⊆ B otteniamo A × B ⊆ A × B, inoltre A × Be aperto ed essendo ˚(A×B) il piu grande aperto contenuto in A × B si ha

A× B ⊆ ˚(A×B).

Viceversa, sia (x, y) ∈ ˚(A×B), per definizione di topologia prodotto esiste un

aperto U di X e un aperto V di Y tali che (x, y) ∈ U × V ⊆ ˚(A×B), dunquex ∈ U ⊆ A e y ∈ V ⊆ B, ma essendo A il piu grande aperto contenuto in A eB il piu grande aperto contenuto in B si ha (x, y) ∈ U × V ⊆ A× B.

Proposizione 3.1.13. Siano A ⊆ X e B ⊆ Y , la topologia indotta da X × Ysu A×B e uguale alla topologia prodotto della topologia indotta da X su A e latopologia indotta da Y su B.

Dimostrazione. Un insieme H ⊆ A×B e aperto nella topologia indotta da X×Yse e solo se esiste un apertoW diX×Y tale cheH = W∩(A×B). Per definizionedi topologia prodotto W =

⋃i∈I Ui×Vi, essendo Ui e Vi aperti rispettivamente

di X e di Y quindi H =(⋃

i∈I Ui × Vi)∩ (A×B) =

⋃i∈I(Ui∩A)× (Vi∩B) che

e un aperto nella topologia prodotto della topologia indotta da X su A e dellatopologia indotta da Y su B.

Proposizione 3.1.14. Le proiezioni canoniche p : X×Y → X e q : X×Y → Ysono aperte.

Dimostrazione. Sia A un aperto di X×Y , per definizione di topologia prodottoA =

⋃i∈I Ui × Vi, dunque si ha

p(A) = p

(⋃i∈I

Ui × Vi

)=⋃i∈I

p(Ui × Vi) =⋃i∈I

Ui

che e un aperto di X. La dimostrazione e analoga per q.

Teorema 3.1.15. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico e ∆ = {(x, x) : x ∈ X} ladiagonale di X ×X, allora X e T2 se e solo se ∆ e chiuso in X ×X.

Dimostrazione. ⇒ Siano x, y ∈ X con x 6= y dunque (x, y) /∈ ∆. Per ipotesiesistono U e V aperti tali che x ∈ U, y ∈ V e U ∩ V = ∅ ⇒ (U × V ) ∩∆ = ∅,quindi abbiamo (x, y) ∈ U × V ⊆ X ×X \∆ che prova che ∆ e chiuso.⇐ Sia (x, y) ∈ X ×X \∆ quindi x 6= y, dato che ∆ e chiuso, per definizione ditopologia prodotto esiste un aperto U ×V tale che (x, y) ∈ U ×V ⊆ X×X \∆,dunque x ∈ U, y ∈ V e (U × V ) ∩∆ = ∅ ⇒ U ∩ V = ∅.

Definizione 3.1.16. Sia f : X → Y una funzione, si definisce grafico di fl’insieme gr(f) = {(x.f(x)) : x ∈ X} ⊆ X × Y .

Una generalizzazione del teorema precedente e data dal seguente risultato

Teorema 3.1.17. Sia (X,ϑ1), (Y, ϑ2), due spazi topologici con Y spazio di Hau-sdorff e sia f : X → Y una funzione continua allora gr(f) e un insieme chiusoin X × Y .

Dimostrazione. Sia (x, y) ∈ X × Y \ gr(f) quindi y 6= f(x), per ipotesi esistonodue aperti W e V tali che f(x) ∈ W, y ∈ V e W ∩ V = ∅, ma W e un intornodi f(x) dunque per la continuita di f esiste un intorno aperto U di x tale chef(U) ⊆ W quindi f(U) ∩ V = ∅ ⇒ (U × V ) ∩ gr(f) = ∅, infine abbiamo(x, y) ∈ U×V ⊆ X×Y \gr(f). Questo prova che X×Y \gr(f) essendo intornodi ogni suo punto e aperto e quindi gr(f) e chiuso.


In generale la chiusura del grafico di una funzione non implica la continuitacome mostra il seguente

Esempio 3.1.18. Consideriamo la fuzione f : R→ R definita come segue

f(x) =

{1x x 6= 0

0 x = 0

come si puo verificare gr(f) e chiuso in R2, ma ovviamente la funzione non econtinua.

Esempio 3.1.19. Siano X e Y due insiemi infiniti, consideriamo gli spazitopologici (X,ϑc) e (Y, ϑ′c) con la topologia cofinita allora la topologia cofinitaϑ su X × Y e strettamente meno fine della topologia prodotto ϑ, cioe ϑ ⊂ ϑ.Infatti, dato che nella topologia cofinita un insieme e chiuso se e finito o coincidecon l’intero spazio, e facile verificare che un chiuso di ϑ e chiuso anche in ϑ.Inoltre ad esempio l’insieme X ×{y}, con y ∈ Y , e chiuso in ϑ perche prodottodi insiemi chiusi, ma non e chiuso in ϑ in quanto insieme infinito diverso daX × Y .

Osservazione 3.1.20. Se x0 ∈ X e y0 ∈ Y allora lo spazio X e omeomorfo alsottospazio X×{y0} di X×Y e lo spazio Y e omeomorfo al sottospazio {x0}×Ydi X × Y . Infatti le restrizioni delle proiezioni canoniche

p : X × {y0} → X, q : {x0} × Y → Y

sono omeomorfismi.

Teorema 3.1.21. Il prodotto di due spazi topologici metrizzabili e metrizzabile.

Dimostrazione. Siano (X, d1), (Y, d2) due spazi metrici, dimostriamo che lo spa-zio topologico X × Y e metrizzabile.Posti z0 = (x0, y0) ∈ X × Y, z1 = (x1, y1) ∈ X × Y , consideriamo l’applicazione

d : (X × Y )× (X × Y )→ R d(z0, z1) = max{d1(x0, x1), d2(y0, y1)}

si verifica facilmente che essa e una metrica sull’insieme X × Y .

Osserviamo che possiamo definire sul prodotto X × Y diverse metriche cheinducono la stessa topologia, ad esempio

d′(z0, z1) = d1(x0, x1) + d2(y0, y1)

d′′(z0, z1) =√d1(x0, x1)2 + d2(y0, y1)2

ricordando che dati due numeri a, b non negativi si ha

max{a, b} ≤√a2 + b2 ≤ a+ b ≤ 2max{a, b}

da cui otteniamo

d(z0, z1) ≤ d′′(z0, z1) ≤ d′(z0, z1) ≤ 2 d(z0, z1)

e quindi per ogni z ∈ X × Y e r > 0

Sd

(z,r

2

)⊆ Sd′(z, r) ⊆ Sd′′(z, r) ⊆ Sd(z, r)

che permette di concludere che le metriche d, d′, d′′ inducono la stessa topologia.

3.2. FUNZIONI QUOZIENTE 27

Proposizione 3.1.22. Siano (X,ϑ1), (Y, ϑ2) due spazi topologici soddisfacentil’assioma di separazione Ti per i ∈ {1, 2, 3}, allora il prodotto X × Y e Ti.

Dimostrazione.

T1) Se X e Y sono T1 allora i songoletti {x}, {y} sono chiusi, dunque {x} ×{y} = {(x, y)} e chiuso in X × Y , pertanto X × Y e T1.

T2) Siano (x0, y0) 6= (x1, y1) due elementi distinti di X × Y , si ha x0 6= x1oppure y0 6= y1. Se x0 6= x1 allora, dal momento che X e T2, esistono dueaperti U e V di X tali che x0 ∈ U , x1 ∈ V e U ∩ V = ∅. Consideriamoadesso i due aperti U × Y e V × Y di X × Y si ha (x0, y0) ∈ U × Y ,(x1, y1) ∈ V × Y inoltre (U × Y ) ∩ (V × Y ) = (U ∩ V ) × Y = ∅. Undiscorso del tutto analogo puo essere fatto nel caso y0 6= y1 dal momentoche Y e T2.

T3) Dimostriamo che ogni punto possiede un sistema di intorni chiuso. Sia Aun aperto di X e x ∈ A. Poiche X e T3 esiste un intorno chiuso U di x taleche x ∈ U ⊆ A e analogamente per Y preso B aperto di Y e y ∈ B, esisteun intorno chiuso V di y tale che y ∈ V ⊆ B. In conclusione abbiamo(x, y) ∈ U × V ⊆ A×B, ovvero ogni intorno di (x, y) contiene un intornochiuso.

Il risultato precedente non puo essere applicato anche a T4 come mostra ilseguente

Esempio 3.1.23. Consideriamo la topologia di Sorgenfrey (R, ϑs), abbiamo giaosservato nell’esempio 2.4.4 che essa e T4, mostriamo che il prodotto non e T4utilizzando il teorema 2.4.5. Infatti (R2, ϑs) e separabile in quanto Q2 e uninsieme denso e numerabile e l’insieme S = {(x,−x) ∈ R2 : x ∈ R} e chiuso(come si puo facilmente verificare), discreto in quanto per ogni punto (x,−x),l’aperto A = [x, x + ε[×[−x,−x + ε[, con ε > 0, e tale che A ∩ S = {(x,−x)},inoltre non e numerabile, pertanto possiamo concludere che (R2, ϑs) non e T4.

3.2 Funzioni quoziente

Definizione 3.2.1. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico, Y un insieme e π : X → Yuna funzione suriettiva. Si definisce topologia quoziente indotta da π su Yla topologia piu fine definibile su Y che rende π continua.

Indichiamo questa topologia con ϑq(π). Gli aperti in questa topologia sono

tutti i sottoinsiemi U di Y tali che π−1(U) ∈ ϑ. E chiaro che ϑq(π) e la topologiapiu fine che rende π continua; infatti sia ϑ′ una di queste: dato che π e continua,per ogni aperto U ∈ ϑ′ si ha π−1(U) ∈ ϑ, cioe U ∈ ϑq(π), e dunque ϑ′ ⊆ ϑq(π).

Definizione 3.2.2. Siano (X,ϑ), (Y, ϑ′) due spazi topologici. Una funzionesuriettiva π : X → Y si dice quoziente se ϑ′ = ϑq(π), cioe se ϑ′ e la topologiapiu fine per la quale π e continua.

Proposizione 3.2.3. Siano (X,ϑ0), (Y, ϑ1), (Z, ϑ2) tre spazi topologici e siaπ : X → Y una funzione quoziente. Una funzione f : Y → Z e continua se esolo se f ◦ π : X → Z e continua.


X Y

Z

-π

?f@

@@R

f ◦ π

Dimostrazione. ⇒ E chiaro che se f e π sono funzioni continue la loro compo-sizione f ◦ π e continua.⇐ Se f ◦π e continua allora sia U un aperto di Z: (f ◦π)−1(U) = π−1(f−1(U))e aperto in X, e dato che π e quoziente f−1(U) e aperto in Y , cioe f econtinua.

Corollario 3.2.4. Una funzione quoziente π : X → Y biiettiva e un omeomor-fismo.

Dimostrazione. Dato che π e biiettiva, allora esiste π−1, la funzione π−1◦π = 1Xe continua, quindi per la proposizione precedente anche π−1 e continua dunqueπ e un omeomorfismo.

Proposizione 3.2.5. Sia f : X → Y una funzione continua, suriettiva, aperta(o chiusa) allora f e quoziente.

Dimostrazione. Sia f aperta. Consideriamo un insieme U ⊆ Y tale che f−1(U)e aperto in X, poiche f e suriettiva si ha f(f−1(U)) = U , inoltre f e apertadunque U e aperto in X, questo prova che f e quoziente.Sia ora f chiusa, sia f−1(U) aperto quindi X \ f−1(U) = f−1(Y \ U) e chiuso,analogamente a prima l’insieme f(f−1(Y \ U)) = Y \ U e chiuso dunque U eaperto.

3.3 Spazi quoziente

Definizione 3.3.1. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico ed < una relazione d’equi-valenza su X. Consideriamo l’insieme quoziente X/<, la proiezione canonicaπ : X → X/< con π(x) = [x]<. Si definisce spazio quoziente lo spaziotopologico (X/<, ϑq(π)), dove ϑq(π) e la topologia quoziente indotta da π.

Analogamente a prima, gli aperti di X/< sono tutti i sottoinsiemi U di X/<tali che π−1(U) e aperto in X.

Proposizione 3.3.2. Sia A ∈ ϑ un aperto di X. Gli aperti di ϑq(π) sono tutti esoli gli insiemi π(A) che soddisfano una delle due condizioni tra loro equivalenti:

1. Se x ∈ A e x<y allora y ∈ A

2. A = π−1(π(A))

Dimostrazione. E facile verificare che le due condizioni sono tra loro equivalenti,dunque dimostriamo la proposizione solo per la seconda proprieta.Sia U ∈ ϑq(π), allora π−1(U) = A ∈ ϑ, per la suriettivita di π otteniamoπ(A) = U ⇒ A = π−1(π(A)).Viceversa sia A ∈ ϑ tale che A = π−1(π(A)), allora l’insieme π(A) = U e unaperto di X/< dal momento che π−1(U) ∈ ϑ.

3.3. SPAZI QUOZIENTE 29

Corollario 3.3.3. La funzione π e aperta se per ogni aperto U ∈ ϑ si haU = π−1(π(U)).

Dimostrazione. Sia U ∈ ϑ, per la proposizione precedente π(U) e aperto seU = π−1(π(U)).

Definizione 3.3.4. Siano X e Y due insiemi e f : X → Y una funzione.Definiamo su X una relazione di equivalenza <f indotta da f come segue

x<fy ⇐⇒ f(x) = f(y)

cioe, le classi di equivalenza sono tutte le controimmagini degli elementi di Y .

Teorema 3.3.5. Siano (X,ϑ), (Y, ϑ′) due spazi topologici e f : X → Y unafunzione suriettiva. Consideriamo la proiezione canonica π : X → X/<f e siag : X/<f → Y una funzione tale che g ◦ π = f (cioe g([x]<f

) = f(x) ), allora ge un omeomorfismo se e solo se f e una funzione quoziente.

X Y

X/<f

-f

��

g?π

Dimostrazione. ⇒ Dimostriamo che la topologia ϑ′ e uguale alla topologiaquoziente indotta da f , cioe che ϑ′ = ϑq(f). Per definizione, dal momen-to che f = g ◦ π e continua, si ha ϑ′ ⊆ ϑq(f). Dimostriamo quindi cheϑq(f) ⊆ ϑ′. Se A ∈ ϑq(f) allora f−1(A) ∈ ϑ, e dato che f = g ◦ π si haf−1(A) = π−1(g−1(A)) ∈ ϑ; poiche π e quoziente g−1(A) ∈ ϑq(π). Infine, dalmomento che g, essendo un omeomorfismo, e anche una funzione aperta e su-riettiva, g(g−1(A)) = A ∈ ϑ′.⇐ Per la proposizione 3.2.3 essendo g ◦ π = f continua (perche funzione quo-ziente) e π una funzione quoziente allora g e continua. Inoltre g e iniettiva,poiche g([x]<f

) = g([y]<f)⇒ f(x) = f(y)⇒ x<fy ⇒ [x]<f

= [y]<f, ed e anche

suriettiva, considerato che f e suriettiva e g ◦π = f ; dunque g e biiettiva. Infineosserviamo che anche g−1 e continua: infatti, visto che g ◦π = f ⇒ g−1 ◦f = π,in maniera analoga a prima g−1 ◦ f = π e continua (perche funzione quozien-te) e f e funzione quoziente, dunque g−1 e continua. Questo prova che g e unomeomorfismo.

Esempio 3.3.6. Consideriamo l’intervallo [0, 1] ⊆ R con la topologia indottada quella euclidea e < = {(0, 1), (1, 0)} ∪ {(x, x) : x ∈ [0, 1]} una relazione d’e-quivalenza su [0, 1] che identifica 0 e 1, mostriamo che il quoziente [0, 1]/< eomeomorfo alla circonferenza S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} ⊆ R2 con latopologia indotta da quella euclidea. Consideriamo la funzione f : [0, 1] → S1

tale che f(t) = (cos(2πt), sin(2πt)), osserviamo che risulta < = <f , inoltre epossibile verificare che f e una funzione quoziente. Considerando adesso le fun-zioni π : [0, 1]→ [0, 1]/<f e g : [0, 1]/<f → S1, per il teorema precedentementedimostrato g risulta un omeomorfismo, dunque [0, 1]/<f ' S1.

Esempio 3.3.7. Su R definiamo la relazione di equivalenza x<y ⇔ x− y ∈ Z,mostriamo che R/< e omeomorfo a S1. Come prima consideriamo la funzionef : R→ S1 tale che f(t) = (cos(2πt), sin(2πt)), osserviamo che <f = <, inoltref e continua, suriettiva e aperta dunque e quoziente pertanto R/<f ' S1.


In generale, il quoziente di uno spazio Ti con i ∈ {1, 2, 3, 4} non e Ti comemostra il seguente

Esempio 3.3.8. Consideriamo (R, ϑe) che come sappiamo e T4, su R definiamola relazione di equivalenza x<y ⇔ x− y ∈ Q. Mostriamo che (R/<, ϑq(π)) none T1, piu precisamente la topologia quoziente e quella indiscreta.Sia ∅ 6= V ∈ ϑq(π) allora V e del tipo V = π(U) con U ∈ ϑee tale che se x ∈ Ue x<y allora y ∈ U . Per definizione esiste un aperto ]a, b[⊆ U , sia y ∈ R,allora esiste r ∈ Q con a − y < r < b − y, dunque y + r = x ∈ ]a, b[, cioex ∈ ]a, b[⊆ U e x<y allora y ∈ U , dall’arbitrarieta di y segue U = R da cuiV = π(U) = π(R) = R/<. Cioe l’unico aperto in (R/<, ϑq(π)) e l’intero spazio,pertanto la topologia e quella indiscreta.

Proposizione 3.3.9. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico e < una relazione diequivalenza su X. Se X/< e T2 allora l’insieme < e chiuso in X ×X.

Dimostrazione. Sia (x, y) ∈ (X×X)\<, allora π(x) 6= π(y), per ipotesiX/< e T2dunque esistono due aperti U, V di X/< tali che π(x) ∈ U, π(y) ∈ V e U∩V = ∅.I due insiemi π−1(U) e π−1(V ) sono aperti in X e contengono rispettivamentex e y, dunque π−1(U)× π−1(V ) e un intorno di (x, y), dal fatto che U ∩ V = ∅sappiamo che U e V contengono classi di equivalenza diverse (e quindi disgiunte)da cui segue (π−1(U) × π−1(V )) ∩ < = ∅. Dall’arbitrarieta di (x, y) si ha chenessun punto di (X ×X) \ < e aderente ad < e quindi < ⊆ < ⇒ < = <.

Proposizione 3.3.10. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico e < una relazione diequivalenza su X. Se < e chiuso in X×X e la proiezione canonica π : X → X/<e aperta allora X/< e T2.

Dimostrazione. Siano π(x) e π(y) due elementi di X/< con π(x) 6= π(y). Poiche(x, y) ∈ (X ×X) \ < e l’insieme < e chiuso, esistono due aperti U, V di X taliche (x, y) ∈ U × V ⊆ (X × X) \ <, da cui segue π(U) ∩ π(V ) = ∅, datoche π e aperta abbiamo trovato due aperti di X/< disgiunti che contengonorispettivamente π(x) e π(y).

Capitolo 4

Connessione e compattezza

4.1 Spazi connessi

Definizione 4.1.1. Uno spazio topologico (X,ϑ) si dice connesso se equiva-lentemente:

1. Non esistono due aperti U, V non vuoti tali che

X = U ∪ V U ∩ V = ∅

2. Non esistono due chiusi F,G non vuoti tali che

X = F ∪G F ∩G = ∅

3. Non esistono sottoinsiemi di X diversi da X e ∅ che sono sia aperti chechiusi.

Vediamo alcuni esempi di spazi connessi e di spazi non connessi.

Esempio 4.1.2. Un qualsiasi spazio con la topologia indiscreta (X,ϑi) e con-nesso, basta osservare che gli unici aperti sono X e ∅.Un qualsiasi spazio con la topologia discreta (X,ϑd)non e connesso, basta os-servare che ogni insieme e sia aperto che chiuso.R con la topologia di Sorgenfrey (R, ϑs) non e connesso infatti ogni insieme deltipo [a, b[ e sia aperto che chiuso.Lo spazio topologico (X,ϑc) infinito con la topologia cofinita e connesso poichenon esistono due aperti disgiunti.

Definizione 4.1.3. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico. Un sottoinsieme Y ⊆ Xsi dice connesso se lo e con la topologia indotta.

Lemma 4.1.4. Consideriamo (R, ϑe). Sia S un sottoinsieme limitato di R ex = supS allora x ∈ S (lo stesso vale se x = inf S).

Dimostrazione. Se U un intorno di x allora ∃ε > 0 tale che ]x − ε, x + ε[⊆ U :per le proprieta dell’estremo superiore ∃y ∈ S : x− ε < y ≤ x⇒ y ∈ S ∩U , cioeogni intorno di x interseca S, dunque x ∈ S (la dimostrazione nel caso x = inf Se analoga).

31

32 CAPITOLO 4. CONNESSIONE E COMPATTEZZA

Definizione 4.1.5. Un sottoinsieme A di R e un intervallo se ∀x, y ∈ A conx < y e z tale che x < z < y si ha z ∈ A, o equivalentemente se [x, y] ⊆ A.

Teorema 4.1.6. In (R, ϑe) i sottoinsiemi connessi sono tutti e soli gli intervalli.

Dimostrazione. Sia S ⊆ R e supponiamo che S non sia un intervallo. Perdefinizione esistono x, y ∈ S con x < y tali che ∃z ∈ R \ S : x < z < y. Sottoqueste ipotesi possiamo scrivere:

S = (S∩ ]−∞, z[ ) ∪ (S∩ ]z,+∞[ )

quindi S e unione di due aperti disgiunti, cioe S non e connesso, cio dimostrache ogni insieme connesso e un intervallo.Viceversa sia S ⊆ R un intervallo, supponiamo per assurdo che non sia connesso,allora esistono due chiusi di S non vuoti F,G tali che S = F ∪ G, F ∩ G = ∅,siano x ∈ F e y ∈ G consideriamo z = sup([x, y] ∩ F ), allora per il lemmaprecedente z ∈ [x, y] ∩ F = [x, y]∩F dato che [x, y]∩F e chiuso in S. Dato cheS e un intervallo e per definizione di estremo superiore deve aversi ]z, y] ⊆ G,dunque inf ]z, y] = z ∈ ]z, y] ⊆ G = G dunque z ∈ F ∩ G arrivando cosı a unassurdo, pertanto S e connesso.

Osserviamo che l’insieme R e un intervallo, da cui si ha il seguente

Corollario 4.1.7. Lo spazio topologico (R, ϑe) e connesso.

Osservazione 4.1.8. L’insieme Q non e connesso in (R, ϑe) poiche non e unintervallo, in particolare, dato che gli unici intervalli contenuti in Q sono isingoletti, esso non possiede sottoinsiemi connessi con piu di un punto.

Proposizione 4.1.9. Siano (X,ϑ), (Y, ϑ′) due spazi topologici e f : X → Yuna funzione continua e suriettiva allora se X e connesso lo e anche Y .

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che Y non sia connesso, allora esistonodue aperti non vuoti U, V di Y tali che U ∪ V = Y, U ∩ V = ∅. Poiche fe continua gli insiemi f−1(U) e f−1(V ) sono aperti non vuoti di X e risultaX = f−1(U) ∪ f−1(V ), f−1(U) ∩ f−1(V ) = ∅, arrivando cosı a un assurdo.

Osservando che per definizione una funzione quoziente e continua e suriettiva,una conseguenza immediata del risultato precedente e il seguente

Corollario 4.1.10. Il quoziente di uno spazio connesso e connesso.

Lemma 4.1.11. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico e Y ⊆ X un sottoinsiemeconnesso allora per ogni coppia di aperti U, V tali che U ∩ V = ∅, Y ⊆ U ∪ V siha Y ⊆ U oppure Y ⊆ V

Dimostrazione. La relazione Y ⊆ U ∪ V implica Y = (Y ∩ U) ∪ (Y ∩ V ), datoche Y e connesso deve aversi Y ∩ U = ∅ oppure Y ∩ V = ∅, cioe Y ⊆ U oppureY ⊆ V .

Proposizione 4.1.12. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico. Se esiste una famiglia{Ys}s∈S di sottospazi connessi di X tale che Ys ∩ Ys′ 6= ∅ per ogni s, s′ ∈ S e⋃s∈S Ys = X allora X e connesso.

4.1. SPAZI CONNESSI 33

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che X non sia connesso, dunque esi-stono due aperti non vuoti U, V tali che U ∪ V = X,U ∩ V = ∅. Dal momentoche

⋃s∈S Ys = X esistono s, s′ ∈ S tali che Ys∩U 6= ∅ e Ys′∩V 6= ∅, per il lemma

4.1.11 si ha Ys ⊆ U, Ys′ ⊆ V contro Ys ∩ Ys′ 6= ∅ arrivando a un assurdo.

Corollario 4.1.13. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico. Se una famiglia {Ys}s∈Sdi sottospazi connessi di X e tale che

⋂s∈S Ys 6= ∅ allora il sottospazio

⋃s∈S Ys

e connesso.

Proposizione 4.1.14. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico. Se comunque presix, y ∈ X esiste un sottospazio connesso Y ⊆ X tale che x, y ∈ Y allora X econnesso.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che X non sia connesso, allora esistonodue aperti non vuoti U, V tali che U ∪V = X, U ∩V = ∅. Siano x ∈ U e y ∈ V ,per ipotesi esiste un sottospazio connesso Y ⊆ X tale che x, y ∈ Y , osserviamoche Y ⊆ X = U ∪V , ma Y * U poiche y ∈ Y e Y * V poiche x ∈ Y , arrivandocosı a un assurdo per il lemma 4.1.11.

Teorema 4.1.15. Siano (X,ϑ), (Y, ϑ′) due spazi topologici allora il prodottoX × Y e connesso se e solo se X e Y sono connessi.

Dimostrazione. ⇒ Basta considerare le proiezioni canoniche p : X × Y → Xe q : X × Y → Y , sono due funzioni continue e suriettive, dunque per laproposizione 4.1.9 X e Y sono connessi.⇐ Siano P = (x0, y0) ∈ X × Y e Q = (x1, y1) ∈ X × Y due punti di X × Y ,consideriamo i due insiemi X × {y0} e {x1} × Y , essi sono connessi percheomeomorfi rispettivamente a X e Y , inoltre (X × {y0})∩ ({x1} × Y ) = (x1, y0)dunque per il corollario 4.1.13 l’insieme Z = X × {y0} ∪ {x1} × Y e connesso,in particolare P,Q ∈ Z, in altri termini presi due punti P,Q di X × Y abbiamotrovato un sottospazio connesso Z tale che P,Q ∈ Z, in conclusione, per laproposizione 4.1.14, X × Y e connesso.

Corollario 4.1.16. Il prodotto di un numero finito di spazi connessi e connesso.

In particolare, dato che (R, ϑe) e connesso, lo sara anche (Rn, ϑe).

Proposizione 4.1.17. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico e Y ⊆ X un sottoin-sieme denso e connesso allora X e connesso.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo cheX non sia connesso: allora esistonodue aperti non vuoti U, V tali che U ∪ V = X, U ∩ V = ∅. Possiamo scrivereY = (Y ∩U)∪ (Y ∩V ), cioe Y risulta unione di due aperti non vuoti (poiche Ye denso) e disgiunti questo porta a un assurdo.

Corollario 4.1.18. Se Y ⊆ X e connesso allora lo e anche Y .

Dimostrazione. Basta osservare che Y e connesso ed e denso in Y .

Proposizione 4.1.19. Sia Y ⊆ X un insieme connesso e Z ⊆ X un insiemetale che Y ⊆ Z ⊆ Y , allora Z e connesso.


Dimostrazione. Sia U un aperto nella topologia indotta su Z allora esiste unaperto A di X tale che U = Z ∩ A, fissato x ∈ U si ha x ∈ A e x ∈ Y , inoltreessendo A aperto esso e anche un intorno di x, dunque

Y ∩A = Y ∩ (Z ∩A) = Y ∩ U 6= ∅.

Quindi ogni aperto di Z interseca Y questo prova che Y e un sottoinsieme di Zdenso e connesso, allora per la 4.1.17 Z e connesso.

Teorema 4.1.20. (Teorema del punto fisso)Nello spazio topologico (R, ϑe) consideriamo una funzione f : [0, 1] → [0, 1]continua, allora ∃x ∈ [0, 1] : f(x) = x.

Dimostrazione. Se f(0) = 0 oppure f(1) = 1 la tesi e acquisita quindi sup-poniamo che f(0) > 0 e f(1) < 1. Per assurdo se ∀x ∈ ]0, 1[ f(x) 6= x al-lora posto ∆ = {(x, x) ∈ R2 : x ∈ [0, 1]} si ha gr(f) ∩ ∆ = ∅. PoniamoA = {(x, y) ∈ [0, 1]× [0, 1] : x > y}, B = {(x, y) ∈ [0, 1]× [0, 1] : x < y}, essi sonodue aperti nella topologia indotta su [0, 1]×[0, 1], inoltre [0, 1]×[0, 1] = A∪B∪∆e A ∩B = ∅, allora

gr(f) = gr(f) ∩ (A ∪B ∪∆) = (A ∩ gr(f)) ∪ (B ∩ gr(f))

cioe gr(f) e unione di due aperti (nella topologia indotta) disgiunti, il che eassurdo poiche gr(f) e connesso (basta considerare la funzione g : [0, 1]→ gr(f)con g(t) = (t, f(t)) continua e suriettiva).

Definizione 4.1.21. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico, fissato x ∈ X consideria-mo la famiglia C = {Y ⊆ X : Y connesso, x ∈ Y }, cioe la famiglia dei sottospazidi X connessi contenenti x, allora Cx =

⋃Y ∈C Y per il corollario 4.1.13 risul-

tera il piu grande sottospazio di X connesso che contiene x. L’insieme Cx edetto componente connessa di x.

Osserviamo che Cx e chiuso, infatti per il corollario 4.1.18 l’insieme Cx econnesso, quindi e un sottospazio connesso contenente x, dunque Cx = Cx.Inoltre se su X stabiliamo una relazione < ponendo x<y se e solo se esiste unsottospazio connesso che contiene x e y, essa e una relazione di equivalenza ele classi di equivalenza sono le componenti connesse di X, cioe ∀x ∈ X si ha[x]< = Cx.

Definizione 4.1.22. Uno spazio topologico si dice totalmente sconnesso sele sue componenti connesse sono i singoletti, cioe se ∀x ∈ X si ha Cx = {x}.

Esempio 4.1.23. Un qualsiasi spazio X con la topologia discreta e totalmentesconnesso. Q in (R, ϑe) per la 4.1.8 e totalemente sconnesso. Infine e possibileverificare che anche lo spazio topologico (R, ϑs) e totalemente sconnesso.

Definizione 4.1.24. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico, si definisce arco diestremi x, y ∈ X una funzione f : [0, 1] → X continua tale che f(0) = x ef(1) = y.

Definizione 4.1.25. Uno spazio topologico (X,ϑ) si dice connesso per archise per ogni x, y ∈ X esiste un arco di estremi x, y.

Proposizione 4.1.26. Ogni spazio topologico connesso per archi e connesso.

4.1. SPAZI CONNESSI 35

Dimostrazione. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico connesso per archi allora perogni x, y ∈ X esiste f : [0, 1] → X con x, y ∈ f([0, 1]), cioe per ogni x, y ∈ Xesiste un sottospazio di X connesso (4.1.9) che contiene x, y quindi per la 4.1.14X e connesso.

Vediamo un esempio di spazio connesso ma non connesso per archi

Esempio 4.1.27. Su R definiamo la topologia conumerabile ϑcn in cui gli insie-mi chiusi sono tutti gli insiemi finiti o numerabili. Lo spazio (R, ϑcn) e connessopoiche non esistono due insiemi chiusi la cui unione sia uguale ad R, mostria-mo che esso non e connesso per archi facendo vedere che ogni funzione continuaf : [0, 1]→ R e costante.Sia C = [0, 1] ∩ Q, esso e numerabile dunque l’insieme f(C) e al piu numera-bile quindi e chiuso, da cui segue f(C) = f(C), inoltre C = [0, 1], cioe C edenso nella topologia (euclidea) indotta su [0, 1]. Per la proposizione 1.6.9 siha f(C) ⊆ f(C) da cui f([0, 1]) ⊆ f(C), quindi f([0, 1]) e al piu numerabileed e anche connesso, poiche f continua, suriettiva nell’immagine e [0, 1] con-nesso in ϑe. Osserviamo che le topologia conumerabile induce, su ogni insiemeal piu numerabile, la topologia discreta, che, come osservato in precedenza, etotalmente sconnessa. Dunque, affinche f([0, 1]) sia un insieme connesso, essodeve contenere un solo punto e quindi f e costante.

Sia (X,ϑ) uno spazio topologico, definiamo su X la relazione < ponendo x<yse e solo se esiste un arco di estremi x, y. Verifichiamo che < e una relazione diequivalenza:

1. ∀x ∈ X x<xBasta considerare la funzione f : [0, 1]→ X con f(t) = x ∀t ∈ [0, 1].

2. ∀x, y ∈ X x<y ⇒ y<x.Dato che x<y esiste un arco f : [0, 1]→ X di estremi x, y, consideriamo lafunzione g : [0, 1]→ X con g(t) = f(1− t)∀t ∈ [0, 1], si ha g(0) = f(1) = ye g(1) = f(0) = x dunque g e un arco di estremi y, x quindi y<x.

3. ∀x, y, z ∈ X x<y ∧ y<z ⇒ x<zPer ipotesi esistono due archi f, g : [0, 1] → X di estremi rispettivamentex, y e y, z. Posto

h : [0, 1]→ X, h(t) =

{f(2t) se t ∈ [0, 12 ]

g(2t− 1) se t ∈ [ 12 , 1]

osserviamo che h e un arco di estremi x, z, dunque x<z.

Una volta verificato che < e una relazione di equivalenza su X diamo la seguente

Definizione 4.1.28. La classe [x]< si chiama componente connessa perarchi di x.

Osserviamo che le componenti connesse per archi non sono sempre insiemi chiusi.

Proposizione 4.1.29. Siano (X,ϑ), (Y, ϑ′) due spazi topologici e f : X → Yuna funzione continua e suriettiva allora se X e connesso per archi lo e ancheY .


Dimostrazione. Siano x′, y′ ∈ Y , per la suriettivita di f esistono x, y ∈ X taliche f(x) = x′, f(y) = y′, inoltre dato che X e connesso per archi esistera unarco g : [0, 1]→ X di estremi x, y allora la funzione f ◦g : [0, 1]→ Y e continua,inoltre (f ◦ g)(0) = f(g(0)) = f(x) = x′ e (f ◦ g)(1) = f(g(1)) = f(y) = y′,dunque f ◦ g e un arco di estremi x′, y′, cioe Y e connesso per archi.

4.2 Spazi compatti

Definizione 4.2.1. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico, si chiama ricoprimentoaperto di X una famiglia A di aperti tale che:

X =⋃A∈A

A.

Inoltre una sottofamiglia B ⊆ A che e ancora un ricoprimento di X viene dettoun sottoricoprimento di A.

Definizione 4.2.2. Uno spazio topologico (X,ϑ) si dice compatto se ogniricoprimento aperto di X possiede un sottoricoprimento finito.

Esempio 4.2.3. Vediamo alcuni esempi:

1. Ogni spazio topologico finito e compatto.

2. Uno spazio topologico con la topologia discreta e compatto soltanto se efinito. Infatti l’insieme costituito dai singoletti e un ricoprimento apertoche nel caso infinito non possiede, naturalmente, un sottoricoprimentofinito.

3. Lo spazio topologico (X,ϑc) e compatto infatti sia A un ricoprimentoaperto di X e sia A ∈ A, allora A = X \ {x1, x2, . . . , xn}, dato che Ae un ricoprimento di X esistono A1, A2, . . . An aperti tali che xi ∈ Ai∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, dunque

X = A ∪n⋃i=1

Ai

cioe A possiede un sottoricoprimento finito.

4. (Rn, ϑe) non e compatto ∀n ≥ 1 infatti posto A = {S(O,n) : n ∈ N\{0}},cioe l’insieme formato dalle sfere aperte di centro l’origine e raggio n, essoe un ricoprimento aperto di Rn, supponiamo che possieda un sottoricopri-mento finito B, consideriamo allora il massimo dei raggi delle sfere di B,diciamo r allora se consideriamo un punto P che ha distanza maggiore dir dall’origine esso non appartiene a

⋃B∈B B arrivando cosı a un assurdo,

dunque Rn non e compatto.

Osservazione 4.2.4. Se uno spazio topologico (X,ϑ) non e compatto, alloranon lo e nemmeno ogni spazio topologico (X,ϑ′) tale che ϑ ⊆ ϑ′, infatti see possibile trovare un ricoprimento aperto su (X,ϑ) che non possiede nessunsottoricoprimento finito allora dato che esso e anche un ricoprimento aperto diX con la topologia ϑ′ poiche ogni aperto in ϑ e anche aperto in ϑ′, (X,ϑ′) none compatto.

4.2. SPAZI COMPATTI 37

Questa osservazione prova che (R, ϑs) non e compatto dato che, come vistonell’esempio 4.2.3, (R, ϑe) non e compatto e ϑe ⊆ ϑs.

Definizione 4.2.5. Sia X un insieme. Una famiglia F di sottoinsiemi di Xha la proprieta dell’intersezione finita se ogni sottofamiglia finita di F haintersezione non vuota, cioe se

∀F1, F2, . . . , Fn ∈ Fn⋂i=1

Fi 6= ∅

Proposizione 4.2.6. Uno spazio topologico (X,ϑ) e compatto se e solo se ognifamiglia F di sottoinsiemi chiusi di X che gode della proprieta dell’intersezionefinita ha intersezione non vuota.

Dimostrazione. ⇒ Sia F una famiglia di sottoinsiemi chiusi. Supponiamo perassurdo che ⋂

F∈FF = ∅

allora si ha

X = X \⋂F∈F

F =⋃F∈F

(X \ F ),

cioe la famiglia di insiemi del tipo X \ F con F ∈ F e un ricoprimento apertodi X, e dal momento che X e compatto ∃F1, F2, . . . , Fn tali che

X =

n⋃i=1

(X \ Fi) = X \n⋂i=1

Fi ⇒n⋂i=1

Fi = ∅,

il che e assurdo poiche F gode della proprieta dell’intersezione finita.⇐ Sia A un ricoprimento aperto di X. Consideriamo la famiglia F formatadagli insiemi del tipo X \ A con A ∈ A. Essa e una famiglia di sottoinsiemichiusi; inoltre, dato che A e un ricoprimento aperto di X⋂

F∈FF =

⋂A∈A

(X \A) = X \⋃A∈A

A = ∅,

dunque F non gode della proprieta dell’intersezione finita e pertanto esistonoF1, F2, . . . , Fn ∈ F tali che

n⋂i=1

Fi = ∅ ⇒n⋃i=1

Ai =

n⋃i=1

(X \ Fi) = X \n⋂i=1

Fi = X

ovvero abbiamo trovato un sottoricoprimento finito di A. Questo prova che Xe compatto.

Definizione 4.2.7. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico, un sottoinsieme Y ⊆ Xe compatto se lo e con la topologia indotta da X su Y .

Proposizione 4.2.8. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico. Un sottoinsieme Y ⊆ Xe compatto se e solo se per ogni famiglia A di aperti tale che Y ⊆

⋃A∈AA

esistono A1, A2, . . . , An tali che Y ⊆⋃ni=1Ai.


Dimostrazione. SiaA una famiglia di aperti tale che Y ⊆⋃A∈AA, consideriamo

la famiglia B formata dagli insiemi del tipo Y ∩A con A ∈ A, allora

Y = Y ∩⋃A∈A

A =⋃A∈A

(Y ∩A) =⋃B∈B

B

cioe B e un ricoprimento aperto (nella topologia indotta) di Y , dal momentoche Y e compatto ∃B1, B2, . . . , Bn tali che

Y =

n⋃i=1

Bi =

n⋃i=1

(Y ∩Ai) = Y ∩n⋃i=1

Ai ⇒ Y ⊆n⋃i=1

Ai

⇐ Sia B un ricoprimento aperto (nella topologia indotta) di Y allora per ogniB ∈ B esiste un aperto A di X tale che B = Y ∩ A, sia A la famiglia formatada tali aperti, allora

Y =⋃B∈B

B =⋃A∈A

(Y ∩A) = Y ∩⋃A∈A

A⇒ Y ⊆⋃A∈A

A

per ipotesi esistono A1, A2, . . . , An ∈ A tali che

Y ⊆n⋃i=1

Ai ⇒ Y = Y ∩n⋃i=1

Ai =

n⋃i=1

(Y ∩Ai) =

n⋃i=1

Bi

cioe abbiamo trovato un sottoricoprimento finito di B, questo prova che Y ecompatto.

Teorema 4.2.9. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico compatto e sia Y ⊆ X chiusoallora Y e compatto.

Dimostrazione. Sia A una famiglia di aperti tali che Y ⊆⋃A∈AA, consideriamo

il ricoprimento aperto di X:

X = X \ Y ∪⋃A∈A

A

dal momento che X e compatto esistono A1, A2, . . . , An ∈ A tali che

X = X \ Y ∪n⋃i=1

Ai ⇒ Y ⊆n⋃i=1

Ai

pertanto, per la 4.2.8, Y e compatto.

Proposizione 4.2.10. Siano (X,ϑ), (Y, ϑ′) due spazio topologici e f : X → Yuna funzione continua e suriettiva allora se X e compatto lo e anche Y .

Dimostrazione. Sia A un ricoprimento aperto di Y , allora

Y =⋃A∈A

A⇒ X = f−1(Y ) = f−1

( ⋃A∈A

A

)=⋃A∈A

f−1(A)

dato che X e compatto esistono A1, A2, . . . , An ∈ A tali che

X =

n⋃i=1

f−1(Ai)⇒ Y = f(X) = f

(n⋃i=1

f−1(Ai)

)=

n⋃i=1

f(f−1(Ai)) =

n⋃i=1

Ai


(i due fatti f(f−1(A)) = A, Y = f(X) sono verificati poiche f e suriettiva)abbiamo trovato dunque un sottoricoprimento finito di Y , questo prova che Ye compatto.

Corollario 4.2.11. Il quoziente di uno spazio compatto e compatto.

Proposizione 4.2.12. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico T2 e Z ⊆ X un sot-toinsieme compatto allora per ogni x ∈ X \ Z esistono due aperti U, V tali chex ∈ U, Z ⊆ V e U ∩ V = ∅.

Dimostrazione. Sia x ∈ X \ Z e z ∈ Z allora esistono due aperti Uz, Vz tali chex ∈ Uz, z ∈ Vz e Uz ∩ Vz = ∅, quindi si ha Z ⊆

⋃z∈Z Vz, da cui per la 4.2.8

esistono z1, z2, . . . , zn tali che Z ⊆⋃ni=1 Vzi = V , posto U =

⋂ni=1 Uzi 6= ∅, si

ha x ∈ U, Z ⊆ V , inoltre U ∩ V = ∅ infatti se per assurdo y ∈ U ∩ V , alloray ∈ V e y ∈ U dunque ∃ i ∈ {1, 2, . . . , n} tale che y ∈ Vzi , da cui si avrebbey ∈ Uzi ∩ Vzi che e assurdo poiche Uz ∩ Vz = ∅ per ogni z ∈ Z.

Corollario 4.2.13. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico T2 e Z ⊆ X compattoallora Z e chiuso.

Dimostrazione. Per ogni x ∈ X\Z esiste un aperto U tale che x ∈ U e U∩Z = ∅ma dato che U e un intorno di x allora x /∈ Z, cioe Z = Z.

Corollario 4.2.14. Uno spazio topologico compatto di Hausdorff e normale.

Dimostrazione. Sia (X,ϑ) uno spazio topologico compatto T2 e siano F,G dueinsiemi chiusi, quindi compatti (4.2.9), e disgiunti. Per la proposizione 4.2.12per ogni x ∈ G ⊆ X \ F esistono due aperti Ux, Vx tali che F ⊆ Ux, x ∈ Vxcon Ux ∩ Vx = ∅, si ha G ⊆

⋃x∈G Vx, e una famiglia di aperti contenenti G che

e un insieme compatto quindi per la 4.2.8 esistono x1, x2, . . . , xn ∈ G tali cheG ⊆

⋃ni=1 Vxi , posto allora U =

⋂ni=1 Uxi

abbiamo trovato due aperti tali cheF ⊆ U, G ⊆ V , inoltre U ∩ V = ∅, infatti se per assurdo y ∈ U ∩ V , alloray ∈ U e y ∈ V =

⋃ni=1 Vxi

dunque ∃ i ∈ {1, 2, . . . , n} tale che y ∈ Vxi, da cui si

avrebbe y ∈ Uxi∩ Vxi

il che e assurdo poiche Ux ∩ Vx = ∅ per ogni x ∈ G.

Teorema 4.2.15. In (R, ϑe) ogni intervallo chiuso e limitato [a, b] e compatto.

Dimostrazione. Sia U una famiglia di aperti tali che [a, b] ⊆⋃U∈U U e sia

A =

{x ∈ [a, b] : ∃U1, U2, . . . , Un ∈ U : [a, x] ⊆

n⋃i=1

Ui

}⊆ [a, b]

cioe l’insieme formato da tutti i punti x ∈ [a, b] tali che l’intervallo [a, x] siacontenuto nell’unione di aperti di una sottofamiglia finita di U . L’insieme Anon e vuoto poiche contiene almeno il punto a, sia allora L = supA, osserviamosubito che L ≤ b poiche b e un maggiorante per A.Per assurdo supponiamo che L < b, poiche L ∈ [a, b] ⊆

⋃U∈U U allora esiste un

aperto U ∈ U contenente L, quindi esiste ε > 0 tale che ]L − ε, L + ε[⊆ U , peruna proprieta dell’estremo superiore ∃ c ∈ A con L− ε < c ≤ L < L− ε, dunque∃U1, U2, . . . , Un ∈ U tali che [a, c] ⊆

⋃ni=1 Ui, da cui

[a, L+

ε

2

]⊆ [a, c]∪ ]L− ε, L+ ε[⊆ U ∪

n⋃i=1

Ui


segue L+ ε2 ∈ A con L+ ε

2 > L che e assurdo quindi dev’essere L = b. In manieraanaloga a prima dimostriamo che b ∈ A. Dato che [a, b] ⊆

⋃U∈U U allora esiste

un aperto U ∈ U che contiene b, quindi esiste ε > 0 tale che ]b − ε, b + ε[⊆ U ,come prima ∃ c ∈ A tale che b− ε < c ≤ b, dunque ∃U1, U2, . . . , Un ∈ U tali che[a, c] ⊆

⋃ni=1 Ui, da cui

[a, b] ⊆ [a, c]∪ ]b− ε, b+ ε[⊆ U ∪n⋃i=1

Ui

questo prova che A = [a, b], quindi per la 4.2.8 [a, b] e compatto.

Corollario 4.2.16. In (R, ϑe) un sottoinsieme X ⊆ R e compatto se e solo see chiuso e limitato.

Dimostrazione. ⇒ Dato che X e compatto e (R, ϑe) e T2 allora X e anche chiuso(4.2.13) inoltre X ⊆

⋃n∈N ]− n, n[ allora, per la 4.2.8, ∃n1, n2, . . . , nk tali che

X ⊆⋃ki=1 ] − ni, ni[ , sia m = max{n1, n2, . . . , nk} si ha X ⊆ ] −m,m[ quindi

X e limitato.⇐ Poiche X e limitato allora ∃ a, b ∈ R : X ⊆ [a, b] che e compatto, inoltre Xe chiuso nella topologia indotta su [a, b] (X = X ∩ [a, b]), da cio segue che X ecompatto (4.2.9).

Teorema 4.2.17. (Teorema di Weierstrass)Sia (X,ϑ) uno spazio topologico compatto, f : X → R una funzione continua(R con la topologia euclidea) allora f possiede massimo e minimo.

Dimostrazione. f(X) e un sottoinsieme compatto di R quindi e chiuso e limitato,posto L = sup f(X), per il lemma 4.1.4, L ∈ f(X), dunque L = max f(X)(analogo per il minimo).

Osserviamo che se lo spazio X e un sottospazio compatto di R, quindi un sot-toinsieme chiuso e limitato, il teorema coincide con quello usualmente enunciatonei corsi di analisi.

Proposizione 4.2.18. Siano (X,ϑ), (Y, ϑ′) due spazi topologici con X compattoe Y di Hausdorff e sia f : X → Y una funzione continua, allora f e chiusa.

Dimostrazione. Sia F un insieme chiuso di X quindi F e anche compatto (4.2.9),allora f(F ) e un insieme compatto di Y (4.2.10) quindi e chiuso dal momentoche Y e T2 (4.2.13).

Corollario 4.2.19. Siano (X,ϑ), (Y, ϑ′) due spazi topologici con X compatto eY di Hausdorff e sia f : X → Y una funzione continua e biunivoca allora f eun omeomorfismo.(In questo caso anche Y sara compatto e X di Hausdorff).

Teorema 4.2.20. (Teorema di Bolzano-Weierstrass)Sia (X,ϑ) uno spazio topologico compatto e A ⊆ X un sottoinsieme con infinitipunti allora A ha almeno un punto di accumulazione.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che A non abbia punti di accumulazio-ne quindi per ogni x ∈ X esiste un suo intorno aperto Ux tale che A∩Ux ⊆ {x},


allora X =⋃x∈X Ux. Per ipotesi X e compatto quindi ∃x1, x2, . . . , xn ∈ X tali

che

X =

n⋃i=1

Uxi ⇒ A = A ∩n⋃i=1

Uxi =

n⋃i=1

A ∩ Uxi ⊆ {x1, x2, . . . , xn}

contro il fatto che A e infinito arrivando a un assurdo.

Teorema 4.2.21. Il prodotto di due spazi topologici compatti e compatto.

Dimostrazione. Siano (X,ϑ), (Y, ϑ′) due spazi topologici compatti e A′ un ri-coprimento aperto dello spazio topologico (X × Y, ϑp), ogni aperto A′ ∈ A′puo essere scritto come unione di aperti del tipo U × V con U ∈ ϑ e V ∈ ϑ′indichiamo con A la famiglia di aperti di questo tipo, otteniamo

A = {Ui × Vi : i ∈ I}, X × Y =⋃

A′∈A′

A′ =⋃i∈I

Ui × Vi

come osservato in precedenza (3.1.20) per ogni x ∈ X l’insieme {x} × Y eomeomorfo a Y quindi e compatto, inoltre {x} × Y ⊆ X × Y =

⋃i∈I Ui × Vi

quindi (4.2.8) esiste un sottoinsieme finito Ix ⊆ I tale che

{x} × Y ⊆⋃i∈Ix

Ui × Vi

inoltre possiamo supporre che x ∈ Ui per ogni i ∈ Ix quindi x ∈⋂i∈Ix Ui = Tx.

L’insieme Tx e aperto perche intersezione finita di aperti quindi la famiglia{Tx}x∈X e un ricoprimento aperto di X che, analogamente ad Y , e compattopertanto esistono x1, x2, . . . , xn tali che X =

⋃nj=1 Txj . Posto S =

⋃nj=1 Ixj

allora B = {Ui × Vi : i ∈ S} e un sottoricoprimento finito di A.Infatti, sia (x, y) ∈ X × Y si ha x ∈ X =

⋃nj=1 Txj

quindi ∃ j ∈ {1, 2, . . . , n} :x ∈ Txj

pertanto x ∈ Ui per ogni i ∈ Ixj⊆ S, inoltre

{xj} × Y ⊆⋃i∈Ixj

Ui × Vi

quindi y ∈ Y ⊆⋃i∈Ixj

Vi pertanto esistera un certo k ∈ Ixj tale che y ∈ Vk

ovvero (x, y) ∈ Uk × Vk ⊆⋃i∈S Ui × Vi.

Proposizione 4.2.22. In (Rn, ϑe) con n ≥ 1 tutti e soli i sottoinsiemi compattisono chiusi e limitati.

Dimostrazione. ⇒ Se X ⊆ Rn e compatto allora dato che X ⊆⋃n∈N S(O,n)

allora per la 4.2.8 ∃n1, n2, . . . , nk tali che X ⊆⋃ki=1 S(O,ni), posto infine n =

max{n1, n2, . . . , nk} si ha X ⊆ S(O,n) quindi X e limitato e, dal momento cheRn e T2, per la 4.2.12 X e anche chiuso.⇐ Sia X ⊆ Rn chiuso e limitato allora esistono a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn ∈ Rtali che X ⊆ [a1, b1] × [a2, b2]×, . . . ,× [an, bn] = A. Osserviamo che A e uninsieme compatto, perche prodotto di spazi compatti, inoltre e chiuso quindi Xe chiuso nella topologia indotta da A pertanto X e compatto (4.2.9).

Diamo adesso la definizione di piano proiettivo.


Definizione 4.2.23. In R3 \ {(0, 0, 0)} definiamo la seguente relazione:

(x1, y1, z1)R(x2, y2, z2)⇔ ∃λ ∈ R : (x1, y1, z1) = λ · (x2, y2, z2)

si verifica facilmente che essa e una relazione di equivalenza. Poniamo perdefinizione piano proiettivo l’insieme quoziente rispetto alla relazione R, essoverra indicato col simbolo P2, quindi

P2 = (R3 \ {(0, 0, 0)})/R

Consideriamo su P2 la topologia indotta da π : R3 \ {(0, 0, 0)} → P2 la pro-iezione naturale che manda ogni elemento nella sua classe di equivalenza consi-derando su R3 \ {(0, 0, 0)} la topologia indotta da quella euclidea. Mostriamoche P2 rispetto a questa topologia e compatto.

Proposizione 4.2.24. Lo spazio topologico (P2, ϑq(π)) e compatto.

Dimostrazione. Sia S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 +y2 +z2 = 1} la sfera unitaria e sudi essa consideriamo la stessa relazione di equivalenza R utilizzata per definire ilpiano proiettivo (cioe ogni punto e equivalente a se stesso e al suo simmetrico ri-spetto all’origine). Siano adesso π : R3\{(0, 0, 0)} → P2 e π′ : S2 → S2/R le dueproiezioni naturali che mandano ogni elemento nella propria classe di equivalen-za, l’inclusione canonica i : S2 → R3\{(0, 0, 0)} cioe tale che i(x, y, z) = (x, y, z)e infine i∗ : S2/R → P2 un’applicazione tale che i∗([(x, y, z)]R) = [(x, y, z)]R.Consideriamo in P2 la topologia indotta da π (ricordando che R3 \ {(0, 0, 0)} hala topologia indotta da quella euclidea) e in S2/R la topologia indotta da π′

(analogamente S2 ha la topologia indotta da quella euclidea), dimostriamo chei∗ rispetto a queste topologie e un omeomorfismo, cioe che S2/R ' P2.

S2 R3 \O

S2/R P2

-i

-i∗?

π

?

π′

i∗ e iniettiva: se due classi di equivalenza di S2 hanno la stessa immagine i duerappresentanti hanno coordinate proporzionali cioe le classi di equivalenza di S2

sono uguali.

i∗ e suriettiva: i∗

([(x,y,z)√x2+y2+z2

]R

)= [(x, y, z)]R per ogni (x, y, z) ∈ R3.

i∗ e continua: i∗ ◦ π = π′ ◦ i e continua perche composta da π′ e i che sonocontinue, π e una funzione quoziente quindi per la proposizione 3.2.3 i∗ e conti-nua. S2/R e compatto per 4.2.11 dal momento che S2 e compatto perche e uninsieme chiuso e limitato di R3.P2 e T2, infatti consideriamo due classi di equivalenza di P2 esse in R3 \O rap-presentano due rette passanti per O e per uno dei rappresentanti, circondiamole due rette con due coni solidi disgiunti formati da rette passanti per O e privatidel bordo, si puo verificare che questi sono due aperti, pertanto P2 e T2.Riassumendo i∗ : S2/R → P2 e una funzione biiettiva, continua, S2/R e com-patto, P2 e T2 dunque per 4.2.19 i∗ risultera essere un omeomorfismo, quindiP2 e compatto.

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