Appunti di Elettrotecnica

CAPITOLO 1

1.1 INTRODUZIONE 2

1.2 LA LEGGE DI COULOMB PER L’ELETTROSTATICA 2

1.3 CARICA E CORRENTE ELETTRICA 4 1.3.1 CONVENZIONE DI SEGNO PER LE CORRENTI 4

1.4 TENSIONE ELETTRICA 4 1.4.1 CONVENZIONE DI SEGNO PER LA TENSIONE 5

1.5 ESEMPIO SULLE DIREZIONI DI RIFERIMENTO 6

1.6 LA LEGGE DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI (LKC) 7

1.7 LA LEGGE DI KIRCHHOFF DELLE TENSIONI (LKT) 9

1.8 CONCETTO DI ‘BLACK BOX’ O BIPOLO NEI CIRCUITI ELETTRICI 12 1.8.1 SCELTA APPROPRIATA DELLE VARIABILI TERMINALI DI UN BIPOLO 13 1.8.2 ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE VARIABILI TERMINALI Q(T) E ϕ(T) 14

1.9 CONVENZIONI DI SEGNO PER LE VARIABILI ASSOCIATE IN UN BIPOLO 15

1.10 LINEARITÀ E NON LINEARITÀ DI UN BIPOLO 16

1.11 TEMPO-VARIANZA E TEMPO-INVARIANZA DI UN BIPOLO 16

Brucoli Acciani – Appunti di Elettrotecnica 2

1.1 INTRODUZIONE

L’elettrostatica studia i dispositivi elettromagnetici considerati sia singolarmente, sia in collegamento fra di loro (sistemi elettromagnetici). Esiste da più di un secolo uno schema concettuale che consente di affrontare tutti i problemi riguardanti tali disposi-tivi. Esso è caratterizzato da un sistema di equazioni differenziali ed è stato sistematiz-zato per la prima volta da James Clerk Maxwell. Molto più recentemente, è stato messo a punto un differente schema concettuale che, sotto opportune ipotesi, consente lo stu-dio in modo più semplice di una buona parte dei dispositivi o dei sistemi elettroma-gnetici. A tale modello è attribuito il nome di circuito elettrico. Più precisamente, al modello circuitale di un dispositivo elettromagnetico è dato il nome di elemento circui-tale. È importante conoscere il campo di validità del modello circuitale. Occorre preci-sare che i dispositivi elettromagnetici sono sede di fenomeni elettromagnetici che pos-sono essere descritti attraverso opportune grandezze fisiche (grandezze elettriche). Tali grandezze possono avere variazioni lente o rapide nel tempo. Se L è la dimensione massima del dispositivo elettromagnetico di interesse, il tempo di transito t di un’onda elettromagnetica è espresso da cLt = , dove c è la velocità di propagazione nello spa-zio libero (velocità della luce). Se il tempo t è molto piccolo rispetto alla rapidità delle variazioni temporali delle grandezze elettriche che interessano il dispositivo, allora possiamo modellare il dispositivo elettromagnetico come elemento circuitale. In parti-colare, se nel dispositivo si hanno grandezze che variano periodicamente, la rapidità di variazione può essere valutata attraverso il periodo T corrispondente alla frequenza massima f. Considerato il dispositivo diremo che le variazioni sono lente se tT >> . In pratica, considerata la lunghezza d’onda

mλ corrispondente alla frequenza mf ;

mm fc=λ ; se Lm >>λ si può ritenere che la propagazione della grandezza elettro-

magnetica avvenga istantaneamente da un punto all’altro del dispositivo. Questo e-quivale a dire che possono ritenersi trascurabili le dimensioni spaziali del dispositivo e perciò che esso possa essere considerato come un elemento a parametri concentrati. Il di-spositivo è rappresentato, per comodità, con un rettangolo, da cui emergono due o più terminali filiformi. Non ha importanza, ovviamente, la dimensione del rettangolo e la posizione e la lunghezza dei terminali. Una connessione di elementi circuitali a parame-tri concentrati prende il nome di circuito elettrico a parametri concentrati. I problemi per i quali non sarà possibile adottare il modello circuitale, dovranno essere affrontati con metodologie generali basate sulle equazioni di Maxwell. Per concludere, gli obiettivi del Corso di Elettrotecnica consistono essenzialmente nel mettere a punto, privilegian-do gli aspetti metodologici, modelli circuitali di dispositivi reali e nell’illustrare le più importanti tecniche di analisi dei circuiti elettrici a parametri concentrati. Nel seguito, per semplicità, si tratteranno i circuiti omettendo l’espressione “a parametri concentrati”.

1. 2 LA LEGGE DI COULOMB PER L’ELETTROSTATICA

La proprietà dell’ambra strofinata di attrarre pagliuzze ed altri corpi leggeri, nonché quella della magnetite di attrarre corpi ferrosi, sono note fin dall’antichità. I primi ten-tativi scientifici per inquadrare i fenomeni elettrici in un contesto razionale sono stati fatti ricorrendo, appunto, a corpi che, come l’ambra, potevano essere elettrizzati per strofinio. Fu proprio grazie all’uso di tali corpi che Coulomb in Francia e Cavendish in Inghilterra, indipendentemente, giunsero ad affermare quanto segue:


la forza che si stabilisce tra due corpi elettrizzati è sempre diretta secondo la con-giungente i due corpi;

le azioni elettriche sono talvolta di tipo attrattivo e altre volte di tipo repulsivo. Tuttavia è sempre vero che: se due corpi elettrizzati sono entrambi attratti o entrambi respinti da un terzo corpo elettrizzato, essi mostreranno tra loro un’azione repulsiva quando vengono avvicinati. se invece due corpi elettrizzati esercitano azioni opposte su un terzo corpo elettrizzato, essi mostreranno un’azione attrattiva quando vengono avvicinati. Da ciò consegue che esistono soltanto due tipi di elettrizzazione che, convenzionalmen-te, sono indicati con il segno + (positivo) e con il segno – (negativo). Inoltre elettrizza-zioni dello stesso tipo hanno effetto repulsivo, quelle di tipo diverso hanno effetto at-trattivo.

L’intensità della forza elettrica che si stabilisce tra due cariche puntiformi a distanza l’una dall’altra è data da:

2

21

r

qqkF = (1.1)

con 1q e 2q cariche puntiformi. Tale espressione della forza F rappresenta la ben nota legge di Coulomb. Nel sistema MKS l’unità di carica è il Coulomb (C). Quindi il valore di k è dato da:

⋅⋅≅⋅=

2

2

C

mN99 109109874,8k

Nello sviluppo formale dell’elettrostatica si preferisce sostituire la costante k con la se-guente espressione:

04

1

πε=k

dove 0ε è detta costante dielettrica del vuoto ed è pari a:

[ ]221120 108544,8

4

1CmN

k⋅⋅⋅== −−−

πε

Successivamente, fu opera di Millikan scoprire che l’elettrone possiede la carica elettri-ca più piccola e non ulteriormente divisibile:

][Ce 19106021,1 −⋅=


Tutte le cariche in natura sono multiple della carica elementare e. La carica elettrica non è quindi da considerarsi un fluido continuo, ma ha una struttura granulare o quantizzata.

1.3 CARICA E CORRENTE ELETTRICA

Dal punto di vista del comportamento elettrico dobbiamo distinguere i corpi in con-duttori ed isolanti. Nei primi la carica elettrica è mobile e può spostarsi da una posi-zione all’altra del corpo sotto l’azione di un campo elettrico: tale flusso di cariche pren-de il nome di corrente elettrica. Nei corpi isolanti, invece, la carica è vincolata a posi-zioni fisse nelle quali rimane praticamente immobile. Definiamo intensità I di una cor-rente elettrica la quantità di carica che attraversa una sezione retta S di un conduttore nell’unità di tempo:

t

qI

∆

∆=

Se il regime di flusso è variabile nel tempo, il valore istantaneo dell’intensità di corren-te dovrà essere riferito ad un intervallo di tempo infinitesimo, nell’intorno dell’istante considerato:

dt

dq

t

qi

t=

∆

∆=

→∆ 0lim

L’unità di misura nel sistema MKS è l’Ampère (A), definita come intensità di corrente corrispondente al passaggio di un Coulomb in un secondo. Il simbolo adottato per la corrente nelle formule è la lettera i: se la corrente è costante nel tempo o se ne vuole in-dicare il valore massimo od efficace si utilizza il carattere maiuscolo; trattando, invece, correnti variabili nel tempo si adopera il carattere minuscolo.

1.3.1 Convenzione di segno per le correnti

Per quanto concerne il flusso di cariche in un mezzo conduttore si suole distinguere tra corrente convenzionale e corrente effettiva: la prima è stata erroneamente attribuita al moto di cariche positive e la seconda giustamente al moto di cariche negative poiché, quando un conduttore è sottoposto all’azione di un campo elettrico, sono le cariche negative a muoversi. Per poter definire univocamente la corrente non basta determinarne l’intensità ma anche il verso di spostamento: per far ciò si fissa un sistema di riferimento elettrico e si attribuisce alla corrente un segno positivo se si muove in senso concorde al riferimento e un segno negativo se si muove in senso discorde al riferimento. A meno che non sia di-versamente specificato, ci si riferirà sempre alla corrente convenzionale.

1.4 TENSIONE ELETTRICA

Si considerino due armature metalliche elettricamente neutre. Si voglia caricare positi-vamente quella superiore e negativamente quella inferiore, come in figura:


Fig. 1.1

Sarà quindi necessario separare le cariche di segno opposto: poiché la legge di Cou-lomb stabilisce che cariche eteronime si attraggono, è necessario collegare alle due ar-mature una sorgente di energia (il generatore G) che fornisca il lavoro sufficiente alla separazione delle cariche. Il lavoro per unità di carica è detto tensione. In altri termini, indicata con dw l’energia fornita dal generatore (espressa in Joule) e con dq la carica (in Coulomb) assunta da una delle due armature, si ha che la tensione v è definita da:

[ ]Vdq

dwv =

L’unità di misura delle tensioni è il Volt (V). Anche in questo caso si utilizzano le lette-re minuscole se si tratta di tensioni variabili nel tempo e le maiuscole per le tensioni co-stanti, per i valori efficaci e per quelli massimi. Si noti che la tensione si manifesta tra le due armature anche se queste non sono elettricamente collegate cioè anche se, come si dice comunemente, il circuito è aperto. Si noti ancora che la tensione è una grandezza definita sempre tra due punti. Quando perciò si paragoneranno la tensione di un punto con quella di un secondo, si intende implicitamente confrontare la tensione tra il primo punto ed un terzo punto generico di riferimento, con la tensione tra il secondo punto e lo stesso riferimento. Così, per la figura di sopra, si dice che l’armatura carica positi-vamente è a tensione più alta di quella carica negativamente. Si osservi, inoltre, che se si scambiano i collegamenti della sorgente si inverte il segno della carica sulle armatu-re; proprio come nel caso della corrente si comprende, allora, che la tensione tra le due armature è una quantità algebrica.

1.4.1 Convenzione di segno per la tensione

Per definire univocamente la tensione fra due terminali è necessario stabilire un riferi-mento associando ad un terminale il segno + ed all’altro il segno – : si intende così dire che il primo ha una tensione maggiore del secondo nel senso precedentemente specifi-cato. La tensione fra due terminali è perciò positiva se la polarità assegnata risponde al-la situazione reale, ed è negativa in caso contrario. Si può allora scrivere (con riferimen-to alla fig. 1.1):

baabba vvvvv −==−=−−+= ) terminaleal tensione() terminaleal tensione(

Questa relazione evidenzia il carattere algebrico della tensione che può assumere valori tanto positivi che negativi. La tensione definita come nella suddetta relazione è detta tensione punto-punto (o nodo-nodo).

A

G

B

+++

–––


Nella formula precedente, la tensione av rappresenta il lavoro speso dal campo elettri-

co per trasportare l’unità di carica positiva dal punto a all’infinito, la tensione - bv rap-

presenta, invece, il lavoro speso dal campo elettrico per trasportare l’unità di carica po-sitiva dall’infinito al punto b. La tensione abv , dunque, rappresenta il lavoro speso dal

campo elettrico per trasportare dal punto a al punto b l’unità di carica positiva.

1.5 ESEMPIO SULLE DIREZIONI DI RIFERIMENTO

Riepilogando quanto detto, per stabilire un sistema elettrico di riferimento, si attribui-sce arbitrariamente una direzione di riferimento per ciascuna corrente tramite una frec-cia, ed una polarità di riferimento per ogni tensione tramite una coppia di segni (+) e (-), come mostrato in figura per un elemento a tre terminali:

Fig. 1.2

Su ogni reoforo (filo metallico conduttore di corrente elettrica) si traccia una freccia det-ta direzione di riferimento della corrente. Essa ha il seguente significato: se, ad esempio, in un certo istante t si ha:

A2)(2 =ti

ciò significa che all’istante t una corrente di 2A entra nell’elemento a tre terminali dal nodo 2. Se invece nell’istante t risultasse:

Am 25)(2 −=ti

ciò significa che nell’istante t una corrente di 25mA esce dall’elemento a tre terminali attraverso il nodo 2. Il punto fondamentale è che la direzione di riferimento della cor-rente, insieme al segno di )(ti , determina la direzione effettiva del flusso di cariche e-lettriche. Si assegnino ora i segni + e – a coppie di terminali, arbitrariamente: tali segni indicano la direzione di riferimento delle tensioni. Se ad un certo istante t risulta:

mV 3)(1 =tv

ciò significa che all’istante t la tensione elettrica del terminale 1 è 3mV superiore alla tensione elettrica del terminale 2; se invece si ha:

V10)(2 −=tv

ciò significa che all’istante t la tensione elettrica del terminale 1 è 10V inferiore alla ten-sione elettrica del terminale 3.

Elemento a 3 terminali

2

1 1i

2i

3i3 1v

+

–

2v

+–


1.6 LA LEGGE DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI (LKC)

È stato già utilizzato nei paragrafi precedenti il termine nodo: esso rappresenta un punto o una ristretta zona di capacità elettrostatica trascurabile in cui si ha la giunzione di due o più conduttori filiformi (reofori) in un circuito elettrico. Una legge fisica fon-damentale stabilisce la conservazione della carica elettrica: in nessun esperimento co-nosciuto si è mai verificata la creazione o la distruzione di carica elettrica netta. La leg-ge di Kirchhoff delle correnti esprime tale legge nell’ambito dei circuiti concentrati. E-gli stabilì quanto segue: in un qualsiasi nodo di un circuito non possono accumularsi cariche

elettriche. Se, quindi, in un tempo infinitesimo dt una carica dq entra in un nodo, una carica uguale deve uscirne. Per ogni nodo si può allora concludere che:

la somma delle correnti in ingresso deve essere uguale istante per istante alla somma delle cor-renti in uscita.

Con riferimento alla figura 1.3 si può scrivere:

( ) ( ) ( )tititi 321 =+ (1.2)

Fig. 1.3

D’altra parte, per quanto detto precedentemente, una corrente )(ti che esce da un nodo è uguale ad una corrente )(ti− che entra nel nodo stesso: quindi la situazione rappre-sentata in figura 1.4 è analoga a quella della figura 1.3 e si può scrivere:

0)()()( 321 =−+ tititi (1.3)

Fig. 1.4

L’equazione (1.3), perfettamente equivalente alla (1.2), consente di esprimere la legge di Kirchhoff delle correnti come segue:

)(2 ti

)(3 ti

)(1 ti

)(2 ti

)(3 ti−

)(1 ti


la somma algebrica delle correnti entranti in un nodo è istante per istante nulla. Cioè:

∑ =±k

k ti 0)( (1.4)

dove il segno + vale per le correnti entranti e il segno – per quelle uscenti dal nodo.

Osserviamo ancora che una corrente che entra in un nodo può essere interpretata come una corrente di segno opposto che esce dallo stesso nodo; quindi la situazione rappre-sentata in figura 1.5 è analoga alle due precedenti:

0)()()( 321 =+−− tititi (1.5)

Fig. 1.5

In questo caso la prima legge di Kirchhoff si esprime come segue:

la somma algebrica delle correnti uscenti da un nodo è istante per istante nulla.

La formulazione analitica generale è ancora quella della relazione (1.4) ma nella som-matoria si considerano positive le correnti uscenti e negative quelle entranti. Ora, defi-nendo una superficie gaussiana come una qualsiasi superficie chiusa a due facce, la legge di Kirchhoff per le correnti può essere così generalizzata:

per ogni superficie gaussiana Σ di un circuito concentrato qualsiasi, in un istante arbitrario t, la somma algebrica di tutte le correnti che fuoriescono dalla (o entrano nella) superficie gaussiana nell’istante t è uguale a zero.

)(2 ti−

)(3 ti

)(1 ti−


Ad esempio:

Fig. 1.6

Applicando, allora, la LKC si ha (ritenendo positive le correnti uscenti da una superficie):

0)()()()()()()(:

0)()()()(:

0)()()()()(:

0)()()()(:

654119834

65413

98113122

7410111

=−−−+++Σ

=+++Σ

=−−−−−Σ

=−−−Σ

tititititititi

titititi

tititititi

titititi

Si osservi che il verso delle correnti è fissato arbitrariamente allorché comincia l’analisi del circuito in esame. Poi, applicando la LKC, si ottengono delle equazioni algebriche li-neari omogenee a coefficienti reali e costanti pari a 0, 1, e -1 le quali, una volta risolte, forniscono i valori con segno di tutte le correnti del circuito: se una di queste risulta esse-re positiva significa che il verso fissato per essa nel circuito è quello esatto, altrimenti, se tale corrente risulta essere negativa, vuol dire che si muove in verso opposto a quello fis-sato nel circuito. Quanto detto vale per tutte le correnti presenti nel circuito.

1.7 LA LEGGE DI KIRCHHOFF DELLE TENSIONI (LKT)

Si faccia riferimento all’esempio mostrato in figura 1.7: esso rappresenta un cammino chiuso ossia un percorso che inizia da un nodo, passa attraverso elementi a due termi-nali, e termina nel nodo di partenza (sono state arbitrariamente fissate le polarità ai ca-pi di ciascun elemento ed un verso di circolazione nel cammino). Valgono le seguenti relazioni (per comodità si sottintende la dipendenza da t):

2i

1i

3i

4i

10i

12i

5i

6i

7i 8i

9i

11i

3Σ

1Σ

2Σ

4Σ

+ –


Fig. 1.7

414114

434334

323223

212112

vvvv

vvvv

vvvv

vvvv

−=−=

−=−=

−=−=

−=−=

Dove con 21 ,vv , sono state indicate le tensioni ai terminali 1,2, e con 12v , sono state in-dicate le tensioni punto-punto. Definiamo ora le tensioni di lato in funzione delle ten-sioni punto-punto come la tensione nodo-nodo tra il nodo supposto a tensione maggio-re (+) e il nodo a tensione minore (–):

148

347

236

125

vv

vv

vv

vv

=

=

=

=

(Nota: nelle tensioni a secondo membro il primo pedice si riferisce sempre al polo posi-tivo). Fissiamo un verso di percorrenza del cammino chiuso. Allora la legge di Kir-chhoff delle tensioni si può così enunciare:

fissato un verso di percorrenza per un cammino chiuso in un circuito a parametri concentrati, la somma algebrica delle tensioni di lato è nulla istante per istante:

∑ =±k

k tv 0)(

dove il segno + verrà preso se l’elemento k-esimo è attraversato dal (+) al (–), col segno – se è attraversato dal (–) al (+) ovvero se il verso di riferimento scelto per il lato k-esimo concorda con quello scelto per il cammino chiuso. Nell’esempio, in particolare, si avrà:

0)()()()( 8765 =−++ tvtvtvtv

Tale enunciato è facilmente giustificabile se si tiene presente la definizione di tensione tra due punti (vedi pag. 5) e che il lavoro compiuto dal campo elettrico per spostare l’unità di carica lungo un cammino chiuso è nullo essendo il campo elettrico conservativo (il la-

1

2

4

3

5 6

7 8 +

+

+

+

–

– –

–


voro per portare l’unità di carica dal nodo 1 al nodo 1 è nullo). Ricordando che tale lavo-ro si può esprimere in funzione delle tensioni punto-punto, si può allora scrivere:

0)()()()(

0)()()()(0)()()()(

8765

1434231241342312

=−++⇔

⇔=−++⇔=+++

tvtvtvtv

tvtvtvtvtvtvtvtv

La legge di Kirchhoff per le tensioni può essere espressa in altri modi. Dato un qualsiasi circuito concentrato, avente n nodi, è possibile scegliere arbitrariamente uno di essi come nodo di riferimento per le tensioni. Rispetto al nodo di riferimento scelto si possono defini-re n-1 tensioni (che indicheremo con la lettera e), come illustrato in figura:

Fig. 1.8

Si osservi che la tensione relativa al nodo n è nulla essendo tale nodo quello scelto come riferimento. La LKT si può allora enunciare così:

per ogni circuito concentrato connesso, scelto un nodo di riferimento qualunque, in ogni istante t, la tensione tra una generica coppia di nodi k e j è pari alla differenza delle corrispondenti ten-sioni nodali:

)()()( tetetv jkjk −=

infatti si ha:

Ovviamente si ha:

)()()()( tvtetetv jkkjkj −=−= (1.6)

Quanto detto può essere verificato utilizzando il seguente circuito connesso a cinque nodi:

Fig. 1.9

vkj = v

k – v

j = v

k – v

n + v

n – v

j = e

k – e

j

e1

2

1

k

j

n-1 n

ek

en-1

+

+

+

– – –

en = 0

vkj +

– e1 = v1 – vn

e2 = v2 – vn

•••••

en-1 = vn-1 – vn

T

B

A

C D

E 1

2

3

4

5 e5 = 0

e4

e3

e2

e1


Tenendo presente la definizione di tensione punto-punto data a pagina 5, è facile mo-strare che queste si possono esprimere in funzione delle tensioni nodali:

( ) ( ) 2152512112 eevvvvvvv −=−−−=−=

che è proprio l’applicazione della LKT, nella forma vista alla pagina precedente, alla coppia di nodi 1 e 2: in modo analogo si possono scrivere le seguenti sette equazioni:

2552

4224

45445

4334

3223

2112

15115

eev

eev

eeev

eev

eev

eev

eeev

−=

−=

=−=

−=

−=

−=

=−=

(1.7)

Si definisce sequenza chiusa di nodi una sequenza che inizia e termina con lo stesso nodo. Consideriamo ad esempio la sequenza 2-4-5-2 (si osservi che tale sequenza non è un cammino chiuso secondo la definizione data a pagina 9); sommando le ultime tre equazioni nella (1.7) si ha:

0524524 =++ vvv

Consideriamo poi la differente sequenza chiusa di nodi 1-2-3-4-5-1 (essa rappresenta anche un cammino chiuso); sommando le prime 5 equazioni nella (1.7) ed applicando la (1.6) si può scrivere:

05145342312 =++++ vvvvv

Si può allora enunciare la LKT in termini di sequenze chiuse di nodi:

per ogni circuito concentrato connesso, lungo una qualsiasi sequenza chiusa di nodi, in ogni i-stante t, la somma delle tensioni punto-punto (prese nello stesso ordine della sequenza di nodi) è uguale a zero.

Nota: anche la LKT conduce sempre ad equazioni algebriche lineari omogenee a coeffi-cienti reali e costanti pari a 0, 1 e -1.

1.8 CONCETTO DI ‘BLACK BOX’ O BIPOLO NEI CIRCUITI ELETTRICI

È stato già detto che un sistema elettromagnetico è ottenuto collegando tra loro dispo-sitivi elettromagnetici. Per analizzarlo si considera un suo modello astratto costituito da un’interconnessione di elementi circuitali che possono essere a due o più terminali (si parla rispettivamente di bipoli e multipoli): i terminali, detti anche morsetti, rappre-sentano la ‘porta’ di accesso per l’alimentazione esterna e per lo scambio di energia con gli altri elementi circuitali. Consideriamo, per il momento, solo dispositivi a due termi-nali. Poiché ciò che ci interessa studiare non è la costituzione fisica del componente ma


il suo comportamento elettrico con l’esterno, occorrerà determinare un modello (bipo-lo) che meglio simuli il comportamento ai morsetti del dispositivo in esame. Per questo motivo tale dispositivo, in generale, è immaginato come una scatola ideale o ‘black box’ intendendo esprimere con ciò il concetto che l’interno della scatola è ‘oscuro’, nel senso che quello che importa è il comportamento elettrico e ciò che si può fare connettendola ad altri elementi. Precisato ciò, ci proponiamo ora di vedere quale sia l’elemento ideale (bipolo) ovvero il modello circuitale che possa meglio caratterizzare il dispositivo. Fis-sate le due variabili terminali occorre verificare l’esistenza di un legame funzionale tra le variabili terminali, ovvero che tutti i punti di funzionamento del bipolo giacciano su una curva del piano (caratteristica) individuato dalla coppia di variabili prescelte.

1.8.1 Scelta appropriata delle variabili terminali di un bipolo

Le due grandezze che possono essere utilizzate per caratterizzare il comportamento ai morsetti di un bipolo devono essere misurabili ed indipendenti tra loro. Sono facilmente misurabili la corrente )(ti , la tensione )(tv ed inoltre le seguenti due grandezze:

la carica: ∫ ∞−=

t

ditq ττ )()(

ed il flusso: ∫ ∞−=

t

dvt ττϕ )()(

Dovendo poi essere le due grandezze indipendenti tra loro si possono avere solo i se-guenti quattro accoppiamenti:

1) tensione-corrente: iv −

2) tensione-carica: qv −

3) corrente-flusso: ϕ−i

4) carica-flusso: ϕ−q

Assegnato un bipolo, sorge ora il problema di stabilire quale sia la coppia più idonea a definirne la caratteristica: si tratta cioè di stabilire se tutti i punti di funzionamento pos-sibili per il bipolo appartengono o meno ad una curva caratteristica rappresentabile nel piano iv − o qv − o ϕ−i o nel piano ϕ−q . Se tale curva caratteristica è definita nel piano iv − chiameremo il bipolo resistore; se la curva è definita nel piano qv − il bi-polo si chiamerà condensatore; se è definita nel piano ϕ−i il bipolo si chiamerà indut-tore; se infine la curva è definita nel piano ϕ−q il bipolo si chiamerà memristore (nel-la pratica, però, è difficile trovare una ‘black box’ il cui comportamento ai morsetti pos-sa essere rappresentato da un bipolo di questo tipo). Il problema è indubbiamente deli-cato ed un esempio potrà chiarire il concetto.

Esempio: si abbia un componente racchiuso in una ‘black box’ ed accessibile all’esterno me-diante i suoi morsetti. Applichiamo alla ‘black box’ la seguente tensione: )sin()( tAtv = . Dopo una serie di misure si trova il seguente legame tra tensione e corrente:


(*) dtdvi =

In questo caso sembrerebbe che ci si possa riferire tanto al piano iv − che a quello qv − (infatti l’andamento della corrente consente di determinare la carica): la scelta è

però univoca. Proviamo, infatti, a fare riferimento al piano iv − ; si ottiene:

)cos()()sin()( tAtitAtv =⇒= (1.8)

Si verifica facilmente che, mantenendo costante A e facendo variare t, i punti del piano che soddisfano la (1.8) si trovano su una circonferenza con centro nell’origine degli assi e raggio A; basta, infatti, elevare al quadrato entrambi i membri nelle due equazioni della (1.8) e sommare membro a membro:

222

222

222

)()()(cos)(

)(sin)(Atitv

tAti

tAtv=+⇒⊕

=

=

Osserviamo, però, che al variare di A i punti di funzionamento del bipolo si dispongo-no su una circonferenza diversa: si conclude che non possiamo rappresentare il dispo-sitivo in esame con un resistore perché non esiste nel piano iv − una curva che con-tenga tutti i possibili punti di funzionamento, visto che questi sono sparsi in tutto il piano. Vediamo ora cosa accade nel piano qv − . Si può scrivere:

∫ ∫ ==== )sin()()()( tAtvdtdt

dvdttitq

Si ha dunque: vq = , cioè al variare di t, tutti i punti di funzionamento del bipolo si trovano sulla 1ª bisettrice del piano qv − . D’altra parte questo rimane vero anche al variare di A: possiamo concludere, allora, che il bipolo che meglio simula il comporta-mento ai morsetti della ‘black-box’ in esame è il condensatore, poiché la curva caratte-ristica di tale componente è definita nel piano qv − .

1.8.2 Alcune considerazioni sulle variabili terminali q(t) e ϕ(t)

Dalla definizione di carica data a pagina 13 segue che:

ttdiqdididitqt

t

t

t

tt

<+=+== ∫∫∫∫ ∞−∞−00 con,)()()()()(

00

0

ττττττττ (1.9)

Se l’analisi di un certo bipolo comincia dall’istante 0t , il primo integrale nella seconda

uguaglianza della (1.9) rappresenta la storia precedente del bipolo (cioè prima dell’istante considerato) e per questo motivo è detto carica iniziale. Sussiste la cosid-detta proprietà di costanza della carica:

se la forma d’onda della corrente )(ti si mantiene limitata in un intervallo chiuso [ ]ba tt , allora

la carica )(tq è una funzione continua nell’intervallo aperto ( )ba tt , .

In particolare, per qualsiasi istante T tale che:


ba tTt << si ha: )q(Tq(T))q(T +− ==

Questo significa che anche se la corrente subisce nell’istante T una brusca variazione, pur rimanendo limitata, la carica resta invece costante in un intorno immediato dell’istante considerato. Per dimostrare tale proprietà basta semplicemente sostituire

Tt = prima e dtTt += poi nella (1.9) e sottrarre membro a membro:

ττττ

ττdiTqdtTq

diqdtTq

diqTqdtT

TdtT

t

T

t)()()(*)*(*)(

)()((**)

)()((*)

0

0

0

0

∫∫

∫ +

+=−+⇒−

+=+

+=

con ba tTt << e ba tdtTt <+< . Essendo )(ti limitata in [ ]ba tt , si può scrivere:

[ ] +ℜ∈≤∈∀ MMtittt ba con,)(:,

Segue che l’area sottesa dalla curva )(ti da T a dtT + (ossia il valore dell’integrale a secondo membro nella (***)) vale al più dtM ⋅ (in valore assoluto), che tende a zero per dt che tende a zero: ciò significa che )(tq è continua per Tt = . Considerazioni a-naloghe si possono fare per il flusso:

ttdvdvdvdvtt

t

t

t

tt

<+=+== ∫∫∫∫ ∞−∞−00 con ,)()()()()(

00

0

ττϕττττττϕ

Similmente a quanto detto per la carica, il primo integrale nella seconda uguaglianza di questa relazione prende il nome di flusso iniziale. Vale, inoltre, la cosiddetta proprietà della costanza del flusso:

se la forma d’onda della tensione )(tv si mantiene limitata in un intervallo chiuso [ ]ba tt , allora

il flusso )(tϕ è una funzione continua nell’intervallo aperto ( )ba tt , .

In particolare, per qualsiasi istante T tale che

ba tTt << si ha: )(T(T))(T +− == ϕϕϕ

Questo significa che anche se nell’istante T la tensione dovesse subire una brusca va-riazione, pur senza raggiungere valori infiniti, il flusso rimane costante in un intorno immediato dell’istante considerato.

1.9 CONVENZIONI DI SEGNO PER LE VARIABILI ASSOCIATE IN UN BIPOLO

Nello studio dei bipoli è necessario stabilire una convenzione di segno per la tensione ed una per la corrente. Vi sono quattro possibili riferimenti per queste due variabili:


Non vi è nessuna ragione particolare che faccia preferire una configurazione alle altre. In pratica, tuttavia, ci si riferisce a quella combinazione tra i versi assunti per le correnti e le tensioni tale che la potenza positiva: 0)()()( >⋅= tvtitp , corrisponda ad una potenza entrante nel bipolo. I principi fondamentali dell’elettromagnetismo mostrano che questa condizione è soddisfatta quando la corrente entra dal morsetto positivo del bipolo (figura 1.10): la convenzione di segno così stabilita prende il nome di convenzione degli utiliz-zatori; a meno che non sia precisato diversamente, nel seguito si adotterà sempre questa convenzione. Accenniamo ad un’altra possibile convenzione di segno che è detta con-venzione dei generatori. Essa consiste nel scegliere quella combinazione tra i versi as-sunti per tensioni e correnti tale che la potenza positiva: 0)()()( >⋅= tvtitp corrisponda ad una potenza uscente dal bipolo: questa condizione sarà soddisfatta quando la corren-te esce dal morsetto positivo del bipolo (figura 1.11).

1.10 LINEARITÀ E NON LINEARITÀ DI UN BIPOLO

Si indichi, in generale, con ),( uy una coppia di variabili terminali e con )(uTy = la re-lazione che definisce il comportamento del bipolo, ossia la sua caratteristica.

Risulta:

==

+=+=+=

==

ℜ∈

⇔

)()(

)()()(

)()(

212121

2211

21

uTuTy

yyuTuTuuTy

uTyuTy

uu

αα

α

(**)

(*) :risulta

e :posto e

scelto , e Fissati

Lineare

è

Bipolo Un

La relazione (*) esprime la condizione di additività mentre la relazione (**) esprime la condizione di omogeneità. Se solo una di queste due condizioni non è soddisfatta il bipolo si dice non-lineare.

1.11 TEMPO-VARIANZA E TEMPO-INVARIANZA DI UN BIPOLO

Un bipolo si dice stazionario o tempo-invariante se la sua caratteristica non varia nel tem-po. In caso contrario si dice tempo-variante o non stazionario.

Per definire correttamente questa proprietà ed analizzarne le conseguenze, bisogna in-trodurre l’operatore traslazione Q che opera nel seguente modo:

+

–

+

– +

–

+

–

i i i i

v v v v

Fig. 1.10 Fig. 1.11 Fig. 1.12 Fig. 1.13


se )(tu è una variabile terminale del bipolo si avrà:

( ) +ℜ∈−= aatutuQ con ,)()( (1.10)

In altri termini l’operatore Q ritarda la variabile )(tu di a secondi. Con queste premesse, un bi-

polo si dirà stazionario se e solo se:

( ))()( tuTty = e contemporaneamente: ( )( ) ( )( ) ( ) )()()()( atytyQtuTQtuQTya −==== .

Tale equazione esprime il fatto che se il segnale di ingresso )(tu di un certo bipolo è ritardato di a secondi; il segnale di uscita )(ty rimane invariato nella sua forma d’onda ma è anch’esso ritardato di a secondi.


CAPITOLO 2

2.1 RESISTORI A DUE TERMINALI 19

2.2 CONDENSATORI 25

2.3 INDUTTORI 28

2.4 GENERATORI INDIPENDENTI 31

2.5 FORME D'ONDA CANONICHE PER I SEGNALI 33

2.6 CARATTERIZZAZIONE DEI BIPOLI DA UN PUNTO DI VISTA ENERGETICO 36 2.6.1 POTENZA ED ENERGIA NEI RESISTORI 37 2.6.2 POTENZA ED ENERGIA NEI CONDENSATORI 39 2.6.3 POTENZA ED ENERGIA NEGLI INDUTTORI 41


2.1 RESISTORI A DUE TERMINALI

Un bipolo il cui comportamento è definito da una caratteristica nel piano iv − è detto resistore; in altri termini, un elemento a due terminali sarà definito resistore se la ten-sione e la corrente soddisfano la seguente relazione:

( ) ( ) 0,:, ==ℜ ivfivR

Se tale equazione può essere risolta rispetto ad i come funzione ad un sol valore di v, ovvero:

g(v)i =

si dice che il resistore è controllato in tensione. Se invece tale equazione può essere risolta rispetto a v come funzione ad un sol valore di i, ovvero:

)(ihv =

si dice che il resistore è controllato in corrente. Esiste la seguente classificazione dei resistori:

a) resistori lineari tempo-invarianti: tali elementi sono detti lineari perché la loro caratteristica nel piano iv − soddisfa le condizioni di additività ed omogeneità e sono detti tempo-invarianti perché la loro caratteristica non cambia nel tempo (vedi pagina 16). La caratteristica di un tale resistore è una retta passante per l'o-rigine del piano iv − di equazione: )()( tiRtv ⋅= ovvero, con RG 1= , si ha

)()( tvGti ⋅= (2.1)

La (2.1) esprime la cosiddetta legge di Ohm: la costante R rappresenta la resistenza del resistore lineare e si misura in ohm (ΩΩΩΩ) mentre G è la conduttanza e si misura in siemens (S).

In figura è rappresentato il simbolo di un resistore lineare con resistenza R e la caratteristica di tale resistore tracciata nel piano iv − e nel piano vi − :

Fig. 2.1

In definitiva il resistore lineare è un caso particolare di resistore in cui si ha: 0),( =⋅−= iRvivf ovvero 0),( =⋅−= vGiivf , ossia la relazione tra tensione e

corrente è espressa da funzioni lineari. Il singolo numero R (ovvero G), cioè la pendenza della caratteristica rispetto all'asse delle i (ovvero rispetto all'asse delle v), specifica completamente il resistore lineare a due terminali. Esistono, infine,

R i

v + –

O G

i

1 O

i

v

v

1 R


due casi speciali di resistori lineari che meritano di essere particolarmente citati, ossia il circuito aperto e il cortocircuito.

Un resistore a due terminali viene definito circuito aperto se, e solo se, la corrente che lo attraversa è identicamente nulla, indipendentemente dalla tensione v, cioè:

0),( == iivf . La caratteristica di un circuito aperto coincide con l'asse v del pia-no iv − o del piano vi − , come mostrato in figura 2.2: essa ha pendenza infinita nel piano vi − e pendenza nulla nel piano iv − :

Fig. 2.2

Analogamente, un resistore a due terminali è definito cortocircuito se, e solo se, la tensione ai suoi capi è identicamente nulla indipendentemente dalla corrente i che lo attraversa, ossia 0),( == vivf . La caratteristica di un cortocircuito coinci-de con l'asse i del piano iv − o del piano vi − ; come mostrato in figura 2.3: essa ha pendenza nulla nel piano vi − e pendenza infinita nel piano iv − :

Fig. 2.3

Confrontando le due figure precedenti si nota che la curva del circuito aperto in un piano coincide con la curva del cortocircuito nell'altro piano. Per questa ra-gione, il circuito aperto viene definito come il duale del cortocircuito e viceversa. Generalizzando al caso non lineare, si dice che un dato resistore è il duale di un altro se la sua caratteristica nel piano iv − è rappresentata dalla stessa curva nel piano vi − dell'altro resistore.

b) resistori lineari tempo-varianti: l'esempio più comune che si può dare di un resi-store lineare tempo-variante è quello di un resistore a tre morsetti uno dei quali co-stituisce un contatto mobile. Se si applica una tensione tra un contatto fisso e quello mobile di cui si varia nel tempo la posizione rispetto ad un certo riferimento, il le-game tra tensione e corrente è dato da: )()()( titRtv ⋅= ovvero )()()( tvtGti ⋅= . Il simbolo del resistore lineare tempo-variante è mostrato di seguito:

v

i

R = ∞∞∞∞

v

i

G = 0

i

v

R = 0

i

v

G = ∞∞∞∞

i(t)

v(t) R(t)

+

–


Fig. 2.4

Un esempio interessante di resistore lineare tempo-variante è quello di un in-terruttore che si apre e chiude periodicamente con periodo T. Nella figura se-guente se ne illustrano il simbolo, le proprietà e la caratteristica nel piano iv − :

Quando l'interruttore è chiuso ( 0=S ) la tensione è nulla e la caratteristica iv − coincide con l'asse i, quando l'interruttore è aperto ( 1=S ) la corrente è nul-

la e la caratteristica iv − coincide con l'asse v. Un interruttore reale ha un com-portamento leggermente diverso in quanto, invece di essere un circuito aperto o un cortocircuito, presenta una resistenza molto bassa ma non nulla quando è chiuso ed una resistenza molto alta ma finita quando è aperto: le proprietà e la caratteristica nel piano iv − di un interruttore reale sono riportate in figura:

c) resistori non lineari: sono bipoli la cui caratteristica nel piano iv − non soddisfa le condizioni di additività e di omogeneità. Esaminiamo alcuni tra i più comuni tipi di resistori non lineari.

Diodo a giunzione PN. Il simbolo e la caratteristica iv − sono mostrati in figura:

v(t)

i(t)

S(t)

+

–

S(t)

t Chiuso Chiuso

Aperto Aperto v

i

O

R(t)

R∞∞∞∞

R0

O t

v

i Pendenza 1/R0

Pendenza 1/R∞∞∞∞


Fig. 2.5

Applicando una tensione diretta, cioè tale che la tensione in A sia maggiore di quella in B, la corrente cresce con la tensione secondo la legge:

−⋅= 1kT

qv

S eIi (2.2)

dove: q è la carica dell'elettrone, k è la costante di Boltzmann, T è la tempera-tura assoluta in gradi Kelvin e SI è la cosiddetta corrente di saturazione inversa,

cioè la corrente che circola nel diodo quando esso è polarizzato inversamente (ossia quando la tensione di B è maggiore di quella in A e quindi 0<v ). Dunque, invertendo la polarità della tensione ai capi del diodo, la corrente as-sume un valore molto piccolo pari a SI . Crescendo i valori della tensione in-

versa, la corrente assume un valore praticamente costante con la tensione, fin quando non si raggiunge il punto di ‘turnover’ (punto A nella figura prece-dente) a partire dal quale la corrente aumenta molto rapidamente a tensione costante. Infine osserviamo che la relazione (2.2) esprime la corrente in fun-zione della tensione: ciò significa che per un’arbitraria tensione v la corrente è ben definita. Si dice allora che il diodo a giunzione PN è controllato in tensione.

Diodo ideale. Per definizione il diodo ideale è un resistore non lineare la cui ca-ratteristica iv − è composta da due segmenti di linea retta nel piano iv − (o nel piano vi − ), cioè l'asse v negativo e l'asse i positivo. La relazione che caratterizza il diodo ideale è quindi la seguente:

0per 0 e 0per 0con ,0:),( >=<==⋅=ℜ ivviivivID

Il simbolo e la sua caratteristica sono mostrati in figura:

A i

v

B –

+

O Is A

v

i


Fig. 2.6

Quindi se il diodo è polarizzato inversamente ( 0<v ) la corrente è nulla, ovvero il diodo si comporta come un circuito aperto; se il diodo è in condu-zione ( 0>i ) la tensione è nulla, per cui si comporta come un cortocircuito. Ovviamente la potenza fornita ad un diodo ideale è identicamente nulla in ogni istante: per questo motivo il diodo ideale rientra nella categoria degli elementi circuitali non energetici. Si noti, infine, che il diodo ideale non è controllato né in tensione né in corrente.

Diodo tunnel. Il simbolo e la caratteristica sono mostrati in figura:

Fig. 2.7

La corrente i può essere espressa in funzione della tensione v così:

)(vii

= (2.3)

Si nota allora che assegnato un certo valore della tensione, la corrente è ben definita: si dice, quindi, che tale resistore è controllato in tensione.

Diodo shokley (tubo a scarica a bagliore). Il simbolo e la caratteristica sono mo-strati in figura:

A i

v

B –

+

O v1 v

i

v2

i2

i2

A i

v

B –

+

O v

i


Fig. 2.8

La tensione v può essere espressa in funzione della corrente i così:

)(ivv

= (2.4)

Si nota allora che ad un certo valore della corrente corrisponde uno ed un solo valore della tensione: si dice, quindi, che tale resistore è controllato in corrente.

Concludiamo osservando che i resistori non lineari appena descritti hanno una caratteristica non simmetrica rispetto all'origine del piano iv − ; questo comporta il fatto che invertendo la polarità dei morsetti la loro caratteristica cambia: tali re-sistori sono detti non bilaterali. Per tale motivo è importante che il simbolo di un resistore non lineare indichi il suo orientamento e quindi i resistori non lineari non bilaterali sono generalmente rappresentati come segue:

Quando invece la caratteristica è simmetrica rispetto all'origine degli assi nel pia-no iv − si parla di resistori bilaterali che, in generale, sono rappresentati come segue:

Nota: l’estremità annerita della scatola è collegata al mor-setto a tensione più bassa.

i

v

–

+

i

v

–

+

O v

i A i

v

B –

+


Un esempio di resistore non lineare bilaterale è rappresentato dalle lampade ad in-candescenza (vedi rappresentazione a sinistra) la cui caratteristica è la seguente:

Tutti i resistori lineari sono invece bilaterali.

2.2 CONDENSATORI

Un bipolo la cui carica )(tq e tensione )(tv appartengono, per qualsiasi istante t, ad una curva del piano qv − è definito condensatore: tale curva è detta caratteristica qv −

del condensatore. Essa può essere rappresentata dall'equazione:

0),( =vqf e (2.5)

Se tale equazione può essere risolta rispetto a v come funzione ad un sol valore di q, ovvero:

)(qvv

= (2.6)

si dice che il condensatore è controllato in carica.

Se invece l'equazione (2.5) può essere risolta rispetto a q come funzione ad un sol valo-re di v, ovvero:

)(vqq

= (2.7)

si dice che il condensatore è controllato in tensione.

Sussiste la seguente classificazione per i condensatori:

O v

i A i

v

B –

+


a) condensatori lineari tempo-invarianti. Il loro simbolo e la loro caratteristica so-no mostrati in figura:

Fig. 2.9

La caratteristica di tali condensatori è esprimibile mediante le seguenti relazioni:

)()( tvCtq ⋅= ovvero )()( tqStv ⋅= (2.8)

La costante C nella suddetta relazione è detta capacità del condensatore e si mi-sura, esprimendo la tensione in volt e la carica in coulomb, in farad [F], mentre la costante CS /1= è detta elastanza. I legami tra le variabili circuitali tensione e corrente sono i seguenti:

dt

tdvC

dt

tdqti

)()()( == (2.9)

oppure

∫∫∫∫ +=+==∞−∞−

t

t

t

t

tt

diStvdiC

diC

diC

tv00

0

)()()(1

)(1

)(1

)( 0 ττττττττ (2.10)

con tt <0

Se si considera la (2.10) si osserva che:

• per ottenere il valore della tensione al tempo t è necessario conoscere il valore della tensione nell'istante iniziale 0t oltre che l'andamento della corrente in

tutto l'intervallo ),( 0 tt . Per questo motivo i condensatori sono detti elementi

dotati di memoria;

• in un condensatore lineare tempo-invariante se la forma d'onda della corrente )(ti si mantiene limitata in un intervallo chiuso [ ]ba tt , allora la forma d'onda

della tensione )(tv ai capi del condensatore è una funzione continua nell'in-

tervallo aperto ( )ba tt , . In particolare, per qualsiasi istante T tale che

ba tTt << si ha:

)()()( +− == TvTvTv

C

1 v

O

q

i

C

–

+

v


Questa è la cosiddetta proprietà di continuità della tensione del condensatore. Tale risultato poteva essere anche previsto tenendo presente la (2.8) e la proprietà di costanza della carica a pagina 13: infatti, per quest'ultima, si può scrivere, es-sendo il condensatore lineare:

)()()()()()()()()( +−+−+− ==⇔==⇔== TvTvTvTCvTCvTCvTqTqTq

b) condensatori lineari tempo-varianti. Essi sono descritti nel piano qv − da una relazione di questo tipo: )()()( tvtCtq ⋅= ; in altri termini, la pendenza della ca-ratteristica varia nel tempo. Ciò si può ottenere, per esempio, modificando la di-stanza tra le armature del condensatore mediante un meccanismo a camme azio-nato da un motore, di modo che la capacità vari secondo una prescritta funzione del tempo )(tC . Un altro esempio è offerto dal condensatore ad armature mobili. In questo caso C varia al variare nel tempo dell'entità delle superfici affacciate. Il legame tensione-corrente è il seguente:

dt

tdCtv

dt

tdvtC

dt

tdqti

)()(

)()(

)()( +==

La caratteristica di un condensatore lineare tempo-variante consiste in una famiglia di rette, ciascuna valida per un dato istante di tempo, come mostrato in figura:

Fig. 2.10

c) condensatori non lineari. Sono quelli per cui la caratteristica nel piano qv − non soddisfa le condizioni di additività ed omogeneità: pertanto, tale caratteristica non è una retta passante per l'origine degli assi nel piano qv − . Un esempio im-portante di tali condensatori è il tipo MOS (Metal Oxide Semiconductor) che ha una caratteristica di questo tipo:

Fig. 2.11

Come si può osservare, tale condensatore è controllato sia in carica sia in tensio-ne. Per quanto riguarda, in particolare, i condensatori controllati in tensione (vedi la relazione (2.7) a pagina 22) si ha:

O v

q

O v

q


( )dt

tdvvC

dt

tdv

dv

vqd

dt

tvqd

dt

tdqti

)()(

)()()()()( =⋅===

)(vC è detta capacità incrementale. Si osservi, infine, che la maggior parte dei condensatori non lineari sono anche non bilaterali, ossia hanno una caratteristica non simmetrica rispetto all'origine degli assi nel piano qv − : questo comporta la necessità di distinguere i morsetti ai fini dell'assegnazione delle polarità. Perciò tali condensatori saranno rappresentati col seguente simbolo:

I condensatori non lineari e bilaterali sono invece rappresentati così:

Ovviamente un condensatore lineare è anche bilaterale.

2.3 INDUTTORI

Un bipolo il cui flusso )(tϕ e corrente )(ti appartengono, per qualsiasi istante t, a qualche curva del piano ϕ−i è definito induttore: tale curva è detta caratteristica ϕ−i dell'induttore. Essa può essere rappresentata dall'equazione:

0),( =if L ϕ (2.11)

Se tale equazione può essere risolta rispetto ad i come funzione ad un sol valore di ϕ, ovvero:

)(ϕii

= (2.12)

i

–

+

v


i

–

+

v


si dice che l'induttore è controllato in flusso. Se invece l'equazione (2.11) può essere risol-ta rispetto a ϕ come funzione ad un sol valore della corrente i, ovvero:

)(iϕϕ

= (2.13)

si dice che l'induttore è controllato in corrente. Sussiste la seguente classificazione per gli induttori:

a) induttori lineari tempo-invarianti. Il loro simbolo e la loro caratteristica sono mostrati in figura:

Fig. 2.12

La caratteristica di tali induttori è esprimibile mediante le seguenti relazioni:

)()( tiLt ⋅=ϕ ovvero )()( tti ϕ⋅Γ= (2.14)

La costante L nella suddetta relazione è detta induttanza e si misura in Henry (H) se ϕ è espresso in Weber (Wb) ed i in Ampere (A), mentre la costante L

1=Γ si chiama induttanza reciproca o inertanza. I legami tra le variabili circuitali ten-sione e corrente sono i seguenti:

dt

tdiL

dt

tdtv

)()()( ==

ϕ (2.15)

oppure

ττττττττ dvtidvL

dvL

dvL

tit

t

t

t

tt

)()()(1

)(1

)(1

)(00

0

0 ∫∫∫∫ Γ+=+==∞−∞−

(2.16)

Se si considera la (2.16) si osserva che:

• per ottenere il valore della corrente all'istante t è necessario conoscere il valo-re della corrente nell'istante iniziale 0t oltre che l'andamento della tensione in

tutto l'intervallo ( )tt ,0 . Per questo motivo gli induttori sono detti elementi do-

tati di memoria;

L

i

v

+

–

1 L

O i

ϕϕϕϕ


• in un induttore lineare tempo-invariante, se la forma d'onda della tensione )(tv si mantiene limitata in un intervallo chiuso [ ]ba tt , , allora la forma d'on-

da della corrente )(ti attraverso l'induttore è una funzione continua nell'in-

tervallo aperto ( )ba tt , . In particolare, per qualsiasi istante τ, tale che

ba tt << τ si ha: ( ) ( ) ( )+− == τττ iii .

Questa è la cosiddetta proprietà di continuità della corrente di un induttore. Ta-le risultato poteva essere anche previsto tenendo presente la (2.14) e la proprietà di costanza del flusso a pag. 18: infatti, per quest'ultima, possiamo scrivere, es-sendo l'induttore lineare:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+−+−+− ==⇔==⇔== τττττττϕτϕτϕ iiiLiLiLi

b) induttori lineari tempo-varianti. Essi sono descritti nel piano ϕ−i da una relazio-ne di questo tipo: )()()( titLt ⋅=ϕ ; in altri termini, la pendenza della caratteristica varia nel tempo. Ciò si può ottenere, per esempio, immaginando un induttore co-me un filo conduttore avvolto a spire intorno ad un toroide costituito da un certo materiale e facendo variare il numero di spire dell'avvolgimento per mezzo di un contatto strisciante azionato da un motore, di modo che l'induttanza vari secondo una prescritta funzione del tempo )(tL . Il legame tensione-corrente è il seguente:

dt

tdLti

dt

tditL

dt

tdtv

)()(

)()(

)()( +==

ϕ (2.17)

La caratteristica di un induttore lineare tempo-variante consiste in una famiglia di rette, ciascuna valida per un dato istante di tempo, come mostrato in figura:

c) induttori non lineari. Sono quelli per cui la caratteristica nel piano ϕ−i non soddi-sfa le condizioni di additività ed omogeneità: pertanto tale caratteristica non è una retta passante per l'origine degli assi. Per quanto riguarda, in particolare, gli indutto-ri controllati in corrente (vedi la relazione (2.17) della pagina precedente) si ha:

dt

tdiiL

dt

tdi

di

id

dt

tid

dt

tdtv

)()(

)()())(()()( ====

ϕϕϕ

)(iL è detta induttanza incrementale. Si osservi, infine, che la maggior parte de-gli induttori non lineari sono anche non bilaterali, ossia hanno una caratteristica

O i

ϕϕϕϕ


non simmetrica rispetto all'origine degli assi nel piano ϕ−i ; questo comporta la necessità di distinguere i morsetti ai fini dell'assegnazione delle polarità.

Perciò tali induttori saranno rappresentati col seguente simbolo:

Per gli induttori non lineari bilaterali si utilizza, in generale, lo stesso simbolo della figura precedente senza però annerire l'estremità inferiore. Gli induttori li-neari sono, ovviamente, bilaterali.

2.4 GENERATORI INDIPENDENTI

Nella teoria dei circuiti i generatori indipendenti hanno lo stesso ruolo delle forze e-sterne in meccanica: essi consentono infatti di simulare il funzionamento delle sorgenti di eccitazione presenti in un qualsiasi circuito fisico. Per semplicità ometteremo l'agget-tivo ‘indipendente’. Tali generatori, detti ideali perché non esistono in realtà componenti fisici con le caratteristiche indicate, sono di due tipi:

• generatori di tensione. Un bipolo è detto generatore di tensione se la tensione ai suoi morsetti è sempre uguale ad un'assegnata forma d'onda )(tvs

indipendentemente

dal flusso di corrente che lo attraversa. Le forme d'onda comunemente utilizzate comprendono il generatore di tensione continua, in cui )(tvs è pari ad una costante

E per ogni t , la sinusoide, l'onda quadra, e così via. Il simbolo per un generatore di tensione con forma d'onda )(tvs

è mostrato in figura 2.13, dove i segni + e – spe-

cificano le polarità, mentre il simbolo per un generatore di tensione continua è mo-strato in figura 2.14, con 0>E :

+ –

i +

–

v(t) vs(t)

Fig. 2.13

E

i La sbarretta più lunga indica il polo positivo.

Fig. 2.14


i

v

+

–


Per ogni istante t , il generatore di tensione può essere rappresentato dalla rela-zione:

∞<<∞−==ℜ itvviv svs per )(:),( (2.18)

Di conseguenza, un generatore indipendente di tensione è un resistore a due ter-minali. Se Etvs == cost)( allora la sua caratteristica nel piano iv − è una retta pa-

rallela all'asse i : ciò è illustrato nella seguente figura.

Da tale figura si osserva che il generatore di tensione è un resistore non lineare controllato in corrente. Esso è non lineare perché la linea retta non attraversa l'ori-gine. Per 0)( =tvs , la caratteristica coincide con quella del cortocircuito. Nella fi-

gura di sotto è mostrato un generatore di tensione collegato ad un circuito esterno qualsiasi:

Il significato fisico della definizione di generatore indipendente di tensione sta nel fatto che la tensione ai capi del generatore viene mantenuta uguale all'assegnata forma d'onda )(tvs indipendentemente dal circuito esterno. La natura di quest'ul-

timo influenza soltanto il flusso di corrente i attraverso il generatore. Ciò accade perché un generatore ideale di tensione ha resistenza interna nulla, a differenza di una batteria reale che ha una resistenza finita diversa da zero.

• generatori di corrente. Un generatore di corrente è un bipolo la cui corrente è pari ad una forma d'onda assegnata )(tis , indipendentemente dalla tensione ai suoi mor-

setti. Un generatore indipendente di corrente è rappresentato simbolicamente nella seguente figura, dove la freccia indica la direzione positiva della corrente, ovvero

0)( >tis significa che la corrente attraversa il generatore dal terminale 1 al termi-

nale 2. Nella stessa figura è mostrata anche la caratteristica v-i per un generatore di corrente espressa dalla relazione:

+ –

i +

–

v(t) vs(t)

Circu

ito

Esterno

i’

i

O v E


∞<<∞−==ℜ vtiiiv sis per )(:),( (2.19)

In termini di piano iv − un generatore di corrente, se la sua forma d'onda è costante ed uguale a J, è rappresentato da una linea retta parallela all'asse v. Esso costituisce un resistore non lineare controllato in tensione. Per 0)( =tis , la caratteristica coinci-

de con l'asse v: quindi un generatore indipendente di corrente diventa un circuito aperto (resistenza infinita) quando la corrente è nulla. Nella seguente figura è mo-strato un generatore di corrente collegato ad un circuito esterno arbitrario:

Il significato della definizione di generatore di corrente è che la corrente del gene-ratore mantiene la forma d'onda )(tis assegnata mentre la tensione ai suoi capi è

determinata dal circuito esterno.

N.B.: In realtà il generatore di tensione è un resistore non lineare con resistenza nulla ed il generatore di corrente è un resistore non lineare con resistenza di valore infinito.

2.5 FORME D'ONDA CANONICHE PER I SEGNALI

Vengono elencate di seguito le principali forme d'onda mediante le quali è possibile esprimere un segnale di ingresso o uscita ai capi di un circuito. Esse sono tutte funzioni della variabile 'tempo' t :

• FUNZIONE COSTANTE: ktf =)( .

i(t) +

–

v is(t)

1

2

i

O v

J

f(t)

O t

k

is –

+

v is(t) Circu

ito

Esterno

+

–

v’


• FUNZIONE SINUSOIDALE: )cos()( ϕω += tAtf . In particolare si ha:

Tf

ππω

22 == è detta frequenza angolare o pulsazione (T è il periodo mentre

f è la frequenza pari all’inverso del periodo); ϕ è la fase.

• FUNZIONE GRADINO UNITARIO:

>

<=

0 se 1

0 se 0)(

t

ttu

• PULSE FUNCTION (Impulso di durata finita):

∆>

∆<<∆

<

=∆

t

t

t

tP

se 0

0 se 1

0 se 0

)(

È facile verificare che l'impulso di durata finita si può ottenere come differenza di due gradini opportuni:

u(t)

O t

1

Fig. 2.15

)(tP∆

O t

∆

1

∆

Area Unitaria

Fig. 2.16

)(1

tu∆

O t ∆

1

)(1

∆−∆

tu

O t ∆

1

∆

–

Oppure

)(1

∆−∆

− tu

O t ∆

)(1

tu∆

O t ∆

1

+


Da questa figura si osserva che l'impulso di durata finita ∆ può essere scritto nel seguente modo:

∆

∆−−=∆

)()()(

tututP

• FUNZIONE IMPULSO (o di DIRAC). Per ∆ che tende a zero, l'altezza dell'impulso di durata finita di figura 2.16 tende ad infinito in 0=t ed è nulla altrove, mentre l'area sotto l'impulso rimane invariata cioè pari ad 1. In definitiva un segnale illimi-tato si definisce impulso se soddisfa le seguenti proprietà:

a)

≠

==

0per 0

0per singolare)(

t

ttδ b) ∫−

>=ε

εεδ 0 ogniper 1)( dtt

Esso viene indicato simbolicamente come in figura:

Fig. 2.17

Dalla figura 2.16 osservo che se ∆ tende a zero l'impulso di durata finita tende alla funzione di Dirac. D'altra parte sussistono le seguenti relazioni:

∫ ∞−∆

→∆=⇒==

t

dtudt

tdutPt ττδδ )()(

)()(lim)(

0 (2.20)

• FUNZIONE RAMPA UNITARIA: )()( tuttr ⋅= .

)(tδ

t O


La sua rappresentazione è la seguente:

Fig. 2.18

Si osserva che: ∫ ∞−=⇒=

t

dutrtudt

tdrττ )()()(

)( (2.21)

Tenendo presente le relazioni (2.20) e (2.21) si ha il seguente schema di passaggio da una funzione all'altra:

2.6 CARATTERIZZAZIONE DEI BIPOLI DA UN PUNTO DI VISTA ENERGETICO

Consideriamo un qualsiasi bipolo in cui sia adottata la convenzione degli utilizzatori per il segno della coppia di variabili tensione-corrente:

Per quanto detto a pag. 16, con tale scelta, una potenza )()()( titvtp ⋅= positiva corri-sponde ad una potenza entrante nel bipolo: generalmente, però, essendo la potenza un indice di trasferimento energetico, possiamo fare riferimento all'energia scambiata dal bipolo con l'esterno. L'energia associata ad un bipolo nell'intervallo di tempo infinite-simo dt può essere valutata come: dttpdw )(= . Se p è positiva, essa rappresenta l'e-nergia entrante nel bipolo. Possiamo allora facilmente ricavare l'energia entrante nel bipolo in un intervallo di osservazione ( )10 , tt :

+

–

i(t)

v(t)

derivazione

integrazion

e

δδδδ(t)

u(t)

r(t)


( ) ∫∫ ⋅==1

0

1

0

)()()(, 10

t

t

t

tdttitvdttpttw (2.22)

Questa quantità è evidentemente dipendente dall'intervallo di tempo considerato; per poter però confrontare due bipoli da un punto di vista energetico occorre fare riferi-mento ad un indice di trasferimento che non dipenda dall'intervallo scelto. Posto

00 =t e considerando 1t tendente ad infinito, si definisce potenza media:

( )∫

⋅==

∞→∞→

1

11 011

1 )()(lim

,0lim

t

ttm dt

t

titv

t

twP (2.23)

Essa può essere considerata come un indice di trasferimento definitivo di energia.

N.B. Nel caso di grandezze periodiche risulta: TWP Tm ,0= ove T è il periodo del

prodotto iv ⋅ . Utilizzando la (2.22) e la (2.23) analizzeremo il comportamento e-nergetico dei bipoli precedentemente definiti.

2.6.1 Potenza ed energia nei resistori

Come già detto in precedenza, i resistori non lineari possono essere classificati, in base alla caratteristica, in resistori controllati in tensione, controllati in corrente e controllati in tensione e corrente. Valutiamo potenza istantanea )(tPE , energia ( )10 , ttWR e po-

tenza media MRP per ciascuno di essi.

• Resistori controllati sia in tensione sia in corrente:

Possiamo allora scrivere quanto segue:

⋅

⋅

=

⋅

⋅=

⋅

⋅=

∫

∫

∫

∫

+∞→

+∞→

1

1

1

1

1

0

1

0

01

01

10 ))(()(lim

))(()(lim

))(()(

))(()(),(

))(()(

))(()()(

t

t

t

t

mRt

t

t

t

RR

dtt

tivti

dtt

tvitv

P

dttivti

dttvitv

ttwtivti

tvitvtp

• Resistori controllati in tensione:

i

v E

Q I

O

)(ivv =

oppure

)(vii =

Fig. 2.19

i

Q I )(vii =


Fig 2.20

Possiamo allora scrivere:

∫ ∫⋅

=⋅=⋅=+∞→

1

0

1

1 01

10

))(()(lim))(()(),())(()()(

t

t

t

tmRRR dt

t

tvitvPdttvitvttwtvitvtp

• Resistori controllati in corrente:

Possiamo allora scrivere:

∫∫⋅

=⋅=⋅=+∞→

1

1

1

0 01

10

))(()(lim))(()(),())(()()(

t

tmR

t

tRR dt

t

tivtiPdttivtittwtivtitp

Si noti che, assegnato un generico istante t e quindi un punto Q di coordinate ( ))(),( titv sulla caratteristica, la potenza istantanea è rappresentata dalle aree rettangolari nelle fi-gure 2.19, 2.20, 2.21. Inoltre, dalle relazioni precedentemente scritte si osserva che per ricavare la potenza media così come l'energia nell'intervallo ),( 10 tt è necessario cono-

scere non solo la caratteristica nel piano iv − del resistore ma anche l'andamento della corrente o della tensione nel tempo. La potenza media può assumere, in generale, valo-ri positivi e negativi. Poiché stiamo supponendo di riferirci alla convenzione degli uti-lizzatori, se la potenza media risulta essere positiva, essa indica che dell'energia è forni-ta al bipolo dal resto del circuito ossia dell'energia sta entrando nel bipolo dai suoi morsetti: tale energia non viene più restituita dal bipolo al circuito esterno. Un caso si-gnificativo è, per esempio, quello dei resistori lineari per i quali si può scrivere:

)()()()()( 22tvGtiRtitvtp ⋅=⋅=⋅= (2.24)

i

v

Q I

O

Fig. 2.21

)(ivv =


Essendo G o R positivi, si ha che in questi resistori lineari la potenza istantanea, ed an-che quella media, saranno positive significando con ciò che tali resistori non potranno cedere energia al resto del circuito ma solo assorbirla. In conclusione diciamo che tutti quei resistori, lineari o non lineari, che sono caratterizzati da una potenza istantanea maggiore o uguale a zero in ogni istante t sono chiamati resistori passivi, in quanto possono solo assorbire energia dal circuito esterno: è facile verificare che in questo caso la caratteristica giace tutta nel primo e nel terzo quadrante del piano iv − (assi even-tualmente inclusi). D'altra parte, tutti quei resistori per i quali la potenza assume, anche se in un solo istante, un valore negativo sono detti resistori attivi in quanto possono for-nire energia al circuito esterno (per maggiore chiarezza si veda la definizione di passi-vità di un elemento circuito fornita di seguito al paragrafo 2.6.4).

Consideriamo, ad esempio, il caso di un generatore ideale di tensione la cui caratteri-stica è nel piano iv − :

Il tratto di caratteristica situato nel secondo o quarto quadrante corrisponde a punti di funzionamento per i quali 0)( <tp , ossia il generatore eroga potenza; mentre il tratto di caratteristica nel primo o terzo quadrante corrisponde a punti di funzionamento per i quali questo bipolo si comporta come un utilizzatore perfetto assorbendo energia dai morsetti. Un discorso analogo vale per il generatore di corrente.

2.6.2 Potenza ed energia nei condensatori

Anche per i condensatori non lineari vale la seguente classificazione in base al tipo di caratteristica: condensatori controllati in tensione, controllati in carica e controllati in tensione e carica. Prendiamo in esame, in particolare, gli ultimi due:

q

O v

)( 0tq

)( 1tq

)(

)(

vqq

qvv

=

=

q

O v

)( 0tq

)( 1tq

)(qvv =

Fig. 2.22

i

v O

i

v O


Per tali condensatori, controllati nella carica, la potenza istantanea può essere scritta come:

))(()()( tqvtitpC ⋅=

e quindi l'energia utilizzata nell'intervallo ),( 10 tt è ottenibile come:

∫∫∫ =

⋅=⋅=

)(

)(10

1

0

1

0

1

0

)()(

))(()()(),(tq

tq

t

t

t

tC dqqvdt

dt

tdqtqvdttitvttw (2.25)

Nel caso particolare di un condensatore lineare, per il quale si può scrivere: ( ) qCv ⋅= 1 , la relazione (2.25) diventa:

[ ] [ ])()(2

)()(2

11),( 0

21

20

21

2)(

)(10

1

0

tvtvC

tqtqC

qdqC

ttwtq

tqC −=−== ∫ (2.26)

Queste due relazioni mostrano che l'energia assorbita nell'intervallo ),( 10 tt è pari all'a-

rea tracciata nella figura 2.22 della pagina precedente: in altri termini per determinare l'energia sono necessarie e sufficienti le seguenti informazioni: la caratteristica qv − , il

valore della carica all'istante 0t , il valore della carica all'istante 1t . L'energia non dipen-

de, quindi, né dalla forma d'onda della tensione né dalla forma d'onda della carica cioè non dipendono dalla funzione del tempo. Se i valori della carica in 0t e 1t coincidono

allora l'energia scambiata in questo intervallo di tempo è nulla. Infine, se si considera la potenza media in un condensatore controllato nella carica si ha:

∫⋅==+∞→+∞→

)(

)0(11

1 1

11

)(1

lim),0(

limtq

qt

C

tmC dqqv

tt

twP (2.27)

Tale limite è analiticamente indeterminato ma da un punto di vista fisico è pari a zero in quanto la carica )(tq è sempre limitata in valore e quindi l'area sottesa dalla curva

)(qvv = in figura 2.22 è sempre finita (ossia il valore dell'integrale che compare nella

relazione (2.27) è finito): poiché la quantità 11 t tende a zero ne segue che anche il valo-re del limite, nelle ipotesi suddette, sarà nullo. Si conclude perciò che la potenza media di un condensatore controllato nella carica è zero: in altri termini, un condensatore con-trollato nella carica non dissipa energia. Infatti l'energia che entra in un tale bipolo vie-ne accumulata e può essere eventualmente restituita al resto del circuito: per questo motivo si dice che il condensatore è un elemento conservativo. Un discorso analogo vale per i condensatori controllati in tensione ma essendo più complesso non lo tratte-remo.


2.6.3 Potenza ed energia negli induttori

Anche per gli induttori non lineari vale la seguente classificazione in base al tipo di ca-ratteristica: induttori controllati in corrente, controllati nel flusso e controllati in corren-te e flusso. Prendiamo in esame, in particolare, gli ultimi due:

Per tali induttori controllati in flusso la potenza istantanea può essere scritta come:

))(()()()()( titvtitvtp I ϕ⋅=⋅= (2.28)

Di conseguenza, l'energia utilizzata nell'intervallo ),( 10 tt vale:

∫∫∫ =

⋅=⋅=

)(

)(10

1

0

1

0

1

0

)()(

))(()()(),(t

t

t

t

t

tI didt

dt

tdtidttvtittw

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ (2.29)

Se l'induttore è lineare e quindi: ( ) ϕ⋅= Li 1 , si ha:

[ ] [ ])()(2

)()(2

11),( 0

21

20

21

210

1

0

titiL

ttL

dL

ttwt

tI −=−== ∫ ϕϕϕϕ (2.30)

La relazione (2.29) evidenzia che l'energia in gioco nell'intervallo ),( 10 tt è pari all'area

mostrata in figura 2.23: inoltre si deduce che per valutare tale energia sono necessarie e sufficienti le seguenti tre informazioni: la caratteristica nel piano ϕ−i , il valore del

flusso concatenato nell'istante 0t e il valore del flusso concatenato nell'istante 1t . La po-

tenza media per un induttore controllato nel flusso vale:

∫+∞→+∞→==

)(

)(11

1 1

011

)(1

lim),0(

limt

tt

I

tmI di

tt

twp

ϕ

ϕϕϕ

Anche in questo caso, il valore di tale limite è analiticamente indeterminato ma da un punto di vista fisico lo si può ritenere nullo poiché l'integrale avrà sicuramente un va-lore finito (in quanto la funzione )(tϕ assume valori limitati in qualsiasi istante e per-

ciò l'area mostrata in figura 2.23 è sicuramente finita) e la quantità 11 t tende a zero. In conclusione, la potenza media per un induttore controllato nel flusso è nulla: cioè tali induttori possono assorbire energia senza dissiparla ma, eventualmente, la restituisco-

ϕϕϕϕ

O i

)( 0tϕ

)( 1tϕ

)(

)(

ϕ

ϕϕ

ii

i

=

=

ϕϕϕϕ

O i

)( 0tϕ

)( 1tϕ

)(ϕii =

Fig. 2.23


no al resto del circuito. Per questo motivo sono detti anch'essi elementi conservativi. Un discorso analogo vale anche per gli induttori controllati in corrente, ma essendo più complesso non lo tratteremo.

2.6.4 Passività ed attività

La definizione di passività ed attività di un elemento circuitale è relativa alla capacità di fornire energia dell’elemento stesso.

Considerato un bipolo e assunta per la tensione e la corrente ai suoi morsetti la con-venzione dell’utilizzatore esso è detto passivo se per tutte le possibili coppie tensione-corrente v(t), i(t) ai suoi terminali, l’energia in esso immagazzinata è non negativa, per ogni istante di tempo t1 (la definizione è estendibile anche ad elementi a più morsetti). In termini matematici questo può essere espresso dalla condizione (2.31):

( ) 0)()(),(, 1

001 ≥⋅+−∞=∞− ∫

t

tdttitvtwtw (2.31)

dove il termine ),( 0tw −∞ indica l’energia immagazzinata nel bipolo all’istante t0, sup-ponendo che il bipolo sia inizialmente scarico, questo è rappresentato dal considerare come istante iniziale per il calcolo dell’energia t = - ∞.

In altre parole, affinché un bipolo sia passivo deve accadere che, comunque si scelga l’istante di tempo t1, l’energia complessivamente immagazzinata in esso deve essere maggiore o al più uguale a zero. La distinzione fra l’energia immagazzinata nel bipolo fino all’istante t0 e quella immagazzinata da questo istante in poi ci fa comprendere che può accadere che ci sia un intervallo di tempo nel quale il bipolo considerato può forni-re energia, ma questa non potrà essere superiore a quella che gli è stata fornita dall’esterno in altro intervallo di tempo, che nel nostro caso è fissato tra ]- ∞, t0], un e-sempio di un tale comportamento si può avere con i condensatori che possono assorbi-re energia, ma che possono anche fornirla al resto del circuito, essi sono comunque e-lementi passivi poiché non possono mai fornire un’energia superiore a quella che han-no ricevuto in precedenza. Ovviamente per la definizione di passività di un elemento la (2.31) deve valere qualsiasi sia l’istante di tempo t0.

Un elemento circuitale si dice attivo se esso non è passivo. Perciò sarà attivo un elemento per il quale accade che non è verficata la (2.31) anche per un solo istante o per una sola coppia tensione corrente ai suoi morsetti. Infine un bipolo si dice strettamente passivo se per tutte le possibili coppie tensione-corrente v(t), i(t) non nulle ai suoi ter-minali, l’energia in esso immagazzinata è sempre maggiore di zero.

A questo punto è immediato comprendere come ad esempio un condensatore sia un elemento passivo, infatti ricordando la (2.26)

[ ] [ ])()(2

)()(2

11),( 0

21

20

21

2)(

)(10

1

0

tvtvC

tqtqC

qdqC

ttwtq

tqC −=−== ∫

e considerando che la (2.31) può essere scritta come:

( ) 0),(),(, 1001 ≥+−∞=∞− ttwtwtw (2.32)


se si considera il condensatore scarico in t0 si ha ),( 0tw −∞ =0, e v(t0)=0, per cui la (2.32)

si riduce a: ( ) 0)(2

1, 1

21 ≥=∞− tCvtw che è sempre vera se C è maggiore di zero, il che ac-

cade sempre se si considerano degli elementi discreti (capacità negative possono essere ottenute con opportuni circuiti elettronici).

Notiamo, infine, come un resistore non-lineare possa essere attivo. Consideriamo il re-sistore non lineare la cui caratteristica è data da: v(t) = i(t) + i2(t) e calcoliamo l’energia da esso assorbita tra due generici istanti di tempo t0 e t1, attraverso la (2.31) essa è data da:

( ) ( ) 030213121

0

201 3

1

2

1

3

1

2

1)()()(),(, ttttt

teeeedttitititwtw +−−=⋅++−∞=∞− ∫

considerando che ),( 0tw −∞ =0 si nota che per t1 >ln (1.5) e t0 ≤ ln (1.5) otteniamo ),( 1tw −∞ < 0. Viene così confermato il risultato già esposto a pagina 36 per cui un resi-

store lineare o no è passivo se e solo se la sua caratteristica giace tutta nel primo e nel terzo quadrante del piano iv − includendo anche gli assi.

Conviene chiarire il concetto di sorgente ed utilizzatore. Ovviamente daremo il nome di sorgente a quel dispositivo che, nell’istante considerato, sta fornendo energia al resto del circuito. Evidentemente individueremo come utilizzatore un dispositivo che, in un determinato istante di tempo, riceve energia.


CAPITOLO 3

3.1 BIPOLI EQUIVALENTI 41

3.2 COLLEGAMENTO IN SERIE DI RESISTORI 42

3.3 COLLEGAMENTO IN PARALLELO DI RESISTORI 49

3.4 COLLEGAMENTO SERIE-PARALLELO DI RESISTORI 56

3.5 TRASFORMAZIONE DI UN TRIANGOLO DI RESISTENZE IN UNA STELLA DI

RESISTENZE EQUIVALENTE AL TRIANGOLO 60

3.6 CONNESSIONE IN SERIE E PARALLELO DI CONDENSATORI LINEARI 75

3.7 CONNESSIONE IN SERIE E PARALLELO DI INDUTTORI LINEARI 63

3.8 ESEMPI DI CIRCUITI EQUIVALENTI 65


3.1 BIPOLI EQUIVALENTI


Consideriamo due generici bipoli:

Essi si diranno equivalenti se, istante per istante, le loro variabili terminali assumono rispettivamente lo stesso valore, cioè si ha:

t (t),i(t)i

t (t),v(t)v

21

21

∀=

∀=

Osservo che nella definizione data non c'è nessun riferimento alla natura dei bipoli: si parla, infatti, di equivalenza agli effetti esterni. Quanto detto per i bipoli può essere este-so anche ai circuiti. Consideriamo, per il momento, circuiti nei quali gli scambi energe-tici con l'esterno avvengono mediante due terminali che rappresentano la 'porta' del circuito: la tensione e la corrente su tali terminali prendono il nome di variabili di por-

ta.

Tali circuiti si diranno equivalenti se, istante per istante, le variabili di porta corrispon-denti assumono lo stesso valore, cioè:

t (t),i(t)i e (t)v(t)v 2121 ∀==


Definiamo caratteristica d'ingresso di un circuito (detta anche DPC o Driving Point Characteristic) il legame funzionale tra le grandezze di porta tensione e corrente. Il nome deriva dall'osservazione che la caratteristica é costituita da punti su cui si porta a lavorare il circuito una volta che sia stato eccitato. Possiamo allora affermare che due circuiti sono equivalenti se hanno la stessa DPC.

Nei prossimi paragrafi vedremo come ricavare la caratteristica d'ingresso di circuiti co-stituiti da resistori a due terminali collegati in serie o in parallelo o in serie-parallelo: tali circuiti vengono definiti brevemente circuiti monoporta resistivi.

3.2 COLLEGAMENTO IN SERIE DI RESISTORI

Si consideri il circuito di fig.3.3 in cui due resistori non lineari sono collegati al nodo 2; i nodi 1 e 3 sono connessi al resto del circuito denotato con N.

Guardando verso destra dai nodi 1 e 3 si ha un circuito formato dal collegamento in se-rie di due resistori non lineari; ai fini presenti, la natura del circuito N è irrilevante. Si vuole ottenere la caratteristica d'ingresso del circuito con tensione di porta v e corrente di porta i. Si supponga che entrambi i resistori siano controllati in corrente, cioè:

v1

= v1(i1) e v2 = v2(i2) (3.1)

Esse costituiscono le caratteristiche dei resistori. Successivamente applichiamo la LKC ai nodi 1 e 2 ottenendo:

(3.2) 2i1ii :seguecui da ii0ii 2)

ii0ii 1)

2121

11

===⇔=−

=⇔=−


Applicando poi la LKT alla sequenza chiusa di nodi 1-2-3-1 si ha:

(3.3) vvv0vvv 2121 +=⇔=−+

Combinando ora le equazioni (3.1),(3.2) e (3.3) si può scrivere:

v = v1(i) + v2(i) (3.4)

che rappresenta la caratteristica v-i del circuito in esame. Essa definisce la caratteristica d'ingresso di un resistore controllato in corrente di caratteristica:

v = v(i) (3.5a)

in cui risulta:

v (i) = v1(i) + v2 (i) ∀ i (3.5b)

In definitiva il circuito resistivo monoporta costituito da due resistori non lineari con-trollati in corrente e collegati in serie è equivalente ad un resistore non lineare con ca-ratteristica data dalle equazioni (3.5a) e (3.5b). Un esempio particolare del caso appena discusso si ha collegando in serie un resistore lineare ed un generatore ideale di tensio-ne continua, che possono entrambi essere considerati come resistori controllati in cor-rente.


Le equazioni caratteristiche dei due componenti sono:

(3.6) Riv e Ev 221 ==

Come nel caso precedente, applicando la LKC ai nodi 1 e 2 si ottiene:

(3.7a) iii 21 ==

mentre applicando la LKT alla sequenza chiusa di nodi 1-2-3-1 si ha:

(3.7b) vvv 21 +=

che, per le equazioni (3.6), si può scrivere: v = E + Ri (*).

In altri termini, il circuito monoporta costituito dal collegamento in serie di un resistore lineare e di un generatore ideale di tensione continua è equivalente ad un resistore non


lineare con caratteristica data dalla (*) e rappresentata in fig.3.5:

Il monoporta appena esaminato è il modello di una batteria reale con resistenza inter-na R. Consideriamo ora una batteria collegata in serie ad un diodo ideale: poiché un diodo ideale non è un resistore controllato in corrente, non possiamo sommare diret-tamente le tensioni come nei due casi precedenti.

La batteria è controllata sia in tensione sia in corrente:

v1

= E + Ri1.

Il diodo ideale, invece, non è controllato né in tensione né in corrente; tuttavia, osservo che:

0vcon 0i 2)

0icon 0v 1)

22

22

<=

>=


Considero, allora, indipendentemente, ciascun segmento della caratteristica del diodo ideale:

1) ponendo i2>0 la tensione ai morsetti del diodo ideale è nulla; quindi possiamo scri-vere quanto segue:

(*)Ri EvRiEvvvvv L.K.T.

iii L.K.C.

1121

21

+=⇒+==⇒+=

==

Ricordando, dunque, la limitazione posta, la caratteristica d'ingresso del bipolo sarà

così rappresentata:

2) Ponendo, invece, v2<0 si ha una corrente nulla ai morsetti del diodo e si può scrivere quanto segue:

(Nota: essendo v2<0 allora v è sicuramente minore di E). In questo caso la caratteristica

221

21

vEvv vL.K.T.

0iii L.K.C.

+=+=

===


del bipolo è così rappresentata:

Mettendo insieme le figure 3.7 e 3.8 si ottiene la caratteristica d'ingresso del bipolo in

esame:

Consideriamo ora il caso di n generatori ideali di tensione collegati in serie come in fi-gura:

Poiché i generatori di tensione possono essere considerati come resistori controllati in corrente, non si deve far altro che sommarne le tensioni per ottenere un bipolo equiva-lente. Infatti, applicando la LKC si ottiene, come nei casi precedenti:

i = i1= i2=...= in.


Mentre applicando la LKT alla sequenza chiusa di nodi 1-2-..-n-1 si ha:

(3.8) vvcon vv v...vvvv...vvvn

1ksksssns2s1n21 ∑

=

==⇔+++=⇔+++=

In definitiva, il circuito in esame è equivalente ad un solo generatore ideale di tensione la cui tensione è pari alla somma algebrica delle n tensioni dei generatori collegati in serie, come espresso nella (3.8). Consideriamo ora il caso di n generatori ideali di cor-rente collegati in serie, come mostrato in figura:

Dalla LKC si ricava in modo analogo ai casi precedenti:

(3.9) i=i=...iii i=...iii ssns2s1n21 ===⇔===

Questa relazione mostra che gli n generatori indipendenti di corrente devono avere tut-ti la stessa corrente, cioè il collegamento in serie di tali generatori ha senso solo se le correnti sono tutte uguali (altrimenti verrebbe violata la LKC) e quindi il bipolo equi-valente è un generatore di corrente con caratteristica i=is.


Consideriamo il caso di n resistori lineari collegati in serie:

Si può scrivere inoltre:

Mettendo insieme le relazioni (3.10) e quelle di lato si ottiene:

(3.10) v...vv vL.K.T.

i...iii L.K.C.

n21

n21

+++=

====


(3.11) RRcon Ri v )iR..R(Rv..vvvn

1kkn21n21 ∑

=

==⇔+++=+++=

In conclusione, il circuito in esame è equivalente ad un solo resistore lineare con resi-stenza R pari alla somma delle resistenze dei resistori collegati in serie. Inoltre, tenendo conto delle caratteristiche, della LKC e della (3.11) cioè i=v/R, possiamo scrivere:

(3.12) 1..n =K , R

Rv

RR

viRiRv n

1pp

kkkkkk

∑=

====

Tale relazione è nota come regola del partitore di tensione.

Consideriamo, infine, il seguente circuito costituito da un resistore lineare ed uno non lineare controllato in tensione e collegati tra loro in serie e le cui caratteristiche sono mostrate in figura:


Le caratteristiche per i due resistori sono:

v1

= R1i1 e i2

= i2

(v2) (*)

Poiché non è possibile risolvere il problema analiticamente, come nei casi precedenti, in quanto il secondo resistore non è controllato in corrente posso pensare di risolverlo graficamente sommando punto per punto le due tensioni v1 e v2, come in figura:

Ottengo così la caratteristica d'ingresso del circuito in esame nel piano v-i. Osserviamo che la caratteristica risultante non è controllata né in tensione né in corrente.


Riepilogo del collegamento in serie. I concetti chiave impiegati per ottenere la caratte-ristica d'ingresso di un bipolo formato dal collegamento in serie di resistori a due ter-minali sono:

1) la LKC impone che tutte le correnti che attraversano i componenti siano uguali alla corrente di porta;

2) la LKT richiede l'uguaglianza tra la tensione di porta e la somma delle tensioni ai terminali dei resistori;

3) se ciascun resistore è controllato in corrente, la caratteristica risultante del circuito è quella di un resistore ancora controllato in corrente.

3.3 Collegamento in parallelo di resistori

Si consideri il circuito di fig.3.15 in cui due resistori non lineari sono collegati in paral-lelo nei nodi 1 e 2 al resto del circuito denotato con N:

Ai fini presenti la natura del circuito N è irrilevante. Si vuole ottenere la caratteristica d'ingresso del circuito con tensione di porta v e corrente di porta i.

Si supponga che entrambi i resistori siano controllati in tensione, cioè:

i1

= i1 (v1) e i2

= i2 (v2) (3.13)

Esse costituiscono le caratteristiche. Applicando la LKT alla coppia di nodi 1-2 si ha:


v = v1 = v2 (3.14)

Successivamente applichiamo la LKC al nodo 1 ottenendo:

i – i1 – i2 = 0 ⇔ i = i1 + i2 (3.15)

Combinando ora le equazioni (3.13),(3.14) e (3.15) si può scrivere:

i = i1(v) + i2 (v) (3.16)

che rappresenta la caratteristica v-i del circuito in esame. Essa afferma che la caratteri-stica d'ingresso del circuito è ancora quella di un resistore controllato in tensione:

i = i(v). (3.16a)

in cui risulta:

i(v) = i1(v) + i2(v) ∀ v (3.16b)

In definitiva un circuito resistivo costituito da due resistori non lineari controllati in tensione e collegati in parallelo è equivalente ad un resistore non lineare con caratteri-stica data dalle equazioni (3.16a) e (3.16b). Un esempio particolare del caso appena di-scusso si ha collegando in parallelo un resistore lineare ed un generatore ideale di cor-rente costante, che possono entrambi essere considerati come resistori controllati in


tensione.

Le equazioni di lato sono:

Come nel caso precedente, applicando la LKT alla coppia di nodi 1-2 si ottiene:

(3.17a) vvv 21 ==

mentre applicando la LKC al nodo 1 si ha:

(3.17b) iii 21 +=

che, per le equazioni (3.17) e (3.17a), si può scrivere come:

(*) GvIi s +=

In altri termini, il circuito costituito dal collegamento in parallelo di un resistore lineare e di un generatore ideale di corrente costante è equivalente ad un resistore non lineare

con caratteristica data dalla (*) e rappresentata in fig.3.17.

(3.17) Gvi e Ii 22s1 ==


Riferiamoci a tale esempio per chiarire ulteriormente il concetto di bipolo equivalente. Si ricordi che due circuiti resistivi monoporta sono detti equivalenti se hanno le stesse ca-ratteristiche d'ingresso. Posto R'=1/G moltiplico entrambi i membri dell'equazione (*) precedente ed ottengo:

ss iR'viR'iR'GvR'iR' +=⇒+=

Posto E'=R'is, l'equazione precedente si può scrivere:

(3.18) E'iR'v −=

Tale equazione può essere rappresentata dal collegamento in serie di un resistore linea-re di resistenza R' con un generatore indipendente di tensione E' disposti come in figu-

ra:

Come si può facilmente osservare, la caratteristica sopra riportata coincide esattamente con quella mostrata in fig.3.17 e quindi il circuito di fig.3.16a e quello di fig.3.16 sono equivalenti. Consideriamo ora il collegamento in parallelo di un resistore lineare con


un generatore indipendente di corrente ed un diodo ideale come mostrato in fig.3.18: poiché un diodo ideale non è un resistore controllato in tensione, non possiamo som-mare direttamente le correnti come nei due casi precedenti.

Si noti che la caratteristica del diodo ideale nella figura di sopra con il diodo invertito è l'immagine speculare rispetto all'origine di quella rappresentata in fig.3.6.

Il diodo ideale non è controllato né in tensione né in corrente; tuttavia, osservo che:

0icon 0v 2)

0vcon 0i 1)

dd

dd

<=

>=

Considero, allora, indipendentemente ciascun segmento della caratteristica del diodo ideale:

1) ponendo vd>0 la corrente ai morsetti del diodo ideale è nulla; quindi possiamo scri-vere quanto segue:

(*) iGviiGviiiiiii L.K.C.

vvvv L.K.T.

ss121d21

d21

+=⇒+=⇒+=++=

===

Ricordando, dunque, la limitazione posta, la caratteristica d'ingresso del circuito sarà una semiretta con pendenza G che ha origine nel punto di coordinate (0,is):

2) Ponendo, invece, id

< 0 si ha una tensione nulla ai morsetti del diodo e si può scrive-re quanto segue:


L.K.T. v = v1 = v2 = vd = 0

L.K.C. i = i1 + i2 + id = Gv1 + is + id = is + id

(**)

(Nota: essendo id

< 0 allora i è sicuramente minore di is). In questo caso la caratteristica

del circuito è così rappresentata:

Mettendo insieme le figure 3.19 e 3.20 si ottiene la caratteristica d'ingresso del circuito in esame:

(Nota: confrontando tale figura con fig.3.9 si osserva che le due caratteristiche sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante se si conviene di porre E=is e R=G ).


Consideriamo ora il caso di n generatori ideali di tensione collegati in parallelo come in

figura:

Applicando la LKT si ottiene, come nei casi precedenti:

(3.19) v.v....vvvv.....vvv ssns2s1n21 =====⇔====

Da ciò segue che per collegare in parallelo n generatori indipendenti di tensione è ne-cessario che essi abbiano tutti la stessa tensione, altrimenti si violerebbe la LKT. Il cir-cuito in esame e' equivalente ad un generatore di tensione di caratteristica v = vs.

Consideriamo ora il caso di n generatori ideali di corrente collegati in parallelo, come

mostrato in figura:

Dalla LKC si ricava in modo analogo ai casi precedenti:


(3.20) iicon ii i...iiii...iiin

1ksksssns2s1n21 ∑

=

==⇔+++=⇔+++=

Da ciò si deduce che il circuito in esame è equivalente ad un solo generatore indipen-dente di corrente attraversato ai suoi morsetti da una corrente pari alla somma delle correnti degli n generatori in parallelo.

Consideriamo il caso di n resistori lineari collegati in parallelo:

Si può scrivere inoltre:

L.K.T. v = v1 = v2 =...= vn

L.K.C. i = i1 + i2 +...+ in

(3.21)

Mettendo insieme le relazioni (3.21) e quelle di lato si ottiene:

(3.22) GGcon Gvi )vG..G(Gi..iiin

1kkn21n21 ∑

=

==⇔+++=+++=

In conclusione, il circuito in esame è equivalente ad un solo resistore lineare con con-duttanza G pari alla somma delle conduttanze dei resistori collegati in parallelo. Inol-tre, tenendo conto delle relazioni di lato, della LKT e della (3.22) cioè v=i/G, possiamo scrivere:


(3.23) 1..n =K , G

Gi

GG

ivGvGi n

1pp

kkkkkk

∑=

====

Tale relazione è nota come regola del partitore di corrente.

Riepilogo del collegamento in parallelo. I concetti chiave impiegati per ottenere la ca-ratteristica d'ingresso di un bipolo formato dal collegamento in parallelo di resistori a due terminali sono:

1) la LKT impone l'uguaglianza di tutte le tensioni ai terminali dei componenti;

2) la LKC richiede che la corrente di porta i sia uguale alla somma delle correnti che attraversano i resistori;

3) se ciascun resistore è controllato in tensione, la caratteristica risultante del circui-to è quella di un resistore ancora controllato in tensione.

Enunciamo ora il concetto di DUALITÀ. E' interessante confrontare i due insiemi di equazioni: dalla (3.1) alla (3.5) per il collegamento in serie e dalla (3.13) alla (3.16) per il collegamento in parallelo: se sostituiamo tra loro v ed i in un insieme di equazioni si ot-tiene esattamente l'altro insieme. In maggior dettaglio, ridisegniamo i due circuiti del collegamento in serie e in parallelo di due resistori non lineari ed indichiamoli, rispet-tivamente, con N e N':


Innanzitutto, si noti che scambiando reciprocamente tutte le v e le i in un'equazione, si ottiene l'altra. Ciò tuttavia richiede che le funzioni:

)(i, )(v e )(i, )(v 2211 ⋅⋅⋅⋅

siano rispettivamente identiche. Successivamente si confrontino le equazioni (3.2) e (3.3) con le equazioni (3.14) e (3.15): mentre l'equazione (3.2) rappresenta la LKC appli-cata al collegamento in serie dei due resistori non lineari in N, l'equazione (3.14) rap-presenta la LKT applicata al collegamento in parallelo dei due resistori non lineari in N'; analogamente l'equazione (3.3) è la LKT espressa dalla somma delle due tensioni v1 e v2 in N, mentre l'equazione (3.15) è la LKC espressa dalla somma delle due correnti in N'. Infine le equazioni (3.5a) e (3.5b) specificano la caratteristica d'ingresso del bipolo ottenuto dal collegamento in serie di due resistori non lineari controllati in corrente come quella di un solo resistore non lineare ancora controllato in corrente, mentre le equazioni (3.16a) e (3.16b) specificano la caratteristica d'ingresso di un bipolo ottenuto dal collegamento in parallelo di due resistori non lineari controllati in tensione come quella di un resistore non lineare ancora controllato in tensione. Nella seguente tabella 1 sono elencati due insiemi di termini S e S' incontrati e che vengono definiti duali uno rispetto all'altro. In particolare, le variabili, le relazioni, i parametri e le leggi della pri-ma colonna sono i duali di quelli della seconda colonna relativi alla stessa riga. Impie-gando tali termini si può definire un circuito duale:

Due circuiti N e N' sono definiti duali l'uno rispetto all'altro se le equazioni che descrivono il circuito N sono identiche a quelle che descrivono il circuito N', dopo aver sostituito per N ogni termine in S col corrispondente termine duale in S'.

Successivamente si estenderà l'insieme dei termini duali, man mano che ci si addentre-rà nei dettagli della teoria dei circuiti.


S S’

Tensione di lato

Resistore controllato in corrente

Resistenza

Circuito aperto

Generatore di tensione indipendente

Connessione serie

LKT

Tensione di porta

Corrente di lato

Resistore controllato in tensione

Conduttanza

Cortocircuito

Generatore di corrente indipendente

Connessione in parallelo

LKC

Corrente di porta

Tabella 1

Si può, infine, facilmente verificare che se due circuiti sono duali le loro caratteristiche d'ingresso nel piano v-i sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e terzo qua-drante: si confrontino, ad esempio, la figura (3.5) con la figura (3.17) e la figura (3.9) con la figura (3.21).

3.4 Collegamento serie-parallelo di resistori

Estendiamo ora i concetti introdotti nei precedenti due paragrafi ai collegamenti serie-parallelo di resistori a due terminali. Prendiamo in esame due esempi:


1) si consideri il seguente circuito in cui due resistori non lineari in parallelo sono col-legati in serie ad un terzo resistore non lineare, come mostrato in figura:

Il problema consiste nel determinare il resistore costituente il bipolo equivalente. Ap-plicheremo il metodo della riduzione progressiva a partire dalla destra del circuito: oc-corre quindi determinare dapprima il bipolo equivalente del collegamento in parallelo dei due resistori R1 e R2, come mostrato in figura. Supponiamo che i due resistori non lineari siano entrambi controllati in tensione: valgono allora le seguenti relazioni:

)(vi)(vi)(vi)(viiii :L.K.C.

(3.24) vvv :L.K.T.

)(vii e )(vii

p2p1221121p

21p

222111

+=+=+=

==

==

Dunque i due resistori in parallelo sono equivalenti ad un unico resistore non lineare ancora controllato in tensione definito da:

ip = ip (vp) con ip(vp) = i1(vp) + i2 (vp)


Il circuito iniziale viene allora così ridotto:

Il passo successivo è l'ottenimento del collegamento in serie dei due resistori rimasti. Si assuma che la caratteristica di R3 sia controllata in corrente e specificata da:

(*) )(ivv 333 =

Per poter procedere al collegamento in serie occorre che anche l'altro resistore sia con-trollato in corrente (altrimenti sarà necessario ricorrere al metodo grafico): ciò richiede di calcolare la seguente funzione inversa:

(**) )(iv)(iiv ppp1

pp == −

A questo punto, utilizzando la (*) e (**), si può scrivere:

(i)v(i)v)(iv)(ivvv v:L.K.T.

(3.25) iii :L.K.C.

p3pp33p3

p3

+=+=+=

==

In conclusione, il circuito iniziale è equivalente ad un solo resistore non lineare control-lato in corrente e definito da:

v = v(i) con v(i) = v3(i) + vp(i) (3.26)


Nel presente problema, un passo fondamentale consiste nella determinazione della funzione inversa: si tratta quindi di stabilire se tale inversa esiste. In caso negativo la caratteristica non può essere scritta come nella (3.26) perché non c'è controllo in corren-te. Un semplice criterio che garantisce l'esistenza dell'inversa è che la caratteristica v-i sia monotona strettamente crescente. Qualora questo non dovesse verificarsi la caratteri-stica del bipolo illustrato in fig.3.25 potrà essere sempre rappresentata parametrica-mente nel seguente modo:

+=

=

p3

pp

v(i)vv

)(vii

2) Si consideri ora il circuito mostrato in figura costituito da 5 resistori lineari collegati

in serie-parallelo (sono anche scritte le caratteristiche per ciascuno di essi):

Come nel caso precedente, occorre determinare il bipolo equivalente al circuito asse-gnato e per far ciò inizieremo a ridurre tale circuito a partire dall'estremità destra, come mostrato nella figura di sopra. I due resistori di conduttanze, rispettivamente, G1 e G2 sono collegati in parallelo e quindi si può scrivere per essi:

p21221121p

21p

2211222111

)vG(GvGvGiii :L.K.C.

vvv :L.K.T.

R1G , R1Gcon vGi e vGi

+=+=+=

==

====

Di conseguenza possiamo sostituire tali due resistori con un unico resistore definito da:

21pppp GGGcon vGi +==


Il circuito diventa:

Considero ora i due resistori collegati in serie nel nodo 3. Per essi si può scrivere:

sp3pp33p3s

p3s

ppppp333

)iR(RiRiRvvv :L.K.T.

iii :L.K.C.

G1Rcon iRv e iRv

+=+=+=

==

===

Dunque i due resistori collegati in serie possono essere sostituiti da un solo resistore definito da:

p3ssss RRRcon iRv +==

Il circuito allora diventa:

Per i due resistori collegati in parallelo si può scrivere:


qs4ss44s4q

s4q

sssss444

)vG(GvGvGiii :L.K.C.

vvv :L.K.T.

R1Gcon vGi e vGi

+=+=+=

==

===

Tali due resistori possono quindi essere sostituiti da un solo resistore definito da:

s4qqqq GGGcon vGi +==

Il circuito allora viene ulteriormente semplificato come segue:

Per i due resistori collegati in serie al nodo 2 valgono le seguenti relazioni:

)iR(RiRiRvvv :L.K.C.

iii :L.K.T.

G1Rcon iRv e iRv

q5qq55q5

q5

qqqqq555

+=+=+=

==

===

Possiamo quindi concludere che il bipolo equivalente del circuito monoporta di par-tenza è costituito da un unico resistore lineare definito dalla caratteristica:

q5 RRRcon i Rv +=⋅=


3.5 Trasformazione di un triangolo di resistenze in una stella di resistenze equivalente al triangolo

Si prenda in esame la fig. 3.31:

In fig. 3.31a è rappresentato un triangolo di resistenze mentre in fig. 3.31b è rappresen-tata una stella di resistenze. Si vuole determinare la stella di resistenze equivalente agli effetti esterni al triangolo. Si noti che se nel triangolo fisso una certa coppia di morsetti, per esempio la coppia 1-2, vedo la resistenza R12, compresa tra questi due morsetti, in parallelo con la serie costituita dalle due resistenze R13 e R23; considerazioni analoghe valgono per le altre due coppie di morsetti 1-3 e 2-3. Se ora si considera la stella di resi-stenze e la coppia di morsetti 1-2, la resistenza vista da questa coppia é pari alla serie di R10 e R20. Analoghe considerazioni si possono fare per le coppie 2-3 e 3-1. La stella e il triangolo sono fra loro equivalenti se risulta che, comunque si scelga una coppia di morsetti nel triangolo, il resistore visto da tale coppia deve coincidere con il resistore nella stella visto dalla corrispondente coppia di morsetti( naturalmente vale anche il discorso inverso a partire dalla stella): in altri termini, devono avere la stessa D.P.C. i resistori visti dalla stessa coppia di morsetti nelle due configurazioni, a triangolo e a stella.

Allora per la coppia di morsetti 1-2 si può scrivere:

( ) 2010231312 RR)R(R,RP 1) +=+

Analogamente, per la coppia di morsetti 2-3 scriveremo:

( ) 3020121323 RR)R(R,RP 2) +=+


Ed infine, per la coppia di morsetti 1-3, si ha:

( ) 1030231213 RR)R(R,RP 3) +=+

(Nota: il simbolo P indica il collegamento in parallelo).

Tenendo presente che nel collegamento in parallelo la conduttanza equivalente è pari alla somma delle conduttanze in parallelo e che nel collegamento in serie la resistenza equivalente è pari alla somma delle resistenze in serie, le relazioni 1),2) e 3) possono es-sere scritte nel seguente modo:

+=++

+⇔

+=

++

+=++

+⇔

+=

++

+=++

+⇔

+=

++

(3) RRRRR

)R(RR

RR1

RR1

R1

(2) RRRRR

)R(RR

RR1

RR1

R1

(1) RRRRR

)R(RR

RR1

RR1

R1

1030231312

231213

1030231213

3020231312

121323

3020121323

2010231312

231312

2010231312

3.27

Questo rappresenta un sistema di tre equazioni nelle tre incognite R10, R20, R30.

Nelle 3.27, sottraendo dalla 1) la 2) si ottiene:

(*) RRRRRRR

RR231312

132313123010

++

−=−

Sommando ora la 3) alla (*) si ha:

(**) RRR

RRR

RRRR2R

2R231312

131210

231312

131210

++=⇔

++=

Sostituisco la (**) nella 3) ed ottengo:


*)*(* RRR

RRR

231312

231330

++=

Infine, sostituisco la (***) nella 2) e si ha:

**)*(* RRR

RRR

231312

231220

++=

Riepilogando, si può scrivere:

231312

231330

231312

231220

231312

131210 RRR

RRR

RRRRR

R RRR

RRR

++=

++=

++=

Come si può osservare da quest'ultima relazione, la resistenza del raggio della stella che converge in un certo nodo n è pari al prodotto delle resistenze nel triangolo che convergono nello stesso nodo n diviso la somma di tutte le resistenze del triangolo.

Se invece è nota la configurazione a stella e si vuole ricavare il triangolo equivalente si procede in modo analogo sostituendo le conduttanze alle resistenze (grazie alla pro-prietà di dualità). Si ricavano allora le conduttanze per il triangolo in funzione delle conduttanze nella stella come segue:

302010

301013

302010

302023

302010

201012 GGG

GGG

GGGGG

G GGG

GGG

++=

++=

++=

3.6 Connessione in serie e parallelo di condensatori lineari


Consideriamo il seguente circuito monoporta formato da n condensatori lineari colle-gati in serie. Si vuole determinare la sua D.P.C.:

Per ciascun condensatore valgono le seguenti relazioni:

(**) ) :(Notan 1,2,...,=kcon

, )()()()()()(

(*) n 1,2,...,=kcon ,)(

)(

kk

t

kkk

t

kk

kk

t

kk

k

kkk

CS

diSvdiC

diC

diC

tv

dt

tdvCti

1

0111

00

0

=

+=+==

=

∫∫∫∫∞−∞−

ττττττττ

Essendo il collegamento in serie, si può scrivere:

( ) (3.28) , τdiS(0)vv(t)(t)v v(t):L.K.T.

(t)i...(t)i(t)ii(t) :L.K.C.n

1k

t

0

kk

n

1k

n

1kkk

n21

∑ ∫∑ ∑== =

+=⇒=

====

ττττττττ

Osservo che per t=0 si ha nella (3.28):

(3.29) , )()0()(

)0()0(

0 1

1

posto è si dove

:diventa (3.28) la LKC, la presente tenendoquindi, e

∫ ∑

∑

=

=

=+=

=

t n

k

k

n

k

k

SSdiSvtv

vv

ττ


Possiamo allora concludere che il circuito monoporta iniziale è equivalente ad un solo condensatore lineare con tensione iniziale ed elastanza date rispettivamente da:

∑ ∑= =

==n

1k

n

1kkk SS e (0)vv(0)

Consideriamo ora il seguente circuito in cui ci sono n condensatori lineari collegati in

parallelo:

Anche in questo caso per ciascun condensatore valgono le relazioni (*) e (**) scritte alla pagina precedente. D'altra parte risulta quanto segue:

(0)v...(0)v(0)v v(0):ha si 0=Per t

t. (t),v....(t)v(t)v v(t):L.K.T.

n21

n21

====

∀====

Da ciò si conclude che se gli n condensatori lineari sono collegati in parallelo, le loro tensioni iniziali devono essere necessariamente uguali altrimenti sarebbe violata la LKT. Se tale condizione è soddisfatta si può ancora scrivere, tenendo conto della LKT:

(*). CCcon

, dt

dv(t)C

dtdv(t)

Cdt

(t)dvC(t)ii(t) :L.K.C.

n

1kk

n

1kk

n

1k

kk

n

1kk

∑

∑∑∑

=

===

=

====

Questa relazione esprime il fatto che, nell'ipotesi che le tensioni iniziali dei condensato-ri siano tutte uguali tra loro e pari ad un certo valore vo, il circuito iniziale sarà allora equivalente ad un solo condensatore lineare con tensione iniziale sempre pari a vo e capacità data dalla (*).


3.7 Connessione in serie e parallelo di induttori lineari

Consideriamo il seguente circuito monoporta formato da n induttori lineari collegati in parallelo.

Si vuole determinare la sua D.P.C.. Per ciascun induttore valgono le seguenti relazioni:

(**) )1 :(Notan 1,2,...,=kcon

, )()0()(1

)(1

)(1

)(

(*) n 1,2,...,=kcon ,)(

)(

00

0

kk

t

kkk

t

k

k

k

k

t

k

k

k

kkk

L

dvidvL

dvL

dvL

ti

dt

tdiLtv

=Γ

Γ+=+==

=

∫∫∫∫∞−∞−

ττττττττ

Essendo il collegamento in parallelo, si può scrivere:

(3.30) , )()()()()( :...

)(...)()()( :...

∑ ∫∑ ∑== =

Γ+=⇒=

====

n

k

t

kk

n

k

n

k

kk

n

dvitititiCKL

tvtvtvtvTKL

1 01 1

21

0 ττ

Osservo che per t=0 si ha nella (3.30):


(3.31) , )()()( posto èsi dove

:diventa (3.30) la LKT, la presente tenendo quindi, e )()(

∫ ∑

∑

=

=

Γ=Γ

=

Γ+=t n

k

k

n

k

k

dviti

ii

0 1

1

0

00

ττ

Possiamo allora concludere che il circuito monoporta iniziale è equivalente ad un solo induttore lineare con corrente iniziale ed induttanza reciproca date rispettivamente da:

∑ ∑= =

Γ=Γ=n

1k

n

1kkk e (0)ii(0)

Consideriamo ora il seguente circuito in cui ci sono n induttori lineari collegati in serie:

Anche in questo caso per ciascun induttore valgono le relazioni (*) e (**) scritte prece-dentemente per il collegamento in parallelo. D'altra parte risulta quanto segue:

(0)i...(0)i(0)ii(0) :hasi 0=t Per

t. (t),i....(t)i(t)ii(t) :L.K.C.

n21

n21

====

∀====

Da ciò si conclude che se gli n induttori lineari sono collegati in serie, le loro correnti i-niziali devono essere necessariamente uguali altrimenti sarebbe violata la LKC. Se tale condizione è soddisfatta si può ancora scrivere, tenendo conto della LKC:


(*). LLcon

, dt

di(t)L

dtdi(t)

Ldt

(t)diL(t)vv(t) :L.K.T.

n

1kk

n

1kk

n

1k

kk

n

1kk

∑

∑∑∑

=

===

=

====

Questa relazione esprime il fatto che, nell'ipotesi che le correnti iniziali degli induttori siano tutte uguali tra loro e pari ad un certo valore i0, il circuito iniziale sarà allora e-quivalente ad un solo induttore lineare con corrente iniziale sempre pari a i0 ed indut-tanza data dalla (*).

3.8 Esempi di circuiti equivalenti

Supponiamo di avere un circuito monoporta costituito da un solo condensatore lineare di capacità C carico, cioè con una tensione iniziale non nulla, come mostrato in figura:


Per il condensatore valgono le seguenti relazioni:

(3.33) )()()()(

(3.32) )(

)(

∫∫ +==

=

∞−

t

c

t

diC

vdiC

tv

dt

tdvCti

0

10

1ττττ

Il primo addendo della (3.32) rappresenta, come sappiamo, la tensione iniziale nel con-densatore ed essendo un termine costante possiamo indicarlo con Vo. Mentre il secon-do addendo della (3.33) può essere interpretato come la tensione che si avrebbe ai mor-setti del condensatore se esso fosse inizialmente scarico, cioè con tensione iniziale nul-la; se indico tale termine con vc(t) la (3.33) diventa:

(3.34) (t)vVv(t) c0 +=

Questa equazione è suscettibile della seguente interpretazione circuitale. Considero il

circuito mostrato in figura:

Valgono, dunque, queste relazioni:


(*) )(1

)()()()( :...

)()()( :...

)(1

)( e

0

00

0

0

∫

∫

+=+=+=

==

==

t

ccg

cg

t

ccg

diC

VtvVtvtvtvTKL

tititiCKL

diC

tvVv

ττ

ττ

Confrontando la relazione (*) con la (3.34) possiamo concludere che un condensatore lineare di capacità C e con tensione iniziale diversa da zero è equivalente ad un circuito monoporta costituito dal collegamento in serie di un generatore di tensione costante pari alla tensione iniziale del condensatore con un condensatore lineare avente la stessa capacità C ma con tensione iniziale nulla.

Supponiamo ora di avere un circuito monoporta costituito da un solo induttore lineare di induttanza L carico, cioè con una corrente iniziale non nulla, come mostrato in figu-

ra:

Per l'induttore valgono le seguenti relazioni:

(3.36) )()()()(

(3.35) )(

)(

∫∫ +==

=

∞−

t

L

t

dvL

idvL

ti

dt

tdiLtv

0

10

1ττττ

Il primo addendo della (3.36) rappresenta, come sappiamo, la corrente iniziale nell'in-duttore ed essendo un termine costante possiamo indicarlo con Io. Mentre il secondo addendo della (3.36) può essere interpretato come la corrente che si avrebbe ai morsetti dell'induttore se esso fosse inizialmente scarico, cioè con corrente iniziale nulla; se in-dico tale termine con iL(t) la (3.36) diventa:


(3.37) (t)iIi(t) L0 +=

Questa equazione è suscettibile della seguente interpretazione circuitale. Considero il circuito mostrato in figura:

Valgono, dunque, queste relazioni:

(*) )(1

)()()()( :...

)()()( :...

)(1

)( e

0

00

0

0

∫

∫

+=+=+=

==

==

t

LLp

Lp

t

LLp

dvL

ItiItititiCKL

tvtvtvTKL

dvL

tiIi

ττ

ττ

Confrontando la relazione (*) con la (3.37) possiamo concludere che un induttore linea-re di induttanza L e con corrente iniziale diversa da zero è equivalente ad un circuito monoporta costituito dal collegamento in parallelo di un generatore di corrente costan-te pari alla corrente iniziale dell'induttore con un induttore lineare avente la stessa in-duttanza L ma con corrente iniziale nulla.


CAPITOLO 4

4.1 DETERMINAZIONE DEI PUNTI DI LAVORO: METODO DELLA CARATTERISTICA

DI CARICO 68

4.2 LINEARIZZAZIONE A TRATTI 75

4.3 RESISTORI CONCAVI E CONVESSI 76

4.4 SINTESI DELLA CARATTERISTICA DEL DIODO TUNNEL 79

4.5 ANALISI PER PICCOLI SEGNALI 101


4.1 DETERMINAZIONE DEI PUNTI DI LAVORO: METODO DELLA CARATTERISTICA DI

CARICO

Assegnato un circuito qualunque si è interessati a determinarne una soluzione median-te la quale sia poi possibile ricavare tutte le tensioni e correnti di lato. Per alcuni circuiti la soluzione è unica: ad esempio, si può dimostrare che ciò è vero nel caso di un circui-to formato da resistori lineari tempo-invarianti a due terminali e un generatore indi-pendente di corrente o di tensione costanti. Per altri circuiti può esistere un'unica solu-zione, soluzioni multiple o addirittura nessuna soluzione: ciò accade, in particolare, per


circuiti con componenti non lineari. Le soluzioni si possono ricavare con metodi anali-tici, numerici e grafici. Precisiamo che un circuito sarà definito lineare se contiene solo elementi circuitali lineari e generatori indipendenti. E' importante capire il ruolo svolto da tali generatori: essi sono considerati come ingressi per il circuito e di conseguenza la soluzione è considerata come risposta a tali ingressi. Le soluzioni per un circuito con in-gressi in continua (cioè con generatori indipendenti costanti) sono definite punti di la-voro: il termine analisi in continua si riferisce alla determinazione dei punti di lavoro. Un metodo frequentemente utilizzato per l'analisi in continua di circuiti resistivi è det-to metodo della caratteristica di carico o LOAD LINE. Per applicarlo occorre che:

1) il circuito resistivo abbia sorgenti indipendenti costanti

2) sia possibile individuare due sezioni del circuito con una porta in comune

Vediamo in cosa consiste il metodo. Assegnato un qualsiasi circuito resistivo, si indivi-duino in esso due sezioni collegate tra loro mediante una sola porta, come mostrato in

figura:

Ogni sezione è costituita da un'interconnessione di resistori: non si fa alcuna ipotesi sulla linearità degli elementi circuitali presenti in ciascuna sezione che, quindi, possono essere anche non lineari. Attribuiamo alla sezione A il nome di carico: è consigliabile che il carico abbia una caratteristica alla porta di facile determinazione e rappresenta-zione nel piano v-i; per questo motivo, se possibile, si fa in modo di racchiudere nel ca-rico gli elementi circuitali lineari e i generatori di tensione o corrente (necessariamente costanti per l'ipotesi di lavoro in continua). Si assuma che i due monoporta A e B siano specificati dalle seguenti caratteristiche d'ingresso in termini della propria tensione e corrente di porta:

(4.1) 0)i,(vf e 0)i,(vf bbbaaa ==

Occorre ora scrivere soltanto le equazioni relative alle leggi di Kirchhoff per definire l'in-terconnessione di porta ai due nodi 1 e 2:


L.K.T. va = vb (4.2)

L.K.C. ib = - ia (4.3)

Posto ora:

(4.4) vvv e iii baab ==−==

le due equazioni (4.1) si possono scrivere in termini di v ed i come:

(4.5) 0i)(v,f

0i)(v,f

b

a

=

=−

Le soluzioni di tale sistema rappresentano i punti di lavoro cercati. Graficamente il punto o i punti di lavoro cercati sono dati dall'intersezione delle due curve nel piano v-i rappresentative delle due equazioni. La caratteristica alla porta del carico fa(v,-i) prende il nome di caratteristica di carico: essa si ottiene ribaltando la caratteristica d'in-gresso del monoporta A rispetto all'asse delle tensioni. Vediamo subito alcuni esempi:

1) si consideri il seguente circuito resistivo:

Valgono le seguenti relazioni:


(**) iii :L.K.C.

vvv :L.K.T.

(*) Gvi e Ji

ab

ba

bba

−==

==

=−=

Si ottiene allora il sistema di due equazioni nelle incognite i e v che risolto fornisce la soluzione del circuito:

*)*(* J , GJ

P Gvi

Ji

⇒

=

=

Il circuito ammette quindi un unico punto di lavoro,che abbiamo indicato con P, che fornisce la corrente e la tensione alla porta 1-2 mediante le quali è facile poi ricavare le correnti e le tensioni di lato sfruttando le relazioni (*) e (**): il circuito è quindi comple-tamente risolto. Graficamente si ha:

(Si noti che la 'load line' è simmetrica della caratteristica d'ingresso del carico rispetto all'asse delle tensioni.)


2) Si consideri il seguente circuito:

Riportando nel piano v-i la caratteristica del diodo tunnel e quella del generatore di corrente ribaltata rispetto all'asse delle tensioni (come previsto dal sistema 4.5) si ha:

Dal grafico si osserva che se il generatore ha una corrente il cui valore è compreso tra J1 e J2 il circuito in esame avrà tre punti di lavoro distinti.



Riportando nel piano v-i la caratteristica del diodo reale polarizzato inversamente e quella del generatore di corrente ribaltata rispetto all'asse delle tensioni (come previsto

dal sistema 4.5) si ha:

Dal grafico si osserva che se il generatore ha una corrente il cui valore è superiore a Js il circuito in esame non avrà alcun punto di lavoro.


Si può scrivere quanto segue:

=

+=

.carico al collegato bipolodel .C.P.D : 0)i,(vf

carico del .C.P.D : ERiv

bbb

aa

Effettuando le sostituzioni (4.4) di pag. 72 si ottiene:


(*) 0i)(v,f

ERiv

b

=

+−=

Supponendo di conoscere la rappresentazione grafica nel piano v-i del diodo reale po-larizzato direttamente, il punto di lavoro del circuito in esame viene ricavato come in-tersezione di tale curva con la retta di carico la cui equazione è la prima nel sistema (*) appena scritto:

5) Si consideri, infine, il seguente circuito:

(Nota: per comodità non sono state scritte le tensioni di lato, che comunque in seguito si indicheranno con la lettera v seguita dallo stesso pedice della corrente di lato corri-spondente.)


La caratteristica d'ingresso del carico è facilmente determinabile:

(*) EiRv a7a +=

La caratteristica d'ingresso del monoporta collegato al carico si ricava dopo aver effet-tuato le seguenti sostituzioni equivalenti:


Quindi la caratteristica del monoporta collegato al carico è:

(**) iRv beb =

Applicando ora le sostituzioni (4.4) di pag.72 alla (*) e (**) si ha:

( )iv,PRR

E ,

RRER

P iRv

EiRv

7e7e

e

e

7≡

++⇒

=

+−=

Quindi il circuito ha un solo punto di lavoro P le cui coordinate (v,i) sono state ricava-te: ora, in funzione di tali valori, è possibile ottenere tutte le correnti e tensioni di lato. In particolare per i resistori che si trovano nel bipolo collegato al carico valgono le se-guenti relazioni:

(

(

((4.9) i'R'i'R'v' e i'RiRv: ottienesi cui (da

(4.8) ii'i' : hasi 4.13fig.di circuito Dal

(4.7) R'v

R'v'

i' vv' : Inoltre

(4.6) Rv

i vv : hasi 4.14fig.di circuito Dal

spppps6666

6ps

ss

sss

555

====

==

==⇒=

=⇒=

(

((4.13) iRiRv e iRiRv: ottienesi cui (da

(4.12) iii : hasi 4.11fig.di circuito Dal

(4.11) R

v'

Rv

i e R

v'

Rv

i : ottienesi cui (da

(4.10) vvv' : hasi 4.12fig.di circuito Dal

spppps3333

p3s

s

p

s

ss

4

p

4

44

s4p

====

==

====

==

Osservando, infine, il circuito di fig. 4.10 si ricava:

=⇒+

=

=⇒+

=

21111321

11

222321

22

R e R tra iRv iGG

Gi

parallelo al correntedi partitore iRv iGG

Gi


4.2 LINEARIZZAZIONE A TRATTI

Il metodo della linearizzazione a tratti è molto utile nello studio di circuiti con resistori non lineari. Caratteristiche nel piano v-i non lineari possono essere approssimate con segmenti in modo tale da poterne facilmente determinare la rappresentazione analitica. Verranno ora presentati due modelli ideali 'lineari a tratti' utilizzati come elementi base per la sintesi di modelli più complessi.

4.3 RESISTORI CONCAVI E CONVESSI

Sussiste, in generale, la seguente definizione: una funzione f(x) si dice concava se co-munque si fissino due valori della variabile indipendente x e un numero reale a

compreso tra 0 e 1 (inclusi) risulti:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) 1a0 e x,x , xfa1xafxa1axf 212121 ≤≤ℜ∈∀−+≤−+

In altri termini, il tratto di curva relativo alla funzione f(x) nell'intervallo [x1,x2] deve trovarsi al di sotto della secante la curva nei punti di ascissa x1 e x2.

Se nella relazione precedente si sostituisce il segno di minore o uguale con quello di maggiore o uguale si ottiene la definizione di funzione convessa.

Si definisce resistore concavo un bipolo la cui caratteristica nel piano v-i è mostrata in figura insieme alla sua rappresentazione circuitale:


Si osserva allora che il resistore concavo è controllato in tensione ed è individuato completamente da due parametri: G ossia la pendenza della semiretta rispetto all'asse della tensione, E che è detta tensione di break. E' facile verificare che la rappresentazione analitica della caratteristica di un resistore concavo è data da:

( )[ ] (*) EvEv2G

i −+−=

Infatti, consideriamo la seguente figura dove è diagrammata, nel caso (a), la funzione i=(G/2)(v-E) e, nel caso (b), la stessa funzione ma considerata nel suo valore assoluto; fissando il valore di tensione e sommando i valori di corrente corrispondenti per le due funzioni si ottiene proprio la caratteristica di un resistore concavo con tensione di break pari ad E e conduttanza pari a G:

Si può inoltre facilmente verificare che un circuito equivalente a tale resistore concavo


è quello rappresentato di seguito:

Tale equivalenza sussiste, però, solo nel caso in cui sia G>0. Infatti se risulta G<0 la ca-ratteristica del resistore concavo diventa:

e come possiamo osservare è ancora controllata in tensione. Se invece nel circuito di fig. 4.17 il resistore ha una conduttanza G<0 allora la sua caratteristica d'ingresso sarà la seguente:

e come si osserva tale caratteristica, oltre ad essere diversa da quella di fig. 4.18, non è neanche controllata in tensione.

Si definisce, invece, resistore convesso un bipolo la cui caratteristica nel piano v-i è mostrata in figura insieme alla sua rappresentazione circuitale:


Si osserva allora che il resistore convesso è controllato in corrente ed è individuato completamente da due parametri: R ossia la pendenza della semiretta rispetto all'asse della corrente, J che è detta corrente di break. E' facile verificare che la rappresentazione analitica della caratteristica di un resistore convesso è data da:

( )[ ] (**) JiJi2R

v −+−=

Infatti, consideriamo la seguente figura dove è diagrammata, nel caso (a), la funzione v=(R/2)(i-J) e, nel caso (b), la stessa funzione ma considerata nel suo valore assoluto; fissando il valore di corrente e sommando i valori di tensione corrispondenti per le due funzioni si ottiene proprio la caratteristica di un resistore convesso con corrente di break pari ad J e resistenza pari a R:

Si può facilmente verificare che un circuito equivalente ad un resistore convesso è il se-guente:


Tale equivalenza sussiste, però, solo nel caso in cui sia R>0. Infatti se risulta R<0 la ca-ratteristica del resistore convesso diventa:

e come possiamo osservare è ancora controllata in corrente. Se invece nel circuito di fig. 4.21 il resistore ha una resistenza R<0 allora la sua caratteristica d'ingresso sarà la se-

guente:

e come si osserva tale caratteristica, oltre ad essere diversa da quella di fig. 4.22, non è neanche controllata in corrente.


4.4 Sintesi della caratteristica del diodo tunnel

In generale, il processo di sintesi consiste nell'esaminare una caratteristica assegnata e ricavare da essa un modello circuitale costituito da determinati elementi collegati in modo opportuno e tale che la sua caratteristica d'ingresso coincida proprio con la carat-teristica assegnata: si tratta, quindi, del processo inverso dell'analisi di un circuito nel quale si cerca, invece, di determinare la caratteristica d'ingresso del circuito in esame. Consideriamo, come esempio, la sintesi della caratteristica del diodo tunnel: essa è mo-strata nella figura seguente insieme alla sua rappresentazione linearizzata a tratti:

Dalla figura si osserva che è possibile individuare tre campi, o regioni, di funziona-mento, ciascuno caratterizzato dalla pendenza del segmento di approssimazione, che sarà nota a priori insieme alle due tensioni E1 e E2:

2c

21b

1a

Ev per GG : 3 regione

EvE per GG : 2 regione

Ev per GG : 1 regione

>=

≤≤=

≤=


Allora, partendo da sinistra verso destra, possiamo decomporre la caratteristica linea-rizzata nella somma di tre componenti, come mostrato in fig. 4.25: una retta passante per l'origine con pendenza G0; la caratteristica di un resistore concavo con tensione di break pari a E1 e pendenza negativa pari a G1; la caratteristica di un resistore concavo con tensione di break pari a E2 e pendenza positiva pari a G2:

In tal modo possiamo affermare che un circuito avente una D.P.C. simile alla caratteri-

stica linearizzata del diodo tunnel è il seguente:

Perché esso corrisponda esattamente alla caratteristica linearizzata del diodo tunnel, i parametri devono evidentemente soddisfare le seguenti relazioni:

c210

b10

a0

GGGG : 3 regione

GGG : 2 regione

GG : 1 regione

=++

=+

=

Risolto tale sistema di tre equazioni in tre incognite si ottiene:

bc2

ab1

a0

GGG

GGG

GG

−=

−=

=


Possiamo, inoltre, facilmente ricavare la rappresentazione analitica della D.P.C. del cir-cuito di fig. 4.26 (uguale a quella della caratteristica linearizzata del diodo tunnel) os-servando che i tre resistori sono collegati in parallelo e quindi è sufficiente sommare le tre correnti come previsto dalla L.K.C. :

( )[ ] ( )[ ]

(*) Ev2

GEv

2G

v2

G2

GG

2EG

2EG

iiii

: ottienesi cui da

EvEv2

Gi , EvEv

2G

i , vGi

22

1121

02211

210

222

2111

100

−+−+

+++−−=++=

−+−=−+−==

La relazione appena ottenuta può porsi nella forma:

( ) (**) EvbEvbvaai 221110 −+−++=

Le relazioni precedenti possono essere facilmente estese al caso in cui la caratteristica linearizzata possieda n punti di break. Si può, infatti, scrivere:

∑=

−++=n

1iii Evcbvai

dove Ei rappresentano le tensioni di break e i coefficienti a,b e ci vanno opportunata-mente determinati in funzione delle pendenze dei vari tratti della caratteristica.

4.5 ANALISI PER PICCOLI SEGNALI

L’analisi di circuiti nei quali siano inseriti elementi non lineari è piuttosto complessa. Una tecnica particolare, di grande importanza nel campo dell’ingegneria, che consente di risolvere questo tipo di circuiti, è l’analisi per piccoli segnali di un sistema non linea-re. Questa è un’analisi di variazione del punto di lavoro in seguito all’applicazione di un nuovo segnale. Per illustrare i concetti dell’analisi per piccoli segnali facciamo riferi-mento ad un semplice circuito.


Si consideri il circuito mostrato in figura:

Si supponga che esso sia progettato in modo tale da avere un unico punto di lavoro P e precisamente esso si trovi nel tratto di curva in cui la pendenza è negativa, come mo-strato di seguito:

Il circuito di fig. 4.27 è detto circuito di polarizzazione perché porta il diodo tunnel a funzionare in uno specifico punto di lavoro. Alla tensione costante E di polarizzazione si può sovrapporre una tensione tempo-variante vs(t), che nel circuito di fig. 4.29 è for-

nita dal generatore di tensione vs(t), e che soddisfi la condizione ( )tv s << E per qua-

lunque t, ossia stiamo supponendo che la tensione tempo variante sia in valore assolu-to molto più piccola della tensione di polarizzazione E in ogni istante di tempo.


Ad esempio vs(t) può essere una sinusoide la cui ampiezza è molto più piccola del va-lore E della tensione di polarizzazione. In altre parole la tensione vs(t) rappresenta il segnale processato dal circuito quando il diodo è portato nella condizione di funzio-namento individuata dal punto P. In conseguenza dell’applicazione del segnale vs(t) si hanno degli scostamenti dal punto di lavoro iniziale, il problema che vogliamo risolve-re è valutare la tensione vd(t) e la corrente id(t) per il diodo in questa condizione.

E' interessante, quindi, vedere come possa essere calcolato il nuovo punto di lavoro in cui si porta il sistema.

Al variare della forma d'onda vs(t) nel tempo, possiamo pensare che la load line si spo-sti parallelamente a sé stessa, poiché adesso la tensione che determina la load-line è data da E+vs(t). In questo modo il nuovo punto di lavoro può essere ottenuto grafica-mente come intersezione della caratteristica del diodo tunnel con la linea di carico 'mo-bile', individuando il punto Q come nuovo punto di lavoro:

Si può procedere analiticamente come segue. Supponiamo che la caratteristica del dio-do tunnel sia esprimibile in questo modo:

(4.14) )g(vi dd =

Dal circuito di fig.4.27 si ricava poi la seguente relazione:

Rd

ddRdRd

ii: essendo

(4.15) RiEv RiEv 0RiEv

−=

−=⇒+=⇒=−−


Per definizione di punto di lavoro, e precisamente essendo questo un punto comune al-la caratteristica del diodo tunnel ed alla retta di carico, si ha che le sue coordinate de-vono essere tali da soddisfare entrambe le relazioni (4.14) e (4.15), cioè:

( )

( )(4.17) RiEv

(4.16) vgi

iii

vv :ha si i,vP : Posto

pp

pp

Rpd

pd

pp

−=

=

⇒

−==

=

Ora, in seguito all'inserimento del generatore vs(t) che viene detto generatore di picco-lo segnale, si avrà uno scostamento dal punto di lavoro iniziale P tale da portare il si-stema in un nuovo punto di lavoro Q le cui coordinate possono essere così scritte:

( ) (4.18) iiI

vvVcon IV,Q

1p

1p

+=

+=

(Nota: i1 e v1 rappresentano le variazioni, rispettivamente, di corrente e di tensione).

Esaminando il circuito di fig.4.29 si osserva che:

( )

Rd

dsdsRdsRd

dd

ii : essendo

(4.20) Ri(t)vEv(t)vRiEv0(t)vRiEv

(4.19) vgi

−=

−+=⇒++=⇒=−−−

=

Per quanto detto prima, il nuovo punto di lavoro deve soddisfare entrambe le relazioni (4.19) e (4.20):

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) (4.22) iiR(t)vEvv RI(t)vEV

(4.21) vvgii VgI

iIi

Vv :hasi IV,Q : Posto

1ps1ps

1p1p

Rd

d

+−+=+⇒−+=

+=+⇒=

⇒

−==

=

Effettuando ora lo sviluppo in serie di Taylor della funzione g(.) di punto iniziale vp e fermandosi ai primi due termini essendo i successivi trascurabili (infatti, per l'ipotesi di piccolo segnale, lo scostamento v1 della tensione dalla tensione del punto di lavoro P è piccolo e diventa trascurabile per potenze maggiori o uguali alla seconda), la relazione (4.21) diventa:


( ) (4.23) vg

v)g(vvvg)i(iIpv

1p1p1p∂

∂+=+=+=

D'altra parte, tenendo presente la relazione (4.16), si ha nella (4.23):

(4.24) g'1

r'con ir'v vg'vg

vi 111v

11

p

==⇒==∂

∂

La quantità determinata dalla derivata calcolata nel punto di lavoro vP ed indicata con g' è detta conduttanza per piccoli segnali del diodo nell'intorno del punto di lavoro P, mentre il suo inverso r' è detta resistenza per piccoli segnali del diodo nell'intorno del punto di lavoro P.

A questo punto, tenendo presente le relazioni (4.17) e (4.24), possiamo scrivere la rela-zione (4.22) come segue:

( )(**) Riir'(t)v

Ri(t)vv iiR(t)vEvv

11s

1s11ps1p

+=

⇒−=⇒+−+=+

Tale equazione può essere considerata rappresentativa del seguente circuito detto cir-cuito equivalente per piccoli segnali intorno al punto di lavoro P; si tratta di un circuito linea-re poiché i due resistori sono lineari, infatti r' ha valore costante come R:

Evidentemente, si ricava:


r'R(t)v

iiiI e r'R

(t)vr'vvvV

: sono Q lavorodi punto nuovo del coordinate le quindi, e,r'R

(t)vr'ir'v e

r'R(t)v

i

sp1p

sp1p

s11

s1

++=+=

++=+=

+==

+=

Si noti che la resistenza r', nel caso particolare in esame, è negativa cosicché nel circuito di fig. 4.31 è presente un resistore lineare attivo.

Quindi, attraverso il circuito di fig. 4.31 si può ricavare molto facilmente il valore delle variazioni di tensione e corrente introdotte dal generatore di piccolo segnale rispetto al punto di lavoro originario e poi, attraverso queste, valutare la tensione vd(t) e la corren-te id(t) per il diodo in questa nuova condizione di funzionamento.

Infine notiamo che geometricamente, l'approssimazione contenuta nell'equazione (4.23) corrisponde alla sostituzione della caratteristica non lineare del diodo con la tan-gente ad essa nel punto di lavoro iniziale P. Tale approssimazione sarà tanto più valida quanto più la tangente si avvicina alla curva rappresentante la caratteristica del diodo tunnel e quindi quanto più è 'piccolo' il segnale vs(t). Si comprende ora, quindi, cosa si intende per piccolo segnale, nel senso che l’approssimazione fatta è valida fino a che si può confondere la tangente nel punto P con la caratteristica del diodo tunnel e cioè fino a che l’errore che si commette con questo tipo di approssimazione è tollerabile per il circuito che di volta in volta si prenderà in esame. I segnale vs(t) si potrà prendere tanto più grande quanto più la caratteristica del diodo sarà sufficientemente vicina alla tan-gente nel punto di lavoro da rientrare nei limiti di errore accettabili.


CAPITOLO 5

5.1 ELEMENTI A PIÙ TERMINALI 108

5.2 ESEMPIO DI RESISTORE BIPORTA 115

5.3 RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI BIPORTA RESISTIVI E SIGNIFICATO

FISICO DEI PARAMETRI DELLE CARATTERISTICHE 119

5.4 GENERATORI PILOTATI LINEARI 125

5.5 GIRATORI 129

5.6 INDUTTORI BIPORTA 132

5.7 TRASFORMATORE IDEALE 143

5.8 CONDENSATORI BIPORTA 146


5.1 ELEMENTI A PIÙ TERMINALI

Gli elementi circuitali che rappresentano modelli astratti di dispositivi fisici a più ter-minali sono chiamati, in generale, multipoli. Un elemento ad n morsetti si chiamerà n-polo e quindi si avranno dei tripoli, quadripoli etc. a seconda che i terminali accessibili siano tre, quattro etc. Anche per i dispositivi a più terminali, così come abbiamo fatto per quelli a due terminali, non ci interesserà analizzare da un punto di vista fisico o co-struttivo la loro struttura interna bensì ci interesserà conoscere il comportamento elet-trico di tali dispositivi con l'esterno, ossia il loro comportamento ai morsetti. A tal fine è più comodo sostituire il dispositivo fisico multiterminale con un suo modello astrat-


to, cioè un multipolo, avente ai morsetti lo stesso comportamento elettrico del disposi-tivo in esame. A questo punto, così come nel caso dei bipoli, occorre definire le variabi-li terminali mediante le quali sia possibile descrivere il comportamento ai morsetti di un multipolo e determinare una relazione funzionale che le leghi tra loro e che, se raf-figurata nello spazio individuato da tali variabili, determini il luogo geometrico conte-nente tutti i punti di funzionamento del multipolo: tale relazione funzionale è detta ca-ratteristica del multipolo. Per quanto riguarda la scelta delle variabili terminali, esse devono soddisfare le seguenti due proprietà:

1) devono essere misurabili;

2) devono essere indipendenti tra loro.

Consideriamo allora, per semplicità, un tripolo e scegliamo come variabili terminali la tensione e la corrente che sicuramente soddisfano la prima proprietà; possiamo defini-

re tre tensioni e tre correnti come mostrato in figura:

Se applichiamo la LKT alla sequenza chiusa di nodi 1-2-3-1 si ha:

(5.1) 0vvv 312312 =++

Questo significa che solo due tensioni sono fra loro indipendenti perché, note queste due, l'altra può essere ricavata dalla relazione (5.1). Analogamente se applichiamo la LKC alla superficie gaussiana tratteggiata si ha:

(5.2) 0iii 321 =++


Questo significa che solo due correnti sono fra loro indipendenti perché, note queste due, l'altra può essere ricavata dalla relazione (5.2). In definitiva occorreranno solo due tensioni e due correnti (o, come vedremo fra poco, due coppie di variabili terminali opportune) per descrivere il comportamento ai morsetti del tripolo considerato. Gene-ralizzando, per un n-poli, serviranno n-1 coppie di variabili terminali. Se assumiamo un morsetto come riferimento, possiamo individuare come (n-1) correnti indipendenti quelle associate (entranti) agli altri morsetti. Allo scopo di rappresentare in modo con-ciso solo le correnti indipendenti conviene introdurre un vettore i ad n-1 componenti, definito come segue:

i = [i1, i2,..., in-1]T

il vettore i prende il nome di "corrente del multipolo".

Analogamente, se j ed l sono due morsetti del multipolo diversi da quello di riferimen-to, la legge di Kirchhoff per le tensioni pone:

vjl = vj – vl

dove con vk (k = 1,2,...,n-1) si é indicata la tensione del nodo k rispetto al nodo di rife-rimento. Tutte le possibili tensioni fra coppie di morsetti possono essere quindi espres-se in termini delle tensioni vk, fra il k-esimo morsetto ed il morsetto di riferimento. Per un n-polo, queste tensioni sono n-1 e definiscono il vettore v "tensione del multipolo":

v = [v1, v2,..., vn-1]T

Una grandezza fisica importantissima é la potenza elettromagnetica p entrante nel mul-tipolo. Questa potenza esiste perché sicuramente nel multipolo hanno luogo fenomeni energetici; p, inoltre, avrà carattere conservativo. Come già per il bipolo, si dimostra che la potenza elettromagnetica p entrante in un multipolo é:

p = v1i1 + v2i2 +...+ vn-1in-1 = vTi,

dove vT indica un vettore riga. Con le stesse convezioni di segno utilizzate per il calcolo


delle precedenti quantità, la quantità -vTi si chiamerà potenza uscente dal multipolo. Oltre a tensione e corrente che definiscono un n-polo resistivo, si possono scegliere co-me variabili terminali anche tensione e carica oppure corrente e flusso, in tal modo si ot-terranno n-poli capacitivi o induttivi, rispettivamente. Un gran numero di multipoli hanno un numero pari di morsetti organizzati a coppie in modo tale che la corrente en-trante in un morsetto é uguale alla corrente uscente dall'altro. Ogni coppia di morsetti per le quali é valida tale proprietà costituisce una "porta".

in

1'

1

2'

2

n'

n

v1

v2

vn

i2

i1

.

.

.

.

fig. 5.1 bis

In fig. 5.1 bis é riportata un generico multiporta con n porte. Su ogni porta si possono definire una tensione ed una corrente. Se non indicato diversamente, le convenzioni di segno che si utilizzano sulle porte sono quelle degli utilizzatori. Le correnti di porta in-dividuano anche tutte le correnti ai morsetti del multipolo. Si presti, però, attenzione al fatto che le tensioni di porta non consentono di determinare le tensioni presenti tra un morsetto di una porta ed un morsetto di un'altra porta. Tuttavia, poiché nella pratica queste tensioni non interessano, si può ritenere che le variabili di porta individuino tut-te le grandezze elettriche relative al multiporta. Si noti che non é detto che un N-polo (anche se N é pari) possa essere ricondotto ad un n-porta (n = N/2), mentre è sicura-mente vero il contrario. In realtà, quando tutti gli N morsetti (N pari) sono, a coppie, chiusi su bipoli, i morsetti del multipolo si presentano organizzati in porte. In questo caso si parla di n-porta non intrinseco, in quanto il funzionamento da multiporta é ga-rantito solo dalla particolare configurazione dei collegamenti con l'esterno (se le con-nessioni cambiano, non è detto che il multipolo si comporti ancora da multiporta). Si definiscono, invece, multiporta intrinseci quei multipoli che sempre funzionano come


multiporta, comunque i morsetti siano collegati con l'esterno (od eventualmente tra di loro). Si noti, infine, che, come già detto, in alcuni casi é possibile considerare per un multipolo un morsetto come riferimento. Quando tale dispositivo é connesso all'ester-no attraverso bipoli collegati tra ciascun morsetto e quello di riferimento, si ottengono comunque delle porte, ciascuna definita dalla tensione tra la coppia di morsetti e la corrente entrante nel morsetto. In tal caso si parlerà di multiporta con terminale comu-ne (o grounded). Per esempio, possiamo considerare nel tripolo di fig. 5.1 un nodo co-me riferimento (per esempio il nodo 3) e disegnare quindi il tripolo in questo modo:

Possiamo allora introdurre le variabili v1

e v2 , i1

ed i2. Possiamo anche pensare di sosti-tuire il nodo di riferimento con un collegamento non resistivo (reoforo) ottenendo così:

Possiamo allora schematizzare un tripolo nel seguente modo:

Questa rappresentazione chiarisce per quale motivo un tripolo può anche essere defini-to come elemento biporta o doppio bipolo. Si dimostra, infine, che per definire com-pletamente il comportamento elettrico di un multipolo ai suoi morsetti occorrono N-1relazioni funzionali tra le N-1 coppie di variabili terminali scelte:


(5.3)

0)y,....,y,y,x,....,x,(xf

....................................................

0)y,....,y,y,x,....,x,(xf

0)y,....,y,y,x,....,x,(xf

1n211n211n

1n211n212

1n211n211

=

=

=

−−−

−−

−−

(Nota: con x e y indichiamo le due variabili terminali che possono essere scelte tra le seguenti coppie:

- tensione, corrente;

- tensione, carica;

- corrente, flusso ).

Per un doppio bipolo o biporta saranno sufficienti solo due relazioni funzionali tra le due coppie di variabili terminali scelte:

(5.4) 0)y,y,x,(xf

0)y,y,x,(xf

21212

21211

=

=

Le relazioni (5.3) e (5.4) rappresentano rispettivamente la caratteristica di un multipolo e di un tripolo: in particolare, la caratteristica di un tripolo descrive una superficie bi-dimensionale nello spazio a quattro dimensioni individuato dalle quattro variabili terminali scelte per definire il tripolo stesso. Ovviamente se sono verificate particolari condizioni sulle (5.4), ovvero se le relazioni sono lineari allora é possibile scrivere le (5.4) nella forma:

bis)(5.4 )x,(xfy

)x,(xfy

2122

2111

=

=

In seguito considereremo solo doppi bipoli ma quanto diremo è facilmente estendibile anche ai multiporta. Sussiste ora la seguente distinzione nell'ambito dei doppi bipoli:

• se la caratteristica di un biporta o doppio bipolo è espressa da due relazioni fun-zionali di questo tipo:


(5.5) 0)i,i,v,(vf

0)i,i,v,(vf

21212

21211

=

=

allora si parlerà di resistore biporta o doppio bipolo resistivo.


(5.6) 0)q,q,v,(vf

0)q,q,v,(vf

21212

21211

=

=

allora si parlerà di condensatore biporta.


(5.7)0)(

0)(

21212

21211 ,,,

,,,

=ϕϕ

=ϕϕ

iif

iif

allora si parlerà di induttore biporta. Prima di passare all'esame dei resistori biporta osserviamo che, quando ci si occupa di doppi bipoli, spesso è necessario distinguere le porte, per cui una di esse è definita 'porta 1' mentre l'altra 'porta 2' come mostrato in fig. 5.4: per tradizione, con 'porta 1' ci si riferisce spesso alla porta d'ingresso e con 'porta 2' alla porta di uscita.


5.2 ESEMPIO DI RESISTORE BIPORTA

Si consideri un doppio bipolo resistivo costituito da tre resistori lineari come mostrato in fig. 5.5; si applichino al doppio bipolo due generatori indipendenti di corrente come

indicato:


R3R22

R3R11

R2R1R3

R22

R11

R33R3R22R2 R11R1

vvv2-4-3-2nodi di chiusa sequenza

vvv1-4-3-1nodi di chiusa sequenza

:L.K.T.

iii3 nodo

ii2 nodo

ii1 nodo

:L.K.C.

iRv iRviRv

:latodi Relazioni

:

:

:

:

:

+=

+=

+=

=

=

===

Combinando insieme tutte queste relazioni si ottiene:

)i(iRiRiRiRv

)i(iRiRiRiRv

21322R33R222

21311R33R111

++=+=

++=+=

che possono essere riscritte nel seguente modo:


(*) )iR(RiRv

iR)iR(Rv

232132

231311

++=

++=

Per quanto detto nel paragrafo precedente, la (*) rappresenta la caratteristica del resi-store biporta in esame.

In termini del vettore tensione di porta e del vettore corrente di porta possiamo porre le equazioni precedenti in forma matriciale come:

(5.8) i

i

RRR

RRRiR

v

vv

2

1

323

331

2

1

⋅

+

+=⋅=

=

in cui:

(5.8a) RRR

RRRR

323

331

+

+=

è definita matrice di resistenza del doppio bipolo resistivo lineare. Il resistore è lineare in quanto il vettore delle tensioni è espresso come funzione lineare del vettore delle correnti. L'equazione (5.8) fornisce la rappresentazione controllata in corrente del resistore biporta lineare poiché le tensioni sono espresse come funzioni delle correnti, ossia le correnti sono le variabili indipendenti mentre le tensioni sono quelle dipendenti. Natu-ralmente esiste anche la rappresentazione controllata in tensione:

(5.9a) RRR

RRR

det(R)1

RGcon

(5.9) vGi

313

3321

+−

−+⋅==

⋅=

−

La matrice G è definita matrice di conduttanza del doppio bipolo resistivo lineare.

Oltre alle due rappresentazioni appena introdotte, ne esistono altre quattro che caratte-


rizzano il doppio bipolo resistivo tramite quattro variabili scalari v1,v2,i1,i2 e due equa-zioni. Le sei possibili rappresentazioni di un resistore biporta sono di seguito riassunte:

vGi

i,i

v,v

iR v

v,v

i,i

:e vettorialEquazione

vgvgi

vgvgi :scalari Equazioni

:dipendenti Variabili

:tiindipenden Variabili

e.in tension acontrollat :azionerappresent Tipo 2)


irirv

irirv :scalari Equazioni



corrente.in acontrollat :azionerappresent Tipo 1)

2221212

2121111

21

21

2221212

2121111

21

21

⋅=

⋅=

+=

+=

+=

+=

⋅=

+=

+=

2

1

2

1

2221212

2121111

21

21

v

iH

i

v

i,v

v,i


vhihi

vhihv :scalari Equazioni



1. ibrida :azionerappresent Tipo 3)


i

vT'

i

v

i,v

i,v

i

vT

i

v

i,v

i,v

i

vH'

v

i

v,i

i,v

1

1

2

2

1221212

1121112

22

11

2

2

1

1

2222211

2122111

11

22

2

1

2

1

2221212

2121111

21

21

:vettoriale Equazione

it'vt'i

it'vt'v :scalariEquazioni

:dipendentiVariabili

:tiindipendenVariabili

2. netrasmissio :azionerappresent Tipo 6)


itvti

itvtv :scalariEquazioni



1. netrasmissio :azionerappresent Tipo 5)


ih'vh'v

ih'vh'i :scalariEquazioni



2. ibrida :azionerappresent Tipo 4)

⋅=

−

−⋅=

⋅=

+=−

+=

−=

−=

+=

+=

Analogamente a quanto accade per le prime due rappresentazioni si ha, nell'ipotesi che H e T siano non singolari:

11 TT' e HH' −− ==

H e H' sono definite matrici ibride, essendo le variabili dipendenti una tensione ed una corrente e così pure le variabili indipendenti. Gli stessi parametri hanno natura diversa: h11

è dimensionalmente un resistenza, h22

una conduttanza, h12

ed h21

sono parametri adimensionali. T e T' sono definite matrici di trasmissione poiché mettono in relazione le variabili corrispondenti ad una porta con quelle corrispondenti all'altra ed il doppio bipolo si comporta da mezzo di trasmissione. E' facile ricavare le relazioni che consen-tono di passare da un tipo di rappresentazione ad un altro fra i 6 possibili. A titolo d'e-sempio, vediamo come passare alla rappresentazione ibrida 1 nota la rappresentazione controllata in corrente: si tratta cioè di esprimere la matrice H in funzione degli elementi della matrice R. Come si può osservare dalle relazioni scritte precedentemente, la rap-presentazione ibrida 1 richiede di esprimere v1 e i2 in funzione di i1 e v2; allora è suffi-ciente, nella seconda equazione della rappresentazione controllata in corrente, ricavare i2 in funzione di i1 e v2, e sostituire nella prima equazione come segue:


−

−

=⇒

+−=

+

−=

⇒

+−=

+−+=

⇒

+=

+=

2222

21

22

1212

22

2111

222

122

212

222

12112

22

21111

222

122

212

222

122

21121111

2221212

2121111

r1

rr

rr

rrr

rH

vr1

irr

i

vrr

irrr

rv

vr1

irr

i

vr1

irr

rirv

irirv

irirv

Osserviamo, infine, che non é detto che un resistore biporta lineare ammetta tutte e sei le rappresentazioni precedentemente considerate. Vedremo in seguito che vi sono resi-stori che ne ammettono solo alcune.

5.3 RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI BIPORTA RESISTIVI E SIGNIFICATO FISICO DEI

PARAMETRI DELLE CARATTERISTICHE

Rappresentazione controllata in corrente. E' stato definito il resistore lineare a due terminali come quello avente per caratteristica una linea retta passante per l'origine nel piano v-i. Per i doppi bipoli resistivi si hanno quattro variabili e due equazioni, ovvero la rappresentazione controllata in corrente è:

(5.10) irirv

irirv

2221212

2121111

+=

+=

Queste due equazioni individuano una superficie bidimensionale nello spazio a quat-tro dimensioni individuato dalle quattro variabili i1,v1,i2,v2. Naturalmente ciò è difficile da visualizzare. Comunque se si considera un'equazione per volta è possibile fornire una rappresentazione tramite due famiglie di rette negli appropriati piani v-i. Si consi-deri il tracciamento, nel piano v1-i1 delle linee rette:

(*) irirv 2121111 +=


dove i2 è considerato come parametro variabile a cui sono assegnati successivamente più valori:

i2 = 0,±1,±2,...

Il risultato è una famiglia di linee rette con pendenza uguale a 1/r11 come mostrato in figura a):

Analogamente in figura b) sono tracciate, nel piano v2-i2, le rette :

(**) irirv 2221212 +=

in cui si è impiegato i1 come parametro. Queste due famiglie di linee rette parallele de-finiscono la rappresentazione controllata in corrente del doppio bipolo resistivo lineare descritto dalle (5.10). Dalla prima delle equazioni (5.10), si possono dare le seguenti in-terpretazioni fisiche:

(5.11) 0ii

vr e

0iiv

r1

2

112

21

111

==

==


r11 è definita resistenza d'ingresso alla porta 1 quando la porta 2 è mantenuta nella condizione di circuito aperto, mentre r12 è definita resistenza di trasferimento inversa quando la porta 1 è mantenuta nella condizione di circuito aperto. In figura sono mostrate le interpretazioni fi-siche di questi due parametri:

Il primo dei due parametri rappresenta la resistenza alla porta 1 quando questa viene alimentata da un generatore di corrente pari a i1 mantenendo la porta 2 in circuito a-perto, mentre il secondo parametro è il rapporto tra la tensione alla porta 1, mantenuta in circuito aperto, e la corrente alla porta 2 alimentata da un generatore di corrente pari a i2 ( da quanto detto, si osserva che nelle espressioni 5.11 il denominatore dei due rap-porti indica l'alimentazione ad una delle due porte ). In modo analogo, dalla seconda equazione delle (5.10) si ha:

(5.12) 0ii

vr e

0iiv

r1

2

222

21

221

==

==

Il primo parametro nella relazione (5.12) prende il nome di resistenza di trasferimento di-retta quando la porta 2 è mantenuta nella condizione di circuito aperto, mentre il secondo pa-rametro è detto resistenza d'ingresso alla porta 2 quando la porta 1 è mantenuta nella condi-zione di circuito aperto. Le interpretazioni fisiche di questi due parametri sono le seguen-ti:

(Nota: dalle definizioni date possiamo concludere che si parla di resistenza di trasferi-mento diretta o inversa a seconda che sia alimentata la porta 1 o la porta 2).


Rappresentazione controllata in tensione. E' semplice, per mezzo di una trattazione duale, fornire le corrispondenti interpretazioni per la rappresentazione controllata in tensione:

(5.13) vgvgi

vgvgi

2221212

2121111

+=

+=

Dalla prima equazione si può scrivere:

(5.14) 0vv

ig e

0vvi

g1

2

112

21

111

==

==

Il primo parametro nella relazione (5.14) prende il nome di conduttanza d'ingresso alla porta 1 quando la porta 2 è mantenuta in cortocircuito, mentre il secondo parametro è detto conduttanza di trasferimento inversa quando la porta 1 è mantenuta in cortocircuito. Analo-gamente dalla seconda equazione delle (5.13) si ha:

(5.15) 0vv

ig e

0vvi

g1

2

222

21

221

==

==

Il primo parametro nella relazione (5.15) prende il nome di conduttanza di trasferimento diretta quando la porta 2 è mantenuta in cortocircuito, mentre il secondo parametro è detto conduttanza d'ingresso alla porta 2 quando la porta 1 è mantenuta in cortocircuito. Per cia-scuno dei quattro parametri si hanno quindi le seguenti interpretazioni fisiche:


Come si osserva dalla figura, le conduttanze di ingresso ad una porta sono il rapporto tra la corrente e la tensione relative a quella porta quando l'altra porta è mantenuta in cortocircuito; mentre si parla di conduttanza di trasferimento diretta o inversa a secon-da che sia alimentata la porta 1 o la porta 2 ( in questo caso l'alimentazione è rappre-sentata da un generatore di tensione).

Rappresentazione ibrida. Le due equazioni per la rappresentazione ibrida 1 sono:

(5.16) vhihi

vhihv

2221212

2121111

+=

+=

Seguendo la stessa trattazione dei due casi precedenti si può scrivere:

(5.18) 0iv

ih e

0vii

h

(5.17) 0iv

vh e

0viv

h

12

222

21

221

12

112

21

111

==

==

==

==

Nella relazione (5.17) il primo parametro prende il nome di resistenza d'ingresso alla por-ta 1 quando la porta 2 è in cortocircuito, mentre il secondo parametro è detto rapporto di trasferimento di tensione inverso quando la porta 1 è mantenuta nella condizione di circuito a-perto. Nella relazione (5.18) il primo parametro prende il nome di rapporto di trasferimen-to di corrente diretto quando la porta 2 è in cortocircuito, mentre il secondo parametro è det-to conduttanza d'ingresso alla porta 2 quando la porta 1 è mantenuta nella condizione di circui-to aperto. Seguono ora, per ciascuno dei quattro parametri, le interpretazioni fisiche:


Per la rappresentazione ibrida 2 valgono considerazioni analoghe.

Rappresentazione trasmissione. Le due equazioni della rappresentazione trasmissione


1 sono:

(5.19) itvti

itvtv

2222211

2122111

−=

−=

Dalla prima equazione delle (5.19) si può scrivere:

(5.20) 0iv

vt

22

111

==

La sua interpretazione fisica sarebbe la seguente:

Tale interpretazione, tuttavia, non ha senso da un punto di vista fisico perché, sebbene un generatore di tensione ammette, in generale, qualsiasi valore di corrente e quindi anche quella nulla (si tenga presente, infatti, la sua caratteristica nel piano v-i), ciò ri-mane vero solo se si considera il generatore come un elemento circuitale a sé stante cioè non collegato ad un qualsiasi altro elemento: in tal caso il generatore non può esse-re attraversato da una corrente nulla. Le stesse conclusioni valgono per tutti gli altri parametri della rappresentazione trasmissione 1 e anche per quelli della rappresenta-zione trasmissione 2.

5.4 GENERATORI PILOTATI LINEARI

Sinora si sono incontrati generatori di tensione e di corrente indipendenti: questi sono utilizzati come ingressi di un circuito. Ora introdurremo altri tipi di generatori detti pi-lotati o controllati, o dipendenti. Sono questi dei biporta resistivi lineari e tempo-invarianti (ideali) e sono estremamente utili per il modellamento circuitale di dispositi-


vi fisici. É tipico, ad esempio, rappresentare una retroazione in un dispositivo fisico con un generatore pilotato nel suo modello circuitale. Un generatore pilotato è un resistore biporta costituito da due lati: un lato primario che può essere un circuito aperto od un cortocircuito, ed un lato secondario che può essere un generatore di corrente o di ten-sione dipendente; inoltre, la forma d'onda della tensione o della corrente nel lato se-condario è pilotata (controllata) dalla tensione o dalla corrente nel lato primario. Quin-di esistono quattro tipi di generatori pilotati a seconda che il lato primario sia un circui-to aperto o un cortocircuito e a seconda che nel lato secondario ci sia un generatore di corrente o di tensione. I quattro tipi di generatori pilotati sono mostrati in figura:

Essi sono il generatore di tensione pilotato in corrente (CCVS), il generatore di corrente pilota-to in tensione (VCCS), il generatore di corrente pilotato in corrente (CCCS), il generatore di tensione pilotato in tensione (VCVS). Si noti che i generatori pilotati sono denotati con un simbolo a forma di rombo per distinguerli dai generatori indipendenti. Essendo dei re-sistori biporta, ciascun generatore pilotato è caratterizzato da due equazioni lineari:


⋅

=

⇔

=

=

⋅

=

⇔

=

=

⋅

=

⇔

=

=

⋅

=

⇔

=

=

2

1

2

1

12

1

2

1

2

1

12

1

2

1

m2

1

1m2

1

2

1

m2

1

1m2

1

i

v

0

00

v

i

vv

0i :VCVS 4)

v

i

0

00

i

v

ii

0v :CCCS 3)

v

v

0g

00

i

i

vgi

0i :VCCS 2)

i

i

0r

00

v

v

irv

0v :CCVS 1)

µµ

αα

Come si osserva dalle relazioni appena scritte, la prima è una rappresentazione con-trollata in corrente, la seconda controllata in tensione, la terza è una rappresentazione ibrida 1 mentre la quarta è una rappresentazione ibrida 2. Valgono inoltre le seguenti definizioni:

tensionedi ntotrasferimedi rapporto

correntedi ntotrasferimedi rapporto

ttanzatranscondu

tenzatransresis

=

=

g

r

m

m

µ

α

=

=

Tali grandezze sono tutte costanti, quindi i quattro generatori pilotati costituiscono doppi bipoli resistivi lineari tempo-invarianti. Si osservi, infine, quanto segue: la rap-presentazione che caratterizza il generatore CCVS, come già detto, è controllata in cor-rente ma la matrice di resistenza è singolare e perciò la sua inversa non esiste; è anche facile dimostrare che non esiste alcuna delle rappresentazioni ibride. Si possono fare analoghe considerazioni per gli altri tre generatori pilotati. Analogamente si può dimo-strare che anche gli altri tre generatori pilotati non ammettono tutte le rappresentazioni dei biporta resistivi.

Circuiti equivalenti del doppio bipolo resistivo lineare.

I generatori pilotati sono impiegati per ottenere rappresentazioni circuitali equivalenti dei doppi bipoli resistivi. Si consideri, ad esempio, la rappresentazione controllata in corrente di un resistore biporta lineare:


+=

+=

(**) irirv

(*) irirv

2221212

2121111

L'equazione (*) esprime un equilibrio di tensioni, quindi può essere interpretata come il

collegamento in serie di un resistore lineare di resistenza r11 con un generatore di ten-sione pilotato dalla corrente i2 alla porta 2; analogamente l'equazione (**) può essere in-terpretata come il collegamento in serie di un resistore lineare di resistenza r22 con un generatore di tensione pilotato dalla corrente i1 alla porta 1. Quindi il doppio bipolo in esame può essere rappresentato con il seguente circuito equivalente:

(Questa rappresentazione equivalente di un resistore biporta è molto utilizzata nell'a-nalisi di un circuito mediante il metodo delle maglie).

Supponiamo ora che del resistore biporta sia nota la rappresentazione controllata in tensione:

+=

+=

(**) vgvgi

(*) vgvgi

2221212

2121111

L'equazione (*) esprime un equilibrio di correnti, quindi può essere interpretata come il collegamento in parallelo di un resistore lineare di conduttanza g11 con un generatore di corrente pilotato dalla tensione v2 alla porta 2; analogamente l'equazione (**) può es-sere interpretata come il collegamento in parallelo di un resistore lineare di conduttan-za g22 con un generatore di corrente pilotato dalla tensione v1 alla porta 1. Quindi il doppio bipolo in esame può essere rappresentato con il seguente circuito equivalente:


(Questa rappresentazione equivalente di un resistore biporta è molto utilizzata nell'a-nalisi di un circuito mediante il metodo nodale).Supponiamo ora che del resistore bi-porta sia nota la rappresentazione ibrida 1:

+=

+=

(**) vhihi

(*) vhihv

2221212

2121111

L'equazione (*) esprime un equilibrio di tensioni, quindi può essere interpretata come il collegamento in serie di un resistore lineare di resistenza h11 con un generatore di ten-sione pilotato dalla tensione v2 alla porta 2. L'equazione (**) esprime, invece, un equili-brio di correnti e quindi può essere interpretata come il collegamento in parallelo di un resistore lineare di conduttanza h22 con un generatore di corrente pilotato dalla corren-te i1 alla porta 1. Quindi il doppio bipolo in esame può essere rappresentato con il se-guente circuito equivalente:

Per la rappresentazione ibrida 2 si segue un procedimento analogo.

5.5 GIRATORI

Il giratore è un doppio bipolo resistivo lineare tempo-invariante definito dalle seguenti equazioni:

−=

=

(5.22) Gvi

(5.21) Gvi

12

21


dove la costante G è detta conduttanza di girazione. In forma vettoriale si ha la rappre-sentazione controllata in tensione:

(5.23) v

v

0G

G0

i

i

2

1

2

1

⋅

−=

Il simbolo per un giratore è mostrato in figura:

Il giratore gode delle seguenti proprietà:

1) è un elemento non energetico, cioè la potenza fornita al doppio bipolo è identica-mente nulla in ogni istante. Infatti la potenza entrante nel doppio bipolo vale:

( ) 0(t)GvG(t)i

(t)(t)iv(t)(t)iv(t)(t)ivp(t) 11

112211 =−+=+=

2) se si collega alla porta 2 di un giratore un resistore lineare di resistenza RL, la porta 1 si comporta come un resistore lineare di resistenza pari a:

LL2

L

R1

Gcon GG

=


Infatti valgono le seguenti relazioni:

Tenendo conto anche delle relazioni (5.21) e (5.22) si può scrivere:

12L1L

2L

LLL2

1 iGG

Gi

GG

vGG

vGG

Gi

Gi

v =====−=

il che conferma quanto detto prima;

3) se si collega alla porta 2 di un giratore un condensatore di capacità C espressa in Fa-rad, la porta 1 si comporta come un induttore di induttanza espressa in Henry pari a:

GC

2 dove G è il rapporto di girazione.

Infatti valgono le seguenti relazioni:

Tenendo conto anche delle relazioni (5.21) e (5.22) si può scrivere:


dtdi

GC

dtdv

GC

dtdv

GC

Gi

Gi

v 12

2CC21 ====−=

il che conferma quanto detto sopra. Altrettanto facilmente si può dimostrare che se col-lega alla porta 2 un induttore di induttanza L [H], la porta 1 si comporta come un con-densatore di capacità G2L [F]. Se G=1 avrò in ingresso un induttore di induttanza C [H] ovvero un condensatore di capacità L [F].

4) se si collega alla porta 2 di un giratore un resistore non lineare controllato in corren-te, la porta 1 si comporta come un resistore non lineare controllato in tensione.

Valgono, infatti, le seguenti relazioni:

Ponendo, per comodità, G=1S e tenendo conto delle relazioni (5.21) e (5.22)

si può scrivere:

)f(v)f(Gv)if()f(ivvGvi 112LL221 ==−=====

il che conferma quanto detto sopra. Altrettanto facilmente si può dimostrare che se si collega alla porta 2 di un giratore un resistore non lineare controllato in tensione, la porta 1 si comporta come un resistore non lineare controllato in corrente.

5.6 INDUTTORI BIPORTA


Abbiamo già definito un induttore biporta come un elemento la cui caratteristica è e-spressa dalle seguenti due equazioni:

=

=

0),,i,(if

0),,i,(if

2121b

2121a

ϕϕ

ϕϕ

Cercheremo ora di ricavare i legami funzionali tra le due coppie di correnti e flussi par-tendo da un particolare caso fisico. A tale scopo consideriamo un toroide intorno a cui sia disposto un avvolgimento costituito da N1 spire di materiale conduttore, come mo-strato in figura:

Riterremo, inoltre, soddisfatte le seguenti ipotesi di lavoro:

• il toro deve avere una sezione retta S costante e circolare; • il toro e' costituito da materiale con permeabilità magnetica µ costante; • le spire dell'avvolgimento devono essere disposte in modo serrato tra loro e a sim-

metria radiale, cioè ogni piano che seca radialmente il toro deve contenere solo due spire;

• il toro deve avere una struttura filiforme, ossia deve risultare:

0dd 12 ≈−

Tutte queste ipotesi garantiscono che le linee di flusso del campo magnetico generato dalla corrente che viene fatta scorrere nell'avvolgimento siano contenute all'interno del toroide; tale campo magnetico sarà diretto tangenzialmente ad ogni circonferenza con centro in O e con diametro compreso tra d1 e d2 (il verso del vettore campo magnetico


dipenderà dal verso di scorrimento della corrente e può essere determinato con la rego-la della mano destra) ed inoltre sarà costante in modulo lungo tutto il toroide, avendo supposto che quest'ultimo abbia una struttura filiforme. Considero, allora, un cammino medio C (come mostrato in figura) di diametro:

2dd

d 21 +=

e applico il teorema di Ampere a tale cammino chiuso, ottenendo:

(5.24) diN

HiNdHiNldH 111111

C

111π

π =⇒=⇔=⋅∫

ove H1

rappresenta il campo magnetico dovuto ad i1

mentre N1i1 rappresenta il numero di concatenamenti di i1 con C.

Posso allora ricavare il campo induzione magnetica come segue:

(5.25) idN

HB 11

11π

µµ ==

e quindi l'espressione del flusso del campo magnetico generato dalla corrente i1 e con-catenato ad una generica spira dell'avvolgimento di sezione S. Tale flusso, nella generi-ca sezione S del toro, varrà:

111

S

11 iNdS

SBsdBπ

µϕ ==⋅= ∫

che possiamo scrivere come:

) magnetica riluttanza la è mentre permeanza detta è (

(5.26) d

S1con iN 111

ℜΛ

=ℜ

=ΛΛ=ππππ

µµµµϕϕϕϕ

Poniamo ora un secondo avvolgimento sul toroide ( in figura è disegnato separato dal


primo ma in realtà i due avvolgimenti sono da considerarsi sovrapposti):

In maniera analoga a quanto fatto per il primo avvolgimento, otterremo che il flusso del campo magnetico generato dalla corrente i2 attraverso una generica sezione S del toroide è pari a:

(5.27) iN 222 Λ=ϕ

(Nota: tale flusso viene calcolato considerando unicamente il secondo avvolgimento).

Immaginiamo ora di far passare una corrente i1 diversa da zero nel primo avvolgimen-to e di mantenere il secondo avvolgimento in condizione di circuito aperto; possiamo così ricavare il flusso del campo magnetico generato dalla corrente i1 e concatenato, ri-spettivamente, al primo e al secondo avvolgimento come segue:

(5.28) iNNN

iNN0i

0i

1211221

1211111

2

1

Λ==Φ

Λ==Φ⇒

=

≠

ϕ

ϕ

Immaginiamo ora di far passare una corrente i2 diversa da zero nel secondo avvolgi-mento e di mantenere il primo avvolgimento in condizione di circuito aperto; possiamo così ricavare il flusso del campo magnetico generato dalla corrente i2 e concatenato, ri-spettivamente, al primo e al secondo avvolgimento come segue:

(5.29) iNN

iNNN

0i

0i

2222222

2212112

2

1

Λ==Φ

Λ==Φ⇒

≠

=

ϕ

ϕ

Immaginiamo ora di far passare una corrente i1 diversa da zero nel primo avvolgimen-to ed una corrente i2 diversa da zero nel secondo avvolgimento; possiamo così ricavare


il flusso del campo magnetico generato dalla corrente i1 e dalla corrente i2 concatenato, rispettivamente, al primo e al secondo avvolgimento come segue:

(5.30) iNiNN

iNNiN

0i

0i

22212122212

22112112111

2

1

Λ+Λ=Φ+Φ=Φ

Λ+Λ=Φ+Φ=Φ⇒

≠

≠

Abbiamo applicato il principio di sovrapposizione: ciò è possibile in quanto il sistema studiato è lineare.

Facendo ora le seguenti posizioni:

;induttanza mutua : NNM

to;avvolgimen secondo del anzaautoindutt : NL

to;avvolgimen primo del anzaautoindutt : NL

21

2222

2111

Λ=

Λ=

Λ=

il sistema (5.30) si può scrivere come:

iLii

LMML

:matriciale formain e (5.31), iLMi

MiiL

2

1

22

11

2

1

22212

21111

⋅Φ

Φ

+=Φ

+=Φ

=

⋅

=

=Φ

Come si può osservare, le due equazioni (5.31) rappresentano la caratteristica di un in-duttore biporta; la matrice L è detta matrice induttanza. La rappresentazione circuitale di un induttore biporta è la seguente:


Si ricavano facilmente le relazioni tra tensioni e correnti di porta:

+=Φ

=

+=Φ

=

dtdi

Ldtdi

Mdt

dv

dtdi

Mdtdi

Ldt

dv

222

122

2111

11

mediante le quali si può ottenere la seguente interpretazione circuitale equivalente di un induttore biporta:

Oppure, supponendo che i due induttori accoppiati siano inizialmente scarichi (cioè con corrente iniziale nulla), si può scrivere:

⋅

ΓΓ

ΓΓ=

⋅

−

−⋅=

∫

∫

∫

∫t

t

t

t

dv

dv

dv

dv

LM

ML

Li

i

0

2

0

1

220

011

0

2

0

1

11

22

2

1

)(

)(

)(

)(

)det(

1

ττ

ττ

ττ

ττ

dove si è posto:

det(L)M

det(L)

L

det(L)L

con , L 011

2222

11220

0111 −=Γ=Γ=Γ

ΓΓ

ΓΓ==Γ −


ove Γ indica la matrice delle inertanze.

Mediante queste relazioni otteniamo, invece, la seguente ulteriore interpretazione cir-cuitale equivalente di un induttore biporta:

Prendiamo ora in esame l'induttore biporta da un punto di vista energetico. Suppo-niamo che all'istante t=0 le correnti sui due induttori accoppiati siano nulle, cioè:

0(0)i e 0(0)i 21 ==

Dalle relazioni (5.31) che esprimono la caratteristica di un induttore biporta, si ottiene:

0(0) e 0(0) 21 =Φ=Φ

Essendo nulli i flussi, assumiamo questa condizione come quella cui corrisponde ener-gia magnetica immagazzinata dal biporta (all'istante t=0) uguale a zero.

A partire da questa condizione ricaviamo ora l'energia fornita all'induttore biporta in un intervallo di tempo infinitesimo dt:

++=⇒+++=

⇒Φ+Φ=+==

⇒+=

222221

21112221221111

22112211

2211

iL21

iMiiL21

ddw)iLd(Mii)Miid(Lidw(t)

(t)(t)di(t)(t)di(t)dt(t)vi(t)dt(t)vip(t)dtdw(t)

(t)(t)iv(t)(t)ivp(t)

Integrando quest'ultima relazione tra gli estremi 0 e t e tenendo presente che, per ipo-


tesi, l'energia magnetica nell'istante 0 è nulla, si può scrivere:

(5.32) iL21

iMiiL21

w(t) 222221

2111

++=

La relazione (5.32) esprime l'energia fornita all'induttore biporta nell'istante t: osser-viamo che tale energia fornita all'induttore è esattamente pari a quella immagazzinata dallo stesso induttore biporta ed è sempre una quantità maggiore o al massimo uguale a zero, perché non essendoci nell'induttore biporta altri morsetti (escludendo, ovvia-mente, le coppie di terminali che definiscono le due porte) attraverso i quali esso possa scambiare energia con i sistemi interagenti in maniera reversibile, né generatori, si avrà che tale energia potrà, al limite, essere restituita completamente al resto del circuito col-legato all'induttore biporta (in tal caso: W(t)=0) ma quest'ultimo non potrà mai cedere all'esterno una quantità di energia superiore a quella che riceve. Di conseguenza, os-servando che l'espressione (5.32) può essere posta in forma matriciale come segue:

[ ] 0LiTi21

i

i

LM

MLii

21W

2

1

22

1121 ≥=⋅⋅=

se ne deduce che l'energia magnetica immagazzinata dall'induttore può essere conside-rata una forma quadratica semidefinita positiva e quindi tutti i minori principali estrat-ti della matrice L risulteranno essere non negativi, ossia:

( ) LL2M02MLLLDet

(5.33) 0L

0L

22112211

22

11

≤⇒≥−=

≥

≥

Dall'ultima relazione, si osserva che la mutua induttanza M può assumere anche valori negativi e quindi sorge il problema di determinare il segno di M. Prima di far ciò, è op-portuno introdurre il seguente parametro:

(5.34) 1k0con LLk=M LL

Mk 2211

2211

≤≤⇒=


k è detto coefficiente di accoppiamento: se è uguale a zero i due induttori non sono accoppiati, se è uguale a 1 l'accoppiamento è perfetto ed M assume il suo valore mas-simo. Per quanto riguarda ora la determinazione del segno di M è possibile verificare che tale segno dipende dal senso di avvolgimento delle spire intorno al materiale ma-gnetico. Consideriamo, ad esempio, il toroide rappresentato in fig. 5.10 e supponiamo, per comodità, che le correnti nei due avvolgimenti siano costanti (si tenga presente che quanto diremo ora si basa sull'ipotesi implicita di far riferimento alla convenzione de-gli utilizzatori):

Come si può verificare applicando la regola della mano destra, il flusso del campo ma-gnetico generato dalla corrente del primo avvolgimento è diretto in senso orario e poi-ché anche il flusso del campo magnetico generato dalla corrente nel secondo avvolgi-mento ha la stessa direzione, possiamo concludere che quest'ultimo rafforza il primo. Se invece invertiamo il verso della corrente sul secondo avvolgimento, cioè conside-riamo una corrente sempre entrante ma pari a -I2, il flusso del campo magnetico gene-rato da tale corrente sarà diretto in senso antiorario e quindi si oppone al flusso del campo magnetico generato dalla corrente nel primo avvolgimento. Si può allora ritene-re che l'energia magnetica nel primo caso sarà maggiore di quella nel secondo caso, cioè:

21212121

222221

211121

222221

211121

IMIIMI )I,W(I)I,W(I

IL2

1IMIIL

2

1)I,2)W(I

IL2

1IMIIL

2

1)I,1)W(I

−>⇒−>

+−=−

++=

Evidentemente, affinché quest'ultima relazione sia soddisfatta M deve essere positivo. Immaginiamo ora di cambiare il senso del secondo avvolgimento, come mostrato in fi-gura:


Come si può verificare applicando la regola della mano destra, il flusso del campo ma-gnetico generato dalla corrente del primo avvolgimento è diretto in senso orario men-tre il flusso del campo magnetico generato dalla corrente nel secondo avvolgimento è diretto in senso antiorario; possiamo, quindi, concludere che quest'ultimo si oppone al primo. Se invece invertiamo il verso della corrente sul secondo avvolgimento, cioè con-sideriamo una corrente sempre entrante ma pari a -I2, il flusso del campo magnetico generato da tale corrente sarà diretto in senso orario e perciò rafforza il flusso del cam-po magnetico generato dalla corrente nel primo avvolgimento. Si può allora ritenere che l'energia magnetica nel secondo caso sarà maggiore di quella nel primo caso, cioè:

21212121

222221

211121

222221

211121

IMIIMI- )I,W(I)I,W(I

IL21

IMIIL21

)I,2)W(I IL21

IMIIL21

)I,1)W(I

>⇒>−

+−=−++=

Evidentemente, affinché quest'ultima relazione sia soddisfatta M deve essere negativo. Abbiamo così verificato che effettivamente il segno di M dipende dal senso di avvol-gimento delle spire intorno al materiale magnetico. In pratica si tiene conto del senso di avvolgimento delle spire contrassegnando una delle estremità di ciascun avvolgimen-to. Viene poi utilizzata la seguente convenzione:

se le correnti nei due induttori accoppiati entrano o escono contemporaneamente dai due contrassegni allora si avrà M>0:

Se invece la corrente in un induttore entra (esce) e la corrente del secondo induttore ac-coppiato esce (entra) dal contrassegno, sarà M<0:


Induttori a tre porte. La generalizzazione di quanto detto sinora al caso di un induttore a tre porte (o anche ad n porte) è banale. Esso sarà costituito da tre avvolgimenti so-vrapposti (che comunque disegneremo separatamente) come mostrato in figura:

La sua caratteristica può essere posta in forma matriciale come segue:

(5.35)

i

i

i

LMM

MLM

MML

3

2

1

332313

232212

131211

3

2

1

⋅

=

Φ

Φ

Φ

In questo caso per determinare il segno dei tre coefficienti di mutua induttanza biso-gnerà osservare l'andamento delle correnti sulle tre porte prese due a due, ossia appli-care la suddetta convenzione alle porte 1 e 2 per trovare il segno di M12, alle porte 2 e 3 per trovare il segno di M23 e alle porte 1 e 3 per trovare il segno di M13.


5.7 TRASFORMATORE IDEALE

Un dispositivo fisico molto importante è il trasformatore reale, che viene generalmente utilizzato per variare opportunamente tensione e corrente in uscita rispetto alla tensio-ne e corrente in ingresso a parità di potenza trasmessa. Per studiarlo si fa riferimento ad un suo modello astratto che chiameremo trasformatore ideale e che si basa su queste ipotesi semplificative:

1) non ci sono flussi dispersi;

2) non ci sono perdite ( in particolare, non ci sono correnti parassite né perdite per iste-resi ed inoltre i due avvolgimenti avranno resistenza nulla);

3) il materiale magnetico è costituito da una permeabilità infinita e la sua struttura sia filiforme.

Per le ipotesi fatte, possiamo ritenere che le linee di flusso del campo magnetico gene-rato dalle correnti nei due avvolgimenti siano contenute tutte all'interno della struttura e che tale campo sia costante lungo ogni cammino chiuso scelto all'interno di tale strut-tura. Inoltre, non essendoci flussi dispersi, possiamo ritenere che il flusso del campo magnetico risultante attraverso una generica sezione S del trasformatore ideale sia co-stante per ogni sezione. Si può scrivere allora:

=Φ

=Φ

toavvolgimen secondo al oconcatenat totale flusso : N

toavvolgimen primo al oconcatenat totale flusso : N

22

11

ϕ

ϕ

Tenendo poi presente che le resistenze dei due avvolgimenti sono nulle (e quindi non si hanno su di essi cadute di tensione) si ottiene:


(5.36) n NN

vv

dtd

Ndt

dv

dtd

Ndt

dv

2

1

2

1

22

2

11

1

==⇒

=Φ

=

=Φ

=

ϕ

ϕ

n è detto rapporto di trasformazione ed evidentemente può essere un numero maggiore o minore di 1. Se ora applico il teorema di Ampere al cammino medio Γ di lunghezza L ottengo:

magnetica. riluttanza S

Lcon , (5.37) iNiN

iNiNS

LiNiNL

SBS

iNiNHLSS

:come scrivere posso che , iNiNHLiNiNldH

2211

221122112211

22112211

µϕ

ϕµµµ

µ

=ℜ+=ℜ

⇒+=⇒+=⇒+=

+=⇒+=⋅∫

D'altra parte, essendo per ipotesi µ infinita, si ha:

(5.38) n NN

ii

0iNiN2

1

1

22211 −=−=⇒=+

le equazioni (5.36) e (5.38) definiscono il comportamento del trasformatore ideale.

Notate che mettendo insieme la (5.36) e (5.38) si ottiene:

(5.39) v

i

0n

n0

i

v

nii

nvv

2

1

2

1

12

21

⋅

−=

⇔

−=

=

Mediante la (5.39) si ottiene la seguente interpretazione circuitale equivalente del tra-sformatore ideale:

+–

+

–

v1

i1 i2

v2

+

–

n v 2 –n i1

Le relazioni (5.39) definiscono la rappresentazione ibrida 1 di un resistore biporta: que-


sto, dunque, ci consente di considerare un trasformatore ideale come un particolare re-sistore biporta (si osservi che è possibile ricavare la rappresentazione ibrida 2 e le due trasmissioni ma non la rappresentazione controllata in corrente né quella controllata in tensione). Il simbolo circuitale di un trasformatore ideale è:

Il trasformatore ideale gode delle seguenti proprietà:

1) così come il giratore, è un elemento non energetico ovvero e' trasparente rispetto alla potenza; infatti si ha:

( ) 0(t)nin(t)v

(t)(t)iv(t)(t)iv(t)(t)ivp(t) 11

112211 =−+=+=

2) se colleghiamo alla porta 2 un resistore di resistenza R, la porta 1 si comporta come un resistore di resistenza pari a:

ionetrasformazdi rapporto il èn dove Rn 2

Infatti, tenendo conto delle (5.39) e delle relazioni scritte sopra, si ha:


( ) ( ) 12

12RR21 RinninRinRnRinvnvv ==−====

il che conferma quanto detto;

3) se colleghiamo alla porta 1 un resistore di resistenza R, la porta 2 si comporta come un resistore di resistenza pari a:

ionetrasformazdi rapporto il èn dove nR

2

Infatti, tenendo conto delle (5.39) e delle relazioni scritte sopra, si ha:

( )22

21RR12 i

nR

ni

nR

niR

nRi

nv

nv

v =

=

−====

il che conferma quanto detto.

5.8 CONDENSATORI BIPORTA

Sono elementi ideali a tre terminali la cui caratteristica è esprimibile mediante le se-guenti due equazioni:

=

=

0)q,q,v,(vf

0)q,q,v,(vf

21212

21211


Dato il loro scarso utilizzo non ci soffermeremo ulteriormente su di essi.


CAPITOLO 6

6.1 ANALISI DEI CIRCUITI LINEARI TEMPO-INVARIANTI DINAMICI 149

6.2 IL PROBLEMA DELLA VALUTAZIONE DELLE CONDIZIONI INIZIALI 176

6.3 CONDIZIONI FINALI NEGLI ELEMENTI 188

6.4 CIRCUITI DEL SECONDO ORDINE 189

6.5 APPROCCIO AI CIRCUITI CON IL METODO DELLE VARIABILI DI STATO 208

6.6 RISPOSTA ALL'IMPULSO 222

6.7 METODO GENERALE PER LA DETERMINAZIONE DI UN IMPULSO DI TENSIONE

O DI CORRENTE IN UN CIRCUITO 234


6.1 ANALISI DEI CIRCUITI LINEARI TEMPO-INVARIANTI DINAMICI

Consideriamo un qualsiasi circuito lineare (nel quale cioè siano presenti elementi lineari e gene-ratori indipendenti), tempo-invariante e dinamico (in cui, cioè, sia presente almeno un conden-satore o un induttore). Supponiamo, per comodità (ma tale ipotesi non è restrittiva), che ci sia un solo ingresso, ad esempio un generatore di tensione o di corrente, la cui forma d'onda, sup-posta limitata con le sue derivate, sarà indicata con x(t), mentre indichiamo con y(t) una qual-siasi risposta del circuito all'ingresso considerato (sono risposte del circuito, ad es., tutte le cor-renti e tensioni di lato). Se il circuito soddisfa le suddette caratteristiche, ossia è un circuito di-


namico, lineare e tempo-invariante, allora tra l'ingresso x(t) scelto e la risposta y(t) considerata sussiste una relazione di questo tipo:

(6.1) x(t)b....dt

x(t)dby(t)a

dtdy(t)

a....dt

y(t)da

dty(t)d

a mm

m

0n1n1n

1n

1n

n

0 ++=++++ −−

−

Si tratta di un'equazione differenziale di ordine n lineare e a coefficienti costanti: il se-condo membro nell'equazione (6.1) rappresenta il termine noto. La linearità di tale e-quazione differenziale riflette il fatto che stiamo considerando un circuito lineare men-tre la presenza di coefficienti costanti nell'equazione è connesso alla tempo-invarianza del circuito in esame.

L’ordine dell’equazione differenziale (6.1) dipende dall’ordine del circuito per cui essa è scritta. Infatti, se il circuito è di ordine n anche l’equazione (6.1) sarà di ordine n.

Un circuito dinamico si definisce di ordine n se esso contiene n elementi circuitali con-servativi indipendenti.

Un elemento conservativo è detto indipendente se la variabile che viene usata per e-sprimere l’energia che è contenuta in esso non può essere ottenuta come combinazione lineare delle corrispondenti variabili di alcuni degli elementi conservativi dello stesso presenti nel circuito.

Per fissare le idee se si considera un condensatore esso sarà indipendente se la sua ten-sione non può essere espressa da una combinazione lineare delle tensioni di tutti o di alcuni degli altri condensatori presenti nel circuito in esame. E’ facile comprendere che ciò avviene se esiste una maglia fatta tutta di condensatori oppure di condensatori e generatori di tensione (maglia capacitiva). In modo duale un induttore sarà indipen-dente se la sua corrente non può essere espressa da una combinazione lineare delle correnti di tutti o di alcuni degli altri induttori presenti nel circuito in esame. Anche in questo caso si comprende subito che la condizione perché più induttori siano dipen-denti è che ci sia una equazione che leghi le correnti degli induttori, questo accade se nel circuito esiste un insieme di taglio (vedi cap. VI par. 7.2) costituito solo da induttori e/o generatori di corrente (insieme di taglio induttivo). In altre parole si può dire che se nel circuito è possibile individuare una gaussiana che tagli solo lati del circuito costi-tuiti da induttori ed al più generatori di corrente, la legge di equilibrio delle correnti che si può scrivere a questa gaussiana costituisce un vincolo per le correnti degli indut-tori, implicando che ciascuno di essi può essere considerato non indipendente rispetto agli altri.

In virtù di queste considerazioni si può affermare che l’ordine di un circuito dinami-co (n) può essere individuato dalla differenza tra il numero totale degli elementi conservativi (c) presenti nel circuito sottratto del numero di maglie indipendenti (mc) che contengono solo condensatori e/o generatori di tensione e del numero di in-siemi di taglio indipendenti (it) che contengono solo induttori e/o generatori di cor-rente, n = c - mc –it .


Ad esempio l’ordine del circuito seguente è 3, infatti, il numero degli elementi con-servativi è c = 5, il numero di maglie costituite da condensatori e generatori di ten-sione è mc = 1 (si può scrivere l’equazione vc2 = vc3, in questo caso la maglia è costi-tuita da soli condensatori ed è priva di generatori di tensione), mentre il numero di insiemi di taglio costituiti da generatori di corrente ed induttori è it = 1 (si può scri-vere l’equazione J = iL1 + iL2).

L'integrale generale dell'equazione (6.1) è esprimibile come segue:

(6.2) (t)y(t)yy(t) sh +=

dove yh(t) è l'integrale dell'equazione omogenea associata all'equazione (6.1) mentre ys(t) è l'integrale particolare dell'equazione completa. Per ricavare yh(t) si considera, come ben noto, l'equazione caratteristica relativa all'omogenea associata all'equazione (6.1); tale equazione caratteristica è un'equazione algebrica di grado n ed ammette per-ciò n soluzioni che indicheremo con s1, s2,..., sn e che chiameremo autovalori o frequen-ze naturali del circuito. Nel caso particolare in cui tali frequenze naturali siano distinte, l'integrale dell'equazione omogenea yh(t) è dato da:

(*) ek.....ekek(t)y tsn

ts2

ts1h

n21 +++=

Le costanti ki possono essere determinate una volta note le n condizioni iniziali del cir-cuito in esame. Per quanto riguarda l'integrale particolare ys(t) (che può essere deter-minato, ad esempio, con il metodo dei 'coefficienti indeterminati') è possibile dimostra-re che, essendo l'equazione differenziale lineare e a coefficienti costanti, tale funzione


ys(t) sarà dello stesso tipo dell'ingresso x(t), cioè se l'ingresso è una funzione costante tale sarà anche la funzione ys(t); se l'ingresso è una funzione sinusoidale tale sarà anche la funzione ys(t), ecc. Diamo ora la seguente definizione: un circuito dinamico lineare e tempo-invariante è detto asintoticamente stabile se tutte le sue frequenze naturali hanno una parte reale negativa (ossia giacciono nel semipiano sinistro aperto del piano complesso). In tal caso si verifica che:

(6.3) (t)yy(t) e 0(t)y st

ht

limlim ==+∞→+∞→

Per tale motivo yh (t) è detta risposta transitoria mentre ys (t) è detta risposta a regime (steady state). Da quanto detto appare evidente che fisicamente la risposta è effetto di due cause: le condizioni iniziali e l'ingresso. Nei circuiti lineari tempo-invarianti e asin-toticamente stabili al trascorrere del tempo il transitorio si esaurisce e rimane solo la ri-sposta a regime. Tale risposta avrà una forma d'onda strettamente legata a quella del-l'ingresso. Se l'ingresso non è presente e sono presenti le condizioni iniziali, allora y(t) coincide con yh(t) e la risposta è detta a ingresso zero.

Esempi di circuiti lineari tempo-invarianti del primo ordine.

1) Scarica di un induttore. Si consideri il circuito in figura, supposto in condizioni di

regime:

Quando l'interruttore si trova nella posizione 1, il generatore di tensione costante è col-legato alla serie formata dal resistore e dall'induttore ai quali elementi eroga energia. Supponiamo che all'istante t=0 l'interruttore venga portato nella posizione 2: in tal mo-do il generatore di tensione sarà escluso dal circuito ma comunque il circuito è sede di correnti che circoleranno grazie all'energia immagazzinata nell'induttore sino all'istante t=0, quando era in funzione il generatore di tensione.

Ci proponiamo di determinare l'andamento nel tempo della corrente sull'induttore. Valgono allora le seguenti relazioni:


(6.6) 0vv :L.K.T.

(6.5) ii :L.K.C.

(6.4)

dtdi

Lv

Riv :latodi Relazioni

LR

LR

LL

RR

=+

=

=

=

Posto:

(6.7) 0iLR

dtdi

0Ridtdi

L

:come scrivesi (6.6) la iii LR

=+⇒=+

==

La relazione (6.7) rappresenta l'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del primo ordine relativa al circuito in esame: come possiamo osservare si tratta di u-n'equazione omogenea (infatti il termine noto è nullo) in accordo col fatto che nel cir-cuito non sono presenti ingressi. Per ricavare l'integrale generale dell'equazione (6.7) risolviamo l'equazione caratteristica ad essa associata:

(6.8) LR

s 0RsL −=⇒=+⋅

Si noti che R/L ha dimensioni pari a [s-1] cioè ha le dimensioni della frequenza. Da qui deriva l'uso della denominazione di frequenza naturale. Il circuito ha, dunque, una sola frequenza naturale data dalla (6.8) e, come si osserva, si tratta di un valore reale e nega-tivo: conseguentemente il circuito in esame è asintoticamente stabile. In conclusione:

(6.9) t

ek(t)ii(t) LR

h

==

−

Per determinare il valore della costante K occorre trovare una condizione iniziale e precisamente il valore della corrente i(t) nell'istante 0+ ossia nell'istante immediatamen-te successivo a t=0. Per far ciò cominceremo analizzando il circuito negli istanti prece-denti a t=0 ed in particolare cercheremo di calcolare il valore della corrente i(t) nell'i-


stante 0- . Per t<0 il circuito è così rappresentato:

Tenendo presente quanto detto alla pagina precedente, essendo il circuito asintotica-mente stabile avremo che, a regime, le correnti di lato (ma pure tutte le tensioni di lato) devono seguire l'ingresso e poiché il generatore di tensione è costante anch'esse saran-no tali, cioè costanti. Otteniamo, allora, quanto segue:

(6.13) costante. I essendo , 0dtdI

Ldtdi

Lv

(6.12) RIRiv

(6.11) Evvvvv :L.K.T.

(6.10) Iii :L.K.C.

LL

RR

LRgLR

LR

===

==

=+⇒=+

==

cioè l'induttore si comporta come un cortocircuito. Dunque, la (6.11) si scrive:

(6.14) RE

I ERI =⇒=

da cui possiamo concludere che:

(6.15) RE

Ii(0_)(0_)i(0_)i RL ====

A questo punto, poiché nell'istante t=0 si ha ai capi dell'induttore una variazione di tensione istantanea ma comunque limitata (essendo il generatore di tensione costante), sfruttando il principio della continuità della corrente su un induttore (par. 2.3) possia-mo affermare che:

(6.16) RE

Ii(0))i(0i(0_) ==== +

Possiamo allora ricavare definitivamente l'integrale generale dell'equazione (6.7) come segue:


(6.17) t

eRE

i(t)

RE

i(0)

t

ek(t)ii(t)LR

LR

h

=⇒

=

==

−

−

La quantità L/R ha le dimensioni di un tempo (infatti, a parte il segno, è pari al recipro-co della frequenza naturale s) ed è detta costante di tempo: viene indicata con Ts.

La relazione (6.17) rappresenta l'andamento nel tempo della corrente ai capi dell'induttore (ed anche di quella ai capi del resistore visto che sono uguali per la L.K.C.); possiamo ora facilmente ricavare le tensioni di lato che sono date da:

(6.19) t

eE(t)vdt

di(t)L(t)v

(6.18) t

eERi(t)(t)v

LR

RL

LR

R

−=−==

==

−

−

Le relazioni (6.17)-(6.18)-(6.19) possono essere così diagrammate:

E' facile verificare che il punto P ottenuto dall'intersezione con l'asse dei tempi delle tangenti alle tre curve rispettivamente nei punti di coordinate (0,E/R) , (0,E) e (0,-E) ha un'ascissa esattamente pari alla costante di tempo Ts=L/R. Osserviamo, inoltre, quanto segue: sino a quando t<0, cioè prima che l'interruttore passi nella posizione 2, l'indutto-re ha immagazzinato un'energia magnetica pari a:

[ ]2

22

RE

L21

)i(0L21

LI21

== −


la quale, nel momento in cui l'interruttore viene chiuso portandolo nella posizione 2, sarà a poco a poco dissipata nel resistore: tale scambio energetico si manifesta con la presenza di una corrente. La velocità di dissipazione dell'energia magnetica è regolata proprio dalla costante di tempo: se L aumenta allora l'energia immagazzinata nell'in-duttore aumenterà (a parità di R) e quindi viene impiegato più tempo affinché essa si dissipi completamente nel resistore (infatti Ts=L/R sarà maggiore). Viceversa, se L di-minuisce sempre a parità di R diminuirà l'energia immagazzinata nell'induttore e quindi anche il tempo necessario affinché essa si dissipi completamente nel resistore. Considerazioni analoghe si possono fare aumentando o diminuendo R a parità di L. Se R'> R avremo che Ts diminuisce con conseguente diminuzione del tempo impiegato perché l'energia accumulata nell'induttore si dissipi sul resistore, mentre se R''< R a-vremo che Ts aumenta con conseguente aumento del tempo impiegato perché l'energia accumulata nell'induttore si dissipi sul resistore. Facciamo un'ultima considerazione: posto I=E/R calcoliamo il valore della corrente i(t) in un istante t pari proprio alla co-stante di tempo Ts; si ottiene, ricordando che e=2,718:

( ) 0.37IeIeI)i(T 1TLR

ss

≈=

= −

−

cioè dopo una costante di tempo la corrente i(t) si riduce a circa il 37% della corrente i-niziale I. Vediamo cosa succede dopo quattro costanti di tempo:

( ) 0.02IeIeI)i(4T 44TLR

ss

≈=

= −

−

cioè dopo quattro costanti di tempo la corrente i(t) si riduce al 2% circa della corrente iniziale I. Tenendo presente, però, che con un comune strumento di misura si commet-te un errore di circa il 2% sulla rilevazione del valore esatto, si può concludere che, an-che se teoricamente il regime transitorio ha durata infinita (perché, in teoria, la corrente i(t) si esaurisce completamente solo per t che tende ad infinito), in realtà dopo t=4Ts

non si è più in grado di apprezzare in maniera attendibile il valore della grandezza. Pertanto, si può ritenere che il transitorio abbia una durata di circa quattro costanti di tempo.

Ts, nella pratica, può assumere valori che vanno da qualche µs alle frazioni di secondo.


2) Scarica di un condensatore. Si consideri il circuito in figura:

Quando l'interruttore si trova nella posizione 1, il generatore di tensione costante è col-legato alla serie formata dal resistore e dal condensatore ai quali elementi eroga ener-gia. Supponiamo che all'istante t=0 l'interruttore venga portato nella posizione 2: in tal modo il generatore di tensione sarà escluso dal circuito ma comunque è presente una corrente che circola grazie all'energia immagazzinata nel condensatore sino all'istante t=0, quando era in funzione il generatore di tensione. Ci proponiamo di determinare l'andamento della tensione sul condensatore. Valgono allora le seguenti relazioni:

(6.22) 0vv :L.K.T.

(6.21) ii :L.K.C.

(6.20)

dtdv

Ci

Riv :latodi Relazioni

CR

CR

CC

RR

=+

=

=

=

Posto:

(6.23) 0R

v

dt

dvC0v

dt

dvRC0vRi0vRi

:come scrive si (6.22) la vvv

CR

RC

=+⇒=+⇒=+⇒=+

−==

La relazione (6.23) rappresenta l'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del primo ordine relativa al circuito in esame: come possiamo osservare si tratta di u-n'equazione omogenea (infatti il termine noto è nullo) in accordo col fatto che nel cir-cuito non ci sono ingressi. Per ricavare l'integrale generale dell'equazione (6.23) risol-viamo l'equazione caratteristica ad essa associata:

(6.24) RC1

s 0R1

sC −=⇒=+⋅


Il circuito ha, dunque, una sola frequenza naturale data dalla (6.24) e, come si osserva, si tratta di un valore reale e negativo: ciò consente di affermare che il circuito in esame è asintoticamente stabile. In conclusione:

(6.25) t

ek(t)vv(t) RC1

h

==

−

Per determinare il valore della costante K occorre trovare una condizione iniziale e precisamente il valore della tensione v(t) nell'istante 0+ ossia nell'istante immediata-mente successivo a t=0. Per far ciò cominceremo analizzando il circuito negli istanti precedenti a t=0 ed in particolare cercheremo di calcolare il valore della tensione v(t)

nell'istante 0- . Per t<0 il circuito è così rappresentato:

Tenendo presente quanto detto precedentemente, essendo il circuito asintoticamente stabile avremo che, a regime, le tensioni di lato (ma pure tutte le correnti di lato) devo-no seguire l'ingresso e poiché il generatore di tensione è costante anch'esse saranno tali, cioè costanti. Otteniamo, allora, quanto segue:

(6.28) , 0dtdV

RCdt

dvRCRiRiv

(6.27) Evvvvv :L.K.T.

(6.26) ii :L.K.C.

:hasi cost.Vv

costante V essendoCCRR

CRgCR

CR

CPosto

=====

=+⇒=+

=

==

e quindi I=0 (vR=RI), il condensatore si comporta in questo caso come un circuito aper-to.

Dunque, la (6.27) si scrive:


(6.29) EV EvC =⇒=

da cui possiamo concludere che:

(6.30) EVv(0_)(0_)vC ===

A questo punto, poiché nell'istante t=0 si ha ai capi del condensatore una variazione di corrente istantanea ma comunque limitata (essendo il generatore di tensione costante), sfruttando il principio della continuità della tensione su un condensatore lineare e tempo invariante (vedi paragrafo 2.2) possiamo affermare che:

(6.31) EVv(0))v(0v(0_) ==== +

Possiamo allora ricavare definitivamente l'integrale generale dell'equazione (6.23) co-me segue:

(6.32) t

eEv(t)

EVv(0)

t

ek(t)vv(t)RC1RC

1

h

=⇒

==

== −

−

La quantità RC ha le dimensioni di un tempo (infatti, a parte il segno, è pari al recipro-co della frequenza naturale s) ed è detta costante di tempo: viene indicata con Ts. La rela-zione (6.32) rappresenta l'andamento nel tempo della tensione ai capi del condensatore; possiamo ora facilmente ricavare le altre grandezze di lato che sono date da:

(6.34) t

eRE

R(t)v

(t)idt

dv(t)C(t)i

(6.33) t

eEv(t)(t)v(t)v

RC1

RRC

RC1

CR

−====

−=−=−=

−

−

Le relazioni (6.32), (6.33) e (6.34) possono essere così diagrammate:


E' facile verificare che il punto P ottenuto dall'intersezione con l'asse dei tempi delle tangenti alle tre curve rispettivamente nei punti di coordinate (0,-E/R) , (0,E) e (0,-E) ha un'ascissa esattamente pari alla costante di tempo Ts=RC.

Osserviamo, inoltre, quanto segue: sino a quando t<0, cioè prima che l'interruttore pas-si nella posizione 2, il condensatore ha immagazzinato un'energia elettrica pari a:

[ ] 222 CE21

)v(0C21

CV21

== −

la quale, nel momento in cui l'interruttore viene chiuso portandolo nella posizione 2, sarà a poco a poco dissipata nel resistore: tale scambio energetico avviene mediante passaggio di corrente. La velocità di dissipazione dell'energia elettrica è regolata pro-prio dalla costante di tempo: se C aumenta allora l'energia immagazzinata nel conden-satore aumenterà (a parità di R) e quindi viene impiegato più tempo affinché essa si dissipi completamente nel resistore (infatti Ts=CR sarà maggiore). Viceversa, se C di-minuisce, sempre a parità di R, diminuirà l'energia immagazzinata nel condensatore e quindi anche il tempo necessario affinché essa si dissipi completamente nel resistore. Valgono anche le stesse considerazioni fatte nel caso della scarica di un induttore a proposito della durata reale del regime transitorio.

3) Carica di un induttore.

Dai grafici che riportano l'andamento nel tempo delle correnti e tensioni di lato, sia nel caso della scarica di un induttore sia in quello della scarica di un condensatore, si os-serva che, per t tendente ad infinito, tali grandezze tendono tutte a zero: questo è in ac-cordo col fatto che, essendo i due circuiti esaminati asintoticamente stabili, a regime (cioè per t che tende ad infinito), tutte le uscite del circuito (ossia correnti e tensioni di lato) devono seguire l'ingresso e poiché questo è nullo (infatti il generatore di tensione viene escluso, in entrambi i processi di scarica, dal resto del circuito all'istante t=0) si avrà che anche le uscite saranno tutte nulle. Inoltre nei due casi precedenti, essendo


nullo l'ingresso, la causa di una evoluzione dinamica delle tensioni e delle correnti era rappresentata esclusivamente dalle condizioni iniziali, rispettivamente, sull'induttore e sul condensatore. Considereremo ora un caso in cui nel circuito sia presente un ingres-

so non nullo. Si prenda in esame il seguente circuito:

Per t<0, quando l'interruttore si trova nella posizione 2, il circuito è completamente i-nerte: infatti, essendo escluso il generatore di tensione dal resto del circuito, non si ha alcuna circolazione di corrente. Di conseguenza è lecito supporre che:

(*) 0)(0iL =−

D'altra parte, nell'istante t=0 quando il tasto del commutatore viene portato nella posi-zione 1, il circuito diventa sede di corrente grazie all'inserimento del generatore di ten-sione costante. In particolare, ai capi dell'induttore si avrà una variazione istantanea ma comunque limitata della tensione: sfruttando, allora, il principio di continuità della corrente su un induttore (vedi par. 2.3) possiamo scrivere:

(**) 0(0)i)(0i)(0i LLL === +−

Proponiamoci ora di determinare l'andamento della corrente sull'induttore per t>0. Valgono le seguenti relazioni:


(6.38) vvv :L.K.T.

(6.37) ii :L.K.C.

(6.36)

dtdi

Lv

Riv

Ev

:latodi Relazioni

gLR

LR

LL

RR

g

=+

=

=

=

=

Posto ora:

(6.39) Edtdi

LRiEdtdi

LRi

:come scrivere puòsi (6.38) la iii

LR

RL

=+⇒=+

==

L'espressione (6.39) rappresenta l'equazione differenziale del primo ordine lineare a coefficienti costanti associata al circuito in esame: si tratta, evidentemente, di un'equa-zione completa il cui termine noto è una costante, in accordo col fatto che è presente nel circuito un ingresso costituito dal generatore di tensione costante. Di conseguenza, l'in-tegrale generale della (6.39) sarà di questo tipo:

(6.40) (t)i(t)ii(t) sh +=

L'integrale particolare is(t) deve seguire l'ingresso (essendo il circuito lineare e tempo-invariante) e poiché quest'ultimo è costante tale sarà anche is(t). Posso porre allora: is(t)=A e per determinare il valore di A è sufficiente sostituire is(t) nell'equazione (6.39):

(6.41) RE

AERAEdtdA

LRA =⇒=⇒=+

Quindi ottengo: is(t)=E/R. Per trovare poi ih(t) devo risolvere l'equazione omogenea as-sociata all'equazione (6.39) che è data da:

(6.42) 0dtdi

LRi =+


Dall'equazione caratteristica relativa alla (6.42) si ricava facilmente l'unica frequenza naturale del circuito pari a: s = -R/L (si noti che è negativa, quindi il circuito è asintoti-camente stabile) e da questa si ottiene poi l'integrale generale dell'equazione omogenea dato da:

(6.43) t

ek(t)i LR

h

=

−

Per ricavare il valore della costante k sfrutteremo la condizione iniziale (**) come se-gue:

(6.44) RE

kRE

k0i(0)

0)(0i)i(0

REt

ek(t)i(t)ii(t)

L

LR

sh−=⇒+==⇒

==

+

=+=

++

−

In definitiva, l'integrale generale dell'equazione (6.39) diventa:

(6.45) (t)i(t)it

e1RE

i(t) RLLR

==

−=

−

Possiamo facilmente ricavare anche l'andamento nel tempo della tensione ai capi del-l'induttore e del resistore come segue:

(6.47) t

eEdt

di(t)L

dt(t)di

L(t)v

(6.46) t

e1ERi(t)(t)Ri(t)v

LR

LL

LR

RR

===

−===

−

−

ovvero vL

= vg-vR

= E-E+Ee-(R/L)t da cui vL=Ee-(R/L)t .


Riportiamo ora su opportuni diagrammi le funzioni espresse dalle relazioni (6.45), (6.46) e (6.47) come segue:

Dal primo grafico si osserva l'andamento della corrente i(t) nel tempo: per t tendente ad infinito essa tende al valore costante E/R in accordo col fatto che, essendo il circuito asintoticamente stabile, a regime ogni uscita deve seguire l'ingresso che in questo caso è proprio un generatore di tensione costante. Considerazioni analoghe valgono per gli altri due grafici: in particolare, dal terzo grafico notiamo, che per t tendente ad infinito, la tensione ai capi dell'induttore tende a zero: questo risultato è in perfetto accordo con quanto accadeva nel processo di scarica di un induttore, una volta raggiunta una con-dizione di regime stazionario per t<0 (l'induttore si comporta come un cortocircuito).

4) Carica di un condensatore.


Si prenda in esame il seguente circuito:

Per t<0, quando l'interruttore si trova nella posizione 2, il circuito è completamente inerte: in-fatti, essendo escluso il generatore di tensione dal resto del circuito, non si ha alcuna circolazio-ne di corrente. Di conseguenza è lecito supporre che:

(*) 0)(0vC =−

D'altra parte, nell'istante t=0 quando l'interruttore viene portato nella posizione 1, il circuito diventa sede di corrente grazie all'inserimento del generatore di tensione co-stante. In particolare, ai capi del condensatore si avrà una variazione istantanea ma comunque limitata della corrente: sfruttando, allora, il principio di continuità della ten-sione su un condensatore (vedi par. 2.2) possiamo scrivere:

(**) 0(0)v)(0v)(0v CCC === +−

Proponiamoci ora di determinare l'andamento della tensione sul condensatore per t>0. Valgono le seguenti relazioni:


(6.50) vvv :L.K.T.

(6.49) ii :L.K.C.

(6.48)

dtdv

Ci

Riv

Ev

:latodi Relazioni

gCR

CR

CC

RR

g

=+

=

=

=

=

Posto ora:

(6.51) Evdtdv

RCEvRiEvRi

:come scrivere puòsi (6.50) la vv

CR

C

=+⇒=+⇒=+

=

L'espressione (6.51) rappresenta l'equazione differenziale del primo ordine lineare a coefficienti costanti associata al circuito in esame: si tratta, evidentemente, di un'equa-zione completa il cui termine noto è una costante, in accordo col fatto che è presente nel circuito un ingresso costituito dal generatore di tensione costante. Di conseguenza, l'in-tegrale generale della (6.51) sarà di questo tipo:

(6.52) (t)v(t)vv(t) sh +=

L'integrale particolare vs(t) deve seguire l'ingresso (essendo il circuito lineare e tempo-invariante) e poichè quest'ultimo è costante tale sarà anche vs(t). Posso porre allora: vs(t)=A e per determinare il valore di A è sufficiente sostituire vs(t) nell'equazione (6.51):

(6.53) EAEAdtdA

RC =⇒=+

Quindi ottengo: vs(t)=E. Per trovare poi vh(t) devo risolvere l'equazione omogenea

associata all'equazione (6.51) che è data da:


(6.54) 0vRC1

dtdv

0vdtdv

RC =+⇒=+

Dall'equazione caratteristica relativa alla (6.54) si ricava facilmente l'unica frequenza naturale del circuito pari a: s = -1/RC (si noti che è negativa, quindi il circuito è asinto-ticamente stabile) e da questa si ottiene poi l'integrale generale dell'equazione omoge-nea dato da:

(6.55) t

ek(t)v RC1

h

=

−

Per ricavare il valore della costante k sfrutteremo la condizione iniziale (**) come segue:

(6.56) EkEk0v(0)

0)(0v)v(0

Et

ek(t)v(t)vv(t)

C

RC1

sh−=⇒+==⇒

==

+

=+=

++

−

In definitiva, l'integrale generale dell'equazione (6.51) diventa:

(6.57) (t)vt

e1Ev(t) CRC1

=

−=

−

Possiamo facilmente ricavare anche l'andamento nel tempo della tensione ai capi del resistore e della corrente ai capi del condensatore e del resistore come segue:

(6.59) t

eE(t)Ri(t)Ri(t)v

(6.58) (t)it

eRE

dtdv(t)

Cdt

(t)dvC(t)i

RC1

CRR

RRC1

CC

===

=

===

−

−

Riportiamo ora su opportuni diagrammi le funzioni espresse dalle relazioni (6.57)-(6.58) e (6.59) come segue:


Dal primo grafico si osserva l'andamento della corrente sul condensatore (uguale a quella sul resistore) nel tempo: per t tendente ad infinito essa tende a zero in accordo con quanto accadeva nel processo di scarica di un condensatore, una volta raggiunta una condizione di regime stazionario per t<0. Mentre dal terzo grafico si osserva l'an-damento nel tempo della tensione ai capi del condensatore e si nota che essa tende al valore costante E per t tendente ad infinito: questo è in accordo col fatto che, essendo il circuito asintoticamente stabile, a regime ogni uscita deve seguire l'ingresso che in que-sto caso è proprio un generatore di tensione costante. Negli esempi considerati sinora abbiamo visto che inserendo o disinserendo all'istante t=0 il generatore di tensione dal resto del circuito si viene a creare un regime dinamico. Vedremo ora come questo stes-so risultato può essere ottenuto modificando i parametri strutturali di un circuito e mantenendo, però, invariata la sorgente. Si faccia riferimento al circuito mostrato in fi-


gura:

Per t<0, quando l'interruttore è sollevato, il resistore con resistenza R2 è collegato al re-sto del circuito nel quale si instaura, sino all'istante immediatamente precedente a t=0, un regime stazionario in cui ogni corrente o tensione di lato assume un valore costante, in accordo col fatto che, essendo il circuito asintoticamente stabile (come verificheremo fra poco), ogni uscita deve seguire l'ingresso (che in questo caso è rappresentato pro-prio da un generatore di tensione costante). All'istante t=0 l'interruttore viene abbassa-to escludendo, in tal modo, il secondo resistore dal resto del circuito: questa variazione strutturale del circuito produce, come ora osserveremo, un regime dinamico. Propo-niamoci di determinare come risposta del circuito l'andamento nel tempo della corren-te ai capi dell'induttore: per far ciò ricaviamo prima la condizione iniziale, ossia il valo-re della corrente sull'induttore nell'istante t=0-. Possiamo scrivere le seguenti relazioni:

(6.62) vvvv :L.K.T.

(6.61) iiii :L.K.C.

(6.60)

dtdi

Lv

iRv

iRv

Ev

:latodi Relazioni

g21L

g21L

LL

222

111

g

=++

−===

=

=

=

=

Tenendo presente quanto detto prima e cioè che per t<0 il circuito raggiunge un regime stazionario, possiamo porre:

(6.63) 0dtdI

Lv : seguecui da Icost.i LL ====

Allora la (6.62) diventa:

(6.64) RR

EI EIRIR EiRiR

21212211

+=⇒=+⇒=+

In definitiva si ottiene che:


(*) RR

EI)(0i

21L

+==−

Abbassando l'interruttore nell'istante t=0 si avrà una variazione istantanea di tensione ai capi dell'induttore ma comunque limitata (essendo limitato il generatore di tensione); invocando, al-lora, il principio di continuità della corrente su un induttore (vedi pag. 29) possiamo scrivere:

(**) RR

EI)(0i)(0i

21LL

+=== −+

Esaminando ora il circuito per t>0 e tenendo presente che il secondo resistore viene so-stituito da un corto circuito (quindi: v2 = 0 ), applicando la LKT si ha:

iii : posto èsi dove

(6.65) EiRdtdi

Lvvv

1L

1g1L

==

=+⇒=+

L'equazione (6.65) rappresenta l'equazione differenziale del primo ordine lineare e a coefficienti costanti associata al circuito in esame: si tratta di un'equazione completa in accordo col fatto che nel circuito è presente un ingresso. L'integrale generale è dato da:

(t)i(t)ii(t) sh +=

Essendo il circuito lineare e tempo-invariante, l'integrale particolare is(t) deve seguire l'ingresso e poiché quest'ultimo è proprio un generatore di tensione costante ne segue che anche is(t) sarà costante; posso porre allora: is(t)=A. Il valore della costante A si de-termina sostituendo is(t) nell'equazione (6.65) come segue:

111 R

EAEAREAR

dtdA

L =⇒=⇒=+

Per quanto riguarda, invece, l'integrale generale dell'equazione omogenea associata al-l'equazione (6.65) esso si ricava in modo analogo a quanto fatto nei casi precedenti una


volta calcolata l'unica frequenza naturale del circuito pari a: s = - R1/L (Il fatto che sia negativa ci garantisce che il circuito in esame è asintoticamente stabile):

t

ek(t)i LR

h

1

=

−

Il valore della costante k si ricava sfruttando la condizione iniziale (**) ed ottenendo co-sì:

( )211

2

121

21

1

LR

RRRER

kRE

kRR

Ei(0)

RRE

)i(0

REt

eki(t)1

+

−=⇒+=

+=⇒

+=

+

=

+

−

In conclusione, l'integrale generale dell'equazione (6.65) sarà:

(6.66) t

eRR

R1

RE

i(t) LR

21

2

1

1

+−=

−

Possiamo rappresentare l'andamento di i(t) nel tempo come segue:

Poiché la corrente varia nel tempo possiamo affermare che effettivamente nel circuito si viene a creare un regime dinamico in seguito alla variazione parametrica apportata. In generale, comunque, non è detto che ciò debba accadere: infatti se nel circuito prece-dente sostituiamo l'induttore con un condensatore è facile verificare che la variazione parametrica apportata sul secondo resistore non crea nessun regime dinamico e la ten-sione ai capi del condensatore rimane costante nel tempo e pari ad E, cioè alla tensione


del generatore.

5) Circuito con ingresso di tipo sinusoidale.

Sia dato il seguente circuito:

Supponiamo che la forma d'onda del generatore di corrente sia di questo tipo:

( ) (6.67) tcosI(t)i 000 ϕω +=

Per t<0, in regime stazionario, il generatore di corrente è in corto perché l'interruttore è abbassato e quindi risulta: vc(0-) = 0. Vogliamo determinare l'andamento nel tempo del-la tensione ai capi del condensatore per t>0. Poiché quando viene aperto l'interruttore nell'istante t=0 si ha una variazione istantanea ma comunque limitata della corrente sul condensatore ( perché I0 è costante e il coseno è una funzione limitata), invocando il principio di continuità della tensione su un condensatore, si può scrivere:

(*) 0)(0v)(0v CC == +−

Per t>0 valgono poi le seguenti relazioni:


( ) (6.71) tcosIRv

dtdv

C (t)iRv

dtdv

C

vv

(6.70) iii :L.K.C.

(6.69) vvv :L.K.T.

(6.68)

iidt

dvCi

Rv

i

: latodi Relazioni

000

C

RCg

gRC

0g

CC

RR

:come scrivesi (6.70) la: ora Posto

ϕω +=+⇒=+

=

+=

−==

=

=

=

La relazione (6.71) rappresenta l'equazione differenziale associata al circuito in esame.

Il suo integrale generale sarà di questo tipo:

(t)v(t)vv(t) sh +=

Essendo il circuito lineare e tempo-invariante, l'integrale particolare vs(t) deve seguire l'ingresso e poiché quest'ultimo è di tipo sinusoidale tale sarà anche la funzione vs(t) che avrà la stessa pulsazione ω dell'ingresso:

( )sss tcosV(t)v ϕω +=

Per determinare i valori dell'ampiezza e della costante di fase occorre sostituire vs(t) nell'equazione (6.71), ottenendo:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] (6.72) sentsencostcosI

sentsencostcosRV

sentcoscostsenCV

tcosItcosRV

tsenCV

:ottienesi cui da , tcosIR(t)v

dt(t)dv

C

000

sss

sss

00ss

ss

00ss

ϕωϕω

ϕωϕωϕωϕωω

ϕωϕωϕωω

ϕω

−=

=−++−

⇒+=+++−

+=+

Applicando ora il principio d'identità ai due membri dell'equazione (6.72) si ricava il


seguente sistema di due equazioni in due incognite:

(6.73) senIsen

RV

cosCV

cosIcosRV

senCV

00ss

ss

00ss

ss

=+

=+−

ϕϕϕω

ϕϕϕω

Per ricavare Vs possiamo quadrare entrambi i membri in ciascuna equazione e poi sommare membro a membro ottenendo:

(6.74)

R1

C

IV I

RV

VC

222

0s

2o2

2s22

s2

+

=⇒=+

ω

ω

Per ricavare, invece, l'angolo di fase basta dividere membro a membro le due equazioni del sistema (6.73) ottenendo:

( )( ) ( )

( ) (6.75) RCarctg

RCarctg tanRC

tantan1tantan

RC tantanRtanCtanRC

tan1RtanC

tanRC tan

Rcos

senC

Rsen

cosC

0s

s0s0

0s

s000ss

0s

s0

ss

ss

ωϕϕ

ωϕϕϕϕω

ϕϕ

ϕϕωϕϕϕωϕω

ϕϕω

ϕωϕ

ϕϕω

ϕϕω

−=

⇔=−⇔−=

⇔+

−=⇔+−=+

⇔=+−

+⇔=

+−

+

A questo punto l'integrale particolare dell'equazione (6.71) è completamente definito; per quanto riguarda, invece, l'integrale generale dell'equazione omogenea associata, esso è dato da:

=

− tek(t)v RC

1

h


Per determinare il valore della costante k utilizziamo la condizione iniziale vista alla pagina precedente, ottenendo:

( )ssss

ssRC1

cosVkcosVk0v(0)

0v(0)

tcosVt

ekv(t)ϕϕ

ϕω−=⇒+==⇒

=

++

=

−

L'integrale generale dell'equazione (6.71) è allora:

( ) (6.76) tcosVt

ecosVv(t) ssRC1

ss ϕωϕ ++

−=

−

Rappresentando v(t) in funzione del tempo si ha:

Come si può osservare dal grafico, a regime la risposta v(t) tende all'integrale partico-lare vs(t), essendo il circuito asintoticamente stabile. Osserviamo, infine, quanto segue: sinora, negli esempi fatti, per inserire o disinserire delle sorgenti come generatori di tensione o di corrente costanti sono stati utilizzati degli interruttori che venivano ab-bassati o sollevati all'istante t=0. Gli stessi risultati, però, possono essere ottenuti usan-do dei generatori permanentemente inseriti nel circuito ma che si basano su forme


d'onda a gradino. Ad esempio, considerando il circuito relativo alla carica di un indut-tore, esso può essere così realizzato:

Risulta, inoltre:

==0>t , E

0<t , 0Eu(t)(t)vs

Utilizzando tale forma d'onda è come se si inserisse un generatore di tensione costante e pari ad E a partire dall'istante t=0. Naturalmente, tenendo presente che l'uscita deve comunque seguire l'ingresso, poiché il circuito è asintoticamente stabile, avremo che la corrente ai capi dell'induttore sarà così espressa:

−==

− te1

REu(t)

(t)ii(t) LR

L

Qualora si volesse inserire il generatore di tensione costante E a partire da un generico istante to si dovrà utilizzare in ingresso la seguente forma d'onda:

=−=0

00s t>t , E

t<t , 0)tEu(t(t)v

In tal caso, sfruttando le proprietà di linearità e tempo-invarianza del circuito, possia-mo esprimere la risposta (ossia la corrente ai capi dell'induttore) come segue:

( )

−−

−==

− 0LR

0L

tte1

R)tEu(t

(t)ii(t)

6.2 IL PROBLEMA DELLA VALUTAZIONE DELLE CONDIZIONI INIZIALI

Ci sono molte ragioni che giustificano il nostro studio delle condizioni iniziali. La più importante, a questo punto, è che le condizioni iniziali devono essere note per poter valutare le costanti arbitrarie che compaiono nell'integrale generale di un'equazione


differenziale. I vantaggi che si ottengono da tale conoscenza sono: informazioni sul comportamento degli elementi del circuito nell'istante in cui si agisce sull'interruttore (per esempio, per inserire o disinserire una sorgente); informazioni sul valore iniziale della derivata prima o delle derivate successive di una certa risposta, utili per prevede-re l'andamento della stessa risposta e poter così verificare che vi sia corrispondenza con la soluzione ottenuta matematicamente. Le condizioni iniziali in un circuito dipendono dalla storia passata del circuito negli istanti precedenti a t=0 e dalla struttura del circui-to negli istanti successivi a t=0, dopo che si è agito sull'interruttore. Possiamo ottenere informazioni relative alla storia passata del circuito solo facendo riferimento agli ele-menti dotati di memoria, cioè i condensatori e gli induttori: per quanto riguarda i con-densatori ci interesserà conoscere la tensione ai loro morsetti nell'istante t=0- mentre, per gli induttori, ci interesserà conoscere il valore della corrente ai loro morsetti nello stesso istante di tempo. Nell'istante t=0+ potranno apparire nel circuito diversi valori di corrente e tensione in seguito alla tensione iniziale sul condensatore o alla corrente ini-ziale sull'induttore o, ancora, a causa della natura delle sorgenti di tensione o corrente che vengono utilizzate. Il problema della valutazione delle condizioni iniziali consiste nel valutare tutte le tensioni e correnti e loro derivate nell'istante t=0+.

E' possibile stabilire un'equivalenza tra alcuni elementi circuitali in termini di condi-zioni iniziali; vediamo come:

a) Il RESISTORE: in un resistore ideale, la corrente e la tensione sono legati tra loro dalla legge di Ohm: v=Ri. Da ciò si evince che se la corrente attraverso un resistore va-ria istantaneamente, la tensione ai capi del resistore segue tale variazione di corrente secondo un fattore di proporzione pari a R; si avrà una situazione analoga se ai capi del resistore si applica una variazione istantanea di tensione. Di conseguenza, se in un cir-cuito è presente, nell'istante t=0-, un resistore esso rimarrà invariato nel circuito equiva-

lente relativo all'istante t=0+, come mostrato in figura:

b) L' INDUTTORE: supponiamo di avere un induttore inizialmente scarico, come mo-strato in figura:


Se nell'istante t=0, quando viene abbassato l'interruttore, alimentiamo con una sorgente di tensione limitata l'induttore allora, come abbiamo già visto negli esempi precedenti, si può affermare che:

0)(0iL =+

e quindi l'elemento equivalente ad un induttore scarico per t=0+ è rappresentato da un

circuito aperto:

Se l'induttore, nell'istante t=0-, è carico ossia è percorso da una corrente costante I0, possiamo applicare quanto detto per l'induttore scarico nel seguente modo:

In definitiva, un induttore percorso inizialmente da una corrente costante Io è equiva-lente nell'istante t=0+ ad un generatore di corrente pari proprio a Io.

c) Il CONDENSATORE: supponiamo di avere un condensatore inizialmente scarico, come mostrato in figura:


Se nell'istante t=0, quando viene sollevato l'interruttore, alimentiamo con una sorgente di corrente limitata il condensatore allora, come abbiamo già visto negli esempi prece-denti, si può affermare che:

0)(0vC =+

Quindi l'elemento equivalente ad un condensatore scarico per t=0+ è rappresentato da un cortocircuito:

Se il condensatore, nell'istante t=0-, è carico ossia ha ai suoi capi una tensione costante Vo, possiamo applicare quanto detto per il condensatore scarico nel seguente modo:

In definitiva, un condensatore che ha inizialmente una tensione costante Vo è equiva-lente nell'istante t=0+ ad un generatore di tensione pari proprio a Vo. Ribadiamo che le corrispondenze indicate valgono esclusivamente per la valutazione delle condizioni i-


niziali e per variazioni limitate di tensioni e corrente, rispettivamente.

Applichiamo ora le equivalenze appena ricavate al seguente esempio:

Vogliamo valutare, ad esempio, i1 (0+) ed i2 (0+). Supponiamo, per comodità, che il con-densatore e l'induttore siano inizialmente scarichi, cioè:

0)(0i e 0)(0v LC == −−

Possiamo facilmente ricavare il circuito equivalente a quello di fig. 6.17 per t=0+ come

segue:

In questo modo si ottengono banalmente i valori di tensioni e correnti per t=0+:

111

22

RE

)(0i E)(0v

0)(0v 0)(0i

=⇒=

=⇒=

++

++


Se il condensatore e l'induttore fossero inizialmente carichi sarebbe sufficiente sostitui-re, nel circuito equivalente a t=0+, rispettivamente, il cortocircuito con un generatore di tensione costante pari alla tensione iniziale sul condensatore ed il circuito aperto con un generatore di corrente costante pari alla corrente iniziale sull'induttore e ricavare di conseguenza tutte le condizioni iniziali. Tuttavia, ci sono due eccezioni a quanto detto sinora: le precedenti equivalenze per t=0+ perdono di significato quando ci sono cam-mini chiusi (maglie) contenenti condensatori e generatori di tensione o quando in un nodo convergono induttori e generatori di corrente.

Consideriamo allora questi due casi. Si supponga si studiare il seguente circuito:

Se dovessimo applicare le equivalenze per t=0+ viste alla pagina precedente dovremmo sostituire i due condensatori inizialmente scarichi con due cortocircuiti e ciò significa supporre che:

0)(0v e 0)(0v 21 == ++

Ma è facile verificare che questo non è in accordo con la L.K.T. Infatti posso scrivere:

E)(0v)(0v)(0v

:hasi 0=t per e,particolarIn 0.t E,(t)v(t)v(t)v

g21

+g21

==+

≥∀==+

+++

Da quest'ultima relazione si deduce, evidentemente, che:

)(0v)(0v e )(0v)(0v 2211 −+−+ ≠≠


Tali variazioni istantanee di tensione ai capi di ciascun condensatore possono essere giustificate dal fatto che nel momento in cui viene abbassato l'interruttore, nell'istante t=0, si genera un impulso di corrente: essendo tale corrente illimitata non è più possibi-le ricorrere alle equivalenze mostrate in fig. 6.15 in quanto esse valgono solo nel caso in cui ci sia ai capi del condensatore una corrente limitata. D'altra parte, tale impulso di corrente, che è lo stesso su entrambi i condensatori, essendo questi ultimi collegati in serie, nell'esempio considerato, farà accumulare sulle armature di ciascun condensato-re una stessa carica q pari a:

22

11

21

0

0

Cq

)(0v e Cq

)(0v

:dunque scrivere puòSi (t).i(t)ii(t)con i(t)dtq

==

===

++

∫+

−

Questa carica non può assumere valori arbitrari ma solo quello per cui è soddisfatta la L.K.T. e cioè tale che:

21

21

C1

C1

Eq E

Cq

Cq

+

=⇒=+

Possiamo ora ricavare definitivamente le condizioni iniziali come segue:

21

22

21

11

C1

C1

EC1

)(0v e

C1

C1

EC1

)(0v+

=

+

= ++

Una situazione analoga si viene a creare anche nel caso in cui i due condensatori (o an-


che uno solo di essi) siano inizialmente carichi, come mostrato in figura:

(Nota: si immagini che la tensione iniziale sui condensatori sia determinata da eventuali sor-genti collegate ai due condensatori sino all'istante t=0 le quali non sono state tracciate per non appesantire troppo il disegno). Applicando le equivalenze per t=0+ bisognerà sostituire i due condensatori carichi con due generatori di tensione costanti e pari, rispettivamente, alle tensioni iniziali sui due condensatori, per cui il circuito di fig. 6.20 diventa:

Dalla figura si osserva che, applicando la L.K.T. relativamente all'istante t=0+ si ha: V01 + V02 = E, la quale relazione non è soddisfatta in generale essendo arbitrarie le tensioni iniziali sui due condensatori. Allora bisogna concludere che:

)(0v)(0v e )(0v)(0v 2211 −+−+ ≠≠

e queste variazioni istantanee di tensione ai capi di ciascun condensatore possono essere giustifi-cate dal fatto che nel momento in cui viene abbassato l'interruttore, nell'istante t=0, si genera un impulso di corrente: essendo tale corrente illimitata non è più possibile ricorrere alle equiva-lenze mostrate in fig. 6.16 in quanto esse valgono solo nel caso in cui ci sia ai capi del condensa-tore una corrente limitata. D'altra parte, tale impulso di corrente, che è lo stesso su entrambi i condensatori, essendo questi ultimi collegati in serie, farà accumulare sulle armature di ciascun condensatore una stessa carica q pari a:

202

222

101

111

0

0111

21

0

0

Cq

VCq

)(0v)(0v teanalogamen e

Cq

VCq

)(0v)(0v

:ovvero i(t)dtC1

)(0v)(0v

:dunque scrivere puòSi (t).i(t)ii(t) i(t)dtq con

+=+=

+=+=

+=

===

−+

−+

−+ ∫

∫+

−

+

−


Si noti che in questo caso, l'impulso di corrente sarà dovuto alla presenza dei tre gene-ratori di tensione. Questa carica non può assumere valori arbitrari ma solo quello per cui è soddisfatta la L.K.T. relativamente all'istante t=0+ e cioè tale che:

21

0201

202

10121

C1

C1

VVEq E

Cq

VCq

V)(0v)(0v+

−−=⇒=+++=+ ++


21

0201

2022

21

0201

1011

C1

C1

VVEC1

V)(0v e

C1

C1

VVEC1

V)(0v+

−−+=

+

−−+= ++

Osserviamo, infine, che per evitare l'impulso di corrente è sufficiente collegare in serie ai con-densatori un resistore in modo da limitare la corrente. Consideriamo ora il secondo caso e cioè quello in cui esista un nodo nel quale convergono induttori e generatori di corrente. Ad esempio, si prenda in esame il seguente circuito:

Se dovessimo applicare le equivalenze per t=0+ mostrate in fig. 6.13 dovremmo sosti-tuire i due induttori inizialmente scarichi con due circuiti aperti e ciò significa supporre che:

0)(0i e 0)(0i 21 == ++

Ma è facile verificare che questo non è in accordo con la L.K.C. Infatti posso scrivere:


J)(0i)(0i)(0i

:hasi 0=t per e,particolarIn 0.t J,(t)i(t)i(t)i

g21

+g21

==+

≥∀==+

+++

Da quest'ultima relazione si deduce, evidentemente, che:

)(0i)(0i e )(0i)(0i 2211 −+−+ ≠≠

Tale variazione istantanea di corrente ai capi di ciascun induttore può essere giustificata dal fat-to che nel momento in cui viene sollevato l'interruttore, nell'istante t=0, si genera un impulso di tensione: essendo tale tensione illimitata non è più possibile ricorrere alle equivalenze mostra-te in fig. 6.13 in quanto esse valgono solo nel caso in cui ci sia ai capi dell'induttore una tensio-ne limitata. D'altra parte, tale impulso di tensione, che è lo stesso su entrambi gli induttori es-

sendo questi ultimi collegati in parallelo, originerà su ciascun induttore uno stesso flusso ϕ pari a:

22

11

21

0

0

L)(0i e

L)(0i

:dunque scrivere puòSi (t).v(t)vv(t)con v(t)dt

ϕϕ

ϕ

==

===

++

∫+

−

Questo flusso non può assumere valori arbitrari ma solo quello per cui è soddisfatta la L.K.C. e cioè tale che:

21

21

L1

L1

J J

LL +

=⇒=+ ϕϕϕ


21

22

21

11

L1

L1

JL1

)(0i e

L1

L1

JL1

)(0i+

=

+

= ++


Una situazione analoga si viene a creare anche nel caso in cui i due induttori (o anche uno solo di essi) siano inizialmente carichi, come mostrato in figura:

(Nota: si immagini che la corrente iniziale sugli induttori sia determinata da eventuali sorgenti collegate ai due induttori sino all'istante t=0 le quali non sono state tracciate per non appesantire troppo il disegno).

Applicando le equivalenze per t=0+ bisognerà sostituire i due induttori carichi con due generatori di corrente costanti e pari, rispettivamente, alle correnti iniziali sui due in-

duttori, per cui il circuito di fig. 6.23 diventa:

Dalla figura si osserva che, applicando la L.K.C. relativamente all'istante t=0+ si ha: J01 + J02 = J, la quale relazione non è vera in generale essendo arbitrarie le correnti iniziali sui due induttori. Allora bisogna concludere che:

)(0i)(0i e )(0i)(0i 2211 −+−+ ≠≠

e queste variazioni istantanee di corrente ai capi di ciascun induttore possono essere giustificate dal fatto che nel momento in cui viene sollevato l'interruttore, nell'istante t=0, si genera un im-


pulso di tensione: essendo tale tensione illimitata non è più possibile ricorrere alle equivalenze mostrate in fig. 6.14 in quanto esse valgono solo nel caso in cui ci sia ai capi dell'induttore una tensione limitata. D'altra parte, tale impulso di tensione, che è lo stesso su entrambi gli indutto-ri, essendo questi ultimi collegati in parallelo, darà origine su ciascun induttore ad uno stesso

flusso ϕ pari a:

202

222

101

111

21

0

0

LJ

L)(0i)(0i e

LJ

L)(0i)(0i

:dunque scrivere puòSi (t).v(t)vv(t)con v(t)dt

ϕϕϕϕ

ϕ

+=+=+=+=

===

−+−+

∫+

−

La tensione V sarà dovuta questa volta ad un generatore di corrente equivalente che deriva dalla somma algebrica di J, J01 e J02. Questo flusso non può assumere valori arbi-trari ma solo quello per cui è soddisfatta la L.K.C. relativamente all'istante t=0+ e cioè tale che:

21

0201

202

10121

L1

L1

JJJ J

LJ

LJ)(0i)(0i

+

−−=⇒=+++=+ ++ ϕ

ϕϕ


21

0201

2022

21

0201

1011

L1

L1

JJJL1

J)(0i e

L1

L1

JJJL1

J)(0i+

−−+=

+

−−+= ++

Osserviamo, infine, che per evitare l'impulso di tensione è sufficiente collegare in pa-rallelo agli induttori un resistore in modo da limitare la tensione.


6.3 CONDIZIONI FINALI NEGLI ELEMENTI

Anche per determinare le condizioni finali negli elementi, ossia quelle corrispondenti ad un istante t infinito quando cioè viene raggiunta una condizione di regime staziona-rio, è possibile sfruttare le seguenti equivalenze le quali si basano tutte sull'ipotesi che le correnti e le tensioni siano costanti:


Queste equivalenze possono essere sfruttate, per esempio, per determinare i valori di tensione e corrente nell'istante t=0- purché nel circuito si instauri, per t<0, un regime stazionario.

6.4 CIRCUITI DEL SECONDO ORDINE

Si consideri il seguente circuito:


Si noti che non ci sono ingressi e le condizioni iniziali sono assegnate come dati del problema. Si vuole determinare:

0.t , (t)iL ≥∀


(6.79) 0iii :L.K.C.

(6.78) vvv :L.K.T.

(6.77)

dtdi

Lv

dtdv

Ci

R1Gcon , Gvi

:latodi Relazioni

LCR

LCR

LL

CC

RR

=++

==

=

=

==

Utilizzando le relazioni (6.77) e (6.78) possiamo scrivere la (6.79) come segue:

(6.80) 0iCL1

dtdi

CG

dtid

0idt

idCL

dtdi

GL

0idt

dvCGv 0i

dtdv

CGv

LL

2L

2

L2L

2L

LL

LLC

R

=++⇒=++

⇒=++⇒=++

La (6.80) rappresenta l'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del secondo ordine relativa al circuito in esame: si osserva che essa è omogenea in accordo col fatto che gli ingressi sono nulli. Poniamo ora:

risonanzadi pulsazione : LC1

osmorzamentdi fattore : 2CG

0 =

=

ω

α

Vedremo che questi due parametri caratterizzano il comportamento dinamico del circuito, ovve-ro il tipo di risposta. L'equazione (6.80) si può riscrivere come:


(6.81) 0idtdi

2dt

idL

2o

L2L

2

=++ ωα

Per risolvere tale equazione differenziale ci serviranno due condizioni iniziali relative alla corrente sull'induttore; la prima è assegnata:

(*) J)(0i 0L =+

La seconda si ricava sfruttando la relazione di lato sull'induttore:

(**) LV

L)(0v

dt)(0di

L(t)v

L(t)v

dt(t)di 0CLCLL ==⇒== ++

A questo punto per determinare l'integrale generale dell'equazione(6.81) occorre risol-vere l'equazione caratteristica ad essa associata:

2o

221

2o

2

s

:radiciseguenti le ammette che , 0s2s

ωαα

ωα

−±−=

=++

E' necessario ora distinguere questi quattro casi possibili:

1) α>ω0 condizione di sovrasmorzamento

In tal caso le due frequenze naturali del circuito sono entrambe reali e distinte ed inoltre sono entrambe negative per cui il circuito è asintoticamente stabile. L'integrale generale dell'equa-zione (6.81) sarà:

(6.82) ekek(t)i(t)i ts2

ts1LhL

21 +==


Per trovare il valore delle due costanti sfruttiamo le condizioni iniziali (*) e (**) otte-nendo:

+−

−=

−

−=

+==

+==

+

+

010

21202

0

211

22110L

210L

JsLV

ss1

k e JsLV

ss1

k

: dà risolto che , sksk

LV

dt)(0di

kkJ)(0i

Sostituendo tali valori nella (6.82) e diagrammando in funzione del tempo si ottiene un anda-mento di questo tipo:

Come si osserva dal grafico, a regime, la corrente sull'induttore tende ad annullarsi in accordo col fatto che, essendo il circuito lineare, tempo-invariante e asintoticamente stabile, ogni risposta deve seguire l'ingresso che in questo caso è nullo. Ciò vale anche per tutte le correnti e tensioni di lato il cui andamento nel tempo può essere facilmente ricavato sfruttando le relazioni di lato.

2) α=ω0 condizione di smorzamento critico

In tal caso le due frequenze naturali del circuito sono entrambe reali e coincidenti nel valore -α; poiché, inoltre, tale valore è negativo avremo che il circuito è asintoticamente stabile. L'integrale generale dell'equazione (6.81) è dato da:

( ) (6.83) tkktettektek(t)i 2121L +=+= −−− ααα


Per trovare il valore delle due costanti sfruttiamo le condizioni iniziali (*) e (**) ottenendo:

00

201

210L

10L

JLV

k e Jk

: dà risolto che , kk

LV

dt)(0di

kJ)(0i

α

α

+==

+−==

==

+

+

Sostituendo tali valori nella (6.83) e diagrammando in funzione del tempo si ottiene un andamento che è simile a quello del caso precedente ma lo smorzamento avviene in modo più lento.

3) α<ω0 condizione di sottosmorzamento

In tal caso le due frequenze naturali del circuito sono complesse e coniugate (poiché la loro parte reale è negativa il circuito è asintoticamente stabile). Si pone:

d21

22od js :quindi e ωαωω α ±−=−=


Ricaviamo ora l'integrale generale della (6.81) come segue:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )[ ]t)senkj(kt)cosk(kte(t)i

tjsentcosktjsentcoskte(t)i

eteketekekek(t)i

d21d21L

dd2dd1L

tj2

tj1

ts2

ts1L

dd21

ωω

ωωωω

α

α

ωαωα

−++=

⇒−++=

⇒+=+=

−

−

−−−

Ricordiamo che, essendo le radici s1 ed s2 complesse e coniugate, anche i loro residui k1 e k2

sono complessi e coniugati (vedi fig. 6.28a)

Im

Re0

x

x

k1

k2

a

b

ρ

ϕ

k1 = a + jbk2 = a – jb

fig. 6.28a

Pertanto si avrà:

k1 + k2 = 2a = 2ρρρρcosϕϕϕϕ

k1 – k2 = 2jb = 2jρρρρsenϕϕϕϕ

conseguentemente si ottiene:


j(k1 – k2) = - 2ρsenϕ

e andando a sostituire si ha:

iL(t) = 2ρρρρe-ααααt(cosϕϕϕϕcosωωωωdt - senϕϕϕϕsenωωωωdt)

ovvero:

iL(t) = ke-ααααt cos(ωωωωdt + ϕ) (6.84)

avendo posto k = 2ρρρρ. Per trovare il valore delle costanti k e ϕϕϕϕ si utilizzano le condizioni iniziali (*) e (**) ottenendo:

+

==

+−=

−−==

==

+

+

dd0

0

00

dd0

0

d0L

0L

LJV

arctg cos

Jcos

Jk e

LJV

arctg

senkkcos

LV

dt)(0di

kcosJ)(0i: dà risolto che

ω

α

ω

ϕω

α

ωϕ

ϕωϕα

ϕ

Sostituendo tali valori nella (6.84) e diagrammando in funzione del tempo si ottiene un andamento oscillatorio con ampiezza decrescente. I minimi e i massimi giacciono sulle due esponenziali che costituiscono l'inviluppo della risposta (vedi fig. 6.29):


4) α=0 condizione di perdite nulle

In tal caso si ha:

0210d js e ωωω ±==

Come si osserva le due frequenze naturali sono complesse e coniugate ma la loro parte reale è nulla, cioè sono disposte sull'asse immaginario del piano complesso: ne segue che il circuito non è asintoticamente stabile. L'andamento nel tempo della corrente sul-l'induttore si ricava dalle relazioni ottenute nel caso precedente ponendo α=0 e ωd=ω0:

( ) (6.85) tkcos(t)i 0L ϕϕϕϕ−= ω

con:

==

−=

00

0

00

00

0

LJV

arctgcos

Jcos

Jk e

LJV

arctg

ω

ϕωϕϕϕϕ


Come si osserva dalla relazione (6.85) la corrente sull'induttore ha un andamento sinu-soidale nel tempo e quindi non si annulla al tendere di t ad infinito (infatti il circuito non è asintoticamente stabile avendosi una oscillazione permanente). Da un punto di vista fisico, accade che nel circuito si può ritenere nulla la conduttanza G e quindi il condensatore e l'induttore si scambiano vicendevolmente l'energia accumulata per t<0. Consideriamo ora lo stesso circuito nell'ipotesi, però, che ci sia un ingresso diverso da zero; si vuole determinare l'andamento nel tempo della corrente sull'induttore:

Per t<0 il generatore di corrente è escluso dal resto del circuito e perciò si può scrivere:

0)(0v e 0)(0i CL == −−

Poiché nell'istante t=0, quando viene modificata la posizione degli interruttori, si ha una variazione istantanea ma limitata di corrente ai capi del condensatore possiamo ri-tenere che (applicando le equivalenze per t=0+):

(*) 0)(0v)(0v e 0)(0i)(0i CCLL ==== −+−+

Valgono ora le seguenti relazioni:

(6.88) Jiii :L.K.C.

(6.87) vvvv :L.K.T.

(6.86)

Jidtdi

Lv

dtdv

Ci

R1Gcon , Gvi

:latodi Relazioni

0LCR

gLCR

0g

LL

CC

RR

=++

===

−=

=

=

==


Utilizzando le relazioni (6.86) e (6.87) possiamo scrivere la (6.88) come segue:

(6.89) CLJ

iCL1

dtdi

CG

dtid

Jidt

idCL

dtdi

GL

Jidt

dvCGv Ji

dtdv

CGv

0L

L2L

2

0L2L

2L

0LL

L0LC

R

=++⇒=++

⇒=++⇒=++

La (6.89) rappresenta l'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del secondo ordine relativa al circuito in esame: si osserva che essa ha un termine noto costante in accordo col fatto che è presente in ingresso un generatore di corrente costante. Poniamo ora:

risonanzadi pulsazione : LC1

osmorzamentdi fattore : 2CG

0 =

=

ω

α

Allora l'equazione (6.89) si scrive come:

(6.90) Jidtdi

2dt

id0

2oL

2o

L2L

2

ωωα =++

Per risolvere tale equazione differenziale ci serviranno due condizioni iniziali relative alla corrente sull'induttore; la prima è assegnata:

0)(0iL =+

La seconda si ricava sfruttando la relazione di lato sull'induttore:

0L

)(0vdt

)(0di

L(t)v

L(t)v

dt(t)di CLCLL ==⇒== ++


A questo punto l'integrale generale dell'equazione (6.90) è dato da:

(6.91) (t)i(t)i(t)i LsLhL +=

Essendo il circuito lineare e tempo-invariante l'integrale particolare deve seguire l'in-gresso e quindi sarà anch'esso costante:

Acost.(t)iLs ==

Per determinare il valore di A si sostituisce l'integrale particolare nell'equazione (6.90) e si ottiene:

002o

2o JA JA =⇒= ωω

Ora per ricavare l'integrale generale dell'equazione (6.90) bisogna prima calcolare l'in-tegrale generale dell'equazione omogenea ad essa associata che coincide, come si può osservare, con quella esaminata nel caso precedente relativamente al circuito con in-gresso nullo. L'equazione caratteristica è la seguente:

2o

221

2o

2

s

:radiciseguenti le ammette che , 0s2s

ωαα

ωα

−±−=

=++

E' necessario ora distinguere i quattro casi visti prima:

amento.sovrasmorzdi condizione : 1) 0ωα >


In tal caso le due frequenze naturali del circuito sono entrambe reali e distinte ed inoltre sono entrambe negative per cui il circuito è asintoticamente stabile. L'integrale generale dell'equa-zione (6.90) sarà:

(6.92) Jekek(t)i(t)i(t)i 0ts

2ts

1LsLhL21 ++=+=

Per trovare il valore delle due costanti sfruttiamo le condizioni iniziali già ricavate ot-tenendo:

21

012

21

021

2211L

021L

ssJs

k e ss

Jsk

: dà risolto che , sksk0

dt)(0di

Jkk0)(0i

−

−=

−=

+==

++==

+

+

Sostituendo tali valori nella (6.92) e diagrammando in funzione del tempo si ottiene un andamento di questo tipo:

Come si osserva dal grafico, a regime, la corrente sull'induttore tende al valore costante J0 in accordo col fatto che, essendo il circuito lineare, tempo-invariante e asintoticamen-te stabile, ogni risposta deve seguire l'ingresso che in questo caso è un generatore di corrente costante. Ciò vale anche per tutte le correnti e tensioni di lato il cui andamento


nel tempo può essere facilmente ricavato sfruttando le relazioni di lato.

critico. osmorzamentdi condizione : 2) 0ωα =

In tal caso le due frequenze naturali del circuito sono entrambe reali e coincidenti nel valore -α; poiché, inoltre, tale valore è negativo avremo che il circuito è asintoticamente stabile. L'integrale generale dell'equazione (6.81) è dato da:

( ) (6.93) JtkkteJttektek(t)i 021021L ++=++= −−− ααα

Per trovare il valore delle due costanti sfruttiamo le condizioni iniziali già ricavate ottenendo:

0201

21L

01L

Jk e Jk

: dà risolto che , kk0

dt)(0di

Jk0)(0i

α

α

−=−=

+−==

+==

+

+

amento.sottosmorzdi condizione : 3) 0ωα <

In tal caso le due frequenze naturali del circuito sono complesse e coniugate (poiché la loro parte reale è negativa il circuito è asintoticamente stabile). Si pone:

dod j21s :quindi e 22 ωααωω ±−=−=

Tali valori possono essere rappresentati nel piano complesso come segue:


Possiamo scrivere dunque:

(6.94) Jekek(t)i(t)i(t)i 0ts

2ts

1LsLhL21 ++=+=

Essendo le frequenze naturali s1 ed s2 complesse e coniugate, tali saranno anche i corri-spondenti residui. Sulla base dei risultati ottenuti per il caso sottosmorzato ad ingresso nullo, potremo allora scrivere:

iL(t) = ke-αt cos(ωdt + ϕ)+ J0 (6.95)

dove, ovviamente, k e ϕϕϕϕ dovranno essere ricavate utilizzando le condizioni iniziali. Es-sendo:

( ) ( ) ( )ϕϕϕϕϕϕϕϕ +−+−= −− tsenketcosekdt

tdiddd

L tt ωωωα αα

otterremo:

iL(0+) = kcosϕϕϕϕ +J0

= 0

( )ϕϕϕϕϕϕϕϕ senkcosk

dt

0did

L ωα −−=+

ovvero:

==−=

d

00

d arctgcos

-Jcos-J

k e arctg

ω

αω

α

ϕϕϕϕϕϕϕϕ


Diagrammando in funzione del tempo si ottiene un andamento di questo tipo:

4) α = 0: condizione di perdite nulle.

0210d js e ωωω ±==

Come si osserva le due frequenze naturali del circuito sono complesse e coniugate e hanno una parte reale nulla, cioè sono disposte sull'asse immaginario del piano com-plesso: quindi il circuito non è asintoticamente stabile. L'andamento nel tempo della corrente sull'induttore si ricava dalla relazione trovata nel caso precedente ponendo però ωd=ω0,α=0 e ϕ=0:

( ) (6.96) JtcosJ(t)i 000L +−= ω

Tale funzione ha un andamento di tipo sinusoidale e quindi la corrente sull'induttore non si annulla per t tendente ad infinito. Definiamo ora il seguente parametro:

parallelo risonanzadi o qualitádi fattore : 2

Q 0

α

ω=

Nei due circuiti appena esaminati Q è detto fattore di qualità parallelo e vale:


LC

G1

2CG

2

LC1

2Q 0 ===

α

ω

Daremo in seguito un'interpretazione fisica di tale parametro. É facile dimostrare che é possibile utilizzare il fattore di qualità per classificare le quattro condizioni di funzio-namento appena esaminate. In particolare:

nulle. perditedi condizione : Q

amento.sottosmorzdi condizione : 21

Q

critico. osmorzamentdi condizione : 21

Q

amento.sovrasmorzdi condizione : 21

Q

+∞=

>

=

<

Considereremo ora altri due esempi di risposta in ingresso nullo e risposta con ingres-so diverso da zero nel caso però di un collegamento di tipo serie. Verranno riportate solo le relazioni fondamentali senza illustrare il procedimento di calcolo essendo que-sto simile a quello svolto nei casi precedenti. Si prenda in esame il seguente circuito:

Vogliamo determinare l'andamento nel tempo della tensione ai capi del condensatore. Combinando le seguenti relazioni:


0vvv L.K.T.

iii L.K.C.dtdi

Lv

dtdv

Ci

Riv

RCL

CLR

LL

CC

RR

=++

==

=

=

=

si determina l'equazione differenziale del secondo ordine lineare a coefficienti costanti relativa al circuito in esame:

===

=

===++

+++

+

0C

)(0iC

)(0idt

)(0dv

E)(0vLC1

e 2LR

con 0vdt

dv2

dtvd

LCC

C

0C2o

C2C

2

ωαωα

Le frequenze naturali del circuito sono le due radici dell'equazione caratteristica e cioè:

2o

221s ωαα −±−=

Si distinguono i seguenti quattro casi:

( )t1tEe(t)v s

critico. osmorzamentdi condizione : 2)ss

Esk e

ssEs

kcon tektek(t)v

amento.sovrasmorzdi condizione : 1)

C21

0

21

12

21

21

s2

s1C

0

21

αα

ωα

ωα

α +=⇒−=

=

−=

−

−=+=

>

−


( )

( )tcos E(t)v

js

nulle. perditedi condizione : 0 4)cos

Ek e arctgcon t coske(t)v

con js

amento.sottosmorzdi condizione : 3)

0C

0210d

dd

tC

22odd21

0

ω

ωωω

α

ϕω

αϕϕω

αωωωα

ωα

α

=

±=⇒=

=

−=−=+=

−=±−=

<

−

Consideriamo ora il caso analogo ma con un ingresso diverso da zero:

Vogliamo determinare l'andamento nel tempo della tensione ai capi del

condensatore. Combinando le seguenti relazioni:

Evvv L.K.T.

iii L.K.C.dtdi

Lv

dtdv

Ci

Riv

Ev

RCL

CLR

LL

CC

RR

g

=++

==

=

=

=

=

si determina l'equazione differenziale del secondo ordine lineare a coefficienti costanti relativa al circuito in esame:


===

=

===++

+++

+

0C

)(0iC

)(0idt

)(0dv

0)(0vLC1

e 2LR

con Evdt

dv2

dtvd

LCC

C

02oC

2o

C2C

2

ωαωωα

L'integrale generale della suddetta equazione si scrive come:

Ecost.(t)vcon (t)v(t)v(t)v CsCsChC ==+=

Le frequenze naturali del circuito sono le due radici dell'equazione caratteristica e cioè:

2o

221s ωαα −±−=

Si distinguono i seguenti quattro casi:

EtEtetEe(t)v s

: 2)ss

Esk e

ssEs

kcon Etektek(t)v

: 1)

C21

0

21

12

21

21

s2

s1C

0

critico. osmorzamentdi condizione

amento.sovrasmorzdi condizione

21

+−−=⇒−=

=

−

−=

−=++=

>

−− αα αα

ωα

ωα

( )

( ) Et cos E(t)v

0 js

: 0 4)

cosE

k e arctgcon Etcostke(t)v

con js

: 3)

0C

0210d

ddC

22odd21

0

nulle. perditedi condizione

amento.sottosmorzdi condizione

+−=

=⇒±=⇒=

=

−=−=++=

−=±−=

<

−

ω

ϕωωω

α

ϕω

αϕϕω

αωωωα

ωα

α

Per i due circuiti appena esaminati possiamo definire un fattore di qualità o fattore di


risonanza serie:

C

L

R

1

2L

R2

LC

1

2Q 0 ===

α

ω

6.5 APPROCCIO AI CIRCUITI CON IL METODO DELLE VARIABILI DI STATO

Consideriamo il seguente circuito del secondo ordine di cui siano già assegnate le con-

dizioni iniziali:

Dalla conoscenza della corrente iniziale sull'induttore e della tensione iniziale sul con-densatore cioè, in altri termini, dalla conoscenza del contenuto energetico immagazzi-nato nell'induttore e nel condensatore sino all'istante t=0, è stato possibile ricavare (ve-di paragrafo 6.4) l'andamento di tutte le tensioni e correnti di lato, ossia qualsiasi rispo-sta del circuito, non solo nell'istante iniziale t=0 ma anche in quelli successivi, cioè per t>0. Possiamo allora, sulla base di questa osservazione, generalizzare la procedura co-me segue: supponiamo che in un circuito dinamico siano presenti p accumulatori (con-densatori o induttori, ossia elementi in grado di immagazzinare energia) e che sia pos-sibile individuare p variabili (una per ogni accumulatore) le quali ci consentano di co-noscere il contenuto energetico dell'accumulatore a cui sono rispettivamente associate in ogni istante t>0. Tali variabili sono dette variabili di stato e le indicheremo con:


. : statodi vettore detto è

(t)x

.....

(t)x

(t)x

x(t)vettore il mentre

(t)x , ... , (t)x , (t)x

p

2

1

p21

=

(Nota: in generale le variabili di stato "fisiche" conviene che siano scelte in modo tale che il loro quadrato sia proporzionale al contenuto energetico dell'accumulatore a cui sono associate: per questo motivo si sceglie la tensione per i condensatori e la corrente per gli induttori). Possiamo a questo punto dare la definizione di stato di un circuito:

in assenza di ingressi, esso rappresenta il numero minimo di variabili di stato (ossia le variabili scelte devono essere fra loro indipendenti) la cui conoscenza in un istante iniziale t0 mi permette di ricavare le stesse variabili anche in quelli successivi a quello iniziale; se nel circuito sono pre-senti degli ingressi, lo stato del circuito viene definito allo stesso modo aggiungendo, però, che è necessario conoscere gli ingressi non solo nell'istante iniziale ma anche in quelli relativi all'in-tervallo di osservazione considerato.

Mostreremo con l'aiuto di esempi che mediante l'uso delle variabili di stato si perviene alla scrittura di un sistema di equazioni differenziali del primo ordine la cui soluzione porta alla co-noscenza dell'andamento nel tempo delle stesse variabili di stato che consente di ricavare, suc-cessivamente, l'andamento nel tempo di tutte le correnti e tensioni di lato come combinazioni lineari delle variabili di stato. Il metodo delle variabili di stato viene frequentemente utilizzato perché consente una facile implementazione al calcolatore e si presta, in particolare, per l'analisi di quei circuiti la cui soluzione porterebbe alla scrittura di un'equazione differenziale di ordine elevato: con il metodo delle variabili di stato, invece, si perviene ad un sistema di n equazioni differenziali tutte del primo ordine. Il metodo è poi particolarmente utile per la soluzione dei cir-cuiti non lineari. Vediamo ora di applicare il metodo delle variabili di stato al circuito di fig. 6.34: scegliamo come variabili di stato la corrente sull'induttore e la tensione sul condensatore; si tratta di ricavare due equazioni differenziali del primo ordine che coinvolgano tali variabili. Sussistono le seguenti relazioni:

(6.101) 0iii :L.K.C.

(6.100) vvv :L.K.T.

(6.99) dtdi

Lv

(6.98) dt

dvCi

(6.97) R1Gcon Gvi

: latodi Relazioni

CLR

CLR

LL

CC

RR

=++

==

=

=

==


Combinando le equazioni (6.99) e (6.100) si ottiene:

(*) L

v

dtdi CL =

Mentre la seconda equazione differenziale è data da:

(**) vCG

Ci

dtdv

0dt

dvCiGv 0

dtdv

CiGv 0iii

CLC

CLC

CLRCLR

−−=

⇒=++⇒=++⇒=++

Si ottiene allora il seguente sistema di due equazioni differenziali del primo ordine:

(6.102) v

CG

iC1

dtdv

Lv

dtdi

CLC

CL

−−=

=

alle quali va associato lo stato iniziale: iL(0)=I0; vc(0)=V0. Posto ora:

(t)v(t)x e (t)i(t)x C2L1 ==

possiamo scrivere il sistema (6.102) in forma matriciale come segue:

stato. di vettorex

x xe prime derivate delle e vettorcon

(6.103)Ax x

x

C

G

C

1L

10

2

1

2

1

2

1

2

1

xx

x

xx

x

==

=⇔

−−

=


Al sistema (6.103) vanno poi aggiunte le condizioni iniziali:

( ) (6.104) V

Jxcon x0x

V

J

)(0x

)(0x

0

000

0

0

2

1

==+⇔

=

+

+

La soluzione, in forma matriciale, del sistema (6.102) è la seguente:

stato.di etransiziondi matrice detta è e dove , xex(t) At0

At=

Tale soluzione è detta risposta libera del circuito perché non ci sono ingressi e, come si può osservare, essa dipende esclusivamente dalle condizioni iniziali nel circuito. Pos-siamo esprimere la soluzione del sistema (6.102) senza ricorrere alla matrice di transi-zione di stato ma servendosi degli autovalori della matrice A. In generale, gli autovalo-ri di una matrice A, che indicheremo col simbolo s, si ottengono come soluzione della seguente equazione: det[A-sI]=0 , dove I è la matrice identica. Nel nostro caso si ha:

−−−

−=−

sCG

C1

L1

sdetsI]det[A

Nota.

E' facile verificare che gli autovalori della matrice A coincidono con le frequenze natu-rali precedentemente calcolate (vedi par. 6.4). Infatti:

0LC1

sCG

ssI]det[A 2 =++=−

posto 2CG

=α e LC

10 =ω si ha: s2+2αs+ 02

0 =ω


da cui si ottiene: 20

21/2s ωαα −±−=

che coincidono con le frequenze naturali del circuito. Supponiamo che i due autovalori ottenuti siano tra loro distinti. Una volta determinati gli autovalori della matrice A, bi-sogna calcolare gli autovettori ad essi associati. Nel nostro caso, se indichiamo tali au-tovettori con:

=

21

111 η

ηη e

=

22

122 η

ηη

essi sono i vettori non nulli che soddisfano la seguente equazione matriciale:

0I)s(AsA iiiii =−⇔= ηηη con i=1,2 (*)

Per i=1 l'equazione matriciale (*) diventa:

=

+−−

=+−

0sCG

C1

0L1

s

21111

21111

ηη

ηη

Tenendo presente che bisogna escludere la soluzione banale di tale sistema omogeneo di due equazioni in quanto gli autovettori sono sempre diversi dal vettore nullo ed os-servando che il sistema ammette infinite soluzioni, possiamo scrivere dalla prima e-quazione:

( )

==

=

=

121

111

1

211

11

Ls

: soluzione come ottengo 1 allora Posto .Ls, : tipodel

tuttesono sistema del soluzioni le che segue cui da , Ls

1

1η

η

ηη

η

βββ


In modo del tutto analogo si ottiene:

=

=

222

122 Ls

1

η

ηη

A questo punto, avendo supposto che gli autovalori siano distinti, si può scrivere la so-luzione del sistema (6.103), cioè il vettore di stato, come segue:

( ) ( ) (6.105) ekekx(t) 2t2s

21t1s

1 ηη +=

Il valore delle costanti k1 e k2 si ricava utilizzando lo stato iniziale; si può poi verificare la perfetta corrispondenza tra queste risposte (ossia la corrente sull'induttore e la ten-sione sul condensatore) ricavate con il metodo delle variabili di stato e le stesse ricavate in precedenza. Consideriamo ora il caso in cui l'ingresso non sia nullo (supporremo, comunque, che esso sia noto in tutto l'intervallo di osservazione e non solo nell'istante iniziale). Si prenda in esame il seguente circuito:

Si tenga presente che ciascuno dei due interruttori disposti in parallelo, quando è ab-bassato, serve per escludere completamente dal resto del circuito il generatore di cor-rente ad esso corrispondente. Le condizioni iniziali si ricavano osservando il circuito equivalente a t=0- in condizioni di regime stazionario e tenendo presente che nell'istan-te t=0 si ha una variazione istantanea ma limitata di corrente sul condensatore e di ten-sione sull'induttore:


Consideriamo come variabili di stato, al solito, la corrente sull'induttore e la tensione sul condensatore. Valgono le seguenti relazioni:

(6.111) vvv :L.K.T.

(6.110) Jiii :L.K.C.

(6.109) dtdi

Lv

(6.108) dt

dvCi

(6.107) Gvi

(6.106) Ji

: latodi Relazioni

LCR

sLCR

LL

CC

RR

sg

==

=++

=

=

=

=

Tenendo conto della (6.111) si possono scrivere la (6.109) e la (6.110) come segue:

(6.112)

CJ

vCG

iC1

dtdv

vL1

dtdi

sCL

C

CL

+−−=

=

Posto ora:




stato. di vettorex

x xe prime derivate delle e vettor

x

xxcon

(6.113)Bu Axx J

C

10

x

x

C

G

C

1L

10

x

x

2

1

2

1

s2

1

2

1

==

+=⇔+

−−

=

sJ a pari e scalare éu mentre

C

10

B Inoltre

=


( ) (6.114) 0

Jxcon x0x

0

J

)(0x

)(0x 000

0

2

1

==⇔

=

+

+

+

Il vettore di stato x(t) può essere così determinato:

( )

( )

(6.115) d)Bu(exex(t)

d)Bu(exx(t)e

: ha si t e 0 traintegrando quindi e Bu(t)ex(t)edt

d

Bu(t)eAxxe Bu(t)Axx

t

0

)A(t0

At

t

0

A0

At

AtAt

AtAt

ττ

ττ

τ

τ

∫+=

⇒∫=−

=

⇔=−⇔=−

−

−−

−−

−−


Il primo addendo a secondo membro dell'equazione (6.115) rappresenta la risposta na-turale del circuito perché dipende solo dalle condizioni iniziali, mentre il secondo ad-dendo rappresenta la risposta forzata del circuito perché dipende solo dagli ingressi (nel caso in esame l'ingresso è unico ed è costituito dal generatore di corrente costante). Si tenga presente che la risposta libera e quella forzata non devono essere confuse con la risposta transitoria e quella a regime.

Consideriamo ora il circuito serie mostrato in figura; valgono considerazioni analoghe a quelle fatte finora:

Al solito, sceglieremo come variabili di stato la tensione sul condensatore e la corrente sull'induttore. Si può scrivere:

(6.121) iii :L.K.C.

(6.120) Evvv :L.K.T.

(6.119) dtdi

Lv

(6.118) dt

dvCi

(6.117) Riv

(6.116) Ev

: latodi Relazioni

LCR

LCR

LL

CC

RR

g

==

=++

=

=

=

=

Tenendo conto della (6.121) si possono scrivere la (6.118) e la (6.120) come segue:


(6.122) i

C1

dtdv

EL1

vL1

iLR

dtdi

LC

CLL

=

+−−=

Posto ora:



stato. di vettore xe prime derivate delle vettore con

(6.123)Bu Ax E 0L

1

x

x

0C

1L

1

L

R

2

1

2

1

2

1

2

1

x

x

x

xx

xx

x

==

+=⇔+−−

=

E apari e scalare é u mentre 0L1

B Inoltre

=


( ) (6.124) 00x 0

0

)(0x

)(0x

2

1=⇔

=

+

+

+

Il circuito presenterà allora solo la risposta forzata (cioè quella dipendente dall'ingresso essendo nulle le condizioni iniziali) che è esprimibile come (vedi pagina precedente):


( )∫= −t

0

tA (6.125) )dBu(ex(t) τττ

Consideriamo, infine, un ultimo esempio dal quale sarà evidente come sia difficile, per circuiti leggermente più complessi di quelli esaminati finora, determinare le equazioni differenziali che coinvolgono le variabili di stato. Si faccia riferimento al circuito mo-

strato in figura:

Le relazioni di lato sono:

=

=

=

=

=

(6.130) dt

dvCi

(6.129) dtdi

Lv

(6.128) iRv

(6.127) iRv

(6.126) Ev

CC

LL

222

111

g

Applicando la L.K.C. si ottiene:

(6.132) ii

(6.131) 0iii

L2

C21

=

=++

Mentre applicando la L.K.T. ai due percorsi chiusi evidenziati si ha:

(6.134) Evvv

(6.133) Evv

CL2

C1

=−+

=−


Dalle relazioni (6.127),(6.131) e (6.132) posso scrivere:

( ) (6.135) iiRiRv LC1111 +−==

Dunque la relazione (6.133) si scrive come:

(*) Evidt

dvCR CL

C1 =−

+−

Mentre, tenendo presente la relazione (6.132), possiamo scrivere la relazione (6.134) come segue:

(**) Evdtdi

LiR CL

L2 =−+

Riordinando le relazioni (*) e (**) si ottiene il sistema di due equazioni differenziali del primo ordine avente come incognite le variabili di stato scelte:

(6.136)

CRE

vCR

1i

C1

dtdv

LE

vL1

iLR

dtdi

1C

1L

C

CL2L

−−−=

++−=

Posto ora:




stato. di vettorex

x xe prime derivate delle e vettorcon

(6.137)Bu Ax E

CR

1L

1

x

x

CR

1

C

1L

1

L

R

2

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

x

xx

xx

x

==

+=⇔−

+−−

−

=

E apari e scalare é u mentre

CR1

L1

B Inoltre

1

−=

Nel sistema (6.136) vanno poi aggiunte le condizioni iniziali:

( ) (6.138) 00 x 0

0

)(0x

)(0x

2

1 =⇔=+

++

Il circuito presenterà allora solo la risposta forzata (cioè quella dipendente dall'ingresso essendo nulle le condizioni iniziali) che è esprimibile come:

( )∫

−=

t

0

tA (6.139) )dBu(ex(t) τττ

Nota: abbiamo visto finora due metodi che ci consentono di descrivere la dinamica di un circuito, il primo mediante una sola equazione differenziale scalare di ordine n (ge-neralmente n è uguale a 2) il secondo mediante un sistema di n equazioni differenziali del primo ordine. I due metodi sono comunque equivalenti ed è sempre possibile pas-sare dal sistema di equazioni differenziali all'equazione differenziale scalare ad esso associata (il passaggio inverso è possibile ma richiede l'introduzione delle cosiddette variabili di fase). Ad esempio, nel caso in cui n=2 si ha:


++=

++=

(**) uxaxa

(*) uxaxa

22221212

12121111

xx

derivando la prima equazione rispetto al tempo si ottiene:

aa 12121111 xxxx ++=

e sostituendo la (*) e la (**) si ha:

( ) ( ) *)*(* uxaxaauxaxaa 12222121121212111111 ux ++++++=

Possiamo riscrivere la (***) come segue:

( ) ( ) 1212111221121212112111 ux uauaaaxaxaa2a ++++++=

Dalla (*) si ricava però:

11111212 uxaxa x −−=

che sostituita nella relazione precedente dà:

( ) ( )( ) ⇒++++−−++= uauaaa uxa xaaa 1212111221111111121122111 uxx

( ) ( ) 0ua ua xaaaa aa 1212122122112112122111 uxx =−−+−−+−


Quest'ultima relazione rappresenta l'equazione differenziale del secondo ordine asso-ciata al sistema di due equazioni differenziali in esame.

6.6 RISPOSTA ALL'IMPULSO

Nel seguente paragrafo analizzeremo tre metodi attraverso i quali sarà possibile de-terminare la risposta di un circuito ad un ingresso rappresentato da una corrente o ten-sione impulsiva; per comodità, considereremo solo circuiti dinamici del primo ordine, ovviamente lineari e tempo-invarianti. Ad esempio, si prenda in esame il circuito mo-


strato in figura:

L'ingresso è costituito da un generatore di corrente impulsiva. Si vuole determinare l'andamento nel tempo della tensione sul condensatore. Possiamo utilizzare i seguenti tre metodi:

1) Metodo per approssimazione: esso consiste nel sostituire il generatore di corrente impulsivo con un generatore di corrente la cui forma d'onda è rappresentata da un im-pulso di durata finita; una volta calcolata la risposta del circuito a tale ingresso possia-mo facilmente determinare la risposta all'impulso facendo tendere a zero l'intervallo di tempo durante il quale è applicato il segnale. L'impulso di durata finita ha il seguente

andamento nel tempo:

Da un punto di vista qualitativo possiamo affermare quanto segue: per t<0 l'ingresso è nullo, la tensione iniziale sul condensatore è nulla e quindi il circuito è completamente inerte. Nell'istante t=0+ si ha una variazione istantanea, ma comunque limitata, di cor-rente ai capi del condensatore la cui tensione rimane, quindi, costante e pari al valore che aveva nell'istante t=0- cioè zero; in altri termini, nell'istante t=0+ il condensatore si comporta come un cortocircuito. Di conseguenza, la corrente del generatore scorre e-sclusivamente nel condensatore provocando, gradualmente, l'instaurarsi di una certa carica sulle sue armature; questo a sua volta, determina un progressivo aumento della tensione sul condensatore e quindi anche sul resistore, visto che i due elementi sono in parallelo. In tal modo, però, la corrente fornita dal generatore passa anche attraverso il resistore e perciò la tensione sul condensatore aumenterà sempre più lentamente. Infi-ne, a partire dall'istante t = ∆, viene escluso il generatore di corrente e quindi comincia il processo di scarica del condensatore: cioè avremo circolazione di corrente sino a quando si esaurisce l'energia elettrica immagazzinata nel condensatore sino all'istante t = ∆. Intuitivamente, l'andamento nel tempo della tensione ai capi del condensatore può essere così schematizzato:


Analizziamo ora il circuito da un punto analitico; applicando la L.K.C. otteniamo la se-guente equazione:

(6.140) (t)pC1

CR(t)v

dt(t)dv

(t)pdt

(t)dvC

R(t)v

(t)pdt

(t)dvC

R(t)v

(t)i(t)i(t)i

CCCC

CRsCR

∆∆

∆

=+⇔=+

⇔=+⇔=+

E' necessario distinguere i seguenti due intervalli di tempo:

] [ (*) C1

RCv

dtdv

:diventa (6.140) la 0,t per C1C1

∆=+∆∈

L'integrale generale di questa equazione è dato da:

(t)v(t)v(t)v C1sC1hC1 +=

L'integrale particolare è costante, essendo tale l'ingresso, e può essere ricavato nel se-guente modo:

Rke(t)v(t)v(t)v

: allora ottieneSi . R(t)vA C1

CRA

: hasi (*) nella osostituend e cost.A(t)v : posto

RCt

C1sC1hC1

C1s

C1s

∆

∆

+=+=

==⇔∆

=

==

−


Il valore della costante k si ricava imponendo la condizione iniziale:

∆−=⇔

∆+==+

Rk

Rk0)(0vC1

In definitiva si ottiene:

] [ (**) 0,t per e1R

(t)v RCt

C1 ∆∈

−

∆=

−

Tenendo presente che per ricavare la risposta all'impulso dovremo far tendere ∆ a zero, è lecito considerare ∆ molto piccolo e quindi, essendo anche t < ∆, è possibile sviluppa-re in serie la seguente quantità:

RCt

1....RCt

61

RCt

21

RCt

1e32

RCt

−≈+

−

+−=−

Di conseguenza si ottiene:

] [ (6.141) 0,t per ,Ct

RCt

11R

(t)vC1 ∆∈∆

=

+−∆

=

Questo può essere interpretato come il contributo alla tensione sul condensatore nel ca-so di ingresso diverso da zero e stato nullo. Si noti che la pendenza dell'andamento del-la tensione sul condensatore, nell'intervallo ]0,∆[, è 1/∆∆∆∆C: tale valore è molto grande poiché ∆∆∆∆ è molto piccolo. Se ora consideriamo, invece, gli istanti di tempo per t>∆∆∆∆ pos-siamo ricavare il contributo alla tensione sul condensatore nel caso di ingresso nullo e stato diverso da zero come integrale generale della seguente equazione differenziale:

t per , (*) 0RCv

dtdv C2C2 ∆>=+


Tenendo conto che la precedente equazione vale solo per istanti di tempo successivi al-l'istante t=∆, il suo integrale generale sarà esprimibile mediante una relazione di questo tipo:

)u(tke(t)v(t)v RC)(t

C2hC2 ∆−==∆−

−

Per trovare il valore della costante k sfrutteremo la seguente condizione iniziale:

−

∆=∆=−∆=+∆

∆−

RCC1C2C2 e1

R)(v)(v)(v

La prima uguaglianza deriva dal fatto che la tensione sul condensatore non presenta discontinuità istantanee poiché la corrente rimane sempre limitata. Sviluppiamo in se-rie la seguente quantità:

RC1....

RC61

RC21

RC1e

32RC ∆

−≈+

∆−

∆+

∆−=

∆−

Di conseguenza si ottiene:

kC

vCRC

Rv CC ==+∆=

∆+−

∆≈+∆

1111 22 )( : hasi quindi e , )(

In definitiva, l'integrale generale della (*) è dato da:

(6.142) )u(teC

1(t)v(t)v RC

)(t

C2hC2 ∆−==∆−

−

Concludendo, la tensione sul condensatore, quando in ingresso è presente un impulso di durata finita, è data da:


[ ]).(

t per eC1

0,t per Ct

(t)vRC

)(tC 1436

∆>

∆∈∆

= ∆−−

Per ricavare la tensione sul condensatore quando in ingresso è presente un impulso è sufficiente far tendere ∆ a zero ottenendo:

u(t)eC1

(t)v : allora 0

ordine primo del

miinfinitesientrambi et essendo

C1

(t)v : allora 0

RCt

C2

C1

−

=→∆

∆=→∆

Osservando che la prima di queste due relazioni corrisponde esattamente al valore che la seconda di esse assume per t=0 si ha che:

(6.144) u(t)eC1

(t)v RCt

C

−

=

Intuitivamente, possiamo immaginare l'impulso come costituito da un fronte di salita e da uno di discesa: durante il primo si ha una variazione istantanea della tensione sul condensatore sino al valore 1/C a cui segue, nel fronte di discesa, il processo di scarica dello stesso condensatore dovuto sia alla scomparsa dell'impulso sia alla presenza del-l'elemento resistivo.

2) Metodo di derivazione: esso consiste nel calcolare la risposta del circuito (in questo caso la tensione sul condensatore) quando in ingresso è presente un gradino unitario; una volta calcolata tale risposta, diciamola s(t), sarà sufficiente derivarla rispetto al tempo per ottenere la stessa risposta del circuito ma con un ingresso rappresentato da una corrente impulsiva (ciò è vero se si tiene presente che l'impulso è ricavabile deri-vando rispetto al tempo il gradino e che il circuito è lineare e tempo-invariante). Allora, supponendo che l'ingresso sia un gradino, l'equazione differenziale associata al circuito è la seguente:


u(t)C1

RCv

dtdv cc =+ (6.145)

il cui integrale generale è del tipo:

(t)vu(t)ke(t)v CsRCt

c +=−

L'integrale particolare deve seguire l'ingresso ed essendo questo costante possiamo porre:

costA(t)vSC ==

che sostituita nella (6.145) dà:

RA(t)vC

u(t)RCA

SC ==⇒=

Per ricavare poi il valore della costante k occorre imporre la condizione iniziale e cioè:

RkRu(t)k0)(0vC −=⇔+==+

e quindi l’integrale generale della (6.145) si scrive come:

u(t)e1Rs(t)(t)v RCt

C

−==

−

Da quanto detto, la risposta del circuito all'impulso, diciamola h(t), sarà espressa come:


(6.147) u(t)eRC1

R(t)e1Rdt

ds(t)h(t) RC

tRCt

+

−==

−−δ

Il primo addendo a secondo membro della (6.147) è nullo in quanto, per t diverso da zero, si annulla l'impulso mentre, per t=0, si annulla la quantità tra parentesi. In con-clusione, la risposta del circuito all'impulso è data da:

(6.148) u(t)eC1

h(t) RCt

−

=

(Nota: si osservi l'analogia con la relazione (6.144)).

3) Metodo dell'equilibrio delle funzioni singolari. L'equazione differenziale associata al circuito di fig.1 quando in ingresso è presente un impulso è la seguente:

(6.149) (t)C1

RCv

dtdv CC δ=+

Poiché il secondo membro di tale equazione differenziale è sempre nullo per t diverso da zero, l'integrale generale della (6.149) coincide con quello dell'equazione omogenea associata, cioè:

(*) u(t)ke(t)v RCt

C

−

=

Per determinare il valore della costante k basta sostituire la (*) nella relazione (6.149) come segue:

(**) (t)C1

(t)ke

(t)C1

u(t)eRCk

(t)keu(t)eRCk

RCt

RCt

RCt

RCt

δδ

δδ

=

⇔=++−

−

−−−


Osservando ora che il primo membro della (**) ha valore non nullo solo per t uguale a zero (in quanto per t diverso da zero l'impulso si annulla), possiamo scrivere la suddet-ta relazione come segue:

u(t)eC1

(t)v :quindi e

C1

k (t)C1

(t)k

tRC1

C

−

=

=⇔= δδ

Si nota che tale risultato coincide con quelli determinati nei due casi precedenti. Si con-

sideri ora il seguente circuito:

Si vuole determinare l'andamento nel tempo della corrente i(t). Analizziamo prima il circuito da un punto di vista qualitativo: per t<0 il circuito è completamente inerte in quanto sia l'ingresso sia la tensione iniziale sul condensatore sono nulle. Nell'istante t=0 viene applicato l'impulso di tensione: intuitivamente tale impulso può stabilirsi ai capi del resistore o ai capi del condensatore o di entrambi. In realtà, è facile dimostrare che l'impulso di tensione agisce solo ai capi del resistore perché nell'istante t=0 il con-densatore continua a comportarsi come un cortocircuito: infatti, la tensione sul conden-satore può subire una variazione istantanea solo se su di esso agisce un impulso di cor-rente e non di tensione come in questo caso. D'altra parte, se ai capi del resistore, nell'i-stante t=0, si stabilisce un impulso di tensione questo determinerà una corrente impul-siva pari a: i(t)=δδδδ(t)/R. Questa corrente è la stessa che scorre anche nel condensatore de-terminando così una variazione istantanea di tensione data da:

(*) CR1

(t)dtCR1

i(t)dtC1

)(0v)(0v0

0

0

0

CC ==+= ∫∫+

−

+

−

−+ δ


Essendo tale tensione positiva, in t=0+, le armature del condensatore saranno polarizza-te come indicato in fig. 6.43 e quindi ci sarà una corrente i1(t) che scorre in verso antio-rario, cioè in verso opposto alla corrente i(t); allora, per t>0 il circuito diventa:

Evidentemente la corrente i1(t) può essere ricavata come segue (basta risolvere l'equa-zione differenziale associata al circuito per t>0):

u(t)ke(t)i RCt

1

−=

Il valore della costante k si ricava imponendo la condizione iniziale:

(*) u(t)eCR

1R(t)

(t)iR(t)

i(t) :quindi e

u(t)eCR

1(t)i

CR1

R)(0v

R)(0v

k)(0i

RCt

21

RCt

212CR

1

−

−++

+

−=−=

=⇒====

δδ

Il primo addendo a secondo membro della (*) rappresenta il contributo alla risposta i(t) a stato nullo ed ingresso diverso da zero mentre il secondo addendo rappresenta il con-tributo alla risposta i(t) ad ingresso nullo e stato diverso da zero (si tenga presente che quest'ultimo vale solo per t>0). Vediamo ora di ricavare lo stesso risultato per via anali-tica usando il metodo dell'equilibrio delle funzioni singolari. Applicando la L.K.T. al circuito di fig. 6.42 si ottiene:

(6.151) R(t)'

i(t)CR1

dtdi(t)

: ottienesi derivandocui da , (6.150) (t))di(C1

Ri(t)t

0

δ

δττ

=+

=∫+


Note:

• nella relazione (6.150) si tenga presente che la tensione iniziale sul condensatore è stata supposta nulla;

• nella relazione (6.151) compare, a secondo membro, la derivata prima dell'impulso che, generalmente, prende il nome di doppietto.

Di seguito sono indicate le proprietà che lo definiscono:

0 (t)(t)dt' e 0t 0(t)' >∀=≠∀= ∫−

εδδδε

ε

Da quanto detto si deduce che il secondo membro dell'equazione (6.151) è sempre nul-lo per t diverso da zero e, quindi, l'integrale generale della (6.151) coincide con quello dell'equazione omogenea associata, cioè:

u(t)kei(t) RCt

−=

In realtà, la risposta appena determinata non è completa e questo lo si deduce dal fatto che sostituendo tale espressione nell'equazione (6.151) non è possibile equilibrare il doppietto che compare a secondo membro. Quando si presentano situazioni di questo genere basta semplicemente aggiungere alla risposta dell'equazione omogenea associa-ta tanti termini di tipo impulsivo quanti sono necessari per equilibrare la derivata del-l'impulso (eventualmente anche di ordine superiore al primo) che compare nell'equa-zione differenziale completa. Nel caso in esame, allora, la risposta i(t) sarà scritta come:

(t)Au(t)kei(t) RCt

δ+=−

Per ricavare il valore delle costanti k e A basta sostituire la precedente espressione nel-l'equazione (6.151) ottenendo:


(**) (t)'R1

(t)RCA

(t)'A(t)ke

(t)'R1

(t)RCA

u(t)eRCk

(t)'A(t)keu(t)eRCk

RCt

RCt

RCt

RCt

δδδδ

δδδδ

=++

⇔=++++−

−

−−−

Osservando ora che il primo addendo nel primo membro della (**) ha valore non nullo solo per t uguale a zero (in quanto per t diverso da zero l'impulso si annulla), possiamo scrivere la suddetta relazione come segue:

=

−=

⇒

=

=+

=++

R1

A

CR1

k

R1

A

0RCA

k

: ricavasi cui da , (t)'R1

(t)RCA

(t)'A(t)k

2

δδδδ

In definitiva, si ottiene:

(t)R1

u(t)eCR

1i(t) RC

t

2 δ+−=−

(Si noti l'analogia con la relazione (*) alla pagina precedente).

Osserviamo, infine, quanto segue: l'analisi qualitativa del circuito di fig. 6.42 può essere svolta anche in modo differente da quello seguito precedentemente e cioè basandosi sul cosiddetto principio di non amplificazione della tensione e della corrente: esso afferma che:

in un circuito dinamico lineare, eventualmente anche tempo-variante, se l'alimentazio-ne è dovuta solo a generatori indipendenti costanti o a condizioni iniziali non nulle sugli elementi conservativi, allora in nessun lato del circuito si può avere un valore di tensio-ne o corrente superiore a quello dell'alimentazione.

Allora, tenendo presente ciò e prendendo in esame il circuito di fig. 6.42, possiamo af-fermare che l'impulso di tensione in ingresso non può applicarsi ai capi del condensa-


tore perché, in tal caso, si avrebbe sul condensatore un doppietto di corrente che, a sua volta, si stabilirebbe ai capi del resistore originando un doppietto di tensione: questo, però, è in contrasto col suddetto principio di non amplificazione e quindi possiamo concludere che l'impulso di tensione in ingresso si applica ai capi del resistore. L'analisi qualitativa procede poi in modo analogo a quanto fatto in precedenza.

6.7 METODO GENERALE PER LA DETERMINAZIONE DI UN IMPULSO DI TENSIONE O DI

CORRENTE IN UN CIRCUITO

Dai vari esempi trattati nei paragrafi precedenti possiamo concludere che, in generale, le variabili di stato di un circuito, ossia le tensioni sui condensatori e le correnti sugli induttori, possono subire variazioni istantanee in t=0 se si verificano le seguenti due condizioni: nel circuito sono presenti generatori indipendenti con forme d'onda impul-sive oppure nel circuito stesso si originano correnti impulsive (sostenute da generatori di tensione) o tensioni impulsive (sostenute da generatori di corrente). E' facile verifica-re che condizione necessaria affinché ciò avvenga è che si formino nel circuito, a partire dall'istante t=0+, maglie costituite solo da generatori di tensione e condensatori o in-siemi di taglio costituiti solo da generatori di corrente ed induttori.

Consideriamo a titolo di esempio il seguente circuito:


Se si suppone che il circuito sia in condizione di regime, possiamo facilmente ricavare le condizioni iniziali sugli elementi conservativi esaminando il circuito equivalente per

t=0- :

Esaminiamo ora il circuito di fig. 6.44 con lo scopo di stabilire se può crearsi un impulso di cor-rente: se ciò fosse vero ai capi di ciascun induttore si avrebbe un doppietto di tensione ma questo sarebbe in contrasto col principio di non amplificazione enunciato nel paragrafo precedente; i-noltre, se circolasse un impulso di corrente, ai capi di ogni resistore avremmo un impulso di tensione e ciò sarebbe ancora in contrasto col suddetto principio. In definitiva, ai fini dell'impul-so di corrente, sia gli induttori sia i resistori si comportano come circuiti aperti (naturalmente questo vale anche per i generatori indipendenti di corrente costanti) mentre rimangono inaltera-ti solo i generatori indipendenti di tensione ed i condensatori. Però, affinché tale impulso di cor-rente possa scorrere nel circuito è necessario che i condensatori ed i generatori di tensione for-mino una maglia: questa è, quindi, condizione necessaria affinché nel circuito si formi un im-pulso di corrente; diventa anche condizione sufficiente se la somma algebrica delle tensioni dei generatori indipendenti e delle tensioni iniziali sui condensatori è diversa da zero. In tal caso, infatti, bisogna ammettere l'esistenza di un impulso di corrente che faccia variare istantanea-mente in t=0 le tensioni iniziali sui condensatori in modo che sia sempre soddisfatta la L.K.T. applicata alla maglia (vedi pag. 136-137). Ad esempio, il circuito equivalente a quello di fig. 6.44 ai fini dell'impulso di corrente è il seguente:


che possiamo così semplificare:

(Nota: i due condensatori in fig. a sono entrambi scarichi e quindi si comportano come cortocircuiti). Essendo la tensione vs diversa da zero, si avrà un impulso di corrente so-stenuto da tale tensione e diretto come mostrato in fig. b), e cioè dal morsetto positivo a quello negativo, che farà depositare una stessa carica q sulle armature dei due conden-satori in modo tale che:

2E

Cq

vv :Quindi

2CE

(t)dtiq ECq

Cq

Evv

21

0

0_21

===

==⇒=+⇔=+ ∫+

δδ

δδδ

Osservando ora il circuito di fig. a) possiamo scrivere:

2E

2E

Ev)(0v)(0v

2E

vv)(0v)(0v

2C2C2

11C1C1

=−=−=

−=−=−=

−+

−+

δ

δδ

Sono state così ricavate le tensioni iniziali sui due condensatori nel circuito in esame. E' possibile ora svolgere un discorso duale per quanto riguarda la determinazione delle correnti iniziali sui due induttori presenti nel circuito. Esaminiamo il circuito di fig.6.44 con lo scopo di stabilire se può crearsi un impulso di tensione: se ciò fosse vero ai capi di ciascun condensatore si avrebbe un doppietto di corrente che circolerebbe anche nei resistori determinando, ai loro capi, dei doppietti di tensione; ma questo sarebbe in contrasto col principio di non amplificazione enunciato nel paragrafo precedente. In definitiva, ai fini dell'impulso di tensione, sia i condensatori sia i resistori si comporta-no come cortocircuiti (naturalmente questo vale anche per i generatori

indipendenti di tensione costanti) mentre rimangono inalterati solo i generatori indi-


pendenti di corrente e gli induttori. Però, affinché tale impulso di tensione possa sussi-stere nel circuito è necessario che gli induttori ed i generatori di corrente formino un insieme di taglio, ossia convergano in un unico nodo: questa è, quindi, condizione ne-cessaria affinché nel circuito si formi un impulso di tensione; diventa anche condizione sufficiente se la somma algebrica delle correnti dei generatori indipendenti e delle cor-renti iniziali sugli induttori è diversa da zero. In tal caso, infatti, bisogna ammettere l'e-sistenza di un impulso di tensione che faccia variare istantaneamente in t=0 le correnti iniziali sugli induttori in modo che sia sempre soddisfatta la L.K.C. applicata all'insie-me di taglio. Ad esempio, il circuito equivalente a quello di fig. 6.44 ai fini dell'impulso di tensione è il seguente:

che possiamo così semplificare:

(Nota: i due induttori in fig. a sono entrambi scarichi e quindi si comportano come cir-cuiti aperti; in fig. b essi sono stati collegati a massa in quanto la tensione ai nodi 1 e 2 è la stessa). Essendo la corrente E/R diversa da zero, si avrà un impulso di tensione so-stenuto da tale corrente e diretto come mostrato in fig. b) che originerà uno stesso flus-so ϕϕϕϕ sui due induttori in modo tale che:

2RE

Lii :Quindi

2RLE

(t)dtv RE

LL

RE

ii

21

0

0_21

===

==⇒=+⇔=+ ∫+

ϕ

ϕϕϕ

δδ

δδδ


Osservando ora il circuito di fig. a) possiamo scrivere:

2RE

ii)(0i)(0i

2RE

2RE

RE

i)(0i)(0i

22L2L2

1L1L1

==+=

=−=−=

−+

−+

δδ

δ

Sono state così ricavate le correnti iniziali sui due induttori nel circuito in esame.


CAPITOLO 7

7.1 ANALISI DEI CIRCUITI COMPLESSI 240

7.2 GRAFI, ALBERI, INSIEMI DI TAGLIO E MAGLIE FONDAMENTALI 242

7.3 MATRICE DI INCIDENZA 254

7.4 TEOREMA DI TELLEGEN 256

7.5 METODO GENERALE PER LA RICERCA DELLE EQUAZIONI DI UN CIRCUITI

IN TERMINI DI VARIABILI DI STATO 257


7.1 ANALISI DEI CIRCUITI COMPLESSI

Un qualsiasi circuito costituito esclusivamente da componenti lineari e da generatori indipendenti è detto circuito lineare. I metodi che ora introdurremo per l'analisi dei circuiti complessi o reti valgono sia per circuiti lineari che non lineari. Supponiamo, per il momento, di considerare circuiti costituiti da soli bipoli. E' opportuno, inoltre, preci-sare il significato di alcuni termini: per lato di un circuito intendiamo ogni singolo bi-polo presente nel circuito. Un nodo è invece un punto che congiunge almeno due lati del circuito: in particolare, il grado di un nodo è il numero di lati che convergono nel no-do. Una maglia è un cammino chiuso di lati del circuito che gode delle seguenti pro-prietà: i suoi lati devono essere attraversati una sola volta e ciascun nodo incontrato lungo il cammino deve connettere esattamente due lati del cammino chiuso. Lo studio di un qualsiasi circuito comporta la determinazione di tutte le correnti e tensioni di la-to: gli strumenti a disposizione sono le relazioni di lato, che sono equazioni fra loro indipendenti ed in numero pari ai lati del circuito in esame, le equazioni di equilibrio delle correnti, che si ricavano applicando la L.K.C. ai nodi del circuito o a determinate superfici gaussiane e le equazioni di equilibrio delle tensioni, che si ricavano appli-cando la L.K.T. alle maglie del circuito. Se il circuito in esame ha b lati occorre determi-nare 2b incognite che sono tutte le correnti e tensioni di lato: servono allora 2b equa-zioni in tali incognite linearmente indipendenti. Una metà di esse è fornita proprio dal-le relazioni di lato; le altre b equazioni vanno ricercate tra quelle di equilibrio delle cor-renti e quelle di equilibrio delle tensioni. Osserviamo, anzitutto, che le equazioni rica-vate applicando la L.K.C. e la L.K.T. non tengono conto della natura dei bipoli che co-stituiscono il circuito ma di come questi sono connessi tra loro ossia, in altri termini, della topologia del circuito. Di conseguenza, agli effetti dell'applicazione delle leggi di Kirchhoff posso pensare di sostituire un generico bipolo con un segmento orientato, che chiameremo semplicemente lato, compreso tra due vertici di estremità che chiame-remo, ancora per semplicità, nodi:


La freccia sul lato k denota il verso della corrente nel bipolo ad esso associato mentre si conviene che il nodo, nel lato k, posto dalla parte della coda della freccia corrisponde al nodo nel bipolo a tensione maggiore. Se ogni elemento a due terminali è sostituito da un segmento orientato, l'insieme di segmenti così ottenuti, connessi allo stesso modo in cui sono collegati gli elementi del circuito di partenza, costituiscono il grafo orientato o, semplicemente, il digrafo associato al circuito in esame.

In figura è dato un esempio di costruzione di un grafo orientato associato a un circuito.

Si noti che i segmenti orientati sono stati numerati per stabilire la corrispondenza con gli elementi del circuito cui si riferiscono. I vertici del grafo corrispondono ai nodi del circuito con identica numerazione. La cosa interessante è che si possono applicare le leggi di Kirchhoff direttamente sulla base del grafo orientato. Applicando, infatti, la L.K.C. ai quattro nodi del grafo orientato (considerando positive le correnti uscenti) si ha:

0iii : 4nodo

0iii : 3 nodo

0iii : 2 nodo

0iii : 1 nodo

543

652

421

631

=−−−

=++−

=++−

=−+

E' possibile verificare immediatamente che queste quattro equazioni non sono fra loro indipendenti. La loro somma è, infatti, nulla. Analogamente, applichiamo la L.K.T. ad alcune maglie del grafo (considerando come verso di percorrenza delle maglie quello orario) e si ha:

0vvvv : 3-5-2-1 maglia

0vvv : 3-5-6 maglia

0vvv : 2-6-1 maglia

0vvv : 4-5-2 maglia

0vvv : 3-4-1 maglia

3521

635

126

452

341

=−++

=−−

=−−−

=−+

=−+


Anche queste equazioni non sono tutte indipendenti come si può verificare osservando che la quarta di esse è ottenuta dalla somma delle prime tre e la quinta è combinazione delle prime due. Gli esempi considerati evidenziano la necessità di mettere a punto una procedura sistematica che consenta di conoscere quante e quali sono, tra le equa-zioni di equilibrio delle correnti e delle tensioni, quelle indipendenti. Risulta essere di grande aiuto a tale scopo l'introduzione di alcune nozioni relative alla teoria dei grafi orientati. Nel seguito ometteremo, per semplicità, la parola orientato e parleremo sem-plicemente di grafo.

7.2 GRAFI, ALBERI, INSIEMI DI TAGLIO E MAGLIE FONDAMENTALI

Si definisce grafo un insieme di lati e nodi con la proprietà che ciascuna estremità di ogni lato deve terminare in un nodo. Un nodo isolato è un grafo (degenere). Dato un grafo G, si definisce sub-grafo di G ogni sottoinsieme di lati e nodi di G disposti nello stesso modo del grafo di partenza. In particolare, un sub-grafo può essere ottenuto ri-muovendo dal grafo iniziale dei lati e/o dei nodi. Si tenga presente che rimuovere un lato non significa rimuovere anche i nodi terminali del lato stesso ma significa cancella-re il segmento che unisce i nodi, lasciando i nodi. Per esempio, il sub-grafo di fig. b) è ottenuto rimuovendo i lati 1,2 e 6 dal grafo di fig. a) :

Un grafo si dice connesso se, comunque si scelga una coppia di nodi, esiste almeno un cammino lungo i lati del grafo che congiunga i due nodi (per convenzione un nodo iso-lato è un grafo connesso). Se un grafo non è connesso esso sarà costituito da almeno due parti separate. Inoltre, un grafo connesso si dirà completo se comunque si scelga un nodo questo è collegato a tutti gli altri nodi del grafo mediante un solo lato (ovvia-mente un grafo completo è anche connesso): un esempio di grafo completo è quello mostrato in fig. a).

Si definisce albero di un grafo G connesso un sub-grafo di G che soddisfi le seguenti condizioni:

• deve essere connesso;

• deve contenere tutti i nodi di G;

• non deve contenere maglie.


Nel caso del grafo di fig. a) esempi di alberi sono:

I lati di un albero sono detti rami mentre i lati del grafo di partenza che non fanno par-te dell'albero sono detti corde e formano il coalbero (nella figura precedente le corde so-no tratteggiate). Nel caso in cui il grafo di partenza sia completo in esso si possono in-dividuare nn-2 alberi, dove n indica il numero di nodi del grafo. Sussiste il seguente:

Teorema

Dato un grafo connesso con n nodi e b lati, ogni albero del grafo avrà esattamente n-1 rami e quindi ogni coalbero avrà b-n+1 corde.

Definizione di insieme di taglio: dato un grafo connesso, un suo insieme di taglio è un insieme di lati del grafo stesso tali che:

(a) la rimozione dal grafo iniziale di tutti i lati dell'insieme di taglio conduce ad un su-bgrafo costituito da esattamente due parti separate (cioè non connesso);

(b) la rimozione dal grafo iniziale di tutti i lati dell'insieme di taglio tranne uno qual-siasi conduce ad un subgrafo ancora connesso.

Per individuare gli insiemi di taglio si possono utilizzare le superfici gaussiane: i lati del grafo tagliati dalla superficie una sola volta costituiscono un insieme di taglio. Se, ad esempio, consideriamo nuovamente il grafo di fig. a), quello che si ottiene rimuo-vendo i lati attraversati rispettivamente dalle due superfici gaussiane indicate è mo-strato di seguito:


Poiché in entrambi i casi sono soddisfatte le condizioni imposte nella definizione data alla pagina precedente possiamo concludere che gli insiemi di lati 6,2,5 e 6,1,4,5 formano due insiemi di taglio. Osserviamo ancora che l'insieme di lati 6,2,5,3 non rappresenta un insieme di taglio perché non è soddisfatta la condizione (b) nella defi-nizione data: infatti rimuovendo tutti i lati dell'insieme tranne il lato 3 non si ottiene un grafo connesso. E' ovvio che i lati che incidono un nodo costituiscono un insieme di ta-glio. Basta considerare, infatti, la gaussiana che circonda il nodo.

Si supponga, a questo punto, di scegliere un albero arbitrario in un grafo connesso as-segnato: si individuino poi gli insiemi di taglio tali che ognuno di essi sia formato da corde e da un solo ramo d'albero (quest'ultimo, peraltro, deve essere caratteristico di un solo insieme di taglio, cioè non deve essere contenuto negli altri insiemi di taglio trovati): questi sono detti insiemi di taglio fondamentali relativi all'albero scelto. Ad esem-pio, per l'albero mostrato in figura si ha:

Evidentemente, gli insiemi di taglio fondamentali relativi ad un albero in un grafo connesso sono pari al numero di rami dell'albero, cioè n-1 (dove n è il numero di nodi).

Definizione di maglia fondamentale: dato un grafo connesso e scelto un albero, una maglia fondamentale è costituita da una sola corda del coalbero e da tanti rami dell'al-bero quanti sono necessari per completarla.

Ad esempio, per l'albero mostrato in figura si ha:

(Nota: i numeri sottolineati individuano le corde caratteristiche della corrispondente


maglia fondamentale). Evidentemente, le maglie fondamentali relative ad un albero in un grafo connesso sono pari al numero delle corde del coalbero, cioè b-n+1 (dove b è il numero di lati ed n è il numero di nodi).

Enunciamo ora i seguenti due teoremi di notevole importanza.

Teorema 1

Dato un circuito a cui sia associato un grafo connesso con n nodi e b lati, il numero delle equa-zioni di equilibrio delle correnti fra loro indipendenti è pari a n-1.

Dim.: la tesi può essere asserita dimostrando queste due affermazioni:

1) il numero di equazioni di equilibrio delle correnti linearmente indipendenti è al massimo n-1;

2) il numero di equazioni di equilibrio delle correnti linearmente indipendenti è al minimo n-1.

Consideriamo, ad es., il seguente grafo connesso (il discorso ha comunque validità ge-nerale):

Applico la L.K.C. a ciascun nodo del grafo ottenendo così n equazioni (nel caso partico-lare n=4) di equilibrio che esprimono dei vincoli tra le correnti di lato. E' facile però ve-rificare che tali n equazioni sono fra loro dipendenti: basta, infatti, sommarle membro a membro per ottenere un'identità del tipo: 0=0. Ciò si può dedurre dal fatto che, consi-derando una generica coppia di nodi del grafo, come quella mostrata in fig. b alla pa-gina precedente, la corrente di lato ik risulta essere uscente dal nodo i ed entrante nel nodo j: di conseguenza, nelle due equazioni di Kirchhoff delle correnti, una relativa al nodo i e l'altra relativa al nodo j, tale corrente di lato comparirà con segni opposti e quindi si annullerà quando le due equazioni verranno sommate; considerazioni analo-ghe valgono per tutte le correnti di lato e ciò conferma quanto appena detto. Tuttavia, in generale, è possibile scrivere equazioni di equilibrio per le correnti considerando delle superfici gaussiane che attraversano il grafo in esame: anche in questo caso, però, le equazioni che si ottengono risultano essere fra loro dipendenti per il fatto che una qualsiasi equazione di equilibrio per le correnti ricavata facendo riferimento ad una superficie gaussiana si può sempre ottenere come somma delle equazioni derivanti dall'applicazione della L.K.C. ai nodi racchiusi nella gaussiana in esame.


Ad esempio, per il grafo di fig. a alla pagina precedente, possiamo applicare la L.K.C. alla superficie gaussiana tracciata e ai nodi 2 e 3 ottenendo:

( )

( )

)entranti correnti le positive scelte sonosi : Nota (

0iii :3

0iii :2

0iiii :

652

421

6541

=−−

=−−

=−−−Σ

Si osserva allora che la prima delle equazioni precedenti è ottenibile dalla somma delle ultime due in accordo con quanto appena detto. Da tutto ciò si può concludere che il numero di equazioni di equilibrio per le correnti fra loro indipendenti è al massimo n-1 (perché n di queste equazioni sono sicuramente fra loro dipendenti). La prima affer-mazione è così dimostrata; per dimostrare la seconda, basta osservare che, scelto un qualsiasi albero nel grafo in esame, ed individuato in esso gli insiemi di taglio fonda-mentali (che sono in numero pari a n-1) mediante opportune superfici gaussiane, le equazioni di equilibrio per le correnti che si ottengono applicando la L.K.C. a tali su-perfici sono sicuramente fra loro indipendenti (infatti, ricordando la definizione di in-sieme di taglio fondamentale, in ciascuna di tali equazioni di equilibrio comparirà una corrente di lato, corrispondente al ramo d'albero che individua l'insieme di taglio fon-damentale in esame, che non è presente nelle altre equazioni: quindi, sommando tali equazioni di equilibrio, non si annullano tutte le correnti, come invece accadeva nel ca-so precedente). Poiché le equazioni di equilibrio per le correnti che si possono scrivere facendo riferimento agli insiemi di taglio fondamentali sono proprio n-1, possiamo concludere che le equazioni di equilibrio per le correnti fra loro indipendenti sono al minimo n-1. La seconda affermazione è così dimostrata e quindi la tesi è vera. Il teore-ma appena dimostrato non solo ci indica il numero di equazioni di equilibrio per le correnti fra loro indipendenti che si possono scrivere in un qualsiasi circuito ma ci dà anche informazioni su come ottenerle e cioè applicando la L.K.C. alle superfici gaus-siane che individuano gli insiemi di taglio fondamentali relativi ad un certo albero nel grafo orientato associato al circuito in esame.

Teorema 2

Dato un circuito a cui sia associato un grafo connesso con n nodi e b lati, il numero delle equa-zioni di equilibrio delle tensioni fra loro indipendenti è pari a b-n+1.

Dim.: la tesi può essere asserita dimostrando queste due affermazioni:

1) il numero di equazioni di equilibrio delle tensioni linearmente indipendenti è al massimo b-n+1;

2) il numero di equazioni di equilibrio delle tensioni linearmente indipendenti è al minimo b-n+1.

Diamo per vera la prima affermazione e verifichiamo che è vera anche la seconda af-fermazione. Ciò si deduce osservando che, scelto un qualsiasi albero nel grafo in esa-me, ed individuato in esso le maglie fondamentali (che sono in numero pari a b-n+1), le equazioni di equilibrio per le tensioni che si ottengono applicando la L.K.T. a tali ma-glie sono sicuramente fra loro indipendenti (infatti, ricordando la definizione di maglia


fondamentale, in ciascuna di tali equazioni di equilibrio comparirà una tensione di la-to, corrispondente alla corda del coalbero che individua la maglia fondamentale in e-same, che non è presente nelle altre equazioni: quindi, sommando tali equazioni di e-quilibrio, non si annullano tutte le tensioni di lato il che conferma che queste equazioni sono linearmente indipendenti). Poiché le equazioni di equilibrio per le tensioni che si possono scrivere facendo riferimento alle maglie fondamentali sono proprio b-n+1, possiamo concludere che le equazioni di equilibrio per le tensioni fra loro indipendenti sono al minimo b-n+1. La seconda affermazione è così dimostrata e quindi la tesi è ve-ra. Il teorema appena dimostrato non solo ci indica il numero di equazioni di equilibrio per le tensioni fra loro indipendenti che si possono scrivere in un qualsiasi circuito ma ci dà anche informazioni su come ottenerle e cioè applicando la L.K.T. alle maglie fon-damentali relative ad un certo albero nel grafo orientato associato al circuito in esame. In conclusione, dato un qualsiasi circuito con n nodi e b lati e nell'ipotesi che il grafo orientato ad esso associato sia connesso abbiamo visto che per risolverlo occorre de-terminare 2b incognite che sono tutte le correnti e tensioni di lato: si è detto anche che per far ciò è necessario scrivere un sistema di 2b equazioni linearmente indipendenti. Ora sappiamo che, una volta scelto un qualsiasi albero nel grafo associato al circuito (si noti che tale scelta conviene che sia identica sia per l'applicazione della L.K.C. sia per l'applicazione della L.K.T.) le suddette equazioni fra loro indipendenti sono date da:

• b equazioni di lato;

• n-1 equazioni di equilibrio per le correnti (ricavate facendo riferimento agli in-siemi di taglio fondamentali);

• b-n+1 equazioni di equilibrio per le tensioni (ricavate facendo riferimento alle maglie fondamentali).

Vediamo ora alcuni esempi. Si consideri il circuito resistivo lineare mostrato in figura:

Tracciamo ora il grafo orientato associato al circuito e, scelto un albero, ne individuia-mo gli insiemi di taglio fondamentali e le maglie fondamentali come mostrato in figu-ra:


Applichiamo la L.K.C. alle superfici gaussiane che individuano i tre insiemi di taglio fondamentali relativi all'albero scelto (scegliamo positive le correnti uscenti):

0iii :

0iii :

0iii :

5313

5422

6211

=+−−Σ

=−+Σ

=−−Σ

Applichiamo ora la L.K.T. alle tre maglie fondamentali relative all'albero scelto (se-guendo i versi di percorrenza indicati):

0vvv : 345

0vvv : 642

0vvv : 631

543

462

631

=++−−

=−−−−

=+−−−

Mettendo insieme le sei equazioni di lato e le sei equazioni appena ottenute applicando la L.K.C. e la L.K.T. si ottiene un sistema di dodici equazioni in dodici incognite che ri-solto fornisce tutte le tensioni e correnti di lato: in questo caso il sistema è sicuramente determinato, cioè ammette un'unica soluzione, in accordo con quanto detto nel para-grafo 4.1. Consideriamo ora un circuito resistivo non lineare:

(Nota: k e x sono costanti assegnate).

Tracciamo ora il grafo orientato associato al circuito e, scelto un albero, ne individuia-mo gli insiemi di taglio fondamentali e le maglie fondamentali come mostrato in figu-ra:


Applichiamo la L.K.C. alle superfici gaussiane che individuano i due insiemi di taglio fondamentali relativi all'albero scelto (scegliamo positive le correnti uscenti):

0iii :

0ii :

4212

311

=++−Σ

=+Σ

Applichiamo ora la L.K.T. alle due maglie fondamentali relative all'albero scelto (se-guendo i versi di percorrenza indicati):

0vv : 24

0vvv : 321

42

321

=−−

=+−−−−

Mettendo insieme le quattro equazioni di lato e le quattro equazioni appena ottenute applicando la L.K.C. e la L.K.T. si ottiene un sistema di otto equazioni in otto incognite che risolto fornisce tutte le tensioni e correnti di lato: si tenga presente, comunque, che in generale non è detto che esista la soluzione. Nel caso appena trattato, il sistema di equazioni che si ottiene è non lineare a causa della presenza della funzione esponenzia-le e può essere risolto utilizzando il metodo di Newton-Raphson. Può essere risolto an-che con il metodo della caratteristica di carico. Consideriamo ora un esempio di circui-to dinamico:

Supponiamo siano note le condizioni iniziali; valgono le seguenti relazioni di lato:


888777

t

66

655444

333

222

111

iRv iRv

)d(iC1

v Ev iRv

dtdi

Lv dtdi

Lv dtdi

Lv

==

===

===

∫∞−

ττ

Scegliamo ora un albero nel grafo orientato associato al circuito:

Applichiamo ora la L.K.C. alle superfici gaussiane che individuano i cinque insiemi di taglio fondamentali relativi all'albero scelto:

0ii :

0iii :

0ii :

0iii :

0iii :

825

8764

713

8542

7531

=+−Σ

=−+−Σ

=−Σ

=++−Σ

=−−Σ

Applichiamo poi la L.K.T. alle tre maglie fondamentali indicate:

0vvv : 435

0vvvv : 6428

0vvvv : 6317

543

8642

7631

=++−−

=+−+−−−

=+++−−−

Mettendo insieme le otto equazioni appena ricavate con le otto relazioni di lato si ottie-ne un sistema di tipo integro-differenziale con sedici equazioni in sedici incognite (cioè tutte le correnti e tensioni di lato) che può essere risolto con opportuni metodi numerici tra cui quello di Eulero. La rappresentazione tramite grafi orientati che abbiamo sinora visto per circuiti con elementi a due terminali può essere facilmente estesa anche al ca-so in cui siano presenti nel circuito elementi multiterminali. Come è stato già messo in evidenza in precedenza, in un elemento a tre terminali è possibile, una volta fissato un nodo di riferimento, individuare una coppia di tensioni ed una coppia di correnti fra loro indipendenti. Di conseguenza, il grafo orientato associato ad un elemento a tre terminali sarà sempre costituito da due lati e tre nodi, come mostrato in figura, con frec-


ce entranti nel nodo comune:

(Nota: il nodo 3 è stato scelto come riferimento). In tal modo potremo continuare a par-lare di tensioni e correnti di lato anche con elementi a tre terminali. Ovviamente, per un elemento a tre terminali esistono contemporaneamente tre possibili grafi orientati associati a seconda del nodo di riferimento scelto. La generalizzazione di quanto detto ad un elemento ad n terminali è banale; infatti, il grafo orientato associato a tale ele-mento avrà n-1 lati ed n nodi come mostrato in figura (si è scelto il nodo n come riferi-mento), con frecce entranti nel nodo comune:

Per quanto riguarda, invece, la rappresentazione mediante grafo orientato di un dop-pio bipolo basta semplicemente generalizzare quella di un solo bipolo, come mostrato

in figura:

Si osserva allora che il grafo associato ad un doppio bipolo è costituito da quattro nodi e due lati ed è diverso dal grafo associato ad un generico elemento a quattro terminali che, invece, avrà, per quanto detto prima, quattro nodi e tre lati (in quanto ci sono tre tensioni e tre correnti di lato, mentre nel doppio bipolo avremo due tensioni e due cor-renti di lato corrispondenti alle tensioni e correnti di porta). Si può estendere il concetto di biporta a quello di multiporta; per esempio, il grafo orientato associato ad un triplo biporta è mostrato di seguito:


Osserviamo ora quanto segue: il grafo orientato associato ad un doppio bipolo consta di due lati non connessi. Ciò comporta che le tensioni e le correnti di porta sulle varie coppie di terminali non sono correlate tra loro per motivi di connessione (cioè topolo-gici) ma sono accoppiate a causa dei fenomeni fisici interni all'elemento. Di conseguen-za, circuiti che contengono doppi bipoli o, in generale, multiporta, possono avere grafi orientati associati non connessi. Per evitare tale problema è possibile collegare le due parti separate del grafo tramite un lato: in tal modo non si altera nessuna tensione o corrente di lato nel circuito originale. Ciò si può verificare semplicemente applicando la L.K.C. ad una superficie gaussiana che avvolga una delle due parti separate nel gra-

fo in esame e che tagli il lato k di giunzione, come mostrato in figura:

Ovviamente, la corrente ik risulta essere uguale a zero: ma allora il lato k si comporta come un circuito aperto il che implica che il comportamento del resto del circuito non viene alterato. Ma si può fare di più: poiché le tensioni sono misurate tra nodi, una vol-ta scelto un nodo di riferimento per ciascuna parte separata del grafo in esame, è pos-sibile saldare insieme tali nodi (che saranno entrambi caratterizzati da una tensione no-dale nulla) ottenendo un riferimento comune. Il grafo così ottenuto è detto grafo artico-lato. In definitiva, possiamo affermare che dato un qualsiasi circuito, il grafo ad esso associato può essere ritenuto, agli effetti dell'applicazione delle leggi di Kirchhoff, sempre connesso. In questo modo, la trattazione fatta per i circuiti con elementi bipola-ri rimane ancora valida. Si noti che se si considera l'insieme di lati tagliato dalla gaus-siana che circonda il nodo di articolazione, questo insieme non costituisce un insieme di taglio.


Ad esempio, nel caso della figura precedente si ottiene il seguente grafo articolato sce-gliendo i nodi 3 e 5 come nodi di riferimento per ciascuna parte separata:

A titolo d'esempio, consideriamo il seguente circuito contenente un resistore a tre ter-minali di cui è nota la caratteristica espressa mediante il controllo in corrente:

Le altre relazioni di lato sono:

6665444333 iRv Ev iRv iRv ====

Per quanto detto nelle pagine precedenti, il grafo orientato associato al circuito è il se-guente:

Possiamo allora scrivere le altre equazioni che insieme alle relazioni di lato consentono di determinare tutte le correnti e tensioni di lato:


0vv : 26

0vv : 24

0vvv- : 513

0iii :

0ii :

0ii :

62

42

531

6423

312

531

=+−

=−−

=+−−−

=−+Σ

=−Σ

=+Σ

(Nota: per la L.K.T. il verso di percorrenza delle maglie fondamentali è quello antiora-rio).

7.3 MATRICE DI INCIDENZA

Si supponga che ad un certo circuito sia associato il seguente grafo orientato connesso:

Applichiamo ora la L.K.C. a ciascuno dei quattro nodi con l'ipotesi di considerare posi-tive le correnti uscenti da un nodo:

0iii- : 4nodo

0iii- : 3 nodo

0iii- : 2 nodo

0iii : 1 nodo

654

532

431

621

=+−

=++

=+−

=−+

Queste equazioni possono essere poste in forma matriciale come segue:

(7.1) 0iA 0

i

i

i

i

i

i

111000

010110

001101

100011

a

6

5

4

3

2

1

=⋅⇔=

⋅

−−

−

−−

−

La matrice Aa è detta matrice di incidenza e fornisce un'informazione globale sulla to-pologia del circuito; il vettore i è il vettore delle correnti. Si osserva che la matrice di in-cidenza ha un numero di righe pari al numero di nodi nel circuito in esame ed un nu-mero di colonne pari al numero di lati nel circuito; si tenga, inoltre, presente che essa è


stata scritta con l'ipotesi di considerare positive le correnti uscenti da ogni nodo. Se il grafo è connesso, si può facilmente ricavare la matrice d'incidenza ispezionando il gra-fo in esame, senza cioè dover scrivere le equazioni di equilibrio delle correnti appli-cando la L.K.C. ad ogni nodo del circuito. Infatti, il generico elemento aik della matrice di incidenza è così definito:

−=

i. nodo il toccanon k lato il se , 0

i. nodo nel entrak lato il se , 1

i. nodo dal escek lato il se , 1

a ik

La precedente regola vale nell'ipotesi di considerare positive le correnti uscenti. Da quanto è stato detto nei paragrafi precedenti, le righe della matrice di incidenza (che sono pari ad n, cioè al numero di nodi) sono fra loro linearmente dipendenti, perché è stato dimostrato che il numero di equazioni di equilibrio per le correnti fra loro indi-pendenti è pari a n-1 (nell'ipotesi in cui il grafo associato al circuito sia connesso). D'al-tra parte è possibile anche verificare che, eliminando una qualsiasi riga nella matrice di incidenza, le righe rimanenti saranno fra loro linearmente indipendenti, cioè la matrice che si ottiene avrà rango massimo. Allora se nel circuito in esame si sceglie un nodo qualunque come riferimento (cioè si attribuisce ad esso una tensione nodale nulla) la matrice che si ottiene eliminando dalla matrice di incidenza la riga corrispondente al nodo scelto prende il nome di matrice di incidenza ridotta associata al nodo scelto come riferimento e la si indica semplicemente con A (si ricorda che le righe di tale ma-trice sono linearmente indipendenti). Ad esempio, nel caso del grafo di fig. 7.3, sce-gliendo come riferimento il nodo 4, si ha la seguente matrice di incidenza ridotta:

(7.2) 0iA 0

i

i

i

i

i

i

010110

001101

100011

6

5

4

3

2

1

=⋅⇔=

⋅

−

−−

−

Inoltre, avendo scelto il nodo 4 come riferimento, possiamo esprimere le tensioni di la-to in funzione delle tre tensioni nodali come segue (si faccia sempre riferimento al gra-fo di fig. 7.3 alla pagina precedente):

(7.3) eMv

e

e

e

001

100

010

110

101

011

v

v

v

v

v

v

ev

ev

ev

eev

eev

eev

3

2

1

6

5

4

3

2

1

16

35

24

233

312

211

⋅=⇔

⋅

−

−

−

−

=

⇔

−=

=

=

−=

−=

−=

(Nota: il vettore v è il vettore delle tensioni di lato mentre il vettore e è il vettore delle tensioni nodali).

Confrontando la matrice A con la matrice M si osserva che:


(7.4) 0eAv : diventa (7.3) laquindi e ,AM TT =−=

(Ovviamente anche la matrice M, essendo la matrice trasposta di A, sarà di rango mas-simo). In definitiva, assegnato un qualsiasi circuito il cui grafo orientato sia connesso e scelto in tale circuito un nodo di riferimento, ricavando la matrice di incidenza ridotta corrispondente posso facilmente scrivere, in forma matriciale, tutte le equazioni di e-quilibrio per le correnti e le tensioni fra loro indipendenti come segue:

(**) 0eAv

(*) 0iAT

=−

=⋅

7.4 TEOREMA DI TELLEGEN

Si consideri un circuito arbitrario a cui sia associato un grafo orientato connesso con b lati ed n nodi. Si indichi poi con:

( )

Tbi,...,2i,1ii =

un qualsiasi insieme di correnti di lato che soddisfino tutti i vincoli imposti dalla L.K.C. per G e con:

Tb21 )v,....,v,(vv =

un qualsiasi insieme di tensioni di lato che soddisfino tutti i vincoli imposti dalla L.K.T. per G.

Allora risulta che: 0iv0iv Tb

1kkk =⋅⇔=∑

=

(7.5)

Dim.: si fissi nel circuito in esame un nodo qualsiasi come riferimento e si costruisca la matrice di incidenza ridotta A corrispondente. Poiché, per ipotesi, si è supposto che il vettore i e il vettore v sopra indicati soddisfino entrambi i vincoli imposti dalla L.K.C. e dalla L.K.T. rispettivamente, possiamo scrivere (per quanto detto nel paragrafo prece-dente):

eAv

0iAT

=

=⋅

Sfruttando queste relazioni si ottiene:

( ) (C.V.D.) 0i)(AeieAiv TTTT =⋅⋅=⋅=⋅


Osservazioni:

• si supponga che i' e i'', v' e v'' siano vettori, rispettivamente, di correnti e tensioni valutati in istanti di tempo differenti che soddisfino le ipotesi del teorema di Telle-gen con riferimento ad uno stesso grafo. Poiché il suddetto teorema non impone al-cuna condizione sull'istante di tempo in cui si valutano i due vettori di tensione e corrente, possiamo scrivere:

0'i''v' 0i''v' 0'i'v' 0i'v' TTTT =⋅=⋅=⋅=⋅

• si fissi un certo istante t e si misurino tutte le tensioni di lato vk(t) e le correnti di la-to ik(t), con K=1,2,...,b. Ovviamente, i vettori v(t) e i(t) soddisfano rispettivamente la L.K.T. e la L.K.C. e quindi per il teorema di Tellegen si ha:

(*) 0i(t)v(t) 0(t)(t)iv Tb

1kkk =⋅⇔=∑

=

Ora, poiché si impiegano le direzioni di riferimento associate relative alla convenzione degli utilizzatori, il prodotto vk(t)*ik(t) rappresenta la potenza fornita al lato k dal resto del circuito nell'istante t considerato; in altri termini, tale prodotto rappresenta la 'rapi-dità' con cui l'energia viene ceduta al lato k, nell'istante t, dal resto del circuito. Allora la relazione (*) indica che la somma delle potenze fornite ai singoli lati del circuito nel-l'istante t è nulla. Supponiamo, infine, che il circuito abbia α generatori indipendenti e supponiamo di numerare i lati a partire dai generatori indipendenti. Si porti, ora, nella (*) a primo membro gli addendi che si riferiscono ai generatori:

(**) (t)i (t)v(t)i (t)vb

1kkk

1ksksk ∑∑

+==

=−α

α

Possiamo allora affermare che la somma delle potenze fornite dai generatori indipen-denti é uguale alla somma delle potenze entranti in tutti gli altri lati della rete. Questo vale per ogni t. Poiché la (*) e la (**) sono vere per qualsiasi istante t, possiamo conclu-dere che la suddetta relazione esprime la conservazione dell'energia per circuiti concentrati (essa è quindi, in ultima analisi, una conseguenza delle leggi di Kirchhoff).

7.5 METODO GENERALE PER LA RICERCA DELLE EQUAZIONI DI UN CIRCUITI IN TERMINI

DI VARIABILI DI STATO

Il metodo che ora esamineremo è valido per qualsiasi circuito ma lo applicheremo, in particolare, a circuiti lineari tempo-invarianti. Consideriamo, a titolo d'esempio, il se-guente circuito:


In generale, i passi da seguire per una facile ricerca delle equazioni in termini di varia-bili di stato sono i seguenti:

1. tracciare il grafo orientato associato al circuito in esame;

2. individuare un albero i cui rami corrispondano ai lati nel circuito contenenti i con-densatori; se ci sono altri rami questi devono corrispondere ai lati del circuito che contengono, nell'ordine, generatori indipendenti o dipendenti di tensione e resisto-ri, non devono, comunque, essere presi come rami dell'albero i lati del circuito con-tenenti induttori o generatori indipendenti o dipendenti di corrente. Un albero sif-fatto è detto albero proprio;

3. scelta delle variabili di stato;

4. applicazione della L.K.C. alle superfici gaussiane che individuano gli insiemi di ta-glio fondamentali i cui rami caratteristici corrispondono ai lati nel circuito conte-nenti i condensatori

5. applicazione della L.K.T. a quelle maglie fondamentali identificate da corde conte-nenti induttori per il completamento della scrittura delle equazioni di stato.

Vediamo di applicare questi passi nel caso del circuito precedente; il grafo orientato ad esso asso-ciato è il seguente:

A fianco è indicato l'albero proprio. Le variabili di stato da determinare sono le tensioni


sui due condensatori e la corrente sull'induttore, cioè: v1(t),v2(t) e i3(t). Applico ora la L.K.C. alle due superfici gaussiane indicate in figura, come previsto dal passo 4):

(7.7) 0iii :

(7.6) 0iii :

4312

6231

=++Σ

=++Σ

Il nostro scopo è quello di scrivere un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine in cui le incognite siano proprio le variabili di stato scelte. Posso allora scrivere la (7.6) come segue:

(*) Ci

Ci

dtdv

0idt

dvCi

2

s6

2

32s6

223 −−=⇔=++

Abbiamo così ottenuto una delle tre equazioni differenziali che stiamo cercando. Per ottenere la seconda scriviamo la (7.7) come segue:

(7.8) iidt

dvC 0ii

dtdv

C 431

1431

1 −−=⇔=++

Per ricavare la corrente i4 applico la L.K.T. alla maglia fondamentale basata sulla corda 4 che contiene il resistore (il verso di percorrenza è quello antiorario):

(7.9) Rv

Rv

i 0vviR 0vvv : 5144

s5

4

141s544154 −=⇔=−+⇔=−+−−

Quindi la (7.8) diventa:

(**) RC

vCi

vRC1

dtdv

Rv

Rv

idt

dvC

41

s5

1

31

41

1

4

s5

4

13

11 +−−=⇔

−−−=

La terza equazione differenziale la ricavo applicando la L.K.T. alla maglia fondamenta-le basata sulla corda 3 che contiene l'induttore (verso antiorario):

*)*(* Lv

Lv

Lv

dtdi

0vvvdtdi

L 0vvvv : 1523

3

s5

3

2

3

13

1s523

31523

−+=

=−+−⇔=−+−−−−

Il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine avente come incognite le va-riabili di stato scelte è allora il seguente:

Lv

Lv

Lv

dtdi

Ci

Ci

dtdv

CRv

Ci

CRv

dtdv

3

s5

3

2

3

13

2

s6

2

32

14

s5

1

3

14

11

−+=

−−=

+−−=

che può essere posto in forma matriciale come segue:


⋅

−

−+

⋅

−

−−

=

s6

s5

3

2

14

3

2

1

33

2

114

3

2

1

i

v

0L1

C1

0

0CR1

i

v

v

0L1

L1

C1

00

C1

0CR1

dtdidt

dvdt

dv

A tale sistema vanno poi aggiunte le condizioni iniziali sui due condensatori e sull'in-duttore che abbiamo supposto essere note. E' possibile dimostrare che condizione ne-cessaria e sufficiente affinché esista un albero proprio è che non ci siano maglie di soli condensatori o insiemi di taglio di soli induttori.


CAPITOLO 8

8.1 METODO DELLO SPARSE TABLEAU 262

8.2 TEOREMA DI SOVRAPPOSIZIONE PER CIRCUITI LINEARI RESISTIVI 266

8.3 IL TEOREMA DI THEVENIN 271

8.4 IL TEOREMA DI NORTON 274

8.5 ULTERIORI OSSERVAZIONI SUI TEOREMI DI THEVENIN E NORTON 277


8.1 METODO DELLO SPARSE TABLEAU

Si tratta di un metodo generale per la risoluzione di un qualsiasi tipo di circuito. Ecco i passi da seguire per l'applicazione di tale metodo:

1. scelta nel circuito assegnato del nodo di riferimento (datum node);

2. tracciamento del grafo orientato associato al circuito;

3. scrittura in forma matriciale delle equazioni di equilibrio delle correnti e delle ten-sioni mediante la matrice di incidenza ridotta relativa al nodo di riferimento scelto;

4. scrittura in forma matriciale delle relazioni di lato.

Una volta svolti tali passi si perviene ad un'equazione in forma matriciale, detta equa-zione di tableau, che risolta mediante opportuni metodi matematici consente di ricava-re tutte le correnti di lato, le tensioni di lato e le tensioni nodali. Vediamo subito un e-sempio considerando un circuito resistivo lineare e tempo-invariante:


Il nodo scelto come riferimento è il nodo 4; il grafo orientato associato al circuito è mo-strato di seguito:

Scriviamo la matrice di incidenza ridotta relativa al nodo scelto come riferimento:

[ ]

[ ] [ ]T321

T54321

T

T54321

e,e,ee e v,v,v,v,vvcon (**) 0eAv

i,i,i,i,iicon (*) 0iA

: matriciale formain tensioni le ecorrenti le per equilibrio

di equazioni due le ottengonosi cui da

11000

01110

00011

A

===−

==⋅

−−

−=

Scriviamo ora le relazioni di lato come segue:

v1

= vs1

v2

– R2

i2 = 0

v3

– R3

i3 = 0

v4

– R4

i4 = 0

i5

– g5

v2 = 0

Nello scrivere tali relazioni si adottano le seguenti convenzioni:

• nelle equazioni relative ai generatori indipendenti le forme d'onda devono essere lasciate a secondo membro, preferibilmente con il segno +;

• tutte le altre equazioni di lato devono essere poste in forma omogenea e nel caso di circuiti dinamici si deve evitare di far comparire degli integrali o delle frazioni(e' preferibile).

Le relazioni di lato sopra scritte possono allora essere poste in forma matriciale come segue:


=

⋅

−

−

−

+

⋅

− 0

0

0

0

v

i

i

i

i

i

10000

0R000

00R00

000R0

00000

v

v

v

v

v

000g0

01000

00100

00010

00001 s1

5

4

3

2

1

4

3

2

5

4

3

2

1

5

o, in forma più compatta, nel seguente modo:

*)*(* (t)ui(t)Nv(t)M s=⋅+⋅

Si osservi che nel caso appena esaminato il vettore degli ingressi è stato indicato con us(t). Per quanto riguarda le matrici M e N esse non dipendono dal tempo solo nel caso di circuiti tempo-invarianti, mentre per circuiti tempo-varianti la relazione (***) deve essere scritta più esattamente come segue:

**)*(* (t)ui(t)N(t)v(t)M(t) s=⋅+⋅

In definitiva, abbiamo ottenuto le seguenti tre equazioni in forma matriciale:

tableau.di equazione : (8.1) u(t)W(t)T

u

0

0

i(t)

v(t)

e(t)

NM0

0IA

A00

uiNvM

0eAv

0iA

s

T

s

T

=⋅

⇔

=

⋅

−⇔

=⋅+⋅

=⋅−

=⋅

T è detta matrice di tableau ed è una matrice quadrata di ordine pari a [(n-1)+2b]. Nel caso di circuiti tempo-varianti l'equazione (8.1) diventa:

(8.2) u(t)T(t)W(t) =

L'equazione di tableau, risolta mediante opportuni metodi matematici, consente di ot-tenere tutte le correnti e tensioni di lato ed anche le tensioni nodali nel circuito in esa-me. Consegue banalmente da quanto detto il seguente teorema noto come:

Teorema di esistenza ed unicità per circuiti resistivi lineari tempo-invarianti.

Un circuito resistivo lineare tempo-invariante ammette un'unica soluzione se, e solo se:

det[T]≠0

cioè la matrice di tableau è non singolare (e quindi invertibile).

Teorema di esistenza ed unicità per circuiti resistivi lineari tempo-varianti.

Un circuito resistivo lineare tempo-variante ammette un'unica soluzione in ogni istante se, e solo se:

[ ] 0)T(tdet 0 ≠ per ogni t0


cioè la matrice di tableau è non singolare (invertibile) ∀ t0.

Vediamo ora l'applicazione del metodo di tableau per un circuito dinamico quale quel-lo mostrato in figura insieme al grafo orientato ad esso associato:

Il nodo scelto come riferimento è il nodo 4; la matrice di incidenza ridotta relativa a tale nodo è la seguente:

[ ]

[ ] [ ]T321

T54321

T

T54321

e,e,ee e v,v,v,v,vvcon (**) 0eAv

i,i,i,i,iicon (*) 0iA

: matriciale formain tensioni le ecorrenti le per equilibrio

di equazioni due le ottengonosi cui da

11000

01110

00011

A

===−

==⋅

−

−

−

=

Le relazioni di lato sono:

-v1 = vs1

v2 -L *Di2 = 0

v3 -R i3 = 0

i4 - C *Dv4 = 0

i5 + αααα5 i2 = 0

(con D si é indicato l'operatore di derivazione rispetto al tempo). Pongo ora in forma matriciale le precedenti relazioni di lato (il punto sopra la variabile indica la derivazio-ne rispetto al tempo):

+

⋅

−

+

⋅

−

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

00000

00000

00100

00010

00001

v

v

v

v

v

00000

0C000

00000

00000

00000


=

⋅

−+

⋅

−

+

0

0

0

0

v

i

i

i

i

i

1000

01000

00R00

00000

00000

i

i

i

i

i

00000

00000

00000

000L0

00000 s1

5

4

3

2

1

55

4

3

2

1

α

In forma compatta posso scrivere:

( ) ( ) *)*(* uiNDNvMDM s1010 =+++

In definitiva, abbiamo ottenuto le seguenti tre equazioni in forma matriciale alle quali, ovviamente, vanno aggiunte le condizioni iniziali, che abbiamo supposto note, e cioè le tensioni iniziali dei condensatori e la corrente iniziale dell'induttore:

( ) ( )

u(t)W(t)T

u

0

0

i(t)

v(t)

e(t)

NDNMDM0

0IA

A00

uiNDNvMDM

0eAv

0iA

s1010

T

s1010

T

=⋅⇔

=

⋅

++

−⇔

⇔

=⋅++⋅+

=⋅−

=⋅

NOTA : nei paragrafi seguenti saranno enunciati e dimostrati alcuni teoremi generali sui circuiti resistivi lineari ( si ricordi che un circuito lineare resistivo può contenere, oltre a resistori lineari a due terminali e generatori indipendenti di tensione o corrente, qualsiasi resi-store lineare multiterminale o multiporta come, ad esempio, trasformatori ideali, giratori e tutti i quattro tipi di generatori pilotati lineari). Tali teoremi risultano validi se, e solo se, come vedremo, il circuito in esame è univocamente risolubile o, in altri termini, se, e solo se, la matrice di tableau T associata al circuito è non singolare (cioè il suo determinante deve essere non nullo). Sebbene enunciati, per semplicità, solo per circuiti tempo-invarianti essi rimangono validi anche per circuiti tempo-varianti, supponendo semplicemente che tutti i parametri varino nel tempo.

8.2 TEOREMA DI SOVRAPPOSIZIONE PER CIRCUITI LINEARI RESISTIVI

Sia assegnato un circuito resistivo lineare tempo-invariante arbitrario che sia univoca-mente risolubile, cioè deve ammettere un'unica soluzione (ciò è vero se la matrice di tableau associata a tale circuito è non singolare) e che contenga α generatori indipen-denti di tensione e β generatori indipendenti di corrente le cui forme d'onda siano date da:

(t)i,(t),......i(t),i e (t)v(t),.....,v(t),v ss2s1ss2s1 βα


In queste ipotesi, qualsiasi risposta del circuito, cioè una tensione di lato o una corrente di lato o una tensione nodale, può essere espressa come segue:

(8.3) (t)iK...(t)iK(t)iK(t)vH...(t)vH(t)vH(t)y ss22s11ss22s11j ββαα +++++++=

dove i coefficienti Hi e Ki sono costanti che dipendono solo dai parametri circuitali rela-tivi al circuito in esame e dalla scelta della variabile d'uscita, ma non dagli ingressi, cioè dalle forme d'onda dei generatori indipendenti.

Osservazione: gli addendi che compaiono nel secondo membro della relazione (8.3) sono suscettibili di questa interpretazione:

i termini del tipo yvk(t) = Hkvsk (t) possono essere considerati come la risposta del circuito quando tutti i generatori indipendenti presenti nel circuito sono esclusi tranne quello la cui forma d'onda è vsk(t); analogamente i termini del tipo yik(t)=Kkisk (t) possono essere conside-rati come la risposta del circuito quando tutti i generatori indipendenti presenti nel circuito so-no esclusi tranne quello la cui forma d'onda è isk(t).

Allora la relazione (8.3) afferma che la risposta del circuito dovuta a tutti i generatori indipendenti presenti nel circuito può essere pensata come la somma di α+β contributi ognuno dei quali rappresenta la risposta del circuito dovuta a ciascun generatore indi-pendente agente da solo, cioè con tutti gli altri generatori indipendenti di tensione so-stituiti da cortocircuiti, e tutti gli altri generatori indipendenti di corrente sostituiti da circuiti aperti. In altri termini, possiamo scrivere:

(8.4) (t)iK(t)vH(t)y(t)y(t)y1k

skk1k

skk1k

ik1k

vkj ∑∑∑∑====

+=+=βαβα

DIM.: poiché il circuito in esame è, in particolare, lineare e tempo-invariante possiamo scrivere per esso la seguente equazione di tableau:

T*W(t)=u(t)

dove la matrice T è la matrice di tableau ed è una matrice quadrata reale costante di ordine pari a [(n-1)+2b]. Inoltre, avendo supposto, per ipotesi, che il circuito ammetta un'unica soluzione possiamo affermare che la matrice T è non singolare (vedi il teore-ma di esistenza ed unicità enunciato nel paragrafo precedente) e quindi esiste la sua inversa. Di conseguenza l'unica soluzione del circuito è data da:

w(t) = T-1.u(t) (*)

dove il vettore u(t) può essere così schematizzato:

u(t)=[00...0 00...0 00...0 vs1(t)...vsα(t) is1(t)...isβ(t)]T

n-1 zeri b zeri b-α-β lati generatori generatori

non conten. di tensione di corrente

gener.indip.


Nella scrittura di tale vettore u(t) si è assunto, senza perdita di generalità, che tutti i generatori indipendenti presenti nel circuito siano indicati per ultimi, nell'ordine sopra specificato (per maggiore chiarezza si può fare riferimento ai due circuiti esaminati nel paragrafo precedente ed osservare, in particolare, come, tra le relazioni di lato, quelle che non comportano la presenza di un termine nullo nel vettore u(t) sono soltanto le re-lazioni che si riferiscono ai generatori indipendenti). Ora, poichè ciascun componente di w(t) si ottiene, come mostra la precedente relazione (*), moltiplicando la corrispon-dente riga della matrice inversa di T con il vettore u(t), segue che ciascuna risposta del circuito (ossia, in altri termini, ciascun elemento del vettore w(t)) è data da un'espres-sione della forma dell'equazione (8.3). Inoltre, essendo la matrice inversa di T una ma-trice costante non comprendente alcun termine relativo ai generatori indipendenti pre-senti nel circuito, tali risultano anche i coefficienti Hk e Kk. Vediamo ora alcune applica-zioni del teorema di sovrapposizione. Si consideri, ad esempio, il seguente circuito:

Si vogliono determinare, sfruttando il teorema di sovrapposizione, la corrente e la ten-sione ai capi del resistore di resistenza R2. Per far ciò occorre ricavare i contributi a que-ste due risposte del circuito (cioè a i2 e v2) dovuti, rispettivamente, al solo generatore di tensione ed al solo generatore di corrente. Cominciamo, allora, eliminando dal circuito il generatore di tensione (ossia lo sostituiamo con un cortocircuito), ottenendo:

Posso applicare un partitore di corrente al parallelo tra R1 e R2 e si ottiene:

11

22

21i22i2

21

2i2

R1

G e R1

G :con

(*) GG

JiRv :quindi e

GGG

Ji

==

+==

+=

Abbiamo così ottenuto i contributi, rispettivamente, alla corrente i2 ed alla tensione v2 dovuti al solo generatore di corrente. Ora escludiamo dal circuito il generatore di cor-rente (cioè lo sostituiamo con un circuito aperto) ottenendo:


Allora posso applicare un partitore di tensione alla serie tra R1 e R2 ottenendo quanto segue:

(**) RR

ERv

i :quindi e RR

REv

212

v2v2

21

2v2

+==

+=

Abbiamo così ottenuto i contributi, rispettivamente, alla tensione v2 ed alla corrente i2 dovuti al solo generatore di tensione. A questo punto possiamo sfruttare il teorema di sovrapposizione ed ottenere:

21

2

21v2i22

2121

2v2i22

RRR

EGG

Jvvv

RRE

GGG

Jiii

++

+=+=

++

+=+=

Si consideri ora il seguente circuito:

Si vuole valutare la corrente i2 mediante il teorema di sovrapposizione. Determiniamo, allora, il contributo a tale risposta dovuto al solo generatore di tensione (ossia sosti-tuiamo il generatore di corrente con un circuito aperto), ottenendo:


Anzitutto si ha:

0i : essendo , (8.5) ii 3v1v2 == .

Applicando poi la L.K.T. al cammino chiuso indicato in figura si ha:

(8.7) rR

Ei : (1) dallaquindi e

(8.6) rR

Ei EirRi Eirirv

m2v2

m2v1v1m2v1v1m23m1v1

+=

+=⇔=+⇔=++

Dobbiamo ora determinare il contributo alla corrente i2 dovuto al solo generatore di corrente e quindi escludiamo dal circuito il generatore di tensione sostituendolo con un cortocircuito ed ottenendo:

Applicando la L.K.C. al nodo A si ottiene:

(8.8) Jii 0iii i1i2i23i1 +=⇔=−+

Applicando poi la L.K.T. al cammino chiuso indicato in figura si ha:


(8.10) rR

rrRJ

rR

r1JJii

:ha si (8.8) nella (8.9) la osostituend Infine,

(8.9) rR

Jri 0irJrRi 0irirv

m2

m1m2

m2

m1i1i2

m2

m1i1i1m2m1i1i1m23m1i1

+

−+=

+−=+=

+−=⇔=++⇔=++

In definitiva, possiamo scrivere la corrente i2 come combinazione lineare degli ingressi presenti nel circuito nel seguente modo:

(8.11) JrR

rrRE

rR1

iiim2

m1m2

m2i2v22

+

−++

+=+=

(Nota: nei due esempi appena trattati si è supposto implicitamente che fosse soddisfat-ta l'ipotesi prevista dal teorema di sovrapposizione e cioè che sia unica la soluzione del circuito: in generale, bisognerebbe verificare ciò calcolando il determinante della matri-ce di tableau associata al circuito in esame e constatando che sia diverso da zero).

8.3 IL TEOREMA DI THEVENIN

Sia assegnato un circuito accessibile da due morsetti (monoporta) resistivo lineare tempo-invariante che sia anche ben definito intendendo con ciò che tale circuito non de-ve contenere alcun elemento accoppiato, elettricamente o non elettricamente, con qual-che variabile fisica esterna al circuito in esame (al massimo possono dipendere dalle va-riabili di porta). Inoltre, si supponga che sia soddisfatta la seguente condizione di unici-tà della soluzione: il circuito che si ottiene collegando un generatore di corrente con for-ma d'onda i(t) alla porta del circuito iniziale deve ammettere un'unica soluzione per ogni valore di corrente i(t). In tali ipotesi, si ha che il circuito monoporta assegnato è equivalente al seguente circuito mostrato in figura:

RTH = resistenza equivalente di Thevenin rappresenta la resistenza di ingresso del cir-cuito iniziale passivato, cioè dopo che siano esclusi tutti i generatori indipendenti pre-senti nel circuito.

VTH = tensione alla porta quando essa è posta in circuito aperto.


(Nota: escludere i generatori indipendenti significa sostituire i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti).

Prima di dimostrare il teorema osserviamo quanto segue:

1. l'importanza fondamentale del teorema appena enunciato (e di quello che vedremo nel paragrafo successivo) sta nel fatto che esso consente di sostituire qualsiasi parte di una rete che sia assimilabile ad un monoporta resistivo lineare con due soli ele-menti circuitali, senza influenzare la soluzione della restante parte del circuito; e' importante notare che la restante parte del circuito può anche essere non lineare e che le due parti del circuito abbiano una porta in comune.

2. dall'enunciato del teorema si deduce che l'equivalente di Thevenin di un certo cir-cuito monoporta lineare resistivo tempo-invariante esiste se, e solo se, è soddisfatta la condizione di unicità della soluzione sopra esposta. In generale, occorrerebbe, quindi, verificare che la matrice di tableau del circuito che si ottiene collegando un generatore di corrente i(t) alla porta del circuito assegnato sia non singolare, e que-sto deve risultare per ogni valore di corrente i(t). Poiché tale verifica può essere molto laboriosa è preferibile stabilire l'effettiva esistenza dell'equivalente di Theve-nin del circuito in esame calcolando il valore della resistenza equivalente di Theve-nin, cioè RTH. Infatti se il valore di tale resistenza è finito sicuramente esiste l'equi-valente di Thevenin del circuito assegnato; in particolare, nel caso limite in cui RTH =0 allora l'equivalente di Thevenin coincide col solo generatore di tensione VTH (vedi fig. a) che, comunque, è sempre pilotabile in corrente. Se invece RTH assume un valore infinito allora non esiste l'equivalente di Thevenin del circuito in esame (dalla fig. b si osserva che collegando alla porta un generatore di corrente con for-ma d'onda i(t) verrebbe violata la L.K.C. per ogni valore di corrente):

DIM.: occorre dimostrare che i due circuiti rappresentati nella figura seguente sono e-quivalenti:


Per far ciò verificheremo che hanno la stessa caratteristica d'ingresso o D.P.C. Per il se-condo circuito mostrato in fig. 8.2 la D.P.C. si ricava facilmente ed è data da:

v(t) = RTH

i(t) + vTH (*)

Il primo circuito mostrato in fig. 8.2 rappresenta, invece, il circuito assegnato che, per ipotesi, deve essere resistivo, lineare, tempo-invariante e ben definito: in particolare, per la prima affermazione, esso potrà contenere, oltre che ad elementi resistivi lineari a due o più terminali, anche generatori indipendenti di tensione e corrente.

Allora indicheremo con α il numero di generatori indipendenti di tensione e con β il numero di generatori indipendenti di corrente presenti nel circuito, come mostrato in fig.2. Suppongo ora di collegare alla porta del circuito in esame un generatore di cor-rente con forma d'onda i(t), ottenendo il seguente circuito:

Poiché sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema di sovrapposizione posso esprimere la risposta v(t) del circuito in fig. 8.3 (cioè la tensione ai morsetti 1-2) come combina-zione lineare degli ingressi presenti nel circuito, ossia:

.esimo-k correntedi generatore del ondad' forma la è (t)i mentre

esimo-k tensionedi generatore del ondad' forma la è (t)v : Nota

(8.12) (t)vH(t)iKi(t)Kv(t)

sk

sk

1kskk

1kskk0 ∑∑

==

++=αβ

Supponiamo ora che: i(t)=0 , per ogni t (condizione di circuito aperto ai morsetti 1-2). Dal-la (8.12) segue dunque:


(8.13) (t)vH(t)iKv(t)v1k

skk1k

skkTH' ∑∑

==

+==αβ

Per ricavare, invece, il contributo alla tensione v(t) dovuto al solo generatore di corren-te con forma d'onda i(t) occorre passivare il circuito iniziale sostituendo i generatori di tensione in esso presenti con dei cortocircuiti ed i generatori di corrente con dei circuiti aperti; allora, dalla (8.12), si ottiene:

(8.14) Ri(t)

(t)vK i(t)K(t)v TH00 segue cui da =

′′==′′

(per come é stata definita la resistenza di Thevenin). Sostituendo allora la (8.13) e la (8.14) nella relazione (8.12) si ottiene:

(**) vi(t)Rv(t) THTH +=

Di conseguenza, confrontando la (*) con la (**), possiamo concludere che i due circuiti di fig. 8.2 alla pagina precedente hanno la stessa D.P.C. e quindi il teorema è dimostra-to.

8.4 IL TEOREMA DI NORTON

Sia assegnato un circuito monoporta resistivo lineare tempo-invariante che sia anche ben definito intendendo con ciò che tale circuito non deve contenere alcun elemento accoppiato, elettricamente o non elettricamente, con qualche variabile fisica esterna al circuito in esame (al massimo possono riferirsi alle variabili di porta). Inoltre, si sup-ponga che sia soddisfatta la seguente condizione di unicità della soluzione: il circuito che si ottiene collegando un generatore di tensione con forma d'onda v(t) alla porta del cir-cuito iniziale deve ammettere un'unica soluzione per ogni valore di tensione v(t). In tali ipotesi, si ha che il circuito monoporta assegnato è equivalente al seguente circuito mo-strato in figura:

GN = conduttanza equivalente di Norton rappresenta la conduttanza di ingresso del circuito iniziale passivato, cioè dopo che siano esclusi tutti i generatori indipendenti


presenti nel circuito.

IN = corrente di porta diretta dal morsetto 1 al morsetto 2 nel circuito iniziale quando questi due morsetti vengono posti in cortocircuito.

(Nota: escludere i generatori indipendenti significa sostituire i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti).

Prima di dimostrare il teorema osserviamo quanto segue:

Osservazione: dall'enunciato si deduce che l'equivalente di Norton di un certo circuito monoporta lineare resistivo tempo-invariante esiste se, e solo se, è soddisfatta la condi-zione di unicità della soluzione sopra esposta. In generale, occorrerebbe, quindi, verifica-re che la matrice di tableau del circuito che si ottiene collegando un generatore di ten-sione v(t) alla porta del circuito assegnato sia non singolare, e questo deve risultare per ogni valore di tensione v(t). Poiché tale verifica può essere molto laboriosa è preferibile stabilire l'effettiva esistenza dell'equivalente di Norton del circuito in esame calcolando il valore della conduttanza equivalente di Norton, cioè GN. Infatti se il valore di tale conduttanza è finito sicuramente esiste l'equivalente di Norton del circuito assegnato; in particolare, nel caso limite in cui GN=0 allora l'equivalente di Norton coincide col so-lo generatore di corrente (vedi fig. a) che è, comunque, sempre pilotabile in tensione. Se invece GN assume un valore infinito allora non esiste l'equivalente di Norton del circui-to in esame (dalla fig. b si osserva che collegando alla porta un generatore di tensione con forma d'onda v(t) verrebbe violata la L.K.T. per ogni valore di tensione):

DIM.: occorre dimostrare che i due circuiti rappresentati nella figura seguente sono e-quivalenti:

Per far ciò verificheremo che hanno la stessa caratteristica d'ingresso o D.P.C. Per il se-condo circuito mostrato in fig. 8.5 la D.P.C. si ricava facilmente ed è data da:


(*) iv(t)Gi(t) NN −=

Il primo circuito mostrato in fig. 8.5 rappresenta, invece, il circuito assegnato che, per ipotesi, deve essere resistivo, lineare, tempo-invariante e ben definito: in particolare, per la prima affermazione, esso potrà contenere, oltre che ad elementi resistivi lineari a due o più terminali, anche generatori indipendenti di tensione e corrente. Allora indi-cheremo con α il numero di generatori indipendenti di tensione e con β il numero di generatori indipendenti di corrente presenti nel circuito, come mostrato in fig. 8.5.

Suppongo ora di collegare alla porta del circuito in esame un generatore di tensione con forma d'onda v(t), ottenendo il seguente circuito:

Poiché sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema di sovrapposizione posso esprimere la risposta i(t) del circuito in fig. 8.6 (cioè la corrente entrante nel morsetto 1) come combinazione lineare degli ingressi presenti nel circuito, ossia:

esimo.-k correntedi generatore del ondad' forma la è (t)i mentre

esimo-k tensionedi generatore del ondad' forma la è (t)v : Nota

(8.15) (t)vH(t)iKv(t)Hi(t)

sk

sk

1kskk

1kskk0 ∑+∑+=

==

αβ

Supponiamo ora che: v(t)=0 , per ogni t (condizione di cortocircuito ai morsetti 1-2). Dalla (8.15) segue dunque:

∑+∑=−=′==

αβ

1kskk

1kskkN (t)vH(t)iKi(t)i (8.16)

Per ricavare, invece, il contributo alla corrente i(t) dovuto al solo generatore di tensione con forma d'onda v(t) occorre passivare il circuito iniziale sostituendo i generatori di tensione in esso presenti con dei cortocircuiti ed i generatori di corrente con dei circuiti aperti; allora, dalla (8.15), si ottiene:

v(t)H(t)i 0=′′ da cui segue: N0 Gv(t)

(t)iH =

′′= (8.17)

(per come è stata definita la conduttanza di Norton).

Sostituendo allora la (8.16) e la (8.17) nella relazione (8.15) si ottiene:


(**) iv(t)Gi(t) NN −=

Di conseguenza, confrontando la (*) con la (**), possiamo concludere che i due circuiti di fig.4 alla pagina precedente hanno la stessa D.P.C. e quindi il teorema è dimostrato.

8.5 ULTERIORI OSSERVAZIONI SUI TEOREMI DI THEVENIN E NORTON

Per quanto detto nei due paragrafi precedenti, un generico circuito lineare resistivo tempo-invariante soddisfacente le ipotesi previste, rispettivamente, dal teorema di The-venin e Norton ammette i seguenti due circuiti equivalenti come mostrato in figura:

E' possibile individuare delle relazioni tra i parametri caratteristici del circuito equiva-lente di Thevenin e quelli del circuito equivalente di Norton. Infatti dal circuito di fig. b) si ha:

(*) iv(t)Gi(t) NN −=

Mentre dal circuito di fig. c) possiamo scrivere:

(**) Rv

v(t)R

1i(t)

Rv

i(t)Rv(t)

: come scrivere possiamo che , vi(t)Rv(t)

TH

TH

THTH

TH

TH

THTH

−=⇔+=

+=

Confrontando quest'ultima relazione con la (*) ed imponendo la loro uguaglianza (in-fatti, essendo i circuiti equivalenti tra loro devono avere la stessa D.P.C.), si ottiene:

(8.19) Rv

i e (8.18) R

1G

TH

THN

THN ==

Da ciò possiamo concludere, tenendo presente quanto detto nel paragrafo precedente, che condizione necessaria e sufficiente affinché esistano entrambi i circuiti equivalenti di Thevenin e Norton è che la resistenza di Thevenin oppure, analogamente, la condut-tanza di Norton, abbiano valore finito e diverso da zero; se, invece, la resistenza di Thevenin fosse uguale a zero esisterebbe il circuito equivalente di Thevenin (costituito dal solo generatore di tensione) ma non esisterebbe il circuito equivalente di Norton


(infatti la conduttanza di Norton sarebbe infinita); in modo simile, se la conduttanza di Norton fosse nulla esisterebbe il circuito equivalente di Norton (costituito dal solo ge-neratore di corrente) ma non esisterebbe il circuito equivalente di Thevenin (infatti, la resistenza di Thevenin sarebbe infinita). Vediamo ora alcuni esempi (si suppone siano verificate le ipotesi previste dai teoremi di Thevenin e Norton). Si consideri il seguente circuito:

Vogliamo calcolare l'equivalente di Thevenin e l'equivalente di Norton. Per calcolare la tensione equivalente di Thevenin dobbiamo considerare il circuito a vuoto, cioè porre: i(t)=0. In tal caso i due resistori sono collegati in serie e posso, dunque, applicare un partitore di tensione come segue:

21

22TH RR

RE(t)vv(t)(t)v

+===

Per calcolare, invece, la resistenza equivalente di Thevenin è sufficiente considerare lo stesso circuito ma passivato, cioè sostituendo il generatore di tensione con un cortocir-cuito come segue:

Osservando che i due resistori sono collegati in parallelo ottengo:

21

21TH

21

21

2121

THpassivocircuito

TH

RRRR

R :quindi e

RRRR

R1

R1

GGR

1v(t)i(t)

G

+=

+=+=+===

Per quanto riguarda, invece, il circuito equivalente di Norton, facendo sempre riferi-mento al circuito di fig. 8.8, si ricava:


21

21

2121

passivocircuito

N RRRR

R1

R1

GGv(t)i(t)

G+

=+=+==

Possiamo poi calcolare la corrente equivalente di Norton cortocircuitando i morsetti 1 e 2 nel circuito di fig. 8.7 come segue:

Si ha allora:

11N

11111

22

RE

ii :cui da , RE

i0EiR0Ev :L.K.T.

0i 0v

=−=−=⇔=+⇔=+

=⇒=

Consideriamo ora il seguente circuito di cui si vuole determinare l'equivalente di The-venin:

Cominciamo col valutare la resistenza equivalente di Thevenin; per far ciò occorre pas-sivare il circuito sostituendo il generatore di tensione con un cortocircuito:


Possiamo scrivere:

2

passivocircuito

TH2

1111

12122

passivocircuito

TH

Ri(t)v(t)

R i(t)Rv(t)

: hasi (8.20) nella (8.21) la oSostituend

(8.21) 0(t)v 0(t))v(1 0(t)v(t)v

(8.20) (t)vi(t)Rv(t) (t)v(t)iRv(t)

:relazioniseguenti le inoltre, Valgono,

(*) i(t)v(t)

R

==⇒=

=⇔=+⇔=+

+=⇔+=

=

µµ

µµ

Per calcolare, infine, la tensione equivalente di Thevenin occorre considerare il circuito iniziale di fig. 8.10 a vuoto, cioè con: i(t)=0. In tal caso valgono le seguenti relazioni:

µ

µµ

µµ

+===

+=⇔=+

=⇒=

1E(t)vv(t)(t) v: quindi E

1

E v Ev v:L.K.T.

0(t) v 0(t)i

1TH

111

22

Come ultimo esempio, si consideri il seguente circuito:

Applicando la L.K.C. al nodo A si ottiene:

(*) 0i 0iii 00 =⇔=+−

Mentre, applicando la L.K.T. alla maglia indicata si ha:

(**) 0vvv vvviR 00001 =−=⇔=−+

Di conseguenza, la caratteristica d'ingresso di tale bipolo è costituita da un solo punto, cioè l'origine degli assi nel piano v-i. Questo bipolo prende il nome di cortocircuito vir-tuale e caratterizza la porta d'ingresso di un amplificatore operazionale. Poiché la ca-ratteristica d'ingresso per i bipoli equivalenti di Thevenin e Norton è costituita da una


linea retta, ne consegue che l'annullatore non ammette né il bipolo equivalente di The-venin nè quello di Norton. Infatti, per tale bipolo, sono violate in entrambi i casi le condizioni di unicità della soluzione previste, rispettivamente, dai teoremi di Thevenin e Norton. Si osservi che l'annullatore può essere pilotato unicamente da un generatore di tensione da 0[V] o da un generatore di corrente da 0[A].

8.5 TEOREMA DI SOVRAPPOSIZIONE PER CIRCUITI DINAMICI LINEARI

Sia assegnato un generico circuito dinamico lineare,tempo-invariante, che sia univo-camente risolubile, cioè che ammetta un'unica soluzione. Si supponga che in esso siano presenti, a partire dall'istante t=0, α generatori indipendenti di tensione e β generatori indipendenti di corrente le cui forme d'onda siano date, rispettivamente, da:

(t)si(t),....,s2i(t),s1i e (t)sv(t),....,s2v(t),s1v βα

Indicata con y(t) una generica risposta del circuito (cioè una corrente o tensione di lato od una tensione nodale) e nell'ipotesi che siano nulle tutte le condizioni iniziali, si ha che tale risposta può essere scritta come somma di α+β termini ognuno dei quali rap-presenta il contributo alla risposta y(t) dovuto ad ogni singolo generatore indipendente agente da solo nel circuito, cioè dopo che siano stati azzerati tutti gli altri generatori indipendenti (ovvero, i generatori di tensione sostituiti con cortocircuiti ed i generatori di corrente sostituiti con circuiti aperti):

(*) (t)y(t)yy(t)1k

ik1k

vk ∑∑==

+=βα

dove:

yvk(t) rappresenta la risposta del circuito con condizioni iniziali nulle, osservata all'i-stante t, quando tutti i generatori indipendenti, tranne quello con forma d'onda vsk(t), sono azzerati; yih(t) rappresenta la risposta del circuito con condizioni iniziali nulle, os-servata all'istante t, quando tutti i generatori indipendenti, tranne quello con forma d'onda isk(t), sono azzerati.

COROLLARIO:

nelle stesse ipotesi del teorema precedente, supponendo però che le condizioni iniziali siano diverse da zero, una qualsiasi risposta y(t) del circuito può essere scritta come:

y(t) = y0(t) + yg(t)


dove:

yg(t) rappresenta la risposta del circuito con condizioni iniziali nulle, osservata all'i-stante t, dovuta ai soli generatori indipendenti presenti nel circuito; y0(t) rappresenta la risposta del circuito dovuta alla sola presenza delle condizioni iniziali (escludendo, cioè, tutti i generatori indipendenti).

Tale corollario è facilmente dimostrabile se si tiene presente che una condizione iniziale non nulla su un condensatore equivale ad un generatore di tensione in serie allo stesso condensatore ma scarico (cioè con tensione iniziale nulla) così come una condizione i-niziale non nulla su un induttore equivale ad un generatore di corrente in parallelo allo stesso induttore ma scarico, cioè con corrente iniziale nulla.


CAPITOLO 9

9.1 CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE: GENERALITÀ 284

9.2 NOMENCLATURA DELLE GRANDEZZE SINUSOIDALI 286

9.3 NUMERI COMPLESSI. 288

9.4 RAPPRESENTAZIONE DELLE GRANDEZZE SINUSOIDALI MEDIANTE

NUMERI COMPLESSI. CONCETTO DI FASORE 291

9.5 IL METODO DEI FASORI O METODO SIMBOLICO 295

9.6 APPLICAZIONE DEL METODO DEI FASORI. IMPEDENZA E AMMETTENZA

DI UN CIRCUITO 297

9.7 EQUAZIONI DI KIRCHHOFF IN TERMINI DI FASORI 300

9.8 APPLICAZIONE DEL METODO SIMBOLICO A CIRCUITI ELEMENTARI 304

9.10 TEOREMA DI BOUCHEROT (ADDITIVITÀ DELLE POTENZE) 321


9.11 RIFASAMENTO 325

9.12 RISONANZA ED ANTIRISONANZA 329

9.13 APPLICAZIONE DEL METODO DEI FASORI A CIRCUITI COMPLESSI 335

9.14 TEOREMI DI THEVENIN E NORTON PER CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE 340

9.15 CENNI SUGLI STRUMENTI DI MISURA ELETTRODINAMICI 347

9.1 CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE: GENERALITÀ

Nell'analisi dei circuiti dinamici lineari tempo-invarianti con ingressi limitati è stato e-videnziato come una qualsiasi risposta del circuito, cioè una corrente o tensione di lato, può essere espressa, in generale, come somma di due termini nel seguente modo:

(*) (t)y(t)yy(t) sh +=


dove il primo addendo a secondo membro rappresenta l'integrale generale dell'equa-zione differenziale omogenea associata all'equazione differenziale che governa la di-namica del circuito in esame, mentre il secondo addendo ne rappresenta un integrale particolare; è stato anche detto che se il circuito è lineare e tempo-invariante l'integrale particolare ha un andamento dello stesso tipo dell'ingresso, o degli ingressi se sono più di uno e tutti dello stesso tipo. Nel caso in cui il circuito dovesse risultare anche asinto-ticamente stabile allora ogni risposta del circuito, a regime (cioè una volta esaurita la fase transitoria), tende a seguire l'integrale particolare assumendo quindi lo stesso an-damento nel tempo degli ingressi presenti nel circuito: in queste ipotesi, ha senso defi-nire yh(t) come risposta transitoria del circuito e ys(t) come risposta a regime. Conside-reremo d'ora in avanti per questo capitolo solo circuiti dinamici lineari tempo-invarianti ed asintoticamente stabili; per essi si possono distinguere quattro tipi di re-gime intendendo con questo termine la fase successiva a quella transitoria:

• regime stazionario: tutte le correnti e tensioni di lato sono costanti nel tempo (si verifica se gli ingressi sono costanti);

• regime sinusoidale: tutte le correnti e tensioni di lato hanno un andamento nel tempo sinusoidale ed isofrequenziale con l'ingresso (se ci sono più ingressi sinu-soidali, questi devono avere tutti la stessa frequenza angolare);

• regime periodico: tutte le correnti e tensioni di lato hanno un andamento periodico con lo stesso periodo dell'ingresso (se ci sono più ingressi, questi devono avere tutti lo stesso periodo):y(t)=y(t+nT) , dove T è il periodo ed n è un numero intero;

• regime variabile: quando non si verifica una delle precedenti condizioni di regime (ad esempio, nel caso in cui si abbiano ingressi di tipo sinusoidale ma con diverse pulsazioni).

Nei paragrafi successivi sarà affrontato lo studio dei soli circuiti in regime sinusoidale: tale scelta è stata dettata, oltre che dalla notevole frequenza con cui è possibile incon-trare questo tipo di circuiti nelle varie applicazioni pratiche, anche dal fatto che l'analisi di un circuito in regime stazionario o periodico (e talvolta anche variabile) può essere sempre ricondotta all'analisi di un circuito in regime sinusoidale. Infatti, nel primo ca-so, un circuito in regime stazionario può sempre essere considerato come un circuito in regime sinusoidale con ingressi aventi tutti frequenza angolare nulla; nel caso, invece, di un circuito in regime periodico ci si può ricondurre ad un regime sinusoidale utiliz-zando il principio di sovrapposizione. A titolo d'esempio, supponiamo che il circuito abbia un solo ingresso di tipo periodico di periodo T e che questo soddisfi le seguenti condizioni (di Dirichlet):

1. l'ingresso x(t) deve avere un numero finito di discontinuità in un periodo; 2. deve essere una funzione monotona nei tratti di continuità; 3. il valor medio dell'ingresso in un periodo deve essere finito, cioè è sempre possibile

trovare un numero M positivo tale che:


M x(t)dtT1

xTt

t

0

0

0

<= ∫+

In tali ipotesi, l'ingresso si può espandere in serie di Fourier nel seguente modo:

T2

con ...)tcos(3x)tcos(2x)tcos(xxx(t) 3322110π

ωϕωϕωϕω =+++++++=

dove x0 è il valore medio nel periodo, il secondo addendo prende il nome di armonica fondamentale e i rimanenti prendono il nome di armoniche superiori. A questo punto è sufficiente calcolare le risposte del circuito ai singoli ingressi rappresentati dalle armo-niche che compaiono a secondo membro della precedente espressione (che come si può osservare sono funzioni sinusoidali tranne la prima che è costante) e ricavare la rispo-sta finale del circuito all'ingresso periodico come somma delle suddette risposte secon-do quanto previsto dal teorema di sovrapposizione. Prima di intraprendere lo studio dei circuiti in regime sinusoidale seguono alcuni paragrafi introduttivi e di riepilogo di alcune definizioni e concetti utili relativi ai numeri complessi e alle grandezze sinusoi-dali.

9.2 NOMENCLATURA DELLE GRANDEZZE SINUSOIDALI

Si dice che una generica grandezza y(t) ha un andamento periodico nel tempo se risul-ta: y(t)=y(t+nT), dove T è il periodo ed n è un numero intero; una grandezza periodica si dice poi alternata se il suo valor medio in un periodo è nullo, cioè:

0y(t)dtT1

yTt

t

0

0

0

== ∫+

In particolare, sono forme d'onda periodiche alternate le funzioni sinusoidali esprimi-bili mediante una relazione del tipo:

)tcos(yy(t) M αω +=

Per una grandezza periodica alternata si definisce valor medio in un semiperiodo riferito


alla semionda positiva la quantità:

(9.1) y(t)dtT2

Y2T

t

t

m

0

0

∫+

=

Nel caso di una funzione sinusoidale con fase nulla (α=0) si ha:

M

T45

T43

MMM

2T

t

t

M

2T

t

t

m 0,636y2y

T4y

t)dtcos(yT2

t)dtcos(yT2

y(t)dtT2

Y0

0

0

0

====== ∫∫∫++

πωωω

Nota. Per ricavare il valore di t0 si é imposto che:

T4

3

4

3

2

30 0 ===⇔=

π

π

ω

πω

Ttt )cos(

si ricordi che si fa riferimento alla semionda positiva (in modo da ottenere un valore diverso da zero) come mostrato nella seguente figura:

Si definisce, inoltre, valor efficace di una grandezza periodica alternata y(t) la quantità:


(**) (t)dtyT

1Y

Tt

t

20

0

∫+

= , dove l’istante t0 è del tutto arbitrario data la supposta perio-

dicità di y(t) e quindi di y2(t).

La suddetta definizione vale, in particolare, anche per le grandezze sinusoidali. In tal caso, risulta anzitutto, per le formule di bisezione:

(9.2) )tcos2(2

y2

y)t(cosy(t)y

2M

2M22

M2 αωαω ++=+=

Si osserva, allora, che il valor medio in un periodo del secondo addendo della (9.2) è nullo trattandosi di una funzione sinusoidale con pulsazione doppia rispetto a quella assegnata e quindi sostituendo la (9.2) nella (**) si ottiene:

(9.3) y0,707 =2

y Y

2

ydt

2

y

T

1Y M

MMTt

t

2M

0

0

=⇔=∫=+

Si definisce, infine, fattore di forma il rapporto tra il valore efficace e il valor medio in un semiperiodo riferito alla semionda positiva di una grandezza periodica alternata. Nel caso delle grandezze sinusoidali vale:

(9.4) 1.11YY

Km

f ==

Tale valore è distintivo delle grandezze sinusoidali.

9.3 NUMERI COMPLESSI


Saranno ora ripresi alcuni utili concetti relativi ai numeri complessi. Esistono diverse rappresentazioni per un numero complesso z. Nella notazione cartesiana o rettangolare esso viene espresso come: z = x + jy ,dove x è detta parte reale di z e si indica con Re(z), y è detta parte immaginaria di z e si indica con Im(z), mentre j è l'unità immaginaria. Ta-le notazione è detta cartesiana in quanto suggerisce di associare al numero complesso z il punto di coordinate (x,y) nel piano complesso:

La notazione trigonometrica di un numero complesso z si ricava dalla precedente osser-vando che:

segno). loro col x e y econsiderardi ricordi (si zdi argomento detto è xy

arctg

zdi modulo detto è yx : Nota

(9.5) )jsen(cossenjcosjyxz seny

cosx

22

=

+=

+=+=+=⇒

=

=

θ

ρ

θθρθρθρθρ

θρ

Ricordando poi, dalla formula di Eulero, che:

le.esponenzia nte,sempliceme o, polare notazione detta è che (9.6), ez

: (9.5) nella osostituend hasi , jsencosej

j

θ

θ

ρ

θθ

=

+=

(Nota: sia nella rappresentazione polare che in quella trigonometrica l'argomento deve essere espresso in radianti).

Ancora più compatta è la notazione di Steinmetz :

θρ∠=z


che riporta soltanto il modulo e l'argomento di z (quest'ultimo deve essere espresso in gradi). Quest'ultima notazione si presta bene ogni volta che bisogna eseguire prodotti e rapporti di numeri complessi. Ad esempio:

212

1

2

1212121

222

111

zz

e zz z

z :Dati θθ

ρ

ρθθρρ

θρ

θρ−∠=+∠=⋅⇒

∠=

∠=

A titolo d'esempio vengono ora riportate le rappresentazioni di alcuni numeri com-plessi:

°−∠==−−=°∠==+−=

°−∠==−=°∠==+=

°−∠==−=°∠===

−

−

−

1352e2j1z 1352e2j1z

452e2j1z 452e2j1z

901ejz 901ejz

43

j43

j

4j

4j

2j

2j

ππ

ππ

ππ

Dimostriamo, infine, una proprietà che sarà utilizzata in seguito secondo la quale, as-segnato un numero complesso z, risulta che:

Re[ jz ]=-Im[ z ] (9.7)

Infatti, posto z = x + jy si ottiene:

(9.7). la seguecui da , jxyjz yjjxjz 2 +−=⇔+=

9.4 RAPPRESENTAZIONE DELLE GRANDEZZE SINUSOIDALI MEDIANTE


NUMERI COMPLESSI. CONCETTO DI FASORE

Ricordando dall'Analisi la nota formula di Eulero per la quale:

[ ]jxjx eRecosx , jsenxcosxe : generalein scrivere possiamo =+=

Allora una qualsiasi grandezza sinusoidale può essere posta nella forma:

[ ] [ ][ ] [ ]

(9.9) YYeY

:posto è si dove (9.8), eY2ReeYe2Rey(t)

eyReeRey)tcos(yy(t)

j

tjtjj

)tj(M

)tj(MM

α

αω

α

ωωα

αωαω

∠==

=⋅=

⇔==+= ++

Il numero complesso definito dalla (9.9) prende il nome di fasore associato alla funzio-ne sinusoidale y(t) e, come si osserva, ha il modulo pari al valore efficace di y(t) e l'ar-gomento pari alla fase della funzione y(t). Da quanto detto si deduce che il fasore è l'e-lemento che distingue una generica grandezza sinusoidale da tutte le altre aventi la stessa pulsazione ω. Possiamo dunque affermare, e lo dimostreremo in seguito, che in un insieme di grandezze sinusoidali isofrequenziali (nella generica pulsazione ω) esiste una corrispondenza biunivoca tra ogni elemento dell'insieme, cioè una funzione sinu-soidale, e il corrispondente fasore definito dalla (9.9):

Y y(t) ↔

Inoltre, tenendo presente che derivando rispetto al tempo, un numero qualsiasi di volte, una funzione sinusoidale si ottengono ancora funzioni sinusoidali isofrequenziali con quella di par-tenza, si conclude che le derivate successive di una grandezza sinusoidale possono essere rappre-sentate anch'esse con fasori la cui determinazione è abbastanza immediata. Osserviamo, infine, che un fasore, così come un qualsiasi altro numero complesso, può essere rappresentato nel pia-no di Gauss mediante un vettore, come mostrato in figura:


Si noti che l'asse reale funge da riferimento per le fasi. Enunciamo ora, e dimostriamo, i seguenti tre lemmi:

Lemma 1 (Linearità)

L'operatore parte reale Re(.) è lineare.

Per dimostrare ciò basta verificare che tale operatore soddisfa le proprietà di additività ed omogeneità, ossia:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

).qualsiasi reale numeroun è a : Nota (

(**) zaReazRe

(*) zRezRezzRe : avere devesi ,

jyxz

jyxz posto

11

2121

222

111

=

+=+

+=

+=

La (*) si dimostra banalmente come segue:

[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ] [ ] (C.V.D.) zRezRexx

yyjxxRejyxjyxRezzRe

2121

2121221121

+=+=

=+++=+++=+

In maniera analoga si dimostra la (**):

[ ] ( )[ ] [ ] [ ] (C.V.D.) zaReaxjayaxRejyxaReazRe 1111111 ==+=+=


Lemma 2 (Commutatività)

L'operatore parte reale Re[.] è commutativo rispetto all'operazione di derivazione nel tempo.

In particolare, assegnata una certa funzione sinusoidale y(t) posta nella forma:

[ ] ( )

[ ] ( )

=

+==

tjtj

Mtj

eYdt

deY

dt

d

tyeYty

ωω

ω αω

22

2

ReRe

cosRe)( : risultare deve

É facile verificare questa proprietà. Infatti,

( ) ( ) ( )

=

=

=

=

++=+−=+=

tjeY

dt

dtjeYj

tje

jYej

jetj

ej

eY

tytytydt

dtjeY

dt

dMMM

ωωω

ωαω

πωαω

παωωαωωαωω

2222

2

22

ReReRe/Re

)/(cos)sen()cos(Re

Osserviamo ora che:

[ ] ( ) [ ]tjeYj

tjeY

dt

dtjeY

dt

dy

ωω

ωω2Re2Re2Re=(t) ==′

cioè la derivata prima di y(t) è ancora una grandezza sinusoidale rappresentata dal fa-sore jωY . In pratica il fasore rappresentativo di y' si ottiene moltiplicando per jω il fa-sore rappresentativo di y(t). E' facile dimostrare che il fasore rappresentativo di y'' si ot-terrà moltiplicando per jω il fasore rappresentativo di y'. Cioè derivare, nell'ambito dei fasori, equivale a moltiplicare per jω. Avremo perciò:

YjY)(j(t)y

YY)(j(t) y

Yj(t)y

Yy(t)

33

22

ωω

ωω

ω

−=↔′′′

−=↔′′

↔′

↔


e così di seguito.

E' facile dimostrare che integrare, nell'ambito dei fasori, equivale a dividere per jω.

Lemma 3 (Unicità)

Due funzioni sinusoidali isofrequenziali sono uguali se, e solo se, sono uguali i fasori che le rap-presentano.

cioè posto:

[ ][ ] 2121

22

11

2

2YYtyty

eYty

eYty

tj

tj

=⇔∀=

=

= t , )()( : hasi

Re)(

Re)(ω

ω

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

(**) ImIm ImIm ReRe

ReRe

(*) ReReReReReRe

t. , )()( )dim.

: ottienesi 2

=t per Mentre

: hasi 0=t per eparticolarIn

212121

22

21

212121

21

22

22

2222

YYYYYjYj

eYeY

YYYYYY

tyty

jj

=⇔−=−⇔=⇔

⇔

=

=⇔=⇔=

∀=⇒

ππ

ω

π

Dalla (*) e (**) si deduce che i due fasori sono uguali avendo la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria.

[ ] [ ] )()( ReRe

)dim.

tytyeYeY

eYeYYY

tjtj

tjtj

2121

2121

22

22

=⇔=⇔

⇔=⇔=⇐

ωω

ωω

Possiamo ora enunciare il cosiddetto teorema principale che è un'ovvia conseguenza dei tre lemmi appena visti.


Teorema principale

Una funzione ottenuta come combinazione lineare di funzioni sinusoidali isofrequenziali (even-tualmente, comprendente anche le loro derivate) è ancora una funzione sinusoidale isofrequen-ziale con quelle di partenza.

Ad esempio, posto:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

( )[ ]

fasore dal atarappresent frequenza di

esinusoidal funzione una e' s(t) che segue cui da , 2Re

2Re2Re2Re)(')()()(

: ha si , 2Re)( 2Re)( 2Re)(

ZjYXS

tjeZjYX

tjeZj

tjeY

tjeXtztytxts

tjeZtz

tjeYty

tjeXtx

ω

ω

ωω

ωω

ωω

ωωω

+−=

+−=

=+−=+−=

===

9.5 Il metodo dei fasori o metodo simbolico

Ritorniamo ora all'argomento principale di questo capitolo e cioè lo studio dei circuiti in regime sinusoidale. Riprendendo quanto detto nel primo paragrafo, nell'ipotesi di linearità, tempo-invarianza ed asintotica stabilità del circuito in esame e nell'ipotesi che le sorgenti presenti nel circuito siano sinusoidali ed isofrequenziali tra loro, si può rite-nere che, a regime, tutte le tensioni e correnti di lato avranno un andamento sinusoida-le nel tempo con la stessa frequenza angolare degli ingressi. Di conseguenza, la ricerca delle risposte del circuito in esame (ossia correnti e tensioni di lato), delle quali si cono-sce già il tipo di funzione (sinusoidale) e la pulsazione (ω), si riduce alla determinazio-ne dei corrispondenti valori efficaci e delle fasi cioè, in altri termini, dei fasori che rap-presentano tali grandezze. E' chiaro che un tale tipo di ricerca, avendo come obiettivo la determinazione di incognite numeriche e non di funzioni, deve potersi effettuare at-traverso la soluzione di equazioni algebriche e non differenziali. Il metodo dei fasori permette, appunto, di ricavare un sistema di equazioni algebriche aventi come incogni-te i fasori rappresentativi delle varie grandezze di lato, risolto il quale sono noti valori efficaci e fasi di ciascuna di queste grandezze e, quindi, nel complesso, tutte le correnti


e tensioni di lato. I passi da seguire sono mostrati nel seguente schema:

Si scrivono, anzitutto, le relazioni di lato e le equazioni di Kirchhoff ai valori istantanei: di tali equazioni siamo interessati a determinare i soli integrali particolari, cioè correnti e tensioni di lato a regime.

Esclusa la determinazione diretta di tali incognite, richiedendo essa la soluzione di un sistema di equazioni differenziali, si procede nel seguente modo:

passo 1) trasformazione delle equazioni di Kirchhoff differenziali in equazioni di Kirchhoff 'simboliche' (ciò vale anche per le relazioni di lato);

passo 2) soluzione del sistema di equazioni simboliche e conseguente determina-zione dei fasori rappresentativi delle varie correnti e tensioni di lato;

passo 2) antitrasformazione, ossia passaggio dai fasori alle correnti e tensioni da essi rappresentate, che sono le vere incognite del problema.

Vedremo fra poco alcune applicazioni di questo metodo; per il momento, limitiamoci ad esporre qualche osservazione di carattere generale. Per quanto riguarda la fase di 'trasformazione', essa serve per dare al problema matematico un carattere puramente algebrico anziché differenziale. Infatti, tale processo consente di dedurre dalle equa-zioni differenziali di Kirchhoff un sistema di equazioni algebriche lineari e a coefficien-ti complessi in cui le incognite sono ora i fasori rappresentativi delle correnti e tensioni di lato. La linearità di tale sistema rende la sua soluzione (passo 2 del procedimento) priva di difficoltà, a parte il maggior onere di calcolo (rispetto a sistemi lineari nel campo reale) derivante dalla presenza di grandezze complesse. Infine, la fase di 'anti-trasformazione' è immediata, a tal punto che spesso, restando sottintesa, non viene neppure effettuata: essa consiste, infatti, nella banale sostituzione dell'ampiezza e della


fase (ormai note in seguito alla soluzione del suddetto sistema) di ciascuna corrente e tensione di lato nell'espressione generica al fine di esplicitare, in forma definitiva, que-ste stesse grandezze. L'analisi ora effettuata del metodo simbolico può far pensare che si tratti di un metodo alquanto laborioso; in realtà, vedremo che la fase di 'trasforma-zione' conduce ad un sistema di equazioni formalmente coincidenti con quelle di Kir-chhoff discusse in regime stazionario, salvo la presenza di grandezze complesse in luogo di quelle reali. Ciò semplifica notevolmente la tecnica operativa in quanto con-sente di scrivere direttamente le equazioni di Kirchhoff simboliche senza doverle de-durre ogni volta per 'trasformazione' dalle equazioni ai valori istantanei. In tal modo si evita di fatto la prima fase del procedimento e poiché, come si è detto, anche la terza può essere omessa, in pratica l'applicazione del metodo si riduce alla scrittura delle e-quazioni simboliche di lato e di Kirchhoff ed alla loro soluzione, in modo del tutto ana-logo a quello seguito per i circuiti in regime stazionario.

9.6 Applicazione del metodo dei fasori. Impedenza e ammettenza di un circuito

Vedremo ora come applicare il metodo dei fasori ad un caso abbastanza semplice che ci consentirà, tuttavia, di introdurre delle definizioni del tutto generali e che, una volta discusso, renderà immediata la generalizzazione ad un caso qualsiasi. Consideriamo, dunque, il seguente circuito monoporta alimentato, attraverso i morsetti A e B, da una

tensione sinusoidale v(t), in pulsazione ω, espressa da:

Dalle considerazioni fatte nei paragrafi precedenti, si può affermare che a regime, ossia una volta esaurita la fase transitoria, tutte le variabili di lato avranno un andamento di tipo sinusoidale ed anche isofrequenziale con la tensione di alimentazione. Proponia-moci, allora, di determinare l'andamento nel tempo, a regime, della corrente i(t): per quanto detto nel paragrafo precedente ciò equivale a calcolare il valore efficace e la fase


di tale forma d'onda ossia, in altri termini, il fasore associato alla corrente i(t). Anzitut-to, riportiamo le equazioni differenziali che descrivono la dinamica del circuito:

dtdi(t)

L)di(C1

Ri(t)(t)v(t)v(t)vv(t) :L.K.T.

(t)i(t)i(t)ii(t) :L.K.C.

)d(iC1

(t)v

dt(t)di

L(t)v

(t)Ri(t)v

t

LCR

CLR

t

CC

LL

RR

: latodi Relazioni

++=++=

===

=

=

=

∫

∫

∞−

∞−

ττ

ττ

Derivando rispetto al tempo quest'ultima equazione si ottiene:

(9.10) dt

dv(t)Ci(t)

dtdi(t)

Rdt

i(t)dL 2

2

=++

Ricordiamo che siamo interessati a valutare la corrente a regime. Si tratta di ricavare un inte-grale particolare dell'equazione (9.10), che rappresenta la soluzione del nostro problema. Piutto-sto che risolverla direttamente utilizziamo il metodo dei fasori. Il primo passo consiste nella fase di trasformazione. Possiamo scrivere:

[ ]

[ ] iiMtj

iM

VVMtj

VM

I2

IIcon eI2Re)tcos(Ii(t)

V2

vVcon eV2Re)tcos(vv(t)

αααω

αααω

ω

ω

∠=∠==+=

∠=∠==+=

(Nota: I e αi sono da determinare)

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (9.10) si ricava, sfruttando il lemma 2:

( )[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] (9.11) ReRe

: ottienesi linearitàdi lemma il sfruttandocui da

, ReReReRe

tjtj

tjtjtjtj

eVjeIC

RjL

eVjeIC

eIjReIjL

ωω

ωωωω

ωωω

ωωω

21

2

221

22

2

2

=

++−

=++


Per il teorema principale il primo ed il secondo membro della relazione (9.11) sono due funzioni sinusoidali isofrequenziali e dovendo essere uguali, per il lemma 3 saranno uguali anche i fasori che le rappresentano (per il lemma di unicità); si ottiene dunque:

( )

. circuito del ingressoin impedenza detta è 1

:dove

, (9.12) 1

12

−+=

=⋅−+=

⇔⋅−+=⇔=⋅++

CLjR

IIC

LjRV

IC

jRLjVVjI

CRjLj

z

z

ωω

ωω

ωωωωω

Osserviamo che la (9.12) rappresenta già il risultato dell'operazione di 'trasformazione' in quanto essa è un'equazione algebrica lineare di primo grado dalla quale è immedia-to ricavare l'unica incognita e cioè il fasore della corrente. Si noti, inoltre, che l'impe-denza in ingresso non è un fasore (perché non è associato a nessuna forma d'onda) ma è semplicemente un operatore complesso definito come il rapporto tra il fasore della tensione e quello della corrente di porta nel circuito in esame: la sua parte reale è la re-sistenza R del ramo di circuito considerato mentre la sua parte immaginaria, a cui si dà il nome di reattanza, dipende, oltre che dall'induttanza L e dalla capacità C del ramo in questione, anche dalla pulsazione ω di alimentazione. Spesso l'impedenza si scrive nel-la forma:

. definita sopra reattanza la arappresent C

1LX

: dove , jXR

ωω −=

+=z

(L'impedenza si misura in ohm).

Infine definiamo ammettenza del monoporta considerato il reciproco della sua impe-denza, e quindi:

). R1G che noti Si (

. asuscettanz detta è 2X2R

XB

aconduttanz detta è 2X2R

RG

: dove , jBG2X2R

Xj

2X2R

R2X2R

jXR

jXR

11y

≠

+−=

+=

+=+

−+

=+

−=

+==

z


Il secondo passo consiste nella soluzione dell'equazione algebrica ottenuta, in questo caso la (9.12), come segue:

RC

1L

arctg e C

1LRzcon

, )v(z

V

zvVV

I IV

22

zz

ωω

θω

ω

θαθ

α

−

=−+=

−∠=∠

∠==⇔=

L'ultimo passo consiste nell'antitrasformazione che si esegue facilmente come indicato:

[ ] ( )θαωωθαω −+=

== −v

Mtjjtj tz

vee

z

VeIti v cosReRe)( )(22

Si osservi, per concludere, che l'equazione (9.12) è analoga alla legge di Ohm in regime stazionario salvo il fatto che essa mette in relazione non direttamente la tensione e la corrente ma i fasori rappresentativi di tali grandezze; oltre a ciò la costante di propor-zionalità è ora l'impedenza che corrisponde, nell'analogia citata, alla resistenza. Quanto si è detto giustifica la denominazione della (9.12) come legge di Ohm simbolica relativa ad un generico ramo di circuito. Applicazioni di tale legge saranno illustrate nel segui-to, dopo l'estensione del metodo simbolico a circuiti comunque complessi (vedi para-grafo seguente).

9.7 Equazioni di Kirchhoff in termini di fasori

Il procedimento di trasformazione descritto nel semplice caso del paragrafo precedente si estende in modo ovvio a qualsiasi equazione ai valori istantanei facente parte del si-stema di equazioni che descrive il comportamento di un circuito qualsiasi. E' infatti immediato riconoscere che la suddetta tecnica di trasformazione si applica, senza alcu-na variante concettuale, alle equazioni di Kirchhoff.

Si supponga, ad esempio, di considerare la seguente porzione di rete in condizioni di


regime sinusoidale:

Applicando la L.K.C. al nodo contrassegnato si ottiene:

0(t)i(t)i(t)i 421 =−+

che possiamo porre nella seguente forma:

[ ] [ ] [ ] 0222 421 =−+ tjtjtj eIeIeI ωωω ReReRe

D'altra parte, sfruttando il lemma di linearità e poi quello di unicità si ottiene:

( )[ ](t).4i e (t)2i(t),1icorrenti alle mente,rispettiva enti,corrispondfasori i sono 4I e 2I,1I dove

, Re 002 421421 =−+⇒=−+ IIIeIII tjω

Data la generalità del procedimento possiamo concludere che, in regime sinusoidale, qualsiasi equazione di nodo può essere espressa direttamente in termini di fasori. Più in generale, abbiamo visto che per un generico circuito connesso (con n nodi e b lati) la L.K.C. afferma che: Ai(t)=0 per ogni t , dove A è la matrice di incidenza ridotta del cir-cuito in esame, i cui elementi sono reali. Si può ripetere il precedente ragionamento e mostrare che è possibile scrivere la L.K.C. direttamente in termini di fasori come segue:

(t).(t),...ii(t),i isinusoidal lato di correnti le mente,rispettiva tano,

-rappresen che I,...,I,I fasori i sono elementi cui i colonna vettoreil è I dove , 0IA

b21

b21=⋅

Applichiamo ora la L.K.T. considerando un verso orario di percorrenza della maglia:

0(t)v(t)v(t)v 132 =−+


Sfruttando ancora una volta il lemma di linearità e quello di unicità si ottiene quanto segue:

[ ] [ ] [ ]( )[ ]

(t).v e (t)v(t),vtensioni alle mente,rispettiva enti,corrispondfasori i sono V e V,V dove

, Re

ReReRe

321321

002

0222

132132

132

=−+⇒=−+

⇒=−+

VVVeVVV

eVeVeV

tj

tjtjtj

ω

ωωω

In genere, la L.K.T. è espressa da:

0e(t)Av(t) T =− ∀t

che in termini di fasori diventa:

0EAV T =−

dove E rappresenta il vettore colonna i cui elementi sono i fasori 1n321 E,...,E,E,E − corrispondenti alle tensioni nodali sinusoidali (rispetto al nodo scelto come riferimen-to), mentre V è il vettore colonna i cui elementi sono i fasori b21 V,...,V,V corrispon-denti alle tensioni di lato sinusoidali. (Si tenga presente che AT è una matrice ad ele-menti reali.

In definitiva, l'identità formale tra le equazioni di Kirchhoff in regime stazionario e quelle simboliche per circuiti in corrente alternata (cioè in regime sinusoidale) consente di convalidare le seguenti affermazioni: anzitutto, le equazioni simboliche di Kirchhoff si possono scrivere direttamente senza dovere, ogni volta, procedere all'operazione di 'trasformazione' delle equazioni differenziali ai valori istantanei. Ciò equivale ad af-fermare che nel procedimento risolutivo di un circuito in corrente alternata si può o-mettere la prima fase del procedimento stesso e, pertanto, tenendo presente che anche la fase di 'antitrasformazione' è di regola sottintesa, resta provato che il metodo si ridu-ce alla semplice scrittura delle equazioni di Kirchhoff simboliche ed alla loro soluzione, in perfetta analogia con quanto si fa in corrente continua. L'identità formale sopra evi-denziata non si limita solo ai principi di Kirchhoff ma si estende ovviamente anche a tutte le conseguenze dei principi stessi. Così, ad esempio, le regole di composizione delle resistenze in serie e parallelo, dimostrate per circuiti in regime stazionario, man-tengono intatta la loro validità anche in condizioni di regime sinusoidale purché si fac-cia riferimento alle impedenze (o alle ammettenze). Si supponga di avere un circuito monoporta costituito da n elementi collegati in serie. In regime sinusoidale ogni ele-mento e' caratterizzato da una opportuna impedenza.


Applicando le leggi di Kirchhoff si ha:

( )

n1,..,=i VV : tensionedi partitore del regola la anche Vale

:con , IV

I...I...IIV...VVV :L.K.T.

I...III :L.K.C.

n

1kk

ii

n

1kk

n21nn2211n21

n21

z

z

zzz

zzzzzz

∑=

∑==

⇒+++=+++=+++=

====

=

=

( )

n1,..,=i iVI :corrente di partitore del regola la anche Vale

:con , VI

V...V...VVI...III :L.K.C.

V...VVV :L.K.T.

n

1kk

i

n

1kk

n21nn2211n21

n21

y

y

yyy

yyyyyy

∑=

∑==

⇒+++=+++=+++=

====

=

=


Rimangono, inoltre, invariate le regole di trasformazione stella- triangolo e viceversa:

302010

302023

302010

301013

302010

201012

231312

231330

231312

231220

231312

131210

yyy

yyy

yyy

yyy

yyy

yyy

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

; ;

: triangolo-stella ioneTrasformaz

; ;

: stella- triangoloioneTrasformaz

++=

++=

++=

++=

++=

++=

9.8 APPLICAZIONE DEL METODO SIMBOLICO A CIRCUITI ELEMENTARI

A chiarimento di quanto esposto nei paragrafi precedenti, consideriamo anzitutto tre semplici circuiti per la soluzione di ciascuno dei quali è sufficiente l'applicazione della legge di Ohm simbolica essendo costituiti da un solo ramo. Si suppone di alimentare ciascun ramo con la stessa tensione v(t) espressa da:

. funzione della il è dove ,

: da espresso sarà entecorrispond fasorecui il , )cos()(

v(t)efficace valoreVV

V

tVtv

M

M

V°∠=°∠=

=

002

ω

Come si può osservare dall'espressione di v(t) si è supposta nulla la fase della tensione


e, di conseguenza, il fasore rappresentativo della tensione si riduce ad un numero rea-le: questa ipotesi non è restrittiva poiché equivale a porre l'origine dei tempi t=0 nell'i-stante in cui la tensione raggiunge il suo valore massimo e ciò, pur essendo arbitrario, è tuttavia lecito. In particolare questa scelta comporta il seguente vantaggio nella rappre-sentazione vettoriale dei numeri complessi e cioè, tenendo presente che il fasore della tensione presenta solo la parte reale, ne segue che la sua rappresentazione nel piano complesso sarà quella di un vettore poggiato sull'asse reale. Quindi nelle rappresenta-zioni vettoriali dei fasori relative agli esempi successivi si tralascerà di indicare gli assi del piano di Gauss e si assumerà come riferimento proprio il fasore rappresentativo della tensione. D'altra parte, la mancata indicazione del riferimento vuole anche evi-denziare la sua inessenzialità, cioè quello che conta nella rappresentazione dei vettori è l'indicazione della posizione reciproca dei vettori stessi non la posizione assoluta ri-spetto agli assi cartesiani, posizione che dipende dalla scelta dell'istante t=0 e che, come tale, è del tutto arbitraria.

Consideriamo allora il seguente circuito:

Essendo nota la tensione di alimentazione occorre determinare l'andamento nel tempo della corrente i(t): trattandosi, però, di un circuito in regime sinusoidale, per quanto detto nel paragrafo 9.5, basterà calcolarne il fasore corrispondente (per questo motivo, d'ora in avanti, indicheremo nei vari circuiti, al posto delle variabili terminali di cia-scun elemento, i fasori ad esse associati). Sappiamo, infatti, che la corrente avrà un'e-spressione di questo tipo:

iii

MiM

MI

II

ItIti

ααα

αω

∠=∠=

+=

2 : associato essa ad fasore il termini,altri in cioè, , fase

la e ampiezzal' calcolata volta una nota ntecompletame sarà cha , )cos()(

Per far ciò basta semplicemente esprimere in termini fasoriali l'unica relazione di lato a disposizione e cioè:

R0Rrcon , IrV zz =°∠==

(Nota: il valore dell'impedenza si può ricavare sia applicando il procedimento di tra-


sformazione, sia dall'espressione generale tenendo conto che si tratta di un ramo pu-ramente resistivo).

Si ricava allora facilmente:

(9.13) 0 e R

V

2

II 0

R

V

0R

0V

r

VI i

M

z===⇒°∠=

°∠

°∠== α

Si osserva allora che per un circuito puramente resistivo la corrente è in fase con la tensione. In figura sono stati riportati i vettori della tensione e della corrente:

Si noti che la corrente risulta in fase con la tensione. Per ricavare, infine, l'andamento nel tempo della corrente basta effettuare un'operazione di antitrasformazione come se-gue:

[ ] (9.14) )cos()cos(Re)( tR

Vt

R

VeIti Mtj ωωω === 22

Nella figura è mostrato l'andamento nel tempo delle due grandezze:


Consideriamo ora il seguente circuito e seguiamo un procedimento analogo a quello

appena visto per determinare la corrente i(t):

Trasformando in termini fasoriali l'unica relazione di lato a disposizione si ottiene:

2 e

2

: che segue cui da (9.15), 9090

0 : allora ricava Si

90con , )(

)(

z

zz

πα

ω

ωω

ωωω

−===

°−∠=°∠

°∠==

°∠====⇒=

i

l

ll

L

VMI

I

L

V

L

VVI

LLjIILjVdt

tdiLtv

Si osserva allora che per un circuito puramente induttivo la corrente è sfasata di 90° in ritardo rispetto alla tensione. Nella figura successiva è mostrata la rappresentazione vettoriale dei fasori associati:

Per ricavare, infine, l'andamento nel tempo della corrente basta effettuare un'operazio-ne di antitrasformazione come segue:

[ ] (9.16) )cos()cos(Re)(22

22π

ωω

πω

ωω −=−== t

L

Vt

L

VeIti Mtj

In figura è mostrato l'andamento nel tempo della corrente e della tensione:


In pratica la corrente raggiunge il massimo con T/4 di ritardo rispetto alla tensione.



Trasformando in termini fasoriali l'unica relazione di lato a disposizione si ottiene:

2 e

2

: segue cui da (9.17), 90901

0 : allora ricava Si

90111

con , )(

)(

z

z

παω

ωω

ωωωω

===

°∠=°−∠

°∠==

°−∠=−=====⇒=

i

M

c

c

cc

CVI

I

CVC

VVI

CC

j

CjVVCjI

dt

tdvCti

yy

Si osserva allora che per un circuito puramente capacitivo la corrente è sfasata di 90° in anticipo rispetto alla tensione. Nella figura successiva è mostrata la rappresenta-zione vettoriale dei fasori associati:


Per ricavare, infine, l'andamento nel tempo della corrente basta effettuare un'operazio-ne di antitrasformazione come segue:

(9.18) )cos()cos()(22

2π

ωωπ

ωω +=+= tCVtCVti M

In figura è mostrato l'andamento nel tempo della corrente e della tensione:

La corrente raggiunge il massimo con T/4 di anticipo sulla tensione.



Effettuando direttamente l'operazione di trasformazione si ottengono le seguenti rela-


zioni in termini di fasori:

( )

=

+=−∠=

∠

°∠==

+==+=+=+=

==

==

==

R

Larctg

2L2Rz

con z

V

z

0VVI : allora ottiene Si

LjRcon , IIL)j(RI)(LVRVV : L.K.T.

LIRII : L.K.C.

Ljcon , ILV

Rcon , IRV : lato di Relazioni

z

zzzz

zz

zz

lr

lLl

rrr

ωθ

ωθ

θ

ωω

ω

Essendo θ positivo ne segue che, per un circuito ohmico-induttivo, la corrente è sfasata di θ° in ritardo rispetto alla tensione.

L'andamento nel tempo della corrente è il seguente:

radianti).in espresso essere deve : (Nota

(9.19) )cos()cos()(

θ

θωθω −=−= tzMV

tz

Vti 2

Negli esempi sinora trattati si è assunto come fasore di riferimento quello della tensio-ne; tuttavia data l'arbitrarietà con cui possiamo scegliere l'origine dei tempi t=0 pos-siamo fare in modo che essa coincida con l'istante in cui la corrente raggiunge il suo va-lore massimo: in tal modo avremo che la fase della corrente sarà nulla e quindi potre-mo considerare come fasore di riferimento non più quello della tensione bensì quello della corrente. Il vantaggio offerto da tale scelta consiste nella possibilità di tracciare il cosiddetto diagramma delle tensioni. Esso si ottiene semplicemente esprimendo i fa-sori delle varie tensioni di lato in funzione della corrente di porta (che ha fase nulla per ipotesi) ed applicando poi la L.K.T. per ricavare la tensione di porta; ad esempio, per quanto riguarda il circuito in esame si ha:

°∠=

°∠=°∠°∠===°∠===

0II : posto avendo

90LI0I90LIIV e 0RIIIV 1L1LrRrR zzzz ωω

Si ricava dunque il seguente diagramma vettoriale:


Da tale diagramma si osserva che la tensione è in anticipo sulla corrente di θ° e quindi la corrente è in ritardo sulla tensione della stessa quantità, come avevamo già visto at-traverso la relazione (9.19) precedente. Consideriamo ora il seguente circuito e seguia-mo un procedimento analogo a quello appena visto per determinare la corrente i(t):

Effettuando direttamente l'operazione di trasformazione si ottengono le seguenti rela-

zioni in termini di fasori:

<−=

+=

−∠=∠

°∠==

−==−=+=+=

==

−==

==

0CR

1arctg

2

C

12Rzcon

z

V

z

0VVI : allora ottiene Si

C

jRcon , II)

C

j(RI)(VVV : L.K.T.

III : L.K.C.

C

jcon , IV

Rcon , IV

: lato di Relazioni

z

zzzz

zz

zz

crLR

LR

cCcC

rrrR

ωθ

ωθθ

ωω

ω

Essendo θ negativo ne segue che, per un circuito ohmico-capacitivo, la corrente è sfasata di

θ° in anticipo rispetto alla tensione.


L'andamento nel tempo della corrente è il seguente:

negativo). menteintrinseca è caso, questoin e,radianti in espresso essere deve : (Nota

(9.19) )cos()cos()(

θ

θωθω −=−= tzMV

tz

Vti 2

Per il diagramma delle tensioni si ha:

°∠=

°−∠=°∠°−∠===°∠===

0II : posto avendo

90C

I0I90

C

1IzIzV e 0RIIzIzV cCcCrRrR

ωω

Si ricava dunque il seguente diagramma vettoriale:

Da tale diagramma si osserva che la tensione è in ritardo sulla corrente di θ° e quindi la corrente è in anticipo sulla tensione della stessa quantità, come avevamo già visto at-traverso la relazione (9.19) precedente.

Consideriamo infine il seguente circuito e seguiamo un procedimento analogo a quello appena visto per determinare la corrente i(t):


Effettuando direttamente l'operazione di trasformazione si ottengono le seguenti relazioni in termini di fasori:

(9.20) 0

: allora ottiene Si

1

arctg

212

con e con

, 1

)( : L.K.T.

: L.K.C.

con ,

con ,

con ,

: lato di Relazioni

θθ

ωω

θ

ωω

θ

ωω

ω

ω

−∠=∠

°∠==

−

=

−+=

∠=

=−+=++=++=

===

−==

==

==

z

V

z

VVI

R

CL

CLRz

z

IIC

LjRIVVVV

IIII

CjIV

LjIV

RIV

z

z

zzzz

zz

zz

zz

clrCLR

CLR

cCcC

lLlL

rrrR

Escludendo, per il momento, il caso in cui la reattanza induttiva sia pari a quella capa-citiva (è la condizione di risonanza che vedremo in seguito) gli altri due casi possibili sono:

1) 0> C1

L θω

ω ⇒>


Dalla (9.20) segue che la corrente è in ritardo sulla tensione di θ° cioè nel circuito preva-le il fenomeno induttivo su quello capacitivo.

2) 0 C1

L <⇒< θω

ω

Dalla (9.20) segue che la corrente è in anticipo sulla tensione di θ° cioè nel circuito pre-vale il fenomeno capacitivo su quello induttivo.

Questi due risultati possono anche essere evidenziati attraverso il diagramma delle tensioni:

°∠=

°∠=°∠°∠===

°−∠=°∠°−∠===

°∠===

0II : posto avendo

90LI0I90LIIV

90C

I0I90

C

1IIV

0RIIIV

lLlL

cCcC

rRrR

ωω

ωω

zz

zz

zz


Si ottiene allora:

9.9 POTENZE IN REGIME SINUSOIDALE

In questo paragrafo tratteremo questioni energetiche relative ai circuiti in regime sinu-soidale: a tal fine sarà necessario introdurre la definizione di nuove grandezze e discu-tere alcune loro proprietà. Si faccia riferimento ad un circuito monoporta in regime si-nusoidale alimentato dalla tensione v(t); sia i(t) la corrente di porta:

Definiamo angolo di sfasamento tra tensione e corrente la differenza tra la fase della tensione e quella della corrente, cioè:

(9.22)

che hasi ) precedente paragrafo nel detto

quanto per arestrittiv ènon che(ipotesi 0= : tensione la per nulla fasedi ipotesi Nell'

(9.21)

:

i

v

iv

αϕ

α

ααϕ

−=

−=


Di conseguenza la tensione e la corrente si possono esprimere nel seguente modo:

:parte altrad'

: da allora data è ingressoin impedenzaL'

(9.23) )cos()( e )cos()(

θ

ϕωω

∠==

−==

zI

V

tItitVtv

z

MM

(9.24) )( iI

V

I

Viv

I

V

iI

vVzz αϕαα

α

αθ −∠=∠=−∠=

∠

∠=∠=

Deduciamo allora che l'angolo di sfasamento ϕ coincide con l'argomento dell'impeden-za d'ingresso del circuito monoporta. Considerando ora l'espressione (9.23) della ten-sione e della corrente si ha:

(9.25) )()(sen)sen(cos)cos()cos()( tititItItIti raMMM +=+=−= ϕωϕωϕω

Il primo addendo nell'espressione (9.25) prende il nome di componente attiva della cor-rente istantanea mentre il secondo addendo prende il nome di componente reattiva della corrente istantanea: si osserva che la componente attiva è in fase con la tensione istanta-nea mentre la componente reattiva è sfasata di 90° in ritardo rispetto alla tensione i-stantanea. La potenza istantanea si esprime sempre come prodotto della tensione e del-la corrente istantanea e quindi:

(9.26) (t)p(t)p(t)v(t)i(t)v(t)iv(t)i(t)p(t) rara +=+==

Dalla relazione (9.26) si osserva che anche la potenza istantanea si può scrivere come somma di due termini: il primo di essi, a cui si dà il nome di potenza istantanea attiva è, per definizione, il prodotto della tensione per la componente attiva della corrente i-stantanea, mentre il secondo, a cui si dà il nome di potenza istantanea reattiva è, per definizione, il prodotto della tensione per la componente reattiva della corrente istan-tanea. Le loro espressioni si deducono facilmente dalla (9.25) e (9.26) come segue:

(9.28) )sen(sen)cos()sen(sen)()()(

(9.27) )(coscos)()()(

tIV

ttIVtitvtp

tIVtitvtp

MMMMrr

MMaa

ωϕωωϕ

ωϕ

22

2

===

==


Nell'ipotesi che - π/2 < ϕ < π/2 avremo che cosϕ> 0 e Pa(t)≥ 0. In figura è riportato l'andamento nel tempo della potenza istantanea attiva e reattiva che può dedursi ri-spettivamente come prodotto delle curve della tensione e della componente attiva della corrente e come prodotto delle curve della tensione e della componente reattiva della corrente:


Dalla fig. 9.10 si osserva chiaramente che la potenza istantanea attiva si mantiene sem-pre non negativa. Ciò si interpreta fisicamente affermando che essa corrisponde ad un flusso unidirezionale di energia ossia che, in ogni istante, l'energia associata alla poten-za istantanea attiva è fornita al circuito senza mai 'rifluire' dal circuito verso la rete e-sterna; in altri termini, tale energia, una volta assorbita dal circuito non può essere più restituita. Dalla fig. 9.11 si osserva, invece, che la potenza istantanea reattiva è una fun-zione sinusoidale del tempo con pulsazione doppia rispetto a quella di alimentazione: si deduce da ciò che essa alterna ad intervalli in cui è positiva, intervalli uguali in cui è negativa e che, pertanto, l'energia ad essa associata (corrispondente alle aree colorate in fig. 9.11) fluisce alternativamente dal circuito verso la rete esterna e viceversa, in ugual misura nei due sensi, cosicché al termine di un qualsiasi numero intero di semiperiodi (riferiti alla frequenza di alimentazione) risulta nulla l'energia complessivamente scambiata dal circuito attraverso la porta in esame.

Per la valutazione dei fenomeni energetici associati a circuiti in regime sinusoidale e re-lativi ad intervalli di tempo sufficientemente lunghi rispetto al periodo T, occorrerà in-trodurre altre potenze ovviamente non più istantanee.

Si definisce, allora, potenza attiva P (o potenza media, o potenza reale) assorbita da un circuito monoporta il valor medio in un periodo della potenza istantanea. In formule si ha:

(9.29) (t)dtpT1

(t)dtpT1

(t)dtpT1

p(t)dtT1

PT

0

a

T

0

r

T

0

a

T

0∫∫∫∫ =+==

(Nota: l'integrale relativo alla potenza istantanea reattiva è nullo in quanto si tratta del valor medio in un periodo di una funzione sinusoidale; lo si può verificare sostituendo la relazione (9.28) nell'espressione del suddetto integrale). Dalla relazione (9.29) si os-serva, dunque, che la potenza attiva può intendersi anche come valor medio in un pe-riodo della potenza istantanea attiva. Sostituendo ora la relazione (9.27) nella (9.29) si ottiene:

(9.30) cos coscos

)cos(cos)(coscos)(

ϕϕϕ

ωϕωϕ

VIPIVdt

T

IV

dttdt

T

IVdttIV

Tdttp

TP

MM

T

MM

TT

MM

T

MM

T

a

=⇒==

=

+===

∫

∫∫∫∫

22

2

2

2

11

0

000

2

0

In definitiva, quindi, la potenza attiva si può valutare come prodotto del valore efficace della tensione, del valore efficace della corrente e del coseno dell'angolo di sfasamento tra tensione e corrente; quest'ultimo fattore del prodotto è di solito indicato come fattore di potenza. Sotto il profilo tecnico l'importanza della potenza attiva appena definita è


legata al suo significato di valor medio: infatti generalmente si è interessati a conoscere l'energia assorbita (o ceduta) da un circuito in intervalli di tempo molto grandi rispetto al periodo T (il quale, spesso, è intorno a 0.02[s] corrispondente a f=50 [Hz]) e per far ciò basta semplicemente moltiplicare la potenza attiva P per l'intervallo di tempo ∆t che si considera (in realtà, questa operazione è corretta solo se ∆t è un multiplo intero di T; in caso contrario, essendo in generale ∆t>>T, l'operazione si ritiene ancora valida in quanto l'errore che si commette è molto piccolo). La potenza attiva si misura in watt [W].

Si definisce potenza reattiva Q assorbita da un circuito monoporta il valor massimo della potenza istantanea reattiva, cioè:

(9.31) VIsensen2IV

Q MM ϕϕ ==

Sotto il profilo tecnico l'importanza della potenza reattiva Q deve ricercarsi nel fatto che essa è un indice atto a rappresentare l'entità degli scambi energetici associati alla potenza istantanea reattiva, scambi che pur non implicando un flusso di energia defini-tivamente assorbita (o ceduta) dal circuito, devono tuttavia essere considerati per alcu-ne loro conseguenze che esamineremo in seguito (vedi rifasamento). La potenza reatti-va si misura in VAR.

Si definisce potenza complessa:

corrente. della ativorappresent fasore del coniugato il è I

mentre tensione della ativorappresent fasore il è V dove , I VN

∗

∗=

Avendo supposto nulla la fase della tensione, la potenza complessa può anche scriversi come segue:

(9.32) jQPjVIsenVIcosVII0VN +=+=∠=∠°∠= ϕϕϕϕ

da cui si osserva che la parte reale della potenza complessa è proprio la potenza attiva mentre la parte immaginaria è la potenza reattiva (l'unità di misura è VA).


Si definisce, infine, potenza apparente il modulo della potenza complessa ed è espressa da:

(9.33) VIQPN 22 =+=

Calcoliamo, a titolo d'esempio, le potenze assorbite da una singola impedenza quale

quella mostrata di seguito:

Si può scrivere che:

222** jxIRIIzIIzI VN +==⋅==

da cui segue che

P=RI2 e Q=xI2 (9.34)

Dalla prima relazione nella (9.34) si deduce che la potenza attiva assorbita da un'impe-denza dipende, per una data corrente, dalla resistenza ossia dall'unico componente in grado di assorbire definitivamente l'energia senza doverla poi restituire attraverso i morsetti di alimentazione; dalla seconda relazione nella (9.34) si osserva, invece, che la potenza reattiva, in quanto indice di un fenomeno di 'flusso' e 'riflusso' di energia, ri-sulta dipendente dalla reattanza, ossia dal componente del circuito che è in grado di immagazzinare energia sotto forma conservativa (elettrica nei condensatori, magnetica negli induttori) e che, di conseguenza, è in grado di restituirla seguendo le alternanze della corrente. Sempre facendo riferimento all'impedenza mostrata nella figura prece-


dente nell'ipotesi che - π/2 < ϕ < π/2, osserviamo che se l'angolo di sfasamento ϕ tra tensione e corrente risulta essere maggiore di zero, ossia l'impedenza è di tipo ohmico-induttivo (infatti la corrente è in ritardo sulla tensione) allora la reattanza x dell'impe-denza è positiva (infatti essa è pari a: x = ωL ) e tale sarà anche la potenza reattiva; se invece l'angolo di sfasamento ϕ tra tensione e corrente è minore di zero, ossia l'impe-denza è di tipo ohmico-capacitivo (infatti la corrente è in anticipo sulla tensione) allora la reattanza x dell'impedenza è negativa (infatti essa è pari a: X = -1/ωC ) e tale sarà anche la potenza reattiva. Possiamo, allora, tracciare per i due casi appena esaminati i seguenti triangoli delle potenze:

9.10 TEOREMA DI BOUCHEROT (ADDITIVITÀ DELLE POTENZE)

Si consideri un circuito lineare tempo-invariante in regime sinusoidale pilotato da un certo numero di generatori indipendenti, tutti sinusoidali di ugual pulsazione ω.

Teorema di Boucherot

La somma geometrica delle potenze complesse fornite da ciascun generatore indipendente al cir-cuito è pari alla somma geometrica delle potenze complesse assorbite da tutti gli altri elementi del circuito stesso.


Quanto enunciato si estende ovviamente anche alla potenza attiva e reattiva.

Dim. Per semplicità supporremo che nel circuito in esame sia presente un solo genera-tore indipendente e, precisamente, un generatore di corrente come mostrato in figura nella quale abbiamo numerato prima il lato contenente il generatore:

Sono state assegnate le direzioni di riferimento associate a tutti i lati del circuito e si sono indicati i fasori delle tensioni e correnti di lato: naturalmente i primi soddisfano i vincoli imposti dalla L.K.T. e i secondi i vincoli imposti dalla L.K.C.; in particolare si può scrivere 0.A =I Poiché gli elementi della matrice di incidenza ridotta A sono reali, se si considera il complesso coniugato della precedente equazione si ottiene:

(9.35) 0IA =∗

Da questa relazione si deduce che anche i fasori coniugati delle correnti soddisfano la L.K.C. e quindi, sfruttando il teorema di Tellegen, si può scrivere:

(9.36) IVIV

segue cui da ), circuito nel lati di numero il è b ( 0IV

b

2kkk11

b

1kkk :

∑

∑

=

∗∗

=

∗

=−

=

Nella relazione (9.36) il termine che compare nel membro di sinistra è la potenza com-plessa fornita dal generatore di corrente al circuito, mentre la somma nel membro di destra rappresenta la somma delle potenze complesse assorbite da ciascun lato del cir-cuito. L'estensione al caso in cui esistano più generatori indipendenti è immediata.


Un altro importante teorema riguardante la potenza attiva è il seguente.

Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva

Si consideri il circuito in regime sinusoidale mostrato in figura:

La porzione di circuito alla sinistra dei morsetti è costituita da un'impedenza nota e da un gene-ratore di tensione sinusoidale di cui, per comodità, si suppone nulla la fase (tale porzione di cir-cuito può essere pensata come l'equivalente di Thevenin di un circuito comunque complesso): si dimostra che l'impedenza da collegare ai morsetti A-B affinché il generatore possa trasferire ad essa la massima potenza attiva è data da

. .

zu = zs*

.

ossia è pari al coniugato dell'impedenza zs assegnata.

.

Dim.: si ponga zu = Ru + jxu. Indicato con I il valore efficace

.

della corrente che attraversa l'impedenza zu si ha che la potenza attiva da essa assorbita vale P = RuI2 (9.37)


D'altra parte risulta che:

(9.38) )x(x)R(R

VRIRP : ottiene si cui da

)x(x)R(R

VI

)xj(x)R(R

VVI

2us

2us

2su2

u

2us

2us

s

usus

s

us

s

zz

+++==

+++=⇒

+++=

+=

Da questa relazione si evince che la potenza attiva è funzione delle due variabili Ru e xu: per determinare i valori di tali variabili affinché la potenza attiva assuma il suo va-lore massimo possiamo osservare che ponendo: xu=-xs(*) il denominatore nella relazio-ne (9.38) diminuisce e quindi la potenza attiva si avvicina al suo valore massimo. Così facendo, inoltre, la potenza attiva diventa funzione della sola variabile Ru e quindi è possibile risolvere il nostro problema di massimo imponendo che la derivata della po-tenza attiva rispetto a tale variabile sia nulla:

*su

su

su

su2u

2s

2u

4su

su2su

2su

2s

u

zz xx

RR

RR 02RRR

0)R(R

)R(RV2R)R(RV 0

dR

dP

: trovatoquindi abbiamo

=⇒

−=

=

=⇔=−+

⇔=+

+−+⇔=

Quando è soddisfatta questa condizione, diciamo che il carico è adattato al generatore. Sfruttando il risultato appena ottenuto calcoliamo quanto vale la massima potenza at-tiva dissipata sull’impedenza z u come segue:

s

2s

2s

2ss2

umax 4RV

4RVR

IRP ===

Volendo, invece, calcolare la potenza attiva fornita dal generatore, possiamo sfruttare il teorema di Boucherot ottenendo:


s

2s

2s

2s

s2

s2

usg 2RV

4RV

2RI2R)IR(RP ===+=

Il rendimento del circuito è dato allora da:

0,5P

P

g

max ==η

Ciò significa che, in condizioni di adattamento cioè quando il generatore trasferisce sul carico la massima potenza attiva, il 50% di essa viene dissipata.

9.11 RIFASAMENTO

Si è visto, trattando della potenza reattiva, che essa è indice di un flusso di energia di-retto alternativamente dall'alimentatore al circuito e viceversa: a prima vista si potreb-be pensare che il suddetto indice non abbia alcun interesse tecnico in quanto ad esso non è associato alcun trasferimento di energia definitivo; in realtà non è così, come a-desso dimostreremo facendo riferimento ad una situazione pratica molto frequente. In figura è rappresentato, in modo molto semplificato, lo schema del sistema attraverso il

quale si provvede a distribuire energia ad una determinata utenza:


Esso è costituito da un generatore di tensione sinusoidale G che alimenta, attraverso una linea di una certa lunghezza, un utilizzatore U che può essere costituito da una porzione di circuito comunque complessa. In generale la lunghezza della linea è tale da non poter trascurare la corrispondente impedenza cioè quella dovuta ai due conduttori di cui è formata. Noi, però, in questa trattazione non ne terremo conto. Il discorso si può facilmente estendere al caso di impedenza non nulla. Ricordiamo ora che vale la seguente relazione per una generica sezione di linea:

22 QPVIN +== e ϕtgPQ ⋅=

(Nota: la precedente relazione si ricava dal triangolo delle potenze, con ϕ angolo di sfa-samento tra la tensione e corrente ai terminali dell’utilizzatore).

Possiamo osservare, dunque, che riducendo il valore efficace della corrente di linea a parità di V e P si ha una riduzione della potenza apparente associata ad ogni sezione della linea ed, in particolare, alla generazione (e ciò comporta un risparmio economico essendo la potenza apparente un parametro di progettazione e dimensionamento) e una riduzione della potenza attiva dissipata dall'eventuale impedenza di linea. Se vo-gliamo diminuire la I di linea, a parità di P e V, occorrerà agire su Q, cioè diminuire Q. D'altra parte questo comporta una riduzione dell'angolo di sfasamento ϕ e quindi un aumento del fattore di potenza cosϕ dello stesso utilizzatore. Si definisce allora rifasa-mento una qualsiasi operazione atta a diminuire l'angolo di sfasamento tra tensione e corrente di linea a parità di V e P, e quindi a ridurre il valore efficace della corrente di linea. Nel caso più frequente in cui l'utilizzatore sia di tipo ohmico-induttivo (ϕ>0), il rifasamento si realizza disponendo in parallelo all'utilizzatore un condensatore di op-portuna capacità C (nel caso in cui ϕ<0 si dispone in parallelo un induttore). Esami-niamo le conseguenze di tale operazione.

Nella figura seguente è mostrato il diagramma vettoriale dei fasori rappresentativi del-


la tensione e delle correnti:

La presenza di un nuovo ramo induce a considerare ora tre correnti in luogo di una so-la tra le quali sussiste la seguente relazione:

(*) III CL +=

Dalla fig. b) si osserva, inoltre, che essendo la corrente nel condensatore sfasata di 90° in anticipo sulla tensione, il valore efficace della corrente di linea può essere notevol-mente ridotto (e con esso gli effetti negativi precedentemente descritti) con un'oppor-tuna scelta della capacità del condensatore di rifasamento. Si noti che, oltre alla ridu-zione del valore efficace della corrente di linea, diminuisce anche il suo angolo di sfa-samento ϕ' rispetto alla tensione, angolo il cui coseno rappresenta il fattore di potenza della porzione di circuito costituita dal complesso utilizzatore-condensatore di rifasa-mento. Si pone allora il seguente problema: dato un utilizzatore di cui si conoscono V,P e ϕ cioè tensione, potenza attiva ed angolo di sfasamento, calcolare il valore della capa-cità di rifasamento C tale che l'angolo di sfasamento della corrente di linea passi dal va-lore ϕ (quale si avrebbe in assenza del condensatore) ad un prefissato valore ϕ'. Per ri-solvere tale problema si osserva, anzitutto, che l'utilizzatore da solo assorbe una poten-za reattiva Q data dall'espressione:

Q = Ptgϕ (9.39).

Mentre il complesso utilizzatore-condensatore di rifasamento assorbe una potenza attiva P ed una potenza reattiva Q' esprimibile, tramite il teorema di Boucherot, come segue:

Q’=Q+Qc (9.40)

Dove Qc rappresenta ovviamente la potenza reattiva relativa al condensatore.

Possiamo tracciare il seguente triangolo delle potenze:


Anche per le potenze P e Q' sussiste un legame analogo alla relazione (9.39) della pagi-na precedente e pertanto si ha:

( ) (9.41) 'tgtg2V

PC

: ottienesi *)*(* e (**)relazioni delle confronto Dal

*)*(* CVCV)(C1

IC1

IxQ

: segue come esprimersi anche può cQ reattiva potenza la parte altraD'

(**) )tg'P(tgQ'PtgcQ

: ricavasi cui da , 'PtgcQQ 'PtgQ'

222c

2ccc

ϕϕω

ωωωω

ϕϕϕ

ϕϕ

−=

−=−=−==

−=−=

=+⇔=

che fornisce il valore di capacità richiesto. Si parla di rifasamento completo quando il va-lore efficace della corrente di linea assume il suo valore minimo; ciò si realizza, in cor-rispondenza di una certa tensione V, quando la corrente nel condensatore è tale per cui ϕ'=0. In tal caso la capacità del condensatore di rifasamento vale:

(9.42) V

PtgC 20

ω

ϕ=

In definitiva, collegando un condensatore di opportuna capacità C in parallelo all'uti-lizzatore si avrà che la potenza reattiva induttiva di cui esso necessita non sarà fornita più interamente dall'alimentazione bensì una parte sarà resa disponibile dal condensa-tore che assorbendo potenza reattiva capacitiva è come se fornisse potenza reattiva in-duttiva (generatore di potenza reattiva induttiva).


9.12 RISONANZA ED ANTIRISONANZA

Consideriamo il seguente circuito costituito dai tre componenti fondamentali (resistore, condensatore ed induttore) collegati in serie tra loro ed alimentato da una tensione si-nusoidale il cui valore efficace è costante e la cui frequenza angolare ω può essere va-riata:

Nota: abbiamo preso la tensione come fasore di riferimento.

Si vuole ricavare l'espressione del valore efficace I della corrente di porta e dell'angolo di sfasamento ϕ tra tensione e corrente in funzione della pulsazione di alimentazione ω. Tenendo presente che l'impedenza in ingresso è data dall'espressione:

−

=

−+=

∠=−+=

RC

1L

arctg

2

C

1L2Rz

con zC

1LjRz

ωω

θ

ωω

θω

ω

si ottiene che:


−

==−=

−+

==

⇒∠=−∠=∠

°∠==

(**) R

C

1L

arctgi)(

(*) 2

C

1L2R

V

z

V)I(

iIz

V

z

0VVI

z

ωω

θαωϕ

ωω

ω

αθθ

Si osserva facilmente che esiste un valore di ω tale da annullare la reattanza dell'impe-denza in ingresso e cioè:

(9.43) LC

1

LC

1 01LC 0

C

1L 0

22 =⇔=⇔=−⇔=− ωωωω

ω

ω0 prende il nome di pulsazione di risonanza.

In generale, dato un circuito monoporta, l'eventuale pulsazione di risonanza serie la determineremo annullando la reattanza dell'impedenza di ingresso del circuito. No-tiamo, in particolare, che in condizioni di risonanza, cioè quando la pulsazione di ali-mentazione è pari alla pulsazione di risonanza, l'impedenza del circuito presenta solo la parte reale ossia il valore della resistenza R, l'angolo di sfasamento tra tensione e cor-rente di porta è nullo (di conseguenza anche la fase della corrente è nulla e perciò ten-sione e corrente sono in fase) e il valore efficace della corrente I assume il suo valore massimo pari a V/R: in altri termini, in condizioni di risonanza, il circuito si comporta all'ingresso come un resistore di resistenza R. Nella figura seguente è mostrato l'anda-mento del valore efficace della corrente in funzione della pulsazione con V=cost.:

Si noti che la curva, partendo da zero per ω=0, ritorna a zero per ω tendente ad infinito attraverso un massimo in corrispondenza della pulsazione di risonanza. Inoltre è evi-dente che diminuendo progressivamente la resistenza R il valore efficace della corrente aumenta e nel caso limite in cui R=0 diventa infinito. Nella figura seguente è mostrato, invece, l'andamento in funzione di ω dell'angolo di sfasamento ϕ e della reattanza in


ingresso:

Dalla fig. 9.14 si osserva che lo sfasamento ϕ è funzione crescente di ω e si annulla in corrispondenza della pulsazione di risonanza.

Per ω <ω0 risulta quindi ϕ < 0 (ossia la corrente in anticipo sulla tensione: circuito o-hmico-capacitivo) mentre per ω >ω0 si ha ϕ > 0 (ossia la corrente in ritardo sulla tensio-ne: circuito ohmico-induttivo).

Sempre dalla fig. 9.14 si osserva che per ω < ω0 la reattanza capacitiva prevale su quella induttiva (ciò giustifica l'anticipo della corrente sulla tensione); per ω=ω0 le due reat-tanze si compensano e quindi, elidendosi, rendono l'impedenza z coincidente con la so-la resistenza R; infine, per ω > ω0 la reattanza induttiva prevale su quella capacitiva (ciò giustifica il ritardo della corrente sulla tensione).

Da quanto detto e andando a considerare il diagramma delle tensioni, appare evidente che, in condizioni di risonanza, i fasori delle tensioni, rispettivamente, sul condensato-re e sull'induttore sono uguali ed opposti mentre i loro valori efficaci sono uguali. Pos-siamo allora calcolare il seguente rapporto (vedi paragrafo 6.4):

VV

QCL

R1

RL

LC1

RILI

VV C0L =====

ω

dove Q é il cosiddetto fattore di qualità del circuito risonante serie che abbiamo già incontrato (par. 6.4)


Consideriamo ora il seguente circuito costituito da un condensatore ed un induttore collegati in parallelo ed alimentati da una tensione sinusoidale avente una certa fre-quenza angolare ω:

Ci proponiamo di determinare l'espressione in funzione di ω del valore efficace I della corrente in ingresso. Per far ciò valutiamo l'ammettenza in ingresso del circuito in esa-me come segue:

(9.44) VL

1C)I( VI

: ottiene si cui da , L

1Cj

L

j

Cj

y

yyyy

y

lcl

c

−=⇒=

−=+=⇒−=

=

ωωω

ωω

ω

ω

Anche in tal caso è facile verificare che esiste un valore di ω che annulla la suscettanza dell'ammettenza di ingresso e precisamente esso è pari a:

. nzaantirisonadi pulsazione : LC1

0 =ω

In generale, volendo determinare la pulsazione di risonanza parallelo, si valuta l'am-mettenza di ingresso del circuito monoporta e si determina il valore di ω, se esiste, che annulla la suscettanza di tale ammettenza. Quando la pulsazione di alimentazione è pari alla pulsazione di antirisonanza si dice che il circuito è in condizioni di antiriso-nanza. Nel caso in esame, si osserva che, in condizioni di antirisonanza, il valore effica-ce della corrente in ingresso è nullo; tuttavia, pur annullandosi la corrente di ingresso, sono diverse da zero le correnti nei due rami del parallelo, infatti si ha:


CL

0cC

0lL

II

L

CVjVCjVI

L

CVjV

L

jVI

y

y

−=⇒

===

−=−==

ω

ω

Poiché tali correnti sono uguali ed opposte, si può affermare che esiste, in antirisonan-za, una corrente di circolazione confinata all'interno della maglia costituita dall'indut-tore e dal condensatore. L'esistenza di questa corrente che fluisce permanentemente senza alcun apporto energetico dall'esterno è compatibile con il principio di conserva-zione dell'energia solo in quanto si suppongono ideali (ossia privi di resistenza e quin-di di fenomeni dissipativi) il ramo induttivo e quello capacitivo del circuito. In tale ipo-tesi, la corrente all'interno del parallelo trova la sua giustificazione nello scambio ener-getico (che perdura indefinitamente dando origine ad un fenomeno periodico) fra il condensatore (dove l'energia si conserva sotto forma di energia elettrica) e l'induttore (dove l'energia si immagazzina sotto forma di energia magnetica). Supponiamo ora che siano presenti nel circuito fenomeni dissipativi dovuti ad un resistore collegato in pa-rallelo al condensatore e all'induttore come mostrato in figura:

In tal caso, è facile calcolare l'ammettenza in ingresso pari a:

(9.45) VL

1CjGVI

: ottiene si cui da , L

1CjG

R1G

L

j

Cj

y

yyyy

y

y

y

lcr

r

l

c

−+==

−+=++=⇒

==

−=

=

ϖϖ

ϖϖ

ϖ

ω


Risulta evidente, allora, che il valore della pulsazione di antirisonanza rimane lo stesso di prima ma stavolta la corrente di porta, in condizioni di antirisonanza, non è nulla bensì vale:

. tensione lacon fasein quindi è ed , VGI =

In conclusione, è possibile anche in questo caso realizzare un fenomeno periodico nel parallelo condensatore-induttore ma mentre nel caso precedente ciò avveniva senza apporto energetico ora, invece, è necessario fornire energia dall'esterno in modo da sopperire agli effetti dissipativi sul resistore. Osserviamo, infine, che essendo uguali i valori efficaci delle correnti, rispettivamente, nell'induttore e nel condensatore possia-mo calcolare il seguente rapporto (vedi paragrafo 6.4):

II

QLC

RLC

G1

GVCV

II L0C =====

ω

dove Q é il cosiddetto fattore di qualitá parallelo (par. 6.4). A titolo d'esempio calco-

liamo la pulsazione di antirisonanza del circuito mostrato in figura:

Occorre, anzitutto, determinare l'ammettenza in ingresso del circuito e calcolare poi, se esiste, il valore di ω che annulla la suscettanza (con ω indichiamo la pulsazione di ali-mentazione). Valgono le seguenti relazioni:


+

++

−+

+

++

=+=

+

+

==⇒−=

+

−==⇒+=

222C

222L

222C

C222

L

Lcl

222C

C

ccCc

222L

L

llLl

C

1R

C

1

LR

Lj

C

1R

R

LR

R

: ottiene si cui da ,

C

1R

C

jR

1

C

jR

LR

LjR1 LjR

yyy

zyz

zyz

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

E' evidente, allora, che il valore di ω che annulla la suscettanza è pari a:

( )

CRLCRL

LC1

CRLCRLLC LCCRCLRL

CR1

CLR

L

C1

R

C1

LRL

2C

2L

0

2L

2C

2222L

222C

222C

222L

222C

222L

−

−=

⇔−=−⇔+=+

⇔+

=+

⇔

+

=+

ω

ωωω

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

ω

9.13 APPLICAZIONE DEL METODO DEI FASORI A CIRCUITI COMPLESSI

La risoluzione di circuiti complessi in regime sinusoidale si effettua utilizzando le stes-se tecniche viste nel capitolo precedente per circuiti con ingressi in continua; l'unica differenza sostanziale consiste semplicemente nell'introduzione dei fasori (secondo le regole viste nei paragrafi precedenti) al posto delle corrispondenti variabili di lato.


Si consideri, a titolo d'esempio, il seguente circuito:

Supponiamo che i due generatori indipendenti di corrente siano isofrequenziali. Oc-corre, anzitutto, scegliere il fasore di riferimento in modo del tutto arbitrario. Normal-mente si considera come riferimento la tensione o la corrente di un generatore indi-pendente. Se, per esempio, si ha:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]A 60II e A 0II

ottienesi oriferiment come Iscegliendo mentre

A 60II e A 0II

ottienesi oriferiment come Iscegliendo allora

A 90II e A 30II

s1s1s8s8

s8

s8s8s1s1

s1

s8s8s1s1

:

:

°−∠=°∠=

°∠=°∠=

°∠=°∠=

Si supponga di effettuare la prima scelta. Tracciamo ora il grafo orientato associato al circuito in esame e scegliamo un albero:

Si fissi come verso di percorrenza delle maglie fondamentali quello antiorario e si con-siderino positive le correnti uscenti dalle superfici gaussiane che individuano gli in-siemi di taglio fondamentali. Possiamo scrivere le seguenti relazioni:


=−−

=+−

=+−

=++−

=+

=−++−Σ

=++−Σ

=++−Σ

0VV :8

0VV :7

0VVV :4

0VVV :3

0VV :1

:L.K.T.

0IIII :

0III :

0III :

:L.K.C.

86

76

654

532

21

87643

5432

3211

A questo punto per determinare tutti i fasori delle correnti e tensioni di lato (e quindi, mediante antitrasformazione, tutte le correnti e tensioni di lato) occorre utilizzare altre otto equazioni che sono fornite dalle relazioni di lato (in tal modo si ottiene un sistema di sedici equazioni in sedici incognite che, risolto, fornisce la risposta del circuito):

88777

666555

444333

22211

s

s

IIIRV

VCjIIRV

IRVILjV

IRVII

==

==

==

==

ω

ω

E' facile anche calcolare, sfruttando il teorema di Boucherot, la potenza attiva e reattiva fornita dai due generatori di corrente:

26

6

233

277

255

244

222 I

C1

ILQ e IRIRIRIRPω

ω −=+++=

Si tenga presente, infine, quanto segue: se nel circuito sono presenti generatori indi-pendenti non isofrequenziali allora il circuito è in regime variabile. In tal caso, per de-terminare l'andamento nel tempo di una corrente o tensione di lato occorre sfruttare il principio di sovrapposizione nel seguente modo: bisogna prima calcolare i fasori corri-spondenti a tale variabile di lato ciascuno dei quali ottenuto considerando nel circuito, singolarmente, i vari generatori indipendenti (è possibile, dunque, utilizzare le regole viste sinora essendo il circuito in regime sinusoidale). Abbiamo così ricavato un certo numero di fasori (pari al numero dei generatori presenti nel circuito) tutti associati alla variabile di lato di cui vogliamo determinare l'andamento nel tempo ma ognuno dei quali è stato ottenuto facendo agire nel circuito un solo generatore alla volta: di conse-guenza, poiché ciascuno di questi fasori dipende dalla pulsazione del singolo generato-re indipendente a cui è associato e poiché i generatori non hanno tutti la stessa pulsa-zione, ne segue che per calcolare l'andamento nel tempo della variabile di lato scelta è necessario prima antitrasformare tali fasori e poi sommare le varie correnti così ottenu-te (sarebbe sbagliato, invece, sommare prima i fasori e poi antitrasformare in quanto ta-li fasori non si riferiscono allo stesso insieme di grandezze sinusoidali isofrequenziali). Sempre nell'ipotesi in cui nel circuito siano presenti generatori indipendenti sinusoidali e non isofrequenziali è possibile dimostrare che:


la potenza attiva fornita da tali generatori è pari alla somma delle potenze attive che ogni singo-lo generatore fornirebbe se agisse da solo nel circuito. La stessa cosa non è vera se il circuito è in regime sinusoidale ovvero quando nel circuito sono presenti generatori isofrequenziali.

Vediamo ora un esempio di applicazione dell'analisi di tableau ad un circuito in regime sinusoidale:

Scegliamo il nodo 3 come nodo di riferimento e tracciamo il grafo orientato associato al circuito in esame:

La matrice di incidenza ridotta associata al circuito e relativa al nodo 3 è data da:


[ ]

[ ] [ ]

===−

==⋅

−=

TE,EE e TV,....,V,VVcon , 0ETAV

TI,....,I,IIcon , 0IA

: scrivere puòsi quindi e 100010

011111A

21621

621

dove I è il vettore dei fasori delle correnti di lato, V è il vettore dei fasori delle tensio-ni di lato e E è il vettore dei fasori delle tensioni nodali. Rimangono ora da scrivere le relazioni di lato:

=

⋅

−

−

−

+

⋅

−

−

−

=−=−−

=−=−=−

0

0

0

0

0

I

I

I

I

I

I

I

000000

01000

001000

000Lj00

000010

000001

V

V

V

V

V

V

10000

000000

00Cj000

000100

0000G0

000000

: diventano matriciale formain poste che

0VV 0II 0=VCjI

0ILjV 1/R)=(G 0VGI II

s

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

263544

3322s1

β

ω

α

ω

αβω

ω

ossia, in forma più compatta:

(*) )( : come scrivere possiamo che

)()(

)()(

: definitivain ottiene,Si . )()(

UWjT

UI

V

E

jNjM

IA

A

UIjNVjM

EAV

IA

UIjNVjM

s

T

s

T

s

=⋅

=

⋅

−⇔

=⋅+⋅

=−

=⋅

=+

ω

ωωωω

ωω

0

0

0

0

00

0

0

Si osservi che le matrici M(jω) e N(jω) si possono scrivere anche:

M(jω) = M0jω + M1; N(jω) = N0jω + N1

dove le matrici

M0, M1, N0, ed N1 hanno elementi reali. Osservate che in luogo dell'ope-


ratore D, relativo al caso generale dei circuiti dinamici, qui compare l'operatore jω. L'e-quazione (*) rappresenta il modello in termini di sparse tableau del circuito in esame: risolta, tale equazione consente di ottenere i fasori di tutte le correnti e tensioni di lato oltre che i fasori delle tensioni nodali; poi, per antitrasformazione, si ricava l'andamen-to nel tempo di tali variabili.Possiamo enunciare anche la seguente

Condizione di esistenza ed unicità della soluzione:

dato un circuito dinamico in regime sinusoidale pilotato da generatori indipendenti fra loro iso-

frequenziali con pulsazione ω si ha che tale circuito ammette un'unica soluzione se e solo se ri-sulta:

[ ] 0)(det ≠ωjT

9.14 Teoremi di Thevenin e Norton per circuiti in regime sinusoidale

I teoremi di Thevenin e Norton visti per circuiti resistivi lineari con ingressi in continua si possono estendere in maniera ovvia anche ai circuiti in regime sinusoidale:


L'unica sostanziale differenza consiste nel fatto che, indicando con A il circuito mono-porta da sostituire con un circuito equivalente secondo Thevenin o Norton ed indican-do con B un qualsiasi circuito collegato ad A mediante la porta 1-2, si ha che, mentre nel caso di circuiti resistivi non è stata fatta alcuna ipotesi sul circuito B, in questo caso, essendo il circuito A in regime sinusoidale, tale deve essere anche il circuito B e ciò comporta che questo circuito sia lineare, tempo-invariante ed asintoticamente stabile. Supponendo, quindi, che tale ipotesi sia soddisfatta possiamo enunciare il seguente te-orema:

un circuito C monoporta in regime sinusoidale, ben definito ed univocamente risolubile, può es-sere sostituito dal circuito equivalente secondo Thevenin costituito da un'impedenza collegata in serie ad un generatore di tensione sinusoidale, isofrequenziale con le forme d'onda dei genera-tori presenti in C, in cui:

. nulla è porta di corrente la quando cioè vuoto,a C iniziale

circuito del ingressoin tensionela arappresent ondad' forma

cui laThevenin di eequivalent tensionedi generatore del fasore :

circuito). nel presenti tiindipenden generatori i tuttiesclusi

stati siano che dopo (cioè passivato C circuito del ingressoin

impedenza come definitaThevenin di eequivalent impedenza :

TH

TH

V

z

Lasciando inalterate tutte le ipotesi precedenti, possiamo sostituire tale circuito con l'equivalen-te secondo Norton costituito da un'ammettenza collegata in parallelo ad un generatore di cor-rente sinusoidale, isofrequenziale con le forme d'onda dei generatori presenti in C, in cui:

ito.cortocircuin morsetti talicollegato

aver dopo 2 morsetto al 1 morsetto dal diretta C iniziale

circuito del ingressoin corrente la arappresent ondad' forma

cui laNorton di eequivalent corrente di generatore del fasore :

circuito). nel presenti tiindipenden generatori i tuttiesclusi

stati siano che dopo (cioè passivato C circuito del ingressoin

ammettenza come definitaNorton di eequivalent ammettenza :

N

N

I

y

Dimostriamo il teorema di Thevenin (la dimostrazione per l'enunciato di Norton si svolge in modo duale). Sia assegnato, allora, un circuito C generico in regime sinusoi-dale soddisfacente tutte le ipotesi previste dal teorema e supponiamo che tale circuito contenga un certo numero di generatori indipendenti isofrequenziali fra loro. Si colle-ghi alla porta di tale circuito un'impedenza arbitraria (ciò non altera la generalità del


discorso: tale scelta è stata fatta solo per comodità ma avremmo potuto, in generale, collegare un qualsiasi circuito, anche molto complesso, purché in regime sinusoidale), come mostrato in figura:

Occorre, dunque, dimostrare che sostituendo il circuito C con il circuito equivalente se-condo Thevenin il regime di correnti e tensioni ai capi dell'impedenza rimane invaria-to, cioè ai capi dell'impedenza ci sarà sempre la stessa corrente e la stessa tensione che si hanno in presenza del circuito C. Supponiamo, allora, di collegare in serie all'impe-denza un generatore di tensione sinusoidale, isofrequenziale con le forme d'onda dei generatori presenti in C, e di scegliere opportunatamente la fase ed il valore efficace della forma d'onda di tale generatore in modo che sia nullo il fasore della corrente che attraversa l'impedenza, come mostrato in figura:


Naturalmente, essendo variata la corrente che attraversa l'impedenza sarà diversa an-

che la tensione ai suoi capi: in particolare, essendo nulla la corrente si avrà: 0.V*

= Di conseguenza applicando la L.K.T. alla sequenza chiusa di nodi 3-1-2-4-3 si ottiene:

.VV 0s = D’altra parte risulta: TH0 VV = per come è stata definita la tensione equiva-lente di Thevenin. In definitiva abbiamo trovato: THs VV = (*). Facendo ora riferimento al circuito di fig. 9.23, esprimiamo la corrente nell'impedenza applicando il principio di sovrapposizione:

III += '*

il primo termine 'I rappresenta il contributo alla corrente *

I quando nel circuito agi-sce il solo generatore di tensione sV , cioè quando nel circuito iniziale C è passivato;

mentre I è il contributo alla corrente *

I quando il solo generatore di tensione sV è posto a zero (si osservi che I è proprio la corrente che attraversa l’impedenza nella condizione iniziale di fig. 9.22).

D'altra parte risulta anche:

: 'I corrente alla attribuito osignificat del conto

tenendo circuitale azionerappresent seguente la ottienesi cui da , I'I 0I'I*I −=⇔=+=

In fig.b) è stata invertita la polarità del generatore di tensione in modo che l’impedenza .z sia attraversata proprio dalla corrente I e la tensione ai suoi capi sia pari a V : cioè il regime di corrente e tensione ai capi dell’impedenza è rimasto invariato rispetto alla condizione iniziale mostrata in fig.9.22.Agli effetti dell'impedenza z il circuito ricavato lascia invariate le grandezze di porta ed é quindi equivalente al circuito di partenza. Osserviamo, infine, che il circuito iniziale passivato sarà comunque costituito da un certo numero di impedenze collegate in vario modo: per cui è sempre possibile, me-diante operazioni di equivalenza, sostituire tale circuito passivato con una sola impe-


denza che, per come è stata definita, coincide proprio con l'impedenza equivalente di Thevenin. In definitiva, il circuito di fig.b) diventa:

La tesi è così dimostrata.

A titolo d'esempio proviamo a determinare il circuito equivalente secondo Thevenin del seguente circuito caratterizzato dalla porta A-B:

Per calcolare l'impedenza equivalente di Thevenin dobbiamo considerare il circuito passivo, che si ottiene da quello iniziale sostituendo i due generatori di tensione con

due cortocircuiti:


Trasformando il triangolo 3-4-5 nella stella equivalente ed effettuando opportune equi-valenze serie-parallelo, si ottiene:

Valgono, in particolare, le seguenti relazioni:

40pTH

2s1s

2s1sp

5022s3011s

543

5350

543

5440

543

4330

zzz

zz

zzz

zzzzzz

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

: ricava si ,definitivaIn

: Parallelo

: Serie

; ; : Stella

+=

+=

+=+=

++=

++=

++=

Ricaviamo la tensione di Thevenin usando il principio di sovrapposizione e sfruttando, in parte, le operazioni di equivalenza appena eseguite. Considerando il contributo del primo generatore di tensione il circuito diventa:


Applicando un partitore di tensione si ottiene:

(*) VV2s1s

2ss11 zz

z

+=

Considerando poi il contributo del secondo generatore di tensione il circuito diventa:

Applicando un partitore di tensione si ottiene:

21TH

2s1s

1ss22

VVV : scrivere possiamo Dunque,

(**) VVzz

z

+=

+=


9.15 Cenni sugli strumenti di misura elettrodinamici

Considereremo solo strumenti di misura elettrodinamici sia per la loro importanza sot-to il profilo tecnico sia perché questi strumenti possono essere usati sia in corrente con-tinua sia in corrente alternata. Un apparecchio elettrodinamico è sostanzialmente costi-tuito, qualunque ne sia la funzione, da due bobine (una fissa ed una mobile) e da una molla che contrasta il movimento di quella mobile. Si facciano percorrere le due bobine da due correnti, nel funzionamento di tale strumento, interverranno due coppie: la prima, elettromagnetica, è proporzionale al prodotto delle correnti che scorrono nelle due bobine; la seconda, elastica, è proporzionale alla deformazione della molla e quin-di all'angolo α di deviazione dalla posizione di riposo della bobina mobile. Nell'ipotesi che le correnti nelle due bobine siano costanti, si avrà che la bobina mobile (e con essa l'indice dell'apparecchio che le è solidale) si muove sotto l'effetto della coppia elettro-magnetica fino ad assumere quella particolare posizione angolare per la quale si realiz-za l'equilibrio tra la coppia elettromagnetica stessa e quella elastica ad essa opposta. In condizioni di equilibrio varrà la relazione:

. bobinedue nellecorrenti le sono 2I e 1I dove , (*) 2I1kI=α

Da questa relazione si deduce che lo strumento misura, mediante l'angolo di deviazio-ne del suo indice, il prodotto delle correnti nelle due bobine. In regime sinusoidale, es-sendo le due correnti variabili nel tempo tale sarà anche la coppia elettromagnetica: di conseguenza, la bobina mobile non si arresta, teoricamente, in una determinata posi-zione (come accadeva nel caso precedente) ma oscilla intorno ad una posizione che sa-rebbe di equilibrio se si applicasse una coppia costante pari al valor medio in un perio-do della coppia elettromagnetica istantanea. In pratica, però, l'inerzia della bobina mo-bile è sufficiente, di regola, a rendere inapprezzabile il fenomeno oscillatorio, cosicché l'indice dell'apparecchio appare fermo ed indica l'angolo di deviazione medio corri-spondente, come si è detto, alla coppia elettromagnetica media. In questo caso vale quindi la relazione:

( )

1i2i

21

21

T

021medio21

: altraall' rispetto unadell' sfasamentodi

angolol' è ecorrenti due delleefficaci valori i sono I e I dove

(**) cosIKI(t)dti(t)iT1

k(t)i(t)ik

ααθ

θ

θα

−=

=∫ ⋅=⋅=

Le (*) e (**) sono le formule fondamentali su cui si basa il funzionamento degli stru-


menti elettrodinamici; a partire da esse mostreremo ora come sia possibile, mediante opportuna disposizione delle bobine, far sì che l'apparecchio misuri una corrente, una tensione o una potenza attiva.

Amperometro. Se si dispongono le due bobine di uno strumento elettrodinamico in se-rie tra loro e si inserisce lo strumento in serie con l'utilizzatore U di cui si vuol misurare la corrente I, l'apparecchio stesso si comporta come un amperometro, ossia come un mi-

suratore di corrente:

Evidentemente, risulta:

=

==⇒==

021

21ϑϑϑϑ

IIIIII

di conseguenza la (**) diventa α=kI2 che mostra come la posizione dell'indice fornisca, su una scala quadratica, il valore efficace della corrente da misurare. In corrente conti-nua, la posizione dell'indice fornisce direttamente il valore della corrente. Si osservi, in conclusione, che un amperometro deve avere, come requisito fondamentale, un'impe-denza interna molto piccola in modo tale da non alterare il regime delle correnti preesi-stente nel circuito falsando così la misura.

Voltmetro. In un voltmetro elettrodinamico le due bobine sono disposte in serie ed i-noltre il loro complesso è in serie con una resistenza di valore elevato; l'apparecchio è inserito in parallelo all'utilizzatore U di cui si vuole misurare la tensione ai morsetti:


. : diventa (**) la quindi e

0 e

: ha si , voltmetrodal assorbita corrente la v

Icon Indicata

2

2121

v

vv

kI

IIIIII

=

===⇒==

α

θ

Dalla legge di Ohm simbolica si ha che la corrente Iv=V/Zv è proporzionale alla tensio-ne V e perciò la precedente relazione diventa: α=k’V2 dove la nuova costante k’ tiene conto dell’impedenza del ramo voltmetrico.

Da ciò si deduce che la posizione dell'indice dell'apparecchio fornisce, su scala quadra-tica, il valore efficace della tensione da misurare; in corrente continua lo strumento mi-sura l'effettivo valore della tensione ai capi dell'utilizzatore U. Osserviamo, infine, che un voltmetro deve avere come requisito fondamentale un'impedenza interna molto e-levata (a tal fine si inserisce in serie con le bobine la resistenza Rv) perché, se così non fosse, il voltmetro assorbirebbe una corrente di valore non trascurabile e perturberebbe il regime delle correnti e delle tensioni del circuito, cosicché il valore di tensione misu-rato non corrisponderebbe a quello effettivamente preesistente nel circuito stesso.

Wattmetro. Lo strumento elettrodinamico atto a misurare la potenza attiva assorbita da


un certo utilizzatore U è ottenuto disponendo le bobine come in figura:

La bobina 1 disposta in serie con U è detta bobina amperometrica mentre la bobina 2 di-sposta in parallelo ad U è detta bobina voltmetrica. Anche in questo caso l'inserzione del-lo strumento non deve introdurre una sensibile perturbazione nel circuito e pertanto la bobina amperometrica deve essere di bassa impedenza mentre il ramo voltmetrico de-ve presentare un'elevata impedenza. Valgono, inoltre, le seguenti relazioni:

v21 II e II == ,dove I e IV rappresentano i valori efficaci, rispettivamente, della cor-

rente nell’utilizzatore e della corrente nel ramo voltmetrico.

Quest'ultima, in particolare, è proporzionale, per la legge di Ohm simbolica, alla

tensione V ai capi del ramo voltmetrico e, quindi, la relazione (**) si scrive come:

. ovoltmetric ramo

del impedenzadell' anche conto tiene k' costante nuova la dove , *)*(* cos' θα VIk=

Soffermando ora l'attenzione sull'angolo θ (angolo di sfasamento tra le correnti nelle due bobine) si osserva che esso coincide con l'angolo ϕ di sfasamento tra I e V a patto che si possa ritenere puramente resistiva l'impedenza del ramo voltmetrico. Infatti, in tal caso la corrente nel ramo voltmetrico è in fase con la tensione V e valgono le se-guenti relazioni:

PkVIk

IIV

i

vviiv

iviv

iivvi

'cos'

: diventa *)*(* la ,definitivaIn

. ,, complessi numeri dei argomenti gli sono ,, dove

12

==

=−=−=−=⇒=

ϕϕϕϕαααα

αααααααααααα

ϕϕϕϕααααααααααααααααααααααααθθθθαααααααα

(Nota: quest'uguaglianza è valida perchè si è supposta piccola l'impedenza della bobi-na amperometrica e quindi trascurabile la caduta di tensione su di essa in modo da po-ter ritenere la tensione ai capi dell'utilizzatore pari a V). La precedente relazione mo-stra come l'indice dello strumento fornisca, su scala lineare, la misura della potenza ri-chiesta.


Si ricordi, infine, che nel wattmetro, la resistenza Rv deve avere valore elevato non solo per limitare la corrente nel ramo voltmetrico ma anche per poter trascurare la reattanza induttiva di questo stesso ramo in modo da poterlo considerare come un ramo pura-mente resistivo con le conseguenze prima descritte.


CAPITOLO 10

10.1 ULTERIORI METODI PER LA SOLUZIONE DI CIRCUITI COMPLESSI 354 10.1.1 ANALISI NODALE 354 10.1.1 METODO DELLE MAGLIE O DELLE CORRENTI DI COALBERO 371


10.1 Ulteriori metodi per la soluzione di circuiti complessi

10.1.1 Analisi nodale

Tale metodo viene frequentemente utilizzato per la soluzione di circuiti resistivi lineari e non lineari, tempo-invarianti e tempo-varianti ma può anche essere generalizzato a circuiti dinamici o a circuiti in regime sinusoidale. Tuttavia l'analisi di nodo è applica-bile ad una più ristretta gamma di circuiti rispetto al metodo dello sparse tableau che invece è molto generale e può essere utilizzato per qualsiasi tipo di circuito: infatti l'a-nalisi di nodo non consente lo studio di circuiti che contengano anche un solo elemento non controllabile in tensione. D'altra parte l'analisi di nodo rientra nei cosiddetti meto-di ridotti che consentono, cioè, di risolvere un circuito basandosi su un sistema di e-quazioni di ordine inferiore rispetto al numero di variabili di rete. Infatti per un circui-to con n+1 nodi e b lati occorrerebbe un sistema di 2b equazioni che consentisse di de-terminare tutte le incognite del circuito e cioè le correnti e tensioni di lato (in numero pari proprio a 2b); per di più, nel metodo dello sparse tableau, a fronte di una maggio-re generalità nell'applicazione del metodo ai vari circuiti, si ha anche lo svantaggio di scrivere un numero di equazioni ancora più alto, pari cioè a (2b+n), dove n è il numero di nodi indipendenti nel circuito, in quanto le variabili da determinare non sono soltan-to le correnti e tensioni di lato ma anche le tensioni nodali. L'analisi di nodo consiste, invece, nella formulazione di un sistema di n equazioni che può essere posto nella se-guente forma:

[ ] [ ] [ ]sn ieY =⋅ (10.1)

dove [ ]nY è una matrice quadrata di ordine n ed è detta matrice delle ammettenze no-dali; [ ]e è il vettore delle tensioni nodali, ovviamente di dimensione n; [ ]si è detto vet-tore delle sollecitazioni equivalenti in corrente i cui elementi sono, dimensionalmen-te, delle correnti (anche questo vettore è di ordine n). Una volta determinate le tensioni nodali mediante la soluzione del suddetto sistema bisogna poi ricondursi alle tensioni di lato sfruttando la relazione:

[ ] [ ] [ ]eAv T ⋅=

dove A è la matrice di incidenza ridotta associata al circuito e, successivamente, ricava-re le correnti di lato nell'ipotesi che tutti gli elementi del circuito siano controllati in tensione. In questo consiste l'operazione di post-processing associata all'analisi nodale. E' tuttavia necessaria una fase di pre-processing consistente, sostanzialmente, nell'e-sprimere tutte le correnti di lato in funzione delle tensioni nodali. L'analisi di un circui-to mediante il metodo nodale può essere condotta in modo sistematico o, per circuiti


semplici, 'per ispezione': in entrambi i casi si deve giungere alla formulazione dell'e-quazione matriciale (10.1) vista prima solo che, nel metodo sistematico, per fare ciò, si ricorrerà alla scrittura di tutte le equazioni di lato, delle L.K.C. e L.K.T. riferite ai cosid-detti lati classici del circuito che definiremo fra poco, mentre nel metodo 'per ispezione' si arriverà direttamente alla scrittura della (10.1) mediante una semplice 'ispezione' del circuito secondo opportune convenzioni.

Cominciamo col descrivere l'analisi nodale per via sistematica. Occorre a tale scopo de-finire il lato tipico di un circuito:

Esso è costituito da un elemento collegato in serie ad un generatore di tensione con un generatore di corrente in parallelo. L'elemento indicato con zk rappresenta un resistore di resistenza Rk nel caso in cui il circuito sia resistivo, un resistore, un condensatore o un induttore nel caso di circuito con andamento dinamico ed un'impedenza nel caso di circuito in regime sinusoidale (ovviamente, in tal caso tutte le variabili del circuito sa-ranno espresse mediante i fasori corrispondenti). In generale, chiameremo tale elemen-to 'passivo' nel senso che non è un generatore. Naturalmente le forme d'onda dei due generatori presenti nel lato classico possono essere entrambe nulle oppure una nulla e l'altra diversa da zero: cioè il lato tipico può essere costituito dal solo elemento passivo oppure dall'elemento passivo in serie al generatore di tensione oppure dall'elemento passivo in parallelo al generatore di corrente oppure dall'intera struttura come mostra-ta in fig. 10.1. In altri termini, il lato tipico impone che nel circuito non possono essere presenti generatori di tensione che non abbiano in serie un elemento passivo o genera-tori di corrente che non abbiano in parallelo un elemento passivo. Qualora nel circuito in esame non siano soddisfatte tali condizioni bisogna ricondursi ad esse mediante o-perazioni di V-shift e I-shift: la prima consiste nello spostamento di generatori di ten-sione, la seconda nello spostamento di generatori di corrente senza che vengano altera-


te le tensioni e le correnti nei lati della rete (fatta eccezione per il lato attivo preso in considerazione). Si supponga, ad esempio, di considerare il tratto di circuito mostrato in fig. 10.2a:

Come si osserva, il generatore di tensione non ha in serie alcun elemento passivo: oc-corre, allora, spostarlo opportunatamente in modo tale, però, che il nuovo circuito sia equivalente a quello iniziale. Inoltre, tenendo presente che un generatore di tensione non impone vincoli sulla corrente, effettuando lo shift del generatore di tensione biso-gna fare in modo che le relazioni imposte dalle L.K.T. nel circuito equivalente siano uguali a quelle nel circuito iniziale. Si procede, dunque, sostituendo il generatore di tensione con un cortocircuito; dopo di che, scelto uno dei due nodi tra i quali è collega-to il generatore di tensione, per esempio il nodo A, si 'spinge' il generatore di tensione nei lati che convergono in tale nodo, mantenendo invariata la sua polarità, come mo-strato in fig. 10.2b. Sembrerebbe in tal modo di perdere informazioni sulla corrente nel lato A-B: in realtà non è così perché, una volta risolto il circuito equivalente, posso sempre determinare tale corrente applicando la L.K.C. al nodo B. Si supponga ora di considerare il tratto di circuito mostrato in fig. 10.3a:

Come si osserva, il generatore di corrente non ha in parallelo alcun elemento passivo. Occorre, allora, spostarlo opportunatamente. Inoltre, tenendo presente che un genera-tore di corrente non impone alcun vincolo sulla tensione, effettuando lo shift del gene-ratore di corrente bisogna fare in modo che le relazioni imposte dalle L.K.C. del circui-to equivalente siano uguali a quelle nel circuito iniziale. Si procede, dunque, sostituen-do il generatore di corrente con un circuito aperto; dopodiché, si dispone in parallelo a ciascun elemento appartenente ad un cammino tra A e B un generatore di corrente (con la stessa forma d'onda J) e diretto in modo tale da rispettare il vincolo imposto dal ge-neratore di corrente in fig. 10.3a: si ottiene, quindi, il circuito equivalente mostrato in fig. 10.3b. Sembrerebbe in tal modo di perdere informazioni sulla tensione ai capi del generatore di corrente in fig. 10.3a: in realtà non è così perché una volta risolto il circui-to equivalente si può ottenere tale tensione come differenza di tensione tra i nodi A e B nel circuito di fig. 10.3b. In definitiva, qualora il circuito in esame non soddisfi le ipote-si previste dal metodo nodale sistematico si operano trasformazioni V-shift ed I-shift in modo da ottenere un circuito equivalente a quello iniziale ma formato da una connes-sione di soli lati tipici. Questi spostamenti di generatori possono portare a situazioni


particolari quali:

• generatori di tensione in parallelo ad un generatore di corrente • generatori di corrente in serie ad un generatore di tensione

ma tali combinazioni sono state già studiate nel capitolo 3.

In particolare si è visto allora che:

• un generatore di tensione in parallelo ad un elemento è equivalente ad un genera-tore di tensione (con la stessa forma d'onda);

• un generatore di corrente in serie con un elemento e' equivalente ad un generatore di corrente (con la stessa forma d'onda).

Precisato ciò, vediamo come sia possibile ricavare l'equazione matriciale (10.1) su cui si basa il metodo nodale. Anzitutto, supponiamo, per comodità, che il circuito sia resisti-vo e lineare, quindi, il lato tipico diventa:

Per il generico lato k-esimo si può scrivere:

( ) (10.2) R1Gcon , EvGJi kkskkkskk =−+=

Estendendo questa relazione a tutti i lati del circuito, che supponiamo siano in numero pari a b, si ottiene:


[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] (10.3) JEvGi ssb +−⋅=

con ovvio significato dei simboli. Inoltre, valgono le seguenti relazioni:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (10.5) 0iA e (10.4) eAv T =⋅⋅=

Moltiplicando la (10.3) per la matrice di incidenza ridotta si ha:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] . (10.1) lacon proprio coincide che ieY : diventa (10.6) la

(10.7) JAEGAi e AGAY: Posto

(10.6) JAEGAeAGA

: (10.4) la sfruttandoquindi e 0JAEGAvGA

: hasi (10.5) la percui da JAEGAvGAiA

sn

ssbsT

bn

ssbT

b

ssbb

ssbb

=⋅

⋅−⋅⋅=⋅⋅=

⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅

=⋅+⋅⋅−⋅⋅

⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅

Si osserva, in particolare, che il vettore [is] può essere considerato come somma di due vettori e cioè:

[ ] [ ] [ ]Sb EGA ⋅⋅ i cui termini sono dimensionalmente delle correnti e rappresentano per ogni nodo (individuato da una riga di A) la somma delle correnti dei generatori equi-valenti secondo Norton dei generatori di tensione (ciascuno in serie ad un elemento passivo) eventualmente presente nei lati (individuati dalle colonne di A) che conver-gono nel nodo in esame;

[ ] [ ]sJA ⋅ i cui termini sono ancora delle correnti e rappresentano, per ogni nodo, la somma delle correnti dei generatori di corrente eventualmente presenti nei lati del cir-cuito che convergono nel nodo in esame.

Per maggiore chiarezza, facendo riferimento al generico lato tipico, proviamo a deter-minare l'equivalente secondo Norton del generatore di tensione in serie al resistore come mostrato in figura:


Dunque, si può scrivere:

(10.8) EGJvGi skkskkkk −+=

Gli ultimi due addendi nella (10.8) rappresentano, rispettivamente, la forma d'onda del generatore di corrente presente nel lato k e la forma d'onda del generatore di corrente equivalente secondo Norton alla serie costituita dal generatore di tensione e dal resi-store (di resistenza Rk) presenti nel lato classico. Estendendo questa osservazione a tutti i lati del circuito in esame si comprende quanto detto prima a proposito dei due vettori dalla cui somma si ottiene il vettore [is]. Per quanto riguarda, infine, i segni delle cor-renti che compaiono nel vettore [is] essi si deducono dalla relazione (10.6) e dalle con-venzioni adottate nel lato tipico (perché è in base a queste che si è ottenuta l'equazione matriciale (10.1)): ne segue che il generico elemento k-esimo del vettore [is] si ottiene come somma algebrica delle correnti entranti nel nodo k ed intendendo come positive proprio le correnti entranti. Quanto detto sinora può essere facilmente esteso anche a circuiti con andamento dinamico nel tempo ed a circuiti in regime sinusoidale per i quali l'equazione del modello nodale si scrive, rispettivamente, come:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (10.10) IE)(jY e (10.9) ie(D)Y sn.

sn =⋅

=⋅ ω

La relazione (10.9) mette in evidenza che nel caso di circuiti dinamici alcuni elementi della matrice delle ammettenze di nodo potranno dipendere dal simbolo D che è l'ope-ratore di derivazione rispetto al tempo. Se, infatti, immaginiamo di sostituire il resisto-re nel lato di fig. 10.4 con un condensatore o con un induttore potremo esprimere la corrente che attraversa tale lato come:


( )

( ) . induttoredell' caso nel JEvLD1

i

e recondensato del caso nel JEvCDi

skskkk

skskkk

+−=

+−=

Se, invece, il circuito è in regime sinusoidale la matrice [Yn] avrà come elementi delle ammettenze che, in generale, sono espresse in funzione di jω (a meno che non siano puramente resistive) ed al posto delle tensioni nodali e delle varie correnti ci saranno i corrispondenti fasori. Consideriamo, ora, a titolo d'esempio il seguente circuito resisti-

vo ed applichiamo il metodo nodale per via sistematica:

Si osserva che il generatore di tensione non è in serie a nessun resistore ed il generatore di corrente non è in parallelo a nessun resistore. Occorre, quindi, effettuare un'opera-zione di V-shift ed un'operazione di I-shift. Il circuito diventa:


Abbiamo così ottenuto un circuito equivalente a quello iniziale ma più adatto per l'ap-plicazione del metodo nodale. Su tale circuito (cioè quello di fig. 10.7) si sceglie un no-do come riferimento (generalmente quello di grado maggiore) e si fissano dei versi per le correnti su ogni lato classico. Si osserva che sono presenti n=3 nodi indipendenti (cioè i nodi 1,2 e 3) e b=6 lati. Cominciamo col scrivere la matrice di incidenza ridotta associata al circuito in esame (ci riferiamo al grafo associato, fig. 10.7bis):

[ ]

−−

−−=

100010

111000

010101

A

Per determinare la matrice delle conduttanze di lato bisogna considerare il circuito passivo e scrivere le relazioni di lato in forma matriciale ottenendo:

[ ]

=

6

5

4

3

2

1

b

G00000

0G0000

00G000

000G00

0000G0

00000G

G

Possiamo, quindi, scrivere la matrice delle ammettenze nodali come:

[ ] [ ] [ ] [ ] (*)

GGG0

GGGGG

0GGGG

AGAY

626

66545

5531T

bn

+−

−++−

−++

=⋅⋅=


Scriviamo ora i vettori delle sollecitazioni di lato:

[ ] [ ]

=

−

=

J

0

J

0

0

0

J e

0

0

0

0

E

E

E ss

(Nota: si attribuisce un segno positivo a quei generatori di tensione o corrente disposti nel circuito in modo concorde alla rappresentazione utilizzata nel lato). Otteniamo, co-sì, il vettore delle sollecitazioni equivalente:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (**)

JEG

0

EG

JEG

JJ

EG

JAEGAi

2

1

2

1

ssbs

+

=

+

−=⋅−⋅⋅=

Per come è fatta la matrice [ ]nY e il vettore [ ]si possiamo ricavare la seguente regola generale che ci consente di ottenere l’equazione su base nodo di un certo circuito me-diante una semplice “ispezione” del circuito stesso:

• l'elemento diagonale di indice i nella matrice [Yn] è pari alla somma di tutte le con-duttanze che convergono nel nodo i;

• l'elemento extradiagonale di indici i e j nella matrice [Yn] è pari all'opposto della somma delle conduttanze comprese tra i nodi i e j del circuito in esame;

• l'elemento i-esimo del vettore [is] è pari alla somma algebrica delle correnti di tutti i generatori che convergono nel nodo i (prendendo positive le correnti entranti), sia che si tratti di generatori di corrente indipendenti presenti nel circuito sia che si tratti di generatori di corrente ottenuti da equivalenze secondo Norton.


Per poter, quindi, applicare il metodo nodale 'per ispezione' è necessario effettuare prima le e-quivalenze secondo Norton di tutti i generatori di tensione in serie a resistori; nel caso appena esaminato si farà, dunque, riferimento al seguente circuito equivalente a quello di fig. 10.7:

Osservando tale circuito e sfruttando le regole suddette è facile ricavare direttamente lo stesso risultato che abbiamo ottenuto per via sistematica. Qualora il circuito iniziale sia costituito da soli resistori la matrice [Gb], detta matrice delle conduttanze di lato, è ov-viamente diagonale e quindi la Yn

e' simmetrica; se, invece, sono presenti dei generato-ri pilotati essa perde tale caratteristica: vediamo perché. Anzitutto, se nel circuito sono presenti dei generatori pilotati questi devono essere necessariamente controllati in ten-sione per poter applicare il metodo nodale: inoltre, i generatori pilotati vengono trattati allo stesso modo di quelli indipendenti e, quindi, se necessario, subiscono anch'essi o-perazioni di shift. Supponiamo, ad esempio, che nel circuito sia presente un lato di questo tipo:


dove iy è la corrente che attraversa il lato y il quale, per comodità, supporremo sia co-stituito da un solo resistore con conduttanza Gy tale che: iy=Gyvy. Possiamo scrivere, dunque:

xxyyxxxxyx

yx

x

x

yyxxyxxx

R1Gcon , vGkGvGi vR

kGi

Rv

: ottienesi cui da , vkGiRkiiRv

=+=⇔−=

−=−=

Quest'ultima relazione contribuirà alla scrittura della matrice Gb con due termini: la conduttanza Gx nel posto di riga x e colonna x e la conduttanza Gy nel posto di riga x e colonna y: per questo motivo, in presenza di generatori pilotati la matrice Gb non può essere diagonale. Poiché il metodo 'per ispezione' sarà quello che useremo più frequen-temente vediamo come devono essere trattati, con tale metodo, i generatori pilotati fa-cendo riferimento allo stesso circuito dell'esempio precedente a cui, però, è stato ag-giunto un generatore di corrente pilotato dalla tensione ai capi del resistore di resisten-za R2 come mostrato in figura:

Poiché le variabili del modello nodale sono le tensioni di nodo bisogna esprimere la forma d'onda del generatore pilotato in funzione di esse (si ricordi, comunque, che per l'applicazione del metodo nodale tali generatori devono essere controllabili in tensio-ne). Nel caso in esame possiamo scrivere:

(*) gegEgvi: ottienesi cui da , eEv vEe 3273223 −==−=⇔−=


(Nota: in generale, quando si esprime la forma d'onda di un generatore pilotato in fun-zione delle tensioni nodali tale operazione si effettua sempre prima di realizzare nel circuito eventuali equivalenze secondo Norton, perché in tal modo si potrebbero per-dere delle informazioni; nel caso in esame, allora, la suddetta relazione (*) è stata otte-nuta facendo riferimento al circuito di fig. 10.7 e non a quello di fig. 10.10). Di conse-guenza, l'equazione del modello nodale diventa la seguente (si ricordino le regole cita-te precedentemente):

[ ] [ ] [ ]

+

−

+

=

⋅

+−

−++−

−++

⇔=⋅

JEG

i

iEG

e

e

e

GGG0

GGGGG

0GGGG

ieY

2

7

71

3

2

1

626

66545

5531

sn

Si osservi come a secondo membro compaiono termini funzione delle variabili del mo-dello (la tensione nodale e3). Riportando a primo membro tali espressioni si ottiene:

+

−

=

⋅

+−

+−++−

−−++

⇔

⇔

+

−−

−+

=

⋅

+−

−++−

−++

⇔

JEG

gE

gEEG

e

e

e

GGG0

gGGGGG

gGGGG

JEG

E)g(e

E)g(eEG

e

e

e

GGG0

GGGGG

0GGGG

2

1

3

2

1

626

66545

5531

2

3

31

3

2

1

626

66545

5531

Se la forma d'onda del generatore pilotato fosse del tipo:

i7=ki5

avremmo dovuto esprimere la corrente del lato 5 in funzione delle tensioni nodali co-me:

i7=ki5=kG5v5=kG5(e1-e2)

e quindi l’equazione del modello nodale sarebbe diventata:


JEG

0

EG

e

e

e

GGG0

GkGGGGkGG

0kGGkGGGG

2

1

3

2

1

626

6565455

555531

+

=

⋅

+−

−−+++−

+−−++

⇔

Se nel circuito iniziale fossero presenti generatori pilotati di tensione si procede in ma-niera analoga al caso precedente: si tenga presente, comunque, che essi devono sempre trovarsi, nel circuito iniziale, in serie ad un resistore (o, in generale, ad un elemento passivo) in modo tale da poter essere trattati allo stesso modo dei generatori indipen-denti di tensione, cioè in modo tale da poter sostituire a questa serie il generatore di corrente equivalente secondo Norton in parallelo allo stesso resistore. Vediamo ora u-n'applicazione del metodo nodale ad un circuito con andamento dinamico nel tempo:

Cominciamo osservando che il generatore di tensione pilotato deve essere shiftato in quanto non è in serie ad alcun elemento passivo; otteniamo, allora, il seguente tratto di

circuito:

Tenendo presente che la corrente che attraversa il resistore di resistenza R3 è la stessa di quella che attraversa il generatore pilotato di tensione (vedi fig. 10.12a), indicando con v' la tensione del generatore pilotato, si può scrivere:


33333333

333 )ikR(Rv'vv' ikRkvv'

iRv+=+=⇒

==

=

da cui segue che la serie costituita dal resistore e generatore pilotato di tensione è equi-valente ad un solo resistore di resistenza pari a:

R3+kR3

Come mostrato in fig. 10.12b. Il passo successivo consiste nella determinazione della rappresentazione controllata in tensione dell'induttore biporta che è data, analitica-mente, dalle seguenti relazioni (vedi pagg. 92-93):

221

0221

122

21

21

1

21

211

02

21

011

11

MLLM

MLL

L

MLLL

:relazioni seguenti le valgono dove einduttori duesui iniziali

condizioni le nulle supposte sonosi dove tempo, nel neintegrazio

di operatorel' arappresent D dove , (t)vD(t)vD(t)i

(t)vD(t)vD(t)i

−−=Γ

−=Γ

−=Γ

Γ+Γ=

Γ+Γ=−

−−

−−

Di conseguenza, il tratto di circuito in fig. 10.11 corrispondente all'induttore biporta sa-rà sostituito dalla seguente porzione di circuito equivalente:


Tenendo presente, infine, quanto detto a pag. 56, possiamo sostituire la serie costituita dal generatore di tensione con forma d'onda e(t) e dal condensatore (che supponiamo inizialmente scarico) con il seguente circuito equivalente:

(Nota: D è l'operatore di derivazione rispetto al tempo).

In definitiva, il circuito di fig. 10.11 diventa:

(Si noti che è stato scelto il nodo 5 come riferimento; i valori delle correnti dei vari ge-neratori sono stati già ricavati e non sono stati riportati in fig. 10.15 per comodità). Co-me ultima operazione esprimiamo le seguenti variabili in funzione delle tensioni nodali:

−=

=

==

211

22

34444

eev

ev

DeCDvCi

A questo punto possiamo applicare il metodo nodale 'per ispezione' ottenendo, come si


può verificare, la seguente equazione matriciale che rappresenta il modello su base no-do del circuito in esame:

−=

⋅

+

++Γ−+

+Γ+Γ

Γ+

+Γ−−

Γ+Γ−−

+Γ+

++

−

−−

−

−

−−

−

0

De(t)C

De(t)C

e

e

e

DkC

DCG00

0D2DC

DD

D

DDC

0DDDC

DCD

kRR1

2

2

3

2

1

4

45

102

11

12

10

112

10

112

21

1

33

Le condizioni iniziali si ottengono facilmente. Innanzitutto è conveniente rappresentare le correnti iniziali negli induttori attraverso generatori di corrente indipendenti (ele-menti controllati in tensione). Ricordando poi le proprietà delle variabili di stato, sarà sempre possibile esprimere le tensioni nodali in t=0+ come combinazione lineare delle variabili di stato e degli ingressi in t=0+.

Per concludere cerchiamo di dare un'interpretazione fisica agli elementi che costitui-scono la matrice delle ammettenze nodali. Scriviamo in forma estesa l'equazione matri-ciale del modello nodale:

[ ] [ ] [ ] (*)

iey...eyey

.......................................

iey...eyey

iey...eyey

ieY

nnnn2n21n1

2n2n222121

1n1n212111

sn

=+++

=+++

=+++

⇔=⋅

Anzitutto, osserviamo che gli elementi della matrice [Yn] si riferiscono alla rete passiva. Inoltre, si può scrivere:

jkk

ejeii

ijy

≠=

=

, 0

rapporto tra la variabile di nodo corrente entrante nel nodo i e la variabile di nodo ten-sione ej quando tutti gli altri nodi nel circuito tranne il nodo j, sono mantenuti a tensio-ne nulla.


Se, per esempio, prendiamo in esame il circuito di fig. 10.7 passivato:

Si ha dunque:

( )

531

321

111

15315

1

3

1

1

1R5R3R11

GGG 0eee

iy

:quindi e , eGGGRe

Re

Re

iiii

++===

=

++=++=++=

che coincide col valore trovato in precedenza. Un discorso analogo può essere fatto per tutti gli altri elementi della matrice [ ]nY Per esempio:

0eeei

y32

1

221

===

In questo caso i2 (corrente relativa al nodo 2 e positiva se entrante) è pari a:

i2= -iR4 –iR5 + iR6 = -(e4-e2)G4

-(e1-e2)G5

+(e2-e3)G6

e nelle condizioni circuitali di definizione (e2=e3=0) si ha:

y21=(-e1G5/e1)= -G5.


Si noti, infine, come in realtà lo shift di un generatore di corrente non sia strettamente necessario nel metodo nodale in quanto esso stesso è un elemento controllato in ten-sione. A tutti gli effetti lo si può considerare come un lato in più, di conduttanza nulla. Pertanto, nulla cambia sia nel metodo sistematico che in quello per ispezione.

10.1.2 Metodo delle maglie o delle correnti di coalbero.

Il metodo delle maglie o delle correnti di coalbero è un metodo ridotto come quello nodale e, quindi, come tale presenta gli stessi vantaggi e svantaggi di quest'ultimo: cioè, da una parte non può essere applicato a qualsiasi tipo di circuito in quanto richie-de che tutti gli elementi presenti nel circuito siano controllabili in corrente: infatti, e-ventuali generatori di corrente presenti nel circuito devono essere necessariamente col-legati in parallelo ad un elemento passivo (intendendo con ciò un elemento che non è un generatore, come, ad esempio, un resistore se il circuito è resistivo, oppure un con-densatore od un induttore se il circuito è dinamico oppure, in generale, un'impedenza se il circuito è in regime sinusoidale) in modo tale che sia possibile sostituire tale paral-lelo con un generatore di tensione equivalente secondo Thevenin in serie allo stesso e-lemento passivo. D'altra parte, così come l'analisi nodale, anche il metodo delle maglie rientra nei cosiddetti metodi ridotti in quanto si basa sulla formulazione di un sistema di (b-n) equazioni (dove b è il numero di lati ed n è il numero di nodi indipendenti) che può essere posto nella forma:

[ ] [ ] [ ]sm ejz =⋅ (**)

dove [ ]mz è detta matrice delle impedenze di maglia ed è una matrice quadrata di or-

dine pari a m=b-n; [ ]j è il vettore delle correnti di coalbero mentre [ ]se è il vettore

delle sollecitazioni equivalenti in tensione e sono entrambi di ordine m=b-n. Gli ele-menti del vettore [ ]se sono dimensionalmente delle tensioni. Vediamo ora come sia

possibile ricavare l'equazione (**) sia per via sistematica, utilizzando cioè tutte le equa-zioni di lato e quelle derivanti dall'applicazione delle L.K.T. e L.K.C., sia per 'ispezione' del circuito in esame. Naturalmente quando si utilizza il metodo sistematico bisognerà sempre fare riferimento al lato tipico già definito nell'analisi nodale. Supponiamo, allo-


ra, che il circuito in esame, dopo esser stato trasformato in uno equivalente mediante operazioni di shift (se necessarie) abbia un grafo orientato ad esso associato di questo tipo:

E' stato fissato un albero qualsiasi: i lati dell'albero sono pari a n e quindi quelli del co-albero sono pari a m = b-n: nel nostro caso, le corde sono tre (quelle tratteggiate) e cia-scuna di esse individua una maglia fondamentale. Si osservi, inoltre, che per comodità numeriamo prima le corde e poi i lati dell'albero. Fatto ciò, si scrive la cosiddetta ma-trice delle maglie, che denoteremo con [B]: essa ha un numero di righe pari al numero dei lati di coalbero (m = b-n) ed un numero di colonne pari al numero dei lati (b). I suoi elementi sono -1,0,1 e si determinano in base alla seguente regola:

anzitutto, per ogni maglia fondamentale si fissa un verso di percorrenza che è impo-sto da quello scelto sul lato di coalbero che individua la maglia stessa; dopodiché, fissata una maglia (cioè una riga della matrice [B]) si attribuirà +1 a quei lati (cioè co-lonne di [B]) che si trovano nella maglia in esame e sono attraversati in senso con-corde a quello di percorrenza della maglia, -1 a quei lati della maglia che sono attra-versati in senso discorde a quello di percorrenza della maglia e 0 a quei lati che non appartengono alla maglia in esame.

Allora, nel nostro caso si ha:

[ ]

−−

−−

−−

=

01101100

11010010

00011001

B

Questa matrice ci consente, dunque, di stabilire quali sono i lati che compongono le maglie fondamentali ed il verso con cui vengono percorsi. Si osservi, inoltre, che tale matrice [B] si può sempre suddividere in due sub-matrici, una associata al coalbero, che è sempre unitaria, e l'altra associata all'albero.

Per come è stata definita la matrice [B] vale la seguente relazione:

[ ] [ ] (10.11) 0vB =⋅

che rappresenta proprio, in forma matriciale, la L.K.T. applicata alle maglie fondamen-tali. Considero ora la matrice trasposta di [B]: evidentemente, leggendo le righe di tale matrice (ossia le colonne di [B]) posso stabilire, per ciascun lato del circuito, a quale


maglia fondamentale appartiene. Tenendo presente ciò, indico con:

[ j ] il vettore delle correnti di coalbero (dimensione pari a b-n)

e con

[ i ] il vettore delle correnti di lato (dimensione pari a b)

Evidentemente si ha:

(10.12) ji ji ji 332211 ===

D'altra parte osservo che ciascun ramo d'albero individua un insieme di taglio fonda-mentale: considerando, ad esempio, il ramo 4 nel grafo di fig. 10.17 esso individua l'in-sieme di taglio fondamentale formato dai lati (4-1-3). Applicando ora la L.K.C. alla su-perficie gaussiana che individua tale insieme di taglio ed attribuendo un segno positivo alla corrente del ramo d'albero ed a quelle correnti di corda concordi con essa, si può scrivere:

(10.13) jji 0ijj 0iii 314431431 −−=⇔=++⇔=++

Tenendo presente la (10.12) ed estendendo quanto detto per la (10.13) a tutti i lati del-l'albero si verifica che:

[ ] [ ] [ ] (10.14) jBi T ⋅=

In pratica la matrice trasposta di [B] consente di esprimere le correnti di lato come combinazio-ne lineare delle correnti di coalbero. Consideriamo, infine, il lato tipico (vedi fig. 10.1) e ne dia-mo la rappresentazione controllata in corrente:

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] (10.16) EJiZv : diventa

circuito dellati i tutti a estesa che , (10.15) E)J(izv

ssb

skskkkk

+−⋅=

+−=

Premoltiplicando i due membri dell'equazione (10.16) per la matrice [B] si ottiene:


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ssbsT

bm

smssbT

b

ssbb

EBJZBe BZBz: posto èsi dove

, (10.17) ejz 0EBJZBjBZB

: ottienesi (10.14) la e (10.11) la

outilizzandcui da , EBJZBiZBvB

e ⋅−⋅⋅=⋅⋅=

=⋅⇔=⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅

In maniera analoga a quanto visto per il metodo nodale, il vettore delle sollecitazioni equivalenti si ottiene come somma di due termini e cioè il vettore: [ ] [ ] [ ]sb JZB ⋅⋅ i cui e-lementi rappresentano, per ogni maglia fondamenetale, la somma delle forme d’onda dei generatori di tensione equivalenti secondo Thevenin presenti nella maglia stessa e il vettore [ ] [ ]sEB ⋅ i cui elementi rappresentano, per ogni maglia fondamentale, la somma dei generatori di tensione indipendenti presenti nella maglia stessa.

Nel metodo per 'ispezione' l'equazione matriciale del modello su base maglia si ricava seguendo questa semplice regola (nel caso di un circuito resistivo senza generatori pi-lotati):

• l'elemento diagonale di indice i della matrice delle impedenze di maglia è pari alla somma di tutte le resistenze presenti nella maglia fondamentale i-esima;

• l'elemento extradiagonale della matrice delle impedenze di maglia di indici i e j è pari alla somma algebrica delle resistenze comuni alle maglie i-esima e j-esima (sa-ranno considerate positive quelle resistenze che vengono percorse nello stesso ver-so dalle correnti delle due maglie in esame);

• l'elemento i-esimo del vettore delle sollecitazioni equivalenti è pari alla somma del-le tensioni dei generatori di tensione presenti nella maglia i-esima, facendo riferi-mento non solo ai generatori di tensione effettivamente presenti nella maglia ma anche a quelli che si ottengono sostituendo ad un resistore in parallelo ad un gene-ratore di corrente l'equivalente secondo Thevenin costituito dallo stesso resistore e da un generatore di tensione. Per quanto riguarda i segni delle tensioni di tali gene-ratori essi saranno positivi se spingono corrente (dal polo positivo a quello negati-vo) in verso concorde a quello di percorrenza della maglia fondamentale in cui si trovano (cioè in verso concorde alla corrente della corda che individua la suddetta maglia); altrimenti saranno negativi.


Supponendo, allora, che il circuito a cui è associato il grafo di fig. 10.17 sia il seguente:

possiamo scrivere l'equazione matriciale secondo il modello delle correnti di coalbero come segue:

−

−

=

⋅

+++−

−+++

++

6

1

3

2

1

647374

775825

45541

E

0

E

j

j

j

RRRRRR

RRRRRR

RRRRR

Se nel circuito sono presenti generatori pilotati allora la matrice delle impedenze di maglia non sarà più simmetrica e si procede in maniera analoga a quanto visto per l'a-nalisi nodale; è ovvio, comunque, che tali generatori pilotati devono essere controllabili in corrente in modo che sia sempre possibile esprimere le loro forme d'onda in funzio-ne delle correnti di coalbero. Se, ad esempio, al posto del generatore di tensione E1 in fig. 10.18 ci fosse un generatore pilotato con forma d’onda pari a kv8, occorrerà prima esprimere tale forma d’onda in funzione delle correnti di coalbero come segue:

kv8=kR8i8=-kR8i2

dopodiché l’equazione del modello su base maglia diventa la seguente:

−

=

⋅

+++−

−+++

+++

63

2

1

647374

775825

485541

E

0

0

j

j

j

RRRRRR

RRRRRR

RkRRRRR


Quanto detto per i circuiti resistivi si può anche estendere ai circuiti dinamici ed a quelli in regime sinusoidale apportando le stesse modifiche viste nel caso dell'analisi nodale. Come ultima osservazione, cerchiamo di dare un'interpretazione fisica agli e-lementi della matrice delle impedenze di maglia e per far ciò scriviamo l'equazione ma-triciale (**) alla base del modello delle correnti di coalbero in forma estesa:

[ ] [ ] [ ] .n - b= mcon ,

ejz...jzjz

......................................

ejz...jzjz

ejz...jzjz

ejz

mmmm2m21m1

2m2m222121

1m1m212111

sm

=+++

=+++

=+++

⇔=⋅

Notiamo, anzitutto, che gli elementi della matrice delle impedenze di maglia si riferi-scono al circuito passivo e ciascuno di essi può essere ricavato come:

.

jkkj

iij

, 0ije

z≠=

=

cioè come rapporto tra ei, ossia la somma delle cadute di tensione lungo la maglia fon-damentale i-esima (da non confondere con la tensione del nodo i), e jj ossia la corrente che attraversa il lato di coalbero j-esimo.

Ad esempio, facendo riferimento al circuito di fig. 10.18 passivato e tenendo presente

quanto appena detto si ha:


( )541

1

1541

03j2j1

111

15754121815

4455111

RRRj

jRRRje

z

hasi Quindi . jiiii e jjjiji

: risulta parte altraD' . iRiRjRe

:

++=++

==

−==+=−=−−=+−=

−−=

==

che coincide con il valore trovato in precedenza; lo stesso procedimento può essere ri-petuto per tutti gli altri elementi della matrice delle impedenze di maglia.


CAPITOLO 11

11.1 SISTEMI TRIFASE : DEFINIZIONI E PROPRIETÀ FONDAMENTALI 379

11.2 SCHEMA DI ALIMENTAZIONE DI UN SISTEMA TRIFASE 384

11.3 UTILIZZATORI TRIFASE 387

11.4 TEOREMA DI EQUIVALENZA 397

11.5 MISURA DELLA POTENZA NEI SISTEMI TRIFASE. INSERZIONE ARON 400

11.6 SISTEMI TRIFASE CON NEUTRO 404


11.1 SISTEMI TRIFASE : DEFINIZIONI E PROPRIETÀ FONDAMENTALI

Il trasporto e la distribuzione dell'energia elettrica dai luoghi di produzione (ossia dalle centrali) ai luoghi di utilizzazione avviene in massima parte per mezzo di linee elettri-che a tre fili: tali linee, i generatori che le alimentano e gli utilizzatori ad esse collegati formano, nel loro complesso, i cosiddetti sistemi trifase. Lo studio di tali sistemi potrebbe essere fat-to rientrare in quello già svolto nel capitolo 9 in quanto i sistemi trifase altro non sono che particolari circuiti in regime sinusoidale: tuttavia, data la loro importanza dal pun-to di vista tecnico, si è preferito trattarli a parte. In figura è mostrato lo schema di prin-


cipio di una linea trifase che collega un complesso di generazione G ad un carico (costi-tuito da un circuito comunque complesso) indicato con U:

Le correnti i1(t),i2(t),i3(t) sono dette correnti di linea e sono tali da soddisfare, in un ge-nerico istante t, la seguente relazione ottenuta applicando la L.K.C. alla superficie gaussiana S:

i1(t)+i2(t)+i3(t)=0 (11.1)

Consideriamo ora una generica 'sezione' della linea (in figura è quella individuata da S) intesa come intersezione fra un piano perpendicolare alla linea e la linea stessa. Pos-siamo definire la cosiddetta terna di tensioni concatenate come:

−=

−=

−=

(t)v(t)v(t)v

(t)v(t)v(t)v

(t)v(t)v(t)v

13

32

21

AA31

AA23

AA12

(11.2)

dove (t)v(t),v21 AA e (t)v

3A indicano le tensioni corrispondenti ai tre punti della linea

appartenenti alla sezione S.

In altri termini, ciascuna tensione concatenata rappresenta la tensione fra due condut-tori di linea in corrispondenza della sezione considerata. Naturalmente variando la se-zione in esame, la terna delle tensioni concatenate cambia e ciò a causa delle cadute di tensione sulla linea stessa; in seguito, però, supporremo di considerare nulle tali cadute di tensione sulla linea in modo da poter ritenere costante la terna di tensioni concatena-te su tutta la linea indipendentemente dalla sezione in esame. Sommando membro a


membro le relazioni (11.2) si ottiene:

(11.3) 0(t)v(t)v(t)v 312312 =++

Sia la (11.1) sia la (11.3) sono equazioni ai valori istantanei nelle quali compaiono gran-dezze sinusoidali isofrequenziali; come tali, ad esse si può applicare il procedimento di trasformazione tipico del metodo simbolico (vedi cap.9) giungendo così alle seguenti relazioni in termini fasoriali:

(11.4) 0VVV

0III

312312

321

=++

=++

Tale rappresentazione fasoriale è suscettibile della seguente interpretazione geometrica nel piano complesso: precisamente, facendo riferimento alla terna di tensioni concate-nate, il fatto che la somma dei fasori ad esse corrispondenti sia nulla comporta che i vettori rappresentativi di tali fasori, disegnati nel piano complesso, si disporranno a

triangolo, come mostrato in fig. 11.2a:

Si parla, allora, di triangolo delle tensioni concatenate. E' possibile anche, mantenendo fis-so uno dei tre vettori e traslando parallelamente a se stessi gli altri due, ottenere la co-siddetta stella delle tensioni concatenate (che è mostrata in scala ridotta in fig. 11.2b). E' di particolare interesse il caso in cui i valori efficaci delle tre tensioni concatenate siano uguali fra loro, cioè:

VVVV 312312 ===

Evidentemente, ne segue che il triangolo delle tensioni concatenate sarà un triangolo


equilatero e, con riferimento alla rappresentazione a stella, si avrà che ciascun vettore sarà sfasato l'uno rispetto all'altro di 120°, come mostrato in figura:

(*) V,V,V V,V,V

come scritta essere può econcatenat tensionidi terna

1201segue come complesso operatorel' poi Definendo

240V120VV 240V120VV 0VV

: scrivere può si o,riferiment di fasore come V fissato noltre,

12122

12312312

312312

12

:

la , :

I

αα

αα

→

°∠=

°−∠=°∠=°∠=°−∠=°∠=

Quando si verifica questa condizione, cioè quando i valori efficaci delle tensioni conca-tenate sono uguali fra loro, si dice che la terna di tensioni concatenate è simmetrica; nel


caso appena esaminato si dice anche che è una terna di tensioni concatenate di sequen-za diretta, questo perché se considero un qualsiasi vettore della terna nella stessa se-quenza con cui è scritta nella relazione (*), tale vettore per sovrapporsi a quello che lo precede deve ruotare di 120° in senso positivo (cioè antiorario). Esiste anche una terna di tensioni concatenate simmetrica di sequenza inversa riportata in figura:

Si può scrivere allora:

°∠=°−∠=°−∠=°∠=°∠= 240V120VV 240V120VV 0VV 312312

da cui segue che la terna di tensioni concatenate può essere scritta come:

Si osserva che, in questo caso, se considero un qualsiasi vettore della terna nella stessa sequenza con cui è scritta nella relazione (**), tale vettore per sovrapporsi a quello che lo precede deve ruotare di 120° in senso negativo (cioè orario).

Le stesse considerazioni fatte per la terna di tensioni concatenate si possono anche e-stendere alla terna delle correnti di linea per cui si può parlare di terna simmetrica delle correnti di linea in sequenza diretta e terna simmetrica delle correnti di linea simmetrica in se-quenza inversa.

(**) V,V,V V,V,V 122

1212312312 αα→


. inversa sequenza : I,I,I

diretta sequenza : I,I,I

scrivere

possiamo oriferiment come Ifasore il scelto e , IIII : avràsi entrambe Per

12

11

112

1

1321

:

αα

αα

===

Le rappresentazioni a triangolo di tali terne sono così raffigurate:

mentre le rappresentazioni a stella sono mostrate di seguito:

11.2 SCHEMA DI ALIMENTAZIONE DI UN SISTEMA TRIFASE


Da un punto di vista circuitale, il complesso di generazione G mostrato nello schema generale di un sistema trifase in fig.1 può essere rappresentato, equivalentemente, da tre generatori monofase distinti le cui forme d'onda, sinusoidali ed isofrequenziali, hanno lo stesso valore efficace e sono sfasate l'una rispetto all'altra di 120°: in altri ter-mini, i fasori associati alle forme d'onda di tali generatori formano una terna simmetri-ca in sequenza diretta. In realtà, si hanno due rappresentazioni equivalenti del com-plesso di generazione G a seconda che i tre generatori monofase siano disposti a stella o a triangolo. Consideriamo dapprima il caso in cui i tre generatori siano collegati 'a stella' come mostrato in figura:

. diretta sequenzain simmetrica terna una formanoE,E,E che affermato avendo

(*), EEEE , EE EE 0EE

: scrivere possiamo E fasore il oriferiment come Assumendo

con

g3g2g1

gg3g2g1g1g3g12

g2gg1

g1

=====°∠= αα

Applicando la L.K.T. si ottengono le seguenti relazioni:

( )( )

( )

−=−=−=

−=−=−=

−=−=−=

g1g1g1g1g331

g12

g1g12

g3g223

g12

g12

g1g2g112

E1EEEEv

EEEEEv

E1EEEEv

αα

αααα

αα

Tenendo presente queste relazioni e tenendo conto del fatto che g3g2g1 E,E,E formano

una terna simmetrica in sequenza diretta, è facile verificare che anche le tensioni conca-


tenate formano una terna simmetrica in sequenza diretta: infatti, se disegniamo il triangolo delle tensioni concatenate questo sarà sicuramente equilatero, come mostrato in figura:

(11.5) E3V E23

2V

cos30E2V

: che colorato, triangolo il osservando scrivere,

puòsi , EEEE e VVVV: Ponendo

ggg

gg3g2g1312312

=⇔=⇔°=

======

Dalla figura precedente si osserva anche che le tensioni concatenate sono in anticipo di 30° sulle tensioni dei tre generatori e, quindi scegliendo g1E come fasore di riferimento,

cioè ponendo: °∠= 0EE gg1 possiamo scrivere le tensioni concatenate come segue:

°∠==

°∠==

°∠=°∠=

150E3VV

(11.6) 270E3VV

30E330VV

g1231

g122

23

g12

α

α


E’ sufficiente, perciò conoscere il valore di Eg per determinare la terna delle tensioni concatenate. Consideriamo ora il caso in cui i tre generatori monofase distinti siano col-legati a triangolo come mostrato in figura:

Evidentemente, si può scrivere:

EV EV EV g331g223g112 ===

da cui si deduce, ricordando che g3g2g1 E,E,E formano una terna simmetrica in sequen-za diretta, che anche le tensioni concatenate costituiscono una terna simmetrica in se-quenza diretta.

In entrambi i casi sopra considerati si è visto come ad una terna simmetrica di tensioni del generatore trifase corrisponda (a meno delle cadute interne) una terna simmetrica di tensioni concatenate ai morsetti del generatore stesso e, quindi (a meno delle cadute sulla linea), una terna simmetrica di tensioni concatenate in qualsiasi altra sezione di linea. Si conclude che la simmetria e la sequenza delle tensioni concatenate dipende es-senzialmente dalla simmetria e dalla sequenza delle forme d'onda del generatore trifa-se (essendo di solito modesta l'influenza delle cadute di tensione) e, poiché quest'ulti-ma è di norma realizzata, faremo d'ora in poi l'ipotesi che i sistemi trifase siano alimen-tati, salvo precisazione contraria, con tensioni concatenate simmetriche di sequenza di-retta.

11.3 UTILIZZATORI TRIFASE


Gli utilizzatori (o, come si suol dire, i 'carichi') di una linea trifase possono essere costi-tuiti da porzioni di circuito comunque complesse; in relazione a ciò il calcolo delle cor-renti relative ad essi si può effettuare, note che siano le tensioni concatenate di alimen-tazione, con i metodi generali illustrati nel capitolo 9 inerente allo studio dei circuiti in regime sinusoidale. E' tuttavia opportuno soffermarsi su due particolari utilizzatori di uso assai frequente, costituiti entrambi da tre impedenze collegate, però, in modo di-verso.

Triangolo di impedenze. Il primo di essi, rappresentato in fig.7, corrisponde al cosid-detto triangolo di impedenze:

Supponiamo sia nota la terna di tensioni concatenate (simmetrica ed in sequenza diret-ta) che alimenta il carico e supponiamo siano note le impedenze del triangolo:

to)(riferimen 0VV o12 ∠= o

23 120VV −∠= o31 240VV −∠=

33131.

22323.

11212.

zz zz zz ϕϕϕ ∠=∠=∠=

Evidentemente risulta:

(11.7)

240zV

z

VI

120zV

z

VI

zV

z

VI

3o

3131.

3131

2o

2323

.23

23

11212

.12

12

−−∠==

−−∠==

−∠==

ϕ

ϕ

ϕ


Note le correnti interne al triangolo, quelle assorbite dalla linea si determinano facil-mente facendo ricorso alla L.K.C. applicata ai nodi del triangolo:

(11.8)

III

III

III

23313

12232

31121

−=

−=

−=

Si noti che mentre

0III 321 =++

ciò, in generale, non è vero per le correnti nei lati del triangolo.

E' di particolare interesse il caso in cui le impedenze che costituiscono il triangolo siano tra loro uguali, cioè si abbia:

ϕ∠==== zzzzz.

31.

23.

12.

In tal caso diremo che il carico è equilibrato. In particolare, ricordando che le tensioni concatenate formano una terna simmetrica in sequenza diretta, si deduce, dalle rela-zioni (11.7), che anche le correnti interne al triangolo formano una terna simmetrica in sequenza diretta il cui valore efficace è pari a:

(11.9) zV

IIII 312312 ====Ω

In figura è indicata, nel piano complesso, la terna delle correnti interne al triangolo (si suppone che sia ϕ>0) :


Dalla figura si osserva, tramite le relazioni (11.8), che anche la terna delle correnti di li-nea è simmetrica ed in sequenza diretta.

(11.10) zV

3I3I I23

cos30I2I

che facilmente ricavasi IIII: posto a,conseguenzDi : 321

==⇔=°=

===

ΩΩΩ

Sempre dalla fig.8 si nota che le correnti interne al triangolo sono sfasate di ϕ° in ritar-do (avendo supposto ϕ > 0) rispetto alle tensioni concatenate mentre le correnti di linea sono sfasate di 30° in ritardo rispetto alle correnti interne al triangolo delle impedenze.

1312

2

1

1212

e : anche risulta Ovviamente

(11.11) )30(3)30(3: scrivere può si

, 0: oriferiment di fasore come dunque, ,Scegliendo

IIII

z

VII

VVV

αα

ϕϕ

==

°−−∠=°−−∠=

°∠=

Ω

Per quanto riguarda la valutazione energetica, calcoliamo la potenza complessa assorbita dal ca-rico nel caso generale in cui esso sia squilibrato, cioè le impedenze che costituiscono il triangolo non sono tutte uguali fra loro; per il teorema di Boucherot, tale potenza può essere ricavata come somma delle potenze complesse assorbite da ciascuna impedenza del triangolo:


(11.14) senVIsenVIsenVIQ

(11.13) cosVIcosVIcosVIP

: anche ottienesi cui da , (11.12) VIVIVIN

)(240)I240(V)(120)I120(VI0V

)0VV( IVIVIVNNNN

331223112

331223112

331223112

331223112

12*3131

*2323

*1212312312 : nota

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

++=

++=

∠+∠+∠=

⇒+°∠°−∠++°∠°−∠+∠°∠=

°∠==++=++=

Se il carico è equilibrato risulterà:

(11.16) VIsen3Q

VIcos3P ,

3I

I: che ricordando cui, da

(11.15) sen3VIQ e cos3VIP

: ottienesi (11.14) e (11.13)

relazioni precedenti nelle osostituend quali, le per , IIII e

: hasi

312312321

=

==

==

======

Ω

ΩΩ

Ω

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕ

(Nota: si tenga presente che ϕ è sempre l'angolo di sfasamento tra la terna delle tensio-ni concatenate e quella delle correnti interne al triangolo delle impedenze; in altri ter-mini, ϕ è l'argomento comune delle tre impedenze che formano il triangolo in esame).

Stella di impedenze. Lo schema di questo tipo di utilizzatore è mostrato in figura:

Potremmo descrivere il funzionamento di tale carico sfruttando le seguenti relazioni di Kirchhoff:


. equazioni) due prime delle lineare necombinazio è perchè , IzIzV

: seguente la equazione terza come utilizzare corretto stato sarebbenon : (Nota

(11.17)

0III

IzIzV

IzIzV

11

.

33

.

31

321

33

.

22

.

23

22

.

11

.

12

−=

=++

−=

−=

Si osserva, allora, che il sistema (11.17) fornisce le correnti incognite note che siano le tensioni concatenate e le impedenze che costituiscono la stella. Tuttavia, conviene, so-prattutto in vista di considerazioni future, determinare le correnti di linea per altra strada. Si procede, allora, in questo modo; supponiamo sia assegnata la terna di tensio-ni concatenate simmetrica in sequenza diretta e la stella di impedenze:

333

.

222

.

111

.

312312

zz zz zz

240VV 120VV to)(riferimen 0VV

ϕϕϕ ∠=∠=∠=

°−∠=°−∠=°∠=

Si introduce una nuova terna di tensioni, dette tensioni di fase, che coincidono con le tensioni ai capi di ciascuna impedenza che costituisce la stella:

. O punto del tensione la è V e

linea alla collegata è stella laquali i tramitemorsetti dei tensioni le sono V,V,V dove

(11.18)

IzVVE

IzVVE

IzVVE

O

CBA

33.

OC3

22

.

OB2

11

.

OA1

=−=

=−=

=−=

Applicando ora la L.K.T. si può scrivere:

(11.19)

EEIzIzV

EEIzIzV

EEIzIzV

1311.

33.

31

3233

.

22

.

23

2122

.

11

.

12

−=−=

−=−=

−=−=

Quest'ultime relazioni legano le tensioni concatenate alle tensioni di fase. Ci poniamo ora il problema di ricavare le tensioni di fase.


Dalle (11.19) si deduce l'esistenza di un punto C del piano complesso, tale che i vettori che congiungono C con i vertici del triangolo delle tensioni concatenate sono proprio le tensioni di fase della stella di impedenze considerata.

Di conseguenza il problema si sposta nella determinazione di tale punto C, detto anche centro stella. Per far ciò si ricorre al vettore spostamento del centro stella che congiunge il baricentro G del triangolo delle tensioni concatenate, detto centro teorico, con il punto C, come mostrato in figura:

Evidentemente valgono le seguenti relazioni:

−=

−=

−=

033

022

011

E'EE

E'EE

E'EE

(11.20)

dove 0E è il vettore spostamento del centro stella e dove 321 'E,'E,'E è una particolare terna di tensioni di fase, dette anche tensioni principali. Dalla fig.11.10 si osserva che la terna delle tensioni principali è simmetrica ed in sequenza diretta (come la terna del-le tensioni concatenate) ed è facile ricavare la terna delle tensioni principali noto che sia il valore efficace V delle tensioni concatenate; infatti, si può scrivere:

. E'E'E'E'

, (11.21) E'3V E'23

cos30E'2V

321

: principalitensioni delle efficace valore il è E' dove

===

=⇔=°=

Inoltre, sempre dalla fig.11.10, si nota che la terna delle tensioni principali è sfasata di 30° in ritardo rispetto a quella delle tensioni concatenate; dunque, tenendo conto della


(11.21) e del riferimento scelto, possiamo scrivere:

(11.22) 'E'E 'E'E 303

V30E''E 131

221 αα ==°−∠=°−∠=

Avendo ottenuto le tensioni principali, possiamo ora ricavare il vettore spostamento del centro stella nel seguente modo ( Teorema di Millman ); utilizzando le relazioni (11.20) le correnti di linea si possono scrivere come:

( )

( )

( )

z1.ycon , E'E

.y

.z

EI

(11.23) z1.ycon , E'E

.y

.z

EI

z1.ycon , E'E

.y

.z

EI

3.

3033

3

33

2

.

2022

2

22

1.

1011

1

11

=−==

=−==

=−==

D'altra parte risulta:

( ) ( ) ( )

(11.24) .y

.y

.y

'E.y'E

.y'E

.y

E

0E'E.yE'E

.yE'E

.y 0III

321

3322110

033022011321

++

++=

⇔=−+−+−⇔=++

In definitiva, noto il valore efficace delle tensioni concatenate e noti i valori delle am-mettenze che costituiscono la stella, è possibile calcolare, attraverso la formula (11.24), il vettore spostamento del centro stella e, quindi, determinare le correnti di linea sfrut-tando le relazioni (11.23).

Nel caso particolare in cui il carico sia equilibrato, cioè si abbia:

.z

1.y

.y

.y

.y z

.z

.z

.z

.z 321321 ====⇔°∠==== ϕ

allora è facile verificare che il vettore spostamento del centro stella è nullo; infatti, ri-cordando che le tensioni principali formano una terna simmetrica in sequenza diretta e, quindi, la loro somma è nulla si ha:

( )0

y3

'E'E'EyE 321

0 =++

=⋅

⋅

Di conseguenza, dalle relazioni (11.20) si deduce che le tensioni di fase vengono a coin-


cidere con le tensioni principali (cioè il centro stella C coincide proprio col baricentro G del triangolo delle tensioni concatenate) e, perciò, le correnti di linea formano una terna simmetrica in sequenza diretta e si possono ricavare direttamente come:

)270(z3

VII

(11.25) )150(z3

VII

)30(z3

Vz

30E'.z

'EI

13

12

2

11

ϕα

ϕα

ϕϕ

−°−∠==

−°−∠==

−°−∠=∠

°−∠==

(Nota: si ricordi che le tensioni principali sono sfasate di 30° in ritardo rispetto alle ten-sioni concatenate).

Per quanto riguarda le considerazioni di tipo energetico, poniamoci nel caso di carico squilibrato e valutiamo la potenza complessa fornita al carico, sfruttando il teorema di Boucherot, come potenza assorbita dalle tre impedenze che costituiscono la stella:

(11.27) senIEsenIEsenIEQ

(11.26) cosIEcosIEcosIEP

: ottienesi a,conseguenzDi . esamein impedenzedi

stella la formano che impedenze tre delleargomenti gli mente,rispettiva sono, ,, dove

(*), IEIEIE*IE*IE*IENNNN

333222111

333222111

321

333222111332211321

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

++=

++=

∠+∠+∠=++=++=

D'altra parte, tenendo conto delle relazioni (11.18), la (*) si può anche scrivere come:

(11.29) I.zImI

.zImI

.zImQ

(11.28) I.zReI

.zReI

.zReP

: ottienesi a,conseguenzDi

(**) I.zI

.zI

.zN

*II.z*II

.z*II

.z*IE*IE*IENNNN

233

222

211

233

222

211

233

222

211

333222111332211321

+

+

=

+

+

=

++=

⇔++=++=++=

Nel caso di carico equilibrato si avrà:


ϕϕϕϕ === 321 E'EEE 321 === z3

VzE'

IIII 321 =====

e quindi si ottiene, osservando le relazioni (11.26) e (11.27):

P=3E’Icosϕ= 3 VIcosϕ (11.30)

Q=3E’Isenϕ= 3 VIsenϕ (11.31)

Dove cosϕ prende il nome di fattore di potenza del carico.

(Nota: si ricordi che E’=3

V e che ϕ rappresenta l’angolo di sfasamento tra tensioni

principali, e non quelle concatenate, e correnti assorbite dalla linea cioè, in altri termini, è l’argomento comune delle tre impedenze che formano la stella in esame).

Potenza istantanea per terne simmetriche e carichi equilibrati.

La potenza istantanea erogata da una terna simmetrica è pari a

p(t) = e1(t)*i1(t) + e2(t)*i2(t) + e3(t)*i3(t)

dove abbiamo indicato con ej (t) ed ij(t) (j=1,2,3) la tensione e la corrente istantanea per

ogni fase. Se il carico è equilibrato si ha:

)]-3

4-tcos()

34

-tcos()-3

2-tcos()

32

-tcos()-tcos(t[cosIEp(t) MM ϕπ

ωπ

ωϕπ

ωπ

ωϕωω ⋅+⋅+⋅=

da cui, con semplici passaggi, si ottiene

p(t) = 3EI cosϕ + Pf (t)

dove Pf(t) è la somma di tre grandezze di pulsazione doppia, ma sfasate di 120o tra lo-


ro (potenza fluttuante). Risulta, quindi,

Pf(t) = 0 per cui:

p(t) = 3EI cosϕ = P

cioè la potenza istantanea di un sistema trifase simmetrico ed equilibrato è costante.

Essa coincide con la potenza media o reale P.

11.4 TEOREMA DI EQUIVALENZA

Sia assegnato un utilizzatore U qualsiasi (vedi fig. 11.11) tale che,

: I,I,Icorrentidi sistema odeterminatun linea dalla assorba

V,V,V econcatenattensioni di sistema certoun da alimentato

321

312312

Una stella di impedenze si dirà equivalente all'utilizzatore U nella condizione di funzio-namento assegnata quando, alimentata con lo stesso sistema di tensioni concatenate del carico U, richiami dalla linea le medesime correnti del carico stesso. Si noti che l'equi-valenza dipende dalla situazione di funzionamento considerata (caratterizzata dalle tensioni concatenate e dalle correnti di linea) cosicché una stella che sia equivalente ad U per un dato funzionamento, in genere non lo è più al variare di esso. Per definizione,


le impedenze di una stella equivalente devono, quindi, soddisfare il seguente sistema:

I.zI

.zV

I.zI

.zV

I.zI

.zV

113331

332223

221112

−=

−=

−=

D'altra parte, come già detto nel paragrafo precedente, l'ultima equazione di tale siste-ma si ottiene come combinazione delle prime due e, quindi, non va considerata. Essen-do le incognite in numero superiore alle equazioni, il sistema ammette infinite soluzio-ni, una generica delle quali può essere ricavata fissando arbitrariamente un'incognita,

ad esempio 1

⋅

z , e ricavando le altre due in funzione di essa. Si osservi che, essendo l'in-cognita che si sceglie arbitraria nel modulo e nell'argomento, vi sono due gradi di liber-tà nella scelta iniziale e pertanto le stelle di impedenze equivalenti ad U, nel senso so-pra precisato, costituiscono una duplice infinità.

Per individuare una fra le stelle equivalenti ad U si può procedere anche in modo leg-

germente diverso, dopo aver osservato che la scelta di un’impedenza, ad esempio ⋅

1z , equivale, essendo data la corrente, alla scelta della corrispondente tensione di fase

111 IzE⋅

= e, quindi, del centro C del sistema di tensioni di fase relativo alla stella equi-valente. Possiamo, perciò, affermare che ad ogni punto del piano é associata una stella di impedenze equivalente ad U. In definitiva, la scelta arbitraria di C (che può farsi an-ch'essa con una duplice infinità di modi, trattandosi di un punto del piano complesso) conduce a determinare un sistema di tensioni di fase, dal quale, dividendo ciascuna tensione per la corrispondente corrente (nota), si deducono le impedenze costituenti una stella equivalente ad U. La provata esistenza di una duplice infinità di stelle di im-pedenze equivalenti ad U, per una data situazione di funzionamento, è il contenuto del cosiddetto teorema di equivalenza per i sistemi trifase. Si osservi che una stella di impe-denze che sia equivalente ad un carico U nel senso appena chiarito, lo è certamente an-che sotto il profilo energetico, vale a dire essa assorbe dalla linea trifase le stesse poten-ze di U. In conseguenza di ciò è possibile esprimere la potenza complessa richiesta da U come somma delle potenze complesse assorbite dalle singole impedenze che forma-no una qualunque tra le infinite stelle equivalenti ad U. Si ha quindi:

IEIEIEN *33

*22

*11 ++=

dove 321 E,E,E sono le tensioni ai capi di una generica stella equivalente e, per quanto detto precedentemente, possono intendersi come le componenti di un qualsiasi sistema di tensioni di fase corrispondente ad un centro C, scelto in modo del tutto arbitrario. Possiamo, allora, concludere affermando che:


la potenza complessa assorbita da un utilizzatore U in una data condizione di funzionamento è invariante rispetto alla scelta della stella di impedenze equivalente ad U.

Benché tale invarianza sia conseguenza ovvia del teorema di equivalenza, può essere opportuno verificarla direttamente. A tal fine si considerino sul piano complesso due generici centri C e C' e le corrispondenti terne di tensioni di fase, come mostrato in fi-gura:

Evidentemente si può scrivere:

.i consideratcentri i estremi come ha E dove

, (*) EE'E EE'E EE'E

cc'

cc'33cc'22cc'11 +=+=+=

Dunque, la potenza complessa valutata facendo riferimento al centro C' è data da:

*33

*22

*11 I'EI'EI'E'N ++= ( 1 )

mentre facendo riferimento al centro C la potenza complessa è data da:

*33

*22

*11 IEIEIEN ++= ( 2 )


(Si noti che le correnti sono le stesse perché l’equivalenza vale solo in corrispondenza di una certa condizione di funzionamento e, quindi in corrispondenza di un determi-nato sistema di tensioni concatenate e di correnti di linea). Sostituendo ora le relazioni (*) nella (1) e ricordando che la somma delle correnti di linea è nulla si ha:

( ) ( ) ( )( ) ( )

. dimostrare volevamo quanto è che , NIEIEIE'N

IIIEIEIEIEIIIEIEIEIE'N

IEEIEEIEEI'EI'EI'E'N

*33

*22

*11

*321cc'

*33

*22

*11

*3

*2

*1cc'

*33

*22

*11

*3cc'3

*2cc'2

*1cc'1

*33

*22

*11

=++=⇔

+++++=+++++=

⇔+++++=++=

L'invarianza, ovviamente, si applica sia a P che a Q.

11.5 MISURA DELLA POTENZA NEI SISTEMI TRIFASE. INSERZIONE ARON.

Abbiamo visto nel paragrafo precedente che, per il teorema di equivalenza, possiamo valutare la potenza complessa assorbita da un certo utilizzatore come la potenza com-plessa assorbita da una qualsiasi fra le stelle di impedenze equivalenti all'utilizzatore in esame per una determinata condizione di funzionamento. Quanto detto per la potenza complessa vale anche per quella attiva e per quella reattiva. Perciò, scelta una stella di impedenze equivalente all'utilizzatore in esame, cioè fissato arbitrariamente un centro C del piano complesso, possiamo calcolare la potenza attiva come:

P=E1I1cosϕ1+ E2I2cosϕ2+ E3I3cosϕ3 (11.32)

Dove ϕ1,ϕ2,ϕ3 sono gli angoli di sfasamento delle tensioni 321 E,E,E costituenti la terna di tensioni di fase relativa al centro C scelto rispetto alle corrispondenti correnti

321 I,I,I .


La relazione (11.32) ci suggerisce, allora, il seguente schema per la misura della potenza attiva assorbita da un utilizzatore U:

E' facile osservare che il primo wattmetro misura proprio il primo addendo della rela-

zione (11.32); infatti la sua bobina amperometrica è percorsa dalla corrente di linea 1I (a meno della corrente che scorre nella bobina voltmetrica che è trascurabile in quanto supponiamo la resistenza R di valore elevato) e la tensione ai capi della bobina voltme-trica è pari proprio alla tensione di fase 1E essendo inserita tra la linea 1 ed il centro stella. Di conseguenza, ricordando che la lettura di un wattmetro è pari al prodotto sca-lare tra la corrente che scorre nella bobina amperometrica e la tensione ai capi della bo-bina voltmetrica si ha:

(11.33) WWWP: ottienesi ,definitivain

; cosIEIEW e cosIEIEW

: troveràsi analoga manieraIn . cosIEIEW

321

333333222222

111111

++=

=⋅==⋅=

=⋅=

ϕϕ

ϕ

In altri termini, è possibile misurare la potenza attiva assorbita da U come somma delle letture dei tre wattmetri. Osserviamo che, nello schema di fig.11.13, la funzione della stella di centro O è quella di rendere disponibile un sistema di tensioni di fase da ap-plicare alle bobine voltmetriche dei wattmetri, sistema che può essere qualsiasi e che pertanto non pone vincoli particolari alla stella suddetta. Approfittando dell'arbitrarie-tà del sistema di tensioni di fase che compare nella relazione (11.32), possiamo scegliere tale sistema con il centro C coincidente con un vertice, ad esempio il vertice 2, del triangolo delle tensioni concatenate, come mostrato in fig. 11.14a:


In tal caso risulta:

(11.35) IVIVP

scrivere possiamo (11.32),relazioni la presente tenendo a,conseguenzDi

(11.34) VVE 0E VE

332112

322332121

:

⋅+⋅=

=−===

(dove si è fatto uso del prodotto scalare per indicare il prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell'angolo di sfasamento tra i vettori stessi). La relazione (11.35) suggeri-sce un metodo di misura della potenza attiva fondato sull'impiego di due soli wattme-tri inseriti come in fig. 11.14b; Infatti si riconosce immediatamente (considerando quali correnti interessano le bobine amperometriche e quali tensioni sono applicate alle bo-bine voltmetriche) che le letture indicate dai due wattmetri coincidono, rispettivamen-te, con il primo ed il secondo addendo della relazione (11.35), cosicché risulta:

(11.36) WWP ba +=

In altri termini, con lo schema di misura adottato (noto come inserzione Aron) la po-tenza attiva assorbita da U si deduce come somma delle letture di due soli wattmetri.


Consideriamo il caso particolare in cui il carico sia equilibrato:

( )

( ) (**) VIsen21

VIcos23

30VIcosIVW

(*) VIsen21

VIcos23

30VIcosIVW

: che risulta ciòdi aconseguenzin );-(30 apari è I e V tra sfasamento

di angolol' mentre )+(30 apari è 1I e 12V tra sfasamentodi angolol' che osservaSi

332b

112a

332

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕ

+=−°=⋅=

−=+°=⋅=

°

°

dove V è il valore efficace delle tensioni concatenate ed I è il valore efficace delle cor-renti di linea. Sommando membro a membro la (*) e la (**) si ottiene:

( )

.wattmetri duedei letture le fra differenza

la 3 per ndomoltiplica U da assorbita reattiva potenza la otteneredi consente che

, WW3Q 3

QVIsenWW

: ricavasi (**) dalla (*) la sottraendo parte altraD'

PVIcos3WW

abab

ba

−=⇔==−

==+

ϕ

ϕ


11.6 SISTEMI TRIFASE CON NEUTRO

Il loro schema è mostrato in figura:

Si tratta di un generatore trifase G, equivalente a tre generatori monofase disposti a stella le cui forme d'onda costituiscono una terna simmetrica in sequenza diretta (vedi paragrafo 11.2), che alimenta una linea trifase normale ed un quarto filo, il 'neutro', col-legato al centro stella del generatore G. Per quanto riguarda le correnti di linea si deve ora scrivere:


(11.37) 0IIII n321 =+++

Per quanto riguarda, invece, le tensioni si ha a disposizione sia la terna delle tensioni concatenate (definite sempre allo stesso modo: vedi paragrafo 11.1) che è simmetrica ed in sequenza diretta (essendo tale la terna delle tensioni dei generatori) sia la terna delle tensioni esistenti fra ciascuno dei tre conduttori di linea ed il neutro.

Dalla figura si osserva, però, che queste tensioni si identificano, a meno delle cadute, con la terna simmetrica delle tensioni del generatore trifase ed il valore efficace di cia-scuna di esse risulta espresso da:

. 3

VEg =

dove V è il valore efficace delle tensioni concatenate. Consideriamo, in particolare, il caso di un utilizzatore costituito da una stella di impedenze il cui centro è collegato al neutro, come mostrato nella precedente figura. Evidentemente possiamo scrivere (nel-l'ipotesi di considerare nulla l'impedenza del neutro):

. principali tensionidelle ternalacon coincidere a vienequindi, che, fase di tensionidelle terna

la anche sarà talediretta sequenzain simmetrica ternauna formanoE,E,E Poichè

(11.38) EE EE EE

g3g2g1

g33g22g11 ===

In altri termini, qualunque siano le impedenze della stella, il centro C del sistema delle tensioni di fase coincide col baricentro del triangolo delle tensioni concatenate.

Di conseguenza le correnti sono date da:


( ) (11.40) IIII

: (1) dalla ricava si neutro nel corrente La . loro) tradiverse impedenze le

generale,in essendo, simmetrica ternauna formanonon linea di correnti le che osservi (Si

(11.39) .z

E

.z

EI

.z

E

.z

EI

.z

E

.z

EI

321n

3

g3

3

33

2

g2

2

22

1

g1

1

11

++−=

======

( ) ( )

. diretta sequenzain simmetrica terna una formano E,E,E poichè

, 0EEEz1

IIII

: risulta allora

, .z

.z

.z

.z

: abbiasi cioè o,equilibrat sia carico il Qualora

g3g2g1

g3g2g1321n

321

=++−=++−=

===

Da quanto esposto emerge che la funzione del neutro, nel caso dell'utilizzatore a stella, è quella di stabilizzare il centro C del sistema di tensioni di fase nel baricentro del triangolo delle tensioni concatenate; si evita in tal modo che, a causa del diverso valore delle impedenze, si possano avere valori anche molto diversi (rispetto alle tensioni di alimentazione) delle tensioni sulle impedenze stesse, ciò che potrebbe compromettere il corretto funzionamento dell'utilizzatore. La sezione del neutro, secondo le norme CEI 64-8/5, viene scelta in questo modo: se la sezione del conduttore di fase è in rame ed è Scu<=16 mm2, se il conduttore di fase è in alluminio ed è Sal<=25 mm2 allora, corrispon-dentemente, la sezione del neutro Sn deve essere uguale a quella del conduttore di fase. Se Scu>16 mm2 o Sal>25 mm2 allora la sezione del neutro Sn può essere inferiore a quella del conduttore di fase purché il conduttore scelto abbia una portata maggiore o uguale al valore efficace della corrente del neutro (la portata è uguale al massimo valore am-missibile di corrente di un conduttore). In questo caso, però, la Sn non deve essere mai inferiore a 16 mm2 o 25 mm2, rispettivamente.


CAPITOLO 12

12.1 CIRCUITI MAGNETICI 408

12.2 ESEMPIO DI CIRCUITO MAGNETICO 414


12.1 CIRCUITI MAGNETICI

Si definisce circuito magnetico una zona di spazio costituita da un tubo di flusso del vet-tore induzione magnetica. Vale la seguente legge della circuitazione magnetica: si


consideri un circuito magnetico elementare, costituito cioè da un solo tubo di flusso, ad esempio un solenoide toroidale (come quello mostrato in figura) che, per comodità, supporremo abbia una sezione costante S ed una struttura filiforme, in modo tale che una qualsiasi linea chiusa individuata all'interno del tronco non si discosti apprezza-bilmente dalla linea media. Inoltre supporremo gli avvolgimenti disposti in maniera uniforme e a simmetria radiale su tutta la struttura in modo da trascurare (tranne casi particolari) i flussi dispersi. Con queste ipotesi si può ritenere che le linee di flusso del campo magnetico siano contenute tutte all'interno del toroide e che il campo magnetico risulti qui costante.

Sussiste allora la seguente relazione (legge di Hopkinson):

(12.2) : relazione la sussiste

, tubo) del magnetica tàpermeabili =( : segue come flussodi

tubo del la definita altro,l' Tra . entoconcatenamciascun per spiredi numero il è N e magnetico campo il è H dove

, (12.1)

i

ℜ

∑=Φ

=ℜ

∑=⋅⇔∑=∫ ⋅Γ

iii

m

iiim

iii

IN

S

l

INlHINldH

µµ

magnetica riluttanza

dove Φ è il flusso del campo magnetico costante in ogni sezione del tubo. Mettendo in-sieme le relazioni (12.1) e (12.2) si ottiene:

(*) Rowland)di (legge Φℜ=⋅=∑ m

i

ii lHIN


[ ]

. flussodi tubo nel magnetiche tensionedi cadutedi nome

il prendono e spAin entrambe misuranosi e mlH quantità Le ⋅Φℜ⋅

Si osserva, inoltre, che sussiste un'analogia (puramente formale) tra la relazione (12.2) e la legge di Ohm per circuiti elettrici che può essere così generalizzata:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]magnetica elettrica

tensionedi caduta : Asp tensionedi caduta : V RI

magnetica riluttanza : 1H resistenza : R

motrice-magneto forza : Asp NI motrice-elettro forza : V E

magnetica induzione : 2mWb B correntedi densità : 2mA J

flusso : Wb corrente : A I

Φℜ→

−ℜ→Ω

→

→

Φ→

Nella tecnica corrente delle costruzioni elettromeccaniche il circuito magnetico è realiz-zato da una struttura ferro-magnetica ad alta permeabilità nella quale si possono indi-viduare diversi tubi di flusso che chiameremo tronchi magnetici di materiale omogeneo, di lunghezza media lmi, sezione costante Si e permeabilità magnetica µi. Per tali circuiti magnetici, indicata con NI la forza magneto-motrice totale presente nel circuito, la re-lazione (*) si può scrivere come:

(**) lHNIi

iii

mii ∑∑ Φℜ==

dove la sommatoria è estesa a ciascuno dei tronchi magnetici presenti nel circuito in esame. Diamo, infine, le seguenti definizioni: un tronco magnetico si dice passivo quan-do non è sede di una forza magneto-motrice, altrimenti si dice attivo.

Consideriamo un tronco passivo percorso da un flusso Φ;

si definisce tensione magnetica del tronco la seguente quantità:

. troncodel magnetica riluttanza la è dove , (12.3) lH mABAB ℜ⋅=Φℜ=θ


Si osservi l'analogia con un resistore lineare. Consideriamo un tronco attivo percorso da un flusso Φ; si definisce tensione magnetica del tronco la seguente quantità:

tronco. del magnetica riluttanza la è dove , (12.4) NIlHNI mABAB ℜ+⋅=+Φℜ=θ

Si osservino i segni associati alla forza magneto-motrice e al flusso, dove il verso della forza magneto-motrice è dato dalla "regola del cavatappi" ed il verso del flusso è scelto

in maniera arbitraria. Il circuito elettrico analogo è mostrato di seguito:

Ovviamente, modificando il verso del flusso si ha:


Da quanto detto ne consegue che i circuiti magnetici possono essere considerati come vere e proprie reti magnetiche in cui possono esserci tronchi in parallelo, caratterizzati da una stessa tensione magnetica e da flussi distinti, o tronchi in serie, caratterizzati dallo stesso flusso ma da tensioni magnetiche diverse: ha senso, allora, parlare di nodo come punto di confluenza di almeno tre tronchi e di maglia come poligono chiuso costi-tuito da tronchi del circuito. Possiamo, inoltre, estendere ai circuiti magnetici le leggi di Kirchhoff come segue:

1. la somma algebrica dei flussi magnetici che confluiscono in un nodo è nulla:

(12.5) 0i

i =Φ∑

2. la somma algebrica delle forze magneto-motrici agenti nei lati di una maglia ugua-glia la somma delle cadute di tensione magnetiche:

(12.6) lHINi

iii

miii

ii ∑∑∑ Φℜ==

Abbiamo, in questo modo, stabilito un'analogia formale tra reti elettriche e reti magne-tiche estendendo le leggi valide per le prime alle seconde. Vi è, tuttavia, una differenza sostanziale di comportamento tra i due tipi di rete in quanto, mentre le reti elettriche sono costituite da elementi lineari, i circuiti magnetici sono costituiti da elementi non lineari (in realtà si tratta di una generalizzazione puramente teorica poiché negli im-pianti elettrici si trovano frequentemente esempi di elementi non lineari così come è possibile trovare circuiti magnetici con elementi lineari, costituiti cioè da materiale con permeabilità magnetica costante). Questa differenza, in pratica, si traduce nel fatto che le resistenze dei circuiti elettrici sono costanti ed indipendenti dalle correnti che vi si stabiliscono (e quindi sono note anche quando le correnti sono incognite) mentre le ri-luttanze dei tronchi di circuito magnetico dipendono, ed in modo non lineare, dai valo-ri dei flussi che vi si stabiliscono (e quindi sono incognite quando i flussi non sono no-


ti). Nelle strutture magnetiche semplici i problemi che si presentano sono sostanzial-mente di due tipi:

a) problema diretto, cioè data la forza magneto-motrice applicata e le caratteristiche strutturali e geometriche del circuito determinare il flusso che vi si stabilisce;

b) problema inverso, cioè date le caratteristiche strutturali e geometriche del circuito ed il flusso che in esso si stabilisce determinare la forza magneto-motrice di eccitazio-ne.

Data, in generale, l'impossibilità di scrivere le equazioni che traducano le caratteristi-che di magnetizzazione dei tronchi di un circuito magnetico (equazioni che sarebbero non lineari) non si possono adottare per le reti magnetiche metodi di risoluzione anali-tica. E' necessario, quindi, adottare dei metodi grafici che consistono nel disegnare, in un piano cartesiano, le caratteristiche di magnetizzazione dei tronchi che formano la rete magnetica in esame riportando sull'asse delle ordinate il flusso che attraversa il tronco in funzione della tensione magnetica applicata ai capi del tronco che viene ri-portata sull'asse delle ascisse. Occorrerà, inoltre, fare riferimento alle curve di magne-tizzazione relative al materiale di cui è costituito il tronco in esame le quali curve, come è noto, riportano sull'asse delle ordinate il vettore B induzione magnetica e sull'asse delle ascisse il vettore H campo magnetico. Si osservi che essendo B proporzionale al flusso Φ a meno della sezione del tronco e H proporzionale alla tensione magnetica θ a meno della lunghezza media del tronco, mediante opportune variazioni di scala, si può considerare la curva di magnetizzazione del tronco come la sua caratteristica di magne-tizzazione (per i tronchi passivi). Accenniamo, infine, all'eventuale presenza in un cir-cuito magnetico di un traferro, ossia di una sezione, generalmente di spessore ridotto, in cui sia presente il vuoto e, quindi, caratterizzato da una permeabilità magnetica co-stante e pari a:

[ ]. mH 104 70 −⋅= πµ

Di conseguenza, un traferro può essere considerato come un tronco magnetico lineare per cui valgono le seguenti relazioni:

tt0

tttttt0 S

llH e HB Φ=Φℜ===

µθµ

Si osservi, inoltre, che in generale la permeabilità magnetica del vuoto è molto minore della permeabilità magnetica di un qualsiasi materiale e, perciò, la caduta di tensione nel traferro sarà molto maggiore rispetto alla caduta di tensione in un tronco magneti-co costituito da un certo materiale.


12.2 ESEMPIO DI CIRCUITO MAGNETICO

Si determini la frequenza di risonanza del circuito magnetico mostrato in figura:

I dati sono i seguenti:

[ ]

[ ][ ]

[ ] [ ]sp sp

mH

m

m 2 costante) (sezione

lato)ciascun di (lunghezza

200100

10410

10

1

231

40

3

2

===

⋅==⇒=

=

=

−

−

NNN

S

l

rr πµµµµ


Tracciamo, anzitutto, il circuito elettrico analogo al circuito magnetico in esame:

Calcoliamo subito le riluttanze magnetiche dei tre tronchi in cui può essere diviso il circuito magnetico di fig.2.2 che sono date da:

Sl

R e S

3lRR 231

µµ===

Nel circuito di fig.12.2, Φ1 rappresenta il flusso del campo magnetico totale (cioè dovu-to alle correnti che scorrono nei tre avvolgimenti, le quali correnti, tra l’altro, sono u-guali fra loro essendo le tre bobine collegate in serie) concatenato ad una sola spira del primo avvolgimento; le stesse considerazioni valgono per Φ2 e Φ3. I valori di questi flussi possono essere determinati risolvendo il seguente sistema le cui equazioni si ot-tengono semplicemente applicando le leggi di Kirchhoff magnetiche al circuito di fig.2.2:

. circuitaliparametri dai dipendenticostanti sono c e ba, dove

: dà risolto che

cI

bI

aI

IIII

RRININ

RRININ

3

2

1

321

321

22332233

22112211

=Φ

=Φ

=Φ

===

Φ+Φ=Φ

Φ−Φ=−

Φ+Φ=+

Si ricava allora:


=Φ

=

=Φ

=

=Φ

=

⇒

Φ=Φ

Φ=Φ

Φ=Φ

33T

3

22T

2

11T

1

333T

222T

111T

cNI

L

bNI

L

aNI

L

N

N

N

Otteniamo, dunque, l'induttanza equivalente alle tre bobine collegate in serie come:

L=L1+L2+L3

Di conseguenza, il circuito di fig. 12.1 si riduce ad un semplice circuito RLC serie la cui frequenza di risonanza è pari a:

ω0=LC1

dove L è l’induttanza equivalente appena ricavata e C è la capacità del condensatore che supponiamo nota.

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