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Appunti di 01AULNZ - Elettrotecnica 1 Studente: MACI Samuele Politecnico di Torino Anno Accademico 2011/2012 [email protected] Docente: CORINTO Fernando Ricercatore Confermato [email protected] Docente: BIEY Mario Professore Ordinario [email protected] Docente: LOMBARDI Guido Ricercatore Confermato [email protected] Ultima revisione: 6 marzo 2012 1 Il presente quaderno di appunti e stato redatto completamente con l’applicativo T E XnicCenter
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Appunti di 01AULNZ - Elettrotecnica1
Studente: MACI SamuelePolitecnico di Torino
Anno Accademico 2011/2012
Docente: CORINTO Fernando
Ricercatore Confermato
Docente: BIEY Mario
Professore Ordinario
Docente: LOMBARDI Guido
Ricercatore Confermato
Ultima revisione: 6 marzo 2012
1Il presente quaderno di appunti e stato redatto completamente con l’applicativo TEXnicCenter
Indice
Elenco delle figure III
I Teoria 3
1 Generalita 51.1 Introduzione all’analisi dei circuiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Grandezze fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Relazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Teoria dei circuiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Grandezze elettriche fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Circuiti a parametri concentrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Limitazioni del modello circuitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Analisi di Circuiti costituiti da Bipoli 92.1 Analisi di un circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Potenza elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Energia elettrica e passivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Potenza in un tripolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3 Conservazione della potenza istantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Classificazione dei bipoli in base alla loro realizzazione costitutiva . . . . . . . . . . . . . . 102.3.1 Bipoli a-dinamici lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Circuiti Elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Connessioni di bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.1 Collegamento di resistori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5.2 Collegamento di generatori indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.3 Partitori di tensione/corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Leggi di Kirchhoff in forma matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6.1 KCL in forma matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6.2 KVL in forma matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6.3 Potenziale di nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Metodo del Tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7.1 Metodo del Tableau con i potenziali di nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7.2 Identificazione delle maglie fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7.3 Riduzione del Metodo del Tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Metodo dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.8.1 Metodo dei nodi modificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9 Generatori dipendenti o controllati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.10 Amplificatore Operazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.10.1 Andamento dell’uscita in funzione degli ingressi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.10.2 Circuito equivalente in regione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.10.3 Amplificatore Ideale Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.10.4 Collegamento in cascata di AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.11 Analisi dei circuiti, teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.11.1 Teorema di Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.11.2 Proprieta di linearita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.11.3 Principio di sovrapposizione degli effetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.11.4 Principio di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
I
2.11.5 Teorema di Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.11.6 Teorema di Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Analisi di Circuiti costituiti da Multipoli 413.1 Introduzione multipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Rappresentazione di un dippio bipolo a-dinamico lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1 Rappresentazione su base corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 Rappresentazione su base tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.3 Rappresentazione ibrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.4 Rappresentazione di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Relazioni tra rappresentazioni di un doppio bipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.1 Relazione tra H e R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.2 Reciprocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.3 Connessioni di doppi bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Circuiti dinamici lineari 474.1 Induttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Condensatore lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Riepilogo delle relazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.1 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.2 Induttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Proprieta degli elementi dinamici lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4.1 Proprieta del condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4.2 Proprieta dell’induttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Connessione degli elementi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5.1 Connessione di condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5.2 Connessione di induttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6 Circuiti dinamici del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.6.1 Circuiti RC di primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.6.2 Circuiti RL di primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7 Circuiti RC e RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.7.1 Determinazione di τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.7.2 Determinazione di x∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.7.3 Determinazione del valore iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.7.4 Circuito RC e RL con generatori costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Analisi di circuiti con ingressi sinusoidali 535.1 Equazioni di stato per circuiti non patologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Calcolo della risposta permanente con ingressi sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.1 Proprieta dei fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3 Relazioni costitutive e teoremi nel dominio dei fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.1 Relazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3.2 Teoremi nel dominio dei fasori, formulazioni simboliche . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Connessione di impedenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.4.1 Connessione di tipo serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.4.2 Connessione di tipo parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 Analisi di circuiti contenenti impedenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.6 Potenza in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.6.1 Potenza istantanea in un resistore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.6.2 Potenza istantanea in un induttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.6.3 Potenza istantanea in un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.6.4 Relazioni tre le potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6.5 Rifasamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6.6 Adattamento energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.7 Analisi di circuiti nel dominio della frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.7.1 Richiamo di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.8 Risposta ad un ingresso periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.9 Funzioni di rete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.9.1 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.9.2 Filtri del primo/secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.10 Circuiti RLC in evoluzione libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.10.1 Circuiti RLC, serie o parallelo, in evoluzione libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
II
5.10.2 Circuiti RLC, serie o parallelo, con ingresso costante . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.11 Circuiti del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.11.1 RLC con ingresso sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.11.2 Filtro passa banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.11.3 Filtro elimina banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
II Esercizitazioni 69
6 Esercitazione 1 716.1 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2 Resistenze equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.3 Potenza e resistenze equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7 Esercitazione 2 797.1 Partitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2 Analisi dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8 Esercitazione 3 838.1 N.A. con generatori dipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.2 N.A. con amplificatori operazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9 Esercitazione 4 879.1 Metodo dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.2 Teorema di Millman e sovrapposizione degli effetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10 Esercitazione 5 8910.1 Analisi con Thevenin e Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910.2 PSpice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
11 Esercitazione 6 9111.1 Analisi di doppi bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.2 Analisi reti resistivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
12 Esercitazione 7 9312.1 Analisi circuiti dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13 Esercitazione 8 9513.1 Circuiti dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9513.2 Numeri complessi e fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
14 Esercitazione 9 9914.1 Analisi circuiti in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9914.2 Calcolo di impedenze equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Elenco delle figure
2.1 Rappresentazione grafica di un resistore lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Rappresentazione grafica di un generatore di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Rappresentazione grafica di un generatore di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Rappresentazione grafica di un potenziometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Rappresentazione grafica di interruttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Circuito Elementare composto da generatore di tensione e resistore . . . . . . . . . . . . . 122.7 Circuito Elementare composto da generatore di corrente e resistore . . . . . . . . . . . . . 122.8 Dipoli generici collegati in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.9 Dipoli generici collegati in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.10 Dimostrazione circuiti con collegamento serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.11 Dimostrazione circuiti con collegamento parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.12 Generatori di tensione collegati in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.13 Generatori di corrente collegati in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.14 Generatore di tensione reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.15 Generatore di corrente reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.16 Partitore di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.17 Partitore di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.18 Esempio di uso dei partitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.19 Esempio di realizzazione di un grafo a partire dal circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.20 Potenziale di nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.21 Albero associato ad un grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.22 Albero associato ad un grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.23 Rappresentazione grafica di un Amplificatore Operazionale Ideale . . . . . . . . . . . . . . 252.24 Andamento AO ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.25 Circuito equivalente di un AO in regione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.26 AO in configurazione invertente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.27 Circito equivalente di un AO invertente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.28 AO in configurazione non invertente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.29 Circito equivalente di un AO non invertente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.30 AO in configurazione di buffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.31 Circito equivalente di un AO buffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.32 Dimostrazione Teorema di Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.33 Teorema di Millman in presenza di M generatori di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.34 Esercizio di analisi con Sovrapposizione degli effetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.1 Circuito esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2 Circuito esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.3 Circuito esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.4 Circuito esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.5 Circuito esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.6 Circuito esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.7 Circuito esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.8 Circuito esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.9 Circuito esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.10 Circuito esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
13.1 Grafici di vC(t) e vR(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
V
Presentazione
Il corso:
• espone le leggi fondamentali che regolano il comportamento dei circuiti elettrici;
• tecniche di analisi di circuiti elettrici
I docendi sono:
• Corinto Fernando (lezioni)
• Biey Mario (esercitazioni squadra B)
• Lombardi Guido (esercitazioni squadra A)
Le lezioni suddivise:
• Martedı 13:00 - 16:00
• Mercoledı 13:00 - 14.30
• Giovedı 14.30 - 17.30, squadra B
• Venerdı 8.30-11.30, squadra A
Orario di ricevimento per consulenze: mercoledı 11.30-13Supporti didattici:
• Programma dettagliato
• Video-lezioni (le esercitazioni non sono riprese)
• Libri
1. Circuiti elettronici, Perfetti, Zenichelli
2. Circuiti, De Magistris e Miano, Springer 1
3. Esercizioni di elettrotecnica, Biey, Clut
L’esame sara solo scritto2 (nel quale verranno anche valutati la presentazione dei risultati e la leggibi-lita), non e possibile consultare testi/appunti, e possibile usare la calcolatrice e occorre presentarsi condocumento di riconoscimento e statino3.
1a dire del docente e piu approfondito2non si potra rifiutare il voto3da vedere in quanto da regolamento del politecnico lo statino e piu utilizzato
1
Prerequisiti (conoscenze):
• Fisica:
– potenza ed energia
– elettromagnetismo di base
• Analisi matematica e geometria:
– numeri complessi
– calcolo matriciale
– sistemi di equazioni lineari
– equazioni differenziali ordinarie del primo ordine
– trasformata di Laplace
2
Parte I
Teoria
3
Capitolo 1
Generalita
1.1 Introduzione all’analisi dei circuiti1. pagg. 1 - 6
2. pagg. 1 - 14
L’elettrotecnica studia i circuiti elettrici, cioe il sistema sede di cariche elettriche.Si possono distinguere i sistemi elettrici in
• sistemi per l’informazione che hanno come obbiettivo il trattamento dei segnali elettrici (elabora-zione)
• sistemi per l’energia che hanno come obiettivo il trasporto dell’energia
Il sistema elettrico e sede di fenomeni elettromagnetici e contiene corpi diversi, quindi e un ambienteeterogeneo.Per una caratterizzazione quantitativa occorre introdurre:
• Grandezze fisiche appropriate
• Relazioni costitutive dei materiali
• Equazioni di Maxwell
1.1.1 Grandezze fisiche
Il sistema di unita di misura utilizzato sara quello del sistema internazionale (S.I.).
• E (r, t): campo elettrico[Vm
], determinato dalla districuzione delle cariche
• D (r, t): induzione elettrica[Cm2
], determinato dalla interazione tra un dielettrico e un campo
elettrico
• H (r, t): campo magnetico[Hm
], determinato dalla cariche in movimento
• B (r, t): induzione magnetica[Wbm2
], determinato dall’interazione tra un materiale magnetico con
un campo magnetico
• J (r, t): densita di corrente di conduzione[Am2
], legata al moto delle cariche
1.1.2 Relazioni costitutive
I parametri costitutivi per i materiali sono:
• ε corrente dielettrica[Fm2
]• µ permiabilita magnetica
[Hm
]• γ conducibilita
[1
Ω·m]
• ρ densita spaziale di carica[Cm3
]Per materiali isotropi tutti i parametri sono quantita scalari, mentre se i meteriali hanno proprieta dilinearita, permanenza e omogeneita allora i parametri sono indipendenti dal campo elettromagnetico1
1nel seguito della trattazione sara abbreviato con e.m.
5
1.1.3 Equazioni di Maxwell
∇× E (r, t) = −∂B(r,t)∂t Legge di Faraday
∇×H (r, t) = −∂D(r,t)∂t + J (r, r) Legge di Maxwell/Ampere
D (r, t) = ε · E (r, t)B (r, t) = µ ·H (r, t)J (r, t) = γ · E (r, t)
Poiche e un sistema differenziale sono necessarie delle condizioni a contorno, per poter ottenere dellesoluzioni particolari, pertanto
∇ ·B (r, t) = 0∇ ·D (r, t) = ρ
Legge di Gauss
Poiche comunque si tratta di problemi analiticamente complessi si cerca di introdurre delle ipotesisemplificative, teoria dei circuiti.
1.1.4 Teoria dei circuiti
Per cercare di ridurre la difficolta dei problemi, si impongono le seguenti limitazioni:
• frequenze di lavoro lentamente variabili
• condizioni quasi-stazionarie
• natura dei componenti, in modo che in un componente ci sia al massimo un fenomeno e.m. pervolta
Grazie a queste ipotesi:
• i vettori sono sostituiti da grandezze scalari V, I
• le equazioni di Maxwell sono sostituite dalle leggi di Kirchhoff (topologiche)
• il sistema sede dei fenomeni e.m. e rappresentato da un elemento circuitale
• i circuiti elettrici sono formati da elementi circuitali semplici
1.2 Grandezze elettriche fondamentali
Le grandezze fondamentali sono:
• Intensita di corrente2, e un movimento ordinato di cariche elettriche e si misura in ampere; lacorrente attraverso una sezione del conduttore e indipendente dalla sezione scelta3
lim∆t→0
∆q
∆t=∂q(t)
∂t= i(t)
q(t) =
∫ t
−∞i(t) dt
La scelta del riferimento (la direzione della corrente) e arbitraria, in quanto se il verso effettivo eopposto a quello scelto si avra semplicemente una corrente negativa.
• Tensione, si misura in Volt ed e la differenza di potenziale tra due punti appartenenti a un campoelettrico (in quanto conservativo ha lavoro nullo)
va→bγ =
∫γ
E · t dl = vab = V (a)− V (b)
Anche in questo caso la scelta del verso di riferimento e arbitraria.
2in seguito per brevita la chiameremo direttamente corrente3conservazione della carica
6
1.3 Circuiti a parametri concentrati
Si definisce bi-polo un elemento circuitale ideale per il quale valgono:
• l’intensita di corrente e in ogni istante in entrambi i poli
• la tensione tra i due terminali e in ogni istante indipendentemente dal percorso scelto
Convenzioni di riferimento nomenclatura:
• dell’utilizzatore: corrente va dal potenziale alto al potenziale basso
• del generatore: corrente va dal potenziale basso al potenziale alto
Si definisce multi-polo un elemento circuitale con tre o piu poli, e sempre presente:
• corrente in ogni terminale
• la tensione tra coppie di due terminali
Il circuito elettrico e una interconnessione di semplici elementi circuitali, si dicono invece a parametri concentrati se levariazioni di energia sono ‘concentrate’ (avvengono) solo all’interno degli elementi circuitali (le interconnessioni non compionolavoro).
1.4 Limitazioni del modello circuitale1. pag. 6 - 10
2. pag. 14 - 19 e pag. 23 - 24
Una stima grossolana della condizione consiste nella valutazione della lunghezza d’onda del e.m. . Confrontando lalunghezza d’onda con le dimensioni caratteristiche, del sistema elettrico, del sistema possiamo stimanre l’influenza dellapropogazione. Se la lunghezza d’onda caratteristica e molto piu grande della lunghezza lineare del sistema, gli effettipropagativi possono essere trascurati. fmax: estremo superiore delle bande di frequenza dei e.m., rappresentazione neldominio delle frequenze tramite Fourierlc: dimensione geometrica massima della strutturac: velocita di propagazione del campo elettromagnetico della struttura
λc = c · tc =c
fmax
lcc
: tempo massimo impiegato dal campo elettromagnetico per propagarsi nella struttura.Affinche il modello circuitale sia valido e necessario, ma non sufficiente,che
lc
c tc ⇔ λc lc
Le variazioni di energia avvengono solo all’interno degli elementi circuitali.
Esempio 1 Un segnale radio in FM alla frequenza di 100MHz e trasmesso da una radio di circa 20cm. In questecondizioni il modello circuitale e valido?Il tempo caratteristico e tc = 1
fmax= 1
108 = 10ns
Assumendo c = 3 · 108ms
, λc = tc · c = 10−8 · 3 · 108 = 3mPoiche la dimensione della radio e molto minore della lunghezza d’onda il modello e valido.
Esempio 2 Una CPU a 10GHz di dimenzioni di 2cm. Il modello circuitale e valido?tc = 1
1010 = 0, 1ns
λc = 10−10 · 3 · 108 = 3cmPoiche le dimensioni di CPU e lunghezza d’onda sono confrontabili allora il modello non e valido.
Si capisce dagli esempi che per ogni circuito fisico esiste un limite superiore per le frequenze entro le quali il modello evalido.
7
8
Capitolo 2
Analisi di Circuiti costituiti da Bipoli
2.1 Analisi di un circuitoDato un sistema fisico, se vi sono le ipotesi (campo elettromagnetico in condizioni stazionarie), esso puo essere modellatoin un circuito elettrico.Analizzare un circuito significa determinate tensioni e correnti presenti in esso, una volta specificate pero:
• la topologia (le interconnessioni) [leggi di Kirchhoff]
• le relazioni
Il processo opposto all’analisi e detto sintesi (progetto di un circuito elettrico)
2.1.1 Leggi di KirchhoffPer introdure le leggi, occorre prima definire:
• Nodo: punti in cui sono connessi due o piu terminali (si evidenziano, ma non e indispensabile, mediante un pallinopieno)
• Maglia: sequenza di nodi che formano un percorso chiso (tutti i nodi sono percorsi una sola volta eccetto il primo)
Legge di Kirchhoff per le Correnti (KCL)
Ne esistono varie definizioni, analoghe.La somma algebrica delle correnti in ogni nodo e sempre (in ogni istante) nulla1.La somma delle correnti entranti in un nodo e pari alla somma delle correnti uscenti dal nodo.
∀t,∑k
±ik(t) = 0
La KCL puo essere estesa a superfici chiuse, in quanto anche se si hanno due o piu nodi, vi e una ij che esce da un nodo,ma entra nell’altro nodo (nella somma algebrica hanno segni opposti, e quindi si annullano).La scelta del nodo per ricavare le correnti e arbitrario, si procede percio alla scelta del nodo in base alla semplicita di calcolo.
Legge di Kirchhoff per le Tensioni (KVL)
Ne esistono varie definizioni, analoghe.La somma algebrica delle tensioni in una maglia e sempre (in ogni istante) nulla2.La somma delle correnti entranti in un nodo e pari alla somma delle correnti uscenti dal nodo.
∀t,∑k
±vk(t) = 0
Come per la KCL, la scelta della maglia e arbitraria.
2.2 Potenza elettrica1. pagg. 11-15, 23-46
2. pagg. 19-22, 24-36, 59-63
Si definisce potenza (istantenea) assorbita da un bipolo la quantita
p(t) = lim∆t→0
∆w
∆t= lim
∆t→0
v ·∆q∆t
= v(t) · i(t) secondo la convenzione degli utilizzatori
La potenza si misura in watt3. Se si utilizza la convenzione dei generatori risulta che p(t) = −v(t) · i(t). Indifferentementedalla convenzione scelta se:
• p(t) > 0 l’energia e assorbita dal sistema
• p(t) > 0 l’energia e erogata dal sistema
La potenza erogata dal sistema si calcola invertendo semplicemente il segno alla potenza assorbita (utilizzando i metodi dicalcolo precedenti, per le convenzioni)
1si assegna un segno per le correnti entranti, e l’altro segno alle correnti uscenti2si assegna un segno per le tensioni concordi alla percorrenza, e l’altro segno alle tensioni discordi3W =
[Js
]9
2.2.1 Energia elettrica e passivitaL’energia assorbita da un bipolo nell’intervallo di tempo t ∈ [t1, t2] e rappresentata dall’area sottesa alla curva p(t):
w(t1, t2) =
∫ t2
t1
v(t) · i(t) dt
Un dipolo si definisce passivo se non puo erogare piu energia di quanta precedentemente assorbita
∀t, w(t) =
∫ t
−∞v(t) · i(t) dt ≥ 0
mentre si dice strettamente passivo se
∀t, w(t) =
∫ t
−∞v(t) · i(t) dt > 0
2.2.2 Potenza in un tripoloLa potenza in un tripolo, con terminali a, b e c si definisce:
p(t) = v1(t) · i1(t) + v2(t) · i2(t)
definendo i1 la corrente al terminale a,definendo i2 la corrente al terminale b,
definendo v1 la tensione vac,definendo v2 la tensione vbc
E bene ricordare di usare la giusta convenzione
2.2.3 Conservazione della potenza istantaneaIn ogni istante la somma algebrica della potenza e nulla, o in via alternativa in ogni istante la potenza erogata e uguale allapotenza assorbita.
∀t,∑k
pk(t) = 0 ; ∀t,∑k
pkass =∑k
pkerog
2.3 Classificazione dei bipoli in base alla loro realizzazione co-stitutiva (v-i)
Il comportamento di un bipolo e descritto da una relazione costitutiva f(v, i) = 0.Il grafico di f(v, i) = 0 tracciato sul piano (i, v) e detto curva caratteristica.I bipoli possono essere classificati in:
• lineari, se tra v e i vi e un legame lineare; non lineari, se tra v e i vi e un legame lineare;
• dinamici, se dopendono da integrali e/o derivate di v e i; a-dinamici o resistivi, se tra v e i vi e un legame di tipoalgebrico;
• attivo; passivo;
• variabili o invariabili nel tempo
2.3.1 Bipoli a-dinamici lineariSono caratterizzati da un legame lineare di tipo algebrico tra v e i.
f (v(t), i(t)) = a · v(t) + b · i(t) + c = 0
con a, b, c costanti (singolarmente) nel tempo.Nel caso di:
• c = 0 il bipolo e un resistore
• b = 0 il bipolo e un generatore di tensione
• a = 0 il bipolo e un generatore di corrente
Resistore lineare
Sono bipoli lineari a-dinamici in cui c = 0, quindi
f (v(t), i(t)) = a · v(t) + b · i(t) = 04 ⇒ v(t) = −b
a· i(t) = R · i(t)⇒ v(t) ∝ i(t)
R e detta resistenza e R > 0 e si misura in Ohm[Ω = V
A
]. La resistenza di un resistore e dipendente anche dalla lunghezza
e dalla sezione del bipolo e dalla resistivita del bipolo.
R = ρ ·l
A
con ρ che indica la resistivita, l indica la lunghezza e A indica la sezione.Il resistore lineare e un elemento ideale, in quanto approssima un resistore reale in particolari condizioni (in opportuniintervalli). G = 1
R> 0 e definita come conduttanza e si misura in Siemens
[S = Ω−1
].
v(t) = R · i(t)⇒ v(t) ·1
R= v(t) ·G = i(t)
4si utilizza la convenzione degli utilizzatori, altrimenti va solo invertito il segno
10
Il resistore e un elemento circuitale passivo in quanto
p(t) = v(t) · i(t) = R · i2(t) = G · v2(t) > 0, ∀t
poiche R > 0 ∀t, i2 > 0 e ∀t, v2 ≥ 0 allora p(t) > 0.All’interno di un circuito sono rappresentati nel modo seguente:
Figura 2.1: Rappresentazione grafica di un resistore lineare
Generatori indipendenti di tensione
Un generatore di tensione si ha se b = 0, pertanto
a(t) · v(t) + c(t) = 0⇒ v(t) = −c(t)
a(t)= vs(t), ∀i(t)
La tensione ai capi del bipolo e fissata dal generatore.Un caso particolare di generatore di generatore di tensione e il corto circuito, che potrebbe essere anche inteso come unresistore con resistenza nulla (si hanno contemporaneamente b = c = 0).Il corto circuito si indica semplicemente con un filo, in quanto si suppone di resistenza nulla.All’interno di un circuito i generatori di tensione sono rappresentati nel modo seguente:
+
+-
Figura 2.2: Rappresentazione grafica di un generatore di tensione
Generatori indipendenti di corrente
Un generatore di tensione si ha se a = 0, pertanto
b(t) · i(t) + c(t) = 0⇒ i(t) = −c(t)
b(t)= is(t), ∀v(t)
La corrente ai capi del bipolo e fissata dal generatore.Un caso particolare di generatore di generatore di corrente e il circuito aperto, che potrebbe essere anche inteso come unresistore con resistenza infinita (si hanno contemporaneamente a = c = 0).Il corto circuito si indica semplicemente con un filo spezzato, in quanto in tale condizione non si puo avere passaggio dicorrente.All’interno di un circuito i generatori di corrente sono rappresentati nel modo seguente:
i i
Figura 2.3: Rappresentazione grafica di un generatore di tensione
Resistori variabili & Interruttori
Sono elementi particolari che modificano leggermente le caratteristiche.I resistori variabili o potenziometri sono dei resistori di cui e possibile modificare manualmente la resistenza.All’interno di un circuito sono rappresentati nel modo seguente:
Figura 2.4: Rappresentazione grafica di un potenziometro
11
Gli interruttori sono elenti circuitali che consentono di avere un circuito chiuso o aperto, e come se fosse una resistenzache puo essere fissata su due valori 0 e +∞. All’interno di un circuito sono rappresentati nel modo seguente:
Figura 2.5: Rappresentazione grafica di interruttori
2.4 Circuiti Elementari
Sono circuiti composti da un solo generatore e da solo un resistore.
v(t) = R · i(t) = vs(t)⇒ i(t) =vs(t)
R= G · vs(t)
++
Figura 2.6: Circuito Elementare composto da generatore di tensione e resistore
v(t) = R · i(t)⇒ v(t) = R · is(t)
+
Figura 2.7: Circuito Elementare composto da generatore di corrente e resistore
2.5 Connessioni di bipoli1. 28-46, 55-56
2. 59-62, 161-178
Due bipoli sono equivalenti (anche se presi come gruppo di bipoli) se hanno la stessa relazione costitutiva ai capi deiterminali.
Definizione 1 (bipoli in serie) Due bipoli si dicono connessi in serie se hanno un terminale in comune, pertanto hanno
i = i1 + i2
i i1 i2
Figura 2.8: Dipoli generici collegati in serie
12
Definizione 2 (bipoli in parallelo) Due bipoli si dicono connessi in parallelo se hanno entrambi i terminali in comune,pertanto hanno
v = v1 + v2
VV1 V2
Figura 2.9: Dipoli generici collegati in parallelo
Due bipoli si dicono equivalenti esternamente se hanno la stessa relazione tensione-corrente
2.5.1 Collegamento di resistori
Resistenza equivalente di resistori in serie
La resistenza equivalente di due resistori in serie e
Req = R1 +R2
Dimostrazione 1 (resistenze in serie) Per la connessione serie si ha il vincolo
i = i1 + i2
Per la legge di Ohm si ha
v1 = R1 · i1v2 = R2 · i2
Utilizzando la KV L @ ACBA
v = v1 + v2 = R1 · i1 +R2 · i2 = (R1 +R2) · i = i ·Req
Req = R1 +R2
R1
R2
Req
Figura 2.10: Dimostrazione circuiti con collegamento serie
Il discorso puo essere esteso a n resistori.
Req =
n∑i=1
Ri
13
Resistenza equivalente di resistori in parallelo
La resistenza equivalente di due resistori in parallelo e
Req =
(1
R1+
1
R2
)−1
Dimostrazione 2 (resistenze in parallelo) Per la connessione serie si ha il vincolo
v = v1 + v2
Per la legge di Ohm si ha
i1 = 1R1· v1
i2 = 1R2· v2
Utilizzando la KCL @ C
i = i1 + i2 = G1 · v1 +G2 · v2 = (G1 +G2) · v = Geq · v
Geq = G1 +G2 =1
R1+
1
R2⇒ Req =
1
Geq=
(1
R1+
1
R2
)−1
R1 R2Req
Figura 2.11: Dimostrazione circuiti con collegamento parallelo
Il discorso puo essere esteso a n resistori.
Req =
(n∑i=1
Gi
)−1
=
(n∑i=1
1
Ri
)−1
Nel caso di due resistori in parallelo
Req =1
1R1
+ 1R2
=R1 ·R2
R1 +R2= R1‖R2
2.5.2 Collegamento di generatori indipendenti
Collegamento in serie di generatori di tensione indipendenti
Due generatori di tensione indipendenti collegati in serie sono equivalenti a un generatore indipendente di tensione la cuitensione e pari alla somma algebrica dei generatori di tensione utilizzati. La dimostrazione si ottiene con KV L @ ABA.
+-
+-
e1(t) e2(t)
v(t)
Figura 2.12: Generatori di tensione collegati in serie
14
Collegamento in parallelo di generatori di corrente indipendenti
Due generatori di corrente indipendenti collegati in parallelo sono equivalenti a un generatore indipendente di corrente lacui corrente prodotta e pari alla somma algebrica dei generatori di corrente utilizzati. La dimostrazione si ottiene conKV L @ C.
i1(t)
i2(t)
i(t)
v
Figura 2.13: Generatori di corrente collegati in parallelo
Equivalenza tra bipoli (generatori reali)
Ri +
-
e(t)
v
vR
Figura 2.14: Generatore di tensione reale
v(t) = R · i(t) + e(t) KV L @ ABA
i(t) =v(t)
R−e(t)
R
a(t)
i
RiR
Figura 2.15: Generatore di corrente reale
i(t) = G · v(t) + a(t) =1
R· v(t)− a(t) KV L @ C
15
i =1
R· v(t)− a
I due dipoli sono equivalenti se hanno la stessa relazione costitutiva, quindi se
v(t)
R−e(t)
R=v(t)
R− a⇒
e(t)
R= a(t)
E possibile, quindi, sostituire generatori di tensione con generatori di corrente, sotto le dovute ipotesi.I generatori sopra rappresentati sono un buon modello di generatori reali, in quanto tengono conto di eventuali perdite.
2.5.3 Partitori di tensione/corrente
Partitore di tensione
Un partitore di tensione e un metodo pratico per poter frazionare il potenziale generato dal dipolo oppure e utile nellarisoluzione rapida di analisi circuitali.
R1i
+-
v1
v2R2vg
Figura 2.16: Partitore di tensione
v1 =R1
R1 +R2· vg
v2 =R2
R1 +R2· vg
Dimostrazione 3 (Partitore di tensione) Il vincolo della connessione serie impone i = i1 = i2, poiche R1 e in seriecon R2 si puo calcolare Req in modo da poter determinare i.
i =vReq
R1 +R2=
vg
R1 +R2
Sempre per la legge di Ohm si ha
v1 = R1 · i =R1
R1 +R2· vg
v2 = R2 · i =R2
R1 +R2· vg
I valori di R1R1+R2
e R2R1+R2
sono detti fattori di partizione.
Partitore di corrente
Un partitore di corrente e un metodo pratico per poter frazionare la corrente generato dal dipolo oppure e utile nellarisoluzione rapida di analisi circuitali.
R1
i
R2ig
i1 i2
Figura 2.17: Partitore di corrente
16
i1 =G1
G1 +G2· ig
i2 =G2
G1 +G2· ig
Dimostrazione 4 (Partitore di corrente) Il vincolo della connessione parallelo impone v = v1 = v2, poiche R1 e inparallelo con R2 si puo calcolare Req in modo da poter determinare i.
v =ig
G1 +G2
Si ricava subito che
i1 = G1 · v =G1
G1 +G2· ig
i2 = G2 · v =G2
G1 +G2· ig
Sostituendo
G1 =1
R1G2 =
1
R2
si ricava
i1 =R2
R1 +R2· ig i2 =
R1
R1 +R2· ig
I valori di G1G1+G2
e G2G1+G2
sono detti fattori di partizione.
Esempio 3 (Uso del partitore di tensione) Analizzando il seguente circuito
Ji2
i1 i3
i4R2
R1 R3
R4
Figura 2.18: Esempio di uso dei partitori
mediante l’uso del partitore di corrente si ha immediatamente che
ik =Gk
G1 +G2 +G3 +G4· J
2.6 Leggi di Kirchhoff in forma matriciale1. 17-18
2. 95-135, 144-149
Le leggi di Kirchhoff descrivono la topologia di un circuito, cioe come gli elementi sono collegati.Queste leggi si determinano attraverso un grafo orientato (struttura astratta). Un grafo si interessa solo della topologia enon tiene conto delle relazioni costitutive.Un grafo si realizza attraversano i seguenti punti:
1. si sostituisce a ogni bipolo un arco di linea (ramo o lato)
2. si assegnano numeri diversi ai vari nodi della rete
3. si assegnano numeri diversi ai vari rami della rete
4. si assegna a ogni ramo un verso, uguale a quello della corrente che circola nel ramo. La tensione viaggia sul ramocon la convenzione degli utilizzatori (verso opposto alla corrente)
Ogni grafo ha
• l lati o rami
• n nodi
• m maglie
17
1 2 3
4
v1
R4
R6
R2
R5
R3
1 2
3
4
12
3
54
6
Figura 2.19: Esempio di realizzazione di un grafo a partire dal circuito
Esempio 4 (Grafi orientati)
Definizione 3 (Grafo connesso) Un grafo si dice connesso se ogni nodo e collegato ad ogni altro nodo attraverso altrilati.
2.6.1 KCL in forma matricialePer la complessita dell’argomento si procede a una spiegazione attraverso un esempio, cercando di generalizzare il risultatoottenuto.5
1 2
3
4
12
3
54
6
−i1 + i2 + i6 = 0 @ 1−i2 − i4 + i5 = 0 @ 2−i3 − i5 − i6 = 0 @ 3i1 + i2 + i3 = 0 @ 4
Si puo dimostrare che le quattro equazioni sopra sono tutte linearmente dipendenti6, pertanto prendendone n−1 risulterannolinearmente indipendenti7.Riportando le equazioni delle KCL a n− 1 nodi in forma matriciale si ha:
−1 1 0 0 0 10 −1 0 −1 1 00 0 −1 0 −1 −1
·i1i2i3i4i5i6
=
000
A =
−1 1 0 0 0 10 −1 0 −1 1 00 0 −1 0 −1 −1
∈ Rn−1,l
i =
i1i2i3i4i5i6
∈ Rl,1
5Nel proseguo della trattazione la matrice A sara evidenziata utilizzano una doppia barra sotto il nome, A, mentra ilvettore v sara evidenziato ponendo una barra singola sotto il nome, v
6nel prosieguo sara segnalato con l.d.7nel prosieguo sara segnalato con l.i.
18
A · i = 0 forma generalizzata della KCL
Definizione 4 (Matrice di incidenza ridotta) Si definisce matrice di incidenza ridotta la matrice A, la matrice con-tenente le relazioni ottenute dalle KCL agli n− 1 nodi. Gli elementi ai,j della matrice valgono:
• +1 se il ramo j incide nel nodo i con verso uscente
• -1 se il ramo j incide nel nodo i con verso entrante
• 0 se il ramo j incide nel nodo i
con tale metodo e possibile realizzare A senza la conoscienza delle leggi di Kirchhoff, pertanto e molto utile per tentare unaimplementazione algoritmica.
2.6.2 KVL in forma matriciale
Come nelle KCL si procede a una spiegazione attraverso un esempio, cercando di generalizzare il risultato ottenuto.
1 2
3
4
12
3
54
6
−v1 + v2 − v4 = 0 @ 4124−v2 + v3 − v5 = 0 @ 4234v4 + v5 − v6 = 0 @ 2132v1 − v3 + v6 = 0 @ 4314
Si puo dimostrare che le quattro equazioni sopra sono tutte l.d., pertanto prendendone l − (n− 1) risulteranno l.i. .Riportando le equazioni delle KVL a l − (n− 1) maglie in forma matriciale si ha:
−1 1 0 −1 0 00 −1 1 0 −1 00 0 0 1 1 −1
·v1
v2
v3
v4
v5
v6
=
000
matB =
−1 1 0 −1 0 00 −1 1 0 −1 00 0 0 1 1 −1
∈ Rl−(n−1),l matrice di un insieme di maglie fondamentali
v =
v1
v2
v3
v4
v5
v6
∈ Rl,1
B · v = 0 forma generalizzata della KVL
Le KVL si effettuano sulle maglie fondamentali e le si scelgono in base all’albero e al coalbero associato al grafo.
2.6.3 Potenziale di nodo
La tensione di nodo e la tensione del nodo rispetto un nodo di riferimento scelto si indicano nel seguente modo
eindice dove indice e l’indice del nodo
19
ejek
vj
k
Figura 2.20: Potenziale di nodo
v = ej − ekSe le tensioni di un circuito sono espresse attraverso i potenziali di nodo allora essse verificano automaticamente le KVLper una qualsiasi maglia del circuito. In tal modo si necessita di n− 1 tensioni al posto di l potenziali8.Provando a trovare un legame tra v e i potenziali di nodo si ha:
v1 = −e1v2 = −e2v3 = −e3v4 = e1 − e2v5 = e2 − e3v6 = e1 − e3
=⇒
v1
v2
v3
v4
v5
v6
=
−1 0 00 −1 00 0 −11 −1 00 1 −11 0 −1
· e1e2e3
=⇒ v = AT · e
Sostituendo i valori ottenuti precedentemente per le KVL con i valori di v calcolati in funzione del potenziale di nodo siottiene una identita.
Mediante le leggi di Kirchhoff in forma matriciale si puo finalmente dimostrare il teorema di conservazione della potenzaistantanea
Teorema 1 (di Tellegen) In tutti i circuiti a parametri concentrati si ha la conservazione dell’energia istantanea, si hadissipazione/erogazione di potenza solo all’interno dei bipoli. Questo risultato e una conseguenza delle leggi di Kirchhoff.
Dimostrazione 5 (Teorema di Tellegen) Per definizione la potenza e il prodotto v · i, ma utilizzando le notazioni matri-ciali esposte prima si ha:
vT · i =(AT · e
)T· i = eT ·
(AT)T· i = eT · (A · i) = 0
Poiche
p(t) =∑k
lvk(t) · ik(t) = vT · i = 0
2.7 Metodo del Tableau
Il metodo del Tableau consiste nello svolgere l’analisi di un circuito sfruttando le equazioni matriciali delle leggi di Kirchhoff.Se noi utilizzassimo le sole equazioni
A · i = 0 v = AT · eavremmo ottenuto tutte le equazioni di interconnessione, scritte in funzione delle l correnti di ramo e delle l tensioni diramo; pertanto si ha un sistema di
• l equazioni, dovute alle n− 1 equazioni delle KCL e alle l − (n− 1) equazioni delle tensioni di ramo
• 2 · l ingognite, l correnti di ramo e l tensioni di ramo
Si intuisce quindi che mancano ancora delle informazioni, mancano infatti le informazioni sulle relazioni costitutive di ognisingolo ramo, tali equazioni descriveranno il comportamento dei bipoli in termini delle l correnti di ramo e delle l tensionidi lato.
F (v, i) = 0
A questo punto si hanno l equazioni che descrivono le relazioni costitutive degli l rami, in tal modo si ottiene un sistema di2 · l equazioni e 2 · l incognite, che e risolvibile9.
A · i = 0
B · v = 0
F (v, i) = 0
Il sistema sopra rappresentano le equazioni circuitali in forma canonica.
8in genere vale la seguente relazione n− 1 < l9anche se e un sistema che potrebbe essere fortemente ridotto
20
2.7.1 Metodo del Tableau con i potenziali di nodo
Per semplificare, ridurre il numero di equazioni e incognite, si puo utilizzare, al posto della KVL, il potenziale di nodo.
v = AT · e
In questo modo le equazioni di interconnessione passano ad essere l + (n− 1) dalle l precedenti.Il sistema che si ottiene e in 2 · l + (n − 1) equazioni e 2 · l + (n − 1) incognite nel quale le equazioni potrebbero risultarelinearmente dipendenti, quindi l’esistenza e/o l’unicita della soluzione va verificata di volta in volta.
A · i = 0
v = AT · e
F (v, i) = 0
2.7.2 Identificazione delle maglie fondamentali
Dato un grafo connesso G
1 2
3
4
12
3
54
6
Definizione 5 (Albero connesso al grafo) Si definisce un albero, A, di G un sottografo connesso che contiene tutti inodi del grafo, ma non racchiude nessuna maglia.
1 23
4
Figura 2.21: Albero associato ad un grafo
Definizione 6 (Coalbero connesso al grafo) Si definisce un coalbero, C, di G l’insieme complementare ad A, cioecontiene tutti i lati di G non contenuti in C. (A ∪ C = G)
Figura 2.22: Albero associato ad un grafo
Il numero di maglie fondamentali, maglie ottenute aggiungendo un solo lato di C per volta ad A, per definizione uguale alnumero dei lati di C, infatti per ogni lato di C si riesce a realizzare una maglia.
Esempio 5 (Individuazione delle maglie fondamentali) Dato il seguente grafo connesso, si puo utilizzando le defi-nizioni precedenti ottenere A e C.
l1, l2, l3 ∈ A n− 1 lati su cui si definiscono i potenziali di notol4, l5, l6 ∈ C l − (n− 1) lati grazie ai quali si definiscono le KVL
Esempio 6 (Riduzione del numero di equazioni/incognite delle equazioni circuitali in forma canonica) Datoil circuito
21
1 2 3
4
R4
R6
R2
R5
R3a(t)
si ha:
A · i = 0
−i1 + i4 + i6 = 0−i2 − i4 + i5 = 0−i3 − i5 − i6 = 0
B · v = 0
−v1 + v2 − v4 = 0−v2 + v3 − v5 = 0v4 + v5 − v6 = 0
F (v, i) = 0⇒M · v +N + i = us
i1 = a(t)v2 = R2 · i2v3 = R3 · i3v4 = R4 · i4v5 = R5 · i5v6 = R6 · i6
Se si sostituissero le relazioni costitutive nelle KCV e nelle KVL si ridurrebbe il sistema ad avere 6 equazioni in 6 incognite
−a(t) + i4 + i6 = 0−i2 − i4 + i5 = 0−i3 − i5 − i6 = 0−v1 +R2 · i2 −R4 · i4 = 0−R2 · i2 +R3 · i3 −R5 · i5 = 0R4 · i4 +R5 · i5 −R6 · i6 = 0
I risultati ottenuti sono in realta risultati generali, pertanto si potra sempre ridurre a un sistema di l equazioni in lincognite.
2.7.3 Riduzione del Metodo del TableauIl metodo del Tableau sfrutta il seguente sistema, composto da equazioni matriciali:
A · i = 0
v = AT · e
M · v +N · i = us
=⇒
0 0 A
−AT 1 0
0 M N
·
e
v
i
=
0
0
us
=⇒ T ·W = u con una unica soluzione se det(T)6= 0
che sono equivalenti a un sistema in 2 · l− (n−1) equazioni e 2 · l− (n−1) incognite. Se cercassimo di utilizzare tale metodoall’esempio precedente e cercando di ridurre il numero di equazioni/incognite si ha:
i1 = a(t)i2 = −G2 · v2
i3 = −G3 · v3
i4 = G4 · (e1 − e2)i5 = G5 · (e2 − e3)i6 = G6 · (e1 − e3)
Si osserva che si e riusciti a mettere in relazione tutte le correnti con le tensioni di lato (fatta eccezione i1 poiche sul ramo1 c’e generatore di corrente indipendente). Sostituendo le correnti delle KCL si ha: −i1 + i4 + i6 = 0
−i2 − i4 + i5 = 0−i3 − i5 − i6 = 0
⇒
−a(t) +G4 · (e1 − e2) +G6 · (e1 − e3) = 0G2 · e2 −G4 · (e1 − e2) +G5 · (e2 − e3) = 0G3 · e : 3−G5 · (e2 − e3)−G6 · (e1 − e3) = 0
⇒ G · e = u
Ci si e riusciti a ricondurre a un sistema in n− 1 equazioni e n− 1 incognite.
2.8 Metodo dei nodiIl metodo dei nodi e un metodo generale, che funziona anche in presenza di generatori, e si articola nei seguenti passi:
1. si numerano i nodi del circuito, prendendone uno come riferimento (sara denominato nodo 0 )
22
2. ad ogni nodo si scrivono le KCL, consideranto positive le correnti entranti ai nodi
3. si utilizzano le relazioni costitutive dei singoli rami per esprimere le correnti in funzione delle rispettive tensioni diramo e delle correnti dei generatori di corrente indipendenti
4. si usano le KVL per esprimere le tensioni dei rami in funzione delle tensioni dei nodi
Osservazioni Poiche il metodo possa essere applicato occorre che i singoli rami siano descritti da relazioni costitutivedel tipo i = g(v), se tale condizione e verificata si puo scrivere il sistema di equazioni in modo automatico (a vista),altrimnenti, nel caso vi siano generatori di tensione, amplificatori . . . devono essere apportate opportune modifice.Si utilizza la seguente equazione matriciale:
G · e = u
La matrice G, matrice delle conduttanze, ha la seguente struttura:
• i termini della diagonale principale, gii contengono la somma delle conduttanze che incidono nell’ i-esimo nodo delcircuito
• gli elementi gij con i 6= j sono l’opposto delle conduttanze esistenti, direttamente, tra l’i-esimo nodo e il j-esimonodo
Il vettore u invece e costutuito, per ciascuna riga (ui) dalla somma algebrica delle intensita di corrente impresse daigeneratori.
Esempio 7 (Metodo dei nodi - I) Si calcoli G · e = u nel seguente circuito
1 2 3
4
R4
R6
R2
R5
R3a(t)
G =
G4 +G6 −G4 −G6
−G4 G2 +G4 +G5 −G5
−G6 −G5 G3 +G5 +G6
simmetrica per costruzione
u =
a(t)00
(G4 +G6) · e1 −G4 · e2 −G6 · e5 = a(t)−G4 · e1 + (G2 +G4 +G5) · e2 −G5 · e3 = 0−G6 · e1 −G5 · e2 + (G3 +G5 +G6) · e3 = 0
≡
−a(t) +G4 · (e1 − e2) +G6 · (e1 − e3) = 0G2 · e2 −G4 · (e1 − e2) +G5 · (e2 − e3) = 0G3 · e : 3−G5 · (e2 − e3)−G6 · (e1 − e3) = 0
Il risultato a destra e il risultato trovato nell’analisi con il metodo del Tableau.
Esempio 8 (Metodo dei nodi - II) Si calcoli G · e = u nel seguente circuito
R1
R2
R3
R5
R6is1 is2
1 2
4
3
R4 is3
G =
G1 +G2 +G4 −(G2 +G4) 0−(G2 +G4) G2 +G3 +G4 +G5 −G5
0 −G5 G5 +G6
u =
is1 (t)−is3 (t)
is3 (t)− is2 (t)
23
2.8.1 Metodo dei nodi modificatoIn presenza di generatori di tensione, la corrente sul ramo puo essere qualsiasi, quindi si hanno due possibili situazioni:
1. il generatore di tensione e colegato al nodo 0 (a massa). In tal caso si effettua il metodo dei nodi escludendo il nodoa cui e collegato il generatore di tensione
2. il generatore di tensione e collegato a 2 nodi (si dice generatore flottante). In tal caso si considera il supernodo10,calcolando la KCV @ supernodo e la KCL su i nodi restanti (che non appartengono al supernodo ovviamente) e siimpone il vincolo imposto dal generatorre.
Esempio 9 (Metodo dei nodi modificato) IMMAGINE
KCL @ supernodo i1 + i2 + i3 + i4 = 0 ⇒ G1 · (e3 − e1) +G2 · (e2 − e1) +G3 · e2 +G4 · e3 = 0KCL @ 1 −i1 − i2 = a(t) ⇒ −G1 · (e3 − e1)−G2 · (e2 − e1) = a(t)
Il vincolo imposto dal generatore di tensione e e2 − e3 = e(t)
2.9 Generatori dipendenti o controllatiSi dice che un generatore e controllato se il suo valore (tensione/corrente imposta nel circuito) e dipendente da un altroparamentro.In generale sono definiti da quadripoli a doppia porta11 o piu semplicemente a doppio bipoli.Esistono diversi generatori di corrente distini:
1. Current Controlled Voltage Source (CCVS), sono generatori di tensione controllati da una corrente e generano
vgenerata = r · icontrollo
2. Voltage Controlled Voltage Source (VCVS), sono generatori di tensione controllati da una tensione e generano
vgenerata = α · vcontrollo
Il simbolo per i generatori di tensione controllati e come per quelli indipendenti solo che al posto del cerchio va messoun rombo IMMAGINE
3. Current Controlled Current Source (CCCS), sono generatori di corrente controllati da una corrente e generano
igenerata = β · icontrollo
4. Voltage Controlled Current Source (VCCS), sono generatori di corrente controllati da una tensione e generano
vgenerata = g · vcontrollo
Il simbolo per i generatori di corrente controllati e come per quelli indipendenti solo che al posto del cerchio va messoun rombo IMMAGINE
L’introduzione di tali generatori e stata necessaria per poter modellizzare il comportamento dei transistor o dei circuitiintegrati che si tratteranno nel corso, come gli amplificatori operazionali.
Esempio 10 (Generatori dipendenti all’interno di un microfono) Un microfono puo essere modellizzato con il se-guente circuito elettronico: IMMAGINE La prima parte (contenente vs e Rs) e il microfono vero e prorpio, la secondaparte (contenente Ri, Ro e ic) fa parte del circuito preamplificante e l’ultima parte (contenente solo RL) e la modellizza-zione dell’amplificatore di potenza e degli altoparlanti.Nel preamplificatore vi e un generatore di corrente controllato (ic) in tensione (dalla tensione vs).Analizzando il circuito si ha
Rp = Ro‖RL
vo = −Rp · ic = −Rp · (g · v1) = −Rp · g ·Rs
Rs +R1· vs
AssumendoRs = 500Ω R1 = 2kΩ Ro = 50kΩ RL = 10kΩ g = 0.12S
Rp =25000
3Ω
vo = −200 · vs
Esempio 11 (Analisi con il metodo dei nodi) IMMAGINE
R1 = 8Ω R2 = 2Ω R3 = 4Ω R4 = 1Ω id = 2 · i0
e1
R1+e1 − e3R4
= 4 KCL @ 1
e2
R2= id − 4 KCL @ 1
e3
R3+e3 − e1R4
= id KCL @ 1
i0 =e1
R1OHM lato 0→ 1
10superficie che racchiude il generatore di tensione e i nodi a cui esso e collegato11si definisce porta si vi e una coppia di terminali attraverso i quali la corrente che entra in un terminale sce dall’altro
terminale
24
Sostituendo si ha:
e1
8+ e1 − e3 = 4
e2
2=e1
4− 4
e3
4+ e3 − e1 =
e1
4
i0 =e1
8
→
9 · e1 − 8 · e3 = 32
−e1 + 2 · e2 = −16
−5 · e1 + 5 · e3 = 0
i0 = e18
→
e1 = 32V
e2 = 8V
e1 = e3 = 32V
i0 = 4A
Esempio 12 (Analisi con il metodo dei nodi modificato) IMMAGINE
V1 = 3V Vg = 4 · V0 R1 = 2Ω R2 = 3Ω R3 = 5Ω R4 = 1Ωe1
R1 +R2+e1 − V1
R4+e1 − VgR3
= 0 KCL @ 1
V0 =R1
R1 +R2· e1
→
e1
5+ e1 − 3 +
e1 − 85· e1
5= 0
V0 =2
5· e1
→
27
5· e1 = 15
V0 =2
5· e1
→
e1 = 15 ·
5
27= 2.7V
V0 =10
9= 1.1V
2.10 Amplificatore Operazionale
Un amplificatore operazionale e un circuito in cui sono presenti 7 terminali:
Uscita 1 terminale, OUT
Alimentazione due terminali, E− e E+
Ingresso due terminali, In− e In+
Offset due terminali
Generalmente e implementato in un circuito DIP 12 e il piu noto Amplificatore Operazionale13 e il µA 741.All’interno e composto da un gran numero di componenti, come transistori e resistori, ma per gli scopi previsti dal corso esufficiente considerare un AO come un grande “scatolo” composto da quattro terminali (non realizzano un doppio bipolo)e la sua rappresentazione grafica e la seguente
Figura 2.23: Rappresentazione grafica di un Amplificatore Operazionale Ideale
2.10.1 Andamento dell’uscita in funzione degli ingressi
v-
v+
i-
i+
Si definisce tensione differenziale vd = v+ − v−.
12DIP = Dual Inline Package13in seguito della trattazione sara denominato AO
25
−vmax/2 0 vmax/2
−vmax
0
vmax
vo
vd
Figura 2.24: Andamento AO ideale
Si ha una reglione lineare vicino all’origine, cioe dove vd → 0, dove si ha una grande pendenza che porta il grafico dallasoglia negativa alla soglia positiva.Le tensioni di soglia sono circa uguali alle tensioni di alimentazione E− e E+
14
2.10.2 Circuito equivalente in regione lineare
In regione lineare un AO e equivalente a
+
-Ri
Ro
A*vd vovd
Figura 2.25: Circuito equivalente di un AO in regione lineare
dove
• Ri rappresenta la resistenza vista in ingresso, idealmente e infinita ma in realta ha valori molto elevati Ri ∈[105, 1012]Ω
• Ro rappresenta la resistenza vista in uscita, idealmente e nulla ma in realta ha valori molto piccoli Ro ∈ [5, 50]Ω
• A, guadagno dell’amplificatore ad anello aperto, tale guadagno e proporsionale alla pendenza della regione lineare,idealmente e infinito ma in realta ha valori molto elevati A ∈ [105, 108]
2.10.3 Amplificatore Ideale Ideale
Sotto le ipotesi di Ri → +∞, Ro → 0 e A→ +∞ si ha:
A→ +∞ si ha vd = 0 quindi si ha un corto circuito virtuale, idealmente e come se v+ e v− fossero collegati da un file
Ri → +∞ implica che i+ = i− = 0, idealmente e come se v+ e v− fossero in un circuito aperto
Chiaramente tali ipotesi possono essere contraddittorie, ma sono estremamente utili nell’analisi dei circuiti.
14generalmente valori tipici sono 12V , 15V
26
Analisi nodale di un AO in configurazione invertente
+
ve
ve
R1
RF
vo
1A
B
Figura 2.26: AO in configurazione invertente
Per calcolare la corrente che passa attraverso R1 si puo pensare il nodo 1 come collegato a massa (utilizzando l’ipotesi dicorto circuito ideale) e utilizzare la KV L @ A1BA
ve − vR1− v− = 0⇒ ve = vR1
iR1=vR1
R1=
ve
R1
mentre per calcolare la corrente che passa attraverso RF occorre considerare la massa virtuale e utilizzare la KV L tral’uscita e il nodo 1
−vRF + vo = 0⇒ vo = vRF
iRF =vRFRF
=vo
RF
KCL @ 1ve
R1+
v0
RF= 0⇒
vo
ve= −
RF
R1⇒ vo = −
RF
R1· ve
|ve| ≤ R1RF· Esat
Il circuito sopra raffigurato e equivalente a
+
ve
R1Gve
vo
RF
G = -Rf/R1
Figura 2.27: Circito equivalente di un AO invertente
In tale configurazione l’AO ribalta (cambia il segno) alla tensione di ingresso e la amplifica di RFR1
, se RFR1
< 1 in realta
il segnale non viene amplificato ma viene attenuato (ridotto di ampiezza).
Analisi nodale di un AO in configurazione non invertente
+
ve
R1 RF
vo
1
A
B
Figura 2.28: AO in configurazione non invertente
Al nodo 1 si ha il potenziale di v− ma poiche vd = 0, per ipotesi di AO ideale, allora v− = v+ ma v+ = ve. Utilizzando lestesse strategie precedenti, per il calcolo delle correnti si ha
KCL @ 1ve − voRF
+ve
R1= 0
27
R1 · ve −R1 · vo +RF · ve = 0⇒ vo =R1 +RF
R1· ve =
(1 +
RF
F1
)· ve
|ve| ≤ R1R1+RF
· Esat
Il circuito sopra raffigurato e equivalente a
+
veGve
vo
G = 1+Rf/R1
Figura 2.29: Circito equivalente di un AO non invertente
In tale configurazione il circuito amplifica la tesione di ingresso sempre
∀RF 6= 0, R1 1 +RF
R1> 1
L’unica eccezione la si ha quando RF e sostituito da un corto circuito, in quel caso la presenza di R1 e ininfluente al circuito,pertanto la si puo omettere, tale configurazione e la configurazione dell’Inseguitore di tensione o Voltage Follower.
Esempio 13 (Analisi nodale in presenza di AO) L’analisi nodale nel quale sono presenti generatori oppure amplifi-catori deve essere modificato, si effettua l’analisi nodale non scrivendo le KCL sui nodi al quale e collegato il generatore esul nodo di uscita dell’amplificatore.
+
-v1
R1
R2
R3R4
R5
1
v1 = 1V R1 = 10kΩ R2 = 90kΩ R3 = 50kΩ R4 = 100kΩ R5 = 10kΩ
e1 = v+
Ma utilizzando il corto circuito virtuale v− = v+ = e1.Utilizzando la KVL si ha
v0 − e1R4
=e1
R3⇒ v0 = 3 · e1
Poiche v− e la tensione ai capi di R2, si puo calcolare il partitore di tensione (poiche la corrente entrante all’ingressoinvertente dell’AO e nulla)
e1 =R2
R1 +R2· v1 =
90k
10k + 90k· 1 = 0.9V
v0 = 3 · 0.9 = 2.7V
Attraverso la KCL al nodo in uscita dell’AO si puo calcolare i0
i0 = i1 + i2 ⇒ i0 = v0 ·(
1
R5+
1
R4
)= 2.7 ·
(1
10k+
1
150k
)= 288µA
Ora se volessimo effettuare una verifica sui dati ottenuti, potremmo considerare la sperficie chiusa contenente l’AO, e intale superficie la somma delle correnti entranti deve essere nulla, infatti
i0 + i+ + i− + im = 0⇒ i0 = −im
28
Analisi nodale di un AO a guadagno unitario (buffer)
+
vevo
A
B
Figura 2.30: AO in configurazione di buffer
Il circuito e equivalente, in regione lineare, e il seguente:
+
-
+
ve
vd Ri
i
A*vd
Ro
vo
Figura 2.31: Circito equivalente di un AO buffer
i = ve−A·vdRi+Ro
vd = Ri · i=
i = ve−Ri·A·i
Ri+Ro
vd = Ri · i=
i = ve
Ri+Ro− A·RiRi+Ro
vd = Ri · i=
i ·(
1 + A·RiRi+Ro
)= ve
Ri+Ro
vd = Ri · i⇒
=
i = ve
Ri·(1+A)+Ro
vd = Ri · i=
i = ve
Ri·(1+A)+Ro
vd = Ri·veRi·(1+A)+Ro
vo = Ro · i+A · vd = (Ro +Ri ·A) · i =Ro +Ri ·A
(1 +A) ·Ri +R0· ve
vo indica il valore in uscita e in qualche modo dipendente da ve, ma il modello utilizzato e un po’ piu accurato del modelloideale.Se utilizziamo l’ipotesi di AO ideale, si ha che A→ +∞, quindi
Ro +Ri ·A(1 +A) ·Ri +R0
∼Ro +Ri ·AA ·Ri +R0
= 1
in queste condizioniv0 = ve
v− = vo v+ = ve
Se avessimo utilizzato dal principio l’approssimazione dell’ AO ideale avremmo avuto
vd = 0 =⇒ ve = v+ = v− = vo
quindi avremmo avuto in modo immediato che vo = ve.Il buffer e utilizzato quando non si vogliono avere cadute di tensioni ai capi del carico. In tale condizione si ha che
io = −vo
RL= −
vs
RL⇒ vo = vs
Nel caso in cui non ci fosse collegato il buffer si avrebbe
+
-ve
Rs
RLvo
29
vo = vs ·RL
RL +Rs
Se RL → 0 allora vo → 0, che e molto diverso dal risultato precedente.
Esempio 14 (Analisi dei nodi in presenza di AO - I) Effettuare l’analisi al seguente circuito
+
-v1R1
R3
R4
R2 R5
RL
1 2
3
4
vo
V1 = 10V R1 = 5kΩ R2 = 5kΩ R3 = 10kΩ R4 = 5kΩ R5 = 5kΩ
e1 = V1 per il generatore
e2−e1R1
+ e2R3
+ e2−e3R4
= 0 KCL @ 2
e3−e1R2
+ e3−e2R4
+ i− + e3−voR5
= 0 KCL @ 3
e4 = vo KCL @ 4
i− = 0 vincolo AO ideale
e3 = v− = v+ = 0⇒ e3 = 0 vincolo AO ideale
Risolvendo si ha un sistema in 2 incognite e 2 equazionie2−10
5k+ 3·e2
10k= 0
105k
+ e25k
+ vo5k
= 0
=
e2 = 4V
vo = −14V
Esempio 15 (Analisi dei nodi in presenza di AO - II) Effettuare l’analisi al seguente circuito
+
-
1
3
24
vin
R1
R2 R3
R4
R5 vo
R1 = 10kΩ R2 = 40kΩ R3 = 80kΩ R4 = 10kΩ R5 = 20kΩ
e1−vinR1
+ e1−e2R2
+ e1−voR3
= 0 KCL @ 1
No l′uscita dell′AO
e3R4
+ e3−voR5
= 0 KCL @ 3
No l′uscita dell′AO
Risolvendo svolgendo i calcoli si ha a che fare con un sistema in 2 equazioni e 2 incognite (e3, vo).
AO in configurazione da sommatore
IMMAGINE Utilizzando la KCL sul nodo 1 si ha che
e1 − v1
R1+e1 − v2
R2+e1 − v3
R3+e1 − voRo
= 0
30
Sfturando l’ipotesi di AO ideale si ha chee1 = v− = v+ = 0
Quindi
−v1
R1−v2
R2−v3
R3−vo
Ro= 0⇒ vo = −
Ro · v1
R1−Ro · v2
R2−Ro · v3
R3
Il circuito e un circuito che effettua la combinazione lineare, infatti
vo = α · v1 + β · v2 + γ · v3
con
α = −RoR1
β = −RoR2
γ = −RoR3
AO in configurazione differenziale
IMMAGINE Utilizzando la KCL sul nodo 1 si ha che
e1 − v2
R3+e1 − voR4
= 0
Sfruttando l’ipotesi di AO ideale si ha chee1 = v− = v+ = vR2
Ma vR2e la tensione ai capi di R2, quindi si calcola vR2
in funzione di v1.
vR2=
R2
R1 +R2· v1
v0 =
(e1
R3+e1
R4−v2
R3
)·R4 = −
R4
R3· v2 +
(1 +
R4
R3
)· e1 = −
R4
R3· v2 +
(1 +
R4
R3
)·
R2
R1 +R2· v1
v0 = α · v1 − β · v2
con α =
(1 + R4
R3
)· R2R1+R2
β = −R4R3
AO come Convertitore Digitale Analogico (DAC )
IMMAGINE E un AO sommatore, quindi si ha che
E
R· b1 +
E
2 ·R· b2 +
E
3 ·R· b3 +
v0
Ro= 0
vo = −E ·RoR
·(b1 +
b2
2+b3
4
)Tale configurazione converte il numero binario b3b2b1 (bi = 1 se l’interruttore e chiuso) in valori di tensione analogici, talevalore per la natura del circuito e di segno negativo, pertanto se si vuol avere i valori positivi e sufficiente aggiungere uninvertitore di tensione (un amplificatore invertente con guadagno unitario).
2.10.4 Collegamento in cascata di AO
Se si ha il collegamento in cascata di piu amplificatori operazionali il rapporto della tensione di uscita e quella di ingressoe pari al prodotto dei vari rapporti presi singolarmente.
Esempio 16 (AO in cascata) IMMAGINE In questo circuito si puo porre v′o come risultato intermedio (tensione diuscita del primo AO e di ingresso al secondo AO). Mediante tale metodo si puo calcolare l’uscita di ogni singolo AO e poicombinare i risultati.Infatti nel primo AO si ha che
v′o = −R2
R1· vi
mentre nel secondo AO si ha che
vo = −R4
R3· v′o = −
(R4
R3
)·(−R2
R1
)· vi
2.11 Analisi dei circuiti, teoremiVi sono metori, basati su teoremi e proprieta dei circuiti a-dinamici lineari, che consentono la semplificazione del circuito.Tali teoremi sono:
• Teorema di Millman
• Proprieta di linearita
• Principio di sovrapposizione degli effetti
• ...
31
2.11.1 Teorema di MillmanTale teorema e applicabile in circuiti con una topologia semplice e selettiva. E necesario che tutti i rami del circuito, su cuisi applica, siano collegati in parellelo e su ogni ramo vi e il collegamento in serie tra un generatore di tensione e un resistore.Tale applicazione ci consente di ottenereimmediatamente la tensione tra i due nodi del parallelo, A e B
vAB =
N∑k=1
Gk · vk
N∑i=1
Gi
dove N indica il numero dei rami.Se su un ramo vi e solo un resistore allora e possibile comunque utilizzare tale teorema introducendo un generatore ditensione indipendente dal valore nullo.
Dimostrazione 6 Si utilizza il metodo dei nodi
+
E1
R1
+
E2
R2
+
EN
RN
Figura 2.32: Dimostrazione Teorema di Millman
KCL @ A (v − v1) ·G1 + (v − v2) ·G2 + . . .+ (v − vN ) ·GN = 0⇒ v ·N∑i=1
Gi =N∑k=1
vk ·GK
v =
N∑k=1
Gk · vk
N∑i=1
Gi
Esempio 17 Calcolare v0
++
E1
E2R1
R2 R3v0
v0 =
E1R1− E2R3
1R1
+ 1R2
+ 1R3
Teorema di Millman in presenza d generatori di corrente indipendenti
+
E1
R1
+
E2
R2
+
EN
RN
a1a2 aMv0
Figura 2.33: Teorema di Millman in presenza di M generatori di corrente
Tutti i generatori di corrente indipendenti, poiche sono posti in parallelo possino essere sostituiti da un solo generatore dicorrente indipendente che genera una corrente pari alla somma algebrica delle correnti generate
a(t) =M∑i=1
ai(t)
32
a(t) > 0 se la corrente e entrante al nodo
Si ha quindi il seguente circuito
+
E1
R1
+
E2
R2
+
EN
RN
av0
v =
N∑k=1
Gk · vk +M∑j=1
ai
N∑i=1
Gi
Dimostrazione 7 Calcolando la tensione, mediante il metodo dei nodi si ha
+
E1
R1
+
E2
R2
+
EN
RN
v0 a
A
KCL @ A (v − v1) ·G1 + (v − v2) ·G2 + . . .+ (v − vN ) ·GN − a(t) = 0⇒ v ·N∑i=1
Gi =
N∑k=1
vk ·GK + a(t)
a =M∑j=1
ai
v =
N∑k=1
Gk · vk +
M∑j=1
ai
N∑i=1
Gi
Esempio 18 Calcolare v
+
E
R1 R2 R3
v J
A
v =
ER1
+ J
1R1
+ 1R2
+ 1R3
33
2.11.2 Proprieta di linearitaIn un circuito lineare vi e un rapporto di proporzionalita tra le cause, generatori indipendenti, e gli effetti, tensioni e correntiin ogni elemento circuitale.Si ha un caso particolare quando in un circuito a-dinamico lineare si ha un solo generatore indipendente.
Dimostrazione 8 (Illustrazione della proprieta di linearita) Si puo illustrare tale proprieta mediante l’analisi deinodi
+
vs
R1
R3
R5
R2
R4
Le resistenze non hanno un collegamento ne serie ne parallelo.e1 − vsR1
+e1 − e2R5
+e1
R3= 0 KCL @ 1
e1 − vsR2
+e2 − e1R5
+e2
R4= 0 KCL @ 2
=
e1 ·G1 − vs ·G1 + e1 ·G5 − e2 ·G5 + e1 ·G3 = 0e2 ·G2 − vs ·G2 + e2 ·G5 − e1 ·G5 + e2 ·G4 = 0
=
=
(G1 +G3 +G5 −G5
−G5 G2 +G4 +G5
)·(
e1e2
)=
(vs ·G1
vs ·G2
)e1 =
G1 · (G2 +G4 +G5) +G2 ·G5
G1 · (G2 +G4 +G5) +G2 · (G3 +G5) +G3 · (G4 +G5) +G4 ·G5· vs = α · vs
e2 =G1 · (G2 +G5) +G2 · (G3 +G5)
G1 · (G2 +G4 +G5) +G2 · (G3 +G5) +G3 · (G4 +G5) +G4 ·G5· vs = β · vs
2.11.3 Principio di sovrapposizione degli effetti
E una espanzione del principio di linearita.In un circuito a-dinamico lineare, qualunque tensione o corrente e la somma degli effetti dovuti ai singoli generatori indi-pendenti quando agiscono uno alla volta. I generatori controllati restano invariati.Disattivare un generatore di tensione significa sostituirlo con un cortocircuito.Disattivare un generatore di corrente significa sostituirlo con un circuito aperto.
Esempio 19 Calcolare ix.
a|b, significa calcolare l’effetto a dovuto esclusivamente a b.
+
vs JR2
R1
R3i1
ix = ix|E + ix|Jix|E
+
vs R2
R1
R3i1
34
ix|E =R3
R2 +R3·
E
R1 +R2‖R3
ix|J
JR2
R1
R3i1
ix|J = −R1‖R3
R1‖R3 +R2· J
ix =R3
R2 +R3·
E
R1 +R2‖R3−
R1‖R3
R1‖R3 +R2· J
Il principio di sovrepposizione ha innumerevoli implicazioni teoreiche, mentre dal punto di vista applicitivo e di lungo uso,in quanto bisogna studiare tanti circuiti quanti sono i generatori indipendenti.
Esempio 20 (Uso del principio di sovrepposizione degli effetti) Calcolare i
+
+
R1
R5
R4
R2
R3
a2
a1
e2
e1
i
Figura 2.34: Esercizio di analisi con Sovrapposizione degli effetti
i = i|e1 + i|e2 + i|a1 + i|a2i|e1
+
R1
R5
R4
R2
R3
e1
i
i attraversa la serie di R5, R1 e R3 quindi si puo eliminare il ramo in parallelo contenente la serie R2 e R3.
i|e1 =e1
R1 +R3 +R5
i|e2
35
+
R1
R5
R4
R2
R3
e2
i
delle resistenze in serie, i cui terminali sono connessi allo stesso nodo, sono equivalenti ad un cortocircuitito, quindiil circuito e equivalente a
+
R1
R5
R3
e2
i
i|e2 =e2
R1 +R3 +R5
i|a1
R1
R5
R4
R2
R3a1
i
un generatore indipendente di corrente con in serie un resistore e equivalente al solo generatore indipendente, quindiil circuito e equivalente a
R4 ||R2
R3a1
i
R1 +R5
i|a1 =R3
R1 +R3 +R5· a1
i|a2
36
R1
R5
R4
R2
R3
a2
i
un generatore indipendente di corrente con in serie un resistore e equivalente al solo generatore indipendente, quindiil circuito e equivalente a
R3a1
i
R1 +R5
i|a2 = −R1 +R3
R1 +R3 +R5· a2
i = i|e1 + i|e2 + i|a1 + i|a2 =1
R1 +R3 +R5· (e1 + e2 +R3 · a2 − (R1 +R3) · a2)
Esempio 21 Calcolare ix
+
-
+-
E1
E2R1
R2
R3
R4
ix
J
Se lo si risolve con il principio di sovrapposizione si impiegherebbe molto tempo, ma si puo osservare che J e R2 sonoin parallelo quindi e equivalente ad avere un generatore di tensione, valore di R2 · J, e un resistore R2; pertanto si puoutilizzare il teorema di Milmann che impiega un tempo estremamente inferiore.
+
-
+-
E1
E2R1
R2
R3
R4
ix
+-J*R2
B
A
vAB =
E1R1− R2·JR2+R3
− E2R4
1R1
+ 1R2+R3
+ 1R4
Ora poiche l’interesse e solo puntato al calcolo di ix allora si puo considerare un circuito cosı fatto
37
+
-
vAB+J*R2
R2+R3
ix
quindi
ix =vAB + J ·R2
R2 +R3
L’utilizzo dei principio di sovrapposizione nel caso di presenza di AO impne un’anali nodale per ogni generatore, pertantoe molto piu conveniente effettaure l’analisi nodale diretamente al circuito fondamentale.
2.11.4 Principio di sostituzioneIl principio di sostituzione consente di sostituire, sotto opportune ipotesi, una parte del circuito con un generatore indipen-dente. Si ha un circuito, N , che e possibile separarlo in due dipoli:
• NR, dipolo resistivo, lineare o non lineare
• NL dipolo qualsiasi
La sostituzione si puo effettuare in due modi distinti:
• Se N ha come unica soluzione v = v(t) ∀t, allora tensioni e correnti in NR si otteranno, invariate, se si sostituisceNL con un generatore di tensione v(t).
• Se N ha come unica soluzione i = i(t) ∀t, allora tensioni e correnti in NR si otteranno, invariate, se si sostituisceNL con un generatore di tensione i(t).
Nelle ipotesi di sostituzione 1 e 2, sostituendo NL con un generatore indipendente di corrente/tensione opportuno si hache tutte le tensioni e le correnti NR non variano. In presenza di generatori controllati e necessario, per non perdere leinformazioni dovute al controllo, che sia il generatore e il controllo appartengano a NR.
Esempio 22 (Uso del principio di sostituzione) Calcolare ix IMMAGINE Modificando la posizione dei rami si puoavere il seguente circuito IMMAGINE Si puo calcolare con il teorema di Millman la tensione vAB, pertanto si puo sostituirela parte sinistra del circuito con un generatore di tensione indipendente IMMAGINE per la legge di Ohm si ha che
ix =vAB
R2
Esempio 23 Calcolare i0 IMMAGINE Mediante l’uso del partitore di tensione si ha che
vAB =RP
R1 +RP· E =
R2‖(R3 +R4)
R1 +R2‖(R3 +R4)· E =
4
1 + 4· 1 = 0.8V
E possibile quindi sostituire la prima parte con un nuovo generatore di tensione, vAB IMMAGINE Poiche un generatoredi tensione con in parallelo un resistore e equivalente a un generatore di tensione (la tensione ai capi del parallelo e sempreuguale). Ora utilizzando la legge di Ohm si puo calcolare i0
i0 =VAB
R3 +R4= 0.1A
Esempio 24 Calcolare i0 IMMAGINE
R1 = 3Ω R2 = 6Ω R3 = 2Ω R4 = 4Ω IG = 9A
RP = R1‖R2 +R3 = 4Ω
Si calcola i, la corrente che entra nella parte circuitale contenente i0
i =R4
R4 +RP· IG =
4
4 + 4· 9 =
9
2A = 4.5A
Il circuito sara quindi equivalente a IMMAGINE un generatore indipendente di corrente con in serie un resistore generauna corrente pari al solo generatore indipendente di corrente IMMAGINE si calcola quindi la corrente i0 mediante ilpartitore di corrente
i0 =R1
R1 +R2· i =
3
3 + 9·
9
2=
3
2A = 1.5A
Esempio 25 (Principio di sostituzione in presenza di AO) Calcolare v0 IMMAGINE poiche i+ = 0, ipotesi del-l’AO ideale, allora R1 e in serie con R2 quindi
vR2=
R2
R1 +R2· vs
Il circuito sara quindi equivalente al seguente circuito IMMAGINE Poiche si ha una configurazione nota, amplificatorenon invertente, si ha che
v0 =
(1 +
R2
R1
)· vR2
=
(1 +
R2
R1
)·(
R2
R1 +R2
)· vs =
R2
R1· vs
Casi particolari:• Se v12 = 0 allora il circuito e equivalente a sostituire B con un cortorictuito. IMMAGINE
• Se i = 0 allora il circuito e equivalente a sostituire B con un circuito aperto. IMMAGINE
38
2.11.5 Teorema di TheveninTale teorema e basato sul principio di sovrapposizione e sul teorema di sostituzione.A e un circuito con due terminali, lineare e a-dinamico. Il teorema di Thevenin suppone la conoscenza di i. IMMAGINEpertanto si ha che
v = vT +RT · icon
• vT tensione di Thevenin, si ottiene calcolando la tensione con circuito aperto al posto di B.
• RT resistenza di Thevenin, si ottiene calcolando la resistenza equivalente quando sono nulli tutti i generatori
Dimostrazione 9 (Teorema di Thevenin) Si ipotizza di avere un generico circuito composto da due dipoli A e B IM-MAGINE poiche e nota i, allora B lo si puo sostituire con un generatore indipendente di corrente (teorema di sostituzione).Poiche vi possono essere dei generatori indipendenti anche in A allora
v = v|i + v|gen interni
v|i = v|gen interni=0= RT · i
v|gen interni = v|i=0= vT
v = vT +RT · iL’equivalente di Thevenin, per il dipolo A, del seguente circuito e IMMAGINE
Esempio 26 (Teorema di Thevenin) Calcolare i0 IMMAGINE Modificando il circuito, le modifiche devono essere solografiche15, si ha IMMAGINE la parte alla sinistra dei nodi A e B puo essere rappresentata con Thevenin nel seguentemodo IMMAGINE pertanto
i0 =vT
RT +R5
ora e necessario calcolare vT e RT . Per calcolare RT e necessario rendere nulli tutti i generatori IMMAGINE
RT = [(R1‖R4) +R2] ‖R3
Per calcolare vT occorre calcolare la tensione tra A e B IMMAGINE e equivalente a IMMAGINE pertanto
vT =R4
R4 +R1‖(R2 +R3)· vs
2.11.6 Teorema di NortonTale teorema e basato sul principio di sovrapposizione e sul teorema di sostituzione, tale teorema e il teorema duale alteorema di Thevenin.In questo caso il teorema di Norton suppone la conoscenza di v. IMMAGINE pertanto si ha che
i = iN +GN · v
con
• iN corrente di Norton, si ottiene calcolando la corrente del circuito con un cortocircuito al posto di B.
• RT conduttanza di Norton, si ottiene calcolando la conduttanza equivalente quando sono nulli tutti i generatori
La dimostrazione si ottiene in modo analogo alla dimostrazione del teorema di Thevenin.L’equivalente di Norton, per il dipolo A, del seguente circuito e IMMAGINE
15necessarie per una buona comprensione visiva
39
40
Capitolo 3
Analisi di Circuiti costituiti daMultipoli
3.1 Introduzione multipoliUn multipolo e un elemento circuitale con piu di due terminali. Il loro comportamento e descritto dalle correnti in tutti iterminali e dalle tensioni tra le coppie dei terminali.
Definizione 7 (Porta) Si definisce porta una coppia di terminali, di un multipolo, nei quali la corrente entrante ha segnoopposto (da un terminale la corrente entra, mentre dall’altro terminale della porta esce la medesima corrente).
Casi particolari sono:
• un dipolo e sempre una porta, per definizione
• un quadripolo nel quale si possono realizzale due porte si dice doppio bipolo, doppia porta o 2-porta. IMMAGINE
N. B. un elemento a tre terminali puo essere considerato come un doppio bipolo se si considera nel modo seguenteIMMAGINE La potenza in un doppio bipolo e
P = v1 · i1 + v2 · i2 =
(v1
v2
)· (i1, i2)
In realta sono stati gia introdotti esercizi con i doppi bipoli, con i generatori controllati.
3.2 Rappresentazione di un dippio bipolo a-dinamico linearePer doppio bipolo a-dinamico lineare sono possibili sei rappresentazioni:
• su base corrente, se si tengono i1 e i2 come variabili indipendenti
• su base tensione, se si tengono v1 e v2 come variabili indipendenti
• ibride, se si tengono come variabili indipendenti la tensione di una porta e la corrente dell’altra porta
• di trasmissione, se si tengono come variabili indipendenti la tensione e la corrente di una porta
3.2.1 Rappresentazione su base correntev1 = R11 · i1 +R12 · i2v2 = R21 · i1 +R22 · i2
R11 =v1
i1 |i2=0
R12 =v1
i2 |i1=0
R21 =v2
i1 |i2=0
R22 =v2
i2 |i1=0
R =
(R11 R12
R21 R22
)v = R · i
La potenza del dipolo e P = iT ·R · i.
Esempio 27 (Esempio rappresentazione su base corrente) Dal circuito si ricava che IMMAGINE
R11 =v1
i1 |i2=0
Ma se i2 = 0 allora R2 e in serie con R3, poiche v1i1
= Req allora
R11 = R1‖(R2 +R3)
41
R22 =v2
i2 |i1=0
= [(R1 +R2) ‖R3] +R4
R12 =v1
i2 |i1=0
v1 = R1 · i∗ = R1 ·R3
R1 +R2 +R3
3.2.2 Rappresentazione su base tensionei1 = G11 · v1 +G12 · v2
i2 = G21 · v1 +G22 · v2
G11 =i1
v1 |v2=0
G12 =i1
v2 |v1=0
G21 =i2
v1 |v2=0
G22 =i2
v2 |v1=0
G =
(G11 G12
G21 G22
)i = R · v
La potenza del dipolo e P = vT ·G · v.
Si puo osservare che G = R−1
Esempio 28 (Esempio rappresentazione su base tensione) Dal circuito si ricava che IMMAGINE
G11 =i1
v1 |v2=0
= (G4 +G3)‖G2 +G1
G22 =v2
i2 |i1=0
= (G2 +G3)‖R4
3.2.3 Rappresentazione ibridav1 = H11 · i1 +H12 · v2
i2 = H21 · i1 +H22 · v2
H11 =v1
i1 |v2=0
H12 =v1
v2 |i1=0
H21 =i2
i1 |v2=0
H22 =i2
v2 |i1=0
H =
(H11 H12
H21 H22
)
Rappresentazione ibrida - II i1 = H′11 · v1 +H′12 · i2v2 = H′21 · v1 +H′22 · i2
H′ =
(H′11 H′12H′21 H′22
)Si puo dimostrare che H′ = H−1.
3.2.4 Rappresentazione di trasmissionev1 = T11 · v2 + T12 · (−i2)i1 = T21 · v2 + T22 · (−i2)
T =
(T11 T12
T21 T22
)=
(A BC D
)In base alle definizioni date sorgono dei problemi calcolativi in quanto si hanno vincolo e generatore sulla stessa porta,pertanto si calcola il reciproco e si effettua nuovamente il reciproco.
T11 =v1
v2 |i2=0
=1
v2
v1 |i2=0
42
Rappresentazione di trasmissione - IIv2 = T ′11 · v1 + T ′12 · i1−i2 = T ′21 · v1 + T ′22 · i1
T ′ =
(T ′11 T ′12T ′21 T ′22
)=
(A′ B′
C′ D′
)In base alle definizioni date sorgono dei problemi calcolativi in quanto si hanno vincolo e generatore sulla stessa porta,pertanto si calcola il reciproco e si effettua nuovamente il reciproco.
T11 =v1
v2 |i2=0
=1
v2
v1 |i2=0
Esempio 29 (Esempio rappresentezione di trasmissione - II) Calcolare T IMMAGINE
T11 =v1
v2 |i2=0
=1
v2
v1 |i2=0
v2 =R2
R1 +R2· v1
T11 =v1
v2=R1 +R2
R2= 1 +
R1
R2
T21 =i1
v2 |i2=0
=1
v2
i1 |i2=0
=1
R2
T22 =i1
−i2 |v2=0
=1
−i2i1 |v2=0
=R2 +R3
R2= 1 +
R3
R2
T12 =v1
−i2 |v2=0
=1
−i2v1 |v2=0
= R1 +R2‖R3
R1 +R2‖R3
3.3 Relazioni tra rappresentazioni di un doppio bipoloConfrontendo le espressioni di R, G, H, H′, T , T ′ si osserva che
G = R−1
H = H−1
T = T−1 con i temini della diagonale principale con segno opposto
3.3.1 Relazione tra H e RSi ha dalle formule precedenti che
v1 = R11 · i1 +R12 · i2v2 = R21 · i1 +R22 · i2v1 = H11 · i1 +H12 · v2
i2 = H21 · i1 +H22 · v2
H11 =v1
i1 |v2=0
H21 =i2
i1 |v2=0
v2 = 0⇒
v1 = R11 · i1 +R12 · i20 = R21 · i1 +R22 · i2
⇒v1 =
(R11 −R12 ·
R21
R22
)· i1 =
detR
R22· i1
i2 = −R21
R22· i1
H11 =
detR
R22· i1
i1=
detR
R22H21 =
−R21R22· i1
i1= −
R21
R22
H12 =v1
v2 |i1=0
H22 =i2
v2 |i1=0
i1 = 0⇒
v1 = R12 · i2v2 = R22 · i2
⇒
i2 =
1
R22· v2
v1 =R12
R22· v2
H12 =
R12R22· v2
v2=R12
R22H22 =
1R22· v2
v2= R22
43
3.3.2 ReciprocitaDatu due insiemi di tensioni che soddisfano le equazioni del doppio dipolo
v1′, v2
′, i1′, i2′ v1
′′, v2′′, i1
′′, i2′′
Definizione 8 (Dipolo reciproco) Il doppio dipolo si dice reciproco se
v1′ · i1′′ + v2
′ · i2′′ = v1′′ · i1′ + v2
′′ · i2′
Esempio 30 (Reciprocita di R) Se in un dipolo ho due condizioni di funzionamento, se lo si rappresenta in base allecorrenti si ha
1. 1a condizione di funzionamentoi1′ = i1 i2
′ = 0
v2′ = R21 · i1′ +R22 · i2′ = R21 · i1
2. 2a condizione di funzionamentoi1′′ = 0 i2
′′ = i2
v1′′ = R11 · i1′′ +R12 · i2′′ = R12 · i2
Il dipolo si dice eciproco se
v1′ · i1′′ + v2
′ · i2′′ = v1′′ · i1′ + v2
′′ · i2′ =⇒ v2′ · i2′′ = v1
′′ · i1′
R21 · i1 · i2 = R12 · i2 · i1 =⇒ R12 = R21
Si osserva che la condizione di reciprocita implica la simmetria di R.
Esempio 31 (Reciprocita di G) Se si rappresenta in dipolo con le tensioni si ha
1. 1a condizione di funzionamentov1′ = v1 v2
′ = 0
i2′ = G21 · v1
′ +G22 · i2′ = G21 · v1
2. 2a condizione di funzionamentov1′′ = 0 v2
′′ = v2
i1′′ = G11 · v1
′′ +G12 · v2′′ = G12 · v2
Il dipolo si dice eciproco se
v1′ · i1′′ + v2
′ · i2′′ = v1′′ · i1′ + v2
′′ · i2′ =⇒ v1′ · i1′′ = v2
′′ · i2′
v1 ·G12 · v2 = v2 ·G21 · v1 =⇒ G12 = G21
Si osserva che la condizione di reciprocita implica anche la simmetria di G.
Per H si ha che la reciprocita implica che la matrice antisimmetrica e H′.
Per T si ha che la reciprocita implica che detT = detT ′ = 1.
3.3.3 Connessioni di doppi bipoli
Connessione di tipo serie
Due doppi bipoli si dicono in serie se sono collegati tra loro nel seguente modo: IMMAGINE Si ha che
i1 = i1′ = i1
′′ i2 = i2′ = i2
′′
Sfruttando la KVL si ha chev1 = v1
′ + v1′′
v1′ = R11
′ · i1 +R12′ · i2 v1
′′ = R11′′ · i1 +R12
′′ · i2v1 = (R11
′ +R11′′) · i1 + (R12
′ +R12′′) · i2
⇒ v =(R′ +R′′
)· i = R · i
Esempio 32 (Doppi dipoli collegati in serie) Calvolare il rapportov2
vsnel seguente circuito IMMAGINE Si puo con-
siderare il collegamento del dipolo composto da un unico dipolo equivalente
R = R′ +R′′ =
(12 88 20
)+
(10 1010 10
)=
(22 1818 30
)
v1 = R11 · i1 +R12 · i2v2 = R21 · i1 +R22 · i2
vs = Rs · i1 + v1
v2 = −RL · i2vs = (Rs +R11) · i1 +R12 · i2
v2 = R21 · i1 −R22
RL· v2 ⇒ i1 =
(1 +
R22
RL
)·v2
R11
vs
v2=Rs +R11
R11·(
1 +R22
RL
)−R12
RL⇒
v2
vs=
R11 ·RLRs · (R22 +RL)−R11 · (R12 −R22 −RL)
44
Connessione di tipo parallelo
Due doppi bipoli si dicono in parallelo se sono collegati tra loro nel seguente modo: IMMAGINE Si ha che
v1 = v1′ = v1
′′ v2 = v2′ = v2
′′
Sfruttando la KCL si ha chei1 = i1
′ + i1′′, i2 = i2
′ + i2′′ ⇒ i = i′ + i′′
i′ = G′ · v
i′′ = G′′ · v
i = G′ · v +G′′ · v = (G′ +G′′) · v = G · v
Esempio 33 (Doppi dipoli collegati in parallelo) Calcolare la matrice delle conduttanze equivalenti G. IMMAGINESi puo verificare facilmente che
G′ =
(G1′ +G2
′ −G2′
−G2′ G2
′ +G3′
)=
(4 −2−2 4
)
G′′ =
(G1′′ +G2
′′ −G2′′
−G2′′ G2
′′ +G3′′
)=
(2 −1−1 2
)G = G′ +G′′ =
(6 −3−3 6
)
Connessione in cascata
Due doppi bipoli si dicono in cascata se sono collegati tra loro nel seguente modo: IMMAGINE SI ha che la rappresentazionedi trasmissione del dipolo complessivo e pari al prodotto delle trasmissioni dei due doppi bipoli.
Esempio 34 (Doppi bipoli collegati in cascata) Calcolare T del seguente circuito. IMMAGINE Per il vincolo impo-sto dalla connessione si ha che
i2′ = −i1′′
Si ha che
T ′ =
1 +
R1
R2R3 +
R1
R2· (R2 +R3)
1
R21 +
R3
R2
=
(5 44Ω
1S 9
)
T ′′ =
1 +
1
R2R3 +
1
R2· (R2 +R3)
1
R21 +
R3
R2
=
(1 6Ω
0.5S 4
)
T = T ′ · T ′′ =
(5 44Ω
1S 9
)·(
1 6Ω0.5S 4
)=
(27 206Ω
5.5S 42
)
45
46
Capitolo 4
Circuiti dinamici lineari
Definizione 9 (Circuito dinamico lineare) Un circuito dinamico lineare e un circuito contenente elementi circuitalinei quali nelle relazioni costitutive compaiono le loro derivate o integrali rispetto al tempo, anche di ordine superiore alprimo.
Di conseguenza in un circuito dinamico lineare l’intero circuito e governato da un sistema di equazioni differenziali (non piuun sistema algebrico come nel caso di circuiti a-dinamici lineari).Tra gli elementi circuitali dinamici lineari si ha:
• Consensatore IMMAGINE
• Induttore IMMAGINE
• Induttori accoppiati IMMAGINE
4.1 InduttoreE costituito da un filo, in cui scorre una corrente i, avvolto attorno a un materiale. L’elemento circuitale e governato dalleseguenti relazioni ∮
H · ds = N · i legge di Ampere
N indica il numero di spire, avvolgimenti, del filo.
|H| · 2 · π · r = N · i⇒ H =N
2 · π · r· i
r indica il raggio del materiale su cui e avvolto.
B = µ ·H ⇒ H = µ ·H = µ ·N
2 · π · r· i
Poiche il campo magnetico (B) e perpendicolare alle spire, il flusso di una spira vale
Φ1 =
∫B · n · dΣ = µ ·
N · Σ2 · π · r
· i
Infine il flusso di tutte le N spire vale
Φ = Φ1 ·N = µ ·N2 · Σ2 · π · r
· i = L · i
L = µ ·N2 · Σ2 · π · r
L e l’induttanza dell’elemento circuitale preso in esame, si osserva che L ∝ N2, si misura in Henry.Poiche
v =dΦ
dt=dL · idt
= L ·di
dtsi ha la relazione costitutiva tensionre-corrente per un induttore.
v(t) = L ·di(t)
dt⇒ Φ(t) = L · i(t)⇒ Φ(t) =
∫ t
−∞v(t)
4.2 Condensatore lineareE costituito da due armature piane e parallele di sezione A e poste a una distanza d (tra le armature e interposto undielettrico con costante dielettrica ε). ∫
ΣD · n · dΣ = q legge di Gauss
Dalla simmetria del circuito le linee del campo elettrico sono perpendicolari alle armature, poiche D = ε · E
|D| · Σ = q ⇒ |E| =q
ε · Σ
v =
∫ b
aE · ds =
d
ε · Σ· q ⇒ q = v ·
ε · Σd
= C · v
C e la capacita del condensatore, si misura in Farad.Poiche
i(t) =dq(t)
dt=dC · v(t)
dt= C ·
dv(t)
dt
q(t) =
∫ t
−∞i(τ) · dτ
47
4.3 Riepilogo delle relazioni costitutive
4.3.1 Condensatore
i(t) = C ·dv(t)
dt
v(t) =1
C· q(t) =
1
C·∫ t
−∞i(τ) · dτ =
∫ t0
−∞i(τ) · dτ +
∫ t
t0
i(τ) · dτ = v(t0) +
∫ t
t0
i(τ) · dτ
Un condensatore lo si puo pensare come un generatore di tensione in serie a un condensatore inizialmente scarico.Tutti gli elementi dinamici sono elementi con memoria, elementi nei quali lo stato attuale dipende dalla storia precedente.
4.3.2 Induttore
i(t) =Φ
L=
1
L·∫ t
−∞v(τ) · dτ =
1
L·∫ t0
−∞v(t0) · dτ +
1
L·∫ t
t0
v(τ) · dτ = i(t0) +1
L·∫ t
t0
v(τ) · dτ
Un induttore lo si puo intendere come un generatore di corrente in serie a un induttore inizialmente scarico.
4.4 Proprieta degli elementi dinamici lineari
4.4.1 Proprieta del condensatore1. Se la tensione, ai capi del condensatore, e costante il condensatore lo si puo sostituire con un circuito aperto.
∀v, i(t) = C ·dv(t)
dt= C · 0 = 0
2. La tensione ai capi di un condensatore e una funzione continua. IMMAGINE IMMAGINE
Dimostrazione 10 Lo si dimostra alimentando il circuito con un generatore di funzione
v(t) =
0 t < 0t∆
0 ≤ t ≤ ∆1 t > ∆
Poiche
i(t) = C ·dv(t)
dt⇒ i(t) =
0 t /∈ [0,∆]1∆
t ∈ [0,∆]
Se si fa tendere 0 il ∆ si ha
∆→ 0 i(t) =
0 t 6= 0+∞ t = 0
In questa condizione significa che il generatore deve fornire una potenza infinita per alimentare il circuito all’istantet = 0, ma questo e fisicamente impossibile, pertanto la corrente deve essere una funzione continua.
3. Il condensatore non dissipa energia, ma la puo immagazzinare
W (t0, t1) =
∫ t1
t0
p(t) · dt = C ·∫ t1
t0
v(t) · i(t) · dt = C ·∫ t1
t0
v(t) ·dv(t)
dt· dt =
= C cot
∫ v(t1)
v(t0)v · dv = C ·
[v2
2
]v(t1)
v(t0)
=C
2·(v2(t1)− v2(t0)
)=
1
2 · C·(C2 · v2(t1)− C2 · v2(t0)
)=
1
2 · C·(q2(t1)− q2(t0)
)Se si fa variare q da 0 a Q la tensione passera da 0 a V
(q(t) =
v(t)C
).
Il condensatore in fase di carica accumula energia pari a 12· C · V 2.
Se si fa scaricare il condensatore V passa a 0 e Q passa a 0, fornendo quindi energia.Si osserva che non si ha dissipazione di energia, ma solo accumulo. Si osserva che l’energia e sempre positiva o nulla,pertanto il condensatore e un elemento passivo.
4.4.2 Proprieta dell’induttore1. Un induttore soggetto a una corrente costante si comporta come un circuito chiuso.
∀i, v(t) = L ·di(t)
dt= L · 0 = 0
2. La corrente in un induttore e una funzione continua.La dimostrazione e analoga a quella effettuata per il condensatore.
3. L’induttore non dissipa energia, ma la puo immagazzinare.
W (t0, t1) =
∫ t1
t0
p(t) · dt =
∫ t1
t0
v(t) · i(t) · dt = L ·∫ t1
t0
i(t) ·di(t)
dt· dt =
= L ·∫ i(t1)
i(t0)i · di = L ·
[i2
2
]i(t1)
i(t0)
=L
2·(i2(t1)− i2(t0)
)=
1
2 · L·(L2 · i2(t1)− L2 · i2(t0)
)=
1
2 · L·(Φ2(t1)− Φ2(t0)
)L’energia e sempre positiva o nulla, pertanto l’induttore e un elemento passivo.
48
4.5 Connessione degli elementi dinamici
4.5.1 Connessione di condensatori
connessione di tipo serie
Il circuito e simile a quello raffigurato IMMAGINE poiche sono collegati in serie allora le correnti i1, i2 e i3 sono tutteuguali
i1 = i2 = i3 = i
ma si ha che
v(t) = v1(t0) +1
C1·∫ t
t0
i(τ) · dτ + v2(t0) +1
C2·∫ t
t0
i(τ) · dτ + v3(t0) +1
C3·∫ t
t0
i(τ) · dτ =
= v1(t0) + v2(t0) + v3(t0) +
(1
C1+
1
C2+
1
C3
)·∫ t
t0
i(τ) · dτ = v(t0) +1
Ceq·∫ t
t0
i(τ) · dτ
1
Ceq=
N∑k=1
1
Ck
connessione di tipo parallelo
Il circuito e simile a quello raffigurato IMMAGINE poiche sono collegati in parallelo allora le tensioni v1, v2 e v3 sono tutteuguali
v1 = v2 = v3 = v
ma si ha che i1 = C1 ·
dv1
dt
i2 = C2 ·dv2
dt
i3 = C3 ·dv3
dt
i = i1 + i2 + i3 = C1 ·dv1
dt+ C2 ·
dv2
dt+ C3 ·
dv3
dt= (C1 + C2 + C3) ·
dv1
dt= Ceq ·
dv1
dt
Ceq =
N∑k=1
Ck
4.5.2 Connessione di induttori
connessione di tipo serie
Il circuito e simile a quello raffigurato IMMAGINE poiche sono collegati in serie allora le correnti i1, i2 e i3 sono tutteuguali
i1 = i2 = i3 = i
ma si ha che
v(t) = v1(t) + v2(t) + v3(t) = L1 ·di1
dt+ L2 ·
di2
dt+ L3 ·
di3
dt= (L1 + L2 + L3) ·
di
dt= Leq ·
di
dt
Leq =
N∑k=1
Li
connessione di tipo parallelo
Il circuito e simile a quello raffigurato IMMAGINE poiche sono collegati in parallelo allora le tensioni v1, v2 e v3 sono tutteuguali
v1 = v2 = v3 = v
ma si ha che
i(t) = i1(t) + i2(t) + i3(t) = i1(t0) +1
L1·∫ t
t0
v(τ) · dτ + i2(t0) +1
L2·∫ t
t0
v(τ) · dτ + i3(t0)+
+1
L3·∫ t
t0
v(τ) · dτ = i1(t0) + i2(t0) + i3(t0) +
(1
L1+
1
L2+
1
L3
)·∫ t
t0
v(τ) · dτ =
= i(t0) +1
Leq·∫ t1
t0
v(τ) · dτ
1
Leq=
N∑k=1
1
Lk
49
4.6 Circuiti dinamici del primo ordineDefinizione 10 (Circuiti dinamici del primo ordine) Si definisce circuito dinamico del primo ordine un circuito incui e presente un solo elemento dinamico (condensatore o induttore).
Il funzionamento di tale circuito e sempre descritto da un’equazione differenziale del primo ordine.
Esempio 35 Calcolare i nel seguente circuito IMMAGINE
e(t) =
E0 t ∈
[k · T,
(k +
1
2
)· T[
k ∈ N
−E0 t ∈[(k +
1
2
)· T, k · T
[k ∈ N
E0 = 1V T = 1s R = 1Ω L = 2H
i(t) = iR(t) + i∗(t)
iR(t) =e(t)
R
i∗(t) =1
L·∫ t
−∞e(τ) · dτ =
1
L·∫ t
0e(τ) · dτ =
E0
L·(tmod
T
2
)t ∈[k · T,
(k +
1
2
)· T[
k ∈ N
E0
L·(T − tmod
T
2
)t ∈[(k +
1
2
)· T, k · T
[k ∈ N
i(t) = iR(t) + i∗(t) =
E0 +
E0
L·(tmod
T
2
)t ∈[k · T,
(k +
1
2
)· T[
k ∈ N
−E0 +E0
L·(T − tmod
T
2
)t ∈[(k +
1
2
)· T, k · T
[k ∈ N
Esempio 36 Calcolare i nel seguente circuito IMMAGINE
R = 2kΩ C = 0.1mF
vs(t) = cos(10 · t) V ∀t ∈ (−∞,+∞)
i(t) = iR(t) + iC(t)
iR(t) =vs(t)
R= 0.5 · cos(10 · t) mA
iC(t) = C ·dvs
dt= 10−4 · (−10) · sin(10 · t) = − sin(10 · t) mA
i(t) = 0.5 · cos(10 · t)− sin(10 · t) mA
Esempio 37 (Amplificatore Operazionale, integratore) Calcolare v0 IMMAGINE Vincoli dell’AO
i+ = i− = 0 vA = v− = v+ = 0
vA − v1
R= iC = C ·
d(vA − v0)
dtv1
R · C=dv0
dt
v0 =1
R · C·∫ t
0v1(τ) · dτ
Esempio 38 (Amplificatore Operazionale, derivatore) Calcolare v0 IMMAGINE Vincoli dell’AO
i+ = i− = 0 vA = v− = v+ = 0
iC = C ·d(v1 − vA)
dt=v0 − vA
R
v0 = R · C ·dv1
dt
4.6.1 Circuiti RC di primo ordine
E possibile sostituire la parte a-dinamica lineare attraverso l’equivalente di Theveniv.
Req · iC + vC = veq ⇒ Req · C ·dvC
dt+ vC = veq ⇒
dvC
dt=vC= −
vC
Req · C+
veq
Req · C
Si osserva che si ha una derivata del primo ordine a coefficienti costanti non autonoma.
4.6.2 Circuiti RL di primo ordine
E possibile sostituire la parte a-dinamica lineare attraverso l’equivalente di Norton.
ieq = iL + iG = iL +Geq · vL = iL +Geq · L ·diL
dt⇒
diL
dt=iL=
ieq
Geq · L−
iL
Geq · L
Si osserva che si ha una derivata del primo ordine a coefficienti costanti non autonoma.
50
4.7 Circuiti RC e RLSi osserva che in entrambi i circuiti si ha una forma comune.Si definisce
• x la variabile di stato per la tipologia di circuito (iL per RL e vC per RC)
• τ come costante di tempo (τ = G · L per RL e τ = R · C per RC)
x= −
x
τ+xeq
τ
Casi particolari
Si ha un caso molto particolare nel caso di sorgenti costanti, cioe
veq = Veq ieq = Ieq xeq = x∞
x= −
x
τ+x∞
τSi osserva subito che:
• la soluzione omogenea associata e
x = k · e−tτ
• la soluzione particolare ex = x∞
• la soluzione generale e
x = k · e−tτ + x∞
Occorre ancora imporre la condizione iniziale x(t0)
Passaggi algebricix= −
x
τ+x∞
τ
L’omogenea associata e x(t) x= −x
τxo(t) = k · eλ·t
x0= λ · k · eλ·t = −
k · eλ·t
τ⇒(λ+
1
τ
)· k · eλ·t = 0⇒
k = 0λ = − 1
τ
xo(t) = k · e−tτ
Soluzione particolare xP (t) = α
0 = −α
τ+x∞
τ⇒ α = x∞
xP (t) = x∞
x(t) = xo(t) + xP (t) = k · e−tτ + x∞
Determinazione della soluzione particolare (determinazione di k)
x(t0) = k · e−t0τ + x∞
k = (x(t0)− x∞) · et0τ
x(t) = (x(t0)− x∞) · e−t−t0τ + x∞
4.7.1 Determinazione di τ
Esempio 39 Determinare τ nel seguente circuito IMMAGINE
τ = Req · C
Req = (120‖80) + 12 = 48Ω
τ = Req · C = 48 · 0.5 = 24ms
Esempio 40 Determinare τ nel seguente circuito IMMAGINE
τ = Geq · L
Req = 12 + (40‖10) = 20Ω
τ = Geq · L =1
20· 5 = 250ms
Esempio 41 Determinare τ nel seguente circuito IMMAGINE
τ = Geq · L
Req = 8 + (40‖160) = 32Ω
τ = Geq · L =1
32· 20 = 625ms
51
4.7.2 Determinazione di x∞La tensione vC(t) ai capi del condensatore all’infinito diventa costante, il condensatore e equivalente a un circuito aperto.La corrente iL(t) ai capi dell’induttore all’infinito diventa costante, l’induttore e equivalente a un corto circuito.
Esempio 42 Calcolare x∞ nel seguente circuito IMMAGINE il circuito e equivalente a IMMAGINE
vC =80
120 + 80· 50 = 20V
4.7.3 Determinazione del valore inizialePer semplicita si pone t0 = 0, spesso il valore x(t0) e un dato del problema. E comunque possibile ricavare tale valoreattraverso la continuita delle variabili di stato.
x(0−) = x(0) = x(0+)⇒
vC(0−) = vC(0) = vC(0+)iL(0−) = iL(0) = iL(0+)
Poiche a 0− l’elemento dinamico e a “regime” si puo come prima sostituire il condensatore con un circuito aperto e l’indutorecon un corto circuito.
Esempio 43 Calcolare vC(0) nel seguente circuito IMMAGINE Il valore di vC(0) e pari a quello di vC(0−), pertanto altempo 0− il circuito sara IMMAGINE
vC(0) = vC(0−) =4
4 + 2· 24 = 16V
Si osserva che con queste ipotesi si tratta di calcolare tre “semplici” circuiti resistivi evitando quindi il calcolo di unaequazione differenziale.
Esempio 44 Calcolo della tensione ai capi del condensatore nel seguente circuito IMMAGINE
vC(t) =[vC(0+)− vC∞
]· e−
tτ + vC∞
Calcolo di vC(t0) per continuita di vC si ha che
vC(0+) = vC(0−) =2
2 + 10· 24 = 4V
Calcolo di vC∞ il condensatore si comporta come un circuito aperto, poiche l’interruttore e aperto allora latensione ai capi del resistore da 2kΩ e nulla e quindi
vC∞ = 0
Calcolo di τ occorre calcolare Req nel circuito, poiche t > 0 allora il circuito e aperto e la resistenza che ilcondensatore “vede” e esattamente 2kΩ.
Req = 2kΩ⇒ τ = Req · C = 2 · 103 · 40 · 10−6 = 80ms
vC(t[ms]) = [4− 0] · e−t80 = 4 · e−
t80 [V ]
Esempio 45 Determinare iL(t) nel seguente circuito IMMAGINE
iL(t) = [iL(0)− iL∞] · e−tτ + iL∞
Calcolo di iL(0) = iL(0−)
iL(0−) =vAB
6=
205
+2112
+ 120
+ 16
+ 15
6=
12
6= 2A
Calcolo di iL∞
iL∞ =
205
120
+ 16
+ 15
6=
485
6=
8
5= 1.6A
Calcolo di τReq = 6 + (5‖20) = 10Ω
τ =L
Req=
0.5
10= 50ms
iL(t[ms]) = [2− 4] · e−t50 = −2 · e−
t50 [A]
4.7.4 Circuito RC e RL con generatori costantiUsando il teorema di sostituzione e quello di sovrapposizione si ha:
• in una rete RCvjk = H0 · vC(t) +
∑Hj · Vsj +
∑Kj · Isj
vjk(t) =[vjk(t0)− vjk∞
]· e−
t−t0τ + vjk∞
• in una rete RLijk = H0 · iL(t) +
∑Hj · Isj +
∑Kj · Isj
ijk(t) =[ijk(t0)− ijk∞
]· e−
t−t0τ + ijk∞
52
Capitolo 5
Analisi di circuiti con ingressisinusoidali
5.1 Equazioni di stato per circuiti non patologiciDefinizione 11 (Circuiti non patologici) Si definisce non patologico un circuito nel quale:
• non esiste un percorso chiuso che contenga solo generatori di tensione e condensatori (il generatore dovrebbe inquesta condizione essere dipendente dalla tensione dei condensatori)
• non esiste un nodo nel quale convergono solo induttori e generatori di corrente (anche in questo caso il generatoresarebbe dipendente dalla corrente che scorre negli induttori)
Nel caso di circuiti non patologici si puo definire un vettore di stato che contiene tutte le variabili di stato presenti nelcircuito (composto da n condensatori e m induttori)
x =
vC1
vC2
. . .vCniL1
iL2
. . .iLm
E anche possibile definire il vettore di stato coniugato
x =
iC1
iC2
. . .iCnvL1
vL2
. . .vLm
Attraverso il teorema di sostituzione si sostituisce l’elemento dinamico con un generatore che genera la variabile di stato adesso associato, in questo modo effettuando l’analisi del circuito si calcola il vettore di stato coniugato.
Esempio 46 Calcolare il vettore di stato coniugato nel seguente circuito IMMAGINE
x =
vc1vc2il
Il vettore di stato coniugato da ricavare e
x =
ic1ic2vl
Si sostituiscono gli elementi dinamici e si ottiene il seguente circuito IMMAGINE Si osserva che si ottiene il seguentesistema
ic1 =vs − vc1R1
− il = C1 ·dvc1dt
ic2 = iL − gm · vc1 −vc2R2
= C2 ·dvc2dt
vL = vc1 − vc2 = L ·diL
dtChe e equivalente, in forma matriciale, a
dvc1dt
dvc2dt
iLdt
=
− 1R1·C1
0 − 1C1
− gmC2
−R2C2
1C2
1L
− 1L
9
·vc1
vc2
il
+
1
C1·R1
0
0
· vS
53
Dall’esempio precedente si puo dedurre chedx(t)
dt= A · x(t) +B · u(t)
Tale equazione rappresenta un sistema di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti non autonomo.
x(t) = eA·tx(0+) +
∫ t
0+eA·(t−t
′) ·B · u(t′)
con eA·tx(0+) rappresentante la risposta libera e∫ t0+ e
A·(t−t′) ·B · u(t′) rappresentante la risposta forzata.Attraverso i seguenti passaggi algebrici si puo evidenziare la risposta transitoria e la risposta permanente.∫ t
0+eA·(t−t
′) ·B · u(t′) =
∫ 0+
−∞eA·(t−t
′) ·B · u(t′) +
∫ t
0+eA·(t−t
′) ·B · u(t′)−∫ 0+
−∞eA·(t−t
′) ·B · u(t′) =
=
∫ t
−∞eA·(t−t
′) ·B · u(t′)−∫ 0+
−∞eA·(t−t
′) ·B · u(t′)
Definendo la soluzione particolare
xP (t) =
∫ t
−∞eA·(t−t
′) ·B · u(t′)∫ t
0+eA·(t−t
′) ·B · u(t′) = xP (t)− xP (0+)
Da questo si ottiene chex(t) = eA·t · (x(0+)− xP (0+)) + xP (t)
con eA·t · (x(0+)− xP (0+)) rappresentante la risposta transitoria e xP (t) rappresentante la risposta permanente.Nel caso di circuiti strettamente resistivi
limt→+∞
eA·t = 0
In caso di presenza di generatori costanti si ha che u(t) e costante, pertanto
xP (t) = costante = x∞ ⇒ xP (0+) = x∞
x(t) = eA·t · (x(0+)− x∞) + x∞con A una matrice, spesso a valori complessi, da calcolare.Nel caso di ingressi sinusoidali allora la risposta permanente sara certamente sinusoidale.
5.2 Calcolo della risposta permanente con ingressi sinusoidaliNel caso di un circuito RC con ingressi sinusoidali IMMAGINE
dvC(t)
dt+
1
τ· vC(t) =
1
τ· VM · cos(ω·)
vC(t) = K · e−tτ +A · cos(ω · t+ ϑ)
vCP (t) = vC(t) t→ +∞Il calcolo di tale valore si puo dimostrare che e estremamente lungo e laborioso, ma nel caso di ingressi sinusoidali lo si puoevitare sfruttando la relazione di Eulero e definendo una nuova quantita.
z ∈ C z = ρ · ej·ϕ = ρ · cos(ϕ) + j · ρ · sin(ϕ)⇒ A · cos(ω · t+ ϑ) = <[A · ej·(ω·t+ϑ)
]= <
[A · ej·ϑ · eω·t
]Si definisce fasore v = A · ej·ϑ ∈ C, tale numero complesso individua univocamente una sinusoide con una determinata faseiniziale, ϑ.Attraverso l’uso dei fasori si puo fare l’analisi con piu elementi dinamici (alimentato da generatori sinusoidali) sfruttandosemplici analisi con numeri complessi. Molti circuiti quotidianamente usati lavorano in regime sinusoidale, mentre segnalicomplessi possono essere scomposti in una somma di segnali sinusoidi attraverso l’analisi matematica di Fourier.
v(t) = <(ej·ϑ · ej·ω·t
)= <
(V · ej·ω·t
)= A · cos(ω · t+ ϑ)
Il fasore V contiene informazioni solo sul modulo e sulla fase iniziale di v, comunque essendo un numero complesso puoessere inteso un vettore nel piano complesso (piano di Gauss) che congiunge l’origine con un punto posto a distanza pariall’ampiezza del coseno e con un angolo pari alla fase iniziale; moltiplicando il fasore per ej·ω·t si realizza sostanzialmente
un vettore rotante attorno all’origine con velocia angolare pari a ω[rad][s]
.
5.2.1 Proprieta dei fasoriI fasori essendo numeri complessi contengono tutte le proprieta ad essi legati, in oltre per costruzione hanno alcune proprietamolto utili nello sviluppo degli esercizi.
Additivita ∑Ai · cos(ω · t+ ϑi) =
∑<[Ai · ej·ϑi · ej·ω·t
]= <
[∑(Ai · ej·ϑi
)· ej·ω·t
]Derivazione
f(x) = A · cos(ω · t+ ϑ)⇒ F = A · ej·ϑ
g(x) =∂A · cos(ω · t+ ϑ)
∂t= −A · ω · sin(ω · t+ ϑ) = A · ω · cos(ω · t+ ϑ+ 90)⇒ G = A · ωej·(ϑ+90)
A · ω · ej·(ϑ+90) = ej·90 · ω ·A · ej·ϑ = j · ω ·A · ej·ϑ = j · ω · FDerivare nel dominio del tempo corrisponde a moltiplicare per j · ω nel dominio dei fasori.Per via analitiche si puo anche dimostrare che integrare nel tempo significa dividere per j · ω nel dominio dei fasori.
54
Esempio 47 (Uso dei fasori nel calcolo derra risposta permanente in un circuito RC) Dato il seguente circui-to IMMAGINE calcolare la risposta permante nel dominio del tempo e dei fasori.
Dominio del tempo Dominio dei fasori
vC(t) = A · cos(ω · t+ ϑ) = vCP (t) ⇒ VC = A · ej·ϑ
dvC(t)dt
= −A · ω · sin(ω · t+ ϑ) ⇒ j · ω · VC
VM · cos(ω · t) ⇒ VM · ej·0 = VM
dvC(t)dt
+vC(t)τ
= vMτ· cos(ω · t) ⇒ j · ω ·A · ej·ϑ + A·ej·ϑ
τ= vM
τ
⇒ A · ej·ϑ ·(j · ω +
1
τ
)=VM
τ⇒ A · ej·ϑ =
VMτ
j·ω·τ+1τ
=VM
j · ω · τ + 1
Determinando il modulo e la fase di A · ej·ϑ si ricava vC(t)
A =VM√
1 + ω2 · τ2
ϑ = − arctan(ω · τ)
La fase di un numero complesso e la differenza tra la fase del numeratore con quella del denominatore; inoltre la fase edata come l’arcotangente del rapporto della parte immaginaria su quella reale.
vC(t) =VM√
1 + ω2 · τ2· cos(ω · t− arctan(ω · t))
i(t) = iC(t) = −VM · ω · C√1 + ω2 · τ2
· cos(ω · t− arctan(ω · t))
iR(t) = i(t) = −VM · ω ·R · C√
1 + ω2 · τ2· cos(ω · t− arctan(ω · t))
Si nota dall’esempio che il calcolo con i fasori e molto utile al calcolo della risposta permanente.Il circuito e in regime sinusoidale pertanto tutte le tensioni e correnti sono sinusoidali con pulsazione ω.
Esempio 48 (Uso dei fasori) Nel seguente circuito IMMAGINE si ha
4 · i+ 8 ·∫i · t− 3 ·
di
dt= 50 · cos(2 · t+ 75)
E una equazione estremamente difficile da calcolare, passando ai fasori si ha che
I = A · ej·ϑ
supponendo che la corrente sinusoidale sia sinusoidale, pertanto l’equazione diventa(solo se ω = 2
[rad][s]
)4 · I +
8 · Ij · ω
− 3 · j · ω · I = 30 · ej·75 ⇒ I · (4− 4 · j − 6 · j) = 50 · ej·75
l’ultima uguaglianza e valida in quanto 1j
= −j
I =50 · ej·75
4− j · 10
5.3 Relazioni costitutive e teoremi nel dominio dei fasori
5.3.1 Relazioni costitutive
Resistore
Nel dominio del tempo si ha che
v(t) = R · i(t)poiche v(t) = VM · cos(ω · t+ ϑv) e i(t) = IM · cos(ω · t+ ϑi) si ha che ϑv = ϑi
v(t) = R · IM · cos(ω · t+ ϑi) = VM · cos(ω · t+ ϑv)
poiche v e i sono sinusoidali si puo passare al dominio dei fasori, di conseguenza
v ≡ V = VM · ej·ϑv
i ≡ I = IM · ej·ϑi
V = R · I⇒|V| = R · |I|∠V = ∠I
55
Condensatore
Nel dominio del tempo si ha che
i(t) = C ·dv(t)
dt
poiche v(t) = VM · cos(ω · t+ ϑv) si ha che
i(t) = C ·dv(t)
dt= −C · VM · ω · sin(ω · t+ ϑv) = C · VM · ω · cos(ω · t+ ϑv + 90) = IM · cos(ω · t+ ϑi)
IM = C · VM · ω ϑi = 90 + ϑv
poiche v e i sono sinusoidali si puo passare al dominio dei fasori, di conseguenza
v ≡ V = VM · ej·ϑv
i ≡ I = IM · ej·ϑi
I = j · ω · C ·V
poiche(|z1| · ej·∠z1
)·(|z2| · ej·∠z2
)= |z1| · |z2| · ej·(∠z1+∠z2)
|I| = ω · C · |V|
∠I =π
2+ ·∠V
nel seguente caso si dice che la corrente precede la tensione.
Induttore
Nel dominio del tempo si ha che
v(t) = L ·di(t)
dt
poiche i(t) = IM · cos(ω · t+ ϑi) si ha che
v(t) = L ·di(t)
dt= −L · IM · ω · sin(ω · t+ ϑi) = L · IM · ω · cos(ω · t+ ϑi + 90) = VM · cos(ω · t+ ϑv)
VM = L · IM · ω ϑv = 90 + ϑi
poiche v e i sono sinusoidali si puo passare al dominio dei fasori, di conseguenza
v ≡ V = VM · ej·ϑv
i ≡ I = IM · ej·ϑi
V = j · ω · L · I
poiche(|z1| · ej·∠z1
)·(|z2| · ej·∠z2
)= |z1| · |z2| · ej·(∠z1+∠z2)
|V| = ω · L · |I|
∠V =π
2+ ·∠I
nel seguente caso si dice che la tensione precede la corrente. Da quanto sopra espresso si ha sempre che tensione e corrente,nel dominio dei fasori, sono legati da un legame di proporzionalita.
5.3.2 Teoremi nel dominio dei fasori, formulazioni simboliche
Teorema 2 (Legge di Ohm in forma simbolica) Nel dominio dei fasori tensione e corrente sono legati da un legamedi proporzionalita, quindi
V = Z · I
Z ∈ C prende il nome di impedenza.Si ha anche che
I = Y ·V
Y ∈ C prende il nome di ammettenza.
Si ha che
Zdef=
V
I=
R resistore
j · ω · L induttore
1
j · ω · Ccondensatore
Ydef=
I
V=
1
Z=
1R
= G resistore
1
j · ω · Linduttore
j · ω · C condensatore
Anche se impedenza e ammettenza solo il rapporto di due fasori, tale quantita e semplicemente un numero complesso e nonun fasore.
56
Casi limite Se ω = 0, cioe si ha un ingresso costente, si ha che
Z =
j · ω · L induttore
1
j · ω · Ccondensatore
=
0 induttore ≡ corto circuito∞ condensatore ≡ circuito aperto
mentre ω → +∞, cioe si ha un ingresso fortemente variabile nel tempo, si ha che
Z =
j · ω · L induttore
1
j · ω · Ccondensatore
=
∞ induttore ≡ circuito aperto0 condensatore ≡ corto circuito
Teorema 3 (Leggi di Kirchhoff in forma simbolica) Le leggi di Kirchhoff valgono anche nel dominio dei fasori.∑k
Ik = 0∑k
Vk = 0
Dimostrazione 11 Poiche Ik e legato a ik(t) = IMk · cos(ω · t+ ϑk) si ha che
Ik = IMk · ej·ϑk
∑k
ik(t) =∑k
<[IMk · e
j·ϑk · ej·ω·t]
=∑k
<[Ik · ej·ω·t
]= <
[ej·ω·t
]·(∑
k
< [Ik]
)= 0
poiche <[x] = 0 solo se x = 0 e poiche ∀t, ej·ω·t 6= 0
∑k
< [Ik] = <[∑k
Ik
]= 0⇔
∑k
Ik = 0
La dimostrazione di∑k
Vk = 0 e effettuata in modo analogo.
5.4 Connessione di impedenze
5.4.1 Connessione di tipo serieDato un generico circuito IMMAGINE si ha che poiche Vk = Zk · I
V =∑k
Vk KV L
Zeq =V
I=
∑k
Vk
I=
∑k
Zk · I
I=
I ·∑k
Zk
I=∑k
Zk
Partitore di tensione
Si dimostra facilmente che nel seguente circuito IMMAGINE
V1 =Z1
Z1 + Z2·V V2 =
Z2
Z1 + Z2·V
5.4.2 Connessione di tipo paralleloDato un generico circuito IMMAGINE si ha che poiche Ik = Yk ·V
I =∑k
Ik KCL
Yeq =I
V=
∑k
Ik
V=
∑k
Yk ·V
V=
I ·∑k
Zk
I=∑k
Yk
Partitore di corrente
Si dimostra facilmente che nel seguente circuito IMMAGINE
I1 =Y1
Y1 + Y2· I I2 =
Y2
Y1 + Y2· I
Esempio 49 Dato il seguente circuito calcolare l’impedenza equivalente. IMMAGINE
ω = 50rad
s
C1 = 2mF C2 = 10mF R1 = 3Ω R2 = 8Ω L = 0.2H
ZC1=
1
j · ω · C1= −
j
ω · C1= −
j
50 · 2 · 10−3= −j · 10Ω
57
ZC2 =1
j · ω · C2= −
j
ω · C2= −
j
50 · 10 · 10−3= −j · 2Ω
ZR1 = R1 ZR2 = R2
ZL = j · ω · L = j · 50 · 0.2 = j · 10Ω
Zeq = ZC1+(ZR1
+ ZC2
)‖(ZL + ZR2
)= −j · 10 ·
(3− j · 2) · (8 + j · 10)
3− j · 2 + 8 + j · 10=
= −j · 10 +24 + j · 30− j · 16 + 20
11 + j · 8= −j · 10 +
44 + j · 14
11 + j · 8·
11− j · 811− j · 8
=
= −j · 10 +596− j · 198
121 + 64= −j · 10 +
596
185− j ·
198
185=
596
185− j ·
2048
185
Definizione 12 (Resistenza, reattanza, conduttanza e suscettanza) In generale
Z = R+ j ·X
dove R prende il nome di resistenza e X prende il nome di reattanza.
R Xresistore R 0
condensatore 0 −1
ω · C
induttore 0 ω · L
Y = G+ j ·Bdove Y prende il nome di conduttanza e B prende il nome di suscettanza.
G Bresistore G 0
condensatore 0 ω · C
induttore 0 −1
ω · L
Si definiscono bipoli resistivi i bipoli con reattanza/suscettanza nulla; mentre si dicono bipoli reattivi bipoli con resisten-za/conduttanza nulla.
Y = G+ j ·B =1
Z=
1
R+ j ·X=R− j ·XR2 +X2
⇒
G =
R
R2 +X2
B = −X
R2 +X2
Esempio 50 Nel seguente circuito calcolare la componente permanete di vC(t) IMMAGINE
R = 1Ω C = 1F L = 0.5H vg(t) = 2 · cos(4 · t)
ZR = R
ZC =1
j · ω · C=
1
j · 4ZL = j · ω · L = j · 2
Vg = 2 · ej·0 = 2
IC + IR + IL = 0
VC1j·4
+VC − 2
1+
VC
j · 2= 0⇒ VC ·
(j · 4 + 1 +
1
j · 2
)= 2⇒ VC =
2
j · 4 + 1 + 1j·2
VC =2
j · 4 + 1 + 1j·2
=2
j · 4 + 1− j · 12
=2
1 + j · 72
=4
2 + j · 7=
j · 4−7 + j · 2
|VC | =4
√72 + 22
=4√
53≈ 0.55V
∠VC = ∠(j · 4)− ∠(−7 + j · 2) = 90 − arctan
(−
2
7
)− 180 ≈ −74
vC(t) ≈ 0.55 · cos(4 · t− 74)
per il calcolo della fase di un numero complesso si seguono le seguenti regole
• fase del numeratore - fase del denominatore
• arcotangente della parte immaginaria sulla parte reale
• si sottraggono 180 se la parte reale e negativa
58
5.5 Analisi di circuiti contenenti impedenzeTeorema 4 (Analisi Nodale in forma simbolica) L’analisi dei nodi e valida anche in forma simbolica, poiche l’analisinodale e basata sulle leggi di Kirchhoff ed esse continuano ad essere valide anche in forma simbolica.L’unica differenza si ha nel fatto che la matrice delle conduttanze non ha piu entrate reali ma puo avere anche entratecomplesse.
Esempio 51 Calcolare le tensioni v1(t) e v2(t) nel seguente circuito. IMMAGINE
vg(t) = 20 · cos(4 · t) R = 10Ω C = 0.1F L1 = 1H L2 = 0.5H ig(t) = 2 · ix(t)
Vg = 20 · ej·0 = 20V
ZR = R = 20Ω
ZC =1
j · ω · C= −
j
4 · 0.1= −j · 2.5Ω
ZL1 = j · ω · L1 = j · 4 · 1 = j · 4Ω
ZL2= j · ω · L2 = j · 4 · 0.5 = j · 2Ω
Ix =V1
−j · 2.520−V1
10=
V1
−j · 2.5+
V1 −V2
j · 4
2 · Ix +V1 −V2
j · 4=
V2
j · 2
⇒
1 + j · 1.5 j · 2.5
11 15
· V1
V2
=
20
0
Utilizzando Cramer si ha che
V1 =
det
20 j · 2.5
0 15
det
1 + j · 1.5 j · 2.5
11 15
=
300
15− j · 5≈ 18.95 · ej·18.45 = 18.95∠18.45 V
V2 =
det
1 + j · 1.5 20
11 0
det
1 + j · 1.5 j · 2.5
11 15
=
−200
15− j · 5≈ 13.91 · ej·198.3 = 13.91∠198.3 V
Tutti i metodi applicativi per la risoluzione di circuiti continuano ad essere validi nel dominio dei fasori; pertanto sarannovalidi i teoremi di Norton, Thevenin, di sovrapposizione degli effetti, di sostituzione e di Millman.
5.6 Potenza in regime sinusoidaleDefinizione 13 (Potenza istantanea) Si definisce potenza istantanea la quantita
p(t) = v(t) · i(t)
Poiche v(t) = VM · cos(ω · t+ ϑv) e i(t) = IM · cos(ω · t+ ϑi)
cos(α) · cos(β) =cos(α− β) + cos(α+ β)
2
p(t) = VM · cos(ω · t+ ϑv) · IM · cos(ω · t+ ϑi) =VM · IM
2· cos(ϑv − ϑi) +
VM · IM2
· cos(2 · ω · t+ ϑv + ϑi)
La prima parte e costante.Si definisce la potenza media o potenza attiva il valor medio della potenza istantanea
P[W ] =1
T·∫ T
0p(t) · dt =
VM · IM2
· cos(ϑv − ϑi)
Si definisce potenza di picco il valore massimo che raggiunge la potenza istantenea.
Ppicco = P +VM · IM
2
L’utilizzo della potenza medio e importante in quanto la potenza assorbia dal dipolo e in qualche modo legata a tale valore
W =
∫ ∆t
0p(t) · dt = P ·∆t+
∫ ∆t
0
VM · IM2
· cos(2 · ω · t+ ϑv + ϑi) · dt ≈ P ·∆t nell′ ipotesi ∆t T
5.6.1 Potenza istantanea in un resistore
ϑv = ϑi ⇒ cos(ϑv − ϑi) = 1
p(t) =R · IM 2
2+R · IM 2
2· cos(2 · ω · t+ 2 · ϑi) ≥ 0 ∀t
59
5.6.2 Potenza istantanea in un induttoreϑv = ϑi + 90 ⇒ cos(ϑv − ϑi) = 0
p(t) = −ω · L · IM 2
2· sin(2 · ω · t+ 2 · ϑi)
5.6.3 Potenza istantanea in un condensatoreϑi = ϑv + 90 ⇒ cos(ϑv − ϑi) = 0
p(t) =ω · C · VM 2
2· sin(2 · ω · t+ 2 · ϑi)
Definizione 14 (Potenza reattiva) Si definisce potenza reattiva la quantita
Q[V AR] =VM · IM
2· sin(ϑv − ϑi)
[V AR] ≡ V olt Ampere Reattivi
cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sin(α) · sin(β)
p(t) =VM · IM
2· cos(ϑv − ϑi) +
VM · IM2
· cos(2 · ω · t+ ϑv + ϑi) =
=VM · IM
2· cos(ϑv − ϑi) +
VM · IM2
· cos(2 · ω · t+ ϑv + ϑi − ϑi + ϑi) =
=VM · IM
2· cos(ϑv − ϑi) +
VM · IM2
· cos(2 · ω · t+ 2 · ϑi + ϑv − ϑi) =
=VM · IM
2· cos(ϑv − ϑi) +
VM · IM2
· cos(ϑv − ϑi) · cos(2 · ω · t+ 2 · ϑi)+
−VM · IM
2· sin(2 · ω · t+ 2 · ϑi) · sin(ϑv − ϑi) =
= P · [1 + cos(2 · ω · t+ 2 · ϑi)]−Q · sin(2 · ω · t+ 2 · ϑi)
Definizione 15 (Valore efficace) Si definisce valore efficace di una funzione periodica (con periodo T ) la quantita
Xeff =
√1
T·∫ T
0x2(t) · dt
Se x(t) e una funzione periodica di tipo sinusoidale si ha che x(t) = XM · cos(ω · t)
cos2(x) =1+cos(2·x)
2
Xeff =
√1
T·∫ T
0[XM · cos(ω · t]2 · dt =
√1
T·∫ T
0XM
2 ·1 + cos(2 · ω · t)
2· dt =
=
√1
T·∫ T
0
XM2
2· dt+
1
T·∫ T
0cos(2 · ω · t) · dt =
√1
T·XM
2
2· T =
XM√2
PertantoP = Veff · Ieff · cos(ϑv − ϑi)Q = Veff · Ieff · sin(ϑv − ϑi)
Definizione 16 (Potenza complessa) Si definisce potenza complessa la quantita
S =1
2·V · I∗
1
Definendo V = VM∠(ϑv), I = IM∠(ϑi) si ha che I∗ = IM∠(−ϑi)
S =VM
2· ej·ϑv · IM · e−j·ϑi =
VM · IM2
· ej·(ϑv−ϑi) ∈ C
Definizione 17 (Potenza apparente, fattore di potenza) Si definisce potenza apparente la quantita
|S| =VM · IM
2
Si definisce fattore di potenza la quantita∠S = ϑv − ϑi
1X∗ = (a+ j · b)∗ = a− j · b
60
5.6.4 Relazioni tre le potenze
Essendo
S =VM · IM
2· ej·(ϑv−ϑi)
si ha che
S =VM · IM
2· ej·(ϑv−ϑi) =
VM · IM2
· cos(ϑv − ϑi) + j ·VM · IM
2· sin(ϑv − ϑi) = P + j ·Q⇒
P = <[S]Q = =[S]
Potenza apparente |S| =√P 2 +Q2
Fattore di potenza cos(ϑv − ϑi) =P
SPotenza attiva P = |S| · cos(ϑv − ϑi)Potenza reattiva P = |S| · sin(ϑv − ϑi)Poiche per definizione si ha
Z =V
I=VM
IM· ej·(ϑv−ϑi)
si ha che ∠Z = ∠S
S =V · S∗
2=Z · I · I∗
2=Z · |I|2
2=R+ j ·X
2· IM 2 ⇒
P =
R · IM 2
2
Q =X · IM 2
2
Teorema 5 (Conservazione della potenza complessa) Tale teorema e l’estenzione del teorema di Tellegen.Si consideri un circuito lineare e tempo invariante, alimentato da generatori sinusoidali tutti alla stessa pulsazione ω.Si supponga di essere a regine; allora la somma delle potenze complesse fornita da ogni generatore al cicrcuito e ugualealla somme delle potenze complesse assorbite da ogni elemento del circuito.
Tale teorema implica la conservazione della potenza attiva e della potenza reattiva.
Dimostrazione 12 Poiche per il teorema di Tellegen si ha
A · I = 0A∈Rm,n
=⇒ A · I∗
Quindi anche I∗ soddisfa le KCL.Per il teorema di Tellegen si ha
b∑k=1
Vk · I∗k = 0⇒b∑
k=1
Sk = 0
Esempio 52 Calcolo del di |I|, |V| e il fattore di potenza (cos(ϕ)) nel seguente circuito IMMAGINE con |VR| = 380√3V ,
PR = 16.7kW , xL = 2Ω e xC = −10Ω
QC =|VR|2
xC=
14440
3≈ −4813 V AR
Si considera il solo bipolo C‖R la potenza complessa assorbita sara
|S| =√PR
2 +QC2 ≈ 17380
ma per definizione
|S| = |VR| · |I| ⇒ |I| =√P 2 +QC
2
|VR|≈ 79.22A
poiche I scorre nell’induttore si puo calcolare anche la potenza reattiva assorbita dall’induttore
QL = xL · |I|2 ≈ 12552 V AR
considerando ora il bipolo L+ C‖R si ha che
Stot = P + j ·Qtot = P + j · (QL +QC) = 16700 + j · 7739
|Stot| =√P 2 + (QL +QC)2 ≈ 18406
|Stot| = |V| · |I| ⇒ |V| =|Stot||I|
≈ 232.3V
tan(ϕ) =Qtot
P⇒ ϕ = arctan
(Qtot
P
)⇒ cos(ϕ) = cos
[arctan
(Qtot
P
)]≈ 0.9073
Si definiscono bipoli passivi i bipoli costituiti esclusivamente da resistori, induttori e condensatori.Si hanno le seguenti categorie di bipoli:
bipoli passivi R ≥ 0; G ≥ 0 P ≥ 0
bipoli resistivi x = B = 0 Q = 0
bipoli reattivi R = G = 0 P = 0
bipoli induttivi x > 0; B < 0 Q > 0
bipoli capacitivi x < 0; B > 0 Q < 0
61
5.6.5 RifasamentoSi suppone di avere un sistema elettrico che puo essere scomposto in generatore, carico e linea di comunicazione.Poiche le linee di comunicazione non sono perfette si suppone che nelle linee ci siano delle perdite che sono modellate daresistori IMMAGINE definendo con IL il fasore della corrente efficace sulla linea si ha
Pdissipata = 2 ·RL · |IL|2
pertanto la potenza che giunge sul carico e
PU = Veff · Ieff · cos(ϕ) V = VS − 2 ·RL · ILPer massimizzare la potenza sul carico e necessario ridurre le perdite sulla linea, ma spesso questo puo essere molto costosopertanto si preferisce massimizzare il fattore di potenza..Se si fissa PU e Veff si puo avere:
su un carico induttivo IMMAGINE IMMAGINESe S1 e la potenza assorbita dal bipolo si cerca di ridurre il piu possibile la quantita di potenza reattiva assorbita,riducendo quindi la fase della potenza complessa; per ridutte la potenza reattiva assorbita si pone un condensatore mapoiche Veff deve essere costante allora si pone il condensatore in parallelo al bipolo nel seguente modo IMMAGINESi pone il condensatore in modo da passare la potenza reattiva da Q1 a Q2
QC =1
2· ω · C · VM 2 = −ω · |Veff |2 < 0
Q1 = PU · tan(ϕ1) Q2 = PU · tan(ϕ2)
|QC | = Q1 −Q2 = PU · (tan(ϕ1)− tan(ϕ2))⇒ C =|QC |
ω · |Veff |2=PU · (tan(ϕ1)− tan(ϕ2))
ω · |Veff |2
Massimizzando cos(ϕ) si ha una diminuizione della corrente sulla linea e quindi si minimizzano le perdite lungo lalinea.
5.6.6 Adattamento energeticoIMMAGINE Si ipotizza che si ha un generatore fisso e un carico variabile.E necessario calcolare ZU in modo che la potenza assorbita sia massine
I =E
ZG + ZU
P = RU · |I|2 = |E|2 ·RU
(RU +RG)2 + (xU + xG)2
P e massimo se xU = −xG pertanto si ha
P = |E|2 ·RU
(RU +RG)2
per cercare il massimo di P in funzione di RU si calcolano i punti stazionari di P
maxP =
∂|E|2 ·RU
(RU +RG)2
∂RU= |E|2 ·
RG −RU(RU +RG)3
= 0⇒ RU = RG
Pmax =|E|2
4 ·RGcalcolando il rendimento si ha
η =P
Pg= 0.5
Esempio 53 Calcolare ZU in modo daavere adattamento energetico nel seguente circuito IMMAGINE attraverso l’equi-valente di Thevenin si ha una impedenza equivalente
ZG = (8− j · 4 + j · 10)‖5 = (8 + j · 6)‖5 ≈ 3.415 + j · 0.7317 Ω
pertantoZL = 3.415− j · 0.7317 Ω
E =8− j · 4
8− j · 4 + j · 10 + 5· 2 · 5 ≈ 3.9024− j · 4.8780
PMAX =|E|2
8 · 3.415=
6.2469
27.32= 0.2287W
5.7 Analisi di circuiti nel dominio della frequenza
5.7.1 Richiamo di FourierData f una funzione qualsiasi, periodica di periodo T ha
f(t) = f(t+ n · T ) ω0 =2 · πT
allora f puo essere scritta nel seguente modo
f(t) = a0 +
+∞∑n=1
[an · cos(n · ω0 · t) + bn · sin(n · ω0 · t)]
a0 =1
T·∫ T
0f(t) · dt an =
2
T·∫ T
0f(t) · cos(n · ω0 · t) · dt bn =
2
T·∫ T
0f(t) · sin(n · ω0 · t) · dt
62
Esempio 54 Sia
f(t) =
1 0 < t < 10 1 < t < 2
T = 2 ω0 =2 · πT
= π
IMMAGINE
a0 =1
T·∫ T
0f(t) · dt =
1
2·∫ 1
01 · dt+
1
2·∫ 2
10 · dt =
1
2· [t]10 =
1
2
an =2
T·∫ T
0f(t) · cos(n · ω0 · t) · dt =
2
2·∫ 1
01 · cos(n · π · t) · dt+
2
2·∫ 2
10 · cos(n · π · t) · dt =
=
[sin(n · π · t)
n · π
]1
0
=sin(n · π)
n · π= 0
bn =2
T·∫ T
0f(t) · sin(n · ω0 · t) · dt =
2
2·∫ 1
01 · sin(n · π · t) · dt+
2
2·∫ 2
10 · sin(n · π · t) · dt =
[−
cos(n · π · t)n · π
]1
0
= −cos(n · π)− 1
n · π= −
1− (−1)n
n · π=
2n·π n dispari0 n pari
f(t) =1
2+
2
π·
+∞∑k=1
sin(n · π · t)n
n = 2 · k − 1
Si puo notare nell’esempio sopra che f e “facilmente” rappresentabile nel dominio del tempo, ma e anche possibilerappresentare le componenti
An =√an2 + bn
2 Φn = arctan
(bn
an
)Rappresentare An rappresentra lo spettro del segnale, mentre Φn rappresenta lo sfasamento di ogni singola componente.
5.8 Risposta ad un ingresso periodicoDato il seguente circuito IMMAGINE e possibile scoporre il generatore di tensione (periodico) con n generatori di tensionesinusoidali (attraverso la serie di Fourier); l’analisi del circuito puo essere svolta attraverso la sovrapposizione degli effettidei singoli generatori aggiunti. IMMAGINE
Esempio 55 Si ricavi vo(t) non considerando gli effetti transitori. IMMAGINE
R = 5Ω L = 2H vs(t) =1
2+
2
π·
+∞∑k=1
sin(n · π · t)n
n = 2 · k − 1
Si studia inizialmente l’effetto dovuto alla componente continua IMMAGINE e equivalente a IMMAGINE pertanto si ha
che v(dc)o = 0
Si studia ora l’effetto dovuto alla n-esima componente del segnale IMMAGINE e equivalente a IMMAGINE si ha ωn = n ·πpertanto poiche V
(n)s = 2
π·n · e−j·π
2 si ha
V(n)0 =
j · ωn · LR+ j · ωn · L
·V(n)s =
j · 2 · n · π5 + j · 2 · n · π
·Vs =j · 2 · n · π
5 + j · 2 · n · π·
2
π · n· e−j·
π2 =
=4
5 + j · 2 · n · π=
4
5 + j · 2 · n · π·
5− j · 2 · n · π5− j · 2 · n · π
=20− j · 8 · n · π52 + (2 · n · π)2
=4
√24 + e · n2 · π2
∠
[arctan
(2 · π · n
5
)]v
(N)o (t) =
4√
24 + e · n2 · π2· cos
[n · π · t− arctan
(2 · π · n
5
)]vo(t) =
+∞∑k=1
4√
24 + e · n2 · π2· cos
[n · π · t− arctan
(2 · π · n
5
)]n = 2 · k − 1
Esempio 56 Si calcoli io(t) nel seguente circuito IMMAGINE
v(t) = 1 +
+∞∑n=1
2 · (−1)n
1 + n2· [cos(n · t)− n · sin(n · t)]
poiche
An =√an2 + bn
2 =2
√1 + n2
Φn = arctan
(bn
an
)= arctan(−n) = − arctan(n)
v(t) = 1 +
+∞∑n=1
2 · (−1)n√
1 + n2· cos (n · t− arctan(n))
ω0 = 1 ωn = nrad
s
V =2 · (−1)n√
1 + n2· e−j·arctan(n)
I =V
Z=
2 + j · ωn8 + j · ωn · 8
·V⇒ Io =4
4 + j · ωn · 2· I =
V
4 + j · ωn · 4
Io =V
4 ·√
1 + n2 · e−j·arctan(n)=
2·(−1)n√1+n2
· e−j·arctan(n)
4 ·√
1 + n2 · e−j·arctan(n)=
(−1)n
2 · (1 + n2)
io(t) =1
4+
+∞∑n=1
(−1)n
2 · (1 + n2)· cos(n · t) A
63
5.9 Funzioni di reteFin’ora sono stati analizzati circuiti nel dominio della frequenza ma ora si ci si interessa allo studio del circuito con uningesso sinusoidale al quale viene fatta variare la frequenza.Supponendo che possa solo variare la frequenza si ha che la funzione di trasferimento e
H(ω) =fasore della risposta (uscita)
fasore dell′ingresso∈ C
Esempio 57 Dato un circuito RC, la tensione sul condensatore vale vC IMMAGINE
vs(t) = VM · cos(ω · t+ ϕ)
Vs = VM · ej·ϕ
VC = Vs ·1
j·ω·C
R+ 1j·ω·C
= Vs ·1
1 + j · ω ·R · C= H(ω) ·Vs
H(ω) descrive il comportamento del circuito al variare della frequenza; tale valore puo essere definito nei seguenti modi:
Uscita Ingresso Descrizione Unita di misuratensione corrente impedenza di trasferimento [Ω]corrente corrente rapporto di trasferimento in corrente adimensionaletensione tensione rapporto di trasferimento in tensione adimensionaletensione corrente ammettenza di trasferimento [S]tensione corrente impedeenza di ingresso [Ω]corrente tensione ammettenza di ingresso [S]
Esempio 58 Calcolare nel seguente circuito io(t) IMMAGINE
R = 4Ω L = 2H C = 0.5F ii(t) = IM · cos(ω · t+ ϕi)
Si ha cheIi = IM · ej·ϕi
Io = Ii ·R+ j · ω · L
R+ j · ω · L− 1j·ω·C
⇒ H(ω) =Io
Ii= Ii ·
R+ j · ω · LR+ j · ω · L− 1
j·ω·C
Si osserva che in generale la funzione di trasferimento la funzione di trasferimento e il rapporto tra due polinomi complessinella variabile complessa j · ω.
5.9.1 Risposta in frequenzaH(j · ω) come tutti i numeri complessi puo essere espresso in forma esponenziale
H(j · ω) = |H(j · ω)| · ej·H(j·ω) = |H(j · ω)| · ej·ϕ(ω)
Supponendo che la funzione di uscita sia la tensione si ha che
Vs = |Vs| · ej·ϕs Vu = |Vu| · ej·ϕu H(j · ω) = |H(j · ω)| · ej·ϕ(ω)
|Vu| = |H(j · ω)| · |Vs| ϕu = ϕs + ϕ(ω)
vu(t) = |Vu| · cos(ω · t+ ϕu) = |H(j · ω)| · |Vs| · cos(ω · t+ ϕs + ϕ(ω))
|H(j · ω) e detta risposta in ampiezza, mentre ϕ(ω) e detta risposta in fase.
5.9.2 Filtri del primo/secondo ordineEsempio 59 Risposta in ampiezza e fase in un circuito RC IMMAGINE
H(j · ω) =VC
Vs
VC = Vs ·1
j·ω·C
R+ 1j·ω·C
=1
1 + j · ω ·R · C·Vs
H(j · ω) =1
1 + j · ω ·R · C
|H(j · ω) =1
√1 + ω2 ·R2 · C2
ϕ(ω) = − arctan(ω ·R · C)
Si definisce pulsazione di taglio ωC = 1R·C = 1
τ
|H(j · ω)| =1√
1 +
(ω
ωC
)2ϕ(ω) = − arctan
(ω
ωC
)
ω
ωC|H| ϕ
0 1 01 1√
2−45
2 1√5−63
3 1√10
−72
Si ossserva che i segnali ad alta frequenza sono molto ridotti in ampiezza (e una cella filtrante ad alta frequenza).
64
I filtri sono circuiti dinamici costituiti in genere in due modi diversi, come circuiti RC o come circuiti RL, che “tagliano”determinate componenti di un segnale.
Definizione 18 (Frequenza di taglio) Si definisce frequenza di taglio la frequenza per la quale la funzione di trasferi-mento vale 1√
2.
Definizione 19 (Filtro passa-basso) Si definisce filtro passa-basso un circuito, almeno del primo ordine, che attenua isegnali con frequenza maggiore della frequenza di taglio.
Definizione 20 (Filtro passa-alto) Si definisce filtro passa-alto un circuito, almeno del primo ordine, che attenua isegnali con frequenza minore della frequenza di taglio.
Nei circuiti RC si hanno dei filtri (frequenza di taglio ωC = 1R·C )
passa basso se si estrae dal circuito la tensione ai capi del condensatore H(j · ω) = 11+j·ω·R·C
passa alto se si estrae dal circuito la tensione ai capi del resistore H(j · ω) = j·ω·R·C1+j·ω·R·C
mentre nei circuiti RL si hanno dei filtri (frequenza di taglio ωL = RL
)
passa basso se si estrae dal circuito la tensione ai capi del resistore H(j · ω) = RR+j·ω·L
passa alto se si estrae dal circuito la tensione ai capi del resistore H(j · ω) = j·ω·LR+j·ω·L
Definizione 21 (Filtro passa-banda) Si definisce filtro passa-banda un circuito, almeno del secondo ordine, che attenuai segnali con frequenza minore della frequenza di taglio inferiore e maggiore della frequenza di taglio superiore.
Esempio 60 (Filtro passa-banda) Un filtro passa-banda e realizzato mediante un circuito dinamico del secondo ordine.Un filtro passa-banda puo essere realizzato attraverso un filtro passa basso con in cascata un filtro passa alto con frequenzedi taglio poste poste nella giusta relazione d’ordine; puo anche essere rappresentato attraverso una cella filtrante, di tipoRLC, unica, dalla quale si estrae la tensione sul resistore. IMMAGINE
H(j · ω) =R
R+ j · ω · L− 1j·ω·C
ω0 =1
√L · C
Definizione 22 (Filtro elimina-banda) Si definisce filtro elimina-banda un circuito, almeno del secondo ordine, cheattenua i segnali con frequenza maggiri della frequenza di taglio inferiore e superiore della frequenza di taglio superiore.
Esempio 61 (Filtro elimina-banda) Un filtro elimina-banda e realizzato mediante un circuito dinamico del secondoordine. Un filtro elimina-banda puo essere realizzato attraverso un filtro passa basso con in cascata un filtro passa alto confrequenze di taglio poste poste nella giusta relazione d’ordine; puo anche essere rappresentato attraverso una cella filtrante,di tipo RLC, unica, dalla quale si estrae la tensione sul gruppo dinamico (induttore e condensatore). IMMAGINE
H(j · ω) =j · ω · L− 1
j·ω·C
R+ j · ω · L− 1j·ω·C
ω0 =1
√L · C
Una cella filtrente puo anche isolare completamente le componenti di un segnale a patto che le componenti abbano frequenzemolto distanti dalle frequenze di taglio dei filtri.
5.10 Circuiti RLC in evoluzione libera
5.10.1 Circuiti RLC, serie o parallelo, in evoluzione liberaDati i seguenti circuiti dinamici del secondo ordine si puo ricavare la tensione/corrente attraversante il circuito.IMMAGINE
KV L R · i+ vc(0) +1
C·∫ t
0i(τ) · dτ + L ·
di
dt= 0⇒ R ·
di
dt+
1
C· i+ L ·
d2L
dt2= 0⇒
⇒d2i
dt2+R
L·di
dt+
1
L · C= 0
IMMAGINE
KCLv
R+ iL(0) +
1
L·∫ t
0v(τ) · dτ + C ·
dv
dt= 0⇒
d2v
dt2+
1
R · C·dv
dt+
1
L · C· v = 0
Definizione 23 (Pulsazione di risonanza) Si definisce pulsazione di risonanza la quantita
ω0 =1
√L · C
Imponendo inoltre il coefficiente di smorzamento α
α =R
2 · Lnel caso di RLC in serie α =
1
2 ·R · Cnel caso di RLC in parallelo
e imponendo x come variabile incognita si ha la stessa equazione differenziale autonoma del secondo ordine a coefficienticostanti
d2x
dt2+ 2 · α ·
dx
dt+ ω0
2 = 0
65
Ponendo come soluzionex(t) = k · es·t
e sostituendo nell’equazione differenziale si ha
k · es·t · s2 + k · es·t · s · 2 · α+ k · es·t · ω02 = s2 + 2 · α · s+ ω0
2 = 0
da cui si ottengono
s1 = −α+√α2 − ω0
2 s2 = −α+√α2 + ω0
2
Definizione 24 (Frequenza naturali) Si definiscono frequenze naturali le quantita s1 e s2
in base al variare del fattore α2 + ω02 si ha
circuito sovrasmorzato quando α > ω0
x(t) = A1 · es1·t +A2 · es2·t
Definizione 25 (Modi naturali) Si definiscono modi naturali le funzioni
es1·t es2·t
IMMAGINE
Circuito con smorzamento critico quando α = ω0
x(t) = (A1 · t+A2) · e−α·t
IMMAGINE
Circuito sottosmorzato quando s1, s2 ∈ C ( α < ω0)
s1 = α+ j · β s2 = s1∗ = α− j · β β =
√ω0
2 − β2
x(t) = [A1 · cos(β · t) +A2 · sin(β · t)] · e−α·t
IMMAGINE
Circuito senza smorzamento se α = 0 (si ha sostanzialmente un circuito LC)
x(t) = A1 · cos(β · t) +A2 · sin(β · t) = A · cos(ω0 · t+ ϕ)
5.10.2 Circuiti RLC, serie o parallelo, con ingresso costanteIMMAGINE Nel circuito si ha
x(t) = x0(t) + xp(t)
dove x0(t) indica l’evoluzione libera, mentre xp(t) dipende dall’ingresso imposto.Lavorando con frequenze naturali reali negative o complesse coniugate il circuito si dice stabile.
5.11 Circuiti del secondo ordinedx1
dt= a11 · x1 + a12 · x2 + u1
dx2
dt= a21 · x1 + a22 · x2 + u2
⇒d2x1
dt2= (a11 + a22) ·
dx1
dt− (a11 · a22 − a12 · a21) · x1 +
du1
dt+ a12 · u2 − a22 · u1 ⇒
⇒d2x1
dt− ta(A) ·
dx1
dt+ det(A) · x1 = y1 α = −
tr(A)
2ω0
2 = det(a)
5.11.1 RLC con ingresso sinusoidaleIMMAGINE
x(t) = x0(t) + xp(t)
L’analisi si effettua per x0(t) spegnendo gli ingressi, mentre per xp(t) si effettua l’analisi nel dominio dei fasori.
RLC rosonante in parallelo
IMMAGINEis(t) = IM · cos(ω · t+ ϕ) v(t) = v0(t) + vp(t)
Y (j · ω) =1
R+
1
j · ω · L+ j · ω · C =
1
R+ j ·
(ω · c−
1
ω · L
)ω0 =
1√L · C
IMMAGINE
Z(j · ω) =1
1
R+ j ·
(ω · c−
1
ω · L
)Se ω = ω0 Z(j · ω0) = R, cioe posto in risonanza e come se la parte dinamica fosse scollegata.
Definizione 26 (Fattore di qualita) Si definisce fattore di qualita la quantita
Q = ω0 ·R · C
tale valore dipende dai paramentri del circuito
66
IL = −IC = −ω0 · C ·V = −j · ω0 · C ·R · Is = −Q · Is ⇒ |IL| = |IC | = Q · |IS |Se ω = ω0 allora nell’induttore e nel condensatore scorre una corrente Q volte piu grande (in modulo) di Is.L’energia immagazzinata dagli elementi dinamici e
W0 =1
2·R2 · C2
Dimostrazione 13 PoicheIL = −j ·Q · Is
IC = −IL = j ·Q · Is
iL(t) = Q · |IS | · cos(ω0 · t−
π
2+ ∠Is
)= Q · |IS | · sin(ω0 · t+ ∠IS)
vC(t) =Q
ω0 · C· |IS | · cos (ω0 · t+ ∠Is)
w(t) =1
2· L · iL2(t) +
1
2· C · vC2(t) =
1
2· L ·Q2 · |IS |2 · sin2(ω0 · t+ ∠Is) +
1
2· C ·
Q2
ω02 · C2
· |IS |2 · cos2(ω0 · t+ ∠Is)
L ·Q2 = L · (ω0 ·R · C)2 = L ·1
L · C·R2 · C2 = R2 · C
Q2
ω02 · C
=ω0
2 ·R2 · C2
ω02 · C
= R2 · C
w(t) =1
2· L ·Q2 · |IS |2 · sin2(ω0 · t+ ∠Is) +
1
2· C ·
Q2
ω02 · C2
· |IS |2 · cos2(ω0 · t+ ∠Is) =
=1
2·R2 · C
[sin2(ω0 · t+ ∠Is) + cos2(ω0 · t+ ∠Is
]=
1
2·R2 · C
W0 =1
2·R2 · C · |Is|2
La quantita di energia immagazzinata puo essere rapportata rispetto alla quantita di energia dissipata
W0
P · T=
12· C ·R2 · |IS |2
12·R · |Is|2 · 2·π
ω0
=ω0 ·R · C
2 · π=
Q
2 · π
5.11.2 Filtro passa banda
E un filtro che taglia l’uscita all’esterno dell’intervallo definito dalle due pulsazioni di taglio, ω1 ω2 IMMAGINE
Z(j · ω) =R
1 + j ·(ω ·R · C − R
ω·L
) =R
1 + j(ωω0· ω0 ·R · C − ω0
ω· Rω0·L
)Q = ω0 ·R · C =
1√L · C
·R · C =
√C√L·R ·
√L√L
=R
L · ω0
Z(j · ω) =R
1 + j ·Q(ωω0− ω0
ω
)Per ricavare i valori ω1 e ω2 si impone che |Z(j · ω)| = max |Z(j·ω)|√
2= R√
2
|Z(j · ω)| =R√
1 +[Q ·(ωω0− ω0
ω
)]2 =R√
2⇒[Q ·(ω
ω0−ω0
ω
)]2
= 1⇒ Q ·(ω
ω0−ω0
ω
)= 1
Q ·(ω
ω0−ω0
ω
)= 1⇒ Q ·
(ω2 − ω0
2
ω0 · ω
)= 1⇒ ω2 −
ω0
Q· ω − ω0
2 = 0
ω1, 2 = ω0 ·
√1 +
(1
2 ·Q
)2
±ω0
2 ·Q
RLC risonante in serie
Z(j · ω) = R+ j · ω · L+1
j · ω · C= R+ j ·
(ω · L−
1
ω · C
)ω0 =
1√L · C
Si puo osservare il fatto che il comportamento e esattamente duale al comportamento del circuito RLC risonante in parallelo.
5.11.3 Filtro elimina bandaE un filtro che taglia l’uscita all’interno dell’intervallo definito dalle due pulsazioni di taglio, ω1 ω2 IMMAGINE Tale filtrosi realizza attraverso un circuito RLC in serie e si preleva l’uscita ai capi della serie induttore-condensatore.Si puo dimostrare che se il circuito e in risonanza allora il circuito ha ammettenza e impedenza reale, pertanto per calcolarela frequenza di risonanza e sufficiente trovare ω per il quale =(Z) o =(Y ) e nulla.
67
68
Parte II
Esercizitazioni
69
Capitolo 6
Esercitazione 1
Uso delle leggi di Kirchhoff, calcolo di potenze, resistori in serie e parallelo.
6.1 Leggi di Kirchhoff
1. Note le correnti i1 e ei2 calcolare i3
i1 i3
i2
Figura 6.1: Circuito esercizio
i1 = 2Ai2 = 0.7A
i1 = i2 + i3 → i3 = i1 − i2 = 2A− 0.7A = 1.3A
2. Note le correnti ia, i3, i4 e i5 calcolare ib, i6, i1 e i2 in funzione degli altri parametri
i3 i4
i2
i5
ib
i6i1
ia
Figura 6.2: Circuito esercizio
Si calcola:i3 = i1 + i5 → i1 = i3 − i5i4 = i2 + i3 → i2 = i4 − i3i1 + ia + i2 + i6 = 0→ i6 = −ia − i1 − i2 = −ia − i4 + i5ib = −ia
3. Note le correnti segnate calcolare ih, ix, iy , iz e iw
71
iy iz
-3A
ix
1Aiw
-4A
ih 2A
Figura 6.3: Circuito esercizio
ih − 3A = 2A→ ih = 5Aiz = 1A− 4A = −3Aiw = ih − 4A = 1Aiy − 3A = iz → iy = iz + 3A = 0Aix + iy = iw → ix = iw − ix = 1A
4. Noti i potenziali segnati calcolare le tensioni v2 e ev4
10V
1V V4
V2 7V
Figura 6.4: Circuito esercizio
10− 1− v2 = 0→ v2 = 9V10− 1− v4 + 7 = 0→ v4 = 16V
6.2 Resistenze equivalenti1. Calcolare la resistenza equivalente in collegamenti paralleli.
I I1 I2 I3 In
R1 R2 R3 Rn
Figura 6.5: Circuito esercizio
Per la KCL I =n∑k=0
ik, poiche ik =V
Rl= V ·Gk
Ma
n∑k=1
Gk e una conduttanza, quindi
Req =
(n∑k=1
Gk
)−1
=
(n∑k=1
1
Rk
)−1
72
Se ∀k ∈ N, Ri = R allora
Geq =
n∑k=1
Gk =
n∑k=1
1
Req=
n
Req
2. Calcolare la resistenza equivalente del circuito sottostante.
R1
R2
R3
R4
R6
R5
R7
R8
R9
Figura 6.6: Circuito esercizio
R1 = 68Ω R2 = 32Ω R3 = 28Ω R4 = 10Ω R5 = 6ΩR6 = 18Ω R7 = 48Ω R8 = 16Ω R9 = 24Ω
Si riduce il circuito partendo da destra, ricavando le varie resistenze equivalenti.
R1
R2
R3
R4
R6
R5
R7 Req1
Req1 = R8 +R9 = 24Ω
R1
R2
R3
R4
R6
R5
Req2
Req2 = R7‖Req1 = 24·4824+48 = 16Ω
R1
R2
R3
R4 Req3
Req3 = R5 +R6 +Req2 = 40Ω
R1
R2
R3
Req4
Req4 = Req3‖R4 = 8Ω
73
R1 Req5
Req5 = R2 +R3 +Req4 = 68Ω
Req
Req6 = R1‖Req5 = 34Ω
3. Nel circuito seguente calcolare la resistenza equivalente, e ricalcolare la resistenza equivalente nel caso in cui a e bsono in corto circuito.
a b
R1R2
R4R3
Figura 6.7: Circuito esercizio
R1 = 20Ω R2 = 30Ω R3 = 45Ω R4 = 5Ω
Se a e b non sono in corto circuito si ha:
Req2Req1
Req1 = R1 +R3 = 65ΩReq2 = R2 +R4 = 35ΩReqtotale = Req1‖Req2 = 65·35
65+35 = 22.75Ω
Se a e b sono in corto circuito si ha:
74
R1R2
R4R3
Reqtotale = R1‖R2 +R3‖R4 = 20·3020+30 + 45·5
45+5 = 12 + 4.5 = 16.5Ω
6.3 Potenza e resistenze equivalenti1. Si calcoli la potenza I circolante nel ricuito e la potenza dissipata in ciascun resistore. Definire che relazione vi e tra
la potenza dissipata dai 3 resistori e la potenza fornita dal generatore.
50V
R1
R2
R3
Figura 6.8: Circuito esercizio
R1 = 5Ω R2 = 11Ω R3 = 9Ω
Si calcola innanzitutto la resistenza equivalente:
Req =
n∑i=1
Ri
50V Req
75
Nel caso specifico
Req =
3∑i=1
Ri = 25Ω
Quindi I = G · V = 1R· V = 2A. La potenza dissipata su ogni resistore e
Pi = Ri · I2i
quindiP1 = R1 · I2 = 20WP2 = R2 · I2 = 44WP3 = R3 · I2 = 36W
La potenza totale dissipata e Pdissipata =∑3i=1 Pi = 100W , mentre la potenza fornita dal generatore e Pfornita =
G ·V 2 = 100W . Si nota in modo molto evidente (confermando il principio di conservazione della potenza istantanea)che Pdissipata = Pfornita.
2. Calcolare il valore della tensione presente ai capi di V .
Vg
V1
R
V
I
Figura 6.9: Circuito esercizio
Pgenerata = 100W Vg = 100V V1 = 60V R = 20Ω
Si determina la corrente che circola nel circuito
Pgenerata = Vg · I → I =Pgenerata
Vg= 1A
Si determina prima la caduta ohmica ai capi del resistore, R, che ovviamente e opposta al verso della corrente I.
VR = R · I = 20V
Attraverso la legge di Kirchhoff sulle tensioni si calcola il valore di V .Si sceglie come verso di riferimento quello orario e si ha:
Vg − VR − V − V1 = 0→ V = Vg − VR − V1 = 20V
3. Determinare la corrente che attraversa il resistore, la potenza dissipata dal resistore e il valore di V .
Ig R I1V
IVIR
Figura 6.10: Circuito esercizio
•Ig = 0.1A P = 10W R = 500Ω I1 = 0.06A
Si ricava il valore di V , poiche e un collegamento parallelo si puo ricavare nel seguente modo:
P = V · I → V =P
I= 10V
76
Si ricava anche la IR sfruttando la legge di Ohm
IR =V
R= 0.02A
Per la KCL si ha che:
Ig = IR + I1 + IV → IV = Ig − IR − I1 = 0.02A = 20mA
La potenza dissipata dal bipolo e
Pdissipata = V · I = 10 · 0.02 = 0.2W
Poiche la potenza dissipata e positiva allora e un utilizzatore.
•Ig = 0.1A P = 30W R = 500Ω I1 = 0.06A
Si ricava il valore di V , poiche e un collegamento parallelo si puo ricavare nel seguente modo:
P = V · I → V =P
I= 30V
Si ricava anche la IR sfruttando la legge di Ohm
IR =V
R= 0.06A
Per la KCL si ha che:
Ig = IR + I1 + IV → IV = Ig − IR − I1 = −0.02A = −20mA
La potenza dissipata dal bipolo e
Pdissipata = V · I = 10 · 0.02 = 0.2W
Poiche la potenza dissipata e negativa allora e un generatore.
77
78
Capitolo 7
Esercitazione 2
Uso dei partitori di corrente e tensione, analisi dei circuiti mediante il metodo dei nodi (NA1).
7.1 PartitoriUn pertitore e un metodo pratico per l’analisi dei circuiti.
Esempio 62 (Partitore di tensione) Un partitore di tensione necessita di 2 resistori in serie ai cui terminali e presenteuna tensione v. Per ricavare v1, la tensione presente ai capi di R1 e necessario calcolare
vR1=
R1
R1 +R2· v
Nel caso i resistori collegati in serie siano n si ha
vRi =Rin∑k=1
Rk
· v
E possibile anche calcolare vRi in termini delle conduttanze, ma tale formulazione e molto complessa.
vRi =
n∏k = 1k 6= i
Gk
n∑j=1
n∏t = 1t 6= j
Gt
Esempio 63 (Partitore di corrente) Un partitore di corrente necessita di 2 resistori in parallelo ai cui terminali epresente una corrente i. Per ricavare i1, la corrente attraversante R1 e necessario calcolare
iR1=
G1
G1 +G2· i =
R2
R1 +R2· i
iR2=
R1
R1 +R2· i =
R2
R1 +R2· i
Nel caso i resistori collegati in parallelo siano n si ha
iRi =Gin∑k=1
Gk
· i
E possibile anche calcolare iRi in termini delle resistenze, ma tale formulazione e molto complessa.
iRi =
n∏k = 1k 6= i
Rk
n∑j=1
n∏t = 1t 6= j
Rt
1. Applicando il partitore di corrente e/o tensione, calcolare le tensioni e le correnti nel circuito seguente: IMMAGINE
E = 60V R1 = 19Ω R2 = 30Ω R3 = 70Ω
1N odal Analysis
79
Si calcola il partitore di tensione tra R1 e R2‖R3.
R2‖R3 =R2 ·R3
R2 +R3=
30 · 70
30 + 70= 21Ω
VR1 =R1
R1 +R2 +R3E =
19
19 + 21· 60 =
57
2V = 28.5V
VR2‖R3=
R2‖R3
R1 +R2 +R3E =
21
19 + 21· 60 =
63
2V = 31.5V
i1 =v
Req=
v
R1 +R2‖R3=
60
19 + 21= 1.5A
i2 =G2
G2 +G3· i1 =
R3
R2 +R3· i =
70
30 + 70· 1.5 = 1.05A
i3 =G3
G2 +G3· i1 =
R2
R2 +R3· i =
30
30 + 70· 1.5 = 0.45A
2. Trovare i nel circuito usando la regola del partitore di tensione.IMMAGINE
R1 = 5Ω R2 = 60Ω R3 = 40Ω R4 = 40Ω
R5 = 20Ω R6 = 20Ω E = 200V
Poiche ci interessa calcolare solo i e poiche si ha un generatore ideale posso staccare tutte i resistori collegati inparallelo, pertanto il circuito si riduce a IMMAGINE Occorre calcolare i′
Req = R1 +R2‖ (R3‖R4) = 20Ω
i′ =E
Req=
200
20= 10A
i′′ = i′ ·R3‖R4
R2 +R3‖R4= 2.5A
i =1
2· (i′ − i′′) = 3.75A
Una altra via potrebbe essere:
i =G3
G2 +G3 +G4· i′ =
140
160
+ 140
+ 140
· 10 =10
2 + 23
= 3.75A
3. Si calcoli la corrente i1, utilizzando il partitore di corrente IMMAGINE
ig = 20A R1 = 32Ω R2 = 10Ω R3 = 40Ω R4 = 60Ω
Req = R2‖R3 =R2 ·R3
R2 +R3= 8Ω
Req1 = Req +R1 = 40Ω
i′ =Geq1
Geq1 +G4· ig =
60
100· 20 = 12A
i1 = i′ ·R3
R2 +R3= 9.6A
4. Calcolare v1, utilizzando ripetutamente il puntatore di tensione. IMMAGINE
E = 100V R1 = 50Ω R2 = 100Ω R3 = 60Ω R4 = 40Ω
Si calcola calcola la tensione presente ai capi di a, b mediante il partitore di tensione e si riapplica un partitore ditensione sul resistore R4.
v1 = R4R3+R4
· vpartitore = R4R3+R4
· R2‖(R3+R4)R1+R2‖(R3+R4)
· v = 40100· 100‖100
50+100‖100· 100 =
= 25· 50
100· 100 = 0.4 · 50 = 20V
7.2 Analisi dei nodi1. Calcolare le varie tensioni dei nodi all’interno del seguente circuito IMMAGINE
G =
150
+ 1100
+ 160
− 160
− 160
160
+ 140
G =
7150
− 160
− 160
124
detG =
1
600= 0.0016
u =
[20
]Utilizzando il teorema di Cramer
V =
det
7150
2
− 160
0
detG
=1301
600
= 20V
80
2. Calcolare le varie tensioni dei nodi all’interno del seguente circuito (noto anche per essere essere una palese dimo-strazione del teorema di Milmann). IMMAGINE
KCL @ 1 (e1 − V1) ·G1 + (e1 − V2) ·G2 + . . .+ (e1 − Vn) ·Gn = 0
n∑i=1
(e1 − Vi) ·Gi = 0→ e1 ·n∑i=1
Gi =
n∑i=1
Vi ·Gi
e1 =
n∑i=1
Vi ·Gi
n∑i=1
Gi
3. Calcolare le tensioni dei nodi all’interno del seguente circuito IMMAGINE
e1 =
V1
R1+V2
R2+V4
R4
1
G1+
1
G2+
1
G3+
1
G4
Bisogna fare attenzione al fatto che se su un ramo manca il generatore allora la tensione del generatore su quel ramoe nulla, mentre tutte le tensioni devono essere riferite dal nodo di riferimento al nodo su cui si applica il teorema.
e1 =
V1
R1+V2
R2+V4
R4
1
G1+
1
G2+
1
G3+
1
G4
4. Calcolare le tensioni dei nodi all’interno del seguente circuito IMMAGINE
G =
110
+ 110
+ 110
− 110
− 110
− 110
110
+ 110
+ 110
− 110
− 110
− 110
110
+ 110
+ 15
=
310
− 110
− 110
− 110
310
− 110
− 110
− 110
25
u =
2 + 10−1
detG =
3
125Per Cramer si ha che
e1 =
det
3 − 1
10− 1
10
0 310
− 110
−1 − 110
25
detG
=145
12= 12.083V
e2 =
310
3 − 110
− 110
0 − 110
− 110
−1 25
detG
=55
12= 4.583V
e3 =
310
− 110
3
− 110
310
0
− 110
− 110
−1
detG
=5
12= 1.6V
81
82
Capitolo 8
Esercitazione 3
L’esercitazione riguarda l’analisi dei circuiti in presenza di generatori dipendenti e di amplificatori operazionali.
8.1 N.A. con generatori dipendenti1. Analizzare il circuito seguente con il metodo dei nodi. IMMAGINE
G · e = ue1 ·G1 + (e1 − e2) · (G2 +G4) = is1 KCL @ 1
e2 ·G3 + (e2 − e1) · (G2 +G4) + (e2 − e3) ·G5 = −is3 (t) KCL @ 2
(e3 − e2) ·G5 + gm · v2 = is3 − is2 KCL @ 3
Bisogna prestare attenzione che in presenza di un generatore dipendente occorre inserirla prima del segno di ugua-glianza e poi cercare di ricavare la dipendenza dai potenziali di nodo.
v2 = e1 − e2e1 ·G1 + (e1 − e2) · (G2 +G4) = is1 KCL @ 1
e2 ·G3 + (e2 − e1) · (G2 +G4) + (e2 − e3) ·G5 = −is3 KCL @ 2
(e3 − e2) ·G5 + (e1 − e2) · gm = is3 − is2 KCL @ 3
G =
G1 +G2 +G4 −(G2 +G4) 0
−(G2 +G4) G2 +G3 +G4 +G5 −G5
−gm gm −G5 G5
u =
is1
−is3
is3 − is2
Se si osserva G si nota che in presenza di generatori dipendenti la matrice non e piu simmetrica. Vi sono modiper scrivere a vista la matrice G ma e di uso molto complicato, pertanto la miglior strategia e quella di procederegradualmente scrivendo gli equilibri ai nodi.Risolvendo il sistema si hanno tutti i potenziali di nodo.
2. IMMAGINE Analizzare il circuito sopra e equivalente ad analizzare il seguente circuito: IMMAGINE
vgk = vs − ekPoiche Rk, µ · vgk , Rp e Ru sono in serie, le varie componenti possono essere spostati senza cambiar l’andamentodel circuito. Si modifica il circuito nel seguente modo, in modo da poter calcolare in modo semplice la KCL @ AIMMAGINE
ek
Rk+ek − µ · vgkRp +Ru
= 0→ek
Rk+ek − µ · (vs − ek)
Rp +Ru= 0
ek
Rk+
ek
Rp +Ru−
µ · vsRp +Ru
+µ · ek
Rp +Ru= ek ·
(1
Rk+
1 + µ
Rp +Ru
)−
µ · vsRp +Ru
= 0
ek ·(
1
Rk+
1 + µ
Rp +Ru
)= ek ·
Rp +Ru +Rk · (1 + µ)
Rk · (Rp +Ru)=
µ · vsRp +Ru
ek ·Rp +Ru +Rk · (1 + µ)
Rk= µ · vs
ek =Rk · µ · vs
Rp +Ru +Rk · (1 + µ)
Tornando al circuito precedente si ha che al nodo 1 e presente una tensione pari a
e1 = ek + µ · vgk = ek + µ · (vs − ek) = ek · (1− µ) + µ · vs =
=Rk·µ·vs·(1−µ)
Rp+Ru+Rk·(1+µ)+ µ · vs = vs ·
(Rk·µ·(1−µ)
Rp+Ru+Rk·(1+µ)+ µ
)= vs ·
µ·(2·Rk+Rp+Ru)
Rk·(1+µ)+Rp+Ru
83
3. Calcolare il rapporto v0vs
nel seguente circuito IMMAGINE
ib =vs
Rs + hie
La corrente if e nulla, in quanto se si prende come superficie chiusa la superficie che contiene il generatore, Rs e hiela somma delle correnti entranti deve essere nulla, e dato che l’ingresso e solo da if allora if = 0.
Ru · hfe · ib = v0
−Ru · hfeRs + hie
· vs = v0
v0
vs= −
Ru · hfeRs ·Rie
4. Calcolare il rapporto v0vs
nel seguente circuito IMMAGINE v si ricava mediante il partitore di tensione calcolato su
R3
v =R3
R1 +R2 +R3· vs1
v0 si ricava con il partitore di tensione calcolato su R7
v0 =R7
R6 +R7· (µ · v) =
R7
R6 +R7·
µ ·R3 ·R4
R2 +R3 +R4· vs1
v0
vs1=
µ ·R3 ·R4 ·R7
(R2 +R3 +R4) · (R6 +R7)
8.2 N.A. con amplificatori operazionali1. Calcolare il rapporto v0
vsIMMAGINE Non si calcola la KCL @ 2 perche e all’uscita dell’AO (si puo fare ma si
aumenta inutilmente il numero di incognite).
Vincolo AO e1 = v− = v+ = 0
0− vsR1
+0− voR2
= 0⇒vs
R1= −
vo
R2⇒
v0
vs= −
R2
R1
2. Calcolare il rapporto v0vs
IMMAGINE
Vincolo AO e1 = v− = v+ = vs, poiche i− = 0, su Rs non vi e caduta di tensione
vs
R1+vs − voR2
= 0⇒ vs ·R2 + vs ·R1 − vo ·R1 = 0
v0 = vs ·(R1 +R2
R1
)= vs ·
(1 +
R2
R1
)⇒
vo
vs= 1 +
R2
R1
3. Calcolare la differenza di vo in presenza e in assenza di un inseguitore di tensione IMMAGINE
vs = 10V Rs = 50Ω Ro = 50Ω
Il circuito e equivalente a un AO in configurazione non invertente con guadagno unitario, tale circuito e noto comeinseguitore di tensione.Su Ro si ha
vo = vs = 10V
Se al circuito fosse eliminato il buffer, inseguitore di tensione, si avrebbe un comportamento completamente diversosu vo. (il buffer ha la funzione di evitare assorbimenti di corrente da vs). IMMAGINE
vo =Ro
Rs +Ro· vs = 5V
4. Calcolare il valore di tensione in uscita, vo IMMAGINE Si calcola la KCL @ 1
−v1
R1−v2
R2+ . . .−
vn
Rn−
vo
RF= 0
vo
RF= −
∑i=1
nvi
Ri⇒ vo = −RF ·
n∑i=1
vi
Ri=
n∑i=1
vi · ai
ai = −RF
Ri, ∀i
5. Calcolare il rapporto vovs
e la resistenza vista dal generatore Ri IMMAGINE Poiche i− = 0, vincolo imposto dall’AO
ideale, la corrente i uscente dal generatore vs circola solo su RF , pertanto
i =vs − voRF
La resistenza vista ai capi del generatore si calcola utilizzando la legge di Ohm
Ri =vs
i=
vs
vs − vo·RF
Si calcola la KCL @ 2, non si calcola sugli altri nodi perche @ 1 e ai capi del generatore e @ 3 e all’uscita dell’AO.
e2
R1+e2 − voR2
= 0
84
Vincolo AO e2 = v+ = v− = vs
vs
R1+vs − voR2
= 0⇒vs
R1+vs
R2−vo
R2= 0⇒
(1
R1+
1
R2
)·R2 =
R1 +R2
R1= 1 +
R2
R1=vo
vs
Ri =vs
vs − vo·RF =
vs
vs ·(
1− 1− R2R1
) = −R1
R2·RF
Come si puo osservare si e riusciti a realizzare una resistenza negativa.
6. Calcolare la resistenza vista dal generatore Ri IMMAGINE Non si calcolano le KCL @ 2 e KCL @ 4 perche sonoall’uscita dell’AO.
e1−e2R5
= is1 KCL @ 1
e3−e2R6
+ e3−e4R7
= 0 KCL @ 3
e5−e4R8
+ e5R9
= 0 KCL @ 5
Vincoli AO:
AO n.1 e1 = v+ = v− = e3
AO n.2 e3 = v+ = v− = e5
Si definisce E = e1 = e3 = e5.
ER5− e2R5
= is1
ER6− e2R6
+ ER7− e4R7
= 0
ER8− e4R8
+ ER9
= 0
⇒
E ·G5 − e2 ·G5 = is1
E · (G6 +G7)− e2 ·G6 − e4 ·G7 = 0
E · (G8 +G9)− e4 ·G8 = 0
G =
G5 −G5 0
G6 +G7 −G6 −G7
G8 +G9 0 −G8
u =
is1
0
0
85
86
Capitolo 9
Esercitazione 4
L’esercitazione riguarda l’analisi dei circuiti con il metodo dei nodi, il teorema di Millman e la sovrapposizione degli effetti.
9.1 Metodo dei nodi
1. Calcolare la resistenza equivalente del seguente circuito IMMAGINE La resistenza equivalente e Req = e1is1
Si effettua l’analisi dei nodi non considerando i nodi 2 e 4 in quanto sono all’uscita di un AO.
e1 − e2R5
= is1 KCL @ 1
e3 − e2R6
+e3 − e4R7
= 0 KCL @ 3
e5 − e4R8
+e5
R9= 0 KCL @ 5
Dai vincoli degli AO si ha che e1 = e3 = e5, quindi
e1 − e2R5
= is1
e1 − e2R6
+e1 − e4R7
= 0
e1 − e4R8
+e1
R9= 0
⇒
G5 −G5 0G6 +G7 −G6 −G7
G8 +G9 0 −G8
· e1
e2e4
=
is100
e1 =
det
is1 −G5 00 −G6 −G7
0 0 −G8
det
G5 −G5 0G6 +G7 −G6 −G7
G8 +G9 0 −G8
= is1 ·G6 ·G8
G5 ·G7 ·G9
Req =e1
is1=is1 ·
G6·G8G5·G7·G9
is1=
G6 ·G8
G5 ·G7 ·G9
2. Calcolare il rapportov7
vs1IMMAGINE
v6 =G3
G3 +G5· e1 v7 = µ ·
G3
G3 +G5· e1
e1−vs1R2
+ e1−v6R3
+ e1−v7G3+G5
R4 = 0 KCL @ 1 ⇒
⇒e1 − vs1R2
+e1 − G3
G3+G5· e1
R3+e1 − µ · G3
G3+G5· e1
R4= 0
v7
vs1=
µ ·G2 ·G3
(G3 +G5) ·(G2 +G3 − G2
3G3+G5
+G4 − µ · G3·G4G3+G5
)Si osserva che si ha una formulazione molto complessa, ma se si pone l’ipotesi di amplificatore operazionele idealeallora avra amplificazione infinita µ→ +∞.
limµ→+∞
µ ·G2 ·G3
(G3 +G5) ·(G2 +G3 − G2
3G3+G5
+G4 − µ · G3·G4G3+G5
) = limµ→+∞
µ ·G2 ·G3 · vs1−µ ·G3 ·G4
= −R4
R3· vs1
Come si puo osservare si ha una formulazione molto piu semplice, e semplicemente un amplificatore operazionale inconfigurazione invertente.
87
9.2 Teorema di Millman e sovrapposizione degli effetti1. Calcolare le correnti i1, i2 e i3 nel seguente circuito IMMAGINE
E1 = 12V E2 = 4V E3 = 6V R1 = 0.5Ω R2 = 20Ω R3 = 10Ω R4 = 5Ω
Usando il teorema di Millman si calcola la tensione tra A e B.
vAB =
E1
R1−E2
R2+E3
R4
1
R1+
1
R2+
1
R3+
1
R4
=24− 0.2 + 1.2
2 + 0.05 + 0.1 + 0.2=
25
2.35' 10.638V
ij = iRj = vRj ·1
RjvRi + Ei = VA
i3 =VA
R3' 1.067A
i2 =VA + E2
R2' 0.732A
i1 = −VA − E1
R1' 2.72A
2. Calcolare la tensione in uscita sfruttando il teorema di sovrapposizione IMMAGINE vo|vs1IMMAGINE Si riconosce
subito che e un amplificatore in configurazione invertente
vo|vs1= −
R2
R2· vs1
vo|vs2IMMAGINE Si riconosce subito che e un amplificatore in configurazione non invertente
vo|vs2=
(1 +
R2
R1
)· v+ =
(1 +
R2
R1
)·
R4
R3 +R4· vs2
vo = vo|vs1+ vo|vs2
= −R2
R2· vs1 +
(1 +
R2
R1
)·
R4
R3 +R4· vs2
Il teorema di sovrapposizione porta allo studio di due circuiti distinti, ma se questi circuiti si analizzano a vista allorapuo risultare molto comodo.
88
Capitolo 10
Esercitazione 5
L’esercitazione riguarda l’analisi dei circuiti attraverso i teoremi di Thevenin, Norton e si ha una introduzione all’ambientedi simulazione automatico PSpice.
10.1 Analisi con Thevenin e Norton1. Calcolare l’equivalente di Thevenin del seguente circuito IMMAGINE Azzerano i generatori si calcola la resistenza
equivalente di Thevenin (RT ). IMMAGINE
RT = R1‖R2 =R1 ·R2
R1 +R2
Per il calcolo della tensione equivalente di Thevenin (VT ) occorre calcolare la tensione v hai capi del circuito originale.IMMAGINE Si sostituisce R1‖Ig con un generatore di tensione V ′g = Ig · R1 in serie al resistore R1, v e la tensioneai capi del resistore R2.
vT = v = vR2=
R2
R1 +R2·(V ′g + Vg
)=
R2
R1 +R2· (Ig ·R1 + Vg)
Tale calcolo si poteva eseguire anche attraverso il teorema di Millman ma sarebbe stato necessario dover effettuarealtre operazioni.
2. Calcolare l’equivalente di Thevenin IMMAGINE Osservando il circuito si osserva subito che vT = v e la tensione aicapi di R2, cioe v2. Per calcolare v2 si usa il metodo dei nodi (dato che tra l’altro e presente un solo nodo)
v2 − veR1
+v2
R2+ gm · v2 = 0⇒ v2 ·
(1
R1+
1
R2+ gm
)=
ve
R1⇒ v2 =
ve
R1 ·(
1R1
+ 1R2
+ gm) =
ve ·G1
G1 +G2 + gm= vT
Per il calcolo della RT dato che nel circuito vi e un generatore controllato occorre imporre un generatore di prova ecalcolarne la resistenza ai suoi capi. Si pone un generatore di tensione di prova vP .
iP = gm · vP + vP · (G1 +G2) = vP · (G1 +G2 + gm)
RT =vP
iP=
vP
vP · (G1 +G2 + gm)=
1
G1 +G2 + gm
3. Calcolare l’equivalente di Norton IMMAGINE Si pone tra A e B un cortocircuito, pertanto si ha subito attraversola KV L che v1 − vS = 0⇒ vs = v1; la iN per definizione e la corrente che scorre nel cortocircuito.Poiche vi e un cortocircuito allora su R non vi e passaggio di corrente, pertanto nel cortocircuito scorre
iCC =µ · v1
RD=µ · vSRD
dato che vi e un generatore controllato allora si pone un generatore di prova IMMAGINE si ha che v1 = −vP
iP = iR + iD =vP
R+vP − µ · v1
RD=vP
R+vP + µ · vP
RD= vP ·
(1
R+
1 + µ
RD
)RN =
vP
iP=
vP
vP ·(
1R
+ 1+µRD
) =1
1R
+ 1+µRD
=1
G+GD · (1 + µ)
4. Calcolare l’equivalente di Thevenin e Norton IMMAGINE Iniziando a calcolare l’equivalente di Norton si pone uncortocircuito tra A e B, pertanto si ricava che VD = E
iCC =A · vDR
=A · ER
= iN
Per il calcolo della resistenza RN si azzerano tutti i generatori e si pone tra A e B un generatore di prova vP
iP =vP −A · vD
R=vP +A · vP
R= vP ·
1 +A
R
RN =vP
iP=
vP
vP · 1+AR
=R
1 +A
Per il calcolo dell’equivalente di Thevenin si puo facilmente fare attraverso l’equivalente di Norton.
RN = RT vT = iN ·RN =A · ER·
R
1 +A=E ·A1 +A
Nel caso di amplificazione infinita (A→ +∞) RT → 0 si avrebbe quindi un generatore ideale di tensione.
89
5. Calcolare attraverso il teorema di Thevenin la corrente i. IMMAGINE Si esclude il ramo contenente i e si calcolal’equivalente di Thevenin.Per il calcolo di vT si usa il teorema di Millman Il circuito sara quindi equivalente al seguente IMMAGINE
i =vT
RT + 2
In questa situazione, abbastanza semplice, era possibile ricavare i semplicemente escludendo i rami del parallelo chenon comprendano generatori o la corrente da calcolare, pertanto
i =10
5 + 2≈ 1.43A
10.2 PSpice
E un ambiente di simulazione circuitale molto evoluto e rapido che lavora su matrici e metodi molto sofisticati di analisi.Ogni simulazione va innanzitutto scritta in un file con estenzione cir, ogni file di simulazione composto nel seguente modo:
• prima riga: titolo
• ultima riga: .end
• righe intermedie: introduzione di elementi circuitali e operazioni da effettuare (ogni operazione e un comando diPSpice e inizia con un punti). L’introduzione non ha vincoli, si possono dire prima le operazioni e dopo gli elementi apiacimento ma e conveniente avere un criterio logico. Possono essere introdotti dei commenti attraverso il carattere*.
90
Capitolo 11
Esercitazione 6
L’esercitazione trattera l’analisi di doppi bipoli e un riepilogo di analisi di reti resistive.
11.1 Analisi di doppi bipoli1. Calcolare la matrice R del seguente circuito IMMAGINE
v1 = R11 · i1 +R12 · i2v2 = R21 · i1 +R22 · i2
R11 = R|i2=0 = 1 + 6‖(4 + 2) = 4Ω
R22 = R|i1=0 = 2‖(4 + 6) =20
12=
5
3Ω
R12 =v1
i2
∣∣∣∣i1=0
=6 · 2
(6+4)+2· i2
i2= 1Ω
Poiche il circuito e composto da un soli bipoli passivi allora la matrice R e simmetrica, quindi R12 = R21.
R21 =v2
i1
∣∣∣∣i2=0
=2 · 1
2· i1
i1= 1Ω C.V.D.
R =
[4 11 5
3
]Ω
2. Ricavare il rapporto tra RT e Rπ nei seguenti circuiti IMMAGINE IMMAGINE Dal primo circuito si puo stabilire
a “occhio” la matrice RT .
RT =
[2 ·RT RTRT 2 ·RT
]= RT ·
[2 11 2
]
v1 = Rπ11 · i1 +Rπ12 · i2v2 = Rπ21 · i1 +Rπ22 · i2
Rπ11 =v1
i1
∣∣∣∣i2=0
=2
3Rπ
Rπ22 =v2
i2
∣∣∣∣i1=0
=2
3Rπ
Rπ12 =v1
i2
∣∣∣∣i1=0
=Rπ
3
Rπ21 =v2
i1
∣∣∣∣i2=0
=Rπ
3
Rπ =
[23·Rπ Rπ
3Rπ3
23·Rπ
]=Rπ
3·[
2 11 2
]RT = Rπ ⇔ RT =
Rπ
3
3. Si calcoli la matrice G nel seguente circuito IMMAGINEi1 = G11 · v1 +G12 · v2
i2 = G21 · v1 +G22 · v2
G11 =i1
v1
∣∣∣∣v2=0
per il calcolo del rapporto i1v1
occorre imporre un generatore di prova e ricavare la resistenza equivalente. IMMAGINE
eA
2+eA
4+ 2 · i1 = i1 ⇒ eA = −
4
3· i1
v1 = eA + 8 · i1 =
(−
4
3+ 8
)· i1 =
3
20· i1
91
G11 =i1
v1
∣∣∣∣v2=0
=i1
v1=
3
20S
Per il calcolo di G22 si fa lo stesso procedimento, si pone un generatore v2 e si calcola il rapporto i2v2
G22 = 4‖2 =4
3S
11.2 Analisi reti resistivi1. Calcola la resistenza equivalente del circuito IMMAGINE
Req = (10 + (15‖30) + 5)‖(5 + 4.5 + (9‖(6 + 3))) =350
39Ω ≈ 8.97Ω
2. Calcolare vo IMMAGINE e1 − v3
R2
+e1 − v1
R3
+e1 − voR
= 0
e2 − v2
2 ·R+e2
R= 0
Si ha il vincolo dell’ AO, cioe e1 = e2 = e6 · e− 2 · v3 − 3 · v1 = v0
e =v2
3
⇒ v0 = −3 · v1 + 2 · v2 − 2 · v3
92
Capitolo 12
Esercitazione 7
L’esercitazione riguardera l’analisi di circuiti dinamici lineari.
12.1 Analisi circuiti dinamici
1. Calcolare vo(t) IMMAGINEi(0) = 1A Ig = 2A L = 1Ω L = 1H
vo(t) = [vo(0)− vo∞] · etτ + vo∞
Occorre calcolare vo(0+), vo∞ e τ .vo(0+) IMMAGINE si puo risolvere il circuito attraverso la sovrepposizione degli effetti
vo(0+)∣∣Ig
=1
3· Ig
vo(0+)∣∣il(0)
=1
3· il(0)
vo(0+) = vo(0
+)∣∣Ig
+ vo(0+)∣∣il(0)
=Ig + il(0)
3=
1 + 2
3= 1V
vo∞ IMMAGINE
vo∞ = R · Ig ·1
2=
1
2V
τ = Geq · L IMMAGINE
Geq =1
R‖2 ·R=
123
=3
2S
τ = Geq · L =3
2· 1 =
3
2s
vo(t) =e−
23·t
2+
1
2=
1
2·(
1 + e−23·t)
2. Calcolare vc(t) e iL(t) IMMAGINE
iL(t) =[iL(0+)− iL∞
]· e−
tτL + iL∞
vC(t) =[vC(0+)− vC∞
]· e−
tτC + vC∞
Occorre calcolare iL(0+), iL∞ e τL; vC(0+), vC∞ e τC vC(0+) IMMAGINE
vC(0+) = 2V
iL(0+) IMMAGINE I rami del parallelo in cui compare un resistore possono essere esclusi, in quanto non influenzanola soluzione.
iL(0+) =4
3A
vC∞ IMMAGINE
vC∞ =2
2 + 2· 2 = 1V
iL∞ IMMAGINE
iL∞ =1
3A
τC , τL IMMAGINE IMMAGINEτC = Req · C = 4 · 0.5 = 2s
τL = Geq · L =1
3· 6 = 2s
iL(t) =
[e−
t2 +
1
3
]A
vC(t) =[e−
t2 + 1
]V
93
3. Calcolare l’andamento di vo(t), supponendo che il condensatore e inizialmente scarico (vC(0) = 0V ) IMMAGINE
vE(t) =
2 t ∈ (30 · k, 30 · k + 15)0 t ∈ (30 · k + 15, 30 · (k + 1))
R = 3kΩ C = 2µF
Req =3k
6k· 3k = 1.5kΩ
vC(k · 30 + 15−) = 2 ·3k
6k= 1V
vC(k · 30−) = 0 ·3k
6k= 0V
IMMAGINE
4. Calcolare vo(t) IMMAGINE
E = 4mV R1 = 10kΩ R2 = 100kΩ C = 1µF
vo(t) = [vo(0)− vo∞] · e−tτ + vo∞
vo(0+) = 0V
vo∞ = −40mV
Req = 100kΩ
Poiche al tempo infinito R1 e collegato a due nodi allo stesso potenziale, quindi non vi e passaggio di corrente,pertanto i passa solo attraverso R2
τ = 105 · 10−6 = 0.1s
vo(t) =[40 · e−10·t − 40
]mV
94
Capitolo 13
Esercitazione 8
L’esercitazione trattera l’analisi di circuiti dinamici e introduce semplici esercizi con numeri complessi e fasori.
13.1 Circuiti dinamiciDato il seguente circuito ricavare vC(t) e vR(t). IMMAGINE
VE = 30V R1 = 8kΩ R2 = 2kΩ R3 = 0.8kΩ R4 = 12kΩ R = 1.6kΩ C = 250µF
T =
aperto t < 1chiuso 1 ≤ t ≤ 2aperto t > 2
Si puo ottenere l’equivalente di Thevenin nel caso in cui T e aperto/chiuso.
• T aperto IMMAGINE
VTA =R2
R1 +R2· VE =
2
8 + 2· 30 = 6V
ReqA = R3 +R1‖R2 = 0.8 +8 · 28 + 2
= 2.4kΩ
• T chiuso IMMAGINE
ReqC = R4‖(R1‖R2 +R3) =
12 ·(
8 · 28 + 2
+ 0.8
)12 +
8 · 28 + 2
+ 0.8= 2kΩ
Per il calcolo di VTC si puo usare il metodo del node split che consiste nel sdoppiare un nodo, nel seguente caso sicollega R4 a un altro generatore dello stesso valore nominale; questo metodo consente una piu semplice risoluzionedel problema. IMMAGINE
VTC = VTC∣∣G
+ VTC∣∣G′ sovrapposizione degli effetti
Per il calcolo di VTC∣∣G
si effettua sul seguente circuito IMMAGINE
VTC∣∣G
=R4
R3 +R4· VA =
R4
R3 +R4·
VER1
1R1
+ 1R2
+ 1R3+R4
=12
0.8 + 12·
308
18
+ 12
+ 112+0.8
= 5V
IMMAGINE
VTC∣∣G′ =
R1‖R2 +R3
R1‖R2 +R3 +R4· VE =
8 · 28 + 2
+ 0.8
8 · 28 + 2
+ 0.8 + 12· 30 = 5V
VTC = VTC∣∣G
+ VTC∣∣G′ = 5 + 5 = 10V
τC = (ReqC +R) · C = (2 + 1.6) · 103 · 250 · 10−6 = 0.9s
τA = (ReqA +R) · C = (4 + 1.6) · 103 · 250 · 10−6 = 1s
vC(t) =
(vC(1+)− vC∞ ) · e−
t−1τC + vC∞ = (6− 10) · e
1−t0.9 + 10 = −4 · e
1−t0.9 + 10 1 ≤ t ≤ 2
(vC(2+)− vC∞ ) · e−t−2τA + vC∞ = (8.68− 6) · e2−t + 6 = 2.68 · e2−t + 6 t > 2
Per il calcolo di vR(t) si pone al posto di C un generatore di tensione vC(t)
vR(t) =
0 t < 1
(vR(1+)− vR∞ ) · e1−tτC + vR∞ 1 ≤ t ≤ 2
(vR(2+)− vR∞ ) · e2−tτA + vR∞ t > 2
vR(1+) =R
R+ReqC· (VTC − vC(1+)) =
1.6
2 + 1.6· (10− 6) =
1.6
3.6· 4 = 1.78V
vR(2+) =R
R+ReqA· (VTA − vC(2+)) =
1.6
2.4 + 1.6· (6− 8.68) =
1.6
4· (−2.68) = −1.072V
95
vR∞ = 0V
vR(t) =
0 t < 1
1.78 · e1−t0.9 1 ≤ t ≤ 2
−1.078 · e2−t t > 2
0 1 2 3 4 5 64
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
vC
vR
Figura 13.1: Grafici di vC(t) e vR(t)
13.2 Numeri complessi e fasori
1. Dato Z = 6 · ej·π6 ∈ C si calcoli la parte reale e la parte immaginaria.
<(Z) = 6 · cos(π
6
)≈ 5.19
=(Z) = 6 · sin(π
6
)≈ 3
2. Dati Z1 = −1− j ∈ C e Z2 = 1 + j ∈ C se ne calcolino modulo e argomento.Per il calcolo dell’argomento si effettua
arctan
(=(Z)
<(Z)
)eventualmente aggiungendo un angolo π in base a quale quadrante appartiene
Z1 =√
2 · ej·54·π
Z2 =√
2 · ej·14·π
3. Dati Z1 = 2 + j · 2 e Z2 = −2 + j · 6, si calcolino V1 = |V1| · ej·ϑ1 = Z1 · Z2 e V2 = |V2| · ej·ϑ2 =Z1
Z2.
Z1 = 2 ·√
2 · ej·45
Z2 = 2 ·√
10 · ej·108.44
96
V1 = Z1 · Z2 = 2 ·√
2 · 2 ·√
10 · ej·(45+108.44) = 8 ·√
5 · ej·153.44
V2 =Z1
Z2=
2 ·√
2
2 ·√
10· ej·(45−108.44) =
1√
5· e−j·63.44
4. Calcolare e disegnare sul piano complesso i fasori I e V corrispondenti a
i(t) = 25 · cos(ω · t+
π
4
)v(t) = −15 · sin
(ω · t+
π
6
)= 15 · cos
(ω · t+
π
6+π
2
)= 15 · cos
(ω · t+
2
3· π)
I = 25 · ej·π4
V = 15 · ej·23·π
Alcuni intendono il fasore con modulo pari al valore efficace, in tal caso occorre dividere le quantita ricavate per unfattore pari a
√2.
97
98
Capitolo 14
Esercitazione 9
L’esercitazione trattera essenzialmente l’analisi di circuiti in regime sinusoidale e il calcolo di impedenze equivalenti.
14.1 Analisi circuiti in regime sinusoidale1. Usando i fasori calcolare vR(t) IMMAGINE
v1(t) = 20 · cos(ω · t+ 53.13) v2(t) = 19.68 · sin(ω · t+ 152.8) v3(t) = 4.125 · cos(ω · t+ 71.61)
Si ha sudoto cheV1 = 20∠53.13 V2 = −19.68∠242.8 V3 = 3.125∠71.61
per la KVL si ha che VR = V1 −V2 + V3
VR =3∑i=1
<[Vi] + j ·3∑i=1
=[Vi] = [20 · cos(53.13) + 19.68 · cos(242.8) + 4.215 · cos(71.61)] +
+j · [20 · sin(53.13) + 19.68 · sin(242.8) + 4.215 · sin(71.61)] ≈ 4.33 + j · 2.5 ≈ 5 · ej·30
vR(t) = 5 · cos(ω · t+ 30)
2. Nel circuito indicato in figura si determini i(t) a regime sapendo che
vs(t) = 2 ·√
2 · cos(ω · t+
π
2
)R = 1Ω xC = −1Ω xL = 1Ω
IMMAGINE
In circuiti in cui non compaiono AO, generatori dipendenti e elementi affini la risposta del sistema a regime sarasinusoidale, se alimentato da generatori sinusoidali.
ZC = j · xC = −jΩ ZL = j · xL = jΩ V = 2 ·√
2ej·π2 = j · 2 ·
√2
I = −V ·ZC‖(R+ ZL)
R+ ZC‖(R+ ZL)·
1
R+ ZL= −
V
R+ ZL·
ZC · (R+ ZL)
ZC +R+ ZL
R+ZC · (R+ ZL)
ZC +R+ ZL
=
= −V ·ZC
R · (ZC + ZL +R) + ZC · (R+ ZL)= −j · 2 ·
√2 ·
j
1 · (−j + j + 1)− j · (1 + j)= −
2 ·√
2
2− j
= −2 ·√
2
2− j·
2 + j
2 + j= −
4 ·√
2
5− j ·
2 ·√
2
5
|I| = 1.26 A
∠I = arctan
(− 2·√
25
− 4·√
25
)+ π = 3.60 rad
i(t) = 1.26 · cos(ω · t+ 3.60)
14.2 Calcolo di impedenze equivalenti1. Si calcoli l’impedenza equivalente del circuito IMMAGINE
ω = 1rad
sR = 1Ω C = 4F L = 2H
ZC = −j
ω · C= −
j
4ZL = −j · ω · L = j · 2
Zeq = ZC +R‖(R+ ZL) = −j
4+
1 + j · 22 + j · 2
·2− j · 22− j · 2
= −j · 2
8+
2− j · 2 + j · 4 + 4
8=
6 + j · 2− j · 28
=3
4Ω
99
2. Si calcoli l’impedenza del seguente circuito IMMAGINE
f = 1kHz C = 5nF R = 32kΩ
Si ha quindi
ω = 2 · π · f = 2 · 103 · π ZC = −j
ω · C= −
j
2 · 103 · π · 5 · 10−9= −
102
πkΩ ≈ 31.83kΩ ZR = R = 32kΩ
Zeq = ZR‖ [ZC + (ZC‖ZR)]
ZC‖ZR =−j · 32 · 31.83
32− j · 31.83=
−j32 · 31.83
31.83 · ( 3231.83
− j)≈−j · 32
1− j=−j · 32
1− j·
1 + j
1 + j=
32− j · 32
2= (16− j · 16)kΩ
ZC + ZC‖ZR = −j · 31.83 + 16− j · 16 ≈ (16− j · 48)kΩ
ZR‖(ZC + ZC‖ZR) =32 · (16− j · 48)
32 + 16− j · 48=
32 · (16− j · 48)
48 · (1− j)=
2
3·
16− j · 48
1− j·
1 + j
1 + j=
=(16− j · 48) · (1 + j)
3=
16 + j · 16− j · 48 + 48
3=
64− j · 32
3≈ 21.33− j · 10.67kΩ
Analisi con PSpice
ANALISI CIRCUITO!
Ig 0 1 AC 1
R1 1 0 32k
C1 1 2 3e-9
C2 2 0 5e-9
R2 2 0 32k
.AC LIN 1000 1001
.print AC VR(1) VI(1)
.end
3. Si consideri il circuito IMMAGINE Il generatore VE e un generatore di tensione sinusoidale di frequenza 10kHz;
calcolare il rapporto VUVE
; data R = 1kΩ dire il valore di C affinche VU sia sfasata di 120 in anticipo rispetto a VE .
IMMAGINEVU = VA − VB
VB = VE ·R
R+R=VE
2
VA = VE ·R
R− j ·XC
VU = VE ·(
R
R+ j ·XC−
1
2
)= VE ·
(2 ·R−R− j ·XC
2 · (R+ j ·XC)
)=VE
2·R− j ·XCR+ j ·XC
VU
VE=
1
2·R− j ·XCR+ j ·XC
=1
2·R+ j
ω·CR− j
ω·C=
1
2·R · ω · C + 1
R · ω · C − 1
Osservando il risultato e sufficiente che ∠(R · ω · C − j) = π3
, quindi poiche ω = 2 · π · f = 2 · 104 · π si ha che
arctan
(1
R · ω · C
)=π
3⇒ tan
(π3
)=
1
2 · 104 · π · 103 · C⇒ C =
1
2 · 107 · π · tan(π3
) ≈ 9nF
100
