Appunti del corso di Istituzioni di Fisica Nucleare e...

Appunti del corso diIstituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare

prof. Filippo Ceradinianno accademico 2001-2002

January 3, 2003

Dipartimento di Matematica e Fisica

May 3, 2019Cari studenti,

questi sono gli appunti delle lezioni del corso di Istituzioni di Fisica Nucleare eSubnucleare tenute fino all’anno accademico 2001-02, l’ultimo anno del vecchio or-dinamento del corso di Laurea in Fisica all’Universita Roma Tre.

A partire dal 2003 questo corso e stato sostituito da due corsi, uno nel terzoanno della Laurea Triennale: Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare, e l’altronel primo anno della Laurea Magistrale: Fisica Nucleare e Subnucleare. Comunquegli argomenti trattati nei due corsi non sono sostanzialmente diversi da quelli delcorso precedente, e cambiato un po’ l’ordine di presentazione degli argomenti, ealcuni ora vengono trattati in altri corsi ”a scelta”.

Gli appunti sono divisi in 1-Metodologie, 2-Fisica Nucleare, 3-Fisica Subnu-cleare, e sono corredati da numerose appendici, alcune sono richiami di argomentigia trattati nei corsi della Laurea Triennale, altre sono approfondimenti di argo-menti trattati nei corsi dell’indirizzo di Fisica Subnucleare della Laurea Magistrale.L’intendimento e di uniformare definizioni, simboli e formule a quelli usati in questelezioni. Nel 2015 i capitoli 3.8 e 3.9 sono stati aggiornati con le misure recenti.

Questi appunti non possono sostituire un buon libro di testo perche gli argomentisono trattati in modo piuttosto schematico senza curare le connessioni logiche, lefigure non sono di buona qualita, mancano i riferimenti bibliografici, etc. . . , e so-prattutto perche non vogliono sostituire i libri di testo, ma unificare piu argomentiche sono trattati in testi diversi. Siete quindi caldamente invitati a studiare sui libri,e ce ne sono di ottimi. Buono studio,

Filippo Ceradini

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Alcuni testi consigliati

• B.Povh, K.Rith, C.Scholtz and F.Zetsche: Particelle e Nuclei, Bollati - Bor-inghieri, 1998, ISBN 88-339-5559-8, buon libro introduttivo, tradotto in ital-iano.

• A.Das and T.Ferbel: Introduction to Nuclear and Particle Physics, 2nd edition,World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-744-7, buon libro a livelloelementare, ben aggiornato.

• W.S.C.Williams, Nuclear and Particle Physics, Oxford Science Publications,1997, ISBN 0-19-852046-8, buon libro introduttivo, corredato da un testo consoluzioni di esercizi −W.S.C.Williams, Solution Manual for Nuclear and Par-ticle Physics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-851763-7.

• H.Fraunfelder and E.M.Henley: Subatomic Physics, 2nd edition, Prentice Hall,1991, ISBN 0-13-859430-9, buon libro introduttivo.

• W.E.Burcham and M.Jobes: Nuclear and Particle Physics, Longam Scientificand Technical, 1995, ISBN 0-582-45088-8, molto esauriente per la fisica delleparticelle, meno per la fisica nucleare.

• K.S.Crane: Introductory Nuclear Physics, John Wiley & Sons, 1988, ISBN0-471-80553-X, ottimo testo di fisica nucleare, poco aggiornato per la fisicadelle particelle.

• J.L.Basdevant, J.Rich and M.Spiro: Fundamentals in Nuclear Physics, Springer,2004, ISBN 0-387-01672-4, ottimo testo di fisica nucleare e astrofisica nucleare,ben aggiornato.

• D.H.Perkins: Introduction to High Energy Physics, 4th edition, Addison-Wesley Publishing Company, 2000, ISBN 0-521-62196-8, ottimo e ben aggior-nato per la fisica delle particelle.

• A.Bettini: Introduction to Elementary Particle Physics, Cambridge UniversityPress, 2008, ISBN 978-0-521-88021-3, ottimo e ben aggiornato per la fisica delleparticelle.

• R.N.Cahn and G.Goldhaber: The experimental Foundations of Particle Physics,Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-21-42425-9, ottimo testo di consul-tazione per la fisica delle particelle, riproduce alcune pubblicazioni originalidalla scoperta del neutrone a quella dei bosoni vettori W± e Z0.

• E.Segre: Nuclei e Particelle, 2nd edition, Zanichelli, 1982, ISBN 88-08-05628-7,ottimo testo per la fisica nucleare, poco aggiornato per la fisica delle particelle,e un po’ datato ma e scritto da un premio Nobel.

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Contents

1 Metodologie della fisica nucleare e subnucleare 111.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Il protone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2 L’elettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 Il fotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.4 Il modello atomico di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.1.5 Onde o particelle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.1.6 Lo spin dell’elettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2 Sezione d’urto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.1 La sezione d’urto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.2 Sezione d’urto differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.3 Sezione d’urto di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2.4 Sezione d’urto di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3 Acceleratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3.1 Acceleratori a caduta di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . 381.3.2 Acceleratori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3.3 Acceleratori circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.3.4 Cavita a radiofrequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.3.5 Accelerazione in cavita risonanti . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.3.6 Oscillazioni di betatrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.3.7 Trasporto dei fasci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.3.8 Emittanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.3.9 Oscillazioni di sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.3.10 Anelli di collisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.3.11 Radiazione di sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.3.12 Sorgenti di radiazione di sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . 691.3.13 Sorgenti di neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.4 Interazioni tra particelle e materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.4.1 Perdita di energia per ionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . 771.4.2 Fluttuazioni della perdita di energia per ionizzazione . . . . . 801.4.3 Percorso residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.4.4 Radiazione Cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.4.5 Radiazione di transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.4.6 Scattering coulombiano multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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1.4.7 Irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891.4.8 Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.4.9 Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921.4.10 Produzione di coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931.4.11 Sciami elettrofotonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.5 Metodi di rivelazione delle particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981.5.1 Rivelatori di tracce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981.5.2 Scintillatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.5.3 Rivelatori Cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.5.4 Camere a ionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.5.5 Metodi di misura delle variabili cinematiche . . . . . . . . . . 104

1.6 Leggi di conservazione e simmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.6.1 Statistica di un sistema di particelle . . . . . . . . . . . . . . . 1091.6.2 Grandezze fisiche conservate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.6.3 Trasformazioni unitarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.6.4 Leggi di conservazione additive . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141.6.5 Leggi di conservazione moltiplicative . . . . . . . . . . . . . . 1151.6.6 Parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161.6.7 Coniugazione di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171.6.8 Inversione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181.6.9 Momento di dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191.6.10 Il positronio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211.6.11 Il teorema CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

1.7 Processi elettromagnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1231.7.1 Emissione e assorbimento di fotoni . . . . . . . . . . . . . . . 1231.7.2 Transizione di dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1241.7.3 Transizione al secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251.7.4 Scattering di fotoni da una carica elettrica . . . . . . . . . . . 1271.7.5 Scattering di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1281.7.6 Fattore di forma elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1301.7.7 Scattering di una carica da un dipolo magnetico . . . . . . . . 1321.7.8 Fattore di forma magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1331.7.9 Forma relativistica della sezione d’urto di Rutherford . . . . . 1341.7.10 Sezione d’urto di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351.7.11 Sezione d’urto di Rosenbluth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1.8 Scattering da potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1391.8.1 Scattering da potenziale radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401.8.2 Approssimazione di Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421.8.3 Sviluppo in onde parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1431.8.4 Sezione d’urto elastica e di reazione . . . . . . . . . . . . . . . 1441.8.5 Scattering da un disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1451.8.6 Sezione d’urto protone-protone . . . . . . . . . . . . . . . . . 1481.8.7 Scattering elastico risonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

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2 Fisica nucleare 1532.1 Proprieta dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2.1.1 Carica elettrica dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.1.2 Massa dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.1.3 Energia di legame dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562.1.4 Raggio dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1572.1.5 Statistica e spin dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1592.1.6 Parita dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622.1.7 La scoperta del neutrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632.1.8 Proprieta elettromagnetiche dei nuclei . . . . . . . . . . . . . 1642.1.9 Interazione di dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 1662.1.10 Interazione di quadrupolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . 1702.1.11 Momento magnetico del nucleone . . . . . . . . . . . . . . . . 172

2.2 Modelli del nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752.2.1 Modello a gas di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752.2.2 Modello a goccia di liquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1772.2.3 I nuclei speculari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1792.2.4 Il modello a strati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802.2.5 Momenti magnetici dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

2.3 Proprieta delle forze nucleari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892.3.1 L’isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892.3.2 Il deutone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902.3.3 Scattering neutrone-protone a bassa energia . . . . . . . . . . 1932.3.4 Proprieta dell’interazione nucleone-nucleone . . . . . . . . . . 1952.3.5 Il modello di Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

2.4 Decadimenti dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992.4.1 Legge di decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992.4.2 Larghezza di decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012.4.3 Decadimenti in cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2022.4.4 Catene radioattive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2032.4.5 Produzione di nuclei radioattivi . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

2.5 Decadimento γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052.5.1 Radiazione di multipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052.5.2 Conversione interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2082.5.3 Spettroscopia γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

2.6 Decadimento α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112.6.1 Soglia di instabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2122.6.2 Teoria elementare del decadimento α . . . . . . . . . . . . . . 2132.6.3 Dipendenza dal momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . 216

2.7 Decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2172.7.1 L’ipotesi del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2172.7.2 Teoria elementare del decadimento β . . . . . . . . . . . . . . 2182.7.3 La vita media del decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . 2222.7.4 L’elemento di matrice del decadimento β . . . . . . . . . . . . 224

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2.7.5 Decadimenti proibiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262.7.6 Non conservazione della parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2272.7.7 L’interazione V-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2282.7.8 L’elicita dell’elettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2302.7.9 L’elicita del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2322.7.10 La scoperta del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

2.8 Reazioni nucleari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2342.8.1 Sezione d’urto di reazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2352.8.2 Fissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2362.8.3 Fissione indotta da neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2372.8.4 Fissione dell’Uranio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2392.8.5 Reattore nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2392.8.6 Fusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412.8.7 Fusione nelle stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2432.8.8 Nucleosintesi nelle stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2442.8.9 Fusione in laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

3 Fisica subnucleare 2493.1 Particelle e interazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

3.1.1 Raggi cosmici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2503.1.2 Raggi cosmici primari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2513.1.3 Raggi cosmici secondari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2523.1.4 I mesoni π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2553.1.5 Le particelle strane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2583.1.6 I mesoni K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2603.1.7 Il mesone η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2633.1.8 Simmetria dell’isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2643.1.9 Gli antibarioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2663.1.10 Risonanze adroniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2673.1.11 Risonanze barioniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2693.1.12 Risonanze mesoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

3.2 Modello statico a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2733.2.1 Modello a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2743.2.2 Mesoni e barioni nel modello a quark . . . . . . . . . . . . . . 2763.2.3 Momenti magnetici dei barioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2783.2.4 Le masse degli adroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2803.2.5 Colore dei quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

3.3 Interazioni deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2863.3.1 Decadimento del muone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2863.3.2 Il propagatore dell’interazione debole . . . . . . . . . . . . . . 2883.3.3 Decadimenti leptonici dei mesoni . . . . . . . . . . . . . . . . 2893.3.4 La Parita non si conserva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2923.3.5 Decadimenti semileptonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2953.3.6 L’angolo di Cabibbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

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3.3.7 Decadimenti non leptonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2983.3.8 Decadimenti dei mesoni K neutri . . . . . . . . . . . . . . . . 2993.3.9 Il quarto quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3023.3.10 Violazione della simmetria CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3063.3.11 Altri quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

3.4 Modello dinamico a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.4.1 Scattering inelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3133.4.2 Scattering fortemente inelastico elettrone-nucleone . . . . . . . 3143.4.3 Modello a partoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3163.4.4 Carica elettrica dei partoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3203.4.5 Scattering fortemente inelastico neutrino-nucleone . . . . . . . 3223.4.6 Densita di quark e antiquark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

3.5 Interazioni fermione-antifermione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3273.5.1 Annichilazione e+e− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3273.5.2 Il quarkonio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3293.5.3 Annichilazione e+e− → adroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3303.5.4 Annichilazione quark-antiquark . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

3.6 Interazioni adroniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3343.6.1 Fenomenologia delle interazioni adroniche . . . . . . . . . . . 3343.6.2 La cromodinamica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3393.6.3 La costante di accoppiamento della QCD . . . . . . . . . . . . 3443.6.4 Violazione della legge di scala di Bjorken . . . . . . . . . . . . 3463.6.5 Annichilazione elettrone-positrone in adroni . . . . . . . . . . 3503.6.6 Produzione di jet adronici nell’annichilazione e+e− . . . . . . 3513.6.7 Collisioni tra adroni: processi Drell–Yan . . . . . . . . . . . . 3553.6.8 Collisioni tra adroni: produzione di jet . . . . . . . . . . . . . 3573.6.9 Collisioni tra adroni: produzione di fotoni . . . . . . . . . . . 3623.6.10 La misura di αs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3633.6.11 Il quark–gluon plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

3.7 Interazione elettrodebole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3703.7.1 Isospin e ipercarica debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713.7.2 Angolo di Weinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3733.7.3 Misura dell’angolo di Weinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 3753.7.4 Decadimenti dei bosoni W± e Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . 3763.7.5 Scoperta dei bosoni W± e Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3773.7.6 Proprieta dei bosoni W± e Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

3.8 Il Modello Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3843.8.1 Invarianza di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3853.8.2 Il campo di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3883.8.3 Il meccanisco di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3913.8.4 La simmetria del colore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3923.8.5 La massa dei fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3933.8.6 I parametri del Modello Standard . . . . . . . . . . . . . . . . 3943.8.7 La scoperta del bosone di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

7

3.9 Oscillazioni di neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4003.9.1 La massa dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4003.9.2 Oscillazioni nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.9.3 Oscillazioni nella materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4053.9.4 Neutrini solari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4073.9.5 Neutrini da reattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4103.9.6 Neutrini atmosferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4113.9.7 Neutrini da acceleratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4133.9.8 I parametri delle oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

3.10 Universo e particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4153.10.1 L’Universo in espansione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4153.10.2 La radiazione cosmica di fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . 4193.10.3 L’energia del vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4203.10.4 Il modello del Big-Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4213.10.5 La nucleosintesi primordiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

4 Appendici 4264.1 Radiazione del corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4264.2 Richiami di relativita ristretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

4.2.1 Il principio di relativita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4284.2.2 Le trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4304.2.3 Quadrivettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4324.2.4 Trasformazione della velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4334.2.5 Il quadrivettore velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4334.2.6 Il quadrivettore quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . 4344.2.7 Il quadrivettore accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4354.2.8 Il quadrivettore forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4354.2.9 Il tensore elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

4.3 L’esperimento di Michelson e Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4394.4 Il paradosso dei gemelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4404.5 La precessione di Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4424.6 Cinematica relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

4.6.1 Trasformazioni delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4444.6.2 Energia di soglia di una reazione . . . . . . . . . . . . . . . . 4454.6.3 Urto elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4464.6.4 Energia trasferita in una collisione . . . . . . . . . . . . . . . . 4474.6.5 Decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

4.7 Richiami di elettromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4504.7.1 Energia irraggiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4504.7.2 Il potenziale vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

4.8 Sviluppo in multipoli del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . 4544.8.1 Potenziale di dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4544.8.2 Potenziale di dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4554.8.3 Potenziale di quadrupolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . 456

8

4.8.4 Sviluppo in autofunzioni del momento angolare . . . . . . . . 4564.8.5 Momenti di multipolo del campo di radiazione . . . . . . . . . 458

4.9 Equazione di Schrodinger in una dimensione . . . . . . . . . . . . . . 4594.9.1 Particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4594.9.2 Gradino di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4604.9.3 Barriera di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4614.9.4 Buca di potenziale infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4634.9.5 Buca di potenziale finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4634.9.6 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

4.10 Il momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4674.10.1 Rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4674.10.2 Autovalori del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . 4684.10.3 Rappresentazione dei generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . 4704.10.4 Somma dei momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4714.10.5 I coefficienti di Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . 4724.10.6 Matrici di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4744.10.7 Le armoniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

4.11 Equazione di Schrodinger in tre dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . 4784.11.1 Potenziale centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4794.11.2 Particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4804.11.3 Sviluppo di un’onda piana in autofunzioni sferiche . . . . . . . 4814.11.4 Buca di potenziale infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4824.11.5 Buca di potenziale finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4834.11.6 Potenziale armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4844.11.7 Potenziale coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

4.12 Simmetrie unitarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4894.12.1 SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4914.12.2 SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4934.12.3 Stati coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

4.13 L’interazione elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4944.13.1 Hamiltoniana di interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4944.13.2 Quantizzazione del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

4.14 Legge di decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4974.15 Probabilita di transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4994.16 Densita dello spazio delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5014.17 Il modello atomico di Thomas-Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5034.18 Stelle di neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5064.19 Equazioni quantistiche relativistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

4.19.1 Equazione di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5114.19.2 Equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5124.19.3 Soluzioni di particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5134.19.4 Limite non relativistico dell’equazione di Dirac . . . . . . . . . 5174.19.5 Matrici gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5184.19.6 Trasformazioni degli autostati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

9

4.19.7 Autostati di elicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5224.19.8 Soluzioni per massa nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

4.20 Il teorema CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5254.21 La matrice CKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5264.22 Teoria delle perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

4.22.1 Il propagatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5294.22.2 I grafici di Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

4.23 Correzioni radiative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5354.23.1 La polarizzazione del vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5374.23.2 La ”costante” di accoppiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

4.24 Calcolo di alcuni processi elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5384.24.1 Spazio delle fasi invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5384.24.2 Processi a b→ c d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5414.24.3 Il decadimento del muone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

4.25 Il fattore giromagnetico dei leptoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5534.25.1 Il fattore giromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5534.25.2 La misura di g–2 dell’elettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5574.25.3 La misura di g–2 del muone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

4.26 La supersimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5624.26.1 Le particelle supersimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5644.26.2 Il modello supersimmetrico minimale . . . . . . . . . . . . . . 5654.26.3 Fenomenologia del MSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

4.27 Citazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5704.28 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5734.29 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5884.30 Tavole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

10

Chapter 1

Metodologie della fisica nucleare esubnucleare

1.1 Introduzione

La fisica e lo studio dei fenomeni della natura e della loro interpretazione in basea leggi il piu semplici e generali possibile. Per questo si cerca di interpretare ifenomeni macroscopici come una composizione e successione di interazioni a livellomicroscopico tra costituenti elementari.

Ad esempio, la legge delle proporzioni chimiche di Dalton stabilı, all’inizio dell’800,che le reazioni chimiche avvengono rispettando semplici leggi di combinazione: dueproporzioni di idrogeno combinate con una di ossigeno ne formano due di acqua,2 H2 + O2 → 2 H2O, che interpretato come fenomeno microscopico implica chele quantita in gioco dei singoli elementi sono proporzionali ad alcune quantita ele-mentari, cioe che la massa di una mole e proporzionale alla masse di una molecola,ovvero

M(grammo molecola) = N ×M(molecola)

Un esempio tratto da fenomeni di conduzione elettrica e la legge di Faraday,della meta dell’800, per cui in elettrolisi la formazione su un elettrodo di una moledi un elemento monovalente corrisponde ad una quantita fissa, F = 96500 C, dicarica elettrica. Combinando questa osservazione con la precedente abbiamo per lacostante di Faraday

F = 96500 C/mole = N × edove e e la carica elettrica elementare.

Un altro esempio e la legge di Boyle. Per una mole di un gas ideale pV = RT .Sulla base degli studi di termodinamica statistica di Maxwell, Boltzmann e Planckdella seconda meta dell’800, sappiamo che la costante dei gas ideali R e

R = N × k

dove k e la costante di Boltzmann.

11

La quantita N che interviene in questi tre esempi di leggi della chimica, elettricitae meccanica statitistica e la Costante di Avogadro il cui valore venne determinatosperimentalmente con precisione solo nel ’900 studiando molti diversi fenomeni

N = 6.02 1023 mole−1

e possiamo definire la carica elettrica elementare

e = F/N = 1.60 10−19 C

1.1.1 Il protone

Per il sistema atomico piu semplice, l’idrogeno, una mole ha la massa di 1 grammo.La massa dell’atomo di idrogeno e quindi mH = 1 grammo/N

mH = 1.66 10−27 kg

In queste lezioni useremo come unita di misura il sistema MKSA che e quello ufficialedell’Unione Europea. Per i sistemi microscopici e pero piu conveniente usare comeunita di misura di energia l’elettronVolt, eV = 1.60 10−19 J . Sfruttando l’equivalenzatra energia e massa espressa dalla relazione di Einstein, E = mc2, useremo comeunita di massa eV/c2 (o i suoi multipli), dove c e la velocita della luce del vuoto

c = 3.00 108 m s−1

In queste unita la massa dell’atomo di idrogeno e

mHc2 = 1.66 10−27 kg × 9 1016 m2s−2 = 1.5 10−10 J =

1.5 10−10 J

1.6 10−19= 0.94 109 eV

Poiche l’atomo di idrogeno e uno stato legato protone-elettrone e la massa dell’elettronee molto minore di quella del protone e l’energia di legame e trascurabile, questa econ buona approssimazione la massa del protone

mp = 938 MeV/c2

Il protone e il primo (dal greco πρωτoς) costituente elementare. E caratterizzato dacarica elettrica +e e massa mp.

1.1.2 L’elettrone

Alla fine dell’800 lo studio di molti fenomeni ha indicato che le sostanze contengonoparticelle con carica elettrica negativa e che queste possono essere emesse come con-seguenza di diverse sollecitazioni elettriche o termiche o per esposizione a radiazioneelettromagnetica. Le osservazioni erano fatte con gas molto rarefatti ed erano resepossibili dal perfezionamento delle tecniche di vuoto.

12

Nei suoi studi sulla formazione e propagazione di onde elettromagnetiche, Hein-rich Hertz osservo che le scariche elettriche inducevano il passaggio di corrente inun circuito aperto. William Crookes osservo che in un tubo contente un gas moltorarefatto dove si stabilisce una differenza di potenziale tra due elettrodi, si formanei pressi del catodo una scarica a bagliore che si propaga verso l’anodo e che haintensita che dipende dalla differenza di potenziale e dalla pressione del gas.

In entrambe i casi si osservo che il fenomeno non dipendeva ne dal tipo di gasne dal materiale degli elettrodi. Inoltre il passaggio di corrente veniva fortementeinfluenzato dalla presenza di diaframmi nel tubo a vuoto o da campi magnetici. Benpresto si chiarı che questo fenomeno, chiamato emissione di raggi catodici, era dovutoall’emissione di cariche negative dal catodo e che queste non erano ioni negativi delcatodo.

Nel 1897 Joseph Thomson 1 chiarı la natura di queste particelle e ne misuro ilrapporto tra carica elettrica e massa. Il metodo sperimentale di Thomson e illustratonella Fig.1.1. In un tubo a raggi catodici, per effetto di un forte campo elettrico,le particelle negative vengono emesse dal catodo C e accelerate verso l’anodo A incui vi e un foro. Le particelle che attraversano il foro si muovono di moto rettilineouniforme e il loro passaggio viene segnalato dalla fluorescenza prodotta sulla parteterminale del tubo. Questo permette di conoscere la traiettoria tra il foro e loschermo. Lungo il percorso le particelle attraversano una regione in cui si puostabilire un campo elettrico uniforme normale alla direzione di propagazione e uncampo magnetico normale sia a questa che al campo elettrico. Chiamiamo x ladirezione di propagazione, y la direzione del campo elettrico, z quella del campomagnetico e ` la lunghezza della zona in cui e presente il campo elettrico.

C

AE

S

T

x

y

z

l

Figure 1.1: Esperimento di J.J.Thomson

• In assenza di campo elettrico e magnetico le particelle vanno di moto rettilineocon velocita vx costante ma non nota perche vengono emessi dal catodo convelocita variabile

vx =`

∆t

Le particelle cariche arrivano nel punto S dello schermo.

1 premio Nobel per la fisica nel 1906

13

• In presenza di campo elettrico, Ey, le particelle di carica e acquistano unacomponente della velocita vy = (eEy/m)∆t, e quindi lo spostamento dallatraiettoria lineare nel tratto ` e

∆y =eEy2m

(∆t)2 =eEy2m

`2

v2x

Le particelle cariche arrivano nel punto T dello schermo.

• Per valutare la velocita vx Thomson applico un campo magnetico Bz in modoche la forza risultante, ~F = e( ~E + ~v × ~B), fosse nulla e le particelle carichearrivassero nel punto S dello schermo

Fy = e(Ey − vxBz) = 0 vx =EyBz

• Il valore del rapporto tra la carica e la massa dell’elettrone si ottiene quindidalla misura dello spostamento ∆y relativo ai due punti S e T sullo schermo

∆y =1

2

e

m

`2 B2z

Ey

Thomson verifico che il valore e/m non dipende dal gas nel tubo a raggi catodici,ne dal materiale del catodo. Quindi stabilı che questa e una particella elementaredi carica negativa contenuta nelle varie sostanze che venne chiamata elettrone (dalnome greco dell’ambra, ηλεκτρoν) come quantita elementare di carica negativa.

Il valore di e/m misurato da Thomson

e

m= 1.76 1011 C kg−1

era straordinariamente simile ad un’altra quantita misurata pochi mesi prima daPieter Zeeman 2 studiando gli spettri di emissione degli atomi in presenza di campomagnetico. Zeeman aveva osservato che, quando si acccendeva un intenso campomagnetico, le righe di emissione di una sostanza venivano suddivise in piu righe eche la separazione in frequenza era proporzionale all’intensita del campo.

Facciamo l’ipotesi che le sostanze contengano elettroni. Quando queste sonosottoposte ad una sollecitazione termica, o a una scarica elettrica, gli elettroni sonosollecitati ad oscillare attorno alla posizione di equilibrio. Al primo ordine dellosviluppo del potenziale che lega gli elettroni, questa sara un’oscillazione armonicacon frequenza propria ω. Il sistema si comporta come un dipolo oscillante ed emetteradiazione con la stessa frequenza. Possiamo rappresentare il moto oscillatorio comela sovrapposizione di due moti circolari con frequenza angolare +ω e −ω. Inpresenza di campo magnetico, alla forza di richiamo −k~r si sovrappone la forza diLorentz e~v× ~B. L’equazione del moto nel piano x− y normale alla direzione di ~B e

m x = −kx+ eBy m y = −ky − eBx2 premio Nobel per la fisica nel 1902

14

che, per un moto oscillatorio, ha soluzione

ω2 + 2ω∗ω − ω2 = 0 ω2

=k

mω∗ =

eB

2m

e, per ω∗ ω,ω = ω ± ω∗

Quindi l’oscillatore emette su due frequenze ω + ω∗ e ω − ω∗ e la differenza ∆ω =eB/m e proporzionale al rapporto e/m.

Poiche il rapporto e/m misurato nell’esperimento di Thomson e nell’effetto Zee-man e molto maggiore del rapporto tra carica elettrica e massa depositata suglielettrodi nel caso di elettrolisi di sostanze elettricamente neutre, si conclude che lamassa dell’elettrone e molto minore di quella degli atomi

e

me

e

ma

⇒ me ma

La carica dell’elettrone

La prima misura sufficientemente precisa della carica elementare fu fatta nel 1909 daRobert Millikan 3 raffinando un metodo utilizzato da Thomson per studiare il com-portamento di gocce elettricamente cariche formate nel vapore di acqua. Millikanosservava col microscopio il moto di gocce di olio che si caricavano elettricamenteper attrito con l’aria (Fig.1.2).

g

E

q

Figure 1.2: Esperimento di Millikan

• In assenza di campo elettrico le gocce si muovono di moto uniforme per effettodella gravita. Assumendo che siano sferette di raggio r e densita ρ e che η siail coefficiente di viscosita, il moto avviene con velocita costante v0

F =4πr3

3ρg − 6πηrv0 = 0

Misurando la velocita di caduta si ottiene il raggio r

r = 3η12

(v0

2ρg

) 12


15

• Se durante la caduta si accende un campo elettrico diretto lungo la verticale,la velocita di caduta di una goccia con carica elettrica q cambia

F =4πr3

3ρg − 6πηrv1 − qE = 0

• Da queste relazioni si ottiene

qE = 6πηr(v1 − v0) = 18πη32

(v0

2ρg

) 12

(v1 − v0)

Millikan osservo che tutte le cariche misurate erano multipli interi di una caricaelementare “e” e ottenne per “e” un valore entro l’1% uguale a quello noto oggi.

Dalle misure di Thomson e di Millikan conosciamo quindi la massa dell’elettrone

me = 0.511 MeV/c2 me

mp

=1

1836

1.1.3 Il fotone

Alla fine dell’800 l’interpretazione di due fenomeni, l’emissione di radiazione delcorpo nero e l’effetto fotoelettrico, richiesero una profonda revisione delle leggidell’elettromagnetismo e della meccanica.

Spettro del corpo nero

Lo spettro di emissione del corpo nero e trattato nell’appendice 4.1. Consideriamouna cavita mantenuta a temperatura T in cui e praticato un piccolo foro, per questosistema si ha:

• l’energia irraggiata per unita di superficie e per unita di frequenza, il potereemissivo specifico, e proporzionale alla densita di energia per unita di frequenzanella cavita

e(ν, T ) =c

4u(ν, T )

• la radiazione all’interno e in equilibrio con le pareti della cavita;

• la densita di energia per unita di frequenza e espressa dalla legge di Wien 4

u(ν, T ) = ν3 F (ν/T )

dove F (ν/T ) e una funzione universale che dipende solo dal rapporto tra fre-quenza e temperatura.

La forma della funzione u(ν, T ) e stata derivata sulla base della meccanica statisticaclassica con le ipotesi seguenti

4 Wilhelm Wien, premio Nobel per la fisica nel 1911

16

• nella cavita, all’equilibrio termico, le onde elettromagnetiche stazionarie hannovettore d’onda kiì = 2πn con n intero (i = 1, 2, 3; ì sono le dimensioni della

cavita; |~k| = 2πν/c);

• per ciascuna proiezione il numero di modi di vibrazione per unita di frequenzae dni = (ì/c) dν

• tenendo conto che ci sono due stati di polarizzazione della radiazione, il numerodi modi di vibrazione per unita di volume e

dn = 24πν2

c3dν

• per il principio di equipartizione dell’energia ciascun modo di vibrazione con-tribuisce con due gradi di liberta e quindi con un valore medio di energia〈E〉 = kT

Ne deriva che la densita di energia specifica e

u(ν, T ) =8πν2

c3kT

Questa forma della densita di energia specifica del corpo nero, nota come formuladi Rayleigh 5-Jeans, non rappresenta i risultati sperimentali a frequenze elevate ediverge ad alta frequenza: la densita di energia, U(T ) =

∫u(ν, T )dν, e infinita.

Questo effetto e stato chiamato catastrofe ultravioletta.Nel tentativo di impostare una forma della densita di energia specifica del corpo

nero che riproducesse i risultati sperimentali e seguisse le leggi della termodinam-ica, Planck fu guidato dalle osservazioni di Hertz sulla emissione e assorbimento diradiazione elettromagnetica da parte di dipoli oscillanti. Le ipotesi di Planck sono

• le pareti della cavita in equilibrio termico con la radiazione sono rappresentatecome un insieme di oscillatori armonici lineari con frequenze pari a quelle dellaradiazione elettromagnetica;

• in funzione delle variabili coniugate p e x l’energia meccanica di ciascun ocil-latore di massa m e

E =p2

2m+mω2x2

2

• secondo le leggi della meccanica statistica il numero di oscillatori nell’intervallodpdx in equilibrio a temperatura T e

d2n = C e−E/kTdpdx C = costante

5 John Strutt: Lord Rayleigh, premio Nobel per la fisica nel 1904

17

• se gli oscillatori sono indipendenti, di modo che si conserva l’energia di cias-cuno, la relazione E = costante definisce un ellisse nel piano p− x di area

A =∫dpdx = πpmaxxmax = π(2mE)

12 (2E/mω2)

12 =

E

ν

• se si suddivide il piano p−x in anelli concentrici della stessa area h (Fig.1.3),il j−esimo anello contiene Nj = De−jhν/kT oscillatori di energia Ej = jhν,(j = 0, 1, 2, . . .; D = costante);

• l’energia media per oscillatore, 〈E〉 =∑j EjNj/

∑j Nj, e uguale all’energia

media per modo di vibrazione della radiazione in equilibrio termico nellacavita.

x

p

h

Figure 1.3: Quantizzazione dell’oscillatore armonico

Ponendo z = hν/kT si ha

∞∑

0

jhνe−jz = hν e−z(1 + 2e−z + 3e−2z + . . .) = hν e−z(1− e−z)−2

∞∑

0

e−jz = (1 + e−z + e−2z + . . .) = (1− e−z)−1

〈E〉 =hν e−hν/kT

1− e−hν/kT =hν

ehν/kT − 1

La formula di Planck per la densita di energia specifica e

u(ν, T ) =8π

c3

hν3

ehν/kT − 1

La forma della funzione soddisfa la legge di Wien. Inoltre la formula ottenuta daPlanck 6 riproduceva bene i dati sperimentali: dal confronto con questi ottenne il


18

valore della costante di Planck, h = 6.55 10−34 J s, che e in buon accordo con ilvalore noto oggi

h = 6.626076± 0.000004 10−34 J s

Nel limite in cui la costante di Planck e piccola, h→ 0, si ottiene la formula classicadi Rayleigh-Jeans

limh→0

hν

ehν/kT − 1=

hν

1 + hν/kT + . . .− 1= kT

Il risultato presentato da Planck nel 1900 era assolutamente sorprendente: glioscillatori armonici in equilibrio termico con la radiazione elettromagnetica scam-biano energia solo sotto forma di multipli interi di un quanto di energia pari a hν.Ne risulta che l’energia di un oscillatore armonico lineare non puo variare in modocontinuo, ma puo solo avere valori quantizzati multipli della frequenza propria νmoltiplicata per la costante di Planck. Le variazioni discrete di energia tra due staticorrispondono all’emissione o all’assorbimento di quanti di radiazione elettromag-netica di energia hν che sono chiamati fotoni.

Effetto fotoelettrico

L’emissione di cariche elettriche negative da materiali esposti a radiazione ultravio-letta fu osservata da Hertz nel 1887. Ulteriori misure chiarirono che in un sistemacostituito da due elettrodi con differenza di potenziale ∆V

• l’esposizione alla luce di un elettrodo induce il passaggio di corrente;

• questo avviene solo per una polarita, quando l’elettrodo esposto ha caricanegativa;

• le cariche raccolte all’anodo non sono ioni negativi del catodo.

A seguito della scoperta dell’elettrone ci si convinse che il passaggio di corrente eradovuto all’estrazione di elettroni provocata dall’interazione della luce sul catodo.

Una serie di misure piu raffinate fu eseguita da Philipp von Lenard 7 nel 1900utilizzando un tubo a raggi catodici. L’elettrodo C e esposto a radiazione elettro-magnetica e le cariche emesse possono essere accelerate dal potenziale variabile VCtra C e l’elettrodo A. Nella zona a valle di A sono opportunamente posizionatialcuni elettrodi raccoglitori di carica, R, e in questa zona si puo produrre un campomagnetico ~B normale alla linea di volo e quindi si puo misurare l’impulso delle parti-celle. Con questo strumento (Fig.1.4) Lenard misuro il rapporto tra carica elettricae massa dei portatori di carica negativa e lo trovo in accordo con il valore misuratoda Thomson: sono elettroni. Inoltre osservo che

• si ha passaggio di corrente solo per tensioni VC minori di 1÷ 2 V ;


19

C

A

R

R

h n

magnet -2-4-6-8 +20 +4

i

V

Figure 1.4: Esperimento di Lenard sull’effetto fotoelettrico

• per intensita di luce costante, la corrente aumenta da questo valore fino aVC ' 0 e si mantiene costante per valori negativi;

• l’intensita di corrente dipende dall’intensita della luce, ma non dipende dallafrequenza;

• l’energia cinetica degli elettroni emessi dal catodo non dipende dalla intensitadella luce, ma solo dalla frequenza;

• la relazione tra energia cinetica e frequenza e

Ec = h(ν − νo)

Questi risultati vennero raffinati da misure piu precise effettuate alcuni anni dopoda Richardson e Compton, e da Millikan. Ma gia nel 1905 Albert Einstein 8 diedeuna spiegazione semplice dell’effetto fotoelettrico basata sui quanti di radiazione diPlanck considerando il fotone non come un modo di vibrazione del campo elettro-magnetico, ma come una particella

• la radiazione elettromagnetica di frequenza ν e formata da fotoni di energiaE = hν;

• nell’interazione i fotoni cedono tutta l’energia agli elettroni legati nei materiali;

• parte dell’energia, eVo, e spesa per il lavoro di estrazione degli elettroni dalmateriale;

• il resto e ceduta come energia cinetica agli elettroni liberi;

• la conservazione dell’energia e hν = eVo + Ec.

Pochi anni dopo Millikan misuro il coefficiente h della legge dell’effetto fotoelettrico,h = 6.56 10−34 J s, in ottimo accordo con la determinazione fatta da Planck.


20

I raggi X

Lavorando con un tubo a raggi catodici, nel 1895 Wilhelm Rongten 9 fece un’importantescoperta: le pareti del tubo investite dai raggi catodici producevano una radiazionemolto penetrante di natura allora sconosciuta che, per questo, chiamo raggi X. Os-servo inoltre che i raggi X non venivano deflessi da campi magnetici, ne rifratti dalenti, che producevano ionizzazione e che l’intensita dipendeva dalla densita del ma-teriale posto sul cammino dei raggi catodici. L’osservazione piu interessante e chese frapponeva un ostacolo, ad esempio la sua mano, tra la sorgente di raggi X e unoschermo fluorescente, si produceva sullo schermo la radiografia dell’ostacolo.

A seguito di molti altri esperimenti si chiarı la natura del fenomeno: gli elettroniattraversando un materiale vengono decelerati dalle interazioni con i nuclei atomici eproducono radiazione per frenamento, brems-strahlung (capitolo 1.4). La radiazioneha uno spettro di frequenza continuo e il valore massimo e proporzionale all’energiacinetica degli elettroni, hνmax = Ke.

Nei primi anni del ’900 non era chiaro se i raggi X fossero di natura cospuscolareo ondulatoria. Comunque era noto che avevano energia (lunghezza d’onda) moltomaggiore (minore) della luce visibile e che, se erano onde, la lunghezza d’onda eraconfrontabile con le distanze interatomiche nella materia condensata.

Nel 1912 Max von Laue 10, sostenitore dell’interpretazione ondulatoria, dimostrola possibilita di osservare l’interferenza di raggi X diffusi da materiali. Ulteriori con-ferme sperimentali furono ottenute da William e Lawrence Bragg 11 che osservaronolo scattering coerente di raggi X da cristalli. In un solido cristallino gli atomi occu-pano posizioni ad intervalli regolari che formano un reticolo di centri di scatteringallineati. La radiazione viene diffusa dagli atomi in tutte le direzioni ma si ha inter-ferenza costruttiva solo nelle direzioni che soddisfano la condizione di Bragg comeillustrato in Fig.1.5

θ′ = θ nλ = 2d sin θ

dove θ e l’angolo tra la direzione dei raggi X e il piano del reticolo, d e la distanzatra i piani e λ e la lunghezza d’onda: la differenza del cammino ottico deve esserepari a due volte un numero intero n di lunghezze d’onda.

I raggi X di bremsstrahlung hanno uno spettro di frequenza continuo. Nel 1914Charles Barkla 12 osservo un altro tipo di raggi X che chiamo characteristic X ra-diation. Se un elemento e esposto a raggi X di frequenza ν, oltre allo scattering deiraggi X della stessa frequenza si osserva anche l’emissione di raggi X di frequenzaνc < ν con valori discreti caratteristici del particolare elemento. Charles Barkla eManne Siegbahn 13 misurarono queste frequenze caratteristiche e osservarono chesono raggruppate in bande, chiamate K,L,M, . . . con frequenze νK > νL > νM . . ..Studiando l’emissione dei raggi X della banda K di vari elementi, Henry Moseley os-

9 premio Nobel per la fisica nel 190110 premio Nobel per la fisica nel 191411 premi Nobel per la fisica nel 191512 premio Nobel per la fisica nel 191713 premio Nobel per la fisica nel 1924

21

q'

q

qq'

d

d sinq

θ

θ

θ’

θ’

dsinθ

Figure 1.5: Diffrazione di raggi X da un reticolo cristallino

servo che la frequenza e una funzione lineare del numero atomico Z, che rappresentala carica elettrica del nucleo atomico. Questo permise di riordinare e completare latabella periodica degli elementi di Mendeleev.

L’effetto Compton

Studiando lo scattering di raggi X a diversi angoli, nel 1922 Arthur Compton 14

osservo oltre alla fluorescenza, cioe emissione di radiazione della stessa lunghezzad’onda λ, l’emissione di raggi X di lunghezza d’onda maggiore, λ′, e che la differenzadipendeva solo dall’angolo

λ′ − λ = λe(1− cos θ)

osservo inoltre che λe e una costante indipendente dalla particolare sostanza investitadai raggi X e che, diminuendo la lunghezza d’onda λ l’intensita della radiazionediffusa aumenta rispetto a quella di fluorescenza (Fig.4.29).

llll llll'llll llll'λ λ’ λ λ’

Figure 1.6: Spettro dell’effetto Compton, lo spettro a destra si riferisce a raggi X dilunghezza d’onda minore (energia maggiore)

Al tempo della scoperta di Compton era ancora vivo il dibattito tra sostenitoridell’interpretazione corpuscolare o ondulatoria dei raggi X anche se le evidenze speri-mentali sulla interferenza, diffrazione e polarizzazione dei raggi X erano chiaramente


22

a favore della seconda. Ma Compton dimostro che questo fenomeno si poteva spie-gare solo con la prima come un urto elastico tra raggi X di energia E = hν = hc/λ equantita di moto p = hν/c = h/λ e un elettrone atomico. Se l’energia dei raggi X emolto maggiore dell’energia di legame atomica, applicando le leggi della meccanicarelativistica si ottiene la legge di scattering Compton e il valore della costante λein accordo con i risultati delle misure. λe = h/mec = 2.4 10−12 m e una costanteuniversale detta lunghezza d’onda Compton dell’elettrone.

1.1.4 Il modello atomico di Bohr

I materiali a temperatura T irraggiano energia termica con uno spettro continuo.Invece si e osservato che la maggior parte degli elementi sotto forma di gas unavolta eccitati emettono radiazione sotto forma di righe discrete. Inoltre, a partiredalla scoperta di Johann Balmer del 1885 sulla regolarita delle righe di emissionedell’idrogeno nel visibile, si e accumulata una enorme quantita di informazioni chedimostrano che le frequenze delle righe spettrali degli elementi implicano l’esistenzadi una struttura atomica semplice.

Queste evidenze intrigarono a lungo i fisici e un passo importante fu fatto nel1911 da Ernest Rutherford che dimostro sperimentalmente che un sistema atomicoe costituito da uno stato legato di un nucleo di carica positiva circondato da unadistribuzione di carica negativa, gli elettroni, e che inoltre le dimensioni spaziali delnucleo sono molto piu piccole dell’estensione della distribuzione di carica negativa,cioe che il campo elettrico del nucleo si puo trattare con buona approssimazionecome il campo coulombiano generato da una carica puntiforme.

Sulla base di questa evidenza e nell’intento di spiegare le regolarita degli spettridegli elementi, Niels Bohr 15 nel 1913 propose un modello atomico che introdusseprofonde innovazioni nel modo di interpretare la struttura atomica. Trattiamo inmodo semplificato il modello dell’atomo di idrogeno per introdurre alcune quantitae grandezze fisiche importanti per il seguito. Le ipotesi di base sono

• l’atomo di idrogeno e costituito da un protone e un elettrone puntiformi legatidal potenziale coulombiano;

• la massa del protone e molto maggiore di quella dell’elettrone per cui il bari-centro del sistema e essenzialmente il protone;

• l’atomo e in uno stato stazionario, cioe, contrariamente a quanto avverrebbeper un sistema planetario in meccanica classica, le cariche in moto acceleratonon irraggiano energia;

• quindi l’energia meccanica e conservata.

Consideriamo la massa ridotta del sistema m = (memp)/(me + mp) ' me. La trai-ettoria dell’elettrone (la particella leggera) e un ellisse. Semplifichiamo il problema


23

considerando una circonferenza di raggio r percorsa con velocita angolare ~ω costante.La forza coulombiana e il prodotto massa × accelerazione centripeta

F =e2

4πεor2= mω2r

La conservazione di energia e momento angolare ammette un continuo di soluzioni

E =1

2mω2r2 − e2

4πεor= −1

2

e2

4πεor= costante

L = mωr2 = costante

Per ottenere soluzioni discrete, seguendo la via di Planck di quantizzazione del mo-mento lineare dell’oscillatore armonico, Bohr introdusse la quantizzazione del mo-mento angolare

∮Ldφ = n h ⇒ L = n h/2π = n h

(n = 1, 2, . . .) da cui si ottengono i valori dell’energia e del raggio degli stati stazionari

En = −m(e2/4πεo)2

2n2h2 rn =n2h2

me2/4πεo

Gli spettri di righe osservati corrispondono alle transizioni tra stati stazionari conemissione (o assorbimento) di radiazione di frequenza hνmn = Em − En. Introdu-ciamo due quantita costanti che ci saranno utili nel seguito (εo = 8.85 10−12 F/m,hc = 1.97 10−7 eV m)

costante di struttura fine α =e2

4πεo hc=

1

137

raggio classico dell′elettrone re =e2

4πεo mec2= 2.82 10−15 m

• La costante di struttura fine e il parametro adimensionale che compare nellosviluppo in serie quando si risolvono i problemi di elettromagnetismo con ilmetodo delle perturbazioni. Quindi α 1 garantisce che i calcoli approssimatisono di solito piuttosto precisi.

• Il raggio classico dell’elettrone e quello di una sfera carica che ha energiaelettrostatica pari alla massa dell’elettrone, mec

2. In effetti sappiamo chequesto non e il raggio dell’elettrone perche nessun esperimento ha rivelato chel’elettrone abbia dimensioni finite ad un livello di sensibilita molto piu piccolodi re.

24

Usando queste grandezze si ha

En = − 1

2n2α2mc2 rn = n2 re

α2

Dalla prima relazione si osserva che la velocita dell’elettrone e v = αc/n c: questogiustifica l’uso della meccanica non relativistica.

Per l’atomo di idrogeno nello stato fondamentale, quello col minimo valore delmomento angolare (n = 1 nel modello di Bohr), si ha

raggio atomico di Bohr a = 0.53 10−10 m

energia di Rydberg R = 13.6 eV

in ottimo accordo con il valore sperimentale dell’energia di ionizzazione dell’atomodi idrogeno.

Le regole di quantizzazione di Bohr spiegano le regolarita osservate negli spettridi emissione degli atomi. Una importante verifica sperimentale fu fatta nel 1914da James Franck e Gustav Hertz 16; l’esperimento e illustrato in Fig.1.7. Elettroniemessi da un filamento alla tensione del catodo sono accelerati verso la griglia dalladifferenza di potenziale ∆V = VG − VC e raccolti all’anodo. L’energia cineticadegli elettroni viene variata cambiando ∆V e la differenza di potenziale VG − VA emantenuta costante. Nel tubo vi sono vapori di mercurio ed era noto che il mercurioha una intensa riga di emissione λ = 2.53 10−7 m. L’andamento della correnteanodica e mostrato in Fig.1.7: all’inizio aumenta con ∆V perche aumenta il numerodi elettroni raccolti, ma poi inizia a diminuire per ∆V ' 4.9 V , aumenta di nuovofino a ∆V ' 2× 4.9 V , poi diminuisce e cosı via.

Questo vuol dire che gli atomi di mercurio sono trasparenti per elettroni dienergia cinetica< 4.9 eV , mentre gli elettroni che raggiungono questo valore perdonoenergia in collisioni anelastiche con gli atomi e non contribuiscono alla correnteanodica. Se ∆V > 4.9 V vengono accelerati di nuovo dopo una prima collisionee la corrente torna ad aumentare, ma possono di nuovo cedere l’energia acquistataquando raggiungono 4.9 eV , e cosı via. Franck e Hertz osservarono che quando∆V e maggiore di 4.9 V , il tubo inizia ad emettere radiazione di lunghezza d’ondaλ = hc

4.9 eV= 2.53 10−7 m e intensita che aumenta con la differenza di potenziale.

Infatti ora il tubo e pieno di atomi di mercurio eccitati che si diseccitano tornandoallo stato iniziale.

Il magnetone di Bohr

L’atomo di idrogeno ha un momento magnetico prodotto dal moto dell’elettroneattorno al baricentro. Consideriamo l’orbita come una spira di raggio r percorsadalla corrente i = e/T = eω/2π. Il momento magnetico e pari al prodotto della

16 premi Nobel per la fisica nel 1925

25

5 10 15

DV (Volt)

IA

4.9 Volt

Hg

VG

VC VA

A

Figure 1.7: Esperimento di Franck e Hertz

corrente per la superficie della spira (legge di Ampere) e ha direzione opposta (e < 0)

al momento angolare ~L

~µ = πr2 e~ω

2π=e~L

2m

Nello stato fondamentale in cui L = h il momento magnetico e pari ad un

magnetone di Bohr µB =eh

2m= 5.8 10−5 eV/T

1.1.5 Onde o particelle ?

Nelle interazioni con la materia, i raggi X si comportano sia come onde che dannoluogo a fenomeni di interferenza, sia come particelle che fanno urti elastici. D’altraparte, Einstein aveva dimostrato che le leggi dell’elettromagnetismo e quelle dellameccanica sono soggette allo stesso principio di relativita e che energia, quantita dimoto e massa sono legate dalla relazione E2 = (pc)2 + (mc2)2. Per la radiazione dilunghezza d’onda λ questa e soddisfatta: E = hc/λ, p = h/λ, m = 0.

Nel 1922 Louis de Broglie 17 suggerı che anche ad una particella con massa, adesempio l’elettrone, potesse essere associata una lunghezza d’onda λ = h/p dettalunghezza d’onda di de Broglie. Questa nuova idea ha importanti conseguenze perchecomporta che una particella, come un’onda, non occupa una posizione ben definitanello spazio. Ad esempio, secondo il modello atomico di Bohr la relazione tra quan-tita di moto dell’elettrone e la sua distanza dal nucleo e L = pr = nh. Per l’atomodi idrogeno risulta che la lunghezza d’onda di de Broglie dell’elettrone nello stato dienergia piu bassa, n = 1, e pari alla circonferenza dell’orbita di Bohr λ = h

p= 2πa.

In altre parole, il valore della quantita di moto, p = meαc, definisce la dimensionedell’atomo.

Se l’ipotesi di de Broglie e corretta, si devono poter osservare fenomeni di inter-ferenza con fasci di elettroni come nel caso dei raggi X. La verifica fu fatta nel 1927con due esperimenti. Il principio dell’esperimento di Clinton Davisson 18 e Lester

17 premio Nobel per la fisica nel 192918 premio Nobel per la fisica nel 1937

26

Germer e illustrato in Fig.1.8. Un filamento emette elettroni che vengono acceleraticon una differenza di potenziale ∆V e inviati su un cristallo i cui piani di simmetriapossono essere orientati rispetto alla direzione del fascio, e veniva misurato il flussodi elettroni emessi ad un angolo θ rispetto ai piani del cristallo. La quantita di motoe p = (2mee∆V )

12 e la lunghezza d’onda corrispondente e λ = λe(

mec2

2e∆V)12

Figure 1.8: Esperimento di Davisson e Germer

• se si tiene fisso l’angolo di ossservazione θ e si varia ∆V , cioe si varia lalunghezza d’onda di de Broglie, si osserva che l’intensita degli elettroni hamassimi e minimi regolari: gli elettroni sono emessi secondo la legge di Bragge i massimi corrispondono a n = 2d sin θ

λ;

• se poi si fissano i valori dell’angolo che producono i massimi di intensita e sidetermina λ usando la legge di Bragg, λ = 2d sin θ

n, si osserva una relazione

lineare tra la lunghezza d’onda e (∆V )−12 .

L’altro esperimento fu fatto da George Thomson 19 e Reid inviando un fascio dielettroni su un cristallo i cui piani di simmetria possono essere orientati rispetto alladirezione del fascio e osservando l’intensita degli elettroni su una lastra fotograficaposta dietro il cristallo. Le immagini che ottennero sono quelle tipiche del fenomenodi diffrazione in ottica (Fig.1.9).

I fenomeni brevemente trattati, dalla radiazione di corpo nero al modello atomicodi Bohr alla dualita onda-particella, sono alla base della teoria della meccanicaquantistica sviluppata da Werner Heisenberg 20, Erwin Schrodinger e Paul Dirac 21,Max Born 22 nella seconda meta degli anni ’20.

1.1.6 Lo spin dell’elettrone

Gli stati stazionari dell’atomo di idrogeno si ottengono risolvendo l’equazione diSchrodinger del moto dell’elettrone nel campo coulombiano del protone. Le soluzioni

19 premio Nobel per la fisica nel 193720 premio Nobel per la fisica nel 193221 premi Nobel per la fisica nel 193322 premio Nobel per la fisica nel 1954

27

e

crystal

photographic plate

Figure 1.9: Esperimento di Thomson e Reid

sono ricavate nell’appendice 4.11. Le autofunzioni sono fattorizzate in una funzioneradiale Rnl(r) e una angolare Ylm(θ, φ). Gli autostati dipendono da tre numeri quan-tici interi, |n, l,m〉: n e il numero quantico principale (n = 1, 2, . . .); l e l’autovalore

del momento angolare orbitale ~L in unita h (l = 0, . . . , n− 1); m e l’autovalore dellasua proiezione lungo un asse. Questa puo avere 2l+1 valori, m = −l,−l+1, . . . ,+l.

Le regole di quantizzazione del momento angolare sono trattate nell’appendice 4.10.In generale l’operatore momento angolare ~J e caratterizzato dall’avere proiezioni conautovalori hj con 2j + 1 = intero positivo, quindi j puo essere un numero intero osemi-intero. Nel caso del momento angolare orbitale ~L gli autovalori sono interi.

Gli atomi emettono (o assorbono) radiazione elettromagnetica di frequenza νijpassando da uno stato |ni, li,mi〉 ad un altro |nj, lj,mj〉

hνij = |Ei − Ej|

Poiche gli autostati di energia sono discreti, gli spettri atomici sono costituiti darighe. L’intensita delle righe dipende dalla probabilita di transizione tra i due stati.Nel caso di sistemi atomici, in generale sono piu probabili le transizioni di dipoloelettrico in cui l’intensita e proporzionale alla quarta potenza della frequenza (ap-pendice 4.8). In queste transizioni cambia la parita dello stato che e caratterizzatadall’autovalore, pari o dispari, del momento angolare orbitale e quindi l cambia diuna unita, ∆l = ±1.

L’intensita diminuisce passando dall’ultravioletto al visibile all’infrarosso. Leserie di righe osservate nell’emissione degli elementi alcalini sono state chiamateSharp, Principal, Diffuse, Fundamental, caratterizzate da frequenze (e intensita) viavia piu piccole. In spettroscopia si usa una notazione di origine storica che associalo stato di momento angolare alle iniziali delle serie di righe

l = 0 1 2 3 4 5 . . .S P D F G H . . .

Ad esempio la serie Principal e costituita da transizioni P → S e la serie Diffuseda D → P . Studiando le righe di emissione si e pero osservato che queste non sono

28

righe singole ma hanno una struttura fine, nel primo caso sono righe doppie e nelsecondo caso sono righe triple. Questo fenomeno si spiega assumendo che gli staticon l 6= 0 siano sdoppiati.

La chiave per interpretare questo fenomeno e stata fornita da Samuel Goudsmite George Uhlenbeck nel 1925 con una proposta bizzarra:

• se l’elettrone non fosse puntiforme si comporterebbe come una trottola (spin)

con un momento angolare intrinseco ~S;

• questo avrebbe autovalore sh e 2s+ 1 possibili proiezioni;

• per s = 1/2 l’elettrone potrebbe stare in due stati con proiezioni s = ±1/2.

Nonostante partissero dal presupposto errato che l’elettrone non sia puntiforme,queste ipotesi si rivelarono corrette e in grado di spiegare la struttura fine e unaserie di altri fenomeni osservati.

Assumiamo quindi che l’elettrone abbia un momento angolare di spin S = h/2 eun momento magnetico associato

~µ = ge

2m~S

dove g e chiamato fattore giromagnetico. Lo stato del sistema e ora caratterizzatodal momento angolare totale ~J = ~L+ ~S che ha autovalori j = l± 1/2 e molteplicita2j + 1. Nella notazione spettroscopica questi stati sono rappresentati dal simboloXj dove X = S, P,D, F, . . . indica il momento angolare orbitale. Ad esempio, unostato con l = 0 ha solo j = 1/2 (S1/2), uno stato con l = 1 si divide in due staticon j = 1/2 (P1/2) e j = 3/2 (P3/2), uno stato con l = 2 si divide in due stati conj = 3/2 (D3/2) e j = 5/2 (D5/2).

Gli stati con valori di j diversi hanno energie diverse. Questo e dovuto all’energiadi interazione, E = −~µ · ~B, tra il momento magnetico di spin dell’elettrone e ilcampo magnetico prodotto dal moto orbitale. Il moto relativo tra elettrone e nucleoe rappresentato dal momento angolare ~L cui e associata una corrente i = eω/2π =eL/2πmr2

~B =µoi

2rn =

µo4π

e~L

mr3=

e

4πεo

~L

mc2r3

L’energia di interazione e

Els = −~µ · ~B =g

2

e2

4πεo

~L · ~Sm2c2r3

=g

2α

(hc)3

(mc2)2

~l · ~sr3

in questa formula compare un fattore 12

dovuto al moto di precessione dellospin lungo l’orbita, la precessione di Thomas (appendice 4.5);

• l’interazione responsabile della struttura fine dipende dal prodotto scalare ~l ·~sed e chiamata interazione spin-orbita;

29

• dipende da α = e2/4πεohc, chiamata per questo costante di struttura fine.

Le transizioni P → S sono divise in due righe P3/2 → S1/2, P1/2 → S1/2, e letransizioni D → P sono divise in tre righe D5/2 → P3/2, D3/2 → P3/2, D3/2 → P1/2

(D5/2 → P1/2 non avviene perche nelle transizioni di dipolo non puo essere ∆j ≥ 2).Dal confronto tra i valori calcolati per Els e i valori sperimentali si ottiene il fattoregiromagnetico dell’elettrone: g = 2. Quindi l’elettrone ha un momento magneticointrinseco pari a un magnetone di Bohr.

Un’altra evidenza sperimentale che gli stati degli atomi siano la sovrapposizionedi due possibili orientazioni del momento magnetico associato allo spin era stataottenuta alcuni anni prima dell’ipotesi di Goudsmit e Uhlenbeck, nel 1922 da OttoStern 23 e da Walter Gerlach con l’esperimento mostrato in Fig.1.10. Un fasciodi atomi di Argento e diretto lungo l’asse x e attraversa la regioni tra i poli di unmagnete che ha il campo magnetico diretto lungo l’asse z e che ha un forte gradientedi campo ∂B

∂z. Gli atomi di argento sono raccolti su una lastra di vetro e la posizione

del fascio viene misurata con metodi fotografici. L’atomo di argento nello statofondamentale ha momento angolare orbitale nullo. Se l’elettrone ha spin 1/2, lostato e 2S1/2 e il momento magnetico atomico ha due possibili orientazioni lungo

l’asse z. L’energia di interazione dell’atomo con il campo magnetico e E = −~µ · ~Be la forza ~F = −~∇E e diretta lungo l’asse z. Quindi, nell’attraversare il magnetegli atomi sono soggetti ad una forza Fz = ±µ∂B

∂zche dipende dall’orientazione dello

spin lungo l’asse z e il fascio si divide in due ciascuno con intensita pari a meta diquella del fascio originario.

S

Ag beam

glass plate

magnet

dBdz

x

z

y

Figure 1.10: Esperimento di Stern e Gerlach

Lo spin dell’elettrone ha un ruolo fondamentale nella struttura degli atomi ede necessario per spiegare la tavola periodica degli elementi. E stato introdotto conun’ipotesi ad hoc per spiegare i fenomeni osservati, ma la sua origine non trova sp-iegazione nell’ambito della meccanica quantistica non relativistica. Inoltre il valoreg = 2 per il fattore giromagnetico dell’elettrone viene dedotto a posteriori per ripro-durre i dati sperimentali. Pochi anni dopo l’introduzione dello spin dell’elettrone,nel 1928 Paul Dirac sviluppo una teoria quantistica relativistica (appendice 4.19) cheprevede l’esistenza dello spin dell’elettrone e il valore corretto per il suo momentomagnetico.


30

1.2 Sezione d’urto

1.2.1 La sezione d’urto

Consideriamo un esperimento in cui un fascio di Ni particelle incide su un bersagliocostituito da Nb particelle e sia ~v la velocita relativa tra le particelle del fascio e delbersaglio. Il flusso di particelle incidenti, il numero di particelle che attraversanol’unita di superficie nell’unita di tempo, e

Φ =Ni

∆S ∆t=

Ni ∆x

∆S ∆x ∆t=Ni v

V= ni v

Il numero di particelle bersaglio per unita di superficie investite dal fascio e

Nb

∆S=Nb ∆x

V= nb ∆x

ni e nb sono il numero di particelle del fascio e del bersaglio per unita di volume.Il flusso incidente viene attenuato dall’interazione col bersaglio e l’attenuazione eproporzionale al flusso incidente, alla densita di particelle, nb, e allo spessore delbersaglio, ∆x,

∆Φ = −Φ σnb ∆x

di modo che la frazione di flusso rimosso dal fascio per l’interazione con il bersaglioe pari al numero di particelle bersaglio contenute in un volume σ∆x (Fig.1.11)

−∆Φ

Φ= nb σ ∆x

σ e la sezione d’urto del processo che si sta analizzando e ha le dimensioni di una

xN i N b

v

Wd

q

F s

Dx

s Dx

Figure 1.11: Sezione d’urto

superficie [cm2]. Nell’attraversare il bersaglio il flusso incidente e attenuato secondola legge

Φ(x) = Φ0e−nbσx

Per un processo di sezione d’urto σ e un bersaglio di densita nb, si definiscono

coefficiente di assorbimento µ = nbσ [cm−1]

31

lunghezza di attenuazione λ =1

µ=

1

nbσ[cm]

Il numero di atomi (o nuclei) per unita di volume in un materiale di peso atomicoA e densita ρ e (N costante di Avogadro)

atomi

volume=

atomi

grammo atomo

grammi atomo

grammo

grammi

volume=Nρ

A[cm−3]

1.2.2 Sezione d’urto differenziale

Parte del flusso delle particelle incidenti viene deflesso dalle particelle bersaglio.Supponiamo che vengano rivelate le particelle deflesse in un angolo solido dΩ definitodagli angoli polare θ e azimutale φ, dΩ = d cos θdφ. Il numero di particelle che sonodeflesse nell’unita di tempo nell’angolo solido dΩ e proporzionale al flusso, al numerodi particelle bersaglio e all’elemento di superficie efficace dσ

dNf = Nf dΩ = Φ Nb dσ

La sezione d’urto differenziale

dσ

dΩ=

Nf

ΦNb

[cm2 sterad−1]

e misurata dal rapporto tra il numero di particelle osservate nell’unita di temponello stato finale f e la luminosita

L = ΦNb [cm−2 s−1]

La sezione d’urto del processo che fa passare dallo stato iniziale i allo stato finalef si puo calcolare dalla probabilita di transizione nell’unita di tempo Pi→f per ogniparticella bersaglio (Nb = 1)

dσ

dΩ=Nf

Ni

V

v= Pi→f

V

v

Lo stato finale f puo essere in generale caratterizzato da diverse variabili dellaparticella osservata. Se, ad esempio, ~p′ e l’impulso della particella nello stato finale,la sezione d’urto si ottiene integrando la

sezione d’urto differenzialedσ

d~p′[cm2 (eV/c)−3]

nell’intervallo delle variabili nello stato finale

σ =∫

f

dσ

d~p′d~p′

esplicitando d~p′ in opportune coordinate

d~p′ ≡ dp′x dp′y dp

′z ≡ p′2dp′ d cos θ′ dφ′ ≡ p′Tdp

′T dp

′L dφ

′

32

Sezione d’urto invariante

Il sistema di riferimento naturale e il sistema del centro di massa delle particelleche interagiscono che, di solito, non coincide con il sistema di riferimento in cui sieffettua la misura. Poiche le caratteristiche di un processo non devono dipenderedal particolare sistema di riferimento in cui si effettua la misura (la sezione d’urto σe definita come una superficie normale alla direzione del moto e quindi invariante),e opportuno conoscere le leggi di trasformazione delle variabili dal sistema del lab-oratorio al sistema del centro di massa e esprimere la sezione d’urto differenziale infunzione di variabili invarianti.

Le componenti dell’impulso si trasformano (c = 1)

p′L = γpL − βγE p′T = pT E ′ = −βγpL + γE

quindi d~p non e invariante (dσ, dpT , dφ sono invarianti, mentre dpL non e invariante).

D’altra parte il rapporto dpL/E e invariante(E = [p2

T + p2L +m2]

12

)

dp′L = γdpL − βγdE = γdpL − βγpLE

dpL =γE − βγpL

EdpL =

E ′

EdpL

e quindi la

sezione d’urto invariante Edσ

d~p[cm2 eV (eV/c)−3]

non dipende dal riferimento in cui si effettua la misura.

1.2.3 Sezione d’urto di Rutherford

Come primo esempio di sezione d’urto consideriamo lo scattering di una parti-cella carica nel campo coulombiano di un’altra carica (scattering di Rutherford).L’esperimento di Rutherford sullo scattering di particelle α da nuclei di oro haavuto grande importanza nello sviluppo della conoscenza in fisica per una serie dimotivi:

• ha introdotto il concetto di scattering nello studio della struttura della materiae delle proprieta dei suoi costituenti fondamentali;

• ha fornito risultati di importanza fondamentale per impostare il modello atom-ico;

• ha dimostrato la validita di tecniche strumentali innovative per la rivelazionedelle particelle ionizzanti.

L’esperimento, ideato da E.Rutherford e condotto nel 1911 da due giovani ricer-catori, Hans Geiger e Ernest Marsden, e basato su semplici considerazioni sullo scat-tering di una particella dotata di carica elettrica nel campo coulombiano prodottodalla carica di un’altra particella.

33

Consideriamo l’interazione tra una particella puntiforme di massa m e caricaelettrica ze e un’altra particella puntiforme di massa M e carica elettrica Ze. Sia~v la velocita relativa tra le due particelle. Facciamo l’ipotesi che v c, in mododa poter utilizzare le leggi della meccanica classica, e che sia m M , in modo dapoter trascurare l’effetto del rinculo della particella M (nessuna di queste ipotesi erestrittiva e sono approssimativamente valide nel caso specifico dell’esperimento diRutherford). Trattiamo il problema in un sistema di riferimento che ha origine nellaposizione della particella M , e definiamo il parametro d’urto, b, come la distanza trala linea di volo della particella m e la posizione della particella M (Fig. 1.12). La

qy

b r p

p'Dp

Figure 1.12: Scattering di Rutherford

forza che agisce tra le due particelle e

~F =zZe2

4πε0

r

r2

Il campo elettrico e conservativo e lo scattering della particella m nel campo dellaparticella M e elastico. Se ~p e ~p′ sono gli impulsi iniziale e finale, si ha

|~p′| = |~p| ∆p = |~p′ − ~p| = 2p sin θ/2

dove θ e l’angolo di scattering della particella m. Poiche l’energia totale e positiva,la traiettoria e aperta: la particella m descrive un’iperbole con asintoti definiti dalledirezioni ~p e ~p′. L’impulso trasferito, ∆p, e per simmetria dovuto alla componentetrasversa della forza coulombiana lungo la traiettoria della particella m

∆p =∫ ∞

−∞FTdt =

∫ +∞

−∞

zZe2

4πε0

cosψ

r2dt

dove ψ e l’angolo tra l’asse di simmetria del moto e il raggio vettore ~r, ψ(t =−∞) = −(π/2 − θ/2), ψ(t = +∞) = +(π/2 − θ/2). La velocita della particella me ~v = (d~r/dt) = (dr/dt)r + r(dψ/dt)n e il momento angolare e

~L = ~r × ~p = mdr

dt~r × r +mr

dψ

dt~r × n = mr2 dψ

dtr × n

L = mr2 dψ

dt= costante = pb

34

e, cambiando variabile di integrazione, dt/r2 = (m/pb)dψ

∆p =∫ zZe2

4πε0m

cosψ

pbdψ =

zZe2

4πε0

m

pb2 cos θ/2 = 2p sin θ/2

Da cui si deriva la relazione tra l’angolo di scattering e il parametro d’urto

tan θ/2 =zZe2

4πε0b

m

p2=energia potenziale a distanza 2b

energia cinetica iniziale

Per calcolare la sezione d’urto differenziale osserviamo (Fig.1.13) che l’elemento di

db

dq

Figure 1.13: Relazione tra angolo e parametro d’urto

superficie bersaglio che corrisponde ad una angolo di scattering θ e definito dallacorona circolare compresa tra parametri d’urto b e b+ db

dσ = 2πbdb = 2π

(zZe2

4πε0

)2m2

p4

1

tan θ/2

dθ/2

sin2 θ/2=

(zZe2

4πε0

)2m2

p4

2π sin θ/2 cos θ/2 dθ/2

sin4 θ/2

Per cui concludiamo che la sezione d’urto differenziale per scattering coulombiano e

sezione d’urto di Rutherforddσ

dΩ=

(zZe2

4πε0

)2m2

4p4 sin4 θ/2

cioe inversamente proporzionale alla quarta potenza dell’impulso trasferito, ∆p,nell’interazione. Introducendo il raggio classico dell’elettrone, re = e2/4πεomec

2,si riconosce facilmente che la sezione d’urto ha le dimensioni di una superficie

dσ

dΩ= r2

e(zZ)2 (mec2)2

4p2v2 sin4 θ/2

La sezione d’urto differenziale diverge per θ → 0, quindi non e definita su tuttol’angolo solido. Questo e dovuto al fatto che l’azione del potenziale coulombiano nonsi annulla per qualunque valore grande della distanza ~r. Nella realta non esistonocariche elettriche isolate: qualunque carica e in qualche modo schermata da carichedi segno opposto. Se consideriamo, ad esempio, un sistema atomico in cui il raggiomedio degli orbitali elettronici e 〈r〉, il valore minimo dell’angolo di scattering diuna particella di energia cinetica K e

tan θ/2 =zZ

2

re〈r〉

mec2

K

35

Esempio: distanza minima di avvicinamento

Esperimenti di scattering Rutherford vengono effettuati per studiare la strutturaelettromagnetica del bersaglio. Il potere risolutivo e legato alla distanza minimadi avvicinamento del proiettile al bersaglio. La minima distanza, rmin = ρ, si haquando ~r e normale a ~p. Per la conservazione del momento angolare e dell’energiasi ha

L = |~r × ~p| = ρ p = b p0 E =p2

2m+zZe2

4πε0ρ=

p20

2m

dove p0 e la quantita di moto iniziale, b e il parametro d’urto e l’angolo di scatteringe tan θ/2 = (zZe2/4πε0b)(m/p

20). Dalle relazioni precedenti si ha

ρ2 − 2b tan θ/2 ρ− b2 = 0

ρ = b tan θ/2 + b(1 + tan2 θ/2)12 = b

1 + sin θ/2

cos θ/2

Nell’urto con b = 0 si ha scattering all’indietro, θ = π, e la distanza e minimaquando si annulla l’energia cinetica: ρ0 = 2mzZe2/4πε0p

20 = 2b tan θ/2. Quindi la

distanza minima di avvicinamento in funzione dell’angolo di scattering e dell’energiacinetica iniziale, K0, e

ρ = ρ01 + sin θ/2

2 sin θ/2= zZ re

mec2

K0

1 + sin θ/2

2 sin θ/2

1.2.4 Sezione d’urto di Thomson

Come secondo esempio di calcolo della sezione d’urto di un processo elementaretrattiamo lo scattering della radiazione elettromagnetica da una carica elettrica,Thomson scattering. Consideriamo un’onda elettromagnetica che si propaga nelladirezione z con il campo elettrico parallelo all’asse x e il campo magnetico paralleloall’asse y. Nel vuoto il flusso di energia incidente e

Φi = cε0E2x

Per azione della radiazione incidente, una particella di massa m e carica elettrica q esottoposta ad una accelerazione ax = qEx/m ed emette radiazione elettromagneticadella stessa frequenza dell’onda incidente. Il flusso di energia emessa dalla caricaaccelerata (appendice 4.7) e

ΦΩ =1

4π

q2

4πε0

a2x

c3r2sin2 θx [eV cm−2 s−1]

θ e φ sono gli angoli polare e azimutale, r e la distanza dalla carica e θx e l’angolotra la direzione di osservazione ~r e la direzione dell’accelerazione (Fig.1.14)

x = r sin θ cosφ sin2 θx = 1− cos2 θx = 1− sin2 θ cos2 φ

36

q

a

θ

φ θ x

z

y

x

E

B

Figure 1.14: Scattering di Thomson

Se la radiazione incidente non e polarizzata, cioe il campo elettrico puo averequalunque orientazione nel piano x − y, occorre mediare sull’angolo azimutale φe si ottiene

sin2 θx = 1− sin2 θ 〈cos2 φ〉 = 1− 1

2sin2 θ =

1

2(1 + cos2 θ)

Quindi il flusso di energia della radiazione diffusa e

ΦΩ =1

4π

q2

4πε0

a2x

c3r2

1

2(1 + cos2 θ) =

(q2

4πε0

)21

(mc2)2

Φi

r2

1

2(1 + cos2 θ)

Il caso di interesse e quello di un elettrone debolmente legato, quando cioe l’energia dilegame e piccola rispetto all’energia della radiazione incidente hω. Per un elettrone(q = e, m = me, e

2/4πε0 = remec2) si ha

ΦΩ = Φi

(rer

)2 1

2(1 + cos2 θ)

La sezione d’urto, cioe l’area efficace del bersaglio che sottrae parte del flusso inci-dente e lo diffonde nell’angolo solido dΩ, e

Φidσ = ΦΩr2dΩ

da cui si deriva la

sezione d’urto di Thomsondσ

dΩ=r2e

2(1 + cos2 θ)

la sezione d’urto totale e

σT =r2e

2

∫ 2π

o

∫ +1

−1(1 + cos2 θ)d cos θdφ =

8π

3r2e

L’unita di misura della sezione d’urto e il barn, (1 b ≡ 10−24 cm2). Poiche r2e =

(2.82 10−13 cm)2 ≈ 0.08 b, il valore della sezione d’urto di Thomson e σT = 0.67 b.

37

1.3 Acceleratori

Gran parte della fenomenologia dei nuclei e delle particelle e basata su risultatiottenuti in esperimenti con acceleratori. In questo capitolo trattiamo brevemente imetodi di accelerazione di elettroni, protoni e nuclei, con qualche accenno ai metodiper produrre fasci secondari di altre particelle sia cariche che neutre. I metodi peraccelerare particelle cariche sono basati sull’azione di campi elettrici e magnetici.L’equazione del moto di una particella di carica elettrica q e

d~p

dt= q( ~E + ~v × ~B)

Il campo magnetico non compie lavoro e l’energia acquistata per unita di tempo,W = q~v · ~E, e fornita dal campo elettrico. Gli acceleratori lineari utilizzano es-clusivamente campi elettrici. Campi magnetici vengono utilizzati negli acceleratoricircolari e, in generale, per deflettere e per focalizzare i fasci di particelle.

Sorgenti di ioni

Una sorgente di elettroni e essenzialmente un filamento caldo, che emette elettroniper effetto termoionico, immerso in un campo elettrico che estrae gli elettroni e−

dalla sorgente (Fig.1.15). Allo stesso modo si realizza una sorgente di ioni positivi.

- +

e

-+

i+

e

Figure 1.15: Sorgenti di elettroni e di ioni

Gli atomi sono immersi in una regione in cui vi e un campo elettrico alternatoper accelerare gli elettroni prodotti dal filamento e un campo magnetico per farlispiralizzare. Gli elettroni cedono energia agli atomi ionizzandoli. Un campo elettricoestrae gli ioni i+ dalla sorgente.

Il progresso degli acceleratori e fortemente legato al progresso delle tecniche divuoto. Nelle regioni dell’acceleratore in cui viene trasportato il fascio di particelleoccorre mantenere pressioni molto basse in modo da limitare l’assorbimento e ladispersione sia angolare che in energia del fascio. I fenomeni di interazione delleparticelle cariche sono descritti nel capitolo 1.4.

1.3.1 Acceleratori a caduta di potenziale

I primi acceleratori sono stati realizzati con campi elettrici statici: una particella dicarica q viene accelerata con una differenza di potenziale ∆V . L’energia massimaraggiungibile con questa tecnica e limitata dalla differenza di potenziale che si puostabilire in laboratorio tra due elettrodi, tipicamente non superiore a 10 MV .

38

Acceleratore Van de Graaff

Il primo esempio di acceleratore elettrostatico e stato realizzato da Robert Van deGraaff nel 1929 (Fig.1.16). La differenza di potenziale si ottiene caricando un elet-

+

-

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

+

++

+ + +

++

+

+

+

+

+

++

+++

source

beam

V1

V3

V5

V6

V4

V2

Figure 1.16: Principio di funzionamento degli acceleratori elettrostatici

trodo di capacita C per induzione elettrostatica. Una cinghia di materiale isolantepassa vicino ad una punta dove vi e un intenso campo elettrico e si carica. Lacinghia trasporta le cariche verso un elettrodo cavo che ha una forma il piu regolarepossibile per limitare le scariche. Poiche il campo elettrico all’interno dell’elettrodoconduttore e nullo, la carica trasportata si distribuisce sulla superficie. Il lavoro percaricare l’elettrodo e fornito dal moto della cinghia. Se i(t) e la corrente trasportatadalla cinghia, la differenza di potenziale e ∆V =

∫i(t) dt/C ed e limitata dalle

perdite del dielettrico che avvolge l’elettrodo. Gli acceleratori elettrostatici sono disolito immersi in gas inerte ad alta pressione per evitare scariche. La sorgente diioni e posta all’interno dell’elettrodo cavo e la differenza di potenziale viene ripar-tita, con una serie di capacita o resistenze, lungo il tubo a vuoto in cui e acceleratoil fascio. Acceleratori di Van de Graaff possono produrre differenze di potenziale∆V ≈ 10 MV e produrre fasci di ioni con correnti di fascio ≈ 100 µA e sonocomunemente utilizzati in ricerche di fisica nucleare.

Acceleratore Cockroft-Walton

Il secondo esempio di acceleratore elettrostatico e quello realizzato da John Cockrofte Ernest Walton 24 nel 1930 per studiare le prime reazioni nucleari in laboratorio.L’energia e fornita da un generatore alternato, ∆V = V0 sinωt e la differenza dipotenziale e generata da una cascata di rettificatori. Questi sono alternativamentein conduzione o in interdizione e caricano una serie di condensatori a tensioni via viacrescenti. Con riferimento alla Fig.1.16, le tensioni sono V2k−1 = V0(k+sinωt), V2k =


39

2kV0. L’ultimo stadio e connesso a un elettrodo cavo sferico che contiene la sorgentedi ioni. Le tensioni V2k vengono distribuite lungo il tubo a vuoto in cui e acceleratoil fascio. Acceleratori Cockroft-Walton possono produrre differenze di potenziale∆V ≈ 5 MV con correnti ≈ 20 µA. Gli acceleratori a caduta di potenziale sonocomunemente usati come stadi iniziali di accelerazione e come iniettori di particellein acceleratori piu potenti.

Acceleratore Tandem

L’energia massima di uno ione puo essere raddoppiata con acceleratori elettrostatiticia due stadi: acceleratori Tandem. Il primo stadio e, ad esempio, realizzato con unacceleratore Van de Graaff con tensione +V e le tensioni Vk = V/k sono distribuitein modo crescente dalla sorgente di ioni a tensione V = 0 all’elettrodo carico atensione +V e in modo decrescente da questo al punto di estrazione del fascio, dinuovo a tensione V = 0. Consideriamo una sorgente di ioni i− (ad esempio uno ioneidrogeno H−): gli ioni vengono accelerati all’energia eV nel primo stadio e vengonofatti passare attraverso una sottile lamina che cambia lo stato di carica dello ionesottraendo i due elettroni. Gli ioni i+ (i protoni) hanno ora una energia potenzialeeV e nel secondo stadio vengono accelerati all’energia cinetica 2eV . AcceleratoriTandem possono accelerare protoni fino ad energia cinetica ≈ 20 MeV .

1.3.2 Acceleratori lineari

Gli acceleratori a caduta di potenziale sono limitati dalla necessita di produre ten-sioni costanti molto elevate. Negli acceleratori lineari le particelle guadagnano ener-gia con accelerazioni multiple prodotte da campi elettrici alternati. Il primo esempiodi acceleratore lineare, LINAC, e stato sviluppato da Rolf Wideroe nel 1928. Il prin-cipio di funzionamento dell’acceleratore a tubi a deriva di Ernest Lawrence e DavidSloan (1930) e illustrato nella Fig.1.17.

S

L

wRF

DV

Figure 1.17: Principio di funzionamento del LINAC a tubi a deriva

Consideriamo una serie di tubi di materiale conduttore coassiali di lunghezza Lnconnessi alternativamente ai capi di un generatore di tensione alternata. All’internodei tubi il campo elettrico e nullo mentre tra un tubo e il successivo vi e una differenzadi potenziale ∆V (t) = V0 cosωt. Una particella di carica q e massa m che procedelungo l’asse dei tubi viene accelerata nell’interspazio tra tubi consecutivi se giungein fase con la differenza di potenziale. L’aumento di energia cinetica e q∆V . Per

40

mantenere la relazione di fase occorre scegliere opportunamente la lunghezza deitubi Ln = vnT/2, dove T e il periodo e vn e la velocita della particella nel tubo n.

Linac per ioni

Per velocita vn c l’energia cinetica dopo il tubo n e Kn = mv2n/2 = nq∆V e si

ottiene

vn =(

2nq∆V

m

) 12

= cn12

(2q∆V

mc2

) 12

Ln =cT

2n

12

(2q∆V

mc2

) 12

Poiche vengono accelerati solo gli ioni che sono in fase con ∆V , il fascio non econtinuo ma si divide in pacchetti. LINAC di questo tipo vengono utilizzati peraccelerare protoni e ioni con carica elevata fino a qualche decina di MeV per nucleone.

Linac per elettroni

Per elettroni si arriva rapidamente alla condizione in cui l’approssimazione non rela-tivistica non e valida e le relazioni di sopra vanno sostituite con Kn = mc2(γn− 1),1− β2

n = (1 + nq∆V/mc2)−2, da cui

vn = c(2nx)12

(1 + nx/2)12

1 + nxx =

q∆V

mc2

Per n → ∞, vn → c, Ln → cT/2. Per accelerare elettroni all’energia E occorre unacceleratore di lunghezza L = (2q∆V/cT )E, quindi e necessario avere un elevatogradiente di energia, ∆E/∆` = 2q∆V/cT , aumentando la differenza di potenziale ela frequenza.

Linac RF

Nei moderni LINAC per elettroni la camera a vuoto e costituita da una guida d’onda(Fig.1.22). La cavita e realizzata in modo che risuoni alla frequenza ωRF e che il

e

Figure 1.18: Guida d’onda del LINAC a radiofrequenza

campo elettrico sull’asse sia longitudinale. Il campo elettrico si puo scomporre in dueonde progressive che si propagano nelle due direzioni lungo l’asse della cavita. Poichegli elettroni si muovono a velocita costante, ve ≈ c, ricevono continuamente energiadal campo elettrico se la velocita di fase dell’onda progressiva, vf , e pari alla velocitave. Un’altra condizione necessaria e che i pacchetti di elettroni si mantengano infase con l’onda progressiva; su questo torneremo piu avanti.

41

1.3.3 Acceleratori circolari

Il moto di una particella di massa m e carica elettrica q in un campo di induzionemagnetica ~B e descritto dalla legge

d~p

dt=

d

dtmγ~v = q~v × ~B

Poiche la forza di Lorentz non compie lavoro, si ha γ = costante, |~p| = costante.

La componente della quantita di moto parallela alla direzione di ~B e invariata e lavariazione della componente normale si esprime in funzione della velocita angolare

d~p

dt= ~p× ~ω = mγ~v × ~ω ~ω =

q ~B

mγ

La particella descrive un’elica. Nel piano normale a ~B descrive una traiettoriacircolare con raggio di curvatura R con frequenza di rivoluzione ω

~p = mγ ~ω × ~R = q ~R× ~B R =p

qB

Per una carica unitaria, q = e, la relazione tra quantita di moto, raggio di curvaturae campo magnetico e

pc [Joule] = e c B R = 1.6 10−19 [Coulomb] 3 108 [ms−1] B [Tesla] R [metro]

ovvero, in unita piu pratiche, ec = 0.3 GeV/T m,

pc [GeV ] = 0.3 B [Tesla] R [metro]

Il fatto che una particella carica in un campo magnetico uniforme percorre un arco dicirconferenza viene sfruttato negli acceleratori circolari per far passare ripetutamentela particella in una zona in cui e presente un campo elettrico accelerante. In questomodo la particella guadagna progressivamente energia con accelerazioni multiple confrequenza legata alla frequenza di rivoluzione.

Il ciclotrone

Il primo acceleratore circolare, il ciclotrone, e stato realizzato da Ernest Lawrence 25

nel 1930. Lo schema di funzionamento e illustrato nella Fig.1.19. Un dipolo produceun campo magnetico uniforme e costante in un cerchio di raggio R. All’internodel dipolo la camera a vuoto e compresa tra due elettrodi cavi a forma di ′′D′′ eagli elettrodi e applicata una differenza di potenziale alternata a frequenza ωRF ,∆V (t) = V0 cosωRF t. La distanza tra gli elettrodi e molto minore del raggio R delmagnete. Il campo elettrico e nel piano normale al campo magnetico. La sorgentedi ioni e posta al centro della camera a vuoto.


42

Gli ioni emessi dalla sorgente vengono accelerati dal campo elettrico ed entranonel cavo di uno degli elettrodi dove il campo elettrico e nullo. Per effetto del campomagnetico, gli ioni percorrono una semicirconferenza di raggio ρ = p/qB e frequenzadi rivoluzione ω = qB/mγ. Se e soddisfatta la condizione di risonanza, ω = ωRF ,gli ioni attraversano di nuovo la zona tra i due elettrodi in fase con la differenza dipotenziale e vengono di nuovo accelerati. Quindi gli ioni percorrono una traiettoriaa spirale con raggio via via crescente e l’aumento di energia per giro e ∆E = 2q∆V .Quando il raggio di curvatura e uguale a R gli ioni non sono piu soggetti all’azionedel campo magnetico ed escono tangenti alla traiettoria.

La massima energia raggiungibile e limitata dal valore del campo, B, e dal raggiodel magnete, R. Per uno ione di carica Ze e peso atomico A:

pmaxc = 0.3ZBR Kmax = Amc2

[1 +

(0.3ZB

Amc2

)2] 1

2

− 1

Per B = 1 T , R = 1 m, si ha pmax = 300 Z MeV/c che corrisponde per un protonead una energia cinetica Kmax = 47 MeV .

Per velocita v c, γ ' 1, la frequenza di rivoluzione e costante e la condizionedi risonanza e rispettata se ωRF = costante. Questo limita il valore dell’energiacinetica: per protoni Kmax ' 20 MeV . Per raggiungere energie piu elevate occorrevariare (diminuire) la frequenza ωRF durante il ciclo di accelerazione. Questo equello che avviene nel sincro-ciclotrone.

Il ciclotrone isocrono funziona a frequenza ωRF costante e i poli del magnetesono sagomati in modo che il valore del campo B(r) aumenti con il raggio

ω =0.3ZB(0)c

Amc2B(r) =

A

Z

mc2

0.3 (c2/ω2 − r2)12

I moderni ciclotroni accelerano protoni e ioni fino ad energie cinetiche di circa600 MeV e vengono usati per studiare reazioni nucleari nella regione delle energieintermedie e per produrre fasci secondari di particelle.

ciclotrone betatrone

Figure 1.19: Schema del ciclotrone e del betatrone

43

Il betatrone

Il betatrone e stato sviluppato da Donald Kerst nel 1940 per accelerare elettroniad energie, a quei tempi, elevate. Il nome betatrone ha origine dai raggi beta, comeerano chiamati gli elettroni emessi nei decadimenti dei nuclei. Nel betatrone glielettroni percorrono una traiettoria circolare di raggio R e la camera a vuoto e aforma di ciambella racchiusa tra i poli di un magnete (Fig.1.19). Il campo magneticoe normale al piano della traiettoria.

Il betatrone funzione per induzione elettromagnetica. Non intervengono campielettrici: si fa variare il campo magnetico e la forza elettromotrice e fornita dallavariazione del flusso del campo magnetico concatenato con la ciambella. Con riferi-mento alla Fig.1.20, chiamiamo 〈B〉 il valore del campo magnetico mediato su tutta

d<B>dt

<B>

Er

dpdt

Bo

Figure 1.20: Principio di funzionamento del betatrone

la superficie delimitata dalla ciambella e B0 il valore del campo magnetico lungol’orbita. Se si fa variare il campo magnetico, il campo elettrico generato lungo lacirconferenza di raggio R e

∮~E · d~= 2πRE = −dΦ〈B〉

dt= −πR2 d〈B〉

dt

Una particella di carica q e soggetta alla forza tangenziale

d~p

dt= q ~E =

q

2~R× d〈 ~B〉

dt

Perche la particella percorra la circonferenza di raggio R costante, deve risultare

d~p

dt= q ~R× d ~B0

dt

Quindi e possibile accelerare un elettrone lungo una traiettoria di raggio costante see soddisfatta la

condizione di betatroned〈 ~B〉dt

= 2d ~B0

dt〈 ~B〉 = 2 ~B0 + costante

che si puo ottenere sagomando opportunamente i poli del magnete.

44

Il sincrotrone

In acceleratori circolari costruiti con un magnete singolo la massima energia raggiun-gibile e limitata dal campo magnetico e dal raggio del magnete. Poiche il valore diB che si puo raggiungere, anche utilizzando bobine superconduttrici, e limitato adalcuni Telsa, per aumentare l’energia occorre aumentare il raggio dell’acceleratore.Questo non si puo fare con un singolo dipolo, che sarebbe enorme, ma si costruisconoacceleratori con piu magneti curvanti distribuiti lungo la traiettoria delle particelle.Quindi il raggio di curvatura della traiettoria e fissato, R = costante, e la camera avuoto e una ciambella contenuta tra i poli dei magneti curvanti. Lungo la traiettoriacircolare, in uno o piu punti, vi sono cavita RF dove un campo elettrico alternatoa frequenza ωRF cede energia alle particelle. La frequenza ωRF deve essere ugualealla frequenza di ciclotrone o pari a un multiplo intero h (numero di armonica) e leparticelle devono attraversare la cavita in fase con ωRF .

Il sincrotrone e un acceleratore che opera in cicli: iniezione, accelerazione, es-trazione del fascio e ritorno alla fase iniziale e utilizza un primo stadio di acceler-azione, usualmente un acceleratore lineare, che inietta le particelle con impulso pi(Fig.1.21). Nella fase di iniezione si ha

t

B(t)

t

ω(t)

iniez. accel. estraz.

iniez.

estraz.

Figure 1.21: Schema del sincrotrone

Bi = pi/qR ωi = qBi/mγi = βic/R

Nella fase di accelerazione si aumenta gradualmente il campo magnetico e si varia diconseguenza la frequenza ωRF = h qB/mγ. Quando e raggiunto il valore massimo delcampo magnetico, il fascio viene estratto impulsando dei magneti e dopo l’estrazioneil valore del campo magnetico e della frequenza vengono riportati ai valori iniziali.

In un proto-sincrotrone occorre variare la frequenza ωRF durante la fase di ac-celerazione

ωRF = h ω = h βc/R

Se l’iniezione dei protoni avviene con quantita di moto pi non piccola rispetto a mc,la banda di frequenza in cui operano le cavita e limitata e questo comporta notevolivantaggi. In un elettro-sincrotrone invece e sufficiente iniettare elettroni con energiadi pochi MeV , β ≈ 1, per operare le cavita a frequenza ωRF ≈ c/R = costante.

45

1.3.4 Cavita a radiofrequenza

Negli acceleratori le particelle cariche vengono accelerate con campi elettrici alternaticon frequenze tipiche ∼ GHz. I campi elettromagnetici sono guidati e contenutiall’interno di conduttori, guide d’onda e cavita. Facciamo l’ipotesi che questi sianoconduttori ideali con resistivita ρ ' 0 e che il mezzo dielettrico (aria a bassissimapressione) sia omogeneo e isotropo con ε ' ε0 e µ ' µ0. La velocita nel dielettrico

indefinito e v0 = (εµ)−12 ' c e la lunghezza d’onda e λ0 = v0/ν. La frequenza e

fissata dai dispositivi che eccitano i campi e la velocita, v, all’interno della guida edefinita dalle condizioni al contorno dei campi elettromagnetici sulle superfici cheseparano conduttore e dielettrico; il campo elettrico e perpendicolare alla superficiedi un conduttore ideale, ~E · n = 0, e il campo magnetico e parallelo, ~B × n = 0.

In un dielettrico omogeneo e isotropo, in assenza di densita di carica e di corrente,le equazioni di Maxwell sono

~∇ · ~E = 0 ~∇ · ~B = 0 ~∇× ~E = −∂~B

∂t~∇× ~B = εµ

∂ ~E

∂t

le componenti F (x, y, z, t) dei campi ~E, ~B, soddisfano l’equazione di d’Alembert

∂2F

∂x2+∂2F

∂y2+∂2F

∂z2− 1

c2

∂2F

∂t2= 0

e la soluzione si puo sviluppare come sovrapposizione di componenti di Fourier.

Guide d’onda

Consideriamo una guida d’onda rettangolare indefinita lungo la direzione z (Fig.1.22)e esprimiamo la soluzione come

F (x, y, z, t) = ψ(x, y) ei(kz−ωt)∂F

∂z= ikF

∂F

∂t= −iωF

in cui la funzione ψ(x, y) rappresenta il fronte d’onda che si propaga con velocita difase v = ω/k lungo l’asse z. La funzione ψ soddisfa l’equazione

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+K2ψ = 0 K2 =

ω2

c2− ω2

v2

Perche l’onda si propaghi senza attenuazione le quantita k = ω/v e K devono essere

reali. Da questo (ω/v = [(ω/c)2 −K2]12 e quindi ω/c > K) si conclude che solo la

radiazione di lunghezza d’onda λ0 = 2πc/ω minore della lunghezza d’onda critica,λc = 2π/K, si puo propagare senza attenuazione all’interno della guida.

La soluzione ψ(x, y) si puo esprimere come prodotto di due funzioni delle singolevariabili ψ(x, y) = ξ(x)η(y) di modo che l’equazione delle onde diventa

ξ′′η + ξη′′ +K2ξη = 0 ξ′′/ξ + η′′/η +K2 = 0

46

a

b

x

y

zx

y

z

f

ra

Figure 1.22: Guide d’onda rettangolare e cilindrica

e si ottiene una soluzione oscillante ponendo

ξ′′ +K2aξ = 0 η′′ +K2

b η = 0 K2a +K2

b = K2

ψ(x, y) = C sin(Kax+ α) sin(Kby + β)

dove le costanti Ka, α, Kb, β, sono determinate dalle condizioni di continuita deicampi sulle pareti della guida.

Le componenti trasverse dei campi, Ex, Ey, Bx, By, sono funzioni delle compo-nenti longitudinali, ad esempio

−K2Ex = (∂x∂x + ∂y∂y)Ex =−∂x(∂yEy + ∂zEz) + ∂y∂yEx =−∂y(∂xEy − ∂yEx)− ∂x∂zEz = −∂y iωBz − ∂x i(ω/v)Ez

e analogamente per le altre componenti

−iK2Ex = +(ω/v)∂xEz + ω∂yBz −iK2Bx = −(ω/c2)∂yEz + (ω/v)∂xBz

−iK2Ey = +(ω/v)∂yEz − ω∂xBz −iK2By = +(ω/c2)∂xEz + (ω/v)∂yBz

Quindi, per descrivere la propagazione delle onde elettromagnetiche nella guida, esufficiente definire le componenti longitudinali dei campi, Ez e Bz. Consideriamo icasi in cui una delle due componenti sia nulla; si definiscono:

TM transverse magnetic mode: Bz = 0;ponendo che il campo elettrico sia normale alle superfici della guida (Ez = 0per x = 0, x = a, y = 0, y = b, in Fig.1.22) si ottiene α = 0, Kaa = mπ,β = 0, Kbb = nπ, con m,n interi. La soluzione e

Ez,mn = C sin(mπx/a) sin(nπy/b) ei(kz−ωt) Bz = 0

TE transverse electric mode: Ez = 0;in questo caso le componenti trasverse del campo elettrico sono

−iK2Ex = ω∂yBz = ωKbC sin(Kax+ α) cos(Kby + β)+iK2Ey = ω∂xBz = ωKaC cos(Kax+ α) sin(Kby + β)

47

e ponendo che il campo elettrico sia normale alle superfici della guida (Ex = 0per y = 0, y = b, in Fig.1.22; Ey = 0 per x = 0, x = a) si ottiene α = β = π/2,Kaa = mπ, Kbb = nπ:

Ez = 0 Bz,mn = C cos(mπx/a) cos(nπy/b) ei(kz−ωt)

La lunghezza d’onda critica dipende dalle dimensioni della guida e dal modo dipropogazione

λc =2π

(K2a +K2

b )1/2=

2

(m2/a2 + n2/b2)1/2=

2ab

(m2b2 + n2a2)1/2

ad esempio

modo TM TM1,1 λc = 2ab/(b2 + a2)1/2 TM1,n1 λc ' 2b/nmodo TE TE1,0 λc = 2a TEm1,0 λc ' 2a/n

TE0,1 λc = 2b TE0,n1 λc ' 2b/n

La lunghezza d’onda nella guida e maggiore di quella nel dielettrico indefinito e,poiche la frequenza non cambia, anche la velocita di fase nella guida e maggiore

λ =λ0

(1− λ20/λ

2c)

12

v =c

(1− λ20/λ

2c)

12

La velocita di fase non e la velocita con cui si propaga energia nella guida. Lavelocita di gruppo e quella con cui si propaga un pacchetto d’onda costituito dallasovrapposizione di fronti d’onda con energia leggermente diversa, ad esempio

ψ(x, y)[ei(kz−ωt) + ei([k+∆k]z−[ω+∆ω]t)

]= ψ(x, y)ei(kz−ωt)

[1 + ei(∆kz−∆ωt)

]

L’ampiezza del pacchetto d’onda dipende da z e t, e l’energia si mantiene costantesui fronti con A(z, t) = 1 + ei(∆kz−∆ωt) = costante, cioe z = (∆ω/∆k)t + costante.Poiche k2 = ω2/v2 = ω2/c2−K2 e K dipende solo dalle caratteristiche geometrichedella guida, si ha kdk = ωdω/c2. La velocita di gruppo nella guida, vg, e minore siadella velocita di fase, v, che della velocita nel dielettrico indefinito, c,

vg =dω

dk=

c2

ω/k=c2

v= c

(1− λ2

0

λ2c

) 12

La Fig.1.23 mostra la relazione tra frequenza e numero d’onda, ω/c = (k2 +K2)1/2,in una guida d’onda. Un punto sulla curva fornisce la velocita di fase, v > c, mentrela derivata fornisce la velocita di gruppo vg = dω/dk < c; con vgv = c2. Per k K( λ0 λc) si ha v → c e vg → c.

48

k = 2p/l

w /c

v = c

v < cg

ω

π

Figure 1.23: Relazione di dispersione in una guida d’onda

Guide d’onda cilindriche

L’equazione delle onde in coordinate cilindriche r, φ, z (Fig.1.22) e

1

r

∂

∂r

(r∂F

∂r

)+

1

r2

∂2F

∂φ2+∂2F

∂z2− 1

c2

∂2F

∂t2= 0

Nel caso di guide a simmetria cilindrica conviene fattorizzare la soluzione comeF (r, φ, z, t) = R(r)Φ(φ)ei(kz−ωt) che soddisfa l’equazione

1

rR

d

dr

(rdR

dr

)+

1

r2Φ

d2Φ

dφ2+K2 = 0 K2 =

ω2

c2− ω2

v2

Il primo e il terzo termine non dipendono dall’angolo φ per cui 1Φd2Φdφ2

= costante esi ha una soluzione oscillante se

d2Φ

dφ2+ n2Φ = 0 Φ(φ) = C sin(nφ+ α)

L’equazione radiale diventa

1

ρ

d

dρ

(ρdR

dρ

)+

(1− n2

ρ2

)R = 0 ρ = Kr

e le soluzioni sono le funzioni di prima specie di Bessel di ordine n, R(Kr) = Jn(ρ).Queste sono funzioni oscillanti che hanno un numero infinito di zeri, Jn(ζmn) = 0.La soluzione generale e del tipo

F (r, φ, z, t) = C Jn(Kr) sin(nφ+ α)ei(kz−ωt)

Le componenti trasverse dei campi si possono esprimere in funzione delle componentilongitudinali

−iK2Er = +(ω/v)∂rEz + (ω/r)∂φBz −iK2Br = −(ω/c2r)∂φEz + (ω/v)∂rBz

−iK2Eφ = +(ω/vr)∂φEz − ω∂rBz −iK2Bφ = +(ω/c2)∂rEz + (ω/vr)∂φBz

49

TM Nei modi TM il campo magnetico forma linee chiuse nel piano normale all’assez, mentre il campo elettrico ha componente longitudinale non nulla (Fig.1.24);per questo i modi TM possono essere utilizzati per accelerare particelle carichelungo l’asse z. Le soluzioni sono definite dalla condizione che la componenteazimutale del campo elettrico sia nulla sulla parete della guida, Eφ(r=a) = 0.Poiche questa e proporzionale alla funzione di Bessel, Eφ(r) ∝ Jn(Kr)/r, imodi TM sono caratterizzati dalla condizione Jn(Ka) = 0 che definisce infinitivalori Kmn. La lunghezza d’onda critica e λmnc = 2π/Kmn.

Figure 1.24: Linee di campo per il modo TM11 in una guida d’onda cilindrica; campoelettrico: →; campo magnetico: × entrante, • uscente

TE Nei modi TE le linee di forza del campo elettrico sono normali all’asse z e ilcampo magnetico forma linee chiuse con componente longitudinale non nulla.La componente azimutale del campo elettrico e proporzionale alla derivatadella funzione di Bessel, Eφ(r) ∝ J ′n(Kr)/r, e anche in questo caso la con-dizione J ′n(Ka) = 0 definisce infiniti valori Kmn.

Cavita risonanti

Una guida d’onda non e adatta ad accelerare particelle cariche perche la velocita difase e sempre maggiore di quella delle cariche elettriche da accelerare. Se la guidad’onda e chiusa da pareti conduttrici, si possono stabilire all’interno onde stazionariese la lunghezza della guida, L, e pari ad un numero semi-intero di lunghezze d’onda,L = `λ/2. In questo modo si realizza una cavita caratterizzata dal modo di oscil-lazione e dalla frequenza di risonanza, quindi da tre numeri interi `,m, n.

Se consideriamo un dielettrico con conducibilita elettrica finita, σ, il campo elet-tromagnetico induce una densita di corrente, ~j = σ ~E, sulle pareti della cavita equindi si ha dissipazione di energia per effetto Joule. Introducendo la densita dicorrente nelle equazioni di Maxwell, ~∇ × ~H = ~j + ε∂ ~E/∂t, l’equazione delle ondesulle pareti della cavita viene modificata con un termine dissipativo

∇2 ~E − σµ ∂ ~E

∂t− εµ ∂2 ~E

∂t2= 0

Questa e l’equazione dell’oscillatore armonico smorzato, quindi l’ampiezza dei campi,~E, ~B, diminuisce nel tempo con legge esponenziale.

50

Consideriamo la soluzione del tipo F (x, y, z, t) = ψ(x, y, z)χ(t) e facciamo l’ipotesiche il termine dissipativo sia piccolo, cioe che la funzione ψ(x, y, z) sia soluzionedell’equazione∇2ψ+κ2ψ = 0 e che sia definita dalle condizioni al contorno dei campielettromagnetici sulle pareti della cavita (se si usa un conduttore di conducibilita

elevata − rame, argento, o materiale superconduttore − le condizioni ~E · n = 0,~B × n = 0, sono un’ottima approssimazione). Per brevita indichiamo ψn(x, y, z) lasoluzione caratterizzata da tre numeri interi `,m, n, che individuano la condizionedi risonanza e il modo di oscillazione. L’ampiezza χn(t) soddisfa l’equazione

εµ χn + σµ χn + κ2n χn = 0 χn +

1

τχn + ω2

n χn = 0 τ =ε

σωn =

κn√εµ

che ha soluzione χn(t) = e−t/2τ (AeiΩnt +Be−iΩnt) con Ωn = ωn(1− 1/4Q2)1/2.ω e la frequenza di risonanza della cavita senza perdite, Q = τω = (ε/µ)1/2κ/σe il fattore di merito della cavita. La banda di frequenza e definita da una curvaLorentziana centrata sulla frequenza di risonanza con larghezza FWHM ∆ω = Ω/Q.Quindi una cavita risonante deve avere fattore di merito il piu elevato possibile,Q 1, in questo caso Ωn = ωn.

Il fattore di merito e il rapporto tra l’energia immagazzinata alla frequenza dirisonanza e l’energia dissipata in un periodo: Q = 2π〈E〉/ ∫T Wdt = ω〈E〉/〈W 〉.In una cavita, come in una guida d’onda, il campo elettromagnetico penetra perun piccolo spessore all’interno del conduttore, effetto pelle, generando correnti chedissipano energia per effetto Joule. Se εc, µc, sono le costanti del materiale diconducibilita σ, si ha ~∇× ~H = σ ~E−iωεc ~E, ~∇× ~∇× ~H = k2 ~H = iωµc(σ−iωεc) ~H, equindi il vettore d’onda, k2 = ω2µcεc+iωµcσ, ha una parte diffusiva e una assorbitiva:

k =1

δ(1 + ωεc/σ) +

i

δδ = (2/ωµcσ)1/2

δ e lo spessore della pelle del conduttore. Per un buon conduttore, ad esempio ilrame che ha resistivita ρ = 1/σ = 1.75 10−8 Ω m, alla frequenza di 1 GHz, si haωεc/σ ' 10−9 e δ ' 2 µm.

H

d

y

ExEz

Sx

x

Figure 1.25: Effetto pelle sulle pareti di una guida d’onda

51

Per calcolare la potenza dissipata consideriamo ad esempio un modo TM incui il campo magnetico ha solo la componente Hy sulla superficie del conduttore,x = 0 in Fig.1.25, Hy = H0e

ix/δe−x/δ sinωt. Trascurando la corrente di spostamentonel conduttore, il campo elettrico sulla superficie ha una componente longitudinaleEz = 1

σ∂xHy = i−1

σδHy che genera una corrente longitudinale jz = σEz. La potenza

media e

W =1

2

∫jzEz dxdydz =

|Ho|2σδ

∫ ∞

0e−2x/δdx Sx =

|Ho|22σδ

Sx

dove Sx e la superficie della cavita normale a x. L’energia media immagazzinatanella cavita e

E =∫ (

ε〈E2〉/2 + µ〈H2〉/2)dxdydz ' µ|H0|2

2V

dove V e il volume della cavita. Estendendo a tutte le pareti della cavita si ottieneper il fattore di merito

Q =ω〈E〉〈W 〉 ' ωµσδ

V

S× f.g. =

µ

µc

V

Sδ× f.g.

dove f.g. ' 1 e un fattore geometrico che dipende dal modo di eccitazione e dallaforma della cavita. Quindi il fattore di merito e tanto maggiore quanto piu elevato eil rapporto V/S (per cavita sferica > cilindrica > rettangolare) e quanto piu piccoloe lo spessore dell’effetto pelle δ.

Esempio: cavita cilindrica

Consideriamo una cavita cilindrica di lunghezza L e raggio a; la soluzione per icampi e del tipo F (r, φ, z, t) = CJn(Kr) sin(nφ+ α)eikze−iωt con K2 = (ω/c)2 − k2

• per la condizione di risonanza si ha: k = π`/L con ` intero;

• consideriamo il modo TM (Bz = 0):le componenti trasverse del campo elettrico si annullano alle estremita dellacavita z = 0 e z = L dove la componente longitudinale Ez e massima; cioeeikz → cos kz = cos π`

Lz; quindi Ez = CJn(Kr) sin(nφ+ α) cos π`

Lz e−iωt;

• la componente azimutale del campo elettricoEφ = ik

K2r∂φEz = iC π`n

K2LrJn(Kr) cos(nφ+ α) cos π`

Lz e−iωt;

si annulla sulla superficie laterale della cavita per r = a, la condizione Jn(Ka) =0 si verifica per Kmna = ζmn e definisce i modi trasversi della cavita;

• le altre componenti dei campi sono:Er = ik

K2∂rEz = iC π`aζmnL

J ′n(ζmnr/a) sin(nφ+ α) cos π`Lz e−iωt

Bφ = iωc2K2∂rEz = iC ωa

c2ζmnJ ′n(ζmnr/a) sin(nφ+ α) cos π`

Lz e−iωt

Br = −iωc2K2r

∂φEz = −iC ωa2nc2ζ2mnr

Jn(ζmnr/a) cos(nφ+ α) cos π`Lz e−iωt

52

• la lunghezza d’onda critica e λc = 2πa/ζmn

le lunghezze d’onda dei modi risonanti sono λ`mn = 2π/ [(ζmn/a)2 + (π`/L)2]12

• le frequenze di risonanza sono ω`mn = c [(ζmn/a)2 + (π`/L)2]12

I primi zeri delle funzioni di Bessel, Jn(ζmn) = 0, sono:

n = 0 ζm0 = 2.405 5.550 8.654 . . .n = 1 ζm1 = 3.832 7.016 10.173 . . .

Il modo piu semplice e con n = 0 per cui non si ha dipendenza dei campi dall’angoloazimutale e risulta Eφ = 0, Br = 0. Per m = 1: λc = 2πa/ζ10 = 2.61a.

Nel modo TM010, ` = 0, non si ha dipendenza dei campi da z, la frequenza dirisonanza e ω010 = cζ10/a; le componenti dei campi sono:

Ez = EoJ0(ζ10r/a) Bz = 0Er = 0 Br = 0Eφ = 0 Bφ = iEo

ωac2ζ10

J ′0(ζ10r/a) = − iEocJ1(ζ10r/a)

Nel modo TM110, ` = 1, la frequenza di risonanza e ω110 = c[(ζ10/a)2 +(π/L)2]12 ;

le componenti dei campi sono:

Ez = EoJ0(ζ10r/a) cos πLz Bz = 0

Er = Eoπaζ10L

J1(ζ10r/a) sin πLz Br = 0

Eφ = 0 Bφ = Eoω110ac2ζ10

J1(ζ10r/a) sin πLz

La Fig.1.26 mostra le linee del campo elettrico per i modi TM010 e TM110 inuna cavita cilindrica. Le linee del campo magnetico sono cinconferenze coassiali conl’asse z. Dalla figura e chiaro che il modo TM010 e il piu efficace per accelerareparticelle cariche lungo l’asse z.

TM 010 TM 110

Figure 1.26: Linee del campo elettrico per i modi TM010 e TM110 in una cavitacilindrica

53

1.3.5 Accelerazione in cavita risonanti

In un acceleratore circolare, l’aumento di energia cinetica di una particella di caricaq e velocita βc in un singolo passaggio e

∆E = q∆V =∫ +L/2

−L/2qE0 cos(ωt+ φ)dz =

∫ +L/2βc

−L/2βcqE0βc cos(ωt+ φ)dt

dove, per φ = 0 la particella e in fase con il campo accelerante nella cavita.L’aumento di velocita in un singolo passaggio e trascurabile, β ' costante, e quindi

∆E = qE0LsinωL/2βc

ωL/2βccosφ

Il fattore di perdita, sin(ωL/2βc)/(ωL/2βc), non e significativamente minore di 1 seωL/2βc = ζ10L/2βa ≤ 1 cioe L/a ≤ 0.8β. Questa condizione e facile da soddisfarese β ' 1, ma per β 1 richiede che sia L a, cioe di avere cavita corte lungo ladirezione di accelerazione.

In un acceleratore lineare si hanno tante cavita allineate lungo l’asse z e, per man-tenere coerenza di fase tra il campo accelerante e la particella, deve essere L = nβλ/2dove L e la distanza tra le cavita e λ e la lunghezza d’onda della radiazione nellecavita. Lo schema originario e quello di Wideroe con tubi a deriva adiacenti connessiad un generatore alternato (Fig.1.27). In questo caso L = βλ/2 e il gradiente dienergia e dE/dz = ∆E/λ = βq∆V/2L. Un schema piu efficiente e quello di Al-varez, con L = βλ che, a parita di campo elettrico, produce un gradiente di energiadoppio, dE/dz = βq∆V/L. Inoltre in questo caso la corrente lungo le connessionidelle cavita e nulla e la dissipazione di potenza e minore.

Figure 1.27: Schemi di Wideroe e di Alvarez per un acceleratore lineare

Nei moderni acceleratori LINAC-RF le particelle vengono accelerate in un guidad’onda in cui si fa in modo che la velocita di fase con cui si propaga il campoelettromagnetico sia pari alla velocita βc. Consideriamo una guida d’onda cilindricadi raggio a in cui vengono accelerati elettroni di alta energia per cui β ' 1. Nellaguida si possono propagare le onde elettromagnetiche di frequenza ω > ωc = ζc/a,dove il fattore ζ dipende dal modo eccitato nella guida. Se nella guida sono disposti

54

dei diaframmi di raggio b < a opportunamente spaziati a distanza L (L ' costanteper β ' 1) si stabiliscono onde stazionarie di frequenza ω = ζ/b > ωc e numerod’onda k = `π/L. La velocita di gruppo e nulla per un’onda stazionaria e quindidω/dk = 0 in corrispondenza dei valori k = `π/L e la relazione di dispersione nellaguida viene modificata nell’andamento periodico mostrato in Fig.1.28. In questomodo e possibile realizzare la condizione in cui il campo elettromagnetico si propagacon velocita di fase ≤ c e cede continuamente energia alla particella.

k = + /Lp

w /c

v = c

k = - /Lp

k = 2p/l

ab L

ω / c

2π/l

-‐ π/L + π/L

Figure 1.28: Guida d’onda a iride di un Linac-RF e relazione di dispersione nellaguida d’onda

1.3.6 Oscillazioni di betatrone

In un acceleratore circolare occorre limitare la dispersione delle particelle durante itanti giri che queste percorrono nell’anello ed e quindi opportuno studiare la con-figurazione del campo magnetico che minimizzi la dispersione. Consideriamo unaparticella di carica q e massa m che percorre una circonferenza di raggio R0 dettaorbita di riferimento. Lungo l’orbita di riferimento il campo magnetico ha compo-nenti Bx = By = 0, Bz = B0. Consideriamo un sistema di riferimento solidale conla particella, cioe rotante alla frequenza di ciclotrone ω = qB/mγ, con l’asse x par-allelo alla direzione del moto, ~v ≡ (v, 0, 0), l’asse y parallelo a ~r e l’asse z parallelo

a ~B (Fig.1.29).Le equazione del moto in questo riferimento sono

dpydt

=d

dtmγy = mγ(y − ω2R) = q(vzBx − vxBz) = −qvBz

dpzdt

=d

dtmγz = mγz = q(vxBy − vyBx) = +qvBy

55

x || v y

Bo

z ||

R

v = w(R+y)

B

o

Figure 1.29: Orbita di riferimento e sistema di riferimento rotante

y +qvBz

mγ− ω2R = y +

qω(R + y)Bz

mγ− ω2R = 0

z − qvBy

mγ= z − qω(R + y)By

mγ= 0

Per piccoli spostamenti dall’orbita di riferimento (y R, z R) le componenti delcampo magnetico sono

Bz = (Bz)0 +

(∂Bz

∂y

)

0

y + . . . By = (By)0 +

(∂By

∂z

)

0

z + . . .

Consideriamo il caso in cui i poli del magnete siano sagomati in modo che la com-ponente principale Bz sia

Bz = B0

(r

R

)−n= B0

(R + y

R

)−n ∂Bz

∂y= −nB0

R

(R + y

R

)−n−1

dove n e chiamato indice di campo. Poiche lungo l’orbita risulta ~∇ × ~B = 0,∂Bz/∂y = ∂By/∂z, si ha

By = −nB0z/R Bz = B0 − nB0y/R

Le equazioni del moto diventano

y +qBo

mγω(R + y)(1− n y

R)− ω2R = y − ω2(n− 1)y − ω2n

y2

R= 0

z +qBo

mγω(R + y)n

z

R= z + ω2nz + ω2n

yz

R= 0

Approssimando al primo ordine si ottiene

y + (1− n)ω2y = 0 z + nω2z = 0

cioe un moto oscillatorio nelle due direzioni nel piano trasverso al moto se e sod-disfatta la condizione 0 < n < 1. Si ha quindi, per piccoli spostamenti dall’orbita

56

di riferimento, una forza di richiamo che produce oscillazioni di betatrone nel pianoorizzontale e nella direzione verticale con frequenza

ωH = ω√

1− n ωV = ω√n

Questo metodo di compensare piccoli spostamenti dall’orbita di riferimento e dettofocheggiamento debole. La lunghezza d’onda delle oscillazioni di betatrone (a parteil fattore 2π) e chiamata funzione beta

ßH =R√

1− n ßV =R√n

1.3.7 Trasporto dei fasci

Per descrivere la traiettoria di una particella negli elementi di un acceleratore con-viene utilizzare una rappresentazione che esprima per ciascun elemento le coordi-nate finali in funzione di quelle iniziali. Indichiamo con s la coordinata lungo latraiettoria di riferimento, con y(s), z(s) gli spostamenti radiale e verticale e cony′(s) = dy/ds = tan θy, z

′(s) = dz/ds = tan θz le derivate. Queste sono legate allederivate rispetto al tempo da

y =dy

dt=dy

ds

ds

dt= vy′ y = v2y′′ . . .

dove v e la velocita lungo la traiettoria di riferimento. In una regione senza campimagnetici la particella percorre una retta

y(s) = y0 + y′0s y′(s) = y′0 . . .

che, per un tratto di lunghezza ∆s = `, si puo rappresentare con le trasformazioni(yy′

)=

(1 `0 1

)·(y0

y′0

)= My ·

(y0

y′0

)

e analoga per la proiezione verticale. Per il generico elemento k le matrici di trasportosono definite

(yy′

)

k

= Mky ·(yy′

)

k−1

(zz′

)

k

= Mkz ·(zz′

)

k−1

di modo che le coordinate e gli angoli rispetto alla traiettoria di riferimento all’uscitadell’elemento k si ottengono dai valori iniziali applicando la matrice prodotto dellematrici di trasporto dei singoli elementi

(yy′

)

k

= Mky ·Mk−1

y . . .M1y ·(yy′

)

0

(zz′

)

k

= . . .

Se non vi sono effetti dissipativi, le matrici di trasporto hanno determinate unitario,Det(M) = 1.

57

Le equazioni del moto in un magnete a focheggiamento debole sono

y′′ +1

ß2H

y = 0 z′′ +1

ß2V

z = 0

e hanno soluzioni

y = A cos s/ß +B sin s/ß y(0) = A

y′ = −(A/ß) sin s/ß + (B/ß) cos s/ß y′(0) = B/ß(yy′

)=

(cos s/ßH ßH sin s/ßH− 1

ßHsin s/ßH cos s/ßH

)·(y0

y′0

)

e analoga per la coordinata verticale.Le relazioni precedenti mostrano che le ampiezze delle oscillazioni di betatrone

sono proporzionali a ßHy′0 e ßV z

′0. D’altra parte nella condizione di focheggiamento

debole, 0 < n < 1, non si puo fare in modo che entrambe le funzioni beta sianopiccole rispetto al raggio dell’orbita di accelerazione e questa e una seria limitazioneper raggiungere energie elevate con un sincrotrone: aumentando il raggio aumental’ampiezza di oscillazione e quindi la dispersione del fascio nel piano trasverso. Sefacciamo in modo che sia n 1, cioe ßV = R/

√n R, le oscillazioni nel piano

verticale sono di piccola ampiezza, ma il fascio diverge nel piano orizzontale perchel’equazione del moto ha soluzione

(yy′

)=

(cosh s/ßH ßH sinh s/ßH

1ßH

sinh s/ßH cosh s/ßH

)·(y0

y′0

)

con ßH = R/√n− 1 R.

Quindi un magnete con indice di campo n > 1 ha una azione focalizzante in unaproiezione e defocalizzante nell’altra. Consideriamo due magneti che abbiano i gra-dienti di campo scambiati e lunghezza ` minore delle lunghezze d’onda di betatronein entrambe le proiezioni. Per `/ß 1 le matrici di trasporto si approssimano alprimo ordine

MF1 =

(cos `/ß1 ß1 sin `/ß1

− 1ß1

sin `/ß1 cos `/ß1

)≈(

1 `−`/ß2

1 1

)

MD2 =

(cosh `/ß2 ß2 sinh `/ß1

+ 1ß2

sinh `/ß2 cosh `/ß2

)≈(

1 `+`/ß2

2 1

)

Queste relazioni sono simili a quelle delle lenti in ottica. Una lente di distanza focalef (Fig.1.30) e caratterizata da una matrice di trasporto

(yy′

)=

(a bc d

)(y0

y′0

)=

(ay0 + by′0cy0 + dy′0

)

La condizione di lente sottile, y = y0 ∀ y′0, comporta a = 1, b = 0. La condizione sul

58

yoq

yof f

q =y'tanq θ θ

tan θ = y’

Figure 1.30: Ottica delle lenti sottili

determinante, ad = 1, comporta d = 1. Per un fascio parallelo, y′0 = 0, la deflessionee y′ = y0/f per una lente divergente e y′ = −y0/f per una convergente. Quindi unalente sottile e caratterizzata dalle matrici di trasporto

MF =

(1 0−1/f 1

)MD =

(1 0

+1/f 1

)

cioe una lente convergente ha il termine 1/f negativo. Una lente di spessore ` si puorappresentare come una lente sottile tra due spazi vuoti di lunghezza `/2

(1 `/20 1

)(1 0±1/f 1

)(1 `/20 1

)=

(1± `/2f `+ . . .±1/f 1± `/2f

)

e la matrice di trasporto e uguale a quella dei magneti con `/ß2 = 1/f .Se i due magneti sono separati da una distanza δ la matrice di trasporto, per

δ `, e

MF1 MδM

D2 =

(1 `

−`/ß21 1

)(1 δ0 1

)(1 `

+`/ß22 1

)≈(

1 + `2/ß22 2`

−`3δ/ß21ß2

2 1− `2/ß21

)

Se si cambia l’ordine (MD1 MδM

F2 ) si scambiano tra loro i termini diagonali ma non

cambiano gli altri. Quindi l’azione combinata dei due magneti e focalizzante inentrambe le proiezioni. Questo metodo di trasporto e detto focheggiamento forte ede utilizzato nei sincrotroni che accelerano protoni ad energia elevata con una seriedi dipoli con numero d’ordine n elevato a gradiente alternato (Fig.1.31).

Nello schema di focheggiamento forte con dipoli a gradiente alternato i mag-neti hanno la duplice funzione di curvare la traiettoria delle particelle e di limitarel’ampiezza delle oscillazioni di betatrone. Questo schema e utilizzato con successonei proto-sincrotroni, ma ha lo svantaggio di non essere flessibile. Inoltre, in alcunicasi, occorre focalizzare il fascio di particelle per aumentarne il flusso. I quadrupolisono magneti con elevato gradiente di campo che hanno la proprieta di focaliz-zare le traiettorie delle particelle in una proiezione (ma di defocalizzarla nell’altraproiezione) in una lunghezza limitata.

59

Figure 1.31: Dipoli curvanti a gradiente alternato

y

z

Figure 1.32: Quadrupolo

Un quadrupolo (Fig.1.32) e realizzato avvolgendo quattro bobine attorno a quat-tro espansioni polari simmetriche in modo da realizzare vicino all’asse un campomagnetico di componenti

Bx = 0 By = ± G z Bz = ± G y

G e il gradiente di campo che e positivo o negativo secondo il verso della correntenelle bobine, ma uguale nelle due proiezioni poiche ∂By/∂z = ∂Bz/∂y. Le equazionidel moto di una particella di carica q, massa m e che ha velocita v lungo l’asse xsono

dpy/dt = mγy = q(vzBx − vxBz) = ∓ qvBz = ∓ qvG y

dpz/dt = mγz = q(vxBy − vyBx) = ± qvBy = ± qvG z

Passando a coordinate lungo la traiettoria, le equazioni diventano

mγv2 y′′ = ∓ qvG y y′′ ± (qG/p) y = 0

mγv2 z′′ = ± qvG z z′′ ∓ (qG/p) z = 0

e, scegliendo uno dei due versi, si hanno le soluzioni gia trovate per i dipoli congradiente di campo

MF =

(cos `/ß ß sin `/ß−1

ßsin `/ß cos `/ß

)≈(

1 `−`/ß2 1

)

60

MD =

(cosh `/ß ß sinh `/ß

+1ß

sinh `/ß cosh `/ß

)≈(

1 `+`/ß2 1

)

con ß =√p/qG. Invertendo il senso della corrente nelle bobine si inverte il segno

del gradiente G → −G (equivale a ruotare il quadrupolo di π/2) e le conclusioninon cambiano. Un quadrupolo di lunghezza ` si comporta, per una particella diquantita di moto p, come una lente convergente in una proiezione e divergentenell’altra con distanze focali uguali, f = p/qG`. Una coppia di quadrupoli haun’azione focalizzante in entrambe le proiezioni. I quadrupoli possono avere ungradiente di campo molto elevato e quindi una piccola distanza focale anche conlunghezze limitate. I moderni sincrotroni a focheggiamento forte sono costituiti daun reticolo in cui l’elemento base, la cella del reticolo, e una serie di magneti curvanticon indice di campo n = 1 e una coppia di quadrupoli FD.

Finora abbiamo considerato un fascio monocromatico di particelle, cioe senzadispersione in impulso. In realta le particelle durante l’accelerazione hanno impulsidiversi e seguono traiettorie diverse. Introducendo il fattore di dispersione, δp/p =−δω/ω, l’equazione del moto nel piano radiale viene modificata

y + ω2(1− n)y = −ωδωR = ω2Rδp

py′′ +

1− nR2

y =1

R

δp

p

Questa ha soluzione

y = A coss

ß+B sin

s

ß+

ß2

R

δp

py′ = −A

ßsin

s

ß+B

ßcos

s

ß

con le condizioni iniziali

y0 = A+ß2

R

(δp

p

)

0

y′0 =B

ß

e la matrice di trasporto nel piano radiale diventa una matrice 3× 3

yy′

δp/p

=

cos s/ß ß sin s/ß ß2

R(1− cos s/ß)

−1ß

sin s/ß cos s/ß ßR

sin s/ß0 0 1

·

yy′

δp/p

0

1.3.8 Emittanza

Per un fascio di particelle, come in un fluido in assenza di effetti dissipativi, valeil teorema di Liouville: la densita f(~x, ~p, t) = d6n/d~rd~p si conserva durante il motonell’acceleratore. Questo impone alcune proprieta delle matrici di trasporto chedescrivono le traiettorie nel piano trasverso e nel piano radiale. Le matrici sonounitarie e hanno Det(M) = 1. In generale le matrici di trasporto nel reticolodell’acceleratore si esprimono

M =

(1 00 1

)cosµ+

(η ß−ζ −η

)sinµ

61

dove η(s), ζ(s), ß(s) sono funzioni periodiche del reticolo e la condizione sul deter-minante e ζß− η2 = 1.

In un reticolo periodico le equazioni del moto sono del tipo

y′′ +

(1

R2+q

p

∂Bz

∂y

)y =

δp/p

Rz′′ +

q

p

∂By

∂zz = 0

e la soluzione si puo esprimere nella forma

y(s) =√εyß(s) cos(µ(s) + φ) µ(s) =

∫ s+`

s

ds′

ß(s′)

dove ß(s) e la funzione di betatrone che ha dimensione [m], µ(s) e la fase di betatrone,` e il periodo del reticolo, εy e φ sono costanti. E analoga soluzione si ha nel pianoverticale. La derivata della soluzione e

y′ =√ε

ß

ß′

2cos(µ+ φ)−

√εß µ′ sin(µ+ φ) =

√ε

ß

ß′

2cos(µ+ φ)−

√ε

ßsin(µ+ φ)

con le condizioni iniziali

y0 =√εß0 cosφ y′0 =

√ε

ß0

ß′02

cosφ−√ε

ß0

sinφ

y0ß′02− ß0y

′0 =

√εß0 sinφ

Tenuto conto che per questa soluzione si ha η = −ß′/2, dalla relazione di unitarieta,ζß = 1 + ß′2/4, risulta

εß0 = y20(1 + ß′20 /4)− ß0ß′0y0y

′0 + ß2

0y′20 = ζ0ß0y

20 − ß0ß′0y0y

′0 + ß2

0y′20

ε = ζ0y20 − ß′0y0y

′0 + ß0y

′20

Se calcoliamo per la soluzione i valori y2, yy′, y′2

y2 = εß cos2 µ yy′ = ε

(ß′

2cos2 µ− sinµ cosµ

)

y′2 = ε

(ß′2

4ßcos2 µ− ß′

ßsinµ cosµ+

1

ßsin2 µ

)

troviamo che εy e una costante del moto

ζy2 − ß′yy′ + ßy′2 = εy

Questa, tenuto conto della relazione tra i coefficienti, e l’equazione di un ellissenel piano y − y′, con centro in y = 0, y′ = 0, e ogni particella nel moto lungo

62

l’acceleratore ha valori delle coordinate y(s), y′(s) che cambiano da punto a punto,ma sempre su un ellisse. Nel caso che sia ß′ = 0, ζ = 1

ß, l’equazione diventa

y2

ß+ ßy′2 = εy

e l’ellisse ha assi paralleli alle coordinate e semiassi uguali a√εyß e

√εy/ß. Tutte

queste cosiderazioni sono anche valide nel piano z − z′. L’area dell’ellissi e pari aπε, ed e chiamata emittanza [m × rad] e rappresenta l’estensione dello spazio dellefasi occupato dal fascio nel piano y − y′ (z − z′).

Per ogni coppia di variabili coniugate (y, py), (z, pz), in assenza di effetti dissi-pativi, si ha lungo un ciclo

∮pydy = costante,

∮pzdz = costante

py = mγy = mcβγy′∮βγy′dy = βγπεy = costante

e analogamente βγπεz = costante. La quantita βγπε e chiamata emittanza invariante.Quando il fascio aumenta l’energia (l’aumento in un ciclo e molto piccolo) le emit-tanze βγπε si mantengono costanti e lo spazio delle fasi, πε, occupato dal fascionei piani y − y′, z − z′, diminuisce proporzionalmente a 1/βγ. Poiche l’emittanzadefinisce le dimensioni della camera a vuoto in cui circola il fascio e πε e moltomaggiore all’iniezione che alla fine del ciclo di accelerazione, per accelerare parti-celle ad energia elevata si usano di solito acceleratori in cascata in modo da limitarel’emittanza all’iniezione.

1.3.9 Oscillazioni di sincrotrone

Gli acceleratori di alta energia funzionano con il principio di accelerazioni multiplee le particelle, per aumentare l’energia, devono pasare nelle cavita RF in fase con ilcampo elettrico accelerante a frequenza ωRF . Poiche le particelle hanno una disper-sione nel tempo di attraversamento delle cavia, δt, l’aumento di energia e possibilese piccole variarioni di fase δφ = ωRF δt vengono compensate. Le condizioni per cuiquesto avviene, condizioni di stabilita di fase, sono state dismostrate da VladimirVeksler e Edwin McMillan nel 1945.

Se ∆V = V0 sinωRF t e la differenza di potenziale nella cavita, una particella chela attraversa ha una variazione di energia qV0 sin(ωRF t+φ), dove φ e la fase che tieneconto dell’istante di attraversamento. Definiamo particella sincrona la particella chepercorre l’orbita di riferimento e che sia sempre in fase: φs = costante, questa hafrequenza ωs = ωRF/h con h = intero e ha energia Es.

Consideriamo l’esempio dell’acceleratore lineare (Fig.1.33). Una generica parti-cella ha energia E = Es + δE, fase φ = φs + δφ e frequenza ω = ωs + δω. Dopo averattraversato la cavita la particella ha energia

E ′ = Es + δE + qV0 sin(φs + δφ) =

= Es + qV0 sinφs cos δφ+ δE + qV0 cosφs sin δφ ≈ E ′s + δE + qV0δφ cosφs

63

φ

V(φ)

φs

φa φ

r

T

Figure 1.33: Stabilita di fase nel LINAC

La variazione di energia rispetto alla particella sincrona e δE ′ = δE + qV0δφ cosφs.Supponiamo che la particella abbia energia maggiore di Es e che sia in anticipo difase, δφ < 0: la variazione di energia e minore se δφ cosφs < 0, e la particella siavvicina alla particella sincrona se cosφs > 0. Se la particella ha energia minore diEs ed e in ritardo di fase, δφ > 0, la variazione di energia e maggiore se δφ cosφs > 0,e la particella si avvicina alla particella sincrona se cosφs > 0. Quindi in entrambe icasi si ha stabilita di fase se −π/2 < φ < π/2. Poiche per aumentare l’energia deveessere 0 < φ < π, le particelle che attraversano la cavita con 0 < φ < π/2 vengonoaccelerate e oscillano attorno alla fase della particella sincrona. Queste oscillazionidi fase (e di energia) sono chiamate oscillazioni di sincrotrone.

In un acceleratore circolare particelle di impulso diverso percorrono traiettorie di-verse e hanno frequenze angolari diverse (Fig.1.34). Il rapporto tra la variazione della

ar RF r a

φ

V(φ)

φs

φa φ

r

T

Figure 1.34: Stabilita di fase nell’acceleratore circolare

lunghezza dell’orbita, `, e la variazione di impulso e un parametro dell’acceleratorechiamato fattore di compressione di impulso

αp =d`/`

dp/p

Il rapporto tra la variazione della frequenza angolare e la variazione di impulso

dω

ω=dβ

β− dr

r=

1

γ2

dp

p− αp

dp

p

dp

p=dβ

β+dγ

γ=dβ

β+ β2γ2dβ

β= γ2dβ

β

e legato a αp e dipende dall’energia

η =dω/ω

dp/p=

1

γ2− αp

64

quindi negli acceleratori circolari si puo avere stabilita di fase in condizioni di-verse secondo se la velocita aumenta piu rapidamente della lunghezza della trai-ettoria (a bassa energia) o piu lentamente (ad alta energia) passando per unaenergia di transizione quando 1/γ2 = αp.

Se indichiamo con ∆E = qV0 sinφ la variazione di energia per giro e se facciamol’ipotesi che le variazioni siano lente rispetto alla frequenza di rivoluzione, la vari-azione della differenza di energia rispetto alla particella sincrona in un periodo Te

∆δE = qVo(sinφ− sinφs) ≈dδE

dtT

dδE

dt≈ qVo

2πωs(sinφ− sinφs)

la variazione della fase in un periodo e (δT/T = −δω/ω = −ηδp/p)

∆δφ ≈ ωsδT ≈ −ωRFTηδp

p= −ωRFTη

δE

β2E

dδφ

dt≈ ∆δφ

T= −ωRFη

β2sEs

δE

Da queste relazioni si ottiene l’equazione della fase

d2

dt2δφ = −ωRFη

β2sEs

d

dtδE = −h ω2

sη

2πβ2s

qVoEs

(sinφ− sinφs)

che, per piccoli sfasamenti, sinφ = sin(φs + δφ) ≈ sinφs + δφ cosφs, diventa

d2

dt2δφ+ Ω2

s δφ = 0 Ωs = ωs

(hη cosφs

2πβ2s

qVoEs

) 12

Si hanno oscillazioni di fase se Ωs e reale. Sotto l’energia di transizione, η > 0,si ha stabilita di fase per cosφs > 0, cioe 0 < φ < π/2 come nel caso del LINAC.Infatti in un acceleratore lineare il raggio di curvatura e infinito, αp = 0 e η e semprepositivo. Sopra l’energia di transizione, η < 0, si ha stabilita di fase per cosφs < 0,quindi π/2 < φ < π. Questo e il caso dell’elettro-sincrotrone in cui γ e grande e sifa in modo di operare sempre sopra l’energia di transizione. La maggior parte deiprotosincrotroni devono passare attraverso l’energia di transizione durante il ciclodi accelerazione e quindi devono effettuare un cambiamento della fase di ωRF .

1.3.10 Anelli di collisione

In esperimenti di fisica subnucleare e importante convertire l’energia cinetica delleparticelle nello stato iniziale in energia disponibile nello stato finale per produrreparticelle di massa elevata. Negli esperimenti in cui si invia un fascio di particelledi impulso ~p su un bersaglio fermo nel laboratorio parte dell’energia del fascio non edisponibile per produrre particelle perche viene utilizzata per conservare l’impulsototale. Se invece si fanno collidere due fasci che nel laboratorio hanno impulso ugualee opposto tutta l’energia e disponibile nello stato finale perche l’impulso totale nellaboratorio e nullo. L’energia nello stato finale e pari al modulo del quadri-impulso.

65

Nella collisione a bersaglio fisso di due particelle di massa m1 e m2 si ha (c = 1),P1 = (~p1, E1), P2 = (0,m2)

(P1 + P2)2 = m21 +m2

2 + 2E1m2

In un esperimento a fasci collidenti, P1 = (~p, E1), P2 = (−~p, E2)

(P1 + P2)2 = m21 +m2

2 + 2E1E2 + 2p2

Per E m si ha Ecm ≈√

2Em nel primo caso e Ecm = 2E nel secondo.Particelle di carica q con impulso ~p e antiparticelle di carica opposta −q con

impulso opposto −~p possono essere accelerate nello stesso anello utilizzando lo stessocampo elettrico accelerante e lo stesso campo magnetico curvante. Infatti la forzaaccelerante e nei due casi parallela all’impulso e la forza centripeta e la stessa

d

dt~p = q ~E + q~v × ~B

d

dt(−~p) = −q ~E + q~v × ~B

Un parametro importante degli anelli di collisione e la luminosita che definisceil numero di reazioni che avvengono nell’unita di tempo. Per un esperimento abersaglio fisso abbiamo definito la luminosita come il prodotto flusso del fascio ×numero di particelle bersaglio. In un anello di collisione, con N1 e N2 particelle perfascio, la luminosita e

L =N1

S∆tN2 = f

N1N2

S

dove f e la frequenza di incrocio dei fasci e S e la superficie di sovrapposizione deifasci. Per avere luminosita elevata occorre ridurre al minimo la sezione dei fasci nelpunto di incrocio cioe ridurre il valore di ß con quadrupoli focalizzanti.

Gli anelli di collisione, una volta accelerati i fasci all’energia di operazione, funzio-nano in regime continuo. Il numero di particelle circolanti diminuisce col tempo pereffetto delle interazioni delle particelle con il gas residuo nella camera a vuoto e conle altre particelle. Un’altro parametro importante e la vita media della luminositache e tipicamente di alcune ore. Oltre agli anelli di collisione protone-antiprotonee elettrone-positrone, che funzionano con un solo anello, sono utilizzati anche anellidi collisione protone-protone e elettrone-protone che pero funzionano con due anellidistinti che si incrociano in piu punti.

1.3.11 Radiazione di sincrotrone

Una carica elettrica accelerata emette radiazione elettromagnetica. L’energia emessaper unita di tempo e data dalla formula di Larmor (appendice 4.7) ed e invariante

W =2

3

q2

4πε0c3c2γ4

γ2

~β · d

~β

dt

2

+

(dβ

dt

)2 [eV s−1]

66

La potenza emessa dipende dalla quarta potenza di γ = E/mc2 e quindi, a parita dienergia, e molto maggiore per particelle di massa piccola (elettroni) che per massegrandi (protoni).

In un acceleratore lineare l’accelerazione e parallela alla velocita, d~β/dt ‖ ~β, e lapotenza e

W =2

3

q2

4πεocγ4(γ2β2 + 1)

(dβ

dt

)2

=2

3

q2

4πεocγ6

(dβ

dt

)2

Poiche per valori grandi di γ, β → 1 e dβ/dt e molto piccolo, negli acceleratori linearil’energia emessa e molto piccola ed e facilmente compensata dal campo elettricoaccelerante.

In un acceleratore circolare vi e una accelerazione centripeta ortogonale allavelocita, d~β/dt ⊥ ~β. Trascurando l’accelerazione longitudinale, che e molto piupiccola, la potenza e

W =2

3

q2

4πε0cγ4

(dβ

dt

)2

L’accelerazione centripeta e d~β/dt = ~ω×~β. SeR e il raggio di curvatura, l’accelerazionee |dβ/dt| = β2c/R e la potenza e

W =2

3

q2

4πε0cβ4γ4

R2

L’energia emessa per giro, che deve essere fornita dalle cavita RF , e

∆Egiro =∮Wdt ≈ WT =

2πR

βc

2

3

q2

4πε0cβ4γ4

R2=

4π

3

q2

4πε0

β3γ4

R

Per un elettrone, e2/4πε0 = remec2,

W =2

3

rec

R2mec

2 β4γ4 ∆Egiro =4π

3

reRmec

2 β3γ4

La radiazione emessa si chiama radiazione di sincrotrone. Negli elettro-sincrotronidi alta energia l’energia fornita dalle cavita RF e spesa per compensare l’energiaemessa per radiazione di sincrotrone piu che per accelerare i fasci. Negli anelli di col-lisione elettrone-positrone, anche quando e stata raggiunta l’energia di operazione,occorre continuamente rifornire con le cavita RF l’energia irraggiata. Poiche ∆Egiroe inversamente proporzionale a R, gli anelli di collisione e+e− di alta energia sonocostruiti con grandi raggi di curvatura.

La radiazione di sincrotrone ha comunque benefici effetti sul comportamento deifasci negli acceleratori di elettroni. L’emissione di radiazione e un effetto non con-servativo che viola il teorema di Liouville e che puo essere utilizzato per attenuarel’ampiezza delle oscillazioni di betatrone e quindi per ridurre lo spazio delle fasi nel

piano trasverso. La dispersione angolare del fascio e 〈θ〉 =√ε/ß mentre l’angolo

di emissione della radiazione e ≈ 1/γ, come illustrato nel seguito. Se 1/γ 〈θ〉l’emissione di radiazione non cambia apprezzabilmente la direzione dell’elettrone e

67

il risultato e che si riducono sia la componente trasversa che la componente longi-tudinale della quantita di moto, p′T = apT , p′L = apL, con a < 1. Le cavita risonantiaccelerano l’elettrone nella direzione longitudinale in modo da compensare l’energiairraggiata, p′′L = pL, con il risultato che si riduce l’angolo θ′′ = p′′T/p

′′L = aθ. Quindi,

sfruttando l’emissione di radiazione di sincrotrone si possono ottenere fasci di pic-cole dimensioni nel piano trasverso e questo permette di ottenere elevate luminositanegli anelli di collisione e+e−.

Una importante applicazione della radiazione di sincrotrone emessa da accelera-tori circolari di elettroni e la produzione di sorgenti di radiazione elettromagneticacon particolari caratteristiche di intensita, direzionalita e banda di frequenza. Nelriferimento solidale con la particella carica la distribuzione angolare della potenzaemessa (appendice 4.7) e

dW

dΩ′=remec

2

4πc

(dβ

dt

)2

sin2 ψ

dove ψ e l’angolo tra l’accelerazione e la direzione di emissione (Fig.1.35). Nel

R Dq asin y

2

v

Dq ª 1/ g

Figure 1.35: Emissione di radiazione di sincrotrone

riferimento del laboratorio la carica ha velocita βc e la distribuzione della radiazioneemessa ad angolo polare θ rispetto alla direzione della velocita e

dW

dΩ=remec

2

4πc

(dβ

dt

)21

(1− β cos θ)3

(1− 1− β2

(1− β cos θ)2sin2 θ cos2 φ

)

Per β → 1, β ≈ 1 − 1/2γ2, l’angolo solido si contrae, sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ2/2, ela distribuzione angolare, mediando sull’angolo azimutale φ, diventa

dW

dΩ=remec

2

4πc

(dβ

dt

)28γ6

(1 + γ2θ2)3

(1− 2γ2θ2

(1 + γ2θ2)2

)

Il valore massimo della distribuzione si ha per θ = 1/2γ e il valore quadratico mediodella distribuzione e

√< θ2 > = 1/γ: la radiazione di sincrotrone e concentrata in

un cono di semiapertura ≈ 1/γ attorno alla direzione del moto della carica.Il calcolo dello spettro di frequenza emesso e piuttosto complicato. Per valutare

le frequenze tipiche consideriamo una carica in moto in un anello di raggio R. Unosservatore sul piano dell’anello vede la radiazione emessa lungo un tratto ∆` ≈R∆θ ≈ R/γ. La durata dell’impulso τ e la differenza tra il tempo di percorrenza

68

del tratto ∆` a velocita βc da parte dell’elettrone e il tempo di percorrenza dellacorda 2R sin ∆θ/2 a velocita c da parte della radiazione

τ =R

γβc− 2R sin 1/2γ

c=

R

βγc(1− β) ≈ R

βc

1

2γ3

Lo spettro in frequenza e la trasformata di Fourier della distribuzione temporale. Seassumiamo un impulso uniforme di durata τ , lo spettro in frequenza e approssima-tivamente uniforme e si estende fino alla

frequenza critica ωc =1

τ= 2γ3ω0

dove ω0 = βc/R e la frequenza di rivoluzione del fascio. Acceleratori circolari dielettroni di alta energia producono fasci intensi e collimati di raggi X con energiafino a ≈ 10 keV cioe lunghezza d’onda λ ≈ 1 A e vengono utilizzati per lo studiodelle proprieta di strutture molecolari e cristalline.

Calcoli accurati dimostrano che lo spettro di potenza emessa sotto forma diradiazione di sincrotrone e rappresentato da una funzione universale del rapportox = ω/ωc

dW

dω= hω

dNγ

dω=W

ωcS(ω/ωc)

con∫S(x)dx = 1. La funzione di distribuzione S(x) e mostrata in Fig.1.36. Per

ω ωc aumenta con una legge di potenza ben approssimata con S(x) = 1.333 x13 ,

mentre per ω ωc decresce esponenzialmente: S(x) = 0.777 x12 e−x.

1 0- 2

1 0- 1

1 00

1 0- 4 1 0- 3 1 0- 2 1 0- 1 1 00 1 01

1.333 x1 / 3

0.777 x1 / 2 e- x

x = wwww //// wwwwc

S(x)

x = ωc / ω

Figure 1.36: Funzione universale che descrive lo spettro della radiazione di sin-crotrone

1.3.12 Sorgenti di radiazione di sincrotrone

I magneti curvanti di un elettro-sincrotrone costituiscono una sorgente di radiazionedi sincrotrone. La radiazione e emessa nel piano di curvatura lungo la direzione deglielettroni in un cono di apertura angolare ∆θ ' 1/γ. L’intensita della radiazione e

69

proporzionale al numero di elettroni che circolano nell’anello e lo spettro di frequenzae dato dalla funzione S(ω/ωc) che si estende fino a valori di energia poco superiori ahωc. L’energia perduta sotto forma di radiazione viene continuamente rifornita aglielettroni dal campo accelerante a radio-frequenza, quindi gli elettroni produconocontinuamente radiazione di sincrotrone. Le caratteristiche della radiazione (in-tensita, spettro di frequenza, polarizzazione, . . .) possono essere variate localmentenell’acceleratore inserendo opportuni componenti magnetici che non perturbino lastruttura periodica dell’anello.

Traslatore di frequenza

Se nell’anello si inserisce un campo magnetico, B∗, di intensita maggiore di quellodei magneti curvanti, aumenta localmente la forza di Lorentz e quindi la frequenzaangolare, ω0 = eB∗/mγ. In questo modo si aumenta la frequenza critica dellaradiazione emessa localmente dal magnete superbend B∗.

Un traslatore di frequenza di questo tipo (Fig.1.37) si realizza, ad esempio, in-serendo in una sezione dritta dell’anello due magneti compensatori posti prima edopo il magnete B∗ in modo che l’integrale di campo dei tre magneti sia nullo,∫Bd` = 0, per non cambiare le caratteristiche del fascio di elettroni.

Figure 1.37: Traslatore di frequenza; sono mostrati due magneti curvanti dell’anello,i due magneti compensatori e il magnete superbend

Magnete wiggler

Possiamo estendere il concetto del traslatore di frequenza in una struttura periodicain cui il campo magnetico e ortogonale alla direzione degli elettroni e l’integrale dicampo e nullo. Un magnete wiggler e realizzato con N elementi di lunghezza λp(Fig.1.38) realizzati con elettro-magneti o con magneti permanenti. L’intensita delcampo magnetico si puo ottenere come sviluppo in serie di Fourier con componentefondamentale di periodo λp. Con riferimento alla Fig.1.38, x e la direzione inizialedegli elettroni che vengono deflessi nel piano x-y. Assumendo per le componenti delcampo magnetico Bz(x, y, z) = B0f(z) cos kx, con k = 2π/λp, e By(x, y, z) = 0, lasoluzione deve soddisfare le condizioni

~∇× ~B = 0 ∂Bx/∂z = ∂Bz/∂x = −kB0f(z) sin kx~∇ · ~B = 0 ∂Bx/∂x = −∂Bz/∂z = −B0f

′(z) cos kx∂2Bx/∂x∂z = ∂2Bx/∂z∂x −k2B0f(z) cos kx = −B0f

′′(z) cos kx

70

L’equazione f ′′(z) − k2f(z) = 0 ha soluzione f(z) = a cosh kz + b sinh kz con le

Figure 1.38: Magnete wiggler; la struttura periodica si estende per N periodi dilunghezza λ

condizioni al contorno f(0) = a = 1, f(−z) = f(+z) cioe b = 0. La componenteBx si ottiene integrando una delle relazioni precedenti. Quindi le componenti delcampo magnetico sono

Bx = B0 sinh kz sin kx By = 0 Bz = B0 cosh kz cos kx

L’angolo di deflessione nel piano x-y in un quarto di periodo e

θp/4 =∫ λp/4

0

eB0 cos kx

pdx =

eB0

kp

Ricordando che il valor medio dell’apertura del cono di emissione di radiazione disincrotrone e 〈θ〉 ' 1/γ, il rapporto tra l’angolo di deflessione in un quarto di periodoe l’apertura del cono definisce il fattore di intensita del magnete wiggler

Q =θp/4〈θ〉 =

eB0

kp

E

mc2=ecB0

kmc2

E

pc' ec

2π mc2B0λp

ec = 0.3GeV/T m, mc2 = 0.5MeV ; quindi: Q ' 100B0(T ) λp(m) = B0(T ) λp(cm).Tipicamente i magneti wiggler hanno Q ' 1. I magneti wiggler con Q 1 sonochiamati ondulatori.

Gli elettroni sono soggetti ad una accelerazione nel piano normale alla direzionedel campo magnetico. Le equazioni del moto nel piano x-y sono

mγx = −e(vyBz − vzBy) = −eyBz x = −ω0y cos kxmγy = −e(vzBx − vxBz) = +exBz y = +ω0x cos kxmγz = −e(vxBy − vyBx) = 0

con ω0 = eB0/mγ. La soluzione approssimata della seconda equazione si ottieneassumendo che la velocita lungo l’asse x sia costante, dx/dt ' costante = v0,

y = ω0v0

∫cos kx dt =

ω0

ksin kx+ C

71

con la condizione iniziale yx=0 = C = 0. Sostituendo nella prima equazione si ha

x = −ω20

k

∫sin kx cos kx dt = − ω2

0

2k2v0

sin2 kx+ C

con la condizione iniziale xx=0 = C = v0

x = v0

(1− ω2

0

2k2v20

sin2 kx

)= v0

(1− Q2

2γ2sin2 kx

)

La componente vx della velocita degli ellettroni oscilla con periodo λp attorno alvalor medio vx = v0(1 − Q2/4γ2). La componente vy ha valore massimo ω0/k =v0Q/γ v0. Integrando l’espressione di y

y(x) =ω0

k

∫sin kx dt =

ω0

k2v0

cos kx+ C

si ottiene l’ampiezza dell’oscillazione trasversa ymax = (Q/2πγ)λp λp.La potenza media emessa da un elettrone e (|x| |y|, y = cω0 cos kx)

W =2

3

remec2

c3γ4〈y2〉 =

1

3

remec2

cγ4ω2

0 =4π2

3mec

2 rec

λ2p

γ2Q2

e l’energia irraggiata da un elettrone in un ondulatore di N elementi e

∆E = NWλpβc

=4π2

3mec

2 reλp

Nγ2Q2

In un ondulatore costituito di N elementi gli elettroni compiono oscillazioni conperiodo T ' λp/βc ed emettono radiazione quasi monocromatica. In un periodo,la radiazione emessa ad angolo polare θ rispetto all’asse dell’ondulatore percorre ladistanza cT = λp/β(1−Q2/γ2) e si ha emissione coerente se la differenza di percorsotra la radiazione emessa da due punti a distanza λp e pari ad un numero intero dilunghezze d’onda (Fig.1.39)

λpβ(1−Q2/γ2)

− λp cos θ = nλ = n2πc

ω

Approssimando β = 1− 1/2γ2 + . . ., cos θ = 1− θ2/2 + . . ., si ottiene che lo spettrodella radiazione e piccato attorno alle frequenze

ωn = n2γ2

1 +Q2/2 + γ2θ2

2πc

λp

La frequenza delle armoniche e massima per radiazione emessa in avanti, θ ' 0, eper Q 1, e la larghezza delle righe e inversamente proporzionale al numero dielementi, N . Si possono selezionare diverse bande di frequenza variando l’angolo diosservazione.

72

Figure 1.39: Radiazione quasi monocromatica emessa da un ondulatore

1.3.13 Sorgenti di neutroni

I neutroni, insieme ai protoni, sono i costituenti dei nuclei atomici (nucleoni); hannomassa mn = 939.6 MeV/c2, carica elettrica nulla, sono fermioni di spin 1/2 con mo-mento magnetico µn = −1.91 in unita eh/2mp. I neutroni non esistono liberi,decadono con vita media sufficientemente lunga (τ = 900 s) per poterli utilizzarecome proiettili in esperimenti. A differenza di fotoni, elettroni e protoni, i neutroniinteragiscono molto debolmente con gli elettroni atomici e, per questo, sono piu pen-etranti e particolarmente indicati come sonde per studiare la struttura e le proprietadella materia.

I neutroni termici, quelli con energia cinetica media kTamb = 0.025 eV , hannolunghezza d’onda di de Broglie

λ =h

p=

2πhc

(2mc2 kT )12

= 1.8 10−10 m

confrontabile con le distanze interatomiche nei cristalli o in materiale organico.Questo fu evidenziato da Bertran Brockhouse e Clifford Shull 26 che svilupparono ilmetodo della spettroscopia neutronica per lo studio della materia condensata.

Sorgenti di neutroni termici si realizzano nei reattori nucleari (capitolo 18:NU-CLREACTION) che producono enormi flussi di neutroni nella fissione di nucleipesanti, oppure con interazioni nucleari di fasci di protoni (o ioni) su bersagli dinuclei pesanti. Nel primo caso si ha una sorgente continua, nel secondo caso sipuo realizzare una sorgente pulsata alla frequenza di estrazione del fascio da unacceleratore e questo presenta notevoli vantaggi perche si puo stabilire una coerenzatemporale tra il ciclo dell’acceleratore e la produzione dei neutroni.

Il processo in cui si produce un gran numero di neutroni in una singola interazioneprotone-nucleo e chiamato spallazione. Se i protoni hanno lunghezza d’onda moltominore della distanza tra i costituenti del nucleo, λ 10−15 m, ovvero energiacinetica ≥ 500 MeV , e se il bersaglio e un nucleo con peso atomico elevato con uneccesso di neutroni rispetto ai protoni, il processo di spallazione si puo schematizzaresulla base del modello nucleare statistico di Fermi (capitolo 2.2) nel modo seguente:

• l’interazione avviene tra il protone e un singolo nucleone che viene emesso dalnucleo;


73

• il nucleo viene a trovarsi in uno stato eccitato con un eccesso di energia di∆E = 50÷ 100 MeV;

• questa energia viene dissipata con l’emissione di ∆E〈Elegame〉 ≈ 10÷ 15 neutroni,

evaporazione nucleare, mentre i protoni vengono trattenuti nel nucleo dallabarriera di potenziale coulombiana;

• il nucleo residuo non e stabile perche contiene un eccesso di protoni ed esoggetto ad una serie di decadimenti β+ in cascata.

Il processo di evaporazione nucleare avviene in tempi molto brevi (τ ∼ 10−20 s).La sezione d’urto differenziale dei neutroni prodotti con un fascio di protoni di 590MeV e mostrata in Fig.1.40 in funzione dell’energia e dell’angolo polare. Da questirisultati si osserva che

• l’energia cinetica media dei neutroni e ∼2 MeV;

• la maggior parte dei neutroni e prodotta in modo isotropo con energia minoredi 10 MeV;

• i neutroni con energia maggiore di ∼10 MeV sono emessi preferenzialmente inavanti, ma con probabilita molto piccola.

Figure 1.40: Sezione d’urto differenziale di neutroni di spallazione prodotti da pro-toni di 590 MeV su un bersaglio di Pb

Come bersaglio si usano nulcei pesanti non soggetti a fissione, per evitare l’emissionedi neutroni ritardati : Tantalio, Tungsteno, Piombo, . . . . Il nucleo piu efficace comemoderatore e l’Idrogeno, utilizzato sotto forma di H2O a temperatura ambiente,oppure H2 liquido a T = 20 K per produrre neutroni freddi con energia 2 meV elunghezza d’onda λ = 7 10−10 m.

In una collisione elastica di una particella di massa m e impulso p0 (p0 mc2)con una particella di massa M a riposo, l’impulso nel centro di massa e p∗ = Mp0

M+me

74

la velocita del centro di massa e p0M+m

(Fig.1.41). L’energia cinetica dopo la collisionee

E =(~p∗ + ~p′)2

2m=

p20

2m

M2 + 2Mm cos θ∗ +m2

(M +m)2

dove θ∗ e l’angolo di scattering nel centro di massa. In una collisione di un neutronecon un nucleo di massa Am l’energia cinetica e

E =A2 + 2A cos θ∗ + 1

(A+ 1)2E0 =

(1 + α

2+

1− α2

cos θ∗)E0

con α = (A−1)2

(A+1)2. L’angolo di scattering e

p sin θ = p∗ sin θ∗ cos θ =A+ cos θ∗

(A2 + 2A cos θ∗ + 1)12

p*

p*

p0

pp*

E

qqqq* qqqq

dndE

E0E0aaaa

Amp'

m

Figure 1.41: Collisione di un neutrone di massa m e impulso p0 con un nucleo dimassa Am nel centro di massa e nel laboratorio

Per energie cinetiche E0 ∼ 2 MeV la distribuzione angolare nel centro di massae uniforme, dn

d cos θ∗= 1

2, e l’energia dopo la collisione e compresa tra Emin = αE0,

quando θ∗ = π, e Emax = E0, quando θ∗ = 0, con distribuzione uniforme

dn

dE=

dn

d cos θ∗d cos θ∗

dE=

1

(1− α)E0

L’energia dei neutroni viene degradata nelle successive collisioni in modo esponen-ziale. Per calcolare il numero medio di collisioni necessarie a raggiungere l’equilibrioa energia kT conviene introdurre il decremento logaritmico lnE0/E che ha valormedio 27

ξ = 〈ln E0

E〉 =

∫ E0

ElnE0

E

dE

(1− α)E0

= − 1

1− α∫ 1

αlnx dx = 1− (A− 1)2

2AlnA+ 1

A− 1

ξ = 1 per Idrogeno, ξ ' 2/A per A 1. Il numero medio di collisioni per moderareun neutrone di energia E0 e

n =1

ξlnE0

E

27∫

lnx dx = x lnx− x

75

Se E0 = 2 MeV e E = kTamb = 25 meV in diversi moderatori si ha

H D He C O . . . Uξ 1.0 0.73 0.43 0.16 0.12 0.084n 18 25 43 115 152 2170

Se v e la velocita dei neutroni, il numero di collisioni in un intervallo di tempo δt evδtλel

, dove λel e il cammino libero medio per collisioni elastiche λel = ANoρσel

. La sezioned’urto elastica dei neutroni dipende debolmente dall’energia, σel varia nell’intervallo1÷ 5 barn per i nuclei leggeri. Il numero di collisioni nell’intervallo di tempo dt incui l’energia e diminuita di dE e

1

ξd ln

E0

E= −1

ξ

dE

E= −2

ξ

dv

v=vdt

λel

Integrando questa relazione si ha

−∫ v

v0λel

dv

v2= 〈λel〉

v0 − vv0v

=ξ∆t

2∆t =

2〈λel〉ξv

per v0 v

La velocita di neutroni con energia cinetica E0 = 2 MeV e v0 = 2.0 107 m/s mentrela velocita di neutroni con E = kTamb e v = 2.2 103 m/s. Il tempo per termalizzareneutroni energetici in acqua e ∆t ' 10−5 s e aumenta notevolmente (∼ σel/ξ) neimoderatori con nuclei piu pesanti.

Durante questo tempo i neutroni diffondono nel moderatore e in parte vengonoassorbiti. La densita di neutroni ha una distribuzione gaussiana in funzione delladistanza dal bersaglio e l’estensione della sorgente, ∆r, dipende dalla sezione d’urtoelastica, dalla sezione d’urto di assorbimento e dal decremento di energia lnE0/E.Per neutroni termici in acqua si ha ∆r ' 8 cm; ∆r aumenta notevolmente con ilpeso atomico del moderatore. L’energia ha una distribuzione di Maxwell-Boltzmannalla temperatura del moderatore. I neutroni vengono inviati dalla sorgente alle areesperimetali mediante guide cave con le pareti realizzate con opportuni materialiin cui i neutroni vengono trasmessi per riflessione totale (l’indice di rifrazione deineutroni dipende dalla lunghezza d’onda λ(E) e dalla ampiezza di scattering elasticof(E) con le pareti della guida).

In esperimenti in cui i neutroni subiscono scattering elastico la velocita vienemisurata dopo il campione in esame dal tempo di volo dei neutroni prendendo comeriferimento l’istante in cui il fascio di protoni urta il bersaglio della sorgente. SeL e la distanza tra il bersaglio e l’esperimento, l’errore nella misura della velocitadipende dal tempo di termalizzazione, ∆t, e dall’estensione della sorgente, ∆r,

∆v = v

[(∆r

L

)2

+(v∆t

L

)2] 1

2

se ∆r = 10 cm, ∆t = 10 µs per neutroni termici e L = 10 m, si ha ∆λλ

= ∆vv' 10−2.

76

1.4 Interazioni tra particelle e materia

Le particelle cariche nell’attraversare i materiali sono soggette a interazioni elet-tromagnetiche con gli elettroni e i nuclei atomici. A causa di queste interazionile particelle perdono parte dell’energia cinetica e cambiano direzione. I principalieffetti sono

• perdita di energia per ionizzazione ed eccitazione degli atomi;

• scattering coulombiano nel campo dei nuclei atomici;

• irraggiamento nel campo dei nuclei atomici.

La radiazione elettromagnetica puo convertire parte o tutta la sua energia per in-terazione con gli atomi e i nuclei atomici. I principali effetti sono

• effetto fotoelettrico;

• effetto Compton;

• produzione di coppie elettrone-positrone.

Questi effetti, che verranno trattati in modo approssimato, sono importanti perstudiare le tecniche di rivelazione di particelle cariche e di fotoni e per capire comevengono effettuati gli esperimenti nel campo della fisica nucleare e subnucleare.

• Interazioni delle particelle cariche

1.4.1 Perdita di energia per ionizzazione

Consideriamo un atomo, costituito dal nucleo di carica Ze e Z elettroni, e unaparticella di carica ze, massa M me e velocita ~v (Fig.1.42) e facciamo l’ipotesiche la velocita sia abbastanza grande da poter considerare l’elettrone quasi fermodurante la collisione. Facciamo anche l’ipotesi che l’impulso trasferito durante lacollisione sia piccolo in modo che la particella non sia deflessa.

Ze

e

ze

Mv

b

e-v

ze

2πbdb

x

Figure 1.42: Interazione coulombiana tra particella e elettroni atomici

La forza tra la particella e l’elettrone e e~E dove ~E e il campo elettrico generatodalla particella. Consideriamo l’interazione nel riferimento solidale con la particella

77

in cui l’elettrone si muove con velocita −~v. In questo riferimento l’impulso trasferitoall’elettrone ∆~p′ =

∫ ~F ′dt′ e, per simmetria lungo la direzione del moto, dato dallacomponente trasversa del campo elettrico

p′e =∫eE ′⊥dt′ =

∫eE ′⊥

dx′

v≈ e

v

∫E ′⊥dx′

dove abbiamo approssimato che la velocita della particella sia costante durante unacollisione. Se b e il parametro d’urto e se consideriamo un cilindro con l’asse coinci-dente con la direzione del moto relativo e raggio pari al parametro d’urto, il flussodel campo elettrico attraverso la superficie del cilindro e

Φ(~E ′) =∫

S′~E ′ · ~n′ dS ′ = 2πb

∫E ′⊥dx′ =

ze

ε0

L’impulso trasferito all’elettrone e

p′e =e

v

ze

2πε0b=

ze2

4πε0b2

2b

v

cioe pari al prodotto della forza coulombiana a distanza b per un tempo d’urto∆t′ = 2b/v. L’impulso trasferito e invariante poiche nel riferimento dell’elettrone lacomponente trasversa del campo elettrico della particella si espande E⊥ = γE ′⊥ eil tempo d’urto si contrae ∆t = ∆t′/γ. Nell’ipotesi pe mec, l’energia cineticadell’elettrone, e

Ee =p2e

2me

=

(ze2

4πε0b

)22

mev2= 2z2

(e2

4πε0 mec2

)2(mec

2)2

b2 mev2= 2mec

2 z2

β2

r2e

b2

Questa e l’energia perduta dalla particella in un singolo urto. Se ne e il numerodi elettroni per unita di volume, il numero di urti nel tratto di percorso d` conparametro d’urto compreso tra b e b+ db e ne2πbdbd` e l’energia perduta e

d2E

dbd`= ner

2emec

2 4πb

b2

z2

β2

L’energia perduta per unita di percorso si ottiene integrando questa relazione tra ilimiti minimo e massimo del parametro d’urto

dE

d`=∫

4πner2emec

2 z2

β2

db

b= 4πner

2emec

2 z2

β2lnbmaxbmin

• Valori grandi del parametro d’urto corrispondono a tempi d’urto grandi. Se∆t = b/γv e maggiore dell’inverso delle frequenze tipiche ωe degli elettroniatomici non e possibile il trasferimento di energia dalla particella all’elettrone.Quindi assumiamo bmax ≈ γv/〈ωe〉.

• Il parametro d’urto non puo essere minore della dimensione dell’elettrone vistadalla particella incidente. La lunghezza d’onda di de Broglie dell’elettrone eλ = h/p e l’elettrone ha nel riferimento della particella impulso p = mecβγ .Quindi assumiamo bmin ≈ h/meβγc.

78

Se il materiale ha numero atomico Z, peso atomico A e densita ρ, il numero dielettroni per unita di volume e ne = NoZρ/A. La formula della perdita di energiaper unita di percorso e stata derivata da Bohr nel 1915. Il risultato che otteniamodifferisce da questa solo nel termine logaritmico

formula di BohrdE

d`= 4πr2

emec2 NoZρ

A

z2

β2lnmec

2β2γ2

h〈ωe〉[eV cm−1]

e dipende dai parametri del materiale, dal quadrato della carica della particella ede funzione solo della velocita della particella βc. La formula di Bohr dipende lin-earmente dalla densita ed e conveniente esprimere lo spessore del materiale ∆` [cm]come ∆x = ρ∆` [g cm−2]. Tenendo conto del valore

C = 4πr2emec

2No = 0.30 MeV/g cm−2

la perdita di energia per unita di percorso e

dE

dx= C

Z

A

z2

β2lnmec

2β2γ2

〈I〉 [MeV/g cm−2]

dove 〈I〉 = h〈ωe〉 e il potenziale medio di ionizzazione. Nel modello atomico diThomas-Fermi (appendice 4.17) 〈I〉 e approssimativamente uguale a Z volte quellodell’atomo di idrogeno (mec

2/〈I〉 ≈ 3.6 104/Z), quindi la perdita di energia per ioniz-zazione ha una piccola dipendenza dal tipo di atomo: dE/dx ∝ (Z/A) ln(costante/Z).

La formula di Bohr e derivata in modo classico ed e una approssimazione moltobuona per particelle di massa M me. Un calcolo piu accurato e stato fatto daHans Bethe e Felix Bloch nel 1930 tenendo conto di effetti quantistici

formula di Bethe-BlochdE

dx= C

Z

A

z2

β2

(ln

2mec2β2γ2

〈I〉 − β2

)

Per elettroni e positroni il termine logaritmico nella formula di Bethe-Bloch va mod-ificato per tener conto del fatto che particella e bersaglio hanno massa uguale e chesono particelle identiche.

La formula di Bethe-Bloch indica che la perdita di energia per unita di per-corso di una particella carica e proporzionale a 1/β2 per β 1, ha un minimoper β ≈ 0.9 e ha un andamento crescente come ln γ2 per β → 1. In realta pervalori grandi di γ i valori sperimentali si discostano da questo andamento asintoticoe risulta dE/dx → costante, e questo effetto e maggiore nei materiale a densitaelevata. In effetti il valore bmax aumenta linearmente con γ e per valori grandi di γl’integrazione si estende a valori del parametro d’urto molto maggiori delle dimen-sioni atomiche. In questo caso il campo elettrico della particella tende a polarizzaregli atomi del materiale e gli elettroni con grandi parametri d’urto sentono l’azionedel campo elettrico parzialmente schermato e contribuiscono meno alla perdita dienergia. Questo effetto densita e stato studiato da Fermi nel 1940 che ha introdottonel termine logaritmico della formula di Bethe-Bloch alcune correzioni che dipen-dono dalla costante dielettrica del materiale εr e che sono importanti per velocitaβ > 1/

√εr .

79

La Fig.1.43 mostra l’andamento della perdita di energia per unita di percorso indiversi materiali in funzione di βγ = p/Mc per particelle di carica z = 1.

1

2

3

4

5

6

8

10

1.0 10 100 1000 10 0000.1

Pion momentum (GeV/c)

Proton momentum (GeV/c)

1.0 10 100 10000.1

1.0 10 100 10000.1

1.0 10 100 1000 10 0000.1

dE/d

x (M

eV g

1 cm

2 )

= p/Mc

Muon momentum (GeV/c)

H2 liquid

He gas

CAl

FeSn

Pb

Figure 1.43: (dE/dx)ion in diversi materiali in funzione di βγ per particelle di caricaz = 1 (S.Eidelman et al., Physics Letters B592, 1, 2004)

La sezione d’urto di collisione inelastica tra una particella e gli atomi si derivadall’espressione del parametro d’urto in funzione dell’energia dell’elettrone

b2 = 2r2e

z2

β2

mec2

Eedσ = 2πbdb = 4πr2

e

z2

β2

mec2 dEeE2e

La sezione d’urto differenziale e

dσ

dEe= 2πr2

e

z2

β2

mec2

E2e

Va notato che gli urti con i nuclei atomici hanno un effetto molto minore rispettoagli elettroni. Infatti l’impulso trasferito e Z volte maggiore ma l’energia trasferitaal nucleo per urto e molto piu piccola perche Mnucleo me. Inoltre il fattore Z ecompensato dal fatto che ci sono Z elettroni per nucleo. Quindi il contributo deinuclei alla perdita di energia e trascurabile.

1.4.2 Fluttuazioni della perdita di energia per ionizzazione

La perdita di energia per ionizzazione in un materiale di spessore ` e un processostatistico che avviene con successive collisioni con gli elettroni degli atomi del mezzo.

80

Il numero di collisioni nel tratto d` con trasferimento di energia nell’intervallo Ee ÷Ee + dEe e

f(Ee)dEed` =NZρ

Ad`

dσ

dEedEe =

NZρ

A2πr2

emc2 z2

β2

dEeE2e

d` =C

2

Zρ

A

z2

β2

dEeE2e

d`

L’energia ceduta in una singola collisione e caratterizzata dalla funzione di dis-tribuzione f(Ee) e varia in un ampio intervallo dalla minima energia di eccitazionedegli atomi del mezzo al valore massimo; per una particella di massa M m eenergia E M2c2/m: Emax

e = 2mc2β2γ2 (appendice 4.6).La perdita di energia per unita di percorso misurato in g−1cm2 (dx = ρd`) e

dE

dx= C

Z

A

z2

β2

(ln

2mc2β2γ2

〈I〉 − β2

)

e l’energia perduta in media in uno spessore x e

∆ = 2

(ln

2mc2β2γ2

〈I〉 − β2

)ξ con ξ =

C

2

Z

A

z2

β2x

L’energia perduta effettivamente nello spessore x fluttua attorno al valor medio ∆ ede caratterizzata dalla funzione di distribuzione f(x,∆). La determinazione di questafunzione e complicata dal fatto che, se l’energia della particella incidente e grande,questa puo perderne una frazione anche molto elevata in una singola collisione.

La trattazione delle fluttuazioni e stata fatta originariamente da Bohr con l’ipotesiche l’energia perduta nelle collisioni sia molto minore dell’energia della particella in-cidente E0. Il numero di collisioni con trasferimento di energia Ee nello spessore xe f(Ee)dEe = (ξ/x)dEe/E

2e . Nell’ipotesi Ee E0 possiamo interpretare il valore

di energia ξ come quello per cui si ha in media una sola collisione con perdita dienergia Ee > ξ nello spessore x

x∫ Emaxe

ξf(Ee)dEe ' ξ

∫ ∞

ξ

dEeE2e

= 1

Le altre ipotesi fatte da Bohr sono:

• lo spessore x e sufficientemente piccolo in modo che risulti ξ Emaxe ;

• lo spessore x e sufficientemente grande in modo da poter mediare su un grandenumero di collisioni.

In questo caso la funzione di distribuzione e gaussiana

f(x,∆) =1√

2πσ2e−(∆−∆)2/2σ2

con varianza

σ2 =∫f(Ee)E

2edEedx =

C

2

Z

A

z2

β2(Emax

e − Emine )x ' C

Z

Az2mc2 x

81

La trattazione generale e stata fatta da Lev Landau (per questo sono chiamatefluttuazioni di Landau) considerando sia le perdite di energia Ee < ξ, che sonopiu frequenti e seguono la distribuzione gaussiana, sia le perdite di energia Ee > ξmolto meno frequenti e quindi soggette a fluttuazioni poissoniane. Ne risulta unadistribuzione f(x,∆) asimmetrica caratterizzata da un valore di picco ∆p < ∆ =∫f(x,∆)∆d∆. La Fig.1.44 mostra la distribuzione di ∆/x per mesoni π di impulso

500 MeV in spessori sottili di Silicio (Z/A = 0.498; ρ = 2.33 gcm−3). In questocaso, per βγ = 3.5, si ha dE/dx = 1.66 MeV/gcm−2.

Figure 1.44: Distribuzione del rapporto ∆/x in diversi spessori di Silicio (S.Eidelmanet al., Physics Letters B592, 1, 2004)

La distribuzione di Landau e espressa in funzione della variabile adimensionaleλ = (∆ − ∆p)/ξ ed e normalizzata in modo che sia

∫Φ(λ)dλ =

∫f(x,∆)d∆. La

distribuzione e mostrata in Fig.1.45 insieme alla funzione di distribuzione di Moyal

f(λ) =1√2π

e−(λ+e−λ)/2

che e una buona approssimazione nel caso di spessori non molto sottili.

Figure 1.45: Distribuzioni di Landau e di Moyal

82

1.4.3 Percorso residuo

Nell’attraversare un materiale, le particelle cariche con massa M > me perdonoenergia prevalentemente per ionizzazione. Se l’energia trasferita in media nelle col-lisioni e molto minore dell’energia inziale, occorrono moltissime collisioni perche laparticella perda tutta l’energia cinetica e si arresti nel materiale. Il percorso residuo,chiamato usualmente range, dipende dalla carica elettrica e dall’energia della parti-cella e dalle proprieta del materiale

R =∫ R

0dx =

∫ 0

E0

dE

dE/dx

Poiche dE/dx e l’energia sono funzioni della velocita β, dE/dx = z2f(β, Z,A),dE = Mc2γ3βdβ, il range e funzione della velocita iniziale β0. Per particelle dicarica e massa diverse si ha la relazione

R =∫ 0

β0

Mc2γ3βdβ

z2f(β, Z,A)=Mc2

z2F (β0, Z, A)

z2

Mc2R = F (β0, Z, A)

La Fig.1.46 mostra l’andamento del rapporto R/Mc2 in diversi materiali in funzionedi βγ = p/Mc per particelle di carica z = 1.

0.05 0.10.02 0.50.2 1.0 5.02.0 10.0Pion momentum (GeV/c)

0.1 0.50.2 1.0 5.02.0 10.0 50.020.0

Proton momentum (GeV/c)

0.050.02 0.1 0.50.2 1.0 5.02.0 10.0Muon momentum (GeV/c)

= p/Mc

1

2

5

10

20

50

100

200

500

1000

2000

5000

10000

20000

50000

R/M

(g cm

2 G

eV1 )

0.1 2 5 1.0 2 5 10.0 2 5 100.0

H2 liquidHe gas

Pb

FeC

Figure 1.46: Rapporto R/Mc2 in diversi materiali in funzione di βγ per particelledi carica z = 1 (S.Eidelman et al., Physics Letters B592, 1, 2004)

Le fluttuazioni della perdita di energia si riflettono in fluttuzioni del range δx =[dE/dx]−1δ∆, dove δ∆ e la fluttuazione della perdita di energia nel percorso dx. Se il

83

range e sufficientemente grande, la perdita di energia ha una distribuzione gaussianacon varianza σ2

∆ = 〈(δ∆)2〉 proporzionale allo spessore di materiale attraversato(dσ2

∆/dx = (CZ/A)z2mc2). In questo caso il range ha una distribuzione gaussianacon varianza

σ2R = 〈(δx)2〉 =

∫ R

0

dσ2R

dx

dx

(dE/dx)2' σ2

∆

〈R〉∫ 0

E0

dE

(dE/dx)3

1.4.4 Radiazione Cerenkov

L’emissione di radiazione Cerenkov da parte di una particella carica e un effettolegato alle proprieta dielettriche del materiale e avviene quando la velocita dellaparticella e maggiore della velocita di propagazione della luce nel materiale cheattraversa. Questo fenomeno e stato osservato da Pavel Cerenkov nel 1934; la trat-tazione teorica e dovuta a Ilya Frank e Igor Tamm 28 nel 1937.

In un materiale con costante dielettrica relativa ε e indice di rifrazione n il campoelettrico prodotto dalla particella si propaga con velocita c/[ε(ω)]

12 = c/n(ω). Il

campo elettrico della particella polarizza gli atomi del materiale e la polarizzazionesegue il moto della particella senza apprezzabile scambio di energia se la velocitadella particella e βc c/n(ω). Se invece βc > c/n(ω) il materiale che si polarizzalungo la traiettoria della particella emette radiazione. La radiazione e coerente sullasuperficie di un cono con asse la direzione della particella (Fig.1.47) e aperturaangolare

cos θc =c/n(ω)

βc=

1

βn(ω)

n(ω)

1/β

ω

∆ωβc

c/nθc

b c > c / n

cos θ = 1/βnc

Figure 1.47: Effetto Cerenkov

L’energia emessa per unita di percorso e unita di frequenza da una particella concarica elettrica ze e

d2E

dxdω=z2e2

4πεo

ω

c2

[1− 1

β2n2(ω)

]= z2αhω

csin2 θc(ω)


84

e il numero di fotoni emessi con energia hω e

d2n

dxdω=z2α

csin2 θc(ω)

Il numero di fotoni emessi per unita di percorso si ottiene integrando nell’intervallodi frequenza ∆ω in cui n(ω) e positivo, ω < ω0, ed e soddisfatta la condizione perl’effetto Cerenkov 1/β < n(ω) < n(ω0)

dn

dx=z2α

c

∫

∆ωsin2 θc(ω)dω ≈ z2α

c〈sin2 θc〉∆ω

L’intervallo di frequenza per cui queste condizioni sono soddisfatte nei materialitrasparenti alla radiazione e nel visibile e ultravioletto con h∆ω ≈ 2 eV e il numeromedio di fotoni emessi per unita di percorso e

〈dndx〉 ≈ 600 fotoni cm−1 · z2 sin2 θc

L’emissione di radiazione Cerenkov non contribuisce apprezzabilmente alla perditadi energia della particella poiche dE/dx ≈ z2 sin2 θc [keV cm−1] . L’effetto Cerenkovha importanti applicazioni nella rivelazione di particelle cariche e nella misura dellaloro velocita.

1.4.5 Radiazione di transizione

Un altro fenomeno legato alle proprieta dielettriche del materiale e l’emissione diradiazione prodotta da una particella carica relativistica, β ≈ 1, quando passa da unmateriale ad un altro con diversa costante dielettrica. La radiazione di transizione estata studiata da Ilya Frank e Vitaly Ginsburg nel 1946. Consideriamo una particelladi carica elettrica q che si muove nel vuoto nella direzione z con velocita βc e incidenormalmente sulla superficie di un materiale di indice di rifrazione n(ω) (Fig.1.48).Il campo elettrico della particella in un punto ~r′ a distanza ρ′ dalla linea di volo hacomponenti

EL =q

4πε

γβct

[ρ′2 + (γβct)2]32

ET =q

4πε

γρ′

[ρ′2 + (γβct)2]32

e polarizza il materiale. La polarizzazione nel punto r′ e tanto piu intensa quantominore e la distanza ρ′ e produce un campo di radiazione (appendice 4.7) che sipropaga con velocita di fase c/n(ω)

A(~r) ≈ µo4π

eik′r

re−ik

′r·~r′ k′ =ωn(ω)

c

La radiazione emessa ad angolo polare θ nel piano z − x con frequenza ω ha unadifferenza di fase rispetto alla particella

∆φ ≈ kz′ − (k′z′ cos θ + k′ρ′ sin θ cosφ′) = (k − k′ cos θ)z′ − k′ρ′ sin θ cosφ′

85

q

q

k

f'

r'

r'

x

y

z

z'

d(w)

Figure 1.48: Emissione di radiazione di transizione

con k = ω/βc. Lo spettro di frequenza si estende fino all’inverso del tempo d’urto∆t = ρ′/γβc: ω ≈ 1/∆t = γβc/ρ′. Quindi radiazione coerente puo essere emessa sesono soddisfatte le due condizioni

ωn(ω)

c

γβc

ωsin θ < 1 θ <

1

γβn(ω)

(ω

βc− ωn(ω)

ccos θ

)z′ < 1 z′ <

c

ω

1

1/β − n(ω) cos θ

La prima condizione implica che la radiazione e emessa in avanti (θ < 1/γ), laseconda che la radiazione e emessa in una regione, detta zona di formazione, im-mediatamente a valle della superficie del materiale. La radiazione e emessa confrequenze maggiori della frequenza di plasma ωp del materiale. Per un materialedi densita ≈ 1 g cm−3 si ha tipicamente hωp ≈ 20 eV e l’emissione si estendedall’ultravioletto alla regione dei raggi X.

Approssimando β−1 ≈ 1 + 1/2γ2, n(ω) ≈ 1 − ω2p/2ω

2, cos θ ≈ 1, la zona diformazione della radiazione di transizione

d(ω) =c

ω

1

1/β − n(ω)=

2γc

ωp

1

ω/γωp + γωp/ω=

2γc

ωp

1

ν + 1/νν =

ω

γωp

ha il valore massimo per ν = 1: dmax = γc/ωp ≈ γ · 10 nm. L’energia irraggiata perunita di frequenza da una particella di carica elettrica ze e

dE

dν=z2α

πγhωp

[(1 + 2ν2) ln(1 + 1/ν2)− 2

]

L’energia totale irraggiata e

E =∫ dE

dνdν ≈ z2α

3γhωp ≈ z2γ · 0.05 eV

Quindi anche per una particella ultrarelativistica questa energia e molto piccola enon contribuisce alla perdita di energia. Questo effetto e comunque di notevole inter-esse perche permette di identificare le particelle con valori di γ elevati, tipicamenteelettroni di alta energia.

86

1.4.6 Scattering coulombiano multiplo

Nell’attraversare un materiale una particella carica perde energia nelle collisioni congli elettroni atomici senza cambiare apprezzabilmente direzione mentre viene deflessanelle collisioni elastiche con i nuclei atomici senza perdita apprezzabile di energiacinetica. La sezione d’urto di interazione col campo elettrico del nucleo (capitolo ??)e fortemente piccata a piccoli angoli di scattering

dσ

dΩ= r2

e(zZ)2 (mec2)2

4p2v2 sin4 θ/2

Se lo spessore del materiale non e piccolo, la particella subisce molte collisioni in cuie predominante l’effetto di scattering ad angoli piccoli (Fig.1.49). Se nN = Noρ/A

Ze

e

zem

p

θz

θy θ

∆x

Figure 1.49: Scattering coulombiano multiplo

e il numero di nuclei per unita di volume, il numero di collisioni per unita di percorsoin cui la particella e deflessa nell’angolo solido dΩ e

d2n = nN dσ dx = 8πr2e(zZ)2 (mec

2)2

p2v2

θdθdx

θ4

dove abbiamo approssimato sin4 θ/2 ≈ θ4/16, dΩ ≈ θdθdφ e abbiamo integratosull’angolo azimutale φ. Nell’ipotesi che le successive collisioni siano indipendenti, eragionevole assumere che la distribuzione nell’angolo di scattering sia gaussiana. Ilvalore quadratico medio dell’angolo di scattering per unita di percorso e

θ2s =

d〈θ2〉dx

=∫θ2 d

2n

dθdxdθ = 8πr2

e

Noρ

A(zZ)2 (mec

2)2

p2v2

∫ θ2dθ

θ3

θ2s = 8πr2

e

Noρ

A(zZ)2 (mec

2)2

p2v2lnθmaxθmin

La relazione tra l’angolo di scattering e il parametro d’urto e

tan θ/2 = zZmec

2

Mv2

reb

e quindi, nell’approssimazione di piccoli angoli, possiamo sostituire θmax/θmin conbmax/bmin. Dato che il rapporto compare in un logaritmo una stima approssimatanon comporta errori di rilievo.

87

• Se il parametro d’urto e maggiore delle dimensioni atomiche la carica delnucleo e schermata da quella degli elettroni e il campo elettrico si annulla;quindi assumiano bmax ≈ 〈ratomo〉. Nel modello atomico di Thomas-Fermi(appendice 4.17) il raggio medio della distribuzione di carica nell’atomo e

〈ratomo〉 ≈ (re/α2)Z−

13 .

• Se il parametro d’urto e minore delle dimensioni del nucleo, la carica efficacediminuisce e quindi anche la sezione d’urto; quindi assumiano bmin ≈ 〈rnucleo〉.La fenomenologia dei nuclei atomici (capitolo 2.1) mostra che il raggio medio

della distribuzione di carica nel nucleo e 〈rnucleo〉 ≈ reA13/2.

Con queste scelte si ha

θmaxθmin

=2

α2

(Z

A

)1/3

Z−23 =

√

2

α

(Z

A

) 16

Z−13

2

≈ (183 Z−13 )2

e l’angolo quadratico medio per unita di percorso si esprime

θ2s = 16πr2

e

Noρ

A(zZ)2 (mec

2)2

p2v2ln 183 Z−

13

θ2s =

(4π(mec

2)2

α

)(z

pv

)2 (4r2

eαNoZ

2ρ

Aln 183 Z−

13

)

Il primo termine ha dimensioni [energia2]: Es = mec2[4π/α]1/2 ≈ 21 MeV . Il terzo

termine ha le dimensioni [cm−1] e definiamo il

cammino di radiazione1

X0

= 4r2eαNoZ

2ρ

Aln 183 Z−

13

Integrando su uno spessore finito di materiale, 〈θ2〉 =∫θ2sdx, l’angolo medio di

scattering coulombiano multiplo

√〈θ2〉 = z

Espv

[x

X0

] 12

e proporzionale alla carica elettrica, inversamente proporzionale all’impulso e dipendedalla radice quadrata dello spessore di materiale misurato in cammini di radiazione.Il cammino di radiazione, cosı chiamato perche e la lunghezza caratteristica dei pro-cessi di irraggiamento, e inversamente proporzionale al numero atomico Z e alladensita del materiale. Se si misura la traiettoria di una particella in un piano, nellaapprossimazione di angoli piccoli, 〈θ2〉 = 〈θ2

x〉 + 〈θ2y〉, l’angolo medio proiettato sul

piano e

√〈θ2proj〉 =

√〈θ2〉

2≈ z

14 MeV

pv

[x

X0

] 12

Es = mec2(2π/α)

12 = 14 MeV

In realta la distribuzione misurata ha delle code non gaussiane dovute a collissionicon grandi angoli di deflessione e a effetti di correlazione che sono riprodotti concalcoli piu accurati nella teoria di Moliere dello scattering multiplo.

88

1.4.7 Irraggiamento

Nelle collisioni elastiche con i nuclei atomici una particella carica viene acceleratae quindi emette radiazione elettromagnetica. La potenza emessa e proporzionaleal quadrato dell’accelerazione (appendice 4.7). Poiche la forza coulombiana nondipende dalla massa, la potenza e inversamente proporzionale al quadrato dellamassa. Il fenomeno dell’irraggiamento, detto anche bremsstrahlung, e molto piuimportante per gli elettroni che per le altre particelle. Per particelle piu pesantidiventa non trascurabile solo per valori di γ 1. Facciamo quindi l’ipotesi β ≈ 1e che la velocita della particella non cambi apprezzabilmente durante la collisionecol nucleo. Tratteremo il fenomeno sulla base di considerazioni semplici e in modoapprossimato. La trattazione accurata dell’irraggiamento di elettroni nel campo deinuclei

e− N → N e− γ

e stata fatta da Hans Bethe e Walter Heitler nel 1934 tenendo conto degli effettiquantistici.

Consideriamo una particella di massa M , carica ze, con velocita ~v e parametrod’urto b rispetto ad un nucleo di carica Ze e calcoliamo la potenza emessa perirraggiamento nel riferimento della particella, O′, dove la componente trasversa delcampo elettrico del nucleo appare espansa del fattore γ (Fig.1.50). Abbiamo visto

Zeze

M

a

E

E'

Eγ

dE

dω

ω

Figure 1.50: Irraggiamento nel campo di un nucleo

che in questo riferimento l’impulso trasferito e dato dal prodotto della componentetrasversa del campo elettrico per un tempo d’urto pari a 2b/γv. Se la particella esoggetta ad una accelerazione a′, la potenza irraggiata (appendice 4.7) e

a′ = γzZe2

4πεob2

1

MW ′ =

2

3

(ze)2

4πεo

a′2

c3= γ2 2

3

z4Z2e6

(4πεo)3

1

b4M2c3

L’energia emessa durante il tempo d’urto ∆t′ = 2b/γv e

∆E ′ =∫W ′dt′ = γ

4

3

z4Z2e6

(4πεo)3

1

b3M2c3v

Lo spettro di frequenza di un fenomeno impulsivo di durata ∆t′ = 2b/γv e approssi-mativamente uniforme fino alla frequenza di taglio ω′c = γv/2b (Fig.1.50) e quindil’energia irraggiata per unita di frequenza e

dE ′

dω′≈ ∆E ′

ω′c=

8

3

z4Z2e6

(4πεo)3

1

b2M2c3v2

89

Lo spettro di frequenza dE/dω e una quantita invariante perche energia e frequenzasi trasformano allo stesso modo. Nel laboratorio la frequenza della radiazione etrasformata per effetto Doppler

ω = γω′(1− β cos θ′) tan θ =sin θ′

γ(cos θ′ − β)

e, tenendo conto che la distribuzione angolare della radiazione nel riferimento dellaparticella e approssimativamente uniforme (appendice 4.7), troviamo che

• lo spettro di energia irraggiata per unita di frequenza

dE

dω=

8

3z4Z2r2

e

e2

4πε0

m2e

M2

1

β2c

1

b2

e approssimativamente uniforme fino alla frequenza massima ωc ≈ βγ2c/2b;

• la radiazione e emessa ad angoli piccoli, θ ≈ 1/γ, e l’angolo di emissione nondipende dalla frequenza.

L’energia irraggiata viene emessa sotto forma di quanti, i fotoni, con energia Eγ =hω. Il numero di fotoni irraggiati per intervallo unitario di energia e

dn

dEγ=

1

Eγ

dE

dhω

In un materiale con nN = Noρ/A nuclei per unita di volume, il numero di collissioniper unita di percorso con parametro d’urto compreso tra b e b+ db e 2πnNbdbd`.Il numero di fotoni irraggiati per intervallo unitario di energia e per unita di percorsosi ottiene integrando sui possibili valori del parametro d’urto

d2n

dEγd`=

1

Eγ

8π

3

z4

β2r2eαm2e

M2

NoZ2ρ

Alnbmaxbmin

Nel fissare i limiti di integrazione del parametro d’urto occorre tener conto dellediverse possibili situazioni di schermaggio della carica del nucleo da parte deglielettroni atomici. La distribuzione del numero di fotoni emessi si esprime (x = ρ`)

d2n

dEγdx=z4

β2

m2e

M24r2

eαNoZ

2

A

F (E,Eγ)

Eγ

dove E e l’energia della particella e F (E,Eγ) e una funzione che tiene conto delloschermaggio. L’energia emessa per unita di percorso si ottiene integrando la re-lazione precedente

dE

dx=∫ E

0

d2n

dEγdxEγdEγ =

z4

β2

m2e

M24r2

eαNoZ

2

A

∫ E

0F (E,Eγ) dEγ

Poiche per particelle con massa M me la probabilita di irraggiamento e moltopiccola, limitiamoci a considerare l’irraggiamento da parte di elettroni relativistici(z = 1, M = me, β ≈ 1). In questo caso

90

• per energia mec2 E mec

2Z−13/α la carica del nucleo non e schermata e

l’integrale vale ∫ E

0F (E,Eγ) dEγ =

(ln

2E

mec2− 1

3

)E

• per energia E mec2Z−

13/α la carica del nucleo e parzialmente schermata e

l’integrale vale

∫ E

oF (E,Eγ) dEγ =

(ln 183Z−

13 +

1

18

)E

Quindi la perdita di energia per unita di percorso aumenta con l’energia e, perenergia elevata, e approssimativamente proporzionale a E. Ricordando la definzionedel cammino di radiazione, che abbiamo ottenuto assumendo bmin ≈ rnucleo e bmax ≈ratomo, si ha

dE

dx= 4r2

eαNoZ

2

A

(ln 183Z−

13 +

1

18

)E ≈ E

X0

Nell’attraversare un materiale di cammino di radiazione X0 un elettrone dissipa lasua energia iniziale E0 con andamento esponenziale: E(x) = E0e

−x/X0 .In questa trattazione molto approssimata abbiamo trovato che la distribuzione

in energia irraggiata e uniforme. In realta questa conclusione non e corretta, ma euna discreta approssimazione per elettroni di energia elevata. Con questa approssi-mazione, cioe considerando F (E,Eγ) ≈ 〈F (E,Eγ)〉 ≈ ln 183Z−

13 , la sezione d’urto

di irraggiamento per elettroni di alta energia e

dσ

dEγ= 4r2

eαZ2 F (E,Eγ)

Eγ≈ 4r2

eα

EγZ2 ln 183Z−

13

E interessante notare che la sezione d’urto e proporzionale alla sesta potenza dellacarica elementare (alla terza potenza della costante α) e su questo torneremo piuavanti.

• Interazioni dei fotoni

1.4.8 Effetto fotoelettrico

Fotoni di energia maggiore dell’energia di legame degli elettroni atomici vengonoassorbiti dagli atomi che vengono ionizzati. Gli elettroni sono emessi con energiacinetica

Ke = Eγ − Elegamee il nucleo atomico assorbe parte dell’impulso del fotone. La sezione d’urto delprocesso

γ A → A+ e−

decresce approssimativamente come E−3γ e mostra delle discontinuita in corrispon-

denza delle energie degli orbitali atomici . . .M, L, K dove si aprono i canali di

91

assorbimento. Una trattazione rigorosa dell’effetto fotoelettrico e difficile percherichiede la conoscenza delle funzioni d’onda degli stati atomici. Per energia mag-giore dell’energia di legame degli orbitali K, la sezione d’urto di assorbimento deiraggi X e approssimativamente

σp.e. ≈ σT 4α4Z5

(mec

2

Eγ

)3

dove σT = (8π/3)r2e e la sezione d’urto di Thomson. La sezione d’urto ha una forte

dipendenza dal numero atomico Z: la probabilita del singolo processo di assorbi-mento e proporzionale a Z4 e vi e un altro fattore Z per tener conto del numero dielettroni. Il coefficiente di assorbimento per effetto fotoelettrico in un materiale connA atomi per unita di volume e

µp.e. = nA σp.e. =Noρ

Aσp.e.

1.4.9 Effetto Compton

Per fotoni con energia molto maggiore dell’energia di legame degli elettroni atom-ici, questi si possono considerare liberi. L’effetto Compton rappresenta il processoelementare di scattering elastico

γ e− → γ e−

Nel riferimento dell’elettrone un fotone di energia E viene deviato ad angolo polareθ con energia E ′ (appendice 4.6)

E ′ =E

1 + (E/mec2)(1− cos θ)

La differenza tra la lunghezza d’onda della radiazione emessa e quella della radiazioneincidente dipende solo dall’angolo di scattering

λ′ − λ = λC(1− cos θ)

questa fu l’osservazione che fece Compton 29 e misuro la lunghezza d’onda Comptondell’elettrone: λC = h/mec. L’elettrone acquista energia cinetica Ke ed e emesso adangolo θe

Ke = E(E/mec

2)(1− cos θ)

1 + (E/mec2)(1− cos θ)tan θe =

1

(1 + E/mec2) tan θ/2

l’energia dell’elettrone e massima quando il fotone e emesso all’indietro, θ = π. Sel’energia e E mec

2 il fotone cede la maggior parte della sua energia all’elettrone.


92

La sezione d’urto e stata calcolata da Oskar Klein e Yoshio Nishina nel 1928

dσ

dΩ=r2e

2

(E ′

E

)2 (E ′

E+E

E ′− sin2 θ

)

Per piccoli valori dell’energia, E mec2, E ′ → E, la sezione d’urto ha come limite

la sezione d’urto di Thomson dσ/dΩ = (r2e/2)(2 − sin2 θ). E interessante notare

che la sezione d’urto dell’effetto Compton, come la sezione d’urto di Rutherford, eproporzionale alla quarta potenza della carica elettrica (al quadrato della costanteα). La sezione d’urto totale e

σC = 2πr2e

[2

ε2

(1− 1 + ε

2εln(1 + 2ε)

)+

1

2εln(1 + 2ε) +

1 + ε

(1 + 2ε)2

]

Con ε = E/mec2. Per ε 1 ha l’andamento asintotico

σC ≈ πr2e

mec2

E

(1

2+ ln

2mec2

E

)

Il coefficiente di assorbimento per effetto Compton in un materiale con ne elettroniper unita di volume e

µC = ne σC =NoZρ

AσC

1.4.10 Produzione di coppie

Quando l’energia e sufficientemente elevata, un fotone puo essere assorbito conver-tendo la sua energia nella massa di una coppia particella-antiparticella nel campoelettrico di un nucleo. Il rinculo del nucleo assicura la conservazione dell’impulso. Inrealta questo effetto e importante solo per produzione di coppie elettrone-positroneche puo avvenire se l’energia del fotone e E > 2mec

2. Considerando che la cor-rente di un elettrone e equivalente a quella di un positrone con impulso opposto eche, come sara chiarito piu avanti, l’interazione elettromagnetica e invariante perinversione temporale, ci possiamo convincere che il processo di produzione di coppie

γ N → N e+ e−

ha molte analogie con il processo di irraggiamento da parte di un elettrone nel campodel nucleo (Fig.1.51), e− N → e− N γ.

Molte delle considerazioni fatte per l’irraggiamento sono valide anche per la pro-duzione di coppie. Il bilancio di energia e impulso nel processo e

E = K ′ +K ′′ + 2mec2 +KN ~p = ~p′ + ~p′′ + ~pN

e possiamo trascurare l’energia cinetica del nucleo poiche pN ≈ mec, quindi si haE ′ = K ′ +mec

2 = E − E ′′.

93

Ze

γ

e

e

Ze

γ

e

e

Figure 1.51: Irraggiamento e produzione di coppie elettrone-positrone nel campo diun nucleo

La sezione d’urto differenziale per produzione di coppie e+e− e proporzionale alquadrato della carica del nucleo e si esprime

dσ

dE ′= 4αr2

e Z2 F (E,E ′)

E ′

dove E e l’energia del fotone, E ′ e l’energia di una delle due particelle prodottee F (E,E ′) e una funzione che tiene conto dei limiti di integrazione sul parametrod’urto e dello schermaggio del campo elettrico del nucleo. L’angolo medio di pro-duzione di elettroni e positroni rispetto alla direzione del fotone e θ ≈ mec

2/E. Lasezione d’urto si ottiene integrando la relazione precedente

σp.p. = 4αr2eZ

2∫ E−2mc2

0

F (E,E ′)

E ′dE ′

• per energia 2mec2 E mec

2Z13/α la carica del nucleo non e schermata e

l’integrale vale

∫ E−2mc2

o

F (E,E ′)

E ′dE ′ =

7

9ln

2E

mec2− 109

54

• per energia E mec2Z

13/α la carica del nucleo e parzialmente schermata e

l’integrale vale

∫ E−2mc2

0

F (E,E ′)

E ′dE ′ =

7

9ln 183Z

13 − 1

54

La sezione d’urto di produzione di coppie e+e−, ha la soglia a E = 2mec2, cresce

lentamente con il logaritmo dell’energia del fotone e diventa approssimativamentecostante a energia E mec

2Z13/α. Il coefficiente di assorbimento in un materiale

che contiene nN nuclei per unita di volume e µp.p. = (Noρ/A)σp.p. e, dalla definizionedi cammino di radiazione, per fotoni di energia elevata e

µp.p. ≈ 4αr2e

NoZ2ρ

A

7

9ln 183Z

13 =

7

9

1

X0

Quindi un fotone di energia elevata ha una probabilita di conversione pari a e−7x/9X0

nell’attraversare un materiale di spessore x.

94

La sezione d’urto dei diversi processi con cui i fotoni interagiscono con gli atomio con i nuclei (effetto fotoelettrico, effetto Compton e produzione di coppie) dipendedall’energia Eγ e dalle proprieta dei materiali (densita, numero atomico e peso atom-ico). La Fig.1.52 mostra la sezione d’urto totale (risultati sperimentali) e il risultatodel calcolo dei diversi contributi alla sezione d’urto in funzione dell’energia in Car-bonio e Piombo. La sezione d’urto per effetto fotoelettrico decresce rapidamente conl’aumentare dell’energia e si osservano le soglie di eccitazione degli elettroni dei di-versi orbitali atomici, la sezione d’urto per produzione di coppie elettrone-positroneaumenta rapidamente dopo la soglia (Eγ > 2me) e poi diventa approssimativamentecostante, mentre il contributo dell’effetto Compton e piu importante nella regionedi energia intermedia (Eγ = 100 keV ÷ 10 MeV ).

Photon Energy

1 Mb

1 kb

1 b

10 mb10 eV 1 keV 1 MeV 1 GeV 100 GeV

(b) Lead (Z = 82) experimental tot

p.e.

e

Cro

ss s

ection

(ba

rns/

atom

)C

ross

sec

tion

(ba

rns/

atom

)

10 mb

1 b

1 kb

1 Mb(a) Carbon (Z = 6)

Rayleigh

Rayleigh

Compton

Compton

nuc

nuc

e

p.e.

experimental tot

Figure 1.52: Sezione d’urto totale di fotoni in Carbonio e Piombo in funzionedell’energia (S.Eidelman et al., Physics Letters B592, 1, 2004)

Il coefficiente di assorbimento dei fotoni e la somma dei vari contributi µγ =µp.e + µC + µp.p. La lunghezza di attenuazione λ = 1/µ, misurata in g cm−2, emostrata in Fig.1.53 in funzione dell’energia per diversi elementi.

1.4.11 Sciami elettrofotonici

Elettroni e positroni di energia E mec2 hanno elevata probabilita di emettere

fotoni di bremsstrahlung e−N → N e−γ; lo spessore di materiale che caratterizza

95

Photon energy

100

10

10–4

10–5

10–6

1

0.1

0.01

0.001

10 eV 100 eV 1 keV 10 keV 100 keV 1 MeV 10 MeV 100 MeV 1 GeV 10 GeV 100 GeV

Abs

orpt

ion

len

gth

(

g/c

m2)

Si

C

Fe Pb

H

Sn

Figure 1.53: Lunghezza di assorbimento di fotoni in diversi elementi in funzionedell’energia (S.Eidelman et al., Physics Letters B592, 1, 2004)

questo processo e il cammino di radiazione, X0. D’altra parte, fotoni di alta energiahanno elevata probabilita di convertire in coppie elettrone-positrone γN → N e+e−;lo spessore di materiale caratteristico e 7X0/9. In entrambe questi processi l’energiacinetica della particella primaria, elettrone o fotone, e convertita in energia cineticadelle due particelle secondarie e non e ceduta agli atomi del materiale. Quindi unelettrone o un fotone di energia elevata da origine ad un fenomeno moltiplicativo diproduzione di elettroni, positroni e fotoni secondari che continua finche l’energia deisecondari non e cosı piccola da far prevalere i fenomeni dissipativi di ionizzazioneed eccitazione degli atomi. L’assorbimento di fotoni per effetto fotoelettrico e im-portante solo per energie inferiori al MeV . Per elettroni e positroni il fenomeno diionizzazione e importante solo a energie di qualche decina di MeV .

Definiamo energia critica di un materiale l’energia per cui la perdita di energiaper irraggiamento e uguale alla perdita di energia per ionizzazione

(dE

dx

)

rad

= 4αr2e

NoZ2

AE ln 183Z

13

(dE

dx

)

ion

= 4πr2emec

2NoZ

A

1

β2

(ln

2mec2β2γ2

〈I〉 − β2

)

Per elettroni di alta energia, β ≈ 1, (dE/dx)ion e approssimativamente costante e siha

(dE/dx)rad(dE/dx)ion

≈ α

π

E

mec2

ln 183Z−13

ln(2mec2γ2/〈I〉) ≈ZE

1600 mec2

energia critica Ec ≈1600

Zmec

2

Gli sciami elettrofotonici sono stati osservati in raggi cosmici da Patrick Blackette Giuseppe Occhialini nel 1933. Uno studio approfondito dello sviluppo degli sciamie stato fatto da Bruno Rossi e Kenneth Greisen nel 1940. Per spiegare il fenomenoin modo qualitativo e approssimato facciamo le ipotesi:

96

• la particella primaria ha energia molto maggiore dell’energia critica;

• il coefficiente di assorbimento e lo stesso per elettroni e fotoni: consideriamoun cammino di radiazione medio Xo;

• in ogni lunghezza di dimezzamento, Xo ln 2, una particella produce due secon-dari (e± → e±γ oppure γ → e+e−) ciascuno con meta dell’energia;

• i secondari sono emessi ad angoli piccoli, θ ≈ mec2/E;

• i secondari non cedono energia al materiale se E > Ec.

Con queste ipotesi il numero di secondari aumenta con legge esponenziale se hannoenergia sufficiente ad alimentare lo sviluppo dello sciame. Se E0 e l’energia dellaparticella che inizia lo sciame, dopo uno spessore x di materiale si ha (t = x/X0)

• numero medio di secondari nsec(t) = 2t

• energia media dei secondari Esec(t) = E0/nsec(t) = E0/2t

• massimo sviluppo dello sciame t = tmax = lnE0/Ecln 2

• numero di secondari al massimo nsec(tmax) = E0/Ec

Quando lo sciame ha raggiunto il massimo sviluppo, allo spessore tmax, gli elettronie i positroni hanno energia media E ≈ Ec e iniziano a dissipare la loro energia incollisioni inelastiche con gli atomi del materiale e il numero di secondari decresceesponenzialmente con il coefficiente di assorbimento µ definito dalla sezione d’urtodi ionizzazione. Quindi lo sviluppo longitudinale di uno sciame elettrofotonico haun andamento crescente fino allo spessore tmax e poi un decadimento esponenziale.Il numero di secondari e usualmente parametrizzato nella forma

nsec(x) = a(x/X0)be−µx

e il numero totale di secondari prodotti

ntot =∫ ∞

0nsec(x)dx

e proporzionale all’energia della particella primaria.Nei fenomeni moltiplicativi di bremsstrahlung e produzione di coppie l’angolo

di emissione dei secondari, θ ≈ mec2/E, e minore dell’angolo medio di scattering

coulombiano multiplo in uno spessore X0, 〈θs〉 ≈ 21 MeV/E. Quindi lo sviluppolaterale dello sciame e determinato dallo scattering coulombiano dei secondari carichie la dimensione tipica di uno sciame nel piano trasverso e

〈r⊥〉 ≈21 MeV

EcX0

detto raggio di Moliere.

97

1.5 Metodi di rivelazione delle particelle

Gran parte dei metodi di rivelazione delle radiazioni sono basati sulla perdita di en-ergia per ionizzazione delle particelle cariche nell’attraversare spessori di materiale.In questo caso, gli elettroni e gli ioni prodotti lungo il percorso sono la sorgente delsegnale che rivela il passaggio della particella. Il numero di coppie di ioni i+e− perunita di percorso e chiamato ionizzazione specifica ed e il rapporto tra la perdita dienergia per ionizzazione, (dE/dx)ion, e l’energia necessaria per produrre una coppiai+e−. Questa dipende dal materiale ed e tipicamente 20 ÷ 30 eV . I metodi usatiper rivelare fotoni dipendono dalla loro energia: a bassa energia, E < 100 keV ,si rivelano gli elettroni emessi per effetto fotoelettrico, per E ≈ 1 MeV si sfruttal’effetto Compton e ad alta energia il meccanismo di produzione di coppie e+e− ela capacita di iniziare sciami elettrofotonici. I metodi per rivelare neutroni sonobasati sulle loro interazioni nucleari: ad energia sufficientemente elevata si rivelanole particelle cariche prodotte nelle reazioni nucleari, a bassa energia si usano mate-riali con nuclei leggeri cui i neutroni cedono energia cinetica per urto elastico. I varimetodi sono essenzialmente basati sui processi studiati nel capitolo 1.7. I parametriimportanti sono la ionizzazione specifica, per le particelle cariche, e il coefficiente diassorbimento per fotoni e neutroni.

Le caratteristiche principali di un rivelatore sono:

• il potere risolutivo temporale: la capacita di definire l’istante di passaggio dellaparticella; per alcuni rivelatori si parla di tempo di sensibilita che e l’intervallodi tempo in cui il rivelatore e in grado di rivelare la particella;

• il potere risolutivo spaziale: la capacita di localizzare il passaggio della parti-cella;

• l’efficienza di rivelare la particella;

• il tempo di recupero necessario per tornare in efficienza dopo aver registratouna particella.

Alcuni rivelatori hanno bisogno di un comando esterno, comunemente chiamato trig-ger, per essere in grado di rivelare una particella. Questo viene fornito da rivelatoricon un potere risolutivo temporale adatto e con risposta rapida.

Nel seguito diamo un elenco dei pricipali metodi per rivelare le particelle senzaentrare nel dettaglio, ma per fornire informazione sufficiente a capire gli esperi-menti. Alcuni rivelatori hanno un interesse storico per l’importante contributo allaconoscenza nel campo della fisica nucleare e subnucleare, ma non vengono piu uti-lizzati. Molti rivelatori sono chiamati camere: e una brutta traduzione dall’inglesema e di uso corrente.

1.5.1 Rivelatori di tracce

Un rivelatore di tracce e usato per misurare molti punti vicini lungo il passaggio diuna particella carica per ricostruirne la traiettoria.

98

Camera a nebbia

La camera a nebbia, detta anche camera di Wilson da Charles Wilson 30 che ideola tecnica e realizzo la prima nel 1912, ha avuto un ruolo fondamentale nei primistudi dei raggi cosmici. Il principio di funzionamento e basato sulla proprieta diun gas sovrasaturo, in totale assenza di polveri, di produrre goccioline dove sonopresenti ioni a seguito di una rapida espansione. Se l’espansione avviene entroun breve intervallo di tempo rispetto al passaggio di una particella ionizzante, legoccioline si formano attorno agli ioni prodotti. Il tempo di sensibilita e tipicamentedi 10 − 100 ms. In molti esperimenti l’espansione della camera a nebbia e fatta inmodo asincrono. Il tempo di sensibilita e comunque abbastanza lungo perche sipossa utilizzare un comando esterno. La posizione delle goccioline viene registratailluminando e fotografando la camera a nebbia subito dopo l’espansione. Il ritardodeve essere sufficientemente breve perche le goccioline non diffondano nel gas. Larisoluzione spaziale dipende dalle dimensioni e dalla diffusione delle goccioline ed etipicamente ≈ 0.5 mm. Il tempo di recupero necessario perche dopo un’espansioneil gas sia nelle condizioni di rivelare il passaggio di un’altra particella e di alcunisecondi.

Camera a diffusione

Il principio di funzionamento della camera a diffusione e lo stesso della camera anebbia, ma non ha bisogno di espansione perche le condizioni di gas sovrasaturo perla formazione di goccioline attorno agli ioni vengono mantenute con un delicato pro-cedimento di diffusione del vapore all’interno della camera. La camera a diffusioneha il vantaggio di funzionare in modo continuo e, poiche non e necessario espandereil gas, di poter funzionare a pressione. La camera a diffusione e stata utilizzata inesperimenti con fasci di particelle prodotti da acceleratori. La risoluzione spazialee ≈ 0.5 mm ed e limitata dai moti convettivi della diffusione del vapore all’internodella camera.

Camera a bolle

Il materiale sensibile in una camera a bolle e un liquido in cui la pressione idrostaticae mantenuta per un breve intervallo di tempo piu bassa della tensione di vapore.In queste condizioni il liquido surriscaldato non bolle spontaneamente, le bolle sipossono formare solo se c’e un aumento locale di temperatura; questo e prodottodall’energia rilasciata da particelle ionizzanti. L’energia necessaria per produrre lecondizioni di crescita di una bolla e tipicamente 10 ÷ 100 eV . La camera a bollee stata ideata da Donald Glaser 31 che realizzo la prima nel 1952. La camera abolle funziona in modo ciclico: nello stato di riposo si ha p > pvap; una rapidaespansione porta la camera nella condizione di funzionamento in cui p < pvap; segueuna rapida compressione per tornare nella condizione di riposo. Nella condizione


99

di funzionamento il tempo di sensibilita e di circa 10 ms, la durata del ciclo etipicamente una frazione di secondo.

Le camere a bolle sono state usate in esperimenti presso acceleratori con il ciclodi operazione sincronizzato con l’estrazione del fascio in modo che questo attraversila camera durante il periodo di sensibilita, le tracce formate dalle bollicine vengonoilluminate e fotografate entro un intervallo di tempo di qualche ms sufficiente a farformare le bolle, ma prima che queste siano troppo grandi per non degradare larisoluzione spaziale che e tipicamente di 0.3 mm. Il liquido della camera a bollecostituisce anche il bersaglio: camere a bolle usate con idrogeno e deuterio liquidohammo permesso di studiare le reazioni di particelle con protoni e neutroni. Liquidinobili e liquidi organici piu pesanti sono usati per aumentare la densita del bersaglioe quindi la luminosita di un esperimento.

Emulsioni nucleari

Henri Bequerel per primo osservo nel 1896 che le emulsioni fotografiche sono sensibilialle radiazioni. Da allora si e cercato di capire la natura di questo fenomeno e disviluppare metodi di rivelazione basati sulle emulsioni fotografiche. Emulsioni capacidi rivelare tracce di particelle di bassa energia e altamente ionizzanti, come i raggiα, sono state utilizzate dal 1925. Nel 1939 Cecil Powell 32 in collaborazione coni laboratori Ilford realizzo le prime emulsioni sensibili a particelle al minimo diionizzazione.

Le emulsioni nucleari sono costituite da grani di bromuro di argento, AgBr,di dimensioni della frazione di µm distribuiti in una gelatina con una densita dialcuni grani/10 µm. La particella ionizzante produce lungo il suo percorso elettroniche tendono a trasformare i grani in Ag metallico. Questa trasformazione vienecompletata quando, dopo l’esposizione, l’emulsione viene sottomessa al processochimico dello sviluppo per cui i grani di Ag, non trasparenti, riproducono la tracciadella particella nella emulsione. Le emulsioni sono preparate in lastre dello spessoredi 300÷500 µm e della dimensione di circa 200 cm2 e, una volta sviluppate, vengonoosservate al microscopio.

Le emulsioni nucleari non hanno alcuna risoluzione temporale poiche sono sen-sibili dal momento della produzione al momento dello sviluppo e durante questoperiodo vanno tenute in condizioni di bassa umidita, bassa temperatura e, possibil-mente, schermate da sorgenti di radiazione che non si vuol rivelare. Hanno d’altraparte un’ottima risoluzione spaziale data dalla dimensione dei grani impressionati,≈ 1 µm, e dalla loro distanza, < 10 µm. Con emulsioni nucleari si puo determinarela ionizzazione specifica di una particella, misurando la densita di grani impression-ati, e la direzione della particella, osservando l’aumento della scattering coulombianomultiplo dovuto alla perdita di energia lungo il percorso.


100

Camera a scintilla

La camera a scintilla, sviluppata negli anni ’50, e costuita da lastre conduttricipiane, tipicamente distanziate di 1 cm, connesse atlernativamente a massa e ad ungeneratore impulsivo di tensione. Tra le lastre vi e un gas nobile che viene ionizzatodal passaggio di una particella carica. Se immediatamente dopo il passaggio dellaparticella, prima che avvenga la ricombinazione degli ioni, si applica un campoelettrico di ≈ 10 kV/cm gli elettroni vengono fortemente accelerati e innescanouna scarica lungo la traccia di ionizzazione lasciata dalla particella. L’impulso ditensione deve essere comandato da rivelatori rapidi entro il tempo di sensibilita, chee ≈ 0.5 µs, e deve essere breve, < 0.1 µs, per limitare l’energia e quindi la dimensionedella scarica. Le scintille sono facilmente visibili e possono essere fotografate. Larisoluzione spaziale e definita dalla dimensione della scarica ed e tipicamente < 1 mmper tracce normali agli elettrodi e peggiora leggermente per tracce inclinate. Vi eun tempo di recupero di circa 1 ms per eliminare la ionizzazione residua prodottadalla scarica.

Camera a streamer

Nella camera a streamer, come nella camera a scintilla, il mezzo sensibile e ungas nobile che viene ionizzato dal passaggio di una particella carica. In questocaso i due elettrodi sono piu distanti tra loro e il campo elettrico, ≈ 20 kV/cm,viene eccitato per un tempo molto breve ≈ 10 ns. In questo breve intervallo ditempo gli elettroni sono fortemente accelerati e producono altri elettroni secondaridi ionizzazione che emettono radiazione, ma l’energia non e sufficiente a innescare lascarica. La radiazione emessa lungo la traccia di ionizzazione e visibile e puo esserefotografata. Anche in questo caso c’e bisogno di un comando esterno: piu breve e ilritardo migliore e la risoluzione spaziale, tipicamente < 1 mm.

1.5.2 Scintillatori

Alcuni materiali emettono luce di scintillazione quando sono attraversati da par-ticelle ionizzanti. Questo fenomeno, osservato da William Crookes nel 1903, fuutilizzato per rivelare le particelle α nell’esperimento di Rutherford. Il metodo dirivelazione della luce di scintillazione e stato reintrodotto nella sperimentazione infisica nucleare da Samuel Curan e Walter Baker nel 1944.

Una particella ionizzante eccita le molecole del materiale e queste si disecci-tano emettendo radiazione di fluorescenza. Se le caratteristiche dei livelli atomici omolecolari sono tali che la diseccitazione avviene attraverso stati intermedi, la ra-diazione non viene riassorbita e il materiale e trasparente alla luce di fluorescenzaemessa. Per effetto degli stati intermedi i materiali scintillanti hanno usualmenteuna componente con tempo di decadimento rapida e una piu lenta. Esistono nu-merosi materiali scintillanti sotto forma di cristalli organici e inorganici, materialiplastici e liquidi che emettono luce di scintillazione nel visibile con tempi di decadi-mento 10−9 ÷ 10−8 s. L’energia necessaria per produrre un fotone e tipicamente

101

10 eV .La luce emessa viene convogliata mediante guide di luce e inviata sul fotocatodo

di un fotomoltiplicatore dove viene convertita per effetto fotoelettrico con efficienzaquantica tipicamente 20%; i fotoelettroni prodotti sul fotocatodo vengono acceleratie moltiplicati con opportuni campi elettrici in pochi ns con un fattore di guadagno106 ÷ 108. La risoluzione temporale di uno scintillatore e ≈ 1 ns e la risposta puoessere usata per fornire il trigger ad altri rivelatori. La risoluzione spaziale e definitadalle dimensioni del rivelatore. Il tempo di recupero e quello necessario a eliminare lacarica accumulata dagli elettrodi (dinodi) del fotomoltiplicatore ed e molto piccolo,tipicamente < 10 ns.

1.5.3 Rivelatori Cerenkov

La luce Cerenkov prodotta in un materiale di indice di rifrazione n da una particellacon velocita β > 1/n e emessa in modo istantaneo ad un angolo cos θc = 1/βnrispetto alla linea di volo della particella. Il materiale puo esser solido, liquido ogassoso; in un gas si puo scegliere l’indice di rifrazione regolando la pressione. Ilnumero di fotoni emessi per unita di percorso e circa un fattore 30 minore che nel casodegli scintillatori e questo implica una lunghezza adeguata del materiale radiatoree un elevata efficienza quantica del fotorivelatore. Convogliando la luce emessa sulfotocadoto di uno o piu fotomoltiplicatori si puo selezionare una particella carica convelocita maggiore della soglia di emissione. La risoluzione temporale di un rivelatoreCerenkov e circa 1 ns e la risposta puo essere usata per fornire il trigger ad altririvelatori. La risoluzione spaziale e definita dalle dimensioni del rivelatore. Il tempodi recupero e molto piccolo.

Oltre a rivelatori a soglia, si possono costruire rivelatori Cerenkov differenziali :sfruttando l’angolo di emissione si puo misurare direzione e velocita di una particellacarica.

1.5.4 Camere a ionizzazione

In questo tipo di rivelatori la carica elettrica prodotta per ionizzazione da una parti-cella carica viene raccolta con opportuni campi elettrici. Il materiale puo essere gas,liquido o solido. Le cariche prodotte migrano verso gli elettrodi seguendo le lineedi forza del campo. Un parametro importante e la velocita di deriva delle caricheprodotte nel materiale che e molto diversa per ioni e per elettroni.

Camera a fili

In una camera a fili il materiale e un gas e l’anodo e costituito da fili che hannola duplice funzione di produrre il campo elettrico e di amplificare la carica di ion-izzazione. I gas tipicamente usati sono miscele di gas nobili e di idrocarburi in cuiuna particella con z = 1 al minimo di ionizzazione rilascia ≈ 30 coppie i+e− percm a pressione atmosferica. La velocita di deriva degli elettroni dipende dal tipo di

102

gas, dalla pressione e dal campo elettrico ed e tipicamente ≈ 5 cm/µs a pressioneatmosferica nelle regioni in cui E ≈ 1 kV/cm. La velocita di deriva degli ioni positivie circa 104 volte maggiore.

Nelle vicinanze del filo il campo elettrico ha l’andamento ∼ 1/r e, se il raggiodel filo e piccolo, gli elettroni sono fortemente accelerati e producono elettroni sec-ondari formando un effetto valanga. Il fattore di moltiplicazione dipende dal gas,dalla pressione e dal campo elettrico e distingue diversi regimi di operazione di unrivelatore a fili. Se il fattore di moltiplicazione e inferiore a ≈ 106, il numero dielettroni secondari e approssimativamente proporzionale alla carica di ionizzazione(camera a fili proporzionale). Per valori maggiori il rivelatore funziona in regimesaturato in cui il numero di elettroni secondari e approssimativamente costante (ilcontatore realizzato da Geiger e Muller nel 1928 e un esempio). La moltiplicazioneavviene nella regione di poche decine di µm attorno al filo in un intervallo di tempodi qualche ns e il segnale in corrente in un rivelatore proporzionale e tipicamente diqualche µA.

Le camere a fili, sviluppate da Georges Charpack 33 nel 1967, possono esserecostruite in diverse configurazioni geometriche con l’anodo costituito da piani metal-lici, griglie di fili, tubi, . . . La risoluzione temporale e definita dal tempo di raccoltadella carica: se consideriamo come esempio un piano di fili anodici distanziati di1 cm dal catodo e di 1 cm tra loro questa e ≈ 100 ns e la risoluzione spaziale e≈ 3 mm. Il filo e sempre attivo, ma per effetto della densita di carica dovuta allamoltiplicazione, il campo elettrico si riduce per un breve tratto lungo il filo: quindiil recupero e un effetto locale.

Camera a deriva

Una camera a fili in cui si misura il tempo di deriva degli elettroni di ionizzazionerispetto ad un riferimento temporale esterno si chiama camera a deriva. Il segnaledi riferimento temporale puo essere fornito da un altro rivelatore (ad esempio scin-tillatori) o, in esperimenti presso acceleratori, da un segnale sincronizzato con ilpassaggio del fascio. In questo rivelatore la distanza tra il catodo e i fili anodicipuo essere grande: fino a ≈ 10 cm. La posizione della particella e misurata daltempo di deriva se si conosce la velocita di deriva degli elettroni di ionizzazione.La risoluzione spaziale e definita dagli effetti di diffusione degli elettroni durante lamigrazione verso l’anodo e dalla precisione con cui e nota la velocita di deriva ede tipicamente 100 − 200 µm. Disponendo opportunamente i piani di fili si costru-iscono rivelatori di tracce del tipo discusso in precedenza con tempo di recuperotrascurabile. Le prestazioni di un rivelatore a gas di questo tipo migliorano con lapressione: aumenta la ionizzazione specifica e diminuisce la diffusione degli elettroninel gas.


103

Camera a ionizzazione a liquido

L’utilizzo di un liquido in una camera a ionizzazione ha due vantaggi: la ioniz-zazione specifica e molto maggiore che in un gas e la diffusione delle cariche durantela migrazione verso gli elettrodi e molto minore. La maggiore densita ha pero dueinconvenienti: e molto difficile raggiungere le condizioni per la moltiplicazione avalanga ed e necessaria una bassissima concentrazione di impurita elettronegativeper ottenere un segnale. Per queste ragioni nelle camere a ionizzazione a liquido siutilizzano liquidi nobili (Ar, Kr, Xe) a bassa temperatura e il campo elettrico e realiz-zato con elettrodi piani paralleli. In questi liquidi la velocita di deriva degli elettronie costante ≈ 0.5 cm/µs in un ampio intervallo del campo elettrico (≈ 10 kV/cm). Inassenza di impurita elettronegative, il segnale indotto sugli elettrodi dal moto deglielettroni e proporzionale alla ionizzazione prodotta dalla particella. La risoluzionetemporale e definita dal tempo di raccolta della carica. La risoluzioni spaziale edefinita dalle dimensioni degli elettrodi che possono essere opportunamente segmen-tati. Il campo elettrico e sempre attivo e, poiche non c’e moltiplicazione, il tempodi recupero in questo rivelatore e praticamente inesistente.

Camera a ionizzazione a semiconduttore

La camera a ionizzazione a semiconduttore e realizzata con una giunzione polariz-zata inversamente completamente svuotata. I materiali usati sono Si, Ge o GaAscon elevata resistivita per limitare la corrente attraverso la giunzione. In Silicio,che e il materiale piu comunemente usato, lo spessore della zona di svuotamento,tipicamente 200÷400 µm, si ottiene con una differenza di potenziale di circa 200 V .L’energia necessaria per produrre una coppia elettrone-lacuna e circa 3 eV . Conuna densita 2.3 g/cm3, il numero di cariche prodotte da una particella con z = 1 alminimo di ionizzazione e circa 3 104 e. La velocita di deriva e approssimativamenteuguale per elettroni e lacune, ≈ 5 cm/µs. Il segnale di carica indotta sugli elettrodidella giunzione ha un tempo di formazione di ≈ 1 ns. I rivelatori a semicondut-tore hanno quindi ottima risoluzione temporale. La risoluzione spaziale e definitadalle dimensioni dagli elettrodi, che non le moderne tecniche sviluppate per i cir-cuiti integrati, possono essere molto piccoli: si ottengono comunemente risoluzionidi ≈ 10 µm. Anche in questo caso il tempo di recupero e praticamente inesistente.

1.5.5 Metodi di misura delle variabili cinematiche

Negli esperimenti si misurano le variabili cinematiche delle particelle: direzione,impulso, velocita, energia, massa, . . . I metodi di misura dipendono dagli obiettivi edalle condizioni del particolare esperimento.

Misura di carica elettrica

I metodi di rivelazione delle particelle che abbiamo illustrato dipendono dal quadratodella carica elettrica che e un multiplo intero della carica elementare e. Quindi

104

qualunque sia il metodo di misura c’e una dipendenza dalla carica elettrica. Il segnodella carica e misurato dal moto in campi elettrici o magnetici.

Misura di impulso

L’impulso di una particella carica si misura dalla curvatura della traiettoria in campomagnetico. La componente dell’impulso normale alla direzione del campo e pn =0.3 zB(`)ρ (in unita GeV, Tesla, metro) dove ρ e il raggio di curvatura, ze e lacarica elettrica e ` e la coordinata lungo la traiettoria. Consideriamo l’esempio diimpulso elevato, cioe raggio di curvatura grande e angolo di deflessione piccolo, eparticelle con z = 1.

• Se la misura e fatta con un rivelatore di tracce interno ad un campo magneticouniforme la sagitta dell’arco di circonferenza e inversamente proporzionaleall’impulso

(ρ− s)2 + (`/2)2 = ρ2 s =`2

8ρ

1

pn=

4 s

0.3∫B(`)`d`

se l’errore di misura della sagitta e δs, la risoluzione in impulso e

δpnpn

= pn4 δs

0.3∫B(`)`d`

• Se la misura e fatta con rivelatori esterni al campo magnetico, l’angolo dideflessione e

θ =`

ρ

1

pn=

θ

0.3∫B(`)d`

se si utilizzano due rivelatori a distanza D ciascuno con risoluzione spazialeangolare δs (δθ =

√2δs/D), la risoluzione e

δpnpn

=δθ

θ= pn

√2 δs/D

0.3∫B(`)d`

In entrambe i casi la precisione e definita dal potere risolutivo spaziale e peggioracon l’aumentare dell’impulso: δp/p ∝ p. Oltre agli errori strumentali occorre tenerconto dello scattering coulombiano multiplo della particella carica lungo il percorso.In un tratto di lunghezza ` la particella viene deflessa con dispersione angolareδθ = (14 MeV/pβc)(`/X0)1/2 e questo produce un errore sulla misura dell’impulso

δpnpn

=δθ

θ=

14 MeV

βc 0.3∫B(`)d`

[`

X0

] 12

Quindi, in generale, la risoluzione di una misura di impulso dipende dai due effettinon correlati: risoluzione spaziale dei rivelatori e scattering coulombiano multiplo

δp

p=[Am p2 + As

] 12

105

Misura di velocita

Misure di velocita si possono effettuare con rivelatori Cerenkov, con misure di tempodi volo, oppure misurando la ionizzazione specifica che e funzione solo di β:

• se si misura l’angolo di emissione della radiazione Cerenkov, cos θ = 1/nβ, larisoluzione e δβ/β = tan θ δθ;

• se si misura il tempo di volo con due rivelatori che hanno risoluzione temporaleδt posti a distanza L, la risoluzione e δβ/β =

√2 (βc/L) δt;

• misure di ionizzazione specifica si possono fare campionando la perdita dienergia per ionizzazione di una particella piu volte lungo il suo percorso. Datol’andamento di dE/dx in funzione di β, la sensibilita e molto maggiore pervelocita minori del valore di minima ionizzazione.

Se e noto l’impulso, una misura di velocita puo determinare la massa della particella.La sensibilita della misura peggiora all’umentare dell’impulso, quando cioe β → 1

p = mβcγδm

m=δ(βγ)

βγ=γ3δβ

βγ=

1

1− β2

δβ

β

Misura di energia

Se sono note due grandezze tra massa, velocita e impulso e nota anche l’energia:E = mc2γ = pc/β. Una misura diretta di γ si puo fare con rivelatori sensibili alla ra-diazione di transizione. Questo e un metodo di misura difficile perche l’intensita dellaradiazione di transizione e bassa e la rivelazione dei raggi X non e molto efficiente.Per fotoni o elettroni si sfrutta lo sviluppo di sciami elettrofotonici. Un rivelatorecapace di contenere tutto lo sviluppo di uno sciame e di misurare la ionizzazione deisecondari e chiamato calorimetro. La grandezza caratteristica dello sviluppo di unosciame e la lunghezza di radiazione e lo spessore di materiale necessario per assor-bire l’energia di uno sciame aumenta lentamente con il logaritmo dell’energia: quindil’energia della particella primaria e assorbita in un numero limitato di lunghezze diradiazione. Materiali con densita e Z elevati hanno una piccola lunghezza di ra-diazione e possono assorbire gli sciami in dimensioni contenute. Un calorimetropuo essere omogeneo o a campionamento. Il primo e realizzato con cristalli scin-tillanti oppure con vetri di elevata densita che emettono radiazione Cerenkov. Ilsecondo e realizzato alternando strati di assorbitore con strati di rivelatore costitu-iti di scintillatori, o rivelatori a gas, o camere a ionizzazione a liquido, o rivelatoria semiconduttore. Poiche il numero di secondari e proporzionale all’energia dellaparticella primaria, N =

∑nsec = κE e lo sviluppo dello sciame e un fenomeno

statistico, la risoluzione in energia dovuta alle fluttuazioni del numero di secondari(δN =

√N , migliora con l’energia

δE

E=δN

N=

1√κE

106

Misura di massa

Se e nota la carica elettrica di una particella, se ne puo misurare la massa studiandoil moto in campi elettrici e magnetici: e il metodo usato nel famoso esperimento diThomson. Questo e il principio di funzionamento degli spettrometri di massa concui si misurano le masse dei nuclei atomici. Per particelle relativistiche occorronocampi elettrici troppo elevati e la massa si puo determinare misurando due variabilicinematiche tra velocita, impulso e energia. Nelle reazioni nucleari in cui si produceuna particella, la sua massa e determinata dal bilancio energetico della reazione, cioedalla conservazione dell’energia e dell’impulso. La massa di una particella instabilesi determina misurando l’impulso dei sui prodotti di decadimento. Se, ad esempio,una particella di massa M decade in due particelle di massa m1 e m2 note, e simisurano gli impulsi ~p1 e ~p2, la massa e pari all’energia totale delle due particelle,detta anche massa invariante

P 2 = M2 = (P1 + P2)2 = m21 +m2

2 + 2E1E2 − 2p1p2 cos θ (c = 1)

Supponiamo, per semplificare i calcoli, che nel riferimento in cui si effettua la misurap m (E ≈ p)

M2 −m21 −m2

2 ≈ 2p1p2 (1− cos θ) = 4p1p2 sin2 θ/2

2MdM = 4p1p2 sin2 θ/2

(dp1

p1

+dp2

p2

+dθ

tan θ/2

)

Se δp1 ≈ δp2 e δθ1 ≈ δθ2 sono gli errori di misura degli impulsi e degli angoli delledue particelle e non sono correlati, la risoluzione della misura di massa e

δM

M=M2 −m2

1 −m22

M2

(δp

p

)2

+

(δθ

2 tan θ/2

)2

12

Misura di vita media

Molti nuclei e molte particelle sono instabili e decadono con vita media τ definitadalla legge di decadimento N(t) = N0e

−t/τ . Come vedremo piu avanti, le misure divita media si estendono in un intervallo di 40 ordini di grandezza e vi sono diversimetodi di misura.

Se τ e molto grande rispetto alla durata della misura ∆t (∆t/τ 1), la vitamedia si determina contando il numero di decadimenti Nd nell’intervallo di tempo∆t se si conosce la popolazione del campione

Nd = N(t)−N(t+ ∆t) ≈ N(t)∆t

ττ =

N

Nd

∆t

Questo e il metodo di misura per deterninare la vita media della maggior partedei nuclei radioattivi. La risoluzione e determinata dall’errore statistico,

√Nd e,

soprattutto, dalla stima della popolazione del campione.

107

Se τ e confrontabile con la durata della misura ed e possibile conoscere l’istantein cui la particella e prodotta, la vita media si determina misurando la distribuzionedei tempi di decadimento

dN

dt=N0

τe−t/τ

Questa misura e possibile se la risoluzione temporale δt e molto minore di τ . Date lecaratteristiche dei rivelatori che abbiamo esaminato, la risoluzione ottenibile in unamisura di tempo non e migliore di circa 10−9 s, questo fissa il limite di sensibilita diquesto metodo di misura. Va tenuto conto pero che la vita media τ di una particellache ha velocita β ≈ 1 nel laboratorio e misurata come γτ da un orologio fisso nellaboratorio e questo effetto tende a ridurre il limite dovuto alla risoluzione δt.

La vita media di una particella in moto nel laboratorio si puo determinare mis-urando la distanza tra il punto di produzione e il punto di decadimento se si conoscela velocita. Se la particella ha velocita βc la vita media nel laboratorio e γτ e lafunzione di distribuzione della distanza percorsa nel laboratorio (dx = βcdt) e

dN

dx=dN

dt

dt

dx=N0 e

−x/βcγτ

γτ

1

βc=N0

λe−x/λ

dove λ = βγcτ = (p/mc)cτ e il valor medio del percorso della particella prima didecadere. Con un rivelatore che ha una risoluzione spaziale δx ≈ 30 µm si possonomisurare vite medie τ ≈ 10−13/βγ s.

Per particelle instabili con vita media molto piu piccola, questa si puo deter-minare con misure della larghezza di decadimento Γ = h/τ che e legata all’intensitadella interazione reponsabile del decadimento. Il valore di Γ si puo determinare damisure della massa invariante dei prodotti di decadimento della particella oppure damisure di sezione d’urto in cui e prodotta la particella.

1.6 Leggi di conservazione e simmetrie

Un sistema di particelle e definito dai suoi possibili stati |ψn〉 e l’evoluzione temporalee definita dall’operatore hamiltoniano H secondo l’equazione di Schrodinger. Spessola forma della hamiltoniana non e nota a priori, ma si possono ricavare informazionistudiando l’evoluzione del sistema e, in particolare, individuando le grandezze fisicheche sono conservate. Se una grandezza fisica e conservata, esiste una proprieta disimmetria della hamiltoniana. Viceversa, ad una proprieta di simmetria della hamil-toniana corrisponde una legge di invarianza nell’evoluzione del sistema. Questo e ilteorema di Noether (Emmy Noether, 1918). Ad esempio, l’osservazione sperimen-tale della conservazione dell’impulso in un sistema isolato di particelle definisce laforma della hamiltoniana classica della particella libera che e invariante per trasfor-mazioni di Galileo (o di Lorentz). Viceversa l’ipotesi del principio di relativita, lasimmetria rispetto a tutti i sistemi di riferimento inerziali, implica la conservazionedell’impulso (o del 4-impulso) in un sistema isolato.

108

Un insieme di particelle non interagenti e descritto dagli stati stazionari dellahamiltoniana di particella libera, Ho = Σi Hoi. Se questo sistema interagisce perun intervallo di tempo limitato con un altro sistema descritto dalla hamiltonianaH ′o = ΣjH

′oj, l’interazione e descritta dagli elementi di matrice della hamiltoniana

di interazione, HI , tra lo stato iniziale e finale che assumiamo siano sovrapposizionidi autostati della hamiltoniana Ho + H ′o. Se nel processo di interazione osserviamola conservazione di alcune grandezze fisiche, possiamo definire alcune proprieta disimmetria dell’operatoreHI . Viceversa, se ipotizziamo alcune proprieta di simmetriadell’operatore HI , possiamo prevedere la conservazione di alcune grandezze fisiche.

Gli stati di un sistema di particelle sono definiti da numeri quantici che cor-rispondono agli autovalori delle grandezze fisiche quantizzate. Alcune, come la caricaelettrica, il momento angolare, l’energia, . . . , hanno un analogo classico, altre nonhanno un analogo classico e verranno definite sulla base delle leggi di conservazioneosservate nelle interazioni di sistemi di particelle.

1.6.1 Statistica di un sistema di particelle

Le particelle caratterizzate dagli stessi numeri quantici sono indistinguibili. Unsistema di due particelle identiche esiste in due stati, |1, 2〉 e |2, 1〉. Per l’identitadelle due particelle, le densita di probabilita dei due stati sono uguali. L’operatoredi scambio, P↔ agisce sugli stati

P↔|1, 2〉 = α|2, 1〉 P↔|2, 1〉 = α|1, 2〉

con |α| = 1 in entrambe i casi perche le particelle sono identiche, e inoltre

(P↔)2|1, 2〉 = |1, 2〉

Quindi P↔ ha autovalori ±1 e commuta con la hamiltoniana del sistema di dueparticelle identiche. Quindi lo stato di due particelle identiche e simmetrico oppureantisimmetrico rispetto allo scambio 1↔ 2

|2, 1〉 = ± |1, 2〉

• le particelle che sono in stati simmetrici rispetto allo scambio 1 ↔ 2 seguonola statistica di Bose-Einstein e sono chiamati bosoni ;

• le particelle che sono in stati antisimmetrici rispetto allo scambio 1 ↔ 2seguono la statistica di Fermi-Dirac e sono chiamati fermioni ;

Un importante teorema di Pauli (1940) stabilisce la relazione tra la statistica deisistemi di particelle identiche e lo spin delle particelle

• i bosoni hanno spin intero: 0, 1h, 2h, . . .;

• i fermioni hanno spin semi-intero: h/2, 3h/2, . . .;

109

Quindi, se due particelle identiche sono nello stesso stato (hanno gli stessi numeriquantici) sono necessariamente bosoni. Invece, due fermioni identici non possonoesistere nello stesso stato (non possono avere gli stessi numeri quantici). Questo e ilprincipio di esclusione di Wolfgang Pauli 34. Ne risulta che i fermioni sono identi-ficabili dallo stato e che quindi si puo definire il numero di fermioni di un sistema.L’equazione di Dirac, che descrive il moto di fermioni di spin 1/2 (appendice 4.19),prevede che per ogni fermione di massa m, carica elettrica q, momento magnetico µ,. . ., esista un anti-fermione con massa uguale, carica elettrica −q, momento mag-netico −µ, . . .. Poiche il numero di fermioni e osservabile, possiamo definire unnumero quantico fermionico che si conserva in ogni interazione. Il numero fermion-ico e definito per convenzione positivo per i fermioni (elettrone, protone, neutrone,. . . ) e negativo per gli antifermioni (antielettrone, antiprotone, antineutrone, . . . ).Il numero fermionico di un sistema di fermioni (e anti-fermioni) e la somma algebricadei numeri fermionici.

1.6.2 Grandezze fisiche conservate

Consideriamo la grandezza osservabile, F , rappresentata dall’operatore hermitianoF . Il risultato di una misura dell’osservabile quando il sistema e nello stato |ψ〉corrisponde al valore aspettato 〈F 〉 = 〈ψ|F |ψ〉. Se il sistema e descritto dallahamiltoniana H, la variazione nel tempo di 〈ψ|F |ψ〉

∂

∂t〈ψ|F |ψ〉 = − 1

ih〈ψ|HF |ψ〉+ 〈ψ|∂F

∂t|ψ〉+ 1

ih〈ψ|FH|ψ〉 = 〈ψ|

[∂F

∂t+

1

ih[F,H]

]|ψ〉

e nulla se l’operatore F non dipende dal tempo, come assumeremo nel seguito, e secommuta con la hamiltoniana, [F,H] = 0. Quindi se F e invariante, gli operatori Fe H hanno un sistema di autostati comuni

H|ψn〉 = En|ψn〉 F |ψn〉 = fn|ψn〉

Se la hamiltoniana non e nota, ma si e verificato sperimentalmente che alcunegrandezze Fk sono conservate nell’interazione, si puo ipotizzare una forma dellahamiltoniana come combinazione degli operatori Fk. Se pero non si hanno suffici-enti informazioni sperimentali, si possono cercare delle grandezze invarianti facendoipotesi sulle proprieta di simmetria della hamiltoniana di interazione.

1.6.3 Trasformazioni unitarie

Per studiare le proprieta di simmetria di un sistema che ha autostati della hamilto-niana |ψn〉, consideriamo un operatore U indipendente dal tempo che trasformi unautostato in un altro autostato del sistema

U |ψ〉 = |ψ′〉34 premio Nobel per la fisica nel 1945

110

La trasformazione U deve conservare la densita di probabilita

〈ψ′|ψ′〉 = 〈ψ|U+U |ψ〉Quindi l’operatore U e unitario, U+U = I, U−1 = U+, e definisce una trasfor-mazione unitaria. Poiche gli stati |ψ〉 e |ψ′〉 sono autostati della hamiltoniana H, latrasformazione unitaria U commuta con la hamiltoniana

ih∂

∂t|ψ′〉 = H|ψ′〉 = HU |ψ〉 ih

∂

∂t|ψ′〉 = ih

∂

∂tU |ψ〉 = UH|ψ〉

In generale la trasformazione non rappresenta una grandezza fisica osservabile, quindil’operatore U non e necessariamente hermitiano.

• Se l’operatore U e hermitiano, rappresenta un’osservabile che si conservanell’interazione. Poiche una trasformazione unitaria hermitiana applicata duevolte a uno stato (U2 = U+U = I) riproduce lo stato iniziale, l’osservabile Uha autovalori ±1

U |ψ〉 = u|ψ〉 U2|ψ〉 = u2|ψ〉 = |ψ〉 u = ±1

e rappresenta una trasformazione discreta. L’operatore di scambio P↔ e unesempio di trasformazione discreta.

• Se l’operatore U non e hermitiano, possiamo esprimere la trasformazione intermini di operatori hermitiani nella forma

U = eiαG

dove α e una generica costante o una funzione reale. Infatti la condizione diunitarieta comporta

U+U = e−iα∗G+

eiαG = eiα(G−G+) = I ∀ α ⇒ G+ = G

L’operatoreG, detto generatore della trasformazione, rappresenta un’osservabileche si conserva nell’interazione. Poiche il valore del parametro α non e fissatoa priori, una trasformazione unitaria non hermitiana rappresenta una trasfor-mazione continua.

Trattiamo nel seguito alcune trasformazioni unitarie legate a leggi di invarianzadella hamiltoniana. Altre saranno trattate piu avanti quando avremo approfonditola conoscenza sulle proprieta dei nuclei e delle particelle.

Trasformazioni continue

Una trasformazione continua si puo considerare come limite per n → ∞ di unasuccessione di trasformazioni infinitesime

δU = 1 + iδαG δα = limn→∞

α

n

U = (1 + iδα1G) · (1 + iδα2G) . . . = limn→∞

(1 + i

α

nG)n

= eiαG

Per individuare i generatori di una trasformazione finita e conveniente in alcuni casiconsiderare la corrispondente trasformazione infinitesima.

111

Traslazione

Una traslazione infinitesima in una coordinata spaziale trasforma lo stato |ψ〉 nelpunto x nello stato nel punto x+ δx

U |ψ(x)〉 = |ψ(x+ δx)〉 = |ψ(x)〉+ δx∂

∂x|ψ(x)〉 =

(1 + δx

∂

∂x

)|ψ(x)〉

Il generatore della traslazione e l’operatore impulso, px = −ih∂/∂x. Una traslazionefinita nello spazio e definita dall’operatore

U(∆~r) = e(i/h)∆~r·~p

Quindi le componenti dell’impulso, pk, generano la simmetria per traslazione deglistati, ovvero la simmetria della hamiltoniana rispetto a traslazioni delle coordinatespaziali corrisponde alla conservazione dell’impulso.

Rotazione

Una rotazione infinitesima in un piano trasforma lo stato |ψ(φ)〉, nello stato |ψ(φ+δφ)〉. Per una rotazione infinitesima attorno all’asse z le coordinate nel piano x− ysi trasformano

(x′

y′

)=

(1 −δφδφ 1

)(xy

)=

(x− δφ yδφ x+ y

)

U |ψ(φ)〉 = |ψ(φ+ δφ)〉 = |ψ(φ)〉+ δφ

(x∂

∂y− y ∂

∂x

)|ψ(φ)〉 =

(1 +

iδφ

hLz

)|ψ(φ)〉

Il generatore della rotazione attorno all’asse z e l’operatore momento angolare, Lz =−ih(x∂/∂y−y∂/∂x). Una rotazione finita attorno all’asse n e definita dall’operatore

U(∆α) = e(i/h)∆αn·~L

Le componenti del momento angolare, Lk, generano la simmetria per rotazione deglistati, ovvero la simmetria della hamiltoniana rispetto a rotazioni attorno ad un assen corrisponde alla conservazione del modulo ~L2 e della componente Ln del momentoangolare.

Rotazioni nello spazio vettoriale a due dimensioni

Per un sistema che puo esistere solo in due stati, questi sono combinazioni linearidegli autostati delle matrici di Pauli

|ψ〉 = a

(10

)+ b

(01

)|a|2 + |b|2 = 1

112

Le matrici di Pauli

σx =

(0 11 0

)σy =

(0 −ii 0

)σz =

(1 00 −1

)σ2k = I

sono gli operatori che descrivono gli stati dei fermioni di spin s = h/2 e costituisconouna base completa nello spazio vettoriale a due dimensioni: sono i generatori dellasimmetria unitaria in due dimensioni SU(2) (appendice 4.12). Una rotazione finitaattorno all’asse k e definita dall’operatore

U(∆α) = ei∆αsk = e(i/h)∆ασk/2

Le matrici di Pauli, σk, generano la simmetria SU(2) per rotazioni nello spazio adue dimensioni, ovvero la simmetria della hamiltoniana rispetto a trasformazioni diSU(2) corrisponde alla conservazione del modulo |~s| e della componente sz dello spin(di un sistema che puo esistere in due stati).

Trasformazioni di gauge

L’evoluzione temporale dello stato di una particella libera e definita dalla soluzionedell’equazione del moto

ψ(~r, t) = e(i/h)(~p·~r−Et)

Se la particella ha carica elettrica q, la hamiltoniana di interazione con il campo elet-tromagnetico rappresentato dal 4-potenziale A = ( ~A, V/c) (appendice 4.13) modifical’evoluzione dello stato per un fattore di fase

ψI(~r, t) = e(i/h)[(~p−q ~A)·~r−(E−qV )t] = e(i/h)(~p·~r−Et) e(−iq/h)( ~A·~r−V t)

Le componenti del potenziale elettromagnetico sono definite a meno di una trasfor-mazione di gauge (appendice 4.7)

~A′ = ~A+ ~∇α V ′ = V − ∂α

∂t

dove α(~r, t) e una qualunque funzione scalare reale. Quindi la fase dello statopotrebbe essere modificata localmente per un fattore arbitrario e questo non perme-tterebbe di osservare alcun fenomeno di coerenza.

La carica elettrica q e un’osservabile. Consideriamo la trasformazione unitariagenerata dall’operatore carica elettrica

U(~r, t) = e(i/h)α(~r,t)q

Applicando questa trasformazione, lo stato iniziale viene modificato

UψI(~r, t) = e(i/h)αqψI(~r, t) = e(−iq/h)( ~A·~r−V t−α)ψ(~r, t)

113

per un fattore di fase che elimina la dipendenza dalla funzione arbitraria α(~r, t).Infatti la variazione della fase

~∇( ~A · ~r − V t− α) = ~A− ~∇α − ∂

∂t( ~A · ~r − V t− α) = V +

∂α

∂t

e solo legata alla scelta del potenziale. Quindi la trasformazione di gauge del poten-ziale elettromagnetico assicura la simmetria degli stati di interazione per una trasfor-mazione di fase che corrisponde alla conservazione della carica elettrica, e viceversa:un numero quantico q conservato assicura la simmetria della hamiltoniana per unatrasformazione di gauge unitaria U = eiα(~r,t)q.

Se α e costante, la trasformazione si dice globale in quanto e la stessa in tuttii punti dello spazio-tempo. Se invece, come nell’esempio dell’interazione col campoelettromagnetico, α e una funzione del punto nello spazio-tempo, la trasformazione sidice locale. Il principio di relativita richiede che la trasformazione di gauge sia localepoiche non e possibile trasmettere informazione tra due punti dello spazio-tempo avelocita infinita.

1.6.4 Leggi di conservazione additive

Le trasformazioni unitarie continue hanno la forma U = eiαG dove G e un operatorehermitiano che rappresenta un’osservabile. Se il sistema e composto da piu particelle,la trasformazione applicata allo stato |1, 2, . . . , n〉 ha autovalori G1, G2, . . . , Gn

U |1, 2, . . . , n〉 = eiαG|1, 2, . . . , n〉 = eiα(G1+G2+...+Gn)|1, 2, . . . , n〉

Quindi per una trasformazione unitaria continua generata dall’operatore G che com-muta con la hamiltoniana, la somma degli autovalori si conserva

G1 +G2 + . . .+Gn = costante

e la legge di conservazione e additiva, tenendo conto che per somma va intesal’operazione di addizione caratteristica dell’operatore G. Per un operatore scalare,come la carica elettrica, e la somma algebrica, per un operatore vettoriale, comel’impulso, e la somma vettoriale, per l’operatore momento angolare e la legge dicomposizione dei momenti angolari, etc.

Esempio

Esaminiamo come esempio il processo di bremsstrahlung

e− N → e− N γ

Lo stato iniziale e costituito da un elettrone e un nucleo, lo stato finale dall’elettrone,dal nucleo e da un fotone. Non concosciamo ancora la struttura dei nuclei, quindisupponiamo sia il nucleo dell’atomo di idrogeno, il protone, che e un fermione dispin 1/2;

114

• conservazione del 4-impulso Pe + Pp = P ′e + P ′p + P ′γ

• conservazione del momento angolare ~se + ~sp + ~Lep = ~s′e + ~s′p + ~s′γ + ~L′epγdove ~si sono gli spin e ~L sono i momenti angolari orbitali;

• la carica elettrica nello stato iniziale e qe + qp = 0 e si conserva nello statofinale (il fotone ha carica nulla);

• il numero fermionico nello stato iniziale e fe + fp = +1 + 1 = 2 e si conservanello stato finale (il fotone e un bosone).

Per il processo di produzione di coppie elettrone-positrone

γ N → e− e+ N

lo stato iniziale e costituito da un fotone e un protone, lo stato finale dal protone,un elettrone e un positrone che sono l’uno l’antiparticella dell’altro;

• si conserva il 4-impulso e il momento angolare;

• la carica elettrica nello stato iniziale e qp = +1 e si conserva nello stato finale(elettrone e positrone hanno carica opposta);

• il numero fermionico nello stato iniziale e fp = +1 e si conserva nello statofinale (elettrone e positrone hanno numero fermionico opposto).

1.6.5 Leggi di conservazione moltiplicative

Trasformazioni discrete

Le trasformazioni unitarie hermitiane possono rappresentare osservabili che com-mutano con la hamiltoniana. Le osservabili hanno autovalori ±1 e per questo letrasformazioni sono dette discrete. Se il sistema e composto da piu particelle, latrasformazione applicata allo stato |1, 2, . . . , n〉 ha autovalori U1, U2, . . . , Un

U |1, 2, . . . , n〉 = (U1 · U2 . . . Un)|1, 2, . . . , n〉

Quindi per una trasformazione unitaria continua generata dall’operatore U che com-muta con la hamiltoniana, il prodotto degli autovalori si conserva

U1 U2 . . . Un = costante

e la legge di conservazione e moltiplicativa.

115

1.6.6 Parita

La trasformazione di parita inverte le coordinate spaziali di uno stato

Pψ(~r, t) = ψ(−~r, t)

Un autostato dell’operatore P ha autovalori

Pψ(~r, t) = ±ψ(~r, t)

e possiamo definire il numero quantico parita di uno stato, positiva o negativa, e laparita intrinseca di una particella. In coordinate sferiche la trasformazione ~r → −~requivale alle trasformazioni θ → π−θ, φ→ π+φ e lascia invariato il modulo |~r|. Vanotato che questa trasformazione non si puo ottenere con successive rotazioni attornoai tre assi del sistema di riferimento. La trasformazione di parita corrisponde aduna riflessione seguita da una rotazione di π attorno all’asse normale al piano diriflessione.

Se uno stato e espresso in funzione di autostati del momento angolare, le pro-prieta delle armoniche sferiche, Ylm(θ, φ), sotto trasformazione di parita danno in-dicazioni sulla parita dello stato

PYlm(θ, φ) = Ylm(π − θ, π + φ) = (−1)lYlm(θ, φ)

Se uno stato e autostato del momento angolare con autovalore hl, la parita e (−1)l.Per capire quali sono le caratteristiche che la hamiltoniana deve avere perche sia

simmetrica rispetto alla trasformazione di parita e utile esaminare l’azione dell’operatoreparita su alcune osservabili;

• un vettore polare (raggio vettore, velocita, impulso, campo elettrico, dipoloelettrico, . . .) si inverte

P ~r = − ~r Pd~r

dt= − d~r

dt

• un vettore assiale (momento angolare, spin, campo magnetico, dipolo mag-netico, . . .) rimane invariato

P ~r × ~p = + ~r × ~p P ~s = + ~s

• uno scalare (energia, prodotto scalare di vettori polari, prodotto scalare divettori assiali, . . .) rimane invariato

P r = P (~r · ~r) 12 = + r P ~d · ~E = + ~d · ~E

• uno pseudoscalare (prodotto scalare di un vettore polare e un vettore assiale,elicita, . . .) si inverte

P ~r · ~µ = − ~r · ~µ P ~s · ~p = − ~s · ~p

116

La parita commuta con la hamiltoniana di particella libera H = [m2 + p2]1/2, esi conserva in un sistema di particelle non interagenti. Commuta anche con lahamiltoniana di interazione elettromagnetica, H = [m2 + (p − qA)2]1/2 + qV , e siconserva nelle interazioni elettromagnetiche. Vedremo piu avanti un esempio diinterazione, l’interazione debole, in cui la parita non si conserva. La parita di unsistema di particelle e definita dalla parita intrinseca di ogni particella e dallo statodi momento angolare. Se la parita si conserva in una interazione, possiamo definirela parita delle particelle prodotte nello stato finale conoscendo la parita dello statoiniziale.

Definiamo la parita intrinseca delle particelle che conosciamo: elettrone, protone,neutrone e fotone. Poiche il numero fermionico si conserva, la parita dei fermioninon e in effetti un’osservabile ed e definita in modo convenzionale

P (e−) = P (p) = P (n) = +1

Secondo l’equazione di Dirac la parita dei corrispondenti antifermioni e definitanegativa (appendice 4.19)

P (e+) = P (p) = P (n) = −1

Il fotone e emesso e assorbito dall’operatore campo elettromagnetico (appendice 4.13)che e caratterizzato dal vettore di polarizzazione e dagli operatori scalari di creazionee distruzione dell’oscillatore armonico. Quindi il fotone e autostato di un operatorevettoriale e ha parita intrinseca negativa

P |γ〉 = − |γ〉

1.6.7 Coniugazione di carica

La trasformazione coniugazione di carica cambia lo stato di una particella nellacorrispondente antiparticella invertendo il segno della carica elettrica, del momentomagnetico e del numero fermionico. Se, ad esempio, |e〉 e lo stato di un elettronerappresentato da massa, impulso, spin, carica elettrica, momento magnetico, numerofermionico, . . .

|e〉 = |m, ~p, ~s, −e, −2(eh/2m)~s, +f, . . .〉lo stato coniugato di carica, il positrone, e definito dai numeri quantici

C|e〉 = |e〉 = |m, ~p, ~s, +e, +2(eh/2m)~s, −f, . . .〉

Se consideriamo una particella di carica q e l’azione degli operatori carica elettricae coniugazione di carica

Q |q〉 = q |q〉 C |q〉 = | − q〉

risulta che questi non commutano, infatti

C Q |q〉 = q C |q〉 = q | − q〉 Q C |q〉 = C | − q〉 = −q | − q〉

117

e lo stesso avviene per il momento magnetico e il numero fermionico. Quindi solo glistati con carica, momento magnetico, numero fermionico (e altri numeri quantici chestudieremo piu avanti) nulli possono essere autostati della coniugazione di carica.Sono autostati il fotone e lo stato elettrone-positrone; non e autostato il neutroneperche ha momento magnetico e numero fermionico non nulli.

Il campo elettromagnetico e generato da cariche e da correnti elettriche e siinverte per azione della coniugazione di carica. L’energia elettromagnetica dipendedai quadrati q2 e ~A2 e dal prodotto q ~A ed e invariante per inversione della carica. Neconcludiamo che la hamiltoniana dell’interazione elettromagnetica e invariante perconiugazione di carica, ovvero C e una simmetria della hamiltoniana di interazione,e che l’operatore campo elettromagnetico, ~A, si inverte per coniugazione di carica.Quindi il fotone ha autovalore della coniugazione di carica negativo

C |γ〉 = − |γ〉

1.6.8 Inversione temporale

La trasformazione di inversione temporale inverte la direzione del tempo, t → −t,nell’evoluzione di uno stato, cioe inverte la direzione del moto. Sotto trasformazionedi inversione temporale

• l’impulso, il momento angolare, lo spin, la densita di corrente, il momentomagnetico, il campo magnetico, . . . si invertono;

• le coordinate spaziali, la carica elettrica, il campo elettrico, l’energia, . . . sonoinvariati.

Le equazioni del moto classiche, in assenza di forze non conservative, sono invariantiper inversione temporale. Infatti le equazioni della meccanica e dell’elettromagnetismodipendono dalla derivata seconda rispetto al tempo. L’equazione di Schrodingerdipende dalla derivata prima rispetto al tempo e la trasformazione |ψ(~r, t)〉 →|ψ(~r,−t)〉 non conserva la forma dell’equazione del moto

ih∂

∂t|ψ(~r, t)〉 = H|ψ(~r, t)〉 ⇒ −ih ∂

∂t|ψ(~r,−t)〉 = H|ψ(~r,−t)〉

che si conserva invece per la trasformazione T = inversione del tempo × coniugazionecomplessa

|ψ′(~r, t)〉 = T |ψ(~r, t)〉 = |ψ(~r,−t)〉∗ T ih∂

∂t= ih

∂

∂t

Questa relazione non e un’equazione agli autovalori e quindi la trasformazione T nonrappresenta un’osservabile, ma ha importanti proprieta nell’evoluzione degli stati diun sistema.

Consideriamo alcune proprieta degli stati di un sistema per inversione temporale

118

• un autostato della hamiltoniana di particella libera rimane invariato

T e(i/h)(~p·~r−Et) = e(i/h)(~p·~r−Et)

• il prodotto scalare di due stati si trasforma

〈f ′|i′〉 = 〈f | T+T |i〉 = 〈f |i〉∗ = 〈i|f〉

questa relazione definisce una trasformazione anti-unitaria;

• se la hamiltoniana di interazione HI e invariante per inversione temporale,l’elemento di matrice della transizione |i′〉 → |f ′〉 e uguale a quello della tran-sizione inversa |f〉 → |i〉

〈f ′|HI |i′〉 = 〈f |T+HIT |i〉 = 〈f |HI |i〉∗ = 〈i|HI |f〉

Esempio

Se consideriamo come esempio i processi di bremsstrahlung e di produzione di coppieelettrone-positrone, troviamo alcune importanti relazioni

• la simmetria della interazione elettromagnetica per coniugazione di carica as-sicura l’uguaglianza degli elementi di matrice dei processi

e− p→ e− p γ e+ p→ e+ p γ

• la simmetria della interazione elettromagnetica per parita definisce una re-lazione tra i momenti angolari degli stati iniziale e finale; per e−p→ e−pγ

P (e) P (p) (−1)L = P (e) P (p) P (γ) (−1)L′

(−1)` (−1)L = (−1)L′+`+1

dove L e l’autovalore del momento angolare relativo di elettrone e protone e `e il momento angolare del fotone; e analogamente per il processo γp→ e+e−p

P (γ) P (p) (−1)L = P (e+) P (e−) P (p) (−1)L′(−1)` (−1)L = (−1)L

′+`

• la simmetria della interazione elettromagnetica per inversione temporale e perconiugazione di carica assicura che, a parita di energia nel centro di massa,l’elemento di matrice del processo e−p→ e−pγ e uguale a quello del processopγ → e−e+p.

1.6.9 Momento di dipolo elettrico

La tabella riassume le proprieta di simmetria di alcune grandezze per le trasfor-mazioni discrete di parita, coniugazione di carica e inversione temporale.

119

grandezza C P Tcoordinate spaziali ~r +~r −~r +~r

impulso ~p +~p −~p −~pspin ~s +~s +~s −~s

elicita’ ~s · ~p +~s · ~p −~s · ~p +~s · ~pcarica elettrica q −q +q +q

densita’ di corrente ~j −~j −~j −~jcampo elettrico ~E − ~E − ~E + ~E

campo magnetico ~B − ~B + ~B − ~B

L’invarianza dell’interazione elettromagnetica per trasformazione di parita o diinversione temporale ha come conseguenza che uno stato con parita definita abbiamomento di dipolo elettrico statico nullo. Stati con momento di dipolo elettrico nonnullo sono necessariamente sovrapposizioni di stati con parita diversa. Uno statonon degenere ha parita definita mentre il momento di dipolo elettrico si inverte pertrasformazione di parita

P |ψ(~r)〉 = ±|ψ(−~r)〉 P q~r = −q~r

quindi il valore aspettato del momento di dipolo e l’integrale di una funzione dispari

〈ψ(~r)| q~r |ψ(~r)〉 =∫ψ∗(~r) q~r ψ(~r) d~r = 0

L’argomento si puo generalizzare considerando l’interazione con un campo elettro-magnetico esterno. Se la particella ha spin nullo, ha una struttura simmetrica enon puo avere un momento di dipolo. Se ha spin, questo definisce la direzione diquantizzazione s e l’interazione col campo esterno e del tipo

HI = −ρm s · ~B − ρe s · ~E

con ρm e ρe densita di momento magnetico e di carica. L’interazione magneticae rappresentata dal prodotto scalare di due vettori assiali che si comportano allostesso modo per trasformazioni di parita (+ +) e di inversione temporale (− −) ede invariante. L’interazione elettrica cambia segno per trasformazione di parita e diinversione temporale

P s · ~E = s · (− ~E) T s · ~E = (−s) · ~E

Quindi l’invarianza di HI richiede che ρe sia nullo. Una verifica stringente di questaprevisione si ottiene dai risultati sperimentali delle misure dei momenti di dipoloelettrico dei nuclei e delle particelle. Ad esempio, il neutrone ha carica elettrica nulla,ma ha un momento magnetico non nullo prodotto da una densita di magnetizzazioneestesa su una dimensione di ∼10−13 cm. Per avere momento di dipolo elettrico nullo,si deve annullare l’integrale lungo l’asse di quatizzazione della distribuzione dellecariche in moto che producono il momento magnetico. Il limite sperimentale sulvalore del momento di dipolo elettrico del neutrone e 〈e~r〉n < e× 10−25 cm.

120

1.6.10 Il positronio

Il positronio e lo stato legato elettrone-positrone analogo allo stato dell’atomo diidrogeno. Il positronio si forma per cattura di positroni emessi nei decadimenti β+

dei nuclei (capitolo 2.7) e la sezione d’urto e inversamente proporzionale alla velocitarelativa vee per cui vi e elevata probabilita che avvenga nello stato fondamentale 1S.I livelli di energia del positronio sono simili a quelli dell’atomo di idrogeno, ma ladistanza tra i livelli e minore di un fattore 2 perche la massa ridotta del sistemalegato e

mee =m2

2m=m

2mep =

mM

m+M≈ m

L’energia dello stato fondamentale e il raggio dell’orbita di Bohr sono

E1S =α2mc2

4=

13.6

2eV r1S =

2aoα2

= 2× 0.53 10−8 cm

Il positronio e uno stato con carica e numero fermionico nulli e puo decadere in statidi due o piu fotoni

e+e− → γγ e+e− → γγγ

Il primo processo, che e il piu probabile, e quello su cui si basa uno dei metodi piuaccurati di indagine tomografica, la Positron-Emission-Tomography : si somminis-tra una sostanza radioattiva β+ che ha la prorieta di fissarsi nelle zone del corpoda esaminare e si misura la densita dei punti sorgente di emissione di due fotonicollineari di energia Eγ = mc2.

Per esaminare le proprieta di simmetria del positronio, consideriamo l’elettronee il positrone come due particelle identiche in diversi stati di carica elettrica. Lostato di due fermioni identici dipende dalle coordinate, dagli spin e dagli stati dicarica

|e1 e2〉 = |~r1 ~r2〉 |~s1 ~s2〉 |q1 q2〉ed e antisimmetrico rispetto allo scambio 1↔ 2.

• Lo scambio delle coordinate spaziali ~r1 ↔ ~r2 corrisponde alla trasformazionedi parita

P (e+e−) = (−1)L

• Lo stato di spin e il risultato della combinazione di due spin 1/2 e si ottengono

quattro stati |~S, Sz〉, ~S = ~s1 + ~s2 = 1, con Sz = +1, 0,−1; oppure ~S = 0, conSz = 0

|1,+1〉 = |+ 1/2; +1/2〉|1, 0〉 = 1√

2|+ 1/2;−1/2〉 + 1√

2| − 1/2; +1/2〉

|1,−1〉 = | − 1/2;−1/2〉

|0, 0〉 = 1√2|+ 1/2;−1/2〉 − 1√

2| − 1/2; +1/2〉

Lo stato di tripletto, S = 1, e simmetrico rispetto allo scambio ~s1 ↔ ~s2, mentrelo stato di singoletto, S = 0, e antisimmetrico. La simmetria e (−1)S+1.

121

• Lo scambio delle cariche corrisponde alla trasformazione coniugazione di caricae il positronio puo esistere in due autostati uno simmetrico, con C = +1, euno antisimmetrico, con C = −1, rispetto allo scambio q1 ↔ q2

La simmetria dello stato e

(−1)L (−1)S+1 C = −1

Il positronio nello stato fondamentale ha L = 0 e l’autovalore C si conserva neldecadimento per interazione elettromagnetica

e+e− → γγ C = C2γ = +1 ⇒ (−1)S+1 = −1 ⇒ S = 0

e+e− → γγγ C = C3γ = −1 ⇒ (−1)S+1 = +1 ⇒ S = 1

Quindi il positronio nello stato di singoletto 1S0 decade e+e− → γγ, mentre nellostato di tripletto 3S1 decade e+e− → γγγ.

I due stati hanno energia leggermente diversa per effetto dell’interazione tra imomenti magnetici che rimuove la degenerazione dello stato 1S. Poiche ~µ ‖ ~s lahamiltoniana di interazione si puo esprimere nella forma HI = κ ~s1·~s2. Gli autovalorirelativi ai due stati sono

~S2 = ~s 21 +~s 2

2 +2 ~s1 ·~s2 ~s1 ·~s2 =S(S + 1)− s(s+ 1)− s(s+ 1)

2=S(S + 1)

2− 3

4

HI(S = 0) = −3κ

4HI(S = 1) = +

κ

4∆E = κ

Il valore sperimentale e E(3S1)− E(1S0) = 8.4 10−4 eV . A temperatura ambiente,kT ∆E, i due stati sono popolati in rapporto 3 : 1 definito dalle molteplicita2S + 1.

1.6.11 Il teorema CPT

La hamiltoniana dell’interazione elettromagnetica (appendice 4.13) e derivata dalleequazioni dell’elettromagnetismo ed e invariante per le tre trasformazioni discreteC, P e T . Si e verificato sperimentalmente con buona accuratezza che anche lahamiltoniana dell’interazione nucleare e invariante per le trasformazioni C, P e T .La hamiltoniana dell’interazione debole, reponsabile del decadimento β dei nuclei,non e invariante ne per la trasformazione C ne per la trasformazione P .

Un importante teorema formulato indipendentemente da Julian Schwinger, Ger-hart Luders e Wolfgang Pauli, e da John Bell, stabilisce sotto ipotesi molto generaliche la hamiltoniana di un sistema e invariante per l’azione di una trasformazioneprodotto delle tre trasformazioni C, P e T in qualunque ordine di successione.Le ipotesi sono che i sistemi e le interazioni siano invarianti per trasformazioni diLorentz e le interazioni siano descritte da una teoria di campo quantistica locali. Unaconseguenza dell’invarianza della hamiltoniana sotto l’azione della trasformazioneCPT e che i valori della massa, momento magnetico e vita media di una particella edella corrispondente antiparticella sono uguali (appendice 4.20). Questa uguaglianzae verificata con grande precisione dai risultati sperimentali.

122

1.7 Processi elettromagnetici

Nel capitolo 1.2 abbiamo esaminato alcuni processi elettromagnetici elementari sullabase delle conoscenze di meccanica e elettromagnetismo classici. Ora esaminiamoalcuni processi elementari che interessano nuclei e particelle sulla base della hamil-toniana di interazione elettromagnetica e del calcolo perturbativo della probabilitadi transizione.

1.7.1 Emissione e assorbimento di fotoni

Consideriamo un sistema in un volume di normalizzazione V costituito di particelledi massa mi e carica elettrica qi descritto dalla hamiltoniana H0. Gli autostati delsistema sono

ψn(~r, t) = un(~r)e−iEnt/h

e, in assenza di cariche elettriche esterne e in approssimazione non relativistica,l’interazione con il campo elettromagnetico e rappresentata dalla hamiltoniana

Hi = −∑

i

qimi

~A(~r, t) · ~pi

Il campo elettromagnetico e rappresentato in termini degli operatori di emissione eassorbimento di fotoni (appendice 4.13)

~A(~r, t) =

(h

2V ε0ω

) 12 ∑

k

∑

s

εs(~k)[as(~k)ei(

~k·~r−ωt) + a+s (~k)e−i(

~k·~r−ωt)]

Per effetto dell’interazione, il sistema passa dallo stato inizale |i〉 con energia Ei allostato finale |f〉 con energia Ef e il campo elettromagnetico dallo stato |ni〉 allo stato

|nf〉 emettendo o assorbendo fotoni di impulso h~k e energia hω. La probabilita ditransizione per unita di tempo si calcola con la regola d’oro di Fermi (appendice 4.15)

dPi→f =2π

h|〈f |HI |i〉|2dNf

Per una particella l’elemento di matrice della hamiltoniana di interazione e

〈f |HI |i〉 = − q

m

∫

Rψ∗f (~r) ~A · ~p ψi(~r) d~r

dove R e la regione di spazio in cui ψ(~r) 6= 0. Il campo elettromagnetico si puosviluppare in serie di multipoli (appendice 4.8)

ei~k·~r = 1 + i~k · ~r − (~k · ~r)2

2+ . . .

I contributi dei vari termini dello sviluppo al calcolo dell’elemento di matrice hannovalori ≈ (kR)n = (EγR/hc)

n 1. Infatti per un sistema atomico EγR ≈ 1 eV ×10−8 cm e per un sistema nucleare EγR ≈ 1 MeV × 10−13 cm: in entrambe i casiEγR hc = 2 10−11 MeV cm. Ci si puo quindi limitare ai primi termini dellosviluppo in serie.

123

1.7.2 Transizione di dipolo elettrico

L’elemento di matrice al primo ordine nello sviluppo in multipoli e

− q

m

(h

2V ε0ω

) 12 ∑

k

∑

s

∫u∗fe

iEf t/h〈nf |εs · ~p [ase−iωt + a+

s eiωt]|ni〉ui e−iEit/hd~r =

= − q

m

(h

2V ε0ω

) 12 ∑

k

∑

s

∫u∗f εs · ~p [ei(Ef−Ei−hω)t/h + ei(Ef−Ei+hω)t/h]uid~r

Calcolando il valor medio nel tempo, il primo termine ha valore non nullo per Ef =Ei + hω e rappresenta l’assorbimento di un fotone di energia hω, mentre il secondotermine ha valore non nullo per Ef = Ei− hω e rappresenta l’emissione di un fotonedi energia hω. La trattazione e equivalente e quindi possiamo esaminare uno solodei due casi

〈f |HI |i〉 = − q

m

(h

2V ε0ω

) 12 ∫ ∑

s

(u∗f ~p ui) · εs d~r δ(Ef − Ei + hω)

Per calcolare l’integrale osserviamo che gli operatori ~p e ~r sono coniugati, ih~p =m [~r,H0], e che ui(~r), uf (~r) sono autofunzioni della hamiltoniana H0

〈uf | ~p |ui〉 =m

ih〈uf | ~rH0 −H0~r |ui〉 =

im

h(Ef − Ei) 〈uf | ~r |ui〉

quindi l’elemento di matrice al primo ordine

〈f |HI |i〉 = i

(hω

2V ε0

) 12 ∑

s

εs · 〈uf | q~r |ui〉

e proporzionale a (hω)1/2 e dipende dal prodotto scalare del versore polarizzazionee dell’operatore dipolo elettrico

εs · q~r = qr sin θ cosφ

dove θ e l’angolo tra la direzione di emissione ~k e il dipolo q~r e φ e l’angolo dipolarizzazione nel piano normale a ~k (Fig.1.54). Il numero di stati finali del sistema

costituito dalla particella di massa m hω/c2 e il fotone emesso con impulso h~k e

dN = 2V

(2πh)3h3 k2dkd cos θdφ =

2V

(2π)3h

ω2

c3dEd cos θdφ

(il fattore 2 tiene conto della somma∑s sugli stati di polarizzazione finali). Quindi

la probabilita per unita di tempo di emissione di un fotone di energia hω, integratasugli stati e angoli di polarizzazione (

∫cos2 φdφ = π) e

dPi→f =2π

h

hω

2V ε0|〈f |qr|i〉|2 2V

(2π)3h

ω2

c3π sin2 θd cos θ =

ω3

hc3

|〈f |qr|i〉|24πε0

sin2 θ d cos θ

124

e

k

dq

f

Figure 1.54: Emissione di radiazione di dipolo

Integrando sull’angolo di emissione si ottiene la vita media dello stato |i〉 per tran-sizioni di dipolo elettrico

1

τ= P =

4

3

ω3

hc3

|〈f |qr|i〉|24πε0

L’energia emessa per unita di tempo sotto forma di fotoni di energia hω

W =hω

τ=

4

3

ω4

c3

|〈f |qr|i〉|24πε0

ha la stessa espressione ottenuta per un dipolo elettrico oscillante a frequenza ω: ilvalore quadratico medio del dipolo classico, 〈(q~r)2〉, viene sostituito in meccanicaquantistica dal quadrato dell’elemento di matrice della hamiltoniana di interazionetra gli stati inziale e finale.

1.7.3 Transizione al secondo ordine

L’elemento di matrice al secondo ordine nello sviluppo in multipoli e

− iqm

(h

2V ε0ω

) 12 ∑

k

∑

s

∫u∗f εs · ~p [~k · ~r ei(Ef−Ei−hω)t/h − ~k · ~r ei(Ef−Ei+hω)t/h]ui d~r

Consideriamo solo il termine di emissione. L’integrale sulle funzioni d’onda∑

s

〈uf | ~k · ~r εs · ~p |ui〉 =∑

s

〈uf |∑

jl

kjxjplεsl |ui〉

si puo scomporre in un termine antisimmetrico e un termine simmetrico

1

2

∑

s

〈uf |∑

jl

kjεsl ([xjpl − xlpj] + [xjpl + xlpj]) |ui〉

Transizione di dipolo magnetico

Il primo termine contiene l’operatore momento angolare, ~L = ~r× ~p, e l’elemento dimatrice si esprime

iq

2m

(h

2V ε0ω

) 12 ∑

s

〈uf |(~k × εs) · ~L|ui〉 = i

(h

2V ε0ω

) 12 ∑

s

~k × εs · 〈uf |q~L

2m|ui〉

125

dove compare l’elemento di matrice dell’operatore momento magnetico ~µ = q~L/2m

~k × εs · 〈uf | ~µ |ui〉 = k 〈uf | µ |ui〉 sin θ sinφ

con le stesse definizioni di sopra degli angoli. La densita degli stati finali e la stessacalcolata sopra, quindi la probabilita di emissione per unita di tempo, integrata suglistati e sugli angoli di polarizzazione, e:

dPi→f =2π

h

h

2V ε0ω

ω2

c2|〈uf | µ |ui〉|2 sin2 θ

2V

(2π)3h

ω2

c3d cos θ =

=ω3

hc5

|〈uf | µ |ui〉|24πε0

sin2 θ d cos θ

La vita media per transizioni di dipolo magnetico e la potenza emessa sono

1

τ=

4

3

ω3

hc5

|〈uf | µ |ui〉|24πε0

W =4

3

ω4

c5

|〈uf | µ |ui〉|24πε0

Transizione di quadrupolo elettrico

Il secondo termine, utilizzando come sopra le leggi di commutazione [xj, pl] = ihδjldiventa

〈f |HI |i〉 =iq

2m

(h

2V ε0ω

) 12 m(Ef − Ei)

ih〈uf |

∑

s

∑

jl

εsj kl (3xjxl − r2δjl)|ui〉

e, introducendo l’operatore di quadrupolo elettrico Q

Qjl = q (3xjxl − r2δjl)

con le proiezioni Qsl =

∑j εsjQjl;

∑s

∑jl εsjklQjl =

∑s

∑l klQ

sl , si ottiene

〈f |HI |i〉 =1

2

(h

2V ε0ω

) 12

ωk〈uf | Q |ui〉 cos θ cosφ

dove θ e l’angolo tra la direzione del fotone emesso e l’asse che minimizza Qjl.Introducento gli altri fattori, si ha la probabilita per unita di tempo di transizionedi quadrupolo elettrico

dPi→f =1

4π

ω5

hc5

|〈uf | Q |ui〉|24πε0

cos2 θ cos2 φd cos θdφ

1

τ=

1

6

ω5

hc5

|〈uf | Q |ui〉|24πε0

W =1

6

ω6

c5

|〈uf | Q |ui〉|24πε0

Come nei due casi precedenti, l’espressione quantistica si ottiene dall’espressioneclassica sostituendo il valore quadratico medio con il quadrato dell’elemento di ma-trice. Sulle proprieta di simmetria degli elementi di matrice e sulle regole di selezionetorneremo piu avanti quando saranno trattati i decadimenti radiativi nei nuclei edelle particelle.

126

1.7.4 Scattering di fotoni da una carica elettrica

Come secondo esempio di processo elementare trattiamo lo scattering di un fotone dauna carica libera, l’effetto Compton. Consideriamo un elettrone debolmente legato,Elegame hω, e un fotone di energia hω mec

2. In questo caso possiamo utilizzarel’approssimazione non relativistica della hamiltoniana di interazione trascurandoeffetti di spin dell’elettrone.

La transizione avviene dallo stato iniziale |i〉 = |ε, ~k, ~p〉 allo stato finale |f〉 =

|ε′, ~k′, ~p′〉. Nel riferimento in cui l’elettrone e inizialmente a riposo (p = 0) il fotone

di impulso ~k viene deviato ad angolo polare θ con impulso ~k′

k′ =k

1 + (k/mec)(1− cos θ)

Il campo elettromagnetico assorbe il fotone |ε, ~k〉 e emette il fotone |ε′, ~k′〉. Il termine

della hamiltoniana di interazione e HI = e2 ~A · ~A′/2m perche il termine [e ~A · ~p/m]2

e trascurabile a bassa energia. Considerando solo il primo termine dello sviluppo

dell’esponenziale, ei~k·~r ≈ 1, la hamiltoniana di interazione e

HI =e2

2m

h

2V ε0(ωω′)1/2

∑

ss′εs · εs′ (as′e

−iω′t + a+s′e

iω′t)(ase−iωt + a+

s eiωt)

Nell’elemento di matrice 〈f |HI |i〉 l’operatore a+s′as assorbe il fotone nello stato in-

iziale e emette il fotone nello stato finale. Calcolando il valor medio nel tempo iltermine ei(ω−ω

′)t e l’analogo per le funzioni d’onda dell’elettrone danno la conser-vazione dell’energia

〈f |HI |i〉 =e2

2m

h

2V εo(ωω′)1/2Σss′ εs · εs′ δ(Ei − Ef )

L’energia nello stato finale e divisa tra il fotone e l’elettrone

E = k′c+mc2 +kk′

m(1− cos θ) dE =

[1 +

k

mc(1− cos θ)

]cdk′ =

kc

k′dk′

Otteniamo quindi il numero di stati finali

dN =2V

(2πh)3k′2dk′d cos θdφ =

V

4π3h3

k′3

kcdEd cos θdφ

e la probabilita di scattering nell’unita di tempo

dPi→f =

(e2

4πε0mc2

)2c

2V

(k′

k

)2

|ε · ε′|2 d cos θdφ =r2e

2

c

V

(k′

k

)2

|ε · ε′|2 d cos θdφ

Per calcolare |ε · ε′|2 consideriamo il vettore ~k parallelo all’asse z: la polarizzazione

iniziale εs e nel piano x− y. Il vettore ~k′ ha componenti (k′ sin θ cosφ, k′ sin θ sinφ,

k′ cos θ) e consideriamo due componenti di polarizzazione finale ε′ ⊥ ~k′

ε′1 = (cos θ cosφ, cos θ sinφ, − sin θ) ε′2 = (− sinφ, cosφ, 0)

127

Per ε1 = (1, 0, 0) e ε2 = (0, 1, 0) abbiamo

ε ‖ x ⇒ |ε · ε′|2 = cos2 θ cos2 φ+ sin2 φ ε ‖ y ⇒ |ε · ε′|2 = cos2 θ sin2 φ+ cos2 φ

Sommando sugli stati di polarizzazione otteniamo

Σ|ε · ε′|2 = 1 + cos2 θ dPi→f =r2e

2

c

V

(k′

k

)2

(1 + cos2 θ) d cos θdφ

Dividendo per il flusso iniziale, Φi = c/V , si ottiene la sezione d’urto differenziale dieffetto Compton in approssimazione non relativistica (per particella di spin 0)

dσ

dΩ=V

c

dP

dΩ=r2e

2

(k′

k

)2

(2− sin2 θ)

che e il limite di bassa energia della sezione d’urto di Klein-Nishina (appendice 4.24)che tiene conto dello spin dell’elettrone

dσ

dΩ=r2e

2

(k′

k

)2 (k′

k+k

k′− sin2 θ

)

Al limite k mec, k′ ≈ k, si ottiene la sezione d’urto di Thomson.

1.7.5 Scattering di Rutherford

Come terzo esempio di processo elementare consideriamo lo scattering di una parti-cella di carica elettrica ze, massa m e spin 0 nel campo coulombiano di una particelladi carica elettrica Ze, massa M e spin 0. ~p e l’impulso relativo. Se p mc, in ap-prossimazione non relativistica, la hamiltoniana della particella e la hamiltoniana diinterazione coulombiana sono

H0 =p2

2mHI = U(~r) =

zZ

4πεo

e2

r

Le autofunzioni della hamiltoniana H0, normalizzate in un volume V sono

un(~r) =1

V 1/2ei~kn·~r ~pn = h~kn

La transizione avviene dallo stato iniziale |i〉 = |~k〉 allo stato finale |f〉 = |~k′〉caratterizzato dall’angolo polare θ e azimutale φ. L’impulso trasferito e ∆~p = h~q =h(~k − ~k′). L’elemento di matrice

〈f |HI |i〉 =∫u∗f (~r) U(~r) ui(~r) d~r =

zZ

V 4πε0

∫e−i

~k′·~r e2

rei~k·~r d~r

risulta indefinito in quanto e l’integrale di una funzione oscillante esteso all’infinito.Nella realta non esistono cariche elettriche libere e il potenziale della carica Ze

128

risulta in qualche modo schermato a distanza r Ratomo. Cerchiamo la soluzioneconsiderando un potenziale schermato del tipo

U(~r) =zZe2

4πε0

e−µr

r

detto potenziale di Yukawa che studieremo piu avanti. In questo caso l’integrale e

∫ ei~q·~r e−µr

rd~r =

∫eiqr cosα e−µr

rr2drd cosαdφ = 2π

∫ eiqr − e−iqriqr

e−µr rdr =

=2π

iq

∫(e−(µ−iq)r − e−(µ+iq)r)dr =

2π

iq

[1

µ− iq −1

µ+ iq

]=

4π

q2 + µ2

Il potenziale coulombiano si ottiene con il limite µ → 0 (µ q cioe ∆p hµ ≈h/Ratomo). Quindi l’elemento di matrice

〈f |HI |i〉 =1

V

zZe2

4πε0

4π

q2

e proporzionale al prodotto delle cariche elettriche e alla trasformata di Fourier delpotenziale coulombiano che e il propagatore del campo di interazione. Nell’ipotesimM possiamo trascurare il rinculo della particella M e abbiamo |~k′| ≈ |~k|

q2 = |~k − ~k′|2 = ~k2 + ~k′2 − 2 ~k · ~k′ ≈ 2 k2(1− cos θ) =4p2

h2 sin2 θ/2

Calcolando il numero di stati finali

dNf =V

(2πh)3p′2dp′d cos θ dφ =

V

(2πh)3mp′ dEfd cos θdφ

otteniamo la probabilita di transizione per unita di tempo

dPi→f =2π

h

(zZe2

V ε0

)2 (h2

4p2 sin2 θ/2

)2V

(2πh)3mp d cos θdφ =

=1

V

(zZe2

4πε0

)21

4p2v sin4 θ/2d cos θdφ

che, dividendo per il flusso incidente, Φi = v/V , da la sezione d’urto differenziale

dσ

dΩ= r2

e (zZ)2 (mec2)2

4p2v2 sin4 θ/2

129

Figure 1.55: Scattering da una distribuzione di carica

1.7.6 Fattore di forma elettrico

La sezione d’urto che abbiamo trovato descrive lo scattering da una carica pun-tiforme. Se la particella bersaglio ha una struttura con una densita di carica Zeρ(~r′)in una regione di spazio R (Fig.1.55), l’elemento di matrice viene modificato

〈f |HI |i〉 =zZe2

V 4πε0

∫ei~q·~r

∫

R

ρ(~r′)

|~r − ~r′|d~r′ d~r

Cambiando la variabile di integrazione: ~r = ~r′ + ~s,

〈f |HI |i〉 =zZe2

V 4πε0

∫ei~q·~s

∫

Rei~q·

~r′ ρ(~r′)

sd~r′ d~s =

=zZe2

V 4πε0

∫ ei~q·~s

sd~s∫

Rei~q·

~r′ ρ(~r′) d~r′ =zZe2

V 4πεo

4π

q2FE(~q)

La trasformata di Fourier della densita di carica e il

fattore di forma elettrico FE(~q) =∫

Rei~q·~rρ(~r)d~r

con la normalizzazioneFE(q = 0) =

∫

Rρ(~r)d~r = 1

La sezione d’urto di scattering dalla distribuzione di carica e uguale al prodottodella sezione d’urto di scattering da una carica puntiforme Ze nel baricentro delladistribuzione di carica per il quadrato del modulo del fattore di forma elettrico

dσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)

punto

|FE(~q)|2

Sviluppando l’esponenziale in serie di potenze dell’impulso trasferito

ei~q·~r =∑

n

(i~q · ~r)nn!

=∑

n

in

n!

(∆~p · ~rh

)n

130

si ottiene lo sviluppo del fattore di forma in funzione dei momenti della distribuzionedi carica

F (~q) = 1 + i∫

R~q · ~r ρ(~r) d~r − 1

2

∫

R(~q · ~r)2 ρ(~r) d~r + . . .

Il potere risolutivo per studiare la distribuzione di carica di un sistema nucleare didimensione R e tanto migliore quanto piu grande e l’impulso trasferito: ∆p = hq =2p sin(θ/2) h/R.

Se la distribuzione di carica ha simmetria radiale, ρ(~r) = ρ(r), i momenti disparidella distribuzione di carica sono nulli. Il secondo termine corrisponde al secondomomento e definisce il raggio quadratico medio della distribuzione di carica

1

2

∫q2r2 cos2 θ ρ(r) r2drdΩ =

2π

3q2∫

Rr4ρ(r)dr =

1

6q2∫

Rr2ρ(~r)d~r =

1

6q2〈r2〉

In questo caso il fattore di forma e funzione del quadrato dell’impulso trasferito

F (~q) = F (q2) = 1− 1

6q2〈r2〉+

1

120q4〈r4〉+ . . .

e il raggio quadratico medio della distribuzione di carica si ottiene dalla derivata delfattore di forma per q2 = 0

〈r2〉 = −6

(∂F

∂q2

)

q2=0

Esempio 1: distribuzione di carica uniforme

Per una distribuzione di carica uniforme in una sfera di raggio R

ρ(r) = ρo =3

4πR3r ≤ R ρ(r) = 0 r > R

il fattore di forma e

ρo

∫eiqr cos θ r2drd cos θdφ = ρo 2π

∫ eiqr − e−iqriqr

r2dr = ρo4π

q

∫ R

0sin qr rdr

F (q2) =3

q3R3(sin qR− qR cos qR) = 1− q2R2

10+q4R4

280+ . . .

Il raggio quadratico medio della distribuzione di carica e 〈r2〉 = 3R2/5. Questofattore di forma riproduce bene i risultati di misure di sezione d’urto di scatteringdi elettroni da nuclei con peso atomico A grande.

Esempio 2: distribuzione di carica esponenziale

Per una distribuzione di carica ρ(r) = ρoe−µr

∫ρoe−µr r2drd cos θdφ = ρo 4π

2

µ3= 1 ⇒ ρo =

µ3

8π

131

F (q) = ρo

∫eiqr cos θe−µr r2drd cos θdφ = ρo 2π

∫ e−(µ−iq)r − e−(µ+iq)r

iqrr2dr =

= ρo2π

iq

[1

(µ− iq)2− 1

(µ+ iq)2

]= ρo

8πµ

(q2 + µ2)2

F (q2) =µ4

(q2 + µ2)2=

1

(1 + q2/µ2)2= 1− 2q2

µ2+

3q4

µ4+ . . .

Il raggio quadratico medio della distribuzione di carica e 〈r2〉 = 12/µ2. Questofattore di forma riproduce bene i risultati di misure di sezione d’urto di scatteringdi elettroni da protoni e neutroni.

Esempio 3: distribuzione di carica gaussiana

La trasformata di Fourier di una distribuzione di carica gaussiana

ρ(r) =1

(2πσ2)3/2e−r

2/2σ2

con raggio quadratico medio 〈r2〉 = 3σ2, e una funzione gaussiana

F (q2) = e−q2σ2/2 = 1− q2σ2

2+q4σ4

8+ . . .

Il raggio quadratico medio della distribuzione di carica e 〈r2〉 = 3σ2. Questo fattoredi forma riproduce bene i risultati di misure di sezione d’urto di scattering di elettronida nuclei con peso atomico A piccolo (He, Li, Be, . . . ).

1.7.7 Scattering di una carica da un dipolo magnetico

Se la particella bersaglio ha spin 6= 0, una particella di carica elettrica ze e soggettaal campo prodotto dal momento di dipolo magnetico ~µ della particella bersaglio.Poiche il campo magnetico generato da un dipolo ha una dipendenza dalla distanza∼ 1/r3, l’interazione e di intensita molto minore che nel caso del campo coulombianoche ha l’andamento ∼ 1/r2. L’intensita dell’interazione col momento magnetico eimportante solo a piccole distanze, cioe per grandi impulsi trasferiti. Ci sono parti-celle neutre dotate di momento di dipolo magnetico (questo e il caso del neutrone)che hanno solo interazioni magnetiche.

Il potenziale prodotto da un dipolo magnetico a distanza r e

~A(~r) =µ0

4π

~µ× ~rr3

L’elemento di matrice di transizione tra lo stato |~p〉 e lo stato |~p′〉 e

〈~p′|HI |~p〉 = − ze

mV

µ0

4π〈~p′| ~µ× ~r

r3· ~p |~p〉

132

Osservando che (~µ× ~r) · ~p = (~p× ~µ) · ~r, l’integrale diventa

∫eiqr cos θ (~p× ~µ) · ~r

r3r2drd cos θdφ = 〈(~p× ~µ) · ~q〉 4πi

q2

Quindi, a parte un fattore angolare, l’elemento di matrice e

|〈~p′| HI |~p〉|2 =z2

m2V 2

(eµ0

4π

)2 16π2 µ2p2

q2

La probabilita di transizione nell’unita di tempo per interazione tra la carica ze e ilmomento magnetico della particella bersaglio µ = eh/2M

dPi→f =2π

hz2(

e

4πε0c2

)2(eh

2M

)21

m2V 2

16π2h2p2

4p2 sin2 θ/2

V

8π3h3 pm dΩ =

=v

Vz2r2

e

(mec2)2

4p2 sin4 θ/2

1

c2

(∆p)2

(2Mc)2dΩ

ci da, dividendo per il flusso iniziale, la sezione d’urto di scattering

dσ

dΩ= z2r2

e

(mec2)2

4p2v2 sin4 θ/2· v

2

c2

(∆p)2

(2Mc)2

proporzionale alla sezione d’urto di Rutherford e ad un fattore che dipende dallavelocita e dal quadrato del rapporto tra l’impulso trasferito e la massa della particellabersaglio e che quindi e molto piccolo se ∆p Mc e se la particella incidente nonha energia elevata.

1.7.8 Fattore di forma magnetico

Se la particella bersaglio ha una struttura con una densita di magnetizzazione ~M(~r′)in una regione di spazio R, l’integrale nell’elemento di matrice viene modificato

∫ei~q·~r

∫

R

~M(~r′)× (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

d~r′ d~r =∫ei~q·~s

∫

Rei~q·

~r′~M(~r′)× ~s

s3d~r′ d~s =

∫

Rei~q·

~r′ ~M(~r′)d~r′ ×∫ ei~q·~s ~s

s3d~s

L’integrale contiene la trasformata di Fourier della densita di magnetizzazione cioeil

fattore di forma magnetico ~FM(~q) =∫

Rei~q·~r ~M(~r) d~r

con la normalizzazione

~FM(q = 0) =∫

R

~M(~r) d~r = ~µ

133

dove ~µ e il momento magnetico della particella. La sezione d’urto di scatteringdalla distribuzione di magnetizzazione e uguale al prodotto della sezione d’urto discattering da una particella puntiforme con momento magnetico ~µ nel baricentrodella distribuzione per il quadrato del modulo del fattore di forma magnetico

dσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)

punto

|~FM(~q)|2

Possiamo quindi ripetere le considerazioni fatte sopra e definire i momenti delladistribuzione di magnetizzazione, il raggio quadratico medio della distribuzione etc.

1.7.9 Forma relativistica della sezione d’urto di Rutherford

Se la velocita relativa delle particelle non e piccola rispetto alla velocita della luce,occorre usare la cinematica relatistica (appendice 4.6). Questo permette anche diintrodurre la dipendenza delle sezioni d’urto dallo spin delle particelle che e unfenomeno tipicamente relativistico. Consideriamo lo scattering di una particella dimassa m e 4-impulso P da una particella di massa M e 4-impulso Po. Manteniamol’ipotesi m M , che e vera nella maggior parte degli esperimenti in cui si studiala struttura dei nuclei con fasci di elettroni, e facciamo l’ipotesi E mc2, anchequesta verificata nella maggior parte dei casi di interesse. Nel riferimento in cui laparticella M e in quiete abbiamo (usiamo la convenzione c = 1 )

stato iniziale P = (~p, E) Po = (0,M)

stato finale P ′ = (~p′, E ′) P ′o = (~p′o, E′o)

La conservazione di energia-impulso richiede

P + Po = P ′ + P ′o P − P ′ = q = P ′o − Podove q e il 4-impulso trasferito q = (~q, ν) = (~p− ~p′, E − E ′)

q2 = (P −P ′)2 = P 2 +P ′2−2 EE ′+2 ~p ·~p′ ≈ 2m2−2EE ′(1−cos θ) ≈ −4pp′ sin2 θ/2

q2 e di tipo spazio (space-like). Analogamente per le variabili della particella bersaglio

q2 = (P ′o − Po)2 = P ′2o + P 2o − 2 EoE

′o + 2 ~po · ~p′o = 2M2 − 2ME ′o

Si ha scattering elastico se l’energia trasferita e molto piu piccola dell’energia chetiene legata la particella bersaglio, ν Elegame

o M . In questo caso la particellabersaglio rimane uno stato legato con massa M che rincula con energia cinetica ν eenergia totale

E ′o = M − q2

2M= M + ν

Il processo di scattering elastico e caratterizzato da

−q2 = 2Mν ~q 2 = ν2 − q2 = q2 q2

4M2− q2 ≈ −q2

134

La particella m e deflessa ad angolo polare θ con impulso

p′ ≈ p

1 + (p/M)(1− cos θ)=

p

1 + (2p/M) sin2 θ/2

dove abbiamo fatto l’ipotesi che l’energia della particella nello stato finale sia E ′ mc2 (e la relazione dell’effetto Compton). L’elemento di matrice e lo stesso calcolatoin precedenza per lo scattering Rutherford. Nel calcolo della densita degli stati finalidobbiamo tener conto dell’energia cinetica ceduta alla particella bersaglio

Ef = E ′+E ′o ≈ p′+M +2pp′ sin2 θ/2

MdEf =

(1 +

2p sin2 θ/2

Mc

)cdp′ =

cp

p′dp′

dove abbiamo re-introdotto i fattori c per tener conto delle dimensioni.La sezione d’urto si ottiene come nel caso precedente. Per una particella di carica

e e velocita v ≈ c risulta

dσ

dΩ= Z2r2

e

(mec2)2

4p2c2 sin4 θ/2

p′

p= Z2r2

e

(mec2)2

4p2c2 sin4 θ/2

1

1 + (2p/Mc) sin2 θ/2

Possiamo esprimere la sezione d’urto in forma invariante in funzione del 4-impulsotrasferito, dq2 = −2pp′ d(1− cos θ) = 2pp′d cos θ = pp′dΩ/π

dσ

dq2=dσ

dΩ

dΩ

dq2= Z2 4r2

e(mec2)2

q4

p′3

p

π

pp′= Z2 4πα2(hc)2

q4

(p′

p

)2

1.7.10 Sezione d’urto di Dirac

La sezione d’urto di Rutherford non tiene conto dello spin delle particelle: e validaper particelle di spin 0. L’equazione del moto di una particella relativistica di spin1/2, l’equazione di Dirac (appendice 4.19), prevede che l’elicita, h = ~s · ~p/|~s||~p|, siconservi ad alta energia. Gli stati di elicita di un fermione di spin 1/2 sono h = ±1e la probabilita che un fermione [antifermione] con velocita βc abbia elicita h = −1[h = +1] e uguale a (1 + β)/2 [(1 − β)/2]. Per particelle con E mc2 possiamoconsiderare il limite β → 1. Se un elettrone con elicita nello stato iniziale h = −1viene deflesso ad angolo polare θ, la conservazione del momento angolare e dell’elicitaintroduce un nuovo fattore nella sezione d’urto differenziale.

Gli stati iniziale e finale sono autostati dell’operatore di spin, |~s|, e della compo-nente sz rappresentati dalle matrici di Pauli

σx =

(0 11 0

)σy =

(0 −ii 0

)σz =

(1 00 −1

)σ2 = σ2

x + σ2y + σ2

z

Lo stato iniziale e |1/2,−1/2〉. Lo stato finale sara una combinazione dei due stati|1/2,+1/2〉 e |1/2,−1/2〉 che rappresentiamo come autostati delle matrici di Pauli

|1/2,+1/2〉 =

(10

)|1/2,−1/2〉 =

(01

)

135

con autovalori ±1/2. Nella transizione dallo stato iniziale (assumiamo pi ‖ z) allostato finale interviene l’operatore di rotazione attorno ad un asse normale all’asse z(appendice 4.10)

Ry(θ) = eisyθ = eiσyθ/2 = cos θ/2 + iσy sin θ/2 =

=

(cos θ/2 0

0 cos θ/2

)+ i

(0 −i sin θ/2

i sin θ/2 0

)=

(cos θ/2 sin θ/2− sin θ/2 cos θ/2

)

Gli elementi di matrice della rotazione sono

〈1/2,−1/2|Ry(θ)|1/2,−1/2〉 =(

0 1)( cos θ/2 sin θ/2− sin θ/2 cos θ/2

)(01

)= cos θ/2

〈1/2,+1/2|Ry(θ)|1/2,−1/2〉 =(

1 0)( cos θ/2 sin θ/2− sin θ/2 cos θ/2

)(01

)= sin θ/2

Se la particella bersaglio ha spin 0 non puo modificare lo stato di momento angolaresz dell’elettrone e si ha solo il primo elemento di matrice. La sezione d’urto vienemodificata per il fattore |〈1/2,−1/2|Ry(θ)|1/2,−1/2〉|2 = cos2 θ/2 ed e chiamata

sezione d’urto di Mottdσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)

Ruth

cos2 θ/2

Il fattore cos2 θ/2 sopprime la deflessione ad angoli grandi, θ ≈ π, che per la conser-vazione dell’elicita comporterebbe l’inversione dello spin.

• Nota: questa e l’espressione della sezione d’urto di Mott nel limite β → 1. Peruna particella di velocita βc si ha

(dσ

dΩ

)

Mott

=

(dσ

dΩ

)

Ruth

(1− β2 sin2 θ/2)

Se la particella bersaglio ha spin 1/2, si hanno due contributi: lo scattering perinterazione con la carica elettrica, in cui compare il fattore cos2 θ/2, e l’interazionecol momento magnetico della particella bersaglio, con inversione degli spin, chee rappresentata dal fattore sin2 θ/2. Per un fermione di spin 1/2 e massa M , confattore giromagnetico g = 2 e momento magnetico µ = 2(e/2M)(h/2), la probabilitadi interazione magnetica va sommata alla probabilita di interazione elettrica e siottiene, per β → 1, la

sezione d’urto di Diracdσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)

Ruth

[cos2 θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

]

Q2 = −q2 = 4pp′ sin2 θ/2 e il quadrato del 4-impulso trasferito e il fattore 2 tieneconto della molteplicita degli stati di spin 1/2.

136

1.7.11 Sezione d’urto di Rosenbluth

Se la particella bersaglio ha fattore giromagnetico g 6= 2, cioe ha momento magneticoanomalo caratterizzato da g = 2(1+κ), la sezione d’urto viene modifica nella sezioned’urto di Rosenbluth

dσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)

Ruth

[(1 +

Q2

4M2κ2

)cos2 θ/2 +

Q2

4M2(1 + κ)22 sin2 θ/2

]

Se inoltre la particella bersaglio ha una struttura caratterizzata da una densita dicarica ρ(~r) e di magnetizzazione ~M(~r) (il momento magnetico anomalo e in effettiprodotto da una distribuzione non puntiforme) si introducono i fattori di formaelettrico FE(q2) e magnetico FM(q2) che modificano la sezione d’urto nella forma

dσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)

Ruth

[(F 2E +

Q2

4M2κ2F 2

M

)cos2 θ/2 +

Q2

4M2(FE + κFM)22 sin2 θ/2

]

Per il protone e il neutrone la normalizzazione dei fattori di forma e

F pE(0) = F p

M(0) = 1 F nE(0) = 0 F n

M(0) = 1

In luogo di questi due fattori di forma si utilizzano di solito le combinazioni

GE(q2) = FE(q2)− Q2

4M2κFM(q2) GM(q2) = FE(q2) + κFM(q2)

con la normalizzazione

GpE(0) = 1 Gn

E(0) = 0 GpM(0) = 1 + κp = µp Gn

M(0) = 1 + κn = µn

e la sezione d’urto di Rosenbluth si esprime

dσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)

Ruth

[G2E + (Q2/4M2)G2

M

1 +Q2/4M2cos2 θ/2 +

Q2

4M2G2M 2 sin2 θ/2

]=

=

(dσ

dΩ

)

Mott

[G2E + (Q2/4M2)G2

M

1 +Q2/4M2+

Q2

4M2G2M 2 tan2 θ/2

]

Dall’analisi della forma della sezione d’urto possiamo osservare che

• per Q2 (2Mc2)2 domina il contributo dell’interazione con la carica elettricadel bersaglio, dσ/dΩ ≈ G2

E;

• per Q2 (2Mc2)2 domina il contributo dell’interazione con il momento mag-netico del bersaglio, dσ/dΩ ≈ G2

M ;

• misurando il modulo dell’impulso dell’elettrone nello stato finale, p′, e l’angolodi scattering, θ, si possono misurare sia G2

E che G2M studiando la dipendenza

della sezione d’urto da Q2 e tan2 θ/2 (Fig.1.56);

137

0 . 0 0

0 . 0 1

0 . 0 2

0 . 0 3

0 . 0 4

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 . 2

q2 = 3 GeV2

t g2 /2q

sezio

ne

d'u

rto

ele

ttro

ne-p

ro

ton

e

Figure 1.56: Sezione d’urto elettrone-nucleone in funzione di tan2 θ/2

• l’estrapolazione dei dati sperimentali a Q2 → 0 determina la carica Ze e ilmomento magnetico µ della particella bersaglio.

Per avere informazioni dettagliate sulle proprieta di particelle con una struttura didimensione spaziale R occorrono due condizioni

• che la particella del fascio abbia caratteristiche ben note e, possibilmente, abbiauna struttura elementare; questa condizione e ben assicurata dagli elettroni;

• che la lunghezza d’onda associata all’impulso trasferito sia molto minore delledimensioni della particella bersaglio h/∆p = h/(4pp′ sin2 θ/2)1/2 R, cioeche l’impulso del fascio sia sufficientemente elevato.

1 0- 4

1 0- 3

1 0- 2

1 0- 1

1 00

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

Gm

/mp

(1 + q2/0 .71)- 2

q2 (GeV2 )

fatt

ore

di

form

a

ma

gn

eti

co

d

el

pro

ton

e

Figure 1.57: Fattore di forma magnetico del protone in funzione di q2

Le misure iniziate da Robert Hofstadter 35 nel 1958 con fasci di elettroni e bersagli diprotoni, neutroni e nuclei leggeri (Fig.1.57) hanno fornito importanti risultati sulle


138

proprieta di queste particelle (in realta non esistono neutroni liberi, le misure sonofatte con bersagli di idrogeno e deuterio e le informazioni sul neutrone sono estratteper confronto)

• i fattori di forma GpE(q2), Gp

M(q2)/µp, GnM(q2)/µn hanno la stessa dipendenza

da q2 che viene parametrizzata nella forma

G(q2) =1

(1 + q2/q2o)

2

da cui si deriva q2o = 0.71 GeV 2;

• questa e la trasformata di Fourier di una distribuzione di carica e di magne-tizzazione esponenziale

ρ(r) ≈M(r) ≈ e−qor

• il raggio quadratico medio delle distribuzioni rappresenta l’estensione spazialedel protone e del neutrone, il valore e

√〈 r2〉 =

√12

hc

qo≈ 0.8 10−13 cm

• i momenti magnetici, espressi in magnetoni nucleari, sono

µp = +2.792 µN µn = −1.913 µN µN =eh

2mp

in ottimo accordo con i risultati delle misure effettuate con il metodo dellarisonanza magnetica nucleare (capitolo 2.1).

1.8 Scattering da potenziale

Nel capitolo ?? abbiamo introdotto la sezione d’urto e derivato alcuni esempi sullabase delle conoscenze di fisica classica e nel capitolo 1.7 abbiamo calcolato la sezioned’urto di alcuni processi elementari sulla base dei metodi perturbativi della mecca-nica quantistica. Gli esempi che abbiamo trattato riguardano processi di interazioneelettromagnetica. I risultati sperimentali sono in accordo con le previsioni del mod-ello teorico. I principali motivi del successo del modello sono

• il potenziale e derivato dalle leggi ben verificate dell’elettromagnetismo clas-sico;

• il modello e basato su solide leggi di simmetria: l’invarianza per trasformazionidi Lorentz, di gauge, di coniugazione di carica, . . .;

139

• lo sviluppo in serie del calcolo perturbativo converge rapidamente perche lacostante adimensionale caratteristica dell’interazione elettromagnetica e pic-cola

α =e2

4πεohc≈ 1

137 1

La trattazione delle interazioni nucleari e notevolmente piu complessa perche

• non c’e un analogo classico su cui basare ipotesi;

• la hamiltoniana di interazione non e nota;

• l’interazione e molto piu intensa dell’interazione elettromagnetica e i metodiperturbativi non danno risultati affidabili.

Poiche gran parte dell’informazione sperimentale e basata sullo studio di reazioninucleari e di scattering di particelle da nuclei e opportuno impostare in modo piugenerale lo studio di questi processi.

1.8.1 Scattering da potenziale radiale

Consideriamo lo scattering di una particella di massa m1 dalla particella bersagliodi massa m2 descritta in meccanica non relativistica dalla equazione del moto

ih∂

∂tψ(~r1, ~r2, t) =

[− h2

2m1

∇21 −

h2

2m2

∇22 + U(~r1, ~r2)

]ψ(~r1, ~r2, t)

La soluzione si puo fattorizzare nelle coordinate del moto relativo tra le particelle enelle coordinate del baricentro

~r = ~r1 − ~r2~R =

m1~r1 +m2~r2

m1 +m2

L’equazione del moto si modifica nella forma

ih∂

∂tψ(~r, ~R, t) =

[− h2

2M∇2R −

h2

2m∇2r + U(~r)

]ψ(~r, ~R, t)

con M = m1 +m2 e m = (m1m2)/(m1 +m2). La soluzione

ψ(~r, ~R, t) = u(~r)v(~R)e−i(Er+ER)t/h

soddisfa le equazioni

− h2

2M∇2Rv(~R) = ERv(~R)

[− h2

2m∇2r + U(~r)

]u(~r) = Eru(~r)

• la prima equazione descrive il moto del centro di massa che si muove di motorettilineo uniforme;

140

• la seconda equazione, che e quella che ci interessa, descrive l’interazione delledue particelle nel sistema del centro di massa.

Tutte le considerazioni che seguono si riferiscono al sistema del centro di massa.Facciamo le seguenti ipotesi aggiuntive

• il potenziale U(~r) si annulla per r →∞ con un andamento piu rapido di 1/r;

• se R e la dimensione del sistema in studio, le osservazioni sono fatte a distanzar R;

• il potenziale e a simmetria sferica, U(~r) = U(r).

Al tempo t = −∞ e a distanza r R si ha U(r)→ 0, l’equazione diventa

∇2u(~r) + k2u(~r) = 0 E =h2k2

2m

Lo stato iniziale e lo stato di particelle libere con impulso ~p = h~k (nel sistema delcentro di massa) che assumiamo parallelo all’asse z

ui(~r) =1

V 1/2eikz

Al tempo t = +∞ e a distanza r R ipotizziamo una soluzione del tipo

uf (~r) =1

V 1/2

[eikz + f(θ, φ)

eikr

r

]

sovrapposizione dell’onda piana ui(~r) e di un’onda sferica che ha origine nel centrodi massa del sistema e ha ampiezza f(θ, φ) detta ampiezza di scattering (Fig.1.58).Per ottenere la sezione d’urto calcoliamo il flusso incidente e il flusso diffuso dal

l

q

stato in.

eikz

e-ikr

re

+ikr

r

stato fin.

Figure 1.58: Scattering da potenziale

potenziale ad un angolo θ, φ

Φi =h

2im(u∗i∇ui − ui∇u∗i ) =

hk

V m

141

Φd =h

2imV|f(θ, φ)|2

[e−ikr

r

∂

∂r

eikr

r− eikr

r

∂

∂r

e−ikr

r

]=

1

r2

hk

V m|f(θ, φ)|2

Il numero di particelle emesse nell’unita di tempo con angolo di scattering Ω end(Ω) = Φdr

2 e quindi la sezione d’urto differenziale e pari al modulo quadrodell’ampiezza di scattering

dσ

dΩ=nd(Ω)

Φi

= |f(θ, φ)|2

1.8.2 Approssimazione di Born

Se il potenziale U(r) e noto, la soluzione dell’equazione non omogenea (normalizzatain un volume V = 1) e del tipo

u(~r) = eikz +2m

h2

∫ eik|~r−~r′|

4π|~r − ~r′|U(r′)ψ(r′)d~r′

che, per r →∞,

|~r − ~r′| reik|~r−

~r′|

|~r − ~r′|≈ eikr

re−i

~k′·~r′ ~k′ = kr

possiamo approssimare

u(~r) = eikz +m

2πh2

∫ eikr

re−i

~k′·~r′ U(r′)ψ(r′)d~r′ = eikz +

+m

2πh2

eikr

r

∫e−i

~k′·~r′ U(r′)

[ei~k·~r′ +

m

2πh2

eikr′

r′

∫e−i

~k′· ~r′′ U(r′′)(ei~k· ~r′′ + . . .

)d~r′′

]d~r′

Con queste ipotesi la soluzione e rappresentata dallo sviluppo in serie

u(~r) = eikz +m

2πh2

eikr

r

∫ei(

~k−~k′)·~r′ U(r′)d~r′ +

+(

m

2πh2

)2 eikr

r

∫ eikr′

r′e−i

~k′·~r′ U(r′)∫ei(

~k−~k′)· ~r′′ U(r′′) d~r′′ d~r′ + . . .

Il primo termine della serie e l’ampiezza di scattering in approssimazione di Born

f(θ, φ) =m

2πh2

∫ei~q·~r U(r)d~r ~q = ~k − ~k′

Se sostituiamo in questa relazione il potenziale coulombiano

U(r) =zZe2

4πε0r⇒ f(θ, φ) =

zZremec2

2pv sin2 θ/2

troviamo la sezione d’urto di Rutherford.

142

1.8.3 Sviluppo in onde parziali

Se il potenziale U(r) non e noto, possiamo comunque cercare le proprieta dell’ampiezzadi scattering sulla base delle ipotesi che il potenziale sia a simmetria sferica e che siannulli per r →∞. Nel sistema del centro di massa possiamo sviluppare la soluzionedell’equazione del moto, l’onda piana incidente e l’onda diffusa, in autofunzioni delmomento angolare facendo una ipotesi aggiuntiva che

• lo stato iniziale e finale abbiano simmetria azimutale, cioe non dipendanodall’angolo φ

Con queste ipotesi, lo stato iniziale e finale si possono sviluppare in autofunzioni delmomento angolare ~l, lz, con lz = 0

Yl0(θ) =

(2l + 1

4π

) 12

Pl(cos θ)

dove Pl(cos θ) sono i polinomi di Legendre. Per lo stato iniziale

ui(r, θ) = eikr cos θ =∑

l

il(2l + 1)jl(kr)Pl(cos θ) l = 0, 1, 2 . . .

le funzioni radiali che esprimono la dipendenza dalla distanza r sono le funzionisferiche di Bessel che hanno come andamento asintotico, la forma di onde sferiche

limkrl

jl(kr) =sin(kr − lπ/2)

kr

Quindi lo stato iniziale e rappresentato dalla sovrapposizione di due onde sfericheuna convergente verso il centro di massa e l’altra divergente dal centro di massa

limr→∞ui(r, θ) =

i

2k

∑

l

(2l + 1)

[(−1)l

e−ikr

r− eikr

r

]Pl(cos θ)

Analogamente rappresentiamo lo stato finale come sovrapposizione di onde sferiche

uf (r, θ) = ui(r, θ) + f(θ)eikr

r=

i

2k

∑

l

(2l + 1)

[(−1)l

e−ikr

r− al

eikr

r

]Pl(cos θ)

dove le ampiezze al rappresentano l’azione del potenziale sulla componente l dell’ondasferica divergente. L’azione del potenziale risulta in uno sfasamento e un coefficientedi assorbimento dello stato iniziale

al = ηl e2iδl con ηl δl reali 0 ≤ ηl ≤ 1

Lo scattering dal potenziale e rappresentato dallo stato

ud(r, θ) = uf (r, θ)− ui(r, θ) =i

2k

eikr

r

∑

l

(2l + 1)(1− al)Pl(cos θ)

143

con ampiezza di scattering

f(θ) =i

2k

∑

l

(2l + 1)(1− al)Pl(cos θ)

Troviamo quindi la sezione d’urto differenziale

dσ

dΩ= |f(θ)|2 =

1

4k2

∑

l

∑

l′(2l + 1)(2l′ + 1)(1− a∗l )(1− al′)PlPl′

e, usando la proprieta di ortonormalita dei polinomi di Legendre,

∫Pl(cos θ)P ′l (cos θ) d cos θdφ =

4π

2l + 1δll′

troviamo la sezione d’urto di scattering

∫ dσ

dΩd cos θdφ =

1

4k2

∑

l

∑

l′(2l + 1)(2l′ + 1)(1− a∗l )(1− al′)

4π

2l + 1δll′

σd =πh2

p2cm

∑

l

(2l + 1)|1− al|2

1.8.4 Sezione d’urto elastica e di reazione

Lo scattering elastico e caratterizzata da ηl = 1

1− al = 1− e2iδl = eiδl(e−iδl − eiδl) = −2ieiδl sin δl

In questo caso l’azione del potenziale non cambia l’ampiezza ma cambia solo la fasedell’onda diffusa. La sezione d’urto elastica

σel =4πh2

p2cm

∑

l

(2l + 1) sin2 δl

e la somma, pesata per il fattore di molteplicita 2l+1, dei contributi dei diversi valoridel momento angolare relativo delle particelle m1,m2. Quando la fase della singolacomponente e δl = π/2, l’ampiezza di scattering fl(θ) e puramente immaginaria e lasezione d’urto σl ha il valore massimo. Questa e chiamata condizione di risonanzaper l’onda parziale l.

Se ηl < 1 lo scattering e inelastico perche parte del flusso incidente e assorbitodal bersaglio. Il flusso assorbito dell’onda parziale l e pari a Φi(1−|al|2) e la sezioned’urto di assorbimento o sezione d’urto di reazione

σabs =πh2

p2cm

∑

l

(2l + 1)(1− |ηl|2)

rappresenta i processi in cui una o entrambe le particelle cambiano natura nellostato finale.

144

Si puo avere scattering elastico senza altri processi: se ηl = 1 si ha σabs = 0.Ma non si puo avere scattering inelastico senza avere anche scattering elastico:come in ottica, un bersaglio che assorbe l’onda incidente produce anche diffrazione.L’ampiezza di scattering dell’onda parziale l puo essere puramente immaginaria, ma,se ha una parte reale, ha anche una parte immaginaria.

La sezione d’urto totale e data dal contributo di scattering elastico e di assorbi-mento

σtot = σel + σabs =πh2

p2cm

∑

l

(2l + 1)[(1− 2<al + |al|2) + (1− |al|2)

]

σtot =2πh2

p2cm

∑

l

(2l + 1)(1−<al)

Da queste considerazioni ricaviamo due importanti conclusioni

• La sezione d’urto di un processo, nello stato di momento angolare l, non puosuperare il valore che corrisponde al massimo della probabilita di scattering

σl ≤4πh2

p2cm

(2l + 1)

detto anche limite di unitarieta.

• L’ampiezza di scattering ha una parte immaginaria, legata allo scattering elas-tico, e una parte reale

f(θ) =h

2pcm

∑

l

(2l + 1)[i(1−<al) + =al]Pl(cos θ)

La parte immaginaria dell’ampiezza di scattering in avanti, cioe per θ → 0,Pl(cos θ)→ 1,

limθ→0=f(θ) =

h

2pcm

∑

l

(2l + 1)(1−<al)

e proporzionale alla sezione d’urto totale

σtot =4πh

pcm=f(θ = 0)

Questa relazione, dedotta da Niels Bohr e Rudolf Peierls, e chiamata teoremaottico.

1.8.5 Scattering da un disco

Consideriamo lo scattering di un’onda piana da un disco di raggio R normale alladirezione di propagazione z e facciamo l’ipotesi che R rappresenti l’estensione di unnucleo, R ≈ 10−13 cm. L’asse z passante per il centro del disco e un asse di simmetria

145

del processo di scattering. Osserviamo lo stato finale rappresentato dall’onda diffusaa distanza r R e angolo polare θ. Il momento angolare e

l =|~r × ~p|h

= rk sin θ = kb

dove b e il parametro d’urto.

• A bassa energia, se pcm h/R ≈ 200 MeV/c, il contributo dominante edovuto allo scattering nello stato di momento angolare l = 0 (onda S ). Torner-emo su questo piu avanti.

• A energia elevata, pcm 200 MeV/c, vi e invece il contributo di molti statidi momento angolare, l = 0, 1, 2, . . . , lmax = kR. Nel seguito consideriamoil caso di alta energia che, come abbiamo visto, e interessante per studiare lastruttura di una particella di dimensione R.

Se il disco e completamente assorbente, disco nero, si ha ηl = 0 per ogni stato dimomento angolare e la sezione d’urto di scattering elastico e la sezione d’urto diassorbimento sono uguali

σel = σabs =π

k2

∑

l

(2l + 1)

Il contributo di ogni onda parziale e uguale all’area della corona circolare con raggiopari al parametro d’urto, b = l/k, (Fig.1.59)

∆σl = π(b+ ∆b)2 − πb2 =π

k2[(l + 1)2 − l2] =

π

k2(2l + 1)

e la sezione d’urto si ottiene sommando su tutti i possibili valori di l

l

b

∆σ = 2πb∆b = πλ (2l+1)2

l h = b p

Figure 1.59: Scattering da un disco assorbente

σel + σabs =2π

k2

lmax∑

l=0

(2l + 1) =2π

k2(lmax + 1)2 = 2π(R + λ)2 λ =

1

k

• se R λ, σtot = 2πλ2, la sezione d’urto totale e definita dalla lunghezzad’onda di De Broglie nel riferimento del centro di massa;

146

• se R λ, σtot = 2πR2, la sezione d’urto totale e pari al doppio dell’area deldisco.

Quindi, nel caso di scattering da un disco nero a energia elevata, la sezione d’urtodi assorbimento e pari all’area del disco, mentre la sezione d’urto totale e pari aldoppio dell’area del disco. Questo e dovuto all’interfenza tra l’onda piana incidentee l’onda diffusa che deve essere tale da annullare l’ampiezza di scattering in avantinella zona d’ombra del disco.

In ottica, quando la lunghezza d’onda e molto minore delle dimensioni di unostacolo, λ = h/p R, a distanza r R si osserva la diffrazione di Fraunhofer cheha le seguenti caratteristiche

• l’intensita della luce diffusa e concentrata ad angoli piccoli, θ < λ/R;

• si osservano minimi e massimi dell’intensita;

• l’ampiezza dell’onda diffusa e proporzionale alla trasformata di Fourier delladensita superficiale dell’ostacolo.

Nel caso dello scattering per interazione nucleare, lo stato iniziale e lo stato finalea distanza r R sono approssimati con stati di particella libera, analoghi ai raggidi luce in ottica, ed e quindi interessante esaminare le previsioni di un modellobasato sull’analogia tra la diffusione della luce da un disco assorbente e l’interazionenucleare tra particelle.

Se l 1 possiamo sostituire la somma sugli stati discreti con un integrale sulparametro d’urto e i polinomi di Legendre con le funzioni di Bessel

lmax∑

l=0

→∫ kR

odkb Pl(cos θ)→ Jo(lθ)

Se siamo interessati allo scattering ad angoli piccoli, l’ampiezza di scattering infunzione della componente trasversa dell’impulso nel centro di massa, q = k sin θ ≈kθ = lθ/b, e

f(~q) =i

2k

∑

l

(2l + 1) (1− al)Pl(cos θ)→ i

2k

∫(2kb+ 1)[1− a(b)]Jo(qb) dkb

Usando la rappresentazione della funzione di Bessel Jo(x), con x = qb = kθr,

Jo(x) =1

2π

∫ 2π

oeix cosφdφ

l’ampiezza di scattering diventa un integrale sul vettore parametro d’urto, d~b =bdbdφ,

f(~q) =ik

2π

∫ei~q·

~b [1− a(~b)] d~b

147

dove [1−a(~b)] e l’ampiezza dell’onda diffusa ad angolo polare θ dai punti del disco conparametro d’urto nell’intervallo b÷ b+db. L’ampiezza di scattering e la trasformatadi Fourier in due dimensioni della funzione di profilo del disco, Γ(~b) = 1− a(~b).

Se il disco e completamente assorbente, Γ(~b) = costante = 1, si ha

f(~q) = ik∫ kθR

o

1

2π

∫ 2π

oeix cosφdφ

xdx

(kθ)2=

ik

k2θ2

∫ kθR

oxJo(x)dx

e, tenendo conto della proprieta delle funzioni di Bessel,∫x′nJn−1(x′)dx′ = xnJn(x),

troviamo

f(~q) = ikR2 J1(kθR)

kθRQuindi lo scattering da un disco completamente assorbente e caratterizzato da

• l’ampiezza di scattering e puramente immaginaria;

• la sezione d’urto di scattering elastico

dσ

dΩ= |f(~q)|2 = k2R4

[J1(kθR)

kθR

]2

e una funzione oscillante con il primo minimo per θ = 3.84/kR;

• la sezione d’urto di scattering elastico e pari alla sezione geometrica del disco

σel =∫ dσ

dΩdΩ = πR2

• il limite per q → 0 dell’ampiezza di scattering e

limx→0

J1(x) =x

2limq→0

f(~q) =ikR2

2

• la sezione d’urto totale e pari al doppio della sezione geometrica del disco

σtot =4π

k=f(~q = 0) =

4π

k

kR2

2= 2πR2

1.8.6 Sezione d’urto protone-protone

Le previsoni del modello ottico riproducono qualitativamente i risultati dello scat-tering a energia elevata di protoni e neutroni da nuclei con peso atomico A grande.Nel caso dello scattering protone-protone (neutrone-protone o antiprotone-protone)la previsione σel/σtot = 1/2 non e confermata dai risultati sperimentali. Questo none sorprendente perche i risultati di esperimenti di scattering elastico di elettroni daprotoni e neutroni indicano che la distribuzione di carica elettrica e di magnetiz-zazione e diversa dall’ipotesi del disco assorbente. Supponiamo che la funzione diprofilo sia una distribuzione gaussiana

Γ(~b) = e−b2/R2

∫Γ(~b)d~b = πR2

148

In questo caso l’ampiezza di scattering e

f(~q) =ik

2π

∫ei~q·

~be−b2/R2

d~b =ik

2R2e−q

2R2/4

e la sezione d’urto di scattering elastico e

dσ

dΩ= |f(~q)|2 =

k2R4

4e−q

2R2/2

Questa si puo esprimere in funzione del quadrato del 4-impulso trasferito

t = −4(pcmc)2 sin2 θ/2 ≈ −(hc)2k2θ2 dΩ ≈ 2πθdθ =

π

(hc)2k2dt

dσ

dt=dσ

dΩ

dΩ

dt=p2cmR

4

4h2 e(R/hc)2t/2

Da queste relazioni otteniamo la sezione d’urto di scattering elastico e la sezioned’urto totale

σel =∫ dσ

dtdt =

πR2

2σtot =

4π

pcm

pcmR2

2= 2πR2

Quindi per valutare il parametro R della funzione di profilo, cioe il raggio medio delprotone in interazioni nucleari ad alta energia, possiamo fare due misure indipendenti

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 1 0 1 0 0

protone-antiprotone

protone-protone

energia totale (GeV)

b

(G

eV

2)

d /dt = ebts

Figure 1.60: Dipendenza da t della sezione d’urto elastica in funzione dell’energianel centro di massa.

• misurare l’andamento della sezione d’urto elastica in funzione del 4-impulsotrasferito, dσ/dt (Fig.1.60). I risultati mostrano che, per piccoli valori dell’angolo

149

di scattering, t → 0, la sezione d’urto ha un andamento esponenziale e che ilparametro (R/hc)2/2 e approssimativamente indipendente dall’energia

(R/hc)2

2≈ 10 GeV −2 ⇒ R ≈ 0.9 10−13 cm

• misurare la sezione d’urto totale, σtot (Fig.1.61). I risultati mostrano che,per pcm Mpc, la sezione d’urto totale e approssimativamente indipendentedall’energia

σtot = 2πR2 ≈ 40 mb ⇒ R ≈ 0.8 10−13 cm

• inoltre il confronto tra i risultati dell’estrapolazione per t → 0 della misuradella sezione d’urto di scattering elastico e i risultati della misura della sezioned’urto totale confermano la validita del teorema ottico.

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

1 1 0 1 0 0

antiprotone-protone

protone-protone

energia totale (GeV)

sT

OT

(mb

arb

)

Figure 1.61: Sezione d’urto totale in funzione dell’energia nel centro di massa.

Da questi risultati possiamo concludere che la distribuzione di materia nucleare nelprotone, misurata in esperimenti di scattering protone-protone, neutrone-protone eantiprotone-protone, e consistente con la distribuzione di carica elettrica e di mag-netizzazione misurata in esperimenti di scattering elettrone-protone.

1.8.7 Scattering elastico risonante

Lo scattering elastico di due particelle puo avvenire con la formazione di uno statorisonante

m1 +m2 →M → m1 +m2

La massa dello stato intermedio M e pari all’energia totale nel centro di massa. Sele particelle m1, m2 hanno spin 0, lo spin dello stato M e pari al valore del momentoangolare l.

150

Nel caso di scattering elastico, ηl = 1, al = e2iδl , l’ampiezza di scattering

f(θ) =1

k

∑

l

(2l + 1)eiδl sin δlPl(cos θ)

e la somma pesata per il fattore di molteplicita, 2l + 1, e per il coefficiente cheesprime la distribuzione angolare, Pl(cos θ), delle ampiezze delle onde parziali

fl = eiδl sin δl =sin δl

cos δl − i sin δl=

1

cot δl − iche hanno il valore massimo quando lo sfasamento e δl = π/2. Se Er e il valoredell’energia nel centro di massa per cui si ha formazione dello stato intermedio,Er = Mc2, per E ≈ Er si ha

cot δl(E) = cot δl(Er) +

[d

dEcot δl(E)

]

Er

(E − Er) + . . .

Il primo termine dello sviluppo e nullo perche δl(Er) = π/2. Se definiamo la larghezzadello stato Γ

2

Γ=

[d

dEcot δl(E)

]

Er

otteniamo la dipendenza dall’energia dell’ampiezza di scattering dell’onda parzialel

fl(E) ≈ Γ/2

E − Er − iΓ/2La sezione d’urto elastica per E ≈ Er e

σl(E) ≈ 4πh2

p2cm

(2l + 1)(Γ/2)2

(E − Er)2 + (Γ/2)2

in cui compare la funzione lorentziana dell’oscillatore armonico che ha frequenzapropria Er, coefficiente di smorzamento Γ/2 ed e eccitato alla frequenza E.

La formula che esprime la sezione d’urto di formazione di uno stato risonante dimassa M e spin l e detta formula di Breit e Wigner. La sezione d’urto ha il massimoper E = Er

σmax = σl(Er) =4πh2

p2cm

(2l + 1)

e per valori dell’energia E = Er ± Γ/2 la sezione d’urto ha valore σl(Er ± Γ/2) =σl(Er)/2. La differenza tra questi due valori e la larghezza dello stato ∆E = Γ. Lavita media dello stato risonante e (appendice 4.14)

τ = h/Γ

Le considerazioni fatte sono valide per interazione di particelle di spin 0. Se leparticelle hanno spin 6= 0, la sezione d’urto di Breit e Wigner va modificata per tener

151

conto del peso statistico degli stati di spin. Se ~s1, ~s2, sono gli spin delle particellem1 e m2 e queste sono in uno stato di momento angolare relativo ~l, la sezione d’urtodi formazione dello stato risonante di massa M e spin J ( ~J = ~s1 + ~s2 + ~l) nelloscattering elastico m1 +m2 →M → m1 +m2 e

σJ(E) =4πh2

p2cm

2J + 1

(2s1 + 1)(2s2 + 1)

(Γ/2)2

(E −M)2 + (Γ/2)2

Per E = Mc2 l’impulso nel centro di massa e (appendice 4.6)

pcm =[(M2 −m2

1 −m22)2 − 4m2

1m22]1/2

2M

152

Chapter 2

Fisica nucleare

2.1 Proprieta dei nuclei

L’interpretazione degli spettri di emissione degli atomi e dell’esperimento di Ruther-ford sono alla base del modello atomico di Bohr-Sommerfeld

• l’atomo e costituito di un nucleo di carica +Ze;

• Z elettroni di carica −e sono legati al nucleo dal potenziale coulombianoZe2/4πε0r;

• la massa del nucleo e molto maggiore della massa dell’elettrone;

• la carica elettrica del nucleo e concentrata in una regione di spazio di dimen-sioni molto piu piccole delle dimensioni dell’atomo.

Le grandezze che caratterizzano i nuclei atomici e che danno informazioni sulla lorostruttura sono

• la massa, il raggio, lo spin;

• la carica elettrica, il momento di dipolo magnetico, il momento di quadrupoloelettrico, . . .

I nuclei sono degli stati legati con una struttura non elementare e l’interazionenucleare tra i costituenti ha caratteristiche (intensita, raggio d’azione, . . . ) moltodiverse dall’interazione elettromagnetica.

I nuclei sono indicati con il simbolo dell’elemento, X, il numero atomico, Z, e ilpeso atomico, A,

AZX

Il numero atomico indica la carica elettrica del nucleo, il peso atomico indica ilnumero di nucleoni (protoni e neutroni) costituenti il nucleo. Nel piano delle variabiliZ −A i nuclei stabili sono concentrati in una stretta banda, detta banda di stabilita(Fig.2.1), che indica una forte correlazione tra la carica elettrica e il numero di

153

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

0 4 0 8 0 1 2 0 1 6 0 2 0 0 2 4 0

A = mass number

Z =

a

tom

ic n

um

ber

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0

N = number of neutronsZ

=

n

um

ber o

f p

ro

ton

s

Figure 2.1: Banda di stabilita dei nuclei

costituenti. I nuclei con lo stesso valore di Z e diverso valore di A hanno le stesseproprieta atomiche e sono chiamati isotopi (perche occupano la stessa posizionenella tavola di Mendeleev). Nuclei con lo stesso valore di A e diverso valore di Zsono chiamati isobari (perche hanno massa approssimativamente uguale).

2.1.1 Carica elettrica dei nuclei

La carica elettrica dei nuclei e stata misurata studiando gli spettri di emissione deiraggi X degli elettroni negli orbitali K che non risentono dell’effetto di schermo daparte degli orbitali piu esterni. Nel 1913 Henry Moseley stabilı una relazione trala frequenza dei raggi X e il numero atomico degli elementi e mise in ordine nellatavola di Mendeleev tutti gli elementi allora noti

legge di Moseley hν =3

4Ry (Z − 1)2

(Ry = mec2α2/2 = 13.6 eV e l’energia di Rydberg) dimostrando che la carica

nucleare e un multiplo intero della carica elementare e.

2.1.2 Massa dei nuclei

La massa dei nuclei e determinata misurando la traiettoria di ioni in campi elettricie magnetici. Il metodo di misura e essenzialmente quello usato nell’esperimentodi Thomson (capitolo 1.1). Lo spettrometro di massa messo a punto da FrancisAston 1 nel 1920 e stato poi perfezionato fino a raggiungere precisione di misura


154

di ≈ 10−6. Il principio di funzionamento e mostrato nella Fig.2.2. Gli ioni emessidalla sorgente vengono accelerati da un campo elettrico e immessi nella zona tradue collimatori dove vi sono un campo elettrico e un campo magnetico ortogonalitra loro e ortogonali alla linea di volo in modo da selezionare gli ioni con carica q evelocita v

q E = q v B

Dopo il secondo collimatore vi e solo il campo magnetico e la traiettoria e un arcodi circonferenza di raggio

R =v

q BM

Per ridurre gli errori sistematici, le misure si fanno di solito per confronto tra nuclei

S

∆V

EB

B

rivelatore

Figure 2.2: Principio di funzionamento dello spettrometro di massa

che hanno differenza di massa molto piccola. Lo spettrometro di massa e anche usatoper separare gli isotopi di uno stesso elemento e misurarne l’abbondanza relativa. IlCarbonio, ad esempio, esiste in natura sotto forma di due isotopi con abbondanzarelativa

126C 0.9889 13

6C 0.0111

il peso atomico del carbonio naturale e il valor medio, 〈A〉 = 12.01In fisica nucleare si usa come unita di misura la Atomic Mass Unit, u, definita

massa dell’atomo dell’isotopo 126C ≡ 12 u

In queste unita, la massa dell’atomo di idrogeno e

M(11H) = 1.007825 u = 938.783 MeV/c2

Il fattore di conversione tra le unita di misura e

u = 931.494 MeV/c2

La tabella mostra il valore della massa atomica, in unita atomiche, e della massanucleare, in MeV/c2, per alcuni nuclei leggeri

155

simbolo massa atomica (u) massa atomica (MeV/c2)112

[ 126 C ] 1 931.494

elettrone e 0.511protone p 938.272neutrone n 939.566idrogeno 1

1H 1.007825 938.373deuterio 2

1H 2.014102 1875.613trizio 3

1H 3.016049 2808.921elio 4

2He 4.002603 3727.379

2.1.3 Energia di legame dei nuclei

L’energia di legame (Binding Energy) e la differenza tra la massa del nucleo e lasomma delle masse dei costituenti che chiameremo nucleoni (moltiplicata per c2)

Mnucleoc2 =

A∑

k=1

mkc2 −BE

Lo stato legato con massa piu piccola e il nucleo di deuterio che e un isotopodell’idrogeno composto da un protone e un neutrone (Z = 1, A = 2)

in unita atomiche BE = mp +mn +me −M(21H) = 0.002389 u

in unita nucleari BE = mp +mn −M(21H) = 2.225 MeV

Nel caso dell’atomo di deuterio l’energia di legame atomica e, a parte un piccolo fat-tore dovuto alla diversa massa ridotta, pari a quella dell’atomo di idrogeno, 13.6 eV ,ed e molto piu piccola dell’energia di legame del nucleo. In generale l’energia dilegame dei nucleoni nei nuclei e ≈ 106 volte maggiore dell’energia di legame deglielettroni negli atomi. Il nucleo dell’atomo di elio, 4

2He, la particella α, e in unaconfigurazione particolarmente stabile con energia di legame

in unita atomiche BE = 2mp + 2mn + 2me −M(42He) = 0.030379 u

in unita nucleari BE = 2mp + 2mn −M(42He) = 28.298 MeV

L’energia di legame dei nuclei con A piccolo non e una funzione regolare, ma perA ≥ 12 (Carbonio) l’energia di legame e con buona approssimazione proporzionaleal numero di nucleoni. Quindi l’energia di legame media di un nucleone nel nucleoe approssimativamente costante (Fig.2.3).

BE

A≈ costante ≈ 8 MeV

nucleone

156

0

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

0 4 0 8 0 1 2 0 1 6 0 2 0 0 2 4 0

en

erg

ia

di

leg

am

e

(M

eV

)

peso atomico (A)

7 . 0

7 . 5

8 . 0

8 . 5

9 . 0

0 4 0 8 0 1 2 0 1 6 0 2 0 0 2 4 0

en

erg

ia

di

leg

am

e

per

nu

cle

on

e

(M

eV

)

peso atomico (A)

Figure 2.3: Energia di legame dei nuclei stabili in funzione di A

2.1.4 Raggio dei nuclei

Parlare di raggio dei nuclei e improprio: occorre fornire una definizione operativa sucosa si misura e il metodo di misura. Informazioni sull’estensione spaziale dei nucleie sul raggio d’azione dell’interazione nucleare si ottengono con metodi diversi:

• con esperimenti di scattering (di particelle α, neutroni, protoni, elettroni, . . .);

• con misure di spettroscopia dei livelli atomici (questi dipendono dall’estensionedella carica elettrica del nucleo);

• dall’analisi dell’energia di legame dei nuclei;

• dallo studio dei decadimenti nucleari.

La prima evidenza dell’estensione finita dei nuclei e stata ottenuta da Rutherforde Chadwick studiando lo scattering di particelle α. La minima distanza di avvici-namento di una particella con carica elettrica ze e energia cinetica K ad un nucleodi carica Ze dipende dall’angolo di scattering θ ed e inversamente proporzionale aZ e a K. Rutherford e Chadwick misero in evidenza una marcata deviazione dallasezione d’urto di scattering coulombiano prevista per una carica puntiforme quandol’impulso trasferito e elevato, cioe quando la minima distanza di avvicinamento econfrontabile con il raggio d’azione delle forze nucleari, Rnucl,

K sin θ/2 > Z mec2 reRnucl

Poiche l’energia delle particelle α prodotte nei decadimenti nucleari (capitolo 2.6) econtenuta in un piccolo intervallo, Kα = 4÷8MeV , questo effetto era misurabile solo

157

con nuclei con Z piccolo. Da queste prime misure si ottenne che Rnucl e proporzionalealla radice cubica del peso atomico A

Rnucl = R0 A1/3 R0 ≈ 1.2 10−13 cm

Negli anni successivi, usando acceleratori di particelle, fu possibile raggiungere im-pulsi trasferiti piu elevati, ∆p > h/R, e studiare con molto maggior dettaglio lastruttura dei nuclei. Le informazioni che si ottengono dipendono dal tipo di par-ticella usata come sonda. Particelle α e protoni sono soggetti sia all’interazionecoulombiana che all’interazione nucleare. I neutroni sono soggetti alla sola inter-azione nucleare (l’interazione di dipolo magnetico e trascurabile a bassa energia).Gli elettroni non hanno interazioni nucleari e danno informazioni dettagliate sulladistribuzione di carica e di magnetizzazione dei nuclei.

I risultati di esperimenti di scattering di neutroni sono interpretati sulla basedello sviluppo dell’ampiezza di scattering in onde parziali (capitolo 1.8). Perche lasezione d’urto sia sensibile all’estensione del nucleo bersaglio, l’impulso nel centrodi massa neutrone-nucleo deve essere pcm > h/R ≈ 100 MeV/c che corrispondea energia cinetica nel laboratorio Kn > 10 MeV . La sezione d’urto di scatteringelastico e una funzione oscillante 2 che dipende dal raggio del nucleo, R,

dσ

dΩ= k2R4

(J1(kRsinθ)

kRsinθ

)2

pcm = hk

e quindi la posizione dei minimi e massimi dipende da R. La sezione d’urto direazione e la sezione d’urto totale dipendono dal quadrato del raggio del nucleo

σabs ' πR2 σtot ' 2πR2

Le misure della sezione d’urto differenziale e della sezione d’urto di reazione dineutroni non dipendono dalle proprieta elettromagnetiche del nucleo e fornisconorisultati sul raggio quadratico medio della distribuzione di materia nucleare nel nu-cleo.

Con esperimenti di scattering elastico di elettroni di alta energia, Ee = 100 ÷1000 MeV , si misurano i fattori di forma elettromagnetici dei nuclei e da questi siestrae la densita di carica elettrica ρ(r) e di magnetizzazione ~M(r). La sezione d’urtodi scattering elastico in funzione dell’impulso trasferito e rapidamente decrescentee mostra le oscillazioni tipiche prodotte da una distribuzione di carica uniformein una sfera di raggio R. Una parametrizzazione piu accurata si ottiene con unadistribuzione del tipo

ρ(r) =ρ0

1 + e(r−R)/tcon ρ0 =

3

4πR3

1

1 + (πt/R)2

detta distribuzione di Woods-Saxon, dove R e il valore del raggio per cui ρ(r) = ρ0/2e t misura lo spessore (thickness) della regione esterna del nucleo in cui la densitadi carica diminuisce rapidamente da ρ ≈ ρmax a zero.

2 J1(x) e la funzione di Bessel di prima specie

158

Un altro metodo indipendente per determinare il raggio quadratico medio delladistribuzione di carica elettrica si basa sulla misura dell’energia elettrostatica deinuclei isobari (capitolo 2.2).

Un terzo metodo si basa sulla misura dello spettro di raggi X degli elettroniatomici. Gli orbitali atomici piu interni sono infatti infuenzati dalle dimensionifinite del nucleo. L’interpretazione dei risultati dipende dalla parametrizzazionedegli stati elettronici che, in un sistema atomico a molti elettroni, e nota solo in modoapprossimato. Un metodo di analisi spettroscopica piu sicuro si puo applicare agliatomi µ−mesici. Il mesone µ (capitolo 3.1) e una particella che ha caratteristichesimili a quelle dell’elettrone e massa molto maggiore, mµ = 105.66 MeV/c2 =207 me. Esiste in due stati di carica, µ+ e µ− e decade con vita media τµ = 2.2 10−6 s.I mesoni µ− possono essere catturati dai nuclei atomici e l’atomo decade con tempiτd τµ nello stato fondamentale in cui il raggio dell’orbita di Bohr e molto minoreche nel caso degli elettroni aµ ≈ aBohr/207 = 2.6 10−11 cm. Quindi i livelli dienergia degli atomi µ−mesici sono fortemente influenzati dall’estensione della caricanucleare e il confronto tra gli spettri di raggi X emessi da questi atomi e quellinormali fornisce informazioni sul raggio dei nuclei.

Tutti i metodi di misura danno risultati coerenti con piccole variazione deiparametri:

• la distribuzione di materia nucleare e approssimativamente uguale alla dis-tribuzione di carica elettrica;

• le distribuzioni hanno, con buona approssimazione, simmetria sferica;

• le distribuzioni sono approssimativamente uniformi in una sfera di raggio R;

• il raggio quadratico medio delle distribuzioni e proporzionale a A1/3 (Fig.2.4)

R = R0 A1/3 R0 = (1.2÷ 1.3) 10−13 cm

e il valore del parametro R0 dipende solo leggermente dal metodo di misura;

• il volume del nucleo e proporzionale al numero di nucleoni, (4π/3)R3 ∝ A.

2.1.5 Statistica e spin dei nuclei

Lo stato di momento angolare, lo spin dei nuclei, e la somma vettoriale dei momentiangolari dei singoli nucleoni, che sono fermioni di spin 1/2, e dei momenti angolariorbitali

~I =A∑

k=1

~sk + ~Lk

Si possono avere informazioni sullo spin dalle proprieta di simmetria legate alla sta-tistica degli stati. Altre informazioni si ottengono dalla conservazione del momentoangolare nelle reazioni nucleari o nei decadimenti dei nuclei, dalla struttura iperfinedegli spettri atomici e dalla misura dei momenti magnetici nucleari.

159

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

e - nucleus scattering

muonic-atom X rays

1.25 10- 1 3 cm A1 / 3

< R

>

(10

-1

3 c

m)

A1 / 3

1 2C

5 6F e

2 0 8P b

Figure 2.4: Raggio medio dei nuclei in funzione di A

Un interessante esempio di determinazione dello spin del nucleo basata dalle pro-prieta di simmetria degli stati e lo studio della spettroscopia di molecole biatomicheomonucleari, cioe composte da due nuclei uguali, come N2, O2, F2, . . .. Lo statodella molecola si puo fattorizzare

|ψmolecola〉 = |ψel〉 |ψrot〉 |ψvibr〉 |ψnucl〉

Gli stati degli elettroni e gli stati vibrazionali sono simmetrici rispetto allo scambio1 ↔ 2 dei nuclei. La simmetria dello stato |ψrot〉 e (−1)L dove L e il momentoangolare orbitale del sistema. La simmetria dello stato |ψnucl〉 e diversa se lo spinnucleare, I, e intero (bosone) o semi-intero (fermione). Il numero degli stati di spine

Nspin = (2I + 1) (2I + 1)

• se I = 0, vi e un solo stato simmetrico;

• se I = 1/2, vi sono 4 stati |I, Iz〉, uno stato antisimmetrico (singoletto) e 3stati simmetrici (tripletto)

singoletto |0, 0〉 = 1√2

(| ⇑,⇓〉 − | ⇓,⇑〉)

|1,−1〉 = | ⇓,⇓〉tripletto |1, 0〉 = 1√

2(| ⇑,⇓〉+ | ⇓,⇑〉)

|1,+1〉 = | ⇑,⇑〉

Ad esempio la molecola di idrogeno si chiama orto-idrogeno nello stato sim-metrico e para-idrogeno nello stato antisimmmetrico;

• in generale vi sono

2I + 1 stati con Iz uguale simmetrici2I(2I + 1) stati con Iz diverso di cui I(2I + 1) simmetrici

e I(2I + 1) antisimmetrici

160

cioe (I + 1)(2I + 1) stati simmetrici e I(2I + 1) stati antisimmetrici. I pesistatistici degli stati antisimmetrici e simmetrici sono in rapporto

stati antisimmetrici

stati simmetrici=

I

I + 1

L’interazione tra i nuclei della molecola e di tipo coulombiano, dipende solo dalladistanza relativa ed e simmetrica rispetto allo scambio 1 ↔ 2: la simmetria dellostato non cambia in una transizione radiativa. Le molecole biatomiche omonuclearinon hanno momento di dipolo elettrico e quindi l’emissione e assorbimento di ra-diazione avviene al secondo ordine dello sviluppo in multipoli con variazione dellostato di momento angolare totale ∆J = ±2. Le righe di assorbimento si studianocon la spettroscopia Raman 3.

• se I e semi-intero i nuclei sono fermioni, la simmetria di spin nucleare e dimomento angolare totale implica

stato |ψnucl〉 simmetrico ⇔ J disparistato |ψnucl〉 antisimmetrico ⇔ J pari

con un rapporto di intensita delle righe di spettroscopia Raman

I = 1/2 I = 3/2J pari

J dispari= I

I+113

35

• se I e intero i nuclei sono bosoni e la simmetria di spin nucleare e di momentoangolare totale implica

stato |ψnucl〉 antisimmetrico ⇔ J disparistato |ψnucl〉 simmetrico ⇔ J pari

con un rapporto di intensita delle righe di spettroscopia Raman

I = 0 I = 1J dispariJ pari

= II+1

0 12

La Fig.2.5 mostra l’intensita relativa delle righe degli spettri delle molecole di Azoto,Ossigeno e Fluoro. Sulla base di questi argomenti, Rasetti determino nel 1930 cheil nucleo di Azoto 14

7N e un bosone e poi fu dimostrato che ha spin 1.A quel tempo non si conosceva l’esistenza del neutrone e un’ipotesi plausibile era

che il nucleo fosse costituito da A protoni e Z elettroni. Questo modello prevede cheil nucleo di Azoto sia costituito da un numero dispari di fermioni e che debba quindiavere spin semi-intero in contrasto con l’osservazione. Il modello aveva un secondoproblema: se una particella e confinata in una regione di spazio R ≈ 10−13 cm,ha impulso pc ≥ hc/R ≈ 200 MeV , e se la particella e un elettrone, ha energia

3 Chandrasekhara Raman, premio Nobel per la fisica nel 1930

161

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 55 4 3 2 1 0 1 2 3 4 55 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

F2O2N2

J =

I = 1 I = 0 I = 1/2

Figure 2.5: Intensita degli spettri Raman di molecole biatomiche

cinetica ≥ 200 MeV . Questo valore e molto maggiore dell’energia di legame medianucleare e quindi un elettrone non puo essere confinato in un nucleo. Un altroproblema e il piccolo valore del momento magnetico dei nuclei: per una particelladi carica q e massa m, questo e proporzionale a q/2m e, se i nuclei contenesseroelettroni, il momento magnetico sarebbe molto maggiore di quanto osservato. Questeinconsistenze furono risolte con la scoperta del neutrone.

Se il nucleo e costituito di protoni e neutroni con∑protoni +

∑neutroni = A,

i nuclei con A dispari hanno spin semi-intero e sono fermioni, mentre i nuclei con Apari hanno spin intero e sono bosoni. I risultati delle misure di spin nucleare hannomostrato che questo e sempre vero.

2.1.6 Parita dei nuclei

L’operatore parita e una trasformazione discreta e l’autovalore di un sistema di piuparticelle e il prodotto degli autovalori delle singole particelle e della parita dovuta almoto relativo. La parita dei nuclei e definita dalla parita intrinseca dei costituentie dal loro stato di momento angolare. Il protone e il neutrone sono fermioni el’assegnazione della parita intrinseca e definita positiva per convenzione (come perl’elettrone)

P (p) = P (n) = +1

quindi la parita di un nucleo e definita dagli stati di momento angolare orbitale deinucleoni, Lk, che saranno esaminati piu avanti sulla base del modello a strati delnucleo (capitolo 2.2)

P (nucleo) =A∏

k=1

(−1)Lk

Lo stato di un nucleo e indicato di solito dal momento angolare totale, spin delnucleo, e dalla parita con il simbolo

IP ≡ spinParita′

Nel seguito faremo l’ipotesi che la parita si conservi nelle interazioni nucleari, cioe chela hamiltoniana di interazione nucleare sia invariante per trasformazione di parita.Questa ipotesi e stata sempre confermata dai risultati sperimentali. La violazionedella simmetria per parita osservata nei decadimenti β dei nuclei non e dovutaall’interazione nucleare ma all’interazione debole.

162

2.1.7 La scoperta del neutrone

Dopo la scoperta di Rutherford 4 e di Frederick Soddy 5 della trasformazione artifi-ciale dei nuclei esposti a particelle α, seguirono numerosi esperimenti per studiarequesto fenomeno. Nel 1928 Walther Bothe 6 e Herbert Becker osservarono che nellareazione di particelle α, emesse dal Polonio con energia di ≈ 5.4 MeV , con nucleidi Berillio venivano prodotti Carbonio e una radiazione non ionizzante, cioe neutra,molto penetrante

α +Be→ C + radiazione neutra penetrante

Nel 1930 Irene Curie e Frederic Joliot 7 osservarono che questa radiazione neutra,nell’attraversare un assorbitore di materiale idrogenato emetteva protoni con energiacinetica fino a circa 5.3 MeV e interpretarono la radiazione neutra come fotoni cheemettono protoni per effetto Compton

42He+ 9

4Be→ 136 C + γ γ + p→ γ + p

Nel 1931 Chadwick 8 studio l’effetto della radiazione neutra su Idrogeno e altri nuclei(Elio, Azoto, Ossigeno, . . . ) determinando la velocita di rinculo dei nuclei da misuredi percorso in una camera a ionizzazione. Chadwick osservo che

• per emettere un protone con energia cinetica fino a Kp = 5.3 MeV , pp =100 MeV/c, per effetto Compton, i fotoni emessi nella reazione devono avereenergia fino a Eγ = 50 MeV ;

• questo valore di energia e troppo elevato e non e compatibile con la conser-vazione dell’energia nella reazione

Eγ 'Mα +M(94Be)−M(13

6 C) = 3727.4 + 8392.8− 12109.6 ≈ 11 MeV

• la conservazione dell’energia e dell’impulso e invece assicurata se nella reazioneviene prodotta una particella neutra con massa approssimativamente ugualealla massa del protone

42He+ 9

4Be→ 126 C + n

in questo caso infatti: Kn 'Mα+M(94Be)−M(12

6 C)−Mn = 3727.4+8392.8−11174.9−Mn = 945.3−Mn e il neutrone ha energia cinetica massima ' 6 MeVse Mn 'Mp.

Chadwick determino la massa del neutrone con una precisione del 10%. Misure piuprecise vennero fatte studiando altri processi di produzione di neutroni in reazionedi particelle α con nuclei.

Il nucleo di deuterio, l’isotopo 21H dell’Idrogeno, e stato scoperto pochi mesi dopo

il neutrone da Harold Urey 9 ed e stato interpretato come uno stato legato protone-

4 premio Nobel per la chimica nel 19085 premio Nobel per la chimica nel 19216 premio Nobel per la fisica nel 19547 premi Nobel per la chimica nel 19358 premio Nobel per la fisica nel 19359 premio Nobel per la chimica nel 1934

163

neutrone. Nel 1934 Chadwick e Goldhaber ossevarono che la fotodisintegrazione deldeutone

γ + 21H → p+ n

non avviene con fotoni di energia Eγ = 1.8 MeV , ma e prodotta da fotoni conEγ = 2.6 MeV e determinarono la massa del neutrone

939.1 MeV/c2 ≤ mn ≤ 939.9 MeV/c2

I valori attuali della massa e dell’energia di legame del deutone sono

mp = 938.27231± 0.00028 MeV/c2

mn = 939.56563± 0.00028 MeV/c2

md = 1875.61339± 0.00057 MeV/c2

BEd = 2.224589± 0.00002 MeV

2.1.8 Proprieta elettromagnetiche dei nuclei

Le proprieta elettromagnetiche dei nuclei sono descritte dalla densita di carica,ρ(~r, t), e dalla densita di corrente, ~j(~r, t), nella regione di spazio di dimensione Rnucl.I nuclei sono soggetti all’azione dei campi elettrici e magnetici prodotti dalle carichee correnti degli elettroni atomici e di campi esterni prodotti in modo artificiale. Ladensita di carica e di corrente nucleare hanno come asse di simmetria la direzionedello spin del nucleo, ~I. Il campo elettromagnetico prodotto dagli elettroni atomicihanno come asse di simmetria la direzione del momento angolare totale atomico esono rappresentati dal 4-potenziale A ≡ ( ~A, V/c).

La densita di energia dell’interazione elettromagnetica del nucleo nel campo es-terno e data dal prodotto scalare

U = Jnucl · Aext = ρV −~j · ~A

Per gli stati stazionari dei nuclei la 4-densita di corrente J(~r, t) e indipendente daltempo. La densita di corrente, ~j(~r), ha divergenza nulla e quindi si puo rappresentare

come il rotore di un vettore ~M(~r) ≡ densita di magnetizzazione

∂ρ

∂t= 0 ⇒ ~∇ ·~j = 0 ⇒ ~j = ~∇× ~M

Le frequenze tipiche del moto degli elettroni atomici, hωatom ≈ eV , sono moltominori di quelle che caratterizzano il moto dei nucleoni, hωnucl ≈ MeV , e quindipossiamo approssimare il potenziale elettromagnetico esterno come indipendente daltempo.

L’energia di interazione e l’integrale E =∫U(~r)d~r esteso alla regione di spazio

R in cui ρ(~r) 6= 0 e ~j(~r) 6= 0. Il primo termine e l’energia elettrica

EE =∫

RρV d~r

164

L’energia magnetica e

EM = −∫

R(~∇× ~M) · ~A d~r = −

∫

R

~∇ · ( ~M × ~A) d~r −∫

R

~M · (~∇× ~A) d~r

il primo termine e il flusso del vettore ~M × ~A attraverso una superficie S esterna alnucleo dove ~M = 0 e quindi e nullo (

∫R~∇ · ( ~M × ~A) d~r =

∫S( ~M × ~A) · n dS = 0). Il

secondo termine e l’integrale del prodotto della densita di magnetizzazione del nucleo× il campo magnetico esterno. Quindi l’energia di interazione elettromagnetica e

E =∫

Rρ(~r) V (~r) d~r −

∫

R

~M(~r) · ~B(~r) d~r

Poiche le dimensioni R del nucleo sono molto minori di quelle del sistema atomico,i campi elettromagnetici hanno piccole variazioni nella regione di integrazione epossiamo sviluppare in serie l’integrando attorno al punto r = 0

E =∫R ρ(~r)

(V (0) +

∑i

[∂V∂xi

]0xi + 1

2

∑ij

[∂2V∂xi∂xj

]0xixj + . . .

)d~r

− ∫R ~M(~r) ·(~B(0) +

∑i

[∂ ~B∂xi

]0xi + 1

2

∑ij

[∂2 ~B∂xi∂xj

]0xixj + . . .

)d~r =

= V (0)∫

Rρ(~r)d~r +

∑

i

[∂V

∂xi

]

0

∫

Rρ(~r)xid~r +

1

2

∑

ij

[∂2V

∂xi∂xj

]

0

∫

Rρ(~r)xixjd~r + . . .

− ~B(0) ·∫

R

~M(~r)d~r−∑

i

∂

~B

∂xi

0

·∫

R

~M(~r)xid~r−1

2

∑

ij

∂2 ~B

∂xi∂xj

0

·∫

R

~M(~r)xixjd~r+ . . .

Lo stato stazionario di un nucleo, |ψN〉, e descritto in termini delle coordinate e degliimpulsi dei singoli nucleoni. Gli integrali sono sulle coordinate spaziali ~r1, ~r2, . . . , ~rA

|ψN〉 = |~r1, ~r2, . . . , ~rA〉Nel primo termine l’integrale e la carica totale del nucleo

∫

Rρ(~r) d~r =

Z∑

k=1

〈~r1, . . . , ~rA|qk|~r1, . . . , ~rA〉 =Z∑

k=1

qk

∫|ψN |2d~r1 . . . d~rA =

Z∑

k=1

qk = Ze

Il secondo termine contiene il momento di dipolo elettrico del nucleo

~d =∫

Rρ(~r) ~r d~r =

Z∑

k=1

〈~r1, . . . , ~rA|qk ~rk|~r1, . . . , ~rA〉

Gli stati stazionari dei nuclei hanno parita definita con autovalore ±1

P |~r1, . . . , ~rA〉 = | − ~r1, . . . ,−~rA〉 = ±|~r1, . . . , ~rA〉

e l’operatore ~d = q~r si inverte per trasformazione di parita. Quindi il momento didipolo elettrico dei nuclei e nullo per la simmetria per parita degli autostati nucleari

~d =Z∑

k=1

qk

∫~rk |ψN |2 d~r1 . . . d~rA = 0

165

Per gli stessi argomenti, sono nulli tutti i momenti elettrici di 2`−polo con ` disparie tutti i momenti magnetici di 2` − polo con ` pari. Quindi l’energia di interazionediventa

E = EE0 + EE2 + . . .+ EM1 + EM3 + . . .

• il primo termine e l’energia elettrostatica del nucleo nel campo esterno

EE0 = ZeV (0)

• il secondo termine e l’energia di dipolo magnetico

EM1 = − ~µ · ~B(0) ~µ = 〈ψN | ~M |ψN〉

• il terzo termine e l’energia di quadrupolo elettrico

EE2 =1

2

∑

ij

Qij

[∂2V

∂xi∂xj

]

0

Qij =Z∑

k=1

〈ψN |qk xixj|ψN〉

2.1.9 Interazione di dipolo magnetico

Il protone e il neutrone hanno spin h/2 e momento magnetico

~µ = g µN ~s µN =eh

2mp

= 3.15 10−8 eV/T

µN e il magnetone nucleare e g e il fattore giromagnetico. Il momento magneticonucleare e prodotto dai momenti magnetici dei singoli nucleoni e dal moto orbitaledei protoni ed e parallelo all’asse dello spin nucleare. Il fattore giromagnetico delnucleo, gI , puo essere positivo o negativo

~µN = gI µN ~I

Misure del momento magnetico dei nuclei si effettuano con diversi metodi basatisull’interazione del momento di dipolo con il campo magnetico atomico o con campimagnetici artificiali.

Struttura iperfina degli spettri atomici

L’energia di interazione con il campo magnetico atomico

Eµ = − ~µ · ~B(0)

produce la struttura iperfina dei livelli atomici. Il campo magnetico atomico eparallelo al momento angolare totale dell’atomo, ~J , e i vettori momento angolaredell’atomo e del nucleo si sommano a formare il momento angolare totale del sistema

~F = ~I + ~J F = |I − J |, . . . , I + J − 1, I + J

166

La molteplicita dei livelli e il piu piccolo tra i valori 2I+1 e 2J+1. Se indichiamo con~B(0) = fJ ~J il campo magnetico nell’origine, l’energia di interazione e proporzionale

al prodotto scalare dei vettori momento angolare ~I · ~J

~F 2 = ~I2+ ~J2+2 ~I· ~J ~I· ~J =~F 2 − ~I2 − ~J2

2=F (F + 1)− I(I + 1)− J(J + 1)

2

e l’energia di interazione si esprime

EIJ = − gIfJµNF (F + 1)− I(I + 1)− J(J + 1)

2

Se I ≤ J la molteplicita delle righe di struttura iperfina, 2I + 1, misura lo spin delnucleo. Se invece I > J , la struttura iperfina e formata da 2J + 1 livelli e, se J enoto, il valore di I si ottiene con la regola degli intervalli misurando le differenze dienergia ∆EIJ . In generale i livelli della struttura iperfine sono equispaziati

∆EIJ = gIfJµN (〈~I · ~J〉F+1 − 〈~I · ~J〉F ) = gIfJµN F

con ∆EIJ ≈ 10−6 eV corrispondente a frequenze (0.1÷ 1) GHz.Alcune irregolarita nella distribuzione dei livelli sono dovute all’energia di inter-

azione di quadrupolo elettrico del nucleo che e tipicamente≈ 10−8 eV corrispondentea frequenze (1÷ 10) MHz.

Per determinare il momento di dipolo magnetico del nucleo occorre conoscere ilcampo magnetico ~B(0). Il calcolo del valore di ~B(0) e piuttosto complesso e si hannobuone approssimazioni nel caso di configurazioni semplici come quelle degli atomialcalini. Nello stato fondamentale S 1

2il momento angolare orbitale atomico e nullo e

l’autofunzione ha valore 6= 0 nell’origine. Il campo magnetico e dovuto al momentomagnetico dell’elettrone, ~µe = 2µB~s, che produce una densita di magnetizzazione asimmetria sferica ~M(r) = |ψe(r)|2~µe. Il campo magnetico nell’origine vale

~B(0) =2µ0

3|ψe(0)|2 ~µe

Ad esempio, nel caso dell’atomo di idrogeno nello stato n = 1, ` = 0

ψe(r) =1√4π

(Z

ao

)3/2

2e−Zr/ao Z = 1

si ha (con µ0 = 4π 10−7 Hm−1, ao = 0.53 10−10 m, µB = 9.3 10−24 J/T )

B(0) =2µ0

3

µBπa3

o

≈ 17 T

Un metodo piu accurato per misurare i momenti magnetici nucleari e l’analisi dellastruttura iperfina prodotta con un campo magnetico esterno. L’energia di inter-azione ha tre contributi

• l’interazione del momento magnetico nucleare nel campo atomico;

167

• l’interazione del momento magnetico nucleare nel campo esterno;

• l’interazione dei momenti magnetici degli elettroni nel campo esterno;

E = −gIfJµN ~I · ~J − ~µI · ~Bext + ~µJ · ~Bext

Nel caso di campo esterno debole, Bext 10−6 eV/µB ≈ 0.02 T , si ha effetto Zeemanin cui F e un buon numero quantico e ciascun livello della struttura iperfina si dividein 2F + 1 livelli equispaziati

E = −gIfJµN ~I · ~J + gFµBFzBext

gF = gJF (F + 1) + J(J + 1)− I(I + 1)

2F (F + 1)+ gI

µNµB

F (F + 1)− J(J + 1) + I(I + 1)

2F (F + 1)

dove il secondo termine ∼ µN/µB e trascurabile.Piu interessante e il caso di campo esterno forte (Bext 0.02 T ) in cui i momenti

magnetici interagiscono in modo indipendente col campo esterno (effetto Paschen-Back)

E = −gIfJµN ~I · ~J − gIµNIzBext + gJµBJzBext

In questo caso i 2J + 1 livelli elettronici si separano sensibilmente e ciascuno sisuddivide in 2I + 1 livelli equispaziati in modo da poter determinare sia il momentoangolare I che il momento magnetico gIµN . Un esempio di questo metodo e lamisura del momento magnetico del protone.

Metodo della risonanza magnetica con fasci atomici

Questo metodo, introdotto col famoso esperimento di Stern e Gerlach nel 1921, eperfezionato da Isaac Rabi 10 nel 1934, utilizza fasci atomici o molecolari. Unasorgente, a temperatura T , emette atomi o molecole con velocita distribuite secondola funzione di distribuzione di Maxwell e il fascio e collimato con fenditure disposteopportunamente in due regioni in cui vi sono due campi magnetici non omogeneicon gradienti uguali e opposti (Fig.2.6). La forza che agisce sul momento di dipolomagnetico

E = −gIµNIzB Fz = −∂E∂z

= gIµNIz∂B

∂z

separa il fascio in 2I+ 1 componenti. Poiche l’effetto dovuto al momento magneticodegli elettroni e molto maggiore, si usano atomi o molecole con momento angolaretotale J = 0 in cui la separazione del fascio e dovuta al solo contributo del momentomagnetico nucleare. Se il campo magnetico nelle due regioni e indipendente daltempo, non induce transizioni tra i livelli di energia e gli atomi emessi con velocitaopportuna percorrono due traiettorie paraboliche e vengono raccolti dal rivelatore.


168

Figure 2.6: Metodo dei fasci molecolari sviluppato da Stern e Rabi

Se in una regione intermedia vi e un campo magnetico uniforme e costante ~Bo ‖ ~z ilivelli di energia sono

EI = −gIµNIzBo

Se in questa regione e anche presente un campo magnetico oscillante a frequenza ωcon la componente Bxy(ω) normale alla direzione di Bo, questo induce transizionitra gli stati quando la frequenza corrisponde alla differenza di energia tra i livelli

hω∗ = ∆EI = gIµNBo ∆Iz ∆Iz = ±1,±2, . . .

la traiettoria cambia nel secondo magnete e il fascio non e piu focalizzato sul rive-latore. La condizione di assorbimento di risonanza si puo ottenere variando sia Bo

che ω. Il momento magnetico si determina dal rapporto gIµN = hω∗/Bo.

Metodo della risonanza magnetica nucleare

Questo metodo sfrutta l’assorbimento risonante di radiazione elettromagnetica incampioni di materiali polarizzati. La magnetizzazione di un campione contenente nnuclei per unita di volume a temperatura T e

〈M〉 = nµ〈cosθ〉 = nµ

∫eµBcosθ/kT cosθ d cos θ∫eµBcosθ/kT d cos θ

= nµ L(µB/kT ) ≈ nµµB

3kT

L(z) = ez+e−z

ez−e−z − 1z

e la funzione di Langevin, L(z) ≈ z/3 per z 1. A temperaturaambiente con B = 1 T si ha 〈cosθ〉 ' 10−6, quindi l’effetto e molto piccolo.

La trattazione quantistica della risonanza della magnetizzazione nucleare in uncampione di materiale e stata fatta da Bloch che ha mostrato che

• il moto statistico dei singoli atomi con energia ≈ kT non diluisce l’effetto;

• i meccanismi di scambio di energia tra i momenti magnetici nucleari e gliatomi del materiale ha tempi di rilassamento molto maggiori dell’inverso dellafrequenza di risonanza in modo da preservare l’eccesso di popolazione statisticaindotto dal campo magnetico esterno.

169

In queste condizioni l’assorbimento risonante di radiazione elettromagnetica e os-servabile. Se indichiamo con ~I il momento angolare nucleare per unita di volume[J s m−3]

~M = γ ~I γ = gIe

2mp

e

2mp

= 4.8 107 rad s−1 T−1

l’equazione del moto in un campo magnetico costante e

d ~M

dt= γ

d~Idt

= γ ~M × ~B −~M

τ

dove τ e il tempo di rilassamento. Il metodo della risonanza magnetica nucleare estato sviluppato da Edward Purcell e Felix Bloch 11 nel 1946 (Fig.2.7). Si utilizza

BoBo

Mω

B(ω RF)ωo

segnale indotto

Figure 2.7: Metodo della risonanza magnetica nucleare sviluppato da Bloch e Purcell

un campo magnetico costante elevato, Bz, per polarizzare il campione e un campoalternato con componenti a frequenza angolare ω nel piano normale Bxy(ω). Se esoddisfatta la condizione τ 1/γBz, il vettore magnetizzazione del campione seguenel piano x− y il campo oscillante e alla frequenza di risonanza, ω∗ = γBz, assorbeenergia dal campo Bxy(ω) cambiando la componente lungo l’asse z. La condizionedi risonanza e rivelata dalla corrente generata per induzione in una bobina avvoltaattorno al campione.

2.1.10 Interazione di quadrupolo elettrico

Se consideriamo un sistema atomico con distribuzione di carica a simmetria assialeattorno alla direzione del mometo angolare ~J ‖ z, con densita di carica nell’originein media nulla 〈ρel(0)〉 = 0, l’equazione del potenziale nella regione occupata dalnucleo, ∇2V = 0, implica una relazione di simmetria nel piano x− y

∑

i

∂2V

∂x2i

= 0∂2V

∂x2=∂2V

∂y2= −1

2

∂2V

∂z2

e l’energia di interazione di quadrupolo elettrico si esprime

EQ =e

2

∑

ij

〈ψN |xixj|ψN〉(

∂2V

∂xi∂xj

)

0

=e

4〈ψN | (−x2 − y2 + 2z2) |ψN〉

(∂2V

∂z2

)

0


170

EQ =e

4Q

(∂2V

∂z2

)

0

Q = 〈ψN | 3z2 − r2 |ψN〉

dove x, y, z sono le coordinate nel sistema di riferimento dell’atomo. Se il nucleo hamomento angolare I = 0, ha cioe simmetria sferica, il momento di quadrupolo Q enullo. Se I 6= 0, l’asse z′ ‖ ~I e un asse di simmetria cilindrica del nucleo. Nucleicon momento di quadrupolo Q > 0 hanno distribuzione di carica allungata (prolata)

nella direzione di ~I; nuclei con Q < 0 hanno distribuzione di carica schiacciata(oblata) (Fig.2.8). Il momento di quadrupolo nel riferimento del nucleo si ottiene

Q < 0 Q = 0 Q > 0

Q = 3 z - r2 2

Figure 2.8: Momento di quadrupolo elettrico

con una rotazione nel piano z − z′

z′ = z cos θ + x sin θ x′ = −z sin θ + x cos θ y′ = y

Il valor medio 〈ψN | 3z′2 − r′2 |ψN〉 nel riferimento del nucleo e

〈 3z′2 − r′2 〉 = 〈 3(z2 cos2 θ + 2xz sin θ cos θ + x2 sin2 θ)− r2 〉 =

= 〈 3z2 cos2 θ + 3x2 sin2 θ − x2 − y2 − z2 〉 = 〈 (3 cos2 θ − 1) (z2 − x2) 〉 =

=(3 cos2 θ − 1)

2〈 2z2 − x2 − y2 〉 = P2(cos θ) 〈 3z2 − r2 〉

Quindi il momento di quadrupolo elettrico nucleare e

QN = 〈ψN | 3z′2 − r′2 |ψN〉 = P2(cos θ) 〈ψN | 3z2 − r2 |ψN〉

Il polinomio di Legendre P2(cos θ) dipende dalla proiezione dello spin nucleare

cos2 θ =I2z

I(I + 1)P2(cos θ) =

3I2z − I(I + 1)

2I(I + 1)

e quindi

• un nucleo con spin I = 1/2, Iz = ±1/2, ha momento di quadrupolo nullo

3I2z − I(I + 1) = 0

• i nuclei con I ≥ 1 hanno 2I + 1 stati di energia nel campo elettrico atomico,gli stati con lo stesso valore |Iz| sono degeneri con molteplicita m = 2

171

• ad esempio, un nucleo con I = 1 ha due stati di energia

Iz = 0 P2(cos θ) = −1/2 m = 1Iz = ±1 P2(cos θ) = +1/4 m = 2

• anche un nucleo con I = 3/2 ha due stati di energia

Iz = ±1/2 P2(cos θ) = −2/5 m = 2Iz = ±3/2 P2(cos θ) = +2/5 m = 2

L’energia di interazione di quadrupolo elettrico si misura analizzando i livelli dellastruttura iperfine. Il momento di quadrupolo elettrico si puo determinare se siconosce il potenziale atomico e si sa calcolare il fattore (∂2V/∂z2)0.

L’unita di misura del momento di quadrupolo elettrico e e× b (b = 10−24 cm2).Poiche i nuclei hanno estensione spaziale Rnucl ≈ 10−13 cm, i valori tipici del mo-mento di quadrupolo elettrico sono Q ≈ e× 10−2 b.

2.1.11 Momento magnetico del nucleone

Il fattore giromagnetico dell’elettrone, misurato per primo da Polykarp Kush 12, enoto con grande precisione. L’equazione di Dirac prevede g = 2 per un fermionedi spin 1/2. L’elettrodinamica quantistica prevede una piccola differenza dal valoreg = 2 dovuta al contributo delle correzioni radiative (appendice 4.23). La anomalia(a = g−2

2), e calcolata come sviluppo in serie di potenze della costante di struttura

fine

ae =ge − 2

2= 0.5

α

π− 0.32848

(α

π

)2

+ 1.19(α

π

)3

+ . . .

Gli esperimenti misurano direttamente il fattore ae, il risultato e

ae =ge − 2

2= (1 159 652.4± 0.2) 10−9

Il protone e il neutrone sono particelle con struttura e il fattore giromagnetico enotevolmente diverso dal valore previsto per un fermione di spin 1/2 puntiforme.Il modello delle interazioni nucleari, la cromodinamica quantistica, non e in gradodi fare previsioni a bassa energia, ma gli esperimenti hanno raggiunto una notevoleprecisione nella misura dei momenti magnetici dei nucleoni.

Il momento magnetico del protone e stato determinato misurando la frequenzadelle transizioni tra i livelli della struttura iperfine dell’atomo di idrogeno in campomagnetico elevato (effetto Paschen-Back). In assenza di campo magnetico lo statofondamentale, 1S 1

2, e diviso in due livelli

EIJ = −gpfJµN ~I · ~J I = J = 1/2 F = 0, 1


172

stato di singoletto F = 0 ~I · ~J = −3/4

stato di tripletto F = 1 ~I · ~J = +1/4

La differenza di energia e ∆E = gpfJµN . Un campo magnetico esterno, ~B, rimuovela degenerazione e si hanno quattro livelli (Fig.2.9).

+DE/4

-3DE/4

E

B

E4

E3

E2

E1

Figure 2.9: Livelli della truttura iperfina dell’atomo di idrogeno in funzione delcampo magnetico

EIJ = −gpfJµN ~I · ~J − gpµN ~I · ~B + geµB ~J · ~B

con valori di energia

Iz Jz EIJ+1/2 −1/2 E1 = (−3/4) ∆E −R µe B − µe B−1/2 −1/2 E2 = (+1/4) ∆E +R µe B − µe B+1/2 +1/2 E3 = (+1/4) ∆E −R µe B + µe B−1/2 +1/2 E4 = (+1/4) ∆E +R µe B + µe B

dove R = µp/µe 1. Le frequenze delle transizioni tra i livelli dipendono sia daµp che da µe e l’ottima precisione con cui e noto µe permette una misura precisa diµp senza dover fare affidamento su una determinazione molto accurata del campomagnetico esterno. La misura delle frequenze fornisce

E4 − E3 = 2RµeBE3 − E2 = 2(1−R)µeBE2 − E1 = ∆E + 2RµeB

da cui si ottengono i valori di ∆E, R = µp/µe, e del campo magnetico B. Laprecisione del valore del momento magnetico, µp, dipende solo dalla precisione dimisura delle frequenze e del valore del momento magnetico dell’elettrone µe

µp = +2.7928456± 0.0000011 µN

Il momento magnetico del neutrone e stato determinato misurando, nelle stessecondizioni sperimentali, la frequenza di assorbimento di risonanza di neutroni e

173

protoni polarizzati. I neutroni sono prodotti da un reattore nucleare e vengonopolarizzati attraversando uno spessore di ferro magnetizzato. L’esperimento misurail rapporto µn/µp: le precisioni con cui sono noti i momenti magnetici di neutronee protone sono confrontabili. Il momento magnetico del neutrone e negativo, cioediretto in verso opposto allo spin

µn = −1.91304184± 0.00000088 µN

Il momento magnetico del deutone e stato misurato con il metodo della risonanzamagnetica con un fascio di molecole di deuterio D2. La simmetria degli stati dellamolecola biatomica e la molteplicita dei livelli in un campo magnetico esterno in-dicano che il deutone ha spin I = 1. La misura del momento magnetico fornisce ilvalore

µd = +0.8574376± 0.0000004 µN

che e approssimativamente uguale alla somma dei momenti magnetici di protone eneutrone.

Il momento di quadrupolo elettrico del deutone e stato determinato dal confrontodegli spettri di struttura iperfina della molecola di deuterio, D2, e di idrogeno, H2,tenendo conto che il protone non ha momento di quadrupolo elettrico

Qd = +0.00288± 0.00002 b

Nella tabella che segue sono riportati i momenti di dipolo magnetico e di quadrupoloelettrico di alcuni nuclei leggeri.

Z A nucleo IP µ [µN ] Q/e [barn]0 1 n 1/2+ − 1.9131 1 p 1/2+ + 2.7931 2 2H 1+ + 0.857 + 0.002881 3 3H 1/2+ + 2.9792 3 3He 1/2+ − 2.1273 6 6Li 1+ + 0.822 + 0.000643 7 7Li 3/2− + 3.256 − 0.03664 9 9Be 3/2− − 1.177 + 0.025 10 10B 3+ + 1.800 + 0.0855 11 11B 3/2− + 2.688 + 0.0366 13 13C 1/2− + 0.7027 14 14N 1+ + 0.404 + 0.027 15 15N 1/2− − 0.2838 17 17O 5/2+ − 1.893 − 0.026

174

2.2 Modelli del nucleo

2.2.1 Modello a gas di Fermi

Il modello di Fermi e un modello statistico a particelle indipendenti basato sulleseguenti ipotesi

• il nucleo e costituito di fermioni di spin 1/2: Z protoni e A− Z neutroni;

• il singolo nucleone e soggetto all’azione di tutti gli altri rappresentata da unabuca di potenziale U(r) a simmetria sferica che si estende in una regione didimensione R = R0A

1/3;

• il gas di nucleoni e degenere, cioe l’energia cinetica e molto maggiore dell’energiadell’ambiente kT di modo che i nucleoni sono nello stato di energia piu bassaaccessibile per il principio di esclusione di Pauli.

Sulla base di queste semplici ipotesi, il modello di Fermi fornisce indicazioni sulladensita degli stati (Fig.2.10) e sull’energia cinetica dei nucleoni per i nuclei con Asufficientemente grande da poter utilizzare criteri statistici (A ≥ 12). Il numero di

BE/A

EF

U

R

n p

E

dn/dE

Figure 2.10: Livelli di energia nel modello a gas di Fermi

stati di un fermione di spin 1/2 e d6n = 2 d~r d~p/(2πh)3. Integrando in un volumeV = (4π/3)R3

0A e sulle direzioni di ~p si ha

dn =∫

V

∫

Ωd6n = 2

4πV

8π3h3 p2dp =

4

3π

(R0

h

)3

Ap2dp

La densita degli stati e dn/dp ∝ p2, dn/dE ∝ E1/2. Il valore massimo dell’impulso,l’impulso di Fermi, e definito dal numero di nucleoni

∫dnp =

4

9π

(R0

h

)3

Ap3p = Z

∫dnn =

4

9π

(R0

h

)3

Ap3n = A− Z

ppc =(

9π

8

)1/3 hc

R0

(2Z

A

)1/3

pnc =(

9π

8

)1/3 hc

R0

(2(A− Z)

A

)1/3

dove [2Z/A]1/3 e [2(A − Z)/A]1/3 sono ≈ 1 e lentamente variabili (Fig.2.1). Sefissiamo R0 = 1.25 fm, per i nuclei leggeri con Z = A/2 si ha pp = pn ≈ 240 MeV/c.

175

L’energia cinetica corrispondente e chiamata energia di Fermi, EF ≈ 30 MeV .Qui e nel seguito usiamo l’approssimazione non relativistica che e sufficientementeaccurata. Per i nuclei pesanti l’energia di Fermi dei neutroni e leggermente maggioredi quella dei protoni; ad esempio, per l’uranio (Z = 92, A = 238) si ha EFp =28 MeV , EFn = 32 MeV . La profondita della buca di potenziale e pari alla sommadell’energia di Fermi e dell’energia di legame per nucleone

U = EF +BE/A BE/A ≈ 8 MeV/nucleone U = (35÷ 40) MeV

Per i protoni, la buca di potenziale e deformata dall’energia elettrostatica che pro-duce una barriera di potenziale di altezza

U(R) =Ze2

4πε0R=

αhc Z

R0A1/3≈ 1.2 MeV ZA−1/3

e che ha andamento ∼ 1/r per r > R.L’energia cinetica media per nucleone e

〈Ec〉 =

∫(p2/2m) dn∫dn

=1

A

4

3π

(R0

h

)3

A∫ p4

2mdp =

=4

3π

(R0

h

)3(

p5p

10mp

+p5n

10mn

)=

=4

3π

(R0

hc

)3 1

10mc2

(9π

8

)5/3(hc

R0

)5(

2Z

A

)5/3

+

(2(A− Z)

A

)5/3

approssimando mp = mn. I nuclei leggeri hanno 2Z ≈ A mentre i nuclei pesantihanno un leggero eccesso di neutroni. Ponendo 2Z/A = 1− x, 2(A− Z)/A = 1 + xe sviluppando in serie nella variabile x

(1−x)5/3+(1+x)5/3 = 1−5x

3+

5x2

9+. . .+1+

5x

3+

5x2

9+. . . = 2

[1 +

5

9

(A− 2Z

A

)2

+ . . .

]

〈Ec〉 =(

9π

8

)2/3(hc

R0

)23

10 mc2

[1 +

5

9

(A− 2Z

A

)2]

Per effetto del principio di Pauli l’energia cinetica media e minima per i nuclei conugual numero di protoni e neutroni

A = 2Z 〈Ec〉 ≈ 20 MeV 〈p〉 ≈ 200 MeV/c

e aumenta leggermente per i nuclei con A grande: per 23892 U il fattore correttivo e

solo il 3%.

176

2.2.2 Modello a goccia di liquido

Il modello a goccia e un modello collettivo del nucleo che rappresenta con pochiparametri l’energia di legame in analogia con l’energia di una goccia di liquido. Ilmodello si basa sulle seguenti ipotesi

• l’energia di interazione tra due nucleoni e indipendente dal tipo e numero dinucleoni;

• l’interazione e attrattiva e a breve raggio d’azione, Rint (come nel caso dellegocce di liquido in cui le molecole hanno interazioni dipolo-dipolo);

• l’interazione e repulsiva a distanze r Rint;

• l’energia di legame del nucleo e proporzionale al numero di nucleoni.

Queste ipotesi implicano che le forze nucleari sono saturate, cioe che ciascun nucleonee fortemente legato solo a pochi nucleoni. Infatti se indichiamo con 〈U〉 l’energia diinterazione tra due nucleoni, l’energia di legame del nucleo non e data dalla sommasu tutte le coppie di nucleoni, 〈U×〉 A(A− 1)/2 ∝ A2, ma e la somma sulle coppiedi nucleoni vicini contenuti entro un volume di interazione Vint minore del volumedel nucleo Vnucl

BE =∑

r<Rint

U =A(A− 1)

2

VintVnucl

〈U〉 ∝ A

e questa relazione e soddisfatta se Vint e costante e se Vnucleo ∝ A.Il modello a goccia parte dall’ipotesi che l’energia di legame del nucleo sia essen-

zialmente energia potenziale di volume

BE = b0 A+ . . .

L’energia di legame e diminuita per un effetto di superficie poiche i nucleoni sullasuperficie del nucleo hanno un minor numero di nuclei vicini e sono meno legati. Lasupeficie del volume nucleare e proporzionale a A2/3, quindi

BE = b0 A− b1 A2/3 + . . .

La repulsione coulombiana tra i protoni contribuisce a ridurre l’energia di legame.Le misure dei fattori di forma elettromagnetici mostrano che i nuclei hanno dis-tribuzione di carica approssimativamente uniforme. L’energia elettrostatica di unasfera con densita di carica uniforme, ρ = 3Ze/4πR3 per r ≤ R, e

∫ R

0V (r)ρ(r)4πr2dr =

∫ R

0

Ze

4πε0r

(r

R

)3 3Ze

4πR34πr2dr =

3

5

(Ze)2

4πε0R

Quindi

BE = b0 A− b1 A2/3 − b2

Z2

A1/3+ . . .

177

L’energia di legame e ulteriormente ridotta del contributo dell’energia cineticadei nucleoni. Possiamo utilizzare la stima basata sul modello a gas di Fermi che tieneconto degli effetti della statistica dei fermioni e del principio di esclusione di Pauliche favorisce le configurazioni nucleari con numero uguale di protoni e neutroni.L’energia cinetica totale e

Ec = A〈Ec〉 ≈ 20 MeV

(A+

5

9

(A− 2Z)2

A

)

Il primo termine, proporzionale a A, si aggiunge al termine di energia di volume equindi dobbiamo aggiungere il secondo termine

BE = b0 A− b1 A2/3 − b2

Z2

A1/3− b3

(A− 2Z)2

A+ . . .

Se consideriamo i nuclei isobari (A = costante), notiamo che la dipendenzadell’energia di legame da Z e una parabola

BE = (b0 − b3)A− b1A2/3 + 4b3Z − (b2 A

−1/3 + 4b3A−1)Z2

e questo e ben verificato dai dati sperimentali, ma vi e una differenza sistematica trale configurazioni con numero di protoni e neutroni pari o dispari. Quindi si introducenella formula un termine correttivo, b4/A

1/2, per tener conto di questo effetto

A Z N = A− Zpari pari pari b4 = +12 MeV piu′ stabili

dispari b4 = 0 intermedipari dispari dispari b4 = −12 MeV meno stabili

BE = b0 A− b1 A2/3 − b2

Z2

A1/3− b3

(A− 2Z)2

A± b4

A1/2

Il risultato e la formula delle masse di Bethe e Weizsacker (Fig.2.11) che esprimela massa del nucleo in funzione di A e Z e alcuni parametri

M(A,Z) = Zmp + (A− Z)mn −BE =

= Zmp + (A− Z)mn − b0A+ b1A2/3 + b2

Z2

A1/3+ b3

(A− 2Z)2

A∓ b4

A1/2

Il valore dei parametri bk si ottiene dai dati sperimentali

b0 b1 b2 b3 b4

15.6 17.2 0.70 23.3 ±12 oppure 0 MeV

La formula di Bethe-Weizsacker e utile per definire alcuni criteri di stabilita dei nu-clei. Ad esempio, la relazione tra A e Z per i nuclei stabili si ottiene richiedendo chel’energia, M(A,Z)c2, sia minima. Introducendo la differenza di massa tra neutronee protone, ∆m = mn −mp = 1.293 MeV/c2,

M = (mn − b0 + b3)A+ b1A2/3 + b4A

−1/2 − (∆m+ 4b3)Z + (b2A−1/3 + 4b3A

−1)Z2

178

0

5

1 0

1 5

2 0

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0

volume energy

surface energy

electrostatic energy

pairing energy

A

bin

din

g

en

erg

y

per

nu

cle

on

(MeV

)

Figure 2.11: Contributi all’energia di legame in funzione di A

∂M

∂Z= −(∆m+ 4b3) + 2 (b2A

−1/3 + 4b3A−1) Z = 0

Z =A

2

1 + ∆m/4b3

1 + (b2/4b3)A2/3≈ A

2

1.014

1 + 0.0076 A2/3

2.2.3 I nuclei speculari

Sono chiamati speculari le coppie di nuclei con lo stesso valore di A in cui il numerodi protoni, Z, e il numero di neutroni, N = A−Z, sono scambiati. I nuclei specularisono caratterizzati da

A = dispari Z =A∓ 1

2N =

A± 1

2

Le energie di legame dei nuclei isobari speculari differiscono solo per il termine dienergia coulombiana. Infatti il termine b4 e nullo per i nuclei con A = dispari, iltermine di Pauli e lo stesso per i nuclei speculari e gli altri termini dipendono solo daA. Quindi il confronto tra le energie di legame dei nuclei isobari speculari fornisceimportanti informazioni

• per verificare che l’energia di interazione nucleare e indipendente dalla caricaelettrica;

• per determinare i parametri della distribuzione di carica del nucleo.

L’energia di interazione coulombiana dei protoni nel nucleo e

U =3

5

αhcZ2

R= κ

Z2

Rκ ' 0.86 MeV fm

La differenza di energia di legame dei nuclei speculari e (Fig.2.12)

∆BE =

[(A+ 1)2

4− (A− 1)2

4

]κ

R= A

κ

R=

κ

R0

A2/3

179

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6

bin

din

g

en

erg

y

dif

feren

ce

(M

eV

)

A2 / 3

slope = 0.709

Figure 2.12: Differenza di energia di legame di coppie di nuclei speculari

La tabella mostra l’energia di legame di alcuni nuclei speculari

A Z N nucleo BE (MeV ) ∆BE (MeV )3 1 2 3H 8.482 0.7643 2 1 3He 7.71813 6 7 13C 97.109 3.00313 7 6 13N 94.10621 10 11 21Ne 167.406 4.31921 11 10 21Na 163.08737 18 19 37Ar 315.510 6.92337 19 18 37K 308.587

L’analisi di questi dati mostra che

• i nuclei con N − Z = +1 hanno energia di legame sistematicamente maggioredei nuclei con N − Z = −1;

• la differenza di energia di legame, ∆BE, dipende linearmente da A2/3;

• la dipendenza da A del raggio nucleare e: R ≈ 1.25A1/3 fm, in accordo con lealtre misure riportate nel capitolo 2.1.

2.2.4 Il modello a strati

Il modello a strati del nucleo e un modello a particelle indipendenti costruito inanalogia con quello atomico. Il modello atomico di Bohr-Sommerfeld-Dirac fondatosu

• potenziale coulombiano a simmetria radiale (Rnucleo Ratomo);

• centro del potenziale ben definito (Mnucleo melettroni);

180

• leggi di quantizzazione del momento angolare;

• principio di Pauli;

riproduce con successo la fenomenologia degli atomi: i livelli energetici, la tavolaperiodica degli elementi, la valenza, . . . Gli autostati sono definiti dai numeri quantici|n, `,m, s〉

n = 1, 2, 3, . . . ` = 0, . . . , n− 1 m = −`, . . . , `− 1, ` s = ±1/2

e il numero di stati, definisce le proprieta atomiche. Il numero di stati, cioe dielettroni, per strato e

Zn =n−1∑

`=0

2(2`+ 1) = 2n2

In particolare gli elementi nobili (Elio, Neon, Argon, Kripton, . . . ), Z = 2, 10, 18, 36, . . .,sono caratterizzati da momento angolare totale J = 0, energia di legame elevata,bassa reattivita.

Nel caso dei nuclei si osservano delle configurazioni particolarmente stabili quandoil numero di protoni, Z, oppure il numero di neutroni, N = A− Z, e uguale a

2 8 20 28 50 82 126

detti numeri magici. I nuclei con numeri magici hanno particolari caratteristiche

• esistono molti nuclei isobari;

• hanno spin I = 0, momento di dipolo magnetico e di quadrupolo elettriconulli;

• hanno energia di legame grande;

• hanno una piccola sezione d’urto nucleare.

Le ultime due proprieta sono accentuate nei nuclei doppiamente magici quali

42He

168O

4020Ca . . . 208

82Pb

Si e quindi cercato di impostare un modello del nucleo basato sulla soluzione diun’equazione del moto e che fosse in grado di riprodurre i numeri magici. Lasoluzione presenta una serie di difficolta perche

• la forma del potenziale nucleare non e nota;

• se si assume un potenziale a simmetria radiale, il centro di simmetria non eben definito poiche tutti i nucleoni sono sorgente del campo nucleare;

• i nucleoni occupano in modo continuo il nucleo e non e ovvio estendere a questaconfigurazione il concetto di orbitale del modello atomico.

181

La terza difficolta e in parte ridotta dal principio di Pauli e dal successo del modelloa gas di Fermi nel definire l’energia cinetica dei nucleoni: se il gas di nucleonie fortemente degenere, ciascun nucleone e in uno stato quantico e non viene incollisione con un altro nucleone se non con un meccanismo di scambio. Questoinduce a impostare un’equazione del moto per il singolo nucleone cioe un modello aparticelle indipendenti.

Se si vuole risolvere un’equazione agli autovalori in modo analitico, la scelta delpotenziale si riduce a pochi esempi: il potenziale coulombiano, la buca di poten-ziale infinita, il potenziale armonico, . . . Il primo non e sicuramente adatto perchel’interazione nucleare e a breve raggio d’azione e perche non puo riprodurre la sat-urazione delle forze nucleari. Il secondo non e molto realistico perche non puoriprodurre l’energia cinetica e potenziale dei nucleoni. Il potenziale armonico puocostituire un buon punto di partenza per descrivere uno stato vicino all’equilibrio.

Gli autostati di una particella di massa m in un potenziale armonico a simmetriasferica, ψ(r, θ, φ) = Rnl(r)Ylm(θ, φ) si ottengono risolvendo l’equazione radiale conunl(r) = rRnl(r)

[− h2

2m

d2

dr2+ U(r) +

h2`(`+ 1)

2mr2

]u(r) = E u(r)

Il potenziale armonico

U(r) =1

2kr2 =

1

2k(x2 + y2 + z2) ω2

0 =k

m

ha autofunzioni che dipendono solo dal numero quantico radiale (appendice 4.11)

un(r) = vn(r) e−r2/2σ2

kσ2 = hω0

e autovalori

En =(n+

3

2

)hω0 n = nx + ny + nz = 2(ν − 1) + `

Il numero quantico n assume i valori interi, e l’autovalore del momento angolare, `,ha la stessa parita di n

n = 0, 1, 2, . . . ` = . . . , n− 2, n

e ciascun autostato di ` ha grado di degenerazione 2(2`+ 1)

m = −`, . . . , `− 1, ` s = ±1/2

Il numero di protoni o di neutroni per strato e

Z oppure N = (n+ 1)(n+ 2)

In analogia col modello atomico possiamo definire gli orbitali caratterizzati dal nu-mero quantico principale ν e dal momento angolare `h. Il primo autostato, n = 0, sipuo realizzare in una sola combinazione: nx = ny = nz = 0. Il secondo autostato sipuo realizzare con le tre combinazioni [1,0,0] + permutazioni. Il terzo autostato sipuo realizzare con sei combinazioni [2,0,0] + permutazioni e [0,1,1] + permutazioni,e cosı via

182

n ν ` stato 2(2`+ 1) Z (N) energia0 1 0 1s 2 2 3hω0/21 1 1 1p 6 8 5hω0/22 1 2 1d 10 18

2 0 2s 2 20 7hω0/23 1 3 1f 14 34

2 1 2p 6 40 9hω0/24 1 4 1g 18 58

2 2 2d 10 683 0 3s 2 70 11hω0/2

5 1 5 1h 22 922 3 2f 14 1063 1 3p 6 112 13hω0/2

6 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• il potenziale armonico e caratterizzato da 〈energia cinetica〉 = 〈energia potenziale〉(l’energia totale non dipende dallo stato di momento angolare)

hω0 =〈p2〉2m

+k〈r2〉

2≈ 40A−1/3 MeV

• gli autostati dipendono solo dal numero quantico principale e hanno degener-azione (n+ 1)(n+ 2);

• i livelli di energia En sono equispaziati con ∆E = hω0;

• il potenziale armonico produce la sequenza di strati chiusi con

∑(n+ 1)(n+ 2) = 2 8 20 40 70 112 . . .

quindi e in grado i riprodurre solo i primi tre numeri magici.

Si puo risolvere numericamente l’equazione del moto con il potenziale Woods-Saxon (Fig.2.13)

UWS(r) = − U0

1 + e(r−R)/t

che riproduce meglio del potenziale armonico la distribuzione radiale della densita dinucleoni. Questa forma del potenziale ha una diversa dipendenza dalla distanza r erimuove la degenerazione degli stati con diverso momento angolare orbitale. Gli staticon ` grande risultano maggiormente legati degli stati corrispondenti dell’oscillatorearmonico: a parita di numero quantico principale ν si ha

. . . E`+1 < E` < E`−1 . . .

183

Woods-Saxon

harmonic oscillator

R

- U o

en

erg

y

E = 0

Figure 2.13: Potenziale dell’oscillatore armonico e Woods-Saxon

La differenza di energia e pero piccola, ∆E` hω0, e quindi il potenziale Woods-Saxon non cambia sostanzialmente la sequenza dei numeri di occupazione deglistrati.

Un importante progresso e stato fatto da Maria Meyer e Hans Jensen 13 conl’introduzione di un termine di interazione spin-orbita

U(r) = UWS(r) + ULS(r) ~ · ~s

L’aggiunta di questo termine e suggerita dall’osservazione che l’interazione tra nucle-oni ha una forte dipendenza dallo stato di spin. A differenza dall’analoga interazioneatomica, il termine spin-orbita nei nuclei non ha origine dall’interazione del momentodi dipolo magnetico col campo prodotto dal moto delle cariche. Questa infatti pro-duce spostamento dei livelli, ∆E = −~µ · ~B, molto minori di quelli osservati. Pereffetto dell’interazione spin-orbita il mometo angolare orbitale e lo spin si combinanoa formare il momento angolare totale ~j = ~+ ~s e i livelli di energia si modificano

Enj = En` + 〈n, `,m, s| ULS(r) ~ · ~s |n, `,m, s〉

L’operatore ~l · ~s ha autovalori [j(j + 1)− `(`+ 1)− s(s+ 1)]/2 e quindi i livelli dienergia sono

j = `+ 1/2 Enj = En` + 〈ULS(r)〉 `/2j = `− 1/2 Enj = En` − 〈ULS(r)〉 (`+ 1)/2

L’analisi dei livelli dei nuclei mostra che lo stato con j = ` + 1/2 e maggiormentelegato di quello con j = ` − 1/2 (nel caso atomico si ha l’opposto perche elettronee nucleo hanno carica elettrica opposta, mentre protone e neutrone hanno la stessacarica nucleare)

En(j = `+ 1/2) < En(j = `− 1/2) ∆En` = 〈ULS(r)〉 2`+ 1

2

con 〈ULS(r)〉 ≈ −20A−2/3 MeV . Tenendo conto di questo valore, l’accoppiamentospin-orbita riproduce la struttura con strati completi corrispondenti ai numeri magici(Fig.2.14).


184

1s

1p

1d 2s

1f 2p

1g 2d 3s

1h 2f 3p

1i 2g 3d 4s

1s

1p

1d2s

1f2p

2d

3s

1g

2f

3p

1h

1i

1s1/2

1p3/2

1p1/2

1d5/2

2s1/2

1d3/2

1f7/2

2p3/21f5/2

2p1/2

1g9/2

1g7/2

2d5/2

2d3/23s1/2

1h11/2

1h9/2

2f7/2

2f5/23p3/2

3p1/2

1i13/2

2

4 2

6 2 4

8

4 6 210

8 6 4 212

10 8 6 4 214

2

6 8

141620

28

32384050

5864687082

92100106110112126

2

8

20

40

70

112

harmonicpotential

Woods-Saxonpotential

spin-orbitcoupling

168

Σ 2 (2l + 1) 2j+1 Σ 2j+1

Figure 2.14: Livelli di energia nel modello a strati a particelle indipendenti

Il modello a strati a particelle indipendenti, Independent Particle Shell Model,puo fare previsioni sullo spin, parita, momento di dipolo magnetico e di quadrupoloelettrico dei nuclei. Data la semplicita del modello, queste previsioni non sono moltoaccurate, ma costituiscono una utile base per esaminare la fenomenologia dei nucleie impostare estensioni del modello per tener conto delle differenze osservate. Nelmodello IPSM il nucleo e rappresentato dagli stati occupati

(ν`j)p (ν`j)

n

dove p e n sono i numeri di protoni e di neutroni nello stato e hanno valore massimopari alla molteplicita 2j + 1. Le principali conclusioni sono

• il momento angolare totale di uno strato pieno e nullo;

• due protoni o due neutroni nello stesso stato tendono ad avere momento an-golare totale nullo;

• lo spin dei nuclei Z = pari, N = pari, e nullo;

185

• lo spin dei nuclei con A = dispari e uguale al momento angolare totale delnucleone non accoppiato;

• la parita del nucleo e uguale al prodotto delle parita dei singoli nucleoni (pos-itiva per convenzione) per la parita orbitale

P =A∏

k=1

(−1)`k

• la parita dei nuclei pari− pari e +1;

• la parita dei nuclei con A = dispari e la parita del nucleone non accoppiato;

• i nuclei dispari − dispari hanno un protone e un neutrone non accoppiati, ilmomento angolare totale ~j = ~jp +~jn ha autovalore |jp − jn| < j < jp + jn e ilmodello non fa previsioni definite;

• se protone e neutrone sono nello stesso stato ` la parita del nucleo e +1;

• se protone e neutrone hanno `p = `n ± 1 la parita del nucleo e −1.

2.2.5 Momenti magnetici dei nuclei

Il momento magnetico del nucleo e definito dalla direzione dello spin, ~µ = gµN ~I, eha autovalore pari al valore massimo della proiezione lungo l’asse dello spin nucleare,µ = gµNI

maxz = gµNI. Tenendo conto che lo spin e definito dal momento angolare

dei nucleoni non accoppiati possiamo fare le ipotesi

• il momento magnetico dei nuclei pari− pari e nullo;

• il momento magnetico dei nuclei con A = dispari e definito dallo stato delnucleone non accoppiato.

Il momento magnetico di un nucleone e la somma vettoriale del momento magneticooriginato dal moto orbitale (se e un protone) e dallo spin

~µ = g µN ~j = (g` ~+ gs ~s) µN

Se esprimiamo i prodotti scalari (~ ·~j) e (~s ·~j) con gli autovalori, il fattore giromag-netico del nucleo e

g = g`j(j + 1) + `(`+ 1)− s(s+ 1)

2j(j + 1)+ gs

j(j + 1)− `(`+ 1) + s(s+ 1)

2j(j + 1)=

=g` + gs

2+g` − gs

2

`(`+ 1)− 3/4

j(j + 1)

186

Quindi possiamo calcolare il momento magnetico, µ = gµNj, nello stato j = `± 1/2

j = `+ 1/2µ

µN= g` j +

gs − g`2

j = `− 1/2µ

µN=[(j +

3

2

)g` −

gs2

]j

j + 1

• se il nucleone non accoppiato e un protone, g` = +1, gs/2 = +2.79,

j = `+ 1/2µ

µN= j + 2.29 j = `− 1/2

µ

µN= (j − 1.29)

j

j + 1

• se il nucleone non accoppiato e un neutrone, g` = 0, gs/2 = −1.91,

j = `+ 1/2µ

µN= −1.91 j = `− 1/2

µ

µN= +1.91

j

j + 1

Questa previsione del modello, sviluppata da Theodor Schmidt nel 1937, identificaper protone e neutrone due linee in funzione dello spin nucleare, I, dette linee diSchmidt, su cui si dovrebbero allineare i valori dei momenti magnetici dei nucleicon A = dispari. In effetti, come mostrato in Fig.2.15, i valori sperimentali deimomenti magnetici sono, in valore assoluto, piu piccoli della previsione del modelloe, pur con alcune fluttuazioni, sono raggruppati lungo linee che sono all’internodei limiti definiti dalle linee di Schmidt. Il fattore giromagnetico del protone e del

1/2 3/2 5/2 7/2 9/2 1/2 3/2 5/2 7/2 9/2

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

odd proton odd neutron

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

nucl

eus m

agne

tic m

omen

t

odd nucleon spinl + 1/2

l - 1/2

l + 1/2

l - 1/2

Figure 2.15: Linee di Schmidt e valori del momento magnetico di alcuni nuclei conA dispari in funzione dello spin.

neutrone gs 6= 2 e generato dall’interazione nucleare ed e quindi plausibile supporre

187

che, quando sono in interazione con molti altri nucleoni, protone e neutrone nonabbiamo necessariamente lo stesso fattore giromagnetico del nucleone libero. Sefacciamo questa ipotesi, i valori sperimentali si accordano meglio con il modello segs ≈ 0.6 gliberos .

I valori dei momenti magnetici dei nuclei con A piccolo sono in discreto accordocon la previsione del modello a strati IPSM come mostrato nella tabella seguente.

nucleo protoni neutroni IP µ [µN ] valoresperimentale

2H 1s1/2 1s1/2 0+ 1+ +0.88 +0.857 (1)3H 1s1/2 (1s1/2)2 1/2+ −1.91 −2.127

3He (1s1/2)2 1s1/2 1/2+ +2.79 +2.9794He (1s1/2)2 (1s1/2)2 0+ 0

(2)6Li 1p3/2 1p3/2 0+ 1+ 2+ 3+ +0.88 +0.822 (3)7Li 1p3/2 (1p3/2)2 3/2− +3.79 +3.2568Be (4)9Be (1p3/2)2 (1p3/2)3 3/2− −1.91 −1.17710B (1p3/2)3 (1p3/2)3 0+ 1+ 2+ 3+ +1.88 +1.801 (5)11B (1p3/2)3 (1p3/2)4 3/2− +3.79 +2.68811C (1p3/2)4 (1p3/2)3 3/2− −1.91 −1.03012C (1p3/2)4 (1p3/2)4 0+ 013C 1p1/2 1/2− +0.64 +0.70213N 1p1/2 1/2− −0.26 −0.32214N 1p1/2 1p1/2 0+ 1+ +0.38 +0.404 (6)15N 1p1/2 (1p1/2)2 1/2− −0.26 −0.28315O (1p1/2)2 1p1/2 1/2− +0.64 +0.71916O (1p1/2)2 (1p1/2)2 0+ 017O 1d5/2 5/2+ −1.91 −1.89317F 1d5/2 5/2+ +4.79 +4.722. . .

1) il valore sperimentale e I = 12) non esistono nuclei stabili con A = 53) il valore sperimentale e I = 14) in nucleo 8

4Be non e stabile5) il valore sperimentale e I = 36) il valore sperimentale e I = 1

188

2.3 Proprieta delle forze nucleari

2.3.1 L’isospin

I dati sperimentali sull’energia di legame dei nuclei dimostrano che, se si tiene contodell’energia elettrostatica dei protoni, l’interazione nucleone-nucleone e indipendentedalla carica elettrica. Le stesse conclusioni si ottengono considerando i livelli di en-ergia dei nuclei isobari che, se si trascurano gli effetti dovuti all’interazione elettro-magnetica, risultano simili.

Se assumiamo che le interazioni nucleari p−p, p−n, n−n sono uguali, possiamoconsiderare il protone e il neutrone come un’unica particella, il nucleone, che esistein due stati di carica, autostati dell’operatore di iso-spin. La simmetria dell’isospine una simmetria nello spazio vettoriale a due dimensioni e i generatori della sim-metria sono le matrici di Pauli. In base a questo formalismo, suggerito da WernerHeisenberg nel 1932, il protone e il neutrone sono autostati degli operatori τ 2 e τ3

con autovalori τ3(p) = +1/2, τ3(n) = −1/2

| p 〉 =

(10

)| n 〉 =

(01

)

L’indipendenza dell’interazione nucleare dalla carica elettrica si traduce in una leggedi conservazione ovvero in una proprieta di simmetria

• l’isopsin si conserva nelle interazioni nucleari;

• la hamiltoniana di interazione nucleare commuta con l’operatore di isospin ede invariante per le trasformazioni generate da ~τ , cioe le rotazioni nello spaziodell’isospin.

La carica elettrica del nucleone e legata alla terza componente dell’isospin dallarelazione

q =1

2+ τ3

la conservazione della carica elettrica equivale alla conservazione della terza com-ponente dell’isospin τ3; la conservazione dell’isospin ~τ (indipendenza dalla caricaelettrica) e una legge piu restrittiva che non la conservazione della carica elettrica.

Analogamente al caso dello spin, due nucleoni esistono in quattro stati di isospin|T, T3〉 con moteplicita 2T + 1

singoletto |0, 0〉 = [ |p n〉 − |n p〉 ]/√

2

|1,+1〉 = |p p〉tripletto |1, 0 〉 = [ |p n〉+ |n p〉 ]/

√2

|1,−1〉 = |n n〉Lo stato di singoletto e antisimmetrico e lo stato di tripletto e simmetrico. Il nucleonee un fermione di spin 1/2 e il principo di Pauli si puo generalizzare: lo stato di duenucleoni identici

|N1, N2〉 = |~r1, ~r2, ~s1, ~s2, ~τ1, ~τ2〉

189

e antisimmetrico rispetto allo scambio dei nucleoni, cioe delle coordinate spaziali,dello spin e dell’isospin. Se i nucleoni sono in stato di momento angolare orbitale L,la simmetria dello stato e

(−1)L (−1)S+1 (−1)T+1 = −1 ⇒ L+ S + T = dispari

Se due nucleoni formano uno stato legato, e plausibile supporre che lo stato di energiapiu bassa corrisponda a L = 0 quindi S + T = dispari. Poiche non si osservanostati legati di tripletto p− p ne n− n, la simmetria dell’isospin richiede che lo statofondamentale p − n, cioe il deutone, sia lo stato di singoletto con isospin Td = 0.Quindi il principio di Pauli richiede che il deutone abbia spin 1, Id = 1, e questo equello che si osserva sperimentalmente.

Il deutone e stabile e non si osservano stati eccitati del deutone. La simmetriadell’isospin e in accordo con il fatto che esista un solo stato stabile, singoletto diisospin, con due nucleoni, A = 2

Td = 0 Id = 1 qd =A

2+ T3 = +1

Esistono due nuclei con A = 3 che costituiscono un doppietto di isospin, T = 1/2

31H T3 = −1/2 q = A/2 + T3 = +1

32He T3 = +1/2 q = A/2 + T3 = +2

Esiste un solo nucleo conA = 4, il nucleo 42He, che e un singoletto di isospin, T = 0 ed

e una configurazione particolarmente stabile con energia di legame BE = 28.3 MeV .Non esistono nuclei stabili con A = 5. Esistono tre nuclei con A = 6 che costituisconoun tripletto di isospin, T = 1

62He T3 = −1 q = A/2 + T3 = +263Li T3 = 0 q = A/2 + T3 = +364Be T3 = +1 q = A/2 + T3 = +4

2.3.2 Il deutone

Il deutone e lo stato nucleare legato piu semplice e costituisce per l’interazione nu-cleare l’analogo dell’atomo di idrogeno per l’interazione elettromagnetica. L’energiadi legame del deutone e pero cosı bassa da non formare stati eccitati. Quindil’informazione sull’interazione nucleone-nucleone e limitata allo studio delle pro-prieta del deutone e dello scattering n− p e p− p a bassa energia. Le caratteristichedel deutone sono

• spinparita′ = 1+

• energia di legame BE = 2.225 MeV

• momento di dipolo magnetico µ = +0.8574 µN

190

• momento di quadrupolo elettrico Q = +2.88 e×mb

La conservazione della parita nelle reazioni nucleari o elettromagnetiche in cui vi e unnucleo di deuterio nello stato iniziale o nello stato finale permette la determinazionedella parita del deutone: Pd = +1.

Nel paragrafo precedente abbiamo fatto l’ipotesi che il deutone sia in uno statodi momento angolare orbitale L = 0, cioe 3S1. Nello stato L = 0 e con gli spin diprotone e neutrone paralleli, I = 1, il momento magnetico risulta

~µd = gdµN ~I = gpµN~sp + gnµN~sn µd =gp + gn

2µN = +0.8798 µN

che e sicuramente diverso dal valore misurato poiche la precisione di misura deimomenti magnetici e < 10−6. Una possibile interpretazione di questa differenza eche l’interazione tra nucleoni cambi il valore dei momenti magnetici di protone eneutrone nello stato legato, oppure che lo stato fondamentale sia una combinazionedi stati con diverso valore del momento angolare orbitale. Poiche la parita deldeutone e positiva, il momento angolare orbitale puo solo essere pari L = 0, 2, . . .Inoltre, se il deutone fosse esclusivamente in onda S avrebbe momento di quadrupoloelettrico nullo. Infatti l’autofunzione Y00 e costante e non puo produrre un momentodi quadrupolo elettrico

Q = 〈3S1| 3z2 − r2 |3S1〉 = costante∫ +1

−1(3 cos2 θ − 1) d cos θ = 0

Queste due evidenze inducono a supporre che il deutone sia in uno stato dimomento angolare misto sovrapposizione dello stato 3S1 (L = 0) e 3D1 (L = 2)

|d〉 = AS|3S1〉+ AD|3D1〉

I momenti angolari ~L, ~sp, ~sn, si sommano a formare lo spin del deutone I = 1,quindi, anche nello stato di momento angolare orbitale L = 2 protone e neutronesono nello stato di tripletto con S = 1. Il fattore giromagnetico e

g = gLI(I + 1) + L(L+ 1)− S(S + 1)

2I(I + 1)+ gS

I(I + 1)− L(L+ 1) + S(S + 1)

2I(I + 1)

dove gL = 0.5, poiche solo il protone contribuisce al momento magnetico orbitale, egS = 0.8798. Quindi

g = gL3

2− gS

1

2= 0.3101

Con queste ipotesi, il momento magnetico del deutone e

〈d| ~µ |d〉 = A2S 〈3S1| ~µ |3S1〉+ A2

D 〈3D1| ~µ |3D1〉 = A2S 0.8798 + A2

D 0.3101

Con la condizione di normalizzazione A2S + A2

D = 1, si ottiene

A2S = 0.96 A2

D = 0.04

191

Questa stima si basa sull’ipotesi che i momenti magnetici di protone e neutronenon siano modificati dall’interazione nucleare che, come abbiamo visto, non e benverificata nel caso di nuclei pesanti. Il momento di quadrupolo elettrico

〈d| Q |d〉 = 2ASAD 〈3S1| Q |3D1〉+ A2D 〈3D1| Q |3D1〉

puo fornire altre informazioni sui coefficienti AS, AD, ma le funzioni d’onda radialidel deutone non sono note con sufficientemente accuratezza. Possiamo concludereche il deutone non e esclusivamenete in onda S e che il contributo di onda D epiccolo.

La funzione d’onda del deutone si ottiene risolvendo l’equazione del moto

[− h2

2m∇2 + U(~r)

]ψ(~r) = E ψ(~r)

Se facciamo l’ipotesi che il potenziale U(~r) sia a simmetria sferica e che il deutonesia prevalentemente nello stato di momento angolare L = 0, la parte radiale dellafunzione d’onda ψ(r, θ, φ) = un(r)Y`,m(θ, φ)/r soddisfa l’equazione

[− h2

2m

d2

dr2+ U(r)

]u(r) = E u(r) m =

MpMn

Mp +Mn

=M

2

Per una buca di potenziale sferica di profondita U0

U(r) = −U0 per r < R U(r) = 0 per r > R

se l’energia e E = −E0 = −2.225 MeV < U0, la soluzione e

r < R u(r) = A sin kir + A′ cos kir ki =√M(U0 − E0)/h

r > R u(r) = Be−ker +B′e+ker ke =√ME0/h

La soluzione ψ(r, θ, φ) deve soddisfare le seguenti condizioni

• deve avere valore finito per r → 0, limr→0 u(r) ∼ r, quindi A′ = 0;

• deve annullarsi per r →∞, quindi B′ = 0;

• la soluzione e la derivata devono essere continue per r = R.

La soluzione e la derivata

r < R u(r) = A sin kir u′(r) = Aki cos kirr > R u(r) = Be−ke(r−R) u′(r) = −keBe−ke(r−R)

e la condizione di continuita per r = R, A sin kiR = B, Aki cos kiR = −keB,definiscono le relazioni

ki cot kiR = −ke Aki = B(k2i + k2

e)1/2

192

con ke = 0.232 fm−1. La prima equazione si risolve numericamente (Fig.2.16) e,se supponiamo che il raggio della buca di potenziale sia R = 2 fm, otteniamoki ≈ 0.91 fm−1 e U0 ≈ 35 MeV . La condizione di normalizzazione

4πA2∫ R

0sin2 kir dr + 4πB2

∫ ∞

Re−2ke(r−R)dr = 1

definisce le ampiezze A ≈ B ≈ 0.17 fm−1/2, da cui si deduce che la probabilita chela distanza tra protone e neutrone sia maggiore di R e approssimativamente 2/3 ariprova del fatto che il deutone e uno stato debolmente legato.

0

1

2

3

4

5

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 . 7 5 1 . 8 0 1 . 8 5 1 . 9 0 1 . 9 5

k ( fm- 1

)

R ( fm )

U ( MeV )

k R

k cot kR = - 0.232 fm- 1

0 . 0

0 . 5

1 . 0

1 . 5

0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0

r ( fm )

deuteron radial wave function

R = 2 fm

Figure 2.16: Soluzione e funzione d’onda del nucleo di deuterio

2.3.3 Scattering neutrone-protone a bassa energia

I parametri determinati dallo studio del sistema legato neutrone-protone possonoessere utilizzati per analizzare lo scattering elastico, cioe lo stato neutrone-protonenon legato. Poiche abbiamo fatto l’ipotesi che il deutone sia prevalentemente nellostato di momento angolare L = 0, consideriamo lo scttering in onda S, cioe illimite di bassa energia per cui l’impulso nel centro di massa soddisfa la condizionepR = L h

Kn =p2n

2M=

2p2

M 2h2

MR2≈ 20 MeV

dove pn e Kn sono l’impulso e l’energia cinetica del neutrone nel laboratorio. Laparte radiale della funzione d’onda per r > R si puo esprimere

u(r) =1

ksin(kr + δ0) hk = p

193

dove compare solo lo sfasamento per ` = 0, δ0, che definisce la sezione d’urto elastica

σ0el =

4π

k2sin2 δ0

Nel limite di bassa energia (k → 0) la funzione d’onda e la derivata si possonoapprossimare

u(r) =1

ksin δ0 + r cos δ0 + . . . u′(r) = cos δ0 − kr sin δ0 + . . .

e richiedendo la continuita per r = R con la soluzione trovata per r < R per lo statonon legato (E = 0) si ha la relazione

tan δ0

k+R =

tan kiR

kiki ≈

√MU0/h

Nel limite k → 0 deve risultare δ0 → 0 perche l’ampiezza di scattering sia finita.Definiamo la

lunghezza di scattering a = − limk→0

tan δ0

k

che ha le seguenti caratteristiche

• definisce l’andamento della funzione d’onda per r > R

limk→0

u(r) = (r − a) cos δ0

• definisce l’andamento della sezione d’urto di scattering elastico

σ0el =

4π

k2 + k2 cot2 δ0

limk→0

σ0el = 4πa2

Con i valori definiti per il deutone, R = 2 fm, U0 = 35 MeV , troviamo

a = − 5.9 fm limk→0

σ0el = 4.4 b

La parametrizzazione che abbiamo trovato prevede che la sezione d’urto di scatteringelastico neutrone-protone sia costante per valori dell’impulso nel centro di massap < h/a. Questo e confermato dai dati sperimentali, ma il valore sperimentale dellasezione d’urto limk→0 σel = 20.4 b e molto maggiore di quello previsto. In effettii dati utilizzati si riferiscono allo stato legato con spin I = 1, lo stato di tripletto,mentre lo scattering elastico puo avvenire anche nello stato di singoletto con spinI = 0. Poiche il sistema neutrone-protone non forma uno stato legato di singoletto,e prevedibile che il potenziale sia minore che nello stato di tripletto, Uos < Uot, eche la lunghezza di scattering di singoletto sia maggiore, as > at. Tenendo contodei pesi di molteplicita degli stati, la sezione d’urto si esprime

σel =1

4σs +

3

4σt = π

(1

k2 + a−2s

+3

k2 + a−2t

)

194

Nel limite di bassa energia, σexp = 20.4 b , σt = 4.4 b , troviamo

σs = 4πa2s = 4 [20.4− (3/4) σt] = 68 b as = ±23 fm

La sezione d’urto non definisce il segno della lunghezza di scattering, questo si puodeterminare studiando l’interferenza dello scattering da molecole di para-idrogenoe orto-idrogeno. La lunghezza di scattering nello stato di singoletto e negativaas = −23 fm e questo conferma che il sistema neutrone-protone non e legato nellostato di singoletto.

Conclusioni simili si ottengono dallo studio dello scattering elastico protone-protone a bassa energia, ma vi sono alcune differenze

• per il principio di Pauli, lo scattering protone-protone in onda S puo avveniresolo nello stato di spin 0 (singoletto);

• oltre all’interazione nucleare si deve tener conto dell’interazione coulombianatra i protoni e questa limita la regione di bassa energia a valori Kp > 1 MeV ;

• occorre tener conto del fatto che i due protoni sono identici.

I risultati mostrano che la lunghezza di scattering a = −17 fm e negativa e questoconferma che il sistema protone-protone non e legato.

I parametri dello scattering neutrone-neutrone non sono direttamente misurabiliin esperimenti di scattering elastico poiche non esistono bersagli di neutroni liberi.Si possono sfruttare reazioni in cui vengono prodotti due neutroni nello stato finalein moto relativo nel potenziale di interazione come, ad esempio, n 2

1H → n n p.In queste reazioni e presente nello stato finale un terzo nucleo che interagisce con idue neutroni e occorre tener conto di questi effetti. Anche in questo caso i risultatimostrano che la lunghezza di scattering a = −17 fm e negativa e questo confermache il sistema neutrone-neutrone non e legato.

2.3.4 Proprieta dell’interazione nucleone-nucleone

L’analisi dell’energia di legame dei nuclei, delle caratteristiche del deutone e delloscattering elastico nucleone-nucleone a bassa energia forniscono informazioni sulleproprieta delle forze tra nucleoni

• l’interazione e attrattiva e a breve raggio d’azione, R = 1÷ 2 fm e puo esseredescritta da un potenziale centrale −Uc(r)

La forma del potenziale non e nota a priori, scelte diverse, quali la buca quadrata,il potenziale di Woods-Saxon o il potenziale dell’oscillatore armonico, portano aconclusioni simili se si usano valori simili dei parametri: raggio del potenziale R ≈2 fm, profondita del potenziale Uo ≈ 40 MeV .

• l’interazione e simmetrica rispetto alla carica elettrica

195

Lo studio dell’energia di legame e dei livelli di energia dei nuclei isobari specularimostrano che l’interazione protone-protone e neutrone-neutrone sono simili; allastessa conclusione si giunge confrontando lo scattering elastico neutrone-neutrone eprotone-protone a bassa energia.

• l’interazione e indipendente dalla carica elettrica

Lo studio dell’energia di legame dei nuclei, del deutone e dello scattering elas-tico neutrone-protone a bassa energia mostrano che l’interazione e indipendentedalla carica elettrica. Questa proprieta e tradotta nella conservazione dell’isospinnell’interazione nucleare.

• l’interazione e invariante per trasformazioni di parita e inversione temporale

I nuclei non hanno momento di dipolo elettrico, ne momento di quadrupolo mag-netico, . . .

• l’interazione dipende dallo spin

Lo stato nucleone-nucleone con spin I = 0 (singoletto) ha proprieta diverse da quelledello stato con spin I = 1 (tripletto); questo suggerisce una dipendenza dallo spindell’interazione e l’introduzione di un potenziale del tipo

US(r) = Us(r) ~s1 · ~s2 − Ut(r) ~s1 · ~s2

attrattivo nello stato di tripletto e repulsivo nello stato di singoletto.

• l’interazione ha anche un potenziale non centrale

Per render conto del momento di dipolo magnetico e del momento di quadrupoloelettrico del deutone si fa l’ipotesi che questo sia uno stato misto sovrapposizionedi stati di momento angolare L = pari. Ma un potenziale a simmetria radiale nonproduce autostati stazionari degeneri con diversi valori di L. Quindi l’interazionenucleone-nucleone ha anche un termine non radiale detto potenziale tensoriale UT (~r).Poiche l’unica direzione definita e lo spin, il potenziale tensoriale si puo costruire concombinazioni dipendenti dallo spin e dalla distanza, del tipo (~s · ~r) oppure (~s × ~r),che siano invarianti per trasformazione di parita e di inversione temporale.

• l’interazione e repulsiva a piccole distanze

I nuclei hanno energia e volume proporzionale al numero di nucleoni: questo fapresupporre che oltre al potenziale attrattivo con raggio d’azione R vi sia un poten-ziale repulsivo a distanza r R. Questo e confermato dallo studio dello scatteringnucleone-nucleone: a bassa energia lo sfasamento e positivo (potenziale attrattivo)mentre a energia intermedia (pcm > 400 MeV/c cioe r < 0.5 fm) lo sfasamentodiventa negativo (potenziale repulsivo). L’effetto e legato al principio di esclusionedi Pauli per cui due nucleoni con gli stessi numeri quantici non possono trovarsi nellastessa posizione. Un potenziale repulsivo si puo costruire con le stesse combinazionidegli operatori di spin che generano il potenziale tensoriale.

196

• tra i nucleoni agiscono forze di scambio

La sezione d’urto differenziale di scattering elastico protone-protone mostra unasimmetria tra θ e π − θ poiche le particelle sono identiche. Lo stesso fenomenosi osserva nel caso dello scattering elastico neutrone-protone a energia intermediae questo effetto non si giustifica in base alla dinamica del processo. Infatti, sesupponiamo che l’angolo di scattering sia legato all’impulso trasferito nella collisione

θ ≈ ∆p

p≈ energia potenziale

energia cinetica

lo scattering ad angoli grandi non dovrebbe verificarsi all’aumentare dell’energia ci-netica, contrariamente a quanto si osserva. Questo effetto puo essere spiegato sesono presenti forze di scambio che agiscono sulle coordinate e sullo spin dei nucle-oni. Sono state proposti diversi tipi di forze di scambio (Heisenberg, Majorana,Bartlett) che possono spiegare questo effetto e anche l’effetto di saturazione delleforze nucleari.

2.3.5 Il modello di Yukawa

Nel 1935 Hideki Yukawa 14 propose un modello basato su una teoria di campo perinterpretare la fenomenologia dell’interazione nucleare. L’ipotesi del modello e:

• i nucleoni sono le sorgenti del campo e l’interazione tra nucleoni avviene me-diante lo scambio di bosoni, i quanti del campo di interazione nucleare;

il campo di interazione deve avere le seguenti proprieta:

• l’interazione e a piccolo raggio d’azione;

• e indipendente dalla carica elettrica;

• dipende dallo stato di spin del sistema di nucleoni;

e, per semplificare la trattazione,

• il potenziale e a simmetria sferica.

L’equazione relativisticamente invariante che descrive un campo di bosoni di massam e l’equazione di Klein-Gordon (appendice 4.19)

(∇2 − 1

c2

∂

∂t

)φ(~r, t) =

(mc

h

)2

φ(~r, t)

che si riduce all’equazione di d’Alembert nel limite m → 0. Consideriamo lasoluzione in condizioni statiche. L’equazione

∇2φ(r) =1

r

d2

dr2rφ(r) = µ2 φ(r) µ =

mc

h14 premio Nobel per la fisica nel 1949

197

ha, nell’ipotesi φ(r →∞) = 0, soluzione

φ(r) = ηe−µr

r

dove η e una costante arbitraria. Nel caso dell’elettromagnetismo, µ = 0, η = q/4πε0,l’energia di interazione tra due cariche elettriche e U(r) = qq′/4πε0r. Se queste sonopari alla carica elementare:

Uem(r) =e2

4πε0r=αhc

rα =

1

137

Nel caso dell’interazione nucleare, η e il valore della ”carica nucleare” sorgente delcampo e il potenziale (attrattivo) di interazione tra due nucleoni e

Un(r) = −ηη′ e−µr

r

Possiamo fare le seguenti osservazioni

• il raggio d’azione dell’interazione determina il valore della massa del bosone

1/µ ≈ 1÷ 2 fm ⇒ mc2 ≈ 100÷ 200 MeV

• per l’equivalenza dell’interazione p − p, p − n, n − n, il bosone esiste in trestati di carica elettrica (− 0 +): e uno stato di isospin = 1;

• le costanti η e η′ non dipendono dal tipo di nucleone: η = η′.

Per valutare l’ordine di grandezza della costante di accoppiamento, consideriamola sezione d’urto di interazione nucleone-nucleone. Se M e la massa del nucle-one e h~q e l’impulso trasferito da un nucleone all’altro, l’ampiezza di scatteringnell’approssimazione di Born (capitolo 1.8) e

f(~q) =M/2

2πh2

∫ei~q·~r Un(r) d~r = − M

4πh2

∫ei~q·~r αnhc

e−µr

rd~r

dove abbiamo introdotto la costante adimensionale αn = η2/hc in analogia conl’interazione elettromagnetica. L’integrale, la trasformata di Fourier del potenzialedi interazione, e il propagatore del campo bosonico

∫ei~q·~r

e−µr

rd~r =

4π

q2 + µ2

La sezione d’urto di scattering nucleone-nucleone, σ =∫ |f(~q)|2dΩ, e approssimati-

vamente uguale a πR2 ≈ π/µ2

|f(~q)|2 = (αnhc)2 M2

[p2(1− cos θ) + (mc)2]2

198

σ =∫|f(~q)|2d cos θ dφ ' α2

nh2 (Mc)2

(mc)4

2π

1 + (2p/mc)2' π

h2

(mc)2

Il valore della costante di accoppiamento e αn ≈ m/M α come ci si aspetta dalfatto che a distanza r ≈ 1/µ l’interazione nucleare tra protoni deve risultare moltomaggiore della repulsione coulombiana.

Il modello di Yukawa ha avuto una notevole influenza sugli sviluppi teorici esulla ricerca sperimentale. Alcune particelle di spin intero, dette mesoni, furonoscoperte alcuni anni dopo. Nel 1947 fu osservato il mesone π in due stati di carica,π±, con massa mπ ≈ 140 MeV/c2 e successivamente fu osservato anche il mesoneneutro, π0, con valore simile della massa. I mesoni π hanno spin 0. Piu tardi furonoscoperti i mesoni ρ− ρ0 ρ+ con massa mρ ≈ 770 MeV/c2 e spin 1. In entrambe i casicostituiscono un tripletto di isospin: T = 1. Per quanto oggi sappiamo che i mesoniosservati non sono i bosoni mediatori dell’interazione nucleare, ma sono particellecon struttura, le basi teoriche del modello di Yukawa sono tuttora valide.

2.4 Decadimenti dei nuclei

La scoperta della radioattivita naturale, fatta da Henri Bequerel 15 nel 1896, eall’origine dello studio della fisica nucleare. Ci vollero molti anni per capire lanatura dei decadimenti dei nuclei che avvengono in diversi modi

• decadimento α: emissione di nuclei di elio;

• decadimento β: emissione di elettroni (o positroni) e neutrini;

• decadimento γ: emissione di radiazione elettromagnetica;

• fissione: scissione in due o piu nuclei;

in cui un nucleo di massa M1 decade in un nucleo di massa M2 < M1 e la differenzadi massa si converte in massa e energia cinetica dei prodotti di decadimento.

2.4.1 Legge di decadimento

Gia nei primi anni di studio dei decadimenti delle sostanze radioattive si dimostroche l’attivita, definita come il numero di decadimenti nell’unita di tempo, decrescenel tempo con legge esponenziale e che il processo di decadimento e di natura ca-suale. Questa evidenza porto a concludere che il decadimento radioattivo non eoriginato dalla mutazione delle caratteritiche chimiche della sostanza, ma risultadalla successione di piu processi che coinvolgono i singoli atomi. Il fenomeno deldecadimento di una sostanza radioattiva si puo interpretare sulla base delle seguentiipotesi:


199

• la probabilita di decadimento nell’unita di tempo e una proprieta della sostanzae del processo di decadimento e non dipende dal tempo;

• in una sostanza contenente N nuclei, la probabilita di decadimento nell’unitadi tempo del singolo nucleo non dipende da N .

Quindi la probabilita di decadimento in un intervallo di tempo dt e

dP = λdt

dove λ e la costante di decadimento caratteristica del processo e ha dimensioni [s−1].Se la sostanza contiene N nuclei e se il numero N e grande in modo da poterlotrattare come una variabile continua, la variazione (diminuzione) del numero dinuclei nell’intervallo di tempo dt e

−dN = λNdt

Conoscendo il valore di N a un certo istante, N(t = 0) = N0, si ottiene l’andamentonel tempo del numero di nuclei e dell’attivita della sostanza

N(t) = N0e−λt A(t) = λN(t) = λNoe

−λt

Il valore medio della distribuzione e la vita media del decadimento

τ =

∫∞o t N(t) dt∫∞o N(t) dt

=1

λ

In fisica delle particelle si quota la vita media mentre in fisica dei nuclei si quotadi solito il tempo di dimezzamento, t1/2, definito come l’intervallo di tempo in cui ilnumero di nuclei si dimezza

∫ t1/2

0λN(t)dt =

∫ ∞

t1/2

λN(t)dt =N0

2⇒ t1/2 = τ ln 2 = 0.693 τ

L’unita di misura comunemente usata per l’attivita e il Curie 16, definito comel’attivita di un grammo di radio

1 Ci = 3.7 1010 disintegrazioni/secondo

• Il nucleo 22688Ra decade emettendo particelle α di energia cinetica 4.9 MeV

con un tempo di dimezzamento t1/2 = 1602 anni. La vita media e τ =1602× π 107/0.693 = 7.3 1010 s. L’attivita di un grammo di 226

88Ra e

A =N

τ=

6.02 1023

226 7.3 1010 s= 3.7 1010 s−1

Un’altra unita di misura e il Bequerel che corrisponde a una disintegrazione alsecondo, 1 Bq = 0.27 10−10 Ci.

16 da Maria Sklodowska Curie premio Nobel per la fisica nel 1903

200

2.4.2 Larghezza di decadimento

Il fenomeno casuale del decadimento non si puo interpretare in base alle leggi dellameccanica classica. In meccanica quantistica la probabilita di decadimento dallostato |i〉 allo stato |f〉 si puo calcolare con i metodi della teoria delle perturbazionicon le ipotesi

• gli stati |i〉 e |f〉 sono autostati della hamiltoniana H0 che descrive il sistemanucleare e si possono calcolare, ad esempio, a partire dal potenziale di inter-azione nel modello a strati;

• la transizione |i〉 → |f〉 avviene per effetto della hamiltoniana HI che descrivel’interazione;

• la perturbazione e piccola, |〈f |HI |i〉| |〈i|H0|i〉|.Per effetto dell’interazione, gli autovalori dell’energia vengono modificati Ei → E ′i =Ei + ∆Ei− iΓi/2 e lo stato non conserva la densita di probabilita per l’introduzionedel termine immaginario nell’evoluzione temporale

|i〉 = |i0〉 e−i(Ei+∆Ei−iΓi/2)t/h 〈i|i〉 = 〈i0|i0〉 e−Γit/h

Otteniamo la legge di decadimento esponenziale (appendice 4.14). Γi e chiamatalarghezza di decadimento e rappresenta l’indeterminazione dell’energia dello statonon stazionario: se il sistema ha un valor medio del tempo di sopravvivenza nellostato |i〉 pari a τ , la sua energia e nota con una incertezza Γ definita dalla relazionedi indeterminazione

Γ τ = h

La funzione di distribuzione dell’energia dello stato |i〉 attorno al valor medio Ei euna curva lorentziana con larghezza pari a Γ

f(E) =1

π

Γ/2

(E − Ei)2 + (Γ/2)2

La probabilita di decadimento nell’unita di tempo dallo stato |i〉 allo stato |f〉 sicalcola con i metodi della teoria delle perturbazioni (appendice 4.15). Al primoordine dello sviluppo perturbativo:

1

τ= λ =

2π

h|〈f |HI |i〉|2ρ(Ef )

Nei decadimenti dei nuclei la variazione di energia e ∆E ' 100 keV ÷ 10 MeV . Idecadimenti radiativi con le vite medie piu brevi, τ ∼ 10−16 s, hanno larghezza didecadimento Γ ∼ 10 eV , quindi gli stati di energia non si sovrappongono e, a tuttigli effetti, il decadimento dei nuclei avviene tra stati quasi stazionari.

Uno stato |i〉 puo decadere in diversi stati finali |fk〉 con diverse probabilitaper unita di tempo λk. Γk = 2π|〈fk|HI|i〉|2ρ(Ek) sono le larghezze di decadimentoparziali, e Γ =

∑k Γk e la larghezza di decadimento totale. Vi e una sola vita media

τ =∑k

1λk

. Le frazioni di decadimento (o rapporti di diramazione) sono Bk = ΓkΓ

con∑k Bk = 1.

201

2.4.3 Decadimenti in cascata

Se un nucleo prodotto in un decadimento e a sua volta radioattivo si produconodecadimenti in cascata. Questo fenomeno interessa principalmente i nuclei pesantiche danno origine a catene radioattive con molti decadimenti in cascata. Se τ1 e lavita media del decadimento nucleo1 → nucleo2 e questo a sua volta decade con vitamedia τ2, abbiamo

dN1 = −λ1N1dt dN2 = −λ2N2dt+ λ1N1dt

La soluzione per il numero di nuclei2 e del tipo

N2(t) = ae−λ1t + be−λ2t

Supponiamo che all’istante t = 0 il numero di nuclei1 sia N0 e che non ci sianonuclei2, N2(0) = 0. In questo caso la variazione del numero di nuclei2 all’istantet = 0 e uguale all’attivita dei nuclei1

N2(t = 0) = a+ b = 0

(dN2

dt

)

t=0

= −aλ1 − bλ2 = λ1N0

e, determinando le costanti con le condizioni inizali, a = −b = N0λ1/(λ2 − λ1), siottengono le attivita dei nuclei in funzione del tempo

A1(t) = N0λ1e−λ1t A2(t) =

N0λ1λ2

λ2 − λ1

(e−λ1t − e−λ2t)

Esempio: τ2 < τ1 (λ2 > λ1)

In questo caso il nucleo2 decade piu rapidamente nel nucleo che lo genera e la suaattivita, nulla a t = 0, aumenta fino a superare l’attivita del nucleo1 al tempot∗ = (lnλ2/λ1)/(λ2−λ1) e poi diminuisce. Per t t∗ si raggiunge una situazione diequilibrio in cui il rapporto tra le attivita e approssimativamente costante (Fig.2.17)

A2(t)

A1(t)=

λ2

λ2 − λ1

[1− e−(λ2−λ1)t

]limt→∞

A2(t)

A1(t)=

λ2

λ2 − λ1

Questa situazione si definisce di equilibrio transiente. Se τ2 τ1, all’equilibrio inuclei2 decadono non appena vengono formati e le attivita sono approssimativamenteuguali λ2N2 = λ1N1. Questa situazione si definisce di equilibrio secolare.

Esempio: τ2 > τ1 (λ2 < λ1)

In questo caso l’attivita dei nuclei2 aumenta rapidamente per effetto dei decadimentidei nuclei1 e raggiunge il valore massimo al tempo t∗ = (lnλ1/λ2)/(λ1 − λ2). Atempi t t∗ il numero di nucleo1 e molto diminuito e l’attivita dei nuclei2 decresceesponzialmente con vita media τ2 (Fig.2.17). In questo caso non si raggiunge unasituazione di equilibrio tra le attivita.

202

0 . 0

0 . 1

1 . 0

0 2 4 6 8 10

parent nucleus

daughter nucleus

t / t2

t1 > t

2

0 . 0

0 . 1

1 . 0

0 2 4 6 8 1 0

parent nucleus

daughter nucleus

t1 < t

2

t / t1

Figure 2.17: Attivita dei nuclei nei decadimenti in cascata

2.4.4 Catene radioattive

Se sono coinvolti piu nuclei, abbiamo

dN1 = −λ1N1dtdN2 = −λ2N2dt + λ1N1dt. . .

dNn = −λnNndt + λn−1Nn−1dt

e la soluzione per le popolazioni dei nuclei e del tipo

N1(t) = N11e−λ1t

N2(t) = N21e−λ1t + N22e

−λ2t

. . .Nn(t) = Nn1e

−λ1t + Nn2e−λ2t + . . . +Nnne

−λnt

in cui la popolazione di nucleik al tempo t e espressa in funzione delle costanti didecadimento dei nuclei 1, 2, . . . , k − 1. La soluzione si semplifica se inizialmentesono presenti solo i nuclei1 (N1(0) = N0 e N2(0) = N3(0) = . . . = Nk(0) = 0). Inquesto caso i coefficienti sono

Njk = N0

∏i 6=j λi∏

i 6=j (λi − λk)= N0

λ1 . . . λk(λ1 − λk) . . . (λj − λk)

In alcuni casi particolari, quando il primo nucleo della catena e molto piu stabile deisuccessivi, λ1 λ2 < . . . λn, si raggiunge una situazione di equilibrio secolare in cuiN1λ1 = N2λ2 = . . . = Nnλn.

203

Esempio: decadimenti in cascata N1 → N2 → N3 → N4(nucleo stabile)

Nell’ipotesi che all’istante iniziale N1(0) = N0 e N2(0) = N3(0) = 0

N1(t) = N0e−λ1t

N2(t) = N0λ1λ2−λ1

[e−λ1t − e−λ2t

]

N3(t) = N0λ1λ2

[e−λ1t

(λ2−λ1)(λ3−λ1)+ e−λ2t

(λ3−λ2)(λ1−λ2)+ e−λ3t

(λ1−λ3)(λ2−λ3)

]

Se τ1 > τ2 > τ3 (λ1 < λ2 < λ3) le popolazioni dei nuclei sono

N2(t) = N0λ1λ2

11−λ1/λ2


]

N3(t) = N0

[λ1λ3

e−λ1t

(1−λ1/λ2)(1−λ1/λ3)− λ1

λ3e−λ2t

(1−λ1/λ2)(1−λ2/λ3)+ λ1

λ3λ2λ3

e−λ3t

(1−λ1/λ3)(1−λ2/λ3)

]

Per le attivita si ha

A1(t) = N0λ1e−λ1t

A2(t) = N0λ11

1−λ1/λ2


]= A1(t) 1

1−λ1/λ2

[1− e−(λ2−λ1)t

]

A2(t)→ A1(t)1

1− λ1/λ2

per t τ21

1− τ2/τ1

A3(t) = N0λ1

[e−λ1t

(1−λ1/λ2)(1−λ1/λ3)− e−λ2t

(1−λ1/λ2)(1−λ2/λ3)+ λ2

λ3e−λ3t

(1−λ1/λ3)(1−λ2/λ3)

]

= A1(t) 1(1−λ1/λ2)(1−λ1/λ3)

[1− 1−λ1/λ3

1−λ2/λ3 e−(λ2−λ1)t + λ2

λ3

1−λ1/λ21−λ2/λ3 e

−(λ3−λ1)t]

A3(t)→ A1(t)1

(1− λ1/λ2)(1− λ1/λ3)

Esistono diverse catene radioattive iniziate da nuclei pesanti (con A > 230)che hanno vite medie lunghe e decadono in cascata tramite multipli decadimenti α(capitolo 2.6) e β (capitolo 2.7) fino a raggiungere il 208

82Pb, nucleo doppio-magicoparticolarmente stabile.Esempio: Serie del Torio

23290Th

α→

1.4 1010y

22888Ra

β→

5.7y

22889Ac

β→

6.1h

22890Th

α→

1.9y

22488Ra

α→

3.6d

22086Rn . . .→ 208

82Pb

Serie dell’Uranio

23892U

α→

4.5 109y

23490Th

β→24d

23491Pa

β→

1.2m

23492U

α→

2.5 105y

23090Th

α→

7.5 104y

22688Ra . . .→ 208

82Pb

Queste catene radioattive sono utilizzate per la datazione delle rocce che contengonoelementi radioattivi .

204

2.4.5 Produzione di nuclei radioattivi

Se un nucleo radioattivo che ha vita media τ viene prodotto ad un tasso Λ costante,ad esempio con una reazione nucleare in cui il flusso di proiettili e costante, si ha

dN = Λdt− λNdt dλN

λN − Λ= −λdt

La soluzione e

N(t) =1

λ(Λ + Ce−λt) = τ(Λ + Ce−t/τ )

Se non ci sono nuclei radioattivi all’istante iniziale, N(0) = τ(Λ + C) = 0, si ha

N(t) = Λτ(1− e−t/τ ) limt→∞

N(t) = Λτ

2.5 Decadimento γ

Un nucleo puo trovarsi in uno stato eccitato e decadere allo stato fondamentale, o auno stato di energia piu bassa, mediante emissione di radiazione elettromagnetica

AZX

∗ → AZX + γ

Le differenze tra i livelli di energia dei nuclei sono tipicamente comprese nell’intervallo0.1÷ 10 MeV . La differenza di energia si divide tra l’energia del fotone e l’energiacinetica di rinculo del nucleo A

ZX: ∆E = Eγ +KN (KN ∆E ma in alcune appli-cazioni non e trascurabile). Nel decadimento γ si conserva il momento angolare e laparita e quindi la misura delle caratteristiche della radiazione γ fornisce informazionisui livelli di energia e sullo spin e parita degli stati dei nuclei.

2.5.1 Radiazione di multipolo

L’osservazione della radiazione γ si fa a distanza molto grande rispetto alle dimen-sioni del nucleo e la lunghezza d’onda e λ = 2π hc/Eγ = 102 ÷ 104 fm, sono quindivalide le approssimazione per lo sviluppo del campo elettromagnetico in multipolinella zona di radiazione (appendice 4.8). Il campo elettromagnetico prodotto dacariche e correnti dipendenti dal tempo si puo ottenere come sviluppo in serie diFourier delle componenti di frequenza ω e come sviluppo in multipoli caratterizzatidal valore del momento angolare della radiazione emessa. La potenza irraggiata afrequenza ω e con momento angolare l e

WElm =

c

2εo|aElm|2 =

c

2εo

1

[(2l + 1)!!]2

(l + 1

l

)(ω

c

)2l+2

|Qlm +Q′lm|2

WBlm =

cµo2|aBlm|2 =

cµo2

1

[(2l + 1)!!]2

(l + 1

l

)(ω

c

)2l+2

|Mlm +M ′lm|2

205

dove Qlm e Mlm sono i momenti di 2l − polo elettrici e magnetici: dipolo (l = 1),quadrupolo (l = 2), ottupolo (l = 3), . . .. Non esiste radiazione di monopolo perchela carica totale si conserva. Per una particella di carica e, massa m e momentomagnetico µ = geh/2m

Qlm = e rl Y ∗lm(θ, φ) Mlm =eh

2mcrl−1

[g − 2l

l + 1

]Y ∗lm(θ, φ)

I momenti di 2l−polo hanno parita diversa per le componenti di radiazione elettricae magnetica perche il campo elettrico e un vettore polare, P · ~E = − ~E, e il campomagnetico e un vettore assiale, P · ~B = + ~B,

P (Qlm) = (−1)l P (Mlm) = (−1)l−1

Per calcolare la costante di decadimento del processo AZX

∗ → AZX + γ seguiamo

il procedimento illustrato nel capitolo 1.7

• quantizzare le sorgenti del campo, cioe definire le funzioni d’onda del nucleonello stato iniziale e finale;

• quantizzare il campo di radiazione (appendice 4.13);

• sostituire ai momenti di 2l− polo gli operatori che agiscono sullo stato inizialedel nucleo |iN〉 e producono lo stato finale |fN〉 e un fotone in stato di momentoangolare |l,m〉;

• calcolare gli elementi di matrice degli operatori di multipolo tra lo stato inizialee lo stato finale, questo seleziona la componente del campo di radiazione afrequenza ω = Eγ/h;

• calcolare la costante di decadimento con la regola d’oro di Fermi che, comeabbiamo visto, corrisponde a calcolare il rapporto tra la potenza emessa nellatransizione |iN〉 → |fN〉 e l’energia Eγ.

Supponiamo di descrivere il nucleo col modello a strati a particelle indipendentie che le funzioni d’onda siano fattorizzabili in una dipendenza radiale e una an-golare ψ(r, θ, φ) = u(r)Y (θ, φ). Il calcolo degli elementi di matrice 〈fN |Qlm|iN〉,〈fN |Mlm|iN〉, e difficile perche la parte radiale delle funzioni d’onda in generale none nota. D’altra parte il principio di esclusione di Pauli, per cui un nucleone nonpuo stare in uno stato gia occupato, impedisce che la funzione d’onda di un nu-cleone possa variare molto. Facciamo quindi l’ipotesi che l’emissione di radiazionesia legata alla variazione della parte angolare della funzione d’onda e che la parteradiale sia cambiata poco.

Separando la dipendenza radiale e angolare degli operatori di multipolo l’elementodi matrice si esprime

∫u∗f (r)Y

∗IfMf

(θ, φ) R(r)Y ∗lm(θ, φ) ui(r)YIiMi(θ, φ) r2drdcosθdφ

206

L’integrazione sugli angoli produce le regole di selezione

|Ii − If | ≤ l ≤ Ii + If ma non Ii = 0→ If = 0 m = Mi −Mf

e l’integrale della parte radiale ha valore medio

〈R〉 =

∫u∗f (r) R(r) ui(r) r

2dr∫u∗f (r) ui(r) r

2dr

Se facciamo l’ulteriore ipotesi che la funzione d’onda radiale varii poco in una regionedelle dimensioni del nucleo e che sia nulla per r > R otteniamo

〈fN |Qlm|iN〉 ≈ e

∫ R0 rl+2dr∫ R

0 r2dr= e

3

l + 3Rl

〈fN |Mlm|iN〉 ≈eh

2mc

[g − 2l

l + 1

] ∫ R0 rl+1dr∫ R

0 r2dr=

eh

mc

[g

2− l

l + 1

]3

l + 2Rl−1

dove m e la massa del nucleone e g/2 e il momento magnetico espresso in magnetoninucleari.

I valori che si ottengono per la costante di decadimento λlm = Wlm/Eγ, dettistime di Weisskopf della costante di decadimento, sono molto approssimati ma pos-sono fornire utili informazioni per distinguere i modi di decadimento γ. Sostituendole espressioni trovate:

λ(El) =1

E

c

2εo

l + 1

l[(2l + 1)!!]2

(E

hc

)2l+2

|〈fN |Qlm|iN〉|2 =

= παcl + 1

l[(2l + 1)!!]218

(l + 3)2

E2l+1 R2l

(hc)2l+1

λ(Ml) =1

E

cµo2

l + 1

l[(2l + 1)!!]2

(E

hc

)2l+2

|〈fN |Mlm|iN〉|2 =

= παcl + 1

l[(2l + 1)!!]218

(l + 2)2

[µ− l

l + 1

]2E2l+1 R2l−2

(hc)2l−1 (mc2)2

Introducendo la dipendenza del raggio del nucleo dal numero di nucleoni, R =R0A

1/3, troviamo il valore approssimato della costante di decadimento, espresso ins−1, in funzione dell’energia, espressa in MeV , e del peso atomico

decadimento parita

λ(E1) = 3.8 1014 A2/3E3 −1λ(E2) = 3.2 108 A4/3E5 +1λ(E3) = 1.7 102 A2E7 −1λ(E4) = 7.6 10−3 A8/3E9 +1. . .

λ(M1) = 8.8 1013 E3 +1λ(M2) = 6.5 107 A2/3E5 −1λ(M3) = 3.3 101 A4/3E7 +1λ(M4) = 1.1 10−5 A2E9 −1

. . .

207

La tabella definisce una chiara gerarchia di valori della probabilita di decadimentoper le diverse transizioni. Ad esempio un nucleo con spin 3/2 puo decadere in unostato con spin 1/2 emettendo raggi γ con l = 1 o l = 2. Se gli stati dei nuclei hanno lastessa parita la transizione avviene come M1 oppure E2, con λ ≈ λ(M1) λ(E2).Se gli stati hanno parita opposta la transizione avviene come E1 oppure M2, conλ ≈ λ(E1) λ(M2).

2.5.2 Conversione interna

Un nucleo in uno stato eccitato AZX

∗ puo decadere allo stato fondamentale AZX senza

emettere radiazione γ, ma cedendo l’energia di eccitazione a un elettrone atomico.La conversione interna produce elettroni monocromatici di energia cinetica

Ke = ∆Mc2 −BEe

dove BEe e l’energia di legame dell’elettrone. L’espulsione di un elettrone e usual-mente accompagnata dall’emissione di raggi X.

Per effetto della conversione interna la vita media di uno stato eccitato e piu brevedi quanto previsto dal solo processo di decadimento radiativo poiche le probabilitadi decadimento si sommano

λ = λγ + λe = λγ(1 + κ)

κn = λe/λγ (n indica il numero principale dell’orbitale atomico) e il coefficientedi conversione interna ed e di solito piccolo per n > 1 e per nuclei con Z pic-colo. Sviluppando il campo elettromagnetico del nucleo in momenti di multipolo,un calcolo approssimato in cui si trascurano la variazione delle funzioni d’onda deglielettroni atomici all’interno del volume del nucleo ed effetti relativistici sulla fun-zione d’onda dell’elettrone emesso, fornisce la seguente dipendenza per transizionidi 2l−polo elettrico e magnetico

κn(E, l) = α4 Z3

n3

l

l + 1

(2mec

2

E

)l+5/2

κn(M, l) = α4 Z3

n3

(2mec

2

E

)l+3/2

dove α e la costante di struttura fine e E = ∆Mc2.

2.5.3 Spettroscopia γ

Il dettaglio dell’informazione che si ottiene nello studio della radiazione γ dipendedalla risoluzione con cui si riescono a fare le misure spettroscopiche. Le misure dispettroscopia si possono fare in emissione o in assorbimento. Nel primo caso larisoluzione e quella dello strumento di misura che, nell’intervallo di energia dei raggi

208

γ, e tipicamente 2÷ 3 keV . D’altra parte la larghezza intrinseca delle righe di emis-sione γ e molto piu piccola (per le transizioni con le costanti di decadimento piugrandi si ha Γ = hλ ≈ 1 eV ) e quindi la risoluzione non e limitata da effetti quan-tistici. Nella spettroscopia in assorbimento la risoluzione e limitata dalla risoluzionedella sorgente che emette, ma nella regione di energia dei raggi γ non e facile real-izzare una sorgente di frequenza variabile. Inoltre, appunto perche la larghezza diriga e piccola, l’assorbimento da uno spettro continuo e molto ridotto e per le tran-sizioni γ dei nuclei non si riesce a osservare l’assorbimento risonante, la fluorescenzanucleare. In questo caso infatti l’energia cinetica di rinculo del nucleo e sufficiente aspostare l’energia dei raggi γ fuori risonanza.

Se ∆E e la differenza di energia dei livelli del nucleo, in emissione si ha ∆E =Eγ +KN , ~pγ + ~pN = 0

∆E = Eγ +E2γ

2Mc2Eemγ = ∆E − (∆E)2

2Mc2+ . . .

In assorbimento si ha Eγ = ∆E +KN , ~pγ = ~pN

Eγ = ∆E +E2γ

2Mc2Eassγ = ∆E +

(∆E)2

2Mc2+ . . .

Se, ad esempio, ∆E = 0.5 MeV e consideriamo un nucleo con A = 64, massa Mc2 =6 104 MeV , la differenza tra l’energia in assorbimento e in emissione e Eass

γ −Eemγ =

4.2 eV , mentre la larghezza di riga, nel caso piu favorevole di decadimento E1, eΓ = 0.5 eV (Fig.2.18).

D’altra parte l’allargamento di riga dovuto all’agitazione termica e anch’essopiccolo. Per valutare l’effetto, consideriamo un nucleo con velocita vx nella direzionedi osservazione della radiazione. L’energia viene modificata per effetto Doppler:E ′γ = Eγ (1± vx/c). A temperatura T le velocita dei nuclei seguono la distribuzionedi Maxwell con andamento ∼ exp(−Mv2

x/2kT ) e la distribuzione di energia attornoal valor medio Eγ ha l’andamento ∼ exp[−Mc2(E ′γ − Eγ)

2/2E2γkT ] con varianza

σ2 = E2γkT/Mc2 e larghezza

ΓT = 2σ(2 ln 2)1/2 = 2Eγ

(2 ln 2

kT

Mc2

)1/2

A temperatura ambiente, kT = 0.025 eV , abbiamo ΓT = 1.2 10−5 Eγ/A1/2. Con i

dati dell’esempio precedente: ΓT = 0.8 eV .Si puo ottenere assorbimento di risonanza sfruttando l’effetto Doppler con la

sorgente e l’assorbitore in moto relativo con velocita v, ma occorrono velocita moltoelevate

Eγv

c=

(∆E)2

Mc2v = c

EγMc2

Con i dati dell’esempio precedente: v = 2500 m/s ! Esperimenti di questo tipo sonostati effettuati con radiazione di bassa energia e con nuclei pesanti.

209

0 . 0

1 . 0

2 . 0

3 . 0

4 . 0

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

natural width = 0.2 eV doppler width = 0.8 eV

energy (eV)

Figure 2.18: Righe in emissione e assorbimento e larghezza di riga

Un metodo di assorbimento di risonanza comunemente usato e particolarmenteingegnoso e basato sull’effetto Mossbauer 17 in cui si sfrutta l’assenza di rinculodel nucleo se questo e vincolato in un reticolo cristallino. In questo caso e l’interocristallo che assorbe l’energia di rinculo del nucleo e la dissipa in modi vibrazionalidel reticolo se si verificano le condizioni

• l’energia di rinculo del nucleo non e grande rispetto all’energia di legamedell’atomo nel reticolo, che e tipicamente di qualche eV ;

• il cristallo ha una temperatura di Debye 18 elevata in modo da avere un’ampiabanda di modi vibrazionali (h∆ω = kΘD) per dissipare l’energia di rinculo delnucleo (valori tipici della temperatura di Debye sono ΘD ≈ 500 K).

La frazione di nuclei che non hanno rinculo per emissione o assorbimento di radi-azione γ di energia E e

fbound = exp

− 3E2

4Mc2 kΘD

[1 + 4

[T

ΘD

]2 ∫ ΘD/T

0

xdx

ex − 1

]

Operando a temperatura T ΘD il secondo termine della relazione precedentesi puo trascurare. Si ottengono frazioni fbound apprezzabili con Eγ piccoli, nucleipesanti e temperature di Debye elevate. In spettroscopia Doppler usando l’effettoMossbauer la risoluzione e definita dalla velocita relativa tra sorgente e assorbitore,δEγ/Eγ = v/c: con velocita v ' 1 cm/s si risolvono larghezze di decadimentoΓ ' 10−6 eV di transizioni con Eγ ' 100 keV , con una precisione relativa di 10−11 !

17 Rudolf Mossbauer, premio Nobel per la fisica nel 196118 Peter Debye, premio Nobel per la chimica nel 1936

210

2.6 Decadimento α

I nuclei pesanti emettono radiazione poco penetrante sotto forma di particelle concarica positiva. Questo fenomeno fu studiato fin dai primi anni del ’900 da MarieCurie e Ernest Rutherford. Nel 1903 Rutherford misuro il rapporto q/m studiandola deviazione delle traiettorie in presenza di campo magnetico e campo elettrico eottenne un valore pari a 2/3 del valore del protone. Nel 1909 facendo decadereuna sostanza sotto vuoto e analizzando il gas osservo che questo conteneva Elio:scoprı che le particelle α sono nuclei di Elio. Con studi sistematici fatti negli anniseguenti con diverse sorgenti di radiazione α Hans Geiger e John Nuttal mostraronoche le particelle α emesse da diversi nuclei radioattivi hanno energia cinetica inun intervallo di pochi MeV e che la vita media varia su molti ordini di grandezzacon dipendenza dall’energia approssimativamente esponenziale. La caratteristicheprincipali del decadimento α si possono cosı riassumere

• gran parte dei nuclei con A > 200 decadono α;

• le particelle α sono nuclei di Elio (il nucleo di Elio e uno stato molto stabilecon energia di legame BE = 28.3 MeV );

• le particelle α emesse in un decadimento sono monocromatiche: si tratta diun decadimento a due corpi

AZX → A−4

Z−2Y + 42He

• l’energia cinetica delle particelle α varia in un piccolo intervallo, tipicamente4 < Kα < 8 MeV ;

• la vita media ha una forte dipendenza dall’energia cinetica e nell’intervallo4÷ 8 MeV varia per piu di 20 ordini di grandezza (Fig.2.19) secondo la

legge di Geiger-Nuttal ln τ = a− b lnK

• a parita di energia la vita media aumenta col peso atomico A.

La cinematica del decadimento α e semplice. Nel riferimento del nucleo genitore:MXc

2 = MY c2 +Mαc

2 +KY +Kα , ~pY + ~pα = 0

(MX −MY −Mα)c2 = Q =p2

2My

+p2

2Mα

=p2

2Mα

[1 +

Mα

MY

]

e, poiche i nuclei che decadono hanno massa M Mα, l’energia cinetica dellaparticella α e approssimativamente uguale all’energia disponibile e l’energia cineticadi rinculo del nucleo Y e piccola

Kα =Q

1 +Mα/MY

≈ Q(

1− 4

A

)KY = Q

Mα/MY

1 +Mα/MY

≈ Q4

AKα KY

211

1 0- 8

1 0- 6

1 0- 4

1 0- 2

1 00

1 02

1 04

1 06

1 08

1 01 0

1 01 2

1 01 4

1 01 6

4 5 6 7 8 9 1 0

P o

Rn

Ra

Th

U

Pu

Cm

Cf

energy (MeV)

life

tim

e (s

)

Figure 2.19: Vita media del decadimento α in funzione dell’energia cinetica

2.6.1 Soglia di instabilita

Definiamo per quali valori di A e Z il decadimento α e energeticamente possibile. Inun decadimento parte della massa dello stato inziale e convertita in energia cineticadei prodotti nello stato finale. La massa del nucleo e pari alla somma delle masse deinucleoni costituenti meno l’energia di legame e, poiche nell’emissione α i nucleoninon cambiano natura, il decadimento puo avvenire solo se l’energia di legame pernucleone aumenta. L’andamento dell’energia di legame per nucleone, BE = BE/A,in funzione di A indica che questo avviene nella regione dei nuclei con A > 60 dove∂BE/∂A < 0. L’energia rilasciata nel decadimento (c = 1) e

Q = MX −MY −Mα = A(BEY −BEX)− 4(BEY −BEα) > 0

L’energia di legame media della particella α (BEα = 7.1 MeV ) e minore di quelladei nuclei pesanti: il secondo termine e positivo e quindi la soglia di instabilita saranettamente maggiore di A = 60.

Possiamo rendere l’argomento piu quantitativo usando la formula di Bethe-Weizsacker

M(A,Z) = Zmp + (A− Z)mn − b0A+ b1A2/3 + b2Z

2A−1/3 + b3(A− 2Z)2A−1

L’energia rilasciata, Q = M(A,Z)−M(A− 4, Z − 2)−Mα = BEα −∆BE, e

Q ≈ BEα − 4bo + 4[2

3b1 + b2Z

(1− Z

3A

)]A−1/3 − 4b3

(1− 2Z

A

)2

Introducendo i valori dei parametri bk del modello a goccia di liquido (capitolo 2.2)si ottengono le linee Q = costante nel piano A − Z corrispondenti alle soglie diinstabilita del decadimento per emissione di particelle α con energia cinetica Kα ≈ Q(Fig.2.20). Osserviamo che A ≈ 140 per Q = 0, A ≈ 200 per Q = 4 MeV e A ≈ 240

212

per Q = 8 MeV . Quindi il decadimento α e energeticamente possibile anche pernuclei con A < 200 ma, come abbiamo gia detto, vi e una fortissima dipendenzadella vita media dall’energia cinetica e i decadimenti con Q < 4 MeV hanno vitemedie cosı lunghe da renderli difficilmente osservabili. I nuclei emettitori α conQ < 4 MeV sono essenzialmente nuclei stabili.

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

1 1 0

1 2 0

1 0 0 1 4 0 1 8 0 2 2 0 2 6 0 3 0 0

stable nuclei

Q = 0 MeV

Q = 2 MeV

Q = 4 MeV

Q = 6 MeV

Q = 8 MeV

A

Z

threshold for a decay

Figure 2.20: Linee di instabilita per il decadimento α

2.6.2 Teoria elementare del decadimento α

Il decadimento avviene con l’espulsione della particella α da un nucleo con pesoatomico A grande. Dopo l’espulsione la particella α ha energia cinetica K ≈ Q. Percapire il meccanismo del fenomeno facciamo queste ipotesi

• il nucleo AZX e uno stato legato composto dal nucleo A−4

Z−2Y e da una particella α(questa ipotesi e giustificata dal fatto che la particella α e uno stato fortementelegato di due protoni e due neutroni);

• il potenziale del sistema A−4Z−2Y −α e rappresentato da una buca di potenziale a

simmetria sferica per r < R e dal potenziale coulombiano per r > R (Fig.2.21);r e la distanza tra la particella α e il centro di simmetria del sistema e R e ilraggio di sovrapposizione del nucleo A−4

Z−2Y e della particella α, R2 = R2Y +R2

α

U(r) = −U0 r < R U(r) =2(Z − 2)e2

4πε0r= αhc

2(Z − 2)

rr > R

• la particella α all’interno della buca di potenziale ha energia positiva pariall’energia cinetica che acquista nel decadimento, E = Kα.

Per un nucleo con A > 200 il raggio della buca di potenziale e tipicamente R ≈7÷8 fm, la profondita della buca di potenziale e tipicamente U0 ≈ 40 MeV , l’altezza

213

della barriera di potenziale coulombiana, U(R) = αhc2(Z − 2)/R, e tipicamente30 MeV . Quindi la particella α con energia E < U(R) non puo superare la barrieradi potenziale coulombiana.

rr

1r

0

-Uo

E = 0

Eα

Figure 2.21: Modello di Gamow del decadimento α

In meccanica quantistica la particella α puo attraversare la barriera di potenzialeper effetto tunnel. Questa ipotesi per spiegare il decadimento α fu elaborata daGeorge Gamow e, indipendentemente, da Edward Condon e Ronald Gurney nel1928 e riproduce con buona approssimazione la legge di Geiger-Nuttal. Si tratta diuno dei primi successi della meccanica quantistica sviluppata in quegli anni.

All’interno della buca di potenziale la particella α ha energia E positiva e quindioscilla urtando la barriera con frequenza f . La probabilita di decadimento nell’unitadi tempo si puo determinare dalla frequenza e dalla probabilita di attraversamentodella barriera per effetto tunnel, T ,

1

τ= λ = f T

Per una particella di massa m e energia E, il coefficiente di trasmissione attraversouna barriera di potenziale unidimensionale (appendice 4.9) di altezza media U elarghezza L e

T =16k2k2

b

(k2 + k2b )

2e−2kbL

dove h~k e l’impulso della particella libera e h~kb e l’impulso della particella all’internodella buca

hk = (2mE)1/2 hkb = [2m(U − E)]1/2

Nel caso delle particelle α (m = 3727 MeV/c2) con i valori tipici dell’energia e delpotenziale abbiamo kb ≈ 2k. Poiche la dipendenza del coefficiente di trasmissionedall’energia e contenuta essenzialmente nel termine esponenziale, possiamo approssi-mare T ≈ e−2kbL. Nel caso di una barriera di potenziale tridimensionale a simmetriasferica, dobbiamo utilizzare l’equazione di Schrodinger in coordinate sferiche e abbi-amo, oltre al potenziale U(r), il termine di energia rotazionale h2`(`+1)/2mr2 dove `e il momento angolare della particella α. Trascuriamo per il momento questo effettoche, come vedremo, introduce una piccola correzione. Il coefficiente di trasmissione

214

e T ≈ e−2G dove G e il

fattore di Gamow G =1

h

∫ r1

r0(2m[U(r)− E])1/2 dr

e l’integrale va esteso all’intervallo in cui U(r) ≥ E: r0 e il raggio della buca dipotenziale e r1 e la distanza per cui U(r1) = E, cioe r1 = 2(Z − 2)αhc/E, eU(r)− E = E(r1/r − 1)

G =(2mE)1/2

h

∫ r1

r0

(r1

r− 1

)1/2

dr =(2mE)1/2

hr1

∫ 1

x0

(1

x− 1

)1/2

dx

con x = r/r1, x0 = r0/r1 = RE/2(Z − 2)αhc.

• L’integrale nella relazione precedente si calcola sostituendo la variabile

x→ y = x1/2∫ 1

x0(1− x)1/2x−1/2dx =

∫ 1

y02(1− y2)1/2dy

y → φ = arccos y∫ 1

y02(1−y2)1/2dy =

∫ 0

φ02 sinφ d cosφ = [sinφ cosφ− φ]0φ0

∫ 1

x0

(1

x− 1

)1/2

dx = F (x0) = arccos x1/20 − x1/2

0 (1− x0)1/2

La funzione F (r0/r1) dipende leggermente dai parametri dei nuclei e, poiche si hatipicamente r1/r0 ∼ 6− 8, si puo approssimare

F (x0) = arccos x1/20 − x1/2

0 (1− x0)1/2 ≈ π/2− 2 x1/20 + . . .

Quindi otteniamo il fattore di Gamow in funzione della carica elettrica Z, del raggioR (che dipende da A) e dell’energia E

G = 2(Z − 2)α

[2mc2

E

]1/2

F (Z,R,E)

La frequenza con cui la particella α oscilla all’interno della buca di potenziale e ilrapporto tra la velocita, viα, e il raggio R. Poiche la particella α e un bosone, il suomoto non e impedito all’interno della buca di potenziale e l’energia e E + U0 e lavelocita

viα =

[2(E + U0)

m

]1/2

= c

[2(E + U0)

mc2

]1/2

e tipicamente viα ≈ 0.15c. La frequenza f = viα/R dipende leggermente dall’energiaE. Con R ≈ 6÷ 8 fm si ha f ≈ (5÷ 6) 1021 s−1.

Quindi per la vita media si ha

1

τ=viαR

exp

−8α(Z − 2)

[2mc2

E

]1/2π

4−(

RE

2(Z − 2)αhc

)1/2

+ . . .

215

La formula di Gamow, che possiamo scrivere

ln τ = a− ln(E + b)−1/2 + cE−1/2

con a, b, c parametri che dipendono dalle caratteristiche del nucleo, riproduce ladipendenza osservata della vita media dall’energia della particella α e rende contodella variazione su piu di 20 ordini di grandezza. Spiega inoltre che l’emissione conenergia Kα < 4 MeV avviene con vite medie molto grandi tali da rendere il fenomenodifficilmente osservabile. I dati sperimentali mostrano che, a energia Kα = costante,la vita media aumenta col peso atomico. Infatti, all’aumentare di A, aumenta siala carica elettrica che il raggio del nucleo e quindi aumenta il fattore di Gamow chedipende dall’altezza e dalla larghezza della barriera di potenziale.

Va notato che il fattore di Gamow e grande, G ∼ 30÷50, e che anche una piccolaindeterminazione dei parametri comporta una grande variazione del valore di e−2G.Il parametro piu incerto e il raggio R utilizzato per calcolare il fattore di Gamowpoiche i nuclei emettitori α hanno molti nucleoni e configurazioni irregolari. Se,ad esempio, calcoliamo la vita media di decadimento di alcuni isotopi del Radio intransizioni 0+ → 0+, assumendo la dipendenza del raggio del nucleo, R = R0A

1/3,con R0 = 1.25 fm otteniamo un valore della vita media circa 40 volte maggiore delvalore misurato. Con un aumento del 10% del parametro R0, che corrisponde ad unaumento del 5% del fattore di Gamow, si ottiene un accordo nettamente migliore.

decadimento Kα (MeV ) τ (s) R0 = 1.25 fm R0 = 1.375 fm22688Ra→ 222

86Rn 4.9 7.3 1010 3.0 1012 1.1 1011

22488Ra→ 220

86Rn 5.8 4.6 105 1.8 107 6.6 105

22288Ra→ 218

86Rn 6.7 5.5 101 1.6 103 6.7 101

La grande sensibilita del valore della vita media dei nuclei emettitori α dal raggiodel nucleo fornisce quindi un metodo per misurare il raggio medio dei nuclei pesanti.

2.6.3 Dipendenza dal momento angolare

Decadimenti α possono avvenire con cambio dello spin e della parita del nucleo.Poiche la particella α ha spin-parita = 0+, la conservazione del momento angolare edella parita implica

|If − Ii| ≤ ` ≤ If + Ii Pf = (−1)`Pi

se la particella α viene emessa con momento angolare orbitale `. Se nella transizionecambia lo spin del nucleo, ` 6= 0, occorre considerare oltre al potenziale coulombianoil potenziale centrifugo

U(r) = UC(r) +h2`(`+ 1)

2mr2

che risulta in un piccolo aumento della barriera di potenziale. Il fattore di Gamowe proporzionale al raggio esterno della barriera che si ottiene dalla relazione

2(Z − 2)αhc

r1

+h2`(`+ 1)

2mr21

= E

216

r1 aumenta tipicamente di ∼ 1% per ` = 1. Un aumento dell’1% del fattore diGamow produce un aumento di un fattore ∼ 2 ÷ 3 della vita media e l’effetto emaggiore per ` > 1. Comunque questo effetto non e grande tenuto conto dellagrande variabilita della vita media.

Se la transizione AZY → A−4

Z−2Y non e permessa dalle regole di selezione, il nucleoAZY puo decadere in uno stato eccitato A−4

Z−2Y∗ che a sua volta decade nello stato

fondamentale con emissione di raggi γ. In questo caso Q ≈ Kα +Eγ. In effetti granparte dei decadimenti α sono seguiti dall’emissione di raggi γ tipicamente di bassaenergia.

2.7 Decadimento β

Gia nel 1900 Rutherford osservo l’emissione di particelle di carica negativa chia-mate all’inizio particelle β e successivamente identificate come elettroni. Negli anniseguenti i risultati degli esperimenti mostrarono che con l’emissione β una sostanzacambia numero atomico e che decadimenti β avvengono in nuclei sia leggeri chepesanti e con vite medie distribuite su un grandissimo intervallo, da millisecondi amiliardi di anni. Nel 1919 Chadwick dimostro che, oltre agli elettroni prodotti perconversione interna, che hanno energia ben definita, i nuclei emettono elettroni conuna distribuzione di energia continua e che in una transizione

AZX → A

Z+1X + e− + . . .

il valore massimo dell’energia dell’elettrone e approssimativamente uguale alla dif-ferenza di massa tra i nuclei

Emaxe ≈ (MX −MY )c2 Ee = [(pec)

2 + (mec2)2]1/2

Se quindi gli elettroni emessi non sono elettroni atomici, il processo deve avereorigine nel nucleo e, poiche i nuclei non contengono elettroni, deve corrisponderea una variazione del nucleo stesso. Nel 1933 Sargent analizzo la dipendenza dellavita media di decadimento dall’energia degli elettroni e osservo che, per energieEmaxe mec

2, la vita media ha andamento proporzionale a (Emaxe )−5.

2.7.1 L’ipotesi del neutrino

In un decadimento β l’elettrone e emesso con una distribuzione continua di energia.Quindi, per conservare l’energia e l’impulso, oltre all’elettrone e al nucleo Y si deveemettere energia sotto forma di radiazione neutra, ma le misure hanno mostratoche in un decadimento β non vengono emessi fotoni. Misure accurate effettuate contecniche calorimetriche hanno dimostrato che l’elettrone non perde energia nellasostanza e che in effetti il processo di emissione β e caratterizzato da un difetto dienergia: parte dell’energia dello stato iniziale non viene misurata nello stato finale.

Oltre al problema dell’energia mancante, se si interpreta il decadimento β comeun processo A

ZX → AZ+1X + e−, sorgono altri problemi legati alla statistica e alla

217

conservazione del momento angolare. Infatti i nuclei X e Y hanno lo stesso numerodi nucleoni, sono entrambe bosoni o entrambe fermioni: non e possibile avere soloun nuovo fermione nello stato finale. Se i nuclei sono bosoni, il momento angolaretotale e un multiplo intero di h nello stato iniziale e semi-intero nello stato finale,e viceversa se sono fermioni. Questo spiega anche perche l’energia mancante neldecadimento β non e dovuta a emissione di radiazione γ.

Nel 1930 Pauli propose una soluzione anticonformista che suscito molto scetti-cismo e che si rivelo l’interpretazione corretta: nel decadimento β viene emessainsieme all’elettrone una nuova particella neutra, che non interagisce ne in modoelettromagnetico ne in modo nucleare e che e un fermione di spin 1/2. Questa nuovaparticella fu chiamata neutrino da Fermi. L’ipotesi del neutrino risolve il problemadell’energia mancante (il neutrino non interagisce nei rivelatori), della statistica edella conservazione del momento angolare. Poiche l’energia dell’elettrone si estendefino a (MX −MY )c2 il neutrino deve avere massa molto piccola.

Due altri fenomeni sono associati al decadimento β−. Nel 1934 Irene Curie eFrederic Joliot scoprirono l’emissione di positroni da parte dei nuclei: il decadimentoβ+, e nel 1938 Luis Alvarez 19 scoprı la cattura di elettroni atomici da parte deinuclei. Lo studio dei raggi X che seguono la cattura elettronica mostra che questaavviene quando l’elettrone e in un orbitale S cioe con una funzione d’onda che sisovrappone al nucleo. Il decadimento β e un processo a tre corpi

decadimento β− AZX → A

Z+1X + e− + ν

decadimento β+ AZX → A

Z−1X + e+ + ν

la cattura elettronica e equivalente al decadimento β+ per simmetria di incrocio(appendice 4.24)

cattura elettronica e− + AZX → A

Z−1X + ν

2.7.2 Teoria elementare del decadimento β

Nel 1934 Enrico Fermi propose una teoria di campo che spiega il decadimento βcon un nuovo tipo di interazione. L’idea di Fermi e la base dello sviluppo dellateoria delle interazioni deboli che descrive molti altri processi che interessano nucleie particelle elementari. Le ipotesi sono:

• nel decadimento β− un neutrone del nucleo si trasforma in un protone conl’emissione di un elettrone e di un anti-neutrino (e analogamente per il decadi-mento β+): interazione a quattro fermioni (Fig.2.22)

decadimento β− n→ p e− νdecadimento β+ p→ n e+ ν


218

• la hamiltoniana di interazione e un operatore che agisce sui campi fermionicimediante assorbimento o emissione di fermioni;

• l’interazione e a corto raggio d’azione che si puo approssimare come interazionea contatto

XA

e

νYZ

AZ+1

n p

eν

n p

1

2

Figure 2.22: Decadimento β del nucleo e interazione a contatto

Consideriamo il processo n → p e− ν in cui il neutrone e il protone sono legati nelnucleo. La costante di decadimento e

λ =2π

h|〈p e− ν|HI |n〉|2 ρ(Ef )

L’operatore HI assorbe un neutrone e emette un protone nel punto r1 e emetteun elettrone e un anti-neutrino nel punto r2. Per le proprieta di simmetria deifermioni (appendice 4.19) l’elemento di matrice e lo stesso se l’operatore HI assorbeun neutrone e emette un protone nel punto r1 e assorbe un neutrino e emette unelettrone nel punto r2

〈p e−|HI |n ν〉 =∫ψ∗p(~r1)ψ∗e(~r2) HI(~r1 − ~r2) ψn(~r1)ψν(~r2) d~r1d~r2

Se l’interazione e a contatto la hamiltoniana di interazione diventa

HI(~r1 − ~r2) = g δ(~r1 − ~r2)

dove e stata introdotta la nuova costante di accoppiamento, g, che ha dimensioni[energia× volume]. Quindi l’elemento di matrice diventa

〈p e−|HI |n ν〉 = g∫

Nψ∗p(~r)ψ

∗e(~r) ψn(~r)ψν(~r) d~r

dove l’integrale e esteso alla regione del nucleo. Poiche l’elettrone e il neutrino nonhanno interazione nucleare assumiamo che ψe e ψν siano autofunzioni di particellalibera

ψe(~r) = V −1/2 ei~ke·~r ψν(~r) = V −1/2 ei

~kν ·~r

Gli impulsi di elettrone e neutrino sono tipicamente ∼MeV/c e possiamo assumereche le funzioni d’onda siano variate di poco all’interno del volume di integrazione,~k · ~r 1, ei

~k·~r = 1 + ~k · ~r + . . . ≈ 1. Al primo ordine l’elemento di matrice della

219

hamiltoniana di interazione si riduce all’integrale delle funzioni d’onda del protonee del neutrone nel volume del nucleo

〈f |HI |i〉 =g

V

∫

Nψ∗p(~r) ψn(~r) d~r =

g

VMfi

dove Mfi e adimensionale. Per calcolare la densita di energia ρ(Ef ) analizziamola cinematica del decadimento X → Y e−ν. Definiamo W = (MX − MY )c2 =KY + Ee + Eν l’energia a disposizione nello stato finale

W =p2Y

2MY

+ [(pec)2 + (mec

2)2]1/2 + [(pνc)2 + (mνc

2)2]1/2 ~pY + ~pe + ~pν = 0

L’impulso ~pY e massimo quando l’elettrone e il neutrino sono emessi nella stessadirezione e, poiche mν me, quando ~pe = 0, ~pY = −~pν . Poiche la differenza dimassa nei decadimenti β e dell’ordine del MeV , anche nel caso piu favorevole

W =p2

2MY

+mec2 + [(pc)2 + (mνc

2)2]1/2

l’energia cinetica del nucleo Y e trascurabile e l’energia disponibile nello stato finalee W ≈ Ee + Eν . Il numero di stati in funzione degli impulsi e

∫d6ned

6nν =V 2

(2πh)64πp2

edpe 4πp2νdpν

Gli impulsi di elettrone e neutrino sono legati dalla conservazione dell’energia e,esprimendo pν in funzione dell’energia totale W ,

p2νc

2 = (W − Ee)2 − (mνc2)2 pνdpνc

2 = (W − Ee)dW

p2νdpνc

3 = (W − Ee)[(W − Ee)2 − (mνc2)2]1/2dW

troviamo la densita di energia nello stato finale in funzione dell’unica variabile chesi misura, l’impulso dell’elettrone pe

ρ(W )dpe =(4π)2V 2

(2πh)6

1

c3(W − Ee)[(W − Ee)2 − (mνc

2)2]1/2 p2e dpe

Poiche l’integrale sulle funzioni d’onda dei nucleoni, Mfi, non dipende dall’energiadell’elettrone, questa relazione rappresenta la distribuzione in energia degli elettroniemessi nel decadimento

dλ =2π

h

g2

V 2|Mfi|2

(4π)2V 2

(2πh)6

1

c3(W − Ee)[(W − Ee)2 − (mνc

2)2]1/2 p2edpe =

=g2

2π3c3h7 |Mfi|2 (W − Ee)[(W − Ee)2 − (mνc2)2]1/2 p2

edpe

Per poter confrontare la distribuzione con i risultati sperimentali, occorre introdurreuna correzione che tiene conto degli effetti di interazione dell’elettrone con il campo

220

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 . 2

6 4Cu b-

6 4Cu b+

pe (MeV/c)

dn

/ d

pe

Figure 2.23: Distribuzione di impulso degli elettroni e positroni emessi nei decadi-menti β del 64

29Cu.

coulombiano del nucleo. L’effetto e diverso per il decadimento β−, in cui il potenzialee attrattivo, e per il decadimento β+, in cui il potenziale e repulsivo. La Fig.2.23mostra l’effetto nella distribuzione dell’impulso di elettrone e positrone emessi neidecadimenti del Rame 64

29Cu→ 6430Zn e

−ν, 6429Cu→ 64

28Ni e+ν. La correzione e stata

calcolata da Fermi in funzione del numero atomico e dell’energia dell’elettrone. Ladistribuzione diventa

dn

dpe= costante× F (±Z,Ee) (W − Ee)[(W − Ee)2 − (mνc

2)2]1/2 p2e

dove F (±Z,Ee) e la funzione di Fermi che e apprezzabilmente diversa da 1 solo pervalori di Z grandi e per energie piccole. La funzione di Fermi si puo approssimarecon

F (±Z,Ee) =2πη

1− e−2πηη =

α(Z ± 1)

βedove Z e il numero atomico del nucleo genitore, e ± si riferisce al decadimento β∓.

Se nella relazione precedente trascuriamo la massa del neutrino, osserviamo chela funzione [

1

p2e

dn

dpe

]1/2

= costante× [F (±Z,Ee)]1/2 (W − Ee)

dipende linearmente dall’energia dell’elettrone (tenuto conto della dipendenza dellafunzione di Fermi) e la retta interseca l’asse dell’energia nel punto Ee = W . Questomodo di presentare i dati sperimentali e detto grafico di Fermi-Kurie. La confermasperimentale dell’andamento previsto costituisce il primo successo della teoria diFermi.

La misura della distribuzione vicino al valore Emaxe , detto end point della dis-

tribuzione, fornisce un metodo per misurare la massa del neutrino. La misura piuprecisa e stata fatta studiando il decadimento del Trizio (Fig. 2.24)

31H → 3

2He e− ν

221

che offre due vantaggi: i nuclei sono semplici e le correzioni nucleari facili da valutare;l’energia disponibile nello stato finale e piccola, W = 530 keV , e questo aumenta lasensibilita della misura. Il limite ottenuto sulla massa del neutrino e mν < 2 eV/c2.Nel seguito assumeremo mν = 0.

0

1 0

2 0

3 0

4 0

1 8 . 2 1 8 . 3 1 8 . 4 1 8 . 5 1 8 . 6 1 8 . 7

Ke (keV)

[(1

/p2 F

) d

n /

dK

e]1

/2

Figure 2.24: Grafico di Fermi-Kurie del decadimento del Trizio vicino all’end point,la linea rappresenta l’andamento per un neutrino di massa ∼0.1 keV/c2.

2.7.3 La vita media del decadimento β

La teoria di Fermi riproduce i dati sperimentali della distribuzione di energia deglielettroni emessi nel decadimeto β dei nuclei con la funzione

dλ =g2

2π3c3h7 |Mfi|2 F (±Z,E) (W − E)2 p2 dp

che, a parte la correzione di Fermi, rappresenta la distribuzione dello spazio delle fasinel decadimento a tre corpi in cui MY me mν . L’integrale della distribuzionee la vita media di decadimento

∫ pmax

0dλ =

1

τ

e quindi possiamo ottenere dalla misura di τ il valore del prodotto della costante diaccoppiamento per l’elemento di matrice g|Mfi|.

Per calcolare l’integrale conviene usare le variabili adimensionali

E = ε mec2 p = η mec ε2 = η2 + 1

in modo da rendere esplicita la dipendenza dalla massa dell’elettrone. L’integraledipende solo dal limite superiore

pmaxc = [E2max − (mec

2)2]−1/2 = η0 mec2 Emax = W = ε0 mec

2

222

Nelle nuove variabili la funzione di distribuzione e

(W − E)2 p2 dp = (mc2)2 (ε0 − ε)2 (mc)3 η2 dη

dλ =(mc2)5

2π3h (hc)6g2 |Mfi|2 F (±Z, η) (ε0 − ε)2 η2 dη

Quindi otteniamo l’espressione della vita media di decadimento

1

τ=

(mc2)5

2π3h (hc)6g2 |Mfi|2 f(±Z, η0)

come prodotto di

• una costante: (mc2)5/2π3h (hc)6 = 1.46 104 MeV −2 fm−6 s−1;

• il quadrato della costante di accoppiamento che ha dimensioni [fm6 MeV 2];

• il quadrato dell’elemento di matrice adimensionale della transizione nucleare|Mfi|2;

• una funzione adimensionale che dipende dalla carica elettrica del nucleo e dallimite superiore di integrazione η0 = pmax/mc

f(Z, η0) =∫ η0

0F (±Z, η) [2 + η2

o + η2 − 2(1 + η20)1/2(1 + η2)1/2] η2dη

La funzione f(Z, η0) e calcolabile sulla base dei modelli del nucleo. Se facciamol’ipotesi F (±Z, η) ≈ 1 troviamo la dipendenza dal valore massimo dell’impulsodell’elettrone

f(Z, η0) = −1

4η0 −

1

12η3

0 +1

30η5

0 +1

4(1 + η2

0)1/2 ln[η0 + (1 + η20)1/2]

Nei decadimenti in cui l’energia disponibile e W mc2, l’elettrone ha mediamenteimpulso grande e l’approssimazione F (±Z, η) ≈ 1 e giustificata. In questo casoabbiamo pmaxc ≈ Emax = W , η0 1 e si puo usare l’approssimazione f(Z, η0) ≈η5

0/30. Quindi nei decadimenti con W mc2 la vita media dipende dalla quintapotenza dell’energia disponibile nello stato finale, W , in accordo con le osservazionidi Sargent

1

τ≈ W 5

60π3h (hc)6g2 |Mfi|2

Questa approssimazione e chiamata legge di Sargent.

223

2.7.4 L’elemento di matrice del decadimento β

Nella teoria di Fermi il quadrato dell’elemento di matrice e inversamente proporzionalealla vita media

g2|Mfi|2 =costante

f τ

Esaminiamo i valori misurati in alcuni decadimenti β (vite medie in s, energie eimpulsi in MeV , g2|Mfi|2 in MeV 2 fm6)

decadimento transizione τ (s) W pmaxe f τ g2 |Mif |2n→ p e− ν 1

2

+ → 12

+890 1.29 1.18 1.61 103 4.25 10−8

31H → 3

2He e− ν 1

2

+ → 12

+5.60 108 0.53 0.14 1.63 103 4.20 10−8

148 O → 14

7 N∗ e+ ν 0+ → 0+ 102 2.32 2.26 4.51 103 1.52 10−8

3417Cl→ 34

16S e+ ν 0+ → 0+ 2.21 4.97 4.94 4.54 103 1.51 10−8

62He→ 6

3Li e− ν 0+ → 1+ 1.15 4.02 3.99 1.17 103 5.85 10−8

135 B → 13

6 C e− ν 32

− → 12

−2.51 10−3 13.4 13.4 1.11 103 6.17 10−8

Nonostante la grande variazione della vita media, dovuta alla forte dipendenzadell’integrale f(Z, η0) da pmaxe , il prodotto g2|Mfi|2 e approssimativamente lo stessonei decadimenti, ma si osserva una dipendenza dalla variazione dello spin nella tran-sizione del nucleo. Nella trattazione abbiamo assunto che l’elettrone e il neutrinosiano emessi in uno stato di momento angolare ` = 0, infatti con i valori tipicidell’impulso e delle dimensioni del nucleo |~r × ~pc|/hc 1. In questo caso la vari-azione dello spin del nucleo e pari alla somma degli spin dell’elettrone e del neutrino.Per l’orientazione degli spin di elettrone e neutrino:

• nelle transizioni 0→ 0, gli spin sono antiparalleli (stato di singoletto);

• nelle transizioni 0↔ 1 gli spin sono paralleli (stato di tripletto);

• nelle transizioni 1/2 → 1/2 gli spin possono essere antiparalleli (lo spin delnucleo non cambia) o paralleli (lo spin del nucleo cambia direzione).

Le transizioni del primo tipo sono dette transizioni di Fermi, quelle del secondo tipotransizioni di Gamow-Teller

Fermi ∆I = 0 singoletto ⇑ ⇓Gamow − Teller ∆I = 0, ±1 ma non 0→ 0 tripletto ⇑ ⇑

In entrambe i casi la parita non cambia.L’elemento di matrice Mfi dipende dalle funzioni d’onda di neutrone e protone

nel nucleo e occorre tener conto del principio di esclusione di Pauli che impedisceche in una transizione, ad esempio n → p, il nuovo nucleone vada in uno stato giaoccupato. Nel calcolare Mfi occorre tener conto di due effetti: la molteplicita distati di isospin in cui puo formarsi il nuovo stato nucleare e la molteplicita di statidi spin. Ad esempio:

224

• decadimento 148 O → 14

7 N∗ e+ ν

Nello stato iniziale ci sono due protoni nello stato 1p1/2 con spin antiparalleli,Ii = 0, e uno dei due si trasforma in un neutrone che occupa lo stesso stato,If = 0: ci sono due possibilita e la molteplicita di isospin e 2. La transizione

avviene con ∆I = 0 e la molteplicita di spin e 1. E una transizione di Fermicon |MF |2 = 2.

• decadimento 62He→ 6

3Li e− ν

Nello stato iniziale ci sono due neutroni nello stato 1p3/2 con spin antiparalleliIi = 0 e uno dei due si trasforma in un protone che occupa lo stesso stato,ma con spin parallelo a quello dell’altro neutrone, If = 1. Il peso di isospin

e 2. La transizione avviene con |∆I| = 1 e la molteplicita di spin e 3. E unatransizione di Gamow-Teller con |MGT |2 = 6.

• decadimento 31H → 3

2He e− ν

In questo decadimento, come in tutte le transizioni tra nuclei speculari, ilnucleone che si trasforma va occupare lo stesso stato: la molteplicita di isospine 1. Il decadimento puo avvenire sia con ∆I = 0, con elettrone e neutrinonello stato di singoletto (molteplicita 1), sia con |∆I| = 1, con elettrone eneutrino nello stato di tripletto (molteplicita 3). E una transizione mista con|MF |2 = 1, |MGT |2 = 3.

Se assumiamo che non ci sia interferenza tra le ampiezze dei due tipi di transizioni,possiamo scrivere l’elemento di matrice del decadimento β

g2|Mfi|2 = g2[C2V |MF |2 + C2

A|MGT |2]

dove CV e CA rappresentano i pesi relativi. Con i dati della tabella e con quelli dialtri decadimenti otteniamo il valore dei pesi relativi delle transizioni e della costantedi accoppiamento g

|CA||CV |

= 1.25± 0.01 CV = 1 ⇒ g = (0.876± 0.002) 10−4 MeV fm3

L’interazione responsabile del decadimento β e chiamata interazione debole perche,a parita di energia disponibile nello stato finale, la costante di decadimento e moltopiu piccola che nei decadimenti γ. La dipendenza dall’energia sia dell’elemento dimatrice che della densita degli stati finali e pero molto diversa nei due processi didecadimento. Per confrontare l’intensita delle interazioni elettromagnetiche e deboliconviene rappresentare l’interazione nello spazio degli impulsi. La hamiltoniana diinterazione e Hem = αhc/r, HW = gδ(~r). Il propagatore, la trasformata di Fourierin una interazione con impulso trasferito ~q, e rispettivamente 4πα(hc)3/(qc)2 e g.L’impulso trasferito nei decadimenti β dei nuclei e tipicamente qc ' 1 MeV , perquesto valore abbiamo

4πα

(qc)2≈ 0.1 MeV −2 g

(hc)3≈ 10−11 MeV −2

225

Va notato che i propagatori dell’interazione hanno una dipendenza completamentediversa dall’impulso trasferito e che otteniamo valori confrontabili se l’impulso trasfer-ito e qc ' 105 MeV .

Il rapporto G = g/(hc)3 e la costante di Fermi. Il valore misurato nel decadi-mento β e

G =g

(hc)3= (1.140± 0.002) 10−5 GeV −2

leggermente diverso dal valore della

costante universale di Fermi GF = (1.166379± 0.000001) 10−5 GeV −2

per una ragione che chiariremo piu avanti.

2.7.5 Decadimenti proibiti

La denominazione di decadimenti ”proibiti” ha origine storica. Fermi suddivise idecadimenti in transizioni super-permesse, transizioni primo-permesse, . . . e tran-sizioni proibite. Gli elementi di matrice sono calcolati rappresentando elettrone eneutrino con funzioni d’onda di particella libera. Poiche tipicamente p ' 1 MeV/c,nel volume del nucleo si ha ~p · ~r/h 1 e lo sviluppo in serie converge rapidamente

ei~p·~r/h = 1 +i~p · ~rh− (~p · ~r)2

2h2 + . . .

Il primo termine produce gli elementi di matrice delle transizioni permesse in cuielettrone e neutrino sono emessi in stato di momento angolare ` = 0 e la parita delnucleo non cambia.

Se la parita del nucleo cambia, l’elemento di matrice al primo ordine si annullae occorre considerare gli altri termini dello sviluppo

Mfi =i

h

∫

Nψ∗p(~r) ~p · ~r ψn(~r) d~r + . . .

Il secondo termine corrisponde a transizioni con ` = 1 e cambio di parita. Perimpulsi p ' 1 MeV/c e nuclei di estensione R ' 5 fm abbiamo

|Mfi| ≈〈~p · ~r〉N

h∼ 10−2

Quindi la vita media di un decadimento primo-proibito e ≈ 104 piu lunga che per undecadimento permesso. Elettrone e neutrino possono essere emessi con spin totaleS = 0 oppure S = 1, e la conservazione del momento angolare, ∆~I = ~S+ ~, producele regole di selezione delle transizioni proibite al primo ordine

• transizioni di Fermi, S = 0

∆I = 0, ±1 ma non 0→ 0

226

• transizioni di Gamow-Teller, S = 1

∆I = 0, ±1 ± 2

Decadimenti con ∆I ≥ 2 senza cambio di parita possono avvenire solo con il terminesuccessivo

Mfi = − 1

2h2

∫

Nψ∗p(~r) (~p · ~r)2 ψn(~r) d~r + . . .

e sono ancora piu sfavoriti. Sono stati osservati decadimenti proibiti fino al terzo equarto ordine con vite medie maggiori di 109 anni.

2.7.6 Non conservazione della parita

L’idea che la parita non si conservasse nell’interazione debole e maturata nel 1955 aseguito dell’evidenza che una stessa particella, il mesone K, decade in due stati diparita opposta (capitolo 3.1). Nel 1956 Tsung Dao Lee e Chen Ning Yang 20 fecerouna analisi critica dei risultati ottenuti con lo studio dei processi deboli e concluseroche in nessun esperimento si era studiata la dipendenza dell’interazione da terminipseudoscalari che cambiano segno per trasformazione di parita come, ad esempio,l’elicita dell’elettrone, ~se · ~pe, o il prodotto dell’impulso e lo spin del nucleo, ~I · ~pe.Lee e Yang osservarono che la hamiltoniana dell’interazione debole, espressa comesovrapposizione dei termini di Fermi e Gamow-Teller, entrambe scalari, e invarianteper parita e proposero una formulazione piu generale della hamiltoniana. Proposeroanche alcuni esperimenti per mettere in luce una possibile violazione della paritanei decadimenti deboli. Tre esperimenti, sul decadimento di nuclei polarizzati, suldecadimento del leptone µ (capitolo 3.3), e sul decadimento del barione Λ0 (capi-tolo 3.1) vennero eseguiti nei mesi successivi e dimostrarono chiaramente che laparita non si conserva nell’interazione debole.

Il decadimento del Cobalto polarizzato e stato studiato da Chien-Shiung Wu,Ernest Ambler e collaboratori nel 1956 (detto esperimento di Madame Wu). Ilnucleo 60

27Co ha spin ICo = 5 e decade per transizione Gamow-Teller in uno statoeccitato del nucleo 60

28Ni∗ con spin INi = 4. La vita media e 7.5 anni. L’energia

disponibile e Q = 0.32 MeV .

6027Co(5

+)→ 6028Ni

∗(4+) e− ν

L’elettrone e l’antinuetrino sono emessi con spin paralleli allo spin del 6027Co. Il nucleo

6028Ni

∗ decade allo stato fondamentale con due emissioni radiative di quadrupoloelettrico con energie Eγ = 1.17 e 1.33 MeV

6028Ni

∗(4+)→ 6028Ni

∗(2+) γ 6028Ni

∗(2+)→ 6028Ni(0

+) γ

Il nucleo 6027Co ha momento magnetico µ ≈ 3µN . Per ottenere una polarizzazione

apprezzabile la sorgente e inserita in un criostato e raffreddata a 0.01K per demag-netizzazione adiabatica. Raggiunta la temperatura di operazione la sorgente viene


227

polarizzata nel campo magnetico di un solenoide. Un piccolo scintillatore inserito nelcriostato rivela gli elettroni emessi entro un piccolo angolo nella direzione del campomagnetico. Due cristalli scintillanti sono usati per rivelare i fotoni emessi in direzioneparallela e normale al campo magnetico. La distribuzione angolare dei fotoni emessinel decadimento del nucleo 60

28Ni∗ polarizzato non e isotropa, dipende dall’angolo

tra la direzione di emissione e lo spin, ma e simmetrica rispetto all’inversione dellapolarizzazione. La differenza di conteggio dei due cristalli viene usata per controllareil grado di polarizzazione della sorgente.

Il nucleo 6027Co ha lo spin orientato nella direzione del campo e quindi anche

l’elettrone e l’antinuetrino. Se si inverte il campo magnetico cambia l’elicita deglielettroni rivelati nello scintillatore: l’esperimento e cioe sensibile ad una quantitapseudoscalare ~se · ~pe (Fig. 2.25). Le misure hanno dimostrato che quando si in-verte il campo magnetico cambia il conteggio di elettroni e che questi tendono adessere emessi in direzione opposta alla polarizzazione del nucleo. L’asimmetria nelconteggio degli elettroni dipende dal grado di magnetizzazione della sorgente.

Co Ni e νB

Co

γ

γ

e

Co

γ

γ

e

Figure 2.25: Decadimento del Cobalto polarizzato: l’immagine speculare non e pos-sibile

La distribuzione dell’angolo tra la direzione di emissione dell’elettrone e la po-larizzazione del campione (µ e il versore di polarizzazione ‖ ~se)

dn

d cos θ= 1 + α

µ · ~peEe

= 1 + αβe cos θ

mostra che α ≈ −1.L’esperimento dimostra una evidente violazione della parita. Se applichiamo

all’esperimento la trasformazione di inversione spaziale, non cambiamo i vettori as-siali, campo magnetico e spin, mentre si invertono sia gli impulsi che la posizionedel rivelatore. Se si conserva la parita il conteggio di elettroni non puo cambiare.

2.7.7 L’interazione V-A

Per capire l’origine delle transizioni di Fermi e Gamow-Teller e della violazione dellaparita, consideriamo le soluzioni dell’equazione di Dirac (appendice 4.19). La hamil-toniana di interazione si puo esprimere in funzione di combinazioni delle autofunzioni

228

del tipo ψfOψi dove l’operatore O e formato con le matrici di Dirac. Le possibilicombinazioni che si trasformano secondo le trasformazioni di Lorentz sono

Scalare Vettoriale Assialvettoriale Pseudoscalare Tensorialeψf ψi ψf γλ ψi ψf γλγ5 ψi ψf γ5 ψi ψf γλγµ ψi

Si puo dimostrare che il contributo del termine pseudoscalare e trascurabile neldecadimento β e che la correlazione angolare tra la direzione di emissione dell’elettronee dell’antineutrino e

V oppure A S oppure T

singoletto ⇑ ⇓ 1 + βe cos θ 1− βe cos θ

tripletto ⇑ ⇑ 1− 13βe cos θ 1 + 1

3βe cos θ

dove βec e la velocita dell’elettrone e θ e l’angolo tra ~pe e ~pν . La distinzione tra i duetipi di interazione, V & A oppure S & T , e fatta sulla base dei risultati sperimentali.

In una interazione di tipo V o di tipo A si conserva l’elicita dei fermioni ~s ·~p/|~s ·~p|quando β → 1 (appendice 4.19). L’elicita ha autovalori ±1 e la probabilita diosservare un fermione [anti-fermione] con elicita ±1 e (1 ∓ β)/2 [(1 ± β)/2]. Ladistinzione tra le due possibilita e di nuovo fatta sulla base dei risultati sperimentali.Quindi, in una interazione V & A, elettrone e antineutrino [positrone e neutrino]nello stato di singoletto tendono ad avere la stessa direzione mentre nello statodi tripletto tendono ad essere emessi in direzioni opposte (Fig. 2.26). I risultati dinumerosi esperimenti hanno mostrato che l’interazione responsabile del decadimentoβ e di tipo sia vettoriale che assialvettoriale.

0π π/2 0π π/2

θ eν

eν

dn / dcos θeν

Figure 2.26: Distribuzione angolare per interazione vettoriale oppure assial-vettoriale

Fermi scelse, in analogia con l’interazione elettromagnetica, una interazione ditipo vettoriale

〈p e−|HI |n ν〉F = gCV

∫ ∑

λ

ψp(x)γλψn(x) ψe(x)γλψν(x) d4x

229

che da origine alle transizioni di Fermi. Le transizioni di Gamow-Teller sono originatedall’interazione assialvettoriale

〈p e−|HI |n ν〉GT = gCA

∫ ∑

γ

ψpγλγ5ψn ψeγλγ5ψν d4x

La hamiltoniana ottenuta combinando le due interazioni

H =g√2

[CV ψpγλψn ψeγλψν + CA ψpγλγ5ψn ψeγλγ5ψν

]

e la somma di termini scalari e non puo generare termini misti che cambiano segnoper trasformazione di parita. Un termine pseudoscalare si puo introdurre combi-nando le matrici γλ e la matrice antisimmetrica γ5, ad esempio

H =g√2

[ψpγλψn ψeγλ(CV + C ′V γ5)ψν + ψpγλγ5ψn ψeγλγ5(CA + C ′Aγ5)ψν

]

dove i coefficienti C e C ′ sono in generale numeri complessi. Se consideriamo letrasformazioni C, P, T delle soluzioni dell’equazione di Dirac (appendice 4.19) pos-siamo verificare che i coefficienti cambiano nel modo seguente

trasformazione : C P TC → C∗ C C∗

C ′ → −C ′∗ −C ′ C ′∗

e che la hamiltoniana non e invariante per trasformazioni di coniugazione di carica edi parita. Se facciamo l’ipotesi che sia invariante per CP e per T , allora i coefficientisono reali. L’estensione a fermioni di massa nulla richiede inoltre C ′ = ±C. Lamisura dell’elicita degli elettroni e dei neutrini emessi nel decadimento β definisce ilsegno relativo C ′ = −C e la hamiltoniana dell’interazione V–A si esprime

H =g√2

[CV ψpγλψn ψeγλ(1− γ5)ψν + CA ψpγλγ5ψn ψeγλγ5(1− γ5)ψν

]

H =g√2

[ψpγλ(CV − CAγ5)ψn ψeγλ(1− γ5)ψν

]

2.7.8 L’elicita dell’elettrone

La vita media del decadimento β si ottiene integrando su tutte le variabili e dipendeda g2|Mfi|2, fornisce quindi il valore della costante di Fermi e il peso relativo deglielementi di matrice di Fermi e Gamow-Teller, ma non da informazioni ulteriori sullastruttura dell’interazione.

Il peso relativo dei diversi tipi di interazione, S, V, A, T , dipende dal fattore

~pe · ~pνEeEν

= βe cos θeν

230

La misura di θeν non e facile perche il neutrino non e rivelato e occorre misurarel’impulso dell’elettrone e del rinculo del nucleo Y che ha energia cinetica moltopiccola. Misure della distribuzione angolare, parametrizzata come

dn

d cos θeν∼ 1 + αβe cos θeν

sono state effettuate studiando diversi tipi di decadimento (transizioni di Fermi, diGamow-Teller e miste) con energie di decadimento, W , elevate e nuclei leggeri perfacilitare la misura dell’impulso di rinculo del nucleo.

decadimento transizione W (MeV ) pmaxY (MeV ) KmaxY (eV ) α

n→ p e− ν 12

+ → 12

+1.29 1.18 750 −0.102± 0.005

62He→ 6

3Li e−ν 0+ → 1+ 1.15 1.03 95 −0.334± 0.003

1910Ne→ 19

9 F e+ν 12

+ → 12

+3.24 3.20 90 0.00± 0.08

3518Ar → 35

17Cl e+ν 3

2

+ → 32

+5.96 5.45 91 0.97± 0.14

I risultati di queste misure hanno mostrato che in transizioni di Fermi (spin an-tiparalleli) elettrone e antineutrino [positrone e neutrino] tendono a formare angolipiccoli, mentre in transizioni di Gamow-Teller (spin paralleli) tendono a formareangoli grandi. Per transizioni miste, si osserva la sovrapposizione delle due dis-tribuzioni con pesi relativi C2

V e C2A/3. I risultati sono in accordo con le previsioni

dell’interazione vettoriale e assialvettoriale.La correlazione angolare e dovuta alla conservazione dell’elicita dei fermioni ed

e tanto piu evidente quanto maggiore e il valore della velocita. Infatti la teo-ria di Dirac prevede che nel limite β → 1 gli autostati dell’equazione del motosiano autostati dell’elicita e che il neutrino possa esistere in un solo stato di elicitah = +1 oppure h = −1. L’antineutrino esiste nello stato di elicita opposta. Perun elettrone [positrone] emesso con velocita βc, l’equazione di Dirac prevede unapolarizzazione pari a ±β [ ∓β]. La teoria e simmetrica e solo la misura puo definirequale e l’assegnazione corretta. La misura della elicita di fermioni e antifermionidefinisce il segno relativo dell’interazione vettoriale e assialvettoriale: V +A oppureV − A.

La misura della polarizzazione di elettroni e positroni emessi nel decadimentoβ e stata fatta sudiando diversi decadimenti. Gli elettroni [positroni] vengono fattidiffondere da una sottile lamina di ferro magnetizzato e nella misura si sfrutta ladipendenza della sezione d’urto Møller, e−e− → e−e−, [Bhabha, e+e− → e+e−], dallaorientazione relativa degli spin. La dipendenza dell’effetto e studiata in funzionedella velocita dell’elettrone [positrone] e della magnetizzazione del ferro. Risultache la polarizzazione degli elettroni e negativa e quella dei positroni e positiva

h(e−) = −1 h(e+) = +1

231

Il decadimento n → pe−ν e stato studiato in dettaglio usando neutroni polar-izzati che decadono in volo. Si misura la direzione di volo, la direzione dello spindel neutrone e l’angolo di emissione dell’elettrone e del protone. L’analisi delle dis-tribuzioni in funzione di ~pe · ~sn, ~pν · ~sn, ~pe · ~pν , permette una misura completa deiparametri del decadimento β e, in particolare, del segno relativo dell’interazionevettoriale e assialvettoriale: CV e CA hanno segno opposto e |CA/CV | = 1.26±0.01.

2.7.9 L’elicita del neutrino

Una conferma cruciale della interazione V − A e la misura diretta della elicitadel neutrino fatta da Maurice Golhaber, Lee Grodzins e Andrew Sunyar nel 1958.L’esperimento sfrutta la fluorescenza nucleare che, come abbiamo detto, si osservasolo se nucleo emettitore e nucleo assorbitore sono in moto relativo con velocitaopportuna. Descriviamo il metodo dell’esperimento

• Il nucleo 15263Eu ha spin IEu = 0 e decade per cattura elettronica in uno stato

eccitato del nucleo 15262Sm

∗ con spin ISm∗ = 1 e un neutrino di 840 keV

e− 15263Eu→ 152

62Sm∗ ν Eν = 840 keV

La cattura elettronica avviene da orbitale S, lo stato iniziale ha momentoangolare Ji = 1/2. Quindi nello stato finale Sm∗ e ν hanno spin opposti.

• Il nucleo formato decade allo stato fondamentale del Samario con spin ISm = 0emettendo un fotone di 960 keV

15262Sm

∗ → 15262Sm γ Eγ = 960 keV

il fotone ha lo stesso spin del Sm∗ e spin opposto a quello del neutrino. Lavita media, τ = 3 10−14 s, del decadimento radiativo e cosı breve che il nucleodecade prima di aver dissipato l’energia cinetica: il decadimento avviene involo.

• Un assorbitore di 15262Sm puo assorbire la radiazione γ solo se l’energia emessa

e aumentata per effetto Doppler, cioe se il fotone e emesso nella direzione divolo del nucleo Sm∗.

• L’osservazione dell’emissione di fluorescenza nucleare da parte dell’assorbitore

Eγ > 960 keV γ Sm → Sm∗ → Sm γ

seleziona quindi i fotoni emessi in direzione opposta al neutrino e con spinopposto. L’elicita del fotone e uguale a quella del neutrino.

L’esperimento (Fig. 2.27) e effettuato con una sorgente di 15263Eu e un diffusore di

15262Sm la cui radiazione di fluorescenza e osservata con un cristallo scintillante op-

portunamente schermato. Tra la sorgente e il diffusore vi e uno spessore di ferro,

232

e Eu Sm* n

SmSm* g

n

Sm*

Sm202

Eu

g

Figure 2.27: Misura dell’elicita del neutrino.

i fotoni emessi nel decadimento del 15262Sm

∗ attraversano il ferro prima di produrrefluorescenza nel diffusore. Il ferro puo essere magnetizzato in direzione concorde oopposta alla direzione dei fotoni. I fotoni interagiscono nel ferro per effetto Comptone l’assorbimento dipende dall’orientazione relativa dello spin del fotone e degli spindegli elettroni polarizzati. La sezione d’urto e maggiore per spin antiparalleli cheper spin paralleli perche nel primo caso contribuiscono due ampiezze A1/2 e A3/2 (ilfotone puo cedere il momento angolare all’elettrone che cambia spin), mentre nel sec-ondo solo A3/2. Osservando alternativamente l’assorbimento con diverse orientazionidel campo magnetico si e determinato che il neutrino ha elicita negativa.

Con un diverso esperimento si e determinato che gli antineutrini hanno elicitapositiva. Quindi

h(ν) = −1 h(ν) = +1

2.7.10 La scoperta del neutrino

I neutrini sono debolmente interagenti e sono passati piu di 25 anni dalla propostadi Pauli alla osservazione dei neutrini in un esperimento. Per valutare il valore dellasezione d’urto di interazione consideriamo il decadimento β del neutrone, n→ p e− ν.Nell’interpretazione di Fermi l’interazione e tra due correnti che cambiano la caricaelettrica: J+(n→ p) · J−(ν → e−). I neutrini possono interagire con i processi

ν n→ p e− ν p→ n e+

Consideriamo il secondo processo a bassa energia, Eν mp,

Eν +mp = mn +Kn + Ee Kn ≈ 0

La soglia di reazione e Eν ≥ mn −mp +me = 1.8 MeV e l’elettrone e emesso conimpulso pe = [(Eν −∆m)2 −m2

e]1/2. Se le funzioni d’onda sono normalizzate in un

volume V , la densita degli stati finali e proporzionale a 4πV peEe/c2 e il flusso di

neutrini e c/V . La sezione d’urto e

σ(ν p→ n e+) =V

c

2π

h|〈n e+|HI |ν p〉|2

V

(2πh)3

4πpeEec2

233

Il processo e equivalente al decadimento β del neutrone per simmetria di incrocio e,usando il valore misurato dell’elemento di matrice, abbiamo

σ =g2

π(hc)4|Mfi|2 pec Ee =

G2 (hc)2

π|Mfi|2 pec Ee ≈ 10−43 cm2 MeV −2 · E2

ν

La sezione d’urto e molto piccola. Per rivelare l’interazione occorre una sorgentecon flusso elevato e un bersaglio di grande massa.

L’esperimento e stato fatto da Clyde Cowan e Frederick Reines 21 nel 1956 pressoun reattore nucleare. Nei decadimenti β che seguono una reazione di fissione (capi-tolo 2.8) vengono prodotti antineutrini che hanno energia totale ≈ 12 MeV /fissione.Il numero di antineutrini con Eν ≥ 1.8 MeV e ≈ 0.5/fissione. La misura e statafatta presso il reattore da 1 GW del Savannah-River Plant con un flusso di an-tineutrini di circa 1013 cm−2 s−1. Il bersaglio era costituito da circa 1000 litri diacqua con cloruro di Cadmio, CdCl2, in contenitori alternati ad altri contenitoricon scintillatore liquido. Il segnale da rivelare e molto caratteristico e quindi dis-tinguibile dal fondo. Il positrone annichila non appena prodotto con vita mediaτ(e+e− → γγ) = 1.3 10−10 s, mentre il neutrone viene termalizzato negli urti connuclei di idrogeno in un intervallo di tempo di ≈ 10−5 s. Il nucleo 114

48Cd ha unagrande sezione d’urto di cattura di neutroni termici e il nucleo 115

48Cd∗ che si forma

si diseccita immediatamente emettendo raggi γ di energia totale di circa 6 MeV .Cowan e Reines rivelarono un numero di questi eventi caratteristici quando il reat-tore era in funzione decisamente maggiore del numero di eventi registrati a reattorespento ottenendo il risultato

σ(ν p→ n e+) = (1.1± 0.3) 10−43 cm2

2.8 Reazioni nucleari

In una reazione nucleare due particelle o due nuclei cambiano stato per effetto dellaloro interazione

a+ b→ c+ d +Q

Q indica la differenza di massa tra lo stato iniziale e finale, Q = (ma+mb−mc−mc)c2.

Reazioni con Q > 0 sono chiamate esotermiche: massa viene convertita in energiacinetica dello stato finale. Reazioni con Q < 0 sono endotermiche: energia cineticaviene convertita in massa. Poiche l’interazione nucleare e a corto raggio d’azione,se le particelle nello stato iniziale hanno carica elettrica occorre fornire energia persuperare la repulsione coulombiana. Nelle reazioni per interazione nucleare si con-servano, oltre a energia, impulso, momento angolare e carica elettrica, il numerofermionico, l’isospin, la coniugazione di carica e la parita.

Il primo cambiamento di una sostanza dovuto a un processo nucleare fu osser-vato da Rutherford nel 1919 utilizzando particelle α emesse dal Polonio con energia


234

cinetica sufficiente a compensare il valore negativo di Q e la repulsione coulombiana

α + 147 N → 17

8 O + p Q = −1.19 MeV

La prima reazione in cui sono stati usati protoni accelerati in modo articifiale e stataprodotta da Cockroft e Walton nel 1931

p+ 73Li→ α + α Q = +17.35 MeV

La reazione con cui Chadwick scoprı il neutrone nel 1932

α + 94Be→ 12

6 C + n Q = +5.71 MeV

aprı nuove possibilita di indagine della struttura del nucleo e delle interazioni nucleariperche i neutroni non risentono della repulsione coulombiana e possono iniziarereazioni nucleari anche con energia molto piccola.

Oltre alle reazioni nucleari, vi sono reazioni dovute a interazioni elettromag-netiche o deboli, ad esempio

n+p→ 21H+γ Q = 2.22 MeV p+p→ 2

1H+e+ +ν Q = 0.42 MeV

che hanno un ruolo fondamentale nella nucleosintesi e nel meccanismo di produzionedi energia nelle stelle.

2.8.1 Sezione d’urto di reazione

Il calcolo delle sezioni d’urto di reazioni nucleari e basato sui metodi presentatinel capitolo 1.8. Per il potenziale nucleare si fanno ipotesi basate sui modelli delnucleo. La sezione d’urto di reazione e σr = π(R + k−1)2, dove R e l’estensionedel potenziale nucleare e hk e l’impulso delle particelle a e b nel centro di massa.Se l’energia cinetica e piccola rispetto al potenziale nucleare occorre tener contodell’effetto della buca di potenziale sulle funzioni d’onda. Ad esempio, la sezioned’urto di cattura di un neutrone di impulso h~k nel campo di un nucleo rappresentatoda una buca di potenziale di profondita U0 e data dal prodotto della sezione d’urtodi reazione per il coefficiente di riflessione dalla buca di potenziale (appendice 4.9)

σc = π(R + k−1)2 4kkN(k + kN)2

hk = [2mE]1/2 hkN = [2m(E + U0)]1/2

A bassa energia, k R−1, k kN , la sezione d’urto di cattura e inversamenteproporzionale alla velocita relativa

limk→0

σc =π

k2

4kkNk2N

=4π

kkN≈ 10−26 cm2 · c

v

Se la reazione avviene attraverso la formazione di una risonanza di spin I e massaM la sezione d’urto ha il tipico andamento Breit-Wigner

σr =4π

k2

2I + 1

(2Ia + 1)(2Ib + 1)

ΓiΓf/4

(E −M)2 − (Γ/4)2

235

dove Γ e la larghezza della risonanza e Γi, Γf , sono le larghezze parziali di decadi-mento nello stato iniziale e finale.

In generale, se si conosce l’elemento di matrice 〈cd|HI |ab〉, la sezione d’urto e

σ(ab→ cd) =1

Φi

2π

h|〈cd|HI |ab〉|2ρ(Ef )

Φi =vabV

ρ(Ef ) = gfV

(2πh)3

4πp2bc

vbc

dove vab e la velocita relativa delle particelle nello stato iniziale e gf = (2Ic+1)(2Id+1) e la molteplicita di spin dello stato finale

σ(ab→ cd) =V 2

πh4 |〈cd|HI |ab〉|2 (2Ic + 1)(2Id + 1)p2bc

vab vbc

Se la hamiltoniana di interazione nucleare e invariante per inversione temporale siha la relazione H∗fi = Hif tra gli elementi di matrice (capitolo 1.6). C’e quindi unaimportante relazione tra la sezione d’urto del processo ab→ cd e quella del processoinverso, cd→ ab:

principio del bilancio dettagliatoσ(cd→ ab)

σ(ab→ cd)=

(2Ia + 1)(2Ib + 1)

(2Ic + 1)(2Id + 1)

p2ab

p2cd

2.8.2 Fissione

La scoperta del neutrone fu seguita da una intensa attivita per produrre reazioninucleari iniziate da neutroni. Enrico Fermi 22 studio le reazioni di cattura di neu-troni per produrre nuclei pesanti e i loro decadimenti β. Nel 1938 Otto Hahn 23

e Fritz Strassmann osservarono che in collisioni di neutroni con nuclei di Uranio siproducono elementi con numero atomico pari a circa la meta di quello dell’Uranio,ad esempio

n+ 92U → 56Ba+ 36Kr

Nel 1939 Lise Meitner e Otto Frisch proposero che la produzione di elementi connumero atomico intermedio fosse dovuta alla fissione del nucleo pesante indotta daneutroni. Il processo di fissione in cui un nucleo pesante si scinde in due nuclei conpeso atomico intermedio

AZN → A−a

Z−zX + azY +Q

e energeticamente favorito dal fatto che, per i nuclei con A ∼ 240, l’energia dilegame per nucleone e, BE ≈ 7.6 MeV , mentre per i nuclei con A ∼ 120 si haBE ≈ 8.5 MeV . Quindi in una reazione di fissione si producono ≈ 0.9 MeV pernucleone. Nella fissione dell’Uranio si ha Q ≈ 210 MeV .

La fissione spontanea e pero impedita dal potenziale attrattivo dei nucleoni.Consideriamo il modello a goccia in cui un nucleo e in una configurazione sferica.

22 premio Nobel per la fisica nel 193823 premio Nobel per la chimica nel 1944

236

Se questa viene deformata in un ellissoide di semiassi a, b, b, l’interazione nucleone-nucleone tende a mantenere costante il volume

V =4π

3ab2 =

4π

3R3 ⇒ a = R(1 + ε) b = R(1 + ε)−1/2

e ne deriva che la superficie del nucleo aumenta e anche la distanza media tra nucleoniaumenta

S = 4πR2

(1 +

2ε2

5

)〈1r〉 =

3

5R

(1− ε2

5

)

Usando la formula di Bethe-Weizsacker, la variazione di energia del nucleo e

∆M = b1A2/3

(−2ε2

5

)+ b2

Z2

A1/3

(ε2

5

)=ε2

5A2/3

[−2b1 + b2

Z2

A

]

Introducendo il valore dei parametri b1 = 17.2 MeV , b2 = 0.70 MeV , la condizionedi stabilita

∆M =ε2

5A2/3

[−34.4 + 0.70

Z2

A

]≤ 0

comporta Z2/A < 47 che e soddisfatta da tutti i nuclei stabili, (Z2/A)max = 35.Questo esempio mostra che, per un nucleo leggermente deformato, l’aumento dienergia si oppone alla deformazione e quindi alla fissione spontanea. Se immaginiamoil nucleo A

ZN in uno stato intermedio composto dei due nuclei A−aZ−zX e azY , la buca

di potenziale delimitata dalla barriera coulombiana impedisce la fissione spontanea.La fissione puo essere indotta da neutroni (Fig. 2.28) che forniscono la necessariaenergia di attivazione per superare la barriera di potenziale.

NA

Z N*A+1

Z XA-a

Z-z Ya-1

zn n n

Figure 2.28: Fissione indotta da neutroni

2.8.3 Fissione indotta da neutroni

La teoria della fissione dei nuclei pesanti e stata formulata da Niels Bohr e JohnWheeler sulla base del modello a goccia del nucleo. Consideriamo la fissione di unnucleo A

ZN in due nucleiA/2Z/2X. La variazione di energia e

Q = b1

[A2/3 − 2

(A

2

)2/3]

+ b2

[Z2A−1/3 − 2

Z2

4

(A

2

)−1/3]

=

= A2/3

[b1(1− 21/3) + b2

Z2

A(1− 2−2/3)

]

237

Usando i valori dei parametri bk, la fissione puo avvenire se

Q = A2/3

[−4.42 + 0.26

Z2

A

]≥ 0 ⇒ Z2

A≥ 17

Per un nucleo con Z2/A ≥ 17, i nuclei X e Y si trovano in uno stato di energia Qpositiva ma rimangono legati dal potenziale nucleare se la distanza di separazione eminore della somma dei raggi (Fig. 2.29)

r < R = RX +RY ≈ 2R0(A/2)1/3

r

E

Eb

Q

r

Z /A ≥ 472

Eb

Q

R

Figure 2.29: Energia in funzione della distanza di separazione dei nuclei

L’altezza della barriera di potenziale coulombiana a distanza di separazione R e

Eb = αhc(Z/2)2

2R0(A/2)1/3= 0.16

αhcZ2

R0A1/3

Per Uranio Eb ≈ 230 MeV . Quindi abbiamo:

• per i nuclei con Z2/A > 47, cioe A > 300, la differenza di energia e positiva,Q− Eb > 0: i nuclei sono instabili per fissione spontanea;

• per i nuclei vicino alla soglia di instabilita cioe Z2/A > 17, A ≈ 100, ladifferenza di energia e molto grande Eb−Q ≈ 60 MeV : questi nuclei non sonosoggetti a fissione;

• per i nuclei stabili piu pesanti, A ≈ 240, la differenza di energia e piccola eil processo di fissione indotta e facilitato dalla probabilita di attraversamentodella barriera di potenziale per effetto tunnel. Tenuto conto di questo effettosi ha Eb −Q ≈ 6 MeV .

L’energia di attivazione necessaria per innescare la fissione, Eb − Q, e stata cal-colata da Bohr e Wheeler. E diversa per i nuclei A-dispari e per i nuclei A-pari.Consideriamo, ad esempio, la fissione dell’Uranio

• nel caso di 23592U , per cattura di un neutrone si forma lo stato intermedio 236

92U ;la differenza di massa e

∆M = M(23592U) +mn −M(236

92U) = 6.5 MeV

238

l’energia di attivazione della fissione del 23592U e 6.2 MeV : quindi non occorre

che i neutroni abbiano energia cinetica, la fissione del 23592U si ottiene con

neutroni termici ;

• nel caso di 23892U , si forma lo stato intermedio 239

92U ; la differenza di massa e

∆M = M(23892U) +mn −M(239

92U) = 4.8 MeV

l’energia di attivazione della fissione del 23892U e 6.6 MeV : quindi per attivare

la fissione del 23892U occorrono neutroni con energia cinetica > 1.8 MeV .

In questo esempio e importante il contributo del termine b4A−1/2 nell’energia dilegame dei nuclei (capitolo 2.2). Infatti nella massa dei nuclei pari–pari come 236

92Ue 238

92U va sottratto il termine b4A−1/2 = 12 MeV/√

236 ≈ 0.8 MeV . Nel primo casoquesta energia e disponibile mentre nel secondo caso occorre fornirla: i due valori di∆M differiscono approssimativamente di 1.6 MeV .

2.8.4 Fissione dell’Uranio

L’uranio naturale e composto di due isotopi stabili 23892U e 235

92U con abbondanzarelativa di 99.28% e 0.72%. La fissione del 235

92U e iniziata da neutroni termici consezione d’urto σ235 = 580 b, mentre quella del 238

92U da neutroni con energia cineticaKn > 1.8 MeV con sezione d’urto molto piu piccola, σ238 ≈ 0.5 b (Fig. 2.30).Nella fissione si libera energia Q ≈ 210 MeV con un rendimento di massa Q/M =210 MeV/220 GeV ≈ 10−3. Nello stato finale sono prodotti nuclei con AX ≈ 95,AY ≈ 140, ad esempio

n+23592 U → 87

35Br + 14857La+ n n+235

92 U → 9337Rb+ 141

55Cs+ n+ n

e un numero medio 〈nn〉 ≈ 2.5 di neutroni immediati con energia cinetica Kn ≈2 MeV . La fissione avviene con tempi di reazione brevissimi τ = (10−16÷10−14) s el’emissione di neutroni e accompagnata dall’emissione di fotoni immediati. L’energiadei prodotti leggeri e En ≈ 5 MeV , Eγ ≈ 8 MeV . Il resto dell’energia e energiacinetica dei due nuclei. Questi hanno un eccesso di neutroni e raggiungono la bandadi stabilita nel piano A− Z con emissione β−. L’energia rilasciata nei decadimentiβ e in media Eβ ≈ 20 MeV , di cui approssimativamente 12 MeV in anti-neutrini.Nei decadimenti si formano anche nuclei in stati eccitati che decadono emettendoraggi γ con Eγ ≈ 8 MeV . Quindi la reazione di fissione e una sorgente di neutroni,fotoni, elettroni e anti-neutrini.

2.8.5 Reattore nucleare

Nella reazione di fissione si produce tipicamente un numero di neutroni > 1 e questipossono a loro volta produrre altre reazioni di fissione. Si possono quindi realizzarele condizioni per autoalimentare la reazione di fissione in un processo di reazione acatena e produrre energia dalla fissione. La prima pila nucleare e stata realizzata

239

1 0- 2

1 0- 1

1 00

1 01

1 02

1 03

1 0- 2 1 00 1 02 1 04 1 06

2 3 5U

2 3 8U

energy (eV)

cro

ss s

ecti

on

(b

arn

)

kT

1 0- 4

1 0- 3

1 0- 2

1 0- 1

7 0 9 0 1 1 0 1 3 0 1 5 0 1 7 0A

fission fragments of 2 3 5U

Figure 2.30: Sezione d’urto di cattura di neutroni in funzione dell’energia - Dis-tribuzione dei frammenti di fissione del 235

92 U

da Fermi e collaboratori nel 1942. Esistono diversi metodi per realizzare un reattorenucleare basato su reazioni a catena controllate, secondo il tipo di utilizzo

• per produrre energia;

• per produrre sorgenti di neutroni per la ricerca;

• per produrre radio-isotopi o altre sostanze fissili, quali 23994Pu o 233

92U , che pos-sono a loro volta essere utilizzati in reattori.

Un tipico reattore nucleare per produrre energia e basato su reazioni a catena inUranio. In ogni reazione di fissione si producono in media ' 200 MeV e ' 2.5neutroni energetici. La sezione d’urto di cattura di neutroni energetici e piccola, ma,se i neutroni vengono moderati facendogli perdere energia in successive collisioni connuclei leggeri (capitolo 1.3), l a sezione d’urto di neutroni termici in 235

92U e grandee cosı la probabilita di produrre successive reazioni di fissione. Quindi l’elementocentrale di un reattore nucleare a Uranio e costituito da uranio arricchito in 235

92U(tipicamente 3%–4%) e da un materiale moderatore per ridurre l’energia cinetica deineutroni.

Per moderare i neutroni si usano di solito H2O, D2O o C. Il Carbonio non emolto efficiente, ma si puo distribuire in modo efficace nel combustibile. Il vantaggiodell’acqua (pesante) e che puo anche costituire il mezzo per raffreddare il reattore.Il nucleo di idrogeno e molto efficiente per moderare neutroni, ma ha una elevatasezione d’urto n + p → 2

1H + γ che sottrae neutroni al bilancio della reazione a

240

catena. Il nucleo di deuterio ha una sezione d’urto n + 21H → 3

1H + γ molto piupiccola, ma produce trizio radioattivo che va filtrato nel sistema di raffreddamento.

Con una opportuna combinazione di combustibile e moderatore si puo raggiun-gere la situazione in cui vi e in media un neutrone termico prodotto per reazionedi fissione: reattore critico. Per evitare che questo fattore superi l’unita e che ilreattore funzioni in regime super-critico con il rischio di esplosione, e opportunopoter inserire nel combustibile un materiale con elevata sezione d’urto di cattura dineutroni termici. Il materiale piu indicato e il Cadmio che ha una serie di risonanzeche assorbono neutroni termici.

In un reattore che opera in condizione critica, un grammo di 23592U produce energia

6 1023

235200 MeV ≈ 0.8 1011 J

pari a circa tre volte l’energia prodotta nella combustione di una tonnellata di car-bone.

2.8.6 Fusione

Nella reazione di fusione due nuclei fondono per formare un nucleo con peso atomicomaggiore. L’andamento dell’energia media di legame dei nuclei, BE, in funzione delpeso atomico, A, mostra che nella reazione di fusione

azX + A−a

Z−zY → AZN +Q

si libera energia Q > 0 se ∂BE/∂A > 0, cioe per A < 60. Poiche l’interazionenucleare e a breve raggio d’azione, la reazione di fusione puo avvenire solo se inuclei hanno inizialmente sufficiente energia cinetica per compensare la repulsionecoulombiana e portare i due nuclei ”a contatto”. Ad esempio, nella reazione

126C + 12

6C → 2412Mg

si produce energia Q = 2MC−MMg = 13.9 MeV , ma occorre che inizialmente i duenuclei 12

6C abbiano energia

E > αhcZ2

R=

αhcZ2

2R0A1/3' 9.0 MeV

Spendendo 9.0 MeV si producono 13.9 MeV . Il rendimento in energia (Q/2MC ≈6 10−4 in questo esempio) e tanto piu elevato quanto minore e la massa dei nucleiche fondono.

L’energia liberata nella fusione si trasforma in energia cinetica dei nuclei e, seesiste un campo di forze che tiene i nuclei confinati, aumenta la temperatura dimodo che si puo raggiungere una situazione di equilibrio in cui la reazione di fusionee capace di autoalimentarsi e quindi produrre energia. Per i nuclei leggeri conZ ≈ A/2, la temperatura necessaria per compensare la repulsione coulombiana e

kT =αhcA5/3

8R0

≈ A5/3 × 0.14 MeV T ≈ A5/3 × 1.6 109 K

241

Per valutare la probabilita che avvenga la reazione di fusione, consideriamo un gasdi nuclei di massa m a temperatura T . Il numero di nuclei con velocita v segue ladistribuzione di Maxwell

dn

dv=

v2

(2kT/m)3/2e−mv

2/2kT

La sezione d’urto di reazione e inversamente proporzionale alla velocita relativa e laprobabilita di trasmissione attraverso la barriera di potenziale coulombiano e e−2G

con il fattore di Gamow (capitolo 2.6)

G = 2αZXZYc

v

(π

2+ . . .

)

La probabilita che avvenga la reazione di fusione e proporzionale al prodotto delflusso di nuclei per la sezione d’urto, 〈nvσ〉,

〈nvσ〉 ∝ v2 exp

(− v

2

v2T

− vGv

)vT = c

(2kT

mc2

)1/2

vG = 2παcZXZY

che ha un massimo, detto picco di Gamow, per

2

v− 2v

v2T

+vGv2

= 0 ⇒ v∗ '(v2TvG/2

)1/3

Quindi, anche se i nuclei hanno energia cinetica media kT molto minore dell’energianecessaria a superare la barriera coulombiana, le fluttuazioni statistiche della dis-tribuzione di Maxwell e la probabilita di effetto tunnel attraverso la barriera rendonopossibile la fusione nucleare con energia cinetica media mv∗2/2 (Fig. 2.31).

1 0- 4

1 0- 2

1 00

1 02

1 0- 3 1 0- 2 1 0- 1 1 00

kinetic energy (MeV)

MaxwellGamow

arb

itra

ry

u

nit

s

Figure 2.31: Distribuzione in energia dei protoni a temperatura T = 1.5 107 K efattore di Gamow per la fusione protone-protone

242

2.8.7 Fusione nelle stelle

Le stelle giovani, come oggi il Sole, producono energia per fusione: quattro protoniformano un nucleo di Elio liberando circa 26 MeV con un rendimento molto elevato,26 MeV/3.75 GeV = 0.007. La temperatura all’interno del Sole e T ≈ 1.5 107 K,corrispondente ad un’energia cinetica dei protoni Ep ≈ 1.3 keV molto minoredell’energia di repulsione coulombiana ≈ 0.8 MeV .

La materia formatasi nella fase iniziale dell’evoluzione dell’universo, nella nucle-osintesi pimordiale (capitolo 3.10), e costituita per 3/4 da protoni, 1/4 da nucleidi Elio e solo per circa 1% da nuclei piu pesanti. Le fluttuazioni della densita diparticelle e l’attrazione gravitazionale hanno prodotto concentrazioni di materia e,quando la densita e diventata sufficientemente elevata si e innescato il ciclo dellafusione.

La prima reazione del ciclo avviene per interazione debole

p p→ 21H e+ ν Q = 0.42 MeV

La sezione d’urto a bassa energia e estremamente piccola, σ ≈ 10−55 cm2: questae la ragione per cui il Sole brucia molto lentamente. La probabilita di reazione emolto minore di quella della reazione successiva in cui il deutone formatosi reagiscecon i protoni

p 21H → 3

2He γ Q = 5.49 MeV

Quindi i deutoni sono consumati non appena prodotti. La reazione p 32He→ 4

3Li γnon e utile per sostenere il ciclo perche il nucleo 4

3Li non e stabile. Quando la densitadi nuclei 3

2He ha raggiunto valori sufficientemente elevati, avviene la reazione

32He

32He→ 4

2He p p Q = 12.86 MeV

in cui si formano Elio e due protoni che sono disponibili per iniziare altri cicli.Questo e il modo principale del ciclo protone-protone

4p→ 42He 2e+ 2γ 2ν

L’energia liberata e 4mp−mα−2me = 24.7 MeV , cui va aggiunta l’energia prodottanell’annichilazione e+e− → γγ pari a 2 × 2me = 2.0 MeV . Ciascun neutrino vieneprodotto con energia media 〈Eν〉 ≈ 0.3 MeV che viene sottratta al ciclo poiche ineutrini non interagiscono nella stella. Quindi il bilancio energetico del ciclo e dicirca 26 MeV .

Vi e un’altra reazione con cui possono interagire i nuclei 32He che avviene con

probabilita ≈ 15%

32He

42He→ 7

4Be γ Q = 1.59 MeV

seguita dal decadimento per cattura elettronica in cui vengono emessi neutrinimonocromatici

e− 74Be→ 7

3Li ν Q = 0.86 MeV

243

e di nuovo dalla formazione di Elio

p 73Li→ 4

2He42He Q = 17.35 MeV

Con probabilita molto piu piccola, ≈ 2 10−4, si ha formazione di Boro

p 74Be→ 8

5B γ Q = 0.14 MeV

seguito dal decadimento β+ in cui vengono emessi neutrini con Emaxν ≈ 14 MeV

85B → 8

4Be∗ e+ ν Q = 14.02 MeV

Il nucleo 84Be

∗ non e stabile e decade appena formato in due nuclei di Elio chiudendodi nuovo il ciclo

84Be

∗ → 42He

42He Q = 3.03 MeV

L’energia cinetica dei vari prodotti del ciclo si trasferisce tramite moltissimi altriprocessi verso la superficie del Sole, la fotosfera, mentre i neutrini non sono assorbitie possono essere osservati sulla terra fornendo una evidenza diretta del modo in cuisi svolgono i processi di fusione nel Sole.

2.8.8 Nucleosintesi nelle stelle

Il Sole brucia idrogeno in Elio da circa 5 109 anni. Il valore della massa solare ela potenza emessa indicano che continuera ancora per altri 5 109 anni. Una stellache ha approssimativamente la massa del Sole, quando l’idrogeno e esaurito, tende acontrarsi aumentando di densita poiche l’energia prodotta non e piu in grado di bilan-ciare l’energia potenziale gravitazionale. Nella contrazione l’energia gravitazionalesi converte in energia cinetica dei nuclei di modo che aumenta la temperatura e sipossono innescare altre reazioni di fusione che formano nuclei piu pesanti.

Il punto critico e quello della formazione del Carbonio. In una stella formataessenzialmente di nuclei 4

2He si forma continuamente 84Be che ha pero massa legger-

mente maggiore di due volte la massa dell’ 42He

42He

42He→ 8

4Be Q = −0.09 MeV

e quindi decade immediatamente

84Be→ 4

2He42He τ = 0.7 10−16 s

Anche con una densita di nuclei 42He estremamente elevata, e molto improbabile la

formazione di Carbonio per fusione 42He

84Be→ 12

6 C γ. La reazione di fusione e resapossibile dal fatto che il Carbonio ha uno stato eccitato con massa di poco superiorealla somma delle masse di Elio e Berillio. La fusione avviene attraverso questo statorisonante

42He

84Be→ 12

6 C∗ Q = 0.29 MeV

244

che decade prevalentemente α nello stato di partenza, ma che ha anche una piccolaprobabilita, ' 4 10−4, di decadere in modo radiativo allo stato fondamentale

126C∗(0+)→ 12

6C∗(1−) γ 12

6C∗(1−)→ 12

6C(0+) γ

Il Carbonio ha nell’universo abbondanza relativa elevata e puo essere presente anchenelle stelle che non hanno esaurito il ciclo energetico del protone. In presenza diprotoni il nucleo 12

6C agisce come catalizzatore di un altro ciclo, analogo al cicloprotone-protone, che produce energia trasformando protoni in nuclei di Elio: il cicloC-N-O.

reazione Q (MeV )p 12

6C → 137N γ 1.94

137N → 13

6C e+ ν 1.20

p 136C → 14

7N γ 7.55

p 147N → 15

8O γ 7.29

158O → 15

7N e+ ν 1.74

p 157N → 12

6C42He 4.96

4p → 42He 2e+ 3γ 2ν. Sommando le energie e quella prodotta nell’annichilazione

dei positroni si ottiene di nuovo∑Q = 26.7 MeV .

Il 126C e un nucleo fortemente legato ed e il punto di partenza per la formazione

di nuclei pesanti per fusione, ad esempio

reazione Q (MeV ) energia coulombiana (MeV )42He

126C → 16

8O γ 7.16 3.6

42He

168O → 20

10Ne γ 4.73 4.5

42He

2010Ne→ 24

12Mg γ 9.31 5.4

Poiche la barriera di potenziale aumenta col numero atomico, l’abbondanza relativadei nuclei diminuisce all’aumentare di A.

Una volta esaurito l’Elio come combustibile, la stella, se ha massa sufficien-temente elevata, tende di nuovo a contrarsi aumentando densita e temperatura epuo iniziare a utilizzare come combustibile Carbonio e Ossigeno. La barriera dipotenziale e rispettivamente 9.0 e 14.6 MeV e, per sostenere le reazioni di fusioneoccorrono temperature T > 109 K

reazione Q(MeV ) reazione Q(MeV )126C

126C → 20

10Ne α 4.62 168O

168O → 28

14Si α 9.59

126C

126C → 23

11Na p 2.24 168O

168O → 31

15P p 7.68

126C

126C → 23

12Mg n −2.61 168O

168O → 31

16S n 1.46

126C

126C → 24

12Mg γ 13.93 168O

168O → 32

16S γ 16.54

245

In queste reazioni, oltre ai nuclei pesanti, si producono fotoni, protoni, neutroni eparticelle α con energie sufficientemente elevate da produrre altri nuclei pesanti apartire dai nuclei 28

14Si e 3216S. Queste reazioni sono energeticamente favorite rispetto

a reazioni di fusione del tipo 2814Si

2814Si → 56

28Ni γ che richiede una temperaturaancora piu elevata.

La nucleosintesi per fusione nucleare procede fino alla formazione dei nuclei conA ≈ 60. Per A > 60 si ha ∂BE/∂A < 0 e quindi la fusione diventa endotermica:occorre fornire energia per produrre nuclei piu pesanti. La formazione di nucleipesanti e molto piu probabile con neutroni energetici che non con particelle cariche,protoni o particelle α. Quindi la produzione di nuclei con peso atomico maggioreprocede per cattura di neutroni e per decadimento β−

n AZX → A+1

Z X γ A+1Z X → A+1

Z+1Y e− ν

L’abbondanza relativa dei nuclei pesanti dipende dalla probabilita di cattura neu-tronica nell’unita di tempo λn e dalla costante di decadimento λβ

• se λn λβ il nucleo A+1Z X formato per cattura di un neutrone ha tempo di

decadere β− e quindi i nuclei si formano lungo la banda di stabilita; poicheλn e piccolo e le reazioni avvengono con frequenza bassa, questi sono chiamatiprocessi-s (slow);

• se λn λβ il nucleo formato non decade e con successive reazioni gli isotopisi allontanano dalla banda di stabilita (AZX → A+1

Z X → A+2Z X → . . .)

aumentando il numero di neutroni e quindi anche l’instabilita per decadimentoβ−; poiche λn e grande e le reazioni avvengono con frequenza elevata, questisono chiamati processi-r (rapid).

La maggior parte della materia e concentrata in nuclei di Idrogeno (75%) e Elio(24%) formati nella nucleosintesi primordiale (capitolo 3.10). La nucleosintesi nellestelle non aumenta l’abbondanza dei nuclei leggeri, Litio, Berillio e Boro, che sonoparticolarmente rari. I nuclei piu diffusi sono quelli formati con particelle α, (Car-bonio, Ossigeno, Neon, Magnesio, Silicio, . . . ) e i nuclei con A ≈ 60 vicino al valoremassimo dell’energia di legame media, BE/A, (Ferro, Nichel, . . . ). I nuclei conA > 60 hanno abbondanza relativa che diminuisce con A, con un valore maggiore incorrispondenza dei numeri magici. La Fig. 2.32 mostra l’abbondanza relativa deglielementi nel sistema solare.

2.8.9 Fusione in laboratorio

La fusione ha un rendimento energetico maggiore della fissione e, usando come com-bustibile nuclei leggeri, non produce materiali radioattivi. E pero molto piu difficilerealizzare e mantenere in laboratorio le condizioni di temperatura e densita perprodurre energia dalla fusione. La barriera di potenziale coulombiana aumenta colnumero atomico Z e per nuclei leggeri e tipicamente di ' 1 MeV . Tenendo contodella probabilita di effetto tunnel occorre comunque raggiungere energie ' 10 keV

246

1 00

1 02

1 04

1 06

1 08

1 01 0

0 1 0 2 0 3 0 4 0

H

He

C

Z

rela

tiv

e a

bu

nd

an

ce

O

S i F e

Figure 2.32: Abbondanza relativa degli elementi nel sistema solare

cioe temperature ' 108 K. In queste condizioni gli atomi sono completamenteionizzati e si produce un plasma di ioni e elettroni. In un plasma ad alta densitagli elettroni, accelerati nei forti campi elettrici dei nuclei emettono radiazione dibremsstrahlung (capitolo 1.4) sottraendo energia al plasma. La potenza irraggiata eproporzionale a Z2. Quindi le condizioni per poter alimentare le reazioni di fusionee produrre energia sono

• utilizzare nuclei con numero atomico Z piccolo;

• operare a temperatura elevata, T > 108 K;

• operare a densita elevata;

• utilizzare reazioni con sezione d’urto grande e che producono energia elevatanello stato finale.

Alcune reazioni di fusione di nuclei leggeri sono

reazione Q (MeV )21H

21H → 4

2He γ 23.8

21H

21H → 3

2He n 3.3

21H

21H → 3

1H p 4.0

21H

31H → 4

2He n 17.6

21H

32He→ 4

2He p 18.3

La prima reazione ha una sezione d’urto piccola. Le reazioni di fusione 21 H

21H hanno

un rendimento energetico basso. La fusione 21H

31H ha, nelle stesse condizioni, un

rendimento molto maggiore. La fusione 21H

32He richiede temperatura piu elevata

247

perche l’Elio ha Z = 2. Quindi la reazione piu promettente e la fusione deuterio-trizio. C’e lo svantaggio che l’energia viene convertita prevalentemente in energiacinetica del neutrone, Kn = 14.1 MeV , ma in condizioni di densita molto elevataquesto cede rapidamente l’energia agli altri nuclei.

La difficolta maggiore nel realizzare la fusione in laboratorio e il confinamentodel plasma in modo da mantenere le condizioni di densita elevata durante la fusione.I metodi che sembrano piu promettenti sono

• il confinamento magnetico;

• il confinamento inerziale.

Nel primo si sfrutta la forza di Lorentz, ad esempio con un campo toroidale, permantenere le particelle cariche, ioni e elettroni, in una limitata regione di spazio.Nel secondo si utilizza per il confinamento l’energia di fasci laser o fasci di ioniopportunamente diretti e focalizzati.

248

Chapter 3

Fisica subnucleare

3.1 Particelle e interazioni

I costituenti elementari degli atomi sono il protone, il neutrone e l’elettrone. Neidecadimenti β dei nuclei sono emesse, oltre l’elettrone, alcune nuove particelle: ilpositrone, i neutrini e gli antineutrini. Tutte queste particelle sono fermioni di spin1/2. Nei decadimenti radiativi di atomi e nuclei sono emessi fotoni, bosoni di spin1. Il quadro delle particelle in fisica dei nuclei e:

fermioni antifermioni bosonip ν ν γn e− e+

Le interazioni tra i fermioni sono descritte da campi bosonici e la loro intensita edefinita da costanti di accoppiamento. Ad esempio, l’interazione tra due caricheelettriche ha intensita proporzionale al prodotto delle cariche e all’inverso della dis-tanza: e mediata da un campo di bosoni di massa nulla, i fotoni, e la costante diaccoppiamento e proporzionale al prodotto delle cariche elettriche.

Se HI e la hamiltoniana che descrive l’interazione, la probabilita che avvengaun processo fisico da uno stato iniziale |i〉 a uno stato finale |f〉 e proporzionale a|〈f |HI |i〉|2. Se il campo di interazione e descritto da un potenziale U(~r, t) l’elementodi matrice e la trasformata di Fourier del campo, il propagatore (appendice 4.22),ed e una funzione del 4-impulso trasferito nell’interazione (~q, ν).

L’interazione elettromagnetica tra due cariche elettriche e descritta da un poten-ziale U(~r) ∝ QQ′/r e per l’ampiezza di transizione si ha 〈f |HI |i〉 ∝ 4πQQ′/q2.Nella teoria di Fermi del decadimento β dei nuclei (capitolo 2.7) l’interazione debolee descritta con un potenziale di interazione a contatto, U(~r) ∝ δ(~r), e l’ampiezzadi transizione e costante. Nel modello di Yukawa (capitolo 2.3) l’interazione nu-cleare a corto raggio d’azione e descritta con un potenziale U(~r) ∝ e−µr/r, doveµ e la massa del bosone che trasmette l’interazione. L’ampiezza di transizione e〈f |HI |i〉 ∝ 4π/(q2 + µ2).

Per l’interazione elettromagnetica la costante di accoppiamento adimensionalee α = e2/4πε0hc = 1/137. Le costanti di accoppiamento dell’interazione debole e

249

dell’interazione nucleare sono definite in modo analogo e dipendono dalle caricherispettivamente di tipo debole e di tipo nucleare (Fig. 3.1)

interazione campo propagatore costante di accoppiamentoelettromagnetica αhc/r α/q2 α = 1/137

debole gδ(~r) g/(hc)3 G = 1.16 10−5 GeV −2

nucleare αshce−µr/r αs/(q

2 + µ2) αs ' µ/mp

e

pp

e

g

e

pn

p

np

n

pW

n

Figure 3.1: Rappresentazione dello scattering e−p→ e−p con scambio di un fotone,νn→ e−p con scambio di un bosone W, np→ pn con scambio di un mesone π

L’interazione a contatto di Fermi definisce una costante di accoppiamento G =g/(hc)3 non adimensionale. Vedremo nel seguito che il modello con un propagatorecostante descrive in modo accurato le interazioni deboli a bassa energia ma non puotrattare in modo corretto le interazioni a energia elevata e modificheremo il propaga-tore G→ GM2/(q2 +M2). La massa del bosone che trasmette l’interazione e moltogrande e quindi finche q2 M2 la teoria di Fermi da risultati corretti. La costanteadimensionale ha un valore simile alla costante di accoppiamento dell’interazioneelettromagnetica: GM2 ≈ α (capitolo 3.7).

Con lo studio delle reazioni prodotte dai raggi cosmici e, a partire dalla meta del’900, di reazioni prodotte con l’impiego di acceleratori furono scoperte moltissimenuove particelle. La maggior parte di queste, inclusi il protone e il neutrone non sonoparticelle elementari, ma sono formate da costituenti elementari che sono chiamatiquark (capitolo 3.2). Questi, come l’elettrone e il neutrino, sono fermioni di spin1/2. La suddivisione delle particelle in fermioni di spin 1/2 sorgenti dei campi, ebosoni di spin 1 mediatori delle tre interazioni non viene sostanzialmente cambiata.

3.1.1 Raggi cosmici

Gia all’inizio del ’900 era noto che sostanze radioattive producono ionizzazione,ma era stato osservato che la ionizzazione, ad esempio in un gas, veniva prodottaanche in assenza di sorgenti radioattive. Nel 1912 Victor Hess 1 misuro il livellodi radiazione ionizzante con rivelatori montati su palloni aerostatici e registro unnotebole aumento di attivita con l’aumentare della quota: scoprı che l’atmosfera einvestita da particelle ionizzanti che vengono dall’alto. Negli anni successivi furonofatti molti esperimenti a livello del mare e ad alta quota per studiare i raggi cosmici.Quelli che venivano osservati sono la componente secondaria della radiazione cosmica


250

prodotta nell’interazione dei raggi cosmici primari con l’atmosfera terrestre. Quandol’energia e molto elevata vengono prodotte molte particelle secondarie e queste aloro volta possono fare nuove interazioni e moltiplicare il numero di secondari. Lagrandezza che caratterizza la produzione di questi sciami di particelle e la lunghezzadi interazione nucleare

λint =1

nσnucl=

A

Nρ

1

πR2oA

2/3' 34 g cm−2 × A1/3

ρ

Per Azoto e una densita media dell’atmosfera ρ ' 2 10−4 g cm−3 si ha λint ' 4 kmmolto minore dello spessore dell’atmosfera terrestre. Quindi tutti i raggi cosmiciprimari producono interazioni nell’atmosfera.

3.1.2 Raggi cosmici primari

Lo studio di questi sciami atmosferici estesi a livello del mare e in quota permettedi avere informazioni sull’energia, sulla direzione e sul tipo di particella primaria.In anni piu ecenti sono stati fatti anche esperimenti su satelliti e su sonde spazialiper studiare direttamente i raggi cosmici primari. L’energia si estende su un enormeintervallo da 108 eV a circa 1020 eV che costituisce l’attuale limite di sensibilitadelle misure. A bassa energia, E < 109 eV , la distribuzione angolare e di energia efortemente influenzata dalla radiazione solare e dal campo magnetico terrestre. Perenergie maggiori la distribuzione angolare e approssimativamente isotropa.

Il flusso di raggi cosmici che investe l’atmosfera e circa 1000 cm−2 s−1. Il flusso(Fig. 3.2) diminuisce rapidamente con l’energia seguendo una legge di potenza, Φ ∝E−γ, con γ = 2.7 nell’intervallo E = 1010 ÷ 3 1015 eV e γ = 3.0 nell’intervalloE = 3 1015 ÷ 3 1018 eV . Il punto E = 3 1015 eV e chiamato ginocchio (knee).Per E > 3 1018 eV , chiamato caviglia (ankle), il valore dell’esponente diminuisceleggermente.

Per energia minore di 1015 eV il flusso e sufficientemente elevato per studiare lacomposizione dei raggi cosmici. Si e osservato che questi sono costituiti per il 98%da nuclei (85% protoni, 12% particelle α, 1% nuclei piu pesanti) e solo per il 2% daelettroni. L’abbondanza relativa di elementi osservata nei raggi cosmici riproduceapprossimativamente quella osservata nel sistema solare, ma c’e un eccesso di nucleicon massa maggiore dell’Elio. Questo fa ritenere che le sorgenti di raggi cosmici inquesto intervallo di energia siano connesse a esplosioni di stelle che hanno completatola nucleosintesi degli elementi. Nei raggi cosmici primari non si osservano positroni,ne antiprotoni, ne antiparticelle α: la radiazione cosmica primaria non contieneantimateria.

Le informazioni sullo spettro di energia e sulla distribuzione angolare permettedi fare ipotesi sulle sorgenti, sui meccanismi di accelerazione e sulla propagazione deiraggi cosmici nello spazio. Si ritiene che le sorgenti di raggi cosmici che produconol’andamento a potenza fino alla regione della caviglia sia all’interno della Galassia,mentre per spiegare lo spettro di energia per E > 1019 eV e necessario ipotizzaresorgenti extragalattiche con potenza notevolmente superiore a quella di esplosioni

251

1 0-29

1 0-26

1 0-23

1 0-20

1 0-17

1 0-14

1 0-11

1 0-8

1 0-5

1 0-2

1 01

1 04

1 09 1 011 1 013 1 015 1 017 1 019 1 021

knee

ankle

energy (eV)

flu

x

(m

-2 s

-1 st

era

d-

1 G

eV

-1)

Figure 3.2: Flusso dei raggi cosmici primari

di supernovae. In questa regione di energia i campi magnetici nella Galassia, 〈B〉 '2 10−10 T , non sono sufficienti a deviare apprezzabilmente la traiettoria e quindi ladirezione con cui i raggi cosmici arrivano sulla Terra da informazioni sulla locazionedelle sorgenti. Informazioni si possono anche ottenere su tutto lo spettro studiandola distribuzione angolare di raggi γ e neutrini, ma le sezioni d’urto di interazionesono molto piu basse.

3.1.3 Raggi cosmici secondari

Il flusso di raggi cosmici secondari a livello del mare e circa 100 cm−2 s−1. I primiesperimenti erano fatti con camere a nebbia (cloud chamber, capitolo 1.5) in campomagnetico per misurare impulso e carica elettrica delle particelle (Fig. 3.3). Losviluppo di questo metodo sperimentale negli anni ’30 e dovuto essenzialmente aPatrick Blackett 2. All’interno del rivelatore era inserito un piccolo spessore dimateriale di densita elevata in modo da poter misurare la perdita di energia e quindideterminare la direzione delle particelle.

Con questa tecnica nel 1931 Carl Anderson 3 osservo la produzione di particelle dicarica elettrica positiva che non potevano essere identificate con protoni. Studiandoil percorso residuo di queste particelle nel rivelatore concluse che la massa e moltominore di quella del protone: quindi non si tratta di protoni: scoprı l’anti-elettronee confermo la teoria formulata da Dirac solo due anni prima.

Nel 1936 Carl Anderson e Seth Neddermeyer individuarono due diversi compor-


252

Figure 3.3: Traiettoria di una particella carica in camera a nebbia

tamenti dei raggi cosmici secondari

• una componente penetrante per cui la perdita di energia per ionizzazione eindipendente dall’energia;

• e una componente non penetrante per cui la perdita di energia e proporzionaleall’energia.

La componente non penetrante e originata da fotoni o elettroni che producono cas-cate elettrofotoniche (capitolo 1.4). La componente penetrante e invece costituitada particelle di carica elettrica sia positiva che negativa che non erano identificatene con elettroni ne con protoni e che avevano una massa intermedia me < m < mp.Per questa ragione queste particelle vennero chiamate mesoni (particelle di massaintermedia).

Pochi mesi dopo, Jabez Street e Edward Stevenson, misurando l’impulso ela perdita di energia di queste particelle, stimarono il valore della massa: m =(100÷ 200)me. Il mesone della componente penetrante dei raggi cosmici fu chiam-ato µ (muone). La massa e mµ = 106 MeV/c2. Si osservo che i muoni sonoparticelle instabili che decadono in elettroni e radiazione neutra che non era rivelatadagli strumenti, quindi non si tratta di raggi γ. Nel 1941 Franco Rasetti, e indipen-dentemente Bruno Rossi e Norris Nerenson misurando il ritardo tra il passaggio diun muone e l’emissione dell’elettrone, determinarono la vita media: τµ ' 2.2 10−6 s.Gli elettroni sono emessi con una distribuzione continua di energia come nel caso deldecadimento β dei nuclei e con valore massimo Emax ' mµ/2: quindi le particelleneutre sono almeno due e hanno massa molto minore della massa del muone. Se sitratta di due neutrini il muone deve essere un fermione. Se e un fermione, in basealla teoria di Dirac, esiste il corrispondente antifermione con la stessa massa e lastessa vita media. Il decadimento fu interpretato

µ± → e± ν ν

L’esistenza di particelle di massa m = 100÷200 MeV/c2 era prevista nel modellodi Yukawa come mediatori dell’interazione nucleare (capitolo 2.3), ma questi devonoessere bosoni. Nel 1946 Marcello Conversi, Ettore Pancini e Oreste Piccioni feceroun esperimento per misurare l’intensita dell’interazione dei mesoni. Osservarono che

253

i mesoni µ+ assorbiti in un materiale decadono senza interagire, mentre i mesoni µ−

vengono catturati dai nuclei e poi decadono. Studiando il comportamento in diversimateriali conclusero che il muone non e soggetto a interazioni nucleare e che quindinon e il mesone di Yukawa.

L’anno successivo studiando le interazioni di raggi cosmici ad alta quota in emul-sioni nucleari Cesar Lattes, Giuseppe Occhialini e Cecil Powell osservarono delleparticelle cariche che, arrivate a fine percorso nel rivelatore, decadono in una parti-cella carica che ha una lunghezza di traccia costante, cioe energia costante. Questaa sua volta, come la particella µ, decade in un elettrone. Quindi la nuova particella,chiamata mesone π, decade in una particella µ e una particella neutra non rivelata.Se questa e un neutrino, il bilancio energetico del decadimento

π → µ ν

fornisce una stima del valore della massa mπ ' 1.3 mµ. La particella π decade indue fermioni: e un bosone e quindi puo essere identificata con il mesone di Yukawa.Il mesone π e stato identificato in due stati di carica elettrica, π+ e π−, la massa e140 MeV/c2 e la vita media e τπ = 2.6 10−8 s. Il valore della vita media indica chesi tratta di un decadimento per interazione debole come nel caso del decadimentoµ→ eνν.

Le interazioni nucleari non dipendono dalla carica elettrica delle particelle e ilmodello di Yukawa prevedeva l’esistenza di mesoni in tre stati di carica elettrica.Quindi nell’interazione dei raggi cosmici primari si producono mesoni π−, π0, π+

con uguale abbondanza. Subito dopo la scoperta del mesone π± Robert Oppen-heimer propose che la componente non penetrante dei raggi cosmici fosse originatadal decadimento del mesone neutro, π0 → γγ. I raggi γ interagendo con i nu-clei dell’atmosfera originano a loro volta cascate elettrofotoniche costituite da moltielettroni, positroni e fotoni. Questo decadimento avviene per interazione elettro-magnetica, quindi con vita media molto piu breve del decadimento π → µν.

Il mesone π0 fu osservato nel 1950 in uno dei primi esperimenti fatti con fascisecondari presso un acceleratore di protoni (capitolo 1.3). Il fascio primario inter-agendo su un bersaglio produce mesoni e i mesoni carichi possono essere guidaticon campi magnetici su altri bersagli. La sezione d’urto di reazione e quella tipicadell’interazione nucleare, σ ' π(R+ h/p∗)2, dove R e il raggio del nucleo bersaglio ep∗ e l’impulso nel centro di massa della reazione. Nell’interazione di mesoni di bassaenergia su nuclei fu osservata la produzione di fotoni con energia ≈ 70 MeV che fuintepretata

π+ N → π0 X π0 → γ γ

La misura dell’energia e della direzione dei due fotoni permette di ricostruire la massadalla relazione m2 = 2E1E2(1− cos θ). Il valore misurato e mπ0 = 135 MeV/c2. Lavita media e τπ0 = 0.84 10−16 s.

254

3.1.4 I mesoni π

Il muone e un fermione di spin 1/2 e ha le stesse caratteristiche dell’elettrone. Esoggetto solo ad interazione elettromagnetica e debole. Il neutrino e anch’esso unfermione di spin 1/2 soggetto solo all’interazione debole. Le particelle che non sonosoggette a interazione nucleare, l’elettrone, il muone e il neutrino, sono chiamatileptoni (particelle di massa piccola). I leptoni sono particelle elementari, cioe nonhanno una struttura interna, e soddisfano l’equazione di Dirac. L’elettrone e perconvenzione un fermione e il positrone il corrispondente antifermione. Per la con-servazione del numero fermionico e della carica elettrica µ− e un fermione e µ+ unantifermione. Come verra mostrato nel seguito i due neutrini prodotti nel decadi-mento del leptone µ sono distinguibili, uno e associato all’elettrone e l’altro al muone.Quindi il decadimento dei due stati coniugati di carica e

µ+ → νµ e+ νe µ− → νµ e

− νe

I mesoni π, chiamati pioni, sono invece bosoni, sono soggetti oltre alle interazionielettromagnetica e debole anche all’interazione nucleare e non sono particelle ele-mentari, ma hanno una estensione spaziale finita e una struttura interna. I numeriquantici dei mesoni π sono definiti dalle leggi di conservazione. Facciamo alcuni es-empi, che hanno per lo piu interesse storico, di reazioni con cui sono stati determinatii numeri quantici.

Spin

La simmetria dell’interazione nucleare per inversione temporale definisce una re-lazione tra le sezioni d’urto π+d→ pp e pp→ π+d (capitolo 2.8) qui d e il nucleo dideuterio che e uno stato spinparita‘ = 1+)

dσ

dΩ

(π+d→ pp

)= costante× |〈pp|H|π+d〉|2(2sp + 1)2 p2

p

vπdvpp

dσ

dΩ

(pp→ π+d

)= costante× |〈π+d|H|pp〉|2(2sd + 1)(2sπ + 1)

p2π

vπdvpp

Misure delle due sezioni d’urto sono state effettuate a valori simili dell’energia totalenel centro di massa, E∗ ' 2040 MeV . Integrando sull’angolo Ω, tenendo conto chei due protoni nello stato finale sono indistinguibili, si ottiene

σ(pp→ π+d)

σ(π+d→ pp)=

(2sπ + 1)(2sd + 1)

(2sp + 1)2/2

p2π

p2p

=3

2(2sπ + 1)

p2π

p2p

I risultati delle misure sono

Kp = 340 MeV pcm = 400 MeV σ(pp→ π+d) = 0.18 mbKπ = 24 MeV pcm = 80 MeV σ(π+d→ pp) = 3.1 mb

da cui otteniamo 2sπ + 1 ' 1 e si conclude che il pione carico ha spin zero.

255

Il pione neutro decade π0 → γγ in uno stato di due bosoni identici, il momentoangolare dello stato finale e pari : sπ = 0, 2, . . .. Inoltre la simmetrai dell’sospindell’interazione nucleare richiede che vengano prodotti mesoni neutri con la stessamolteplicita 2sπ + 1 dei mesoni carichi, quindi e escluso che sia s ≥ 2 e si concludeche anche il mesone π0 ha spin zero.

Parita

Per un bosone si puo definire la parita intrinseca studiando reazioni in cui si conservala parita, cioe nelle interazioni elettromagnetiche e nucleari. A bassa energia, pπ → 0,la reazione π−d→ nn avviene per cattura del pione in uno stato di momento angolareorbitale ` = 0, (onda S). La reazione π−d→ nnπ0 e energeticamente possibile ancheper pπ → 0 ma si osserva solo a energia maggiore di circa 100 MeV .

Nella prima reazione il momento angolare totale e ~J = ~sπ + ~sd + ~= ~sd = 1. Laparita nello stato iniziale e finale e

P (π−d) = PπPd(−1)` = Pπ P (nn) = P 2n(−1)L = (−1)L

Lo stato finale e costituito da due fermioni identici ed e antisimmetrico rispetto alloscambio n ↔ n. Lo stato di singoletto (⇑⇓, S = 0) e antisimmetrico, quindi deveessere L = pari, ma questo non e possibile perche non conserva il momento angolare~J = ~S + ~L 6= 1. Lo stato di tripletto (⇑⇑, S = 1) e simmetrico, quindi deve essereL = dispari. Ne consegue che il pione carico ha parita negativa: Pπ = −1.

Consideriamo lo stato finale nnπ0 in cui L0 e il momento angolare orbitale delmesone rispetto al centro di massa nn. A bassa energia, quando le particelle nellostato finale hanno impulso p ≈ 0, si ha L0 = 0. Se Pπ0 = Pπ± le parita dello statoiniziale e finale sono diverse

Pi = Pπ± Pf = (−1)L(−1)L0Pπ0 = −Pπ0

La reazione puo avvenire solo a energia sufficientemente elevata per cui si ha ` 6= 0oppure L0 6= 0. Quindi il mesone π0 ha la stessa parita del mesone π±.

Il mesone π e uno stato spinparita‘ = 0− ed e chiamato mesone pseudo-scalare.

Coniugazione di carica

Dai decadimenti π+ → µ+νµ, π− → µ−νµ, osserviamo che gli stati π+ e π− sono unoil coniugato di carica dell’altro: C|π+〉 = α|π−〉, C|π−〉 = α|π+〉, con |α|2 = 1. Ilmesone neutro ha carica elettrica nulla, momento magnetico nullo, numero fermion-ico nullo, quindi e un autostato della coniugazione di carica. L’interazione elettro-magnetica conserva la coniugazione di carica e il decadimento π0 → γγ permette didefinire l’autovalore

C|γ〉 = −|γ〉 ⇒ C|π0〉 = (−1)2|π0〉 = +|π0〉Ne consegue che il decadimento π0 → γγγ in uno stato con C = (−1)3 = −1 none permesso dalla conservazione della coniugazione di carica. Il limite sperimentalesulla probabilita di decadimento e 3 10−8.

256

Isospin

L’operatore di isospin e stato introdotto nel capitolo 2.8 per rappresentare con unalegge di simmetria l’indipendenza delle interazioni nucleari dallo stato di carica elet-trica: la hamiltoniana e invariante per rotazioni nello spazio dell’isospin. Protone eneutrone sono due autostati di isospin I = 1/2 della stessa particella, il nucleone.La terza componente dell’isospin I3 e legata alla carica elettrica e al peso atomicodalla relazione

Q =A

2+ I3

Il numero A di nucleoni (fermioni) si conserva. Questo non e necessario per i mesoni(bosoni). Il nucleone e anche chiamato barione (particella pesante). Per estenderela relazione ai mesoni definiamo il numero barionico

• A = +1 per i barioni;

• A = 0 per i mesoni.

Il mesone π esiste in tre stati di carica: e un multipletto di isospin con molteplicita2I + 1 = 3, quindi Iπ = 1. La terza componente dell’isopsin e I3 = Q.

nucleone I = 1/2 n = |1/2,−1/2〉 p = |1/2,+1/2〉pione I = 1 π− = |1,−1〉 π0 = |1, 0〉 π+ = |1,+1〉

Le interazioni nucleari hanno intensita molto maggiore delle altre e per questo sonoanche chiamate interazioni forti o interazioni adroniche (dal greco αδρoς = forte).Barioni e mesoni sono chiamati adroni.

Possiamo quindi fare una prima classificazione delle particelle in base alle definizionefatte

fermioni fermioni bosoniνe νµ p νe νµ π+

e− µ− n e+ µ+ γ π0

π−

Gli adroni sono soggetti all’interazione debole, elettromagnetica e adronica; i leptonicarichi all’interazione debole e elettromagnetica; i neutrini solo all’interazione debolee i fotoni solo all’interazione elettromagnetica.

interazione debole elettromagnetica adronicafermioni νe νµ

√e− µ−

√ √barioni

√ √ √

bosoni fotone√

mesoni√ √ √

257

3.1.5 Le particelle strane

Le particelle strane furono osservate nel 1947 nelle interazioni dei raggi cosmici incamera a nebbia con campo magnetico. Furono cosı chiamate per il loro comporta-mento bizzarro. Infatti sono prodotte con sezioni d’urto grandi, tipiche dell’interazioneadronica, e decadono in mesoni π e in nucleoni che sono particelle adroniche, macon vite medie tipiche dei decadimenti deboli τ ' 10−10 s (cτ ' 3 cm). Inoltre inuna stessa interazione si osserva la produzione associata di due particelle strane.

La vita media e determinata misurando l’impulso delle particelle cariche e ilpercorso tra il punto di produzione e il punto di decadimento che ha valor medio

λ = βγcτ =p

mccτ

La massa delle nuove particelle e determinata dalla cinematica dei prodotti di decadi-mento facendo ipotesi sul valore della massa di questi, ad esempio mesoni π oppurenucleoni

m2 = m21 +m2

2 + 2E1E2 − 2~p1 · ~p2

Esempi di particelle strane e dei modi di decadimento sono

particella massa (MeV/c2) decadimento vita media (s)K± 494 K± → π±π0 1.24 10−8

K0 498 K0 → π−π+ 0.89 10−10

Λ0 1116 Λ0 → pπ− 2.63 10−10

La particella Λ decade in un barione e un mesone: e un barione (spin semi-intero), laparticella K decade in due mesoni: e un mesone (spin intero). Esempi di produzioneassociata di particelle strane in interazioni pione-nucleone sono

π−p→ K0Λ0 π−p→ K0K−pπ+n→ K+Λ0 π+n→ K+K−p

ma non si osserva π−n→ K−Λ0. Un’altra peculiarita osservata e:

probabilita di produzione di K+ probabilita di produzione di K−

probabilita di interazione di K+ probabilita di interazione di K−

Le stranezze delle particelle strane furono interpretate da Abraham Pais e MurrayGell-Mann con queste ipotesi

• le particelle strane sono caratterizzate da un nuovo numero quantico additivochiamato stranezza e indicato con S;

• la stranezza e nulla per le particelle note: leptoni, nucleoni e mesoni π;

• la stranezza si conserva nell’interazione adronica e nell’interazione elettromag-netica;

• la stranezza non si conserva nell’interazione debole.

258

In base a queste ipotesi, poiche lo stato iniziale delle reazioni di produzione hastranezza nulla, si conclude che• K0 e Λ0 hanno stranezza opposta;• K0 e K− hanno stranezza opposta;• K+ e K0 hanno stranezza uguale;• K− e Λ0 hanno stranezza uguale.Come nel caso del nucleone e del mesone π esistono due stati di carica del mesone Kcon masse simili e che hanno lo stesso valore di stranezza. Invece il barione Λ esistein un solo stato di carica. Gell-Mann e Kazuhiko Nishijima proposero di estenderela relazione tra carica elettrica, numero barionico e isospin introducendo il numeroquantico ipercarica: Y = A+ S

legge di Gell-Mann Nishijima Q =Y

2+ I3 =

A+ S

2+ I3

• il barione Λ0 e un singoletto di isospin I = 0, I3 = 0 e ha numero barionicoA = +1, quindi Y (Λ) = 0, S(Λ) = −1;

• i mesoni K0, K+, hanno numero barionico nullo, Y (K) = S(K) = +1 ecostituiscono un doppietto di isospsin

K0 = |1/2,−1/2〉 K+ = |1/2,+1/2〉

• esiste un altro doppietto di isospin con Y (K) = S(K) = −1 ottenuto appli-cando la coniugazione di carica

C|K+〉 = α|K−〉 C|K0〉 = α|K0〉 |α|2 = 1

In interazioni pione-nucleone, oltre al barione Λ0, e stata osservata la produzione diun barione chiamato Σ che esiste in tre stati di carica

π−p→ K0Σ0 π−p→ K+Σ−

π+n→ K+Σ0 π+n→ K0Σ+ π+p→ K+Σ+

con valori di massa m(Σ+) = 1189, m(Σ0) = 1193, m(Σ−) = 1197 MeV/c2 emodi di decadimento

Σ+ → pπ0 Σ+ → nπ+ τ = 0.80 10−10 sΣ− → nπ− τ = 1.48 10−10 s

Il barione Σ e un triletto di isospin I = 1, I3 = −1, 0,+1, con numero barionicoA = +1: quindi Y (Σ) = 0, S(Σ) = −1

Σ− = |1,−1〉 Σ0 = |1, 0〉 Σ+ = |1,+1〉Poiche il tripletto Σ e il singoletto Λ hanno gli stessi numeri quantici, il barione Σ0

puo decadere per interazione elettromagnetica che conserva la stranezza. La prob-abilita di decadimento e molto maggiore dei modi di decadimento per interazionedebole

Σ0 → Λ0 γ τ = 7.4 10−20 s

I due barioni hanno la stessa parita: si tratta di una transizione di dipolo magnetico(capitolo 2.5).

259

Interazioni dei mesoni K

I mesoni K vengono prodotti nelle interazioni di fasci di protoni o mesoni π su nucle-oni e si possono utilizzare fasci di mesoni K± per produrre altre reazioni adronichein cui si conserva la stranezza, ad esempio

K+p→ K+pK+n→ K+n K0p

K−p→ K−p K0n π0Λ0 π+Σ− π0Σ0 π−Σ+

K−p→ K0Ξ0 K+Ξ−

K−n→ K−n π−Λ0 π0Σ−

K−n→ K0Ξ−

E evidente che i mesoni K− possono produrre molti piu stati finali che non i mesoniK+. In particolare nelle interazioni dei mesoni K− (S = −1) si possono produrremesoni K (S = +1) e due stati di un barione con stranezza S = −2, chiamato Ξ,che formano un doppietto di isospin I = 1/2, I3 = −1/2,+1/2. I barioni Ξ0 e Ξ−

decadono per interazione debole prevalentemente nel barione Λ0 e in un mesone π

barione massa (MeV/c2) decadimento vita media (s)Ξ0 1315 Ξ0 → Λ0π0 2.90 10−10

Ξ− 1321 Ξ− → Λ0π− 1.64 10−10

I barioni dotati di stranezza sono anche chiamati iperoni. La tabella mostra l’assegnazionedei numeri quantici ai mesoni e ai barioni in base alla legge di Gell-Mann e Nishijima

barioni 12

+A S Y I3 Q mesoni 0− A S Y I3 Q

p +1 0 +1 +1/2 +1 K+ 0 +1 +1 +1/2 +1n +1 0 +1 −1/2 0 K0 0 +1 +1 −1/2 0Λ0 +1 −1 0 0 0 η0 0 0 0 0 0Σ+ +1 −1 0 +1 +1 π+ 0 0 0 +1 +1Σ0 +1 −1 0 0 0 π0 0 0 0 0 0Σ− +1 −1 0 −1 −1 π− 0 0 0 −1 −1Ξ0 +1 −2 −1 +1/2 0 K0 0 −1 −1 +1/2 0Ξ− +1 −2 −1 −1/2 −1 K− 0 −1 −1 −1/2 −1

Si nota una completa simmetria dei vari stati degli adroni nelle variabili isospin eipercarica (Fig. 3.4): i mesoni e i barioni formano un ottetto e sono gli autostatidella Simmetria Speciale Unitaria in tre dimensioni SU(3) (appendice 4.12). Nellatabella e stato introdotto un nuovo mesone pseudoscalare η0 singoletto di isospin.

3.1.6 I mesoni K

Ogni particella decade in stati di massa piu piccola. La probabilita di decadimentoe definita dalla hamiltoniana di interazione e dallo spazio delle fasi. Per i mesoni di

260

-1 0

+1

0

Y

I3+1

-1

p

X-

n

S+S- SoLo

oX

barioni 1/2+

-1 0

+1

0

Y

I3+1

-1

K+

K-

Ko

Ko

p+p- poho

mesoni 0-

Figure 3.4: Rappresentazione degli stati dei barioni 12

+e dei mesoni 0− nelle variabili

I3 × Y

massa piu piccola, i mesoni π, i modi di decadimento sono

π0 → γγ 0.988 interazione elettromagneticaπ0 → e+e−γ 0.012 τ = 0.84 10−16 sπ0 → e+e− 6.5 10−8

π+ → µ+νµ 1.000 interazione deboleπ+ → e+νe 1.2 10−4 τ = 2.60 10−8 sπ+ → π0e+νe 1.0 10−8

I modi di decadimento dei mesoni K carichi e le probabilita di decadimento sono

K+ → µ+νµ 0.635 decadimentie+νe 1.6 10−5 leptoniciπ0e+νe 0.048 decadimentiπ0µ+νµ 0.032 semileptoniciπ+π0 0.212 decadimenti

π+π+π− 0.056 adroniciπ+π0π0 0.017

I decadimento dei mesoni K neutri sono trattati nel capitolo 3.3. I decadimentileptonici sono in tutto simili a quelli dei mesoni π. Questo indica che sono mesonipseudoscalari con spinparita‘ = 0−. I decadimenti semileptonici sono simili ai decadi-menti β dei nuclei. Inoltre i mesoni K possono decadere in stati adronici con due otre mesoni π.

Dato che i mesoni π hanno spin zero, nel decadimento K+ → π+π0 lo spin delmesone K e uguale al momento angolare orbitale Lππ. La parita del mesone K, sesi conserva nel decadimento, e

PK = P 2π (−1)Lππ

I possibili stati di spinparita‘ sono: 0+, 1−, 2+, . . ..

261

Nel decadimento K+ → π+π+π−, K+ → π+π0π0, chiamiamo L il momentoangolare orbitale dei due mesoni identici e ` il momento angolare del terzo mesonenel centro di massa dei primi due. Per la simmetria dei bosoni L e pari. Il momentoangolare totale e

~J = ~L+ ~ |L− `| ≤ J ≤ L+ `

La parita dello stato e: PK = P 3π (−1)L(−1)` = (−1)`+1. Le possibili combinazioni

sonoL = 0 0 0 0 2 2 2` = 0 1 2 . . . 0 1 . . .JP = 0− 1+ 2− 2− 1+2+3+

Lo stato di momento angolare J si puo determinare sperimentalmente. Infatti perun decadimento del tipo K → πππ la conservazione di energia, E1 + E2 + E3 = m,e impulso, ~p1 + ~p2 + ~p3 = 0, definisce due variabili indipendenti, ad esempio E1

E2. La densita dello spazio delle fasi d2n/dE1dE2 e uniforme (appendice 4.24). Laprobabilita di decadimento in funzione delle due variabili

d2Γ

dE1dE2

∝ |〈πππ|H|K〉|2 d2n

dE1dE2

e proporzionale al quadrato dell’elemento di matrice. Quindi si puo misurare ladipendenza dell’elemento di matrice dalle variabili cinematiche. Questo metododi analisi e stato proposto da Richard Dalitz nel 1955 per determinare gli stati dispinparita‘ del decadimentoK → πππ: il diagramma della probabilita di decadimentoin funzione delle due variabili indipendenti e chiamato diagramma di Dalitz.

In particolare, se il momento angolare totale e nullo non si ha alcuna direzionedefinita nello spazio e la densita nel diagramma di Dalitz e uniforme. Questo e statoosservato nel decadimento K → πππ per cui si e concluso che il mesone K ha spinzero. Quindi lo stato finale del decadimento K → πππ ha spinparita‘ = 0− mentrenel decadimento K → ππ ha spinparita‘ = 0+. Per alcuni anni il mesone K± e statoconsiderato come due particelle distinte (τ–θ puzzle) perche non era credibile che laparita non si conservasse nel decadimento. Ma era anche difficilmente credibile chedue particelle con la stessa massa e la stessa vita media potessero esistere in duestati diversi.

L’analisi fatta da Lee e Yang nel 1956 (capitolo 2.7) mostro che non esistevaalcuna evidenza sperimentale di conservazione della parita nelle interazioni deboli.Lee e Yang proposero alcuni esperimenti per mettere in luce eventuali effetti di vio-lazione della simmetria per parita. Il primo di questi esperimenti, il decadimento delnucleo di Cobalto polarizzato (capitolo 2.7) confermo che la parita non e conservatanell’interazione debole. Il secondo fu fatto pochi mesi dopo e mostro che la paritanon si conserva nel decadimento del mesone π± (capitolo 3.3).

Raggio dei mesoni

Protone e neutrone hanno una dimensione spaziale di 0.8÷ 0.9 fm che si puo deter-minare sia misurando i fattori di forma elettromagnetici, ad esempio con esperimenti

262

di scattering elastico elettrone-protone o elettrone-deuterio, sia misurando la sezioned’urto adronica protone-protone o neutrone-protone ad alta energia. Nel primo casosi misura la distribuzione di carica elettrica e di magnetizzazione, nel secondo ladistribuzione della materia adronica.

Poiche non si hanno bersagli di mesoni, per misurare il fattore di forma deimesoni π± e K±, si possono fare esperimenti di scattering elastico di fasci secondaridi mesoni su elettroni atomici, ad esempio usando un bersaglio di idrogeno o deuterioliquido. In questo caso, per distinguere le reazioni di interazione mesone-nucleo chesono molto piu probabili, occorre osservare l’elettrone emesso nello stato finale e mis-urarne le variabili cinematiche, energia e impulso. Nel riferimento in cui l’elettronee inizialmente in quiete si ha −q2 = 2EπE

′π − 2pπp

′π cos θ = 2meE

′e. La sezione

d’urto di scattering di particelle di spin zero, sezione d’urto di Mott (capitolo 1.7),e modificata per il fattore di forma elettrico

dσ

dΩ= r2

e

(mec2)2

4p2c2 sin4 θ/2

p′

pcos2 θ/2 |FE(q2)|2

Un fattore di forma del tipo FE(q2) = (1 + 〈r2〉q2/6)−1

riproduce bene i dati speri-mentali. Dai risultati si estrae il raggio quadratico medio dei mesoni

√〈r2π〉 = 0.66 fm

√〈r2K〉 = 0.58 fm

La misura della sezione d’urto totale di interazione di mesoni su protone ad altaenergia, σ(π±p) ' 23 mb, σ(K±p) ' 20 mb, interpretata con il modello di scatteringda un disco assorbente (capitolo 1.8), fornisce valori simili per il raggio dei mesoni.

3.1.7 Il mesone η

Nella tabella che mostra le proprieta degli adroni, per completare la simmetria,e stato introdotto il mesone η0 che e il singoletto di isospin con gli stessi numeriquantici del mesone π0. Il mesone η0 e stato osservato nel 1960 studiando la reazioneπ+d → π+π0π−pp in cui i tre mesoni π formano uno stato legato che decade convita media breve, tipica dell’interazione elettromagnetica

mη = 547 MeV/c2 τη = 0.51 10−18 s

I decadimenti piu probabili e le frazioni di decadimento sono

η0 → γγ 0.393π0π0π0 0.322π+π−π0 0.230

I numeri quantici del mesone η0 sono

• J = 0: dall’analisi del diagramma di Dalitz del decadimento η → πππ sideduce che lo spin e zero;

263

• P = -1: non si osserva il decadimento η → ππ: se ne deduce che la paritae negativa. Infatti due mesoni π in uno stato di momento angolare orbitaleL = 0 hanno parita positiva: P = P 2

π (−1)L = +1;

• C = +1: il mesone η0 e autostato della coniugazione di carica, il decadimentoη0 → γγ indica che l’autovalore e +1 (il decadimento η → γγγ non e mai statooseervato);

• I = 0: se fosse I 6= 0 il decadimento η → πππ avverrebbe per interazioneadronica con vita media molto piu breve di quella osservata.

Oltre al mesone η0 e stata osservata un’altra particella con gli stessi numeri quantici,spinparita‘ = 0−, chiamata η′. Ha massa 958 MeV/c2 e, come il mesone η0, decadecon vita media breve, τη′ = 3.3 10−21 s. Non si tratta di uno stato eccitato delmesone η0 perche non puo decadere ne η′ → η0γ (non esistono transizioni radiativespin zero → spin zero), ne η′ → η0π (non si conserva la parita). Il decadimento piufrequente e η′ → η0ππ.

3.1.8 Simmetria dell’isospin

Esistono gruppi di particelle soggette all’interazione adronica che hanno valori dimassa molto simili, ma valori diversi della carica elettrica. Poiche l’interazioneadronica e indipendente dalla carica elettrica le particelle dello stesso multiplettosono state identificate come una singola particella autostato dell’operatore di isospin~I con molteplicita 2I + 1 pari al numero di stati di carica. L’operatore di isospincosı definito ha le stesse proprieta di un generatore di rotazioni e commuta con lahamiltoniana dell’interazione adronica. Nell’interazione adronica si conserva sia ilmodulo dell’isospin che la componente I3.

Gli autovalori di isospin di un sistema di particelle si ottengono seguendo le leggidi composizione dei momenti angolari. Se due particelle hanno isospin |j1,m1〉,|j2,m2〉, i possibili stati di due particelle |J,M〉 con

|j1 − j2| ≤ J ≤ j1 + j2 M = m1 +m2

sono|J,M〉 =

∑

m1m2

〈j1,m1; j2,m2|J,M〉 · |j1,m1; j2,m2〉

i coefficienti di Clebsch-Gordan 〈j1,m1; j2,m2|J,M〉 sono calcolati nell’appendice 4.10per alcuni casi semplici.

Esempio 1

Le reazioni pp→ dπ+, np→ dπ0, hanno la stessa distribuzione angolare, ma sezioned’urto σ(pp→ dπ+) = 2 σ(np→ dπ0)

dσ

dΩ

(pp→ dπ+

)= costante× |〈dπ+|H|pp〉|2(2sd + 1)(2sπ + 1)

p2π

vppvπd

264

dσ

dΩ

(np→ dπ0

)= costante× |〈dπ0|H|np〉|2(2sd + 1)(2sπ + 1)

p2π

vnpvπd

Le masse delle particelle sono approsimativamente uguali e, per gli stessi valori dienergia, i fattori cinematici sono uguali. Quindi il rapporto tra le sezioni d’urtodipende solo dal rapporto tra gli elementi di matrice. Gli stati di isospin sono

p = |1/2,+1/2〉 n = |1/2,−1/2〉 d = |0, 0〉 π0 = |1, 0〉 π+ = |1,+1〉Gli stati combinati sono

pp = |1,+1〉 np = 1√2

(|1, 0〉 − |0, 0〉)dπ+ = |1,+1〉 dπ0 = |1, 0〉

Gli elementi di matrice tra gli autostati di isospin sono

〈dπ+|H|pp〉 = 〈1|H|1〉〈dπ0|H|np〉 =〈1|H|1〉 − 〈1|H|0〉√

2

ma 〈1|H|0〉 = 0 perche la hamiltoniana commuta con ~I, quindi

σ(pp→ dπ+)

σ(np→ dπ0)=|〈dπ+|H|pp〉|2|〈dπ0|H|np〉|2 = 2

Esempio 2

Le sezioni d’urto delle reazioni π+d→ pp, π−d→ nn, sono uguali perche

pp = π+d = |1,+1〉 nn = π−d = |1,−1〉

Esempio 3

Il mesone η0 e autostato di isospin |0, 0〉 e autostato di coniugazione di carica conautovalore C = +1 e decade con vita media molto piu lunga di quella tipica deidecadimenti per interazione adronica (capitolo 3.2):

• il decadimento η0 → ππ e vietato dalla conservazione della parita;

• il decadimento η0 → πππ viola la conservazione dell’isospin. Infatti l’isospindello stato πππ e

~Iπππ = ~Iππ + ~Iπ Iπ = 1

quindi per avere Iπππ = 0 deve essere Iππ = 1. I possibili stati Iππ sono

|1,+1〉 =π+π0 − π0π+

√2

|1, 0〉 =π+π− − π−π+

√2

|1,−1〉 =π0π− − π−π0

√2

tutti antisimmetrici per lo scambio π ↔ π. Quindi lo stato π+π0π− con I = 0ha coniugazione di carica C = −1. L’altra combinazione, lo stato π0π0π0, esimmetrica rispetto ad ogni scambio π0 ↔ π0 e non puo avere I = 0;

• il decadimento η0 → ππππ non avviene perche mη < 4mπ.

265

3.1.9 Gli antibarioni

I barioni, protone, neutrone e gli iperoni, sono fermioni di spin 1/2. In base allateoria di Dirac devono esistere i corrispondenti stati coniugati di carica, gli an-tibarioni, con numero fermionico, carica elettrica, momento magnetico e stranezzaopposti. La teoria e confermata dai leptoni: esiste il positrone (e+), il leptone µ+ el’antineutrino.

Per verificare la predizione di Dirac fu costruito nel 1955 un acceleratore di pro-toni che potesse raggiungere la soglia di produzione di antibarioni. Un antiprotonepuo essere prodotto in interazioni di protoni su nuclei con le reazioni pp → pppp,pn → pppn, che conservano il numero barionico e la carica elettrica, se l’energiacinetica del fascio e maggiore di 6mp = 5.6 GeV . In effetti l’energia puo essere leg-geremente minore se si tiene conto del moto di Fermi dei nucleoni legati nel nucleo.

La produzione dell’antiprotone e segnalata dalla presenza nello stato finale diuna particella di carica negativa e massa pari a quella del protone. A questa ener-gia, nell’interazione protone-nucleo vengono prodotti mesoni π− e mesoni K− conprobabilita molto maggiore, quindi e necessario selezionare particelle con massa mp

facendo misure sia di impulso che di velocita delle particelle prodotte. L’esperimentofu fatto utilizzando magneti curvanti per selezionare le particelle di carica negativae sia tecniche di tempo di volo che rivelatori Cerenkov (capitolo 1.4) per misurarnela velocita. Nel 1956 Owen Chamberlain, Emilio Segre 4 e collaboratori scoprironol’antiprotone.

Una volta scoperto il metodo per produrre un fascio secondario di antiprotoni,questo puo essere utilizzato per produrre altri antibarioni in reazioni di annichi-lazione pp→ barione antibarione. Nel 1957 Bruce Cork, Glen Lambertson e OrestePiccioni scoprirono in questo modo l’antineutrone. L’esperimento fu fatto osser-vando la scomparsa dell’antiprotone in un bersaglio che era anche rivelatore diionizzazione, questo era seguito da un rivelatore di veto che segnalava l’assenzadi ionizzazione (i neutroni non ionizzano) e da un terzo rivelatore capace di mis-urare l’energia totale rilasciata nella annichilazione dell’antineutrone prodotto nn,E = 2mn.

Con fasci di antiprotoni si possono produrre altri antibarioni. Ad esempio, Λ0 estato asservato nell’annichilazione di antiprotoni in camera a bolle (capitolo 1.5) aidrogeno liquido pp→ Λ0Λ0. Si osserva la traccia dell’antiprotone fino al punto in cuiavviene l’interazione e piu avanti le tracce dei prodotti di decadimento Λ0 → pπ+,Λ0 → pπ−. Il cammino delle particelle Λ, neutre e quindi non visibili nella cameraa bolle, e in media λ = (pΛ/mΛc)cτΛ, con cτΛ = 7.9 cm.

Con questo metodo sono stati scoperti gli altri antibarioni Σ,Ξ, . . .: per ogni bar-ione e stato osservato il corrispondente antibarione. Gli antibarioni hanno numerobarionico negativo, A = −1 per p, n,Λ0, . . .; A = −2 per l’antideutone; e decadononegli stati coniugati di carica dei corrispondenti barioni, ad esempio l’antineutronedecade β+, n→ pe+νe; Λ0 → pπ+ oppure Λ0 → nπ0; Σ0 → Λ0γ, . . . .


266

3.1.10 Risonanze adroniche

Barioni e mesoni sono soggetti a decadimenti elettromagnetici o deboli. Nelle inter-azioni adroniche si possono produrre degli stati eccitati che sono chiamati risonanze.Nel caso di atomi o nuclei si possono formare stati eccitati che decadono emettendofotoni, i bosoni del campo elettromagnetico. Allo stesso modo le risonanze adronichedecadono emettendo mesoni

γN → N∗e.m. → Nγ πN → N∗hadr → Nπ

La larghezza di una risonanza e tipicamente Γ ≈ mπc2 e a questa corrisponde una

vita media τ = h/mπc2 ≈ 10−23 s. In questo brevissimo intervallo di tempo il

cammino di decadimento e pari al raggio d’azione dell’interazione adronica cτ =hc/mπc

2 ≈ 1 fm. E chiaro che la vita media di una risonanza non si puo deter-minare ne con misure di tempo ne con misure di distanze. La larghezza si determinamisurando la curva di eccitazione della risonanza oppure misurando la massa in-variante delle particelle nello stato finale m2 = (ΣkPk)

2 con Pk = (~pk, Ek).Le risonanze possono essere stati eccitati barionici con spin semi-intero oppure

stati eccitati mesonici con numero barionico nullo e spin intero. Sono caratterizzatedai numeri quantici, carica elettrica, spin, isospin, parita e coniugazione di caricache si conservano nel decadimento per interazione adronica.

La risonanza ∆

La prima risonanza adronica fu ossevata da Fermi e Anderson nel 1949 studiando loscattering elastico di mesoni π+ da un bersaglio di idrogeno liquido (π+p → π+p).La dipendenza della sezione d’urto dall’energia si puo rappresentare come sviluppoin onde parziali (capitolo 1.8)

σ =πh2

p2cm

∑

`

(2`+ 1) |1− a`|2

pcm e l’impulso nel centro di massa della reazione e a` sono le ampiezze delle ondeparziali, a` = η`e

2iδ` . Per lo scattering elastico si ha η` = 1. Se si eccita unarisonanza di massa m che ha spin ~J la sezione d’urto ha un massimo per δJ = π/2 ela dipendenza dall’energia e caratterizzata dalla curva di eccitazione Breit-Wigner

σ(ab→ N∗J) =4πh2

p2cm

2J + 1

(2sa + 1)(2sb + 1)

(Γ/2)2

(Ecm −m)2 + (Γ/2)2

che ha il massimo per Ecm = m e larghezza a meta altezza pari a Γ.La sezione d’urto di scattering elastico π+p in funzione dell’impulso del pione e

mostrata in Fig. 3.5. Il valore di picco della sezione d’urto si ha per Eπ ' 330 MeVche corrisponde all’energia totale nel centro di massa m = (m2

π +m2p + 2mpEπ)1/2.

La risonanza ∆++ ha massa m∆ = 1232 MeV/c2 e larghezza Γ∆ ' 120 MeV .

267

0

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0

pion laboratory momentum (MeV/c)

pio

n+-p

ro

ton

cro

ss

secti

on

(mb

)

Figure 3.5: Sezione d’urto π+p→ π+p in funzione dell’impulso del mesone π+

Il picco della risonanza corrisponde al valore pcm = 230 MeV/c e il valore dipicco della sezione d’urto e σmax = 200 mb. Da questi valori si puo derivare lo spindella risonanza

σmax =4π(hc)2

(pcmc)2

2J + 1

2' 200 mb ⇒ 2J + 1 = 4 J = 3/2

Spin. Lo spin della risonanza si puo anche determinare dalla distribuzione angolaredel pione e del protone nel centro di massa della reazione. Il momento angolare e~J = ~sπ + ~sp + ~ (sπ = 0, ~ e il momento angolare orbitale). Consideriamo come

asse di quantizzazione la linea di volo π–p: il momento angolare ~ ha componentem = 0, quindi nello stato iniziale ~J ha componente M = 1/2.

• se ` = 0, l’ampiezza di scattering e proporzionale all’armonica sferica Y0,0(θ, φ) =1/√

4π = costante;

• se ` = 1, si puo avere J = 1/2 oppure J = 3/2; le combinazioni dei momentiangolari sono

J = 1/2 |1/2,+1/2〉 =√

2/3 Y1,1(θ, φ) |1/2,−1/2〉−√

1/3 Y1,0(θ, φ) |1/2,+1/2〉

= −√

1/4π sin θeiφ |1/2,−1/2〉 −√

1/4π cos θ |1/2,+1/2〉

J = 3/2 |3/2,+1/2〉 =√

1/3 Y1,1(θ, φ) |1/2,−1/2〉+√

2/3 Y1,0(θ, φ) |1/2,+1/2〉

= −√

1/8π sin θeiφ |1/2,−1/2〉+√

1/2π cos θ |1/2,+1/2〉

• per J = 1/2, |f(θ)|2 = (sin2 θ + cos2 θ)/4π = costante;

268

• per J = 3/2, |f(θ)|2 = (1 + 3 cos2 θ)/8π; i risultati sono in accordo con questaseconda ipotesi e quindi confermano che la risonanza ha spin 3/2.

Isospin. Poiche Iπ = 1 e IN = 1/2 le combinazioni π–N hanno isospin I = 1/2oppure I = 3/2. La risonanza ∆++ ha terza componente dell’isospin I3 = Q−A/2 =+3/2 e fa parte di un multipletto di stati risonanti π–N con isospin I = 3/2

|3/2,+3/2〉 = π+p ∆++

|3/2,+1/2〉 =√

1/3 π+n+√

2/3 π0p ∆+ |1/2,+1/2〉 =√

2/3 π+n−√

2/3 π0p

|3/2,−1/2〉 =√

2/3 π0n+√

1/3 π−p ∆0 |1/2,−1/2〉 =√

1/3 π0n−√

2/3 π−p

|3/2,−3/2〉 = π−n ∆−

Esistono quindi quattro stati con isospin I = 3/2 e spin J = 3/2 con massa ap-prossimativamente uguale; i modi e le frazioni di decadimento sono

∆++ → π+p 1∆+ → π0p 2/3 ∆+ → π+n 1/3∆0 → π0n 2/3 ∆0 → π−p 1/3∆− → π−n 1

Parita. Le risonanze ∆ sono stati legati π–N con momento angolare orbitale ` = 1:la parita e P∆ = PπPN(−1)` = +1.

3.1.11 Risonanze barioniche

p

p

+ p+

D++

p

p+

p

p+

p+

n

n

D+

Figure 3.6: Eccitazione e produzione della risonanza ∆

Una risonanza si puo osservare come eccitazione nello scattering elastico (esempioprecedente) oppure in formazione producendo uno stato finale con massa e numeriquantici definiti. La Fig. 3.6 mostra questi due modi per la risonanza ∆. Nel secondocaso, per individuare uno stato risonante occorre identificare le particelle prodottenel decadimento (o fare ipotesi sul valore della massa) e misurarne l’impulso inmodo da poter calcolare la massa invariante. Lo strumento utilizzato in questo tipodi esperimenti negli anni ’50 e ’60 e la camera a bolle (capitolo 1.5) e i metodidi analisi sono stati sviluppati da Luis Alvarez 5 e collaboratori. Nelle interazioni


269

di fasci di mesoni K− con bersagli di idrogeno o deuterio si producono risonanzebarioniche con stranezza S = −1 (Fig. 3.7)

K−p→ π−Σ∗+ K−p→ π0Σ∗0 K−p→ π+Σ∗−

La risonanza Σ∗ ha larghezza Γ ' 37 MeV . Le masse (in MeV/c2) e i modi didecadimento sono

Σ∗+(1382.8)→ Λ0π+ Σ∗0(1383.7)→ Λ0π0 Σ∗−(1387.2)→ Λ0π−

Lo spin, J = 3/2, si misura studiando la distribuzione angolare dei prodotti di

decadimento. L’isopin, ~IΣ = ~IΛ + ~Iπ, e IΣ = 1. Allo stesso modo, con fasci di mesoniK− si producono risonanze barioniche con stranezza S = −2 in associazione conmesoni K (S = +1)

K−p→ K0Ξ∗0 K−p→ K+Ξ∗−

La risonanza Ξ∗ ha numeri quantici J = 3/2, I = 1/2, ha larghezza Γ ' 9 MeV edecade

Ξ∗0(1531.8)→ Ξ−π+ oppure → Ξ0π0

Ξ∗−(1531.8)→ Ξ−π0 oppure → Ξ0π−

p

p

p+

n

S*

K

p

p

p+

K

LoLo

X*

X o

Figure 3.7: Esempi di produzione di risonanze barioniche con stranezza

Tutte queste risonanze hanno numero barionico A = +1, spin 3/2, parita posi-tiva. Gli altri numeri quantici sono

barioni 32

+S Y I3 Q

∆++ 0 +1 +3/2 +2∆+ 0 +1 +1/2 +1∆0 0 +1 −1/2 0∆− 0 +1 −3/2 −1Σ∗+ −1 0 +1 +1Σ∗0 −1 0 0 0Σ∗− −1 0 −1 −1Ξ∗0 −2 −1 +1/2 0Ξ∗− −2 −1 −1/2 −1Ω− −3 −2 0 −1

La rappresentazione delle risonanze barioniche nelle variabili I3 × Y e mostrata inFig. 3.8 dove e stato aggiunto il barione Ω−. L’esistenza di questa particella di

270

stranezza S = −3 e isospin I = 0, e il valore della massa, erano stati previsti daGell-Mann prima che fosse osservata. Si nota infatti una regolarita dei valori dellemasse

• le particelle nello stesso multipletto di isospin, allineate lungo l’asse I3, dif-feriscono per il valore della carica elettrica: la piccola perturbazione dovutaall’interazione elettromagnetica produce una differenza di massa di circa 1MeV ;

• le particelle con la stessa carica elettrica sono allineate lungo un asse inclinatoa 120 e hanno stranezza che differisce di una unita: la differenza di massa edi circa 150 MeV .

-1 0

+1

0

Y

I3+1

-1

p

X-

n

S+S- SoLo

oX

ottetto barioni 1/2+

-1 0

+1

0

Y

I3+1

-1

decupletto barioni 3/2+

-2

X*-

S*+S*- S*o

*oX

D- Do D+ D++

W- 1672.5

1535.0 1531.8

1387.2 1383.7 1382.8

1235 1233.5 1231.7 1230.8

massa (MeV)

Figure 3.8: Ottetto di barioni 1/2+ e decupletto di barioni 3/2+

In effetti Ω− non decade per interazione adronica, quindi non e una risonanza.Questo perche nell’ottetto dei barioni 1/2+ non esiste una particella con stranezzaS = −3 e nel decupletto 3/2+ la differenza di massa che corrisponde a ∆S = 1 eminore della massa del mesone K. Ω− non decade neppure per interazione elettro-magnetica che conserva la stranezza. Decade per interazione debole con cambio distranezza di una unita, come le altre particelle strane,

Ω− → Ξ0π− Ω− → Ξ−π0 Ω− → Λ0K− τ = 0.82 10−10 s

3.1.12 Risonanze mesoniche

In modo analogo si producono risonanze mesoniche con numero barionico A = 0 chedecadono in stati di due o piu mesoni pseudoscalari. L’analisi della distribuzioneangolare dei prodotti di decadimento indica che hanno spin J = 1 e per questosono chiamati mesoni vettori. Si possono quindi rappresentare come stati legati dimesoni di spin zero con momento angolare orbitale ` = 1 e hanno parita negativa:P = PaPb(−1)` = −1. La Fig. 3.9 mostra alcuni esempi di produzione di risonanzemesoniche.

• La risonanzaK∗ e uno stato π–K costituito da due doppietti di isospin I = 1/2.

271

p

p+

p p

fK

o

r

+

po

K+*

p

Kpo

p+

p

p+

po

+

K K

K+

K+

Lo

Figure 3.9: Esempi di produzione di risonanze mesoniche

• La risonanza ρ esiste in tre stati di carica con modi di decadimento

ρ+ → π+π0 ρ0 → π+π− ρ− → π0π−

e uno stato legato π–π tripletto di isospin, I = 1, gli autostati di isospin,ρ+ = |1,+1〉, ρ0 = |1, 0〉, ρ− = |1,−1〉, sono antisimmetrici per lo scambioπ ↔ π

ρ+ =π+ π0 − π0π+

√2

ρ0 =π+ π− − π−π+

√2

ρ− =π0 π− − π−π0

√2

Il decadimento ρ0 → π0π0 non avviene perche due bosoni identici non possonoesistere in uno stato antisimmetrico. Il mesone ρ0 e autostato di coniugazionedi carica con autovalore C = −1. Infatti la trasformazione di coniugazione dicarica π+π− → π−π+ corrisponde all’inversione delle coordinate spaziali e cioealla trasformazione di parita: C|π+π−〉 = (−1)`|π−π+〉 = −|π−π+〉.

• La risonanza ω e un singoletto di isospin con carica elettrica nulla. E unostato simmetrico dell’isospin e quindi non decade in uno stato π–π che e anti-simmetrico per lo scambio π ↔ π. Il modo di decadimento e ω → π+π0π−.

• Esiste un altro stato singoletto di isospin con massa maggiore di 2mK , larisonanza φ, che decade prevalentemente in stati K–K antisimmetrici rispettoallo scambio (i mesoni K hanno isospin 1/2), ad esempio

φ = |0, 0〉 =K+K− −K−K+

√2

Come ρ0, i mesoni vettori ω e φ sono autostati della coniugazione di carica conautovalore C = −1.

La massa e larghezza delle risonanze mesoniche 1− sono elencate nella tabella chesegue con i principali modi di decadimento

m (MeV/c2) Γ (MeV ) decadimentoK∗ 892 50 Kπρ 770 150 ππω 783 8.5 π+π0π−

φ 1019 4.3 K+K− K0K0 π+π0π−

272

I numeri quantici mostrano le stesse regolarita dei mesoni pseudoscalari

mesoni 1− S Y I3 QK∗+ +1 +1 +1/2 +1K∗0 +1 +1 −1/2 0ρ+ 0 0 +1 +1ρ0 0 0 0 0ρ− 0 0 −1 −1ω 0 0 0 0K∗0 −1 −1 +1/2 0K∗− −1 −1 −1/2 −1φ 0 0 0 0

La Fig. 3.10 mostra la rappresentazione dei numeri quantici dei mesoni pseudoscalarie dei mesoni vettori come un ottetto e un singoletto della simmetria SU(3).

-1 0

+1

0

Y

I3

+1

-1

K+

K-

Ko

Ko

p+p- poho

mesoni 0-

h'

ottetto singoletto

-1 0

+1

0

Y

I3

+1

-1

K*+

K*-

K*o

K*o

r+r- row

mesoni 1-

f

ottetto singoletto

Figure 3.10: Ottetto e singoletto dei mesoni pseudoscalari e vettori

3.2 Modello statico a quark

I numeri quantici delle particelle soggette a interazione adronica mostrano una in-teressante regolarita sia per i barioni (fermioni) che per i mesoni (bosoni). Questoordine deve quindi corrispondere a qualche legge di simmetria della hamiltoniana diinterazioni che e piu generale che non le leggi di conservazione delle singole grandezze:carica elettrica, isospin, ipercarica e numero barionico. Infatti queste grandezze sonolegate dalla relazione di Gell-Mann e Nishijima Q = Y/2 + I3.

Le particelle senza stranezza si possono costruire a partire dagli autostati diisospin 1/2 che corrispondono al protone e al neutrone e alle relative antiparticelle

p = |1/2,+1/2〉 p = |1/2,−1/2〉 n = |1/2,−1/2〉 n = |1/2,+1/2〉Con questi due stati si costruisce un tripletto e un singoletto con numero barioniconullo

|1,+1〉 = pn

|1, 0〉 = (pp+ nn)/√

2 |0, 0〉 = (pp− nn)/√

2|1,−1〉 = np

273

che corrispondono ai numeri quantici dei mesoni pseudoscalari π e η0, se si consideralo stato di due fermioni con momento angolare orbitale ` = 0 e spin opposti, oppureai mesoni vettori ρ e ω, nello stato di spin paralleli. In entrambe i casi la parita dellostato e negativa perche fermione e antifermione hanno parita opposta. In questoesempio e implicita l’invarianza della hamiltoniana di interazione per coniugazionedi carica. Questo e il primo tentativo, dovuto a Enrico Fermi e Shoichi Sakata, diriprodurre i numeri quantici dei mesoni.

3.2.1 Modello a quark

La simmetria degli stati di isospin 1/2 e chiamata SU(2) e i generatori della sim-metria sono le tre matrici di Pauli (moltiplicate per 1

2) di cui una e diagonale. Per

riprodurre anche i numeri quantici delle particelle strane, oltre alla conservazionedell’isospin occorre introdurre la conservazione della stranezza. Nella simmetriaSU(3) (appendice 4.12) i generatori sono otto e di questi due sono diagonali: uno eassociato alla terza componente dell’isospin e l’altro all’ipercarica. I generatori sonole matrici di Gell-Mann moltiplicate per 1

2

G1 =1

2

0 1 01 0 00 0 0

G2 =

1

2

0 −i 0i 0 00 0 0

G3 =

1

2

1 0 00 −1 00 0 0

G4 =1

2

0 0 10 0 01 0 0

G5 =

1

2

0 0 −i0 0 0i 0 0

G6 =1

2

0 0 00 0 10 1 0

G7 =

1

2

0 0 00 0 −i0 i 0

G8 =

1

2√

3

1 0 00 1 00 0 −2

Esiste una terza matrice diagonale, combinazione delle precedenti,

G2 =∑

k

G2k =

4

3

1 0 00 1 00 0 1

Gli autostati sono i vettori di base

u =

100

d =

010

s =

001

Se SU(3) e una simmetria dell’interazione adronica

• tutte le particelle a interazione adronica si rappresentano come combinazionedi questi stati;

274

• tutte le grandezze conservate sono operatori diagonali in questa rappresen-tazione.

G1, G2, G3 sono le componenti dell’operatore isospin

G3u = +1

2u G3d = −1

2d G3s = 0

u, d formano un doppietto di isospin 1/2, s e un singoletto. L’operatore stranezza

S =

0 0 00 0 00 0 −1

ha autovalori Su = 0, Sd = 0, Ss = −s. Gli autostati hanno gli stessi autovalori diprotone, neutrone e Λ0, che hanno numero barionico A = +1. L’operatore numerobarionico

A =∑

k

G2k − 1 =

1

3

1 0 00 1 00 0 1

ha autovalore A = +1 per la combinazione u + d + s. Gli operatori ipercarica ecarica elettrica sono

Y = A+ S =1

3

1 0 00 1 00 0 −2

Q = Y/2 +G3 =

1

3

2 0 00 −1 00 0 −1

Gli autovalori delle grandezze fisiche che si conservano sono

A I I3 S Y Qu +1/3 1/2 +1/2 0 +1/3 +2/3d +1/3 1/2 −1/2 0 +1/3 −1/3s +1/3 0 0 −1 −2/3 −1/3

I vettori di base sono chiamati quark. Il modello a quark basato sulla simmetriaSU(3) fu introdotto da Murrey Gell-Mann 6 e da George Zweig nel 1964. Per dareun significato fisico agli autostati di SU(3) occorre fare un’altra importante ipotesi:i quark sono fermioni di spin 1/2. Quindi secondo la teoria di Dirac esistono glistati coniugati di carica, gli antiquark. La trasformazione da uno stato all’altro e laconiugazione complessa e i generatori della simmetria degli antiquark si ottengonocon la trasformazione Gk → −G∗k. Gli elementi di matrice dei generatori diagonalihanno il segno opposto. Quindi gli autovalori degli antiquark hanno tutti segnoopposto dei corrispondenti quark

A I I3 S Y Qu −1/3 1/2 −1/2 0 −1/3 −2/3d −1/3 1/2 +1/2 0 −1/3 +1/3s −1/3 0 0 +1 +2/3 +1/3

I quark sono chiamati up, down e strange. I differenti tipi di quark sono detti sapori.La rappresentazione nel piano I3 × Y e mostrata in Fig. 3.11.


275

-1/2 +1/2

+1/3

-2/3

ud

s

Y

I3

-1/2 +1/2

+2/3

-1/3

u d

sY

I3

Figure 3.11: Rappresentazione grafica degli stati di quark e antiquark

3.2.2 Mesoni e barioni nel modello a quark

Le particelle adroniche sono rappresentate come combinazioni di quark e antiquark

• i mesoni sono costituiti da una coppia quark-antiquark q1q2: hanno spin interoe numero barionico nullo;

• i barioni sono costituiti da tre quark q1q2q3: hanno spin semi-intero e numerobarionico A = +1;

• gli antibarioni sono costituiti da tre antiquark q1q2q3: hanno spin semi-interoe numero barionico A = −1.

Le combinazioni si ottengono agendo sugli stati dei quark con gli operatori I± =G1 ± iG2, U± = G4 ± iG5, V ± = G6 ± iG7, analoghi agli operatori di salto deimomenti angolari, che aumentano e diminuiscono gli autovalori lungo i tre assi disimmetria, l’asse I3 e due assi inclinati a ±120.

Mesoni

Le combinazioni qq sono nove e formano un ottetto e un singoletto. Formalmentequesto si indica con il simbolo 3⊗3 = 8⊕1. La rappresentazione grafica e illustratain Fig. 3.12. I mesoni pseudoscalari hanno spin J = 0: quark e antiquark sono nello

3 3

8 1

Figure 3.12: Rappresentazione grafica dell’ottetto e del singoletto degli stati qq

stato di minima energia cinetica, con momento angolare orbitale ` = 0, e hanno spinopposti (⇑⇓). La corrispondenza tra i mesoni pseudoscalari e gli stati qq e

K+ = us K− = us π+ = udK0 = ds K0 = ds π+ = ud

276

Esistono tre stati con Q = 0, I3 = 0, Y = 0, per rappresentare i mesoni π0, η0,η′. Questi si rappresentano con combinazioni auuu + addd + asss, con ampiezzenormalizzate |au|2 + |ad|2 + |as|2 = 1. Uno di questi stati e il singoletto, simmetricoper scambio dei sapori: au = ad = as = 1/

√3. Gli altri due stati fanno parte

dell’ottetto e sono simmetrici per coniugazione di carica, C = +1, e antisimmetriciper scambio delle coordinate, P = −1, e degli spin, J = 0. Poiche lo stato di duefermioni identici deve essere antisimmetrico, la combinazione di uu e dd con isospinI = 1 (π0, simmetrica) e antisimmetrica per scambio dei sapori u ↔ d, mentrequelle con isospin I = 0 (η0, η′, antisimmetriche) sono simmetriche. Tenendo contoche i tre stati sono tra loro ortogonali, aua

′u + ada

′d + asa

′s = 0, si ottengono queste

combinazioni

π0 =uu− dd√

2η0 =

uu+ dd− 2ss√6

η′ =uu+ dd+ ss√

3

I mesoni vettori hanno spin J = 1: quark e antiquark hanno spin paralleli (⇑⇑). Larappresentazione come un ottetto e un singoletto di SU(3) e identica alla precedente.Va notato che i tre stati con Q = 0, I3 = 0, S = 0, sono ora antisimmetrici perconiugazione di carica, C = −1, ma simmetrici per scambio degli spin J = 1. Imesoni ρ0 e ω hanno masse simili ma decadono in stati 2π e 3π rispettivamente,mentre il mesone φ decade in stati di particelle strane KK; la rappresentazionenaturale di questi tre stati e

ρ0 =uu− dd√

2ω =

uu+ dd√2

φ = ss

L’ottetto dei mesoni e mostrato in Fig. 3.13.

-1 0

+1

0

Y

I3

+1

-1

usds

usds

udduuu

ss

dd

Figure 3.13: Costruzione grafica dell’ottetto dei mesoni

Barioni

I barioni sono combinazioni q1q2q3. Combinando due quark si ottiene 3⊗3 = 6⊕3.Combinando questi con il terzo quark (6⊗ 3 = 10⊕ 8, 3⊗ 3 = 8⊕ 1) si ottiene un

277

decupletto, due rappresentazioni equivalenti di ottetto e un singoletto

3⊗ 3⊗ 3 = 10⊕ 8⊕ 8⊕ 1

L’otteto rappresenta i barioni di spin 1/2. I tre quark hanno momento angolareorbitale ` = 0 e la somma degli spin J = 1/2 (⇑⇑⇓). Ci sono due stati uds, conQ = 0, I3 = 0, Y = 0: Σ0 e uno stato di isospin I = 1 simmetrico ed e simmetricoanche per lo scambio u ↔ d, mentre il singoletto di isospin Λ0 e antisimmetrico:Λ0 = (ud − du)s/

√2, Σ0 = (ud + du)s/

√2. Il decupletto rappresenta gli stati dei

barioni con spin 3/2. In questo caso i tre quark hanno spin paralleli (⇑⇑⇑). Ilsingoletto rappresenta un barione simile a Λ0 con spin 3/2 e massa 1520 MeV . Lacostruzione grafica dell’ottetto e del decupletto e mostrata in Fig. 3.14

-1/2

I3

+1/2

uuu

suu

uus

sdd

dds

duuuududdddu

-2

ddd

ssu

uss

ssd

dss

sss

dus sdu

usd

-3/2 +3/2-1 0

+1

0

Y

+1

-1

uu

ss

dd duud

su

us

sd

ds

3 3 6 3

Figure 3.14: Costruzione grafica dell’ottetto dei barioni 1/2+ e del decupletto deibarioni 3/2+: 3⊗ 3⊗ 3 = 10⊕ 8⊕ 8⊕ 1

Il decupletto di spin 3/2 (⇑⇑⇑) contiene tre stati che non sono presenti nell’ottettodei barioni 1/2+: ∆++ = uuu, ∆− = ddd, Ω− = sss. Questo e sorprendente perchequesti stati sono completamente simmetrici rispetto allo scambio di ogni coppia difermioni identici: una chiara violazione del principio di Pauli.

3.2.3 Momenti magnetici dei barioni

Nel modello a quark i barioni 1/2+ sono rappresentati da stati |q1 ⇑ q2 ⇑ q3 ⇓〉 intutte le possibili combinazioni di sapore e orientamento degli spin. Se j12 = 1 e lospin della coppia q1q2 e j3 = 1/2 lo spin del terzo quark, la combinazione dei trespin e

|J,M〉 = |1/2,+1/2〉 =√

2/3 |1,+1; 1/2,−1/2〉 −√

1/3 |1, 0; 1/2,+1/2〉

Ci sono due possibilita: quark uguali hanno spin paralleli, oppure quark ugualihanno spin opposti. La prima viola il principio di Pauli. Calcoliamo il momentomagnetico di protone e neutrone nei due casi con l’ipotesi che i quark siano fermioni

278

di Dirac con momento magnetico ~µq = g(Qeh/2mq)~s con g = 2 (Qe e la caricaelettrica).

µu = +2

3

eh

2mu

µd = −1

3

eh

2md

µs = −1

3

eh

2ms

Poiche gli adroni nello stesso multipletto di isospin hanno massa molto simile, fac-ciamo l’ipotesi che la massa dei quark u e d sia uguale: mu = md.

• Nel primo caso: |p〉 = |u ⇑ u ⇑ d ⇓〉, |n〉 = |d ⇑ d ⇑ u ⇓〉

µp = 〈p|µ|p〉 =2

3(2µu − µd) +

1

3µd =

4

3µu −

1

3µd = +

eh

2mu

µn = 〈n|µ|n〉 =2

3(2µd − µu) +

1

3µu = −1

3µu +

4

3µd = −2

3

eh

2mu

Ricordando i valori sperimentali, µp = +2.793µN , µn = −1.913µN , osserviamoche il modello da una previsione corretta del segno dei momenti magnetici edel loro rapporto.

• Nel secondo caso: |p〉 = |u ⇑ d ⇑ u ⇓〉, |n〉 = |d ⇑ u ⇑ d ⇓〉

µp =2

3(µu + µd − µu) +

1

3µu =

1

3µu +

2

3µd = 0

µn =2

3(µd + µu − µd) +

1

3µd =

2

3µu +

1

3µd = +

1

3

eh

2mu

la previsione del modello e chiaramente errata.

Quindi si ottiene di nuovo che il principio di Pauli e violato nelle configurazioni incui i quark formano i barioni. Questo risultato e confermato dalla previsione per imomenti magnetici degli iperoni

barione stato previsione misura (µN)Λ0 (u ⇑ d ⇓ − d ⇑ u ⇓)s ⇑ µs −0.613± 0.004Σ+ u ⇑ u ⇑ s ⇓ (4µu − µs)/3 +2.46± 0.01Σ− d ⇑ d ⇑ s ⇓ (4µd − µs)/3 −1.16± 0.03Ξ0 s ⇑ s ⇑ u ⇓ (4µs − µu)/3 −1.25± 0.01Ξ− s ⇑ s ⇑ d ⇓ (4µs − µd)/3 −0.651± 0.003Ω− s ⇑ s ⇑ s ⇑ 3µs −2.02± 0.05

Il barione Σ0, che e nello stato simmetrico rispetto allo scambio u↔ d, ha una vitamedia troppo breve per poter misurare il momento magnetico. L’elemento di matricedella transizione di dipolo magnetico Σ0 → Λ0γ si puo calcolare nel modello a quarke il risultato e in accordo con quello che si ottiene dalla misura della larghezza didecadimento.

279

Massa dei quark costituenti

Dal confronto tra la previsione del modello e i risultati sperimentali dei momentimagnetici dei barioni si puo dare una stima della massa dei quark

mu ≈ md ≈ 330 ms ≈ 500 MeV/c2

Questo valore deve essere inteso come la massa dei costituenti quando sono legatinegli stati adronici.

3.2.4 Le masse degli adroni

Se la simmetria SU(3) fosse esatta le masse degli adroni dello stesso multiplettoJP sarebbero uguali, invece sono piuttosto diverse. Se consideriamo come assi disimmetria la terza componente dell’isospin I3 e l’ipercarica Y possiamo esprimere lamassa come somma m0 + δmI + δmY . La differenza di massa di adroni dello stessomultipletto di isospin e associata al diverso stato di carica elettrica Q, e δmI e dipochi MeV . Questo suggerisce che la massa dei quark u e d sia approssimativamenteuguale, con md > mu perche si osserva che la massa dei barioni aumenta con ilnumero di quark d. La differenza di massa di adroni con ipercarica diversa e piugrande, δmY = 100÷200 MeV , e questo indica che la massa del quark s e maggiore:ms ∼ mu + δmY .

La differenza di massa di adroni nello stesso multipletto deve dipendere da quan-tita invarianti di SU(3), cioe il modulo dell’isospin e l’ipercarica, e si puo esprimerecome combinazione lineare di queste secondo la legge di Gell-Mann−Okubo

δm = m1Y +m2

[I(I + 1) + Y 2/4

]

Per analizzare la differenza di massa che dipende da Y e non dipende da Q convieneconsiderare come assi di simmetria la terza componente dell’U-spin U3 (ottenutoruotando l’asse I3 di 120) e la carica Q. In questa rappresentazione Y = Q/2 +U3.Il decupletto dei barioni 3/2+ e rappresentato in Fig. 3.8; la differenza di massa deimultipletti di U-spin e approssimativamente uguale

mΩ −mΞ∗ = mΞ∗ −mΣ∗ = mΣ∗ −m∆ ' 150 MeV

e questa osservazione e alla base della previsione di Gell-Mann dell’esistenza delbarione Ω− con massa ' 1670 MeV .

Per l’ottetto dei barioni 1/2+ (Fig. 3.15) occorre distinguere i due stati di singo-letto e di tripletto di U-spin. Questi si possono esprimere come combinazioni linearidegli stati di isospin Σ0 e Λ0: Σ0

U = aΣ0 + bΛ0, Λ0U = −bΣ0 + aΛ0:

• n, p formano un doppietto I = 1/2,

• Σ−, Σ0, Σ+ formano un tripletto I = 1 e Λ0 e il singoletto,

• p, Σ+ formano un doppietto U = 1/2,

280

Figure 3.15: Ottetto dei barioni 1/2+.

• n, Σ0U , Ξ0 formano un tripletto U = 1 e Λ0

U e il singoletto.

Utilizzando gli operatori di salto del momento angolare

J±|J, J3〉 = [J(J + 1)− J3(J3 ± 1)]1/2 |J, J3 ± 1〉

e tenendo conto che [I+, U−] = 0, si ha

• I+|n〉 = I+|1/2,−1/2〉 = |1/2,+1/2〉 = |p〉;

• U−I+|n〉 = U−|p〉 = U−|1/2,+1/2〉 = |1/2,−1/2〉 = |Σ+〉;

• U−|n〉 = U−|1,+1〉 =√

2|1, 0〉 =√

2Σ0U =√

2|aΣ0 + bΛ0〉;

• I+U−|n〉 = I+√

2|aΣ0 + bΛ0〉 =√

2aI+|1, 0〉 =√

2a√

2|1, 1〉 = 2a|Σ+〉

da cui si deduce a = 12, b = ±

√3

2, e quindi

Σ0U =

Σ0 +√

3Λ0

2Λ0U =

−√

3Σ0 + Λ0

2

Per la simmetria di U-spin: mΞ0 −mΣ0U

= mΣ0U−mn, ovvero

mΞ0 +mn

2=mΣ0 + 3mΛ0

4

I valori, 1127 e 1135 MeV, confermano la validita della legge di Gell-Mann−Okubo.Per applicare le stesse regole di simmetria ai mesoni, occorre notare che nella

equazione del moto (appendice 4.19) compare il quadrato della massa e non la massacome nel caso dei fermioni. Inoltre esistono tre mesoni combinazioni neutre qq dellostesso sapore. Mentre e evidente che π0 e ρ0 fanno parte dell’ottetto, non e ovvioquale degli altri due mesoni di isospin I = 0 assegnare all’ottetto e quale al singoletto.

281

Le masse dei mesoni pseudoscalari e dei mesoni vettori sono riportate nella tabellainsieme ai principali modi di decadimento

I m → BR I m → BRπ0 1 135.0 γγ 0.99 ρ0 1 775.8 π+π− 1.00η 0 547.7 γγ 0.39 ω 0 782.6 π+π0π− 0.89

π0π0π0 0.32 π0γ 0.09π+π0π− 0.23

η′ 0 957.8 ηπ+π− 0.44 φ 0 1019.4 K+K− 0.49ηπ0π0 0.21 K0K0 0.34ρ0γ 0.30 π+π0π− 0.15

Se applichiamo la formula precedente, la massa dello stato |0, 0〉 dell’ottetto e

m28P =

4m2K0 −m2

π0

3m2

8V =4m2

K∗0 −m2ρ0

3

i valori sono: m8P = 569 MeV 6= mη,mη′ ; m8V = 930 MeV 6= mω,mφ e quindinessuno dei due e uno stato di ottetto o singoletto. Invertendo l’argomento, pos-siamo utilizzare i valori di m8 per determinare la combinazione degli stati qq cherappresentano i mesoni. I mesoni ω e φ sono combinazioni lineari degli stati |0, 0〉1e |0, 0〉8

φ = cos θ|1〉+ sin θ|8〉 |1〉 = (uu+ dd+ ss)/√

3

ω = − sin θ|1〉+ cos θ|8〉 |8〉 = (uu+ dd− 2ss)/√

6

e analogamente per i mesoni η e η′. I valori delle masse sono

m2φ = m2

1 cos2 θ +m28 sin2 θ +m2

18 2 sin θ cos θm2ω = m2

1 sin2 θ +m28 cos2 θ −m2

18 2 sin θ cos θ0 = −m2

1 sin θ cos θ +m28 sin θ cos θ +m2

18(cos2 θ − sin2 θ)

e, risolvendo il sistema di equazioni, si ottiene

tan2 θP =m2

8 −m2η

m2η′ −m2

8

tan2 θV =m2

8 −m2ω

m2φ −m2

8

θP = −11, θV = −50 per i mesoni pseudoscalari e i mesoni vettori, per cui (conbuona approssimazione) la rappresentazione dei mesoni e

π0 η η′ ρ0 ω φuu−dd√

2uu+dd−ss√

3uu+dd+2ss√

6uu−dd√

2uu+dd√

2ss

Questo spiega la piccola differenza di massa ρ–ω e il motivo per cui il mesone φdecade prevalentemente in stati KK anche se il decadimento φ→ πππ ha un fattoredi spazio delle fasi molto maggiore.

282

Gli adroni rappresentati dalla stessa combinazione di quark appartenenti a mul-tipletti JP diversi hanno valori di massa diversi, ad esempio m∆+ 6= mp. Questoindica che la massa dipende dallo stato di spin dei quark. Nel caso dell’interazioneelettromagnetica, la differenza di energia dei livelli della struttura iperfina e originatadall’interazione tra i momenti magnetici (capitolo 1.7)

∆E =2

3~µ1 · ~µ2 |ψ(0)|2 =

8πα

3

~s1 · ~s2

m1m2

|ψ(0)|2

dove ψ(0) e il valore della funzione d’onda dello stato legato 1-2 a distanza r = 0e ~µ = 2 e

2m~s e il momento magnetico di un fermione di massa m. L’interazione tra

quark all’interno degli adroni puo essere rappresentata dal potenziale (capitolo 3.6)

Uqq(r) = −4αs3r

Uqqq(r) = −2αs3r

dove αs e la costante di accoppiamento dell’interazione adronica. Seguendo l’analogiasi ha

∆Emesone =32παs

9|ψm(0)|2 ~s1 · ~s2

m1m2

∆Ebarione =16παs

9|ψb(0)|2

∑

j<k

~sj · ~skmjmk

Quindi in generale possiamo esprimere la massa di mesoni e barioni

m(q1q2) = m1 +m2 + a~s1 · ~s2

m1m2

m(q1q2q3) = m1 +m2 +m3 + b∑

j<k

~sj · ~skmjmk

Il prodotto scalare degli spin si ottiene dalla relazione

~J 2 = (~s1 + ~s2 + ~s3)2 = s21 + s2

2 + s32 + 2(~s1 · ~s2 + ~s2 · ~s3 + ~s3 · ~s1)

J = 0 1 1/2 3/2∑~sj · ~sk = −3/4 +1/4 −3/4 +3/4

Facendo l’ipotesi aggiuntiva mu = md, si ha, per i mesoni:

π : mπ = 2mu − 34am2u

K : mK = mu +ms − 34

amums

η : uu+dd−ss√3

; mη = 43mu + 2

3ms − 1

2am2u− 1

4am2s

η′ : uu+dd+2ss√6

; mη′ = 23mu + 4

3ms − 1

4am2u− 1

2am2s

ρ ω : uu∓dd√2

; mρ+mω2

= 2mu + 14am2u

K∗ : mK∗ = mu +ms + 14

amums

φ : mφ = 2ms + 14am2s

283

per i barioni:

N : mN = 3mu − 34bm2u

Λ : lo stato e antisimmetrico per lo scambio u↔ d, quindi Jud = 0, ~su·~sd = −3/4,(~su + ~sd) · ~ss = 0; mΛ = 2mu +ms − 3

4bm2u

Σ : lo stato e simmetrico per lo scambio u↔ d, quindi Jud = 1, ~su · ~sd = +1/4,(~su + ~sd) · ~ss = −3/4− 1/4 = −1; mΣ = 2mu +ms + 1

4bm2u− b

mums

Ξ : analogo al precedente scambiando u↔ s; mΣ = mu + 2ms + 14bm2s− b

mums

∆ : nel caso di spin 3/2 ciascuna coppia di quark contribuisce con un termine+1/4, m∆ = 3mu + 3

4bm2u

Σ∗ : mΣ∗ = 2mu +ms + 14bm2u

+ 12

bmums

Ξ∗ : mΞ∗ = mu + 2ms + 14bm2s

+ 12

bmums

Ω : mΩ = 3ms + 34bm2s

I valori delle masse che si ottengono sono leggermente diversi nei due casi

mu (GeV ) ms (GeV ) GeV 3

mesoni 0.31 0.49 a = 0.060barioni 0.36 0.54 b = 0.026

I parametri a e b sono determinati dal valore di αs e dalla dimensione dell’adrone.Se assumiamo che la funzione d’onda soluzione del potenziale sia del tipo ψ(r) =

1√πR3

e−r/R (appendice 4.11) si ha

a =32αs

9

(hc)3

R3m

b =16αs

9

(hc)3

R3b

Introducendo i valori del raggio quadratico medio dei mesoni e dei barioni si haαs = 0.5÷ 1.

3.2.5 Colore dei quark

Il modello a quark riproduce i numeri quantici degli adroni assumendo che i quarkcostituenti siano fermioni di spin 1/2. Inoltre la previsione dei momenti magneticie basata sull’ipotesi che siano puntiformi. La verifica sperimentale di queste ipotesie presentata nel capitolo 3.4. Ma quark identici si trovano in uno stato simmetricorispetto allo scambio di coordinate, spin e sapore e questo non e possibile.

In effetti i quark sono caratterizzati da un’altro numero quantico: la carica adron-ica che e la sorgente del campo dell’interazione adronica. Questa carica e chiamatacolore. Per rendere antisimmetriche le combinazioni dei quark che corrispondono

284

agli stati degli adroni, occorre che ci siano tre colori: ciascun sapore di quark esistein tre stati di colore. Questi sono di solito indicati con rosso, blu e giallo R,B,G.La simmetria degli stati di colore e la stessa simmetria SU(3) (introdotta per glistati di sapore). I generatori della simmetria sono otto e corrispondono agli ottomodi con cui i colori dei quark possono interagire tra loro

RB BG GR (RR−BB)/√

2

BR GB RG (RR +BB − 2GG)/√

6

Oltre a questi esiste lo stato simmetrico, singoletto di colore, (RR+BB+GG)/√

3in cui le tre combinazioni incolori hanno lo stesso peso.

I colori dei quark sono le sorgenti dell’interazione adronica e l’interazione etrasmessa con otto campi bosonici chiamati gluoni. Il nome ha origine dalla naturadell’interazione: gli adroni interagiscono fortemente quando sono ”incollati”. Perspiegare perche nelle interazioni degli adroni non si osserva un’intensa radiazione dicolore si fa l’ipotesi che le particelle osservate siano sempre in uno stato incolore.Per gli stati dei mesoni, questo corrisponde alle combinazioni qR1 q

R2 , . . .. Gli stati dei

barioni sono rappresentati dalle combinazioni antisimmetriche ΣRBG εRBG qR1 qB2 q

G3

in cui sono presenti i tre colori.

Esempio: decadimento π0 → γγ

I quark sono dotati di carica elettrica e quindi sono anche autostati dell’interazioneelettromagnetica. Come verifica dell’esitenza di tre stati di colore consideriamo ildecadimento elettromagnetico del mesone π0. Lo stato iniziale e costituito dallacombinazione di coppie quark-antiquark: π0 = (uu− dd)/

√2. La transizione qq →

γγ (Fig. 3.16) e simile a quella del positronio (capitolo 1.6), ma occorre tener contodella carica frazionaria dei quark, del numero di stati di colore, Nc, e della funzioned’onda della coppia qq nel pione, fπ,

〈γγ|Hem|(uu− dd)/√

2〉 ∝ fπNc1√2

(4e2

9− e2

9

)

La larghezza di decadimento e quindi proporzionale al quadrato del numero di colori:Γ(π0 → γγ) ∝ |fπ|2N2

c α2/18. Il confronto con il valore misurato indica che il numero

di colori e Nc = 3.

Qe

Qe

q

q

g

g

p0

Figure 3.16: Decadimento π0 → γγ nel modello a quark

285

3.3 Interazioni deboli

Il modello a quark ha portato una notevole semplificazione nel panorama delle par-ticelle: gli adroni non sono particelle elementari ma sono costituiti da fermionidi spin 1/2 puntiformi, come i leptoni, ma dotati di una carica di colore sorgentedell’interazione adronica. L’interazione adronica avviene mediante lo scambio digluoni, bosoni di spin 1. I quark sono dotati di carica elettrica e quindi partecipanoanche all’interazione elettromagnetica. Gli adroni sono soggetti anche all’interazionedebole: esempi sono il decadimento β dei nuclei (capitolo 2.7), il decadimento delpione e delle particelle strane. In questi decadimenti sono emessi leptoni µ±, e±, ν,ν, e adroni quindi anch’essi soggetti all’interazione debole.

L’interazione debole e universale: coinvolge tutti i fermioni, quark e leptoni, e lacostante di accoppiamento e la stessa per quark e per leptoni: la costante universaledi Fermi con diversi pesi secondo il sapore dei quark.

3.3.1 Decadimento del muone

Nella teoria di Fermi la hamiltoniana di interazione e costruita con due correntifermioniche, J+ e J−, che si comportano come gli operatori dell’isospin G± = G1 ±iG2: cambiano la carica elettrica di una unita

G+u = 0 G+d = u G−u = d G−u = 0

l’interazione debole e quindi mediata da due bosoni dotati di carica elettrica, chia-mati W±, W per weak (capitolo 3.7).

Nel decadimento β−, AZX → A

Z+1Y e− νe, un neutrone del nucleo X si trasformain un protone del nucleo Y emettendo un bosone W− che produce la coppia leptone-antileptone e−νe. E analogamente per il decadimento β+. Lo stesso avviene con iquark, ad esempio nel decadimento del neutrone un quark d si trasforma in un quarku emettendo un bosone W−

n = udd→ ud uW− → udu e−νe = pe−νe

e analogamente per un protone legato in un nucleo. La vita media del decadimentoβ, derivata nel capitolo 2.7, e

h

τ=

G2

2π3|Mif |2

∫ pmax

0(. . .) dpe

dove Mif e l’elemento di matrice della transizione adronica e l’integrale, nel limitepmax mec, e proporzionale a p5

max (legge di Sargent). Le transizioni β, rappresen-tate in modo grafico in Fig. 3.17, sono simili al decadimento del muone. In questocaso sono coinvolti solo leptoni (Fig. 4.33) e il calcolo dell’elemento di matrice nonha incertezze dovute a effetti di interazione adronica. La probabilita di decadimentodel muone (appendice 4.24) e

d2Γ(µ±)

dEe d cos θ=

4π2 G2F

3(2π)5[(3mµ − 4Ee)∓ (mµ − 4Ee) cos θ]

1± he2

mµpeEe

286

u

d

d

u

d

u

n

e

d

u

u

d

u

d

n

e

e e

Figure 3.17: Decadimento β− del neutrone e decadimento β+ di un protone legatonel nucleo

dove θ e l’angolo tra lo spin del muone e l’impulso dell’elettrone e he = ~se · ~pe/sepee l’elicita dell’elettrone. I positroni sono emessi con elicita he+ = +1 e gli elettronicon elicita he− = −1. L’elettrone ha impulso massimo quando e emesso in direzione

n

e

n

em

e

nm

m

nm

e

Figure 3.18: Decadimento del muone

opposta ai due neutrini e poiche me mµ si ha Emax ' pmax ' mµ/2. Introducendola variabile adimensionale ε = Ee/Emax si ha

d2Γ(µ±)

dε d cos θ=G2F m5

µ

192π3[(3− 2ε)∓ (1− 2ε) cos θ] ε2

La distribuzione in energia dell’elettrone aumenta con ε ed e massima per ε = 1

dΓ

dε=G2F m5

µ

192π32 (3− 2ε) ε2

La distribuzione angolare mostra che l’elettrone [positrone] ha maggiore probabilitadi essere emesso nella direzione opposta [concorde] a quella dello spin del muone

dΓ(µ±)

d cos θ=G2F m5

µ

192π3

1

2

(1± cos θ

3

)

Nel limite β → 1 l’elicita si conserva in una interazione vettoriale o assialvettoriale(appendice 4.19) e questo fa in modo che l’elettrone sia emesso con impulso media-mente maggiore di quello dei neutrini e che la direzione di emissione sia correlata conquella dello spin del muone come illustrato in Fig. 3.19. La vita media del muonedipende solo dalla massa e dalla costante universale di Fermi GF ; questa e appuntodeterminata dalla misura di τµ

Γ(µ→ eνν) =h

τµ=G2F m5

µ

192π3⇒ GF = 1.166379± 0.00001× 10−5 GeV −2

287

e

nnm

e sm s s sn ne

q

10.50 +10-1e

G ed /d G qd /d cos

qcos

Figure 3.19: Decadimento µ− → νµe−νe: distribuzione dell’energia dell’elettrone e

correlazione tra le direzioni dell’impulso e dello spin del muone

Il valore di GF e leggermente maggiore di quello che si ottiene dallo studio deidecadimenti β dei nuclei: l’accoppiamento del campo debole con i leptoni non eesattamente uguale a quello con i quark (W+ → e+νe = W+ → µ+νµ 6= W+ → ud).

3.3.2 Il propagatore dell’interazione debole

Nella teoria di Fermi dell’interazione a contatto il propagatore e costante, ma questonon puo descrivere le interazioni deboli a energia elevata. Consideriamo lo scatter-ing elastico di neutrini da un bersaglio di elettroni νµe

− → µ−νe. Il quadratodell’energia totale s = (Pν + Pe)

2 e invariante. Nel riferimento del laboratorios = 2mec

2Eν . Nel centro di massa della reazione s = (2pc)2. A energia√s mec

2

il neutrino e l’elettrone hanno la stessa elicita e impulsi opposti, quindi lo statodi momento angolare totale e J = 0: la sezione d’urto non dipende dall’angolo discattering. La sezione d’urto e

dσ

dΩ=

1

c

2π

h|〈µν|Hw|νe〉|2

p2

8π3h3c

L’elemento di matrice e lo stesso che interviene nel decadimento del muone ed e unacostante, quindi la sezione d’urto aumenta con l’energia

σ(νµe− → µ−νe) =

G2(hc)2

πs

Ma la sezione d’urto non puo superare il limite di unitarieta definito dallo sviluppoin onde parziali (capitolo 1.8)

σ ≤ 4π(hc)2

(pc)2

∑

`

(2`+ 1)

Per un’interazione a contatto contribuisce solo lo stato ` = 0 e quindi si ha il vincoloG2s/π ≤ 16π/s , per cui il modello con interazione a contatto puo essere valido solo

per energie minori di√s =

√4π/G ≈ 103 GeV . Di qui la necessita di introdurre un

propagatore dell’interazione, ad esempio nella forma (1 + q2/M2)−1 (M e la massadel bosone mediatore dell’interazione), in modo che per valori dell’impulso trasferitoq > M la sezione d’urto diminuisca proporzionalmente a G2(1 + q2/M2)−2.

288

3.3.3 Decadimenti leptonici dei mesoni

I mesoni pseudoscalari decadono per interazione debole. La tabella indica i modi didecadimento con solo leptoni nello stato finale, le frazioni di decadimento e la vitamedia

∆S = 0 π+ → µ+νµ 1.00 π+ → e+νe 1.23 10−4 τ = 2.60 10−8 s∆S = 1 K+ → µ+νµ 0.635 K+ → e+νe 1.55 10−5 τ = 1.24 10−8 s

La stranezza non si conserva nell’interazione debole: esistono decadimenti con ∆S =0 e decadimenti con ∆S = 1. Poiche l’interazione e mediata da un bosone carico letransizioni tra quark sono

∆S = 0 u↔ d ∆S = 1 u↔ s

e non esistono transizioni deboli d ↔ s. (Fig. 3.20). Prendendo come esempio il

ud

s

Y

I3

u d

s

Y

I3

Figure 3.20: Transizioni deboli dei quark con ∆S = 0 e ∆S = 1

decadimento π+ → µ+νµ, la larghezza e

dΓ(π → µν) = costante× |〈µν|Hw|ud〉|2 p2 dp

dEdΩ

I mesoni π e K hanno spin zero e quindi la probabilita di decadimento non dipendedall’angolo di emissione. I mesoni hanno parita negativa e quindi l’operatore cheagisce nella hamiltoniana deve assorbire lo stato |0−〉 e l’elemento di matrice e di tipoassialvettoriale. I decadimenti leptonici dei mesoni pseudoscalari sono rappresentatiin Fig. 3.21. L’impulso del muone e del neutrino e p = (M2 − m2)/2M (M e la

d

u m

nm

p

s

u m

nm

K

Figure 3.21: Rappresentazione grafica dei decadimenti leptonici dei mesoni π e K

massa del mesone, m e la massa del leptone carico). Il fattore di spazio delle fasi e

p2 dp

dE=

(M2 −m2)2

4M2

M2 +m2

2M2

289

L’elemento di matrice dipende dalla costante di accoppiamento, e dalla funzioned’onda dei quark nel pione fπ. Inoltre occorre tener conto che in uno stato dimomento angolare totale J = 0 i leptoni sono emessi con la stessa elicita. Il neutrinoe un autostato di elicita hν = −1. La probabilita che il µ+ (antifermione) abbiaelicita negativa e

1− βµ2

=m2

M2 +m2

Quindi la larghezza di decadimento e proporzionale al quadrato della massa delleptone. Questo spiega perche i decadimenti in elettrone siano fortemente sop-pressi rispetto ai decadimenti in muone. Introducendo i vari fattori, la larghezza deidecadimenti leptonici dei mesoni pseudoscalari e

Γ(π → `ν) =G2d

8πf 2πmπ m

2`(1−m2

`/m2π)2 Γ(K → `ν) =

G2s

8πf 2KmK m

2`(1−m2

`/m2K)2

Nel primo caso (∆S = 0) si ha una transizione ud → W+ → `+ν: la costanteGd e quella del decadimento β dei nuclei. Nel secondo caso (∆S = 1) si ha unatransizione us → W+ → `+ν e la costante Gs non e necessariamente uguale a Gd.Il rapporto tra queste costanti si puo estrarre dai risultati sperimentali

Γ(K → µν)

Γ(π → µν)=BR(K → µν)

BR(π → µν)

τπτK

= 1.33 =G2s

G2d

f 2KmK

f 2πmπ

(1−m2µ/m

2K)2

(1−m2µ/m

2π)2

Il rapporto che si ottiene dai decadimenti leptonici dei mesoni pseudoscalari per letransizioni di tipo assiale e

|A(∆S = 1)|2|A(∆S = 0)|2 =

G2s

G2d

≈ 0.05

dove la maggiore incertezza deriva dalla conoscenza delle funzioni d’onda, chiamate(impropriamente) costanti di decadimento, fπ ' 130 MeV e fK ' 160 MeV .

Fasci di neutrini

I neutrini sono fermioni puntiformi soggetti solo all’interazione debole ed e quindidi grande interesse avere a disposizione intensi fasci di neutrini per studiarne leinterazioni su bersagli di nuclei o di elettroni. Il metodo di produrre fasci di neutrinie stato suggerito da Bruno Pontecorvo e Melvin Schwarz (Fig. 3.22).

Se si invia un fascio di protoni di alta energia su un bersaglio si producono mesoniπ± e K±. I mesoni emessi in avanti con impulso elevato si possono selezionare conun opportuno sistema magnetico, una lente magnetica, che ha il fuoco nel bersaglioe produce un fascio quasi parallelo di mesoni con carica elettrica positiva [negativa]e defocalizza quelli con carica negativa [positiva]. I mesoni decadono a valle delbersaglio: quelli di carica positiva producono neutrini νµ, quelli di carica negativaantineutrini νµ. Scegliendo la polarita dei magneti si selezionano νµ oppure νµ.

Il cammino di decadimento dei mesoni e λ = (p/mc)cτ , tipicamente di alcunecentinaia di metri. A valle del bersaglio si lascia un lungo spazio vuoto in cui gran

290

Figure 3.22: Fascio di neutrini νµ.

parte dei mesoni decadono. In questo canale di decadimento si propagano i neutrini,i muoni e i mesoni che non sono decaduti. A valle del canale di decadimento c’eun lungo assorbitore di materiale di elevata densita in cui i mesoni residui sonoassorbiti per interazione nucleare e i muoni perdono energia per ionizzazione. Ineutrini, soggetti solo ad interazione debole, lo attraversano indisturbati.

Consideriamo un mesone con impulso p e energia E (E ≈ p). Nel riferimentodel mesone l’impulso e l’energia del neutrino e del muone sono

p∗ =M2 −m2

2M= E∗ν E∗µ =

M2 +m2

2M

Il mesone ha spin zero e quindi la distribuzione angolare nel suo riferimento euniforme. Nel riferimento del laboratorio le componenti trasversa e longitudinaledell’impulso sono

pT = p∗ sin θ∗ pL = γp∗ cos θ∗ + βγE∗ =E

Mp∗ cos θ∗ +

p

ME∗

Tipicamente γ e molto grande e quindi pL pT . La distribuzione della componentelongitudinale e uniforme

dn

dpL=

dn

d cos θ∗d cos θ∗

dpL=

1

2γp∗= costante

Il valore minimo dell’energia del neutrino si ha quando e emesso all’indietro nelriferimento del mesone (cos θ∗ = −1) pmin = 0; il valore massimo quando e emessoin avanti (cos θ∗ = +1) pmax = (2p∗/M)p.

Se invece si vuole selezionare un fascio di muoni si riduce lo spessore dell’assorbitorein modo da eliminare solo i mesoni. Il valore minimo dell’impulso e pµmin = pνmax, e ilvalore massimo e pari all’impulso del mesone. Si possono realizzare fasci di muoni,µ+ oppure µ−, con energia molto maggiore dei fasci di elettroni perche questi per-dono energia per irraggiamento ed e piu difficile raggiungere energie elevate. Inoltrei fasci di muoni sono naturalmente polarizzati: un µ+ con impulso minimo ha elicitapositiva e con impulso massimo ha elicita negativa, e l’inverso avviene per un µ−.

291

Due diversi neutrini

Uno dei primi esperimenti con un fascio di neutrini fu fatto nel 1961 da Leon Le-derman, Melvin Schwartz e Jack Steinberger 7 e aveva lo scopo di verificare se idue neutrini emessi nel decadimento del muone fossero diversi. Se esiste un solotipo di neutrino, questo nell’interazione con i nuclei di un bersaglio puo produrrecon unguale probabilita sia elettroni che muoni: σ(νN → e−X) = σ(νN → µ−X).Se invece i due neutrini sono diversi, il fascio contiene essenzialmente neutrini νµperche i mesoni hanno bassa probabilita di decadere in elettroni. In questo caso sideve ossevare solo la produzione di muoni nello stato finale: νµN → µ−X. Questo equanto si e osservato nell’esperimento per cui si e concluso che esistono due distintefamiglie di leptoni e che il numero leptonico associato all’elettrone e al neutrino νesi conserva separatamente da quello associato al muone e al neutrino νµ.

leptoni

(νee−

) (νµµ−

)antileptoni

(νee+

) (νµµ+

)

3.3.4 La Parita non si conserva

La parita di uno stato non si conserva necessariamente nell’interazione debole.Questo fenomeno, osservato nel decadimento dei mesoni K±, e confermato dallostudio dei decadimenti β di nuclei polarizzati (capitolo 2.7). Un secondo esempio eil decadimento leptonico dei mesoni π e K, ad esempio π+ → µ+νµ (Fig. 3.23). Ilpione ha spin zero e quindi µ+ e νµ hanno la stessa elicita negativa (il neutrino eautostato dell’elicita con hν = −1)

p mn pm n

p mn pm n

P

C CP

Figure 3.23: Decadimento π+ → µ+νµ

• se si applica a questo stato la trasformazione di parita, gli spin rimangonoinvariati e gli impulsi cambiano direzione: si ottiene uno stato in cui µ+ e νµhanno elicita positiva, questo non e uno stato possibile;

• se si applica allo stato iniziale la trasformazione di coniugazione di carica,π+ → π−, µ+νµ → µ−νµ, si ottiene un antineutrino nello stato di elicitanegativa: anche questo non e uno stato possibile;


292

• se si applicano le due trasformazioni, parita × coniugazione di carica, si passadallo stato µ+νµ con elicita negativa allo stato µ−νµ con elicita positiva chesono i soli due stati possibili.

Quindi l’interazione debole non rispetta la simmetria per parita ne quella per coni-ugazione di carica, ma rispetta la simmetria CP.

Figure 3.24: Decadimento µ− → νµe−νe e µ+ → νµe

+νe

Lo stesso avviene per il decadimento del muone, µ− → νµe−νe (Fig. 3.24). La

probabilita di decadimento dipende da una quantita pseudoscalare, il prodotto ~sµ·~pe,che si inverte per trasformazione di parita. Se si ha un µ− polarizzato, l’elettrone eemesso preferenzialmente nella direzione opposta allo spin ~sµ. Applicando la trasfor-mazione P , ~sµ non cambia direzione ma ~pe si inverte: non si ha la configurazionedel decadimento di partenza. Applicando la trasformazione C, cambia il segno dellacarica elettrica e la direzione del campo magnetico, ma non la direzione di emis-sione del positrone: di nuovo non si ha una configurazione possibile. Applicando latrasformazione CP si ottiene il decadimento µ+ → νµe

+νe con il positrone emessopreferenzialmente nella direzione dello spin del µ+.

Questo e stato verificato sperimentalmente. Il primo esperimento fu fatto daRichard Garwin, Leon Lederman e Marcel Weinreich nel 1957 pochi mesi dopol’esperimento sul decadimento del 60Co polarizzato. Si usa un fascio di mesoni π+

di bassa energia e i pioni perdono tutta l’energia cinetica in un assorbitore di Carbo-nio ”C” prima di decadere (Fig. 3.25). La coincidenza temporale di due rivelatori,

pA D B

E

F

C

e

m

Figure 3.25: Decadimento π+ → µ+νµ, µ+ → νµe+νe: misura della correlazione tra

l’impulso del positrone e lo spin del muone

”A” e ”D”, posti lungo la direzione di volo dei π+ prima e dopo l’assorbitore segnala

293

che i µ+ sono emessi in avanti e quindi sono naturalmente polarizzati con elicitanegativa. I µ+ perdono l’energia cinetica e si arrestano in un secondo assorbitore,”B”, dove decadono µ+ → νµe

+νe. L’assorbitore e circondato da rivelatori, ”E” e”F”, che segnalano la direzione di emissione dei positroni. Tra questi rivelatori c’euno spessore di materiale e si possono selezionare i positroni con energia elevata,prossima al valore massimo Emax = mµ/2. Si osserva che questi sono emessi pref-erenzialmente nella direzione opposta a quella del fascio di π+, cioe nella direzionedello spin dei µ+. Quindi la direzione (e il modulo) dell’impulso del positrone, ~pe, ecorrelata con la direzione dello spin del muone ~sµ secondo la previsione della teoriaV –A dell’interazione debole.

Per verificare che l’interpretazione del risultato fosse corretta, il secondo assor-bitore fu immerso in un campo magnetico con direzione normale alla linea di volodei π+. In questo caso il momento della forza che agisce sul momento magnetico delmuone, ~µ × ~B, produce la precessione del momento magnetico ~µ = g e

2mµ~s attorno

alla direzione del campo e quindi anche la rotazione dell’impulso dell’elettrone conla stessa frequenza ω = gµeB/2mµ. Il risultato e che il numero di positroni rive-

lato ad un certo angolo nel piano normale a ~B e modulato dalla frequenza ω. Conquesto metodo fu fatta la prima misura del fattore giromagnetico del muone, gµ, efu dimostrato che e uguale a quello dell’elettrone, gµ ' 2.

Un altro esperimento suggerito da Lee e Yang per verificare la violazione dellaparita nell’interazione debole, anche in processi in cui non sono coinvolti neutrini, ela misura dell’asimmetria nella distribuzione angolare del decadimento del barioneΛ0. Nell’esperimento, eseguito nel 1957, i barioni Λ0 sono prodotti in interazionidi un fascio di mesoni π− di energia Eπ ' 1 GeV in camera a bolle e si misura ladistribuzione angolare del decadimento nel riferimento del Λ0

π−p→ Λ0K0 Λ0 → π−p

La figura 3.26 mostra lo schema della misura. La direzione del fascio e del Λ0

definiscono il piano di produzione, l’impulso nel centro di massa di Λ0 e K0 e pcm '250 MeV e Λ0 e prodotto con polarizzazione Pn nella direzione normale al piano diproduzione, n ‖ ~pfascio × ~pΛ. Gli impulsi di protone e π− definiscono il riferimentodel Λ0 e il piano di decadimento in questo riferimento. Nell’esperimento si misurala distribuzione dell’angolo di emissione del pione rispetto alla normale al piano diproduzione rappresentata con

dn

d cos θπ= 1 + α〈P 〉 cos θπ

dove 〈P 〉 e il valore medio della polarizzazione e α (−1< α <+1) misura la anisotropianel decadimento. Si osserva che la distribuzione non e isotropa, una chiara evidenzadi violazione della parita e che α〈P 〉 > 0, cioe π− e emesso prevalentemente nelladirezione di n e il protone nella direzione opposta.

Il barione Λ0 e rappresentato dallo stato antisimmetrico ud−du√2s e la direzione

dello spin del quark s e quella della polarizzazione Pn. Nella transizione s → uudil pione (ud) ha spin 0 e il fermione, il quark u che forma il protone, viene emessoprevalentemente nella direzione opposta a n.

294

π – p → Λ0 K0 Λ0 → π

– p

π –

Λ0

p

π –

θ

p

π –

p

production plane

Figure 3.26: Misura dell’asimmetria del decadimento Λ0 → π−p.

3.3.5 Decadimenti semileptonici

Decadimenti semileptonici dei mesoni

I mesoni π e K possono decadere in un adrone e una coppia elettrone-antineutrino,come avviene nel decadimento β. La tabella indica i modi possibili e le relativefrazioni di decadimento

∆S = 0 π+ → π0e+νe 1.0 10−8

∆S = 1 K+ → π0e+νe 0.048 K+ → π0µ+νµ 0.032

I mesoni nello stato iniziale e finale hanno spin zero: si tratta di una transizione diFermi 0− → 0− e quindi l’elemento di matrice e di tipo vettoriale. Nelle transizionicon ∆S 6= 0 cambia l’isospin e la carica elettrica dell’adrone

s→ u K− → π0e−νe ∆I = 1/2 ∆S = ∆Q = −1s→ u K+ → π0e+νe ∆I = 1/2 ∆S = ∆Q = +1

La rappresentazione dei decadimenti semileptonici dei mesoni e mostrata in Fig. 3.27.Nel caso del decadimento del mesone π si puo utilizzare l’approssimazione della leggedi Sargent con pmax ' ∆m = mπ+−mπ0 me. Nel secondo caso l’approssimazionecon pmax = (mK/2)(1 − m2

π/m2K) e meno accurata. Le larghezze di decadimento

sono

Γ(π+ → π0e+νe) ' 2G2d

2π3

∆m5

30Γ(K+ → π0e+νe) '

G2s

48π3

m5K(1−m2

π/m2K)5

32

Il valore misurato del rapporto tra le larghezze di decadimento e

Γ(K+ → π0e+νe)

Γ(π+ → π0e+νe)=BR(K+ → π0e+νe)

BR(π+ → π0e+νe)

τπτK

= 9.9 106

Da questo si ottiene che il rapporto tra le costanti di accoppiamento per le transizionidi tipo vettoriale e simile a quello per le transizioni di tipo assiale

|V (∆S = 1)|2|V (∆S = 0)|2 =

G2s

G2d

≈ 0.05

295

u

d

u

u

n

e

e

u

d

d

n

e

e

s

d

u

u

u

n

e

e

p po

po

K

Figure 3.27: Rappresentazione grafica dei decadimenti semileptonici π+ → π0e+νee K+ → π0e+νe

Decadimenti semileptonici dei barioni

Anche i barioni con stranezza decadono β come il neutrone. I grafici sono simili aquelli della Fig. 3.17. Esempi dei modi semileptonici con ∆S = 0 e ∆S = 1 e dellefrazioni di decadimento sono

∆m (MeV ) BR τ (s)∆S = 0 n→ pe−νe 1.29 1 887

Σ+ → Λ0e+νe 73.7 0.20 10−4 0.80 10−10

Σ− → Λ0e−νe 81.7 0.57 10−4 1.48 10−10

∆S = 1 Λ0 → pe−νe 177.4 8.32 10−4 2.63 10−10

Σ− → ne−νe 257.8 1.02 10−3 1.48 10−10

Ξ0 → Σ+e−νe 125.5 2.7 10−4 2.90 10−10

Ξ− → Λ0e−νe 205.6 5.63 10−4 1.64 10−10

Ξ− → Σ0e−νe 128.7 0.87 10−4 1.64 10−10

Gli antibarioni decadono allo stesso modo negli stati coniugati di carica, ad esempio:Σ+ → Λ0e−νe, Λ0 → pe+νe, . . . Esistono anche i decadimenti con muoni nello statofinale, ad esempio Λ0 → pµ−νµ, che confermano che gli accoppiamento dei doppiettidi leptoni (µ−, νµ), (e−, νe) sono identici. Le relazioni ∆I = 1/2, ∆Q = ∆S, sonovalide per tutti i decadimenti con ∆S = 1 osservati. Ad esempio, non si osservano idecadimenti Σ+ → ne+νe, Ξ0 → Σ−e+νe.

I barioni nello stato iniziale e finale sono 1/2+ e quindi l’elemento di matrice euna combinazione di transizioni vettoriali e assiali. Per questi decadimenti la legge diSargent e una buona approssimazione perche il barione nello stato finale assorbe unapiccola frazione dell’energia cinetica e ∆m me, per cui Γ ' (G2/2π3) (∆m5/30).Il rapporto tra le costanti di accoppiamento G(∆S = 1)/G(∆S = 0) si ottiene daidati della tabella. Ad esempio

Γ(Σ− → ne−νe)/∆m5Σn

Γ(Σ− → Λ0e−νe)/∆m5ΣΛ

' 0.05 ' G2s

G2d

Anche nel caso dei decadimenti semileptonici dei barioni si conferma che gli elementidi matrice delle transizioni ∆S = 1 e ∆S = 0 sono diversi e che il rapporto tra le

296

costanti di accoppiamento, G2s/G

2d ≈ 0.05 e lo stesso indipendentemente dal tipo di

transizione tra adroni: quindi deve riflettere una proprieta dei quark costituenti.

3.3.6 L’angolo di Cabibbo

L’analisi dei decadimenti semileptonici di mesoni e barioni fornisce un quadro co-erente con l’ipotesi che questi siano costituiti di quark. Inoltre sia i decadimentileptonici che quelli semileptonici mostrano che l’accoppiamento dei doppietti di lep-toni (e−, νe), (µ−, νµ), con il campo debole e lo stesso. I leptoni sono autostatidell’interazione debole e i quark sono autostati dell’interazione adronica. NicolaCabibbo nel 1964 mostro che i quark sono anche autostati dell’interazione debole.Se i leptoni e i quark sono le sorgenti dell’interazione debole

• l’accoppiamento degli elettroni al campo debole e proporzionale a una caricadebole, geν ;

• l’accoppiamento dei muoni e proporzionale a gµν e queste due cariche sonouguali: gµν = geν ;

• l’accoppiamento dei quark (u, d) genera le transizioni con ∆S = 0 ed e pro-porzionale a gud;

• l’accoppiamento dei quark (u, s) genera le transizioni con ∆S = 1 ed e pro-porzionale a gus.

Gli elementi di matrice delle transizioni che coinvolgono solo leptoni sono proporzion-ali alla costante di Fermi: 〈f |Hw|i〉 ∝ g2

`ν = GF . Gli elementi di matrice dei processisemileptonici sono

〈f |Hw|i〉∆S=0 ∝ geνgud = Gd 〈f |Hw|i〉∆S=1 ∝ geνgus = Gs

L’ipotesi di Cabibbo (Fig. 3.28) e che l’interazione debole sia universale, cioe che unsolo parametro, la costante universale di Fermi (che nel seguito e indicata con G),descriva l’accoppiamento del campo debole a leptoni e quark

G = g2eν = g2

ud + g2us ⇒ gud = geν cos θc gus = geν sin θc

Quindi i quark sono anche autostati dell’interazione debole se considerati come

e n m nme du su

g en g ud g usgmn

Figure 3.28: Accoppiamento debole dei leptoni (e−, νe), (µ−, νµ) e dei quark (u, d),(u, s)

un doppietto composto dal quark up con carica elettrica +2/3 e da un nuovo quark

297

down combinazione lineare dei quark con carica −1/3: d′ = d cos θc+s sin θc. Questocorrisponde ad una rotazione che conserva il modulo: l’intensita dell’accoppiamentodei quark con il campo debole e la stessa dei leptoni. (Il significato dell’altro stato”ruotato”, −d sin θc + s cos θc, sara chiarito piu avanti). L’angolo di rotazione echiamato angolo di Cabibbo e il suo valore e determinato dalla misure delle larghezzedi decadimento degli adroni

sin θc = 0.223± 0.001

Gli autostati dell’interazione debole si possono rappresentare con tre doppietti

leptoni

(νee−

) (νµµ−

)quark

(u

d cos θc + s sin θc

)

3.3.7 Decadimenti non leptonici

Le particelle strane decadono per interazione debole anche in stati che contengonosolo adroni, e a questo devono il loro nome. Nelle transizioni s↔ u, s↔ u, cambial’isospin, la stranezza e la carica elettrica dei quark e questo si riflette nelle relazioni

|∆I| = 1/2 ∆S = ∆Q

gia osservate per i decadimenti semileptonici. La costante di accoppiamento eG sin θc.

L’interazione debole non conserva l’isospin, ma produce uno stato con isospin~I = ~Ii + ∆~I. L’interazione adronica conserva l’isospin e quindi gli adroni nellostato finale hanno isospin |I, I3〉 e si formano con probabilita relative definite daicoefficienti di Clebsch-Gordan.

Esempio: decadimento Λ0 → pπ−, Λ0 → nπ0

La transizione con ∆S = 1 e Λ0 = uds → uduW− → uduud, questo e uno statopione-nucleone. Il barione Λ0 ha isospin IΛ = 0 e decade in uno stato con isospinI = 1/2. Lo stato pione-nucleone ha numero barionico A = +1, carica Q = 0 eterza componente dell’isospin I3 = Q − Y/2 = −1/2; ci sono due combinazioni:p(uud)π−(ud) e n(udd)π0(uu)

|1/2,−1/2〉 =√

1/3 |π0n〉 −√

2/3 |π−p〉La larghezza di decadimento e proporzionale alla costante di accoppiamento debole,al quadrato dell’elemento di matrice tra lo stato |1/2,−1/2〉 e lo stato adronico, eal fattore dello spazio delle fasi. Questo, per un decadimento in due particelle, eproporzionale all’impulso nel centro di massa (appendice 4.24)

Γ(Λ0 → pπ−) = costante × G2sin2θc |〈pπ−|1/2,−1/2〉|2 ppπ−Γ(Λ0 → nπ0) = costante × G2sin2θc |〈nπ0|1/2,−1/2〉|2 pnπ0

Per cui si ha Γ(Λ0 → nπ0)/Γ(Λ0 → pπ−) = pnπ0/2ppπ− ' 1/2. I valori sperimentalidelle frazioni di decadimento sono BR(Λ0 → nπ0) = 0.358, BR(Λ0 → pπ−) = 0.639.

298

Esempio: decadimento K0 → π+π−, K0 → π0π0

Allo stesso modo si ottiene un buon accordo con i valori sperimentali delle frazionidi decadimento K0 → ππ. Il mesone K ha isospin I = 1/2: lo stato ππ ha I = 0oppure I = 1 con terza componente I3 = Q−Y/2 = 0. Ma lo stato di due pioni conmomento angolare totale J = 0, simmetrico per lo scambio delle coordinate, deveessere anche simmetrico nello spazio dell’isospin; quindi Iππ = pari = 0. Lo stato|0, 0〉 ha pesi uguali per i tre stati ππ

|0, 0〉 =π+π− − π0π0 + π−π+

√3

⇒ Γ(K0 → π0π0)

Γ(K0 → π+π−)=

p00

2p+−' 1

2

I valori sperimentali delle frazioni di decadimento sono: BR(K0 → π0π0) = 0.307,BR(K0 → π+π−) = 0.692.

Esempio: decadimento dei barioni Σ

Le larghezze del decadimento adronico dei barioni Σ sono approssimativamenteuguali: Γ(Σ+ → pπ0) ' Γ(Σ+ → nπ+) ' Γ(Σ− → nπ−). Il barione Σ+ havita media τ+ = 0.80 10−10 s e frazioni di decadimento BR(Σ+ → pπ0) = 0.516,BR(Σ+ → nπ+) = 0.483. Il barione Σ− ha un solo modo di decadimento e quindivita media pari a circa il doppio, τ− = 1.48 10−10 s.

3.3.8 Decadimenti dei mesoni K neutri

I mesoni K0, K0, sono prodotti in interazioni adroniche che conservano la stranezza,ad esempio

π−p→ K0Λ0 π+p→ K0K+p

quindi sono distinguibili: e possibile conoscere se si e prodotto un K0 oppure un K0

osservando le particelle associate. Inoltre, una volta prodotti, e possibile distinguerliperche nelle interazioni con bersagli di nuclei producono particelle con stranezzaopposta e con sezioni d’urto diverse, σ(K0N) < σ(K0N) perche nel secondo casoesistono piu stati finali accessibili

K0p→ K0p K+n K0p→ K0p π+Λ0 π+Σ0 π0Σ+ . . .K0n→ K0n K0n→ K0n K−p π0Λ0 π0Σ0 π−Σ+ . . .

I mesoni K neutri decadono per interazione debole e seguono le stesse leggi osservateper i decadimenti degli altri mesoni e dei barioni. Possono decadere in stati ππoppure in stati πππ

K0

K0 → π+π− π0π0 K0

K0 → π+π0π− π0π0π0

e in effetti si osservano tutti questi decadimenti, ma i decadimenti nello stato ππavvengono con vita media (τShort) molto piu breve di quella (τLong) dei decadimentinello stato πππ

K0 (K0)→ ππ τS = 0.89 10−10 s K0 (K0)→ πππ τL = 5.2 10−8 s

299

Ma questo non e possibile se a decadere e la stessa particella. In effetti K0 e K0 nonsono autostati della simmetria CP e quindi non possono decadere per interazionedebole che conserva CP . Invece gli stati finali ππ e πππ sono autostati di CP conautovalori diversi. I pioni sono prodotti in uno stato di momento angolare totaleJ = 0

• per lo stato ππ, la coniugazione di carica corrisponde all’inversione delle coor-dinate, quindi CP |ππ〉 = +|ππ〉;

• per lo stato πππ, se ~ e il momento angolare del terzo pione nel riferimento deiprimi due, CP |πππ〉 = Pπ(−1)`|πππ〉; l’energia a disposizione, mK − 3mπ '90 MeV , e troppo piccola perche sia ` 6= 0; quindi CP |πππ〉 = −|πππ〉.

Non sono quindi i mesoni K0, K0, autostati dell’interazione adronica, a decadereper interazione debole. Gell-Mann e Pais osservarono che e possibile formare duecombinazioni lineari dei mesoni K neutri che sono autostati della simmetria CP ,cioe dell’interazione debole, e che questi corrispondono alle particelle che decadononei due diversi stati di CP . I mesoni K hanno parita negativa e C|K0〉 = α|K0〉,C|K0〉 = α|K0〉 (con |α|2 = 1, usualmente si sceglie α = −1). Con questa conven-zione

CP |K0〉 = +|K0〉 CP |K0〉 = +|K0〉Le due combinazioni simmetrica e antisimmetrica

|K1〉 =(|K0〉+ |K0〉

)/√

2 |K2〉 =(|K0〉 − |K0〉

)/√

2

sono autostati di CP con autovalori ±1

CP |K1〉 =(|K0〉+ |K0〉

)/√

2 = +|K1〉 CP |K2〉 =(|K0〉 − |K0〉

)/√

2 = −|K2〉

Si ottengono quindi due stati distinti, combinazioni degli autostati dei quark, chepossono avere masse diverse e decadere in stati finali diversi

K1 (|ds〉+ |sd〉)/√

2 CP = +1 → ππ

K2 (|ds〉 − |sd〉)/√

2 CP = −1 → πππ

Il fattore dello spazio delle fasi del decadimento K1 → ππ e molto maggiore di quellodel decadimento K2 → πππ e questo giustifica le due vite medie molto diverse. Leparticelle osservate sono chiamate KS (Short) e KL (Long), i modi di decadimentopiu probabili e le frazioni di decadimento sono

KS → π+π− 0.692 τS = 0.895 10−10 sπ0π0 0.307

KL → π+π0π− 0.126 τL = 5.12 10−8 sπ0π0π0 0.195π±e∓νe 0.405π±µ∓νµ 0.270

300

A seguito dell’ipotesi di Gell-Mann e Pais fu fatta una serie di esperimenti, i primida Pais e Piccioni, che verificarono la correttezza dell’interpretazione di queste nuovestranezze dei mesoni strani.

Nelle interazioni adroniche si possono produrre fasci secondari di mesoni K neutrie studiarne i decadimenti in volo. Consideriamo la produzione associata di particellestrane π−p → K0Λ0, l’osservazione del decadimento del Λ0 garantisce che si formaun fascio di mesoni K0. Questo e una sovrapposizione dei due austati di CP : K0 =(K1 + K2)/

√2. Immediatamente a valle del bersaglio si osservano i decadimenti

K1 → π+π− che hanno un cammino libero medio λS ≈ cτS = 2.7 cm. A distanzaL λS dal bersaglio la componente K1/

√2 del fascio si e esaurita e si osservano

solo i decadimenti K2 → π+π0π− con cammino libero medio molto maggiore λL ≈cτL = 15.3 m (Fig. 3.29). Ora il fascio, inizialmente composto di soli mesoni K0,e composto solo di stati K2 e quindi contiene un numero uguale di mesoni K0 e dimesoni K0: lo stato e

K0 −K0

2

pp

Lo

Ko

pp

t

K (t)1

K (t)2

K1 ppK1pppK2

Figure 3.29: Decadimento e rigenerazione di un fascio di mesoni K0

Questo si puo verificare ponendo un assorbitore a distanza L λS dal bersaglio.Infatti la sezione d’urto di interazione delle due componenti e diversa, σ(K0N) >σ(K0N), e la componente K0 e assorbita piu dell’altra. Se f e f sono i fattori diattenuazione per K0 e per K0, lo stato dopo l’assorbitore e

f K0 − f K0

2=

1√2

(f + f

2K2 +

f − f2

K1

)

e poiche f > f si rigenera lo stato K1: subito a valle dell’assorbitore si osservano dinuovo i decadimenti K1 → π+π−.

Analogamente si puo produrre un fascio di mesoni K0, ad esempio in interazioniπ+p → K0K+p (se si osserva il decadimento del mesone K+ si e prodotto un K0).Studiando l’evoluzione temporale di un fascio di mesoni K0, oppure K0, si puoverificare che le particelle K1 e K2 hanno effettivamente masse diverse e misurarnela differenza. Se mj e Γj sono le masse e le larghezze di decadimento (Γ1 Γ2)l’evoluzione temporale nel riferimento della particella e (h = 1, c = 1)

K1(t) = K1(0) e−i(m1−iΓ1/2)t K2(t) = K2(0) e−i(m2−iΓ2/2)t

301

Per un fascio di K0, oppure K0, si ha

K0(t) =[K1(0)e−im1te−Γ1t/2 +K2(0)e−im2te−Γ2t/2

]/√

2

K0(t) =[K1(0)e−im1te−Γ1t/2 −K2(0)e−im2te−Γ2t/2

]/√

2

Se si produce un fascio di N mesoni K0 si ha la condizione iniziale |K0(0)|2 = N ,

|K0(0)|2 = 0, cioe K1(0) = K2(0) =√N/2 e l’intensita del fascio per t τL e

|K0(t)|2 ' N(1 + e−Γ1t + 2e−Γ1t/2 cos ∆mt

)/4

|K0(t)|2 ' N(1 + e−Γ1t − 2e−Γ1t/2 cos ∆mt

)/4

con ∆m = m2 −m1. La composizione del fascio si puo determinare misurando leinterazioni prodotte dai mesoni K0 e K0 in un secondo bersaglio posto a distanzavariabile x dal bersaglio primario: se si conosce l’impulso p, il tempo proprio et = mx/p (Fig. 3.30). Il risultato della misura e

∆m = 0.47 h/τS ∆m = 3.5 10−6 eV

la differenza di massa tra i due stati K1 e K2 e nota con una precisione relativa∆m/m ' 10−14 !

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0

K0

antiK0

Shortt

bea

m in

ten

sity

proper time /

Figure 3.30: Intensita di un fascio di mesoni K0 in funzione del tempo proprio

3.3.9 Il quarto quark

I mesoni K0 e K0 sono stati coniugati di carica e hanno la stessa massa. Ma lecombinazioni K1 e K2 rappresentano due particelle diverse con massa diversa. Ilvalore della differenza ∆m = m2 −m1 si puo calcolare nel modello a quark

m1 =〈K0 +K0|Hw|K0 +K0〉

2m2 =

〈K0 −K0|Hw|K0 −K0〉2

∆m e proporzianle all’elemento di matrice della transizione K0 ↔ K0 con ∆S = 2

∆m = 〈K0|Hw|K0〉+ 〈K0|Hw|K0〉 = 2〈ds|Hw|ds〉

302

Si tratta di una transizione del secondo ordine. Il calcolo di questo elemento dimatrice, considerando il solo contributo dei quark u, d, s da un valore molto piugrande del risultato sperimentale. Il valore di ∆m si calcola integrando lungo le lineechiuse dei grafici in Fig. 3.31 dal valore minimo mu al valore massimo mW e si ottieneun valore proporzionale a m2

W . Deve quindi esistere un qualche nuovo fenomeno cheimpedisce le transizioni in cui cambia il sapore dei quark ma non cambia la caricaelettrica. Questo e stato messo in luce da Sheldon Glashow, Ioannis Iliopoulos eLuciano Maiani nel 1970 che proposero l’esistenza di un quarto quark.

g cos

d

s

q

K0

s

d

u u

g sin q g cosq

g sin q

K0

g cos

d

s

q

s

d

u

u

g sin q g cosq

g sin q

Figure 3.31: Grafici di Feynman della transizione K0 ↔ K0

In effetti gli autostati dell’interazione debole sono i due doppietti di leptoni e unsolo doppietto di quark, (u, d′), costruito con un quark di carica elettrica +2/3 e duequark di carica −1/3. Il risultato corretto per il calcolo di ∆m si puo ottenere se sifa l’ipotesi che esista un quarto quark di tipo up che fu chiamato charm e indicatocon c. Il nuovo quark ha queste caratteristiche:

• carica elettrica +2/3, isospin I = 0, stranezza S = 0 e numero barionicoA = 1/3;

• ha un nuovo numero quantico C che, in analogia con la stranezza, si conservanell’interazione adronica e elettromagnetica e non si conserva nell’interazionedebole; l’ipercarica e Y = A + S + C e la relazione di Gell-Mann e Nishijimae modificata

Q = (A+ S + C)/2 + I3

• e autostato dell’interazione debole e forma un secondo doppietto di quark conil secondo stato ”ruotato” della teoria di Cabibbo s′ = −d sin θc + s cos θc;quindi l’accoppiamento con il campo debole e

(c

−d sin θc + s cos θc

)c↔ s G cos θc c↔ d −G sin θc

Con queste ipotesi, si hanno due doppietti di leptoni e due doppietti di quark

leptoni

(νee−

) (νµµ−

)quark

(ud′

) (cs′

)

I quark down autostati dell’interazione debole sono d′ e s′ e sono ottenuti con unarotazione dei quark down autostati di SU(3)

(d′

s′

)=

(cos θc sin θc− sin θc cos θc

)(ds

)

303

Nel calcolo dell’elemento di matrice rappresentato dai grafici di Fig. 3.32 ci sono piucontributi, lo scambio del quark u e lo scambio del quark c, che hanno segno oppostoe che dipendono dal valore della massa dei quark. Nel risultato dell’integrazione sicancellano i termini che dipendono da m2

W e la differenza di massa e proporzionaleal quadrato della massa del quark c (se m2

c m2u),

∆m =G2

4π2cos2 θc sin2 θc f

2KmKm

2c

Si ottiene un buon accordo con il valore sperimentale di ∆m se si assume per lamassa del nuovo quark mc ≈ 1.5 GeV .

g cos

d

s

q

s

d

u

u

g sin q g cosq

g sin q

d

s

s

d

c

u

g cosq

g cosqg sinq

-g sinq

d

s

s

d

c

u

g sin q g cosq

d

s

s

d

c

c

g cosq

-g sinqg cosq

-g sinqg cosq-g sinq

Figure 3.32: Grafici di Feynman della transizione K0 ↔ K0 con il contributo deiquark u e c

I numeri quantici di questo nuovo quark sono rappresentati in Fig. 3.33

S

I

C

3

c

du

s

Figure 3.33: Rappresentazione dei quattro quark

A I3 S C Qu 1/3 +1/2 0 0 +2/3d 1/3 −1/2 0 0 −1/3c 1/3 0 0 +1 +2/3s 1/3 0 −1 0 −2/3

Se l’interpretazione di Glashow, Iliopoulos e Maiani e corretta, la simmetria delmodello a quark va estesa da SU(3) a SU(4) e devono esistere nuove particelle checontengono il quark c: devono esistere 4×4 stati di mesoni pseudoscalari, di cui novesono gia noti, che formano un 15-pletto e un singoletto, e altrettanti mesoni vettori;20 barioni di spin 1/2, di cui otto gia noti, etc. Ad esempio, la rappresentazionedei mesoni e mostrata in Fig. 3.34. La prima particella con charm e stata scoperta

304

sdsu

uddu

ussu

cdcu

sc

cs

dcuc

dd uuccss

CS

I3

Figure 3.34: Rappresentazione degli stati dei mesoni nella simmetria SU(4)

nel 1974 da Burton Richter e Samuel Ting 8 e collaboratori, si tratta di un mesonevettore JP = 1− che e rappresentato come lo stato cc ed e chiamato J/ψ (duenomi diversi furono assegnati da Ting e da Richter). Il mesone J/ψ ha massamψ = 3097 MeV . Pochi anni piu tardi sono stati osservati i mesoni pseudoscalari,JP = 0−, che decadono per interazione debole prevalentemente in mesoni K perchela costante di accoppiamento per transizioni c→ s e proporzionale a G cos θc, i lorostati eccitati JP = 1−, e i barioni JP = 1/2+. Alcuni esempi sono

stato m (MeV ) τ (s)mesoni D+ dc 1869 1.04 10−12

D0 uc 1865 0.41 10−12

D+s sc 1968 0.50 10−12

barioni Λ+c udc 2286 0.20 10−12

Il terzo leptone

I mesoni con charm furono scoperti nel 1976 come prodotti della annichilazioneelettrone-positrone e+e− → D+D−, e+e− → D0D0. Questi possono decadere inmodo semileptonico

D+ = dc→ dsW+ → K0e+νe K0µ+νµD− = dc→ dsW− → K0e−νe K0µ−νµD0 = uc→ usW+ → K−e+νe K−µ+νµD0 = uc→ usW− → K+e−νe K0µ−νµ

Analizzando la produzione associata di coppie di leptoni e+e−, µ+µ−, e+µ−, µ+e−,si osservo che queste venivano prodotte anche in assenza di mesoni K. Questofenomeno venne interpretato da Martin Perl 9 con la produzione di un nuovo leptone,chiamato leptone τ , che ha massa simile a quella dei mesoni D. Il leptone τ ha massa

8 premi Nobel per la fisica nel 19769 premio Nobel per la fisica nel 1995

305

mτ = 1777 MeV e ha le stesse caratteristiche del leptone µ: puo decadere in unelettrone o in un muone

τ− → ντe−νe τ− → ντµ

−νµ

Se l’accoppiamento con il campo debole e universale, le due probabilita di decadi-mento sono approssimativamente uguali perche mτ mµ, mτ me. I risultatidelle misure sono

BR(τ → ντeνe) ≈ BR(τ → ντµνµ) = 0.18

La larghezza di decadimento si ricava allo stesso modo che per il muone

Γ(τ → ντeνe) ≈ Γ(τ → ντµνµ) =G2(mτc

2)5

192π3=h

τBR

e la vita media e ττ = 0.29 10−12 s in ottimo accordo con i risultati delle misure.Il neutrino ντ associato al nuovo leptone e l’ultima particella elementare osservata

(nel 2000) ed e diverso dagli altri due neutrini νe e νµ. Questo e stato dimostratoproducendo un fascio di neutrini ντ e osservando le interazioni che producono. Nelleinterazioni di protoni di alta energia vengono prodotti mesoni π, K, e con probabilitamolto piu piccola anche mesoni D. I mesoni π e K hanno cammini di decadimentodi alcuni metri e, se lo spessore e la densita del bersaglio sono grandi, vengonoassorbiti prima di decadere, i mesoni D invece decadono prima di essere assorbitiperche cτ ' 0.3 mm λass. Gli adroni prodotti nei decadimenti sono anch’essiassorbiti e i neutrini prodotti nei decadimenti semileptonici D → Keνe, D → Kµνµ,e leptonici D+, D+

s → τ+ντ , D−, D−s → τ−ντ , si propagano attraverso il bersaglio-

assorbitore senza interagire. I neutrini ντ hanno energia maggiore dei neutrini νe eνµ. A valle dell’assorbitore si osservano le interazioni che producono leptoni τ nellostato finale: ντN → τ−X, ντN → τ+X.

Tutte le caratteristiche del leptone τ sono in accordo con l’ipotesi della con-servazione del nuovo numero leptonico e dell’universalita dell’accoppiamento con ilcampo debole, quindi il quadro dei fermioni sorgenti delle interazioni fondamentaliora diventa

leptoni

(νee−

) (νµµ−

) (νττ−

)quark

(ud′

) (cs′

)

3.3.10 Violazione della simmetria CP

L’interazione debole non conserva ne la parita ne la coniugazione di carica. Nellateoria di Lee e Yang (capitolo 2.7) questo e originato dalla forma della correntefermionica costruita come sovrapposizione di una corrente vettoriale e di una cor-rente assiale, J+ = V +−A+, e della corrente hermitiana coniugata, J− = V −−A−.Tutte le interazioni finora esaminate sono descritte in modo molto accurato trascu-rando l’effetto del propagatore del campo debole, cioe assumendo un’interazione acontatto tra le correnti nella forma

J+J− = (V + − A+)(V − − A−) = V +V − − V +A− − A+V − + A+A−

306

In questa espressione la corrente vettoriale cambia segno per trasformazione di paritae quella assiale per trasformazione di coniugazione di carica e quindi i termini V +A−

e A+V − non sono invarianti ne per C ne per P , ma lo sono per la trasformazionecombinata CP . La fenomenologia delle oscillazioni e dei decadimenti dei mesoni Kneutri e ben interpretata con l’ipotesi di Gell-Mann e Pais dei due autostati K1 eK2 della trasformazione CP . Questo induce a identificare i mesoni K neutri chedecadono con vita media τS e τL con gli autostati di CP

KS = K1 CP = +1 KL = K2 CP = −1

Ma nel 1964 James Cronin, Valentine Fitch 10 e collaboratori osservarono una ul-teriore stranezza dei mesoni K neutri: i mesoni a vita media lunga, KL, decadonoanche in stati ππ se pur con probabilita piccola

BR(KL → π+π−) = 1.97 10−3 BR(KL → π0π0) = 0.86 10−3

se la stessa particella decade in stati πππ con CP = −1 e in stati ππ con CP = +1:anche la simmetria CP e violata nell’interazione debole. Studiando i decadimentiKS → ππ e KL → ππ in funzione del tempo proprio sono stati misurati i rapportie gli sfasamenti tra le ampiezze di decadimento

〈π+π−|Hw|KL〉〈π+π−|Hw|KS〉

= η+− eiφ+−

〈π0π0|Hw|KL〉〈π0π0|Hw|KS〉

= η00 eiφ00

I risultati sono: η+− ' η00 = 2.23 10−3, φ+− ' φ00 ' π/4.I parametri η e gli sfasamenti φ sono misurati osservando lo sviluppo temporale di

un fascio di mesoni K neutri che decade nello stato π+π− oppure π0π0. L’ampiezzadi decadimento in funzione del tempo proprio e

K0 → ππ(t)K0 → ππ(t)

=1√2

[〈ππ|H|KS〉e−i(mS−iΓS/2)t ± 〈ππ|H|KL〉e−i(mL−iΓL/2)t

]

e la probabilita di decadimento e la sovrapposizione di due funzioni esponenziali eun termine di interferenza proporzionale a η e modulato dalla funzione cos(∆mt−φ)(Fig. 3.35).

|K0 → ππ|2(t)|K0 → ππ|2(t)

=1

2|〈ππ|H|KS〉|2

[e−ΓSt ± 2η cos(∆mt− φ)e−(ΓS+ΓL)t/2 + η2e−ΓLt

]Quindi le particelle che decadono, KS e KL, non si possono identificare con gli

autostati di CP K1 e K2, ma si possono rappresentare come combinazioni lineari

KS =K1 + εK2

[1 + |ε|2]1/2KL =

εK1 +K2

[1 + |ε|2]1/2|ε| = 2.23 10−3

ovvero, in termini degli autostati dell’interazione adronica

KS =(1 + ε)ds+ (1− ε)ds

[2(1 + |ε|2)]1/2KL =

(1 + ε)ds− (1− ε)ds[2(1 + |ε|2)]1/2


307

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

5 10 15 20 25t / τ

S

K0 -> π π

anti-K0 -> π πdn / dt

Figure 3.35: Interferenza K0 → π+π− ×K0 → π+π−

La correttezza di questa interpretazione e stata confermata studiando i decadimentisemileptonici dei mesoni KS e KL. Questi ultimi possono decadere KL → π+e−νee nello stato coniugato di carica KL → π−e+νe. Se non ci fosse violazione dellasimmetria CP le due probabilita sarebbero uguali. Si osserva invece una differenza

Γ(KL → π−e+νe)− Γ(KL → π+e−νe)

Γ(KL → π−e+νe) + Γ(KL → π+e−νe)=|1 + ε|2 − |1− ε|2|1 + ε|2 + |1− ε|2 =

2<ε1 + |ε|2 ' 2<ε

Il risultato della misura e 2<ε = 3.3 10−3 in buon accordo con i valori delle ampiezzeηeiφ. La stessa differenza si misura nei decadimenti KL → π+µ−νµ, KL → π−µ+νµ.

Questo e uno dei pochissimi esempi in cui si osserva una asimmetria tra ma-teria e antimateria. Nel decadimento semileptonico dei mesoni KL l’elettrone eemesso con probabilita piu piccola del positrone. La definizione e− = materia,e+ = antimateria e fatta inizialmente per convenzione. Una volta fatta, ne segueprotone = materia, idrogeno = p+e− = materia e cosı via, e analogamente perantiprotone, anti-idrogeno, . . .. Nel decadimento n → pe−νe [n → pe+νe] si emet-tono antineutrini [neutrini] autostati di elicita positiva [negativa]: i due stati finalinon sono simmetrici ne per P ne per C. Ma la violazione delle simmetrie C e Pnon e sufficiente a rompere la simmetria della convenzione materia/antimateria. Adesempio un anti-osservatore in un anti-mondo potrebbe fare le convenzioni sullacarica elettrica ±, sulla parita destra–sinistra in modo diverso. Osserverebbe lostesso fenomeno del decadimento del nucleo di anti-cobalto 60Co polarizzato conun anti-magnete in cui un anti-elettrone e emesso preferenzialmente nella direzionedello spin del 60Co, e ne concluderebbe che non c’e simmetria per parita e che, seriuscisse a fare lo stesso esperimento con nuclei 60Co, non c’e neppure simmetria perconiugazione di carica. Ma, osservando i decadimenti semileptonici dei mesoni KL

308

capirebbe se la convenzione e la stessa oppure se e opposta a quella che si usa nelnostro mondo di materia.

Una delle ipotesi alla base del modello del Big Bang e che all’inizio dell’evoluzionedell’Universo ci fosse simmetria tra materia e antimateria. Ma non si osserva antima-teria nell’Universo. La violazione della simmetria CP e una condizione necessaria,ma non sufficiente, per spiegare l’evoluzione di un Universo inizialmente simmetricoin quello asimmetrico che si osserva oggi in cui non c’e antimateria.

3.3.11 Altri quark

La teoria dell’interazione debole con due doppietti di quark non e in grado di pro-durre la violazione della simmetria CP . La corrente fermionica associata alle tran-sizioni da quark down con carica −1/3 a quark up con carica +2/3 e

Jα = (u c) γα(1− γ5)

(cos θc sin θc− sin θc cos θc

)(ds

)

La matrice di Cabibbo dipende da un solo parametro reale. La coniugazione di caricaimplica la coniugazione complessa e per produrre la violazione della simmetria CPoccorre che Jα contenga un parametro complesso.

Nel 1973 Makoto Kobayashi e Toshihide Maskawa 11 osservarono che questosi puo realizzare introducendo un nuovo doppietto di quark. Il nuovo doppiettocontiene un quark di tipo up, chiamato top, e un quark di tipo down, chiamatobottom o beauty. In questo caso la matrice che trasforma gli autostati dell’interazioneadronica e una matrice 3 × 3 e, per rispettare l’universalita dell’accoppiamento alcampo debole, la matrice deve essere unitaria.

Con queste ipotesi la corrente fermionica dei quark e

Jα = (u c t) γα(1− γ5)

d′

s′

b′

d′

s′

b′

=

Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb

dsb

Una matrice complessa 3× 3 dipende da 18 parametri reali. Nell’espressione diJα ciascun campo di quark puo essere variato per una fattore di fase q → eiφqq ecinque dei sei fattori non cambiano la forma di Jα. Se la matrice e unitaria ci sononove vincoli

∑j VajV

∗bj = δab. Quindi una matrice unitaria 3× 3 dipende da 18 - 5 -

9 = 4 parametri indipendenti di cui tre sono reali, tre angoli di Eulero di rotazionedei doppietti di quark, e il quarto e complesso.

Introducendo gli angoli di rotazione dei doppietti (θ1 = 2 → 1, θ3 = 1 → 3,θ2 = 3 → 2; ck = cos θk, sk = sin θk) e un parametro complesso eiδ, la matrice diCabibbo-Kobayashi-Maskawa si rappresenta con il prodotto di tre rotazioni

VCKM =

1 0 00 c2 s2

0 −s2 c2

c3 0 s3eiδ

0 1 0−s3e

−iδ 0 c3

c1 s1 0−s1 c1 0

0 0 1

=


309

=

c1c3 s1c3 s3eiδ

−s1c2 − c1s2s3e−iδ c1c2 − s1s2s3e

−iδ s2c3

s1s2 − c1c2s3e−iδ −c1s2 − s1c2s3e

−iδ c2c3

Poiche la matrice 2× 2 di Cabibbo fornisce una buona approssimazione dei decadi-menti relativi ai primi due doppietti di quark, si ha c1c3 ' c1c2 ' cos θc, s1c3 's1c2 ' sin θc: risulta che anche i termini sin θ2 e sin θ3 sono piccoli. La matriceCKM e approssimativamente simmetrica con i termini diagonali ≈ 1.

VCKM =≈

c1c2 s1c2 s3eiδ

−s1c2 c1c2 s2c2

−c1c2s3e−iδ −c1s2 c2c3

La prima particella con beauty e stata scoperta nel 1977. Si tratta, come nelcaso del charm, di un mesone vettore (JP = 1−) bb chiamato Υ che ha massa mΥ =9460 MeV . Successivamente sono stati osservati i mesoni pseudoscalari (JP = 0−)e i barioni (JP = 1/2+) previsti dalla estensione alla simmetria SU(5) del modelloa quark. Alcuni esempi sono

stato m (MeV ) τ (s)mesoni B+ , B− bu , ub 5279 1.64 10−12

B0 , B0 bd , db 5280 1.52 10−12

B0s , B

0s bs , sb 5367 1.51 10−12

B+c , B−c bc , cb 6275 0.51 10−12

barioni Λ0b udb 5620 1.47 10−12

Le particelle con beauty decadono prevalentemente in particelle con charm conlarghezza di decadimento Γ(b → c) proporzionale a G2|Vcb|2; dalle misure si ot-tiene |Vcb| = 0.042 ± 0.001. I decadimenti senza particelle con charm nello statofinale hanno larghezza di decadimento Γ(b → u) proporzionale a G2|Vub|2 e dallemisure si ottiene |Vub| = 0.0039± 0.0004.

Il quark top ha una massa molto maggiore degli altri quark, mt = 173 GeV , ed estato scoperto nel 1996. Poiche la massa e maggiore di quella del bosone mediatoredell’interazione debole (capitolo 3.7) il quark t decade nel quark b e in un bosoneW : t→ bW+, t→ bW−, con |Vtb| ' 1. Non si conoscono stati legati formati con ilquark t.

Il quadro delle interazioni deboli dei leptoni e degli adroni si puo riassumere:

• leptoni e quark sono fermioni di spin 1/2 e sono suddivisi in famiglie ciascunaformata da un fermione di tipo up e uno di tipo down;

• la fenomenologia dei decadimenti deboli dei leptoni e decritta con tre famigliedi leptoni; i neutrini si suppongono di massa nulla (i limiti sperimentali sono:nνe < 2 eV , nνµ < 0.2 MeV , nντ < 18 MeV );

• l’accoppiamento delle correnti J+` e J−` (che producono le transizioni `− → ν

e ν → `−) con il campo debole e definito da un solo paramtero, la costanteuniversale di Fermi, G;

310

• il numero leptonico si conserva separatamente per ciascuna famiglia: non siosservano transizioni tra le famiglie;

• i decadimenti deboli degli adroni sono descritti con tre famiglie di quark chesono combinazioni lineari degli autostati dell’interazione adronica; queste siottengono con una matrice unitaria 3× 3;

• l’accoppiamento delle correnti J+q e J−q (che producono le transizioni down→

up e up → down) con il campo debole e definito dalla stessa costante uni-versale di Fermi e dai quattro parametri della matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa.

Il quadro delle particelle elementari e

leptoni

(νee−

) (νµµ−

) (νττ−

)quark

(ud′

) (cs′

) (tb′

)

3.4 Modello dinamico a quark

Gli adroni non sono particelle elementari, ma sono caratterizzati da una estensionenello spazio di circa 1 fm e, se hanno spin, da un momento magnetico anomalo.I leptoni invece si comportano come fermioni di spin 1/2 puntiformi. Il modello aquark degli adroni identifica i barioni e i mesoni con combinazioni di quark e anti-quark, fermioni di spin 1/2 caratterizzati dal sapore e da carica elettrica frazionaria.Questa interpretazione e confermata dalla fenomenologia dei decadimenti elettro-magnetici e deboli degli adroni. Il passo successivo e di verificare se i quark sonoparticelle prive di struttura e se si puo impostare un modello dell’interazione adron-ica basato sulla dinamica dei quark costituenti.

Per studiare le proprieta statiche degli adroni, ad esempio per misurare la densitadi carica elettrica e di magnetizzazione, si utilizzano collisioni elastiche con parti-celle elementari cariche. In una collisione elastica il potere risolutivo e definitodall’impulso trasferito ∆~p: si puo esplorare una regione spaziale di dimensioneR ' h/∆p. In questo caso l’adrone rimane uno stato legato dei suoi eventualicostituenti e l’energia trasferita e solo energia cinetica. Se invece si vuole studiare lastruttura dinamica di un adrone e eventualmente frammentarlo nei suoi costituentioccorre studiare le collisioni inelatiche in cui si trasferisce sia impulso ∆~p che energia∆E.

La struttura dinamica del protone e del neutrone si puo studiare sia mediantel’interazione elettromagnetica con fasci di elettroni o muoni di alta energia, sia me-diante l’interazione debole utilizzando fasci di neutrini e antinuetrini. I bersaglipossono essere costituiti da Idrogeno, Deuterio o nuclei piu pesanti. Le reazionisono

e−N → e−X µ±N → µ±X νµN → µ−X νµN → µ+X

311

in cui X rappresenta qualunque stato adronico accessibile. Consideriamo un nu-cleone in quiete nel laboratorio e un elettrone di energia E me. I 4-impulsisono

P = (~p, E) P ′ = (~p′, E ′) P0 = (0,M) W = (~p′0, E′0)

Il 4-impulso trasferito e q = (~p − ~p′, E − E ′) = (~q, ν). L’energia totale nel centrodi massa, il quadrato del 4-impulso trasferito e l’energia trasferita sono invarianti;trascurando la massa dell’elettrone si ha

s = (P + P0)2 = M2 + 2ME q2 = (P − P ′)2 = −4EE ′ sin2 θ/2 P0 · q = Mν

Nel seguito usiamo Q2 = −q2 > 0.

Scattering elastico

Nel caso di scattering elastico (Fig. 3.36) l’energia E ′ e l’angolo θ non sono indipen-denti, ma sono legati dalla relazione

E ′ =E

1 + (2E/M) sin2 θ/2=

E

1 +Q2/2ME ′E = E ′ +

Q2

2M(3.1)

per cui si ha ν = E−E ′ = Q2/2M : Q2 = 2Mν. Se il nucleone fosse un fermione dispin 1/2 puntiforme lo scattering elettrone-nucleone per interazione elettromagneticasarebbe descritta dalla sezione d’urto di Dirac (capitolo 1.7)

dσ

dΩ=

α2(hc)2

4E2 sin4 θ/2

E ′

E

(cos2θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

)

che si puo scrivere in funzione delle variabili Ω, E ′ (nel seguito h = 1, c = 1)

d2σ

dΩdE ′=

α2

4E2 sin4 θ/2

(cos2θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

)δ(ν −Q2/2M) (3.2)

PP'

PoW

qqp

p'

Figure 3.36: Scattering elastico rappresentato nel riferimento del laboratorio e comegrafico di Feynman

nota :∫F (x)δ[f(x)]dx =

∑k

[F (xk)/| dfdx |

]f(xk)=0

δ(ν −Q2/2M) = δ[E − E′ − (2EE′/M) sin2 θ/2]∣∣∣∣d

dE′(E − E′ − (2EE′/M) sin2 θ/2)

∣∣∣∣ =∣∣−1− (2E/M) sin2 θ/2

∣∣ = E/E′

dσ

dΩ=

∫F (E,E′)δ[E − E′ − (2EE′/M) sin2 θ/2]dE′ = F (E,E′)

E′

E

312

Per un bersaglio non puntiforme la collisione e descritta dalla sezione d’urto diRosenbluth (capitolo 1.7) introducendo due fattori di forma che moltiplicano l’ampiezzadi scattering in cui il nucleone non cambia (∼ cos θ/2) oppure cambia (∼ sin θ/2)direzione dello spin:

d2σ

dΩdE ′=

α2

4E2 sin4 θ/2

(F 2

2 (Q2) cos2 θ

2+

Q2

4M2F 2

1 (Q2)2 sin2 θ

2

)δ

(ν − Q2

2M

)(3.3)

I fattori di forma hanno l’andamento F (Q2)→ 0 per Q2 M2.

3.4.1 Scattering inelastico

Nel caso di scattering inelastico (Fig. 3.37), il bersaglio frammenta in uno stato dimassa W > M e l’energia e l’angolo dell’elettrone nello stato finale sono variabiliindipendenti. La massa del sistema X e

W 2 = (P0 + q)2 = M2 + q2 + 2Mν = M2 −Q2 + 2Mν > M2 ⇒ 2Mν > Q2

PP'

PoW

qpq

p'

Figure 3.37: Scattering inelastico rappresentato nel riferimento del laboratorio ecome grafico di Feynman

Il 4-impulso e l’energia trasferita sono variabili indipendenti e si possono definirediverse regioni nel piano Q2 × 2Mν (Fig. 3.38)

• limite di scattering elastico W 2 →M2, 2Mν → Q2;

• eccitazione di stati risonanti del nucleone con massa M∗: W 2 = M∗2, 2Mν =Q2 + costante;

• continuo dello scattering elastico: 0 < Q2/2Mν < 1.

La sezione d’urto si esprime in analogia con Eq. (3.3) introducendo due funzioni distruttura che sono funzioni delle due variabili indipendenti Q2 e ν

d2σ

dΩdE ′=

α2

4E2 sin4 θ/2

(W2(Q2, ν) cos2 θ/2 +W1(Q2, ν)2 sin2 θ/2

)

In funzione degli invarianti Q2 e ν:

d2σ

dQ2dν=

π

EE ′d2σ

dΩdE ′=

4πα2

Q4

E ′

E

(W2(Q2, ν) cos2 θ/2 +W1(Q2, ν)2 sin2 θ/2

)(3.4)

313

Q2

2Mn

elas

tic sc

atte

ring

deep

inel

astic

scat

tering

reso

nance

s

Figure 3.38: Regioni del piano Q2 × 2Mν

nota : d2σ/dQ2dν = |Jacobiano| × d2σ/dΩdE ′

dQ2dν =

∣∣∣∣∂Q2/∂E′ ∂Q2/∂Ω∂ν/∂E′ ∂ν/∂Ω

∣∣∣∣ dΩdE′ =

∣∣∣∣Q2/E′ −EE′/π−1 0

∣∣∣∣ dΩdE′ =EE′

πdΩdE′

∂

∂E′2EE′(1− cos θ) =

Q2

E′∂

∂ cos θ2EE′(1− cos θ) = −2EE′

∂

∂E′(E − E′) = −1

3.4.2 Scattering fortemente inelastico elettrone-nucleone

La regione di scattering fortemente inelastico e definita dalla condizione Q2 M2,ν M . Se il nucleone e costituito di particelle puntiformi l’interazione fortementeinelastica con una particella elementare (elettrone, muone o neutrino) sara il risultatodello scattering elastico con i costituenti e, se questi hanno massa m e se l’energiatrasferita ν e molto maggiore dell’energia di legame dei costituenti, sara la sommaincoerente dei vari contributi

(d2σ

dQ2dν

)

elastic

=4πα2

Q4

E ′

E

(cos2 θ/2 +

Q2

4m22 sin2 θ/2

)δ(ν −Q2/2m)

dove le funzioni di struttura in Eq. (3.4) tendono a

W2(Q2, ν)→ 1

νδ(1−Q2/2mν) W1(Q2, ν)→ Q2

4m2νδ(1−Q2/2mν)

Nel 1968 James Bjorken dimostro che nella regione fortemente inelastica

Q2 M2 ν M x = Q2/2Mν = finito 0 < x < 1

le funzioni di struttura hanno, per Q2 →∞ e ν →∞, limiti finiti che non dipendonoseparatamente da Q2 e ν, ma solo dal rapporto adimensionale x = Q2/2Mν

limQ2,ν→∞

νW2(Q2, ν) = F2(x) limQ2,ν→∞

MW1(Q2, ν) = F1(x)

Questo implica che le funzioni che descrivono la struttura del nucleone non dipendonoda variabili che hanno dimensioni fisiche, cioe non dipendono, come nel caso dello

314

scattering elastico, Eq. (3.3), dal 4-impulso trasferito Q2 e quindi dalle dimensionidel nucleone. Questa proprieta e chiamata legge di scala di Bjorken.

Un’importante serie di esperimenti fu fatta a partire dal 1968 da Jerome Fried-man, Henry Kendall, Richard Taylor 12 e collaboratori con elettroni accelerati finoa 20 GeV usando bersagli di idrogeno e deuterio. In questi esperimenti si misural’energia E ′ e l’angolo θ dell’elettrone nello stato finale: da questi valori si deter-minano le variabili Q2, ν e W . La Fig. 3.39 mostra la sezione d’urto differenzialed2σ/dΩdE ′ in funzione dell’energia dello stato adronico W : si nota l’eccitazione dirisonanze barioniche di massa M∗ (la prima e la risonanza ∆ di massa 1.232 GeV )e una distibuzione continua per valori W > M∗. La figura non mostra il piccodello scattering elastico, centrato a W = M . Questo diminuisce rapidamenteall’aumentare di Q2 per effetto del fattore di forma F (Q2). Con l’aumentare del4-impulso trasferito, la sezione d’urto diminuisce, ma diventa sempre piu importanteil contributo del continuo inelastico rispetto allo scattering elastico e all’eccitazionedi risonanze.

1 00

1 01

1 02

0 . 8 0 1 . 2 1 . 6 2 . 0 2 . 4 2 . 8 3 . 2

Q2 = 0.2 GeV

2

Q2 = 0.6

Q2 = 1.2

Q2 = 2.0

W (GeV)

d2

/d

dE

'

(

b

/GeV

)s

W

m

ela

stic

p

ea

k

Figure 3.39: Sezione d’urto differenziale in funzione dell’energia dello stato adronicoW

Il confronto tra la sezione d’urto inelatica e quella elastica e mostrato nellaFig. 3.40 in funzione del 4-impulso trasferito. Il contributo della sezione d’urtoinelastica diventa molto maggiore di quella elastica gia per valori di Q2 poco piugrandi dei valori corrispondenti all’eccitazione di risonanze e, per valori fissi di W 2 =M2 + 2Mν −Q2, si mantiene approssimativamente costante: non dipende da Q2.

La prima importante conclusione e che la legge di scala di Bjorken e soddisfattanella regione del continuo inelastico dove non e piu importante l’eccitazione di riso-nanze barioniche: i risultati degli esperimenti confermano l’ipotesi che il protone eil neutrone sono costituiti da particelle puntiformi.


315

Figure 3.40: Rapporto tra la sezione d’urto elastica e inelastica e la sezione d’urtodi Mott (bersaglio puntiforme) in funzione del 4-impulso trasferito

3.4.3 Modello a partoni

La relazione (3.1) valida per lo scattering elastico e modificata in

E ′ =E

1 + (2E/Mx) sin2 θ/2

Per interpretare il significato della variabile x di Bjorken e delle funzioni F2(x),F1(x), conviene esprimere la sezione d’urto in funzione di x (|∂x/∂ν| = ν/x)

d2σ

dQ2dx=ν

x

d2σ

dQ2dν=

4πα2

Q4

E ′

E

1

x

(νW2(Q2, ν) cos2 θ/2 + νW1(Q2, ν)2 sin2 θ/2

)=

=4πα2

Q4

E ′

E

1

x

(F2(x) cos2 θ/2 +

νF1(x)

M2 sin2 θ/2

)=

=4πα2

Q4

E ′

E

1

x

(F2(x) cos2 θ/2 + 2xF1(x)

Q2

4M2x22 sin2 θ/2

)

Se i costituenti del nucleone sono fermioni di spin 1/2 le due funzioni di struttura diBjorken non sono indipendenti. Infatti confrontando la forma della sezione d’urtocon quella della interazione elastica (di Mott per spin 0, o di Dirac per spin 1/2) daparticelle di massa m = Mx, si conclude che

• per costituenti di spin 0 si ha F1(x) = 0;

• per costituenti di spin 1/2 si ha F2(x) = 2xF1(x).

La Fig. 3.41 mostra il valore di 2xF1(x)/F2(x) misurato per diversi valori di Q2 e ν:il rapporto e chiaramente diverso da zero e si mantiene costante e circa uguale a 1.Quindi i risultati degli esperimenti sullo scattering fortemente inelastico di elettronisu protoni e neutroni mostrano che questi

• sono costituiti di particelle puntiformi;

316

0

0 . 5

1

1 . 5

2

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1x

2xF 1(x

) /

F 2(x)

Figure 3.41: Rapporto 2xF1(x)/F2(x) in funzione della variabile x per diversi valoridi Q2

• i costituenti hanno spin 1/2.

La forma della sezione d’urto

d2σ

dQ2dx=

4πα2

Q4

E ′

E

F2(x)

x

(cos2 θ/2 +

Q2

4M2x22 sin2 θ/2

)(3.5)

ha una suggestiva interpretazione nel modello a partoni introdotto da Feynman nel1969 considerando la collisione inelastica in un riferimento in cui l’adrone bersaglioha impulso elevato (|~p0| M) in modo da poter trascurare la massa e l’impulsotrasverso dei costituenti:

• l’adrone e costituito da particelle puntiformi cariche chiamati partoni ;

• il 4-impulso dell’adrone, P0, e distribuito tra i partoni;

• l’interazione inelastica con 4-impulso trasferito Q e energia trasferita ν e ilrisultato dell’interazione elastica con un partone che ha 4-impulso xP0;

• la funzione di struttura F2(x)/x rappresenta la funzione di distribuzione deipartoni nel nucleone.

La funzione F2(x) misurata nello scattering fortemente inelastico elettrone-protonee mostrata in Fig. 3.42 per valori del 4-impulso trasferito 2 < Q2 < 18 GeV 2

Un’interazione inelastica con 4-impulso trasferito Q e energia trasferita ν moltomaggiore dell’energia di legame dei partoni nell’adrone bersaglio e rappresentata inFig. 3.43: l’interazione avviene tra l’elettrone e un partone con 4-impulso xP0, ilquadrato dell’energia totale elettrone-partone e s = (P +xP0)2 = 2EMx+x2M2 '2EMx (per E M), il 4-impulso Q e scambiato tra l’elettrone e il partone chedopo l’interazione ha 4-impulso

(q + xP0)2 = −Q2 + 2Mνx+ x2M2 = (xM)2 = m2 W 2

e l’adrone frammenta in uno stato finale di massa W formato dal partone interessatoe dagli altri partoni che hanno 4-impulso (1−x)P0. La Fig. 3.43 mostra lo scattering

317

0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1x

F2(x )

Figure 3.42: Funzione di struttura del protone, F ep2 (x), in funzione della variabile x

PP'

Po

W

q

xPo

p

-p

xPo

-xPo

(1-x)Po

Figure 3.43: Scattering inelastico nel riferimento di Breit e grafico di Feynman nelmodello a partoni

fortemente inelastico nel riferimento di Breit in cui l’energia trasferita tra l’elettronee il partone e nulla, q = (2~p, 0), e entrambi invertono l’impulso.

Il modello a partoni ha una semplice interpretazione se si considera la collisionenel riferimento del centro di massa elettrone-nucleone. Trascurando i valori dellemasse, si ha s = (P + P0)2 = 4(p∗c)2, q2 = (P − P ′)2 = −2(p∗c)2(1 − cos θ∗). Perun bersaglio puntiforme la sezione d’urto e

dσ

dΩ∗=

2π

h|〈f |H|i〉|2 (p∗c)2

8π3(hc)3

1

2c〈f |H|i〉 =

4πα(hc)3

Q2F (θ∗)

dove F (θ∗) e la distribuzione angolare dello scattering elastico. Ci sono due casi

• elettrone e nucleone hanno spin opposti (⇒ ⇐; ⇐ ⇒), il momento angolaretotale e J = 0 e la distribuzione angolare e isotropa: F (θ∗) = 1;

• elettrone e nucleone hanno spin paralleli (⇒ ⇒; ⇐ ⇐) il momento angolaretotale e J = 1 e la distribuzione angolare e descritta dalle autofunzioni dirotazione di spin 1 (appendice 4.10)

F (θ∗) =1 + cos θ∗

2

Le due ampiezze non interferiscono per cui la sezione d’urto e (h = c = 1)

dσ

dΩ∗=

α2

2Q4s

1 +

(1 + cos θ∗

2

)2

318

Nel riferimento del laboratorio, dopo la collisione l’elettrone ha energia

E ′ = βγp∗ cos θ∗ + γE∗ =p

2E∗p∗ cos θ∗ +

E +M

2E∗E∗ ' E

1 + cos θ∗

2

da cui si ottiene ν = E − E ′ = E(1 − cos θ∗)/2. La variabile adimensionale inelas-ticita, y = ν/E = (1 − cos θ∗)/2, e quindi direttamente connessa con l’angolo discattering nel centro di massa e la sezione d’urto differenziale si puo esprimere infunzione di y (|∂Ω∗/∂y| = 4π)

dσ

dy=

2πα2

Q4s[1 + (1− y)2

]1− y =

1 + cos θ∗

2

Per interpretare lo scattering inelastico elettrone-nucleone nel modello a partoniconviene esprimere la sezione d’urto differenziale (3.5) in funzione delle due variabiliadimensionali x, y

Q2 = 4EE ′ sin2 θ/2 = 2MExy E ′ = E(1− y) sin2 θ/2 =Mxy

2E(1− y)

d2σ

dxdy=

∣∣∣∣∣∂Q2

∂x

∣∣∣∣∣d2σ

dQ2dν= 2MEx

d2σ

dQ2dν=

=4πα2

Q42MEx(1− y)

F2(x)

x

[1− Mxy

2E(1− y)+

Q2

4M2x2

Mxy

E(1− y)

]=

=4πα2

Q42MEx

F2(x)

x

[1− y − Mxy

2E+y2

2

]

che, per E M , s ' 2ME, diventa

d2σ

dxdy=

2πα2

Q4sx

F2(x)

x

[1 + (1− y)2

]

in cui e chiaramente espressa la dipendenza della sezione d’urto differenziale delloscattering fortemente inelastico elettrone-adrone dai vari termini:

• (costante di accoppiamento × propagatore)2;

• (energia totale del sistema elettrone-partone)2 = sx;

• densita dei partoni nell’adrone F2(x)/x;

• distribuzione angolare nel riferimento elettrone-partone.

319

3.4.4 Carica elettrica dei partoni

Il nucleone e costituito di partoni puntiformi di spin 1/2. I quark hanno carica elet-trica frazionaria, eu = 2/3, ed = es = −1/3, . . . (in unita della carica elementare). Ilpasso successivo e verificare se si possono identificare i partoni con i quark. La sezioned’urto di interazione elettromagnetica e proporzionale al quadrato delle cariche elet-triche interagenti per cui, se si indica con fk(x) la densita dei quark di sapore k, lafunzione di struttura F2(x) si puo esprimere

F2(x) =∑

k

e2k xfk(x)

In un’interazione fortemente inelastica si possono formare anche coppie quark-antiquarkdello stesso sapore e l’interazione elettromagnetica ha lo stesso accoppiamento perquark e per antiquark per cui conviene definire

• quark di valenza quelli che definiscono i numeri quantici dell’adrone, ad esem-pio p = |uud〉 con carica +1, n = |udd〉 con carica 0, . . .;

• quark del mare (sea-quark) quelli costituiti dalle possibili coppie quark-antiquarkprodotte nell’interazione, ad esempio coppie ss.

Nelle interazioni elettrone-protone e elettrone-neutrone si misurano le funzioni distruttura

F ep2 (x) = x

[4

9up(x) +

1

9dp(x) + . . .

]F en

2 (x) = x[4

9un(x) +

1

9dn(x) + . . .

]

dove up(x) e dp(x) sono le densita di quark u e d del protone, un(x) e dn(x) quelledel neutrone. Le possibili coppie quark-antiquark del mare, uu, dd, ss hanno ap-prossimativamente la stessa densita e si puo trascurare il contributo dei quark conmassa piu elevata

4

9u(x) +

4

9u(x) +

1

9d(x) +

1

9d(x) +

1

9s(x) +

1

9s(x) + . . . ≈ 12

9s(x)

La simmetria dell’isospin dell’interazione adronica permette di ipotizzare che la den-sita di quark di valenza u del protone sia uguale alla densita di quark di valenza ddel neutrone

up(x) = dn(x) = uv(x) dp(x) = un(x) = dv(x)

Con queste ipotesi le funzioni di struttura del nucleone sono

F ep2 (x) = x

[4

9uv(x) +

1

9dv(x) +

12

9s(x)

]F en

2 (x) = x[1

9uv(x) +

4

9dv(x) +

12

9s(x)

]

Il rapporto tra le funzioni di struttura e mostrato in Fig. 3.44: si osserva che perx → 0 il rapporto e F en

2 (x)/F ep2 (x) ' 1: la densita di quark di valenza e del mare

e simile per piccoli valori dell’impulso dei partoni; mentre per x → 1 il rapporto

320

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0x

Fe

n(x

) /

Fe

p(x

)

Figure 3.44: Rapporto tra le funzioni di struttura di neutrone e protone,F en

2 (x)/F ep2 (x), in funzione della variabile x

F en2 (x)/F ep

2 (x) ' 1/4 indica che e importante solo il contributo dei quark uv(x).Questa non e una evidenza diretta che i partoni hanno la carica frazionaria previstanel modello a quark, ma indica che il modello e consistente con questa ipotesi.

In un bersaglio con ugual numero di protoni e neutroni, ad esempio deuterio,l’interazione avviene con uguale probabilita con i quark u e d e si ottiene una funzionedi struttura mediata sul contenuto di quark di valenza

F eN2 (x) =

F ep2 (x) + F en

2 (x)

2= x

[5

18uv(x) +

5

18dv(x) + . . .

]' 5

18x [q(x) + q(x)]

dove q(x) e q(x) indicano le densita di quark e antiquark. Il fattore 5/18 rapp-resenta il valor medio del quadrato delle cariche dei quark e degli antiquark checontribuiscono allo scattering fortemente inelastico elettrone-deuterio.

L’integrale della funzione x[q(x) + q(x)] su tutti i valori della variabile x rappre-senta il contributo di tutti i quark e gli anti-quark all’interazione e dovrebbe esserepari a 1. Il valore sperimentale e invece

∫ 1

0x [q(x) + q(x)] dx ' 18

5

∫ 1

0F eN

2 (x)dx ' 0.5

Questo valore si ottiene da misure dello scattering inelastico di elettroni e di muoni(che possono raggiungere energie piu elevate) su diversi bersagli con ugual numero diprotoni e neutroni (Deuterio, Carbonio, . . .) ed e approssimativamente indipendentedai valori di Q2 e ν. Un’ipotesi per spiegare questo risultato e che non tutti ipartoni del nucleone si accoppiano con il campo elettromagnetico. Questa ipotesisi basa su una seconda ipotesi, che i partoni si possano identificare con i quark concarica frazionaria. La verifica di questa si ottiene studiando l’interazione fortementeinelastica neutrino-nucleone: infatti in questo caso l’interazione non dipende dallacarica elettrica dei quark.

321

3.4.5 Scattering fortemente inelastico neutrino-nucleone

Nel capitolo 3.3 e mostrato come si realizzano intensi fasci di neutrini νµ e antineu-trini νµ. Le reazioni di scattering fortemente inelastico su nucleone sono

νµN → µ−X νµN → µ+X

Si tratta di reazioni che avvengono per interazione debole con sezioni d’urto moltopiccole, quindi negli esperimenti occorre avere bersagli molto grandi. Inoltre inun fascio di neutrini si conosce il flusso di neutrini per unita di energia, dΦ/dEν ,ma non si conosce l’energia dei singoli neutrini, quindi per conoscere l’energia deineutrini che interagiscono occorre misurare sia la direzione e l’energia del muone chela direzione e l’energia del sistema adronico X che si forma nella frammentazionedel nucleone.

La sezione d’urto differenziale di scattering elastico dipende da tre funzioni distruttura Wk(Q

2, ν)

d2σ

dQ2dν=G2(hc)2

2π

E ′

E

(W2 cos2 θ/2 +W12 sin2 θ/2∓ E + E ′

MW3 sin2 θ/2

)− ν+ ν

La differenza con l’interazione elettromagnetica e che l’interazione debole e costruitaa partire da una corrente vettoriale e una assiale. Si hanno quindi quattro terminiche corrispondono alle ampiezze per cui il nucleone cambia (∼ sin θ/2) oppure noncambia (∼ cos θ/2) direzione dello spin. Neutrini e antineutrini sono autostati dielicita con valori opposti e questo origina la differenza di segno nella somma di questitermini.

La dipendenza dall’angolo di emissione del muone, θ, permette di misurare le fun-zioni W2 e 2W1∓W3(E+E ′)/M . La misura di interazioni di neutrini e antineutrinipermette di determinare le funzioni W1 e W3.

La legge di scala di Bjorken prevede che nel limite Q2 M2, ν M , le funzionidi struttura siano funzioni solo di x = Q2/2Mν

νW2(Q2, ν)→ F2(x) MW1(Q2, ν)→ F1(x) νW3(Q2, ν)→ F3(x)

La sezione d’urto differenziale in funzione delle variabili adimensionali x, y e (h =1, c = 1)

d2σ

dxdy=G2

2π2ME

[F2(x)

(1− y − Mxy

2E

)+ 2xF1(x)

y2

2∓ xF3(x)

(y − y2

2

)]

Facendo l’ipotesi 2xF1(x) = F2(x), verificata nel caso di interazione elettromagneticadei partoni, per E M , s ' 2ME, la sezione d’urto differenziale e

d2σ

dxdy=G2

2πs

[F2(x)

(1− y +

y2

2

)∓ xF3(x)

(y − y2

2

)]− ν+ ν

(3.6)

Come nel caso dello scattering fortemente inelastico per interazione elettromagneticaqueste relazioni acquistano un significato piu esplicito esaminando l’interazione nel

322

sistema del centro di massa neutrino-partone. Nell’interazione debole i fermioni(νµ, µ

−, quark) si accoppiano col campo con elicita negativa e gli antifermioni (νµ, µ+,

antiquark) con elicita positiva. Quindi le possibili interazioni sono (Fig. 3.45)

νd→ µ−u ⇐ ⇒ J = 0νu→ µ−d ⇐ ⇐ J = 1νu→ µ+d ⇒ ⇒ J = 1νd→ µ+u ⇒ ⇐ J = 0

Figure 3.45: Scattering elastico (anti)neutrino-(anti)quark nel riferimento del centrodi massa

La sezione d’urto differenziale e (capitolo 3.3, con h = 1, c = 1)

dσ

dΩ∗=

G2c

8π2s∗ J = 0

dσ

dΩ∗=

G2c

8π2s∗(

1 + cos θ∗

2

)2

J = 1

con G2c = G2 cos2 θc. Espressa in termini dell’inelasticita

dσ

dy=G2c

2πs∗ J = 0

dσ

dy=G2c

2πs∗(1− y)2 J = 1

Introducendo le densita di quark e antiquark, e considerando anche i contributi deiquark del mare, νs→ µ−u, νu→ µ+s, che hanno accoppiamento ∼ G sin θc si ha

νd2σ

dxdy=G2

2πs∗[q(x) + q(x)(1− y)2

]=G2

2πsx[q(x) + q(x)− 2q(x)(y − y2/2)

]

νd2σ

dxdy=G2

2πs∗[q(x)(1− y)2 + q(x)

]=G2

2πsx[q(x) + q(x)− 2q(x)(y − y2/2)

]

3.4.6 Densita di quark e antiquark

Dalle misure delle funzioni di struttura nella scattering fortemente inelastico neutrino-nucleone e antineutrino-nucleone si possono determinare separatamente le densitadi quark e antiquark del nucleone. Dalle equazioni (3.6):

d2σνdxdy

+d2σνdxdy

=G2

πsF2(x)

(1− y +

y2

2

)F2(x) =

F νN2 (x) + F νN

2 (x)

2

323

d2σνdxdy

− d2σνdxdy

= −G2

πsxF3(x)

(y − y2

2

)F3(x) =

F νN3 (x) + F νN

3 (x)

2

Confrontando queste espressioni con quelle delle sezioni d’urto differenziali con quarke antiquark si estraggono le densita di quark e antiquark

x[q(x) + q(x)] = F2(x) x[q(x)− q(x)] = −xF3(x)

xq(x) =F2(x)− xF3(x)

2xq(x) =

F2(x) + xF3(x)

2

0

0 . 3

0 . 6

0 . 9

1 . 2

1 . 5

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

F2(x) = x [q(x) + q(x)]

x q(x)

x q(x)

----

----

x

Figure 3.46: Densita di quark e antiquark misurate nello scattering fortemente in-elastico di neutrini e antinuetrini

I risultati sperimentali, mostrati in Fig. 3.46, portano ad alcuni importanti con-clusioni:

• i quark del mare contribuiscono solo per piccoli valori di x;

• la densita dei quark di valenza si estende anche a grandi valori di x;

• come nel caso dell’interazione elettromagnetica, per bersagli che contengonougual numero di protoni e neutroni, l’integrale sul contributo di tutti i quarke antiquark e 6= 1

∫ 1

0F νN

2 (x)dx =∫ 1

0x[q(x) + q(x)]dx ' 0.5

cioe protone e neutrone sono costituiti anche di partoni che non si accoppianone con il campo elettromagnetico ne con il campo debole;

• confrontando i risultati dell’interazione elettrone (muone)-nucleone e neutrino(antineutrino)-nucleone si ottiene

F νN2 (x) ' 18

5F eN

2 (x)

e, poiche l’interazione debole non dipende dalla carica elettrica, questo risul-tato conferma che il valor medio dei quadrati delle cariche dei partoni e〈Σke

2k〉 = 5/18 in accordo con i valori delle cariche frazionarie del modello

a quark.

324

La conferma che gli antiquark hanno un ruolo importante nella struttura dinam-ica del nucleone si ottiene misurando la sezione d’urto differenziale di neutrini eantineutrini in funzione dell’inelasticita, dσν/dy, dσν/dy, mostrata in Fig.3.47. Nelmodello a partoni, queste hanno la forma

dσνdy

=∫ 1

0

d2σ

dxdydx =

G2

2π2ME

[∫xq(x)dx+ (1− y)2

∫xq(x)dx

]

dσνdy

=∫ 1

0

d2σ

dxdydx =

G2

2π2ME

[(1− y)2

∫xq(x)dx+

∫xq(x)dx

]

per cui si puo estrarre dalle misure il contributo globale di quark e antiquark

Q =∫ 1

0xq(x)dx Q =

∫ 1

0xq(x)dx

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0y

d

/d

ys

n

n-

Figure 3.47: Sezione d’urto differenziale di neutrini e di antineutrini in funzionedell’inelasticita

La sezione d’urto totale e mostrata in Fig. 3.48 in funzione dell’energia del fascio.Nel modello a partoni questa si ottiene integrando su tutti i valori di inelasticita

σ(νN → µ−X) =∫ 1

o

dσνdy

dy =G2(hc)2

2π2ME

(Q+Q/3

)

σ(νN → µ+X) =∫ 1

o

dσνdy

dy =G2(hc)2

2π2ME

(Q/3 +Q

)

G2(hc)2M/π = 1.58 10−38 cm2/GeV . I risultati mostrano che

• la sezione d’urto di interazione di neutrini e antineutrini cresce linearmentecon l’energia

σ(νN → µ−X) = (0.677± 0.014) 10−38 cm2/GeV × E (GeV )

σ(νN → µ+X) = (0.334± 0.008) 10−38 cm2/GeV × E (GeV )

325

Figure 3.48: Sezione d’urto totale di neutrini e di antinuetrini in funzione dell’energia

• il rapporto tra le sezioni d’urto

σνσν

=1 + 3Q/Q3 +Q/Q = 0.49

indica che il rapporto tra il contributo degli antiquark alla struttura del nu-cleone e quello dei quark e Q/Q = 0.20.

La sezione d’urto e proporzionale all’energia di neutrini e antineutrini, quindi anchealla massima energia dei fasci oggi disponibili (E ' 300 GeV ) la sezione d’urtonon e sensibile all’effetto del propagatore del campo debole. Infatti il propagatoremodifica la dipendenza lineare dall’energia, E

σ ' G2(hc)2

2π

2ME

(1 +Q2/M2W )2

Q2 = 2MExy

e si deduce che la massa del bosone W e molto grande: M2W 2MExy ' 100 GeV 2.

In conclusione, lo studio delle interazioni elettromagnetiche e deboli di fermionipuntiformi (elettroni, muoni e neutrini) con nucleoni mostra che

• questi sono costituiti di fermioni puntiformi di spin 1/2;

• l’accoppiamento con il campo elettromagnetico e proporzionale al quadratodella carica frazionaria dei quark;

• l’accoppiamento con il campo debole e proporzionale alla costante universaledi Fermi e, per i diversi sapori di quark, ai parametri della matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa;

• l’integrale sulla densita di quark e antiquark,∫x[q(x) + q(x)]dx ' 0.5, indica

che solo la meta dei partoni interagisce con il campo elettromagnetico e con ilcampo debole;

• i nucleoni sono costituiti anche di partoni che non si accoppiano ne con ilcampo elettromagnetico ne con il campo debole;

• questi si possono interpretare come i quanti dell’interazione adronica, i gluoni,che legano i quark e gli antiquark negli adroni.

326

3.5 Interazioni fermione-antifermione

Le conclusioni sul modello dinamico a quark sono confermate con numerose altremisure fatte con anelli di collisione elettrone-positrone (capitolo 1.3) per studiare lareazione di annichilazione e+e− → adroni o studiando interazioni adroniche in cuisono prodotte coppie leptone-antileptone nello stato finale, ad esempio pp→ e+e−X.

3.5.1 Annichilazione e+e−

L’idea originale di realizzare anelli di collisione elettrone-positrone e di Bruno Tou-schek ed e stata sperimentata negli anni ’60 presso i Laboratori di Frascati con lacostruzione di un piccolo anello di accumulazione chiamato ADA. Da allora sonostati costruiti molti anelli di collisione e+e− con energia dei fasci da 200 MeV finoa 100 GeV che hanno prodotto una grande quantita di informazione sulla annichi-lazione e+e−.

Al primo ordine dello sviluppo in teoria delle perturbazioni l’annichilazione elettrone-positrone e descritta con lo scambio di un fotone di 4-impulso

Q2 = s = (P+ + P−)2 = 2m2e + 2E+E− − 2~p+ · ~p− ' 4E+E−

Lo stato finale f prodotto nell’annichilazione e+e− → f ha i numeri quantici delfotone: J = 1, P = −1, C = −1.

Nel riferimento del centro di massa si ha E+ = E−, s = 4E2. Se elettronee positrone sono accelerati nello stesso anello, il riferimento del centro di massacoincide con quello del laboratorio.

Annichilazione e+e− → µ+µ−

Figure 3.49: Diagramma di Feynman dell’annichilazione e+e− → µ+µ−

Il processo elementare e l’annichilazione in due fermioni puntiformi con numeroleptonico diverso e+e− → µ+µ− (Fig. 3.49). La sezioned d‘urto differenziale e

dσ

dΩ=

1

c

2π

h|〈f |H|i〉|2 p2

8π3h3

dp

dEtot=

∣∣∣∣∣4παhc

q2f(θ)

∣∣∣∣∣

2E2β

8π2(hc)4

Il propagatore del fotone e time-like, (hc)2q2 = s = (2E)2, e la distribuzione angolaree la somma di due ampiezze (Fig.3.50) che rappresentano la rotazione di spin 1 di θe π − θ (appendice 4.10)

f(θ) =1 + cos θ

2f(π − θ) =

1− cos θ

2

327

Figure 3.50: Angolo di produzione della coppia µ+µ−

Le due ampiezze non interferiscono e la sezione d’urto e

dσ

dΩ=α2(hc)2β

2s

1 + cos2 θ

2

σ(e+e− → µ+µ−) =4π

3

α2(hc)2

sβ

4πα2(hc)2

3= 8.6 10−32 cm2 GeV 2

con β → 1 quando E mµ. Un altro processo di interesse, l’annichilazione e+e− →γγ, e trattato nell’appendice 4.24. Misure dell’annichilazione e+e− → γγ e e+e− →µ+µ− sono state fatte fino a 4-impulsi trasferiti Q > 100 GeV e si e dimostrato cheelettrone e muone sono fermioni puntiformi con dimensioni molto minori di 10−16 cm.

Produzione di coppie di mesoni pseudoscalari

Nell’annichilazione e+e− → π+π−, e+e− → K+K−, i mesoni di spin zero vengonoemessi in uno stato di momento angolare orbitale ` = 1 con dipendenza angolaref(θ) = sin θ/

√2 (appendice 4.10), quindi l’energia di rotazione aggiunge un fattore

β2. La sezione d’urto

dσ

dΩ=α2(hc)2β3

2s

sin2 θ

2|F (s)|2 σ(e+e− → π+π−) =

2π

3

α2(hc)2

2sβ3|F (s)|2

e fortemente soppressa dal fattore di forma elettromagnetico (F (s) → 0 per s 4m2). Quindi la produzione di mesoni pseudoscalari non da un contributo impor-tante alla produzione di adroni.

Produzione di risonanze mesoniche

I mesoni vettori sono rappresentati nel modello a quark come stati legati quarkantiquark con momento angolare orbitale ` = 0 e spin paralleli. Hanno i numeriquantici del fotone JPC = 1−− e possono esser prodotti nell’annichilazione e+e−

quando s ' m2V . La sezione d’urto di produzione (capitolo 1.8) dipende dalla

larghezza di decadimento Γee = Γ(V → e+e−)

σ(e+e− → V ) =16π(hc)2

s

2J + 1

(2Se + 1)2

ΓeeΓ

(√s−mV )2 + (Γ/4)2

328

σ(s = m2V ) =

16π(hc)2

m2V

3

4

ΓeeΓ

=12π(hc)2

m2V

BRee

Le risonanze mesoniche decadono in stati finali costituiti per lo piu di adroni.L’annichilazione e+e− → V si manifesta quindi come un picco di larghezza Γ nellasezione d’urto di produzione e+e− → adroni. I parametri delle risonanze mesonichesono

m (MeV ) Γ (MeV ) BRee

ρ 770 150 4.7 10−5

ω 783 8.4 7.3 10−5

φ 1019 4.3 3.0 10−4

J/ψ 3097 0.093 6.0 10−2

Υ 9460 0.054 2.4 10−2

3.5.2 Il quarkonio

Negli esperimenti di annichilazione e+e− vengono misurate con precisione le massee le larghezze delle risonanze e si possono studiare i loro modi di decadimento. Inparticolare, per i mesoni vettori si osserva che i valori delle larghezze di decadimentoΓee sono simili nonostante le masse siamo molto diverse. Il decadimento V → e+e−

avviene per interazione elettromagnetica e la larghezza parziale si calcola in modoanalogo alla sezione d’urto e+e− → qq

Γee = 2π|〈ee|H|V 〉|2ρ(Ef ) =4πα2(hc)3

3m2V

∣∣∣∑

eqψqq(0)∣∣∣2

dove ψqq(0) e la funzione d’onda dello stato legato qq a distanza r = 0. La somma eestesa al numero di quark, numero di colori (×3) e stati di spin del sistema qq (×4),e si ottiene Γee = 16πα2(hc)3|∑ eq|2|ψ(0)|2/m2

V . Confrontando i valori misurati conla previsione del modello a quark

V stato Γee (keV ) |∑ eq|2 |ψ(0)|2/m2V

ρ uu−dd√2

7.04 1/2 0.68

ω uu+dd√2

0.60 1/18 0.53

φ ss 1.27 1/9 0.56J/ψ cc 5.55 4/9 0.59Υ bb 1.34 1/9 0.58

si osserva che |ψ(0)|2/m2V ' 0.6 GeV −2fm−3 e approssimativamente costante. In un

modello di potenziale non relativistico, che e una buona approssimazione perche lemasse dei quark non sono piccole rispetto all’energia totale, |ψ(0)|2 e proporzionalea 1/R3

V e quindi M2VR

3V ' costante. Questo suggerisce che il potenziale di inter-

azione qq non sia semplicemente coulombiano, per cui si ha MR = costante, ma cheaumenti con la distanza q–q.

Informazioni piu quantitative si ottengono analizzando gli spettri di massa deimesoni qq. Questo e possibile per i quark c e b che formano molti stati legati che,

329

in analogia con il positronio (e+e−), vengono chiamati quarkonio. Gli stati delquarkonio come quelli dell’atomo di idrogeno sono identificati dai numeri quanticin, L, S, J . La parita e P = PqPq(−1)L = (−1)L+1. La coniugazione di carica edefinita dalla simmetria per scambio q ↔ q; (−1)S+1(−1)LC = −1 per fermioniidentici di spin 1/2; cioe C = (−1)L+S.

Le masse degli stati del quarkonio sono mostrate in Fig. 3.51, per diversi valoridei numeri quantici JPC , insieme ai livelli energetici del positronio. Gli stati n1S0

sono mesoni pseudoscalari 0−+ come le particelle η; gli stati n3S1 sono i mesonivettori 1−−; gli stati n3PJ sono mesoni indicati con la lettera χ.

Figure 3.51: Masse dei mesoni del quarkonio e livelli energetici del positronio (ladifferenza dei livelli non e in scala)

L’analogia con il positronio e notevole. La scala di energia dei livelli del positronioe definita dalla costante di struttura fine α e dalla massa dell’elettrone, mentre quelladel quarkonio dalla costante dell’interazione qq, che chiameremo αs (s per strong)e dalle masse dei quark. I livelli di energia del quarkonio sono ben riprodotti daun potenziale che aumenta con la distanza, U(r) = −4αs/3r + βr, con αs ' 0.3 eβ ' 1 GeV/fm. La forma del potenziale e i valori dei parametri sono in accordocon le previsioni della teoria di campo dell’interazione adronica, la cromodinamicaquantistica (capitolo 3.6).

3.5.3 Annichilazione e+e− → adroni

Nell’annichilazione e+e− → X si puo produrre qualunque stato finale formato daadroni che abbia i numeri quantici dello stato iniziale. A energia elevata si os-serva la produzione di molti mesoni (prevalentemente mesoni π e piu raramentemesoni K), la produzione di barioni e fortemente soppressa dal valore piu elevatodella massa e dalla conservazione del numero barionico (si devono produrre coppiebarione-antibarione).

330

10-1

1

10

10 2

10 3

1 10 102

!" #

J/$$(2S)

R

Z

%s (GeV)

Figure 3.52: Rapporto σ(e+e− → adroni)/σ(e+e− → µ+µ−) in funzione dell’energiatotale (S.Eidelman et al., Physics Letters B592, 1, 2004)

La Fig. 3.52 mostra il rapporto tra la sezione d’urto di produzione di adroni ela sezione d’urto σ(e+e− → µ+µ−) in funzione dell’energia totale

√s. Si osserva

che la produzione di adroni ha la stessa dipendenza prevista per l’annichilazione incoppie di fermioni puntiformi, cioe che non risente di alcun effetto dovuto a fattoridi forma. Questa osservazione ha una semplice interpretazione nel modello a quarkin cui la sezione d’urto di annichilazione in una coppia quark-antiquark di sapore ke carica elettrica ek e (h = 1, c = 1)

σ(e+e− → qkqk) =4πα2

3se2k

Poiche i quark hanno carica di colore, mentre lo stato adronico osservato non hacolore, la coppia qkqk interagisce per produrre adroni incolori (Fig. 3.53). La sezioned’urto σ(e+e− → adroni) e quindi la somma su tutti gli stati di colore e su tutti glistati di sapore con

√s > 2mk

σ(e+e− → adroni) =∑

colore

∑

k

σ(e+e− → qkqk) =4πα2

3s

∑

k

3e2k

R =σ(e+e− → adroni)

σ(e+e− → µ+µ−)=

∑√s>2mk

3e2k

Il modello a quark prevede R = 3(4/9 + 1/9 + 1/9) = 2 per√s > mss; R = 10/3

per√s > mcc. In Fig. 3.52 e riportato anche il contributo degli stati eccitati delle

risonanze mesoniche (ρ, ω, φ, ψ′, ψ′, . . .) che si somma al continuo della produzionedi adroni.

Quando l’impulso dei quark e molto maggiore delle masse delle particelle nellostato finale (prevalentemente mesoni π) queste sono raggruppate in due coni in

331

eq

e

e eq

q

qqqq

e e

q

q

Figure 3.53: Diagramma di Feynman dell’annichilazione e+e− → qq

emisferi opposti, formano cioe due jet adronici con impulsi opposti. Se i quarksono fermioni di spin 1/2, la distribuzione angolare dell’asse dei jet rispetto all’assedi collisione e+e− ha la forma dnjet/d cos θ = 1 + cos2 θ. Anche questo e statoverificato negi esperimenti.

In anelli di collisione e+e−, quando l’energia e maggiore del valore di soglia per laproduzione di coppie qq di sapore k (

√s > 2mk), queste formano mesoni contenenti

il sapore k. In questo modo sono stati osservati le particelle con charm e beauty(capitolo 3.3). Il quark top non e stato osservato in interazioni e+e− perche nonesistono anelli di collisione di energia sufficientemente elevata; e stato osservatonell’annichilazione antiprotone-protone.

3.5.4 Annichilazione quark-antiquark

Gli adroni sono costituiti di quark e quindi in interazioni adroniche si puo osservare ilprocesso inverso di annichilazione quark-antiquark in coppie di leptoni qq → `+`−.La produzione di coppie e+e− e µ+µ− e stata studiata in interazioni di fasci diprotoni, o mesoni su bersagli di protoni o nuclei e con anelli di collisione antiprotone-protone, protone-protone. Le reazioni di produzione di coppie di leptoni, ad esempio

pp→ `+`−X π±p→ `+`−X K±p→ `+`−X

sono chiamati processi Drell–Yan, da Sidney Drell e Tung-Mow Yan, X e qualunquestato finale risultato della frammentazione dei due adroni interagenti (Fig. 3.54)

Figure 3.54: Diagramma di Feynman del processo Drell–Yan pp→ µ+µ−X

Negli esperimenti si misurano gli impulsi dei due leptoni, ~p+, ~p− e con questi sidetermina la massa invariante

M2 = (P+ + P−)2 = 2m2 + 2E+E− − 2~p+ · ~p− ' 4p+p− sin2 θ+−/2

332

Gli adroni interagenti hanno 4-impulsi P1 e P2 e energia totale s = (P1 + P2)2. Lacoppia `+`− e prodotta nell’annichilazione di un quark con 4-impulso x1P1 e unantiquark con 4-impulso x2P2 (o viceversa) e l’energia totale nel centro di massaquark-antiquark e pari alla massa invariante dei due leptoni. Trascurando i valoridelle masse, il 4-impulso trasferito e

(x1P1 + x2P2)2 = x1x2s

La sezione d’urto differenziale in funzione della massa invariante si ottiene integrandosulle densita dei quark con il vincolo x1x2s = M2

d2σ =1

3

∑

k

[q(x1)q(x2) + q(x2)q(x1)]σ(qkqk → `+`−) dx1dx2

Il fattore 1/3 e introdotto perche tra tutte le combinazioni qkqk solo quelle con lostesso colore possono accoppiarsi con il campo elettromagnetico. La sezione d’urtodi annichilazione e σ(qkqk → `+`−) = (4π/3)α2e2

k/M2. Quindi per la sezione d’urto

differenziale si ha

d3σ =1

3

4π

3

α2

M2

∑

k

e2k [q(x1)q(x2) + q(x2)q(x1)] δ(x1x2s−M2)dx1dx2dM

2 =

=4π

9

α2

M2

∑

k

e2k [q(x1)q(x2) + q(x2)q(x1)]

x1x2

M2δ(x1x2 −M2/s)dx1dx2dM

2

Introducendo le funzioni di struttura di quark, Fq(x) = xq(x), e antiquark, Fq(x) =xq(x),

dσ

dM2=

4π

9

α2

M4

∫ 1

0

∫ 1

0

∑

k

e2k [Fq(x1)Fq(x2) + Fq(x2)Fq(x1)] δ(x1x2 −M2/s)dx1dx2

L’integrale sulle funzioni di struttura e funzione solo della variabile adimensionaleM2/s, per cui si ottiene

dσ

dM2=

4π

9

α2

M4G(M2/s) M3 dσ

dM=

8π

9α2G(M2/s)

Le misure effettuate a diverse energie hanno verificato che

• la sezione d’urto differenziale non dipende separatamente dalla massa invari-ante M e dall’energia totale degli adroni,

√s, ma solo dal rapporto M2/s;

• le funzioni di struttura di quark a antiquark misurate nello scattering inelasticoneutrino-nucleone riproducono la funzione G(M2/s) misurata nelle interazioniprotone-protone e antiprotone-protone;

• il confronto di queste misure con quelle fatte con fasci di mesoni π eK permettedi misurare le funzioni di struttura dei mesoni.

333

3.6 Interazioni adroniche

Nei capitoli precedenti abbiamo esaminato alcune proprieta delle particelle soggettea interazione adronica che possiamo cosı riassumere

• gli stati degli adroni, barioni e mesoni, mostrano una serie di regolarita chesono alla base del modello statico a quark;

• la dinamica delle interazioni elettromagnetiche e deboli degli adroni, stu-diata nello scattering fortemente inelastico di elettroni, muoni e neutrini,l’annichilazione elettrone-positrone in adroni e i fenomeni Drell–Yan, e in ac-cordo con l’ipotesi che gli adroni siano costituiti di quark e che questi sianofermioni puntiformi di spin 1/2 e carica elettrica frazionaria;

• la misura dei fattori di forma elettromagnetici degli adroni e della sezioned’urto di interazione adronica mostra che i quark costituenti sono confinati inuna regione di dimensione di poco meno di 1 fm.

Sulla base di queste evidenze sperimentali vediamo se e possibile impostare unateoria delle interazioni adroniche in grado di interpretare anche i fenomeni in cuisono coinvolti solo adroni.

3.6.1 Fenomenologia delle interazioni adroniche

Consideriamo la reazioneh1 h2 → p1 p2 . . . pn

in cui due adroni collidono a formare uno stato di n particelle di impulso ~pk. Nelcapitolo 1.8, sulla base di considerazioni generali sullo scattering da potenziale, sie mostrato che la sezione d’urto totale e la sezione d’urto elastica tendono ad unvalore indipendente dall’energia totale quando l’impulso nel centro di massa e moltomaggiore di h/R, dove R e la dimensione spaziale degli adroni, σtot → 2πR2. LaFig. 3.55 mostra l’andamento della sezione d’urto totale e della sezione d’urto elastica(σtot = σel + σinel) in interazioni protone-protone e antiprotone-protone in funzionedell’energia nel centro di massa,

√s = 2(m2

p + p2cm)1/2. Per

√s 2mp la sezione

d’urto e approssimativamente costante, σ ' 40 mb, ma poi cresce lentamente conln s. A energia elevata le sezioni d’urto protone-protone e antiprotone-protone sonouguali; le stesse conclusioni si hanno studiando le reazioni con fasci di mesoni: π±p,K±p.

Consideriamo la regione in cui pcm h/R (√s 2mp). Se l’energia nel centro

di massa e molto maggiore delle masse degli adroni, si possono produrre molti mesoninello stato finale. La sezione d’urto differenziale in funzione del 4-impulso (~p, E) delgenerico adrone emesso nello stato finale si puo fattorizzare in una funzione dellacomponente trasversa dell’impulso, pT (invariante per trasformazioni di Lorentz),e della componente longitudinale, pL. In un sistema di riferimento in cui l’assez rappresenta la direzione del moto relativo degli adroni h1 e h2 (Fig.3.56) si ha:

334

10

10 2

10 -1 1 10 102 103 104 105 106 107 108

elastic

total

pp

Plab GeV/c

Cros

s sec

tion

(mb)

10

10 2

10 -1 1 10 102 103 104 105 106 107 108

Plab GeV/c

elastic

total

p_p

Cros

s sec

tion

(mb)

s GeV1.9 2 10 102 103 104

Figure 3.55: Sezione d’urto totale e elastica protone-protone e antiprotone-protonein funzione dell’energia nel centro di massa,

√s (S.Eidelman et al., Physics Letters

B592, 1, 2004) .

p2x + p2

y = p2T , pz = pL, θ = atan pT/pL e l’angolo polare, φ = atan py/px e l’angolo

azimutale. Se fascio e bersaglio non sono polarizzati, cioe non si ha una direzionepreferita degli spin, la sezione d’urto non dipende dall’angolo azimutale φ.

pL

pT-pcm

+pcm

Figure 3.56: Produzione inclusiva di adroni nella reazione h1h2 → hX.

Se√s e l’energia totale nel centro di massa, la sezione d’urto inclusiva per la

formazione del generico adrone h di impulso ~p (h1h2 → hX) si esprime in formainvariante (capitolo 1.2) in funzione di pT , pL e

√s

d3σ

d~p/E=

d3σ

dpxdpydpz/E=

d3σ

pTdpTdφdpL/E= F (pT , pL,

√s) (3.7)

335

Il differenziale dy = dpL/E e invariante e definisce la rapidita

y =∫ +pL

−pL

dpLE

=1

2lnE + pLE − pL

=1

2ln

(E + pL)2

E2 − p2L

= lnE + pLET

(3.8)

Dalla definizione si ricavano l’energia e l’impulso longitudinale di una generica par-ticella

E = ET cosh y pL = ET sinh y (3.9)

In una trasformazione di Lorentz, ad esempio dal riferimento del laboratorio alriferimento del centro di massa della reazione, la rapidita si trasforma secondo larelazione

y′ =1

2lnE ′ + p′LE ′ − p′L

=1

2lnγE + βγpL + γpL + βγE

γE + βγpL − γpL − βγE= y +

1

2ln

1 + β

1− β

La differenza di rapidita ∆y tra ogni coppia di adroni prodotti e invariante.Nell’ipotesi che gli adroni siano costituiti di quark confinati nella regione R con

impulso pq ' h/R si puo supporre che il generico adrone sia emesso con impulsotrasverso pT '

√2pq e impulso longitudinale pL pT , e che l’impulso trasverso sia

caratterizzato da una distribuzione statistica del tipo

dn

pTdpT= ae−bET

dove ET e l’energia trasversa, ET = (p2T +m2)1/2. Per R ' 0.8 fm, pT ' 300 MeV/c

e per la maggior parte degli adroni prodotti (mesoni π) si puo approssimare ET ' pT .Con queste semplici ipotesi ci si aspetta che la sezione d’urto inclusiva in funzionedell’impulso trasverso abbia un andamento del tipo

dσ

dpT= apT e

−bpT con valor medio 〈pT 〉 =

∫p2T e−bpT dpT∫

pT e−bpT dpT=

2

b

e che gli adroni siano emessi prevalentemente con impulso trasverso piccolo perqualunque valore della loro energia E. Questo e verificato per valori dell’impulsotrasverso fino a circa 1 GeV , il valor medio e 〈pT 〉 ≈ 350 MeV anche per valoridell’impulso longitudinale molto maggiori di 1 GeV e dipende debolemente da

√s.

Questo permette di fattorizzare la forma della sezione d’urto inclusiva (Eq. 3.7) in

1

2π

d2σ

pTdpTdy= f(pT )g(y,

√s)

La sezione d’urto differenziale in funzione dell’impulso longitudinale rappresentacome gli n adroni prodotti si dividono l’energia totale a disposizone. L’integraledella sezione d’urto inclusiva e pari al prodotto della sezione d’urto inelastica e ilnumero medio di particelle prodotte

σ(h1h2 → p1p2 . . . pn) =∫f(pT )dpT

∫g(y,√s)dy = 〈n〉σinel

336

dove il primo integrale e σinel sono approssimativamente costanti al variare dell’energianel centro di massa. Quindi, poiche l’impulso longitudinale non contiene infor-mazione sulla dinamica del processo di reazione, ma solo sulla cinematica, si puosupporre

dσ

dy' costante 〈n〉σinel = costante× ymax

Quando l’energia nel centro di massa e molto maggiore delle masse degli adronisi producono molte particelle nello stato finale e il numero di adroni, n, ha unadistribuzione statistica con valor medio 〈n〉. Questi sono prevalentemente mesoni πche sono gli adroni con la massa piu piccola, ma vengono prodotti anche mesoni K(tipicamente nK/nπ ' 0.1) e mesoni vettori (ρ, ω, φ, . . .) che decadono in mesoni πo K. La probabilita di produrre adroni di massa maggiore e trascurabile. Per lasimmetria dell’isospin si ha nπ± = 2nπ0 (Iπ = 1) e nK± = nK0 (IK = 1/2), quindicon buona approssimazione il numero di particelle cariche e il doppio delle particelleneutre. Poiche σinel ' costante, le considerazioni precedenti implicano che il numeromedio di adroni prodotti, la molteplicita, sia approssimativamente proporzionale alvalore massimo della rapidita

ymax = ln(Emax + pL,max)

ET,min' ln

√s/mp

cioe che la molteplicita aumenti linearmente con il logaritmo dell’energia

〈n〉 = c+ d ln s

Per E m, la rapidita si puo approssimare con la variabile pseudorapidita,η = − ln tan θ/2, che dipende solo dall’angolo polare θ

y =1

2ln

(p2 +m2)1/2 + p cos θ

(p2 +m2)1/2 − p cos θ=

1

2ln

1 + cos θ + p2/4m2 + . . .

1− cos θ + p2/4m2 + . . .' − ln tan θ/2

Questo ha il vantaggio che le misure di molteplicita si possono fare senza usare campimagnetici e quindi con ampia accettanza e buona uniformita. La Fig. 3.57 (sinistra)mostra la molteplicita di particelle cariche per unita di pseudorapidita prodottein interazioni protone-protone e antiprotone-protone per diversi valori dell’energianel centro di massa. Dall’andamento della densita di particelle cariche dnch/dη

13

si deduce dnch/dy ' costante in un ampio intervallo, detto plateau di rapidita,che si estende all’aumentare di

√s, e una diminuzione di dnch/dy per |y| → ymax;

ymax(63 GeV ) ' 4.2, ymax(900 GeV ) ' 6.8. Questo e in accordo qualitativo conle ipotesi fatte, ma si nota che dnch/dy|y=0 aumenta con l’energia nel centro dimassa. La Fig. 3.57 (destra) mostra la molteplicita di particelle cariche in funzionedell’energia nel centro di massa, nch =

∫(dnch/dy)dy dove l’integrale va esteso da

−ymax a +ymax. La molteplicita non ha un andamento lineare con ln s, ma piuttostocon (ln s)2 poiche sia dnch/dy|y=0 che ymax aumentano con andamento proporzionalea ln s.

13 La densita di particelle dndη = dn

dydydη = dn

dypE e minore di dn

dy per y → 0 e dndη ' dn

dy per y > 2.

337

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

1 0 1 0 0 1000

n ch

s1 / 2 (GeV)

0 . 0

1 . 0

2 . 0

3 . 0

4 . 0

5 . 0

0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0

53 GeV200 GeV900 GeV

hhhh

dnch

/dhhhh

Figure 3.57: Molteplicita di particelle cariche per unita di pseudorapidita in inter-azioni protone-protone e antiprotone-protone. Molteplicita di particelle cariche infunzione dell’energia nel centro di massa,

√s.

Dalle osservazioni precedenti si deduce che, a energia fissa, la sezione d’urtoinvariante non dipende dalla rapidita in un ampio intervallo ∆y

dσ

dy=∫ d3σ

d~p/EdpTdφ ' costante

La Fig. 3.58 mostra la sezione d’urto invariante mediata nel plateau di rapidita infunzione dell’impulso trasverso

dσ

pTdpT=∫ d3σ

d~p/Edydφ

Per pT < 1 GeV/c i valori della sezione d’urto sono ben rappresentati da una leggeesponenziale e il valore medio dell’impulso trasverso e approssimativamente ugualea quello previsto dal modello a quark. La linea in Fig. 3.58 rappresenta l’andamentodei dati sperimentali per pT < 1 GeV/c e

√s = 63 GeV: in questo caso 〈pT 〉 ' 2/6

= 0.33 GeV/c. I risultati si discostano dalla legge esponenziale per valori di impulsotrasverso maggiori e l’effetto e piu evidente all’aumentare dell’energia nel centro dimassa.

Le interazioni di fasci di mesoni π o di mesoni K con bersagli di protoni o deutonimostrano le stesse caratteristiche. In questo caso pero l’energia nel centro di massae limitata a valori minori di 40 GeV.

Dall’analisi di questi risultati possiamo concludere che

• la sezione d’urto inelatica non ha un andamento asintotico costante, ma au-menta lentamente con l’energia ∼ ln s;

338

1 0- 4

1 0- 3

1 0- 2

1 0- 1

1 00

1 01

1 02

0 1 2 3 4 5 6

63 GeV

200 GeV

900 GeV

200 mb e- 6 p T

pT (GeV/c)

E d3

/dp3

(m

b G

eV-

2 c3 )

ssss

Figure 3.58: Sezione d’urto invariante di particelle cariche in funzione dell’impulsotrasverso per diversi valori dell’energia nel centro di massa.

• la sezione d’urto differenziale dσ/dy e approssimativamente costante in unampio intervallo di rapidita, ma aumenta lentamente con l’energia ∼ ln s;

• la molteplicita non aumenta ∼ ln s, ma piuttosto ∼ (ln s)2;

• la sezione d’urto differenziale dσ/pTdpT segue una legge esponenziale, ma soloper valori dell’impulso trasverso, pT < 1 GeV/c.

Quindi, le caratteristiche generali delle interazioni adroniche sono in accordo quali-tativo con un semplice modello di adroni costituiti di quark con impulso trasversopq ' 250 MeV/c, analogo al modello statistico a gas di Fermi dei nuclei, ma se nediscostano sensibilmente quando gli adroni prodotti hanno impulso trasverso moltomaggiore di pq. La probabilita che questo avvenga e piccola (Fig. 3.58), ma sicura-mente maggiore di quanto previsto da un modello statistico. Inoltre, la produzionedi reazioni con molteplicita elevata e fortemente correlata con la presenza di adronicon impulso trasverso elevato e questo e presumibilmente un segnale di come simanifesti la dinamica delle interazioni tra i costituenti degli adroni.

3.6.2 La cromodinamica quantistica

La cromo-dinamica quantistica, QCD per Quantum Chromo-Dynamics, e la teoriadi campo sviluppata per interpretare la fenomenologia delle interazioni adroniche.Nel capitolo 3.2 abbiamo visto che il modello statico a quark e in grado di riprodurrei numeri quantici dei multipletti JP dei mesoni e dei barioni introducendo tre carichedi colore in modo che le combinazioni di quark che realizzano gli stati delle particelle

339

osservate siano antisimmetriche rispetto allo scambio dei quark e che questi statisiano incolori. La simmetria del colore e la simmetria SU(3) delle matrici di Gell-Mann (appendice 4.12). Il nome colore deriva dal fatto che si possono ottenereimmagini colorate o, nel caso degli adroni, bianche a partire da tre colori di baseche indichiamo con rosso, blu e giallo. Inoltre il modello a partoni, discusso nelcapitolo 3.4, spiega la dinamica di alcuni processi fisici ad elevato impulso trasferitocome interazione tra quark puntiformi, sorgenti del campo, e quanti di massa nulla espin 1 (queste ultime due ipotesi vanno convalidate con altre verifiche sperimentali).

Le ipotesi di base della QCD sono:

• gli adroni sono costituiti di particelle puntiformi, i quark;

• i quark sono fermioni di spin 1/2 e numero barionico 1/3, gli anti-quark sonoi corrispondenti antifermioni con numero barionico -1/3;

• hanno interazione adronica per effetto della carica di colore (gli anti-quarkhanno carica di colore opposta, rosso, blu e giallo);

• l’interazione adronica e mediata da quanti che si accoppiano alla carica dicolore, i gluoni;

• i gluoni sono bosoni di massa nulla e spin 1.

Inoltre i quark hanno interazione elettromagnetica per effetto della carica elettrica(frazionaria), e hanno interazione debole come combinazioni di stati definiti daiparametri della matrice CKM.

Sulla base di queste ipotesi i barioni sono costituiti da tre quark nello stato dimomento angolare orbitale ` = 0 nelle combinazioni di spin 1/2 oppure spin 3/2,e hanno parita positiva = (+1)3. Analogamente gli antibarioni sono costituiti datre antiquark e hanno parita negativa = (−1)3. Ad esempio, il barione ∆++, concarica elettrica +2, numero barionico +1, spin 3/2, e costituito dalla combinazioneincolore di tre quark u tutti con componente dello spin +1/2

|∆++, 3/2+〉 =1√6

∑

rbg

εrbg|ur ↑ ub ↑ ug ↑〉

∆++ = 1√6

(urubug − urugub + ubugur − uburug + ugurub − ugubur)I mesoni sono costituiti da un quark e un antiquark nello stato di momento

angolare orbitale ` = 0 nelle combinazioni di spin 0 oppure spin 1, la parita enegativa, (+1)(−1). Ad esempio, il mesone π+, con carica +1, numero barionico0, spin 0 e parita negativa, e costituito da una coppia quark u−antiquark d concomponenti opposte degli spin nelle combinazioni incolori rr, bb, gg

|π+, 0−〉 =1√6

(ur ↑ dr ↓ + ur ↓ dr ↑ + ub ↑ db ↓ + ub ↓ db ↑ + ug ↑ dg ↓ + ug ↓ dg ↑

)

340

I vettori di base della simmetria SU(3) sono i tre colori

r =

100

b =

010

g =

001

che possiamo rappresentare in un piano

b rg

gr b

I gluoni sono bosoni con numero fermionico 0 e carica elettrica nulla che hanno inumeri quantici di coppie qq dello stesso sapore, e sono rappresentati dalle combi-nazioni colore-anticolore. Queste formano un ottetto e un singoletto, otto combi-nazione dotate di colore e una incolore

ottetto

G1 = bg G2 = rg

G4 = br G3, G8 G5 = rb

G6 = gr G7 = gb

singoletto G0

la combinazione del singoletto e simmetrica: G0 = (rr + bb + gg)/√

3, le altre duecombinazioni, G3 e G8, sono ortogonali tra loro e ortogonali a G0:

G3 =rr − bb√

2G8 =

rr + bb− 2gg√6

L’interazione tra quark viene mediata dagli otto campi di gluoni rappresentatidall’ottetto e quindi i gluoni portano colore. Questa e una importante differenzatra l’elettrodinamica, QED, in cui esistono due stati di carica elettrica e un bosonemediatore neutro, il fotone, e la QCD in cui esistono tre stati di carica di colore (etre coniugati) e otto bosoni colorati.

I fattori di accoppiamento di colore

In QED la costante di accoppiamento e definita dall’energia di interazione tra caricheelettriche U(r) = e1e2/4πε0r; se e e la carica elementare U(r) = ±α/r. Per definire,in analogia, la costante di accoppiamento dell’interazione adronica occorre calcolarei prodotti delle cariche di colore c1c2, chiamati fattori di colore, nelle loro possibilicombinazioni. Ad esempio, come mostrato in Fig. 3.59

• nello scattering quark-quark rr → rr vengono scambiati i gluoni G3 e G8, ilfattore di colore e C = c√

2c√2

+ c√6c√6

= 2c2

3;

• lo stesso si ha per lo scattering bb→ bb e gg → gg; quest’ultimo e mediato dalsolo gluone G8: C = −2c√

6−2c√

6= 2c2

3;

341

b

b

b

b

r

b

r

b

r

b

b

r

c 2/3

c 2/3

c/ 3

c/ 3

c

c

bb bb rr+ br

Figure 3.59: Fattori di colore dello scattering qq → qq

• rb→ rb e mediato dai gluoni G3 e G8, C = −c√2c√2

+ c√6c√6

= −c23

;

• rg → rg e bg → bg sono mediati dal gluone G8, C = −2c√6

c√6

= −c23

;

• per i processi di scambio carica rb → br, bg → gb, . . . , mediati dai gluoniG4, G1, . . ., il fattore di colore e c2;

• nello scattering quark-antiquark (qq) le due cariche di colore hanno segnoopposto e il fattore di colore e l’opposto di quello del corrispondente processoqq: C(qq) = −C(qq), mentre nei processi qq cambia il segno di entrambe lecariche e C(qq) = +C(qq).

Riassumendo:

〈rr|rr〉〈bb|bb〉〈gg|gg〉 +2/3 〈rr|rr〉 . . . . . . −2/3〈rb|rb〉〈bg|bg〉〈gr|gr〉 −1/3 〈rb|rb〉 . . . . . . +1/3〈rb|br〉〈bg|gb〉〈gr|rg〉 +1 〈rb|rb〉〈rr|bb〉 . . . −1

Fattori di colore positivi corrispondono a interazione repulsiva, fattori di colorenegativi corrispondono a interazione attrattiva, quindi per formare gli adroni che siosservano occorre che il fattore di colore sia negativo e che le combinazioni di quarke/o antiquark siano nello stato di singoletto incolore

• un mesone e un singoletto di colore quark-antiquark, |qq〉sing = 1√3

(rr + bb+ gg

).

Il processo rr → rr contribuisce con un fattore −2c2

3e analogamente gli altri

tre. Il processo rr → bb contribuisce con un fattore −c2

3, poiche C(rb→ rb) +

C(rb→ br) = −2c2

3+c2, e analogamente gli altri sei. Quindi C(|qq〉sing) = −8c2

3.

• un barione e un singoletto di colore di tre quark, |qqq〉sing = 1√6(r[bg − gb] +

b[gr − rg] + g[rb− br]). Per ciascun termine si ha

〈bg − gb|bg − gb〉 = 〈bg|bg〉 − 〈gb|bg〉 − 〈bg|gb〉+ 〈gb|gb〉 =−8c2

3

e quindi C(|qqq〉sing) = 36−8c2

3= −4c2

3

342

I fattori di accoppiamento quark-gluone

In analogia con la QED possiamo costruire l’interazione tra quark e gluoni con unadensita hamiltoniana H(x) = J(x) · A(x) dove J e la corrente associata ai quarke A e il campo dei gluoni. Gli elementi di matrice dei processi di scattering sonodefiniti dai fattori di colore. Vi e pero una importante differenza poiche i gluonihanno carica di colore e quindi, oltre ai vertici qGq, esistono anche vertici GGG.

All’ordine piu basso dello sviluppo perturbativo esistono tre tipi di vertice diinterazione (Fig. 3.60): radiazione di gluoni da quark q → qG, radiazione da gluoniG→ GG e annichilazione G→ qq

4/3 3 1/2

Figure 3.60: Grafici dei vertici di interazione quark-gluone. I pesi relativi sono√4/3,√

3,√

1/2.

q → qG Al vertice rGx contribuiscono tre termini: rGr + rGb + rGg con fattori dicolore 2c2

3+ c2 + c2 = 8c2

3e analogamente per gli altri tre casi. Il contributo

del vertice quark-gluone-quark all’elemento di matrice e

|〈Gq|H|q〉|2 = CF =8c2

3

G→ GG Per valutare il contributo del verticeGGG consideriamo un gluoneGin di colorexy e uno Gout = xz rappresentati in Fig. 3.61. Poiche 〈xy|xy〉 = 〈xx|yy〉 ilterzo gluone e G = yz oppure zy. Se x = r abbiamo i seguenti pesi perGout: C(rr) = 2/3, C(rb) = 1/3, C(rg) = 1. La somma dei contributi deitre grafici in Fig. 3.61 e 2c2. Le altre possibili combinazioni danno lo stessorisultato. Il fattore 2c2 si riferisce a 3 degli 8 possibili stati di Gin e ci sono 8possibili stati del gluone G, quindi per ogni stato Gin il contributo del verticegluone-gluone-gluone all’elemento di matrice e

|〈GG|H|G〉|2 = CT =3

8× 8× 2c2 = 6c2

G→ qq Per la simmetria del colore tutti i gluoni hanno lo stesso peso unitario

|〈qq|H|G〉|2 = CA = c2

343

r r

r

r

r r r r

b

b

g

g

x

x

x

x

x

x

Figure 3.61: Grafici dei vertici di interazione gluone-gluone

3.6.3 La costante di accoppiamento della QCD

Se le sorgenti del campo sono puntiformi e i quanti hanno massa nulla l’energia diinterazione ha la forma U(r) = c1c2/r. La costante di accoppiamento dell’interazioneadronica o interazione forte, αs (s per strong), e definita in analogia con quelladella QED come il prodotto delle cariche c1c2. Vi e pero una differenza dovuta alladefinizione dei generatori della simmetria SU(n). I generatori della simmetria delcolore sono gli operatori λj/2 (le matrici di Gell-Mann ×1

2) che soddisfano le regole

di commutazione [λj/2, λk/2] = iCjklλl/2 (appendice 4.12) e questo comporta che lacorretta definizione della carica di colore e c/

√2 e che la costante di accoppiamento

e αs = c2/2. Con questa definizione l’energia di interazione quark-quark negli adronie

U(qqqsing) = −2αs3r

U(qqsing) = −4αs3r

e i contributi agli elementi di matrice dei vertici di interazione (Fig. 3.60) sono

|〈Gq|H|q〉|2 =4αs3

|〈GG|H|G〉|2 = 3αs |〈qq|H|G〉|2 =αs2

Come nel caso della QED, la costante di accoppiamento non e costante, madipende dal 4-impulso trasferito nell’interazione per effetto delle correzioni radiative(appendice 4.23). Vi e pero una importante differenza poiche ai grafici di polar-izzazione del vuoto contribuisce anche l’interazione gluone-gluone come mostratoin Fig. 3.62. Questi gluoni possono avere polarizzazione longitudinale o trasversae quindi ci sono tre contributi che modificano il propagatore: grafici chiusi G →qq → G, G → GLGL → G e G → GTGT → G. L’andamento della costante diaccoppiamento in funzione del 4-impulso trasferito e

αs(Q2) =

αs(µ2)

1− bαs(µ2)4π

ln Q2

µ2

dove µ2 e un valore di riferimento.In QED il fattore b e positivo b = 4n`/3 (n` e il numero dei leptoni) e la costante

di accoppiamento aumenta molto lentamente con q2. In QCD i contributi dei tregrafici non hanno lo stesso segno: b = 2nf/3 + 5 − 16. Il primo termine e analogoa quello della QED (nf e il numero di sapori di quark che contribuiscono quandoQ2 > 4m2

f ), gli altri due termini sono generati dall’auto-accoppiamento dei gluoni.

344

q p q-p T L

c c c c

c

c

c

c

c

c

Figure 3.62: Propagatore e grafici di polarizzazione del vuoto in QCD

In particolare il terzo termine e negativo e comporta un effetto antischermante dellacarica di colore. Poiche nf ≤ 6, risulta che il fattore b e negativo e la costante diaccoppiamento diminuisce all’aumentare di Q2

αs(Q2) =

αs(µ2)

1 + αs(µ2)12π

(33− 2nf ) ln Q2

µ2

La dipendenza della costante di accoppiamento dall’energia di interazione tra quarke gluoni e stata studiata da David Gros, David Politzer e Frank Wilczek 14 che hannomostrato che l’interazione e forte a basso 4-impulso trasferiti, e questo assicura chegli adroni sono fortemente legati, e diventa debole a grande 4-impulso trasferito, equesto comporta che i quark sono debolemente legati nelle interazioni ad alto Q2,che e l’osservazione alla base del modello a partoni. Questo andamento si traducenell’espressione la QCD e asintoticamente libera.

Poiche il calcolo con il metodo perturbativo risulta in uno sviluppo in serie dipotenze della costante di accoppiamento, i risultati dei calcoli di elementi di matricie sezioni d’urto sono tanto piu affidabili quanto maggiore e l’energia di interazione,ma sono di difficile applicazione a bassa energia dove αs(Q

2) non e piccola rispettoa 1. Nel seguito sono presentati diversi modi di misurare αs e alcuni risultati sonomostrati in Fig. 3.78 in funzione di Q2. Si usa di solito quotare il valore di αs allamassa del bosone Z0 (capitolo 3.7), il valore misurato e

αs(m2Z) = 0.118± 0.001

La costante di accoppiamento aumenta per piccoli valori di Q2; il valore allamassa del nucleone e αs(1 GeV ) ' 0.4. Il valore per cui αs diverge e detto parametrodi scala della QCD, ΛQCD, ed e una stima del valore di energia per cui i quark sono

fortemente legati e formano gli adroni. Per Q2 = Λ2 si ha 1 + bαs(µ2)

4πln Λ2

µ2= 0,

αs(µ2) = − 4π

b ln Λ2/µ2e possiamo esprimere αs in funzione di Λ

αs(Q2) =

4π

b ln Q2

µ2− b ln Λ2

µ2

=12π

(33− 2nf ) ln Q2

Λ2

Dal valore di αs, tenendo conto del numero di quark che contribuiscono, si ottieneΛQCD ' 200 MeV , ovvero 1/ΛQCD ' 1 fm che corrisponde alla dimensione di


345

protone e neutrone. Comunque il parametro ΛQCD e misurato con grande erroreperche l’evoluzione dei fenomeni studiati dipende dal logaritmo di ΛQCD.

La teoria deve inoltre tener conto di altre due evidenze sperimentali

• l’interazione nucleare e a breve raggio di azione R ∼ 1 fm,

• non sono mai stati osservati quark o gluoni liberi.

Invece il potenziale U(r) = −4αs(r)/3r diminuisce con la distanza e questo nonimpedisce la liberazioni dei quark dagli adroni. Consideriamo due quark a distanzar in un nucleone, cioe uno stato di colore 6= 0, e supponiamo che la forma delpotenziale sia

U(r) = −4αs(r)

3r+ βr

Per r 1 fm il campo delle cariche di colore e approssimativamente coulombianoe le linee di forza si estendono nello spazio, ma per r 1 fm le linee di forza sonoconcentrate in un tubo (Fig. 3.63). Per allontanare le cariche di colore occorre fornireenergia e quando questa e maggiore di 2mq si puo formare una coppia qq. Questoha come effetto che le linee di campo rimangono concentrate in regioni a formadi tubo tra i quark, cioe il colore rimane confinato in una regione di estensione∼ 1 fm. Se in una collisione inelastica viene ceduta al nucleone energia ∆E 2mq,si formano molte coppie qq che si combinano in stati incolori di quark e antiquarkcioe mesoni e barioni. In questo modo i quark si adronizzano e il nucleone cosıeccitato frammenta in diversi adroni incolori.

q1 q2 q1 q2

c1 c2 c1 c2

r

Figure 3.63: Linee di forza di dipolo elettrico e dipolo di colore

3.6.4 Violazione della legge di scala di Bjorken

Gli esperimenti di scattering fortemente inelastico di elettroni e muoni (per inter-azione elettromagnetica) o neutrini e antineutrini (per interazione debole) mostranoche il nucleone e costituito di quark, antiquark e gluoni. La sezione d’urto differen-ziale e funzione di due variabili indipendenti, Q2 e x, e dalle misure si estraggono lefunzioni di struttura, F (x,Q2),

d2σ

dQ2dx=

4πα2

Q4

E ′

E

(F2

xcos2 θ/2 +

Q2

4M2x22F1 sin2 θ/2

)

346

d2σ

dQ2dx=G2

2π

E ′

E

(F2

xcos2 θ/2 +

Q2

4M2x22F1 sin2 θ/2∓ E + E ′

MF3 sin2 θ/2

)− ν+ ν

La legge di scala di Bjorken prevede che le funzioni di struttura dipendano dalla solavariabile adimensionale x = Q2/2Mν, e cioe che l’interazione non dipenda da unaenergia (o da una lunghezza) caratteristica. Questa ipotesi e stata confermata dalleprime misure di scattering inelastico (capitolo 3.4) che hanno ispirato il modello apartoni di Feynman. In effetti si tratta di una (fortunata) coincidenza: le primemisure erano effettuate a valori di Q2 relativamente piccoli (5 - 20 GeV 2) in unintervallo di x in cui le funzioni di struttura non mostrano una dipendenza da Q2.D’altra parte la QCD prevede che quark e gluoni si possono considerare asintoti-camente liberi, ma che a energia finita l’interazione adronica sia caratterizzata dauna scala di energia Λ ∼ 200 MeV e quando furono effettuate misure a valori di Q2

piu grandi fu osservato che le funzioni di struttura dipendono anche da Q2. Questofenomeno e detto violazione della legge di scala ed e illustrato in Fig. 3.65.

Consideriamo l’interazione tra un fotone di 4-impulso (~q, ν) e un quark di tipoi impulso pi caratterizzata da x = Q2/2pi · q. Nel campo di colore del nucleoneil quark puo emettere un gluone, come mostrato in Fig. 3.64 in un processo simileall’effetto Compton γ∗q → qg (γ∗ indica che il fotone non e reale, cioe q2 < 0). Primadell’interazione il quark ha una frazione dell’impulso longitudinale del nucleone pi =yp maggiore di xp (x < y) e l’interazione γ∗q e caratterizzata dalla variabile z =Q2/2yp · q = x/y.

La definizione delle funzioni di struttura come densita di partoni

F2(x)

x=∑

i

e2i fi(x) =

∑

i

e2i

∫fi(y)δ(y − x)dy =

∑

i

e2i

∫ 1

xfi(y)δ(1− x/y)

dy

y

viene modificata dall’interazione γ∗q → qg. Se chiamiamo s, t, u, le variabili diMandelstan (appendice 4.24) la sezione d’urto dell’effetto Compton in funzionedell’impulso trasverso del quark e approssimativamente

dσ

dp2T

=8π

3

e2iααss

1

p2T

e dipende (al primo ordine) dal prodotto ααs. La probabilita dell’interazione γ∗q →qg e proporzionale a

σ(γ∗q → qg) =∫ 8π

3

e2iααss

dp2T

p2T

' 4π2e2iα

s

αs2π

lnQ2

µ2Pqq(z)

dove si e introdotto un limite inferiore di integrazione, µ, per evitare la divergenzaper pT → 0. Pqq(z) = 4

31+z2

1−z e la probabilita che un quark di impulso longitudinaleyp riduca il suo impulso al valore xp ed emetta un gluone di impulso (1− z)yp. Lafunzione di struttura del modello a partoni viene quindi modificata con l’aggiunta

di un fattore che dipende da Q2 proporzionale a αs(Q2)2π

ln Q2

µ2

F2(x)

x q→qg=∑

i

e2i

∫ 1

xfi(y)

[δ(1− x/y) +

αs(Q2)

2πlnQ2

µ2Pqq(x/y)

]dy

y

347

e ec

e ce ce ce

c

ee

c

Figure 3.64: Modifiche al vertice di interazione γ∗q

Dalle misure di scattering fortemente inelastico di elettroni, muoni e neutrini sipuo determinare il contributo dei gluoni alle funzioni di struttura del nucleone, ladensita di gluoni g(x). I gluoni non interagiscono con il campo di fotoni o bosoniW± e l’interazione e prodotta mediante annichilazione in coppie quark-antiquarkγ∗g → qq (Fig. 3.64). Analogamente al caso precedente si ottiene il contributo deigluoni

F2(x)

x g→qq=∑

i

e2i

∫ 1

xfi(y)

αs(Q2)

2πlnQ2

µ2Pgq(x/y)

dy

y

dove Pgq(z) = z2+(1−z)22

e la probabilita che un gluone di impulso longitudinale ypproduca una coppia qq di impulso zyp e impulso (1− z)yp.

Le funzioni di struttura sono mostrate in Fig. 3.65 per un bersaglio di deutoniper cui le densita di quark u e d sono uguali. All’aumentare del 4-impulso trasferitoQ2 migliora il potere risolutivo con cui si studia la struttura del nucleone e si osservache diminuisce il numero di partoni con impulso grande (x > 0.25) che interagisconocon il campo elettromagnetico o debole, mentre aumenta il numero di partoni conimpulso piccolo (x < 0.15). Per 0.15 < x < 0.25 la legge di scala di Bjorken erispettata con buona approssimazione. Dalla dipendenza delle funzioni di strutturada Q2 si puo quindi determinare il valore della costante di accoppiamento αs(Q

2).

Equazioni di evoluzione delle densita dei partoni

La dipendenza da Q2 delle densita dei quark di tipo i si puo esplicitare nella forma

d

d lnQ2fi(x,Q

2) =αs(Q

2)

2π

∫ 1

x

[fi(y,Q

2)Pqq(x/y) + g(y,Q2)Pqg(x/y)] dyy

e analogamente per la densita dei gluoni

d

d lnQ2g(x,Q2) =

αs(Q2)

2π

∫ 1

x

[∑

i

fi(y,Q2)Pgq(x/y) + g(y,Q2)Pgg(x/y)

]dy

y

dove Pgq(z) e Pgg(z) sono rispettivamente le probabilita dei processi radiativi q → gqe g → gg.

Queste relazioni, dette equazioni di evoluzione di Altarelli–Parisi, permettono,una volta misurate le densita dei partoni per un valore di Q2, di calcolarne il valorein regioni di Q2 non esplorate dagli esperimenti di scattering inelastico. Questo eparticolarmente utile per calcolare le sezioni d’urto quark-quark o gluone-quark incollisione tra adroni ad alta energia, ad esempio processi Drell–Yan o produzione dijet adronici.

348

Q2 (GeV2)

F 2(x,Q

2 )*2i x

BCDMS

E665NMCSLAC

10-3

10-2

10-1

1

10

10 2

10 3

10 4

10 5

10 6

10 7

10 8

10 9

10 -1 1 10 10 2

Figure 3.65: Funzione di struttura F2(x,Q2) misurata con deuterio (S. Eidelman etal., Phys. Lett. B592, 1, 2004) nota: ×2 per x = 0.85, ×4 per x = 0.75, . . .

Correzioni radiative

Come nel caso della QED, il propagatore dei quark viene modificato dai grafici diemissione e riassorbimento di gluoni e il vertice di interazione qγq (qW±q) vienemodificato da correzioni radiative di ordine αs. I contributi al vertice di interazionein Fig. 3.66 corrispondono a diverse potenze della costante di accoppiamento e laprobabilita del processo in studio, sviluppata in serie di potenze di αs, e

A∗Aα + (A∗B + AB∗ + C∗C)ααs +O(α2s)

Il termine C e proporzionale a lnQ2/µ2 e diverge per µ → 0 e il termine B haun andamento simile (appendice 4.23). D’altra parte tutti i termini contribuisconoalla adronizzazione dello stato finale e i diversi contributi non sono sperimentalmentedistinguibili ma comunque devono dare un contributo finito alla sezione d’urto. Ineffetti, come in QED, i contribuiti divergenti dei grafici C e dell’interferenza A–Bsi cancellano al primo ordine dello sviluppo in serie in αs e quindi il termine di

349

ordine αs risulta finito e la sezione d’urto e proporzionale a α2[1 + a1αs + O(α2s)].

La cancellazione avviene anche per i termini con potenze superiori di αs.

e e cc

ec

e c

e e

c cc

c

A B B B

C C

1 2 3

1 2

2

2

Figure 3.66: Modifiche al vertice di interazione γ∗q

3.6.5 Annichilazione elettrone-positrone in adroni

La sezione d’urto di annichilazione in una coppia fermione-antifermione di massam E, ad esempio µ+µ−, e

dσ

dΩ(e+e− → µ+µ−) =

α2

2s

1 + cos2 θ

2σ(e+e− → µ+µ−) =

4π

3

α2

s

Per energia molto maggiore della massa dei mesoni, il modello a quark prevede

σ(e+e− → adroni) =∑

q

Nc e2q

4π

3

α2

s

dove Nc = 3 e il numero dei colori e la somma e estesa alle cariche dei quark conmassa mq <

√s/2. Il rapporto tra la sezione d’urto di annichilazione in adroni e

quella in una coppia fermione-antifermione puntiformi

R =σ(e+e− → adroni)

σ(e+e− → µ+µ−)

e stato misurato su un grande intervallo di energia e i risultati sono mostrati inFig. 3.52

Si nota la formazione di stati risonanti con i numeri quantici del fotone, imesoni vettori JPC = 1−−, e l’aumento del valore di R quando viene superatal’energia di soglia per produrre coppie qq. Le altre evidenze sperimentali in favoredell’interpretazione in termini di annichilazione in coppie qq sono

• per√s 2mq le particelle sono emesse in fiotti collimati di adroni chiamati

jet adronici ;

• i jet adronici sono caratterizzati da un impulso totale ~pJ = Σi~pi, dove pi sonogli impulsi degli adroni associati al jet;

350

• la distribuzione di particelle all’interno del jet, in termini di molteplicita, im-pulso longitudinale e impulso trasverso rispetto all’asse del jet, sono simili aquelle mostrate in Fig. 3.57 e Fig. 3.58;

• nella maggior parte dei casi si osserva la produzione di due jet con ~pJ1 +~pJ2 = 0 e pJ '

√s/2 emessi con la distribuzione angolare caratteristica della

produzione di coppie fermione-antifermione ∼ 1 + cos2 θ

• con probabilita minore vengono prodotti tre, quattro, . . . jet adronici con∑i ~pJi = 0,

∑i |~pJi| =

√s;

• la sezione d’urto σ(e+e− → adroni) e leggermente maggiore di quella previstadal semplice modello a partoni.

3.6.6 Produzione di jet adronici nell’annichilazione e+e−

Queste caratteristiche trovano una interpretazione diretta e quantitativa nell’ambitodella QCD. Al primo ordine dello sviluppo perturbativo il processo σ(e+e− →adroni) e mediato da un fotone di 4-impulso

√s che si materializza in una coppia

qq ciascuno con impulso pq '√s/2. Quando le cariche di colore si allontanano, il

campo di colore genera altre coppie qq e inoltre i quark irraggiano gluoni; si produceuno sciame di partoni che si ricombinano a formare adroni incolori (in prevalenzamesoni π, K, η, ρ, . . . ). Gli sciami di partoni si sviluppano attorno alla direzionedel partone originario e gli adroni sono raggruppati in jet in modo da conservareimpulso, energia e gli altri numeri quantici (Fig. 3.67).

D (z)q

D (z)q

Figure 3.67: Produzione di due jet adronici nell’annichilazione e+e−

La distribuzione dell’energia del singolo adrone h in un jet e detta funzionedi frammetazione del jet ed e espressa in funzione della variabile adimensionalez = Eh/EJet. La funzione di frammentazione non si puo calcolare con metodiperturbativi perche l’energia del jet e divisa tra molti adroni con piccolo impulsotrasverso rispetto all’asse del jet, pT ' 300 MeV . Questa e la grandezza che carat-terizza il processo di frammentazione e αs(p

2T ) ' 1. La sezione d’urto inclusiva

di produzione di un generico adrone di energia Eh, e+e− → hX (X rappresenta

351

qualunque stato finale) e

d

dzσ(e+e− → hX) =

∑

q

σ(e+e− → qq)[Dhq (z) +Dh

q (z)]

dove Dhq (z) e la funzione di distribuzione della frammentazione del quark q nel

generico adrone h. La funzione di frammentazione e normalizzata in modo che lasomma delle energie di tutti gli adroni sia uguale all’energia del jet

∑

h

∫ 1

0zDh

q (z)dz = 1

e che la somma delle probabilita di produrre l’adrone h sia pari alla molteplicita diquesto adrone nei jet

∑

q

∫ 1

0

[Dhq (z) +Dh

q (z)]dz = nh

Quindi nel modello a partoni ci si aspetta che la sezione d’urto sia funzione dellavariabile adimensionale z e non dipenda da Q2

1

σ

dσ

dz=

∑q e

2q [Dh

q (z) +Dhq (z)]

∑q e2

q

cioe una legge di scala analoga a quella delle funzioni di struttura. La Fig. 3.68mostra la sezione d’urto in funzione di z per diversi valori di Q2 ed e evidenteche si osservano violazioni della legge di scala che si interpretano con l’evoluzionedelle densita di partoni nel processo di frammentazione. Anche in questo caso laQCD prevede delle equazioni di evoluzione per cui le funzioni di frammentazionedipendono dal valore di Q2

d

d lnQ2D(z,Q2) =

αs(Q2)

2π

∫ 1

zD(y,Q2)P (z/y)

dy

y

La Fig. 3.69 mostra la funzione di frammentazione in funzione della variabilex = p/pmax ' 2p/

√s ' z, per diversi tipi di adroni: mesoni π, mesoni K e nucleoni.

Va notato che

• si tratta di una distribuzione inclusiva, quindi sono rappresentati sia gli adronih prodotti direttamente che quelli prodotti nei decadimenti di adroni a brevevita media, H → h;

• le violazioni della legge di scala delle funzioni di frammentazione riguarda ivalori di x grandi (i dati si separano sensibilmente per x piccoli perche a bassaenergia non vengono prodotti adroni con massa elevata che decadono H → h);

• l’integrale e pari alla molteplicita totale del tipo di adrone e risulta nπ nK np;

352

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

100

100

100

100

100

100

100

100

100

10

1

0.1

0.01

0.001

TASSO 22 GeV

TPC/2 29

MKII 29

TASSO 35

CELLO 35

TASSO 43.7

AMY 55.2

DELPHI 91.2

ALEPH 91.2

x

1/to

t d/d

x

Figure 3.68: Funzione di frammentazione nella annichilazione e+e− → hX per di-versi valori di

√s (indicati accanto alla sigla dell’esperimento)

• la molteplicia aumenta proporzionalmente a (ln s)2.

Quindi possiamo spiegare l’aumento della molteplicita proporzionale a (ln s)2 conla somma di due effetti, uno statistico dovuto all’aumento dell’intevallo di rapidita∼ ln s, e uno dinamico dovuto alla variazione della funzione di frammentazione deipartoni ∼ lnQ2. Le stesse considerazioni sono valide per le interazioni puramenteadroniche non mediate dall’interazione elettromagnetica.

Produzione di tre jet, e+e− → qqg

Nello sviluppo iniziale dello sciame di partoni puo avvenire che un quark irraggi ungluone con impulso trasverso elevato e che questo dia origine ad un jet adronicoseparato da quelli associati alla coppia qq. L’osservazione di eventi con tre (quattro,. . . ) jet adronici e una conferma diretta dell’emissione di gluoni prevista dalla QCDe il rapporto tra le sezioni d’urto di produzione di tre jet e due jet e proporzionaleal valore di αs(Q

2) (Fig. 3.70).Consideriamo il processo elementare e+e− → qqg. Se chiamiamo xq = 2Eq/

√s,

xq = 2Eq/√s, xg = 2Eg/

√s, le energie normalizzate dei partoni, si ha xq+xq+xg = 2

e solo due delle variabili sono indipendenti. La sezione d’urto differenziale sia puocalcolare a partire dal processo γ∗ → qqg analogo all’effetto Compton γ∗q → qganalizzato in precedenza, e risulta

d2σ

dxqdxq= σ(e+e− → qq)× 4αs

3π

x2q + x2

q

(1− xq)(1− xq)

353

0.010.03

0.10.3

13

1030

100300

1/ha

d d/dx

1/ha

d d/dx

1/ha

d d/dx

± ( s = 91 GeV)± ( s = 29 GeV)± ( s = 10 GeV)

(a)

0.010.03

0.10.3

13

1030

K± ( s = 91 GeV)K± ( s = 29 GeV)K± ( s = 10 GeV)

(b)

0.010.03

0.10.3

13

1030

0.005 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1xp = p/pbeam

p, _p ( s = 91 GeV)

p, _p ( s = 29 GeV)

p, _p ( s = 10 GeV)

(c)

Figure 3.69: Distribuzione inclusiva di mesoni e barioni, 1σdσdx

, nella annichilazionee+e− → hX (S.Eidelman et al., Physics Letters B592, 1, 2004)

che diverge per xq → 1, xq → 1. Questa condizione e soddisfatta solo se si annullal’impulso trasverso del gluone rispetto alla direzione del partone che lo ha generato.D’altra parte se l’impulso trasverso del gluone e piccolo i due jet si sovrappongonoe non sono sperimentalmente distinguibili. Quindi, se si integra la sezione d’urto inun intervallo delle variabili xq e xq in cui i tre jet sono distinguibili, il risultato efinito e la sezione d’urto e proporzionale a αs

1

σ(e+e− → qq)

∫

pT>0

d2σ

dxqdxqdxqdxq = fattore× αs(Q2)

Il rapporto tra le sezioni d’urto σ(e+e−→3jet)σ(e+e−→2jet)

fornisce un metodo di misura dellacostante di accoppiamento αs. Inoltre la misura della distribuzione angolare dei trejet conferma l’ipotesi che il gluone abbia spin 1 e massa trascurabile.

Se si vuole confrontare il calcolo con una misura inclusiva della annichilazionee+e− → adroni, l’integrale va esteso a tutto l’intervallo 0 ≤ xq ≤ 1, 0 ≤ xq ≤ 1 ediverge per xg → 0.

1

σ(e+e− → qq)

∫ 1

0

d2σ

dxqdxqdxqdxq = fattore× αs(Q2) lnxg

354

D (z)q

D (z)q

D (z)gpT

z q

z gz q

Figure 3.70: Produzione di tre jet adronici nell’annichilazione e+e−

Per evitare la divergenza, come nel caso della QED, si introduce un limite inferiorexg = mg/

√s rappresentato dalla ”massa del gluone”. Comunque, come osservato in

precedenza, questa divergenza si cancella con quella originata dall’interferenza tra igrafici γ∗ → qq e quelli con emissione e riassorbimento di gluoni e il contributo delprocesso e+e− → qqg alla sezione d’urto inclusiva di produzione di jet risulta finito.Quindi la sezione d’urto σ(e+e− → adroni) si puo sviluppare in serie di potenzedella costante di accoppiamento della QCD

R(Q2) = 3∑

q

e2q

[1 + a1

αs(Q2)

π+ a2

α2s(Q

2)

π2+ . . .

]

il valore dei parametri e a1 = 1, a2 = 1.4, . . .

3.6.7 Collisioni tra adroni: processi Drell–Yan

I metodi perturbativi della QCD forniscono stime abbastanza accurate delle sezionid’urto quando la costante di accoppiamento e piccola ovvero l’impulso trasferitonell’interazione e grande. Le collisioni tra adroni sono piu complesse dei fenomeniche abbiamo esaminato perche coinvolgono effetti non perturbativi sia nello statoiniziale, le funzioni di struttura, che nello stato finale, la frammentazione dei par-toni. Questo secondo aspetto non interviene nella produzione di coppie leptone-antileptone in collisioni di adroni, i processi Drell–Yan (capitolo 3.5), poiche lo statofinale `+`− non e soggetto a interazione adronica.

Nel modello a partoni questi sono descritti dalla annichilazione di un quark confrazione x1 dell’impulso longitudinale di un adrone, con un antiquark con frazionex2 dell’altro adrone (Fig. 3.72). Il 4-impulso trasferito nella annichilazione e parialla massa invariante della coppia `+`−, Q2 = M2. La massa invariante e l’impulso~p = ~p+ + ~p− sono legati ai valori di x e all’energia totale degli adroni

√s

M2

s= τ = x1x2 y =

1

2lnE + pLE − pL

=1

2lnx1

x2

e quindi negli esperimenti si ha informazione sui valori di x1 e x2 (y e la rapiditadella coppia `+`−). La sezione d’urto differenziale si ottiene come convoluzione dellefunzioni di struttura degli adroni

dσ

dM=

8π

9

α2

M3

∫ 1

τ

∑

i

e2i [Fq(x)Fq(τ/x) + Fq(τ/x)Fq(x)]

dx

x

355

.

Figure 3.71: pN → µ+µ−X: sezione d’urto differenziale M3 dσdM

in funzione di m√s

per diversi valori di√s

In assenza di violazioni della legge di scala l’integrale e funzione della sola vari-abile adimensionale τ e ci si aspetta che il prodotto M3 dσ

dMnon dipenda dall’energia

della collisione√s ma solo dal rapporto M2/s. Dato che le funzioni di struttura var-

iano con il logaritmo di M2 questa e solo un’approssimazione. La Fig. 3.71 mostrala sezione d’urto differenziale per produzione di coppie µ+µ− in collisioni protone-nucleone per diversi valori dell’energia totale. I risultati degli esperimenti mostranoche

• la legge di scala M3 dσdM

= funzione(τ) e una buona approssimazione, ma visono evidenti deviazioni;

• la coppia `+`− puo essere prodotta con impulso trasverso molto maggiore delvalore intrinseco dei quark negli adroni (pq ∼ 300 MeV);

• quando l’impulso trasverso e elevato ( 1 GeV ), questo viene bilanciatodall’emissione di jet adronici;

• la sezione d’urto differenziale e maggiore, per un fattore 1.2 ÷ 1.4, detto K–factor, di quella calcolata sulla base del semplice modello a partoni.

Questi effetti vengono interpretati nell’ambito della QCD e introducono correzionialla sezione d’urto che si possono sviluppare in serie di potenze della costante diaccoppiamento αs. Infatti, oltre al processo di annichilazione qq → γ∗, intervengonol’annichilazione qq → gγ∗, l’interazione quark-gluone (antiquark-gluone) mediantel’effetto Compton qg → gγ∗, al primo ordine in αs; e l’interazione gluone-gluonegg → qqγ∗, al secondo ordine in αs, . . . come mostrato in Fig. 3.72. In questi

356

F (x)1

F (x)2

x2

x1

Figure 3.72: Produzione di coppie `+`− in collisioni adroniche, contributi α2, α2αs,α2α2

s

casi i partoni emessi nell’interazione frammentano e, se l’impulso trasverso e ele-vato, producono jet adronici distinti da quelli prodotti dalla frammentazione deidue adroni. Inoltre, poiche negli adroni bersaglio la densita dei gluoni e maggiore diquella degli antiquark, il contributo dei gluoni fa aumentare sensibilmente la sezioned’urto rispetto al valore calcolato senza correzioni O(αs). La situazione e diversanel caso di fasci di mesoni o antiprotoni che contengono antiquark di valenza.

Nell’annichilazione qq vengono prodotte anche risonanze adroniche JPC = 1−−,i mesoni vettori J/ψ, ψ′, . . .Υ,Υ′, . . . che si osservano nella Fig. 3.52 e in effettialcuni di questi mesoni sono stati scoperti come stati risonanti della sezione d’urtopN → `+`−X. Queste risonanze non compaiono nei dati della Fig. 3.71 perchel’effetto e diluito dalla scala e dalla risoluzione sperimentale.

3.6.8 Collisioni tra adroni: produzione di jet

Gran parte dell’informazione sulle collisioni tra adroni a energia elevata viene da mis-ure fatte presso gli anelli di collisione protone-antiprotone SppS a

√s = 630 GeV, e

TeVatron a√s = 1800 GeV. La maggior parte delle collisioni inelastiche pp e carat-

terizzata dalla produzione di molte particelle, in media 30 adroni carichi e altrettantineutri (Fig. 3.57), emesse con impulso trasverso piccolo pT ∼ 0.4 GeV (Fig. 3.58).La QCD non e in grado di fare previsioni sul meccanismo di produzione di parti-celle in interazioni con impulso trasferito piccolo perche il valore della costante diaccoppiamento αs e grande. In Fig. 3.58 si osserva che all’aumentare dell’energia nelcentro di massa aumenta sensibilmente la produzione di adroni con impulso trasversopT 0.4 GeV. La distribuzione dell’energia trasversa prodotta in un’interazione,ET = ΣipT i, ha valor medio 〈ET 〉 = 〈n〉pT ' 15 GeV e si estende fino a valori piut-tosto elevati. In particolare, quando il rapporto ET/

√s non e piccolo si osserva che

l’energia trasversa e concentrata in due o piu jet adronici. In questo caso la variabileche caratterizza la produzione di jet, Q2 ' p2

T,jet, e grande e i metodi perturbatividella QCD permettono di calcolare la sezione d’urto.

357

La definizione sperimentale di jet e il calcolo teorico sono molto piu complessiche non per l’annichilazione e+e− e i processi Drell-Yan perche

• la frammentazione dei jet si sovrappone a quella degli adroni nello stato in-iziale e non e ovvio distinguere quali particelle sono originate in un processo onell’altro;

• esiste una interazione forte tra i partoni che partecipano a questi due fenomeni;

• la risoluzione sperimentale nella definizione dell’impulso dei jet e peggiore chenel caso dell’annichilazione e+e− o dei processi Drell–Yan in cui si puo applicareun vincolo sulla conservazione del 4-impulso nell’annichilazione qq ↔ e+e−;

• oltre all’annichilazione quark-antiquark, qq → qq, contribuiscono alla sezioned’urto i processi di scattering qq → qq, qq → qq, qg → qg, gg → gg al primoordine in αs, e molti altri agli ordini successivi;

• il valore del 4-impulso trasferito nell’interazione tra partoni, Q2, non e definitoin modo univoco.

Produzione di due jet

Quando l’energia trasversa totale e grande, il processo che avviene con maggiorefrequenza e la produzione di due jet con impulso ~p1, ~p2 e componente trasversa ap-prossimativamente uguale pT = p1 sin θ1 ' p2 sin θ2. Questi sono il risultato delloscattering elastico o dell’annichilazione partone-partone e della successiva frammen-tazione dei partoni nello stato finale. Se x1 e x2 sono le frazioni di impulso dei par-toni nello stato iniziale (Fig. 3.73), il riferimento dell’interazione partone-partone simuove con velocita β = pL

E= (x1 − x2)/(x1 + x2) rispetto al centro di massa dei

due adroni e, dalla misura dell’energia e della direzione dei jet, si puo studiare ladinamica dell’interazione partone-partone in termini della variabili di Mandelstams, t, u (appendice 4.24)

s = x1x2s t = − s2

(1− cos θ∗) u = − s2

(1 + cos θ∗)

dove θ∗ e l’angolo polare nel riferimento partone-partone. Se pT = (pT,jet1+pT,jet2)/2e l’impulso trasverso e y1, y2, la rapidita dei jet (oppure la pseudorapidita y ' η =− ln tan θ/2 che implica solo misure di angolo)

y1 = y∗ +1

2lnx1

x2

y2 = −y∗ +1

2lnx1

x2

(3.10)

si ricavano le variabili del processo partone–partone. Dalla relazione (3.9) perl’impulso longitudinale si ha pL = pL1+pL2 = (x1−x2)

√s/2 = pT (sinh y1+sinh y2) =

pT2

[(ey1 + ey2)− (e−y1 + e−y2)], e per l’energia√x1x2s = 2pT cosh y1+y2

2. Le variabili

dei partoni interagenti e l’angolo di scattering sono

x1 =pT√s

(ey1 + ey2) x2 =pT√s

(e−y1 + e−y2) sin θ∗ =2pT√x1x2s

358

y1

y2

x p1 cm -x p2 cm

+y *

-y *

s2 + s

2 -

Figure 3.73: Produzione di jet jet X in collisioni adroniche

La sezione d’urto si ottiene come convoluzione delle densita dei partoni e dellesezioni d’urto invarianti dei processi elementari ij → kl che si possono esprimere infunzione dell’impulso trasverso e della rapidita y∗ = 1

2ln 1+cos θ∗

1−cos θ∗= 1

2(y1 − y2)

d3σ(ij → kl)

d~pk/Ek= 2π

d2σ(ij → kl)

pTdpTdy∗

Introducendo le densita dei partoni e il vincolo s = x1x2s si ha la sezione d’urto infunzione dell’impulso trasverso e rapiditita dei jet

d4σ(pp→ jet1jet2X) =

∑

ijkl

fi(x1)fj(x2)

[d3σ(ij → kl)

d~pk/Ek

]2πpTdpTdy

∗dx1dx21

sδ(x1x2 − s/s)

Definendo τ = s/s = x1x2 e la rapidita del sistema jet-jet y = 12(y1 + y2) = 1

2ln x1

x2si ha dτdy = dx1dx2, dy1dy2 = 2dy∗dy, e si ottiene la sezione d’urto differenziale

d3σ

pTdpTdy1dy2

=π

s

∑

ijkl

fi(x1)fj(x2)

[d3σ(ij → kl)

d~pk/Ek

](3.11)

pari alla somma pesata per le densita dei partoni delle sezioni d’urto dei processielementari. I processi partone–partone sono molti (appendice 4.24) e alcuni sonomostrati in Fig. 3.74.

Per impulsi trasversi pT/√s < 0.05 sono piu frequenti i processi iniziati da glu-

oni, per 0.05 < pT/√s < 0.15 quelli dovuti a interazioni quark-gluoni, mentre per

pT/√s > 0.15 sono prevalenti i processi di scattering elastico qq, qq o di annichi-

lazione. Il contributo relativo e mostrato in Fig. 3.75 per√s = 1800 GeV. Il rapporto

tra le sezioni d’urto dei processi elementari e determinato dai fattori di colore degliaccoppiamenti gg, gq, qq e qq e risulta

σgg : σgq : σqq ≈9

4: 1 :

4

9

per cui la densita effettiva dei partoni e

F (x) = fg(x) +4

9

∑

i

[fqi(x) + fqi(x)]

359

F (x)1

F (x)2

x2

x1

D (z)3

D (z)4

s(12 34)

qq qq qq gg

qg qg

gg qqgggg

Figure 3.74: Alcuni processi partone-partone che contribuiscono alla sezione d’urtopp→ jet jet X.

dove la somma e estesa ai sapori dei quark con mq < pT .La misura della distribuzione angolare dei jet nel riferimento dell’interazione

partone-partone conferma l’ipotesi che l’interazione sia mediata da gluoni di massanulla e spin 1. Inoltre per impulsi trasversi elevati si puo verificare con elevato potererisolutivo l’ipotesi che i quark siano puntiformi. La produzione di jet con impulsotrasverso di 400 GeV corrisponde a un potere risolutivo δr ∼ h/pT ' 10−16 cm. Illimite attuale sulla dimensione spaziale dei quark e 10−17 cm.

La sezione d’urto differenziale in funzione di pT si ottiene integrando la (3.11)tenendo conto delle relazioni (3.10)

dσ

pTdpT=π

s

∫ ∑

ijkl

fi(x1)fj(x2)

[d3σ(ij → kl)

d~pk/Ek

]dy1dy2

Produzione multipla di jet

Nelle interazioni con energia trasversa elevata si osserva anche la produzione ditre, quattro, . . . jet. L’identificazione dei jet non e molto piu complessa che nelcaso precedente, ma aumenta l’incertezza nella definizione delle variabili cinematichedei jet, impulso trasverso e rapidita. Diventano pero molto piu complessi i calcoliin QCD perturbativa perche aumenta molto il numero di processi elementari checontribuiscono alla sezione d’urto.

Inoltre vi e una ambiguita nella definizone del valore del 4-impulso trasferitoQ da utilizzare nel calcolo. Se, ad esempio, il calcolo e effettuato all’ordine α3

s lasezione d’urto e

σ = A(Q)α2s(Q) +B(Q)α3

s(Q) + . . .

360

0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0pT (GeV)

g g

q gqq scattering

qq annihilation

Figure 3.75: Contributi dell’interazione partone-partone alla sezione d’urto inclusivapp→ jetX per

√s = 1800 GeV

e i termini successivi non sono noti. Nel caso di produzione di due jet possiamodefinire Q = pT , oppure Q =

√s/2, oppure . . . , e se modifichiamo la definizione

Q→ zQ cambia il valore di αs secondo la dipendenza da lnQα(Q) = α

1+bα lnQ→ α(zQ) = α

1+bα lnQ+bα ln z= α

1+bα lnQ1

1+b ln z [α/(1+bα lnQ)]

α(zQ) ' α(Q) + h(z)α2(Q) + . . .

α2s(zQ) = α2

s(Q) + h2(z)α3s(Q) + . . . α3

s(zQ) = α3s(Q

2) + h3(z)α4s(Q) + . . .

per cui il risultato del calcolo all’ordine α3s cambia in

σ′ = A(zQ)α2s(Q) + [B(zQ) + h2(z)] α3

s(Q) + . . .

Il confronto con i risultati delle misure oppure la definizione di Q che minimizza lafunzione h2(z) possono aiutare a risolvere l’ambiguita. Nel caso di produzione ditre, quattro, . . . jet occorre conoscere il risultato del calcolo agli ordini successivi equesto diventa molto difficile.

Produzione inclusiva di jet

Per confrontare i risultati delle misure con i calcoli di QCD conviene riferirsi allaproduzione inclusiva di jet pp → jet X. La Fig. 3.76 mostra la sezione d’urtoinclusiva d2σ(pp→ jet X)/dpTdy in funzione dell’impulso trasverso in un intervallodi rapidita intorno a y = 0 misurata a diversi valore di

√s. Il calcolo QCD e

effettuato all’ordine α3s e le densita dei partoni sono estratte dalle misure di scattering

inelastico leptone-nucleone che coprono l’intervallo di x e Q2 mostrato in Fig. 3.65e estrapolate con le equazioni di evoluzione. L’accordo e molto soddisfacente su piudi otto ordini di grandezza.

361

(GeV)TE10 102

) (nb

/GeV

) d T

/(dE

2 d

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

1

10

102

103

104

|<0.7) at 1.8 TeV, 0.1<|pCDF (p|<0.7) at 1.8 TeV, 0.1<|p (pD

|<0.5) at 630 GeV, |p (pD

, CTEQ4HJ2TE

=µNLO-QCD,

|<0.7) at 540 GeV, 0.1<|pCDF (p|<0.7) at 630 GeV, |pUA1 (p|<0.85) at 630 GeV, |pUA2 (p

=0)R807 (pp at 63 GeV, =0)R807 (pp at 45 GeV,

Figure 3.76: Sezione d’urto di produzione inclusiva di jet in collisioni pp in funzionedell’impulso trasverso del jet (S.Eidelman et al., Physics Letters B592, 1, 2004)

3.6.9 Collisioni tra adroni: produzione di fotoni

Alcune delle incertezze sia sperimentali che teoriche dell’analisi della produzione dijet vengono ridotte nel caso di produzione di fotoni con grande impulso trasverso,pp→ γX. La QCD prevede che la produzione associata di jet adronici e fotoni conpT,γ ' pT,jet sia mediata, al primo ordine in αs, dai processi elementari di annichi-lazione qq → gγ e scattering Compton gq → qγ con sezione d’urto proporzionale aααs. Le semplificazioni dell’analisi sono

• l’energia del fotone emesso nell’interazione viene misurata direttamente negliesperimenti senza le incertezze dovute alla frammentazione;

• il numero di processi elementari che contribuiscono al primo ordine in αs efortemente ridotto rispetto al caso di produzione di jet;

• e, per la stessa ragione, il calcolo dei contributi alla sezione d’urto all’ordineα2s, . . . e notevolmente semplificato.

La Fig. 3.77 mostra la sezione d’urto inclusiva d2σ(pp → γX)/dpTdy in funzionedell’impulso trasverso in un intervallo di rapidita intorno a y = 0 misurata a diversivalore di

√s. Per confronto e riportato il calcolo QCD all’ordine α2

s. Anche in questocaso l’accordo su piu di sei ordini di grandezza e molto soddisfacente. Il confrontotra Fig. 3.76 e Fig. 3.77 permette di stimare il rapporto αs/α in funzione di Q2.

362

(GeV/c)Tp0 20 40 60 80 100 120

)2 (p

b/G

eV3

/dp

3E

d

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

1

10

102

103

104

|<0.9) at 1.8 TeV, |pD0 (p

, CTEQ5MT=EµNLO-QCD,

|<0.9) at 1.8 TeV, |pCDF (p|<2.5) at 1.8 TeV, 1.6<|pD0 (p

|<0.9) at 630 GeV, |pD0 (p

|<2.5) at 630 GeV, 1.6<|pD0 (p

at 24.3 GeV, <y>=0.4)pUA6 (p=0)R806 (pp at 63 GeV,

=0) at 630 GeV, pUA1 (p=0) at 630 GeV, pUA2 (p

Figure 3.77: Sezione d’urto di produzione di fotoni in collisioni pp in funzionedell’impulso trasverso (S.Eidelman et al., Physics Letters B592, 1, 2004)

3.6.10 La misura di αs

La costante di accoppiamento dell’interazione adronica, come la costante di strutturafine e la costante universale di Fermi, e un parametro libero della teoria e quindiva determinato sperimentalmente. La QCD prescrive una precisa dipendenza dal 4-impulso trasferito nell’interazione e fa previsioni su diversi fenomeni che permettonodi determinare il valore di αs. Alcuni sono stati descritti, altri sono qui elencati

• decadimenti del leptone τ in stati finali adronici: τ → ντh (Q = 1.77 GeV);

• evoluzione delle funzioni di struttura del nucleone misurate in esperimenti discattering inelastico eN → eX, µN → µX, νN → µX (Q = 2÷ 50 GeV);

• produzione di jet nella scattering inelastico ep→ eX (Q = 2÷ 50 GeV);

• analisi dei livelli energetici degli stati legati qq (quarkonio) (Q = 1.5÷5 GeV);

• decadimenti dei mesoni vettori Υ, Υ′ (Q = 5 GeV);

• sezione d’urto di annichilazione e+e− → adroni (Q = 10÷ 200 GeV);

• funzione di frammentazione dei jet prodotti in e+e− → adroni (Q = 10÷ 200GeV);

• decadimenti del bosone Z0 in adroni (Q = 91 GeV, capitolo 3.7);

363

• produzione di jet in interazioni pp, pp (Q = 50÷ 1000 GeV);

• produzione di fotoni in interazioni pp, pp (Q = 30÷ 500 GeV).

Figure 3.78: Costante di accoppiamento αs in funzione dell’energia

Alcuni risultati sono mostrati in Fig. 3.78 nell’intervallo 2 < Q < 200 GeV. I risultatimostrano un chiaro andamento in accordo con quello previsto dalla teoria. Il valorequotato alla massa del bosone Z0 e αs(m

2Z) = 0.118± 0.001

3.6.11 Il quark–gluon plasma

Il plasma e lo stato della materia gassosa in cui gli atomi sono ionizzati. Le condizioniper ottenere il plasma sono elevata densita e temperatura. La densita di portatori dicarica ni, elettroni e ioni, in un mezzo di costante dielettrica ε origina un potenzialeV (~r) secondo l’equazione di Poisson, ε∇2V (~r) = −∑i qini(~r)− qδ(~r), dove q e unacarica puntiforme del mezzo. Se il sistema di cariche e in equilibrio a temperaturaT la densita media,

∑i qini = e(np− ne), nulla in un mezzo neutro, viene modificata

ε∇2V (~r) = −∑

i

qinie−qiV (~r)/kT − qδ(~r)

A temperatura elevata, kT qV (~r), nell’ipotesi di distribuzione a simmetria sfericasi ha

ε1

r

∂2

∂r2rV (r) = −

∑

i

qini +∑

i

qiniqiV (r)

kT+ . . .− qδ(~r)

dove il primo termine e in media nullo e il secondo termine modifica il potenzialegenerato dalla carica q

∂2

∂r2rV (r)−

(∑

i

niq2i

εkT

)rV (r) = −qδ(~r)

εV (r) =

q

4πεre−r/λD

364

Il potenziale generato dalle cariche viene schermato e la dimensione della zona incui l’interazione tra le cariche viene ridotta e definita dalla lunghezza di Debye,

λD =

(εkT

nq2

) 12

(3.12)

Se la lunghezza di Debye e minore delle distanze interatomiche, n−13 , le cariche

elettriche non sono vincolate e il mezzo passa dalla fase gassosa alla fase di plasma ediventa conduttore. Il diagramma di temperatura×densita definisce la separazionetra stato gassoso e stato di plasma. Ad esempio, con e2/ε0 = 4παhc = 1.8 10−6 eVcm, nella ionosfera (kT ' 0.1 eV, n ' 106 cm−3): λD ' 0.1 cm; nel centro del Sole(kT ' 1 keV, n ' 1026 cm−3): λD ' 10−9 cm.

Un fenomeno simile e previsto per la materia adronica a valori di densita etemperatura molto piu elevati. Gli adroni hanno dimensioni rh ' 1 fm, massamh ' 1 GeV e sono incolori. Sono costituiti di quark fortemente legati, confinati daicampi di interazione, i gluoni; quark e gluoni hanno carica di colore. Nella materiaadronica ordinaria, costituita da due tipi di quark, u e d, la massa effettiva dei quarke mq ' 300 MeV (capitolo 3.2)mentre in interazioni a grande 4-impulso trasferitola costante di accoppiamento della cromodinamica quantistica diminuisce e i quarksi comportano come particelle libere con massa mq → 0. La densita di energiadella materia adronica e ρh = 3mh

4πr3h' 0.2 GeV fm−3. La produzione inclusiva di

mesoni con piccolo impulso trasverso segue l’andamento tipico della termodinamicastatistica dσ

dpT' pT e

−bpT con 〈pT c〉 = 2/b ' 300 MeV che suggerisce una temperatura

dei costituenti degli adroni kTh = 1/b ' 150 MeV. Queste considerazioni induconoa ipotizzare che per densita e temperatura maggiori avvenga anche per la materiaadronica una transizione dallo stato di quark e gluoni confinati in particelle incoloriallo stato di plasma di quark e gluoni in cui questi sono deconfinati e che si comportacome un conduttore di colore. Queste ipotesi implicano che il fenomeno inverso, lacondensazione di quark e gluoni a formare gli adroni, sia avvenuto nella prima fasedi espansione dell’Universo quando la densita di energia e diminuita sotto il valoredi equilibrio del plasma. L’epoca della bariogenesi risale a circa 10 µs dopo il BigBang (capitolo 3.10).

Per stimare le condizioni di temperatura e densita della transizione dalla materiaadronica allo stato di plasma, consideriamo un gas di mesoni π a temperatura Ttale da considerare la massa trascurabile. La pressione del gas e data dalla legge diStefan-Boltzmann (appendice 4.1)

Pπ =1

3uπ =

gπ3(2πh)3

∫pc

p2dpdΩ

epc/kT − 1= gπ

4πk4T 4

3(2πhc)3

∫ x3dx

ex − 1=

1

(hc)3

3π2

90k4T 4

dove la gπ = 3 e la molteplicita di isospin. Per un gas costituito da due tipi di quarke antiquark di spin 1

2e 3 colori, e 8 campi di gluoni di spin 1 la pressione e

Pqg =1

3uqg =

[7

8(3× 2× 2× 2) + 8× 2

]1

(hc)3

π2

90k4T 4 −B =

1

(hc)3

37π2

90k4T 4 −B

365

dove il fattore 78

tiene conto della diversa statistica (capitolo 3.10) e B e la pressionedi contenimento. Questa e stimata nel modello a sacca, bag model, in cui gli adronisono rappresentati da una sacca in cui sono confinati i quark da una barriera dipotenziale che esercita la pressione di contenimento. Questa e pari alla densita dienergia all’interno della sacca B = uh ' 0.2 GeV/fm3. Il quark-gluon plasma estabile se Pqg > Ph e la temperatura critica della transizione corrisponde a

Pqg(Tc) = Pπ(Tc)1

(hc)3

34π2

90k4T 4

c = B kTc =

(90(hc)3B

34π2

) 14

' 150 MeV

Nella transizione della materia adronica allo stato di plasma la densita di energiaha una discontinuita che corrisponde al calore latente di fusione

upg − uπ = B +k4T 4

c

(hc)3

34π2

30= 4B ' 0.8 GeV fm−3

I calcoli basati sulla QCD prevedono un valore della temperatura critica kTc = 175MeV. Il diagramma di temperatura×densita barionica e la densita di energia u/T 4

previsti dalla QCD sono mostrati in Fig. 3.79.

2 4 6 1 3 5

~175

100

50

Baryonic density ρ / ρ0

Temperature [ MeV ]

nuclei

hadron gas

quark-gluon plasma

neutron stars

1 2 3

Temperature T / Tc

Energy density / k4T4 [ GeV-3 fm-3 ]

600

300

900

Figure 3.79: Diagramma temperatura×densita barionica. Transizione di fase tragas di adroni e quark-gluon plasma.

La ricerca di formazione del quark-gluon plasma e stata incentrata sullo studiodi collisioni di nuclei pesanti relativistici in anelli di collisione ad alta energia, alRelativistic Heavy Ion Collider (RHIC) e al Large Hadron Collider (LHC). Nel primocaso con ioni di Oro, 197

79Au, fino a energia nucleone-nucleone√sNN = 200 GeV, nel

secondo caso con ioni di Piombo, 20882Pb fino a energia nucleone-nucleone

√sNN = 5.0

TeV. Nello stesso anello si possono accelerare sia protoni che ioni pesanti in modo daconfrontare i risultati di collisioni pp, pA, AA. Se pp e l’impulso del fascio di protoni,definito dal valore del campo magnetico e del raggio di curvatura dei magneti,

√s =

2ppc, l’impulso del nucleo e pA = Zpp, l’energia totale e√sAA = Z

√s e l’energia

di collisione di due nucleoni e√sNN = Z

A

√s. L’energia totale effettiva dipende dal

366

parametro d’urto della collisione tra nuclei, b, come mostrato in Fig. 3.80. Questodetermina la centralita della collisione, c, definita come la percentuale di collisioniche hanno la piu elevata molteplicita di particelle prodotte,

c(N) =1

σAA

∫ ∞

N

dσ

dndn ' π[b(n)]2

σAAcon n =

1

σAA

∫ ∞

N

dσ

dnndn (3.13)

b x

y

bz

R

Figure 3.80: Collisione tra due nuclei; nella proiezione longitudinale z i nuclei sonocontratti per il fattore di Lorentz γ. Distribuzione della molteplicita di particelle inclassi di centralita.

Il valore della centralita di una collisione e determinata misurando la molteplicitadi particelle n o la somma dall’energia trasversa

∑ET . Le collisioni centrali (0–10%

in Fig. 3.80) producono elevata molteplicita di particelle e elevata energia trasversa,in quelle periferiche (90–100%) la molteplicita e l’energia trasversa sono simili aivalori misurati nelle interazioni protone-nucleo.

I due nuclei sono fortemente contratti dal fattore di Lorentz γ =√sNN

2mN, la dimen-

sione longitudinale e ∼ 10−2 fm. Al tempo t = 0 i nuclei collidono e si produconole interazioni ad elevato 4-impulso trasferito Q > 10 GeV per t ∼ h/Q < 0.1 fm/c.Al tempo t ∼ 0.1 fm/c le interazioni piu probabili avvengono tra partoni con piccolivalori di x e si forma il gas di quark e gluoni ad elevata densita di energia (Fig. 3.81).Maggiore e la centralita della collisione (piccolo parametro d’urto) maggiore e il nu-mero di occupazione del gas. Al tempo t ∼ 1 fm/c il gas termalizza e si hanno lecondizioni per la formazione del plasma. Il plasma si espande, la densita di energiae la temperatura diminuiscono, e per t ∼ 10 fm/c quark e gluoni condensano aformare le migliaia di adroni che si osservano negli esperimenti.

Per verificare le caratteristiche delle collisioni nucleo–nucleo e la formazione delquark-gluon plasma si misurano vari effetti in funzione della centralita delle collisioni.La Fig. 3.82 mostra la distribuzione di densita di particelle cariche dnch

dηper diversi

valori della centralita in interazioni PbPb a√sNN = 5.02 TeV. Nelle collisioni

centrali (0–5%) si ha dnch

dη|η=0 ' 2000 mentre in collisioni protone–protone alla stessa

energia si hanno 6 particelle cariche per unita di pseudorapidita.

367

t ≈ 1 fm/c t ≈ 0.1 fm/c t ≈ 10 fm/c

Figure 3.81: Collisione centrale tra nuclei e evoluzione del gas di partoni.

Figure 3.82: Distribuzione della densita di particelle cariche dnch

dηin interazioni PbPb

a√sNN = 5.02 TeV per diversi classi di centralita.

Per confrontare le collisioni pp, pA, AA, e verificare le ipotesi sullo sviluppodelle interazioni del gas di partoni e la formazione del plasma, si introducono al-cune funzioni che dipendono dalla densita di nucleoni e dal parametro d’urto. Seconsideriamo una densita uniforme n(~r) = 3A

4πR3 per r < R, la proiezione lungo lalinea di collisione e n(s, z)dz = nRd cos θ e lo spessore effettivo, thickness function, e

TA(s) =∫n(s, z)dz = 2nR

√1− s2/R2 = 3A

2πR2

√1− s2/R2. Nei calcoli si usano fun-

zioni densita piu realistiche, ad esempio la funzione di Woods–Saxon (capitolo 2.2).Nella collisione di due nuclei AB con parametro d’urto b la funzione di sovrappo-sizione e TAB(~b) =

∫TA(~s)TB(~b − ~s)d~s. La probabilita che un nucleone attraversi

il nucleo senza interagire e P (0) =[1− 1

AσppTA(s)

]A → e−σppTA(s) per A 1. Lasezione d’urto geometrica e

σgeo =∫ RA+RB

0

(1− e−σppTAB(~b)

)d~b

Per sovrapposizione completa, b = 0, e collisione tra nuclei uguali si ha TAA(0) =9

8πA2

R2 . Per Pb con R = 1.2A1/3 fm e σpp = 70 mb si ha TPbPb(0) = 98π

A4/3

15 mb= 28

368

mb−1, σgeo = 4πR2 ' 6 b. Il numero di nucleoni partecipanti e

Npart(~b) =∫ [

TA(~s)(1− e−σppTB(~b−~s)

)+ TB(~s)

(1− e−σppTA(~b−~s)

)]d~s

e il numero di collisione binarie nucleone–nucleone e Ncoll(~b) = σppTAB(~b). Valoritipici in collsioni centrali PbPb a

√sNN = 5 TeV sono: 〈Npart〉 ' 400, 〈Ncoll〉 ' 2000.

Se si misurano in collisioni pA e AA le variabili di particelle ti tipo k, ad es-empio rapidita e impulso trasverso, la funzione di distribuzione d2nk

dydpTviene riferita

alla analoga distribuzione misurata in collisioni pp definendo il rapporto (nuclearmodification factor)

RAA =1

〈Ncoll〉

d2nkdydpT

|AAd2nkdydpT

|ppRpA =

1

〈Ncoll〉

d2nkdydpT

|pAd2nkdydpT

|pp(3.14)

Determinando la dipendenza di RAA dalla centralita delle collisioni per diverse parti-celle si sono verificate le ipotesi sulla formazione del gas di partoni e del quark-gluonplasma:

• le caratteristiche della produzione di bosoni W e Z (capitolo 3.7), e di fotonidiretti, quelli prodotti ad elevato pT nelle interazioni primarie quark-gluone,sono sostanzialmente immutate perche queste particelle sono prodotte all’iniziodell’evoluzione del sistema e interagiscono debolmente con il gas di partoni;

• la produzione di mesoni vettori, ψ, ψ′, ...,Υ,Υ′, ..., che risultano dalla ricom-binazione di quark con lo stesso sapore e soppressa e il grado di soppressionedi stati con diversa energia di legame da informazione sulla temperatura delmezzo;

• le caratteristiche dei jet adronici con elevato impulso trasverso prodotti all’iniziodell’evoluzione del sistema risente fortemente delle interazioni di colore nell’attraversareil mezzo, sia nella distribuzione in pT che nella funzione di frammentazione(Fig. 3.83);

• la distribuzione dell’angolo azimutale rispetto alla normale al piano di pro-duzione delle particelle prodotte nella fase di raffreddamento, risente dei moticollettivi del mezzo;

• in collisioni pA il rapporto RpA non mostra forti deviazioni da 1.

Molte altre misure hanno prodotto verifiche quantitative dell’evoluzione dellostato del gas di partoni prodotto nelle interazioni: la termalizzazione, la formazionedel plasma, la transizione per un valore di temperatura kTc = 160–190 MeV, e laproduzione di adroni nella successiva fase di raffreddamento.

369

Figure 3.83: Produzioni di jet adronici che inizialmente bilanciano l’impulsotrasverso. Immagine di una collisione con centralita intermedia.

3.7 Interazione elettrodebole

Le particelle elementari, leptoni e quark, sono fermioni di spin 1/2. Le interazionitra queste sono mediate da campi di bosoni di spin 1 e sono descritte dal prodottoscalare della corrente fermionica e del campo di interazione. Nel caso dell’interazioneelettromagnetica questo e eJ · A; e e la carica elettrica; Jµ = ψγµψ (µ = 1, 2, 3, 4)sono le componenti della corrente fermionica (appendice 4.19); Aµ sono le compo-nenti del campo elettromagnetico. (Qui e nel seguito h = 1, c = 1, e2 = 4πα). Nelcaso dell’interazione debole ci sono due correnti J+

µ e J−µ , ciascuna con una compo-nente vettoriale e una assiale. Queste agiscono come gli operatori di isospin 1/2 τ±

e sono accoppiate a due campi W−µ e W+

µ che trasmettono carica elettrica. Il fotoneha massa nulla, i bosoni W± hanno massa.

L’interazione elettromagnetica e invariante per una trasformazione che dipendeda un solo parametro, U = eiα(x)Q, in cuiQ e il generatore della carica elettrica e α(x)e una funzione reale delle coordinate spazio-temporali. L’analoga trasformazione perl’interazione debole e quella generata dall’operatore di isospin 1/2, U = eiΣkαk(x)τk

(k = 1, 2, 3) ma, per completare la simmetria, manca la componente τ3 associata adun campo debole neutro.

L’esistenza di un campo debole neutro e stata ipotizzata da Sheldon Glashow 15

nel 1961. In effetti nell’interazione elettromagnetica la sezione d’urto di annichi-lazione e+e− → γγ, descritta dal primo grafico in Fig. 3.84 (appendice 4.24), da unrisultato finito in accordo con i risultati sperimentali, mentre il calcolo della sezioned’urto per l’analogo processo per interazione debole νν → W+W− da un risultatoche cresce con il quadrato dell’energia, σ ∝ s, e che diverge per

√s 4M2

W . In-fatti in questo caso il propagatore del campo debole non interviene a modificarel’accoppiamento a contatto. Si puo invece ottenere un risultato finito se si ipotizzache, oltre al secondo grafico in Fig. 3.85, esista l’accoppiamento con un campo deboleneutro, Z0, descritto da un propagatore con massa MZ ≈MW .

Lo stesso effetto si ha per l’annichilazione e+e− → W+W− in cui intervengono i


370

Figure 3.84: Grafici di Feynman dell’annichilazione e+e− → γγ e νν → W+W−

grafici mostrati in Fig. 3.85: si ottiene un risultato finito per s→∞ aggiungendo ilcontributo di un campo debole neutro. In questo caso la condizione che la sezioned’urto non diverga definisce una relazione tra le due costanti di accoppiamento, lacarica elettrica elementare e la costante universale di Fermi.

Figure 3.85: Grafici di Feynman dell’annichilazione e+e− → W+W−

3.7.1 Isospin e ipercarica debole

Da questi argomenti e tenendo conto che la carica elettrica interviene direttamentenell’accoppiamento dei fermioni con il campo elettromagnetico mentre la stessa car-ica e trasmessa da un fermione all’altro nelle interazioni con i campi deboli, si puoipotizzare che esista una simmetria piu generale che descrive le due interazioni. Lostudio di questa simmetria e stato fatto da Steven Weinberg e Abdus Salam 16 chenel 1967 hanno messo le basi della teoria dell’interazione elettro-debole.

Per individuare le trasformazioni che generano questa simmetria e opportunoricordare che

• quark e leptoni carichi, `±, si accoppiano con il campo elettromagnetico;

• tutti i fermioni si accoppiano con il campo debole;

• quark e leptoni carichi hanno due stati di elicita, Left e Right ;

• l’interazione elettromagnetica non dipende dallo stato di elicita dei fermioni;

• l’interazione debole non dipende dallo stato di carica elettrica dei fermioni;


371

• l’interazione debole agisce su fermioni L e antifermioni R;

• rispetto all’interazione debole, quark e leptoni si possono rappresentare condoppietti caratterizzati dal sapore; la carica elettrica distingue i componentidi ciascun doppietto

(νee−

) (νµµ−

) (νττ−

) (ud′

) (cs′

) (tb′

)

e la stessa rappresentazione si ha per gli antifermioni.

Queste caratteristiche si possono riassumere introduncendo l’operatore di isospindebole, ~I, che genera doppietti di fermioni L e singoletti di fermioni R

doppietto

(νee−

)

L

(νµµ−

)

L

(νττ−

)

L

(ud′

)

L

(cs′

)

L

(tb′

)

L

singoletto e−R µ−R τ−RuR cR tRd′R s′R b′R

La connessione tra la simmetria SU(2) generata dall’isospin debole e la simmetriaU(1) generata dalla carica elettrica e stabilita da una relazione analoga a quella diGell-Mann e Nishijima tra carica elettrica, ipercarica debole Y e terza componentedell’isospin debole

Q = Y/2 + I3

I generatori della simmetria dell’ipercarica debole e dell’isospin debole sono rispet-tivamenete una costante e le matrici di Pauli

U(1)Y 1 SU(2)L1

2

(0 11 0

)1

2

(0 −ii 0

)1

2

(1 00 −1

)

Per i fermioni L e R gli autovalori sono (e = µ = τ , u = c = t, d′ = s′ = b′)

νL eL eR uL d′L uR d′RI 1/2 1/2 0 1/2 1/2 0 0I3 +1/2 −1/2 0 +1/2 −1/2 0 0Y −1 −1 −2 +1/3 +1/3 +4/3 −2/3Q 0 −1 −1 +2/3 −1/3 +2/3 −1/3

gli autovalori relativi agli antifermioni hanno segno opposto.La simmetria e quindi U(1)Y ⊗SU(2)L. U(1)Y = eiα(x)Y descrive l’interazione tra

una corrente fermionica JY e un campo bosonicoBY con una costante d’accoppiamentogY . SU(2)L = eiΣkαk(x)Ik descrive l’interazione tra tre correnti JkI e tre campi Bk

I conuna seconda costante d’accoppiamento gI . L’interazione corrente · campo previstadalla simmetria e

1

2gY J

YBY + gI(J1B1 + J2B2 + J3B3

)

372

Esistono quindi due correnti fermioniche cariche associate agli operatori I1 ± iI2

J+µ = (ν e)L γµ

(0 10 0

)(νe

)

L

= (ν e)L γµ

(e0

)

L

= νLγµeL

J−µ = (ν e)L γµ

(0 01 0

)(νe

)

L

= (ν e)L γµ

(0ν

)

L

= eLγµνL

e due correnti fermioniche neutre associate a I3 e Y

J3µ = (ν e)L γµ

1

2

(1 00 −1

)(νe

)

L

= (ν e)L γµ

(ν−e

)

L

=1

2νLγµνL −

1

2eLγµeL

JYµ = (ν e)L γµ

(−1 00 −1

)(νe

)

L

+ eR (−2) γµeR = −νLγµνL− eLγµeL− 2eRγµeR

La corrente elettromagnetica, associata all’operatore Q, e rappresentata dalla com-binazione

Jemµ =1

2JYµ + J3

µ = −eLγµeL − eRγµeR

3.7.2 Angolo di Weinberg

Le tre correnti J+, J−, Jem, sono associate alle interazioni debole e elettromagneticase si identificano i campi corrispondenti come combinazioni dei campi di U(1)Y ⊗SU(2)L

• due campi carichi

W+ =B1 + iB2

√2

W− =B1 − iB2

√2

• due campi neutri

A = BY cos θW +B3 sin θW Z = −BY sin θW +B3 cos θW

Le interazioni mediate dai campi carichi sono

J1B1 + J2B2 =J+ + J−

2

W+ +W−√

2+J+ − J−

2i

W+ −W−√

2i=J+W− + J−W+

√2

Le interazioni mediate dai campi neutri sono

1

2gY J

YBY + gIJ3B3 =

1

2gY J

Y (A cos θW − Z sin θW ) + gIJ3(A sin θW + Z cos θW ) =

=(

1

2gY J

Y cos θW + gIJ3 sin θW

)A+

(−1

2gY J

Y sin θW + gIJ3 cos θW

)Z

373

Il primo termine rappresenta l’interazione elettromagnetica e(12JY +J3) ·A. Quindi

si ottiene una relazione tra le costanti di interazione gI e gY e la carica elementare

gY cos θW = gI sin θW = egYgI

= tan θW

L’angolo con cui sono combinati i due campi neutri e chiamato angolo di Weinberg.Il secondo termine si puo esprimere in funzione della corrente elettromagnetica

− gIcos θW

sin2 θW (Jem − J3) +gI

cos θWcos2 θWJ

3 =gI

cos θW

(J3 − Jem sin2 θW

)

Quindi i quattro tipi di interazione sono (Fig. 3.86)

eJemA+gI√

2

(J+W− + J−W+

)+

gIcos θW

(J3 − Jem sin2 θW

)Z

e dipendono solo da due parametri: la carica elementare e la costante di accoppia-mento gI . L’angolo di Weinberg e legato alle due costanti di accoppiamento dallarelazione gI sin θW = e.

Figure 3.86: Rappresentazione delle interazioni elettro-deboli, g sin θW = e

Le relazioni precedenti definiscono i valori di massa dei bosoni W± e Z0. Glielementi di matrice dipendono dal prodotto delle costanti per il propagatore. Intro-ducendo i propagatori, nel limite di interazione a contatto (q2 M2) si ha:

gI√2

1

q2 +M2W

gI√2→ 4G√

2

gIcos θW

1

q2 +M2Z

gIcos θW

→ 8G√2

M2W =

g2I

4√

2G=

πα√2G sin2 θW

M2Z =

g2I

4√

2G cos2 θW=

M2W

cos2 θW

L’accoppiamento dei fermioni con il campo debole neutro e definito dagli autovaloridi I3 −Q sin2 θW (gli autovalori relativi agli antifermioni hanno segno opposto)

ν e u d′

gL = I3 −Q sin2 θW12−1

2+ sin2 θW

12− 2

3sin2 θW −1

2+ 1

3sin2 θW

gR = −Q sin2 θW 0 + sin2 θW −23

sin2 θW13

sin2 θW

374

3.7.3 Misura dell’angolo di Weinberg

La teoria di Weinberg e Salam prevede che esistano interazioni di neutrini del tipoνµN → νµX, νµN → νµX, dette interazioni di corrente neutra, con sezione d’urtosimile a quella di interazioni di corrente carica (capitolo 3.4). Le misure sono piudifficili che nel caso di interazioni νµN → µ−X, νµN → µ+X perche non si conoscel’energia del neutrino incidente e non si osserva il neutrino dopo la collisione.

La prima conferma dell’esistenza di queste interazioni si e avuta nel 1973 os-servando appunto interazioni di neutrini senza l’emissione di muoni. Il confrontotra interazioni per corrente carica, CC, in cui si osserva sia il muone che lo statoX in cui frammenta il nucleone bersaglio, e interazioni per corrente neutra, NC,in cui non si osserva il neutrino, ma solo lo stato X, permette di fare ipotesi sulneutrino non osservato nello stato finale. Il valore dell’angolo di Weinberg e statodeterminato misurando il rapporto tra le sezioni d’urto di neutrini e antineutrini.

Nel caso di interazioni su nuclei si hanno contributi dovuti alla presenza sia diquark che di antiquark nel bersaglio. Piu semplice e l’interpretazione delle misure disezione d’urto usando come bersaglio gli elettroni atomici perche il bersaglio e cos-tituito solo da fermioni. In questo caso pero le misure sono molto piu difficili perchela sezione d’urto, proporzionale a s = 2meEν , e molto piu piccola. L’osservazionedell’elettrone e la misura dell’energia e dell’angolo con cui e emesso permette didistinguere le interazioni per corrente neutra. Dalla conservazione del 4-impulso siha (Pν + Pe − P ′e)2) = P ′2ν = 0, e per E ′e me: (Eν − E ′e)me = EνE

′e(1 − cos θ),

E ′e(1− cos θ) < me. L’elettrone e emesso ad angoli piccoli con E ′eθ2 < 2me.

La sezione d’urto differenziale dσ/dy delle interazioni elastiche

νµe− → νµe

− νµe− → νµe

−

e definita dalla configurazione di elicita. In diverse configurazioni di elicita pesanoin modo diverso gli autovalori di I3 −Q sin2 θW

νLeL ⇐ ⇒ 12

[−1

2+ sin2 θW

]νLeR ⇐ ⇐ 1

2

[0 + sin2 θW

]

νReL ⇒ ⇒ −12

[−1

2+ sin2 θW

]νReR ⇒ ⇐ −1

2

[0 + sin2 θW

]

e, pesando in contributi per le distribuzioni angolari, si ha:

dσνdy

=4G2

π2meEν

(1

4

[−1

2+ sin2 θW

]2

+1

4

[sin2 θW

]2(1− y)2

)

dσνdy

=4G2

π2meEν

(1

4

[−1

2+ sin2 θW

]2

(1− y)2 +1

4

[sin2 θW

]2)

Per cui il rapporto tra le sezioni d’urto dipende solo dall’angolo di Weinberg

σ(νe)

σ(νe)=

1

3

1− 4 sin2 θW + 16 sin4 θW1− 4 sin2 θW + (16/3) sin4 θW

Il valore dell’angolo di Weinberg ottenuto nelle misura di scattering νµe− → νµe

− e

sin2 θW = 0.232± 0.008

375

Il risultato piu preciso si ottiene misurando i rapporti delle sezioni d’urto su nucleoniσNC(νµN → νµX)/σCC(νµN → µ−X) e σNC(νµN → νµX)/σCC(νµN → µ+X). Inquesto caso vanno introdotti gli autovalori di I3 − Q sin2 θW dei diversi sapori diquark e antiquark pesati per le relative densita partoniche. Il valore dell’angolo diWeinberg ottenuto da queste misure e

sin2 θW = 0.226± 0.004

Una conferma dell’effetto del propagatore del bosone Z0 si e avuta pochi annidopo (1978) studianto lo scattering inelastico di elettroni polarizzati. Elettroni dienergia Ee = 16÷ 22 GeV con polarizzazione longitudinale eL e eR erano alternati-vamente accelerati con il LINAC dello Stanford Linear Accelerator Center e inviatisu un bersaglio di deuterio liquido. La sezione d’urto dipende dal propagatore delfotone, ∝ eeq

Q2 , e del bosone Z0, ∝ gegqQ2+m2

Zed e sensibile al termine di interferenza

γ − Z. Le misure erano fatte a valori di Q2 = 1÷ 2 GeV 2 m2Z , x > 0.2 e inelas-

ticita y ∼ 0.2. Integrando le funzioni di struttura di protone e neutrone nella regionex > 0.2 la sezione d’urto differenziale e poco sensibile alla densita di anti-quark:

dσdy

(eLuL) ∝ |2παQ2−23

+ G√2geLg

uL|2 dσ

dy(eLdL) ∝ |2πα

Q2+13

+ G√2geLg

dL|2

dσdy

(eLuR) ∝ |2παQ2−23

+ G√2geLg

uR|2(1− y)2 dσ

dy(eLdR) ∝ |2πα

Q2+13

+ G√2geLg

dR|2(1− y)2

dσdy

(eRuL) ∝ |2παQ2−23

+ G√2geRg

uL|2(1− y)2 dσ

dy(eRdL) ∝ |2πα

Q2+13

+ G√2geRg

dL|2(1− y)2

dσdy

(eRuR) ∝ |2παQ2−23

+ G√2geRg

uR|2 dσ

dy(eRdR) ∝ |2πα

Q2+13

+ G√2geRg

dR|2

La sezione d’urto differenziale per elettroni eR e eL, per uguale densita di quark u ed e trascurando il termine ∼ G2, e proporzionale a:

dσRdy∝ 4π2α2

Q4

[(59

+R(−4

3geRg

uR + 2

3geRg

dR

))+(

59

+R(−4

3geRg

uL + 2

3geRg

dL

))(1− y)2 + . . .

]

dσLdy∝ 4π2α2

Q4

[(59

+R(−4

3geLg

uL + 2

3geLg

dL

))+(

59

+R(−4

3geLg

uR + 2

3geLg

dR

))(1− y)2 + . . .

]

Il termine di interferenza γ–Z e diverso per eL e eR ed e proporzionale aR = GQ2

2√

2πα' 3× 10−4. L’esperimento ha misurato l’asimmetria

A =dσR/dy − dσL/dydσR/dy + dσL/dy

= − GQ2

2√

2πα

9

10

[(1− 20

9sin2 θW

)+(1− 4 sin2 θW

) 1− (1− y)2

1 + (1− y)2

]

e determinato l’angolo di Weinberg: sin2 θW = 0.22± 0.02.

3.7.4 Decadimenti dei bosoni W± e Z0

La misura dell’angolo di Weinberg fissa i valori della massa dei bosoni: MW '80 GeV , MZ ' 90 GeV e dell’accoppiamento dei bosoni con coppie fermione-antifermione. Le larghezze di decadimento sono

W → fafbdΓ

dΩ=g2I

2|Vab|2Nc

1

(2π)2

1

2MW

p2f [F (θ)]2

376

Z → fafadΓ

dΩ=

g2I

cos2 θW

[g2L + g2

R

]Nc

1

(2π)2

1

2MZ

p2f [F (θ)]2

Vab sono i parametri della matrice CKM (per i leptoni Vab = 1), Nc e la molteplicitadel colore (Nc = 3 per i quark e Nc = 1 per i leptoni), pf e l’impulso dei fermioni,F (θ) = (1− cos θ)/2 e la distribuzione angolare e θ e l’angolo tra lo spin del bosonee la direzione del fermione. I possibili accoppiamenti sono

W+ νee+ νµµ

+ νττ+ ud cd td

us cs tsub cb tb

Z0 e−e+ νeνe µ−µ+ νµνµ τ−τ+ ντ ντuu cc tt dd ss bb

e quelli coniugati di carica per il bosone W−. Il quark t ha massa maggiore di quelladei bosoni W e Z e quindi gli stati finali con il quark t non sono accessibili. Pertutte le altre coppie fermione-antifermione si ha mf M per cui pf ' M/2. Lelarghezze di decadimento sono

Γ(W → fafb) =GM3

W

6π√

2|Vab|2Nc Γ(Z → fafa) =

GM3Z

3π√

2

[g2L + g2

R

]Nc

Per il bosone W± si ha Γ`νW = Γ(W → `ν) = GM3W/6π

√2 ' 0.23 GeV . Tenendo

conto che l’accoppiamento debole e universale e che la matrice CKM e unitaria siha ∑

q

Γ(W → qq) = 6 Γ`νW ΓW = 9 Γ`νW = 2.1 GeV

Per il bosone Z0 si ha ΓννZ = Γ(Z → νν) = GM3Z/12π

√2 ' 0.17 GeV . La larghezza

di decadimento negli altri stati finali dipende dall’angolo di Weinberg tramite lecostanti g2

L + g2R che sono

νν `¯ uu dd14

14− sin2 θW + 2 sin4 θW

14− 2

3sin2 θW + 8

9sin4 θW

14− 1

3sin2 θW + 2

9sin4 θW

La teoria prevede: Γ``Z ' 0.5 ΓννZ , ΓuuZ ' 1.8 ΓννZ , ΓddZ ' 2.3 ΓννZ , e quindi

ΓZ ' 15 ΓννZ = 2.5 GeV

3.7.5 Scoperta dei bosoni W± e Z0

I bosoni W± e Z0 possono essere prodotti nell’annichilazione quark-antiquark me-diante processi Drell-Yan (capitolo 3.5) come illustrato in Fig. 3.87. Dal valoredell’angolo di Weinberg misurato in esperimenti di scattering di neutrini di alta en-ergia si sapeva alla fine degli anni ’70 che i valori di massa erano circa 80− 90 GeV .La soglia di produzione con esperimenti a bersaglio fisso, ad esempio in interazioniprotone-protone, e Ep > M2/2mp ' 4000 GeV cioe 10 volte maggiore dell’energia

377

del piu grande protosincrotrone allora in funzione. Carlo Rubbia 17 propose di con-vertire il protosincrotrone del CERN in un anello di collisione antiprotone-protoneper poter raggiungere l’energia sufficiente a produrre i bosoni W± e Z0. Il prob-lema di produrre e immagazzinare nell’anello di collisione un fascio sufficientementeintenso di antiprotoni fu brillantemente risolto da Symon van der Meer 18.

Figure 3.87: Produzione dei bosoni W− e Z0 in interazioni antiprotone-protone

La sezione d’urto di produzione di bosoni W± di massa M nell’annichilazionequark-antiquark con energia totale

√sab e

σ(qaqb → W ) =4π(hc)2

sab/4

1

3

1

3

3

4

ΓabΓ/4

(√sab −M)2 + (Γ/2)2

il primo fattore 1/3 perche solo quark-antiquark dello stesso colore possono produrreuno stato incolore, il secondo fattore 1/3 perche solo gli stati di spin 1 di quark e an-tiquark contribuiscono, la media sugli stati di spin e 2J+1

(2s+1)(2s+1)= 3

4. Approssimando

sab 'M2 nella formula di Breit-Wigner (h = 1, c = 1)

σ(qaqb → W ) =4π

3M2

ΓabΓ

M2(Γ/2)2

(sab −M2)2 +M2(Γ/2)2' 2π2

3MΓabδ(sab −M2)

usando l’approssimazione lima→0a2

(s−m2)2+a2= πaδ(s−m2).

Se ~p e l’impulso del protone, −~p quello dell’antiprotone,√s ' 2p l’energia totale

e x1p, −x2p gli impulsi di quark e antiquark, il quadrato dell’energia totale e sab =x1x2s. Introducendo le densita di quark e antiquark (la densita di quark nel protonee uguale alla densita di antiquark nell’antiprotone) la sezione d’urto di produzionedel bosone W e

σ(pp→ WX) =2π2

3MΓab

∫ 1

0

∫ 1

0[qp(x1)qp(x2) + qp(x1)qp(x2)]

1

sδ(x1x2 −M2/s)dx1dx2

trascurando la densita dei quark del mare, qp(x) qp(x), qp(x) qp(x),

σ(pp→ WX) ' 2π2

3M3Γab

∫ 1

0

∫ 1

0x1qp(x1)x2qp(x2)δ(x1x2 −M2/s)dx1dx2 =

=2π2

3M3Γab

∫ 1

τF1(x)F2(τ/x)

dx

xτ =

M2W

s


378

xq(x) = F (x) sono le funzioni di struttura misurate nello scattering inelasticoleptone-nucleone e l’integrale F(τ) dipende solo dal rapporto tra la massa del bosonee l’energia totale pp.

Per l’annichilazione du→ W+, ud→ W−, si ha

ΓudM3

W

=G

6π√

2cos2 θc σ(pp→ WX) =

πG(hc)2

3√

2cos2 θc F±(M2

W/s)

Analogamente per l’annichilazione uu→ Z0, dd→ Z0

ΓqqM3

Z

=G

3π√

2(g2L + g2

R) σ(pp→ ZX) =2πG(hc)2

3√

2(g2L + g2

R) F0(M2Z/s)

I bosoni W± e Z0 furono scoperti nel 1983 nelle interazioni antiprotone-protonea energia di circa

√s = 300+300 GeV osservando i decadimenti in coppie di leptoni

W+ → e+νe W+ → µ+νµ Z0 → e+e− Z0 → µ+µ−

e i coniugati di carica per il W−. Nel caso dei decadimenti del bosone W± vieneidentificato il leptone (` = e, µ, τ), ma i neutrini non sono osservati direttamente:viene misurata la somma vettoriale degli impulsi di tutte le particelle osservatee si verifica che ~pν = −∑k ~pk soddisfi la cinematica prevista per il decadimentoW → `ν. La massa del bosone W viene misurata dalla distribuzione dell’impulsotrasverso del leptone carico. Questa e dn

dpT`= dn

d cos θd cos θdp`T

con θ l’angolo tra lo spin

del W e la direzione di ~p` nel riferimento del W

dn±

d cos θ=

[1± cos θ

2

]2

L’impulso trasverso e invariante e, se l’impulso trasverso del bosone W e piccolo

(pTW MW/2), si ha pT` = p∗` sin θ = (MW/2)√

1− cos2 θ, cos θ =√

1− (2pT`/M)2

dn

dp`T∝ 〈(1± cos θ)2〉 pT`/M

2W√

1− (2pT`/MW )2

Nel valor medio 〈(1 ± cos θ)2〉 il termine ±2 cos θ si annulla e la distribuzione e lastessa per `+ e `−. La distribuzione aumenta e tende a divergere per pT` = MW/2detto picco Jacobiano della trasformazione dal riferimento del W al centro di massapp. La distribuzione e allargata per diversi effetti: la larghezza intrinseca del W(ΓW = 2.1 GeV ), l’impulso trasverso pTW e la risoluzione sperimentale: il punto diflesso della distribuzione corrisponde approssimativamente a MW/2 (Fig. 3.88). Nelcaso dei decadimenti del bosone Z0 si misurano gli impulsi di entrambe i leptoni ela massa e M2

Z = (P+ + P−)2.L’esperimento verifico la natura V –A dell’accoppiamento del bosone W± e de-

termino il valore dello spin misurando la distribuzione angolare dei leptoni carichi.Nell’annichilazione quark-antiquark il bosone e prodotto con lo spin parallelo alla

379

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0 10 20 30 40 50

dn/dpT

µ [GeV-1]

pTµ [GeV]

Figure 3.88: Distribuzione dndpT`

nel decadimento W → `ν

direzione dell’antiquark, cioe, trascurando il contributo dei quark del mare, nelladirezione dell’antiprotone. Nel decadimento del W+ l’antileptone `+ e emesso condistribuzione angolare F (θ) = (1 + cos θ)2 rispetto alla direzione dello spin delbosone, mentre nel decadimento del W− il leptone `−ν e emesso con distribuzioneangolare F (θ) = (1− cos θ)2: `− e emesso prevalentemente nella direzione del fasciodi protoni+ e `+ nella direzione del fascio di antiprotoni− (Fig. 3.89).

Figure 3.89: Correlazione angolare nel decadimento dei bosoni W±

3.7.6 Proprieta dei bosoni W± e Z0

Le proprieta, massa, larghezza e frazioni di decadimento dei bosoni W e Z sonostate misurate con precisione in interazioni antiprotone-protone a energia ancoramaggiore

√s = 900 + 900 GeV sfruttando il fatto che il fattore F(M2/s), e quindi

la sezione d’urto, aumenta considerevolmente con l’energia.Le proprieta del bosone Z sono state misurate con precisione molto maggiore

in interazioni elettrone-positrone all’energia√s = MZ . In questo caso la sezione

d’urto e

σ(e+e− → Z) =4π(hc)2

s/4

3

4

ΓeeΓ/4

(√s−MZ)2 + (Γ/2)2

In un anello di collisione e+e− l’energia dei fasci e nota con grande precisione e si

380

puo variare attorno al valore MZ ricostruendo la curva di risonanza della sezioned’urto: in questo modo si misurano la massa e la larghezza. La sezione d’urto ha ilvalore massimo

σmax =12π(hc)2

M2Z

ΓeeΓ' 5.8 10−32 cm2

Selezionando diversi prodotti di decadimento si misurano le larghezze di decadimentoparziali in coppie fermione-antifermione

σ(e+e− → Z → ff) =12π(hc)2

M2Z

Γee ΓffΓ2

La misura della sezione d’urto σ(e+e− → Z → ff) e della larghezza di decadimentoha reso possibile anche la misura della sezione d’urto in stati finali non osservatidirettamente (Z → νν) e di stabilire che il numero di neutrini leggeri, cioe quellicon massa minore di MZ/2, e uguale a tre: Nν = 2.99± 0.01 (Fig. 3.90)

87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 0

5

10

15

20

25

30

35

40

(n

b)

= Ecm (GeV)

2 's3 's4 's

L3

ALEPHDELPHI

OPAL

s

Figure 3.90: Sezione d’urto σ(e+e− → Z → adroni) in funzione dell’energia deifasci.

Le proprieta dei bosoni W sono anche state studiate mediante l’annichilazionee+e− → W+W−. Tre grafici di Feynman contribuiscono alla produzione di coppieW+W− (Fig. 3.85): (1) lo scambio di νe nel canale t, (2) e lo scambio di γ e (3) diZ0 nel canale s. Le ampiezze sono proporzionali rispettivamente a:

α

t

1

s2W

con t = M2W −

s

2[1−β cos θ]

α

s

α

s−m2Z

cWsW×[

1 eR1− 1

2s2WeL

]

(sW = sin θW , cW = cos θW ). Le tre ampiezze interferiscono a formare la sezioned’urto. Il contributo del primo termine tende a divergere per cos θ → 1. I terminicon scambio di γ e Z0 interferiscono negativamente e il secondo tende a ridurre lasezione d’urto rispetto al solo contributo del fotone. La sezione d’urto differenzialee

dσ

dΩ=α2

s

1

4s4W

β

[1 + 4

2− 3s2W

3− 4s2W

β cos θ +O(β2)

]

381

Il termine ∝ β2 si annula nell’integrazione sull’angolo polare; la sezione d’urto totale

σ(e+e− → W+W−) =πα2

s

[1

s4W

β +O(β3)

]

e mostrata in Fig. 3.91 in funzione dell’energia (β da ' 0 a ' 0.6) per la previsionedella teoria e per diversi valori misurati dalla soglia fino a 210 GeV. Il valore dellamassa che si ottiene da queste misure e in ottimo accordo con quelli della produzionein anelli di collisione pp e pp.

-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ only νe exchange

-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ no ZWW vertex

Figure 3.91: Sezione d’urto e+e− → W+W− in funzione dell’energia.

Le misure di scattering inelastico leptone–nucleone fatte con esperimenti a bersagliofisso (capitolo 3.4) raggiungono energie nel centro di massa

√s ≈ 25 GeV e valori di

4-impulso trasferito Q2 ≈ 100 GeV. Per raggiungere valori piu elevati e per osservaregli effetti dei bosoni W± e Z0 sullo scattering leptone–nucleone, e stato costruitoun doppio anello in cui collidono elettroni o positroni di 28 GeV e protoni di 800GeV. L’energia nel centro di massa e 300 GeV, il centro di massa delle collisioni ein moto nel laboratorio con velocita β = 0.93. La Fig. 3.92 mostra le funzioni distruttura del protone F2(x,Q2) che estendono quelle degli esperimenti a bersagliofisso (Fig. 3.65) fino a valori di Q2 ≈ 104 GeV 2.

Per valori del 4-impulso trasferito confrontabili con le masse dei bosoni vettori loscattering inelastico e−p→ νeX, e+p→ νeX e sensibile al propagatore del W∓. Lasezione d’urto dσ

dQ2 (Fig. 3.93) mostra un andamento approssimativamente costante

per Q2 M2W (equazione 3.6), come osservato nello scattering inelastico di neutrini

e antineutrini, e poi tende ad un andamento ≈ 1Q4 per Q2 > M2

W . Il diverso valoredelle due sezioni d’urto e dovuto al diverso contributo di quark e antiquark. Lasezione d’urto e±p→ e±X ha l’andamento ≈ 1

Q4 per Q2 M2Z dovuto al propaga-

tore del fotone (equazione 3.5) e poi risente dell’interferenza γ–Z che ha contributidiversi per elettrone e positrone dovuti ai diversi accoppiamenti di e± con il bosoneZ0 e al variare del contributo di quark e antiquark. I risultati mostrati in figura

382

Figure 3.92: Funzioni di struttura del protone F2(x,Q2) misurate nello scatteringinelastico ep a

√s = 300 GeV .

Figure 3.93: Sezione d’urto differenziale dσdQ2 per ep→ νeX (in rosso) e ep→ eX (in

blu) a√s = 300 GeV .

383

costituiscono una evidente conferma della unificazione elettro-debole presentata nelcapitolo 3.7.

I valori delle masse, larghezze e frazioni di decadimento misurati studiando laproduzione e i decadimenti dei bosoni W± e Z0 sono riassunti nella tabella seguente

MW 80.39± 0.02 MZ 91.188± 0.002 GeVΓW 2.09± 0.04 ΓZ 2.495± 0.002 ”

BR(W → eνe) 10.7± 0.2 BR(Z → e+e−) 3.363± 0.004 10−2

BR(W → µνµ) 10.6± 0.2 BR(Z → µ+µ−) 3.366± 0.006 ”BR(W → τ ντ ) 11.3± 0.2 BR(Z → τ+τ−) 3.370± 0.008 ”

BR(Z → νν) 20.00± 0.06 ”BR(W → qq) 67.41± 0.27 BR(Z → qq) 69.91± 0.06 ”

e da questi valori si determina l’angolo di Weinberg: sin2 θW = 0.2313± 0.0001.

3.8 Il Modello Standard

Il Modello Standard delle interazioni fondamentali e una teoria di campo efficaceche descrive le interazione elettromagnetiche, deboli e adroniche tra i costituentielementari della materia. La teoria e basata sul minimo di assunzioni a priori,essenzialmente su principi di simmetria, ed e detta efficace in quanto necessita dialcune informazioni che si possono ottenere solo da misure: i parametri del modello.

Le leggi che descrivono un sistema rappresentato con n variabili coniugate, qi, qi,si ottengono minimizzando l’azione S =

∫L(q1, q2, . . . , q1, q2, . . .)dt, dove L = K−U

e la Lagrangiana del sistema; ovvero da n equazioni di Eulero-Lagrange

∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi= 0 (3.15)

In una teoria di campo quantistica invariante per trasformazioni di Lorentz, i campiφi sono funzioni delle coordinate dello spazio-tempo xµ e le equazioni (3.15) siscrivono in termini della densita lagrangiana L(φi, ∂µφi) tale che L =

∫ Ld3x

∂L∂φi− ∂

∂xµ

∂L∂(∂µφi)

= 0 (3.16)

Qui e nel seguito usiamo unita naturali (h = 1, c = 1), la notazione ∂µ = ∂∂xµ

e la

somma implicita sugli indici ripetuti: AµBµ con µ = 1, . . . , 4, e il prodotto scalaredi due quadrivettori. In queste unita L ha dimensione energia

volume= energia4.

• Per un campo scalare di particelle di massa m e spin 0

Lφ =1

2∂µφ ∂µφ−

1

2m2φ2 (3.17)

si ottiene l’equazione di Klein-Gordon (appendice 4.19)

∂L∂φ

= −m2φ∂L

∂(∂µφ)= ∂νφ ⇒ ∂µ∂µφ+m2φ = 0

384

• per un campo di fermioni di spin 1/2

Lψ = iψγµ∂µψ −mψψ (3.18)

si ottiene l’equazione di Dirac

∂L∂ψ

= −mψ ∂L∂(∂µψ)

= iψγµ ⇒ i∂µψγµ +mψ = 0

e l’equazione coniugata iγµ∂µψ −mψ = 0

• per il campo elettromagnetico (campo vettoriale, spin 1)

LA = −1

4FµνF

µν (3.19)

dove Fµν = ∂µAν − ∂νAµ e il tensore elettromagnetico (appendice 4.2), siottengono le equazioni di Maxwell in assenza di cariche e correnti

∂L∂Aµ

= 0∂L

∂(∂µAν)= −Fµν ⇒ ∂µFµν = 0

Se sono presenti sorgenti di carica rappresentate dal 4-vettore densita di cor-rente jν , si ha ∂µFµν = jν .

3.8.1 Invarianza di gauge

La Lagrangiana (3.19) e invariante per trasformazioni di gauge (appendice 4.7)

A′µ(x) = Aµ(x)− ∂µΛ(x) (3.20)

dove Λ(x) e una generica funzione reale. Per dedurre dalla (3.18) la forma dell’interazionedei fermioni col campo elettromagnetico, consideriamo la trasformazione unitariaglobale ψ′ = eiαψ con α costante reale. L’invarianza di (3.18), δL = 0, implicaα∂µ(ψγµψ) = 0 ∀ α, cioe che il 4-vettore ψγµψ e una corrente conservata (appen-dice 4.19). Se si moltiplica α per un parametro reale q, questo corrisponde allaconservazione della corrente qψγµψ e possiamo interpretare q come carica elettrica.

Pero, perche la teoria sia relativisticamente invariante e necessario che α dipendadallo spazio-tempo, cioe che la trasformazione sia locale. La trasformazione unitarialocale

U(x) = eiqΛ(x) ψ → ψ′ = eiqΛ(x)ψ (3.21)

non preserva l’invarianza della Lagrangiana perche ∂µψ′ = eiqΛ(x)[∂µ + iq∂µΛ(x)]ψ e

L′ψ = iψγµ[∂µ + iq∂µΛ(x)]ψ −mψψ

La Lagrangiana totale diventa

L′ψ + L′A = iψ(γµ∂µ −m)ψ − qψγµ(∂µΛ)ψ − 1

4FµνF

µν

385

il termine che compare, −qψγµψ∂µΛ(x), si puo interpretare come l’interazione tracorrente e campo, −qjµAµ, se il campo soddisfa la trasformazione di gauge (3.20).Quindi l’ipotesi di invarianza per la trasformazione unitaria (3.21) richiede l’esistenzadi un campo vettoriale Aµ. Se i quanti del campo avessero massa, la Lagrangiana(3.19) dovrebbe contenere un termine 1

2m2AAµA

µ, analogo alla (3.17), che non einvariante: A′µA

′µ = (Aµ − ∂µΛ)(Aµ − ∂µΛ) 6= AµAµ. Quindi i quanti del campo

devono avere massa nulla e questo e vero solo per il campo elettromagnetico.La trasformazione unitaria equivale a trasformare il 4-impulso pµ → pµ − qAµ

(appendice 4.7), cioe l’operatore di derivazione ∂µ → ∂µ + iqAµ e la Lagrangiana einvariante se si introduce la derivata covariante

∂µ → Dµ = ∂µ + iqAµ

che si trasforma D′µ = UDµU+. La trasformazione di gauge eiqΛ(x) e definita da unparametro q, la costante di accoppiamento, e da una funzione scalare reale: e unatrasformazione unitaria in una dimensione, U(1).

L’interazione elettro-debole e caratterizzata dalla conservazione dell’isospin edell’ipercarica debole legati alla carica elettrica dalla relazione q = Y/2 + τ3

19.La conservazione dell’ipercarica e descritta da una trasformazione U(1) simile allaprecedente. Introducento la costante di accoppiamento g′ dei fermioni con il campoBY si ha

U = eig′Λ(x) Dµ = ∂µ + ig′(Y/2)BY

µ (3.22)

L’isospin invece e un vettore a due componenti e la trasformazione e una rotazionenello spazio a due dimensioni, SU(2), i cui generatori sono le matrici di Pauli. Nel1954 Chen Ning Yang e Robert Mills estesero l’invarianza di gauge alla simmetria diisospin del sistema protone-neutrone. Nel caso dell’isospin debole si hanno doppietti(e singoletti) di leptoni e quark

Yang–Mills

(pn

)→

(νee−

)

L

. . .

(ud

)

L

. . .

Per un doppietto di fermioni di massa m1, m2, ψ(x) e un vettore a due componentie la Lagrangiana (3.18) e

Lψ = (ψ1 ψ2)

[γµ∂µ −

(m1 00 m2

)](ψ1

ψ2

)(3.23)

In questo caso la trasformazione di gauge e U(x) = eig~τ ·~Λ(x) dove g e la costante di ac-

coppiamento dei fermioni con tre campi ~Bµ associati alle tre componenti dell’isospin.In analogia con il caso di U(1) la derivata covariante e

U(x) = eig~τ ·~Λ(x) Dµ = ∂µ + ig~τ · ~Bµ (3.24)

19

τ1 =1

2

(0 11 0

)τ2 =

1

2

(0 −ii 0

)τ3 =

1

2

(1 00 −1

)Y =

(1 00 1

)

386

che si trasforma D′µ = eig~τ ·~Λ(∂µ + ig~τ · ~Bµ)e−ig~τ ·

~Λ. Dato che [τa, τb] = iεabcτc latrasformazione di gauge dei campi e

~B′µ = ~Bµ + ∂µ~Λ− g~Λ× ~Bµ (3.25)

Come conseguenza, i tensori dei campi che preservano l’invarianza della Lagrangianasono le tre componenti del vettore

~Bµν = ∂µ ~Bν − ∂ν ~Bµ + g ~Bµ × ~Bν (3.26)

che contiene un termine di auto-interazione: i campi Bj interagiscono tra loro.Introducendo il doppietto ψL e il singoletto ψR di fermioni, la Lagrangiana L =

Lψ + LY + LB e

L = iψL(γµDLµ −mL)ψL + iψR(γµDRµ −mR)ψR −1

4BYµνB

Y µν − 1

4~Bµν · ~Bµν (3.27)

con DLµ = ∂µ + ig′(Y/2)BYµ + ig~τ · ~Bµ; DRµ = ∂µ + ig′(Y/2)BY

µ . In funzione deicampi i contributi alla Lagrangiana sono (Fig. 3.94):

• i campi liberi di fermioni e bosoni ψψ, B2;

• i termini di interazione gψψB;

• i termini di auto-interazione gB3, g2B4.

Figure 3.94: Termini che descrivono la propagazione dei campi di fermioni e bosonie le interazioni.

Come nel caso del campo elettromagnetico, la (3.27) non e invariante se i quantidel campo hanno massa; ma le interazioni deboli sono a breve raggio d’azione equindi devono essere mediate da bosoni con massa. Inoltre la Lagrangiana (3.23)e invariante solo nel caso che le masse dei fermioni del doppietto ψL sono uguali equesto non e verificato ne per i leptoni (mν 6= m`−) ne per i quark. Quindi anche itermini di massa dei fermioni non preservano l’invarianza della Lagrangiana.

387

3.8.2 Il campo di Higgs

Una teoria dell’interazione elettro-debole invariante per le trasformazioni di gauge(3.22) e (3.24) in U(1)Y ⊗ SU(2)L deve necessariamente partire dall’ipotesi che ifermioni e i bosoni di gauge abbiano massa nulla. Ma non esiste un tripletto dibosoni di massa nulla e questa fu l’evidenza che mise in crisi la teoria di gauge diYang-Mills basata sulla simmetria dell’isospin. Inoltre gia prima della loro scopertasi sapeva che i bosoni mediatori dell’interazione debole dovevano avere massa e chequesta fosse grande, 1 GeV .

Invece di abbandonare l’approccio dell’invarianza di gauge, che ha solide basiteoriche, fu fatta l’ipotesi che la simmetria per trasformazioni di gauge U(1)Y ⊗SU(2)L fosse valida, ma che fosse manifesta solo a energia confrontabile con la massadei bosoni di gauge e che fosse nascosta a energia piu bassa. Un fenomeno analogoe noto nel ferromagnetismo che e originato dall’interazione tra momenti magneticiatomici. A livello microscopico il momento di dipolo magnetico e proporzionaleallo spin e genera un campo magnetico che tende ad orientare i dipoli, cioe glispin, degli atomi vicini. La hamiltoniana di interazione tra momenti magnetici edel tipo H = κ~s1 · ~s2, scalare e quindi non preferisce alcuna direzione nello spazio.La Lagrangiana e quindi invariante per rotazione e infatti a temperatura elevata,maggiore della temperatura di Curie, i momenti magnetici sono orientati in modocasuale, la simmetria per rotazione e manifesta. Ma sotto la temperatura di Curie(Fig. 3.95) lo spin ~s2 tende ad allinearsi nella direzione di ~s1 e cosı ~s3, . . . : lasimmetria per rotazione e rotta, in modo spontaneo perche la direzione in cui glispin si allineano e casuale.

T < Tc T > Tc

Figure 3.95: Per T > TC c’e simmetria per rotazione, quando T < TC la simmetriae scomparsa e i momenti di dipolo si orientano a formare i domini magnetici.

Nel 1964 Peter Higgs, e indipendentemente Robert Brout, Francois Englert 20

e altri proposero una teoria di campo che poteva generare in modo naturale ilfenomeno della rottura spontanea della simmetria e quindi generare la massa deibosoni di gauge e dei fermioni. Il campo di Higgs non deve individuare una partico-lare direzione nello spazio: deve essere un campo scalare; deve essere un doppietto diisospin di campi dotati di massa e auto-interagenti; deve avere carica elettrica nullae carica di colore nulla. Se per semplicita ci limitiamo ad una sola componente del

20 Peter Higgs e Francois Englert premi Nobel per la fisica nel 2013

388

campo, la Lagrangiana e la (3.17) con l’aggiunta di un termine di auto-interazione

L =1

2∂νφ∂νφ−

1

2µ2φ2 − 1

4λφ4 (3.28)

con µ2 e λ costanti (λ > 0), ed e simmetrica per φ → −φ. Il termine di energiapotenziale, U(φ2), e minimo per

∂U

∂φ= 0 ⇒ φ(µ2 + λφ2) = 0

per cui φmin = 0 se µ2 > 0, oppure φmin = ±v = ±√−µ2/λ se µ2 < 0. Lo stato

di minima energia e lo stato di assenza di particelle, di vuoto, e v e detto valoredi aspettazione del vuoto. Il primo caso e quello di un campo scalare con massa µ;nel secondo caso il termine di massa e immaginario e vi sono due minimi simmetrici(Fig. 3.96). Il calcolo perturbativo va fatto a partire dallo stato di minima energiae la scelta tra i due valori e a priori arbitraria. Se si sceglie di sviluppare il campoattorno al minimo +v

φ(x) = v + χ(x)

χ(x) rappresenta le fluttuazioni del campo attorno al valore di minimo. Eliminandoµ2 = −λv2 la Lagrangiana diventa

L =1

2∂νχ∂νχ− λv2χ2 −

(λvχ3 +

1

4χ4)

+1

4λv4 (3.29)

Il secondo termine ha ora il segno corretto e mχ =√

2λv2 e la massa del campo diHiggs, il terzo rappresenta i termini di auto-interazione, e il quarto e una costante(inessenziale). Un risultato simile si ottiene sviluppando attorno al minimo −v.

La (3.28) e la (3.29) rappresentano lo stesso sistema fisico, ma nel primo caso lamassa e nascosta e la Lagrangiana e simmetrica, mentre nel secondo la dipendenzadalla massa e manifesta e la Lagrangiana non e simmetrica χ → −χ: la simmetriainiziale e rotta in modo spontaneo senza alcun intervento esterno al sistema.

Per un campo scalare nello spazio dell’isospin(φuφd

)=

1√2

(φ1 + iφ2

φ3 + iφ4

)(3.30)

con numeri quantici τ3 =

(+1/2−1/2

), q =

(+10

), Y =

(+1+1

), la Lagrangiana

simile alla (3.28) eL = ∂νφ+∂νφ− µ2φ+φ− λ(φ+φ)2 (3.31)

con φ+φ = 12

∑j φ

2j . Per µ2 < 0 il luogo dei minimi e ora una circonferenza (Fig. 3.96)

e possiamo arbitrariamente definire lo stato di vuoto, ad esempio quando φu = 0 eφd e reale

φmin =1√2

(0v

)v =

√−µ2/2λ (3.32)

389

Figure 3.96: Energia del campo di Higgs.

Analogamente al caso precedente, le perturbazioni del campo attorno al minimosi ottengono aggiungendo una funzione ρ(x) e applicando una trasformazione digauge (3.24) cioe una rotazione nello spazio dell’isospin. La variazione del campo e

χ(x) = φ′(x)− φmin = ei~τ ·~Λ(x)

(0

v+ρ(x)√2

)−(

0v√2

)(3.33)

Per una trasformazione con componenti Λk(x) 1, ei~τ ·~Λ(x) ' 1 + i~τ · ~Λ(x), si ha

χ(x) =1√2

([Λ2(x) + iΛ1(x)]v/2 + . . .ρ(x)− iΛ3(x)v/2 + . . .

)(3.34)

e i termini che contribuiscono alla Lagrangiana sono

∂νχ+∂νχ =1

2

(∂ν~Λ · ∂ν~Λ

) v2

4+

1

2∂νρ∂νρ+ . . . χ+χ =

1

2ρ2 + . . .

per cui, in funzione dei quattro campi ρ(x), ~Λ(x), la Lagrangiana (3.31) e

L =1

2

(∂ν~Λ

v

2· ∂ν~Λ

v

2

)+

1

2∂νρ∂νρ−

1

22λv2ρ2 +O(ρ3) (3.35)

e si riconosce la forma della Lagrangiana che descrive un campo scalare con massam2ρ = 2λv2 e tre campi scalari Λ(x)v/2. Questi hanno massa nulla perche la

(3.35) non contiene termini in Λ2k. Di nuovo, da un campo simmetrico nello spazio

dell’isospin descritto dalla Lagrangiana (3.31) con µ2 < 0 si ha un luogo di stati divuoto φmin = v 6= 0 equivalenti, e con una scelta 21 tra queste soluzioni equivalentisi ottiene una rottura spontanea della simmetria che genera un campo con massa,ma lascia tre campi scalari senza massa, detti bosoni di Goldstone.

21 La particolare scelta (3.32) del minimo del campo di Higgs e tale che l’operatore caricaelettrica, Q = Y/2 + τ3, ha autovalore zero qualunque sia il valore di v.

390

3.8.3 Il meccanisco di Higgs

Il passo successivo e di aggiungere alla (3.31) i campi di gauge di U(1) ⊗ SU(2) el’interazione con il campo di Higgs sostituendo ∂µ con la derivata covariante

∂µ → Dµ = ∂µ + ig~τ · ~Bµ + ig′(Y/2)BYµ

e la (3.31) diventa

L = (Dµφ)+Dµφ− µ2φ+φ− λ(φ+φ)2 − 1

4~Bµν · ~Bµν − 1

4BYµνB

Y µν (3.36)

Ora la (3.36) e invariante per trasformazioni U(1) ⊗ SU(2) e qualunque scelta delvalore φmin e lecita, in particolare la (3.32). Se si sviluppa φ(x) per piccole variazioni

dello stato di vuoto φmin = v+ρ(x)√2

, il primo termine della (3.36) e

(Dµφ)+Dµφ =1

2∂µρ∂µρ+

1

8g2(B1µB

µ1 +B2µB

µ2 )v2+

1

8(gB3µ−g′BY µ)(gBµ

3−g′BµY )v2+. . .

che contiene un prodotto della combinazione dei campi B3 e BY . Questo si puodiagonalizzare introducendo le combinazioni (capitolo 3.7)

A = BY cos θ +B3 sin θ BY = A cos θ − Z sin θZ = −BY sin θ +B3 cos θ B3 = A sin θ + Z cos θ

e l’angolo di Weinberg, tan θ = g′/g. In funzione dei nuovi campi si ha

(gB3µ − g′BY µ)(gBµ3 − g′Bµ

Y ) = ZµZµ

cos2 θ, ~Bµν · ~Bµν +BY

µνBY µν = AµνA

µν + ZµνZµν ,

e la Lagrangiana (3.36) che descrive i campi diventa

L = 12∂µρ∂µρ− 1

2m2ρρ

2 −14B1µνB

1µν + 18g2v2B1

µB1µ

−14B2µνB

2µν + 18g2v2B2

µB2µ

−14ZµνZ

µν + 18g2v2

cos2 θZµZ

µ

−14AµνA

µν + . . . . . .

(3.37)

in cui . . . indica i termini di auto-iterazione dei campi. La forma della (3.37) mostrache l’interazione del campo di Higgs con i campi di gauge di U(1)⊗ SU(2) producetre campi vettoriali con massa, un doppietto con mB = gv/2, un campo con mZ =gv/2 cos θ, e un campo A di massa nulla. Questo e il campo elettromagnetico chesi trasforma secondo la (3.20). Nella Lagrangiana non compaiono i tre bosoni diGoldstone, questi sono scomparsi e hanno dato origine ai tre nuovi gradi di liberta:la polarizzazione longitudinale dei tre campi vettoriali con massa.

Le combinazioni W±ν = (B1

ν±iB2ν)/√

2 che corrispondono ai generatori τ± = τ1±iτ2 hanno carica elettrica ±e legata alle costanti di accoppiamento di U(1)⊗ SU(2)dalla relazione e = g sin θ. Il valore di aspettazione del vuoto del campo di Higgs equindi determinato dalla massa dei bosoni W± e Z0:

v =2mW sin θ

e=

2mW sin θ√4πα

= (√

2G)−1/2 = 246 GeV

Questo e il valore di energia a cui avviene la rottura spontanea della simmetriadell’interazione elettro-debole ed e chiamato scala di energia di Fermi. Il valoredella massa del bosone di Higgs, mH = v

√2λ, rimane indeterminato poiche λ e un

parametro libero non vincolato dalla teoria.

391

3.8.4 La simmetria del colore

Per estendere il modello all’interazione adronica, partiamo dalla Lagrangiana deiquark e dall’interazione col campo di colore. Introducendo l’indice di colore deiquark, j = 1, 2, 3, la Lagrangiana dei fermioni (3.18) e

Lq =∑

q

qj(x)iγµ∂µqk(x)−

∑

q

mq qj(x)qj(x)

La costante di accoppiamento si introduce richiedendo che la Lagrangiana sia in-variante per trasformazioni locali di gauge della simmetria del colore SU(3)C

q(x)→ q′(x) = eigsTaΛa(x)q(x) a = 1, 2, . . . 8 (3.38)

dove gs e la costante di accoppiamento, Ta sono i generatori di SU(3), le matrici diGell-Mann (appendice 4.12), che soddisfano le relazioni di commutazione [Ta, Tb] =ifabcTc, e fabc sono le costanti di struttura (reali) di SU(3). L’invarianza per latrasformazione (3.38) e garantita se si introducono otto campi vettoriali, i gluoni,che si trasformano secondo la relazione

Gaµ → Ga

µ − ∂µΛa(x)− gsfabcΛb(x)Gcµ

e la derivata covariante ∂µ → Dµ = ∂µ + igsTaGaµ. Nella Lagrangiana compare

il termine di interazione della corrente dei quark con i campi di colore Lint =−gs(qγµTaq)Ga

µ. Il tensore del campo e

Gaµν = ∂µG

aν − ∂νGa

µ − gsfabcGbµG

cν

e quindi, come nel caso di SU(2), nella lagrangiana dei campi, L = −14GaµνG

µνa ,

compaiono termini di auto-interazione dei campi di colore. La Lagrangiana chedescrive le interazioni di quark e gluoni e

Lq =∑

q

qj(x)iγµDµqk(x)−∑

q

mq qj(x)qj(x)− 1

4GaµνG

µνa (3.39)

Nella (3.39) non compare un termine di massa dei campi Gaµ che non e invariante

per la trasformazione (3.38): i gluoni hanno massa nulla. Come nel caso del campoelettromagnetico, l’interazione con il campo di Higgs non produce un termine dimassa poiche il campo di Higgs non ha colore.

I quark partecipano anche all’interazione elettro-debole come doppietti e sin-goletti di isospin; questi sono formati da combinazioni dei sapori q′r =

∑s Vrsqs.

Nel modello con sei sapori di quark Vrs e una matrice 3 × 3 unitaria, la matricedi Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (capitolo 3.3), che e definita da quattro parametri.Come nel caso dei leptoni, i termini di massa mq qq non sono invarianti per trasfor-mazioni di SU(2) e quindi la Lagrangiana che descrive l’interazione elettro-deboledei quark non puo contenere termini di questo tipo: nella Lagrangiana i quark hannomassa nulla.

392

3.8.5 La massa dei fermioni

La (3.27) e la (3.39) non contengono termini di massa dei fermioni. Per i leptoniquesti sono del tipo m`

¯(x)`(x) e, usando i proiettori di elicita (appendice 4.19),

m`¯ = m`

¯(

1− γ5

2+

1 + γ5

2

)` = m`

(¯L`R + ¯

R`L)

si vede che al termine di massa contribuiscono combinazioni di un doppietto e di unsingoletto non invarianti per la trasformazione (3.24) di SU(2). I termini di massadella Lagrangiana sono generati da un’interazione scalare con il campo di Higgs,detta accoppiamento di Yukawa. Introducendo la costante di accoppiamento g` > 0si ha L` = −g`

(¯Lφ`R + ¯

Rφ`L)

L` = −g`[(ν` ¯

)L

(φuφd

)`R + ¯

R (φ∗u φ∗d)

(ν``

)

L

](3.40)

= −g`[ν`φu`R + ¯

Lφd`R + ¯Rφ∗uν` + ¯

Rφ∗d`L

]

infatti i numeri quantici del campo di Higgs permettono l’accoppiamento tra doppi-etto e singoletto (Fig. 3.97)

νL `L `R φu φdτ3 +1/2 −1/2 0 +1/2 −1/2q 0 −1 −1 +1 0Y −1 −1 −2 +1 +1

Figure 3.97: Accoppiamento di Yukawa `L–`R con il campo di Higgs.

Se si rompe la simmetria scegliendo il valore minimo del campo di Higgs, φu = 0,φd = v+ρ(x)√

2, la Lagrangiana (3.40) per variazione del campo attorno a φmin diventa

L` = −g`v√2

(¯L`R + ¯

R`L)− g`√

2

(¯L`R + ¯

R`L)ρ(x)

che mostra che l’interazione ha generato un termine di massa m` = g`v/√

2 e untermine di interazione con il campo di Higgs che ha intensita proporzionale al valoredella massa del leptone

L` = −m`¯ − m`

v¯ρ` (3.41)

393

Il valore delle costanti di accoppiamento g` non e definito dalla teoria e quindile masse dei leptoni rimangono parametri liberi. La scelta del valore di minimodel campo, φu = 0, non accoppia i leptoni L di isospin +1/2 (antileptoni R diisospin -1/2) col campo di Higgs: nel Modello Standard i neutrini sono fermioni diDirac left-handed di massa nulla. Negli ultimi venti anni si e accumulata evidenzasperimentale che i neutrini hanno massa diversa da zero (capitolo 3.9), la teoriadovra quindi essere estesa per descrivere neutrini con massa.

Con lo stesso meccanismo si genera la massa dei quark. Per i leptoni vi e dif-ferenza di carica tra stati L e stati R, mentre per i quark non vi e differenza dicolore. Per simmetria, oltre al campo di Higgs (3.30) occorre introdurre il campoottenuto con una rotazione di π nello spazio dell’isospin 22

φ = eiπτ2(φuφd

)=

(φd−φu

)

Per due sapori di quark, l’analoga della (3.40) e

Lq = −gu(uL dL

)( φd−φu

)uR − gd

(uL dL

)( φuφd

)dR + h.conj.

= −gu(uLφduR − dLφuuR

)− gd

(uLφudR + dLφddR

)+ h.conj.

e, procedendo come sopra, per variazioni del campo attorno a φmin si ha

Lu = −guv√2uu− g`√

2uρu ⇒ mu =

guv√2

Ld = . . .

3.8.6 I parametri del Modello Standard

Nel Modello Standard le sorgenti dei campi sono tre famiglie di leptoni e tre famigliedi quark organizzate in doppietti e singoletti di isospin debole

(νee−

)

L

e−R . . .

(ud

)

L

uR dR . . .

e i rispettivi antifermioni. Le interazioni elettro-debole e adronica sono mediate daicampi vettoriali della simmetria U(1)Y ⊗ SU(2)L ⊗ SU(3)C : il fotone, tre bosoniW± Z0, otto gluoni, e hanno intensita che dipende da tre costanti di accoppiamentog, g′, gs. Le masse dei fermioni e dei bosoni W± Z0 sono generate dall’interazionecon il campo scalare di Higgs. Questo e un doppietto di isospin debole con valoredi minima energia v 6= 0 e, nel vuoto, il campo ha carica elettrica nulla e caricadi colore nulla. Il campo elettromagnetico e i campi di colore non hanno massa.I campi W e Z hanno massa proporzionale a gv; i fermioni hanno ciascuno massaproporzionale a gfv.

La teoria dipende da un numero di parametri liberi e il loro valore si determinada misure:

22 eiθτ2 =

(cos θ/2 sin θ/2− sin θ/2 cos θ/2

)

394

• le tre costanti di accoppiamento: G, α, αs ↔ g, g′, gs;

• tre valori di massa dei leptoni carichi ↔ g`;

• sei valori di massa dei quark ↔ gq;

• quattro parametri della matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa;

• la massa del bosone di Higgs ↔ λ.

Questi diciassette parametri sono misurati, la maggior parte con grande precisione,il loro valore dipende dalla scala di energia, Q2, a cui si effettua la misura, ma lateoria prevede il loro andamento in funzione di Q2 e, a volte, l’andamento di unparametro in funzione del valore di altri.

3.8.7 La scoperta del bosone di Higgs

Il bosone di Higgs si accoppia con tutti i fermioni e con i bosoni W , Z, e quindi puodecadere in coppie ff o in coppie di bosoni vettori W+W− o Z0Z0. La larghezzadi decadimento H → ff e

Γff = 2π|M|2ρ(E) = Nc

√2GMHm

2f

8πβ3 (3.42)

con Nc = 3 per i quark e Nc = 1 per i leptoni. L’elemento di matrice e M =mfv√

2E,

ρ = 4πp2

8π3dpdE

, p = MH

2β, β = (1 − 4m2

f/M2H)

12 e la velocita dei fermioni. Se MH <

2mW il contributo maggiore e dovuto al decadimento in quark beauty H → bb. SeMH > 2mZ ' 180 GeV contribuiscono i decadimenti H → W+W−, H → Z0Z0,con larghezza approssimativamente proporzionale a M3

H

ΓWW '√

2GM3H

16πβ3 ΓZZ '

1

2ΓWW (3.43)

Se MH > 2mt ' 350 GeV contribuisce anche il decadimento in coppie di quarktop secondo la (3.42). Il bosone di Higgs puo essere prodotto in interazioni e+e−

oppure in interazioni adroniche, qq, qq, gg, . . . , in collisioni protone-antiprotone oprotone-protone. Negli esperimenti si cerca di identificare gli stati finali risonanti checorrispondono ai decadimenti piu probabili. Il Modello Standard e autoconsistentee predice sezioni d’urto e probabilita di decadimento del bosone di Higgs in funzionedella sua massa.

La produzione del bosone di Higgs e stata cercata studiando le collisioni e+e−

alla massima energia del LEP 23√s = 209 GeV . Dato che la sezione d’urto di

annichilazione e+e− → H e proporzionale a (me/v)2, con v = 246 GeV, e quindipiccolissima, non c’e sensibilita nell’annichilazione diretta; si cerca la produzioneassociata e+e− → Z0H che avviene tramite un bosone Z0 virtuale come illustrato in

23Large Electron Positron collider

395

Fig. 3.98 sfruttando il forte accoppiamento Z–H–Z; in questo caso non si possonoprodurre masse maggiori di

√s−mZ . In questa regione di massa il decadimento piu

probabile e in coppie quark-antiquark beauty e quindi si e cercato di identificare glistati finali Z0H → qqbb.

e Z-

e+ HZ*

Figure 3.98: Produzione del bosone di Higgs in collisioni e+e−.

La ricerca non ha dato risultato positivo e si e stabilito un limite inferiore mH >114 GeV . Vari parametri del Modello Standard, in particolare i valori di mW edella massa del quark top, dipendono dalla massa del bosone di Higgs attraversole correzioni radiative a vari processi (appendice 4.23). La dipendenza e ∼ ln(mH)quindi piuttosto debole, ma alcune misure sono molto precise per cui e stato possibiledefinire anche un limite superiore. I vincoli definiti dal limite sperimentale e davarie misure dei parametri del Modello Standard sono combinati in Fig. 3.99 cherappresenta la probabilita del bosone di Higgs in funzione della massa, per cui aconclusione della campagna sperimentale al LEP si e potuto stabilire 114 < mH <160 GeV . Inoltre, dato che λ = 1

2(mH/v)2, la coerenza del modello impone un limite

Figure 3.99: Probabilita del bosone di Higgs in funzione della massa.

superiore alla massa del bosone di Higgs perche se λ e grande aumenta il potenziale diautointerazione dei campi nella relazione (3.28) e si raggiunge il limite di unitarietaper la sezione d’urto di alcuni processi elementari quali lo scattering WW → WW .Inoltre va notato che all’aumentare di mH aumenta la larghezza totale ΓH =

∑i Γi

396

(per mH > 700 GeV si ha Γ > 200 GeV ) per cui diventa problematico definire unostato risonante.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1

x

x f(x

)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1

xx

f(x)

Figure 3.100: Densita dei partoni xf(x) a basso 4-impulso trasferito (a sinistra)estrapolate a Q = 100 GeV (a destra). La densita dei gluoni xg(x) va moltiplicata×10.

Il bosone di Higgs e stato scoperto studiando le collisioni protone-protone alLHC 24, all’energia nel centro di massa di 8 TeV. La sezione d’urto era prevista daiparametri della teoria σ(pp → H + X) = (1 ÷ 3) pb nell’intervallo piu probabile diesistenza del bosone H. Diversi processi contribuiscono e i piu probabili sono quellimediati da particelle di massa grande che hanno un forte accoppiamento con il campodi Higgs, il quark t e i bosoni W e Z. Le sezioni d’urto dei processi elementari difusione gluone-gluone, gg → tt → H, o di scattering quark-antiquark, ad esempioqq → qqH, qq → ZH, vanno pesate con le densita dei partoni previste per protoni dienergia

√s = 8 TeV , 4-impulso trasferito Q ∼ 0.2 TeV , x ∼ 0.02. Queste vengono

estrapolate dalle misure a bassa energia (capitolo 3.4) con le equazioni di evoluzioneDGLAP (Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi) e sono mostrate in Fig. 3.100in cui si osserva che la fusione gluone-gluone e fortemente favorita.

I diagrammi di Feynman che contribuiscono alla produzione del bosone di Higgs,con H accoppiato alle particelle di massa piu elevata, sono mostrati in Fig. 3.101:

a) la fusione gg → tt→ H (gluon-gluon fusion),

b) lo scattering qq, qq, con scambio di due bosoni W o Z (vector-boson fusion),

c) l’annichilazione qq → W (Z) con radiazione di H (Higgsstrahlung),

d) la produzione associata con una coppia tt.

La sezione d’urto σ(pp → H + X) dei vari processi e mostrata in Fig. 3.102 infunzione della massa mH : vector-boson fusion in rosso, W–Higgsstrahlung in verde,

24Large Hadron Collider

397

g

g

t

tW, Z

W, Z

q

q

g

g

q

q

q

q(a) (b)

(c) (d)

H

HH

H

Figure 3.101: Diagrammi di Feynman di produzione del bosone di Higgs.

Z–Higgsstrahlung in nero, ttH in violetto e il totale, gluon-gluon fusion + gli altriprocessi, in blu.

[GeV] HM100 150 200 250 300

H+

X)

[pb]

→(p

p σ

-210

-110

1

10

210= 8 TeVs

LH

C H

IGG

S X

S W

G 2

012

H (NNLO+NNLL QCD + NLO EW)

→pp

qqH (NNLO QCD + NLO EW)

→pp

WH (NNLO QCD + NLO EW)

→pp

ZH (NNLO QCD +NLO EW)

→pp

ttH (NLO QCD)

→pp

Figure 3.102: Sezione d’urto σ(pp → H + X) in funzione della massa mH - LHCHiggs Working Group.

Negli esperimenti si cerca uno stato risonante che decade negli stati finali piuaccessibili, cioe quelli con particelle facilmente rivelabili che si possano distingueredal fondo, e che abbiano una elevata frazione di decadimento. Per valori della massamH < 400 GeV la larghezza di decadimento ΓH e minore di 10 MeV come si ricavadalle relazioni (3.42) e (3.43), quindi la larghezza osservata dello stato risonante edeterminata dalla risoluzione sperimentale che deve essere la migliore possibile. Lefrazioni di decadimento piu favorevoli sono quelle in coppie di bosoni o fermioni conla massa piu elevata (bb), le previsioni della teoria sono mostrate in Fig. 3.103 infunzione della massa mH .

Gli stati finali inizialmente cercati al LHC sono quelli con la migliore risoluzionesperimentale in modo da poter osservare un picco nella massa invariante dei prodottidi decadimento chiaramente distinguibile dal fondo costituito per lo piu dalla pro-duzione di jet adronici. I decadimenti piu favorevoli sono H → γγ, nonostante il pic-

398

[GeV]HM80 100 120 140 160 180 200

Hig

gs B

R +

Tot

al U

ncer

t

-410

-310

-210

-110

1

LHC

HIG

GS

XS W

G 2

013

bb

µµ

cc

gg

Z

WW

ZZ

Figure 3.103: Frazioni di decadimento del bosone di Higgs in diversi stati finali infunzione della massa - LHC Higgs Working Group.

colo valore della frazione di decadimento, H → Z0Z0 con Z0 → e+e− o Z0 → µ+µ−,e H → W+W− con W± → e±νe o W± → µ±νµ. Le distribuzioni di massa invarianteγγ o quattro leptoni carichi, 4e, 2e2µ o 4µ, hanno mostrato un chiaro picco che hapermesso di misurare la massa con grande precisione:

mH = 125 GeV

l’errore di misura e circa 200 MeV . I decadimenti in coppie di bosoni W non perme-ttono una misura precisa della massa invariante perche si misura solo la componentetrasversa dell’impulso dei neutrini (capitolo 3.7), l’osservazione della produzione dicoppie W+W− ha comunque confermato che queste sono prodotte nel decadimentodel bosone H. Queste misure hanno dimostrato che H decade in stati di coppie dibosoni. Una volta individuata la regione di massa da esplorare, sono stati osser-vati anche i decadimenti in stati finali in coppie fermione–antifermione, H → bb,H → τ+τ−, che sono piu difficili da separare dal fondo.

La misura delle sezioni d’urto σ(pp→ H +X)× BR(H → stato finale) ha per-messo di determinare le frazioni relative dei modi di produzione piu favorevoli, (a),(b) e (c) in Fig. 3.101, e le costanti di accoppiamento del bosone di Higgs con i bosoniW e Z e con i fermioni, i quark b, t e il leptone τ . Il decadimento H → µ+µ− non eancora stato osservato, esiste solo un limite superiore alla frazione di decadimento.La Fig. 3.104 mostra di quanto le costanti di accoppiamento si discostano dai valori

previsti dalla teoria. Queste sono proporzionali a mFv

per i fermioni em2V

vper i bosoni

vettori (capitolo 3.8), κF e√κV sono parametri determinati dai dati sperimentali

pari a circa 1, e v = 246 GeV e il valore di aspettazione del vuoto del campo diHiggs.

Lo studio dei modi decadimento osservati ha permesso di determinare i numeriquantici del bosone H. Il decadimento H → γγ esclude l’ipotesi di spin 1. Lamisura della distribuzione angolare dei prodotti di decadimento in H → Z0Z0 eH → W+W− favorisce fortemente l’ipotesi di spin-parita JP = 0+. La misura della

399

Figure 3.104: Valori relativi delle costanti di accoppiamento con il campo di Higgsin funzione della massa dei fermioni e dei bosoni vettori - Journal of High Energy Physics08 (2016) 045.

massa del bosone H determina l’unico parametro libero del campo di Higgs nelModello Standard, λ = 0.129.

3.9 Oscillazioni di neutrini

I neutrini sono fermioni di spin 12

con carica eletrica nulla e momento magmeticonullo; si manifestano in tre sapori: νe, νµ, ντ , con numeri leptonici, Le, Lµ, Lτ , chesi conservano separatamente. Hanno massa molto piccola, i limiti di massa sono

m(νe) < 2 eV m(νµ) < 0.19 MeV m(ντ ) < 18 MeV (3.44)

Osservazioni cosmologiche, che dipendono da ipotesi del modello, implicano per lasomma delle masse

∑αmνα < 1 eV .

Nel Modello Standard, basato sull’equazione di Dirac per i fermioni, si assume chei neutrini abbiano massa nulla e che siano autostati di elicita, come i corrispondentiantineutrini, νL e νR: non esistono νL ne νR. Ma molti esperimenti hanno messo inevidenza transizioni tra neutrini di diverso sapore e questo non e possibile se questistati sono degeneri in massa e mν = 0. In effetti l’ipotesi di oscillazioni di neutriniera stata fatta da Bruno Pontecorvo nel 1957, in analogia con quella di oscillazionidei mesoni K0 proposta da Gell-Mann e Pais due anni prima (capitolo 3.3), e primadella scoperta del secondo neutrino, νµ.

3.9.1 La massa dei neutrini

L’origine della massa dei neutrini non e ancora chiarita, comunque perche i neutriniabbiano massa e necessario modificare il Modello Standard. La massa di leptoni

400

carichi e quark e originata dall’accoppiamento delle componenti left-handed e right-handed al campo di Higgs che produce un termine g`(¯

Lφd`R+¯Rφ∗u`L) (capitolo 3.8),

ma questo e nullo per i neutrini. Per originare la massa dei neutrini di Dirac, sipossono introdurre ad hoc le componenti νR e νL, che pero non si accoppiano conil campo debole, ne con altri campi di interazione tranne il campo gravitazionale, equindi sono neutrini sterili. Questo non contraddice l’evidenza che si osservano soloνL e νR.

Ma c’e una seconda possibilita basata sulla Teoria simmetrica dell’elettrone e delpositrone formulata nel 1937 da Ettore Majorana. Secondo questa teoria, gli statidi fermione e anti-fermione coincidono se non hanno carica elettrica. Il campo delneutrino ha due componenti: |ν〉 e il suo coniugato per la trasformazione CP , che econ ottima approssimazione una simmetria dell’interazione debole: |νC〉 = CP |ν〉.La trasformazione CP e rappresentata formalmente con la coniugazione complessae le matrici γ di Dirac (appendice 4.19). Questa rappresentazione dei fermioni hadue importanti conseguenze:

• poiche la trasformazione CP cambia lo stato di elicita, i neutrini hanno duestati di elicita e possono acquistare massa con l’accoppiamento col campo diHiggs;

• poiche CP e una trasformazione discreta, la legge di combinazione del nu-mero leptonico e moltiplicativa e non additiva: si conserva la parita lepton-ica e non necessariamente il numero leptonico, L = Le + Lµ + Lτ . Questopermette, ad esempio, il decadimento doppio-β senza emissione di neutrini,AZX → A

Z+2Y e−e−, che conserva la parita leptonica ma non il numero lepton-

ico (Fig. 3.105) ed e vietato per i neutrini di Dirac. Questo decadimento none ancora stato osservato.

Figure 3.105: Decadimento 2β senza emissione di neutrini.

3.9.2 Oscillazioni nel vuoto

Non sappiamo quale delle due versioni, neutrini di Dirac o neutrini di Majorana, rap-presenti meglio le osservazioni, comunque esistono modifiche del Modello Standard

401

che possono originare la massa dei neutrini. Assumiamo che ci siano tre autostatidi sapore e tre autostati di massa

(νe νµ ντ ) (ν1 ν2 ν3)

e che si possano convertire uno nell’altro tramite una matrice unitaria 3×3: |να〉 =U|νi〉

U =

Ue1 Ue2 Ue3Uµ1 Uµ2 Uµ3

Uτ1 Uτ2 Uτ3

che soddisfa la condizione U†U = 1∑

j

U∗αjUβj = δαβ∑

α

U∗αjUαk = δjk (3.45)

La matrice U che mescola gli autostati di sapore e gli autostati di massa, dettamatrice di Pontecorvo-Maki-Makagawa-Sakata, ha le stesse proprieta della matriceCKM (capitolo 3.3) e dipende da tre angoli di mixing e un parametro complesso.La matrice si puo rappresentare come la combinazione di tre rotazioni con angoli diEulero θjk (cjk = cos θjk, sjk = sin θjk) UPMMS = R23R13R12

UPMMS =

1 0 00 c23 s23

0 −s23 c23

c13 0 s13e−iδ

0 1 0−s13e

iδ 0 c13

c12 s12 0−s12 c12 0

0 0 1

(3.46)

=

c12c13 s12c13 s13e−iδ

−s12c23 − c12s23s13eiδ c12c23 − s12s23s13e

iδ s23c13

s12s23 − c12c23s13eiδ −c12s23 − s12c23s13e

iδ c23c13

Nel caso di neutrini di Majorana si aggiungono due parametri complessi

UPMMS = R23R13R12

eiφ1 0 00 eiφ2 00 0 1

Nel vuoto l’equazione del moto degli autostati di massa e ih ddt|νj〉 = Hm|νj〉,

gli autovalori sono Ej = ((pc)2 + (mjc2)2)

12 e l’evoluzione temporale e |νj(t)〉 =

|νj(0)〉e−iEjt/h. Poiche la massa dei neutrini e molto piccola Ej ' pc+(mjc2)2/2pc '

pc+m2jc

4/2E. Nel seguito: h = 1, c = 1. La hamiltoniana e diagonale

Hm = p+1

2E

m2

1 0 00 m2

2 00 0 m2

3

(3.47)

Se al tempo t = 0 si ha un fascio di soli neutrini di sapore α, νβ(0) =∑j Uβj|νj〉 =

δβα, l’evoluzione temporale del fascio e

νβ(t) =∑

j

Uβj|νj〉e−iEjt

402

e 〈νβ(t)|να(0)〉 =∑jk U

∗βjUαke

−iEkt〈νj|νk〉 =∑j U∗βjUαje

−iEjt. La probabilita diavere neutrini di sapore β al tempo t e

Pα→β(t) = |〈νβ(t)|να(0)〉|2 = |∑

j

U∗βjUαje−iEjt|2 =

∑

kj

U∗αkUαjUβkU∗βje

i(Ek−Ej)t

Pα→β(t) =∑

j

|Uβj|2|Uαj|2 + 2∑

j>k

<(U∗βjUβkUαjU∗αk) cos(Ej − Ek) (3.48)

La probabilita di transizione e modulata nel tempo dall’ultimo termine, per questosi parla di oscillazione di neutrini, e la condizione di unitarieta (3.45) assicura chela somma delle probabilita sia

∑β Pα→β(t) = 1 ∀ t.

Se consideriamo per semplicita il caso di due neutrini, vi e solo un angolo dimixing (

νανβ

)=

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)(ν1

ν2

)

e l’evoluzione temporale e

|να(t)〉 = cos θe−iE1t|ν1〉+ sin θe−iE2t|ν2〉|νβ(t)〉 = − sin θe−iE1t|ν1〉+ cos θe−iE2t|ν2〉

Se al tempo t = 0 sono presenti solo neutrini να, al tempo t si ha

〈να(t)|να(0)〉 = cos2 θeiE1t + sin2 θeiE2t

e la probabilita di sopravvivenza di neutrini να e

Pα→α(t) = |〈να(t)|να(0)〉|2 = cos4 θ + sin4 θ + 2 sin2 θ cos2 θ cos(E2 − E1)t= cos2 2θ + 1

2sin2 2θ + 1

2sin2 2θ cos(E2 − E1)t

= 1− sin2 2θ sin2(E2 − E1)t/2

Se invece si ha una transizione να → νβ

〈νβ(t)|να(0)〉 = sin θ cos θ(eiE2t − eiE1t)

dalla relazione (3.48) la probabilita di transizione e

Pα→β(t) = |〈νβ(t)|να(0)〉|2 = 2 sin2 θ cos2 θ(1− cos(E2 − E1)t)= sin2 2θ sin2(E2 − E1)t/2= 1− Pα→α(t)

Il termine sin2 2θ indica l’intensita dell’accoppiamento να–νβ, e la probabilita e mod-ulata nel tempo dal fattore sin2(E2 − E1)t/2, con E2 − E1 ' (m2

2 − m21)/2E. A

distanza L dalla sorgente dei neutrini να si ha

sin2(E2 − E1)t/2 ' sin2(m22 −m2

1)t/4E = sin2(m22 −m2

1)c4L/4Ehc

che dipende dal valore della differenza ∆m2 = m22 −m2

1. Dato che i limiti sui valoridi massa dei neutrini sono ∼eV , le unita naturali per esperimenti sulle oscillazioni

403

di neutrini sono: mc2 in eV , E/L in GeV/Km = MeV/m. In queste unita si ha1

4hc= 1.27 GeV

eV 2Km

(MeVeV 2m

)

Pα→β(t) = sin2 2θ sin2

(1.27

∆m2 [eV 2]× L [Km]

E [GeV ]

)(3.49)

e la lunghezza d’onda di oscillazione e

λ [Km] =πE

1.27∆m2= 2.48

E [GeV ]

∆m2 [eV 2](3.50)

Nella base dei sapori, l’equazione del moto nel vuoto e i ddt|να〉 = Hf |να〉 con Hf =

UHmU†

Hf =

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)[p+

1

2E

(m2

1 00 m2

2

)](cos θ − sin θsin θ cos θ

)

= p+Σm2

4E+

∆m2

4E

(− cos 2θ sin 2θsin 2θ cos 2θ

)(3.51)

Esistono diverse condizioni favorevoli allo studio di oscillazioni di neutrini perdiversi valori dell’energia E e della distanza L tra sorgente e osservatore

• i neutrini solari νe sono prodotti nel Sole con le reazioni termonucleari descrittenel capitolo 2.8 con energia da zero a pochi MeV, la distanza e 108 Km;

• i reattori nucleari producono νe con energia da zero ad alcuni MeV e si possonoosservare a distanze da ∼10 m a molti Km;

• i neutrini atmosferici sono originati nei decadimenti di adroni prodotti nelleinterazioni dei raggi cosmici primari 3.1 con l’atmosfera. Sono prevalentementeνµ, νµ dai decadimenti leptonici dei mesoni π e K; con minore probabilita νe, νeprodotti nei decadimenti dei muoni e decadimenti semi-leptonici dei mesoni; ineutrini ντ , ντ sono trascurabili. L’energia va da ∼1 a ∼50 GeV . La distanzapuo variare da ∼10 Km, se prodotti nell’atmosfera sopra il laboratorio, a∼104 Km se prodotti nell’altro emisfero e attraversano la Terra prima di essererilevati.

• acceleratori di protoni producono intensi fasci secondari di neutrini νµ, νµ(capitolo 3.3) con energia E = 1–100GeV che possono essere rivelati a distanzeda ∼ 100 m a ∼ 1000 Km.

Diverse condizioni sperimentali hanno diversa sensibilita alla misura alla differenzadi massa secondo la relazione (3.49); le condizioni sono riassunte nella Tabella 3.1.

Ci sono due possibili approcci sperimentali per misurare oscillazioni dei neutrini:esperimenti di scomparsa e esperimenti di apparizione.

404

sorgente ν energia [GeV] distanza [Km] ∆m2 [eV2]sole νe 10−3 108 10−10

reattore νe 10−3 1–100 10−5–10−3

atmosfera νµ νµ (νe νe) 1–20 10–104 10−4–1acceleratore νµ νµ 1–100 1–103 10−3–10

Table 3.1: Sensibilita in ∆m2 per diverse sorgenti di neutrini.

Esperimenti di scomparsa

Se si conosce una sorgente che emette solo neutrini να e si conosce il flusso all’origine,Φα(0), la misura del flusso a distanza L di neutrini dello stesso sapore fornisce,tramite il rapporto Φα(L)/Φα(0), la probabilita di sopravvivenza |〈να(t)|να(0)〉|2.Questo tipo di esperimento non fornisce informazione sul tipo di neutrino in cui ναha eventualmente oscillato. E il caso di esperimenti fatti con neutrini solari νe, o dareattore νe: infatti questi hanno energia bassa e oscillazioni νe → νµ o νe → ντ nonsono rivelabili poiche l’energia di questi ultimi e molto minore dell’energia di sogliaper produrre leptoni µ (110 MeV ) o τ (3.5 GeV ). Nel caso di neutrini da reattoresi puo misurare il flusso Φνe(L) a diverse distanze dalla sorgente, mentre la distanzaTerra–Sole e quasi costante.

Esperimenti di apparizione

Questo e il caso di esperimenti con fasci di neutrini νµ o νµ prodotti con acceleratori:il flusso di neutrini e conosciuto bene e la contaminazione di neutrini di altro saporee piccola. Leptoni e o leptoni τ prodotti in reazioni νeN → e−X o ντN → τ−X (econiugate di carica) in un rivelatore a distanza L dalla sorgente misurano la proba-bilita di oscillazione |〈να(t)|νµ(0)〉|2. L’energia del fascio e sufficiente a produrre lereazioni che segnalano l’oscillazione di neutrini.

Nel caso di esperimenti con raggi cosmici, il flusso di neutrini non e ben conosci-uto ne in intensita ne nel tipo di sapore. Questi esperimenti hanno pero il vantaggioche sia l’energia E che la distanza dalla sorgente L sono variabili e questo estendel’intervallo di sensibilita in ∆m2.

3.9.3 Oscillazioni nella materia

Se i neutrini si propagano nella materia, si possono verificare oscillazioni anche nelcaso di mν = 0 se esiste qualche differenza nel comportamento dei diversi saporidi neutrini. Questo e stato studiato da Stanislav Mikheyev, Aleksej Smirnov eLincoln Wolfenstein ed e chiamato effetto MSW ; e dovuto allo scattering coerentein avanti che distingue i νe dagli altri neutrini. Lo scattering coerente e proporzionaleall’ampiezza di scattering f(q = 0) e al numero di bersagli per unita di volume N ,mentre l’assorbimento e proporzionale al quadrato, ∼ |f(0)|2. L’effetto e analogoalla propagazione della luce in un mezzo, l’indice di rifrazione n = 1 + 2πN

k2f(0)

introduce uno sfasamento nella propagazione di onde con indici diversi: ei(n2−n1)kx.

405

Poiche f(0) e proporzionale alla costante di Fermi G e l’assorbimento e pro-porzionale a G2, questo e trascurabile, ma lo scattering coerente puo produrre uneffetto importante se il fascio si propaga per grandi distanze in un mezzo di densitaelevata. Consideriamo due sapori di neutrini, νe e νµ: le interazioni elastiche conemissione di neutrini a q = 0 per correnti neutre sono uguali, ma quelle per correnticariche sono diverse

νe νµνee− → νee

− νµe− → νµe

−

NC νen→ νen νµn→ νµnνep→ νep νµp→ νµp

CC νee− → e−νe νµe

− → µ−νe

e la differenza e legata alla densita di elettroni nel mezzo. Questo comporta chein un mezzo di densita ρ si introduce uno sfasamento per unita di lunghezza tra leonde

2πhf(0)Ne

p=√

2G(hc)2Ne = 3.8 10−9 cm−1 × Z

Aρ (3.52)

dove ρ e in g/cm3. L’effetto e importante nel caso della propagazione dei neutrinidal centro alla superficie del Sole (L = 0.7 1011 cm) tenendo anche conto che la den-sita cambia notevolmente; e meno importante su distanze pari all’attraversamentodella Terra (L ' 108 cm). La combinazione con le oscillazione nel vuoto modi-fica i parametri della matrice di evoluzione, in particolare il termine νe → νe, cuisi aggiunge lo sfasamento (3.52) che interviene come una differenza di energia diinterazione (nel seguito h = 1, c = 1)

√2G(hc)3Ne = 7.6 10−14 eV × Zρ

A

modificando la parte non diagonale della matrice (3.51)

Hf = (. . .) +

(−(∆m2/4E) cos 2θ +

√2GNe (∆m2/4E) sin 2θ

(∆m2/4E) sin 2θ (∆m2/4E) cos 2θ

)(3.53)

Gli angoli di mixing e la differenza ∆m2 si ottengono da (3.51) e (3.53)

sin 2θ∗

cos 2θ∗=

2Hf21

Hf22 −Hf11

=sin 2θ

cos 2θ − χ χ =√

2GNe2E

∆m2= 1.5 10−7 E [MeV ]

∆m2 [eV 2]×ZρA

sin 2θ∗ =sin 2θ√

(cos 2θ − χ)2 + (sin 2θ)2∆∗m2 = ∆m2

√(cos 2θ − χ)2 + (sin 2θ)2

(3.54)e la probabilita di oscillazione (3.49) diventa

Pα→β(t) = sin2 2θ∗ sin2(1.27∆∗m2L/E)

Dalla relazione (3.54) se χ ' cos 2θ l’angolo di mixing osservato e θ∗ ' 45, simu-lando oscillazione massima, qualunque sia l’effettivo di mixing dei neutrini.

406

3.9.4 Neutrini solari

Le reazioni nucleari che producono energia nel Sole sono presentate nel capitolo 2.8;la Fig. 3.106 mostra lo spettro di energia dei neutrini νe emessi nelle reazioni. Ilflusso di neutrini e valutato sulla base del Modello Solare Standard (SSM) che tieneconto delle sezioni d’urto e del bilancio energetico delle reazioni, della termodinamicae fluodinamica solare e dell’energia di radiazione solare misurata sulla Terra. Gliesperimenti per rivelare i neutrini sulla Terra sono condotti in laboratori sotterraneia grande profondita per schermare i rivelatori dai raggi cosmici, e hanno un bersagliodi grande massa (da decine a migliaia di tonnellate) perche la sezione d’urto e moltopiccola. Si misura il flusso di neutrini νe e, dal flusso previsto dal SSM, la probabilitaPνe→νe(L), L = 1.5 108 Km. Sono stati fatti due tipi di esperimenti: con metodiradiochimici e con rivelatori di elettroni emessi nelle reazioni νeN → e−N ′. Gli

Figure 3.106: Flusso di neutrini solari in funzione dell’energia.

esperimenti radiochimici sono piu sensibili a neutrini di bassa energia. Si misurail numero di reazioni νe

AZX → e− A

Z+1Y in un dato intervallo di tempo ∆t1. Sisceglie una reazione che abbia una soglia bassa e che produca un nucleo Y soggettoa cattura elettronica con vita media τ . In questo modo non e necessario rivelaregli elettroni prodotti che hanno energia molto piccola, ma si registra il numerodi eventi e− A

Z+1Y → AZX νe contando in un intervallo di tempo ∆t2 i raggi X

di energia caratteristica emessi immediatamente dopo la cattura elettronica. Sieseguono diversi cicli di attivazione e conteggio: se Λ = σνΦνNb e il numero diinterazioni per unita di tempo, il numero di nuclei Y formati e nY (1) = Λτ(1 −e−∆t1/τ ) e il numero di decadimenti registrati e nY→X(2) = Λτ(1 − e−∆t1/τ )(1 −e−∆t2/τ ).

Il primo esperimento pioneristico di questo tipo e stato fatto da Raymond Davis 25

usando come bersaglio il 3717Cl, un isotopo stabile del Cloro con abbondanza relativa

25 Premio Nobel per la Fisica nel 2002.

407

24%. L’esperimento e stato fatto in una miniera a 1600 metri di profondita con unbersaglio di ∼1000 tonnellate di C2Cl4. Nella cattura dei neutrini si produce 37

18Arche decade al 100% per cattura elettronica

νe3717Cl→ 31

18Ar e− e− 31

18Ar → 3717Cl νe τ = 24.3 giorni

La soglia di reazione e Eminν = 0.814 MeV , quindi l’esperimento non e sensibile alla

maggior parte dei neutrini solari, ma solo a quelli emessi dal decadimento del Boro85B e, in parte, a quelli del ciclo CNO, (Fig.3.106). Questo esperimento fu il primo aregistrare un deficit di neutrini solari, cioe Pνe→νe < 1. Misuro un tasso di conteggio∼1

3di quello previsto dal SSM con un errore relativo del 10%.Altri esperimenti sono stati fatti con il 71

31Ga, un isotopo stabile del Gallio conabbondanza relativa 40%. Si produce 71

32Ge che decade al 100% per cattura elettron-ica

νe7131Ga→ 71

32Ge e− e− 71

32Ge→ 7131Ga νe τ = 7.9 giorni

La soglia di reazione, Eminν = 0.233 MeV , e notevolmente piu bassa e gli esper-

imenti sono sensibili a gran parte dei neutrini del ciclo protone-protone. Questiesperimenti hanno misurato un tasso di conteggio (53 ± 3)% di quello previsto dalSSM confermando la effettiva scomparsa dei neutrini νe.

Gli esperimenti che rivelano l’emissione di elettroni sono costruiti con grandirecipienti con acqua, o acqua pesante, per studiare le reazioni di νe su elettroniatomici o su nucleo (protone, deutone). Questo metodo di misura e stato sviluppatoda Masatoshi Koshiba 26 e applicato in un esperimento sotterraneo, Kamiokande,che conteneva inizialmente 3000 tonnellate di acqua. La rivelazione dei neutrini efatta osservando la radiazione Cerenkov (capitolo 1.4) emessa dagli elettroni che sitrasmette nel mezzo trasparente. Gli esperimenti misurano la velocita degli elettronie la direzione, questa e correlata con la direzione del Sole e permette di ridurre ilfondo da altre sorgenti. Il valore minimo di velocita e βe ' 0.9 e la soglia direazione e di alcuni MeV , quindi questi esperimenti sono sensibili ai neutrini di altaenergia. Con lo studio della reazione elastica νee

− → νee− e stato misurato un tasso

di conteggio pari al (47 ± 3)% di quello previsto dal SSM. Esperimenti che usanograndi recipienti con scintillatore liquido (capitolo 1.5) hanno soglie di rivelazione∼1 MeV , e sono sensibili a neutrini di bassa energia.

Con un bersaglio e di acqua pesante, si possono studiare diverse reazioni neutrino-deuterio

(a) νe d→ p p e−, prodotta solo da νe per CC;

(b) να d→ να p n, prodotta da ogni tipo di neutrino per NC;

(c) να e− → να e

−, prodotta da ogni tipo di neutrino per NC, e da νe anche perCC.

26 premio Nobel per la Fisica nel 2002.

408

Questo metodo e stato usato nel Sudbury Neutrino Observatory, a 2000 m di pro-fondita, diretto da Arthur McDonald 27, utilizzando 1000 tonnellate di D2O. Lereazioni (a) e (c) sono osservate con la rivelazione dell’elettrone, la reazione (b) conla rivelazione di sciami elettrofotonici prodotti da raggi γ emessi nella reazione dicattura neutronica con formazione di Trizio, n d → 3

1H γ con Eγ = 6.5 MeV . Eun’esperimento di scomparsa per le reazioni (a) e (c) e un esperimento di apparizionedi neutrini νµ e ντ (tra loro indistinguibili) per la reazione (c). Il flusso dei neutrinisi ottiene dal numero di reazioni osservate e dai valori di sezione d’urto. Si hannotre relazioni

na = Φ(νe)σCC(νed)Nd

nb = (Φ(νe) + Φ(νµ + ντ ))σNC(ναd)Nd

nc =((Φ(νe)σ

NC+CC(νee) + Φ(νµ + ντ )σNC(ναe)

)Ne

da cui si estrae il flusso di neutrini Φ(νe) e Φ(νµ + ντ ) tenendo conto che la sezioned’urto per NC e la stessa per ogni tipo di neutrino, e inoltre si puo verificare (capi-tolo 3.8) che

σNC(νee)

σNC+CC(νee)=

g2L + g2

R/3

(1 + gL)2 + g2R/3

=1− 4 sin2 θW + (16/3) sin4 θW1 + 4 sin2 θW + (16/3) sin4 θW

' 0.16

Il risultato conferma le osservazioni degli altri esperimenti e inoltre dimostra lavalidita del SSM nel predire il flusso di neutrini solari

Φ(νe) + Φ(νµ + ντ )

φSSM(νe)= 1.01± 0.14

Φ(νe)

Φ(νe) + Φ(νµ + ντ )= 0.34± 0.04

quindi 23

dei neutrini νe prodotti nel Sole hanno cambiato sapore prima di raggiun-gere la Terra. Dalle misure delle interazioni neutrino-deutone si deduce che

• la previsione del Modello Solare Standard del flusso di neutrini Φ(νe) e corretta;

• il flusso di neutrini misurato dipende dall’energia dei neutrini per l’effettoMSW e i risultati di esperimenti con soglie diverse vanno corretti secondo la(3.54);

• corretti i risultati, la probabilita di sopravvivenza a distanza L per diversiintervalli di energia E fornisce i parametri di oscillazione

Pνe→νe = 1− cos4 θ13 sin2 2θ12 sin2(∆m212L/4E)− sin2 2θ13 sin2(∆m2

13L/4E)(3.55)

• per piccoli valori di θ13 (da misure con neutrini da reattore) le oscillazioni deineutrini solari si riducono al caso di due stati: |ν1〉 e |ν2〉, e la matrice di mixinge R12

Pνe→νe ' 1− sin2 2θ12 sin2(∆m212L/4E)

• e si ottiene: θ12 = 33, ∆m212 = 7 10−5 eV 2.

27 premio Nobel per la Fisica nel 2015

409

3.9.5 Neutrini da reattori

I reattori nucleari sono un’intensa sorgente di anti-neutrini νe con energia che si es-tende da zero ad alcuni MeV . Gli esperimenti usano grandi recipienti di scintillatoreliquido, materiale organico ricco di protoni, con l’aggiunta di nuclei N0 che hannoun grande sezione d’urto di cattura di neutroni di bassa energia, nN0 → N∗1 → N1γ.Il metodo di rivelazione e sostanzialmente quello che ha portano alla scoperta delneutrino descritta nel capitolo 2.7. Si sfrutta la reazione

νe p→ e+ n

che ha un’energia di soglia di 1.8 MeV . La produzione del positrone e segnalata dallamisura di E ∼ 1 MeV dall’annichilazione e+e− → γγ, il neutrone viene moderatonelle collisioni elastiche con i protoni e catturato dal nucleo N0 dopo un tempocaratteristico del processo di moderazione ∆t0.

Esperimenti fatti a piccola distanza dal reattore, da 10 m a 1 Km, non hannomostrato evidenza di scomparsa di νe, il valore misurato e φL(νe)

φ0(νe)' 1 con errori

relativi di pochi %. Un esperimento fatto a grande distanza ha invece misurato lascomparsa di 1

3di νe

φL(νe)

φ0(νe)= 0.66± 0.06 〈Eνe〉 = 4 MeV L ' 150 km

I risultati in funzione della distanza sono mostrati in Fig. 3.107. Gli esperimentimisurano il rapporto φL(νe)

φ0(νe)integrando in un intervallo di energia dal valore di soglia

al valore massimo

ΦL(ν)

Φ0(ν)= 1− Sf(L) f(L) =

1

∆k

∫sin2 kL dk k =

∆m2

4E

f(L) =1

(k2 − k1)L

∫ k2

k1sin2 kL dk =

1

2− sin 2k2L− sin 2k1L

4(k2 − k1)L(3.56)

Questa funzione e nulla per kL 1, alta energia e/o piccole distanze, oscilla perkL ' π/2 e tende al valore 1

2per kL 1, bassa energia e/o grandi distanze.

Il confronto con gli esperimenti con i neutrini solari indica

• per L < 3 Km il termine sin2(∆m212L/4E) e trascurabile e quindi (3.55) si

riduce aPνe→νe = 1− sin2 2θ13 sin2(∆m2

13L/4E) (3.57)

gli esperimenti con reattori vicini, L ∼ 1.5 Km, hanno misurato il valoredell’angolo di mixing: θ13 = 9;

• usando (3.55) con cos4 θ13 ' 0.95, la misura di attenuazione di νe da reattorilontani permette di migliorare il risultato ottenuto con i neutrini solari:

θ12 = 32.4 ∆m212 = 7.9 10−5 eV 2

410

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

1 . 2

1 0- 2 1 0- 1 1 00 1 01 1 02

L (km)

Figure 3.107: Flusso di νe in funzione della distanza dal reattore.

3.9.6 Neutrini atmosferici

Gli esperimenti che studiano i neutrini prodotti nell’atmosfera sono fatti in laboratorisotterranei e usano come bersaglio l’acqua. Rivelano la produzione di elettronie muoni mediante la radiazione Cerenkov, misurano la direzione e il percorso nelrivelatore, la prima e fortemente correlata con la direzione dei neutrini, il secondofornisce una stima (non precisa) dell’energia. Elettroni e muoni sono prodotti nelrivelatore con le reazioni

νeN → e−N ′ νµN → µ−N ′ (3.58)

e le reazioni coniugate di carica iniziate da anti-neutrini che producono e+ e µ+, mai rivelatori Cerenkov non distinguono la carica elettrica.

Figure 3.108: Interazioni di neutrini atmosferici in un rivelatore Cerenkov. Unneutrino attraversa la Terra percorrendo la distanza L =

√R2 cos2 θ + 2Rh−R cos θ.

Il rivelatore (a destra) misura l’angolo θ.

Nell’atmosfera vengono prodotti neutrini e antineutrini nei decadimenti in cas-

411

cata dei mesoni

νµ νµ νe νeπ+ → µ+νµ µ+ → e+νµνe × × ×K+ → µ+νµ µ+ → e+νµνe × × ×K → πµ+νµ µ+ → e+νµνe × × ×K → πe+νe ×

e i decadimenti coniugati di carica per cui ν ↔ ν. Il rapporto tra la frequenzadelle due reazioni (3.58) dipende dall’energia dei neutrini e non e molto diverso daµ : e = 2 : 1. Lo studio delle oscillazioni e stato fatto dividendo le osservazioni inquattro categorie

µ di alta energia e di alta energiaµ di bassa energia e di bassa energia

La direzione fornisce una misura della distanza L come mostrato in Fig. 3.108,mentre la classificazione in energia fornisce un’indicazione sull’energia dei neutrini,E.

Misure sono state fatte con l’esperimento Super-Kamiokande, diretto da TakaakiKajita 28, con 50000 tonnellate di acqua. Confrontando il risultato con quantoprevisto dal flusso di raggi cosmici si osserva che:

• non ci sono deviazioni per gli elettroni ne in funzione dell’angolo, ne in funzionedell’energia;

• si osserva una chiara diminuzione del flusso dei muoni per cos θ < 0 (grande

distanza) sia per bassa energia che per alta energia, ΦL(νµ)Φ0(νµ)

→ 12;

• l’effetto diminuisce per cos θ → 1 (piccola distanza) per muoni di bassa energiae si annulla per muoni di alta energia.

Non si osservano oscillazioni di νe, mentre vi e una chiara evidenza di oscillazionidi νµ che dipendono da L/E. Il valore di sin2 ∆m2

12L/4E e troppo piccolo perprodurre un effetto nell’intervallo di distanze e energie esplorate, se ne deduce chela differenza di massa e ∆m2

23 ∆m212 e/o ∆m2

13 ∆m212. Gli esperimenti con

neutrini da acceleratori indicano che ∆m213 ' ∆m2

23, quindi si possono esprimere leprobabilita di oscillazione in funzione di un solo valore

Pνe→νµ = sin2 2θ13 sin2 θ23 sin2 ∆m223L/4E

Pνe→ντ = sin2 2θ13 cos2 θ23 sin2 ∆m223L/4E

Pνe→νe = 1− sin2 2θ13 sin2 ∆m223L/4E

Pνµ→νe = Pνe→νµPνµ→ντ = cos4 θ13 sin2 2θ23 sin2 ∆m2

23L/4EPνµ→νµ = 1− (sin2 2θ13 sin2 θ23 + cos4 θ13 sin2 2θ23) sin2 ∆m2

23L/4E

(3.59)

28 premio Nobel per la Fisica nel 2015

412

Le oscillazioni di νe sono soppresse perche sin2 2θ13 ' 0.1 e analogamente le os-cillazioni νµ → νe, quindi la diminuzione del flusso di muoni e interpretata comeoscillazioni νµ → ντ . La Fig. 3.109 mostra la funzione 1 − Sf(L), nel caso S = 1,per νµ di bassa e alta energia e la correlazione tra la L e cos θ dell’esperimento inFig. 3.108. I νµ di bassa energia oscillano sempre, quelli di alta energia solo per val-ori grandi della distanza. Dato che il flusso si riduce di 1

2a grande distanza, questo

indica che S = sin2 2θ13 sin2 θ23 + cos4 θ13 sin2 2θ23 ' sin2 2θ23 ' 1, cioe il mixingνµ → ντ e massimo. Dalle misure si ottiene

θ23 = 45 ∆m223 = 2.5 10−3 eV 2 (3.60)

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

- 1 . 0

- 0 . 5

0 . 0

0 . 5

1 . 0

1 0 1 02

1 03

1 04

L (km)

f ( L ) c o s q

E > 1.5 GeVE < 0.5 GeV

Figure 3.109: Funzione 1 − Sf(L) con S = 1 per νµ di bassa e alta energia perl’esperimento di Fig.3.108 (scala a sinistra). Angolo di zenith (scala a destra).

3.9.7 Neutrini da acceleratori

Dalla Tabella 3.1 si osserva che gli esperimenti di scomparsa di neutrini νµ e νµprodotti con acceleratori sono poco sensibili a piccoli valori di ∆m2. Gli esperimentidi apparizione di νe sono sensibili a

Pνµ→νe = sin2 2θ13 sin2 θ23 sin2 ∆m213L/4E

se L/E ' 100 Km/GeV . Un esperimento fatto in queste condizioni ha confermatoche θ13 e piccolo, θ13 < 10, e ha misurato ∆m2

13 = 2.8 10−3 eV 2 ' ∆m223

L’indicazione dei neutrini atmosferici e che le oscillazioni νµ → ντ sono massime,questo va pero confermato con esperimenti di apparizione di ντ . Questi esperi-menti devono usare fasci di energia elevata per superare la soglia di produzioneντN → τ−N ′ e quindi distanze L 100 km. Inoltre l’identificazione del leptone τrichiede impulsi elevati, p > mτ , e rivelatori con ottima risoluzione spaziale perche

413

la lunghezza di decadimento e molto piccola, λτ = pmτcττ con mτ = 1.78 GeV/c2 e

cττ = 0.087 mm. Esperimenti con neutrini νµ da accceleratori con L ∼ 750 Kmhanno misurato ∆m2

23 = 2.7 10−3 eV 2.

3.9.8 I parametri delle oscillazioni

Le osservazioni su neutrini solari, da reattore e atmosferici forniscono informazionicomplementari che riflettono la fattorizzazione della matrice UPMMS in tre rotazionidi:

UPMMS = R23 × R13 × R12

neutrini atmosferici da reattore solari

sin2 θ12 0.30 ± 0.02sin2 θ23 0.50 ± 0.04sin2 θ13 0.021 ± 0.001∆m2

12 7.5 ± 0.2 10−5 eV 2

∆m223 2.5 ± 0.1 10−3 eV 2

∆m213 ' ∆m2

23

Table 3.2: Parametri di oscillazione di neutrini.

Figure 3.110: Angoli di rotazione per gli autostati dei neutrini.

Dal confronto delle varie misure si ottengono i valori di Tabella 3.2. Non sihanno informazioni sulla fase δ che rappresenta la violazione della simmetria CPper i leptoni. Gli angoli di mixing sono rappresentati in Fig. 3.110. Nell’ipotesisin θ13 1, cos θ13 ' 1, la matrice di mixing si approssima con

UPMMS '

c12 s12 s13

−s12c23 c12c23 s23

s12s23 −c12s23 c23

Poiche sin2 θ23 ' 12

e sin2 θ12 ' 13

gli autostati di massa si possono approssimare con

|ν1〉 '2|νe〉 − |νµ〉+ |ντ 〉√

6|ν2〉 '

|νe〉+ |νµ〉 − |ντ 〉√3

|ν3〉 '|νµ〉+ |ντ 〉√

2

414

e, poiche ∆m212 ∆m2

23, i valori di massa dei neutrini che contengono |νe〉 sonosimili: m1 ' m2. Esistono due possibili ordinazioni di massa, quella normale:m3 m2 > m1, e quella invertita: m2 > m1 m3, rappresentate in Fig. 3.111.Qualunque sia l’ordine, i valori effettivi delle masse non sono noti perche si misuranosolo le differenze ∆m2

jk e si conoscono solo i limiti superiori (3.44) delle masse mνα .

Figure 3.111: Valori delle differenze di massa m2j −m2

k.

3.10 Universo e particelle

L’Universo, come lo osserviamo oggi, non e statico e la sua estensione e finita.Gia Giovanni Keplero aveva osservato che in un Universo statico e infinito e condensita di stelle uniforme, come si riteneva all’inizio del ’600, il cielo non dovrebbeessere scuro ma luminoso. Il paradosso del cielo scuro di notte e stato analizzato daHeinrich Olbers nel 1823 ed e noto come paradosso di Olbers.

Il flusso di energia che si osserva emesso da una stella di luminosita L a distanzar e φ = L/4πr2. Se si fa l’ipotesi che le stelle abbiano una densita uniforme ρ,

il flusso totale di energia e Φ =∫ 〈L〉

4πr2ρ4πr2dr. Questo e infinito nelle ipotesi che

la luminosita non dipenda dalla distanza, la densita sia uniforme e che l’integralevada esteso a r → ∞. Per risolvere il paradosso alcune di queste ipotesi devonoessere false. Le sorgenti luminose sono in effetti raggruppate in galassie e ammassidi galassie, ma se osservato su grande scala, l’Universo ha una densita di sorgentiabbastanza uniforme. Le altre due ipotesi invece non sono verificate. L’Universonon e statico, tutte le sorgenti luminose si allontanano dalla Terra con velocita cheaumenta con la distanza: la luce che si osserva diminuisce con la distanza. Sequesto e vero, tutte le sorgenti si allontanano tra loro ed e plausibile che il moto diallontanamento sia iniziato ∆t tempo fa e che quindi si possa osservare solo la luceemessa entro un orizzonte finito pari a c∆t.

3.10.1 L’Universo in espansione

La prima fondamentale osservazione fu fatta da Edwin Hubble nel 1929 che scoprıche ogni galassia si allontana dalla Terra con velocita proporzionale alla sua distanza.

415

La distanza era determinata dalla luminosita, la velocita dallo spostamento versoil rosso, redshift 29, delle righe degli spettri atomici rispetto a quelli osservati sullaTerra; il rapporto tra velocita e distanza, H = r/r e chiamato costante di Hubbleanche se non e propriamente costante. Questa osservazione mostra che l’Universo ein espansione e che l’espansione e iniziata approssimativamente H−1 tempo fa dopouna fase iniziale esplosiva come ipotizzato gia nel 1923 da Georges Lemaıtre. Ilmodello del Big Bang e stato formulato in modo piu quantitativo venti anni dopoda George Gamow.

Se consideriamo due osservatori che partono dallo tesso punto al tempo t0 eprocedono con velocita ~v1 e ~v2, la loro velocita relativa al tempo t sara ~v = d

dt(~r2 −

~r1) = d~rdt

, e la loro distanza sara r =∫ |~v2 − ~v1|dt = v(t − t0) se hanno proceduto

a velocita costante. In realta la velocita sara diminuita per effetto dell’attrazionegravitazionale e quindi la costante di Hubble viene a dipendere dal tempo. Il valoremisurato oggi e H0 = 100h km s−1/Mpc, il MegaParSec 30 e pari a 3.09 1019 kme il valore del parametro di Hubble h tiene conto della variabilita delle definizioni:h = 0.73± 0.04. Per le considerazioni che seguono assumiamo

H0 = 2.36 10−18 s−1 H−10 = 13.4 109 anni

che corrisponde ad un orizzonte di ∼ 1026 m. I valori delle grandezze misurate, oderivate, qui e nel seguito hanno in generale un’incertezza del (5÷10)%.

L’evoluzione dell’Universo e definita dall’equazione di campo di Einstein della rel-ativita generale. Per una distribuzione di materia omogenea e isotropa, la soluzioneper l’estensione di spazio R e fornita dalle equazioni di Friedmann-Lemaıtre

R

R= −4πG

3c2(ρ+ 3p) +

Λ

3c2(3.61)

H2 =

(R

R

)2

=8πGρ

3c2− k

R2− Λ

3c2(3.62)

G = 0.67 10−10 m3Kg−1s−2 = 1.07 10−20 GeV −1m5s−4 e la costante di Newton, ρ ela densita di energia, p e la pressione, k e il parametro di curvatura dello spazio e Λ ela costante cosmologica introdotta da Einstein, prima dell’affermazione del concetto

29 Se una sorgente luminosa emette radiazione con frequenza ν e si muove ripetto all’osservatorecon velocita u = ±βc lungo la direzione di osservazione, per la legge di trasformazione del 4-impulso(appendice 4.2), la frequenza osservata e

ν′ = ∓βγν + γν =1∓ β

(1− β2)1/2ν =

((1∓ β)2

(1 + β)(1− β)

)1/2

ν

Se la sorgente si allontana, ν′ =√

(1− β)/(1 + β)ν, λ′ =√

(1 + β)/(1− β)λ, l’osservatore misura

una lunghezza d’onda λ′ maggiore, spostata verso il rosso. Il redshift e il rapporto z = λ′−λλ ;

1 + z =√

(1 + β)/(1− β).30 Il parallasse-secondo e la distanza che corrisponde all’osservazione di una stella sotto

l’angolazione di un secondo d’arco (2π/60 × 60 × 360 = 4.85 µrad) da due punti distanti unaunita astronomica (AU = 1.5 1011 m): pc = 3.09 1016 m.

416

di espansione dell’Universo, per evitare l’implosione gravitazionale e ottenere unasoluzione stazionaria.

La relazione tra densita e pressione si ottiene derivando la (3.62) rispetto al

tempo e dividendo per 2R/R: RR− R2

R2 = 4πG3c2

ρR

R+ k

R2 ;

sostituendo la (3.61) si ha: RR

= 4πG3c2

(ρR

R+ 2ρ

)+ Λ

3c2= −4πG

3c2(ρ+ 3p) + Λ

3c2;

ρ = −3R

R(ρ+ p) (3.63)

• se ρ ∼ R−3, come previsto per la materia, ρ = −3ρR/R e quindi p = 0;

• se ρ ∼ R−4, come previsto per la radiazione, ρ = −4ρR/R e quindi p = ρ/3:la pressione di radiazione si aggiunge alla gravita;

• se ρ fosse costante si otterrebbe p = −ρ: la pressione si oppone alla gravita.

La soluzione con Λ = 0, e quella che si ottiene con la meccanica classica. Se infatticonsideriamo una massa m all’interno del campo gravitazionale prodotto da unadistribuzione di materia uniforme, posta a distanza r dal centro della distribuzionedi materia, la legge di gravitazione e mr = −GmM/r2. La somma dell’energiacinetica e dell’energia potenziale della massa m e una costante del moto che possiamoesprimere in termini dell’energia di riposo mc2

1

2mr2 − GmM

r= −κ

2mc2

Nell’ipotesi di densita di energia uniforme, la massa M all’interno della sfera diraggio r e M = 4πρr3/3c2 e si ha

1

2mr2 − 4πGmρr2

3c2= −κ

2mc2 r2 =

8πGρ

3c2r2 − κc2

Se κ = −1, la curvatura e positiva e l’energia totale e positiva: il sistema tenderaad espandersi indefinitivamente e, poiche ρr3 e costante ρr2 → 0, il valore asintoticodella velocita e limt→∞ r = c. Se κ = +1, la curvatura e negativa e l’energia enegativa: il sistema raggiungera una dimensione massima e poi tendera a collassare.Se κ = 0, lo spazio e piatto e l’energia totale e nulla: il sistema si espande convelocita asintotica nulla, limt→∞ r = 0.

Poiche nella descrizione dell’evoluzione dell’Universo possiamo considerare solodistanze relative ad un certo istante, definiamo la distanza al tempo t come prodottodella distanza misurata al tempo t0 per un fattore di scala: ~r(t) = ~r0R(t); laFig.3.112 mostra l’andamento di R(t) per un Universo chiuso (k = +1), piatto(k = 0) o aperto (k = −1). L’equazione di evoluzione di R(t) e

r20R

2 =8πGρ

3c2r2

0R2 − κc2 ⇒ R2

R2=

8πGρ

3c2− k

R2

Nel caso di Universo piatto, con k = 0, Λ = 0, l’Universo di Einstein-de Sitter, si

417

R(t)

tDt

t0

k = 0

k = -1

k = +1

Figure 3.112: Fattore di scala dello spazio per i tre valori del parametro di curvatura;le misure son fatte oggi al tempo t0.

ha

H2 =R2

R2=

8πGρ

3c2

Il valore di densita di energia per cui si ha un Universo piatto e chiamata densitacritica

ρc =3c2H2

0

8πG= 5.6 GeV/m3

se il valore misurato e ρ < ρc l’Universo tendera ad espandersi indefinitivamente,se ρ > ρc tendera a contrarsi. Alla densita di energia contribuisce la materia nonrelativistica (barioni) e la radiazione (fotoni e neutrini); le misure mostrano che ilcontributo di materia barionica e radiazione e molto minore di ρc. Inoltre le misuredei moti delle galassie mostrano che queste si muovono con velocita maggiori di quellepreviste se fossero soggette all’attrazione gravitazionale della materia visibile concui interagiscono. Da queste osservazioni si deduce che nell’Universo e presente ungrande quantita di materia che non emette radiazione, materia oscura, con densitadi energia maggiore della materia barionica visibile. La densita di energia totaledella materia e della materia barionica visibile e

ρm = 1.33 GeV/m3 ρb = 0.23 GeV/m3

e la densita di energia della materia oscura e ρdm = 1.10 GeV/m3. In un Universodominato dalla materia, la densita e inversamente proporzionale a R3 e, se l’Universoe piatto, si ha ρR3 = ρcR

30

R2

R2=

8πGρc3c2R3

R =(

8πGρc3c2R

) 12

In un Universo piatto dominato dalla materia lo spazio si espande proporzionalmentea t2/3

∫R1/2dR =

2

3R3/2 =

(8πGρc

3c2

) 12

t R(t) =(

6πGρc3c2

) 13

t23

e il tempo di espansione e t0 = 2/3H0 ' 9 109 anni, un po’ piu breve di quello chesi ottiene da varie informazioni astronomiche.

418

3.10.2 La radiazione cosmica di fondo

La seconda fondamentale scoperta fu fatta da Arno Penzias e Robert W. Wilson 31

che nel 1965 osservarono che la potenza emessa dal cosmo sotto forma di radiazioneelettromagnetica si comporta come quella di un corpo nero a temperatura di circa2.7 K. La radiazione cosmica di fondo e emessa in modo isotropo da ogni partedell’Universo con una distribuzione in frequenza che segue rigorosamente la dis-tribuzione di Planck. La temperatura dell’Universo e oggi T = (2.725 ± 0.002) K.La densita di energia della radiazione si ottiene dalla legge di emissione del corponero (appendice 4.1)

ργ =4

cσT 4 = 0.26 10−3 GeV/m3

σ = 354 GeV s−1m−2K−4 e la costante di Stefan-Boltzmann. Poiche ργ ρm, oggil’Universo e dominato dalla materia.

La legge di espansione della radiazione nello spazio e pero diversa da quelladella materia perche la lunghezza d’onda aumenta con R e l’energia diminuisce,la radiazione si raffredda. Poiche ργ ∼ R−4, il termine di curvatura ∼ R−2 sipuo trascurare nell’equazione (3.62) per R → 0; da questo si deduce che c’e stataun’epoca, prima che si formassero gli atomi, in cui la densita della radiazione eramaggiore di quella della materia. La legge di espansione della radiazione e

R2

R2=

8πGργ3c2

ργργ

= −4R

R= −4

(8πGργ

3c2

) 12

ρ1/2γ

Risolvendo l’equazione ργ = −4√

(. . .)ρ3/2γ si ha

ργ =

(3c2

32πG

)t−2 =

4σ

cT 4 (3.64)

quindi nell’epoca dominata dalla radiazione R(t) ∼ t1/2 ∼ T−1.Alla densita della radiazione elettromagnetica va aggiunta quella di fermioni ul-

trarelativistici, i neutrini che assumiamo abbiano massa nulla. Non si hanno misuredel fondo di neutrini cosmici, ma da argomenti sulla produzione e separazione deineutrini dalla materia barionica si puo stimare che abbia oggi una temperatura di1.9 K. Considerando il numero di specie di neutrini e antineutrini, e assumendo cheabbiano massa nulla, la stima della densita di energia della radiazione e

ρνργ

=6

2

7

8

T 4ν

T 4γ

= 0.68 ρr = ργ + ρν = 0.43 10−3 GeV/m3

• Riassumiamo le relazioni delle statistiche di bosoni e fermioni:

dn = g±4πp2dp

8π3h3

1

eE/kT ± 1= g±

1

2π2(hc)3

E2dE

eE/kT ± 1


419

n =∫dn = g±

(kT )3

2π2(hc)3

∫ x2dx

ex ± 1(3.65)

ρ =∫Edn = g±

(kT )4

2π2(hc)3

∫ x3dx

ex ± 1(3.66)

Bose-Einstein:∫ xsdxex−1

= s!ζ(s+ 1); Fermi-Dirac:∫ xsdxex+1

= s!(1− 2−s)ζ(s+ 1);ζ e la funzione di Riemann: ζ(s) =

∑n s−n;

con N = 1/2π2(hc)3 = 6.6 1036 MeV −3m−3, Z3 = 2ζ(3) = 2.404; Z4 =6ζ(4) = π4/15, si ha per fotoni e per specie di neutrino:

g n ρ 〈E〉 = ρ/nγ 2 2NZ3(kT )3 2NZ4(kT )4 2.70 kT

ν + ν 2 234NZ3(kT )3 27

8NZ4(kT )4 3.15 kT

Per le densita di particelle, si ha: nb = ρb/mbc2 = 0.24 m−3, nγ = ργ/2.7kTγ =

4.1 108 m−3, nν = ρν/3.15kTν = 3.3 108 m−3. Il rapporto tra barioni e fotoni e

nbnγ

= 0.58 10−9 (3.67)

3.10.3 L’energia del vuoto

Indicando con Ωi = ρi/ρc la densita di energia normalizzata alla densita critica, siha ΩT =

∑i Ωi = 0.24

barioni materia oscura radiazioneΩ = 0.042 0.20 7.8 10−5

Le osservazioni astronomiche danno altre informazioni importanti:

• l’isotropia della radiazione cosmica di fondo indica che l’Universo si sta espan-dendo con ρ ' ρc e questo richiede ΩT ' 1;

• nella distribuzione della radiazione cosmica di fondo si osserva un piccolaanisotropia, al livello di ∼ 10−5, che indica che fluttuazioni di densita, chepresumibilmente hanno dato poi origine alle galassie, erano presenti in epocaanteriore alla separazione della radiazione dalla materia; questo implica che lamateria oscura sia di natura non relativistica, cioe fredda, per cui e improbabileche questa sia formata da neutrini;

• la misura di alcune sorgenti ad elevato redshift (z = 0.5÷1) mostra che questehanno velocita di recessione maggiore di quella prevista dalla legge lineare diHubble; questo implica una accelerazione dell’espansione dell’Universo, con-trariamente a quanto ci si aspetterebbe nel caso di densita critica se questafosse soggetta alla sola attrazione gravitazionale.

420

Questa ultima osservazione, davvero sorprendente, puo trovare una spiegazione sesi fa l’ipotesi di un contributo alla densita di energia costante nel tempo che puoessere legato alla costante cosmologica. Infatti nell’equazione (3.61) una sorgente dienergia con densita costante produce una pressione negativa p = −ρ che, come lacostante cosmologica, tende ad accelerare l’espansione

R

R= +

8πGρ

3c2

Dato che la densita di energia della materia e della radiazione cambiano nel tempo,si ritiene che questo contributo sia originato dalle fluttuazioni del vuoto (che noncambiano nel tempo) e, per questo, si parla di energia del vuoto.

Alcune misure sull’anisotropia della radiazione cosmica di fondo indicano che ladensita di energia del vuoto, ΩΛ ' 0.75, sia tale da ottenere l’energia critica: ΩT ' 1.L’origine della materia oscura e dell’energia del vuoto sono tuttora misteriosi e sonooggetto di un intenso lavoro di ricerca teorica e sperimentale per trovare spiegazione.

3.10.4 Il modello del Big-Bang

Sulla base dell’informazione disponibile, si cerca di andare indietro nel tempo e ri-costruire le fasi dell’espansione dell’Universo. Trascuriamo la fase esplosiva iniziale equella immediatamente successiva che sono di difficile rappresentazione. L’Universoe inizialmente dominato dalla radiazione e per t→ 0 la densita di energia aumenta∼ T 4 e, per questo, si parla di Hot Big Bang. A temperatura kT maggiore dellamassa delle particelle, queste – bosoni e fermioni, e le rispettive antiparticelle – sonoin equilibrio con popolazione proporzionale al loro peso statistico di spin e isospin.Anche le particelle fortemente instabili sono mantenute in equilibrio fintanto che iltasso di produzione λp = nσv e maggiore della costante di decadimento λd = 1/τe le reazioni di produzione bilanciano i decadimenti, ad esempio qiqj ↔ W±. Ladensita di energia, dalla relazione (3.66), e

ρ =π2

30(hc)3g(kT )4 g =

∑gB +

7

8

∑gF

e la somma e fatta sui pesi statistici di bosoni e fermioni di massa mc2 > kT .Dall’equazione (3.64) si ha il tempo di espansione

t =

(3c2

32πGρ

)1/2

=

(90c2(hc)3

32π3G

)1/21

g1/2(kT )2=

1

g1/2

(1.55 MeV

kT

)2

s

che dipende, oltre ∼ T−2, anche dal numero di particelle in equilibrio con la radi-azione. A temperatura kT compresa tra la massa del protone e ΛQCD ∼ 200 MeVsi ha una importante transizione da una fase in cui quark e gluoni sono liberi allacondensazione in adroni. Prima della transizione si ha

γ gluoni gB quark u+ d e µ ν gF2 2× 8 18 3× 8 4 4 6 38 g = 205/4

421

Dopo la transizione il numero di stati si e ridotto a 1/3

γ gB e µ ν gF2 2 4 4 6 14 g = 57/4

A temperatura kT ' 200 MeV , si sono formati protoni e neutroni, che non sonorelativistici, il tempo di espansione e t ' 20 µs, i pioni decadono mentre i muoniiniziano a decadere. Barioni e antibarioni dovrebbero avere la stessa densita, unpo’ piu bassa della densita dei fotoni perche inizia a diminuire piu rapidamente∼ emc

2/kT . A questa temperatura la reazione γγ ↔ pp (nn) non e piu all’equilibrio esi ha solo l’annichilazione nucleone-antinucleone che avviene fintanto che nσppvpp >1/t. Quando la densita di nucleoni e divenuta troppo piccola l’annichilazione siarresta. Secondo stime basate sulla legge di espansione e sulla sezione d’urto diannichilazione, a temperatura kT ∼ 10 MeV si ha nb/nγ = nb/nγ ' 10−18, equesto valore si dovrebbe conservare fino a oggi. Ma oggi non si osserva presenzadi antibarioni nell’Universo e il rapporto di densita nb/nγ misurato (3.67) e diversoper un fattore ∼ 109! Quindi si deve supporre che la scomparsa dell’antimateriasia dovuta a fenomeni avvenuti a temperatura molto piu elevata e che coinvolganoquark e antiquark. Le condizioni necessarie per la scomparsa dell’antimateria sonostate enunciate da Andrej Sakharov nel 1966 e sono:

• l’intervento di un’interazione che non conserva il numero barionico;

• questa interazione agisce in condizioni di non equilibrio termico;

• la violazione delle simmetrie C e CP.

Quando l’Universo ha raggiunto la temperatura kT ' 10 MeV , la densita di barionisi e stabilizzata, le particelle leggere (γ, e+, e−, ν, ν) sono in equilibrio termico conpesi statistici gB = 2, gF = 10, g = 43/4, il tempo di espansione e t ' 7 ms, protonie neutroni (τn = 980 s) sono stabili e hanno la stessa molteplicita.

3.10.5 La nucleosintesi primordiale

La terza importante osservazione quatitativa in supporto al modello del Big Bange la misura dell’abbondanza di nuclei leggeri presenti nell’Universo. Infatti a tem-peratura piu bassa, nei minuti successivi, si verificano le condizioni per la fusione diprotoni e neutroni a formare i nuclei leggeri, Deuterio, Elio, . . . , e le abbondanze rel-ative prodotte in questa fase sono rimaste invariate fino all’inizio della nucleosintesinelle stelle (capitolo 2.8).

Fintanto che la tempertura e maggiore della differenza di massa tra neutrone eprotone, ∆m = 1.29 MeV , e della massa dell’elettrone, 0.51 MeV , le reazioni

γγ ↔ e+e− νeνe ↔ e+e− νep↔ e+n νen↔ e−p

mantengono l’equilibrio tra le diverse specie di particelle. I neutroni non hannoancora il tempo di decadere, e protone e neutrone non hanno modo di fondere a

422

formare il Deuterio perche questo, non appena formato con la reazione pd → 2Hγviene immediatamente scisso con la reazione inversa dato che nγ nb.

A temperatura kT = 1MeV , la sezione d’urto dei neutrini e σν ' G2F (hc)2E2

ν/π '10−47 m2 (capitolo 2.7) e la densita dei neutrini e nν = 1.2 1037 m−3 per specie. Lavelocita di interazione, nνσνc ' 0.1 s−1, e ormai minore dell’inverso del tempo diespansione, t ' 1 s. A questo punto i neutrini νe si disaccoppiano e, data la piccolasezione d’urto, non interagiranno piu col resto dell’Universo (i neutrini νµ e ντ sisono disaccoppiati da tempo).

A temperatura kT < mec2 la densita di elettroni e positroni inizia a diminuire

rispetto a quella dei fotoni. Come nel caso dei barioni, c’e un piccolo eccesso dielettroni e l’annichilazione e+e− → γγ consuma il resto dei positroni. QuandokT ' 20 keV il numero di elettroni si e stabilizzato e non cambiera piu. Durantequesta fase, per effetto dell’annichilazione, la densita di fotoni non e diminuita ∼ T 4,ma piu lentamente. Nella trasformazione si conserva la densita di entropia, s =ρ+p/3T

= 4ρ3T

, fintanto che e+, e−, γ, sono in equilibrio. Se T1 e T2 sono le temperatureiniziale e finale:

g1T31 = g2T

32

(T2

T1

)3

=2 + 4× 7/8

2=

11

4

Quindi Tγ e maggiore della temperatura dei neutrini, Tν , e il rapporto si e mantenutodurante l’espansione fino ad oggi se i neutrini hanno massa nulla, e oggi dovremmoosservare Tν = (4/11)1/3 2.725 K = 1.95 K.

I neutrini si disaccoppiano dai nucleoni quando kT ' 0.9 MeV e t ' 1 s, ilrapporto tra neutroni e protoni e n0

n/n0p = e−∆m/kT ' 0.24 e i neutroni iniziano a

decadere n → pe−ν con vita media τ = 890 s. Al tempo t si ha nn(t) = n0ne−t/τ ,

np(t) = n0p + n0

n(1− e−t/τ ) e il rapporto cambia

nn(t)

np(t)=

0.24 e−t/τ

1.24− 0.24 e−t/τ

La reazione pn→ 2Hγ e esotermica con Q = 2.23 MeV , l’energia media dei fotonie diventata molto minore di Q, ma la formazione del Deuterio e ritardata perchenγ nb. I rapporti delle densita di p, n, 2H e γ si stabilizzano quando la densitadei fotoni non e piu sufficiente a produrre la fotodisintegrazione γ2H → np; perkT ' 0.05 MeV e t ' 400 s si e formata una piccola quantita di 2H e ora ilrapporto e

r =nnnp

= 0.14

Una volta formato, il Deuterio partecipa alle reazioni di fusione

p 2H → 3He γ Q = 5.5 n 3He→ 4He γ Q = 20.6 MeVn 2H → 3H γ Q = 6.3 p 3H → 4He γ Q = 19.8 MeV

Tutte queste reazioni sono fortemente esotermiche, Q kT , e procedono in tempimolto brevi solo nel verso →. Si formano l’Elio e piccole quantita di 2H, 3He, 3H

423

che poi decadra in 3He. Con un rapporto r di 2 neutroni ogni 14 protoni, il rapportonHe/nH e 1/12 (= r/2

1−r ). La frazione di massa di Elio formata (mHe ' 4mH) e

Y =4nHe

nH + 4nHe=

2r

1 + r= 0.25

Non si formano nuclei con A = 5, ma piccolissime quantita di 6Li, 7Li, e 7Be(fortemente instabile), poi la nucleosintesi non puo avanzare perche le densita dinuclei con A = 6–7 e troppo piccola e il nucleo 8Be non si forma nella fusione4He4He.

Le abbondanze relative dei nuclei leggeri formati in questa fase di evoluzionedell’Universo dipende dal rapporto nb/nγ e si e mantenuta costante fin quando,molto tempo dopo, e iniziata la nucleosintesi nelle stelle che pero ha variato di pocoi rapporti. Le misure forniscono oggi questi risultati

Y = 0.25± 0.012H

H= (2.8± 0.3) 10−5

7Li

H= (1.7+1.0

−0.1) 10−10

La Fig. 3.113 mostra il confronto tra questi risultati e la previsione del modello delBig Bang in funzione del rapporto nb/nγ. Le abbondanze relative sono in buon ac-cordo con il valore nb/nγ = (0.56±0.5) 10−9 che si ottiene da misure della radiazionecosmica di fondo.

0 . 2 0

0 . 2 1

0 . 2 2

0 . 2 3

0 . 2 4

0 . 2 5

0 . 2 6

0 . 2 7

0 . 2 8

1 0- 1 1

1 0- 1 0

1 0- 9

1 0- 8

1 0- 7

1 0- 6

1 0- 5

1 0- 4

1 0- 3

1 0- 1 0 1 0- 9

7Li/H

3He/H

D/H

Y

nb/ngamma

Figure 3.113: Previsione del modello del Big Bang per il rapporto Y di Elio/Idrogeno(scala a sinistra) e di altri nuclei leggeri (scala a destra) in funzione di nb/nγ.

La materia neutra

Protoni, nuclei leggeri ed elettroni sono rimasti sotto forma di plasma in equilibriocon la radiazione fintanto che l’energia termica si e mantenuta maggiore dell’energiadi ionizzazione. Per kT < 1 eV inizia la formazione degli atomi che procede lenta-mente perche nb nγ; al tempo t ' 106 anni, si sono formati gli atomi, la materia

424

barionica dell’Universo e costituita per 3/4 di Idrogeno, 1/4 di Elio e una piccolafrazione di Deuterio, Elio3, . . . , ed e divenuta trasparente alla radiazione γ. Questa,che ha kT ' 0.1 eV , continua a raffreddarsi ∼ T 4, ed e la stessa che si osserva dopo13 miliardi di anni come radiazione cosmica di fondo con kT = 0.23 meV .

Da questo momento inizia l’epoca della materia che e neutra e non interagiscepiu con la radiazione, e si raffredda ∼ T 3. Ma ha memoria di alcune fluttuazionidi densita formatesi nella prima fase di espansione; inizia a lavorare la gravitazioneche che sulla base di queste fluttuazioni di densita, forma le galassie e gli ammassi.

La Fig. 3.114 mostra l’andamento della densita di energia in funzione del tempoda 1 microsecondo dopo il Big Bang, quando si sono formati gli adroni, a t0 = oggi.La tabella riassume alcune tappe importanti della storia.

t kT ρ (GeV/m3)1 µs 1 GeV 1047 quark+gluoni→ adroni1 s 1 MeV 1035 ν si disaccoppiano, e+ annichilano5 minuti 50 keV 1029 si formano i nuclei leggeri0.4M anni 0.3 eV 109 si formano gli atomi, γ si disaccoppiano100M anni 10 meV 105 si formano le galassie13G anni 0.2 meV 1 oggi

- 2 0

- 1 0

0 . 0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

- 1 0 - 5 0 5 1 0 1 5 2 0

log

ener

gy d

ensi

ty

(GeV

/m3 )

log time (s)

radiation

matter

vacuum

hadronsnucleosynthesis recombination today

Figure 3.114: Densita di energia della radiazione, materia e vuoto in funzione deltempo di espansione dell’Universo.

425

Chapter 4

Appendici

4.1 Radiazione del corpo nero

Un corpo in equilibrio termico a temperatura T irraggia energia, la radiazione ha unospettro di frequenza continuo che dipende solo dalla frequenza e dalla temperaturae non dalla forma ne dal materiale. La potenza emessa per unita di frequenzadall’elemento di superficie dS nell’angolo solido dΩ che forma un angolo θ rispettoalla normale alla superficie (Fig. 4.1) e

d3W =e(ν, T )

πcos θdSdΩdν

dove e(ν, T ) e il potere emissivo specifico [J m−2]. Questo e pari alla potenza irrag-giata in un emisfero per unita di superficie e per unita di frequenza

d2W

dSdν=e(ν, T )

π

∫ 1

0

∫ 2π

0cos θd cos θdφ = e(ν, T )

Se il corpo e esposto a radiazione, parte di questa sara riflessa o diffusa e l’altra

Figure 4.1: Radiazione emessa da una superficie

parte sara assorbita. La frazione di energia assorbita, a(ν, T ), e il potere assorbentespecifico ed e una quantita adimensionale. La legge di Kirchhoff, del 1859, stabilisce

426

che il rapporto tra il potere emissivo e il potere assorbente di un corpo e una funzioneuniversale di frequenza e temperatura, questa e il potere emissivo del corpo nero

e(ν, T )

a(ν, T )= eo(ν, T )

Il corpo nero ha potere assorbente specifico unitario per ogni frequenza, a(ν, T ) = 1.Per provare questa legge, Kirchhoff considero due superfici inizialmente alla stessatemperatura T . Se il rapporto tra potere emissivo e potere assorbente fosse diversoper le due superfici, si stabilirebbe un passaggio di energia da una all’altra e questeacquisterebbero temperature diverse. Con queste due sorgenti si potrebbe realiz-zare una macchina termica capace di convertire energia termica in lavoro senza altricambiamenti del sistema, in contraddizione con il secondo principio della termodi-namica.

Per realizzare una sorgente che rappresenti un corpo nero, Gustav Kirchhoffconsidero una cavita mantenuta a temperatura T in cui e praticato un foro piccolorispetto alla superficie della cavita. La radiazione che penetra all’interno della cavitaattraverso il foro ha una piccola probabilita di uscire dal foro e, anche se le paretiinterne non sono molto assorbenti, sara totalmente assorbita dopo riflessioni multipleall’interno.

Le misure fatte da Otto Lummer e altri nel 1898 sul potere emissivo di cavitaconfermarono le previsioni basate sulla trattazione della radiazione come un fluidotermodinamico e, in particolare che

• lo spettro emissivo del corpo nero a temperatura T e una funzione universale,indipendente dal materiale, che tende a zero per ν → 0 e per ν →∞;

• il rapporto tra la frequenza per cui si ha il massimo dello spettro e la temper-atura del corpo e una costante (legge dello spostamento di Wien)

νmaxT

= costante

• l’energia totale irraggiata e proporzionale alla quarta potenza della temper-atura (legge di Stefan-Boltzmann)

Il potere emissivo di una cavita, la quantita che si misura negli esperimenti, e pro-porzionale alla densita di energia per unita di volume e per unita di frequenza,quantita che si puo calcolare in base a considerazioni di termodinamica. Conside-riamo una superficie chiusa (Fig. 4.1); la potenza irraggiata per unita di frequenzadall’elemento di superficie dS e

d3W

dν=eo(ν, T )

πcos θdSdΩ

Questa si propaga con velocita c all’interno della cavita; l’energia contenuta nell’elementodi volume dV e

d4E

dν=d3W

dνdt =

eo(ν, T )

πcos θdSdΩ

dr

c

427

L’elemento di volume all’interno della cavita e dV = r2drdΩ = dS cos θdr

d3E

dν=eo(ν, T )

π

dV

cdΩ

Integrando sull’angolo solido otteniamo la densita di energia specifica

u(ν, T ) =d2E

dV dν=

4

ceo(ν, T )

Trattando la radiazione all’interno della cavita come un fluido termodinamico, Wil-helm Wien ottenne nel 1894 una relazione funzionale per la densita di energia speci-fica

u(ν, T ) = ν3F (ν/T )

dove F (ν/T ) e una funzione universale che dipende solo dal rapporto tra frequenzae temperatura. Integrando lo spettro si ottiene la legge di Stefan-Boltzmann

U(T ) =∫ ∞

0u(ν, T )dν =

∫ ∞

0ν3F (ν/T )dν = T 4

∫ ∞

0x3F (x)dx = costante× T 4

con x = ν/T . Introducendo la formula di Planck della densita di energia per unitadi frequenza

e(ν, T ) =c

4

8π

c3

hν3

ehν/kT − 1∫e(ν, T )dν =

2π(kT )4

h3c2

∫ x3dx

ex − 1=

(kT )4

4π2h3c2

π4

15= σT 4

si ottiene il valore della costante di Stefan-Boltzmann

σ =π2k4

60h3c2= 5.67 10−8 Wm−2K−4

Calcolando il massimo dello spettro, νmax, si ottiene la legge dello spostamento diWien

d

dνu(ν, T ) = x2T 2 [3F (x) + xF ′(x)] = 0

infatti la soluzione dell’equazione differenziale, se esiste, si ha per xmax = costante

νmaxT

= 5.9 1010 s−1K−1

4.2 Richiami di relativita ristretta

4.2.1 Il principio di relativita

Consideriamo due sistemi di riferimento in moto relativo con velocita costante esupponiamo per semplicita che le terne di assi siano parallele. L’osservatore O ein quiete nel riferimento ~x = (x, y, z). L’osservatore O′ e in quiete nel riferimento~x′ = (x′, y′, z′) e si muove con velocita ~u = (u, 0, 0) rispetto all’osservatore O. La

428

relativita galileiana assume che il tempo sia lo stesso per i due osservatori t′ = t. Leleggi di trasformazione sono, per le coordinate

x′ = x− ut y′ = y z′ = z

per le componenti della velocita

~v′ =d~x′

dt′=d~x′

dtv′x = vx − u v′y = vy v′z = vz

e per l’accelerazione

~a′ =d~v′

dt′=d~v′

dt= ~a = invariante

Quindi, se la massa (il coefficiente di inerzia al moto) non dipende dal sistema diriferimento le leggi della meccanica sono valide in qualunque riferimento inerziale.

Le leggi dell’elettromagnetismo prevedono che l’evoluzione temporale delle com-ponenti del campo elettromagnetico nel vuoto soddisfi l’equazione di d’Alembert

∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2+∂2φ

∂z2=

1

c2

∂2φ

∂t2c =

1√εoµo

che non e invariante per trasformazioni di Galileo. D’altra parte, il principio di rel-ativita deve essere valido sia per le leggi della meccanica che per quelle dell’elettromagnetismo, a meno che non si assuma ad hoc che esista un mezzo in cui si propaganole onde elettromagnetiche con velocita c solidale con un sistema di riferimento privile-giato, l’etere. L’esperimento fatto da Albert Michelson e Edward Morley nel 1887 hadimostrato che la velocita della luce e indipendente dal moto relativo tra la sorgentee l’osservatore e che cioe non esiste un sistema di riferimento privilegiato, l’ipoteticoetere in cui si propagano le onde elettromagnetiche. Rimangono quindi due ipotesipossibili perche sia le leggi della meccanica che quelle dell’elettromagnetismo rispet-tino il principio di relativita

• le leggi della meccanica non sono formulate in modo corretto;

• le leggi dell’elettromagnetismo non sono formulate in modo corretto.

Il Principio di Relativita enunciato da Albert Einstein nel 1905 prevede che

• le leggi della fisica (meccanica e elettromagnetismo) sono le stesse in ogniriferimento inerziale;

• la velocita della luce nel vuoto, c = 1√ε0µ0

, e un proprieta del vuoto ed e la

stessa in ogni riferimento inerziale.

Le conseguenze dell’enunciato sono

• il tempo non e invariante;

• la relativita galileiana e le leggi della meccanica newtoniana non sono formulatein modo corretto, ma sono valide solo nell’approssimazione u/c 1.

429

4.2.2 Le trasformazioni di Lorentz

Le leggi di trasformazione dello spazio-tempo che soddisfano il principio di rela-tivita di Einstein sono state ricavate da Hendrik Lorentz 1 nel 1890 per assicu-rare l’invarianza delle leggi dell’elettromagnetismo. Per rispettare l’isotropia dellospazio-tempo, cioe l’equivalenza di tutti i sistemi di riferimento inerziali, le leggi ditrasformazione devono essere lineari nelle quattro coordinate

x′ = a11x+ a12y + a13z + a14ty′ = a21x+ a22y + a23z + a24tz′ = a31x+ a32y + a33z + a34tt′ = a41x+ a42y + a43z + a44t

Facendo riferimento alla Fig. 4.2 si ha a21 = a23 = a24 = 0; a31 = a32 = a34 = 0;a22 = a33 = 1; e, per simmetria del moto lungo gli assi x − x′, a12 = a13 = a42 =a43 = 0. Senza perdere di generalita, le trasformazioni diventano

x′ = a11x+ a14ty′ = yz′ = zt′ = a41x+ a44t

Inoltre, poiche quando x′ = 0 si ha x = ut per ogni valore di t, risulta a14 = −ua11.

x

y

z

x'

y'

z'

O O'

u

t t'

Figure 4.2: Due riferimenti inerziali in moto relativo

Le relazioni tra gli altri parametri liberi si ottengono imponendo che la velocita dipropagazione della luce sia la stessa nei due riferimenti

x2 + y2 + z2 = c2t2 x′2 + y′2 + z′2 = c2t′2

a211 − c2a2

41 = 1 c2a244 − u2a2

11 = c2 c2a41a44 + ua211 = 0

Da cui si ottiene:

a11 = a44 = ± 1√1− (u/c)2

a41 = ∓ u/c2

√1− (u/c)2


430

Quindi, introducendo i parametri β = u/c, γ = 1/√

1− β2, e fissando la direzione(±) del moto di x′ rispetto a x, si ha

x′ = γ(x− βct)y′ = yz′ = zt′ = γ(−βx/c+ t)

Definendo il quadrivettore posizione, X = (x, y, z, ct) = (~x, ct), la trasformazione diLorentz e X ′ = L(β) ·X

x′

y′

z′

ct′

=

γ 0 0 −βγ0 1 0 00 0 1 0−βγ 0 0 γ

·

xyzct

=

γx− βγctyz

−βγx+ γct

La matrice di trasformazione L(β) ha determinante unitario, det(L) = γ2 − β2γ2 =1 , cioe una trasformazione di Lorentz e una rotazione nello spazio-tempo. Per latrasformazione inversa si ha X = L−1(β) ·X ′, con L−1(β) = L(−β)

xyzct

=

γ 0 0 βγ0 1 0 00 0 1 0βγ 0 0 γ

·

x′

y′

z′

ct′

=

γx′ + βγct′

y′

z′

βγx′ + γct′

Nell’approssimazione non relativistica, u c, β 1, γ = 1 + β2/2 + . . ., al primoordine in β si ha:

x′ = (1 + β2/2 + . . .)x− β(1 + β2/2 + . . .)ct = x− βct+ . . . ≈ x− ut

t′ = −(β/c)(1 + β2/2 + . . .)x+ (1 + β2/2 + . . .)t = t− β2x/u ≈ t

Alcune conseguenze delle trasformazioni di Lorentz sulle misure di distanze e inter-valli di tempo sono:

• Contrazione delle distanze. L’osservatore O′ misura la distanza tra due puntid0 = x′2 − x′1. Questa si trasforma: x′2 − x′1 = γ(x2 − x1) − βγc(t2 − t1).L’osservatore O misura le posizioni corrispondenti x2, x1 allo stesso istantet2 = t1: quindi misura la distanza d = x2 − x1 = d0/γ.

• Dilatazione degli intervalli di tempo. L’osservatore O′ misura l’intervallo tradue istanti: T0 = t′2 − t′1 nello stesso punto x′2 = x′1. L’osservatore O misural’intervallo di tempo T = (βγ/c)(x′2 − x′1) + γ(t′2 − t′1) = γT0. Quindi gliintervalli di tempo non sono invarianti. L’intervallo di tempo misurato nelsistema di quiete e chiamato intervallo di tempo proprio: dt0 = dt/γ.

431

4.2.3 Quadrivettori

Le trasformazioni di Lorentz assicurano che la relazione ∆x2 + ∆y2 + ∆z2 = c2∆t2

sia valida in ogni sistema di riferimento, ovvero

c2∆t2 −∆x2 −∆y2 −∆y2 = invariante

Se consideriamo il quadrivettore posizione X = (x, y, z, ct), l’indipendenza dellavelocita della luce dal sistema di riferimento corrisponde all’invarianza del prodottoscalare tra quadrivettori posizione definendo il tensore metrico

gαβ =

−1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1

L’invarianza per trasformazioni di Lorentz implica che il prodotto scalare di duequadrivettori e invariante

• se X, Y , sono due quadrivettori definiti nel riferimento dell’osservatore Oe X ′ = L(β)X, Y ′ = L(β)Y i quadrivettori corrispondenti nel riferimentodell’osservatore O′ di componenti

x′α = ΣγLαγxγ y′β = ΣδLβδyδ

il prodotto scalare e

X ′ · Y ′ = Σαβx′αgαβy

′β = Σαβ ΣγLαγgαβ ΣδLβδyδ =

= ΣγΣδxγ(ΣαβLαγgαβLβδ)yδ = Σγδxγgγδyδ = X · Y

Nello spazio-tempo (~x, ct) l’ipercono X2 = c2t2 − ~x2 = 0, x = ±ct, detto cono diluce, definisce tre zone (Fig. 4.3):

x

ct

presente

presente

futuropassato

Figure 4.3: Cono di luce

432

• nella la zona X2 < 0 due eventi dello spazio-tempo possono essere contempo-ranei: questa zona rapresenta quindi il presente. Quadrivettori con V 2 < 0sono definiti di tipo spazio;

• due eventi nella la zona X2 > 0 non possono essere contemporanei. Quadriv-ettori con V 2 > 0 sono definiti di tipo tempo;

• la zona t > 0 rappresenta il futuro;

• la zona t < 0 rappresenta il passato.

4.2.4 Trasformazione della velocita

Se un corpo ha velocita ~v′ = d~x′/dt′ nel riferimento dell’osservatore O′ e questo simuove con velocita ~u rispetto al riferimento dell’osservatore O, la velocita del corporispetto all’osservatore O ha componenti

vx = dxdt

= dxdt′

dt′

dt=

ddt′ (γx

′+βγct′)ddt′ (βγx

′/c+γt′)= γv′x+βγc

βγv′x/c+γ= v′x+βc

1+βv′x/c

vy = dydt

= dydt′

dt′

dt=

v′yγ(1+βv′x/c)

vz = dzdt

= dzdt′

dt′

dt= v′z

γ(1+βv′x/c)

La trasformazione inversa si ottiene cambiando +β in −β.

4.2.5 Il quadrivettore velocita

Il quadrivettore velocita e definito come la derivata rispetto al tempo proprio delquadrivettore posizione U = dX/dt0 = d(~x,ct)

dt0. Poiche dt0 = dt/γ, si ha

d~x

dt0=d~x

dt

dt

dt0= γ~v

dct

dt0= γc U =

dX

dt0= (γ~v, γc)

Le componenti del quadrivettore velocita si trasformano secondo le trasformazionidi Lorentz, U ′ = L(β) · U e il prodotto scalare di quadrivelocita e invariante.

U ′x = dx′

dt0= d

dt0(γx− βγct′) = γUx − βγU4

U ′y = dy′

dt0= dy

dt0= Uy

U ′z = dz′

dt0= dz

dt0= Uz

U ′4 = dct′

dt0= d

dt0(−βγx+ γct) = −βγUx + γU4

Il modulo della quadri-velocita e chiaramente invariante

U ′2 = U2 = U24 − U2

x − U2y − U2

z = γ2c2 − γ2~v2 = γ2c2(1− β2) = c2

433

4.2.6 Il quadrivettore quantita di moto

In meccanica classica la quantita di moto ~p = m~v = md~x/dt si conserva in unsistema isolato. Poiche la velocita non e invariante, per preservare la conservazionedella quantita di moto occorre supporre che la massa non sia invariante. Se definiamom0 la massa misurata nel riferimento di quiete, la quantita di moto e

~p = m0d~x/dt0 = m0γd~x/dt = γm0~v = m~v

si ha cioe la definizione della meccanica classica se definiamo m = γm0. La massa,il coefficiente di inerzia al moto, aumenta con la velocita. Definiamo il

quadrivettore quantita di moto P = m0U = (m0γ~v,m0γc)

Il modulo della quadri-quantita di moto, o quadri-impulso, e invariante

P 2 = m2c2 − ~p2 = m2(c2 − ~v2) = m20c

2γ2(1− β2) = m20c

2

quindi dP 2 = 2c2mdm−2~p ·d~p = 0. L’energia cinetica e K = ~p2/2m e la variazionedi energia cinetica e

dK = ~p · d~p/m = c2dm K =∫ p

0dK = c2∆m = mc2 −m0c

2

Se interpretiamo m0c2 come energia di riposo, l’energia meccanica totale e pro-

porzionale alla quarta componente del quadri-impulso

E = m0c2 +K = mc2 = γm0c

2

Nel limite non relativistico, β 1, γ = 1 + β2/2 + 3β4/8 + . . .,

E = moc2 +

1

2moβ

2c2

Le componenti del quadrivettore quantita di moto, P = m0U = (~p, E/c), si trasfor-mano secondo le trasformazioni di Lorentz

p′x = γpx − βγE/cp′y = pyp′z = pzE ′/c = −βγpx + γE/c

Per una particella di massa m0 e velocita βc si ha

p = βγm0c E = γm0c2 E2 = (m0c

2)2 + (pc)2

ovvero

β =pc

Eγ =

E

m0c2βγ =

p

m0c

Il valore dell’energia si esprime di solito in eV (o nei multipli: keV , MeV , GeV ,. . . ), quindi e pratica usuale esprimere i valori di massa in MeV/c2 e i valori diquantita di moto in MeV/c. In questo modo si puo omettere c in tutte le relazionitra massa, quantita di moto e energia.

434

4.2.7 Il quadrivettore accelerazione

Il quadrivettore accelerazione e definito come la derivata rispetto al tempo propriodella quadri-velocita

A =dU

dt0≡(d

dt0γ~v,

d

dt0γc

)=

1

m0

dP

dt0

Le componenti della quadri-accelerazione si trasformano secondo le trasformazionidi Lorentz, A′ = L(β) · A. Per trovare le componenti osserviamo che

dγ

dt0= γ

d

dt(1− ~β2)−

12 = γ4~β · d

~β

dt

d~v

dt0= γc

d~β

dt

Le componenti sono

d

dt0γ~v = γ4c

~β · d

~β

dt

~β + γ2c

d~β

dt

d

dt0γc = γ4c~β · d

~β

dt

Il modulo quadro del quadrivettore e

A2 = γ8c2

~β · d

~β

dt

2

− γ8c2

~β · d

~β

dt

2

β2 − 2γ6c2

~β · d

~β

dt

2

β2 − γ4c2

d

~β

dt

2

= γ8c2

~β · d

~β

dt

2

(1− β2)− 2γ6c2

~β · d

~β

dt

2

β2 − γ4c2

d

~β

dt

2

A2 = −γ4c2

γ2

~β · d

~β

dt

2

+

(dβ

dt

)2 = −γ4 [γ2(~v · ~a)2 + ~a2]

Nel limite non relativistico β 1, γ → 1, si ha A2 → −c2(dβdt

)2 = −~a2, e poiche A2

e invariante, il valore dell’accelerazione, a =√−A2, e invariante.

4.2.8 Il quadrivettore forza

Se nel riferimento dell’osservatore O′ agisce la forza ~f ′ su un corpo in moto convelocita ~v′, le componenti della forza ~f nel riferimento O sono (Fig. 4.4)

fx = dpxdt

=ddt′ (γp

′x+βγE′/c)

ddt′ (βγx

′/c+γt′)= f ′x+β ~f ′·~v′/c

1+βv′x/c

fy = dpydt

=f ′y

γ(1+βv′x/c)

fz = dpzdt

= f ′zγ(1+βv′x/c)

e la potenza e

dE

dt=

ddt′

(βγp′xc+ γE ′)ddt′

(βγx′/c+ γt′)~f · ~v =

βcf ′x + ~f ′ · ~v′1 + βv′x/c

435

x

y

z

x'

y'

z'O O'u

t t'

F'

v'

Figure 4.4: Trasformazione delle componenti di una forza

Il quadrivettore forza, definito come derivata rispetto al tempo proprio del quadri-impulso,

F =dP

dt0≡(d~p

dt0,dE/c

dt0

)

si trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz, F ′ = L(β) ·F . Se il corpo e in qui-ete nel riferimento dell’osservatore O′, (~v′ = 0, ~v = ~u), la componente longitudinale,fL = fx, e la componente trasversa, fT = (f 2

y + f 2z )1/2, della forza nel riferimento

dell’osservatore O sonofL = f ′L fT = f ′T/γ

La componente longitudinale della forza rimane invariata, mentre la componentetrasversa si riduce del fattore 1/γ. Poiche dt = γdt′, la componente trasversadell’impulso fTdt e invariante.

Per ricavare la legge di trasformazione delle componenti dei campi elettrici e mag-netici, consideriamo una carica elettrica q in quiete nel riferimento dell’osservatoreO′, (~v′ = 0, ~v = ~u) e soggetta all’azione dei campi ~E e ~B. La forza che agisce sulla

carica e ~f = q( ~E + ~v × ~B). L’invarianza di gauge dell’elettromagnetismo (appen-dice 4.7) assicura che la carica elettrica e invariante. L’osseratore O′ misura una

forza ~f ′ = q( ~E ′ + ~v′ × ~B′). Le componenti del campo elettrico sono:

f ′x = fx ⇒ E ′x = Exf ′y = γfy ⇒ E ′y = γ(Ey − uBz)f ′z = γfz ⇒ E ′z = γ(Ez + uBy)

e, invertendo la relazione, si ha

Ey = γ(E ′y + uB′z) Ez = γ(E ′z − uB′y)

Per le componenti del campo magnetico si ha

B′x = Bx B′y = γ(By + uEz/c2) B′z = γ(Bz − uEy/c2)

Quindi le componenti longitudinali del campo elettrico e del campo magnetico sonoinvariate, la componente trasversa del campo elettrico [magnetico] aumenta del fat-tore γ e dipende anche dal valore del campo magnetico [elettrico] nel riferimento

436

dell’osservatore O

E ′L = EL E ′T = γ(ET + c (~β × ~B)T

)

B′L = BL B′T = γ(BT − 1

c(~β × ~E)T

)

Ad esempio, una carica q produce un campo elettrico a simmetria sferica nel rifer-imento di quiete e il campo magnetico e nullo. Nel riferimento in cui ha velocita ~u(Fig. 4.5) le linee di campo si addensano per la contrazione delle distanze e inoltree presente una corrente elettrica lungo l’asse del moto x, ix = q~u, che produce uncampo magnetico secondo la legge di Biot-Savart.

Analogamente per un dipolo magnetico ~µ. Nel riferimento di quiete vi e il campomagnetico di dipolo e il campo elettrico e nullo. Nel riferimento in cui ha velocita ~u lelinee di campo si addensano e si osserva un campo elettrico indotto dalla variazionedi flusso del campo magnetico.

E E'

B'

u

q

B B'

x E'mu

Figure 4.5: Trasformazione dei campi generati da una carica elettrica e da un dipolomagnetico in moto con velocita ~u

Le trasformazioni delle componenti del campo elettromagnetico sono

B′x = Bx E ′x = ExB′y = γBy + βγEz/c E ′y = γEy − βγcBz

B′z = γBz − βγEy/c E ′z = γEz + βγcBy

ovvero

B′xB′yB′zE ′x/cE ′y/cE ′z/c

=

1 0 0 0 0 00 γ 0 0 0 +βγ0 0 γ 0 −βγ 00 0 0 1 0 00 0 −βγ 0 γ 00 +βγ 0 0 0 γ

Bx

By

Bz

Ex/cEy/cEz/c

437

4.2.9 Il tensore elettromagnetico

Usando la definizione del 4-vettore potenziale elettromagnetico (appendice 4.7), A =

( ~A, V/c) e del 4-gradiente, ∇ = (~∇, ∂/∂ct), che si trasformano

A′α =∑

β

LαβAβ ∂′α =∑

β

Lαβ ∂β

si definisce il tensore elettromagnetico (antisimmetrico) come 4-rotore del 4-potenzialeelettromagnetico, F = ∇×A, con componenti Fαβ = ∂αAβ−∂βAα che si trasformano

F ′αβ =∑

γδ

Lαγ Lβδ Fγδ

Le componenti del tensore elettromagnetico sono

F12 = ∂xAy − ∂yAx = +Bz

F23 = ∂yAz − ∂zAy = +Bx

F13 = ∂xAz − ∂zAx = −By

F41 = ∂4Ax − ∂xA4 = Ex/cF42 = ∂4Ay − ∂yA4 = Ey/cF43 = ∂4Az − ∂zA4 = Ez/c

Fαβ =

0 Bz −By −Ex/c−Bz 0 Bx −Ey/cBy −Bx 0 −Ez/cEx/c Ey/c Ez/c 0

e si trasformano

F ′12 = ∂′xA′y − ∂′yA′x = (γ∂x − βγ∂4)Ay − ∂y(γAx − βγA4) = γF12 − βγF42

F ′13 = ∂′xA′z − ∂′zA′x = (γ∂x − βγ∂4)Az − ∂z(γAx − βγA4) = γF13 − βγF43

F ′23 = ∂′yA′z − ∂′zA′y = ∂yAz − ∂zAy = F23

F ′41 = ∂′4A′x − ∂′xA′4 = (γ∂4 − βγ∂x)(γAx − βγA4)− (γ∂x − βγ∂4)(γA4 − βγAx) =

= (γ2 − β2γ2)(∂4Ax − ∂xA4) = F41

F ′42 = ∂′4A′y − ∂′yA′4 = (γ∂4 − βγ∂x)Ay − ∂y(γA4 − βγAx) = γF42 − βγF12

F ′43 = ∂′4A′z − ∂′zA′4 = (γ∂4 − βγ∂x)Az − ∂z(γA4 − βγAx) = γF43 − βγF13

Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di Lorentz e si scrivonoin modo compatto

~∇ · ~D = ρ ~∇× ~H − ∂ ~D

∂t= ~j ⇒

∑

α

∂αFβα = µ0jβ

~∇ · ~B = 0 ~∇× ~E +∂ ~B

∂t= 0 ⇒

∑

α

εαβγ∂αFβγ = 0

e la densita di energia del campo elettromagnetico, u = 12( ~E · ~D + ~H · ~B), e

1

4

∑

αβ

FαβFαβ =1

2

(E2

c2+B2

)= µ0u

438

4.3 L’esperimento di Michelson e Morley

Se esiste un mezzo in cui si propagano le onde elettromagnetiche, l’etere, un osser-vatore in moto rispetto ad esso deve essere in grado di rivelare l’effetto della velocitarelativa. In particolare, un osservatore sulla Terra si trova in un riferimento chesi muove con velocita media u = 3 104 m s−1 (β = 10−4) attorno al Sole. (Lavelocita di rotazione attorno all’asse terrestre e circa 100 volte piu piccola e quinditrascurabile).

L’esperimento per osservare l’effetto della volicita relativa tra una sorgente el’ipotetico etere fu fatto nel 1887 usando l’interferometro messo a punto da AlbertMichelson 2 (Fig. 4.6). Una sorgente S invia un fascio luminoso la cui intensita ein parte trasmessa e in parte riflessa da una lastra di vetro semi-argentata P cheforma un angolo di 45 con la direzione del fascio. I due fasci percorrono i tratti dilunghezza `1 e `2 e vengono riflessi dagli specchi M1 e M2. Poi il primo fascio vieneriflesso dalla lastra P e il secondo la attraversa di modo che i due fasci raggiungonoil telescopio T dove si osserva l’interferenza. Se `1 = `2 e l’interferometro e in quieterispetto all’etere, i due fasci giungono in fase e l’interferenza e costruttiva.

S

T

S

T

M2

M1MPP

l2

l 1

u

Figure 4.6: Esperimento di Michelson e Morley

Se l’interferometro si muove con velocita u parallela a `1,

• il primo raggio percorre il tratto `1 prima a velocita c+u e poi a velocita c−ue impiega il tempo

t1 =`1

c+ u+

`1

c− u =2`1c

c2 − u2=

2`1

c

1

1− β2= γ2 2`1

c

• il secondo raggio percorre due volte il tratto di lunghezza ` = [`22 + (ut2)2]1/2 a

velocita c; t22 = `2/c2 = `22/c

2 + u2t22/c2; t22(1− β2) = `2/c2; e impiega il tempo

t2 = γ2`2

c


439

Se `1 = `2, la differenza in tempo e

∆t = t1 − t2 =2`

c(γ2 − γ) =

2`

c(1 + β2 + . . .− 1− β2/2− . . .) ' `

cβ2

Nell’esperimento si utilizzava come sorgente una lampada di Sodio che emette luce dilunghezza d’onda λ = 0.59 10−10 m e i bracci dell’interferometro erano lunghi circa10 m. Quindi l’esperimento era sicuramente in grado di misurare una differenzadi fase dovuta al moto rispetto all’etere con velocita β ' 10−4, φ = 2πc∆t/λ =2πβ2`/λ ' 1 rad, ma non fu osservato alcun effetto di interferenza. L’interferometroera flottante su un bagno di mercurio e poteva essere ruotato in ogni direzionerispetto alla velocita u della Terra. In particolare, ruotando di 90 si scambiava iltempo di percorrenza della luce lungo i due bracci.

L’esperimento fu ripetuto con diverse orientazioni dei bracci dell’interferometroe in diversi periodi dell’anno senza mai osservare alcun effetto del moto rispettoall’etere. Alcune ipotesi ad hoc per sotenere l’ipotesi dell’esistenza dell’etere, comequella del trascinamento da parte della Terra oppure della contrazione dei braccidell’interferometro lungo la direzione della velocita u, si dimostrarono infondate.Quindi fu concluso che non esiste un riferimento privilegiato per la propagazionedelle onde elettromagnetiche.

4.4 Il paradosso dei gemelli

Il paradosso dei gemelli e un effetto reale, verificato con precisione in molti es-perimenti. Condideriamo due orologi identici, ad esempio, due particelle instabiliidentiche che hanno vita media τ , e hanno carica elettrica. La prima e ferma nel labo-ratorio, la seconda e vincolata da un campo magnetico a percorrere una circonferenzadi raggio R con velocita angolare costante ω e periodo T (misurato dall’orologio dellaboratorio). Le due particelle si incontrano nello stesso punto dopo ogni periodo,ma per un osservatore nel laboratorio la particella ferma ha vita media τ mentrela particella in moto ha vita media γτ con γ = (1 − ω2R2/c2)−

12 > 1. Quindi la

seconda invecchia piu lentamente della prima. Dopo n giri, la probabilita di so-pravvivenza della particella in quiete e P = e−nT/τ minore di quella della particellain moto P ′ = e−nT/γτ . La simmetria tra due sistemi di riferimento e assicurata sequesti sono inerziali, ma in questo caso il secondo orologio non e in moto rettilineouniforme rispetto al primo e quindi la simmetria non sussiste: da qui il paradosso.

Consideriamo due riferimenti inerziali in moto relativo con velocita costante ~vlungo l’asse x. Rispetto alle quantita misurate dall’osservatore O del primo riferi-mento l’osservatore O′ misura

x′ = γx− βγct ct′ = −βγx+ γct

e la trasformazione e rappresentata nel piano x×ct in Fig. 4.7. La retta x′ = costantee nel cono del futuro, mentre la linea di simultaneita, t′ = costante, e nel cono delpresente. Proiettando sull’asse ct un punto lungo la retta x′ = costante si ottiene

440

che O osserva che i tempi si dilatano per l’osservatore O′. L’effetto e simmetrico sefacciamo la stessa rappresentazione dell’osservatore O che si muove con velocita −~vrispetto all’osservatore O′: x = γx′ + βγct′ , ct = βγx′ + γct′.

x

ct

x - vt

= co

stant

e

ct - vx/c = costante

x = ct

presentefuturo

Figure 4.7: Rappresentazione del moto di O′ visto da O.

Consideriamo ora due gemelli che sincronizzano gli orologi nello stesso punto,x = x′ = 0. Il gemello O rimane fermo, il gemello O′ si muove con velocita costantev1 fino ad un punto a distanza d, qui inverte il moto e torna al punto di partenza convelocita costante v2. Quando si incontrano, se per semplicita assumiamo v2 = −v1, ilprimo gemello ha misurato un intervallo di tempo T = 2d/v, il secondo ha misurato

T ′ =∮dt′ =

∫ dt

γ1

+∫ dt

γ2

=T

γ< T (4.1)

ed e quindi piu giovane.La storia dei gemelli e rappresentata nel piano x×ct in Fig. 4.8. Il gemello O

percorre la linea x = costante = 0. Nel primo tratto, il gemello O′ percorre lalinea x − vt = 0 fino al punto x = d. Qui inverte il moto e percorre la lineax = d − v(t − td) = 2d − vt e incontra il gemello O al tempo 2td = 2d/v. Le lineedi simultaneita durante il moto sono γ(ct − vx/c) = costante nel primo tratto, eγ(ct + vx/c) = costante nel secondo. Quindi nel primo tratto il gemello O′ vede ilgemello O piu giovane, ma nel punto di inversione del moto vi e una discontinuitae O diventa improvvisamente piu vecchio di un intervallo di tempo ∆t. Anche nelsecondo tratto il gemello O′ vede che l’orologio di O scorre piu lentamente, mal’effetto totale al momento dell’incontro e che O risulta piu vecchio.

Il tempo trascorso per l’orologio di O e 2td. Le due linee di simultaneita che siincrociano nel punto di inversione sono

t = td ±v

c2(x− d)

L’intervallo di tempo tra queste due linee per x = 0 e ∆t = 2vd/c2 = 2tdβ2. Ma per

il gemello O′ risulta ∆t′ = 0. Il tempo trascorso per l’orologio di O′ e secondo la

441

d x

ct

tdDt

x

ct

d

td

Figure 4.8: Linee orarie del viaggio andata-ritorno di O′ visto da O.

(4.1) 2t′d = 2td/γ e al momento dell’incontro O′ e piu giovane. Ma il tempo trascorsosenza contare ∆t e 2td − ∆t = 2td(1 − β2) = 2td/γ

2, 2t′d = γ(2td − ∆t) e quindiO′ si immagina che al momento dell’incontro O sia piu giovane mentre invece e piuvecchio.

Quindi l’effetto gemelli e dovuto alla asimmetria tra i due riferimenti, cioe allaaccelerazione del riferimento O′ che, in questo caso, e trattata come una disconti-nuita. Alle stesse conclusioni si arriva se il riferimento O′ e accelerato con continuitacome mostrato in Fig. 4.8 a destra.

4.5 La precessione di Thomas

Il moto di precessione di un vettore in un riferimento rotante e un effetto rela-tivistico: fu calcolato da Llewellyn Thomas nel 1926 e chiarı l’origine del fattore×2 introdotto ad hoc da Goudsmit e Uhlenbeck nel fattore giromagnetico relativoallo spin dell’elettrone. La precessione di Thomas e originata dall’osservazione chedue successive trasformazioni di Lorentz in direzioni diverse equivalgono ad unatraslazione piu una rotazione attorno all’asse normale al piano delle due.

La trasformazione di Lorentz di un generico 4-vettore A rispetto a due riferimentiinerziali in moto relativo con velocita ~β e

A′0 = γA0 − γ~β · ~A~A′ = −γ~βA0 + ~A⊥ + γ ~A‖ = −γ~βA0 + ~A+ (γ − 1)(β · ~A)β

A′0 = γA0 − γ∑k βkAk

A′j = −γβjA0 +∑k

(δjk + γ−1

β2 βjβk)Ak

L(~β) =

γ −γβx −γβy −γβz−γβx 1 + γ−1

β2 β2x

γ−1β2 βxβy

γ−1β2 βxβz

−γβy γ−1β2 βyβx 1 + γ−1

β2 β2y

γ−1β2 βyβz

−γβz γ−1β2 βzβx

γ−1β2 βzβy 1 + γ−1

β2 β2z

442

Per una rotazione attorno all’asse z si ha

L(φ) =

1 0 0 00 cosφ sinφ 00 − sinφ cosφ 00 0 0 1

Consideriamo una trasformazione con velocita ~β lungo l’asse x seguita da una trasfor-mazione con velocita δ~β nel piano x-y. Le trasformazioni del 4-vettore spazio-temposono:

X1 = L(~β)X0 X2 = L(~β + δ~β)X0

per cui si passa da X1 a X2 con la trasformazione

X2 = L(~β + δ~β)L(−~β)X1

Sviluppando al primo ordine in δ~β si ha

δγ = γ3~β · δ~β δγ~β = γδ~β + ~βδγ = γδ~β + γ3(~β · δ~β)~β = γ(1 + γ2β2)δ~β = γ3δ~β

L(~β + δ~β) =

γ + γ2δβx −(γβ + γ3δβx) −γβy 0−(γβ + γ3δβy) γ + γ2δβx

γ−1βδβy 0

−γβy γ−1βδβy 1 0

0 0 0 1

L(−~β) =

γ γβx 0 0γβx γ 0 00 0 1 00 0 0 1

L(~β + δ~β)L(−~β) =

1 −γ2δβx −γδβy 0−γ2δβx 1 γ−1

βδβy 0

−γδβy −γ−1βδβy 1 0

0 0 0 1

Questa e la combinazione di due trasformazioni di Lorentz tra riferimenti inerzialicon velocita δβx e δβy, ma il sistema di riferimento risulta ruotato attorno all’assez di un angolo δφ = γ−1

β2 βδβ. La velocita angolare della precessione di Thomas e

~ωT = limδt→0

γ − 1

β2

~β × δ~βδt

=γ − 1

β2~β × d~β

dt

Per β 1, γ = 1 + β2/2 + . . .

~ωT =1

2~β × d~β

dt=~v × ~a2c2

443

4.6 Cinematica relativistica

Le variabili cinematiche di una particella di massa m, velocita ~v = ~βc e fattore diLorentz γ = (1− β2)−1/2, sono

• impulso: ~p = ~βγmc• energia totale: E = γmc2

• energia cinetica: K = E −mc2 = (γ − 1)mc2

• 4-impulso: P = (~p, E/c)

Il prodotto scalare di 4-vettori, A ·B = A4B4− ~A · ~B, e invariante per trasformazionidi Lorentz, per cui risulta P 2 = E2/c2− p2 = (mc)2. Le variabili mc2, pc, E, hannotutte le stesse dimensioni e quindi nelle relazioni si puo omettere la velocita dellaluce c e usare come unita di misura MeV/c2, MeV/c e MeV .Per una particella: P 2 = E2 − p2 = m2;per due particelle: (P1 + P2)2 = P 2

1 + P 21 + 2P1 · P2 = m2

1 +m22 + 2E1E2 − 2~p1 · ~p2.

4.6.1 Trasformazioni delle variabili

Il riferimento naturale di un sistema di due o piu particelle e quello del centrodi massa in cui ~p =

∑k ~pk = 0. Spesso pero il riferimento dell’osservatore, detto

riferimento del laboratorio, e quello in cui una delle particelle e inizialmente in quiete.Se nel riferimento del laboratorio la particella m e in moto con impulso ~p e laparticella M e in quiete (Fig. 4.9)

lab P1 = (~p, E) P2 = (0,M) P = (~p, E +M)c.m. P ∗1 = (+~p∗, E∗1) P ∗2 = (−~p∗, E∗2) P ∗ = (0, E∗)

E∗ = E∗1 + E∗2 e la massa totale del sistema. Il quadrato dell’energia nel centro di

m M m M

p +p* -p*

bo

lab c.m.

Figure 4.9: Riferimenti del laboratorio e del centro di massa

massa eP 2cm = E∗2 = P 2

lab = m2 +M2 + 2EM

per cui la velocita del centro di massa nel laboratorio β0 e

β0 =p

E +Mγ0 =

E +M

E∗β0γ0 =

p

E∗

con E∗ = (m2 + M2 + 2EM)1/2. La trasformazione di Lorentz dal riferimento dellaboratorio a quello del centro di massa

p∗Lp∗TE∗

=

γ0 0 −β0γ0

0 1 0−β0γ0 0 γ0

pLpTE

444

(in questo caso p = pL, pT = 0) definisce i valori dell’impulso e delle energie inquest’ultimo

p∗1 = γ0p− β0γ0E =(E +M)p

E∗− pE

E∗=Mp

E∗p∗2 = −β0γ0M = −Mp

E∗

E∗1 = −β0γ0p+γ0E = − p2

E∗+

(E +M)E

E∗=ME +m2

E∗E∗2 = γ0M =

ME +M2

E∗

4.6.2 Energia di soglia di una reazione

Nell’urto tra una particella di massa m e energia E e una particella di massaM in quiete nel laboratorio si possono produrre due o piu particelle di massam1,m2,m3, . . . se l’energia E e maggiore della soglia di reazione definita dalla re-lazione

P 2lab ≥

(P 2cm

)min

m2 +M2 + 2EM ≥ (Σkmk)2

perche all’energia di soglia le particelle nello stato finale hanno impulso nullo nelriferimento del centro di massa. L’energia cinetica di soglia della particella m e

m2 +M2 + 2(Kmin +m)M = (Σkmk)2 Kmin =

[(Σkmk)

2 − (m+M)2]/2M

Esempio

L’antiprotone e stato scoperto in urti protone-nucleone producendo la reazionepN → pNpp. Se il nucleone e libero, cioe usando un bersaglio di idrogeno, m =M = 0.94 GeV

Kmin =[(4m)2 − (2m)2

]/2m = 6m = 5.6 GeV

Se il nucleone e legato in un nucleo, allora e soggetto al moto di Fermi con impulsop ≤ pF ' 0.24 GeV . Questo e diretto in modo casuale rispetto alla direzionedi collisione. Il valore minimo [massimo] dell’energia di soglia si ha quando ~pF eantiparallelo [parallelo] a ~p. L’energia del nucleone e EF = (p2

F + m2)1/2. L’energiadi soglia e definita dalla relazione

P 2lab = 2m2 + 2EEF − 2~p · ~pF = 2

(m2 + EEF ± ppF

)≥ 16m2

approssimando EF = m+ p2F/2m+ . . ., p ' E,

EEF ± ppF = E(m± pF + p2F/2m) ≥ 7m2 E ≥ 7M

1± pF/m+ p2F/2m

2

l’energia cinetica minima e K+min = 4.2 GeV , K−min = 7.5 GeV , nei due casi.

445

Esempio

Il valor medio dell’energia della radiazione del fondo cosmico di 2.7 K e 〈Eγ〉 =kT = 8.62 10−5× 2.7 eV = 2.3 10−4 eV . Nell’urto di protoni di raggi cosmici con laradiazione di fondo si possono produrre mesoni π0 di massa mπ = 0.135 GeV con lareazione di fotoproduzione γp→ π0p.

Pγ = (−~pγ, pγ) P = (~p, E) m2p + 2pγE + 2pγp ≥ (mp +mπ)2

E + p ≥ (mp +mπ)2 −m2p

2pγ=

0.27 GeV 2

4.6 10−13 GeV= 5.9 1011 GeV

L’energia di soglia, E = 3 1020 eV , e vicina alla massima energia oggi raggiuntanell’osservazione dei raggi cosmici (Fig. 3.2 del capitolo 3.1).

4.6.3 Urto elastico

Nell’urto elastico tra una particella di massa m e impulso p e una particella dimassa M in quiete nel riferimento del laboratorio si ha una relazione tra l’energia ela direzione delle particelle nello stato finale

P1 = (~p, E) P2 = (0,M) P ′1 = (~p′, E ′) P ′2 = (~p′′, E ′′)

La conservazione di energia e impulso e riassunta nella relazione P1 + P2 = P ′1 + P ′2

(P ′2)2 = M2 = (P1 +P2−P ′1)2 = m2 +M2 +m2 + 2EM − 2EE ′+ 2pp′ cos θ− 2E ′M

dove θ e l’angolo di scattering della particella m nel riferimento del laboratorio

EE ′ − pp′ cos θ + E ′M = EM +m2

Se E m, E ′ m, cioe p ' E, p′ ' E ′,

E ′[E(1− cos θ) +M ] = EM E ′ =E

1 + (E/M)(1− cos θ)

Questo si applica sicuramente allo scattering di un fotone (m = 0) di energia E = hνe impulso p = hν/c

ν ′ =ν

1 + (hν/Mc2)(1− cos θ)λ′ = λ+

h

Mc(1− cos θ)

Quest’ultima e la relazione dell’effetto Compton, γe → γe, e λe = h/mec =2.4 10−10 cm e la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone.

446

Figure 4.10: Collisione tra una particella di massa M e impulso ~p e una particelladi massa m in quiete

4.6.4 Energia trasferita in una collisione

Consideriamo la collisione tra una particella di massa M e impulso ~p (p = βγM) euna particella di massa m in quiete. Se ~p1 e ~p2 sono gli impulsi dopo la collisione,si ha: E +m = E1 + E2; ~p = ~p1 + ~p2. La particella di massa m e emessa ad angolopolare θ con energia E2 (Fig. 4.10)

E1 = E +m− E2 = [M2 + p21]1/2 = [M2 + (~p− ~p2)2]1/2

E2 +m2 + E22 + 2mE − 2EE2 − 2mE2 = M2 + p2 + p2

2 − 2pp2 cos θ

sostituendo E2 = M2 + p2 e E22 = m2 + p2

2;

(E +m)2E22 − 2m(E +m)2E2 +m2(E +m)2 = p2E2

2 cos2 θ −m2p2 cos2 θ

[(E +m)2 − p2 cos2 θ]E22 − 2m(E +m)2E2 +m2[(E +m)2 + p2 cos2 θ] = 0

la soluzione dell’equazione e

E2 = m(E +m)2 + p2 cos2 θ

(E +m)2 − p2 cos2 θ

L’energia trasferita e massima per cos θ = 1

Emax2 = m

(E +m)2 + p2

(E +m)2 − p2= m+

2mp2

m2 + 2mE +M2

dove di solito si indica con s il quadrato dell’energia nel centro di massa, s =m2 + 2mE +M2. L’energia cinetica massima trasferita e

Kmax2 =

2mp2

m2 + 2mE +M2

Se M m, come nel caso di collisioni di particelle con gli elettroni atomici, si ha

• per E M2/2m

Kmax2 =

2mp2

2mE +M2' 2mp2

M2= 2mβ2γ2

• per E M2/2m, quasi tutta l’energia E viene trasferita alla particella dimassa m

Kmax2 ' 2mp2

2mE= β2E

447

4.6.5 Decadimento

L’esempio piu semplice e il decadimento in due particelle M → m1m2. Nel riferi-mento della particella M

P = (0,M) P1 = (+~p∗, E∗1) P2 = (−~p∗, E∗2)

M2 = m21 +m2

2 + 2E∗1E∗2 + 2p∗2

M2 −m21 −m2

2 − 2p∗2 = 2(m21 + p∗2)1/2(m2

2 + p∗2)1/2

(M2 −m21 −m2

2)2 − 4(M2 −m21 −m2

2)p∗2 + 4p∗4 = 4m21m

22 + 4(m2

1 +m22)p∗2 + 4p∗4

(M2 −m21 −m2

2)2 − 4m21m

22 = 4M2p∗2

Nel centro di massa le due particelle hanno impulso

p∗ =[(M2 −m2

1 −m22)2 − 4m2

1m22]1/2

2M

e energia

E∗1 = (m21 + p∗2)1/2 =

M2 +m21 −m2

2

2ME∗2 = (m2

2 + p∗2)1/2 =M2 −m2

1 +m22

2M

Se nel laboratorio la particella M ha impulso ~p, gli impulsi delle due particelle sonodefiniti dalla trasformazione di Lorentz con β = p/E, βγ = p/M (Fig. 4.11)

q*

p-q*

p*

p*

p1

p2

q1

q2

pb = p/E

c.m. lab

Figure 4.11: Decadimento M → m1m2 nel riferimento del centro di massa e dellaboratorio

p1 cos θ1 = γp∗ cos θ∗ + βγE∗1 p2 cos θ2 = −γp∗ cos θ∗ + βγE∗2p1 sin θ1 = p∗ sin θ∗ p2 sin θ2 = p∗ sin θ∗

E1 = βγp∗ cos θ∗ + γE∗1 E2 = −βγp∗ cos θ∗ + γE∗2

L’angolo di emissione rispetto alla linea di volo della particella M e

tan θk =p∗ sin θ∗

±γp∗ cos θ∗ + βγE∗k=

sin θ∗

γ(± cos θ∗ + β/β∗k)

con β∗1 = p∗/E∗1 , β∗2 = p∗/E∗2 . Quindi, se β∗k < β si ha θk > 0 e la particellak e emessa nell’emisfero in avanti per qualunque valore di θ∗. Il valore massimodell’angolo θ si ha quando d tan θ/dθ∗ = 0

d tan θ

dθ∗=

1 + cos θ∗β/β∗

γ(cos θ∗ + β/β∗k)2

= 0 cos θ∗ = −β∗

β

448

tan θmax =[1− (β∗/β)2]1/2

γ(β/β∗ − β∗/β)=

1

γ[(β/β∗)2 − 1]1/2

L’angolo θ = θ1 + θ2 tra le due particelle si ottiene dalla relazione

P 2 = m21 +m2

2 + 2E1E2 − 2p1p2 cos θ = M2

cos θ =m2

1 +m22 + 2E1E2 −M2

2p1p2

Nel limite Ek mk, cioe pk ' Ek, si ha

2E1E2(1−cos θ) = 4E1E2 sin2 θ/2 = M2−m21−m2

2 sin θ/2 =(M2 −m2

1 −m22)1/2

2(E1E2)1/2

L’angolo minimo di apertura si ha quando E1 = E2.

Massa invariante

La massa di una particella che decade M → m1 + m2 + m3 + . . . si determinamisurando l’impulso ~pk e la massa mk di tutte le particelle prodotte (o facendoipotesi sul valore delle masse)

P 2 = M2 = (ΣkPk)2 = (ΣkEk)

2 − (Σk~pk)2

Nel caso di due particelle

M2 = (E1 + E2)2 − (~p1 + ~p2)2 = m21 +m2

2 + 2E1E2 − 2p1p2 cos θ

Se Ek mk la relazione si semplifica

M2 = m21 +m2

2 + 2p1p2(1− cos θ) M2 −m21 −m2

2 = 4p1p2 sin2 θ/2

Differenziando questa relazione si ha

dM2 = 2MdM = 4p1p2 sin2 θ/2

(dp1

p1

+dp1

p1

+dθ

tan θ

)

Se δp e δθ sono gli errori con cui si misurano gli impulsi e l’angolo, e gli errori nonsono correlati, la risoluzione nella misura della massa e

δM

M=M2 −m2

1 −m22

2M2

(δp1

p1

)2

+

(δp2

p2

)2

+

(δθ

tan θ

)2

1/2

Vita media

Una particella di massa m e vita media τ decade con funzione di distribuzione

dn

dt=e−t/τ

τdove t e il tempo proprio. Se nel riferimento del laboratorio ha velocita βc, la funzionedi distribuzione nello spazio si ottiene con la trasformazione x = βcγt

dn

dx=dn

dt

dt

dx=e−x/λ

λλ e la lunghezza media di decadimento λ = βcγτ = p

mccτ

449

4.7 Richiami di elettromagnetismo

In presenza di densita di carica ρ(~r, t) e di densita di corrente ~j(~r, t), le equazioni diMaxwell che descrivono i campi sono

~∇ · ~D = ρ ~∇ · ~B = 0 ~D = εo ~E + ~P

~∇× ~E = −∂~B

∂t~∇× ~H = ~j +

∂ ~D

∂t~B = µo ~H + ~M

dove ~P e ~M sono i momenti di dipolo elettrico e magnetico per unita di volume. Laconservazione della carica elettrica e espressa dall’equazione di continuita

~∇ ·~j +∂ρ

∂t= 0

La forza che agisce su una carica q in moto con velocita ~v e ~F = q( ~E + ~v × ~B) eil lavoro fatto dal campo nell’unita di tempo, la potenza dissipata in effetto Joule,e W = q~v · ~E. Per una densita di carica ρ e di corrente ~j = ρ~v

W =∫~j · ~E d~r =

∫ ~∇× ~H − ∂ ~D

∂t

· ~E d~r

e, tenendo conto della relazione ~∇ · ( ~E × ~H) = − ~E · (~∇× ~H) + ~H · (~∇× ~E) , si ha

W = −∫ ~E · ∂

~D

∂t+ ~H · ∂

~B

∂t

d~r −

∫~∇ · ( ~E × ~H) d~r

La relazione precedente rappresenta la conservazione dell’energia: nel volume diintegrazione il lavoro fatto dal campo nell’unita di tempo e pari alla somma dellavariazione dell’energia del campo e del flusso di energia attraverso la superficie, conle definizioni

densita di energia u =1

2( ~E · ~D + ~H · ~B)

flusso di energia ~S = ~E × ~H

4.7.1 Energia irraggiata

Nel vuoto le equazioni di Maxwell sono

~∇ · ~E =ρ

ε0~∇ · ~B = 0

∇× ~E = −∂~B

∂t~∇× ~B = µ0

~j + ε0µ0∂ ~E

∂t

Una carica q sottoposta ad un’accelerazione ~a produce un campo elettromagnetico di

450

a r

B

θ

q

E

Figure 4.12: Campo di radiazione di una carica accelerata

radiazione. Nelle ipotesi v c, r λ (lunghezza d’onda della radiazione emessa),il campo di radiazione a distanza r e (Fig. 4.12)

~E =q

4πε0

r × (r × ~a)

c2r~B =

1

cr × ~E E =

1

4πε0

qa

c2rsin θ

dove θ e l’angolo tra i vettori ~a e ~r. I campi ~E e ~B sono ortogonali tra loro e alvettore ~r. La densita di energia irraggiata a distanza r e

u =1

2

(ε0 ~E

2 +1

µ0

~B2

)=

q2

4πε0

~a2

4πc4r2sin2 θ [eV m−3]

il flusso di energia irraggiata e

S =1

µ0

| ~E × ~B| = cu =q2

4πε0

~a2

4πc3r2sin2 θ [eV m−2 s−1]

la potenza irraggiata e

W = Φ(~S) =∫ q2

4πε0

~a2

4πc3r2r2 sin2 θd cos θdφ [eV s−1]

formula di Larmor W =2

3

q2

4πε0

~a2

c3

Se la carica q oscilla a frequenza ω, la potenza emessa dal dipolo elettrico ~d = q~x0eiωt

e proporzionale al quadrato della derivata seconda del momento di dipolo elettrico,q~a = d2~d/dt2 = −ω2~d, cioe proporzionale alla quarta potenza della frequenza,

W =2

3

d2

4πε0

ω4

c3=

4

3

〈d2〉4πε0

ω4

c3

dove 〈d2〉 e il valore quadratico medio del momento di dipolo elettrico. Analoga-mente, per un dipolo magnetico ~µ oscillante si ottiene

W =2

3

µ0

4π

µ2ω4

c3=

2

3

1

4πε0

µ2ω4

c5=

4

3

〈µ2〉4πε0

ω4

c5

dove 〈µ2〉 e il valore quadratico medio del momento di dipolo magnetico.

451

Estensione relativistica della formula di Larmor

La formula di Larmor che esprime la potenza emessa come radiazione elettromag-netica di una carica q soggetta ad accelerazione ~a e valida per velocita v c. Perottenere una relazione valida per ogni valore di v occorre sostituire al valore ~a2 lacorrispondente espressione relativistica (appendice 4.2)

−A2 = γ4c2

γ2

~β · d

~β

dt

2

+

d

~β

dt

2

La potenza irraggiata da una carica accelerata e quindi

W =2

3

q2

4πε0c3γ4c2

γ2

~β · d

~β

dt

2

+

d

~β

dt

2

Poiche la carica e invariante, anche la potenza irraggiata e invariante per trasfor-mazioni di Lorentz.

4.7.2 Il potenziale vettore

Il campo induzione magnetica ~B ha divergenza nulla e si puo esprimere come ilrotore di un generico vettore ~A poiche ~∇ · (~∇× ~A) = 0 ∀ ~A. Definiamo il potenziale

vettore ~A(~r, t)~B = ~∇× ~A

legato al campo elettrico dalla relazione

~∇× ~E = −∂~B

∂t= − ∂

∂t~∇× ~A = −~∇× ∂ ~A

∂t

Il vettore ~E+∂ ~A/∂t ha rotore nullo e, poiche ~∇× (~∇V ) = 0 ∀ V , si puo esprimerecome il gradiente di una funzione scalare V (~r, t). Il campo elettrico e

~E = −∂~A

∂t− ~∇V

dove V (~r, t) e il potenziale elettrico. La divergenza del campo elettrico e

~∇ · ~E = −~∇ ·∂

~A

∂t+∇V

= − ∂

∂t~∇ · ~A−∇2V =

ρ

ε0

Il rotore del campo induzione magnetica e

~∇× ~B = ~∇× (~∇× ~A) = ~∇(~∇ · ~A)−∇2 ~A = µ0~j − ε0µ0

∂

∂t

~∇V +

∂ ~A

∂t

452

−∇2 ~A+1

c2

∂2 ~A

∂t2= µ0

~j − ~∇(~∇ · ~A+

1

c2

∂V

∂t

)

Il potenziale vettore ~A e definito a meno del gradiente di una funzione scalare Φ(~r, t).

Infatti la trasformazione ~A′ = ~A + ~∇Φ lascia invariata la definizione del campoinduzione magnetica poiche ~∇× ~∇Φ = 0 ∀ Φ. E la definizione del campo elettrico

~E ′ = −∂~A′

∂t− ~∇V ′ = −∂

~A

∂t− ~∇∂φ

∂t− ~∇V ′

rimane invariata per una trasformazione V ′ = V − ∂Φ/∂t. Quindi i campi elettricoe magnetico sono invarianti per una

trasformazione di gauge ~A′ = ~A+ ~∇Φ V ′ = V − ∂Φ

∂t

In particolare si puo scegliere la funzione Φ(~r, t) in modo che soddisfi la

condizione di Lorentz ~∇ · ~A+1

c2

∂V

∂t= 0

In questo caso le equazioni dei potenziali elettromagnetici diventano

−∇2V +1

c2

∂2V

∂t2=

ρ

ε0−∇2 ~A+

1

c2

∂2 ~A

∂t2= µ0

~j

che hanno soluzioni

V (~r, t) =1

4πε0

∫ ρ(~r′, t− |~r − ~r′|/c)|~r − ~r′|

d~r′ ~A(~r, t) =µ0

4π

∫ ~j(~r′, t− |~r − ~r′|/c)|~r − ~r′|

d~r′

La densita di carica ρ = d3q/dxdydz non e invariante. Se ρ0 e la densita di caricanel riferimento di quiete, la densita di carica in un riferimento in moto con velocita~v e ρ = γρ0 poiche la dimensione longitudinale risulta contratta. Nel riferimentoin moto la densita di corrente e ~j = ρ~v = γρ0~v. Ricordando la definizione delquadrivettore velocita, definiamo la

quadri-densita di corrente J = ρ0U = (~j, ρc)

che si trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz. L’equazione di continuita sirappresenta come il prodotto scalare di due quadrivettori

∇ · J = 0

Introducendo il quadri-potenziale elettromagnetico A = ( ~A, V/c) le equazioni delpotenziale vettore e del potenziale scalare si scrivono in forma invariante (∇2 =

−~∇2 + ∂2/∂c2t2 )∇2 · A = µ0J

453

4.8 Sviluppo in multipoli del campo elettromag-

netico

Consideriamo un sistema atomico o nucleare costituito da cariche in moto in unaregione di estensione R e rappresentato da una densita di carica ρ(~r, t) e di corrente~j(~r, t). Il campo elettromagnetico prodotto si puo ottenere come sviluppo di Fourierdelle componenti armoniche di frequenza ω. Se J(~r, t) = J(~r)e−iωt e la 4-densitadi corrente, il potenziale elettromagnetico ha la forma A(~r, t) = A(~r)e−iωt con A(~r)soluzione dell’equazione di Helmoltz

∇2A(~r) + k2A(~r) = −µ0J(~r) k = ω/c

~A(~r) =µ0

4π

∫

R

~j(~r′) eik|~r−~r′|

|~r − ~r′|d~r′ V (~r) =

1

4πε0

∫

R

ρ(~r′) eik|~r−~r′|

|~r − ~r′|d~r′

dove l’integrale va esteso al volume occupato dal sistema (R ≈ 10−8 cm per unatomo, R ≈ 10−13 cm per un nucleo). Cerchiamo la soluzione approssimata adistanza r molto maggiore della lunghezza d’onda della radiazione e della dimensionedella sorgente (r λ R) detta zona di radiazione, cioe per energie hω hc/R (hω 1 keV per un atomo, hω 100 MeV per un nulcleo). In questaapprossimazione

|~r − ~r′| = (~r2 − 2~r · ~r′ + ~r′2)1/2 = r − ~r · ~r′

r+ . . .

1

|~r − ~r′|=

1

r+~r · ~r′r3

+ . . .

la soluzione per il potenziale vettore e

~A(~r) =µ0

4π

∫ (1

r+r · ~r′r2

+ . . .

)eik(r−r·~r′+...) ~j(~r′) d~r′

~A(~r) ≈ µ0

4π

eikr

r

∑

n

(−ik)n

n!

∫(r · ~r′)n~j(~r′)d~r′

4.8.1 Potenziale di dipolo elettrico

Il primo termine dello sviluppo, n = 0, si ottiene calcolando l’integrale per parti

~A(~r) =µ0

4π

eikr

r

∫~j(~r′)d~r′ = −µ0

4π

eikr

r

∫~r′ [~∇′ ·~j(~r′)]d~r′

Usando l’equazione di continuita per la componente a frequenza ω

~∇′ ·~j(~r′) = −∂ρ(~r′)

∂t= iωρ(~r′)

e introducendo il momento di dipolo elettrico, ~d =∫ρ(~r′)~r′d~r′, si ottiene il primo

termine dello sviluppo

potenziale di dipolo elettrico ~A(~r) = −µ0

4πiω

eikr

r

∫ρ(~r′)~r′ d~r′ = −µ0

4πiω~d

eikr

r

454

Le derivate spaziali del potenziale vettore sono

∂xAy = −µ0

4πiω

(eikr

rik

x

r− eikr x

r3

)dy = −µ0

4πωk

eikr

r2

(i− 1

kr

)xdy ∂yAx = . . .

e per kr 1 troviamo i campi ~B e ~E del termine di dipolo elettrico

~B(~r) = ~∇× ~A(~r) ≈ ikr × ~A(~r) =µ0

4π

ω2

c

eikr

rr × ~d ~E(~r) = c ~B(~r)× r

Il flusso di energia e

S =1

µo| ~E × ~B| = µ0

(4π)2

ω4

c

d2

r2sin2 θ =

1

4π

1

4πε0

ω4

c3

d2

r2sin2 θ

e la potenza emessa e

dW

dΩ=

1

4π

1

4πε0

ω4

c3d2 sin2 θ W =

2

3

1

4πε0

ω4

c3d2

Il secondo termine dello sviluppo del potenziale vettore, n = 1, e

~A(~r) = −µ0

4πikeikr

r

∫(r · ~r′) ~j(~r′)d~r′

Poiche (~r′ × ~j) × r = (~r′ · ~j)r − (~r′ · r)~j possiamo scomporre l’integrando in duetermini

(~r′ · r)~j = (~r′ ×~j)× r − (~r′ ·~j)r

4.8.2 Potenziale di dipolo magnetico

Nel primo termine compare il prodotto vettore ~M(~r′) = ~r′ × ~j(~r′) che e la mag-netizzazione prodotta dalla corrente. Introducendo il momento di dipolo magnetico,~µ = 1

2

∫ ~M(~r′)d~r′, troviamo il

potenziale di dipolo magnetico ~A(~r) = −µ0

4πikeikr

rr × ~µ

Nel limite kr 1 i campi ~B e ~E del termine di dipolo magnetico sono

~B(~r) = ikr × ~A(~r) =µ0

4π

ω2

c2

eikr

rr × (r × ~µ) ~E(~r) = c ~B(~r)× r


S =1

µo| ~E × ~B| = µ0

(4π)2

ω4

c3

µ2

r2sin2 θ =

1

4π

1

4πε0

ω4

c5

µ2

r2sin2 θ

e la potenza emessa e

dW

dΩ=

1

4π

1

4πε0

ω4

c5µ2 sin2 θ W =

2

3

1

4πε0

ω4

c5µ2

455

4.8.3 Potenziale di quadrupolo elettrico

Nel secondo termine compare il prodotto scalare ~r′ ·~j(~r′) e calcolando l’integrale perparti si ottiene

∫~r′ ·~j(~r′)d~r′ = −1

2

∫~r′

2[~∇′ ·~j(~r′)]d~r′ = −iω

2

∫(r · ~r′)r′ρ(~r′)d~r′

per cui il potenziale vettore e

~A(~r) =µ0

4π

kω

2

eikr

r

∫(r · ~r′)~r′ρ(~r′)d~r′

Nel limite kr 1 i campi ~B e ~E sono

~B(~r) = ikr × ~A(~r) =µ0

4π

ω3

2c2

eikr

r

∫(r × ~r′)(r · ~r′)ρ(~r′)d~r′ ~E(~r) = c ~B(~r)× r

Nell’integrale compaiono le componenti del

momento di quadrupolo elettrico Qij =∫

(3xixj − r2δij)d~r

Se consideriamo i vettori ~Qi = ΣjQij~xj/r e osserviamo che le componenti dell’integrale∫(r × ~r′)(r · ~r′)ρ(~r′)d~r′ sono

[ ∫ ]

z= 3(y′ − x′)(x′ + y′ + z′) = Qy −Qx . . .

troviamo i campi ~B e ~E del termine di quadrupolo elettrico

~B(~r) =µ0

4π

ω3

c2

eikr

r

r × ~Q

6~E(~r) =

µ0

4π

ω3

c

eikr

r

(r × ~Q)× r6


S =1

µ0

| ~E × ~B| = µ0

(4π)2

ω6

c3

〈Σij|Qij|2〉36 r2

sin2 θ =1

4π

1

4πε0

ω6

c5


sin2 θ

dove 〈Σij|Qij|2〉 e il valore quadratico medio del momento di quadrupolo. La potenzaemessa e

dW

dΩ=

1

4π

1

4πε0

ω6

c5


sin2 θ W =1

54

1

4πε0

ω6

c5〈Σij|Qij|2〉

4.8.4 Sviluppo in autofunzioni del momento angolare

I sistemi atomici e nucleari sono autostati del momento angolare ed e convenienteesprimere il potenziale elettromagnetico come sviluppo in serie di armoniche sferiche.Oltre al momento angolare orbitale occorre tener conto dello spin delle particelle che

456

produce una magnetizzazione intrinseca ~M(~r, t) = ~M(~r)e−iωt. Questa contribuisce

alla densita di corrente con un termine a divergenza nulla, ~jM(~r) = ~∇× ~M(~r), e leequazioni del campo sono

~∇ · ~E = ρ/ε0 ~∇ · ~B = 0

~∇× ~E = iωB ~∇× ~B = µ0(~j + ~∇× ~M)− iωε0µ0~E

che si possono rendere simmetriche considerando il campo a divergenza nulla ~E∗ =~E + (i/ωε0)~j

~∇ · ~E∗ = 0 ~∇ · ~B = 0

~∇× ~E∗ − iωB = (i/ωε0) ~∇×~j ~∇× ~B + iωε0µ0~E∗ = µo~∇× ~M

Da queste relazioni, osservando che ~∇× ~∇× ~U = −∇2~U per un vettore a divergenzanulla, si ottengono le equazioni del campo elettrico e di induzione magnetica

(∇2+k2) ~E∗ = −ikcµ0~∇×

(~M +

1

k2~∇×~j

)(∇2+k2) ~B = −µ0

~∇×(~j+~∇× ~M)

Per esprimere le soluzioni in autofunzioni del momento angolare ~L = −i~r × ~∇,osserviamo che, per un vettore a divergenza nulla si ha ∇2(~r · ~U) = ~r · ∇2~U , e

quindi che le equazioni dei prodotti scalari ~r · ~E∗ e ~r · ~B sono

(∇2 + k2)~r · ~E∗ = −ikcµ0~r · ~∇×(~M +

1

k2~∇×~j

)= −ikcµ0(~r× ~∇)

(~M +

1

k2~∇×~j

)

(∇2 + k2)~r · ~B = −µ0~r · ~∇× (~j + ~∇× ~M) = −µ0(~r × ~∇)(~j + ~∇× ~M)

e, introducendo il momento angolare, si ha

(∇2+k2)~r· ~E∗ = kcµo~L·(~M +

1

k2~∇×~j

)(∇2+k2)~r· ~B = −iµ0

~L·(~j+~∇× ~M)

Queste equazioni hanno soluzioni

~r · ~E∗ = − k

4πε0c

∫

R

eik|~r−~r′|

|~r − ~r′|~L′ ·

(~M +

1

k2~∇′ ×~j

)d~r′

~r · ~B =iµ0

4π

∫

R

eik|~r−~r′|

|~r − ~r′|~L′ · (~j + ~∇′ × ~M)d~r′

utilizzando lo sviluppo della funzione di Green in autofunzioni del momento angolare

G(~r − ~r′) =eik|~r−

~r′|

|~r − ~r′|=∑

lm

gl(r, r′)Y ∗lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ)J(r′, θ′, φ′)

si ottengono i valori dei campi

E(r, θ, φ) =eikr

r

∑

lm

aElmYlm(θ, φ) B(r, θ, φ) =eikr

r

∑

lm

aBlmYlm(θ, φ)

457

4.8.5 Momenti di multipolo del campo di radiazione

Nel limite r R, kr 1, i coefficienti di multipolo elettrico sono 3

aElm = − i

ε0

1

(2l + 1)!!

(l + 1

l

)1/2

kl+1(Qlm +Q′lm)

con i momenti di multipolo elettrico

Qlm =∫

RrlY ∗lm(θ, φ)ρ(~r)d~r

Q′lm = − 1

l + 1

k

c

∫

RrlY ∗lm(θ, φ)~∇ · [~r × ~M(~r)]d~r

I coefficienti di multipolo magnetico sono

aMlm = iµ01

(2l + 1)!!

(l + 1

l

)1/2

kl+1(Mlm +M ′lm)

con i momenti di multipolo magnetico

Mlm = − l

l + 1

1

c

∫

RrlY ∗lm(θ, φ)~∇ · [~r ×~j(~r)]d~r

M ′lm = −1

c

∫

RrlY ∗lm(θ, φ) ~∇ · ~M(~r)d~r

Per valutare il contributo dei momenti di multipolo, consideriamo un sistema diparticelle puntiformi di massa mi, carica elettrica qi e momento magnetico ~µi

ρ(~r) = Σiqiδ(~r − ~ri) ~j(~r) = Σiqi~viδ(~r − ~ri) ~M(~r) = Σi~µiδ(~r − ~ri)

e supponiamo che il moto delle particelle sia centrale e le coordinate esprimibiliin termini delle autofunzioni del momento angolare. In questo caso i momenti dimultipolo sono

Qlm =∫rlY ∗lmΣiqiδ(~r − ~ri)d~r = Y ∗lm Σiqir

li

Q′lm = − 1

l + 1

ω

c2

∫rlY ∗lm~∇ · ~r × Σi~µiδ(~r − ~ri)d~r = − 1

l + 1

ω

c2Y ∗lm Σiµir

li

Mlm = − 1

l + 1

1

c

∫rlY ∗lm~∇ · ~r × Σiqi~viδ(~r − ~ri)d~r = − 1

l + 1

1

cY ∗lm Σi(qiLi/mi)r

l−1i

M ′lm =

1

c

∫rlY ∗lm~∇ · Σi~µiδ(~r − ~ri)d~r =

1

cY ∗lm Σiµir

l−1i

3 (2l + 1)!! = (2l + 1)(2l − 1)(2l − 3) . . . 1

458

• I multipoli elettrici sono generati dalla carica elettrica e dal momento mag-netico associato allo spin µ = g(hq/2m)

Qlm +Q′lm = rlY ∗lm

(q − 1

l + 1

ω

c2ghq

2m

)= qrlY ∗lm

(1− 1

l + 1

g

2

hω

mc2

)

il secondo termine e trascurabile poiche nelle transizioni atomiche o nuclearil’energia emessa e hω mc2.

• I multipoli magnetici sono generati dal momento magnetico prodotto dal motoorbitale, µ(l) = qhl/2m, e dal momento magnetico intrinseco e i due contributisono confrontabili

Mlm +M ′lm =

1

crl−1Y ∗lm

hq

2m

(g − 2l

l + 1

)

La potenza emessa dal sistema di cariche in moto nella zona di radiazione

W =c

2

∫ (ε0| ~E|2 + | ~B|2/µ0

)r2dΩ =

=cε02

Σl′m′ΣlmaE∗l′m′a

Elm

∫Y ∗l′m′YlmdΩ +

c

2µ0

Σl′m′ΣlmaB∗l′m′a

Blm

∫Y ∗l′m′YlmdΩ =

=cε02

Σlm|aElm|2 +c

2µ0

Σlm|aBlm|2

si ottiene come sovrapposizione dei contributi dei momenti di multipolo del campodi radiazione

WElm =

c

2ε0|aElm|2 =

c

2εo

1

[(2l + 1)!!]2

(l + 1

l

)(ω

c

)2l+2

|Qlm +Q′lm|2

WBlm =

cµ0

2|aBlm|2 =

cµ0

2

1

[(2l + 1)!!]2

(l + 1

l

)(ω

c

)2l+2

|Mlm +M ′lm|2

4.9 Equazione di Schrodinger in una dimensione

4.9.1 Particella libera

L’equazione di Schrodinger per una particella libera di massa m e

− h2

2m

d2ψ(x)

dx2= Eψ(x)

E > 0 e l’energia cinetica. In funzione dell’impulso hk = p =√

2mE l’equazione e

d2ψ(x)

dx2+ k2ψ(x) = 0

459

e la soluzione e la sovrapposizione di due onde piane che si propagano nella direzione+x e −x

ψ(x) = Aeikx +Be−ikx

La densita di corrente e

j =h

2im

(ψ∗dψ

dx− dψ∗

dxψ

)=hk

m

(|A|2 − |B|2

)

Se consideriamo un fascio di N/V particelle per unita di volume che si propaganella direzione +x, le condizioni al contorno sono: B = 0, j = Nv/V = v|A|2, cioeA = (N/V )1/2. Per una particella

ψ(x) = V −1/2 eikx

4.9.2 Gradino di potenziale

L’equazione in una dimensione e

[− h2

2m

d2

dx2+ U(x)

]ψ(x) = Eψ(x)

Se l’energia potenziale e una funzione a gradino

U(x) = 0 per x < 0 U(x) = U0 > 0 per x > 0

abbiamo due casi:E > U0 - La soluzione e una sovrapposizione di onde piane nelle due regioni

x < 0 ψ1(x) = A1eik1x +B1e

−ik1x hk1 = [2mE]1/2

x > 0 ψ2(x) = A2eik2x +B2e

−ik2x hk2 = [2m(E − Uo)]1/2

j+1 = (hk1/m)|A1|2 e il flusso incidente, j−1 = (hk1/m)|B1|2 e il flusso riflesso dal

gradino di potenziale, j+2 = (hk2/m)|A2|2 e il flusso trasmesso nella regione x > 0 e,

poiche non vi sono altri vincoli in questa regione, si deve avere B2 = 0.Imponendo la condizione di continuita della soluzione in corrispondenza del

gradino, cioe che la soluzione e la derivata siano uguali per x = 0

ψ1(0) = ψ2(0) A1 +B1 = A2

ψ′1(0) = ψ′2(0) k1(A1 −B1) = k2A2

si ottengono i valori dei coefficienti B1 e A2

B1 =k1 − k2

k1 + k2

A1 A2 =2k1

k1 + k2

A1

460

e possiamo definire il coefficiente di riflessione dal gradino e il coefficiente di trasmis-sione con R + T = 1

R =j−1j+

1

=|B1|2|A1|2

=(k1 − k2)2

(k1 + k2)2T =

j+2

j+1

=k2|A2|2k1|A1|2

=4k1k2

(k1 + k2)2

E < Uo - In questo caso la soluzione nella regione x > 0 e la sovrapposizione di duefunzioni esponenziali reali

x < 0 ψ1(x) = A1eik1x +B1e

−ik1x hk1 = [2mE]1/2

x > 0 ψ2(x) = A2ek2x +B2e

−k2x hk2 = [2m(Uo − E)]1/2

Perche la soluzione sia finita per ogni valore di x deve essere A2 = 0. La condizionedi continuita

ψ1(0) = ψ2(0) A1 +B1 = B2

ψ′1(0) = ψ′2(0) ik1(A1 −B1) = −k2B2

implica

B1 =k1 − ik2

k1 + ik2

A1 B2 =2k1

k1 + ik2

A1

Da queste relazioni si ottiene |B1|2 = |A1|2, cioe il flusso riflesso e pari al flussoincidente e il flusso trasmesso e nullo. La particella ha una probabilita di penetrareil gradino di potenziale che decresce esponenzialmente: |ψ2(x)|2 = |ψ1(0)|2e−2k2x.

Uo

E = 0

E > Uo

E < Uo

Uo

E > Uo

E < Uo

E = 0

Figure 4.13: Soluzioni per il gradino e la barriera di potenziale

4.9.3 Barriera di potenziale

L’energia potenziale e la sovrapposizione di due funzioni a gradino

U(x) = 0 per x < 0 x > ` U(x) = U0 > 0 per 0 ≤ x ≤ `

E > U0 - La soluzione e una sovrapposizione di onde piane

x < 0 ψ1(x) = A1eik1x +B1e

−ik1x

0 ≤ x ≤ ` ψ2(x) = A2eik2x +B2e

−ik2x

461

x > ` ψ3(x) = A3eik1x +B3e

−ik1x

Anche in questo caso, poiche non si ha onda riflessa per x > `, B3 = 0. La condizionedi continuita per x = 0

ψ1(0) = ψ2(0) A1 +B1 = A2 +B2

ψ′1(0) = ψ′2(0) k1(A1 −B1) = k2(A2 −B2)

implica

A1 =k1 + k2

2k1

A2 +k1 − k2

2k1

B2 B1 =k1 − k2

2k1

A2 +k1 + k2

2k1

B2

La condizione di continuita per x = `

ψ2(`) = ψ3(`) A2eik2` +B2e

−ik2` = A3eik1`

ψ′2(`) = ψ′3(`) k2(A2eik2` −B2e

−ik2`) = k1A3eik1`

implica

A2 =k2 + k1

2k2

eik1` e−ik2À3 B2 =k2 − k1

2k2

eik1èik2` A3

e si ottiene una relazione tra l’ampiezza dell’onda incidente e quella dell’onda trasmessa

A1 =[(k1 + k2)2e−ik2` − (k1 − k2)2eik2`

] eik1`

4k1k2

A3

|A1|2 =

[1 +

(k21 − k2

2)2

4k21k

22

sin2 k2`

]|A3|2

Il coefficiente di trasmissione attraverso la barriera e

T =j+

3

j+1

=|A3|2|A1|2

=1

1 +(k21−k22)2

4k21k22

sin2 k2`

E < U0 - In questo caso la soluzione per 0 ≤ x ≤ ` e la sovrapposizione di duefunzioni esponenziali reali, ψ2(x) = A2e

k2x + B2e−k2x, e la condizione di continuita

della soluzione per x = 0 e x = ` implica

A1 =k1 − ik2

2k1

A2 +k1 + ik2

2k1

B2 B1 =k1 + ik2

2k1

A2 +k1 − ik2

2k1

B2

A2 =k2 + ik1

2k2

eik1è−k2À3 B2 =k2 − ik1

2k2

eik1èk2À3

da cui, seguendo l’esempio precedente, si ottiene il coefficiente di trasmissione

T =|A3|2|A1|2

=1

1 +(k21+k22)2

4k21k22

sinh2 k2`

Nel caso in cui k2` 1, sinh2 k2` ' e2k2`/4 si ha

T =16k2

1k22

(k21 + k2

2)2e−2k2`

462

4.9.4 Buca di potenziale infinita

Se la buca si estende nell’intervallo a ≤ x ≤ a+ ` la particella e vincolata a oscillaree la soluzione ψ(x) = Aeikx + Be−ikx si annulla agli estremi. Dalle condizioni alcontorno

ψ(a) = eika(A+B) = 0 ψ(a+ `) = eika(Aeik` +Be−ik`) = 0

si ottiene la quantizzazione degli autovalori

sin kn` = 0 kn =nπ

`En =

h2π2

2m`2n2 n = 1, 2, . . .

La condizione di normalizzazione delle autofunzioni, ψn(x) = C sin knx, fissa il valoredell’ampiezza

∫ a+`

aψ∗n(x)ψ(x)ndx = |C|2

∫ a+`

asin2 knxdx =

|C|2`nπ

∫ nπ

0sin2 φdφ = 1

da cui si ottiene

ψn(x) =(

2

`

)1/2

sinnπ

`x

Ovviamente nessuno dei risultati ottenuti dipende dal valore di a.

4.9.5 Buca di potenziale finita

L’energia potenziale e U(x) = −U0 per −` ≤ x ≤ +` e nulla negli altri punti(abbiamo visto che la soluzione non dipende dalla posizione dell’intervallo in x).Per E > 0 la soluzione e simile a quella della barriera di potenziale. Consideriamoil caso di stati legati, E < 0. La soluzione e

x < −` ψ1(x) = A1ek1x +B1e

−k1x

−` ≤ x ≤ ` ψ2(x) = A2eik2x +B2e

−ik2x

x > ` ψ3(x) = A3ek1x +B3e

−k1x

con hk1 = [−2mE]1/2, hk2 = [2m(E+U0)]1/2. Perche la soluzione sia finita per ognivalore di x si ha B1 = A3 = 0. La condizione di continuita per x = −`

A2e−ik2` +B2e

ik2` = A1e−k1` ik2 (A2e

−ik2` −B2eik2`) = k1A1e

−k1`

e quella analoga per x = ` comportano |A2|2 = |B2|2, che corrisponde all’annullarsidella densita di corrente all’interno della buca, e, poiche non ci sono termini del tipoA∗B o AB∗, che la soluzione sia pari, se A2 = B2, oppure dispari, se A2 = −B2,rispetto all’inversione dell’asse x. Abbiamo quindi due casi

soluzioni pari k2 tan k2` = k1

463

soluzioni dispari − k2 cot k2` = k1

Queste sono due equazioni trascendenti che si risolvono numericamente. Poiche siha (hk1)2 + (hk2)2 = 2mU0, le due equazioni si possono esprimere in funzione dellevariabili α = k2`, β = (2mU0)1/2`/h

α tanα = (β2 − α2)1/2 − α cotα = (β2 − α2)1/2

0 . 0 0

1 . 5 7

3 . 1 4

4 . 7 1

6 . 2 8

7 . 8 5

9 . 4 2

0 . 0 0 1 . 5 7 3 . 1 4 4 . 7 1 6 . 2 8

α tan α -α cotan α

√ (β2 - α2

)

α

Figure 4.14: Soluzione per gli stati legati in una buca di potenziale

Le soluzioni sono rappresentate in modo grafico in Fig. 4.14, dove si e sceltoβ = 2π, e sono date dai punti di intersezione delle curve: l’esempio mostra quattrostati legati. Il caso piu interessante e quello delle soluzioni dispari che si annullanoper x = 0, infatti nel caso di buca di potenziale in tre dimesioni la soluzione si deveannullare per r → 0.

4.9.6 Oscillatore armonico

Per piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio, un generico potenziale puoessere approssimato con quello di una forza elastica con costante di richiamo k

U(x) = U0 +

(dU

dx

)

0

x+1

2

(d2U

dx2

)

0

x2 + . . . ' costante+1

2kx2

In un potenziale armonico una particella di massa m oscilla attorno alla posizione

x = 0 con frequenza angolare ω =√k/m. La hamiltoniana dipende dal quadrato

delle variabili coniugate x e p

H =1

2mp2 +

mω2

2x2 = hω(X2 + P 2)

e si puo esprimere in modo simmetrico in termini dei due operatori hermitiani

X =(mω

2h

) 12

x P =(

1

2mhω

) 12

p

464

o delle loro combinazioni lineari

a = X + iP a+ = X − iP

che soddisfano le relazione di commutazione

[a, a+] = −2i[X,P ] = − ih

[x, p] = 1

L’operatore hermitiano

N = a+a = X2 + P 2 + i[X,P ] = X2 + P 2 +i

2h[x, p] = X2 + P 2 − 1

2

commuta con la hamiltoniana e quindi gli autostati di N sono autostati di H =hω(N + 1/2)

N |n〉 = n|n〉 H|n〉 = En|n〉Per trovare gli autostati della hamiltoniana studiamo l’azione degli operatori a e a+

sugli stati |n〉. Osserviamo che a|n〉 e a+|n〉 sono anch’essi autostati, infatti dallerelazioni di commutazione

[N, a] = −[a, a+]a = −a [N, a+] = a+[a, a+] = a+

otteniamo

Na|n〉 = (−a+ aN)|n〉 = (n− 1)a|n〉 Na+|n〉 = (a+ + a+N)|n〉 = (n+ 1)a+|n〉

Quindi: a|n〉 = α|n − 1〉, a+|n〉 = β|n + 1〉 e i valori di α e β si ottengono dallanormalizzazione degli autostati

〈n|a+a|n〉 = 〈n|N |n〉 = n = |α|2 〈n|aa+|n〉 = 〈n|(N + 1)|n〉 = n+ 1 = |β|2

L’azione degli operatori a e a+ e quella di far passare da un autostato ad un altro

a|n〉 = n1/2|n− 1〉 a+|n〉 = (n+ 1)1/2|n+ 1〉

e applicando piu volte l’operatore a ad un autostato di N

ak|n〉 = [n(n− 1) . . . (n− k + 1)]1/2 |n− k〉

si dimostra che gli autovalori n sono i numeri interi non negativi, n = 0, 1, 2, . . ..Gli autovalori dell’energia sono

En = hω(n+ 1/2)

e quindi gli operatori a+, a fanno aumentare o diminuire l’energia dell’oscillatore diun quanto hω e sono chiamati operatori di creazione e distruzione.

465

Per studiare il comportamento delle variabili x e p e opportuno esprimerle infunzione degli operatori a e a+

X =a+ a+

2P =

a− a+

2i

X e P hanno in ogni stato dell’oscillatore valor medio nullo perche 〈n|a|n〉 =〈n|a+|n〉 = 0 e hanno varianza

〈X2〉n = 〈P 2〉n =〈n|aa+|n〉+ 〈n|a+a|n〉

4=

2n+ 1

4

Quindi per le variabili x e p si ha

〈x2〉n =h

mω(n+ 1/2) = σ2(n+ 1/2) 〈p2〉n = mhω(n+ 1/2) =

h2

σ2(n+ 1/2)

dove σ2 = h/mω e h2/σ2 sono le varianze delle distribuzioni di x e p per modo divibrazione. E si ottiene la relazione di indeterminzione per l’oscillatore

(∆x∆p)n =√〈x2〉n

√〈p2〉n = h(n+ 1/2)

e l’equipartizione dell’energia cinetica e potenziale per modo di vibrazione

1

2m〈p2〉n +

mω2

2〈x2〉n =

hω

2(n+ 1/2) +

hω

2(n+ 1/2)

Per trovare le autofunzioni nello spazio della coordinata x, osserviamo che perlo stato di energia piu bassa, lo stato vuoto, E0 = hω/2, si ha a|0〉 = 0 e quindil’autofunzione ψ0(x) soddisfa l’equazione differenziale

(X + iP )ψ0(x) =

[x

σ√

2+i

h

σ√2

(−ih d

dx

)]ψ0(x) = 0

x

σ√

2ψ0 +

σ√2

dψ0

dx= 0

la cui soluzione che soddisfa la condizione di normalizzazione∫ψ∗0(x)ψ0(x) dx = 1

e una funzione gaussiana

ψ0(x) = (πσ2)−1/4 e−x2/2σ2

Le altre autofunzioni si ottengono dalla relazione (a+)n|0〉 = (n!)1/2|n〉, ovvero

ψn(x) =1

(n!)1/2

[x√2σ− σ√

2

d

dx

]nψo(x)

Le soluzioni sono i polinomi di Hermite, Hn(z), moltiplicati per una gaussiana

ψn(z) =1

(πσ2)1/4

1

2n/2(n!)1/2Hn(z)e−z

2/2 z = x/σ

466

n En ψn(z)

0 hω/2 (πσ2)−1/4[e−z

2/2]

1 3hω/2 (πσ2)−1/4[2−1/2 2z e−z

2/2]

2 5hω/2 (πσ2)−1/4[2−3/2 (4z2 − 2) e−z

2/2]

3 7hω/2 (πσ2)−1/4[6−1/22−3/2 (8z3 − 12z) e−z

2/2]

. . .

4.10 Il momento angolare

4.10.1 Rotazioni

Una rotazione e una trasformazione continua dallo stato |ψ〉 allo stato |ψ′〉 = R|ψ〉.Perche sia consevata la densita di probabilita, 〈ψ′|ψ′〉 = 〈ψ|R+R|ψ〉 = 〈ψ|ψ〉, larotazione e una trasformazione unitaria: R−1 = R+. Se lo stato e espresso infunzione delle coordinate spaziali ~r = (x, y, z), si ha ψ′(~r) = Rψ(~r) = ψ(~r0) con~r0 = R−1~r. Le rotazioni delle coordinate sono rappresentate da matrici 3× 3

Rx(α) =

1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα

Ry(β) =

cos β 0 sin β0 1 0

− sin β 0 cos β

Rz(γ) =

cos γ − sin γ 0sin γ cos γ 0

0 0 1

Le rotazioni attorno ad assi diversi non commutano e le relazioni di commutazionedefiniscono le proprieta dei generatori delle rotazioni. Consideriamo le rotazioniinfinitesime attorna agli assi x, y, z e definiamo

Rx(εx) = 1− iεxGx Rx(εy) = 1− iεyGy Rx(εz) = 1− iεzGz

con gli angoli infinitesimi εk reali e gli operatori Gk hermitiani. Applichiamo insuccessione due rotazioni infinitesime attorno ad assi diversi. Sviluppando al secondoordine in ε

Rx(εx)Ry(εy) =

1− ε2y 0 εyεxεy 1− ε2x −εx−εy εx 1− ε2x/2− ε2y/2

Ry(εy)Rx(εx) =

1− ε2y εxεy εy0 1− ε2x −εx−εy εx 1− ε2x/2− ε2y/2

[Rx(εx), Ry(εy)] =

0 −εxεy 0εxεy 0 0

0 0 0

= Rz(εxεy)− 1

[1− iεxGx, 1− iεyGy] = −εxεy[Gx, Gy] = −iεxεyGz

467

e lo stesso permutando i generatori Gk. Troviamo quindi le relazioni di commu-tazione

[Gj, Gk] = iεjklGl

dove εjkl e il tensore antisimmetrico di Levi-Civita. Queste sono le relazioni di

commutazione delle componenti del momento angolare ~L = ~r × ~p. Per ottenerela relazione tra i generatori delle rotazioni e le componenti del momento angolareconsideriamo una rotazione di uno stato

ψ′(x, y, z) = Rz(φ) ψ(x, y, z) = ψ(x cosφ+ y sinφ,−x sinφ+ y cosφ, z)

Per una rotazione infinitesima

Rz(δφ) ψ(x, y, z) = ψ(x+ yδφ,−xδφ+ y, z) =

[1− δφ

(x∂

∂y− y ∂

∂x

)]ψ(x, y, z)

Rz(δφ) = 1− (i/h)δφLz

dove Lz e la terza componente del momento angolare, Lz = −ih(x∂/∂y − y∂/∂x).Quindi l’operatore momento angolare e il generatore delle rotazioni e per una ro-tazione finita di un angolo α attorno all’asse n si ha

Rn(α) = e−(i/h)αn~L

4.10.2 Autovalori del momento angolare

L’operatore momento angolare ha dimensione h [eV s] ed e proporzionale al gener-

atore delle rotazioni ~J = h ~G. Con le componenti Gk possiamo costruire il moduloquadro, G2 = G2

x+G2y+G

2z, che commuta con le tre componenti, [G2, Gk] = 0. Poiche

queste non commutano tra loro possiamo trovare un sistema di autostati comunea G2 e ad una solo delle componenti che fissiamo per convenzione Gz. Chiamiamo|λ, µ〉 un autostato di G2 e Gz e λ, µ i rispettivi autovalori

G2|λ, µ〉 = λ|λ, µ〉 Gz|λ, µ〉 = µ|λ, µ〉

Consideriamo gli operatori non hermitiani G± = Gx ± iGy che hanno le seguentirelazioni di commutazione

[G+, G−] = 2Gz [G±, G2] = 0 [G±, Gz] = ±G±

Gli stati G±|λ, µ〉 sono autostati di G2 e Gz, infatti abbiamo

G2G±|λ, µ〉 = G±G2|λ, µ〉 = λG±|λ, µ〉

GzG±|λ, µ〉 = (G±Gz + [Gz, G±])|λ, µ〉 = (µ± 1)G±|λ, µ〉L’azione degli operatori G± e quindi di far passare da un autostato ad un altro

G−|λ, µ〉 = ν−|λ, µ− 1〉 G+|λ, µ〉 = ν+|λ, µ+ 1〉

468

Per verificare che la successione sia limitata, cioe che µ sia finito, consideriamo glioperatori G+G− e G−G+

G+G− = G2x +G2

y − i[Gx, Gy] = G2 −G2z +Gz

G−G+ = G2x +G2

y + i[Gx, Gy] = G2 −G2z −Gz

e osserviamo che gli elementi di matrice dell’operatore G2−G2z sono definiti positivi

poiche

G2 −G2z =

G+G− +G−G+

2con G+G− = G+

−G− e G−G+ = G++G+

〈λ, µ| G2 −G2z |λ, µ〉 = λ− µ2 ≥ 0 → µ2 ≤ λ

Quindi esiste un valore minimo e un valore massimo di µ per cui

G−|λ, µmin〉 = 0 G+|λ, µmax〉 = 0

Per questi autostati deve anche essere

G+G−|λ, µmin〉 = (G2 −G2z +Gz)|λ, µmin〉 = (λ− µ2

min + µmin)|λ, µmin〉 = 0

G−G+|λ, µmax〉 = (G2 −G2z −Gz)|λ, µmax〉 = (λ− µ2

max − µmax)|λ, µmax〉 = 0

cioe µ2min − µmin = µ2

max + µmax. Quindi µ e limitato nell’intervallo

µmin ≤ µ ≤ µmax con µmin = −µmax

Poiche si va da µmin a µmax con un numero finito di passi, risulta µmax = µmin + ncon n intero positivo, cioe

µmin = −n/2 µmax = n/2 µ = −n/2, −n/2 + 1, . . . , n/2

λ = µmax(µmax + 1) = (n/2)(n/2 + 1)

Passando al momento angolare ~J = h ~G e definendo |j,m〉 gli autostati

J2|j,m〉 = h2j(j + 1)|j,m〉 Jz|j,m〉 = hm|j,m〉

abbiamo che

• esistono 2j + 1 proiezioni del vettore ~J con autovalori mh

m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j

• il modulo di ~J ha autovalore h√j(j + 1)

• i possibili valori di j sono i numeri interi e semi-interi positivi

469

• gli elementi di matrice tra autostati (che supponiamo normalizzati) sono

〈j′,m′|J2|j,m〉 = h2j(j + 1) δj′jδm′m

〈j′,m′|Jz|j,m〉 = hm δj′jδm′m

Gli elementi di matrice degli operatori J+ e J− si ottengono dalle relazioni

J−|j,m〉 = hν−|j,m− 1〉 J+|j,m〉 = hν+|j,m+ 1〉

〈j′,m′|J+J−|j,m〉 = h2[j(j + 1)−m2 +m] δj′jδm′m = h2|ν−|2

〈j′,m′|J−J+|j,m〉 = h2[j(j + 1)−m2 −m] δj′jδm′m = h2|ν+|2

e quindi, a meno di un fattore di modulo 1, si ha

ν− =√j(j + 1)−m2 +m ν+ =

√j(j + 1)−m2 −m

〈j′,m′|J±|j,m〉 = h√j(j + 1)−m2 ∓m δj′jδm′m±1

4.10.3 Rappresentazione dei generatori

Dall’ultima relazione troviamo gli elementi di matrice degli operatori G± e da questila rappresentazione dei generatori Gk usando le relazioni

Gx =G+ +G−

2Gy =

G+ −G−2i

iGz = [Gx, Gy]

Facciamo due semplici esempi

• Spin 1/2: j = 1/2 m = ±1/2

Gli elementi di matrice non nulli sono

〈1/2,+1/2|G+|1/2,−1/2〉 = 1 〈1/2,−1/2|G−|1/2,+1/2〉 = 1

quindi le matrici G± sono

G+ =

(0 10 0

)G− =

(0 01 0

)

e i generatori Gk sono, a meno dell’autovalore 1/2, le matrici di Pauli nella rappre-sentazione in cui Gz e diagonale

Gx =1

2

(0 11 0

)Gy =

1

2

(0 −ii 0

)Gz =

1

2

(1 00 −1

)

Anche le matrici G2k sono diagonali, G2

k = 1/4, e quindi

G2 =3

4

(1 00 1

)j(j + 1) =

3

4

470

• Spin 1: j = 1 m = −1, 0, +1

Gli elementi di matrice non nulli sono

〈1, 0|G+|1,−1〉 =√

2 〈1,−1|G−|1, 0〉 =√

2

〈1, 1|G+|1, 0〉 =√

2 〈1, 0|G−|1,+1〉 =√

2

quindi le matrici G± sono

G+ =√

2

0 1 00 0 10 0 0

G− =

√2

0 0 01 0 00 1 0

e i generatori Gk sono

Gx =1√2

0 1 01 0 10 1 0

Gy =

1√2

0 −i 0i 0 −i0 i 0

Gz =

1 0 00 0 00 0 −1

e abbiamo

G2x =

1

2

1 0 10 2 01 0 1

G2

y =1

2

1 0 −10 2 0−1 0 1

G2

z =

1 0 00 0 00 0 1

G2 = 2

1 0 00 1 00 0 1

j(j + 1) = 2

4.10.4 Somma dei momenti angolari

Consideriamo due autostati del momento angolare |j1,m1〉 e |j2,m2〉. Vogliamo

sapere quali sono gli autovalori dell’operatore somma, ~J = ~j1 + ~j2, tali che laproiezione lungo l’asse z sia Jz = j1z + j2z. Definiamo |j1 m1, j2 m2〉 l’autostatosomma nella base dei vettori di partenza in cui j2

1 , j1z, j22 , j2z sono diagonali, e nel

seguito poniamo h = 1

j21 |j1 m1, j2 m2〉 = j1(j1 + 1)|j1 m1, j2 m2〉 j1z|j1 m1, j2 m2〉 = m1|j1 m1, j2 m2〉

j22 |j1 m1, j2 m2〉 = j2(j2 + 1)|j1 m1, j2 m2〉 j2z|j1 m1, j2 m2〉 = m2|j1 m1, j2 m2〉

Definiamo |J,M〉 l’autostato somma nella nuova base in cui J2 e Jz sono diagonali

J2|J,M〉 = J(J + 1)|J,M〉 Jz|J,M〉 = M |J,M〉

Gli autostati somma possono esprimersi come combinazione lineare degli autostatidi partenza

|J,M〉 =∑

m1

∑

m2

|j1 m1, j2 m2〉〈j1 m1, j2 m2|J,M〉

471

dove i prodotti scalari 〈j1 m1, j2 m2|J,M〉 sono chiamati coefficienti di Clebsch-Gordan. Per trovare l’autovaloreM osserviamo che l’elemento di matrice dell’operatoreJz − j1z − j2z e nullo:

〈J,M |Jz − j1z − j2z|j1 m1, j2 m2〉 = (M −m1 −m2)〈J,M |j1 m1, j2 m2〉 = 0

Per trovare i possibili autovalori di J osserviamo che la molteplicita della somma epari al numero di stati N = (2j1 + 1)(2j2 + 1). Se Jmin e Jmax sono i limiti in cuivaria J abbiamo

N =Jmax∑

Jmin

(2J + 1) = (Jmax + 1)2 − ((Jmin − 1) + 1)2 = J2max + 2Jmax + 1− J2

min =

= (Jmax + Jmin + 1)(Jmax − Jmin + 1)

da cui otteniamo 2j1 = Jmax + Jmin, 2j2 = Jmax − Jmin (o viceversa) cioe: Jmin =|ji − j2|, Jmax = ji + j2. Quindi gli autovalori della somma soddisfano le relazioni

|ji − j2| ≤ J ≤ ji + j2 M = m1 +m2

4.10.5 I coefficienti di Clebsch-Gordan

Troviamo le relazioni cui soddisfano i coefficienti di Clebsch-Gordan. Usando l’operatoreJ+ si ha

J+|J,M〉 =√J(J + 1)−M2 −M |J,M + 1〉 =

(J1+ + J2+)∑

n1

∑

n2

|j1 n1, j2 n2〉〈j1 n1, j2 n2|J,M〉 =

∑

n1

∑

n2

√j1(j1 + 1)− n2

1 − n1 |j1 n1 + 1, j2 n2〉〈j1 n1, j2 n2|J,M〉 +

∑

n1

∑

n2

√j2(j2 + 1)− n2

2 − n2 |j1 n1, j2 n2 + 1〉〈j1 n1, j2 n2|J,M〉

Moltiplicando per 〈j1 m1, j2 m2| e sfruttando le relazioni di ortonormalita degliautostati, 〈j1 m1, j2 m2|j1 n1, j2 n2〉 = δm1n1δm2n2 , si ottiene√J(J + 1)−M2 −M |J,M+1〉 =

√j1(j1 + 1)−m2

1 +m1 〈j1 m1−1, j2 m2|J,M〉 +

√j2(j2 + 1)−m2

2 +m2 〈j1 m1, j2 m2 − 1|J,M〉e analogamente, usando l’operatore J−,√J(J + 1)−M2 +M |J,M−1〉 =

√j1(j1 + 1)−m2

1 +m1 〈j1 m1+1, j2 m2|J,M〉 +

√j2(j2 + 1)−m2

2 +m2 〈j1 m1, j2 m2 + 1|J,M〉Da queste relazioni di ricorrenza si possono ottenere i valori dei coefficienti diClebsch-Gordan a meno di un fattore di modulo 1 che viene fissato in modo conven-zionale. Facciamo alcuni semplici esempi:

472

• spin 1/2 + spin 1/2

Con j1 = 1/2, j2 = 1/2 si hanno quattro possibili combinazioni, per la somma questesono: J = 1,M = +1, 0,−1 e J = 0,M = 0. Nel caso m1 = m2 = +1/2 vi e unasola combinazione e lo stesso nel caso m1 = m2 = −1/2

|1,+1〉 = |1/2 + 1/2, 1/2 + 1/2〉 |1,−1〉 = |1/2 − 1/2, 1/2 − 1/2〉Applicando J− al primo (oppure J+ al secondo) si ha

J−|1,+1〉 =√

2|1, 0〉 = |1/2 + 1/2, 1/2 − 1/2〉+ |1/2 − 1/2, 1/2 + 1/2〉Anche lo stato |J,M〉 = |0, 0〉 e una sovrapposizione degli stessi due autostati conm1 +m2 = 0

|0, 0〉 = a|1/2 − 1/2, 1/2 + 1/2〉+ b|1/2 + 1/2, 1/2 − 1/2〉con |a|2 + |b|2 = 1. Applicando J+ (oppure J−) si ha

J+|0, 0〉 = a|1/2 + 1/2, 1/2 + 1/2〉+ b|1/2 + 1/2, 1/2 + 1/2〉 = 0

da cui a = −b. Quindi otteniamo tre stati con J = 1 simmetrici rispetto allo scambiodello spin e uno stato con J = 0 antisimmetrico. I coefficienti di Clebsch-Gordansono riassunti nella tabella seguente

j1 = 1/2 j2 = 1/2 J 1 1 0 1m1 m2 M +1 0 0 -1

+1/2 +1/2 1

+1/2 -1/2√

1/2√

1/2

-1/2 +1/2√

1/2 −√

1/2-1/2 -1/2 1

• spin 1 + spin 1/2

Con j1 = 1, j2 = 1/2 si hanno sei possibili combinazioni, per la somma questesono: J = 3/2,M = +3/2,+1/2,−1/2,−3/2 e J = 1/2,M = +1/2,−1/2. Nel casom1 = +1, m2 = +1/2 vi e una sola combinazione e lo stesso nel caso m1 = −1,m2 = −1/2

|3/2,+3/2〉 = |1 + 1, 1/2 + 1/2〉 |3/2,−3/2〉 = |1 − 1/2, 1/2 − 1/2〉Operando come nel caso precedente

J−|3/2,+3/2〉 =√

3|3/2,+1/2〉 = |1 + 1, 1/2 − 1/2〉+√

2|1 0, 1/2 + 1/2〉J+|3/2,−3/2〉 =

√3|3/2,−1/2〉 = |1 − 1, 1/2 + 1/2〉+

√2|1 0, 1/2 − 1/2〉

Ponendo |1/2,+1/2〉 = a|1 + 1, 1/2 − 1/2〉+ b|1 0, 1/2 + 1/2〉 otteniamo

J+|1/2,+1/2〉 = a|1 + 1, 1/2 + 1/2〉+√

2b|1 + 1, 1/2 + 1/2〉 = 0

cioe a +√

2b = 0 e, utilizzando la relazione di ortonormalita degli autostati, a =√2/3, b = −

√1/3

J−|1/2,+1/2〉 = |1/2,−1/2〉 = (√

2a+ b)|1 0, 1/2 − 1/2〉+√

2b|1 − 1, 1/2 + 1/2〉Quindi abbiamo

473

j1 = 1 j2 = 1/2 J 3/2 3/2 1/2 1/2 3/2 3/2m1 m2 M +3/2 +1/2 +1/2 -1/2 -1/2 -3/2+1 +1/2 1

+1 -1/2√

1/3√

2/3

0 +1/2√

2/3 −√

1/3

0 +1/2√

1/3√

2/3

-1 +1/2 −√

2/3√

1/3-1 -1/2 1

• spin 1 + spin 1

Gli autostati |J,M〉 sonoJ = 2 M = +2 +1 0 -1 -2J = 1 M = +1 0 -1J = 0 M = 0

j1 = 1 j2 = 1 J 2 2 1 2 1 0 1 2 2m1 m2 M +2 +1 +1 0 0 0 -1 -1 -2+1 +1 1

+1 0√

1/2√

1/2

+1 -1√

1/6√

1/2√

1/3

0 +1√

1/2 −√

1/2

0 0 −√

2/3 0 −√

1/3

0 -1√

1/2√

1/2

-1 +1√

1/6 −√

1/2√

1/3

-1 0 −√

1/2√

1/2-1 -1 1

4.10.6 Matrici di rotazione

Una generica rotazione nello spazio puo essere ottenuta come successione di rotazioniattorno a tre assi. Consideriamo in successione (Fig. 4.15)

1 - rotazione di α attorno all’asse z: x→ x′, y → y′

2 - rotazione di β attorno all’asse y′: x′ → x′′, z → z′

3 - rotazione di γ attorno all’asse z′: x′′ → x′′′, y′ → y′′

α, β, γ sono gli angoli di Eulero e la rotazione e espressa

R(α, β, γ) = Rz′(γ) Ry′(β) Rz(α)

Un operatore generico si trasforma per rotazione nel modo O′ = ROR−1. Quindi laseconda rotazione puo essere espressa come Ry′(β) = Rz(α)Ry(β)R−1

z (α). Analoga-mente per la terza rotazione: Rz′(γ) = Ry′(β)Rz(γ)R−1

y′ (β), e otteniamo

Rz′(γ)Ry′(β)Rz(α) = Ry′(β) Rz(γ)R−1y′ (β) Ry′(β)Rz(α) = Ry′(β)Rz(γ)Rz(α) =

474

= Rz(α)Ry(β)R−1z (α)Rz(γ)Rz(α) = Rz(α)Ry(β)R−1

z (α)Rz(α)Rz(γ) =

= Rz(α)Ry(β)Rz(γ)

e, passando alla rappresentazione con i generatori,

R(α, β, γ) = e−iαJze−iβJye−iγJz

x

z

x' y

y'

z

x'y'

x''

z'

y'

x''

z'

y''

x'''α

β

γ

Figure 4.15: Rotazioni e angoli di Eulero

In una rotazione si conserva il modulo del momento angolare poiche J2 com-muta con le sue componenti. La rotazione fa passare da un autostato |j,m〉 ad unautostato |j,m′〉. Consideriamo gli elementi di matrice di una generica rotazione

Djmm′(α, β, γ) = 〈j,m′|e−iαJze−iβJye−iγJz |j,m〉 =

= eiαm′〈j,m′|e−iβJy |j,m〉e−iγm = ei(αm

′−γm) djmm′(β)

Possiamo quindi esprimere gli elementi di matrice in funzione dell’angolo di rotazioneβ attorno ad un asse normale all’asse di quantizzazione z, a parte un fattore dimodulo 1. Gli elementi di matrice djmm′(β) sono chiamati funzioni di Wigner.

Rotazione di spin 1/2 I generatori delle rotazioni di spin 1/2 sono le matrici di

Pauli, ~J = ~σ/2, e l’operatore di rotazione si esprime

e−iβσy/2 = 1− iβ2σy −

i2

2

(β

2

)2

σ2y + . . . = cos β/2

(1 00 1

)− i sin β/2

(0 −ii 0

)

d1/2mm′(β) =

(cos β/2 − sin β/2sin β/2 cos β/2

)

475

Rotazione di spin 1 Il generatore della rotazione di spin 1 attorno all’asse y e

Jy =i√2

0 −1 01 0 −10 1 0

che ha la proprieta J2ny = J2

y , J2n+1y = Jy, con n = 1, 2, . . .

e−iβJy = 1− iβJy − i2β2

2J2y + . . . = 1− i sin βJy − (1− cos β)J2

y =

=

1 0 00 1 00 0 1

+

sin β√2

0 −1 01 0 −10 1 0

− 1− cos β

2

1 0 −10 2 0−1 0 1

d1mm′(β) =

(1 + cos β)/2 − sin β/√

2 (1− cos β)/2

sin β/√

2 cos β − sin β/√

2

(1− cos β)/2 sin β/√

2 (1 + cos β)/2

4.10.7 Le armoniche sferiche

Le funzioni armoniche sferiche sono le autofunzione del momento angolare orbitale,~L = ~r×~p, nella rappresentazione degli operatori in funzione delle coordinate spaziali(h = 1)

Lx = −i(y∂

∂z− z ∂

∂y

)Ly = −i

(z∂

∂x− x ∂

∂z

)Lz = −i

(x∂

∂y− y ∂

∂x

)

L+ = z

(∂

∂x+ i

∂

∂y

)− (x+ iy)

∂

∂zL− = −z

(∂

∂x− i ∂

∂y

)+ (x− iy)

∂

∂z

Conviene usare coordinate polari

x = r sin θ cosφ y = r sin θ sinφ z = r cos θ

La matrice di tasformazione jacobiana

∂(xyz)

∂(rθφ)=

sin θ cosφ r cos θ cosφ −r sin θ sinφsin θ sinφ r cos θ sinφ r sin θ cosφ

cos θ −r sin θ 0

ha determinante D = r2 sin θ, e la matrice inversa e

∂(rθφ)

∂(xyz)=

sin θ cosφ cos θ cosφ/r − sinφ sin θ/rsin θ sinφ cos θ sinφ/r cosφ sin θ/r

cos θ − sin θ/r 0

da cui si ottiene

∂

∂x= sin θ cosφ

∂

∂r+

cos θ cosφ

r

∂

∂θ− sinφ

r sin θ

∂

∂φ

476

∂

∂y= sin θ sinφ

∂

∂r+

cos θ sinφ

r

∂

∂θ+

cosφ

r sin θ

∂

∂φ

∂

∂z= cos θ

∂

∂r− sin θ

r

∂

∂θ

In coordinate polari gli operatori del momento angolare orbitale sono

Lz = −i ∂∂φ

L± = e±iφ(± ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

)

Esprimendo gli autostati in funzione degli angoli, |l,m〉 = Ylm(θ, φ), le equazioniagli autovalori sono

LzYlm(θ, φ) = mYlm(θ, φ) L2Ylm(θ, φ) = l(l + 1)Ylm(θ, φ)

Nella prima Lz determina solo la dipendenza da φ quindi le autofunzioni si possonofattorizzare: Ylm(θ, φ) = Θlm(θ)Φm(φ)

−i ∂∂φ

Φm(φ) = mΦm(φ) ⇒ Φm(φ) = Nmeimφ

con Nm = 1/√

2π. Poiche il sistema non varia per una rotazione di 2π attornoall’asse z

Φm(φ+ 2π) = Φm(φ) ⇒ ei2πm = 1

i valori di m, e quindi anche di l, sono interi.Per trovare Θlm(θ) osserviamo che si ha L+Yl,l(θ, φ) = 0, L−Yl,−l(θ, φ) = 0. La

prima equazione

L+ = eiφ(∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

)Θll(θ)e

ilφ = ei(l+1)φ

(∂Θll

∂θ− l cot θ Θl,l

)= 0

ha come soluzione Θll(θ) = Nl sinl θ. Le altre soluzioni si ottengono ricordando che

Ylm sono autofunzioni che soddisfano le relazioni L−Ylm =√l(l + 1)−m2 +m Yl m−1

L−Yll(θ, φ) = e−iφ(− ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

)sinl θ eilφ = −ei(l−1)φ

(∂

∂θ+ l cot θ

)sinl θ

Osserviamo che per una generica funzione f(θ) si ha

(∂

∂θ+ l cot θ

)f(θ) =

1

sinl θ

∂

∂θsinl θf(θ)

e quindi, per f(θ) = sinl θ, si ha

L−Yll(θ, φ) =ei(l−1)φ

sinl−1 θ

(− 1

sin θ

∂

∂θ

)sin2l θ

477

L−L−Yll(θ, φ) =ei(l−2)φ

sinl−2 θ

(− 1

sin θ

∂

∂θ

)(− 1

sin θ

∂

∂θ

)sin2l θ

e cosi di seguito. Ponendo − sin θdθ = d cos θ, sin2l θ = (1− cos2 θ)l, si ha

Ylm(θ, φ) = Nlmeimφ

sinm θ

(d

d cos θ

)l−m(1− cos2 θ)l

Le costanti Nlm si determinano dalla condizione di normalizzazione∫ 2π0

∫+1−1 Y

∗lm(θ, φ) Ylm(θ, φ) d cos θ dφ = 1

Nlm =(−1)l

2l l!

(2l + 1

4π

)1/2 ((l +m)!

(l −m)!

)1/2

Le prime armoniche sferiche sono

l = 0 Y00 = 1√4π

l = 1 Y10 =√

34π

cos θ Y11 = −√

38π

sin θeiφ

l = 2 Y20 =√

516π

(3 cos2 θ − 1) Y21 = −√

158π

sin θ cos θeiφ Y22 =√

1532π

sin2 θe2iφ

Dalle relazioni precedenti osserviamo che

• gli autovalori del momento angolare orbitale sono multipli interi di h

• le autofunzioni Yl0 sono i polinomi di Legendre Pl(cos θ)

• per coniugazione complessa si ha: Y ∗lm(θ, φ) = Yl −m(θ, φ)

• per trasformazioni di parita, θ → π − θ, φ→ φ+ π,

sin(π − θ) = sin θ cos(π − θ) = − cos θ eim(φ+π) = (−1)m eimφ

le armoniche sferiche si moltiplicano per (−1)l−m(−1)m

P · Ylm(θ, φ) = (−1)lYlm(θ, φ)

4.11 Equazione di Schrodinger in tre dimensioni

Consideriamo una particella di massa m soggetta al potenziale U(~r). L’equazioneagli autovalori e (

− h2

2m~∇2 + U(~r)

)ψ(~r) = Eψ(~r)

Se la sorgente del potenziale e una particella di massa M , la massa che comparenell’equazione e la massa ridotta, m′ = mM/(m+M), e ~r e la coordinata di m′ nelcentro di massa.

478

4.11.1 Potenziale centrale

Se il potenziale descrive un campo di forze a simmetria sferica, U(~r) = U(|~r|), siconserva il momento angolare e gli autostati della hamiltoniana sono anche autostatidell’operatore momento angolare che in coordinate polari ha componenti

Lx = ih

(sinφ

∂

∂θ+ cot θ cosφ

∂

∂φ

)Ly = ih

(− cosφ

∂

∂θ+ cot θ sinφ

∂

∂φ

)

Lz = −ih ∂∂φ

~L2 = h2

(1

sin θ

∂

∂θsin θ

∂

∂θ+

1

sin2 θ

∂

∂φ

)

Esprimendo l’operatore ~∇2 in coordinate polari

~∇ · ~∇ =1

r2

∂

∂rr2 ∂

∂r+

1

r2

(1

sin θ

∂

∂θsin θ

∂

∂θ+

1

sin2 θ

∂

∂φ

)

l’equazione agli autovalori diventa− h2

2m

1

r2

∂

∂rr2 ∂

∂r+

~L2

2mr2+ U(r)

ψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ)

La soluzione si puo fattorizzare nel prodotto di una funzione di r e delle autofun-zioni degli operatori ~L2, Lz, con autovalori l,m: ~L2Ylm(θ, φ) = h2l(l + 1)Ylm(θ, φ),LzYlm(θ, φ) = hmYlm(θ, φ).

ψElm(r, θ, φ) = REl(r)Ylm(θ, φ)

La funzione radiale dipende dall’energia e da l e soddisfa l’equazione agli autovalori(− h2

2m

1

r2

d

drr2 d

dr+h2l(l + 1)

2mr2+ U(r)

)REl(r) = EREl(r)

• Nota: 1r2

ddrr2 dR

dr= 1

rd2

dr2rR = d2R

dr2+ 2

rdRdr

(− h2

2m

1

r

d2

dr2r +

h2l(l + 1)

2mr2+ U(r)

)REl(r) = EREl(r)

La funzione uEl(r) = rREl(r) soddisfa l’equazione di Schrodinger in una dimensione(− h2

2m

d2

dr2+h2l(l + 1)

2mr2+ U(r)

)uEl(r) = EuEl(r)

dove, oltre al potenziale U(r), compare il potenziale repulsivo h2l(l+1)/2mr2 (poten-ziale centrifugo) dovuto all’energia cinetica di rotazione L2/2mr2 attorno al centrodi forza. Ad esempio, l’effetto di una buca di potenziale viene modificato in fun-zione della distanza dal centro come mostrato in Fig. 4.16. L’equazione radiale hasoluzione se limr→∞ U(r) = 0, limr→0 r

2U(r) = 0, e la soluzione deve soddisfare lacondizione limr→0 u(r) = 0.

479

rE = 0

U(r)h l(l+1)

2mr 2

2

Figure 4.16: Buca di potenziale e potenziale centrifugo

4.11.2 Particella libera

Nel caso U(r) = 0 l’equazione radiale diventa

d2u

dr2+

(2mE

h2 − l(l + 1)

r2

)u = 0

definendo hk = (2mE)1/2 e la variabile adimensionale x = kr

d2u

dr2+

(k2 − l(l + 1)

r2

)u = 0

d2u

dx2+

(1− l(l + 1)

x2

)u = 0

Per l = 0 la soluzione e del tipo u0(x) = A sinx + B cosx. La soluzione sinx edispari e si annulla per x = 0, mentre la soluzione cosx e pari e non soddisfa lacondizione limx→0 u(x) = 0. Quindi la soluzione per l = 0 e R0(x) = A sinx/x. Lesoluzioni sono le funzioni di Bessel sferiche, jl(x), dispari, e le funzioni di Neumannsferiche, nl(x), pari. Queste soddisfano le condizioni

jl(x) = (−1)l(−1

x

d

dx

)lsinx

xnl(x) = −(−1)l

(−1

x

d

dx

)lcosx

x

Le prime funzioni di Bessel sono

j0(x) =sinx

xlimx→0

j0(x) = x0

j1(x) =sinx

x2− cosx

xlimx→0

j1(x) =x

1 · 3

j2(x) =3 sinx

x3− 3 cosx

x2− sinx

xlimx→0

j2(x) =x2

1 · 3 · 5

j3(x) =15 sinx

x4− 15 cosx

x3− 6 sinx

x2+

cosx

xlimx→0

j3(x) =x3

1 · 3 · 5 · 7I limiti delle funzioni di Bessel sferiche sono

limx→0

jl(x) =xl

(2l + 1)!!limxl

jl(x) =sin(x− lπ/2)

x

480

La seconda relazione definisce il limite asintotico della funzione radiale della parti-cella libera

limkrl

jl(kr) =1

2ikr

(eikre−ilπ/2 − e−ikreilπ/2

)=

=1

2ikr

((−i)leikr − (i)le−ikr

)=

i

2kil(e−ikr

r− (−1)l

eikr

r

)

come sovrapposisione di un’onda sferica entrante e di un’onda sferica uscente dalcentro del potenziale in fase per l dispari e contro fase per l pari.

4.11.3 Sviluppo di un’onda piana in autofunzioni sferiche

L’autofunzione della particella libera, ψ(~r) = ei~k·~r, si puo esprimere come sovrappo-

sizione delle autofunzioni radiali jl(kr) e delle armoniche sferiche

ψ(~r) = eikr cos θ =∑

lm

Nlmjl(kr)Ylm(θ, φ)

Poiche ψ(~r) non dipende dall’angolo azimutale φ, la somma va estesa alle sole aut-ofunzioni con m = 0

Yl0(θ, φ) =

(2l + 1

4π

)1/2

Pl(cos θ)

Usando le relazioni di ortonormalita∫Pl′(cos θ)Pl(cos θ)d cos θ = 2δl′l/(2l+ 1) abbi-

amo ∫ +1

−1eikr cos θPl(cos θ)d cos θ =

∑

l′Nl′jl′(kr)

∫ +1

−1

(2l + 1

4π

)1/2

Pl′(cos θ)Pl(cos θ)d cos θ =Nljl(kr)

[2π(2l + 1)]1/2

Consideriamo il comportamento per piccoli valori di r e sviluppiamo in serie eikr cos θ

Nljl(kr) = Nl(kr)l

(2l + 1)!!' [2π(2l + 1)]1/2

∫ +1

−1

∑

n

(ikr)n

n!unPl(u)du

I polinomi di Legendre Pl(u) sono definiti (appendice 4.10) dalla relazione

Pl(u) =(−1)l

2l l!

(d

du

)l(1− u2)l =

2l(2l − 1) . . . (l + 1)

2l l!ul + fattore× ul−2

Quindi la potenza un si puo esprimene come la somma di polinomi di Legendre

un =2nn!

2n(2n− 1) . . . (n+ 1)Pn(u) + fattore× Pn′(u) n′ > n

Sostituendo questa espressione nella relazione precedente

Nl(kr)l

(2l + 1)!!= [2π(2l + 1)]1/2

∫ +1

−1

∑

n

in(kr)n

n!

2n n!

2n(2n− 1) . . . (n+ 1)Pn(u)Pl(u)du =

481

= [2π(2l + 1)]1/2il(kr)l2l

2l(2l − 1) . . . (l + 1)

2

2l + 1

otteniamo i coefficienti Nl

Nl = il[4π(2l + 1)]1/2[

2l(2l + 1)!!

(2l + 1)2l(2l − 1) . . . (l + 1)

]= il[4π(2l + 1)]1/2

Le autofunzioni jl(kr)Pl(cos θ) sono pesate per la molteplicita dell’autovalore dimomento angolare, 2l + 1, e sono sfasate di un angolo lπ/2

ei~k·~r =

∞∑

l=0

il(2l + 1)jl(kr)Pl(cos θ)

Il limite asintotico e

limkrl

ei~k·~r =

i

2k

∞∑

l=0

(2l + 1)

((−1)l

e−ikr

r− eikr

r

)

4.11.4 Buca di potenziale infinita

Consideriamo una particella confinata in una sfera di raggio ρ

U(r) = 0 per r < ρ U(r) =∞ per r > ρ

Per r < ρ le soluzioni sono le funzioni jl(kr) che si devono annullare per r = ρ.La condizione jl(kρ) = 0 definisce i possibili valori di k e gli autovalori di energia,E = h2k2/2m, risultano quantizzati. Gli zeri delle prime funzioni di Bessel sferichesono

l = 0 j0(x) =sinx

x= 0 knρ = xn = nπ = 3.14, 6.28, 9.42, 12.57, . . .

l = 1 j1(x) = 0 tan x = x knρ = xn = 4.49, 7.73, 10.90, 14.07, . . .

l = 2 j2(x) = 0 tan x =x

1− x2/3knρ = xn = 5.76, 9.10, 12.32, . . .

Gli autostati sono degeneri con molteplicita 2l + 1 e, se consideriamo particelle conspin 1/2 vincolate nella buca di potenziale, la molteplicita e 2(2l + 1). La tabellamostra per valori crescenti degli zeri della soluzione radiale, cioe per valori crescentidi energia, gli stati e la loro molteplicita. L’ultima colonna riporta il numero totaledi fermioni di spin 1/2 vincolati nella buca di potenziale.

482

knρ n l stato E/E0 2l + 1∑

2(2l + 1)3.14 1 0 1s 1.00 1 24.49 1 1 1p 2.04 3 85.76 1 2 1d 3.36 5 186.28 2 0 2s 4.00 1 206.99 1 3 1f 4.95 7 347.73 2 1 2p 6.05 3 408.18 1 4 1g 6.78 9 589.10 2 2 2d 8.39 5 689.36 1 5 1h 8.88 11 909.42 3 0 3s 9.00 1 92. . .

4.11.5 Buca di potenziale finita

Per una buca di potenziale finita

U(r) = −U0 per r < ρ U(r) = 0 per r > ρ

l’equazione radiale e

r < ρ

(d2

dr2+

2

r

d

dr− l(l + 1)

r2+ k2

i

)R = 0 hki = [2m(E + U0)]1/2

r > ρ

(d2

dr2+

2

r

d

dr− l(l + 1)

r2+ k2

)R = 0 hk = (2mE)1/2

La soluzione per r < ρ che soddisfa la condizione limr→0 rR(r) = 0 e del tipoRl(r) = Aijl(kir), e la soluzione per r > ρ e del tipo Rl(r) = Ajl(kr) +Bnl(kr) coni coefficienti A e B reali. La condizione di continuita della soluzione e della derivataper r = ρ definisce i valori dei coefficienti

Ai jl(kiρ) = Ajl(kρ) +Bnl(kρ)

kiAi

(djldx

)

kiρ

= kA

(djldx

)

kρ

+ kB

(dnldx

)

kρ

Si ottengono delle equazioni trascendentali che vanno risolte numericamente.Nel caso di stati legati, −U0 < E < 0, la soluzione per r > ρ e di tipo espo-

nenziale: contiene le potenze delle funzioni e−kr, e+kr, e solo le prime soddisfanol’andamento asintotico per r →∞.

Nel caso E > 0, scattering, l’andamento asintotico e

limkrl

Rl(r) = Asin(kr − lπ/2)

kr+B

cos(kr − lπ/2)

kr=

=iA

2kr

(−(−i)leikr + ile−ikr

)+

B

2kr

((−i)l eikr + i ile−ikr

)=

483

=i(A− iB)

2kril(e−ikr − (−1)l

A+ iB

A− iB eikr)

Osserviamo che

• per B = 0 (ρ → ∞) la funzione radiale ha solo la componente jl(kr) e lasoluzione asintotica e un’onda piana,

• il rapporto tra l’ampiezza dell’onda sferica uscente dal centro del potenziale equella dell’onda sferica entrante ha modulo unitario e si puo scrivere come unfattore di fase che dipende dal valore di l

∣∣∣∣A+ iB

A− iB∣∣∣∣ = 1 ⇒ A+ iB

A− iB = e2iδl ⇒ B

A= tan δl

• l’onda sferica uscente risulta sfasata di 2δl rispetto a quella entrante,

• l’andamento asintotico della soluzione e

limkrl

Rl(kr) =sin(kr − lπ/2 + δl)

kr

4.11.6 Potenziale armonico

Per un oscillatore armonico isotropo la costante di richiamo non dipende dalla di-rezione e possiamo esprimere la hamiltoniana

H =~p2

2m+k~r2

2= Hx +Hy +Hz Hj =

p2j

2m+kr2

j

2

Ciascun operatore Hj ha autostati di un oscillatore armonico unidimensionale (ap-pendice 4.9) e questi sono tra loro indipendenti. Definiamo gli operatori di creazionee distruzione dei modi di vibrazione unidimensionali

aj = Xj + iPj a+j = Xj − iPj [a+

j , ak] = δjk

Nj = a+j aj Nj|nj〉 = nj|nj〉 Hj = Nj +

1

2

Con gli autostati |nj〉 dei modi di vibrazione unidimensionali possiamo costruire gliautostati dell’oscillatore nello spazio che hanno autovalori

N |nx ny nz〉 = n|nx ny nz〉 n = nx + ny + nz

H|nx ny nz〉 = En|nx ny nz〉 En =(n+

3

2

)hω

Gli autovalori En dipendono solo dal numero quantico n e hanno degenerazione

(n+ 2)!

n!2!=

(n+ 1)(n+ 2)

2

484

L’operatore momento angolare commuta con la hamiltoniana e ha gli stessi autostaticon autovalori

L2|nx ny nz〉 = h2l(l + 1)|nx ny nz〉 Lz|nx ny nz〉 = hm|nx ny nz〉

Le componenti del momento angolare si possono esprimere in funzione degli operatoriaj, a

+j

Lz = ypx − xpy = 2h

(ax + a+

x

2

ay − a+y

2i− ay + a+

y

2

ax − a+x

2i

)= ih(axa

+y − aya+

x )

Lx = ih(aya+z − aza+

y ) Ly = ih(aza+x − axa+

z )

Avendo scelto la componente Lz diagonale conviene usare come coordinate nel pianox-y le combinazioni x± iy e definire gli operatori di creazione e distruzione dei modidi rotazione

a+ =ax − iay√

2a+

+ =a+x + ia+

y√2

N+ = a++a+

a− =ax + iay√

2a+− =

a+x − ia+

y√2

N− = a+−a−

Gli operatori N+ e N− commutano con la hamiltoniana e hanno gli stessi autostatiN+|nx ny nz〉 = n+|nx ny nz〉, N−|nx ny nz〉 = n−|nx ny nz〉

N+ =(a+x + ia+

y )(ax − iay)2

=1

2

(a+x ax + i(axa

+y − aya+

x ) + a+y ay

)

N− =(a+x − ia+

y )(ax + iay)

2=

1

2

(a+x ax − i(axa+

y − aya+x ) + a+

y ay)

ovvero

N+ =1

2(Nx +Ny + Lz/h) N− =

1

2(Nx +Ny − Lz/h)

N+ +N− = Nx +Ny = N −Nz N+ −N− = Lz/h

e otteniamo le relazioni tra gli autovalori n+ + n− = n − nz, n+ + n− = m, da cuiosserviamo che i valori minimo e massimo di m corrispondono a −n e +n.

Per stabilire la corrispondenza tra gli autostati |nx ny nz〉 e gli autostati |n l m〉osserviamo che gli operatori aj e a+

j si invertono per trasformazione di parita e quindicambiano la parita degli stati. Per lo stato vuoto |0 0 0〉 abbiamo n = l = m = 0e parita positiva. Gli stati con n = 1, |nx ny nz〉 = |0 0 1〉, |0 1 0〉, |1 0 0〉, hannoparita negativa, etc. Poiche la parita di uno stato e (−1)l, gli autovalori di l sonopari per n = pari e dispari per n = dispari e assumono i valori positivi

l = . . . (n− 4), (n− 2), n

con degenerazione 2l + 1. Gli autovalori dei primi stati sono elencati nella tabella

485

n nx ny nz n+ n− m l stato 2l + 1∑

2(2l + 1) E0 0 0 0 0 0 0 0 1s 1 2 3hω/21 0 0 1 0 0 0 1 1p 3 8 5hω/2

0 1 0 0 1 -1 11 0 0 1 0 +1 1

2 0 0 2 0 0 0 0 2s 1 10 7hω/20 2 0 0 2 -2 2 1d 5 202 0 0 2 0 +2 21 1 0 1 1 0 21 0 1 0 1 -1 20 1 1 1 0 +1 2

3 0 0 3 0 0 0 1 2p 3 26 9hω/20 3 0 1 2 -1 13 0 0 2 1 +1 11 1 1 1 1 0 3 1f 7 400 1 2 0 1 -1 30 2 1 0 2 -2 31 0 2 1 0 +1 32 0 1 2 0 +2 31 2 0 0 3 -3 32 1 0 3 0 +3 3

4.11.7 Potenziale coulombiano

L’energia potenziale di una particella di carica elettrica −e nel campo prodotto dauna carica puntiforme di carica +Ze e

U(r) = − Ze2

4πε0r= −Zαhc

r

L’equazione radiale e(h2

2m

[d2

dr+

2

r

d

dr

]− h2

2m

l(l + 1)

r2+Zαhc

r

)REl = EREl

Consideriamo gli stati legati, E < 0. Nel modello atomico di Bohr, il raggiodell’orbita e l’energia dello stato fondamentale sono

r0 =a0

Z=

1

Z

hc

αmc2E0 = Z2ERy = −Z2α

2mc2

2

Con le variabili adimensionali

ν =(E0

E

)1/2

x =(2m|E|)1/2

h2r =

Z

ν

2r

a0

l’equazione radiale diventa(d2

dx2+

2

x

d

dx− l(l + 1)

x2+ν

x− 1

4

)R = 0

486

Consideriamo il comportamento della soluzione per x→ 0 e per x→∞

• Per x→∞d2R

dx2− R

4= 0 lim

x→∞R(x) = e−x/2

Ponendo R(x) = e−x/2S(x)

R′ = (S ′ − S/2)e−x/2 R′′ = (S ′′ − S ′ + S/4)e−x/2

la funzione S(x) soddisfa l’equazione

S ′′ +(

2

x− 1

)S ′ −

(l(l + 1)

x2− ν − 1

x

)S = 0

• Per x → 0 la funzione ha andamento S(x) = xlT (x) con limx→0 T (x) =costante

S ′ = xlT ′ + lxl−1T S ′′ = xlT ′′ + 2lxl−1T ′ + l(l − 1)xl−2T

la funzione T (x) soddisfa l’equazione

xT ′′ + (2(l + 1)− x)T ′ + (ν − l − 1)T = 0

L’andamento per x→ 0 della funzione e soddisfatto da un polinomio T (x) =∑k akx

k

conT ′ =

∑

k

kakxk−1 T ′′ =

∑

k

k(k − 1)akxk−2

e i coefficienti ak soddisfano l’equazione

∑

k

[k((k − 1) + 2(l + 1))akx

k−2 + (ν − l − 1− k)akxk−1

]= 0

ovvero ∑

k

[(k + 1)(k + 2(l + 1))ak+1 + (ν − l − 1− k)ak]xk−1 = 0

Perche l’equazione sia soddisfatta i termini si devono annullare a ciascun ordine eotteniamo la relazione

ak+1 = akk + l + 1− ν

(k + 1)(k + 2l + 2)

Perche la serie sia finita deve esistere un valore di k per cui ak+1 = 0, cioe k = ν−l−1.Quindi otteniamo le condizioni sul parametro ν

• ν e un numero intero;

• ν ≥ l + 1.

487

ν e il numero quantico principale n: n = ν = 1, 2, 3, . . . Gli autovalori di energiadipendono solo dal numero quantico principale

En =E0

n2= −Z

2

n2

α2mc2

2

Gli autostati sono degeneri con molteplicita 2l+1; 2(2l+1) se consideriamo particellecon spin 1/2. La tabella mostra gli stati e la loro molteplicita per valori crescentidi energia come sono effetivamente osservati. La degenerazione degli stati e rimossadall’interazione tra lo spin e il momento angolare orbitale e gli autovalori di energiasono leggermente modificati (struttura fine). L’ultima colonna riporta il simbolodell’elemento con Z =

∑2(2l + 1).

n l stato E/Eo 2l + 1∑

2(2l + 1)1 0 1s 1 1 2 He2 0 2s 1/4 1 4 Be2 1 2p 1/4 3 10 Ne3 0 3s 1/9 1 12 Mg3 1 3p 1/9 3 18 Ar4 0 4s 1/16 1 20 Ca3 2 3d 1/9 5 30 Zn4 1 4p 1/16 3 36 Kr5 0 5s 1/25 1 38 Sr4 2 4d 1/16 5 48 Cd5 1 5p 1/16 3 54 Xe. . .

I polinomi T (x) che soddisfano le relazioni dei coefficienti ak sono i polinomi diLaguerre, Lqp(x), definiti dalle relazioni

L0p(x) = ex

dp

dxpxpe−x Lqp(x) = (−1)q

dq

dxqL0p+q(x)

che sono le soluzioni dell’equazione differenziale(xd2

dx2+ (1 + q − x)

d

dx+ p

)Lqp(x) = 0

e che hanno le relazioni di ortonormalita

∫ ∞

0e−xxqLqp′(x)Lqp(x)dx =

[(p+ q)!]3

p!δp′p

L00 = 1 L0

1 = 1− x L02 = 2− 4x+ x2 L0

3 = 6− 18x+ 9x2 − x3

L10 = 1 L1

1 = 4− 2x L12 = 18− 18x+ 3x2 L1

3 = 96− 144x+ 48x2 − 4x3

L20 = 2 L2

1 = 18− 6x L22 = 144− 96x+ 12x2 L2

3 = 1200− 1200x+ 600x2 − 20x3

L30 = 6 L3

1 = 96− 24x L32 = 1200− 600x+ 60x2

L40 = 24 L4

1 = 600− 120x

488

L50 = 120

Le autofunzioni radiali contengono i polinomi Lpp(x) con q = 2l + 1, p = n− l − 1

Rnl(x) = Nnl e−x/2 xl L2l+1

n−l−1(x)

e i fattori Nnl sono definiti dalla condizione di normalizzazione∫

[Rnl(r)]2r2dr = 1

Nnl =(

2Z

na0

)3/2(

(n− l − 1)!

2n[(n+ l)!]3

)1/2

Le prime autofunzioni radiali sono

R10 =1√2

(2Z

a0

)3/2

e−Zr/a0

R20 =1√2

(Z

a0

)3/2 (1− 1

2

Zr

ao

)e−Zr/2a0

R21 =1

2√

6

(Z

ao

)3/2 Zr

a0

e−Zr/2a0

R30 =1√2

(2Z

3a0

)3/2(

1− 2

3

Zr

a0

+2

27

(Zr

a0

)2)e−Zr/3a0

R31 =2

9

(2Z

3a0

)3/2 Zr

a0

(1− 1

6

Zr

a0

)e−Zr/3a0

R32 =1

27√

5

(2Z

3a0

)3/2 (Zra0

)2

e−Zr/3a0

Le autofunzioni del potenziale coulombiano sono

ψnlm(r, θ, φ) = Nnl e−Zr/na0

(2Zr

na0

)lL2l+1n−l−1(2Zr/na0)Ylm(θ, φ)

Solo le autofunzioni con l = 0 hanno un valore non nullo nella regione del nucleor ' 0.

4.12 Simmetrie unitarie

Le simmetrie unitarie sono una generalizzazione delle rotazioni (appendice 4.10).Consideriamo la spazio vettoriale complesso a n dimensioni, e in questo spazio nvettori linearmente indipendenti |ψn〉 che formano una base. Il generico vettore |ψ〉si puo esprimere come combinazione dei vettori di base con an numeri complessi

|ψ〉 =∑

n

an|ψn〉

489

Consideriamo una trasformazione tra due stati, |ψ′〉 = U |ψ〉, che conservi la densitadi probabilita. Questa trasformazione e unitaria

〈ψ′|ψ′〉 = 〈ψ|U+U |ψ〉 = 〈ψ|ψ〉 ⇒ U+U = 1

Nello spazio a n dimensioni l’operatore U si puo rappresentare come una matricequadrata unitaria n× n. Il determinante della matrice U+U ha modulo 1

det[U+U ] = 1 = det[U+] det[U ] = (det[U ])∗ det[U ] = | det[U ]|2

e quindi si puo esprimere det[U ] = eiα con α numero reale.L’insieme delle matrici unitarie n × n formano un gruppo, soddisfano cioe le

seguenti condizioni

• il prodotto di due matrici unitarie, U1U2, e una matrice unitaria, cioe appar-tiene al gruppo

(U1U2)+ (U1U2) = U+2 U

+1 U1U2 = 1 ;

• la matrice identita appartiene al gruppo;

• la matrice inversa U−1 di una matrice unitaria appartiene al gruppo;

• le matrici del gruppo soddisfano la proprieta associativa

U1 (U2U3) = (U1U2)U3 .

Il gruppo delle trasformazioni unitarie nello spazio a n dimensioni e il gruppo uni-tario U(n). Se un sistema e invariante per le trasformazioni del gruppo U(n) lahamiltoniana che descrive il sistema e invariante per le trasformazioni

H → H ′ H ′ = UHU+

Consideriamo la trasformazione U = eiφUs , con φ numero reale, tale che Us sia unatrasformazione unimodulare cioe con det[Us] = +1. Se la hamiltoniana e invarianteper la trasformazione eiφHe−iφ, che corrisponde alla conservazione di un numeroquantico additivo (ad esempio la carica elettrica oppure il numero barionico), allorapossiamo considerare invece delle trasformazioni U le corrispondenti trasformazioniunimodulari Us. Il gruppo delle trasformazioni unitarie unimodulari nello spazio an dimensioni e il gruppo speciale unitario SU(n).

Le trasformazioni del gruppo SU(n) si possono scrivere

U = ei∑

kαkGk

con αk numeri reali e Gk operatori hermitiani detti generatori della trasformazione.Nello spazio a n dimensioni i generatori si possono rappresentare come matrici n×nche hanno le seguenti proprieta

• il numero di generatori, l’ordine del gruppo di simmetria, e n2 − 1;

490

• tra questi ci sono r = n − 1 generatori che commutano e che si possonorappresentare con matrici n× n diagonali, r e chiamato il rango del gruppo disimmetria;

• i generatori sono rappresentati da matrici n× n a traccia nulla

det[ei∑

kαkGk

]=∏

k

det[eiαkGk

]= 1 ⇒ det

[eiαkGk

]= eiαkTr[Gk] = 1 ;

• il commutatore di due generatori e anch’esso, a parte un fattore, un generatoredella simmetria e le proprieta del gruppo di simmetria sono definite dallerelazioni di commutazione tra generatori

[Gj, Gk] = gjklGl

con i parametri gjkl detti costanti di struttura del gruppo di simmetria chesoddisfano le relazioni

gkjl = −gjkl∑

l

(gjklglmn + gkmlgljn + gmjlglkn) = 0 .

La seconda relazione e conseguenza della identita di Jacobi che si ottiene ruotandosu tre indici

[[Gj, Gk], Gm] + [[Gk, Gm], Gj] + [[Gm, Gj], Gk] = 0

tenendo conto delle relazioni di commutazione e del fatto che i generatori sonolinearmente indipendenti

[[Gj, Gk], Gm] =∑

l

gjkl [Gl, Gm] =∑

l

gjklglmnGn

∑

l

(gjklglmpGp + gkmlgljqGq + gmjlglkrGr) = 0

4.12.1 SU(2)

Nello spazio vettoriale a due dimensioni in cui scegliamo come vettori di base u =|up〉, d = |down〉

u =

(10

)d =

(01

)

ci sono 22−1 = 3 generatori e il rango del gruppo di simmetria e r = 2−1 = 1, cioeuno dei generatori e diagonale. Nella rappresentazione con G3 diagonale i generatorisono le matrici di Pauli

G1 =1

2

(0 11 0

)G2 =

1

2

(0 −ii 0

)G3 =

1

2

(1 00 −1

)

491

che soddisfano le relazioni di commutazione [Gj, Gk] = iεjklGl, dove εjkl e il tensorecompletamente antisimmetrico

ε123 = ε231 = ε312 = +1 ε321 = ε213 = ε132 = −1

I generatori G1, G2, G3, costituiscono la rappresentazione fondamentale di SU(2)in due dimensioni cioe del gruppo di rotazioni di isospin 1/2. Esiste un generatorediagonale, G3, che rappresenta una componente dell’isospin, oltre al modulo quadrodell’isospin che e proporzionale alla matrice identita 2× 2,

∑kG

2k = (3/4)1.

Analogamente, nella rappresentazione in piu dimensioni. Ad esempio, in tredimensioni si ha il gruppo di rotazioni di isospin 1. Le tre matrici 3×3 che soddisfanole relazioni di commutazione sono (appendice 4.12)

G1 =1√2

0 1 01 0 10 1 0

G2 =

1√2

0 −i 0i 0 −i0 i 0

G3 =

1 0 00 0 00 0 −1

Esiste un generatore diagonale, G3, oltre al modulo quadro dell’isospin,∑kG

2k = 21,

proporzionale alla matrice identita 3× 3.Gli autostati si ottengono come combinazione di due stati di isospin 1/2 utiliz-

zando i coefficienti di Clebsch-Gordan (appendice 4.10). Ci sono quattro possibilicombinazioni e si ottengono quattro autostati, un tripletto di isospin 1, simmetricorispetto allo scambio u↔ d,

|1,+1〉 = uu |1, 0〉 =ud+ du√

2|1,−1〉 = dd

e un singoletto, antisimmetrico

|0, 0〉 =ud− du√

2

La decomposizione in multipletti costituisce la rappresentazione non riducibiledi SU(2) che si esprime in modo simbolico 2

⊗2 = 3

⊕1 e si rappresenta in modo

grafico come illustrato in Fig. 4.17: si sovrappone il primo doppietto g3 = ±1/2 alsecondo sfalsato rispettivamente di -1 e +1.

+ 1/2- 1/2 + 1/2- 1/2 0- 1 + 1

G = 0

G = 1

Figure 4.17: Costruzione grafica della combinazione di due isospin 1/2

492

4.12.2 SU(3)

Nello spazio vettoriale a tre dimensioni in cui scegliamo come vettori di base

u =

100

d =

010

s =

001

ci sono 32 − 1 = 8 generatori. Il rango del gruppo di simmetria e r = 3 − 1 = 2 equindi ci sono due generatori diagonali. Nella rappresentazione in cui G3 e G8 sonodiagonali i generatori sono le matrici di Gell-Mann

G1 =1

2

0 1 01 0 00 0 0

G2 =

1

2

0 −i 0i 0 00 0 0

G3 =

1

2

1 0 00 −1 00 0 0

G4 =1

2

0 0 10 0 01 0 0

G5 =

1

2

0 0 −i0 0 0i 0 0

G6 =1

2

0 0 00 0 10 1 0

G7 =

1

2

0 0 00 0 −i0 i 0

G8 =

1

2√

3

1 0 00 1 00 0 −2

I prime sette generatori sono costruiti con le matrici di Pauli e G8 e definito dellerelazioni di commutazione, [Gj, Gk] = iγjklGl. Le costanti di struttura di SU(3)sono

γ123 = 1 γ147 = γ165 = γ246 = γ257 = γ345 = γ376 = 1/2 γ458 = γ678 =√

3/2

La somma dei quadrati dei generatori e proporzionale alla matrice identita 3 × 3,∑kG

2k = (4/3)1. Gli autovalori dei generatori diagonali sono

g3 =(

+1

2, −1

2, 0)

g8 =

(+

1

2√

3, +

1

2√

3, − 1√

3

)

4.12.3 Stati coniugati

Supponiamo che la trasformazione di coniugazione C, C|ψ〉 = |ψ〉∗, commuti con lahamiltoniana che descrive il sistema di modo che gli stati |ψ〉∗ siano anch’essi statidel sistema. Se U e una trasformazione unitaria unimodulare con generatori Gk, igeneratori della trasformazione U∗ sono gli operatori Gk = −G∗k

|ψ′〉∗ = U∗|ψ〉∗ U∗ = e−i∑

kα∗kG

∗k = ei

∑kαk(−G∗k) = ei

∑kαkGk

Se rappresentiamo i generatori con matrici hermitiane n × n, G∗k sono le matricitrasposte

Gµνk = −G∗µνk = −Gνµ

k

493

e per i generatori diagonali si ha Gk = −Gk. Quindi gli autovalori degli staticoniugati sono uguali a quelli degli stati di partenza con il segno cambiato.

Nel caso di SU(2) e semplice trovare una trasformazione per passare dalla rap-presentazione 2 alla rappresentazione 2: questa e una rotazione di π nello spaziodell’isospin. Per una rotazione si ha

R(θ) = e−iθG2 =∑

n

(−iθ)nn!

Gn2 = cos θ/2

(1 00 1

)− i sin θ/2

(0 −ii 0

)

Rπ =

(0 −11 0

)R+π =

(0 1−1 0

)

I generatori della simmetria degli stati coniugati, Gk = RπGkR+π , sono G1 = −G1,

G2 = G2, G3 = −G3 e gli autostati sono

u = Rπu = d d = Rπd = −u

che hanno autovalori di G3: g3(u) = −1/2, g3(d) = +1/2.Combinando un doppietto di 2 con uno di 2 si ottiene di nuovo un tripletto, ora

antisimmetrico, e un singoletto simmetrico, 2⊗

2 = 3⊕

1

|1,+1〉 = −ud |1, 0〉 =uu− dd√

2|1,−1〉 = du

|0, 0〉 =uu+ dd√

2

Nel caso di SU(3) non esiste una semplice trasformazione Gk → Gk. I generatoridella simmetria degli stati coniugati sono G1 = −G1, G2 = G2, G3 = −G3, G4 =−G4, G5 = G5, G6 = −G6, G7 = G7, G8 = −G8. Gli autovalori dei generatoridiagonali G3 e G8 corrispondenti agli autostati (u, d, s) sono rispettivamente

g3 =(−1

2, +

1

2, 0)

g8 =

(− 1

2√

3, − 1

2√

3, +

1√3

)

4.13 L’interazione elettromagnetica

4.13.1 Hamiltoniana di interazione

Per descrivere l’interazione tra particelle e campo elettromagnetico e opportunousare il formalismo invariante per trasformazioni di Lorentz. L’approssimazionenon relativistica e comunque adeguata per descrivere gran parte dei fenomeni infisica atomica e fisica nucleare.

Il principio di minima azione richiede che le equazioni che descrivono l’evoluzionedel sistema nel tempo si ottengono minimizzando l’integrale

∫∆t Ldt. Il principio di

relativita richiede che questo avvenga in ogni riferimento inerziale. L’intervallo di

494

tempo proprio, dt0 = dt/γ, e invariante. Quindi una lagrangiana espressa in terminidi invarianti e proporzionale a γ−1 assicura che sia rispettato il principio di relativita.

La lagrangiana funzione della massa, velocita, carica della particella e del campoelettromagnetico si puo esprimere

L(m,xj, xj) = −mc2 + q U · A

γU = (γ~v, γc) A = ( ~A, V/c)

Le componenti del momento coniugato sono

pi =∂L

∂xi= − ∂

∂vi

(mc2

γ− q~v · ~A+ qV

)= mγvi + qAi

La hamiltoniana e

H = ~p · ~v − L = mc2/γ + ~p · (~p− q ~A) + qV

La velocita in funzione del momento coniugato e

(mγ~v)2 = (~p− q ~A)2 (mγc)2 = (mc)2 + (~p− q ~A)2

~v = c~p− q ~A√

(mc)2 + (~p− q ~A)2γ =

√(mc)2 + (~p− q ~A)2

mc

Sostituendo i valori di γ e v si ottiene la hamiltoniana

H = c√

(mc)2 + (~p− q ~A)2 + qV

Se H` e ~p` sono la hamiltoniana e l’impulso della particella libera, la hamiltonianadella particella in interazione col campo elettromagnetico si ottiene con la trasfor-mazione

~p` → ~p− q ~A H` → H − qVdove ~A e V sono definiti a meno di una trasformazione di gauge. In approssimazionenon relativistica p mc, qA mc, si ha

H = mc2 +(~p− q ~A)2

2m+ qV = mc2 +

p2

2m− q

m~A · ~p+ qV +

q2 ~A2

2m

che rappresentano l’energia di riposo, l’energia cinetica e l’energia di interazione trauna particella di massa m e carica elettrica q e il campo elettromagnetico.

4.13.2 Quantizzazione del campo

In meccanica quantistica la hamiltoniana e espressa in termini di operatori. L’operatoreimpulso e −ih~∇. L’operatore campo elettromagnetico viene definito in termini dioperatori di creazione e distruzione degli autostati che sono i modi normali di vi-brazione del campo.

495

In assenza di cariche l’equazione del potenziale vettore e l’equazione di d’Alembert.La soluzione si puo esprimere come serie di Fourier. La dipendenza dalle coordinatespaziali e definita in un volume V dalle funzioni

V −1/2 εs(~k)ei~k·~r

dove εs(~k) sono versori di polarizzazione ortogonali tra loro e ortogonali al vettore~k, (s = 1, 2). I modi normali di vibrazione sono definiti dalle condizione

kx =2π

Lxn , . . . LxLyLz = V n = 0, 1, 2 . . .

La soluzione per il campo, a meno di un fattore di normalizzazione, e

~A(~r, t) =∑

~k

∑

s

εs(~k)[as(~k, t)e

i~k·~r + a∗s(~k, t)e−i~k·~r

]

L’ampiezza as(~k, t) soddisfa l’equazione dell’oscillatore armonico

∂2

∂t2as(~k, t) + ω2

kas(~k, t) = 0 ωk = c|~k|

In analogia con l’oscillatore armonico quantistico consideriamo le ampiezze comeoperatori di creazione e distruzione dei modi normali di vibrazione del campo carat-terizzati da impulso h~k e energia hω~k

a|n〉 = n1/2|n− 1〉 a+|n〉 = (n+ 1)1/2|n+ 1〉 [a, a+] = 1

L’operatore campo elettromagnetico e l’operatore vettoriale

~A(~r, t) = A∑

~k

∑

s

εs(~k)[as(~k)ei(

~k·~r−ωt) + a+s (~k)e−i(

~k·~r−ωt)]

dove A e un fattore di normalizzazione.Gli autostati |n, s,~k〉 sono caratterizzati da n fotoni con polarizzazione εs, im-

pulso h~k e energia hωk = hck. L’operatore as(~k) assorbe un fotone e l’operatore

a+s (~k) emette un fotone con le regole di commutazione [as(~k), a+

s′(~k′)] = δs,s′δk,k′ . Gli

operatori vettoriali campo elettrico e campo magnetico sono

~E = −∂~A

∂t= A

∑

~k

∑

s

iωk εs(~k)[as(~k)ei(

~k·~r−ωt) − a+s (~k)e−i(

~k·~r−ωt)]

~B = ~∇× ~A = A∑

~k

∑

s

i~k × εs(~k)[as(~k)ei(

~k·~r−ωt) − a+s (~k)e−i(

~k·~r−ωt)]

I moduli quadri dei valori di aspettazione per stati di n fotoni sono

|〈n| ~E|n〉|2 = 2nω2A2 |〈n| ~B|n〉|2 = 2n~k2A2

Il fattore di normalizzazione e definito dal valore dell’energia del campo nel volumedi normalizzazione V

U =V

2

(ε0〈 ~E2〉+ 〈 ~B2〉/µ0

)= nV ε0

(ω2 + c2~k2

)A2 = nhω A =

(h

2V ε0ω

)1/2

496

4.14 Legge di decadimento

La probabilita di decadimento di un sistema nell’intervallo di tempo infinitesimo dte definita dalla costante di decadimento, λ, che ha le dimensioni dell’inverso di untempo ed e una grandezza caratteristica del sistema e dell’interazione che produceil decadimento

dP = λdt

Se si hanno N sistemi identici, se il numero N e sufficientemente grande da poterloconsiderare come una variabile continua e se i decadimenti sono indipendenti, lavariazione del numero N per effetto del decadimento e

−dN = λNdt

Integrando l’equazione con la condizioneN(t = 0) = N0 si ha la legge di decadimento

N(t) = N0e−λt

Il numero di sistemi sopravvissuti al tempo t e caratterizzato dalla funzione di dis-tribuzione

f(t) = λe−λt∫ ∞

0f(t) dt = 1

Il valor medio della distribuzione e la vita media di decadimento

τ = 〈 t 〉 =∫ ∞

0λe−λttdt =

1

λ

Il decadimento e un fenomeno statistico casuale che non trova spiegazione nellameccanica classica deterministica. In meccanica quantistica un sistema e descrittodagli autostati definiti ad un certo istante, t = 0, e dalla loro evoluzione temporale.Se Ek sono gli autovalori di energia, e il sistema si trova al tempo t = 0 nello statostazionario |ψj〉, con autovalore Ej0, l’autostato al tempo t

|ψj(t)〉 = |ψj0〉 e−iEjt/h

conserva la densita di probabilita: 〈ψj(t)|ψj(t)〉 = 〈ψj0|ψj0〉, cioe il sistema e stabile.Se il sistema e soggetto ad una interazione dipendente dal tempo descritta dallahamiltoniana HI l’autovalore di energia viene modificato dall’interazione

Ej → Ej + 〈j|HI |j〉+∑

k 6=j

|〈k|HI |j〉|2Ek − Ej

− iπ∑

k 6=j|〈k|HI |j〉|2 δ(Ek − Ej) + . . .

e lo stato non e piu stazionario per effetto del fattore immaginario nell’evoluzionetemporale. La grandezza

Γj = 2π∑

k 6=j|〈k|HI |j〉|2δ(Ek − Ej)

497

e chiamata larghezza di decadimento. L’evoluzione temporale dello stato diventa

|ψj(t)〉 = |ψj0〉e−iEjt/he−Γjt/2h

e la densita di probabilita decresce in modo esponenziale nel tempo

〈ψj(t)|ψj(t)〉 = 〈ψj0|ψj0〉e−Γt/h

La larghezza di decadimento rappresenta l’incertezza con cui e nota l’energia dellostato |ψj〉 non stazionario ed e legata alla vita media dello stato dalla relazione diindeterminazione

Γτ = h

Per ottenere la funzione di distribuzione dell’energia attorno al valor medio Ej con-sideriamo la trasformata di Fourier dell’evoluzione temporale dello stato |ψj〉

χ(E) = κ∫eiEt/hψ(t)dt = κ

∫ψj0 e

(i/h)(E−Ej+iΓ/2)t dt = κψj0h/i

E − Ej + iΓ/2

La probabilita che il sistema abbia energia E e

P (E) = |χ(E)|2 = κ2|ψj0|2h2

(E − Ej)2 + (Γ/2)2

dove la costante κ e definita dalla condizione di normalizzazione∫P (E)dE = 1

P (E) =1

π

Γ/2

(E − Ej)2 + (Γ/2)2

Quindi uno stato instabile che ha vita media τ ha una distribuzione in energiaattorno al valore Ej che e una funzione lorentziana con larghezza a meta altezzapari a Γ.

Se il sistema decade nello stato |ψf〉 per effetto della hamiltoniana di interazioneHI , la largezza di decadimento, al primo ordine dello sviluppo perturbativo, si calcolacon la regola d’oro di Fermi (appendice 4.15)

Γj→f = 2π|〈ψf |HI |ψj〉|2ρ(Ef )

Il sistema puo decadere in piu stati: in questo caso il decadimento |ψj〉 → |ψk〉 ecaratterizzato dalla larghezza parziale di decadimento Γk. La larghezza (totale) ela somma delle larghezze parziali (la probabilita di decadimento e la somma delleprobabilita dei diversi canali di decadimento) e la vita media dello stato |ψj〉 e

h

τ= Γ =

∑

k

Γk

Il rapporto Γk/Γ e chiamato frazione di decadimento o branching ratio

BRk =ΓkΓ

∑

k

BRk = 1

498

4.15 Probabilita di transizione

Consideriano un sistema descritto dalla hamiltoniana H0 indipendente dal tempo.L’evoluzione temporale del sistema sistema si esprime

|ψ0(~r, t)〉 =∑

n

an|un(~r)〉e−iEnt/h

dove un(~r) e un insieme completo di autostati stazionari di H0, 〈um|un〉 = δmn, conautovalori En. Se il sistema e soggetto ad una interazione descritta dalla hamiltoni-ana dipendente dal tempo HI(t), la soluzione dell’equazione del moto

ih∂

∂t|ψ(~r, t)〉 = [H0 +HI(t)] |ψ(~r, t)〉

si puo approssimare con il metodo delle perturbazioni dipendenti dal tempo. Con-sideriamo una soluzione sovrapposizione degli autostati della hamiltoniana imper-turbata con coefficienti dipendenti dal tempo an(t) che soddisfano la relazione dinormalizzazione Σn|an(t)|2 = 1

|ψ(~r, t)〉 =∑

n

an(t)|un(~r)〉e−iEnt/h

am(t) e l’ampiezza dell’autostato |um〉 al tempo t. Introducendo questa soluzionenell’equazione del moto

ih∑

n

an|un〉e−iEnt/h +∑

n

an|un〉Ene−iEnt/h =

=∑

n

anHo|un〉e−iEnt/h +∑

n

anHI |un〉e−iEnt/h

e calcolando il prodotto scalare tra due stati

ih∑

n

an〈um|un〉e−iEnt/h =∑

n

an〈um| HI |un〉e−iEnt/h

si ottiene l’equazione che descrive l’evoluzione dei coefficienti am(t)

iham(t) =∑

n

an(t)〈um|HI |un〉ei(Em−En)t/h

Supponiamo che la hamiltoniana di interazione sia spenta per t < 0, che all’istantet = 0 il sistema si trovi nell’autostato |uj〉, an(0) = δjn, e che per t > 0 l’azionedella hamiltoniana HI(t) possa considerarsi come una perturbazione, cioe che per glielementi di matrice si possa approssimare

HnmI (t) = 〈un|HI(t)|um〉〈un|H0|um〉

in un intervallo di tempo ∆t sufficiente a permettere al sistema di evolvere nellostato finale considerato. Sviluppando in serie i coefficienti an(t) per n 6= j

an(t) = an(0) + an(0)t+ . . . = an(0)− i

h

∑

k

ak(0)HknI t+ . . .

499

le ampiezze soddisfano l’equazione differenziale

iham(t) =∑

n

[an(0)− i

h

∑

k

ak(0)HknI t+ . . .

]HnmI eiωnmt =

=∑

n

an(0)HnmI eiωnmt − i

h

∑

nk

ak(0)HknI Hnm

I eiωnmtt+ . . . =

=∑

n

δjnHnmI eiωnmt − i

h

∑

nk

δjkHknI Hnm

I eiωnmtt+ . . . =

= HjmI eiωjmt − i

h

∑

n

HjnI H

nmI eiωnmtt+ . . .

che ha la soluzione approssimata

am(t) = − ih

∫ t

0HjmI eiωjmt

′dt′ +

1

h2

∫ t

0

∑

n

HjnI H

nmI eiωnmt

′t′dt′ + . . .

Il primo termine dello sviluppo in serie e

am(t) = −HjmI

hωjm(1− eiωjmt) =

HjmI

hωjm2ieiωjmt/2 sinωjmt/2

dove HjmI e il valor medio dell’elemento di matrice nell’intervallo di tempo 0÷ t. La

probabilita di trovare il sistema nello stato |um〉 al tempo t e

Pj→m(t) = |am(t)|2 = 4|HjmI |2

sin2(Em − Ej)t/2h(Em − Ej)2

La probabilita di transizione dallo stato iniziale |ui〉 ad un qualunque stato finale|uf〉 si ottiene sommando sugli stati finali accessibile al sistema

Pi→f (t) = 4∑

f

|H ifI |2

sin2(Ef − Ei)t/2h(Ef − Ei)2

Se si ha una distribuzione continua di stati con densita di energia ρ(Ef ) = dn/dEf ,la somma diventa un integrale sull’energia dello stato finale Ef

Pi→f (t) =1

h2

∫|H if

I |2sin2(Ef − Ei)t/2h[(Ef − Ei)/2h]2

ρ(Ef ) dEf

La funzione sin2 ωt/ω2 e oscillante con valori rapidamente decrescenti, cioe il con-tributo all’integrale e limitato ad un intervallo di energia attorno a Ei in cui ∆E t ≈2πh. Se facciamo una osservazione del sistema dopo un tempo t 2πh/∆E ≈(4 10−15 eV/∆E) secondi, otteniamo

limt→∞

1

π

sin2 ωt

ω2= tδ(ω)

500

Pi→f (t) ≈2π

ht∫|H if

I |2δ(Ef − Ei)ρ(Ef ) dEf

La probabilita di transizione nell’unita di tempo dallo stato iniziale |i〉 allo stato finale|f〉, calcolata al primo ordine dello sviluppo perturbativo in meccanica quantisticanon relativistica e data dalla relazione

Pi→f =2π

h|〈f |HI |i〉|2ρ(Ef )

nota come regola d’oro di Fermi.

4.16 Densita dello spazio delle fasi

Nell’appendice 4.15 abbiamo derivato la probabilita di transizione nell’unita ditempo che dipende dal numero di stati finali per intervallo unitario di energia. Il nu-mero di stati di un sistema e definito nello spazio delle fasi delle variabili coniugate(~r, ~p). Il principio di indeterminazione stabilisce la condizione per cui si possanodefinire simultaneamente due variabili coniugate

∆x∆px > h

per cui il numero di stati di un sistema in una dimensione e il rapporto tra il volumedello spazio delle fasi accessibile al sistema e la dimensione della cella elementare

∫ dxdpx∆x∆px

Per definire il fattore ∆x∆px consideriamo il moto di una particella in una dimen-sione e le autofunzioni normalizzate su una distanza L

ψn(x) =1

L1/2eipnx/h

La condizione al contorno

ψn(x) = ψn(x+ L) ⇒ pn = (2πh/L)n

definisce gli autovalori degli stati stazionari e il numero di stati per intervallo unitarionelle variabili coniugate

∆n =pL

2πhd2n =

dxdpx2πh

Per un sistema in tre dimensioni si ha

d6n = gdxdydzdpxdpydpz

(2πh)3= g

d~rd~p

(2πh)3

dove il fattore g tiene conto della molteplicita di ciascuno stato dovuta a gradi diliberta diversi dalle variabili coniugate, ad esempio i possibili stati di spin.

501

La regola d’oro di Fermi e usata di frequente per calcolare la costante di decadi-mento oppure la sezione d’urto come funzioni di alcune particolari variabili. Inquesto caso la densita degli stati si ottiene integrando d6n su tutte le altre variabilie derivando rispetto all’energia totale

ρ(E) =dn

dE=

d

dE

∫d6n

Esempio 1

Stati di una particella di massa m e spin 0 normalizzati in un volume V . Integrandosulle variabili spaziali e esprimendo d~p in coordinate polari

ρ(E)dpdΩ =

[V

(2πh)3p2 dp

dE

]dpdΩ

• in meccanica non relativistica, E = p2/2m, dE = pdp/m,

ρ(E) =V

(2πh)3mp

• in meccanica relativistica, E2 = (mc2)2 + (pc)2, EdE = c2pdp

ρ(E) =V

(2πh)3

pE

c2

nel limite p mc, E ' mc2 si ottiene il caso precedente.

Per un fotone (E = pc = hν) con due stati di polarizzazione

ρ(E)dpdΩ =2V

(2πh)3

p2

cdpdΩ =

2V

c3ν2dνdΩ

e, integrando sugli angoli, il numero di stati per unita di frequenza e

dn =8π

c3ν2dν

Esempio 2

Per un sistema di due particelle, ad esempio lo scattering m1 m2 → m′1 m′2 oppure il

decadimento M → m1 m2, la conservazione dell’energia e dell’impulso costituisce unvincolo per cui le variabili delle due particelle non sono indipendenti. Nel riferimentodel centro di massa ~p1 + ~p2 = 0, p2

1 = p22, p1dp1 = p2dp2

dE = dE1 + dE2 =p1c

2

E1

dp1 +p2c

2

E2

dp2 =E1 + E2

E1E2

c2p1dp1

la densita degli stati in funzione delle variabile di una delle due particelle e

ρ(E) dp1dΩ1 =V

(2πh)3

E1E2

E

p1

c2dp1dΩ1

Nel limite E1 E2 abbiamo il caso dell’esempio precedente.

502

Esempio 3

Per un sistema di tre particelle, E1 +E2 +E3 = E, ~p1 + ~p2 + ~p3 = 0, le variabili didue particelle sono indipendenti e la densita dello spazio delle fasi in funzione dellevariabili di due particelle e

d12n =d~r1d~r2d~p1d~p2

(2πh)6ρ3(E) =

V 2

(2πh)6

d

dE

∫d~p1d~p2

Analogemte, per un sistema di n particelle la densita dello spazio delle fasi dellaparticella n−esima in funzione delle variabili delle particelle 1, 2, . . . , n− 1 e

ρn(E) =V n−1

(2πh)3(n−1)

d

dE

∫d~p1 . . . d~pn−1

Introducendo esplicitamente nell’integrale il vincolo di conservazione di energia eimpulso

ρn(E) =V n−1

(2πh)3(n−1)

d

dE

∫δ3 (Σn~pn) δ (ΣnEn − E) d~p1 . . . d~pn

4.17 Il modello atomico di Thomas-Fermi

Il modello atomico di Thomas-Fermi e un modello statistico che descrive il sistemacostituito dal nucleo di carica +Ze e di N elettroni (N 1) di carica −e confinatiin una regione di volume V da un potenziale U(~r). Il potenziale che agisce su unelettrone e il risultato dell’azione attrattiva del nucleo e di quella repulsiva degli altrielettroni. Per atomi neutri N = Z. Per ioni positivi di carica ze si ha N = Z − z.Il potenziale U(~r) soddisfa le seguenti ipotesi:

• e a simmetria sferica con origine nel nucleo;

• U(r)→ 0 per r →∞.

Il sistema e trattato come un gas degenere di fermioni di spin 1/2. Il numero distati occupati e ∫

d6n =∫

2d~rd~p

(2πh)3=

2V

(2πh)3

4π

3p3F = N

dove pF e l’impulso di Fermi. La densita di elettroni e

ρ(r) =N

V=

p3F

3π2h3

Poiche il sistema legato e in uno stato di equilibrio, il valore massimo dell’energiatotale di un elettrone non puo dipendere da r ed e negativo nel volume V

Emax =p2F

2m+ U(r) ≤ 0

503

La funzione

φ(r) = −U(r)

e+Emaxe

e legata alla densita dalla relazione

ρ(r) =1

3π2h3 [2meφ(r)]3/2 per φ(r) > 0 ρ(r) = 0 per φ(r) ≤ 0

φ(r) si annulla sulla superficie che delimita il volume V dove si ha U(r) = Emax.Per un atomo neutro Emax = 0, per uno ione positivo Emax < 0. La funzione φ(r) eil potenziale elettrostatico a meno di una costante e soddisfa l’equazione di Poisson

∇2φ(r) =1

r

d2

dr2rφ(r) =

eρ(r)

ε0

Dalle due relazioni precedenti si ottiene l’equazione del potenziale

1

r

d2

dr2rφ(r) =

e

3π2ε0

[2me

h2

]3/2

[φ(r)]3/2 φ(r) > 0

con le condizioni al contorno

• la densita di carica e nulla all’esterno del volume V ;

• il potenziale per r → 0 e il potenziale coulombiano prodotto dalla carica delnucleo;

1

r

d2

dr2rφ(r) = 0 φ(r) ≤ 0 lim

r→0rφ(r) =

Ze

4πε0

Possiamo esprimere l’equazione del potenziale in termini della variabile adimension-ale x e della funzione adimensionale Φ(x)

r = ax rφ(r) =Ze

4πε0Φ(x)

d2Φ

dx2=

4

3π22/3Z1/2a3/2

[me2

4πε0h2

]3/2Φ3/2

x1/2= f(Z)

Φ3/2

x1/2

Il parametro a rappresenta la scala di estensione della densita di carica e del poten-ziale. Ponendo f(Z) = 1, a e definito dalla carica del nucleo e del raggio atomico diBohr (a0 = 4πε0h

2/me2):

a =

(9π2

128

)1/3

a0Z−1/3 = 0.885 a0Z

−1/3

L’estensione spaziale della densita di elettroni nell’atomo diminuisce all’aumentaredella carica in modo proporzionale a Z−1/3. La densita e

ρ(x) =Z

4πa3

Φ3/2

x3/2Φ > 0 ρ(r) = 0 Φ ≤ 0

504

Il potenziale soddisfa l’equazione di Thomas-Fermi

d2Φ

dx2=

Φ3/2

x1/2Φ > 0

con le condizioni al contorno

d2Φ

dx2= 0 Φ ≤ 0 Φ(0) = 1

Le condizioni sulla funzione Φ(x) implicano che questa si annulli in un punto Xnell’intervallo 0 < x < ∞. La distanza R = aX definisce il volume V in cuiρ(r) 6= 0. I valori della funzione Φ e della derivata Φ′ nel punto x = X sono legatidalla condizione di normalizzazione della densita,

∫ρ(r)d~r = N

∫

Vρ(r)4πr2dr =

∫ X

0

Z

4πa3

Φ3/2

x3/24πa3x2dx = Z

∫ X

0Φ3/2x1/2dx = Z

∫ X

0

d2Φ

dx2xdx =

= Z [xΦ′ − Φ]X0 = Z[XΦ′(X) + 1] = N ⇒ XΦ′(X) =

N − ZZ

= − zZ

L’andamento del potenziale Φ(x) e mostrato nella Fig. 4.18 per atomi neutri e ionipositivi

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0

neutral atom

positive ion

x

F

z/Z

(x)

Figure 4.18: Potenziale del modello di Thomas-Fermi

• per un atomo neutro, N = Z, la funzione e la derivata sono entrambe nulle nelpunto X e quindi risulta X =∞, cioe la densita di carica si annulla all’infinito;

• per uno ione di carica +ze si ha XΦ′(X) = −z/Z, il limite del volumedell’atomo e finito e la tangente Φ′(X) interseca l’asse x = 0 nel punto +z/Z;

• L’equazione di Thomas-Fermi non ha soluzioni per ioni negativi.

Il modello statistico non e in grado di riprodurre l’andamento del potenziale delsingolo elettrone. Fornisce comunque informazioni sull’energia di ionizzazione media.Il valor medio dell’energia cinetica degli elettroni e

〈Ec〉 =1

N

∫ pF

0

p2

2m

8πV

(2πh)3p2dp =

3

5

p2F

2m=

3

5eφ(r)

505

Il valore medio dell’energia totale e quindi

〈E〉 = − 1

N

2

5

∫

Veφ(r)ρ(r)d~r = − 2

5N

∫ X

0

Ze2

4πε0

Z

4πa3Φ

Φ3/2

x3/24πa2xdx =

= − 2

5N

Z2e2

4πε0a

∫ X

0ΦΦ′′dx

L’integrale non dipende dalla carica ne dalle dimensioni dell’atomo. L’energia dilegame mediata su tutti gli elettroni e proporzionale all’energia di legame dell’atomodi idrogeno (e2/4πε0a0) e, per N = Z, e proporzionale a Z4/3.

Queste considerazioni mettono in luce alcune differenze sostanziali tra i sistemiatomici, in cui il potenziale e ∼ 1

r, e i sistemi nucleari in cui il potenziale e a breve

raggio di azione:

• il raggio medio di un atomo con Z elettroni e proporzionale a Z−1/3;

• l’energia di legame media degli elettroni e proporzionale a Z4/3;

• il raggio medio di un nucleo con A nucleoni e proporzionale a A1/3;

• l’energia di legame media dei nucleoni e costante.

4.18 Stelle di neutroni

L’evoluzione di una stella e determinata dall’equilibrio tra l’energia gravitazionalee l’energia cinetica dei nuclei e elettroni che la costituiscono. In una stella relativa-mente giovane, come il Sole oggi, l’energia e prodotta dalle reazioni nucleari, preva-lentemente la fusione di Idrogeno in Elio. La potenza irraggiata e ∼ 3.8 1026 We, nell’ipotesi che questa sia prodotta dai cicli di fusione dell’idrogeno, si ottieneche le condizioni al centro del Sole sono: densita ρ ∼ 150 g/cm3, temperaturaT ∼ 1.5 107 K. In queste condizioni, kT ∼ 1.3 keV , gli atomi degli elementi leggerisono ionizzati e l’ambiente e un plasma di nuclei e elettroni.

Nelle reazioni di fusione la frazione di nuclei leggeri (Idrogeno) diminuisce afavore della frazione di nuclei pesanti (Elio), diminuisce il tasso di produzione dienergia, la stella si contrae convertendo l’energia gravitazionale in energia cinetica,aumenta la densita e la temperatura rendendo possibile la fusione dei nuclei concarica elettrica maggiore e la formazione di Carbonio, Ossigeno e eventualmentenuclei di massa maggiore. Le condizioni di temperatura assicurano che nuclei edelettroni siano disaccoppiati nello stato di plasma. Gli elettroni formano un gas diFermi (capitolo 2.2), che possiamo considerare degenere, con densita

d6n = 2d~rd~p

8π3h3 dn =V p2dp

π2h3 Ne =∫ pF

0dn =

V

3π2h3 p3F

pF c =(Ne

V

) 13

(3π2)13 hc = n

13e × (6.1 10−11 MeV cm) (4.2)

506

Quando la stella e nelle condizioni di sintetizzare il Carbonio la temperatura haraggiunto kT ∼ 10 keV e la densita centrale e maggiore di ∼ 105 g/cm3

pF c > 200 keV ne > 3 1028 cm−3 ρ =A

ZN0

ne > 105 g cm−3

l’energia di Fermi e maggiore dell’energia termica e gli elettroni sono relativistici.In queste condizioni l’equilibrio della stella e determinato dal bilancio tra l’energiagravitazionale e l’energia del gas di Fermi. L’energia media e

〈Ee〉 =1

Ne

∫ pF

0

[(mc2)2 + (pc)2

] 12 V p

2dp

π2h3 =1

ne

(mc2)4

π2(hc)3

∫ x

0(1+z2)

12 z2dz x =

pFmc

〈Ee〉 =1

ne

mc2

π2λ3e

f(x) =1

nef(x)× (0.90 1030 MeV cm−3) (4.3)

λe = hmc

= 3.86 10−11 cm e la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone e

f(x) =1

8

[(1 + x2)

12 (x+ 2x3)− ln(x+ (1 + x2)

12 )]

L’evoluzione della stella dipende dalla sua massa e dalla densita che puo raggiungere.Distinguamo due casi estremi

• x 1∫ x

0

(1 + 1

2z2 + . . .

)z2dz = 1

3x3 + 1

10x5 + . . .

• x 1∫ x

0 (1 + z2)12 z2dz = 1

4x2 + 1

4x4 + . . .

L’energia totale del gas di elettroni e

Ee = Ne〈Ee〉 = Vmc2

π2λ3e

f(x)

La pressione del gas di elettroni si deriva considerando una trasformazione senzascambio di energia (adiabatica)

dEe + PedV = δQ = 0 Pe = −∂Ee∂V|Q = −mc

2

π2λ3e

[f(x) + V

∂f(x)

∂x

∂x

∂V

]

∂f(x)

∂x= x2√

1 + x2 x = (3π2Ne)13V −

13λe

∂x

∂V= −1

3

x

V

Pe =mc2

π2λ3e

[1

3x3√

1 + x2 − f(x)]

Per x 1

Pe =mc2

π2λ3e

1

15x5 (4.4)

Per x 1

Pe =mc2

π2λ3e

1

12(x4 − x2) (4.5)

507

L’energia gravitazionale di una stella di massa M e raggio R e

E =∫ R

0ρ(r)U(r)dV U(r) = −Gm(r)

rdm(r) = ρ(r)dV

Assumendo simmetria sferica e densita che decresce per r → R, ad esempio ρ(r) =ρ0[1 − (r/R)n] con n > 0 (il caso di densita uniforme, ρ(r) = ρ0 = 3M

4πR3 , si ha pern→∞)

m(r) =∫ r

0ρ0[1− (r′/R)n]4πr′2dr′ =

4π

3ρ0r

3[1− 3

3 + n

(r

R

)n]

m(R) = M ρ0 =3M

4πR3

3 + n

n

E = −3

5

GM2

Rζ(n) con ζ(n) ' 1

La pressione esercitata dalla gravita e

d~P = −Gρ(r)m(r)

r2d~r =

3GM2

4πR6

[3 + n

n

]2 [1−

(r

R

)n] [1− 3

3 + n

(r

R

)n]rd~r

Integrando con la condizione P (R) = 0 e approssimando P = P (r → 0)

P =3

8π

GM2

R4η(n) con η(n) ' 1

All’equilibrio la pressione gravitazionale uguaglia quella del gas di elettroni. Nelcaso di stelle di bassa densita e temperatura, per cui gli elettroni non sono relativis-tici, ρ < 105 g/cm3, x 1, dalla relazione (4.4) si ha

1

15π2

mc2

λ3e

x5 =3

8π

GM2

R4η

Esprimendo la densita di elettroni NeV

= 12NpV

= 12Mmp

34πR3 , (mp = 10−3 Kg

6 1023) si ha

1

15π2

mc2

λ3e

λ5e

(9π

8

) 53

(M

mp

) 53 1

R5= η

3

8π

Gm2p

R4

(M

mp

)2

La costanteGm2p ha dimensione di energia×lunghezza: Gm2

p = 6.67 10−11(

10−3

6 1023

)2J m =

1.16 10−51 MeV m = κhc, con κ = 5.9 10−39

0.464λeR

= κη

(M

mp

) 13 λe

R= 1.27 10−38 η

(M

mp

) 13

Nelle stelle che non hanno massa e densita elevate, per x 1, il volume e inversa-mente proporzionale alla massa. Per una massa pari a quella del Sole, M = M =1.99 1030 Kg, M

mp= 1.2 1057, si ha R ∼ 3 106 m simile al raggio della Terra. La

508

stella non raggiunge le condizioni per la sintesi di nuclei di massa maggiore del Car-bonio e esaurisce lentamente il combustibile nucleare. La temperatura superficialee ∼ 104 K e lo spettro di luce e bianco, sono dette nane bianche.

Nel caso di elevata densita e temperatura, per elettroni relativistici, x 1, dallarelazione (4.5) si ha

1

12π2

mc2

λ3e

(x4 − x2) = η3

8π

GM2

R4

2

9π

mc2

λ3e

λ4

e

(9π

8

) 43

(M

mp

) 43 1

R4− λ2

e

(9π

8

) 23

(M

mp

) 23 1

R2

= η

Gm2p

R4

(M

mp

)2

A

(M

mp

) 23

−B(R

λe

)2

= C

(M

mp

) 43

A =2

9π

(9π

8

) 43

B =2

9π

(9π

8

) 23

C = κη

(R

λe

)2

=A

B

(M

mp

) 23

1− C

A

(M

mp

) 23

Si ha equilibrio se

M

mp

<(A

C

) 32 M

M<(A

C

) 32 mp

M= 1

Il limite e approssimativamente la massa del Sole. In una stella di massa maggioredi questo limite la pressione del gas di elettroni non riesce a bilanciare la pressionegravitazionale, la stella tende a implodere aumentando la densita. Un modellorealistico della densita ρ(r) determina il valore limite per la massa di una nanabianca, detto limite di Chandrasekar 4, pari a circa 1.4M. Questo valore di massasi riferisce ad una stella dopo aver convertito gran parte della massa in energia, chee pari a circa un quarto della massa iniziale.

In una stella con massa maggiore del limite di Chandrasekar l’energia gravi-tazionale si converte in energia cinetica e aumenta la temperatura rendendo possi-bile la fusione di nuclei di massa maggiore del Carbonio. Questo processo si arrestacon il nucleo di 56

26Fe che ha il massino rapporto tra energia di legame e massa (capi-tolo 2.1). In queste condizioni gli elettroni sono relativistici e si produce la catturaelettronica (decadimento β inverso)

e− p→ n ν

L’energia cinetica di soglia e K = mn−mp−me = 0.78 MeV e per rendere possibilela cattura elettronica l’energia media degli elettroni e almeno 〈Ee〉 = 1.29 MeV .Usando l’approssimazione per x 1, dalla relazione (4.3) si ha

〈Ee〉 =3

4

(pF c+

(mc2)2

pF c+ . . .

)→ pF c > 1.5 MeV

4 Premio Nobel per la fisica nel 1983

509

e dalla relazione (4.2) si ha

ne > 1.6 1031 cm−3 ρ =56

26

neN0

> 6.0 107 g cm−3

In queste condizioni l’energia di Fermi e EF = 1.6 MeV e la temperatura corrispon-dente e 1.9 1010 K molto maggiore della temperatura della stella. Il gas di elettrone edegenere, tutti gli stati di elettroni di energia minore dell’energia di Fermi sono occu-pati e il decadimento β dei neutroni e impedito. Il processo di conversione di protoniin neutroni, la neutronizzazione della stella, e quindi irreversibile. Lo stesso accadeper la cattura elettronica da parte dei nuclei prodotti nella stella e− A

ZX → AZ−1Y ν.

Nel processo di neutronizzazione diminuisce la densita di elettroni e l’effetto dellarepulsione coulombiana tra i protoni, e dimuisce l’energia cinetica poiche i neutriniinteragendo solo debolmente non contribuiscono al bilancio energetico. La stellaevolve rapidamente in una supernova, espelle i neutrini e si contrae ulteriormentefino a raggiungere uno stato in cui la frazione di elettroni e protoni e molto minore diquella dei neutroni, la pressione gravitazionale e bilanciata da quella del gas di neu-troni e la densita e approssimativamente uguale alla densita nucleare (capitolo 2.1)

ρ =3

4π

1

R3NN0

= 3 1014 g cm−3

Una stella che ha inizialmente dieci volte la massa del Sole diventa una stella dineutroni con raggio R = (MN0)

13RN ∼ 20 Km.

4.19 Equazioni quantistiche relativistiche

Richiamiamo brevemente le proprieta dell’equazione del moto di Schrodinger:

• l’equazione di evoluzione degli stati di un sistema

ih∂

∂tψ = Hψ

e definita dall’operatore hamiltoniano che rappresenta l’energia del sistema infunzione delle variabili coniugate (~r, ~p);

• l’energia e l’impulso sono rappresentati dagli operatori

E = ih∂

∂t~p = −ih~∇

• gli stati del sistema sono rappresentati dalla funzione d’onda ψ(~r, t);

• la densita di probabilita e la densita di corrente per una particella di massa msoddisfano l’equazione di continuita

ρ = ψ∗ψ ~j =h

2im(ψ∗~∇ψ − ψ~∇ψ∗) ~∇ ·~j +

∂ρ

∂t= 0

510

SeH = (−ih~∇)2/2m e la hamiltoniana della particella libera, l’equazione di Schrodingernon e invariante per trasformazioni di Lorentz. Cerchiamo di impostare un’equazionedel moto che conservi le proprieta dell’equazione di Schrodinger e che sia relativis-ticamente invariante.

4.19.1 Equazione di Klein-Gordon

Il 4-vettore energia-impulso, P = (~p, E/c) = (−ih~∇, ih∂/∂ct), definisce un invari-ante

P 2 = −~p 2 + E2/c2 = (mc)2

che possiamo utilizzare per impostare l’equazione del moto della particella libera

equazione di Klein-Gordon

[h2~∇2 − h2

c2

∂2

∂t2

]φ = (mc)2φ

dove φ(~r, t) e una funzione scalare.Nel seguito usiamo la convenzione h = 1, c = 1. Introducendo l’operatore

d’alembertiano ∆2 = −~∇2 +∂2/∂t2, l’equazione di Klein-Gordon si esprime in modocompatto

(∆2 +m2)φ = 0

Questa equazione ha come soluzione una sovrapposizione di onde piane del tipo

φ(~r, t) = Nei(~p·~r−Et) = Ne−ip·x

dove N e una costante di normalizzazione; p · x = Σµνgµνpµxν ; µ, ν = 1, 2, 3, 4; gµνe il tensore metrico. Sostituendo la soluzione nell’equazione del moto si ottengonoautovalori dell’energia sia positivi che negativi: E = ±[p2 +m2]1/2. Qui incontriamoun serio problema poiche valori negativi dell’energia non corrispondono a stati diuna particella libera. Un secondo serio problema si incontra nella definizione delladensita di probabilita. Se consideriamo l’equazione di Klein-Gordon e l’equazioneconiugata

(∆2 +m2)φ = 0 (∆2 +m2)φ∗ = 0

e moltiplichiamo la prima per φ∗ e la seconda per φ, otteniamo la relazione

φ∗∆2φ = φ∆2φ∗

e possiamo verificare che esiste una equazione di continuita, ∂ρ/∂t = −~∇ · ~j, sod-disfatta dalle funzioni

ρ = i(φ∗∂φ

∂t− φ∂φ

∗

∂t) = |N |22E ~j = −i(φ∗~∇φ− φ~∇φ∗) = |N |22~p

La densita di corrente e definita come nel caso non relativistico, ma la densita diprobabilita dipende dalla variazione nel tempo della funzione d’onda. Inoltre ladensita di probabilita non e definita positiva.

511

La costante di normalizzazione viene fissata richiedendo che ρdV sia invariante.In una trasformazione di Lorentz il volume si contrae ∼ γ−1 e quindi |N |22EdVe indipendente dal volume di normalizzazione. Nel seguito consideriamo la nor-malizzazione in un volume unitario che corrisponde a normalizzare gli autostatidell’equazione di Klein-Gordon con due particelle per unita di volume corrispon-denti ai due autostati di energia.

L’equazione di Klein-Gordon ammette soluzioni con energia e densita di prob-abilita negative e quindi non puo rappresentare l’equazione del moto di una par-ticella con massa m 6= 0. Nel caso m = 0 si ha l’equazione di d’Alembert chedescrive il campo elettromagnetico e gli autovalori E = ±p rappresentano due statidi propagazione del campo simmetrici per inversione della direzione del moto, osimmetrici per inversione del tempo. Vedremo che la simmetria per inversionetemporale permette di interpretare le soluzioni a energia negativa dell’equazionedi Klein-Gordon come soluzioni a energia positiva che si propagano all’indietro neltempo.

4.19.2 Equazione di Dirac

Le difficolta incontrate nell’interpretazione dell’equazione di Klein-Gordon sono orig-inate dal fatto che l’evoluzione degli stati dipende dalla derivata seconda ∂2/∂t2. Nel1927 Paul Dirac propose un’equazione relativisticamente invariante che descrive ilmoto di fermioni. Dirac parte dall’ipotesi che l’evoluzione degli stati di fermionideve essere descritta dalla derivata prima ∂/∂t. Perche l’equazione del moto sia rel-ativisticamente invariante, la hamiltoniana deve dipendere linearmente dall’impulsoe dalla massa

equazione di Dirac i∂

∂tψ = Hψ = (

∑

j

αjpj + βm)ψ

dove (αj, β) sono quattro operatori hermitiani che non dipendono dalle variabili ~r,t. L’equazione del moto deve soddisfare la relazione tra massa, impulso e energiaE2 = p2 +m2

H2ψ = (∑

j

αjpj + βm)(∑

k

αkpk + βm)ψ = (p2 +m2)ψ

1

2

∑

jk

(αjαk + αkαj)pjpk +∑

j

(αjβ + βαj)pjm+ β2m2

ψ = (p2 +m2)ψ

Questa relazione definisce le proprieta degli operatori αj e β

• αjαk + αkαj = 2δjk

• αjβ + βαj = 0

• α2j = 1 β2 = 1

512

Gli operatori αj e β hanno modulo unitario e le relazioni di anticommutazione sonosoddisfatte se sono quattro matrici linearmente indipendenti. La dimensione minimaper soddisfare le relazioni di anticommutazione e 4. Quindi gli operatori αj e β sipossono rappresentare come quattro matrici hermitiane 4 × 4 e la funzione d’ondaψ e un vettore a 4 componenti

ψ =

ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

ψ+ =

(ψ∗1 ψ∗2 ψ∗3 ψ∗4

)

La densita di probabilita e la densita di corrente si definiscono nel modo usualedall’equazione del moto e dall’equazione hermitiana coniugata

i∂

∂tψ = −i~α · ~∇ψ + βmψ

−i ∂∂tψ+ = i(~α · ~∇ψ)+ + (βmψ)+ = i~∇ψ+ · ~α+ +mψ+β+

Moltiplicando la prima per ψ+ e la seconda per ψ, e tenendo conto che α+j = αj e

β+ = β, otteniamo le relazioni

iψ+∂ψ

∂t= −iψ+~α · ~∇ψ +mψ+βψ i

∂ψ+

∂tψ = −i~∇ψ+ · ~αψ −mψ+βψ

Sommando queste due relazioni e definendo

• densita di probabilita ρ = ψ+ψ = Σj|ψj|2 > 0

• densita di corrente ~j = ψ+~αψ

si ottiene una densita di probabilita definita positiva che soddisfa l’equazione dicontinuita ∂ρ/∂t+ ~∇ ·~j = 0.

4.19.3 Soluzioni di particella libera

Le matrici di Dirac sono quattro matrici hermitiane 4× 4 linearmente indipendentie si possono rappresentare con le matrici di Pauli che costituiscono una base dellospazio vettoriale a due dimensioni e hanno le proprieta σ2

j = 1, σjσk = iεjklσl

αj =

(0 σjσj 0

)β =

(I 00 −I

)

dove I e la matrice identita 2 × 2. La soluzione dell’equazione di Dirac per laparticella libera si puo esprimere

ψn(~r, t) = un(~p)ei(~p·~r−Et) n = 1, 2, 3, 4

513

dove le ampiezze un(~p) descrivono un nuovo grado di liberta della particella. Sos-tituendo la soluzione nell’equazione del moto

i∂ψn∂t

= Eψn ⇒ −i~α · ~∇ψn = ~α · ~p ψn

otteniamo un sistema di equazioni agli autovalori

(~α · ~p+ βm)u =

(m I ~σ · ~p~σ · ~p −m I

)(uAuB

)= E

(uAuB

)

dove uA(~p), uB(~p) sono vettori a due componenti che rappresentano i quattro auto-stati dell’equazione

(E −m) I uA − ~σ · ~p uB = 0

−~σ · ~p uA + (E +m) · I uB = 0

Gli autovalori si ottengono annullando il determinante del sistema di equazioni

∣∣∣∣∣E −m ~σ · ~p~σ · ~p E +m

∣∣∣∣∣ = E2 −m2 − (~σ · ~p)2 = 0

• Nota: se ~a e ~b sono due vettori che commutano con le matrici σj si ha

(~σ · ~a) (~σ ·~b) =∑

jk

σjajσkbk =∑

jk

σjσkajbk =

=∑

j

σ2jajbj +

∑

j 6=kiεiklσlajbk = ~a ·~b+ i~σ · (~a×~b)

quindi (~σ · ~p)2 = p2

Si ottengono due soluzioni con energia positiva e due con energia negativa che pos-siamo associare in modo arbitrario ai due autostati

E+ = +E0 E− = −E0 Eo =√p2 +m2 > 0

Associando E− alla prima equazione e E+ alla seconda equazione si ottiene

ψE<0 =

( −~σ·~pE0+m

uBuB

)ψE>0 =

(uA

+~σ·~pE0+m

uA

)

Esplicitando la matrice

~σ · ~p =

(p3 p1 − ip2

p1 + ip2 −p3

)

e definendo uA e uB come vettori unitari abbiamo:

514

• dalla prima equazione

uB =

(10

)⇒ −(E0 +m) u1 = p3

−(E0 +m) u2 = p1 + ip2

uB =

(01

)⇒ −(E0 +m) u1 = p1 − ip2

−(E0 +m) u2 = −p3

• dalla seconda equazione

uA =

(10

)⇒ (E0 +m) u3 = p3

(E0 +m) u4 = p1 + ip2

uA =

(01

)⇒ (E0 +m) u3 = p1 − ip2

(E0 +m) u4 = −p3

Quindi le quattro soluzioni dell’equazione agli autovalori, gli spinori un(~p), sono

N

10p3

E+mp1+ip2E+m

N

01

p1−ip2E+m

− p3E+m

N

− p3|E|+m−p1+ip2|E|+m10

N

−p1−ip2|E|+mp3

|E|+m01

dove |E| = +Eo nelle soluzioni a energia negativa e N e un fattore di normalizzazioneche si determina richiedendo che ρdV sia invariante

ρ = ψ+ψ =∑

j

u∗juj = 4|N |2(

1 +p2

(|E|+m)2

)= 4|N |2 2|E|

(|E|+m)2

Fissando un volume di normalizzazione unitario e |N |2 = (|E|+m)2/4 si ha la stessanormalizzazione degli autostati dell’equazione di Klein-Gordon con due particelle perunita di volume.

Dirac diede una interpretazione degli stati di energia negativa e dell’esistenza ditransizioni tra stati di energia positiva, E > m, e energia negativa, E < −m. Glielettroni, in base al principio di Pauli, occupano tutti gli stati con energia minoredell’energia di Fermi e quindi, se esistono elettroni liberi, tutti gli stati di energiaE < −m devono essere occupati. Se si cede energia ∆E > 2m ad un elettrone dienergia negativa, si produce un elettrone libero e una locazione vuota (Fig. 4.19).Poiche la transizione puo avvenire per interazione con il campo elettromagneticosenza variazione di carica elettrica, la produzione di una locazione vuota con carica−e corrisponde alla comparsa di una particella di carica +e con energia negativa.Questa e l’interpretazione della conversione di fotoni con energia Eγ > 2m nelcampo elettromagnetico dei nuclei. D’altra parte, se esistono locazioni vuote, unelettrone libero tende a diminuire il suo stato di energia andando ad occupare unostato di energia E < −m: scompare la carica dell’elettrone libero, −e e quella dellalocazione vuota, +e e l’energia viene emessa sotto forma di fotoni Eγ > 2m. Conquesta interpretazione, Dirac previde l’esistenza di anti-elettroni con massa me ecarica +e.

515

∆E = 2m E = 0

E > 2m

Figure 4.19: Interpretazione di Dirac degli stati a energia negativa

Costanti del moto

Le due coppie di soluzioni dell’equazione di Dirac sono funzioni dell’impulso ~p ecorrispondono a due autovalori dell’energia E−, E+. Perche le quattro soluzionisiano indipendenti deve esistere un altro osservabile indipendente da ~p che commutacon la hamiltoniana. L’operatore

elicita Λ =

(~σ · p 0

0 ~σ · p

)

commuta con ~p e con la hamiltoniana, [Λ, ~p] = 0, [Λ,H] = 0, e quindi rappresentauna costante del moto. Nella rappresentazione delle matrici di Pauli in cui σ3 ediagonale conviene scegliere il versore impulso p = (0, 0, 1) e cioe

Λ =

(σ3 00 σ3

)

Per le soluzioni si ha

E = +√p2 +m2 Λu1 = +u1 Λu2 = −u2

E = −√p2 +m2 Λu3 = +u3 Λu4 = −u4

Quindi l’operatore elicita ha due autovalori, Λ = ±1, che distinguono gli autostaticon lo stesso autovalore di energia.

L’operatore costruito con le matrici di Pauli

~s =1

2

(~σ 00 ~σ

)

non commuta con la hamiltoniana. Infatti [~s,H] contiene il commutatore [~σ, ~σ · ~p]che ha componenti

σj(Σkσkpk)− (Σkσkpk)σj = Σk(σjσk − σkσj)pk = Σk2iεjklσlpk = −2i(~σ × ~p)j

e quindi[~s,H] = −i~α× ~p

Per interpretare il significato dell’operatore ~s consideriamo la particella in un campoesterno in cui sia definito un centro di simmetria. L’operatore momento angolare

516

orbitale ~L = ~r × ~p non commuta con la hamiltoniana. Infatti per una componentesi ha

[L3, H] = [x1p2 − x2p1,Σjαjpj] = α1[x1, p1]p2 − α2[x2, p2]p1 = i(α1p2 − α2p1)

e quindi anche in questo caso il commutatore non si annulla

[~L,H] = +i~α× ~p

L’operatore ~s e un vettore assiale che soddisfa le regole di commutazione del mo-mento angolare e l’operatore

momento angolare totale ~J = ~L+ ~s

commuta con la hamiltoniana, quindi possiamo interpretare ~s = ~σ/2 come l’operatorelegato a un nuovo grado di liberta: il momento angolare intrinseco o spin delfermione. Le autofunzioni dell’equazione del moto sono individuate dalle tre com-ponenti dell’impulso, ~p, e dalla proiezione dello spin lungo la direzione del moto cheha due autovalori s = ±h/2

ψn = un(~p, s)ei(~r·~p−Et)

4.19.4 Limite non relativistico dell’equazione di Dirac

Le matrici di Pauli hanno le proprieta dell’operatore momento angolare nello spaziovettoriale a due dimensioni e l’interpretazione dello spin come momento angolareintrinseco comporta che un fermione con carica elettrica q abbia un momento mag-netico. L’equazione del moto in campo elettromagnetico si ottiene con la sostituzione~p→ ~p− q ~A, E → E − qV (appendice 4.13); l’equazione agli autovalori diventa

(E −m− qV ) · I uA − ~σ · (~p− q ~A) uB = 0

−~σ · (~p− q ~A) uA + (E +m− qV ) · I uB = 0

e, sostituendo per una delle due soluzioni, si ha[~σ · (~p− q ~A)

1

E +m− qV ~σ · (~p− q ~A)

]u = (E −m− qV )u

Questa equazione ha una semplice interpretazione nel limite non relativistico in cuil’energia cinetica K = E −m e l’energia potenziale qV sono m

E +m− qV = K + 2m− qV ≈ 2m E −m− qV = K − qV

In questa approssimazione l’equazione agli autovalori diventa~σ · (~p− q ~A) ~σ · (~p− q ~A)

2m+ qV

u = Ku

517

Applicando la regola del prodotto ricavata in precedenza all’operatore −i~∇− q ~A

[~σ · (i~∇+ q ~A)~σ · (i~∇+ q ~A)]u = [(i~∇+ q ~A)2 + i~σ · (i~∇+ q ~A)× (i~∇+ q ~A)]u

notiamo che il secondo termine contiene il prodotto scalare dell’operatore di spin eil vettore campo magnetico ~B = ~∇× ~A. Infatti ~∇× ~∇u = 0, ~A× ~A = 0, e

(~∇× ~A+ ~A× ~∇)u = (~∇× ~A)u+ ~∇u× ~A+ ~A× ~∇u = (~∇× ~A)u

Quindi l’equazione agli autovalori

(i~∇+ q ~A)2

2m+ qV − q

2m~σ · ~B

u = Ku

contiene la hamiltoniana di interazione elettromagnetica (appendice 4.13) e un ter-

mine di interazione di dipolo magnetico −~µ · ~B. Si deduce che il momento magneticoassociato allo spin s = h/2 di un fermione con carica elettrica e e ~µ = (eh/2m)~σ eche il fermione ha fattore giromagnetico g = 2

~µ = geh

2m~s con g = 2

4.19.5 Matrici gamma

L’equazione di Dirac si esprime in forma covariante usando quattro matrici γµ cheformano un 4-vettore: γj = βαj, γ4 = β, γ = (β~α, β)

γj =

(I 00 −I

)(0 σjσj 0

)=

(0 σj−σj 0

)γ4 =

(I 00 −I

)

Le matrici γ hanno le proprieta di anticommutazione

γjγk + γkγj = βαjβαk + βαkβαj = −β2(αjαk + αkαj) = −2δjk

γjγ4 + γ4γj = βαjβ + ββαj = 0

che si riassumono inγµγν + γνγµ = 2gµν

dove gµν e il tensore metrico delle trasformazioni di Lorentz. Le matrici hermitianeconiugate hanno le proprieta

γ+j = (βαj)

+ = α+j β

+ = αjβ = ββαjβ = γ4γjγ4 ; γ+4 = γ4γ4γ4 ⇒ γ+

µ = γ4γµγ4

Moltiplicando per la matrice β l’equazione di Dirac

iβ∂ψ

∂t= −iβ~α · ~∇ψ +mβ2ψ ⇒ iγ4∂4ψ + i~γ · ~∇ψ = mψ

518

otteniamo la forma covariante dell’equazione di Dirac

iγµ∂µψ = mψ

L’equazione hermitiana coniugata si esprime in modo covariante definendo ψ = ψ+γ4

(ψ+ = ψγ4)

−i∂µψ+γµ+ = −i∂µγ4γµγ4 = mψ+γ4γ4 ⇒ −i∂µψγµ = mψ

La densita di probabilita e di corrente

ρ = ψ+ψ = ψγ4ψ ~j = ψ+~αψ = ψ~γψ

sono le componenti di un 4-vettore a divergenza nulla, la corrente fermionica

jµ = ψγµψ ∂µjµ = 0

Oltre alle quattro matrici γ e utile introdurre la matrice antisimmetrica

γ5 = −iγ1γ2γ3γ4

[γ5 =

1

i4!ελκµνγ

λγκγµγν]

che e hermitiana e anticommuta con le matrici γµ

γ+5 = γ5 γ5γµ + γµγ5 = 0

Nella rappresentazione usata per le matrice γµ, la matrice γ5 e

γ5 = −i(

0 σ1σ2σ3

σ1σ2σ3 0

)= −i

(0 ii 0

)=

(0 II 0

)

4.19.6 Trasformazioni degli autostati

Se ψ e una soluzione dell’equazione di Dirac che si trasforma nella funzione ψ′ perazione della trasformazione U

ψ → ψ′ = Uψ

la funzione ψ′ e una soluzione dell’equazione trasformata, [iγµ∂′µ −m]ψ′ = 0, se

U−1[iγµ∂′µ −m]U = iγµ∂µ −m

e ψ′ e una soluzione dell’equazione hermitiana coniugata se U−1 = γ4U+γ4; infatti

ψ′ = ψ′+γ4 = ψ+U+γ4 = ψ+γ4γ4U+γ4 = ψU−1

519

Trasformazioni di Lorentz

L’equazione di Dirac e invariante per costruzione. Consideriamo la trasformazionedelle coordinate e delle derivate

x′µ = L−1µν xν xλ = Lλµx

′µ ∂′µ =

∂

∂x′µ=∂xν∂x′µ

∂

∂xν= Lµν∂ν

L’invarianza dell’equazione per la trasformazione U implica che U−1γµU si trasformicome le coordinate; infatti

U−1γµ∂′µU = U−1γµLµν∂νU = γν∂ν U−1γµLµνU = γν U−1γλU = Lλνγν

Possiamo quindi dedurre che

• ψψ e uno scalare, S ψ′ψ′ = ψU−1Uψ = ψψ

• ψγµψ e un vettore polare, V ψ′γµψ′ = ψU−1γµUψ = Lµνψγνψ

• ψγµγνψ e un tensore, T ψ′γµγνψ′ = ψU−1γµUU−1γνUψ = LµκLνλψγκγλψ

• ψγ5ψ e uno pseudoscalare, P

• ψγµγ5ψ e un vettore assiale, A

dove le ultime due considerazione derivano dalla proprieta di antisimmetria dellamatrice γ5 rispetto all’inversione delle coordinate spaziali (cioe allo scambio di duematrici σ).

Coniugazione di carica

In presenza di un campo elettromagnetico, l’equazione del moto si ottiene con latrasformazione pµ → p′µ = pµ − qAµ,

[γµ(i∂µ − qAµ)−m]ψ =[i~γ · ~∇+ q~γ · ~A+ iγ4∂4 − qγ4A4 −m

]ψ = 0

Consideriamo la trasformazione che cambia il segno della carica elettrica della par-ticella, l’equazione diventa

[γµ(i∂µ + qAµ)−m]ψ = 0

La coniugazione di carica fa passare da stati di energia positiva a stati di energianegativa e, poiche l’energia compare nella fase della funzione d’onda, l’operatore con-tiene la coniugazione complessa C, CeiEt/h = ei(−E)t/h. Applicando la coniugazionecomplessa l’equazione trasformata e

[γµ∗(−i∂µ + qAµ)−m]ψ = [(−γµ∗)(i∂µ − qAµ)−m]ψ = 0

520

Nella rappresentazione usata per le matrici gamma, γ2 e immaginaria e ha la pro-prieta γ∗2 = −γ2, γ2γ

∗µγ2 = γµ. L’operatore C = γ2C soddisfa le proprieta

C2 = γ2Cγ2C = γ2γ∗2C2 = −γ2γ2 = I C−1 = C

e non cambia la forma dell’equazione del moto

C−1(−γµ∗)C = γ2C(−γµ∗)γ2C = γ2(−γµ)(−γ2) = γ2γµγ2 = γµ

Quindi possiamo interpretare C = γ2C come l’operatore coniugazione di carica cheagisce sugli spinori

Cu1(~p)e−ip·x = −iu4(−~p)e+ip·x Cu2(~p)e−ip·x = +iu3(−~p)e+ip·x

Cu3(~p)e−ip·x = +iu2(−~p)e+ip·x Cu4(~p)e−ip·x = −iu1(−~p)e+ip·x

trasformando stati a energia positiva con carica q in stati di energia negativa concarica −q, cioe fermioni in anti-fermioni.

Inversione temporale

La trasformazione di inversione temporale, cambia ∂4 → −∂4, ~A→ − ~A nell’equazionedel moto e lascia invariati ∂j e il potenziale scalare A4. La matrice γ1γ2γ3 com-muta con ~γ e anticommuta con γ4: rappresenta l’inversione dell’asse del tempo(∂4 → −∂4). Questa agisce sulla fase della funzione d’onda eiEt → eiE(−t) = ei(−E)t

come la trasformazione coniugazione di carica. Consideriamo la trasformazione

γ1γ2γ3 γ2C = γ1γ3C

che ha le proprieta

(γ1γ3C)−1 = γ1γ3C (γ1γ3C)+ = −γ1γ3C

Quindi possiamo interpretare T = γ1γ3C, che contiene la trasformazione t→ −t ede antiunitaria, come operatore di inversione temporale che agisce sugli spinori

Tu1(~p)e−ip·x = +u2(−~p)e+ip·x Tu2(~p)e−ip·x = −u1(−~p)e+ip·x

Tu3(~p)e−ip·x = +u4(−~p)e+ip·x Tu4(~p)e−ip·x = −u3(−~p)e+ip·x

trasformando lo stato di spin e invertendo la direzione del moto.

Parita

La parita dei fermioni e definita in modo convenzionale poiche il numero fermionicosi conserva. La trasformazione di inversione spaziale, Pψ(~r, t) = ψ(−~r, t) = ψP ,

cambia ∂j → −∂j, ~A→ − ~A nell’equazione del moto e lascia invariati ∂4 e il poten-ziale scalare A4

[i~γ · ~∇+ q~γ · ~A+ iγ4∂4 − qγ4A4 −m

]ψ = 0 ⇒

521

⇒[−i~γ · ~∇− q~γ · ~A+ iγ4∂4 − qγ4A4 −m

]ψP = 0

La matrice γ4 anticommuta con ~γ e quindi agisce come inversione delle coordinatespaziali, inoltre ha la proprieta γ4γ4 = I. Moltiplicando l’equazione trasformata perγ4 osserviamo che γ4ψ(−~r, t) e autofunzione dell’equazione di Dirac

γ4 [. . .]ψP =[i~γ · ~∇+ q~γ · ~A+ iγ4∂4 − qγ4A4 −m

]γ4ψP = 0

e possiamo interpretare γ4 come l’operatore di parita che agisce sugli spinori

γ4ψ =

(1 00 −1

)(uA(~p)uB(~p)

)=

(+uA(−~p)−uB(−~p)

)

e che ha autovalori +1 per le soluzioni a energia positiva e autovalori −1 per lesoluzioni a energia negativa. E concludiamo che i fermioni e i corrispondenti an-tifermioni hanno parita opposta.

Stati a energia negativa

L’interpretazione di Dirac dei positroni come elettroni con energia negativa ha comepresupposto l’esistenza di un numero infinito di stati di energia negativa che sonotutti occupati: e chiaramente insoddisfacente. Una interpretazione piu convincentee quella proposta anni dopo da Stuckelberg e Feynman basata sulle simmetrie degliautostati: fermioni di carica elettrica +q con valori di energia negativa che si pro-pagano in avanti nel tempo sono equivalenti a valori di energia positiva e caricaelettrica −q, che si propagano indietro nel tempo, (−E − qV )t ↔ (+E + qV )(−t).Questa interpretazione degli anti-fermioni soddisfa tutte le propieta di simmetriadell’equazione di Dirac senza presupporre l’esistenza di stati con energia negativa.

4.19.7 Autostati di elicita

Gli operatori costruiti con la matrice antisimmetrica γ5

Λ+ =1 + γ5

2=

1

2

(1 11 1

)Λ− =

1− γ5

2=

1

2

(1 −1−1 1

)

sono hermitiani e hanno le proprieta dei proiettori

Λ+ + Λ− = 1 Λ+Λ− = Λ−Λ+ = 0 Λ+Λ+ = Λ+ Λ−Λ− = Λ−

Applicando i proiettori agli autostati otteniamo due ampiezze

u(~p, s) = uR(~p, s) + uL(~p, s)

Per gli stati a energia positiva

uR = Λ+u =N

2

(1 11 1

)(uA

+~σ·~pE+m

uA

)=N

2

((1 + ~σ·~p

E+m)uA

(1 + ~σ·~pE+m

)uA

)

522

uL = Λ−u =N

2

(1 −1−1 1

)(uA

+~σ·~pE+m

uA

)=N

2

((+1− ~σ·~p

E+m)uA

(−1 + ~σ·~pE+m

)uA

)

Nel caso ultra-relativistico, E m, p ≈ E, ~σ · ~p/(E +m) ≈ ~σ · p = Λ

• u ≈ uR per gli stati a elicita Λ = +1, right-handed ;

• u ≈ uL per gli stati a elicita Λ = −1, left-handed ;

• la correlazione e invertita per gli stati a energia negativa.

uR e uL sono gli autostati di elicita e gli operatori Λ+ e Λ− sono chiamati proiettoridi elicita. Le probabilita degli autostati di elicita sono

|uR|2 =N2

4

∣∣∣∣1 +p

E +m

∣∣∣∣2

|uL|2 =N2

4

∣∣∣∣1−p

E +m

∣∣∣∣2

con |uR|2 + |uL|2 = 1, e la polarizzazione dello stato e proporzionale alla velocita

P =|uR|2 − |uL|2|uR|2 + |uL|2

' p

E= β ⇒ |uR,L|2 =

1± β2

Conservazione dell’elicita

A energia E m le soluzioni dell’equazione di Dirac sono autostati dell’elicita. Lahamiltoniana di interazione di un fermione con un campo esterno si puo esprimere intermini di combinazioni invarianti ψOψ con l’operatore O formato con le matrici γ.Una soluzione di particella libera si puo esprimere come sovrapposizione di autostatileft-handed e right-handed usando i proiettori di elicita

uL =1− γ5

2u uR =

1 + γ5

2u

1± γ5

2

1∓ γ5

2= 0

e, per le proprieta γ+5 = γ5, γ5γµ + γµγ5 = 0,

uL = u+ 1− γ+5

2γ4 = u+γ4

1 + γ5

2= u

1 + γ5

2

uR = u+ 1 + γ+5

2γ4 = u+γ4

1− γ5

2= u

1− γ5

2

Il termine di interazione uOu conserva l’elicita se si esprime come sovrapposizionedi autostati left-handed e right-handed

(uL + uR)O(uL + uR) = uLOuL + uROuR

Nel caso di interazione scalare, pseudoscalare o tensoriale, gli operatori I, γ5, γµγνcommutano con i proiettori e quindi l’interazione non conserva l’elicita

uLOuL = u1 + γ5

2O1− γ5

2u = 0 uROuR = u

1− γ5

2O1 + γ5

2u = 0

523

Nel caso invece di interazione vettoriale o assial-vettoriale, gli operatori γµ e γµγ5

anticommutano con γ5 e si annullano i termini misti

uLOuR = u1 + γ5

2O1 + γ5

2u = 0 uROuL = u

1− γ5

2O1− γ5

2u = 0

Quindi a energia elevata l’elicita dei fermioni si conserva in interazioni vettoriali oassial-vettoriali.

4.19.8 Soluzioni per massa nulla

Il limite m→ 0 dell’equazione di Dirac descrive gli stati dei fermioni di massa nulla,i neutrini. L’equazione diventa γµ∂µψ = 0 e le equazioni agli autovalori diventano

(0 ~σ · ~p

~σ · ~p 0

)(uAuB

)= E

(uAuB

)E = ±|~p| ⇒ ~σ · ~puB = puA

~σ · ~puA = −puBGli autostati di queste equazioni coincidono con gli autostati di elicita, ma questo epossibile solo per due soluzioni e non per quattro. Infatti le equazioni agli autovalorisono degeneri per m = 0 e l’equazione di Dirac si riduce ad una equazione a due solecomponenti. Le due equazioni, corrispondenti ai due valori di energia, si ottengonol’una dall’altra con la trasformazione di parita, P ~σ · ~p = −~σ · ~p.

L’equazione a due componenti era stata originariamente introdotta da HermannWeyl nel 1929, ma non aveva avuto molto seguito appunto perche non e invarianteper trasformazione di parita. Infatti, se il vettore a due componenti ψ(~r, t) soddisfal’equazione di Weyl

(i~σ · ~∇+ i∂4)ψ = 0

non esiste una matrice 2 × 2 che trasformi l’equazione in modo che ψ(−~r, t) =Pψ(~r, t) sia una soluzione

P−1(−i~σ · ~∇+ i∂4)P 6= i~σ · ~∇+ i∂4

Molti anni dopo si e osservato che le interazioni dei neutrini non conservano la parita.Gli stati possibili per i neutrini sono due, uR e uL, e non sono possibili transizioni

tra i due stati mediante una trasformazione di Lorentz. D’altra parte le coppie disoluzioni dell’equazione di Dirac si ottengono l’una dall’altra con la trasformazionedi coniugazione di carica. Quindi, delle quattro combinazioni, solo due sono possibili

neutrino right-handed e anti-neutrino left-handedoppure neutrino left-handed e anti-neutrino right-handed

La misura dell’elicita del neutrino mostra che la seconda e la combinazione corretta:i possibili stati sono |ν, L〉 e |ν,R〉. Con un ragionamento simile al precedente possi-amo convincerci che l’equazione di Weyl non e neppure invariante per coniugazionedi carica. Quindi

P |ν, L〉 = 0 C|ν, L〉 = 0 P |ν,R〉 = 0 C|ν,R〉 = 0

524

La trasformazione Coniugazione di carica × Parita non cambia la forma dell’equazionedi Weyl che e quindi invariante per trasformazione CP e gli autostati si trasformanol’uno nell’altro

CP |ν, L〉 = |ν,R〉 CP |ν,R〉 = |ν, L〉

4.20 Il teorema CPT

Le trasformazioni di parita, coniugazione di carica e inversione temporale sonotrasformazioni discrete e gli autostati hanno autovalori ±1. Il teorema CPT, di-mostrato da Gerhart Luders e Wolfgang Pauli nel 1954, e indipendentemente daJohn Bell, stabilisce che ogni teoria di campo quantistica basata sull’invarianza diLorentz, localita e unitarieta sia invariante per il prodotto delle tre trasformazioni,parita, coniugazione di carica e inversione temporale, qualunque sia l’ordine in cuisono applicate. Le trasformazioni C e P sono unitarie, la trasformazione T e antiu-nitaria, quindi CPT e una trasformazione antiunitaria. Inoltre la trasformazione Cimplica la coniugazione complessa.

Una trasformazione di Lorentz lungo l’asse z con velocita β (rapidita y = 12

ln 1+β1−β )

(z′

ct′

)=

(cosh y sinh ysinh y cosh y

)(zct

)=

(cosα i sinαi sinα cosα

)(zct

)

ey =√

1+β1−β = γ(1 + β) e−y =

√1−β1+β = γ(1− β) cosh y = γ sinh y = βγ

e rappresentata da una rotazione di un angolo immaginario y = iα, nelle coordinatez–t. Entrambe gli assi sono invertiti per α = π

(z′

ct′

)=

(−1 00 −1

)(zct

)

Una trasformazione di Lorentz e una rotazione nel piano trasverso x–y e

x′

y′

z′

ct′

= L(φ, y)

xyzct

=

cosφ sinφ 0 0− sinφ cosφ 0 0

0 0 cosα i sinα0 0 i sinα cosα

xyzct

quindi una trasformazione simultanea per inversione temporale e parita corrispondead una rotazione nello spazio-tempo con φ = π, y = iπ.

L(π, iπ) = −1 and L(2π, 2iπ) = +1

L’estensione delle trasformazioni di Lorentz alla dimensione immaginaria richiedecome sola condizione che l’energia sia finita.

525

Per la trasformazione O ≡ CPT le variabili di una particella si trasformano

C P T O~p + − − +~ + + − −q − + + −

~s× ~p + − − +

Per le interazioni tra particelle, ad esempio l’interazione ellettromagnetica rappre-sentata dalla densita hamiltoniana

HI(x) = J(x) · A(x) J = (~j, ρ) A = ( ~A, V )

le correnti e i campi si trasformano

CJ = (−~j,−ρ) PJ = (−~j, ρ) TJ = (−~j, ρ)

CA = (− ~A,−V ) PA = (− ~A, V ) TA = (− ~A, V )

e la hamiltoniana e invariata, OHIO† = HI.Per lo stato di una particella |ψ〉 = |pµ, s, h, q〉 definito da 4-impulso, modulo

dello spin, elicita e carica, lo stato coniugato per CPT e |Oψ〉 = |pµ, s,−h,−q〉.Come conseguenza dell’invarianza CPT la massa,

√pµpµ, di una particella e uguale

a quella della corrispondente antiparticella, m = m.Per uno stato non stazionario la probabilita di transizione per unita di tempo

dallo stato |i〉 ad uno stato |f〉 e Γi→f = 2π|〈f |HI|i〉|2ρ(Ef ). Per gli stati dellacorrispondente antiparticella si ha |i〉 = |Oi〉, |f〉 = |Of〉, ρ(Ef ) = ρ(Ef )

Γi→f = 2π|〈f |HI|i〉|2ρ(Ef ) = 2π|〈f |O†HIO|i〉∗|2ρ(Ef ) = Γi→f

Quindi l’invariaza per CPT implica che la vita media di una particella e uguale aquella della corrispondente antiparticella, τ = τ .

4.21 La matrice CKM

Se u, c, t, d, s, b sono i quark autostati dell’interazione adronica i relativi autostatidell’interazione debole sono i doppietti dell’isospin debole

(ud′

)(cs′

)(tb′

)

in cui gli stati con isospin −12

sono combinazioni dei quark d, s, b descritte dallamatrice di mixing di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa

d′

s′

b′

=

Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb

dsb

526

La corrente fermionica che interviene nell’ampiezza di un processo che coinvolge unquark up e un quark down e

(u c t

)γµ

1− γ5

2V

dsb

=

∑

k

uLj γµVjkdLk (4.6)

Se non esistono altri quark la matrice CKM 3× 3 dipende da 9 parametri complessi(18 reali) ed e unitaria. La condizione di unitarieta VV† = 1 corrisponde a noverelazioni tra i parametri

|Vud|2 + |Vus|2 + |Vub|2 = 1|Vcd|2 + |Vcs|2 + |Vcb|2 = 1|Vtd|2 + |Vts|2 + |Vtb|2 = 1

(4.7)

VudV∗us + VcdV

∗cs + VtdV

∗ts = 0 VudV

∗ub + VcdV

∗cb + VtdV

∗tb = 0

VusV∗ud + VcsV

∗cd + VtsV

∗td = 0 VusV

∗ub + VcsV

∗cb + VtsV

∗tb = 0

VubV∗ud + VcbV

∗cd + VtbV

∗td = 0 VubV

∗us + VcbV

∗cs + VtbV

∗ts = 0

(4.8)

La corrente (4.6) e invariata se ciascun campo di quark e modificato indipendente-mente per un fattore di fase q′ = eiφq e la matrice V′ = e−iφV. Tra i sei fattoriarbitrari un fattore globale non e vincolato. Quindi tra i 18 parametri ci cono 9 +5 vincoli, la matrice CKM dipende da quattro parametri indipendenti.

Nella rappresentazione di L.L.Chau e W.Y.Keung i quattro parametri sono treangoli di Eulero e una fase; la terza matrice di rotazione e quella di Cabibbo, cons1 = sin θC , e il parametro δ implica violazione della simmetria CP

V =

1 0 00 c2 s2

0 −s2 c2

c3 0 s3eiδ

0 1 0−s3e

−iδ 0 c3

c1 s1 0−s1 c1 0

0 0 1

=

c1c3 s1c3 s3eiδ

−s1c2 − c1s2s3e−iδ c1c2 − s1s2s3e

−iδ s2c3

s1s2 − c1c2s3e−iδ −c1s2 − s1c2s3e

−iδ c2c3

I valori sperimentali indicano |Vud|2 + |Vus|2 ' 1 e la rappresentazione si puo ap-prossimare con

V '

c1c2 s1c2 s3eiδ

−s1c2 c1c2 s2c2

−c1c2s3e−iδ −c1s2 c2c3

Nella rappresentazione di Lincoln Wolfenstein i parametri sono

V =

1− λ2/2 λ Aλ3(ρ− iη)−λ 1− λ2/2 Aλ2

Aλ3(1− ρ− iη) −Aλ2 1

+O(λ4)

con λ = sin θC = |Vus|2√|Vud|2+|Vus|2

.

527

I valori assoluti dei parametri della matrice CKM si misurano in vari decadimentideboli. |Vud| si misura nei decadimenti β 0+ → 0+ dei nuclei; |Vus| nei decadi-menti semileptonici dei mesoni strani K → π`ν; |Vcd| nei decadimenti leptonici esemileptonici Cabibbo-soppressi dei mesoni con charm D → µν, D → π`ν; |Vcs| neidecadimenti semileptonici dei mesoni D → K`ν; |Vbc| nei decadimenti semileptonicidei mesoni B → D`ν; |Vub| nei decadimenti dei mesoni B senza particelle con charm.I parametri |Vtd| e |Vts| sono determinati dall’effetto del quark t sulla differenza dimassa ∆m che induce le oscillazioni dei quark B neutri B0

d e B0s (come avviene per i

mesoni K0). |Vtb| si misura studiando i decadimenti t→ Wb. I valori misurati sono

0.9742± 0.0002 0.2243± 0.0005 (3.94± 0.36)× 10−3

0.218± 0.004 0.997± 0.017 (42.2± 0.8)× 10−3

(8.1± 0.5)× 10−3 (39.4± 2.3)× 10−3 1.019± 0.025

Da questi valori si ottiene: A = 0.83± 0.02, ρ = 0.12± 0.02, η = 0.35± 0.01.La relazione di unitarieta della prima riga di (4.7) e soddisfatta con ottima

precisione: |Vud|2 + |Vus|2 + |Vub|2 = 0.9994± 0.0005. Le equazioni (4.8) definisconosei triangoli di unitarieta. Se consideriamo tre vettori ~u = ueiφ, ~v = veiχ, ~w = weiψ,che formano un triangolo come in Figura 4.20, si ha ueiφ + veiχ + weiψ = 0. L’areadel triangolo e 1

2|~u× ~v| = 1

2uv sin(φ− χ) = 1

2=(uv∗), e analogamente per ogni altra

coppia di lati. La condizione di unitarieta implica che l’area di tutti i triangoli siauguale e pari a

1

2J =

1

2=(VijV

∗ikV

∗ljVlk)

detto invariante di Cecilia Jarlskog. L’area dei triangoli di unitarieta misura l’entitadella violazione della simmetria CP . Nella parametrizzazione di Wolfenstein si haJ = (1−λ2/2)A2λ6η, nella parametrizzazione di Chau–Keung J = c1c2c

23s1s2s3 sin δ;

il valore e J = (3.2± 0.2) 10−5. I triangoli sono rappresentati con un lato normal-izzato all’unita e allineato sull’asse reale, con i vertici nei punti (0, 0), (1, 0), (x, y).Gli angoli ai tre vertici sono indicati rispettivamente con γ, β, α.

Il primo triangolo nelle relazioni (4.8), strangness triangle, ha due lati quasiuguali |VudV ∗us| ' |VcdV ∗cs| = λ(1 − λ2/2) e il terzo molto piu corto |VtdV ∗ts| =

A2λ4√

(1− ρ)2 + η2. Gli angoli sono α ' β ' π e γ ' y.

Il secondo triangolo, beauty triangle, ha i lati di lunghezza confrontabile |VudV ∗ub| =Aλ3√ρ2 + η2, |VcdV ∗cb| = Aλ3 e |VtdV ∗tb| = Aλ3

√(1− ρ)2 + η2, con il vertice a (x, y) =

(ρ, η). Il rapporto tra i lati del triangolo, vu

= ei(φ−χ), uw

= ei(χ−ψ), wv

= ei(ψ−φ)

definisce gli angoli

α = argVtdV

∗tb

VudV ∗ubβ = arg

VcdV∗cb

VtdV ∗tbγ = arg

VudV∗ub

VcdV ∗cb

Il valore degli angoli e ottenuto combinando varie misure dei decadimenti di par-ticelle con beauty e delle oscillazioni dei mesoni B0 ↔ B0. Come nel caso dei mesoniK0, K0 (capitolo 3.3) nei diagrammi chiusi che descrivono oscillazioni o interferenzeintervengono gli accoppiamenti con i quark di massa piu elevata, in particolare con il

528

Re

Im

w

u

v

Re

Im

(0,0) (1,0)

α

β γ

(x,y)

α β

γ

Figure 4.20: Triangolo di unitarieta.

quark t. L’angolo α e determinato studiando l’evoluzione temporale dei decadimentidei mesoni B in stati con stranezza nulla, b→ uud, B0 → ππ, ρπ, ρρ; α = (85± 6).L’angolo β e determinato studiando le transizioni b→ ccs nell’evoluzione temporaledei decadimenti dei mesoni B, B0 → J/ψK0

L, J/ψK0S; β = (22 ± 1). L’angolo

γ e determinato studiando le transizioni b → c(us), b → u(cs) nei decadimentiB± → D0K±, B± → D0K±; γ = (74± 5). La somma degli angoli e (181± 8).

4.22 Teoria delle perturbazioni

L’ampiezza di transizione dallo stato iniziale ψi allo stato finale ψf per effetto diuna hamiltoniana di interazione H dipendente dal tempo si ottiene come sviluppoin serie

Ai→f =1

ih

∫ t

0

∫

rψ∗f (~r)H(~r, t′)ψi(~r)e

i(Ef−Ei)t′/hd~rdt′ + . . .

In teoria quantistica relativistica dei campi si deriva una forma analoga dove ψi eψ∗f sono operatori di assorbimento e di emissione, ripettivamente dello stato |i〉 edello stato |f〉, in analogia con quelli introdotti per rappresentare il campo elettro-magnetico (appendice 4.13).

4.22.1 Il propagatore

Per calcolare l’evoluzione degli stati di particelle soggette a mutua interazione pereffetto di una hamiltoniana dipendente dal tempo H(~r, t) facciamo l’ipotesi che lesoluzioni per t→ ±∞ siano autofunzioni della hamiltoniana della particella libera,cioe H(r, t)→ 0 per t→ ±∞. Se ψ0(~r, t) e una soluzione della hamitoniana H0 nel

529

punto (~r, t), l’equazione del moto

[ih∂

∂t−H0

]ψ(~r, t) = H(~r, t)ψ(~r, t)

si puo risolvere sotto forma di equazione integrale

ψ(~r, t) = ψ0(~r, t) +1

ih

∫G0(~r, t; ~r′, t′)H(~r′, t′)ψ(~r′, t′)d~r′dt′ (4.9)

dove G0(~r, t; ~r′, t′) e la soluzione per una sorgente di interazione puntiforme

[ih∂

∂t−H0

]G0(~r, t; ~r′, t′) = ihδ(~r′ − ~r)δ(t′ − t)

e H e l’operatore densita hamiltoniana, H(~r, t) = ∂∂~rH(~r, t). La funzione di Green

G0(~r, t; ~r′, t) e il propagatore della particella libera dal punto (~r, t) al punto (~r′, t′). Sel’interazione e invariante per traslazioni nello spazio-tempo il propagatore G0(x, x′)e funzione della differenza x− x′, dove x e il 4-vettore (~r, ct).

La soluzione dell’equazione (4.9) si ottiene come sviluppo in serie

ψ(x) = ψ0(x) +1

ihc

∫G0(x− x1)H(x1)ψ(x1)d4x1

= ψ0(x)+1

ihc

∫G0(x−x1)H(x1)

[ψ0(x1) +

1

ihc

∫G0(x1 − x2)H(x2)ψ(x2)d4x2

]d4x1

= ψ0(x) +1

ihc

∫

1G0(x− x1)H(x1)ψ0(x1)d4x1

+1

(ihc)2

∫

12G0(x− x1)H(x1)G0(x1 − x2)H(x2)ψ0(x2)d4x1d

4x2

+1

(ihc)3

∫

123G0(x−x1)H(x1)G0(x1−x2)H(x2)G0(x2−x3)H(x3)ψ0(x3)d4x1d

4x2d4x3

+ . . ., e rappresenta la propagazione della particella libera tra i punti xk in cuiavviene l’interazione e l’integrale va calcolato sul prodotto tempo-ordinato tk > . . . >t2 > t1. Nel limite t′ → −∞, t → +∞, ψ(x′) e ψ(x) sono soluzioni di particellalibera. Questa condizione e ben verificata se l’osservazione dello stato iniziale e dellostato finale avvengono molto prima e molto dopo l’interazione.

La soluzione (4.9) si esprime in modo simbolico

|ψ〉 = |ψ0〉+ κGH|ψ0〉+ κ2GHGH|ψ0〉+ κ3GHGHGH|ψ0〉+ . . .

L’ampiezza di transizione dallo stato iniziale allo stato finale e

Ai→f = 〈f |H|i〉+ κ〈f |HGH|i〉+ κ2〈f |HGHGH|i〉+ . . . =∑

k

A(k)fi (4.10)

530

la densita hamiltoniana e il prodotto della corrente fermionica per il campo di in-terazione e la costante di accoppiamento, H = gψ(x)γµψ(x)Aµ(x), e l’integrazionenello spazio-tempo assicura la conservazione di energia-impulso. Il primo terminedella serie (4.10) e A

(1)fi = δfi. Gli altri termini sono proporzionali alle potenze della

costante κ = g2/ihc e la serie converge rapidamente se κ 1.

A(2)fi =

g2

ihc

∫

t2>t1[ψf (x1)γµψf (x1)Aµ(x1)]G[ψi(x2)γνψi(x2)Aν(x2)]d4x1d

4x2

Per derivare la forma esplicita del propagatore di una particella con 4-impulsoq, consideriamo la anti-trasformata di Fourier

G(x2 − x1) =1

(2π)4

∫G(q)e−iq·(x2−x1)d4q

• per l’equazione di Klein-Gordon abbiamo

[gµν∂µ∂ν +m2

]G0(x− x1) =

1

(2π)4

∫G(q)

[−q2 +m2

]e−iq·(x−x1)d4q

• per l’equazione di Dirac il propagatore e una matrice 4× 4

[iγµ∂µ −m]G0(x− x1) =1

(2π)4

∫G(q) [γµqµ −m] e−iq·(x−x1)d4q

Esprimendo la funzione di Dirac, δ4(x2 − x1) = 1(2π)4

∫e−iq·(x2−x1) d4q, otteniamo la

forma del propagatore nello spazio degli impulsi per un bosone e per un fermione

GB(q) =1

q2 −m2

(gµν +

qµqνm2

)GF (q) =

1

γµqµ −m=γµqµ +m

q2 −m2

Nota: q2 = m2 per la particella libera, ma q2 6= m2 per il propagatore della particellavirtuale nel percorso tra l’interazione H(x1) e l’interazione H(x2).

4.22.2 I grafici di Feynman

I grafici di Feynman rappresentano in modo grafico il metodo di calcolo dell’ampiezzadi transizione dei processi di interazione in teoria dei campi. Diamo alcune definizioni:

• per il processo 1 + 2→ 3 + . . .+ n gli stati iniziali e finali sono autostati diparticella libera

ψ(x) = u(~p)ei(~p·~r−Et)/h

dove la funzione u(~p) caratterizza il tipo di particella, bosone o fermione;

• l’ampiezza di transizione dallo stato iniziale ψi(x) allo stato finale ψf (x′) per

azione della hamiltoniana di interazione H e espressa dallo sviluppo in se-rie (4.10);

531

• i campi dei fermioni e dei bosoni si esprimono in funzione degli operatori diemissione e assorbimento:ψ+p (x) emette una particella con 4-impulso p nel punto x dello spazio tempo,ψp′(x

′) assorbe una particella con 4-impulso p′ nel punto x′;

• lo spazio-tempo e rappresentato nel piano ~r − t; per ciascun punto nel pianoil cono di luce, r = ±ct, definisce passato, presente e futuro;

• una particella con 4-impulso p e rappresentata da una linea nel piano; lineecon p2 = m2 rappresentano particelle libere, con p2 > m2 rappresentano prop-agatori di tipo tempo, con p2 < −m2 propagatori di tipo spazio;

• particelle con 4-impulso p che si propagano nel verso +t sono equivalenti aanti-particelle che si propagano nel verso −t;

• l’emissione di una particella con 4-impulso p nel punto x dello spazio-tempoe equivalente all’assorbimento nello stesso punto di una anti-particella con lostesso valore di 4-impulso;

• in una interazione nel punto x, rappresentata dal fattore H(x), si conservanotutte le grandezze che commutano con H.

Consideriamo come esempio l’interazione elettromagnetica dei fermioni. La teo-ria della elettrodinamica quantistica, QED, e stata sviluppatata da Richard Feyn-man, Julian Schwinger e Sin-Itiro Tomonaga?5. La hamiltoniana di interazione e ilprodotto scalare della 4-densita di corrente per il 4-potenziale elettromagnetico

H(x) = e J(x) · A(x) J(x) = (~j, ρc) A = ( ~A, V/c)

Nel seguito usiamo la convenzione h = 1, c = 1. Esprimendo le correnti e i campi infunzione degli operatori di emissione e assorbimento, il primo termine dello sviluppoin serie e proporzionale all’integrale di

∑µ eψ1(x)γµψ2(x)Aµ(x) con

ψ1(x) = (2E1)−12u+(p1, s1)γ4e

−ip1·x ψ2(x) = (2E2)−12u(p2, s2)e+ip2·x

Aµ(x) = (2ω)−12 εµ

[a(k)e+ik·x + a+(k)e−ik·x

]

I grafici al primo ordine (Fig. 4.21) sono rappresentati da un vertice in cui confluis-cono tre linee e le ampiezze di transizione sono proporzionali alla carica elettricae:

• emissione di un fotone da un elettrone (positrone): e− → e−γ ( e+ → e+γ);

• assorbimento di un fotone da un elettrone (positrone): γe− → e− ( γe+ → e+);

• annichilazione elettrone-positrone in un fotone e−e+ → γ;

• conversione di un fotone in elettrone-positrone γ → e−e+.

532

j(x)

A(x)

e

p p'

q = p - p' A(x)

p'

p

j(x)e

q = p + p'

Figure 4.21: Grafici di Feynman al primo ordine

L’integrale della funzione ei(p2−p1±q)·x implica la conservazione del 4-impulso nelvertice; quindi nessuno di questi processi rappresenta un fenomeno fisico perchenon si conserva il 4-impulso. (Nella trattazione nel capitolo 1.7 dell’emissione eassorbimento di fotoni da elettroni abbiamo fatto l’ipotesi che il nucleo atomico conmassa M me, M Eγ, bilanciasse l’impulso senza acquistare energia cinetica.)

e ee e

e

e

j(x1)

e

e

j(x2)

p1'

p2'p

2

p1

Figure 4.22: Esempi di grafici di Feynman al secondo ordine

Nei grafici al secondo ordine (Fig. 4.22) una particella emessa (assorbita) nelvertice 1 viene assorbita (emessa) nel vertice 2 e si somma su tutti i possibili percorsidallo stato iniziale allo stato finale: |i〉 → 1 → 2 → |f〉, |i〉 → 2 → 1 → |f〉.L’interazione in ogni vertice e proporzionale alla carica elettrica. L’ampiezza ditransizione e proporzionale a e2 e al propagatore della particella con 4-impulso qscambiata nel percorso 1↔ 2.

Processi al secondo ordine sono:

• scattering e−e− → e−e−, e+e+ → e+e+, e+e− → e+e−: q = p1 − p′1;

• effetto Compton γe− → γe− ( γe+ → γe+): q = p1 + p2;

• annichilazione e+e− → γγ (γγ → e+e−): q = p1 − p′1;

• annichilazione e+e− → e+e−: q = p1 + p2.

5 premi Nobel per la Fsica nel 1965

533

Nei processi di scattering e annichilazione e+e− → e+e− gli stati iniziali e finali sonouguali e quindi l’ampiezza e la somma delle due ampiezze.

Esempi di processi al terzo ordine (Fig. 4.23) con ampiezza di transizione pro-porzionale a e3:

• irraggiamento ee→ eeγ;

• produzione di coppie γe→ e+e−e;

• annichilazione e+e− → γγγ.

e

e

e

e

e

e

e e

e

e

e

e

Figure 4.23: Esempi di grafici di Feynman al terzo ordine

Per un processo elettromagnetico con stato iniziale ψi e stato finale ψf la sezioned’urto e proporzionale al modulo quadro dell’ampiezza di transizione Ai→f che siesprime come serie di potenze della costante di accoppiamento α (Fig. 4.24)

σ ∝ |αA2 + α2A4 + . . . |2 = α2|A2|2 + α3(A∗2A4 + A2A∗4) + α4(|A4|2 + . . .) + . . .

La serie converge rapidamente perche α 1 e di solito il calcolo all’ordine α2

Figure 4.24: Sezione d’urto come somma di grafici di Feynman

fornisce una approssimazione sufficientemente accurata.

534

4.23 Correzioni radiative

Nei capitoli precedenti abbiamo studiato l’interazione tra cariche elettriche e abbi-amo ricavato le sezioni d’urto utilizzando la hamiltoniana di interazione elettromag-netica corrente-campo H(x) = eJµ(x)Aµ(x). L’elemento di matrice e proporzionaleal prodotto delle cariche elettriche delle particelle interagenti e al propagatore delcampo. Questo, al primo ordine dello sviluppo perturbativo, O(e2), e I1(q2) = 1/q2.Per avere il valore completo dello sviluppo in serie dobbiamo tener conto dei con-tributi al secondo, terzo, . . . ordine. I grafici al secondo ordine, O(e4), che cambianol’elemento di matrice sono mostrati in Fig. 4.25. Il contributo al propagatore perun fermione di massa m dovuto al grafico di Fig. 4.25a e

I2(q2) = I1(q2)[−q2J (q2)

]I1(q2)

J (q2) =α

3π

∫ ∞

m2

dp2

p2− 2α

π

∫ 1

0ln

[1− x(1− x)

q2

m2

]x(1− x)dx

con α = e2/4π. Il primo integrale va esteso a tutti i possibili valori dell’impulso dellacoppia fermione-antifermione e diverge. Si introduce quindi un limite superiore diintegrazione M che pero non deve avere influenza sul risultato finale del calcoloperche il risultato di una misura e una quantita finita. q2 e negativo per 4-impulsispace-like; usiamo Q2 = −q2 > 0 se vi sono logaritmi. Il risultato dell’integrale e

• per Q2 m2: J (q2) = α3π

ln M2

m2 − α15π

Q2

m2

• per Q2 m2: J (q2) = α3π

ln M2

m2 − α3π

ln Q2

m2 = α3π

ln M2

Q2

p q-pq

e

a b c de

Figure 4.25: Grafici al primo ordine, O(e2), e al secondo ordine, O(e4),dell’interazione elettromagnetica

Il propagatore viene modificato dai contributi degli ordini superiori dello sviluppoin serie; per Q2 m2 si ha

1

q2→ 1

q2− 1

q2

(α

3πlnM2

m2− α

15π

Q2

m2

)+ . . .

Definendo la carica elettrica, e20 = 4πα, l’elemento di matrice e proporzionale a

H(q2) ∝ e20

q2

(1− e2

0

12π2lnM2

m2+

e20

60π2

Q2

m2+ . . .

)

535

e diverge per M → ∞. Possiamo assorbire il contributo del termine divergenteridefinendo la carica elettrica

e2 = e20

(1− e2

0

12π2lnM2

m2

)

dove e0 e la carica elettrica nuda, cioe non rivestita dagli effetti dell’interazionecon il campo elettromagnetico agli ordini superiori, mentre e e la carica elettricaeffettiva, quella che si misura in un esperimento con 4-impulso trasferito q. Conquesta ridefinizione della carica elettrica l’elemento di matrice diventa una quantitafinita

H(q2) ∝ e2

q2

(1− e2

60π2

q2

m2+ . . .

)

Il contributo del grafico di Fig. 4.25b introduce una correzione al vertice di in-terazione

1

q2→ 1

q2

(1 +

α

3π

q2

m2

[lnm2

m2γ

− 3

8

]+

α

2π

i~σ · ~q2m

)

dove si e introdotta una massa del fotone per evitare la divergenza del secondotermine per mγ → 0, e ~σ sono le matrici di Pauli. Il terzo termine introduce unamodifica al momento magnetico del fermione. Questo e definito ~µ = e

2m~σ e ~s = ~σ/2

e lo spin. Il fattore giromagnetico del fermione viene modificato rispetto al valoreg = 2 della teoria di Dirac (appendice 4.19)

g = 2(

1 +α

2π+ . . .

)

I grafici di Fig. 4.25c e 4.25d indroducono una correzione di ordine α anche essaproporzionale a q2

m2 ln m2

m2γ

con il risultato che le divergenze per mγ → 0 dei grafici

4.25b, 4.25c e 4.25d si cancellano esattamente. Quindi il risultato delle correzioniradiative al primo ordine e

• la carica elettrica e modificata dal grafico di Fig. 4.25a;

• la carica elettrica effettiva e definita dalla carica elettrica nuda e da un fattoreinfinito nel limite M → ∞ e non e costante ma dipende dal valore del 4-impulso trasferito;

• il momento magnetico e modificato per un termine 1 + α2π

+ . . . per effetto delgrafico di Fig. 4.25b;

• per effetto della cancellazione dei contributi dei grafici b, c e d di Fig. 4.25 lacarica elettrica effettiva di fermioni di massa diversa e la stessa.

La tecnica di assorbire i termini divergenti ∼ lnM nella ridefinizione della caricaelettrica e chiamata rinormalizzazione. Una teoria e rinormalizzabile se i terminidivergenti si cancellano a ogni ordine dello svilluppo in serie in modo che il valorecalcolato delle quantita misurabili risulta finito a ogni ordine dello svilluppo in serie.

536

4.23.1 La polarizzazione del vuoto

Il fenomeno responsabile della dipendenza della carica elettrica dal 4-impulso trasfer-ito e chiamato polarizzazione del vuoto. Una carica elettrica q immersa in un ma-teriale polarizza il dielettrico e il valore del campo elettrico a distanza r e q/4πεr2

dove ε > ε0 e la costante dielettrica del materiale : la carica effettiva q/ε risultapiu piccola, cioe schermata. In meccanica quantistica la carica elettrica puo polar-izzare il vuoto. Infatti cariche elettriche di segno opposto, ad esempio coppie e+e−,si possono materializzare nel vuoto per effetto del principio di indeterminazione acondizione che l’energia necessaria ∆E soddisfi la relazione ∆E∆t < h. Per effettodel campo generato dalla carica i dipoli e+e− producono una densita di carica local-mente diversa da zero e la carica q viene parzialmente schermata (Fig. 4.26); l’effettodi schermo e minore per piccole distanze ovvero per 4-impulsi trasferiti grandi, cioela carica elettrica effettiva aumenta con q2.

qr

Figure 4.26: Polarizzazione del vuoto

4.23.2 La ”costante” di accoppiamento

Per rendere quantitativa questa immagine calcoliamo il valore della carica elet-trica effettiva. Nello sviluppo in serie il propagatore viene modificato dai graficidi Fig. 4.27

I1 =1

q2I2 = I1

[−q2J

]I1 I3 = I1

[−q2J

]I1

[−q2J

]I1 . . .

La somma dei contributi ai vari ordini e I(q2) = 1q2

[1− J + J 2 − J 3 + . . .] e lacarica elettrica effettiva risulta

e2(q2) = e20

[1− J + J 2 − J 3 + . . .

]=

e20

1 + J (q2)

Per valori di Q2 m2, J ' α3π

ln M2

Q2 . La ”costante di accoppiamento, α, non equindi costante, ma viene modificata

α(Q2) =α0

1− α0

3πln Q2

M2

In questa espressione la costante di accoppiamento nuda α0 non e una quantita

537

Figure 4.27: Rinormalizzazione della carica elettrica

definita e c’e ancora un termine divergente∼ lnM . Invertendo la relazione, possiamodefinire α0 ad un valore di riferimento, Q2 = µ2, detta energia di rinormalizzazione

α0 =α(µ2)

1 + α(µ2)3π

ln µ2

M2

e quindi esprimere la costante di accoppiamento in funzione del 4-impulso trasferitoe del parametro µ2

α(Q2) =α(µ2)

1− α(µ2)3π

ln Q2

µ2

La costante di struttura fine e usualmente definita alla massa dell’elettrone, µ2 = m2e,

ed e misurata con la precisione migliore di una parte per miliardo!1/α(m2

e) = 137.035 999 14± 0.000 000 03In effetti non solo le coppie e+e− contribuiscono ai grafici di polarizzazione del

vuoto, ma anche tutte le coppie fermione-antifermione con massa 4m2f < Q2. Quindi

il fattore 13π

va moltiplicato per il numero di fermioni (leptoni e quark) pesati peril valore di molteplicita (1 per i leptoni, 3 per i quark) e per il quadrato del valoredella carica elettrica (ed = −1

3, eu = 2

3)

1

3π→ 1

3π

(n` +

1

3nd +

4

3nu

)

La costante di accoppiamento alla massa del bosone Z0, α(m2Z) = 1/128, differisce

di ' 6% dal valore alla massa dell’elettrone.

4.24 Calcolo di alcuni processi elementari

4.24.1 Spazio delle fasi invariante

Il fattore d~rd~p/(2π)3 introdotto nella densita degli stati non e invariante per trasfor-mazioni di Lorentz. Introducendo la condizione di normalizzazione della densitadi probabilita con 2E particelle per unita di volume, il fattore invariante, per unaparticella, e

d6n =d~rd~p

(2π)32E

538

e per k particelle nello stato finale con 4-impulso totale P

d6kn = (2π)4δ4 (ΣjPj − P )k∏

j=1

V d~pj(2π)32Ej

dove la funzione δ4(. . .) tiene conto della conservazione del 4-impulso e j = 1 . . . k.Se V −1/2 e il fattore di normalizzazione delle funzioni d’onda, l’ampiezza di tran-sizione Afi del processo a b→ α β . . . κ viene moltiplicata per il fattore V −(2+k)/2.La sezione d’urto differenziale si ottiene mediando |Afi|2 sugli stati di spin delleparticelle iniziali a b, sommando sugli stati finali, integrando la densita degli statifinali nell’intervallo delle variabili e dividendo per il flusso dello stato iniziale

dσi→f =1

Φi

V k

V 2+k

∫

f|Afi|2(2π)4 δ4 (ΣjPj − P )

k∏

j=1

d~pj(2π)32Ej

Il flusso iniziale, con la stessa condizione di normalizzazione, e

Φi =|~vab|

(V/2Ea)(V/2Eb)

Nell’espressione della sezione d’urto

dσi→f =1

|~vab|(2π)4

2Ea 2Eb

∫

f|Afi|2 δ4 (ΣjPj − P )

k∏

j=1

d~pj(2π)32Ej

non compare il valore del volume di normalizzazione che nel seguito assumiamounitario. I termini d~p/E sono invarianti. Anche il termine |~vab|EaEb e invariante.Infatti, ~va ‖ ~vb e si ha:∣∣∣∣∣~paEa− ~pbEb

∣∣∣∣∣EaEb = |~paEb − ~pbEa| = |~pa|Eb + |~pb|Ea =[(Pa · Pb)2 − (mamb)

2]1/2

Analogamente, per la larghezza di decadimento del processo a → α β . . . κ. Nelriferimento della particella a la probabilita di decadimento e

dΓi→f =1

2ma

∫

f|Afi|2δ4 (ΣjPj − P )

k∏

j=1

d~pj(2π)32Ej

Esempio: decadimento M → m1 m2

Il decadimento e descritto da 6 variabili con 4 condizioni, quindi 2 variabili libereche sono i due angoli di decadimento θ φ, nel riferimento della particella M

ρ(E)dΩ =∫ 1

2Mδ3(~p1 + ~p2)δ(E1 + E2 −M)

d~p1

2E1

d~p2

2E2

=

=∫ 1

8ME1E2

δ(E1 + E2 −M)p21dp1dΩ1 =

∫ 1

8ME1E2

δ[f(p1)]p21dp1dΩ1 =

539

• f(p) = (p2 +m21)1/2 + (p2 +m2

2)1/2 −M ; ∂f∂p

= pE1

+ pE2

= E1+E2

E1E2p

=∫ 1

8ME1E2

E1E2

Mp1

p21 dΩ1 =

p1

8M2dΩ1

e quindi otteniamo la largezza di decadimento in funzione dell’impulso e dell’angolodelle due particelle nel centro di massa

dΓ(M → m1 m2) = |Afi|2p

8M2dΩ

Esempio: decadimento M → m1 m2 m3

In questo caso ci sono 9 variabili con 4 condizioni, quindi 5 variabili libere

∫ 1

2Mδ3(~p1 + ~p2 + ~p3)δ(E1 + E2 + E3 −M)

d~p1

2E1

d~p2

2E2

d~p2

2E2

=

=∫ 1

16ME1E2E3

δ(E1 + E2 + E3 −M) p21dp1dΩ1 p

22 dp2dΩ2 =

possiamo integrare nella direzione di una particella, dΩ1, e nell’angolo azimutaledella seconda particella rispetto alla direzione della prima, dφ2, e rimangono 2 vari-abili libere

=∫ 8π2

16ME1E2E3

δ(E1 + E2 + E3 −M) p21p

22dp1dp2d cos θ =

=∫ π2

2ME1 E2E3

δ[f(pi, p2, cos θ)] p21p

22dp1dp2d cos θ =

• f(p1, p2, cos θ) = (p21+m2

1)1/2+(p22+m2

2)1/2+(p21+2p1p2 cos θ+p2

2+m23)1/2−M ;

∂f/∂ cos θ = p1p2/E3

=∫ π2

2ME1E2E3

E3

p1p2

p21p

22dp1dp2 =

∫ π2

2ME1E2E3

E3E1E2 dE1dE2

Risulta che la densita degli stati di tre particelle e uniforme

ρ(E)dE1dE2 =π2

2MdE1dE2

e la larghezza di decadimento in funzione delle energie di due particelle e

d2Γ(M → m1 m2 m3) = |Afi|2π2

2MdE1dE2

540

4.24.2 Processi a b→ c d

Questi processi sono rappresentati da grafici di Feynman al secondo ordine. I 4-impulsi delle quattro particelle sono legati dalla relazione Pa + Pb = Pc + Pd epossiamo costruire due invarianti relativistici indipendenti. E comodo introdurre gliinvarianti di Mandelstam

s = (Pa + Pb)2 t = (Pa − Pc)2 u = (Pa − Pd)2

che sono legati dalla relazione

s+ t+ u = P 2a + 2Pa · Pb + P 2

b + P 2a − 2Pa · Pc + P 2

c + P 2a − 2Pa · Pd + P 2

d =

= P 2a + P 2

b + P 2c + P 2

d + 2Pa · (Pa + Pb − Pc − Pd) =4∑

k=1

m2k

s e il quadrato dell’energia totale, t e u sono il quadrato del 4-impulso trasfer-ito a → c, a → d. Per la proprieta di simmetria dei grafici di Feynman rispettoall’assorbimento e emissione di particelle e anti-particelle, l’ampiezza dei processiac→ bd e db→ ca si ottengono dall’ampiezza del processo ab→ cd con oppor-tuno scambio delle variabili di Mandelstam. Questa proprieta e detta simmetria diincrocio.

Calcoliamo la sezione d’urto differenziale

dσ(ab→ cd) =1

64π2

1

|~vab|EaEb

∫

f|Afi|2 δ4(Pa + Pb − Pc − Pd)

d~pcEc

d~pdEd

nel riferimento del centro di massa

~pa + ~pb = ~pc + ~pd = 0 pi = |~pa| = |~pb| pf = |~pc| = |~pd| s = (Ea + Eb)2

|~vab|EaEb = |~pa|Eb + |~pb|Ea = pi√s

le variabili libere sono gli angoli di scattering θ, φ

∫δ4(Pa + Pb − Pc − Pd)

d~pcEc

d~pdEd

=∫δ(√s− Ec − Ed)

pcEcdEcdΩc

EcEd=

pf√sdΩ

(dσ

dΩ

)

cm

=1

64π2

1

s

pfpi|Afi|2

Scattering e−µ+ → e−µ+

Il grafico di Feynman e mostrato in Fig. 4.28: nel punto x1 viene assorbito l’elettronedi 4-impulso pa, emesso l’elettrone di 4-impulso pc e emesso (assorbito) un fotonevirtuale di 4-impulso q = pa − pc (q = −pa + pc); nel punto x2 viene assorbito il µdi 4-impulso pb, emesso il µ di 4-impulso pd e assorbito (emesso) il fotone virtualedi 4-impulso q = −pb + pd (q = pb − pd). L’ampiezza di transizione e l’integrale

A =∫jλe (x1) G(x1 − x2) jµλ(x2) d4x1d

4x2

541

jλ = eψγλψ ψ = u(p, s)e−ip·x ψ = u(p, s)eip·x

e G(x1 − x2) e il propagatore del campo elettromagnetico

A =∫eucγ

λua ei(pa−pc)·x1 e

−iq·(x1−x2)

(2π)4q2eudγλub e

i(pb−pd)·x2 d4x1d4x2

=1

(2π)4

∫ucγ

λuae2

q2udγλub e

i(pa−pc−q)·x1 ei(pb−pd+q)·x2 d4x1d4x2

= ucγλua

e2

q2udγλub (2π)4δ4(pa + pb − pc − pd)

x1

x2

pc

pd

pb

pa

qq

pb

pa

pd

pc

x2x1

Figure 4.28: Grafici di Feynman ab → cd al secondo ordine: scattering e annichi-lazione

La media sugli spin dello stato iniziale e la somma sugli spin dello stato finale eun calcolo complesso che non riportiamo; il risultato e

|Afi|2 =8e4

q4

[(pa · pb)(pc · pd) + (pa · pd)(pc · pb)−m2

a pb · pd −m2b pa · pc + 2m2

am2b

]

• Consideriamo l’urto nel riferimento in cui la particella b e inizialmente in quiete

pa = (~p, E) pb = (0,M) pc = (~p′, E ′) q = (~q, ν) = (~p− ~p′, E − E ′)

e supponiamo che E ma, E′ mc, cioe p2

a = p2c ≈ 0, q2 ≈ −2pa · pc; con

queste ipotesi

q2 = −2EE ′ + 2~p · ~p′ ≈ −2EE ′(1− cos θ) = −4EE ′ sin2 θ/2 = −Q2

p2d = (pb + q)2 M2 = M2 + q2 + 2pb · q Q2 = 2Mν

Sostituendo pd = pa + pb − pc e trascurando i termini in m2a

|Afi|2 =8e4

Q4

[(pa · pc)(pa · pb − pc · pb) + 2(pa · pb)(pc · pb)−M2 pa · pc

]

=8e4

Q4

[Q2

2(EM − E ′M) + 2 EM E ′M − M2Q

2

2

]

542

=8e4

Q42M2EE ′

[1− Q2

4EE ′+

Q2

4M2

M(E − E ′)EE ′

]

=16e4

Q4M2EE ′

[cos2 θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

]

La sezione d’urto, con |~vab| ≈ c = 1, si ottiene integrando sulle variabili di statofinale

dσ =1

64π2

1

EM

∫|Afi|2 δ4(pa + pb − pc − pd)

d~pcEc

d~pdEd

=1

64π2

1

EM

∫|Afi|2 δ4(q + pb − pd) EcdEcdΩc

d~pdEd

=1

64π2

1

EM

∫|Afi|2 δ3(~q − ~pd)δ(ν +M − Ed) EcdEcdΩc

d~pdEd

=1

64π2

1

EM|Afi|2

1

Mδ(ν −Q2/2M) E ′dE ′dΩ′

Introducendo l’espressione dell’ampiezza di transizione e α = e2/4π(

d2σ

dE ′dΩ′

)

lab

=1

64π2

1

EM

16e4

Q4M2EE ′

[cos2 θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

]E ′

Mδ(ν−Q2/2M)

=4α2

Q4E ′2

[cos2 θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

]δ(ν −Q2/2M)

Se la particella b non ha struttura, come abbiamo supposto, ci sono solo due variabililibere, gli angoli Ω′ = (θ′, φ′). La funzione δ(ν − Q2/2M) esprime la conservazionedell’energia per una particella bersaglio puntiforme

ν − Q2

2M= E − E ′ − 4EE ′

2Msin2 θ/2 = 0 E ′ =

E

1 + (2E/M) sin2 θ/2

Integrando sull’energia E ′

dσ

dΩ′=∫σ(E ′, Q2) δ[E − E ′ − (2EE ′/M) sin2 θ/2] dE ′ =

=σ(E ′, Q2)∣∣∣ ∂

∂E′E − E ′ − 2EE′

Msin2 θ/2

∣∣∣=

σ(E ′, Q2)

1 + 2EM

sin2 θ/2= σ(E ′, Q2)

E ′

E

otteniamo la sezione d’urto di Dirac(dσ

dΩ

)

lab

=α2

4E2 sin4 θ/2

E ′

E

[cos2 θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

]

Se possiamo trascurare anche la massa della particella b, l’espressione dell’ampiezzadi transizione si semplifica ulteriormente

|Afi|2 =8e4

q4[(pa · pb)(pc · pd) + (pa · pd)(pc · pb)]

543

In questo caso i prodotti scalari dei 4-impulsi si esprimono direttamente in funzionedegli invarianti di Mandelstam

s = (pa + pb)2 = (pc + pd)

2 = 2pa · pb = 2pc · pd

t = (pa − pc)2 = (pd − pb)2 = −2pa · pb = −2pb · pd = q2

s = (pa − pd)2 = (pc − pb)2 = −2pa · pd = −2pc · pb

|Afi|2 =8e4

q4

s2 + u2

4= 2e4 s

2 + u2

t2

• Nel riferimento del centro di massa, ~pa + ~pb = ~pc + ~pd = 0,

s = 4p2 t = −2p2(1−cos θ) u = −2p2(1−cos(π−θ)) = −2p2(1+cos θ)

e la sezione d’urto differenziale, con |~vab| = c = 1, pi = pf , e

(dσ

dΩ

)

cm

=1

64π2

2e4

s

s2 + u2

t2=α2

2s

1 + cos4 θ/2

sin4 θ/2

Annnichilazione e−e+ → µ−µ+

Nel processo di scattering e−µ+ → e−µ+ il fotone virtuale e di tipo spazio (q2 < 0):e un processo nel canale t. Il processo di annichilazione e−e+ → µ−µ+ si ottiene dalprecedente per simmetria di incrocio

e µ→ e µ ⇔ e e→ µ µ

scambiando i 4-impulsi pb ↔ −pc. Questo corrisponde allo scambio s ↔ t. Ilfotone virtuale e di tipo tempo (q2 = s > 0): e un processo nel canale s (Fig. 4.28).L’ampiezza di scattering diventa

|Afi|2 =8e4

q4[(−pa · pc)(−pb · pd) + (pa · pd)(pc · pb)] =

8e4

q4

t2 + u2

4= 2e4 t

2 + u2

s2

• Nel riferimento del centro di massa

|Afi|2 = 2e4 (1− cos θ)2 + (1 + cos θ)2

4

dove θ e l’angolo e ∧ µ = e ∧ µ.

Al primo ordine dello sviluppo perturbativo l’annichilazione ee→ µµ avviene in unostato JP = 1−, fermione e anti-fermione hanno nello stato iniziale e nello stato finaleelicita opposta. |Afi|2 risulta dalla somma di due ampiezze che non interferiscono eche corrispondono ai quattro casi

eLeR → µLµR eReL → µRµL A ∼ (1 + cos θ)/2

544

eLeR → µRµL eReL → µLµR A ∼ (1− cos θ)/2

Per la conservazione dell’elicita, la prima si annulla per scattering indietro, θ = π,la seconda per scattering in avanti, θ = 0.

La sezione d’urto differenziale e, con le solite ipotesi,(dσ

dΩ

)

cm

=1

64π2

2e4

s

1 + cos2 θ

2=α2

4s(1 + cos2 θ)

e, integrando sull’angolo solido

σcm(e−e+ → µ−µ+) =∫ α2

4s(1 + cos2 θ) d cos θ dφ =

4π

3

α2

s

Scattering e−e+ → e−e+

Questo processo puo avvenire sia come scattering nel canale t, con q2 = (pa−pc)2 <0, che come annichilazione nel canale s, con q2 = (pa + pb)

2 > 0. L’ampiezza ditransizione e la somma dei due contributi e |Afi|2 contiene i termini di scattering,di annichilazione e il termine di interferenza

|Afi|2 = 2e4

[s2 + u2

t2+

2u2

st+t2 + u2

s2

]

La sezione d’urto nel riferimento del centro di massa e la sezione d’urto di Bhabha(dσ

dΩ

)

cm

=α2

2s

[1 + cos4 θ/2

sin4 θ/2− 2

cos4 θ/2

sin2 θ/2+

1

2(1 + cos2 θ)

]

Scattering e−e− → e−e−

Questo processo avviene nel canale t, con q2 = (pa − pc)2 < 0. Poiche si tratta didue particelle indentiche, l’ampiezza di transizione e la somma di due contributi

e1e2 → e1e2 + e1e2 → e2e1

Il processo e e→ e e si ottiene dallo scattering Bhabha per simmetria di incrocio

e e→ e e ⇔ e e→ e e

scambiando i 4-impulsi pb ↔ −pd. Questo corrisponde allo scambio s↔ u.

|Afi|2 = 2e4

[s2 + u2

t2+

2s2

ut+t2 + s2

u2

]

La sezione d’urto nel riferimento del centro di massa e la sezione d’urto di Møller(dσ

dΩ

)

cm

=α2

2s

[1

sin4 θ/2− 2

sin2 θ/2 cos2 θ/2+

1

cos4 θ/2

]

545

Compton scattering γe− → γe−

Lo scattering Compton e rappresentato da due grafici di Feynman (Fig. 4.29). Nelprimo, nel punto x1 viene assorbito il fotone di 4-impulso ka, assorbito l’elettronedi 4-impulso pb e emesso l’elettrone virtuale di 4-impulso q = ka + pb; nel puntox2 viene assorbito l’elettrone virtuale di 4-impulso q = kc + pd, emesso il fotonedi 4-impulso kc e emesso l’elettrone di 4-impulso pd. Il propagatore ha 4-impulsoq2 = (ka + pb)

2 = m2 + 2ka · pb. Il secondo grafico (ka e assorbito in x2 e kc e emessoin x1) si ottiene dal primo per simmetria di incrocio con lo scambio ka ↔ −kc, cioes↔ u. Il propagatore ha 4-impulso q2 = (−kc + pb)

2 = m2 − 2kc · pb.

x2pd

pb

x1

kcka

x2pd

pb

x1

kcka

Figure 4.29: Grafici di Feynman dell’effetto Compton

L’ampiezza di transizione e la somma di due contributi

A1,fi =∫eudε

∗µcγ

µ e−i(kc+pd)x2γλqλ +m

(2π)4(q2 −m2)eiq(x1−x2) eγνενaub e

i(ka+pb)x1 d4x1d4x2

=1

(2π)4

∫eudε

∗µcγ

µ γλqλ +m

q2 −m2eγνενaub e

i(ka+pb−q)x1 ei(q−kc−pd)x2 d4x1d4x2

=e2

q2 −m2[udε

∗µcγ

µ] [γλqλ +m] [γνενaub] (2π)4 δ4(ka + pb − kc − pd)

con q = ka + pb = kc + pd, q2 − m2 = 2ka · pb = 2kc · pd. Il secondo contributo si

ottiene in modo analogo

A2,fi =e2

q2 −m2[udεµaγ

µ] [γλqλ +m] [γνε∗νcub] (2π)4 δ4(ka + pb − kc − pd)

con q = −kc + pb = −ka + pd, q2 −m2 = −2kc · pb = −2ka · pd.

Introducendo le variabili s = 2ka · pb = 2kc · pd, u = −2kc · pb = −2ka · pd, cheapprossimano gli invarianti di Mandelstam nel limite m2 → 0, sommando sugli statidi polarizzazione dei fotoni e di spin degli elettroni, si ottiene

|Afi|2 = 2e4

[− su− u

s+ 4m2

(1

s+

1

u

)+ 4m4

(1

s+

1

u

)2]

Nel riferimento in cui l’elettrone e inizialmente in quiete la cinematica e la stessadel processo eµ→ eµ, dove pero abbiamo trascurato me,

ka = (k, ω) pb = (0,m) kc = (k′, ω′) ω′ =mω

m+ ω(1− cos θ)

546

e con s = mω, u = −mω′

cos θ = 1−(m

ω′− m

ω

)= 1+

(2m2

s+

2m2

u

)sin2 θ = −4m2

(1

s+

1

u

)−4m4

(1

s+

1

u

)2

|Afi|2 = 2e4

[ω′

ω+ω

ω′− sin2 θ

]

e, integrando come nel processo eµ→ eµ,

1

64π2

1

mω

∫|Afi|2 δ4(ka + pb − kc + pd)

d~kcωc

d~pdEd

otteniamo la sezione d’urto di Klein-Nishina(dσ

dΩ

)

lab

=α2

2m2

ω′2

ω2

[ω′

ω+ω

ω′− sin2 θ

]

Annichilazione e+e− → γγ

Anche in questo caso il processo e descritto da due grafici di Feynman poiche ifotoni nello stato finale sono indistinguibili (Fig. 4.30). Il processo si ottiene dallo

pa

pb

kc

kdx2

x1pa

pb

kc

kdx2

x1

Figure 4.30: Grafici di Feynman dell’annichilazione e+e− → γγ

scattering Compton per simmetria di incrocio

γe− → γe− ⇔ e+e− → γγ

scambiando i 4-impulsi pa ↔ −pd che corrisponde allo scambio s ↔ −t. Nel limite|t| m2, |u| m2, che e il caso di interesse negli anelli di collisione e+e−, l’elementodi matrice e

|Afi|2 = 2e4[t

u+u

t

]

Nel riferimento del centro di massa, s = 4p2, t = −2p2(1−cos θ), u = −2p2(1+cos θ),|Afi|2 e simmetrica rispetto all’angolo θ tra la direzione e+e− e la direzione γγ

|Afi|2 = 2e4

[1− cos θ

1 + cos θ+

1 + cos θ

1− cos θ

]= 4e4 1 + cos2 θ

1− cos2 θ

547

e la sezione d’urto, con |~vee| = c = 1, pf = pi = p, e

(dσ

dΩ

)

cm

=1

64π2s|Afi|2 =

α2

s

1 + cos2 θ

1− cos2 θ

Da notare che l’approssimazione |t| m2, |u| m2 non e valida nel limite cos θ →±1.

Scattering νee− → e−νe

Il grafico di Feynman nel canale t e mostrato in Fig. 4.31: nel punto x1 vieneassorbito il neutrino di 4-impulso pa, emesso l’elettrone di 4-impulso pc e emesso unbosone W+ virtuale di 4-impulso q = pa−pc; nel punto x2 viene assorbito l’elettronedi 4-impulso pb, emesso il neutrino di 4-impulso pd e assorbito il bosone virtuale di4-impulso q = −pb + pd. L’ampiezza di transizione e l’integrale

A =∫jλ(x1) Gλµ(x1 − x2) [jµ(x2)]+ d4x1d

4x2

dove jλ, (jλ)+ sono le correnti deboli cariche con ∆Q = ±1

jλ =g√2ψfγλ

1− γ5

2ψi [jλ]

+ =g√2

[ψfγλ

1− γ5

2ψi

]+

=g√2ψiγλ

1− γ5

2ψf

e Gλµ(x1 − x2) e il propagatore del campo debole

Gλµ(x1 − x2) =e−iq·(x1−x2)

(2π)4

gλµ − qλqµ/M2

q2 −M2

A =g2

2

∫ucγλ

1− γ5

2uae

i(pa−pc)·x1 Gλµ(x1 − x2) udγµ1− γ5

2ube

i(pb−pd)·x2 d4x1d4x2

Nella maggior parte dei casi di interesse q2 M2 (M ' 80 GeV ) e, introducendo

Figure 4.31: Grafici di Feynman dello scattering νee− → e−νe per corrente carica e

neutra

la costante universale di Fermi, G/√

2 = g2/8M2,

A =G√

2[ucγλ(1− γ5)ua] [udγλ(1− γ5)ub] (2π)4δ4(pa + pb − pc − pd)

548

Mediando sugli spin dello stato iniziale e sommando sugli spin dello stato finale

|Afi|2 = 64G2(pa · pc)(pb · pd)

La cinematica e la stessa di processi gia studiati. Nel riferimento del centro di massaabbiamo (

dσ

dΩ

)

cm

=1

64π2s16G2s2 =

G2

4π2s

cioe la sezione d’urto differenziale del processo νee− → e−νe non dipende dall’angolo

di scattering, e

σ(νee− → e−νe) =

G2

πs

Qui non e stato considerato lo scattering νee− → νee

− mediato dal campo deboleneutro.

Scattering νee− → e−νe

L’ampiezza di questo processo si ottiene dal precedente per simmetria di incrocioscambiando pa ↔ −pd, cioe s ↔ t, ed e un processo di annichilazione nel canale s(Fig. 4.32).

Figure 4.32: Grafici di Feynman dello scattering νee− → e−νe per corrente carica e

neutra

Trattando, come sopra, solo lo scattering per corrente debole carica:

|Afi|2 = 64G2 (−pd · pc) (−pb · pa) = 64G2 t2 = 64G2 s2(1− cos θ)2

dove θ e l’angolo νin ∧ e−out (se θ∗ e l’angolo νin ∧ νout: cos θ∗ = − cos θ).

(dσ

dΩ

)

cm

=G2

4π2s

(1− cos θ)2

4

σ(νee− → e−νe) =

G2

3πs

σ(νee− → e−νe)

σ(νee− → e−νe)=

1

3

La dipendenza delle sezioni d’urto dall’angolo di scattering si spiega con la conser-vazione dell’elicita dei fermioni:

549

• Nello scattering νee− → e−νe (νee

+ → e+νe) fermione e antifermione hannoelicita uguale e il momento angolare e J = 0: la distribuzione angolare nelcentro di massa e isotropa.

νLeL → eLνL νReR → eRνR A ∼ costante

• Nell’annichilazione νee− → e−νe (νee

+ → e+νe) fermione e antifermione hannoelicita opposta e il momento angolare e J = 1 con Jz = +1 (Jz = −1):la distribuzione angolare nel centro di massa corrisponde alla rotazione delmomento angolare J = 1 attorno ad un asse ⊥ z

νReL → eLνR νLeR → eRνL A ∼ (1− cos θ)/2

Nello stato finale, per la conservazione dell’elicita si ha Jz′ = −1 (Jz′ = +1)lungo l’asse z′, cioe una sola proiezione su 2J + 1 = 3.

Scattering partone–partone

Alla sezione d’urto invariante di produzione di jet in interazioni adroniche (capi-tolo 3.6) contribuiscono piu processi di scattering o annichilazione dei partoni con-stituenti degli adroni nello stato iniziale, e ciascun processo e pesato per la con-voluzione delle densita dei partoni. Consideriamo solo i processi in cui due partonii, j nello stato iniziale producono due partoni k, l nello stato finale e descriviamo iprocessi nel centro di massa partone–partone.

Se s0 e il quadrato dell’energia totale degli adroni interagenti, s0 = (P1 + P2)2,e x1, x2 sono le frazioni di impulso dei partoni, le variabili di Mandelstam chedescrivono i processi sono il quadrato dell’energia totale dei partoni i, j, uguale allamassa invariante dei partoni k, l, e i due 4-impulsi trasferiti

s = (Pi+Pj)2 = x1x2s0 t = (Pi−Pk)2 = −s

2(1−cos θ) u = (Pi−Pl)2 = −s

2(1+cos θ)

dove θ e l’angolo di scattering. La sezione d’urto invariante dell’interazione partone–partone in funzione dell’angolo azimutale, l’impulso trasverso e la rapidita e:

d3σ

dφpTdpTdycon pT =

√s

2sin θ y =

1

2ln

1 + cos θ

1− cos θ

I contributi piu importanti dei processi ij → kl, ciascuno pesato per i fattori dicolore dell’interazione partone–partone e calcolati al primo ordine dello sviluppo

550

perturbativo, sono elencati nella tabella seguente. Tutti sono proporzionali a αs(s).

ij → kl d3σ/dφpTdpTdy c = cos θ

qq′ → qq′ 12s

49s2+u2

t21s

[29

4+(1+c)2

(1−c)2]

qq → qq 12

12s

[49

(s2+u2

t2+ s2+t2

u2

)− 8

27s2

ut

]1s

[19

(4+(1+c)2

(1−c)2 + 4+(1−c)2(1+c)2

)− 8

271

1−c2]

qq → q′q′ 12s

49u2+t2

s21s

[1+c2

9

]

qq → qq 12s

[49

(s2+u2

t2+ u2+t2

s2

)− 8

27u2

st

]1s

[19

(4+(1+c)2

(1−c)2 + 1+c2

2

)+ 4

271+c2

1−c2]

qq → gg 12

12s

[3227u2+t2

ut− 8

3u2+t2

s2

]1s

[827

4+(1−c)21−c2 − 1+c2

3

]

gg → qq 12s

[16u2+t2

ut− 3

8u2+t2

s2

]1s

[112

4+(1+c)2

1−c2 − 3(1+c2)32

]

gq → gq 12s

[−4

9s2+u2

su+ s2+u2

t2

]1s

[19

4+(1+c)2

1+c+ 4+(1+c)2

2(1−c)2]

gg → gg 12

12s

92

[3− ut

s2− su

t2− st

u2

]1s

[278− 9(1+c2)

32+ 9

41+c

(1−c)2 + 94

1−c(1+c)2

]

Per tutti i processi la sezione d’urto e proporzionale a 1s. La distribuzione an-

golare favorisce l’emissione ad angoli piccoli perche nei processi di scattering e pro-porzionale a 1

(1−cos θ)2= 1

2 sin4 θ/2, mentre nei processi di annichilazione e proporzionale

a 1 + cos2 θ. Per piccoli valori dell’angolo di scattering i contributi sono approssi-mativamente in rapporto gg : gq : qq ≈ 9

4: 1 : 4

9

4.24.3 Il decadimento del muone

n

e

n

em

e

nm

m

nm

e

Figure 4.33:

Il decadimento del muone, µ− → νµe−νe (µ+ → νµe

+νe) e rappresentato dalgrafico della Fig. 4.33. L’interazione corrente-campo e

H =g√2

[ψ(x)γα

1− γ5

2ψ(x)Wα(x) + hermitiano coniugato

]

dove g e la ”carica” debole, ψ(x) = u(s)2Ee−ipx e la funzione d’onda dei fermioni e

W (x) e il campo di interazione debole. L’elemento di matrice si ottiene integrando

H =g√2ψ1(x)γα

1− γ5

2ψµ(x)Wα(x)

g√2ψe(y)γβ

1− γ5

2ψ2(y)W β(y)

Per valori del 4-impulso trasferito q2 = (pµ− p1)2 = (pe + p2)2 m2W il propagatore

del campo egαβm2W

con gαβ tensore metrico, e l’integrale e∫e−ipµxeipexeip1xeip2xd4x =

(2π)4δ4(pµ − pe − p1 − p2). Introducendo la costante di Fermi g√2

1m2W

g√2

= 4G√2

si ha

H =G√

2[u1γα(1− γ5)uµ] [ueγα(1− γ5)u2] (4.11)

551

dΓ = (2π)4δ4(pµ − pe − p1 − p2)1

2Eµ

d3pe2Ee(2π)3

d3p1

2E1(2π)3

d3p2

2E2(2π)3|H|2 (4.12)

dove |H|2 e la media sugli stati di spin.

|H|2 =G2

2tr[u1u1γα(1− γ5)uµuµγα(1− γ5)] tr[ueueγβ(1− γ5)u2u2γβ(1− γ5)]

= 32G2 [(pµ −mµsµ) · p1] [(pe −mese) · p2]

sµ e se sono le polarizzazioni (4-versori) di muone e elettrone. Integrando sullevariabili dei neutrini, p1, p2

dΓ =∫ 2G2

(2π)5[(pµ −mµsµ) · p1] [(pe −mese) · p2] δ4(q − p1 − p2)

1

Eµ

d3peEe

d3p1

E1

d3p2

E2

dΓ =2G2

(2π)5(pµ −mµsµ)α(pe −mese)β Iαβ

d3peEµEe

(4.13)

L’integrale sui 4-impulsi dei neutrini e un invariante che si puo esprimere in funzionedi q

Iαβ =∫

p1,p2pα1p

β2 δ

4(q − p1 − p2)d3p1

E1

d3p2

E2

= Aq2gαβ +Bqαqβ

e si ottiene (p21 = p2

2 = 0)

gαβIαβ = 4Aq2 +Bq2 =∫

p1,p2(p1 · p2) δ4(q − p1 − p2)

d3p1

E1

d3p2

E2

qαqβIαβ = Aq4 +Bq4 =∫

p1,p2(p1 · p2)2 δ4(q − p1 − p2)

d3p1

E1

d3p2

E2

Nel riferimento in cui ~q = ~p1 +~p2 = 0, si ha E1 = E2, p1 ·p2 = 2E21 , q2 = q2

0 = (2E1)2

gαβIαβ =∫

8πE21dE1δ(q0 − 2E1) δ3(~q − ~p1 − ~p2)d3p2 = πE2

1 = πq2

qαqβIαβ =∫

16πE41dE1δ(q0 − 2E1) δ3(~q − ~p1 − ~p2)d3p2 = 2πE4

1 =π

2q4

quindi: A = π/6, B = π/3; sostituendo Iαβ = π6(q2gαβ+2qαqβ) nell’equazione (4.13)

d3Γ =πG2

3(2π)5(pµ −mµsµ)α(pe −mese)β (q2gαβ + 2qαqβ)

d3peEµEe

(4.14)

Nel riferimento del muone Eµ = mµ, q = (mµ − Ee,−~pe), sµ = (0, sµ), mese =(Eehe, ~pehe) dove he = ~pe·se

Eee l’elicita dell’elettrone e se e la polarizzazione nel rifer-

imento dell’elettrone. Trascurando la massa dell’elettrone (|~pe| = Ee), il prodottonell’equazione (4.14) e

(pµ −mµsµ)α (pe −mese)β (q2gαβ + 2qαqβ) =mµEe(1− he) (3m2

µ − 6mµEe + 2E2e )

+ mµ(1− he)~pe · 2(mµ − Ee)~pe− mµsµ · ~pe (1− he) 2(mµ − Ee)Ee+ mµsµ · ~pe (1− he) (m2

µ − 2mµEe − 2E2e ) =

(1− he) m2µEe [(3mµ − 4Ee) + (mµ − 4Ee) cos θ]

552

θ e l’angolo tra lo spin del muone e l’impulso dell’elettrone

d3Γ =πG2

3(2π)5(1− he)mµ[(3mµ − 4Ee) + (mµ − 4Ee) cos θ]E2

e dEedφd cos θ

e, integrando sull’angolo azimutale φ, si ha

d2Γ(µ→ νµeνe) =G2

3(2π)3

1− he2

mµ[(3mµ − 4Ee) + (mµ − 4Ee) cos θ]E2e dEed cos θ

Nel caso del decadimento µ+ → νµe+νe cambia l’elemento di matrice (4.11)

H =G√

2[uµγα(1 + γ5)u1] [u2γα(1 + γ5)ue]

e quindi i segni nell’equazione (4.14), p−ms→ p+ms

d2Γ(µ→ νµeνe) =G2

3(2π)3

1 + he2

mµ[(3mµ − 4Ee)− (mµ − 4Ee) cos θ]E2e dEed cos θ

Nel decadimento l’elettrone e emesso con elicita negativa (he = −1) e il positronecon elicita positiva (he = +1).

4.25 Il fattore giromagnetico dei leptoni

4.25.1 Il fattore giromagnetico

Consideriamo un corpo rigido di massa m a simmetria cilindrica che e in rotazionecon velocita angolare ~ω attorno all’asse di simmetria, Fig. 4.34. Il momento angolaredi rotazione, spin, e proporzionale al momento di inerzia

~s = I~ω = ~ω∫r2dm

dove r e la distanza dall’asse di simmetria dell’elemento dm = ρmrdrdzdφ e ρm e ladensita di massa. Se il corpo ha carica elettrica q e densita di carica ρq, l’elementodi carica dq genera una corrente di = dq

T= ω

2πdq e quindi un momento di dipolo

magnetico dµ = πr2di parallelo a ~ω

~µ =1

2~ω∫r2dq

Il rapporto tra momento magnetico e spin e

~µ =1

2

∫r2dq

∫r2dm

~s =〈r2〉q〈r2〉m

q

2m~s = g

q

2m~s

g = 〈r2〉q/〈r2〉m e il fattore giromagnetico. Per densita di massa e di carica elettricain rapporto costante si ha g = 1, ~µ = q

2m~s.

553

Figure 4.34: Momento magnetico e momento angolare di un corpo rigido in ro-tazione.

L’ipotesi che l’elettrone avesse un momento angolare intrinseco s = h/2 fu in-trodotta da Goudschmit e Uhlenbeck per spiegare la molteplicita della strutturafine degli spettri atomici. Con questa ipotesi i livelli energetici risultano sdoppiatiper l’interazione del momento magnetico dell’elettrone ~µe = ge

e2me

~s con il campo

magnetico atomico ~Ba, E = −~µ · ~Ba = ∓ge eh4me

Ba. Le osservazioni erano invece in

accordo con ∆E = eh2me

Ba, cioe ge = 1. Questo era pero in contraddizione con leosservazioni dell’interazione con campi magnetici esterni, l’effetto Zeeman anomalo.In questo caso si misurava ∆E = eh

meBext, cioe ge = 2. La contraddizione fu spiegata

dall’effetto relativistico della precessione di Thomas (appendice 4.5): il riferimentodell’elettrone non e in quiete nel riferimento dell’osservatore, ma e soggetto ad ac-celerazione.

Consideriamo un elettrone nel campo elettrico atomico a simmetria sferica delnucleo. Nel riferimento di quiete la variazione dello spin e:

d~s

dt0= ~µ× ~B0 = g

e

2m~s× ~B0

t0 e il tempo proprio e B0 e il campo nel riferimento dell’elettrone. ~s e un vettoredi modulo costante per cui

d~s

dt0= ~s× ~ωs ~ωs = g

e ~B0

2m(4.15)

Se ~βc e la velocita dell’elettrone, e ~E, ~B‖, ~B⊥ sono il campo elettrico e le componenti

del campo magnetico nel riferimento del laboratorio, il campo ~B0 e

~B0 = ~B‖ + γ(~B⊥ − ~β × ~E/c

)

Il campo elettrico atomico e centripeto, e ~E = −~∇U = dUdrr; per β 1, γ ' 1, si ha

~ωB = ge ~B⊥2m

~ωE = −g 1

2mc~β × ~r 1

r

dU

dr= g

1

2m2c2~L

1

r

dU

dr

554

dove ~L e il momento angolare orbitale e U(r) e l’energia di interazione nel campocoulombiano. La precessione di Thomas e attorno all’asse normale alla direzione delmoto ~β e dell’accelerazione d~β/dt, la velocita angolare e

~ωT =γ − 1

β2~β × d~β

dt(4.16)

Nell’ipotesi β 1, γ − 1 ' β2/2:

~ωT =1

2c2~v × ~a =

1

2c2

~p

m× e ~E

m= − 1

2m2c2~L

1

r

dU

dr

Quindi l’energia di interazione del momento magnetico dell’elettrone

E = −g e

2m~s · ~B − g − 1

2m2c2~s · ~L 1

r

dU

dr

riproduce i risultati dell’effetto Zeeman e della struttura fine se g = 2.Per un fermione puntiforme di spin 1/2, l’equazione di Dirac (appendice 4.19)

prevede g = 2. In effetti le correzioni radiative (appendice 4.23) comportano che g sialeggermente maggiore: g = 2(1+a). a e chiamata anomalia e si calcola in teoria delleperturbazioni come una serie di potenze della costante di struttura fine. Il primotermine dello sviluppo in serie e indipendente dalla massa. Le correzioni agli ordinisuperiori dipendono dall’integrazione su tutti i possibili valori del 4-impulso deibosoni virtuali (γ,W,Z, . . .) scambiati, e di coppie fermione-antifermione, e quindidipendono dalla massa del fermione

g = 2(

1 +α

2π+ . . .

)α

2π= 1.16 10−3

L’elettrone e il leptone µ si comportano come fermioni puntiformi. Il fattoregiromagnetico di elettrone e muone sono misurati con grande precisione. Protonee neutrone sono fermioni di spin 1/2 dotati di struttura interna e hanno fattorigiromagnetici sensibilmente diversi da 2. Anche in questo caso i valori dei momentimagnetici (capitolo 3.2) sono misurati con grande precisione e, insieme con quelli

dei barioni 12

+, forniscono informazioni sul modello a quark degli adroni.

Le misure del fattore giromagnetico sono fatte studiando il moto in campo mag-netico. Una particella di carica e, massa m e momento magnetico µ percorre is-tante per istante una traiettoria circolare con frequenza angolare ωc, frequenza diciclotrone,

d~p

dt0= e~v × ~B0 = ~p× ~ωc ~ωc =

e ~B0

m(4.17)

e lo spin ha un moto di precessione attorno alla direzione del campo con frequenzaangolare ωs (4.15). Per piccoli valori della velocita della particella nel laboratorio,β 1, γ ' 1, il tempo proprio e il campo B0 coincidono con quelli dello sperimen-tatore. Se g = 2(1 + a) > 2, la direzione dello spin precede con velocita angolare

555

maggiore di quella dell’impulso della particella e la velocita angolare relativa e pro-porzionale all’anomalia a

ωa = ωs − ωc = geB

2m− eB

m=g − 2

2

eB

m= a

eB

m(4.18)

Questo si verifica nel caso della misura del fattore giromagnetico dell’elettrone cheviene effettuata con valori di velocita βe 1. Invece, nel caso del muone, la velocitanon e piccola e occorre tener conto dell’accelerazione centripeta nel laboratorio edella trasformazione di Lorentz del campo magnetico. Se ~B e ~E sono i campi nellaboratorio con componenti longitudinale ‖ e trasversa ⊥ si ha 6:

~B0 = ~B‖ + γ(~B⊥ − ~β × ~E/c

)= γ ~B − (γ − 1) ~B‖ − γ~β × ~E/c

~E0 = ~E‖ + γ(~E⊥ + ~βc× ~B

)= γ ~B − (γ − 1) ~E‖ + γ~βc× ~B

Nel riferimento non accelerato del muone, da (4.15), si ha

d~s

dt n.a.=

1

γ

d~s

dt0= ~s× ~ωs ~ωs = g

e

2m

(~B − γ − 1

γ~B‖ − ~β × ~E/c

)(4.19)

ma, per effetto della forza di Lorentz, questo riferimento e accelerato nel labora-torio e gli assi di riferimento sono soggetti istante per istante alla precessione diThomas (4.16). Dalla definizione di ~β e dalle equazioni del moto si ha

~β =~pc

Ed~β

dt=

1

E

(d~pc

dt− ~pc

EdEdt

)=

e

γm

(~E/c+ ~β × ~B − ~β(~β · ~E/c)

)

~β × d~β

dt=

e

mγ

(~β × ~E/c+ ~β × (~β × ~B)− (~β × ~β)(~β · ~E/c)

)

~ωT =e

m

γ − 1

γ

(~β × ~E/β2c− ( ~B − ~B‖)

)(4.20)

La frequenza angolare dello spin nel laboratorio risulta

~ωs + ~ωT =e

m

([g − 2

2+

1

γ

]~B −

[g − 2

2

γ − 1

γ

]~B‖ −

[g − 2

2+

1

γ + 1

]~β × ~E/c

)

Negli esperimenti che misurano gµ, muoni di energia opportuna vengono accumulatiin un anello magnetico e si realizzano le condizioni per cui le componenti longitu-dinali dei campi siano nulle, ~B‖ = ~E‖ = 0; ~B = ~B⊥, ~E = ~E⊥. In questo caso ilsecondo termine si annulla

~ωs + ~ωT =e

m

([a+

1

γ

]~B −

[a+

1

γ + 1

]~β × ~E/c

)(4.21)

6 Per un vettore di componenti ~V‖, ~V⊥, si ha: ~β×~V = ~β×~V⊥, ~β×~β×~V = −β2~V⊥ = −β2(~V −~V‖)

556

La frequenza di ciclotrone e

~p× ~ωc =d~p

dt= e ~E + e~βc× ~B = ec~β ×

(~B − ~β × ~E/β2c

)=

e~p

mγ×(~B − ~β × ~E/β2c

)

~ωc =e

mγ

(~B − ~β × ~E/β2c

)(4.22)

La frequenza angolare relativa tra la direzione dello spin e la direzione del moto e

~ωs + ~ωT − ~ωc =e

m

(a ~B −

[a+

1

1 + γ− 1

β2γ

]~β × ~E/c

)

Per minimizzare la dipendenza dal valore del campo elettrico lungo la traiettoria, sisceglie l’energia in modo da annullare il secondo termine

a+1

1 + γ− γ2

(γ2 − 1)γ= a− 1

γ2 − 1= 0

L’energia del muone per cui γ =√

1 + 1/a = 29.3, Eµ = 3.1 GeV, e detta energiamagica. In queste condizioni si ha

ωa = ωs + ωT − ωc = aeB

m

e il valore dell’anomalia si ottiene direttamente dalla misura della frequenza di pre-cessione.

4.25.2 La misura di g–2 dell’elettrone

L’anomalia dell’elettrone ae = ge−22

e stata misurata con grande precisione in unaserie di esperimenti in cui elettroni (o positroni) vengono intrappolati in una parti-colare configurazione di campi elettrici e magnetici detta Penning trap. Un esempioe mostrato in Fig. 4.35; la trappola ha simmetria cilindrica attorno all’asse z egli elettrodi formano un campo elettrico quadrupolare. In coordinate cilindriche ilpotenziale ha la forma

V (r cosφ, r sinφ, z) =V0

r20 + 2z2

0

(r20 − r2 + 2z2)

e il campo elettrico ha componenti

Ex = Gx/2 Ey = Gy/2 Ez = −Gz G =4V0

r20 + 2z2

0

Il campo magnetico e prodotto da un solenoide parallelo all’asse z, ~B = (0, 0, B0).Le equazioni del moto di un elettrone sono:

mx = eEx + evyBz x− ωcy − ω2zx/2 = 0

my = eEy − evxBz y + ωcx− ω2zx/2 = 0

mz = eEz z + ω2zz = 0 ωc = eB0

mω2z = eG

m

557

z0

r0

E

B

Figure 4.35: Configurazione dei campi elettrico e magnetico in una Penning trap.

L’elettrone ha oscillazioni assiali z(t) = Z cosωzt e percorre una cicloide nel pianox–y formata da un moto circolare lento con frequenza ω− e uno molto piu rapidocon frequenza ω+

x(t) = R− cosω−t+R+ cosω+t y(t) = R− sinω−t+R+ sinω+t R+ R−

ω± =1

2

[ωc ± (ω2

c − 2ω2z)

1/2]

Poiche con i valori tipici dei campi la frequenza di ciclotrone ωc e molto maggioredella frequenza assiale ωz si ha ω− ω+; la frequenza di ciclotrone perturbata eω+ ' ωc; la frequenza di magnetrone e ω− ' ωc − ω+. Si arriva a confinare nellatrappola anche un singolo elettrone: si costruisce cosı un geonium atom 7 in cui icampi elettrico e magnetico della trappola sostituiscono il nucleo atomico. Questatecnica della cella mono-atomica e stata introdotta da Hans Dehmelt 8 e collaboratoriappunto per la misura del fattore g–2 dell’elettrone.

I livelli energetici del sistema dipendono dal numero del modo di oscillazionen = 0, 1, 2, . . ., dal numero magnetico ms = ±1

2e da alcune piccole correzioni

E(n,ms) =(n+

1

2

)hω+ +ms

ghωc2

+ . . .

La differenza di energia tra i livelli E(n,+1/2) − E(n + 1,−1/2) e proporzionaleall’anomalia dell’elettrone (Fig.4.36)

∆Eh

=(n+

1

2

)ω+ +

1

2

g

2ωc −

(n+

3

2

)ω+ +

1

2

g

2ωc =

g

2ωc − ω+ = aωc + ω− ' aωc

Le frequenze sono misurate e calibrate con estrema precisione e le oscillazioni difrequenza ∆E/h inducono segnali osservabili. I valori tipici di una Penning trap per

7 Nome fantasioso per ”costruito sulla Terra”.8 Premio Nobel per la Fisica nel 1989

558

Figure 4.36: Livelli energetici dell’elettrone in una Penning trap.

questa misura sono: temperatura T ∼ 4 K, campo magnetico B0 ∼ 5 T , gradiente dicampo elettrico G ∼ 10 V/mm2, per cui si ottiene: ν+ ∼ 100 GHz, νz ∼ 100 MHz,ν− ∼ 100 kHz. La misura del fattore g–2 dell’elettrone 9 e oggi la misura assolutapiu precisa di una grandezza fisica

amise = (1 159 652 180.9± 0.8)× 10−12

la precisione e di 0.7×10−12 ! Il valore di ae e calcolato in elettrodinamica quantis-tica come serie di potenze della costante di struttura fine. Se si usa il valore di αdeterminato in modo indipendente dalla misura di ae

10,11

1/α = 137.035 999 31± 0.000 000 70

si ottiene il valore teorico

athe = (1 159 652 178.1± 6.0)× 10−12

l’accordo e ottimo: amise − athe = (2.8± 6.1)× 10−12. Dato che l’errore sperimentalee molto piu piccolo dell’incertezza teorica, si puo ricavare una determinazione piuprecisa di α dalla misura di ae

1/α = 137.035 999 07± 0.000 000 10

4.25.3 La misura di g–2 del muone

Anche la misura del fattore g-2 del muone e fatta con grande precisione, se purinferiore a quella dell’elettrone. La misura e particolarmente interessante perche igrafici di Feymnan agli ordini superiori sono piu sensibili allo scambio di bosoni ecoppie fermione-antifermione in rapporto (mµ/me)

2.I muoni sono prodotti polarizzati nel decadimento di mesoni (prevalentemente

π) prodotti nell’interazione di protoni di alta energia su un bersaglio: i pioni sonofocalizzati in un canale magnetico dove decadono e si selezionano muoni in una

9 B. Odom, D. Hanneke, B. D’Urso, G. Gabriesle, Physical Review Letters 97, 030801, 200610 V.Germinov et al., Physical Review A 73, 032504, 200611 P.Clade et al., Physical Review Letters 96, 033001, 2006

559

stretta banda di impulso intorno al valore magico γ = 29.3, pµ = 3.09 GeV/c.Questi vengono immessi in un anello di 7.1 m di raggio, con campo magneticocurvante B = 1.45 T e decadono con vita media γτµ = 64.4 µs. La velocita angolaree ωc = eB

γm= 4.22 107 rad/s; il periodo di rivoluzione e 0.149 µs e i muoni percorrono

in media 430 giri prima di decadere.Durante il moto nell’anello (Fig. 4.37), lo spin del muone, inizialmente parallelo

a ~p, ha un moto di precessione con velocita angolare leggermente maggiore

ωs + ωT =eB

m

(g

2− γ − 1

γ

)

e quindi l’angolo tra la direzione dello spin e la direzione dell’impulso cambia inmodo periodico con frequenza angolare

ωa = ωs + ωT − ωc = aµeB

m

e periodo Ta = 4.36 µs piccolo rispetto a γτµ, lo spin fa in media 15 giri prima cheil muone decada.

Figure 4.37: Moto di rivoluzione del muone e di precessione dello spin.

Quando il muone decade, l’elettrone conserva memoria della direzione dello spin:e+ (e−) di alta energia sono emessi prevalentemente in direzione parallela (antipar-allela) allo spin del µ+ (µ−). Infatti la distribuzione degli elettroni nel riferimentodel muone e (capitolo 3.3)

d2n±

dε d cos θ∗= (3− 2ε)ε2

[1∓ 1− 2ε

3− 2εcos θ∗

]= n(ε) [1∓ α(ε) cos θ∗]

con ε = 2E∗/m. La Fig. 4.38 mostra che il numero di elettroni n(ε) e l’asimmetriaα(ε) aumentano con ε. L’energia dell’elettrone nel laboratorio e

Ee = βγp∗ cos θ∗ + γE∗ ' γE∗(1 + cos θ∗) =Em

mε

2(1 + cos θ∗)

e il rapporto tra l’energia dell’elettrone e quella del muone e Ee/E = ε(1 + cos θ∗)/2.Se si richiede che l’energia dell’elettrone sia maggiore di un certo valore di soglia,

560

Figure 4.38: Numero di elettroni n(ε) e asimmetria α(ε) nel riferimento del muone.

ε(1 + cos θ∗)/2 > S, si restringe l’intervallo di cos θ∗ e si selezionano i positroni(elettroni) emessi con θ∗ ' 0 (θ∗ ' π).

Poiche e± hanno impulso ~pe leggermente minore di ~pµ, vengono deflessi dal campomagnetico all’interno dell’anello dove sono disposti i rivelatori. Quindi la frequenzadi conteggio di elettroni con energia maggiore del valore di soglia diminuisce conlegge esponenziale ed e modulata dalla frequenza ωa

Ne = N0e−t/γτ [1 + A sin(ωat+ φa)]

dove i valori delle costanti N0, A e φa dipendono dal valore dell’energia di soglia deirivelatori. La Fig. 4.39 mostra i dati relativi a 4 miliardi di decadimenti µ+ → νµe

+νemisurati con un valore di soglia S ' 2/3 su un intervallo di tempo di 800 µs pari acirca 12 vite medie.

Il risultato 12, mediato sui valori misurati con µ+ e µ−, e

amisµ = (116 592 080± 63)× 10−11

Poiche mµ me, in questo caso i contributi dei bosoni W ,Z e di coppie quark-antiquark al valore calcolato dalla teoria non sono trascurabili. In particolare ilsecondo e grande ed e dominato dalla produzione di coppie qq di bassa energia dovela cromodinamica quantistica non da risultati affidabili. Per calcolarlo si usano idati sperimentali sulla sezione d’urto e+e− → adroni (capitolo 3.5) e questo e iltermine con l’errore maggiore. I contributi elettromagnetico, debole e adronico sono

ae.m.µ 116 584 718aweakµ 154ahadµ 6 921 ± 68

athµ 116 591 793 ± 68 ×10−11

Il confronto mostra che non vi e buon accordo tra la misura e il calcolo teorico:amisµ − athµ = (287 ± 92) × 10−11; o il termine athµ non e calcolato correttamente, oesiste qualche effetto nuovo di cui la teoria non tiene conto.

12 G.W.Bennett et al., Physical Review Letters 89, 101804, 2002; G.W.Bennett et al., PhysicalReview Letters 92, 161802, 2004

561

Figure 4.39: Conteggio di e+ in funzione del tempo per la misura dell’anomalia delµ+ (G.W.Bennett et al., Physical Review D 73, 072003, 2006).

4.26 La supersimmetria

Nel Modello Standard (capitol 3.8) le sorgenti dei campi e i campi di interazioniseguono due statistiche diverse: quella di Fermi-Dirac e quella di Bose-Einstein. Ilteorema di spin-statistica di Pauli assegna spin semi-intero ai fermioni e spin interoai bosoni. Nell’intervallo di energia oggi esplorato, la fenomenologia delle interazionifondamentali, elettromagnetica, adronica e debole, e descritta con successo da campidi fermioni puntiformi di spin 1/2, da campi di interazione di spin 1 e da tre costantidi accoppiamento relative alle trasformazioni di gauge U(1), SU(2), SU(3). Le massesono introdotte tramite l’interazione dei campi di fermioni e dei campi di gauge conil campo scalare di Higgs.

Nonostante i grandi successi nella descrizione dei fenomeni e il notevole poterepredittivo, la situazione non e del tutto soddisfacente perche occorre introdurre nelmodello un numero di parametri, le costanti di accoppiamento di Yukawa e dei campidi gauge, i cui valori vanno dedotti da misure. Inoltre, sulla base dell’esperienzamaturata nello sviluppo della teoria, e naturale attendersi che le leggi di simmetriadel modello che sono violate a bassa energia si possano ricondurre ad una simmetriapiu generale che operi ad energia piu elevata. Alcune indicazioni mostrano chel’energia di grande unificazione sia intorno al valore ΛGU ∼ 1015÷16 GeV. Infinec’e la speranza che questa simmetria sia anche in grado di descrivere l’interazionegravitazionale ad una scala di energia non superiore all’energia di Planck, MP c

2 '

562

1.2 1019 GeV 13.Quindi si ritiene che il Modello Standard fornisca un quadro teorico incompleto

delle interazioni. Oltre a questo, fornisce anche un quadro non soddisfacente perchee affetto da alcune patologie, in particolare la definizione stessa della massa delcampo di Higgs. Poiche questo si accoppia a tutti i campi, la massa e soggetta acorrezioni radiative che sono grandi se l’energia tipica a cui questi campi agiscono egrande (∼ΛGU). Per ogni campo di fermioni di massa mf = gfv/

√2, che si accoppia

col campo di Higgs secondo la (3.41), la correzione e

δm2H = −gf

∫ Λ 1

(2π)4

d4q

q2' − gf

4π2Λ2 (4.23)

dove, per evitare la divergenza, si e introdotto il limite superiore di integrazioneΛ. Questo non puo che dipendere dalla scala di energia a cui si manifesta la nuovasimmetria di unificazione delle interazioni. Se consideriamo Λ ' 1015 GeV e il quarktop, con gt =

√2mt/v ' 1, la correzione e δmH ' Λ/2π ' 1014 GeV. Dato il valore

della massa del bosone di Higgs, mH = 125 GeV, questo implica che la teoria deveessere regolata da qualche meccanismo con la precisione di 1/1012 ! Se pero esistonodei campi scalari di massa ms e costante di accoppiamento col campo di Higgs gs,questi introducono un’altra correzione di segno opposto

δm2H =

gs4π2

(Λ2 −m2

s lnΛ2

m2s

)(4.24)

Quindi, se esiste una legge di simmetria per cui ad ogni fermione di spin 1/2 cor-risponde un campo scalare complesso (una coppia di bosoni di spin 0) con massasimile, allora i due contributi proporzionali a Λ2 in (4.23) e (4.24) si cancellano.Questa legge, la super-simmetria, e generata da un operatore che trasforma i campidi fermioni e in campi di bosoni e viceversa

Q|f〉 = |b〉 Q|b〉 = |f〉 (4.25)

Dato che la trasformazione agisce sui due campi cambiando lo spin di 1/2, l’operatoreQ si comporta come uno spinore di Dirac e, allo stesso modo, l’operatore Q†. QuindiQ e Q† soddisfano regole di anti-commutazione e, poiche operano sul momento an-golare, generano una simmetria dello spazio-tempo. Questa simmetria deve essereinquadrata con le altre leggi di simmetria del modello: invarianza di Lorentz e invari-anza per trasformazioni di gauge U(1), SU(2), SU(3). Le regole delle trasformazionidella super-simmetria sono

Qr, Q†r = 2σµrrPµ

Qr, Qs = Q†r, Q†s = 0 (4.26)

[Qr, Pµ] = [Q†r, Pµ] = 0

dove Pµ e l’operatore 4-impulso che si trasforma come un vettore.

13 La massa di Planck e definita dalla relazione GNM2P /hc = 1, GN e la costante di Newton

563

4.26.1 Le particelle supersimmetriche

Dalle ipotesi precedenti e dalle relazioni (4.26) seguono importanti osservazioni

• le particelle e le corrispondenti super-particelle generate dalle trasformazionidella supersimmetria appartengono a super-multipletti ;

• l’operatore P 2 commuta con i generatori della supersimmetria, quindi le parti-celle e le corrispondenti super-particelle hanno lo stesso autovalore di P 2, cioehanno la stessa massa;

• i generatori delle simmetrie di gauge commutano con i generatori della su-persimmetria, quindi le particelle e le corrispondenti super-particelle hanno lestesse costanti di accoppiamento;

• un super-multipletto contiene un ugual numero di stati di fermioni e di bosoni.Infatti, se s e lo spin, l’operatore (−1)2s ha autovalore +1 se agisce su unbosone, e autovalore –1 se agisce su un fermione

(−1)2s|b〉 = +|b〉 (−1)2s|f〉 = −|f〉

e quindi anticommuta con gli operatori Q, Q†. Consideriamo l’insieme di stati|n〉 di un super-multipletto con autovalore del 4-impulso Pµ. Gli operatori Q,Q† producono un nuovo stato |n′〉 con lo stesso valore Pµ e quindi per questoinsieme si ha

∑n |n〉〈n| = 1. Dalla (4.26) si ha

∑n〈n|(−1)2sPµ|n〉 =

∑n〈n|(−1)2sQQ†|n〉+

∑n〈n|(−1)2sQ†Q|n〉

=∑n〈n|(−1)2sQQ†|n〉+

∑n

∑m〈n|(−1)2sQ†|m〉〈m|Q|n〉

=∑n〈n|(−1)2sQQ†|n〉+

∑m〈m|Q(−1)2sQ†|m〉

=∑n〈n|(−1)2sQQ†|n〉 −∑m〈m|(−1)2sQQ†|m〉 = 0

∑n〈n|(−1)2sPµ|n〉 e proporzionale a nb−nf nell’insieme considerato se Pµ 6= 0,

e quindinb = nf

• ad un fermione con due stati di elicita, nf = 2, corrispondono due campiscalari reali con nb = 1;

• un bosone di spin 1 di massa nulla (prima della rottura spontanea della simme-tria di gauge) ha due stati di elicita, nb = 2: a questo corrisponde un fermionecon nf = 2.

Vediamo come la supersimmetria puo curare la patologia del Modello Standard delladefinizione della massa del campo di Higgs e, al tempo stesso, preservare le altrecaratteristiche del modello, cioe l’invarianza per trasformazioni di gauge.

Ad ogni particella nota si aggiunge un super-partner che differisce di 1/2 unita dispin e che ha le stesse interazioni. I super-partner dei leptoni e dei quark sono bosonidi spin 0 e sono identificati dal prefisso s (per scalare), sleptoni e squark, e indicati

564

con lo stesso simbolo con una tilde: e e il superpartner scalare dell’elettrone. Lecomponenti left-handed e right-handed dei fermioni hanno proprieta diverse e quindihanno partner scalari diversi; ad esempio

(νeeL

)⇒

(νeeL

)eR ⇒ eR

− νe ha carica elettrica nulla, si accoppia con i campi W e Z;− eL ha carica negativa, si accoppia con i campi A, W e Z;− eR ha carica negativa, si accoppia con i campi A e Z, ma non con W ;− tutti hanno spin zero; quindi il suffisso L,R non indica l’elicita del selettrone, maquella del super-partner elettrone.

I partner dei bosoni di gauge sono fermioni di spin 1/2 chiamati gaugini. Icampi vettoriali della simmetria dell’isospin, Bk, e dell’ipercarica, BY , si combinanoa formare i campi A, W e Z; allo stesso modo i super-partner Bk e BY formano ifermioni: γ (fotino), W± (wino) e Z0 (zino). Agli otto campi di colore, i gluoni,corrispondono otto fermioni detti gluini, g.

Il campo di Higgs e costituito da un doppietto di isospin di campi scalari conipercarica Y = +1. Il super-partner sarebbe un fermione di spin 1/2 con lo stessovalore dell’ipercarica ma, per evitare le anomalie introdotte da diagrammi di Feyn-man chiusi, occorre che esistano due fermioni con ipercarica opposta, Y = ±1.Quindi, nel modello super-simmetrico, esistono due doppietti di Higgs scalari (ottocampi reali)

Y = +1 Hu =

(H+u

H0u

)Y = −1 Hd =

(H0d

H−d

)

Questi campi hanno valori di aspettazione nel vuoto diversi da zero

Hminu =

(0vu

)Hmind =

(vd0

)(4.27)

e, con un meccanismo simile a quello descritto nel capitolo 3.8 danno origine rispet-tivamente alle masse dei fermioni di tipo u e di tipo d. I partner supersimmetricisono quattro fermioni di spin 1/2 chiamati higgsini e indicati con H+

u , H0u, H0

d , H−d .La tabella 4.1 mostra il quadro dei super-multipletti previsti dalla super-simmetria.

Sono indicati gli autovalori dell’ipercarica e la molteplicita di isospin e di colore. Vanotato che l’algebra usata per gli spinori implica che il partner del s-leptone (s-quark) left-handed e l’anti-leptone (anti-quark) right-handed in modo che in ognisuper-multipletto risulti ΣkYk = 0. Il numero di stati di fermioni in un super-multipletto e uguale al numero di stati di bosoni.

4.26.2 Il modello supersimmetrico minimale

Le particelle e le corrispondenti superparticelle della tabella costituiscono il ModelloStandard SuperSimmetrico Minimale, MSSM, cui va aggiunta l’interazione con il

565

super-partner spin 0 spin 1/2 spin 1 U(1)Y SU(2)L SU(3)Csleptoni (νL eL) (νL eL) -1 2 1×3 eR eR 2 1 1

squark (uL dL) (uL dL) 1/3 2 3×3 uR uR -4/3 1 3

dR dR 2/3 1 3

bini B1 B2 B3 B1 B2 B3 0 3 1

BY BY 0 1 1gluini g g 0 1 8

higgsini (H+u H0

u) (H+u H0

u) +1 2 1

(H0d H

−d ) (H0

d H−d ) -1 2 1

Table 4.1: Particelle supersimmetriche e molteplicita degli stati. I superpartner delleparticelle note sono indicati con˜.

campo gravitazionale che non e trattata qui. Le super-particelle della terza colonna,bini e higgsini, si mescolano a formare fermioni carichi e neutri chiamati chargini,χ±1 e χ±2 , e neutralini, χ0

1, χ02, χ0

3 e χ04. Il campo di Higgs e costituito da otto campi

reali che, per effetto della rottura spontanea della simmetria elettrodebole, dannoorigine alla massa di tre bosoni di gauge W± e Z0 e a cinque bosoni di Higgs: duecarichi H± e due neutri h0 e A0 con autovalori opposti di CP , oltre al bosone H0

del Modello Standard. La Fig. 4.40 mostra come gli accoppiamenti di particelle ecampi sono rappresentati con l’introduzione dei super-partner.

Figure 4.40: Accoppiamenti di particelle e campi e dei corrispondenti superpartner.Fermione: linea continua, bosone scalare: linea tratteggiata, bosone di gauge: lineaondulata.

Se la supersimmetria fosse una simmetria esatta, le particelle e le corrispon-denti superparticelle avrebbero lo stesso valore di massa. Ma non e stata osservataalcuna superparticella (con valore di massa minore di circa 500 GeV ) e quindi lasupersimmetria e rotta a bassa energia. Diversi meccanismi sono stati introdotti perdescrivere questo fenomeno: rottura spontanea oppure mediata da qualche legge.Il meccanismo di rottura della supersimmetria determina la gerarchia dei valori dimassa delle particelle supersimmetriche e quindi guida lo studio di processi che pos-

566

sano produrle in interazioni di alta energia su cui torneremo brevemente nel seguito.

La R-parita. Il Modello Standard non prescrive la conservazione separata deinumeri barionico A e leptonico L, questa viene aggiunta had hoc sulla base delleosservazioni quali, ad esempio, il limite superiore alla vita media del protone. Ipossibili contributi al decadimento del protone sono comunque molto piccoli. NelMSSM invece il processo p → e+π0 (o analoghi con muoni o neutrini o mesoni K)puo essere mediato dallo scambio di uno squark, uud → uq∗ → uue+, con cambiodi una unita di A e L. Per evitare questo tipo di processi non e necessario ipo-tizzare la conservazione separata del numero barionico e leptonico, ma e sufficienteipotizzare l’invarianza della supersimmetria rispetto ad una trasformazione discretadi parita della materia, PM = (−1)3A−L. Infatti, nel decadimento del protone o incasi analoghi, ad esempio transizioni n→ n, PM cambia segno.

D’altra parte l’operatore (−1)2s ha autovalori opposti se applicato a fermioni obosoni, quindi la parita si puo estendere alla supersimmetria introducendo l’operatoredi R-parita

R = (−1)3A−L+2s (4.28)

che ha autovalore R = +1 per le particelle e R = −1 per le superparticelle. NelMSSM si ipotizza la conservazione della R-parita. Questo ha alcune importanticonseguenze

• in interazioni di particelle ordinarie, le superparticelle vengono prodotte incoppia;

• una superparticella instabile decade in almeno una superparticella.

Da questo segue che la superparticella piu leggera, LSP , deve essere stabile e, poichenon e stata ancora osservata, e plausibile che abbia massa elevata e che interagiscadebolmente. Quindi la LSP e un buon candidato per interpretare la materia oscurafredda presente nell’Universo (capitolo 3.10). Nella maggior parte dei modelli dirottura della supersimmetria, la LSP e il neutralino χ0

1, un fermione neutro soggettosolo a interazione debole.

4.26.3 Fenomenologia del MSSM

La teoria supersimmetrica, oltre all’elegante unificazione della statistica di fermioni ebosoni, e alla stabilizzazione del campo di Higgs, ha altri notevoli punti interessanti.

Il primo e che non introduce nuove interazioni, quindi gli elementi di matriceper la produzione di particelle supersimmetriche e per calcolare le probabilita diproduzione e decadimento sono calcolabili. Purtroppo non e noto il valore dellemasse, ne la gerarchia dei valori di massa, quindi i fattori cinematici nel calcolodelle probabilita di interazione o decadimento non sono noti. Comunque, se lesuperparticelle esistono, devono influenzare le interazioni delle particelle note at-traverso le correzioni radiative. Sulla base dei risultati di molte misure di precisionedei parametri del Modello Standard, si conclude che i valori di massa sono maggiori

567

di ∼ 100 GeV . Inoltre, sulla base di argomenti generali sulla consistenza della teo-ria, si deduce che la scala di energia delle particelle supersimmetriche non e moltomaggiore di ∼ 1 TeV .

I parametri di partenza per stimare i valori di massa sono diversi per i diversimodelli proposti per la rottura della supersimmetria. In generale sono tre parametrirelativi alle simmetrie di gauge, m1, m2 e m3, per U(1), SU(2) e SU(3), e i valori diaspettazione del vuoto del campo di Higgs, vu e vd della (4.27), con v2

u + v2d = v2 =

(246 GeV )2, e il rapporto tan β = vu/vd.Ricerche dirette di produzione di particelle supersimmetriche sono state effet-

tuate in interazioni e+e− al LEP fino a√s ∼200 GeV di energia nel centro di

massa, in interazioni protone-antiprotone al TeVatron Collider (√s ∼2 TeV) e in

interazioni protone-protone al LHC (√s ∼13 TeV). Nell’ipotesi di conservazione

della R-parita le particelle supersimmetriche sono prodotte in coppia, ad esempio:

e+e− → χ+j χ−j → χ0

j χ0k → ˜+ ˜− → qq∗

pp pp qq → gg qg → gq gg → gg gg → qq∗

e le superparticelle prodotte decadono rapidamente in LSP che prendono una frazioneconsiderevole dell’energia a disposizione nel centro di massa e non vengono rivelate(perche debolmente interagenti). Quindi la produzione di questi stati finali e carat-terizzata da una grande energia mancante. Queste ricerche non hanno dato risultatipositivi, ma hanno permesso di porre limiti inferiori al valore delle masse

m(χ01) > 300 m(χ±1 ) > 500 m(˜) > 400 m(q) > 800 m(g) > 1000 GeV

Il secondo punto che rende attraente la supersimmetria riguarda l’unificazionedelle costanti di accoppiamento dei gruppi di gauge. Nell’appendice 4.23 abbiamomostrato che la costante di accoppiamento dell’elettromagnetismo, α, cresce con il4-impulso trasferito Q per effetto delle correzioni radiative

α(Q2) =α(µ2)

1− (b/4π)α(µ2) lnQ2/µ2(4.29)

dove µ e un valore di riferimento del 4-impulso trasferito e il parametro b tieneconto dell’effetto di tutte le particelle di massa m2 < Q2/4 che si accoppiano conil campo: b e positivo per il campo elettromagnetico. Lo stesso avviene per lacostante di accoppiamento relativa al gruppo abeliano U(1)Y . Invece le costanti diaccoppiamento dei gruppi non abeliani SU(2)L e SU(3)C hanno andamento oppostoper effetto dell’autointerazione dei campi: b e negativo. Per i gruppi di gaugeabbiamo

α1 =5

3

α

cos2 θWα2 =

α

sin2 θWα3 = αs

e i valori misurati a Q2 = m2Z sono: α1 = 0.0168, α2 = 0.0335, α3 = 0.118. Nel

Modello Standard i valori del parametro b sonob1

b2

b3

=

0−22/3−11

+

4/34/34/3

× nf +

1/101/60

× nhiggs =

41/10−19/6−7

568

nf = 3 e il numero di generazioni di fermioni e nhiggs = 1 il numero di doppi-etti del campo di Higgs. Quindi, se non esistono altre particelle di massa elevata,l’andamento (4.29) di αi non prevede che ci sia un valore di energia di grande unifi-cazione per cui i valori delle tre costanti di accoppiamento siano confrontabili, comesi osserva in Fig. 4.41 che mostra l’andamento dell’inverso delle tre costanti di ac-coppiamento in funzione del 4-impulso trasferito (linee tratteggiate)

1

αi(Q2)=

1

αi(m2Z)− bi

4πlnQ2

m2Z

Figure 4.41: Costanti di accoppiamento dei campi di gauge, 1/αi, in funzione dellascala di energia di interazione. Modello Standard: linee tratteggiate, MSSM: lineecontinue.

Nel MSSM anche le particelle supersimmetriche contribuiscono al valore di bquando Q > mSUSY . In questo caso si ha

b1

b2

b3

=

0−6−9

+

222

× 3 +

3/101/20

× 2 =

66/101−3

Con ipotesi sul valore di mSUSY basate sui limiti di massa stabiliti dagli esperimentie sulla consistenza del MSSM che prevede mSUSY dell’ordine di 1 TeV si ottieneinvece un andamento diverso e le tre costanti di accoppiamento hanno un valorecomune, α ' 0.04, per Q ∼ 1016 GeV . Questo potrebbe essere il valore dell’energiadi grande unificazione e risulta minore dell’energia di Planck.

569

4.27 Citazioni

Premi Nobel citati nel testo

1901 Wilhelm Rongten scoperta dei raggi X

1902 Hendrik Lorentz influenza del magnetismo sull’emissione di radiazione

Pieter Zeeman1903 Henri Becquerel scoperta della radioattivita

Pierre Curie, Marie Curie studio dell’emissione di sostanze radioattive

1904 Lord Rayleigh studio della densita dei gas

1905 Philipp Lenard ricerche sui raggi catodici

1906 Joseph Thomson studio della conducibilita nei gas

1907 Albert Michelson realizzazione dello spettrometro di Michelson

1908 Ernest Rutherford ∗ studio delle proprieta di sostanze radioattive

1911 Wilhelm Wien leggi della radiazione termica

1911 Marie Curie ∗ scoperta del radio e del polonio

1914 Max von Laue scoperta della diffrazione dei raggi X dai cristalli

1915 William Bragg studio della struttura cristallina con raggi X

Lawrence Bragg1917 Charles Barkla scoperta dell’emissione di raggi X atomici

1918 Max Planck scoperta dei quanti di energia

1921 Albert Einstein leggi dell’effetto fotoelettrico

1921 Frederick Soddy ∗ ricerche sulla natura degli isotopi

1922 Niels Bohr teoria della struttura atomica

1922 Francis Aston ∗ sviluppo dello spettrometro di massa

1923 Robert Millikan carica elettrica elementare e studio dell’effetto fotoelettrico

1924 Manne Siegbahn ricerche sulla spettroscopia a raggi X

1925 James Franck studio dello scattering di elettroni dagli atomi

Gustav Hertz1927 Arthur Compton scoperta dell’effetto Compton

Charles Wilson invenzione della camera di Wilson

1929 Louis de Broglie teoria ondulatoria dell’elettrone

1930 Venkata Raman scattering della luce e effetto Raman

1932 Werner Heisenberg teoria della meccanica quantistica

1933 Erwin Schrodinger teoria quantistica dell’atomo

Paul Dirac1934 Harold Urey ∗ scoperta del deuterio

1935 James Chadwick scoperta del neutrone

1935 Frederic Joliot ∗ scoperta di nuovi elementi radioattivi

Irene Curie ∗

1936 Victor Hess scoperta della radiazione cosmica

Carl Anderson scoperta del positrone

∗ premio Nobel per la Chimica

570

1937 Clinton Davisson scoperta della diffrazione di elettroni da cristalliGeorge Thomson

1938 Enrico Fermi studio di reazioni indotte da neutroni

1939 Ernest Lawrence invenzione del ciclotrone e produzione di elementi radioattivi

1943 Otto Stern metodo dei raggi molecolari e momento magnetico del protone

1944 Isidor Rabi metodo della risonanza magnetica nucleare

1944 Otto Hahn ∗ scoperta della fissione dei nuclei pesanti

1945 Wolfgang Pauli scoperta del principio di esclusione

1948 Patrick Blackett metodi di osservazione della radiazione cosmica

1949 Hideki Yukawa studio delle forze nucleari e previsione dell’esistenza dei mesoni

1950 Cecil Powell sviluppo delle emulsioni nucleari e scoperta dei mesoni

1951 John Cockcroft metodi di accelerazione di particelle e studio di reazioni nucleari

Ernest Walton1951 Edwin McMillan ∗ studio di elementi transuranici

Glenn Seaborg ∗

1952 Felix Bloch, Edward Purcell sviluppo della risonanza magnetica nucleare

1954 Max Born interpretazione statistica della funzione d’onda

Walter Bothe metodo della coincidenza temporale

1955 Willis Lamb struttura fine dello spettro dell’idrogeno

Polykarp Kusch misura del momento magnetico dell’elettrone

1957 Chen Yang, Tsung-Dao Lee studio dell’invarianza per trasformazione di parita

1958 Pavel Cherenkov scoperta e interpretazione dell’effetto Cherenkov

Il’ja Frank, Igor Tamm1959 Emilio Segre scoperta dell’antiprotone

Owen Chamberlaim1960 Donald Glaser invenzione della camera a bolle

1960 Willard Libby ∗ metodo di datazione con il Carbonio-14

1961 Robert Hofstadter ricerche sullo scattering di elettroni da nuclei

Rudolf Mossbauer ricerche sull’assorbimento di risonanza di fotoni

1963 Eugene Wigner studi sulle leggi di simmetria delle particelle

Maria Mayer, Hans Jensen studi sulle leggi di simmetria dei nuclei

1965 Julian Schwinger sviluppo dell’elettrodinamica quantistica

Richard FeynmanSin-Itiro Tomonaga

1967 Hans Bethe teoria delle reazioni nucleari

1968 Luis Alvarez scoperta di stati risonanti delle particelle

1969 Murray Gell-Mann scoperta delle leggi di simmetria delle interazioni adroniche

1975 Aage Bohr, Ben Mottelson modelli collettivi dei nuclei

Leo Rainwater1976 Burton Richter scoperta della risonanza J/ψ

Samuel Ting

∗ premio Nobel per la Chimica

571

1978 Arno Penzias scoperta della radiazione cosmica di fondo

Robert Wilson1979 Sheldon Glashow, Abdus Salam teoria elettro-debole delle interazioni fondamentali

Steven Weinberg1980 James Cronin, Val Fitch scoperta della violazione della simmetria CP

1983 William Fowler studio delle reazioni nucleari e formazione degli elementi

1984 Carlo Rubbia scoperta dei bosoni vettori W e Z

Simon van der Meer1988 Leon Lederman, Melvin Schwartz scoperta del neutrino µ

Jack Steinberger1989 Hans Dehmelt, Wolfgang Paul metodo della trappola di ioni

1990 Jerome Friedman studio della struttura a quark del nucleone

Henry Kendall, Richard Taylor1992 Georges Charpak sviluppo dei rivelatori di particelle ionizzanti

1994 Bertran Brockhouse sviluppo della spettroscopia neutronica

Clifford Shull sviluppo della diffrazione di neutroni

1995 Frederick Reines scoperta del neutrino

Martin Perl scoperta del leptone τ

1999 Gerardus ’t Hooft consistenza quantistica della teoria elettro-debole

Martinus Veltman2002 Raymond Davis osservazione dei neutrini solari

Masatoshi Koshiba osservazione dei neutrini di origine cosmica

2004 David Gros, David Politzer teoria della cromodinamica quantistica

Frank Wilczek2005 Roy Glauber scattering da potenziale

2008 Yoichiro Nambu rottura spontanea di simmetria

Makoto Kobayashi simmetrie dei quark ”pesanti”

Toshihide Maskawa2013 Francois Engler, Peter Higgs origine della massa delle particelle

2015 Takaaki Kajita oscillazioni di neutrini

Arthur McDonald

572

4.28 Esercizi

Prova di esonero dalla prova scritta di esame - 27 aprile 1995

1. Nell’anello di collisione protone-antiprotone del CERN si fanno circolare pro-toni di impulso p = 300 GeV/c. L’anello ha raggio R = 1 km. La camera avuoto contiene aria (azoto, Z = 7, A = 14, densita NTP ρ = 1.25 10−3 g cm−3)a pressione P = 10−11 atmosfere. Calcolare:- il campo magnetico nell’anello;- il periodo di rivoluzione dei protoni;- il coefficiente di assorbimento dei protoni se la sezione d’urto di interazionecon i nuclei del gas e σ = 300 mb (mb = 10−27 cm2);- la vita media del fascio, cioe l’intervallo di tempo in cui l’intensita del fasciosi riduce al valore e−1 di quella iniziale.

2. Nell’articolo Possible Existence of a Neutron J.Chadwick sostiene che, per sp-iegare l’emissione di protoni con velocita vp ≈ 3 109 cm/s mediante effettoCompton, e necessario che nel processo vengano emessi fotoni con energia dialmeno 50 MeV. Giustificare questa affermazione: calcolare l’impulso mas-simo ceduto da un fotone di energia Eγ = 50 MeV ad un protone per effettoCompton, l’energia cinetica del protone e la sua velocita.

3. Un canale magnetico seleziona particelle di impulso p = 0.5 GeV/c. Le par-ticelle hanno massa mπ = 0.14 GeV/c2 e mK = 0.50 GeV/c2. Per selezionarele particelle si usa il tempo di volo tra due rivelatori a scintillatore plastico(densita ρ = 1 g cm−3, dE/dx = 2 MeV/g cm−2, Xo = 40 cm) che hannospessore di 2 cm e sono ad una distanza di 3 m uno dall’altro. Calcolare:- la velocita dei due tipi di particelle;- il tempo di volo tra i due rivelatori per i due tipi di particelle;- la risoluzione temporale di ciascun rivelatore (si assuma uguale) necessariaper selezionare le particelle entro almeno 4 deviazioni standard;- l’energia perduta nel primo rivelatore;- l’angolo medio di deflessione coulombiana multipla, per i due tipi di particelle,dopo aver attraversato il primo rivelatore.

Prova di esonero dalla prova scritta di esame - 16 maggio 1995

1. Usando la formula di Bethe-Weizsacker calcolare l’energia di legame dei nucleiisobari con A = 27: 27

12Mg, 2713Al,

2714Si. Determinare quale e il nucleo piu

stabile e indicare quali sono i contributi all’energia di legame che rendono glialtri meno stabili.

[Coefficienti: termine di volume = 15.7, di superficie = 17.2, coulombiano =0.71, di pairing = 23.3, di simmetria = ± 12 MeV].

2. Il nucleo di 63Li ha momento magnetico µ = 0.82 µN . I momenti magnetici del

protone e del neutrone sono rispettivamente µp = +2.79 µN e µn = −1.91 µN .

573

Quale informazione si ricava sullo spin del nucleo 63Li ? Sulla base di quali

argomenti spiegate che il nucleo 62He ha spin 0 ? Scrivere la reazione del

decadimento β del nucleo 62He. Stimare, sulla base dei contributi all’energia

di legame, se sia energeticamente possibile e indicare che tipo di transizione siha nel decadimento.

3. Il nucleo di deuterio, 21H, ha energia di legame 2.23 MeV . Il nucleo di trizio,

31H, ha energia di legame 8.48MeV . Calcolare l’energia che occorre per portaredue nuclei 2

1H alla distanza di 1.4 10−13 cm e la temperatura corrispondente.Se in queste condizioni avviene la reazione di fusione

21H + 2

1H → 31H +X

indicare quale particella viene prodotta nello stato finale e calcolare l’energiaprodotta nella reazione di fusione.

[ k = 8.6 10−11 MeV/K ]

Prova di esonero dalla prova scritta di esame - 19 giugno 1995

1. Nell’annichilazione di antiprotoni di impulso p = 2.2 GeV/c con protoni ariposo vengono prodotte coppie ΛΛ. Considerare il caso di produzione sim-metrica in cui le particelle Λ e Λ sono prodotte, nel riferimento del centro dimassa, a 90 rispetto alla direzione dell’antiprotone. Calcolare, nel riferimentodel laboratorio, l’impulso delle particelle Λ, l’angolo di produzione rispetto alladirezione dell’antiprotone e il cammino medio di decadimento.

[ mp = 0.938, mΛ = 1.116 GeV/c2; τΛ = 2.6 10−10 s ].

2. Le frazioni di decadimento dei mesoni Ko in coppie di pioni sono:

BR(KoS → π+π−) = 0.686 BR(Ko

L → π+π−) = 2.03 10−3

BR(KoS → πoπo) = 0.314 BR(Ko

L → πoπo) = 0.91 10−3

Spiegare in base a quale legge di simmetria il decadimento KoL → ππ e sop-

presso rispetto al decadimento KoS → ππ. Spiegare in base a quale regola di

selezione si giustifica il rapporto

BR(Ko → πoπo)

BR(Ko → π+π−)≈ 1

2

3. Il valore della vita media del leptone µ e legato alla costante di Fermi dallarelazione

1

τµ=

Γµh

Γµ = Γ(µ→ νµ e νe) =G2 (mµ c

2)5

192 π3

Il leptone τ decade in elettrone o muone con frazioni di decadimento:

BR(τ → ντ e νe) = 0.177± 0.002 BR(τ → ντ µ νµ) = 0.180± 0.002

574

Spiegare perche le probabilita di decadimento del leptone τ in elettrone emuone sono, entro gli errori di misura, uguali. Calcolare la vita media delleptone τ .

[ τµ = 2.2 10−6 s; mµ = 0.106, mτ = 1.78 GeV/c2; 192π3 = 6.0 103 ]


1. Una particella neutra di massa M = 0.5 GeV/c2 decade in due particelle dicarica opposta e di massa m1 = m2 = 0.14 GeV/c2. Calcolare l’impulso e lavelocita delle particelle nel riferimento della particella M e la velocita di unarispetto all’altra.

2. Una sorgente della potenza di 10−4 W emette in modo isotropo raggi X dienergia 10 keV . La sorgente e schermata da un involucro che ha un foro diraggio r = 0.5 cm a distanza d = 10 cm dalla sorgente. All’esterno vi e unrivelatore dello spessore di 2 cm riempito con gas di densita 2 10−3 g cm−3. Ilcoefficiente di assorbimento dei raggi X nel gas e µ = 20 g−1cm2. Il materialetra la sorgente e il rivelatore assorbe la meta dei raggi X. Calcolare il flusso dienergia che investe il rivelatore, il flusso di raggi X e la frequenza di conteggiodel rivelatore.

3. In un esperimento presso un anello di collisione le traiettorie delle particellecariche sono ricostruite in un rivelatore cilindrico di raggio r = 1 m riempitocon gas a pressione di 4 atmosfere e immerso nel campo magnetico uniformedi un solenoide Bz = 0.4 T . Nel centro del rivelatore viene prodotta unaparticella di carica e con componente longitudinale e trasversa dell’impulsopz = 3, pT = 4 GeV/c. La particella ha massa m p/c. Calcolare ilraggio di curvatura della traiettoria, l’angolo di deflessione nel piano trasversoall’uscita del rivelatore, l’angolo r.m.s. di scattering coulombiano nel pianotrasverso all’uscita del rivelatore e l’energia perduta nel rivelatore. Verificareche 〈θrms〉 θcurv, ∆E E.

1 m

z x

yy

bobina

[ Per il gas, a condizioni NTP,ρ = 2 10−3 g cm−3; Xo = 40 g cm−2; 〈dE/dx〉 = 2 MeV g−1cm2 ]


1. Il nucleo 22688 Ra decade α con periodo di dimezzamento t1/2 = 1602 anni.

L’unita di misura di attivita (1 Curie ≡ 1 Ci) e definita come il numero

575

di disintegrazioni al secondo di un grammo di radio. Scrivere la reazione deldecadimento. Calcolare il numero di nuclei presenti in un grammo di 226

88 Ra eil numero di disintegrazioni al secondo corrispondenti all’attivita di 1 Ci.

[ 1 anno ≈ π 107 secondi ]

2. Il nucleo 31H decade β nel nucleo 3

2He. Nel decadimento l’energia cineticamassima dell’elettrone e 19 keV . Indicare la configurazione di decadimentoin cui l’energia cinetica dell’elettrone e massima. Calcolare la differenza dienergia di legame tra i due nuclei. Nell’ipotesi che la differenza di energia dilegame sia dovuta alla repulsione coulombiana dei due protoni nel nucleo 3

2He,calcolare la distanza media dei protoni.

3. Nell’esperimento Measurement of the helicity of the neutrino si sfrutta la flu-orescenza di risonanza nucleare nel decadimento γ del nucleo 152

62 Sm∗ che ha

vita media τ = 3 10−14 s. Il nucleo 15263 Eu, a seguito di cattura elettronica,

decade nello stato eccitato 15262 Sm

∗ e in un neutrino di energia Eν = 0.84 MeV .La differenza di massa tra i nuclei 152

63 Eu e 15262 Sm e 1.3 MeV/c2. L’energia di

legame dell’elettrone catturato e trascurabile. La massa del nucleo 15262 Sm e

142 GeV/c2. Calcolare:- la larghezza di riga nel decadimento 152

62 Sm∗ → 152

62 Sm+ γ;- la differenza di energia nella transizione;- la differenza tra l’energia del fotone in assorbimento e l’energia del fotone inemissione.Spiegare quale e il meccanismo per cui si ha nell’esperimento l’assorbimentodi risonanza γ + 152

62 Sm→ 15262 Sm

∗.


1. Un fascio di mesoni π− e inviato su un bersaglio di idrogeno liquido per studiarela produzione di barioni Σ. Indicare gli stati finali a due particelle in cuivengono prodotti barioni Σ e la composizione in autostati di isospin. Calcolarel’energia di soglia dei mesoni π−.

2. La reazione e+e− → φ → K+K− viene prodotta in un anello di collisioneche ha luminosita L = 1032 cm−2s−1. La sezione d’urto e σ(e+e− → φ) =4 10−30 cm2. La frazione di decadimento e BR(φ → K+K−) = 0.5. Ladistribuzione angolare e

d2n

dφ dcos θ=

3

8πsin2θ

Calcolare l’impulso dei mesoni K e il numero di eventi al secondo in cui en-trambe i mesoni decadono in un rivelatore che ha accettanza 0 ≤ φ ≤ 2π,π/4 ≤ θ ≤ 3π/4, 10 cm ≤ r ≤ 100 cm, dove r e la distanza dal punto diincrocio dei fasci.

[ mφ = 1.019, mK = 0.494 GeV/c2, τK = 1.24 10−8 s ]

576

3. Il barione Σ+ decade Σ+ → p πo e Σ+ → n π+ con vita media τ = 0.80 10−10 se con frazioni di decadimento

BR(Σ+ → p πo) = 0.516± 0.003 BR(Σ+ → n π+) = 0.483± 0.003

Verificare, sulla base della legge ∆I = 1/2, che gli elementi di matrice deidecadimenti sono uguali e giustificare perche BR(Σ+ → p πo) > BR(Σ+ →n π+). Indicare i decadimenti piu probabili del barione Σ− e dare una stimadella vita media del barione Σ−.

masse in GeV/c2

πo π± K± Ko p n Λo Σ+ Σo Σ−

0.135 0.140 0.494 0.497 0.938 0.939 1.116 1.189 1.193 1.197


1. Il muone e una particella instabile di massa 105MeV/c2 e vita media 2.2 10−6 s.Un fascio di muoni viene fatto circolare in un anello di raggio R = 14 m conun campo magnetico uniforme B = 0.5 T normale al piano dell’anello. Calco-lare l’impulso dei muoni, il periodo di rivoluzione e la frazione di muoni chedecadono in un periodo.

2. Una particella α (mα = 3.7 GeV/c2, z = 2) di energia cinetica Ec = 7.4 MeVviene inviata su un bersaglio costituito da un sottile foglio di rame dello spes-sore di 5 10−4 cm. Calcolare la perdita di energia per ionizzazione nel foglio dirame, l’energia cinetica e l’angolo di scattering coulombiano multiplo all’uscitadel foglio.

Rame: Z = 29, A = 64, densita = 9.0 g/cm3, Xo = 1.4 cm(dEdx

)min

=(dEdx

)βγ=3

= 1.4 MeV/g cm−2

3. Nella positron-emission tomography (PET) si sfrutta il decadimento del positro-nio (stato legato e+e−) in due fotoni. Il positronio si forma fissando unasorgente radioattiva β+ nel campione da analizzare, i positroni emessi dallasorgente vengono catturati dagli elettroni del campione con probabilita inver-samente proporzionale alla velocita relativa e si assume che il positronio decadaa riposo. I fotoni emessi nel decadimento vengono deviati per effetto Comptonnel materiale che circonda il campione. Un rivelatore registra i fotoni se hannoenergia maggiore di una soglia Es pari a 80% dell’energia dei fotoni emessi.Calcolare il valore minimo e massimo dell’energia dei fotoni per effetto Comp-ton, il coefficiente di assorbimento per fotoni con energia E ′ < Es, e la proba-bilita che il rivelatore registri la coincidenza di due fotoni.Il materiale che circonda il campione e acqua e lo spessore e 10 cm. La sezioned’urto differenziale di scattering Compton e

dσ

dcosθ= πr2

o

(E ′

E

)2 [E ′

E+E

E ′− sin2θ

]

577


1. Si vuole misurare la distribuzione di carica elettrica del nucleo 4020Ca con scat-

tering elastico di elettroni di impulso 400 MeV/c. Si fa l’ipotesi che la dis-tribuzione sia uniforme per r < R e nulla per r ≥ R dove R e il raggio mediodel nucleo: R = 1.25 10−13 cm · A1/3.Calcolare per quali valori dell’angolo di scattering si hanno i primi due massimidella sezione d’urto differenziale e il valore della sezione d’urto differenziale inqueste condizioni di misura.

2. Gli isotopi del Torio (Z = 90) decadono per emissione α in isotopi del Radio(Z = 88). Le catteristiche di alcuni isotopi sono:

Z A BE (MeV ) JP τ (s) Z A BE (MeV ) JP

90 230 1755.22 0+ 3.4 1012 88 226 1731.69 0+

90 229 1748.43 5/2+ 3.3 1011 88 225 1725.30 3/2+

90 228 1743.19 0+ 8.7 107 88 224 1720.41 0+

Calcolare l’energia cinetica, l’impulso e lo stato di momento angolare delleparticelle α emesse nei decadimenti del Torio. Riportare le energie e le vitemedie nel grafico. Il decadimento 229

90 Th → 22588 Ra + α ha vita media circa

due ordini di grandezza maggiore rispetto all’estrapolazione degli altri dati.Spiegare qualitativamente perche.

[ mp = 938.27, mn = 939.57, me = 0.51, mα = 3727.38 MeV/c2 ]

3. Il nucleo 6027Co(5

+) decade β nello stato eccitato 6028Ni

∗(4+) del nucleo di Nichel.Questo decade γ nello stato eccitato 60

28Ni∗(2+) che, a sua volta, decade γ nello

stato fondamentale 6028Ni(0

+). La differenza di massa e M(6027Co)−M(60

28Ni) =3.33 MeV . L’energia dei fotoni emessi e 1.17 e 1.33 MeV. Indicare che tipo ditransizione si ha nel decadimento β e calcolare il valore massimo dell’energiacinetica dell’elettrone. Indicare quali tipi di transizione si hanno nei decadi-menti γ e dare una stima della vita media del decadimento 2+ → 0+ nel nucleo6028Ni.


1. In un esperimento in cui si e misurata la massa del pione neutro, i mesoni πo

vengono prodotti con la reazione π− p → πo n in cui i mesoni π− vengono

578

catturati a riposo in un bersaglio di idrogeno. Calcolare l’impulso dei mesoniπo, i valori minimo e massimo dell’energia dei fotoni emessi nel decadimentoπo → γ γ e la distribuzione di energia dei fotoni, dn/dEγ. Calcolare i valoriminimo e massimo dell’angolo tra i fotoni.

2. Il mesone pseudoscalare ηo ha numeri quantici JPC = 0−+ e decade per inter-azione elettromagnetica con vita media τ = 5.6 10−19 s. I modi di decadimentopiu probabili e le relative frazioni di decadimento sono elencati nelle primedue colonne. Calcolare le larghezze parziali dei decadimenti del mesone ηo. Idecadimenti nella terza colonna non sono mai stati osservati. Spiegare perchequesti decadimenti non si osservano indicando quali leggi di conservazione sonoviolate.

decadimento BR decadimento ?ηo → γ γ 0.392 ηo → γ γ γ

ηo → πo πo πo 0.321 ηo → πo πo

ηo → π+ πo π− 0.232 ηo → πo γ

3. Descrivere nel modello a quark il decadimento semileptonico del pione carico,π− → πo e− ν, e il decadimento β del neutrone. Disegnare i diagrammi diFeynman. Calcolare la frazione di decadimento BR(π− → πo e− ν) dal valoredella vita media del pione carico (τπ = 2.60 10−8 s) e del neutrone (τn = 887 s).Approssimare per l’elettrone: pmax ≈ Emax me in entrambe i casi.

[ mπ± = 139.6, mπo = 135.0, mp = 938.3, mn = 939.6 MeV/c2 ]


1. Un acceleratore lineare LINAC-RF accelera elettroni da 10 MeV a 20 GeVcon una differenza di potenziale alternata di ampiezza 100 kV a frequenzadi 20 GHz. Calcolare il gradiente di energia, la lunghezza dell’acceleratoree la distanza percorsa da un elettrone misurata nel sistema di riferimentodell’elettrone.

2. La radiazione cosmica primaria e costituita prevalentemente di protoni cheinteragiscono negli strati esterni dell’atmosfera terrestre. Consideriamo unmodello semplificato dell’atmosfera composta da azoto, di spessore 100 km edensita media pari a 1/10 della densita ρo sulla superficie terrestre. La sezioned’urto di assorbimento e pari alla sezione del nucleo di azoto di raggio R =RoA

1/3. Calcolare il coefficiente di assorbimento dei protoni, la probabilita cheun protone diretto lungo la verticale raggiunga la superficie terrestre e l’energiaperduta per ionizzazione in una lunghezza di attenuazione considerando chela velocita e tale che (dE/dx)ion = costante = 2.5 MeV/g cm−2.

[ A = 14; Ro = 1.25 10−13 cm; ρo = 1.25 10−3 g cm−3 ]

3. Elettroni di energia 1 GeV vengono inviati su un bersaglio di idrogeno e siosserva lo scattering elastico ad angolo polare θ = 60o. Calcolare il valore del

579

4-impulso trasferito. I fattori di forma del protone sono parametrizzati con lafunzione

F (q2) =F (q2 = 0)

(1 + q2/q2o)

2

con q2o = 0.71 GeV 2. Calcolare il valore dei fattori di forma elettrico e mag-

netico e la sezione d’urto misurata con un rivelatore di accettanza ∆φ = 2π,∆θ = 20 mrad.

[ re = 2.82 10−13 cm; me = 0.51 MeV/c2; mp = 0.938 GeV/c2; µp = 2.79 µN ]


1. Il nucleo 2714Si decade β+ nel nucleo stabile 27

13Al che ha energia di legame224.95 MeV . L’energia cinetica massima del positrone e 3.79 MeV . Calco-lare l’energia di legame del nucleo 27

14Si. Facciamo l’ipotesi che la differenza dienergia di legame dei nuclei sia dovuta alla differenza di energia elettrostatica- giustificare questa ipotesi;- dimostrare che, nell’ipotesi che la densita di carica del nucleo sia rappresen-tata da una distribuzione uniforme in una sfera di raggio R, l’energia elettro-statica e E = 3Z2αhc/5R;- calcolare, in questa ipotesi, il raggio dei nuclei con A = 27.

2. Irraggiando nuclei 94Be con particelle α si formano nuclei 12

6 C. Completare lareazione. Calcolare l’energia cinetica minima delle particelle α per superare labarriera di potenziale. Calcolare, sulla base del modello a strati a particelleindipendenti, lo spin e la parita dei nuclei coinvolti nella reazione. Nell’ipotesiche il momento angolare orbitale nello stato iniziale sia L = 0, calcolare ilmomento angolare orbitale nello stato finale.

3. Il carbonio naturale contiene 98.89% di 126 C e 1.11% di 13

6 C che hanno massaatomica M(12

6 C) = 12.000 u, M(136 C) = 13.003 u. Calcolare la massa atom-

ica del carbonio naturale. Un organismo vivente contiene anche una pic-cola frazione, 1.3 10−12, di 14

6 C radioattivo che decade β− con vita mediaτ = 8270 anni. Calcolare l’attivita di un grammo di carbonio in un organismovivente. Si misura l’attivita di un fossile di massa 5 ± 0.005 g e si registrano3600 decadimenti in 2 ore di misura. Calcolare l’eta del fossile e l’errore dimisura.

[ mp = 938.27, mn = 939.56, me = 0.51 MeV/c2; Rnucleo ≈ 1.25 fm ·A1/3 ]

[ 1 anno ≈ π 107 secondi ]


1. Le frazioni di decadimento del barione Λo in stati pione-nucleone sono

BR(Λo → π− p) = 0.639 BR(Λo → πo n) = 0.358

580

Descrivere i decadimenti nel modello a quark. Spiegare quantitativamente ilrapporto tra i valori misurati.

2. Il barione Ω− (stranezza S = - 3) e prodotto in interazioni di mesoni K− conbersaglio di idrogeno. Indicare lo stato finale (con il valore minimo di massa)della reazione e calcolare l’energia cinetica minima dei mesoni K− per produrrelo stato finale. Ω− e l’unico componente del decupletto di barioni di spin 3/2che non decada per interazione nucleare. Spiegare il motivo.

masse in MeV/c2

πo π± K± Ko p n Λo Ξo Ξ− Ω−

135.0 139.6 493.7 497.7 938.3 939.6 1115.6 1314.9 1321.3 1672.5

3. La risonanza ψ e uno stato legato cc del quarto quark ”c” e ha massa m =3.1 GeV/c2 e spin 1. In anelli a fasci collidenti e+e− si osserva un grande au-mento della sezione d’urto di annichilazione e+e− → adroni in corrispondenzadella risonanza. Calcolare il valore della sezione d’urto σ(e+e− → adroni) perenergia dei fasci minore della soglia di produzione del quark c (2E ≈ 3.0 GeV )e al picco della risonanza. Le frazioni di decadimento sono BR(ψ → e+e−) =0.060 BR(ψ → adroni) = 0.878.


1. Un muone (carica e, massa 0.105 GeV/c2) di impulso 10 GeV/c attraversa unalastra di spessore 70 cm di ferro magnetizzato, B = 2.0 T. La direzione delmuone e perpendicolare alla lastra; la direzione del campo e perpendicolareall’impulso. Per p ≈ 10 GeV/c, la perdita media di energia per unita di per-corso di un muone in ferro e 〈dE/dx〉 = 14 MeV/cm. Il cammino di radiazionein ferro e 1.8 cm.Calcolare l’impulso all’uscita della lastra, l’angolo di deflessione e la disper-sione in angolo per scattering multiplo. Calcolare la risoluzione in impulso,δp/p, se il rivelatore ha una risoluzione angolare δθ = 1 mrad.

2. Il mesone πo e stato scoperto studiando la fotoproduzione su protoni a riposo

γ p→ πo p

Calcolare la minima energia del fotone nel laboratorio per produrre la reazione.Calcolare in queste condizioni la velocita del centro di massa nel laboratorio el’energia del fotone nel centro di massa.

[ mπo = 0.135, mp = 0.938 GeV/c2 ]

3. Un fascio di elettroni di intensita 108 s−1 e impulso 100 MeV/c viene inviato suun bersaglio di Berillio (Z = 4, A = 9) di densita 1.8 g cm−3 e spessore 0.5 cm.Si osserva lo scattering elastico con angolo polare θ = 90o con un rivelatore

581

di accettanza ∆φ = 2π, ∆θ = 100 mrad. Se assumiamo una distribuzione dicarica gaussiana, il fattore di forma elettrico si puo parametrizzare

F (q2) = e−q2 〈r2〉/6

Il raggio medio della distribuzione di carica del nucleo e 〈r2〉1/2 = 2.8 fm.Calcolare il valore del 4-impulso trasferito, la sezione d’urto differenziale e ilnumero di elettroni registrati al secondo dal rivelatore.

[ re = 2.82 10−13 cm, me = 0.5 MeV/c2, mBe = 8.4 GeV/c2 ]


1. Alcuni nuclei instabili sono formati in catene radioattive, ad esempio

23492 U → 230

90 Th → 22688 Ra → . . .

Le vite medie per decadimento α sono τ (23492 U) = 3.5 105, τ (230

90 Th) = 1.0 105 anni.Nell’ipotesi che inizialmente siano presenti solo nuclei 234

92 U , verificare che pert → ∞ le attivita α sono in equilibrio e calcolare il valore asintotico delrapporto delle attivita A (234

92 U) /A (23090 Th). Calcolare dopo quanto tempo e

massima l’attivita del 23090 Th e il numero di nuclei 226

88 Ra prodotti nell’unita ditempo a partire da 1 mgrammo di 234

92 U .

2. Indicare, sulla base del modello a strati a particelle indipendenti, gli stati degliisotopi del carbonio 11

6 C, 126 C, 13

6 C, 146 C. Calcolare lo spin, la parita, il momento

di dipolo magnetico e di quadrupolo elettrico dei nuclei.

[ µp = +2.79, µn = −1.91 µN ]

3. La reazione iniziale del ciclo di combustione del sole e la fusione p p→ d e+ ν.L’energia di legame del deutone e 2.22 MeV. Alla temperatura media del sole ilpicco di Gamow corrisponde a T = 0.5 108 K. Calcolare in queste condizioni lostato di momento angolare e parita in cui avviene la fusione protone-protone.Indicare se la transizione e di tipo Fermi o Gamow-Teller. Calcolare il valoremassimo dell’impulso del neutrino e la forma della distribuzione di impulso delneutrino, dn/dpν .

[ k = 8.6 10−11 MeV/K; mp = 938.27, mn = 939.56, me = 0.51 MeV/c2 ]


1. Il mesone ρo ha massa 770 MeV, larghezza 150 MeV e numeri quantici I =1, JPC = 1−−. Viene prodotto nell’annichilazione elettrone-positrone e lefrazioni di decadimento in stati di due particelle sono

π+π− πoγ ηoγ e+e− µ+µ−

1.00 7 10−4 2.4 10−4 4.5 10−5 4.5 10−5

582

Calcolare il valore della sezione d’urto di produzione e+e− → ρo al massimodella risonanza. Discutere che tipo di interazione si ha nei decadimenti. Nonsi osservano i decadimenti ρo → πoπo, ρo → ηoπo; spiegare il motivo.

2. In un esperimento per dimostrare la violazione della parita nell’interazionedebole si invia un fascio di mesoni π+ di bassa energia su un assorbitore dicarbonio C. I mesoni π+ sono rivelati in A e si arrestano nell’assorbitore. I lep-toni µ+ emessi nel decadimento sono rivelati in D e si arrestano nel bersaglioB dove decadono. La coincidenza E × F segnala l’emissione di positroni conenergia Ee > 2Emax

e /3. Calcolare l’energia massima Emaxe dei positroni, in-

dicare in quale direzione vengono emessi con maggiore probabilita e spiegareperche. Indicare cosa cambia se si usa un fascio di mesoni π−.

[ mµ = 106; me = 0.5 MeV/c2 ]

pA D B

E

F

C

e

m

3. I barioni Σ hanno vita media τ(Σ+) = 0.80 10−10 s, τ(Σ−) = 1.48 10−10 s edecadono in modo semileptonico con frazioni di decadimento

Σ+ → n e+ ν Σ+ → Λo e+ ν Σ− → n e− ν Σ− → Λo e− ν

- 2.0 10−5 1.03 10−3 0.57 10−4

Rappresentare i decadimenti con i grafici di Feynman nel modello a quark espiegare perche non si osserva il decadimento Σ+ → n e+ ν. Verificare lavalidita della legge di Sargent (valore dell’angolo di Cabibbo: θc = 0.22 rad).

[ mn = 0.940; mΛo = 1.116; mΣ+ = 1.189; mΣ− = 1.197 GeV/c2 ]


1. In un anello di collisione asimmetrico vengono fatti collidere fasci di elet-troni e positroni di energia rispettivamente 9 e 3 GeV. Calcolare l’energiatotale nel centro di massa e la velocita del centro di massa nel laboratorio.Nell’interazione viene prodotta una coppia particella-antiparticella, ciascunadi massa 5 GeV/c2, a 90o nel centro di massa. Calcolare l’impulso trasverso elongitudinale nel laboratorio.

2. La sezione d’urto di assorbimento di fotoni di energia≈ 100 keV in carbonio (A= 12) e in piombo (A = 207) e rispettivamente 2 b e 3 103 b (1 b = 10−24 cm2).Calcolare la frazione di fotoni assorbita in uno spessore di 10 cm di materiale

583

organico a base di carbonio con densita 1 g cm−3. Calcolare lo spessore dipiombo (densita = 11.3 g cm−3) per ridurre l’intensita della sorgente di unfattore 106.

3. Il nucleo di elio ha massa 3.7 GeV/c2, spin zero e distribuzione di carica elet-trica gaussiana con σ = 1.1 10−13 cm. Calcolare il raggio medio del nucleo dielio. Elettroni di impulso 0.1 GeV/c vengono inviati su un bersaglio di elio esi osserva lo scattering elastico ad angolo polare θ = 90o. Calcolare il valoredel 4-impulso trasferito e della sezione d’urto differenziale.


1. Verificare con la formula delle masse di Bethe-Weizsacker che il nucleo 6429Cu

puo decadere sia β+ che β−. Indicare le reazioni di decadimento e calcolareil valore massimo dell’energia cinetica del positrone e dell’elettrone. Qualedecadimento avviene con probabilita maggiore ?

2. L’energia di legame dei nuclei 42He e 7

3Li e rispettivamente 28.3 e 39.3 MeV.Verificare se la reazione p 7

3Li → 42He

42He e esotermica o endotermica.

Indicare lo stato di spin-parita nel nucleo 73Li. Calcolare l’energia necessaria

perche la distanza tra protone e litio sia pari al raggio del nucleo 73Li e i possibili

valori del momento angolare orbitale nello stato iniziale e finale.

3. L’energia irraggiata al secondo dal Sole e 3.8 1026 W. Nell’ipotesi che questasia prodotta nelle reazioni del ciclo protone-protone, calcolare il numero diprotoni consumati al secondo e il flusso di neutrini sulla Terra.

[ Distanza Terra-Sole = 1.5 1011 m ]

[ mp = 938.27 mn = 939.56 MeV/c2 ]


1. Il fascio primario di un protosincrotrone viene inviato su un bersaglio e avalle del bersaglio si seleziona un fascio di mesoni π+ di impulso 200 GeV/c.Calcolare il valore minimo e massimo dell’impulso dei leptoni µ prodotti neldecadimento e indicare i rispettivi stati di polarizzazione. Cosa cambia se siseleziona un fascio di mesoni π− ?

2. Spiegare per quali interazioni avvengono i seguenti decadimenti

ρo → π+ π− ρo → µ+ µ− Ko → π+ π−

Indicare spin, parita e momento angolare orbitale dello stato finale.

3. Le frazioni di decadimento semileptonico del barione Σ− sono

BR(Σ− → n e− ν) = 1.02 10−3 BR(Σ− → Λo e− ν) = 0.57 10−4

584

Rappresentare i decadimenti nel modello a quark e determinare il valore dell’angolo di Cabibbo.

[mµ = 105.6 mπ = 139.6 mΣ = 1197.4 mΛ = 1115.7 mn = 939.6 MeV/c2]


1. Nell’interazione di protoni in un bersaglio sottile vengono prodotte parti-celle che hanno massa 1.1 GeV/c2 e vita media 2.6 10−10 s con valor mediodell’impulso 〈p〉 = 10 GeV/c.

Calcolare il percorso medio delle particelle nel laboratorio e la frazione didecadimenti in un rivelatore che inizia 10 cm a valle del bersaglio ed e lungo100 cm.

2. Una sorgente emette raggi X di energia 100 keV in modo isotropo con potenza10−3 W. La sorgente e schermata e i raggi X attraversano un foro di raggio 0.2cm posto a 10 cm dalla sorgente e investono una lastra di Silicio posta dopoil foro (Z = 14, A = 28, densita 2.3 g cm−3, spessore 1 cm).

Calcolare il flusso di raggi X incidente sul bersaglio.

Un rivelatore di accettanza ∆φ = 2π, ∆θ = 0.05 rad rivela i raggi X diffusiper effetto Compton dagli elettroni del bersaglio ad angolo polare θ = 60.

Calcolare l’energia media dei raggi X diffusi e il numero medio di conteggi alsecondo registrati dal rivelatore.

3. Facendo collidere un fascio di protoni con un bersaglio di idrogeno si misura unvalore della sezione d’urto di assorbimento pari a 1.21 volte il valore asintotico(p → ∞) calcolato assumendo che il protone sia un disco completamenteassorbente di raggio R = 1 fm.

Calcolare il valore dell’impulso nel riferimento del centro di massa, l’impulsoe la velocita del fascio di protoni nel laboratorio.


1. Calcolare l’impulso e l’energia di Fermi dei nucleoni nel nucleo 168 O assumendo

una distribuzione a simmetria sferica con raggio R = 1.25 fm A1/3. L’energiadi legame del nucleo e 128 MeV . Calcolare la profondita della buca di poten-ziale nel modello a gas di Fermi. (Si trascuri la differenza di massa tra protonee neutrone: mp = mn = 939 MeV/c2).

2. Il nucleo 6027Co, I

P = 5+, decade β con vita media τ = 7.5 anni nello statoeccitato del nucleo 60

28Ni∗, IP = 4+. Questo a sua volta decade nel nucleo

6027Ni

∗, IP = 2+, emettendo raggi γ di energia Eγ = 1.2 MeV .

Scrivere la reazione del decadimento β e indicare il tipo di transizione. Indicareil tipo di transizione radiativa e stimare la vita media del decadimento γ.Calcolare le attivita β e γ di una sorgente di 1 µg di 60

27Co.

585

1 anno = π 107 s

3. Nella fusione deuterio-deuterio si formano i nuclei 31H e 3

2He. Scrivere lereazioni. Calcolare l’energia prodotta in ciascuna reazione e il rapporto trale sezioni d’urto.

Le energie di legame sono BE(21H) = 2.22 MeV ; BE(3

1H) = 8.48 MeV ;BE(3

2He) = 7.72 MeV .


1. I decadimenti piu probabili dei barioni Σ carichi hanno larghezze approssima-tivamente uguali

Γ(Σ+ → pπo) ≈ Γ(Σ+ → nπ+) ≈ Γ(Σ− → nπ−) ≈ 4.2 10−6 eV

Spiegare il perche sulla base del modello a quark.

Il barione Σ neutro decade Σo → Λoγ. Calcolare l’energia del fotone emesso neldecadimento, indicare il tipo di transizione e valutare la larghezza di decadi-mento. Indicare se sono possibili i decadimenti del barione Σo in stati nucleone-mesone π e spiegare perche e difficile osservarli.

[mN = 939 mΣ = 1193 mΛ = 1116 MeV/c2]

2. Il mesone ρ ha spin 1, esiste in tre stati di carica elettrica e decade per inter-azione adronica in stati di due mesoni π.

Indicare la decomposizione in autostati di isospin, se sono simmetrici o an-tisimmetrici, quali sono i modi di decadimento e gli autovalori di parita econiugazione di carica del mesone ρ.

3. In un esperimento per misurare la sezione d’urto di interazione inelastica dineutrini su nucleone, νµ N → µ− X, si richiede Eµ > 4 GeV , EX > 6 GeV(EX e l’energia cinetica dei frammenti del nucleone).

Definire, per neutrini di energia 100 GeV, i limiti di accettanza nell’energiaceduta, ν, e calcolare il valore della sezione d’urto che si misura assumendoche le funzioni di struttura relative a quark e antiquark siano

Fq(x) = 8 x (1− x)3 Fq(x) = 0.8 (1− x)7


1. Due osservatori partono dallo stesso punto nello stesso istante e viaggiano dimoto rettilineo uniforme in direzioni diverse. Dopo 15 miliardi di anni (stimadell’eta dell’Universo) quale e il valore del rapporto tra la velocita relativa deidue osservatori e la loro distanza (costante di Hubble) ? Se i due osservatorisono a distanza 1025 m e il primo invia un segnale luminoso di frequenza νquale e la frequenza misurata dal secondo ?

586

2. Un rivelatore di raggi X e costituito da una giunzione di semiconduttore (Si-licio, A = 28, densita = 2.2 g cm−3) di spessore 0.05 cm. Per raggi X di10 keV la sezione d’urto di assorbimento per effetto fotoelettrico in silicioe 6 10−22 cm2/atomo. Gli elettroni prodotti sono assorbiti nel materiale el’energia per produrre una coppia elettrone-ione in silicio e 4 eV . Calcolare laprobabilita di assorbimento di raggi X di 10 keV nel rivelatore, il numero dielettroni prodotti per ionizzazione e la quantita di carica corrispondente.

3. Un fascio di protoni viene accelerato da una macchina elettrostatica con unadifferenza di potenziale ∆V = 20 MV e inviato su un bersaglio di Carbonio(nuclei di spin zero - si assuma mC mp). Osservando lo scattering elasticoad angolo polare θ = 0.2 rad si misura una sezione d’urto pari al 90% di quellacalcolata per nuclei puntiformi. Calcolare il valore dell’impulso trasferito e ilraggio medio del nucleo nell’ipotesi che la distribuzione di carica sia gaussianae a simmetria sferica.

c = 3.0 108 m s−1 1 anno = π 107 s h = 0.66 10−21 MeV s mp =938 MeV/c2


1. L’idrogeno naturale e una miscela di due isotopi stabili, idrogeno e deuterio.Il nucleo di deuterio ha energia di legame 2.23 MeV . La massa atomicadell’idrogeno naturale e 940.19 MeV . Calcolare l’abbondanza relativa dei dueisotopi nell’idrogeno naturale.

2. Nella reazione n 147 N → 14

6 C p vengono prodotti 0.63 MeV . Il nucleo 146 C

decade β−. Scrivere la reazione di decadimento e calcolare la massima energiacinetica dell’elettrone. Indicare lo stato di spin-parita dei nuclei e il tipo ditransizione che si ha nel decadimento.

3. Una soluzione contenente 0.01 g di 115 B viene esposta per alcune ore ad un

fascio di protoni di flusso costante Φ = 108 cm−2s−1. La sezione d’urto diproduzione dell’isotopo 11

6 C e σ = 2 10−25 cm2. Questo decade β+ con vitamedia τ = 28 minuti. Alla fine dell’attivazione la soluzione viene iniettatanell’organo di un paziente che, dopo 14 minuti, viene sottoposto a tomografiaal positronio. La tomografia dura 14 minuti.

Indicare le reazioni di attivazione e decadimento. Calcolare il numero di nuclei116 C formati alla fine dell’attivazione e il numero di reazioni e+e− → γγ durantela tomografia.

mp = 938.27 mn = 939.56 me = 0.51 MeV/c2


1. Indicare le reazioni di mesoni π+ su bersaglio di idrogeno in cui si produconomesoni Ko oppure Ko (π+p → Ko . . .; π+p → Ko . . .) e gli stati finali hanno

587

il minimo valore della massa. Calcolare la minima energia cinetica dei mesoniπ+ per produrre le reazioni.

Masse in GeV/c2:

πo π± K± Ko p n Λo Σ+ Σo Σ−

0.135 0.140 0.494 0.497 0.938 0.939 1.116 1.189 1.193 1.197

2. In un anello di collisione elettrone-positrone si producono mesoni φ e si os-servano i decadimenti φ → ηγ. L’energia dei fasci e mφ/2, la luminosita e3 · 1031 cm−2s−1. Calcolare il numero di decadimenti φ → ηγ prodotti alsecondo. Indicare il tipo di transizione che si ha nel decadimento φ → ηγ ecalcolare l’energia del fotone emesso.

Numeri quantici φ : JP = 1−, η : JP = 0−

Masse: mφ = 1.02,mη = 0.55 GeV/c2

Frazioni di decadimento: BR(φ→ e+e−) = 2.9 10−4, BR(φ→ ηγ) = 1.3 10−2

3. Studiando la produzione di coppie µ+µ− in collisioni di mesoni π+ e π− subersaglio di idrogeno si misura

σ(π+p→ µ+µ−X)

σ(π−p→ µ+µ−X)=

1

8

al limite in cui si puo trascurare il contributo di anti-quark nel protone. In-terpretare questo risultato sulla base del modello a quark. Che rapporto siottiene con un bersaglio di deuterio ?

4.29 Risposte

27 aprile 1995

1. campo magnetico: B = 1 T ; periodo di rivoluzione: T = 2.1 10−5 s; coeffi-ciente di assorbimento: µ = 1.6 10−16 cm−1; vita media del fascio: τ = 58 ore

2. impulso massimo: pmaxp = 95 MeV/c; energia cinetica: Kmaxp = 5 MeV ;

velocita: vmaxp = 3 109 cms−1

3. velocita: βπ = 0.96, βK = 0.71; tempo do volo Tπ = 1.04 10−8 s, TK =1.41 10−8 s; risoluzione temporale: σt = 0.66 10−9 s; perdita di energia:∆Eπ ' ∆EK = 4 MeV ; angolo di scattering coulombiano multiplo: θπ =6.5 mrad; θK = 8.6 mrad

588

16 maggio 1995

1. Energia di legame: BEMg = 227.2, BEAl = 228.2, BESi = 221.8 MeVil nucleo 27

13Al e il piu stabile; il nucleo 2712Mg ha repulsione coulombiana minore

ma la differenza neutroni-protoni e maggiore; il nucleo 2714Si e il meno stabile

perche la repulsione coulombiana e maggiore

2. 63Li: un protone e un neutrone nello stato 1p3/2; il momento magnetico e ≈µp + µn = 0.88 µN : I = 1, L = 0, P = +1;62He: due neutroni nello stato 1p3/2, spin S = 0, isospin T = 1, L = pari:L = 0, IP = 0+

mHe−mLi = 4.9 MeV , decadimento β 62He → 6

3Li e− ν possibile; transizione

Gamow-Teller.

3. Energia: E = 1.0 MeV ; temperatura: T = 1.2 1010 Kreazione: 2

1H + 21H → 3

1H + 11H; Q = 4.02 MeV

19 giugno 1995

1. impulso trasverso pT = 0.56 GeV ; impulso longitudinale pL = 1.1 GeV ; angolodi produzione: θ = 0.47 rad = 27; cammino medio di decadimento: λ =8.7 cm

2. se la simmetria CP fosse esatta i decadimenti K0L → ππ sarebbero vietati; nei

decadimenti deboli con ∆S = 1 vale la regola di selezione ∆I = 1/2; lo statoππ e |I = 0, I3 = 0〉 e |〈π0π0 | 0, 0〉|2/|〈π+π− | 0, 0〉|2 = 1/2

3. l’accoppiamento del campo debole con i leptoni e universale e le masse sonome mτ , mµ mτ ; ττ = 3.0 10−13 s

11 aprile 1996

1. impulso: p = 0.21 GeV/c; velocita: β = 0.83; βrel = 0.98

2. flusso di energia: ΦE = 5.0 1011 eV cm−2s−1; flusso di raggi X: ΦX = 5.0 107 cm−2s−1;frequenza di conteggio: nX = 1.6 MHz

3. raggio di curvatura: R = 33 m; angolo di deflessione: ∆θxy = 0.03 radangolo rms di scattering coulombiano: θrms = 4.4 10−4 rad; perdita di energia:∆E = 2.0 MeV

16 maggio 1996

1. Decadimento: 22688 Ra → 22

86Rn + 42He; numero di nuclei in un grammo:

N = 2.7 1021; attivita di un grammo di Ra: A = 3.7 1010 s−1

2. l’impulso dell’elettrone massimo quando ~pν = 0; BEH − BEHe = 0.76 MeV ;d = 1.9 fm

589

3. larghezza di riga: Γ = 0.022 eV ; differenza di energia: ∆E = 0.97MeV ; Eassγ −

Eemγ = 6.6 eV Γ; nell’esperimento si osserva l’assorbimento di risonanza

quando il nucleo Sm∗ e emesso nella direzione del diffusore e l’energia delfotone e aumentata per effetto Doppler.

12 giugno 1996

1. le reazioni sono π−p→ Σ−K+, π−p→ Σ0K0; gli stati di isospin sono

Σ−K+ =√

1/3 |3/2,−1/2〉 −√

2/3 |1/2,−1/2〉Σ0K0 =

√2/3 |3/2,−1/2〉+

√1/3 |1/2,−1/2〉

energia cinetica: Kπ ≥ 0.90 GeV

2. impulso dei mesoni K: p = 0.125 GeV/c; numero di eventi al secondo: n =53 s−1

3. barione Σ+: stato di isospin |I, I3〉 = |1,+1〉; possibili stati pione-nucleone

π+n =√

1/3 |3/2,+1/2〉+√

2/3 |1/2,+1/2〉π0p =

√2/3 |3/2,+1/2〉 −

√1/3 |1/2,+1/2〉

|〈π+n|H|Σ+〉|2 = |〈π0p|H|Σ+〉|2 = 1; energia nello stato finale: ∆m(Σ+ →π0p) > ∆m(Σ+ → π+n)decadimento: Σ− → π−n; τΣ− = 1.5 10−10 s

3 aprile 1997

1. impulso: p = 2.1 GeV/c; periodo di rivoluzione: T = 2.9 10−7 s; probabilitadi decadimento in un periodo = 6.7 10−3

2. perdita di energia per ionizzazione: ∆E = 1.7 MeV ; energia cinetica: K ′ =5.7 MeV ; angolo di scattering coulombiano: θrms = 60 mrad

3. E ′min = 0.17 MeV ; E ′max = 0.51 MeV ; coefficiente di assorbimento: µ =0.066 cm−1; probabilita per i due fotoni = 0.27

15 maggio 1997

1. |F (q)|2 ha i valori di massimo per qR ' nπ; sin θ/2 = n× 0.18;dσ1/dΩ = 1.1 10−27 cm2 dσ2/dΩ = 3.7 10−30 cm2

2.

Kα pα `230Th→226 Ra 4.69 187 0229Th→225 Ra < 5.08 < 195 2, 4228Th→224 Ra 5.42 201 0

590

nel caso di emissione α in stato di momento angolare ` 6= 0 la differenza dimassa si divide in energia cinetica di traslazione e di rotazione e il fattore diGamow e piu grande (la probabilita di decadimento e piu piccola)

3. Decadimento β: elettrone e antineutrino sono emessi con spin paralleli, tran-sizione Gamow-Teller; Kmax

e = 0.32 MeV ;transizioni radiative di quadrupolo elettrico; vita media: τ = 3.2 10−12 s

6 giugno 1997

1. impulso: p = 28 MeV/c; Eminγ = 55 MeV ; Emax

γ = 83 MeV ; con distribuzionedn/dEγ = costante; angolo tra i fotoni nel laboratorio: θmin = 2.73 = 156;θmax = π = 180

2. larghezza di decadimento parziale: Γk = 1.2 keV BRk

η0 → γγγ non conserva C; η0 → π0π0 non conserva P ; η0 → π0γ nonconserva il momento angolare e non conserva C

3. π− = (ud→ uuW−) + (ud→ ddW−) = π0e−νe; n = udd→ uduW− = pe−νeBR(π− → π0e−νe) = 1.6 10−8

4 aprile 1998

1. gradiente di energia: ∆E/∆` = 20/3 MeV m−1; lunghezza dell’acceleratore:L = 3 km; distanza percorsa dall’elettrone = 0.57 m

2. coefficiente di assorbimento: µ = 1.5 10−4 m−1; probabilita = 3 10−7; perditadi energia in una lunghezza di attenuazione: ∆E = 220 MeV

3. 4-impulso trasferito: q2 = 0.65GeV 2; fattore di forma: GE = 0.27; GM = 0.76;sezione d’urto: σ = 1.0 10−33 cm2

12 maggio 1998

1. energia di legame: BESi = 219.36 MeV ; per una coppia di nuclei isobarispeculari l’unico termine diverso e quello relativo all’energia elettrostatica∫ R0 V (r) ρ(r) d~r; raggio dei nuclei: R = 4.2 fm

2. reazione: 42He+ 9

4Be→ 126 C + n; energia cinetica minima: K = 2.5 MeV

42He

94Be

126 C n

IP 0+ 3/2− 0+ 1/2+

momento angolare orbitale: Lf = 1

3. massa atomica: 12.011 u; attivita misurata oggi Ar = 0.25 Hz g−1; eta delfossile: T = 7610± 140 anni

591

12 giugno 1998

1. decadimento Λ0 → π0n, Λ0 → π−p; transizioni uds→ udd uu, uds→ udu ud;quadrati degli elementi di matrice in rapporto |〈π0n|1/2,−1/2〉|2/|〈π−p|1/2,−1/2〉|2 =1 : 2; fattori di spazio delle fasi in rapporto pπ0n : pπ−p = 105 : 101

2. reazione: K−p → Ω−K0K+; energia cinetica: KK ≥ 2.7 GeV ; Ω− e lo statobarionico di energia piu bassa con stranezza S = −3, puo decadere solo perinterazione debole

3. sezione d’urto di annichilazione: σ(e+e− → adroni)3 GeV = 19 10−33 cm2

σ(e+e− → ψ → adroni) = 8.0 10−29 cm2

12 aprile 1999

1. energia finale: Ef = 9 GeV ; angolo di deflessione: θ = 44 mrad; dispersioneangolare: δθms = 9.2 mrad; risoluzione nella misura dell’impulso δp/p = 0.21

2. energia di soglia: E = 0.145 GeV ; velocita del centro di massa: β = 0.133;energia del fotone nel centro di massa: E∗ = 0.127 GeV

3. 4-impulso trasferito: Q = 0.14 GeV ; sezione d’urto differenziale: dσ/dΩ =4.3 10−30 cm2; numero di eventi al secondo: n = 16 s−1

17 maggio 1999

1. attivita del 23090 Th massima per tmax = 1.75 105 anni

attivita a tmax di 1 mgrammo: 1.4 105 s−1

2.

11C 12C 13C 14CIP 3/2− 0+ 1/2− 0+

µ −1.91 0 +0.64 0Q 0 0 0 0

3. reazione pp → de+ν avviene con ` = 0, S = 0, JP = 0+: transizione nucleare0+ → 1+ (Gamow-Teller); energia totale: W = 0.94 MeV ; impulso massimodel neutrino: pmaxν = 0.43 MeV

dn

dpν= costante × [(W − pν)2 −m2

e]1/2 (W − pν) p2

ν

592

4 giugno 1999

1. sezione d’urto: σmax = 10−30 cm2; decadimento ρ0 → π+π−: interazioneadronica; decadimenti ρ0 → π0γ, → η0γ, → e+e−, → µ+µ−: interazioneelettromagneticadecadimento ρ0 → π0π0 non conserva il momento angolare; decadimento ρ0 →η0π0 non conserva la coniugazione di carica

2. decadimento µ→ νµeνe: pmaxe = 53 MeV/c

decadimento π+ → µ+νµ: µ+ ha spin opposto alla direzione di volo; decadi-mento µ+ → νµe

+νe: l’elettrone ha spin se = sµ e tende ad essere emesso indirezione opposta alla direzione di volo del µ+

decadimento π− → µ−νµ: µ− ha spin lungo la direzione di volo; decadimentoµ− → νµe

−νe: l’elettrone ha spin se = sµ e tende ad essere emesso in direzioneopposta alla direzione di volo del µ−

3. Σ+ → Λ0e+ν: transizione suu → sudW−; Σ− → Λ0e−ν: transizione sdd →sduW−

Σ− → ne−ν: transizione dds→ dduW−; Σ+ → ne+ν: transizione ∆S 6= ∆Q

Γ(Σ→ Xeν) =h BR(Σ→ Xeν)

τΣ

=G2

60π3

cos2 θc

sin2 θc

(mΣ −mX)5

3 aprile 2000

1. energia totale:√s = 10.4 GeV ; β = 0.5; impulso trasverso: pT =

√2 GeV ;

impulso longitudinale: pL = 3 GeV

2. frazione di fotoni assorbiti = 0.63; spessore di piombo = 0.14 cm

3. raggio quadratico medio: 〈r2〉 = 1.9 fm; 4-impulso trasferito: Q = 0.14 GeV ;sezione d’urto: dσ/dΩ = 2.2 10−30 cm2

15 maggio 2000

1. decadimento β+: 6429Cu → 64

28Ni e+ ν; decadimento β−: 64

29Cu → 6430Zn e

− νβ+: Kmax

e = 0.93 MeV ; β−: Kmaxe = 0.67 MeV ; il decadimento β+ e piu

probabile

2. reazione p + 73Li → 4

2He + 42He: Q = 17.3 MeV > 0; E ≥ 1.8 MeV ;

momento angolare orbitale: `i = dispari e `f = pari

3. numero di protoni consumati: 3.7 1038 s−1

flusso di neutrini sulla Terra: Φν = 6.5 1014 m−2s−1

593

5 giugno 2000

1. pminL = 0.57 pπ = 114 GeV ; pmaxL = pπ = 200 GeVdecadimento π+ → µ+νµ: per pmaxL polarizzazione negativa, per pminL positivadecadimento π− → µ−νµ: per pmaxL polarizzazione positiva, per pminL negativa

2. decadimento ρ0 → π+π− interazione adronica; Sππ = 0, Lππ = 1, J = 1,Pππ = −1decadimento ρ0 → µ+µ− interazione elettromagnetica; Sµµ = 1, Lµµ = 0,J = 1, Pµµ = −1decadimento K0 → π+π− interazione debole; Sππ = 0, Lππ = 0, J = 0,Pππ = +1

3. Σ− = dds→ dduW− → ddu e−νe = ne−νeΣ− = dds→ uW−ds→ uds e−νe = Λ0e−νe tan θc = 0.24

2 aprile 2001

1. percorso medio di decadimento: λ = 71 cm; frazione di decadimenti nel rive-latore = 0.66

2. flusso di raggi X: ΦX = 0.5 108 cm−2s−1; energia dei fotoni: E ′ = 91 keV ;numero di fotoni diffusi al secondo: n = 4.9 104 s−1

3. impulso nel centro di massa: p∗ = 2.0 GeV/c; energia del fascio: E =9.45 GeV ; velocita: β = 0.995; impulso: p = 9.4 GeV/c

14 maggio 2001

1. impulso di Fermi: pF = 240 MeV/c; energia di Fermi: KF = 30 MeV ;profondita della buca di potenziale: U = 38 MeV

2. decadimento β: 6027Co→ 60

28Ni∗ e− ν; transizione Gamow-Teller

decadimento radiativo 6028Ni

∗ → 6028Ni γ; transizione di quadrupolo elettrico

vita media γ: τγ = 5.3 10−12 s; vita media β: τβ = 2.4 108 sattivita della sorgente: Aβ = 4.2 107 s−1; Aγ = Aβ

3. a) 21H +2

1 H → 31H + p; Qa = 4.04 MeV ; b) 2

1H +21 H → 3

2He + n;Qb = 3.28 MeVσa/σb = (Qa/Qb)

1/2 = 1.1

7 giugno 2001

1. decadimento Σ0 → Λ0γ: transizione di dipolo magnetico; Eγ = 74 MeV ;larghezza di decadimento: Γ(Σ0 → Λ0γ) = 2.4 104 eVdecadimento Σ0 → πN ha larghezza Γ(Σ0 → πN) ' Γ(Σ± → πN) Γ(Σ0 →Λ0γ)

594

2. tre stati di isospin ρ+, ρ0, ρ−, antisimmetrici: ρa =[(πcπb − πbπc)/

√2]

decadimenti adronici: ρ+ → π+π0, ρ0 → π+π−, ρ− → π0π−

parita: Pρ = −1; coniugazione di carica: Cρ+ = −ρ−, Cρ− = −ρ+, Cρ0 =−ρ0

3. ν = Eν − Eµ; νmin = 6 GeV ; νmax = 96 GeV ; σ = 0.7 10−36 cm2

8 aprile 2002

1. H = velocita relativa/distanza = 2.1 10−18 s−1; ν ′ = 0.93 ν

2. probabilita di assorbimento = 0.75; numero di elettroni: N = 2500; caricaelettrica: Q = 4.0 10−16 C

3. impulso trasferito: ∆p = 39 MeV/c; raggio quadratico medio:√〈r2〉 = 2.8 fm

13 maggio 2002

1. abbondanza(11H) = 0.9985; abbondanza(2

1H) = 0.0015

2. decadimento: 146 C → 14

7 N e− ν; energia cinetica: Kmaxe = 0.15 MeV

146 C ≡ 0+, 14

7 N ≡ 1+, transizione Gamow-Teller.

3. reazione di attivazione: p+ 115 B → 11

6 C + n; decadimento: 116 C → 11

5 B e+ ν;numero di nuclei prodotti: nC = 1.8 107; numero di reazioni e+e− → γγ =4.4 106

14 giugno 2002

1. reazioni: π+p→ K0π+Σ+; π+p→ K0K+penergia di soglia: 1.16 GeV ; 1.37 GeV

2. decadimenti al secondo: n = 1.6 s−1; energia del fotone Eγ = 0.36 GeV ;transizione di dipolo magnetico

3. bersaglio di idrogeno: σ(π+p)/σ(π−p) ∝ σ(du uud)/σ(ud uud) ∝ e2d/2e

2u = 1/8

bersaglio di deuterio: σ(π+d)/σ(π−d) = 1/4

595

4.30 Tavole

1. Physical constants 1

1. PHYSICAL CONSTANTS

Table 1.1. Reviewed 2015 by P.J. Mohr and D.B. Newell (NIST). Mainly from the “CODATA Recommended Values of the FundamentalPhysical Constants: 2014” by P.J. Mohr, D.B. Newell, and B.N. Taylor in arXiv:1507.07956 (2015) and RMP (to be submitted). The last groupof constants (beginning with the Fermi coupling constant) comes from the Particle Data Group. The figures in parentheses after the valuesgive the 1-standard-deviation uncertainties in the last digits; the corresponding fractional uncertainties in parts per 109 (ppb) are given in thelast column. This set of constants (aside from the last group) is recommended for international use by CODATA (the Committee on Data forScience and Technology). The full 2014 CODATA set of constants may be found at http://physics.nist.gov/constants. See also P.J. Mohrand D.B. Newell, “Resource Letter FC-1: The Physics of Fundamental Constants,” Am. J. Phys. 78, 338 (2010).

Quantity Symbol, equation Value Uncertainty (ppb)

speed of light in vacuum c 299 792 458 m s−1 exact∗

Planck constant h 6.626 070 040(81)×10−34 J s 12Planck constant, reduced ~ ≡ h/2π 1.054 571 800(13)×10−34 J s 12

= 6.582 119 514(40)×10−22 MeV s 6.1electron charge magnitude e 1.602 176 6208(98)×10−19C = 4.803 204 673(30)×10−10 esu 6.1, 6.1conversion constant ~c 197.326 9788(12) MeV fm 6.1conversion constant (~c)2 0.389 379 3656(48) GeV2 mbarn 12

electron mass me 0.510 998 9461(31) MeV/c2 = 9.109 383 56(11)×10−31 kg 6.2, 12proton mass mp 938.272 0813(58) MeV/c2 = 1.672 621 898(21)×10−27 kg 6.2, 12

= 1.007 276 466 879(91) u = 1836.152 673 89(17) me 0.090, 0.095deuteron mass md 1875.612 928(12) MeV/c2 6.2unified atomic mass unit (u) (mass 12C atom)/12 = (1 g)/(NA mol) 931.494 0954(57) MeV/c2 = 1.660 539 040(20)×10−27 kg 6.2, 12

permittivity of free space ǫ0 = 1/µ0c2 8.854 187 817 . . . ×10−12 F m−1 exact

permeability of free space µ0 4π × 10−7 N A−2 = 12.566 370 614 . . . ×10−7 N A−2 exact

fine-structure constant α = e2/4πǫ0~c 7.297 352 5664(17)×10−3 = 1/137.035 999 139(31)† 0.23, 0.23

classical electron radius re = e2/4πǫ0mec2 2.817 940 3227(19)×10−15 m 0.68

(e− Compton wavelength)/2π −λe = ~/mec = reα−1 3.861 592 6764(18)×10−13 m 0.45

Bohr radius (mnucleus = ∞) a∞ = 4πǫ0~2/mee2 = reα

−2 0.529 177 210 67(12)×10−10 m 0.23wavelength of 1 eV/c particle hc/(1 eV) 1.239 841 9739(76)×10−6 m 6.1Rydberg energy hcR∞ = mee

4/2(4πǫ0)2~2 = mec

2α2/2 13.605 693 009(84) eV 6.1Thomson cross section σT = 8πr2e/3 0.665 245 871 58(91) barn 1.4

Bohr magneton µB = e~/2me 5.788 381 8012(26)×10−11 MeV T−1 0.45nuclear magneton µN = e~/2mp 3.152 451 2550(15)×10−14 MeV T−1 0.46

electron cyclotron freq./field ωecycl/B = e/me 1.758 820 024(11)×1011 rad s−1 T−1 6.2

proton cyclotron freq./field ωpcycl/B = e/mp 9.578 833 226(59)×107 rad s−1 T−1 6.2

gravitational constant‡ GN 6.674 08(31)×10−11 m3 kg−1 s−2 4.7× 104

= 6.708 61(31)×10−39 ~c (GeV/c2)−2 4.7× 104

standard gravitational accel. gN

9.806 65 m s−2 exact

Avogadro constant NA 6.022 140 857(74)×1023 mol−1 12Boltzmann constant k 1.380 648 52(79)×10−23 J K−1 570

= 8.617 3303(50)×10−5 eV K−1 570molar volume, ideal gas at STP NAk(273.15 K)/(101 325 Pa) 22.413 962(13)×10−3 m3 mol−1 570Wien displacement law constant b = λmaxT 2.897 7729(17)×10−3 m K 570Stefan-Boltzmann constant σ = π2k4/60~3c2 5.670 367(13)×10−8 W m−2 K−4 2300

Fermi coupling constant∗∗ GF /(~c)3 1.166 378 7(6)×10−5 GeV−2 500

weak-mixing angle sin2 θ(MZ) (MS) 0.231 29(5)†† 2.2× 105

W± boson mass mW 80.385(15) GeV/c2 1.9× 105

Z0 boson mass mZ 91.1876(21) GeV/c2 2.3× 104

strong coupling constant αs(mZ) 0.1181(11) 1.0× 107

π = 3.141 592 653 589 793 238 e = 2.718 281 828 459 045 235 γ = 0.577 215 664 901 532 861

1 in ≡ 0.0254 m

1 A ≡ 0.1 nm

1 barn ≡ 10−28 m2

1 G ≡ 10−4 T

1 dyne ≡ 10−5 N

1 erg ≡ 10−7 J

1 eV = 1.602 176 6208(98)× 10−19 J

1 eV/c2 = 1.782 661 907(11)× 10−36 kg

2.997 924 58× 109 esu = 1 C

kT at 300 K = [38.681 740(22)]−1 eV

0 C ≡ 273.15 K

1 atmosphere ≡ 760 Torr ≡ 101 325 Pa

∗ The meter is the length of the path traveled by light in vacuum during a time interval of 1/299 792 458 of a second.† At Q2 = 0. At Q2 ≈ m2

W the value is ∼ 1/128.‡ Absolute lab measurements of GN have been made only on scales of about 1 cm to 1 m.∗∗ See the discussion in Sec. 10, “Electroweak model and constraints on new physics.”†† The corresponding sin2 θ for the effective angle is 0.23155(5).

Figure 4.42: da S.Eidelman et al., Physics Letters B592, 1, 2004

596

4.Periodic

table

oftheelements

1

4.PERIO

DIC

TABLEOFTHEELEM

ENTS

Table 4.1. Revised June 2016 by D.E. Groom (LBNL). The atomic number (top left) is the number of protons in the nucleus. The atomic masses (bottom) of stableelements are weighted by isotopic abundances in the Earth’s surface. Atomic masses are relative to the mass of 12C, defined to be exactly 12 unified atomic mass units(u) (approx. g/mole). The exceptions are Th, Pa, and U, which have no stable isotopes but do have characteristic terrestrial compositions. Relative isotopic abundancesoften vary considerably, both in natural and commercial samples; this is reflected in the number of significant figures given for the mass. Masses may be found athttp://physics.nist.gov/cgi-bin/Compositions/stand alone.pl . If there is no stable isotope the atomic mass of the most stable isotope is given in parentheses.

IUPAC announced verification of the discoveries of elements 113, 115, 117, and 118 in December 2015. Provisional names were assigned in June 2016. The 7th periodof the periodic table is now complete.

1IA

18VIIIA

1 Hhydrogen

1.0082IIA

13IIIA

14IVA

15VA

16VIA

17VIIA

2 Hehelium

4.0026023 Lilithium

6.94

4 Beberyllium

9.012182

PERIODIC TABLEOFTHEELEMENTS5 Bboron

10.81

6 Ccarbon

12.0107

7 Nnitrogen

14.007

8 Ooxygen

15.999

9 Ffluorine

18.998403163

10 Neneon

20.1797

11 Nasodium

22.98976928

12 Mgmagnesium

24.3053

IIIB4

IVB5VB

6VIB

7VIIB

8 9VIII

10 11IB

12IIB

13 Alaluminum

26.9815385

14 Sisilicon

28.085

15 Pphosphorus

30.973761998

16 Ssulfur

32.06

17 Clchlorine

35.45

18 Arargon

39.948

19 Kpotassium

39.0983

20 Cacalcium

40.078

21 Scscandium

44.955908

22 Tititanium

47.867

23 Vvanadium

50.9415

24 Crchromium

51.9961

25 Mnmanganese

54.938044

26 Feiron

55.845

27 Cocobalt

58.933195

28 Ninickel

58.6934

29 Cucopper

63.546

30 Znzinc

65.38

31 Gagallium

69.723

32 Gegermanium

72.630

33 Asarsenic

74.921595

34 Seselenium

78.971

35 Brbromine

79.904

36 Krkrypton

83.79837 Rbrubidium

85.4678

38 Srstrontium

87.62

39 Yyttrium

88.90584

40 Zrzirconium

91.224

41 Nbniobium

92.90637

42 Momolybdenum

95.95

43 Tctechnetium

(97.907212)

44 Ruruthenium

101.07

45 Rhrhodium

102.90550

46 Pdpalladium

106.42

47 Agsilver

107.8682

48 Cdcadmium

112.414

49 Inindium

114.818

50 Sntin

118.710

51 Sbantimony

121.760

52 Tetellurium

127.60

53 Iiodine

126.90447

54 Xexenon

131.29355 Cscaesium

132.90545196

56 Babarium

137.327

57–71LANTHA-

NIDES

72 Hfhafnium

178.49

73 Tatantalum

180.94788

74 Wtungsten

183.84

75 Rerhenium

186.207

76 Ososmium

190.23

77 Iriridium

192.217

78 Ptplatinum

195.084

79 Augold

196.966569

80 Hgmercury

200.592

81 Tlthallium

204.38

82 Pblead

207.2

83 Bibismuth

208.98040

84 Popolonium

(208.98243)

85 Atastatine

(209.98715)

86 Rnradon

(222.01758)

87 Frfrancium

(223.01974)

88 Raradium

(226.02541)

89–103ACTINIDES

104 Rfrutherford.

(267.12169)

105 Dbdubnium

(268.12567)

106 Sgseaborgium

(271.13393)

107 Bhbohrium

(272.13826)

108 Hshassium

(270.13429)

109 Mtmeitnerium

(276.15159)

110 Dsdarmstadt.

(281.16451)

111 Rgroentgen.

(280.16514)

112 Cncopernicium

(285.17712)

113 Nh(nihonium)

(284.17873)

114 Flflerovium

(289.19042)

115 Mc(moscovium)

(288.19274)

116 Lvlivermorium

(293.20449)

117 Ts(tennessine)

(292.20746)

118 Og(oganesson)

(294.21392)

Lanthanideseries

57 Lalanthanum

138.90547

58 Cecerium

140.116

59 Prpraseodym.

140.90766

60 Ndneodymium

144.242

61 Pmpromethium

(144.91276)

62 Smsamarium

150.36

63 Eueuropium

151.964

64 Gdgadolinum

157.25

65 Tbterbium

158.92535

66 Dydysprosium

162.500

67 Hoholmium

164.93033

68 Ererbium

167.259

69 Tmthulium

168.93422

70 Ybytterbium

173.054

71 Lulutetium

174.9668

Actinideseries

89 Acactinium

(227.02775)

90 Ththorium

232.0377

91 Paprotactinium

231.03588

92 Uuranium

238.02891

93 Npneptunium

(237.04817)

94 Puplutonium

(244.06420)

95 Amamericium

(243.06138)

96 Cmcurium

(247.07035)

97 Bkberkelium

(247.07031)

98 Cfcalifornium

(251.07959)

99 Eseinsteinium

(252.08298)

100 Fmfermium

(257.09511)

101 Mdmendelevium

(258.09844)

102 Nonobelium

(259.10103)

103 Lrlawrencium

(262.10961)


597

44. Clebsch-Gordan coefficients 1

44. CLEBSCH-GORDANCOEFFICIENTS, SPHERICALHARMONICS,

AND d FUNCTIONS

Note: A square-root sign is to be understood over every coefficient, e.g., for −8/15 read −√8/15.

Y 01 =

√3

4πcos θ

Y 11 = −

√3

8πsin θ eiφ

Y 02 =

√5

4π

(32cos2 θ − 1

2

)

Y 12 = −

√15

8πsin θ cos θ eiφ

Y 22 =

1

4

√15

2πsin2 θ e2iφ

Y −mℓ = (−1)mY m∗

ℓ 〈j1j2m1m2|j1j2JM〉= (−1)J−j1−j2〈j2j1m2m1|j2j1JM〉d ℓ

m,0 =

√4π

2ℓ+ 1Y mℓ e−imφ

djm′,m = (−1)m−m′

djm,m′ = d

j−m,−m′ d 1

0,0 = cos θ d1/21/2,1/2

= cosθ

2

d1/21/2,−1/2

= − sinθ

2

d 11,1 =

1 + cos θ

2

d 11,0 = − sin θ√

2

d 11,−1 =

1− cos θ

2

d3/23/2,3/2

=1 + cos θ

2cos

θ

2

d3/23/2,1/2

= −√31 + cos θ

2sin

θ

2

d3/23/2,−1/2

=√31− cos θ

2cos

θ

2

d3/23/2,−3/2

= −1− cos θ

2sin

θ

2

d3/21/2,1/2

=3 cos θ − 1

2cos

θ

2

d3/21/2,−1/2

= −3 cos θ + 1

2sin

θ

2

d 22,2 =

(1 + cos θ

2

)2

d 22,1 = −1 + cos θ

2sin θ

d 22,0 =

√6

4sin2 θ

d 22,−1 = −1− cos θ

2sin θ

d 22,−2 =

(1− cos θ

2

)2

d 21,1 =

1 + cos θ

2(2 cos θ − 1)

d 21,0 = −

√3

2sin θ cos θ

d 21,−1 =

1− cos θ

2(2 cos θ + 1) d 2

0,0 =(32cos2 θ − 1

2

)

Figure 44.1: The sign convention is that of Wigner (Group Theory, Academic Press, New York, 1959), also used by Condon and Shortley (TheTheory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, New York, 1953), Rose (Elementary Theory of Angular Momentum, Wiley, New York, 1957),and Cohen (Tables of the Clebsch-Gordan Coefficients, North American Rockwell Science Center, Thousand Oaks, Calif., 1974).


598

Appunti del corso di Istituzioni di Fisica Nucleare e...

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