DES APPLICATION DES CHAINES DE MARKOV AU CALCUL

DENSIT~,S SPECTRALES DE PUISSANCE DE MESSAGES BINAIRES

par

Michel ROUSSEAU Ing6nieur E.N.S.T., Docteur-Ing6nieur *

RI~SUMI~. - - A partir des propridtds des cha~nes de Markoo ergodiques, l'auteur ddtermine l'expression gdndrale de la densitd spectrale de puissance des messages binaires. Ce calcul est appliqu~ ?t des codes de transmission utilisds dans les tdldcommunications et dans les transmissions sur fibre optique : Miller el biphase. It examine

ensuite les possibilitds d'extraire du message l'information d'horloge.

ABSTRACT. - - Considering the properties of ergodic Markou chains, the author determines the general expression for lhe power spectrum of digital signals. This calculation is applied to transmission codes used in optical fiber communications : Miller and biphase. Then he examines the possibility of derioing the clock signal from

the pulse sequence.

PLAN. - - �9 I : Introduction. �9 I I : Propridtds des chatnes de Markoo ergodiques. �9 I I I : Spectre de puissance d'un message binaire. �9 IV : Exemples d'application. �9 V : Codage des transitions. �9 VI : Conclusions.

Bibliographic (6 rdf.).

I . I N T I ~ O D U G T I O N

L'ut i l i sa t ion des fibres optiques comme support de

t~l~communications permet d 'envisager la t rans- mission analogique, ou num6rique, de signaux h large

bande. Dans les syst~mes de t616communications num6-

riques, la qualit6 de la liaison est mesur6e par le t aux d 'erreur ou le rappor t s ignal /brui t de post-ddtection. A t aux d 'erreur constant , la difficultd de rdalisation de l 'ensemble de rdception (ddtecteur, pr6amplifi- catenr, 6galiseur) augmente avec la baude passante du signal t ransmis. I1 importe donc a priori d'uti l iser un code en ligne qui, pour une rapidit6 de modula t ion imposde, poss~de un faible encombrement spectral. Toutefois, les crit~res de sdlection du code ne se l imi tent pas h sa largeur de bande ; il est n6cessaire qu' i l se prate bien h la modula t ion d ' un 6metteur optique (diode dlectroluminescente ou diode laser) et h la d6tection binaire (rdcup6ration de l'horloge...).

La d6terminat ion de l 'expression ana ly t ique du spectre de puissance du message binaire appara i t ainsi comme essentielle dans l '6tude du codage. Pour

les codes usuels (RZ, re tour h zdro ; NRZ, non-re tour h z6ro ; BIO-L, biphase ordinaire Manchester), le type

d ' impuls ion 6mise d6pend un iquemen t du symbole,

si bien que le calcul de la densit6 spectrale est simple [1]. Par contre, pour les autres codes

(Miller; BI0-M, biphase par t r an s i t i on ; Bipolai re ; HDBn, haute densit6 bipolaire d 'ordre n...), le type

d ' impuls ion ddpend du symbole et du message binaire ant6rieur : le calcul est plus compliqu&

Dans ce document , nous associons au message binaire une chaine de Markov ergodique. L 'analyse du diagramme de t rans i t ion correspondant permet

d 'en ddduire la densit6 spectrale de puissance. Apr~s un bref rappel des propridt6s des chaines de

Markov ergodiques et des grandeurs caractdristiques s 'y r a t t achan t (w II), nous d6terminons (w III) l 'expression ana ly t ique du spectre de puissance du message binaire. L 'exemple (w IV) des codes Miller

et BIO-M, parfaits et d6form6s, compatibles avec une porteuse optique, illustre l 'exposC Enfin, nous exa- minons au paragraphe V les possibilitds de rdcupdration de l'horloge h par t i r du codage des t ransi t ions du message binaire.

I I . PROPBII~ .T~ .S D E S G H A I N E S D E M A I ~ K O V E B G O D I Q U E S

La chalne de Markov 6tudide est :

- - finie (N ddsigne le nombre total d'dtats),

- - h o m o g ~ n e (les probabili t6s de t rans i t ion sont

iuddpendantes du temps),

--- irr6ductible (tous les 6tats communiquent ) ,

- - non p6riodique,

- - r6currente positive (les temps moyens de r6cur-

rence sont finis).

* Aux Laboratoires de Marcoussis, Centre de Reeherches de la Compagnie G6n6rale d'Electricit6, division Electronique- Optique.

ANN. TI~L/:r 31~ n ~ I-2, 1976 1/9

M . R O U S S E A U . C H A I N E S D E M A R K O V . D E N S I T I E S D E P U I S S A N C E D E S M E S S A G E S B I N A I R E S 9

Ces propr i6tds i m p l i q u e n t qu ' e l l e est e rgod ique [2].

D6signons pa r Pig la p robab i l i t 6 de passage de

l ' 6 t a t i h l ' 6 t a t k en une t r an s i t i on e t pa r pig(n) la

p robab i l i t 6 de passage au b o u t de n t rans i t ions . I1

est 6v iden t que :

p ~ g = p~g(1), V i , k ~ [ I , N ] .

Soi t : P la m a t r i c e des p robab i l i t6s de t r an s i t i on

(de t e r m e g6n6ral Pig) e t

P(n) la m a t r i c e de t e r m e g6n6ral pig(n).

On d6du i t des re la t ions de C h a p m a n - K o l r n o g o r o v :

(1) [ P ( n ) ] = [P] n .

De plus, il est d6mon t r6 que la m a t r i c e des p robab i -

l i t6s d ' u n e cha ine e rgod ique poss6de la v a l e u r p r o p r e 1

et ( N - 1) au t res va leu r s p ropres de m o d u l e s t r ic te -

m e n t inf6r ieur h 1. A la v a l e u r p rop re 1, on assoeie

le v e c t e u r p r o p r e & gauche : [re] = [ P l , P2 . . . . . PN]

v6r i f i an t :

(2)

avec la cond i t i on :

[7:1 [P] = [7:1.

N

(3) E Pi = 1 . i=1

Les Pi c o n s t i t u e n t la d i s t r i bu t i on s t a t i o n n a i r e ; nous

t r o u v o n s :

(4) P l = l i m p ~ g ( n ) , V k ~ [1, N] i~-i-- oo

et : "~/= l [ p l .

zl est le t e m p s m o y e n de rdcur rence de l ' d t a t i.

E t u d i o n s la f onc t i on gdn6ra t r ice :

co

(6) Gig(z) = Y~ p i g ( n ) z n, n = t

la fo rme ma t r i c i e l l e s '6cr i t :

oo

(7) [G(z)] = E [zP] n . n = |

P o u r Izl < 1, l ' 6 q u a t i o n p rdcdden te d e v i e n t :

([G(z)l + [I]) ( [ I I - - z I P ] ) = [11,

I d t an t la m a t r i c e uni t6 d ' o rd r e N.

Nous en d6duisons :

(8) [G(z)l-- ( [ 1 1 - z[P]) - x - [11.

La m a t r i e e P a y a n t 1 c o m m e v a l e u r p ropre , la

m a t r i c e [ 1 - - P ] n ' e s t pas rdguli~re et Gig(z) poss~de

un p61e en z = 1. Nous savons que [2, p. 218] :

l im (1 - - z) (Gig(z) + ~ig) = Pk ,

ce qui i m p l i q u e que le p61e est s imple et que le rdsidu

associd est p g .

I n t rodu i sons la fonc t ion Hig(z), finie en z = 1 :

oo

(9) Hie(z) = E (pig(n) - - pg) z n.

Soit :

g

(10) H/g(z) : G~g(z) 1 - - z Pk �9

P o u r dd t e rmine r l ' exp re s s ion a n a l y t i q u e de Gig(z),

nous p o u v o n s inve r se r la m a t r i c e [ I - zP] et subs t i -

t ue r dans l ' ~qua t i on (8). Toute fo i s , l o r sque le dia-

g r a m m e de t r an s i t i on associ6 h la cha ine de M a r k o v

est s imple , nous p o u v o n s avo i r recours h u n g raphe

de f lueuce [3, 4, 5].

P o u r cela, nous mu l t i p l i ons les t r a n s m i t t a n c e s du

d i a g r a m m e de t r an s i t i on pa r le f a c t e u r z e t nous

croons une source X i reli6e au nceud i p a r une b r a n c h e

de t r a n s m i t t a n c e 1, c o m m e ind iqu6 sur la f igure 1.

z pii

FIG. 1. - - Graphe de fluence issu du diagramme de transition.

Soi t xk la va r i ab l e c o r r e s p o n d a n t au n (eud k ; nous

avons :

N

x k = ~ z p j kx j + ~ lgXl , V k E [1, N ] , j = J

soi t m a t r i c i e l l e m e n t :

(11) [ x l , x 2 . . . . . xN] [ I - - z P ] = [ 0 . . . 0 X t 0 . . . 0 ] .

La c o m p a r a i s o n de (8) et (11) m o n t r e que (Gig § ~tg)

est la t r a n s m i t t a n c e g loba le en t re la source X i et le

nceud k. El le p e u t ~tre dd te rmin6e en r6du i san t le

g r aphe ou d i r e c t e m e n t en a p p l i q u a n t la r6gle de

Mason [4].

I I I . S P E G T R E D E P U I S S A N O E D ' U N M E S S A G E B I N A I R E

Un message b ina i re est une su i te d ' i m p u l s i o n s

c o r r e s p o n d a n t au codage d ' u n e sui te de symbo le s

reprdsent6s p a r 0 et 1. I1 lui est associ6 une v a r i a b l e

a l6a to i re x qu i p e u t p r e n d r e les N va leu r s ent i6res

1, ..., N, s u i v a n t le t y p e d ' i m p u l s i o n u t i l i sC

T 6ran t l ' i n t e r v a l l e de t e m p s d ldmenta i re d ' u n e

impu l s ion (ou d ' u n 616ment binaire) , nous d6signons

pa r xi la v a l e u r pr ise pa r x dans l ' i n t e r v a l l e

[ iT , (i § 1) T[

et p a r s(t, xl) le s ignal co r r e spondan t .

Le t r a in b ina i re s '6er i t :

co

(12) m(t) = Z s ( t - - n T , x n ) . n = - - o o

2/9 ANN, TELI~COMMUNIC,, 31, n ~ 1-2~ 1 9 7 6

1 0 M . R O U S S E A U . - - C H A I N E S D E M A R K O V . D E N S I T I E S D E P U I S S A N C E D E S M E S S A G E S B I N A I R E S

C'est une var iab le a ldatoire qui d6pend des r6ali- sat ions de x dans chaque in terval le 616mentaire.

Un calcul effectu6 pa r Shimbo [6] et repris pa r Marshall [3] mon t re que la fonct ion d ' au tocor rd la t ion moyenue de m(t) est :

(13) R ( t ) = ~ R n ( l - - n T ) ,

oh :

nn(t) = ~ / ~

(14) } 1 no(t) : u (

< s(-r, Xo) s(t § % Xn) > d'r

pour n ~ 0,

< s('r, x) s(/, § % x) > d-r

pour n = 0.

les hypotheses fai tes sont :

�9 l 'dnergie moyenne d 'une impuls ion :

dl

est finie ;

�9 les probabi l i tds d 'o rd re 1 et 2 de x sont s ta t ionnaires .

P a r contre , il est possible que : les var iables x o et x, soient d~pendantes et que les impuls ions t r a inen t au-delh de l ' i n te rva l l e 616mentaire.

Dans la p l u p a r t des messages binaires rencontr6s, le t y p e d ' impuls ion ne d6pend que de la va leur du symbole et ~ventuel lement de l ' impuls ion pr~c~dente (ou d 'une var iab le li6e au message ant6rieur). Nous pouvons donc consid6rer que le processus h dtats discrets x~ pour lequel les changements ont lieu h des ins tan ts ~quidis tants est une chaine de Markov.

En pra t ique , les 6tats sont non p~riodiques et r6currents positifs, ce qui impl ique que la chaine est ergodique.

Avec les no ta t ions in t rodui tes au pa rag raphe prd- c~dent, nous avons :

I p l = probabi l i td ( x = i) , i = 1 . . . . , N , (15)

plk(n) = probabi l i t~ (xt+~ = k l x ~ : i), V 1 entier.

Nous en d~duisons :

(16) plPig(n) = PkPg~(-- n)

et :

< s(~, x) s(t + ~, x) > = :E p~ s(~, i) s(t + ~, i) , i = l

N N

(17) I < s(%xo) s ( t § % X n ) > : ~ ~p~P~k(n) • i = 1 k : l

s(~, i) s ( / + ~, k) n ~ 0.

Subst i tuons (17) dans (14), puis dans (13) :

(18) R(t) = y p~ s(-r,i) s ( t § % i ) d'r + i = l oo

/ : 1] __ ~ pik(n) s(% i) s(t § ~:- - n T , k) d'v .

n ~ 0

Le spectre de puissance W(f) du message binaire est la t ransformde de Four ie r de sa fonct ion d ' a u to - corr61ation moyenne R(/). En d6signant pa r S(f, i) la t ransform6e de Four ie r de s(t, i), la t ransformde de

Four ie r de (18) est :

(19)

w(D = ~ p~ Is(h)l ~ + Y~ Z p~(n) s*(f, i) x i=1 n = - - ~ k = l

n : ~ 0

oh S* d~signe le complexe conjugu~. Compte tenu de (16) :

N

(20) T W ( f ) = E Pi IS(f, 012+ i = l

2 ne Z 2; p~pi~(n) S*(L i) s(f, k) exp (--2 7:j nfr) . i=I k = l n = l

Re d6signe la par t ie r6elle.

In t roduisons la fonct ion g~n~ratrice Hie(z) d~finie en (6) et (9) :

oo oo

H~k(z) = ~ p~k(n) zn - - Pk ~ zn . / I = I n = I

Posons :

(21) z = exp (- - 2 7:j f T ) .

I1 v ien t :

Re _ p~p~k(n) S*(f, i) S(f, k) z n i k : l n = l

Le dernier t e rme s '~cri t :

N P t S ( f , i) n _ 1 I i = l n

I 2 T

Por tons ees r6sul ta ts dans (20) : N N

(22) TW(f) = E P~lS(f, i ) [~- - [ Z Pi S(f, 0] 2 + i : t i = 1

T

Remarquons que la raie h la frdquenee n i T est inexis tan te si :

N

P l S ( f , i ) = 0 pour f = n ] T . i=1

Dans le cas off Pi est i nd6pendan t de i, il est int~- ressant d ' in t rodu i re la mat r ice colonne S(f) de te rme gdn6ral S(f, i) et de son associ6e [S(f)]t. L '6qua t ion (22) s '6crit :

(23) TW(f) = p [S(f)]t [S(f)] - - [7: S(f)] 2-~-

2 p Re {[S(f)lr [H(z)] [S(f)]} §

y [7: S(f)[ 2 ~ f - - , r l=- - r

avec p~ = p. H(z) d6signe la mat r iee earr6e de te rme g~n~ral

H~(z).

ANN. T~L~GOMMUNIC. , 31 , n ~ 1-2 , 1 9 7 6 3/9

M. R O U S S E A U . - C H A I N E S D E MARKOV. DENSITIES DE P U I S S A N C E DES MESSAGES B I N A I R E S 1 1

L 'exp re s s ion prdcddente m o n t r e que la densi td

spec t ra le se d6compose en une p a t t i e con t inue et un

spect re de raies c o r r e s p o n d a n t a u x pSles de la t r ans -

formde de F o u r i e r de la f onc t i on d ' au toco r r6 l a t i on .

On r e m a r q u e que la ddpendance des impuls ions en t re

elles est prise en c o m p t e pa r la m a t r i c e H(z). Dans

le cas off les impuls ions son t s t a t i s t i q u e m e n t ind~-

pendan t e s , [H(z)] est nul le et nous r e t r o u v o n s une

6qua t ion o b t e n u e pa r a i l leurs [1].

E n p r a t i q u e , la difficultd d ' u t i l i s a t i on de (23) est

lide h celle du calcul de [H(z)]. Nous al lons vo i r darts

les exemple s qu i su iven t que l ' 6 v a l u a t i o n de [H(z)]

est faci l i tde pa r la fo rme simplif i6e des ma t r i ces

in t e rm6dia i r e s P et G(z).

M~t binaire

Code NRZ

Code Miller

Code BI~ [VI

1 0 0 1 1 1 0 1

i

T

1 FIG. 2. - - Codage du mot 10011101.

]

Un e x e m p l e de codage est ind iqu6 figure 2.

A v e c le code Miller, un 1 est repr6sent6 p a r une

t r ans i t i on au mi l i eu de c h a q u e i n t e r v a l l e d ldmenta i re ;

pour un 0, il n ' y a pas de t r ans i t ion , saul s ' i l est

prdcdd6 d ' u n 0, auque l cas il y a une t r an s i t i on au

d6but de son in te rva l l e .

A v e c le code B I 0 - M : il y a une p remi6re t r a n s i t i o n

au d~but de c h a q u e in te rva l le , quel que soit le sym-

bole et uue seconde au mi l i eu de l ' i n t e r v a l l e un ique -

mer i t si le s y m b o l e est un 1. Le code B I 0 - S (biphase space) se dddui t du B I 0 - M en p e r m u t a n t les symbo le s

0 et 1 [6].

Nous supposons dans t o n t e la sui te que les sym-

boles 0 et 1 son t dquiprobables . On g6n~ral iserai t

f a c i l e m e n t les m 6 t h o d e s dans le cas oh les p robab i l i tds

se ra ien t diffdrentes.

IV.I . Code Miller.

IV.1.1. Code Mil ler iddal.

A p a r t i r des q u a t r e Stats m a r k o v i e n s repr~sent~s

figure 3, et du d i a g r a m m e de t r a n s i t i o n (Fig. 4), nous

dd t e rminons la m a t r i c e des probabi l i tds de t r ans i t ion .

[ P ] =

I1 v i en t :

I 0 1/2 0 112 1

1/2 0 1]2 0 1/2 0 0 1/2 "

0 1/2 1/2 0

o f o s(t, 1) s(t, 2) ; o o TI T '

s(t, 3) s(t, 4)

FIG. 3. --- Repr6sentation des 6tats du code Miller iddal.

0

u

T r a n s i t i o n avec le s y m b o l e u

FIG. 4. - - Diagramme de transition du code Miller id6al

IV. E X E M P L E S D ' A P P L I G A T I O N

N o u s nous p roposons d ' a p p l i q u e r les rdsu l ta t s prd-

cddents au code Miller (ou Delay-Modulation) et au code B I G - M (Bipbase-Mark).

L ' e x a m e u de [P] m o n t r e que : 4

P~k= 1 , V k = 1 .. . . . 4 , i - - I

d 'of l il ressor t que la m a t r i c e P est d o u b l e m e n t

s t o c h a s t i q u e [2, p. 255].

Nous en ddduisons sans calcul la d i s t r i bu t i on

s t a t i onna i r e :

[~] : [1/4 , 1/4, 114, 114],

p~ = p = 1 / 4 , V i = 1 . . . . . 4 .

z2(3 z + 2) G11(E) = G 2 2 ( z ) = G a a ( z ) = G 4 4 ( z ) = 4 ( 1 - - z ) (z 2-L 2 z § 2) '

z ( - - z 2 + 2 z + 4) G12(z) = G21(z)= Ga4(z)= G4a(z)= 4 ( 1 - - z ) ( z 2 + 2 z + 2) '

z~(z + 4) G13(25) := G 2 4 ( z ) = G 3 2 ( z ) = G 4 1 ( z ) = 4 ( 1 - - z ) ( z 2 § 2 z § 2) '

z2(z ~ + 4) G l a ( Z ) = G 2 3 ( z ) = G a l ( z ) = G 4 2 ( z ) = 4 ( 1 - - z ) (z2+ 2 z + 2) '

4/9 ANN. TI~L~COMMUNIC., 3! , n ~ !-2, 1976

12 M. R O U S S E A U . - - ( ] H A I N E S D E M A R K O V . D E N S I T I E S D E P U I S S A N C E D E S M E S S A G E S B I N A I R E S

H n ( z ) . . . . . Ha~(z) = - - z(z + 1)/2 (z ~ + 2 z § 2) ,

H12(z ) . . . . . H~a(z) = - - Hll(Z ) ,

H13(Z ) . . . . . Ha~(z) = - - z/2 (z ~ § 2 z + 2) ,

H~(z ) . . . . . Ha~(z) = - - H~a(z) .

A v e c la n u m 6 r o t a t i o n adopt~e p o u r les 6tats , nous

avons :

d 'of l :

S(f, 1) = e -3=jfTI2 sin (z:fT/2)l~f,

S(f, 2) = e -j=fTI2 sin (r~fT/2)p:f,

s(f, 3) = o,

S(f, 4) = e -|rif t sin n fT /n f ,

W(f) - -

s o i t :

~] p~ S(f, i) = e -jnfT sin n fT/2 7: f . i = l

Ce r~su l t a t i m p l i q u e que le spec t re de raies es t

i nex i s t an t . Seule l ' h a r m o n i q u e z6ro est p r6sen te :

~( f ) /4 .

D ' ap r6s (22) e t (23), la pa r t i e c o n t i n u e du spec t re

s '~cr i t :

s in2~ fT]2 t t ] - 1 - - ( z + 1) +_ ]_" sin_~ fT f L~+~e, z+, z=+2=+2 t~'

sin 2~ fTJ2F3+cosnfT+2cos2=fT--cos3nfT~ W(f) - - 2n=----f~ ~ L 9 ~ 1 2 c o s 2 = f T ~ ~ J"

Les v a r i a t i o n s de W(f) son t por t6es f igure 5. On

r e m a r q u e r a une fo r t e c o n c e n t r a t i o n d 'dncrg ie p o u r

IV.1.2. Code Miller d~form~.

N o u s cherchons & d 6 t e r m i n e r le spec t re de pu i ssance

du code Miller lo r sque les impuls ions ne son t p lus

par fa i tes .

Nous supposons u n i q u e m e n t que les t e m p s de

mon t~e et de descen te son t inf6r ieurs h T et que les

b a r y c e n t r e s des courbes de m o n t d e et de descen te

co inc iden t avec les i n s t an t s de t r a n s i t i o n du code

id6al.

A v e c ces nouve l les hypo these s , nous avons repris

f igure 6, l ' e x e m p l e de codage ind iqu6 p r 6 c ~ d e m m e n t

sur la f igure 2.

Mot binaire

Code Miller deforme

1 0 0 1 1 1 0 1

j - \ j \ Fro. 6. - - Codag~ du mot 10011101.

P o u r associer h ce message b ina i re une cha ine de

M a r k o v e rgod ique , nous cons id6rons le s ignal de

dur6c T issu de l ' a s soc ia t ion de la seconde moi t i6

d ' u n e impu l s ion ~ la p r emie re moi t i~ de la su ivan te .

Les hu i t s i gnaux ainsi cons t i tu~s f o r m e n t les hu i t

6tats m a r k o v i e n s de la chaine . L e u r n u m ~ r o t a t i o n

est cxpl ic i t~e f igure 7.

J

I

O.S 1 I.S rr

FIG. 5. - - Densit~ spectrale puissance du code Miller.

les f r~quences compr ises en t r e 0 ,25]T et 0 , 5 / T un

m a x i m u m tr~s accen tu~ en f = 0 ,375]T.

L a l a rgeu r & 3 dB du lobe est : / k f = 0 ,11IT.

9 s(t, 1) T

1 1 1

0 ~(t, 5) T

0 s(t, 2) ~L

0 1

't f

0 T s(t, 6)

1 0 o

slt, 3) T

,% s(t, 7)

11~ 0 s(t, 4} "~P

o T sit, 81

FIG. 7. - - Repr6sentation des ~tats du code Miller d6formC

Nous en ddduisons le d i a g r a m m e de t r a n s i t i o n

(Fig. 8) e t la m a t r i c e des p robab i l i t6s de t r ans i t ion .

A

o ;. U

T r a n s i t i o n a v e c

le symbole u

FIG. 8. - - Diagramme de transition du code Miller dfform6.

ANN. T~LI~GOMMUNIC., 31, n ~ 1-2, 1976 5/9

M. ROUSSEAU. CHAINES DE MARKOV. DENSITIES DE PUISSANCE DES MESSAGES BINAIRES 13

Nous avons :

0

0

1/2 112

[P] = 0

0

0

0

et

0 1/2 0

0 1/2 0 o o o

o o 0 0

0 0 1/2 0

0 0 1/2 0

1/2 0 0 1/2

1/2 0 0 1/2

[hi = [118, 1/8, 1/8,

soit

0 1/2 0 0 - 0 1/2 0 0 o o 1/2 o

0 1/2 0 0 0 1/2 ' 0 0 1/2

o o o

o o o

1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/81,

Pt = P = 1/8 .

Tous calculs fai ts nous t r o u v o n s :

H I I ( Z ) = n l T ( Z ) : S 2 t ( z ) = H27(z ) = Haa (z ) = Ha6(z )

= H/a(z ) = n 4 6 ( z ) = H52(z ) : H55(z ) H62(z) = Hs5(Z )

= H74(Z ) = HTs(z ) = H s 4 ( Z ) = Hss(Z ) z(z 2-2)18(z 2 + 2 z + 2 ) ,

H12(Z ) = H15(Z ) = H22(z ) H25(z) = H a 4 ( z ) = Has(Z )

= H44(z ) = H 4 s ( Z ) : Hsa(z ) = H5e(z ) = H 6 a ( z ) = Hee(z )

= H 7 1 ( z ) = H77(z ) -- HsI(z ) = HsT(Z ) : - - z ( z 2+ 4z+ 2)18(z 2 + 2 z + 2 ) ,

Hla(Z ) : Hie(z ) : H23(z ) = n26(z ) : H31(z ) : HaT(z )

= H4I(Z ) = H47(z ) = H54(z)= Hss(Z ) = H 6 4 ( z ) = Hes(Z )

= H7z(z ) = H75(z ) = Hs2(Z ) : Hss(Z) - - z(z ~+ 4 z + 6)18(z 2 + 2 z + 2 ) ,

H 1 4 ( z ) = H 1 8 ( z ) = H24(z ) = H2s(Z ) = Ha2(z ) = Has(Z )

= H42(z ) = H 4 5 ( z ) = H5I(Z ) = H57(z ) - - H 6 1 ( z ) = H67(z )

: H T a ( Z ) = H7e(z ) -- Hsa(Z ) = Hse(Z ) -- z(z 2+ 2)18(z 2 + 2 z + 2 ) .

La conna i s sance de la forme des courbes de mon t6e et de descente p e r m e t de calculer la ma t r i ce d 'd t a t s et sa t r ans fo rm6e de Four i e r IS(f)], puis avec l ' expres -

sion (23) de dd te rmine r la densi t6 spectra le de puissance .

P o u r condu i re c o m p l 6 t e m e n t le calcul , nous sup- posons que les courbes de m o n t e e et de descente sont des droi tes de dur6e respec t ive 0,2 T et 0,4 T. La dens i t6 spect ra le c o r r e s p o n d a n t e est t racde figure 5. Les carac tdr i s t iques pr inc ipa les du code Miller id6al

son t conservfes ; ceci v i e n t de ce que W(f) est p r a t i - q u e m e n t nul le pou r les f rdquences 61ev6es.

Nous observons une 16g6re a t t 6 n u a t i o n pou r

f > 0,351T. La largeur du lobe devient : Af= 0,121T. Un spectre de raies, de faible amplitude, apparait :

5 4 4 0,25 ~(f)+l,2.10- ~[f--(l/T)]-- 2,4.10- ~[f--(2/T)] .~...

T o T" 0

s( t , 1) $ ( t , 2)

FIG. 9. - - Repr6sentation des 6tats du code B10-M iddal.

cons6cut ives (Fig. 9). Ce sont les m f m e s Stats que

ceux du B I 0 - L (Biphase Level). Le d i a g r a m m e de t r a n s i t i o n associ6 est repr6sent6

figure 10.

0,2

�9 transition avec la 1 probabilit~ q

2

FIG. 10. - - Diagramme de transition du code BIO-M id6al.

La ma t r i ce des p robab i l i t6s de t r a n s i t i o n est :

[1/2 1/21 [P] = [112 112J"

D'ofi : [ •1= [112 , 112].

Soit Pl = P = 1/2.

Nous t r o u v o n s :

H i k ( z ) = 0 , V i , k - - 1 ,2 .

Comme pour le code Miller idfa l , le spect re de raies

se rddui t h l ' h a r m o n i q u e z6ro : ~(f)14. La par t i e c o n t i n u e du spectre est :

W(f ) = sin 4 n fT/2[n 2 f~ T .

La courbe r ep r6sen ta t ive de W(f) est t r ac f e figure 11.

w(f)

/ 0,5

Code iddal

-p-.~ 1,5 T'3-

FIG. 11. - - Densit6 spectrale de puissance du code BIO-M.

Le lobe p r inc ipa l est cent r6 en f = 0,741T; sa l a rgeur h 3 dB est : 0,801T.

I V . 2 . Code B I O - M .

IV .2 .1 . C o d e B I O - M idea l .

Afin de r6duire le n o m b r e d '6 ta t s , uous consid~rons les s ignaux const i tu6s de deux demi - impu l s ions

IV . 2 . 2 . C o d e B I O - M d d [ o r m ~ .

Avec les m6mes hypo theses que dans le cas du code Miller d i s to rdu (w IV.1.2), nous avons repr6sent6

figure 12 u n exemple de message b ina i re . Comme p r6cddemmen t , les 6tats m a r k o v i e n s son t

6/9 ANN. T~L~COMMUNIC., 31, n ~ 1-2, 1976

14 M . R O U S S E A U . - - C H A I N E S D E M A R K O V . D E N S I T I E S D E P U I S S A N C E D E S M E S S A G E S B I N A I R E S

Mot bi,,aire 1 o o 1 T 1 0 1, 4

/

z T

Fxe. 12. - - Codage du mot 10011101.

des signaux de durde T formds par la juxtaposi t ion

de deux demi-impulsions (Fig. 13).

o o

T ; 1 o 0 T 0 f 0 T 0 T

$(t, 1) s(t, 2) s(t,3) $(t, 4)

1 1 1 1

0 T 0 T 0 7: s(t, 51 s(t, 6) s(t, 7J s(t, 8)

FIG. 13. - - Representation des 6tats du code BIO-M d6form6.

A par t i r du diagramme de t ransi t ion (Fig. 14), il

v ient :

- - 0

1/2

0

0 [P] = 0

1/2 0

0

puts :

112 0 1/2 0 0 0 0 -

o 112 o o o o o

o o o 1/2 o 1/2 o 0 0 0 0 1/2 0 1[2

112 0 112 0 0 0 0

o 1/2 o o o o o 0 0 0 1/2 0 112 0

0 0 0 0 1/2 0 1 / 2 _

[7:] = [1/8, 1/8, 1/8, 1/8, l /S, l /S, 1/8, 1]8 I .

Donc pi = p = 1/8. Tous ealculs fairs, nous t rouvons :

Z [H(z)] =

- )

1 ~ 1 0

U

Transition avec le symbole u

FIG. 14. - - Diagramme de transition du code BIO-M ddform6.

V. C O D A G E D E S T B A N S I T I O N S

Pour r6cup~rer le signal d'horloge, il est ndcessaire de disposer d 'uue rate h fr6quence mult iple de la rapidit6 de modulat ion. Pour les codes Miller et BID, le spectre de rates 6rant inexis tant , on peut pallier cet inconvenient en codant les t ransi t ions du

t ra in binaire regu (on peut 6galement envisager de

superposer h l '~mission une rate h la fr~quence d6sir~e et le message binaire).

A chaque t ransi t ion positive ou ndgative, on gdn6re alors uue impulsion de largeur 0T (0 < 0 < 1]2)

comme indiqu6 figure 15.

Le calcul du spectre de rates du message binaire ainsi cr66 doit permet t re de ddterminer la valeur

optimale de 0.

- - z - - 1 3 - - z z - - 1 3 - - z

3 - - z z - - I 3 - - z z - - I

- - z - - I z - - I - - z - - I z - - 1

z - - I - - z - - I z - - I - - z - - I

z - - I 3 - - z z - - I 3 - - z

3 - - z z - - I 3 - - z z - - I

- - z - - I z - - I - - z - - I z - - I

z - - I - - z - - 1 z - - I - - z - - I

La courbe reprfsenta t ive de W(f) est trac6e

figure 11.

On remarquera une d iminut ion de l ' ampl i tude par

f > 0,3IT. Le lobe a son maximum pour f ~ 0,68]T; sa

largeur est : 0,76/T.

Un spectre de raies de faible amplitude est pr~sent :

0,25 8(f) + 5.10 -5 ~ [ f - - (1IT)] + 10 -a 8 [ f - - 2/T)] q- ...

ANN. TI~L~COMMUNIC., 31 , n ~ 1-2 , 1 9 7 6

- - z - - 1 z - - 1 - - z - - 1 z - - l - -

z - - 1 - - z - - 1 z - - 1 - - z - - 1

3 + z - - z - - 1 3 § - - z - - 1

- - z - - 1 3 + z - - z - - 1 3 §

- - z - - 1 z - - 1 - - z - - 1 z - - 1

z - - 1 - - z - - 1 z - - 1 - - z - - 1

3 + z - - z - - 1 3 + z - - z - - 1

- - z - - 1 3 § - - z - - 1 3 + z

V . 1 . Cas du c o d e Mi l l er .

A par t i r de la sdlection des trois 6tats markoviens

(Fig. 16), on t rouve le d iagramme de t rans i t ion (Fig. 17) et la matrice des probabili t6s de t ransi t ion.

O n a :

[1,2 o i I P ] = 1/2 1/2 0 .

1/2 1/2 o

7/9

M . R O U S S E A U . -- C H A I N E S D E M A R K O V , D E N S I T E S D E P U I S S A N C E D E S M E S S A G E S B I N A I R E S 15

Mot requ i

Code BI~-L

Codage des transitions du 816 L

Code Miller I

Codage des ~-- [ transitions du Miller

UT T

Fie. 15. - - Codage des transitions.

OT OY

0 Y o f s(t, 1) s(t, 2)

I 0 T

s(t, 3)

Fro. 16. - - Repr6sentation des 6tats (transitions du code Miller.

1

1 0

u 11

Transi t ion avec [e symbole u

FIG. 17. - - Diagramme de transition (transitions du code Miller).

La m a t r i c e P n ' 6 t a n t pas doublement stochastique, on o b t i e n t :

[7:1= [1/2, 1/4, 1141, D ' o h :

[G(z ) ] - - 4 ( 1 - - z ) 2 2 - - z z , 2 2 - - z z

e t :

1 11 [ H ( z ) ] = ~ 0 1 - - 1 .

0 1 - - 1

Les t r ans fo rm~es de F o u r i e r des s i gnaux 61gmen-

t a i res son t :

S(f, 1) = e -njfT(l+0) s i n n f0 Tin f ,

S(f, 2 ) = e -z:jfTO s i n x f 0 TIzcf,

s(f, 3) = 0.

L ' e x p r e s s i o n du spec t re de pu i s sance est alors :

sin 2 n f0 T i , W ( f ) : 1 6 ~ T i 4 c o s 2 n f T - 8 c o s n f T + 5 +

(5 + 4 e o s n f r ) / r Z ~ [ ! - - (n/T)] . n ~ - - o o

Le spee t re de raies est :

sin2 ~c/'0 r co Wr ( f ) = 16n2f2 T~ (5 + 4 cosnfT) n=--~E ~[f-- (n/T)].

C o m p t e t e n u du d o m a i n e de v a r i a t i o n de 0 :

0 < 0 < 1/2,

nous r e m a r q u o n s que les raies a u x f r6quences , 11T et 21T , son t t o u j o u r s pr6sentes . L ' i n t e n s i t ~ de la

raie : f = 21T est m a x i m a l e p o u r :

s i n 2 2 x 0 : 1 :~> 0 : 1/4

et v a u t : 1,42 - 10 -~ ~ [ f - - (21T)] .

Ce t t e v a l e u r es t h c o m p a r e r avee celle o b t e n n e

dans le cas du code Miller d i s t o rdu (w IV.1.2) :

2,4.10 -4 ~[(f-- (21T)].

P o u r 0 = 1/4, le spec t re de raies est :

9 Wr(f ) : 256 ~(f) +

18 8 [ f - - ( l / T ) ] + 81 8 [ f - - (21T)] + 8 I f - - (31T)] 576 n 2

Les va r i a t i ons c o r r e s p o n d a n t e s de la p a r t i e c o n t i n u e

son t t rac6es f igure 18.

j W(f) T

5102

4.10 "2

3AO

2.10 2

Milter

FIG. 18. - - Codage des transitions. Spectre continu pour 0 = 1 / 4 .

V.2. Cas du code BIO-L.

A v e c les 6tats m a r k o v i e n s reprdsentds f igure 19,

le d i a g r a m m e de t r an s i t i on (Fig. 20) est le m ~ m e que

celui 6tudi~ au p a r a g r a p h e IV.2.1 (Lo r sque i t s

p robabi l i tds des symboles 0 et 1 son t diff6rentes , le

n o m b r e d ' d t a t s est 4.)

8/9 ANN. TI~LgACOMMUNIE., 31 , n ~ 1-2 , 1976

16 M. R O U S S E A U . -- C H A I N E S D E MARKOV. D E N S I T E S D E P U I S S A N C E D E S M E S S A G E S B I N A I R E S

O T

o T T 2

sit, 1)

0 T T 2

s(t, 2)

FIG. 19. - - Repr6sentation des 6tats (transitions du code BIO-L).

1 0 1 Transition ave(; ~' le symbole u ~) j

FIG. 20. - - Diagramme de transition (transitions du code BIO-L).

En u t i l i san t les rOsultats p r~c fdemment obtenus , nous t rouvons :

et

Nous avons :

[hi = [1/2 , 1 /2 ]

[H] = ( [ 0 ] ) .

S(f, 1 ) = e -njfT(l+0) s i n x f 0 T / x f ,

S(f, 2) = S(f, 1) + e -~]fT0 s i n x f 0 T i t : f ,

ce qui impl ique :

sin2x f0 T W ( f ) - 4x2 f2T •

E ] 1 + T 8[/--(n/T)] . 1 1 = _ o o

Le spectre de raies est :

sin2x f0 T (5 + 4cosT:f T) ~ ~[f-- (n/T)]. Wr(f) - - 47~2f~ T2 . . . .

I1 est ident ique ( ~ u n fac teur 4 pros) h celui obtenu darts le cas du code Miller.

L ' in tens i td de la raie h f = 2]T est max imale pour 0 = 1 /4 ; elle est :

5,68.10 -x ~[f-- (21T)] .

Pour le code B I 0 - M dis tordu, nous avions t rouvd :

10 -3 ~(f -- 2 I T ) .

Les premieres composantes sont :

9 wr(f) = ~ ~(f) +

18 $ [ f - - ( l / T ) ] + 81 $ [ f - - (2IT)] § $ [ f - - (3[T)] 144 ~z

+ . . .

Pour 0 = 1]4, nous avons report6 figure 18 les var ia t ions de la par t ie cont inue de la densit6 spectrale de puissance.

V I . G O N G L U S l O N S

Nous avons montr6 comment l ' associa t ion d 'une chaine de Markov ergodique h u n message binaire pe rme t le calcul de sa densit6 spectrale de puissance.

La mOthode explicitOe i c i e s t appl icable dans le cas oh le t ype d ' impuls ion dOpend non seulement du symbole h coder, mais du message ant6rieur. S e u l l e c a s des codes b iphase et Miller par fa i t s ou d6formOs est donn6 en exemple, mais on peut , au pr ix d 'une compl ica t ion du d iag ramme de t rans i t ion , dtendre le ra i sonnement au code H D B n ou aux codes pour les- quels l ' impuls ion dOborde l a rgemen t au-delh de l ' in te rva l le Udmentaire.

R E M E R C I E M E N TS.

L'auteur remercie Monsieur M. Thud, du Centre

National d'Eludes des Tdldcommunications, pour son

aide darts l'dlaboration de ce document, ainsi que Messieurs H. Debart el R. Bonal, des Laboratoires de

Marcoussis, pour les conseils el remarques formulds

lout au long de l'dtude.

Manuscrit refu le 2 oclobre 1975.

BIBLIOGRAPHIE

[1] DUPRAZ (J.). Thdorie de la Communication : signaux, bruits et modulation. Eyrolles, Paris (1973), 296 p.

[2] PARZEN (E.). Stochastic processes (Processus stochas- tiques). Holden-Day (1962), 324 p.

[3] MARSHALL (G. J.). Power spectra of digital p.m. signals (Spectres de puissances de signaux numOriques, modulds par impulsions). Proc. Instn. electr. Engrs., G.B. (oct. 1970), 117, n ~ 10, pp. I 909-1 914.

[~] MASON (S. J.). Feedback theory. Some properties of signal flow graphs (Thdorie de la rOaetion : quelques propridtds des graphes de fluence du signal). Proc. Inst. Radio Engrs., U . S . A . (sep. 1953), 41, n ~ 9, pp. I 1~-1 t56.

[5] DESOMBRE (P.). Calcul du spectre de puissance d'un signal aldatoire par la mdthode des graphes. Cdbles et transm., Fr. (jan. 1973), 27, n ~ 1, pp. 37-5~.

[6 ] SHIMBO (O.) , OHIRA (T.), NITADORI (K.). A generalised formula for the power spectrum of a pulse modulated signal and its applications (Formule gdnOralisOe du spectre de puissance d'un signal modul6 par impul- sions et ses applications). Electron. and Communic., Jap. (jan. 1963), 46, n ~ I, p. 9.

ANN. T~L~COMMUNIC., 3 1 , n ~ 1-2, 1976 9/9