Append 

Capturing

 

A digital s

 

Fig. 1: 

 

 

Transform

time serie

based on 

Fourier Tr

transform

being ana

 

The comp

 

The comp

   ejq = cos

The real p

series is a

  ejwt = cos

Two comp

 

 

Figure  2 s

Fig. 2: 

 

 

e

dix: Notes 

g the Spectru

speech signal 

m analysis dec

es. The compo

different def

ransform. In a

m analysis det

alyzed.  

plex exponen

plex exponent

sq + j sinq  

part is a cosin

 complex sum

s(wt) + j sin(w

plex exponen

shows a set o

0dtee tjtj

on signal p

m: Transform

such as the o

composes thi

onent time se

finitions of co

a Fourier tran

ermines the w

ntial 

tial is a comp

e function. Th

m of two time

wt) 

ntials of differ

of orthogonal 

if

processing

m analysis: Th

one shown in 

s sequence o

eries must be

mponent tim

nsform, the co

weights of th

lex sum of tw

he imaginary 

e series 

rent frequenc

complex exp

g 

he discrete Fo

Fig. 1 is a seq

of numbers in

e precisely def

me series.  The

omponent tim

e component

wo sinusoids. 

part is a sine

cies are “ortho

ponential time

ourier transfo

quence of num

to a weighted

fined. Differe

e most popula

me series are 

t time series t

 

e function. A c

ogonal” to ea

e series of the

orm 

mbers. 

d sum of othe

ent transform

ar transform 

complex exp

that comprise

complex expo

ach other. i.e.

e same frequ

 

er (componen

 analyses are

used is the 

ponentials. Th

e the given si

onential time 

. 

ency.  

 

nt) 

e 

he 

gnal 

A signal su

of differen

which the

three sets

 

Fig. 3: 

 

The discre

 

Fourier tr

coefficien

transform

decompo

analyzed. 

exponent

actually a

reality, it 

data are o

 

Consider t

Fig. 4: 

uch as the on

nt frequencie

e signal is ana

s of complex e

ete Fourier tr

ansform of a 

nts (or weight

m decomposes

ses a signal in

An aperiodic

ials. Or into a

ssumes that t

computes the

one period. 

the signal in F

ne in Fig. 1 is e

es. The numb

lyzed) is deci

exponential t

ransform 

discrete sign

ts) A, B, and C

s the signal in

nto exactly as

c signal canno

a sum of any c

the signal bei

e Fourier spe

Fig. 4. 

expressed as 

er of such tim

ded by the al

time series. 

al is often ca

C, for example

nto the sum o

s many expon

ot be decomp

countable set

ing analyzed 

ctrum of the 

a sum of seve

me series (and

lgorithm used

lled Discrete 

e, would be o

of a finite num

nentials as the

posed into a s

t of periodic s

is exactly one

infinitely long

eral such com

d therefore th

d to obtain th

Fourier Trans

obtained by a 

mber of comp

ere are samp

um of a finite

signals. The d

e period of an

g periodic sig

mplex expone

he number of

he transform. 

sform, or DFT

DFT. The disc

plex exponent

les in the sign

e number of c

discrete Fourie

n infinitely lon

gnal, of which

ential time ser

f frequencies 

 Fig. 3 shows

 

T. In Fig. 3, the

crete Fourier 

tials. In fact, i

nal being 

complex 

er transform 

ng signal. In 

 the analyzed

 

ries, 

into 

s 

e 

it 

d 

 

 

The discre

periodic s

this signa

Fig. 5: 

 

The kth po

 

 

 

 

x[n] is the

spectrum

identical t

 

 

 

 

 

 

Discrete F

part sinq  

 ejq = cosq

As a resul

 X[k] = Xre

A magnitu

 Xmagnitude[

A power s

 Xpower[k] =

For speec

A discrete

compone

frequenci

the DFT re

][kX

MX [

M

n

ete Fourier tr

signal shown 

l is 31 sample

oint of a Fouri

e nth point in t

. M is the tot

to the kth Fou

Fourier transf

q + j sinq  

t, every X[k] 

al[k] + jXimagina

ude spectrum

k] = sqrt(Xreal

spectrum is th

= Xreal[k]2 + Xim

ch recognition

e Fourier tran

nts, i.e. the D

es in the cont

epresents 0H

1

0

2

][M

n

j

enx

M

n

kM1

0

]

][1

0

2 eenx nj

ansform of th

in Fig. 5. Note

es in this exam

ier transform

the analyzed 

al number of

rier coefficie

form coefficie

has the form 

ry[k] 

m represents o

[k]2 + Ximag[k]2

he square of t

mag[k]2  

n, we usually 

sform of an M

DFT of an M p

tinuous‐time

z, or the DC c

2

M

kn

M

Mj

enx2

][

1

0

2

xeM

n

M

knj

he above sign

e that the spe

mple. 

m is computed

data sequenc

f points in the

nt 

ents are gene

only the magn2) 

the magnitud

use the magn

M‐point sequ

oint sequenc

 signal that w

component o

M

n

nk

nx1

0

][

][2

enx M

knj

nal actually co

ectrum exten

d as: 

ce. X[k] is the

e sequence. N

rally complex

nitude of the

de spectrum

nitude or pow

ence will only

ce will have M

was digitized t

f the signal. T

M

kj

M

Mnj

ee 22

]

][kX

omputes the 

ds from –infi

 value of the 

Note that the 

x. ejq has a rea

 Fourier coeff

wer spectra 

y compute M

M points. The 

to obtain the 

The (M‐1)th po

M

kn

Fourier spect

nity to +infini

 

kth point in it

(M+k)th Fouri

al part cosq a

ficients 

M unique frequ

M‐point DFT 

digital signal

oint in the DF

trum of the 

ity. The perio

ts Fourier 

ier coefficient

and an imagin

uency 

represents 

. The 0th poin

FT represents 

od of 

t is 

nary 

t in 

(M‐

1)/M time

0 and the 

Fig. 6 (a) s

point mag

Fig.  6: (a)

(b) 

The Fast F

the DFT co

signal can

 

 

 

 

Windowin

 

The DFT o

sinusoid f

Fig. 6: (a) 

(a) 

 

(b) 

es the sampli

 sampling fre

shows a 50 po

gnitude DFT is

) 

Fourier Transf

omputation t

n be recovere

ng 

of one period 

from –infinity

a sinusoid; (b

1

][M

kMnx

ng frequency

quency. 

oint segment

s shown in Fig

form (FFT) is 

to reduce the

d from its DF

of the sinuso

y to +infinity.  

b) one period

1

0

2

][ M

knj

ekX

y. All DFT poin

t of a decaying

g. 6(b). The 5

simply a fast 

e total numbe

T as: 

oid shown in t

 of the sinuso

nts are unifor

g sine wave s

1st point (sho

algorithm to 

er of arithmet

the Fig. 6 com

oid; (c) DFT of

mly spaced o

sampled at 80

own in red) is 

compute the

tic operations

mputes the Fo

f (b) 

on the frequen

000 Hz. The co

identical to t

e DFT. It utiliz

s greatly. The 

ourier series o

ncy axis betw

orresponding

the 1st point.

 

es symmetry

time domain

of the entire 

 

ween 

g 50 

 in 

n 

(c) 

The DFT o

The DFT o

that segm

 

Fig. 7: (a) 

of the “co

 

(a) 

(b) 

(c) 

of any sequen

of a partial se

ment, and not 

Partial segme

orrect” sinuso

nce computes

gment of a si

of the entire

ent of a sinus

oid   

s the Fourier s

nusoid (Fig. 7

e sinusoid. Th

soid; (b) corre

series for an 

7) computes t

is will not giv

esponding inf

infinite repet

the Fourier se

e us the DFT 

finite periodic

tition of that s

eries of an ini

of the sinuso

c signal; (c) DF

 

 sequence.  

finite repetiti

oid itself! 

FT of (b); (d) D

 

 

 

ion of 

DFT 

(d) 

 

The differ

what the 

the obser

 

Fig. 8: The

in 7(b) ins

 

 

The implic

These are

boundarie

discontinu

 

Fig. 8: disc

While we 

discontinu

9(a). We c

 

Fig. 9: (a) 

inferred w

(a) 

rence betwee

signal actuall

rved window 

e transform c

stead. 

cit repetition 

e shown encir

es of what ha

uities. 

continuities a

can never kn

uities at the b

call this proce

windowing; (

windowed sig

en Fig. 7  (c) a

y looks like o

from what ha

annot infer th

of the observ

rcled in green

as been reliab

at the points o

now what the

boundaries. W

edure window

(b) change in 

nal 

nd Fig. 7 (d) 

outside the ob

appens inside

he signal outs

ved signal int

n in Fig. 8. This

bly  observed.

of replication

e signal looks 

We do this by 

wing. We refe

the central re

occurs due to

bserved wind

e. As a result, 

side the seen

troduces large

s distorts eve

 The actual si

n in the signal

like outside t

multiplying t

er to the resu

egions of the

o two reasons

ow . Rather, i

a signal such

 window as s

e discontinuit

en our measu

ignal (whatev

 inferred by t

the window, w

the signal wit

lting signal as

 selected seg

s: The transfo

it infers what

 as Fig. 8 can

such. It infers 

ties at the po

rement of wh

ver it is) is unl

the transform

we can try to 

h a window f

s a “windowe

gment due to 

 

orm cannot k

t happens out

not be inferre

the signal sh

ints of repeti

hat happens a

likely to have

m 

 minimize the

unction, as in

ed” signal.  

windowing; (

now 

tside 

ed. 

own 

 

tion. 

at the 

 such 

e 

n Fig. 

(c) 

(b) 

(c) 

 

Windowin

in Fig. 9(b

The DFT o

introduce

complete 

Fig. 10: (a

(a) 

(b) 

ng attempts t

b), and reduce

of the window

ed by disconti

signal whose

a) a windowed

to keep the w

e or eliminate

wed signal sho

nuities in the

e segment we

d signal; (b) m

windowed sign

e the disconti

own in Fig. 10

e signal. Often

e have analyz

magnitude spe

nal similar to 

nuities in the

0(a) is shown 

n it is also a m

ed. 

ectrum of the

the original i

e implicit peri

in Fig. 10(b). 

more faithful r

e wndowed s

n the central 

odic signal, a

It does not h

reproduction

ignal in (a) 

 

 

regions, as sh

s in Fig. 9(c).

have any artef

 of the DFT o

 hown 

facts 

f the 

 

 

Fig. 11 su

spectrum

Fig. 11: (a

Magnitud

 

(a) 

(b)  

(c)  

 

As we see

to the orig

complete 

tradeoffs 

a Hammin

(In the fol

Hamming

Hanning: 

mmarizes the

: 

a) Magnitude 

de spectrum o

e in Fig. 9, Win

ginal (comple

signal anywh

between the

ng window. T

llowing, wind

g: w[n] = 0.54 

w[n] = 0.5 – 0

e advantages 

spectrum of 

of complete s

ndowing is no

ete) signal wit

here. Several 

e fidelity in th

his is one of a

ow length is 

– 0.46 cos(2p

0.5 cos(2pn/M

of windowin

original segm

ine wave 

ot a perfect s

thin the segm

windowing fu

e central regi

a class of win

M, Index beg

pn/M) 

M) 

g in terms of 

ment; (b) Mag

olution. The o

ment. The win

unctions have

ions and the s

dows called c

gins at 0) 

the changes 

gnitude spectr

original (unw

ndowed segm

e been propo

smoothing at

cosine windo

achieved in t

rum of windo

indowed) seg

ent is often n

osed that strik

t the boundar

ws. Some cos

the signal 

owed signal; (

 

 

 

gment is iden

not identical t

ke different 

ries. Fig. 9(a) 

sine windows

 

(c) 

tical 

to the 

uses 

s are:  

Blackman

Geometri

 

Fig. 12: Ge

 

 

Zero Padd

 

We can pa

algorithm

algorithm

padding is

padding is

signal in F

samples in

does not c

Fig. 13: an

(a)  

(b) 

n: 0.42 – 0.5 c

c windows ar

eometric win

ding 

ad zeros to th

m we use) requ

m : it requires 

s to change th

s shown in Fig

Fig. 13(b) is es

nserted in be

contain less i

n example of 

os(2pn/M) + 

re another ca

dows: (a) Rec

he end of a si

uires signals o

signals of len

he periodic si

g. 13, which s

ssentially the 

etween. It doe

nformation. 

a zero‐padde

0.08 cos(4pn

tegory of com

ctangular (bo

 

 

 

gnal to make

of a specified

gth 2n , wher

ignal whose F

shows a zero‐

same as the 

es not contain

ed signal; (a) t

n/M) 

mmon window

oxcar); (b) Tria

 it a desired l

 length. (one 

re n is a natur

Fourier spectr

‐padded signa

DFT of the un

n any addition

the signal; (b)

ws. Some of t

angular (Bartl

ength. This is

example is a

ral number). T

rum is being c

al and its DFT

npadded sign

nal informati

) its DFT 

these are sho

lett); (c) Trap

s useful if the 

 radix‐2 FFT c

The conseque

computed by

T. The DFT of t

nal, with addit

on over the o

own in Fig. 12

ezoid 

FFT (or any o

computation 

ence of zero 

 the DFT.  Zer

the zero padd

tional spectra

original DFT. I

 

. 

other 

ro 

ded 

al 

t also 

Fig. 14 fut

Fig. 14: Th

windowin

essentially

between. 

less inform

 

Fig. 15 illu

that appe

also do no

 

ther illustrate

he left panels

ng are not the

y the same as

It does not c

mation. 

ustrates the s

ear to be less 

ot introduce a

es the conseq

s show the sig

e same as the

s the DFT of t

contain any ad

   

    pecial case of

discontinuou

any new infor

quences of zer

gnals, and the

 effects of ze

the unpadded

dditional info

             

                 

               f zero paddin

us at the edge

rmation into 

ro padding. 

e right panels 

ro padding. T

d signal, with 

ormation over

ng windowed 

es, the “regula

the signal by 

show the ma

The DFT of the

additional sp

r the original 

signals. Wile 

arization” of t

merely padd

agnitude spec

e zero padde

pectral sample

DFT. It also d

 

 

 windowing r

the signal is o

ing it with ze

ctra. The effe

d signal is 

es inserted in

does not conta

esults in sign

only illusory. W

ros.   

 

cts of 

n 

ain 

als 

We 

Fig. 15: (a

signal 

(a) 

(b) 

(c) 

 

Other exa

Fig. 16: Le

a) zero‐padde

amples of mag

eft panels sho

d signal (b) si

gnitude spect

ow the signals

ignal as perce

tra are shown

s and the righ

 

eived by the t

n in Fig. 16. 

ht panels show

transform (c) 

w the corresp

magnitude sp

ponding magn

pectrum of th

nitude spectr

 

he 

 

 

 

a. 

 

Number o

 

Fig. 17(a) 

The first 6

magnitud

 

Fig. 17: 

(a) 

(b) 

of points in a 

shows 128 sa

65 points of a

e spectrum is

DFT 

amples from 

 128 point DF

s are more de

 

a speech sign

FT, and the fir

etailed in 17(c

nal sampled a

rst 513 points

c). 

at 16000 Hz. F

s of a 1024 po

Fig. 17(b) and

oint DFT resp

 

 

 17(c) show t

pectively. The 

the 

 

 

(c)