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appendice D

Esempio di calcolo di un muro in c.a.

Pagina 157 del testo

Esempio di calcolo

Nel presente paragrafo si vuole illustrare un’applicazione operativa relativaalle verifiche di stabilita di un muro a mensola in cemento armato utilizzandoil metodo semiprobabilistico agli stati limite. Il calcolo viene e↵ettuato conriferimento alle sole verifiche di tipo geotecnico e trascurando le verifiche diresistenza strutturale degli elementi in cemento armato.

I dati necessari sono:

• φ: angolo di attrito interno del terreno;

• γ: peso per unita di volume del terreno;

• i: inclinazione del terrapieno a monte;

• ↵: inclinazione del paramento interno della parete in elevazione del murorispetto al piano orizzontale;

• δ: angolo di attrito muro-terreno in elevazione;

• f : coefficiente di attrito terreno-fondazione, pari a tanφ o a una sua quotaparte;

• c: coesione del terreno in elevazione e in fondazione.

Per semplicita nell’esempio di calcolo si sono assunte le seguenti ipotesi:

• parete interna del muro in elevazione verticale (↵ = 0◦);

• superficie del terreno a monte orizzontale (i = 0◦);

• spinta del terreno in direzione orizzontale (δ = 0◦).

I valori caratteristici dei suddetti parametri geotecnici sono:

• φ = 35◦;

• γ = 1800 daN/m3;

• f = tan(φ) ⇤ 2/3 = 0,4668;

• c = 0 daN/m2.

40 Appendice D

Si ipotizza la presenza di un sovraccarico distribuito sul terreno di monte

60

500

100 18050

Figura D.1Caratteristichegeometrichedell’opera di sostegno.

costituito da un’aliquota permanente (qg = 1500 daN/m2) e da unavariabile (qq = 500 daN/m2). Si suppone inoltre l’assenza di falda.

Le dimensioni ipotizzate per l’opera da verificare sono indicate in Figu-ra D.1.

L’opera e ubicata nel comune di Bologna, caratterizzato da una latitudinepari a 44,5075 e una longitudine pari a 11,3514. In base alle condizioni litolo-giche e morfologiche il sottosuolo di fondazione rientra nella categoria A. Lasuperficie topografica e pianeggiante e appartiene quindi alla categoria T1.

Per l’opera in esame si ipotizza una vita nominale VN pari a 50 anni,corrispondente a una costruzione di tipo ordinario (Tab. D.1) e si considerauna classe d’uso II. Secondo quanto riportato in Tabella D.2, il coefficiented’uso CU e pari a 1; pertanto, il periodo di riferimento VR dato dal prodottodi VN e CU risulta pari a 50 anni.

Con riferimento allo Stato limite di salvaguardia della vita (SLV) il periododi ritorno (TR) corrispondente all’azione sismica di progetto risulta pari a 475anni. In funzione delle coordinate geografiche e del periodo di ritorno si ottieneun valore di accelerazione massima al suolo (ag) pari a 0,142 g, che corrispondea un coefficiente di riduzione βm pari a 0,29 (Tab.7.6).

Tabella D.1Vita nominale (VN ) infunzione dei tipi dicostruzione.

VN (in anni)Tipi di costruzione1 Opere provvisorie – Opere provvisionali – Strutture in fase costruttiva 6 10

2 Opere ordinarie, ponti, opere infrastrutturali e dighe di grandi dimensionio di importanza strategica

> 50

3 Grandi opere, ponti, opere infrastrutturali e dighe di dimensioni contenuteo di importanza normale

> 100

Tabella D.2Coefficiente d’uso(CU ) in funzione dellaclasse d’uso.

Classe d’uso I II III IVCoefficiente CU 0,7 1,0 1,5 2,0

Si devono definire ora i valori dei coefficientiST e SS, che dipendono rispettivamente dal-le caratteristiche della superficie topografica edel suolo.

Per un suolo di categoria A e una superficiedi classe T1 si ha ST = 1,00 (Tab. 7.8) e SS =

1,00 (Tab. 7.7).I coefficienti sismici orizzontale (kh) e verticale (kv) risultano:

kh = 0,29 · 1,00 · 1,00 · 0,142 gg

= 0,041

kv = ±1

2· 0,041 = ±0,0205

Per quanto riguarda l’e↵etto dinamico del sovraccarico si considera, in analogiaal caso statico, un incremento di spinta sul muro di tipo inerziale. Tale spintaviene calcolata mediante la seguente espressione:

Sq,sism = q · (1± kv) ·H ·Ka,sism

Inoltre, il sisma induce forze d’inerzia dovute alle masse mobilitate:

• Forza d’inerzia dovuta al peso della parete del muro:

Iwp = kh ·Wp

Esempio di calcolo di un muro in c.a. 41

• Forza d’inerzia dovuta al peso della fondazione del muro:

Iwf = kh ·Wf

• Forza d’inerzia dovuta al peso del terreno a monte del muro:

Iwt = kh ·Wt

In questo esempio vengono trascurate le inerzie dovute al sovraccarico delterreno a monte dell’opera. Nel caso sismico i valori dei coefficienti parzialisulle azioni vengono posti pari a 1,00, mentre per i parametri geotecnici e leresistenze di progetto si assumono i valori dei coefficienti parziali relativi allatipologia di verifica e all’approccio scelto.

Le combinazioni sismiche vengono in seguito indicate come S+ e S−, cor-rispondenti ai casi di sisma verticale rivolto verso il basso (kv > 0) e sismaverticale rivolto verso l’alto (kv < 0).

Le azioni agenti in condizioni statiche sono:

• peso del muro;• peso del terreno a monte;• sovraccarico sul terreno a monte;• spinta statica del terreno.

I valori caratteristici dei carichi permanenti verticali agenti sull’opera di soste-gno vengono calcolati facendo riferimento a una profondita di un metro linearedi muro.

Peso della parete del muro: Wp = γcls

·Ap = 2500 · (5,0 · 0,5) = 6250 daN

dove:

• γcls

: peso per unita di volume del calcestruzzo [daN/m3];• Ap: area della parete in elevazione del muro [m2].

Peso della fondazione: Wf = γcls

·Af = 2500 · (0,6 · 3,3) = 4950 daN

dove:

• γcls

: peso per unita di volume del calcestruzzo [daN/m3];• Af : area della fondazione del muro [m2].

Peso del terreno sulla mensola di fondazione a monte:

Wt = γt ·At = 1800 · (1,8 · 5,0) = 16 200 daN

dove:

• γt: peso per unita di volume del terreno [daN/m3];• At: area del terreno [m2].

Azione dovuta al sovraccarico permanente:

G = qg · lf,m = 1500 · 1,8 = 2700 daN

dove:

• qg: sovraccarico distribuito permanente [daN/m2];• lf,m: lunghezza della mensola a monte della fondazione, su cui insiste il

sovraccarico [m].

42 Appendice D

Azione dovuta al sovraccarico variabile: Q = qq · lf,m = 500 · 1,8 = 900 daN

dove:

• qq: sovraccarico distribuito variabile [daN/m2];• lf,m: lunghezza della mensola a monte della fondazione, su cui insiste il

sovraccarico [m].

I coefficienti parziali, utilizzati per i parametri di resistenza del terreno eper le azioni, dipendono dalla tipologia di verifica e↵ettuata e dall’approccioprogettuale scelto:

• verifiche allo scorrimento e a schiacciamento: vengono utilizzate le duecombinazioni dell’Approccio 1: A1 +M1 +R1 e A2 +M2 +R2;

• verifica alla stabilita globale: si fa riferimento alla sola combinazione A2 +M2 +R2;

• verifica al ribaltamento: non essendo prevista la mobilitazione della resi-stenza del terreno di fondazione, si considera una diversa combinazionedelle azioni e delle resistenze utilizzando, per le prime, i coefficienti delgruppo EQU e, per le seconde, quelli del gruppo M2.

Nell’esempio presentato si riportano le formule relative alla sola combinazioneA1+M1+R1; la combinazione A2+M2+R2 segue lo stesso procedimento,con la sola variazione dei valori dei coefficienti.

Verifica allo scorrimento

La verifica allo scorrimento risulta soddisfatta seRd

Ed

> 1

Ed = (Nperm,sfav · γG1

+Nvar,sfav · γQ1

)

Rd =1

γR(N

perm,fav +Nvar,fav) ·

f

γφ+ 50%

Sp

γR

dove:

Figura D.2Forze coinvolte nellaverifica alloscorrimento, casostatico.

60

500

100 18050

Q

G

Wp

Wf

Wt

Sa

Sg Sq

• Nperm,fav: azioni permanenti favorevoli;

• Nperm,sfav: azioni permanenti sfavorevo-

li;• N

var,fav: azioni variabili favorevoli;• N

var,sfav: azioni variabili sfavorevoli;• γG1

: coefficiente correttivo azioni per-manenti (diverso secondo che il caricosia favorevole o sfavorevole);

• γQi: coefficiente correttivo azioni varia-bili (diverso secondo che il carico siafavorevole o sfavorevole);

• γR: coefficiente correttivo delle resisten-ze;

• Sp: spinta passiva;• f = tan(φ) ⇤ 2/3 = 0, 4668.


Forze agenti (Fig. D.2):

• peso della parete: Wp;• peso della fondazione: Wf ;• peso del terreno a monte: Wt;• spinta statica del terreno: Sa;• sovraccarico sul terreno a monte: G+Q;• spinta dovuta al sovraccarico permanente: Sg;• spinta dovuta al sovraccarico variabile: Sq.

Combinazione C1: A1+M1+R1

Per il calcolo della risultante dei carichi verticali si adotta un coefficiente par-ziale γG1

pari a 1, in quanto i carichi verticali, fornendo sempre un contributodi tipo stabilizzante, risultano favorevoli qualunque sia la combinazione dicarico adottata. Non viene invece considerato il contributo stabilizzante deicarichi variabili e si assume quindi un coefficiente γQi pari a 0. Viene inol-tre trascurato, a favore della sicurezza, il contributo stabilizzante del peso del

Tabella D.3Coefficienti parziali perle azioni o per l’effettodelle azioni.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC1, azioni favorevoli.

terreno sulla mensola di fondazione di valle (Tab. D.3).

Coefficiente parzialeCarichi Effetto γFγFγF (o γEγEγE) EQU (A1) STR (A2) GEO

PermanentiFavorevole

γG1

0,9 1,0 1,0Sfavorevole 1,1 1,3 1,0

Permanenti non strutturaliFavorevole

γG2

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

VariabiliFavorevole

γQi

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

Peso totale del muro:

Wm = Wp +Wf = 6250 + 4950 = 11 200 daN

Peso del terreno a monte:

Wt = 16 200 daN

Sovraccarico permanente sul terreno a monte:

G = 2700 daN

Sovraccarico variabile sul terreno a monte:

Q = 900 daN

Si avra quindi:

Nperm,fav = Wm +Wt +G = 11 200 + 16 200 + 2700 = 30 100 daN

Nvar,fav = Q = 900 daN

La spinta del terreno agente sul paramento di monte viene calcolata utilizzandoi parametri geotecnici del terreno, corretti con i coefficienti del gruppo M1(Tab. D.4).

44 Appendice D

Tabella D.4Coefficienti parziali peri parametri geotecnicidel terreno.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC1.

Grandezza alla quale Coefficienteapplicare il parziale

Parametro coefficiente parziale γMγMγM (M1) (M2)Tangente dell’angolo di resistenza al taglio tanφ0

k γφ0 1,0 1,25Coesione efficace c0k γc0 1,0 1,25Resistenza non drenata cuk γcu 1,0 1,4Peso dell’unita di volume γ γγ 1,0 1,0

Angolo di resistenza al taglio:

tanφ0d =

tanφ0k

γφ0=

tan 35◦

1,00= 0,70 quindi φ0

d = 35◦

Peso per unita di volume del terreno:

γtd =γtkγγ

=1800

1= 1800 daN/m3

Il coefficiente di spinta attiva vale quindi:

Ka = tan2

✓45◦ − φ0

d

2

◆= tan2

✓45◦ − 35◦

2

◆= 0,27

Una volta corretti i parametri geotecnici e possibile calcolare la spinta delterreno agente sul paramento di monte e le spinte dovute ai sovraccarichi.

Spinta attiva del terreno:

Sa =1

2· γtd ·Ka ·H2 =

1

2· 1800 · 0, 27 · 5, 62 = 7620 daN

Spinta dovuta al sovraccarico permanente:

Sg = qg ·Ka ·H = 1500 · 0,27 · 5,6 = 2268daN

Spinta dovuta al sovraccarico variabile:

Sq = qq ·Ka ·H = 500 · 0,27 · 5,6 = 756 daN

Si avra quindi:

Nperm,sfav = Sa + Sg = 7620 + 2268 = 9888 daN

Nvar,sfav = Sq = 756 daN

Si possono calcolare ora l’azione stabilizzante e quella instabilizzante.

Azione stabilizzante:

Rd =1

γR· (N

perm,fav · γG1

+Nvar,fav · γQi) ·

f

γφ

=1

1,00· (30 100 · 1,00 + 900 · 0,00) · 0,4668 = 14 051 daN

Azione instabilizzante:


+Nvar,sfav · γQi

) = 9888 · 1,3 + 756 · 1,5 = 13 989 daN

EssendoRd

Ed

=14 051

13 989= 1,004 > 1 la verifica allo scorrimento risulta soddi-

sfatta.


Combinazioni Sismiche

Figura D.3Forze coinvolte nellaverifica a scorrimento,caso sismico.

60

500

100 18050

Wf (1 ± Kv)

Sa

Sg Sq

Q (1 ± Kv)

Wp (1 ± Kv)

Wt (1 ± Kv)

G (1 ± Kv)

Wf Kh

Wp Kh Wt Kh

Combinazione S+


Wm = Wp +Wf = 6250 + 4950 = 11 200 daN


Wt = 16 200 daN


G = 2700 daN


Q = 900 daN

Si avra quindi:

Nperm,fav = Vf +Wp +Wt +G+Wf · kv +Wp · kv +Wt · kv +G · kv

= 4950 + 6250 + 16 200 + 2700 + 4950 · 0,0205 + 6250 · 0,0205+ 16 200 · 0,0205 + 2700 · 0,0205 = 30 716 daN

Nvar,fav = Q+Q · kv = 900 + 900 · 0,0205 = 918 daN

Come detto in precedenza per i parametri geotecnici si assumono i valori deicoefficienti parziali relativi alla tipologia di verifica e all’approccio scelto,

46 Appendice D

in questo caso, quindi, si utilizzano i coefficienti del gruppo M1 (combinazioneC1) (Tab. D.4).






tanφ0d =

tanφ0k

γφ0=

tan 35◦

1,00= 0,70 quindi φ0

d = 35◦

Peso per unita di volume e del terreno:

γtd =γtkγγ

=1800

1= 1800 daN/m3

Angolo ✓+:

#+ = arctg

✓kh

1 + kv

◆= arctg

✓0,041

1 + 0,0205

◆= 2, 3◦

Facendo riferimento alla Figura D.1 si ha:

• i = 0;• φ = 35◦;• δ = 0◦;• β = 0◦.

Il valore del coefficiente di spinta attiva nel caso sismico (Ka,sism) diventaquindi:

Ka,sism=cos2(φ− β − #)

cos# · cos2 β · cos(δ + β + #) ·"

1 +

ssen(φ+ δ) · sen(φ− i− #)

cos(δ + β + #) · cos(i− β)

#2

=cos2(35◦−0◦−2, 3◦)

cos 2, 3◦ ·cos2 0◦ ·cos(0◦+0◦+2, 3◦)·"

1+

ssen(35◦+0◦)·sen(35◦−0◦−2, 3◦)

cos(0◦+0◦+2, 3◦)·cos(0◦−0◦)

#2

=0,7081

0,999 · 1 · 0,999 ·1 +

r0,5735 · 0,540

0,999 · 1

�2

= 0,29


Sa =1

2·γtd ·(1 + kv)Ka,sism ·H2 =

1

2·1800 ·(1 + 0,0205) ·0,29 ·5,62 = 8353 daN


Sg = qg · (1 + kv) ·Ka,sism ·H = 1500 · (1 + 0,0205) · 0,29 · 5,6 = 2486 daN


Sq = qq · (1 + kv) ·Ka,sism ·H = 500 · (1 + 0,0205) · 0,29 · 5,6 = 828 daN


Si avra quindi:

Nperm,sfav = Sa + Sg +Wf · kh +Wp · kh +Wt · kh = 8353 + 2486

+ 4950 · 0,041 + 6250 · 0,041 + 16 200 · 0,041 = 11 962 daN




Rd =1

γR· (N

perm,fav · γG1


f

γφ

=1

1,00· (30716 · 1,00 + 918 · 1,00) · 0,4668 = 14 767 daN



+Nvar,sfav · γQi

) = 11 962 · 1,0 + 828 · 1,0 = 12 790 daN

EssendoRd

Ed

=14 767

12 790= 1,15 > 1 la verifica allo scorrimento risulta

soddisfatta.

Combinazione S−


Wm = Wp +Wf = 6250 + 4950 = 11 200 daN


Wt = 16 200 daN


G = 2700 daN


Q = 900 daN

Si avra quindi:

Nperm,fav = Wf +Wp +Wt +G−Wf · kv −Wp · kv −Wt · kv −G · kv

= 4950 + 6250 + 16 200 + 2700− 4950 · 0,0205− 6250 · 0,0205− 16 200 · 0,0205− 2700 · 0,0205 = 29 484 daN

Nvar,fav = Q−Q · kv = 900− 900 · 0,0205 = 882 daN

Come detto in precedenza per i parametri geotecnici si assumono i valori deicoefficienti parziali relativi alla tipologia di verifica e all’approccio scelto, inquesto caso, quindi, si utilizzano i coefficienti del gruppo M1 (combinazioneC1) (Tab. D.4).

48 Appendice D






tanφ0d =

tanφ0k

γφ0=

tan 35◦

1,00= 0,70 quindi φ0

d = 35◦


γtd =γtkγγ

=1800

1= 1800 daN/m3

Angolo ✓−:

#+ = arctg

✓kh

1− kv

◆= arctg

✓0,041

1− 0,0205

◆= 2, 4◦


• i = 0,• φ = 35◦;• δ = 0◦;• β = 0◦.



cos# · cos2 β · cos(δ + β + #) ·"

1 +


cos(δ + β + #) · cos(i− β)

#2

=cos2(35◦ − 0◦ − 2, 4◦)

cos 2, 4◦ ·cos2 0◦ ·cos(0◦+0◦+2, 4◦)·"

1+

ssen(35◦+0◦)·sen(35◦−0◦−2, 4◦)

cos(0◦+0◦+2, 4◦)·cos(0◦−0◦)

#2

=0,7093

0,999 · 1 · 0,999 ·1 +

r0,5735 · 0,538

0,999 · 1

�2

= 0,29


Sa =1

2·γtd ·(1− kv)Ka,sism ·H2 =

1

2·1800 ·(1− 0,0205) ·0,29 ·5,62 = 8017 daN


Sg = qg · (1− kv) ·Ka,sism ·H = 1500 · (1− 0,0205) · 0,29 · 5,6 = 2386 daN



Sq = qq · (1− kv) ·Ka,sism ·H = 500 · (1− 0,0205) · 0,29 · 5,6 = 795 daN

Si avra quindi:

Nperm,sfav = Sa + Sg +Wf · kh +Wp · kh +Wt · kh

= 8017 + 2386 + 1123 = 11526 daN




Rd =1

γR· (N

perm,fav · γG1


f

γφ

=1

1,00· (29484 · 1,00 + 882 · 1, 00) · 0,4668 = 14 175 daN



+Nvar,sfav · γQi

) = 11526 · 1,0 + 795 · 1,0 = 12 321 daN

EssendoRd

Ed

=14 175

12 321= 1,15 > 1 la verifica allo scorrimento risulta

soddisfatta.

Verifica a schiacciamento

La verifica a schiacciamento risulta soddisfatta seRd

Ed

> 1

Ed = Nrd = (Nperm,sfav · γG1

+Nvar,sfav · γQi

)

Rd =qlim

.Ab,f

γR

dove:

Figura D.4Forze coinvolte nellaverifica aschiacciamento, casostatico.

60

500

100 18050

Q

G

Wp

Wf

Wt

Sa

Sg Sq

bwp

bwt

bg = bq

bsg = bsq

bsa

• Nperm,sfav: azioni permanenti

sfavorevoli;• N

var,sfav: azioni variabili sfavo-revoli;

• γG1

: coefficiente correttivo azio-ni permanenti (diverso secon-do che il carico sia favorevole osfavorevole);

• γQi: coefficiente correttivo azio-ni variabili (diverso secondoche il carico sia favorevole osfavorevole);

• qlim

: carico limite unitario;• Ab,f : area di base della fondazione;• γR: coefficiente correttivo delle resistenze.

50 Appendice D

Forze agenti (Fig. D.4):

• peso della parete: Wp;• peso della fondazione: Wf ;• peso del terreno a monte: Wt;• spinta statica del terreno: Sa;• sovraccarico sul terreno a monte: G+Q;• spinta dovuta al sovraccarico permanente: Sg;• spinta dovuta al sovraccarico variabile: Sq.


Come prima cosa e necessario calcolare l’eccentricita della risultante delle for-ze verticali agenti alla base del muro calcolando il rapporto tra il momentorisultante, rispetto al baricentro della fondazione, e la risultante delle forzeverticali agenti sulla struttura.

Le forze verticali e orizzontali, per la verifica di capacita portante, forni-scono un contributo instabilizzante, pertanto sono da considerarsi sfavorevoli.Si adottano quindi γG1

= 1,3 e γQi = 1,5 (Tab. D.3).

Tabella D.3Coefficienti parziali perle azioni o per l’effettodelle azioni.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC1, azioni sfavorevoli.



γG1

0,9 1,0 1,0Sfavorevole 1,1 1,3 1,0


γG2

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

VariabiliFavorevole

γQi

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

Risultante delle forze verticali :

Nrd = γG1· (Wp +Wf +Wt +G) + γQi

·Q= 1,3 · (6250 + 4950 + 16 200 + 2700) + 1,5 · 900 = 40 480 daN

Risultante delle forze orizzontali :

H = γG1· (Sa + Sg) + γQi

· Sq

= 1,3 · (7620 + 2268) + 1,5 · 756 = 13 989 daN

Si calcola il momento (considerato positivo in senso orario) rispetto al centrodella fondazione (fig. D.4):

M=γG1· (−Wp · bwp +Wf · bwf +Wt · bwt +G · bg − Sa · bSa − Sg · bSg)

+ γQi(Q · bq − Sq · bSq)

M=1,3·(−6250·0,4+4950 · 0+16 200 · 0,75+2700·0,75−7620·1,87−2268·2,8)+ 1,5 · (900 · 0,75− 756 · 2,8) = −13 758 daN ·m

L’eccentricita della risultante delle forze verticali e:

e =M

N= −13758

40480= −0,34 m

b

6=

3,3

6= 0,55


Figura D.5Calcolodell’eccentricita.

60

500

100 18050

N

Me

Dal momento che e < b/6 la sezione risulta interamente compressa e non siparzializza.

Il carico limite unitario (capacita portante) del terreno si puo calcolareutilizzando la formula di Hansen:

qlim

=c ·Nc ·sc ·dc ·ic ·bc ·gc+q ·Nq ·sq ·dq ·iq ·bq ·gq+1

2·B ·γt ·Nγ ·sγ ·dγ ·iγ ·bγ ·gγ

dove:

• c = coesione del terreno [daN/m2];• γ = peso specifico del terreno [daN/m3];• B = larghezza della fondazione [m];• q = sovraccarico agente ai lati della fondazione [daN/m2];• Ni = fattori di capacita portante, dipendenti dall’angolo d’attrito φ;• si = fattori di forma;• di = fattori di profondita;• ii = fattori di inclinazione del carico;• bi = fattori di inclinazione del piano della fondazione;• gi = fattori di inclinazione del terreno.

Nel caso in esame c = 0 quindi l’espressione della qlim

diventa:

qlim

= q ·Nq · sq · dq · iq · bq · gq +1

2·B · γt ·Nγ · sγ · dγ · iγ · bγ · gγ

I fattori di capacita portante vengono calcolati mediante le formule seguenti:

Nq = e⇡·tanφ tan2

✓45 +

φ

2

◆

Nγ = (Nq − 1) tan (1,4 · φ)

52 Appendice D

Si ottiene:

Nq = e⇡ tan 35

◦tan2

✓45◦ +

35◦

2

◆⇠= 33,26

Nγ = (33,26− 1) tan (1,4 · 35◦) = 37,11

I fattori di forma si vengono assunti pari a 1 poiche si utilizzano i fattori diinclinazione del carico.

I fattori di profondita valgono:

dq = 1 + 2 · tanφ · (1− senφ)2 · k

con

k =D

Bper

D

B 1

perdγ = 1

Per D si assume un valore medio tra l’altezza del terreno a monte e a valle:D = 2,8 m, si ottiene quindi:

dq = 1 + 2 · tan 35 · (1− sen 35)2 · 2,8

3,3= 1,2161

dγ = 1

I fattori di inclinazione del carico vengono calcolati mediante le seguentiformule:

iq =

✓1− H

V +B · L · c · cotanφ

◆m

,

iγ =

✓1− H


◆m+1

con

m =2 +B/L

1 +B/L=

2 + 3,3/11 + 3,3/1

= 1,23

Nel caso in esame c = 0 quindi, le espressioni dei fattori di inclinazione delcarico diventano:

iq =

✓1− H

V

◆m

=

✓1− 13989

40480

◆1,23

= 0,59

iγ =

✓1− H

V

◆m+1

=

✓1− 13989

40480

◆2,23

= 0,39

I fattori di inclinazione del piano della fondazione vengono calcolati mediantele seguenti formule:

bq = bγ = (1− ↵ tanφ)2

con ↵ inclinazione del piano di fondazione rispetto all’orizzontale.Nel caso in esame il piano di fondazione e orizzontale, quindi:

bq = bγ = 1

I fattori di inclinazione del terreno vengono calcolati mediante la formulaseguente:

gq = gγ = (1− 0,5 · tanβ)2

con β inclinazione del pendio.


Nel caso in esame il terreno e orizzontale, quindi:

gq = gγ = 1

I parametri geotecnici utilizzati per il calcolo della qlim

devono essere corretticon coefficienti dei gruppi M1 (Tab. D.4).





Pertanto:

qlim

= q ·Nq · sq · dq · iq · bq · gq +1


=

✓γtγγ

·D◆·Nq · sq · dq · iq · bq · gq +

1

2·B · γt

γγ·Nγ · sγ · dγ · iγ · bγ · gγ

=

✓1800

1,00· 2,8

◆· 33, 26 · 1 · 1,2161 · 0,59 · 1 · 1

+1

2· 3,3 · 1800

1,00· 37,11 · 1 · 1 · 0,39 · 1 · 1=120 275+42 984=163 259

daN

m2


Rd =qlim

.Af

γR=

qlim

·B · 11,0

=163 259 · 3,3 · 1

1,0= 538 754 daN


Ed = Nrd = 40 480 daN

EssendoRd

Ed

=538 754

40 480= 13,31 > 1 la verifica allo schiacciamento risulta

soddisfatta.


Si veda la Figura D.6 nella pagina seguente.

Combinazione S+


Wm = Wp +Wf = 6250 + 4950 = 11 200 daN


Wt = 16 200 daN


G = 2700 daN

54 Appendice D

Figura D.6Forze coinvolte nellaverifica aschiacciamento, casosismico.

60

500

100 18050

Q (1 ± Kv)

Wf (1 ± Kv)

Wp (1 ± Kv)

Wt (1 ± Kv)

G (1 ± Kv)

Wf Kh

Wp Kh Wt Kh

bg = bq

Sa

Sg Sq

bwp

bwfh

bwt

bsg = bsq

bwph = bwth

bsa


Q = 900 daN


Sa =1

2· γtd · (1 + kv)Ka,sism ·H2 =

1

2· 1800 · (1 + 0,0205) · 0,29 · 5,62

= 8353 daN






Nrd = γG1· [Wp · (1 + kv) +Wf · (1 + kv) +Wt · (1 + kv) +G · (1 + kv)]

+ γQi·Q · (1 + kv)

= 1,0 · [6250 · (1 + 0, 0205) + 4950 · (1 + 0,0205) + 16 200 · (1 + 0,0205)

+2700 · (1 + 0,0205)]+

+ 1,0 · 900 · (1 + 0,0205) = 31 635 daN


H = γG1· (Wp · kh +Wf · kh +Wt · kh + Sa + Sg) + γQi

· Sq

= 1,0 · (256 + 203 + 664 + 8353 + 2486) + 1,0 · 828 = 12 790 daN


Si calcola il momento (considerato positivo in senso orario) rispetto al centrodella fondazione:

M = γG1· [−Wp · (1 + kv) · bwp +Wf · (1 + kv) · bwf +Wt · (1 + kv) · bwt

+G · (1 + kv) · bg −Wp · kh · bwph −Wf · kh · bwfh −Wt · kh · bwth − Sa · bSa

− Sg · bSg] + γQi [Q · (1 + kv) · bq − Sq · bSq]

M = 1,0 · [−6250 · (1 + 0,0205) · 0,4 + 4950 · (1 + 0,0205) · 0+ 16 200 · (1 + 0,0205) · 0,75 + 2700 · (1 + 0,0205) · 0,75− 6250 · 0,041 · 3,1− 4950 · 0,041 · 0,3− 16 200 · 0,041 · 3,1− 8353 · 1,87− 2486 · 2,8]+ 1,0 · [900 · (1 + 0,0205) · 0,75− 828 · 2,8] = −15210 daN ·m


e =M

N= −15210

31634= −0,48 m,

b

6=

3,3

6= 0,55


Si calcola la capacita portante del terreno mediante la formula di Hansenche, in caso di terreno non coesivo, assume la seguente espressione:

qlim

= q ·Nq · sq · dq · iq · bq · gq +1


I fattori di capacita portante, di profondita, di inclinazione del piano di fon-dazione e del terreno dipendono dall’angolo d’attrito e dalle caratteristichegeometriche del sistema e quindi non variano. Con l’introduzione del sismacambiano invece i carichi verticali e orizzontali e di conseguenza cambia ilfattore correttivo di inclinazione del carico.

iq =

✓1− H


◆m

iγ =

✓1− H


◆m+1

con

m =2 +B/L

1 +B/L=

2 + 3,3/11 + 3,3/1

= 1,23

Nel caso in esame c = 0 quindi le espressioni dei fattori di inclinazione delcarico diventano:

iq =

✓1− H

V

◆m

=

✓1− 12790

31634

◆1,23

= 0,53

iγ =

✓1− H

V

◆m+1

=

✓1− 12790

31634

◆2,23

= 0,32


devono essere corretticon coefficienti dei gruppi M1 (Tab. D.4).

56 Appendice D





Quindi

qlim

=q ·Nq · sq · dq · iq · bq · gq +1


=

✓γtγγ

·D◆·Nq · sq · dq · iq · bq · gq +

1

2·B · γt


=

✓1800

1,00·2,8

◆·33,26·1·1,2161 · 0,53·1·1+1

2· 3,3 · 1800

1,00· 37,11·1·1·0,32·1 ·1

=108 043 + 35 269 = 143 312daN

m2


Rd =qlim

.Af

γR=

qlim

·B · 11,0

=143 312 · 3,3 · 1

1,0= 472 930 daN


Ed = Nrd = 31635 daN

EssendoRd

Ed

=472 930


soddisfatta.

Combinazione Sismica S−


Wm = Wp +Wf = 6250 + 4950 = 11 200 daN


Wt = 16 200 daN


G = 2700 daN


Q = 900 daN


Sa=1

2· γtd · (1− kv)Ka,sism ·H2=

1

2· 1800 · (1−0,0205) · 0,29 · 5,62=8017 daN







Nrd = γG1· [Wp · (1− kv) +Wf · (1− kv) +Wt · (1− kv) +G · (1− kv)]

+ γQi·Q · (1− kv)

= 1,0 · [6250 · (1− 0,0205) + 4950 · (1− 0,0205) + 16 200 · (1− 0,0205)

+2700 · (1− 0,0205)] + 1,0 + 900 · (1− 0,0205) = 30364 daN


H = γG1· (Wp · kh +Wf · kh +Wt · kh + Sa + Sg) + γQi

· Sq

= 1,0 · (256 + 203 + 664 + 8017 + 2386) + 1,0 · 795 = 12321 daN

Si calcola il momento (considerato positivo in senso orario) rispetto al centrodella fondazione:

M = γG1· [−Wp · (1− kv) · bwp +Wf · (1− kv) · bwf +Wt · (1− kv) · bwt

+G · (1−kv)·bg−Wp ·kh ·bwph−Wf · kh · bwfh−Wt · kh · bwth−G · kh · bgh− Sa · bSa − Sg · bSg] + γQi [Q · (1− kv) · bq −Q · kh · bqh − Sq · bSq]

M = 1,0 · [−6250 · (1− 0,0205) · 0,4 + 4950 · (1− 0,0205) · 0+16 200 · (1−0,0205) · 0,75+2700 · (1−0,0205) · 0,75−6250 · 0,041 · 3,1− 4950 · 0,041 · 0,3− 16 200 · 0,041 · 3,1− 8017 · 1,87− 2386 · 2,8]+ 1,0 · [900 · (1− 0,0205) · 0,75− 795 · 2,8] = −14 716 daN ·m


e =M

N= −14 716

30 364= −0,48 m

b

6=

3,3

6= 0,55

Si calcola la capacita portante del terreno mediante la formula di Hansen chein caso di terreno non coesivo assume la seguente espressione:

qlim

= q ·Nq · sq · dq · iq · bq · gq +1


Analogamente a quanto visto per la combinazione sismica S+ gli unici fattoriche variano sono quelli riguardanti l’inclinazione del carico:

iq =

✓1− H


◆m

iγ =

✓1− H


◆m+1

58 Appendice D

con

m =2 + B

L

1 + BL

=2 + 3,3

1

1 + 3,31

= 1,23

Nel caso in esame, c = 0, le espressioni dei fattori di inclinazione del caricodiventano:

iq =

✓1− H

V

◆m

=

✓1− 12 321

30 364

◆1,23

= 0,52

iγ =

✓1− H

V

◆m+1

=

✓1− 12 321

30 364

◆2,23

= 0,31



devono esserecorretti con coefficienti dei gruppi M1 (Tab. D.4).





Quindi

qlim

= q ·Nq · sq · dq · iq · bq · gq +1


=

✓γtγγ

·D◆·Nq · sq · dq · iq · bq · gq +

1

2·B · γt


=

✓1800

1,00· 2,8

◆· 33,26 · 1 · 1,2161 · 0,52 · 1 · 1

+1

2· 3,3 · 1800

1,00· 37,11 · 1 · 1 · 0,31 · 1 · 1

= 106 005 + 34 167 = 140 172daN

m2


Rd =qlim

.Af

γR=

qlim

·B · 11, 0

=140 172 · 3,3 · 1

1,0= 462 567 daN


Ed = Nrd = 30 364 daN

EssendoRd

Ed

=462 567


soddisfatta.


Verifica al ribaltamento

La verifica al ribaltamento risulta soddisfatta seRd

Ed

> 1

Ed =X

i

�N

perm,sfavi· γG1

· bperm,sfavi

+Nvar,sfavi

· γQi · bvar,sfavi

�

Rd =X

j

⇣N

perm,favj· γG1

· bperm,favj

+Nvar,favj

· γQi · bvar,favj

⌘

dove:

• Nperm,fav: azioni permanenti favorevoli;

• bperm,fav: braccio azioni permanenti favorevoli;

• Nperm,sfav: azioni permanenti sfavorevoli;

• bperm,sfav: braccio azioni permanenti sfavorevoli;

• Nvar,fav: azioni variabili favorevoli;

• bvar,fav: braccio azioni variabili favorevoli;

• Nvar,sfav: azioni variabili sfavorevoli;

• bvar,sfav: braccio azioni variabili sfavorevoli;

• γG1

: coefficiente correttivo azioni permanenti (diverso secondo che l’azionesia favorevole o sfavorevole);

• γQi: coefficiente correttivo azioni variabili (diverso secondo che l’azione siafavorevole o sfavorevole).

Figura D.7Forze coinvolte nellaverifica aribaltamento, casostatico.

60

500

100 18050

Q

A

G

Wp Wt

Wf

bg = bq

Sa

Sg Sq

bwt

bwp

bwfbsg = bsq

bsa

Forze agenti:

• peso della parete: Wp;• peso della fondazione: Wf ;• peso del terreno a monte: Wt;• spinta statica del terreno: Sa;

60 Appendice D

• sovraccarico sul terreno a monte: G+Q;• spinta dovuta al sovraccarico permanente: Sg;• spinta dovuta al sovraccarico variabile: Sq.

Combinazione EQU+M2

Il meccanismo limite di ribaltamento viene considerato come uno stato diequilibrio limite di corpo rigido e non prevede la mobilitazione della resistenzadel terreno di fondazione, per le azioni vengono, quindi, utilizzati i coefficientiparziali del gruppo EQU.

In particolare, il momento stabilizzante, viene calcolato adottando i coef-ficienti parziali γG1

= 0,9 per le azioni verticali permanenti e γQi = 0,0 perquelle variabili, che forniscono un contributo stabilizzante.


Wm = Wp +Wf = Wp +Wf = 6250 + 4950 = 11 200 daN


Wt = 16 200 daN


G = qg · lf,m = 1500 · 1,8 = 2700 daN


Q = qq · lf,m = 500 · 1,8 = 900 daN

Si avra quindi:

Nperm,fav = Wm +Wt +G = 11 200 + 16 200 + 2700 = 30 100 daN

Nvar,fav = Q = 900 daN

Momento stabilizzante dovuto al peso del muro:

Mm = Wp · bwp +Wf · bwf = 6250 · 1,25 + 4950 · 1,65 = 15 980 daN ·m

Momento stabilizzante dovuto al peso del terreno:

Mt = Wt · bwt = 16 200 · 2,4 = 38 880 daN ·m

Momento stabilizzante dovuto al sovraccarico permanente:

Mg = G · bg = 2700 · 2,4 = 6480 daN ·m

Momento stabilizzante dovuto al sovraccarico variabile:

Mq = Q · bq = 900 · 2,4 = 2160 daN ·m

I carichi verticali permanenti e variabili risultano favorevoli e forniscono sem-pre un contributo stabilizzante, si adottano quindi γG = 0,9 e γQi = 0,0(colonna EQU) (Tab. D.3).





γG1

0,9 1,0 1,0Sfavorevole 1,1 1,3 1,0


γG2

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

VariabiliFavorevole

γQi

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3


Rd =X

k

�N

perm,favk· b

perm,favk· γG1

+Nvar,favk

· bvar,favk

· γQi

�

= Mm · γG1

+Mt · γG1

+Mg · γG1

+Mq · γQi

= 15 980 · 0,9 + 38 880 · 0,9 + 6480 · 0,9 + 2160 · 0,0= 14 382 + 34 992 + 5832 + 0 = 55 206 daN ·m

La spinta del terreno agente sul paramento di monte viene calcolata utilizzandoi parametri geotecnici del terreno, corretti con i coefficienti del gruppo M2(Tab. D.4).

Tabella D.4Coefficienti parziali peri parametri geotecnicidel terreno.Coefficienti utilizzatiper il gruppo M2.





tanφ0d =

tanφ0k

γφ0=

tan 35◦

1,25= 0,56 quindi φ0

d = 29◦


γtd =γtkγγ

=1800

1= 1800 daN/m3

Il coefficiente di spinta attiva vale quindi:

Ka = tan2

✓45◦ − φ0

d

2

◆= tan2

✓45◦ − 29◦

2

◆= 0,35

Una volta corretti i parametri geotecnici e possibile calcolare la spinta delterreno agente sul paramento di monte e le spinte dovute ai sovraccarichi.


Sa =1

2· γtd ·Ka ·H2 =

1

2· 1800 · 0,35 · 5,62 = 9878 daN


Sg = qg ·Ka ·H = 1500 · 0,35 · 5,6 = 2940 daN

62 Appendice D


Sq = qq ·Ka ·H = 500 · 0,35 · 5,6 = 980 daN

Si avra quindi:

Nperm,sfav = Sa + Sg = 9878 + 2940 = 12 818 daN


Momento instabilizzante dovuto alla spinta del terreno:

MSa = Sa · bSa = 9878 · 1,87 = 18 471 daN ·m

Momento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico perma-

nente:MSg = Sg · bSg = 2940 · 2,8 = 8232 daN ·m

Momento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico varia-

bile:MSq = Sq · bSq = 980 · 2,8 = 2744 daN ·m

Tabella D.3Coefficienti parziali perle azioni o per l’effettodelle azioni.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneEQU, azioni sfavorevoli.



γG1

0,9 1,0 1,0Sfavorevole 1,1 1,3 1,0


γG2

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

VariabiliFavorevole

γQi

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3


Ed =X

i

�N

perm,sfavi· b

perm,sfavi· γG1

+Nvar,sfavi

· bvar,sfavi

· γQi

�

= MSa · γG1

+MSg · γG1

+MSq · γQi

= 9878 · 1,87 · 1,1 + 2940 · 2,8 · 1,1 + 980 · 2,8 · 1,5= 20 319 + 9055 + 4116 = 33 490 daN ·m

EssendoRd

Ed

=55 206

33 490= 1,65 > 1 la verifica al ribaltamento risulta soddi-

sfatta.


Si veda la Figura D.8 nella pagina seguente.

Combinazione S+


Wm = Wp +Wf = 6250 + 4950 = 11 200 daN


Wt = 16 200 daN


G = 2700 daN


Figura D.8Forze coinvolte nellaverifica aribaltamento, casosismico.

60

500

100 18050

Wf (1 ± Kv)

Sa

Sg Sq

Q (1 ± Kv)

Wp (1 ± Kv)

Wt (1 ± Kv)

G (1 ± Kv)

Wf Kh

Wp Kh Wt Kh

Sovraccarico;

Q = 900 daN

Si avra quindi:

Nperm,fav = Wf +Wp +Wt +G+Wf · kv +Wp · kv +Wt · kv +G · kv

= 4950 + 6250 + 16 200 + 2700 + 4950 · 0,0205 + 6250 · 0,0205+ 16 200 · 0,0205 + 2700 · 0,0205 = 30 717 daN

Nvar,fav = Q

+

Q · kv = 900 + 900 · 0, 0205 = 918 daN


Mm = Wp · (1 + kv) · bwp +Wf (1 + kv) · bwf

= 6250 · (1+0,0205) · 1,25+4950 · (1+0,0205) · 1,65=16 307 daN ·m


Mt = Wt · (1 + kv) · bwt = 16 200 · (1 + 0,0205) · 2,4 = 39 677 daN ·m


Mg = G · (1 + kv) · bg = 2700 · (1 + 0,0205) · 2,4 = 6613 daN ·m


Mq = Q · (1 + kv) · bq = 900 · (1 + 0,0205) · 2,4 = 2204 daN ·m

64 Appendice D


Rd =X

k

�N

perm,favk· b

perm,favk· γG1

+Nvar,favk

· bvar,favk

· γQi

�

= Mm · γG1

+Mt · γG1

+Mg · γG1

+Mq · γQi

= 16 307 · 1,0 + 39 677 · 1,0 + 6613 · 1,0 + 2204 · 1,0 = 64 801 daN ·m

La spinta del terreno agente sul paramento di monte viene calcolata utilizzandoi parametri geotecnici del terreno corretti con i coefficienti del gruppo M2(Tab. D.4).






tanφ0d =

tanφ0k

γφ0=

tan 35◦

1,25= 0,56 quindi φ0

d = 29◦


γtd =γtkγγ

=1800

1= 1800 daN/m3

Angolo ✓+:

#+ = arctg

✓kh

1 + kv

◆= arctg

✓0,041

1 + 0,0205

◆= 2, 3◦


• i = 0;• φ = 29◦;• δ = 0◦;• β = 0◦.


Ka,sism =cos2(φ− β − #)

cos# · cos2 β · cos(δ + β + #) ·"

1 +


cos(δ + β + #) · cos(i− β)

#2

=cos2(29◦ − 0◦ − 2, 3◦)

cos 2, 3◦ ·cos2 0◦ ·cos(0◦+0◦+2, 3◦)·"

1+

ssen(29◦+0◦)·sen(29◦−0◦− 2, 3◦)

cos(0◦+0◦+2, 3◦)·cos(0◦−0◦)

#2

=0,7981

0,999 · 1 · 0,999 ·1 +

r0,4848 · 0,4493

0,999 · 1

�2

= 0,37



Sa=1

2·γtd · (1 + kv)Ka,sism ·H2=

1

2·1800 · (1 + 0, 0205) ·0, 37 ·5, 62=10657daN





Forza orizzontale dovuta all’inerzia della parete del muro:

Iwp = Wp · kh = 6250 · 0,041 = 256 daN

Forza orizzontale dovuta all’inerzia della fondazione del muro:

Iwf = Wf · kh = 4950 · 0,041 = 203 daN

Forza orizzontale dovuta all’inerzia del terreno a monte:

Iwt = Wp · kh = 16 200 · 0,041 = 664 daN

Si avra quindi:

Nperm,sfav = Sa + Sg + Iwp + Iwf + Iwt = 10 657 + 3172 + 256 + 203

+ 664 = 14 952 daN



MSa = Sa · bSa = 10657 · 1,87 = 19 982 daN ·m

Momento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico perma-nente:

MSg = Sg · bSg = 3172 · 2,8 = 8882 daN ·mMomento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico varia-

bile:MSq = Sq · bSq = 1057 · 2,8 = 2960 daN ·m

Momento instabilizzante dovuto alla forza d’inerzia della parete del muro:

MIwp = Iwp · bwph = 256 · 3,1 = 794 daN ·m

Momento instabilizzante dovuto alla forza d’inerzia della fondazione del

muro:MIwf = Iwf · bwfh = 203 · 0,3 = 61 daN ·m

Momento instabilizzante dovuto alla forza d’inerzia del terreno:

MIwt = Iwt · bwth = 664 · 3,1 = 2058 daN ·m

66 Appendice D


Ed=X

i

�N

perm,sfavi· b

perm,sfavi· γG1

+Nvar,sfavi

· bvar,sfavi

· γQi

�

=MSa · γG1

+MSg · γG1

+MIwt · γG1

+MIwp · γG1

+MIwf · γG1

+MSq · γQi

=19 982 · 1,0 + 8882 · 1,0 + 2058 · 1,0 + 794 · 1,0 + 61 · 1,0 + 2960 · 1,0=34 737 daN ·m

EssendoRd

Ed

=64 801


sfatta.

Combinazione S−


Wm = Wp +Wf = 6250 + 4950 = 11 200 daN


Wt = 16 200 daN


G = 2700 daN

Sovraccarico:Q = 900 daN

Si avra quindi:

Nperm,fav = Wf +Wp +Wt +G−Wf · kv −Wp · kv −Wt · kv −G · kv

= 4950 + 6250 + 16 200 + 2700− 4950 · 0,0205− 6250 · 0,0205− 16 200 · 0,0205− 2700 · 0,0205 = 29 483 daN

Nvar,fav = Q−Q · kv = 900− 900 · 0,0205 = 882 daN


Mm = Wp · (1− kv) · bwp +Wf · (1− kv) · bwf

= 6250 · (1−0,0205) · 1,25+4950 · (1−0,0205) · 1,65=15 652 daN ·m


Mt = Wt · (1− kv) · bwt = 16 200 · (1− 0,0205) · 2,4 = 38 083 daN ·m


Mg = G · (1− kv) · bg = 2700 · (1− 0,0205) · 2,4 = 6348 daN ·m


Mq = Q · (1− kv) · bq = 900 · (1− 0,0205) · 2,4 = 2117 daN ·m



Rd =X

k

�N

perm,favk· b

perm,favk· γG1

+Nvar,favk

· bvar,favk

· γQi

�

= Mm · γG1

+Mt · γG1

+Mg · γG1

+Mq · γQi

= 15 652 · 1,0 + 38 083 · 1,0 + 6348 · 1,0 + 2117 · 1,0 = 62 200 daN

La spinta del terreno agente sul paramento di monte viene calcolata utilizzandoi parametri geotecnici del terreno corretti con i coefficienti del gruppo M2(Tab. D.4).






tanφ0d =

tanφ0k

γφ0=

tan 35◦

1,25= 0,56 quindi φ0

d = 29◦


γtd =γtkγγ

=1800

1= 1800 daN/m3

Angolo ✓−:

#− = arctg

✓kh

1− kv

◆= arctg

✓0,041

1− 0,0205

◆= 2, 4◦


• i = 0;• φ = 29◦;• δ = 0◦;• β = 0◦.



cos# · cos2 β · cos(δ + β + #) ·"

1 +


cos(δ + β + #) · cos(i− β)

#2

=cos2(29◦ − 0◦ − 2, 4◦)

cos 2, 4◦ ·cos2 0◦ ·cos(0◦+0◦+2, 4◦)·"

1+

ssen(29◦+0◦) ·sen(29◦−0◦−2, 4◦)

cos(0◦+0◦+2, 4◦)·cos(0◦−0◦)

#2

=0,7994

0,999 · 1 · 0,999 ·1 +

r0,4848 · 0,4477

0,999 · 1

�2

= 0,37

68 Appendice D


Sa=1

2·γtd · (1− kv)Ka,sism ·H2=

1

2·1800 · (1− 0,0205) ·0,37 ·5,62=10 229 daN





Forza orizzontale dovuta all’inerzia della parete del muro:

Iwp = Wp · kh = 6250 · 0,041 = 256 daN

Forza orizzontale dovuta all’inerzia della fondazione del muro:

Iwf = Wf · kh = 4950 · 0,041 = 203 daN

Forza orizzontale dovuta all’inerzia del terreno a monte:

Iwt = Wp · kh = 16 200 · 0,041 = 664 daN

Si avra quindi:

Nperm,sfav = Sa + Sg + Iwp + Iwf + Iwt

= 10 229 + 3044 + 256 + 203 + 664 = 14 396 daN



MSa = Sa · bSa = 10 229 · 1,87 = 19 128 daN ·m

Momento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico perma-

nente:MSg = Sg · bSg = 3044 · 2,8 = 8523 daN ·m

Momento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico variabile:

MSq = Sq · bSq = 1015 · 2,8 = 2842 daN ·m

Momento instabilizzante dovuto alla forza d’inerzia della parete del muro:

MIwp = Iwp · bwph = 256 · 3,1 = 794 daN ·m

Momento instabilizzante dovuto alla forza d’inerzia della fondazione del muro:

MIwf = Iwf · bwfh = 203 · 0,3 = 61 daN ·m

Momento instabilizzante dovuto alla forza d’inerzia del terreno:

MIwt = Iwt · bwth = 664 · 3,1 = 2058 daN ·m



Ed=X

i

�N

perm,sfavi· b

perm,sfavi· γG1

+Nvar,sfavi

· bvar,sfavi

· γQi

�

=MSa · γG1

+MSg · γG1

+MIwt · γG1

+MIwp · γG1

+MIwf · γG1

+MSq · γQi

=19 128 · 1,0 + 8523 · 1,0 + 2058 · 1,0 + 794 · 1,0 + 61 · 1,0 + 2842 · 1,0

= 33406 daN

EssendoRd

Ed

=62 200


sfatta.

Verifica di stabilita globale

La verifica di stabilita globale risulta soddisfatta seRd

Ed

> 1

Ed =X

n

Nperm,sfavn

· γG2

Rd =1

γR·X

j

clγc

· li +⇣N

perm,favj· γG2

− u · li · γG2

⌘· tanφ

0k

γφ

�

dove:

• Nperm,fav: azioni permanenti favorevoli (Wi · cos↵i);

• Nperm,sfav: azioni permanenti sfavorevoli (Wi · sen↵i);

• γG2

: coefficiente correttivo azioni permanenti non strutturali (diverso se-condo che l’azione sia favorevole o sfavorevole). In questo caso essendo icarichi compiutamente definiti si puo assumere γG2=

γG1

;• γc: coefficiente correttivo della coesione;• γφ: coefficiente correttivo dell’angolo d’attrito;• γR: coefficiente correttivo delle resistenze.


Per la verifica di stabilita globale viene utilizzata la combinazione C2: A2 +M2+R2, con γR specifico per le verifiche di sicurezza delle opere in materialisciolti e fronti di scavo pari a 1,1 (Fig. D.9).

Tabella D.5Forze peso dei conci.

∆x ↵ Wi,terreno

Wicls Witot

Concio [m] [◦] [daN] [daN] [daN]1 1,44 -23 810 0 8102 1,5 -14 2178 0 21783 1,8 -5 900 8500 94004 1,5 4 16 434 2700 19 1345 1,5 14 14 598 0 14 5986 1,5 24 13 212 0 13 2127 1,5 33 10 980 0 10 9808 1,5 45 7596 0 75969 1,5 58 2772 0 2772

Si considera una superficie di scorri-mento di primo tentativo di raggiopari a 9,8 m. L’insieme terreno-muroviene discretizzato in 9 conci di lar-ghezza variabile tra 1,44 e 1,8 m. Perognuno dei conci individuati si cal-cola la forza peso: tale vettore vienescomposto nelle sue componenti pa-rallela e ortogonale alla superficie discorrimento. Le componenti ortogo-nali alla superficie di scorrimento so-no considerate stabilizzanti in quanto contrastano l’instaurarsi del cinemati-smo. Le componenti parallele alla superficie di scorrimento, invece, risultanoinstabilizzanti o stabilizzanti secondo che siano dirette o meno verso valle.

70 Appendice D

Figura D.9Divisione del sistemain conci.

1

O

3

2

4 5 6 7 8 9

58°

45°

33°

24°

14°-14°

4°-5°

-23°

Dx


Nel caso in esame per i conci 1, 2 e 3 entrambe le componenti della forza pesoesplicano un’azione stabilizzante, considerando inoltre l’assenza di falda e lapresenza di terreno non coesivo, Rd diventa:

Rd=1

γR·"

9X

j=1

(Wi · γG2

· cos↵j) ·tanφ0

k

γφ+

3X

l=1

Wl · γG2

· sen↵l

#





Dal momento che i carichi risultano compiutamente definiti, il coefficiente γG2

puo essere assunto pari a γG1

.




γG1

0,9 1,0 1,0Sfavorevole 1,1 1,3 1,0


γG2

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

VariabiliFavorevole

γQi

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

Tabella D.6Coefficienti parziali perle verifiche di sicurezzadi opere di materialisciolti e di fronti discavo.

Coefficiente R

2

γR 1,1

Si assume il γR specifico per le verifiche di sicurezza delle opere in materialisciolti e fronti di scavo.

Rd=1

1,1·"

9X

j=1

(Wi · 1,00 · cos↵j) ·tanφ0

k

1,25+

3X

l=1

Wl · 1,00 · sen↵l

#

=1

1,1· [41224 + 1663] = 38988 daN



Ed =9X

n=4

Wi · γG2

· sen↵n

Anche per le azioni instabilizzanti si assume γG2

= γG1

= 1,00




γG1

0,9 1,0 1,0Sfavorevole 1,1 1,3 1,0


γG2

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

VariabiliFavorevole

γQi

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

Ed =9X

n=4

Wn · 1,00 · sen↵n = 23 942 daN

EssendoRd

Ed

=38 988

23 942= 1,63 > 1 la verifica di stabilita globale risulta

soddisfatta.

Combinazione sismica: S+

Per ognuno dei conci individuati oltre alla forza peso bisogna considerare lecomponenti dell’azione sismica orizzontale (W · kh) e verticale (W · kv), datedal prodotto del peso del concio per i relativi coefficienti sismici. Tali forzedevono essere scomposte in direzione parallela e ortogonale alla superficie discorrimento. Come nel caso statico le componenti ortogonali alla superficie discorrimento sono considerate stabilizzanti in quanto contrastano l’instaurarsidel cinematismo; le componenti parallele alla superficie di scorrimento, inve-ce, risultano instabilizzanti o stabilizzanti secondo che siano dirette o menoverso valle.

In Tabella D.7 sono riportate le componenti delle forze per ogni concio: ingrigio chiaro sono evidenziate quelle utilizzate per il calcolo dell’azione stabi-lizzante mentre in grigio scuro quelle che forniscono un contributo instabiliz-zante.

Tabella D.7Componenti delleforze favorevoli esfavorevoli alla stabilitaglobale, combinazioneS+.

72 Appendice D





Figura D.10Forze coinvolte nellaverifica di stabilitaglobale per lacombinazione sismicaS+.

1

O

3

2

4 5 6 7 8 9

58°

45°

33°

24°

14°-14°4°-5°

-23°

W W

a

a

- a a

a

a

Wkh sena Wkh senaWkh cosa

Wkh cosa

Wcosa

Wcosa

Wkv cosaWkv cosa

Wkv sena Wkv sena

Wkv Wkv

Wkh

Wkh

Wsena Wsena


Rd =1

γR·(

9X

i=4

[Wi · (1 + kv) cos↵i · γG2

−Wi · kh sen↵i · γG2

] · tanφ0

γφ+

+3X

j=1

(Wj · (1 + kv) cos↵j · γG2

+Wj· · kh sen↵j · γG2

) · tanφ0

γφ+

+Wj · (1 + kv) sen↵j · γG2

�)


Dal momento che i carichi risultano compiutamente definiti il coefficiente γG2


.




γG1

0,9 1,0 1,0Sfavorevole 1,1 1,3 1,0


γG2

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

VariabiliFavorevole

γQi

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3


Coefficiente R

2

γR 1,1

Si assume il γR specifico per le verifiche di sicurezza delle opere in materialisciolti e fronti di scavo.

Rd =1

1,1·(

9X

i=4

[Wi · (1 + kv) cos↵i · 1,00−Wi · kh sen↵i · 1,00] ·tanφ0

1,25

+3X

j=1

(Wj · (1 + kv) cos↵j · 1,00 +Wj· · kh sen↵j · 1,00) ·

tanφ0

1,25+

+Wj · (1 + kv) sen↵j · 1,00�)

=1

1,1· [(61370,25 · 1,00 + 1258,09 · 1,00− 981,63 · 1,00) · 0,560166 +

+ (12473, 72 · 1, 00 + 68,17 · 1, 00) · 0,560166 + 1696, 75 · 1,00�

= 39322 daN


Ed =9X

i=4

[Wi · (1 + kv) sen↵i · γG2

+Wi · kh cos↵i · γG2

]

+3X

j=1

Wj · kh cos↵j · γG2


= γG1

=1,00.




γG1

0,9 1,0 1,0Sfavorevole 1,1 1,3 1,0


γG2

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

VariabiliFavorevole

γQi

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

Ed =9X

i=4

[Wi · (1 + kv) sen↵i · 1,00 +Wi · kh cos↵i · 1,00]

+3X

j=1

Wj · kh cos↵j · 1,00 = (23 942,21 + 490,82) · 1,00

+ 2516,18 · 1,00 + 501,15 · 1,00 = 27 450 daN

74 Appendice D

EssendoRd

Ed

=39 322

27 450= 1,43 > 1 la verifica di stabilita globale risulta

soddisfatta.

Combinazione sismica: S−

Analogamente a quanto visto per il caso S+ per ogni concio devono essereconsiderate non solo le componenti della forza peso, ma anche quelle dell’azio-ne sismica orizzontale e verticale. Le componenti ortogonali alla superficie discorrimento sono considerate stabilizzanti in quanto contrastano l’instaurarsidel cinematismo; le componenti parallele alla superficie di scorrimento, invece,risultano instabilizzanti o stabilizzanti secondo che siano dirette o meno versovalle.

Figura D.11Forze coinvolte nellaverifica di stabilitaglobale per lacombinazione sismicaS−.

1

O

3

2

4 5 6 7 8 9

58°

45°

33°

24°

14°14°4°5°

23°

WW

- a

a

a

a

a

aWkh sena Wkh sena

Wkh cosa

Wkh cosa

WcosaWcosa

Wkv cosaWkv cosa

Wkv sena Wkv sena

WkvWkv

Wkh

Wkh

Wsena Wsena

––

–

In Tabella D.8 sono riportate le componenti delle forze per ogni concio: ingrigio chiaro sono evidenziate quelle utilizzate per il calcolo dell’azione sta-bilizzante mentre in grigio scuro quelle che contribuiscono all’instabilita delsistema.


Tabella D.8Componenti delleforze favorevoli esfavorevoli alla stabilitaglobale, combinazioneS−.


Rd =1

γR·(

9X

i=4

(Wi · (1− kv) cos↵i · γG2

−Wi · kh sen↵i · γG2

) · tanφ0

γφ+

+Wi · kv sen↵i · γG2

�+

+3X

j=1

(Wj · (1− kv) cos↵j · γG2

+Wj· · kh sen↵j · γG2

) · tanφ0

γφ+

+Wj sen↵j · γG2

�





Dal momento che i carichi risultano compiutamente definiti il coefficiente γG2


. Si assume il γR specifico per le verifiche disicurezza delle opere in materiali sciolti e fronti di scavo.




γG1

0,9 1,0 1,0Sfavorevole 1,1 1,3 1,0


γG2

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

VariabiliFavorevole

γQi

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

76 Appendice D


Coefficiente R

2

γR 1,1

Rd =1

1,1·(

9X

i=4

(Wi · (1− kv) cos↵i · 1,00−Wi · kh sen↵i · 1,00) ·

tanφ0

1,25+

+Wi · kv sen↵i · 1,00�+

+3X

j=1

(Wj · (1− kv) cos↵j · 1,00 +Wj· · kh sen↵j · 1,00) ·

tanφ0

1,25+

+Wj sen↵j · 1,00�)

=1

1,1· [(61370,25 · 1,00− 1258,09 · 1,00− 981,63 · 1,00) · 0,560166+

+ 490,82 · 1,00 + (12223,14 · 1,00− 250,57 · 1,00 + 68,17 · 1,00)·· 0,560166 + 1662,66 · 1,00]

= 38201 daN


Ed=!9X

i=4

[Wi sen↵i ·γG2

+Wi ·kh cos↵i ·γG2

]+

+3X

j=1

[Wj ·kh cos↵j ·γG2

+Wj · kv sen↵j ·γG2

]


= γG1

= 1,00




γG1

0,9 1,0 1,0Sfavorevole 1,1 1,3 1,0


γG2

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

VariabiliFavorevole

γQi

0,0 0,0 0,0Sfavorevole 1,5 1,5 1,3

Ed =9X

i=4

[Wi sen↵i · 1, 00 +Wi · kh cos↵i · 1, 00]+

+3X

j=1

[Wj · kh cos↵j · 1,00 +Wj · kv sen↵j · 1,00]

= 23 942,21 · 1,00 + 2516,18 · 1,00 + 501,15 · 1,00 + 34,08 · 1,00= 26 993 daN

EssendoRd

Ed

=38 201

26 993= 1, 42 > 1 la verifica di stabilita globale risulta

soddisfatta.

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