Universidade de So Paulo Escola Politcnica Departamento de Engenharia de Transportes Laboratrio de Topografia e Geodsia

Geodsia Fsica e Gravimetria

Prof. Dr. Denizar Blitzkow

So Paulo - 2008

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SUMRIO

1. Introduo 2. Fundamentos de Geodsia Fsica 2.1 Campo de Gravidade 2.2 Terra normal e Campo Anmalo 2.3 Funes Harmnicas Esfricas 3. O Problema de Valor de Contorno Molodenskii e Stokes 3.1 O PVCG e a Teoria do Potencial 3.2 Dificuldade na Realizao prtica do PCVG 3.3 Concepo Clssica do PVCG 4. Gravimetria 4.1 Introduo 4.2 O Gravmetro e suas Instabilidades 4.3 Redes Gravimtricas de Referncia 4.4 Processamento das Observaes 4.5 Calibrao 4.6 Clculo das anomalias 5. Mtodos de Determinao do Geide 5.1 As componentes espectrais da altura geoidal 5.2 A integral modificada de Stokes 5.3 A tcnica de Fourier 5.3.1 Introduo 5.3.2 Transformada de Fourier 5.3.3 A integral de Stokes e o domnio de frequncia 5.4 A regularizao da Terra 5.4.1 Mtodo da condensao de Helmert 6. As altitudes Cientficas

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1. INTRODUO A era espacial iniciada com o lanamento do primeiro satlite artificial em 4 de outubro de 1957 trouxe uma contribuio decisiva no aprimoramento do clculo dos coeficientes do desenvolvimento em srie do geopotencial. Com efeito, a observao do movimento dos satlites artificiais, em rbitas convenientemente escolhidas, permite separar a perturbao devida ao campo gravitacional das demais perturbaes. Desta forma, os coeficientes de baixo grau do desenvolvimento em srie do geopotencial podem ser melhor determinados do que a partir de dados terrestres, uma vez que os longos comprimentos de onda ficam melhor definidos atravs dos satlites. O dia 14 de fevereiro de 1989 marcou o que pode ser chamado de Era GPS, com o lanamento do primeiro satlite do Bloco II do que foi conhecido como NAVSTAR/GPS (Navigation Satellite with Timing and Ranging/Global Positioning System), hoje popularizado com a ltima sigla. No final da dcada de 60 a comunidade geodsica internacional assistiu com muito otimismo ao lanamento dos satlites do sistema TRANSIT. Na poca se assegurava que o mesmo oferecia uma soluo satisfatria para vrios problemas geodsicos, em particular, para aqueles relacionados com o posicionamento. No foi necessrio muito tempo para mostrar que o otimismo tinha sido exagerado. O GPS no vem sendo menos promissor. Determinaes absolutas podem ser obtidas com preciso de decmetros utilizando o cdigo P. O mtodo diferencial, explorando a correlao entre diferentes estaes, diferentes satlites e diferentes instantes, atinge precises da ordem do centmetro, ou melhor, atravs de medidas de fase da portadora. A perspectiva de uso do GPS na obteno da altitude ortomtrica ou normal vem apresentando bons resultados, principalmente nas necessidades da rea da engenharia e da geofsica. Esta aplicao, entretanto, exige o conhecimento das alturas geoidais ou quasegeoidais. A determinao do geide (quase-geide) a partir do potencial perturbador est estritamente relacionada ao problema de valor de contorno da geodsia fsica. O mesmo pode ser solucionado em termos de uma srie de funes harmnicas esfricas (modelos do geopotencial), na forma integral (integral de Stokes) ou atravs de alguma forma de predio (colocao por mnimos quadrados, multipolos sequenciais, redes neurais, etc.). Como as integrais envolvidas no problema so integrais de convoluo, o tratamento no espao de freqncias, atravs do uso da transformada de Fourier, tem sido proposto mais recentemente e

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recebido grande aceitao. Em qualquer das alternativas a separao das componentes de longo e de curto comprimento de onda do campo oferece profunda vantagem, quando no uma exigncia. O conceito de Terra normal (elipside de referncia) fundamental no problema. Observaes sobre a superfcie terrestre, sobretudo em termos de anomalias da gravidade, tm sido comuns desde o incio do ltimo sculo. Isto foi o resultado do desenvolvimento das observaes pendulares, do dispositivo tri-pendular de Vening-Meinesz e, sobretudo, dos gravmetros de mola. A era espacial trouxe novas e encorajadoras perspectivas: observaes a bordo de aeronaves ou de veculos espaciais. Isto resultou numa nova dificuldade: reduzir as observaes realizadas no espao para a superfcie terrestre. a conhecida continuao para baixo. Isto resulta num problema de instabilidade da soluo e na considerao do conceito de problema mal-posto. A concepo de Stokes para o problema de valor de contorno foi apresentada em 1849. O interesse na poca foi puramente terico uma vez que a ausncia quase total de dados gravimtricos sobre a superfcie terrestre era vista como um problema de soluo utpica. O desenvolvimento dos gravmetros no incio do sculo vislumbrou um certo otimismo. Mas restava ainda a dificuldade de se reduzir as observaes conduzidas sobre a superfcie fsica ao geide. A concepo de Molodenskii para o PVCG contornou de modo engenhoso a necessidade das redues gravimtricas. A dificuldade que a soluo resulta numa superfcie que no uma superfcie de equilbrio do campo de gravidade. Por outro lado, a modificao da integral de Stokes uma condio obrigatria na utilizao adequada das anomalias de gravidade para o clculo da componente de curto comprimento de onda da altura geoidal. Antes da era espacial inexistiam modelos do geopotencial. Desde as observaes aos primeiros satlites artificiais, Sputnik I, Explorer 1 e Vanguard 1, at a disponibilidade de anomalias mdias da gravidade com uma cobertura global razovel, apareceram valores para os zonais C20 e C40 , modelos parciais at grau e ordem 22, 30, 70, 180 e modelos mais recentes completos at o grau e ordem 360 (EGM96). Esta evoluo demandou vrias dcadas. No momento vislumbra-se uma nova revoluo nos modelos do geopotencial com as famosas misses modernas: CHAMP (CHAllenging Minisatellite Payload), GRACE (Gravity Recovery And Climate Experiment) e GOCE (Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer). Cada um destes satlites dispe de equipamentos especficos para atingir metas especiais,

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porm, todos so satlites de rbita baixa e dispe de equipamento para o posicionamento preciso (GPS) ao longo da rbita; portanto, se prestam ao modelamento do campo gravitacional.

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2. FUNDAMENTOS DE GEODSIA FSICA

2.1 - O CAMPO DE GRAVIDADE Num adequado sistema de coordenadas cartesianas X,Y,Z, o potencial gravitacional da Terra num ponto P(x,y,z) expresso por: [MORITZ, 1980]V ( P) = V ( x , y , z ) = K

( Q)l

dVQ

(2.1)

dvQ um elemento de volume centrado em Q com densidade de massa (Q) e l a distncia entre P e Q; K a constante universal da gravitao: K = 6,672 x 10 -11 m 3 s -2 kg -1 A integral deve ser extendida a toda a Terra o que inclui a parte slida e lquida. A atmosfera em geral no includa na integral e seu efeito considerado separadamente atravs de uma correo apropriada. Por outro lado, variaes temporais em geral so negligenciadas e a menos de algumas correes como a mar e o movimento do polo, a Terra considerada rgida. Em determinados casos, outras variaes temporais tornam-se necessrias e so consideradas atravs de correes especficas. O potencial devido fora centrfuga calculado por:

Vc =

1 2 2 ( x + y2 ) 2

(2.2)

sendo a velocidade angular. A partir da define-se o potencial de gravidade como a soma do potencial de atrao e do potencial centrfugo: 1 W ( x , y, z ) = V ( x , y, z ) + 2 ( x 2 + y 2 ) (2.3) 2 O potencial V est vinculado ao campo gravitacional e o potencial W ao campo de gravidade. Assim, o vetor gravitacional f o gradiente de V:f = grad V = [ Vx Vy Vz ]T

(2.4)

e o vetor gravidade g o gradiente de W:g = grad W = [ Wx Wy Wz ]T

(2.5)

importante mencionar o tensor gradiente gravitacional Vij:

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7

V V xy V xz xx V ij = V yx V yy V yz V zx V zy V zz

(2.6)

cujos elementos so derivadas parciais de 2 ordem de V. O tensor gradiente de gravidade definido de modo semelhante: W W xy W xz xx W ij = W yx W yy W yz W zx W zy W zz

(2.7)

O trao das matrizes (2.6) e (2.7) representam o Laplaciano de V e de W respectivamente: 2 V = Vxx + Vyy + Vzz e 2 W = Wxx + Wyy + Wzz Fora das massas atrativas, V satisfaz a equao de Laplace: 2V=0 e no interior das massas a equao de Poisson: 2 V = - 4K (2.11) Estas duas ltimas equaes so extremamente importantes em geodsia. A primeira utilizada na soluo do PVCG no exterior das massas atrativas. A segunda oferece a possibilidade de resolver o PVCG no interior das massas desde que se conhea um modelo de distribuio de densidades. Esta possibilidade ainda utpica. No caso do potencial de gravidade as relaes que se assemelham s anteriores so: 2W=22 no exterior das massas, e 2 W = - 4K + 2 2 no interior. Pelo fato de V satisfazer a equao (2.10) denominado FUNO HARMNICA. Isto permite represent-lo em srie de funes harmnicas esfricas ( 2.3). A norma do vetor gravidade g = || g || (2.14) (2.13) (2.12) (2.10) (2.9) (2.8)

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de extrema importncia pois trata-se da quantidade que mais facilmente pode ser observada, direta ou indiretamente. denominada simplesmente gravidade. A direo de g definida pelo versor n cujas componentes so:

cos cos A A n = cos A sen A sen A

(2.15)

onde A , A so coordenadas astronmicas. Pela (2.14) o sentido de n para o exterior, de tal modo que:g=-gn

(2.16)

A direo de g coincide com a direo da vertical no ponto numa aproximao esfrica, com uma distribuio homognea de massa e no rotante e tangente vertical do ponto no caso da terra real onde as superfcies de nvel no so paralelas e a vertical uma curva reversa. Ao campo de gravidade esto associadas superfcies ao longo das quais o potencial de gravidade constante, denominadas superfcies equipotenciais. W (x,y,z) = c (constante) Diferenciando o potencial de gravidade W tem-se: dW = Em notao vetorial: dW = gradW . dx = g.dx Se dx for tomado ao longo da superfcie equipotencial W = c, ento o potencial permanece constante e dW = 0, de tal modo que:g . dx = 0

W W W dx + dy + dz z x y

(2.17)

(2.18)

(2.19)

Quando o produto escalar de dois vetores nulo, os mesmos so perpendiculares entre si. Portanto, o vetor gravidade perpendicular superfcie equipotencial. As linhas que cruzam perpendicularmente as superfcies equipotenciais no so retas, mas levemente curvas. So chamadas linhas de fora ou linhas de prumo. O vetor gravidade num ponto tangente linha de fora naquele ponto. de fundamental importncia para a geodsia aquela superfcie equipotencial que coincide com o nvel mdio no perturbado dos mares, a superfcie geoidal, limitante de um corpo chamado geide.

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2.2 - TERRA NORMAL E CAMPO ANMALO

Um elipside de revoluo, gerado pela rotao de uma elpse em torno do eixo menor, tendo a mesma velocidade angular e a mesma massa da terra real, cujo potencial Uo sobre a superfcie, seja igual ao potencial Wo sobre a superfcie geoidal, com seu centro no centro de massa da terra, chamado terra normal. Vinculado a ela est o potencial de gravidade normal U e o vetor gravidade normal :

= grad U = [Ux Uy Uz]Tsendo 1 U = U g + 2 ( x 2 + y2) 2 e Ug o potencial de atrao relativo terra normal. Portanto, 2 U = 2 2 no exterior da superfcie limite.

(2.20)

(2.21)

(2.22)

O potencial U constitui uma boa aproximao do potencial de gravidade W. A diferena num ponto P T (P) = W (P) - U (P) relativamente pequena e se denomina potencial anmalo ou perturbador. A comparao dos vetores g e no mesmo ponto P define uma grandeza diretamente vinculada ao potencial perturbador chamada vetor distrbio da gravidade. g (P) = g(P) - (P) cuja relao com o potencial perturbador : T T T g = grad T = x y z

(2.23)

(2.24) T (2.25)

importante observar a semelhana das relaes entre os vetores g, g e e os potenciais perturbador, de gravidade da terra real e de gravidade da terra normal, respectivamente. O resultado da comparao entre o vetor g em P e em Q (Fig. 2.2) define uma grandeza de fundamental importncia para a geodsia que o vetor anomalia de gravidade: [GEMAEL, 1978] g(P) = g(P) - (Q) = [ g ] T (2.26)

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Fig. 2.2 - Vetores g e . A terceira componente simplesmente chamada anomalia de gravidade e dada por: g = g(P) - (Q) Considerando a relao natural da continuao para cima: (2.27)

( P ) = (Q) +

N h

(2.28)

e tomando a ltima componente do vetor em (2.28) tem-se:

T N = g = g( P ) ( P ) = g( P ) (Q) h h

(2.29)

onde h refere-se direo da normal orientada para o exterior e N a altura geoidal.1 Substituindo a (2.27) em (2.29):

T N = g h hT

(2.30)

Lembrando a frmula de Bruns: N=

(2.31)

g =

T 1 + T h h

(2.32)

Esta ltima equao diferencial conhecida como "equao fundamental da geodsia fsica". Ela traduz o fato da anomalia de gravidade ser expressa como uma combinao linear entre o potencial perturbador e sua derivada normal. Considerando T como um parmetro a ser determinado em funo de observaes da anomalia de gravidade, trata-se de uma condio de contorno sobre a superfcie qual a anomalia da gravidade seja referida. Representa igualmente

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um problema inverso que em certas condies atuais da geodsia adquire caractersticas de "mal posto". A resoluo da equao resulta na determinao de T e atravs da frmula de Bruns (2.31) calcula-se a altura geoidal N. A alternativa de considerar a esfera como uma aproximao da forma da terra em lugar de um elipside de referncia oferece vantagens e resulta em diferenas da ordem do achatamento. Em muitos problemas uma aproximao aceitvel. Quando no, uma posterior correo soluo esfrica pode ser acrescentada. Na esfera valem as relaes: [HEIKANEN & MORITZ, 1967, P.87]

=

KM

, r2

KM = = 2 3 , h r r

1 2 = h r

Considerando um valor mdio R para o raio da Terra e um valor mdio G para a acelerao da gravidade tem-se: 1 2 = h R e

2G = h R T 2 T = g r R

o que resulta para a (2.32):

(2.33)

Esta constitui a aproximao esfrica da equao fundamental da Geodsia Fsica (2.30). Se a anomalia da gravidade fosse conhecida de maneira contnua em todo o espao a equao (2.33) poderia ser resolvida diretamente e fornecer T. Entretanto, a anomalia da gravidade s conhecida sobre a superfcie fsica, eventualmente reduzida superfcie geoidal, e ainda assim em pontos discretos. Deste modo, a (2.33) usada somente como uma condio de contorno e como tal constitui o terceiro problema de valor de contorno da teoria do potencial ou problema de Hilbert ( 3) desde que a superfcie de contorno seja escolhida. Uma possibilidade optar pela superfcie geoidal como limite e neste caso cair na teoria de Stokes. Se a opo for a superfcie fsica, a soluo encontrada na teoria moderna de Molodenskii.

2.3 - FUNES HARMNICAS ESFRICAS

A equao (2.10) pode ser representada em termos de coordenadas esfricas (r,,) assumindo a seguinte forma:1Tem

sido usual em geodsia usar o mesmo smbolo para a altura geoidal e para o raio da seco primeiro vertical, a

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r2

V 2 V V 1 2V 2V + 2r + + cot + =0 r 2 sen 2 2 r2

(2.34)

Esta equao pode ser resolvida pelo mtodo de separao de variveis chegando-se, como soluo, a uma srie de funes harmnicas esfricas. Para tanto, necessrio proceder a uma srie de substituies de modo a obter funes que dependam de uma s varivel. Seguindo [Heiskanen&Moritz, 1967], primeiramente toma-se o seguinte produto de funes como representao de V:

V (r , , ) = f (r )Y ( , )

(2.35)

onde f depende somente da varivel r e Y das variveis ,. Fazendo esta substituio em 2.34 e dividindo por fY chega-se seguinte equao:

f 1 2 2 f 1 2 Y 1 2 Y Y + 2r ) = ( 2 + cot (r ) + f r Y sen 2 2 r 2

(2.36)

Considerando que o primeiro membro da igualdade depende somente da varivel r e o segundo membro das variveis ,, ambos os membros devem ser iguais a uma mesma constante. Por convenincia faz-se a constante igual a n(n+1) e obtm-se:2 f f + 2r n(n + 1) f (r ) = 0 r 2 r r 2

(2.37)

para o primeiro membro. O segundo membro ser:2 Y 1 2 Y Y + cot + + n(n + 1)Y = 0 2 sen 2 2

(2.38)

As solues da (2.37) so dadas por: f(r) = rn e f(r) = r-(n+1) (2.39) As solues da (2.38), ainda desconhecidas, podem ser representadas por Yn e desta forma pode-se representar as solues da (2.36) por: V = r n Y n ( , ) eV = Y n ( , ) n +1 r

(2.40)

Estas so denominadas funes harmnicas esfricas de slido. Se for eliminada a funo radial, as funes resultantes so denominadas harmnicas esfricas de superfcie. Por outro lado, a constante n deve ser um nmero exclusivamente inteiro. Se a equao for linear e se forem conhecidas vrias solues da mesma, sabe-se que uma combinao linear delas tambm ser soluo. Assim:V = r n Y n ( , )n =0

(a)

e

V =

n =0

Y n ( , ) n +1 r

(b)

(2.41)

despeito da dicotomia. 12

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sero tambm solues da equao de Laplace. As funes harmnicas esfricas de superfcie Yn so obtidas atravs da soluo da equao (2.38); isto feito de forma semelhante anterior, atravs da seguinte substituo: Yn (,) = g() h() multiplicando por sen2 /gh chega-se seguinte expresso:2 1 2 h( ) sen g ( ) g ( ) ( sen + n(n + 1) seng ( ) = + cos g h 2 2

(2.42)

Sendo evidente que g e h dependem somente de uma varivel. Substituindo a (2.42) na (2.38) e

(2.43)

Novamente o primeiro membro depende somente de uma varivel, (), e o segundo membro de outra, (). Assim, os dois membros precisam ser iguais a uma mesma constante cuja escolha, por convenincia, m2. Com isso a equao diferencial parcial (2.43) pode ser decomposta em duas equaes diferenciais ordinrias: sen 2 2 g ( ) g ( ) m + cos + [n(n + 1) sen g ( ) = 0 2 sen

(2.44) (2.45)

2 h( ) + m 2 h( ) = 0 2

Ao procurar as solues para a equao (2.45) chega-se s seguintes conhecidas funes: h() = cos m e h() = sen m (2.46) A equao (2.44) mais complexa. Primeiramente o estudo da mesma mostra que as solues somente tm significado fsico quando n e m so nmeros inteiros, com m igual ou menor a n. Com esta condio, a soluo geral ser obtida atravs das conhecidas funes associadas de Legendre Pnm (cos ). Assim: g() = Pnm (cos ) e as funes: (2.47) es Y nm = P nm (cos )senm

Y c = P nm (cos ) cos m nm

(2.48)

so solues da equao (2.38) e conhecidas como funes harmnicas esfricas de superfcie. Qualquer combinao linear destas funes ser tambm soluo. Assim: Yn (, , ) = a nm P nm (cos ) cos m + bnm P nm (cos ) sen m )m =0 n

(2.49)

Os coeficientes anm e bnm so constantes arbitrrias a serem determinadas. Introduzindo a (2.49) na (2.41- a e b) obtm-se as expresses seguintes: Vi (r , , ) = r n{ [a nm P nm (cos ) cos m + bnm P nm (cos ) sen m ]}n =0 m =0 n

(2.50a)

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Ve (r , , ) = r ( n +1){ [a nm P nm (cos ) cos m + bnm P nm (cos ) sen m ]}n =0 m =0

n

(2.50b)

as duas expresses representando respectivamente o potencial interno e externo s massas e constituindo solues da equao de Laplace. No caso mais geral interessa o potencial externo s massas, obtido atravs da observao de satlites artificiais combinando ou no com dados terrestres. Restringindo as consideraes para a expresso (2.50b), ela possui somente o termo radial (r-(n+1)) com unidade. Tratando-se de uma expresso do potencial, os coeficientes devem ter unidades tais que a igualdade se torne compatvel. Introduzindo um fator de escala a com a mesma unidade de r obtm-se a seguinte expresso: [HEISKANEN & MORITZ, 1967, P. 21] a n s V ( r , , ) = ( )n +1 ( Anm Y c + Bnm Y nm ) nm r n=0 m=0

(2.51)

Y c = P nm (cos ) cos m nms Y nm = P nm (cos )senm

(2.52a) (2.52b)

onde Pnm(cos ) representam as funes principais da equao associada de Legendre e n,m os autovalores. Para m=0 tm-se os polinmios de Legendre, funes principais da equao des Legendre. Y c , Y nm podem ser vistas como funes principais da equao de Laplace sobre a nm

superfcie de uma esfera; so chamadas funes harmnicas esfricas (de superfcie) [VANCEK & KRAKIWSKY, 1986]. A interpretao geomtrica da (2.52) muito elucidativa. Para m = 0 tm-se funcionais de grau n em (cos) que tero n zeros, sendo todos valores reais situados no intervalo 0 . Assim as funes para m = 0 mudam seus sinais n vezes neste intervalo, sendo sua representao conforme figura (2.3-1a) e como elas dividem a esfera em zonas, so chamadas funes harmnicas zonais. As funes associadas de Legendre trocam de sinal n m vezes no intervalo 0 . As funes cos m e sen m tm 2m zeros no intervalo 0 2, de tal modo que a interpretao geomtrica das funes harmnicas para m 0 o caso b da mesma figura. Elas dividem a esfera em compartimentos cujo sinal alternativamente positivo e negativo, da a denominao de funes harmnicas tesserais (figura 2.3-1b). Particularmente, para n = m as funes dividem a esfera em sectores com sinal positivo e negativo, da a razo a denominao de funes harmnicas sectoriais (figura 2.3-1c).

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Figura 2.3 Interpretao geomtrica das funes harmnicas esfricas. Fonte:GRGS. Os coeficientes da (2.51) devem possuir unidades de potencial para que a igualdade seja compatvel. O mais conveniente nos clculos utilizar coeficientes adimensionais e plenamente normalizados quando a (2.51) toma a forma: V ( r , , ) = a n KM s {1 ( ) n [ J nm Y c + K nm Y nm]} nm r r m=0 n=1 (2.53)

As relaes que vinculam os coeficientes Anm, Bnm, com unidades de potencial, os coeficientes Jnm, Knm, sem unidades, e os coeficientes J nm , K nm , plenamente normalizados so: [VANCEK & KRAKIWSKY, 1986]Anm = Bnm = KM J a nm KM K nm a

J no = (2 n + 1) J noJ nm = 2( 2 n + 1)( n m )! J nm( n m )!

1

(m=0)

(m0)K nm =

(n m)! K 2(2n + 1)(n m)! nm

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De maneira semelhante, embora mais simples devido simetria existente, o potencial gravitacional da Terra normal pode ser representado atravs do seguinte desenvolvimento em srie: a 2n KM N [1 ( ) J 2n P2n (cos ) U g (r , ) = r n =1 r

]

(2.54)

onde a forma 2n do ndice inferior (ou superior) enfatiza tratar-se de um nmero par e o ndice superior N refere-se terra normal. Os coeficientes zonais da terra normal podem ser calculados a partir de parmetros definidos para o modelo. Assumindo que as foras centrfugas relacionadas aos potenciais U e W sejam exatamente idnticas, o potencial perturbador (2.23) satisfaz a equao de Laplace e em conseqncia pode ser representado atravs de um desenvolvimento em srie: T (r , , ) = com KM n ' c s { [ J nm Y nm + K 'nm Y nm]} r n =2 m= 0 (2.55)

J nm = J nm J nm K nm = K nm K nm' N

'

N

(2.56a) (2.56b)

A expresso (2.51) uma consequncia da (2.23) admitindo algumas hipteses simplificativas [BLITZKOW, 1986]. As expresses (2.56) representam de forma genrica a relao entre os coeficientes vinculados ao potencial perturbador e aos potenciais gravitacionais V e U. Porm, na prtica a (2.56b) desnecessria, pois o potencial gravitacional da terra normal no contm termos que dependem de sen m. Por outro lado, a (2.56a) s ir envolver os termos em que m = 0 e n par. A anomalia da gravidade, como componente do campo anmalo, est relacionada ao potencial perturbador atravs de: [HEISKANEN and MORITZ, 1967]g =1 ( n 1) T n (, ) R n=0

(2.57)

e a altura geoidal pela (2.31). Uma forma de representao da altura geoidal em srie de funes harmnicas esfricas : [BLITZKOW, 1986]N (, ) = R ( J' nm Y nm + K' nm Y nm )n=2 m=0

n

c

s

(2.58)

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resultado da (2.31) e (2.55) assumindo que = KM / R2. Os termos de graus zero e um foram considerados nulos. A representao da anomalia da gravidade em srie de funes harmnicas esfricas :s g( r , , ) = (C nm Y c + Dnm Y nm ) nm n=0 m=0

n

(2.59)

sendo os coeficientes Cnm, Dnm grandezas vinculadas anomalia da gravidade e obtidos atravs de: 2n + 1 g Pn(cos )d (m=0) (2.60a) Cno = 4 Cnm 2n + 1 (n m)! cos m = d g Pnm (cos ) 2 (n + m)! senm Dnm

(2.60b)

Considerando a (2.59) os coeficientes Cnm, Dnm se relacionam com os coeficientes do potencial perturbador atravs de: R2 ' = 1 (2.61a) J nm C n 1 KM nmK 'nm =

1 R2 D n 1 KM nm

(2.61b)

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3. PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO MOLODENSKII E STOKES 3.1 - O PVCG E A TEORIA DO POTENCIAL

A teoria do potencial apresenta trs problemas de valor de contorno que assim se enunciam: a) Problema de Dirichlet ou primeiro problema de valor de contorno: conhecendo-se os valores de uma funo arbitrria V sobre uma superfcie S, determinar essa funo V de tal forma que seja harmnica interna ou externamente a S e que sobre a superfcie S assuma os valores da funo escolhida. b) Problema de Newmann ou segundo problema de valor de contorno: conhecendo-se os valores da derivada normal de uma funo V sobre uma superfcie S, determinar a funo V que seja harmnica interna ou externamente a S. c) Problema de Hilbert ou terceiro problema de valor de contorno: conhecendo-se os valores da combinao linear da funo V com a sua derivada normal sobre a superfcie S, determinar a funo V nas condies anteriores. Este ltimo problema tem especial importncia para a geodsia, pois a determinao do potencial perturbador de certa forma se relaciona a ele. Com efeito, a anomalia da gravidade, que observada, em geral sobre a superfcie fsica, uma combinao linear do potencial perturbador com a sua derivada normal (2.30). O problema na geodsia que a superfcie desconhecida e ela exatamente uma das questes que precisam ser resolvidas. Dependendo da superfcie escolhida, necessrio realizar as observaes da anomalia da gravidade sobre ela. No problema de Molodenskii a superfcie escolhida a superfcie fsica. Neste caso define-se a anomalia de altura atravs de: T

=

(3.1)

sendo a gravidade normal. O potencial perturbador obtido a partir da soluo da (2.30). A anomalia da gravidade neste caso definida por: g = gP - Q a seguir, o clculo de Q , sobre o teluride, pode ser feito atravs de:N Q = o [1 2(1 + f + m 2 f sen 2 ) H + 3 ( H ) ] a a N 2

(3.2)

A partir de alguma verso da frmula internacional da gravidade obtm-se o sbre o elipside e,

(3.3)

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sendo f e a respectivamente o achatamento e o semi-eixo maior do elipside e m que eq o valor da gravidade normal sobre o equador.

2 a em eq

Fig. 3.1 - Quantidades envolvidas no PVCG. A altura normal HN obtida a partir do nmero geopotencial C: HN = C

o

[1 + (1 + f + m 2 f

sen2 )

C a o

+(

C 2 ) ] a o

(3.4)

Atravs da fig. 3.1 tira-se que: h =H N + h=H+NN = + HN H

donde se conclui que a diferena entre a altura geoidal (N) e a anomalia de altura () igual diferena entre a altura normal (HN) e a altitude ortomtrica (H). Por outro lado, se a anomalia de altura for plotada a partir do elipside, o resultado ser uma superfcie denominada por Molodenskii de "quase-geide" (fig.4.3-1).

19

20

A mesma formulao pode ser aplicada ao geide desde que um adequado processo de regularizao ( 5.4) cuide da remoo das massas externas ao mesmo. Nestas condies, ao invs do teluride adota-se como superfcie aproximada a do elipside. Por outro lado, 1= 2 = = 0 e /n = /h. Assim, a equao integral para o potencial perturbador reduz-se a:T

1 1 1 g 1 1 [ ( ) ]TdE = dE 2 E h l h l 2 E l

(3.5)

Finalmente, se o elipside de referncia for substitudo por uma esfera a soluo do problema dada pela integral de Stokes, como se ver mais adiante ( 3.3).

3.2 - Dificuldade na realizao prtica do PVCG

O PVCG exige uma distribuio contnua de dados sobre a superfcie limite. Na prtica dispe-se de dados discretos com uma certa distribuio espacial nem sempre cobrindo a superfcie de modo homogneo. Desta maneira a determinao do potencial anmalo um problema indeterminado, pois o nmero de incgnitas, coeficientes de zero a infinito considerando a soluo atravs de uma srie (2.55), maior do que o nmero de observaes. Assim, s possvel admitir uma soluo num espao de dimenso finita, representada por um nmero finito de coeficientes. Porm neste caso realizam-se observaes superabundantes quando o problema passa a ser impossvel exigindo para a sua soluo um processo de regularizao, por exemplo, atravs do princpio dos mnimos quadrados. [SACERDOTE & SANSO, 1985]. Alm disso, quando um nmero finito de coeficientes determinado o fenmeno de "alisamento" afetar os coeficientes de ordem mais elevada. A tentativa de melhorar a distribuio de dados para a resoluo do PVCG levou o geodesista a utilizar observaes tomadas a bordo de satlites artificiais ou aeronaves. Como os dados devem estar sobre a superfcie de contorno, e.g., a superfcie fsica, necessrio aplicar a continuao analtica para baixo ([HEISKANEN & MORITZ, 1967, eq. 8.87]. A conseqncia que os erros inerentes s observaes podem resultar ampliados, o que causa uma instabilidade na soluo, deixando de satisfazer uma das condies de Hadamard para um problema bem- posto. A razo principal da instabilidade que um funcional relativamente irregular e detalhado determinado a partir de funcionais mais suaves obtidos a bordo [RUMMEL et al., 1979]. Para

20

21

sanar o problema necessrio estabelecer injunes adicionais que estabilizem a soluo no processo de minimizao [SACERDOTE & SANSO, 1990]. A "melhor soluo aproximada" para o problema indeterminado mais satisfatria, no caso do PVCG, se o campo de gravidade for suave. Esta condio pode ser facilmente conseguida se o efeito da topografia for subtrado, o que se consegue se um adequado modelo digital do terreno estiver disponvel. A continuao para cima [HEISKANEN & MORITZ, 1967, eq. 6-65] um processo de alisamento, oposto ao processo da continuao para baixo. Este ltimo, j mencionado, existe quando se tenciona obter valores para os coeficientes do desenvolvimento em srie do potencial gravitacional a partir do rastreio de satlites artificiais. Outro exemplo o uso da gravimetria ou gradiometria em aeronaves. Estes problemas so mal-postos. A diferenciao numrica tambm oferece uma dificuldade pois envolve igualmente um processo de anti-alisamento. Isto ocorre quando os dados de altimetria por radar so transformados em anomalias da gravidade. De alguma forma a integral de Stokes deve ser invertida.

3. 3 - CONCEPO CLSSICA DO PVCG

A concepo moderna do PVCG, devida a Molodenskii e tratada no pargrafo 3.1, desfruta da principal vantagem de que o conhecimento da distribuio de densidades no interior das massas totalmente imprescindvel. Porm, a proposta inicial para a soluo do problema se deve a G.G. Stokes que props a superfcie geoidal como contorno, o que significa resolver um problema de contorno interno s massas. A dificuldade que torna-se indispensvel o conhecimento de um modelo, pelo menos aproximado, de distribuio de densidades no interior da crosta na camada entre a superfcie fsica e o geide. O PVCG clssico pode ser resolvido em termos do potencial perturbador atravs da integral de Stokes, que numa aproximao esfrica assim se expressa: [HEISKANEN & MORITZ, l967].T= R gS( )d 4

(3.6)

que depende da anomalia da gravidade, desta feita, definida sobre a superfcie geoidal (Fig.5.1) g = g(Po) - (Qo) e da funo de Stokes dada por:21

(3.7)

22

S( ) = ou

sen 2

1

6 sen

2

+ 1 5 cos( ) 3 cos ln( sen

2

+ sen2

2

) (3.8)

S( ) =

2n + 1

n=2 n 1

P n (cos )

(3.9)

A (3.6) uma integral de convoluo sendo S() uma funo homognea e isotrpica. A altura geoidal pode ento ser obtida atravs da frmula de Bruns: N= T

(3.10)

A (3.6) supe a inexistncia de um termo de ordem zero. Para a sua considerao referir-se a [BLITZKOW & S, 1983]. O potencial perturbador deve satisfazer a equao de Laplace (2.10), portanto, deve ser uma funo harmnica. Para tanto necessrio remover as massas externas ao geide atravs de um adequado processo de regularizao.

22

23

4. GRAVIMETRIA

4.1 - INTRODUO

Gravimetria a denominao dada tcnica que objetiva a medio da acelerao da gravidade de forma absoluta ou relativa. No primeiro caso, pode ser utilizado o movimento pendular ou a queda livre de um corpo. No segundo caso, usam-se os gravmetros de mola ou relativos. O princpio do movimento pendular foi utilizado para efetuar a primeira determinao absoluta da acelerao da gravidade no observatrio de Potsdam, Alemanha. A equao do movimento a seguinte:T = 2 l g

(4.1)

sendo T - o perodo, l - o comprimento e g - a acelerao da gravidade. Medindo-se o comprimento e conduzindo-se uma srie de observaes do perodo do movimento durante um certo intervalo de tempo obtm-se a acelerao da gravidade atravs de um mtodo de ajustamento das observaes. Nos ltimos 20 anos desenvolveu-se uma avanada tecnologia objetivando a determinao absoluta atravs da queda livre de um corpo. Isto permitiu o estabelecimento de pontos absolutos distribudos por todo o mundo constituindo-se numa referncia para os trabalhos de densificao. A equao da queda livre :s= 1 2 gt 2

(4.2)

sendo s - a altura de queda, t - o tempo de percurso e g - a acelerao da gravidade. As determinaes relativas so realizadas atravs dos gravmetros de mola. Eles foram desenvolvidos na primeira metade do sculo passado e trouxeram grandes avanos nos levantamentos em funo de sua operacionalidade e preciso. Estes gravmetros baseiam-se numa massa que mantida suspensa por meio de um sistema elstico e que atrada mais ou menos conforme a fora da gravidade do local. Uma certa posio de equilbrio definida por construo restabelecida atravs de um parafuso de compensao. O deslocamento necessrio para atingir aquela posio traduzido por uma leitura que posteriomente transformada em valores de acelerao. As unidades usuais da acelerao da gravidade so: 1.10-2 m/s2 = 1 cm/s2 = 1Gal

23

24

1.10-5 m/s2 = 1 m/s2 = 1mGal 1.10-8 m/s2 = 1 nm/s2 = 1Gal Na figura 4.1 est uma apresentao esquemtica de um gravmetro de mola.

Figura 4.1 Gravmetro de mola.

4.2 - O GRAVMETRO E SUAS INSTABILIDADES

A tecnologia conseguiu nas ltimas dcadas desenvolver aparelhos altamente sensveis, mas no havia conseguido aliar a isto uma grande estabilidade. Em conseqncia, os gravmetros sofrem variaes em suas condies elsticas resultando em leituras distintas para um mesmo ponto em diferentes instantes. Alm disso, as condies ideais de operao precisam ser constantemente verificadas de modo a tornar os resultados do levantamento homogneos. Em relao s condies elsticas, a leitura do gravmetro tende a variar com o tempo mesmo que a acelerao no varie, ou seja, que o aparelho seja mantido no mesmo ponto. o que se chama de deriva instrumental. Na verdade a deriva ter um comportamento diferente se o aparelho estiver estacionado num ponto ou se estiver em movimento. o que se denomina de deriva esttica e deriva dinmica respectivamente; elas precisam ser controladas de forma especfica. Em perodos curtos (mximo de 48 hs para os gravmetros L&R) a variao da deriva considerada linear. Ela controlada retornando-se ao ponto de partida. Via de regra, o ponto de partida de um levantamento uma estao da rede de referncia; isto no estritamente necessrio. Quando isto ocorre a deriva dinmica pode ser controlada realizando a24

25

leitura final em outro ponto da rede de referncia, num intervalo de tempo no superior ao mximo estabelecido para o aparelho. Por outro lado, no caso em que, durante um circito de levantamento, haja necessidade de parar por mais de 1 hora, recomendvel que se faa uma leitura ao parar e outra antes de reiniciar o trabalho para controlar a deriva esttica. A posio do gravmetro para a leitura controlada atravs de nveis fixos ao corpo do aparelho; um nvel longitudinal e outro transversal. necessrio que haja consistncia entre a horizontalidade (verticalidade) do sistema ao qual est suspensa a massa interna com a posio das bolhas nos nveis. o que se denomina de calagem dos nveis. O nvel longitudinal controla a sensibilidade do fiel de leitura. Assim, quando o referido nvel est calado, a rotao do dial em 10 unidades (uma volta completa) implica num deslocamento de 10 unidades inteiras no fiel de leitura no interior do gravmetro. A sensibilidade de 10,5 ideal, porm, valores da mesma entre 9 e 11 podem ser considerados uma situao aceitvel de operao. O ajuste, quando necessrio, se processa inclinando o gravmetro para a direita ou esquerda se a sensibilidade estiver alta ou baixa, respectivamente. Isto se faz atuando no parafuso de fixao do nvel. A operao seguinte consiste em verificar a exata posio da linha de leitura. Certifica-se a posio mediante a constatao do deslocamento do fiel de leitura quando a bolha do nvel longitudinal deslocada para a esquerda e para a direita. Nos dois casos o fiel deve se deslocar para o mesmo lado e da mesma quantidade (em geral muito pouco: uma diviso ou menos). Finalmente, exige-se a verificao da calagem do nvel transverso. Novamente, a constatao do deslocamento do fiel para o mesmo lado e da mesma quantidade, quando a bolha do nvel transverso deslocada para a esquerda e para a direita, assegura a sua calagem. (Maiores detalhes so encontrados no manual do aparelho). A operao do gravmetro em condies ideais implica numa grande estabilidade do sistema e, consequentemente, na obteno de resultados perfeitamente coerentes. Saliente-se que j se encontra disponvel no mercado gravmetro de alta tecnologia, onde a deriva j no ocorre e os nveis so auto-ajustveis.

4.3 - REDES GRAVIMTRICAS DE REFERNCIA

Os gravmetros de mola, como foi mencionado, efetuam medies relativas, ou seja, determinam diferenas de acelerao da gravidade. Isto implica na existncia de pontos com valores da acelerao da gravidade previamente determinados. Estes podem ser obtidos mediante determinaes absolutas ou mesmo atravs de determinaes relativas usando uma metodologia adequada. As determinaes absolutas esto se tornando cada vez mais rpidas e

25

26

precisas. No entanto, ainda no tem sido vivel estabelecer redes de referncia com a densidade exigvel somente com determinaes absolutas. Uma das razes que os gravmetros absolutos precisam ainda ser operados em ambientes especiais, salas dotadas de climatizao com facilidade de energia. Assim, os gravmetros relativos ainda complementam as estaes absolutas. [Castro Jr., 2005] Os trabalhos de densificao tm sido comprometidos em diversos pases em funo da inexistncia de pontos de referncia confiveis. Da a importncia de cuidar com o estabelecimento da rede preliminarmente aos trabalhos de densificao. As observaes nos pontos de uma rede de referncia devem ser conduzidas com mais de um gravmetro, se possvel, 3 ou 4. Alm disso, os pontos devem ser ocupados mais de uma vez sempre que vivel. Posteriormente s observaes da rede, deve-se proceder a um ajustamento da mesma pelo mtodo dos mnimos quadrados de modo a homogeneiz-la. Para tanto, pode ser usado o mtodo paramtrico ou das equaes de condio. imprescindvel prever o mtodo de ajustamento a ser usado para programar as observaes da rede de maneira consistente. Em princpio, o mtodo de ajustamento indiferente. Todos estes cuidados se prestam a oferecer confiabilidade a uma rede gravimtrica de referncia.

4.4 - PROCESSAMENTO DAS OBSERVAES

Os levantamentos de densificao so realizados normalmente com um s gravmetro. Para maior confiabilidade dos resultados so realizadas trs leituras em cada estao, anotandose o instante da leitura do meio; o intervalo entre elas no deve ultrapassar dois minutos em funo da correo da atrao luni-solar. O processamento das observaes consiste em tirar a mdia das leituras, efetuar a correo da atrao luni-solar, transformar as leituras em valores de acelerao, corrigir as derivas dinmica e, quando for o caso, esttica. Finalmente, com as diferenas de acelerao entre os pontos e com um valor de g conhecido da rede de referncia, calculam-se os valores de acelerao nos pontos de densificao. Para a realizao destas tarefas utiliza-se comumente um programa de computador.

4.5 - CALIBRAO

A transformao das leituras em valores de acelerao se d atravs de um fator de escala. No caso dos gravmetros LaCoste&Romberg, tendo em vista a no linearidade do sistema, fornecida pelo fabricante uma tabela de converso. Em funo da variao das

26

27

condies elsticas do conjunto de fixao da massa de prova, o fator de escala pode variar com o tempo e, portanto, deve ser verificado periodicamente. Esta verificao precisa ser feita sobre pontos onde se conhea a acelerao da gravidade, preferencialmente em estaes absolutas, e num intervalo de leituras que seja compatvel com a rea de trabalho. Consegue-se intervalos maiores de leitura observando-se estaes com variao grande, dezenas de graus, em latitude. Isto oneroso e de logstica complicada uma vez que, em geral, implica em utilizar vos comerciais. Uma alternativa muitas vezes utilizada consiste em estabelecer uma linha de calibrao com uma variao grande de altitude, alguns milhares de metros. Nem sempre fcil conseguir disponibilidade para isso e, quando vivel, o intervalo de leitura no muito grande. Entretanto, acaba atendendo uma rea razovel de levantamento. O fator de escala determinado comparando-se a diferena de acelerao da gravidade fornecida pelo gravmetro, usando-se a tabela disponvel, com as diferenas conhecidas nos pontos de calibrao. Assim, a diferena de acelerao observada gobs ser diferente da diferena conhecida nas estaes absolutas gabs de modo que: g abs = k .g obs

4.6 - CLCULO DAS ANOMALIAS

A anomalia da gravidade definida pela (2.26) utilizada na aplicao da integral de Stokes. A condio bsica que o valor de g seja definido sobre o geide e sobre o elipside. Entretanto, as observaes da acelerao da gravidade so conduzidas sobre a superfcie fsica. As chamadas redues da gravidade se destinam a transformar os valores da superfcie fsica para o geide. O valor terico calculado pela frmula internacional da gravidade, especfica em cada sistema de referncia. Para o WGS-84, usado atualmente nos satlites GPS, a frmula a seguinte:1 + 0,00193185138639 sen2 1 0,00669437999013 sen2

84 = 978032,67714

mGal

(4.3)

Imaginando que o valor de g seja observado a uma distncia h da superfcie geoidal e que no exista massa fora do geide, o valor sobre o geide obtido simplesmente aplicando a correo ar livre, cuja expresso :2 C al = (0,3083293357 + 0,0004397732 cos2 ) H + 7,125 108 H

(4.4)

27

28

funo da latitude e da altitude ortomtrica. Nestas condies tm-se a anomalia ar livre definida por: g al = g + C al incluir a massa da mesma, pode ser realizada usando a seguinte frmula emprica: (4.5)

A correo da atmosfera ao valor de g, necessria em funo da frmula terica (4.3)

ga = 0,87 e0,116 Hcom H em quilmetros.

1,047

mGal

(4.6)

A correo de Bouguer normalmente aplicada considerando um plat de extenso infinita e espessura H com densidade de 2,67g/cc na regio continental e 1,17g/cc nas estaes ocenicas. Com estas hipteses a correo de Bouguer assume o valor: CB = 0,1119 H mGal e a anomalia de Bouguer ser obtida pela expresso: g B = g + C al + C B 1991] C = -1,4639108 x 10-3 H + 3,532715 x 10-7 H2 - 4,449648 x 10-14 H3 mGal com H em metros. Na regio ocenica a correo levemente diferente: C = -6,40427 x 10-4 D -1,54751 x 10-7 D2 -4,06303 x 10-14 D mGal agora D a profundidade em metros. Para completar a anomalia de Bouguer necessrio ainda fazer a correo do terreno (relevo). Isto visa levar em considerao as massas que esto acima do plat de Bouguer bem como a inexistncia de massa no interior do plat. De modo que a anomalia completa de Bouguer fica: g B = g + C al + C P + C + C R (4.11) (4.10) (4.9) (4.8) (4.7)

Acrescenta-se ainda um de correo da curvatura calculado por: [GREEN AND FAIRHEAD,

28

29

5. MTODOS DE DETERMINAO GEOIDAL Supondo que a anomalia da gravidade seja conhecida de maneira contnua sobre a superfcie geoidal e que no existam massas externas a esta superfcie, a determinao da forma dessa superfcie e do potencial de gravidade no exterior da mesma representa a concepo de Stokes para o PVCG. A superfcie geoidal, contrariamente superfcie fsica, ao teluride e ao quase-geide, tem a vantagem de ser uma superfcie de nvel e por isso despertar interesses especficos como uma entidade com caractersticas fsicas. Na prtica, entretanto, o que se determina o quase-geide uma vez que se utiliza o gradiente ar-livre da Terra normal para reduzir as observaes gravimtricas da superfcie fsica a geide.

5. l - AS COMPONENTES ESPECTRAIS DA ALTURA GEOIDAL A expresso (2.37) pode ser decomposta da seguinte forma:

N ( , ) = R ( J 'nm Y nm + K 'nm Y nm ) n = 2 m= 0

l

n

c

s

R ou, na forma abreviada:

n = l +1 m = 0

( J ' nm Y nm + K ' nm Y nm )

n

c

s

(5.1)

N ( , ) = N l ( , ) + N l ( , )Nl traduz uma componente de comprimento de onda mais curto.

(5.2)

O trmo Nl traduz a componente de longo comprimento de onde da altura geoidal. O termo

As duas componentes podem ser interpretadas geometricamente da seguinte forma: a componente de longo comprimento de onda representa a separao entre o elipside e o esferide de referncia representado pelo modelo do geopotencial; a outra componente a separao entre o esferide de referncia e o geide (Fig. 5. l). A componente de longo comprimento de onda facilmente calculada a partir de um modelo do geopotencial, o que significa extender a srie at um dado grau e ordem l . Vrios modelos do geopotencial de grau e ordem elevados (l = 360) tm sido publicados; porm,

29

30

Fig. 5. l - Componentes da altura geoidal. recentemente, tem existido a preocupao especfica de melhorar a determinao dos coeficientes de grau e ordem mais baixas (l at 36). A componente de curto comprimento Nl de onda tem despertado um interesse cada vez maior, em particular quando a inteno obter um modelo de alta resoluo da altura geoidal. O seu clculo feito atravs de uma modificao da integral de Stokes. Um modelo digital do terreno permite ainda remover a influncia de uma camada de referncia da topografia.

5. 2 - A INTEGRAL MODIFICADA DE STOKES A adoo de um modelo do geopotencial no clculo da componente de longo comprimento de onda significa a possibilidade de aplicar a integral de Stokes a uma vizinhana restrita do ponto de clculo, isto , adotar um valor 0 como distncia esfrica mxima para extender a integral. Para isso necessrio proceder a uma reformulao da integral original (4.23), que basicamente consiste em modificar a funo de Stokes S (). Diversas propostas tm sido apresentadas visando a conveniente modificao da funo, e.g., (VANICEK et al., l987), (BLITZKOW et al., l99l). A integral modificada de Stokes pode ser escrita da seguinte forma:o 360

N l ( , ) =sendo

m g ( , ) S l ( ) sin dd 4 = 0 = 0

R

(5.3)

Sm l

a funo modificada de Stokes obtida mediante uma conveniente reformulao. Sem uma

preocupao com a deduo que pode ser encontrada em [VANICEK et al., 1987] e [BLITZKOW et al., 1991], as frmulas so as seguintes:

S m ( ) = S l ( ) S l( ) lcom

(5.4)

30

31

S l ( ) = S ( ) S l ( )S l ( ) = l 2n + 1n=2

(5.5) (5.6)

n 1 2

Pn ( ) t i Pi (cos )

S l( ) =

l 2i + 1

i =0

(5.7)

A integral (5.3) em geral no pode ser avaliada de forma direta uma vez que a anomalia da gravidade no conhecida de maneira contnua sobre a regio de clculo. Em consequncia so adotados procedimentos numricos avaliando a influncia de blocos de tamanhos distintos sobre o ponto de clculo, cada bloco representado por um valor mdio a partir dos valores observados. A utilizao de valores discretos faz com que om princpio da ortogonalidade das funes harmnicas esfricas seja perdido. Em conseqncia o produto g S l

torna-se incompatvel e a anomalia da gravidade precisa igualmente ser modificada subtraindo os harmnicos de grau e ordem baixas, compatveis com o modelo do geopotencial utilizado. Assim deve-se usar g l calculada da seguinte forma:c s g l = g (Cnm Y nm + Dnm Y nm) n = 0 m= 0

l

n

(5.8)

resultando na seguinte expresso final:

N l ( , ) =

g ( , ) S m ( ) sin dd l 4 =0 =0 l

R

2 o

(5.9)

A funo modificada de Stokes tende a zero mais rapidamente do que a funo normal [BLITZKOW et al., 1991] e isso justifica o limite da integral a uma vizinhana o. H uma justificativa de carter fsico para isso: trata-se do fato de que a influncia da regio afastada, ou mais rigorosamente, dos longos comprimentos de onda da regio afastada, so levados em considerao pelo modelo do geopotencial na componente Nl (5.2). A altura geoidal finalmente obtida reentroduzindo a componente de longo comprimento de onda (5.2).

5. 3 - A TCNICA DE FOURIER

5. 3.l - Introduo A era espacial, os modernos computadores, o aperfeioamento dos diversos equipamentos de medies e outros fatores tm levado a um aumento considervel de informaes e dados, nem sempre compatvel com a capacidade de processamento. Em geodsia, por exemplo, dispe-se de quantidades considerveis de estaes gravimtricas, modelos digitais do terreno com espaamento cada vez menores, dados derivados da altimetria por radar nos oceanos, etc. Todas essas informaes apresentam-se de forma discreta e o processamento pode envolver intervalos longos de tempo. Por outro lado, as integrais envolvidas em geodsia fsica em muitos casos constituem integrais de convoluo, por exemplo, as integrais de Stokes e de Vening Meinesz. A propriedade fundamental daquelas integrais que elas se transformam num simples produto de funes se o processo de avaliao das mesmas for feito no espao da frequncia [Blitzkow, 1973]. A transformao de uma funo definida no domnio

31

32 do espao para o domnio da frequncia realizada pela transformada de Fourier. Quando a funo no conhecida de forma contnua mas somente por amostra em pontos discretos, o que acontece na maioria dos casos, e desde que o espaamento seja constante, a transformada de Fourier feita de maneira simples e eficiente atravs de algortmos especficos conhecidos como Transformada Rpida de Fourier (TRF) [COOLEY & TUKEY, l965]. A tcnica acarreta algumas dificuldades. Como os dados precisam constituir u'a malha com espaamento constante, quando isto no ocorrer, deve-se aplicar alguma tcnica de interpolao. Por outro lado, se o espaamento no for compatvel com a resoluo exigida haver o chamado efeito de "alisamento" na soluo, que alis no uma caracterstica exclusiva da tcnica de Fourier. Outro fator importante a extenso da amostra. Se a mesma no contiver um mltiplo inteiro do perodo da funo amostrada haver uma distoro no espectro, chamada "vazamento espectral" [SCHWARZ, l984].

5. 3.2 - Transformada de Fourier Sendo h(x,y) uma funo definida no espao cartesiano, a transformada contnua de Fourier dada por:

H ( k x , k y ) = h( x , y ) ei ( k x x + k y y ) dxdy = F[h( x , y )]

(5.10)

onde H o espectro da funo h (x,y), kx, ky so os nmeros de onda (frequncia no domnio do espao) correspondente aos eixos x e y, i =

1 . Define-se igualmente a transformada inversa:

h( x , y ) =

1 4 2

H ( k x , k y ) ei ( k x x+ k y y ) d k x d k y = F 1[ H ( k x , k y )](5.11)

Os nmeros de onda se relacionam com as frequncias espaciais atravs de:

k x = 2 u

e

k y = 2 v

Com isso as integrais (5.10) e (5.11) podem ser escritas na forma:

H (u, v ) = h( x , y ) e2i ( ux + vy ) dxdy

(5.12)

h( x , y ) = H (u, v ) e2i ( ux + vy ) dudv

(5.13)

As propriedades da transformada de Fourier so importantes e podem ser vistas com mais detalhe em [BLITZKOW, l973] ou [SCHWARZ et al., l990]. Uma das mais importantes a integral de convoluo. Dadas duas funes h(x,y) e g(x,y) a integral de convoluo representada por h(x , y) * g(x , y) e definida da seguinte forma:

h( x , y ) g ( x , y ) = h( xo , yo) g ( x o x , yo y )d xo d yo

(5.14)

Pode ser facilmente verificado que:

h( x , y ) g( x , y ) = H (u, v )G(u, v )ou seja, a convoluo das funes h e g igual ao produto de suas transformadas.

(5.15)

32

33 Quando a funo h (x,y) no conhecida de forma contnua, mas atravs de observaes em pontos discretos, as integrais (5.10) e (5.11) no podem ser aplicadas. Neste caso, possvel estimar o espectro atravs da seguinte integral finita:x/2 y/2

H ( u, v ) =

x /2 y /2

h( x , y ) e2i ( ux + vy ) dxdy

(5.16)

onde se admite que os pontos onde a funo observada constituem ua malha regular com espaamento x, y sendo a extenso dos registros: X = Mx, aproximada por um somatrio: Y = Ny com M e N o nmero de pontos nas direes x e y respectivamente. Nestas condies a integral (5.16) pode serM 1N 1 k =0 l=0

H D (um , v n) = h( x k , y l ) e2i ( um x k + v n y l ) xym = 0,1,2, .... , M-1 n = 0,1,2, ... , N-1

(5.17)

Devido ao carter discreto dos dados, o espectro s poder ser estimado para frequncias at:

uN =

M 1 u = 2 2 x

e

vN =

1 N v = 2 2 y

chamadas frequncias de Nyquist. Uma reviso completa sobre o assunto encontrada em [SCHWARZ et al., l990]

5.3.3 - A integral de Stokes e o domnio de frequncia

Limitando a integral de Stokes a uma conveniente calota esfrica de raio o, a superfcie esfrica pode ser aproximada por um plano tangente no ponto de clculo P. Usando uma distncia plana s ao invs da distncia esfrica , = s/R, sendo R o raio da Terra. a funo de Stokes se escreve:

S( s ) =

2R s

e o elemento de rea d = sendd torna-se:

d =

1 sdsd R2

A integral de Stokes toma ento a seguinte forma:

N ( x p , y p) =

1 smax 2 g ( s, ) sdsd 2 s = 0 = 0 s

(5.18)

ou usando um sistema de coordenadas cartesianas, ao invs de polares, com centro em P:

N ( x p , y p) =

1

2 T

g ( x , y )

12 1/ 2 2 [ x p x) + ( y p y) ]

dxdy

(5.19)

Esta tima expresso tem a forma de uma integral de convoluo e como tal pode ser expressa da seguinte forma:

33

34

N ( x, y) =com d N = ( x 2 + y 2)1/ 2

1 2

g( x , y ) d N ( x , y )

(5.20)

funo peso (ncleo). Utilizando o espectro das funes tem-se:

N ( x, y) =

1 2

F 1[ G(u, v ). D N (u, v )]

(5.21)

A anomalia da gravidade usada na (5.21) a anomalia modificada, conforme (5.8). Em vista da aproximao plana, uma correo pode ser adicionada para levar em conta a curvatura da terra [SCHWARZ et al., l990]:

CN =

2

cos ec

2

Trata-se de um fator pelo qual o resultado deve ser multiplicado. Para uma distncia de =10, CN = l,00l. Para um valor tpico de 25 m da altura geoidal, o valor corrigido seria 25,03 m. Usando o modelo EGM96 com n=36, a distncia de integrao de 5, e ento a correo da curvatura pode ser desprezada. Uma segunda alternativa aplicar a TRF aproximao esfrica da integral de Stokes em duas dimenses (2D TRF)[STRANG VAN HEES, 1990]. Aqui, assim como na aproximao plana, o principal obstculo a necessidade de utilizar a funo ncleo de uma forma aproximada, o que impede a avaliao exata da integral. A terceira opo, mais usada atualmente, realizar a integral em uma dimenso (1D TRF). A caracterstica desta alternativa que os valores da funo de Stokes para uma certa diferena de longitude entre o ponto de clculo e o de integrao so os mesmos para todos os pontos de clculo sobre um paralelo, embora diferentes em distintos paralelos. Dessa forma, a convoluo realizada somente na direo leste-oeste. Na direo norte-sul realiza-se a integrao numrica tradicional. Com isso a funo ncleo exata em toda a regio de integrao [HAAGMANS et al., 1993]

5. 4 - A REGULARIZAO DA TERRA

A aplicao da integral de Stokes e de outras semelhantes, pressupe que o potencial pertubador seja uma funo harmnica sobre o geide, o que implica na no existncia de massas externas ao mesmo. Esta exigncia necessria para poder tratar o problema como um "problema de valor de contorno" no sentido da teoria do potencial. Estes problemas sempre envolvem a soluo da equao de Laplace (3.l0) para a referida funo. Desta forma necessrio adotar um procedimento conveniente para remover as massas externas. Isto feito atravs das "correes" ou "redues" gravimtricas: ar livre, Bouguer, isosttica, condensao de HELMERT,inverso de Rudsky. o que se denomina "regularizao" ( 5.4-1). Qualquer que seja o procedimento adotado, a

implicao uma mudana no potencial e, em consequncia, nas superfcies de nvel, ou seja, no geide. Trata-se de um "efeito indireto" (EI) que resulta numa superfcie ora mais ora menos discrepante do geide, o "COGEIDE". Em geral objetiva-se adotar um mtodo de regularizao que resulte num efeito indireto mnimo. A correo de Bouguer, quase sempre aplicada nas interpretaes geofsicas, remove totalmente o chamado plat de Bouguer causando uma grande mudana no potencial e consequentemente um considervel efeito indireto. A correo ar livre despreza o fato das massas topogrficas estarem fora da superfcie geoidal e considera

34

35 simplesmente o aumento da acelerao da gravidade sobre o geide relativamente superfcie fsica em funo da altitude. Seu efeito indireto pequeno. Outras correes conjugam a remoo das massas e sua restaurao no interior do geide com a correo ar livre. O resultado a tentativa de minimizar o efeito indireto. O procedimento que tem se mostrado mais promissor para a geodsia a conhecida "condensao de Helmert".

5.4.1 Mtodo da condensao de Helmert

Neste mtodo as massas topogrficas so condensadas de modo a formar uma camada superficial (no sentido da teoria do potencial trata-se de uma camada de espessura desprezvel) sobre o geide, com densidade: Kd= h de tal modo que a massa total permanea imutvel. (Este mtodo chamado segundo mtodo da condensao de Helmert, uma vez que a primeira proposta de Helmert foi transferir as massas para uma superfcie paralela 21 km abaixo do geide; esta idia inicial visou evitar problemas de convergncia na srie de funes harmnicas esfricas para o potencial). O mtodo pode ser resumido nas seguintes etapas: a) Substituir o efeito das massas topogrficas sobre a acelerao da gravidade observada pelo efeito da camada superficial sobre o geide. b) Reduzir o valor da acelerao da gravidade observada na superfcie ao geide mediante a continuao para baixo (correo ar livre). Aps estes procedimentos a integral de Stokes pode ser aplicada resultando no clculo de alturas do cogeide. A razo disto que, embora a condensao de Helmert no resulte em mudana na quantidade de massa, resulta numa redistribuio da mesma. Isto tambm provoca uma mudana no potencial e portanto um EI. H a necessidade de uma pequena correo nas alturas obtidas para transform-las em alturas geoidais [WANG, 1990, p.19]. Dependendo da preciso esperada para o valor da altura geoidal calculada, o efeito indireto pode ser desprezado. Em regies montanhosas a considerao desta correo mais crtica exigindo maior ateno. Por exemplo, na regio montanhosa do Canad com elevaes entre 1387 m a 3413 m, e com a mdia de 2130 m, [SIDERIS & FORSBERG, 1991] indica um valor de EMQ do EI de 42 cm. Em termos do potencial gravitacional o mtodo da condensao pode assim ser explicitado: [ MARTINEC et al. , 1993] V = V g + Vtg t

(5.22)

sendo V o potencial gerado pelas massas abaixo do geide e V o potencial das massas topogrficas. Este ltimo pode ainda ser decomposto em: Vt = Vc + V (5.23) onde Vc o potencial devido massa condensada sobre o geide e V o efeito indireto. Combinando as duas equaes tem-se: V = Vg + Vc + V (5.24) Tem havido uma certa controvrsia sobre o clculo do efeito de atrao das massas condensadas em relao ao ponto de clculo do mesmo: sobre a superfcie fsica ou sobre o geide. Esta questo est relacionada com a aceitao ou no da dependncia linear da anomalia ar livre da gravidade com a altura H da topografia. 35

36 [MARTINEC et. al, 1993]. Este fato, por sua vez, se verificaria na hiptese de um modelo de compensao isosttica simples o que nem sempre acontece. Vrios autores tm estudado o problema, entre outros, [MORITZ,1968], [WANG and RAPP, 1990], [MARTINEC et al., 1993], [MARTINEC and VANICEK, 1993]. Assim, a chamada anomalia de Helmert pode ser expressa por:

g h = g F A P + AC + g1 + S P PAdmitindo que esta anomalia tambm se relacione linearmente com a topografia, ou seja:

(5.25)

g H = a + 2GHento termo g1 tem a seguinte forma:

(5.26)

g1 = G H p Nestas condies pode-se escrever:

H Hp d3

dxdy

(5.27)

A p + AC + g1= C Ponde C, correo do relevo, se escreve: ( H H p) 2 1 C = K dxdy 2 d3

(5.28)

Nestas condies:

gH = gF + C + S PDesprezando o termo

(5.29)

S,

por ser pequeno, a anomalia resultante s vezes chamada anomalia de Faye.

Constitui uma boa aproximao da anomalia de Helmert para a aplicao na integral de Stokes.

36

376. AS ALTITUDES CIENTFICAS

Durante muito tempo, na histria da geodsia, acreditou-se que o nvel mdio do mar (NMM), monitorado atravs das observaes maregrficas, materializasse uma mesma superfcie equipotencial, denominada superfcie geoidal. Com os estudos integrados da geodsia e da oceanografia concluiu-se que, em diferentes margrafos, o NMM materializa diferentes superfcies equipotenciais em funo do que chamado de topografia da superfcie ocenica (TSO). Ela fruto da no homogeneidade das guas do mar em funo de diferentes fatores tais como: salinidade, material em suspenso, temperatura, ventos, correntes, etc. imprescindvel corrigir a TSO para se chegar a uma mesma superfce equipotencial em diferentes margrafos. Mais recentemente vm-se constatando que o nvel mdio do mar sofre um aumento em funo do desequilbrio do efeito estufa. Determinados gases presentes na atmosfera, em particular o gas carbnico, tendem a impedir que o calor irradiado pela Terra se propague pelo espao. A conseqncia benfica deste fenmeno a manuteno de um certo equilbrio na temperatura do planeta, sobretudo durante a noite. A era industrial tem sido responsvel pelo aumento na liberao de gs carbnico atravs da queima de combustveis fsseis e de material orgnico pelas vrias formas de motores a exploso ou na obteno de energia calorfica. Isto tem resultado num sistemtico aumento de gas carbnico na atmosfera o que tem comprometido o equilbrio do efeito estufa. A atmosfera vem retendo cada vez mais calor de irradiao, provocando um lento e sistemtico aumento na temperatura mdia da Terra. H com certeza fenmenos naturais que tambm liberam grandes quantidades de CO2 como, por exemplo, os vulces. Algumas conseqncias que vm sendo observadas so a expanso trmica dos oceanos, o derretimento das geleiras e das calotas polares, o aumento das tempestades. Entre diferentes desequilbrios que a natureza vem experimentando est um aumento constante no NMM nos ltimos 100 anos, na razo de 1 a 3 mm por ano. Isto faz com que se tenha que estabelecer uma data para materializar o nvel mdio do mar. A partir da origem se conduz a operao de nivelamento geomtrico para se estabelecer uma rede de referncias altimtricas em todo um pas. Esta operao conduzida admitindo que as superfcies equipotenciais do campo de gravidade sejam paralelas. Em funo da forma acentuadamente elipsoidal e das demais irregularidades de distribuio de massa da Terra real, o paralelismo das superfcies equipotenciais no ocorre (Fig. 6). Em suma, o que duas superfcies equipotenciais tem de comum a diferena de potencial e no a distncia entre elas. Isto faz com

37

38

Bh 4 h AB

W4 W3

W2

h 3

W1 h hpo gr.2

1

. Su p

To

A

C

WO

Fig. 6 No paralelismo das superficies equipotenciais. que o desnvel entre duas referncias de nvel obtidas atravs do somatrio dos desnveis observados em cada lance do nivelamento, seja distinto quando distintos trajetos forem percorridos.

Para sanar a dificuldade necessrio introduzir uma grandeza fsica ao nivelamento o que feito atravs da acelerao de gravidade [FREITAS & BLITZKOW, 1999]. Define-se, ento, nmero geopotencial CAB como sendo:

W B W A = C AB = gdHA

B

(6.1)

Trata-se de uma grandeza fsica correspondente diferena de potencial de gravidade W entre A e B e que, ao ser somada algebricamente em um circito fechado, sempre resulta num valor nulo, independente do trajeto percorrido. Na prtica no se conhece a acelerao de gravidade g de forma contnua sobre a superfcie da Terra, mas ela pode ser determinada sobre as referncias de nvel (RNs). Por outro lado, os desnveis h so determinados atravs do nivelamento geomtrico com espaamento, por exemplo, equivalente a duas RNs, da ordem de 3 km. Com isso, a integral transforma-se num somatrio:

W B W A = C AB g h ii =1

n

(6.2)

sendo g a mdia dos valores de acelerao da gravidade entre pontos i e i+1 e hi o desnvel entre os mesmos.38

39

O nmero geopotencial representa uma grandeza fsica, com dimenso especfica (e.g., m2.s2

), pouco usual nas aplicaes onde a altitude exigida. Da a convenincia em trabalhar com uma

grandeza compatvel com a dimenso usualmente empregada na altitude, o metro. Isto conseguido dividindo o nmero geopotencial por um determinado valor da acelerao de gravidade. Se este valor for a mdia gm entre a superficie fsica e o geide, tem-se a altitude ortomtrica: [Freitas & Blitzkow, 1999]

Ho =

CP gm

(6.3)

O valor mdio do denominador em (6) depende do conhecimento da estrutura da crosta, ou seja, de um modelo de distribuio de densidades; portanto, sua obteno praticamente impossvel. Trata-se do mesmo problema que ocorre com a reduo do valor de g no PVCG ( 2). A alternativa substituir o valor da gravidade real pela gravidade normal m obtendo a altitude normal como sendo:

HN =

CP

m

(6.4)

onde m a gravidade normal mdia entre o elipside e o ponto da superfcie fsica [Freitas & Blitzkow, 1999, (11)]. A altitude normal representa a separao entre o elipside e o teluride ou entre o quase-geide e a superfcie fsica (Figura 1). A vantagem da altitude normal que ela independe do trajeto percorrido. A desvantagem que a superfcie qual ela referida, o quasegeide ou o teluride, no so superfcies de nvel. Logo, dois pontos com a mesma altitude normal no estaro necessariamente sobre a mesma superfcie equipotencial. Outras possibilidades de escolha do denominador resultam em outros diferentes tipos de altitudes como: Helmert, Vignal, Baranov [Freitas & Blitzkow, 1999]. Mas uma altitude de particular interesse a altitude dinmica. Ela o resultado da escolha de um valor o vlido para uma dada latitude padro, e. g., 45.

HD=

CP

o

(6.5)

A caracterstica da altitude dinmica que ela constante ao longo da mesma superfcie equipotencial. Obviamente a altitude dinmica difere do nmero geopotencial somente de um fator de escala. Ela no tem um sentido geomtrico como distncia entre duas superfcies. Mas com certeza a gua flui de um ponto de maior altitude dinmica para outro de menor valor. A partir dos nmeros geopotenciais obtm-se a altitude ortomtrica se um modelo de destribuo de densidades for disponvel ou a altitude normal se esta for a opo para o sistema de altitudes, como o caso da Amrica do Sul.

39

407. AEROLEVANTAMENTO

O problema fundamental em aerolevantamentos no passado sempre foi a posio do sensor no espao a cada instante de medio. O sistema GNSS vem permitindo resolver esta questo com inteira propriedade uma vez que o mtodo cinemtico fornece coordenadas tri-dimensionais de forma contnua ao longo do levantamento. A soluo das ambigidades no modo esttico ao incio do levantamento com o cuidado de manter a sintonia aos mesmos satlites da para frente ou a explorao das tcnicas de resoluo instantnea daquelas incgnitas, on the fly (OTF) como conhecida na expresso consagrada do ingls, significa posicionar o sensor com preciso de poucos centmetros. Um aerolevantamento conduzido atravs de equipamentos geofsicos colocados a bordo da aeronave, complementados com um sistema de posicionamento tridimensional (GNSS) e uma sistema de medio da altura da aeronave ao solo, radar ou laser. As coordenadas cartesianas tridimencionais podem ser convertida em geodsica: , , h (Figura 7). Esta ltima a altitude geodsica; corresponde distncia entre o ponto na superfcie fsica e sua projeo sobre o elipside ao longo da normal.

Figura 7 - Coordenadas geodsicas. O uso do altmetro permite a obteno da altura da aeronave Ha. A altitude ortomtrica H derivada da altitude geodsica, subtrada da altura da aeronave e corrigida da altura geoidal. Esta pode ser aproximada por um modelo do geopotencial ou uma combinao do referido modelo com dados de gravimetria terrestre.

40

41

Figura 8 Princpio da altimetria em aeronave.

41

427. BIBLIOGRAFIA

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