APOSTILA PUCRS - Retas, Circunferencias, Tangentes
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ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
1. TANGÊNCIA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA:A RETA TANGENTE A UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA SEMPRE VAI SER PERPENDICULAR
AO RAIO DO ARCO, NO PONTO DE TANGÊNCIA
TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA
ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
Para traçar uma tangente a uma circunferência por um de seus pontos:
Seja o ponto T um ponto da circunferência:
1.Traçar o raio no ponto T
Prolongar o raio e sobre ele marcar os pontos 1 e 2, eqüidistantes de T
Traçar a mediatriz do segmento12.
Esta mediatriz é a tangente à circunferência no ponto T.
O
T
1
2
t
Tangente por um ponto da curva
ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
Exercício de concordância:Desenhar um arco de circunferência que concorde com a reta r no
ponto T e passe pelo ponto P.
1. Pelo ponto T levantar uma perpendicular à reta r;
2T
P
1 T
P
rr
Dados:
Ponto P, reta r e o ponto T
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2. Traçar a mediatriz do segmento TP; 3. A intersecção da perpendicular com a
mediatriz é o ponto O, centro do arco procurado.
O
r
P
O
T
r r
PP
T
ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
Tangentes a uma circunferência por um ponto exteriorPelo ponto P, desenhar retas tangentes à circunferência.
Dados:
a circunferência e o ponto P exterior à curva:
1. Traçar a mediatriz do segmento OP e marcar o ponto M, ponto médio do segmento
MPO
PO
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3. Traçar as retas OT e OT’, tangentes àcircunferência.
2. Traçar uma circunferência com centro no ponto M e raio MO. A intersecção das duas circunferência são os pontos de tangência T e T’
T
O
MPO
M
P
T’
ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
Retas tangente a duas circunferênciasa) Tangentes exteriores
Dadas duas circunferências:
1. Traçar uma circunferência auxiliar com centro em O e raio r3 = r1 - r2
2. Traçar o ponto médio entre os centros das duas circunferências
O’
O
O’O
r1
O’O
r2
r3
M
ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
3. Traçar uma circunferência com centro no ponto M até cortar a circunferência auxiliar nos pontos 1 e 2.
4. Traçar as tangentes auxiliares O’ 1 e O’ 2
O’
O
1
2
M
O
ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
5. Traçar os raios O1 e O2 e prolongá-los até cortar a a circunferência de raio r1 nos pontos T1e T2
6. Centrar o compasso no pontoT1 e com raio 1O’ marcar o ponto T3 na circunferência de raio r2.
T1T3 é a primeira tangente as duas circunferência.
7. Centrar o compasso no pontoT2 e com raio 2O’ marcar o ponto T4 na circunferência de raio r2.
T2T4 é a outra tangente as duas circunferência.
T1
T2T4
T3
1
2
OO´
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA
ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
b) Tangentes interiores
Dadas duas circunferências:
O’O
O’O
r1
O
O’O
r2
r3
M
1. Traçar uma circunferência auxiliar com centro em O e raio r3 = r1 + r2
2. Traçar o ponto médio entre os centros das duas circunferências
ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
3. Traçar uma circunferência com centro no ponto M até cortar a circunferência auxiliar nos pontos 1 e 2.
4. Traçar as tangentes auxiliares O’ 1 e O’ 2
O’
OM
1
2
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O’
OM
1
2
T1
T2
T4
T3
5. Traçar os raios O1 e O2 os quais cortam a circunferência de raio r1 nos pontos T1e T2
6. Centrar o compasso no pontoT1 e com raio 1O’ marcar o ponto T3 na circunferência de raio r2.
T1T3 é a primeira tangente as duas circunferência.
7. Centrar o compasso no pontoT2 e com raio 2O’ marcar o ponto T4 na circunferência de raio r2.
T2T4 é a outra tangente as duas circunferência.
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA
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2. TANGÊNCIA ENTRE CIRCUNFERÊNCIAS:
PRIMEIRO PRINCÍPIO:CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES TÊM SEUS CENTROS E O PONTO DE TANGÊNCIA PERTENCENTES À MESMA RETA
ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
EXERCÍCIO:
TRAÇAR UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA QUE CONTENHA O PONTO P E TANGENCIE O ARCO DADO NO PONTO T.
DADOS O ARCO DE CENTRO O E OS PONTOS T E P 1. TRAÇAR A RETA OT.
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2. TRAÇARA A MEDIATRIZ DO SEGMENTO TP. 3. PROLONGAR A MEDIATRIZ ATÉ CORTAR A RETA OT.
A INTERSECÇÃO DAS DUAS RETAS É O PONTO O´, CENTRO DO ARCO PROCURADO.
ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
4. COM CENTRO EM O´ E RAIO O´T OU O´P , TRAÇAR O ARCO TANGENTE.
.
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA
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SEGUNDO PRINCÍPIO:
A MEDIATRIZ ENTRE OS CENTROS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS DE MESMO RAIO, É O LUGAR GEOMÉTRICO DOS CENTROS DE TODAS AS CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES, SIMULTANEAMENTE, AS DUAS.
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EXERCÍCIOS:
TRAÇAR ARCOS TANGENTES A DUAS CICUNFERÊNCIAS
a. TANGENTES EXTERIORES
TRAÇAR UM ARCO TANGENTE, SIMULTANEAMENTE, AS DUAS CIRCUNFERÊNCIAS. O PONTO T É UM DOS PONTOS DE TANGÊNCIA.
•DADOS: AS DUAS CIRCUNFERÊNCIA E O PONTO DE TANGÊNCIA T.
1. TAÇAR A RETA QUE CONTEM O CENTRO O´ E O PONTO T.
2. SOBRE ESTA RETA E A PARTIR DE T, MARCAR O RAIO DA CIRDUNFERENCIA DE CENTRO O, OBTENDO O PONTO A.
ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
3. TAÇAR A CIRCUNFERÊNCIA AUXILIAR COM CENTRO NO PONTO A E RAIO IGUAL AO DA CIECUNFERÊNCIA DE CENTRO NO PONTO O.
4. TAÇAR A MEDIATRIZ DO SEGMENTO OA.
ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
5. DETERMINAR O PONTO O´´, INTERSECÇÃO DA MEDIATRIZ COM A RETA TA
6. TAÇAR A RETA O´´ O , PROLONGAR ESTA RETA ATÉ ENCONTRAR O PONTO T´, SEGUNGO PONTO DE TANGÊNCIA.
7. TRAÇAR O ARCO COM CENTRO EM O´´ E RAIO O´´ T = O´´ T´.
ESTE É O ARCO TANGENTE AS DUAS CIRCUNFERÊNCIAS.
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA
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EXERCÍCIOS:
TRAÇAR ARCOS TANGENTES A DUAS CICUNFERÊNCIAS
b. TANGENTES INTERIORES
TRAÇAR UM ARCO TANGENTE, SIMULTANEAMENTE, AS DUAS CIRCUNFERÊNCIAS. O PONTO T É UM DOS PONTOS DE TANGÊNCIA.
•DADOS: AS DUAS CIRCUNFERÊNCIA E O PONTO DE TANGÊNCIA T.
1. TAÇAR A RETA QUE CONTEM O CENTRO O´ E O PONTO T.
2. SOBRE ESTA RETA E A PARTIR DE T, MARCAR O RAIO DA CIRDUNFERENCIA DE CENTRO NO PONTO O, OBTENDO O PONTO A.
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3. TAÇAR A CIRCUNFERÊNCIA AUXILIAR COM CENTRO NO PONTO A E RAIO IGUAL AO DA CIECUNFERÊNCIA DE CENTRO NO PONTO O.
4. TAÇAR A MEDIATRIZ DO SEGMENTO OA.
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5. DETERMINAR O PONTO O´´, INTERSECÇÃO DA MEDIATRIZ COM A RETA TA
6. TAÇAR A RETA O´´ O , PROLONGAR ESTA RETA ATÉ ENCONTRAR O PONTO T´, SEGUNGO PONTO DE TANGÊNCIA.
7. TRAÇAR O ARCO COM CENTRO EM O´´ E RAIO O´´ T = O´´ T´.
ESTE É O ARCO TANGENTE AS DUAS CIRCUNFERÊNCIAS.
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA