Apostila Pf e Correios

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CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto dos Números Naturais

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos

N* = N – {0} = {1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos Números Inteiros

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Conjunto dos Números Inteiros Não-Nulos

Z* = Z – {0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}

Conjunto dos Números Inteiros Não-Negativos

Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}

Conjunto dos Números Inteiros Não-Positivos

Z_ = {..., –3, –2, –1, 0}

Conjunto dos Números Inteiros Positivos

Z+* = Z+ – {0} = {1, 2, 3, ...}

Conjunto dos Números Inteiros Negativos

Z_* = Z_ – {0} = {..., –3, –2, –1}

Conjunto dos Números Racionais

Propriedades

Todo número que pode ser escrito na forma de fração é um número racional. Todo número inteiro é um número racional. Todo número decimal exato é um número racional. Toda dízima periódica, seja ela simples ou composta, é um número racional.

Conjunto dos Números Irracionais

MATEMÁTICA ALEX MAGNO

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e = 2,71828... = 3,14159...

Conjunto dos Números Reais

Conjunto dos Números Complexos

RESUMO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS (DIAGRAMA DE VENN)

Naturais e Inteiros

Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração. Afinal, eles representam divisões exatas.

Exemplos:

Decimais

Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando-se o número sem vírgula sobre 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja, após a virgula.

Exemplos:

Dizima Periódica Simples

Nem toda dízima pode ser escrita em forma de fração, só as periódicas. No caso das simples, elas possuem apenas uma parte periódica, ou seja, que se repete. Para transformar em fração, basta escrever o número que se repete, sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem.

Exemplos:


Dizima Periódica Compostas

No caso das compostas, elas possuem um parte não periódica (que não se repete) e outra parte periódica (que se repete). Para transformar em uma fração equivalente você pode escrever a parte não periódica seguida da parte periódica, menos a parte não periódica, tudo sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que estão após a vírgula.

Exemplos:

INTERVALOS REAIS

[a, b] =

]a, b[ =

[a, b[ =

]a, b] =

[a, + [ =

] –, a] =


] –, + [ = R

Observação

Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. Existem infinitos números primos.

Importante

Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC (a, b) = 1.

DIVISÃO EM N

Algoritmo da Divisão

Onde: a = bq + r Obs.: 0 R < |b| (sempre!!!)

Critérios de Divisibilidade

Divisibilidade Condição

por 2 Se terminar em número par.

por 3 Se a soma dos algarismos é múltiplo de 3.

por 4 Se seus dois últimos algarismos é 00 ou é um múltiplo de 4.

por 5 Se termina em 0 ou em 5.

por 6 Se é divisível por 2 e por 3.

por 8 Se seus três últimos algarismos é 000 ou é um múltiplo de 8.

por 9 Se a soma dos algarismos é múltiplo de 9.

por 10 Se termina em 0.

Extras

Divisibilidade por 7

Separa-se o algarismo das unidades do restante, então a diferença entre esse número e o dobro do algarismo das unidades, tem que ser divisível por 7.

Divisibilidade por 11

A diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par (ou somar e subtrair os algarismos alternadamente) resulta em um no divisível por 11.

Dica


O resto da divisão por 9 de um número natural é igual ao resto da divisão por 9 da soma dos algarismos desse número.

Múltiplos de um Número Natural

M(1) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...)M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...}..............................................M(x) = {0, x, 2x, 3x, 4x, 5x, ...}

Divisores de um Número Natural

D(1) = {1} D(2) = {1, 2} D(3) = {1, 3}D(4) = {1, 2, 4} D(5) = {1, 5} D(6) = {1, 2, 3}D(7) = {1, 7} D(8) = {1, 2, 4, 8}

Observação

Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. Existem infinitos números primos.

MMC e MDC

Máximo Divisor Comum (MDC)

Dados os inteiros a e b, dizemos que o inteiro c é divisor comum de “a” e “b” se, e somente se, c divide a, c divide b, ou seja, c

• DEFINIÇÃO DE MDC:

d = mdc (a, b) se somente se

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Dados os inteiros a e b, dizemos que c é múltiplo de a e b se, somente se, a divide c e b divide c.

• DEFINIÇÃO DE MMC

m = mmc (a, b) então:

Para qualquer a, b inteiros temos:

Exemplos:M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, ...} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, ...} D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}


MMC(12, 18) = 36 MDC(12, 18) = 6

Observação

Podemos calcular o MMC e o MDC de uma quantidade qualquer de números.

Importante

Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC(a, b) = 1.

Relação entre MMC e MDC

MMC(a, b) x MDC(a, b) = a x b

Números primos e compostos

• O inteiro “p” é chamado número primo se, se somente se, p 1, p –1 e os divisores de p = {–p, –1, 1, p}.

• O inteiro “a” é chamado número composto se admite mais de quatro divisores inteiros.

• Números de divisores do inteiro n.

Dado o inteiro n, |n| > 1, tal que:

n = , onde:

a, b, c, d são fatores primos de n e

x, y, z e w são números naturais não-nulos,

Então o número de divisores positivos de n é:

FRAÇÕES

Lembrando da Tia...

O símbolo significa:

a : b, sendo a e b números naturais e b diferente de ZERO.

Chamamos:

de fração;

a de numerador;

b denominador,

Se a é múltiplo de b, então é um número natural.

Veja um exemplo:


A fração é igual a 8 : 2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador.

Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2.

Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

O significado de uma fração

Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece.

Neste caso, qual é o significado de ?

Uma fração envolve a seguinte idéia:

Dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.

Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval

teria comido 3 partes:

CHOCOLATE

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate. Como se lê uma fração

As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...

um meio dois quintos

um terço quatro sétimos

um quarto8

7sete oitavos

um quinto quinze nonos

um sexto um décimo

um sétimo um centésimo

8

1um oitavo um milésimo

um nono oito milésimos

Classificação das frações

• Fração própria: o numerador é menor que o denominador:


Ex.: , , , ...

• Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.

Ex.: , , , ...

• Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.

Ex.: , , , ...

Frações equivalentes

Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

Exemplo: , , são equivalentes

Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

Portanto as frações , , , são algumas das frações equivalentes a 2.

Simplificação de frações

Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração

pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de .

A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível.

A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator.

Números fracionários

Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?

5 . X = 1

Substituindo X, temos:

X por 0 temos: 5.0 = 0


X por 1 temos: 5.1 = 5.

Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.

Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.

Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo número fracionário .

Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que:

X = , pois

Adição e subtração de números fracionários

Temos que analisar dois casos:

1°. Denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

Observe os exemplos:

2°. Denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações.

Exemplo: somar as frações e .

Obtendo o mmc dos denominadores temos:

mmc (5, 2) = 10.

• (10 : 5) . 4 = 8

• (10 : 2) . 5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


01.(FCC) Em uma eleição onde concorrem os candidatos A, B e C cada eleitor receberá uma célula com o nome de cada candidato e deverá atribuir número 1 a sua primeira escolha, o número 2 a sua segunda escolha, e o número 3 a sua terceira escolha. Ao final da eleição, sabe-se que todos eleitores votaram corretamente, e que a soma dos números atribuídos a cada candidato foi:

▪22 para A▪18 para B▪20 para C

Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a:a) 6b) 8c) 10d) 12e) 15 SOLUÇÃO:O total de pontos distribuídos foi

A + B + C = 60Cada eleitor tem que dar um total de

1 + 2 + 3 = 6 pontoslogo

60/6 = 10 eleitores

02. Dados os números a = , b = , c = e d = 5,384, coloque-os em ordem crescente.

SOLUÇÃO:Para comparar devemos observar a próxima casa decimal depois do 4 que diferencia quem é maior, logo

a = = 5,38444...b = = 5,3848484...c = = 5,384384384...

d = 5,384 = 5,384000...portanto

d < c < a < b

03. (FCC) Cada um dos 784 funcionários de uma repartição pública presta serviço em um único dos seguintes setores: administrativo (1), processamento de dados (2) e serviços gerais (3). Sabe-se que o número de funcionários do setor (2) é igual a 2/5 do número dos de (3). Se os funcionários do setor (1) são numericamente iguais a 3/8 do total de pessoas que trabalham na repartição, então determine a quantidade de funcionários de cada setor.

SOLUÇÃO:Sejam:

(1) Administrativo – x(2) Processamento – y(3) Serviços gerais – z

Como (1) é numericamente igual a 3/8 do total, temos:x = 3/8.784x = 294

Como (2) é igual a 2/5 do número de (3), temos:y = 2/5.z

Além dissox + y + z = 784294 + y + z = 784y + z = 490

Logo2/5.z + z = 4902z + 5z = 2450z = 350

portantoy + 350 = 490


y = 140

04. A empresa Alfa possui 54 funcionários, dentre os quais 30 são mulheres. Pretende-se dividir esses funcionários na menor quantidade de equipes não mistas. Determine o número máximo de pessoas que pode ficar em cada equipe, de modo que cada equipe tenha a mesma quantidade de pessoas.a) 120b) 12c) 9d) 6e) 3

SOLUÇÃO:Quando uma questão remeter a idéia de divisão em partes iguais, podemos suspeitar imediatamente que se trata de questão de mdc.Do total de 54 funcionários, se 30 são mulheres então 24 são homens.Para encontrar o maior número de pessoas em cada equipe não mista, devemos buscar o maior divisor comum de 30 e 24, ou seja, o mdc entre eles.

30, 24 215, 12 35, 4

Logo mdc (30, 24) = 2.3 = 6Portanto, teremos cinco equipes de mulheres e quatro equipes de homens, todas com 6 pessoas cada.

05. Duas torneiras A e B gotejam incessantemente. De A cai um pingo a cada 30 segundos e de B a cada 40 segundos. Se em um determinado instante caem simultaneamente pingos de A e B, determine de quantos em quantos minutos ocorre essa coincidência.a) 1b) 1,5c) 2e) 2,5

SOLUÇÃO:Essa questão remete a situação cíclica, o que caracteriza mmc.Logo, o menor múltiplo comum de 30 e 40 é o mmc entre eles, ou seja

30, 40 215, 20 215, 10 215, 5 35, 5 51, 1

Logo mmc (30, 40) = 2.2.2.3.5 = 120Portanto, a cada 120 segundos caem pingos simultâneos, ou seja, de 2 em 2 minutos.

06. Nas aulas de atletismo, o professor de Educação Física de uma escola tem turmas de até 60 alunos. Numa aula, tendo faltado alguns alunos, o professor decide formar grupos com o mesmo número de alunos. Ele começa separando os alunos de 6 em 6 e sobram 2. De 8 em 8, sobram 2. De 7 em 7, sobram 1. O jeito foi formar grupos com número diferente de alunos. Então, quantos eram os alunos?a) 30b) 40c) 50d) 60

SOLUÇÃO:O número de alunos (N) é menor que 60 e não é múltiplo de 6, 7 e 8.No entanto, o número (N – 2) é múltiplo de 6 e 8 ao mesmo tempo, pois quando dividimos N por 6 ou 8, deixa sempre resto 2.Como

MMC (6,8) = 24Temos que os múltiplos simultâneos de 6 e 8 (24, 48, 72, 96, ...), deixarão sempre resto zero.Portanto, N é um múltiplo de 24 mais 2, logo as possíveis soluções desse problema são

(26, 50, 74, 98, ...)Mas aqueles que são menores que 60 são


N = 26 ou N = 50 (divididos por 6 ou 8, sobra resta 2)Como N é um múltiplo de 7 mais 1 (quando divido por 7 deixa resto 1), temos:

N = 50.

07. (FCC) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, determine a menor quantidade de pacotes que ela poderá obter. a) 5c) 7c) 10d) 12e) 15

SOLUÇÃO:Devemos encontrar o maior número de canetas para que o número de caixas seja mínimo. Nessa caso, o maior divisor de 224 e 160 é o mdc entre eles, logo

224, 160 2112, 80 256, 40 228, 20 214, 10 27, 5

Logo mdc (224, 160) = 32Portanto

224/32 = 7 caixas com canetas tinta azul160/32 = 5 caixas com canetas tinta vermelha

Ou seja, um total de 12 caixas

08. Com relação aos números compreendidos entre 100 e 400, determine:

a) quantos números inteiros existe nesse intervalo?RESP.:Queremos apenas os números que estão “entre” os extremos 100 e 400, logo eles não entram na contagem.Como existem 399 números inteiros positivos que estão abaixo do 400, basta excluir de 1 a 100 (inclusive o 100) para encontrar quantos estão entre 100 e 400, logo

n = 399 – 100 = 299

b) quantos são múltiplos de 3?RESP.: Dividindo 400 por 3, encontramos o número de múltiplos positivos de 3 que estão abaixo de 400 e dividindo 100 por 3, encontramos o número de múltiplos positivos de 3 que estão abaixo de 100, ou seja

400 3 100 3(1) 133 (1) 33

Portanto, n = 133 – 33 = 100

c) quantos são múltiplos de 5?RESP.:

400 5 100 5 n = 79 – 20 = 59(0) 80 (0) 20 (79 estão abaixo de 400)

d) quantos são múltiplos de 3 e 5?RESP.: M(3) M(5) = M(15)

400 15 100 15 n = 26 – 6 = 20(10) 26 (10) 6

e) quantos são múltiplos de 3 ou 5?


RESP.:Sabendo que

n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)Então

n(AB) = 100 + 59 – 20n(AB) = 139

f) quantos não são múltiplos de 15?RESP.:

n = 299 – 20 = 279(total menos aqueles que são M(15))

09. Sejam m e n, dois números primos, tal que o produto deles é um número par e menor que 31. Determine o maior valor que um deles pode assumir.a) 11b) 13c) 15d) 17

SOLUÇÃO:Se m.n é um número par, então um deles tem que ser par.Como ambos são primos, então um deles tem que ser 2 (único número par e primo).Se m.n<31, então o maior primo que um deles pode é 13.

10. Considere dois números inteiros, a e b, consecutivos e positivos. Qual das expressões abaixo corresponde necessariamente a um número par?a) a + bb) 1 + abc) 2a + bd) 1 + a + b

SOLUÇÃO:Se “a” é um número inteiro, então seu consecutivo será “a+1”.Observe que se “a” for par (P), então b = “a+1” será ímpar (I).Portanto a + b = a + (a+1) = 2a + 1 (P + I = ímpar ou I + P = ímpar) 1 + ab = 1 + a(a+1) (1 + P.I = ímpar ou 1 + I.P = ímpar) 2a + b = 2a + a + 1 = 3a + 1 (P + I = ímpar ou I + I = par) 1 + a + b = 1+ a + (a+1) = 2a + 2 (P + P = par)

Então, somente 1+a+b será necessariamente par.

11. Determine o valor do algarismo X, tal que o número 321X8, seja divisível por 12.a) 2b) 3c) 4d) 6

SOLUÇÃO:Para o número ser divisível por 12, tem que ser divisível por 3 e 4 ao mesmo tempo. Para ser múltiplo de 3, a soma dos algarismos tem que ser múltiplo de 3.

Soma = 3+2+1+X+8 = 14+XM(3) X = 1, 4 ou 7

Para ser múltiplo de 4, os dois últimos dígitos devem formar um múltiplo de 4.X8 têm que ser múltiploM(4) X = 0, 2, 4, 6 ou 8

Portanto, X = 4 para ser múltiplo de 12.


EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01. (F.M. SANTA CASA-SP) Considere-se o número 313131A, onde A representa o algarismo das unidades. Se esse número é divisível por 4, então o valor máximo que A pode assumir é:

A) 0B) 2C) 4D) 6E) 8

02. (CESGRANRIO) Uma torneira enche um tanque em 4 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3 horas. Estando o tanque cheio, abrimos simultaneamente a torneira e o ralo. Então o tanque:A) nunca se esvaziaB) esvazia-se em 1 horaC) esvazia-se em 4 horasD) esvazia-se em 7 horasE) esvazia-se em 12 horas

03. (CESGRANRIO) Seja N o menor inteiro positivo cujo triplo é divisível por 9, 12 e 14. Então, a soma dos algarismos de N é:A) 16B) 15C) 14D) 13E) 12

04. (F.M. SANTA CASA-SP) A seguinte diferença 80,666.. _ 90,5 igual a:A) 2B) 1C)D)E)

05. Júnior possui uma fazenda onde recolhe 45 litros de leite de cabra por dia, que são utilizados na fabricação de queijo. Com cada 5 litros de leite, ele fabrica 1kg de queijo. O queijo fabricado é então dividido em porções de 125g que são empacotadas em dúzias. Cada pacote é vendido por R$ 6,00 . Quanto Júnior arrecada por dia com a venda do queijo?

a)R$ 35,00b)R$ 34,00c)R$ 33,00d)R$ 37,00e)R$ 36,00

06. (PRF) O valor de é de:

A) – 1/2B) 43/31C) 43/310D) 1/2E) 43/31

(CESPE) Texto para as questões 07 e 08

O Programa Nacional do Livro Didático e o Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio são realizados pela ECT em parceria com o Fundo Nacional de Desenvolvimentoda Educação. A operação consiste na entrega, todos os anos, de 100 milhões de livros didáticos a escolas públicas de ensino fundamental e médio de todo o Brasil, volume equivalente à metade de toda a produção gráfica do Brasil. Para a distribuição desses livros são realizadas viagens de carretas das editoras para os centros de tratamento da empresa instalados em pontos estratégicos do país. Nessas unidades, as encomendas são tratadas e, depois, entregues nas escolas.Internet: <www.correios.com.br> (com adaptações).QUESTÃO 22


07. Considerando que e 13% dos livros didáticos sejam distribuídos, respectivamente, para as regiões Nordeste e Norte,

então a quantidade, em milhões, de livros didáticos destinada a essas duas regiões pelos programas mencionados no texto éA) superior a 15 e inferior a 25.B) superior a 25 e inferior a 35.C) superior a 35 e inferior a 45.D) superior a 45.E) inferior a 15.QUESTÃO 2308. Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora apósA) 45 dias.B) 60 dias.C) 10 dias.D) 15 dias.E) 30 dias.

09. (CEF) Se x = (-2)3 – (–1)2 + (– 3)2 – (–2)2, então:A) x < – 8 B) – 8 < x < – 5C) – 5 < x < – 1D) – 1 < x < 7E) x > 7

10. (Magistério) Simplificando a expressão obtém-se:

A) 1/3B) 1C) 2D) 3E) 6

11. (AARE) Um negociante, num dia, recebeu 108 ovos, que os colocou em duas cestas. A um freguês vendeu 1/3 dos ovos da primeira cesta e a outro freguês vendeu 1/6 dos ovos da segunda cesta. As duas cestas têm agora o mesmo número de ovos. Quantos ovos havia em cada cesta.A) 65 e 43 B) 60 e 48 C) 50 e 58 D) 70 e 38 E) 55 e 53

12. (BB) A soma dos dois algarismos de um número é 12. Se trocarmos a ordem desses algarismos, o número aumenta em 18 unidades. Determine a terça parte desse número:

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

13.( CESPE) Um cliente comprou, em uma agência dos Correios, selos comemorativos dos 150 anos do nascimento do padre Landell de Moura e dos 150 anos de fundação da Caixa Econômica Federal (CAIXA). Para o pagamento desses produtos, o cliente entregou certa quantia em reais e notou que 3/4 dessa quantia correspondiam ao custo dos selos comemorativos dos 150 anos do padre Landell de Moura e1/5, ao custo dos selos comemorativos dos 150 anos da CAIXA.Nessa situação, com relação à quantia entregue para pagamento, o troco a que faz jus o cliente corresponde aA) 20%.B) 5%.C) 8%.D) 10%.


E) 12%.

14. (MPU) Numa divisão o divisor é 14, o quociente é 26 e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo.A) 496 B) 378 C) 377 D) 376 E) 372

15. (MPU) Que horas são agora, se 1/4 do tempo que resta do dia é igual ao tempo já decorrido.A) 8 horas B) 4 horas C) 4h 48 min D) 6h 48min E) 5h 48min

16.( CESPE) Considerando-se que 3 caixas de encomenda do tipo 2B e 3 caixas de encomenda do tipo flex correios custem, ao todo, R$ 12,00 e que 5 caixas do tipo 2B e 10 do tipo flex correios custem, ao todo, R$ 28,00, é correto afirmar que uma caixa do tipo 2B custaA) R$ 2,40.B) R$ 3,15.C) R$ 3,20.D) R$ 1,20.E) R$ 2,00.

17. (TRT) Um setor de uma repartição recebeu um lote de processos. Desse lote, cada funcionário arquivou 15 processos, restando 5 processos. Se cada funcionário tivesse arquivado 8 processos, restariam 33. O número de funcionários desse setor é:A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

18. (TRE) Dividindo-se um número natural X por 5, obtém quociente 33 e o resto é o maior possível. Esse número X é:A) menor que 1 centena B) maior que 2 centenasC) igual a 3 centenas D) quadrado perfeito E) cubo perfeito

19. (TTN) Duas estações, A e B, de uma linha férrea, distam 180 Km. Um trem parte da estação A para B com a velocidade de 10 m/s; no mesmo instante, parte de B para A, um segundo trem, com velocidade de 5 m/s. A que distância de A se encontrarão.

A) 100 Km B) 110 Km C) 115 Km D) 120 Km E) 125 Km

20. (CESPE) O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível. Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medirA) mais de 30 cm.B) menos de 15 cm.C) mais de 15 cm e menos de 20 cm.D) mais de 20 cm e menos de 25 cm.E) mais de 25 cm e menos de 30 cm.


21. (BB) Num escritório, 3 funcionários receberam 400 fichas cada um, para datilografar. Na hora do lanche o primeiro já havia cumprido 5/8 de sua tarefa, o segundo 3/5 e o terceiro 6/10. Quantas fichas restavam para ser datilografadas.

A) 470 B) 500 C) 610 D) 730 E) 950

22.( CESPE) Se 540 catálogos do tipo A e 340 do tipo B forem separados em lotes, de modo que cada lote contenha catálogos dos dois tipos e a mesma quantidade de catálogos de cada tipo, então a quantidade máxima de lotes em que poderão ser separados esses catálogos será igual aA) 20.B) 34.C) 54.D) 10.E) 17.

23. (TRT) Do total de ingressos para um espetáculo, 2/5 foram comprados por homens e 3/8 por mulheres. Se ainda restam 135 ingressos para serem vendidos, o número de ingressos comprados por homem foi:

A) 240 B) 270C) 320D) 450E) 600

24. (TRT) Um tanque é alimentado por duas torneiras. Se apenas a primeira torneira for aberta, o tanque ficará cheio em 2 horas. Se apenas, a segunda torneira for aberta, o tanque ficará cheio em 3 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, o tanque ficará cheio em:

A) 1 hora B) 1 hora e 2 minutos C) 1 hora e 12 minutosD) 1 hora e 20 minutos E) 1 hora e 30 minutos

25. (TJ-CE) Uma caixa d'água tem um vazamento que a esvazia em 8 horas. A torneira que a abastece pode enchê-la em 6 horas. Com a torneira aberta, em quanto tempo a caixa d'água ficará cheia.

A) 60h B) 12h C) 24hD) 36h E) 48h

26. (FCC) Uma pessoa inicia sua jornada de trabalho quando são decorridos 2/5 de um dia e a encerra quando são decorridos 7/9 do mesmo dia. Se parou 1 hora e 50 minutos para almoçar, ela trabalhou durante

A) 7 horasB) 7 horas e 4 minutosC) 7 horas e 14 minutosD) 7 horas e 28 minutosE) 7 horas e 36 minutos

27. (FCC) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de pacotes que El poderá obter é:

A) 8B) 10C) 12D) 14E) 16


28. (FCC) Do total de processos arquivados por um técnico judiciário,sabe-se que:3/8 foram arquivados numa primeira etapa e 1/4 numa segunda. Se os 9 processos restantes foram arquivados numa terceira etapa, o total de processos era:

A) 18B) 24C) 27D) 30E) 34

29. (FCC) Paulo digitou 1/5 das X páginas de um texto e Fábio digitou 1/4 do número de paginas restantes. A porcentagem de X que deixaram de ser digitadas é

A) 20%B) 25%C) 45%D) 50%E) 60%

30. (FCC) Bento e Caio tinham, juntos, R$ 96,00, Bento emprestou R$ 20,00 a Caio e restou-lhe a metade da quantia com que Caio ficou. Originalmente, Bento tinha

A) R$ 58,00B) R$ 56,00C) R$ 54,00D) R$ 52,00E) R$ 50,00

31. (FCC) Ao dividir o número 762 por um número inteiro de dois algarismos, Natanael enganou-se e inverteu a ordem dos dois algarismos. Assim, como resultado, obteve o quociente 13 e o resto 21. Se não tivesse se enganado e efetuasse corretamente a divisão, o quociente e o resto que ele obteria seriam, respectivamente, iguais a

A) 1 e 12B) 6 e 11C) 10 e 12D) 11 e 15E) 12 e 11

32. (FCC) Sabe-se que um número inteiro e positivo N é composto de três algarismos. Se o produto de N por 9 termina à direita por 824, a soma dos algarismos de N é

A) 11B) 13C) 14D) 16E) 18

33. (FCC) Três funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os três estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi

A) 18/11/02B) 17/09/02C) 18/08/02D) 17/07/02E) 18/06/02

34. (FCC) Um determinado serviço é realizado por uma única máquina em 12 horas de funcionamento ininterrupto e, em 15 horas, por uma outra máquina, nas mesmas condições. Se funcionarem simultaneamente, em quanto tempo realizarão esse mesmo serviço?

A) 3 horasB) 9 horasC) 25 horasD) 4 horas e 50 minutosE) 6 horas e 40 minutos


35.(ESAF) A Editora do livro Como ser aprovado no vestibular, recebeu os seguintes pedidos:

Livraria No de exemplaresA 130B 195C 390

A Editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais, de tal forma de n seja o menor possível. Calcule o valor de n.

36. (FCC) Uma pessoa gasta 1/4 do dinheiro que tem e, em seguida, 2/3 do que lhe resta, ficando com R$350,00. Quanto tinha inicialmente?

a) 1600b) 1400c) 1000d) 700

37. (FCC) Determine o valor do algarismo X, tal que o número 321X8, seja divisível por 12.a) 2b) 3c) 4d) 6

38. (CESPE) Um número inteiro positivo de três algarismos termina em 7. Se este último algarismo for colocado antes dos outros dois, o novo número assim formado excede de 21 o dobro do número original. Qual é o número inicial?

39. No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes "piscam" com freqüências diferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?a) 12b) 10c) 20d) 15e) 30

40. (FCC) Existem, para doação a escolas, 2000 ingresssos de um espetáculo e 1575 de outro. Cada escola deve receber ingressos para somente um dos espetáculos e todas as escolas devem receber a mesma quantidade de ingressos. Distribuindo-se todos os ingressos, o número mínimo de escolas que poderão ser contempladas nessa doação éa) 117b) 123c) 128d) 135e) 143

41. (CESPE) De uma praça partem, às 6 horas da manhã, dois ônibus A e B. Sabe-se que o ônibus A volta ao ponto de partida a cada 50 minutos, e o ônibus B, a cada 45 minutos.O primeiro horário, após as 6 horas, em que os ônibus partirão juntos éa) 7 horas e 35 minutos.b) 11 horas e 35 minutos.c) 11 horas e 50 minutos.d) 13 horas e 30 minutos.e) 13 horas e 50 minutos.

42. Seja X o maior número inteiro de 4 algarismos que é divisível por 13 e Y o menor número inteiro positivo de 4 algarismos que é divisível por 17. A diferença X-Y é um númeroa) primo.b) múltiplo de 6.c) menor que 5000.d) quadrado perfeito.e) divisível por 5.


43. (Cesgranrio) Se p/q é a fração irredutível equivalente à dízima periódica 0,323232... , então q-p vale:a) 64.b) 67.c) 68.d) 69.e) 71.

44. Em uma divisão cujo divisor é 29, temos o quociente igual a 15. Sabendo-se que o resto desta divisão é o maior possível, podemos afirmar que seu dividendo é igual aa) 797.b) 407.c) 391.d) 435.e) 463.

45. Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representação decimal de x/y é a dízima periódica 7,363636...Então, o valor de x + y + z éa) 190.b) 193.c) 191.d) 192.

46. Os números x e y são tais que 5≤x≤10 e 20≤y≤30. O maior valor possível de x/y éa) 1/6b) 1/4c) 1/3d) 1/2e) 1

47. Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por:a) 1/125.b) 1/8.c) 8.d) 12,5.e) 80.

48. (Unesp) Um prêmio da sena saiu para dois cartões, um da cidade A e outro da cidade B. Nesta última, o cartão era de 6 apostadores, tendo cada um contribuído com a mesma importância para a aposta. A fração do prêmio total, que cada apostador da cidade B receberá, é:a) 1/6b) 1/8c) 1/9d) 1/10e) 1/12

49. (Uel) Considere dois rolos de barbante, um com 96 m e outro com 150 m de comprimento. Pretende-se cortar todo o barbante dos dois rolos em pedaços de mesmo comprimento. O menor número de pedaços que poderá ser obtido éa) 38b) 41c) 43d) 52e) 55

50. (Uel) Para levar os alunos de certa escola a um museu, pretende-se formar grupos que tenham iguais quantidades de alunos e de modo que em cada grupo todos sejam do mesmo sexo. Se nessa escola estudam 1.350 rapazes e 1.224 garotas e cada grupo deverá ser acompanhado de um único professor, o número mínimo de professores necessários para acompanhar todos os grupos nessa visita éa) 18b) 68c) 75


d) 126e) 143

51. (Puccamp) De uma estação rodoviária, partem ônibus para São Paulo a cada 30 minutos, para Araraquara a cada 6 horas e para Ribeirão Preto a cada 8 horas. No dia 05/12/99, às 7h, partiram ônibus para as três cidades. Essa coincidência deverá ter ocorrido uma outra vez àsa) 19h do dia 05/12/99b) 23h do dia 05/12/99c) 12h do dia 06/12/99d) 15h do dia 06/12/99e) 7h do dia 07/12/99

52. (Ufc) Determine o número inteiro n que satisfaz simultaneamente às seguintes condições:a) n está compreendido entre 6000 e 7000;b) n dividido por 35, ou por 45, ou por 50 deixa sempre resto 11.

53. (Uff) Pesquisas apontam que os riscos decorrentes do consumo excessivo de cafeína variam de uma pessoa para outra.Podem-se considerar, tratando-se de uma pessoa de 70 kg, os seguintes números:

Consumo de cafeína (mg/dia): De 300 a 500Sintomas: Melhora os reflexos e estimula a mente e os músculosConsumo de cafeína (mg/dia): Acima de 500Sintomas: Pode trazer ansiedade e insônia e causar efeitos mais intensos como taquicardia e gastriteConsumo de cafeína (mg/dia): Próximo do limite extremo de 3.500Sintomas: Pode ser fatal

Os valores médios de cafeína presentes em algumas bebidas normalmente consumidas pelos brasileiros são:

- Em uma xícara de café expresso: 70mg- Em uma xícara de chá preto: 40mg- Em uma caneca de chocolate ao leite: 11mg- Em uma xícara de café coado em coador de papel: 110mg- Em uma lata de refrigerante tipo "cola": 31mg

Adaptado de "Galileu", nº 94, ano 8, maio/1999.

Certa pessoa de 70 kg consome, diariamente, apenas a quantidade de cafeína presente nas duas latas de refrigerante tipo "cola" que ela bebe: uma no almoço, outra no jantar.Com base nas informações fornecidas acima, conclui-se que o maior número inteiro de xícaras de café expresso que tal pessoa poderá consumir por dia, além daquelas duas latas de refrigerante, sem ultrapassar o consumo diário de 500mg de cafeína, é:a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

54. (Cesgranrio) Considere os números inteiros abc e bac, onde a, b e c são algarismos distintos e diferentes de zero, e a>b. A diferença abc-bac será sempre um múltiplo de:a) 4b) 8c) 9d) 12e) 20

55. (CESPE) Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora apósA 45 dias.B 60 dias.


C 10 dias.D 15 dias.E 30 dias.

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

D E E B E A B B C E

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B D B C C A A D D A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

A A A C C C C B E D

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

C C D E 11 B C 357 E E

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

D B B E C D C E B A

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

E 6311 C C B

RAZÕES E PROPORÇÕES

1. RAZÃO

A razão entre dois números a e b 0, nessa ordem, é o quociente .

O número a é chamado antecedente ou primeiro termo e o número b é chamado conseqüente ou segundo termo.

Exemplos

A razão entre 3 e 2 é 1,5, pois = 1,5

E a razão entre 2 e 10 é 0,2, pois = 0,2.

2. PROPORÇÃO

Os números a, b, c e d, com b 0 e d 0, formam, nessa ordem, uma proporção se, e somente se, a razão entre a e b for igual à razão entre c e d. Representa-se por:

e lê-se: a está para b, assim como c está para d

Os números a e d são chamados extremos e os números b e c são chamados meios.

Exemplo

Os números 4, 2, 6, e 3 formam, nessa ordem, uma proporção, pois = 2 e = 2.


Escreve-se = e lê-se: 4 está para 2, assim como 6 está para 3.

3. PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

Se os números a, b, c e d formam, nessa ordem, uma proporção, então:

I.

Costuma-se dizer: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

II.

Costuma-se dizer: a soma dos dois primeiros está para o segundo, assim como a soma dos dois últimos esta para o último.

II.

Costuma-se dizer: a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como cada antecedente está para o correspondente con-seqüente

4. GRANDEZAS PROPORCIONAIS

A notação A = (a1, a2, a3,...) é utilizada para indicar que a1, a2, a3,... são valores assumidos pela grandeza A.

Ao escrever, num dado problema, que A = (a1, a2, a3,...) e B = (b1, b2, b3,...), queremos dizer que quando a grandeza A assumir o valor a1, a grandeza B assumirá o valor b1. Queremos dizer, portanto, que a1 e b1 são valores correspondentes das grandezas A e B. Analogamente, a2 e b2 são valores correspondentes, o mesmo acontecendo com a3 e b3 e, assim, sucessivamente.

• Grandezas diretamente proporcionais (GDP)

Uma grandeza A é diretamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, as razões entre os valores de A e os correspondentes valores de B são iguais. Se A= (a1, a2, a3,...) e B = (b1, b2, b3,...) forem grandezas diretamente proporcionais, então:

e o número k é a constante de proporcionalidade.

Exemplo 1

A tabela a seguir:

DISTÂNCIA (km)

80 160 240 ...

TEMPO (horas)

1 2 3 ...

Dos valores das grandezas tempo (em horas) e distância (em quilômetros) da viagem de um trem com velocidade constante de 80km/h, nos mostra que:


e que, portanto, o tempo e a distância, neste exemplo, são grandezas diretamente proporcionais (GDP).

Exemplo 2

Sabendo-se que (2, 3, x) e (6, y, 15) são sucessões diretamente proporcionais, determinar x e y.

Resolução

Se (2, 3, x) e (6, y, 15) são G.D.P., então:

De , temos:

De , temos:

Resposta: x = 5 e y = 9

• Grandezas inversamente proporcionais (GIP)

Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, os produtos entre os valores de A e os correspondentes de B são iguais. Se A = (a1, a2, a3, ...) e B = (b1, b2, b3,...) forem grandezas inversamente proporcionais, então:

e o número k é a constante de proporcionalidade.Exemplo 1

A tabela a seguir:

VELOCIDADE (km/h)

40 80 120 ...

TEMPO (horas) 6 3 2 ...

Dos valores das grandezas velocidade (em quilômetros por hora) e tempo (em horas) da viagem de um trem, numa distância de 240km, nos mostra que:

e que, portanto, nesse exemplo, a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais (GIP).

Exemplo 2

Sabendo-se que (x, 3, 4) e (2, y, 6) são sucessões inversamente proporcionais, determine x e y.

Resolução

Se (x, 3, 4) e (2, y, 6) são GIP, então: 2x = 3y = 24De 2x = 24, temos x = 12De 3y = 24, temos y = 8Respostas: x = 12 e y = 8

► OBSERVAÇÕES:


I. Se a grandeza A (a1, a2, a3, ...) for inversamente proporcional à grandeza B (b1, b2, b3, ...), então A será diretamente

proporcional à grandeza , ou seja:

II. Existem grandezas que não são nem diretamente proporcionais e nem inversamente proporcionais. A tabela a seguir, por exemplo,

LADO (cm) 2 4 6 ...

ÁREA (cm2)

4 16 36 ...

Dos valores das grandezas lado de um quadrado (em cm) e área do quadrado (em cm2) nos mostra que:

e

e, portanto: as grandezas medida do lado do quadrado e medida da área do quadrado não são nem diretamente proporcionais e nem inversamente proporcionais.

III. Ao dizer "A e B são grandezas proporcionais" subentende-se que são "grandezas diretamente proporcionais".

5. DIVISÃO PROPORCIONAL

• Divisão em partes diretamente proporcionais

Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b, e c significa determinar os números x, y e z, de tal modo que:

l. as seqüências (x, y, z) e (a, b, c) sejam direta-mente proporcionais.

II.x + y + z = N

Para isso, usando a definição de GDP e as propriedades das proporções, podemos usar a seguinte técnica operatória:

• Divisão em partes inversamente proporcionais

Dividir um número M em partes inversamente proporcionais aos números m, n e p é o mesmo que dividir M em partes diretamente proporcionais aos inversos de m, n e p, com .



R1. Um produto que custa R$ 18,00 para ser fabricado é vendido por R$ 27,00. Determinar a razão entre:

a) o preço de venda e o de custo.b) o lucro e o preço de venda.

Resolução:

Sendo C o preço de custo, V o preço de venda e L o lucro, temos:

a)

b)

Resposta: a) 1,5 b)

R2. Determinar x na proporção:

Resolução:

Supondo x 6

Resposta: x = 4

R3. Se (3, x, 14,...) e (6, 8, y,...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é:

a) 20 b) 22 c) 24 d) 28 e) 32

Resolução:

Se (3, x, 14,...) e (6, 8, y,...) forem grandezas diretamente proporcionais, então:

De , temos:

De , temos:

Assim sendo, x + y = 32

Resposta: letra ER4. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são grandezas inversamente proporcionais.

Resolução:Se (1, 2, x,...) e (12. y, 4,...) forem grandezas inversamente proporcionais, então:


e e x = 3Resposta: x = 3 e y = 6

R5. Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5.

Resolução:Sendo x, y e z as partes, temos:

Resposta: As partes são: 32, 48, 80.

R6. Dividir o número 81 em três partes inversamente proporcionais aos números: , e 1.

Resolução:

O problema equivale a: “dividir” 81 em partes diretamente proporcional aos inversos 2, e 1.

Assim, sendo x, y e z partes, temos:

Resposta: As partes são; 36, 27 e 18.R7. Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa das

idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 3ª pessoa 48 anos e 6 filhos.

Resolução:

Se x, y e z forem as quantias que cada uma das 3 pessoas deve receber, então:

Resposta:


A primeira pessoa deve receber R$ 120.000,00, a segunda R$ 150.000,00 e a terceira R$ 225.000,00.


01. (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:A) x = 1 e y = 6 B) x = 2 e y = 12C) x = 1e y = 12 D) x = 4 e y = 2E) x = 8 e y = 12

02. (FUVEST) São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maior. Então a, b e c são, respectivamente, proporcionais a:A) 1, 2 e 3 B) 1, 2 e 5 C) 1, 3 e 4D) 1, 3 e 6 E) 1, 5 e 12

03. (MACK) Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é: A) 35

B) 49 C) 56 D) 42 E) 28

04. (UFLA) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente:A) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00B) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00C) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00D) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00E) R$ 12.000,00; R$ 13.000.00e R$ 15.000,00

05. (MACK) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos números , , , obtêm-se, respectivamente:

A) 330, 220 e 110 B) 120, 180 e 360C) 360, 180 e 120 D) 110, 220 e 330E) 200, 300 e 160

06. (BNB) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 60 não foram vacinadas e 92 vacinadas morreram. Entre as galinhas vacinadas, qual a razão do número de mortas para o número de vivas?

07. (AARE) Uma mistura apresenta 0,5 dal de água e 100 dl de álcool. Dentre as razões apresentadas, a razão falsa é:

A) água e mistura =

B) álcool e água =


C) água e álcool =

D) mistura e água =

E) álcool e mistura =

08. (TRE) Em uma Repartição Pública, o número de funcionários do sexo masculino equivale a 5/8 do número total de funcionários. A razão entre o número de homens e o de mulheres que trabalham nessa repartição e, nessa ordem:A) 3/8 B) 2/5 C) 1/2 D) 5/3 E) 4/5

09. (PETROBRÁS) Uma jarra contém uma mistura de suco de laranja com água, na proporção de 1 para 3, e outra jarra contém uma mistura de suco de laranja com água na proporção de 1 para 5. Misturando partes iguais dos conteúdos das jarras, obteremos uma mistura de suco de laranja com água na proporção de:A) 1 para 4 B) 3 para 11C) 5 para 19 D) 7 para 23 E) 25 para 32

10. (BB) Se a razão entre o valor bruto e o líquido de certo salário é de 6/5, a fração do salário líquido que foi descontada é:A) 1/5 B) 1/6 C) 2/5 D) 2/6 E) 5/6

11. (TRE) Num teste com 20 questões, uma pessoa acertou 12 questões. Determine a razão do número de questões erradas para o número total de questões:A) 2/5 B) 3/4 C) 2/3 D) 4/6 E) NDR

12. (CJF) A sucessão x, y, z é formada com números inversamente proporcionais a 12, 8 e 6 e o fator de proporcionalidade é 24. O valor de x, y, z é:A) 2, 3, 6 B) 3, 5, 7 C) 2, 4, 6 D) 3, 6, 8 E) 2, 3, 4

13. (AFRE) e 2x + 3y – z = 42, então 3x + 2y + z é igual a:

A) 91 B) 93 C) 95 D) 97 E) 99

14. (BB) Se dois capitais estão entre si na razão de 8 para 3 e o maior deles excede o menor em $ 25.000,00, então a soma desses capitais é de:A) $ 75.000,00 B) $ 70.000,00 C) $ 65.000,00D) $ 60.000,00 E) $ 55.000,00


15. (BEC) Qual a fração equivalente a 7/3, cuja diferença entre os termos é 16.

16. (TRT) Relativamente aos funcionários de uma empresa, sabe-se que o número de homens excede o número de mulheres em 30 unidades. Se a razão entre o número de mulheres e o de homens, nessa ordem, é 3/5, qual o total de funcionários dessa empresa.A) 45 B) 75 C) 120 D) 135 E) 160

17. (TRT) Os salários de duas pessoas estão entre si na razão de 3:4. Se o triplo do menor dos salários menos o dobro do outro é igual a $ 14.000,00, o maior salário é:A) $ 42.000,00 B) $ 48.000,00 C) $ 50.000,00D) $ 52.000,00 E) $ 56.000,00

18. (BB) Certa herança foi dividida de forma diretamente proporcional às idades dos herdeiros, que tinham 35, 32 e 23 anos. Se o mais velho recebeu $ 525.000,00, quanto coube ao mais novo.A) $ 230.000,00 B) $ 245.000,00 C) $ 325.000,00D) $ 345.000,00 E) $ 350.000,00

19. (BB) Jorge, Franz e Salim fizeram em conjunto, uma aposta na loteca e ganharam $ 1.500.000,00. Sabendo que suas contribuições foram de $ 15,00, $ 25,00 e $ 35,00 respectivamente e que o prêmio foi distribuído proporcionalmente à contribuição de cada apostador, pode-se dizer que Franz recebeu:A) $ 300.000,00 B) $ 400.000,00 C) $ 500.000,00D) $ 600.000,00 E) $ 700.000,00

20. (BB) Certa quantia foi repartida em três partes proporcionais a 2, 5 e 8. Se a soma das duas primeiras partes é $ 280.000,00 qual o valor da terceira parte.A) $ 80.000,00 B) $ 140.000,00 C) $ 200.000,00D) $ 300.000,00 E) $ 320.000,00

21. (TFR) Paulo, Antônio e Francisco ganham juntos o prêmio da loteria esportiva, que foi dividido em partes inversamente proporcionais aos números 1/2; 0,25 e 0,75, respectivamente. Sabendo-se que Paulo recebeu $ 30,00 mais do que Francisco, o total do prêmio rateado foi de $:A) 300,00 B) 310,00 C) 320,00 D) 330,00 E) 350,00


22. (ARRE) Carlos, Alberto e Jorge associaram-se entrando cada um com $ 9.000,00; $ 10.000,00 e $ 12.000,00, respectivamente. O primeiro permaneceu na sociedade durante um ano, o segundo durante 8 meses e o terceiro 6 meses. As operações sociais causaram um prejuízo de $ 13.000,00. Qual a parte do prejuízo de Alberto para ressarcimento aos credores.A) $ 3.600,00 B) $ 6.400,00 C) $ 3.000,00D) $ 5.400,00 E) $ 4.000,00

23. (TTN) Distribuir o lucro de $ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo que o primeiro aplicou $ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou $ 20.000,00 durante 11 meses.A) $ 18.000,00 e $ 10.200,00 B) $ 21.000,00 e $ 7.200,00C) $ 20.000,00 e $ 8.200,00 D) $ 18.200,00 e $ 10.000,00E) $ 21.600,00 e $ 6.600,00

24. (TTN) Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de $ 28.000,00. O sócio A empregou $ 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o sócio B empregou $ 15.000,00 durante 1 ano. O lucro do sócio A foi de:A) $ 8.000,00 B) $ 10.000,00 C) $ 12.000,00D) $ 14.000,00 E) $ 16.000,00

25. (FCC) Considere que a carência de um seguro-saúde é inversamente proporcional ao valor da franquia e diretamente proporcional à idade do segurado. Se o tempo de carência para um segurado de 20 anos, com uma franquia de R$ 1.000,00 é 2 meses, o tempo de carência para um segurado de 60 anos com uma franquia de R$ 1.500,00 A) 4 mesesB) 4 meses e meioC) 5 mesesD) 5 meses e meioE) 6 meses

26. (FCC) Um total de 141 documentos devem ser catalogados por três técnicos judiciários. Para cumprir a tarefa, dividiram os documentos entre si, em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 24, 36 e 42 anos. Nessas condições, o número de documentos que coube ao mais jovem foiA) 78B) 63C) 57D) 42E) 36

27. (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição judiciária.

Idade(em anos)

Tempo de Serviço (em anos)

JOÃO 36 8

MARIA 30 12

Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo eraA) 40B) 41C) 42D) 43E) 44


28. (FCC) Certo mês, os números de horas extras cumpridas pelos funcionários A, B e C foram inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na empresa. Se A trabalha há 8 meses, B há 2 anos, C há 3 anos e, juntos, os três cumpriram um total de 56 horas extras, então o número de horas extras cumpridas por B foiA) 8B) 12C) 18D) 24E) 36

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

C C B C A ¼ D D C A

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A E B E 28/16 C E D C E

21 22 23 24 25 26 27 28

D E E C A B C B

REGRA DE TRÊS

1. REGRA DE TRÊS SIMPLES

Definição

Sendo a e b dois valores da grandeza A e, c e d os valores, correspondentes da grandeza B, chama-se de regra de três simples ao processo prático para determinar um desses quatro valores, sendo conhecidos os outros três.

Técnica Operatória

GRANDEZA A GRANDEZA B

aa CC

bb DD

Se A e B forem grandezas diretamente proporcionais, então:

Se A e B forem grandezas inversamente proporcionais, então:

2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Definição

Chama-se regra de três composta ao método prático empregado para resolver problema análogo ao da regra de três simples, só que envolvendo mais de duas grandezas proporcionais.


Propriedades

1. Se uma grandeza A(a1, a2, ...) é diretamente proporcional a uma grandeza B(b1, b2,...) e a uma grandeza C(c1, c2,...), então:

ou seja: A é diretamente proporcional ao produto das grandezas B e C.

2. Se uma grandeza A(a1, a2, ...) é diretamente proporcional a uma grandeza B(b1, b2,...) e inversamente proporcional a uma grandeza C(c1, c2,...), então:

3. Se uma grandeza A(a1; a2; ...) é diretamente proporcional às grandezas B(b1; b2; ...), C(c1; c2; ...), D(d1; d2; ...) e E(e1; e2; ...), então:

Técnica operatória

Tomemos o seguinte exemplo:

• Com 16 máquinas de costura, aprontaram-se 720 uniformes em 3 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2160 uniformes em 24 dias?

GrandezaNúmero de máquinas

Número de uniformes

Número de dias

VALORES16 720 3

X 2160 24

A grandeza número de máquinas, em que está a incógnita, deve ser comparada com as grandezas número de uniformes e número de dias. Assim:

I. número de máquinas e número de uniformes são grandezas diretamente proporcionais, pois, para o mesmo número de dias, quanto maior o número de máquinas, maior será o número de uniformes.

II. número de máquinas e número de dias são grandezas inversamente proporcionais, pois, para o mesmo número de uniformes, quanto maior o número de máquinas, menor será o número de dias gastos.

► Assim:

máquinas


R1. Calcular a altura de uma torre que projeta uma sombra de 28,80m no mesmo instante em que uma árvore de 4,2m de altura, plantada verticalmente, projeta uma sombra de 3,6m.

Resolução:

► Aplicando a técnica operatória da Regra de Três Simples, temos:


ALTURA SOMBRA

x 28,8

4,2 3,6

► Como a altura e a sombra são G.D.P., temos:

Resposta: A altura da torre é 33,6m.

R2. A ração existente em um quartel de cavalaria é suficiente para alimentar 30 cavalos durante 30 dias. Quantos dias duraria a ração se existissem apenas 20 cavalos?

Resolução:

► Aplicando a técnica operatória da Regra de Três Simples, temos:

NÚMERO DE CAVALOS

NÚMERO DE DIAS

30 30

20 x

► Como as duas grandezas são inversamente proporcionais, temos:

Resposta: A ração duraria 45 dias.

R3. Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia abriram um canal de 238 metros de comprimento em 17 dias, quantos operários serão necessários para abrir 686 metros do mesmo canal em 25 dias de 7 horas de trabalho?

Resolução:

► Pela técnica operatória da Regra de Três Composta, temos:

NÚMERO DE

OPERÁ-RIOS

NÚMERO DE HORAS POR DIA

COMPRI-MENTO

NÚME-RO DE

DIAS

25 10 238 17

x 7 686 25

► Comparando a grandeza número de operários com as demais, temos:

Número de operários e Número de horas são GIP.Número de operários e Comprimento são GDP.Número de operários e Número de dias são GIP.

► Assim sendo:


Resposta: Serão necessários 70 operários.


01. Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11900m2?A) 7 horas B) 5 horas C) 9 horas D) 4 horas

02. (FAAP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150000 impressões. Em quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100000 impressões?A) 20 B) 15 C) 12 D) 10 E) 5

03. (PUCAMP) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o número de peças produzidas seria de:A) 1000 B) 2000 C) 4000 D) 5000 E) 8000

04. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?A) 3 B) 2 C) 4 D) 6 E) 5

05. (CJF) Uma torneira despeja 180 litros de água em 9 minutos. Quantos litros despejam em 2 horas e um quarto.A) 2.345 B) 1.800 C) 1.890 D) 2.360 E) 2.700

06. (CJF) Se cada passo que você dá equivale a 0,6m; quantos passos você dará para andar 2,4km.A) 4.000 B) 400 C) 40.000 D) 3.600 E) 400.000

07. (CJF) Se 8 homens, trabalhando 10 dias, durante 8 horas diárias, fazem 2/5 de uma obra, quantos dias serão necessários para 10 homens trabalhando 6 horas por dia, terminarem o resto da obra.A) 16 B) 12 C) 14 D) 13


E) 9

08. (TST) O motorista de um automóvel deseja fazer em 8 dias um trajeto já feito anteriormente em 10 dias de 5 horas com a velocidade de 60 Km/h. Quantas horas por dia deverá fazer, se aumentar a velocidade da quarta parte da anterior.A) 8h por dia B) 7h por dia C) 4h por diaD) 5h por dia E) 6h por dia

09. (TRE) Um carro percorre uma distância de 240 Km. Quantos quilômetros percorrerá se quadruplicarmos sua velocidade média e reduzirmos a 1/3 o tempo do percurso.A) 360 B) 320 C) 350 D) 280 E) 275

10. (AFRE) Se 8 homens, trabalhando 8 horas por dia, levam 8 dias para fabricar 8 unidades de um artigo, então, em 12 dias, o número de unidades do mesmo artigo fabricado por 12 homens de mesma capacidade de trabalho que os primeiros, trabalhando 12 horas por dia, é:

A) 12 B) 24 C) 27 D) 32E) 35

11. (AFRE) Uma creche tem alimentos suficientes para alimentar 18 crianças durante 45 dias. Após 30 dias recebe mais 12 crianças. Quantos dias durará o alimento?A) 7 dias B) 6 dias C) 12 dias D) 9 dias E) 5 dias

12. (BB) Uma indústria dispõe de 15 máquinas produzindo, cada uma, 120 peças por dia. Quantas peças a empresa produzirá diariamente, se aumentar em 20% o seu parque de máquina.A) 1.920 B) 2.160 C) 2.196 D) 2.220 E) 2.232

13. (BB) Com 210 sacos de farinha, de 60 quilos cada um, podem-se fazer 180 sacos de pães com 40 Kg cada um. Quantos quilogramas de farinha serão necessários para produzir 120 sacos de pães, pesando 80 Kg cada um:A) 9.450 B) 9.600 C) 16.800 D) 20.800 E) 21.600

14. (BEC) 12 animais durante 20 dias comeram 400Kg de farelo. Quantos animais comeriam 600 Kg de farelo durante 24 dias.A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15


15. (TRT) Quinze impressoras, todas de igual rendimento, produzem durante um certo período de tempo 51.000 impressos. Se 7 daquelas máquinas forem desligadas, p número de impressos que serão produzidos pelas restantes, no mesmo período de tempo é;A) 27.200 B) 26.400 C) 25.800 D) 24.500 E) 23.800

16. (FCC) Um veículo percorre os 5/8 de uma estrada em 4 horas, à velocidade média de 75 km/h. Para percorrer o restante dessa estrada em 1 hora e 30 minutos, sua velocidade média deverá serA) 90 km/hB) 100 km/hC) 115 km/hD) 120 km/hE) 125 km/h

17. (FCC) Juntas, quatro impressoras de mesma capacidade operacional são capazes de tirar 1800 cópias iguais em 5 horas de funcionamento ininterrupto. Duas dessas impressoras tirariam a metade daquele número de cópias se operassem, juntas, por um período contínuo deA) 2 horas e 30 minutosB) 5 horasC) 7 horas e 30 minutosD) 10 horasE) 12 horas e 30 minutos

18. (FCC) Uma máquina corta 15 metros de papel por minuto. Usando-se outra máquina, com 60% da capacidade operacional da primeira, é possível cortar 18 metros do mesmo tipo de papel em

A) 1 minuto e 20 segundosB) 1 minuto e 30 segundosC) 2 minutosD) 2 minutos e 15 segundosE) 2 minutos e 25 segundos

19. (FCC) Suponha que quatro técnicos judiciários sejam capazes de atender, em média, 54 pessoas por hora. Espera-se que seis técnicos, com a mesma capacidade operacional dos primeiros, sejam capazes de atender, por hora, a quantas pessoas?A) 71B) 75C) 78D) 81E) 85

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

A E C E E A A D B C

11 12 13 14 15 16 17 18 19

D B C E A D B C D

PORCENTAGEM E JUROS

1. NOÇÃO DE PORCENTAGEM


Porcentagem é uma fração de denominador 100. Assim, ao escrevermos p% estamos representando o número .

Exemplos:

1.

2.

3.

4. , pois

5. , pois

6. de 400 é igual a 100, pois

7. 32 é 80% de 40, pois 80% de 40

8. 40 é 125% de 32, pois 125% de

9. de y = y% de

Observação: e lê-se “p por mil”

2. AUMENTO E DESCONTO

• Aumento

I. Aumentar um valor x de p% equivale a multiplicá-lo por (100 + p)%, pois:

º


II. Aumentar um valor x de 20%, por exemplo, equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois:

1,20x

III. Aumentar um valor x de 70% equivale a multiplicá-lo por 1,70.

IV. Aumentar um valor x de 200% equivale a multiplicá-lo por 3, pois:

• Desconto

I. Diminuir um valor x de p% equivale a multiplicá-lo por (100 – p)%, pois

II. Diminuir um valor x de 20%, por exemplo, equi-vale a multiplicá-lo por 0,80, pois:

III. Diminuir um valor x de 40% equivale a multiplicá-lo por 0,60.

• Aumentos de descontos sucessivos

I. Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de 21% (e não de 20%), pois:

II. Dois descontos sucessivos de 10% equivalem a um único desconto de 19% (e não de 20%), pois:

III. Um aumento de 10% seguido de um desconto de 10% equivalem a um único desconto de 1%, pois:

3. JUROS

• Juros simples


Denominamos juros simples aqueles que são calculados sempre a partir do capital inicial. Os juros simples são, portanto, diretamente proporcionais ao capital e ao tempo de aplicação.

Assim sendo, um capital C aplicado a uma taxa de i% ao período, durante t períodos, rende juros j, tais que:

IMPORTANTE: “Lembre-se que a taxa i e o tempo t devem sempre se referir ao mesmo período”


R1. Os números 8%, (7%)2, e 30% de 4,2 são, respectivamente, iguais a:

a) 0,08; 49%; 2%; 126 b) 0,08; 49; 20%; 126c) 0,08; 0,49%; 20%; 1,26 d) 0,3; 0,49%; 20%; 12,6e) 0,8; 0,49%; 20%; 1,26Resolução:

Resposta: C

R2. Numa cidade de 50000 habitantes, 42000 têm menos de 40 anos de idade. Qual a porcenta-gem dos que têm 40 anos ou mais?

Resolução:► De acordo com o enunciado o número de habitantes que têm 40 anos ou mais é 50000 – 42000 = 8000.► Se p% for a porcentagem dos habitantes que têm mais de 40 anos então:

p% de 50000 = 8000

Resposta: 16%

R3. Quais são os juros simples produzidos por um capital de R$ 7200,00 empregado a 10% ao ano, durante 5 anos?

Resolução:

► Sabe-se que , logo:


Resposta: Os juros produzidos são de R$ 3600,00.

R4. Em 24/10/97, a Folha de S. Paulo publicou o ro-teiro transcrito a seguir, ensinando os usuários de veículos a calcular o IPVA (imposto de propriedade de veículos automotores).

1

Procure na tabela publicada a partir desta página o valor venal de seu veículo, expresso em reais

2

Para obter o valor do imposto, multi-plique o valor venal pela alíquota refe-rente a seu veículo

Valor venal em

R$x Alíquota =

Valor do IPVA a ser pago

Exemplos Tipo, 96, gasolina

R$ 13.225

x 0,04 =R$

529,00

Parati CL, 95, álcool

R$ 10.881

x 0,03 =R$

326,43

Confira as alíquotas

TIPO DE VEÍCULO, NACIONAL OU IMPORTADO

ALÍQUOTA

• Carros de passado a gasolina 4%

• Carros de passeio a álcool/eletricidade 3%

• Motocicletas e similares 2%

• Camionetes cabine simples 2%

• Camionetes cabine dupla (gasolina/diesel)

4%

• Camionetes cabine dupla (álcool/gás/eletricidade)

3%

• Caminhões acima de uma tonelada 1,5%

• Microônibus e ônibus 2%


► Com essas informações, resolva o problema proposto.

O valor venal de um carro de passeio a gasolina é de R$ 18.400,00. O proprietário desse veículo deve pagar o IPVA em 6/2/98. Pagando um mês antes, porém, em 6/1/98, conseguirá um desconto de 3,5%. Calcule:

a) O valor do IPVA, em reais, em 6/2/98.b) O valor do IPVA, em reais, em 6/1/98.c) O valor do desconto, em reais, supondo que o pagamento seja efetuado em 6/1/98.d) Suponha que o valor do IPVA a ser pago em 6/1/98 seja aplicado, pelo proprietário, no mercado financeiro a uma taxa de

2% ao mês. Com o valor da aplicação e do rendimento, conseguirá ele pagar o IPVA em 6/2/98?

Resolução:

a) A alíquota de um carro de passeio a gasolina é de 4% e o valor venal do carro é de R$ 18.400,00. O valor do IPVA, em reais, a ser pago em 6/2/98 é:

4% x 18.400,00 = 0,04 x 18.400,00 = 736,00b) O valor do IPVA, em reais, a ser pago em 6/1/98, com desconto de 3,5%, é:

(100 – 3,5)% x 736,00 = 96,5% x 736,00 = 710,24

c) O valor do desconto, em reais, supondo que o pagamento seja efetuado em 6/1/98, é:

736,00 – 710,24 = 25,76

d) Aplicando o valor do IPVA a ser pago em 6/1/98, que é de R$ 710,24, a uma taxa de 2% ao mês, o proprietário terá em 6/2/98:

(100 + 2)% x 710,24 = 102% x 710,24 =

= 1,02 x 710,24 = 724,44

Já que 724,44 < 736,00, o proprietário não conseguirá, com a aplicação e com o rendimento, pagar os R$ 736,00 em 6/2/98.

Respostas:

a) R$ 736,00; b) R$ 710,24; c) R$ 25,76; d) Não

R5. A que taxa anual foi empregado o capital de R$ 108.000,00 que, em 130 dias, rendeu juros simples de R$ 3.900,00.

Resolução:

► Sabe-se que

Logo, lembrando-se, que 130 dias = anos, temos:


01. (UFRN) 25% da terça parte de 1026 é igual a:A) 7695


B) 855 C) 769,5 D) 94,5 E) 85,5

02. (FUVEST) (10%)2 =A) 100% B) 20% C) 5% D) 1% E) 0,1%

03. (FUVEST) O salário de Manu é igual a 90% do de Val. A diferença entre os salários é de R$ 500,00. O salário de Manu é:A) R$ 5.500,00 B) R$ 45.000,00C) R$ 4.000,00 D) R$ 4.500,00E) R$ 3.500,00

04. (UFG) Uma empresa concedeu aumento de 8% a seus funcionários. Após o aumento, um dos funcionários passou a receber R$ 237,60. Qual era o salário deste funcionário?

05. (PUC) Uma certa, mercadoria, que custava R$12,50, teve um aumento, passando a custar R$ 14,50. A taxa de reajuste sobre o preço antigo é de:A) 2,0% B) 20,0% C) 12,5% D) 11,6% E) 16,0%

06. (MACK) Uma pessoa pagou 20% de uma dívida. Se R$ 4.368,00 correspondem a 35% do restante a ser pago, então a dívida total inicial era de:A) R$ 10.200.00 B R$ 11.400,00 C) R$ 15.600,00D) R$ 16.800.00 E) R$ 18.100,00

07. (UFMG) Em 01/02/95, o salário de um trabalhador era equivalente ao preço de 10 cestas básicas. Segundo um Instituto de Pesquisa, o reajuste da cesta básica foi de 4% em fevereiro de 95 e de 3% em março de 95. Em 01/04/95, o salário desse trabalhador foi reajustado para mantê-lo equivalente às mesmas cestas básicas.

O índice de reajuste do salário desse trabalhador, em 01/04/95, foi de:A) 7% B) 7,12% C) 8% D) 9,4% E) 12%

08. (VUNESP) Uma mercadoria teve seu preço acrescido de 10%. Tempos depois, esse novo preço sofreu um desconto de 10%. Denotando-se por pi o preço inicial e por pf o preço final da mercadoria, tem-se:A) pf = 101% pi B) pf = pi C) pf = 99,9% pi

D) pf = 99% pi E) pf = 90% pi


09. (UFRRJ) A casa do Sr. Rafael foi adquirida através do Sistema Financeiro de Habitação. A prestação mensal de sua casa aumentou 30%. Mas. por recurso judicial, a partir deste mês, aquele que pagar até o 5º dia útil do mês tem direito a um desconto de 20%. Se o Sr. Rafael pagou sua casa no dia 02 (dois), o aumento real sobre a prestação do mês anterior foi de:A) 10% B) 8% C) 6% D) 4% E) 2%

10. (MACK) Um concurso, desenvolvido em três etapas sucessivas e eliminatórias, eliminou 30% dos k candidatos iniciais na 1ª etapa, 20% dos remanescentes na 2ª etapa e 25% dos que ainda permaneceram na 3ª etapa. Assim, cumpridas as 3 etapas, a porcentagem de k que permaneceu é:A) 25% B) 35% C) 38% D) 40% E) 42%

11. (MACK) Uma loja comunica a seus clientes que promoverá, no próximo mês, um desconto de 30% em todos os seus produtos. Na ocasião do desconto, para que um produto que hoje custa k mantenha este preço, ele deverá ser anunciado por:

A)

B)

C)

D)

E)

12. Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, seu lucro sobre o preço de custo é de:A) 10% B) 25% C) 33,333...%D) 100% E) 120%

13. (FATEC) Desejo comprar uma televisão à vista, mas a quantia Q que possuo corresponde a 80% do preço P do aparelho. O vendedor ofereceu-me um abatimento de 5% no preço, mas, mesmo assim, faltam R$ 84,00 para realizar a compra. Os valores de P e Q são, respectivamente:A) R$ 520,00 e R$ 410,00B) R$ 530,00 e R$ 419,50C) R$ 540,00 e R$ 429,00D) R$ 550.00 e R$ 438,50E) R$ 560,00 e R$ 448,00

14. (FUVEST) Produção e vendas, em setembro, de três montadoras de automóveis.

montadoraUnidades

produzidas

Porcentagem vendidas da

produçãoA 3.000 80%B 5.000 60%C 2.000 x%


Sabendo-se que nesse mês as três montadoras venderam 7.000 dos 10.000 carros produzidos, o valor de x é:A) 30 B) 50 C) 65 D) 80 E) 100

15. (FUVEST) Um lojista sabe que para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?A) 10% B) 15% C) 20% D) 25% E) 36%

16. Certa liga contém 20% de cobre e 5% de estanho. Quantos quilos de cobre e quantos quilos de estanho devem ser adicionados a 100 quilos dessa liga para a obtenção de uma outra com 30% de cobre e 10% de estanho? (todas as porcentagens são em kg).A) 18kg de cobre e 6kg de estanho;B) 17,50kg de cobre e 7,5kg de estanho;C) 18kg de cobre e 7,5kg de estanho;D) 17,50kg de cobre e 7,8kg de estanho;E) 7,8kg de cobre e 17,50kg de estanho.

17. A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma solução salina (água e sal) a 2% (sal) para se obter uma solução salina a 3% (sal) éA) 90 gB) 94 gC) 97 gD) 98 gE) 100 g

18. (UNB) Um capital aplicado, a juros simples, a uma taxa de 20% ao ano duplica em:A) 24 anos B) 6 anos C) 12 anosD) 10 anos E) 5 anos

19. Uma parte de um investimento de R$ 24.000,00 foi aplicada a juro de 1,8% ao mês, a outra parte foi aplicada a juros de 3% ao mês. Se os juros mensais forem de R$ 480,00, então o valor da parte que foi aplicada a 1,8% ao mês é:A) R$ 4.000,00 B) R$ 6.000,00 C) R$ 10.000,00D) R$ 15.000,00 E) R$ 20.000,00

20. Uma pessoa investiu R$ 3.000,00 em ações. No primeiro mês ela perdeu 40% do total investido e no segundo mês ela recuperou 30% do que havia perdido.A) Com quantos reais ela ficou após os dois meses?B) Qual foi seu prejuízo após os dois meses, em porcentagem, sobre o valor do investimento inicial?

21. (Receita Federal - TTN) Calcular os juros simples que um capital de R$ 10.000,00 rende em um ano e meio aplicando à taxa de 6% a.a. os juros são de R$ :A) 700,00 B) 1.000,00 C) 1.600,00 D) 600,00


E) 900,00

22. (T R E) Calcule o juro obtido na aplicação de R$ 7.600,00, à taxa de 12% ao ano, durante 6 meses :A) R$ 5.472,00 B) R$ 547,200 C) R$ 4.560,00 D) R$ 456,00 E) R$ 45,60

23. Num grupo de 200 pessoas, 80% são brasileiros. O número de brasileiros que deve abandonar o grupo, para que 60% das pessoas restantes sejam brasileiras, é:A) 90B) 95C) 100D) 105E) 110

24. (B B) Quanto tempo é necessário para que um capital de R$ 40.000.00, à taxa de 3% ao mês, renda juros de R$ 10.800,00?A) 5 mesesB) 6 meses C) 7 mesesD) 8 meses E) 9 meses

25. (B B) Um capital de R$ 15.000,00 aplicado à taxa de 5% a.m., em 8 meses, quanto renderá de juros?A) R$ 4.000,00B) R$ 5.000,00 C) R$ 6.000,00D) R$ 7.000,00E) R$ 8.000,00

26. (Banerj) O capital que, empregado a juros simples a 2,5% ao mês, atinge em 3 meses o montante de R$ 12.900,00 é:A) R$ 10.000,00B) R$ 10.500,00C) R$ 10.800,00D) R$ 11.400,00 E) R$ 12.000,00

27. (C E F) Aplicando-se certo capital durante 3 meses e 10 dias. a 30% ao ano, serão obtidos R$ 3.900,00 de juros simples. Esse capital tem valor igual a R$:A) 42.900,00 B) 45.000,00 C) 46.800,00D) 50.700,00 E) 52.000,00

28. (Receita Federal - TTN) João aplicou por 6 meses a quantia de R$ 220.000,00 a juros simples comerciais, recebendo o montante de R$ 352.000,00. Nessas condições, a taxa de juros da aplicação foi de :A) 80% a.a.B) 96% a.a. C) 102% a.a.D) 120% a.a. E) 108% a.a.

29. (B B) Em quantos meses o capital de R$ 74.000,00, aplicado a 3,6% a.a., renderia os juros necessários à formação de um montante de R$ 76.220,00?A) 8 mesesB) 9 meses C) 10 mesesD) 11 meses


E) 12 meses

30. (B B) Determinar a taxa anual em que esteve aplicado o capital de R$ 75.600,00, sabendo que em 3 anos rendeu R$ 21.546,00 de juros simples:A) 8% B) 8,5% C) 9,0%D) 9,5% E) 10,0%

31. (B B) A que taxa mensal esteve aplicado o capital R$ 630.000,00 que, em 2 anos e meio, rendeu juros equivalentes a 60% de si mesmo?A) 24% B) 12% C) 6% D) 3% E) 2%

32. (FCC) Um comerciante compra um artigo por R$ 80,00 e pretende vendê-lo de forma a lucrar exatamente 30% sobre o valor pago, mesmo se der um desconto de 20% ao cliente. Esse artigo deverá ser anunciado porA) R$ 110,00B) R$ 125,00C) R$ 130,00D) R$ 146,00E) R$ 150,00

33. (FCC) Aplicando-se a juro simples os 2/3 de um capital C à taxa de 15% ao ano e o restante à taxa de 18% ao ano, obtém-se, em 1 ano e 4 meses, juro total de R$ 512,00. O capital C éA) R$ 2.400,00B) R$ 2.600,00C) R$ 3.200,00D) R$ 3.600,00E) R$ 4.000,00

34. (FCC) O preço de um objeto foi aumentado em 20% de seu valor. Como as vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em relação ao preço inicial, o preço final apresentaA) uma diminuição de 10%B) uma diminuição de 2%C) um aumento de 2%D) um aumento de 8%E) um aumento de 10%

35. (FCC) Comparando as quantidades de processos arquivados por um técnico judiciário durante três meses consecutivos, observou-se que, a cada mês, a quantidade aumentara em 20% com relação ao mês anterior. Se no terceiro mês ele arquivou 72 processos, qual o total arquivado nos três meses?A) 182B) 186C) 192D) 196E) 198

36. (FCC) Para que ao final de 25 meses da aplicação um capital produza juros simples iguais a 4/5 de seu valor, ele deve ser investido à taxa mensal deA) 2,6 %B) 2,8 %C) 3,2 %D) 3,6 %E) 3,8 %

37. (FCC) Do total de funcionários de certa empresa, sabe-se que:

60% são do sexo masculino e que, destes, 30% usam óculos; das mulheres, 20% usam óculos;


os que não usam óculos totalizam 333 unidades.Nessas condições, o total de pessoas que trabalham nessa empresa é:A) 320B) 350C) 400D) 420E) 450

38. (FCC) Em agosto de 2006, Josué gastava 20% de seu salário no pagamento do aluguel de sua casa. A partir de setembro de 2006, ele teve um aumento de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi reajustado em 35%. Nessas condições, para o pagamento do aluguel após os reajustes, a porcentagem do salário que Josué deverá desembolsar mensalmente éA) 22,5%B) 25% C) 27,5%D) 30%E) 32,5%

39. (FCC) Em um regime de capitalização simples, um capital de R$ 12.800.00 foi aplicado è taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14. 400,00, esse capital deve ficar aplicado por um período deA) 8 meses.B) 10 meses.C) 1 ano e 2 meses.D) 1 ano e 5 meses.E) 1 ano e 8 meses.

40. (FCC) Do total de processos que recebeu certo dia, sabe-se que um técnico Judiciário arquivou 8% no período da manhã e 8% do número restante à tarde. Relativamente ao total de processos que recebeu, o número daqueles que deixaram de ser arquivados corresponde a A) 84,64%B) 85,68% C) 86,76% D) 87,98%E) 89,84%

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

E D D * E C B D D E

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

E D E D C B E E E **

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

E D C E C E C D C D

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

E C A D A C E B B A

* Rr$ 220,00 ** a) R$ 2.160,00 ; b) R$ 28%

FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAUS


1. FUNÇÃO DO 1º GRAU

Definição

Chamamos de função polinomial do 1° grau a função F : IR → IR definida pela fórmula matemática:

F(x) = ax + b (com a, b reais e a 0)

Representação gráfica

O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Assim, para traçarmos este gráfico basta determinarmos dois dos seus pontos.

Por outro lado, podemos dar uma interpretação geométrica aos coeficientes da função do 1º grau para determinar o seu gráfico.

Assim:

F(x) =

Podemos ainda, definir zero ou raiz de uma função como o valor de x no ponto em que a reta toca o eixo "x". Note que/ neste caso temos F(x) = 0, ou seja:

X1 é raiz de uma função

Na função polinomial do 1º grau, a raiz é dada por:

F(x) = Ax + B = 0 Ax = – B A

Bx

Estudo de sinais

Para fazermos um estudo sobre os sinais que a função assume, devemos:

I. determinar a raiz da função, fazendo F(x) = 0.II. esboçar o gráfico da função.III. analisar os valores de F(x), ou seja, examinar se é positiva ou negativa a ordenada de cada ponto da curva.

Coeficiente linear: representa o valor da ordenada do ponto em que a reta toca o eixo "y". O gráfico da função sempre passa pelo ponto (0, B).

Coeficiente angular: indica a inclinação da reta. A = tg , onde = ângulo for-mado com o eixo "x".

• (x1, 0) é o ponto em que o gráfico de F toca o eixo x. ou

•F(x1) = 0


Assim, temos as seguintes possibilidades:

1º caso: Função crescenteF(x) = Ax + B, com A > 0

2º caso: Função decrescenteF(x) = Ax + B, com A < 0

Observação: Note que, à direita da raiz, sempre colocamos o mesmo sinal de "A" e que, à esquerda, sempre colocamos o sinal contrário de "A".

Sinal oposto de A Mesmo sinal de A↑

Raiz

FUNÇÃO CONSTANTE

Quando temos a = 0, encontramos a função F(x) = b, chamada de função constante, pois a sua imagem é um conjunto unitário (lm(F) = {b}).A representação de uma função constante é dada por:

ou

•



01. O gráfico abaixo corresponde a uma função F de 1º grau dada por F(x) = Ax + B. Assim F(31) vale:A) – 25 B) – 56 C) – 87 D) – 93 E) – 99

02. Se uma função F, do 1°grau, é tal que F(490) = 726 e F(–390) = –594, então F(0) é igual a:A) – 9 B) – 1 C) 56 D) 144 E) 996

03. A tabela a seguir mostra a temperatura das águas do Oceano Atlântico (ao nível do Equador) em função da profundidade:

Profundi-dade

Super-fície

100m 500m 1.000m 3.000m

Tempera-tura

27°C 21°C 7°C 4°C 2,8°C

Admitindo-se que a variação de temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas medições feitas para a profundidade, a temperatura prevista para uma profundidade de 400m é de:

A) 16°C B) 14°C C) 12,5°C D) 10,5°C E) 8°C

04. Se F é uma função do 1°grau tal que F(10) = 29 e F(40) = 89, então F(30) é igual a:A) 39 B) 49 C) 59 D) 69 E) 79

05. (UFC) Seja F uma função real de variável real, definida por F(x) = Ax + B. Se F(–1) = 6 e F(1) = –4 calcule o valor de (A 2

– B2).

06. Uma escala T de temperaturas foi feita com base nas temperaturas mínima e máxima de certa cidade. A correspondência entre a escala T e a escala Celsius é mostrada no quadro abaixo.

°T °C0 12

100 32

Lembrando que a água ferve a 100°C, em que temperatura a água ferve em graus T?A) 380 B) 400


C) 420 D) 440 E) 480

07. Os gráficos das funções F(x) = 2x + 4 e g(x) = 4x + 3, se interceptam em um ponto cuja ordenada é igual a:A) 2 B) 3 C) 5 D) 8 E) 10

08. O gráfico abaixo corresponde a uma função do 1° grau. A função representada é dada porA) y = – 3x + 6

B) y = 6x + 3

C)

D)

E)

09. O lucro L, em reais, obtido na venda de x unidades de um artigo é dado por L = 5x – C, sendo C o custo dessa produção.

Se C é dado, em reais, por C = 2000 + , quantas unidades devem ser vendidas para que se obtenha um lucro de 2.500 reais?

A) aproximadamente 818.B) aproximadamente 900.C) exatamente 950.D) exatamente 1.000.E) mais do que 1.200.

10. Sabe-se que o ponto (–1; 2) pertence ao gráfico da função f, de IR em IR, definida por f(x) = , com x IR. Um

outro ponto do gráfico de f éA) (2; 3) B) (1; 2)

C)

D)

E)

11. Suponha que o preço de um automóvel, cujo valor hoje é de R$ 16.000,00, sofra uma desvalorização anual constante de tal forma que daqui a 5 anos ele esteja valendo R$ 12.800,00. Nessas condições, daqui a 10 anos o valor desse automóvel será:A) R$ 9.800,00 B) R$ 9.700,00 C) R$ 9.600,00 D) R$ 8.800,00 E) R$ 8.200,00

12. Para que a função do 1º grau dada por F(x) = (2 – 3k)x + 2 seja crescente devemos ter:

A)


B)

C)

D)

E)

13. (UFF-RJ) Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o SO2 (dióxido de enxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na revista Science em 1972 concluiu que o número (N) de mortes por semana, causadas pela inalação de SO2, estava relacionado com a concentração média (C), em mg/m3, do SO2; conforme o gráfico abaixo (os pontos (C, N) dessa relação estão sobre o segmento de reta da figura):

Com base nos dados apresentados, a relação entre N E C (100 C 700) pode ser dada por:A) N = 100 – 700C B) N = 94 + 0,03CC) N = 97 + 0,03C D) N = 115 – 94CE) N = 97 + 600C

14. (U.F.Santa Maria-RS) Sabe-se que o preço a ser pago por uma corrida de taxi inclui uma parcela fixa, que e denominada bandeirada, e uma parcela variável, que é função da distancia percorrida. Se o preço da bandeirada é R$ 4,60 e o quilômetro rodado é R$ 0,96, a distância percorrida pelo passageiro que pagou R$ 19,00, para ir de sua casa ao shopping, é de:A) 5 km B) 10 kmC) 15 kmD) 20 kmE) 25 km

15. (Uneb-BA) Devido a uma frente fria, a temperatura, em uma cidade, caiu uniformemente de 28 °C, às 14 h, para 24 °C, às 22 h. Supondo-se que a variação da temperatura, nesse intervalo de tempo, tenha sido linear, pode-se concluir que, as 17 h, a temperatura foi igual, em °C, a:A) 27,4B) 26,5C) 26,0D) 25,5E) 24,6

16. (UF-MG) Em 2000, a porcentagem de indivíduos brancos na população dos Estados Unidos era de 70%, e outras etnias — latinos, negros, asiáticos e outros — constituíam os 30% restantes. Projeções do órgão do governo norte-americano encarregado do censo indicam que, em 2020, a porcentagem de brancos deverá ser de 62%.

(Newsweek International, 29/4/2004.)

Admite-se que essas porcentagens variam linearmente com o tempo.Com base nessas informações, é correto afirmar que os brancos serão minoria na população norte-americana a partir de:

A) 2050


B) 2060 C) 2070D) 2040

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08

C A D D 24 D C E

09 10 11 12 13 14 15 16

D C C B B C B A

2. FUNÇÃO DO 2º GRAU

DefiniçãoDenomina-se função do 2° grau toda função F : IR → IR cuja lei de formação é dada por:

F(x) = Ax2 + Bx + C (onde A, B e C IR e A 0)

Exemplos de função quadrática

a) F(x) = 2X2 – x + 4 C = 4 B = – 1 A = 2

b) F(x) =

C = m2 – 1 B = – 2m A = 1/3

c) F(x) = X2 – 15 B = 0 C = – 15 A = 1

d) F(x) = 2X2 – 3x C = 0 B = – 3 A = 2

a) F(x) = 2X2 – x + 4 C = 4 B = – 1 A = 2

Raízes da função do 2º grau

Os valores de x para os quais a função:F(x) = Ax2 + Bx + C se anula (F(x) = 0) são chamados de zeros ou raízes dessa função. Assim:


F(x) = 0 Ax2 + Bx + C = 0

onde ∆ = B2 – 4AC.

Convém lembrar que:

∆ > 0 2 raízes reais diferentes.

∆ = 0 2 raízes reais iguais.

∆ < 0 2 raízes complexas e conjugadas (não existem raízes reais)

Podemos ainda estabelecer as seguintes relações entre as raízes x1 e x2 de F(x).

Gráfico de uma função do 2º grau

O gráfico de uma função polinomial do 2° grau é sempre uma parábola.

1. Concavidade: é determinada pelo sinal de A (coeficiente de x2)

• A > 0 a concavidade é voltada para cima: • A < 0 a concavidade é voltada para baixo:

2. Raízes: Determinam os pontos em que a parábola toca o eixo "x".

3. Coeficiente "C" ou termo independente: Determina o ponto em que a parábola toca o eixo y:

Se F(x) = Ax2 + Bx + C,

Então a parábola passa pelo ponto (0, C).


4. Valor do "∆": Como o ∆ indica o número de raízes, concluímos que o seu valor determina o número de pontos em que a parábola toca o eixo "x".

∆ > 0 a parábola toca o eixo "x" em 2 pontos distintos.

∆ = 0 a parábola toca o eixo "x" em um único ponto; ficando tangente ao eixo "x".

∆ < 0 a parábola não toca o eixo "x".

Para caracterizar graficamente esta situação, temos;

5. Vértice: é o ponto extremo da parábola. Caracteriza-se como:

• Ponto de máximo quando A < 0.• Ponto de mínimo quando A > 0.

Pelo vértice da parábola sempre passa uma reta vertical que funciona como eixo de simetria da parábola. A equação desse eixo de simetria da parábola é dada por:

→ onde = abscissa do vértice da parábola.


Coordenadas do vértice

Dada a função F(x) = Ax2 + Bx + C, lembramos que seu gráfico é uma parábola e, como tal, possui um eixo de simetria que passa pelo seu vértice.

► Note que "XV" é ponto médio entre as raízes X1 e X2. Logo:

Colocando o valor das raízes X1 e X2, temos:

Agora, como em qualquer outro ponto que se conhece o valor de x, para encontrarmos o valor de y v basta-nos substituir x por x em F(x). Logo:

Resumindo o que acabamos de mostrar, temos:

XV = ponto médio das raízes

ou

Extremos da função do 2º grau e imagem

VÉRTICE

•


Toda função do 2º grau F(x) = Ax2 + Bx + C possui apenas um ponto extremo, que dependendo do valor de "A" (coeficiente de x2) será ponto de máximo ou ponto de mínimo.

Assim, temos:

a) Ponto de mínimo: Ocorre quando A > 0. Neste caso, a função atinge seu valor mínimo (mais baixo). Note que, quando pedimos o valor mínimo da função, indicamos o valor mínimo do "y" que é o Yvértice.

Note ainda que conjunto-imagem da função é formado por todos os "y" maiores do que ou iguais a Yvértice. Logo:

lm(F) = { y IR / y Yvértice } ou [Yvértice, + )

b) Ponto de máximo: ocorre quando A < 0.

Neste caso, a função atinge seu valor máximo (mais alto). Note que, quando pedimos o valor máximo da função, indicamos o valor máximo do y que é o Yvértice.

Note ainda que o conjunto-imagem da função é formado por todos os valores de "y" menores do que ou iguais a Yvértice.

lm(F) = { y IR / y Yvértice } ou (– , Yvértice]

Estudo do sinal da função do 2º grau

Estudar o sinal de uma função do 2° grau é analisar o valor do y em cada ponto do gráfico. Assim, se parte do gráfico está acima do eixo do x então a função é positiva e se uma parte do gráfico está abaixo do eixo do x então a função é negativa.

Para estudarmos o sinal da função F(x) = Ax2 + Bx + C é necessário que saibamos o valor de "A" e do "∆".


3. INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

Toda inequação do 2° grau é resolvida por meio de um estudo de sinal da função do 2° grau que aparece no 1° membro da inequação, quando fazemos o 2° membro igual a zero:

• Ax2 + Bx + C 0 • Ax2 + Bx + C > 0 • Ax2 + Bx + C 0 • Ax2 + Bx + C < 0


01. O gráfico abaixo representa uma função do tipo: y = ax2 + bx + c, a 0.

Então, podemos afirmar que:A) a > 0, b2 = 4ac e c > 0B) a < 0, b2 > 4ac e c < 0C) a < 0, b2 < 4ac e c < 0D) a < 0, b2 > 4ac e c > 0

02. (UNIFOR) O mais amplo domínio real da função definida por

03. (UFC) O gráfico da função F(x) = x2 + A.x + 3 passa pelo ponto (1, 40). Calcule o valor do número real "A".

04. Sobre a equação 1983.x2 – 1984.x – 1985 = 0, a afirmativa verdadeira é:A) Não tem raízes reais.B) Tem duas raízes simétricas.C) Tem duas raízes reais distintas.D) Tem duas raízes reais positivas.E) Tem duas raízes reais negativas.

05. (UFC) Se F: IR → IR é uma função definida por F(x) = –x2 + 3x – 2, então podemos afirmar que F(x) > 0 para:A) –1 < x < 0


B) 0 < x < 1C) 1 < x < 2D) 2 < x < 3

06. (MACK-SP) Sendo x' e x" raízes reais da equação 6x2 – x – 1 = 0, o valor da expressão (x'+1)(x" + 1) é:

A) 0B) 1C) 1/3D) 2/3

07. (FUVEST-SP) A equação do 2° grau ax2 – 4x – 16 = 0 tem uma raiz cujo valor é 4. A outra raiz é:A) 1 B) 2 C) –1 D) –2

08. (FGV-SP) O conjunto dos valores de m para que na equação mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0 a diferença das raízes seja igual a 2 é:

A)

B) {0, 1}

C)

D)

E)

09. (MACK-SP) Um valor de k para o qual uma das raízes da equação x2 – 3kx + 5k = 0 seja o dobro da outra é:

A)

B) 2

C) – 5

D) – 2

E)

10. (UFMG) A soma e o produto das raízes da equação px2 + 2(q – 1)x + 6 = 0 são, respectivamente, – 3 e 3. O valor de q é:A) – 4 B) – 2 C) 0D) 2E) nenhuma das anteriores

11. (UNIFOR) Um comerciante vende certo artigo cujo preço unitário, em reais, é dado pela expressão P(x) =20 – 0,1x, 0 < x < 200, na qual x é o número de unidades vendidas a um mesmo cliente. Para que na venda de um lote desse artigo esse comerciante tenha uma receita máxima, cada um deles deve ser vendido por:


A) R$ 13,00

B) R$ 12,00

C) R$ 11,00

D) R$ 10,00

E) R$ 9,00

12. (UNESP-SP) O gráfico da função quadrática definida por y = x2 – mx + (m – 1), onde m IR, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é:A) – 2 B) – 1 C) 0D) 1E) 2

13. (PUC-SP) Os valores de m IR para os quais o domínio da função é IR, são:

A) 0 < m < 8 B) m > 10 C) m > 0 D) 1 < m < 2E) – 3 m 7

14. (F.G.V.) Dado o sistema de inequacões abaixo:

,

o intervalo que satisfaz a estas inequacões tem amplitude:

A)

B)

C) infinito

D) 1

15. Relativamente à função f, de IR em IR, dada por:f(x) = – 2x2 + 3x – 1, é correto afirmar que

A) não admite raízes reais.

B) tem um valor mínimo igual a

C) é positiva para todo x real tal que x < .

D) tem um valor máximo igual a .

E) é negativa para todo x real tal que

16. (U. F. Juiz de Fora-MG) O conjunto verdade da inequação 2x2 – 7x + 3 é:

A)


B)

C)

D)

E)

17. (Faap-SP) A receita diária de um estaciona-mento para automóveis é R = 100p – 5p2, em que p é o preço cobrado por dia de estaciona-mento por carro. O preço que deve ser cobrado para se obter uma receita diária de R$ 375,00 é:A) somente R$ 5,00.B) somente R$ 15,00.C) ou R$ 5,00 ou R$ 10,00.D) ou R$ 5,00 ou R$ 15,00. E) somente R$ 10,00.

18. (Fatec-SP) A função f do 2° grau, definida por f(x) = 3x2 + mx + 1, não admite raízes reais se, e somente se, o número real m for tal que:A)B)

C)

D)

E)

19. (Mackenzie-SP) A parábola da figura, de vértice V, mostra as temperaturas observadas em um certo período, em função de dias decorridos. O número de dias decorridos para que a temperatura volte a ser igual àquela do início das observações é:

A) 3,5 B) 5,0C) 5,5D) 4,5E) 4,0

20. (Faap-SP) A receita bruta diária de um vendedor ambulante que vende camisetas é de R$ 120,00 e corresponde ao produto de número x de camisetas vendidas pelo preço y de cada unidade. Hoje ele abateu R$ 2,00 no preço de cada camiseta e conseguiu vender 15 camisetas a mais, de que resultou numa receita bruta de R$ 180,00. O número x de camisetas vendidas e o preço y de cada camiseta, respectivamente, são:A) x = 18, y =10 B) x = 15, y =10 C) x = 18, y = 8 D) x = 15, y = 8 E) x = 18, y =18

21. (PUC-MG) O intervalo no qual a função f(x) = x2 – 6x + 5 é crescente é:A) x < 5 B) 1 < x < 5 C) x > 1 D) x > 3


22. (PUC-MG) Uma pedra é atirada para cima e sua altura h, em metros, é dada pela função h(t) = at 2 + 12t, em que t é medido em segundos. Se a pedra atingiu a altura máxima no instante t = 2, pode-se afirmar que o valor de a é:A) –3 B) –2 C) 2 D) 3

23. (Puccamp-SP) Suponha que, certo dia, em que o preço unitário de venda de um sorvete era x reais, foram vendidas 20 – x unidades, 0 < x < 20. Se, nesse dia, o custo da fabricação de cada unidade desse sorvete era de 2 reais, quantas unidades teriam que ser vendidas para que o lucro do fabricante fosse o maior possível?A) 9 B) 11 C) 13 D) 15E) 17

24. (PUC-SP) Considere que o material usado na confecção de um certo tipo de tapete tem um custo de R$ 40,00. O fabricante pretende colocar cada tapete à venda por x reais e, assim, conseguir vender (100 – x) tapetes por mês. Nessas condições, para que, mensalmente, seja obtido um lucro máximo, cada tapete deverá ser vendido por:A) R$ 55,00 B) R$ 60,00 C) R$ 70,00D) R$ 75,00 E) R$ 80,00

25. (UE-PI, adaptado) Um agricultor tem 140 metros de cerca para construir dois currais: um deles, quadrado, e o outro, retangular, com comprimento igual ao triplo da largura. Se a soma das áreas dos currais deve ser a menor possível, qual a área do curral quadrado?A) 225 m2 B) 230 m2 C) 235 m2 D) 240 m2 E) 245 m2

26. (Faap-SP) Uma companhia estima que pode vender mensalmente q milhares de unidades de seu produto ao preço de p reais por unidade. A receita mensal das vendas é igual ao produto do preço pela quantidade vendida. Supondo p = –0,5q + 10, quantos milhares de unidades deve vender mensalmente para que a receita seja a máxima possível?A) 18 B) 20 C) 5 D) 10 E) 7

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09

B 36 C C B D A A

10 11 12 13 14 15 16 17 18

E D D A A D

19 20 21 22 23 24 25 26

D = {x IR / x – 3 ou x }

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL


DEFINIÇÃO

O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é parte integrante do Sistema de Medidas. É adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de medida o metro.

O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medição. Deste os tempos passados os povos criavam seu método próprio de unidades de medidas. Cada um, desta forma, tinha seus próprios métodos de medição. Com o comércio crescente e em expansão na época, ficava cada vez mais complicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de informações entre os povos era confusa. Assim foi necessário que se adotasse um “sistema padrão” de medidas em suas respectivas grandezas. Então no ano de 1971, um grupo de representantes de diversos países reuniu-se para discutir a forma de adotar um sistema de medidas único que facilitasse a troca de informações entre os povos. Foi desenvolvido o sistema métrico decimal. O METRO

O termo “metro” é oriundo da palavra grega “métron” e tem como significado “o que mede”. Estabeleceu-se no princípio que a medida do “metro” seria a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O metro padrão foi criado no de 1799 e hoje é baseado no espaço percorrido pela luz no vácuo em um determinado período de tempo.

AS PRIMEIRAS MEDIÇÕES

No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que permitem ao homem moderno medir comprimentos. Porém nem sempre foi desta forma, há 3.000 anos, quando não se existia os recursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas de comprimentos? Esta necessidade de medir espaços é tão antiga quanto à necessidade de contar. Quando o homem começou a construir suas habitações e desenvolver sua agricultura e outros meios de sobrevivência e desenvolvimento econômico, que se fazia necessário medir espaços, então houve ai a necessidade de se medir espaços. Desta forma, para medir espaços o homem antigo, tinha como base seu próprio corpo, por isto que surgiram: polegadas, a braça, o passo, o palmo. Algumas destas medidas ainda são usadas até hoje, como é o caso da polegada. Há algum tempo, o povo egípcio usava como padrão para comprimento, o “cúbito”, que é a distância do cotovelo a ponta do dedo médio. Como as pessoas, é claro, tem tamanhos diferentes, o “cúbito” variava de uma pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergência nos resultados finais de medidas. Então, vendo este problema de variação de medidas, o povo egípcio resolveu adotar uma outra forma de medir o “cúbito”, passaram então ao invés de usar seu próprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assim deu-se origem então o “cúbito padrão”. Como era impossível realizar medições em extensões grandes, o povo egípcio então começou a usar cordas, para medir grandes áreas. Tinham nós que eram igualmente colocados em espaços iguais, e o intervalo entre estes nós, poderia medir “x” cúbitos fixos. Desta forma de medição com cordas, originou-se o que chamamos hoje de “trena”. MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO

Como o metro é a unidade fundamental do comprimento, existem evidentemente os seus respectivos múltiplos e submúltiplos. Os nomes pré-fixos destes múltiplos e submúltiplos são: quilo, hecto, deca, centi e mili. Veja o quadro:


Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes áreas/distâncias, enquanto os submúltiplos para realizar medição em pequenas distâncias.

NOMES E FUNÇÕES DE ALGUMAS MEDIDAS

TRANSFORMAR UNIDADES

Este é um item que é muito pedido em grande parte de concursos que exigem matemática, e é justamente onde muitas pessoas que estudam este tema tem comprometido seus resultados.

OBSERVE A TABELA ABAIXO:

km hm dam M dm cm mm

quilômetro hectômetro decâmetro Metro decímetro centímetro milímetro

EXEMPLOS: 5,6 m = 560 cm 5,6 m2 = 56000 cm2

5,6 m3 = 5600000 cm3

830000000 m3 = 830000 dam3

830000000 m3 = 830 hm3

830000000 m3 = 0,83 km3

A necessidade de medir grandeza levou o homem a estabelecer unidade(s) de medida(s) que pudessem facilitar principalmente as relações comerciais, exemplos: polegada, légua, alqueire, milha, palmo etc, que permanecem até hoje em evidência, pois não é fácil uma padronização, haja visto os diversos aspectos das atividades humanas. Veja o sistema métrico decimal estabelecido pelo Sistema Internacional de Unidade (SI).

UNIDADES FUNDAMENTAIS (múltiplos e submúltiplos)

MÚLTIPLOS U.F. SUBMÚLTIPLOS

Comprimento km hm dam m dm cm mm

10

x10 x10 x10 x10 x10 x10

10 10 10 10 10


Massa kg hg dag g dg cg mg

Capacidade kl hl dal l dl cl ml

Área km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Volume km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

PREFIXOS:

quilo k 1000MÚLTIPLOS hecto h 100

deca da 10

deci d 0,1SUBMÚLTIPLOS centi c 0,01

mini m 0,001

Medidas agrárias

1 há =100 aras =10.000m2

1 are =100m2

IMPORTANTE!!!Conversão 1dm3 = 1 litro(água pura) → 1 litro = 1 Kg

Prefixos usados no sistema internacional de unidades (S.I.)

PREFIXOS SÍMBOLOS FATOR PELO QUAL A UNIDADE É MULTIPLICADA

TERA T 1.000.000.000.000 = 1012

GIGA G 1.000.000.000 = 109

MEGA M 1.000.000 = 106

QUILO K 1.000 = 103

HECTO h 100 = 102

DECA da 10

PREFIXOS SÍMBOLOS FATOR PELO QUAL A UNIDADE É MULTIPLICADA

DECI d 0,1 = 10-1

CENTI c 0,01 = 10-2

MILI m 0,001 = 10-3

MICRO 0,000001 = 10-6

NANO n 0,000000001 = 10-9

PICO p 0,000000000001 = 10-12

FENTO f 0,000000000000001 = 10-15

ATTO a 0,000000000000000001 = 10-18

Alguns valores do sistema de Medidas não-decimal


UNIDADE VALORES UNIDADE VALORES

POLEGADA 2,54cm JARDA 81cm

PÉ 30,48cm COVADO 61cm

PASSO 1,52m CORDA 3,05m

PALMO 20,32cm BRAÇA(BRASILEIRA) 2,2m

ESTÁDIO 190m MILHA (BRASILEIRA) 2.200m

TOESA 1,83m MILHA INTER. 1.852m

VARA 1,02m LÉGUA(BRASILEIRA) 6.600m


01. (Uerj) Leia atentamente os quadrinhos.

O personagem é conduzido, em linha reta, num mesmo sentido, por uma distância de 30m e cada passo mede 50cm. Se um dos carregadores cobrar conforme o padrão indicado, ele receberá, em reais, a quantia de:a) 400b) 500c) 600d) 700

02. (CMF-96) Um reservatório, no formato de um paralelepípedo, contém água, até a sua metade. As dimensões do reservatório são: 0,8dam de comprimento; 30dm de largura e 420cm de altura. Qual a massa d'água desse reservatório, em quilograma (Kg)?

03. (M.P.U.) Um reservatório em forma de paralelepípedo retângulo de 24,5 metros de comprimento, 1,6 decâmetro de largura e 0,045 hectômetro de profundidade, contém certa quantidade de leite. Sabendo-se que esse leite ocupa 3/5 da sua capacidade e que um litro dele pesa 1.020 gramas, o seu peso em toneladas é de:

A) 1.079,568


B) 5.397,84 C) 1.799,28 D) 1.079.568 E) 1.799.280

04. A expressão 2[2dm3+2ℓ] + 3[1000cm3–1000mℓ] em litros vale:A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

05. (B.B) Qual é a área de um terreno retangular que mede 300m de comprimento por 500m de largura?A) 0,15ha B) 1,5haC) 15ha D) 150ha E) 1500ha

06. (TTN) Uma tartaruga percorreu, num dia 6,05hm. No dia seguinte percorreu mais 0,72km e no terceiro dia, mais 12.500cm. Podemos dizer que essa tartaruga percorreu nos três dias uma distância de:

A) 1.450m B) 12.506.77m C) 14.500m D) 12.506m E) 1.250m

07. (T.S.T.) Um reservatório contém 1dam3, 2m3, 800dm3 e 1.200cm3 de água. A sua capacidade expressa em litros é:A) 10.281,2 B) 102.812,0 C) 1.028.001,2 D) 100.281,2 E) 1.002.801,2

08. Quantos ha tem a superfície de um terreno ocupado por 600km de uma estrada cuja largura mede 15m?A) 750ha B) 800ha C) 850ha D) 900ha E) 950ha

09. (B.B) Quantos ladrilhos de 0,2m x 0,2m são precisos para revestimento de uma sala de 5m de comprimento por 6m de largura?

A) 600 B) 650 C) 700 D) 750 E) 800

10. (B.B) Quanto gastará uma pessoa que deseja cercar uma chácara retangular medindo 400m por 200m, com estacas distantes 4m uma dá outra, custando R$ 2,00 cada?

A) R$ 120,00 B) R$ 160,00 C) R$ 240,00 D) R$ 330,00 E) R$ 600,00

11. (T.R.E.) Um terreno foi dividido em três lotes: o primeiro com uma área de 26dam 2 , o segundo com uma área de 7.450dm2 e o terceiro com uma área de 0,681 hm2. A área total do terreno, em metros quadrados, é:

A) 1.452


B) 1.452,50 C) 9.475,50 D) 8.484,50 E) 9.484,50

12. (B.B) Determinar quantos litros de água recebe, por minuto, um reservatório, em forma de paralelepípedo retângulo, que mede 5 metros de comprimento, 3,5 metros de largura e 2 me-tros de profundidade, sabendo que ele se enche, totalmente, em 40 minutos:

A) 578 litros B) 587 litros C) 758 litros D) 785 litros E) 875 litros

13. (CMF) Em uma cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e de 2,80m de altura, as portas e janelas ocupam uma área de 4m . Para azulejar as 4 paredes, o pedreiro aconselhou a comprar de 10% a mais da metragem a ladrilhar. Qual a metragem de ladrilhos a comprar?

14. (CMF) Um tanque com 0,2 dam de comprimento, 15dm de largura e 20cm de altura está cheio de água ate a borda. Ao se retirar um objeto que estava mergulhado no tanque a água desceu 0,067m, quantos litros de água tem o tanque?

15. (CMF) Um reservatório, de forma de paralelepípedo, com 2m de comprimento e 10dm de largura, contém óleo até os 3/5 da altura. Esse óleo foi distribuído por 75 latas cúbicas de 20 cm de aresta. Determine a altura do reservatório.

16. (ACEP) Um gerador é alugado ao preço de R$ 3,20 por minuto de operação. Se ele funcionar das 21h 48min até às 23h 16min, o preço do aluguel, em reais, será de:

a) 81,60b) 89,60c) 128,00d) 281,60

17. (CESGRANRIO) Seu José produziu 10 litros de licor de cupuaçu e vai encher 12 garrafas de 750 mL para vender na feira. Não havendo desperdício, quantos litros de licor sobrarão depois que ele encher todas as garrafas?

a) 1,00 b) 1,25 c) 1,50 d) 1,75 e) 2,00

18. (CESGRANRIO) Um terreno de 1 km2 será dividido em 5 lotes, todos com a mesma área. A área de cada lote, em m2, será de: a) 1 000

b) 2 000c) 20 000 d) 100 000e) 200 000

19. (Ufg) De uma torneira, a água está pingando a uma freqüência constante de uma gota a cada 25 segundos. Durante o período de 21h30min até 6h15min do dia seguinte, um recipiente coletou 0,12 litros (L) de água. Conforme as informações apresentadas, julgue os itens a seguir.

( ) No período mencionado, caiu no recipiente um total de 1.290 gotas d'água.( ) O volume de cada gota d'água é menor que 0,1mL.( ) Mantendo-se a mesma freqüência, o volume de água coletado, durante 17 horas, será superior a 240mL.( ) Se a freqüência fosse de duas gotas por minuto, o volume de água coletado, no mesmo período, seria 20% maior.

20. (Pucmg) Na maquete de uma casa, feita na escala 1:500, uma sala tem 8 mm de largura, 10 mm de comprimento e 8 mm


de altura. A capacidade, em litros, dessa sala é:a) 640b) 6400c) 800d) 8000e) 80000

21. (Ufpe) Uma empresa de exportação de gasolina comunicou à ANP o desaparecimento de 7,2milhões de litros de gasolina dos seus depósitos. Se um caminhão-tanque tem capacidade de 32m3, quantos caminhões seriam necessários para transportar a gasolina desaparecida? a) 205b) 210c) 215d) 220e) 225

22. (CESPE) Suponha que a caixa de encomenda temática da ECT possua a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas arestas tenham comprimentos iguais a 90 mm, 270 mm e 180 mm. Nesse caso, o volume dessa caixa, em 1.000 cm3, éA) superior a 29.B) inferior a 5.C) superior a 5 e inferior a 13.D) superior a 13 e inferior a 21.E) superior a 21 e inferior a 29.

23. (CESPE) Se o perímetro de um terreno em forma de retângulo é igual a 180 m e se um dos lados desse retângulo mede 10 m a mais que o outro, então a área do terreno é igual aA) 1.800 m2.B) 1.600 m2.C) 1.400 m2.D) 1.200 m2.E) 2.000 m2.

Texto para a questão 24

O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível.

24. Suponha que a despesa com mão de obra e materiais necessários para assentar os ladrilhos tenha sido orçada em R$ 1.000,00 o e que o proprietário da sala disponha de apenas R$ 10.000,00. Nesse caso, o proprietário poderá obter o

montante necessário aplicando o capital disponível à taxa de juros simples de 8% ao mês duranteA) 6 meses.B) 7 meses.C) 8 meses.D) 4 meses.E) 5 meses.

25. (Unesp) Um determinado medicamento deve ser administrado a um doente três vezes ao dia, em doses de 5ml cada vez, durante 10 dias. Se cada frasco contém 100cm3 do medicamento, o número de frascos necessários é:a) 2,5b) 1c) 1,5d) 2e) 3

GABARITO

01 02 03 04 05

C 50.400kg A C C

06 07 08 09 10


A E D D E

11 12 13 14 15

E E 26,4m2 399 5

16 17 18 19 20

D A E FVFF E

21 22 23 24 25

E B E A D

SISTEMAS LINEARES

1. EQUAÇÃO LINEAR

Equação tipo , onde são denominados coeficientes e são

números reais; são as variáveis e é chamado de termo independente.

ex: 2x + y = 3 Observe que todas as incógnitas possuem expoente 1. A solução da equação é o conjunto de valores das incógnitas que satisfazem a equação.

ex: Considerando a equação 2x + y = 3, dentre as infinitas soluções temos (1,1) e (1,–1):(1,1) x = 1 e y = 1 2.1 + 1 = 3(1,–1) x = 1 e y = –1 2.1 – 1 = 3

2. SISTEMA LINEAR

É qualquer sistema formado por equações lineares.Ex: A solução do sistema é o conjunto de valores que satisfaz a todas as equações ao mesmo tempo. No caso anterior a solução do sistema é x = 1, y = 1 e z = 2: 3. REGRA DE CRAMER

Para resolvermos apenas sistemas lineares podemos utilizar a regra de Cramer. O primeiro passo é calcular o determinante da matriz formada pelos coeficientes.

Devemos agora calcular o determinante que será obtido substituindo em D a coluna relativa ao x pelos termos

independentes. O mesmo procedimento para e :


Para calcularmos o valor de x, basta dividirmos por D. Procedendo da mesma maneira para y e z.

4. CLASSIFICAÇÃO DO SISTEMA

O sistema é dito Sistema Possível e Determinado quando possui apenas uma única solução, isso ocorrerá quando D 0.

O sistema é dito Sistema Possível e Indeterminado quando possui infinitas soluções, isso ocorrerá quando .

O sistema é dito Sistema Impossível quando não possui soluções, isso ocorrerá quando e ou

ou .

5. SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

É o sistema que possui termos independentes nulos. Esse sistema possui sempre como solução a solução nula, trivial ou imprópria.Ex: O sistema abaixo aceita (0,0,0) como solução:

Como o sistema aceita sempre a solução trivial, o sistema não poderá ser classificado como impossível.


01. Seja a solução do sistema , ache o valor da potência .

A) 1B) 2C) 4D) 9E) 2502. Se o sistema tem infinitas soluções, então o valor de é igual a:A) 8B) 7C) 6D) 5

03. Para uma festinha foram encomendados 90 refrigerantes, 230 salgados e 120 doces. Os convidados foram divididos em 3 faixas: crianças, senhores e senhoras. Cada criança deverá consumir exatamente 2 refrigerantes, 8 salgados e 4 doces; cada


senhor deverá consumir exatamente 3 refrigerantes, 5 salgados e 3 doces; cada senhora deverá consumir exatamente 3 refrigerantes, 6 salgados e 3 doces.Qual deverá ser o total exato de convidados para que não sobrem e nem faltem refrigerantes, salgados e doces?

A) 25B) 35C) 46D) 55E) 65

04. Se um comerciante misturar 2kg de café em pó do tipo I com 3kg de café em pó do tipo II, ele obtém um tipo de café cujo preço é R$ 4,80 o quilograma. Mas, se misturar 3kg de café em pó do tipo I com 2kg de café do tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os preços do quilograma do café do tipo I e do quilograma do café do tipo II são respectivamente:

A) R$ 5,00 e R$ 3,00B) R$ 6,40 e R$ 4,30C) R$ 5,50 e R$ 4,00D) R$ 5,30 e R$ 4,50E) R$ 6,00 e R$ 4,00

05. Resolvendo o sistema onde x 0 e y 0 o quociente de y por x é:

A) 3/2B) 2/3C) 5/2D) 3E) 7/2

06. Márcio e Maurício têm juntos R$ 8.800,00. Márcio gasta a terça parte do que possui e Maurício, a quinta parte. Se, depois disto, ficarem com quantias iguais, então Márcio possuía:

A) R$ 4.000,00B) R$ 4.200,00C) R$ 4.320,00D) R$ 4.800,00

07. (ACEP-BNB/2004) Uma agência bancária vende dois tipos de ações. O primeiro tipo é vendido a R$1,20 por cada ação e o segundo a R$1,00. Se um investidor pagou R$ 1.050,00 por mil ações, então necessariamente ele comprou:A) 300 ações do primeiro tipoB) 300 ações do segundo tipoC) 250 ações do primeiro tipoD) 250 ações do segundo tipoE) 200 ações do primeiro tipo

08. (ACEP-BNB/2004) Seja a € R. Sabe-se que o sistema de equações lineares abaixo possui pelo menos uma solução x, y, z, € R.

Pode-se afirmar que:A) (a - 1)2 (a + 2) ≠ 0B) a ≠ -2C) a ≠ 1D) a = 1E) a = -2

09. Um funcionário comprou três produtos do tipo I e cinco produtos do tipo II, gastando R$ 190,00. Depois, ele comprou quatro produtos do tipo I e seis do tipo II, gastando R$ 238,00. Nessa situação, o produto do tipo I custa mais caro que o do tipo II.


( CESPE) Suponha que 3 kg de café e 4 kg de açúcar custam R$ 34,00, e 2 kg de café e 2 kg de açúcar custam R$ 21,10. Com base nesses dados, julgue os itens subseqüentes.

10. O preço de 1 kg de café é 3 vezes superior ao preço de 1 kg de açúcar.

11. O preço de 1 kg de açúcar é inferior a R$ 2,20.

(CESPE) Uma empresa quer contratar profissionais que possuem escolaridade de nível superior, de nível médio e de nível fundamental, e pagará salários mensais de R$ 3.000,00, R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00, respectivamente. Sabe-se que a despesa mensal da empresa com os salários desses novos profissionais, sem considerar os encargos sociais, deverá ser de R$ 147.000,00, que as vagas preenchidas com os profissionais de nível médio superarão em 20 a soma das vagas preenchidas com profissionais dos outros dois níveis e que é de 70 a quantidade total de profissionais a serem contratados. A respeito dessa contratação de profissionais, julgue os itens a seguir.

12. Serão contratados menos de 15 profissionais de nível superior.

13. A despesa com o salário do pessoal contratado e que possui nível médio será inferior a R$ 80.000,00.

14. Dos profissionais dos três níveis a serem contratados, a menor quantidade será daqueles que possuem o nível fundamental.

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08D B B E A D C B09 10 11 12 13 14C C E E E C


01. Seja a solução do sistema , ache o valor da potência .

A) 1B) 2C) 4D) 9E) 25

15. (Unitau) Calcule o valor de k 0 para que o sistema a seguir tenha solução diferente da trivial.

a) k = -1b) k = 1c) k = 2d) k = -2

16. (Fuvest) Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

- Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;- Carlos e Andréia pesam 123 kg e- Andréia e Bidu pesam 66 kg.


Podemos afirmar que:

A) Cada um deles pesa menos que 60kg.B) Dois deles pesam mais de 60kg.C) Andréia é a mais pesada dos três.D) O peso de Andréia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu.E) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08D B B E A D C B09 10 11 12 13 14 15 16C C E E E C C E

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

1. DEFINIÇÃO

É qualquer sequência de números em que de um termo para outro somamos o mesmo número (razão).

PA. (a1, a2, a3, ..., an)

Razão: determinamos a diferença entre um termo e seu antecessor:

a2 – a1 = a3 – a2 = ... = an – an – 1 = r

Ex: (2, 5, 8, 11) PA, r = 5–2 = 8–3 = 3 (10, 6, 2,...) PA, r = 6–10 = 2–6 = –4

2. REPRESENTAÇÃO

Qualquer sequência pode ser representada por , onde:

primeiro termo

segundo termo

terceiro termo

enésimo termo

3. CLASSIFICAÇÃO

Crescente r > 0 (2, 8, 14, 20) r = 6

Decrescente r < 0 (10, 7, 4, 1, ...) r = –3 Constante r = 0 (2, 2, 2, 2, ...) r = 0

4. TERMO GERAL

Dada a PA , temos:


5. REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS

Quando soubermos o valor da soma dos elementos de uma PA, podemos representá-la da maneira abaixo, porém só se torna interessante substituir quando tratarmos de poucos termos:

3 Termos(x – r, x, x + r)

4 Termos(x – 3r, x – r, x + r, x + 3r)

5 Termos(x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)

6. PROPRIEDADES DA P.A.

A soma de termos eqüidistantes é sempre igual ao dobro do termo médio.Ex: Considere a PA (5, 8, 11, 14, 17)5 + 17 = 8 + 14 = 2.11

Qualquer termo é igual à média de seus vizinhos.Ex: Considere a PA (5, 8, 11, 14, 17)

, e

7. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.

Para calcularmos a soma dos n primeiros termos de uma PA, basta utilizarmos a fórmula:

primeiro termo

último termo

número de termos


01. Numa urna há 1.600 bolinhas. Retirando sem reposição, 3 bolinhas na primeira vez, 6 bolinhas na segunda, 9 na terceira, e assim sucessivamente, o número de bolinhas que restarão, após a 32a retirada é:

A) 16B) 26C) 36D) 46

02. O número de termos, menores que 500, comuns às progressões aritméticas 2,6,10,14,... 3,10,17,24,...


é:

A) 17B) 18C) 19D) 20

03. Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorreu um total de 35.200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a:

A) 5100B) 5200C) 5300D) 5400E) 5500

04. Maria tem uma dívida de R$ 540,00 e pretende saldá-la pagando R$ 50,00 no 1 o mês, R$ 55,00 no 2o mês, R$ 60,00 no 3o

mês e assim, sucessivamente, aumentando o pagamento em R$ 5,00 a cada mês. A sua dívida estará totalmente paga noA) 14o mês.B) 12o mês.C) 10o mês.D) 8o mês.E) 6o mês.

05. Em um restaurante, os preços de três pratos estão em progressão aritmética de razão R$ 12,00. Se o primeiro e o segundo pratos custam juntos R$ 42,00, então o segundo e o terceiro prato custam juntos:

A) R$ 70,00B) R$ 68,00C) R$ 66,00D) R$ 60,00E) R$ 54,00

06. Considere a seqüência de conjuntos:

Desta seqüência, seja U o conjunto cujo maior elemento é 91. A soma dos elementos de U é:A) 1.100B) 1.105C) 1.110D) 1.115

07. Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um depósito inicial de R$ 120,00 e, a partir dessa data, fez depósitos mensais nessa conta em cada mês depositando R$ 12,00 a mais que no mês anterior. Ao efetuar o 19º depósito, o total depositado era de

A) R$ 3946,00B) R$ 4059,00C) R$ 4118,00D) R$ 4277,00E) R$ 4332,00

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07A B B D C B E



R1. Determinemos x de modo que a seqüência (x + 5, 4x – 1, x2 – 1) seja uma P.A.

Utilizando a propriedade da média aritmética (três termos consecutivos), podemos escrever:

As raízes dessa equação são x = 1 ou x = 6

Podemos verificar que, para x = 1, a P.A. é (6, 3, 0) e,

Para x = 6, a P.A. é (11, 23, 35)

R2. Vamos descobrir quantos múltiplos de 3 existem entre 100 e 500.

A seqüência dos múltiplos de 3 (0, 3, 6, 9...) é uma P.A. de razão 3, mas o que nos interessa é estudar essa seqüência entre 100 e 500.Para isso, temos:

• o primeiro múltiplo de 3 maior que 100 é a1 = 102• o último múltiplo de 3 pertencente ao intervalo dado é 498, que indicaremos por an, pois não conhecemos sua posição na

seqüência.

Assim, an = 498

Retomando, queremos determinar o número de termos (n) da seqüência (102, 105, ..., 498).

Pelo termo geral da P.A., temos:

Portanto, há 133 múltiplos de 3 entre 100 e 500.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS01. (UFPA-PA) Sabendo que a seqüência (1 – 3x, x – 2, 2x + 1) é uma P.A., determine o valor de x.

a) –2 b) 0c) 2d) 4e) 6

02. (Mack-SP) O valor de x, de modo que x2, (x + 1)2 e (x + 3)2 formem nessa ordem uma P.A., é:a) 3

b) – 5

c)

d)

e)

03. (Unifor) O 18° termo da progressão (5,8,11,14,...) é:a) 18b) 26


c) 46d) 56e)

04. (Mack-SP) O produto das raízes da equação x2 + 2x – 3 = 0 é a razão de uma P.A. de primeiro termo 7. O 100° termo dessa P.A. é:a) – 200b) – 304c) – 290d) – 205e) – 191

05. (Mack-SP) As progressões aritméticas: (5, 8, 11, ...) e (3, 7, 11, ...) têm 100 termos cada uma. O número de termos iguais nas duas progressões é:a) 15b) 25c) 1d) 38e) 42

06. (PUC-SP) O primeiro termo de uma progressão aritmética é a1 = 1,4 e a razão é 0,3. O menor valor de n, tal que an > 6, é:a) 15b) 17c) 19d) 21e) 23

07. (Univ. Uberlândia-MG) O número de múltiplos de 3, compreendidos entre 100 e 400, vale: a) 100b) 200c) 150d) 180e) 300

08. (PUC-SP) Os lados de um triângulo retângulo estão em P.A. de razão 3. Calculá-los.a) 3, 6, 9b) 6, 9, 12c) 12, 15, 18d) 9, 12, 15e) n.r.a.

09. (UFB-DF) Se o número 225 for dividido em 3 partes, formando uma progressão aritmética, de maneira que a terceira parte exceda à primeira de 140, essas partes serão:a) primas entre si.b) múltiplas de 5 e 10 ao mesmo tempo.c) números cujo produto é 54.375.d) múltiplas de 5 e 3 ao mesmo tempo.e) indeterminadas.

10. (UFPA) Numa progressão aritmética, temos a7, = 5 e a15 = 61. Então, a razão pertence ao intervalo:a) [8, 10]b) [6, 8[c) [4, 6[d) [2, 4[e) [0, 2[

11. (PUC-SP) Se o 4° e o 9° termos de uma progressão aritmética são, respectivamente, 8 e 113, então a razão r da progressão é:a) r = 20b) r = 21c) r = 22d) r = 23e) r = 24


12. (Santa Casa-SP) Numa progressão aritmética de 7 termos, a soma dos dois primeiros é 14 e a dos dois últimos é 54. A soma dos outros três termos dessa P.A. vale:a) 42b) 45c) 48d) 51e) n.r.a.

13. (Cesgranrio) Em uma progressão aritmética de 41 termos e de razão 9, a soma do termo do meio com o seu antecedente é igual ao último termo. Então o termo do meio é:a) 369b) 189c) 201d) 171e) 180

14. (Cescem) Em uma sucessão, o termo geral tem para expressão un = 2n – 1, n 1. A soma dos 100 primeiros termos dessa sucessão é:a) 100b) 199c) 9.800d) 10.000e) 20.000

15. (FFCLUSP) A soma dos números inteiros positivos menores do que 101 e não divisíveis por 4 é:a) 1.300b) 5.050c) 6.350d) 3.750e) n.r.a.

16. (PUC-SP) A soma de todos os números naturais compreendidos entre 100 e 200, e tal que o resto da divisão de cada um deles por 5 seja 2, é:a) 2.990b) 2.691c) 2.713d) 2.027e) n.r.a.

17. (FGV-SP) Colocando-se 1.540 estudantes em filas, com 1 estudante na primeira, 2 na segunda, 3 na terceira e assim sucessivamente, formando-se um tri-ângulo, quantas filas teremos?a) 55b) 20c) 154d) 3e) 200

18. (PUC-RS) Um teatro tem 18 poltronas na primeira fila, 24 na segunda, 30 na terceira e assim na mesma seqüência, até a vigésima fila que é a última. O número de poltronas desse teatro é: a) 92b) 132c) 150d) 1320e) 1500

19. (PUC-SP) Sendo f : R R, definida por f(x) = 2x + 3, então f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(25) é igual a:a) 725b) 753c) 653d) 1375e) 400


20. (FGV-SP) Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem uma certa distância x; no segundo dia percorre o dobro do que percorreu no primeiro dia; no terceiro dia percorre o triplo do 1° dia; e assim sucessivamente. Ao final de 20 dias percorreu uma distância de 6 300km. A distância percorrida no primeiro dia foi de:a) 15 kmb) 30 kmc) 20 kmd) 25 kme) 35 km

21. (UFG) Em uma gincana, 20 caixinhas estão distribuídas ao longo de uma pista retilínea, distantes 4 metros uma da outra. Um competidor, que se encontra a 5 metros da primeira caixinha, conforme a figura abaixo, deve correr até esta primeira caixinha, pegar um objeto e retornar ao local de partida. Em seguida, ele vai até a segunda caixinha, retira um objeto e retorna ao ponto de partida, e assim sucessivamente, até atingir a vigésima caixinha.Quantos metros esse competidor deverá percorrer para realizar a prova?a) 1680 mb) 1700 mc) 1720 md) 1820 me) 1960 m

22. (UEL) Em um supermercado, as latas de certos produtos são expostas em pilhas, encostadas em uma parede, com 1 lata na primeira fileira (a superior), 2 latas na segunda fileira, 3 latas na terceira e assim por diante. Observe na figura a seguir uma dessas pilhas, com 5 fileiras.

Um funcionário deve fazer uma pilha de 1,60m de altura, com latas de 4 cm de altura cada uma. Se as latas desse produto são embaladas em caixas com 75 latas em cada caixa, ele necessita retirar do estoquea) 9 caixas e não haverá sobra de latas.b) 10 caixas, mas sobrarão 12 latas.c) 10 caixas, mas sobrarão 30 latas.d) 11 caixas, mas sobrarão 3 latas.e) 11 caixas, mas sobrarão 5 latas.

23. (Uerj) Dois corredores vão se preparar para participar de uma maratona. Um deles começará correndo 8 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distância em 2 km; o outro correrá 17 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distância em 1 km. A preparação será encerrada no dia em que eles percorrerem, em quilômetros, a mesma distância. Calcule a soma, em quilômetros, das distâncias que serão percorridas pelos dois corredores durante todos os dias do período de preparaçãoa) 385 kmb) 400 kmc) 415 kmd) 440 kme) 445 km

24. (Ufrj) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$300,00 por mês. Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de R$300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: R$1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$1,00 a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo


percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias, Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de R$300,00.

a) R$155,00b) R$160,00c) R$165,00d) R$180,00e) R$205,00

GABARITO – EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10C D D C B B A D C B11 12 13 14 15 16 17 18 19 20B D B D D A A E A B21 22 23 24 25C E A C

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

1. DEFINIÇÃO

É qualquer seqüência de números em que de um termo para outro multiplicamos sempre pelo mesmo número (razão).

Razão: efetuamos a divisão entre um termo e seu antecessor:

Ex:

(2, 6, 18 ) PG,

(16, 4, 1,...) PG,

2. CLASSIFICAÇÃO

Crescente (2, 4, 8, 16,...) q = 2(–16, –8, –4,...) q = 1/2

Decrescente(–2, –4, –8, –16,...) q = 2(16, 8, 4,...) q = 1/2

Constante q = 1(4, 4, 4, ...) q = 1

Oscilante ou Alternante q < 0(2, –4, 8, –16) q = –2

3. TERMO GERAL

Dada a PG , temos:


4. REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS

Quando soubermos o valor do produto dos elementos de uma PG, podemos representá-la da maneira abaixo, porém só se torna interessante substituir quando tratarmos de poucos termos:

3 Termos

5 Termos

4 Termos

5. PROPRIEDADES DA P.G.

P1) O produto de termos equidistantes é sempre igual ao quadrado do termo médio.Ex: Considere a PG (5, 10, 20, 40, 80)5.80 = 10.40 = 202

P2) O quadrado de qualquer termo é igual ao produto de seus vizinhos.Ex: Considere a PG (3, 9, 27, 81, 243)92 = 3.27, 272 = 9.81 e 812 = 243.27

6. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G.

Soma FinitaPara calcularmos a soma dos n primeiros termos de uma PG, basta utilizarmos a fórmula:

ou

primeiro termo

último termo

número de termosq razão da PG

Soma InfinitaPara calcularmos a soma dos termos de uma PG infinita de razão –1<q<1, basta utilizarmos a fórmula:

7. PRODUTO DOS TERMOS DE UMA P.G.


Para calcularmos o produto dos n primeiros termos de uma PG, basta utilizarmos uma das fórmulas:

ou


01. Seja uma progressão geométrica de razão 3. Se , então é igual

a:

A) 234 B) 276 C) 428 D) 432

02. O conjunto solução da equação é dado por:

A) {1} B) {1,3} C) {3} D) {–1,3} E) 03. Numa progressão geométrica, o primeiro termo é e a razão é 3. Se a soma dos 5 primeiros termos é 1089, qual é o valor

de x?

04. Determine o valor de , onde :A) 1 B) 2 C) 5,12 D) 512

05. Meia vida de uma substância é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade. Tomemos, hoje, 16 gramas de uma substância radioativa cuja meia vida é de 5 anos. Se daqui a n anos sua massa for 2-111 gramas, o valor de n é igual a:

A) 525 B) 550 C) 565D) 575 E) 595

GABARITO

01 02 03 04 05D D 2 B D


R1. Vamos determinar x a fim de que a seqüência seja um P.G.

Utilizando a propriedade da média geométrica (três termos consecutivos, podemos escrever:


As raízes dessa equação são e

Verificando, para x = 3, a P.G. é (16, 4, 1)

E, para , a P.G. é

R2. Vamos determinar três números em P.G. cujo produto seja 1000 e a soma do 1º com o 3º termo seja igual a 52.

Quando queremos encontrar três termos em P.G. e conhecemos algumas informações sobre eles, é interessante escrevê-los

na forma

Do enunciado, vem:

Resolvendo essa equação do 2º grau,

vem ou q = 5

• para , temos (50, 10, 2)

• para q = 5, temos (2, 10, 50)

R3. Quantos termos da P.G. (2, 6, 18, ...) devem ser considerados a fim de que a soma resulte 19682? Queremos determinar n tal que . Como e q =3, vem:

, donde n = 9

R4. Uma bola é atirada ao chão de uma altura de 200m. ao atingir o solo pela primeira vez, ela sobe até uma altura de 100m, cai e atinge o solo pela segunda vez, subindo até uma altura de 50m, e assim por diante até perder energia e cessar o movimento. Quantos metros a bola percorre ao todo?

Observemos o esquema abaixo:


A partir do instante em que a bola toca o chão pela primeira vez, as distâncias “percorridas” por ela são:

(200, 100, 50,...); q =

A soma dos termos dessa P.G. infinita é

Assim, ao todo, a bola percorre uma distância de:

200 + 400 = 600m


01. Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e a razão igual a . Se o produto dos termos dessa progressão é 239, então o número de termos é igual a:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

02. (UECE) Seja (a1, a2, a3, ...) uma progressão geométrica. Se , então a5 é igual a:

a)

b) 1

c)

d) 2

03. (PUC-SP) Se a seqüência (4x, 2x + 1, x – 1) é uma P.G., então o valor de x é:

a)

b) – 8

c) – 1

d) 8

e)

04. (UFSC) Se os números a; a + 1; a – 3 formam nessa ordem uma P.G., então a razão dessa P.G. é:a) – 4

b)


c) 1

d)

e) 4

05. (Cesgranrio) Adicionando a mesma constante a cada um dos números 6, 10 e 15, nessa ordem, obtemos uma progressão geométrica de razão:

a)

b)

c)

d) 4e) 31

06. (Mack-SP) Se o oitavo termo de uma progressão geométrica é e a razão é , o primeiro termo dessa progressão é:

a) 2–1

b) 2

c) 26

d) 28

e)

07. (UGF-RJ) Em uma progressão geométrica o primeiro termo é 4 e o quinto termo é 324. A razão dessa progressão geométrica é:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 2

e)

08. (FGV-SP) A média aritmética dos seis meios geométricos que podem ser inseridos entre 4 e 512 é:a) 48b) 84c) 128d) 64e) 96

09. (FGV-SP) Numa progressão geométrica, a soma do quarto termo com o sexto termo é 160, e a soma do sétimo com o nono termo é 1280. Então o primeiro termo e a razão dessa progressão geométrica valem, respectivamente:a) 4 e 2b) 2 e 4c) 4 e 4d) 2 e 2e) n.d.a.

10. (Mack-SP) Numa progressão geométrica de quatro termos, a soma dos termos de ordem par é 10 e a soma dos termos de ordem ímpar é 5. O quarto termo dessa progressão é:a) 9b) 8 c) 6


d) 15e) 10

11. (UFES) Qual a razão de uma P.G. de três termos, em que a soma dos termos é 14 e o produto 64?a) q = 4b) q = 2c) q = 2 ou q = 1/2d) q = 4 ou q = 1e) n.r.a.

12. (Cescea-SP) A soma dos termos de uma P.G. infinita é 3. Sabendo-se que o primeiro termo é igual a 2, então o quarto termo dessa P.G. é:

a)

b)

c)

d)

e)

13. (FGV-SP) Um funcionário de uma repartição pública inicia um trabalho. Conseguindo despachar no primeiro dia 210 documentos, percebe que seu trabalho no dia seguinte tem um rendimento de 90% em relação ao dia anterior, repetindo-se este fato dia após dia. Se para terminar o trabalho tem de despachar 2 100 documentos, pode-se concluir que:

a) o trabalho estará terminado em menos de 20 dias.b) o trabalho estará terminado em menos de 26 dias.c) o trabalho estará terminado em 58 dias.d) o funcionário nunca terminará o trabalho.e) o trabalho estará terminado em 60 dias.

14. (FESP-SP) O valor de x na equação

é:

a) –10b) 10c) –20d) 20e) 25

15. (F.C. Chagas-RJ) Os números reais a e b são tais que a seqüência (– 6; a; b) é uma P.A. de razão r, e (a; b; 48) é uma P.G. de razão q. O número de divisores positivos do produto é:a) 9b) 8c) 6d) 4e) 3

16. (UNIFOR) Um turista anotou diariamente, por 5 dias, seus gastos na compra de artesanato e percebeu que essas quantias formavam uma progressão geométrica de razão 2. Se o gasto total foi de R$ 465,00, a maior quantia gasta em um dia na compra do artesanato foia) R$ 202,00b) R$ 208,00c) R$ 210,00d) R$ 225,00e) R$ 240,00


17. (UNIFOR) O número real x que satisfaz a sentença

é:

a) 5 b) 4c) 3 d) 2 e) 1

18. (UNIFOR) No universo R, a solução da equação 20 + 21 + 22 + ... + 2x = 8.191 é um número:

a) divisível por 6.b) quadrado perfeito.c) primo.d) ímpar.e) múltiplo de 5.

19. (Cesgranrio) O número de assinantes de um jornal de grande circulação no estado aumentou, nos quatro primeiros meses do ano, em progressão geométrica, segundo os dados de uma pesquisa constantes na tabela a seguir.

Mês Janeiro Fevereiro Março Abril

Número de

assinantes5000 ------ 6050 -----

Em relação ao mês de fevereiro, o número de assinantes desse jornal no mês de abril teve um aumento de:

a) 1600b) 1510c) 1155d) 1150e) 1050

GABARITO – EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01 02 03 04 05 06 07 08 09D D A B A C A B A10 11 12 13 14 15 16 17 18B C A D D A E C A19 20C

FUNÇÃO EXPONENCIAL

1- Definição:

Função exponencial é a função f:R , definida por f(x) = ax, onde a>0 e a 1.

Ex.: f(x) = 2x; a base é 2


f(x) = ; a base é ½.

2- Gráficos

O gráfico pode ser crescente (base>1) ou decrescente (0<base<1):Ex.: 01: Trace o gráfico da função f(x) = 2x

Para traçar o gráfico vamos dar valores para x e obter y:x = 0 y = 20 = 1x = 1 y = 21 = 2x = 2 y = 22 = 4x = 3 y = 23 = 8

Agora marcamos os pontos no plano cartesiano e traçamos o gráfico:

D = R Im =

Observe que a função é crescente, pois a base é 2 que é maior que 1.

Ex.: 02: Trace o gráfico da função f(x) =

Para traçar o gráfico vamos dar valores para x e obter y:

x = 0 y = = 1

x = –1 y = = 21 = 2

x = –2 y = = 22 = 4

x = 3 y = = 23 = 8


ID = R Im =

Observe que a função é decrescente, pois a base é 1/2 que está entre 0 e 1.

3- Equação Exponencial:

Equação exponencial é qualquer equação que tenha incógnita no expoente. Para resolvê-la basicamente devemos reduzi-la à mesma base e igualar os expoentes.Ex.: Encontre o valor de x:


a) Sol.

b)

Sol.

4- Inequação ExponencialInequação exponencial é qualquer inequação com incógnita no expoente. Para resolvermos igualamos as bases. Porém

devemos considerar duas situações:1a situação: Base > 1 mantemos o sinalEx.:

2a situação: 0 < Base < 1 invertemos o sinalEx.:

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

1- DefiniçãoSendo a e b números reais e positivos, chamamos de logarítmo de a na base b ( ), o expoente que se deve dar à base

para que a potência obtida seja igual a a.

a logaritmandob base x valor do logarítmoEx.:

Função logarítmica é a função f: R definida por; , onde a > 1 ou 0 < a < 1.

Ex.:


2- Condição de ExistênciaSó existe o logarítmo, se a base e o logaritmando forem positivos. Além disso, a base deve ser diferente de 1:

3- Conseqüências da Definição

Ex.:

Ex.:

Ex.:

4- Gráficos

O gráfico pode ser crescente (base>1) ou decrescente (0<base<1):

Ex.: 01: Trace o gráfico da função .

Para traçar o gráfico vamos dar valores para x e obter y:x = 1 y = = 0

x = 2 y = = 1

x = 4 y = = 2

x = 8 y = = 3Agora marcamos os pontos no plano cartesiano e traçamos o gráfico:

D = Im = R

Observe que a função é crescente pois a base é 2 que é maior que 1.

Ex.: 02: Trace o gráfico da função .

Para traçar o gráfico vamos dar valores para x e obter y:

x = 1 y = = 0

x = 2 y = = –1

x = 4 y = = –2

x = 8 y = = –3



D = Im = R

Observe que a função é decrescente, pois a base é 1/2 que é menor que 1

5- Propriedades

Ex.:

Ex.:

Ex.1:

Ex.2:

Ex.3:

Ex.:

Ex.:

6- Equações Logarítmicas

Basicamente existem dois tipos de equação logarítmica:

1o tipo:

Ex.:

2o tipo:

Ex.:

7- Inequações Logarítmicas

Para resolver inequação logarítmica devemos observar se a base é maior que 0. Nesse caso mantemos o sinal; no caso da base estar entre 0 e 1, invertemos o sinal da inequação.1o tipoSe a > 0

Ex.:


Se 0< a <1

Ex.:

2o Tipo:

Se a > 0

Ex.:

Se 0< a <1

Ex.:

A solução da inequação será a interseção do que foi obtido a partir da inequação com a condição de existência do logaritmo.


01. Se , então o valor de é igual a:

a) c) 25

b) d) 5

02. A soma das raízes da equação , onde é igual a:

a) 5 d) 6b) 8 e) 9c) 10

03. Se log3n = 6, então 2 + 3 é igual a:

a) 36b) 45c) 54d) 81

04. Sejam , e . Calcule o valor de .

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

05. Uma cultura de bactérias se desenvolve segundo a função N(t) = , em que N(t) é o número de bactérias no instante t, em horas, e c é uma constante. Sabe-se ainda que, no instante t = 0, havia 81 bactérias. Pode-se concluir que haverá 729 bactérias no instante igual a:a) 1 h b) 3 hc) 6 h d) 1h 30mine) 1h 20min

06. Sejam x1 e x2 as soluções da equação exponencial . O valor da soma x1 + x2 é:


a)

b)

c)

d)

e)

07. Calculando-se o valor de

obtém-se:

a) log 3 1/5b) 1/3c) 1/5d) -1/3e) -1

08. Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado

pela função n(t) = . Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51 200 bactérias depois de:

a) 1 dia e 3 horas.b) 1 dia e 9 horas.c) 1 dia e 14 horas.d) 1 dia e 19 horas.

09. Uma pessoa deposita uma quantia em dinheiro na caderneta de poupança. Sabendo-se que o montante na conta, após t meses, é dado por M(t) = , onde C é uma constante positiva, o tempo mínimo para duplicar a quantia depositada é:a) 6 anos e 8 meses.b) 7 anos e 6 meses.c) 8 anos e 4 meses.d) 9 anos e 3 meses.e) 10 anos e 2 meses.

10. Considere que o material usado na confecção de um certo tipo de tapete tem um custo de R$ 40,00. O fabricante pretende colocar cada tapete à venda por x reais e, assim, conseguir vender (100 – x) tapetes por mês. Nessas condições, para que, mensalmente, seja obtido um lucro máximo, cada tapete deverá ser vendido por:a) R$ 55,00 b) R$ 60,00 c) R$ 70,00 d) R$ 75,00 e) R$ 80,00

11. Sendo a e k constantes reais e sabendo-se que o gráfico da função f(x) = a.2kx passa pelos pontos A(0, 5) e B(1, 10), o valor da expressão 2a + k é:

a) 15 c) 13 e) 12b) 11 d) 10

12. Suponha que, numa colônia de fungos, a massa biológica de sua população, no instante t (horas), denotada por m(t), seja

dada pela expressão gramas. (Considere que ). De acordo com o ritmo de crescimento

populacional estabelecido por essa expressão, a massa da população de fungos, em 50 horas, é da ordem de:a) 100 g


b) 10 g c) 10 000 g d) 1 000 g

13. Se, então:

a) x = 1 ou x = -1b) x = 0,2 c) x = ou x = d) a equação não tem solução no conjunto dos reais.e) x = ou x =

14. Se log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, onde "log" indica o logaritmo decimal, então o valor de log 0,12 é igual a:

a) 0,079b) -0,921c) 1,079d) -0,222e) 0,777

(CESPE) Considere que o tamanho da população mundial feminina possa ser expresso, em bilhões de habitantes, pela função P(T) = 6(1 – e-0,02T) + 3, em que T = 0 representa o ano de 2008, T = 1, o ano de 2009, e assim por diante. Com base nesse modelo, julgue os itens seguintes.

15 Considerando que o tamanho da população masculinamundial seja sempre inferior ao da feminina, tem-se que a população mundial será sempre inferior a 18 bilhões de habitantes.

16 Tomando 1,7 como valor aproximado para ln 6, é correto afirmar que em 2093 a população mundial feminina será igual a 8 bilhões de habitantes.

17 Em 2058, a população feminina mundial será superior a 7 bilhões de habitantes.

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07C B D B E C E08 09 10 11 12 13 14A C C B C E B15 16 17C C E


01. A função , com , dá o crescimento do número C, de bactérias, no instante t em horas. O tempo

necessário, em horas, para que haja, nessa cultura, 1800 bactérias está no intervalo:a) [0, 4] b) [4, 12] c) [12, 36] d) [36, 72] e) [72, 108]

02. (Umesp-SP) Uma cultura de bactérias se desenvolve segundo a função N(t) = , em que N(t) é o número de bactérias no instante t, em horas, e c é uma constante. Sabe-se ainda que, no instante t = 0, havia 81 bactérias. Pode-se concluir que haverá 729 bactérias no instante igual a:a) 1 h


b) 3 hc) 6 h d) 1h 30mine) 1h 20min

03. (UF-PI) Sejam x1 e x2 as soluções da equação exponencial . O valor da soma x1 + x2 é:

a)

b)

c)

d)

e)

04. (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após sua compra, é dado por

, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, então ela

foi comprada, em reais, por um valor:a) maior que 46 000.b) igual a 46 500.c) entre 40 000 e 46 000.d) entre 38 000 e 44 000.e) menor que 42 000.

05. (Puccamp-SP) Curiosamente, observou-se que o número de árvores plantadas em certo município podia ser estimado pela lei N = , em que t corresponde ao respectivo mês de plantio das N árvores. Se para t = 0 obtém-se o número de árvores plantadas em maio de 2001, em que mês o número de árvores plantadas foi igual a nove vezes o número das plantadas em julho de 2001?a) setembro de 2001b) outubro de 2001c) dezembro de 2001d) janeiro de 2002e) março de 2002

06. (Vunesp-SP) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função:

, sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após

t meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início?a) 5 b) 7 c) 8 d) 9e) 10

07. (UFSP-MG) As raízes de equação são:

a) iguais em módulo.b) ambas negativas.c) ambas positivas.d) quaisquer números reais.e) nulas.


08. (PUC-MG) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t

horas é dado pela função n(t) = . Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51 200 bactérias

depois de:a) 1 dia e 3 horas.b) 1 dia e 9 horas.c) 1 dia e 14 horas.d) 1 dia e 19 horas.

09. (U. F.Viçosa-MG) Uma pessoa deposita uma quantia em dinheiro na caderneta de poupança. Sabendo-se que o montante na conta, após t meses, é dado por M(t) = , onde C é uma constante positiva, o tempo mínimo para duplicar a quantia depositada é:a) 6 anos e 8 meses.b) 7 anos e 6 meses.c) 8 anos e 4 meses.d) 9 anos e 3 meses.e) 10 anos e 2 meses.

10. (PUC-SP) Considere que o material usado na confecção de um certo tipo de tapete tem um custo de R$ 40,00. O fabricante pretende colocar cada tapete à venda por x reais e, assim, conseguir vender (100 – x) tapetes por mês. Nessas condições, para que, mensalmente, seja obtido um lucro máximo, cada tapete deverá ser vendido por:a) R$ 55,00 b) R$ 60,00 c) R$ 70,00 d) R$ 75,00 e) R$ 80,00

11. (UF-PB) Sendo a e k constantes reais e sabendo-se que o gráfico da função f(x) = a2kx passa pelos pontos A(0, 5) e B(1, 10), o valor da expressão 2a + k é:a) 15 b) 13 c) 11d) 10e) 12

12 . (UMC-SP) A equação admite:

a) uma única raiz e negativa.b) uma raiz irracional.c) uma raiz par e outra ímpar.d) duas raízes opostas.e) duas raízes pares.

13. (UE-RJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a liberação de um

predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função: . Após cinco dias da liberação do

predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a:a) 3b) 4c) 300d) 400

14. (UF-RN) Suponha que, numa colônia de fungos, a massa biológica de sua população, no instante t (horas), denotada por

m(t), seja dada pela expressão gramas. (Considere que ). De acordo com o ritmo de

crescimento populacional estabelecido por essa expressão, a massa da população de fungos, em 50 horas, é da ordem de:a) 100 g b) 10 g c) 10 000 g d) 1 000 g


15. (Mackenzie-SP) Adotando-se log 2 = 0,3, então o valor de x, tal que 2x+2 = 20, é:

a) b)

c) d)

e)

16. (PUC-SP) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6 000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996? (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.)a) 1998 b) 1999 c) 2000 d) 2001e) 2002

17. (UCDB-MS) Estudos científicos constatam que a quantidade de peças produzidas em uma empresa, x anos após o início

do lançamento de sua fabricação, é dada pela expressão: . Nessas condições e supondo log 2 = 0,30

e log 3 = 0,48, daqui a quanto tempo, aproximadamente, após o início dessa fabricação serão produzidas 5 000 peças?a) 38 dias b) 56 dias c) 78 dias d) 114 dias e) 142 dias

18. (UF-SC) Um paciente de um hospital está recebendo soro por via intravenosa. O equipamento foi regulado para gotejar x gotas a cada 30 segundos. Sabendo-se que este número x é solução da equação =

, e que cada gota tem volume de 0,3ml, pode-se afirmar que o volume de soro que este paciente recebe em uma hora é de:a) 800 ml b) 750 ml c) 724 ml d) 500 mle) 324 ml

19. (Unifor-CE) As populações de duas culturas de bactérias têm seus respectivos .crescimentos dados pelas expressões e g(t) = , nas quais t é o tempo, em meses, contado a partir do início das culturas. Após quanto

tempo do início dessas culturas suas populações serão iguais? (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.)a) 30 diasb) 40 diasc) 45 diasd) 60 diase) 75 dias

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10C E C A A E A A C C


11 12 13 14 15 16 17 18 19C B C C A E B E C

ANÁLISE COMBINATÓRIA

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Se um acontecimento pode ocorrer por várias eta-pas sucessivas e independentes de tal modo que:

• p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa

• p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa

• pK é o número de possibilidades da k-ésima etapa.

Então: é o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer.

2. ARRANJOS SIMPLES

Seja B = {b1, b2, ... , bn} um conjunto com n elementos (n N).

Denomina-se arranjo simples dos n elementos de B, tomados p a p, qualquer agrupamento de p elementos, distintos, escolhidos entre os elementos de B (p N e p n).

Indica-se: ou

► Observação: ARRANJO é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.

Fórmula do número de arranjos

ou

3. COMBINAÇÕES SIMPLES

Seja B = {b1, b2, ... , bn} um conjunto com n elementos (n N).

Denomina-se combinação simples dos n elementos de B, tomados p a p, qualquer subconjunto de p elementos do conjunto B.

Indica-se: ou

► Observação: COMBINAÇÃO é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.


Fórmula das combinações simples

4. PERMUTAÇÕES SIMPLES

Seja B = {b1, b2, ... , bn} um conjunto com n elementos (n N).Denomina-se permutação simples dos n elementos de B todo arranjo dos n elementos de B, tomados n a n.

Indica-se:

► Observação: Permutação é o tipo de agrupamento ordenado no qual, em cada grupo, entram todos os elementos.

Fórmula das permutações simples

5. PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS

O número de permutações possíveis com n elementos, dentre os quais um certo elemento se repete a vezes, é igual ao fatorial de n dividido pelo fatorial de α.

Se tivermos n elementos, dos quais:

α são iguais a Aβ são iguais a Bγ são iguais a C

O número de permutações distintas dos n elementos será:


01. Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras éa) 1.680b) 8!c) 8 . 4!

d)

e) 32

02. As diretorias de 4 membros que podemos formar com os 10 sócios de uma empresa são:a) 5.040b) 40c) 2d) 210


03. Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?

a) 500b) 720c) 4.500d) 25e) 55

04. Um professor propôs, para uma de suas turmas, uma prova com 7 questões, das quais cada aluno deveria escolher exatamente 5 questões para responder. Sabe-se que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos os alunos da turma. Logo, o número máximo de alunos que essa turma poderia possuir era:

a) 17 b) 19c) 21d) 22e) 25

05. (F. C C) Uma sala tem 6 lâmpadas, com interruptores independentes. De quantos modos pode-se iluminá-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?

a) 6b) 32c) 63d) 120e) 720

06. Um aluno deverá ser examinado em Português e Geografia com uma única prova de cinco questões. Sabendo-se que Português tem 10 tópicos. Geografia 8 e que qualquer tópico só poderá aparecer no máximo em uma questão, assinale o número de possíveis escolhas entre esses tópicos que o examinador terá para elaborar a prova com três questões de Português e duas de Geografia.

a) 3.806 b) 480c) 3.360d) 92e) 148

07. (Santa Casa-SP) Num determinado setor de um hospital, trabalham 5 médicos e 10 enfermeiros. Quantas equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e 4 enfermeiros, podem ser formadas nesse setor?

a) 210b) 1.050c) 5.040d) 10.080e) 25.200

08. (PUC-SP) Um campeonato de futebol é disputado por 20 equipes, de acordo com o esquema seguinte:

1) Formam-se 4 grupos de 5 equipes. Em cada grupo as equipes jogam todas entre si. Obtém-se assim um campeão em cada grupo.

2) Os 4 campeões de grupo jogam todos entre si, surgindo daí o campeão.O número total de jogos disputados é:a) 20b) 24c) 40d) 46e) 190

Texto para os itens de 54 a 59

O código de acesso exigido em transações nos caixas eletrônicos do Banco do Brasil é uma seqüência de letras, gerada automaticamente pelo sistema.

Até o dia 17/12/2007, o código de acesso era composto por 3 letras maiúsculas. Os códigos de acessos gerados a partir de 18/12/2007 utilizam, também, sílabas de 2 letras — uma letra maiúscula seguida de uma letra minúscula.


Exemplos de código de acesso no novo modelo:Ki Ca Be; Lu S Ra; T M Z.

Na situação descrita no texto, considere que o número de letras maiúsculas disponíveis para a composição dos códigos de acesso seja igual a 26, que é igual ao número de letras minúsculas.A partir dessas informações, julgue os itens a seguir.

09 Até 17/12/2007, o número de códigos de acesso distintos, que eram compostos por exatamente 3 letras maiúsculas e que podiam ser gerados pelo sistema do Banco do Brasil para transações nos caixas eletrônicos, era inferior a 18 × 103.

10 Se um cliente do Banco do Brasil decidir formar seu código de acesso com 3 letras maiúsculas usando somente as 4 letras iniciais de seu nome, então ele terá, no máximo, 12

escolhas de código.

11 É superior a 18 × 107 a quantidade de códigos de acesso compostos por 3 sílabas de 2 letras, nos quais cada sílaba é formada por exatamente 1 letra maiúscula e 1 letra minúscula nessa ordem, não havendo repetições de qualquer uma das letras em um mesmo código.

12 Considere que um cliente do Banco do Brasil deseje que seu código de acesso comece com a sílaba Lu e que cada uma das outras duas posições tenha apenas 1 letra maiúscula, distinta das demais, incluindo-se as letras L e u. Nesse caso, esse cliente terá menos de 600 escolhas de código.

Ao visitar o portal do Banco do Brasil, os clientes do Banco do Brasil Estilo podem verificar que, atualmente, há 12 tipos diferentes de fundos de investimento Estilo à sua disposição, listados em uma tabela. Com respeito à quantidade e diversidade de fundos disponíveis, julgue os itens subseqüentes.

13 Um cliente do Banco do Brasil Estilo que decidir escolher 3 fundos diferentes para realizar seus investimentos terá, no máximo, 13.200 escolhas distintas.

14 Se o Banco do Brasil decidir oferecer os fundos de investimento Estilo em 4 pacotes, de modo que cada pacote contemple 3 fundos diferentes, então a quantidade de maneiras distintas para se montar esses pacotes será superior a 350 mil.

15 Considere que, entre os fundos de investimento Estilo, haja 3 fundos classificados como de renda fixa, 5 fundos classificados como de multimercado, 3 fundos de ações e 1 fundo referenciado. Considere, ainda, que, no portal do Banco do Brasil, esses fundos sejam exibidos em uma coluna, de modo que os fundos de mesma classificação aparecem juntos em seqüência. Sendo assim, a quantidade de maneiras diferentes que essa coluna pode ser formada é inferior a 4.500.

16 Considere que os 12 fundos Estilo mencionados sejam assim distribuídos: 1 fundo referenciado, que é representado pela letra A; 3 fundos de renda fixa indistinguíveis, cada um representado pela letra B; 5 fundos multimercado indistinguíveis, cada um representado pela letra C; e 3 fundos de ações indistinguíveis, cada um representado pela letra D. Dessa forma, o número de escolhas distintas que o banco dispõe para listar em coluna esses 12 fundos, utilizando-se apenas suas letras de representação — A, B, C e D —, é inferior a 120 mil.

O Banco do Brasil S.A. (BB) patrocina as equipes masculina e feminina de vôlei de quadra e de praia. Segundo o portal www.bb.com.br, em 2007, o voleibol brasileiro mostrou mais uma vez a sua hegemonia no cenário internacional com a conquista de 56 medalhas em 51 competições, tanto na quadra quanto na praia. Nesse ano, o Brasil subiu ao lugar mais alto do pódio por 31 vezes e conquistou, ainda, 13 medalhas de prata e 12 de bronze.

Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes.

17 Considerando-se que o treinador de um time de vôleitenha à sua disposição 12 jogadores e que eles estejam suficientemente treinados para jogar em qualquer posição, nesse caso, a quantidade de possibilidades que o treinador terá para formar seu time de 6 atletas será inferior a 103.

18 Considerando que o treinador de um time de vôlei disponha de 12 jogadores, dos quais apenas 2 sejam levantadores e os demais estejam suficientemente bem treinados para jogar em qualquer outra posição, nesse caso, para formar seu time de 6 atletas com apenas um ou sem nenhum levantador, o treinador poderá fazê-lo de 714 maneiras diferentes.


19 Existem maneiras diferentes de se selecionar, entre as medalhas conquistadas pelo voleibol brasileiro em

2007, um conjunto de 12 medalhas, de modo que pelo menos uma delas seja de ouro.

20 Caso se deseje selecionar 5 medalhas, entre as conquistadas pelo voleibol brasileiro em 2007, de modo que 2 sejam de ouro, 2 de prata e 1 de bronze, a quantidade de possibilidades diferentes de se formar esses conjuntos será superior a 450 mil.

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

A D E C C C B D C E

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

E C E C E C C C E E


R1. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?

Trata-se de construir uma seqüência ordenada de três algarismos (a, b, c), respeitadas as condições: , e , com a, b, c {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Há três etapas a serem analisadas:

• para a escolha do algarismo da centena (a) há sete opções

• para escolha do algarismo da dezena (b) há seis opções, uma vez que o algarismo escolhido para a centena não pode se repetir.

• para a escolha do algarismo da unidade (c) há cinco opões, pois devemos excluir os algarismos já escolhidos para a e b.

Assim, pelo PFC, a quantidade de números

R2. A seleção brasileira de futebol irá disputar um torneio internacional com outras cinco seleções no sistema “todos jogam todos uma única vez”. Quais as possíveis seqüências de resultados – vitória (V), empate (E) e derrota (D) – da equipe brasileira nesse torneio?

A seqüência de resultados dos jogos pode ser representada (j1, j2, j3, j4, j5) e, em cada jogo pode ocorrer V, D ou E.Pelo PFC, o número de seqüências possíveis é:

R3. Nos jogos Olímpicos de 2004, em Atenas, as quatro seleções semifinalistas do voleibol feminino foram: Brasil, China, Cuba e Rússia. De quantas maneiras distintas poderia ter sido definido o pódio (ouro, prata e bronze)?

Cada maneira possível de se formar um pódio é uma seqüência ordenada de três seleções escolhidas entre as quatro semifinalistas.

Observe que:


A quantidade de arranjos possíveis é:

Usando o PFC, chegamos ao mesmo resultado:

R4. Em um curso de espanhol estudam 20 alunos, sendo 12 rapazes e 8 moças, o professor quer formar uma equipe de quatro alunos para intercâmbio em outro país. Quantas equipes de dois rapazes e duas moças poder ser formadas?

O número de maneiras de escolher os rapazes é:

Para cada uma dessas 66 maneiras, o número de opções existentes para a escolha das moças é

Assim, pelo PFC, o resultado procurado é


01. (FGV-SP) Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 elementos e o outro com 15 elementos, encontram-se em um certo local de um país distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo, o número de cumprimentos será igual a:A) 35B) 300C) 595 D) 1190E) 1200

02. (FGV-SP) Quantos números de 4 algarismos diferentes têm o algarismo da unidade de milhar igual a 3?A) 1512B) 3! 504C) 504D) 3024E) 4! 504

03. (UM-SP) O número de telefone de uma cidade é constituído de 6 dígitos. Sabendo-se que o 1º dígito nunca pode ser zero, se os números dos telefones passarem a ser de 7 dígitos, o aumento possível na quantidade de telefones será:A) 81 . 103

B) 90 . 103

C) 81 . 104

D) 81 . 105

E) 90 . 105

04. A quantidade de números inteiros compreendidos entre 30.000 e 65.000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:A) 48B) 66C) 96D) 120E) 98

05. (FGV-SP) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetir algarismos num mesmo número, podemos formar com os dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8:


A) 210B) 7!C) 200D) 840E) 1.680

06. Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:A) 120B) 320C) 500D) 600E) 720

07. (PUC-SP) Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independente da posição do assento. Combinando assento e encosto, este banco assume:A) 6 posições diferentesB) 30 posições diferentesC) 90 posições diferentesD) 180 posições diferentesE) 720 posições diferentes

08. Numa estante existem 3 livros de história, 3 de Matemática e 1 de Geografia. Se se deseja sempre um livro de História em cada extremidade, então o número de maneiras de se arrumar esses 7 livros é:A) 720B) 36C) 81D) 126

09. Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:A) 1.680B) 8!C) 8 . 4!

D)

E) 32

10. As diretorias de 4 membros que podemos formar com os 10 sócios de uma empresa são:A) 5.040B) 40C) 2D) 210

11. (FGV-SP) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?A) 500B) 720C) 4.500D) 25E) 55

12. (PUC-SP) Um professor propôs, para uma de suas turmas, uma prova com 7 questões, das quais cada aluno deveria escolher exatamente 5 questões para responder. Sabe-se que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos os alunos da turma. Logo, o número máximo de alunos que essa turma poderia possuir era:A) 17 B) 19C) 21D) 22E) 25


13. (FCC) Uma sala tem 6 lâmpadas, com interruptores independentes. De quantos modos pode-se iluminá-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?A) 6B) 32C) 63D) 120E) 720

14. Um aluno deverá ser examinado em Português e Geografia com uma única prova de cinco questões. Sabendo-se que Português tem 10 tópicos. Geografia 8 e que qualquer tópico só poderá aparecer no máximo em uma questão, assinale o número de possíveis escolhas entre esses tópicos que o examinador terá para elaborar a prova com três questões de Português e duas de Geografia.A) 3.806 B) 480C) 3.360D) 92E) 148

15. (Santa Casa-SP) Num determinado setor de um hospital, trabalham 5 médicos e 10 enfermeiros. Quantas equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e 4 enfermeiros, podem ser formadas nesse setor?A) 210B) 1.050C) 5.040D) 10.080E) 25.200

16. (PUC-SP) Um campeonato de futebol é disputado por 20 equipes, de acordo com o esquema seguinte:

1) Formam-se 4 grupos de 5 equipes. Em cada grupo as equipes jogam todas entre si. Obtém-se assim um campeão em cada grupo.

2) Os 4 campeões de grupo jogam todos entre si, surgindo daí o campeão.

O número total de jogos disputados é:A) 20B) 24C) 40D) 46E) 190

17. Tem-se 12 livros, todos diferentes, sendo 5 de Matemática, 4 de Física e 3 de Química. De quantos modos podemos dispô-los sobre uma prateleira, devendo os livros de cada assunto permanecer juntos?A) 103.680B) 17.280C) 150D) 12E) 6

18. (F.C.C) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA. Quantos deles têm as vogais juntas?A) 36B) 72C) 120D) 144E) 180

19. Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos do número 718.844?A) 90B) 720C) 15D) 30E) 180


20. Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas iguais e 4 brancas iguais. Quantas são as maneiras diferentes de se extrair, uma a uma, as 10 bolas da urna?A) 420B) 210C) 120D) 150E) 180

21. (Cesgranrio) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1º lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria; 3º lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?A) 69B) 2024C) 9562D) 12144E) 13824

22. (Fgv) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico de um banco mas, na hora de digitar a senha, esquece-se do número. Ela lembra que o número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O número máximo de tentativas para acertar a senha éA) 1 680B) 1 344C) 720D) 224E) 136

23. (Mackenzie) Uma prova de atletismo é disputada por 9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Os resultados possíveis para a prova, de modo que pelo menos um brasileiro fique numa das três primeiras colocações, são em número de:A) 426B) 444C) 468D) 480E) 504

24. (Cesgranrio2002) Um brinquedo comum em parques de diversões é o "bicho-da-seda", que consiste em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada e que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma trajetória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada um deles acompanhado de uma criança, e que, em cada banco do carro, devam acomodar-se uma criança e o seu responsável.De quantos modos podem as dez pessoas ocupar os cinco bancos?A) 14 400B) 3 840C) 1 680D) 240E) 120

25. (Fuvest) A escrita Braille para cegos é um sistema de símbolos onde cada caractere é formado por uma matriz de 6 pontos dos quais pelo menos um se destaca em relação aos outros. Assim por exemplo:

Qual o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados neste sistema de escrita?A) 63B) 89C) 26D) 720E) 36

26. (Uel) Uma aposta na MEGA SENA (modalidade de apostas da Caixa Econômica Federal) consiste na escolha de 6 dentre os 60 números de 01 a 60. O número máximo possível de apostas diferentes, cada uma delas incluindo os números 12, 22 e 23, é igual a:A) (60 . 59 . 58)/(1 . 2 . 3)B) (60 . 59 . 58 . 57 . 56 . 55)/(1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6)C) [(60 . 59 . 58)/(1 . 2 . 3)-(57 . 56 . 55)/(1 . 2 . 3)]


D) (57 . 56 . 55)/(1 . 2 . 3)E) (57 . 56 . 55 . 54 . 53 . 52)/(1 . 2 . 3 . 4 . 5. 6)

27. (Ufscar) A câmara municipal de um determinado município tem exatamente 20 vereadores, sendo que 12 deles apóiam o prefeito e os outros são contra. O número de maneiras diferentes de se formar uma comissão contendo exatamente 4 vereadores situacionistas e 3 oposicionistas é.A) 27720.B) 13860.C) 551.D) 495.E) 56.

28. (Fuvest) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis seqüências dessas músicas serão necessários aproximadamente:A) 100 dias.B) 10 anos.C) 1 século.D) 10 séculos.E) 100 séculos.

29. (Fatec) Seis pessoas, entre elas João e Pedro, vão ao cinema. Existem seis lugares vagos, alinhados e consecutivos. O número de maneiras distintas como as seis podem sentar-se sem que João e Pedro fiquem juntos éA) 720B) 600C) 480D) 240E) 120

30. (Unitau) O número de anagramas da palavra BIOCIÊNCIAS que terminam com as letras AS, nesta ordem é:A) 28200B) 30240C) 32240D) 36600E) 37440

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

B C D B D D B A A D

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

E C C C B D A D E B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

D B B B A D A E C

PROBABILIDADE

1. INTRODUÇÃO

Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentarem resultados variados, não sendo possível, portanto, a previsão lógica dos resultados, são denominados experimentos aleatórios.


• Espaço amostral — é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por U.

• Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.

O conceito de Probabilidade é muito fácil, trata-se de uma divisão. Antes de mais nada, convém saber que a questão de Probabilidade é inconfundível. Haverá no enunciado sempre a pergunta: Qual a probabilidade de ...? No máximo, a questão trocará a palavra probabilidade pela palavra chance. (Mas isso também não é algo comum de ocorrer)!

Daí, procuraremos saber qual é a probabilidade de realização de um determinado evento! Teremos, então, que o conceito que buscamos é o seguinte: a probabilidade é a razão entre o nº de eventos favoráveis pelo nº de eventos possíveis.

Exemplo:

Um dado é lançado duas vezes sucessivamente e é observada a seqüência das faces obtidas.

Usando o PFC (princípio fundamental da contagem), o número de resultados possíveis de ocorrer nesse experimento é = 36. Veja, a seguir, uma forma de representar os 36 pares ordenados:

Lançamentos 2°1°

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Assim,

U = {(1, 1), (1, 2),..., (2,1),.... (3,1),.... (4,1),..., (5, 1),..., (6,1),..., (6, 6)}. Cada par ordenado corresponde a um ponto amostral.

1.2. DEFINIÇÃO

Seja U um espaço amostral equiprovável e A um de seus eventos.

Denomina-se probabilidade do evento A o número P(A) tal que:

Em que:

n(A) = n.° de elementos do evento A.

n(U) = n.° de elementos do espaço amostral.

1.3. ADIÇÃO DE PROBABILIDADES

Se A e B são dois eventos do mesmo espaço amostral, podemos escrever:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)


Observação:Se A B = P(A B) = P(A) + P(B)

1.4. PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR

Sejam:

A = evento de um espaço amostral U. = evento complementar de A.

Então:

1.5. MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES

Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes, de tal modo que:

o primeiro evento é A e a sua probabilidade é p1

o segundo evento é B e a sua probabilidade é p2

o terceiro evento é C e a sua probabilidade é p3

o K-ésimo evento é K e a sua probabilidade é pK

Então a probabilidade de que os eventos A, B, C, .... K ocorram nessa ordem é:

EXERCÍCIOS PROPOSTOS~(p q) = p ~q

01. Jogando-se dois dados, a probabilidade de obtermos a soma dos pontos menor ou igual a 7 é:

a) b) c) d) e)

02. Os 240 cartões de um conjunto são numerados consecutivamente de 1 a 240. Retirando-se ao acaso um cartão desse conjunto, a probabilidade de se obter um cartão numerado com um múltiplo de 13 é:

a) b) c) d) e)

03. João lança um dado sem que Antônio veja. João diz que o número mostrado pelo dado é par. A probabilidade agora de Antônio acertar é:

a) b) c) d) e)

04. Escolhem-se ao acaso dois números distintos, de 1 a 20. Qual a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja ímpar?


a) b) c) d) e)

05. Uma urna contém apenas 10 bolas. Essas bolas são de diversas cores, e somente 4 são brancas. Sabe-se que as bolas diferem apenas na cor. Retira-se uma bola ao acaso, e em seguida retira-se outra bola, sem reposição da primeira. A probabilidade de obter duas bolas que não são brancas é:

a) b) c) d) e)

06. Numa urna estão dez bolas do mesmo tamanho e de mesmo material sendo 8 pretas e 2 brancas. Pegando-se uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade dela ser branca?

a) 25% b) 30% c) 10% d) 15% e) 20%

07. Num único lance de um par de dados honestos, a probabilidade de saírem as somas 7 ou 11 é:

a) b) c) d) e)

08. Um dado honesto tem suas 6 faces numeradas de 1 a 6. Joga-se esse dado duas vezes consecutivas. A probabilidade de obter um número par no primeiro lançamento e um número maior ou igual a cinco no segundo lançamento é:

a) b) c) d) e)

09. Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas, sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeiras serem pretas e a terceira vermelha?

a)

b)

c)

d)

e)

10. Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a:a) 4/25b) 10/25c) 12/25d) 3/5e) 4/5

11. Quando Lígia para em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a


a) 0,25.b) 0,35.c) 0,45.d) 0,15.e) 0,65.

12. A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:

a) 2/25b) 8/25c) 2/5d) 3/25e) 4/5

13. Em uma sala de aula estão 10 crianças, sendo 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças são sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é:

a) 10%b) 12%c) 15%d) 20%e) 24%

14. Em um grupo de cinco crianças, duas delas não podem comer doces. Duas caixas de doces serão sorteadas para duas diferentes crianças desse grupo (uma caixa para cada uma das duas crianças). A probabilidade de que as duas caixas de doces sejam sorteadas exatamente para duas crianças que podem comer doces é:

a) 15% b) 20%c) 25%d) 30%e) 40%

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10C B D A C E E E A C11 12 13 14E B D D

NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

1. O QUE É ESTATÍSTICA?

Durante um telejornal, o repórter divulgou uma pesquisa segundo a qual apenas 5% dos brasileiros têm o hábito de ler jornal diariamente.

Você já pensou em como são feitas pesquisas como essa? Como é possível entrevistar toda a população brasileira para se saber a porcentagem de leitores de jornal?

O uso da pesquisa é bastante comum nas várias atividades humanas.

Exemplos:1°) As indústrias costumam realizar pesquisas entre os consumidores antes do lançamento de um novo produto no mercado.2°) As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos direcionem a campanha.3°) A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou em um campeonato interfere no planejamento

dos treinamentos. 4°) Emissoras de tevê utilizam pesquisas que mostram a preferência dos espectadores para organizar sua programação.

A realização de uma pesquisa envolve muitas etapas, como a escolha da amostra, a coleta e organização dos dados (informações), o resumo desses dados (em tabelas, gráficos, etc.) e a interpretação dos resultados.

A parte da Matemática que trata desses assuntos é a ESTATÍSTICA.


Como uma primeira idéia, podemos entender a estatística como sendo um método de estudo de comportamentos coletivos cujas conclusões são traduzidas em resultados numéricos.

2. POPULAÇÃO

A Estatística parte da observação de grupos, geralmente numerosos, aos quais damos o nome de população ou universo estatístico.

Cada elemento da população estudada é denominado unidade estatística.Veja:

POPULAÇÃO ESTATÍSTICA

UNIDADE ESTATÍSTICA

48 alunos que estudam na 5ª série de uma escola

Cada aluno que estuda na 5ª série dessa escola

Clubes campeões paulistas de futebol

Cada clube campeão paulista de futebol

3. AMOSTRA

A população estatística pode ser finita ou infinita.

• Finita: quando apresenta um número finito de elementos.

Por exemplo:– Um número de operários que trabalham em uma fábrica em uma determinada data.– As notas de Matemática dos alunos do ensino médio em um determinado bimestre.

• Infinita: quando apresenta um número infinito de elementos.

Por exemplo:– as temperaturas nos diversos pontos do Brasil em determinado momento.

Quando o universo estatístico é infinito, não é possível fazer uma observação que abranja todos os seus elementos. Nesse caso, recorre-se a um subconjunto do universo estudado que chamamos de amostra.

Mesmo quando o universo é finito, há razões que nos levam à utilização da técnica de amostragem, tais como:

— razões econômicas, por ser dispendioso observar grande número de elementos;— razões de tempo, pois uma observação demorada pode levar a resultados desatualizados.

4. VARIÁVEL

A observação da população é dirigida ao estudo de uma dada propriedade ou característica dos elementos dessa população. Essa característica pode ser:

• Qualitativa: se os valores tomados não são numéricos, como: raça, área de estudos, meio de transporte etc.• Quantitativa: se os valores tomados são numéricos, como a altura, o peso, o preço de um produto etc.

Uma característica quantitativa também se chama variável estatística ou simplesmente variável. Cada valor que essa variável pode assumir chama-se dado estatístico.

As variáveis estatísticas podem ser:

– Contínuas: quando podem assumir qualquer valor do intervalo da variação. Por exemplo, na determinação das alturas dos adolescentes de uma escola, a variável "altura" é contínua.

– Discretas: quando só podem assumir valores inteiros. Por exemplo, na determinação do número de sócios de um certo clube, a variável "número de sócios" é discreta.

5. ROL

É toda seqüência (a1; a2; a3; ...; a4,) de dados numéricos tal que:


• cada termo, a partir do segundo, é maior ou igual ao seu antecessor;• ou cada termo, a partir do segundo, é menor ou igual ao seu antecessor.

Exemplo: os cinco alunos de uma amostra apresentaram as seguintes notas na prova bimestral de matemática 6; 4; 8; 7; 8. Apresentando esses dados em rol, temos: (4; 6; 7; 8; 8) ou (8; 8; 7; 6; 4).

6. CLASSES

Em uma mostra de latas de óleo comestível, foram constatados os seguintes volumes em mililitros: 980; 990; 1.000; 970; 980; 1.000; 1.010; 950; 970; 940; 1.020; 1.010; 920; 990; 950; 900; 1.000; 950; 970; 1.010. Podemos separar os elementos dessa amostra em róis disjuntos (sem elementos comuns).

Por exemplo:

I. 900;920II. 940III. 950; 950; 950IV. 970; 970; 970; 980; 980V. 990; 990; 1.000; 1.000; 1.000VI. 1.010; 1.010; 1.010; 1.020

Qualquer intervalo real que contenha um rol da amostra é chamado de classe. Por exemplo, podemos formar as seguintes classes com os elementos dessa amostra:

• o intervalo [900, 940[ contém o rol (I);

• o intervalo [940, 950[ contém o rol (II);

• o intervalo [950, 970[ contém o rol (III);

• o intervalo [970, 990[ contém o rol (IV);

• o intervalo [990, 1.010[ contém o rol (V);

• o intervalo [1.010, 1.020] contém o rol (VI).

A diferença entre o maior e o menor elemento de uma classe, nessa ordem, é chamada de amplitude da classe.

Por exemplo:A amplitude da classe [900, 940[ é 940 – 900 = 40.

► NOTAS

1. Os extremos de cada classe não precisam ser, necessariamente, elementos da amostra, mas se o forem, deve-se tomar o cuidado de não permitir que um mesmo elemento pertença a duas classes simultaneamente; por isso, no exemplo anterior, com exceção do último intervalo, consideramos os demais abertos à direita.

2. Embora não seja obrigatório, é conveniente que, dentre duas classes consecutivas, o extremo à direita (aberto) da primeira coincida com o extremo à esquerda (fechado) da segunda, como fizemos no exemplo ar tenor.

7. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

A quantidade de elementos da amostra que pertencem a uma determinada classe é chamada de freqüência dessa classe. No exemplo anterior:

• a freqüência da classe [900, 940[ é igual a 2, pois 2 elementos da amostra pertencem a essa classe;

• a freqüência da classe [940, 950[ é igual a 1, pois apenas 1 elemento da amostra pertence a essa classe;

• analogamente, as classes [950, 970[; [970, 990[; [990, 1.010[ e [1.010, 1.020] têm freqüências, respectivamente, iguais a 3, 5, 5 e 4.


Podemos apresentar as classes com suas respectivas freqüências através de uma tabela chamada de tabela de distribuição de freqüência:

Classe (volume em mililitros) F[900, 940[ 2[940, 950[ 1[950, 970[ 3[970, 990[ 5

[990, 1.010[ 5[1.010, 1.020] 4

A soma de todas as freqüências, 2+1+3+5+5+4=20, é chamada de freqüência total (Ft) da distribuição. Dividindo a freqüência F de uma classe pela freqüência total Ft, obtemos um número chamado de freqüência relativa da classe. É usual apresentar-se a freqüência relativa em porcentagem. Indicando a freqüência relativa de uma classe por F%, tem-se que:

%100FF

%F

Assim, da tabela anterior, temos que:

• a classe [900, 940[ tem freqüência relativa igual a




• a classe [990, 1.010[ tem freqüência relativa igual a

• a classe [1.010, 1.020] tem frequência relativa igual a

Assim, temos a tabela de distribuição de freqüência e de freqüência relativa:

Classe (volume em mililitros)

F F%

[900, 940[ 2 10%

[940, 950[ 1 5%

[950, 970[ 3 15%

[970, 990[ 5 25%

[990, 1.010[ 5 25%

[1.010, 1.020] 4 20%

F1 = F =20

8. CLASSES UNITÁRIAS


Podemos considerar uma classe como sendo um único número real. Esse tipo de classe é denominado classe unitária.

Exemplo: Para avaliar o nível de ensino em uma região, escolheu-se uma amostra de trezentos alunos da primeira série do ensino médio e aplicou-se uma prova. A tabela de distribuição de freqüência abaixo mostra o resultado dessa prova. As notas representam classe unitárias.

Classe (nota) Freqüência (nº. de alunos)2,0 403,0 855,0 756,0 507,0 308,0 20

9. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DADISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

Em muitos casos, uma representação gráfica de uma distribuição de frequências nos dá uma idéia melhor de um levantamento estatístico do que um quadro com números.

Nesse item, estudaremos as representações gráficas mais usadas em Estatística.

Gráfico de barras

Os dados de uma tabela podem ser representados graficamente por retângulos paralelos, horizontais ou verticais, todos de mesma largura e comprimentos proporcionais às frequências.

Esses gráficos, chamados gráficos de barras, permitem uma rápida exploração visual e uma comparação entre a variável em estudo e suas frequências.

O gráfico de barras verticais é também chamado de gráfico de colunas.

Veja o que foi publicado na imprensa

Gráfico de Setores

O gráfico de setores é um círculo dividido em partes (setores), cujas medidas são proporcionais às freqüências relativas, como nos dois exemplos a seguir:


Gráfico poligonal ou de linha

Traçado no plano cartesiano, esse tipo de gráfico é usado geralmente para identificar tendências de aumento ou diminuição de valores numéricos de uma variável: índices de audiência de programas de televisão, lucros de empresas, desempenho de atletas etc.

O gráfico poligonal é chamado também de gráfico de linha.

10. ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS

1) Observe o gráfico abaixo sobre abate de animais. Vamos responder às seguintes perguntas:

►Qual a porcentagem de animais abatidos de cada espécie?►Supondo que a produção de carne bovina foi obtida de 20 mil animais, qual a quantidade de aves abatidas?

O gráfico ilustra a porcentagem de abate em 3 espécies de animais em um frigorífico.Projetando cada barra no eixo horizontal lemos que foram abatidos 48% de suínos, 36% de aves e 16% de bovinos.

Para sabermos a quantidade de aves abatidas, temos:


20000 16%x(aves) 36%

45000x16

3620000x

Portanto, foram abatidas 45 mil aves.

Veja, agora, outra situação:

2) Foi feita uma pesquisa com os 1200 alunos de uma escola sobre as atividades esportivas que gostariam de praticar. O resultado foi o seguinte:

ATIVIDADE ESPORTIVA

N° DE ALUNOS

vôlei 600

basquete 180

futebol 120

natação 60

outras 240

Vamos construir o gráfico de setores correspondente a essa tabela.Lembrando que uma circunferência tem 360°, podemos calcular, usando uma regra de três simples e direta, o ângulo

central correspondente a cada uma das atividades escolhidas pelos alunos. Veja:

► VÔLEI1200 360°600 V

180V1200

360600V

► BASQUETE1200 360°180 B

54B1200

360180B

► FUTEBOL1200 360°120 F

36x1200

360120F

► NATAÇÃO1200 360°


60 N

18x1200

36060x

► OUTRAS ATIVIDADES1200 360°240 O

72x1200

360240x

Uma vez calculados os ângulos de cada setor, basta demarcar as áreas no círculo, usando o transferidor. Assim:

Como as áreas de cada setor devem ser proporcionais às freqüências relativas percentuais, é comum, nesse tipo de gráfico, as porcentagens virem expressas dentro dos setores. Veja a tabela abaixo.

ATIVIDADE ESPORTIVA

N° DEALUNOS (fi)

fr fr(%)

Vôlei 600 0,50 50

Basquete 180 0,15 15

Futebol 120 0,10 10

Natação 60 0,05 5

Outras 240 0,20 20

Portanto:


9. HISTOGRAMA

O histograma é um gráfico utilizado para representar uma distribuição de freqüência em que as classes não são unitárias.

Veja, a seguir como esse gráfico é construído.

1º. Separam-se os elementos da amostra em classes de mesma amplitude e representam-se essas classes no eixo das abscissas:

Classe Freqüência [x1, x2[ F1

[x2, x3[ F2

[x3, x4[ F3

[xn-1, xn] Fn

2°. Constroem-se retângulos cujas bases coincidem com as classes; a altura de cada retângulo representa a freqüência da classe correspondente.

► NOTA: Podem-se construir histogramas com classes de amplitudes diferentes, porém, a altura de cada retângulo não representará a freqüência da classe. Por isso, é mais usual adotar uma mesma amplitude para as classes.

Exemplo: Os alunos de uma amostra apresentaram as seguintes estaturas, em centímetros:

165 170 165 177169 180 162 171178 173 164 172181 166 168 170

Vamos separar os elementos da amostra em quatro classes de mesma amplitude:

Classe (estatura em cm) Freqüência

[161,5; 166,5[ 4

[165,5; 171,5[ 6

[171,5; 176,5[ 2

[176,5; 181,5] 4

0|x1

|x2

|x3

|x4

|xn... Classe

0 x1 x2 x3 x4

|xn... Classe

F

F2

F1

F3...


► NOTA: Lembre-se que os extremos de classe não precisam ser, necessariamente, elementos da amostra. Começamos da medida 161,5 cm, mas poderíamos ter começado de outra medida, por exemplo, 161,8 cm ou de 162 cm, que é o menor elemento da amostra. Se você optar por começar de valores não pertencentes à amostra, procure sempre começar de um valor a menos de uma unidade do menor elemento da amostra.

O histograma correspondente a essa distribuição é:


01. (Enem) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período 1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego.

MÉDIAS ANUAIS DA TAXA DE DESEMPREGO TOTAL GRANDE SÃO PAULO 1985-1996

Fonte: SEP, Convênio SEADE-DIEESE

Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado:

a) a maior taxa de desemprego foi de 14%.b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período.c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente.d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%.e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991.

02. (Enem) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras a seguir:

I. O número de residências atingidas nessa pesquisa foi, aproximadamente, de:

0 161,5 166,5 171,5 176,5 181,5 Classe

F

8

4

2


a) 100 b) 135 c) 150 d) 200 e) 220

II. A percentagem de entrevistados que declararam estar assistindo à TvB é aproximadamente igual a:

a) 15% b) 20% c) 22% d) 27% e) 30%

03. O gráfico de setores representado a seguir mostra a distribuição de uma amostra de alunos e suas respectivas notas na prova de português.

Sabendo que a amostra é composta de sessenta alunos, responda:

a) Quantos alunos tiveram nota 3?b) Quantos alunos tiveram nota 5?c) Qual a freqüência relativa da classe "nota 6"?

04. O gráfico mostra a distribuição de uma amostra de garrafas de refrigerantes e seus respectivos volumes em mililitros:

a) Quantas garrafas compõem essa amostra?b) Qual a freqüência relativa da classe "300 ml"?

05. (Univali) O gráfico mostra as vendas de televisores em uma loja:

42º

48º

30º

30º

90º

120º Nota 5

Nota 2

Nota 8

Nota 3

Nota 6

Nota 4


Pode-se afirmar que:

a) as vendas aumentaram mês a mês.b) foram vendidos 100 televisores até junho.c) as vendas do mês de maio foram inferiores à soma das vendas de janeiro e fevereiro.d) foram vendidos 90 televisores até abril.e) se cada televisor é vendido por R$ 240,00, em maio a loja faturou, com as vendas desse produto, R$ 7.200,00.

06. (Enem) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas.

Gráfico I

Gráfico II

Analisando os gráficos, pode-se concluir que:

a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I.b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto.c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o gráfico I incorreto.d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas. e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes.


07. (Vunesp) O gráfico representa, em milhares de toneladas, a produção no estado de São Paulo de um determinado produto agrícola entre os anos de 1990 a 1998.

Analisando o gráfico, observa-se que a produção:

a) foi crescente entre 1992 e 1995.b) teve média de 40 mil toneladas ao ano.c) em 1993 teve acréscimo de 30% em relação ao ano anterior.d) a partir de 1995 foi decrescente.e) teve média de 50 mil toneladas ao ano.

08. (Uneb-BA) O gráfico a seguir representa o resultado de uma pesquisa feita em um município, no mês de junho de 2001, a fim de analisar a redução do consumo de energia em residências, tendo em vista a meta fixada pelo governo, e com base na seguinte pergunta: "Qual a redução conseguida em relação à meta"?

A partir dessa informação e sabendo que o percentual para cada resposta é proporcional à área do setor que o representa, o ângulo do setor correspondente à resposta "Menor" é igual a:a) 108,3°b) 118,8°c) 142°d) 151,2°e) 160°

GABARITO

01 D

02 I – D; II – A

03 a) 7; b) 20; c) 25%

04 a) 700; b) 57,14%

05 D

06 D

07 E

08 D

MEDIDAS ESTATÍSTICAS


1. INTRODUÇÃO

Dividindo a renda nacional anual de um país pelo numero de habitantes, obtém-se a renda per capita, isto é, a renda por pessoa.

Supondo que a renda per capita de um país é de 5.000 dólares, pode-se concluir que a distribuição de renda nesse país é eqüitativa? É claro que não, pois pode-se ter, por exemplo, metade da população não ganhando nada, e cada cidadão da outra metade ganhando 10.000 dólares; a renda per capita continuaria sendo 5.000 dólares.

Esse exemplo ajuda a entender que é necessário mais de um parâmetro para avaliar a distribuição dos valores de uma amostra de números. Vamos estudar alguns des-ses parâmetros, denominados medidas estatísticas.

2. MEDIDAS DE POSIÇÃO

Média Aritmética ( x )

Os conteúdos de 4 baldes de água são: 3l, 5l, 2l e 1l. Se toda essa água fosse distribuída igualmente entre es-ses baldes, com quantos litros de água ficaria cada um?

A quantidade de água de cada um seria razão da quantidade total de água para o numero de baldes, isto é:

75,24

1253

O resultado 2,75l é chamado de média aritmética dos valores 3l, 5l, 2l e 1l.

Podemos entender a média aritmética de duas ou mais quantidades como sendo o valor que cada uma delas teria se, mantendo-se a soma delas, todas fossem iguais.

A média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn, que se indica por x , é dada por:

n

xxxxx n321

ou, usando o símbolo de somatório:

n

xx

n

1ii

Média aritmética ponderada

Cinco baldes contêm 4 litros de água cada um, três outros contêm 2l de água cada um, e, ainda, dois outros contêm 5l de água cada um. Se toda essa água fosse distribuída igualmente entre esses baldes, com quantos litros ficaria cada um?

A quantidade de água de cada balde seria a razão da quantidade total de água para o número de baldes, isto é:

6,310

253254

O resultado 3,6l é chamado de média aritmética ponderada dos valores 4l, 2l e 5l, com pesos (fatores de ponderação) 5, 3 e 2, respectivamente.

A média aritmética ponderada dos números x1, x2, x3, ... , xn, com pesos, p1, p2, p3, ..., pn, respectivamente, é o número x tal que:


n321

nn332211

pppppxpxpxpx

x

ou, usando o símbolo de somatório;

n

1ii

n

1iii

p

pxx


1) No ano 2000, o número de nascimentos, por mês, em uma maternidade foi:

MÊS NASCIMENTOJaneiro 38Fevereiro 25Março 42Abril 30Maio 29Junho 47Julho 18Agosto 36Setembro 38Outubro 43Novembro 49Dezembro 37

a) Calcule a média mensal de nascimentos.

b) Em que meses o número de nascimentos ficou acima da média?

Solução:

a) A media mensal de nascimentos em 12 meses é dada por:

12374943383618472930422538

x

36x12432

x

Portanto a média de nascimentos foi de 36 nascimentos por mês.

b) O número de nascimentos ficou acima da média nos seguintes meses: janeiro, março, junho, setembro, outubro, novembro e dezembro.

2) A classificação final para um determinado curso é a média ponderada das provas de capacidade geral, com peso 3, e das provas de capacidade específica, com peso 2. Nessas condições, qual é a classificação final de um aluno que obteve 162 pontos na prova de capacidade geral e 147 pontos na prova de capacidade específica?

A classificação final é obtida pela média ponderada:

1565

7805

29448623

21473162x

Portanto, o aluno será classificado com 156 pontos.


3) O quadro de distribuição de freqüências representa os salários mensais de 40 empregados de uma firma.

CLASSE (EM REAIS)

PONTO MÉDIO DA CLASSE ( ix )

FREQÜÊNCIA (fi)

[180; 200[ 190 4

[200; 220[ 210 18

[220; 240[ 230 10

[240; 260[ 250 5

[260; 280[ 270 3

Calcule o salário médio mensal dos empregados dessa firma.

Quando os dados estão agrupados, aceita-se por convenção, que as freqüências se distribuem uniformemente ao longo da classe e que, portanto, o ponto médio da classe é o valor representativo do conjunto.

Nesse caso, a média é calculada partindo-se do ponto médio da classe.

Para calcular o salário médio, devemos fazer

35101843270525010230182104190

x

50,22240

8900x

40810175023003780760

x

Portanto, o salário médio é de R$ 222,50.


01. As idades dos jogadores de um time de basquetebol são 18, 23, 19, 20 e 21 anos. Qual é a média de idade desses jogadores?

02. Entre sessenta números, vinte são iguais a 5, dez são iguais a 6, quinze são iguais a 8, dez são iguais a 12, e cinco são iguais a 16. Determine a média aritmética desses números.

03. Quatro funcionários A, B, C e D de uma empresa têm respectivamente 8, 6, 10 e 16 anos de trabalho nessa empresa. O funcionário A recebeu um prêmio de R$ 500,00 por ano de casa; B recebeu um prêmio de R$ 600,00 por ano de casa; e C e D receberam, cada um, R$ 800,00 de prêmio por ano de casa. Qual foi o prêmio médio recebido por ano de casa por esses funcionários?

04. As classes A, B e C da segunda série do ensino médio tiveram respectivamente as seguintes médias na prova de matemática: 6,5; 6,0 e 7,0. Sabendo que a classe A é formada por 28 alunos, B é formada por 25 alunos e C, por 22 alunos, calcule a nota média de todos os 75 alunos.

05. (UFRJ) O gráfico mostra a distribuição de uma prova de matemática.

a) Quantos alunos fizeram a prova?


b) Sendo x1, x2, x3, ..., xn as notas obtidas pelos n alunos nessa prova (n é o número de alunos que fizeram a prova), determine o número:

n

xxxxx n321

denominado média aritmética das notas dessa prova.

11. (Unicamp-SP) A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é 40 anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é 35 anos e a dos homens é 50 anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo?

13. (Vunesp) Suponhamos que nos vestibulares desse ano uma universidade tivesse tido, para os seus diversos cursos, uma média de 3,60 candidatos por vaga oferecida. Se para os vestibulares do ano que vem o número de vagas for aumentado de 20% e o número de candidatos aumentar em 10%, qual a média de candidatos por vaga que essa universidade terá no próximo ano?

a) 3,24 b) 3,30 c) 3,36 d) 3,40 e) 3,46

14. (Fuvest-SP) A distribuição das idades dos alunos de uma classe é dada pelo seguinte gráfico:

Qual das alternativas representa melhor a média de idades dos alunos?

a) 16 anos e 10 meses b) 17 anos e 1 mês c) 17 anos e 5 meses d) 18 anos e 6 meses e) 19 anos e 2 meses

15. (Enem) Um sistema de radar e programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada.

A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de:

a) 35 km/h b) 44 km/h


c) 55 km/h d) 76 km/h e) 85 km/h17.(UFF-RJ) Segundo a Organização das Nações Unidas (ONU), o mundo não conseguirá atingir a meta de reduzir a fome pela metade em 2015. Nem mesmo em 2030 esse objetivo poderá ser alcançado.

O gráfico a seguir mostra o número de pessoas com fome, em milhões, em cinco regiões do mundo, em diferentes anos (1992, 1999, 2015 e 2030), segundo dados e estimativas da ONU.

Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que:

a) em 2030, haverá mais de 700 milhões de pessoas com fome nas regiões destacadas no gráfico.b) em cada região destacada no gráfico, o número de pessoas com fome em 2030 será menor do que em 1992.c) em cada região destacada no gráfico, o número de pessoas com fome em 2030 será menor do que em 2015.d) em cada região destacada no gráfico, o número de pessoas com fome em 2015 será menor do que em 1999.e) em 2030, o número de pessoas com fome no Sul da África será maior do que três vezes o número de pessoas com fome no

Sul da Ásia.

18. (UF-RN) Em uma pesquisa de opinião, feita para verificar o nível de aprovação de um governante, foram entrevistadas 1000 pessoas, que responderam sobre a administração da cidade, escolhendo uma — e apenas uma — entre as possíveis respostas: ótima, boa, regular, ruim e indiferente. O gráfico abaixo mostra o resultado da pesquisa.

De acordo com o gráfico, pode-se afirmar que o percentual de pessoas que consideram a administração ótima, boa ou regular é de:

a) 28% b) 65% c) 71%d) 84%

19. (UE-PA) Uma escola em Belém atribui pesos para o cálculo das quatro avaliações anuais. A primeira avaliação tem peso 1; a segunda, peso 2; a terceira, peso 3; a quarta, peso 4. Considerando as quatro avaliações de um aluno que obteve as notas 6,0; 4,0; 7,0 e 9,5 para as 1ª, 2ª, 3ª e 4ª avaliações, respectivamente, a média foi exatamente:

a) 6,6b) 6,9c) 7,1d) 7,3e) 7,6


20. (UE-PA) O professor Joelson aplicou uma prova de Matemática a 25 alunos, contendo 5 questões, valendo 1 ponto cada uma. Após fazer a correção, o professor construiu o gráfico abaixo, que relaciona o número de alunos às notas obtidas por eles.

Observando o gráfico, conclui-se que a moda e a mediana das notas obtidas pelos 25 alunos correspondem, respectivamente, a:a) 2,0 e 3,0b) 2,0 e 4,0c) 2,0 e 5,0d) 3,0 e 4,0e) 3,0 e 5,0

21. (CESPE) O gráfico de setores abaixo ilustra o resultado de uma pesquisa feita com um grupo de 1280 eleitores sobre a manutenção do horário político no rádio e na TV, em períodos que antecedem as eleições.

Se o setor A corresponde às 576 pessoas que acham que o horário político deve acabar, o setor 5 corresponde ao número de pessoas que acham que esse horário deve continuar e o setor C corresponde ao número de pessoas que não tem opinião formada.Então o número de pessoas que compõem o setor C é igual a:a) 224b) 342c) 386d) 458e) 48022. (ACEP) A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual a 7. Se a

média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a:a) 6,5 b) 7,2 c) 7,4 d) 7,8e) 8,0

23. (UF-PI) O histograma abaixo apresenta as alturas de 30 atletas de uma equipe de futebol.

Com esses dados, podemos concluir que a média das alturas dos atletas é aproximadamente:

a) 1,58


b) 1,65 c) 1,74 d) 1,81e) 1,92(Observação: Para o cálculo da média, considere o ponto médio de cada classe de intervalo.)

24. (UF-MS) Uma empresa tem 18 funcionários. Um deles pede demissão e é substituído por um funcionário de 22 anos de idade. Com isso, a média das idades dos funcionários diminui dois anos. Assim, a idade do funcionário que se demitiu é:

a) 54 anos b) 56 anos c) 58 anos d) 50 anose) 48 anos

25. (Fuvest-SP) Para que fosse feito um levantamento sobre o número de infrações de trânsito, foram escolhidos 50 motoristas. O número de infrações cometidas por esses motoristas nos últimos cinco anos produziu a seguinte tabela:

N° de infrações N° de motoristasde 1 a 3 7de 4 a 6 10de 7 a 9 15de 10 a 12 13de 13 a 15 5maior ou igual a 16 0

Pode-se então afirmar que a média do número de infrações, por motorista, nos últimos cinco anos, para esse grupo, está entre:

a) 6,9 e 9,0b) 7,2 e 9,3c) 7,5 e 9,6d) 7,8 e 9,9e) 8,1 e 10,2

GABARITO

01 20,202 803 710,0004 6,4805 a) 31; b) 5,7706 a) 5150; b) não pois a nota média é 2,307 a) 2; b) 208 16,32509 a) Me = 2000,00; b) Md = 1500,00 10 a) x = 26, y = 26; b) dx = 14,6, dy = 1811 80 mulheres, 40 homens12 a) 6,6; b) 7; c) 7 13 A14 C15 B16 a) A=20, B=20; b) dA = 1,6, dB = 43,217 C18 D19 D20 D21 A22 B23 C24 C25 A

ANOTAÇÕES...


Juros Simples

1. O QUE SÃO JUROS?

Juros vêm a ser a remuneração do capital aplicado ou investido. Ele existe porque muitos indivíduos preferem o consumo imediato de um bem ou serviço, ou necessitam consumi-lo, mesmo não dispondo do capital necessário e, para tanto, estão dispostos a pagar um preço por isso. Por outro lado, há pessoas que são capazes de esperar até possuírem a quantia suficiente para adquirir seu desejo e se dispõem a emprestar esta quantia a alguém menos paciente. É evidente que esta abstinência de consumo deve ser recompensada na proporção do tempo e risco que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos interferem na formação da taxa de juros.

O governo, por exemplo, quando deseja reprimir o consumo, na tentativa de conter a inflação, diminui a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos, quer por depósitos compulsórios, quer aumentando a taxa de juros ou por outro meio. Desta forma, com a escassez do capital, a remuneração deste fica muito alta para quem paga, desmotivando o consumo. Por outro lado, essa situação é atraente para quem possui o dinheiro, estimulando-o a poupar.

2. CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES

Valor principal ou capital é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de se somarem os juros.

O juro, por sua vez, é obtido pela aplicação da taxa de juros unitária sobre o capital inicial, proporcionalmente ao tempo em que este é aplicado.

Da aplicação desta definição, tem-se a seguinte fórmula:

Onde:J = jurosC = capital ou principali = taxa de juros (unitária)n = número de períodos de aplicação do capital.

Vale repetir que a taxa e o tempo devem estar na mesma unidade. Assim, se a taxa de aplicação anunciada for o mês, o tempo com o qual se trabalha também deve ser o mês. Se o período de aplicação for anual, a taxa deve vir expressa em anos.

EXEMPLO 1A empresa FMW Ltda. possui uma dívida de R$ 20.000,00, que deve ser paga em dois meses, com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples. Os juros que a empresa FMW Ltda. deve pagar são de:

Solução:J = CinC = R$ 20.000,00i = 8% a.m. 8 / 100 = 0,08 a.m.n = 2 mesesJ = Cin

Substituindo, tem-se:J = R$ 20.000,00 x 0,08 x 2J = R$ 20.000,00 x 0,16J = R$ 3.200,00.

3. MONTANTE

Montante, em Matemática Financeira, significa o principal de uma aplicação (capital) mais os juros por ele gerados.

Perceba que, quando se faz uma aplicação financeira de R$ 800,00, a qual, depois de determinado prazo de aplicação, rende juros de R$ 300,00, tem-se à disposição para saque o valor de R$ 1.100,00, que é o montante.

Desta forma, quando se soma os juros ao valor principal ou capital, tem-se o montante.

Assim:M = C + J (1)

Onde:M é o montante;C é o capital ou principal; eJ é o juro.

Como J = Cin, substituindo-se em (1), tem-se:M = C + Cin

Isolando C, tem-se:

EXEMPLO 2 Quanto a Cia. XMW receberá, em três anos, por um empréstimo de R$ 30.000,00, a uma taxa de 15% a.a. pelo regime de juros simples?

Solução:

Elementos do problema:C = 30.000,00i = 15% a.a. = 15/100 =0,15 a.a.n = 3 anosM = ?J = ?

Há duas opções para resolver o problema: uma é calcular os juros e adicioná-los ao capital; outra é aplicar a fórmula do montante.

1ª) J = CinJ = R$ 30.000,00 x 0,15 x 3J = R$ 30.000,00 x 0,45J = R$ 13.500,00M = C+JM = R$ 30.000,00 + R$ 13.500,00M = R$43.500,00.

2ª) M = C(1 + in)M = R$ 30.000,00 (1 + 0,15 x 3)M = R$ 30.000,00 x 1,45M = R$ 43.500,00.

4. JURO EXATO E JURO COMERCIAL

Na maioria das aplicações, embora as taxas sejam referenciadas em anos, os prazos são fixados em dias. É o caso dos cheques especiais, se bem que, no Brasil, são cobrados juros compostos nestas operações. Nas aplicações de curto prazo, geralmente é adotado o regime de juros simples. Nestas condições, é necessário calcular a taxa proporcional diária, ou seja, de 1 dia.

Surgem, nesse momento, duas hipóteses para estabelecer a taxa diária, dependendo do número de dias que se adote para o ano:1ª) ANO CIVIL 366 ou 365 dias, conforme o ano seja ou

não bissexto;

2ª) ano comercial 360 dias mês com 30 dias.


Na prática, quando se adota o ano comercial (360 dias), considera-se que todos os meses possuem 30 dias. Entretanto, nas situações em que a contagem dos dias há de ser exata, consideramos o ano com 366 ou 365 dias, conforme o ano seja bissexto ou não.

EXEMPLO 3 Dada a taxa de 36% a.a., qual é a taxa proporcional a 1 dia para as convenções do ano civil e do ano comercial?

Solução:

a) pelo ano civil i365 = 36% / 365i365 = 0,0986% ao dia;

b) pelo ano comerciali360 = 36% / 360i360 = 0,1% ao dia.

Assim, tem-se que a taxa obtida para o ano comercial é ligeiramente maior que a obtida para o ano civil, pois o divisor utilizado é menor.

Ressalta-se que as instituições financeiras trabalham com juros comerciais (ou ordinários).

Obs.: Taxa de Juros (representação simplificada)

Taxa Diária (ao dia) a.d.

Taxa Quinzenal (a quinzena) a.qi.

Taxa Mensal (ao mês) a.m.

Taxa Bimestral (ao bimestre) a.b.

Taxa Trimestral (ao trimestre) a.t.

Taxa Quadrimestral (ao quadrimestre) a.q.

Taxa Semestral (ao semestre) a.s.

Taxa Anual (ao ano) a.a.

5. JURO EXATO

Obtém-se juro exato quando são utilizados o tempo (n) em dias e o ano civil (365 ou 366 dias). Assim, para uma taxa anual i, o juro exato é obtido pela fórmula:

EXEMPLO 4Qual é o juro exato de um capital de R$ 20.000,00, que é aplicado por 80 dias à taxa de 36% a.a.?

Solução:

Je = R$1.578,08.

Perceba que a divisão por 365 é realizada exclusivamente para transformar a taxa anual em taxa diária, visto que a taxa e o prazo devem se referir à mesma unidade, e o período de aplicação foi estabelecido em dias.

6. JURO COMERCIAL OU ORDINÁRIO

O juro comercial (ou ordinário) é obtido quando se adota como referência o ano comercial. Assim, para uma taxa

anual i, e um prazo n, estabelecido em dias, o juro comercial é obtido pela fórmula:

EXEMPLO 5Calcular o juro comercial correspondente ao exercício do item anterior.

Solução:

Je = R$1.600,00

Como já se havia constatado anteriormente, a taxa de juros comerciais é ligeiramente maior do que a taxa de juros exatos e, conseqüentemente, na mesma proporção, os juros comerciais também são maiores que os juros exatos.

É de ressaltar ainda que, em provas de concursos e nas situações práticas, na maioria das vezes, é utilizada a convenção do juro comercial.

7. PRAZO, TAXA E CAPITAIS MÉDIOS.

Dica do Prof. NILO CÉSAR: Prazo, taxa e capital médios são aqueles que substituem diversas aplicações por uma única.

PRAZO MÉDIO

TAXA MÉDIA

CAPITAL MÉDIO


01. Aplicando-se certo capital durante 3 meses e 10 dias. a 30% ao ano, serão obtidos Cr$ 3.900,00 de juros simples. Esse capital tem valor igual a Cr$:

A) 42.900,00 B) 45.000,00 C) 46.800,00


D) 50.700,00 E) 52.000,00

02. Por quantos anos se deve aplicar um capital para que, a uma taxa anual de juros simples de 50%, quadruplique o valor inicial?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

03. A quantia de R$ 10,000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos.

A) R$705,00 B) R$725,00 C) R$715,00 D) R$720,00 E) R$735,00

04. Indique, nas opções abaixo, qual taxa unitária anual é equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês.

A) 1,0 B) 0,6 C) 60,0 D) 12,0E) 5,0

05. Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda.

A) 4,70%B) 4,75%C) 4,80%D) 4,88%E) 4,93%

06. (BB) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?

A) 6%B) 5%C) 4%D) 3%E) 2%

07. Um capital no valor de 50, aplicado a juro simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de:

A) 51 B) 51,2 C) 52 D) 53,6 E) 68

08. Um capital foi aplicado a juro simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 7/5 de seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de.

A) 2%B) 2,2%C) 2,5%D) 2,6%E) 2,8%

09. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais.

A) Quatro meses.B) Quatro meses e cinco dias.C) Três meses e vinte e dois dias.D) Dois meses e vinte dias.E) Oito meses.

10. Três capitais são aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. O capital de R$ 3.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, o capital de RS 2.000,00 é aplicado a 4% ao mês e o capital de R$ 5.000,00 é aplicado a 2% ao mês. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais.

A) 3%B) 2,7%C) 2,5%D) 2,4%E) 2%

11. Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 5. O não-pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como Juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês considerando que não há nenhum feriado bancário no período.

A) R$ 1.019,00 B) R$ 1.020,00 C) R$ 1.025,00 D) R$ 1.029,00E) R$ 1.030,00

12. (BB) Em quantos meses o capital de Cr$ 74.000,00, aplicado a 3,6% a.a., renderia os juros necessários à formação de um montante de Cr$ 76.220,00 ?

A) 8 mesesB) 9 meses C) 10 mesesD) 11 meses E) 12 meses

13. (BB) Um aplicador aplica R$ 10.000,00 em um CDB do Banco do Brasil, de 30 dias de prazo e uma taxa prefixada de 3% ao mês. Considerando o imposto de renda de 20% no resgate, o valor líquido a ser resgatado pelo aplicador, .em reais, e a taxa de rentabilidade efetiva da aplicação são, respectivamente:

A) 10.200,00 e 2,35%; B) 10.240,00 e 2,35%; C) 10.240,00 e 2,40%; D) 10.240,00 e 2,45%; E) 10.300,00 e 2,40%.

14. (UNB) Um capital aplicado, a juros simples, a uma taxa de 20% ao ano duplica em:

A) 24 anos B) 6 anos C) 12 anosD) 10 anos E) 5 anos

15. Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros


simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais.

A) Dois meses e vinte e um dias.B) Três meses.C) Três meses e dez dias.D) Três meses e nove dias.E) Dois meses e meio.

16. A que taxa mensal esteve aplicado o capital Cr$ 630.000,00 que, em 2 anos e meio, rendeu juros equivalentes a 60% de si mesmo ?

A) 24% B) 12% C) 6% D) 3% E) 2%

17. Numa aplicação a juro simples um capital produz em 2 meses o montante de R$ 5.460,00. Se aplicado à mesma taxa mensal, o mesmo capital produziria, ao final de 5 meses, o montante de R$ 5.850,00. O valor desse capital é

A) R$ 5.280,00B) R$ 5.200,00C) R$ 5.180,00D) R$ 5.100,00E) R$ 5.008,00

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07

C E D B C B B

08 09 10 11 12 13 14

C A B E C C E

15 16 17

A E B

ANOTAÇÕES

Juros Compostos

No estudo sobre o regime de juros simples, constatou-se que apenas o capital inicial rendia juros e que estes eram diretamente proporcionais ao tempo e à taxa.

No regime de juros compostos, os juros são gerados a partir do montante do período anterior, isto é, os juros de cada período são capitalizados ou incorporados ao capital, e sobre eles também incidem juros. Surge, assim, a famosa expressão "juros sobre juros", que tem sido utilizada como sinônimo de juros compostos.

O regime de juros compostos é o mais comum ou o mais largamente utilizado no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia.

1. MONTANTE


Chama-se capitalização o momento em que os juros são incorporados ao capital ou principal.

Veja o que acontece em uma aplicação financeira por três meses, com capitalização mensal:

1º mês M = C x (1 + i)

2º mês o principal ou capital é igual ao montante do mês anterior:M = C x (1 + i) x (1 + i)

3º mês o principal ou capital é igual ao montante do mês anterior:M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, chega-se à seguinte fórmula:

Onde:M = montanteC = capital ou principal empregado(l + i)n = fator de acumulação de capital.

O fator de acumulação de capital pode ser obtido por cál-culo ou por meio de consulta às tabelas pré-elaboradas. Ressalte-se que, em questões de prova, principalmente as elaboradas pela Esaf, as tabelas geralmente são fornecidas, não sendo permitido o uso de calculadoras.

É importante lembrar, assim como em juros simples, que a taxa i tem que ser expressa na mesma medida do tempo "n", ou seja, taxa de juros ao mês para "n" meses, taxa de juros ao ano para "b" anos, e assim por diante.

2. JUROS

Para se calcularem apenas os juros, basta diminuir do mon-tante, ao final do período, o principal ou capital. Como o capital representa a unidade, os juros podem ser calculados pelo seguinte modo:

J = M – C J = C x (1 + i)n – C

J = C[(1 + i)n – 1]

EXEMPLO 1

Quanto renderá uma aplicação de R$ 1.000,00 por 1 ano, se a taxa oferecida é de 3,5% a.m.?

Solução:C = R$ 1.000,00 n = 1 ano = 12 meses i = 3,5% a.m. J = ?

J = C[(1 + i)n – 1]

J = R$ 1.000,00 [(1 + 0,035)12 – 1]

J = R$ 1.000,00 [ 1,511068 – 1]

J = R$ 1.000,00 x 0,511068

J = R$ 511,07

EXEMPLO 2

Quanto devo aplicar hoje para, após 6 meses, ter R$ 5.000,00, se a taxa é de 8% a.m.?

Solução:M = R$ 5.000,00 n = 6 meses i = 8% a.m. C = ?

R$ 3.150,84

EXEMPLO 3

Que taxa está sendo paga por uma aplicação que, após 3 meses, rendeu R$ 111,27 a um capital de R$ 1.200,00?

Solução:J = R$ 111,27 C= R$ 1.200,00 n = 3 meses i = ?

Procurando na tabela a = (1 + i)n pelo valor 1,092725, com n = 3, ele será encontrado na coluna correspondente a 3%. Portanto, a taxa mensal é de 3%.

OBS.: as tabelas financeiras são de dupla entrada. Nas linhas, têm-se os períodos e, nas colunas, as taxas. Para se procurar um determinado valor na tabela.

Por exemplo: (1 + i)12 = 1,795856,

Deve-se proceder da seguinte forma:

1) localizar na linha relativa a 12 períodos o valor 1,795856;

2) uma vez encontrado o valor, subir na coluna em que este foi encontrado e, assim, verifica-se que ele repre-senta a taxa de 5% ao período.

n\i 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00%1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,0500002 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,1025003 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,1576254 1,040604 1,082432 1,125509 1,169859 1,2155065 1,051010 1,104081 1,159274 1,216653 1,2762826 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,3400967 1,072135 1,148686 1,229874 1,315932 1,4071008 1,082857 1,171659 1,266770 1,368569 1,4774559 1,093685 1,195093 1,304773 1,423312 1,551328

10 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,62889511 1,115668 1,243374 1,384234 1,539454 1,710339


12 1,126825 1,268242 1,425761 1,601032 1,795856

3. VALOR ATUAL(OU PRESENTE)

O valor atual, pelo que já foi exposto em juros simples, representa o valor de um título em uma certa data inferior à do vencimento.

Assim, para o regime de juros compostos, o valor atual é obtido pela aplicação da seguinte fórmula:

Tendo em vista que, em juros compostos, há a chamada capitalização, ou seja, os juros são calculados sobre o montante do período anterior, o valor atual pode ser calculado para qualquer data focal menor à do montante, ou seja, o cálculo do valor atual, em regime de juros compostos, é o inverso ao cálculo do montante. É como se estivesse sendo calculado o valor do capital numa data qualquer, já que sobre o capital incidiriam juros.

Dica do Prof. NILO CÉSAR:

* Valor Nominal = Valor Futuro = Montante = Valor da Nota Promissória = Valor da Duplicata= ... * Valor Atual = Valor Presente = Valor Descontado = Capital = ...

4. TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas ou mais são equivalentes entre si se, aplicadas a um mesmo capital, por um mesmo prazo, gerarem montantes iguais.

No regime de juros compostos, a taxa equivalente de outra, com n períodos, será a raiz enésima desta taxa.

Assim:I taxa do período maior.i taxa do período menor.n numero de vezes que o período maior contém

o menor. Então, temos que:

→

Logo

Ou ainda:


EXEMPLO 4

Uma aplicação de R$ 10.000,00 renderá quanto em 1 mês, se os juros são de 15%a.a.? A taxa mensal equivalente aos 15% anuais é de:

1,17% a.m.

OBS.: se o objetivo do leitor for a preparação para concursos, ele não deve se preocupar com relação à forma de extrair a raiz duodécima, pois, de alguma forma, o seu valor será fornecido ou a resposta requerida será do üpo indicativa.

5. PERÍODOS NÃO-INTEIROS

Muitas vezes os períodos de aplicação não são inteiros. Entretanto em todas a situações a parte fracionária do tempo deve ser remunerada, pois, do contrário, haveria locupletamento ilícito para quem não necessitasse pagar os juros do período. Para calcular os juros da parte fracionária utilizam-se duas convenções:

5.1. Convenção linear

Calculam-se os juros do período não-inteiro por interpolação linear, que vem a ser a aplicação da fórmula do montante dos juros simples.

Neste método ou convenção calcula-se primeiro o montante correspondente ao período inteiro. Em seguida, para a fração de tempo não-inteira restante, admite-se uma formação linear de juros, isto é, juros simples para a parte não-inteira, tomando como capital o montante obtido pelo cálculo de juros compostos dos períodos inteiros.

5.2. Convenção exponencial

Nesse caso, utiliza-se a taxa equivalente para o período não-inteiro. Após o cálculo do montante relativo à parte inteira do período, aplica-se uma forma exponencial com a taxa equivalente de juros compostos.


Observações interessantes:

(i) Quando o período de aplicação for unitário (n=1), os juros simples e compostos serão sempre equivalentes.

(ii) Para qualquer período de aplicação menor do que o período de capitalização (n<1), os juros produzidos pelo regime de juros simples serão sempre maiores do que os produzidos pelo regime de juros compostos se adotada a convenção linear.

(iii) Em algumas questões de prova, pode ser cobrado o cálculo pela convenção exponencial, porém não se dispõe de tabela para tal. Neste caso, como o montante produzido pela convenção exponencial é ligeiramente menor do que a convenção linear, calcula-se o montante pela convenção linear e assinala-se a alternativa cujo resultado seja ligeiramente menor.

6. TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL

6.1. Taxa nominal

Uma taxa de juros compostos é apenas nominal quando sua unidade de referência de tempo não coincide com a unidade de referência dê tempo do período de capitalização, isto é, a taxa nominal é referenciada a um período maior que o período de capitalização que estará contido na taxa nominal.


EXEMPLO 5

30% a.t., com capitalização mensal.A taxa de 30% é apenas nominal, pois a taxa de capitalização proporcional é de 10% a.m., o que redunda em 33,10% ao cabo do trimestre, sendo essa a taxa efetiva ao trimestre.

ief = (1 + 0,1)3 = 1,331 – 1 = 0,331 x 100 = 33,1%.

6.2. Taxa efetiva

Uma taxa de juros compostos é, ao mesmo tempo, nominal e efetiva quando sua unidade de referência de tempo coincide com a unidade de tempo do período de capitalização. Entretanto, isto dificilmente ocorre. Desta forma, o modo de calcular a taxa efetiva, dada uma taxa nominal, é o seguinte:

EXEMPLO 6

30% a.t., com capitalização trimestral.A taxa efetiva é obtida pela seguinte fórmula:

Onde:ief = taxa efetivai = taxa nominalk = número de capitalizações para 1 período da taxa nominal

30% a.t.


OBS.: É muito comum, em questões de concursos, a taxa nominal ser dada em termos anuais e a capitalização em períodos menores, como, por exemplo, o mês, bimestre, trimestre ou semestre.

7. TAXA APARENTE E TAXA REAL

A taxa aparente, representada pela taxa nominal, é uma taxa que tem em si a taxa de inflação de dado período.

Se, em determinado período, não houver inflação, então a taxa aparente será a própria taxa real de rendimento. Se, porém, estiver presente uma inflação, por menor que ela seja, ela deverá ser expurgada da taxa aparente para obtermos a taxa real.

A taxa real pode ser obtida do seguinte modo:

Considerando a taxa de inflação como if e a taxa aparente de ia, então a taxa real ir será encontrada pela seguinte relação:

EXEMPLO 7

Qual é a taxa de rendimento real de um capital aplicado por um ano, se a taxa de rentabilidade oferecida é de 15%

ao ano e se, neste mesmo ano, houve uma inflação de 10%?

Solução:

1,045454545455 – 1

0,045454545455

4,54% no período


01. A aplicação de um capital de R$ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado:

A) de R$ 3.000,00;B) de R$ 13.000,00;C) inferior a R$ 13.000,00;D) superior a R$ 13.000,00;E) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de

juros simples.

02. (BB) Que capital aplicado a juros de 50% ao semestre, capitalizados semestralmente, resultou num montante de R$ 540.000,00 após um ano?

A) R$ 240.000,00 B) R$ 256.000.00 C) R$ 270.000,00D) R$ 320.000,00E) R$ 390.000,00

03. (BC) Na capitalização composta :

A) O montante é constante.B) O juro produzido por período é constante.C) Só o capital aplicado inicialmente rende juros, ao fim

de cada período.D) Uma taxa mensal de 15% é equivalente a uma taxa

bi-mestral de 30%.


E) O juro produzido ao fim de cada período renderá juro nos períodos seguintes.

04. (AFTN) Uma pessoa tem um compromisso de R$ 500.000,00 para ser pago daqui a 2 anos. Admitindo-se a taxa de juros compostos de 18% a.a., com capita-lização quadrimestral, a pessoa deve depositar hoje, para poder honrar o compromisso, a importância de:

A) R$ 352.480,30;B) R$ 355.490,20;C) R$ 356.278,50;D) R$ 357.072,20;E) R$ 359.091,80.

05. Uma financeira diz cobrar em suas operações uma taxa de juros compostos de 40% a.a., capitalizados trimestralmente. Nessas condições, a taxa de juros efetiva anual que está sendo cobrada ao devedor é de:

A) 46,41%; B) 47,26%; C) 48,23%; D) 49,32%; E) 40,00%.

06. Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de

A) R$ 560,00B) R$ 585,70C) R$ 593,20D) R$ 616,00E) R$ 617,40

07. Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2 000,00 em 05/06/97 e R$ 3 000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros compostos á taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de

A) R$ 5 320,00B) R$ 5 480,00C) R$ 5 620,00D) R$ 5 680,00E) R$ 5 720,00

08. (BC) Apliquei a metade de um capital C a juros compostos, à taxa de 40% ao bimestre durante 4 meses e outra metade a juros simples, durante o mesmo prazo. Para que os montantes dos dois investimentos sejam iguais, a taxa mensal do segundo investimento deverá ser:

A) 24% B) 23,5% C) 23% D) 22,5% E) 22%

09. (CEF) Fábio colocou R$ 40.000,00 em um banco, a juros compostos de 16% ao ano, capitalizados anual-mente. Ao fim de 2 anos obteve juros no valor de:

A) R$ 14.642,00 B) R$ 14.582,00 C) R$ 14.284,00D) R$ 13.824,00 E) R$ 13.482,00

10. Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, juros compostos, do dia 10 de fevereiro ao dia 31 de maio. Obtenha os juros da aplicação, usando a convenção linear.

A) R$ 110,00.B) R$ 113,48.C) R$ 114,47.D) R$ 114,58.E) R$ 115,00.

11. A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de:

A) 60,0%; B) 66,6%; C) 68,9%;D) 72,8%; E) 84,4%.

12. Um capital é aplicado à taxa de Juros nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Qual a taxa anual efetiva de aplicação desse capital, em porcentagem, aproximada até centésimos?

A) 26,82%.B) 26,53%.C) 26,25%. D) 25,97%.E) 25,44%.

13. (BB) Qual será o número de anos necessários para que um capital colocado a juros compostos, a taxa de 50% ao ano, atinja a 225% de seu valor inicial?

A) 1,3 B) 2 C) 4,5 D) 2,25

14. O capital de R$ 1.000,00 é aplicado do dia 10 de junho ao dia 25 do mês seguinte, a uma taxa de juros compostos de 21% ao mês. Usando a convenção linear, calcule os juros obtidos, aproximando o resultado em real.

A) R$331,00.B) R$ 343,00.C) R$337,00.D) R$ 342,00.E) R$ 340,00.

15. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à taxa de juros compostos de 10% ao semestre, por um prazo de quinze meses, usando a convenção linear para cálculo do montante.

A) 22,5%.B) 24%.C) 25%.D) 26,906%.E) 27,05%.

16. (BB) Se aplicarmos R$ 25.000,00 a juros compostos, rendendo 7% a cada bimestre, quanto teremos após 3 anos, com capitalização bimestral?

A) 25.000 x (1,70)6 B) 25.000 x (1,07)18 C) 25.000 x (0,93)3

D) 25.000 x (1,70)3 E) 25.000 x (0,7)18

17. (BB) O valor de um aluguel era de RS 400,00 no dia 1° de julho de 1999 e foi reajustado para R$ 410,00 no dia 1º de agosto de 1999. Considerando que a


inflação registrada no mês de julho foi de 1%, é correto afirmar que a taxa real de juros utilizada no reajuste do valor desse aluguel foi:

A) inferior a 1,5%;B) igual a 1,5%;C) superiora 1,5% e inferior a 2,0%;D) igual a 2,0%;E) superior a 2,0%.

18. O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante, ao fim de dezoito meses de aplicação.

A) R$ 27.200,00.B) R$ 27.616,11.C) R$ 28.098,56.D) R$ 28.370,38.E) R$ 28.564,92.

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08

D A E A A E E A

09 10 11 12 13 14 15 16

D D D A B C E B

17 18

A D

ANOTAÇÕES

Desconto Simples

Os títulos de crédito, tais como Nota Promissória, Duplicata, Letra de Câmbio, são instrumentos legais com todas as garantias jurídicas que podem ser negociados com uma instituição de crédito, gerando uma operação ativa, que consiste na transferência de direito através de endosso, em troca do seu valor nominal ou de face, menos os juros proporcionais à taxa, vezes o tempo compreendido entre a data da emissão até o vencimento do título.

Atualmente, não apenas os Bancos, mas empresas especializadas efetuam essas operações, que chamaremos de DESCONTO.

Temos os seguintes tipos de descontos:

• COMERCIAL (Por Fora)

• RACIONAL (Por Dentro)

• BANCÁRIO

1. NOMENCLATURA

• valor nominal ou de face (N) - Quantia declarada no título, o valor pelo qual foi emitido.

• desconto (D) - Valor obtido pela diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual de um compromisso, quando quitado "n" períodos antes do vencimento.

• tempo (t ou n) - Prazo compreendido entre a data da operação (desconto) e a data do vencimento. Os dias serão contados excluindo-se o dia da operação e incluindo-se a data do vencimento.

• taxa (i) - Representa a quantidade de unidade que se desconta de cada 100 (cem) unidades, num determinado período, ou seja, o percentual de juros.


• valor atual ou atual (A) - É a diferença entre o Valor Nominal e o Desconto.

2. DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)

O calculo é efetuado sobre o valor nominal do título, de forma semelhante ao cálculo dos juros simples.

Sendo:

A → Valor Atual (Valor com desconto)

D → Desconto (Valor descontado)

N → Valor Nominal (Valor de face e sem desconto)

Podemos dizer que na fórmula dos juros simples

,

o capital pode ser substituído por N e os juros por D, então temos:

EXEMPLO 1

Qual o desconto comercial, sofrido por uma NP de R$ 7.000,00, à taxa de 6% a.m., 2 meses antes do vencimento?

solução:

DadosN =7.000 i = 6% a.m. t = 2 meses

Aplicando a relação, temos:

O desconto foi de R$ 840,00

EXEMPLO 2

Qual o valor de um título de R$ 6.000,00 descontado comercialmente à taxa de 36% a.a., 3 meses antes do vencimento?

solução:

DadosN =6.000 i = 36% a.a. (lembre-se que 36% a.a equivale a 3% ao mês) t = 3 meses


Como:A = N – D A = 6000 – 540 A = 5460

O valor atual do título é R$ 5.460,00

3. DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO)

Nesse caso o calculo é feito sobre o valor líquido ou atual.

Sendo:

A → Valor Atual (Valor com desconto)

D → Desconto (Valor descontado)

N → Valor Nominal (Valor de face e sem desconto)

Observe que sempre N = A + D.

Podemos dizer que na fórmula dos juros simples

, o capital pode ser substituído por A e os juros

por D, então temos:

EXEMPLO 3

Qual o desconto racional, sofrido por uma NP de R$ 7.000,00, à taxa de 6% a.m., vencível em 2 meses?

solução:

DadosN =7.000 i = 6% a.m. t = 2 meses


O desconto foi de R$ 750,00

Observe que o valor atual (A) é igual a R$ 6.250,00 e sofrendo aumento a juros simples de 12% (2 meses) produzirá um montante igual ao valor nominal (N).

EXEMPLO 4

Um cheque de R$ 3.360,00 com data para 90 dias foi trocado em uma Factoring. Quanto será o valor atual recebido se a operadora cobrar uma taxa proporcional de 4% a.m. e seguir o desconto racional?

solução:


DadosN = 3.360 i = 4% a.m. t = 90 dias = 3 meses (mês comercial)


Com isso: A = N – D A = 3360 – 360 A = 3000

O valor atual é R$ 3.000,00

Como o desconto é feito por dentro, os juros foram calculados com base no valor atual, equivalente a 100%.

4. RELAÇÃO ENTRE DESCONTO RACIONAL E DESCONTO COMERCIAL

Já se constatou, de forma genérica, que o desconto comercial é maior que o desconto racional quando os dois estão submetidos às mesmas condições. Isto é assim (Dc > Dr) porque:

e Dc = Nin

Analisando as duas fórmulas, percebe-se que o desconto racional é o próprio desconto comercial dividido por

. Desta forma, substituindo Nin da fórmula do

Dr por Dc, tem-se:

Concluindo, o desconto comercial pode ser entendido como sendo o montante, quando tomado como capital o desconto racional, calculado para o mesmo período e à mesma taxa daquele.


ATENÇÃO: Essa fórmula, que traz a relação existente entre o desconto racional simples e o desconto comercial simples, é importantíssima, pois com ela você resolve, diretamente, os problemas mais “chatos” de desconto simples.

EXEMPLO 5

O desconto comercial de um título descontado 3 meses antes de seu vencimento, e à taxa de 40% a.a., é de R$ 3.300,00. Qual é o desconto racional?

Solução:

Dc = Dr (1 + in)

3.300,00 =

3.300,00 = 1,1 x Dr

Dr =

Dr = R$ 3.000,00.

Por fim, cabe um esclarecimento sobre que tipo de desconto aplicar quando este fato não está explícito na prova. Algumas vezes, a banca examinadora não informa qual tipo de desconto deve ser aplicado na resolução da questão e, mesmo assim, pode-se ter a certeza de que se trata de desconto comercial ou racional:

A – Quando não for citado na questão o tipo de desconto, via de regra, entende que será o desconto comercial (ou for fora), com exceção de na questão a taxa informada for taxa de juros (ou desconto), então se está diante do desconto racional;

B - quando o desconto é efetuado em um banco, de regra ele será comercial; e

C - o desconto simples bancário é sempre comercial.


01. O valor atual racional de um título é igual à metade de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 5 meses.

A) 200% a.a. B) 20% a.m. C) 25% a.m. D) 28% a.m. E) 220% a.a.

02.O desconto simples racional de um título descontado à taxa de 24% ao ano, três meses antes de seu vencimento, é de R$ 720,00. Calcular o valor do desconto correspondente caso fosse um desconto simples comercial.

A) R$ 43,20. B) R$ 676,80. C) R$ 720,00. D) R$ 763,20. E) R$ 12.000,00.

03. O desconto comercial simples de um título, quatro meses antes do seu vencimento, é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples.

A) R$ 400,00.B) R$ 800,00.C) R$ 500,00.D) R$ 700,00.E) R$ 600,00.

04.O valor nominal de um título de crédito descontado quatro meses e meio antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6% ao ano que sofreu um desconto simples por fora no valor de R$ 225,00, vale:

A) R$ 100.000,00;


B) R$ 10.000,00;C) R$ 1.000,00;D) R$ 40.000,00;E) R$ 30.000,00.

05.Um título deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 560,00, três meses antes do seu vencimento. Todavia, uma negociação levou à troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao mês.

A) R$ 500,00.B) R$ 540,00.C) RS 560,00.D) R$ 600,00.E) R$ 620,00.

06.Um título no valor nominal de R$ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1.800,00, três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada.

A) 6%.B) 5%.C) 4%.D) 3,3%.E) 3%.

07. (BC) Em quanto tempo um título, descontado por dentro à taxa de 100% a.a. produz um desconto igual a 1/6 do seu valor nominal?

A) 4 mesesB) 3 mesesC) 2 meses e 12 diasD) 2 meses e 20 diasE) 2 meses e 25 dias

08.O valor atual de um título cujo valor de vencimento é de R$ 256.000.00, daqui a 7 meses, sendo a taxa de juros simples, utilizada para o cálculo, de 4% ao mês, é de:

A) R$ 200.000,00; B) R$ 220.000,00; C) R$ 180.000,00; D) R$ 190.000,00; E) R$ 210.000,00.

09.Uma letra de câmbio, vencível em 50 dias, deveria ser descontada por dentro a uma taxa de 15% a.m., mas foi, por engano, descontada por fora. Sabendo que o valor nominal do título era de R$ 500.000,00, qual o prejuízo sofrido pelo portador da letra?

A) 20.000. B) 25.000. C) 30.000. D) 35.000. E) 40.000.

10. (BB) Qual o desconto comercial de um título de R$ 27.200,00 pago 2 meses antes do vencimento à taxa de 5,2% ao mês.

A) R$ 2.905,80 B) R$ 2.828,80 C) R$ 2.800,00D) R$ 2.722,60 E) R$ 2.560,00

11. (BB) A quantos meses do vencimento uma nota promissória de R$ 3.900,00 descontada por fora, à taxa de 10% a.a. dá um líquido de R$ 3.640,00.

A) 4 meses

B) 6 meses C) 8 meses D) 9 meses E) 12 meses

12. (CEF) Uma nota promissória foi resgatada 5 meses antes do vencimento, sofrendo um abatimento de R$ 30.000,00. Se o desconto foi comercial, à taxa de 48% ao ano, o valor pago foi de.

A) R$ 180.000,00 B) R$ 175.000,00 C) R$ 150.000,00D) R$ 135.000,00 E) R$ 120.000,00

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07

B D C B A E C

08 09 10 11 12

A B B C E

ANOTAÇÕES


Equivalência de Capitais em Juros Simples

Já se viu, nas operações de desconto, que, não raras vezes, o investidor necessita antecipar o vencimento do título, concedendo, por isso, um desconto. Por outro lado, o tomador do empréstimo nem sempre consegue honrar o compromisso na data aprazada, necessitando, nessas circunstâncias, prorrogar o prazo de títulos nas operações financeiras. Quando presentes estas situações, pode ocorrer a substituição de um título por outro, ou um por vários, ou substituírem-se vários títulos por um único.

Nessas circunstâncias, está-se diante de problemas que dizem respeito à equivalência de valores diferentes referidos a datas diferentes que, no entanto, devem ter o mesmo valor em dado momento, chamado de data focal.

1. DATA FOCAL

Um aspecto de extrema relevância, no regime de JUROS SIMPLES, é determinar a DATA FOCAL.

Data focal é aquela que se considera como base de comparação dos valores referidos a diferentes datas. É aquela na qual se foca a análise, por isso é também chamada de data de avaliação ou data de referência.

Pelo fato de não haver, em juros simples, o cálculo de juros sobre juros, característica de juros compostos, deve-se considerar como data focal sempre a data do momento zero, salvo se, no exercício, for solicitada ou indicada, expressamente, data diferente.

2. CAPITAIS EQUIVALENTES

Dois ou mais títulos de crédito ou duas ou mais formas de pagamento somente serão equivalentes numa determinada época quando, nessa época, os seus valores atuais forem iguais.

É indispensável que se saiba que tipo de desconto está sendo tratado para apuração dos valores atuais, pois, conforme se viu, há diferenças substanciais se adotado um ou outro tipo de desconto (racional ou comercial).

2.1. Equivalência com desconto racional e comercial

Pela definição, dois ou mais valores nominais (títulos) serão equivalentes quando seus valores atuais são equivalentes. Assim: os títulos N1, N2, N3, ..., Nn serão equivalentes se, e somente se, seus valores atuais V1, V2, V3, ..., Vn forem iguais.

Como no DESCONTO RACIONAL ,

E adotando uma taxa de juros "i", têm-se os títulos equivalentes na data focal zero, se:

Indica-se os valores por Va, já que esses são os valores atuais à taxa "i" na data focal zero.Já quando se estiver falando de DESCONTO COMERCIAL, os valores atuais serão obtidos pela aplicação da seguinte expressão:

EXEMPLO 1

Um cliente deve a uma firma um título de R$ 250,00 e outro, de R$ 400,00, vencíveis, respectivamente, em 3 e 6 meses. Prevendo que não poderá quitar o primeiro título no vencimento, procura o gerente e propõe trocar os dois títulos por um único de valor equivalente e com prazo de 5 meses. A taxa corrente de desconto comercial está em 120% a.a. Qual o valor do novo título, de forma a guardar equivalência na data da substituição?

Chame-se o novo título 3 de N3.

Graficamente, a situação é a seguinte:

Assim, para se ter o valor de N3, deve-se igualar a soma dos valores atuais dos dois títulos que serão substituídos com o valor atual deste terceiro título.

O desconto em questão é comercial; logo, a fórmula a ser utilizada para apurar o valor atual é: Va = N(1 – i x n).

O valor atual dos dois títulos juntos é, portanto, de R$ 335,00. Para se saber o valor nominal do novo título, com vencimento em 5 meses, deve-se usar a fórmula do desconto comercial, haja vista a taxa dada ser taxa de desconto comercial. Caso a taxa apresentada fosse taxa de juros, estar-se-ia diante de desconto racional. Assim:

Períodos (meses)

Va3 = Va1 + Va2 N1 (250,00) N3 = ? N2 (400,00)

0 3 5 6


R$ 670,00

Outra forma de resolver o exercício é aplicar a fórmula de modo direto para os três títulos. Assim:

= R$ 670,00

EXEMPLO 2

Qual seria o valor do N3 do exemplo anterior, se a taxa dada fosse taxa de juros?

Quando, em desconto, se fala em taxa de juros, refere-se ao desconto racional. Como Va no desconto racional é:

, tem-se:

R$ 192,30 + R$ 250,00

R$ 442,30.

Logo, o valor de N será:

N3 = Va3 (1 + in)

N3 = R$ 442,30 (1 + 0,1 x 5)

N3 = R$ 633,46.

Em provas de concursos, já se disse, necessita-se de agilidade e rapidez na resolução das questões. Desta forma, questões como esta devem ser assim resolvidas:

Como ou ,

Conforme se esteja diante do desconto comercial ou racional, então, substituindo Va3, tem-se:


01. (BB) José vai receber os R$ 10.000,00 da venda de seu carro em duas parcelas de R$ 5.000,00, sendo a primeira dentro de 30 dias e a segunda, dentro de 60 dias. Considerando uma taxa de desconto de 2% ao mês, o valor atual, em reais, que José deveria receber hoje, com a certeza de estar recebendo o mesmo valor que irá receber no parcelamento, é de:

A) 9.709,65 B) 9.719,65C) 9.729,65D) 9.739,65 E) 9.749,65

02. Carêncio, passando por dificuldades financeiras e impossibilitado de quitar duas notas promissórias, uma de R$ 230.000,00, a ser paga dentro de 60 dias, e outra de R$ 310.000,00, com vencimento para 3 meses, pede sua substituição por uma única letra, vencível no prazo de 5 meses. Qual o valor de emissão dessa letra, sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 24% a.a.?

A) 540.000. B) 220.800. C) 512.200.D) 569.111. E) 291.400.

03. Um comerciante possui uma dívida com um banco no valor de R$ 190.000,00, que vence em 30 dias. Entretanto, o comerciante não possui numerário suficiente e propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% a.a., o valor do novo título será de:

A) R$ 235.000 B) R$ 238.000 C) R$ 240.000 D) RS 243.000 E) R$ 245.000

04. Um título de valor nominal de R$ 51.000,00, com vencimento para 40 dias, deve ser substituído por outro, com vencimento para 80 dias. Calcule o novo valor de face, a uma taxa de desconto racional de 5% a.m.

A) 47.812,50 B) 47.600,00 C) 54.187,50 D) 54.923,08 E) 95.200,00

05. Após quantos dias devo pagar uma letra de R$ 800.000,00, que substitui outra de R$ 600.000,00, com vencimento para 2 meses, se a taxa de desconto comercial é de 10% ao mês?

A) 48. B) 80. C) 110.


D) 100. E) 60.

GABARITO

01 02 03 04 05

A D A C E

ANOTAÇÕES

Desconto Composto

Nos principais concursos, geralmente, é cobrado apenas o desconto racional composto, porém, em alguns concursos, principalmente os elaborados pelo CESPE, é cobrado também o desconto comercial composto. Assim, para que se tenha todo o conteúdo de qualquer concurso, será visto também o desconto comercial composto, se bem que se dará maior ênfase ao desconto racional composto.

1. DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

O raciocínio financeiro adotado em desconto no regime de juros compostos é idêntico ao adotado no regime de juros simples, com a única diferença quanto ao regime de capitalização.

O desconto racional é aquele obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um título que seja descontado n períodos antes do vencimento.

Partindo novamente da premissa de que qualquer desconto (D) é obtido a partir da diferença entre o valor nominal (N) e o valor atual (Va), têm-se as seguintes fórmulas a utilizar:

D = N – Va Va =

Substituindo Va por , que representa o valor atual

racional, tem-se:

D = N –

Isolando o N, tem-se a fórmula do desconto racional composto:

É interessante mencionar que este desconto também pode ser obtido a partir da seguinte fórmula:

Onde:

i = taxa de jurosn = número de períodosDr = desconto racional(1+i)n = fator de acumulação de capitalVa = valor atual ou capitalN = valor nominal ou montanteani = fator de valor atual de uma série de pagamentos e

é encontrado em tabelas.

Se for observada atentamente a fórmula do valor atual, perceber-se-á que ela é semelhante à fórmula utilizada para o cálculo do capital.

Assim, o desconto racional composto é igual aos juros que seriam devolvidos no intervalo de tempo compreendido entre a data de desconto e a de vencimento de determinada obrigação ou título calculado sobre o Va.2. DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO


É redução no valor que se obtém quando se salda uma obrigação em determinados períodos antes de sua exigibilidade.

O valor atual, ou valor descontado comercial, obtém-se da seguinte forma: calculam-se sucessivos descontos comerciais simples, de um período, até completarem-se os n períodos solicitados e subtraírem-se esses valores do valor nominal, até encontrar o valor de hoje (atual).

Então, matematicamente, tem-se a seguinte fórmula:

Substituindo na expressão geral do desconto, tem-se:

EXEMPLO 1

Seja um título de valor nominal R$ 1.000,00, vencível em três meses. Esse título pode ser quitado hoje com desconto comercial composto de 10% a.m. Quanto terá de ser desembolsado para quitar o título?

Solução:N = R$ 1.000,00n = 3 mesesi = 10% ao mêsVa =?

Há duas formas de resolver o exercício.

Primeira, sem fórmula:

1.000,00 x 0,1= 100,001.000,00 – 100,00 = 900,00 (n1)900,00 x 0,1 = 90,00900,00 – 90,00 = 810 (n2)810,00 x 0,1= 81,00810,00 – 81,00 = 729,00 (n3)Va = R$ 729,00.

Segunda, com fórmula:

Va = N x (1 – i)n

Va = 1.000,00 x (1 – 0,1)3

Va = 1.000,00 x (0,9)3

Va = 1.000,00 x 0,729Va = R$ 729,00.

Caso se deseja calcular o desconto, poder-se-ia simples-mente subtrair o valor atual do valor nominal ou, então, aplicar a fórmula antes desenvolvida:

Dc = 1.000,00 – R$ 729,00 = R$ 271,00

Ou

Dc = N x [1 – (1 – i)n]Dc = R$ 1.000,00 x [1 – (0,9)3]Dc = R$ 1.000,00 x [1 – 0,729]Dc = R$ 1.000,00 x 0,271Dc = R$ 271,00.

Como se depreende do exemplo, é relativamente fácil o cálculo do valor descontado ou valor atual em desconto comercial composto.EXEMPLO 2

Determinada empresa descontou, num banco, duplicatas com valor nominal de R$ 12.000,00, 4 meses antes do seu vencimento. Qual foi a quantia depositada em sua conta,

se a taxa de desconto foi de 3% ao mês, considerando o desconto racional simples, o desconto comercial simples, o desconto racional composto e o desconto comercial composto?

No exemplo, se requer o valor atual dos quatro tipos de desconto:

1 - Desconto racional simples:

Va =

Va =

Va =

Va = R$ 10.714,29.

2 — Desconto comercial simples:

Va = N(1 – i x n)

Va = R$ 12.000,00 x (1 – 0,03 x 4)

Va = R$ 12.000,00 x (1 – 0,12)

Va = R$ 12.000,00 x 0,88

Va = R$ 10.560,00.

3 - Desconto racional composto:

Va = N / (l + i)4

Va = R$ 12.000,00 / (l + 0,03)4

Va = R$ 12.000,00 / 1,125509

Va = R$ 10.661,84.

4 - Desconto comercial composto:

Va = N x (1 - i)n

Va = R$ 12.000,00 x (1 – 0,03)4

Va = R$ 12.000,00 x 0,885293

Va = 10.623,51.

Dica do Prof. Tácito:

Conclusão

Dos quatro tipos de desconto, o mais vantajoso para quem for descontar um título é o desconto racional simples, visto que produzirá o maior valor atual; logo, é o que sofrerá o menor desconto.Já o desconto comercial simples é o mais pernicioso para quem for descontar um título, visto ser ele o que produz o menor valor atual e o maior desconto.Entre os descontos compostos, o mais vantajoso para o detentor do título é o desconto racional. Porém, percebe-se que a diferença entre o desconto racional e o comercial não é tão grande quanto no desconto em juros simples.


01. (AFTN) Um Commercial paper, com valor de face de US $ 1,000,000.00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje. A uma taxa de Juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate.


A) US$ 751,314.80B) US$ 750,000.00C) US$ 748,573.00D) US$ 729,000.00E) US$ 700,000.00

02. (AFTN) João foi a um banco e descontou uma nota promissória de R$ 200.000,00, 6 meses antes de seu vencimento. Admitindo-se que tenha recebido o líquido de RS 149.243,04 e o regime adotado seja o desconto racional composto, a taxa de juros anual é de:

A) 75,36%; B) 79,59%; C) 89,83%; D) 90,21%; E) 91,76%.

03. Qual o desconto racional composto sofrido por um título de R$ 100.000,00, resgatado 5 meses antes do vencimento, a uma taxa de 24% ao ano com capitalização mensal?

A) 8.318 B) 9.427 C) 7.536 D) 7.653 E) 8.819

04. Calcule o valor líquido de uma letra de câmbio com valor nominal de R$ 80.000,00, resgatada 6 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto racional composto de 12% a.a., capitalizada trimestralmente.

A) 68.412,15B) 74.211,00C) 75.407,67D) 76.400,01E) 80.000,00

05. (ESAF-AFRF/2005) O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a:

A) R$ 230.000,00;B) R$ 250.000,00;C) R$ 330.000,00; D) R$ 320.000,00;E) R$ 310.000,00.

06. O portador de uma nota promissória com valor de face de R$425.000,00 resgatou-a a uma taxa de desconto racional composto de 2% a.m., tendo sofrido um desconto de R$ 24.513,00. Esta operação foi realizada a quantos dias do vencimento do título?

A) 70B) 80C) 90D) 100E) 110

07. Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$672,00, quatro meses antes do seu vencimento. Todavia, uma negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês.

A) R$ 600,00 B) R$ 620,15 C) R$ 624,47

D) R$ 643,32 E) R$ 672,00

08. Um título é descontado por R$4.400,00, quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título, considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês (despreze os centavos, se houver).

A) R$ 4.400,00 B) R$ 4.725,00 C) R$ 4.928,00 D) R$ 4.952,00. E) R$ 5.000,00.

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08

A B B C B C C D

ANOTAÇÕES

Equivalência de Capitais em Regime de Juros Compostos

1. CÁLCULO DO VALOR ATUAL

Do mesmo modo que no regime de juros simples, também em juros compostos diversos capitais serão equivalentes na data zero, pelo critério de desconto racional composto à taxa de juros i, se seus valores atuais forem iguais, ou seja:

Va1 = Va2 = ... = Van

Como Va = , tem-se a seguinte situação:


EXEMPLO 1

Sejam dados os valores nominais seguintes, que vencem nas datas estipuladas – C1 = 1.100,00 1º ano; C2 = 1.331,00 3a ano e C3 = 1.610,51 5º ano – verificar se tais capitais são equivalentes à taxa de 10% a.a., sob o critério de desconto racional composto.

Solução:

1.000,00

1.000,00

1.000,00

Nota-se que, nos três casos, encontra-se igual valor atual, isto é, os três capitais são equivalentes.

No capítulo relativo à equivalência de capitais em juros simples, enfatizou-se a necessidade de os valores atuais serem levados à data focal zero. Isto se devia ao fato de que, caso se procedesse, de forma diferente estar-se-ia fazendo juros sobre juros, o que é próprio do regime de juros compostos.

Desta forma, em se tratando de equivalência de capitais no regime de juros compostos, não há mais a necessidade de se calcularem os valores atuais na data zero. Pode-se, inclusive, calcular o montante quando a equivalência for feita a uma data posterior ao do vencimento do título original, pois é próprio deste regime a capitalização.

EXEMPLO 2

Qual é o valor de um título vencível em 10 meses, que substitui dois outros com valores de R$ 1.366,03 e R$ 2.420,00, cujos vencimentos ocorrem, respectivamente, em 6 meses e 12 meses, se a taxa de juros da operação for de 10% ao mês?

Solução:

i = 10% ao mês

Para calcular o valor de N3 pode-se calcular o montante de N1 até N3 (n = 4) e o valor atual de N2 até N3 (n = 2).

N3 = M + Va

N3 =

N3 =

N3 =

N3 = R$ 2.000,00 + R$ 2.000,00

N3 = R$ 4.000,00.


01. Qual a taxa de juros compostos anuais utilizada na substituição de um título de R$ 400.000,00, vencível dentro de 2 anos, por outro de R$ 576.000,00, com vencimento para daqui a 4 anos?

A) 20%.B) 21%. C) 22%.D) 24%.E) 25%.

02. O preço à vista de certa mercadoria é de R$ 80.000,00 Esta mesma mercadoria é vendida a prazo, em três prestações mensais e iguais, a uma taxa de 30% ao mês de juros compostos. Qual o valor das prestações?

A) 26.000.B) 44.050.C) 34.200.D) 29.399.E) 42.500.

03. Qual o capital hoje que é equivalente a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a um capital de R$ 100.000,00, que venceu há um ano, mais um capital de R$ 110.000,00, que vai vencer daqui a seis meses?

A) R$ 210.000,00.B) R$ 220.000,00.C) R$ 221.000,00.D) R$ 230.000,00.E) R$ 231.000,00.

04. Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos.

A) R$ 9.140,00.

(meses)

N1 = 1.366,03 N3 = ? N2 = 2.420,00

0 6 10 12


B) R$ 9.126,00. C) R$ 9.100,00. D) R$ 9.174,00.E) R$ 9.151,00.

05. Um trator pode ser comprado á vista por um preço v, ou pago em 3 parcelas anuais de R$ 36000, 00, a primeira dada no ato da compra. Nesse caso, incidem juros compostos de 20% a.a. sobre o saldo devedor. Nessas condições o preço v é.

A) R$ 75000,00B) R$ 88000,00C) R$ 91000,00D) R$ 95000,00E) R$ 97000,00

GABARITO

01 02 03 04 05

A B C E C

ANOTAÇÕES

Rendas Certas ou Anuidades

1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

As transações financeiras, de um modo geral, compreendem empréstimos ou capitalizações. Neste contexto, se inserem as rendas certas ou anuidades, como também são chamadas.

Os empréstimos se constituem em operações de financia-mento, cujo, o capital, ou seja, a devolução do principal, pode ser exigido de uma só vez ou amortizado por sucessivos pagamentos ou recebimentos periódicos.

As capitalizações se caracterizam por depósitos únicos ou periódicos. Trata-se de uma "poupança" para se constituir um montante de determinada quantia em data futura.

Chama-se de rendas certas aquelas operações nas quais, depois de definidas as condições inerentes à duração ou prazo, as taxas, os valores dos desembolsos ou entradas, o valor financiado ou valor atual e o montante ou soma da

capitalização não sofrem alterações, isto é, uma vez estabelecidas as condições, elas serão imutáveis.

Os elementos que compõem uma renda certa ou anuidade são os seguintes:

• parcelas (P) são os valores periódicos ou unitários que constituem a renda, quer numa amortização ou numa capitalização. A parcela é também chamada de prestação;

• período é o intervalo temporal entre duas parcelas (ex.: 30 dias ou um mês, 60 dias ou 1 bimestre, 1 semestre, 1 ano etc.);

• duração da anuidade (n) geralmente representa a soma dos períodos, isto é, é o número de parcelas representado por "n";

• valor atual (Va) é a soma dos valores atuais de cada uma das parcelas de uma anuidade, considerando-se, sempre, a mesma data focal e mesma taxa (i);

• montante (M) ou soma (S) é a soma dos montantes de cada uma de suas parcelas, aplicadas a uma mesma taxa de juros para uma determinada data;

• taxa de juros (i) é a taxa de juros tomada para o período, considerando-se, sempre, o mesmo período referido nas parcelas e o regime de juros compostos, salvo se pactuado de forma diversa.

2. CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES

Serão tratadas as anuidades consideradas como modelo básico, isto é, aquelas que são concomitantemente temporárias, constantes, imediatas (antecipadas ou postecipadas), e que sejam periódicas, cuja taxa de juros se refira ao mesmo período das parcelas.

• Temporárias são aquelas de duração limitada ou predeterminada.

• Constantes são aquelas em que todas as parcelas são iguais.

• Imediatas, quando as parcelas são exigíveis a partir do primeiro período. Podem ser postecipadas ou vencidas e antecipadas:- postecipadas ou vencidas são aquelas em que se

exigem as parcelas no final de cada período;- antecipadas são aquelas em que as parcelas devem

ser satisfeitas no início de cada período.• Periódicas, quando o período entre as datas

correspondentes aos termos tiver o mesmo intervalo de tempo, isto é, quando todos os períodos forem iguais entre si.

OBS.: em questões de concursos públicos, os conhecimentos exigidos restringem-se, em sua grande maioria, à solução de problemas envolvendo essa classificação.

Entretanto, em raros concursos e raras questões, podem ser exigidos conhecimentos de anuidades diferidas, que são aquelas em que as parcelas são exigidas a partir de uma data que não seja o primeiro período. As anuidades diferidas recebem, também, a designação de "com período ou prazo de carência". Portanto, serão desenvolvidas, também, esse tópico.

Assim, tem-se que anuidades ou rendas certas é nome que se dá aos pagamentos sucessivos, quer se esteja diante de amortização de financiamentos ou de capitalização em investimentos.

Exemplos de anuidades:

1. Um financiamento de casa própria é um caso de renda certa temporária e periódica.

2. Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de renda certa temporária, de parcela constante (você


sabe quanto pagará de juros em cada prestação e quanto está amortizando do principal) e periódica.

3. CALCULANDO O VALOR ATUAL EM CASOS DE RENDAS CERTAS

Reitera-se que, neste trabalho, tratar-se-á de cálculos de rendas certas do tipo periódicas, de parcelas constantes e temporárias, as quais são, usualmente, as mais cobradas em concursos.

Inicialmente, cabe esclarecer que a prestação ou parcela ou termo representa, em verdade, o valor nominal (N) de uma prestação, visto em juros compostos.

Para determinar o valor atual (Va) na data zero de um determinado compromisso, (valor nominal) usa-se, em juros compostos, a fórmula:

Va1 = Va2

Como Va = , então:

Assim, partindo desta fórmula geral, basta substituir o valor nominal (N) pela parcela ou prestação (P) e obtêm-se o valor atual de uma única parcela na data zero:

Va =

Agora, se houver, por exemplo, uma série de 12 parcelas ou prestações, a serem satisfeitas no final de cada período com a primeira no final do primeiro período, o valor atual na data zero será obtido pelo somatório dos valores atuais individuais de cada uma das 12 parcelas na data zero:

Va =

Colocando o P em evidência, tem-se:

Va =

O valor entre colchetes, se efetuado, fornece a seguinte ex-pressão:

, a qual se denomina

Por lê-se "a, n cantoneira i" ou, simplesmente,

"a, n, i". O nome "a, n cantoneira i" vem do fato de as tabelas financeiras serem de dupla entrada e, em "n", tem-se a coluna dos períodos, e na linha, encontradas as taxas "i".

O valor de é obtido pela soma dos termos de

uma progressão geométrica.

Os valores de são tabulados e, geralmente,

quando exigidos em questões de prova, e se não for permitido o uso de calculadoras financeiras ou científicas, essas tabelas são fornecidas para a solução das questões.

Dessa forma, o valor atual de uma série de pagamentos postecipados, consecutivos, periódicos e iguais, com taxa de juros idênticas, poderá ser obtido pela aplicação da seguinte fórmula:

Substituindo a expressão por ; obtêm-se a

fórmula simplificada:

Conforme se viu, as rendas periódicas podem ser divididas em:

• postecipadas; • antecipadas; • diferidas.

As postecipadas são aquelas na qual os pagamentos são efetuados no fim de cada período, e não na origem. O sis-tema de amortização francês ou Price, em sua essência, contempla esta hipótese, haja vista que o pagamento dado na data zero deve ser considerado como entrada, isto é, é uma parcela à vista. E, sobre valores à vista, vale repetir, não cabe a cobrança ou pagamento de juros.

EXEMPLO 1

Aquisição, a prazo, de um bem com as seguintes condições: 6 pagamentos mensais e sucessivos, sem entrada, vencendo-se a primeira prestação após 30 dias da compra.

Percebe-se que se está diante de um caso de renda certa postecipada. Para o cálculo do Vá, nesse caso, usa-se a seguinte fórmula:

As antecipadas são aquelas na qual os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo.

EXEMPLO 2Aquisição, a prazo, de um bem com as seguintes condições: 6 pagamentos mensais e sucessivos, sendo a primeira no ato da compra.

Veja que a primeira prestação é paga no ato da compra, isto é, é uma parcela à vista. Para o cálculo do Vá, nesse caso, usa-se a seguinte fórmula:

Chama-se atenção ao fato de que o "n", neste caso, será de apenas 5, e não 6, visto que uma das parcelas é dada de entrada, ou seja, à vista.

Por fim, as diferidas são aquelas na qual o primeiro pagamento é feito após um determinado período, ou seja, há um período de carência.


EXEMPLO 3Promoções do tipo "compre hoje e pague a primeira prestação somente no ano que vem ou daqui a X dias ou X meses".

Para o cálculo do Va, nesse caso, usa-se a seguinte fór-mula:

Onde "m" representa o período de carência. Salienta-se, entretanto, que "m" é sempre uma unidade menor do que o período a calcular, ou seja, se a venda é feita em prestações, e a primeira vence ao final do 3º mês, então "m" será igual a 2, pois a fórmula geral de cálculo do Va atual é a postecipada, e nela a primeira prestação já vence no final do 1º mês.

Percebe-se, desta forma, que a expressão equivalente a

se faz presente em todas as fórmulas de cálculo

do Va e representa, de forma direta, o cálculo de uma série postecipada. As variantes (antecipadas ou diferidas) são calculadas com as adaptações já vistas.

Para obter o valor de , pode-se:

- usar as tabelas financeiras que se encontram no final deste livro;

ou

- calcular pela fórmula:

EXEMPLO 4Um carro é vendido a prazo em 12 pagamentos mensais e iguais de R$ 2.800,00, sendo a primeira prestação no ato da compra, ou seja, a famosa compra "com entrada", ou, ainda, um caso de renda certa antecipada. Sabendo que a concessionária opera a uma taxa de juros de 2% a.m., calcule o preço à vista desse carro.

Solução:Elementos do problema:i = 2% ao mêsn = 12 mesesP = R$ 2.800,00Va = ?Para se calcular o preço à vista, isto é, o valor atual, em problemas de renda certa antecipada, deve-se usar a seguinte fórmula:

A expressão representa o que é

encontrado na tabela ao final.

Como, no caso, têm-se 12 prestações com a primeira no ato (entrada), o "n" assumirá o valor de 11, pois sobre a primeira prestação não incidirão juros, já que a operação é

à vista. Assim, para n = 11 e i = 2%, tem-se:

que se busca na tabela, onde se encontra:

= 9,786848

Portanto, a solução do problema, ou seja, encontrar o preço à vista do carro passa a ser bastante simples:

Preço à vista = entrada + valor atualPreço à vista = R$ 2.800,00 + R$ 2.800,00 x 9,786848Preço à vista = R$ 30.203,17.

Atenção!!

Como encontrar os valores de nas tabelas

financeiras?

As tabelas financeiras são tabelas de dupla entrada. Na primeira linha, têm-se as taxas em percentual e, na primeira coluna tem-se o número de períodos.

n\i 1% 2% 3%1 0,990099 0,980392 0,9708742 1,970395 1,941561 1,913473 2,940985 2,883883 2,8286114 3,901966 3,807729 3,7170985 4,853431 4,71346 4,5797076 5,795476 5,601431 5,4171917 6,728195 6,471991 6,2302838 7,651678 7,325481 7,0196929 8,566018 8,162237 7,786109

10 9,471305 8,982585 8,53020311 10,36763 9,786848 9,25262412 11,25508 10,57534 9,954004

Assim, obtive-se o valor de 9,786848 da seguinte forma: encontra-se, na 1ª linha, a taxa de 2% e se desce nessa coluna até ser encontrada a linha relativa ao n = 11, ou na linha relativa ali períodos, e se encontra o valor procurado.

Nesta célula (a sombreada), encontra-se o valor de

9,786848, que é o valor do procurado.

EXEMPLO 5Um dormitório é vendido em 4 prestações de R$ 1.750,00, com o primeiro pagamento para 3 meses após a compra (esse é um caso da famosa renda diferida). Sabendo que a loja trabalha com juros de 3% a.m., calcule o valor à vista.

Solução:Elementos do problema:n = 4 prestaçõesP = R$ 1.750,00i = 3% ao mês Va = ?m = 2, posto que o diferimento é de 3 meses e nem sempre o período de diferimento menos 1.

Para se calcular o preço à vista, isto é, o valor atual, em problema de renda certa diferida, deve-se usar a seguinte fórmula:

Onde a expressão representa o que

é encontrado na tabela ao final. Como, no caso, têm-se 4 prestações postecipadas, n será igual a 4.

Assim, para n = 4 e i = 3%, tem-se: , que se

busca na tabela, e se encontra o valor de:


= 3,717098.

Portanto, substituindo os valores na fórmula, tem-se:

Va =

Va =

Va = R$ 6.131,51.

Desta forma, o preço à vista dos móveis, praticados pela loja, é de R$ 6.131,51.

4. CALCULANDO A PARCELA OU PRESTAÇÃO OU TERMO EM CASOS DE RENDAS CERTAS

As parcelas ou prestações podem ser calculadas a partir do conhecimento do atual, aplicando as mesmas fórmulas utilizadas para aquele cálculo. Em lugar de se ter como incógnita o valor atual, tem-se como incógnita o valor da parcela (P)

EXEMPLO 6(MARE/97) Uma dívida, no valor de R$ 9.159,40, vai ser paga em 5 prestações mensais iguais e consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar 3 meses data do contrato. Os juros são compostos, à taxa de 3% ao mês. O valor de i uma das prestações deve ser de:

(A) R$ 1.793,77;(B) R$ 2.121,80; (C) R$2.185,45; (D) R$ 2.251,01; (E) R$ 2.612,76.

Solução: Elementos do problema: Va = R$ 9.159,40 n = 5 prestações mensais, a primeira três meses após,

isto é, com diferimentoi = 3% ao mês P = ? m = 3 meses – 1 mês = 2 meses.

Trata-se de um problema de renda certa diferida, onde se procura conhecer o valor da parcela (P). Logo, a fórmula a aplicar é:

Como se pode notar, a parcela (1 + i)m que está no denominador passa multiplicando pelo Va e, a parcela

será dividida pelo produto anteriormente

obtido.

Dessa forma, o valor de P será:

Como a expressão entre colchetes representa o nosso a substituindo os valores, tem-se:

P =

Buscando na tabela o valor de , encontra-

se:4,579707 e, para o valor de (1,03)2, tem-se o valor de 1,0609. Dessa forma, o valor de P será:

P =

P = R$ 2.121,80.

Portanto a resposta correta é a letra (B).

5. CALCULANDO O MONTANTE, EM CASOS DE RENDAS CERTAS

Desde o estudo de juros simples, está-se tratando de montante, e lá se viu que montante (M ou S) é a soma do capital mais os juros por ele produzidos em certo tempo de aplicação.

Em um processo de capitalização em que são aplicadas n parcelas iguais a P, periódicas e postecipadas, a uma taxa de juros i, referida ao mesmo período das parcelas, o montante (S ou M) na data focal n é o resultado da soma dos montantes de cada uma dessas parcelas.

EXEMPLO 7Assim, se alguém resolvesse fazer uma capitalização postecipada, com o depósito de parcelas mensais no final de cada mês, a partir de janeiro de 2003, no valor de R$ 300,00 cada parcela, e se essa capitalização fosse feita em uma instituição financeira que oferecesse uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal, qual seria o montante que se teria obtido em 31 de dezembro do mesmo ano?

Solução:Elementos do problema:P = R$ 300,00i = 2% ao mêsn = 12 parcelasM ou S =?M1 = P (1 + i)12

M2 = P (1 + i)11

M3 = P (1 + i)1

Assim, M = M1 + M2 + ... + M12.

Resolvendo desta forma, tem-se:

M1 = 300 x (1,02)11= 300 x 1,243374 = R$ 373,01 M2 = 300 x (1,02)10= 300 x 1,218994= R$ 365,70 M3 = 300 x (1,02)9= 300 x 1,195092= R$ 358,53 M4 = 300 x (1,02)8= 300 x 1,171659= R$ 351,50 M5 = 300 x (1,02)7= 300 x 1,148685= R$ 344,61 M6 = 300 x (1,02)6= 300 x 1,126162 = R$ 337,85 M7 = 300 x (1,02)5= 300 x 1,104080 = R$ 331,22 M8 = 300 x (1,02)4= 300 x 1,082432 = R$ 324,73 M9 = 300 x (1,02)3 = 300 x 1,061208= R$ 318,36 M10= 300 x (1,02)2 = 300 x 1,040400= R$ 312,12 M11= 300 x (1,02)1 = 300 x 1,020000 = R$ 306,00 M12= 300 x (1,02)0= 300 x 1,000000 = R$ 300,00 Total R$ 4.023,63

Para cálculos com poucos períodos, não há maiores dificuldades de se usar o somatório de montantes dos juros compostos obtidos individualmente. Porém, quando


se está diante de número de períodos expressivo (mais de três) e as parcelas forem periódicas, iguais e referidas a uma mesma taxa de juros, é conveniente usar a fórmula do montante em capitalização:

Onde a expressão é conhecida como

, e tem os seus valores tabulados em tabelas.

Assim, pode-se escrever a fórmula da seguinte maneira:

Agora, já há condições de resolver o nosso exemplo:

, buscando na tabela esse valor,

Encontra-se: 13,41209

Assim, o montante será:M = 300,00 x 13,41209M = R$ 4.023,63.

ATENÇÃO!!Da mesma forma que, no valor atual, se pode ter uma capitalização antecipada, que é aquela em que os depósitos são efetuados no início de cada período, ou, então, em outras situações, onde a capitalização poderá ser diferida.

Para o caso de capitalização antecipada, deve-se multiplicar o valor do modelo básico por (1 + i), pois, no último período, o depósito é feito no início do período e rende juros até o final da aplicação, ficando a fórmula com a seguinte apresentação:

EXEMPLO 8Tome-se o exemplo anterior e passem-se os depósitos para o início de cada mês. Tem-se, assim, uma capitalização antecipada, com o depósito de parcelas mensais no início de cada mês, a partir de janeiro de 2003, no valor de R$ 300,00 cada parcela. Se essa capitalização fosse feita em uma instituição financeira que oferecesse uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal, ter-se-ia o seguinte montante, em 31 de dezembro do mesmo ano:

Inicialmente, calculando o montante de cada uma das parcelas individualmente, tem-se: ï

M1 = 300 x (1,02)12 = 300 x 1,268241= R$ 380,47

M2 = 300 x (1,02)11 = 300 x 1,243374 = R$ 373,01

M3 = 300 x (1,02)10= 300 x 1,218994 = R$ 365,70

M4 = 300 x (1,02)9= 300 x 1,195092= R$ 358,53

M5 = 300 x (1,02)8= 300 x 1,171659= R$ 351,50

M6 = 300 x (1,02)7= 300 x 1,148685 = R$ 344,61

M7 = 300 x (1,02)6= 300 x 1,126162= R$ 337,85

M8 = 300 x (1,02)5= 300 x 1,104080= R$ 331,22

M9 = 300 x (1,02)4= 300 x 1,082432= R$ 324,73

M10= 300 x (1,02)3= 300 x 1,061208= R$ 318,36

M11= 300 x (1,02)2 = 300 x 1,040400= R$ 312,12

M12= 300 x (1,02)1= 300 x 1,020000= R$ 306,00

Total R$ 4.104.10

Agora, aplicando a fórmula para o cálculo do montante diretamente, tem-se:

Substituindo os elementos na fórmula:

S ou M = R$ 300,00 x 13,41209 x 1,02

S ou M = R$ 4.104,099 ou,

Aproximadamente, R$ 4.104,10.

Já para o caso de capitalização diferida ou diferenciada,

após determinar o resultado de , deve-se analisar

o efeito do diferimento. Em muitos casos, pode-se transformar a capitalização diferida numa capitalização postecipada ou antecipada, conforme o caso, pois se considera para o "n" apenas o número de depósitos realizados. Assim, não há uma fórmula preestabelecida para este modelo.

EXEMPLO 9Calcule o montante obtido ao final do 50º mês, resultante de depósitos periódicos de R$ 500,00, realizados a partir do 16º mês até o 41º mês, considerando a taxa de 2% ao mês e depósitos postecipados.

Solução:

Considerando que do 16º mês até o mês 50 temos 35 meses e que do mês 41 até o mês 50 temos 9 meses, é possível resolver o exercício mediante o emprego da seguinte expressão:

M = R$ 500,00 x [ ]

M = R$ 500,00 x [49,99448 – 9,754628]

M = R$20.119.92.

Ou, considerando que houve apenas 26 depósitos, e o período de diferimento é de 9 meses, pode-se ter:

M = R$ 500,00 x x (1,02)9

M = R$ 500,00 x 33,67091 x 1,195092

M = R$ 20.119,92.


ANOTAÇÕES

Sistemas de Amortização

Sistemas de amortização são formas de pagamentos de empréstimos onde as prestações que vão sendo pagas correspondem aos juros e mais uma parcela de amortização do capital ou principal.

Nos sistemas de empréstimos ou amortizações que serão estudados, os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor do período anterior à amortização.

Também se deve atentar ao fato de que uma prestação (P) é, em geral, a composição de dois outros elementos, quais sejam: a amortização (A) e os juros (J).

Assim: P = A + J

Uma exceção a essa regra é o sistema americano, no qual os juros são pagos periodicamente e, no último período, são pagos os juros e todo o capital; logo, não há amortização periódica.

Existem, no mundo afora, diversos sistemas de amortização. No Brasil, por exemplo, há um sistema que é utilizado pela Caixa Econômica Federal na amortização dos financiamentos da casa própria, chamado de SACRE, que é uma variante do Sistema de Amortização Constante - SAC.

Muitos desses sistemas são anômalos e variantes dos sistemas originais, contendo complexidades diversas. Assim, por razões óbvias, ater-se-á ao estudo aos modelos básicos ou clássicos, pois estes são os cobrados nas provas dos concursos.

Sistema de amortização constante - SAC

Neste sistema, o devedor obriga-se a restituir o principal em n prestações, nas quais as cotas de amortização são sempre constantes, ou seja, o principal da dívida é dividido pela quantidade de períodos e os juros são calculados em relação aos saldos existentes mês a mês com aplicação da taxa predeterminada. O valor de cada prestação é obtido pela soma de cada parcela de amortização com o respectivo juro.

Não há necessidade de fórmulas complexas, por isso, em termos práticos, é o mais fácil dos sistemas a ser estudado. Porém, quando se está diante de períodos mais ou menos longos, é conveniente construir uma planilha de amortização. Este sistema de amortização é utilizado em certas transações do Sistema Financeiro da Habitação - SFH e em empréstimos às empresas privadas, realizados por entidades governamentais.

EXEMPLO 10Na compra de um apartamento no valor de R$ 80.000,00, uma pessoa faz um financiamento em um banco, com juros de 2% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule o valor de cada prestação mensal.

O valor da amortização (A) é obtido mediante a divisão do principal pela quantidade de períodos, ou seja, R$ 80.000,00 por 5, o que dá R$ 16.000,00.

Os juros (J) são calculados sobre os saldos devedores (SD) do período anterior ao da amortização. Assim:

J1 = SD0 x iJ2 = SD1 x iJ3 = SD2 x iJ4 = SD3 x i


Desta forma, nesse exercício, têm-se os seguintes valores de juros:

1° mês: R$ 80.000 x 2% = R$ 1.600,00

2° mês: R$ 64.000 x 2% = R$ 1.280,00

3° mês: R$ 48.000 x 2% = R$ 960,00

4° mês: R$ 32.000 x 2% = R$ 640,00

5° mês: R$ 16.000 x 2% = R$ 320,00.

Os saldos devedores (SD) de cada período são obtidos a partir do saldo devedor do período anterior, diminuídos da amortização do período atual. Por exemplo, no primeiro mês, o valor da prestação é de R$ 17.600,00 (P = A +J), porém do saldo devedor será subtraído apenas o valor da amortização, que é R$ 16.000,00, e por aí vai...

Isso quer dizer que, ao final, você pagará R$ 84.800,00 em 5 prestações, sendo a primeira de R$ 17.600,00, a segunda de R$ 17.280.00, a terceira de R$ 16.960,00, a quarta de R$ 16.640,00 e a quinta de R$ 16.320,00. De tudo isso, R$ 80.000,00 correspondem ao principal e R$4.800,00, aos juros.

Agora, vai-se construir a planilha de financiamento para este exemplo:

Período (n)

Saldo devedor(SD)

Amortização (A)

Juros(J)

Prestação (P)

0 80.000 - - -

1 64.000 16.000 1.600 17.600

2 48.000 16.000 1.280 17.280

3 32.000 16.000 960 16.960

4 16.000 16.000 640 16.640

5 0 16.000 320 16.320

TOTAL - 80.000 4.800 84.800

Como se pode perceber, os juros de cada período foram calculados à razão de 2% sobre o saldo devedor do período anterior, com uso da seguinte fórmula:

O saldo devedor do penúltimo período é exatamente o valor da amortização do último período e o saldo devedor de cada período é obtido pela diferença do saldo devedor do período anterior (n – 1), menos a amortização do período atual (n).

A prestação de cada período é a soma dos juros do período e da amortização do período, que é constante.

A amortização do período é obtida pela divisão do valor originário (saldo devedor inicial) pelo número de parcelas.

Finalizando, conclui-se, de forma enfática, que, no sistema de amortização constante SAC, as amortizações são constantes, as prestações são decrescentes e os juros também são decrescentes. Atente-se ao fato de que os juros e a prestação decrescem de forma linear.

Assim, pode-se estabelecer o seguinte gráfico para demonstrar este sistema de amortização:

Perceba que os juros decrescem linearmente e, em conseqüência, o valor das prestações também decresce linearmente.

RESUMO - SACA amortização do saldo devedor é constante e prestação decresce. Os juros também são cobrados sobre o saldo devedor e são decrescentes.

Sistema de amortização francês ou tabela price

A principal característica desse sistema é que o mutuário é obrigado a devolver os juros mais o principal em prestações periódicas e constantes. Assim, quando se depara com questões de provas que possuem o seguinte enunciado "(...) em X prestações iguais e sucessivas (...)", está-se diante do sistema de amortização francês ou tabela price.

Para a aplicação deste sistema de amortização, depara-se com quatro dificuldades para construir a planilha financeira:

1) como obter o valor das prestações;2) qual o valor dos juros em cada prestação;3) qual é o valor da amortização em cada prestação; e4) qual é o saldo devedor após o pagamento de cada

parcela.

Partindo, novamente, do pressuposto de que a prestação representa a soma da amortização com os juros, chega-se às três relações a seguir:

P = A + J; A = P – J; J = P – A

A prestação, como já foi visto antes, pode ser calculada a partir da fórmula que definimos para o cálculo do Va:

Passando P, a incógnita, para a esquerda, tem-se:

Como a expressão representa o ,

pode-se escrever a fórmula do seguinte modo:

AMORTIZAÇÃO

JUROS

Períodos


O valor dos juros é obtido pela multiplicação da taxa de juros unitária do período (n) pelo saldo devedor do período anterior (n-1).

O valor da amortização de determinado período é obtido pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros do mesmo período da amortização.

A = P – J

O saldo devedor de um período "n" é obtido a partir do saldo devedor do período anterior (n – 1), subtraindo deste o valor da amortização do período (n).

RESUMO - PRICEA prestação é constante e amortização crescente. Os juros também são cobrados sobre o saldo devedor do período anterior e são decrescentes. Nota-se que no início pagase muito juro e amortizase pouco. Com o passar do tempo, inverte-se a situação.

Atenção!!Nas provas de concursos, as questões relativas à amortização de empréstimos geralmente versam sobre este tipo de amortização. Por isso, vai-se aprofundar o assunto com um exemplo completo e analisá-lo sob todos os aspectos possíveis, inclusive apresentando algumas "dicas" para simplificar os cálculos!

EXEMPLO 11Suponha que você queira adquirir um veículo, cujo preço à vista seja de R$ 20.441,07. Você se propõe a comprá-lo em 12 prestações trimestrais. A financeira propõe uma taxa de juros de 40% ao ano, com capitalização trimestral. O negócio é realizado sem que você desembolse qualquer quantia no ato, isto é, todo o valor é financiado. Nestas condições, após calcular o valor de cada prestação, pode-se montar a planilha financeira.

Solução:O primeiro passo é calcular o valor de cada uma das prestações que, neste sistema, são sempre todas iguais. Para tanto, vale-se da seguinte fórmula:

Segundo o enunciado do exercício, os elementos fornecidos são:

Va = R$ 20.441,07n = 12 prestações trimestraisi = 40% ao ano = 10% ao trimestre.

Procurando na tabela o valor de , com n=12 e

i=10%, encontra-se o valor: 6,813692. Dessa forma, o valor de P será:

P =

P =

P = R$ 3.000,00

Planilha financeira do sistema de amortização francês ou Price.i = 10% a. t.

n Saldo devedor (SD) Amortização (A) Juros (J) Prestação (P)

0 20.441,07 0 0 0 1 19.485,18 955,89 2.044,11 3.000,00 2 18.433,71 1.051,47 1.948,53 3.000,00 3 17.277,09 1.156,62 1.843,38 3.000,00 4 16.004,80 1.272,29 1.727,71 3.000,00 5 14.605,29 1.399,51 1.600,49 3.000,00 6 13.065,82 1.539,47 1.460,53 3.000,00 7 11.372,41 1.693,41 1.306,59 3.000,00 8 9.509,66 1.862,75 1.137,25 3.000,00 9 7.460,63 2.049,03 950,97 3.000,00 10 5.206,70 2.253,93 746,07 3.000,00 11 2.727,37 2.479,33 520,67 3.000,00 12 0,10 2.727,26 272,74 3.000,00

Conclusões:

1 - O saldo devedor final (n = 12) de R$ 0,10 não significa que você ficará devendo após pagar todas as prestações e, tampouco, que a financeira não receberá o inicialmente pactuado, pois o valor do principal e os juros estão calculados na prestação, e com o pagamento destas, o compromisso se extingue. Este saldo decorre apenas do processo de arredondamento utilizado nos cálculos.

2 - O saldo devedor teórico imediatamente após o pagamento da penúltima prestação é igual à amortização relativa à última prestação. Isso decorre do raciocínio natural de que quando se paga a última prestação, está-se liquidando a dívida e, com isso, o saldo deve-dor se anula.

3 - As prestações são sempre fixas, isto é, todas as prestações são iguais.

4 - A amortização é crescente de forma não-linear, isto é, cresce de forma exponencial. Com isso, ocorre uma menor amortização na fase inicial e uma maior amortização mais no final do período do empréstimo ou financiamento.

5 - O valor dos juros é decrescente de forma não-linear, isto é, decresce de forma exponencial.

6 - O valor da última amortização pode ser obtido da seguinte expressão: P = A + J

Sistema de amortização mista (SAM)

Este sistema se constitui na média aritmética dos dois sistemas anteriores (SAC e PRICE). Calcula-se o valor das prestações por cada um dos sistemas anteriores, somando-os, e efetua-se a divisão por 2.

Ressalte-se que este método ou sistema de amortização praticamente não é cobrado em provas de concursos. Entretanto, ele representa mais uma alternativa de amortização de empréstimos.

EXEMPLO 13


Na compra de um apartamento no valor de R$ 300.000,00, você faz um financiamento em um banco com juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal.

Resolvendo, pelo SAC, tem-se:

Período (n)

Saldo devedor (SD)

Amortização (A)

Juros(J)

Prestação (P)

0 300.000 - - - 1 240.000 60.000 12.000 72.000 2 180.000 60.000 9.600 69.600 3 120.000 60.000 7.200 67.200 4 60.000 60.000 4.800 64.800 5 0 60.000 2.400 62.400

Somas 300.000 36.000 336.000

Já pelo sistema francês, temos:

P =

P =

P = R$ 67.388,14.

Pelo sistema francês, haverá um pagamento total de R$ 336.940,70 (R$ 67.388,14 x 5).

Pelo sistema misto, tem-se:

P1 = [67.388,14 + 72.000,00] / 2 = R$ 69.694,07P2 = [67.388,14 + 69.600,00] / 2 = R$ 68.494,07P3 = [67.388,14 + 67.200,00] / 2 = R$ 67.294,07P4 = [67.388,14 + 64.800,00] / 2 = R$ 66.094,07P5 = [67.388,14 + 62.400,00] f 2 = R$ 64.894,07

Somas = [336.940,70 + 336.000,00] / 2 = R$ 336.470,34.

Ou seja: Ao final, você pagará R$ 336.470,34 em 5 prestações, sendo a primeira de R$ 69.694,06, a segunda de R$ 68.494,07, a terceira de R$ 67.294,07, a quarta de R$ 66.094,07 e a quinta de R$ 64.894,07. Disso, R$ 300.000,00 correspondem ao principal e R$ 36.470,35, aos juros. Outra conclusão que se pode extrair desse cálculo é que o sistema francês é mais perverso do que o SAC para quem paga, que acaba pagando mais com esta modalidade de amortização.

Taxa Interna de Retorno Valor Atual Líquido

Considerando os valores que ingressam como parte positiva e os valores desembolsados como sendo a parte negativa de um fluxo de caixa, tem-se que a taxa de retomo é aquela taxa de juros que iguala esses valores em uma data focal qualquer.

Assim, a taxa interna de retomo é aquela taxa capaz de anular a diferença entre ingressos e desembolsos.

Existem, basicamente, dois tipos de fluxos de caixa: num deles, os valores dos desembolsos ou de ingressos são uniformes; noutro, esses valores não são uniformes.Quando os valores são uniformes, pode-se determinar a

taxa de retomo diretamente através da tabela ,

se os valores forem coincidentes ou por interpolação linear.

EXEMPLO 15Uma pessoa tinha um veículo usado que estava em péssimas condições. Passou na revenda e submeteu o referido veículo a uma avaliação, com o fim de entregá-lo como entrada na aquisição de outro veículo novo. O veículo usado foi avaliado em R$ 8.500,00, ao passo que o veículo novo está cotado em R$ 20.500,00. A concessionária aceitaefetuar a transação, porém a diferença deve ser financiada por uma financeira que cobra uma taxa de abertura de crédito de R$ 190,00, que também pode ser financiada. O comprador aceitou as condições apresentadas, quais sejam: 18 parcelas de R$ 829,13.

Qual é a taxa de juros implicada na transação?

Pela definição, a taxa interna de retorno é aquela que iguala os valores ingressos e os egressos.

O valor do ingresso, neste caso, é o valor financiado, ou seja, R$ 12.190,00. Os desembolsos são 18 parcelas de ijL$ 829,13.

Assim:

R$ 12.190,00 = R$ 829,13 x

=

= 14,702157.

Consultando a tabela, verifica-se na linha relativa a 18 períodos que o valor 14,702157 está entre a coluna representativa de 2% e 2,5%.

Para i = 2%, tem-se o valor de 14,992031; e para i=2,5%, o valor é de 14,353364.

A diferença entre os dois valores equivale a uma diferença de taxa de 0,5%.

Assim, 14,992031 – 14,353364 = 0,638667, o que equivale a uma taxa de 0,5%.

Como o valor que se calcula é de 14,702157, se ele for subtraído de 14,992031, tem-se o valor de 0,289874, que equivale ao valor a ser adicionado a 2%.

Desta forma, a taxa de juros é de 2%, mais o valor encontrado a seguir:

0,638667 0,5%

0,289874 X

X =

X = 0,2269%.

Assim, a taxa interna de retorno do referido financiamento é de 0,2269% ao mês.

11% + R$ 131,87

11% – R$ 779,22

X% R$ 0,00X% – 11%/12% – 11% = = R$ 0,00 – R$ 131,87 / – R$ 779,22 / 131,87X% – 11% = – 131,87 / – 911,09X% – 11% = 0,144738X% = 11% + 0,144738%X% = 11,144738% ou, aproximadamente, 11,15%.


Perceba que, se for testada a igualdade com esta taxa de 11,15%, não se anulará o valor atual:

Va1 = –R$20.000.00

Va2 = R$ 2.000,00 x

Va2 = R$ 2.000,00 x [(1,1115)2 – 1] / [0,1115 x (1,1115)2]Va2 = R$ 2.000,00 x [1,235432 – 1] / [0,1115 x 1,235432]Va2 = R$ 2.000,00 x 0,235432 / 0,137750Va2 = R$ 2.000,00 x 1,709116 = R$ 3.418,23

Va2 = R$ 4.000,00 x / (1,1115)2

V3 = R$ 4.000,00 x [(1,1115)8 – 1] / [0,1115 x (1,1115)8] / 1,235432Va3 = R$ 4.000,00 x [2,329570 – 1] / [0,1115 x 2,329570] / 1,235432Va3 = R$ 4.000,00 x [1,329570 / 0,259747] / 1,235432Va3 = R$4.000,00 x 4,143256= R$ 16.573,02.

A igualdade dos valores atuais será:– R$ 20.000,00+R$ 3.418,23+R$ 16.573,02 = – R$ 8,75.

Isto quer dizer que a taxa interna de retomo efetiva é um pouco inferior a 11,15%, e, para aproximá-la mais, teriam que ser feitas outras iterações. Porém, este não é o objetivo deste trabalho e, como visto, nas questões de provas, é solicitado para se assinalar a taxa mais próxima da taxa interna de retorno.

Para o exemplo que se desenvolveu, a resposta correia é a letra "d", pois 11 % é a taxa mais próxima da taxa interna de retorno.


01. Qual o preço à vista de um automóvel, que a prazo é vendido com uma entrada de RS 18.000,00 e 12 prestações trimestrais de R$ 1.000,00, calculadas a uma taxa de 40% ao ano?

A) 24.813,69. B) 22.527,21. C) 21.431,12. D) 20.112,00.E) 18.456,88.

02. Uma loja vende um aparelho de som em 3 parcelas bimestrais de R$ 200,00, considerando uma taxa de juros de 6% ao bimestre, e oferece como alternativa a venda em 6 prestações mensais, cobrando 3% de juros mensais. Qual o valor das parcelas mensais?

A) R$ 97,41.B) R$ 98,68.C) R$ 100,00.D) R$ 103,21.E) R$ 105,12.

03. (BC) Obtenha o valor de x, indicado no fluxo de caixa abaixo, sabendo que a taxa interna de retorno é de 10% ao ano.

ANO 0 1 2VALOR(R$) -100 80 X

A) 25 B) 30 C) 32 D) 33 E) 40

04. Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de R$ 200.000,00, seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamentos para seis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as demais, vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6% ao trimestre, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:

A) R$ 66.131,00. B) R$ 64.708,00. C) R$ 62.927,00. D) R$ 70.240,00. E) R$ 70.140,00.

05. Obtenha o valor mais próximo da quantia que deve ser depositada ao fim de cada mês, considerando uma taxa de rendimento de 2% ao mês, juros compostos, com o objetivo de se obter R$ 50.000,00 ao fim de dez meses.

A) R$ 5.825,00.B) R$ 5.000,00.C) R$ 4.782,00.D) R$ 4.566,00.E) R$ 3.727,00.

06. O pagamento de um empréstimo no valor de 1.000 unidades de valor será efetuado por intermédio de uma anuidade composta por seis prestações semestrais, a uma taxa de 15% ao semestre, sendo que a primeira prestação vencerá seis meses após o recebimento do empréstimo. O valor da referida prestação será de:

A) 1.000/6; B) 1.000 x 2,31306; C) 1.000/3,784482; D) 1.000/8,753738; E) 1.000/2,31306.

07. Um financiamento imobiliário no valor de R$ 120.000,00 é realizado por um sistema de amortizações mensais iguais durante 20 anos. Considerando que a taxa de Juros mensal é de 1%, calcule o valor da 13ª prestação mensal.

A) R$ 1.700,00. B) R$ 1.640,00. C) R$ 1.635,00. D) R$ 1.605,00. E) R$ 1.600,00.

08. Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de 12.000, ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4% e que o primeiro depósito é feito ao fim do primeiro mês?

A) 12.000/15,025805.B) 12.000/(12 x 1,48).C) 12.000/9,385074.D) 12.000/(12 x 1,601032).E) 12.000/12.

09. Um microcomputador é vendido pelo preço à vista de R$ 2.000.000,00, mas pode ser financiado com 20% de entrada e a uma taxa de juros de 96% a.a., Tabela -Price. Sabendo-se que o financia-mento deve ser


amortizado em 5 meses, o total de juros pagos pelo comprador é de, aproximadamente:

A) R$ 403.652,00; B) R$ 408.239,00; C) R$ 410.737,00; D) R$ 411.393,00; E) R$ 420.225,00.

10. Um financiamento no valor de R$ 10.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 24% ao ano, para ser amortizado em doze prestações semestrais iguais, vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros semestrais devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Desprezando os centavos, calcule a prestação semestral do financiamento.

A) R$ 1.614,00.B) R$ 2.540,00.C) R$ 3.210,00.D) R$ 3.176,00.E) R$ 3.827,00.

11. Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestações mensais e iguais de R$ 210,00. Obtenha o valor financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, considerando que o financiamento equivale a uma anuidade e que a primeira prestação vence um mês depois de efetuada a compra.

A) R$ 3.155,00. B) R$ 2.048,00. C) R$ 1.970,00. D) R$ 2.530,00. E) R$ 2.423,00.

12. Um empréstimo, no valor de R$ 90.000,00, deverá ser pago em quinze prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira trinta dias após a liberação do dinheiro, sem carência. Se o financiamento foi feito pelo sistema de amortização constante a uma taxa de juros compostos mensal de 6%, então o saldo devedor após o pagamento da décima quarta prestação será de:

A) R$ 42.000,00;B) R$ 24.000,00;C) R$ 6.000,00;D) R$ 84.000,00;E) R$ 14.000,00.

13. (BB) Um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 será devolvido em 3 prestações mensais iguais e seguidas de valor igual a R$ 416,35. O financiamento foi realizado com uma taxa de juros de 12% ao mês. Ao analisar os valores de cada parcela da operação de financiamento, calculando os valores dos juros, amortização e saldo devedor, vê-se que, para a segunda prestação, estes valores, em reais, são, respectivamente:

A) 67,54 - 348,81 - 388,59;B) 72,88 - 343,47 - 383,25;C) 77,24 - 339,11 - 378,89;D) 80,18 - 336,17 - 375,95;E) 84,44 - 331,91 - 371,74.

14. Certa Ferrari é vendida com 25% de entrada sobre o preço à vista de R$ 900.000,00 e 12 prestações

mensais, a primeira delas vencendo 4 meses após a efetivação da compra. Qual o valor das prestações, considerando uma taxa de financiamento de 2% ao mês?

A) 67.734,49. B) 65.743,94. C) 76.437,49. D) 67.347,49.E) 67.437,49.

Instruções: Para responder as duas questões seguintes Considere o enunciado abaixo.

Um industrial, pretendendo ampliar as instalações de sua empresa, solicita R$ 200,00 emprestados a um banco, que entrega a quantia no ato. Sabe-se que os juros serão pagos anualmente, á taxa de 10% a.a., e que o capital será amortizado em 4 parcelas anuais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC).

15. O valor de terceira prestação deverá ser

A) R$ 60 000,00B) R$ 65 000,00C) R$ 68 000,00D) R$ 70 000,00E) R$ 75 000,00

16. Os juros pagos por esse empréstimo deverão totalizar a quantia de.

A) R$ 40 000,00B) R$ 45 000,00C) R$ 50 000,00D) R$ 55 000,00E) R$ 60 000,00

Atenção: Nas questões de matemática você pode utilizar, quando necessário, a tabela abaixo, que fornece os valores do fator atual de uma série de pagamentos, à taxa de 3%.

n an

1 0,97092 1,91353 2,82864 3,71715 4,57976 5,41727 6,23038 7,01979 7,786110 8,5302

17. O preço à vista de um computador é R$ 2200,00. Ele pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 368,12 e o restante pago em 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar 30 dias da data de compra. Se, no financiamento, os juros são compostos à taxa de 3% ao mês, o valor de cada uma das prestações será

A) R$ 380,00B) R$ 390,00C) R$ 400,00D) R$ 410,00E) R$ 420,00

18. Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser

A) R$ 2950,00


B) R$ 3000,00C) R$ 3050,00D) R$ 3100,00E) R$ 3150,00

19. Uma dívida no valor de R$ 3600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de

A) R$ 2260,00B) R$ 1350,00C) R$ 1500,00D) R$ 1750,00E) R$ 1800,00

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08

A B D C D C B A

09 10 11 12 13 14 15 16

A B C C E A A C

17 18 19

C C E

ANOTAÇÕES

CONCURSO BNB – 2004ACEP – Associação Cearense de Estudos e Pesquisas

01. Uma família comprou uma geladeira nova, a prazo, em prestações iguais, com juros. Assinale a alternativa CORRETA.

A) para um mesmo valor de prestação, o valor presente das prestações diminui quando a taxa de juros aumenta.

B) no momento da compra, o valor presente da última prestação é igual ao valor presente da primeira prestação.

C) o valor das prestações será maior se for dado um sinal no momento da compra.

D) o valor das prestações não depende da taxa de juros.E) o valor das prestações não depende da quantidade de

parcelas.

02. A fábrica de sorvetes Graviola Ltda tem faturamento mensal de R$ 1.000,00 com despesas mensais de R$ 700,00. Investiu R$ 100,00 em uma campanha publicitária em 01/04/2003. Como conseqüência,

obteve aumento de faturamento de R$ 50,00 em 01/04/2003 e de R$ 200,00 em 01/05/2003. Qual a rentabilidade do investimento na campanha publicitária?

A) 300% ao mêsB) 400% ao mêsC) 200% ao mêsD) 100% ao mêsE) 300% ao bimestre

03. Em uma operação de desconto racional com antecipação de 5 meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de desconto foi 5% ao mês. Qual o valor de face desse título?

A) R$ 10.000,00B) R$ 10.666,67C) R$ 32.000,00D) R$ 40.000,00E) R$ 160.000,00

04. Como quitação de uma dívida, Paulo deveria pagar R$ 12.100,00 a seu irmão Matheus daqui a 2 meses. Por ter Paulo ganho ontem um prêmio de loteria, decidiu antecipar esta obrigação. Pagou hoje R$ 5.000,00 em dinheiro e o restante através de um cheque a ser cobrado daqui a um mês. Sendo a taxa de juros compostos 10 % ao mês, qual o valor que Matheus receberá ao cobrar o cheque?

A) R$ 5.000,00B) R$ 5.500,00C) R$ 5.591,00D) R$ 7.100,00E) R$ 7.810,00

05. Pedro aplicou R$ 1.000,00 em um banco que paga taxa efetiva de 21 % ao bimestre. A operação teria duração de dois meses. Um mês antes do resgate desta aplicação, Pedro precisava pagar R$ 1.500,00 a seu irmão Marcos. Pedro efetuou este pagamento através da transferência da aplicação para Marcos e mais uma parcela à vista em dinheiro. De quanto foi essa parcela?

A) R$ 290,00B) R$ 400,00C) R$ 500,00D) R$ 1.400,00E) R$ 1.290,00

06. Em 01/01/2003 um certo veículo, zero km, custava R$ 20.000,00 a vista. Em 01/01/2004 o mesmo modelo do veículo, também zero km, custa R$ 26.400,00. Tendo sido de 10 % a inflação do ano de 2003, pergunta-se qual foi o aumento real do veículo neste período.

A) 10,00 % no anoB) 20,00 % no anoC) 22,00 % no anoD) 30,00 % no anoE) 32,00 % no ano

07. Qual das alternativas abaixo, em relação ao Sistema de Prestações Constantes em pagamento de empréstimos, está CORRETA?

A) O saldo devedor tem comportamento linearmente decrescente.

B) Os juros pagos têm comportamento linearmente decrescente.

C) As amortizações têm comportamento crescente.D) Todas as amortizações têm o mesmo valor.E) As amortizações têm comportamento decrescente.

08. A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um período de 2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se a


rentabilidade real no período foi de 100 %, qual foi a inflação medida no mesmo período?

A) 100% ao períodoB) 200% ao períodoC) 300% ao períodoD) 400% ao períodoE) 500% ao período

09. Lílian tem dois pagamentos a realizar. O primeiro é de R$ 11.000,00 daqui a um mês e o segundo é de R$ 12.100,00 daqui a 2 meses. Lílian pretende juntar essas duas dívidas em uma só, com vencimento daqui a três meses. A taxa de juros corrente é de 10% ao mês. Qual o valor a ser pago?

A) R$ 23.100,00B) R$ 26.000,00C) R$ 30.746,10D) R$ 30.030,00E) R$ 26.620,00

10. Em uma loja, um certo computador está a venda por 10 parcelas mensais de R$ 300,00, sem entrada, podendo também ser pago em 5 parcelas bimestrais de R$ 615,00, sem entrada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja?

A) 3% ao mêsB) 4% ao mêsC) 5% ao mêsD) 6% ao mêsE) 7% ao mês

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

A A A B B B C C E C

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

Olá, amigos!

Estamos na reta final do nosso curso de matemática financeira, então vamos aproveitar para revisarmos todo o conteúdo através dos exercícios de revisão; eles apresentam diferentes graus de dificuldade e certamente irão contribuir para que possamos realizar uma excelente prova.

Gostaria de agradecer a todos pela atenção dispensada ao longo das aulas do curso de matemática financeira, e espero ter contribuído de alguma forma para o aprendizado de vocês.

Desejo sucesso no concurso e na vida a todos vocês. Mãos à obra e divirtam-se!

Prof. NILO CÉSAR

01. Uma pessoa depositou num fundo de investimento R$ 100,00 mensalmente, durante três meses. Seu capital,

no final do primeiro mês, foi acrescido de 10%, no final do segundo mês, acrescido de 15% e no final do terceiro mês, acrescido de 20%. No final dos três meses, seu capital acumulado foi de:

(A) R$; 345,00 (B) R$; 352,30 (C) R$; 409,80(D) R$; 420,50(E) R$; 435,00

02. A fração 13/40 é equivalente a:

(A) 0,0325%(B) 0,325%(C) 3,25%(D) 32,5%(E) 325%

03. O desconto que recebe uma duplicata de R$ 300,00, paga dois meses antes do vencimento, à taxa de 12% ao ano é de:

(A) R$ 3,00 (B) R$ 6,00(C) R$ 12,50(D) R$ 2,40(E) R$ 1,20

04. Qual é a taxa efetiva trimestral correspondente a juros de 30% ao trimestre com capitalização mensal?

(A) 30%(B) 31%(C) 32,5%(D) 32,8%(E) 33,1%

05. Uma loja vende um artigo e oferece duas opções de pagamento: à vista, por R$ 180,00, ou em dois pagamentos iguais de R$ 100,00 cada, sendo o primeiro no ato da compra e o segundo, um mês depois da compra. Qual é a taxa mensal dos juros cobrados de quem compra a prazo?

(A) 25%(B) 20%(C) 12,5%(D) 11,1%(E) 10%

06. Um investidor aplicou R$ 50000,00 em um banco pelo período de 180 dias, obtendo um rendimento de R$ 8250,00 na data de resgate da aplicação. Sabendo que a aplicação inicial foi feita pelo método de juros simples, a taxa equivalente anual (ano 360 dias) correspondente a essa aplicação, também em juros simples, foi de:

(A) 33,00%(B) 31,667%(C) 22,00%(D) 19,1667%(E) 9,1667%

07. Num mesmo dia uma mercadoria foi comprada por R$ 70,00, vendida por R$ 80,00, recomprada por R$ 90,00 e, finalmente vendida por R$ 100,00. No final dessa seqüência de compras e vendas, o dono dessa mercadoria:

(A) teve um lucro de R$ 10,00.(B) teve um prejuízo de R$ 10,00.


(C) teve um prejuízo de R$ 20,00.(D) teve um lucro de R$ 20,00.(E) não teve lucro nem prejuízo

08. A tabela abaixo apresenta um resumo das operações de um correntista em um determinado mês.

Dia do mês Operação Valor (em R$)1 Depósito 100,006 Saque 200,00

11 Saque 500,0021 Depósito 100,0026 Saque 200,00

O contrato com o banco prevê pagamento de juros simples, numa taxa de 12% ao mês, para cada dia que o correntista permanece com o saldo negativo, e este valor é cobrado no mês seguinte. Considerando que, no início do mês, o saldo era de R$ 500,00, e que o mês em questão tem exatos 30 dias, pode-se afirmar que o valor, em reais, a ser cobrado de juros no mês seguinte é:

(A) 4,00(B) 6,66 (C) 8,00(D) 12,00(E) 80,00

09. Um capital de R$ 3 200,00 foi aplicado a juros simples da seguinte forma:▪ 1/4 do total à taxa de 2% ao mês por 3 meses e meio;▪ 3/5 do total à taxa de 3% ao mês por 2 meses;▪ o restante à taxa de 3,5% ao mês.

Se o montante dessa aplicação foi R$ 3 413,20, então o prazo de aplicação da última parcela foi de

(A) 2 meses.(B) (B) 2 meses e 10 dias.(C) 2 meses e meio.(D) 2 meses e 20 dias.(E) 3 meses.

10. Aplicações financeiras podem ser feitas em períodos fracionários e inteiros em relação à taxa apresentada, tanto em regimes de capitalização simples quanto compostos. A partir de um mesmo capital inicial, é possível afirmar que o montante final obtido pelo regime composto em relação ao montante obtido pelo regime simples:

(A) é sempre maior.(B) é sempre menor.(C) nunca é igual.(D) nunca é menor.(E) pode ser é menor.

11. Uma aplicação foi feita considerando uma taxa de juros de 81,80% ao período. Considerando que a inflação nesse período foi de 1%, a taxa real de juros foi:

(A) 80,98%(B) 80,80%(C) 80,00%

(D) 73,62%(E) 70,00%

12. Uma aplicação foi feita considerando uma taxa de juros nominal de 120% ao ano, com capitalizações mensais. O período de aplicação foi de 2 meses, num regime de juros compostos. Um imposto de 10% é pago sobre os rendimentos obtidos. Neste cenário, é correto afirmar que a taxa efetiva ou líquida é de:

(A) 9,4% ao mês(B) 10% ao mês(C) 18% ao bimestre(D) 18,9% ao bimestre(E) 23,1% ao bimestre

13. Seja um título com valor nominal de R$ 4800,00, vencível em dois meses, que está sendo liquidado agora. Sendo de 10% am a taxa de desconto simples adotada, é correto afirmar que o desconto:

(A) comercial é de R$ 960,00(B) comercial é de R$ 480,00(C) comercial é de R$ 200,00(D) racional é de R$ 1008,00(E) racional é de R$ 480,00

14. Uma série de 10 prestações de R$ 100,00 pode ser usada para pagar o valor integral de um determinado produto. Sabendo que a taxa de juros para financiamento é 10% ao mês,pode-se afirmar que o preço justo para pagamento à vista é:

(A) maior do que R$ 1000,00.(B) R$ 1100,00.(C) entre R$ 1000,01 e R$ 1999,99. (D) R$ 1000,00.(E) menor do que R$ 1000,00.

15. Um débito de R$ 100,00 levou dois meses par ser quitado. Por ocasião da quitação, foram cobrados R$ 44,00 de juros. Considerando-se que foi utilizado o regime de juros compostos, qual a taxa de juros mensal aplicada?

(A) 44%(B) 22%(C) 20%(D) 0,22%(E) 0,20%

16. Considere um projeto de investimento com o seguinte fluxo anual de caixa, em reais:

Ano 0 - 15000,00Ano 1 1500,00Ano 2 19800,00

Pode-se afirmar que a taxa interna de retorno deste projeto, é:

(A) 1,41%(B) 10%(C) 20%(D) 30%(E) 40,67%


17. Um projeto de expansão de instalações de uma indústria que custava R$ 1.000.000,00 foi financiado em 20 prestações anuais,a uma taxa de 8% ao ano. Sabe-se que, se for utilizada a Tabela Price, cada umas das vinte prestações será igual a R$ 101.852,21. Comparando-se o Sistema Price com o Sistema de Amortização Constante (SAC) e com o Sistema de Amortização Mista (SAM), é correto afirmar que se fosse utilizado o:

(A) SAC, a prestação do primeiro ano seria menor.(B) SAC, a prestação do primeiro ano seria maior.(C) SAC, os juros no primeiro ano seriam nulos.(D) SAM, a prestação do primeiro ano seria menor.(E) SAM, os juros no primeiro ano seriam menores.

18. Um financiamento foi contratado, em uma determinada data, consistindo de pagamentos a uma taxa de juros positiva e ainda corrigidos pela taxa de inflação desde a data de realização do compromisso. O custo efetivo desta operação foi de 44% e o custo real efetivo de 12,5%. Tem-se, então, que taxa de inflação acumulada no período foi de

(A) 16%(B) 20%(C) 24%(D) 28%(E) 30%

19. Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa:

Ano Projeto X (R$)

Projeto Y (R$)

0 -D -40000,001 10800,00 16200,002 11664,00 17496,00

A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-se que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o desembolso D referente ao projeto X é igual a

(A) R$ 30000,00(B) R$ 40000,00(C) R$ 45000,00(D) R$ 50000,00(E) R$ 60000,00

20. Um capital foi aplicado a juros simples da seguinte maneira: metade à taxa de 1% ao mês por um bimestre, 1/5 à taxa de 2% ao mês por um trimestre e o restante à taxa de 3% ao mês durante um quadrimestre. O juro total arrecadado foi de R$ 580,00. O capital inicial era

(A) R$ 5 800,00(B) R$ 8 300,00(C) R$ 10 000,00(D) R$ 10 200,00(E) R$ 10 800,00

21. Um capital de R$ 5 000,00 foi aplicado por alguns meses a juros simples, à taxa mensal de 2%. Ao final desse prazo, o montante foi retirado e aplicado à taxa mensal de 1,5%, por um período de 6 meses a mais que o da primeira aplicação, produzindo juros simples no valor de R$ 810,00. Nessas condições, durante quantos meses esteve aplicado o capital inicial?

(A) 7 (B) 6

(C) 5 (D) 4 (E) 3

22. Um titulo, no valor nominal de R$ 24 000,00, foi resgatado antes do seu vencimento por R$ 22 380,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial simples era de 32,4% ao ano, o tempo de antecipação do resgate foi de

(A) 3 meses e 20 dias.(B) 3 meses e 15 dias.(C) 3 meses.(D) 2 meses e 20 dias.(E) 2 meses e 15 dias.

23. Uma empresa estuda a assinatura de um contrato de empréstimo e está preocupada com o sistema de amortização a ser adotado. A empresa não quer antecipar qualquer parcela, deseja pagar um valor fixo mensalmente e que os valores amortizados sejam crescentes. Qual dos sistemas de amortização contempla todas essas características?

(A) Sistema Americano.(B) Sistema Francês.(C) Sistema de Amortização Constante.(D) Sistema Alemão.

24. Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de seis meses enquanto o restante do capital foi aplicado à taxa de 3% ao mês, juros simples, no mesmo período de seis meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 8.229,14 ao fim do prazo.

(A) R$ 22.000,00(B) R$ 31.000,00(C) R$ 33.000,00(D) R$ 40.000,00(E) R$ 44.000,00

25. Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal.

(A) 2,595% ao mês.(B) 19,405% ao semestre.(C) 18% ao semestre.(D) 9,703% ao trimestre.(E) 5,825% ao bimestre.

26. Uma empresa especializada desconta um cheque no valor nominal de R$ 10.000,00 três meses antes do seu vencimento por meio de um desconto racional composto calculado à taxa de 4% ao mês. Calcule o valor mais próximo do valor do desconto.

(A) R$ 1.090,00(B) R$ 1.100,00(C) R$ 1.110,00(D) R$ 1.200,00(E) R$ 1.248,00

27. Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período da seguinte série de pagamentos,


cada um relativo ao fim de cada período, à taxa de juros compostos de 10% ao período.

Período 1 2 3 4Valor 3.000 2.000 2.000 2.000

Período 5 6 7 8Valor 1.000 1.000 1.000 1.000

(A) 11.700(B) 10.321(C) 10.094(D) 9.715(E) 9.414

28. Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 3,6% ao mês rende R$ 96,00 em 40 dias.

(A) R$ 2.000,00(B) R$ 2.100,00(C) R$ 2.120,00(D) R$ 2.400,00(E) R$ 2.420,00

29. Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de quinze meses usando a convenção linear.

(A) R$ 150.108,00(B) R$ 151.253,00(C) R$ 151.772,00(D) R$ 152.223,00(E) R$ 152.510,00

30. Desejo trocar uma anuidade de oito pagamentos mensais de R$ 1.000,00 vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês por outra anuidade equivalente de dezesseis pagamentos vencendo também o primeiro pagamento ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do valor do pagamento mensal da segunda anuidade considerando a taxa de juros compostos de 3% ao mês.

(A) R$ 500,00(B) R$ 535,00(C) R$ 542,00(D) R$ 559,00(E) R$ 588,00

31. Três capitais nos valores respectivos de 100, 250 e 150 são aplicados a juros simples no mesmo prazo às taxas de 3%, 4% e 2% ao mês, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais.

(A) 3,4%(B) 3,2%(C) 3,0%(D) 2,8%(E) 2,6%

32. Uma pessoa aplica um capital unitário recebendo a devolução por meio de uma anuidade formada por doze pagamentos semestrais, com o primeiro pagamento sendo recebido ao fim de seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre. Admitindo que ela consiga aplicar cada parcela recebida semestralmente a uma taxa de juros compostos de 12% ao semestre, qual o valor mais

próximo do montante que ela terá disponível ao fi m dos doze semestres?

(A) 2,44(B) 2,89(C) 3,25(D) 3,54(E) 3,89

33. Um indivíduo devia R$ 1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos.

(A) R$ 1.380,00(B) R$ 1.371,00(C) R$ 1.360,00(D) R$ 1.349,00(E) R$ 1.344,00

34. Considere três títulos de valores nominais iguais a R$ 5.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 2.000,00. Os prazos e as taxas de desconto bancário simples são, respectivamente, três meses a 6 % ao mês, quatro meses a 9 % ao mês e dois meses a 60 % ao ano. Desse modo, o valor mais próximo da taxa média mensal de desconto é igual a:

(A) 7 %(B) 6 %(C) 6,67 %(D) 7,5 %(E) 8 %

35. Uma pessoa contraiu uma dívida no regime de juros compostos que deverá ser quitada em três parcelas. Uma parcela de R$ 500,00 vencível no final do terceiro mês; outra de R$ 1.000,00 vencível no final do oitavo mês e a última, de R$ 600,00 vencível no final do décimo segundo mês. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final do sexto mês o cliente decidiu pagar a dívida em uma única parcela. Assim, desconsiderando os centavos, o valor equivalente a ser pago será igual a:

(A) R$ 2.535,00(B) R$ 2.100,00(C) R$ 2.153,00(D) R$ 1.957,00(E) R$ 1.933,00

36. Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ 30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$ 30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a:

(A) R$ 35.000,00(B) R$ 27.925,00(C) R$ 32.500,00(D) R$ 39.925,00(E) R$ 35.500,00

37. Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela de R$ 20.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, que deverá ser pago


oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2 % ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor da entrada deverá ser igual a:

(A) R$ 23.455,00(B) R$ 23.250,00(C) R$ 24.580,00(D) R$ 25.455,00(E) R$ 26.580,00

38. Ana comprou, no regime de juros compostos, um apartamento financiado a uma taxa de 2% ao mês. O apartamento deverá ser pago em 12 prestações mensais iguais a R$ 8.000,00, vencendo a primeira delas 30 dias após a compra. Após pagar a sétima prestação, Ana resolveu transferir o contrato de compra para Beatriz, que seguirá pagando as prestações restantes. Assim, para assumir a dívida de modo que nenhuma das duas seja prejudicada, Beatriz deverá pagar a Ana, sem considerar os centavos, o valor de:

(A) R$ 61.474,00(B) R$ 51.775,00(C) R$ 59.474,00(D) R$ 59.775,00(E) R$ 61.775,00

39. Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60 % ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a:

(A) 69 % e 60 %(B) 60 % e 60 %(C) 69 % e 79 %(D) 60 % e 69 %(E) 120 % e 60 %

40. Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ 50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos, será igual a:

(A) R$ 159.523,00(B) R$ 159.562,00(C) R$ 162.240,00(D) R$ 162.220,00(E) R$ 163.230,00

41. Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será

(A) 1200,00 (B) 1224,00(C) 1241,21 (D) 1368,03

(E) 2128,81

42. A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de divisores inteiros positivos de i é

(A) 4 (B) 5(C) 6 (D) 7(E) 8

43. A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto.

Período (anos) 0 1 2Valor (milhares de reais) -410 P P

Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser

(A) 216,5 (B) 217,5(C) 218,5 (D) 219,5(E) 220,5

44. Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será

(A) 50,00 (B) 52,00(C) 54,00 (D) 56,00(E) 58,00

45. Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais?

(A) 110,00 (B) 108,00(C) 106,00 (D) 104,00(E) 102,00

Julgue os itens seguintes.

46 Se um capital aplicado a juros simples durante seis meses à taxa mensal de 5% gera, nesse período, um montante de R$ 3.250,00, então o capital aplicado é menor que R$ 2.600,00.

47 Considere que a cesta básica tenha seu preço majorado a cada mês, de acordo com a inflação mensal. Se, em dois meses consecutivos, a inflação foi de 5% e 10%, então a cesta básica, nesse período, foi majorada em exatamente 15%.

48 Suponha que uma pessoa aplique R$ 2.000,00 por 2 meses a juros compostos com uma determinada taxa mensal e obtenha um rendimento igual a R$ 420,00, proveniente dos juros. Se essa pessoa aplicar o mesmo valor por 2 meses a juros simples com a mesma taxa


anterior, ela terá, no final desse período, um montante de R$ 2.400,00.

49 Se um funcionário recebia R$ 850,00 por mês e passou a receber R$ 952,00, então ele teve um aumento inferior a 13%.

Uma empresa analisa dois projetos de investimentos, independentes e excludentes, isto é, só poderá escolher um desses investimentos. Julgue os itens a seguir, relativos ao processo de decisão da empresa e aos conceitos da administração financeira.

50 O investimento que apresentar o maior valor presente líquido deverá ser preferido.

51 Para que o projeto seja considerado atraente, a taxa interna de retorno exigida para cada investimento deve ser sempre inferior à inflação.

52 Quando o projeto atinge o ponto de equilíbrio, isso significa que seu retorno é, no mínimo, igual a seus custos fixos.

53 Custos fixos são iguais a zero sempre que uma empresa pára de produzir.

Dois capitais foram aplicados na mesma data. O capital A, no valor de R$ 2.400,00, foi aplicado a uma taxa mensal de juros simples de 15% a.m. por 10 meses. O capital B, no valor de R$ 2.000,00, foi aplicado a uma taxa mensal de juros simples de 10% a.m. durante certo período.

Considerando essas informações, julgue os itens seguintes.

54 Os juros obtidos com a aplicação do capital A foram superiores a R$ 3.500,00.

55 Se o capital B também for aplicado por 10 meses, então o montante resultante da aplicação desse capital será igual à metade do montante obtido com o capital A.

56 Para que o capital B gere um montante igual ao do capital A, ele deve ficar aplicado por um período superior a 18 meses.

Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado por determinado prazo no regime de capitalização composta. Com base nessa informação, julgue o item abaixo.

57 Se a taxa anual de juros compostos for de 10% a.a., então o montante gerado por esse capital em dois anos será superior a R$ 2.500,00.

58 Considere-se que um computador, cujo preço à vista é de R$ 3.600,00, seja vendido em 12 prestações mensais e iguais, com a primeira prestação devendo ser paga em um mês após a compra; e que os juros sejam de 6% ao mês. Nesse caso, o valor V da prestação, em reais, pode ser obtido calculando-se a seguinte expressão:

Considere que determinada concessionária de veículos ofereça, além do pagamento à vista, vários planos de financiamento, à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês. Com base nessas informações e considerando 1,2

como valor aproximado para (1,015)12, julgue os itens seguintes.

59 Caso um indivíduo disponha de R$ 15.000,00 e, em vez de comprar um veículo, ele invista seu dinheiro em uma instituição financeira que pague 1,5% ao mês de juros compostos, em 24 meses ela obterá um montante superior a R$ 23.000,00.

60 Suponha que o valor correspondente ao preço à vista de um veículo seja investido em uma instituição financeira que paga juros compostos de 1,5% ao mês, e que ao final de 36 meses o montante obtido seja de R$ 51.000,00. Nesse caso, o preço à vista desse veículo é inferior a R$ 32.000,00.

61 A taxa de juros praticada por essa concessionária é equivalente à taxa de 20% ao ano.

62 Considere que um comprador tenha optado por fazer um financiamento dando uma entrada de R$ 20.000,00 e mais 12 prestações mensais, consecutivas e iguais, de R$ 3.000,00, com a primeira prestação vencendo um mês após a compra. Nesse caso, o montante dessa série de pagamentos, logo após efetuar a quitação da última prestação, será superior a R$ 70.000,00.

63 Suponha que um indivíduo tenha optado por financiar a compra de um veículo em 12 prestações mensais, consecutivas e iguais, de R$ 6.000,00, com a primeira vencendo um mês após a compra. Nessa situação, o preço do veículo à vista era inferior a R$ 70.000,00.

64 Suponha que a concessionária ofereça um plano de pagamento com base no sistema de amortização constante (SAC), em 12 parcelas mensais e consecutivas, com a primeira vencendo um mês após a compra, à taxa de juros mensais de 1,5%. Se o valor dos juros correspondente à 1.ª parcela é igual a R$ 360,00, então o total de juros pagos ao se financiar um veículo nessa concessionária, com base nesse plano, é inferior a R$ 2.500,00.

65 Considere o financiamento de um veículo em 12 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 4.500,00, com a primeira prestação sendo paga no ato da compra e as demais, uma a cada 30 dias. Nesse caso, o preço à vista do veículo é inferior a R$ 48.000,00.

66. Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a:

(A) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês(B) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao mês(C) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao ano(D) R$ 400.000,00 e 60 % ao ano(E) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao mês

67. No dia 10 de setembro, Ana adquiriu um imóvel financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ 20.000,00. A primeira parcela vence no dia 10 de novembro do mesmo ano e as demais no dia 10 dos meses subseqüentes. A taxa de juros compostos contratada foi de 60,1032% ao ano. Assim, o valor financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os centavos, foi de:

(A) R$ 155.978,00(B) R$ 155.897,00(C) R$ 162.217,00


(D) R$ 189.250,00(E) R$ 178.150,00

68. (BNB/2006 – Analista/MA) A tabela abaixo, apresentando algumas células sem valores numéricos, refere-se a um empréstimo bancário de R$ 12.000,00 entregue no ato da assinatura do contrato, à taxa nominal 12% ao ano; para pagamento em 6 meses sem carência pelo Sistema Price.

Com relação a essa situação, julgue os itens a seguir:

I. Imediatamente após o pagamento da segunda prestação, o saldo devedor será inferior a R$ 8.100,00.

II. O valor da quinta prestação será superior a R$ 2.100,00.

III. O valor correspondente aos juros pagos na sexta prestação será inferior a R$ 30,00.

Assinale a opção correta de resposta.

(A) Os itens I e III estão certos.(B) Os itens I e II estão certos.(C) Os itens II e III estão certos.(D) Apenas o item II está certo.(E) Todos os itens estão certos.

69. Determinada quantia é investida à taxa de juros compostos de 40% a.a., capitalizada trimestralmente. Para que tal quantia tenha um aumento de 200%, deve-se esperar:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

70. Dois capitais estão na razão 2 para 3, e são aplicados a uma taxa de juros compostos de 10% e 8% a.m., respectivamente. Qual das alternativas fará com que o valor acumulado da primeira aplicação passe a ser maior do que o capital acumulado da segunda? Considere: log 1,10 = 0,0414; log 1,08 = 0,0334; log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771.

(A) 19 meses(B) 20 meses(C) 21 meses(D) 22 meses(E) 23 meses

GABARITO01 02 03 04 05 06 07 08 09 10C D B E A A D C C E11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C D A E C C B D A C21 22 23 24 25 26 27 28 29 30D E B E B C E A C D31 32 33 34 35 36 37 38 39 40B D A A E D B C C A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50D A E D E C E C C C51 52 53 54 55 56 57 58 59 60E C E C E C E C E C

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70C E C C E B A A B E

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