Apostila Matematica Financeira Final

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Matemática Financeira Curso de Administração a Distância – UAB/UFMT

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Matemática Financeira

Curso de Administração a Distância – UAB/UFMT

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Autor

Prof. Aldo Nobuyuki Nakao

Matemática Financeira

Cuiabá-MT 2010

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Iniciando a Viagem...

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Sumário

APRESENTAÇÃO ...................................................................................................................... 9

INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 10

UNIDADE I - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ...................................................................... 15

1.1 JUROS SIMPLES .................................................................................................................. 17

1.2 VALOR FUTURO OU MONTANTE ................................................................................ 25

1.3 DESCONTO SIMPLES ........................................................................................................ 29

1.3.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL OU “POR FORA” .......................................... 30

1.3.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO” ....................................... 35

UNIDADE II - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA .............................................................. 41

2.1 CÁLCULO DO VALOR FUTURO .................................................................................... 43

2.1.1 CALCULADORA HP 12-C ............................................................................................. 47

2.1.2 TAXAS EQUIVALENTES ............................................................................................... 61

2.2 DESCONTOS COMPOSTOS ............................................................................................. 67

2.3 FLUXO DE CAIXA .............................................................................................................. 69

UNIDADE III - SÉRIES UNIFORMES ................................................................................ 79

3.1 VALOR ATUAL DE SÉRIES POSTECIPADAS/ RENDAS IMEDIATAS .................. 81

3.2 SÉRIES ANTECIPADAS/RENDAS ANTECIPADAS ................................................... 96

3.3 MONTANTE DE SÉRIES POSTECIPADAS .................................................................... 99

UNIDADE IV AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDA ................................................................. 105

4.1 SISTEMA DO MONTANTE OU BULLET (SILVA 2008 P. 108) ................................. 107

4.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAM OU SAA) .............................. 109

4.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE “FRANCÊS”. ................................................ 110

4.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC). ............................................... 112

UNIDADE V – ANÁLISE DE INVESTIMENTOS .......................................................... 117

4.1 PAYBACK .......................................................................................................................... 120

4.2 TAXA INTERNA DE RETORNO ................................................................................... 122

4.3 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) ............................................................................ 125

CONCLUSÃO ......................................................................................................................... 129

REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 130

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Apresentação

Prezado (a) estudante do curso de Administração,

É com grande satisfação que apresentamos a você a Disciplina Matemática

Financeira, uma indispensável ferramenta para o profissional de administração.

Partiremos do pressuposto de que a matemática financeira faz parte daqueles

conhecimentos que só se adquirem com a prática, em que não é suficiente apenas

entender o conceito, mas necessário ser capaz de aplicá-lo. O objetivo deste

fascículo é capacitar e desenvolver habilidades, tais como: conceitos que regem a

matemática financeira, juros simples e compostos, séries uniformes, equivalência

de taxas, descontos, métodos para avaliação de alternativas de investimentos e a

utilização da calculadora HP- 12C, de forma simples e descomplicada,

apresentando os conceitos fundamentais da matemática financeira, de forma

objetiva e clara, por meio da associação dos exercícios com a prática do cotidiano.

A disciplina foi organizada com o intuito de capacitar os participantes a

fazer cálculos financeiros apropriados às diversas transações, sejam elas

comerciais ou bancárias, de forma dinâmica e prática, ajudando a aumentar ainda

mais sua competência na gestão patrimonial.

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Introdução

Você emprestaria dinheiro sem cobrar nada? Se você atrasar o pagamento de um

título, o valor para quitá-lo seria o mesmo? Será que daqui a dez anos um pacote de arroz

de cinco quilos custará em média R$ 8,00? Você se lembra qual o preço de um tênis há

doze anos atrás?

Note que em todos os questionamentos deste genêro existem sempre duas

viariáveis fundamentais: valor e tempo. Dois principais fatores podem ser citados, para

que possamos entender as possíveis respostas: o primeiro é o Capital Escasso, pois

ninguém empresta dinheiro “de graça”, por isso que a taxa de aplicação financeira é

diferente da taxa de empréstimo diferença chamada de “SPREAD bancário”; e o segundo

é o Ambiente Inflacionário, historicamente vivemos em um país inflacionário.

Considere um exemplo simples: se, no início deste ano, precisássemos de cem reais

para comprar dez pacotes de arroz e, ao final do ano, necessitaremos de cento e dez reais

para comprá-lo novamente, poderíamos concluir que os cem reais pagos no início do ano,

bem como os cento e dez reais pagos ao final do mesmo ano, expressam o mesmo poder

de compra. Dizemos, então, que inflação é a correção do dinheiro ao longo do tempo.

Se não houvesse essas duas variáveis, os valores ao longo do tempo jamais se

alterariam, o que não ocorre em quaquer mercado financeiro.

Neste contexto, a matemática financeira é o estudo do capital ao longo do tempo,

ou seja, tem como objetivo capitalizar e descapitalizar valores. Quando falamos em

matemática financeira, pensamos, instintivamente, na figura dos juros, que, por sua vez,

podem ser defindo como:

JUROS

O ganho, rendimento ou compensação pelo uso do capital

financeiro em um determinado tempo a uma dada taxa.

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Notações gerais

TEMPO (n)

Seja (n) o número de períodos de capitalização de juros que podem ser

expressos em dias, meses, trimestres, semestres, anos etc. Dessa forma, temos:

De um modo geral, o mercado trabalha com o ano comercial, ou seja, 360

(trezentos e sessenta) dias, considerando todos os meses com 30 dias. Em alguns

casos de cálculos exatos, adotar-se-á o ano civil com 365 (trezentos e sessenta e

cinco) dias.

TAXA (i)

A taxa de juros é o índice que remunera o capital, dessa forma, seja (i) a taxa

de juros por período de capitalização (%), poderá ser descrita sob duas formas:

“n = 0”, como data atual (hoje) ou início do 1º período; e, “n = 1” o final do 1º período.

A Centesimal (usual) 10% a.a. (dez por cento ao ano); 5% a.m. (cinco por cento ao

mês); e, 0,5% a.d. (meio por cento ao dia) Ou A Decimal ou Unitária, é a forma

centesimal dividida por 100. 0,1 a.a. (dez por cento ao ano); 0,05 a.m. (cinco por cento

ao mês); e, 0,005 a.d. (meio por cento ao dia), (Note que agora o símbolo % desaparece).

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FORMAS DE DESCREVER UMA MESMA TAXA DE JUROS

Unidade

Forma Centesimal

Forma Unitária

Ao dia 0,5% a.d. 0,005 a.d.

Ao mês 2,5% a.m. 0,025 a.m.

Ao bimestre 8% a.b. 0,08 a.b.

Ao trimestre 10,5% a.t. 0,105 a.t.

Ao quadrimestre 12% a.q. 0,12 a.q.

Ao semestre 30% a.s. 0,3 a.s.

Ao ano 120% a.a. 1,2 a.a.

TODA TAXA DE JURO DEVE TER UMA UNIDADE:

ao dia, ao mês, ao ano etc.

Em qualquer operação, a taxa e o tempo sempre devem estar na mesma

unidade, por exemplo: taxa ao ano, tempo em anos; taxa ao mês, tempo em meses;

taxa trimestral, tempo em trimestres, e assim sucessivamente. No regime de

capitalização simples, as taxas de 5% a.m., 10% a.b., 15% a.t., 20% a.q., 30% a.s. e

60% a.a. são taxas proporcionais, pois todas têm pesos iguais, o que, no regime de

capitalização composta, não é aplicado.

CAPITAL (PV)

Vem da palavra italiana "capitale" e representa o dinheiro que se empresta

ou que se pede emprestado. É também conhecido por “principal” ou Valor

presente. Seja PV = capital, temos:

PV : Present Value = Valor Presente = valor do Capital Inicial

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MONTANTE (FV)

Montante é um termo matemático que traduz a soma de uma operação ou

importância total de um valor. Na matemática financeira representa a soma do

capital inicial e os juros acrescidos. Seja FV = montante, temos:

FV : Future Value = Valor Futuro = Valor acumulado ao final de n períodos

de capitalização, à taxa de juros i.

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UNIDADE 1

Ao final dessa unidade, o aluno deverá ser capaz de:

o Entender os fundamentos dos juros imples

o Calcular o valor futuro ou montante

o Analisar os fatores relacionados aos descontos na

capitalização

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1.000,00 1.100,00

1.200,00 1.300,00

1.400,00 1.500,00

1.600,00 1.700,00

1.800,00 1.900,00

2.000,00

0

500

1000

1500

2000

2500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Capital

MesesCapitalização Simples

J1 = J2 = J3 = J4 = J5 = J6 = J7 = J8 = J9 = J1 0 = 100 ,00

1.1 Juros Simples

No caso do regime de capitalização simples, o cálculo dos Juros é feito

apenas sobre o Principal. Neste caso os juros serão sempre constantes, pois são

calculados sobre a mesma base de cálculo (capital inicial ou Valor Presente).

Assim, não há anatocismo, ou seja, acúmulo de juros ao capital para o cálculo dos

novos juros dos períodos seguintes, por isso, dizemos que o crescimento do capital

é linear, conforme ilustrado na figura 1.

Figura 1- Capitalização Simples de um Capital Inicial

De $1.000,00 a 10% ao mês por 10 meses.

Período Juros Saldo Final

Tempo 0 --o-- 1.000,00

Final 1º mês 100,00 1.100,00

Final 2º mês 100,00 1.200,00

Final 3º mês 100,00 1.300,00

Final 4º mês 100,00 1.400,00

Final 5º mês 100,00 1.500,00

Final 6º mês 100,00 1.600,00

Final 7º mês 100,00 1.700,00

Final 8º mês 100,00 1.800,00

Final 9º mês 100,00 1.900,00

Final 10º mês 100,00 2.000,00

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Observe que todos os períodos, neste caso, em meses, há juros de cem reais,

decorrente do uso do capital inicial. Para todos os períodos de dez meses, os juros

se mantêm constantes, pois a base de cálculo, qual seja um mil reais é sempre o

capital inicial.

Considere:

Perceba que, para haver juros, é preciso existir no mínimo três elementos,

quais sejam: Valor Presente, aplicado a um período de tempo sob uma

determinada taxa. O resultado dos juros é diretamente proporcional a cada um

destes elementos. Assim temos:

Note que a taxa é utilizada da forma unitária (10/100) e expressa em uma

unidade devidamente compatível com o tempo.

Considerando sempre estas quatro variáveis: Juros (J), Valor Presente (PV),

Taxa (i) e Tempo (n), perceba que, se você possuir pelo menos três delas, qualquer

outra poderá ser facilmente encontrada. Agora observe:

J = PV x i x n PV = J _ i x n

i = J _ PV x n

n = J _ PV x i

J = Juros

PV = Valor Presente;

n = tempo ou período; e,

i = taxa de juros;

J = PV x i x n

Os Juros são resultantes do produto do Valor Presente (PV) da taxa (i) e do tempo (n).

No exemplo temos: J = 1.000 x 0,1 x 10 = 1.000,00.

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Não é necessário memorizar todas as fórmulas acima descritas, observe

apenas que, isolando qualquer variável, por meio de regras matemáticas, as outras

passarão com operação inversa para o outro lado da igualdade.

A esta altura, você já deve estar se perguntando o porquê de se utilizarem

os símbolos (PV), (i), (n) e (FV) e não símbolos que seriam mais usuais como (C)

para designação de capital ou (t) para representar a variável tempo. Estes símbolos

são mundialmente conhecidos e convencionalmente utilizados na matemática

financeira e, por isso, é muito importante a sua familiarização com eles,

principalmente porque esta é a simbologia adotada pelas calculadoras financeiras.

1) Quais os juros de um capital de R$ 185.000,00 aplicado a 6,5% ao mês durante

doze meses? (VERAS: 2005. pg. 65)

2) Qual o Valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 100.000,00

pelo prazo de quinze meses, sabendo-se que a taxa corada é de 3% ao mês?

(VIEIRA SOBRINHO: 1986, pg. 19)

ATIVIDADES

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3) Um capital de R$ 80.000 é aplicado à taxa de 2,5 ao mês durante um

trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.

(ASSAF NETO: 2001, pg. 23)

4) Qual o capital que aplicado à taxa de juros simples de 5% ao mês produz

juros de R$ 330,00 em três meses? (LOCIKS: 2005. pg. 55)

5) Que capital aplicado a juros simples de 1,2% ao mês rende R$ 3.500,00 de

juros em 75 dias? (KUHNER: 2001, pg. 43)

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6) Se um capital de R$ 2.000,00 rendeu R$ 300,00 de juros ao fim de dois

meses, então a taxa de juros para este período será de? (LOCIKS: 2005. pg. 44)

7) uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um

rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-se: qual a taxa anual correspondente a essa

aplicação? (VIEIRA SOBRINHO: 1986, pg. 19)

8) Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 ficou aplicado a 25% ao

trimestre para render R$ 1.750,00 de juros? (VERAS: 2005. pg. 66)

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9) Sabendo que os juros de R$ 120.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$

150.000,00 a taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. (VIEIRA

SOBRINHO: 1986, pg. 20)

10) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples

de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$

270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determine o valor do

empréstimo. (ASSAF NETO: 2001, pg. 23)

11) Uma Geladeira é vendida a vista por R$ 1.500,00 ou então a prazo com $

400,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.200,00 após quatro meses. Qual a taxa

mensal de juros simples do financiamento? (HAZZAN & POMPEO: 2007. pg. 14)

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12) Bruno, dispondo de R$ 3.000,00 resolve aplicá-los em dois bancos. No

primeiro, aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% ao mês, por seis meses, e

no segundo, aplicou o restante também a juros simples, por oito meses, à taxa de

10% ao mês. Quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que o total de juros

auferidos foi de R$ 1.824,00? (HAZZAN & POMPEO & POMPEO p. 16 ex. 22)

13) Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas

aplicações no mercado financeiro. Para tanto, aplica 60% do seu capital numa

alternativa de investimento que paga 34,2%, ao ano, de juros simples, pelo prazo

de 60 dias. A outra parte é investida numa conta de poupança por 30 dias, sendo

remunerada pela taxa linear de 3,1% ao mês. O total dos rendimentos auferidos

pelo aplicador atinge R$1.562,40. Pede-se calcular o valor de todo o capital

investido. (Assaf Neto 2001: p. 40)

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14) Um capital foi dividido em duas partes, sendo que 40% foram aplicados há

6 meses, e a segunda parte por 5 meses. Sabendo-se que ambas as parte foram

empregadas a mesma taxa simples de juros de 42% ao ano e que a segunda parte

produziu R$ 252,00 a mais de juros, pede-se:

a. O valor dos capitais;

b. O valor dos juros.

15) Dois capitais foram colocados a juros na mesma taxa. O primeiro produziu

R$ 1062,50 de juros em 1 ano e 5 meses. O segundo rendeu R$ 700,00 em 8 meses.

Sabendo que o segundo capital excede em 2000,00 o primeiro. Pede-se: calcular a

taxa de juros e os dois capitais.

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FV = PV (1+ i x n)

1.2 Valor Futuro ou Montante

Se houver uma aplicação financeira, depois de dez meses quanto retiraria o

seu aplicador?

A resposta é simples: como já vimos seria o montante (FV) representa o

investimento inicial (PV) mais os juros recebidos (J), que neste caso,

coincidentemente são valores iguais, então ele sacaria dois mil reais, veja:

Colocando PV em evidência, temos: FV = PV (1 + i x n).

No exemplo, temos: FV = PV (1 + i x n), logo:

Resumindo, temos a fórmula do montante simples como:

Quando for preciso isolar as variáveis (i) taxa ou (n) tempo, será dado o

(FV) Montante e o (PV) Capital, cuja diferença é o (J) juro. Assim, ficará mais fácil

usar a fórmula dos juros.

PV + J = FV, ou montante. Se: FV = PV + J, então, FV = PV + PV x i x n.

PV = __FV_

(1 + i x n)

FV = 1.000 (1 + 0,1 x 10), então FV = 1.000 x 2, logo FV = 2.000,00.

PV = 1.000,00, n = 10 meses e i = 10% ao mês, 0,1 a.m.

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1) Qual o montante de um capital de R$ 600,00 à taxa de 18% ao ano, durante oito

meses. (FRANCISCO: 1991. pg. 13)

2) Uma Pessoa Aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante oito meses.

Determine o valor acumulado ao final deste período. (ASSAF NETO: 2001, pg. 25)

3) Sabendo-se que certo capital aplicado durante dez semestres a taxa de 36% ao ano

rende R$ 72.000,00 de juros, determine o montante. (VIEIRA SOBRINHO: 1986, pg. 21)

ATIVIDADES

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4) Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante três anos, à taxa de

12% ao ano. Obtenha o montante. (HAZZAN & POMPEO: 2007. pg. 11)

5) Dois capitais, um de R$ 200.000,00 e outro de 222.857,00 foram aplicados em uma

mesma data a juros simples, sendo o primeiro a taxa de 168% ao ano e o segundo a taxa

de 120% ao ano. Qual o prazo para que os montantes se igualem. (HAZZAN & POMPEO:

2007. pg. 15)

6) Uma Pessoa deve dois títulos no valor de R$ 25.000,00 e R$ 56.000,00 cada. O

primeiro título vence de hoje a dois meses e o segundo um mês após. O devedor deseja

propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do quinto

mês. Considerando 3% ao mês à taxa corrente de juros simples, determine o valor deste

pagamento único. (ASSAF NETO: 2001, pg. 35)

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7) Ao comprar um ar condicionado cujo preço a vista era de R$ 1.000,00, o líder da sala

deu 10% de entrada e concordou em pagar o restante no período de 1,5 anos. Sabendo-se

que a empresa irá cobrar juros simples pelo financiamento e que, nos primeiros 12 meses,

a taxa cobrada será de 15% ao ano e, no restante, será cobrada uma taxa de juros de 36%

ao ano. Pergunta-se:

a. Qual o valor que ele necessitará para quitar a dívida com pagamento único no final

de 1,5 anos?

b. Se o líder pagar R$ 500,00 após 1 ano, além da entrada, qual seria o valor que ele

necessitará para quitar a dívida no final de 1,5 anos?

8) Qual a taxa mensal de juros necessária para que os capitais de R$ 700,00 aplicados

por 5 meses e R$ 500,00 aplicados por 15 meses produzirão um montante igual? Admitir

que ambos fossem investidos na mesma taxa.

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1.3 Desconto Simples

Toda vez que houver um Valor Futuro (FV) e você desejar antecipar esse

valor, usar-se-á o desconto. Nesta situação existirá o fenômeno da

descapitalização.

As operações de capitalização simples caracterizam-se pelo fato de terem

sempre uma mesma base de cálculo, assim os juros e descontos são lineares e,

consequentemente, constantes. O desconto simples pode ser calculado de duas

formas distintas:

Veja o exemplo:

Supondo que, no mês de 01/2.00X, o comprador fosse a uma empresa de

eletrodoméstico e comprasse uma mercadoria por mil reais, para pagar seis meses

após a data da compra, ou seja, 07/2.00X. É comum que o comprador assine um

determinado documento, que pode ser uma nota promissória, um cheque pré-

datado etc. que comprove a o valor da dívida e a data da promessa de pagamento.

Supondo que, no mês 04/2.00X, entrasse um dinheiro extra que poderia ser

destinado ao pagamento do compromisso assumido no passado. Será que se esse

comprador fosse imediatamente até a loja ele pagaria os mesmos mil reais que iria

vencer ainda três meses mais tarde?

Com certeza, exceto raras exceções, o comprador exigiria alguma vantagem

pela antecipação do pagamento. A essa vantagem damos o nome de desconto. O

valor a ser pago é o valor presente (PV), valor atual, ou ainda valor descontado,

que é o valor futuro, valor nominal, ou valor de face, menos o desconto.

O desconto tem que ser proporcional ao tempo de antecipação e à taxa de

desconto definida pela empresa. Supondo uma taxa de desconto hipotética seja de

Desconto simples comercial ou “por fora” e

Desconto simples racional ou “por dentro”.

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dez por cento ao mês, então qual seria o valor com o qual o comprador quitaria

sua dívida? Se você encontrou como resposta setecentos reais é porque utilizou a

forma do desconto simples comercial ou “por fora”.

1.3.1 Desconto Simples Comercial ou “por fora”

O Desconto Simples Comercial (d) tem como base de cálculo o valor futuro

ou valor nominal do título (sinônimo). Veja o exemplo citado:

Data no futuro Data do passado Data no presente

Antecipação do pagamento

Vantagem = desconto (d)

Considerando a principal característica do desconto simples comercial , temos:

Percebeu? É a mesma fórmula dos juros simples, apenas substituindo-se a base de cálculo

que ao invés do (PV) é o (FV). d = 1.000 x 0,1 x 3, logo: d = 300,00.

1.000,00 Um mil reais –o—o—o—o—o—o

Vencimento 07/2.00X

________________ Assinatura do Comprador

Compra 01/2.00X

Data atual 04/2.00X

d = FV x i x

Sabendo que o Valor nominal do título (FV) = 1.000,00; Tempo de antecipação (n)

= 3 meses; Taxa oferecida para antecipação do título i = 10% a.m. Qual é o

desconto simples comercial? (d) = ?

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Se o desconto é uma vantagem que obterá o comprador, então ele pagará o

Valor Futuro (FV) menos o desconto (d), que é chamado de Valor Presente (PV).

Neste caso, temos:

O desconto simples comercial é uma operação muito usada nas instituições

financeiras que operam com desconto de duplicatas. Muitas indústrias e empresas

comerciais que oferecem prazo longo ao cliente geram déficit no fluxo de caixa, ou

seja, não têm capital de giro, mas possuem direitos a receber de seus clientes

como: duplicatas e notas promissórias a receber. As instituições financeiras no

intuito de fomentar esta empresa compram estes direitos, liberando o dinheiro

(PV) e cobrando o desconto (d), acrescido de impostos e taxas administrativas.

1) Qual o valor do desconto “por fora” de um título de R$ 2.000,00 com

vencimento para noventa dias a taxa de 2,5% ao mês? (VIEIRA SOBRINHO: 1986,

pg. 39)

PV = FV – d ↔ PV = FV - FV x i x n ↔ PV = FV (1 – i x n)

ATIVIDADES

PV = FV x (1 – i x n)

PV = 1.000 (1 – 0,1 x 3)

PV = 1.000 x 0,7 = 700,00

PV = FV – d

PV = 1.000 – 300 ↔ PV = 700,00.

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2) Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada em um banco dois meses

antes do vencimento a um a taxa de desconto comercial de 2,5% ao mês.

(HAZZAN & POMPEO: 2007. pg. 26)

a) Obtenha o desconto;

b) Obtenha o valor líquido recebido pela empresa.

3) Um empresário descontou uma duplicata com valor nominal de

R$ 12.000,00 com vencimento em cinco meses. Determine a taxa mensal de

desconto comercial simples, sabendo-se que o desconto aplicado foi de R$

2.400,00. (SILVA: 2008. pg. 59)

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4) Determinar a taxa de desconto “por fora” de um título negociado 60 dias

antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 26.000,00 e valor

atual na data do desconto de R$ 24.436,10. (ASSAF NETO: 2001, pg. 84)

5) Uma pessoa tinha dois títulos de mesmo valor nominal e vencíveis na

mesma data. Precisou de dinheiro e descontou um deles 27 dias antes do

vencimento e recebeu R$ 216.200,00. Está novamente precisando de dinheiro e

pensa em descontar o outro, agora que faltam 12 dias para o vencimento. Quanto

receberá se a taxa for a mesma, isto é, 0,5% ao mês de desconto comercial simples?

(VERAS: 2005. pg. 86)

Page 34: Apostila Matematica Financeira Final

34

6) (PUCCINI: 2004, pg. 38) Uma empresa deseja descontar títulos em um

banco comercial que opera com uma taxa de desconto comercial de 1% ao mês,

juros simples. O primeiro título tem um valor de R$ 10.000,00 e vencimento no

prazo de 90 dias. O segundo título tem um valor de R$ 10.000,00 e vencimento no

prazo de 180 dias. Determine o valor a ser creditado pelo banco na conta desta

empresa, pelo desconto destes títulos.

7) (ASSAF NETO: 2001, pg. 86) Uma duplicata de valor nominal de R$

60.000,00 é descontada num banco dois meses antes de seu vencimento. Sendo de

2,8% ao mês a taxa de desconto usado na operação, calcular o desconto e o valor

descontado. Sabe-se ainda que o banco cobra 1,5% sobre o valor nominal do título,

descontados integralmente no momento da liberação dos recursos, como despesa

administrativa.

Page 35: Apostila Matematica Financeira Final

35

8) Considerando a antecipação das duplicatas por um empresário em um

banco, relacionadas abaixo, utilizando o desconto simples comercial, taxa de 4%

ao mês, calcule:

a) O valor total dos descontos R___________

b) O valor líquido recebido pelo cliente R___________

Valor da

duplicata

Tempo de

antecipação Desconto Valor líquido

2.500,00 45 dias

300,00 3 meses

10.000,00 20 dias

1.3.2 Desconto Simples Racional ou “por dentro”

O Desconto Simples Racional (d’) (O apóstrofe que na matemática é

chamado de “linha” representa apenas a diferenciação do desconto comercial,

representado por d comum) tem como principal característica adotar como base de

cálculo o valor presente ou valor atual do título. Veja o mesmo exemplo citado,

mas, agora, mudando a forma de calcular a operação: Data no futuro Data do passado Data no presente

Antecipação do pagamento

Vantagem = desconto (d’)

1.000,00 Um mil reais –o—o—o—o—o—o

Vencimento 07/2.00X

________________ Assinatura do Comprador

Compra 01/2.00X

Data atual 04/2.00X

Page 36: Apostila Matematica Financeira Final

36

Considerando a principal característica do desconto simples racional, temos:

Seja o Valor nominal do título (FV) = 1.000,00 ↔ Tempo de antecipação (n) = 3

meses ↔ Taxa oferecida para antecipação do título ↔ (i) = 10% a.m. Qual o

desconto simples racional? (d’) = ?

d’ = PV’ x i x n, só que neste caso o PV’ = FV - d’, então: d’ = (FV – d’) x i x n

d’ = FV x i x n – d’ x i x n

d’ + d’ x i x n = FV x i x n

d’ x (1 + i x n) = FV x i x n

d’ = FV x i x n

1 + i x n

d’ = FV x i x n

1 + i x n

d’ = 1.000 x 0,1 x 3 = 300 = 230,77

1 + 0,1 x 3 1,3

Sabendo-se que, sempre PV’ = FV - d’ ↔ PV’ = FV - d’

PV’ = FV - FV x i x n

1 + i x n

Page 37: Apostila Matematica Financeira Final

37

Tirando o mínimo múltiplo comum, temos:

PV’ = FV (1 + i x n) – FV x i x n

1 + i x n

PV’ = FV + FV x i x n – FV x i x n

1 + i x n

PV’ = ___FV___

1 + i x n

Do exemplo, temos:

PV’ = FV – d’

PV’ = 1.000 – 230,77 = 769,23 ou

PV’ = __ FV_ _

1 + i x n

PV’ = 1.000 = 1.000 = 769,23

1 + 0,1 x 3 1,3

Page 38: Apostila Matematica Financeira Final

38

Do exemplo, partindo do mesmo Valor Futuro (FV), bem como do mesmo

tempo (n) de antecipação e da mesma taxa (i), porém com utilização dos descontos

simples diferentes, podem-se fazer as seguintes comparações:

COMPARAÇÃO DO DESCONTO SIMPLES: (COMERCIAL X RACIONAL)

CONSIDERANDO A OPERAÇÃO DO EXEMPLO

FORMAS DO DESCONTO SIMPLES

COMERCIAL

OU

“POR FORA”

RACIONAL

OU

“POR DENTRO”

Valor futuro (1.000,00)

IGUAL IGUAL

Tempo de antecipação (n = 3 meses)

IGUAL IGUAL

Taxa ao mês de desconto (10% ao mês)

IGUAL IGUAL

DESCONTO (d e d’)

MAIOR MENOR

VALOR PRESENTE (PV e PV’)

MENOR MAIOR

APENAS FOI MUDADA A FORMA DE CALCULAR O DESCONTO.

Page 39: Apostila Matematica Financeira Final

39

1) Qual o valor do desconto racional simples e o valor do resgate de um título

de R$ 30.000,00 vencível em três meses e quinze dias descontados a taxa de 45% ao

ano? (KUHNEN: 2001, pg. 55)

2) Determine o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a

R$ 135,00 pago dois meses antes do vencimento a 1% ao mês. (FRANCISCO: 1991.

pg. 20)

3) Uma nota promissória foi descontada comercialmente a taxa simples de 5%

ao mês, quinze meses antes de seu vencimento. Se o desconto fosse racional

simples, qual deveria ser a taxa adotada para produzir um desconto de igual

valor? (LOCIKS: 2005. pg. 71)

4) A diferença entre os descontos simples comercial e racional de um título é

de R$ 195,65. Sabendo-se que a taxa é de 30% ao ano e que o titulo tem

vencimento para 6 meses, calcular o valor nominal do titulo.

ATIVIDADES

Page 40: Apostila Matematica Financeira Final

40

Page 41: Apostila Matematica Financeira Final

41

UNIDADE 2

Ao final dessa unidade, o aluno deverá ser capaz de:

o Compreender os fundamentos da capitalização

composta;

o Calcular valor futuro e taxa equivalente

o Analisar os procedimentos de desconto composto e

fluxo de caixa

Page 42: Apostila Matematica Financeira Final

42

Page 43: Apostila Matematica Financeira Final

43

UNIDADE II - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Basicamente, no mercado, utiliza-se a capitalização composta. No decorrer

da Unidade você aprenderá também que somente em capitalizações simples é

possivel fazer as proporcionalidades diretas das taxas, visto que uma taxa de (1%

a.m.) um por cento ao mês não representa a mesma grandeza da taxa de (12% a.a.)

doze por cento ao ano, no regime de capitalização composta.

As operações financeiras bancárias utilizam, na grande maioria, juros

compostos, tanto em financiamentos para aquisição de capital os chamados

empréstimos quanto para as aplicações financeiras e outros investimentos.

Os principais produtos de aplicação financeira são: Poupança; CDB –

Certificado de Depósito Bancário; e, Fundos de investimentos (Curto prazo; Renda

fixa; Referenciado; Multimercado; Cambial; Ações; e, Dívida externa).

Os principais produtos de empréstimo são: CDC – Crédito Direto ao

Consumidor; Financiamento de veículos; Financiamento imobiliário e Empréstimo

em consignação.

Quanto à forma de pagamento, os empréstimos são amortizados,

comumente de forma parcelada ou com pagamento único.

2.1 Cálculo do Valor Futuro

As pessoas, em geral, tem um conhecimento intuitivo de juros compostos,

como por exemplo:

Juros sobre juros

Maior que juros simples

É o que acumula

É o que o banco cobra

Page 44: Apostila Matematica Financeira Final

44

Observe a aplicação do conceito de juros compostos, supondo uma

aplicação de um mil reais por um período de cinco meses à taxa de dez por cento

ao mês.

Estes exemplos não estão equivocados, mas não conceituam cientificamente

os juros compostos. Mas o que seriam os juros compostos?

São os juros que no fim de cada período são somados ao capital constituído no início, para produzirem novos juros no período subsequente.

1 2 3 4 50

FV1 = 1.100 FV2 = 1.210 FV3 = 1.331 FV4 = 1.464,1 FV5 = 1.610,51PV1 = 1.000

J1=100 J2=110 J3=121 J4=133,1 J5=146,41

FV 1 = PV+J

1 FV2=FV

1 +J 2 FV

3=FV

2+J

3FV

4=FV

3+J

4FV

5 =FV 4 +J

5

J 1 =PVxi J

2 =FV1xi J

3 =FV2xi J

4=FV

3xi J

5 =FV 4 xi

J 1 =1.000X0,1 J

2 =1.100X0,1 J 3 =1.210X0,1 J

4=1.331X0,1 J

5 =1.464,1X0,1 100,00 110,00 121,00 133,10 146,41

FV 1 =1.000+100 FV

2 =1.100+110 FV3=1.210+121 FV

4=1.331+133,1 FV

5 =1.464,1+146,41

FV1=1.100,00 FV2=1.210,00 FV3=1.331,00 FV4=1.464,10 FV5=1.610,51

Partindo de um Valor Presente (PV)

PV = 1.000,00

Page 45: Apostila Matematica Financeira Final

45

Período Juros Saldo Final

Tempo 0 --o-- 1.000,00

Final 1º mês 100,00 1.100,00

Final 2º mês 110,00 1.210,00

Final 3º mês 121,00 1.331,00

Final 4º mês 133,10 1.464,10

Final 5º mês 146,41 1.610,51

Veja que todo período, neste caso, meses, há um juro calculado sobre o

valor futuro anterior (embutido juros). Para todos os períodos de cinco meses, os

juros mudam, pois a base de cálculo aumenta.

FV1 = PV (1+i)1 FV3 = PV (1+i)3 FV5 = PV (1+i)5

FV2 = PV (1+i)2 FV4 = PV (1+i)4

Perceba que, nas últimas linhas, o Valor Futuro (FV), nos respectivos

períodos, está condicionado em PV x (1+i) cujo expoente é sempre igual ao do

referido tempo.

Page 46: Apostila Matematica Financeira Final

46

1.000,00 1.100,00

1.210,00 1.331,00

1.464,10

1.610,51

1.771,56

1.948,72

2.143,59

2.357,95

2.593,74

1000,00

1300,00

1600,00

1900,00

2200,00

2500,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Capital

MesesCapitalizaçã o Composta

Podemos então concluir que:

Figura 2- Capitalização Composta de um Capital Inicial. De $1.000,00 a 10% ao mês por 10 meses.

Observe que o crescimento, no regime de capitalização composta, não é

linear como ocorria no regime de capitalização simples e, sim, exponencial. No

mercado a regra é a utilização da capitalização composta.

FV n = PV x (1+i) n

Então,

FV5 = PV x (1+i)5

FV = 1.000 x (1+0,1)5

FV = 1.000 x (1,1)5

FV = 1.000 x 1,61051 ↔ FV = 1.610,51.

FV10 = PV x (1+i)10 ↔ FV = 1.000 x (1+0,1)10 FV = 1.000 x (1,1)10

FV = 1.000 x 2,593742 ↔ FV = 2.593,74

Page 47: Apostila Matematica Financeira Final

47

2.1.1 Calculadora HP 12-C

Como a Calculadora HP 12-C é um instrumento muito utilizado no

mercado financeiro, faremos uma breve explanação de suas funções e

operacionalização da mesma.

A leitura do manual é de importância significativa para um aproveitamento

eficiente. Como exemplo, podemos citar:

1. Separador de parte decimal por ponto ou vírgula;

2. Número de casas decimais;

3. Cálculos com a utilização da memória; e,

4. Teclas clear.

5. A calculadora possui até 3 três funções por tecla: veja como utilizá-las:

Função Primária (Branca) Para acionar, basta pressionar a tecla

desejada.

Função Alternativa (Amarela) Para acionar, deve-se primeiro

pressionar a tecla (única amarela) e, em seguida, pressionar a tecla da

função desejada.

Função Alternativa (Azul) Para acionar, deve-se primeiro pressionar a

tecla (única azul) e, em seguida, pressionar a tecla da função desejada.

Page 48: Apostila Matematica Financeira Final

48

A calculadora HP 12-C é uma calculadora financeira, diferenciando-se das

cientificadas e das demais, basicamente, conforme ilustração abaixo, em razão de

suas teclas específicas para cálculo

financeiro (conforme destaque).

Os registros desta função são os seguintes:

Prazo da operação;

Taxa de juros, descrita da forma centesimal, deve ser expressa na

mesma unidade de tempo do prazo;

“Present Value” ou Valor Presente. Corresponde ao valor a vista do

negócio. Valor no instante “0”, ou seja, no momento da negociação;

“Payment” ou Pagamento Periódico, Prestação (será utilizada em

séries uniformes); e,

“Future Value”, ou Valor Futuro. Corresponde ao valor final de uma

determinada quantia depois de decorrido um prazo.

Obs.: Sempre antes de iniciar qualquer resolução de problema, ligue a calculadora

e depois clique na função depois . O motivo desta função é limpar dados

de outros exercícios anteriores que tenha armazenado na função financeira (fin.).

Outras funções de Clear (limpar) são .

Page 49: Apostila Matematica Financeira Final

49

Resolução do exemplo de dedução de fórmula do Valor Futuro com

utilização da calculadora financeira.

Dados do exemplo:

Valor Presente Tempo de aplicação Taxa de juros Valor Futuro

PV n i FV

1.000,00 5 meses 10% ao mês ?

Resolução:

Ligar para limpar os dados financeiros , armazenar os

dados, a ordem não importando, 1.000,00 , 5 , 10 e . O

resultado será -1.610,51. É claro que neste caso a tecla (FV) tem que ser a última

tecla a ser clicada, pois depois de todos os dados serem armazenados sempre a

última tecla é a resposta que o problema pede.

O resultado é negativo, pois, se a aplicação, no caso (PV), foi armazenada

com sinal positivo, é claro que a retirada da aplicação terá sinal inverso, negativo

(FV). Caso o (PV) fosse clicado com o sinal negativo (1.000 CHS PV) 5 n, 10 i, FV o

sinal do valor futuro será positivo.

Page 50: Apostila Matematica Financeira Final

50

1) Calcular o Valor Futuro (Montante) e o juro (FV – PV) de uma aplicação de

2.000,00 por um período de 4 anos nas seguintes condições:

a) à taxa de 5% ao mês.

J = ____________ FV=_______________ .

b) à taxa de 10% ao bimestre.

J = __________ FV =________________ .

c) à taxa de 60% ao ano.

J=______________FV=______________ .

Observe que apesar de as taxas de juros serem proporcionais: (5% a.m.)

cinco por cento ao mês, (10% a.b.) dez por cento ao bimestre e (60% a.a.) sessenta

por cento ao ano, os resultados são completamente diferentes. Disto podemos

concluir o seguinte:

5% a.m., 10% a.b. e 60% a.a. são grandezas diferentes em capitalização

composta;

Os ciclos de capitalização, ao mês, ao bimestre e ao ano etc. são

importantes para a análise dos juros sobre juros;

Jamais podemos aplicar proporção entre taxas em capitalização

composta. Por enquanto, temos que adequar a unidade de tempo na

unidade da taxa.

Essas taxas que, efetivamente foram utilizadas, denominam-se taxa

efetiva. Há um outro tipo de se escrever uma mesma taxa de juros.

EXERCÍCIO

Page 51: Apostila Matematica Financeira Final

51

Temos que transformar fazendo a proporção

Exemplo: 36% ao ano, capitalizada mensalmente. Dizemos que 36% ao ano

é uma taxa nominal.

A taxa que efetivamente utilizamos é a Taxa Efetiva, no caso, (36% a.a.)

trinta e seis por cento ao ano, só funciona com capitalização mensal. Neste

caso, obrigatoriamente temos que fazer a proporção, pois (36% a.a.) terão

doze capitalizações, então (36% a.a.) / 12 = (3% a.m.) que é uma taxa

efetiva.

A taxa nominal é chamada também de taxa aparente, uma vez que não

reflete a taxa do período de capitalização.

TAXA NOMINAL TAXA EFETIVA

Sempre usamos a Taxa Efetiva, a taxa nominal serve como taxa referencial

para transformar em taxa efetiva de acordo com a capitalização.

Considerando o enunciado do exercício 01, anteriormente citado, calcule:

d) à taxa de 60% ao ano capitalizado mensalmente.

J=______________FV=_______________.

TAXA DE JUROS TAXA

NOMINAL TAXA EFETIVA

24% ao ano, capitalizada mensalmente. 24% ao ano 2% ao mês

36% ao ano, capitalizada mensalmente. 36% ao ano 3% ao mês

60% ao ano capitalizado semestralmente. 60% ao ano 30% ao semestre

6% ao ano, capitalizada mensalmente. 6% ao ano 0,5% ao mês

24% ao ano, capitalizada bimestralmente. 24% ao ano 4% ao bimestre

Page 52: Apostila Matematica Financeira Final

52

e) à taxa de 48% ao ano capitalizado mensalmente.

J=___________FV=__________________.

1) Aplicou-se a juros compostos um capital de R$ 1.200.000,00 a 4% ao mês,

durante três meses. Ache os juros e o montante. (BIANCHINI & PACCOLA: 1993.

p. 143)

2) Qual o juro de R$ 2.000,00 no fim de dois anos e seis meses à taxa de 20% ao

ano capitalizado trimestralmente? (FRANCISCO: 1991. p. 69)

3) Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a

uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem

do capital aplicado. (CRES: 2005. p. 22)

Atividades de Aprendizagem

Page 53: Apostila Matematica Financeira Final

53

4) Qual o capital que aplicado a 8,2% ao mês, durante seis meses, rende juros

compostos de R$ 75.573,51? (VERAS: 2005. p. 106)

5) Uma aplicação financeira gerou um montante de R$ 38.540,00 no prazo de

oito meses a uma taxa de 3,8% ao mês. Qual capital inicialmente aplicado?

(BRUNI & FAMÁ: 2004. p. 221)

6) Que capital aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% ao mês produz um

montante de R$ 3.500,00 após um ano? (HAZZAN & POMPEO: 2007. p. 43)

7) Durante quanto tempo esteve aplicado em uma poupança o capital de

R$ 180.000,00 para render de juros a importância de R$ 22.248,00 se a taxa foi de

6% ao mês? (BIANCHINI & PACCOLA: 1993. p. 143)

Page 54: Apostila Matematica Financeira Final

54

8) Um capital de R$ 8.000,00 foi aplicado à taxa composta de 12% ao ano,

gerando um montante de R$ 15.790,56. Determine quanto tempo durou esta

aplicação. (LOCIKS: 2005. p. 87)

9) Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá

receber o dobro mais sua aplicação? (VIEIRA SOBRINHO: 1986, p. 37)

10) Qual é a taxa anual de juros que produz um montante de R$ 68.000,00, a

partir de um investimento de R$ 45.000,00 ao fim de oito anos? (SILVA: 2008. p.

36)

Page 55: Apostila Matematica Financeira Final

55

11) O capital de R$ 10.000,00, aplicado à taxa de 10% ao mês, produziu um

montante de R$ 31.384,28 ao fim de um ano. Qual a taxa semestral capaz de fazer

esse mesmo capital produzir esse mesmo montante nesse mesmo espaço de

tempo? (VERAS: 2005. p. 109)

12) A caixa beneficente de uma entidade rende a cada mês 10% sobre o saldo

do mês anterior. Se, no início de um mês o saldo era X, e considerando que não

haja retiradas depois de quatro meses, de quanto será o saldo? (BIANCHINI &

PACCOLA: 1993. p. 145)

13) Um estudante deseja investir uma quantia que lhe permita resgatar

R$ 50.000,00 no final de 12 meses e R$ 75.000,00 no final de 24 meses. Determine o

valor do investimento, sabendo que o banco remunera a uma taxa de 6% ao

trimestre. (SILVA: 2008. p. 42)

Page 56: Apostila Matematica Financeira Final

56

14) Uma pessoa deposita R$ 45.000,00 numa instituição financeira por três anos

à taxa nominal de 24% ao ano. Calcular o montante composto, sabendo que no

primeiro ano os juros são capitalizados semestralmente, no segundo,

trimestralmente e, no terceiro, mensalmente. (KUHNEN: 2001 p. 85)

15) Um investidor aplicou R$ 10.000,00 para receber R$ 11.200,00 no prazo de

um ano. Determine a taxa de rentabilidade mensal desse investidor no regime de

juros compostos. (PUCCINI: 2004 p. 60)

16) Uma empresa vende um componente eletrônico por R$ 200,00 a unidade,

sendo o pagamento feito dois meses após a compra. Para pagamento a vista, o

preço é de 192,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento?

(HAZZAN & POMPEO: 2007. p. 49)

Page 57: Apostila Matematica Financeira Final

57

17) A aplicação de R$380.000,00 proporcionou um rendimento de R$ 240.000,00

ao final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros.

(VIEIRA SOBRINHO: 1986 p. 38)

18) Um terreno esta sendo oferecido por R$ 450.000,00 à vista ou R$ 150.000,00

de entrada e mais uma parcela de R$ 350.000,00 no final de seis meses. Sabendo-se

que, no mercado, a taxa média para aplicação em títulos de renda pré-fixada gira

em torno de 3,5% ao mês (taxa líquida, isto é, com o Imposto de Renda já

computado), determine a melhor opção para um interessado que possua recursos

disponíveis para comprá-lo. (VIEIRA SOBRINHO: 1986 p. 36)

19) Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% ao ano, capitalizados

trimestralmente e o restante a 20% ao ano, capitalizados semestralmente. No fim

de dois anos e seis meses, retirou o montante de R$ 2.061,87. Qual foi o capital

aplicado? (FRANCISCO: 1991 p. 69)

Page 58: Apostila Matematica Financeira Final

58

20) No final de dois anos o senhor Procópio deverá efetuar um pagamento de

R$ 200.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros

devidos, correspondentes a uma taxa de 3,5% ao mês. Pergunta-se qual o valor

emprestado? (VIEIRA SOBRINHO: 1986 p. 31)

21) Uma aplicação de R$ 22.000,00 efetuada em certa data produz a taxa

composta de juros de 2,4% ao mês um montante de R$ 26.596,40 em certa data

futura. Calcule o prazo da operação. (ASSAF NETO: 2001 p. 46)

22) Em que prazo o empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado em um único

pagamento de R$ 110.624,65, sabendo-se que a taxa contratada é de 15% ao

semestre? (VIEIRA SOBRINHO: 1986 p. 32)

Page 59: Apostila Matematica Financeira Final

59

23) Um investidor faz uma aplicação financeira de R$ 25.000,00 à taxa de juros

de 24% ao ano capitalizado mensalmente. Na data do resgate da aplicação, são

descontados, a título de Imposto de Renda (IR), 25% sobre o ganho nominal

obtido. Se o prazo da operação foi de 3 anos, pede-se:

a. Qual o valor líquido recebido pelo investidor?

b. Qual a rentabilidade líquida obtida pelo investidor, em taxa de juros ao

mês?

c. Se além do Imposto de Renda fosse cobrado uma taxa de administração de

5% do valor aplicado no ato da aplicação, qual seria a rentabilidade líquida em

taxa ao ano?

24) Um empréstimo foi obtido pelo prazo de 5 meses à taxa de juros de 3% ao

mês. Sabendo-se que esta operação está sujeita a uma tributação de 2%, pergunta-

se:

a. Qual é o custo efetivo da operação, em taxa ao mês, se o tributo incide sobre

o principal mais o juros e é cobrado na liberação do empréstimo?

Page 60: Apostila Matematica Financeira Final

60

b. Se o mesmo tributo fosse cobrado junto com a liquidação do empréstimo,

qual seria o custo efetivo da operação em taxa de juros ao ano?

25) Um empréstimo bancário de R$ 3.500,00 foi feito por um prazo de 1,5 anos a

taxa de 36% ao ano capitalizada mensalmente, é cobrado também uma taxa de

abertura de crédito de 10% sobre o valor do empréstimo que vai ser pago na

quitação do empréstimo. Calcule o valor para quitar a dívida e a taxa de juros

anual (custo efetivo) que a operação teve.

26) Uma aplicação em CDB de R$ 10.000,00 foi feita em um banco que paga

uma taxa de juros de 30% ao ano por um período de 18 meses. No final da

aplicação é cobrado um Imposto de Renda de 25% nos ganhos auferidos.

Pergunta-se:

a. Qual o valor líquido que o aplicador vai ter ao final da operação?

b. Qual a taxa de juros mensal que realmente ele recebeu (ganho efetivo) da

operação?

Page 61: Apostila Matematica Financeira Final

61

27) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 10.000,00 para liquidar após 1,5

anos à taxa de juros de 60% ao ano capitalizada mensalmente. Um imposto de 4%

incide sobre o valor do principal mais os juros e é pago no ato da liberação do

empréstimo. Pede-se:

a. Qual o imposto pago na operação?

b. Qual o valor líquido que o cliente recebeu?

c. Qual o valor para liquidar o empréstimo?

d. Qual o custo efetivo da operação em termos de taxa mensal?

2.1.2 Taxas Equivalentes

Conforme demonstrado anteriormente, nos exercícios sobre capitalização

composta, uma taxa efetiva de (5% a.m.) cinco por cento ao mês tem uma

grandeza diferente de (10% a.b.) dez por cento ao bimestre, sendo aquela maior

que esta. Mas será que existe uma taxa bimestral que dá o mesmo resultado que

os 5% mensais?

Page 62: Apostila Matematica Financeira Final

62

Essa taxa ao bimestre que, independente do tempo da operação, traria o

mesmo resultado dos 5% ao mês, é chamada de taxa equivalente (diferente de 10%

ao bimestre). Então o conceito de taxa equivalente é:

Sempre será dada uma determinada taxa para que seja encontrada outra

taxa equivalente, mas com ciclo de capitalização diferente.

Duas taxas são equivalentes, quando aplicadas no mesmo Valor Presente (PV) em um mesmo período de tempo, com ciclos de capitalizações diferentes, produzirem Valor Futuro (FV) igual.

FV1 = FV2

PV (1 + i2)n1 = PV (1 + i2)n2

Como são Valores Presentes iguais:

(1 + i1)n1 = (1 + i2)n2

Períodos iguais, mas com capitalização diferente.

(1 + ia.a.)1 = (1 + ia.s.)2 = (1 + ia.q)3 = (1 + ia.t.)4= (1 + ia.b.)6 = (1 + ia.m.)12

Um ano, dois semestres, três quadrimestres, quatro trimestres, seis bimestres,

doze meses, os períodos são iguais; somente as capitalizações são diferentes.

(1 + ia.b.)1 = (1 + ia.m.)2

é o mesmo resultado de

(1 + ia.b.)6 = (1 + ia.m.)12

(1 + ia.m.)1 = (1 + ia.d.)30.

Page 63: Apostila Matematica Financeira Final

63

Exemplo (a)

Um a taxa de 5% ao mês tem uma equivalente ao ano de?

Supondo uma aplicação de R$ 2.000,00 por um período de quatro anos a

taxa de juros de 79,58563% ao ano, qual seria o valor futuro?

Dados: PV = R$ 2.000,00; Tempo = 4 anos; e, Taxa de juros = 79,58563% ao

ano, descubra o FV = ?

Na calculadora HP 12 C

Perceba que no primeiro exercício de capitalização composta, o resultado da

questão (a) que tem o mesmo valor presente em um mesmo período, porém em

taxas de capitalizações diferentes (ao mês e ao ano), produziram valores futuros

iguais, podendo concluir-se, então, que as taxas são equivalentes.

(1 + ia.a.)1 = (1 + ia.m.)12

1 + ia.a. = (1 + 0,05)12

1 + ia.a. = 1,7958563

iIa.a.= 1,7958563 – 1

0,7958563 a.a. ou 79,58563% a.a.

FV = PV (1+i)n

FV =2 .000(1+0,7958563)4

FV = 2.000 x 10,4012697

FV = 20.802,54.

F fin, 2.000 CHS PV

4 n

79,58563 i

FV 20.802,54

Page 64: Apostila Matematica Financeira Final

64

Exemplo (b):

Um a taxa de 60% ao ano tem uma taxa equivalente mensal de?

Supondo uma aplicação de R$ 2.000,00 por um período de 4 anos a taxa de

juros de 3,99441% ao mês, qual seria o valor futuro?

Dados: PV = 2.000,00 ↔ Tempo = 4 anos (48 meses) ↔ Taxa de juros =

3,99441% ao mês, calcule FV = ?

Na calculadora HP 12 C

(1 + ia.m.)12 = (1 + ia.a.)1

(1 + ia.m.)12 = (1 + 0,6)1

(1 + ia.m.)12 = 1,6

(1+ia.m.) = 12√ 1,6

1 + ia.m = 1,0399441

ia.m. = 1,0399441 – 1

ia.m.= 0,0399441 ou 3,99441% ao mês

FV = PV (1+i)n ↔ FV = 2.000(1+0,0399441)48

FV = 2.000 x 6,5536001 ↔ FV = 13.107,20.

F fin, 2.000 CHS PV

48 n

3,99441 i

FV 13.107,20

Page 65: Apostila Matematica Financeira Final

65

Perceba que no primeiro exercício de capitalização composta, os

resultados das letras (a) e (e) são muito semelhantes. Pois a taxa de (60% a.a.)

sessenta por cento ao ano equivale a uma taxa de (3,99441% a.m.) três vírgula

noventa e nove por cento ao ano, quase os 4% da letra (e) do exercício citado.

De forma algébrica, temos:

TEQ = 1 + i - 1 x 100

100

Onde: PP = Período Procurado,

PD = Período Dado, i = taxa da operação

1) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? (HAZZAN

& POMPEO: 2007. p. 57)

2) Quais são as taxas de juros compostos: mensal e trimestral equivalentes a

25% ao ano? (ASSAF NETO: 2001. p. 49)

PP

{[( ) ] }

Atividades de Aprendizagem

Page 66: Apostila Matematica Financeira Final

66

3) Calcule as taxas equivalentes a seguir.

Taxa Taxa percentual ao ano

48% ao ano capitalizado mensalmente

Taxas Equivalentes

% ao mês % ao

Bimestre

% ao

trimestre

% ao

semestre % ao ano

5%

10%

30%

20%

60%

4) Qual o crescimento anual de um empresário que aumenta seu patrimônio

mensalmente em 4% ao mês?

Page 67: Apostila Matematica Financeira Final

67

2.2 Descontos Compostos

Os juros compostos são as aplicações de juros simples a cada período de

capitalização. No desconto composto deve-se seguir o mesmo raciocínio, apenas

partindo de um valor futuro, aplica-se desconto simples a cada período de

descapitalização. Assim como ocorre com os descontos simples, pode ser

calculado sob duas formas distintas:

O Desconto Composto Bancário não tem utilidade prática no mercado.

Sendo assim, dar-se-á ênfase no Desconto Composto Real.

DESCONTO COMPOSTO RACIONAL/REAL/ "POR DENTRO”

Supondo uma duplicata de R$ 1.000,00 que irá vencer daqui cinco meses, sendo

descontada a desconto composto real à taxa de (10% a.m.) dez por cento ao mês:

Desconto Composto Real ou Racional que é o desconto simples racional

aplicado a cada período

Desconto composto bancário que é o desconto simples comercial aplicado a cada

período.

1 2 3 4 50

PV1= 683,01 PV2= 751,31 PV3=826,45 PV4 = 909,09 FV5 = 1.000PV0= 620,92

Page 68: Apostila Matematica Financeira Final

68

PV’=___FV_____

1 + i x n

Partindo-se da fórmula do valor presente do desconto simples racional aplicado a cada período (n=1). Em cada período aplicar-se-á este conceito, dividindo o FV do período anterior por 1 + i, no caso 1,1.

No exemplo temos: PV n = 1.000 x (1+0,1) -5 = 620,92

Ou

PV n = 1.000 = 620,92 (1+0,1) 5

PV n = FV x (1+i) -n

Ou

PV n = FV _ (1+i) n

PV0 PV1 PV2 PV3 PV4

PV 0 = FV 1 PV 1 = FV 2 PV 2 = FV 3 PV 3 = FV 4 PV 4 = FV 5

1 + i 1 + i 1 + i 1 + i 1 + i

PV 0 = 683,01 PV 1 = 751,31 PV 2 = 826,45 PV 3 = 909,09 PV 4 = 1.000,00

1,1 1,1 1,1 1,1 1,1

PV 0 = 620,92 PV 1 = 683,01 PV 2 = 751,31 PV 3 = 826,45 PV 4 = 909,09

Partindo-se de um Valor Futuro (FV)

FV = 1.000,00

De acordo com a demonstração anterior, pode-se concluir que:

Page 69: Apostila Matematica Financeira Final

69

1) Qual o desconto racional composto de um título de R$ 75.000,00,

descontado cinco meses antes do vencimento a uma taxa de 4% ao mês?

(KUHNEN: 2001, p. 110)

2) Determine o valor do desconto composto racional de um título no valor de

R$ 50.000,00, sabendo-se que o seu prazo é de cinco meses e que a taxa de

desconto cobrada é de 3,5% ao mês. (VIEIRA SOBRINHO: 1986, p. 47)

3) Determine o desconto racional composto sofrido por um título, cujo valor

nominal é de R$ 16.872,90, se a taxa de juros compostos for de 4% ao mês e ele for

descontado três meses antes de seu vencimento. (LOCIKS: 2005. p. 103)

2.3 Fluxo de Caixa

O fluxo de caixa é uma aplicação de conceitos de capitalização composta

em cálculos de composição e renegociações de dívidas. A lógica encontra-se no

cálculo dos juros, onde, quanto maior a taxa negociada e mais tempo tiver para

pagar, mais oneroso ficará o compromisso.

Atividades de Aprendizagem

Page 70: Apostila Matematica Financeira Final

70

Em matemática financeira, basicamente é embutir ou retirar juros. Quando

temos um valor presente (PV) e queremos um valor futuro (FV), nós

capitalizamos. Quando temos um valor futuro (FV) e queremos um valor presente

(PV), nós descapitalizamos.

Diagrama de Fluxo de caixa

PV FV

Veja o exemplo:

1) Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi obtido por um empresário para ser

liquidado pagando-se uma taxa de juros de 5% ao mês, calcule o valor da parcela

nas propostas a seguir:

a) Se o empresário pagar R$ 5.000,00 daqui a 6 meses, qual o valor da parcela

para quitar a dívida daqui 9 meses?

Capitalização

FV = PV (1+i)n

PV = FV (1+i) -n

Descapitalização

Page 71: Apostila Matematica Financeira Final

71

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10.000

5.000 N

Solução 02:

Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então os pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero.

10.000 = 5.000 (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9

10.000 = 3.731,08 + N 0,644609

10.000 – 3.731,08 = N 0,644609

6.268,92 = N 0,644609

6.268,92/0,644609 = N = 9.725,16

Observa-se que 3.731,08 é o valor dos 5.000,00 descapitalizado em seis meses, é o

que está contribuindo para pagar os 10.000,00 no tempo zero. O que falta é os

6.268,92 no tempo zero. Os 9.725,16 é o valor 6.268,92 equivalente no tempo 9.

Solução 01:

Calcular o valor total da dívida após 6 meses

FV=PV (1 + i)n

FV = 10.000 (1+0,05)6 = 13.400,96

Subtrair o valor do pagamento e atualizar mais 3 meses

13.400,96 – 5.000,00 = 8.400,96, FV= 8.400,96 (1+0,05)3 = 9.725,16 que é o

valor restante para pagar a dívida após 9 meses da data do empréstimo.

Page 72: Apostila Matematica Financeira Final

72

b) Se o empresário pagar R$ 5.000,00 daqui a 9 meses, qual o valor da parcela

para quitar a dívida daqui 6 meses?

Solução 02:

Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então, os pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero.

10.000 = N(1+0,05)-6+5 .000 (1+0,05)-9

10.000 = N 0,746215 + 3.223,04

10.000 – 3.223,04 = N 0,746215

6.776,96 = N 0,746215

6.776,96/0,746215 = N = 9.081,77

Solução 01:

Calcular o valor total da dívida após 9 meses

FV=PV (1 + i)n

FV = 10.000 (1+0,05)9 = 15.513,28

Subtrair o valor do pagamento e descapitalizar mais 3 meses

15.513,28 – 5.000,00 = 10.513,28, PV= 10.513,28 (1+0,05)-3 = 9.081,77 que é o valor

restante para pagar a dívida após 6 meses da data do empréstimo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10.000

N 5.000

Page 73: Apostila Matematica Financeira Final

73

c) Se o empresário quiser pagar o empréstimo em duas parcelas de mesmo

valor, vencendo no 6º e 9º mês, qual seria o valor da parcela?

d) Se o empresário quiser pagar 5.000,00 no 3º mês, mais duas parcelas de

mesmo valor, vencendo no 6º e na 9º mês, qual seria o valor da parcela?

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10.000

N N

1 2 3 4 5 6 7 8

9

10.000

N

N

5.000

Solução

Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então os pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero.

10.000 = N (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9

10.000 = N 0,746215 + N 0,644609

10.000 = N 1,390824

10.000/1,390824 = N = 7.189,98

Observa-se que, neste caso, não se pode capitalizar os 10.000,00 para

subtrairmos outro valor, pois os dois valores são desconhecidos.

Page 74: Apostila Matematica Financeira Final

74

e) Se o empresário quiser pagar o empréstimo em três parcelas de mesmo

valor, vencendo no 3º, 6º e 9º mês, qual seria o valor da parcela?

Solução

Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então os pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero.

10.000 = N (1+0,05)-3 + N (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9

10.000 = N 0,863838 + N 0,746215 + N 0,644609

10.000 = N 2,254662

10.000/2,254662 = N = 4.435,25

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10.000

N N N

Solução

Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então, os pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero.

10.000 = 5.000 (1+0,05)-3 + N (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9

10.000 = 4.319,19 + N 0,746215 + N 0,644609

10.000 -4.319,19 = N 1,390824

5.680,81 = N 1,390824

5.680,81/1,390824 = N = 4.084,49

Page 75: Apostila Matematica Financeira Final

75

Observações:

As formas de resolver estes problemas podem ser das mais variadas,

desde que se sigam os seguintes princípios:

Sempre capitalizar quando se posterga, multiplicando por (1+i)n e

descapitalizar quando se antecipa, multiplicando por (1+i)-n os dados do

fluxo de caixa.

A data focal (no caso das resoluções foi escolhida o tempo zero) pode

ser qualquer uma, desde que se igualem os fluxos equivalentes na data

escolhida.

Muitas renegociações têm vários elementos (no exemplo foi só o

10.000 no tempo zero), desde que a taxa cobrada seja a mesma,

escolhendo a data focal zero, é só descapitalizar quantos fluxos tiverem

para igualar ao outro fluxo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

X Y Z

0

N N N

Parte superior considera-se um dos fluxos

Parte inferior considera outro fluxo

Considerando data focal zero, podendo X,Y e Z quaisquer valores, tem-se:

X (1+0,05)-2 + Y (1+0,05)-4 + Z(1+0,05)-6 = N (1+0,05)-3 + N (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9

Page 76: Apostila Matematica Financeira Final

76

1) Uma compra, cujo valor à vista é de 1.500,00, será paga com uma entrada de

20% e mais 2 prestações de mesmo valor. Sabendo-se que as prestações vencerão

em 4 e 6 meses após a data da compra e que a loja cobra juros de 2,5% ao mês,

calcule o valor das prestações.

2) Um empresário pega um empréstimo de 5.000,00 propõe ao devedor duas

alternativas de renegociação. Calcule o valor das propostas, sabendo-se que a taxa

negociada foi de 60% ao ano capitalizada mensalmente.

a. Pagar 2.500,00 daqui a 2 meses, 2.500,00 daqui a 12 meses e um valor daqui

a 8 meses para quitar a dívida;

b. Pagar em 3 prestações com vencimento para 3, 5 e 10 meses do tempo zero.

Atividades de Aprendizagem

Page 77: Apostila Matematica Financeira Final

77

3) Um empresário tem os seguintes compromissos a pagar: R$ 5.000,00 daqui 6

meses e R$ 3.000,00 daqui 10 meses. Se a taxa de juros vigente é de 36% ao ano

capitalizada mensalmente, pede-se:

a) Se a pessoa se dispuser a pagar R$ 4.000,00 daqui 12 meses, qual será o valor

da parcela para quitar a dívida daqui 4 meses?

a) Se a pessoa preferir pagar em duas parcelas de mesmo valor daqui a 4 e 12

meses, qual deve ser o valor destes pagamentos?

4) Um financiamento para ser quitado, faltam 2 prestações iguais de 500,00 cada,

vencíveis no final do 1º e 8º mês, como não vai poder honrar estes compromisso

nas respectivas datas, pede à financiadora para recompor a dívida, de tal forma

que faça três pagamentos iguais, sendo o primeiro daqui 4 meses, o segundo no

final de 8 meses e o terceiro no final de 12 meses. Se a taxa acertada foi de 36% ao

ano, capitalizada mensalmente, pede-se indicar o valor dos pagamentos.

Page 78: Apostila Matematica Financeira Final

78

5) Um empréstimo de R$ 1.000,00 deve ser pago em 4 parcelas mensais iguais e

sucessivas, vencendo a primeira 30 dias da data da concessão. Se a taxa de juros

negociada é de 48% ao ano, capitalizada mensalmente, calcule o valor da parcela.

6) Considerando uma dívida de 4 prestações mensais, iguais e sucessivas de

270,00, sendo a primeira prestação vencível no final do primeiro mês, calcule o

valor a vista, para quitar a dívida, sabendo-se que a taxa de juros embutida é de

3% ao mês.

7) Um empréstimo de R$ 1.000,00, foi negociado a uma taxa de juros de 3% ao

mês. Calcule qual o valor das quatro parcelas mensais, iguais e sucessivas a serem

pagas, sendo o primeiro pagamento daqui a 30 dias.

Page 79: Apostila Matematica Financeira Final

79

UNIDADE 3

Ao final dessa unidade, o aluno deverá ser capaz de:

o Calcular o valor de renda e séries

o Analisar os montantes de séries postecipadas

Page 80: Apostila Matematica Financeira Final

80

Page 81: Apostila Matematica Financeira Final

81

UNIDADE III - SÉRIES UNIFORMES

As séries uniformes podem ser aplicadas, desde que tenham as seguintes

características:

parcelas de mesmo valor;

intervalo entre uma parcela e outra sempre o mesmo;

número determinado de termos de parcela;

mesma taxa de juros.

3.1 Valor atual de séries postecipadas/rendas imediatas

Exemplo (a)

Considerando um empréstimo de um mil reais a uma taxa de juros de (3%

a.m.) três por cento ao mês, calcule qual o valor das quatro parcelas mensais,

iguais e sucessivas a serem pagas, sendo o primeiro pagamento daqui 30 dias.

FV1

1.000,00

FV2

FV3

FV4

1 2 3

4

i = 3% a.m.

Page 82: Apostila Matematica Financeira Final

82

Como,

Neste caso embutiram-se juros nas quatro parcelas mensais iguais e

sucessivas a juros de 3% ao mês.

Exemplo (b)

Um empréstimo foi concedido para ser pago em quatro parcelas mensais,

iguais e sucessivas de 270,00, sabendo-se que foi contratado à taxa de 3% ao mês

de juros, calcule qual o valor para quitar a dívida.

270,00

1 2 3

4

i = 3% a.m.

PV

270,00 270,00 270,00

FV1= FV2= FV3= FV4

1.000 = FV x [(1+0,03)-1 + (1+0,03)-2 + (1+0,03)-3 + (1+0,03)-4]

1.000 = FV x (0,9708738 + 0,9425959 + 0,9151417 + 0,8884870)

1.000 = FV x 3,7170984

PV = FV1 x (1+i)-1 + FV2 x (1+i)-2 + FV3 x (1+i)-3 + FV4 x (1+i)-4

1.000 = FV1 x (1+0,03)-1 + FV2 x (1+0,03)-2 + FV3 x (1+0,03)-3 + FV4 x (1+0,03)-4

1.000 = FV = 269,03

3,7170984

Page 83: Apostila Matematica Financeira Final

83

Como:

Neste caso tiraram-se juros nas quatro parcelas mensais iguais e sucessivas

a taxa de juros de 3% ao mês. Em ambos os casos, atende-se às características de

séries uniformes. Assim temos:

Logo:

Substituindo (FV) por PMT : Periodic PayMenT = Valor de cada prestação

da série uniforme, teríamos:

Como são quatro prestações (1+i), será elevada até -4, pois caso fossem dez

prestações iguais, mensais e sucessivas o (1+i) elevar-se-ia até -10, se tivesse n

prestações então (1+i) elevar-se-ia até –n. Ficando de uma forma genérica:

PV = FV1 x (1+i)-1 + FV2 x (1+i)-2 + FV3 x (1+i)-3 + FV4 x (1+i)-4

PV = FV1 x (1+0,03)-1 + FV2 x (1+0,03)-2 + FV3 x (1+0,03)-3 + FV4 x (1+0,03)-4

FV1= FV2= FV3= FV4

PV = 270 x [(1+0,03)-1 + (1+0,03)-2 + (1+0,03)-3 + (1+0,03)-4]

PV = 270 (0,9708738 + 0,9425959 + 0,9151417 + 0,8884870)

PV = 270x3,7170984 ↔ PV = 1.003,62

PV = FV1 x (1+i)-1 + FV2 x (1+i)-2 + FV3 x (1+i)-3 + FV4 x (1+i)-4

Como: FV1= FV2= FV3= FV4

PV = PMT [(1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + (1+i)-4]

PV = FV [(1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + (1+i)-4]

Page 84: Apostila Matematica Financeira Final

84

Observe que há uma soma de uma sequência.Esta sequência é uma

Progressão Geométrica (PG), da qual temos todos os elementos para aplicar a

fórmula da soma de seus termos finitos.

a1 = Primeiro termo = (1+i)-1; an = Último termo = cc; e, q = razão = (1+i)-1. A

fórmula da soma dos termos de uma PG é:

Substituindo-se:

Multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo coeficiente.

Tirando os parênteses do denominador.

PV = PMT [(1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + ....(1+i)-n]

St = a1 - an .q

1 – q

St = (1+i)-1 - (1+i)-n. (1+i)-1

1 - (1+i)-1

St = (1+i)-1 - (1+i)-n-1 (1+i) ,

1 - (1+i)-1 (1+i)

St = 1 - (1+i)-n ,

(1+i) - 1

Page 85: Apostila Matematica Financeira Final

85

PV = PMT x (1+i)n – 1

i (1+i)n

Multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo coeficiente.

Esse é o resultado da soma dos termos da PG

Então temos:

PV : Present Value = Valor Presente = valor do Capital Inicial;

i : taxa de juros por período de capitalização expressa em (%);

PMT : Periodic PayMenT = Valor de cada prestação da série uniforme; e,

n : número de parcelas (quando se utiliza o PMT na calculadora).

Fórmula do valor atual de uma série postecipada.

A característica principal do Valor Atual de uma Série Postecipada é que o

Valor Atual (PV) encontra-se sempre um período antes da primeira prestação.

No caso dos exemplos (a) e (b), aplicar-se-á a fórmula do valor atual de uma

série postecipada para a resolução:

St = 1 - (1+i)-n (1+i)n ,

i (1+i)n

St = (1+i)n – 1 ,

i (1+i)n

Page 86: Apostila Matematica Financeira Final

86

Exemplo (a)

FV1

1.000,00

FV2 FV3 FV4

1 2 3 4

i = 3% a.m.

Na calculadora HP 12C

f fin, 1.000 CHS PV

3 i

4 n

PMT 269,03

Caso a resposta não seja esta,

provavelmente, no visor, terá a

abreviatura Begin (início) como

a série é postecipada clique g

(função azul) e END

(fim), agora sumirá a palavra

Begin e sua calculadora está

programada para séries

postecipadas.

PV = PMT x (1+i)n – 1

i (1+i)n

1.000 = PMT x (1+0,03)4 – 1

0,03 (1+0,03)4

1.000 = PMT x 0,1255088

0,0337653

1.000 = PMT x 3,7170984

__1.000__ = PMT =269,03

3,7170984

Nota-se que, agora, mesmo

sendo 100 parcelas, o que

mudam são os expoentes.

Page 87: Apostila Matematica Financeira Final

87

Exemplo (b)

270,00

1 2 3

4

i = 3% a.m.

PV

270,00 270,00 270,00

PV = 270 x (1+i)n – 1

i (1+i)n

PV = 270 x (1+0,03)4 – 1

0,03 (1+0,03)4

PV = 270 x 0,1255088

0,0337653

PV = 270 x 3,7170984

PV = 1.003,62

Nota-se que, agora, mesmo

sendo 50 parcelas, o que

mudam são os expoentes.

Na calculadora HP 12C

f fin, 270 CHS PMT

3 i

4 n

PV 1.003,62

Caso a resposta não seja esta,

provavelmente, no visor, terá a

abreviatura Begin (início) como a

série é postecipada clique g (função

azul) e END (fin), agora

sumirá a palavra Begin e sua

calculadora está programada para

séries postecipadas.

Page 88: Apostila Matematica Financeira Final

88

1) Determinar o valor principal de um financiamento realizado com uma taxa

efetiva de 1% ao mês, no regime de juros compostos, e que deve ser liquidado em

12 prestações mensais, sucessivas e iguais a R$ 1.000,00. (PUCCINI: 2004. pg. 94)

2) Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos trimestrais,

iguais e sucessivos de R$ 700,00 sendo a taxa de juros igual a 1,7% ao mês.

3) Obtenha o preço a vista de um automóvel financiado à taxa de 3% ao mês,

sendo o numero de prestações igual a 10 e R$ 1.500,00 o valor de cada prestação

mensal, vencendo a primeira, um mês após a compra. (HAZZAN & POMPEO:

2007. pg. 161)

Atividades de Aprendizagem

Page 89: Apostila Matematica Financeira Final

89

4) Um automóvel foi comprado por R$ 1.000,00 de entrada mais um saldo de

18 prestações mensais de R$ 120,00. Calcular o valor a vista do automóvel,

sabendo-se que os juros do financiamento foram de 1% ao mês. (FRANCISCO:

1991. pg. 148)

5) Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em quatro pagamentos mensais e

iguais de R$ 550,00 cada, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja

opera a uma taxa de juros de 5% ao mês, qual seu preço à vista? (HAZZAN &

POMPEO: 2007. pg. 153)

6) Comprei uma calculadora para pagar em três parcelas de R$ 24,00 cada

uma, sendo a primeira no ato da compra e as demais em 30 e 60 dias,

respectivamente. Qual o preço a vista da calculadora se a taxa cobrada pela loja

que a vendeu é de 8,5% ao mês? (VERAS: 2005. pg. 144)

Page 90: Apostila Matematica Financeira Final

90

7) Um empresário adquiriu equipamentos, com valor de R$ 36.000,00, a ser

pago em 36 prestações mensais e iguais, com uma taxa de juros de 1,8% ao mês.

Determinar o valor das prestações, caso a primeira parcela seja paga um mês após

a compra. (SILVA: 2008. pg. 76)

8) Um automóvel usado é vendido a vista por R$ 30.000,00, mas pode ser

vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês

após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% ao mês,

obtenha o valor de cada prestação. (HAZZAN & POMPEO: 2007. pg. 154)

9) Um eletrodoméstico, cujo preço a vista é R$ 68,00, está sendo vendido com

uma entrada de 20% do preço e o restante em seis prestações mensais com juros de

5,5% ao mês. De quanto serão a entrada e as prestações? (VERAS: 2005. pg. 143)

Page 91: Apostila Matematica Financeira Final

91

10) Uma mercadoria, a vista, custa R$ 101.513,84, podendo ser adquirida em

seis prestações mensais, sendo a primeira paga em mês após a compra a taxa de

5% ao mês. Calcule o valor de cada prestação. (KUHNEN: 2001, pg. 130)

11) Um empresário tomou um financiamento de R$ 50.000,00, para ser pago em

12 prestações mensais, iguais e postecipadas a uma taxa de 2% ao mês.

Imediatamente após o sexto pagamento, o empresário propôs uma renegociação

ao banco, que aceitou refinanciar em 18 prestações mensais adicionais, todas do

mesmo valor, a serem pagas a partir do final do sétimo mês. Determinar o valor

das novas prestações mensais, sabendo que a taxa de juros da operação permanece

a mesma. (SILVA: 2008. pg. 85)

Page 92: Apostila Matematica Financeira Final

92

12) Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um

equipamento, cujo valor a vista é de R$ 10.000,00. Para diminuir o valor das

prestações, ele pretende dar uma entrada de R$ 3.000,00 por ocasião da compra.

Determinar o valor das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, para a parte

financiada, sabendo-se que o financiamento é realizado a juros compostos de 15%

ao ano, capitalizados mensalmente, e que a primeira prestação ocorre 30 dias após

a liberação dos recursos. (PUCCINI: 2004. pg. 118)

13) Um veículo está sendo vendido com prestações de R$ 1.500,00. Se a taxa de

juros vigente é de 24% ao ano capitalizado mensalmente, qual deve ser o preço a

vista do veículo nas seguintes alternativas:

a) 12 pagamentos mensais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro pagamento

daqui a 120 dias.

b) 15 pagamentos bimestrais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro pagamento

daqui a 60 dias.

Page 93: Apostila Matematica Financeira Final

93

c) 18 pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro

pagamento daqui a 150 dias.

14) Um imóvel está sendo vendido a vista por R$ 100.000,00. Se a taxa de juros

vigente é de 48% ao ano capitalizada mensalmente, qual deve ser o preço da

parcela nas seguintes alternativas:

a) 24 pagamentos mensais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro pagamento

daqui a 30 dias.

b) 24 pagamentos mensais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro pagamento

daqui a 60 dias.

c) 6 pagamentos semestrais, iguais e sucessivos sendo o primeiro pagamento

daqui a um ano.

Page 94: Apostila Matematica Financeira Final

94

15) O financiamento de um veículo deverá ser amortizado em 20 parcelas

sucessivas, iguais e mensais. Sabendo-se que o valor de cada parcela é de

R$ 350,00 e que a taxa cobrada foi de 4% ao mês, calcular o valor do pagamento

único, no 10º mês, que poderia substituir o plano inicial.

16) Um consumidor adquire um terreno, financiado para pagamento em 12

parcelas mensais, sendo as 6 primeiras de R$ 300,00 e as restantes de R$ 400,00.

Qual o valor financiado, sabendo-se que a taxa de juros cobrada foi de 48% ao ano,

capitalizado mensalmente.

17) Uma empresa está negociando com um banco a obtenção de um

empréstimo de R$ 30.000,00 para ser pago em 2 anos com parcelas mensais. Após

um estudo sobre as suas disponibilidades de caixa a empresa, concluiu que

poderia estar pagando as 12 últimas parcelas no valor de R$ 2.000,00 cada.

Sabendo-se que a taxa de juros cobrada foi de 3% ao mês, pergunta-se: qual o valor

das 12 primeiras parcelas?

Page 95: Apostila Matematica Financeira Final

95

18) Uma empresa consegue, junto a determinado banco, um financiamento de

R$ 40.000,00, esse financiamento deverá ser liquidado em 12 prestações mensais,

iguais e consecutivas. Depois de pagar as 5 primeiras prestações, a empresa

propôs ao banco liquidar o saldo devedor com 4 prestações mensais iguais, apenas

mantendo a mesma taxa inicial de juros 5%ao mês. Calcular o valor de cada

prestação mensal.

19) Uma pessoa consegue um empréstimo no valor de R$ 60.000,00. Esse

empréstimo deverá ser pago em 25 prestações mensais iguais e sucessivas, à taxa

de 4%ao mês. Imediatamente após o pagamento da oitava prestação, verificou que

não teria condições de continuar pagando as prestações com os valores

inicialmente estipulados. Propôs ao banco que o saldo devedor fosse re-

financiado em 30 prestações mensais e iguais sucessivas. Determinar o valor dessa

nova prestação mensal, considerando que a taxa de 4%ao mês foi mantida na

renegociação.

Page 96: Apostila Matematica Financeira Final

96

3.2 Séries antecipadas/rendas antecipadas

A característica principal do Valor Atual de uma Série Antecipada é que o

Valor Atual (PV) encontra-se sempre sob a primeira prestação.

Geralmente aplica-se nos casos de financiamentos em que se exige uma

entrada do mesmo valor da prestação.

Veja o exemplo: Um veículo está sendo vendido em 24 prestações mensais,

iguais e sucessivas de R$ 350,00, sedo o primeiro no ato do negócio. Sabendo-se

que a taxa cobrada no financiamento é de 3% ao mês, calcule o valor a vista do

veículo.

Fórmula do valor atual de uma série postecipada.

Se aplicarmos esta fórmula o valor do PV estará um período antes da primeira

prestação, sendo assim, aplicar-se-á com n=23 depois somar-se a uma prestação.

Ou

Fórmula do Valor atual de séries antecipadas

PV = PMT x (1+i)n – 1 i (1+i)n-1

PV = 350 x (1+0,03)23 – 1 0,03 (1+0,03)23

PV = 350 x 16,443608 = 5.755,26 + 350 = 6.105,26

PV = PMT x (1+i)n – 1 i (1+i)n

Page 97: Apostila Matematica Financeira Final

97

A diferença é que no denominador utiliza-se n – 1,Veja:

Dessa forma, o resultado é direto.

1) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em seis

prestações mensais, a taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra.

Qual será o valor de cada prestação? (KUHNEN: 2001. pg. 148)

2) Uma mercadoria é vendida a prazo, em cinco pagamentos mensais de R$

700,00. Sendo de 3,5% ao mês a taxa de juros, determinar o seu preço a vista,

admitindo que o primeiro pagamento é efetuado no ato da compra. (ASSAF

NETO: 2001. pg. 200)

PV = 350 x (1+0,03)24 – 1 0,03 (1+0,03)24-1

PV = 350 x 17,443608 = 6.105,26

Atividades de Aprendizagem

Page 98: Apostila Matematica Financeira Final

98

3) Um terreno é vendido em quatro prestações mensais e iguais de R$

150.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa do

financiamento for de 4% ao mês, qual o preço a vista? (HAZZAN & POMPEO:

2007. pg. 155)

4) Mariana deseja comprar panelas para seu enxoval de casamento em quatro

prestações iguais mensais com entrada (1+3). A taxa de juros compostos do

crediário é de 4% ao mês. Se as panelas custam a vista R$ 220,00, qual o valor das

prestações? (BRUNI & FAMÁ: 2004. pg. 380)

5) Um imóvel está sendo vendido com prestações de R$ 8.500,00. Se a taxa de

juros vigente é de 24% ao ano, capitalizado mensalmente, qual deve ser o preço a

vista do móvel nas seguintes alternativas:

a. 12 pagamentos mensais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro pagamento

no ato do negócio.

b. 15 pagamentos bimestrais , iguais e sucessivos sendo o primeiro pagamento

no ato do negócio.

c. 18 pagamentos trimestrais antecipados, iguais e sucessivos.

Page 99: Apostila Matematica Financeira Final

99

6) Um apartamento está sendo vendido a vista por R$ 100.000,00. Se a taxa de

juros vigente é de 48% ao ano, capitalizada mensalmente, qual deve ser o preço da

parcela nas seguintes alternativas:

a. 12 pagamentos bimestrais, iguais, sucessivos e antecipados.

b. 24 pagamentos mensais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro pagamento

no ato do negócio.

3.3 Montante de séries postecipadas

No regime de captalização de juros simples e compostos, na Unidade I, do

fascículo você se preparou para o “Future Velue” (FV), a partir de um valor

presente, como a quitação de uma dívida em um único pagamento futuro ou

aplicação de um único capital para formação de um montante em certo tempo com

uma determinada taxa de rendimento.

Aqui, no capitulo das séries uniformes, você aprendeu também que o

estudo das séries lhe fornece o necessário para estabelecer planos de poupança, de

financiamento, de recomposição de dívidas e avaliação de alternativas de

investimentos através do cálculo do seu valor atual “Present Velue” (PV).

Mas como você obteria o montante de uma série de pagamentos uniformes,

como uma dívida quitada por meio de uma série de pagamentos mensais? ou

Page 100: Apostila Matematica Financeira Final

100

Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados

PMT = 100,00 i= 4 n=5 FV=?

0 1 2 3 4 5

100 100 100 100 100

FV?

ainda como aferir o montante no final do ano a partir de uma série de aplicações

trimestrais?

Nas séries uniformes, o Montante FV é a soma dos valores futuros de cada

um dos seus termos, realizada conforme o exemplo:

Exemplo (a):

Cálculo do valor futuro de cada uma das cinco aplicações:

Portanto:

FV1 = 100 x (1,04)4 = 116,98

FV2 = 100 x (1,04)3 = 112,49

FV3 = 100 x (1,04)2 = 108,16

FV4 = 100 x (1,04)1 = 104,00

FV5 = 100 x (1,04)0 = 100,00

FVt = 541,63

Onde FVt = FV1+ FV2 + FV3 + FV4 + FV5

FVt = 100 x (1,04)4 + 100 (1,04)3 + 100 (1,04)2 + 100 x (1,04)1 + 100 x (1,04)0

Page 101: Apostila Matematica Financeira Final

101

1 x (1,04)5 - 1 (1,04)5- 11,04-1 0,04

FVt= 100 x 100 x =

(1 + i)n- 1i

FVt= PMT x

Colocondo-se PMT em evidência, temos:

é a soma de uma PG de razão 1,04, temos a seguinte fórmula:

a1 x qn - a1

q-1SPG=

Sabendo-se que a1 = (1,04)0 = 1, q = 1,04 e n = 5, temos:

Como PMT = 100,00, n = 5 e i = 0,04 Podemos montar a fórmula genérica:

Se para os problemas que envolvem cálculo de juros compostos, o uso das

calculadoras financeiras facilitou bastante, para problemas que envolvem séries

uniformes elas são quase imprescindíveis. Veja como é simples operá-la,

resolvendo o exemplo anterior:

As teclas próprias para as séries uniformes são as seguintes:

As teclas 7 (BEG) e 8 (END) são usadas para retornarem os valores das

séries postecipadas e imediatas, respectivamente.

FVt = 100 x [(1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4]

Como: (1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4

Page 102: Apostila Matematica Financeira Final

102

Observe a resolução do exemplo (a), na HP 12C:

Na calculadora HP 12C:

f fin, 100 CHS PMT

4 i

5 n

FV 541,63

Caso a resposta não seja esta, provavelmente no visor terá a abreviatura

Begin (início) como a série é postecipada clique g (função azul) e END

(fim), agora sumirá a palavra Begin e sua calculadora está programada para séries

postecipadas.

1) Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma sequência de sete

depósitos mensais e sucessivos, no valor de R$ 800,00 cada, numa conta de

poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,1% ao mês. (ASSAF NETO:

2001. pg. 188)

Atividades de Aprendizagem

Page 103: Apostila Matematica Financeira Final

103

2) Determine o valor futuro de uma série de 18 aplicações mensais, iguais e

sucessivas, no valor de R$ 1.600,00, a taxa de 2% ao mês, sabendo que a primeira

parcela é aplicada no final do primeiro mês. (BRUNI & FAMÁ: 2004. pg. 372)

3) Calcular o montante gerado por 12 depósitos mensais e consecutivos de

R$ 200,00, a taxa de 3% ao mês, na data do ultimo depósito. (LOCIKS: 2005. pg.

130)

4) Uma pessoas faz depósitos mensais durante três anos, numa instituição

financeira que paga 0,83% ao mês de juros. No primeiro ano, seus depósitos são de

R$ 3.000,00. No segundo ano, R$ 5.000,00 e no terceiro são de R$ 8.000,00. Qual o

montante no final do terceiro ano, após fazer o 36º depósito? (VERAS: 2005. pg.

174)

5) Um pai, interessado em fazer uma poupança para seu filho, resolveu

depositar mensalmente R$ 500,00, durante 21 anos, com o primeiro depósito a ser

efetuado daqui a um mês. Determinar o montante disponível para o filho, ao final

do período, sabendo que a taxa de juros é de 6% ao ano. (SILVA: 2008. pg. 83)

Page 104: Apostila Matematica Financeira Final

104

6) Uma pessoa planejando a compra de um terreno prevê dispêndios

(pagamento) mensais de R$ 5.000,00 nos meses de setembro/outubro e novembro.

Quanto deve ser depositado de janeiro a agosto do mesmo ano, para que seja

possível efetuar tais retiradas. Considerar uma remuneração em todo o período

de 3,5% ao mês.

7) Uma pessoa deposita mensalmente R$ 900,00, por um período de dois anos e

meio, em uma aplicação que rende 1,5% ao mês de juros. Pede-se.

a) Se a pessoa ao final dos depósitos continuar com o dinheiro aplicado, qual o

valor que ela poderá retirar mensalmente em 8 saques, sendo o primeiro 30 dias,

após o último depósito e não sobrar saldo algum ao final da 8º retirada?

b) (Se a pessoa ao final dos depósitos continuar com o dinheiro aplicado, qual o

valor que ela poderá retirar trimestralmente em 8 saques, sendo o primeiro 90

dias após o último depósito e não sobrar saldo algum ao final da 8º retirada?

Page 105: Apostila Matematica Financeira Final

105

UNIDADE 4

AMORIZAÇÃO DE DÍVIDA

Ao final dessa unidade, o aluno deverá ser capaz de:

o Diferenciar os sistemas de amortização utilizados

o Calcular os valores de amortização

Page 106: Apostila Matematica Financeira Final

106

Page 107: Apostila Matematica Financeira Final

107

UNIDADE IV AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDA

Os financiamentos de capital, imóvel, veículos, entre outros, são operações

que envolvem a devolução do valor financiado mais os juros, conforme o tempo

e a forma pré-estabelecida. O cliente deve analisar pelo menos três pontos:

1º A taxa de juros cobrada, pois é ela que onera a opção de pagar a

prazo;

2° Valores a serem desembolsados. Não adianta ter uma excelente taxa

de juros ou sistema de amortização se não tiver caixa para pagar o

compromisso. Analisando de um outro prisma, muitos leigos que desejam

financiar algo decidem comprar um determinado bem se a parcela

“couber no bolso”, independente dos números de parcelas;

3° Taxas, impostos, tarifas e quaisquer outros valores que onerem a

operação, além da taxa de juros. Muitas vezes, o agente sabendo que o

cliente geralmente faz uma analise simples apenas da taxa de juros,

embute outros valores alheios como: taxa de abertura de crédito (TAC) e

taxa de cadastro.

Existem várias formas de amortizar (pagar) uma dívida. Desde que se

pague a dívida (capital) e seus respectivos juros. No entanto, existem formas

sistematicamente pré-definidas que serão descritas no decorrer da unidade.

4.1 Sistema Do Montante Ou Bullet (Silva 2008 p. 108)

Conceito: A amortização, devolução do capital emprestado e juros

acumulados, em um único pagamento.

Page 108: Apostila Matematica Financeira Final

108

FV = PV (1+i)n

FV = 10.000(1+0,1)4

FV = 10.000 x (1,1)4

FV = 10.000 x 1,4641

Na Calculadora Financeira HP 12-C

f fin 10.000 CHS PV

4 n

10 i

FV = 14.641,00

Cálculo: Utiliza-se a função FV na calculadora HP 12 C, ou utilizando a

fórmula FV = PV (1 + i)n.

Exemplo: Um empresário empresta RS 10.000,00 para ser devolvido após

quatro meses, pagando juros de 10% ao mês pelo sistema do montante.

As tabelas de amortização são utilizadas para mostrar a evolução de um

financiamento ao longo do tempo, exibindo os juros, a amortização do principal,

as prestações e o saldo devedor em cada período.

1.641,00

10.000,00

1 2 3 4

PeríodoPrestação

(pagamento)Juros Amortização

Saldo Devedor

0 10.000,00 1 1.000,00 11.000,00 2 1.100,00 12.100,00 3 1.210,00 13.310,00 4 14.641,00 1.331,00 13.310,00 -

Page 109: Apostila Matematica Financeira Final

109

J = 10.000 x 0,1 J = 1.000,00

(juros periódicos, neste caso mensal)

Observações:

Os juros são demonstrados periodicamente. O saldo devedor aumenta

devido aos juros acumulados. No último período é pago o saldo devedor e o juro

do mês. Neste tipo de amortização de dívida, a tabela é importante para

averiguarmos o quanto de juros periodicamente tem-se de despesa na operação.

4.2 Sistema de Amortização Americano (SAM ou SAA)

Conceito: Consiste em pagar periodicamente os juros, e ao final do período,

os juros do período mais a devolução do principal (capital).

Cálculo: Em cada período é calculado os juros na fórmula Valor Presente

vezes a taxa de juros (J = PV x i)

Exemplo: Um empresário empresta R$ 10.000,00 para ser devolvido após 4

meses pagando-se juros de 10% ao mês pelo sistema de amortização americano.

0

1 2 3 4

10.000

1.000 1.000 1.000 11.000

Page 110: Apostila Matematica Financeira Final

110

Tabela de amortização.

PeríodoPrestação

(pagamento)Juros Amortização Saldo Devedor

0 10.000,00

1 1.000,00 1.000,00 10.000,00

2 1.000,00 1.000,00 10.000,00

3 1.000,00 1.000,00 10.000,00

4 11.000,00 1.000,00 10.000,00 -

Observações:

Os juros são pagos periodicamente. O saldo devedor continua constante

devido ao pagamento dos juros. No último período são pagos o saldo devedor e os

juro do mês. Neste tipo de amortização de dívida, a tabela é importante para

averiguarmos que os juros não se acumulam devido ao pagamento dos mesmos.

4.3 Sistema de Amortização Price “Francês”.

Conceito: Consiste em pagar prestações constantes.

Cálculo: Como já foi visto anteriormente no capítulo de séries uniformes,

utiliza-se função PMT na calculadora HP 12 C, ou utilizando a fórmula do valor

atual de séries uniformes postecipadas PV = PMT (1 + i) n- 1

i x (1 + i)n

Exemplo: Um empresário empresta R$ 10.000,00, para ser devolvido após 4

prestações mensais, iguais e consecutivas, pagando-se uma taxa de juros de 10%

ao mês pelo sistema price.

Page 111: Apostila Matematica Financeira Final

111

PeríodoPrestação

(pagamento)Juros Amortização

Amortização acumulada

Saldo Devedor

0 10.000,00

1 R$ 3.154,71 1.000,00 R$ 2.154,71 R$ 2.154,71 7.845,29

2 R$ 3.154,71 784,53 R$ 2.370,18 R$ 4.524,89 5.475,11

3 R$ 3.154,71 547,51 R$ 2.607,20 R$ 7.132,08 2.867,92

4 R$ 3.154,71 286,79 R$ 2.867,92 R$ 10.000,00 0,00

Em tópicos anteriores calculavam-se as prestações, mas não se chegava a

reflexões mais profundas como: pagando-se 4 parcelas de 3.154,71 serão pagos os

juros de 10% ao mês e devolvido o principal de 10.000,00? Se 3.154,71 é o valor da

prestação, será que na prestação parte é pagamento de juros e parte é principal?

Será que os juros, na primeira prestação, são maiores que na última? Para

responder e provar estas questões, completar-se-á a tabela de amortização.

Tabela de amortização.

0

1 2 3 4

10.000

3.154,71 3.154,71 3.154,71 3.154,71

Na Calculadora Financeira

f fin 10.000

CHS PV

4 n

10 i

PMT =

3.154,71

PV = PMT (1 + i) n- 1

i x (1 + i)n

10.000 = PMT (1 + 0,1)4- 1

0,1 x (1 + 0,1)4

PMT = 10.000 = 3.154,71

3,169865

Page 112: Apostila Matematica Financeira Final

112

Observações:

Os juros são calculados com base no saldo anterior (do que ainda se devia).

No primeiro mês são R$ 10.000 x 10% = R$ 1.000, no segundo mês R$ 7.845,29 x

10% = R$ 784,53.

Como as prestações são constantes e o juro calculado sobre o saldo devedor,

então, a amortização é a diferença entre ambos. No primeiro mês, R$ 3.154,71 – R$

1.000,00 = R$ 2.154,71, no segundo mês R$ 3.154,71 – R$ 784,53 = R$ 2.370,18.

A amortização acumulada é a soma da amortização do mês mais o que já

tinha sido amortizado. No primeiro mês é a repetição da amortização, enquanto

que no segundo mês, é a soma de R$ 2.154,71 + R$ 2.370,18, pois, no final, deve-se

acumular o total do principal, no caso os R$ 10.000,00.

O saldo devedor é calculado, sempre diminuindo a amortização do período.

No primeiro mês, o saldo é R$ 10.000,00 – R$ 2.154,71 = R$ 7.845,29, note que, no

último período, o saldo devedor tem que ser zero, ou seja, toda dívida deve ser

paga.

Com esta tabela de amortização, chegamos às seguintes conclusões das

reflexões anteriores: Pagando-se 4 parcelas de R$ 3.154,71 paga-se os juros de 10%

ao mês e devolve-se o principal de R$ 10.000,00. Se R$ 3.154,71 é o valor da

prestação, parte é pagamento dos juros e o restante do principal.

Os juros, na primeira prestação, são maiores que na última, pois o saldo

devedor (dívida) é maior.

4.4 Sistema de Amortização Constante (SAC).

Conceito: Consiste em pagar em amortizações constantes, como próprio

nome já enfatiza.

Cálculo: Como as amortizações são constantes, pega-se o valor principal e

divide-se pelo número de amortizações para saber o valor da amortização.

Page 113: Apostila Matematica Financeira Final

113

Exemplo: Um empresário empresta R$ 10.000,00 para ser devolvido após 4

prestações, mensais e consecutivas pagando-se uma taxa de juros de 10% ao mês

pelo sistema SAC.

Tabela de amortização

Observações:

Os juros são calculados com base no saldo anterior (do que ainda se devia).

No primeiro mês, são o R$ 10.000 x 10% = R$ 1.000, no segundo mês, R$ 7.500,00 x

10% = R$ 750,00.

Como as amortizações são constantes e o juro calculado sobre o saldo

devedor, então, a prestação é a soma entre ambos. No primeiro mês, R$ 2.500,00 +

R$ 1.000,00 = R$ 3.500,00, no segundo mês, R$ 2.500,00 + R$ 750,00 = R$ 3.250,00.

0

1 2 3 4

10.000

3.500,00 3.250,00 3.000,00 3.250,00

A = Amortização

PV = Valor Presente/principal

n = Número de parcelas

A = PV = 10.000 = 2.500

n 4

PeríodoPrestação

(pagamento)Juros Amortização

Amortização acumulada

Saldo Devedor

0 10.000,00

1 R$ 3.500,00 1.000,00 R$ 2.500,00 R$ 2.500,00 7.500,00

2 R$ 3.250,00 750,00 R$ 2.500,00 R$ 5.000,00 5.000,00

3 R$ 3.000,00 500,00 R$ 2.500,00 R$ 7.500,00 2.500,00

4 R$ 2.750,00 250,00 R$ 2.500,00 R$ 10.000,00 -

Page 114: Apostila Matematica Financeira Final

114

A amortização acumulada é a soma da amortização do mês mais o que já

tinha sido amortizado. No primeiro mês é a repetição da amortização, enquanto

que no segundo mês é a soma de R$ 2.500,00 + R$ 2.500,00, pois, no final, deve-se

acumular o total do principal, no caso, os R$ 10.000,00.

O saldo devedor é calculado sempre diminuindo a amortização do período.

No primeiro mês, o saldo é R$ 10.000,00 – R$ 2.500,00 = R$ 7.500,00, note que, no

último período, o saldo devedor tem que ser zero, ou seja, toda dívida deve ser

paga.

1) Um estudante adquiriu um computador por R$ 4.000,00, com pagamentos

em 6 prestações mensais postecipadas, a uma taxa de juros de 12% ao ano

capitalizados mensalmente. Montar as tabelas de amortização e determinar os

valores das prestações nos seguintes sistemas: (a) Americano;(b) Francês: (c) SAC.

(SILVA: 2008. pg. 123)

PeríodoPrestação

(pagamento)Juros Amortização

Amortização acumulada

Saldo Devedor

0123456

Sistema de Amortização Americano

Atividades de Aprendizagem

Page 115: Apostila Matematica Financeira Final

115

PeríodoPrestação

(pagamento)Juros Amortização

Amortização acumulada

Saldo Devedor

0123456

Sistema de Amortização Francês

PeríodoPrestação

(pagamento)Juros Amortização

Amortização acumulada

Saldo Devedor

0123456

Sistema de Amortização Constante

2) Um empresário adquiriu um equipamento por R$ 50.000,00, para ser pago

no final de 1 ano à taxa de 24% ao ano, capitalizado mensalmente, pelo sistema de

amortização Bullet. Descreva a planilha de amortização demonstrando os detalhes

da operação.

PeríodoPrestação

(pagamento)Juros Amortização

Amortização acumulada

Saldo Devedor

0123456789

101112

Sistema de Bullet

Page 116: Apostila Matematica Financeira Final

116

3) Uma empresa recebe um financiamento de R$ 300.000,00, em 31/12/X5,

para ser pago em seis prestações semestrais pelo sistema francês. Desejando-se

saber quais serão as parcelas de juros anuais, construir planilha, considerando-se a

taxa de juros efetiva de 30% ao ano.

PeríodoPrestação

(pagamento)Juros Amortização

Amortização acumulada

Saldo Devedor

0123456

Sistema de Amortização Francês

4) Um imóvel está sendo vendido à vista por R$ 150.000,00, ou, cobrando-se

uma taxa de 60% ao ano capitalizada mensalmente, para ser liquidado em 4

pagamentos anuais consecutivos. Elaborar os planos de amortização da dívida,

price e SAC.

PeríodoPrestação

(pagamento)Juros Amortização

Amortização acumulada

Saldo Devedor

01234

Sistema de Amortização Francês

PeríodoPrestação

(pagamento)Juros Amortização

Amortização acumulada

Saldo Devedor

01234

Sistema de Amortização Constante (SAC)

Page 117: Apostila Matematica Financeira Final

117

UNIDADE 5

ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

Ao final dessa unidade, o aluno deverá ser capaz de:

o Entender o siginficado de Investimento Pay Back

o Calcular valores como retorno de investimento e valor

presente líquido

Page 118: Apostila Matematica Financeira Final

118

Page 119: Apostila Matematica Financeira Final

119

UNIDADE V – ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

Grande parte dos empresários e administradores, com o espírito

empreendedor que lhes é peculiar, estão sempre atentos e em busca das melhores

oportunidades do mercado, como um novo investimento, compra de outros

grupos ou expansão de seus empreendimentos. Todas estas opções devem ser

avaliadas em projetos que possam refletir as possíveis situações futuras.

Os cálculos de análise de investimentos são regidos por princípios, segundo

Kuhnen & Bauer (2001 p. 389:391) são:

o principais princípios da engenharia econômica;

o não existe decisão com alternativa única;

o só se podem comparar alternativas homogêneas;

o apenas as diferenças de alternativas são relevantes;

o os critérios para decisão de alternativas econômicas devem

reconhecer o valor do dinheiro no tempo;

o não se pode esquecer o problema do capital escasso;

o as decisões devem levar também em consideração os eventos

qualitativos não quantificáveis monetariamente.

Os projetos resumem-se em duas grandes avaliações uma qualitativa e

outra quantitativa, esta em fluxos financeiros de investimentos e retiradas em

ciclos periódicos (mensais, anuais etc.) em determinado período em que o

empresário “consegue enxergar no futuro”. Partindo-se do princípio que o

ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

um projeto consiste em um conjunto de informações de natureza

quantitativa e qualitativa que permitem estimar um cenário com

base em uma alternativa escolhida. (KASSAI ET. ALL. 2000, P.57)

Page 120: Apostila Matematica Financeira Final

120

25.000

12.000 11.000 10.000 9.000 24.000

1 2 3 4 5

0

empresário investe recurso financeiro, pois deseja ter um retorno percentual e

consequentemente financeiro, demonstrar-se-ão os principais métodos de

avaliação de investimento.

5.1 PAYBACK

Esta é uma das formas mais simples de se analisar um investimento, baseia-

se no tempo de recuperação do capital investido. Apesar da forma simplista, não

deixa de ser uma forma de analisar um investimento.

Conceitos de PAYBACK

“O payback corresponde ao tempo necessário para que os fluxos de

caixa positivos recuperem os fluxos de caixas negativos, e é

normalmente expresso em anos. Seu cálculo é obtido a partir dos fluxos

de caixa nominais e a decisão de aceitar ou não um projeto é tomada

com base em algum período limite arbitrário (o período de payback

deverá ser inferior a este limite), sem considerar o custo de capital”

(SILVA 2002, p.146-147)

“É o período de recuperação de um investimento e consiste na

identificação do prazo em que o montante do dispêndio de capital

efetuado seja recuperado por meio de fluxos líquidos de caixa gerados

pelo investimento” (KASSAI. 2002, p.84)

Exemplo, (KASSAI 2002: p. 84)

Page 121: Apostila Matematica Financeira Final

121

Ano Investimento Retorno Saldo a Recuperar

Zero 25.000 (25.000)

1º 12.000 (13.000)

2º 11.000 (2.000)

3º 10.000 8.000

4º 9.000 17.000

5º 24.000 41.000

A recuperação do investimento será no terceiro ano, porém deverá ser feito numa

proporção do que falta para o que houve de retorno, da seguinte forma:

Payback é de 2,2 anos

Observam-se as seguintes limitações segundo Kassai et all (2000, p.86):

“Não leva em consideração a magnitude dos fluxos de caixa e sua

distribuição nos períodos que antecedem ao período de payback;

Não levam em consideração os fluxos de caixa que ocorrem após o

período de payback.

A maior limitação é que os valores são tratados nominalmente, ou seja,

não se leva em consideração o valor do dinheiro no tempo.”

2.000 = 0,2

10.000

Page 122: Apostila Matematica Financeira Final

122

Calcule o Payback do fluxo a seguir MERCHEDE. (2001, p. 346).

Este projeto tem uma vida estipulada em sete anos.

5.2 Taxa Interna de Retorno

Quando um investidor aplica recursos em um determinado banco

geralmente o que ele pergunta primeiro ao funcionário é: Qual a aplicação que

está rendendo a melhor taxa de juros?

O investidor sabe que, se aplicar na operação que tem a melhor taxa de

juros, o retorno financeiro será maior.

Então, a pergunta é: será que, depois de mensurado o fluxo financeiro

constante de investimentos e retiradas em determinado período, não haveria uma

taxa que resumisse todo o fluxo?

220.000

5.000

30.000

36.000

295.000

40.000 36.000 36.000

0 1

2 3 4 5 6 7

Investimento

Retiradas

Page 123: Apostila Matematica Financeira Final

123

0 = FCo + __FC1___ + __FC2_ + __FC3___ + __FC4___ ... + __FCn___ (1+TIR)1 (1+TIR)2 (1+TIR)3 (1+TIR)4 (1+TIR)n

A TIR (Taxa Interna de Retorno) é uma das soluções deste problema.

Seguem alguns conceitos de autores.

“A taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que iguala, em determinado

momento do tempo, o valor presente das entradas (recebimentos) com

os das saídas (pagamentos) previstas em caixa. Geralmente, adota-se a

data de início da operação - momento zero - como data focal de

comparação dos fluxos de caixa.” ASSAF NETO. (2001, p. 271)

É a taxa que anula o saldo dos valores atuais do fluxo de caixa. Quando

analisamos diversas alternativas de investimentos pelo método de Taxa Interna de

Retorno, é necessário equipararmos o investimento inicial, ou seja, aplica-se a

diferença de investimento pela taxa mínima de atratividade nas mesmas condições

do investimento base. ”KUHNEN & BAUER (2001, pg. 415)

“Nos casos de análise de aplicações de projetos de investimento, têm-se

na data zero, uma entrada, que representa o investimento inicial (ou o

empréstimo ou o financiamento) e diversos fluxos futuros de caixa. A

TIR equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas) com o

valor presente de um ou mais recebimentos (entradas). (MERCHEDE.

2001, p. 345)

Page 124: Apostila Matematica Financeira Final

124

Exemplo de Taxa Interna de Retorno MERCHEDE (2001, pg. 346)

Este projeto tem uma vida estipulada em sete anos.

Destina-se à introdução do fluxo de caixa inicial

Destina-se à introdução de fluxos de caixa

Destina-se à introdução da frequência dos fluxos de caixa

Calcula a taxa interna de retorno.

220.000

5.000

30.000

36.000

295.000

40.000 36.000 36.000

0 1

1 2 3 4 5 6

Investimentos

Retiradas

Page 125: Apostila Matematica Financeira Final

125

Solução:

considerando os investimentos como negativo e retiradas positivo temos:

Isso quer dizer que o retorno deste projeto é de 13, 919039% ao ano, nestes sete

anos.

Calcule a Taxa Interna de retorno a seguir

5.3 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)

O valor presente líquido é uma técnica que apresenta a resposta em valores

monetários, diferente da TIR em que a resposta é percentual, podendo dizer que o

VPL e a TIR se complementam em termos de decisão. Citam-se, a seguir, conceitos

de autores:

220.000 CHS g CFo

5.000 CHS g CFj

30.000 g CFj

36.000 g CFj 3 g Nj

40.000 g CFj

295.000 g CFj

f IRR 13, 919039% ao ano

Page 126: Apostila Matematica Financeira Final

126

VPL = FCo + __FC1__ + __FC2_ + __FC3__ + __FC4__ ... + __FCn__ (1 + i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i)n

“O método do Valor Presente Líquido para análise dos

fluxos de caixa é obtido pela diferença entre o valor presente

dos benefícios (ou pagamentos) previstos de caixa, e o valor

presente do fluxo de caixa inicial (valor do investimento, do

empréstimo ou do financiamento).” ASSAF NETO (2001, p.

278)

“Consiste em calcular o valor presente de uma série de

pagamentos (ou recebimentos), iguais ou diferentes, a uma

dada taxa, e deduzir deste valor o fluxo inicial (valor do

investimento, financiamento ou empréstimo). Em outras

palavras, é a diferença entre os valores atuais dos fluxos de

recebimento e os valores atuais dos pagamentos.”

MERCHEDE (2001, p. 336)

“Consiste em determinar o valor atual do fluxo de caixa

(receitas e despesas), empregando a taxa mínima de

atratividade. Calculando os valores atuais das alternativas

apresentadas, encontramos a melhor delas pela diferença

entre os valores atuais das receitas e despesas. A que

apresentar melhor resultado a favor do investidor será a

alternativa preferida.” KUHNEN & BAUER (2001, p. 394)

“O valor presente líquido (VPL) ou net present value (NPV)

de um fluxo de caixa corresponde a trazer todos os fluxos

futuros para o valor atual, descontando-se uma taxa de juros,

que corresponde ao custo de capital, também chamada de

custo de oportunidade ou taxa mínima de atratividade. Esta

taxa representa o retorno que o investidor poderia obter em

uma aplicação no mercado com risco comparável.” SILVA

(2009, p. 141)

Page 127: Apostila Matematica Financeira Final

127

Na calculadora

Destina-se a introdução do fluxo de caixa inicial

Destina-se a introdução de fluxos de caixa

Destina-se a introdução da freqüência dos fluxos de caixa

Taxa mínima de atratividade/custo de oportunidade

Calcula o valor presente líquido de um fluxo de caixa

Aplicação de Valor Presente Líquido

MECHEDER (2001, p. 337)

Certo investidor pretende comprar um apartamento por R$ 220.000,00, para ter retorno de no mínimo 12% anuais. Ele espera manter o imóvel por sete anos depois vendê-lo por R$ 250.000,00. Sendo previstos os fluxos de caixa apresentados a seguir, determinar se o investimento renderá os 12% pretendidos.

Page 128: Apostila Matematica Financeira Final

128

Observa-se que no sétimo ano ele pretende vender por R$ 250.000,00 mais

tem o aluguel do período de R$ 45.000,00, ficando em R$ 295.000,00.

f NPV R$ 22.089,90, ou seja, este valor corresponde ao superávit

financeiro do projeto, pois além dos 12% ao ano pretendidos, o investidor teve um

resultado financeiro positivo no tempo zero.

Faça o mesmo cálculo, ou se estiver ainda com este número de 22.089,90 no

visor, clique em 15 i, ou seja, uma taxa de atratividade de 15% e depois

clique em f NPV, a resposta será de R$ -13.316,92, resposta negativa.

Observa-se que com 15% de taxa de retorno o projeto é inviável, mas qual

seria o mínimo de taxa de juros que esse projeto comportaria?

A resposta é 13,919039% ao ano, correspondendo a TIR (conforme exemplo

anterior).

220.000 CHS g CFo

5.000 CHS g CFj

30.000 g CFj

36.000 g CFj 3 g Nj

40.000 g CFj

295.000 g CFj

Page 129: Apostila Matematica Financeira Final

129

Conclusão

NPV maior que 0 IRR maior que TMA

Investimento viável. A

taxa interna de retorno

(IRR) é maior que o custo

de oportunidade

NPV igual a 0 IRR igual à TMA

Investimento proporciona

rentabilidade igual ao

custo de oportunidade

NPV menor que 0 IRR menor que a TMA

Investimento inviável. A

taxa interna de retorno

(IRR) é menor que o custo

de oportunidade.

Page 130: Apostila Matematica Financeira Final

130

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