Apostila Estatistica v2.0
description
Transcript of Apostila Estatistica v2.0
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SOROCABA
APOSTILA DE ESTATÍSTICA CURSO: PROCESSAMENTO DE DADOS
Ao escrever esta Apostila não pretendi outra coisa, senão proporcionar aos alunos da disciplina ESTATÍSTICA, a facilidade
de dispor de notas de aulas dos temas do Programa da Disciplina.
O acompanhamento das aulas e a pesquisa em Bibliografia sobre o assunto, tornam-se necessárias para o adequado aproveitamento do curso.
PROF. OSNI PAULA LEITE
ÍNDICE
1.0 DEFINIÇÕES DE ESTATÍSTICA ......................................................................... 1
1.1 POR QUE ESTUDAR ESTATÍSTICA?......................................................... 1
1.2 A NATUREZA DOS DADOS ........................................................................ 1
1.3 TIPOS DE DADOS ....................................................................................... 2
1.4 TIPOS DE LEVANTAMENTOS .................................................................... 3
1.5 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS ..................................................... 4 EXERCÍCIOS: E-1...................................................................................................... 5
2.0 AMOSTRAGEM ................................................................................................... 6
2.1 DEFINIÇÕES................................................................................................ 6
2.2 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA BASEADA EM NÚMEROS ALEATÓRIOS
(RANDÔMICOS) ................................................................................................ 8
2.3 OUTROS PLANOS DE AMOSTRAGEM...................................................... 9
2.4 AMOSTRAGEM POR JULGAMENTO (NÃO PROBABILÍSTICA) ................ 9
2.5 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA ........................................................... 10
2.5.1 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA............................................................... 10
2.5.2 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA ......................................................... 11
2.5.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADO............................................. 11
RESUMO.......................................................................................................... 11
EXERCICIOS: E-2.................................................................................................... 13
3.0 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS........................................................... 14
4.0 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ................................................................... 15 5.0 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS ............... 19 6.0 APRESENTAÇÃO GRÁFICA ............................................................................ 20
6.1 DIAGRAMA DE ORDENADAS................................................................... 20
6.2 DIAGRAMA DE BARRAS........................................................................... 21
6.3 DIAGRAMA DE CÍRCULOS ....................................................................... 22
6.4 DIAGRAMA DE SETORES CIRCULARES ................................................ 23
6.5 DIAGRAMA LINEAR .................................................................................. 25
6.6 O PICTOGRAMA ................................................................................................ 26
7.0 MONTAGEM DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS ........................... 27
7.1 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQÜÊNCIAS................................. 31
7.2 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS ............ 32
7.3 POLIGONO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA OU OGIVA........................ 33
7.4 POLIGONO DA FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA ........................ 34
8.0 TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO ................................................................................ 35
8.1 DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA OU EM FORMA DE SINO ........................... 35
8.2 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA................................................................. 36
8.3 DISTRIBUIÇÃO MODAL, AMODAL, BIMODAL E MULTIMODAL ............. 37
8.4 APRESENTAÇÃO TIPO RAMO-E-FOLHAS .............................................. 38
9.0 MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL ............................... 40
9.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ................................................................. 40
9.2 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA.......................................................... 41
9.3 MEDIANA (x) .............................................................................................. 41
9.4 MODA ( x ) ............................................................................................... 43
10.0 MEDIDAS DE VARIABILIDADE (DISPERSÃO).............................................. 44
10.1 AMPLITUDE TOTAL (R.T.) ...................................................................... 44
10.2 DESVIO PADRÃO.................................................................................... 45
10.2.1 DESVIO PADRÃO AMOSTRAL (S) ....................................................... 45
10.2.2 DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO (σ) ............................................... 46
10.2.3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DESVIO PADRÃO.......................... 46
10.2.4 SISTEMATIZAÇÃO PARA O CÁLCULO................................................ 47
10.3 VARIÂNCIA .............................................................................................. 48
11.0 DISTRIBUIÇÃO NORMAL .............................................................................. 49 EXERCÍCIOS: E-3.................................................................................................... 55
12.0 PROBABILIDADE............................................................................................ 56
12.1 ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS......................................................... 57 12.2 TRÊS ORIGENS DA PROBABILIDADE................................................... 58
12.3 A MATEMÁTICA DA PROBABILIDADE ................................................... 59
EXERCÍCIOS: E-4.................................................................................................... 62
13.0 TECNICAS DE CONTAGEM ........................................................................... 63
13.1 O PRINCIPIO DA MULTIPLICAÇÃO........................................................ 64 13.2 PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO. ....................................... 65 13.3 REGRAS DE CONTAGEM....................................................................... 68
EXERCÍCIOS: E-5.................................................................................................... 69
14.0 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES......................................................... 70
14.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ...................................................................... 72
EXERCICIOS: E-6.................................................................................................... 76
14.2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON......................................................................... 77 EXERCICIOS: E-7.................................................................................................... 79
15.0 CORRELAÇÃO................................................................................................ 80
15.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 80
15.2 RELAÇÃO FUNCIONAL E RELAÇÃO ESTATÍSTICA ............................. 80 15.3 DIAGRAMA DE DISPERSÃO................................................................... 81 15.4 CORRELAÇÃO LINEAR.......................................................................... 82
15.5 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR........................................... 85
15.6 CUDADOS COM OS ERROS COM A INTERPLETAÇÃO DE CORRELAÇÃO ................................................................................................ 87
EXERCICIOS: E-8.................................................................................................... 88
16.0 REGRESSÃO LINEAR .................................................................................... 91
16.1 AJUSTAMENTO DE CURVAS ................................................................. 91
16.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ................................................ 92
16.3 ANÁLISE DE REGRESSÃO..................................................................... 95
EXERCÍCIOS E-9......................................................................................................98
1
ESTATÍSTICA
1.0 DEFINIÇÕES DE ESTATÍSTICA
Etimologicamente a palavra estatística vem de “status” expressão latina que
significa, ”sensu lato”, o estudo do estado. Os primeiros a empregarem esse termo
foram os Alemães seguidos pela Itália, França, Inglaterra e ainda por outros paises.
Para Levasseur a estatística é : “O estudo numérico dos fatos sociais”.
Yule define estatística como: “Dados quantitativos afetados marcadamente por uma
multiplicidade de causas”.
Uma definição mais usual nos dias de hoje seria: “Um método cientifico que permite
a análise, em bases probabilística, de dados coligados e condensados”
Ou ainda podemos dizer que é: “A coleta, o processamento, a interpretação e a
apresentação de dados numéricos que pertencem ao domínio da estatística”
1.1 POR QUE ESTUDAR ESTATÍSTICA?
Por hora podemos dizer que o raciocínio estatístico é largamente utilizado no
governo e na administração; assim, é possível que, no futuro, um empregador venha
a contratar ou promover um profissional por causa do seu conhecimento de
estatística.
1.2 A NATUREZA DOS DADOS
O dados estatísticos constituem a matéria prima das pesquisas estatísticas, eles
surgem quando se fazem mensurações ou se restringem observações.
Estatística descritiva: Trata-se da descrição e resumo dos dados.
2
Probabilidade: É um estudo que envolve o acaso.
Interferência: É a analise e interpretação de dados amostrais (Amostragem).
Modelo: São versões simplificadas (Abstrações) de algum problema ou situação
real.
1.3 TIPOS DE DADOS
Quantitativos Contínuos
Discretos
Qualitativos Nominais
Por postos
As variáveis contínuas podem assumir qualquer valor num intervalo contínuo. Os
dados referentes a tais variáveis dizem-se dados contínuos. Ex. Peso, comprimento,
espessura onde usa-se a mensuração.
As variáveis discretas assumem valores inteiros de dados discretos são os
resultados da contagem de números de itens. Ex. alunos da sala de aula, número de
defeitos num carro novo, acidentes de uma fábrica.
Os dados nominais surgem quando se definem categorias e se conta o número de
observações pertencentes a cada categoria. Ex.: atuam dentro das variáveis
“Qualitativas” as quais devemos associar a valores numéricos para que possamos
processar estatisticamente. Ex.: cor dos olhos (azuis, verdes, castanhos), sexo
(masculino e feminino), desempenho (excelente, bom, sofrível, mau) etc.
Os dados por postos consistem de valores relativos atribuídos para denotar ordem:
primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. Ex.: concurso de beleza se classificam em
1ª,2ª,3ª colocadas.
3
TABELA: 1 A mesma população pode originar diferentes tipos de dados.
TIPOS DE DADOS
POPULAÇÕES CONTÍNUOS DISCRETOS NOMINAIS POR POSTO
Alunos de administração idade/peso N. De classes Homens/Mulheres 3º grau
1.4 TIPOS DE LEVANTAMENTOS
Os levantamentos podem ser classificados em contínuos, periódicos e ocasionais:
CONTÍNUO: Quando os eventos vão sendo registrados à medida que
ocorrem.Exemplos os registros civis dos fatos vitais (nascimento, óbitos e
casamentos).
PERIÓDICOS: Acontecem ciclicamente. Exemplo é o rescenceamento, feito no
Brasil a cada dez anos.
OCASIONAIS: São aqueles realizados sem a preocupação de continuidade ou
periodicidade preestabelecidas, exemplos a maioria dos trabalhos de investigação
cientifica.
DADOS PRIMÁRIOS: Quando o investigador não encontra dados publicados
adequados ao seu estudo, parte para a realização de um inquérito, isto é, os dados
são levantados diretamente na população no momento da investigação.
DADOS SECUNDÁRIOS: Quando o investigador para verificar as sua hipóteses de
trabalho utiliza- se de dados já existentes, arquivados, registrados ou publicados.
Podem ser até mesmo dados gerados pelo Departamento de Estatísticas de
Populações da Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).
4
1.5 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS
1. Definição do problema: Um Estudo ou Uma Análise
2. Formular plano para coleta de dados adequados
3. Coligir os dados
4. Analisar e interpretar os dados
5. Relatar as conclusões
5
EXERCÍCIOS: E-1
1- Identifique os seguintes exemplos em termos de tipos de dados:
a- 17 gramas
b- 3 certos, 2 errados
c- 25 segundos
d- 25 alunos na classe
e- tamanho de camisa
f- Km/litro
g- O mais aprazível
h- O mais lento
i- 5 acidentes no mês de maio
2- Responder as perguntas:
a- Defina o termo Estatística.
b- Responder a pergunta: Por que estudar estatística?
c- Dar exemplos de como um administrador pode se beneficiar do conhecimento
de Estatística?
6
2.0 AMOSTRAGEM
AMOSTRAGEM VERSUS SENSO: Uma amostra usualmente envolve o estudo de
uma parcela dos ítens de uma população, enquanto que o censo requer o estudo
de todos os ítens.
Restrições ao Censo:
- Custo
- Populações infinitas
- Dificuldade nos critérios (Precisão)
- Produtos de testes Destrutivos (fósforos, munições)
- Tempo despendido (atualização)
- Tipos de informações mais restritivas
Casos de excessão:
- Populações pequenas
- Amostras grandes em relação a população
- Se exige precisão completa
- Se já são disponíveis informações completas
2.1 DEFINIÇÕES
POPULAÇÃO: é o conjunto de indivíduos (ou objetos), que tem pelo menos uma
variável comum observável.
AMOSTRA: é qualquer sub-conjunto da população extraída para se realizar estudos
estatísticos
.
POPULAÇÃO
AMOSTRA
7
A estatística indutiva é a ciência que busca tirar conclusões probabilísticas
sobre a população, com base em resultados verificados em amostras retiradas
dessa população.
Entretanto não basta que saibamos descrever convenientemente os dados da amostra para que possamos executar, com êxito, um trabalho estatístico
completo. Antes de tudo é preciso garantir que a amostra ou amostras que serão
utilizadas sejam obtidas por processos adequados.
- O que é necessário garantir, em suma, é que a amostra seja “Representativa” da
população.
Dois aspectos nas amostras são fundamentais, e que dão a sua representatividade
em termos:
- Qualitativos: Amostras que representem todas as sub-populações, quando for o
caso.
- Quantitativos: Que possua quantidade de dados suficientes para representar a
População.
Na indústria onde amostras são freqüentemente retiradas para efeito de Controle da
Qualidade dos produtos e materiais, em geral os problemas de amostragem são
mais simples de resolver.
Por outro lado, em pesquisas sociais, econômicas ou de opinião, a
complexibilidade dos problemas de amostragem são normalmente bastante grandes.
- Interferência estatística envolve a formulação de certos julgamentos sobre um
todo após examinar apenas uma parte, ou a amostra, dele.
A probabilidade e a amostragem estão estreitamente correlacionadas e juntas
formam o fundamento da teoria de interferência.
- Amostragem é o ato de retirar amostra, isto é, a ação.
8
- Amostra é a quantidade de dados especificado para representar a população.
Amostragem aleatória permite estimar o valor do erro possível, isto é, dizer “quão
próxima” está à amostra da população, em termos de representatividade.
Amostragem não aleatória não apresenta esta característica.
Há vários métodos para extrair uma amostra talvez o mais importante seja a
amostragem aleatória de modo geral, a amostragem aleatória exige que cada
elemento tenha a mesma oportunidade de ser incluído na amostra.
Nas Populações discretas uma amostra aleatória é aquela em que cada item da
população tem a mesma chance de ser incluído na amostra.
Nas Populações contínuas, uma amostra aleatória é aquela em que a
probabilidade de incluir na amostra qualquer intervalo de valores é igual à
percentagem da população que está naquele intervalo.
Populações finitas: é quando, temos constituído por números finitos, ou fixos de
elementos, medidas ou observações.
Ex.: Peso bruto de 3000 latas de tinta de um certo lote de produção.
Populações infinitas: são aquelas que contém, pelo menos hipoteticamente, um
número infinito de elementos.
Ex. Produção de carros V.W. produzidos no Brasil e a serem produzidos (universo
volkswagem), processo probabilístico.
2.2 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA BASEADA EM NÚMEROS ALEATÓRIOS (RANDÔMICOS)
As tabelas de números aleatórios contém os dez algarismos 0,1,2,3,4,......,9. Esses
números podem ser lidos isoladamente ou em grupos; podem ser lidos em qualquer
ordem. A probabilidade de qualquer algarismo aparecer em qualquer ponto é 1/10.
Portanto todas as combinações são igualmente prováveis.
9
Conceitualmente, poderíamos construir uma tabela de números aleatórios
numerando dez bolinhas com os algarismos de 0 a 9 , colocando-as numa urna,
misturando bem e extraindo uma de cada vez, com reposição, anotando os valores
obtidos.
A titulo de ilustração poderíamos querer selecionar aleatoriamente 15 clientes de
uma lista de 830 de um grande magazine, a finalidade poderia ser :
Estimar a freqüência de compras;
Determinar o valor médio de cada compra;
Registrar as queixas contra o sistema.
2.3 OUTROS PLANOS DE AMOSTRAGEM
Amostragem probabilística versus Amostragem não probabilística
Os planos de amostragem probabilística são delineados de tal modo que se
conhece a probabilidade de todas as combinações amostrais possíveis. Em razão
disso, pode-se determinar a quantidade de variável amostral numa amostra
aleatória e uma estimativa do erro amostral. A amostragem aleatória é um exemplo
da amostragem probabilística.
A amostragem não probabilística é a amostragem subjetiva, ou por julgamento,
onde a variabilidade amostral não pode ser estabelecida com precisão,
conseqüentemente, não é possível nenhuma estimativa do erro amostral.
A verdade é que, sempre que possível, deve-se usar a amostragem probabilística.
2.4 AMOSTRAGEM POR JULGAMENTO (NÃO PROBABILÍSTICA)
Se o tamanho da amostra é bem pequeno; digamos, de uns 5 itens, a amostragem
aleatória pode dar resultados totalmente não representativos, ao passo que uma
pessoa familiarizada com a população pode especificar quais os itens mais
representativos da população.
10
Exemplo: Uma equipe médica deve trabalhar com pacientes que se apresentem
com voluntários para testar um novo medicamento. Nenhum desses grupos podem
ser considerados como uma amostra aleatória do público em geral, e seria
perigoso tentar tirar conclusões gerais com base em tal estudo. Todavia, os
resultados poderiam proporcionar uma base para a elaboração de um plano de
amostragem aleatório para validar os resultados básicos. Os perigos inerentes à
pesquisa médica , bem como outro tipo de pesquisa, freqüentemente obrigam a
limitar a pesquisa inicial a um pequeno grupo de voluntários.
Exemplo: A aplicação de hormônios em mulheres na menopausa, após um período
de tempo notou-se o aumento das chances de adquirirem câncer de mama, doenças
cardíacas etc.
2.5 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA
SISTEMÁTICA
ESTRATIFICADA
CONGLOMERADO
2.5.1 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
É muito parecida com a amostragem aleatória simples. Podemos ter uma
amostragem realmente aleatória, escolhendo-se cada K-ésima amostra, onde K
obtem-se dividindo o tamanho da população pelo tamanho da amostra.
K= N onde: N= Tamanho da População
n n= Tamanho da Amostra
EX. N= 200 e n=10 então K=200/10 = 20
Significa que será escolhido um item a cada seqüência de 20 de uma lista. Para
iniciar pode-se usar uma tabela de números aleatórios de 0 a 9 para iniciar os
grupos. Por exemplo se der o 9, escolhemos o 9º, 29º, 39º ,49º , etc.
11
2.5.2 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
Pressupõe a divisão da população em sub-grupos Homogêneos (Estratos),
procedendo então a amostragem de cada sub-grupo. Ex.: Para se fazer o inventário
do estoque, é comum termos 10% dos itens representarem cerca de 60% do valor
total em quanto que os 90% restantes representam só 40% do valor total (Curva
A,B,C; Pareto; regra 80/20).
2.5.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADO
Pressupõe a disposição dos itens de uma população em sub-grupos heterogêneos
(sub-populações) representativos da população global. Neste caso cada
conglomerado pode ser encarado como uma minipopulação.
Ex.: Estudo pré-eleitoral para medir a preferência dos eleitores. (Sub-grupos: sexo,
educação, faixa etária, poder aquisitivo, região da habitação,etc).
RESUMO
A finalidade da amostra é permitir fazer interferência sobre a população após
inspeção de apenas parte dela. Fatores com custo, ensaios destrutivos e
populações infinitas, tornam a amostragem preferível a um estudo completo
(Censo) da população.
Naturalmente espera-se que a amostra seja representativa da população da qual foi
extraída.
Potencialmente, este objetivo é atingido quando a amostragem é aleatória.
Para populações discretas o termo “Aleatório” significa que cada item da
população tem a mesma chance de participar na amostra.
No caso de populações contínuas, significa que a probabilidade de incluir qualquer
valor de um dado intervalo de valores é igual à proporção com valores naquele
intervalo.
12
As amostras aleatórias podem ser obtidas:
- Através de um processo de mistura, com o embaralhamento de cartas;
- Pela utilização de um processo mecânico (Misturadores);
- Utilizando-se uma tabela de números aleatórios para proceder à seleção de uma
lista.
Em certas condições, podem ser mais eficientes variantes da amostragem aleatória
simples, tais como amostragem sistemática (periódica), estratificada (sub-grupos
Homogêneos), ou amostragem por aglomerados (sub-grupos convenientes e
heterogêneos).
A principal vantagem da amostragem aleatória é que se pode determinar o grau de
variabilidade amostral, o que é essencial na interferência estatística. À
amostragem não probabilística falta esta característica.
13
EXERCICIOS: E-2
QUESTÕES PARA RECAPITULAÇÃO
1- Em que circunstância é a amostragem preferível a um censo completo?
2- Quando se deve preferir um censo a uma amostragem?
3- Defina “Amostra Aleatória”.
4- Descreva os vários métodos de obtenção de uma amostra aleatória. Como
escolher o método a ser usado em determinada situação?
5- Explique rapidamente as características:
a. da amostragem por conglomerado;
b. da amostragem estratificada;
c. da amostragem sistemática.
7- Que è amostragem por julgamento e em que circunstância deve ser usada?
8- Que é amostragem probabilística e quando deve ser usada?
9- Explique o significado de “Amostra Aleatória” quando a população è:
a. contínua b. Discreta
14
3.0 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS
Em alguma fase de seu trabalho, o pesquisador se vê às voltas com o problema de
analisar e entender uma massa de dados, relevantes ao seu particular objeto de
estudos.
De modo geral, podemos dizer que a essência da ciência é a observação e que seu
objetivo básico é a interferência. Esta é à parte da metodologia da ciência que tem
por objetivos a coleta, redução, análise e modelagem dos dados, a partir do que,
finalmente, faz-se a interferência para uma população, da qual os dados
(amostras) foram obtidos.
15
4.0 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Para cada tipo de variável existem técnicas mais apropriadas para resumir as
informações. Porem podemos usar algumas técnicas empregadas num caso,
podemos adaptá-las para outros. Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer a
distribuição dessa variável através das possíveis realizações (valores) da mesma.
Exemplo 1: Dados relativos a uma amostra de 36 funcionários de uma população
de 2000 funcionários da empresa Milsa. Ver resultados anotados na tabela abaixo.
16
TABELA 1
Nº ESTADO GRAU DE Nº DE SALÁRIO IDADE REGIÃO DE
CIVIL INSTRUÇÃO FILHOS (X SAL. MIN) ANOS MESES PROCEDÊNCIA
1 solteiro 1º grau --- 4 26 03 interior
2 casado 1º grau 1 4,56 32 10 capital
3 casado 1º grau 2 5,25 36 05 capital
4 solteiro 2º grau --- 5,73 20 10 outro
5 solteiro 1º grau --- 6,26 40 07 outro
6 casado 1º grau 0 6,66 28 00 interior
7 solteiro 1º grau --- 6,86 41 00 interior
8 solteiro 1º grau --- 7,39 43 04 capital
9 casado 2º grau 1 7,59 34 10 capital
10 solteiro 2º grau --- 7,44 23 06 outro
11 casado 2º grau 2 8,12 33 06 interior
12 solteiro 1º grau --- 8,46 27 11 capital
13 solteiro 2º grau --- 8,74 37 05 outro
14 casado 1º grau 3 8,95 44 02 outro
15 casado 2º grau 0 9,13 30 05 interior
16 solteiro 2º grau --- 9,35 38 08 outro
17 casado 2º grau 1 9,77 31 07 capital
18 casado 1º grau 2 9,8 39 07 outro
19 solteiro superior --- 10,53 25 08 interior
20 solteiro 2º grau --- 10,76 37 04 interior
21 casado 2º grau 1 11,06 30 09 outro
22 solteiro 2º grau --- 11,59 34 02 capital
23 solteiro 1º grau --- 12,OO 41 00 outro
24 casado superior 0 12,79 26 01 outro
25 casado 2º grau 2 13,23 32 05 interior
26 casado 2º grau 2 13,6 35 00 outro
27 solteiro 1º grau --- 13,85 46 07 outro
28 casado 2º grau 0 14,69 29 08 interior
29 casado 2º grau 5 14,71 40 06 interior
30 casado 2º grau 2 15,99 35 10 capital
31 solteiro superior --- 16,22 31 05 outro
32 casado 2º grau 1 16,61 36 04 interior
33 casado superior 3 17,26 43 07 capital
34 solteiro superior --- 18,75 33 07 capital
35 casado 2º grau 2 19,4O 48 11 capital
36 casado superior 3 23,3O 42 02 interior
17
Exemplo 2: Freqüência e percentagem da amostra de 36 empregados da
empresa Milsa segundo o grau de instrução.
TABELA 2
Exemplo 3: Freqüência e percentagem dos 2000 empregados (População) da
empresa Milsa (Censo x Probabilidade)
TABELA 3
Exemplo 4: Freqüência e percentagens dos 36 empregados (Amostra) da empresa
Milsa.
GRAU DE TABULAÇÃO FRQÚÊNCIA FREQ. RELATIVA
INSTRUÇÃO F FR %
1º grau I I I I I I I I I I I I 12 33,33
2º grau I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 50,OO
superior I I I I I I 6 16,67
TOTAL 36 100
GRAU DE FRQÜÊNCIA FREQ. RELATIVA FREQ. RELATIVA
INSTRUÇÃO F FR % Censo FR % Provável
1º grau 650 32,50 33,33
2º grau 1020 51,00 50,OO
superior 330 15,50 16,67
TOTAL 2000 100 100
18
TABELA 4
CLASSE DE SALÁRIOS FRQÜÊNCIA FREQ. RELATIVA
F FR %
4 I------- 8 10 27,78
8 I------- 12 12 33,33
12 I------- 16 8 22.22
16 I------- 20 5 13,89
20 I------- 24 1 2,78
TOTAL 36 100
Exemplo 5: Freqüências e percentagem dos empregados da empresa Milsa,
segundo Nº de filhos.
TABELA 5 NÚMERO DE FILHOS FREQÜÊNCIA FREQ. RELATIVA
Xi F FR %
0 4 20
1 5 25
2 7 35
3 3 15
5 1 5
TOTAL 20 100
EXERCÍCIO - Representar a distribuicao de frequencia para Idade e a Regiao de
procedencia dos funcionarios da Empresa Milsa.
19
5.0 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS
QUANTITATIVAS
A representação gráfica da distribuição de freqüências de uma variável tem a
vantagem de, rápida e concisamente, informar sobre a variabilidade da mesma.
Podemos optar por vários tipos de gráficos, porem qualquer que seja ele, devemos
especificar os elementos essenciais para a sua interpretação, que são:
- o título;
- o corpo;
- o cabeçario;
- as colunas indicadoras.
TÍTULO é a indicação que, precedendo a tabela, é colocado na parte superior da
mesma. Deve ser preciso, claro e conciso, indicando a natureza dos fatos estudados
(o que), e a época (quando) em que o mesmo foi observado.
CORPO da tabela é o conjunto de linhas e colunas que contem respectivamente,
as séries Horizontais e verticais de informações. Casa, cela ou célula é o
cruzamento de uma linha com uma coluna, onde se tem a freqüência com que a
categoria (ou categorias) aparecem.
CABEÇARIO é à parte da tabela em que é designada a natureza (as categorias,
as modalidades da variável) do conteúdo de cada coluna.
COLUNA INDICADORA é à parte da tabela em que é designada a natureza (as
categorias, as modalidades da variável) do conteúdo de cada linha.
Os elementos complementares de uma tabela são:
- Fontes;
- Notas.
FONTE é o indicativo, no rodapé da tabela, da entidade responsável pela sua
organização ou fornecedora dos dados primários. A razão da presença da fonte não
é somente honestidade cientifica, mas também permitir ao leitor a possibilidade de
consultar o trabalho original de onde procedem as informações.
NOTAS são colocadas no rodapé da tabela para esclarecimentos de ordem geral.
E são numeradas, podendo-se também usar símbolos gráficos, sendo comum o
asterisco.
20
6.0 APRESENTAÇÃO GRÁFICA
A apresentação gráfica dos dados e respectivos resultados de sua análise pode
também ser feita sob forma de figuras, em geral gráficos ou diagramas.
Gráficos devem ser auto-explicativos e de fácil compreensão, de preferência sem
comentários inseridos.Devem ser simples, atrair a atenção do leitor e inspirar
confiança.
6.1 DIAGRAMA DE ORDENADAS Para sua construção é traçada uma reta horizontal (ou vertical) de sustentação; a
partir de pontos eqüidistantes na reta, traça-se perpendiculares cujos
comprimentos sejam proporcionais às freqüências.
freqüências
12
10
8
6
4
2
0
4 I------- 8 8 I-------12 12 I-------16 16 I-------20 20 I-------24 Salários
21
6.2 DIAGRAMA DE BARRAS
A mesma distribuição acima poderia ser representada por meio de diagrama que
levasse em conta a magnitude da área da figura geométrica, já que a vista repousa melhor sobre uma superfície do que sobre uma linha.
freqüências
12
10
8
6
4
2
0
4 I-------8 8 I-------12 12 I-------16 16 I------- 20 20 I-------24
Salários
22
6.3 DIAGRAMA DE CÍRCULOS
Alem do retângulo, outra figura geométrica utilizada é o círculo ou conjunto de
círculos. Lembrando que a área do círculo é o produto do número irracional π =
(3,1416) pelo quadrado do raio (r), isto é, C= π.r ² , e desde que as áreas dos
diversos círculos devem ser proporcionais às magnitudes das freqüências, isto é, C
= α. f onde α é o fator de proporcionalidade, segue-se que:
α . f = π. r ² , ou seja, r = √ α .f Se chamar √ α de α`, tem-se : π π
portanto, os raios dos círculos devem ser proporcionais a raiz quadrada das
freqüências das modalidades da variável.
Assim se quisermos representar graficamente a distribuição da tabela 1.4, os raios
do círculo deverão ser:
r1 = √ 27,78 . α`= 5,27 . α`→ 5,27. 3 = 15.8 mm
r2 = √ 33,33 . α`= 5.77 . α`→ 5,77. 3 = 17,3 mm
r3 = √ 22.22. α`= 4,71. α`→ 4,71. 3 = 14,1 mm
r4 = √13,89 . α`= 3.72. α`→ 3,72. 3 = 11,1 mm
r5 = √ 2,78 . α` = 1,66 α`→ 1,66. 3 = 5,00 mm
A figura abaixo representa esta distribuição, com um α` adotado de 3 mm.
2,7%
22,22
%
27,78
%
33,33
% 13,89
%
r = α`.√ f
23
6.4 DIAGRAMA DE SETORES CIRCULARES
Outra opção seria através de setores circulares, na qual se divide a área total de um
círculo em subáreas (setores) proporcionais as freqüências.
Lembrando que o círculo compreende setores cujas áreas (S) são produto do raio (r) pelo tamanho do arco (a), isto é, S = r.a, e com S deve ser proporcional a freqüência
f, tem-se S= α.f , onde α é o fator de proporcionalidade; então:
α .f = r. a
a = α . f
r
Se chamarmos α de α`, tem-se S = α`. f , isto é, os arcos e os respectivos
r ângulos centrais de um círculo é igual a 360°, e sendo F a freqüência total, tem-se
360° = α`. F
ou seja: α`= 360° Portanto a = 360°. f
F F
Assim, a distribuição de freqüência da tabela 4 representando faixas de salários fica:
a1 = 360° x 27,78 = 100°
100
a2 = 360° x 33,33 = 120° 100
a3 = 360° x 22,22 = 80°
100
a4 = 360° x 13,89 = 50°
100
S5 = 360° x 2,78 = 10°
100
24
Diagrama de Setores Circular
.
Diagrama de Setores Circular feito automaticamente pelo excel
28%
33%
22%
14%3%
120° 50° 100° 80°
10°
25
6.5 DIAGRAMA LINEAR
No diagrama linear deve-se plotar os pontos nos eixos como foi feito no diagrama de
barras e em seguida unir esses pontos por semi-retas contituindo-se desta forma o
diagrama linear.
freqüências
12
x
10 x x
8
6 x
4
2 x
0
4 I-------8 8 I-------12 2 12 I-------16 16 I------- 20 20 I------- 24 salários
26
6.6 O PICTOGRAMA A figura abaixo mostra um exemplo de apresentação pictográfica de dados temporais
(comumente encontrada em jornais, revistas e relatórios de vários tipos), no caso abaixo
representa a população dos Estados Unidos.
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
Cada símbolo = 10 milhões de pessoas Pictograma da população dos Estados Unidos
27
7.0 MONTAGEM DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
A análise estatística de dados relativos a uma amostra de uma população, requer uma
aglutinação organizada de informações, conforme regras cuja prática demonstrou serem
eficientes.
Consideremos uma relação de pesos de pacotes de manteiga, em gramas, de uma
amostra de 100 pacotes extraídos parcialmente de um processo automático de
empacotamento.
A especificação de fabricação é 215 ±15 gramas (200 a 230 gramas)
TABELA 6
AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO
1 207 21 220 41 210 61 210 81 217
2 213 22 204 42 214 62 220 82 211
3 210 23 213 43 219 63 213 83 213
4 215 24 211 44 215 64 217 84 218
5 201 25 214 45 217 65 214 85 213
6 210 26 217 46 213 66 219 86 216
7 212 27 224 47 218 67 214 87 218
8 204 28 211 48 214 68 215 88 216
9 209 29 220 49 215 69 223 89 206
10 212 30 209 50 212 70 217 90 212
11 215 31 214 51 221 71 213 91 207
12 216 32 208 52 211 72 218 92 213
13 221 33 217 53 218 73 207 93 215
14 219 34 214 54 205 74 210 94 212
15 222 35 209 55 220 75 208 95 223
16 225 36 212 56 203 76 214 96 210
17 215 37 208 57 216 77 211 97 226
18 218 38 215 58 222 78 205 98 224
19 213 39 211 59 206 79 215 99 214
20 216 40 216 60 221 80 207 100 215
O agrupamento destes dados em sub-grupos é feito com base nos seguintes conceitos:
28
Amplitude total (R.T.): é a diferença entre a medida máxima e a medida mínima. No
caso da amostra de pacotes de manteiga acima, temos:
R.T. = 226 – 201 = 25 gramas
Número de classes (d) : é o número de divisões que estipulamos para a Amplitude Total.
Normalmente pode-se usar d = √ n onde n= número de itens na amostra para o
exercício temos d = √ 100 → 10 classes, porem deve-se utilizar sempre que possível
número impar de classes no caso 9 classes.
Classe: é o intervalo de variação das medidas.
Amplitude do intervalo de classe (R.I.): é a diferença entre os valores máximos e
mínimos de cada classe.
Amplitude intervalo de cada classe R.I . = R.T
Número de Classes
No caso do exercício temos:
Amplitude intervalo de cada classe R.I . = 25 = 2,7 aprox. 3
7
RI adotado = 3 RT adotado = 27 diferenca 2 comeca uma antes do menor e termina
um antes do maior valor.
As classes devem ser mutuamente exclusivas, para que não haja duvida na localização
dos valores das variáveis, podemos dai utilizar as seguintes simbologias para os
intervalos:
0 ----I 10 intervalo aberto & fechado, para significar que o intervalo compreende os
valores da variável maiores do que 0 (excluído) e até 10 (inclusive);
0 I---- 10 intervalo fechado & aberto, para significar que compreende os valores da
variável a partir de 0 (inclusive) e até 10 (exclusive);
0 ----- 10 Intervalo aberto & aberto, para significar que compreende valores maiores do
que 0 e menores do que 10.
29
0 I----I 10 intervalo fechado & fechado, para significar que compreende os valores da
variável a partir de 0 (inclusive) e até 10 (inclusive).
TABELA de DISTRIBUIÇÃO das FREQÜÊNCIAS Para a facilidade e metodização do processo de análise estatística, monta-se um tabela
que agrupe as informações obtidas, de forma de Tabela de Freqüências. Para os pacotes
em pauta, teremos a seguinte tabela de freqüências:
TABELA 7
VALOR COMPRIMENTO FREQ. FREQUENCIA FREQUENCIA FREQUENCIA
CLASSE CLASSE TABULAÇÃO F RELATIVA % ACUM. ACUM. REL.%
1 200 ---I 203 I I 2 2 2 2
2 203 ---I 206 I I I I I I 6 6 8 8
3 206 ---I 209 I I I I I I I I I I 10 10 18 18
4 209 ---I 212 I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 18 36 36
5 212 ---I 215 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 28 28 64 64
6 215 ---I 218 I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 18 82 82
7 218 ---I 221 I I I I I I I I I I 10 10 92 92
8 221 ---I 224 I I I I I I 6 6 98 98
9 224 ---I 227 I I 2 2 100 100
∑ 100 100%
30
Onde:
Freqüência (F) = é o numero de vezes que as medidas ocorrem no intervalo de classes
Freqüência relativa (FR) = é a percentagem da freqüência de cada classe em relação ao
total de elementos.
FR = F d x 100
N
Freqüência acumulada (FA) = é a soma das freqüências até o intervalo de classe
considerado.
Ex. Fa5 = F1+ F2 + F3 + F3 + F5 → 2+ 6+ 10+ 18+ 28 = 64
Freqüência acumulada relativa (FAR) = é a soma das freqüências relativas até o
intervalo considerado
Far3 = Fr1 + Fr2 + Fr3 → 2 + 6 + 10 = 18
31
7.1 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQÜÊNCIAS freqüências
28
21
14
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES
POLIGONO DE FREQÜÊNCIAS
32
7.2 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS
%
28%
21%
14%
7%
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES
POLIGONO DE FREQÜÊNCIA RELATIVA
33
7.3 POLIGONO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA OU OGIVA
F.AC.
100
80
60
40
20
01 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES
POLIGONO DE FREQÜÊNCIAS ACUMULADA
34
7.4 POLIGONO DA FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA
%
F.AC REL.
100 %
80 %
60 %
40 %
20 %
0 %1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES
POLIGONO DE FREQÜÊNCIAS ACUMULADA RELATIVA
35
8.0 TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
As distribuições de freqüência podem se apresentar de diversas formas conforme as
figuras a seguir:
8.1 DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA OU EM FORMA DE SINO A distribuição é simétrica quando os valores se distribuem igualmente em torno da média
(X)
A) Normal
B) Alongada
36
C) Achatada
8.2 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA
É aquela em que as freqüências dos valores medidos, se distribuem de forma desigual
em torno da média.
A) Assimétrica Positiva
37
B) Assimétrica Negativa
8.3 DISTRIBUIÇÃO MODAL, AMODAL, BIMODAL E MULTIMODAL
Chamamos de moda numa distribuição, ao valor da medida ou classe que corresponde à
freqüência máxima. Sob o critério da moda as distribuições classificam-se em:
A) DISTRIBUIÇÃO MODAL – Quando a distribuição tem freqüência máxima ela è
denominada modal.
mo
B) DISTRIBUIÇÃO AMODAL – Quando a distribuição não tem moda
38
C) DISTRIBUIÇÃO BIMODAL – Quando a distribuição tem duas modas.
mo mo
D) DISTRIBUIÇÃO MULTIMODAL – Quando a distribuição tem mais de duas modas
mo mo mo 8.4 APRESENTAÇÃO TIPO RAMO-E-FOLHAS
Uma alternativa para o uso da tabela de distribuição de freqüências é usar o gráfico do
tipo ramo-e-folhas.
Podermos estudar a partir de um exemplo prático:
Observamos os seguintes números de passageiros em 50 viagens de um avião que faz
ponte aérea Rio - São Paulo:
39
61 52 64 84 35 57 58 95 82 64
50 53 103 40 62 77 78 66 60 41
58 92 51 64 71 75 89 37 54 67
59 79 80 73 49 71 97 62 68 53
43 80 75 70 45 91 50 64 56 86
SOLUÇÃO: F F.A.
3 5 7 2 2
4 0 1 3 5 9 5 7
5 0 0 1 2 3 3 4 6 7 8 8 9 12 19
6 0 1 2 2 4 4 4 4 6 7 8 11 30
7 0 1 1 3 5 5 7 8 9 9 39
8 0 0 2 4 6 9 6 45
9 1 2 5 7 4 49
10 3 1 50
A MEDIANA NESTE CASO SERÁ X = 64
40
9.0 MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL
Como o próprio nome indica, a medida de tendência central visa a determinar o centro da
distribuição. Esta determinação, porem, não é bem definida daí parece razoável
chamarmos de “tendência central”.
São medidas de tendência central:
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES/PONDERADA;
MEDIANA;
MODA.
9.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES Dada uma distribuição de freqüências, chama-se de média aritmética desta destituição, e
representa-se por a soma de todos os valores da variável, dividida pelo número de
variáveis “n”.
= Σx n n
Sendo: Σx i= 1
Exemplo: Calcular a média aritmética simples de 8, 3, 5, 12, 10.
= 8 + 3 + 5 + 12 + 10 = 38 = 7,6
5 5
41
9.2 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
K Σ xi .fi i= 1 = K Σx fi i= 1
onde: f = freqüência dos números x = números
Exemplo: Calcular a média ponderada dos números 5, 8, 6, 2 os quais ocorrem com as
freqüências 3, 2, 4 e 1, respectivamente
Números x = 5, 8, 6, 2
Freqüências f = 3, 4, 2, 1
= 3x5 + 4x8 + 2x6 + 1x2 = 57 = 5,7
3+4+2+1 10
9.3 MEDIANA (x)
Se ordenarmos uma seqüência de números do menor para o maior e se a quantidade
desses números for impar, então a mediana será o valor do meio, ou a média dos dois
valores do meio caso a quantidade de números seja par.
O símbolo que usamos para representar a mediana é x lê-se “x til”. No caso de calculo da mediana quando estamos trabalhando com distribuição de
freqüência determinamos o valor mais provável dessa distribuição a partir de:
x = Freqüência acumulada total = FA (para números pares)
2 2
42
Ou ainda A posição DA MEDIANA é definida por { n+1 } -ésimo elemento quando ”n”
é 2
é ímpar temos um número inteiro e dá a posição da mediana;
Exemplo: Determine a posição da mediana para a) n=15 b) n=45 c)n=88
a) n+1 = 15+1 = 8, e a mediana é o valor do 8° elemento;
2 2
b) n+1 = 45+1 = 23, e a mediana é o valor do 23° elemento;
2 2
c) n = 88 = 44 e a mediana é o valor correspondente ao valor do 44°elemento.
2 2
No caso do exercício da distribuição dos 100 valores de peso de pacotes de manteiga
temos:
X = n = 100 = 50, e a mediana é o valor do 50° elemento
2 2
FA 0 2 8 18 36 64 82 92 98 100
X 200 203 206 209 212 215 218 221 224 227
50°
(64 – 36) (215 – 212)
(64 – 50) Δ
36 64
212 215
50° valor
43
Δ = 14 x 3 = 1,5
28
portanto a mediana será 212 + Δ logo, X = 212 + 1,5 = 213,5
9.4 MODA ( x )
Em um conjunto de números a moda é o valor que ocorre com maior freqüência, isto é, o
valor mais comum.
Exemplos:
1) 2, 2, 3, 7, 8, 8, 8, 9, 10
moda=8
2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
moda = Ф (não existe moda)
3) 2, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9
moda = 4 e 8
Para o exemplo do exercício das distribuições de freqüências dos pacotes de
manteiga temos que a moda é o ponto médio da classe modal, localiza-se a classe
modal como sendo a classe com maior freqüência e em seguida determina-se seu
ponto médio.
Classe modal é a 5° classe, portanto moda = 212 + 215 = 213,5
2
44
10.0 MEDIDAS DE VARIABILIDADE (DISPERSÃO)
As medidas de dispersão indicam se os valores estão relativamente próximos uns
dos outros, ou separados. Podemos dizer que dispersão é o grau com o qual os
valores numéricos de uma distribuição tendem a se distanciar em torno de um valor
médio.
Em todos os casos, o valor zero indica ausência de dispersão; a dispersão aumenta
à proporção que aumenta o valor da medida (amplitude,desvio-padrao, variância).
xx x x x x xxx xxx xx x x
a) pequena dispersão
xx x x xxx x x x x x x x x xx x x xxx x x x xx x x x x xx
b) grande dispersão
10.1 AMPLITUDE TOTAL (R.T.)
É a medida mais simples de dispersão. É a diferença entre o maior e o menor valor
das observações.
R.T. = Xmax – Xmin
Embora exista simplicidade de cálculo, existem duas restrições ao seu generalizado:
1- Utiliza apenas uma parcela das informações contidas nas observações. O seu
valor não se modifica mesmo que os valores das observações variem, desde que
conservem os seus valores Máximo e mínimo.
2- Depende do número de observações na amostra. Em geral o valor da amplitude
cresce quando cresce o tamanho da amostra.
45
X min.I I x max.
R.T. = pequeno
X min. I I X max.
R.T. = Grande
10.2 DESVIO PADRÃO
É à medida que determina a variação dos valores observados em torno da média da
distribuição, e representa a distância do ponto de inflexão da curva até a linha da média.
10.2.1 DESVIO PADRÃO AMOSTRAL (S)
O desvio padrão da amostra representa a dispersão da amostra e é dada pela equação:
S = (X1- )² + (X2- )² + (X3- )² + ..... +(Xn- )² n
46
Onde: Xi = Medidas individuais
S = Σ ( Xi - ) ² n n = Número de elementos ou valores 10.2.2 DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO (σ)
O desvio padrão da população representa a o grau de dispersão da população em torno
da média é representado por σ, também representa a distância do ponto de inflexão, e é
dado pela expressão:
σ = (X1- )² + (X2- )² + (X3- )² + ..... +(Xn- )²
n - 1
σ = Σ ( Xi - ) ² n - 1 10.2.3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DESVIO PADRÃO
σ
+σ
47
10.2.4 SISTEMATIZAÇÃO PARA O CÁLCULO
Para sistematizar o cálculo do desvio padrão de uma amostra é utilizado o seguinte
procedimento:
1- Calcular o valor da média;
2- Montar a tabela abaixo
observações Xi
Xi -
(Xi - )² medidas
1 X1 X1 - (X1 - )² 2 X2 X2 - (X2 - )² 3 X3 X3 - (X3 - )²
. . . .
. . . .
. . . . n Xn Xn - ( Xn - )²
Σ (Xi- )²
3-Aplicam-se as fórmulas:
S = Σ ( Xi - ) ²
n
σ = Σ ( Xi - ) ² n - 1
48
10.3 VARIÂNCIA
Variância da população é a soma dos quadrados dos desvios de cada observação em
relação à média de “x”, divide-se por n – 1. Indica-se a Variância da População por σ² . Podemos fazer a mesma analogia com a Variância da Amostra dada por S².
Fórmula da variância da Amostra n
Σ ( Xi - ) ² S ² = i = 1
n
Fórmula da variância da População
n
Σ ( Xi - ) ² σ ² = i = 1 onde n – 1 = número de graus de liberdade
n - 1
Como medida de dispersão, a Variância tem a desvantagem de apresentar unidade de
medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. Se os dados estão em
metros, a Variância fica em metros quadrados.
O desvio padrão por sua vez, fica com valor na mesma da unidade da variável.
49
11.0 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
(ou de GAUSS, ou de LAPLACE, ou ainda, dos ERROS DAS OBSERVAÇÕES)
É uma distribuição contínua e simétrica, cujo gráfico tem a forma de um sino. A
distribuição normal é o resultado da atuação conjunta de causas aleatórias.
Parâmetros da Distribuição Normal
µ → Média da População
Determinam o formato da curva
σ → Desvio padrão da população
Equação da Função de Probabilidade – A equação da função de probabilidade é dada
pela expressão:
- ( x - µ )²
2 σ²
f(x) = 1 e
σ√ 2π
Do estudo de estatística concluímos que:
- a variável x pode assumir qualquer valor real no intervalo - ∞< x < +∞
F (x)
σ
x- 3σ
x- 2σ x- 1σ
x +1σ
x+ 2σ
x+ 3σ
50
- a variável x obedecerá a uma Distribuição Normal, se a probabilidade de que um valor
x seja menor ou igual a outro xo for:
- ( x - µ )²
x0 2 σ²
P( x < x0 ) = f(x0) = 1 e dx
σ√ 2π - ∞
- a integral da expressão representa a área compreendida entre - ∞ e xo.
- ∞ + ∞
Portanto:
“ A probabilidade de ocorrência de um valor menor ou igual à área abaixo da curva, entre
os valores - ∞ e xo” .
Os valores π = 3,1416 e e ( número neperiano) = 2,718 são constantes numéricas.
CARACTERISTICAS DA CURVA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A curva normal obedece necessariamente às seguintes características:
a- A média µ é o valor da variável x para o qual a f(x) é máxima.
F (x)
σ
X0
51
b- O desvio Padrão σ, é a distância entre a média e o ponto de inflexão da curva.
c- A área total sob a curva normal é igual a 1, pela própria equação da probabilidade.
d- Em virtude da simetria as áreas à direita e à esquerda do valor µ são iguais
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA Se tomarmos a equação auxiliar:
Z = X - µ
σ o que significa adotar como origem dos z o ponto em que x = µ e como unidade de
escalados z e o desvio padrão σ, teremos transformado a expressão da função das
probabilidades na distribuição normal reduzida:
- z² 2
f(z)= 1 e
σ√ 2π
Considerando, a partir da equação auxiliar:
dz = 1 dx σ dx = σ. dz
Portanto a função da probabilidade, em função de Z, será dada pela expressão:
52
- z²
z 2
f(z)= 1 e dz
σ√ 2π - ∞
As áreas sob a curva permanecem as mesmas, mas agora podem ser tabuladas em
função dos valores de Z (Ver figura abaixo, eixo dos Z). Basta construir a tábua das áreas
para os valores I(z), na tábua 1.
Por exemplo, a área desde Z=0, até Z= 1,0 é I(1,0) = 0,3413 ou 34,13% da área total da
curva; conseqüentemente, dentro do intervalo ± 1 σ temos 68,26% da área total da curva.
Se procurarmos a probabilidade de encontrarmos um valor de “x” dentro do intervalo
µ ± 0,95 onde é a media, σ é o desvio padrão da população, teremos:
P(- Z0 < Z < Z0) = P (µ – 0,95 σ < Z < µ + 0,95 σ) Iz1 = 0,3289 It= 0,6578 ou 65,78%.
Apresentamos na tabela abaixo alguns dos mais importantes intervalos de distribuição
normal para aplicações em exercícios de probabilidade na curva normal. TÁBUAS DE ÁREAS DA CURVA NORMAL
A partir da equação auxiliar Z = X - µ podemos transformar valores de x em
σ
valores de z e em seguida construir uma tabela com resultados das integrais, que
corresponde à área sob a curva xo intervalo de 0 a Z0 identificada por Iz0.
53
-3 -2 -1 0 1 2 3 Z
Transformação de X em Z
F (x)
σ
x- 3σ
x- 2σ x- 1σ
x +1σ
x+ 2σ
x+ 3σ
Xo Z= X - µ Zo
σ
µ µ - µ 0 σ
µ + 1σ µ + 1σ- µ 1 σ
µ + 2σ µ + 2σ- µ 2 σ
µ + 3σ µ + 3σ- µ 3 σ
µ - 1σ µ - σ - µ -1 σ
µ - 2σ µ - 2σ - µ -2 σ
µ - 3σ µ - 3σ - µ -3 σ
54
I Zo
0 Zo
AREAS I ZO = P (0 ≤ z ≤ Z0) para Z0= (x - µ)/ σ
Z0 I Z0
Z0 I Z0
Z0 I Z0
Z0 I Z0
Z0 I Z0
Z0 I Z0
0,00 0,0000 0,60 0,2257 1,20 0,3849 1,80 0,4641 2,40 0,4918 3,00 0,4987
0,05 0,0199 0,65 0,2422 1,25 0,3944 1,85 0,4678 2,45 0,4929 3,05 0,4989
0,10 0,0398 0,70 0,2580 1,30 0,4032 1,90 0,4713 2,50 0,4938 3,10 0,4990
0,15 0,0596 0,75 0,2734 1,35 0,4115 1,95 0,4744 2,55 0,4946 3,15 0,4992
0,20 0,0793 0,80 0,2881 1,40 0,4192 2,00 0,4772 2,60 0,4953 3,20 0,4993
0,25 0,0987 0,85 0,3051 1,45 0,4279 2,05 0,4798 2,65 0,4960 3,25 0,4994
0,30 0,1179 0,90 0,3159 1,50 0,4332 2,10 0,4821 2,70 0,4965 3,30 0,4995
0,35 0,1369 0,95 0,3289 1,55 0,4394 2,15 0,4842 2,75 0,4970 3,35 0,4996
0,40 0,1554 1,00 0,3413 1,60 0,4452 2,20 0,4861 2,80 0,4974 3,40 0,4997
0,45 0,1736 1,05 0,3531 1,65 0,4505 2,25 0,4878 2,85 0,4978 3,50 0,4998
0,50 0,1915 1,10 0,3643 1,70 0,4554 2,30 0,4893 2,90 0,4981 3,70 0,4999
0,55 0,2088 1,15 0,3749 1,75 0,4599 2,35 0,4906 2,95 0,4984 3,90 0,5000
55
EXERCÍCIOS: E-3
1- Trace uma curva normal e sombreie a área desejada a partir das informações:
a- área à direita de z=1,0
b- área da esquerda de z= 1,0
c- área entre z=0 e z=1,5
d- área entre z=0 e z= - 2,9
e- área entre z=1,0 e z= 2,0
f- área entre z= -2,0 e z= 2,0
g- área entre z= 2,5 e z=3,0
2- Ache os valores de z correspondentes as seguintes áreas:
a- área à esquerda de µ para Iz = 0,0505
b- área à esquerda de µ para Iz = 0,0228
c- área à esquerda Iz= 0,4505 e área da direita Iz = 0,4861
3- Uma distribuição normal tem media 50 e desvio padrão 5. Que percentagem da
população estaria provavelmente dentro dos intervalos:
a- P ( x ≤ 60)
b- P ( 35 ≤ x ≤ 62)
c- P ( 55 ≤ x ≤ 65)
d- P ( x > 55)
e- P ( 35 ≤ x ≤ 45)
4- Suponha uma renda média de uma grande comunidade possa ser razoavelmente
aproximada por uma distribuição normal com media anual de R$ 10.000,00 e
desvio padrão de R$ 2.000,00.
a- Que percentagem da população terá renda superior a R$ 15.000,00?
b- Numa amostra de 50 assalariados, quantos podemos esperar que tenham
menos de R$ 8.000,00 de renda?
56
12.0 PROBABILIDADE
O problema fundamental da estatística consiste em lidar com o acaso e a incerteza.
Chama-se probabilidade de um acontecimento a razão entre o número de casos
favoráveis ao mesmo e o número total de acontecimentos possíveis.
Assim quando se considera uma população limitada de P indivíduos, a probabilidade de
cada um ser escolhido, ao acaso, é de 1/P.
Laplace definiu probabilidade como: “O quociente do número de casos favoráveis sobre o
número de casos igualmente possíveis”.
Por exemplo, se jogarmos uma moeda “não viciada” para o ar, de modo geral não
podemos afirmar se vai dar cara ou coroa.
Porém existem apenas dois eventos possíveis: sair “cara” ou “coroa” Nesse exemplo
existe um caso favorável a esse evento em dois casos possíveis. A P (K) = ½ ou 50%.
Considerando-se “cara” como sucesso e “coroa” como fracasso e representando-se o
acontecimento favorável como “P” e o não favorável como “Q”, temos as razões:
P= ½ e Q = ½ Sendo P+Q = 1
Então P= (1 - Q) e Q = (1 - P)
A probabilidade de um evento A, denotada por P (A), é um número de 0 a 1, que indica a
chance de ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1,00 é P(A), maior é a
chance de ocorrência do evento A, e quanto mais próxima de Zero, menor é a chance de
ocorrência do evento A.
Um evento impossível atribui-se a probabilidade Zero.
Um evento certo tem probabilidade de 1.
As probabilidades podem ser expressas, inclusive por valores decimais, frações e
percentagem como: 20%; 2 em 10; 0,2; ou ainda 1/5.
57
Além do uso na interpretação de jogos de azar, usa-se ainda a probabilidade mediante
determinada combinação de julgamento, experiência ou dados históricos, para predizer
Quao Provável é a ocorrência de determinado evento futuro.
Há numerosos exemplos de tais situações no campo dos Negócios e do Governo. A
previsão da aceitação de um novo produto, o cálculo dos custos de produção, a
contratação de um novo empregado, o preparo do orçamento, a avaliação do impacto de
uma redução de impostos sobre a inflação – tudo isso contém algum elemento de Acaso.
12.1 ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS
Consideremos o experimento que consiste em “extrair uma carta de um baralho de 52
cartas”. Há 52 eventos elementares no espaço amostral. Quanto aos eventos podemos
classificá-los em:
ESPAÇO AMOSTRAL
COMPLEMENTO Cartas vermelhas e cartas pretas
Não se interceptam cartas de
MUTUAMENTE EXCLUDENTE copas e cartas de paus
NAO SÃO MUTUAMENTE Cartas de copas e figuras, tem
EXCLUDENTE elementos em comum.
Cartas de paus, ouro, copas e
COLETIVAMENTE EXAUSTIVO A B C D espadas
A
A B
A B
58
12.2 TRÊS ORIGENS DA PROBABILIDADE
Há três maneiras diferentes de calcular ou estimar probabilidades, O método Clássico,
quando o espaço amostral tem resultados igualmente prováveis. O método Empírico, que
se baseia na freqüência relativa de ocorrência de um evento num grande número de
provas repetidas; e o método Subjetivo, que utiliza estimativas pessoais baseadas num
certo grau de crença.
OBJETIVO SUBJETIVO
CLÁSSICO EMPÍRICO Opinião Pessoal
(resultados igualmente prováveis) (dados históricos)
O Método Clássico Os jogos de azar (lançamento de moedas, jogo de dados, extração de cartas)
usualmente apresentam resultados igualmente prováveis.
Nestes casos temos:
P(cada resultado) = 1
Número de resultados possíveis
Se cada carta de um baralho de 52 tem a mesma chance de ser escolhida, então a
probabilidade de extrair cada uma delas é de 1/52 : P (A) = 1/52 1,92%.
Da mesma forma a probabilidade de termos uma cara no lançamento de uma moeda é ½
ou 50%. O mesmo ocorre com uma coroa, ou seja ½ ou 50%.
No caso de um dado temos a probabilidade de dar qualquer número: 1,2,3,4,5,6 é de 1/6
ou de 16,66%.
De forma geral vale também a expressão:
59
P(A) = Número de resultados associados ao evento A
Número total de resultados possíveis
Por exemplo, a probabilidade de extração de uma dama, de acordo com esta definição, é
P (dama) = 4 damas = 4 = 1 = 7,69% 52 cartas 52 13
Analogamente, a probabilidade de obter número ímpar no lance de um dado é
P(ímpar) = 3 faces = 3 ou 50% 6 faces possíveis 6
12.3 A MATEMÁTICA DA PROBABILIDADE Muitas aplicações de estatística exigem a determinação da probabilidade de
combinações de eventos. Há duas categorias de eventos de interesse, A e B, no espaço
amostral.
Pode ser necessário determinar P(A e B), isto é; a probabilidade de ocorrência de ambos
os eventos.
Em outras situações, podemos querer a probabilidade de ocorrência de A ou B P(A ou B).
Cálculo da Probabilidade da ocorrência de dois eventos “independentes” P(A e B)
Se dois eventos são independentes, então a probabilidade da ocorrência de ambos é
igual ao produto de suas probabilidades individuais:
P(A e B) = P(A) . P(B)
Exemplo Jogam-se duas moedas equilibradas.Qual a probabilidade da ocorrência de
ambas darem cara?
É razoável admitir que os resultados das duas moedas sejam independentes um do outro.
Além disso, para moedas equilibradas, P(cara)= ½ . Logo p(cara e cara) será:
60
1° moeda 2°moeda
½ x ½ = ¼ ou 25%
Cálculo da Probabilidade da ocorrência de dois eventos “mutuamente excludente” P(A ou B ocorrerá)
Se dois eventos mutuamente excludentes, a probabilidade de ocorrência de qualquer um
deles é a soma de suas probabilidades individuais. Para dois eventos A e B temos:
P(A ou B) = P(A) + P(B)
Exemplo, qual é a probabilidade de aparecer cinco ou seis numa jogada de um dado
equilibrado?
P(cinco) ou P(seis) = P (5) + P(6) = 1 + 1 = 2 = 33,33%
6 6 6
Cálculo da Probabilidade da ocorrência de dois eventos “não mutuamente excludente” P(A ou B ou ambos ocorrerão) Suponhamos a probabilidade de extração de uma carta de paus ou um dez de um
baralho de 52 cartas . Como é possível que uma carta seja simultaneamente de “paus” e
um “dez”, os eventos não são mutuamente excludentes. Assim devemos excluir a
probabilidade de interseção. Então temos:
P(paus) = 13 , P(dez)= 4 , P( dez de paus) = 1 ,
52 52 52
P(paus ou dez,ou ambos) = P(paus) + P(dez) - P(dez de paus)
= 13 + 4 - 1 = 16
52 52 52 52
61
NAIPE PAUS OUROS COPAS ESPADA PRETA VERMELHA VERMELHA PRETA
♣ K ♦ K ♥ K ♠ K
♣ Q ♦ Q ♥ Q ♠ Q
♣ J ♦ J ♥ J ♠ J
♣ 10 ♦ 10 ♥ 10 ♠ 10
♣ 9 ♦ 9 ♥ 9 ♠ 9 a carta é um dez
♣ 8 ♦ 8 ♥ 8 ♠ 8
♣ 7 ♦ 7 ♥ 7 ♠ 7
♣ 6 ♦ 6 ♥ 6 ♠ 6
♣ 5 ♦ 5 ♥ 5 ♠ 5
♣ 4 ♦ 4 ♥ 4 ♠ 4
♣ 3 ♦ 3 ♥ 3 ♠ 3
♣ 2 ♦ 2 ♥ 2 ♠ 2
♣ A ♦ A ♥ A ♠ A Carta de paus Os eventos “paus” e “dez” se interceptam.
Regra de probabilidade
P (A e B), para eventos independentes (Multiplicação) P(A) x P(B)
P (A ou B), para eventos mutuamente excludentes (Soma) P(A) + P(B)
P (A ou B ou ambos ocorrerão), para eventos não mutuamente excludentes
P(A) + P(B) - P(A intercepta B)
62
EXERCÍCIOS: E-4
1- Extrai-se uma só carta de um baralho de 52. Determine a probabilidade de obter:
a- Um valete
b- Uma figura
c- Uma carta vermelha
d- Uma carta de ouros
e- Um dez de paus
f- Um nove vermelho ou um
oito preto
2- Relacione os resultados possíveis do lance de um só dado. Ache a probabilidade e
adicione-as.
3- Joga-se uma vez um dado equilibrado; determine a probabilidade de obter:
a- um seis
b- cinco, seis ou sete
c- um número par
d- um número menor que quatro
4- Doze fichas são numeradas de 0 a 12 e colocadas numa urna. Escolhida uma
aleatoriamente, determine a probabilidade de sair:
a- o número 3
b- um número impar
c- um número menor que quatro
d- o número dez
5- Joga-se um par de dados equilibrados:
a- Qual a probabilidade de ambas as faces serem seis?
b- Qual a probabilidade de ambas as faces serem dois?
c- Qual a probabilidade de ambas as faces serem pares?
6- Sejam P(A) = 0,30, P(B) = 0,80 e P(A e B) = 0,15.
a- A e B são mutuamente excludentes? Explique.
b- Determine P(A ou B).
7- Sejam A e B mutuamente excludentes, P(A) = 0,31 e P(B) = 0,29.
a- A e b são coletivamente exaustivos? Explique.
b- Determine P(A ou B).
c- Determine P (A e B)
8- Joga-se uma moeda três vezes. Qual a probabilidade de aparecer coroa três
vezes? Qual a probabilidade de não aparecer coroa nas três vezes?
63
13.0 TECNICAS DE CONTAGEM
Para utilizar o método clássico (A Priori) da probabilidade, é preciso conhecer o número total de resultados possíveis de um experimento.
Uma das possibilidades é o uso das árvores de decisão, mas quando o numero de
resultados é grande, essa lista se torna muito trabalhosa; é necessário então recorrer a
formulas matemáticas para determinar o numero total de resultados possíveis.
Suponhamos que um estudante esteja fazendo um teste de 20 questões do tipo
“verdadeiro-ou-falso”. Suponhamos ainda que ele, não tenha estudado nada, esteja
dando todas as respostas na base do palpite. Qual a probabilidade de ele responder
corretamente todo o teste?
A primeira coisa a fazer é determinar o numero total de resultados possíveis.
Em segundo lugar devemos explorar suas diversas versões. Imaginemos que o teste
consista de apenas:
Uma questão temos V ou F Duas questões temos VV, VF, FV, FF
Três questões temos VVV, VVF, VFF, VFV, FVF, FVV, FFV, FFF
Conclue-se:
Numero de questões : 1 2 3 4
Numero de resultados : 2 4 8 16
Nota-se que se, o numero de itens for grande, a listagem se tornara praticamente
impossível.
Em seguida podemos ver um diagrama de àrvore para determinar todos os arranjos
possíveis.
64
QUESTÃO N°1 N°2 N°3 RESULTADOS
V V VVV V F VVF F V VFV
. F VFF
V V FVV F F FVF
F V FFV F FFF
Alem disso, o que realmente é necessario é determinar o numero total de resultados;
nada se tem a ganhar identificando cada resultado.
13.1 O PRINCIPIO DA MULTIPLICAÇÃO
O diagrama mostra que cada questão dobra o numero total de resultados possíveis.(com
duas alternativas V ou F) temos:
NUMERO DE QUESTOES TOTAL DE RESULTADOS 1 2=2
2 2 x 2 =4
3 2 x 2 x 2 = 8
4 2 x 2 x 2 x 2 = 16
Se fossem quatro escolha para cada questão:
NÚMERO DE QUESTÕES TOTAL DE RESULTADOS 1 4 = 4
2 4 x 4 = 16
3 4 x 4 x 4 = 64
Para solucionar o exercício do teste, teremos:
65
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x . . . . . . . x 2 = 220 = 1.048.576 ou 1 .
1 2 3 4 5 . . . . . . . . . . 20 1.048.576
De um modo geral, se ha “n” decisões seqüenciais, cada uma com “m” escolhas, o
numero total de resultados é m n.
13.2 PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO.
Quando a ordem em que os elementos se dispõem é importante, o numero total de
resultados possíveis é conhecido como Arranjo ou Permutação. Quando a ordem não
interessa, o numero total de resultados possíveis é designado como Combinação.
Para o uso na analise combinatória usaremos o numero fatorial representado pelo
símbolo ! como por exemplo 4! le-se “Quatro Fatorial” e significa 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
Outros exemplos:
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
12! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x ..............x 1 = 479.001.600
Os fatoriais crescem de modo extremamente rápido, à medida que aumenta o numero-
base.
Felizmente, quase nunca é necessário utilizar-se completamente os fatoriais, pois eles
aparecem em grupos, permitindo cancelamentos:
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! 1 = 1
7! 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 7 x 6 x 5! 7 x 6 42
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 4 x 3 x 2! = 4 x 3 = 12
2! 2 x 1 2!
5! = 5 x 4 x 3! = 5 x 4 = 20 = 10
2! 3! 2 x 1 x 3! 2 x 1 2
Às vezes os fatoriais podem envolver soma e subtração. Exemplos:
66
( 5 - 3 )! = 2! e não ( 5! - 3! )
( 9 - 2 )! = 7!
( 3 + 1)! = 4! 8! = 8! = 8 x 7 x 6 x 5! = 8 x 7 x 6 = 56
3 ( 8 – 3 )! 3! . 5! 3 x 2 x 5! 3 x 2
O fatorial de zero é igual a um 0! = 1.
O fatorial de 1 é igual a um 1! = 1.
ARRANJOS São agrupamentos que podem variar pela ordem ou natureza dos elementos. Quando se
consideram n elementos distintos tomados x a x chamamos arranjo ou agrupamentos
“eneários” que se podem formar com esses n elementos, dispomos de todas as formas
possíveis de modo que dois arranjos quaisquer difiram ao menos pela ordem dos
elementos.
Assim, os arranjos possíveis com as letras A, B e C são A 3,2 (3 elementos dois a dois)
A 3,2 = AB; BA; AC; CA, BC; CB. E com os números: 2, 6 e 8 podem ser feitos os seguintes arranjos A 3,2
A 3,2 = 26; 28; 62; 68; 82; 86.
Outro exemplo: Se ha sete cavalos num páreo, quantos arranjos ha considerando 1°,2° e
3° lugares?
A n,x = n!
( n – x )!
Ou seja, 7 elementos tomados 3 a 3
A 7,3 = 7! = 7! 7 x 6 x 5 x 4! = 7 x 6 x 5 = 210
( 7 – 3 )! 4! 4! PERMUTAÇÃO
67
Denomina-se permutação aos arranjos de objetos tomados n a n. Neste caso cada
objeto entra só uma vez em todos os grupos.
Em geral o numero de permutações distintas com n itens, dos quais n1 são
indistinguíveis de um tipo, n2 de outro tipo, etc, é:
n1, n2, ....nK
Pn = n!
(n1!) (n2!) (n3!) ......(nk!)
Exemplo: Quantas permutações distintas de 3 letras podemos formar com as letras:
R R R R U U U N 4 3 1
Solução
Ha 8 letras : 4Rs 3Us 1N dai: 4, 3, 1
P8 = 8! = 280
(4!) (3!) (1!)
COMBINAÇÃO
Chama-se combinação quando não interessa a ordem para denotar o numero de
agrupamentos distintos possíveis.
Exemplo: é a escolha de 2 tipos de vegetal de um cardápio com 5 tipos. A escolha de
batata e cenoura é a mesma que cenoura e batata.
De um modo geral, para agrupamentos de tamanho x extraídos de uma lista de n itens, o
numero de combinações possíveis é:
C n,x = n! n
x! (n - x )! x
68
Quantos comitês distintos, de 3 pessoas cada um, podemos formar com um grupo de 10
pessoas?
C10,3 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7! = 120
7! 3! 3 x 2 x 7!
De quantas maneiras podemos formar um comitê de 1 mulher e 2 homens, de um total
de 4 mulheres e 6 homens.
Mulheres Homens = 4! 6! = 4 x 15 = 60
( C 4,1 ) ( 6,2 ) 3! 1! 4! 2!
13.3 REGRAS DE CONTAGEM REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: o produto do numero de escolhas para uma seqüência de
decisões m n onde m = numero de escolhas n = decisões seqüenciais
ARRANJOS: numero de agrupamentos em que interfere a ordem
A n,x = n!
( n – x )!
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÕES (OU DISTINGUIVEIS): alguns itens são idênticos, e
a ordem é importante.
n1, n2, ....nK
Pn = n!
(n1!) (n2!) (n3!) ......(nk!)
COMBINAÇÕES: a ordem não importa.
C n,x = n! n
x! (n - x )! x
69
EXERCÍCIOS: E-5
1- Calcule:
a- 2! b- 3! c- 10! d- 1! e- 0!
2- Calcule:
a- 3 b- 4 c- 5 d- 9
2 4 1 6
3- Determine o numero de arranjos:
a- A 3,2 b- A 4,4 c- A 5,1 d- A 9,6 e- A 1,0
4- Um vendedor de automóveis deseja impressionar os possíveis compradores com o
maior numero de combinações diferentes possíveis. Um modelo pode ser dotado
de três tipos de motor, dois tipos de transmissão, cinco cores externas e duas
internas. Quantas são a escolhas possíveis?
5- Em um determinado Estado, as placas de licença constam de três letras e quatro
algarismos. Quantas placas diferentes podemos formar admitindo-se o uso de
todas as (26 letras) e os (10 algarismos)?
6- Quantas permutações distintas podem ser feitas com as letras da palavra
BLUEBEARD ?
7- Se um torneio de basquetebol consiste de 36 times, de quantas maneiras podem
ser conquistados os três primeiros lugares?
8- De quantas maneiras diferentes podemos escolher um comitê de cinco pessoas
dentre oito?
9- A Pizzaria do Joe oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelos,
pimentão, enchovas e muzzarella. De quantas maneiras podemos escolher dois
tipos diferente de pizza?
70
14.0 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
Introduzidas às noções fundamentais sobre a teoria das probabilidades, pode-se passar
às chamadas Distribuições de Probabilidades.
Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de freqüência relativa para os
resultados de um espaço amostral (isto é, para os resultados de uma variável aleatória);
que mostra a proporção das vezes em que a variável aleatória tende a assumir cada um
dos diversos valores. Consideremos a variável aleatória “Numero de caras em duas jogadas de uma moeda”
eis a lista dos pontos do espaço amostral e os valores correspondentes a v.a.:
(K = cara e C = coroa)
Resultados Valor da v.a.
CC 0
CK 1
KC 1
KK 2
Se a moeda é equilibrada, P(K) = P(C) = ½.As probabilidades dos diversos resultados
são:
RESULTADOS PROBABILIDADE DO RESULTADO NUMERO DE CARAS P(X) 1 . 1 1 CC = 0 0,25 2 2 4 1 . 1 1 CK = 1 0,25 2 2 4 0,50 1 . 1 1 KC = 1 0,25 2 2 4 1 . 1 1 KK = 2 0,25 2 2 4
71
Assim, pois, a distribuição de probabilidades para o numero de caras em duas jogadas
de uma moeda são:
NUMERO DE CARAS P(X)
0 0,25
1 0,50
2 0,25
1,00
Note-se que a soma de todas as probabilidades é 1,00, como é de esperar, pois os
resultados apresentados são mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos. A
mesma distribuição pode ser apresentada em forma acumulada.
NUMERO DE CARAS P(X ou menos)
0 0,25
1 0,75
2 1,00
72
Graficamente, as distribuições de probabilidade e acumulada se apresentam:
P 1,00 R 1,00 O 1,OO B A
P B R 0,75 I 0,75 O L 0,75 B I A D B A
I 0,5 D 0,5 L 0,5 E
I D A A C D 0,25 U 0,25 E 0,25 0,25 M 0,25
U L A 0 D 0 0 1 2 A 0 1 2 NUMERO DE CARAS NUMERO DE CARAS
14.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Suponhamos agora o experimento E4= “Lançamento de 4 moedas”. A tabela abaixo
mostra todas as possibilidades de combinações cara/coroa, os eventos que estas
combinações originam e os valores correspondentes da variável aleatória X : Numero de
vezes que sai “Cara”.
73
POSSIBILIDADE MOEDA N° EVENTO VALOR DE X
N° 1, 2, 3, 4 ( N° DE VEZ QUE SAI CARA)
1 C C C C 0K e 4C 0
2a C C C K 1K e 3C 1
2b C C K C 2c C K C C 2d K C C C 3a C C K K 2K e 2C 2 3b C K K C 3c K K C C 3d C K C K 3e K C K C 3f K C C K
4a K K K C 3K e 1C 3 4b K K C K 4c K C K K 4d C K K K
5 K K K K 4K e 0C 4
Utilizando as regras do produto para eventos independentes (e) e da adição para
eventos mutuamente exclusivos (ou) é possível calcular as probabilidades associadas
aos valores de X.
A probabilidade de X=0 é obtida pelo conhecimento de termos 4 coroas, sabe-se que a
probabilidade de sair coroa é ½ , a probabilidade final será: 0,5x0,5x0,5x0,5 = 0,0625.
-63-
Para o calculo da probabilidade X=1 deve-se trabalhar com o evento “1K e 3C” como
temos as opções a,b,c,d, que são mutuamente exclusiva, a regra da soma manda
efetuar a adição 0,0625 +0,0625 +0,0625 +0,0625 ou, o que é o mesmo de se efetuar o
produto 4x 0,0625 = 0,25.
Desta forma analogamente temos:
74
X EVENTO P(X = x)
0 4 0 4 0 0K e 4C O,0625 = 1 X 0,5 X 0,5 = 1 p q 1 3 1 3 1 1K e 3C O,2500 = 4 X 0,5 X 0,5 = 4 p q 2 2 2 2 2 2K e 2C O,3750 = 6 X 0,5 X 0,5 = 6 p q 3 1 3 1 3 3K e 1C O,0625 = 4 X 0,5 X 0,5 = 1 p q 4 0 4 0 4 4K e 0C O,0625 = 1 X 0,5 X 0,5 = 1 p q
n = numero de moedas
p = probabilidade de K = P(K) = 0,5
q = 1 – p = probabilidade de C = P(C) = 0,5
Podemos usar a formula:
n! = n = combinações de n individuais tomados x a x.
x! (n – x)! x
Generalizando temos; x n - x
P(x) = n! p . q
x! (n – x)!
TOTAL 1,00
75
Distribuição binomial de x (numero de coroas) para n = 10
X Numero de n ! Distribuição P(X) probabilidade % de “Coroas” em 10 encontrar a jogadas x ! (n – x) ! Amostral Amostra 10 p(10) = 10! 10! (10 – 10)! 1 1/1024 = 0,000976 9 p(9) = 10! 9! (10 – 9) ! 10 1/1024 = 0,009760 8 p(8) = 10! 8! (10 – 8) ! 45 1/1024 = 0,043940 7 p(7) = 10! 7! (10 – 7) ! 120 1/1024 = 0,117180 6 p(6) = 10! 6! (10 – 6) ! 210 1/1024 = 0,205070 5 p(5) = 10! 5! (10 – 5) ! 252 1/1024 = 0,246090 4 p(4) = 10! 4! (10 – 4) ! 210 1/1024 = 0,205070 3 p(3) = 10! 3! (10 – 3) ! 120 1/1024 = 0,117180 2 p(2) = 10! 2! (10 – 2) ! 45 1/1024 = 0,043940 1 p(1) = 10! 1! (10 – 1) ! 10 1/1024 = 0,009760 0 p(0) = 10! 0! (10 – 0) ! 1 1/1024 = 0,000976 10 TOTAL = 2 = 1024
76
EXERCICIOS: E-6
Use a formula binomial para responder às questões abaixo:
1- Um fabricante de mesas de bilhar suspeita que 2% de seu produto apresenta
algum defeito. Se tal suspeita é correta, determine a probabilidade de que, numa
amostra de nove mesas:
a- Haja ao menos uma defeituosa
b- Não haja nenhuma defeituosa
2- Dos estudantes de um colégio, 41% FUMAM CIGARROS. Escolhem-se seis ao
acaso para darem sua opinião sobre o fumo.
a- Determine a probabilidade de nenhuma das seis ser fumante.
b- Determine a probabilidade de todos os seis ser fumante.
c- Qual a probabilidade de ao menos a metade dos seis serem fumantes.
3- Doze por cento dos que reservam lugar num vôo sistematicamente faltam ao
embarque. O avião comporta 15 passageiros.
a- determine a probabilidade de que todos os 15 que reservaram lugar
compareçam ao embarque
b- Se houve 16 pedidos de reserva, determine a probabilidade de uma pessoa
ficar de fora.
4- Um revendedor de automóveis novos constatou que 80% dos carros vendidos são
devolvidos ao departamento mecânico para corrigir defeitos de fabricação, nos
primeiros 25 dias apos a venda. De 11 carros vendidos num período de 5 dias, qual
é a probabilidade de que:
a- Todos voltem dentro de 25 dias para reparo.
b- Só um não volte
5- Suponha que 8% dos cachorros-quentes vendidos num estádio de futebol sejam
pedidos sem mostarda. Se sete pessoas pedem cachorrão, determine a
probabilidade de que:
a- Todos queiram mostarda
b- Apenas um não a queira.
77
14.2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
A chamada Distribuição de Poisson ou de Eventos Raros podem ser considerada um
caso limite da distribuição binomial. Quando “n” é grande e “p” é pequeno podemos usar
a aproximação de Poisson para a distribuição Binomial.
É difícil dar condições precisas para que se possa usar a aproximação de Poisson, ou
seja, o que significa quando “n” é grande e “p” pequeno. Como regra geral podemos
usar:
n > 100 e n.p < 10
n = Elementos da População
p = Probabilidade
Exemplo: n = 150 p = 0,05
Temos a distribuição de Poisson com:
n.p = 150 . (0,05) = 7,5
A formula a ser usada é:
x - n.p f (x) = (n.p) . e para x = 1, 2, 3, .......
x !
e= 2,718
Exemplo: Sabe-se que 2% dos livros encadernados em uma certa livraria apresentam
defeitos de encadernação. Utilize a aproximação de Poisson da distribuição Binomial para
achar a probabilidade de que 5 entre 400 livros encadernados nessa livraria apresentam
algum defeito de encadernação.
Temos: n = 400 p = 2% = 0,02 x = 5 n.p = 400 . 0,02 = 8
- 8
e = 0,000335
78
temos então:
x - n.p 5 - 8
f (x) = (n.p) . e = 8 . e = (32768). (0,000335) = 10,977 = 0,0915
x ! 5! 120 120
-67-
Outro Exemplo: Supúnhamos que os defeitos em fios para tear possam ser aproximados
por um processo de Poisson com media de 0,2 defeitos por metro
(p = 0,2) .Inspecionando-se pedaços de fio de 6 metros de comprimento, determine a
probabilidade de menos de 2 (isto é 0 ,1) defeitos.
Temos : n = 6 p = 0,2 n . p = 6 . 0,2 = 1,2 x =1 e X = 2
0 -1,2
f(0) = 1,2 e = 1 . 0,301 = 0,301
0! 1
1 -1,2
f(1) = 1,2 e = 1,2 . 0,301 = 0,3612
1! 1
P(x< 1) = P(0) + P(1) (0,301 + 0,3612) = 0,6622
79
EXERCICIOS: E-7
1- Verifique, em cada caso, se os valores de “n” e “p” satisfazem as regras empíricas
para a utilização de Poisson como aproximação da Binomial:
a- n = 500 e p = 0,001
b- n = 100 e p = 0,12
c- n = 60 e p = 0,002
2- Se 0,6% dos detonadores fornecidos a um arsenal são defeituosos, utilize a
aproximação de Poisson para a distribuição Binomial para determinar a
probabilidade de que, em uma amostra aleatória de 500 detonadores, quatro sejam
defeituosos.
3- Em uma certa cidade 3,2% dos habitantes se envolve em, ao menos, um acidente
de carro em um ano. Com o auxilio da aproximação de Poisson para a distribuição
Binomial, determine a probabilidade de que, dentre 200 motoristas escolhidos
aleatoriamente nessa cidade.
a- Exatamente seis se envolvam em ao menos um acidente em um ano;
b- No Maximo oito se envolvam em ao menos um acidente em um ano;
c- Cinco ou mais se envolvam em ao menos um acidente em um ano;
4- Suponha que, em media 2% das pessoas sejam canhotas. Encontre a
probabilidade de 3 ou mais canhotos em 100 pessoas
80
15.0 CORRELAÇÃO
15.1 INTRODUÇÃO
Até agora nossa preocupação era descrever a distribuição de valores de uma única
variável. Com esse objetivo, aprendemos a calcular medidas de tendência central e
variabilidade.
Quando porem, consideramos observações de duas ou mais variáveis, surge um novo
problema: as relações que podem existir entre duas ou mais variáveis estudadas.
Assim, quando consideramos variáveis como peso e altura de um grupo de pessoas, uso
do cigarro e incidência do câncer, a potencia gasta e a temperatura da água no
chuveiro,
Procuramos verificar se existe alguma relação entre as variáveis de cada um dos pares
e qual o grau dessa relação.
Para isso, é necessário o conhecimento de novas medidas.
Sendo a relação entre as variáveis de natureza quantitativa, a correlação é o
instrumento adequado para descobrir e medir essa relação.
Uma vez caracterizada a relação, procuramos descreve-la através de uma função
matemática. A regressão é o instrumento adequado par a determinação dos parâmetros
dessa função.
15.2 RELAÇÃO FUNCIONAL E RELAÇÃO ESTATÍSTICA Como sabemos, o perímetro e o lado de um quadrado estão relacionados. A relação
que liga é perfeitamente definida e pode ser expressa por meio de uma sentença
matemática:
P = 4 L P= PERIMETRO L= LADO DO QUADRADO
81
Atribuindo-se, então, um valor qualquer de L, é possível determinar exatamente o valor
do perímetro.
Considerando, agora a relação que existe entre o peso e a estatura de um grupo de
pessoas. É evidente que essa relação não é do mesmo tipo da anterior, ela é bem menos
precisa. Assim, pode acontecer que a estaturas diferentes correspondam a pesos
iguais ou que estaturas iguais correspondam a pesos diferentes.
Porem, em média, quanto maior a estatura, maior o peso.
As relações do tipo perimetro-lado são conhecidas como relações funcionais.
As relações do tipo peso-estatura, como relações estatísticas.
Quando duas variáveis estão ligadas por uma Relação Estatística, dizemos que existe
uma correlação entre elas.
15.3 DIAGRAMA DE DISPERSÃO Consideremos uma amostra aleatória, formada por 98 alunos de uma classe da Uniso e
pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística:
NOTAS Nº MATEMATICA ESTATISTICA (xi) (yi) 01 5,0 6,0 08 8,0 9,0 24 7,0 8,0 38 10,0 10,0 44 6,0 5,0
58 7,0 7,0 59 9,0 8,0 72 3,0 4,0 80 8,0 6,0
92 2,0 2,0
82
Representando, em um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal, os parâmetros
(xi ; yi), obtemos uma nuvem de pontos que denominamos DIAGRAMA DE
DISPERSAO. Esse diagrama nos fornece uma idéia grosseira, porem útil, da correlação
existente:
yi 10 . o . o
8 . o o . o 6 . o o . o 4 . o .
2 . o . . . . . . . . . . . 2 4 6 8 10 xi
15.4 CORRELAÇÃO LINEAR
Os pontos obtidos, vistos em conjunto formam uma elipse em diagonal.
Podemos imaginar que, quanto mais fina for a elipse mais ela se aproximará de uma
reta.
Dizemos, então, que a correlação de forma elíptica tem como “imagem” uma reta, sendo,
por isso denominada de Correlação Linear.
83
É possível verificar que cada correlação esta associada como “imagem“ uma relação
funcional. Por esse motivo, as relações funcionais são chamadas Relações Perfeitas.
yi 10 . RETA IMAGEM o . o
8 . o o . o 6 . o o . o 4 . o
. 2 . o . . . . . . . . . . . 2 4 6 8 10 xi
Como a correlação em estudo tem como “imagem” uma reta ascendente, ela é chamada
de Correlação Linear Positiva.
Assim uma correlação é:
a- Linear Positiva se os pontos do diagrama tem com “imagem” uma reta ascendente; b- Linear negativa se os pontos tem como ”imagem” uma reta descendentes;
c- Nao-linear se os pontos tem como “imagem” uma curva.
Se os pontos apresentam-se dispersos, não oferecendo uma “imagem” definida,
concluímos que não há relação alguma entre as variáveis em estudo.
84
Temos: Y
o oo ooo oo ooooo correlação linear positiva ooo ooooo oo o oo X Y o oo ooo oo ooooo correlação linear negativa ooo ooooo oo o oo
Y X o o oo oo oooo ooo oo oo ooo ooooo o correlação não-linear ooo oooo ooooo ooo oo oo o oooo oo ooo Y X oo o o o o o o o oooo ooo o ooo oo ooo oooo oooo oooo o não há correlação o oo ooo ooooo o o ooo oo o ooooo X
85
15.5 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR
O instrumento empregado para a medida de Correlação Linear é o Coeficiente de Correlação. Esse coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlação entre
duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação (positivo ou negativo). Faremos uso do coeficiente de correlação de Person, que é dado por :
r = n Σ xi yi – (Σxi ) (Σyi)
√ [ n Σ x²i – (Σxi)²] [ n Σ y²i – (Σyi)²]
Onde:
n = número de observações
Os valores limites de r são -1 e +1, isto é, o valor de r pertence ao intervalo [ -1 e +1].
Assim:
A- Se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, então r = +1.
B- Se a correlação é perfeita e negativa, então r = -1
C- Se não há correlação entre as variáveis ou a relação é por ventura não-linear, então r = 0.
NOTAS - Para que uma relação possa ser descrita por meio do Coeficiente de
Correlação de Person é imprescindível que ela se aproxime de uma função
Linear. Uma maneira pratica de verificarmos a linearidade da relação é a
inspeção do Diagrama de Dispersão: se a elipse apresenta saliências ou
reentrâncias muito acentuadas, provavelmente trata-se de uma relação
curvilínea.
- Para podermos tirar algumas conclusões significativas sobre o comportamento
simultâneo das variáveis analisadas, é necessário que:
0,6 ≤ | r | ≤ 1 Se 0,3 ≤ | r | < 0,6, há uma correlação relativamente fraca entre as variáveis.
86
Se 0 < | r | < 0,3, a correlação é muito fraca e, praticamente, nada podemos
concluir sobre a relação entre as variáveis em estudo.
-81-
Em seguida vamos calcular o coeficiente de correlação relativos ao exercício anterior.
O modo mais pratico para obtermos r é abrir, na tabela, colunas correspondentes aos
valores de xi yi, x²i e y²i. Assim:
MATEMATICA ESTATISTICA (xi) (yi) xi yi x²i y²i
5,0 6,0 30 25 36 8,0 9,0 72 64 81
7,0 8,0 56 49 64 10,0 10,0 100 100 100 6,0 5,0 30 36 25 7,0 7,0 49 49 49 9,0 8,0 72 81 64 3,0 4,0 12 09 16 8,0 6,0 48 64 36 2,0 2,0 04 04 04
Σ=65 Σ=65 Σ=473 Σ=481 Σ=475
Logo:
r = 10 x 473 – 65 x 65 = 505 = 550 = 0,911
√ (4.810 – 4.225) (4.750 – 4.225) √ 585 x 525 4.554,18
Dai: r = 0,91 Resultado que indica uma correlação linear positiva altamente significativa
entre as duas variáveis.
87
15.6 CUDADOS COM OS ERROS COM A INTERPLETAÇÃO DE CORRELAÇÃO
Identificamos a seguir três dos erros mais comuns cometidos na interpretação de
resultados que envolvem correlação.
1- Devemos evitar a conclusão de que a correlação implica em casualidade. Um
estudo mostrou uma correlação entre salários de professores de Estatística e o
consumo individual de cerveja. Porem essas duas variáveis são afetadas pelas condições
econômicas que envolvem não só o professor de Estatística, aparece neste caso uma
terceira variável oculta.
2- Surge outra fonte de erro potencial quando os dados se baseiam em taxas ou médias. Quando utilizamos taxas ou médias para os dados, suprimimos a variação entre os indivíduos ou elementos, e isto pode levar a um coeficiente de correlação
inflacionado.
3- Um terceiro erro diz respeito à propriedade de linearidade. A conclusão de que não
há correlação linear significativa não quer dizer que x e y não estejam relacionados de
alguma forma provavelmente possa haver uma correlação não linear.
88
EXERCICIOS: E-8
1- Complete o esquema de cálculo do coeficiente de correlação para os valores das
variáveis xi e yi :
xi 4 6 8 10 12
yi 12 10 8 12 14
Temos:
(xi) (yi) xi yi x²i y²i 4,0 12,0 ……. ……. ……. …… ..….. ……
12,0 14,0 Σ= Σ= Σ= Σ= Σ=
Logo:
r = .... x ... – .... x ... = ......... = ........ = ........
√ (..... – .....) (..... – ......) √ ..... x ...... .........
ONDE: r =
89
2- Padronize cada conjunto de escores e calcule o coeficiente de correlação.
A-
(xi) (yi) xi yi x²i y²i 34 21
30 22 40 25 34 28 39 15
35 24 42 24 45 22 43 17
Σ= Σ= Σ= Σ= Σ=
B-
(xi) (yi) xi yi x²i y²i 3,9 46
4,6 46 6,0 52 2,8 50 3,1 48
3,4 40 4,2 42 4,0 44 Σ= Σ= Σ= Σ= Σ=
90
3- Determine o coeficiente de correlação para os dois conjuntos de valores abaixo:
1ª AVALIAÇÃO 2ª AVALIAÇÃO estudante (xi) (yi) xi yi x²i y²i 1 82 92 2 84 91 3 86 90
4 83 92 5 88 87 6 87 86 7 85 89
8 83 90 9 86 92 10 85 90 11 87 91
Σ= Σ= Σ= Σ= Σ=
4- Com os dados abaixo, sobre crimes violentos e a temperatura média entre 21 e 2 horas
das noites de sábado numa grande comunidade, monte o gráfico para os dados e calcule
o coeficiente de correlação.
Crimes Violentos/ 1000 residentes temperatura média (°F) 5,0 87
2,2 50 4,1 75 5,4 90 2,8 55
3,0 54 3,6 68 4,9 85 4,1 82
4,2 80 2,0 45 2,7 58 3,1 66
91
16.0 REGRESSÃO LINEAR
Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra fazemos
sempre uma análise de regressão.
Podemos dizer que a analise de regressão tem por objetivo descrever, através de um
modelo matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações das
mesmas.
16.1 AJUSTAMENTO DE CURVAS
A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente.
Assim, supondo X a variável independente e Y a dependente, vamos procurar determinar
o ajustamento de uma reta a relação entre essa variáveis, ou seja, vamos obter uma
função definida por:
Y = ax + b onde a e b são parâmetros.
Sejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, embora
não perfeita, como, por exemplo, as do exercício já apresentado:
MATEMATICA ESTATISTICA
(xi) (yi)
5,0 6,0
8,0 9,0
7,0 8,0
10,0 10,0
6,0 5,0
7,0 7,0
9,0 8,0
3,0 4,0
8,0 6,0
2,0 2,0
92
Cujo Diagrama de Dispersão é dado por:
yi 10 . RETA IMAGEM o . o
8 . o o . o 6 . o o . o 4 . o .
2 . o . . . . . . . . . . . 2 4 6 8 10 xi
Podemos concluir, pela forma do diagrama, que se trata de uma correlação retilínea, de
modo a permitir o ajustamento de uma reta, imagem da função definida por:
Y = ax+ b
16.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Vamos então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das fórmulas:
a = n Σ Xi Yi - Σxi . Σyi n ΣXi² - (Σxi)²
e
b = Y - a X
93
Onde : n é o número de observações
X é média dos valores de Xi (X = Σ Xi ) n
Y é média dos valores de Yi (Y = Σ Yi ) n
Nota:
Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos parâmetros, o
resultado, na realidade, é uma estimativa da verdadeira equação de regressão. Sendo
assim, escrevemos:
Y^ = a X + b Onde Y^ é o Y estimado
A tabela de valores: MATEMÁTICA ESTATÍSTICA (xi) (yi) xi yi x²i
5,0 6,0 30 25
8,0 9,0 72 64 7,0 8,0 56 49 10,0 10,0 100 100 6,0 5,0 30 36
7,0 7,0 49 49 9,0 8,0 72 81 3,0 4,0 12 09 8,0 6,0 48 64 2,0 2,0 04 04 Σ=65 Σ=65 Σ=473 Σ=481
Temos assim
a = 10 x 473 – 65 x 65 = 4730 - 4225 = 505 = 0,8632
10 x 481 – (65)² 4810 - 4225 585
94
Como:
X = 65 = 6,5 e Y = 56 = 6,5
10 10
Vem:
b = 6,5 – 0,8632 x 6,5 = 6,5 - 5,6108 = 0,8892,
Donde:
a = 0,86 e b = 0,89
Logo:
Y = 0,86 X + 0,89
Para traçarmos a reta no gráfico, basta determinar dois de seus pontos:
X = 0 Y^ = 0,89
X = 5 Y^ = 0,86 x 5 + 0,89 = 5,19
Assim temos:
yi 10 . o Y^ = 0,86 X + 0,89 . o 8 . o o . o 6 . o o 5,19 . o 4 . o . 2 . o . 0,89 . . . . . . . . . . 2 4 6 8 10 xi
95
16.3 ANÁLISE DE REGRESSÃO
Quando recorremos a uma reta de mínimos quadrados, precisamos saber qual é a
precisão dos valores obtidos para a e b na equação de mínimos quadrados?
Qual a precisão da estimativa Y^?
Os valores calculados são apenas estimativas baseadas em dados amostrais e, se
fundamentarmos nosso trabalho em outra amostra de mesmo tamanho n o método de
mínimo quadrado poderia gerar valores diferentes de para a e b , como também
poderia gerar valores para Y^ diferentes.
Para prever essas diferenças é possível estabelecermos um intervalo para o qual
possamos afirmar, com certo grau de confiança valores de Y^.
O cálculo desses intervalos segue os mesmos raciocínios visto anteriormente para as
médias , proporções, variâncias e desvio padrão, e analisaremos a seguir.
96
EXERCICIOS: E-9
1- Após 6 horas de treinamento, um cachorro cometeu 5 erros em uma exposição
canina, outro cachorro após 12 horas cometeu 6 erros, e finalmente um outro
cachorro, apos 18 horas, cometeu apenas 1 erro. Denotando por x o número de horas
de treinamento e por y o número de erros cometidos, qual das duas retas se ajusta
melhor aos três pontos, no sentido de mínimos quadrados?
a- y = 10 - ½ x
b- y = 8 - 1/3 x
2- A tabela a seguir mostra quantas semanas seis pessoas trabalharam em um posto de
inspeção de automóveis e quantos carros foram inspecionados entre 12 e 14 horas,
em determinado dia:
Número de semanas Número de carros
Trabalhadas inspecionados
2 13
7 21
9 23
1 14
5 15
12 21
Para esses dados temos:
Σx = 36, Σx² = 304, Σy = 107, Σy² = 2001 e 3040 Σx.y =721
a- Estabeleça a equação da reta de mínimos quadrados que permite predizermos y em termos de x.
b- Com o auxilio da parte a, estime quantos carros uma pessoa que venha
trabalhando no posto de inspeção ha 8 semanas poderá inspecionar?
97
3- Os dados abaixo se referem ao resíduo de cloro em uma piscina em vários
momentos, após ter sido tratada com produtos químicos:
X Y
Número de Horas Resíduo de cloro
(P.P.M.)
0 2,2
2 1,8
4 1,5
6 1,4
8 1,1
10 1,1
12 0,9
Para esses dados temos:
Σx = 42, Σx² = 364, Σy = 10, Σy² = 15,52 e Σx.y =48,6
A leitura de zero horas foi feita imediatamente após completado o tratamento químico.
a- Ajuste uma reta de mínimos quadrados que nos permita predizer o resíduo de cloro
em termos do número de horas após a piscina ter sido tratada com produtos
químicos.
b- Com a equação da reta de mínimos quadrados, estime o resíduo de cloro na
piscina 5 horas após ter sido tratada.
c- Com a equação da reta de mínimos quadrados, estime o resíduo de cloro na
piscina 8 horas após ter sido tratada. Por que razão o resultado diverge do valor
1,1 da tabela.
98
BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
FREUND, John E. e SIMON, Gary A. Estatística aplicada –economia, administração e
contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2000.
TRIOLA, Mário F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
KUME, Hitoshi, Métodos Estatísticos para a Melhoria da Qualidade. São
Paulo:Gente,1993.
RAMOS A.W., CEP para Processos Contínuos e em Bateladas. São
Paulo:E.Blucher, 2000.
BUSSAB, Wilton O e MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. São Paulo:
Saraiva,2002.
DOWNING Douglas e CLARK Jeffrey. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2000.
MILONE, Giuseppe e ANGELINI, Flávio. Estatística aplicada. São Paulo: Atlas, 1995.
KAZMIER, L.B. Estatística aplicada à Economia e à Administração. São Paulo:
McGraw-Hill, 1982.
SPIEGEL, Murray R. Estatística. São Paulo: Makron Books, 1993. (519.5 S734e)