Apostila - DGII

Desenho Geométrico – Maira Mendias Lauro

- Apresentação da disciplina -

Profª: Maira Mendias Lauro.

Disciplina: Geometria e Desenho Geométrico II.

Metodologia de Ensino: Aulas expositivas, trabalhos em grupos, proposição de tarefas e resolução de

exercícios propostos pelo professor.

Conteúdo programático: seções cônicas

triângulos

área de figuras planas

figuras equivalentes

figuras semelhantes

homotetia

isometrias

espirais

Avaliação:

1ª avaliação –

2ª avaliação –

3ª avaliação –

4ª avaliação –

O aluno que necessitar faltar em alguma avaliação deve procurar o professor para fazer a

prova em até 1 (uma) semana após a realização da mesma. Só poderá fazer a prova trazendo um

atestado que justifique a falta, protocolado pela secretaria.

Referências Bibliográficas:

MANDARINO, D.G.; FÁVARO, H.A.R.; NIETO, T.F.; ROCHA, A.J.F. Desenho Geométrico e Introdução ao

projeto. São Paulo: Plêiade, 1996.

LOPES, E. T.; KANEGAE, C. F. Desenho Geométrico. São Paulo: Scipione, 1999.


13. Seções Cônicas

I – Introdução:

Para estudarmos as cônicas, abandonaremos brevemente o universo em que se desenvolvem

nossos estudos, isto é, o plano. No espaço tridimensional, define-se uma figura geométrica chamada cone.

A figura seguinte apresenta um cone circular, ou seja, um cone cuja base é um círculo:

Podemos destacar os seguintes elementos:

Vértice: ponto V.

Eixo: reta e, conduzida pelo vértice e pelo centro O do círculo da base.

Geratriz: é todo segmento que tem uma extremidade em V e a outra num ponto qualquer da

circunferência da base.

Seccionando um cone através de planos convenientemente posicionados, ficam determinadas três

figuras cujos contornos são chamados elipse, hipérbole e parábola.

Apolônio de Perga (262 – 200 a.C.) deixou um tratado sobre cônicas, em oito livros. Seu grande

avanço foi ter conseguido gerar todas as cônicas a partir de um único cone de duas folhas, simplesmente

variando a inclinação do plano de intersecção. Atribui-se a Apolônio, também, o mérito de ter dado os

nomes elipse, parábola e hipérbole.

A elipse tem origem em todos os planos secantes compreendidos

entre a base e a(s) geratriz(es) do cone.

100


II – Elipse:

1. Definição:

Elipse é o lugar geométrico dos pontos P de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos

fixos desse plano é constante.

Elipse = a2ddIP21 PFPF

Se considerarmos dois cones iguais e opostos pelo vértice, a

hipérbole surge de um plano secante que intercepta ambos os cones do

duplo cone.

A parábola surge de um plano secante paralelo à(s) geratriz(es) do

cone.

Na elipse da figura ao lado, destacamos:

F1 e F2: focos

c2FF 21 : distância focal

O: centro (ponto médio de A1A2)

A1, A2, B1 e B2: vértices

a2AA 21 : eixo maior

b2BB 21 : eixo menor

101


2. Traçado da elipse por pontos:

2.1. Determinação dos focos F1 e F2 conhecendo-se os eixos maior (A1A2) e menor (B1B2):

Traçar um arco de circunferência com centro em B1 ou B2 e raio A1O.

2.2. Determinação do eixo menor (B1B2), conhecendo-se o eixo maior (A1A2) e os focos F1 e F2:

Traçar uma reta perpendicular ao eixo maior pelo ponto médio O.

Traçar um arco de circunferência com centro em F1 ou F2 e raio A1O.

2.3. Determinação da elipse, conhecendo-se os focos e os eixos:

Traçar duas circunferências (1 com centro em F1 e 2 com centro em F2), cuja soma dos raios seja igual

ao eixo maior A1A2.

Dessa forma, temos: raio de 1 + raio de 2 = A1A2, logo, a intersecção entre as duas circunferências

nos dá os pontos 1 e 2 pertencentes à elipse.

De modo análogo, traçar outras circunferências com centros nos focos da elipse cuja soma dos raios

seja igual a A1A2, encontrando outros pontos pertencentes à elipse.

Os vértices A1, A2, B1 e B2 e os pontos encontrados 1, 2, 3, 4, ... pertencem à elipse.

102


2.4. Determinação de uma reta tangente à elipse e da sua normal por um ponto T:

A tangente t á a bissetriz externa do ângulo 21 FTF .

A normal n é perpendicular à reta tangente t no ponto T.

III – Hipérbole:

1. Definição:

Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P de um plano , tais que a diferença de suas distâncias

a dois pontos fixos desse plano é constante e menor que a distância entre esses pontos fixos.

Hipérbole = a2ddIP21 PFPF

2a < 2c

Na hipérbole da figura ao lado, destacamos:

F1 e F2: focos

c2FF 21 : distância focal

O: centro (ponto médio de A1A2)

A1 e A2: vértices

a2AA 21 : eixo real ou transverso

b2BB 21 : eixo imaginário ou conjugado

103


2. Traçado da hipérbole por pontos:

2.1. Determinação dos focos F1 e F2 conhecendo-se os eixos real (A1A2) e imaginário (B1B2):

Traçar um arco de circunferência com centro em O e raio A1B1.

2.2. Determinação do eixo imaginário (B1B2), conhecendo-se o eixo real (A1A2) e os focos F1 e F2:

Traçar uma reta perpendicular ao eixo real pelo ponto médio O.

Traçar um arco de circunferência com centro em A1 ou A2 e raio OF1.

2.3. Determinação da hipérbole, conhecendo-se os focos e os eixos:

Traçar duas circunferências (1 com centro em F1 e 2 com centro em F2), cuja diferença entre os raios

seja igual ao eixo real A1A2.

Dessa forma, temos: raio de 1 - raio de 2 = A1A2, logo, a intersecção entre as duas circunferências nos

dá os pontos 1 e 2 pertencentes à hipérbole.

De modo análogo, traçar outras circunferências com centros nos focos da hipérbole cuja diferença dos

raios seja igual a A1A2, encontrando outros pontos pertencentes à curva.

Os vértices A1 e A2 e os pontos encontrados 1, 2, 3, 4, ... pertencem à hipérbole.

A construção do segundo ramo da hipérbole é análoga, pois a curva é simétrica.

104


2.4. Determinação de uma reta tangente à hipérbole e da sua normal por um ponto T:

A tangente t á a bissetriz do ângulo 21 FTF .


2.5. Determinação das assíntotas da hipérbole:

Assíntota é uma reta que tangencia a curva no infinito.

Construir um retângulo de lados 2a e 2b. As retas a1 e a2, que passam pelas diagonais desse retângulo

são as assíntotas da hipérbole.

105


IV – Parábola:

1. Definição:

Parábola é o lugar geométrico dos pontos P de um plano eqüidistantes de um ponto fixo F e de

uma reta fixa d do plano, tal que F d.

Parábola = PdPF ddIP

2. Traçado da parábola por pontos:

2.1. Determinação da parábola, conhecendo-se o foco e a diretriz:

Traçar o eixo de simetria e, construindo uma reta perpendicular à reta diretriz d, passando pelo foco F.

Determinar o ponto D de intersecção entre a diretriz e o eixo de simetria.

Determinar o vértice V da parábola, que é o ponto médio entre o foco F e o ponto D obtido no item

anterior.

Traçar uma reta d1 paralela à reta d.

Com centro em F e raio A1D, traçar uma circunferência 1 que intercepta d1 nos pontos 1 e 2

pertencentes à parábola.

Na parábola da figura ao lado, destacamos:

F: foco

d: reta diretriz

V: vértice (ponto médio do segmento FD)

e: eixo de simetria (reta que passa pelo

foco F e é perpendicular à diretriz)

106


De modo análogo, traçar outras retas di paralelas à reta d e traçar as circunferências i com centros no

foco F da parábola e raios iguais às distâncias entre di e d, obtendo outros pontos pertencentes à

parábola.

O vértice V e os pontos encontrados 1, 2, 3, 4, ... pertencem à parábola.

2.2. Determinação de uma reta tangente à parábola e da sua normal por um ponto T:

A tangente t á a bissetriz do ângulo 1DTF .


107


Exercícios:

1. Trace a elipse a partir do semi-eixo maior:

2. Trace as retas tangente e normal à elipse no ponto P:

108


3. Trace os dois ramos da hipérbole a partir dos focos e do eixo real:

4. Na hipérbole abaixo, trace as assíntotas e as retas tangente e normal no ponto P:

109


5. Trace a parábola a partir do foco e da reta diretriz:

6. São dados seis pontos da parábola e a reta diretriz. Determine o vértice da parábola e trace as retas

tangente e normal no ponto P:

110


14. Triângulos

I – Nomenclatura:

Nos exercícios deste capítulo, uniformizaremos as notações geométricas seguintes:

II – Classificação:

Quanto aos lados:

equilátero: tem os 3 lados congruentes.

isósceles: tem 2 lados congruentes.

escaleno: tem os 3 lados com medidas diferentes.

Vértices: pontos A, B e C.

Lados: .bACeaBC;cAB

Ângulos:

)medidade(CouBCA

)medidade(BouCBA

)medidade(ÂouCAB

ha: altura relativa ao lado a

Ha: pé da altura do lado a

sa: bissetriz interna do ângulo Â

Sa: encontro da bissetriz interna de Â

com o lado a

ma: mediana relativa ao lado a

Ma: ponto médio do lado a

111


Quanto aos ângulos:

retângulo: tem um ângulo reto.

acutângulo: tem os três ângulos agudos .

obtusângulo: tem um ângulo obtuso.

III – Construção:

CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO EQUILÁTERO:

1. Construa um triângulo equilátero ABC de lado 45 mm.

2. Construa um triângulo equilátero ABC cujo perímetro é 13,5 cm.

112


CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO ISÓSCELES:

3. Construa um triângulo isósceles ABC de base AB medindo 50 mm, sabendo que os outros lados

medem 30 mm.

4. Construa um triângulo isósceles ABC que tem perímetro 130mm e cuja base BC mede 40mm.

5. Construa o triângulo ABC, isósceles, dados a base AB e o ângulo :

113


6. Determine todos os triângulos isósceles ABC possíveis. Sabe-se que o vértice C pertence à reta m.

CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO RETÂNGULO:

7. Construa o triângulo ABC, retângulo em B, sabendo que seus catetos medem a = 45 mm e c = 50 mm.

8. Construa um triângulo ABC, retângulo em C, sabendo que a = 4 cm e = 60º.

114


9. Construa um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa mede 6cm.

CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO, DADOS OS TRÊS LADOS:

10. Construa o triângulo ABC, dados seus lados a, b e c:

a) a = 6 cm; b = 5 cm e c = 3 cm

b) a = 6 cm; b = 4 cm e c = 2 cm

c) a = 6 cm; b = 2 cm e c = 3 cm

O que podemos concluir?

________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

115


CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO, DADOS DOIS LADOS E O ÂNGULO POR ELES DETERMINADO:

11. Construa o triângulo ABC, dados a = 35 mm, b = 30 mm e = 45º.

CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO, DADOS UM LADO E OS ÂNGULOS ADJACENTES A ESSE LADO:

12. Construa o triângulo ABC, dados = 60º, c = 35 mm e = 30º.

CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO, DADOS DOIS LADOS E UM ÂNGULO ADJACENTE A UM DOS

LADOS:

13. Construa o triângulo ABC, dados = 30º, c = 4 cm e a = 2,5 cm.

116


CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO, DADOS UM LADO, UM ÂNGULO ADJACENTE E A ALTURA

RELATIVA A ESSE LADO:

14. Construa o triângulo ABC, dados = 45º, c = 3,5 cm e hc = 2 cm.

CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO, DADOS DOIS LADOS E A ALTURA RELATIVA A UM DELES:

15. Construa o triângulo ABC, dados c = 40 mm, b = 35 mm e hc = 20 mm.

CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO, DADOS DOIS LADOS E A MEDIANA RELATIVA A UM DELES:

16. Construa o triângulo ABC, dados a = 35 mm, b = 25 mm e ma = 15 mm.

117


CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO, DADOS UM LADO, UM ÂNGULO ADJACENTE A ESSE LADO E A

MEDIANA DETERMINADA PELO OUTRO VÉRTICE DESSE LADO:

17. Construa o triângulo ABC, dados = 45º, c = 30 mm e mb = 23 mm.

CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO, DADOS UM LADO, UM ÂNGULO OPOSTO A ESSE LADO E A

ALTURA RELATIVA A UM VÉRTICE DESSE LADO:

18. Construa o triângulo ABC, dados a = 30 mm, hc = 28 mm e = 60º.

CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO, DADOS DOIS LADOS E UM ÂNGULO OPOSTO A UM DOS LADOS:

19. Construa o triângulo ABC, dados a = 30 mm, b = 55 mm e = 30º.

118


20. Construa o triângulo ABC, dados o lado BC , b = 40 mm e = 45º.

IV – Pontos Notáveis:

1. Circuncentro – Mediatrizes (O):

É o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.

O circuncentro está a igual distância dos vértices do triângulo e, portanto, é o centro da

circunferência circunscrita ao triângulo, ou seja, a circunferência que passa pelos seus vértices.

119


Exercícios: Trace a circunferência circunscrita a cada triângulo abaixo:

1. Triângulo acutângulo: 2. Triângulo retângulo:

3. Triângulo obtusângulo:

2. Incentro – Bissetrizes ( I ):

É o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo.

120


O incentro está a igual distância dos lados do triângulo e, portanto, é o centro da circunferência

inscrita ao triângulo, ou seja, a circunferência que tangencia seus lados.

Exercícios:

1. Trace a circunferência inscrita ao triângulo abaixo:

2. Determine o incentro de um triângulo isósceles ABC de lados 40 mm e base 25 mm.

121


3. Baricentro – Medianas (G):

É o ponto de encontro das medianas do triângulo.

O baricentro divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro

da outra.

O baricentro do triângulo é o seu ponto de equilíbrio (centro de gravidade). Experimente equilibrar

um triângulo com um lápis!

Exercícios:

1. Determine o baricentro do triângulo abaixo:

122


2. Determine o baricentro de um triângulo ABC cujo ângulo obtuso mede 120º, a = 50 mm e c = 35 mm.

4. Ortocentro – Alturas (H):

É o ponto de encontro das alturas relativas aos lados do triângulo.

Exercícios: Determine o ortocentro de cada triângulo abaixo:

1. Triângulo acutângulo: 2. Triângulo retângulo:

123


3. Triângulo obtusângulo:

Exercícios:

1. Construa um triângulo eqüilátero cujo lado tenha 100 mm e determine seu incentro, baricentro,

ortocentro e circuncentro. O que você concluiu? ____________________________________________

124


2. Construa o triângulo ABC, dados A, B e G (baricentro).

3. Construa o triângulo ABC, dados B, C e I (incentro).

125


15. Figuras Equivalentes

I – Área de figuras planas:

1. Definição:

Qualquer figura determina uma região do espaço ao qual pertence. Para se medir essa região é

preciso adotar uma unidade que nos dará a área dessa figura. Estabeleceu-se que o quadrado de lado

unitário é a medida padrão de área. Em resumo, área é a medida de uma superfície plana em unidades

quadradas.

2. Áreas das principais figuras planas:

2.1. Área do retângulo:

2.2. Área do quadrado:

2.3. Área do paralelogramo: baseia-se na área do retângulo.

126


2.4. Área do triângulo: estendida a partir da área do paralelogramo.

2.5. Área do trapézio: estendida a partir da área de dois triângulos.

2.6. Área do losango: baseia-se na área do retângulo.

2.7. Área do círculo:

127


Exercícios:

1. Construa um quadrado de área 9,0 cm2.

2. Construa um triângulo isósceles de área 10,0 cm2 e base 5,0 cm.

3. Construa um losango de área 20,0 cm2 e diagonal maior 8,0 cm.

128


II – Equivalência de figuras planas:

1. Definição:

Todas as figuras planas que têm a mesma área são chamadas de figuras equivalentes.

Por exemplo, um quadrado de lado 2 cm é equivalente a um triângulo de base 4 cm e altura 2 cm:

2. Equivalência entre triângulos:

2.1. Triângulos de mesma base e mesma altura:

Dois triângulos de mesma base e mesma altura são equivalentes. Veja o exemplo:

Portanto:

A1 = A2

Logo, os triângulos de áreas A1 e A2 são equivalentes.

Na realidade, todos os triângulos de mesma base (b) e mesma altura (h) serão equivalentes entre

si:

129


Exercícios:

1. Construa triângulos equivalentes de base 3,5 cm e altura 3,0 cm.

2. Construa um triângulo ABC que tem um dos ângulos da base de 45°, equivalente ao triângulo dado.

3. Construa o triângulo ABC, com = 60°, equivalente ao triângulo dado.

A B

D

130


2.2. Triângulos com bases ou alturas diferentes:

Observe os triângulos equivalentes a seguir:

Como eles são equivalentes, as áreas são iguais:

2

'h'b

2

hbAA 21

Simplificando, temos:

'h'bhb

Se, por exemplo, h’ é desconhecido, então colocando a igualdade acima em forma de proporção,

temos que h’ é a quarta proporcional entre b’, b e h:

'h

h

b

'b

Exercícios:

1. Dado o triângulo ABC, construa o triângulo RST equivalente ao triângulo dado, sabendo que a base RS

mede 4,5 cm.

131


2. Dado o triângulo ABC, construa o triângulo DEF retângulo com 4,0 cm de altura, equivalente ao

triângulo dado.

3. Equivalência entre polígonos:

3.1. Processo para obter polígonos equivalentes com um número menor de lados:

Exemplo: Construa um pentágono equivalente ao hexágono dado:

Procedimento:

Traçar uma diagonal relativa a dois lados consecutivos quaisquer, por exemplo, a diagonal EC.

Construir o triângulo ECD’ equivalente ao ECD, tal que D’ seja obtido pelo prolongamento do lado BC.

Destacar o pentágono ABD’EF, que é equivalente ao hexágono ABCDEF.

A área é a mesma porque

os dois triângulos são

equivalentes.

132


Exercícios:

1. Construa um triângulo equivalente ao pentágono dado.

2. Construa um quadrilátero equivalente ao hexágono dado.

133


3.2. Processo para obter polígonos equivalentes com um número maior de lados:

Exemplo: Construa um pentágono equivalente ao quadrilátero dado:

Procedimento:

Traçar uma reta passando por um dos vértices e cortando um dos outros lados, por exemplo, a reta DE.

Construir o triângulo DEC’ equivalente ao DEC, tal que C’, D e A não sejam colineares.

Destacar o pentágono ABEC’D, que é equivalente ao quadrilátero ABCD.

Exercícios:

1. Construa um hexágono equivalente ao pentágono dado.

134


3.3. Outras equivalências:

Exercícios:

1. Trace um círculo equivalente ao quadrado ABCD dado.

2. Construa um quadrado equivalente ao paralelogramo dado.

3. Construa um triângulo equivalente ao círculo dado.

135


16. Figuras Semelhantes

I – Polígonos semelhantes:

1. Definição: dois polígonos são semelhantes se:

Os ângulos correspondentes são congruentes;

Os lados correspondentes são proporcionais, isto é, as razões entre as medidas dos lados que se

correspondem são iguais.

Observações:

Os ângulos e os lados correspondentes são chamados de homólogos.

A razão entre os lados homólogos é chamada razão de semelhança (k).

Por exemplo:

2'C'A

AC

'C'B

BC

'B'A

AB:sejaou;2

75.1

50.3

'C'A

AC;2

50.2

00.5

'C'B

BC;2

75.2

50.5

'B'A

AB

'CC;'BB;'ÂÂpois'C'B'A~ABC

Portanto, k=2 é a razão de semelhança do triângulo ABC para o triângulo A’B’C’.

136


2. Construções:

2.1. Construir o polígono A’B’C’D’, semelhante ao polígono ABCD dado, na razão 2.

É dado o polígono ABCD.

Escolher um dos vértices do polígono, no caso o vértice B, e prolongar os lados e a diagonal do

polígono, referente ao vértice escolhido.

Determinar os pontos A’ na reta AB, C’ na reta BC e D’ na reta BD, dobrando cada um dos segmentos

AB, BD e BC, respectivamente.

O polígono A’B’C’D’ determinado é semelhante ao polígono ABCD na razão 2, ou seja:

2DA

'A'D

CD

'D'C

BC

'C'B

AB

'B'A

O segmento A’D’ é paralelo ao segmento AD e o segmento C’D’ é paralelo ao segmento

CD. Dessa forma, para construir o polígono semelhante, também podemos dobrar um dos

segmentos, por exemplo, o segmento BC e traçar, a partir de C’, uma reta paralela a CD.

Analogamente, traçar a partir de D’, uma paralela a AD.

137


2.2. Construir um triângulo A’B’C’, semelhante ao triângulo ABC dado, cuja razão de semelhança é k = 7

5.

É dado o triângulo ABC.

Dividir um dos lados do ABC, no caso AB , em 7 partes iguais (referentes ao denominador da razão

dada).

A partir do ponto A A’ em AB , tomar as 5 partes congruentes (referentes ao numerador da razão

dada), obtendo o ponto B’.

Traçar, a partir de B’, uma paralela ao lado BC , determinando no lado AC , o ponto C’.

O triângulo A’B’C’ determinado é semelhante ao triângulo ABC na razão 7

5, ou seja:

7

5

CA

'A'C

BC

'C'B

AB

'B'A

2.3. Construir um pentágono A’B’C’D’E’, semelhante ao pentágono ABCDE dado, cuja razão de semelhança

é k = 4

7.

É dado o pentágono ABCDE.

Dividir um dos lados do polígono ABCDE, no caso AB , em 4 partes iguais (referentes ao denominador

da razão dada).

A partir do ponto A A’ em AB , marcar 7 partes iguais (referentes ao numerador da razão dada),

obtendo o ponto B’ no prolongamento de AB .

138


Traçar, a partir do ponto B’, uma paralela ao lado BC , determinando no prolongamento da diagonal

AC , o ponto C’.

Traçar, a partir do ponto C’, uma paralela ao lado CD , determinando no prolongamento da diagonal

AD , o ponto D’.

Traçar, a partir do ponto D’, uma paralela ao lado DE , determinando no prolongamento do lado AE , o

ponto E’.

O pentágono A’B’C’D’E’ determinado é semelhante ao pentágono ABCDE na razão 4

7, ou seja:

4

7

EA

'A'E

DE

'E'D

CD

'D'C

BC

'C'B

AB

'B'A

Exercícios:

1. Construa o triângulo ABC semelhante ao triângulo DEF na razão 2

1.

139


2. Construa o triângulo PQR semelhante ao triângulo ABC na razão 2

3.

3. Construa o retângulo FGHI semelhante ao retângulo ABCD na razão 4

3.

4. Construa o quadrado MNOP semelhante ao quadrado ABCD na razão 3

2.

140


5. Construa o losango FGHI semelhante ao losango ABCD na razão 3

4.

6. Construa um hexágono ABCDEF semelhante ao hexágono dado na razão 2.

7. Construa o triângulo MNO semelhante ao triângulo ABC na razão 3.

141


8. Construa o triângulo ABC semelhante ao triângulo PQR sabendo que PQ e AB são lados homólogos.

9. Construa um cubo semelhante ao cubo dado na razão 2

1.

142


10. Construa uma figura semelhante à dada na razão 2

3.

II – Homotetia:

1. Definições:

Duas figuras semelhantes dispostas de tal modo que os seus lados homólogos sejam paralelos são

chamadas figuras homotéticas.

Por exemplo:

Os triângulos ABC e A’B’C’ são

homotéticos, pois, além de serem

semelhantes, os lados homólogos

são paralelos:

'C'A//ACe'C'B//BC;'B'A//AB .

143


As retas que passam pelos vértices homólogos encontram-se em um mesmo ponto chamado

centro de homotetia ou ponto polar:

Dizemos que um ponto A’ é homotético de A, em relação a um centro O – centro de homotetia – e a

um número real k – razão de homotetia – se:

A’ pertence à reta OA ;

Existe um número real k, de modo que OAk'OA .

Exemplo:

Para k = 3: Para k = -3:

k > 0: Homotetia direta k < 0: Homotetia inversa

Os triângulos ABC e A’B’C’ não

são homotéticos, pois, apesar de

serem semelhantes, os lados

'C'BeBC e 'C'AeAC , não são

paralelos.

.

centro de homotetia

144


2. Ampliação e Redução:

Podemos usar a homotetia como um recurso para ampliar e reduzir qualquer figura geométrica:

Por meio de uma homotetia direta (k > 0), podemos:

ampliar, se k > 1

reduzir, se 0 < k < 1

Por meio de uma homotetia inversa (k < 0), podemos:

ampliar, se k < -1

reduzir, se -1 < k < 0

3. Construções:

3.1. Consideremos, por exemplo, o ABC e um ponto O (centro de homotetia):

k > 0

Homotetia Direta

k < 0

Homotetia Inversa

As retas que passam pelos

vértices correspondentes

encontram-se num mesmo

ponto chamado centro de homotetia.

145


a) Construir o A’B’C’ homotético do ABC, de centro O e razão k = 3:

Traçar as retas que passam por O e pelos vértices A, B e C.

Determinar o ponto A’ em OA , com OA' = 3 . OA .

Usar o mesmo procedimento anterior para obter B’ e C’ ou, a partir de A’, determinar nas retas OB e OC,

respectivamente, os pontos B’ e C’, de modo que BC//'C'BeAB//'B'A .

O triângulo A’B’C’ é homotético ao triângulo ABC, na razão k = 3. Isto é, ampliamos o triângulo ABC

através da homotetia direta.

Justificativa:

Por construção,

)3(OC3'OC

)2(OB3'OB

)1(OA3'OA

. Dessa forma, os triângulos OAB e OA'B’ são semelhantes (caso LAL).

Logo, AB

'B'A

OB

'OB

OA

'OA .

Como AB3'B'A3AB

'B'Aquetemos),)2(e)1(por(3

OB

'OB

OA

'OA .

Analogamente, B’C’ = 3 . BC e A’C’ = 3 . AC.

146


b) Construir os triângulos A’B’C’ e A”B”C” homotético do ABC, de centro O e razões k1 = -1 e k2 = -2:

Traçar as retas que passam por O e pelos vértices A, B e C.

Determinar os pontos A’ e A’’ em OA , de modo que OA' = 1 . OA e AO’' = 2 . OA.

Usar o mesmo procedimento anterior para obter B’ (e B’’) e C’ e (C’’) ou, a partir de A’ (e A’’), determinar

nas retas OB e OC, respectivamente, os pontos B’ (e B’’) e C’ (e C’’), de modo que

BC//''C''B//'C'BeAB//''B''A//'B'A .

Os triângulos A’B’C’ e A’’B’’C’’ são homotéticos ao triângulo ABC, nas razões k1 = -1 e k2 = -2. Isto é,

A’B’C’ é o triângulo invertido do triângulo ABC e A’’B’’C’’ é a ampliação inversa do triângulo ABC.

3.2. Construir o homotético de um quadrilátero ABCD, de centro O na razão k = 3

1:

Traçar as retas que passam por O e pelos vértices do quadrilátero.

Determinar o ponto A’ em OA , de modo que OA' = 3

1 . OA . (Utilizar a divisão de segmentos em partes

iguais).

A partir de A’, determinar nas retas OB, OC e OD, respectivamente, os pontos B’, C’ e D’, de modo que

DA//'A'DeCD//'D'C,BC//'C'B,AB//'B'A .

O quadrilátero A’B’C’D’ é homotético de ABCD, na razão k = 3

1. Isto é, reduzimos o quadrilátero ABCD

através da homotetia direta.

147


3.3. Construir o homotético de um pentágono ABCDE, de centro O na razão k = 5

7:

Traçar as retas que passam por O e pelos vértices do pentágono.

Determinar o ponto A’ em OA , de modo que OA' = 5

7 . OA . (Utilizar a divisão de segmentos em partes

iguais).

A partir de A’, determinar nas retas OB, OC, OD e OE, respectivamente, os pontos B’, C’, D’ e E’, de

modo que EA//'A'EeDE//'E'D,CD//'D'C,BC//'C'B,AB//'B'A .

O pentágono A’B’C’D’E’ é homotético de ABCDE, na razão k = 5

7. Isto é, ampliamos o pentágono

ABCDE através da homotetia direta.

148


Exercícios:

1. Os triângulos ABC e A’B’C’ são homotéticos e o ponto O é o centro de homotetia. Determine o ponto C’.

2. Amplie o retângulo ABCD, conhecendo-se o centro de homotetia O e o ponto D’.

3. Dadas as figuras, construa as suas homotéticas, conhecendo-se o centro de homotetia O e a razão de

homotetia k:

a) k = 2

149


b) k = -2

c) k = 2

1

150


d) k = 5

2

e) k = 7

3

f) k = 3

151


g) k = - 4

h) k = -1

152


i) k = 2

3

j) k = 3

10

k) k = 5

12

153


l) k1 = -3 e k2 = 4

m) k = 2

1

154


17. Isometrias

I – Introdução:

Vimos a construção de figuras geométricas semelhantes que possuem os ângulos correspondentes

congruentes e os lados correspondentes proporcionais; isto é, as razões entre as medidas dos lados que se

correspondem são iguais (razão de semelhança (k)).

Quando duas figuras geométricas possuem razão de semelhança k igual a 1, dizemos que elas são

congruentes.

Podemos empregar certos movimentos para desenhar figuras congruentes: a translação, a

reflexão e a rotação. Tais transformações são chamadas de isometrias (“iso” = mesma e “metria” =

medida), pois têm a propriedade de preservar a distância entre pontos.

II – Translação:

A operação de transladar uma figura implica no deslocamento de todos os seus pontos de uma igual

distância, numa mesma direção e sentido.

Dada uma direção por um vetor v

de comprimento u, consideremos um ponto qualquer P do plano.

Construímos P’ tal que PP’ seja paralelo e tenha mesmo sentido que v

e PP’ = u:

Dizemos que P’ é simétrico de P por simetria translacional em relação ao vetor v

.

155


Exemplos:

1.) Transladar o ABC na direção do vetor v

:

2.) Transladar o quadrilátero ABCD na direção do vetor v

:

construímos A’ tal que AA’

tenha mesma direção, sentido

e comprimento do vetor v

.

B’ e C’ são obtidos de forma

análoga.

156


III – Reflexão:

Na reflexão, cada ponto da figura é associado ao seu simétrico em relação a uma reta (eixo de

reflexão ou simetria). É como associar a figura à sua imagem no espelho.

Consideremos uma reta r e um ponto P (Pr). Marcamos um ponto P’ na perpendicular por P à reta

r, no semi-plano oposto ao de P tal que P’M = PM, onde M é o ponto de interseção entre a reta r e a

perpendicular traçada:

Dizemos que P’ é simétrico de P por simetria reflexional ( ou simetria axial) em relação ao eixo r.

Exemplos:

1.) Construir o simétrico do ABC em relação à reta r:

construímos A’ que está na

perpendicular à reta r por A e tal

que r seja mediatriz de AA’, ou

seja, AM = MA’.


análoga.

157


2.) Construir o simétrico do quadrilátero ABCD em relação ao eixo r:

IV – Rotação:

Rotacionar uma figura implica girá-la num plano, num determinado ângulo, tendo como base um

ponto dado, chamado centro de rotação.

Dados um ponto fixo O, um ângulo (0<<360º) e um ponto qualquer P (PO), construímos um

ponto P’ tal que OP’ = OP e PÔP’ = :

Dizemos que P’ é o simétrico de P por simetria rotacional ao redor de O de ângulo . Ao ponto O

chamamos de centro de rotação e a de ângulo de rotação.

158


Exemplos:

1.) Rotacionar o ABC num ângulo de 60º, tendo como centro de rotação o ponto O:

2.) Rotacionar o quadrilátero ABCD tendo ângulo de rotação 45º e centro de rotação o ponto O:

construímos A’ tal que OA' = OA e

AÔA’ = 60º.


análoga.

159


Além dos 3 movimentos isométricos vistos acima, temos a reflexão transladada ( ou translação

refletida) que é uma combinação de translação e reflexão, cujo eixo é paralelo à direção de translação:

Exercícios:

1. Construa a figura simétrica a cada figura dada por simetria translacional em relação ao vetor v

.

a)

b)

160


c)

2. Construa a figura simétrica a cada figura dada por simetria axial em relação ao eixo r.

a)

b)

161


c)

3. Construa a figura simétrica a cada figura dada por simetria rotacional tendo O como centro de rotação e

como ângulo de rotação.

a) = 30º

b) = 90º

162


c) = 180º

4. Construa os simétricos por simetria axial do ABC em relação aos eixos r1 e r2:

5. Dado o ABC, faça uma translação na direção do vetor v

e, com o triângulo transladado, uma reflexão

em relação ao eixo r, onde r // v

. Após, faça uma reflexão em relação à r do ABC e, com o triângulo

refletido, uma translação na direção de v

. O que você observou? ______________________________

163


18. Espirais

I – Introdução:

1. Definição: Espiral é qualquer curva plana gerada por um ponto móvel que gira em torno de um ponto

fixo, um polígono ou um círculo, ao mesmo tempo em que dele se afasta ou se aproxima segundo uma lei

determinada.

2. Elementos:

Núcleo: é o ponto ou o polígono que dirige o

desenvolvimento da curva.

Centros: são os vértices do núcleo.

Raios vetores: são segmentos com uma extremidade no

centro e a outra em um ponto correspondente da curva.

Toda espiral pode ser construída de duas maneiras diferentes:

Espiral dextrógira: desenvolve-se no sentido horário.

Espiral sinistrógira (ou levógira): desenvolve-se no

sentido anti-horário.

As espirais podem ter dois ou mais centros. Entre as mais importantes, estudaremos as espirais

policêntricas, a espiral de Arquimedes, a espiral áurea e a evolvente do círculo. A espiral de Arquimedes é

considerada verdadeira e as espirais policêntricas são consideradas falsas.

164


II – Espirais policêntricas:

O núcleo pode conter dois ou mais pontos. O polígono do núcleo pode ser regular ou irregular.

1. Espiral de dois centros (ou bicêntrica):

São dados uma reta e os pontos O1 e O2 sobre ela, centros da espiral.

Com centro em O1 e raio O1O2, traçar o arco O2A.

Com centro em O2 e raio O2A, traçar o arco AB.

Com centro em O1 e raio O1B, traçar o arco BC.

Com centro em O2 e raio O2C, traçar o arco CD.

E assim, sucessivamente, alternando os centros O1 e O2.

2. Espiral de três centros (ou tricêntrica):

São dados os pontos O1, O2 e O3, centros da espiral.

Prolongar os lados O2O1, O3O2 e O1O3, raios vetores da espiral.

Com centros em O1, O2 e O3, traçar arcos de circunferência sucessivos, limitados pelos raios vetores.

165


3. Espiral de quatro centros (ou quadricêntrica):

São dados os pontos O1, O2, O3 e O4, centros da espiral.

Prolongar os lados O2O1, O3O2, O4O3 e O1O4, raios vetores da espiral.

Com centros em O1, O2, O3 e O4 traçar arcos de circunferência sucessivos, limitados pelos raios vetores.

III – Espiral de Arquimedes:

Na Espiral de Arquimedes, um ponto móvel gira indefinidamente em torno de um ponto fixo (pólo)

ao mesmo tempo em que dele se afasta segundo uma lei determinada.

Construção:

Traçar uma circunferência de raio qualquer e centro O.

Dividir a circunferência e o raio em partes iguais. Neste exemplo, dividiremos em 8 partes congruentes.

Observação: quanto maior for o número de partes em que se divide a circunferência, maior será a

precisão da curva. O raio e a circunferência são sempre divididos pelo mesmo número de partes.

166


Com centro em O, traçar os arcos 1A’ em OA ; 2B’ em OB ; 3C’ em OC ; 4D’ em OD ; 5E’ em OE ; 6F’

em OF ; 7G’ em OG .

Traçar, a mão livre, a espiral pelos pontos O, A’, B’, C’, D’, E’, F’, G’ E H.

Arquimedes: matemático grego. Nasceu em Siracusa, na Sicília. Viveu entre 287 a.C. e

212 a. C. Muito jovem, começou a freqüentar a Biblioteca de Alexandria e a estudar

Matemática. Foi o pioneiro da Matemática Aplicada. Entre suas invenções, estão as

catapultas de bombardeio construídas com base no princípio da alavanca, por ele descrito.

Graças a elas, Siracusa resistiu por 3 anos aos ataques romanos. Deixou também, importantes

contribuições à Geometria, como a descoberta do volume de uma esfera: dois terços do volume de um

cilindro circunscrito nela. Arquimedes valorizou tanto essa descoberta, que pediu para gravar em seu túmulo

o desenho de um cilindro circunscrito em uma esfera. Um conto tradicional, relata que ao chegar à solução

de um dos seus problemas matemáticos, durante o banho, ele correu nu pelas ruas gritando “Eureka”

(achei).

167


IV – Espiral Áurea:

Vimos, no capítulo 6, a proporção áurea que tem sido motivo de estudo desde os mais remotos

tempos.

Ela representa, segundo os estudiosos, a mais agradável proporção entre dois segmentos ou duas

medidas. Há muito identificou-se essa proporção como sendo equivalente a 0,618:1.

Se desenharmos um retângulo cuja razão entre os comprimentos dos lados menor e maior é igual à

proporção áurea obtemos um retângulo de ouro.

Construção:

Construir um quadrado ABCD qualquer.

Encontrar o ponto médio M do lado AB .

Com centro em M e raio MC, traçar um arco de circunferência que intercepta o prolongamento do lado

AB no ponto E.

AE é a base do retângulo áureo.

Para completá-lo, basta traçar uma reta perpendicular a AE pelo ponto E, que intercepta o

prolongamento de CD no ponto F.

AEFD é um retângulo áureo.

Justificativa:

Seja L o lado do quadrado ABCD construído.

Por construção, o triângulo MBC é retângulo. Dessa forma, aplicando o Teorema de Pitágoras,

temos:

618,0AB

AC

168


2

5LMC

4

L5MCL

2

LMCBCMBMC

222

22222

ME = MC, por construção. Assim, temos:

152

L

2

5L

2

LAEMEAMAE

618,02

15

4

152

1515

152

AE

AD

152

L

L

AE

AD

Portanto AEFD é um retângulo áureo.

Um retângulo áureo tem a interessante propriedade de, se o dividirmos num quadrado e num

retângulo, o novo retângulo é também de ouro. Repetindo este processo infinitamente, temos:

E unindo os cantos dos quadrados gerados, obtém-se uma espiral a que se dá o nome de espiral

áurea:

169


Vimos, também no capítulo 6, o pentagrama ou pentágono estrelado que era o símbolo especial da

escola pitagórica, esta figura envolvia um misticismo, provavelmente, devido às suas propriedades, pois ao

desenharmos um pentágono regular e traçarmos as suas diagonais, veremos que elas se cruzam e formam

um novo pentágono interior ao anterior. A interseção de duas diagonais também divide a diagonal na razão

áurea.

Consideremos o ABC que é um triângulo isósceles especial, ou seja, a bissetriz de um dos

ângulos da base divide o triângulo em dois novos triângulos isósceles:

Podemos verificar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes, pois têm os ângulos

correspondentes congruentes e, portanto, têm os lados correspondentes proporcionais:

618,02

15

L

l0LLll

l

L

lL

l 22

170


Tal triângulo é chamado triângulo isósceles áureo. Assim como o retângulo áureo, ele tem a

propriedade de, se traçarmos a bissetriz de um dos ângulos da base, o novo triângulo é também de ouro.

Repetindo este processo infinitamente, temos:

E também podemos obter uma espiral:

171


V – Evolvente do círculo:

Na Evolvente do círculo, um ponto gira sobre uma tangente que rola em torno de um círculo fixo.

Construção:

Traçar uma circunferência de raio qualquer e centro O.

Dividir a circunferência em partes iguais. Neste exemplo, dividiremos em 12 partes congruentes.

Observação: quanto maior for o número de partes em que se divide a circunferência, maior será

a precisão do traçado da curva.

Traçar tangentes à circunferência nos pontos da divisão, conforme a figura abaixo.

Com centro em 12 e raio 11-12, traçar o arco 11-A.

Com centro em 1, 2, ... , 12, traçar os arcos seguintes, na seqüência alfabética apresentada na

construção.

172


Exercícios:

1. Trace a espiral de dois centros dextrógira no raio vetor abaixo.

2. Trace a espiral de três centros dextrógira segundo os raios vetores abaixo.

173


3. Trace a espiral de quatro centros dextrógira segundo os raios vetores abaixo.

4. Construa uma espiral de Arquimedes dextrógira (divida a circunferência em 10 partes iguais).

174


5. Dado um quadrado ABCD, construa uma espiral áurea.

6. Dado o triângulo isósceles áureo abaixo, construa uma espiral.

175


7. Trace a evolvente do círculo abaixo:

176


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Apostila - DGII

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