Apostila de Probabilidade e Estatística

Curso de Sistemas de

Informação

AAppoosstt ii ll aa ddee

PPrroobbaabbii ll ii ddaaddee ee EEsstt aatt íísstt ii ccaa

Prof. Braulino Mattos (Qualquer dúvida ou sugestão: [email protected] )

Apostila de PROBABILIDADE e ESTATÍSTICA Prof. Braulino Mattos

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Capítulo 1

Estatística: Conceitos Preliminares

1.1 Introdução

A Estatística t rata dos métodos cient íf icos para coleta, organização, resumo,

apresentação e análise de dados, visando também à tomada de decisões.

Para isso, ela conta com técnicas poderosas para ext rair informações signif icat ivas a part ir de

quant idades enormes de dados brutos, como fazer inferências sobre a natureza de uma população com base

em observações feitas sobre uma amostra dela extraída.

Percebe-se, conforme o exposto, que a Estatística é aplicável a qualquer ramo do conhecimento onde

se manipulam dados experimentais. Assim, as Ciências Sociais, a Biologia, a Medicina, a Física, a Engenharia,

as Ciências Administ rat ivas, etc., tendem, cada vez mais, a servir-se dos métodos estat íst icos como

ferramenta de trabalho, daí a sua grande e crescente importância.

Logo, pessoas que precisam tirar conclusões ou expor idéias sobre um grande número de dados devem

estudar Estat íst ica. Por exemplo, uma empresa automobilíst ica deve saber predizer quantos automóveis

serão vendidos num certo mês, ou ao longo de um período, para planej ar sua produção, seus estoques e sua

estratégia de preços e marketing, isso será feito com base no histórico de vendas da empresa.

Nessa apost ila encont ra-se um ferramental estat íst ico rico para organizar, resumir, apresentar e

fazer algumas considerações sobre quant idades expressivas de dados que são encont radas em qualquer

empresa.

1.2 Estatística Descritiva X Estatística Indutiva

Estat íst ica Descrit iva:

É a parte da Estat íst ica que apenas descreve e analisa um conj unto de dados.

Nela não são tiradas conclusões.

Estat íst ica Indutiva:

Trata das inferências e conclusões. A part ir da análise de dados são t iradas

conclusões. Também chamada de Inferência Estatística.

Obs.:

O estudo de Probabilidade se torna importante no instante em que percebemos que, em geral, as

decisões (inferências) são tomadas em ambiente de incerteza e, logo, existe sempre uma possibilidade

(probabilidade) de erro.

1.3 População e Amostra

Ao coletar dados sobre as característ icas de um conj unto nem sempre é possível considerar todos os

elementos, ou seja, toda a população ou universo. Exemplos:


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Os brinquedos produzidos por uma indústria;

Os carros que passam por um determinado farol;

As preferências da população sobre candidatos a uma determinada eleição;

Entre outros.

Considera-se, então, apenas uma pequena parte do todo, chamada amost ra. No caso da eleição, a

população é formada por todos os cidadãos com direito a voto e a amost ra é formada pelos eleitores que

serão entrevistados.

Podemos resumir como:

População: são todos os indivíduos ou objetos do grupo em que estamos interessados ;

Amostra:

é um subconjunto da população.

Exemplo:

Eleição para Presidente do Brasil

População 120.000.000 de brasileiros (eleitores)

Amostra 2.000 pessoas pesquisadas (escolhidas aleatoriamente)

Exemplo:

Ao chegarmos a uma churrascaria, não precisamos comer todos os t ipos de saladas, de sobremesas e de carnes para conseguirmos chegar a conclusão de que a comida é de boa qualidade. Basta que sej a provado um t ipo de cada opção para concluirmos que estamos sendo bem servidos e que a comida está dentro dos padrões.

Exemplo:

Em uma cidade, não precisamos analisar todas as pessoas para sabermos se nela existe uma epidemia.

1.4 Variáveis Qualitativas e Quantitativas

Uma variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.

Pode ser divida em duas categorias:

Qualitativa

Quando seus valores são expressos por atributos.

Quantitativa

Quando seus valores são expressos por números.

Nominal: Não admite ordenação.

( Ex.: Cor da pele ( branca, negra, morena), estado

civil, profissão, etc. )

Ordinal: Admite algum tipo de ordenação.

( Ex.: Classe social alta, média, baixa )

Discreta: Conta ou enumera elementos.

( Ex.: quant idade de alunos numa sala de aula,

quant idade de aviões num aeroporto,

escolaridade, etc.)

Contínua: Medições.

( Ex.: A altura ou o peso de uma pessoa,

quantidade de arroz estocado, salário, etc.)


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1.5 Gráficos

Os gráficos permitem a representação da relação entre variáveis e podem facilitar a compreensão dos

dados, se apresentados de forma clara e objetiva. Em Estatística são usados os gráficos de linha (curvas), de

barra e de setores, entre outros.

Gráfico de Linhas

Gráfico de Barras ( Verticais ou Horizontais )

OBS.: Um gráfico com barras verticais é, geralmente, chamado de gráfico de colunas.

Gráfico de Setores


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1.6 Exemplos da Aplicação da Estatística

1.6.1 Na Informática

Aceitação de software/produto;

Quantidade ou perfil (%) de pessoas que utilizam páginas da Internet;

Pesquisas de opinião/cursos;

Pesquisas de mercado;

Informática como ferramenta da Estatística.

o Obs.: Softwares estatísticos: Statgraphics, Minitab, R+, etc.

1.6.2 Na Administração

Alguns exemplos da aplicação da estatística à Administração estão listados abaixo.

1. Uma f irma se prepara para o lançamento de um novo produto e, para isso, precisa conhecer as

preferências dos consumidores no mercado de interesse. Logo, ela deve fazer uma pesquisa de mercado,

ent revistando certo número de residências escolhidas aleatoriamente, e usar os resultados obt idos para

estimar qual é a preferência de toda a população.

2. Um auditor deve verif icar os livros de uma f irma para se cert if icar de que os lançamentos ref letem

efet ivamente a situação f inanceira da companhia. O auditor deve examinar quant idades enormes de

documentos originais, como notas de venda, ordens de compra e requisições. Certamente, seria muito

dif ícil realizar esse t rabalho todo. Ent retanto, o auditor pode verif icar uma amost ra de documentos

originais, escolhidos aleatoriamente, e com base nessas observações tentar inferir sobre a totalidade dos

documentos.

3. Antes de lançar um novo remédio no mercado, é necessário fazer várias experiências para se cert if icar

que o produto é seguro e ef icaz. O melhor modo de verif icar isso consiste em separar dois grupos tão

semelhantes quanto possível. Para um deles é dado o remédio e para o out ro não. Verif ica-se então o

resultado obt ido nos dois grupos e se analisa estat ist icamente se todas as diferenças observadas ent re os

grupos foram provocadas pelo uso do medicamento. (Nota: O grupo para o qual é dado o remédio é comumente chamado

de experimental, enquanto o outro é chamado grupo de controle.)

4. Ao recebermos um grande número de mercadorias de um fornecedor, temos que nos cert if icar se essas

satisfazem os requisitos de qualidade acordados. No entanto, é uma tarefa dif ícil verif icar todas as

mercadorias e, sendo assim, costuma-se ut ilizar as técnicas estat íst icas para se averiguar uma pequena

amostra das mercadorias e inferir sobre todo o lote.


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5. Uma grande empresa automobilíst ica precisa analisar seu histórico de vendas dos últ imos anos para

decidir quantos automóveis devem ser produzidos no próximo período e quantos funcionários devem

permanecer no seu quadro.

6. O gerente de uma grande rede de supermercados planej a fazer uma mega promoção para o mês de

aniversário. Para isso, pediu a seu funcionário que coletasse os dados referentes a demanda de diversos

produtos de várias marcas e indicasse quais deveriam ser colocadas em promoção. Esse funcionário então

teve que reunir dados de vários anos, organizá-los em categorias de produtos, resumir as informações de

interesse e apresentar de forma clara e sucinta ao gerente. (Certamente, esse funcionário apresentou os dados ao

gerente em forma de gráficos e/ou tabelas.)

Exercícios Propostos

1) Coloque um D nas variáveis discretas e um C nas contínuas.

( ) Nº de livros da biblioteca da Universidade Estácio de Sá. ( ) Altura dos alunos do 1º período do curso de RH. ( ) Velocidade de um carro. ( ) Inflação anual no Brasil. ( ) Peso dos estudantes. ( ) Salário dos professores da Universidade Estácio de Sá. ( ) Nº de filhos de uma família. ( ) Nº de faltas na disciplina de Estatística. ( ) Média dos alunos na disciplina de Estatística.

2) Calcular: a) 3% de 420; b) 125% de 36; c) 0,4% de 200; d) 12,5 % de 1250; e) 19% de 4000; f) 100% de 200;

3) Se 50% de uma mensalidade é R$ 75,00, qual é o valor da mensalidade?

4) Se 75% de uma prestação é R$ 250,00, qual é o valor da prestação?

5) Numa cidade, 45% da população são homens. Qual é a população dessa cidade, se nela residem 60500 mulheres?

Exercícios de Aprendizagem

1) Você seria capaz de encontrar, ou sugerir, uma aplicação da Estatística dentro de sua empresa? Qual?

2) Você é capaz de determinar uma out ra aplicação para a Estatística? Não necessariamente na sua empresa,

mas no mercado em geral.


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1.7 Notação Somatório

Digamos que uma variável X tenha os seguintes 6 resultados possíveis: 33, 15, 29, 17, 20, 18. Então

podemos indexar essa variável de modo que:

1 33X , 2 15X , 3 29X , 4 17X , 5 20X , 6 18X

Ou seja, para indicar um conjunto com 6 dados sobre a variável X foi usada a notação iX , onde iX

representa o i-ésimo deles.

Ent retanto, se estamos interessados na soma 1 2 nX X X

, para uma variável X com n

dados, então denotamos por: 1 21

n

i ni

X X X X

NOTA:

Em geral, com a f inalidade de simplif icar essa notação e quando não houver possibilidade de dúvidas,

usa-se a notação iX ou ainda X .

Exemplos:

(1) Se F é uma variável com n dados, então 1 2 nF F F F .

(2) Se F e X são duas variáveis com n dados, então 1 1 2 2 n nF X F X F X F X .

(3) Se h é um número real, então

vezesn

h h h h n h .

Exemplos:

(1) Quanto vale 4

2

1i

i ? Resp.: 4

2 2 2 2 2

1

1 2 3 4 1 4 9 16 30 .i

i

(2) Quanto vale 5

1

1

4i

i ?

Resp.: 5

1

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 2 3 4 5 6 205

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4i

i.

1.8 Critérios de Arredondamento

Para realizar as aproximações de valores numéricos, utilizaremos a seguinte regra.

Observe, no exemplo da reta numérica, a posição do valor 3,57.

| | | | 3,5 3,55 3,57 3,6


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Ele se encont ra mais próximo do 3,6 que do 3,5. Assim, para representarmos este valor com apenas

uma casa decimal, cometeremos um erro menor se o representarmos como 3,6, ao invés de 3,5.

Podemos generalizar a regra da seguinte forma:

1º) Observe em qual casa decimal você irá fazer a aproximação;

Ex.:

Aproximar o valor 12,56789 na segunda casa decimal.

1

2 ,

5

6

7

8

9

Parte Inteira

Parte Decimal

1ª CD

2ª CD

3ª CD

4ª CD

5ª CD

O algarismo da 2ª Casa Decimal é o 6.

2º) Observe o algarismo que está na primeira casa a direita da casa que sofrerá a aproximação;

1

2,

5

6

7

8

9

1ª CD

2ª CD

3ª CD

4ª CD

5ª CD

Se esse algarismo for maior ou igual que 5, ou sej a, 5, 6, 7, 8 ou 9, acrescente uma unidade no

algarismo da casa que sofrerá a aproximação e abandone todas os algarismos das casas decimais que

estiverem a sua direita.

Caso ele seja menor que 5, ou seja, 0, 1, 2, 3 ou 4, mantenha inalterado o algarismo da casa que está

sofrendo a aproximação e abandone as demais que estiverem a sua direita.

Exemplos:

a) 12,56789 aproximado na 2ª casa decimal fica 12,57.

b) 3,25679 aproximado na 2ª casa decimal fica 3,26.

c) 4,56753 aproximado na 3ª casa decimal fica 4,568.

d) 2,43567 aproximado na 1ª casa decimal fica 2,4.

e) 1,18697 aproximado na 4ª casa decimal fica 1,1870.

f) 3,99950 aproximado na 3ª casa decimal fica 4,000.

Algarismo que sofrerá a aproximação

Algarismo da primeira casa a direita da casa que sofrerá a

aproximação


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1) Arredonde os seguintes números:

a. 24,6 para a unidade mais próxima. b. 242,5 para a unidade mais próxima. c. 5,438 para o centésimo mais próximo. d. 1,426 para o décimo mais próximo. e. 1,0482 para o milésimo mais próximo. f. 3,891 para o centésimo mais próximo.

2) Use os critérios de arredondamento para aproximar os seguintes números na 3ª casa decimal.

a) 4,3167 - a) 13.4579 - b) 21,8954 - c) 56,2365 - d) 2,01027 - e) 10,12045 - f) 19,9996 - g) 31,13554 –

Anotações


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Capítulo 2

Distribuições de Freqüência

2.1 Conceituação

Denomina-se série estat íst ica a organização de dados referentes a uma mesma ordem de

classificação. As séries estatísticas são representadas, em geral, por meio de tabelas.

O obj et ivo de uma série é fornecer o máximo de informação em um mínimo de espaço. Conforme o

critério de agrupamento, as séries classificam-se em: Temporal, Geográf ica, Específ ica e Dist ribuição de

Freqüências.

Série Temporal (Cronológica, Evolutiva ou Histórica)

É a série estatística em que os dados são observados

segundo a época de ocorrência.

- Elemento variável : época. - Elementos fixos : local, fenômeno

Ex.:

Dia, mês, ano, século

Matrícula na Escola X no Quadriênio 1970/73- RJ

Anos Matrícula 1970 107.000 1971 109.500 1972 110.000 1973 118.300 Fonte: Boletins Anuais.

Série Geográfica (ou de Localização)

É a série estat íst ica em que os dados são observados segundo a

localidade de ocorrência.

- Elemento variável : local. - Elementos fixos : época, fenômeno

Ex.:

Estado, Município

Matrícula na Escola X por Município - 1973- RJ

Município Alunos Nilópolis 7.000 São João de Meriti 45.000 Nova Iguaçu 18.000

Fonte: Boletins Semestrais


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Série Específica É a série estatística em que os dados são agrupados segundo a modalidade da ocorrência.

- Elemento variável : fenômeno. - Elementos fixos : época, local

Ex.:

Tipo sangüíneo, peso, altura, produto

Distribuição da Matrícula por Série em 1973- RJ

Séries Alunos 1ª 45.000 2ª 32.080 3ª 23.200 4ª 18.020

Fonte: Boletins Semestrais.

Distribuição de Freqüências

É a série estat íst ica em que os dados são agrupados com suas respect ivas

freqüências absolutas.

Obs.: Freqüência é o número de “elementos” que pertencem a uma determinada classe.

Por se t ratar do t ipo mais importante de série estat íst ica, estuda-se a dist ribuição de freqüências

isoladamente. Nessa apostila, esse será o único tipo de série estatística estudado.

2.2 Distribuição de Freqüências

É o t ipo de série estat íst ica mais importante para a Estat íst ica. Trata-se de uma tabela de valores

numéricos onde os dados observados são agrupados de acordo com sua freqüência, ou sej a, número de vezes

que o elemento aparece.

Uma distribuição de freqüências pode ser:

Distribuição de Freqüências sem intervalos de classes

o Variável Discreta

Contagem ( Ex.: Número de alunos numa sala de aula, número de carros que

estão no estacionamento, idade, etc..)

Distribuição de Freqüências com intervalos de classes

o Variável Contínua Medição ( Ex.: Quantidade produzida de arroz, notas de aluno, idade, etc..)

Agrupamento de classes


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2.2.1 Dados Brutos

É o conjunto de valores, ou conjunto de dados numéricos, observados sobre a variável.

Esses dados são coletados da população de interesse e não apresentam nenhum tipo de tratamento.

Exemplo: Idades de 20 alunos de uma turma de graduação da Universidade Estácio de Sá.

X : 24, 23, 22, 28, 36, 21, 23, 33, 34, 24, 28, 45, 24, 34, 22, 23, 36, 33, 30, 33

X é uma variável discreta que representa a idade dos alunos, note que:

1 24X (1º valor observado para a variável) , 2 23X (2º valor observado para a variável) , ...,

16 23X (16º valor observado para a variável), ..., 20 33X (20º valor observado para a variável)

2.2.2 Rol

É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente. (No Dicionário Aurélio temos que Rol = lista)

Exemplo: Para os valores do exemplo anterior, temos:

X : 21, 22, 22, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 28, 28, 30, 33, 33, 33, 34, 34, 36, 36, 45

2.2.3 Amplitude Total (ou Range)

É a diferença entre o maior e o menor valor observados. Nota-se por: R .

Exemplo: Para os valores do exemplo anterior, temos: 45 21 24R R

OBS.:

A amplitude total most ra o tamanho do intervalo de dados. Para o exemplo acima, temos que a diferença ent re o

aluno mais velho e o mais novo é de 24 anos. Logo, o conjunto de idades desta turma cobre um intervalo de 24 anos.

2.2.4 Freqüência

A freqüência, ou f reqüência absolut a, denotada por iF , é o número de vezes que o elemento iX

aparece no conjunto de dados.


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Exemplo: Ainda para o exemplo dos 20 alunos da Estácio, temos:

i

iX

iF

1 21 1 2 22 2 3 23 3 4 24 3 5 28 2 6 30 1 7 33 3 8 34 2 9 36 2 10 45 1

20

OBS.:

# iF n , onde n é o tamanho da amost ra. Nesse, tem-se 20 alunos da Estácio e, logo, o

somatório das freqüências é 20.

# Esse é um exemplo de uma distribuição de freqüências sem intervalos de classes, visto que os

elementos são dados por valores e não por intervalos.

Exemplo:

Como ficaria a dist ribuição de freqüências anterior se agrupássemos as idades em intervalos de

comprimento 5.

i

Intervalos iF

1 20 |-- 25 9 2 25 |-- 30 2 3 30 |-- 35 6 4 35 |-- 40 2 5 40 |--| 45 1

20

OBS.: Essa distribuição é uma distribuição de freqüências com intervalos de classes, visto que os elementos

são agrupados em intervalos.

Outras observações:

1º. Nas tabelas de dist ribuição de freqüências com intervalos de classe sempre usa-se os intervalos

fechados a esquerda e aberto a direito em todas as classes, exceto a últ ima, quando é fechado em ambos

os lados.

2º. O comprimento dessa tabela é constante em todas as classes e pode ser determinado tomando a

diferença entre os limites de um intervalo qualquer. (Ex.: 25 – 20 = 5 ; 30 – 25 = 5 ; ...; 45 – 40 = 5)

i

denota a classe do elemento, onde na 1ª classe tem-se o menor

valor observado, na 2ª tem-se o 2º menor valor, e assim por diante.

iX

é o valor da variável para a classe i

iF

é a freqüência do elemento iX

O intervalo 25 |-- 30 compreende todos os valores entre 25 e 30,

exceto 30.

O intervalo 30 |-- 35 compreende todos os valores entre 30 e 35,

exceto o 35.

O intervalo 40 |--| 45 compreende todos os valores entre 40 e 45.


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Essa dist ribuição tem a vantagem sobre a anterior de diminuir o tamanho da tabela e facilitar a

visualização dos dados na apresentação.

Ent retanto, uma vez apresentado somente essa tabela, não é possível ident if icar, por exemplo, se os

6 alunos com idades entre 30 e 35 (exclusive) têm todos 30 anos, 34 anos ou algum caso intermediário.

Em geral, ao estudar dist ribuições de freqüências com intervalos de classes é interessante

estabelecer quais são os pont os médios das classes, pois esses serão seus representantes para qualquer t ipo

de cálculo que seja desejado realizar com os valores da distribuição.

Pontos médios das classes é a média aritmética dos extremos do intervalo.

Exemplo:

Para o intervalo 30 | -- 35 (3ª classe da dist ribuição anterior), o ponto médio será dado por:

3

30 3532,5

2m .

Para o intervalo 35 | -- 40 (4ª classe da dist ribuição anterior), o ponto médio será dado por:

4

35 4037,5

2m .

2.2.5 Freqüência Acumulada

A freqüência acumulada, ou f reqüência absolut a acumulada, denotada por acF , é a soma das

freqüências das classes inferiores ou iguais a classe considerada.

Exemplo:

i

Intervalos iF

acF

1 20 |-- 25 9 9 2 25 |-- 30 2 11 3 30 |-- 35 6 17 4 35 |-- 40 2 19 5 40 |--| 45 1 20

20

OBS.:

Também pode se achar a freqüência acumulada no caso da dist ribuição de freqüência sem intervalos de classe.

Observe que 11 = 9 +2, 17 = 11+ 6, 19 = 17 + 2,

20 = 19 +1.

O primeiro valor dessa coluna é igual ao da

freqüência.

Não se deve somar os valores desta coluna, pois

essa soma não tem sentido estatístico.


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2.2.6 Freqüência Relativa

A freqüência relat iva de uma classe, denotada por RiF , é dada por i

Ri

FF

n. Ou sej a, é a

porcentagem ( % ) da freqüência da classe sobre todo o conjunto.

Exemplo:

i

Intervalos iF

acF

RiF

1 20 |-- 25 9 9 9 20 0, 45 45%

2 25 |-- 30 2 11 2 20 0,10 10%

3 30 |-- 35 6 17 6 20 0,30 30%

4 35 |-- 40 2 19 2 20 0,10 10%

5 40 |--| 45 1 20 1 20 0,05 5%

20 100%

2.2.7 Freqüência Relativa Acumulada

A freqüência relat iva acumulada, denotada por RacF , é a soma das freqüências relat ivas das classes

inferiores ou iguais a classe considerada.

Exemplo:

i

Intervalos iF

acF

RiF

RacF

1 20 |-- 25 9 9 9 20 0, 45 45%

45%

2 25 |-- 30 2 11 2 20 0,10 10%

55%

3 30 |-- 35 6 17 6 20 0,30 30%

85%

4 35 |-- 40 2 19 2 20 0,10 10%

95%

5 40 |--| 45 1 20 1 20 0,05 5%

100%

20

Exercícios Resolvidos

1) Considere as seguintes médias de 40 alunos de uma turma de Estatística.

1 8 4 9 6,5

6 9 10 2 3 8,5

4 9 6 5 5,5

6,5

9 8 7 4,5

6 6,5

7,5

5 6 5,5

8 9 8 6 7 8 9 10 3 2,5

1,5

4 7

a) Determine o rol dessas médias. b) Determine a amplitude total das médias. c) Construa uma distribuição de freqüência sem intervalos de classes. d) Construa uma distribuição de freqüências com intervalos de classes de comprimento 2. e) Para a tabela do item d), determine qual é o limite inferior da 3ª classe e o limite superior da 4ª classe. f) Determine os pontos médios das classes da tabela do item d). g) Determine as freqüências acumulada, relativa e relativa acumulada para a tabela do item d).

Todas as três representações estão

corretas para a freqüência relativa:

fração, número decimal ou porcentagem.

Nesse curso, procuraremos escrever em %.

A soma das RiF deve ser 100% .


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Respostas:

a) Rol

1 1,5

2 2,5

3 3 4 4 4 4,5

5 5 5,5

5,5

6 6 6 6 6 6,5

6,5

6,5

7 7 7 7,5

8 8 8 8 8 8,5

9 9 9 9 9 9 10 10

b) 10 1 9R R

c) iX

iF

1 1

1,5 1

2 1

2,5 1

3 2

4 3

4,5 1

5 2

5,5 2

6 5

6,5 3

7 3

7,5 1

8 5

8,5 1

9 6

10 2

40

d) i

Intervalos iF

1 0 |-- 2 2

2 2 |-- 4 4

3 4 |-- 6 8

4 6 |-- 8 12

5 8 |--| 10 14

40

e) O limite inferior da 3ª classe é 4 e o limite superior da 4ª classe é 8.

f, g) i

Intervalos iF

im

acF

RiF

RacF

1 0 |-- 2 2 1 2 2 40 0,05 5%

5%

2 2 |-- 4 4 3 6 4 40 0,10 10%

15%

3 4 |-- 6 8 5 14 8 40 0, 20 20%

35%

4 6 |-- 8 12 7 26 12 40 0,30 30%

65%

5 8 |--| 10 14 9 40 14 40 0,35 35%

100%

40 100%


Página 17

2) Const rua uma dist ribuição de freqüências com intervalos de classe de comprimento 5 para os dados abaixo e responda as perguntas.

“Os dados abaixo, representam a taxa de glicose de, em miligramas de por 100 ml de sangue, uma amostra de 42 ratos machos da raça Wistar, com 20 dias de idade”

80 85 87 89 91 94 97 80,5 85,5 87,5 89 91 94 97,5 83,5 86 88 89,5 91,5 94,5 98,5 84 86 88 89,5 92 95 99

84,5 87 88,5 90 92,5 95,5 100,5

85 87 88,5 90,5 93 96,5 103,5

Fonte: Guimarães et al (Março de 1999)

a) Qual é o intervalo de classe com maior freqüência?

b) Qual é freqüência relativa da 4ª classe?

c) Qual é o número de ratos que possuem taxas de glicose inferiores a 100mg?

d) Qual é o número de ratos que possuem taxas de glicose superiores ou iguais a 90mg?

e) Até que classe estão incluídos os 60% dos ratos com as menores taxas de glicose?

Resposta:

a) i

Intervalos iF

acF

RiF

RacF

1 80 |-- 85 5 5 5 42 0,119 11,9%

11,9%

2 85 |-- 90 17 22 17 42 0, 405 40,5%

52,4%

3 90 |-- 95 11 33 11 42 0, 262 26, 2%

78,6%

4 95 |-- 100 7 40 7 42 0,167 16,7%

95,3%

5 100 |--| 105 2 42 2 42 0,048 4,8%

100%

42 100%

O intervalo de maior f reqüência é 85 | -- 90. Ou sej a, aquele que compreende os ratos com taxas de glicose

entre 85mg e 90mg, excluindo o 90.

b) Como a freqüência absoluta da 4ª classe é 7 e temos no total 42 ratos, então a freqüência relativa é:

7 42 0,167 16,7% , conforme mostra a tabela acima.

c) Se queremos ratos com taxas de glicose inferiores a 100mg, então esses ratos devem pertencer a 1ª, 2ª, 3ª ou 4ª

classes. Logo, se olharmos a freqüência acumulada da 4ª classe, teremos a resposta. Assim, existem 40 ratos com taxas

inferiores a 100.

d) Se queremos ratos com taxas de glicose superiores ou iguais a 90mg, então veremos quantos tem taxa inferior a 90mg

e subt rairemos do total de ratos. Logo, como a freqüência acumulada na 2ª classe é 22, então temos que o número de

ratos com taxa superior ou igual a 90mg é 42 – 22 = 20, ou seja, 20 ratos.


Página 18

e) Se observarmos na freqüência relat iva acumulada das classes, veremos que até a 2ª classe temos 52,4% dos ratos e até

a 3ª classe temos 78,6% dos ratos. Assim, 60% dos ratos ult rapassam a 2ª classe, mas não a 3ª. Portanto, a resposta é que

os 60% dos ratos com as menores taxas de glicose se encontram até a 3ª classe.


1) Contou-se o número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante 50 dias, obtendo-se os resultados abaixo:

5 8 10 12 14 5 8 10 12 14 6 8 10 12 14 6 8 10 12 14 6 8 11 12 14 7 8 11 12 15 7 8 11 12 15 7 9 11 13 16 7 9 12 14 19 7 10 12 14 22

Determine.

a) A distribuição de freqüências sem intervalos de classe; b) A distribuição de freqüências com intervalos de classe de comprimento 5.

2) Os dados abaixo representam as idades de 24 pessoas atendidas no setor de Ortopedia do Hospital N. Sra. da Penha – Janeiro/ 2000. Const rua uma dist ribuição de freqüência sem intervalos de classe para os seguintes dados e responda as perguntas.

14 12 11 13 14 13 12 14 16 13 15 11 12 14 13 14 11 12 15 13 16 17 14 14

a) Qual é idade com maior freqüência no setor de Ortopedia?

b) Qual é a amplitude total dos dados?

3) Sejam as alturas (em centímetros) de 25 alunos de uma determinada classe.

150

159

157

151

152 156 153

163 159

175 162 162

164 158

159 164 168

166 160

162 170 169

174 165

167

a) Disponha esses dados em ordem crescente e calcule a amplitude total.

b) Ache a distribuição de freqüência com intervalos de classe de comprimento 5.

c) Determine a freqüência acumulada, relativa e relativa acumulada.


Página 19

4) Usando os dados da tabela abaixo, construa a distribuição de freqüências das variáveis:

a) Estado civil; b) Região de procedência; c) Número de filhos dos empregados casados; d) Idade.

Informações sobre o Estado Civil, Grau de instrução, Número de filhos, Salário (expresso como fração

do salário mínimo), Idade (medida em anos e meses) e Região de procedência de 36 empregados da seção de

orçamento da companhia MB.

Estado Grau de Nº de Salário Idade Região de No. Civil Instrução Filhos (x sal. Min.) Anos Meses Procedência

1 solteiro fundamental

4,00 26 03 interior 2 casado fundamental 1 4,56 32 10 capital 3 casado fundamental 2 5,25 36 05 capital 4 solteiro médio

5,73 20 10 outra 5 solteiro fundamental

6,26 40 07 outra 6 casado fundamental 0 6,66 28 00 interior 7 solteiro fundamental

6,86 41 00 interior 8 solteiro fundamental

7,39 43 04 capital 9 casado médio 1 7,59 34 10 capital

10 solteiro médio

7,44 23 06 outra 11 casado médio 2 8,12 33 06 interior 12 solteiro fundamental

8,46 27 11 capital 13 solteiro médio

8,74 37 05 outra 14 casado fundamental 3 8,95 44 02 outra 15 casado médio 0 9,13 30 05 interior 16 solteiro médio

9,35 38 08 outra 17 casado médio 1 9,77 31 07 capital 18 casado fundamental 2 9,80 39 07 outra 19 solteiro superior

10,53 25 08 interior 20 solteiro médio

10,76 37 04 interior 21 casado médio 1 11,06 30 09 outra 22 solteiro médio

11,59 34 02 capital 23 solteiro fundamental

12,00 41 00 outra 24 casado superior 0 12,79 26 01 outra 25 casado médio 2 13,23 32 05 interior 26 casado médio 2 13,60 35 00 outra 27 solteiro fundamental

13,85 46 07 outra 28 casado médio 0 14,69 29 08 interior 29 casado médio 5 14,71 40 06 interior 30 casado médio 2 15,99 35 10 capital 31 solteiro superior

16,22 31 05 outra 32 casado médio 1 16,61 36 04 interior 33 casado superior 3 17,26 43 07 capital 34 solteiro superior

18,75 33 07 capital 35 casado médio 2 19,40 48 11 capital 36 casado superior 3 23,30 42 02 interior

FONTE: Dados hipotéticos.

5) A tabela abaixo most ra a idade e o sexo de 50 pessoas que arrumaram estágio num grande loj a de vendas de roupas. (Legenda: M = mulher e H = homem)

Sexo M M M H M M H H H H M H M M M H H H M M M H M M M Idade

18 18 24 18 18 21 18 18 19 18 18 18 18 23 19 20 18 25 18 22 18 19 18 21 19


Página 20

Sexo H H M H M M H M H M H M H H M M M H M H H M M M H Idade

18 19 22 18 18 19 19 18 18 20 21 19 22 19 18 20 20 21 18 18 19 20 23 24 20

a) Construa uma distribuição de freqüências sem intervalos de classe da variável idade.

b) Qual é a idade de maior freqüência entre os estagiários?

c) Determine até que idade se encontra a metade dos estagiários.

d) Quantos estagiários têm até 22 anos?

e) Construa a distribuição de freqüências da variável sexo.

f) Qual foi o sexo mais contratado como estagiário? Qual foi a freqüência relativa correspondente?

6) A quant idade de pessoas que compraram certa marca de sabão no Supermercado Bom Preço num período

de 32 dias está representada na tabela abaixo.

60 0 20

65

50

35 40 70 80

70

85

60

45

105

65 60 20

50

55

50

70

15 50 50 40

45

40

10

55

35 95 45

Determine:

a) O rol e a amplitude total.

b) A distribuição de freqüências (utiliza intervalos de comprimento 20).

c) A porcentagem de dias que tiveram vendas inferiores a 40.

d) A porcentagem de dias que tiveram vendas iguais ou superiores a 60.

7) Dado um rol de 50 notas, agrupar os elementos em classes de comprimento 10.

33

35

35

39

41 41

42

45

47

48 50 52 53

54 55 55 57 59 60

60 61 64 65

65 65 66 66 66 67

68 69 71 73

73 74 74 76 77 77

78 80 81 84

85 85 88 89 91 94

97

Além disso, responda:

a) Qual é a amplitude total dessa distribuição?

b) Qual é o limite inferior da 2ª classe e o limite superior da 6ª classe?

c) Qual é o intervalo de classe de maior freqüência? Qual é o ponto médio desse intervalo?

d) Qual é a freqüência relativa da 3ª classe?

e) Determine quantos % das notas se encontram abaixo de 70.

f) Determine quantos % das notas se encontram acima ou igual a 50.


Página 21

Determine:

a) A amplitude total da distribuição.

c) O limite superior da 5ª classe e o limite inferior da 2ª classe.

d) O ponto médio da 6ª classe.

e) A freqüência absoluta da 4ª classe.

f) A freqüência relativa em porcentagem da classe com maior número

de pacientes.

g) A freqüência acumulada da 5ª classe.

h) O número de pacientes cuja altura não atinge 180cm.

i) O número de pacientes cuja altura atinge ou ultrapassa 174cm.

j) A porcentagem de pacientes cuja altura não atinge 168cm.

k) A porcentagem de pacientes cuja altura atinge ou ultrapassa 162cm,

mas é inferior a 192cm.

l) A classe do 52º paciente.

8) Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir.

69 57 72

54 93 68 72 58 64

62

65

76 60

49

74 59 66 83 70

45

60 81 71

67

63 64 53 73 81

50

67 68 53

75

65 58 80 60 63

53

a) A distribuição de freqüências (utiliza intervalos de comprimento 10).

b) A porcentagem de alunos com pesos inferiores a 80.

c) A porcentagem de alunos com pesos iguais ou superiores a 80.

9) Uma emissora de televisão, desconfiada dos dados do Ibope, resolveu instalar um aparelho em 50.000

aparelhos de televisão espalhados por todo o território brasileiro para ident if icar a preferência dos

telespectadores e o tempo que cada televisor f ica ligado por dia. Os dados obt idos sobre o número de horas

que esses televisores ficam ligados foram os seguintes: (Escala adotada 1 para 1.000)

Número de Horas Ligado Freqüência

0 |-- 6 16

6 |-- 12 18

12 |-- 18 12

18 |--| 24 4

TOTAL 50

10) A tabela abaixo apresenta a estatura de 80 pacientes da Clínica de Fisioterapia São José (SP) – 1997.

Estatura (cm)

iF

150 |-- 156 7

156 |-- 162 18

162 |-- 168 22

168 |-- 174 15

174 |-- 180 10

180 |-- 186 5

186 |-- 192 2

192 |--| 198 1

80

Fonte : Clínica São José

a)

Qual é o intervalo de maior freqüência?

b) Qual é a freqüência relativa de cada um desses intervalos?

c) Determine quantos aparelhos ficam ligados durante 6 horas ou mais.


Página 22

Capítulo 3

Medidas de Tendência Central

Dent re as medidas de uma dist ribuição, a média arit mét ica, a mediana e a moda ocupam lugar de

destaque e têm a característica comum de ocuparem posições centrais numa distribuição.

De fato, um conj unto de dados é comumente representado pelos seus valores médios, visto que os

dados observados tendem, em geral, a se agrupar ao redor dos valores centrais.

OBS.:

1) A média aritmét ica é, de modo geral, a mais importante e mais comum de todas as mensurações

numéricas descritivas.

2) Estas medidas podem ser calculadas, tanto para dados não agrupados em classes (conj unto de

valores), quanto para dados grupados em classes (dist ribuições de freqüência com e sem intervalos

de classes).

3. 1 Média

A média arit mét ica, ou simplesmente média, do conj unto de valores de uma variável X

é

representada por x (lê-se x barra) e é definida como:

xx

n , onde n é o tamanho da amostra.

Exemplo: A média aritmética dos valores 9, 8, 3, 4 e 6 é:

9 8 3 4 6 306

5 5x .

3. 2 Moda

A moda de um conj unto de valores de uma variável X

é definida como o valor de maior freqüência.

Em geral, representa-se a moda por Mo.

Exemplo: O conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13 tem moda 9.

Exemplo:

O conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tem duas modas 4 e 7.

Exemplo:

O conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15, 17 não tem moda, visto que não existe elemento(s) que apareça(m)

mais que os outros.


Página 23

OBS.: 1) Uma distribuição que tem apenas uma moda é denominada unimodal.

2) Se uma distribuição tiver duas (três) modas, então será chamado de bimodal (trimodal).

3) Uma distribuição que não tem moda é denominada amodal.

3. 3 Mediana

A mediana de um conj unto de valores de uma variável X , organizados em ordem crescente (rol), é

definida como o valor central ou a média dos valores centrais. Em geral, representa-se a mediana por Md.

Exemplo:

A mediana para o conj unto de valores 2, 3, 4, 5, 7, 8 e 10 é Md = 5, pois temos t rês valores

menores que 5 e três maiores que 5.

Exemplo:

A mediana para o conj unto de valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 é Md = 5,5 , ou sej a, a média

aritmética dos dois valores centrais (5 e 6). Ou seja, 5 65,5

2.

OBS.:

1) Se o número de elementos é ímpar, existe um único valor intermediário, que é a mediana

2) Se o número de elementos é par, existem dois valores intermediários. Neste caso, convencionou-se

calcular a média aritmética dos dois valores centrais para a determinação da mediana.

3) Só devemos aplicar o que foi dito acima para a posição da mediana, seja o número de elementos par

ou ímpar, no caso de séries const ituídas por conj unto de valores, o mesmo não acontecendo para o caso

de dados agrupados em classes, conforme veremos adiante.

3. 4 Comparações entre a Média, Mediana e Moda

A média é inf luenciada por cada valor do conj unto, inclusive os ext remos. Já a mediana é

relativamente insensível aos valores extremos.

Mediana Média

A ordenação dos dados para a determinação da mediana, por vezes, pode ser difícil.

A moda, comparada à média e a mediana, é a medida menos út il por não ter nenhum t ratamento

matemático, mas, do ponto de vista descrit ivo, a moda indica o valor "t ípico" em termos de maior

ocorrência. A ut ilidade da moda acontece quando um valor ou um grupo de valores ocorrem com uma

freqüência muito maior que os demais. Quando todos, ou quase, todos os valores ocorrem aproximadamente

com a mesma freqüência, a moda nada acrescenta em termos de descrição dos dados.


Página 24

Exercícios Propostos 1) Um j ogador de futebol, em 10 oportunidades, conseguiu cont rolar a bola com os pés sem derrubá-la os

seguintes números de vezes: 23, 43, 16, 26, 49, 16, 58, 68, 71 e 114. Determine:

a) A amplitude de rol. b) A média aritmética.

c) A mediana. d) A moda.

2) De acordo com o período abaixo:

a. Calcule a produção média e a venda média do período abaixo.

b. Qual foi a venda mediana do período?

c. Quais foram os anos em que o número de automóveis vendidos foi superior a produção?

Produção e Vendas da Indústria Automobilística no Brasil, 1976/82

PERÍODO PRODUÇÃO VENDAS

1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982

985.469 919.239

1.068.194 1.127.966 1.165.206 780.852 859.254

974.594 908.664

1.067.343 1.121.245 1.118.610 800.777 861.207

3) Um levantamento feito em determinada empresa revelou que os salários de 4 horistas eram

respectivamente: 151,00 u.m; 160,00 u.m; 146,00 u.m.; 153,00 u.m. Pede-se:

a) O salário médio hora. b) O salário mediano hora.

4) Num torneiro de basquete, uma equipe marcou 104 pontos, 96 pontos, 117 pontos e 103 pontos nas 4

partidas que disputou na 1ª fase. Qual é a média de pontos que essa equipe marcou nessa fase do torneio?

5) Suponha que um aluno tenha obt ido notas 3,5; 5 e 7 nos 1º, 2º e 3º bimest res, respect ivamente. Para

aprovação, a escola exige média aritmét ica simples dos 4 bimest res igual a 6. Nestas condições, qual deve

ser a nota mínima que o aluno deve alcançar no 4º bimestre para ser aprovado?

6) Dados os conjuntos abaixo, calcule a média aritmética, a mediana e a moda.

A = {3, 5, 2, 1, 4, 7, 9, 9}

B = {6, 12, 15, 7, 10}

C = {10,5; 11,8; 15,4; 16,5; 16,5; 11,8; 20; 13,6}


Página 25

7*) Uma agência de automóveis, ao f inal da 1ª quinzena de um certo mês, fez o levantamento dos

automóveis negociados e pôs os dados na tabela abaixo:

Padrão do carro Valor (em R$) Quantidade negociada

1 14.000,00 7

2 17.000,00 10

3 25.000,00 2

4 42.000,00 1

Em média, qual foi o preço de cada carro negociado?

8*) Em uma corretora de valores foram negociados os seguintes títulos:

Descrição Quantidade

Títulos de R$ 4.000,00 2

Títulos de R$ 10.000,00 8

Títulos de R$ 20.000,00 18

Qual foi o valor médio dos títulos negociados?

9*) A tabela abaixo representa a dist ribuição das idades de 24 pessoas atendidas no setor de Ortopedia do

Hospital N. Sra. da Penha – Janeiro/2000. Determine a média, a moda e a mediana dessas idades.

X F 11 3 12 4 13 5 14 7 15 2 16 2 17 1

24

10*) A seguir temos a dist ribuição de salários de uma empresa de reciclagem. Calcule a média, a moda e a

mediana da distribuição desses salários.

Salários (em R$) Freqüência

300 |-- 350 13

350 |-- 400 10

400 |-- 450 8

450 |-- 500 5

500 |-- 550 3

550 |--| 600 2


Página 26

Exercícios Complementares 1) Para cada série, determine a média, a moda e a mediana.

a) 5, 7, 1, 6, 6, 8, 7, 7, 9, 2, 4, 7 b) 3, 2, 1, 1, 2, 3, 5, 2, 9, 8, 2, 7, 8, 2

c) 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 7, 7 d) 2, 5, 4, 6, 9, 9, 7, 8, 1, 9 , 9

2) A média aritmét ica dos alunos da turma A, que tem 30 alunos, é 8 e a média aritmét ica dos alunos da

turma B, que possui 20 alunos, é 6. Se j untarmos todos esses alunos em um única turma, qual será a média

aritmética do grupo?

3) São dados os conjuntos A (1; 2; 3; 4; 5) e B (202; 204; 206; 208; 210). É correto afirmar que:

a) as médias aritméticas de A e B são iguais.

b) a média aritmética de A é 201 unidades menor que a de B.

c) o dobro da soma de 100 com a média aritmética de A, é igual à média aritmética de B.

d) se somarmos 200 unidades à media aritmética de A, obteremos a média aritmética de B.

e) a media aritmética de A é 202 vezes menor que a de B.

4) Numa certa empresa t rabalham 4 analistas de mercado, 2 supervisores, 1 chefe de seção e 1 gerente, os

quais ganham, respectivamente: 1300,00 u.m; 1600,00 u.m.; 2500,00.u.m, e 3250,00 u.m.

Determine o valor do salário médio desses profissionais para o período considerado.

5) Calcule a média da distribuição do número de acidentes por dia, observados em determinado cruzamento,

durante 40 dias.

Número de acidentes por dia

Xi

Número de dias

Fi

0 30 1 5 2 3 3 1 4 1

6) Sej am as alturas (em cent ímet ros) de 25 alunos de uma determinada classe dist ribuídas como most ra a tabela abaixo. Determine a média, a moda e a mediana dessas alturas.

X F 150 2 152 4 156 6 164 8 169 3 172 1 175 1

25


Página 27

7) A distribuição dada apresenta os pares de calçados vendidos numa loja em um determinado dia, de acordo

com o número usado de uma certa marca. Calcule a média aritmética, moda e mediana.

Número usado Freqüência

36 1

37 2

38 5

39 9

40 11

41 8

42 4

43 1

8) A dist ribuição de freqüência nos fornece, por faixa etária, a freqüência com que ocorre determinada

doença, para um grupo de 100 pessoas estudadas, com idade entre 16 e 48 anos. Calcule a média, a moda e a

mediana das idades desse grupo.

Idades Freqüência

16 |-- 20 9

20 |-- 24 18

24 |-- 28 26

28 |-- 32 14

32 |-- 36 10

36 |-- 40 9

40 |-- 44 8

44 |--| 48 6

9) A tabela abaixo representa a porcentagem de bactérias encont radas por cm em 100 amost ras de determinado produto. Calcule:

a) A média; b) A moda; c) A mediana.

% Fi 0 |- 0,1 02 0,1 |- 0,2 05 0,2 |- 0,3 10 0,3 |- 0,4 15 0,4 |- 0,5 18 0,5 |- 0,6 20 0,6 |- 0,7 15 0,7 |- 0,8 10 0,8 |- 0,9 05 0,9 |-| 1,0 02


Página 28

10) A tabela abaixo most ra a dist ribuição de freqüência de acidentes que ocorreram no últ imo ano numa

rodovia do Estado do Rio de Janeiro para cada quant idade de pessoas feridas por acidente. Com base nessa

tabela, determine:

Número de Feridos Xi

Número de Acidentes Fi

0 |- 3 12

3 |- 6 18

6 |- 9 10

9 |- 12 6

12 |-| 15 4

Total 50

Anotações

MMeeddiiddaass ddee TTeennddêênncciiaa CCeennttrraall -- DDiissttrriibbuuiiççõõeess ddee FFrreeqqüüêênncciiaa

Moda :

posi i

ant pos

FMo L a

F F

Mediana :

AAi i

Md

PMd FMd L a

F , onde

11

2PMd n

a) o número médio,

o número modal

e

o número mediano de feridos em

acidentes.

b) a porcentagem de feridos em cada

uma das classes.

c) a quantidade de acidentes que

tiveram menos de 9 feridos, utilizando

a freqüência acumulada dos dados.


Página 29

Capítulo 4

Medidas de Dispersão

Muitas vezes o cálculo das medidas de tendência cent ral não é suficiente para caracterizar uma

distribuição ou um conjunto de dados. Vejamos o exemplo abaixo.

Exemplo: Sejam quatro grupos de alunos e suas respectivas notas.

Grupo

Notas Média

A 7 7 7 7 7 7

B 5 6 7 8 9 7

C 4 5 7 9 10 7

D 0 5 10 10 10 7

Observemos que a média não foi capaz de diferenciar o desempenho de cada grupo.

Nesse capítulo estudaremos medidas que analisam o quanto os valores de uma dist ribuição ou de um

conjunto de dados se dispersam da média.

As medidas estat íst icas responsáveis pela variação ou dispersão dos valores de uma série são as

chamadas medidas de dispersão, que nos most ram como se dist ribuem os dados em torno de um valor

cent ral. As medidas de dispersão mais usadas são a amplit ude t ot al (j á estudada), o desvio médio, o desvio

padrão, a variância e o coeficiente de variação.

Diremos, em princípio, que ent re duas ou mais séries, a mais dispersa é aquela que tem a maior

medida de dispersão. Quanto mais dispersa for a série, menos confiável é sua descrição at ravés das medidas

de tendência central.

4.1 Medidas de Dispersão (ou Medidas de Dispersão Absoluta)

4.1.1 Desvio Médio

O desvio médio mede o afastamento médio dos valores com relação a média do grupo, ignorando o

sinal do afastamento.

M

x xd

n

NOTA: O módulo de um número é o número sem sinal. (Ex.: 2 2 , 3 3 , etc.)


Página 30

Exemplo: Vamos calcular o desvio médio dos grupos A, B, C e D.

Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D

X x x

X x x

X x x

X x x

7 |7 – 7| = 0 5 | 5 – 7| = 2 4 | 4 – 7| = 3 0 | 0 – 7| = 7

7 |7 – 7| = 0 6 | 6 – 7| = 1 5 | 5 – 7| = 2 5 | 5 – 7| = 2

7 |7 – 7| = 0 7 |7 – 7| = 0 7 |7 – 7| = 0 10 | 10 – 7| = 3

7 |7 – 7| = 0 8 | 8 – 7| = 1 9 | 9 – 7| = 2 10 | 10 – 7| = 3

7 |7 – 7| = 0 9 | 9 – 7| = 2 10 | 10 – 7| = 3 10 | 10 – 7| = 3

0

6

10

18

00

5AMd

61,2

5BMd

102

5CMd

183,6

5DMd

Logo, conclui-se que D é mais disperso que C, C é mais disperso que B e B é mais disperso que A.

4.1.2 Variância

A variância surge como uma medida de dispersão interessante por t rabalhar com a função elevar ao

quadrado ao invés da função modular, a qual é mais difícil de lidar matematicamente.

A fórmula para calcular a variância para um conjunto de valores é:

2x x

Varn

.

Exemplo: Vamos calcular a variância dos grupos A, B, C e D.

Grupo A

Grupo B

Grupo C

Grupo D

X x x

2x x

X x x

2x x

X x x

2x x

X x x

2x x

7 0 0 5 -2 4 4 -3 9 0 -7 49

7 0 0 6 -1 1 5 -2 4 5 -2 4

7 0 0 7 0 0 7 0 0 10 3 9

7 0 0 8 1 1 9 2 4 10 3 9

7 0 0 9 2 4 10 3 9 10 3 9

0

10

26

80

00

5AVar

102

5BVar

265,2

5CVar

8016

5DVar

Da mesma forma que no desvio médio, conclui-se que D é mais disperso que C, C é mais disperso que

B e B é mais disperso que A.


Página 31

As fórmulas da variância para uma distribuição de freqüência sem e com intervalos de classe são:

Distribuição de Freqüência Sem Intervalos de Classe:

2

F x xVar

n .

OBS.:

Execut a-se o mesmo procediment o ut i l izado ant eriorment e e mult ipl ica-se a úl t ima coluna pelas

respectivas freqüências. Some a coluna obtida.

Distribuição de Freqüência Com Intervalos de Classe:

2F m x

Varn

, onde m é o ponto médio.

OBS.: Troca-se x

por m no processo.

Exemplo:

Vamos calcular agora a variância para o grupo D do exemplo anterior considerando a freqüência

de seus valores. Como vimos a nota média desse grupo foi 7, ou seja, 7x .

i

X F

x x

2x x

2F x x

1 0 1 -7 49 49 2 5 1 -2 4 4 3 10 3 3 9 27

5 80

Exemplo:

Voltando ao exemplo dos 20 alunos de uma turma de graduação da Universidade Estácio de Sá.

Vimos num capítulo anterior a média de suas idades é 28,5 anos, ou sej a, 28,5x . Qual é variância sobre

essa média?

i

Intervalos F

m

m x

2m x

2F m x

1 20 |-- 25 9 22,5 -6 36 324 2 25 |-- 30 2 27,5 -1 1 2 3 30 |-- 35 6 32,5 4 16 96 4 35 |-- 40 2 37,5 9 81 162 5 40 |--| 45 1 42,5 14 196 196

20 780

Logo, a variância dos dados é:

78039

20Var

.

OBS.: O inconveniente de usar a variância é que essa medida é expressa numa unidade diferente dos dados.

Logo, a variância das

notas do grupo D é:

8016

5Var .


Página 32

4.1.3 Desvio Padrão

O desvio padrão é, sem dúvida, a medida de dispersão mais ut ilizada. Ele é calculado a part ir da

variância e têm a vantagem de ser uma medida expressa na mesma unidade que os dados.

Define-se o desvio padrão como:

dp Var .

OBS.: Interpretações interessantes podem ser feitas com base no desvio padrão:

1º) O intervalo ,x dp x dp

contém aproximadamente 68% dos valores da série.

2º) O intervalo 2 , 2x dp x dp


3º) O intervalo 3 , 3x dp x dp


Estes percentuais 68%, 95% e 99% que citamos na interpretação poderão mais tarde ser comprovados,

com maior precisão.

Assim, quando se afirma que uma série apresenta média 100x e desvio padrão 5dp , pode-se

interpretar estes valores da seguinte forma:

Os valores da série estão concentrados em torno de 100.

O intervalo [ 95,105] contém, aproximadamente, 68% dos valores da série.




1) Calcular o desvio padrão dos seguintes dados de pesos em quilogramas, de dois grupos (A e B) de alunas,

dizendo, ainda com base no cálculo, qual o grupo menos disperso.

Grupo A: 43, 45, 52, 54, 56 Grupo B: 46, 53, 58, 60, 66

2) Considere os seguintes dados referentes a números de dias exigidos para preencher pedidos de compra

para Dawson Supply Inc , e J.C. Clark Distributors:

Dias para entrega na Dawson Supply : 11 10 9 10 11 11 10

Dias para entrega na Clark Distributors : 8 10 13 7 10 11 10

Calcule o desvio-padrão das duas amost ras e use-os para determinar qual das duas empresas fornece

tempos de entrega mais constantes e confiáveis.


Página 33

Determine:

a) A média das notas dos alunos;

b) A variância e o desvio padrão.

3) Calcular o desvio médio e o desvio padrão dos números:

a) 1, 3, 4, 4, 8.

b) 12, 10, 20, 13, 15, 18.

c) 2, 9, 5, 7, 7, 6, 10, 9.

4) Dadas as distribuições a seguir, determine: a distribuição de freqüência sem intervalos de classe, o desvio

médio, a variância e o desvio padrão.

a) 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9,10.

b) 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9,10,10,10.

5) Calcule a média, a variância e o desvio padrão das distribuições a seguir.

Xi Fi

11 2 14 3 15 5 18 8 20 4 22 3

25

Xi Fi

2 4 4 8 5 15 6 10 8 6

10 2

45

6) Numa determinada turma, o resultado obt ido em uma prova de Estatíst ica foi representado pela seguinte

tabela:

Xi Fi

1 5 2 7 5 10 8 15

14 9 16 4

50

Xi Fi

0 8 4 14 7 20

10 32 12 17 15 9

100

Notas

Número de Alunos

0 |– 2 6 2 |– 4 9 4 |– 6 15 6 |– 8 12

8 |–| 10 8 Total 50

b)

a)

d)

c)


Página 34

Determine:

a) A média;

b) A variância;

c) O desvio padrão;

7) Dada a distribuição de freqüência:

8) Numa determinada escola, foi medida a altura de cada um de seus alunos e se representou os resultados

pela seguinte tabela:

4.2 Medidas de Dispersão Relativa

4.2.1 Coeficiente de Variação

Estudamos até o momento medidas de dispersão absolutas cuj as unidades de medida, com exceção

da variância, são as mesmas dos termos da série.

Consideremos agora as distribuições de pesos e estaturas com as seguintes características:

Distribuição de pesos: 57,7x kg e 7,5dp kg

Distribuição de estaturas: 170x

cm e 7,1dp

cm

Como não há muito sent ido compararmos grandezas de unidades diferentes, como, por exemplo, kg

com cm, definimos o coeficiente de variação, que é uma medida de dispersão relativa.

O coef icient e de variação ( CV

) mede percentualmente a relação ent re o desvio padrão e a média

aritmética, sendo, pois, uma medida adimensional.

100dp

CVx

Para as distribuições de pesos e estaturas acima, temos:

Altura (cm) F 150 | – 158 5 158 | – 166 18 166 | – 174 42 174 | – 182 27

182 | -| 190 8

100

a) Calcular a média.

b) Determine a variância e o desvio padrão.


Página 35

Distribuição de pesos: 7,5

100 13,0%57,7

CV CV

Distribuição de estaturas:

7,1100 4,2%

170CV CV

Podemos perceber dessa forma que a distribuição da estatura é menos dispersa que a de pesos.

OBS.:

Para classificarmos uma distribuição em relação à sua variabilidade, em geral, é utilizado o seguinte

critério:

Baixa dispersão: 15%CV

Média dispersão: 15% 30%CV

Alta dispersão: 30%CV


1) Dados de peso de 140 universitários, separados por sexo, revelaram após tabulação e cálculos:

Com base no coeficiente de variação dos dois grupos, qual o grupo que tem a maior variabilidade?

2) Sucessivas medidas do diâmet ro de um mancal, efetuadas com um micrômet ro, acusaram média de

2,49mm e desvio padrão de 0,012mm.; e várias medidas do comprimento de uma mola, não estendida, com

out ro micrômet ro acusaram média de 0,75 polegadas, e desvio padrão de 0,0002 polegadas. Qual dos dois

micrômetros é mais preciso?

3) Os seguintes tempos foram regist rados pelos corredores de 400m e de 1600m de uma equipe de uma

universidade(os tempos estão em minutos)

Tempos de 400m: 0,92 0,98 1,04 0,90 0,99

Tempos de 1.600m: 4,52 4,35 4,60 4,70 4,50


Página 36

Depois de ver essas amost ras de tempos de corrida, um dos t reinadores comentou que os corredores

de 400 met ros apresentaram tempos mais constantes. Use o desvio padrão e o coeficiente de variação para

sintetizar a variabilidade dos dados. Suas estatísticas comprovam a afirmação do treinador?

4) Os retornos anuais das ações da empresa X e empresa Y durante os últ imos cinco anos estão regist rados na

tabela seguinte. Ut ilizando o coeficiente de variação, determine qual das duas empresas fornece retornos

mais constantes e confiáveis.

X Y 12% 12% 15% 16% 12% 15% 11% 9% 14% 13%

5) O Los Angeles Times regularmente publica o índice da qualidade do ar para várias áreas da Califórnia do

Sul. Uma amost ra de valores do índice da qualidade do ar para Pomona forneceu os seguintes dados: 28, 42,

58, 48, 45, 55, 60, 49 e 50.

a) Calcule a variância e o desvio padrão;

b) Uma amost ra de leituras do índice da qualidade do ar para Anaheim forneceu uma média de amost ra de

48,5, uma variância de 136 e um desvio padrão de 11,66. Que comparações você pode fazer ent re a

qualidade do ar em Pomona e em Anaheim com base nessas estatísticas?

6) A tabela abaixo apresenta a distribuição do peso de um grupo de 440 pessoas. Determine:

Intervalos Fi

60 |-- 66 120

66 |-- 72 180

72 |-- 78 80

78 |-- 84 40

84 |--| 90 20

440

a)

A média;

b) A variância e o desvio padrão;

c) O coeficiente de variação.


Página 37

Capítulo 5

Introdução à Probabilidade

A história da teoria das probabilidades teve início com os j ogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o

mot ivo da grande existência de exemplos de j ogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da

probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um evento em um experimento aleatório.

Para isso, antes disponibilizaremos alguns conceitos de Análise Combinatória que já foram vistos em

Fundamentos de Matemát ica Discreta 1. Esses conceitos não serão revistos durante as aulas, mas a plena

compreensão dos mesmos é fundamental para desenvolver algumas das atividades em sala.

5.0 Revisão dos Conceitos de Análise Combinatória

5.0.1 Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) diz que se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas

sucessivas e independentes, de tal modo que:

1n é o número de possibilidades da 1ª etapa;

2n é o número de possibilidades da 2ª etapa;

kn é o número de possibilidades da kª etapa;

então 1 2 kn n n n é o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer.

Exemplo: Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles, 8 Rolling Stones e 4 Dire Straits. Ele foi convidado para ir

a uma festa onde o anfit rião solicitou que ele tocasse um disco de cada uma dessas bandas, na ordem posta

acima. Sendo assim, de quantos modos distintos ele poderá tocar todos os seus discos?

5 8 4 160n n

Exemplo:

Para abrir um cofre elet rônico deve-se digitar uma seqüência formada por quat ro algarismos

dist intos, sendo que o primeiro algarismo deve ser o t riplo do segundo. Uma pessoa que desconhece essa

seqüência pretende abrir o cofre. Qual é o maior número possível de seqüências que ela pode ser obrigada a

digitar?

Se o 1º algarismo deve ser o t riplo do 2º, então se conclui que para o 2º algarismo tem-se 3

possibilidades (os números 1, 2 ou 3) e para o 1º algarismo tem-se 1 possibilidade (3x o segundo).


Página 38

O 3º algarismo tem 8 possibilidades (dos algarismo de 0 a 9 só não pode ser igual aos dois primeiros) e

o 4º algarismo tem 7 possibilidades (dos algarismo de 0 a 9 só não pode ser igual aos três primeiros).

Logo, temos que:

1 3 8 7 168n n .

5.0.2 Permutação Simples

Os problemas de permutação simples são aqueles onde se busca ordenar n objetos.

O número de permutações simples de n objetos é dado por:

1 2 3 2 1 !nP n n n n .

Exemplo:

Quantos anagramas existem da palavra CASTELO?

7

7

7! 7 6 5 4 3 2 1

5040

P

P

Exemplo:

Numa estante existem 3 livros de história, 4 de matemát ica e 2 de geografia. Se desej armos que

os livros de uma mesma disciplina f iquem sempre j untos e na ordem em que aparecem acima, de quantas

maneiras podemos arrumar a estante com estes nove livros?

Número de maneiras 3! 4! 2!

6 24 2

288

5.0.3 Arranjo Simples

Os problemas de arranjos simples são aqueles onde se escolhe e ordena k objetos dentre n .

O número de arranjos simples de n objetos escolhidos k a k

é dado por:

!,

!

nA n k

n k .

Exemplo:

Uma emissora de TV dispõe, ao todo, de 20 programas dist intos. Quantas são as possíveis

seqüências de quatro programas distintos a serem exibidos em um dia?

20! 20 19 18 17 16!20, 4

16!A

16!

20, 4 116.280A

Exemplo:

Num bingo, quat ro pedras são ret iradas sucessivamente e sem reposição de uma urna contendo

exatamente 90 pedras, numeradas de 1 a 90. O número de seqüências dist intas possíveis para essas quat ro

pedras tal que a segunda pedra tenha o número 40 é?


Página 39

Se a pedra de número 40 tem que ser a segunda a ser ret irada, então existem 89 pedras a serem

retiradas nas outras três posições. Note que só precisamos nos preocupar com essas posições.

Logo, temos:

89! 89 88 87 86!89,3

86!A

86!

89,3 681.384A

.

5.0.4 Combinação Simples

Os problemas de combinações simples são aqueles onde se escolhe k

obj etos dent re n . A ordem não é

importante!

O número de combinações simples de n objetos escolhidos k a k é dado por:

!,

! !

nC n k

n k k .

Exemplo:

Num grupo de 10 professores, 3 são professores de Matemát ica. Qual é o número de comissões de

6 professores, dos quais pelo menos um é professor de Matemática?

Note que nesse problema é necessário escolher 1, 2 ou 3 professores de Matemát ica e completar a

comissão com professores que não sejam de Matemática.

1 professor de Matemática 3! 7!

3,1 7 ,5 632! 1! 2! 5!

C C (Confira!)

2 professores de Matemática 3! 7!

3, 2 7, 4 1051! 2! 3! 4!

C C (Confira!)

3 professores de Matemática 3! 7!

3,3 7 ,3 350! 3! 4! 3!

C C (Confira!)

Exemplo:

Nove t imes de futebol vão ser divididos em t rês chaves, todas com o mesmo número de t imes,

para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça-de-chave definido. De

quantas maneiras possíveis e diferentes podemos completar as chaves?

escolher 2 times para escolher 2 times para escolher 2 times para a 1ª chave a 2ª chave a 3ª chave

6! 4! 2!6, 2 4, 2 2, 2

4! 2! 2! 2! 0! 2!

90

C C C


Página 40

5.1 Conceitos Básicos

Experimentos Aleatórios: São experimentos que, mesmo repetidos em condições iguais, apresentam

resultados imprevisíveis.

São exemplos de experimentos aleatórios: lançamento de um dado (ou de uma moeda) e anotar o

resultado obtido, retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e anotar o seu naipe, os números sorteados na

Mega Sena, etc.

Obs.:

Os experimentos determinísticos são aqueles em que o resultado são previsíveis.

Espaço Amostral (S):

É o conj unto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório,

também conhecido com conjunto universo.

Eventos:

São subconj untos de um espaço amost ral. São os resultados de um experimento. Em geral,

denota-se os eventos por letras maiúsculas do alfabeto.

Exemplo: Considere o lançamento de um dado.

Espaço amostral: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento A

sair um número ímpar: A = { 1, 3, 5}

Evento B

sair um número maior que 4: B = { 5, 6}

Exemplo: Considere o lançamento de duas moedas.

Espaço amostral: S = { KK, KC, CK, CC} , onde K é cara e C é coroa

Evento A sair faces iguas: A = { KK, CC}

Evento B sair faces diferentes: B = { KC, CK}

Exemplo:

Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amost ral, const ituído pelos

12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, C1, C2, C3, C4, C5, C6}, onde K é cara e C é coroa. Observe os

seguintes eventos:

A = {cara e m número par aparece} = { K2, K4, K6} ;

B = {um número primo aparece} = { K2, K3, K5, C2, C3, C5} ;

C = {coroa e um número ímpar aparecem} = {C1, C3, C5}.

5.2 Tipos de Eventos

5.2.1 Evento Certo X Evento Impossível

Evento certo: Evento que coincide com o espaço amostral ou evento que sempre ocorre. A = S.

Evento impossível: Evento vazio ou evento que nunca ocorre. A = .


Página 41

Exemplo:

No lançamento de um dado, consideremos os eventos:

A = {sair um natural não-nulo menor que 7};

B = {sair um número primo maior que 5}.

Note que o evento A é um evento certo e o evento B é um evento impossível.

OBS:

Um event o element ar (ou simples) é um subconj unt o unit ário do espaço amost ral . Um event o que t em mais de um elemento é chamado de evento composto.

5.2.2 Evento Complementar

O event o complement ar de um evento A, denotado por A , é formado por todos os resultados

possíveis do espaço amostral que não fazem parte de A.

A

Note que:

1. A A S ;

2. A A .



Evento A = { 1, 3, 5} sair um número ímpar

Evento

2, 4, 6A

complementar de A (sair um número par)

5.2.3 Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois eventos A e B são mut uament e exclusivos quando não têm elementos em comum

( A B ). Ou seja, a ocorrência de um evento implica na não ocorrência do outro.



Evento A = { 1, 3, 5} sair um número ímpar

Evento B = { 2, 4, 6} sair um número par

Evento C = { 2 } sair um número par e primo

Note que os eventos A e C não tem elementos em comum. Logo, A e C são eventos mutuamente

exclusivos.


Página 42


1) Identifique entre os experimentos abaixo quais são aleatórios e quais são determiníst icos.

a) Comprar uma dezenas de canetas, a 5 reais cada, e determinar o custo total.

b) Lançar quatro dados e verificar se a soma dos valores é um múltiplo de 5.

c) Contar os dias de chuva em determinado período.

d) Jogar um dado três vezes e anotar quantos números pares ocorrem.

e) Percorrer 300Km, a uma velocidade constante de 80Km/h, e medir o tempo gasto.

f) Jogar duas moedas e anotar o par de resultados.

2) Determine o espaço amostral dos experimentos abaixo.

a) Lançar uma moeda quatro vezes e anotar a seqüência de faces observadas.

b) Lançar dois dados e anotar o par de números resultantes.

c) Lançar uma moeda e um dado e anotar o par obtido.

d) Retirar três cartas de um baralho de 52 cartas.

e) Sorteio da MegaSena.

3) Quantos são os resultados possíveis da loteria esportiva?

4) Considere o experimento “lançar um dado e observa o número da face de cima”. Explicite os eventos abaixo na forma de conjuntos.

a) A : sair o número 5.

b) B : sair um número menor que 5.

c) C : sair um número maior que 8.

d) D : sair um número par.

e) E : sair um número primo.

f) F : sair um número inteiro positivo menor que 7.

5) Qual evento da questão 4 é o evento certo e qual é o evento impossível?

6) Determine o evento complementar de cada evento da questão 4.

7) Existem eventos mutuamente exclusivos entre os eventos da questão 4? Quais?

5.3 Definição de Probabilidade

Se em um fenômeno aleatório o espaço amost ral S é equiprovável, então a probabilidade de ocorrer

um evento A é:

número de casos favoráveis a A

número de resultdos possíveis do experimento

n AP A

n S.

NOTA:

Um espaço amost ral S é equiprovável se cada evento elementar tem a mesma probabilidade de ocorrer.


Página 43

Exemplo:

No lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dent re 6

igualmente prováveis. Portanto, P(A) = 3/6= 1/2 = 50% .

5. 4 Propriedades Importantes:

1. A probabilidade de um evento é sempre um número ent re 0 (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

0 1P A .

2. A probabilidade da união de dois eventos A e B é dada por: P A B P A P B P A B .

3. Se A e A são eventos complementares, então: 1P A P A .

Exemplo:

Se ret irarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um rei de copas? Se que um j ogador t ivesse apostado R$10,00 que sairia nesse resultado, qual seria a probabilidade dele perder.

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:

A: sair 8 e P(A) = 4 / 52.

B: sair um rei de copas e P(B) = 1 / 52.

Assim, P( A

B) = 4 / 52 + 1 / 52 – 0 = 5 / 52. Note que P(A B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei de copas ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

Logo, a probabilidade do apostador perder é 1 – ( 5 / 52 ) = 47 / 52.


1) Determine a probabilidade de cada evento.

a) Um número menor do que 4 aparecer no lançamento de um dado não-viciado.

b) Uma carta múltipla de 2 (portanto numérica) aparece ao extrair-se uma carta de um baralho de 52 cartas.

2) Responda.

a) Quantas placas de automóvel podem ser feitas, se cada uma contém duas letras seguidas por 3 dígitos?

b) Escolhendo-se uma placa ao caso, qual é a probabilidade dela ter as duas let ras iguais e os t rês dígitos iguais?

c) Considerando a situação mencionada na questão 2, qual é a probabilidade de escolhermos, ao acaso, uma placa formada apenas por vogais e por números pares?

3) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteia-se uma bolinha ao acaso, qual é a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8?


Página 44

4) Numa urna são depositadas seis et iquetas numeradas de 1 a 6. Três et iquetas são sorteadas, sem reposição. Qual é a probabilidade de que os números sorteados sejam consecutivos?

5) Um dado é lançado duas vezes.

a) Qual é a probabilidade da soma dos resultados ser 10?

b) Qual é a probabilidade do primeiro resultado ser maior do que o segundo?

6) Uma urna contém 7 bolas vermelhas e 3 brancas. Três bolas são ret iradas, uma após out ra. Encont re a probabilidade das duas primeiras serem vermelhas e a terceira ser branca.

7) Considere o seguinte experimento: “Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente”.

a) Qual é a probabilidade de observarmos exatamente 1 cara?

b) Qual é a probabilidade de observarmos pelo menos 1 cara?

8.) Um lote é const ituído de 12 peças perfeitas e 5 defeituosas. Feita uma ret irada de 3 peças, qual é a probabilidade de serem 3 peças perfeitas e 2 defeituosas?

9.) Uma estante tem 10 livros distintos, sendo 5 de Álgebra, 3 de Geometria e 2 de Trigonometria.

a) De quantos modos podemos arrumar esses livros na estante, se desej amos que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos?

b) Qual é a probabilidade de conseguirmos uma disposição desses livros conforme no item a) numa organização aleatória dos mesmos?

10.) São sorteados na Sena seis números escolhidos entre os números de 1 a 50.

a) Quantas são os resultados possíveis para o sorteio da Sena?

b) Qual é probabilidade de um apostador ganhar fazendo um único jogo com 6 números marcados?

c) Qual é a probabilidade de sair um resultado com 4 números pares e 2 números ímpares?

11.) Tomam-se duas retas paralelas r

e s com 5 pontos marcados sobre a primeira e 4 pontos na segunda. Se escolhermos aleatoriamente 3 desses 9 pontos, qual é a probabilidade deles formarem um triângulo?

12) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:

a) ela não tenha defeitos graves;

b) ela não tenha defeito algum;

c) ela seja boa ou tenha defeitos graves.

13) Considere uma urna com bolas numeradas de 1 a 50. Qual é a probabilidade de se ret irar uma bola que seja múltiplo de 3 ou de 7 ?

14) A probabilidade de um cavalo vencer t rês ou menos corridas é de 58%; a probabilidade dele vencer t rês ou mais corridas é de 71%. Qual é a probabilidade do cavalo vencer exatamente três cavalos?


Página 45

15) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade se obter a soma dos pontos iguais a 8 ou dois números iguais?

16) Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. A tem 2 vezes mais a probabilidade de ganhar do que B. B tem 2 vezes mais a probabilidade de ganhar do que C.

a) Quais as probabilidades de cada um?

b) Qual a probabilidade de A ou B ganhar?

17) Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição:

Homens Mulheres Menores 5 3 Adultos 5 2

Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se:

a) Qual é a probabilidade de ser homem?

b) Qual é a probabilidade de ser adulto?

c) Qual é a probabilidade de ser menor e mulher?

d) Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual é a probabilidade de ser homem?

e) Dado que a escolhida é mulher, qual é a probabilidade de ser menor?

18) Numa prova com t rês questões A, B e C, verif icou-se que: 55 alunos acertaram A, 55 alunos acertaram B, 64 alunos acertaram C, 17 alunos acertaram A e B, # 15 alunos acertaram A e C, 12 alunos acertaram B e C, 5 alunos acertaram as três e 13 alunos erraram as três.

a) Um aluno é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade dele ter acertado pelo menos duas questões?

b) Um aluno é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade dele ter acertado exatamente uma questão?

19.) Uma pessoa mistura as 28 peças de um dominó e ret ira, ao acaso, a peça 5 e 3. A mesma pessoa apanha outra peça sem repor a primeira. Determine a probabilidade da segunda peça ter 2 ou 4.

20.) Retirando-se ao acaso duas cartas de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de ocorrer duas damas ou duas cartas de ouro?


Página 46

Capítulo 6

Distribuição de Probabilidades

6.1 Variável Aleatória e Função de Probabilidade

Em experimentos onde o espaço amost ral não é const ituído por números reais, não é possível ut ilizar

as medidas descrit ivas (média, variância, desvio padrão, etc.). Nesses casos, pode ser estabelecida uma

função que transforma o espaço amostral não-numérico em um espaço amostral numérico.

Considere um experimento E e seu espaço amostral S = { a1 , a2 , a3 , ..., an } .

Uma Variável Aleatória Discreta é qualquer função X que t ransforma os valores a1 , a2 , a3 , . . . , an

em números reais.

Obs.:

A definição da variável aleatória X a part ir de um espaço amostral deve ser aquela que interessa à solução do

problema que está sendo abordado.

Notação:

X (maiúscula) = variável aleatória

x (minúscula) = valor numérico da variável aleatória

Função de Probabilidade é a função que associa cada valor assumido pela variável aleatória a

probabilidade do evento correspondente.

i iP X x P A , i = 1, 2, ..., n

Para que exista a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é necessário que:

o 0iP x x S ;

o 1

1n

ii

P x .

Como conseqüência: A S , ix A

P A P x .

Exemplo:

Lançam-se t rês moedas. Sej a X o número de ocorrências da face cara. Determinar a dist ribuição

de probabilidade de X.

O espaço amostral do experimento é:

S = { (c, c, c), (c, c, k), (c, k, c), (c, k, k), (k, c, c), (k, c, k), (k, k, c), (k, k, k) } .

Note que X assume os valores 0, 1, 2 e 3 e, logo, o espaço amost ral da variável aleatória X é S = { 0,

1, 2, 3 }.


Página 47

Associando a esses números eventos que correspondam a ocorrência de nenhuma, uma, duas ou t rês

caras respectivamente:

X Eventos

0 A1 = { (k, k, k) }

1 A2 = { (c, k, k), (k, c, k), (k, k, c) }

2 A3 = { (c, c, k), (c, k, c), (k, c, c) }

3 A4 = { (c, c, c) }

Associando as probabilidades de X assumir um dos valores, as probabilidades dos eventos

correspondentes:

P(X=0) = P(A1) = 1/8

P(X=1) = P(A2) = 3/8

P(X=2) = P(A3) = 3/8

P(X=3) = P(A4) = 1/8

gfd

6.1.1 Algumas Medidas

Média ( ) ou Esperança (E(X)) da Variável Aleatória:

Define-se a média ou esperança da variável aleatória discreta X como:

E X x P x , onde é a média aritmética de X.

Variância (Var(X)) da Variável Aleatória:

2Var X x P x .

Desvio Padrão ( dp(X) ) da Variável Aleatória:

dp X Var X .

X

P(X)

0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 = 1


Página 48

Exemplo: Joga-se uma moeda 2 vezes, determine o número esperado de caras, a variância e o desvio padrão

da variável aleatória número de caras.

x P x

x P x

x

2

x

2

x P x

0 ¼ 0 - 1 1 ¼

1 ½ ½ 0 0 0

2 ¼ ½ 1 1 ¼

1 1 ½

Portanto, tem-se que: 1E x , 1

2Var x e

2

2dp x .

Exemplo: Um jogador paga R$1,00 para jogar um dado. Se a face observada for 6, ele recebe R$10,00 (lucra

9 visto que pagou 1). Se sair qualquer out ro número, ele nada recebe. Podemos def inir a variável aleatória X

que fornece o ganho do jogador em cada partida como:

Face Observada Ganho ( X )

1, 2, 3, 4, 5 -1

6 9

Supondo que ele vá jogar um grande número de vezes, vamos calcular o valor esperado de seu ganho,

E X .

Face Observada Ganho Probabilidade Produto

X P x

x P x

1, 2, 3, 4, 5 -1 5/6 - 5/6

6 9 1/6 9/6

Logo, o valor esperado é 5 9 4

6 6 6E X . O que dá, aproximadamente, R$0,67. Isso quer dizer

que ao repetir esse jogo muitas vezes espera-se que o jogador ganhe ao final 67 centavos.


1) Determine a função de probabilidade P(x) para o lançamento de 2 moedas, sendo X: variável aleatória número de caras. Faça a representação gráfica da função probabilidade.

2) Seja X a variável aleatória do número de pontos obtidos no lançamento de um dado. Construa P(x).

3) Suponhamos que um número seja sorteado de 1 a 10, inteiros positivos. Seja X: número de divisores do

número sorteado. Calcular o número médio de divisores do número sorteado.


Página 49

4) Um dado é lançado e a face de cima é anotada. Qual é o valor esperado do dado?

5) Uma loj a de departamentos vende aparelhos de ar-condicionado. A tabela a seguir lista dados compilados

sobre as vendas num dia:

Unidades de

Aparelho

0 1 2 3 4

Probabilidade

de Venda

0,10 0,35 0,30 0,20 0,05

Determine o valor esperado de vendas diárias.

6) Para lançar um dado, um j ogador paga 1 real. O j ogo paga: 3 reais para o resultado 6; 2 reais para o

resultado 5; 1 real para o resultado 4; o j ogo não paga nada para os resultados 2 e 3; o j ogo cobra mais 50

centavos para o resultado 1. Qual é o valor esperado de ganho nesse jogo?

7) Calcule a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória X dada por:

a) b)

X 2 5 8 10

P(X) 0,3 0,4 0,2 0,1

8) Calcular a média, a variância e o desvio padrão do número de meninos X numa família de:

a) 3 filhos b) 4 filhos

6.2 Modelos de Distribuição de Probabilidade Discretos

Nesta seção são apresentados os principais modelos de dist ribuições de probabilidades para variáveis

discretas.

** 6.2.1 Distribuição de Bernoulli **

Suponhamos a realização de um experimento, cuj o resultado pode ser um sucesso (ocorrer o evento

que nos interessa) ou um fracasso (não ocorrer o evento que nos interessa).

Sej a X a variável: sucesso ou fracasso, onde 1 1x

(sucesso) e 2 0x

(fracasso). Denotemos por p

a probabilidade de sucesso e por 1 p a probabilidade de fracasso.

Uma variável aleatória assim definida tem uma distribuição de Bernoulli, cujas características são:

Média: E X p ;

Variância: 1Var X p p .

X

-1

0

1

3

P(X) 2/5 1/5 1/5 1/5


Página 50

Exemplo: Retira-se uma carta de um baralho de 52 cartas. Considere uma variável aleatória X: a carta

retirada é um rei. Determine:

a) A probabilidade de sucesso;

b) A probabilidade de fracasso;

c) A esperança de X.

Solução:

a) Seja A o evento: sair um rei. Então:

4 11

52 13P A P X p .

b) Se a probabilidade de sucesso é 113 , então a probabilidade de fracasso é 1 121 13 13 .

c) 1 12 1

1 013 13 13

E X .

6.2.2 Distribuição Binomial

Uma distribuição binomial é uma dist ribuição de probabilidade adequada aos experimentos que

satisfazem as seguintes hipóteses:

n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas;

cada prova admite dois resultados: sucesso ou fracasso;

a probabilidade de sucesso em cada prova é p e de fracasso é 1 – p.

A variável aleatória X é definida como o número de sucessos nas n provas e, portanto, X pode assumir

os valores 0, 1, 2, ..., n.

A probabilidade de se obter k sucessos, e (n – k) fracassos, é:

1n kkn

P X k p pk

,

onde !

! !

n n

k n k k.

Suas principais características são:

Média: E X n p ;

Variância: 1Var X n p p .

Exemplo: Qual é a probabilidade de, em oito lançamentos de um dado honesto, serem obtidos 5 ou 6 pontos

em exatamente três das oito tentativas?


Página 51

Sej a a variável aleatória X = número de vezes em que são observadas as faces 5 ou 6, nos oito

lançamentos (sucesso).

3 58 1 2 8! 1 32 17923 3

3 3 3 5! 3! 27 243 6561P X P X

Exemplo: Uma moeda não-viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de:

a) dar 5 caras;

b) pelo menos uma cara;

c) no máximo duas caras.

Calcule a média e variância da distribuição.

Solução: Seja X o número de caras (sucessos).

a)

5 38 1 1 8! 1 1 75 5

5 2 2 3! 5! 32 8 32P X P X

b)

0 88 1 1 8! 1 2551 1 0 1 1 1 1

0 2 2 0! 8! 256 256P X P X P X

c)

0 8 1 7 2 6

2 0 1 2

8 8 81 1 1 1 1 1 372

0 1 22 2 2 2 2 2 256

8! 1 8! 1 1 8! 1 11

0! 8! 256 1! 7! 2 128 2! 6! 4 64

1 8 28

256 256 256

P X P X P X P X

P X

A média será 1

8 42

e a variância será 1 1

8 1 22 2

Var X .


1) No lançamento de quat ro moedas, dê a dist ribuição de probabilidade da variável aleatória “ número de caras”.

2) Uma pesquisa indicou que, numa cidade, 75% dos automóveis tem seguro. Se seis automóveis sofrerem um acidente, qual é a probabilidade de exatamente dois deles terem seguro?

3) Uma urna contém 10 bolas das quais sete, e apenas sete, são brancas. Cinco bolas são ret iradas, uma a uma, com reposição. Qual é a probabilidade de serem retiradas exatamente três bolas brancas?


Página 52

4) Admitindo-se que os nascimentos de meninos e meninas sejam iguais, calcular a probabilidade de um casal com 6 filhos ter 4 filhos homens e 2 mulheres.

5) Em 320 famílias com 4 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem:

a) nenhuma menina; b) 3 meninos; c) 4 meninos.

6) A probabilidade de um homem de 50 anos viver mais 20 anos é 0,6. considerando um grupo de 8 homens

de 50 anos, qual é a probabilidade de que pelo menos quatro cheguem a 70 anos?

7) Um t ime X tem 23

de probabilidade de vitória sempre que j oga. Se X j ogar 5 part idas, calcule a

probabilidade de:

a) X vencer exatamente 3 partidas;

b) X vencer ao menos uma partida;

c) X vencer mais da metade das partidas.

8) Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcular as seguintes probabilidades:

a) de ocorrer 6 caras;

b) de dar pelo menos 2 caras;

c) de não dar nenhuma coroa;

d) de dar pelo menos uma coroa;

e) de não dar 5 caras e 5 coroas.

9) 60% das pessoas de uma população têm olhos castanhos. Cinco pessoas são escolhidas ao acaso (pode-se supor um sorteio com reposição). Qual é o número esperado de pessoas com olhos castanhos nas cinco selecionadas?

10) De um recipiente com 30 bolas brancas e 15 pretas, ext raímos 15. Quantas bolas brancas, em média, podemos esperar?

** 6.2.3 Distribuição de Poison **

Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson com parâmetro 0

se:

!

keP X k

k , para k = 0, 1, 2, 3, 4, ... ,

onde é usualmente referido como a taxa de ocorrência.

Média: E X ;

Variância: 2 Var X .


Página 53

Nota: Com essa notação para variância temos que dp X .

Utiliza-se a dist ribuição de Poisson para modelar situações onde se desej a contar o número de

eventos de certo t ipo que ocorrem num intervalo de tempo (ou superf ície ou volume). Tem vasta aplicação

em problemas de f ila de espera, cont role de estoques, cont role de qualidade, programação de

equipamentos, etc.

Exemplos:

# número de chamadas telefônicas recebidas em uma central;

# número de falhas de um computador num dia;

# número de relatórios de acidentes enviados a uma CIA de Seguros numa semana.

É suposto, em geral, que a probabilidade de se obter mais de um evento num intervalo muito

pequeno é desprezível.

Ex. 1:

Supondo o número de carros que chegam a uma f ila do guichê de um pedágio a uma taxa de t rês por

minuto, calcule a probabilidade de que cheguem cinco carros nos próximos dois minutos.

3 535 2 5 0, 2

! 5!

ke eP X k P X P X

k

Ex. 2:

Um PABX recebe, em média, cinco chamadas por minuto. Obter a probabilidade de que o PABX não

receba chamadas durante um intervalo de um minuto.

5 050 0 0,0067

! 0!

ke eP X k P X P X

k

Outra aplicação deste modelo ocorre quando uma variável aleatória X admite dist ribuição Binomial

com n muito grande (n>30) e com a probabilidade p de sucesso muito pequeno (p < 0,05). Neste caso,

fazemos: = n . p e selecionamos como aproximação para a Binomial uma distribuição de Poisson.

Ex. 3:

Uma máquina produz nove peças defeituosas a cada 1.000 peças produzidas. Calcule a probabilidade

de que em um lote que contém:

a) 200 peças sejam encontradas oito peças defeituosas;

b) 500 peças, não haja nenhuma peça defeituosa.

Solução:

a)

8200 0,009

81,8

200 0,0098

! 8!

1,88 8 0,0005

8!

kn pe n p eP X k P X

k

eP X P X


Página 54

b)

0500 0,009

04,5

500 0,0090

! 0!

4,50 0 0,0111

0!

kn pe n p eP X k P X

k

eP X P X

6.3 Modelo de Distribuição de Probabilidade Contínua

Em geral, as variáveis aleatórias cuj os valores resultam de algum processo de mensuração são

contínuas.

Exemplo:

Peso e altura das pessoas de uma cidade;

Tempo de vida de uma lâmpada;

O diâmetro de rolamentos de esferas.

6.3.1 Distribuição Normal

Pelos recursos que oferece, a distribuição normal é uma das mais importantes dist ribuições de

probabilidades conhecidas. Também é conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss.

Seja X uma variável aleatória contínua. X terá distribuição normal se:

21

21

2

x

f x e ,

onde e são a média e o desvio padrão.

O gráfico da normal é:

OBS.: Como podemos ver a curva da normal é unimodal, em forma de sino, onde o valor da média, mediana e

moda são iguais.


Página 55

Além disso, temos que:

1. A média é o centro da curva com a distribuição simétrica com relação a ela;

2. A curva é assintótica, se prolonga de a ;

3. A área total sob a curva é igual a 1, ou 100%, com exatos 50% dist ribuídos à esquerda da média e 50% à

sua direita.

Para o cálculo das probabilidades, surgem dois grandes problemas: primeiro, para a integração de

f(x), pois para o cálculo é necessário o desenvolvimento em séries; segundo, seria a elaboração de uma

tabela de probabilidades, pois f (x) depende de dois parâmet ros, fato este que acarretaria um grande

trabalho para tabelar essas probabilidades considerando-se as várias combinações de e .

Esses problemas podem ser solucionados por meio de uma mudança de variável, obtendo-se assim a

distribuição normal padronizada ou reduzida.

Seja Z uma variável aleatória tal que:

xZ ,

onde X é uma variável normal de média e desvio padrão .

Dessa forma, obtemos a seguinte função:

21

21

2

Zz e ,

cujo gráfico é o seguinte:

Como a média de Z é 0 e o desvio padrão é 1, as probabilidades (áreas) sobre z

são calculadas e

tabeladas. Nos exemplos seguintes será explicado o uso da t abela da dist r ibuição normal padrão para o

cálculo de probabilidade.


Página 56

Observações:

1- Existem várias t ipos de tabelas para o cálculo da probabilidade de variáveis aleatórias. Nesse curso

usaremos a Tabela Gauss, a qual se encontra no fim da apostila em anexo.

2- Lembre-se que primeiro é necessário mudar de variável.

Uso da Tabela Gauss:

1) Ent rar com o valor de Z ut ilizando a linha (para a dezena) e a coluna (para os centésimos). Por

exemplo, a probabilidade de Z = 1,96 é lida na interseção da linha 1,9 com a coluna 0,06.

2) Para Z < 0, procure a probabilidade de ( – Z). A probabilidade requerida será 1 menos a probabilidade

de ( - Z).

Exemplo:

Sabendo que a dist ribuição do tamanho da microalga Skeletonema costatum segue a lei normal de

média 10 m

e desvio padrão 4 m , calcule, para uma série de 100 células, o número de células tendo um

tamanho:

a) menor que 10 m ;

b) maior que 14 m ;

c) entre 8 m e 13 m .

Solução:

Para ent rar na tabela que dá as probabilidades ligadas a cada limite de tamanho x é preciso primeiro

transformar x em Z, ou seja:

1

2

10 1010 0 10 0,50

414 10

14 1 14 0,844

x Z P x

x Z P x

3

4

8 108 0,5 8 0,31

413 10

13 0,75 13 0,774

x Z P x

x Z P x

a) Há 50% das células de tamanho até 10 m . De fato, sempre teremos metade dos valores até a média.

b) Há 84% das células de tamanho até 14 m . Conseqüentemente, 100% - 84% = 16% têm tamanho acima de

14 m .

c) Há 31% das células de tamanho até 8 m e 77% das células de tamanho até 13 m . Logo, 77% - 31% = 46%

das células têm tamanho entre 8 m e 13 m .


Página 57

Alguns Valores Peculiares de Z

Usando a Tabela de Gauss, pode-se concluir que:

Se Z = 1 então 68% dos dados estão concentrados entre e ;

Se Z = 2 então 95,5% dos dados estão concentrados entre 2 e 2 ;

Se Z = 3 então 99,7% dos dados estão concentrados entre 3 e 3 .


1) Faça Z uma variável aleatória com distribuição normal padronizada e encontre (use a tabela):

a) 1,52P Z b) 0 1P Z c) 0 1, 44P Z

d) 0,72 1,89P Z e) 0,85 0P Z f) 1,48 2,05P Z

f) 1,08P Z g) 0,65P Z h) 0,5P Z

2) A média de uma população é de 21,65cm e desvio padrão 3,21. Qual é a probabilidade de que um indivíduo retirado ao acaso tenha um valor menor do que 14,75cm ou maior do que 28,55cm?

3) A média de chuva em certa cidade é de 18,75mm com desvio padrão de 6,25mm. Considerando normal a dist ribuição desses dados, calcule a probabilidade de nos próximos anos as chuvas estarem ent re 15 e 25 milímetros

4) Uma fábrica de pneumát icos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verif icou que ele

obedecia a uma dist ribuição normal, de media 48.000km e desvio padrão 2.000km. Calcular a probabilidade

de um pneu escolhido ao acaso:

a) dure mais que 46.000km;

b) dure entre 45.000 e 50.000km.


Página 58

5) Um fabricante de baterias usadas em laptop sabe, por experiência passada, que as baterias de sua

fabricação têm vida média de 600 dias e desvio-padrão de 100 dias, sendo que a duração tem

aproximadamente dist ribuição normal. Oferece uma garant ia de 312 dias, isto é, t roca as baterias que

apresentam falhas nesse período. Fabrica 10.000 baterias mensalmente. Quantas baterias deverá repor

mensalmente pelo uso da garantia?

6) Após uma pesca de camarões medimos as fêmeas ovadas. A média é 12cm e o desvio padrão 1,5cm. Suponhamos que os tamanhos estejam seguindo a Lei Normal. Pergunta-se:

a) Qual é a proporção de indivíduos de tamanho superior a 14cm, a 8,5cm e compreendido entre 8,5 e 14cm?

b) Qual é o tamanho ultrapassado por 10% dos camarões?

c) Entre quais tamanhos, simétricos em relação à média, estão compreendidos 95% dos camarões?

7) O salário semanal dos operários indust riais são dist ribuídos normalmente em torno de uma média de $180,00 com desvio padrão de $25,00. Pergunta-se:

a) Qual é a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre $150,00 e $178,00?

b) Dentro de que desvios de ambos os lados da média cairão 96% dos salários?

Anotações


Página 59

Capítulo 7

Regressão Linear Simples

7.1 Introdução

Em geral, nos problemas reais estamos interessados em muito mais que determinar uma

característ ica isolada de uma das variáveis do problema, como por exemplo, a média de seus valores. O

interesse concerne em muitas vezes em saber como uma variável está relacionada com as outras. Isto é o que

os estatísticos chamam de regressão.

Exemplos:

Os pesos dos adultos do sexo masculino dependem, em certo grau, de suas estaturas. As vendas

de uma empresa podem estar relacionadas com o quanto foi gasto com propaganda. O uso de cigarro pode

estar relacionado com a incidência de câncer. Além disso, ainda é possível mediante uma pesquisa do

ambiente de uma empresa, relacionar o grau de sat isfação dos empregados com relação aos salários, aos

benefícios oferecidos, ao plano de carreira, aos colegas do trabalho, etc.

Para ilust rar como pode ser estudado esse relacionamento, vamos ver o exemplo de como uma safra

de trigo depende da quantidade de fertilizante utilizado.

Neste caso mais simples, a safra ( Y ) está relacionada com uma única variável X (quant idade de

fertilizante) por uma linha reta, a qual é a chamada regressão linear simples de Y sobre X.

Como a safra Y depende do fert ilizante, ela é chamada variável dependente, ou variável respost a. E

como a aplicação de fert il izante não depende da safra, sendo, ao cont rário, determinada pelo pesquisador,

ela é chamada variável independente, ou fator, ou regressor X. O exemplo abaixo ilustra a situação.

Exemplos:

Em um estudo sobre como a safra de t rigo (Y) depende do fert il izante (X), suponhamos que

dispomos de fundos para apenas 7 observações experimentais. O pesquisador f ixa então X em sete níveis

diferentes, fazendo apenas uma observação Y em cada caso, conforme a seguir:

X Y

Fertilizante (Kg/Ha) Safra (ton/Ha)

100 40

200 50

300 50

400 70

500 65

600 65

700 80


Página 60

A figura acima apresenta o gráf ico das observações e uma reta, aj ustada a olho, que melhor se

aproxima dessas observações.

Notemos que essa reta prevê para uma aplicação de 400X kg de fert il izante uma safra

60Y toneladas. Tem especial interesse determinar o erro, ou o desvio, ent re o valor efet ivo de Y

em

relação ao valor previsto Y . Denotando esse desvio por d, podemos escrever:

d Y Y .

Uma boa aproximação para os dados observados é uma reta que minimize esses desvios, ou erros.

Veremos agora como encont rar matemat icamente a equação da reta que melhor se aj uste os dados

observados.

7.2 Ajustamento de uma Reta pelo Método dos Mínimos Quadrados

Um modelo de regressão l inear simples de Y sobre X consiste em obter uma reta que melhor

represente a relação verdadeira entre as variáveis. A determinação dos parâmetros desta reta é denominada

ajustamento.

Nosso objetivo é ajustar algebricamente uma reta, cuja equação é da forma:

Y a bX .

Devemos então encont rar o coef iciente angular b e o coeficiente linear a (ou intercepto) da reta de

modo a minimizar d , ou sej a, minimizar a soma dos desvios. Esse critério nos permite determinar uma

única reta de ajustamento.

A fórmula de mínimos quadrados encontrada para o coeficiente b é:

2

x yb

x , onde: x X X e y Y Y .


Página 61

Encontrando b, o coeficiente a pode ser obtido por:

a Y bX .

Exemplos: Calculando a reta de regressão para os dados do exemplo anterior, temos:

Dados Forma do Desvio Produtos

X Y x X X

y Y Y

x y

2x

100 40 -300 -20 6000 90000

200 50 -200 -10 2000 40000

300 50 -100 -10 1000 10000

400 70 0 10 0 0

500 65 100 5 500 10000

600 65 200 5 1000 40000

700 80 300 20 6000 90000

400X

60Y

0

0

16.500

280.000

Com os valores de x y e 2x , podemos calcular b:

2

165000,059

280000

x yb b

x .

Com os valores b, X

e Y , temos:

60 0,059 400 36,4a Y bX a a .

Portanto, a equação da reta que melhor modela o problema é:

36, 4 0,059Y X .

Podemos t raçar o gráf ico da equação acima e verif icarmos que a reta obt ida está tão próxima da que

traçada a olho que mal se discerne qualquer diferença.

A tabela acima, obtida estabelecendo o valor de X e obtendo na equação da reta de regressão o valor

Y, mostra as safras (Y) previstas para diferentes quantidades de fertilizantes utilizadas (X).


Página 62

NOTA: Significado do coeficiente angular b.

O coeficiente angular de uma reta é, por definição, a variação de Y quando tomamos um aumento

unitário no valor X. Assim, tem-se que:

Coeficiente angular b = variação de Y mediante a uma variação unitária em X .

Suponhamos, por exemplo, na equação da reta anterior, aumentássemos o valor de X de 75Kg para

76Kg. Qual seria o aumento correspondente em Y ?

inicial 36,4 0,059 75

Novo 36, 4 0,059 75 1 36,4 0,059 75 0,059

Novo inicial 0,059

Y

Y

Y Y

Ou seja, Y aumentou de 0,059 (valor de b) quando X aumentou 1 unidade.


1) Suponhamos quat ro observações feitas sobre o uso de fert il izantes aplicados a quat ro lotes escolhidos

arbitrariamente, com os seguintes resultados:

Fertilizante X Safra Y

(1000Kg/Ha) (ton./Ha)

1 70

2 70

4 80

5 100

a) Calcule a reta de regressão da safra sobre o fertilizante.

b) Marque as quat ro observações num gráf ico e t race a reta de regressão, verif icando que a reta se

ajusta razoavelmente bem aos dados.

c) Use a reta de regressão para predizer:

a safra obtida na aplicação de 3000Kg de fertilizante por Ha;

a safra obtida na aplicação de 4000Kg de fertilizante por Ha;

o aumento da safra para cada aumento de 1000Kg/Ha no fertilizante.


Página 63

2) Utilizando os dados abaixo encontre a equação de regressão linear e calcule para uma despesa com

propaganda de R$ 700,00 qual a seria a venda prevista.

Vendas (Em milhares de R$)

Despesas com propaganda (Em centenas de R$)

25 8 35 12 29 11 24 5 38 14 12 3 18 6 27 8 17 4 30 9

3) Os dados abaixo se referem ao volume de precipitação pluviomét rica (mm) e ao volume de produção de

leite tipo C (milhões de litros), em determinada região do país.

Anos Índice Pluviométrico (mm)

Produção de Leite C (1.000.000 l)

1970 23 26 1971 21 25 1972 28 31 1973 27 29 1974 23 27 1975 28 31 1976 27 32 1977 22 28 1978 26 30 1979 25 30

a) Ajustar os dados através de um modelo linear.

b) Admitindo-se, em 1980, um índice pluviomét rico de 24 mm, qual deverá ser o volume esperado

de produção de leite tipo C?

4) Considere uma amost ra aleatória, formada por dez alunos de uma determinada turma da faculdade e

pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística.

NOTAS MATEMÁTICA

X ESTATÍSTICA

Y 5,0 8,0 7,0

10,0 6,0 7,0 9,0 3,0 8,0 2,0

6,0 9,0 8,0

10,0 5,0 7,0 8,0 4.0 6,0 2,0

a) Determine a equação da reta de regressão que

relaciona as notas nas disciplinas de Matemát ica e

Estatística.

b) Marque num gráfico as 10 observações feitas e trace a

reta de regressão.

c) Determine a nota esperada em Estatística para um

aluno que tirou 4 em Matemática.


Página 64

5) Uma empresa está estudando como varia a demanda de certo produto em função do seu preço de venda.

Para isso, levantou as seguintes informações:

Meses

Unidades

Vendidas (Y) Preço de Venda Por Unidade (X)

JAN 248 162,00 FEV 242 167,00 MAR 234 165,00 ABR 216 173,00 MAI 230 170,00 JUN 220 176,00 JUL 213 178,00 AGO 205 180,00 SET 198 182,00 OUT 195 187,00

Com base nestes dados, mostre que a demanda do produto decresce linearmente com o acréscimo de

preço.

6) Determine a equação da reta que melhor se aj usta aos dados abaixo. Esboce no gráf ico essa reta e os

dados observados para as variáveis.

a) X Y

b) X Y

2 5 4 2

3 8 6 8

3,5 10 7 5

4 9 8 7

5 12 10 11

5,5 5 12 9

6 3 15 6

7 6 18 10

8,5 8 21 12

9,5 4 23 14

10 2 25 18


Página 65

Listas de Revisão para as Provas

“Tentar e falhar é, pelo menos, aprender. Não chegar a tentar é sofrer a inestimável perda do que poderia ter sido.”

( Geraldo Eustáquio )

Lista de Revisão para AV1

1) Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6.

a) Construa a distribuição de freqüências sem intervalos de classe.

b) Determine as freqüências relativas e as freqüências acumuladas.

c) Qual é a amplitude total?

d) Qual é a porcentagem de elementos maiores que 5?

2) O rol abaixo se refere a idade dos indivíduos que utilizam métodos anticoncepcionais em determinada classe de aula :

17 19 20 24 36 18 19 20 24 36 18 19 21 25 36 18 19 21 25 39 18 19 21 26 41 18 19 22 28 42 18 19 23 29 43 18 19 23 30 45 19 20 23 30 46 19 20 23 33 53

Construa a distribuição de freqüência:

a) sem intervalos de classe; b) com intervalos de classe de comprimento 10, cuja 1ª classe começa com 15.

3) Os dados abaixo se referem ao salário (em salários mínimos) de 20 funcionários administrativos em uma

indústria.

10,1 7,3 8,5 5,0 4,2 3,1 2,2 9,0 9,4 6,1

3,3 10,7 1,5 8,2 10,0 4,7 3,5 6,5 8,9 6,1

Construa uma tabela de freqüência agrupando os dados em intervalos de comprimento 2.


Página 66

4) Uma empresa responsável pela distribuição de um software de organização de estoque de lojas lançou uma

nova versão do produto e o testou junto aos seus clientes. Para tanto, instalou o produto em trinta de seus

principais clientes e após a finalização do período de teste os gerentes enviavam um questionário informando

sobre o seu índice de satisfação. No quadro abaixo seguem as informações:

Alta Média Baixa Baixa Média Baixa Alta Média Média Média Baixa Baixa Alta Alta Baixa Baixa Média Alta Baixa Média Alta Baixa Baixa Alta Baixa Média Média Baixa Baixa Baixa

Pede-se:

a) Classifique a variável. (Veja na apostila como se classifica uma variável.)

b) Construa a tabela de distribuição de freqüência do grau de satisfação.

c) Analise seus resultados, interpretando a satisfação dos gerentes que testaram o novo software. O novo

produto foi um bom negócio? Justifique sua resposta.

5) Calcule a média aritmética, a moda e a mediana dos conjuntos de valores abaixo.

a. 2, 5, 8, 10, 12, 15, 8, 5, 12

b. 3,4; 5,2; 4,7; 6; 8,4; 9,3; 2,1; 4,8

c. 1, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 12, 8, 20, 15, 15, 15, 10

d. 3, 15, 28, 10, 12, 15, 8, 13, 5, 11

e. 3,4 ; 5,2 ; 4,7 ; 6 ; 8,4 ; 9,3 ; 2,1 ; 4,9

6) Calcule a média, a moda e a mediana da distribuição a seguir.

Xi Fi

2 4 4 8 5 12 6 10 8 7

10 5 Total 46

7) A distribuição a seguir que representa os salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa.

a. Qual é a média dos salários dos funcionários da empresa?

b. Determine quantos % dos funcionários têm salário inferior a R$1.600,00.

c. Determine o desvio padrão dos salários dos funcionários.


Página 67

Classe Salários $ Xi

Número de Funcionários Fi

1 1.000,00 1.200,00 2

2 1.200,00 1.400,00 6

3 1.400,00 1.600,00 10

4 1.600,00 1.800,00 5

5 1.800,00 2.000,00 2

8) Um grupo de estudantes do Curso de Sistemas de Informação da Universidade Estácio de Sá foram

submetido a um teste da disciplina Probabilidade e Estatística resultando em:

Nota Freqüência

0 |- 2 12

2 |- 4 17

4 |- 6 20

6 |- 8 9

8 |-| 10 6

Total 64

9) Dada a tabela abaixo, responda:

a) Qual é a classe de maior freqüência? Indique os limites dessa classe, o seu ponto médio e seu intervalo.

b) Qual é a freqüência relativa e a freqüência acumulada de cada intervalo?

c) Qual é a média dos dados?

d) Qual é o desvio padrão dos dados?

Dados Freqüência simples (Fi) 5 l- 10 12 10 l- 15 19 15 l- 20 23 20 l- 25 22 25 l- 30 28 30 l- 35 46 35 l- 40 31 40 l- 45 20 45 l- 50 22 50 l- 55 10 55 l-| 60 17

Total 250

a) Determine a nota média dos alunos.

b) Determine a nota modal e a nota mediana dos alunos.

c) Determine a quantidade de alunos com nota inferior a 8.

d) Determine a porcentagem de alunos com nota superior ou

igual a 6.

e) Determine o desvio padrão das notas.


Página 68

10) Calcule a variância e o desvio padrão dos conjuntos de valores abaixo.

a) 2, 3, 7, 9, 11, 13

b) 5, 12, 4, 20, 13, 17

c) 3, 15, 28, 10, 12, 15, 8, 13, 5, 11

d) 3,4 ; 5,2 ; 4,7 ; 6 ; 8,4 ; 9,3 ; 2,1 ; 4,9

11) Considere a distribuição para o número de acidentes diários, observados em determinado cruzamento,

durante 40 dias e determine:

Número de acidentes por dia

Xi

Número de dias Fi

0 30 1 5 2 3 3 1 4 1

12) A atividade física nos dias atuais deixou de ser privilégio de classes sociais elevadas. A população brasileira

está se tornando cada vez mais idosa, fazendo com que senhores e senhoras com mais de 65 anos comecem a

prática de atividades físicas independente da classe econômica a que pertencem. Você é gestor de um grupo de

empresas que é voltada para o mercado da terceira idade e você decidiu fazer uma pesquisa em uma das

academias do grupo. Para tanto, foi realizado um estudo com seis idosos, onde se avaliou algumas

características dos idosos freqüentadores desta academia, os resultados estão na tabela abaixo:

1 M 68 Sim 1 Sim2 F 72 Sim 2 Não3 M 66 Não 1 Sim4 F 68 Não 1 Não5 F 72 Não 3 Não6 F 75 Não 2 Não

Tempo que frequenta a academia (em anos)

Apreesenta dores musculares?

Idosos Sexo Idade Fuma?

a) Há quantos anos em média estes idosos freqüentam a academia?

b) Qual é a idade modal para os freqüentadores do sexo feminino?

c) Qual é o tempo mediano de freqüência a academia?

d) Qual é a variância do tempo de freqüência a academia?

e) Qual é o desvio padrão do tempo de freqüência a academia?

f) Qual é a amplitude do tempo de freqüência a academia?

13) Um teste foi aplicado a dois grupos de 50 alunos e apresentou os seguintes resultados:

Grupo Média da notas Desvio padrão das notas

A 6 2 B 6,2 1,5

Baseado no coeficiente de variação e análise os resultados.

a) o número médio de acidentes por dia;

b) a variância e o desvio padrão para o número de acidentes diários.


Página 69

Lista de Revisão para AV2

1) Escolhem-se ao acaso dois números naturais distintos de 1 a 20. Qual é a probabilidade de que o produto destes números seja ímpar?

a) 9

38

b) 1

2

c) 9

20

d) 8

25

2) O estudo da genética estabelece que com as bases adenina (A), timina (T), citosina (C) e guanina (G), podem-se afirmar, apenas, quatro tipos de pares: A-T, T-A, C-G e G-C.

Certo cientista deseja sintetizar um fragmento de DNA com dez desses pares, de modo que:

Dois pares consecutivos não sejam iguais;

Um par A-T não seja seguido por um par T-A e vice-versa;

Um par C-G não seja seguido por um par G-C e vice-versa.

Sabe-se que dois fragmentos de DNA são idênticos se constituídos por pares iguais dispostos na mesma ordem. Logo, o número de maneiras distintas que o cientista pode formar esse fragmento de DNA é:

a) 112 b) 202 c) 2 10 d) 102 e) 22 10

3) Uma urna contém 3 bolas pretas e 5 bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa urna de

modo que, retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade dela ser azul seja igual a 23 ?

4.) Numa amostra de 20 peças, existem exatamente 8 defeituosas. Retirando-se, ao acaso, quatro peças dessa amostra, qual é a probabilidade de se retirar três peças defeituosas e uma perfeita?

5.) Uma classe tem 10 meninos e meninas. De quantas maneiras poderá ser escolhida uma comissão de 3 meninos e 4 meninas, incluindo, obrigatoriamente, o melhor aluno e a melhor aluna?

6.) Numa caixa existem 5 balas de hortelã e 3 balas de mel. Retirando-se sucessivamente e sem reposição duas dessas balas, qual é a probabilidade de que as duas sejam de hortelã?

7.) Joga-se um dado três vezes consecutivas. Determine a probabilidade de surgirem os resultados abaixo, em qualquer ordem.

8) Numa cidade, 45% dos homens são casados, 35% são solteiros, 15% são divorciados e 5% são viúvos. Um homem é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade desse homem:

a) ser solteiro ou divorciado?

b) não ser casado?

9) Suponha que você tenha 40% de chance de receber uma oferta de emprego da firma de sua primeira escolha, 42% de chance de receber uma oferta de emprego da firma de sua segunda escolha e 16% de chance de receber


Página 70

uma oferta de emprego de ambas as firmas. Qual é a probabilidade de receber uma oferta de emprego de qualquer uma das firmas?

10) Consultando 700 alunos de uma universidade, verifica-se que 250 cursam licenciatura em Matemática, 210 cursam bacharelado em Administração e 290 cursam o bacharelado em Computação. Como a universidade permite que um aluno tenha mais de uma matrícula, há entre esses alunos: 50 que fazem Matemática e Administração, 60 fazem Administração e Computação, 70 fazem Matemática e Computação e 20 que fazem os três cursos. Um desses alunos é sorteado para representar a universidade num evento. Determine a probabilidade desse aluno:

a) cursar Matemática;

b) cursar Matemática e Administração;

c) cursar Matemática ou Administração;

d) não cursar Computação;

e) cursar pelo menor um dos três cursos.

11.) Uma caixa contém exatamente 1000 bolas numeradas de 1 a 1000. Qual é a probabilidade de se tirar, ao acaso, duas bolas contendo números pares ou dois números de dois algarismos?

12.) Dois números são escolhidos ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Qual é a probabilidade dos dois números escolhidos serem primos ou quadrados perfeitos?

13) Em cada item abaixo, dá-se a distribuição de probabilidade para uma variável aleatória X. Calcule a esperança e a variância dessa variável aleatória.

a) X P(X) 1 0,25 2 0,25 3 0,25 4 0,25

b) X P(X) 10 0,500 20 0,250 30 0,125 40 0,125

c) X P(X) 20 0,1 25 0,2 30 0,4 35 0,2 40 0,1

d) X P(X) - 30 - 0,20

0 0,75 500 0,05

14) Num teste do tipo certo-errado, com 20 perguntas, qual é a probabilidade de um aluno, respondendo as questões ao acaso, acertar 70% das perguntas?

15) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 23 . Se ele atirar 6 vezes, qual é a probabilidade:

a) acertar exatamente 2 tiros?

b) acertar nenhum tiro?

16) Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que, numa amostra de 50 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos:


Página 71

a) nenhuma defeituosa;

b) 3 defeituosas;

c) mais do que 1 boa.

17) A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de 80 dias. Calcule a probabilidade desse componente durar:

a) menos que 750 dias;

b) mais que 800 dias;

c) entre 700 e 1.000 dias;

d) exatamente 1.000 dias.

Qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor no máximo 5% dos componentes?

18) Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média 73 e desvio padrão 15. 15% dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% dos mais atrasados recebem nota F. Encontre o mínimo para receber A e o mínimo para passar (não receber F).

19) Uma amostra aleatória de seis países acusou as seguintes cifras para X = consumo anual de cigarros per capita e Y = taxa anual de mortalidade por 100.000 em conseqüência de câncer no pulmão. Determine a equação da reta que melhor se ajusta aos dados.

20) Com base na amostra aleatória de cinco pares de pai e filho abaixo, responda.

a) Qual é a equação da reta que melhor se ajusta aos dados?

b) Qual é a altura esperada de um filho cujo pai mede 1,80m?


Página 72

21) Uma amostra aleatória de sete mulheres acusou os seguintes dados relativos a X (idade em anos) e Y (concentração de colesterol no sangue em gramas por litro). Determine.

a) A equação da reta de regressão linear dos dados; b) A concentração de colesterol esperado para uma adolescente de 15 anos; c) A concentração de colesterol esperado para uma senhora de 70 anos.

22) A tabela abaixo mostra os dados relativos ao peso (kg) e altura (cm) de 12 estudantes de uma escola

estadual.

Peso (kg) 70 63 72 60 66 70 74 65 62 67 65 68

Altura (cm) 155 150 180 135 156 168 178 160 132 145 139 152

a) Construir o diagrama de dispersão.

b) Ajustar a reta de regressão.


Página 73

ANEXO

Tabela de Gauss

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Apostila de Probabilidade e Estatística

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