1 . CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.1 - Números naturais:O conjunto dos números naturais é representado pela letra N . É formado pelos números inteiros não

negativos e é um conjunto infinito.

No conjunto dos números naturais é possível a realização de duas operações matemáticas , a adição e a multiplicação.

Propriedades dos números naturais:

Obs:

A utilização do asterisco ( * ) elimina o zero do conjunto.

1.2 – Números Inteiros:O conjunto dos números inteiros é representado por Z :

São subconjuntos de Z :

Módulo de um Número Inteiro

O módulo de + 8 é 8 e indica-se por |+ 8| = 8O módulo de - 3 é 3 e indica-se por |- 3| = 3

Números Inteiros Opostos ou Simétricos

O oposto de 6 é – 6, ou seja, | 6 | = |- 6| = 6O oposto de – 9 é 9, ou seja, |- 9| = | 9 | = 9

Comparação de Números Inteiros

O conjunto dos números inteiros (Z) pode ser representado por uma reta:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Ao compararmos dois números inteiros, o maior será sempre o que estiver mais a direita na reta.+ 7 > + 3+5 > 0- 2 > - 6

Adição de Números Inteiros

Solução:

Subtração de Números Inteiros:

Subtrair dois números inteiros “a” e “b” nessa ordem, significa adicionar “a” ao oposto de “b”.

Calcular:

Solução:

Multiplicação de Números Inteiros

Sinais iguais o produto é positivo

Sinais diferentes o produto é negativo

Multiplicação com mais de dois fatores

Propriedades da Multiplicação

A multiplicação de dois números inteiros é sempre um número inteiro;A multiplicação de dois números inteiros é cumulativa;A multiplicação de três números inteiros é associativa;O número “+ 1” é elemento neutro da multiplicação de números inteiros.

Calcular:

Solução:

Divisão de Números Inteiros

Sinais iguais o quociente é positivo

Sinais diferentes o quociente é negativo

Calcular:

Solução:

1.3 - Números Primos e Compostos:

Em N para que um número seja primo só pode apresentar como divisores a unidade e ele próprio (2 divisores). Em Z um número primo(p) tem 4 divisores : -1,-p,1 e p .

Portanto, são primos em N:

São primos em Z:

1. Reconhecimento de um número primo.

41 é primo?

Observe que todas as divisões não apresentam restos nulos, portanto, 41 é primo.

Outro exemplo: 23 é primo?

Observe que todas as divisões não apresentam restos nulos, portanto, 23 é primo.

Um número composto é todo número que pode ser decomposto como um produto de fatores primos. Todo número que não é primo pode ser decomposto . Exemplo de números compostos: 4,6,8,9,10,12,14,15,...

1.4 - Decomposição em fatores primos:

1.5 – Divisibilidade:

Regras de divisibilidade:

Por 2: Um número é divisível por dois quando é par :

Exemplo: 252 ,1024 ,100 ,58 , 70 .

Por 3: Um número é divisível por três quando a soma dos algarismos é múltipla de 3.

Exemplo: 234 , 156 , 978 , 1704 .

Por 4: Um número é divisível por quatro quando os dois últimos algarismos que formam o número é divisível por 4.

Exemplo: 1736 ,2072 , 504 , 125648 .

Por 5: Um número é divisível por cinco quando termina em 0 ou 5.

Exemplo: 105 , 1260 , 530 , 485 .

1.6 – Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum:Máximo Divisor Comum (MDC)

O MDC de dois ou mais números é o produto dos fatores primos comuns, elevado ao menor expoente.

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O MMC de dois ou mais números o produto dos fatores comuns e não comuns com o maior dentre seus expoentes.

Propriedade:

1) Dados os números 30 e 25, temos que o seu MDC e MMC, serão:

2) Dados os números 50, 35 e 20, temos que o seu MDC e MMC, serão:

1.7 – Números racionais: operações com frações.

Adição e Subtração Algébrica de Números Fracionários:

Multiplicação de Números Fracionários:

Divisão de Números Fracionários:

Tipos de Frações

Frações Próprias – o numerador é menor que o denominador

Frações Impróprias – quando o numerador é maior que o denominador

Frações Aparentes – são as frações impróprias em que o numerador é múltiplo do denominador

Frações equivalentes – são duas ou mais frações que representam a mesma parte da unidade

e

Simplificação de Frações:

Simplificar uma fração é dividir seus termos por um mesmo número e obter termos menores que os iniciais.

Redução de Frações a um mesmo Denominador

e

1º) Verificar o menor denominador comum

M.M.C. (3, 2) = 6

2º) Multiplicar o numerador de cada fração pelo quociente entre o denominador comum e o denominador inicial da fração.

e

Notação Científica :

Representação de um número em notação científica :

Exemplos:

Operações em notação científica:

Exemplos:

1.8- Razões:O quociente entre dois números quaisquer, não necessariamente inteiro, chama-se razão.

A razão entre duas grandezas é uma generalização do conceito de fração. Sendo a e b as duas grandezas anotamos a razão de a para b como a:b. a é chamado também de antecedente e b de conseqüente.

Razão do número a para o número b (b 0) é o quociente de a por b, isto é:

ou a: b

Exemplos:

1) A razão de 8 para 2 é , que é igual a 4.

2) A razão de 50 para 20 é , que é igual a 2,5.

Razões inversas:

Duas razões são inversas entre si quando uma é igual ao inverso multiplicativo da outra.

Note que:

se a e b são números reais não-nulos, então são razões inversas;

Exemplo:

As razões são chamadas inversas entre si.

Note que: , isto é, uma das razões é igual ao inverso multiplicativo da outra.

Exercícios:

1). Os números 2a + b e a + b formam, entre si uma razão de .

Pode-se afirmar que, se a e b não são nulos, então:

a) a = b

b) a =

c) a =

d) a =

e) a = 4b

Solução:

2) (Polícia Rodoviária Federal) Duas grandezas a e b foram divididas, respectivamente, em partes diretamente proporcionais a 3 e 4 na razão 1,2. O valor de 3a + 2b é:

a) 6,0

b) 8,2

c) 8,4

d) 14,4

e) 20,4

Solução:

1.9 - Proporções:Uma igualdade entre duas razões é dita “proporção” observe:

A razão de 5 para 4 e a razão de 15 para 12 exprimem mesmo quociente, então dizemos que essas razões formam uma proporção.

Lemos:

5 está para 4, assim como, 15 está para 12.

Genericamente:

Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nessa ordem uma proporção se, e

somente se, a razão é igual à razão .

Essa proporção é indicada por:

onde a e d são chamadas extremos e b e c são chamados meios.

Exemplo:

A razão de 20 para 40 é , que é igual a ;

A razão entre 15 e 30 é , que é igual a .

Logo, .

Portanto, os números 20 , 40 , 15 e 30 formam, nessa ordem, uma proporção.

Propriedade Fundamental das Proporções

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Assim, se a, b, c e d são números reais não-nulos e formam, nessa ordem, uma proporção, então a . d = b . c:

Exemplo:

formam uma proporção, pois

Propriedade das Proporções Múltiplas

Somando-se ou subtraindo-se os numeradores de uma proporção, em qualquer ordem, e fazendo o mesmo com os respectivos denominadores, a proporção se manterá:

Exemplo:

Se , obteremos uma nova razão fazendo ou ou ainda

que guarda evidente proporção com as razões anteriores.

Divisão em partes diretamente proporcionais:

Para se dividir um certo valor em partes proporcionais (ou em partes DIRETAMENTE PROPORCIONAIS) basta escrever a proporção, como fizemos até agora.

Exemplos:

1) Dividir o nº 420 em três partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Solução:

.2) (PMDF) A sociedade criada por Pedro, Paulo e Padilha não durou muito. Padilha permaneceu na sociedade por 15 meses e Paulo, 21, Pedro, único sócio que nunca deixara a sociedade, extinguiu a empresa 28 meses após a sua criação, por causa do prejuízo acumulado de R$ 32.000,00. Sabendo que esse prejuízo foi dividido entre os sócios proporcionalmente ao tempo de permanência de cada sócio na sociedade, assinale a opção correta.

a)Pedro arcou com 50% do prejuízo.

b)Paulo arcou com 30% do prejuízo.

c)Padilha arcou com 20% de prejuízo.

d)A soma dos prejuízos de Paulo e de Padilha corresponde a mais de 50% do prejuízo total.

e)A diferença entre os prejuízos de Pedro e de Padilha corresponde a menos de 20% do prejuízo total.

Solução:

Divisão em partes inversamente proporcionais:

Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é achar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos dos números dados e que, somadas, reproduzam o número.

Consideremos, agora, o inverso dos números dados. No restante, mantém-se o que foi visto.

Exemplo:

1)Dividir o nº 7400 em partes inversamente proporcionais a 8, 10 e 12.

Solução:

2) Para estimular a assiduidade, uma professora primária promete distribuir 600 figurinhas aos alunos de suas três classes. A distribuição será feita de modo inversamente proporcional ao número de faltas de cada classe durante 1 mês. Após esse tempo, as falta foram: 8, 12 e 24. Achar a quantidade de figurinhas que cada classe recebeu:

a) 100, 200, 300

b) 100, 300, 200

c) 200, 300, 100

d) 300, 200, 100

e) 300, 100, 200

Solução:

1.10 – Números Reais:

O sistema numérico real consiste em um conjunto de elementos chamados de números reais e duas operações denominadas adição e multiplicação , denotadas pelos símbolos , respectivamente. Se forem

elementos do conjunto R , denotará a soma de denotará o seu produto . A

operação de subtração é definida pela igualdade onde –b denota o negativo de b, tal que b+(-

b)=0 . A operação de divisão é definida pela igualdade onde denota o recíproco

de b, tal que

Um número real é positivo, negativo ou zero e qualquer número real pode ser classificado como racional ou irracional.

Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como a razão de dois inteiros. Os números racionais consistem em:

Os inteiros (positivos, negativos e zero)

As frações positivas e negativas, como

Os decimais que terminam (positivos e negativos), como

Os decimais que não terminam mas apresentam repetição periódica,como

Os reais que não são racionais são chamados de irracionais. Esses são os decimais que não terminam e não são periódicos, por exemplo,

1.11 - Operações e propriedades:

RADICIAÇÃO

1.12 - Simplificação de expressões numéricas e algébricas:

Cálculo Algébrico:

Expressões algébricas:

Exemplos de expressões algébricas:

x3 + 6x2 + 12x + 8 27x3 - 54x2y + 36xy2 - 8y3

8ay2 - 40ay + 50a x2 - 2xy + y2 - z2

a2 - b2 - c2 - 2bc a2 + 4b2 + c2 + 4ab + 2ac + 4bc a4 + a2b2 + b4

Valor numérico de uma expressão algébrica:

Exemplo 1: Determinar o valor de x3 + 6x2 + 12x + 8 sendo o valor de x igual a 2.

Solução:

Exemplo 2: Determinar o valor de x2 - 2xy + y2 - z2 sendo o valor de x igual a 2, y igual a 3 e z igual a -1.

Solução:

Fatoração:

Definição

Fatorar significa decompor um número ou uma expressão num produto.

Exemplo:

Fatorar o número 6060 301551

2235

60 = 22.3.5

forma fatorada

Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de dois ou mais fatores.

1º caso: Fator Comum

mx + my = m(x + y)

forma fatorada

2º caso: Agrupamentomx + nx + my + ny = x(m + n) + y(m + n) = (m + n)(x + y)

forma fatorada

3º caso: Diferença de Quadrados

a2 – b2

diferença de dois quadrados

= (a+b)(a-b)

produto da soma peladiferença

(forma fatorada)

Exemplos:

a) Fatorar: 8x2y + 16x

8x2y + 16x = 8x(xy +2)

fator comum

b)Fatorar: m3n2p4 + m2n3p2 + m4n4p3

m3n2p4 + m2n3p2 + m4n4p3 = m2n2p2(mp2 + n + m2n2p)

c) Fatorar: 3x + mx + 3y + my

x(3 + m) + y(3 + m) = (3 + m)(x + y)

d)Fatorar: x3 + x2 + x + 1

x3 + x2 + x + 1 = x2(x+ 1)+ 1(x+ 1) = (x+ 1)(x2+ 1)

e) Fatorar: 9y2 - 4x2

9y2 - 4x2 = (3y)2 - (2x)2 = (3y + 2x)(3y - 2x)

f) Fatorar: a4 - b4

(a2)2 - (b2)2 = (a2 + b2)(a2 - b2) = (a2 + b2)(a + b)(a - b)

g) Fatorar: x5 - x

x5 - x = x(x4 - 1) = x((x2)2 - 12) = x(x2 + 1)(x2 - 1) =

= x(x2 + 1)(x + 1)(x - 1)

4º caso: Trinômio Quadrado Perfeito

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

forma fatorada

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

5º caso: Soma e Diferença de Cubos

a3+ b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

6º caso: Cubo Perfeito

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Exemplos:

a) Fatorar: x2 + 2xy2 + y4

x2 + 2xy2 + (y2)2 = (x+y2)2

b) Fatorar: x3 - 6x2y + 9x

x3 - 6x2 + 9x = x(x2 - 6x + 9) = x(x - 3)2

c) Fatorar: x3+ 8

x3+ 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 - 2x + 4)

d) Fatorar: x6 -y6

(x3)2 - (y3)2 = (x3 - y3)(x3 + y3) =

=(x - y)(x2 + xy + y2)(x +y)(x2 - xy + y2)

e) Fatore: x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

x3 + 3x2 . 2y + 3x(2y)2 + (2y)3 = (x + 2y)3

Resumo:

FatorComum

ax + bx = x . (a + b)

Agrupamentoax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = = (a + b) . (x + y)

Diferença deQuadrados

a2 - b2 = (a + b) . (a - b)

TrinômioQuadradoPerfeito

a2 + 2ab + b2 = (a + b) . (a + b) = (a + b)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b) . (a - b) = (a - b)2

Soma eDiferença deCubos

a3 + b3 = (a + b) . (a2 - ab + b2)a3 - b3 = (a - b) . (a2 - ab + b2)

CuboPerfeito

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Trinômio doSegundoGrau

ax2 + bx + c = a . (x - x’) . (x - x’’)x’ e x’’ são raízes da equaçãoax2 + bx + c = 0

Máximo Divisor Comum eMínimo Múltiplo Comum

O critério adotado para se obter o MDC. e o M.M.C entre polinômios é o mesmo adotado entre números.

Relembrando:

Determine o M.D.C. e o M.M.C. entre 60 e 42

422171

237

42 = 2.3.760 = 22.3.5

60301551

2235

M.D.C. Termos comuns com o menor expoente.M.M.C. Comuns e não comuns com o maior expoente.

Então:

M.D.C. = 2 . 3 = 6 M.D.C. (42,60) = 6

M.M.C. = 22. 3 . 5 . 7 M.M.C. (42,60) = 420

Aplicação:

Determine o M.D.C. e o M.M.C.

dos polinômios x - 3, x2 - 9 e x2 - 6x + 9

x - 3 = x - 3

x2 - 9 = (x + 3)(x -3)

x2 - 6x + 9 = (x - 3)2

M.M.C. = (x - 3)2(x +3)

M.D.C. = x - 3

Produtos Notáveis

São produtos que aparecem com muita freqüência na resolução de equações ou no desenvolvimento de expressões.

Vejamos alguns casos:

a) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2

= a2 + 2ab + b2

b) (a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ba + b2

= a2 - 2ab + b2

c) (a + b)(a - b) = a2 - ab + ba - b2

= a2 - b2

Então, resumidamente:

a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

c) (a + b)(a - b) = a2 - b2

Exercícios:

1) Simplificando a expressão , obtemos:

a) x - 2

b)

c) x+2d) 2

e)

Solução:

2) O resultado de . é:

a) b) x2 - 25c) x2 - 5d) e) x2 + 5

Solução:

3) A forma mais simples de

. é:

a) 0 b) 1c) 2d) 2x2 + 2e) 2x2 – 2

Solução:

4) A fração , quando a = 93 e b = 92

é igual a:

a) 0b) 185c) 932 - 922

d) 1

e)

Solução:

5) A expressão é igual a:

a) - 3ab

b) a2 - b2

c) a2 + b2

d) 3abe) - 2ab

Solução:

6) Se xy = 2 e ,então (x + y)2 é igual a:

a) 10b) 16c) 20d) 25e) 36

Solução:

7) Sendo b - a = K e a.b = 3K, com a b K 0, então a expressão (a - b)3 - (a3 - b3) é igual a:

a) 12K2

b) 9K2

c) 6K2

d) 3K2

e) 2K2

Solução:

8) A expressão equivale a:

a) a - b

b)

c)

d)

e) ab

Solução:

1.13 - Ordem , valor absoluto e desigualdades.Um número real pode ser representado por um ponto sobre uma reta numerada:

Definição:

Exemplo:

Definição:

Teorema:

Teorema:

Teorema:

Exemplo:

Teorema:

Exemplo:

Valor absoluto de um número real corresponde ao módulo deste número.

Exemplo:

Exemplo: Resolva em x:

Teorema:

Exemplo: Ache o conjunto-solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real.

Teorema:

Exemplo: Ache o conjunto-solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real.

1.14 – Intervalos : representação gráfica e operações.O conjunto de todos os números x que satisfazem a seqüência de desigualdades a<x<b é chamado de intervalo aberto , sendo denotado por:

representação:

O intervalo fechado de a até b é o intervalo aberto (a,b) mais os dois pontos extremos a e b sendo denotado por:

representação:

O intervalo semi-aberto à esquerda é o intervalo aberto (a,b) mais o extremo direito b. é denotado por:

Representação:

O intervalo semi-aberto à direita é o intervalo aberto (a,b) mais o extremo esquerdo a. é denotado por:

Representação:

Intervalos infinitos em um dos extremos:

Exemplo 1:

Ache e mostre na reta numérica real o conjunto-solução da desigualdade:

Solução:

Exemplo 2:

Ache e mostre na reta numérica real o conjunto-solução da desigualdade:

Solução:

Exemplo 3:

Ache e mostre na reta numérica real o conjunto-solução da desigualdade:

Solução:

Operações com intervalos:

Exemplo: Determinar o intervalo que corresponde a união de .

Solução:

Exemplo: Determinar o intervalo que corresponde a intersecção de .

Solução:

Exemplo: Determinar o intervalo que corresponde a diferença A-B e B-A para .

Solução:

Exemplo : Determinar o complementar de em relação a R.

Solução:

Problemas:

EXERCÍCIOS:

1) Observe o diagrama abaixo:

Em cada retângulo vazio, escreva um número, de modo que, da segunda camada mais baixa para cima, o número em um retângulo seja a soma dos números escritos nos dois retângulos em que ele se apóia. O valor de x é:

a ( ) – 36b ( ) – 27c ( ) – 8d ( ) -35e ( ) 17

SOLUÇÃO:

RESPOSTA: A

2) Se A, B, e C são inteiros positivos e consecutivos tais que A < B < C, qual das seguintes expressões corresponde, necessariamente, a um número inteiro ímpar?

a) ABC;

b) A + B + C;

c) ( A + B ) ( B + C )

d) A + BC

e) ( AB ) + ( BC )

SOLUÇÃO:

RESPOSTA: C

3) Seja K inteiro qualquer no intervalo -2 < k< 3. Para que as relações abaixo.

5 - k 7

5 - k 6

Sejam verdadeiras, o símbolo deve ser substituído por:

a)< b) c)= d)> e)

SOLUÇÃO:

RESPOSTA: E

4) Se x = 0,7867; y = , e z = ( 0,7867)2 então:

a) x < y < z; b) x < z < y;

c) y < x < z; d) y < z < x;

e) z < x < y.

SOLUÇÃO:

5) Os números A, B e C são inteiros positivos tais que A < B < C. Se B é a média aritmética simples entre A e C, então necessariamente a razão ( B – A ) / ( C – B ) é igual a:

a) A / A

b) A / B

c) A / C

d) B / C

e) (B/B)

SOLUÇÃO:

Questão 1

6)Numa adição com três parcelas, o total era 58. Somando-se 13 à primeira parcela. 21 à segunda e subtraindo-se 10 da terceira, qual será o novo total?

SOLUÇÃO:

a + b + c = 58

a + 13 + b + 21 + c - 10 = ?

a + b + c + 13 + 21 - 10 =

58 + 13 + 21 - 10 =

= 82

7)Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de modo que o primeiro receberá R$ 325,00; o segundo receberá R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do prêmio repartido entre os três vendedores?u

SOLUÇÃO:

1º recebe: R$ 325,00

2º recebe: R$ 325,00 - R$ 60,00

3º recebe: (1º) + (2º) - R$ 250,00

Total = (1º) + (2º) + (3º)

T = 325 + (325 - 60) + (325 + 265 - 250)

T = 325 + 265 + 340

T = 930

8)Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de modo que o primeiro receberá R$ 325,00; o segundo receberá R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do prêmio repartido entre os três vendedores?

R SOLUÇÃO:esolução:

1º recebe: R$ 325,00

2º recebe: R$ 325,00 - R$ 60,00

3º recebe: (1º) + (2º) - R$ 250,00

Total = (1º) + (2º) + (3º)

T = 325 + (325 - 60) + (325 + 265 - 250)

T = 325 + 265 + 340

T = 930

9)Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará em um ano se ela trabalhar, em média, 23 dias por mês?

Res SOLUÇÃO:olução:

23 dias no mês R$ 800,00 (gastos)

1 dia = R$ 40,00 economia mensal:

em um mês: 920 - 800 = 120

23 x 40 = 920 economia anual:

R$ 920,00 (ganhos) 120 x 12 = 1440

R$ 1440,00

10)Marta, Marisa e Yara têm, juntas, R$ 275,00. Marisa tem R$ 15,00 mais do que Yara e Marta possui R$ 20,00 mais que Marisa. Quanto tem cada uma das três meninas?

Res SOLUÇÃO:olução:

Marta = M

Marisa = m

Yara = y

M + m + y = 275

m = y + 15

M = m + 20 = y + 35

logo:

M + m + y = 275

y + 35 + y + 15 + y = 275

3 y + 50 = 275

3 y = 275 - 50

y = 225 3 = 75

Calculando as partes de:

m (Marisa)

m = y + 15 = 75 + 15 = 90

M (Marta)

M = y + 35 = 75 + 35 = 110

11)Se eu der 4 balinhas a cada um dos alunos de uma classe sobram-me 7 das 135 que eu tenho. Quantos alunos há nesta classe?

Resol SOLUÇÃO:

135 = 4A + 7

135 - 7 = 4A

128 = 4A

logo:

alunos324

128A

Questão 17

12)Quero dividir 186 figurinhas igualmente entre certo número de crianças. Para dar duas dúzias a cada criança faltariam 6 figurinhas. Quantas são as crianças?

RSOLUÇÃO:o:

186 = 24 . C - 6

186 + 6 = 24C

24C = 192

824

192C

Questão 18

13)A soma de dois números inteiros e consecutivos é 91. Quais são eles?

RSOLUÇÃO::

x + x + 1 = 91

2x = 91 - 1

2x = 90

x = 45

x + 1 = 45 + 1 = 46

Questão 19

14)A soma de dois números pares e consecutivos é 126. Quais são eles?

R RSOLUÇÃO:esolução:

x + x + 2 = 126

2x = 126 - 2

2x = 124

x = 124 2 = 62

x + 2 = 62 + 2 = 64

Questão 20

15)A soma de três números inteiros e consecutivos é 249. Quais são eles?

Res RSOLUÇÃO:olução:

x + x + 1 + x + 2 = 249

3x + 3 = 249

3x = 249 - 3

3x = 246

x = 246 3 = 82

x + 1 = 82 + 1 = 83

x + 2 = 82 + 2 = 84

16) Considere:

3152491de(0,02)c,32b,2)(a

A média aritmética simples dos números a, b, c e d é:

a) 14,5

b) 15

c) 15,5

d) 16

e) 16,5

RSOLUÇÃO:

42

2)(a

232b 5

502

1001

100

2(0,02)c

1

2871491d 333

Média=

4

25024

5,144

58

17) Ao receber moedas como parte de um pagamento, um caixa de uma agência bancária contou t moedas de 1 real, y de 50 centavos, z de 10 centavos e w de 5 centavos. Ao conferir o total, percebeu que havia cometido um engano: contara 3 moedas de 5 centavos como sendo de 50 centavos e 3 das moedas de 1 real como sendo de 10 centavos. Nessas condições, a quantia correta é igual à inicial.

a) acrescida de R$ 1,35

b) diminuída de R$ 1,35

c) acrescida de R$ 1,65

d) diminuída de R$ 1,75

e) acrescida de R$ 1,75

RSOLUÇÃO:

1t + 50y + 10z + 5w - errado

1(t + 3) + 50(y - 3) + 10(z - 3) + 5 (w + 3) - correto

diferença:

3 . 1 - 3 . 0,50 - 3 . 0,10 + 3 . 0,05

3 - 1,50 - 0,3 + 0,15 = 1,35

Questão 25

18) Se A é um número compreendido entre 0 e 1, então é FALSO que:

a) 1/A > 1 d) - A > - 1

b) A2 > A e) A 2A = 0,5

c) 0,9 . A < A

RSOLUÇÃO:

Supondo A = 0,5

AA0,5(0,5)

120,5

1

A

1

22

19) Antonio tem 270 reais, Bento tem 450 reais e Carlos nada tem. Antonio e Bento dão parte de seu dinheiro a Carlos, de tal maneira que todos acabam ficando com a mesma quantia. O dinheiro dado por Antonio representa, aproximadamente, quanto por cento do que ele possuía?

a) 11,1 d) 35

b) 13,2 e) 42

c) 27

Resol RSOLUÇÃO:

ução:

Antonio = 270 - x

Bento = 450 - y

Carlos = x + y

270 - x = 450 - y = x + y

30x

903x

180yxy450x270

270y2xyxx270

20) Qual é o menor número pelo qual se deve multiplicar 84 para se obter um quadrado perfeito?

a) 18

b) 21

c) 27

d) 35

e) 42

SOLUÇÃO:

Resolução:

84 2 84 = 22 . 3 . 7

42 2

21 3

7 7

1

para obter quadrado perfeito temos que multiplicar por 3 e 7.

Questão 28

21) Todas as opções abaixo são corretas, exceto:

a) os trens trafegam no sentido da Estação A para a Estação G;

b) somente o trem I pára em todas as estações;

c) somente o trem VI não pára na Estação G;

d) as viagens dos trens III e IV, entre as estações inicial e final, têm a mesma duração;

e) caso o trem I pare na estação G às 8h 49 min, estará 16 minutos adiantado.

ReSOLUÇÃO:

solução:

trem III = 9h 26 min6h 00 min3h 26 min

trem IV = 9h 36 min6h 12 min3h 24 min

Questão 29

22) Duas grandezas a e b foram divididas, respectivamente, em partes diretamente proporcionais a 3 e 4 na razão 1,2. O valor de 3a + 2b é:

a) 6,0 d) 14,4

b) 8,2 e) 20,4

c) 8,4

SOLUÇÃO:

1,24

b

3

a

a = 3 . 1,2 = 3,6

b = 4 . 1,2 = 4,8

3a + 2b

3 . 3,6 + 2. 4,8

10,8 + 9,6 = 20,4

Questão 30

23) Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida?

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

SOLUÇÃO:

80,72 240,36 220,18 210,9 2 5,9 3 5,3 3 5,1 5

1,1 720

voltas980

720

:2Carrinho

voltas1072

720

:1Carrinho

24- Se 1}x1|R{xA , 2} x 0 R{xB e 3} x 1- |R{xC , então o conjunto C)(BB)(A é dado por:

a)

b)

c)

d)

e)Solução:

Gabarito: C

25) Se A = {xR / -1 < x < 3} e B = {xR/ -1 x < 3} e C = {xR/ 1 x < 3} , então o conjunto B - (A C) é dado por:

a) 0 b) [0 ;1]

c) [-1;1) d) [ 0 ;1)

e) (0 ;1]

Solução :

Gabarito : C

2 . Variáveis e Funções

VARIÁVEL DISCRETA – É uma variável numérica cujos valores se obtém a partir do procedimento de contagem.

Exemplo: Em uma pesquisa realizada em 50 residências , verificou-se o nº de indivíduos em cada uma delas. O resultado foi apresentado na forma da tabela abaixo:

VARIÁVEIS CONTÍNUAS – São aquelas que podem assumir qualquer valor entre dois dados (não enumeráveis).

Exemplo: Produção em toneladas por hectare de cana de açúcar em 40 localidades do estado de São Paulo.

Grandezas Diretamente Proporcionais – São grandezas que atendem a relação:

Representação gráfica:

Grandezas inversamente Proporcionais – São grandezas que atendem a relação:

Representação gráfica:

Exemplo: Determinar os valores de x , y e z .

Construção de gráficos:

Exemplo 1: Gráfico de barras.

Exemplo 2 : Gráfico de setores.

Exemplo 3 : Cartesiano.

Interpretação de gráficos:

PRODUTO % DO MERCADOA 10%B 35%C 30%D 5%E 20%

TOTAL 100%

O gráfico acima mostra a quantidade de minério produzido por ano , em milhares de toneladas . Com base no gráfico , determine.

a) A quantidade de ferro produzido no ano 2000.

b) A quantidade de ouro produzido em 2002.

c) O aumento absoluto na produção de prata entre 2000 e 2004.

d) O aumento percentual da produção de ferro de 2000 para 2001.

O gráfico acima expressa o valor da cesta básica tomando-se como base , o valor desta na cidade de São Paulo como 100%. Sabendo-se que o valor da cesta básica em São Paulo é de R$ 155,00 , determine:

a) O valor da cesta básica na cidade de Manaus e em Brasília.

b) Calcule o valor da cesta básica em Brasília em relação a Manaus.

Funções Reais de variável Real

Uma função pode ser considerada como uma correspondência de um conjunto X de números reais x a um conjunto Y de números reais y, onde o número y é único para um valor específico de x.

Valor numérico de uma função:

É o valor assumido pela variável y=f(x) para um determinado valor da variável x.

Exemplo: Dada a função , determinar:

Domínio e a imagem de uma função:

Dada a função o domínio da função consiste no conjunto formado por todos os

valores de que atendem a função , sendo representado por . A imagem da função consiste no conjunto formado por todos os valores de que satisfazem a função , sendo representado por

.

Condições de existência do domínio de funções:

x y=2x+3

-5 -7

-3 -3

0 3

2 7

7 17

Exemplos:

Determinação gráfica do domínio e da imagem de funções:

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3:

Classificação de funções quanto ao crescimento:

Função crescente: Uma função é crescente quando atende a condição:

Função decrescente: Uma função é decrescente quando atende a condição:

Exemplo:

Determinar os intervalos em que a função dada pelo gráfico abaixo é crescente e decrescente.

Representação gráfica de funções:

Para a construção de gráficos de funções é necessário atribuir valores a variável x para obter um valor correspondente y , obtendo-se um conjunto de pares ordenados que serão representados em um plano cartesiano.

Exemplo 1: Construir o gráfico da função .

Solução:

-5 4,5

-4 2268642 y 2,4

-3

-2

-1

0

1

Representando os pares ordenados no plano cartesiano:

Exemplo 2 : Construir o gráfico da função .

Solução:

-2 (-2,-10)

-1 (-1,-4)

0 (0,0)

1 (1,2)

2 (2,2)

3 (3,0)

4 (4,-4)

Representando os pares ordenados no plano cartesiano:

Resolução de uma equação:

De 1º grau:

Resolução de uma equação do 1ºgrau:

De 2º grau:

Resolução de uma equação do 2ºgrau:

Resolução Algébrica

A determinação algébrica das raízes de uma equação na forma ax² + bx + c = 0, com

a 0, pode ser obtida com a fórmula de Báskara onde = b² - 4ac

(discriminante da equação)

O sinal do discriminante, , determina a quantidade de raízes da equação do segundo grau:

> 0 – duas raízes reais e distintas

= 0 – uma única raiz real (duas raízes reais iguais)

< 0 – nenhuma raiz real

1) Resolva as seguintes equações incompletas do segundo grau:a)2 x² - 50 = 0

b) 3 x² - 108 = 0

c) 5 x² - 980x = 0

d) x² - 6x = 0

2) Resolva as seguintes equações completas do 2º grau.

a) x² - 13x + 12 = 0

b) x² + 7x + 12 = 0

c) x² + 15 x + 36 = 0

d) x² + 11x – 12= 0

e) x² + x – 12 = 0

f) – x² + 8 x + 20 = 0

g) – x² + x + 12 = 0

h) 2 x² + 3 x – 2 = 0

i) 15 x² - 8 x + 1 = 0

j) 3 x² + 4 x + 1 = 0

Função linear e afim:

São funções do tipo:

Exemplos:

Quando b = 0, a função é dita linear .

Exemplos:

Quando a > 0, tem-se uma função crescente :

Quando a < 0, tem-se uma função decrescente

A raiz da função (ou zero) é o valor de x , quando f(x) = 0. A raiz da função é o ponto de intersecção entre o eixo das abscissas ( x ) e a reta que representa o gráfico da função.

Determinação algébrica da raiz:

Coeficiente angular e linear da função do 1ºgrau:

O conjunto DOMINÍO (D) e o conjunto IMAGEM (Im) são reais:

Estudo do sinal da função:

a) Quando a > 0, tem-se:

b) Quando a < 0, tem-se:

Exemplo 1: Para a função determine:

a) A raiz da função.

b) O coeficiente angular.

c) O coeficiente linear.

d) O gráfico da função.

e) O estudo do sinal da função.

f) A imagem da função para x = 12.

Solução:

d)

Exemplo 2: Para a função determine:

g) A raiz da função.

h) O coeficiente angular.

i) O coeficiente linear.

j) O gráfico da função.

k) O estudo do sinal da função.

l) A imagem da função para x = -3.

Solução:

d)

Inequações do 1º Grau

São as inequações redutíveis à uma das seguintes formas:

ax + b < 0ax + b 0ax + b > 0ax + b 0ax + b 0

(todas com a > 0)

Exercícios

a) 2 x + 16 < 0 b) – 5 x + 10 0c) 3 x + 4 2 x + 5 d) 9 x + 4 > 11 x – 3

Solução:

Função Quadrática:

Função quadrática ou função do 2º grau é definida pela expressão:

Raiz da função quadrática:

Gráfico da função do 2º grau:

O gráfico da função do 2º grau é uma parábola.

A concavidade da função do 2º grau depende do valor de “a” da função:

a > 0 : parábola terá concavidade voltada para cima.

a < 0 : parábola terá concavidade voltada para baixo.

Vértice da função do 2º grau:

Ponto máximo , ponto mínimo e imagem da função :

Para a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima , ela terá apenas ponto mínimo dado pelo y do vértice da função :

Para a < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo , ela terá apenas ponto máximo dado pelo y do vértice da função :

Exemplo 1: Para a função quadrática determinar:

a) As raízes da função.

b) As coordenadas do vértice.

c) O ponto mínimo e a imagem da função.

d) O esboço do gráfico da função.

e) O estudo do sinal da função.

Solução:

d)

Exemplo 2: Para a função quadrática determinar:

a) As raízes da função.

b) As coordenadas do vértice.

c) O ponto mínimo e a imagem da função.

d) O esboço do gráfico da função.

e) O estudo do sinal da função.

Solução:

d)

Inequações do 2º GrauSão as inequações redutíveis à uma das seguintes formas:ax² + bx + c < 0ax² + bx + c 0ax² + bx + c > 0ax² + bx + c 0ax² + bx + c 0

(todas com a > 0)

Exercícios

1) x² + 11 x – 12 > 02) – x² + x + 12 03) x² - 4x + 4 > 04) – x² – 64 0

Solução:

Função Exponencial e Função Logarítmica:

Função exponencial:

A função exponencial é definida pela relação:

Gráfico da função exponencial:

Construção do gráfico da função exponencial:

Exemplo: Construir o gráfico da função .

x

-2

-1

0

+1

+2

+3

Logaritmos:

Definição:

Exemplos:

Observações:

Conseqüência da definição de logaritmos:

Logaritmos decimais:

Quando a base de um logaritmo é 10, esta poderá ser omitida:

Propriedades dos logaritmos:

Mudança de base dos logaritmos:

Função logarítmica:

Definição: A função logarítmica é definida pela expressão:

Gráfico da função logarítmica:

A função é crescente quando a > 1:

A função é decrescente quando 0< a < 1 :

Construção do gráfico da função logarítmica:

Exemplo: Construir o gráfico da função .

x

4

5

7

Resolução de equações exponenciais e logarítmicas:

Seqüências Numéricas:

Uma seqüência numérica é qualquer sucessão de números , que normalmente segue uma lógica de formação. A seqüência numérica é representada por:

Exemplo 1: Escreva os cinco primeiros termos da seqüência definida por:

Exemplo 2: Escreva os cinco primeiros termos da seqüência definida por:

Progressão Aritmética (PA)Uma seqüência é uma P.A se, e somente se, cada termo, à partir do segundo, for

igual à soma do termo anterior com uma constante “ r” chamada razão da PA.Fórmula do Termo Geral

Cálculo da Razão:

Exemplo 1 : Determinar a razão e o 20º termo da P.A. .

Exemplo 2: Determinar o 1º termo e a razão da P.A. com

Exemplo 3 - Sabendo que os três primeiros termos de uma PA são, respectivamente, x - 1, x + 5 e 4x - 4, encontre o valor numérico do quarto termo.

Exercício 4 - Seja A o conjunto dos 1993 primeiros números inteiros estritamente positivos.Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A?

Classificação de uma PA

Uma P.A de razão r é:

PA crescente, se e somente se, r 0 PA decrescente, se e somente se, r 0 PA constante, se e somente se, r = 0

Notações Especiais

PA com 3 termos (x – r, x, x + r) razão: r PA com 4 termos (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r) razão: 2r PA com 5 termos (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r) razão: r

Exemplo 5 - Um triângulo retângulo tem seus lados c, b e a em uma progressão aritmética crescente, então podemos dizer que sua razão r é igual a:

Interpolação Aritmética

Dados dois números x e y, interpolar ou inserir k meios aritméticos entre x e y significa obter uma progressão aritmética com k + 2 termos, sendo x e y, respectivamente, o primeiro e o último.

Exemplo 6 - Interpolar 6 meios aritméticos entre 20 e 90. Em seguida, calcule a razão do terceiro com o sétimo termo desta seqüência.

Exemplo 7 - Interpolar 5 meios aritméticos entre -30 e 170. Em seguida, escreva a P.A. .

Termo Médio

Dados três termos consecutivos em PA, o termo do meio é média aritmética dos outros dois.

Soma dos Termos:

Exercício 8 - A média aritmética dos 20 números pares consecutivos, começando em 6 e terminando em 44, vale:

Exercício 9: Calcular a soma dos 30 primeiros termos da P.A. .

Exercício 10 - Qual é o décimo quinto termo da PA de razão 3 cuja soma dos 30 primeiros termos é 225?

Exercício 11 - Qual a soma dos dois primeiros milhares naturais?

Exercício 12: Um corpo, em sua queda, percorre 7 metros no 1° segundo e, nos segundos seguintes, a distância vai aumentando em 9,8 metros constantemente por segundo. Qual a altura da queda após 11 segundos?

Exercício 13: - Seja a função de Z em Z definida por f(x) é igual a:

Nessas condições, a soma: f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(999) + f(1.000) é igual a:

Exercício 14 - Numa urna há 1.000. Retirando três bolinhas na primeira vez , 6 bolinhas na segunda, 9 bolinhas na terceira, e assim por diante, quantas bolinhas restarão na urna após a vigésima retirada?

Exercício 15 - A soma das frações irredutíveis, positivas, menores do que 10 de denominador 4, é:

Exercício 16 - A soma dos elementos comuns às seqüências (3, 6, 9, ...) e (4, 6, 8, ...), com 50 termos cada uma, é:

Exercício 17 - Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são . O quarto termo desta PA é:

Exercício 18 - - Um estacionamento cobra R$ 1,50 pela primeira hora. A partir da segunda, cujo valor é R$ 1,00 até a décima segunda, cujo valor é R$ 0,40, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local, quanto gastará seu proprietário?

Exercício 19 - Um coronel dispõe seu regimento na forma de um triângulo completo, colocando um homem na primeira linha, dois na segunda, três na terceira, e assim por diante, até utilizar os 171 homens de seu regimento. Qual o número de linhas?

Progressão Geométrica (PG)Uma seqüência é chamada de PG se, e somente se, cada termo, a partir do segundo,

for igual ao produto do termo anterior por uma constante q denominada razão da PG.

Fórmula do Termo Geral

Cálculo da Razão:

n |N e n 2

Classificação de uma PGUma PG de razão q é:

PG crescente se, e somente se, a1 > 0 e q > 0 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 PG decrescente se, e somente se, a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 0 PG alternamente se, e somente se, q < 0

Notações Especiais

PG com 3 termos razão: q

PG com 4 termos razão: q2

PG com 5 termos razão: q

Interpolação GeométricaDados dois números x e y interpolar ou inserir k meios geométricos entre x e y significa obter uma

progressão geométrica com k + 2 termos, sendo x e y, respectivamente, o primeiro e o último.

Termos MédiosDados três termos consecutivos em PG, o termo do meio é média geométrica dos outros dois.

Se (..., x, y, z, ...) é PG então: y2 = x . z

Soma dos termos de uma PG fini ta A soma dos

n primeiros de uma PG Finita é dada por:

n |N*

Soma dos termos de uma PG in finita

A soma dos termos de uma PG infinita, de razão – 1 < q < 1, é dada por:

Produtos dos Termos

Sendo a PG (a1, a2, ... an, ...) o produto Pn de seus n primeiros termos é dado por;

A escolha do sinal de Pn deve ser feita de acordo com um dos casos a seguir:

+Se todos os termos forem positivos; ou, Se o número de termos negativos for par.

- Se o número de termos negativos for ímpar.

Atenção:

Já fornece o produto com o sinal.

Exercícios de Progressão Geométrica

Questão 1 - Calcule a soma: (2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...)

Questão 2 - A população humana de um conglomerado urbano é de 10 milhões de habitantes e a de ratos é de 2 milhões. Admitindo-se que ambas as populações cresçam em progressão geométrica, de modo que a humana dobre a cada 5 anos e a de ratos dobre a cada ano, dentro de dez anos haverá quantos ratos por habitante?

Questão 3 - Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3; 0,03; 0,003; ... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão aritmética vale:

Questão 4 - Entre 5 e 5.000, temos K números da forma onde n é um número natural. Então K vale:

Questão 5 - As seqüências (x; 2y - x; 3y) e (x; y; 3x + y - 1), de termos não nulos, são, respectivamente, aritmética e geométrica. Então, 3x + y vale:

Questão 6 - A seqüência (2x + 5; x + 1; x/2; ...), com x pertencendo ao conjunto dos números Reais, é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa seqüência é:

Questão 7 - Se a seqüência (1; 3; 9; 27; ...) tem 3.280 como soma dos seus termos, então quantos termos tem esta seqüência?

Questão 8 - Para testar a quantidade de vitamina A presente em cenouras, pedaços desse vegetal foram dados a ratos deficientes dessa vitamina. Os níveis de doses foram arranjados em uma seqüência geométrica. Se 20 gramas e 50 gramas foram as duas primeiras doses, de quanto deverá ser a quarta dose?

Questão 9 - Uma progressão aritmética de 3 termos é tal que, adicionando-se 3, 7 e 17 ao primeiro, segundo e terceiro termos, respectivamente, obtém-se uma progressão geométrica. Determine a progressão geométrica, sabendo que a soma dos termos da progressão aritmética vale 15.

Questão 10 - Calcular a razão de uma progressão geométrica cujos 3 únicos termos são os lados de um triângulo retângulo.

Questão 11 - Unem-se os meios dos lados de um triângulo eqüilátero cuja área é e obtêm-se outro triângulo eqüilátero; unem-se os meios dos lados desse outro e obtém-se um novo triângulo eqüilátero, e assim sucessivamente. Achar o limite da soma das áreas desses n triângulos.

Questão 12 - A soma dos termos da seqüência (1/2; 1/3; 2/9; 4/27; ...) é:

Questão 13 - O número que deve ser subtraído de 1, de 11/8 e de 31/16 para que os resultados formem uma progressão geométrica, nesta mesma ordem, é:

Questão 14 - O valor da soma: é igual a:

Questão 15 - Determine o valor da expressão: 2-3 + 2-4 + 2-5 + 2-6 + ... + 2-10.

Questão 16 - Achar o limite da soma dos termos da progressão geométrica: (2+ 2/3; 1 + 1/3; 2/3; 1/3; ...)

2 - Geometria Plana :

entes e proposições geométricas.

Conceitos básicos:

Ponto: um ponto é representado por letra maiúscula e não tem dimensão.

Reta : conjunto infinito de pontos , determina uma direção e dois sentidos sendo representado por letras minúsculas.

Plano : conjunto infinito de retas , representado por letras gregas.

2.1- Conjunto dos pontos do plano:

Posições relativas de retas no plano:

Semi-reta: um ponto divide uma reta em duas semi-retas.

semi-reta AB

Segmento : parte de uma reta limitada por dois pontos.

segmento AB

2.2- Ângulos:

Notação:

Classificação dos Ângulos:

Ângulo reto: medida = 90º

Ângulo agudo: medida entre 0º e 90º

Ângulo obtuso: medida entre 90º e 180º

Ângulo raso: medida = 180º

Ângulos complementares: tem soma 90º

Ângulos suplementares: tem soma 180º

Ângulos replementares : tem soma 360º

Ângulos opostos pelo vértice (O. P. V):

Exercícios resolvidos:

1) são dos ângulos consecutivos de medida 40º e 78º. Calcule o ângulo formado pelas bissetrizes desses

ângulos.

Solução:

2) Três ângulos consecutivos formam um ângulo raso. Sabendo que suas medidas são expressas em graus, por x + 30º, 2x + 10º e 3x – 10º, calcule x.

Solução:

3) Os ângulos 2x - 10º e x + 40º são suplementares . Determine as medidas destes ângulos:

4) Os ângulos 3x + 20º e 2x + 40º são replementares . Determine as medidas destes ângulos:

2.3 – Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal:

Propriedades

1) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, formando quatro ângulos obtusos cuja soma é 440º. Determine a medida de um dos ângulos agudo dessa figura.

Solução:

2) Na figura seguinte tem-se r // s, t e u são transversais; o valor de + é:

3) Na figura seguinte tem-se r // s, t e u são transversais; o valor de x-y é:

2.4-Feixe de paralelas - Teorema de Tales:

Teorema de Tales : retas paralelas determinam nas transversais segmentos proporcionais.

1) Sendo r // s // t, Calcule a medida x:

2) Sendo r // s // t, Calcule as medidas de x e y:

Aplicações do teorema de Tales:

a)Teorema da Bissetriz Interna:

b)Semelhança de Triângulos:

Conseqüência da semelhança de triângulos:

Base média:

M e N pontos médios:

ABCD trapézio M e N: pontos médios:

Propriedade do Baricentro do Triângulo:

G: baricentro

Exercícios:

1) Calcule os lados incógnitos dos triângulos da figura:

2) Calcule x na figura:

3) Na figura os ângulos assinalados são retos. Temos necessariamente:

a)

b)

c) xy = pm

d) x2+y2 = p2 + m2

e)

Solução:

4) Em um mapa, a escala utilizada é tal que 1 cm representam 30km. A distância real entre dois pontos do mapa

distanciados de 6 cm é :

a) 70 kmb) 80 km c) 90 kmd) 100 km e) 110 km

Solução:

5) Um prédio projeta uma sombra de 6m no mesmo instante em que uma baliza de 1m projeta uma sombra de 40 cm. Se cada andar desse prédio tem 3 m de altura, então o número de andares é:a) 6b) 5c) 4d) 3e) 2

6) Dois triângulos são semelhantes e seus perímetros medem 60 cm e 48 cm. Sabendo que os lados de um deles medem 25 cm, 20 cm e 15 cm. Calcule as medidas dos lados do outro triângulo.

7) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A. ADEF é um quadrado, AB = 1, e AC = 3. Quanto mede o lado do quadrado?

Solução:

5)Na figura, é paralela a , = 4 e = 5. Determine a razão entre as áreas do triângulo ABC e do trapézio BCDE.

2.5 - Polígonos:

Conceito:

Polígonos são regiões do plano limitadas por uma linha poligonal fechada não entrelaçada; seu contorno é formado apenas por segmentos.

Propriedades de um polígono de “n” lados

Soma dos ângulos internos:

Si = (n – 2). 180º

Ângulo interno:

Soma dos ângulos externos: (só para os convexos)

Se = 360º

Número de diagonais:

1) Para o decágono regular, calcule:a) A soma dos ângulos internosb) A medida de cada ângulo internoc) O ângulo formado pelas mediatrizes de dois lados consecutivos

2 ) Para o hexágono regular, calcule:a) A soma dos ângulos internos.b) A medida de cada ângulo interno.c) A soma dos ângulos externos.d) A medida de cada ângulo externo.

3 ) Para o pentadecágono regular, calcule:a) A soma dos ângulos internos.b) A medida de cada ângulo interno.c) A soma dos ângulos externos.d) A medida de cada ângulo externo.

4) Na figura seguinte, temos um hexágono regular e um quadrado; a medida do ângulo x é:

a) 90º b) 81º c) 75º d) 60º e) 45º

Solução:

2.6 - Triângulos:

São os polígonos de 3 lados.

Propriedades Angulares:

Soma dos ângulos internos: Si = 180º

Soma dos ângulos externos: Se = 360º

Teorema do Ângulo Externo:

Cada ângulo externo é igual à soma dos dois internos não adjacentes.

Elementos Lineares:

a) mediana: segmento que vai do vértice ao ponto médio do lado oposto.

b) altura: segmento perpendicular a um lado , passando pelo vértice oposto.

c) Mediatriz: segmento perpendicular ao lado passando pelo ponto médio.

Pontos Notáveis

Ortocentro.............Intersecção das alturas Incentro.................Intersecção das bissetrizes Circuncentro..........Intersecção das mediatrizes Baricentro..............Intersecção das medianas

Classificação dos triângulos:

Eqüilátero..............3 lados iguais: 3 ângulos de 60º Isósceles................2 lados iguais: ângulos da base têm medidas iguais Escaleno................Lados todos desiguais Retângulo..............1 ângulo reto; 2 agudos Acutângulo............3 ângulos agudos Obtusângulo..........1 Ângulo obtuso; 2 agudos

Relações Métricas em Triângulos Retângulos:

a . h = b . c

h2 = m . n

b2 = a . m

c2 = a . n

Teorema de Pitágoras

a2 = b2 + c2

Diagonal do Quadrado:

d =

Altura do Triângulo Eqüilátero:

h =

Triângulo Retângulo Inscrito

A hipotenusa sempre coincide com um diâmetro da circunferência.

Exercício:

1) Em um triângulo isósceles, o perímetro mede 80 cm. Sabendo-se que a base vale 20 cm, cada lado deve valer:a) 10 cmb) 20 cm c) 30 cmd) 40 cme) 60 cm

2) Na figura, BF e CE são, respectivamente, bissetrizes dos ângulos do triângulo ABC, Calcule a medida

do ângulo Â

Solução:

3) Calcule os catetos b e c da figura

4) Calcule x :

5) A razão entre as medidas dos catetos de um triângulo retângulo é . Se a hipotenusa mede 30 m, então o

perímetro do triângulo, em m, é igual a:a) 60b) 64c) 70d) 72 e) 80

6) Um quadrado e um triângulo eqüilátero tem perímetros iguais. Se a diagonal do quadrado mede 9 m, então a altura do triângulo, em m é:

a)

b)

c) 2

d) 4

e) 6

7) Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do outro, e a hipotenusa mede 10cm. A soma dos catetos mede:

a) 4 cm

b) 6 cm

c) 8 cm

d) 10 cm

e) 12 cm

8) Uma escada de 25 dm de comprimento se apóia num muro do qual seu pé dista 7 dm. Se o pé da escada se afastar mais 8 dm do muro, qual o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada ?

9) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 2 e a hipotenusa mede 6. A área do triângulo é:

a) 2 b) 6 c) 4 d) 3 e)

Razões trigonométricas:

Valores Notáveis:

30° 45° 60°

sen

cos

tg 1

1) Sendo um ângulo agudo tal que sen = , calcule cos , tg .

Solução:

2) O ângulo é agudo e tg = , Calcule o sen e cos .

Solução:

3) Seja x ] 0; /2 [ e tg = ¾; então:

a) sen =

b) sen =

c) sen = 1/2

d) sen = 3/5

e) n.d.a

Solução:

4) Se tg x = e 0 x /2, o valor de cos x – sen x é:

Solução:

2.7 – Quadriláteros:

São os polígonos de 4 lados.

Propriedades Angulares:

Soma dos ângulos internos: Si = 360º

Soma dos ângulos externos: Se = 360º ( só para os convexos )

Paralelogramos

Dois pares de lados opostos paralelos.

Retângulo..............4 ângulos retos

Losango.................4 lados iguais

Quadrado...............4 ângulos retos e 4 lados iguais

Trapézios

Um par de lados opostos paralelos, chamados de base; os outros dois lados não são paralelos; são oblíquos.

Trapézio isósceles...............Lados não paralelos são iguais; os ângulos adjacentes das bases são iguais.

Trapézio retângulo...............Tem dois ângulos retos.

Trapézio escaleno................Os lados não paralelos são desiguais.

Quadrilátero Inscritível

Se e somente se os ângulos opostos somam 180º.

Quadrilátero circunscritível

Se e somente se a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois lados.

Exercícios:

1) Num paralelogramo, as medidas de dois ângulos opostos são dadas pelas expressões x + 20º e 2x – 10º, Calcule os ângulos do paralelogramo.Solução:

2) Num trapézio retângulo, as bases medem 8 cm e 18 cm .Se um dos ângulos internos do trapézio mede 45º, então a altura do trapézio é:a) 12 cm b) 18 cmc) 8 cmd) 10 cme) 9 cmSolução:

3) Num trapézio isósceles, o ângulo obtuso é o dobro do agudo; as bissetrizes desses dois ângulos interceptam-se num ponto pertencente à base maior . Se a base menor mede 8 cm , podemos afirmar que a base média do trapézio mede:a) 9 cmb) 10 cmc) 12 cmd) 14 cme) 11 cm

Solução:

4) Calcule a altura h do trapézio retângulo da figura:

Solução:

2.8 – Circunferência:

Posições relativas da circunferência:

a)Reta e circunferência tangentes:

São tangentes quando tem um único ponto comum. O raio traçado no ponto de tangência é perpendicular à reta tangente. De um ponto externo a uma circunferência é possível traçar duas tangentes de comprimento iguais: =

O centro da circunferência tangente aos lados de um ângulo se encontra na bissetriz desse ângulo.

b)Circunferências Tangentes

São tangentes quando tem um único ponto comum. O ponto de tangência e os dois centros sempre estão sobre a mesma reta.

c) Reta secante a uma circunferência:

Uma reta secante intercepta a circunferência em dois pontos.

d) Circunferências secantes:

2.9 – Círculo:

Área do Círculo e suas Partes

A = . R2 A =

A = ( R2 – r2 )

Observação: O comprimento de uma circunferência de raio R é …

C = 2 . . R

Exercícios:

1) No círculo ao lado, 0 é o centro, AB = 2cm e AC = cm , Então vale:

a) 75º b) 60º c) 30º d) 45º e) 15º Solução:

2) Um comício político botou uma praça semicircular de 130 m de raio. Admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por m2, qual é a melhor estimativa do número de pessoas presentes? a) dez milb) cem mil c) meio milhão d) um milhão e) muito mais do que um milhão

Solução:

3) Quando o comprimento de uma circunferência passa de 1 m para 2 m . O raio aumenta de:a) 1m b) m

c)

d)

e) m

4) Se o raio de uma circunferência foi aumentando em 10%, sua área, em porcentagem, fica aumentada em:a) 10b) 11c) 20d) 21e) 100

2.10-Polígonos Regulares:

Todos os lados de mesma medida e

Todos os ângulos internos iguais.

Exemplo: Triângulo eqüilátero; quadrado e hexágono regular.

POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS:

Exercícios:

1) Calcular o comprimento da circunferência inscrita e circunscrita a um triângulo eqüilátero de lado igual a 3cm. Calcule também a área dos círculos limitados por estas circunferências.

2) Calcular o comprimento da circunferência inscrita e circunscrita a um quadrado de lado igual a 4 cm. Calcule também a área dos círculos limitados por estas circunferências.

3) Calcular o comprimento da circunferência inscrita e circunscrita a um hexágono regular de lado igual a 6 cm. Calcule também a área do anel circular limitado por estas circunferências.

2.11 - Áreas de Figuras Planas:

Áreas dos Polígonos:

Quadrado Retângulo

Paralelogramo Triângulo

Losango Trapézio

Exercícios:

1) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em B e é perpendicular a . A área do Triângulo BCD é:

a) 5,50 cm2

b) 4,30 cm2

c) 3,84 cm2

d) 3,50 cm2

e) 2,00 cm2

Solução:

2) Em um trapézio a soma das bases é 24 cm, a altura é igual a metade da base maior e a base menor é igual à altura. A área desse trapézio, em cm2, é:a) 60b) 72 c) 84d) 96

3) A área de um trapézio isósceles de lados de medidas 2cm, 5cm, 10cm e 5cm é igual a:a) 24b) 22c) 20d) 18 e) 16

Solução:

4) A área da sala representada na figura é:

a) 15m2

b) 17 m2 c) 19 m2 d) 20 m2 e) 21 m2

5) Na figura abaixo o quadrado ABCD tem área igual a 100 cm2 . Sabe-se que e estão na razão de 1 para 4 e . A área da região sombreada é, em cm2:

a) 63 cm2

b) 59 cm2 c) 64 cm2

d) 70 cm2

e) 58 cm2

6) Seja D o ponto médio do lado AB do triângulo ABC. Sejam E e F os pontos médios dos segmentos DB e BC, respectivamente, conforme se vê na figura. Se a área do triângulo ABC vale 96m2, então a área do triângulo AEF vale:

a) 42 m2

b) 36 m2 c) 32 m2

d) 30 m2

e) 28 m2

Solução:

7) Um projetor está a uma distância de 2 metros de uma parede. A que distância da parede deve ser colocado o projetor, para que a área de um quadro projetado aumente 50% ?

a) m

b) 2 m c) 3 m d) 4,5 m e) 3 m

8) Os pontos A, B e C determinam um triângulo eqüilátero cuja a área é m2. D, E e F são pontos médios de , , , respectivamente. A medida do segmento é:

a) 1m b) 2m c) m

d) m

e) m

Solução:

9) Num triângulo ABC tem-se AB = 6 cm, AC = BC = 5 cm.a) Ache a área do triângulo ABCb) Sendo M o ponto médio de AB, Calcule a distância de M à reta .

Solução: a)

Solução: b)

- Geometria EspacialEsfera

V: volume:

S: área da superfície:

Interseção de um Esfera com um Plano

R = raio da esferar = raio da secçãod = distância do centro da esfera ao plano da secção

01) Se a área de uma superfície esférica é 16 cm2, qual o volume da esfera correspondente?

02) Uma esfera está circunscrita a um cubo de aresta 2 cm. Qual o volume da esfera?Solução:

03) Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta de 12 gomos exatamente “iguais”. A área da superfície total de cada gomo é dada por:

R

R

rd

04) Numa câmara de ar suficientemente cheia para ser utilizada como “bola” está impressa uma figura de área S. Se insuflarmos mais ar para dentro da “bola”, tal que seu volume fique duplicado, então a figura passará a ter área igual a:

05) (UNICAMP) Como deve ser alterado o raio de uma cesta de basquete se o volume da bola for alterado por um fator multiplicativo ? Não leve em conta a folga existente entre a cesta e a bola.

Cilindro Reto

B: área da base: R = raio da base

H = altura

V: volume:

SL: área lateral:

Secção Meridiana

É o retângulo resultante da inter-secção do cilindro com um plano que contém os centros das bases.

Obs.: cilindro equilátero é aquele em que H = 2R (altura = diâmetro da base); neste caso a secção meridiana é um quadrado.

06) Qual é o volume de um cilindro circular reto que tem cm de altura se o perímetro de sua base é 2 cm?

R H

R H

07) Quanto mede a superfície lateral de um cilindro circular reto com 2 m de altura e 13 m de perímetro na base?

08) Corta-se um cilindro circular reto ao meio. Sabe-se que o corte origina, em cada uma das partes resultantes, uma face quadrada com área igual a 16 cm2. Determinar o volume do cilindro original.Solução:

09) Um fabricante de molhos enlata seus produtos em embalagem cilíndrica circular reta e posteriormente encaixota uma a uma em embalagem cúbica de 10 cm de aresta. Se as faces da caixa cúbica tangenciam a embalagem cilíndrica, então o comprador que adquire este molho pela aparência externa da caixa está sendo lesado em aproximadamente:Solução:

Cone Reto

R = raio da base H = altura g = geratriz

B: área da base:

V: volume:

SL: área lateral:

Secção Meridiana

É o triângulo resultante da inter-secção do cone com um plano que contém o vértice do cone e o centro da base.

Obs.: cone equilátero é aquele em que g = 2R (geratriz = diâmetro da base); neste caso a secção meridiana é um triângulo equilátero.

10) Qual a área da base de um cone circular reto que tem 4 cm de altura e volume de 8 cm3?

11) O cateto maior de um triângulo retângulo é o eixo de revolução de um certo sólido. Determine o volume deste sólido sabendo que o triângulo tem hipotenusa medindo 13 m e cateto menor medindo 5 m.Solução:

Prisma Reto

Bases: polígonos paralelos e congruentes.

Faces laterais: retângulos.

V = volume

g

H

g

R

g

R

B = área da baseH = altura

12) Um prisma tem 6 cm de altura. Qual o seu volume se a base é um triângulo retângulo com 5 cm de hipotenusa e 4 cm em um dos catetos?

13) Um prisma tem como base um triângulo eqüilátero com 6 cm de perímetro. Determinar o volume deste prisma sabendo que ele tem 5 cm de altura.

14) A base de um prisma é um hexágono regular e suas faces laterais são todas quadradas. Determinar a altura deste prisma sabe que seu volume é de 12 m3.

15) Um prisma hexagonal regular tem para altura a diagonal de um cubo de aresta . Se o volume do cubo é igual ao do prisma, a aresta da base do prisma mede?

Paralelepípedo retângulo :

É um prisma de seis faces, todas retangulares.

V: volume: V = a . b . c

S: área: S = 2 . (ab + ac + bc)

D: diagonal: 222

cbaD

Cubo

É um paralelepípedo de seis faces, todas quadradas.

V: volume:

S: área:

D: diagonal: 3aD

16) As arestas de um cubo foram todas multiplicadas por uma constante positiva k, originando, assim, um novo cubo. Sendo V1 o volume do cubo original, determinar o volume do novo cubo em função de V1 e de k.

17) O volume do cubo inscrito num cilindro circular reto é de aproximadamente:

18) (UFGO) A aresta, a diagonal e o volume de um cubo estão, nesta ordem, em progressão geométrica. A área total deste cubo é:

19.Em uma escola, os alunos foram levados ao laboratório para a realização de uma experiência, a de determinar o volume de uma pedra, imergindo-a na água de um recipiente. A experiência consistia em submergir completamente a pedra e medir a variação da altura da água no recipiente. Após a experiência, os alunos anotaram que a variação da altura da água foi de 3cm e que o recipiente tinha a forma de um paralelepípedo retângulo, medindo 80cm x 50cm x 40cm, mas não anotaram qual dessas três medidas correspondia à altura do recipiente. Mesmo sem essa informação, foi possível concluir que o volume máximo da pedra, em litros, era de:

20) Determinar o volume de um cubo que tem 150 m2 de área total.

21) Um paralelepípedo reto – retângulo tem dimensões diretamente proporcionais aos números 2,4 e 5, Determinar o volume deste poliedro sabendo que o comprimento da maior de suas dimensões excede o comprimento da menor em 6cm.

22) Qual é a área total de um cubo que tem 64 m3 de volume?

23) Somando-se os comprimentos de todas as arestas de um cubo obteve-se 48 cm. Qual é o volume deste cubo?

24) Somando-se os comprimentos de todas as arestas de um paralelepípedo reto – retângulo obteve-se 72 m. Sabe-se que as dimensões deste sólido são diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3. Qual é o seu volume?

25) Sabe-se que o volume de um cubo cujas arestas medem 1 m é igual a 1000 litros. Um reservatório tem a forma de um paralelepípedo retângulo cuja base, em seu interior, tem 30 m de comprimento e 10 m de largura. A quantidade de litros a ser acrescentada para elevar o nível de líquido do reservatório em 30 cm é igual a:

26) Um peixe ao ser colocado dentro de um aquário, com forma de paralelepípido retangular com 60 cm de comprimento por 40 cm de largura, faz o nível da água subir exatamente 0,5 mm. O volume desse peixe, em cm3, é:

Pirâmide

Bases: em forma de polígono.

Faces laterais: triângulos.

V = volume = área da base

H = altura

28) Uma pirâmide tem base quadrada com 20 dm de perímetro e tem 12 dm de altura. Qual é o volume desta pirâmide?

29) Uma pirâmide quadrangular regular tem altura medindo 5 cm e tem 6 cm de aresta de base. Determinar o seu volume.

30) Uma pirâmide regular de base quadrada recebe um corte que vai do vértice até a base, dividindo-a em duas pirâmides congruentes e com bases retangulares. Sabendo que uma das faces originadas pelo corte é um triângulo eqüilátero com 2 cm de lado, determinar o volume original.Solução:

31) Uma pirâmide quadrangular regular cuja a aresta da base medindo cm e a aresta lateral medindo 13 cm. Qual o volume desta pirâmide?

Solução:

32) (FUVEST – SP) Qual a altura de uma pirâmide quadrangular que tem as oito arestas iguais a ?

Tetraedro Regular

É uma pirâmide de base triangular regular; todas as quatro faces são triângulos eqüiláteros.

V: volume:

: área da base:

H: altura:

33) Sendo o ângulo que a aresta lateral de um tetraedro regular forma com o plano da base. Determine tg .Solução:

34) Qual o volume de um tetraedro regular cuja aresta mede 4 cm? E qual é a área da superfície do mesmo tetraedro?

35)Um cone reto de altura 12 cm e raio da base 2 cm está inscrito numa pirâmide triangular regular de modo que os vértices do cone e da pirâmide coincidem e a base do cone está inscrita na base da pirâmide. Qual o volume da pirâmide?

Solução:

PORCENTAGENSUma porcentagem é o resultado da aplicação de uma taxa sobre um certo valor, chamado

principal .

Exemplo:

Quanto é 40% de R$ 160 ,00?

Solução:

Taxa (na forma percentual)=40%=0,40Principal =R$ 160,00Porcentagem =R$ 64,00

TAXAS: FORMAS FRACIONÁRIAS, UNITÁRIAS e PERCENTUAIS.

Exemplo:

a)

b)

c)

Exercícios sobre cálculo de porcentagem:

1) (TRIB. CONTAS)Consultadas 500 pessoas sobre o plebiscito de 21 de abril de 1993 , obteve-se o resultado abaixo:

Presidencialismo 196

Parlamentarismo 192

Não sabem 112

De acordo com a pesquisa o percentual de indecisos corresponde a:

a)21,6% b)21,8% c)22,2% d)22,4% e)23,1%

Solução:

Resposta: D

2)(TELERJ) O preço de um artigo triplicou. Portanto ele teve um aumento de:

a)3% b)30% c)200% d)300% e)400%

Solução:Supondo o preço do artigo P, ao triplicar passa para 3P. O aumento foi de 3P-P =2P

Resposta: C

3)(C.V.R.) Seu ordenado é de R$ 6.870,00. Porque trabalhou horas extras, seu contra-cheque indica um bruto de R$ 8.300,00. O percentual do salário correspondente às horas extras foi de, aproximadamente:

a) 25 b) 24 c) 22 d) 21 e) 15

Solução:

Resposta: D

4) (ETFQ-adaptado) Para garantir uma sobrevivência digna, estudos indicam que o salário mínimo pago aos trabalhadores brasileiros deveria aumentar de R$ 64,79 para R$ 453,53. Em termos percentuais, de quanto deveria ser este aumento?

a) 388,74% b) 453,53% c) 500% d) 600% e) 700%

SOLUÇÃO:

Resposta: D

5)(CONC.MAG.SME) O salário mínimo foi aumentado em 12% no último dia 01/05. O leite B que custava R$ 0,70 passou imediatamente a custar R$ 1,05.

A razão entre o percentual de aumento do salário e o leite é de:

SOLUÇÃO:

Aumento do leite:

R$ 1,05 - R$ 0,70 = R$ 0,35

Percentual de aumento:

Razões entre percentuais:

Resposta: D

Exercícios sobre lucro , prejuízo , acréscimo e desconto:

6) (TELERJ) A loja X vende um par de tênis pó R$ 60,00 e oferece um desconto de 20% para pagamento à vista. A loja Y vende o mesmo tipo de tênis por R$ 70,00, mas está liquidando por 20% menos. Na loja Z, um par de tênis idêntico aos anteriores, custa R$ 68,00, está sendo vendido com 25% de desconto.Com base nessas informações, identifique com V as afirmativas verdadeiras e com F as falsas.

( ) O menor preço é o da 3a loja .( ) A soma dos preços, com descontos, é de 155,00.( ) O par de tênis é mais caro na 2a loja.( ) A 1a loja oferece preço mais vantajoso.

A opção correta é:

a) F – V – V – V.b) F – V – V – F.c) V – F – V – F.d) V – F – V – V.e) V – V – F – F.

SOLUÇÃO:

Preço da loja X:

= 60 – 20% de 60

Preço da loja Y:

Preço da loja Z:

O menor preço é o da loja 3 ( F).A soma dos preços com desconto é de R$ 155,00 (V).O par de tênis mais caro na loja 2 (V).A loja 1 oferece preço mais vantajoso (V).

Resposta: A

7) (UNIMED) Contrariando o plano real, um comerciante aumenta o preço de um produto que custava 300,00 em 20%. Um mês depois se arrependeu e fez um desconto de 20% sobre o preço reajustado. O novo preço do produto é:

a) R$ 240,00b) R$ 278,00c) R$ 300,00d) R$ 288,00e) Nenhuma das anteriores.

SOLUÇÃO:

Aumento de 20%:

Desconto de 20%:

Resposta: D

8)(FURNAS) Numa loja de fazendas, o preço do metro de certo tecido em promoção é de R$ 10,00. Se a loja está oferecendo 20% de desconto sobre o preço normal do tecido, quem comprar 2,5 m está fazendo uma economia de:

a) R$ 2,00 b) R$ 2,50 c) R$ 5,00 d) R$ 5,75 e) R$ 6,25

Solução:

Cálculo do preço normal:

Desconto por metro:

Total de descontos:

Resposta: E

9)(UFMG) O preço de venda de um eletrodoméstico é de R$ 650,00. O dono da loja paga ao vendedor uma comissão de 10% sobre o preço de venda e ainda ganha 30% sobre p preço de custo. O preço de custo desse eletrodoméstico é:

a) R$ 432,00 b) R$ 450,00 c) R$ 464,28 d) R$ 500,00 e) R$ 541,67 SOLUÇÃO:

Comissão do vendedor:

Resposta: B

10)(AN.ORÇ.-RJ) Em uma venda de R$ 3.840,00, um vendedor recebe de comissão R$ 115,20. Qual é a taxa de comissão paga pela loja aos seus vendedores?

a) 1,5% b) 2,5% c) 2% d) 3% e) 4%

SOLUÇÃO:

Resposta: D

11)(TTN) Um produto é vendido com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço total de nota 10% correspondem a despesas. O lucro líquido do comerciante é de:

a) 5% b) 8% c) 11% d) 2% e)

Solução:

Supondo que o produto custa R$ 100,00:

Lucro Bruto: = 20% de R$ 100,00= R$ 20,00

Preço da nota: = R$ 120,00

Despesas: = 10% de R$ 120,00= R$ 12,00

Preço com desconto: = R$ 120,00 – R$ 12,00= R$ 108,00

Lucro Líquido: = R$ 108,00 – R$ 100,00= R$ 8,00 que corresponde a 8% do custo.

Resposta: B

12)(CONTADOR-RJ) Um comerciante adquire uma mercadoria por um preço P e paga imposto no valor de 17% de P. Ao revendê-la, o comerciante cobra um valor de 72% superior a P. O lucro deste comerciante em relação ao custo é, aproximadamente, de:

a) 45% b) 47% c) 52% d) 55%

SOLUÇÃO:

Supondo P = R$ 100,00

Custo + imposto = R$ 117,00 Preço de venda = R$ 172,00

Lucro:

Resposta: B

13)(UFF) Um atacadista compra de uma fábrica um produto e o repassa a revendedores, obtendo lucro de 50%. Sabendo que os revendedores obtêm lucro de 100%, determine o percentual de acréscimo do preço final em relação ao preço da fábrica.

a) 300% b) 250% c) 200% d) 150% e) 100%

SOLUÇÃO:

Preço de fábrica: R$ 100,00

Revendedores: R$ 100,00 + 50% de R$ 100,00

= R$ 150,00

Preço final:

R$ 150,00 + 100% de R$ 150,00

= R$ 300,00

Lucro:

Resposta: C

14)(UFMG) Em março de 1998, o preço de um determinado produto correspondia a 15% do salário de um certo funcionário. O preço do produto obteve, no mesmo ano um aumento de 10% em abril e de 20% em maio. No entanto, o salário desse funcionário ficou congelado por dois meses, ou seja, em maio era o mesmo de março.

Depois do aumento do preço do produto em maio,a percentagem do salário do funcionário a que corresponde o preço do produto é:

a) 19,8% b) 25% c) 30% d) 32% e) 45%

SOLUÇÃO:

Supondo o salário 100%, o produto corresponde à 15%.

1º Reajuste:

15% + 10% de 15%

=15% + 1,5% = 16,5%

2º Reajuste:

16,5% + 20% de 16,5%

= 16,5% + 3,3% = 19,8%

Preço final corresponde à 19,8 do preço inicial.

15)(TRT) Mário investiu 30% do seu capital em um fundo de ações e o restante em um fundo de renda fixa. Após um mês, a quotas dos fundos e de renda fixa haviam se valorizado 40% e 20% respectivamente. A rentabilidade do capital de Mário foi, nesse mês, de:

a) 26% b) 28% c) 305 d) 32% e) 34%

SOLUÇÃO:

Rentabilidade dos fundos de ações:

(Supondo investimento de R$ 100,00)

R$ 30,00 + 40% de R$ 30,00

=R$ 30,00 + R$ 12,00= R$ 42,00

Rentabilidade de Renda Fixa:

R$ 70,00 + 20% de R$ 70,00

= R$ 70,00 + R$ 14,00 = R$ 84,00

Total: R$ 42,00 + R$ 84,00 = R$ 126,00

Rentabilidade: 26%

Resposta: A

16)(F.G.V.) Duas irmãs, Ana e Lúcia, têm uma conta de poupança conjunta. Do total do saldo, Ana tem 70% e Lúcia 30%. Tendo recebido um dinheiro extra, os pais das meninas resolveram fazer um depósito igual ao saldo da caderneta. Por um a questão de justiça, no entanto, ele disse às meninas que o depósito deveria ser dividido igualmente entre as duas. Nessas condições, a participação de Ana no novo saldo.

a) Diminui para 60%b) Diminui para 65%c) Permaneceu em 70%d) Aumentou para 80%e) É impossível ser calculada se não conhecemos o valor do saldo inicial.

SOLUÇÃO:

Supondo R$ 100,00 de salário, teríamos um depósito de R$ 100,00 dividindo igualmente:

Participação de Ana:

R$ 70,00 + R$ 50,00 = R$ 120,00

Participação de Lúcia:

R$ 30,00 + R$ 50,00 = R$ 80,00

Participação % de Ana:

(a participação diminui para 60%)

Resposta: A

17)(ESAL) Uma mercadoria teve 150% de acréscimo em seu preço. Para que esta mercadoria retorne ao seu preço anterior, é necessário um desconto em seu preço atual de:

a) 150% b) 80% c) 60% d) 40% e) 30%

SOLUÇÃO:

Supondo preço inicial R$ 100,00

R$ 100,00 + 150% de R$ 100,00 =

R$ 100,00 + R$ 150,00 = R$ 250,00

Desconto:

Logo o desconto é 100% - 40% = 60% de R$ 250,00

Resposta: B

18)(U.F.E.S.) Se o poder de compra de meu salário é hoje 20% daquele de um atrás, então, para reaver aquele poder de compra, meu salário atual deve ser reajustado em:

a) 20% b) 80% c) 180% d) 400% e) 500%

SOLUÇÃO:

Supondo salário de R$ 100,00

20% de R$ 100,00 = R$ 20,00

Reajuste:

OBS: R$ 80,00 é o aumento para que o salário retorne à R$ 100,00.

Resposta: D

19)(UFMG) Um comerciante aumentou os preços de suas mercadorias em 150%. Como a venda não estava satisfatória, voltou aos preços praticados antes do aumento. Em relação aos preços aumentados, o percentual de redução foi de:

a) 0% b) 60% c) 75% d) 100% e) 150%

SOLUÇÃO:

Supondo preço inicial de R$ 100,00 mais 150% de aumento:

R$ 100,00 + R$ 150,00 de R$ 100,00

R$ 100,00 + R$ 150,00 = R$ 250,00

Percentual de redução:

Resposta: B

20)(EFES) Um trabalhador gasta com aluguel da sua casa 25% do seu salário. Se o salário é corrigido em um aumento de 25% e o aluguel de 35%, então o novo aluguel passará a consumir do novo salário:

a) 26,08% b) 27% c) 33,75% d) 35% e) 43,75

SOLUÇÃO:

Supondo salário: R$ 1000,00

Antes do aumento:

Aluguel = 25% de R$ 1000,00

= R$ 250,00

Após o aumento:

Salário = R$ 1000,00 + 25% de R$ 1000,00

=R$ 1000,00 + R$ 250,00

=R$ 1250,00

Aluguel = R$ 250,00 + 35% de R$ 250,00

= R$ 250,00 + R$ 87,50

=R$ 337,50

Percentual ao qual corresponde o novo aluguel:

Resposta: B

21)(TFC) No mês de janeiro de determinado ano, uma categoria profissional tem direito a um aumento salarial de 75%. Como a categoria já havia recebido uma antecipação de 25% em novembro, qual deve ser a porcentagem de acréscimo adicional do salário para compensar a antecipação concedida.

a) 30% b) 40% c) 55% d) 65% e) 75%

SOLUÇÃO:

Com antecipação: R$ 125,00

Novo Salário: R$ 175,00

% de aumento:

Resposta:B

22)(TRT) Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste de 50% sobre os salários de abril, descontadas as antecipações, como ela já havia recebido em maio uma antecipação de 20% (sobre o salário de abril), a porcentagem do aumento obtido em junho, sobre o salário de maio, é de:

a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40%

SOLUÇÃO:

Salário em Abril: R$ 100,00

Salário em Maio: R$ 120,00

Salário em Junho: R$ 150,00

% de aumento:

Resposta: B

23)(CONC.MAG.CMRJ) Certa categoria profissional obteve, a partir de 1º de novembro, no Tribunal do Trabalho, reajuste salarial de 134% sobre os salários de julho, descontadas as antecipações recebidas no período. Se essa categoria recebeu adiantamento de 20% em agosto e 30% em setembro sobre os vencimentos dos respectivos meses anteriores, calcule o índice a ser aplicado em outubro, para cumprir as determinações judiciais.

SOLUÇÃO:

a) 84% b) 70% c) 66% d) 50% e) 40%

SOLUÇÃO:

Julho: R$ 100,00

Agosto: R$ 100 + 20% . 100 = R$ 120,00

Setembro: R$ 120 + 30% . 120 = R$ 156,00

1º de Novembro: R$ 100,00 + 134%

= R$ 234,00Aumento % em outubro:

Resposta:D

24)(SUSEP) Uma firma tem a matriz em São Paulo e uma filial no Rio de Janeiro. A matriz é responsável por 70% do faturamento da firma. Este ano o faturamento da matriz sofreu um aumento de 20% e o da filial, de 10%. Responda as questões a seguir:

De quanto aumentou o faturamento da firma?

a) 12% b) 15% c) 17% d) 20% e) 30%

SOLUÇÃO:

Supondo faturamento: 100

Matriz: = 70 + 20% de 70 = 84

Filial: = 30 + 10% de 30 = 33

Total: 84 + 33 = 117

O faturamento aumentou 17%

% correspondente a matriz:

Resposta: C

25)(UNI-RIO) Suponha que, em dois meses, um determinado título de capitalização teve seu valor reajustado em 38%. Sabendo-se que o reajuste no 1º mês foi de 15%, podemos afirmar que o 2º mês foi de:

a) 18,5% b) 19,5% c) 20% d) 21,5% e) 23%

SOLUÇÃO:

Supondo valor do título R$ 100,00

Em um mês: R$ 115,00

Em dois meses: R$ 138,00

Aumento % do 2º mês:

Resposta: C

26)(PUC-RJ) O tribunal concedeu a uma certa categoria profissional aumento de 100% sobre o salário, descontadas as antecipações. Se os trabalhadores já haviam recebido uma antecipação de 20% em setembro, receberão agora um aumento, sobre o salário de setembro, de:

a) 45% b) 50% c) 67% d) 72% e) 80%

SOLUÇÃO:

Supondo R$ 100,00

Com antecipação: R$ 120,00

Novo salário: R$ 200,00

% de aumento:

Resposta: C

27)(MPU) O Governo Federal fixou, por meio de medida provisória, os percentuais de reajuste de 12% e de 15% para o salário mínimo e para as aposentadorias, respectivamente, vigorando a partir de 1º de maio deste ano correspondendo à reposição das perdas salariais ocorridas de maio/95 a abril/96. No entanto, segundo a Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (FIPE), o índice de inflação correspondente àquele período foi de 20,03%. De acordo com esse índice, para que se recomponha exatamente o poder de compra, seria necessário acrescentar, respectivamente, aos novos valores do salário mínimo e das aposentadorias, um reajuste de:

a) 8,03% e 5,03% b) 7,85% e 4,87% c) 7,43% e 4,73%d) 7,17% e 4,37% e) 7,03% e 4,33%

SOLUÇÃO:

Supondo base de cálculo = 100

Salário mínimo após reajuste:

R$ 100,00 + 12 % de R$ 100,00 = R$ 115,00

Inflação: R$ 100,00 + 20,03% de R$ 100,00 = R$ 120,03

Aumento % necessário à aposentadoria:

Resposta: D

28)(PETROBRÁS) Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivalente aumentar o preço original em:

a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% e) 10%

SOLUÇÃO:

Base de cálculo =100

Preço do produto após aumento:

R$ 100,00 + 30% de R$ 100,00 = R$ 130,00

Preço com desconto:

R$ 130,00 – 20% de R$ 130,00

= R$ 130,00 – R$ 26,00 = R$ 104,00

% de aumento em relação ao preço inicial:

R$ 104,00 – R$ 100,00 = R$ 4,00

% aumento = 4%

Resposta: B

29)(TELERJ) Dois descontos sucessivos de 10% cada equivalem a um único desconto de:

a) 19% b) 20% c) 21% d) 22% e) 23%

SOLUÇÃO:

Base de cálculo: 100

1º desconto: 100 – 10% de 100 =90

2º desconto: 90 – 10% de 90 = 81

% de desconto:

Resposta: A

30)(CONTADOR-RJ) Um comerciante “A” prometeu a seus empregados aumentos capitalizados de 30% em janeiro, 30% em fevereiro e 20% em março. Ao mesmo tempo, um comerciante “B” reuniu seus empregados e prometeu-lhes aumento único de 100% em março. Analisando as duas propostas em março, conclui-se que:

a) Comerciantes “A” e “B” deram aumentos iguais.b) Os empregados do comerciante “B” ganharam 20% a mais que os empregados do comerciante “A”.c) O comerciante “A” terá dado a seus empregados aumento real de 2,8% em relação ao comerciante

“B”.d) Os empregados do comerciante “A” tiveram um prejuízo de 4% em relação aos empregados do

comerciante “B”.

SOLUÇÂO:

Base de cáculo: 100

Aumentos do comerciante “A”

Salário em janeiro: R$ 100,00 + 30% de R$ 100,00

= R$ 130,00

Salário de fevereiro:

R$ 130,00 + 30% de 130,00

= R$ 169,00

Salário em março:

R$ 169,00 + 20% de R$ 169,00 = 202,80

Aumento do comerciante “B”

R$ 100,00 + 100% de R$ 100,00

= R$ 200,00

Conclusão: “A” deu aumento de 2,8% superior a “B”, utilizando-se como base o salário inicial de R$ 100,00.

Resposta: C

31)(AG.ADM.SME) Um comerciante elevou o preço de suas mercadorias em 50% e divulgou no dia seguinte uma remarcação com desconto de 50% em todos os preços. Qual o desconto realmente concedido em relação aos preços originais?

a) 75% b) 50% c) 25% d) 20% e) 10%

SOLUÇÃO:

Base de cálculo: 100

Preço com aumento:

R$ 100,00 + 50% de R$ 100,00 = R$ 150,00

Preço com desconto:

R$ 150,00 – 50% de R$ 150,00

R$ 150,00 – R$ 75,00 = R$ 75,00

Desconto real:

Resposta: C

32)(CONC.MAG.SME) O preço inicial de um videogame sofreu dois aumentos consecutivos de 25% e de 55%, motivados pela inflação. Em porcentagem, o aumento sofrido pelo preço desse videogame foi:

a) 80% b) 68,75% c) 93,75% d) 92,85% e) 90%

SOLUÇÃO:

Base de cálculo: 100

1º aumento = 100 + 25% de 100 = 125

2º aumento = 125 + 55% de 125

= 125 + 0,55 . 125

= 125 + 68,75

= 193,75

O aumento foi de 93,75

Resposta: C

33)(UFJF) No dia 1º de dezembro, o dono de uma mercadoria elevou o preço do quilo de nozes em 40%. Uma após, como as vendas não estavam boas, ele resolveu reduzir este novo preço em 25%. Assim, em relação ao preço de 30 de dezembro, o quilo de nozes custa hoje:

a) 5% mais barato

b) 5% mais caro c) exatamente o mesmo preço

d) 10% mais barato e) 15% mais caro

SOLUÇÃO:

Base de cálculo: =100,00

Após aumento = R$ 100,00 + 40% de R$ 100,00

= R$ 140,00

Após desconto:

= R$ 140,00 – 25% de R$ 140,00

= R$ 140,00 – 0,25 . 140,00

= R$ 105,00

Resultado: B

34)(TELERJ) Uma mercadoria teve seu preço aumentado em 20%. Em seguida, o novo preço foi rebaixado em 20%. O preço final da mercadoria em relação ao preço inicial é:

a) igual b) 4% maior c) 4% menor d) 8% maior e) 8% menorSOLUÇÃO:

Após o aumento:

R$ 100,00 + 20% de R$ 100,00 = R$ 120,00

Após rebaixar:

= R$ 120,00 - 20% de R$ 120,00

= R$ 96,00

Conclusão: o preço final é menor 4%.

35)(POSTURAS- São Gonçalo) Uma empresa de transportes aumentou os preços das passagens em 100% . Como o aumento não estava autorizado, os preços voltaram aos vigentes antes do aumento. Em relação aos preços aumentados ocorreu a seguinte porcentagem de redução.

a) 0% b) 50% c) 75% d) 100%

SOLUÇÃO:

Cálculo da redução:

Resposta: B

36)(CONTADOR-RJ) Em um período em que a inflação foi de 96% os salários de certa categoria aumentaram 40%. Para que os salários, após esse aumento, recuperassem o poder de compra eles deveriam ser aumentados em:

a) 56% b) 52% c) 46% d) 40%

SOLUÇÃO:

Base de cálculo:

Os salários devem ser aumentados em 40% para recuperar o poder de compra.

37)(CESGRANRIO) Se o salário subiu 56%, e os preços subiram 30% de quanto aumentou o seu poder de compra?

a) 20% b) 21% c) 23% d) 25% e) 26%

SOLUÇÃO:

Base de cálculo = R$ 100,00

Novo salário = R$ 156,00

Correção monetária da base de cálculo = R$ 130,00

Aumento do poder de compra:

R$ 156,00 – R$ 130,00 = R$ 26,00

Resposta: A

38)(UNIFICADO) Em um período em que os preços subiram 82%, os salários de certa categoria aumentaram apenas 30%. Para que os salários recuperem o poder de compra, eles devem ser aumentados em:

a) 40% b) 46% c) 52% d) 58% e) 64%

SOLUÇÃO:

O salário deve ser reajustado em 40%

39)(PETROBRÁS) Um supermercado está fazendo a promoção “leve 4 e pague 3”. Isso equivale a conceder, a quem leva 4, um desconto de:

a) 40% b) 35% c) 33% d) 30% e) 25%

SOLUÇÃO:

O desconto foi de 25%

Resposta: E

40)(CONC.MAG.SME.) Certa loja ofereceu a seguinte promoção. Na compra de duas camisetas iguais a segunda tem um desconto de 50%. Calcule a taxa de desconto.

a) 40% b) 20% c) 30% d) 25% e) 50%

SOLUÇÃO:

Supondo que a camiseta custa R$ 10,00; a segunda camiseta custaria R$ 5,00. Cálculo do desconto:

O desconto foi de 25%

Resposta: D

TAXAS

TAXAS PROPORCIONAIS:

TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA:

Exemplo 1: Um capital aplicado à taxa de 24% a.a. é capitalizado trimestralmente. Determinar a taxa nominal e a taxa efetiva da aplicação:Solução:Taxa nominal: 24% a.a.Taxa efetiva:

Exemplo 2: Um capital aplicado à taxa de 4% a.m. é capitalizado quadrimestralmente. Determinar a taxa nominal e a taxa efetiva da aplicação:Solução:Taxa nominal: 4% a.m.Taxa efetiva:

Exemplo 3: Um capital aplicado à taxa de 10% a.m. é capitalizado semestralmente. Determinar a taxa nominal e a taxa efetiva da aplicação:Solução:Taxa nominal: 10% a.m.Taxa efetiva:

TAXA REAL, TAXA APARENTE E TAXA DE INFLAÇÃO:

EXERCÍCIOS:

1)(FUNVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36%SOLUÇÃO:Base de cálculo = R$ 100,00Preço de venda = R$ 180,00Preço de desconto = R$ 144,00Cálculo de desconto =

Resposta: C

2)(TCU) Uma financeira pretende ganhar 12% a.a. de juros em cada financiamento. Supondo que a inflação anual seja de 2.300%, a financeira, a título de taxa de juros nominal anual, deverá cobrar:a) 2.358% b) 2.588% c) 2.858% d) 2.868% e) 2.888%SOLUÇÃO:

Resposta: B

3)(BACEN) Sabendo-se que a taxa nominal é 0,9% e que a taxa de inflação é 0,7% no mês, o valor da taxa real nesse mês é:a) 0,1986% b) 0,2136% c) 0,1532% d) 0,4523% e) 0,1642%SOLUÇÃO:

Resposta: A

4)(TCDF) A renda nacional de um país crescer 110% em um ano, em termos nominais. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 100%. O crescimento da renda real foi então de:a) 5% b) 10% c) 15% d) 105% e) 110%SOLUÇÃO:

Resposta: A

5)(BACEN) Um investimento rendeu 68% em um mês no qual a inflação foi de 40%. O ganho real nesse mês foi de:

a) 20% b) 22% c) 24% d) 26% e) 28%

SOLUÇÃO:

RESPOSTA: A

6)(FICAL DE RENDAS-CAMPOS) Em um determinado período com taxa de inflação de 2%, uma aplicação é feita à taxa real de 5,88%. A taxa nominal, nesse período, é:

a) 5% b) 6% c) 7% d) 8% e) 9%

SOLUÇÃO:

Resposta: D

7)(CEB-CONTADOR) Se uma aplicação rendeu 38% em um mês e, nesse período, a inflação foi de 20%, a taxa real de juros foi de:

a) 14% b) 15% c) 16% d) 17%

SOLUÇÃO:

Resposta: B

8)(METRÔ-RJ) Se uma aplicação dói feita a uma taxa de juros de 28,8% em um mês, e se neste mês a inflação foi de 15%, a taxa real de juros foi de:

a) 12%a.m. b) 13%a.m. c) 14%a.m. d) 15%a.m.

SOLUÇÃO:

Resposta: A

9)(METRÔ-RJ) Um capital foi aplicado por dois meses à taxa composta racional efetiva de 50% a.m. Nestes dois meses a inflação foi de 40% no primeiro mês e de 50% no segundo.

Pode-se concluir que a taxa de juros neste bimestre foi de, aproximadamente:

a) 7,1% b) 8,1% c) 9,1% d) 10,1%

SOLUÇÃO:

Para o 1º mês:

Para o 2º mês:

Taxa real para o bimestre é de 7,1%

10)(ICMS-SP) Considerando-se uma taxa de inflação mensal de 0,8%, para que a taxa real no mês seja de 1%, o valor assumido pela taxa efetiva, na capitalização composta, é:

a) 1,81% b) 1,20% c) 1,46% d) 0,20% e) 2,80%

SOLUÇÃO:

Resposta: A

11)(BANERJ) Considere a seguinte situação:

Os bancários de um certo estado tiveram de 1984 a 1988 reajustes de 18%;18%;44%;42% e 40%, respectivamente. Em meados de 1988, eles reivindicaram um reajuste extra que recolocasse seus salários no nível em que estariam caso tivessem sido utilizados, para os reajustes de 1984 e 1985, os índices 31% e 42%.

Diante dos dados acima, o percentual de reajuste extra reivindicado deveria ter sido de:

a) 33% b) 31% c) 29% d) 27% e) 25%

SOLUÇÃO:

ANO REAJUSTE

1984 18%

1985 18%

1986 44%

1987 42%

1988 40%

Base de Cálculo:

R$ 100,00 em 1983

1984......100,00 + . 100,00 = 118,00

1985......118,00 + . 118,00 = 139,24

1986......139,24 + . 139,24 = 200,50

1987......200,50 + . 200,50 = 284,71

1988......284,71 + 284,71 =

398,99

NO REAJUSTE

1984 31%

1985 42%

1986 44%

1987 42%

1988 40%

Base de Cálculo:

R$ 100,00 em 1983.

1984......100,00 + 100,00 =

131,00

1985......134,00 + 131,00 =

186,02

1986......186,02 + 186,02 =

267,87

1987......267,87 + 267,870 =

380,37

1988......380,37 + 380,37 =

532,52

Reajuste: 532,52 – 398,99

Reajuste: R$ 133,53

% de reajuste salarial:

Resposta: A

12)(CN) Um comerciante aumentou o preço de uma mercadoria em 25%. Contudo, a procura por essa mercadoria continuou grande. Então, ele fez um novo aumento de 10%. Como o preço ficou muito alto, a mercadoria encalhou e, além disso, o prazo de validade estava vencendo. Finalmente fez um desconto para que o preço voltasse ao valor inicial. Esse último desconto:

a) foi de 35%

b) ficou entre 30% e 35%

c) ficou entre 27% e 28%

d) foi de 25%

e) ficou entre 22% e 25%

SOLUÇÃO:

Base de Cálculo:

1º aumento 25%:

100,00 + 100,00 = 125,00

2º aumento 10%:

125,00 + 125,00 = 137,50

Desconto:

Resposta: C

13)(FIOCRUZ-adaptado) O preço de um produto sofreu uma redução de 10%. Algum tempo depois, ele sofreu um aumento de 20% e, mais tarde, um novo aumento de 20%.

Se o comerciante deseja retornar ao preço inicial, qual o percentual de desconto a ser aplicado sobre este último preço?

a) 30% b) 28,36% c) 26,14% d) 24,08% e) 22,84%

SOLUÇÃO;

Base de Cálculo: R$ 100,00 (1a) redução de 10%.

100,00 - 100,00 = 90,00

(2º) aumento de 20%:

90,00 + 90,00 = 108,00

(3º) aumento de 20% outra vez:

108,00 + 108,00 = 129,60

(4º) Cálculo de desconto:

Resposta: E

14)(BACEN) Os Fundos de Renda Fixa sofrem uma tributação de imposto de renda sobre os ganhos acima da variação da UFIR, com alíquota de 30% e os Fundos de Commodities sofrem a mesma tributação com alíquota de 25%. Em u período no qual a UFIR aumentou 28%, a rentabilidade bruta dos fundos de Commodities foi de 42% e a dos de Renda Fixa foi de x%. A rentabilidade líquida dos Fundos de Renda Fixa superará a dos de Commodities se e somente x for maior que:

a) 48 b) 46 c) 44 d) 43 e) 42

SOLUÇÃO:

Base de Cálculo: R$ 100,00

Aumento pela UFIR:

100,00 + 100,00 = 128,00

Rentabilidade dos Fundos de Commodities:

Renda líquida dos Fundos de Commodities:

142,00 – 3,50 = 138,50

Cálculo da rentabilidade bruta dos fundos de Renda Fixa:

- 128,00 = 138,50

100 + x – 0,3 (100 + x) – 128 = 138,00

100 + x – 30 – 0,3x + 38,4 = 138,5

x – 0,3x = 138,5 – 38,4 + 30 – 1

0,7x = 30,1

x = = 43%

Resposta: D

15)(TCU) Pedro, José e Márcio possuem R$ 5.500,00. Durante o mês fizeram aplicações de suas partes, respectivamente, em Caderneta de Poupança, com rendimento de 10%; CDB, com rendimento de 14%; e Fundo de Renda Fixa, com rendimento de 13%. O saldo total ao final do período foi de R$ 6.165,00. Sabe-se que, antes das aplicações, Pedro possuía o dobro de José.

Julgue as afirmações seguintes em certas (C) ou erradas (E):

a) Ao final do período, Pedro possuía aproximadamente 93% a mais que José.

b) Inicialmente Pedro possuía R$ 1.600,00; José possuía R$ 800,00 e Márcio R$ 3.100,00.

c) A soma dos juros correspondentes às aplicações de Pedro e José foi de R$ 340,00.

d) A soma dos juros correspondentes às aplicações de Pedro e Márcio dói de R$ 525,00.

e) A soma dos juros correspondentes às aplicações de José e Márcio foi de R$ 515,00.

SOLUÇÃO:

P + J + M = 5500

P = 2J logo:

2J + J + M = 5500

M = 5500 – 3J

Juros = 650

10% P + 14%J + 13%M = Juros

0,1. 2J + 0,14J + 0,13 (5500 + 3J) = 650

0,2J + 0,14J – 0,39J = 650 – 715

- 0,05J = - 65 . (-1)

0,05J = 65

J = = 1300

P = 2J = 2 . 1300 = 2600

M = 5500 – 3J = 5500 – 3 . 1300

M = 1600

10%P = 2600 = 260

14%J = 1300 = 182

13%M = 1600 = 208

a) Verdadeiro.

b) Falso.

P = R$ 2600,00

M = R$ 1600,00

J = R$ 1300,00

c) Falso.

R$ 260,00 + R$ 182,00 = R$ 442,00

d) Falso.

R$ 260,00 + R$ 208,00 = R$ 468,00

e) Falso.

R$ 182,00 + R$ 208,00 = R$ 390,00

16)(AFTN) O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o valor total de vendas que exceder a R$ 10.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre o salário bruto. Em dois meses consecutivos, o vendedor recebeu, líquido , respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. Com esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:

a) 18% b) 20% c) 30% d) 33% e) 41%

SOLUÇÃO:

Salário bruto no 1º mês:

Total de Vendas no 1º mês:

0,03

0,03

Salário bruto no 2º mês:

Total de Vendas no 2º mês:

0,03 = 5900 – 2300

0,03 - 300 = 3600

0,03 = 3600 – 300

= 3900 0,03 = 130000

Percentual de Aumento:

x = 30%

Resposta: C

17)(AFNT) Em determinado país existem dois tipos de petróleo, Pa e Pb. Sabe-se que oito poços Pa mais seis poços Pb produzem em dez dias tanto barris quanto seis poços Pa mais dez poços Pb produzem em oito dias. A produção do poço Pa, portanto é:

a) 60,0% da produção do poço Pb.

b) 60,0% maior que a produção do poço Pb.

c) 62,5% da produção do poço Pb.

d) 62,5% maior do que a produção do poço Pb.

e) 75,0% da produção do poço Pb.

SOLUÇÃO:

Resposta: D

18)(CONTADOR) Para obter mais clientes, uma instituição financeira decidiu criar um tipo especial de investimento, em que o cliente adquire cotas cujos preços são atualizados diariamente de acordo com a inflação. No final de 30 dias, o cliente recebe 8% de juros em cotas e as cotas são convertidas em reais pelo valor do dia. Esse cliente investiu R$ 2.400,00 num dia em que a cota custava R$ 1,60. Se após 30 dias, cada cota vale R$ 2,40, ele receberá a quantia de:

a) R$ 3.888,00. b) R$ 3.944,00. c) R$ 4,222,00. d) R$ 4.455,00.

SOLUÇÃO:

Número de cotas no dia 1º:

2400,00 1,60 = 1500 cotas

Juros:

8% de 1500 = 1500 = 120 cotas

Número de cotas no 30º dia:

1500 + 120 = 1620 cotas

Valor a receber:

1620 . 2,40 = R$ 3888,00

Resposta: A

19)(TTN) A empresa “Vestebem” comprou o produto “A” pagando 10% de imposto sobre o preço de aquisição e 30% de despesa com transporte sobre o preço da mercadoria com o imposto. Sabendo-se que a venda de “A” obteve um lucro de R$ 143,00, correspondente a 20% sobre o preço de aquisição mais despesas (imposto e transporte), o preço de aquisição da mercadoria com imposto foi de R$:

a) 560 b) 550 c) 580 d) 540 e) 570

SOLUÇÃO:

Preço de aquisição = P

Imposto = 10%P = P = 0,1P

Transporte: 30% de (P + 0,1P)

1,1P = 0,33P

Lucro: 20% de (P + 0,1P + 0,33P)

1,43P = 0,286P

Se o lucro é de R$ 143,00 então:

0,286P = 143

P = 143 0,286

P = 500

Preço de aquisição com imposto:

P + 0,1P = 1,1P = 1,1 . 500 = R$ 550,00

20)(CESGRANRIO) Os rendimentos das cadernetas de poupança são isentos de Imposto de Renda, os dos Fundos de Commodities e os Fundos de Renda Fixa são tributados em 25% e 30%, respectivamente, da valorização que exceder à variação da UFIR. Suponhamos que, para o próximo mês , as previsões sejam que a UFIR aumentou 1,8% e que as cadernetas, os Fundos de Commodities e os Fundos de Renda Fixa rendam 2,2%, 2,6% e 2,8%, respectivamente, antes do desconto do Imposto de Renda. Se as previsões se confirmassem, a melhor e a pior das aplicações seriam, respectivamente:

Resposta: B

a) Poupança e Commodities.

b) Commodities e Renda Fixa.

c) Commodities e Poupança.

d) Renda Fixa e Commodities.

e) Renda Fixa e Poupança.

SOLUÇÃO:

Renda líquida da caderneta:

202% - 1,8% = 0,4%

Renda líquida de Commodities:

2,6% - 0,25% (2,6% + 1,8%) – 1,8%

2,6% - 0,2 – 1,8% = 0,6%

Renda líquida de fundos de renda fixa:

2,8% - 0,3% (2,8% - 1,8%) – 1,8%

2,8% - 0,3% - 1,8% = 0,7%

Melhor aplicação é a renda fixa e a pior é caderneta de poupança.

Resposta: E

21)(DATAPREV) Em certa ocasião, em que o preço do petróleo teve um aumento de 60% um país pretendeu manter inalterado o total de seus gastos com a importação desse produto. Para tanto, deve ter reduzido, percentualmente, o volume de suas importações em:

a) 60% b) 40% c) 50% d) 62,5% e) 37,5

SOLUÇÃO:

Base de cálculo: R$ 100,00

Aumento de 60%:

10,00 + 60% de 100,00 = 160,00

Redução:

Resposta: E

22)(CPRM) Comprei dez livros por preços iguais, sete foram vendidos com um lucro de 20% em cada um, e os outros, com um prejuízo de 20% em cada um. Em relação ao capital investido, houve:

a) Prejuízo b) Ausência de lucro ou prejuízo

c) Lucro de 8% d) Lucro de 10% e) Lucro de 80%

SOLUÇÃO:

Base de cálculo:

R$ 10,00 por livro

Dez livros custam R$ 100,00

Lucro:

7 x 20% x 10,00 = 14,00

Prejuízo:

3 x 20% x 10,00= 6,00

% de lucro:

Resposta: C

JUROS SIMPLES:

CONCEITO DE JUROS:

Os juros consistem na remuneração do capital, ou seja, o preço que se paga por utilizar um bem que não nos pertence.

Quem determina que parte do capital será tomada como juros, em cada unidade de tempo, é a TAXA.

CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES:

A taxa incide, sempre, sobre o capital inicial. Se o capital ficar aplicado/emprestado “t” períodos, a taxa (i) incidirá sobre o capital (c), “t” vezes, logo os juros (J) produzidos pelo capital “C” à taxa “i” em “t” períodos, será:

onde a taxa pode ser inserida na forma decimal ou fracionária.

CÁLCULO DO MONTANTE SIMPLES:

O montante corresponde ao total ao qual o aplicador tem direito após “t” períodos de aplicação.

Exercícios sobre taxa de juros:

01)(TRT) Uma loja vende seus produtos com pagamento em duas prestações mensais iguais, “sem juros”. A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após. Entretanto um desconto de 10% é concedido se o cliente pagar à vista. Na realidade, essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de:

a) 10%. b) 20%. c) 25%. d) 30%. e) 50%.

SOLUÇÃO:

Base de cálculo: R$ 200,00

Valor de cada prestação: R$ 100,00

Valor à vista:

R$ 200,00 – 10% de R$ 200,00

R$ 200,00 – 0,1 . R$ 200,00

R$ 200,00 – R$ 20,00 = R$ 180,00

Valor financiado:

R$ 180,00 – R$ 100,00 = R$ 80,00

Capital = C = R$ 80,00

Montante = M = R$ 100,00

Juros = M – C

J = R$ 100,00 – R$ 80,00

J = R$ 20,00

i =

Resposta: C

02)(SUSEP) Uma loja oferece um desconto de 50% a quem pagar á vista e oferece um desconto de 20% a quem pagar integralmente um mês após a compra, essa loja cobra, de quem prefere pagar um mês após a compra, juros mensais de:

a) 15%. b) 30%. c) 45%. d) 60%. e) 75%.

SOLUÇÃO:

Base de cálculo: R$ 100,00

Pagando-se à vista:

R$ 100,00 – 50% de R$ 100,00

R$ 100,00 – 0,5 . R$ 100,00

R$ 100,00 – R$ 50,00 = R$ 50,00

Pagando- se à prazo:

R$ 100,00 – 20% de R$ 100,00

R$ 100,00 – 0,2 . R$ 100,00

R$ 100,00 – R$ 20,00 = R$ 80,00

Cálculo da taxa de juros:

C = 50,00

M = 80,00

J = 80,00 – 50,00 = 30,00

J =

i =

Resposta: D

03)(NA.ORÇ-RJ) Uma loja vende uma mercadoria à vista com 30% de desconto, ou em duas parcelas iguais, sem juros, sendo a 1 a parcela no ato da compra e a 2 a 30 dias depois. Qual é a taxa de juros ao mês cobrado por essa loja, nas vendas a prazo?

a) 150%. b) 100%. c) 80%. d) 30%. e) 20%.

SOLUÇÃO:

Base de cálculo: R$ 100,00

Pagando-se à vista:

R$ 100,00 – 30% de R$ 100,00

R$ 100,00 – 0,3 . R$ 100,00

R$ 100,00 – R$ 30,00 = R$ 70,00

Valor de cada parcela à prazo:

R$ 100,00 2 = R$ 50,00

Valor financiado:

R$ 70,00 – R$ 50,00 = R$ 20,00

Cálculo da taxa de juros:

C = 20,00

M = 50,00

J = 50,00 – 20,00 = 30,00

J =

i =

Resposta: A

04)(TTN) Uma pessoa aplicou a juros simples ordinários ou comerciais a importância de R$ 1.000,00 no dia 26.06.01 e recebeu pó essa aplicação o montante de R$ 1.020,00 no dia 02.07.01. Nessas condições, a taxa de juros mensal da operação foi de:

a) 4,0%. b) 4,5%. c) 5,0% d) 5,5%. e) 6,0%.

SOLUÇÃO:

C = R$ 1000,00 (20/06)

M = R$ 1020,00 (02/07)

J = R$ 1020,00 – R$ 1000,00

J = R$ 20,00

i =

Cálculo da taxa mensal:

i =

Resposta: C

05)(TTN) Se 6/8 de uma quantia produzissem 3/8 desta mesma quantia de juros em quatro anos, qual é a taxa aplicada?

a) 20% ao ano. b) 125% ao ano. c) 12,5% ao ano. d) 200% ao ano. e) 10% ao ano.

SOLUÇÃO:

Resposta: E

06)(CN) A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar um certo capital, para que no fim de seis anos e oito meses duplique de valor?

a) 10. b) 12. c) 15. d) 18. e) 20.

SOLUÇÃO:

t = 6 anos e 8 meses = 80 meses

M = 2C logo J = C

J =

i =

i = 1,25% a.m. (x12)

i = 1,25 . 12% a.a.

i = 15% a.a.

Resposta: C

07)(CEF) Um capital foi aplicado á juros simples e ao completar um período de um ano e quatro meses, produziu um montante equivalente a 7/5 de seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de:

a) 2%. b) 2,2%. c) 2,5%. d) 2,6%. e) 2,8%.

SOLUÇÃO:

t = 1 ano e 4 meses = 16 meses

M =

M = C

1,4 = 1 + 0,16i

1,4 – 1 = 0,16i

0,4 = 0,16i

i =

i = 2,5%

Resposta: C

08)(UFRJ-adaptado) Uma loja oferece duas formas de pagamento para seus clientes: à vista ou em duas parcelas iguais. A loja anuncia, na sua vitrine, um vestido pelo preço total de R$ 200,00 para pagamento em duas vezes, sendo R$ 100,00 no ato da compra e R$ 100,00 trinta dias após essa data.

Para pagamento à vista, a loja oferece um desconto de 10% sobre o total de R$ 200,00 anunciado na vitrine.

Considerando o preço á vista como preço real do vestido, determine a taxa de juros cobrada pela loja no pagamento em duas vezes.

a) 5%. b) 10%. c) 20%. d) 25%. e) 40%.

SOLUÇÃO:

Preço do vestido à vista:

R$ 200,00 – 10% de R$ 200,00

R$ 200,00 – R$ 20,00 = R$ 180,00

Pagamento a prazo:

1a parcela: R$ 100,00

2a parcela: R$ 100,00

Cálculo de juros:

C = R$ 180,00 – R$ 100,00 = R$ 80,00

M = 2 a parcela = R$ 100,00

Juros = J = R$ 100,00 – R$ 80,00

J = R$ 20,00

J =

i =

Resposta: D

09)(UERJ) Se um comprador dispusesse exatamente de R$ 5.890,00 para aquisição de um ventilador, e optasse pela forma de pagamento em duas vezes, teria que quitar, no ato da compra, a primeira parcela de R$ 3.960,00. Restariam R$ 1.930,00 (R$ 5.890,00 – R$ 3.960,00) para pagar, 30 dias após, a segunda parcela de R$ 3.960,00.

Suponha que os R$ 1.930,00 restantes venham a ser aplicados no mercado financeiro até o dia do pagamento da segunda parcela de R$ 3.960,00. Nesse caso, os R$ 1.930,00 teriam de render, para saldar a dívida, aproximadamente, o mínimo de:

a) 34,5%. b) 50,5%. c) 55%. d) 80%. e) 105 %.

SOLUÇÃO:

C = 1930

M = 3960

J = M – C

J = 3960 – 1930 = 2030

J =

i =

i = 105,18%

Resposta: E

10)(UFRJ) Um armário custa à vista R$ 620,00 ou duas prestações de R$ 375,00, uma no ato da compra e outra após 30 dias. Para que a compra em duas vezes seja vantajosa, devemos encontrar um investimento que renda, em 30 dias, mais do que:

a) 53%. b) 45%. c) 35%. d) 21%. e) 33%.

SOLUÇÃO:

Valor financiado para 30 dias:

R$ 620,00 – R$ 375,00 = R$ 245,00

Capital = C = 245

Montante = M = 375

Cálculo da taxa de juros:

M = C

375 = 245

= 1 + 0,01i

1,53 = 1 + 0,01i

1,53 – 1 = 0,01i

0,53 = 0,01i

i = =

53% a.m.

Resposta: A

11)(UFRJ) Um eletrodoméstico custa R$ 250,00 à vista, mas pode também ser pago em duas vezes: R$ 15,00 de entrada e R$ 150,00 em 30 dias.

Qual a taxa de juros mensal que a loja está cobrando do cliente que paga em duas vezes?

a) 20%. b) 25%. c) 40%. d) 50%. e) 70%.

SOLUÇÃO:

Valor financiado para 30 dias:

R$ 250,00 – R$ 150,00 = R$ 100,00

Capital = C = R$ 100,00

Montante + M = R$ 150,00

Juros = M – C = R$ 150,00 – R$ 100,00

Juros = R$ 50,00

J =

i =

Resposta: D

12)(AFTN) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 1.000,00. O comprador pode, entretanto, pagar, 20% de entrada no ato e o restante em uma única parcela de R$ 1.0001,60 vencível em 90 dias. Admitindo-se regime de juros simples comerciais, a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo é:

a) 98,44% b) 99,6%. c) 100,8%. d) 102,0%. e) 103,2%.

SOLUÇÃO:

Valor da entrada: R$ 20% de R$ 100,00

0,20. R$ 1000,00 = R$ 200,00

Valor financiado: R$ 1000,00 – R$ 200,00 = R$ 800,00

Capital = C = R$ 800,00

Montante = M = R$ 1001,60

Juros = R$ 1001,60 – R$ 800,00

Juros = 201,60

i =

OBS: t = 90 dias = 3 meses

Cálculo da taxa anual:

i = 8,4 . 12 = 100,8 a.a.

Resposta: C

13)(TTN) Um fogão é vendido por R$ 600,00 à vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de R$ 542,88 após 50 dias. Qual a taxa de juros mensal envolvida na operação?

a) 5%. b) 12%. c) 15%. d) 16%. e) 20%.

SOLUÇÃO:

Valor da entrada:

22% de R$ 600,00

0,22 . R$ 600,00 = R$ 132,00

Valor financiado:

R$ 600,00 – R$ 132,00 = R$ 468,00

Capital = C = R$ 468,00

Montante = M = R$ 542,88

Juros = R$ 542,88 – R$ 468,00

Juros =R$ 74,88

i =

Cálculo da taxa mensal:

i = 0,5 . 30 = 15% a.m.

Resposta: C

14)(AFTN) Indique nas opções abaixo qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês.

a) 5,0. b) 1,0. c) 60,0. d) 12,0. e) 0,6.

SOLUÇÃO:

Taxa unitária mensal:

5% = = 0,05

Taxa unitária anual:

0,05 . 12 = 0,60 ou 0,6

Resposta: E

15)(TTN) Aplicar um capital à taxa de juros simples de 5% ao mês, por dez meses, é equivalente a investir o mesmo capital, por 15 meses, à taxa de:

a) 7,5% ao mês. b) 3,33% ao mês. c) 3,05 ao mês. d) 12% ao ano.

SOLUÇÃO:

Resposta: B

16)(BACEN) Na capitalização simples, a taxa que faz duplicar um capital, em dois meses, vale:

a) 100%. b) 50%. c) 40%. d) 30%. e) 10%.

SOLUÇÃO:

M = 2C

t = 2 meses

M = C

2C = C

2 – 1 +

1 =

100 = 2i

i = = 50% a.m.

Resposta: B

17)(TTN) A taxa de juros simples semestral equivalente à taxa simples de 16% quadrimestral é:

a) 30% b) 26% c) 24% d) 20%

SOLUÇÃO:

i = 16% a.q.

i = 16 4 = 4% a.m.

i = 4 . 6 = 24% a.s.

Resposta: C

18)(SUSEP) Quem paga juros simples mensal de 40% , paga bimestral juros de:

a) 80%. b) 84%. c) 88%. d) 92%. e) 96%.

SOLUÇÃO:

40% a.m. . 2 = 80% a.b.

Resposta: A

19)(TELERJ) Juros simples de 60% ao ano equivalem a juros simples mensais de:

a) 4%. b) 5%. c) 6%. d) 8%. e) 10%.

SOLUÇÃO:

60% a.a. ÷ 12 = 5% a.m.

Resposta: B

20)(TTN) Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de R$ 4.000,00, durante três anos, sabendo-se que se um capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% a.m., renderia mais de R$ 600,00 que o primeiro. A taxa é de:

a) 8,0%. b) 7,5%. c) 7,1%. d) 6,9%. e) 6,2%.

SOLUÇÃO:

Resposta: B

21)(CONTADOR-RJ) Um eletrodoméstico custa R$ 250,00 à vista, mas pode ser pago em duas vezes: R$ 150,00 de entrada e R$ 150,00 em 30 dias. O juro que a loja está cobrando ao cliente que paga em duas vezes é de:

a) 45% a.m.

b) 50% a.m.

c) 55% a.m.

d) 60% a.m.

SOLUÇÃO:

Valor financiado em 30 dias:

250,00 – 150,00 = 100,00

C = 100,00

M = 150,00

t = 30 dias = 1 mês

J = 150 – 100 = 50,00

i = 50% a.m.

Resposta: B

22)(TRT) Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$ 27.000,00, dispondo de R$ 90.000,00 de capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser aplicado no prazo de cinco meses?

a) 10% b) 5% c) 3% d) 8% e) 5,5%

SOLUÇÃO:

J = R$ 27000,00

C = R$ 90000,00

t = 5 meses = 10 quinzenas

i = ?% a.q.

J =

i =

i =

i = 3% a.q.

Resposta: C

23)(UNI-RIO) Para comprar um tênis de R$ 70,00. Renato deu um cheque pré-datado de 30 dias no valor de R$ 70,20. A taxa de juros cobrada foi de:

a) 0,6% ao mês

b) 4,2% ao mês

c) 6% ao mês

d) 42% ao mês

e) 60% ao mês

SOLUÇÃO:

C = R$ 70,00 (capital)

M = R$ 74,20 (montante)

J = R$ 74,20 – R$ 70,00 = R$ 4,20 (juros)

J =

i =

J = 30 dias = 1 mês

i =

i = 6% mês

Resposta: C

24)(FURNAS) Aplicando R$ 18.000,00 durante seis meses, um investidor obteve juros de R$ 1.620,00. A taxa anual de juros oferecida por esta instituição financeira é de:

a) 1,5% b) 3% c) 6% d) 12% e) 18%

SOLUÇÃO:

C = R$ 18000,00

t = 6 meses = 0,5 ano

J = R$ 1620,00

i = ?

J =

i = 18% a.a.

Resposta: E

25)(TRT) A que a taxa mensal deverá a firma “O Dura” aplicar seu capital de R$ 300.000,00 para que, em dois anos e quatro meses, renda juros equivalente a 98% de si mesmo?

a) 42% a.m. b) 3,5% a.m. c) 35% a.m. d) 4,2% a.m. e) 18% a.m.

SOLUÇÃO:

C = R$ 300000,00

t = 2 anos e meses = 28 meses

J = 98%C

J =

i =

i = 3,5% a.m.

Resposta: B

Exercícios sobre tempo de aplicação:

1)(AG.ADMINISTRATIVO) O prazo de aplicação de um capital de R$ 14.000,00, que produziu R$ 300,00 à taxa de 20% ao ano foi de:

a) 45 dias b) 15 dias c) 2 meses d) 1 mês e) ¼

SOLUÇÃO:

C = R$ 14400,00

J = R$ 360,00

i = 20% a.a.

J =

t =

t =

t =

t = 1,5 meses

t = 1 mês e 0,5 . 30 dias

t = 1 mês e 15 dias ou

t = 45 dias

Resposta: A

2)(ESAL) O capital de R$ 600,00 aplicados à taxa simples de 9,5% ao ano produziu R$ 123,50 de juros. O tempo correspondente à aplicação foi de:

a) 1 ano e 10 meses.

b) 1 ano e 11 meses.

c) 2 anos e 1 mês.

d) 2 anos e 2 meses.

e) 2 anos e 3 meses.

SOLUÇÃO:

C = R$ 600,00

i = 9,5% a.a.

J = R$ 123,00

t = ?

J =

t =

t =

t = 2,166....anos

t = 2 anos e 12 meses

t = 2 anos e 12 meses

t = 2 anos e 2 meses

Resposta: D

03)(TNT) Um capital de R$ 14.000,00 aplicados a 22% ao ano rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado?

a) 3 meses e 3 dias.

b) 3 meses e 23 dias.

c) 2 meses e 23 dias.

d) 3 meses e 10 dias.

e) 27 dias.

SOLUÇÃO:

C = R$14400,00

i = 22% a.a.

J = R$ 880,00

J =

t =

t =

t = 100 dias

t = 3 meses e 10 dias

Resposta: D

04)(TTN) Se em cinco meses o capital de R$ 250.000,00 rende R$ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao mês, qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% ao ano?

a) 6 meses. b) 7 meses. c) 8 meses. d) 9 meses. e) 10 meses.

SOLUÇÃO:

Taxa (2) mensal:

Se

Resposta: A

05)(TTN) O prazo em que se duplica um capital aplicado à taxa de juros simples de 4% ao mês é:

a) 1 ano. b) 15 meses. c) 20 meses. d) 25 meses.

SOLUÇÃO:

M = 2C

M =C

2 = 1 +

1 =

Resposta:D

06)(B.BRASIL) Em quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 2,5% ao mês , rende juros equivalentes à 2/5 de seu valor?

a) 11 meses. b) 1 ano. c) 1 ano e 3 meses. d) 1 ano e 4 meses. e) 1 ano e 6 meses.

SOLUÇÃO:

i = 2,5% a.m.

J =

J =

t =

t =

t =

Resposta: D

07)(BEMGE) Qual o tempo necessário pata que um capital qualquer, aplicado a juros simples e à taxa de 40% ao bimestre, triplique o seu valor?

a) 10 meses. b) 1 ano. c) 1ano e 2 meses. d) 1 ano e 4 meses. e) 1 ano e 6 meses.

SOLUÇÃO:

i = 40% a.b.

M = 3C

M = C

M = C

Resposta: A

08)(NA.ORÇ-RJ) O prazo que uma pessoa deve guardar para ganhar em uma aplicação o equivalente a 1/5 do seu valor investido, a uma taxa de juros simples de 16% ao ano, é de:

a) 3 anos e 2 meses.

b) 1 ano e 2 meses.

c) 2 anos e 1 mês.

d) 2 anos e 3 meses.

e) 1 ano e 3 meses.

SOLUÇÃO:

J =

i = 16% a.a.

J =

t =

t =

Resposta: E

09)(TST-ES) Depositei certa importância em um banco e, depois de algum tempo, retirei os juros de R$ 1.600,00, que representavam 80% do capital.

Calcular o tempo em que o capital esteve empregado, se a taxa contratada foi de 16% a.m.

a) 5 meses e 20 dias. b) 5meses. c) 4 meses e 10 dias.

d) 4 meses. e) 6 meses e 5 dias.

SOLUÇÃO:

J = 80%C = 0,80C

i = 16% a.m.

J =

t =

=

Resposta: B

10)(TRT-ES) Obtendo-se, em dez meses, R$ 120.000,00 de juros simples pelo empréstimo de um capital de R$ 200.000,00, à taxa de 6% a.m., determine o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros, caso a taxa seja de 60% a.a.

a) 8 meses. b) 1 ano e 3 meses. c) 1 ano. d) 10 meses. e) 13 meses.

SOLUÇÃO:

= 10 meses

Cálculo de mensal:

Resposta: C

11)(TRT) Um capital rendeu juros equivalentes a 15% de seu valor. Quantos dias esteve aplicado, sabendo-se que a taxa de juros diária é de 1,5?

a) 5. b) 7,5. c) 8. d) 10. e) 12.

SOLUÇÃO:

J = 15% C = 0,15C

i = 1,5% a.d.

J =

t =

Resposta:D

12)(CEF) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de:

a) 1 ano e 10 meses.

b) 1 ano e 9 meses.

c) 1 ano e 8 meses.

d) 1 ano e 6 meses.

e) 1 ano e 4 meses.

SOLUÇÃO:

C = R$ 15000,00

i = 3% a.b.

M = R$ 19050,00

J = R$ 19050,00 – R$ 15000,00

J = 4050,00

t =

t = 9 bimestres

t = 18 meses

t = 1 ano e 6 meses

Resposta: D

13)(TCU) Um investidor aplicou R$ 2.000,00 no dia 06.01.03, à taxa de 22,5% ao mês. Esse capital terá um montante de R$ 2.195,00:

a) 5 dias após sua aplicação.

b) após 130 dias de aplicação.

c) aos 15.05.03.

d) aos 19.01.03.

e) após 52 dias de sua aplicação.

SOLUÇÃO:

C = R$ 2000,00

M = R$ 2195,00

i = 22,5% a.m.

J = R$ 2195,00 – R$ 2000,00

J = R$ 195,00

t =

t = 13 dias

6/01 mais 13 dias, o montante será obtido em 19/01.

Resposta: D

Exercícios sobre cálculo de capital:

01)(AFTN) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se obtenham os mesmos juros simples que os produzidos por R$ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período?

a) R$ 420.000,00.

b) R$ 450.000,00.

c) R$ 480.000,00.

d) R$ 520.000,00.

e) R$ 500.000,00.

SOLUÇÃO:

C1 = ?

i1 = 12% a.m.

C2 = 400000

i2 = 15% a.m.

Juros (1) = Juros (2)

Resposta: E

02)(TTN) Qual é o capital que diminui dos seus juros simples de 15 meses, à taxa de 6% a.a., reduz a R$ 8.736,00?

a) R$ 9.800,00 b) R$ 9.760,00 c) R$ 9.600,00 d) R$ 10.308,48 e) R$ 9.522,24.

SOLUÇÃO:

t = 18 meses = 1,5 ano

i = 6% a.a.

C – J = R$ 8736,00

C - R$ 8736,00

Resposta:C

03)(TRT) Certa quantia foi depositada durante um mês na caderneta de poupança. No fim do período, o banco liberou para o aplicador a importância de R$ 2.268,00. Se a renda obtida correspondente a 35% da aplicação, quanto foi depositado pelo aplicador?

a) R$ 1.320,00. b) R$ 1.380,00. c) R$ 1.680,00. d) R$ 1.860,00. e) R$ 1.900,00.

SOLUÇÃO:

Montante: M = R$ 2268,00

Juros = 35% do capital

Juros = 0,35C

J = M – C

0,35C = M – C

0,35C + C = M

1,35C = M

1,35C = 2268

C = R$ 1680,00

Resposta: C

04)(TRT-ES) Emprestei ¼ do meu capital, a 8% ao ano, 2/3 a 9% e o restante a 6% ao ano. No fim de um ano recebi R$ 102,00 de juros.Determine o capital.

a) R$ 680,00.

b) R$ 840,00.

c) R$ 1.200,00.

d) R$ 2.530,00.

e) R$ 12.600,00.

SOLUÇÃO:

OBS: Capital da 3 a aplicação:

Resposta: C

05)(AFTN) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principais é de R$ 1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total de pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga no final do décimo primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é:

a) R$ 816,65. b) R$ 900,00. c) R$ 945,00. d) R$ 970,00. e) R$ 995,00.

SOLUÇÃO:

1a parcela:

70% de R$ 1400,00

0,7 . 1400 = R$ 980,00

2a parcela:

30% de R$ 1400,00

0,3 . 100 = R$ 420,00

Valor financiado:

Resposta: B

06)(NA.ORÇ-RJ) Uma pessoa aplicou 1/8 do seu capital a juros simples (comerciais) de 36% ao ano, pelo prazo de um ano, e o restante do dinheiro, a uma taxa de juros de 42% ao ano, pelo mesmo prazo, e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações rendeu R$ 3.096,00 de juros mais que a outra, de quanto era o seu capital inicial?

a) R$ 9.636,00.

b) R$ 8.536,00.

c) R$ 8.586,00.

d) R$ 9.600,00.

e) R$ 8.500,00.

SOLUÇÃO:

Resposta: D

07)(TTN) Um capitalista empregou 2/5 de seu capital a juros simples comerciais, à taxa de 48% a.a., durante cinco meses, e o restante do capital também a juros simples comerciais, à taxa de 60% a.a., durante seis meses. Sabendo-se que a soma dos montantes recebidos nas duas aplicações foi de R$ 302.400,00, o capital inicial era de:

a) R$ 230.000,00.

b) R$ 240.000,00.

c) R$ 250.000,00.

d) R$ 255.000,00.

e) R$ 260.000,00.

SOLUÇÃO:

Resposta: B

08)(TER) Paulo aplicou dois capitais a juros comercias : o primeiro à taxa de 72% a.a. durante 6 meses, e o segundo à taxa de 84% a.a. , durante 8 meses . Sabendo-se que a soma dos capitais iniciais aplicados era de R$3.000,00 e que o valor dos rendimentos das aplicações somou R$1.360,00 , o valor do menor capital inicial era de R$ :

a)1350 b)1400 c)1420 d)1450 e)1600

SOLUÇÃO:

09)(BANERJ) O capital que, empregado a juros simples de 2,5% ao mês, atinge em três meses o montante de R$ 12.900,00 é:

a) R$ 12.000,00.

b) R$ 11.400,00.

c) R$ 10.800,00.

d) R$ 10.500,00.

e) R$ 10.000,00.

SOLUÇÃO:

i = 2,5% a.m.

t = 3 meses

M = R$ 12900,00

M = C

12900,00 = C

12900,00 = C . (1+0,075)

C= = R$ 12000,00

Resposta: A

10)(B. BRASIL) Que quantia aplicada a 2,5% a.m., durante três meses e dez dias, rende R$ 28.000,00?

a) R$ 112.000,00.

b) R$ 134.000,00.

c) R$ 250.000,00.

d) R$ 336.000,00.

e) R$ 403.000,00.

SOLUÇÃO:

i = 2,5% a.m.

t = 3 meses e 10 dias = 100 dias

J = R$ 28000,00

J =

C =

C = R$ 336000,00

Resposta: D

11)(TTN) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de oito meses é de:

a) R$ 1.100,00. b) R$ 1.000,00. c) R$ 1.392,00. d) R$ 1.200,00. e) R$ 1.399,00.

SOLUÇÃO:

i = 12% a.a.

M = R$ 1296,00

t = 8 meses

Taxa mensal:

12% a.a. 12 = 1% a.m.

M = C

1296 = C

1296 = C (1 + 0,08)

1296 = 1,08C

C = = R$ 1200,00

Resposta: D

12)(PG-RJ) Certo capital, aplicado durante nove meses à taxa de 35% ao ano, rendeu R$ 191,63 juros. O valor desse capital era de:

a) R$ 690,00. b) R$ 700,00. c) R$ 710,00. d) R$ 720,00. e) R$ 730,00.

SOLUÇÃO:

t = 9 meses

i = 35% a.a.

J = R$ 191,63

Taxa mensal:

35% a.a. 12 = a.a.

J =

C =

C =

Resposta: E

13)(FURNAS) Um comerciante aceita cheque pré-datado para 30 dias, mas cobra juros de 8% sobre o preço à vista. Uma mercadoria que paga em 30 dias sai por R$ 27,00 custa, à vista:

a) R$ 19,00 b) R$ 21,40 c) R$ 24,80 d) R$ 25,00 e) R$ 29,15

SOLUÇÃO:

M = R$ 27,00

t = 30 dias = 1 mês

i = 8% a.m.

M = C

27 = C

27 =C (1 + 0,08)

C = 25

Resposta: D

14)(TRT) Calcule o capital que se deve empregar à taxa de 6% a.m. a juros simples, para se obter R$ 6.000,00 de juros em quatro meses.

a) R$ 10.000,00.

b) R$ 25.000,00.

c) R$ 100.000,00.

d) R$ 180.000,00.

e) R$ 250.000,00.

SOLUÇÃO:

i = 6% a.m.

J = R$ 6000,00

t = 4 meses

J =

C = = 25000,00

Resposta: B

15)(TFR) João tem uma dívida de R$ 350,00 que vence em cinco meses. Para dispor da quantia no prazo estipulado, ele deve aplicar hoje, a juros simples comerciais de 96% a.a., o capital de R$:

a) 200. b) 225. c) 250. d) 275. e) 280.

SOLUÇÃO:

M = R$ 350,00

t = 5 meses

i = 96% a.a.

Taxa mensal:

96 12 = 8% a.m.

M = C

350 = C

350 = 1,4C

C = 250

Resposta:C

Exercícios sobre cálculo de rendimento (juros)

01)(TTN) Um capital de R$ 100.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 20% ao trimestre, ao logo de 15 meses, rende um total de juros no valor de:

a) R$ 30.000,00. b) R$ 80.000,00. c) R$ 100.000,00. d) R$ 150.000,00.

SOLUÇÃO:

C = R$ 100000,00

i = 20% a.t.

t = 15 meses = 5 trimestres

J =

Resposta: C

02)(TTN) Paulo emprestou R$ 150, 00, a juros simples comerciais, lucrando R$ 42,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de aplicação foi de 120 dias, a taxa de juros mensal aplicada foi de:

a) 7% b) 8% c) 6% d) 5% e) 4%

SOLUÇÃO:

C = R$ 150,00

J = R$ 42,00

t = 120 dias = 4 meses

i = ?

J =

i =

Resposta: A

03)(BACEN) Na capitalização simples, o juro correspondente à aplicação de R$ 2.000,00 por dois meses, à taxa de 4% ao mês, é:

a) R$ 320,00 b) R$ 2.160,00 c) R$ 160,00 d) R$ 1.320,00 e) R$ 230,00

SOLUÇÃO:

C = R$ 2000,00

i = 4% a.m.

t = 2 meses

J =

Resposta: C

04)(TTN) Calcular os juros simples que um capital de R$ 10.000,00 rende em um ano e meio aplicado à taxa de 6% a.a. os juros são de:

a) R$ 700,00. b) R$ 1.000,00. c) R$ 1.600,00. d) R$ 600,00. e) R$ 900,00.

SOLUÇÃO:

C = R$ 10000,00

t = 1,5 anos

i = 6% a.a.

J =

Resposta: E

05)(CONTADOR-RJ) O rendimento obtido por um investidor ao aplicar R$ 60.000,00, durante dois meses, a taxa simples de 200% a.a.é:

a) R$ 5.000,00

b) R$ 10.000,00

c) R$ 15.000,00

d) R$ 20.000,00

e) R$ 25.000,00

SOLUÇÃO:

C = R$ 60000,00

t = 2 meses

i = 200% a.a.

Taxa mensal:

i =200 12

i =

J =

J =

J = R$ 20000,00

Resposta: D

06)(PG-RJ) Um imposto no valor de R$ 488,00 está sendo pago com atraso de três meses. Se a Prefeitura cobrar juros de 25% ao ano, o contribuinte terá de pagar um acréscimo de:

a) R$ 30,20. b) R$ 30,30. c) R$ 30,40. d) R$ 30,50. e) R$ 30,60.

SOLUÇÃO:

C = R$ 488,00

t = 3 meses = 3/12 = ¼ ano

i = 25% a.a.

J = 30,50

Resposta: D

Exercícios sobre cálculo de montante:

01)(TCE) O montante de um capital de R$ 20.000,00 aplicados por três períodos de tempo, no regime de capitalização simples à taxa de 20% por período, é:

a) R$ 30.000,00. b) R$ 32.000,00. c) R$ 34.000,00. d) R$ 36.000,00.

SOLUÇÃO:

C = R$ 20000,00

t = 3 períodos

i = 20% por período

M = C

M = 20000

M = 20000 (1 + 0,6)

M = 20000 . 1,6 = R$ 3200,00

Resposta: B

02)(TTN) Um capital de R$ 80,00 aplicados a juros simples à taxa de 2,4% a.m. atinge, em 45 dias, um montante, em reais, de:

a) 81,92. b) 82,88. c) 83,60. d) 84,80. e) 88,00.

SOLUÇÃO:

C = R$ 80,00

i = 2,4% a.m.

t = 45 dias = 1,5 meses

M = C

M = 80

M = 80 (1 + 0,036)

M = 80 . (1,036) = 82,88

Resposta: B

03)(AFTN) Um capital no valor de50,aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge em 20 dias, um montante de:

a) 51. b) 51,2. c) 52. d) 53,6. e) 68.

SOLUÇÃO:

C = R$ 50,00

i = 3,6% a.m.

t = 20 dias = meses

M = C

M = 50 = 51,2

Resposta: B

04)(TELERJ) Uma dívida de R$ 20.142,00 foi paga com um atraso de três dias. Se forem, cobrados juros simples de 1% ao dia de atraso, o montante pago foi de:

a) R$ 20.202,42.

b) R$ 20.551,26.

c) R$ 20.746,26.

d) R$ 22.435,44.

e) R$ 26.184,60.

SOLUÇÃO:

C = R$ 20142,00

t = 3 dias

i = 1% a.d.

M = C

M = 20142 20746,26

Resposta: C

05)(PG-RJ) Certo investidor aplicou R$ 870,00 à taxa de 12% ao mês. Qual o montante, no final de três anos?

a) R$ 4.624,40.

b) R$ 35.078,40.

c) R$ 4.800,00.

d) R$ 35.780,40.

e) R$ 4.860,40.

SOLUÇÃO:

C = R$ 870,00

i = 12% a.m.

t = 3 anos = 36 meses

M = C

M = 870 4628,40

Resposta: A

06)(TCE) Ao comprar um bem cujo preço à vista é R$ 200.000,00, uma pessoa oferece 50% de sinal e o restante após 30 dias. Se o vendedor cobra uma taxa de 30% a.m., o valor restante a ser pago é:

a) R$ 160.000,00. b) R$ 150.000,00. c) R$ 140.000,00. d) R$ 130.000,00.

SOLUÇÃO:

Sinal = 50% de 200000

Sinal = 0,5 . 200000

Sinal = 100000

Valor restante = 200000 – 100000

Valor restante = 100000

Cálculo do montante após 30 dias:

C = 100000

i = 30% a.m.

t = 30 dias = 1 mês

M = C

M = 100000

M = 100000 (1 + 0,3)

M = 100000 . 1,3

M = 130000

Resposta: D

07)(B.BRASIL) Um aplicador aplica R$ 10.000,00 em CDB do Banco do Brasil, de 30 dias de prazo e uma taxa prefixada de 3% ao mês. Considerando o Imposto de Renda de 20% no resgate, o valor líquido a ser resgatado pelo aplicador, em reais, e a taxa de rentabilidade efetiva da aplicação são, respectivamente:

a) 10.200,00 e 2,35%.

b) 10.240,00 e 2,35%.

c) 10.240,00 e 2,40%.

d) 10.240,00 e 2,45%.

e) 10.300,00 e 2,45%.

SOLUÇÃO:

Taxa de rentabilidade de efetiva:

3% - 20% de 3% =

3% - 0,20 . 3% =

3% - 0,60% = 2,40%

Valor líquido resgatado:

J =

Montante: M = C + J

M = 10000 + 240

M = 10240,00

Resposta: C

08)(TTN) Uma duplicata da R$ 570,00, vencida em 04.03.99, somente foi paga em 20.06.99.Admitindo-se que o banco cobre juros simples de 24% a.a., o montante desembolsado pelo devedor foi de:

a) 591,06. b) 595,95. c) 601,82. d) 607,57. e) 611,04.

SOLUÇÃO:

C = R$ 570,00 (04/03)

i = 24% a.a.

Pagamento em 20/06:

Taxa de juros diária:

i =

t = 108 dias

M = C

M = 570

M = 570 (1 + 0,072)

M = 570 . 1,072 = 611,04

Resposta: E

09)(TTN) Uma empresa pagou uma duplicata de R$ 60.000,00 no dia 03.06.2000. Sabendo-se que o título venceu em 25.03.2000 e que o banco adota a taxa de juros simples ordinários de 6% ao mês, o montante que a firma desembolsou foi de:

a) R$ 68,250,00 b) R$ 68.400,00 c) R$ 68.500,00 d) R$ 68.600,00 e) R$ 68.650,00

SOLUÇÃO:

C = R$ 60000,00

i = 6% a.m.

t = 70 dias

Taxa de juros diária:

i =

M = C

M = 60000

M = 60000 . 1,14 = R$ 68400,00

Resposta: B

10)(TTN) Uma duplicata de R$ 300,00 venceu em 26.06.01 e somente foi paga em 14.10.01. Sabendo-se que o banco cobra juros simples de 72% a.a., o sacado desembolsou o montante de R$:

a) 366,00. b) 373,00. c) 375,00. d) 376,00. e) 380,00.

SOLUÇÃO:

C = R$ 300,00

i = 72% a.a.

t = 110 dias

Taxa diária:

i = = 0,2% a.d.

M = C

M = 300

M = 300

M = 300 – 1,22 = R$ 366,00

Resposta: A

11)(TJ-CE) Carlos pagou um carnê de condomínio de seu apartamento em 22.11.01. Sabendo-se que o valor do condomínio era de R$ 720,00, com vencimento em 19.09.01, e que o banco cobra multa de 10% pelo atraso e juros simples comerciais de 24% a.a., o total desembolsado por Carlos foi de R$:

a) 817,85. b) 822,72. c) 825,76. d) 829,30. e) 833,76.

SOLUÇÃO:

C = R$ 720,00

Taxa diária:

i =

t = 64 dias

M = C

M = 720

M = 720 (1 + 0,04266...)

M = 720 . 1,04266... = R$ 822,72

Resposta: B

12)(COM.MAGSME) O condomínio do apartamento de Luíza, de valor de R$ 150,00, venceu em 05.04.03, mais foi pago somente em 15.04.03. Pelo atraso foi cobrada multa de 10%, mais juros simples de 10% ao mês, ambos sobre o valor do condomínio. O valor total pago por Luíza foi:

SOLUÇÃO:

Taxa de juros cobrada:

10% + . 10 dias = 13,33...%

Cálculo montante:

C = R$ 150,00

M = C

M = 150

M = 150 . 1,133...

M = R$ 170,00

13)(AFTN) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição financiadora não cobra custas nem taxa para fazer estas alterações. A taxa de juros não sofrerá alterações.

Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de R$ 11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias.

Condições desejadas: pagamento em três prestações iguais: a primeira ao final do 10º mês; e a segunda ao final do 30º mês; a terceira ao final do 70º mês.

Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor mínimo de cada uma das prestações é:

a) R$ 8.200,00 b) R$ 9.333,33 c) R$ 10.752,31 d) R$ 11.200,00 e) R$ 12.933,60

SOLUÇÃO:

Cálculo do valor financiado:

11024,00 =

Valor do financiamento:

Cálculo do valor de cada parcela:

21000 3 = 7000

1a parcela:

R$ 8400,00

2a parcela:

R$ 11200,00

3a parcela:

R$ 14000,00

Valor médio:

R$ 11200,00

Resposta: D

14)(TNT) João aplicou R$ 500.000,00 em ações da Cia. “X” na bolsa de valores. Sessenta dias depois as vendeu por R$ 400.000,00. Admitindo-se que ele poderia ter aplicado sua

economia no mercado aberto (open market) a juros simples comerciais a uma taxa de 96% a.a., o seu prejuízo real foi de:

a) 175.000,00

b) 190.000,00

c) 185.000,00

d) 180.000,00

e) 200.000,00

SOLUÇÃO:

i = 96% a.a. = 8% a.m.

J =

J = R$ 80.000,00

M = 500000 + 80000 = 580000

Prejuízo: 580000 – 400000 = R$ 180000,00

Resposta: D

JUROS COMPOSTOS:

O princípio fundamental de uma aplicação / empréstimo feito sob o regime de juros compostos é o fato de que a taxa incide, periodicamente, sobre o capital acumulado até o período anterior.

Assim:

Se aplicarmos C à taxa i por t períodos, teremos ao final do:

Daí a fórmula fundamental usada no regime de juros compostos.

Os juros compostos são calculados pela diferença:

01) (TCE) O valor de resgate no fim de dois meses de uma aplicação inicial de R$ 10.000,00 a uma taxa composta de 40% ao mês é:

a) R$ 18.000,00.

b) R$ 19.600,00.

c) R$ 22.200,00.

d) R$ 27.440,00.

SOLUÇÃO:

Resposta: B

02) (B.BRASIL) Se aplicarmos R$ 25.000,00 a juros compostos, rendendo 7% a cada bimestre quanto

teremos após três anos?

SOLUÇÃO:

Resposta: B

03) (BANERJ) O montante produzido por R$ 10.000,00 aplicados a juros compostos, a 1% ao mês, durante três meses é igual a:

a) R$ 10.325,01.

b) R$ 10.321,05.

c) R$ 10.305,21.

d) R$ 10.303,01.

e) R$ 10.300,00.

SOLUÇÃO:

04) (ESAF)A aplicação de um capital de R$ 10.000,00 no regime de juros compostos , pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do 3º mês, num montante acumulado:

a) de R$ 3.000,00.

b) de R$ 13.000,00.

c) inferior a R$ 13.000,00.

d) superior a R$ 13.000,00.

e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples.

SOLUÇÃO:

05) Se uma pessoa aplicou R$ 50.000,00 a juros compostos , à taxa de 10% ao mês, durante três meses, a quantia de juros recebida importou em:

a) R$ 10.000,00

b) R$ 15.000,00

c) R$ 16.500,00

d) R$ 55.000,00

e) R$ 66.550,00

SOLUÇÃO:

06) (Metrô-RJ) Um investidor aplicou a quantia de R$ 20.000,00 à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá gerar após três meses?

a) R$ 26.420,00

b) R$ 26.520,00

c) R$ 26.620,00

d) R$ 26.620,00

SOLUÇÃO:

06) (ICMS-RJ) O quadro abaixo indica , em reais , as quantias que dois investidores A e B dispunham, e as respectivas taxas a que estas quantias foram aplicadas a juros compostos.

Investidores Capital Taxa

A 100.000,00 100% ao ano

B 100.000,00 60% ao semestre

Depois de decorrido um ano, a soma , em reais , dos montantes desses dois investimentos será:

a) R$ 480.000,00

b) R$ 456.000,00

c) R$ 440.500,00

d) R$ 336.000,00

e) R$ 420.000,00

07) (CEF) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa de 2% num regime de capitalização composta . Após um período de dois meses , os juros resultantes dessa aplicação serão :

a) R$ 98,00

b) R$ 101,00

c) R$ 110,00

d) R$ 114,00

e) R$ 121,00

SOLUÇÃO:

08) (BACEN) Um capital de R$ 4.000,00 , aplicado à taxa de 2% ao mês , durante 3 meses , na capitalização composta , gera um montante de :

a) R$ 6.000,00

b) R$ 4.250,00

c) R$ 5.500,00

d) R$ 4.244,83

e) R$ 6.240,00

SOLUÇÃO

Polinômios:

Definições e Características de Polinômios

Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática definida por:

Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x. Uma das funções polinomiais mais importantes é definida por:

O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros.

Valor Numérico:

O valor numérico de um polinômio p = p(x) em x = a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).

Ex 1) Dado o polinômio , se n for ímpar, então P(-1) vale:

Ex 2) Dado P(x) = 2x50 + 5x49 + 8x48 + ... + 152. Calcule P(1).

Ex 3) (UnB) Seja com a, b e c R. Calcule f(–2) sabendo que f(2) = 2.

Grau de um Polinômio

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante.

O grau de um polinômio p = p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).

Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes: Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados,

define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o

termo constante. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.

É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p = p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.

Igualdade de Polinômios

Os polinômios p e q em P[x], definidos por:

Ex 4) Para que os polinômios e

sejam idênticos, o produto abc deve ser igual a:

Ex 5) Determine A e B para que se tenha:

Ex 6) Na decomposição de , determine o valor de b2 – 4ac.

Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.

Assim, um polinômio:

De forma análoga, é possível construir o polinômio unidade (identidade para o produto) p1 = 1 em P[x], que é o polinômio:

Soma de Polinômios

Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por: Definimos a soma de p e q, por:

A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:

Associativa: quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p + q) + r = p + (q + r)

Comutativa: quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p + q = q + p

Elemento Neutro: existe um polinômio po(x) = 0 tal que po + p = p qualquer que seja p em P[x].

Elemento Oposto: para cada p em P[x], existe outro polinômio (-p) em P[x] tal que p + (-p) = 0

Com estas propriedades a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.

Ex 7 : Determinar o polinômio resultante da soma de e

:

Produto de Polinômios

Sejam p, q em P[x], dados por: Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:

A estrutura matemática formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

Elemento Nulo: Existe um polinômio tal que

qualquer que seja p em P[x].

Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x) = 1 tal que

qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por . Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios

Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática é denominada anel comutativo com identidade.

Ex 8 : Determinar o polinômio resultante dos produtos:

Divisão de Polinômios

Efetuar a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) não nulo , significa determinar um único par de polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às condições:

Notas:1) se R(x) = 0 , então dizemos que P(x) é divisível por D(x).2) se gr P > gr D então gr (P : D) = gr P - gr D .3) não se esqueça que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor .4) se gr P(x) < gr D(x) então Q(x) = 0 e R(x) = P(x) .

Ex 9: Determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) por D(x):

Resto da Divisão pelo Binômio x - a.

Teorema do resto : o resto da divisão de P(x) por x - a é igual a P(a) .Demonstração : Podemos escrever P(x) = (x - a) . Q(x) + R(x) ; Logo, fazendo x = a vem imediatamente que P(a) = (a - a) . Q(a) + R(a) , de onde se conclui que

P(a) = R onde R é o resto da divisão .

Conseqüência : Se P(a) = 0 , então R = 0 (R = resto) e portanto , P(x) é divisível por x - a . Essa afirmação é conhecida como teorema de D’Alembert .

Ex 10 : Determinar o resto da divisão de P(x) por D(x):

Dispositivo de BRIOT-RUFFINE:

É um método utilizado para a divisão de P(x) por x-a :

Ex 11: Determinar o quociente e resto da divisão de P(x) por D(x):

Espaço Vetorial dos Polinômios Reais

Embora uma seqüência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais, usaremos neste momento uma notação para seqüência no formato de um conjunto.

O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das seqüências quase-nulas de números reais , isto é, as seqüências da forma:

Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da seqüência são nulos. A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio

e colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de zeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual tais seqüências são denominadas seqüências quase-nulas.

Esta forma de notação

funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma dos elementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.

Vamos considerar S o conjunto das seqüências quase-nulas de números reais com as operações de soma, multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.

Sejam p e q em S, tal que:

e vamos supor que m < n.

Definimos a soma de p e q, como:

a multiplicação de p em S por um escalar k, como:

e o produto de p e q em S como:

sendo que

O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.

Características do Grau de um polinômio

Se gr(p)=m e gr(q)=n então

Como para todo k =1,2,3,...,n vale a identidade:

então para

temos que

e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:

o que garante que podemos colocar em evidência g(x)=x-c para obter

onde q =q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim podemos escrever:

e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.

Ex 12) O grau dos polinômios f, g e h é 3. O número natural n pode ser o grau do polinômio não nulo f (g + h) se e somente se:

a) n = 6 b) n = 9 c) 0 n 6 d) 3 n 9 e) 3 n 6

Ex 13) Seja p em polinômio de grau 4 e q um polinômio de grau 8. O polinômio:

a) q³ tem grau 11b) p² tem grau 6c) q - p tem grau 8d) p + q tem grau 12e) p . q tem grau 32

Ex 14) Se p(x) é um polinômio de grau 5, então o grau de [p(x)]³ + [p(x)]² + 2p(x) é:

a) 3 b) 8 c) 15 d) 20 e) 30

Zeros de um Polinômio

Um zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. O zero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.

Uma conseqüência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que: 0f(c)r(x) P[x] em p defator um é c-x

o que é equivalente a:

Ex 15) Verifique se 1,2 e 3 são raízes do polinômio .

Equações Algébricas:Sendo P(x) um polinômio em C , chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0 . Portanto , as raízes

da equação algébrica , são as mesmas do polinômio P(x) . O grau do polinômio , será também o grau da equação .

Propriedades Importantes:

P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .Exemplo: a equação possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1.

Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.Exemplo: a equação possui 4 raízes a saber: x = 1(com

multiplicidade 2) ou x = 2 ou x = 3. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {1,1,2,3}={1,2,3}.

P2 - Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação, o que se

consegue dividindo-se P(x) por x - b, aplicando Briot-Ruffini.

Exemplo: A equação possui 4 raízes sendo x = 1(raiz com multiplicidade 2). Determinar as demais raízes.

Solução:

A equação possui 3 raízes sendo x = -1 uma das raízes. Determinar as demais raízes.

Solução:

P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0, então o conjugado a - bi também será raiz.Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são

os números 5, 3 + 2i e 4 - 3i.Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes.

Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.

P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .

Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4. Portanto 4 é raiz décupla ou de

multiplicidade 10.Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas .

Ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ =

4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.

Exemplo: Verifique a multiplicidade de x = 1 como raiz da equação:

Solução:

P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula , então a unidade é raiz da equação (1 é raiz).

Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0, pois a soma dos coeficientes é igual a zero .

P6 - Toda equação de termo independente nulo , admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável.

Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas .A equação , possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!

P7 - Se são raízes da equação , então ela pode ser escrita na forma fatorada :

Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então podemos escrever: (x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0 . (verifique!).

Relações de Girard - Albert Girard (1590-1633).

São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica.Para uma equação do 2º grau , da forma , já conhecemos as seguintes relações

entre os coeficientes e as raízes :

Para uma equação do 3º grau , da forma , sendo as raízes , temos as seguintes relações de Girard:

Para uma equação do 4º grau , da forma , sendo as raízes iguais a

, temos as seguintes relações de Girard:

Nota: observe que os sinais se alternam a partir de (-) , tornando fácil à memorização das fórmulas

Exemplo : Determinar a soma e o produto das raízes das equações dadas abaixo:

Funções algébricas : expressão, construção e interpretação de gráficos:

Função polinomial do 3º grau:

É a função definida por com .

Gráfico da função polinomial do 3º grau:

-4 18,4

-3 0,3

-2

-1

0

+1

+2

+3

Trigonometria

Medidas de arcos e ângulos:

Grau: 360º é a medida de uma circunferência .

Radiano: Arco de comprimento igual ao raio; 2 rad é a medida de uma circunferência.

Conversão de medidas:

Ex 1: Transforme em radianos:

Ex 2 : Transforme em graus:

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo:

Valores Notáveis

30° 45° 60°

sen

cos

tg 1

Ex 3 ) Seja x um arco do 1º quadrante e , calcular

solução:

Ex 4 ) O ângulo é agudo e , Calcule o .

Solução:

Ex 5 ) Seja e 4

3tg ; calcule o .

Solução:

Ex 6 ) Se então valem:

Solução:

Resolução de Triângulos Quaisquer:

Lei dos Senos

(R = raio da circunferência circunscrita)

Ex 7) Um triângulo qualquer possui um ângulo de 45º e outro de 30º . O lado oposto ao ângulo de 30º mede 3 dm. Calcular a medida do lado oposto ao ângulo de 45º e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. Solução:

Lei dos Cossenos

Ex 8 ) Calcule a medida do lado desconhecido de cada triângulo da figura abaixo:

Lei da Área

(S = área do triângulo)

se é um ângulo obtuso (90º<<180º), então:sen = sen (180º - )cos = - cos (180º - )

Ex 9 : Calcular a área dos triângulos do ex 8.

Solução:

Seno, Co-seno e Tangente no Ciclo Trigonométrico

Ciclo Trigonométrico é uma circunferência com:

raio igual a 1; ponto origem dos arcos: A; orientação: sentido positivo é o anti-horário.

Arco Trigonométrico de medida :

tem origem A (origem dos arcos) orientação: positiva se > 0 negativa se < 0

Quadrantes e sinais das razões trigonométricas:

O círculo trigonométrico:

Ex 10) Determine o valor numérico de:

Ex 11) Se a medida de um arco é 8 radianos, então:a) sen x > 0 e cos x > 0;

b) sen x > 0 e cos x < 0;c) sen x < 0 e cos x < 0;d) sen x < 0 e cos x > 0;e) sen x = 0 e cos x = 0;

Ex 12) O valor da expressão

a) -1b) 0c) ½d) 1e) 2

Ex 13) O valor numérico da expressão para , é:

a) – 2 b) – 2/3 c) 2 d) 2/3 e) 1

Valores das funções nos arcos básicos:

0 0

2

3 02

1

tg

3

3 0

0

3

3

Valores das funções nos arcos básicos:

2

1

2

1 0

2

1 0

tg

3

3

3

3 0

Relações Trigonométricas :Seno, Co-seno, Tangente, Cotangente,Secante e Cossecante.

Relação Fundamental da Trigonometria:

Relações entre razões trigonométricas:

Ex 14 ) Sendo tal que sen = , calcule cos , tg , sec , cossec e cotg .

Ex 15) Se x [3/2; 2], cos x = e A = 2 + cossec x, então:

a) A = - 1/2 b) A = - 3/2 c) A = 3 d) A = 3/2 e) A = 1/2

Ex 16) Se tg x = 3/4 e < x < 3/2, o valor de cos x – sen x é:a) 7/5 b) – 7/5 c) – 2/5 d) 1/5 e) – 1/5

Ex 17) Se sen x = 2/3, o valor de tg2 x é:a) 0,6 b) 0,7 c) 0,8 d) 0,9 e) 1

Identidades trigonométricas:

Ex 18) Simplificando a expressão obtêm-se:

a) 0 b) sec2 a c) sen2 a d) 1 e) tg2 a

Ex 19) Qual das expressões abaixo é idêntica a

a) sen x b) cos x c) tg x d) cossec x e) cotg x

Ex 20) Simplificando a expressão , obtemos:

a) sec2 x b) sen2 x c) tg2 x d) cos2 x e) cotg2 x

Transformações de Arcos:

Arcos Negativos

sen( - x ) = - sen x

tg( - x ) = - tg x

cos( - x ) = cos x

Adição de Arcos

sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b

tg(a + b) =

Subtração de Arcos

sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a

cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b

tg(a – b) =

Duplicação de Arcos

sen 2a = 2 . sen a . cos a

cos 2a = 2 . cos2a – sen2a

tg 2a =

Arcos Complementares

sen( /2 – x ) = cos x

cos( /2 – x ) = sen x

tg( /2 – x ) = cotg x

Ex 21) Sendo sen x = 12/13 e sen y = 4/5, 0 < x, y < /2 então sen ( x – y ) é igual a:a) 48/65 b) 112/65 c) 48/60 d) 56/65 e) 16/65

Ex 22) Se tg ( x + y ) = 33 e tg x = 3 , então tg y é igual a:a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6

Ex 23) Sejam x ]0; /2[ e y ] 3/2; 2 [; se cos x = 2/3 e cos y = 3/5, então:a) cos( x + y ) = 19/15

b) cos( x + y ) =

c) cos( x + y ) =

d) cos( x + y ) =

e) cos( x + y ) =

Ex 24) Seja um ângulo tal que 0 /2. Assinale a alternativa correspondente ao número x = sen ( + /2 ).a)cos b)sen ( - ) c)sen ( ) d)- cos ( ) e)sen ( 1/ )

Arcos Côngruos:

São arcos que tem a mesma origem A e a mesma extremidade M; a medida x de qualquer arco trigonométrico côngruo com x0 é:

x = x0 + k . 2 , k Z, x em radianos ou

x = x0 + k . 360º , k Z, x em graus.

Congruências Importantes

se x é a medida de um arco com extremidades em:

a) A ou AI x = k . ;

b) B ou BI x = /2 + k . , ou x = /2 + k . 2

c) A ou AI ou B ou BI x = k . (/2) , k Z.

se x é côngruo com /4 ou 3/4 ou 5/4 ou 7/4, então:

x = /4 + k . (/2) ou

x = /4 + k . , k Z.

Equações Trigonométricas:

Sen x = n; - 1 n 1

x = + k . 2 ou

x = + k . 2 , k Z.

Cos x = n; - 1 n 1

x = + k . 2 , k Z.

Tg x = n;

x = + k . 2 ou x = + k . 2 , k Z

x = + k . , k Z.

(esta expressão substitui as duas anteriores)

Ex 25) Resolva as seguintes equações trigonométricas:

Funções trigonométricas: construção de gráficos.

Função seno:

0

Gráfico da função

Função co-seno:

0

Gráfico da função :

Função tangente:

0

4

5

Gráfico da função :

Periodicidade:

As funções trigonométricas são funções periódicas . O período de uma função trigonométrica pode ser determinado pela observação do gráfico da função ou através da análise da função.

Determinação do período das funções seno, co-seno e tangente:

Exemplos:

Análise CombinatóriaA Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o

número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

Fatorial

Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo:

Exemplos:

a) 5! = 5.4.3.2.1 = 120b) 4! = 4.3.2.1 = 24c) observe que 6! = 6.5.4!d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1e) 12! = 12.11.10.9.8.7.6.5!f ) 20! = 20.19.18!

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1

maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:

(Exemplo 01) A quantidade de números inteiros positivos menores que 400 que podemos formar, utilizando somente os algarismos 1,2,3,4 e 5, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:a) 36 b) 56 c) 61 d) 85 e) 65

(Exemplo 02) Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?

(Exercício 03) Em uma cidade, as placas dos automóveis são formadas por duas das 26 letras do alfabeto, seguidas de 4 algarismos. Placas com letras iguais são proibidas, mas não há qualquer restrição quanto aos algarismos. Quantas placas diferentes são possíveis?

(Exemplo 04) Uma prova compõe-se de 6 questões de múltipla escolha com 5 alternativas cada. De quantos modos um aluno pode preencher o quadro de respostas, escolhendo as alternativas ao acaso?

(Exemplo 05) Sabe-se que os telefones de uma cidade são números de seis dígitos, onde o primeiro nunca é zero. Supondo-se que os números dos telefones passem a ter sete dígitos, determine o aumento possível na quantidade de telefones dessa cidade.

(Exemplo 6). A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde "L" representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e "N" é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por:

Permutações Simples

Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é

Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.

(Exemplo 07) Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 3, 5, 7, 9, o número 7.953 ocupa a n-ésima posição. O valor de n é:

a) 18 b) 16 c) 17 d) 19 e) 20

(Exemplo 08) De quantos modos podemos dispor em linha e alternadamente, 5 rapazes e 6 moças?

Permutações com Elementos Repetidos

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:

(Exemplo 09) Quantos são os anagramas formados com as letras da palavra BATATA?

(Exemplo 10) Provenientes das permutações dos algarismos 1, 2, 2, 2, 3, 4, quantos números pares de 6 algarismos existem?

Arranjos Simples

Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples de taxa k, a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem.

Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:

a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

(Exemplo 11) Quantos números de algarismos diferentes, situados entre 100 e 2000, podem ser formados com os algarismos ímpares?

(Exemplo 12) Quantos são os números de 5 algarismos distintos, menores que 30.000, formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5?

Combinações Simples

Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

Exemplo:

No conjunto E = {a,b.c,d} podemos considerar:a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.c) combinações de taxa 4: abcd.

(Exemplo 13) Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados?

(Exemplo 14) As retas r e s são distintas e paralelas entre si. São dados 5 pontos distintos na reta r e 4 pontos distintos sobre a reta s. Quantos são os triângulos determinados pelos pontos dados?

(Exemplo 15) Seja M um conjunto com 20 elementos. O número de subconjuntos de M que possuem exatamente 18 elementos é:

a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18

(Exemplo 16) Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?

(Exemplo 17) Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?

(Exemplo 18) Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?

(Exemplo 19). Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é:

(Exemplo 20) Dispõe-se de 6 jogadores de voleibol, entre os quais o jogador A. Quantas duplas diferentes podemos formar nas quais não apareça o jogador A?a) 8 b) 5 c) 10 d) 6 e) 16

(Exemplo 21) Quantas diagonais contêm o hexaedro constituído por 6 faces triangulares obtido pela união de duas pirâmides triangulares?

(Exemplo 22) Consideram-se 7 pontos num plano, dos quais 3 quaisquer não colineares; consideram-se, ainda, dois outros pontos fora do plano, tais que a reta por eles definida não contenha qualquer dos 7 anteriores, e seja reversa com qualquer reta definida pelos mesmos 7 pontos. Quantos tetraedros distintos podemos formar com vértices nos pontos considerados?

(Exemplo 23) De quantos modos podem ser guardados 6 objetos diferentes em duas gavetas, sendo 4 na primeira e 2 na segunda?

(Exemplo 24) Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 pessoas e o outro com 15, encontram-se em um certo local de um país distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo, qual o número total de cumprimentos?

Probabilidade

Introdução

Consideremos os seguintes experimentos:

Aquecimento da água contida em uma panela; Queda livre de um corpo.

Conhecidas certas condições, podemos prever a temperatura em que a água entrará em ebulição e a velocidade com que o corpo atingirá o solo.

Os experimentos cujos resultados podem ser previstos , isto é, podem ser determinados antes da sua realização, são denominados experimentos determinísticos.

Consideramos também os experimentos:

Lançamento de uma moeda e leitura da figura da face voltada para cima; Lançamento de um dado comum e leitura do número voltado para cima; Nascimento de uma criança; Sorteio de uma carta de baralho.

Se esses experimentos forem repetidos várias vezes, nas mesmas condições, não poderemos prever o seu resultado.

Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentarem resultados variados, não sendo possível, portanto , a previsão lógica dos resultados, são denominados experimentos aleatórios.

Um experimento aleatório apresenta as seguintes características fundamentais:

Podem repetir-se várias vezes nas mesmas condições;

É conhecido o conjunto de todos os resultados possíveis;

Não se pode prever qual é o resultado.

Os experimentos aleatórios estão sujeitos à lei do acaso.

Como não podemos prever o resultado, procuraremos descobrir as possibilidades de ocorrência de cada experimento aleatório.

A Teoria das Probabilidades estuda a forma de estabelecer as possibilidades de ocorrência de cada experimento aleatório.

Elementos

Espaço Amostral: o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral, o qual indicaremos por U.

Exemplo:Determinar o espaço amostral nos seguintes experimentos.

a) Joga-se uma moeda e lê-se a figura da face voltada para cima;

b) Joga-se um dado comum e lê-se o número voltado para cima;

c) Joga-se duas moedas diferentes e lêem-se as figuras das faces voltadas para cima.

Resolução:

a) U = { cara, coroa}b) U = {1,2,3,4,5,6}c) U = {(cara, cara) (cara, coroa) (coroa, coroa) (coroa, cara)}

Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento.

Exemplo:

Uma urna contém 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas, sucessivamente, 3 bolas.

1ª bola 2ª bola 3ª bola

O espaço amostral será:

U = {(PPP), (PPV), (PVV), (VPP), (VPV), (VVP), (VVV)}

Alguns Eventos

Evento 1 – as três bolas têm a mesma cor { (PPP), (VVV)}

Evento 2 – duas das bolas são pretas { (PPV), (PVP), (VPP)}

Evento 3 – as três bolas são vermelhas {(VVV)}

Evento 4 – o número de bolas pretas é igual ao número de bolas vermelhas { } ou

(Exercício 1) Dê espaço amostral dos seguintes experimentos:a) lançamento simultâneo de três moedas, faça C = cara, K = coroa.

b) lançamento simultâneo de um dado e uma moeda.

(Exercício 2) Considere o experimento lançamento de dois dados, um branco e outro verde, e observação da face superior; determine o número de elementos do:a)espaço amostral;b)evento: ocorrência de números iguais nos dois lados;c)evento: ocorrência de números cuja soma seja 5;d)evento: ocorrência de números cuja soma seja 12.

Tipos de Eventos

Considere p experimento aleatório; lançamento de um dado comum e observação do número voltado para cima.

O espaço amostral será U = {1,2,3,4,5,6}.

Evento Certo: é o próprio espaço amostral.Ex: evento A ocorrência de um número menor que 6.A = {1,2,3,4,5,6}

Evento Impossível: é o subconjunto vazio do espaço amostral.ex: evento B ocorrência de um número maior que 10.B =

Evento União: é a reunião de dois eventosEx: evento A ocorrência de um número impar A = {1,3,5} Evento B ocorrência de um número par primo B = {2} Evento A B ocorrência de um número impar ou de um número par primo A B = {1,2,3,5} Evento Intersecção: é a intersecção de dois eventosEx: Evento A ocorrência de um número par A = {2,4,6} Evento B ocorrência de um número múltiplo de 4 B = {4}. Evento A B ocorrência de um número par e múltiplo de 4 A B = {4}

Eventos Mutuamente Exclusivos: são aqueles que tem conjuntos disjuntos,Ex: Evento D ocorrência de um número par D = {2,4,6} Evento E ocorrência de um número impar E = {1,3,5}D E =

Eventos complementares: são dois eventos A e , tais que:A = U (o evento união é o próprio espaço amostral)A = (o evento intersecção é o conjunto vazio)Ex: Evento A ocorrência de número par A = {2,4,6,} Evento ocorrência de número impar = {1,3,5}Observe que: A = U = {1,2,3,4,5,6} A =

Probabilidade de um Evento

Se, num fenômeno aleatório, o número de elementos do espaço amostral é n(U) e o número de elementos do evento A é n(A), então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número P(A), tal que:

Essa definição é válida quando o espaço amostral U for equiprobabilístico, isto é, quando todos os elementos de U tiverem a mesma probabilidade.

Conseqüências da definição de probabilidade

1) P () =

P (U) =

P() = 0 e P (U) = 1

2) Como o evento A é um subconjunto do espaço amostral U, então:

É comum representarmos as probabilidades em porcentagem. Por exemplo, em vez de dizermos

P(A) = , podemos dizer P(A) = 50%. Então, pela conseqüência (2):

0% P(A) 100%

(Exercício 3) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:a) o número 2;b) um número par;c) o número múltiplo de 3.

Resolução: O espaço amostral é U = {1,2,3,4,5,6}, portanto n(U) = 6.

a) Ocorrência do número 2:

P(A) = = 0,1666 ou P(A) = 16,66%

b) Ocorrência de número par:

B = {2,4,6}, portanto n(B) = 3

P(B) = = 0,5 ou P(B) = 50%

c) Ocorrência de número múltiplo de 3:

C = {3,6}, portanto n(C) = 2

P(C) = = 0,3333 ou P(C) = 33,33%

(Exercício 4) De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:

a) as duas cartas são damasb) as duas cartas são de ouros

Resolução:

a) Calculo do número de elementos do espaço amostral:

1ª possibilidade 2ª possibilidade 52 51

n(U) = 52 . 51 = 2.652

Calculo do número de elementos do evento A: duas damas.Temos 4 damas,portanto A 4 , 2 = 4 . 3 = 12 n(A) = 12

P(A) =

b) Calculo do número de elementos do evento B: duas cartas de ouros.Temos 13 cartas de ouros, portanto A 13 , 2 = 13 . 12 = 156

P(B) =

(Exercício 5) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:a) o número 1;b) um número primo;c) um número divisível por 2;d) um número menor que 5;e) um número maior que 6.

(Exercício 6) No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, determine a probabilidade dos seguintes eventos:a) os números são iguais;b) a soma dos números é igual a 9.

(Exercício 7) Você faz parte de um grupo de 10 pessoas, para três das quais serão distribuídos prêmios iguais. Calcule a probabilidade de que você seja um dos premiados.

(Exercício 8)Jogando-se dois dados distintos, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja menor que 4?

(Exercício 9) Lançam-se dois dados distintos com faces numeradas de 1 a 6. Calcule a probabilidade de que a soma obtida seja 10.

(Exercício 10) De um baralho com 52 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja:a) uma dama;b) uma dama de paus;c) uma carta de ouros.

(Exercício 11) Com os dígitos 1,4,7,8 e 9 são formados números de três algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele se impar?

(Exercício 12) Uma caixa contém 9 bilhetes numerados de 1 a 9. Se 3 destes bilhetes são tirados juntos, qual a probabilidade de ser impar a soma dos números?

(Exercício 13) Uma sacola contém 5 bolas brancas e 10 bolas pretas. Se 3 bolas são tiradas ao acaso simultaneamente, qual a probabilidade de saírem todas da mesma cor?

(Exercício 14) No lançamento de dois dados iguais, qual a probabilidade de a soma dos pontos ser 8 e um dos dados apresentar 6 pontos?

elementos. 21 a se-reduz amostral espaço

o logo 2,11,2 o iguais dados Para :

%52,90952,021

2

2,62,6A

:

Obs

P

Solução

(Exercício 15) Oito casais participam de uma reunião. Escolhendo duas pessoas aleatoriamente, determine a probabilidade de que:a) sejam marido e mulher;b) uma seja do sexo masculino e a outra do sexo feminino.

Probabilidade do Evento Complementar

Sejam A e dois eventos de um espaço amostral U; sendo o evento complementar de A, temos:

P(A) +P = 1

Demonstração: Sejam os conjuntos A, e U:

U

A + = U n(A) + n = n(U)

P(A) + P = 1

A

(Exercício 16) Consideramos um conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragadas. Escolhendo-se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:

a) ambas não estejam estragadas;

b) pelo menos uma esteja estragada.

Resolução:

a) Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas podem ser escolhidas.

n(U) = = maneiras

Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas não estragadas podem ser escolhidas.

n(A) = maneiras

P(A) =

b) é o evento: pelo menos uma fruta está estragada.

P(A) + P = 1

P

(Exercício 17) Considere o lançamento de dois dados. Determine:a) a probabilidade de se obter um total de 7 pontos.b) a probabilidade de não se obter um total de 7 pontos.

(Exercício 18) Seja A o evento: retirada de uma carta de paus de um baralho de 52 cartas. Calcule P(A) e P .

(Exercício 19) Considere o lançamento de um dado equilibrado . Calcule a probabilidade de:a) sair um múltiplo de 3.

b) não sair múltiplo de 3.

Probabilidade da União de dois Eventos

Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral U, tem-se que:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Demonstração: Sejam os conjuntos A, B e U:

U

Sabemos que n(A B) = n(A)+n(B) – n(A B). Dividindo-se por n(U), temos:

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Daí podemos concluir:

A probabilidade do evento A ou B é igual à soma das probabilidades dos eventos A e B, diminuída da probabilidade do evento A B.

Observação:

Se A B = P(A B) = P () = 0

Assim, temos:

P(A B) = P(A) +P(B)

A B

Exemplo: Qual é a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número impar?

Resolução: O espaço amostral é U = {1,2,3,4,5,6} n(U) = 6

Os eventos são:

1ª Ocorrência do número 3 A = {3} n(A) = 12ª Ocorrência de número ímpar B = { 1,3,5} n(B) = 3

A B = {3} n(A B) = 1

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

P(A B) =

P(A B) =

P(A B) = 50%

Outro MétodoO evento ocorrência do número 3 ou de número ímpar é:

A = {1,3,5} n(A) = 3

Logo,

P(A) =

Resposta: 50%

(Exercício 20) Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ocorrer um rei ou uma carta de espadas?

(Exercício 21) Uma urna contém 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de que seu número seja:a) par?b) ímpar?c) par ou menor que 15?d) múltiplo de 4 ou 5?

(Exercício 22) Uma urna contém 40 cartões, numerados de 1 a 40. Se retirarmos ao acaso um cartão dessa urna, qual a probabilidade de o número escrito no cartão ser um múltiplo de 4 ou múltiplo de 3?

(Exercício 23) Numa escola funcionam dois cursos, um de desenho publicitário e outro de desenho artístico, perfazendo um total de 90 vagas. No final da inscrição, havia 60 alunos inscritos para desenho publicitário e 50 para desenho artístico, sendo que alguns optaram pelos 2 cursos. Determine, escolhendo ao acaso 1 aluno do curso, qual a probabilidade de ele ser:a) aluno de desenho publicitário

b) aluno de desenho artístico c) aluno somente de desenho publicitáriod) aluno de desenho artístico ou de desenho publicitárioe) aluno de desenho artístico e de desenho publicitárioSolução:

(Exercício 24) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja 4 ou 5?

(Exercício 25) Numa caixa estão 8 peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos e 15 perfeitas. Uma peça é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que esta peça seja perfeita ou tenha pequenos defeitos?

Multiplicação de Probabilidades

Em analise combinatória, vimos o princípio fundamental da contagem; em probabilidade, há uma regra análoga, denominada regra do produto.

Enunciado:Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes, de tal modo que:

O primeiro evento é A e a sua probabilidade é P1

O segundo evento é B e a sua probabilidade é P2

O terceiro evento é C e a sua probabilidade é P3

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . O K-ésimo evento é K e a sua probabilidade é Pk

Então a probabilidade de que os eventos A, B, C, ... K ocorram nessa ordem é:P1 . P2 . P3 . ... Pk

(Exercício 26) Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual a probabilidade de que apareça coroa nas quatro vezes?

Solução:

U = { cara, coroa}

1º lançamento P1 =

2º lançamento P2 =

3º lançamento P3 =

4º lançamento P4 =

Portanto: p = p1 . p2 . p3 . p4 =

Resposta:

(Exercício 27) Considerem-se duas caixas I e II. Na caixa I, há 4 bolas pretas e 2 bolas azuis. Escolhe-se ao acaso uma caixa e, em seguida, dela se tira uma bola. Qual a probabilidade de que esta bola seja:a) preta?b) azul?

Solução:

Probabilidade de escolha para cada caixa

Esquema:

a) a bola escolhida é preta:

b) a bola escolhida é azul:

(Exercício 28) De um lote de 14 peças, das quais 5 são defeituosas, escolhemos 2 peças, aleatoriamente, determine:a) a probabilidade de que ambas sejam defeituosas.b) a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas.c) a probabilidade de que uma seja defeituosa.

(Exercício 29) Retirando-se duas cartas ao acaso, sem reposição, de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de ser a primeira de paus e a segunda de copas?

(Exercício 30) Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de que apareça cara nas cinco vezes?

(Exercício 31) Qual é a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos do sexo feminino?

(Exercício 32) Retirando-se três cartas ao acaso, com reposição, de um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser a primeira de paus e a segunda de ouros e a terceira de espadas?

(Exercício 33) No lançamento de um dado e uma moeda, qual a probabilidade de obtermos cara e número maior que 3?

(Exercício 34) Sabe-se que, num grupo de 30 pessoas que trabalham numa fazenda de criações de gado, 12 são alfabetizados. Se um pesquisador escolher 3 delas ao acaso, uma após a outra, qual a probabilidade:

a) de todas serem alfabetizadas?b) de todas serem analfabetas?