Apostila de Mat. Financeira
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CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS
GRADUAÇÃO 2012.1
Aluno: ___________________________________________________
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA ADM1405 72 h/a 4 Créditos
Prof.: Egenilton Rodolfo de Farias
Email: [email protected]
© Copyright Egenilton 2012
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 1
CONTEÚDO PÁGINA
Apresentação do programa, bibliografia, forma de avaliação 02
Diretrizes para o trabalho do 1º GQ 04
Diretrizes para o trabalho do 2º GQ 05
Conceito de juros e regimes de capitalização 06
Utilização da calculadora financeira HP 12C 08
Capitalização simples: cálculo de juros e montante 10
Valor atual e valor nominal. A operação de desconto simples: racional (por dentro), comercial (por fora) e bancário
15
Equivalência entre taxa de juro e taxa de desconto 17
Exemplos de aplicação de capitalização simples 19
Capitalização composta: cálculo de juros e montantes. Convenção linear e exponencial quando não é fracionário
21
Exemplos de aplicação 24
Taxas equivalentes e efetivas. Influência da inflação: taxa real e taxa aparente 27
Desconto composto: racional e comercial 30
Equivalência financeira 31
Séries finitas de pagamentos postecipadas: introdução. Montante (FV) 33
Séries finitas de pagamentos postecipadas: introdução. Montante (PMT; i; n) 36
Séries finitas de pagamentos antecipadas e diferidas: montante 38
Séries finitas de pagamentos postecipadas, antecipadas e diferidas: valor atual. Séries infinitas (ou perpétuas)
41
Exemplos de aplicação 45
Sistemas de amortização de empréstimos: sistema francês (SFA) – tabela price 50
Sistemas de amortização constante. Sistema americano de amortização a uma e duas taxas (sinking fund)
54
Exemplos de aplicação 59
Referências usadas na apostila 60
Links úteis (Edição 2012.2 da apostila)
Glossário (Edição 2012.2 da apostila)
Símbolos usados na apostila (Edição 2012.2 da apostila)
Exercícios complementares (Edição 2012.2 da apostila)
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 2
APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA, BIBLIOGRAFIA, FORMA DE AVALIAÇÃO.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1º
GQ
Utilização da calculadora financeira HP 12C. Conceito de juros e regimes de capitalização. Capitalização simples: cálculo de juros e montante. Valor atual e valor nominal.
A operação de desconto simples: racional (por dentro), comercial (por fora) e bancário. Equivalência entre taxa de juro e taxa de desconto.
Capitalização composta: cálculo de juros e montantes. Convenção linear e exponencial quando não é fracionário. Taxas equivalentes e efetivas.
Influência da inflação: taxa real e taxa aparente.
2º
GQ
Séries finitas e infinitas (ou perpétuas) de pagamentos: postecipadas, antecipadas e diferidas: Utilização de tabelas financeiras.
Sistema de amortização de empréstimos: sistema francês – tabela price; sistema de amortização constante (SAC) e sistema americano de amortização a uma e duas taxas (Sinking Fund).
METODOLOGIA Aulas expositivas. O plano de ensino da disciplina contemplará metodologia direcionada a realização de trabalhos práticos, desenvolvidos no ambiente organizacional e/ou com dados e informações reais, visando a interação da teoria com a prática. BIBLIOGRAFIA BÁSICA
www.editoraatlas.com.br
FERREIRA, Roberto Gomes. Matemática financeira aplicada: mercado de
capitais, administração financeira, finanças pessoais. 7. ed. São Paulo:
Atlas, 2010, 352 p.
Número de Chamada: 51:336 F383mc
www.editorasaraiva.com.br
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 6. ed.
São Paulo: Saraiva, 2007, 332p.
Número de Chamada: 51:336 H431m
www.pearson.com.br
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de
investimentos. 5 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, 304p.
Número de Chamada: 51:336 S187M
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 3
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
www.editoraatlas.com.br
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 11. Ed. São
Paulo: Atlas,2009, 296p.
Número de Chamada: 51:336 A844M
www.cengage.com.br
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada: método algébrico,
HP-12C, Microsoft Excel. 3 ed. São Paulo: Pioneira Thomsom Learning, 2011, 320p.
Número de Chamada: . . . . . .
www.atica.com.br
FARIA, Rogério Gomes. Matemática comercial e financeira. 6. ed. São Paulo: Ática,
2007, 208p.
Número de Chamada: 51:336 F224M
www.editoraatlas.com.br
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6 ed.
São Paulo: Atlas, 2009, 432p.
Número de Chamada: 51:336 M431m
www.editorasaraiva.com.br
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 8. ed. São
Paulo: Saraiva, 2009, 376p.
Número de Chamada: 51:336 P977m
FORMA DE AVALIAÇÃO
1º GQ: prova do GQ (0 a 8) + 1 trabalho (0 a 2) * Ao melhor trabalho bônus de 1 ponto.
2º GQ: prova do GQ (0 a 8 ASSUNTO ACUMULATIVO) + 1 trabalho (0 a 2) * Ao melhor trabalho bônus de 1 ponto. Será concedido bônus, a critério do professor, ao aluno que freqüentar assiduamente às aulas, participar das atividades, demonstrarem interesse e atenção nas aulas. Todas as provas serão SEM consulta de material, porém as fórmulas serão anexadas às provas pelo professor.
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 4
DIRETRIZES PARA O TRABALHO DO 1º GQ
(Individual)
OBJETIVO
Este trabalho tem como principal objetivo descobrir a ampla utilização da matemática
financeira e as modernas ferramentas utilizadas para a sua construção.
DESCRIÇÃO
O aluno deve fazer uma pesquisa minuciosa sobre os tópicos a seguir:
Cursos de especialização nesta área;
Cursos de pós-graduação em finanças.
Cursos de pós-graduação que contenham a disciplina de matemática financeira ou
equivalente.
Institutos Nacionais e Internacionais direcionados para a área de matemática financeira;
Principais institutos de pesquisa ou órgãos de fomento (financiamento de projetos).
Veja, por exemplo, em: IPEA; IBGE; Banco do Nordeste/Banco do Brasil; Ministério
da Economia.
Consultorias que fornece suporte na área de matemática financeira;
Direta ou indiretamente. Veja, por exemplo, em: orientação de projetos; finanças;
políticas públicas; terceiro setor; desenvolvimento sustentável, investimentos, etc.
Softwares utilizados na elaboração de cálculos financeiros;
Softwares que facilitem cálculos financeiros. Veja, por exemplo, em:
www.superdownloads.com.br ou www.baixaki.com.br.
Periódicos que forneçam orientação sobre matemática financeira.
Revistas, jornais e congressos. Veja, por exemplo, em: Setor de periódicos da
biblioteca Unicap; Anais de congressos em finanças; Sociedade Brasileira de
Finanças (www.sbfin.org.br).
INSTRUÇÕES PARA CONFIGURAÇÃO DO TRABALHO
Entrega: Exclusivamente através do email: [email protected]
Prazo: será definido em sala (improrrogável)
Título do arquivo: <MatFin_Turma_Nome do aluno>.
O texto deverá ser digitado em WORD (Fonte Times New Roman 12 com espaçamento 1,5)
e justificado. Número de páginas livre.
Estrutura (Papel A4): 1ª Página: Título do trabalho, nome e email do aluno, data, turma, etc.
A partir da 2ª página: Introdução, Explanação do assunto, Conclusão e Referências (citar
cada um dos sites pesquisados e não simplesmente “pesquisa na internet” ou
www.google.com.br).
OBSERVAÇÕES:
Aos trabalhos com perfil muito semelhantes (idênticos ou quase idênticos) será atribuída
nota zero a ambos.
Se até 48 horas depois do prazo máximo para a entrega por email do trabalho o aluno não
recebeu uma comunicação por email confirmando a chegado do trabalho, ele deve imprimir
um comprovante de envio (não é o trabalho) e apresentar na aula seguinte, para se verificar
qual foi o eventual problema.
Para os alunos que não entregarem o trabalho, haverá uma questão alternativa na prova.
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 5
DIRETRIZES PARA O TRABALHO DO 2º GQ
(Individual)
OBJETIVO
Este trabalho tem como principal objetivo aplicar a teoria a um estudo de caso.
DESCRIÇÃO
O aluno deve fazer uma análise do instituto financeiro que lhe foi designado (por sorteio); analisar
a teoria que se aplica ao caso, descrevendo-a e fazendo uma aplicação numérica.
Histórico do instituto financeiro que lhe foi designado (por sorteio)
Resumo da(s) ferramenta(s) que pretende utilizar;
Análise dos resultados da aplicação numérica da teoria;
Comprovante da obtenção dos dados.
Obs. Depois do sorteio o aluno tem a opção de optar por um instituto que não tenha sido utilizado por
nenhum outro colega, desde que devidamente acertado com o professor.
INSTRUÇÕES PARA CONFIGURAÇÃO DO TRABALHO
Entrega: Exclusivamente através do email: [email protected]
Prazo: será definido em sala (improrrogável). Caso não seja entregue até essa data, o aluno fará a prova escrita valendo de zero a dez na data agendada pela Unicap para o 2º GQ, com assunto acumulativo do 1º GQ. O TRABALHO ENVIADO POR EMAIL SÓ TEM VALIDADE SE O ALUNO ASSINAR A ATA DE PRESENÇA NO DIA DA PROVA DO 2º GQ.
Título do arquivo: <MatFin_Turma_Nome do aluno>.
O texto deverá ser digitado em WORD (Fonte Times New Roman 12 com espaçamento 1,5) e justificado. Número de páginas livre.
Estrutura (Papel A4): 1ª Página: Título do trabalho, nome e email do aluno, data, turma, etc. A partir da 2ª página: Introdução, Explanação do assunto, Conclusão e Referências (citar cada um dos sites pesquisados e não simplesmente “pesquisa na internet” ou www.google.com.br).
OBSERVAÇÕES:
Aos trabalhos com perfil muito semelhantes (idênticos ou quase idênticos) será atribuída nota zero a ambos.
Se até 48 horas depois do prazo máximo para a entrega por email do trabalho o aluno não recebeu uma comunicação por email confirmando a chegado do trabalho, ele deve imprimir um comprovante de envio (não é o trabalho) e apresentar na aula seguinte, para se verificar qual foi o eventual problema.
Para os alunos que não entregarem o trabalho, haverá uma questão alternativa na prova
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 6
CONCEITO DE JUROS E REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
FLUXO DE CAIXA
Pode ser representado por tabelas, quadros ou esquematicamente por um diagrama.
Diagrama financeiro
R1 R2 Recebimento (+) Rn
-2 -1 0 1 2 3 . . . (n-1) n Tempo
P-2 P0 Pagamento (-)
A escala graduada em termos de períodos uniformes (dias, quinzenas, meses, anos, etc.),
representa as datas de recebimento e/ou pagamentos; com a data 0 (zero) indicando a data atual
de observação ou, como dizemos normalmente, a data de “hoje”.
A escala vertical indica a magnitude de um recebimento (positivo) ou de um pagamento
(negativo), sendo representado neste caso por “setas” para cima ou para baixo, respectivamente.
Diagrama financeiro
(P-2) (P0) R1 R2 Recebimento (+) Rn
-2 -1 0 1 2 3 . . . (n-1) n Tempo
Neste segundo esquema, os valores entre parênteses representam pagamentos (negativo)
e os valores apenas assinalados, sem qualquer indicação de sinal ou símbolo, indicam
recebimentos (positivo).
Tabela financeira
t Rt Pt
-2 - P-2
-1 - -
0 - P0
1 R1 -
2 R2 -
... - -
n-1 - -
n Rn -
onde,
Rt = recebimento na data “t”
Pt = pagamento na data “t”
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 7
JUROS, LUCROS, TAXAS E “SPREADS” Não devemos confundir o juro com o lucro, tendo em vista que o primeiro é proveniente de uma atividade estritamente financeira, enquanto o lucro tem origem no capital mercantil (capital industrial, capital comercial, capital agrário, etc.), estando o retorno deste lucro mais propenso à incidência de riscos e incertezas do que o próprio retorno do juro. Conforme representado no gráfico abaixo, temos o “preço” de equilíbrio (i0) para os recursos demandados e ofertados correspondente a quantidade de equilíbrio (M0) de recursos financeiros:
i% oferta
i0
demanda
0 M0 M($) A este coeficiente monetário (i0), empregado para cobrar dos demandantes e pagar aos ofertantes de recursos financeiro, e denomina-se de “taxa de juros”, podendo ser considerada como taxa real (quando excluímos dos recursos a taxa de inflação) ou taxa aparente (quando aos recursos é acrescido o efeito inflacionário), normalmente fornecida em percentagem e sempre referida a um determinado período de tempo: 10% ao mês, 47% ao trimestre, 435% ao ano, etc. Existem pelo menos duas taxas de juro atuantes no mercado financeiro: a taxa de aplicação (representada na prática financeira pelo custo do capital, analisando pelo prisma dos demandantes) e a taxa de capitação (representada pela taxa de rentabilidade das poupanças, vista pelo prisma dos ofertantes de recursos financeiros). Como vigora a lei da oferta e da procura para os mercados de aplicação e de capitação, temos, no gráfico a seguir o combinado “aplicação - capitação”.
Taxa de juro
OAR
iA
SPREAD DAR
OCR
iC
DCR
0 MC MA M($) onde, iA = taxa de juros de aplicação (custo do capital) iC = taxa de juros de captação (taxa de poupança) Mc = Montante captado de recursos MA = montante aplicado de recursos OCR = oferta de recursos na captação DCR = demanda de recursos na captação OAR = oferta de recursos na aplicação DAR = demanda de recursos na aplicação O diferencial entre ambas as taxas é o que se define como “spread”: |iA-iC| = spread.
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 8
UTILIZAÇÃO DA CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C
INTRODUÇÃO À MÁQUINA
A calculadora HP 12C destaca-se entre as calculadoras pela memória contínua (mantém todo o seu estado quando
desligada), sua lógica operacional (notação polonesa reversa – RPN, não utiliza parênteses e sinal de igual), e as funções
matemáticas, financeiras e estatísticas.
Teste de funcionamento
Modelos gerais Modelos com duas baterias
Com a máquina desligada, manter
apertado o sinal x, ligar a calculadora
ON e soltar o sinal x. Todos os
circuitos serão testados e se tudo
estiver OK, aparecerá no visor:
–8,8,8,8,8,8,8,8,8,8, com todos os
indicadores de estados ativados:
USER f g BEGIN GRAD D.MY c
PRGM.
Com a máquina desligada, manter
apertada a tecla (divisão).
Aparecerão alguns traços no visor. Em
seguida digitar todas as teclas, uma
por uma, em linha, a partir da
primeira n até : ; yx até x ;
R/S até - , digitando também a tecla
ENTER; e de ON até + , digitando
também ENTER. Se após toda essa
operação aparecer no visor o número
12, está tudo OK.
Observe-se que a ordem de digitação das
teclas tem que ser rigorosa.
Desligue a calculadora.
Pressione e segure as teclas ‘g’ e ‘ENTER’ (continue pressionando até o próximo
passo).
Pressione a tecla ‘ON’ (enquanto as teclas ‘g’ e ‘ENTER’ continuam pressionadas
desde o passo acima).
Solte a tecla ‘ON’.
Solte as teclas ‘g’ e ‘ENTER’.
Será apresentada na tela a seguinte orientação:
1.L 2.C 3.H
Pressione ‘1’ para iniciar o teste de LCD (todos os caracteres acenderão no LCD).
Pressione qualquer tecla para sair
Pressione ‘2’ para iniciar o resumo do teste e ver as mensagens originais. Pressione
qualquer tecla para sair de uma tela para a próxima até que você retorne à tela
principal.
Pressione ‘3’ para iniciar o teste de teclado. Você precisa pressionar todas as teclas do
teclado até que todas sejam pressionadas pelo menos uma vez (a tela vai apagando-
se gradativamente). Você pode pressionar as teclas em qualquer ordem e quantas
vezes quiser. Uma vez que todas as teclas foram pressionadas e a tela está limpa,
pressione qualquer tecla para voltar ao teste de tela.
Pressione ‘ON’ para sair do programa de teste. Isso também desligará a calculadora.
Se a calculadora detectar algum erro neste ponto, ela apresentará uma mensagem de
erro.
Formato do número no visor
f e g – A mesma tecla pode ser usada em até 03 (três) funções diferentes: Em branco, em azul antecedidas da tecla g, e em
amarelo antecedidas da tecla f.
Ex.: f NPV – Valor Presente de um fluxo de caixa.
PV – Principal de uma aplicação
g Cfo – Entrada de um fluxo de caixa inicial.
ENTER – Entra com o valor digitado para o registrador da máquina.
Ponto E Vírgula Decimais
Com a máquina desligada, execute: . (ponto: segure) ON . (ponto: solte) Isto muda o ponto decimal para vírgula, e vice-versa.
Número De Casas Depois Da Vírgula
Execute f0 f1 f2 etc para controlar o número de casas decimais.
Troca De Sinal
Coloque um número no visor e aperte CHS (change sign).
Lógica rpn (reverse polish notation)
A HP-12C usa a Notação Polonesa Invertida para efetuar as operações. Enquanto que, para somar nas outras
calculadoras, se faz 3 + 2 =, para efetuar essa soma na 12C se faz 3 ENTER 2 + obtendo 5. Por esta razão não é necessário haver
as teclas = ( ) Com a Lógica RPN, os cálculos ficam mais rápidos.
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 9
Números Muito Grandes Ou Muito Pequenos
Para introduzir um número que tenha mais que 10 algarismos, como 16,55 bilhões, antes observe que 16,55 bilhões =
16.550.000.000 = 16,55 x 10 9, e introduza 16,55 EEX 9.
Se for negativo: 16,55 CHS EEX 9 ENTER.
Se o expoente for negativo: 16,55 CHS EEX 9 CHS ENTER
Para ver os algarismos armazenados, execute f PREFIX (segure).
Se quiser usar a notação exponencial permanentemente, execute f. (f ponto), e para voltar à normal, execute f2.
Percentagens
Calcular um acréscimo de 10 % sobre 50: 50 ENTER 10 % + Note que, antes de apertar +, o 50 permanecia em Y.
Calcular o aumento percentual de $100 para $150: 100 ENTER 150 Δ% ou 50 % Veja que o 100 permanece em Y.
Se o total de vendas foi de $ 1.000, o valor $ 100 corresponde a 10 % do total: 1000 ENTER 100 %T e o valor $ 500
corresponde a 50 %: CLX 500 %T Note que o total permanece em Y.
Funções matemáticas
O que será feito Passos na HP-12C O que será feito Passos na HP-12C
e3 = 20,09 (anti ln 3) 3 g e
x 2
1/3 = 1,26 2 ENTER 3 1/x y
x
ln 20,09 = 3 20,09 g LN 1,,2 - 4
= 1 / 1,24 = 0,48 1,2 ENTER 4 CHS y
x
1 / 10 = 0,1 10 1/x 4! = 4 x 3 x 2 = 24 4 g n!
23 = 8 2 ENTER 3 y
x
Calendário permanente
Se quiser datas sob a notação americana (6-28-2010)
execute g M.DY
Para a forma brasileira (28-6-2010),
execute g D.MY (day.month year).
Se um CDB de 184 dias foi adquirido em 28-jun-2010, qual a data do resgate?
28,062010 ENTER 184 g DATE
Vence em 29-dez-2010, uma quarta-feira.
Os dias da semana são:
1=segunda 2 = terça 3 = quarta 4 = quinta 5 = sexta 6 = sábado 7 = domingo
Quantos dias decorreram entre as duas datas acima?
28,062010 ENTER 29,122010 g (delta)DYS ou 184 dias.
Calcule agora a sua idade em anos (Atenção: 1 ano médio = 365,25 dias)
Cálculos em Cadeia
Toda vez que o resultado de um cálculo estiver no visor e se desejar armazená-lo para efetuar outro cálculo em seguida,
não será necessário pressionar ENTER, pois o resultado será armazenado automaticamente. Isto ocorre porque a HP 12c possui
quatro registradores, os quais são usados para armazenamento de números durante os cálculos. Esses registradores (conhecidos
por memórias de pilha operacional) são designados por X, Y, Z e T.
1/x – Calcula o inverso de um número
% - Calcula a percentagem
% - Variação percentual entre dois números
%T – Percentual sobre o total
EEX – O visor comporta no máximo 10 dígitos, havendo recurso para operar com mais de 10 dígitos. Essa tecla introduz o
registro com expoente (potência de 10).
OBS.: Qualquer número, mesmo com menos de 10 dígitos pode ser convertido diretamente para a notação científica
pressionando-se f . (f ponto). Para voltar à notação normal basta pressionar f 2 (f dois).
g LN – Calcula o logaritmo neperiano de um número (base e – constante de Néper). Desta forma, é possível se calcular o
logaritmo em qualquer base. )B(LN
)A(LNALog B
)10(LN
)2(LN2Log10
CLx – Apaga o visor (x)
f - Apaga os registradores estatísticos (R1 a R6) e a pilha operacional (X, Y, Z e T)
f FIN – Apaga os registradores financeiros ( n, i, PV, PMT e FV), mas não apaga os registradores não financeiros e o visor.
f REG – Apagar os registradores financeiros, não financeiros (R0 a R.9), pilha operacional (X, Y, Z e T) e visor.
Convenção Linear e Exponencial
STO EEX - Quando ativado (aparece o “c” no visor), e no caso de n (prazo) não ser um número inteiro, a HP 12c estará
condicionada a realizar o cálculo adotando o regime de capitalização composta tanto para a parte inteira como para a parte
fracionária do período (convenção exponencial). Se desativado, condiciona o cálculo pelo regime de juros compostos só para a
parte inteira do período e a parte fracionária pelo regime de juros simples (Convenção Linear).
g BEG - Condiciona a calculadora para pagamentos no início de cada período (Rendas Antecipadas)
g END – Condiciona a HP 12c para pagamentos no fim de cada período (Rendas Postecipadas).
f AMORT – Calcula as partes do principal e juros das séries de pagamentos (Anuidades).
f INT – Calcula juros simples.
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 10
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: CÁLCULO DE JUROS E MONTANTE
JUROS SIMPLES Juro é a remuneração do capital empregado. Se aplicarmos um capital durante um determinado período de tempo, ao fim do prazo o capital se transformará em um valor (montante) que será igual ao capital aplicado, acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação. Seja, C = capital i = taxa t = tempo, t=1, 2, 3, ..., n C J1 J2 J3 Jn-1 Jn i1 i2 i3 in 0 1 2 3 . . . (n-1) n Tempo
n1n321
n1n321
CiCi...CiCiCiJ
JJ...JJJJ
n
1t
tiCJ
Quando i i i in i1 2 3 ... )in(CiCJ
n
1t
t
, ou CinJ
Notação de taxas: a.a. = ao ano a.s. = ao semestre a.q. = ao quadrimestre a.t. = ao trimestre ... Exemplo 1 (Roberto pg. 27 Exemplo 1) Uma pessoa dispondo de R$ 10.000,00 faz um contrato com certa instituição para receber durante um ano as seguintes taxas trimestrais de juros simples: 1
o trimestre = 10%; 2
o trimestre = 12%; 3
o trimestre = 15%; 4
o trimestre = 18%
Calcular os juros simples totais ao fim do prazo de aplicação. Solução: C = 10.000,00 t = 1, 2, 3, 4 trimestre i1 = 10%a.t. = 0,10 a.t. i3 = 15% a.t. = 0,15 a.t. i2 = 12%a.t. = 0,12 a.t. i4 = 18% a.t. = 0,18 a.t.
n
1t
tiCJ
J = 10.000(0,10+0,12+0,15+0,18) J=10.0000,55 = 5.500 ou J = R$5.500,00
Exemplo 2 (Roberto pg. 26 Exemplo 2) Certo título de crédito é oferecido a um custo atual de R$10.000,00 para fornecer ao seu futuro possuidor rendimentos a juros simples, de acordo com as taxas e prazos de aplicação seguintes:
Taxas de juros Prazo de aplicação 0,5% a.m. durante 3 meses 1,12% a.b. durante 4 meses 4,20% a.s. durante 6 meses
Determinar os juros simples totais ao final do prazo de aplicação. Solução: C = 10.000,00 i1 = 0,5% a.m. 3 meses = 1,5%a.t. = 0,0150 a.t. i2 = 1,12% a.b. 2 bimestre = 2,24% a.q. = 0,0224 a.q. i3 = 4,20% a.s. 1 semestre = 4,20% a.s. = 0,0420 a.s.
Logo,
n
1t
tiCJ
J = 10.000(0,015+0,0224+0,042) = 10.000 0,0794 = = R$ 794,00
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 11
HOMOGENEIZAÇÃO ENTRE A TAXA E O PRAZO DE CAPITALIZAÇÃO Variáveis financeiras Unidades dimensionais
Juros simples ($), unidades monetárias Capital aplicado ($), unidades monetárias Taxa de juro (1/t), inverso do tempo Prazo de capitalização (t), tempo
J($) = C($)i(1/t)n(t) Exemplo (Roberto pg. 27)
C = R$ 1.000,00 i = 24%a.a. n = 3 meses 00,60$12
ano3
ano
24,000,1000$J
JUROS SIMPLES “DIÁRIOS”
a) Juro simples ordinário: d360
iCJ (utiliza o ano comercial com 360 dias)
b) Juro simples exato: d365
iCJ (utiliza o ano civil com 365 dias)
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DE JUROS SIMPLES Exemplo 1 (Laureano pg. 68 R1) Calcule a taxa de juro mensal, proporcional às seguintes taxas:
a) 150% a.a. (ao ano) b) 28,5% a.t. (ao trimestre) Solução:
a) .m.a%5,12i12
150
t
i b) .m.a%5,9i
3
5,28
t
i
Exemplo 2 (Laureano pg. 68 R2) Calcule os juros simples referentes a um capital de $80.000,00 investido nas condições seguintes:
a) 132% a.a., durante 5 meses b) 9% a.m., durante 17 dias Solução:
a) C = 80.000 n=5 meses i = 132% a.a. = 12/132 % a.m. = 11% a.m. = 0,11 a.m.
J = Cin = 80.0000,11 5 = 44.000 J = $44.000,00
b) C = 80.000 n=17 dias i = 9% a.m. = 30/9 % a.d. = 0,30% a.d. = 0,003 a.d.
J = Cin = 80.000 0,003 17 = 4.080 J = $4.080,00 Exemplo 3 (Laureano pg. 69 R3) Dois capitais aplicados a juro simples rendem, respectivamente, $ 2.720,00 em 10 dias, a 12% a.m., e $ 15.750,00 em 3 meses, a 126% a.a.. Determiná-los. Solução:
a) J = 2.720 n = 10 dias i = 12% a.m. = 30/12 % a.d. = 0,4% a.d. = 0,004 a.d.
J = Cin C = J/in = 2.720/ (0,004 10) = 68.000 C = $ 68.000,00
b) J = 15.750 n = 3 meses i = 126% a.a. = 12/126 % a.m. = 10,5% a.m. = 0,105 a.m.
J = Cin C = J/in = 15.750/ (0,105 3) = 50.000 C = $ 50.000,00 Exemplo 4 (Laureano pg. 69 R4) Ache a taxa mensal que faz com que um capital, investido a juro simples durante 16 meses, tenha seu valor triplicado. Solução: Supor capital inicial igual a $100,00, o juro deve corresponder a $ 200,00, de modo que o valor acumulado seja de $ 300,00. Nestas condições, tem-se: J = Cin i = J/Cn = 200/(10016) =0,125 a.m. ou i = 12,5 % a.m.
MONTANTE SIMPLES Montante é a soma do capital inicial aplicado mais os devidos juros.
a) Montante para taxas variáveis de juros simples:
n
1t
tiCCM ou
n
1t
ti1CM
b) Montante para uma taxa fixa de juros simples: M = C + Cin ou M = C(1+in)
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 12
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DE MONTANTE SIMPLES Exemplo 1 (Roberto pg. 32 exemplo 4) Quanto se deve aplicar hoje em uma instituição que paga juros simples de 6% a.m. para se obter $200.000,00 no fim de 39 dias? Solução: M = 200.000 n = 39 dias = 39/30 meses i = 6% a.m. = 0,06 a.m. M = C(1 + in) C = M/(1 + in)
Logo, 76,528.185)078,01(
000.200
30
3906,01
000.200C
Exemplo 2 (Roberto pg. 53 P. proposto 2 *5ª edição.) Certo título financeiro promete ao seu possuidor um juro simples de $30.000,00 ao fim de 2 meses e 9 dias. Sabendo-se que a taxa líquida prometida é de 2,9% a.m., determinar o valor de resgate do título (que se identifica com seu valor de montante). Solução: J = 30.000 n = 2 meses e 9 dias = 69 dias i = 2,9% a.m. = 0,029 a.m. M = C + J
11,775.4490667,0
000.30
6930
029,0
000.30
d30
i
J
in
JC
M = 449.775,11+30.000 = 479.775,11
M = $ 479.775,11 Exemplo 3 (Roberto pg. 54 P. proposto 4 *5ª edição.) Uma pessoa, devedora de uma duplicata com valor de resgate (valor final) de $ 235.200,00, a ser paga no prazo de 4 meses e 15 dias, deseja saber quanto deverá depositar na data de hoje para obter aquele valor de resgate creditado em sua conta corrente ao final do prazo mencionado, quando lhe é oferecida uma taxa de rendimento bruto de 3,6% a.m. para uma retenção de imposto de renda de 30% sobre o ganho bruto nominal ao final da aplicação. Observação: Vresgate líquido = Vresgate bruto - IR e IR = Alíquota x Rendimento bruto. Solução: M=235.200 n=4,5 meses iB=3,6% a.m.=0,036 a.m. A=30%=0,30 iL=0,036-(0,036 0,3)=0,0252
84,244.211)5,40252,01(
200.235
)in1(
MC
C = $ 211.244,84
Exemplo 4 (Roberto pg. 66 P. proposto 2) Qual a taxa de juros simples que, aplicada a um capital de R$ 200.000,00, gera um montante de R$ 231.200,00 em 6 meses? Solução:
n
1C
M
iin1CM
.m.a026,06
156,0
6
1200000
231200
i
i = 2,60 % a.m.
Exemplo 5 (Samanez pg. 07 Exemplo 1.16) Aplicado por 105 dias um capital de $ 100.000,00 transformou-se em $ 145.000,00. Calcular a taxa mensal de juros simples ganha. Solução:
n
1C
M
iin1CM
.m.a1286,0105
301
100000
145000
30
105
1100000
145000
i
i = 12,86 % a.m.
Exemplo 6 (Samanez pg. 07 Exemplo 1.17) Em quantos meses um capital dobra a juros simples de 200% a.a.? Solução:
i
1C
M
nin1CM
6
12
00,2
1C
C2
n
n = 6 meses
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 13
Exemplo 7 (Samanez pg. 08 Exemplo 1.20) Uma pessoa deve pagar $200,00 daqui a dois meses e $400,00 daqui a cinco meses. A juros simples de 5% a.m. determinar o valor de um pagamento único a ser efetuado daqui a três meses que liquide a dívida. Solução: i = 5% a.m. M2 = $200 M5 = $400 M3 = ? $400 M3 = ? $200 0 1 2 3 4 5 6 mês Como o pagamento único será efetuado no terceiro mês, definimos esse mês como data focal. Por equivalência de capitais, os dois planos de pagamento devem ser financeiramente equivalentes naquela data. Logo, temos:
)205,01(
400)105,01(2003M
pagamentos dois com plano do mês 3º noValor único pagamento com plano do mês 3º noValor
= $573,64
Usando HP12C
f REG
200 ENTER 1
ENTER
0,05 ENTER
1 x +
x
STO 1
400 ENTER
1 ENTER
0,05 ENTER
2 x
+ ÷
RCL 1
Pagamento + 573,64
Exemplo 8 Calcule o juro simples de R$200.000,00 aplicado a 96% a . a . durante 120 dias. a) ano comercial (360 dias) – Juros simples ordinário. b) ano civil (365 ou 366 dias) – Juros simples exato. Solução
a) C = 200.000,00 , i = 96% a.a., n = 120 dias J = C x i x n = R$64.000,00
b) J = 200.000 x 96/100 x 120/365 = R$63.123,29 A HP 12C só calcula corretamente o juros simples se o tempo for considerado em dias e a taxa em anos.
Usando HP12C
f FIN
200000 CHS PV
120 n
96 i
Ordinário f int 64.000,00
Exato R↓ x>
<y 63.123,29
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 14
Exemplo 9 Calcule os juros simples e o montante referentes a um capital de $80.000,00 investido nas condições seguintes: 132% a.a., durante 5 meses. Solução
C = 80.000 n=5 meses i = 132% a.a. = 12/132 % a.m. = 11% a.m. = 0,11 a.m.
J = Cin = 80.000 x 0,11 x 5 = 44.000 J = $44.000,00 M = 80000+ 44000 = $124.000,00 Usando HP12C
f FIN
80000 CHS PV
150 n
132 i
Juros f int 4 4.000,00
Montante + 124.000,00
Exemplo 10 Que empréstimo poderá ser solicitado na data atual, quando se sabe que ao fim de 6 meses e 17 dias deverão ser pagos juros simples de $ 20.467,00 para uma taxa exigida de 34% a.a.? Solução: J = 20.467 n = 6 meses e 17 dias = 197 dias i = 34% a.a. = 0,34 a.a.
J = Cin 78,004.110186055551,0
467.20
197360
34,0
467.20
n360
i
J
in
JC
C = $ 110.004,78
Usando HP12C
f REG
0,34 ENTER 360
÷
197 x
1/x 20467
Capital x 110.004,78
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 15
VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL. A OPERAÇÃO DE DESCONTO SIMPLES:
RACIONAL (POR DENTRO), COMERCIAL (POR FORA) E BANCÁRIO
VALOR ATUAL OU VALOR PRESENTE A = valor atual N = compromisso financeiro 0 = data de hoje n = prazo de vencimento
)in1(
NA N)in1(A
A = Valor antecipado de qualquer compromisso financeiro que se estabeleça para ser concretizado no futuro. Exemplo 1 (Roberto Pg. 40 Exemplo 1) Quanto se deve pagar na data atual por um título que possui valor de resgate de $100.000,00 e que está para vencer daqui a 2 meses e 15 dias? Admitir uma taxa de juros simples em vigor no mercado da ordem de 2,8% a.m. Solução: A = ? N = 100.000,00 0 n = 2 meses e 15 dias
94,457.93
7530
028,01
000.100
)in1(
NA
Devemos pagar $ 93.457,94
OPERAÇÕES DE DESCONTO SIMPLES É a diferença entre o valor nominal ou resgate (N) de um título de crédito e o seu respectivo valor atual apresentado na data de desconto.
D = N - A
a) DESCONTO SIMPLES RACIONAL DR , “DESCONTO VERDADEIRO” OU “DESCONTO POR
DENTRO”:
a.1) AinA)in1(AANDR
a.2) )in1(
Nin
)in1(
N)in1(N
)in1(
NNANDR
b) DESCONTO SIMPLES COMERCIAL DC , “DESCONTO BANCÁRIO” OU “DESCONTO POR FORA”:
nNiDC
i= taxa de desconto
n*i1NnNiNDNAAND CCCC
IMPOSTO SOBRE OPERAÇÕES DE CRÉDITO: IOC = Ni’n i’ = Taxa de IOC mensal TAXA DE SERVIÇO OU RECIPROCIDADE: R = Ni’’ i’’ = Taxa de serviço incidente sobre o global da operação. Assim,
RIOCDN''A
IOCDN'A
DNA
CC
CC
CC
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 16
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DE VALOR ATUAL SIMPLES Exemplo 1 (Roberto pg. 68 P. Proposto 11) Qual o valor atual (racional) de um título cujo valor de resgate é de $256.000,00 daqui a 7 meses, sendo a taxa de juro simples para cálculo de 4% a.m.: a. ( ) R$ 200.000,00 b. ( ) R$ 220.000,00 c. ( ) R$ 180.000,00 d. ( ) R$ 190.000,00 e. ( ) R$ 184.320,00 Solução:
)in1(
NA
000.200
28,1
000.256
704,01
000.256A
(a) A = R $ 200.000,00 Exemplo 2 (Roberto pg. 88 P. Proposto 17 *5ª edição) Um título com valor de resgate de R$ 120.000,00 é descontado comercialmente a uma taxa de 4% a.m. (já incluindo o IOC). Sabendo-se que o valor líquido recebido por seu proprietário foi de $112.800,00 na data do desconto, pergunta-se: quantos dias faltavam para o resgate do título? Solução:
*i
N
A1
n)ni1(NA
C
C
5,104,0
06,0
04,0
000.120
800.1121
n
n = 1 mês e 15 dias ou n = 45 dias Exemplo 3 (Roberto pg. 71 P. Proposto 22) Uma pessoa possui 3 títulos aplicados no mercado financeiro, sendo seus valores de resgate: R$ 110.000,00, R$ 150.000,00 e R$ 200.000,00. As datas de resgates são daqui a 28 dias, 47 dias e 72 dias, respectivamente. Qual o valor presente total destes títulos, considerando-se uma taxa de juros simples de 30% a.a. e o regime de desconto racional? Solução:
)in1(
NA
00,500.107
28360
30,01
000.110A1
64,364.144
47360
30,01
000.150A2
67,679.188
72360
30,01
000.200A3
53,517.44067,679.18864,364.14400,500.107AAAA 321T
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 17
EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXA DE JURO E TAXA DE DESCONTO
nVL
DiniVLDniCJ CeeC
Exemplo 01 (Roberto página 74 problema proposto 07 *5ª edição)
Um banco comercial realiza as suas operações de desconto comercial simples cobrando uma taxa “i*”
mensal e retendo um IOC “i’” também mensal, incidentes sobre o valor de resgate dos títulos a descontar.
Para uma manutenção de saldo médio igual à taxa unitária “t” sobre o valor da operação, solicitam-se: a taxa mensal de juro simples auferida pelo banco comercial e a taxa mensal de desconto efetivamente paga pelo cliente em operações de “n” meses na capitalização simples.
Solução: i* = taxa de desconto comercial i’ = taxa de IOC sobre o valor do resgate de títulos a descontar i’’ = taxa unitária de manutenção do saldo médio a) para o banco: VL = N[1-(i*+i’)n – i’’] (Roberto página 67 problema resolvido 4)
]''in)'i*i(1[)n*i1(
]''in)'i*i(1[N)n*i1(N
)n*i1(Nn*NiNDNVLVLND CC
i
1*ii
n
(Roberto página 64 exemplo 3)
]''in)'i*i(1[
*iei
*ii*ii*i i ''in)'i*i(1[1
b) para o cliente: VL = N[1-(i*+i’)n – i’’] (Roberto página 67 problema resolvido 4)
]''in)'i*i(1[)'i*i(n1(
]''in)'i*i(1[N)'i*i(n1(N
n'Nin*NiNIOCDNVLIOCVLND CC
i
1'i*i
i
n
(Roberto página 64 exemplo 3; acrescentando a taxa de IOC)
]''in)'i*i(1[
'i*ii ]''in)'i*i(1[
i
'i*i
i
i1
]''in)'i*i(1[i
'i*i'i*i
'i*ii
1
]''in)'i*i(1['i*ii
11
e
'i*ii
Exemplo 02 (Roberto página 74 problema proposto 08 *5ª edição) Uma firma de construção descontou uma nota promissória de valor nominal igual a $ 1.200.000,00, com prazo de vencimento de 93 dias, à taxa de desconto comercial simples de 3,6% a.m. e mais um IOC de 0,123% a.m. incidente sobre o valor nominal do título. Sabendo-se que foi exigida da firma a manutenção de um saldo médio de 25% (sobre o valor do título) durante o período de vencimento, pedem-se: a) Desconto comercial e IOC retidos b) Reciprocidade exigida e valor líquido liberado c) Taxas efetivas de desconto: c.1) Para a firma c.2) Para o banco comercial Solução: N = 1.200.000 n = 93 dias i* = 3,6% a.m. i’ = 0,123% a.m. i” = 25% a) Desconto comercial e IOC
920.1339330
036,0000.200.1n*NiDC 60,575.493
30
00123,0000.200.1n'NiIOC
b) Reciprocidade exigida (R) e valor líquido liberado R = N i” = 1.200.000 0,25 = 300.000
VL = N - CD - IOC – R = 1.200.000 - 133.920 - 4.575,60 - 300.000 = 761.504,40
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 18
c1) Taxa efetiva de desconto para firma
a.m. %87,5.d.a 0019556,0
634587,0
001241,0
25,09330
00123,0
30
036,01
30
00123,0
30
036,0
''in'i*i1
'i*ii e
Fórmula alternativa:
.m.a %87,5.m.a0587,093
30
40,504.761
60,575.4920.133
nVL
IOCDi C
e
c2) Taxa efetiva de desconto para o banco
a.m. %67,5d.a001891,0
634587,0
0012,0
25,09330
00123,0
30
036,01
30
036,0
''in'i*i1
*ii e
Fórmula alternativa: a.m.%67,5.m.a0567,093
30
40,504.761
920.133
nVL
Di C
e
Exemplo 03 (Roberto página 75 exemplo *5ª edição) Um título com valor nominal de $ 100.000 é descontado comercialmente a uma taxa de 4% a.m. (já incluindo o IOC), para um prazo de vencimento de 47 dias. Nessas condições determinar a taxa efetiva de juros simples implícita (para o cliente) na operação de desconto. Solução: N = $ 100.000 i* + i’ = 4% a.m. = 0,04
a.m. n = 47 dias
33,733.9367,266.6000.100)IOCD(NVL
67,266.630
4704,0000.100n)'i*i(NIOCD
C
C
.m.a%27,4
30
4733,733.93
67,266.6
nVL
IOCDi Ce
Exemplo 04 (Roberto página 86 problema proposto 7 *5ª edição) Um Banco Comercial cobra, em operações de desconto simples, a taxa de 2,9% a.m. (incluindo o IOC). Exige uma reciprocidade de 30% sobre o valor nominal a descontar. Pede-se: a taxa efetiva cobrada numa operação de 90 dias. Solução: (i* + i’) = 0,029 a.m. i” =0,30 n = 3 meses
]''in)'i*i(1[
)'i*i(i e
(Roberto página 74 problema proposto 7)
a.t. %19,14.m.a 0473,0613,0
029,0
]30,03029,01[
029,0ie
Exemplo 05 (Roberto página 89 problema proposto 19 *5ª edição) Um empréstimo de curto prazo foi solicitado a um banco comercial na condição de pagar juros simples antecipados de 6% a.m. e um IOC de 0,123% a.m. (ambos descontados no ato da liberação), com este último incidindo sobre o valor efetivamente financiado: valor financiado = Emp. Solicitado – juros antecipados. Com estes dados e admitindo que o empréstimo solicitado tenha sido $ 1.000.000,00 que deverá ser retornado em igual valor ao fim de 60 dias, pedem-se: a) Juros antecipados retidos e IOC. b) Valor líquido efetivamente liberado. c) Taxa efetiva. Solução: i = 6% a.m. IOC = 0,123% a.m. = 0,00123 a.m. VF = N – J N = 1.000.000 n = 2 meses a) J = Nin = 1.000.000 0,06 2 = 120.000 IOC = (N - J) i’ n = (1.000.000 – 120.000) 0,00123 2 = 2.164,80 b) VL = N – J – IOC = 1.000.000 – 120.000 – 2.164,80 = 877.835,20
c) .m.a 0696,040,670.755.1
80,164.122
220,835.877
80,164.2000.120
nVL
IOCJie
ie 6,96% a.m.
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 19
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Exemplo 1 (Roberto pg. 54 P. Proposto 3 *5ª edição) Por um empréstimo de curtíssimo prazo e isento de imposto de renda, pagou-se $170.085,00 de juros simples. Sabendo-se que o capital emprestado foi de $ 15,7 milhões durante 13 dias, determinar as taxas mensal e anual de juros simples. Solução: J = 170.085 C=15.700.000 n=13 dias J=Cin i = J/cn i = 170.085/(15.700.00013) = 0,0008333 a.d. iMENSAL = 0,000833330 = 0,025 a.m. = 2,5% a.m. iANUAL = 0,025(12) = 0,30 a.a. = 30% a.a. Exemplo 02 (Roberto página 72 problema proposto 01 *5ª edição) A diferença entre o desconto comercial e o desconto racional de uma duplicata é de $1.633,08, para um prazo de vencimento igual a 35 dias. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 3,3% a.m. e que a taxa de juro simples empregada foi de 2,4%a.m., pedem-se:
a) Valor nominal da duplicata
b) Valor atual comercial
c) Valor atual racional Solução:
08,633.1DD RC n = 35 dias i* = 3,3% a.m. i = 2,4%a.m.
a) 08,633.1)in1(
Ninn*NiDD RC
)in1(
inn*i
08,633.1N08,633.1
)in1(
inn*iN
000.145
024,01
024,0033,0
08,633.1N
01126265,0
08,1633
02723735,00385,0
08,1633
3035
3035
3035
N = $145.000,00
b) 50,417.1399615,0000.145033,01000.145)n*i1(NA3035
C
c) 58,050.141A028,1
000.145
3035024,01
000.145)in1(
NR
Exemplo 03 (Roberto página 74 problema proposto 09 *5ª edição) Para uma empresa que já mantém saldo médio suficiente com um banco comercial, mediante outras operações vinculadas à sua conta corrente, foi efetuada a seguinte operação de desconto comercial: título com valor de resgate de $ 850.000,00; taxa de desconto utilizada de 3,3% a.m.; IOC retido de 0,123% a.m. e um valor atual comercial liberado de R$ 812.175,85. Nestas condições, pede-se o prazo de vencimento para o título. Solução: N = 850.000 i* = 3,3 % a.m. i’ = 0,123% a.m. A = 812.175,85
n00123,0000.850n'NiIOC
n033,0000.850n*NiD
IOCDNA
C
C'Ç
dias 39 30 1,3 meses 3,150,095.29
15,824.37n
n)00123,0033,0(000.850000.85085,175.812
n00123,0000.850n033,0000.850000.85085,175.812
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 20
Exemplo 04 (Roberto pg. 68 Problema proposto 13) Uma mercadoria é oferecida por $12.000,00 à vista ou na condição a prazo: 20% do valor à vista como entrada e mais um pagamento de $ 12.480,00 após 6 meses. Qual é a taxa de juros simples anual cobrada? Solução: A=12.000 0,2012.000 = 2400 Entrada 0,8012.000 = 9600 Valor atual do que vai ser pago à prazo
AN
in ii a a
( ) ( , ) ,, . .
19600
12480
1 0 5
12480 9600
0 5 9600
2880
48000 6 i=60%a.a.
Exemplo 05 (Roberto pg. 74 Problema proposto 35) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título de crédito pagável daqui a 4 meses, à taxa de 6% a.m., é igual a $ 2.100,00. Pedem-se o valor nominal, o desconto comercial e o racional. Solução:
n = 4 meses i = i=6% a.m. DC Ni n DRNin
in
( )1
DC DR
Ni nNin
in
N i nin
in
N
i nin
in
2100
12100
12100
2100
1
2100
0 06 40 06 4
1 0 06 4
2100
0 04645264345207 33
( )
( )
( ),
,
( , )
,. ,
DC Ni n 45207 33 0 06 4 10850 00. , , . ,
00,750.824,1
7592,849.10
)406,01(
406,033,207.45
)in1(
NinDR
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 21
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: CÁLCULO DE JUROS E MONTANTES. CONVENÇÃO
LINEAR E EXPONENCIAL QUANDO NÃO É FRACIONÁRIO No regime de capitalização composta ou exponencial os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo do juro do período seguinte. Subentende-se por capitalização, o momento em que os juros são incorporados ao principal. Essa é a diferença principal em relação à capitalização simples, em que não há capitalização, pois apenas o capital inicial rende juros. JUROS COMPOSTOS
Juros compostos à taxa variável:
1i1CCi1CCMJn
1t
t
n
1t
t
Juros compostos à taxa fixa: J M C C i n C ( )1
MONTANTE, CAPITAL ACUMULADO OU VALOR FUTURO
À taxa variável: C M1 M2 M3 ... Mn-1 Mn
i1 i2 i3 ... in 0 1 2 3 ... (n-1) n Data 1: M1 = C +C i1 = C(1+i1) Data 2: M2 = M1 + M1 i2 = M1(1+i2) = C(1+i1)(1+i2)
Data n: Mn = C(1+i1)(1+i2) ... (1+in) Generalizando,
M = C(1+i1)(1+i2) ... (1+in) ou
n
1t
t )i1(CM
À taxa fixa: Para: i1 = i2 = ... in = i, teremos: M = C(1+i)n
Exemplo 1 (Roberto pg 82 Problema Resolvido 2) Se uma caderneta de poupança fornece durante 12 meses taxas trimestrais de rentabilidade (incluindo juros e “seguro contra a inflação”) de, respectivamente, 3,7%, 4,2%, 2,8% e 5,2%, que capital acumulado haverá quando são depositados $ 1.000.000,00 no início do período citado? Solução:
M=
4
1t
t )i1(C = 1.000.000(1,037)(1,042)(1,028)(1,052) =1.000.0001,16857161607= $ 1.168.571,61
Exemplo 2 Calcular os montantes e os respectivos juros compostos produzidos por $ 100.000,00 aplicados pelo prazo de 12 meses a taxa de 2,5% a.m. Solução: M = C(1+i)
n = 100.000(1+0,025)
12 = 100.000(1,3448888)
Montante: M = $ 134.488,88 Juros: J = M – C = $34.488,88 Usando HP12C
f FIN
100000 CHS PV
12 n
2,5 i
Montante FV 134.488,88
RCL PV
Juros + 34.488,88
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 22
VALOR ATUAL OU VALOR PRESENTE NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Quando a taxa for variável:
A ... N
i1 i2 i3 ... 0 1 2 3 ... n
n
1t
t )i1(
NA
Quando a taxa for constante: A ... N
i i i ... 0 1 2 3 ... n
AN
i nN i n
( )( )
11
Exemplo 01 (Laureano Página 110 Exercício Resolvido R8) A fim de substituir um título de $ 40.000,00 para 30 dias, uma pessoa entrega ao credor, hoje, a importância de $10.000,00 e um título com vencimento para 90 dias. Sendo de 5% a.m. a taxa de desconto composto utilizada nessa operação, calcular o valor nominal do novo título. Solução: A condição de substituição de títulos é que a soma dos valores atuais das obrigações assumidas seja igual à soma dos valores atuais das novas obrigações. Assim, temos:
32.534,27 N 53,095.281580,1
N23,095.38
1580,1
N10000
)05,01(
40000
)05,01(
N10000
13
Exemplo 02 (Caribé Página 164 Exercício Resolvido R21) Uma pessoa deseja substituir um título de valor nominal de R$ 85.000,00, com vencimento daqui a 60 dias, por outro título, com vencimento para 5 meses. Qual o valor nominal do novo título, sabendo-se que o banco em questão adota, nesse tipo de operação, a taxa composta de 9% a.m. e o critério do desconto racional? Solução:
n)i1(AN
00,075.1102950,1000.85)09,01(85000N 25
Exemplo 03 Calcular o montante, ao final de 5 anos, de um capital de $ 100.000,00 aplicado à taxa de juros compostos de 8% a.t. Solução: n = 5 anos = 20 trimestres C = 100.000 i = 8% a.t. M = C(1+i)
n = 100.000(1+0,08)
20 = 100.000(4,660957144) = $ 466.095,71
Usando HP12C
f FIN
100000 CHS PV
20 n
8 i
Montante FV 466.095,71
N = Compromisso financeiro
A = Valor atual
N = Compromisso financeiro
A = Valor atual
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 23
VPL O Valor Presente Líquido representa o retorno líquido atualizado gerado pelo projeto. É a soma algébrica dos valores do fluxo de um projeto, atualizados à taxa ou taxas adequadas de desconto.
n
1tttt
i1
CRIVPL
TIR A TIR é a taxa que iguala a zero o valor presente líquido de um projeto ou, em outras palavras, iguala o valor presente dos benefícios de um projeto ao valor presente dos seus custos. Quanto maior a TIR, maior a atratividade do projeto. A TIR é um dos principais instrumentos na determinação do mérito do projeto, devido principalmente a duas grandes vantagens:
1. Não apresenta as dificuldades dos demais critérios de atualização, que exigem juízos sobre variáveis externas aos dados do projeto, como é o caso das taxas de descontos.
2. Pela semelhança entre o conceito da taxa interna de retorno e o conceito tradicional de rentabilidade de um investimento. Assim, uma taxa interna de 10% de um projeto pode ser facilmente comparada com muitos outros tipos de rentabilidade, tais como a rentabilidade de 10% em títulos, rentabilidade de 6% em depósitos de poupança, etc.
Entretanto, a TIR apresenta algumas desvantagens que não lhe permitem ser o instrumento absoluto na seleção e classificação de projetos, uma vez que:
1. No caso de projetos com grandes diferenças entre os valores dos investimentos, podem ocorrer contradições entre os critérios de TIR e de VAL. Isso ocorre porque um pequeno projeto (baixo investimento) pode apresentar uma alta taxa interna de retorno, mas ainda assim ter um reduzido valor atual.
2. A expressão matemática que permite a determinação da TIR leva em certos casos a soluções múltiplas e sem sentido, o que não é compatível com o objetivo de definir o mérito e classificar o projeto.
Para análise entre alternativas de um mesmo projeto e entre projetos sem grandes diferenças de investimento, a TIR é geralmente aceita como o melhor instrumento na determinação do mérito comparativo de projetos. Considerando que os valores de caixa ocorrem em diferentes momentos, é possível concluir que o método da TIR, ao levar em conta o valor do dinheiro no tempo, expressa na realidade a rentabilidade, se for uma aplicação, ou custo, no caso de um empréstimo ou financiamento, do fluxo de caixa. A rentabilidade ou custo é indicado em termos de uma taxa de juros equivalente periódica. Por exemplo, admita um empréstimo de $30.000,00 a ser liquidado por meio de dois pagamentos mensais e sucessivos de $ 15.500,00 cada. O custo desta operação, calculado pelo método da taxa de retorno, atinge:
2i1
00,500.15
i1
00,500.1500,000.30
Usando HP12C
f REG
30000 CHS
g CFo
15500 g CFj
15500 g CFj
Taxa interna de retorno F IRR 2,2141
O custo obtido de 2,21% a.m. representa, diante das características enunciadas do método da TIR, a taxa de juros que iguala, em determinada data, a entrada de caixa ($30.000,00 – recebimento do empréstimo) com as saídas de caixa ($ 15.500,00 – valor de cada prestação desembolsada).
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 24
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Exemplo 01 Qual é a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador recebeu, após 2 anos, o montante de $ 45.666,57, sendo $ 25.666,57 referente a juros? Solução:
M = 45.666,57 J = 25.666,57 n = 2 anos ou 24 meses ni1CM M = C + J
45.666,57 = C + 25.666,57 C = 20.000,00
035,0120000
57,45666ii12000057,45666 2424 Portanto, i = 3,5% a. m.
Usando HP12C
f FIN
45666,57 CHS FV
24 n
20000 PV
Taxa i 3,5
Exemplo 02 Que valor máximo uma pessoa estaria disposta a desembolsar na data presente por conta de dois compromissos financeiros e nos valores nominais de $ 100.000,00 e $ 120.000,00, nas datas respectivas de 6
e 12 meses? Admitir taxa mensal de 4
15 %a.m.
Solução:
n1 = 6 meses n2 = 12 meses N1 = 100.000 N2 = 120.000 i = 5 14
% a.m.=5,25 a.m.
89,13850455,6494034,564.73
0525,01
000.120
0525,01
000.100
i1
NA
126n
Usando HP12C
f FIN
100000 CHS FV
6 n
5,25 i
PV 73564,34
STO 0
120000 CHS FV
12 n
PV 64940,55
ENTER
RCL 0
+ 138.504,89
Exemplo 03 Quanto se deve depositar na data atual para se ter acumulados $500.000,00 ao fim de 2 anos e 6 meses, quando se sabe que no mercado há uma taxa corrente de juros compostos de 10% a.t.? Solução: n = 2 anos e 6 meses = 10 trimestres M = 500.000 i = 10% a.t. M = C(1+i)
n C = M/(1+i)
n =500.000/(1+0,10)
10 = 500.000/2,5937424666 = $ 192.771,64
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 25
Usando HP12C
f FIN
500000 CHS FV
10 n
10 i
Capital PV 192.771,64
Exemplo 04 Nos dois fluxos de caixa abaixo, calcule o valor atual líquido, a taxa interna de retorno, tempo de retorno dos investimentos e a razão benefícios/custos. Adicionalmente, indique qual dos projetos é mais interessante para o investidor. Considerar uma taxa de juros para o mercado financeiro de 20% ao período.
PROJETO P E R Í O D O S
0 1 2 3 4 5
A -1.000 300 400 400 350 500
B -1.200 500 500 500 500 500
Solução:
PROJETO A i = 20% a.p. 300 400 400 350 500 0 1 2 3 4 5 1000 Valor Atual Líquido (VAL)
n
1tt
tt
i1
CRIVAL
99,12894,20079,16848,23178,2772501000VAL
20,01
500
20,01
350
20,01
400
20,01
400
20,01
3001000VAL
54321
Usando HP12C
f REG
1000 CHS
g CFo
300 g CFi
400 g CFi
400 g CFi
350 g CFi
500 g CFi
20 i
Valor atual líquido F NPV 128,9866
Taxa interna de retorno F IRR 25,3648
Tempo de Retorno do Investimento Aproximado (TRA)
3905
1950
5
500350400400300LmA
p5641,2390
1000
Lm
ITR
AA
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 26
Tempo de Retorno do Investimento Exato (TRE)
80,2255
99,1128
)20,01(
500
)20,01(
350
)20,01(
400
)20,01(
400
)20,01(
300
5
1Lm
54321E
p4287,480,225
1000
Lm
ITR
EE
Razão Benefícios/Custos (B/C)
12899,11000
99,1128
I
)i1(
L
C/B
n
1tt
t
PROJETO B i = 20% a.p. 500 500 500 500 500 0 1 2 3 4 5 1200 Valor Atual Líquido (VAL)
31,29531,14951200
)20,01(20,0
1)20,01(5001200
i1
CRIVAL
5
5n
1tttt
Usando HP12C
f REG
1200 CHS
g CFo
500 g CFi
5 g Nj
20 I
Valor atual líquido F NPV 295,3061
Taxa interna de retorno F IRR 30,7720
Tempo de Retorno Aproximado (TRA)
500LmA p4,2500
1200
Lm
ITR
AA
Tempo de Retorno Exato (TRE)
06,2995
31,1495
)20,01(20,0
1)20,01(500
5
1Lm
5
5
E
p0126,4
06,299
1200
Lm
ITR
EE
Razão Benefícios/Custos (B/C): 2461,11200
31,1495
I
)i1(
L
C/B
n
1tt
t
TABELA RESUMO
PROJETO VAL TIR TRA TRE B/C
A 128,99 25,3648%a.p. 2,5641p 4,4287p 1,12899
B 295,31 30,7720%a.p. 2,4000p 4,0126p 1,24610
Projeto Escolhido B B B B B
Todos os resultados apontam para o projeto B como sendo o melhor investimento.
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 27
TAXAS EQUIVALENTES E EFETIVAS. INFLUÊNCIA DA INFLAÇÃO: TAXA REAL E
TAXA APARENTE
EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXA DE JUROS
Capitalização simples:
mii m ou m
iim
C i MA 0 1
i = Taxa de juros simples correspondente a um período financeiro. C i MB im im ... im
0 1 m subperíodos im = Taxa de juros simples correspondente a um subperíodo (1/m) do período financeiro.
Capitalização composta:
1i1i mm ou 1i1i m1
m
Igualdade entre os índices:
12m
6b
4t
3q
2sa i1i1i1i1i1i1 etc.
Exemplo 1 (Roberto Página 104 Problema Proposto 3) Que taxa trimestral de rentabilidade é equivalente à taxa de 80% a.a.? Solução:
1i1i m/1m
a.t. %83,151583,0180,011i1i 4/14/1at
TAXA EFETIVA É aquela cujo período de capitalização corresponde ao próprio período da taxa. Por exemplo, 10% a.m. com capitalização mensal.
TAXA NOMINAL É aquela em que o período de capitalização difere do período apresentado pela própria taxa. Por exemplo, 20% a.t. com capitalização mensal.
EQUIVALÊNCIA ENTRE A TAXA EFETIVA E A TAXA NOMINAL Seja i = taxa efetiva de juros e j = taxa nominal de juros:
1m
j1i
m
ou 1i1mj m
1
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 28
EXEMPLOS DE EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS DE JUROS E PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO Exemplo 01 (Roberto Página 137 Problema Proposto 10 * 5ª edição)
Sabendo-se que determinado título oferece rentabilidade de 40% a.a. com capitalização trimestral, pede-se
determinar um outro título que ofereça uma rentabilidade equivalente com as taxas específicas a seguir:
a) Taxa anual com capitalização semestral. b) Taxa anual com capitalização mensal. c) Taxa trimestral. d) Taxa trimestral com capitalização quinzenal.
Solução:
j = 40% a.a. com capitalização trimestral 104
40it % a.t.
a) 1i1im
m 4641,01)10,01(i 4
a
1i1mjm/1 42,014641,012j
2/1
j= 42% a.a. com capitalização semestral.
b) 1i1mjm/1 38736,014641,0112j
12/1
j= 38,736% a.a. com capitalização mensal.
c) m
jim 10,0
4
40,0i t ti = 10% a.t.
d) 1i1mjm/1 09607,0110,016j
6/1
j= 9,607% a.t. com capitalização quinzenal.
Exemplo 02 (Roberto Página 106 Problema Proposto 14) Determinar uma taxa anual de juros simples equivalente à taxa de 48% a.a. com capitalização trimestral, durante o prazo de 2 anos. Solução: j = 48% a.a. com capitalização trimestral n = 2 anos = 8 trimestres
a.a. %80,73i
7380,02
476,1
2
14
48,01
i
8
TAXA INSTANTÂNEA DE RENDIMENTOS A partir do conceito de taxa nominal de juros, em que o período de capitalização é independente e difere do período expresso pela taxa, podemos imaginar determinada variável (financeira, econômica, social, etc.) assumindo valores ao longo do tempo a uma taxa de incremento com capitalização bastante diminuta, ou com período de capitalização infinitesimal.
nCeM = Taxa instantânea
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 29
EXEMPLOS DE TAXA INSTANTÂNEA DE RENDIMENTOS
Exemplo 01
Em quanto tempo a população brasileira duplicará, admitindo um crescimento à taxa instantânea =
3% a.a.? Solução:
105,2303,0
69314,0
03,0
)2ln(neln)2ln(
CeC2
CeM
n03,0
n03,0
n
Usando HP12C
f REG
2 g ln
0,03 ÷ 23,105
23 anos 23 -
1 mês 360 x 38
8 dias 30 - 8
23 anos + 0,105360 =23 anos + 38 dias. Portanto, n = 23 anos, 1 mês e 8 dias. Exemplo 02 Em quanto tempo a população brasileira triplicará, admitindo um crescimento à taxa instantânea de 2% a .a .? Solução:
anos 354,9306144=0,02
91,09861228=
0,02
3ln =
C
Mln
=n
C
Mln = lne
C
M = e
Ce = M
n
n
n
54,93061443 360 = 19775 dias
Usando HP12C
f REG
3 g ln
0,02 ÷ 54,913061443
54 anos 54 -
11 mês 360 x 335
5 dias 330 - 5
19775 -19440 54 anos 335 - 330 11 meses 5 5 dias
n = 54 anos, 11 meses e 5
dias
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 30
DESCONTO COMPOSTO: RACIONAL E COMERCIAL
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL (DR) DR = N – A N = Valor nominal ou valor de resgate do título acumulado através da capitalização composta. A = Valor atual (racional) ou valor presente do título na data da operação de desconto.
Em função de N:
nnR)i1(
11N
)i1(
NNAND
Em função de A:
1)i1(AA)i1(AAND nnR
DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL (DC)
n*n*CC i11Ni1NNAND
AC = Valor atual comercial. i* = Taxa de desconto composto comercial. n = Número de períodos financeiros Exemplo 1 (Walter Página 92 Problema Proposto 7) Qual o desconto bancário (comercial) de um título de R$ 500,00, exigível em 3 anos, a 20 % a.a. capitalizados semestralmente? Solução:
28,234$R468559,05002
2,011500*i11ND
6
n
c
Exemplo 2 (Roberto Página 143 Problema Proposto 35 * 5ª edição) Uma pessoa adquire um apartamento a prazo na condição seguinte: 500 mil de entrada; $300 mil a vencer em 3 meses e $200 mil a vencer em 6 meses. Por outro lado, ao adquirir o imóvel pretende vendê-lo ao final de 2 anos após a compra, quando estão estimadas para os mercados financeiro e imobiliário taxas de 3% a.m. e 20% a.a., respectivamente, para remuneração do capital financeiro e investimentos imobiliários. Com estes dados, determinar o preço mínimo de oferta que o proprietário deverá anunciar para o referido apartamento, sabendo-se que ele desejará ganhar acumuladamente os rendimentos de ambos os mercados. Solução: 500.000 300.000 200.000
3 meses 6 meses
00,032.679.2P
032.679.2581.447839.767612.463.1M
581.447)015309,01.()03,01(000.200M
839.767)015309,01.()03,01(000.300M
612.463.1)015309,01.()03,01(000.500M
.m.a%5309,1i.a.a%20i
015309,0120,1i)i1()20,01(
)i1()i1(
min
18183
21212
24241
m
12m
12m
12ma
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 31
EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA
DEFINIÇÃO Ao estudar juros e descontos simples, foi verificado que dois ou mais capitais, realizáveis em datas distintas, são equivalentes se, na época, seus valores atuais forem iguais. Por outro lado, na capitalização composta (juros compostos e desconto composto real), a equivalência de capitais diferidos pode ser feita na data zero (valor atual) ou em qualquer outra data, pois os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos. EXEMPLOS DE EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA
Exemplo 01 (Samanez Página 27 Exemplo 2.17) Considerando juros efetivos de 5% a.m., em que data deve ser feito um pagamento único de $160.000, de modo que liquide uma dívida pela qual o devedor irá pagar três parcelas, a saber: $50.000,00 no fim de 6 meses, $40.000 no fim de 10 meses e $80.000 no fim de 12 meses. Solução:
Valor presente do principal devido
29,414.106)05,01(
80000
)05,01(
40000
)05,01(
50000C
12106
Cálculo do pagamento único
5036,1)05,1()05,01(29,106414160000
)i1(CM
nn
n
Aplicando logaritmos:
meses 3595,8)05,1ln(
)5036,1ln(n 8 meses e 11 dias
Exemplo 02 (Roberto Página 107 Problema Proposto 18) Um empresário possui dois títulos com valores de resgate de $50.000,00 e $70.000,00, vencíveis a 3 e 7 meses, respectivamente, a partir da data presente. Sem liquidez para quitar os débitos em suas datas, negocia com a Instituição bancária - que estipula juros compostos de 3% a.m. - para substituição das dívidas por duas outras de igual valor a vencerem em 9 e 12 meses. Determinar o valor de cada débito nesta nova situação. Solução: VR1=50.000 VR2= 70.000 i=3% a.m.
3 meses 7 meses
9 meses 12 meses
76,950.69=X X4677966,149,673.102
A
49,673.10241,916.5608,757.45A
41,916.56A 08,757.45A
)i1(AN
1,4677966
102.673,49
)03,01(
X
)03,01(
X
)03,01(
000.702
)03,01(
000.501
n
129
73
Cada prestação será de $ 69.950,76
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 32
Exemplo 03 (Roberto Página 145 Problema Proposto 39 * 5ª edição) Que financiamento corresponde a uma amortização representada pelas 4 (quatro) prestações abaixo, quando é exigida uma taxa efetiva de 43% a.a.?
Valor da Prestação Dias da data-base $ 50.000,00 32 dias $ 100.000,00 70 dias $ 300.000,00 90 dias $ 150.000,00 122 dias
Solução: 43% a.a.
83,932.548A
00,877.13290,338.27458,281.9335,435.48A
A
000994,01)43,01(i
)i1()i1(
122907032 )000994,01(
000.150
)000994,01(
000.300
)000994,01(
000.100
)000994,01(
000.50
360m
360ma
Exemplo 04 (Roberto Página 141 Problema Proposto 24 * 5ª edição) Na aquisição de um terreno estão sendo analisadas duas propostas alternativas: Proposta X: Uma entrada de $50.000,00; um pagamento de $30.000,00 ao final de 6 meses e um outro de
$20.000,00 daqui a 12 meses Proposta Y: Uma entrada de $75.000,00 e um pagamento único de 18.000,00 ao final de 12 meses. Considerando uma taxa de juros compostos de 4%a.m. durante todo o período de análise, qual a melhor proposta para um comprador? Solução: X: entrada $ 50.000 $30.000 após 6 meses $20.000 após 12 meses Y: entrada $ 75.000 $18.000 após 12 meses i=4% a.m.
75,242.8675,242.11000.75000.75A
38,201.8694,491.1244,709.23000.50000.50A
12
126
)04,01(
000.18Y
)04,01(
000.20
)04,01(
000.30X
Como o valor atual de X é menor do que o de Y, a proposta de X é melhor. Exemplo 05 (Roberto Página 142 Problema Proposto 25 * 5ª edição) Para a questão anterior (Problema 24), qual a taxa de juros compostos que faz com que as duas propostas sejam equivalentes, ou o que vale a dizer: tornam os dois valores idênticos? Solução:
3,9727%ou 039727,01039727,1i
i1
79156,0)i1(
79156,0XX
025X302X
: temos1000,por equacao a dividindo e X)i1( Fazendo
0000.25)i1(000.30i1000.2
0000.50000.75)i1(000.18)i1(000.20)i1(000.03
000.75000.50
6
2
12126
79156,0
1
6
2x2
16624,3330
2x2
16624,3330
2x2
)25(x2x4)30(30
2
6
626
12126
)i1(
000.18
)i1(
000.20
)i1(
000.30
O que nos faz concluir que qualquer taxa positiva abaixo desta taxa encontrada tornará a proposta Y mais atrativa para o cliente.
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 33
SÉRIES FINITAS DE PAGAMENTOS POSTECIPADAS: INTRODUÇÃO.
MONTANTE (FV)
RENDAS CERTAS DE TERMOS CONSTANTES Conceito Essas séries de capitais podem representar na prática uma seqüência de pagamentos para a constituição de um certo fundo de poupança, pagamento de dívidas, contribuições previdenciárias, remunerações ao trabalho ou ao capital etc. Aplicações Um financiamento de casa própria é um caso de renda certa temporária, de termo variável (sujeito à variação da TR) e periódica. Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de renda certa temporária, de termo constante (você sabe quanto pagará de juros) e periódica. Já a caderneta de poupança pode se considerar como um caso de renda certa perpétua (pelo menos enquanto o dinheiro estiver à disposição para aplicação ), de termo variável e periódica. As rendas certas de termos constantes ou também chamadas séries periódicas uniformes podem ser divididas em séries postecipadas, séries antecipadas e séries diferidas. As séries postecipadas são aquelas em que os pagamentos ocorrem no fim de cada período e não na origem, por exemplo, pagamentos de fatura de cartão de crédito. Nas séries antecipadas, os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo, por exemplo, financiamentos com pagamento à vista. Nas séries diferidas, o período de carência constitui-se em um prazo que separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela, por exemplo, promoções do tipo “compre hoje e comece a pagar daqui a x dias”. Nas séries diferidas, quando o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período após o término da carência, chama-se série diferida antecipada; se for no final do primeiro período após o término da carência, chama-se série diferida postecipada.
Séries Uniformes Postecipadas
Na série postecipada, os pagamentos ocorrem no fim de cada período:
PMT (Valor dos termos da série)
0 1 2 3 4.........................n (número de termos da série)
Séries Uniformes Antecipadas
Na série antecipada, os pagamentos ocorrem no início de cada período:
PMT
0 1 2 3 4............................n-1
Séries Uniformes Diferidas Antecipadas
PMT
carência
0 k k+1 k+2 k+3..........................k+n
Séries Uniformes Diferidas Postecipada
PMT
carência
0 k k+1 k+2 k+3..................... k+n+1
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 34
MONTANTE DAS RENDAS CERTAS, TEMPORÁRIAS DE TERMOS CONSTANTES Montante nada mais é do que a somatória dos juros com o capital principal. Definimos montante de uma renda certa como a soma dos montantes de seus respectivos termos. Para saber se estamos diante de uma série do modelo básico, postecipada, ou diante de uma série antecipada, devemos observar o último intervalo da série. Lembrando, a série é postecipada quando a parcela ocorre no final do intervalo. Em série postecipada o valor futuro ocorre na data do último depósito.
SÉRIE IMEDIATA POSTECIPADA
Cálculo do valor futuro (FV) Podemos determinar o montante de séries, basicamente de três maneiras distintas: pelo somatório dos montantes de cada depósito, pela fórmula ou pela calculadora financeira. Exemplo 1 Uma pessoa deposita mensalmente numa caderneta de poupança programada o valor de $5.000,00. Sabendo que o Banco paga juros de 5,5%a.m., quanto possuirá no momento do 5º depósito? Solução PMT = $5.000,00 i = 5,5% a.m. n = 5 depósitos mensais FV = $ ? PMT PMT PMT PMT PMT 0 1 2 3 4 5 a) Pelo somatório do montante de cada depósito Podemos determinar o montante de uma sucessão de pagamentos, recebimentos ou depósitos através do somatório dos montantes de cada anuidade. A fórmula para o valor futuro de cada depósito é:
n)i1(PVFV ou ni1CM
O somatório dos valores futuros é:
46,905.275000055,015000055,015000055,015000055,015000FV
FVFVFVFVFVFV
1234
54321
b) Pela fórmula Os fatores que determinam o montante de cada prestação “PMT” mantêm entre si uma progressão geométrica e, por isso, será usada a fórmula do somatório da progressão geométrica. Denominar-se-á o resultado do somatório da progressão geométrica de FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL de “n” períodos na taxa “i”:
i
1)i1(S)i,n(FAC
n
in
Este fator pode ser encontrado na tabela financeira. Podemos calcular o montante, multiplicando o depósito pelo valor do fator acima encontrado. Desta maneira a fórmula ficará:
46,905.27581091026,55000
055,0
1055,015000
i
1)i1(PMTFV
5n
VARIÁVEL FINANCEIRA TECLA
M = Montante ou valor futuro F V
C ou A = Valor atual ou valor presente P V
X = Valor da prestação P M T
n = Número de períodos n
+/- = Mudança de sinal C H S
I% = Taxa de juro composto i
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 35
c) Utilizando a calculadora financeira HP 12C: Usando HP12C
f FIN
5000 CHS PMT
5 n
5,5 i
Montante FV 27.905,46
Como demonstrado nas três maneiras, o montante é de $27.905,46. Obs. Se estiver visível na parte inferior do visor a expressão BEGIN na HP 12C, antes de solicitar o resultado, quando for postecipado, pressione:
g end
Exemplo 2 (Roberto pg. 220 Problema Proposto 1) Determinar o montante ou capital acumulado pelo depósito periódico postecipado de R$ 1.000,00 em um Fundo de Renda Fixa, durante 3 anos, depositados trimestralmente com a taxa de juros compostos de 28% a. a. capitalizada trimestralmente. Solução PMT = $1.000,00 Duração = 3 anos
n = 3●4 = 12 depósitos trimestrais i = 4
28 = 7% a.t.
45,888.178884512,171000
07,0
107,011000
i
1)i1(PMTFV
12n
Usando HP12C
f FIN
1000 CHS PMT
12 n
7 i
Montante FV 17.888,45
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 36
SÉRIES FINITAS DE PAGAMENTOS POSTECIPADAS: INTRODUÇÃO.
MONTANTE (PMT; i; n)
Cálculo do valor do depósito (PMT) O valor das prestações também pode ser calculado a partir do montante de anuidades, apenas posicionando antes da igualdade o PMT que é a representação do valor do depósito. Exemplo (Roberto pg. 222 Problema Proposto 6) Quanto um poupador deverá depositar ao fim de cada trimestre durante 3 (três) anos para formar um capital acumulado de R$ 100.000,00 ao término desse prazo, recebendo uma taxa de 18% a.a. capitalizada trimestralmente? Solução
FV = $100.000,00 i = 4
18 = 4,5% a.t. n = 3●4 = 12 depósitos trimestrais PMT = $ ?
62,466.61)045,01(
045,0100000
1)i1(
iFVPMT
12n
Usando HP12C
f FIN
100000 CHS FV
12 n
4,5 i
Prestação PMT 6.466,62
Obs. Se estiver visível na parte inferior do visor a expressão BEGIN na HP 12C, antes de solicitar o resultado, quando for postecipado, pressione:
g end
Cálculo da taxa (i) Como se tem dificuldade em determinar a taxa, pode-se encontrá-la pela interpolação, pela tentativa e erro e / ou pela calculadora financeira. Exemplo Uma pessoa deposita mensalmente $5.000,00 numa caderneta de poupança e, no momento do 5º depósito, seu saldo era de $28.753,70. Determinar a taxa de juros paga pelo banco. Solução FV = $28.753,70 PMT = $5.000,00 n = 5 depósitos mensais i = ? %a.m.
750740,55000
7,28753
PMT
FVS
i|5
Neste caso, procurando na tabela financeira, temos 7|5
S = 5,750739, ou seja i = 7% a.m., que é uma
diferença com a qual não nos preocuparemos. Se quisermos saber com exatidão a taxa deveremos utilizar a Tentativa e Erro.
Usando HP12C
f FIN
28753,7 CHS FV
5 n
5000 PMT
Taxa i 7
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 37
Cálculo da quantidade de depósito (n) Podemos determinar a quantidade de depósitos pela fórmula:
PMT
FVS
i|n
Exemplo Quantos depósitos mensais de $5.000,00 deverão realizar uma pessoa para que tenha no ato do último depósito o saldo de $27.905,46, recebendo uma taxa de 5,5% a.m.? Solução FV = $27.905,46 PMT = $5.000,00 i = 5,5% a.m. n = ? depósitos mensais
581092,55000
46,27905
PMT
FVS
5,5|n
Usando a tabela financeira, encontramos que n é, aproximadamente 5 depósitos, utilizando o fator
como 5,5|5
S = 5,581091026. Se não encontrar um valor aproximado na tabela financeira pode ser utilizado o
logaritmo:
30696,1055,1581091026,5
055,0
1055,01 nn
Vamos agora utilizar o logaritmo: 30696,1ln055,1lnn
Utilizando uma das propriedades do logaritmo, teremos:
5053541,0
267704,0
055,1ln
30696,1lnn030696,1ln055,1lnn depósitos mensais
Usando HP12C
f FIN
27905,46 CHS FV
5,5 i
5000 PMT
Depósitos n 5
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 38
SÉRIES FINITAS DE PAGAMENTOS ANTECIPADAS E DIFERIDAS: MONTANTE
SÉRIE IMEDIATA ANTECIPADA É uma série antecipada relativa ao montante quando o último depósito da série ocorrer um intervalo antes do momento em que queremos saber ou sabemos, o montante. Diagrama: PMT PMT PMT ... PMT 0 1 2 ... n-1 n Cálculo do valor futuro (FV) Para calcular o montante utilizaremos a seguinte fórmula:
i
)i1()i1(PMT1SPMTFV
1n
i1n
Exemplo (Roberto pg. 220 Problema Proposto 2)
Determinar o montante ou capital acumulado pelo depósito periódico antecipado (periodicidade dada
abaixo juntamente com a taxa de juros compostos) de R$ 1.000,00 em um Fundo de Renda Fixa, durante 3
anos, com depósitos antecipados:
Depósito Taxa
(a) Mensal 3,5% a. m.
(b) Trimestral 28% a. a. capitalizada trimestralmente
(c) Semestral 21% a.a.
(d) Bimestral 3% a.m.
Solução PMT = $1.000,00 Duração = 3 anos
(a) n = 3 12 = 36 depósitos mensais i = 3,5%a.m
87,457.7245787,721000035,0
)035,01()035,01(1000
i
)i1()i1(PMTFV
1361n
Usando HP12C
f FIN
1000 CHS PMT
3,5 i
36 n
g BEG
Montante FV 72.457,87
(b) n = 3 4 = 12 depósitos trimestrais i = 4
28 = 7% a.t.
64,140.1914064,19100007,0
)07,01()07,01(1000
i
)i1()i1(PMTFV
1121n
Usando HP12C
f FIN
1000 CHS PMT
7 i
12 n
G BEG
Montante FV 19.140,64
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 39
(c) n = 3 2 = 6 depósitos semestrais
i = 21% a.a. = 21
)21,01( -1= 10% a.s.
17,487.848717,810001,0
)1,01()1,01(1000
i
)i1()i1(PMTFV
161n
Usando HP12C
f FIN
1000 CHS PMT
10 i
6 n
G BEG
Montante FV 8.487,17
(d) n = 3 6 = 18 depósitos bimestrais
i = 3% a.m. = 2)03,01( -1= 6,09% a.s.
69,068.3306869,3310000609,0
)0609,01()0609,01(1000
i
)i1()i1(PMTFV
1181n
Usando HP12C
f FIN
1000 CHS PMT
6,09 i
18 n
G BEG
Montante FV 33.068,69
MONTANTE DE SÉRIES DIFERIDAS Para o montante, carência não existe antes dos depósitos; se considerarmos alguma carência, esta deverá ser após o último depósito. Sabemos que, quando não temos valor depositado, não recebemos juros, por este motivo a afirmação acima. Assim, quando queremos saber um montante mais de um intervalo após o último depósito, calculamos o montante da série e depois o montante por capitalização composta. Fórmula para o montante da renda diferida de termos postecipados: PMT PMT ... PMT FV=? 0 1 2 ... n n+k Onde: n = número de termos k = diferimento ou prazo de carência
i
)i1(1)i1(PMTSSPMTFV
nkn
ikikn
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 40
Exemplo Uma pessoa efetua 8 depósitos mensais de $ 20.000,00, recebendo uma taxa de 10%a.m. de juros. Quanto terá esta pessoa 4 meses após o último depósito? Solução PMT = $ 20.000,00 i = 10% a.m. n = 8 depósitos mensais k = 4 meses de carência FV = ?
68,865.334334925198,5138428377,3200001,0
1,0111,0120000FV
848
Usando HP12C
f FIN
20000 CHS PMT
10 i
8 n
FV
CHS PV
CLx PMT
4 n
Montante FV 334865,68
Fórmula para o montante da renda certa diferida de termos antecipados: PMT PMT ... PMT FV=? 0 1 ... n-1 n n+k Onde: n = número de termos k = diferimento ou prazo de carência
i
)i1(1)i1(PMTFV
SSPMTFV
n1kn
i1ki1kn
Obs. Usar o exemplo anterior sendo antecipado.
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 41
SÉRIES FINITAS DE PAGAMENTOS POSTECIPADAS, ANTECIPADAS E DIFERIDAS:
VALOR ATUAL. SÉRIES INFINITAS (OU PERPÉTUAS)
VALOR ATUAL DAS SÉRIES IMEDIATAS POSTECIPADAS Valor Atual ou Valor Presente das Rendas Certas pode ser definido como a soma dos valores atuais dos seus respectivos termos. Para determinarmos o valor atual de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, somamos o valor atual do desconto racional composto de cada parcela da série. Podemos determinar o valor atual de séries, também de três maneiras distintas: pelo somatório dos valores atuais de cada depósito, pela fórmula ou pela calculadora financeira. Exemplo Determinar o valor, a vista, de uma série de 6 prestações (títulos) de $20.000,00, vencíveis mensalmente, a partir do 1º mês, sabendo que a taxa é de 5% a.m. Solução PMT = $ 20.000,00 i = 5% a.m. n = 6 depósitos mensais PV= ? PV=? PMT PMT PMT PMT PMT PMT 0 1 2 3 4 5 6 a) Pelo somatório dos valores atuais de cada depósito Partindo da fórmula do desconto racional composto, temos:
n)i1(
FVPV
Onde o “n” será substituído pelo número correspondente à prestação, da seguinte maneira: na primeira prestação “n” será 1, na segunda “n” será 2 e assim por diante. O FV, quando queremos calcular o valor atual de uma série de pagamentos, será o valor de cada prestação. O somatório dos valores atuais é:
84,10151331,1492452,1567005,1645475,1727659,1814062,19047PV
05,01
20000
05,01
20000
05,01
20000
05,01
20000
05,01
20000
05,01
20000PV
PVPVPVPVPVPVPV
654321
654321
b) Pela fórmula O resultado do somatório da progressão geométrica passaremos a denominar de FATOR DE VALOR ATUAL de “n” períodos na taxa “i”:
n
n
in)i1(i
1)i1(a)i,n(FVA
Esse fator pode ser encontrado na tabela financeira. Podemos calcular o valor atual, multiplicando o depósito pelo valor do fator acima encontrado. Desta maneira a fórmula ficará
n
n
in)i1(i
1)i1(PMTaPMTPV
84,513.1010756920673,520000
05,0105,0
105,0120000PV
6
6
c) Utilizando a calculadora financeira HP 12C:
Usando HP12C
f FIN
20000 CHS PMT
5 i
6 n
VALOR PRESENTE PV 101.513,84
Como demonstrado nas três maneiras, o valor atual é de 101.513,84
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 42
VALOR ATUAL DAS SÉRIES IMEDIATAS ANTECIPADAS A série é antecipada em relação ao valor atual quando a primeira parcela ocorrer na data zero, de entrada, sendo esta entrada de mesmo valor das demais parcelas. Diagrama: PMT PMT PMT PMT ... PMT 0 1 2 3 ... n-1 n Para calcular o valor atual utilizaremos a seguinte fórmula:
i
)i1(1)i1(PMTPV
a1PMTPV
n
i1n
Exemplo Determinar o valor, a vista, de uma série de 6 prestações (títulos) de $20.000,00, vencíveis mensalmente, sendo a primeira no ato da compra, sabendo que a taxa é de 5% a.m. Solução PMT = $ 20.000,00 i = 5% a.m. n = 6 depósitos mensais PV= ?
53,589.1060756920673,505,12000005,0
05,01105,0120000PV
6
Usando HP12C
f FIN
20000 CHS PMT
5 i
6 n
g BEG
VALOR PRESENTE PV 106.589,53
VALOR ATUAL DE SÉRIES DIFERIDAS Séries diferidas antecipadas em relação a um valor atual são aquelas em que a primeira parcela vence juntamente com a carência, enquanto séries postecipadas são aquelas em que a primeira parcela vence um período após a carência. Fórmula para o valor atual da renda diferida de termos postecipados: PV=? ... PMT PMT ... PMT 0 1 2 ... k k+1 k+2 ... k+n Onde: n = número de termos k = diferimento ou prazo de carência
i
)i1(1)i1(PMTPV
aaPMTPV
nk
ikikn
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 43
Exemplo (Roberto Página 279 Problema Proposto 12 * 5ª edição) Aproveitando a promoção comercial: “Compre hoje e somente comece a pagar depois de 4 meses”, uma pessoa adquire uma mercadoria mediante 6 prestações mensais e iguais a R$ 1.200,00, vencendo a primeira prestação 30 dias após o vencimento da carência. Considerando que há no mercado de capitais uma taxa de juros compostos de 4,5%a.m., qual o valor máximo que estaríamos dispostos a pagar à vista pela referida mercadoria? Solução PMT = R$ 1.200,00 i = 4,5% a.m. n = 6 depósitos mensais k = 4 meses de carência PV = ?
23,190.5157872483,5838561343,01200045,0
045,011045,011200PV
64
Usando HP12C
f FIN
1200 CHS PMT
4,5 i
6 n
PV
CHS FV
CLx PMT
4 n
VALOR PRESENTE PV 5.190,23
Fórmula para o valor atual da renda certa diferida de termos antecipados: PV=? ... PMT PMT PMT ... PMT 0 1 2 ... k k+1 k+2 ... (k+n-1) k+n Onde: n = número de termos k = diferimento ou prazo de carência
i
)i1(1)i1(PMTPV
nk1
Obs. Usar o exemplo anterior sendo antecipado.
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 44
VALOR ATUAL DAS RENDAS CERTAS PERPETUA As séries perpétuas são aquelas cujo prazo é ilimitado, não tem previsão de terminar. Não podemos calcular o montante da série perpétua por não termos a quantidade de prestações definidas. Para uma renda certa perpétua, imediata e postecipada, seu valor presente será: PMT PMT PMT ... 0 1 2 3 ...
i
PMTPV
Exemplo 01 Uma residência foi alugada por $350,00 mensais. Se a taxa de melhor aplicação no mercado financeiro paga juros de 2,3% a.m., qual seria o provável preço do imóvel? Solução
PMT = $ 350,00 i = 2,3% a.m. PV = ? 39,217.15023,0
350PV
Para uma renda certa perpétua, imediata e antecipada, seu valor presente será: PMT PMT PMT PMT ... 0 1 2 3 ...
i
11PMTPV
Para uma renda certa perpétua, diferida e postecipada, seu valor presente será: PV=? PMT PMT PMT ... 0 k k+1 k+2 k+3 ...
ki|k
i1i
1PMTa
i
1PMTPV
Exemplo 02 Uma jazida de ouro, com reservas para exploração por mais de cem anos, produz lucros médios de $4.000.000/ano. Calcular o valor da mina, considerando que nos próximos dois anos a mina não operará por motivos de renovação de equipamentos. O custo de oportunidade do capital é de 15%a.a. Solução PMT = $ 4.000.000 i = 15 % a.a. k = 2 anos de carência PV = ?
13,831.163.2015,0115,0
14000000PV 2
Para uma renda certa perpétua, diferida e antecipada, seu valor presente será: PV=? PMT PMT PMT PMT ... 0 k k+1 k+2 k+3 ...
k1i|1k
i1i
1PMTa
i
1PMTPV
Exemplo 03 Uma sociedade de beneficência pública ganhou de um mecenas uma doação de $25.000/ano em forma indefinida, recebidos no início de cada ano depois de transcorridos dois anos contados a partir da data da doação. A juros de 15% a.a., calcular o valor presente dessa doação. Solução
PMT = $ 25.000 i = 15 % a.a. k = 2 anos de carência 54,927.14415,0115,0
125000PV 21
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 45
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Exemplo 01 (Roberto pg. 221 Problema proposto 3) Calcular o valor atual ou presente de uma seqüência de depósitos periódicos (periodicidade fornecida abaixo juntamente com a taxa de juros), postecipados, de R$ 10.000,00, durante 2 (dois) anos: Depósito Taxa (a) Mensal 4% a. m. (b) Bimestral 30% a. a. capitalizada bimestralmente (c) Trimestral 3% a.m. (d) Quadrimestral 33,1% a.a. Solução: PMT = $10.000,00 Duração = 2 anos (a) n = 2 12 = 24 depósitos mensais i = 4 %a.m
63,469.15224696314,1510000)04,01(04,0
1)04,01(10000
)i1(i
1)i1(PMTPV
24
24
n
n
Usando HP12C
f FIN
1000 CHS PMT
4 i
24 n
Valor Presente PV 152.469,63
(b) n = 2 6 = 12 depósitos bimestrais
i = 6
30 = 5% a.b.
52,632.88863251636,810000)05,01(05,0
1)05,01(10000PV
12
12
Usando HP12C
f FIN
1000 CHS PMT
5 i
12 n
Valor Presente PV 88.632,52
(c) n = 2 4 = 8 depósitos trimestrais
im = 3% a.m it. = 3)03,01( -1= 9,2727% a.t.
62,791.54479162096,510000)092727,01(092727,0
1)092727,01(10000PV
8
8
Usando HP12C
f FIN
1000 CHS PMT
9,2727 i
8 n
Valor Presente PV 54.791,62
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 46
(d) n = 2 3 = 6 depósitos quadrimestrais
ia = 33,1% a.a. iq = 31
)331,01( -1= 10% a.q.
61,552.43355260699,410000)1,01(1,0
1)1,01(10000PV
6
6
Usando HP12C
f FIN
1000 CHS PMT
10 i
6 n
Valor Presente PV 43.552,61
Exemplo 02 (Roberto pg. 221 Problema proposto 5) Um automóvel é vendido a prazo através do seguinte plano: R$ 12.000,00 de entrada e mais 6 prestações mensais de R$ 10.000,00 (cada prestação). Adotando uma taxa de juros compostos de 5% a.m. que preço máximo estaríamos dispostos a pagar à vista pelo automóvel? Solução Entrada = R$ 12.000,00 PMT = R$10.000,00 n = 6 depósitos mensais i = 5 %a.m 12.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 0 1 2 3 4 5 6
n
n
i1i
1i1PMTENTRADAa)postecipad imediata PV(Série ENTRADA PV
92,756.6292,5075612000
05,0105,0
105,011000012000PV
6
6
Usando HP12C
f FIN
10000 CHS PMT
5 i
6 n
PV
ENTER
VALOR PRESENTE 12000 + 62.756,92
Exemplo 03 (Roberto pg. 222 Problema proposto 7) Um financiamento de R$ 2.400,00 é solicitado para ser amortizado mediante um pagamento de R$ 1.000,00 ao fim de 5 meses, seguido de 6 (seis) pagamentos mensais postecipados e iguais. Adotando-se uma taxa de juros compostos de 12% a.a., capitalizada mensalmente, de quanto se pode afirmar que é cada pagamento mensal? Solução: PV = R$ 2.400,00 k = 5 meses, com um pagamento de R$ 1.000,00 n = 6 depósitos mensais
i = 12
12 = 1 %a.m
1000 PMT PMT PMT PMT PMT PMT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 47
PV = PV(Entrada) + PV(Série diferida postecipada)
i
)i1(1)i1(PMT)Entrada(PVPV
nk
01,0
)01,01(1)01,01(PMT
)01,01(
10002400
65
5
2400 = 951,4656876 + 5,514197009 PMT
69,262514197009,5
534312,1448PMT
Usando HP12C
f FIN
2400 CHS PV
1 i
5 n
FV
ENTER
1000 -
CHS PV
CLx FV
1 i
6 n
VALOR PRESTAÇÃO PMT 262,69
Exemplo 04 (Roberto pg. 222 Problema proposto 8) Uma mercadoria é vendida à vista por R$ 200.000,00 ou a prazo na condição seguinte: entrada de R$ 40.000,00 e mais 5(cinco) parcelas mensais. Determinar o valor máximo de cada parcela mensal se o mercado financeiro oferece juros compostos de 6% a.m. Solução Entrada = R$ 40.000,00 PV = R$ 200.000,00 n = 5 depósitos mensais i = 6 %a.m 40.000 PMT PMT PMT PMT PMT 0 1 2 3 4 5
n
n
i1i
1i1PMTENTRADAa)postecipad imediata PV(Série ENTRADA PV
5
5
06,0106,0
106,01PMT40000200000
42,983.37212363785,4
160000PMTPMT 54,21236378 160000
Usando HP12C
f FIN
160000 CHS PV
6 i
5 n
VALOR PRESTAÇÃO PMT 37.983,42
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 48
Exemplo 05 (Roberto pg. 279 Problema proposto 14 * 5ª edição) Uma empresa solicita a um banco comercial um empréstimo de R$ 5 milhões, a ser amortizado mediante 6 prestações semestrais diferidas antecipadas, com 12 meses de carência. Sabendo-se que a taxa de financiamento é de 32,25% a.a. (efetiva), determinar: (a) O valor das prestações semestrais; (b) O pagamento único que a empresa deverá fazer no final do financiamento, caso deixe de amortizar as 3(três) últimas parcelas semestrais. Solução: PV = 5.000.000,00 n = 6 prestações semestrais diferidas antecipadas k = 2 semestres
i = 32,25% a.a. 1)3225,01(is = 15% a.s.
(a) PMT = ? PMT PMT PMT PMT PMT PMT 0 1 2 3 4 5 6 7
i
)i1(1)i1(PMTPV
nk1
15,0
)15,01(1)15,01(PMT5000000
621
290854516,3
5000000PMT
PMT = R$ 1.519.362,21 (b) PMT PMT PMT 0 1 2 3 4 5 6 7
*FV Montante das 3 últimas parcelas
Considerando como sendo uma série imediata antecipada, tem-se:
15,0
)15,01()15,01(21,1519362
i
)i1()i1(PMT*FV
131n
= 1519362,21 3,993375
*FV R$ 6.067.383,07
Exemplo 06 (Roberto pg. 225 Problema proposto 20) Se se faz atualmente um depósito de R$ 100.000,00 em uma Caderneta de Poupança, que fornece uma taxa de juros compostos de 4% a.m., pergunta-se: durante quanto tempo se pode fazer retiradas mensais de R$ 8.994,11 a fim de que, com a última retirada, nada reste como saldo na conta? Solução: PV = R$ 100.000,00 PMT = R$ 8.994,11 FV = 0 i = 4% a.m. n = ? depósitos mensais
n
n
n
n
04,0104,0
104,0111,8994100000
i1i
1i1PMTPV
8,15552645,0
104,1
104,104,111,8994
04,0100000
n
nn
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 49
Vamos agora utilizar o logaritmo: )8,1ln()04,1ln( n
Utilizando uma das propriedades do logaritmo, teremos:
1530,03922071
40,58778666
)04,1ln(
)8,1ln(n
)8,1ln()04,1ln(n
n = 15 depósitos mensais Usando HP12C
f FIN
100000 CHS PV
8994,11 PMT
4 i
DEPÓSITOS MENSAIS n 15
Exemplo 07 (Roberto pg. 285 Problema proposto 36 * 5ª edição) Um financiamento de R$ 100.000,00 foi solicitado para ser resgatado à taxa de juros compostos de 4,5% a.m., durante 13 meses, mediante prestações mensais antecipadas, com uma carência de 3 (três) meses antes da primeira prestação. Pedem-se: (a) Valor da Prestação mensal; (b) Saldo devedor remanescente no exato momento após o 6º pagamento. Solução: PV = R$ 100.000,00 i = 4,5%a.m. n = 10 prestações mensais antecipadas k = 3 meses PMT PMT ... PMT 0 1 2 3 4 ... 12 13 (a) PMT = ?
i
)i1(1)i1(PMTPV
nk1
045,0
)045,01(1)045,01(PMT100000
1031
24591303,7
100000PMT = R$ 13.800,88
(b) ... PMT PMT PMT PMT 0 ... 8 9 10 11 12 13 n = 4 prestações mensais postecipadas
n
n
)i1(i
1)i1(PMTPV
587525698,388,13800)045,01(045,0
1)045,01(88,13800PV
4
4
PV R$ 49.511,02
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 50
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
SISTEMA FRANCÊS (SFA) – TABELA PRICE CONCEITO A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é paga progressivamente por meio de parcelas de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja liquidado. Essas parcelas ou prestações são a soma de duas partes: a amortização ou devolução do principal emprestado e os juros correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizados.
PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS
Essa separação permite discriminar o que representa devolução do principal (amortização) do que representa serviço da dívida (juros). Ela é importante para as necessidades jurídico-contábeis e na análise de investimentos, em que os juros, por serem dedutíveis para efeitos tributáveis têm um efeito fiscal. Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimos temos: Sistema de Amortização Francês (conhecido também como Sistema Price), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização Americano e o Sistema Misto conhecido como Sistema de Amortização Crescente (Sacre). Muitas vezes os bancos e as instituições financeiras criam sistemas de amortização específicos, não-convencionais, adequados a determinadas situações ou características do mercado ou dos clientes. Para melhor compreensão dos termos utilizados em empréstimos e amortizações, apresentaremos a seguir as definições de alguns destes termos:
a) Mutuante ou credor: aquele que dispõe do dinheiro e concede o empréstimo. b) Mutuário ou devedor: aquele que recebe o empréstimo. c) Taxa de juros: é a taxa contratada entre as partes. Pode referir-se ao custo efetivo do empréstimo
ou não, dependendo das condições adotadas, e é sempre calculada sobre o saldo devedor. d) IOF: Imposto sobre Operações Financeiras. e) IOC: Imposto sobre Operações de Crédito. f) Crédito: Transação comercial em que um comprador recebe imediatamente um bem ou serviço
adquirido, mas só fará o pagamento depois de algum tempo determinado. Essa transação pode também envolver apenas dinheiro. O crédito inclui duas noções fundamentais: confiança, expressa na promessa de pagamento, e tempo entre a aquisição e a liquidação da dívida.
g) Prazo de utilização: corresponde ao intervalo de tempo durante o qual o empréstimo é transferido do credor para o devedor. Caso seja em uma parcela, este prazo é dito unitário.
h) Prazo de carência: corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. Caso as amortizações forem antecipadas, a primeira amortização acontecerá exatamente na data final de carência; no entanto, se as amortizações forem postecipadas, temos sempre mais um intervalo, que ê característica das amortizações postecipadas.
Durante o prazo de carência, portanto, o tomador do empréstimo pode pagar os juros, quando assim estiver combinado. Considera-se que existe carência quando este prazo é diferente ao período de amortização das parcelas. É possível também que as partes concordem em que os juros devidos no prazo de carência sejam capitalizados e pagos posteriormente, juntamente com o principal, ou numa só parcela na primeira amortização.
i) Parcelas de amortização: correspondem às parcelas de devolução do principal, ou seja, do capital emprestado.
j) Prazo de amortização: é o intervalo de tempo durante o qual são pagas as amortizações. k) Prestação: é o soma da amortização, juros e outros encargos, pago em dado período. l) Planilha: é um quadro, padronizado ou não, onde são colocados os valores referentes ao
empréstimo, ou seja, o cronograma dos valores de recebimento ou de desembolso. m Prazo total do financiamento: é a soma do prazo de carência com o prazo de amortização. n) Saldo devedor: é o valor do empréstimo a pagar ou receber em determinado momento. É o
resultado do saldo anterior — (menos) o valor da amortização ou, durante a carência, o saldo anterior + (mais) os juros não pagos.
o) Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações sucessivas.
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 51
SISTEMÁTICA GERAL DOS FINANCIAMENTOS A cada valor financiado (PV) corresponde uma contrapartida de “n” parcelas (ou pagamentos) ao
longo do prazo de contratação do financiamento. Vejamos o diagrama abaixo:
PV PMT1 PMT2 PMT3 ... PMTt ... PMTn
0 1 2 3 ... t ... n
Por sua vez, cada uma dessas parcelas PMTt (t = 1,2,3,...,n), que podem ser constantes ou variáveis
em termos reais ou nominais, traz intrisecamente um “quantum” representativo do principal denominado quota
de amortização, e de uma outra parte correspondente aos juros de amortização. De forma que, se
representarmos, respectivamente, por “qt” e “jt”, essas partes representativas de cada prestação “Pt”, teremos:
ttt jqPMT
Além dessa relação, podemos adiantar que todos os sistemas de amortização abordados neste estudo levarão em conta relações básicas que norteiam os financiamentos no que diz respeito ao:
(a) Somatório das quotas de amortização:
n
1t
tq = valor financiado
(b) Somatório dos juros de amortização:
n
1t
tj = juro total do financiamento
(c) Juro de amortização da prestação “PMTt”:
1tt SDij
Onde: i = taxa de financiamento SDt-1 = saldo devedor do período “t-1”
(d) Saldo devedor na data “t”:
t1tt qSDSD
ou
t1tt PMT)i1(SDSD
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 52
SISTEMA FRANCÊS (SF) - TABELA PRICE A denominação Sistema de Amortização Francês vem do fato de ter sido utilizado primeiramente na França, no século XIX. Esse sistema caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida que as prestações são pagas, eles são decrescentes e, conseqüentemente, as amortizações do principal são crescentes. O Sistema ou Tabela Price tem esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, o qual incorporou a teoria do juro composto às amortizações de empréstimos, no século XVIII. Basicamente a Tabela Price é um caso particular do Sistema de Amortização Francês, em que a taxa de juros é dada em termos nominais (na prática é dada em termos anuais) e as prestações têm período menor que aquele a que se refere a taxa de juros (em geral, as amortizações são pagas em base mensal). Nesse sistema, o cálculo das prestações é feito usando-se a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal. Representação gráfica: PMTt q1 qn PMT PMT J1 jn t 0 1 n No cálculo dos diversos parâmetros que compõe o sistema, iremos considerar a existência de um mercado de capitais perfeito, em que somente há uma taxa “i” para os financiamentos e para os excedentes de poupança postos à disposição dos ofertantes de recursos. Desse modo, admitindo o fluxo de caixa a seguir para um valor financiado (PV) e as correspondentes “n” parcelas de pagamento “PMT”, nesse sistema teremos:
Valor das prestações no período t:
1)i(1
)i(1i PV PMT
n
n
Saldo devedor:
tn
tn
ti1i
1i1 PMT SD
Juros:
1tn
1tn
t)i1(
1)i1( PMT J
Amortização: tt jPMT q
Exemplo (Roberto Página 252 Problema Proposto 2) Um financiamento de R$ 120.000,00 é solicitado pela Tabela Price para ser amortizado durante 18 meses, sendo os 13 primeiros meses de carência, à taxa de 168% a.a. (nominal). Sabendo-se que as prestações são mensais antecipadas e que são pagos juros no período de carência, elaborar a planilha de desembolso para o financiamento. Solução PV = 120.000 n = 6 prestações mensais antecipadas k = 13 meses de carência
j = 168% a.a. cap. mensalmente, então i = 12
168 = 14 % a.m.
São pagos juros no período de carência.
90,858.30
114,01
14,0114,0120000
1i1
i1iPVPMT
6
6
n
n
00,800.16
14,01
114,0190,30858J
i1
1i1PMTJ
116
116
11tn
1tn
t
00,941.105
14,0114,0
114,0190,30858SD
i1i
1i1PMTSD
t6
t6
1tn
tn
t
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 53
Mês (t)
Saldo devedor Amortização
tt jPMT q Juros Prestações
0 120.000,00 - - -
1 120.000,00 - 16.800,00 16.800,00
2 120.000,00 - 16.800,00 16.800,00
3 120.000,00 - 16.800,00 16.800,00
4 120.000,00 - 16.800,00 16.800,00
5 120.000,00 - 16.800,00 16.800,00
6 120.000,00 - 16.800,00 16.800,00
7 120.000,00 - 16.800,00 16.800,00
8 120.000,00 - 16.800,00 16.800,00
9 120.000,00 - 16.800,00 16.800,00
10 120.000,00 - 16.800,00 16.800,00
11 120.000,00 - 16.800,00 16.800,00
12 120.000,00 - 16.800,00 16.800,00
13 105.941,00 14.058,90 16.800,00 30.858,90
14 89.913,95 16.027,15 14.831,75 30.858,90
15 71.643,00 18.270,95 12.587,95 30.858,90
16 50.814,12 20.828,88 10.030,02 30.858,90
17 27.069,20 23.744,92 7.113,98 30.858,90
18 0,00 27.069,21 3.789,69 30.858,90
Usando HP12C
f FIN
120000 CHS PV
14 i
6 n
0 FV
Valor Prestação PMT 30.858,90
Zerar o valor de n 0 n
Valor dos juros 1º mês 1 f AMORT 16.800,00
Valor da amort 1º mês x>
<y 14.058,90
Valor do SD 1º mês RCL PV 105.941,10
Valor dos juros 2º mês 1 f AMORT 14.831,75
Valor da amort 2º mês x>
<y 16.027,15
Valor do SD 2º mês RCL PV 89.913,96
Valor dos juros 3º mês 1 f AMORT 12.587,95
Valor da amort 3º mês x>
<y 18.270,95
Valor do SD 3º mês RCL PV 71.643,01
Valor dos juros 4º mês 1 f AMORT 10.030,02
Valor da amort 4º mês x>
<y 20.828,88
Valor do SD 4º mês RCL PV 50.814,13
Valor dos juros 5º mês 1 f AMORT 7.114,00
Valor da amort 5º mês x>
<y 23.744,90
Valor do SD 5º mês RCL PV 27.069,20
Valor dos juros 6º mês 1 f AMORT 3789,69
Valor da amort 6º mês x>
<y 27.069,20
Valor do SD 6º mês RCL PV 0,00
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 54
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE. SISTEMA AMERICANO DE
AMORTIZAÇÃO A UMA E DUAS TAXAS (SINKING FUND)
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), o principal é reembolsado em quotas de amortização iguais. Dessa maneira, nesse sistema as prestações são decrescentes, já que os juros diminuem a cada prestação. A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento. Esse tipo de sistema ‘as vezes é usado pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH), pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais. Representação gráfica: PMTt J1 jn PMT1 PMTn q q t 0 1 n Nesse sistema temos:
qq...qq n21
Logo,
n
1t
qnqPV
Amortização As quotas de amortização são constantes e calculadas dividindo-se o valor do principal inicial pelo número de períodos de pagamento:
Se PV = n q n
PV q
Saldo devedor O saldo devedor em um determinado período é igual ao principal inicial menos à soma das amortizações já pagas:
SDt = PV - t q
n
t -1 PV SDt
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 55
Juros Os juros em t são calculados sobre o saldo devedor em t-1:
1tt SDiJ
Substituindo expressões, simplificando e destacando Jt:
n
)1t( -1 PVi Jt
Valor das prestações no período t Os juros em t são calculados sobre o saldo devedor em t-1:
ttt JqPMT
Substituindo qt e Jt na expressão anterior e simplificando, tem-se:
1)t-(ni1 n
PV PMTt
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO SAC
Exemplo 01 (Samanez Página 215 Exemplo 8.9) Elaborar a planilha de amortização para o seguinte financiamento:
Valor do financiamento de R$ 200.000,00; Reembolso em quatro meses pelo Sistema SAC; e Taxa de juros efetivas de 10% a.m.
Solução:
Cálculo das amortizações: 500004
200000
n
PVq
Mês (t)
Saldo devedor SDt = PV - t q
Amortização q
Juros
1tt SDiJ
Prestações
ttt JqPMT
0 200.000 - - -
1 150.000 50.000 20.000 70.000
2 100.000 50.000 15.000 65.000
3 50.000 50.000 10.000 60.000
4 - 50.000 5.000 55.000
Exemplo 02 (Samanez Página 216 Exemplo 8.10) Um empréstimo de R$ 200.000,00, contratado a juros efetivos de 10%a.m., será pago em três prestações mensais com carência de três meses. Construir a planilha de amortização no sistema SAC. Solução: Durante a carência os juros são capitalizados e incorporados ao principal. Logo, a amortização deve ser calculada com base no financiamento capitalizado por dois meses (k-1 meses, onde k=3).
Cálculo das amortizações: 67,666.80)10,01(3
200000)i1(
n
PVq 131k
Mês (t)
Saldo devedor SDt = PV - t q
Amortização q
Juros
1tt SDiJ
Prestações
ttt JqPMT
0 200.000,00 - - -
1 220.000,00 - 20.000,00 -
2 242.000,00 - 22.000,00 -
3 161.333,33 80.666,67 24.200,00 104.866,67
4 80.666,67 80.666,67 16.133,33 96.800,00
5 - 80.666,67 8.066,67 88.733,33
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 56
Exemplo 03 (Samanez Página 217 Exemplo 8.11) Um financiamento de $50.000,00 foi contratado a juros efetivos de 12% a.a. e será pago em 48 prestações mensais pelo SAC. Calcular o juro a ser pago no 25º mês e o saldo devedor e a amortização do 30º mês. Solução:
Taxa de juros efetiva mensal
12ma i1i1
00948879,01)12,1(ii112,01 121
m12
m = 0,948879% a.m.
Juros do 25º mês
22,23748
)125(15000000948879,0J
n
)1t( -1 PVi J 25t
Jt = $ 237,22
Saldo devedor no 30º mês
1875048
30150000SD
n
t -1 PV SD 30t
SDt = $ 18.750,00
Amortização do 30º mês
67,041.148
50000
n
PVq
q = $1.041,67
SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO (SAA) Neste esquema de amortização o principal é restituído por meio de uma parcela única ao fim da operação. Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum) ou capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo acertado. O devedor pode constituir um fundo de amortização do empréstimo (sinking fund), no qual deposita periodicamente as quotas de amortização. Essas quotas, por sua vez, devem render juros de tal modo que, na data de pagamento do principal, o saldo desse fundo de amortização seja igual ao capital a pagar, liquidando, dessa maneira, o empréstimo.
Se a taxa de aplicação do sinking fund si for menor que a taxa à qual o financiamento foi
contratado (i), o dispêndio total feito pelo devedor em cada período será maior que a prestação calculada no Sistema Price. Isto é, o custo financeiro do Sistema de Amortização Americano será maior que o custo financeiro do Sistema Price.
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 57
SAA SEM FORMAÇÃO DE FUNDO DE AMORTIZAÇÃO Valor das prestações no período t
q j PMT
Saldo devedor
Não sofrerá alteração até o final do período de amortização, quando o mesmo é zerado. Juros
PV i J
Amortização Ao final do prazo de empréstimo (data “n”), juntamente com a última parcela de juros (j), é devolvido o valor do financiamento (PV).
SAA COM FORMAÇÃO DE FUNDO DE AMORTIZAÇÃO Valor das prestações no período t
jq PMT
Saldo devedor
s
ts
ti
1i1 qPV SD
Onde: si é a taxa de aplicação do sinking fund si
Juros
PV i J
Amortização
1i1
iPV q
ns
s
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 58
Exemplo (Roberto Página 252 Problema Proposto 3) Um financiamento de R$ 500.000,00 é solicitado pelo Sistema Americano de Amortização à taxa de 18% a.m. para retorno em 4 meses. Admitindo a taxa de captação de poupança igual a 15% a.m. no período do financiamento, elaborar planilhas de desembolso nas condições de se considerar:
a) Sistema Americano sem formação de Fundo de Amortização b) Sistema Americano com formação de Fundo de Amortização
Solução: PV = 500.000,00 Prazo do empréstimo: 4 meses i = 18% a.m.
si = 15% a.m.
a) S.A.A. sem formação de “fundo de amortização”. PV FV J J J J 0 1 2 3 4 J = i PV = 0,18 500.000 = 90.000,00 Ao final do prazo do empréstimo (data “4”), juntamente com a última parcela de juros (J=90.000,00), é devolvido o valor do financiamento (PV=500.000,00).
Mês (t)
Saldo devedor Amortização Juros Prestações PMT = q+J
0 500.000,00 - - -
1 500.000,00 - 90.000,00 90.000,00
2 500.000,00 - 90.000,00 90.000,00
3 500.000,00 - 90.000,00 90.000,00
4 0,00 500.000,00 90.000,00 590.000,00
b) S.A.A. com formação de “fundo de amortização”. J = i PV = 0,18 500.000 = 90.000,00
68,132.100
115,01
15,0000.500
1i1
iPVq
4ns
s
32,867.399
15,0
115,0168,132.100000.500SD
i
1i1qPVSD
1
1s
ts
t
Mês (t)
Saldo devedor Amortização Juros Prestações Sinking Fund
0 500.000,00 - - - -
1 399.867,32 100.132,68 90.000,00 90.000,00 115.152,58
2 284.714,74 100.132,68 90.000,00 90.000,00 215.285,26
3 152.289,28 100.132,68 90.000,00 90.000,00 347.710,73
4 0,00 100.132,68 90.000,00 590.000,00 500.000,00
Sinking Fund
S
nS
S
2S
S
i
1i1q)n
i
1i1q)2
i1q)1
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 59
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Exemplo Uma dívida de $1.500.000,00 contratadas a juros nominais de 36% a.a., capitalizados trimestralmente, será amortizada pela Tabela Price em oito anos por meio de pagamentos trimestrais. Pede-se determinar:
a) o saldo devedor ao fim do 3º ano; b) o saldo devedor ao término do 14º trimestre; c) a distribuição do 20º pagamento em juros e amortização da dívida; d) o total de juros pagos no período.
PV = 1.500.000,00 n = 32 prestações trimestrais i = 36/4 = 9% a.t.
28,144.144
109,01
09,0109,01500000
1i1
i1iPVPMT
32
32
n
n
00,000.135
09,01
109,0128,144144J
i1
1i1PMTJ
1132
1132
11tn
1tn
t
tt jPMT q
72,855.490.1
09,0109,0
109,0128,144444SD
i1i
1i1PMTSD
132
132
1tn
tn
t
Mês (t)
Saldo devedor Amortização
tt jPMT q Juros Prestações
0 1.500.000,00 - - -
1 1.490.855,72 9.144,28 135.000,00 144.144,28
2 1.480.888,46 9.967,26 134.177,01 144.144,28
3 1.470.024,14 10.864,32 133.279,96 144.144,28
4 1.458.182,03 11.842,11 132.302,17 144.144,28
5 1.445.274,14 12.907,90 131.236,38 144.144,28
6 1.431.204,53 14.069,61 130.074,67 144.144,28
7 1.415.868,66 15.335,87 128.808,41 144.144,28
8 1.399.152,56 16.716,10 127.428,18 144.144,28
9 1.380.932,01 18.220,55 125.923,73 144.144,28
10 1.361.071,61 19.860,40 124.283,88 144.144,28
11 1.339.423,77 21.647,83 122.496,44 144.144,28
12 1.315.827,64 23.596,14 120.548,14 144.144,28
13 1.290.107,84 25.719,79 118.424,49 144.144,28
14 1.262.073,27 28.034,57 116.109,71 144.144,28
15 1.231.515,59 30.557,68 113.586,59 144.144,28
16 1.198.207,71 33.307,88 110.836,40 144.144,28
17 1.161.902,12 36.305,59 107.838,69 144.144,28
18 1.122.329,04 39.573,09 104.571,19 144.144,28
19 1.079.194,37 43.134,67 101.009,61 144.144,28
20 1.032.177,58 47.016,79 97.127,49 144.144,28
21 980.929,29 51.248,30 92.895,98 144.144,28
22 925.068,64 55.860,64 88.283,64 144.144,28
23 864.180,54 60.888,10 83.256,18 144.144,28
24 797.812,51 66.368,03 77.776,25 144.144,28
25 725.471,36 72.341,15 71.803,13 144.144,28
26 646.619,50 78.851,86 65.292,42 144.144,28
27 560.670,98 85.948,52 58.195,76 144.144,28
28 466.987,09 93.683,89 50.460,39 144.144,28
29 364.871,65 102.115,44 42.028,84 144.144,28
30 253.565,81 111.305,83 32.838,45 144.144,28
31 132.242,46 121.323,36 22.820,92 144.144,28
32 0,00 132.242,46 11.901,82 144.144,28
Total 1.500.000,00 3.112.616,93 4.756.761,21
a) Saldo devedor ao fim do 3º ano = 1.315.827,63 b) Saldo devedor ao término do 14º trimestre = 1.267.073,27 c) Distribuição do 20º pagamento em: juros = 97.127,49 amortização da dívida = 47.016,79
d) Total de juros pagos no período = 3.112.616,93
Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 60
REFERÊNCIAS USADAS NA APOSTILA
www.editorasaraiva.com.br
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 6. ed.
São Paulo: Saraiva, 2007. 314 p.
Número de Chamada: 51:336 H431m
www.editoraatlas.com.br
FERREIRA, Roberto Gomes. Matemática financeira aplicada: mercado de
capitais, administração financeira, finanças pessoais. 6. ed. São Paulo:
Atlas, 2008. 352 p.
Número de Chamada: 51:336 F338M
www.editoraatlas.com.br
LAUREANO, José Luiz; LEITE, Olímpio Vissoto. Os segredos da matemática
financeira. 4. ed. São Paulo: Ática, 1995. 256 p.
Número de Chamada: 51:336 L378S
www.pearson.com.br
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de
investimentos. 3. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. 364 p.
Número de Chamada: 51:336 S187M
www.ftd.com.br
CARIBÉ, Roberto; PARENTE, Eduardo. Matemática comercial e financeira.
São Paulo: FTD, 1998. 240 p.
Número de Chamada:
www.editoraatlas.com.br
FRANCISCO, Walter de. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas,
1991. 317 p.
Número de Chamada: 51:336 F819P