Apostila Calculo II Segunda Parte Areas Volumes
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8/19/2019 Apostila Calculo II Segunda Parte Areas Volumes
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Tabela de Integrais Imediatas
∫ −≠++= + )1(
1
1 1ncu
nduu
nn
∫ += cudu
∫ += cuudu
ln ∫ += caa
duau
n
ln
∫ += cedue uu
∫ +−= cuduu sen cos
∫ += cu senduucos ∫ += cutg duu2sec
∫ +−= cu g duuco cotsec 2
∫ += cuduutg u sec.sec
∫ +−= cuecduuuec coscot.cos ∫ +=−cu senarcdu
u 21
1
∫ +=+ cutg arcdu
u 21
1∫ +=
−cuarcdu
uusec
1
1
2
1
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Integrais repetidas
( ) ( )( )
( )
( )
( )
∫ ∫ ∫ ∫
=
=
=
=
=
d
c
xh
x g
d x
c x
xh y
x g y
dxdy y x f dxdy y x f ,,
e
( ) ( )( )
( )
∫ ∫ ∫ ∫ =
=
=
=
=
d
c
by
ay
d y
c y
yb x
ya x
dydx y x f dydx y x f ,,
ou seja,
( )( )
( )
∫ ∫ d
c
xh
x g
dxdy y x f , , primeiro integramos ( ) y x f , em relação a y mantendo x
fixo. Então integramos a quantidade posterior em relação a x (agora, considerando x como uma variável).
or outro lado a integral repetida
( )∫ ∫ d
c
by
ay
dydx y x f , envolve uma primeira integração em relação a x , mantendo y
fixo, entre os limites da integração ( ) xa e ( ) yb . !eguido por uma integração daquantidade resultante em relação a y entre os limites constantes de integração c e d .
Exemplos"
#
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$alcule as integrais repetidas"
a) ∫ ∫ −2
1
2
%
#2 dxdy y x
&) ∫ ∫ 1
% 2
2 y
ydydx y x
c) ∫ ∫ −'
%
2
#
%
21
x
dxdy x
d) ( )∫ ∫ −+
+2
1
2
2 21
y
ydydx x
Integral dupla
!a&emos que a integral simples ( )∫ b
adx x f , se ( ) %≥ x f , representa a área de
uma região.
nalogamente, para o calculo do volume do s*lido compreendido entre uma
superf+cie finita ( ) %≥ x f e a sua projeção D no plano xy% condu a noção daintegral dupla"
( )∫∫ = D
dydx y x f V , como a soma de -uma infinidade de volumes das
-colunas inscritas em forma de paralelep+pedos.
!e ( ) %≤
x f , os n/meros V ∆
são negativos e o&temos (0) como integral.
Exemplos"
'
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1. $alcule a integral dupla ∫∫ R
dA xy2 (de dois modos diferentes). 3 a região
limitada entre a pará&ola2 y x = e a reta x y = ,
2. $alcule a integral dupla ( )∫∫ + R
dA x21 (de dois modos diferentes). 3 a
região limitada entre a pará&ola2 y x = e a reta 2=− y x ,
Exerc+cios"
1. 4se a integral dupla para calcular as áreas das regi5es limitadas pelas curvas"
a)2 y x = e 2−= x y
&)2 x x y −= e %=+ x y
c) 2−= x y e 2−= x y
d) 2 y x = e x y =
e) x y = e 2# x x y −=
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Disciplina: Cálculo IIProfessor: Celso Granetto
1) Calcule a área entre as curvas y = x² e y = - x² + 6x +
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!) Calcular a área li"ita#a pelas curvas:
a) y = x² e y = !x + 1
$) y = x² e y = - x² + 6x + %6!
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e) y = x ( ' e y² = !x
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f) y = x + ! e y = x²
1#
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&) Deter"ine o volu"e #o sli#o * era#o pela rota,o% e" torno #o eixo #asa$scissas% #as reio so$ a curva y = x² + 1. Co"preen#i#a entre x = / e x = !.
* = 0 '%62) = 1'%66 un3
1'
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') Calcule o volu"e #o sli#o * era#o pela rota,o% e" torno #o eixo #asa$scissas% #a reio so$ a curva #a#a.
a) y = 4x / 5 x 5 '
* = 0 %&&) = 16%26 un3
$) y = !x - x² / 5 x 5 !
* = 0 1%&&) = '%1 un3
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c) y = 34x / 5 x 5 1
* = 0 /%2) = !%&6 un3
#) y = &x + 1 x / 5 x 5 1
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* = 0 !%) = 2%7 un3
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e) y = 34x-&) ' 5 x 5 2
* = 0 '%/1) = 1!%6/ un3
f) y = ex+1) / 5 x 5 !
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) y = ex+1) -1 / 5 x 5 !
2%
* = 0 12%&2) = '%6/ un3
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* = 0 1%&2) = '7%!7 un3
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