Operações lógicas

Operação lógica Conectivo SímboloConjunção eDisjunção ou

Disjunção exclusiva Negação ~ não

Condicionalização Se...então...Bicondicionalização Se e só se...

Com excepção da negação que é unária, todas as operações lógicas são binárias porque têm de utilizar duas asserções para formar uma nova asserção.

Para determinar o valor lógico duma asserção construída a partir da conecção de outras, utilizamos tabelas de verdade.

Asserção elementar ou atómica Asserção que não se pode obter de outras asserções recorrendo a construções que possam ser traduzidas pelos conectivos: , , ~, , .

ConjunçãoP Q PQV V VV F FF V FF F F

BicondicionalizaçãoP Q PQV V VV F FF V FF F V

DisjunçãoP Q PQV V VV F VF V VF F F

NegaçãoP ~PV FF V

Disjunção exclusivaP Q PQV V FV F VF V VF F F

CondicionalizaçãoP Q PQV V VV F FF V VF F V

Equivalências lógicas

Leis ComutativasPQ é l.e. a QP.PQ é l.e a QP.

Leis AssociativasP(QR) é l.e. a (PQ)R.P(QR) é l.e. a (PQ)R.

Leis de idempotênciaPP é l.e. a P.PP é l.e. a P.

Leis distributivas à esquerdaP(QR) é l.e. a (PQ)(PR).P(QR) é l.e. a (PQ)(PR).

Leis de De Morgan~(PQ) é l.e. a ~P~Q.~(PQ) é l.e. a ~P~Q.

Lei da dupla negação~ ~P é l.e. a P

Lei condicionalPQ é l.e. a ~PQ

Lei do contra-recíprocoPQ é l.e. a ~Q~P.

Tautologias e contradições

Tautologia Formula que na coluna final da sua tabela tem apenas o valor lógico verdadeiro.

Contradição Formula que na coluna final da sua tabela tem apenas o valor lógico falso.

P (tautologia) l.e a P; P (tautologia) é uma tautologia; ~(tautologia) é uma contradição; P tautologia é uma tautologia; P (contradição) é uma contradição; P (contradição) é l.e P; ~(contradição) é uma tautologia; (contradição) P é uma tautologia.

Argumentos

Qualquer sequência finita P1, ... Pn, Q de asserções (com n 1). P1 ... Pn são as premissas do argumento. Q é a conclusão. Na passagem das premissas para a conclusão lê-se: logo, portanto, consequentemente...

Como se representa? P1

... Pn . Q

Forma de argumento válido ou regra de inferência Quando a conclusão for verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras.Forma de argumento inválido ou falacioso. Quando não é uma forma de argumento válido.

Modus: Ponens: modo que afirma

AB A .

B Tollens: modo que nega

AB ~B .

~A

Propriedades sobre substituição em regras de inferência

Se numa regra de inferência, substituirmos todas as ocorrências de uma (qualquer) letra por uma mesma fórmula, obtemos ainda uma regra de inferência:

Ex: PQ P . Q

Substituindo, por exemplo, Q por QR, obtemos a regra de inferência: PQR P . QR

Se numa regra de inferência, substituirmos uma fórmula por outra logicamente equivalente, obtemos ainda uma regra de inferência.

Variáveis

Conjunto Colecção de objectos.

Dados um conjunto X e um objecto a, escrevemos aX para significar que é um objecto da colecção X e lê-se:

a pertence a X; a é elemento de X.

Escrevemos aX para significar que a não é objecto de X.

Podemos fazer declarações: Sobre objectos concretos apenas; Sobre objectos que, à partida, não são determinados.

Ás expressões com variáveis que se transformam em asserções, ao substituirmos as variáveis por objectos concretos, chamamos condição.

Ex:Q(x,y): y2+5 < x3

Q(1,3): 32+5<13 14<1 (asserção falsa)Q(3,1): 12+5<33 6<27 (asserção verdadeira)

Condição Não tem valor lógico.Asserção Tem valor lógico (verdadeiro ou falso)

É preciso fixar o domínio da variável logo no início excepto se for óbvio pelo contexto.

Ex:Condição x2+5 < x3

Qual é o domínio? Pode ser , pode ser , pode ser o conjunto {1,3,8}... É necessário dizer qual o domínio.

Consideremos uma condição P(x) com uma única variável, x, num curto domínio. Dizemos que no domínio considerado:

P(x) é uma condição universal se todo o objecto do domínio satisfizer a condição P(x);

P(x) é uma condição possível se existir pelo menos um objecto do domínio que satisfaça P(x);

P(x) é uma condição impossível se nenhum elemento do domínio satisfizer P(x).

Em geral, uma condição (que pode envolver mais que uma variável) diz-se universal, possível e impossível de acordo com o referido acima.

Quantificadores

Dada uma condição P(x) numa única variável, x, num determinado domínio, podemos afirmar duas novas asserções:

x:P(x)Significado: Qualquer que seja o x, P(x).Valor lógico: É verdadeira se a condição P(x) for universal no domínio dado e é falsa no caso contrário.

x: P(x)Significado: Existe pelo menos um objecto do domínio que satisfaz P(x).Valor lógico: É verdadeira se P(x) for possível e é falsa se P(x) for impossível.

Nome dos símbolos

Quantificador universal Quantificador existencial

Em asserções do tipo x: P(x) e x: P(x) a letra x é usada para expressar uma ideia. Por exemplo: x (x > 2x) significa “todo o número inteiro é maior que o seu dobro”.

Nesta tradução não referimos a letra x. Mas na leitura da condição x > 2x fazemos intervir o x: “x é maior que o seu dobro”.

Não faz sentido substituir em x (x > 2x) x por um objecto do domínio, mas podemos fazê-lo na condição x > 2x.

Dizemos que nas asserções do tipo x: P(x) e x: P(x) a variável x é muda ou aparente e que em condições onde x ocorra e possa ser substituído por objectos do domínio, x é livre. Na asserção x (x > 2x), a variável x é muda, mas na condição x>2x a variável x é livre.

Daqui em diante, relativamente a uma asserção P, quando usamos expressões do tipo “logo P” ou “como P”, queremos dizer que P é verdadeira.

Dada uma condição P(x) numa variável x, num certo domínio A, ao escrevermos: “Em A, P(x)”, queremos dizer que a condição P(x) é universal em A, isto é, que a asserção xA, P(x) é verdadeira.

Negação de expressões com quantificadores

Tomemos a asserção:“Não existem números reais que somados com 1 sejam iguais ao seu cubo” ~P(x): x + 1 = x3

A asserção dada pode ser traduzida simbolicamente por ~x, P(x). Podemos expressar a mesma ideia por “Todo o nº real somado com 1 é diferente do seu cubo”. Simbolicamente: x(x+1x3).

“Existe um e um só” = “Existe um único” = “Existe exactamente um”.

Representamos simbolicamente estas expressões por ! Ou ’ .

Por exemplo, se P(x) for uma condição numa variável x, num certo domínio, !x P(x) é verdadeiro se existir um único elemento do domínio que satisfaz P(x) e é falsa no caso contrário. Isto é, se não existir nenhum elemento do domínio que satisfaça P(x) ou existirem, pelo menos, dois elementos do domínio que satisfaçam P(x).

Como traduzir “Existe um e só um” para linguagem simbólica recorrendo a e e sem ! ?

x P(x) yz (P(y)P(z) y = z)1ª premissa prova a existência. Existe pelo menos, um objecto do domínio que

satisfaz P(x).2ª premissaProva a unicidade. No máximo um elemento do domínio satisfaz

P(x).

Conjuntos

O que é um conjunto? Não definiremos. Tomamos a noção intuitiva de conjunto: certas colecções de objectos.

Dados conjuntos A e B, temos AB se e só se A e B tiver exactamente os mesmos elementos(principio da extensionalidade). Simbolicamente:

A B x(x A x B)

Como representar um conjunto? É frequente usar-se {}. Nestes casos, não interessa a ordem nem a repetição dos elementos.{7,10,18}={18,10,7}={7,18,7,10}

Também podemos usar reticências. Por exemplo:{1,2...20} – conjunto dos números naturais maiores ou iguais a 20.{1,3,5,7,9...} – conjunto dos números naturais ímpares.

Os conjuntos estão representados em extensão.

Dada uma condição P(x), numa variável x num curto domínio, digamos A, o conjunto dos elementos do domínio que satisfazem a condição P(x) é representado por {x | P(x)} conjunto dos x tais que P(x)

Ou{xA | P(x)}conjunto dos x pertencentes a A tais que P(x).

A este tipo de representação chamamos representação em compreensão.

Exemplo:{x | x2<5} (compreensão) = {1,2} (extensão)

Se P(x) for uma condição impossível num curto domínio, então {x | P(x)} é um conjunto sem elemento.

Existe um único conjunto que não tem elementos. É chamado conjunto vazio e é representado por ou por {}.

Dada uma condição P(x) cujo domínio é um certo conjunto A, se P(x) for universal, então {x | P(x)}=A .

Conjunto A e B

Dizemos que: A é um subconjunto de B; A é uma parte de B; A está contido em B, ou B contém A.

Se todos os elementos de A forem elementos de B escreve-se AB (A contido em B) ou BA (B contem A). Simbolicamente AB x (xAxB).

Dizemos que: A é um subconjunto próprio de B; A é uma parte própria de B; A está propriamente contida em B; B contém propriamente A.

Se AB e A≠B escrevemos AB (A não está contido em B) ou BA (B não contém A).

Algumas operações sobre conjuntos

Intersecção de A com B, AB: conjunto formado pelos elementos comuns a A e B.AB={x | xA xB}

União ou reunião de A com B, AB: conjunto formado pelos elementos que pertencem a, pelo menos, um dos conjuntos A, B.

AB={x | xAx≠B}

Complemento de B em A, A-B ou A\B: conjuntos formados pelos elementos de A que não pertencem a B;

A-B={x | xAxB}

Algumas propriedades sobre conjuntos

Sejam A, B e C conjuntos. Tem-se:

1. Se AB e BC, então AC.2. Leis comutativas

AB=BA, AB=BA3. Leis associativas

A(BC)=(AB)C,A(BC)=(AB)C.

4. Leis da idempotênciaAA=A, AA=A

5. Leis distributivas à esquerdaA(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)

6. ABA AABABB BAB

7. Se CA e CB, então CAB.Se AC e BC, então ABC.

8. Leis de De MorganA – (BC) = (A – B) (A – C),A – (BC) = (A – B) (A – C).

Seja F um conjunto cujos elementos são conjuntos: União ou reunião de F, F:

Conjunto constituído pelo elemento que pertencem a, pelo menos, um elemento de F. F={x | AF(xA)}

No caso de F ser não vazio, podemos definir intersecção de F, F: Conjunto constituído pelos elementos que são comuns a todos os

elementos de F. F={x | AF(xA)}

Exemplo:F={{1,2,3},{1,3,5,7},{1,3,9,27}

F={1,2,3}{1,3,5,7}{1,3,9,27} ={1,2,3,5,7,9,27}

F={1,2,3}{1,3,5,7}{1,3,9,27} ={1,3}

Dois conjuntos A e B dizem-se disjuntos se não tiverem elementos comuns, isto é, AB=.

Conjuntos A e BProduto cartesiano de A por B, A.B: A.B={(a,b)aAbB}

Dados mN, m>1, e conjuntos A1,..., An, o produto cartesiano de A1... An é o conjunto: A1xA2 x ... x An ={(a11,..., an) | a1A1...anNa}

={(a1, ..., an ) i{1,...,}, ai An}

Se A1=...=An=A, representamos A1x...xAn=Na

Métodos de demonstração

Um resultado deriva dos axiomas, definições e de outros resultados já conhecidos usando a regra de inferência.

Proposição Pressupostos a que chamamos hipótese. Conclusão a que chamamos tese.

Exemplo:Hipótese: a e b são números reais.Tese: Se 0<a<1 e 0<b<1 então ab<1

Como demonstrar um resultado deste tipo?1. Identificar a hipótese e a tese;2. Ver quais as hipóteses lógicas da hipótese e da tese. Por exemplo, a tese pode ser

uma suplicação fundamental para escolher uma estratégia;3. Assumimos a seguir que a hipótese é verdadeira.

Estratégias de demonstração

1º métodoAssumimos a hipóteseObjectivo: PQAssumimos P

:Logo QPortanto PQ

Inicialmente H1 (hipótese) T1: PQAssumimos P T2: QDepois, H2 : H1 e P

2º método(demonstração por contra-recíproco)Vimos que PQ l.e ~Q~P

InicialmenteDados: Hip. Tese: PQ

A seguirDados: Hip. Tese: ~Q~P

DepoisDados: Hip: ~Q Tese: ~P

3º método(Demonstração por casos)Dados da forma PQ. PQ é verdadeira se e só se P é vdd ou Q é vdd. No

entanto, podemos não saber qual delas é verdadeira nem simplesmente assumir que uma delas é verdadeira. Temos de considerar dois casos:

Caso 1: Assumimos P. Tendo em conta P e os restantes dados, provamos T;Caso 2: Assumimos Q. Tendo em conta Q e os restantes dados provamos T.

Por vezes, para provar PQ, podemos assumir ~P e provar Q, ou assumir ~Q e provar P.

Demonstração por redução ao absurdo

Supunhamos que queremos provar T. Se supusermos que ~T e daí deduzirmos uma asserção falsa, podemos concluir T.

InicialmenteDados: ... Objectivo: T

DepoisDados: ...~T Objectivo: Uma asserção falsa, logo T.

Dado da forma x P(x) Com este dado sabemos que todos os elementos do domínio satisfazem P(x).

Podemos, por isso, perante um elemento a do domínio, usar o facto de P(a) ser verdadeira.

Por exemplo, se soubermos que nN, (n+1)3-1n2, podemos concluir que (5+1)3-152.

Objectivo da forma x P(x) Começamos por considerar um elemento x do domínio arbitrário(não concreto) e

provamos P(x).

Dado da forma x P(x) Perante um dado desta forma, apenas sabemos que um elemento do domínio

satisfaz P(x), mas não sabemos qual.Não podemos, por isso, escolher um elemento particular que satisfaça P(x) se

não tivermos a certeza que satisfaz P(x).Apenas podemos dar um nome a esse elemento: “seja x0 um elemento que

satisfaz P(x)”

Objectivo da forma !x P(x) A fórmula !x P(x) pode ser traduzida por, por exemplo:

1. x (P(x) y(P(y) y = x));2. x P(x) yz (P(y) P(z)y = z)

1 e 2 conduzem-nos a estratégias diferentes.

Relações e aplicações

AplicaçõesDados conjuntos A e B, chamamos aplicação de A em B a uma correspondência

de A em B que a cada elemento de A associa um e só um elemento de B.Se denotarmos por f uma aplicação de A em B escrevemos f: AB. Para cada

xA, representamos por f(x) o único elemento de B que lhe está associado.Adomínio de f;Bconjunto de chegada de f.

Seja f: AB uma aplicação. Dizemos que f é:

Injectiva se a quaisquer dois objectos diferentes fizer corresponder elementos diferentes. Simbolicamente: x, y A (xy f(x) f(y);

Sobrejectiva se cada elemento de B for imagem de algum elemento de A. Simbolicamente: yBx (y=f(x)).

Bijectiva se for simultaneamente injectiva e sobrejectiva.

Seja A um conjunto.Aplicações identidade em A, denotada por idA:

idA: AA definida por idA(x)=x, para todo o xA.idA é bijectiva.

Sejam f: AB uma aplicação e A’ A. Restrição de f a A, denotada por f|A’.f|A’: A’B definida por f|A’(x)=f(x), para todo o xA’.(só muda o domínio).

Dadas aplicações f: AB e g: BC, podemos definir uma aplicação de A em C, chamada composição de g com f e denotada por gof:

Gof (g após f): AC definida por (gof)(x)=g(f(x)), xA.

RelaçõesSeja A um conjunto, chamamos relação (binária) em A ou sobre A a qualquer

subconjunto de AxA(A2).Seja A um conjunto:

2, logo é uma relação binária em A, chamada relação vazia de A; A2A2, logo A2 é uma relação binária em A, chamada relação universal em A; {(a,a) | aA}A2, logo {(a,a) | aA} é uma relação binária em A, chamada

relação identidade em A e denotada por A

Seja uma relação binária num conjunto A. Dados x, y A, é frequente escrever-se:

xy, em vez de (x,y); xy, em vez de (x,y) .

Dizemos que é: Reflexiva se x, (x,x) (xx); Simétrica se x,y, (x,y) (y,x). (xyyx); Transitiva se x,y,z (x,y) e (y,z) (x,z) . (xy e yz xz).

Dizemos que é uma relação de equivalência em A se for reflexiva, simétrica e transitiva.

Quando temos uma relação binária num conjunto A definida por uma condição P(x,y), isto é x,y2 x,y é habitual definir-se por: “Seja a relação binária em A definida em A definida por xy P(x,y).

Sejam A um conjunto e uma relação de equivalência em A. Para cada aA, chamamos classe de equivalência de a (relativamente a ) ao subconjunto de A formado pelos elementos que se relacionam com a através de e denotamo-la por a: axA | xa

Conjunto quociente de A por : conjunto formado pelas classes de equivalência dos elementos de A, denotado por A/:

A={[a]:aA}B

ProposiçãoSeja A um conjunto e uma relação de equivalência em A. Temos:

Para qualquer xA, x[x]; Para quaisquer x,yA as informações seguintes são equivalêntes:

o xy;o [x]= [y];o [x] [y]

CorolárioSejam A um conjunto e uma relação de equivalência em A. Temos:

Para qualquer xA, [x]R; Para qualquer x,yA, se [x][y], então [x][y]=; [A/R]=A

ProposiçãoSeja A um conjunto e R e S relações de equivalência em A. As afirmações

seguintes são equivalentes: R=S Para qualquer xA, [x]R=[x]S

A/R= A/S

Seja A um conjunto. Seja F um conjuntos cujos elementos são subconjuntos de A, isto é, FP(A).

Dizemos que F é uma partição de A se: Para qualquer xF, x; Para quaisquer x,yF, se xy então xy=; F=A.

O corolário anterior diz que, sendo R um relação de equivalência num conjunto A, o conjunto quociente A/R é uma partição de A.

R A/R

Relações de equivalência Partição de A

Vamos ver que:F R

Partição de A Relação de equivalência

ProposiçãoSejam A um conjunto e F uma partição de A.Seja R a relação binária em A definida por xRy x F(x X y X) . Então R é

uma relação de equivalência.

À relação R definida na proposição anterior chamamos relação de equivalência em A determinada pela proposição F.

Exemplo:A={1,2,3,4,5}F={{1,2},{3,4,5}}

A relação de equivalência em A determinada por F é:

R= (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) (3,3),(4,4),(5,5),(3,4),(3,5),(4,3),(4,5)(5,3){1,2} {3,4,5}

M={{1,2},{3},{4},{5}} é uma partição de A.A relação de equivalência em A determinada por M é:

S={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}

ProposiçãoSejam A um conjunto e F uma partição de A. Seja R a relação de equivalência

em A determinada por F. Temos: Se XF e xX, então [x]R=X; A/R=F

ProposiçãoSejam A um conjunto e F uma partição em A. Existe uma única relação de

equivalência R em A tal que A/R=F.

Seja A um conjunto: Para qualquer relação de equivalência de R em A, o “conjunto quociente é uma

partição de A” é a relação de equivalência em A dominada pela partição A/R é a própria relação R;

Toda a partição de A é o conjunto quociente de A para alguma relação de equivalência em A (a relação de equivalência determinada pela partição);

Sejam A um conjunto e R uma relação de equivalência em A:A A/R

É uma aplicação canónica associada a R.x [x]R

Dados conjuntos A e B, para definirmos uma aplicação de A para B temos que associar a cada elemento de A um único elemento de B.

Exemplos:f: Q Q x x2 f é uma aplicação

g: Q Q x/y x (x,yZ, y0)

g não é aplicação porque, por exemplo, 1/2=2/4 mas 12. Não faz sentido escrever g(1/2).

Conjunto A e relação de equivalência R em A. Dada uma classe de A/R, digamos [a]R, temos [a]R=[a’]R para qualquer a’[a]R.É preciso cuidado para definirmos uma aplicação cujo domínio é A/R. Seja f:AB uma aplicação correspondência:

A/R B[a]R f(a)

Esta correspondência é uma aplicação se e só se a, a’A([a]R=[a’]Rf(a)=f(a’)

Indução Matemática

Mais um método de demonstração método de indução.Este método serve para demonstrar resultados sobre números naturais da forma n,P(n). Baseia-se no principio seguinte:

Principio da Indução:Seja P(n) uma condição na variável n de domínio . Se:

P(1) é verdadeira e n (P(n)P(n+1)) é verdadeira, então n, P(n) é verdadeira; Se n (P(n)P(n+1)) é verdadeira P(1)P(2), P(2)P(3)… De P(1) e P(1)P(2) serem verdadeiras, deduzimos que P(2) é verdadeira.

O princípio da indução generaliza-se a 0 do seguinte modo:Dada uma condição P(n) na variável n de domínio 0, se P(0) for verdadeira e

para cada n0 a implicação P(n)P(n+1) é verdadeira, então n0, P(n) é também verdadeira.

Dado um numero natural n0>1, para provarmos uma afirmação do tipo “para todo o natural nn0, P(n)” podemos provar que:

P(n0) é verdadeira; Para cada nn0, a implicação P(n)P(n+1) é verdadeira.

Recordar:Factorial de n n! = nx(n-1)x(n-2)….

Exemplo: 5! =5x4x3x2x1Define-se 0! =1

A mesma ideia do principio de indução permite definir aplicações com domínio : dado um conjunto B, podemos definir uma aplicação f:B dizemos o que é f(1) e, para cada n, como definimos f(n+1) à custa de f(n).Definições por recorrência.