Aplikovaná matematika III (NMAF073)Aplikovaná matematika III (NMAF073) Mirko Rokyta (KMA MFF UK)...
Transcript of Aplikovaná matematika III (NMAF073)Aplikovaná matematika III (NMAF073) Mirko Rokyta (KMA MFF UK)...
Aplikovaná matematika III (NMAF073) Mirko Rokyta (KMA MFF UK)
ZS 2019/20
1 Číselné a mocninné řady 1 1.1 Základní pojmy 1 1.2 Kritéria konvergence 1 1.3 Neabsolutní konvergence 2 1.4 Přerovnávání řad 2 1.5 Součin řad 3 1.6 Mocninné řady 3
2 Maticový a vektorový počet II 5 2.1 Úvod 5 2.2 Vlastní čísla a vlastní vektory 7
3 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 9 3.1 Úvod - opakování 9 3.2 Lineární DR n-tého řádu s (ne)konstantními koeficienty 9 3.3 Speciální typy ODR 12 3.3.1 Bernoulliho rovnice 12 3.3.2 Eulerova rovnice 13 3.4 Řešení ODR pomocí Taylorových řad 13 3.5 Soustavy ODR 1. řádu 14
4 Křivkový integrál 19 4.1 Křivky a jejich parametrizace 19 4.2 Křivkový integrál 1. a 2. druhu 20 4.3 Křivkový integrál a potenciál vektorového pole 21
5 Plošný integrál 23 5.1 Plošný integrál 1. druhu v R3 23
5.2 Plošný integrál 2. druhu v R3 24
6 Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta 26 6.1 Úvod 26 6.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce 26 6.3 Greenova a Stokesova věta 28
Tento učební text vznikl jako doplněk k přednášce Aplikovaná matematika III (NMAF073), kterou jsem v zimním semestru akademického roku 2019/20 vedl na MFF UK a je rozšířením a úpravou textu, který vznikl v letech 2010/11, 2013/14 a 2017/2018, kdy jsem tuto přednášku také měl. Text rozhodně není úplným záznamem přednášky, obsahuje pouze definice a znění všech vět a tvrzení a některé příklady a poznámky. Neobsahuje komentáře, podrobnější poznámky a příklady a také důkazy vět a tvrzení, apod. Text rovněž neprošel podrobným korekturním čtením, proto je možné, že obsahuje překlepy či chyby. Upozornění na jakýkoli nedostatek bude vítáno na adrese [email protected] Text je možno nalézt v elektronické podobně na http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/ ©M. Rokyta, 2011-2020
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 1: Císelné a mocninné rady 1M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 1: Císelné a mocninné rady 1
1 Císelné a mocninné rady
1.1 Základní pojmy
Definice. Necht’ an ∈ C je posloupnost komplexních císel. Pro m ∈ N položme
sm = a1 + a2 + · · ·+ am.
Císlo sm nazveme m-tým cástecným souctem rady∑
∞
n=1 an. Prvek an budeme nazývat n-tým clenem
rady∑
∞
n=1 an. Souctem nekonecné rady∑
∞
n=1 an nazveme limitu posloupnosti sm, pokud tato limita
existuje. Soucet rady budeme znacit symbolem∑
∞
n=1 an. Rekneme, že rada konverguje, je-li její soucet
konecné císlo. V jiném prípade rekneme, že rada diverguje.
Veta 1.1 (nutná podmínka konvergence rady). Jestliže rada∑
∞
n=1 an konverguje, pak lim an = 0.
Poznámka. Práve uvedená nutná podmínka konvergence se používá predevším ve tvaru "Jestliže lim an 6= 0nebo lim an neexistuje, potom rada
∑
∞
n=1 an diverguje."
Veta 1.2. (i) Necht’ α ∈ C, α 6= 0. Potom∑
∞
n=1 an konverguje, práve když∑
∞
n=1 αan konverguje.
V tom prípade platí∞∑
n=1
αan = α∞∑
n=1
an .
(ii) Necht’∑
∞
n=1 an a∑
∞
n=1 bn jsou konvergentní rady. Potom∑
∞
n=1(an + bn) konverguje, a platí
∞∑
n=1
(an + bn) =∞∑
n=1
an +∞∑
n=1
bn .
1.2 Kritéria konvergence
Veta 1.3 (srovnávací kritérium). Necht’ n0 ∈ N. Dále necht’∑
∞
n=1 an a∑
∞
n=1 bn jsou dve rady splnující
0 ≤ an ≤ bn pro každé n ∈ N, n ≥ n0.
(i) Je-li∑
∞
n=1 bn konvergentní, je rovnež∑
∞
n=1 an konvergentní.
(ii) Je-li∑
∞
n=1 an divergentní, je rovnež∑
∞
n=1 bn divergentní.
Veta 1.4 (limitní srovnávací kritérium). Necht’∑
∞
n=1 an a∑
∞
n=1 bn jsou rady s nezápornými cleny a
limn→+∞ an/bn = c ∈ R⋆.
(i) Necht’ c ∈ (0,∞). Potom∑
∞
n=1 an konverguje, práve když konverguje∑
∞
n=1 bn.
(ii) Necht’ c = 0. Pak konverguje-li∑
∞
n=1 bn, konverguje i∑
∞
n=1 an.
(iii) Necht’ c = ∞. Pak konverguje-li∑
∞
n=1 an, konverguje i∑
∞
n=1 bn.
Veta 1.5 (Cauchyovo odmocninové kritérium). Necht’∑
∞
n=1 an je rada s nezápornými cleny. Potom platí:
(i) Existuje-li q ∈ (0, 1) takové, že
∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : n√an ≤ q,
potom∑
∞
n=1 an konverguje.
(ii) Je-li lim n√an < 1, pak je
∑
∞
n=1 an konvergentní.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 1: Císelné a mocninné rady 2M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 1: Císelné a mocninné rady 2
(iii) Je-li lim n√an > 1, pak neplatí lim an = 0 a
∑
∞
n=1 an je divergentní.
Veta 1.6 (d’Alembertovo podílové kritérium). Necht’∑
∞
n=1 an je rada s kladnými cleny.
(i) Existuje-li q ∈ (0, 1) takové, že
∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 :an+1
an≤ q,
potom∑
∞
n=1 an konverguje.
(ii) Je-li lim an+1
an< 1, pak je
∑
∞
n=1 an konvergentní.
(iii) Je-li lim an+1
an> 1, pak neplatí lim an = 0 a
∑
∞
n=1 an je divergentní.
Veta 1.7 (integrální kritérium). Necht’ f je nezáporná, nerostoucí a spojitá na 〈n0,+∞), kde n0 ∈ N.
Necht’ pro posloupnost reálných císel an∞n=1 platí an = f(n) pro n ≥ n0. Pak
∫
∞
n0
f(x) dx < +∞ ⇐⇒∞∑
n=1
an konverguje.
Veta 1.8. Necht’ α ∈ R. Rada∑
∞
n=11nα konverguje práve tehdy, když α > 1.
Veta 1.9 (Raabeovo kritérium). Necht’∑
∞
n=1 an je rada s kladnými cleny.
(i) Je-li limn(
anan+1
− 1)
> 1, pak je∑
∞
n=1 an konvergentní.
(ii) Je-li limn(
anan+1
− 1)
< 1, pak je∑
∞
n=1 an divergentní.
Definice. Rekneme, že rada∑
∞
n=1 an je absolutne konvergentní, pokud rada∑
∞
n=1 |an| konverguje.
Veta 1.10. Je-li rada∑
∞
n=1 an absolutne konvergentní, je rovnež konvergentní.
1.3 Neabsolutní konvergence
Veta 1.11 (Abel-Dirichletovo kritérium). Necht’ an∞n=1 je posloupnost a bn∞n=1 je omezená monotónní
posloupnost. Jestliže je splnena nekterá z následujících podmínek, pak je∑
∞
n=1 anbn konvergentní.
(A)∑
∞
n=1 an je konvergentní,
(D) limn→∞ bn = 0 a∑
∞
n=1 an má omezenou posloupnost cástecných souctu.
Veta 1.12 (Leibniz). Necht’ an∞n=1 je posloupnost splnující
• ∀n ∈ N : an ≥ 0,
• ∀n ∈ N : an ≥ an+1,
• lim an = 0.
Potom je rada∑
∞
n=1(−1)nan konvergentní.
1.4 Prerovnávání rad
Definice. Necht’ p : N → N je bijekce. Prerovnáním rady∑
∞
n=1 an rozumíme radu∑
∞
n=1 ap(n).
Veta 1.13. Necht’∑
∞
n=1 an je absolutne konvergentní rada a∑
∞
n=1 ap(n) je její prerovnání. Pak rada∑
∞
n=1 ap(n) je absolutne konvergentní a má stejný soucet jako∑
∞
n=1 an.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 1: Císelné a mocninné rady 3M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 1: Císelné a mocninné rady 3
1.5 Soucin rad
Definice. Cauchyovým soucinem rad∑
∞
n=1 an a∑
∞
m=1 bm budeme rozumet radu
∞∑
k=1
(
k∑
i=1
ak+1−ibi
)
.
Veta 1.14 (Mertens). Necht’ rady∑
∞
n=1 an,∑
∞
m=1 bm konvergují, pricemž alespon jedna z nich konver-
guje absolutne. Potom∞∑
k=1
(
k∑
i=1
ak+1−ibi
)
=
(
∞∑
n=1
an
)
·(
∞∑
m=1
bm
)
.
Veta 1.15 (Abel). Necht’∑
∞
n=1 an,∑
∞
m=1 bm jsou konvergentní rady, takové, že i jejich Cauchyuv soucin
konverguje. Pak platí∞∑
k=1
(
k∑
i=1
ak+1−ibi
)
=
(
∞∑
n=1
an
)
·(
∞∑
m=1
bm
)
.
Shrnutí
Vztah absolutni konvergence a konvergence
an ≥ 0 AK ⇐⇒ K
an ∈ C AK =⇒ K
Aritmetické operace s radami
operace stací, když
násobek konstantou rada konverguje
asociativita (uzávorkování) rada konverguje
soucet, rozdíl obe rady konvergují
prerovnání (komutativita) rada konverguje absolutne
násobení dvou rad obe rady konvergují,
alespon jedna z nich absolutne
1.6 Mocninné rady
Definice. Mocninnou radou o stredu z0 ∈ C rozumíme radu∑
∞
k=0 ak(z − z0)k, kde z ∈ C a ak ∈ C pro
každé k ∈ N ∪ 0.
Veta 1.16. Necht’∑
∞
k=0 ak(z − z0)k je mocninná rada. Pak existuje nezáporný prvek R ∈ R
∗ takový, že
• pro každé z ∈ C, |z − z0| < R, uvedená rada konverguje absolutne,
• pro každé z ∈ C, |z − z0| > R, uvedená rada diverguje.
Platí
R =1
limk→∞
k√
|ak|,
pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde prirazujeme hodnotu R = +∞ a výrazu
1/∞ prirazujeme hodnotu R = 0.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 1: Císelné a mocninné rady 4M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 1: Císelné a mocninné rady 4
Poznámka. Platí také
R =1
limk→∞
∣
∣
∣
ak+1
ak
∣
∣
∣
,
pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde opet prirazujeme hodnotu R = +∞ a
výrazu 1/∞ prirazujeme hodnotu R = 0.
Definice. Prvek R z predchozí vety nazýváme polomerem konvergence rady∑
∞
k=0 ak(z − z0)k. Kruh
v komplexní rovine KR(z0) := z ∈ C; |z − z0| < R nazýváme kruhem konvergence, a kružnici
KR(z0) := z ∈ C; |z − z0| = R nazýváme konvergencní kružnicí dané rady.
Poznámka.
V dalším textu budeme používat pojem derivace komplexní funkce konplexní promenné, který je defi-
nován formálne zcela stejne jako pojem derivace reálné funkce reálné promenné.
Tedy, rekneme, že f : C → C má derivaci v bode z ∈ C, pokud existuje limita
f ′(z) := limw→z
f(w)− f(z)
w − z∈ C .
Na rozdíl od reálných funkcí nedefinujeme v tomto prípade pojem nevlastní limity (derivace), ani pojmy
jednostranná limita (derivace).
Veta 1.17. Necht’ R > 0 je polomerem konvergence mocninné rady∑
∞
n=0 an(z − z0)n. Definujme
f(z) :=∞∑
n=0
an(z − z0)n, |z − z0| < R.
Potom rada∑
∞
n=1 nan(z − z0)n−1 konverguje pro |z − z0| < R a platí
f ′(z) =∞∑
n=1
nan(z − z0)n−1, |z − z0| < R.
Veta 1.18. Necht’ f je jako ve Vete 1.17. Potom má f derivace všech rádu pro z ∈ C, |z− z0| < R, a platí:
f (k)(z) =∞∑
n=k
n(n− 1) . . . (n− k + 1)an(z − z0)n−k.
Speciálne platí f (k)(z0) = k!ak.
Poznámka.
Mocninnou radu lze tedy uvnitr kruhu konvergence libovolnekrát derivovat (a integrovat) clen po clenu,
aniž se zmení polomer konvergence. Stejne tak lze provádet uvnitr kruhu konvergence všechny výše sepsané
aritmetické operace, vcetne prerovnání rady.
Veta 1.19 (Abel). Necht’ f je jako ve Vete 1.17 a necht’ císelná rada∑
∞
n=0 an(z − z0)n konverguje pro
nejaké z ∈ C, ležící na konvergencní kružnici, tedy pro z = z0 + Reiϕ, ϕ ∈ 〈0, 2π). Potom existuje vlastní
limita limr→R− f(z0 + reiϕ) a platí:
∞∑
n=0
an(z − z0)n =
∞∑
n=0
anRneinϕ = lim
r→R−
f(z0 + reiϕ) .
Speciálne, pokud konverguje císelná rada∑
∞
n=0 anRn, je
∑
∞
n=0 anRn = limx→R− f(x), a podobne je
∑
∞
n=0(−1)nanRn = limx→−R+ f(x) za predpokladu, že císelná rada
∑
∞
n=0(−1)nanRn konverguje.
Príklady: Nekterá z použití teorie císelných a mocninných rad:
• Rozvíjení funkcí do Taylorových rad pomocí integrovaní rady (ln(1 + x), arctg x).
• Scítání nekterých císelných (i mocninných) rad (ln 2, π4 = arctg 1).
• Hledání rešení ODR ve tvaru rady.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 2: Maticový a vektorový pocet II 5M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 2: Maticový a vektorový pocet II 5
2 Maticový a vektorový pocet II
2.1 Úvod
Opakování z 1. rocníku
Oznacení. Množinu všech reálných resp. komplexních matic rozmeru m × n budeme znacit Mm×n(R)resp. Mm×n(C). Nekdy budeme též používat znacení Mm×n(K), kde K bude znacit bud’ R nebo C.
Poznámka. Pro násobení matic (pokud je definováno, tj. souhlasí rozmery matic) platí:
A · (B ·C) = (A ·B) ·C ,
A ·B 6= B ·A (obecne) .
Pokud je A ·B = B ·A, ríkáme, že matice A, B komutují.
Poznámka. Pro scítání a násobení matic a násobení matic skalárem λ ∈ K platí:
A · (B+C) = A ·B+A ·C ,
(B+C) ·A = B ·A+C ·A ,
λ (A+B) = λA+ λB ,
λ (A ·B) = (λA) ·B ,
pokud jsou všechny aritmetické operace definovány (tj. zejména souhlasí rozmery matic).
Poznámka. • Pripomente si nekteré základní termíny: jednotková matice I, diagonální matice, inverzní
matice (A−1), regulární matice, singulární matice, transponovaná matice (AT ).
• . . . i nekteré další základní termíny:
– symetrická matice: A = AT
– ortogonální matice: A ·AT = AT ·A = I
– hermitovsky sdružená matice: AH := A
T
– hermitovská matice: A = AH
– unitární matice: A ·AH = AH ·A = I
Cvicení. Ukažte, že platí následující identity (vždy, když je násobení matic definováno alespon na jedné
strane uvažovaných rovností):
(A ·B)T = BT ·AT ,
(A ·B)H = BH ·AH ,
a pro regulární matice A,B:
(A ·B)−1 = B−1 ·A−1 .
Tvrzení 2.1. Bud’ A ∈ Mn×n(K) ctvercová matice. Potom
A je regulární ⇐⇒ sloupce A jsou LN ⇐⇒⇐⇒ rádky A jsou LN ⇐⇒⇐⇒ h(A) = n ⇐⇒ dimNA = 0 ⇐⇒⇐⇒ detA 6= 0.
Zde NA := ~x ∈ Kn;A~x = 0, a h(A) oznacuje hodnost matice A.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 2: Maticový a vektorový pocet II 6M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 2: Maticový a vektorový pocet II 6
Pozn. Obecne pro A ∈ Mn×n(K) platí
dimNA + h(A) = n .
Zacátek 2. rocníku
Definice (Norma matice). Bud’ A ∈ Mn×n(K) ctvercová matice. Pro jakoukoli normu vektoru ~x ∈ Kn
definujeme odpovídající normu matice A takto:
‖A‖ := sup~x ∈ K
n
~x 6= 0
‖A~x‖‖~x‖ . (1)
Pozn. Zvolíme-li napríklad eukleidovskou normu ‖~x‖2 = ∑nj=1 |xj |2, potom
‖A‖2 ≤n∑
i,j=1
|aij |2.
Pozn. Prímo z definice normy matice plyne, že
‖A~x‖ ≤ ‖A‖ ‖~x‖ pro každé ~x ∈ Kn .
Proto je
‖AB~x‖ ≤ ‖A‖ ‖B~x‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ ‖~x‖ pro každé ~x ∈ Kn ,
a tedy
‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ .Speciálne
‖A2‖ ≤ ‖A‖2 odkud plyne ‖An‖ ≤ ‖A‖n ∀n ∈ N .
Veta 2.2 (O maticových radách). Necht’ mocninná rada∑
∞
k=0 akzk má polomer konvergence R > 0. Bud’
dále A ∈ Mn×n(K) matice, pro jejíž normu platí ‖A‖ < R. Potom
f(A) :=∞∑
k=0
akAk
konverguje, f(A) ∈ Mn×n(K). Navíc platí
‖f(A)‖ ≤∞∑
k=0
|ak| ‖A‖k ,
kde císelná rada napravo konverguje.
Príklad 1. • Exponenciála matice je definována radou
eA = exp(A) :=
∞∑
k=0
Ak
k!, (2)
která konverguje pro každou matici A ∈ Mn×n(K).
• Pokud matice A,B ∈ Mn×n(K) komutují, platí
eA · eB = eA+B .
• Speciálne tedy vždy platí eA · e−A = e−A+A = I, neboli: každá matice tvaru eA je regulární (at’
byla A jakákoli ctvercová matice), a e−A je matice k ní inverzní.
Príklad 2. Ukažte: je-li A diagonální matice, která má na diagonále prvky λ1, . . . , λn, je exp(A) také
diagonální matice, mající na diagonále prvky eλ1 , . . . , eλn .
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 2: Maticový a vektorový pocet II 7M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 2: Maticový a vektorový pocet II 7
2.2 Vlastní císla a vlastní vektory
Definice. Rekneme, že císlo λ ∈ C je vlastním císlem matice A ∈ Mn×n(K), pokud existuje nenulový
vektor ~x ∈ Cn takový, že
A~x = λ~x .
Vektor ~x ∈ Cn pak nazýváme vlastním vektorem matice A, odpovídajícím vlastnímu císlu λ ∈ C.
Veta 2.3. Císlo λ ∈ C je vlastním císlem matice A ∈ Mn×n(K) práve tehdy, když je korenem tzv.
charakteristického polynomu matice A,
PA(λ) := det(A− λI) , (3)
tj. reší rovnici det(A− λI) = 0.
(K dukazu: z tvrzení 2.1 plyne, že det(A − λI) 6= 0 ⇐⇒ rovnice (A − λI)~x = 0 má pouze nulové
rešení.)
Poznámka. • Každá matice má alespon jedno vlastní císlo (dusledek základní vety algebry).
• Ruzné matice mohou mít stejná vlastní císla.
• Pro pevné vlastní císlo λ ∈ C platí: Každý násobek jeho vlastního vektoru je opet jeho vlastním
vektorem. Soucet dvou jeho vlastních vektoru je opet jeho vlastním vektorem.
• . . . =⇒ pro pevné vlastní císlo λ ∈ C je
Nλ := ~x ∈ Cn ; A~x = λ~x (= NA−λI)
lineární podprostor Cn. Nazýváme jej vlastním podprostorem matice A, príslušným císlu λ.
Veta 2.4. Bud’ λ ∈ C vlastní císlo matice A. Potom
1 ≤ dimNλ ≤ m(λ) ,
kde m(λ) je násobnost (multiplicita) císla λ jakožto korene charakteristického polynomu.
Cvicení. Bud’ A ∈ Mn×n(R) reálná symetrická matice a Q(~x) := (A~x, ~x), ~x ∈ Rn, odpovídající kvadrat-
ická forma. Najdete nejmenší a nejvetší hodnotu této kvadratické formy na jednotkové sfére v Rn. Pro jaké
vektory se tyto hodnoty nabývají?
Rešení.
Jde o nalezení globálních extrému funkce Q(~x) na kompaktní množine Sn := ~x ∈ R
n; ‖~x‖2 = 1.
Použitím metody Lagrangeových multiplikátoru zjistíme, že hledáme ty hodnoty ~x ∈ Sn, pro které je
∂
∂xk(A~x, ~x)− λ
∂
∂xk(‖~x‖2 − 1) = 0 , k = 1, . . . , n .
Tento systém rovnic je ekvivalentní vektorové rovnici A~x = λ~x (ukažte to podrobne). Hodnota Q(~x) v
takových vektorech je pak Q(~x) = (A~x, ~x) = (λ~x, ~x) = λ‖~x‖2 = λ.
Rozmyslete si, že tedy platí:
• Reálná symetrická matice A ∈ Mn×n(R) má pouze reálná vlastní císla.
• Kvadratická forma Q(~x) := (A~x, ~x) nabývá na jednotkové sfére nejvetší hodnoty λmax, rovné ne-
jvetšímu vlastnímu císlu matice A, a to ve vlastním vektoru, který tomuto vlastnímu císlu odpovídá.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 2: Maticový a vektorový pocet II 8M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 2: Maticový a vektorový pocet II 8
• Kvadratická forma Q(~x) nabývá na jednotkové sfére nejmenší hodnoty λmin, rovné nejmenšímu
vlastnímu císlu matice A, a to ve vlastním vektoru, který tomuto vlastnímu císlu odpovídá.
Definice. Rekneme, že ctvercové matice stejného stupne A,B ∈ Mn×n(K) jsou si podobné (píšeme
A ≈ B), pokud existuje regulární matice P ∈ Mn×n(K) taková, že
B = P−1
AP .
Poznámka. • A ≈ A
• A ≈ B =⇒ B ≈ A
• A ≈ B, B ≈ C =⇒ A ≈ C
Tvrzení 2.5. Bud’ A ∈ Mn×n(K) podobná diagonální matici, tj. necht’ existují diagonální matice D ∈Mn×n(K) a regulární matice P ∈ Mn×n(K) takové, že
D = P−1
AP .
Potom:
• Diagonála matice D je tvorena vlastními císly matice A, a tedy matice A a D mají stejná vlastní
císla i stejný charakteristický polynom.
• Sloupce matice P jsou tvoreny vlastními vektory matice A, usporádanými ve stejném poradí jako
odpovídající vlastní císla na diagonále matice D.
Poznámka. Pozor, první z výše uvedených tvrzení neplatí obrácene: matice, mající stejné charakteristické
polynomy ješte nemusí být podobné. Napríklad
(
1 10 1
)
a
(
1 00 1
)
.
(Ukažte to).
Tvrzení 2.6. Vlastní vektory matice A, které odpovídají ruzným vlastním císlum, jsou lineárne nezávislé.
Veta 2.7. Necht’ A ∈ Mn×n(K) je matice stupne n. Potom následující výroky jsou ekvivalentní:
1. A je podobná nejaké diagonální matici.
2. V Cn existuje báze složená pouze z vlastních vektoru matice A.
3. Pro každé vlastní císlo λ matice A je dimNλ = m(λ).
Definice. Rekneme, že A ∈ Mn×n(K) je diagonalizovatelná, pokud je podobná nejaké diagonální matici.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 9M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 9
3 Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy
3.1 Úvod - opakování
Opakování z 1. rocníku
Definice. Rovnice se separovanými promennými je rovnice tvaru
y′ = g(y) · h(t). (1)
Návod k rešení:
• Pokud g(c) = 0, je funkce y(t) = c rešením rovnice.
• Na intervalech, kde g(y) 6= 0 uvažtey′
g(y) = h(t) s následným∫
dyg(y) =
∫
h(t) dt.
• Nutná je diskuse o možnostech navazování rešení predchozích dvou typu!
Definice. Lineární ODR prvního rádu je rovnice tvaru
y′ + p(t)y = q(t), (2)
kde p, q jsou spojité funkce na daném intervalu (a, b), a, b ∈ R∗, a < b.
Návod k rešení:
• Násobte rovnici výrazem eP (t), kde P je primitivní funkce k p na (a, b).
• Upravte na levé strane do tvaru derivace soucinu.
• Integrujte.
Definice. Lineární diferenciální rovnice druhého rádu s konstantními koeficienty je rovnice tvaru
Ay′′ +By′ + Cy = f(t), (3)
kde A, B, C ∈ R, A 6= 0, a funkce f(t) je spojitá na intervalu (a, b). Pokud je f identicky nulová na (a, b),nazýváme rovnici (3) homogenní.
Prípad I:
f ≡ 0, rovnice: Ay′′ +By′ + Cy = 0, obecné rešení yh
Pokud charakteristická rovnice Aλ2 +Bλ+ C = 0 má:
1. dva ruzné reálné koreny λ1 6= λ2:
yh(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t
2. jeden dvojnásobný reálný koren λ:
yh(t) = c1eλt + c2te
λt
3. dva komplexne sdružené koreny α± iβ, β 6= 0:
yh(t) = eαt(c1 cosβt+ c2 sinβt)
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 10M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 10
Prípad II:
f 6≡ 0, rovnice: Ay′′ +By′ + Cy = f(t)
Pro rešení y(t) platí:
y(t) = yh(t) + yp(t),
kde yh(t) je obecné rešení homogenní rovnice (viz predchozí prípad) a yp(t) je jedno (jakékoliv), tzv.
partikulární rešení rovnice Ay′′ +By′ + Cy = f(t).
Nekterá partikulární rešení lze "uhodnout" podle tvaru pravé strany.
• Je-li f(t) = P (t)eαt, kde α ∈ R a P je polynom, potom existuje polynom Q, st Q = st P , že
1. α 6= λ1, α 6= λ2 =⇒ yp(t) = Q(t)eαt,
2. α 6= λ1, α = λ2 =⇒ yp(t) = tQ(t)eαt,
3. α = λ1 = λ2 =⇒ yp(t) = t2Q(t)eαt.
• Je-li f(t) = eαt(P (t) cosβt+R(t) sinβt), (P , R polynomy), existují polynomy Q, S, stupne nejvýše
max(st P, st R), takové, že
1. α+ iβ 6= λ1, α+ iβ 6= λ2 =⇒ yp(t) = eαt(Q(t) cosβt+ S(t) sinβt),
2. α+ iβ = λ1, α+ iβ 6= λ2 =⇒ yp(t) = teαt(Q(t) cosβt+ S(t) sinβt).
Konec opakování.
3.2 Lineární DR n-tého rádu s (ne)konstantními koeficienty
Budeme se zabývat rovnicemi tvaru
an(t)y(n) + an−1(t)y
(n−1) + · · ·+ a1(t)y′ + a0(t)y = f(t), (4)
kde a0, . . . , an a f jsou funkce spojité na daném intervalu (a, b), an(t) 6= 0 pro t ∈ (a, b) (lineární diferen-
ciální rovnice n-tého rádu s nekonstantními koeficienty). Jsou-li všechny funkce a0, . . . , an konstantní
na intervalu (a, b), jde o lineární diferenciální rovnici n-tého rádu s konstantními koeficienty, (f(t)nemusí být konstantní).
Homogenní rovnicí k rovnici (4) rozumíme rovnici
an(t)y(n) + an−1(t)y
(n−1) + · · ·+ a1(t)y′ + a0(t)y = 0. (5)
Veta 3.1. Necht’ t0 ∈ (a, b) a z0, . . . , zn−1 ∈ R. Pak existuje práve jedno maximální rešení y rovnice (4)
resp. (5), které splnuje tzv. pocátecní podmínky
y(t0) = z0, y′(t0) = z1, . . . , y
(n−1)(t0) = zn−1.
Toto rešení je navíc definováno na celém intervalu (a, b).
Veta 3.2 (o strukture všech rešení).
(i) Maximální rešení rovnice (5) jsou definována na celém R a tvorí vektorový podprostor prostoru
Cn(a, b) dimenze n. Jeho jakoukoli bázi nazýváme fundamentálním systémem rovnice (5).
(ii) Necht’ yp je maximální rešení rovnice (4). Pak funkce y je jejím maximálním rešením, práve když ji
lze zapsat ve tvaru y = yp + yh, kde yh je vhodné rešení rovnice (5).
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 11M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 11
I. Hledání fundamentálního systému
Pro rovnici (5) s konstantními koeficienty lze použít tzv. metodu charakteristického polynomu. Pro
rovnici (5), kde alespon jeden z koeficientu je nekonstatní, nelze obecne explicite najít její fundamentální
systém. (V nekterých speciálních prípadech to lze, jak uvidíme pozdeji) .
Definice. Necht’ jsou koeficienty homogenní rovnice (5) konstantní. Charakteristickým polynomem rov-
nice (5) rozumíme polynom
P (λ) = anλn + an−1λ
n−1 + · · ·+ a1λ+ a0.
Veta 3.3. Necht’ jsou koeficienty homogenní rovnice (5) konstantní. Necht’ λ1, . . . , λs jsou všechny ruzné
reálné koreny charakteristického polynomu P , s násobnostmi r1, . . . , rs. Necht’ α1+β1i, . . . , αℓ+βℓi jsou
všechny navzájem ruzné koreny polynomu P , s kladnou imaginární cástí a násobnostmi q1, . . . , qℓ.
Pak funkceeλ1t, teλ1t, . . . tr1−1eλ1t,
...
eλst, teλst, . . . trs−1eλst,eα1t cosβ1t, teα1t cosβ1t, . . . tq1−1eα1t cosβ1t,eα1t sinβ1t, teα1t sinβ1t, . . . tq1−1eα1t sinβ1t,
...
eαℓt cosβℓt, teαℓt cosβℓt, . . . tqℓ−1eαℓt cosβℓt,eαℓt sinβℓt, teαℓt sinβℓt, . . . tqℓ−1eαℓt sinβℓt
tvorí fundamentální systém homogenní rovnice (5) (s konstantními koeficienty).
II. Hledaní partikulárního rešení
Veta 3.4 (o uhodnutí partikulárního rešení). Necht’ (4) je rovnice s konstatními koeficienty. Necht’
f(t) = eαt · (P (t) cosβt+Q(t) sinβt) ,
kde α, β ∈ R a P,Q jsou polynomy. Pak existuje rešení rovnice (4) ve tvaru
yp(t) = tmeαt · (R(t) cosβt+ S(t) sinβt) ,
kde R,S jsou vhodné polynomy stupne ne vetšího než maxstupen P , stupen Q a m ∈ N ∪ 0 udává,
jakou násobnost má císlo α+ iβ jakožto koren charakteristického polynomu.
Následující Lemma je základem tzv. metody variace konstant pro hledání partikulárního rešení lineární
(nehomohenní) ODR, a to jak s konstantními tak s nekonstantními koeficienty.
Lemma 3.5. Necht’ y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém homogenní rovnice (5) (s obecne nekonstatními
koeficienty). Potom matice
U(t) =
y1(t) y2(t) . . . yn(t)y′1(t) y′2(t) . . . y′n(t)
......
. . ....
y(n−1)1 (t) y
(n−1)2 (t) . . . y
(n−1)n (t)
je regulární pro každé t ∈ R.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 12M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 12
Veta 3.6 (variace konstant). Necht’ y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém rovnice (5) (s obecne nekonst.
koeficienty), U(t) bud’ jako v predchozí vete. Necht’ c1(t), . . . , cn(t) reší soustavu
U(t) ·
c′1(t)...
c′n−1(t)c′n(t)
=
0...
0f(t)/an
.
Pak funkce
yp(t) := c1(t)y1(t) + · · ·+ cn(t)yn(t)
je (partikulární) rešení rovnice (4).
3.3 Speciální typy ODR
3.3.1 Bernoulliho rovnice
Definice. Bernoulliovou rovnicí nazýváme ODR tvaru
y′ + a(t)y = b(t)yα , α ∈ R, α 6= 0, 1 , (6)
kde a, b ∈ C(J), J ⊂ R je otevrený interval.
Návod k rešení: Pro α = 0 nebo α = 1 jde o lineární ODR 1. rádu. Pro jiná α zavedeme novou funkci
z = z(t) substitucí
y(t) = z(t)1
1−α ,
která prevede rovnici (6) na lineární ODR 1. rádu. Pozor, v prípade, že α je necelocíselné, je potreba dát
pozor na definicní obor obecné mocniny yα.
Cvicení. Rešte rovnici y′ = y2 + yt
jako Bernoulliovu. Porovnejte s postupem z prechozího paragrafu.
Prohlédnete si grafy rešení, y(t) = 2t2c−t2
, pro hodnoty c = 10, 0, −10.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 13M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 13
3.3.2 Eulerova rovnice
Definice. Eulerovou rovnicí nazýváme lineární ODR s nekonstantními koeficienty tvaru
antny(n) + an−1t
n−1y(n−1) · · ·+ a1ty′ + a0y = f(t) , n ∈ N , (7)
kde a0, . . . an ∈ R, an 6= 0, f ∈ C(J), J ⊂ R je otevrený interval neobsahující nulu.
Poznámka. Pro t = 0 rovnice (7) degeneruje. Rovnici tedy uvažujeme separátne pro t > 0 a pro t < 0.
V dalších našich úvahách budeme rešit Eulerovu rovnici pouze pro t > 0, pro záporná t bychom
postupovali obdobne.
Poznámka. Jde o lineární rovnici (i když s nekonstantními koeficienty), pro její rešení proto platí príslušná
teorie. Jde tedy o nalezení n prvkového fundamentálního systému pro homogenní rovnici (s f = 0), a poté
o nalezení jednoho (partikulárního) rešení rovnice s pravou stranou. Pro nalezení partikulárního rešení lze
použít napr. metodu variace konstant. Eulerova rovnice tedy bude vyrešena, nalezneme-li její fundamentální
systém.
Metoda nalezení FS Eulerovy rovnice
• Použijeme ansatz y = tλ, který vede k tzv. charakteristickému polynomu pro Eulerovu ODR.
• Je-li λ ∈ R korenem tohoto polynomu násobnosti p, jsou odpovídajícími prvky fundamentálního sy-
stému pro t > 0 funkce
tλ lnk t, k = 0, . . . , p−1.
• Je-li α + iβ (β > 0) korenem tohoto polynomu násobnosti p, jsou odpovídajícími prvky fundamen-
tálního systému funkce
tα lnk t · cos(β ln t) , tα lnk t · sin(β ln t),
k = 0, . . . , p−1.
Poznámka. Eulerovu rovnici dostaneme napr. pri hledání sféricky symetrických rešení Laplaceovy rovnice
∆u = 0 v celém Rn, n ≥ 2. Je-li u sféricky symetrická, je u(x) = w(r), kde r = |x| > 0. Funkce w pak
(jak lze ukázat) splnuje Eulerovu rovnici
r2w′′(r) + (n−1)r w′(r) = 0 .
Jejím rešením (proved’te) a zpetným dosazením dostaneme (c1, c2 ∈ R):
n = 2 =⇒ u(|x|) = c1 + c2 ln |x| , x ∈ R2 \ 0 ,
n > 2 =⇒ u(|x|) = c1 +c2
|x|n−2, x ∈ R
n \ 0 .
3.4 Rešení ODR pomocí Taylorových rad
Veta 3.7. Uvažujme lineární rovnici n-tého rádu,
an(t)y(n) + an−1(t)y
(n−1) + · · ·+ a1(t)y′ + a0(t)y = f(t) (8)
na intervalu J ⊂ R, t0 ∈ J . Dají-li se koeficienty a pravá strana rovnice (8) rozložit do Taylorových rad na
nejakém okolí Uδ(t0), pricemž an(t0) 6= 0, lze každé rešení rovnice (8) rozložit na nejakém okolí Uη(t0) do
Taylorovy rady.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 14M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 14
Rešení: Uvážíme ansatz y(t) =∑
∞
k=0 ak(t− t0)k, který formálne n-krát proderivujeme clen po clenu
a dosadíme do rovnice. Jsou-li k (8) zadány pocátecní podmínky (v bode t0), dosadíme uvedený ansatz i do
nich.
Poznámky k rešení:
• Nejsou-li koeficienty aj a pravá strana f ve tvaru mocninné rady, je potreba rozložit do rady i je.
• Po formálním provedení všech algebraických operací s radami porovnáme koeficienty u stejných
mocnin t.
• Tím dostaneme soustavu nekonecne mnoha rovnic pro nekonecne mnoho koeficientu ak, k = N∪0.
Jejím vyrešením nalezneme hledanou funkci y(t) ve tvaru mocninné rady. Na záver urcíme polomer
konvergence této rady.
• V prípade homogenní rovnice (f ≡ 0) mužeme ruznou volbou pocátecních podmínek obdržet ruzná
rešení. Jejich lineární (ne)závislost je možno overit napr. pomocí Wronskiánu.
3.5 Soustavy ODR 1. rádu
Uvažujme soustavu (obecných) diferenciálních rovnic 1. rádu, vyrešených vzhledem k 1. derivaci, ve tvaru
x′1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn),
x′2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn),
...
x′n = fn(t, x1, x2, . . . , xn),
(9)
kde fj , j = 1, . . . , n, jsou dané funkce definované na jisté neprázdné otevrené množine G ⊂ R× Rn.
Vektorový tvar soustavy (9):
~x′(t) = ~f(t, ~x(t)),
kde ~x(t) =(
x1(t), x2(t), . . . , xn(t))T
, ~x′(t) =(
x′1(t), x′
2(t), . . . , x′
n(t))T
, ~f =(
f1, f2, . . . , fn)T
.
Definice.
• Rešením soustavy (9) rozumíme vektorovou funkci ~x =(
x1, . . . , xn)T
definovanou na otevreném
neprázdném intervalu J ⊂ R s hodnotami v Rn takovou, že pro každé t ∈ J existují vlastní derivace
x′j(t), j = 1, . . . , n, a platí (9).
• Pocátecní úlohou pro (9) rozumíme úlohu, kdy hledáme rešení ~x soustavy (9) splnující navíc predem
zadanou podmínku ~x(t0) = ~x 0, kde [t0, ~x0] je daný bod z G (tzv. pocátecní podmínka).
• Maximální rešení soustavy (9) je takové rešení ~x definované na intervalu J , které již nelze prodloužit,
tj. je-li ~y rešení definované na intervalu I , J ⊂ I a ~y(t) = ~x(t) pro každé t ∈ J , pak J = I .
Uvažujme nyní soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. rádu ve tvaru
x′1 = a11(t)x1 + · · ·+ a1n(t)xn + b1(t),
x′2 = a21(t)x1 + · · ·+ a2n(t)xn + b2(t),
...
x′n = an1(t)x1 + · · ·+ ann(t)xn + bn(t),
(10)
kde n ∈ N, aij : (α, β) → R, bi : (α, β) → R, i, j ∈ 1, . . . , n, jsou spojité funkce.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 15M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 15
Vektorový tvar lineární soustavy (10) je:
~x′ = A(t)~x+~b(t),
kde
A(t) =
a11(t) . . . a1n(t)a21(t) . . . a2n(t)
.... . .
...
an1(t) . . . ann(t)
, ~b(t) =
b1(t)...
bn(t)
.
Veta 3.8 (o existenci a jednoznacnosti rešení). Necht’ α, β ∈ R⋆, α < β, t0 ∈ (α, β) a ~x 0 ∈ R
n. Necht’
A : (α, β) → Mn×n(R), ~b : (α, β) → Rn jsou spojitá zobrazení. Potom existuje práve jedno maximální
rešení ~x soustavy (10) splnující ~x(t0) = ~x 0. Toto rešení je definováno na celém intervalu (α, β).
Definice. Homogenní soustavou k soustave (10) rozumíme soustavu
~x′ = A(t)~x. (11)
Veta 3.9. Necht’ n ∈ N, α, β ∈ R⋆, α < β, a A : (α, β) → Mn×n(R) je spojité zobrazení. Potom množina
všech maximálních rešení soustavy (11) tvorí vektorový podprostor prostoru C1((α, β),Rn). Dimenze tohoto
podprostoru je rovna n. Jakoukoli bázi tohoto podprostoru, (složenou z vektorových funkcí ~x1, . . . , ~xn),
nazýváme fundamentálním systémem rovnice (11).
Veta 3.10. Necht’ α, β ∈ R⋆, α < β. Necht’ A : (α, β) → Mn×n(R), ~b : (α, β) → R
n jsou spojitá
zobrazení. Necht’ ~xP je jedno (partikulární) rešení (10) na intervalu (α, β). Potom každé rešení ~x soustavy
(10) na intervalu (α, β) má tvar ~xP + ~xH , kde ~xH je rešení homogenní soustavy (11).
Definice. Necht’ vektorové funkce ~x1, . . . , ~xn tvorí fundamentální systém rovnice (11). Oznacme
Φ(t) =
x11(t) . . . xn1 (t)x12(t) . . . xn2 (t)
.... . .
...
x1n(t) . . . xnn(t)
.
Matici Φ pak nazýváme fundamentální maticí soustavy (11).
Lemma 3.11. Necht’ Φ je fundamentální matice soustavy (11). Pak Φ(t) je regulární pro každé t ∈ (α, β).
Veta 3.12 (variace konstant). Necht’ α, β ∈ R⋆, α < β, t0 ∈ (α, β) a ~x 0 ∈ R
n. Pak maximální rešení ~xrovnice (10) s pocátecní podmínkou ~x(t0) = ~x 0 má tvar
~x(t) = Φ(t)Φ−1(t0)~x0 +Φ(t)
∫ t
t0
Φ−1(s)~b(s) ds, t ∈ (α, β),
kde Φ je fundamentální matice soustavy (11).
Veta 3.13 (regularita rešení lineární homogenní rovnice s konstantními koeficienty). Necht’ A ∈ Mn×n a
vektorová funkce ~x : R → Rn je rešením soustavy ~x′ = A~x. Pak ~x je trídy C∞ a pro každé k ∈ N platí
~x(k)(t) = Ak~x(t) pro t ∈ R.
• Vztah mezi soustavou rovnic 1. rádu a jednou rovnicí vyššího rádu
Necht’
y(n) = f(t, y, y′, . . . , y(n−1)) (12)
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 16M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 16
je rovnice n-tého rádu a necht’ je y(t) její rešení pro t ∈ J ⊂ R.
Potom je vektorová funkce ~x(t) =(
y(t), y′(t), . . . , y(n−1)(t))
rešením soustavy
~x′(t) = ~F (t, ~x) , (13)
na intervalu J , kde Fj(t, ~x) = xj+1, j = 1, . . . , n− 1, Fn(t, ~x) = f(t, x1, x2, . . . , xn).
(A) Rešení soustav lineárních rovnic pomocí upravování
Soustavu rovnic upravujeme takovým zpusobem, abychom získali jednu rovnici vyššího rádu s jednou
neznámou funkcí. Tento zpusob je vhodný pro soustavy s nemnoha (napr. se dvema) rovnicemi, nebo tehdy,
obsahuje-li matice soustavy rovnic hodne nulových prvku (je tzv. rídká). Uvedeným zpusobem je možno
rešit i nehomogenní soustavy.
Príklad 1. Najdete všechna maximální rešení soustavy
y′ = 3y − 5z − 3et
z′ = y − z − et
(B) Rešení soustav lineárních rovnic pomocí vlastních císel a vlastních vektoru
Veta 3.14. Necht’ matice A ∈ Mn×n(R) má n lineárne nezávislých vlastních vektoru ~q 1, . . . ~q n, které po
rade prísluší vlastním císlum λ1, . . . , λn. Potom funkce
eλ1t~q 1, . . . , eλnt~q n (14)
tvorí fundamentální systém lineární homogenní soustavy (s konstantními koeficienty)
~x′ = A~x.
Poznámka. Tvrzení predchozí vety umožní sestavit fundamentalní systém dané lineární homogenní soustavy
(s konstantními koeficienty), která je reprezentována diagonalizovatelnou maticí A ∈ Mn×n(R) mající
n vlastních císel a n-tici jim odpovídajících vlastních vektoru. Prípad, kdy matice A ∈ Mn×n(R) není
diagonalizovatelná, lze také rešit pomocí tzv. Jordanova kanonického tvaru, kterým jsme se však v kapitole
o maticích nezbývali.
Poznámka. Z tvaru rešení, které je uvedeno ve Vete 3.12, a sice, že maximální rešení ~x rovnice (10) s
pocátecní podmínkou ~x(t0) = ~x 0 má tvar
~x(t) = Φ(t)Φ−1(t0)~x0 +Φ(t)
∫ t
t0
Φ−1(s)~b(s) ds, t ∈ (α, β),
plyne, že
~xP (t) = Φ(t)
∫ t
t0
Φ−1(s)~b(s) ds, t ∈ (α, β), (15)
je partikulární rešení (11), pricemž Φ je fundamentální matice soustavy (10).
Príklad 2. Najdete obema metodami (pomocí úprav i pomocí vlastních císel a vektoru) rešení soustavy
x′ = x+ 3y + et , (16)
y′ = 2x+ 2y − et . (17)
Sestavte v obou prípadech fundamentální matici soustavy; porovnejte jejich tvar.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 17M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 17
Rešení.
a) Metoda postupných úprav: Pokusíme se prevést systém na jednu rovnici druhého rádu pro funkci x.
Derivováním rovnice (16) dostaneme x′′ = x′ + 3y′ + et. Dosazení za y′ z (17) by nebylo dobré, protože
bychom se tím nezbavili funkce y. Je proto správným krokem nejprve pomocí (16) vyloucit z (17) funkci y:
odectením dvojnásobku (16) od trojnásobku (17) dostaneme 3y′ − 2x′ = 4x − 5et. Odtud dosadíme za y′
do rovnice x′′ = x′ + 3y′ + et a dostaneme po úprave
x′′ − 3x′ − 4x = −4et . (18)
Príslušnou homogenní soustavu vyrešíme metodou charakteristického polynomu, což dá pro x fundamen-
tální systém e−t, e4t.
Partikulární rešení pro x hledáme ve tvaru cet, což dá xp =23e
t. Z rovnice (16) pak lze vyjádrit y pomocí
x a jeho derivace, což umožní y dopocítat. Celkove vyjde
x(t) = c1e−t + c2e
4t +2
3et , (19)
y(t) = −2
3c1e
−t + c2e4t − 1
3et . (20)
Fundamentální matice Φ(t) a vektor partikulárních rešení (xp, yp)T mají tedy tvar
Φ(t) =
(
e−t e4t
−23e
−t e4t
)
,
(
xpyp
)
=
(
23e
t
−13e
t
)
, (21)
nebot’ vektorový zápis (19)–(20) je
(
x(t)y(t)
)
=
(
e−t e4t
−23e
−t e4t
)
·(
c1c2
)
+
(
23e
t
−13e
t
)
.
b) Metoda vlastních císel a vektoru: Matice soustavy (16)–(17) je A =
(
1 32 2
)
, charakteristický poly-
nom je tedy det(A−λI) = (1−λ)(2−λ)−6 = λ2−3λ−4 (porovnejte s charakterisktickým polynomem v
metode a) — proc musí být stejné?). Pro vlastní císlo λ = −1 je A−λI =
(
2 32 3
)
, tedy vlastním vektorem
je napríklad ~v1 = (−3, 2)T . Pro vlastní císlo λ = 4 je A − λI =
(
−3 32 −2
)
, tedy vlastním vektorem je
napríklad ~v2 = (1, 1)T . To dává fundamentální matici
Φ(t) =
(
−3e−t e4t
2e−t e4t
)
.
Porovnejte tento tvar s tvarem fundamentální matice, který jsme obdrželi pri aplikaci predchozí metody
výpoctu. Obe matice se liší pouze konstantou, kterou je vynásoben první sloupec. To však koresponduje s
našimi znalostmi: sloupce konstant ve fundamentální matici jsou (v prípade ruzných vlastních císel) tvoreny
vlastními vektory matice A, a ty jsou skutecne urceny až na multiplikativní konstantu.
Vektor partikulárních rešení mužeme spocíst napríklad pomocí (15). Postupne dostáváme (pocítejte po-
drobne)
Φ−1(t) =1
5
(
−et et
2e−4t 3e−4t
)
,
tedy pro~b(t) = (et,−et)T je Φ−1(t)~b(t) = 15(−2e2t,−e−3t).
Zvolíme t0 = 0 a dostaneme
∫ t
0Φ−1(s)~b(s) ds =
(1
5(1− e2t),
1
15(e−3t − 1)
)
.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 18M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 18
Konecne,
Φ(t)
∫ t
0Φ−1(s)~b(s) ds =
(
23e
t − 3e−t − 115e
4t
−13e
t + 2e−t − 115e
4t
)
.
Vektor na pravé strane je vektorem (nejakých) partikulárních rešení. Cásti, obsahující e−t a e4t jsou však
prvky fundamentálního systému (oduvodnete), tedy je v prípade hledání partikulárního rešení není nutno
uvažovat. Proto je jednodušším vektorem partikulárních rešení vektor (srovnejte s (21))
(
xpyp
)
=
(
23e
t
−13e
t
)
.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 4: Krivkový integrál 19M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 4: Krivkový integrál 19
4 Krivkový integrál
4.1 Krivky a jejich parametrizace
Definice. Krivkou budeme rozumet zobrazení~ϕ : 〈a, b〉 → Rn (n ∈ N, a, b ∈ R, a < b) takové, že
~ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) je trídy C1, tj. ϕ′i je spojité na〈a, b〉, i = 1, . . . , n, pricemž v krajních bodech〈a, b〉 sym-
bol ϕ′i(x) znací príslušnou jednostrannou derivaci.Geometrickým obrazemkrivky ϕ rozumíme množinu
〈~ϕ〉 = ~ϕ(〈a, b〉) ⊂ Rn.
Bod ~ϕ(a) nazývámepocátecním a bod~ϕ(b) koncovým bodem krivky ~ϕ.
Definice. Bud’ ~ϕ : 〈a, b〉 → Rn krivka v R
n. Je-li vektor~ϕ′(t) = (ϕ′1(t), . . . , ϕ
′n(t)) nenulový, nazýváme
jej tecným vektoremk této krivce v bode ~ϕ(t) a vektor
~τ(~ϕ(t)) :=~ϕ′(t)
‖~ϕ′(t)‖
jednotkovým tecným vektoremk této krivce v bode ~ϕ(t).
Definice. Bud’ ~ϕ : 〈a, b〉 → Rn krivka v R
n. Pro jednotkový tecný vektor~τ(~ϕ(t)) definujeme vektory
~n(~ϕ(t)) := (~τ(~ϕ(t)))′ , ~ν(~ϕ(t)) :=~n(~ϕ(t))
‖~n(~ϕ(t))‖
(pro~n(~ϕ(t)) 6= 0) a nazýváme je poradenormálovým vektorem a jednotkovým normálovým vektoremke krivce ~ϕ v bode ~ϕ(t).
Cvicení. Overte, že platí~n(~ϕ(t)) · ~τ(~ϕ(t)) = 0, tedy že uvedené vektory jsou kolmé.
Poznámka. • V Rn pron ≥ 3 je takto definovaný normálový vektor~n pouze jedním z(n−1) lineárne
nezávislých normálových vektoru, které k dané krivce (v bode, kde existuje tecný vektor) existují. VR
2 je normálový vektor ke krivce (pokud existuje) urcený jednoznacne až na násobek konstantou.
• V R2 lze definovat normálový vektor ješte takto:~n(~ϕ(t)) = ±(τ2(~ϕ(t)),−τ1(~ϕ(t))), kde~τ(~ϕ(t)) je
(jednotkový, ale obecne jakýkoli) tecný vektor.
• V R3 lze ke dvojicijednotkový tecný vektor~τ a jednotkový normálový vektor~ν definovat tzv.vektor
binormály ~β predpisem~β := ~τ×~ν. Vektory~τ , ~ν, ~β pak tvorí trojici vzájemne kolmých jednotkovýchvektoru vR
3.
Definice. Bud’ ~ϕ : 〈a, b〉 → Rn krivka v R
n. Rekneme, že krivka ~ϕ je
• jednoduchá (prostá), pokud~ϕ je prosté zobrazení na〈a, b〉;
• uzavrená, pokud~ϕ(a) = ~ϕ(b);
Uzavrenou krivku, takovou, že~ϕ|(a,b) je prosté zobrazení, nazýváme nekdyJordanovou krivkou .
Definice. • Zobrazení~ω : 〈a, c〉 → Rn nazývámesouctem krivek ~ϕ : 〈a, b〉 → R
n a ~ψ : 〈b, c〉 → Rn,
pokud platí:~ω(t) = ~ϕ(t) pro t ∈ 〈a, b〉, ~ω(t) = ~ψ(t) pro t ∈ 〈b, c〉. Píšeme~ω = ~ϕ ⊕ ~ψ. (Pro soucetkrivek platí:〈~ϕ⊕ ~ψ〉 = 〈~ϕ〉 ∪ 〈~ψ〉.)
• Krivku ~ω : 〈−b,−a〉 → Rn nazývámeopacnouke krivce ~ϕ : 〈a, b〉 → R
n, pokud
ω(t) = ϕ(−t) , t ∈ 〈−b,−a〉 .
Píšeme~ω = ⊖~ϕ. (Krivka⊖~ϕ je "opacne probíhaná" krivka ~ϕ, a platí〈⊖~ϕ〉 = 〈~ϕ〉.)
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 4: Krivkový integrál 20M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 4: Krivkový integrál 20
4.2 Krivkový integrál 1. a 2. druhu
Definice. Bud’ ~ϕ : 〈a, b〉 → Rn krivka splnující ~ϕ ′ 6= 0 alespon s.v. na〈a, b〉. Bud’te dále funkcef :
〈~ϕ〉 → R a vektorové pole~T : 〈~ϕ〉 → Rn definovány alespon s.v. na〈~ϕ〉. Definujme (pokud integrály
vpravo existují):
• krivkový integrál prvního druhu z f pres~ϕ:∫
ϕ
f ds :=
∫ b
a
f(
~ϕ(t)) ‖~ϕ ′(t)‖ dt ,
• krivkový integrál druhého druhu z ~T pres~ϕ:∫
ϕ
~T d~ϕ :=
∫ b
a
~T(
~ϕ(t)) · ~ϕ ′(t) dt .
Poznámka. •∫
ϕ1 ds =
∫ b
a‖~ϕ ′(t)‖ dt . . . délka krivky.
• Integrál p res opacnou krivku :∫
⊖ϕ
f ds =
∫
ϕ
f ds ,
∫
⊖ϕ
~T d~ϕ = −
∫
ϕ
~T d~ϕ .
• Integrál p res soucet krivek :∫
ϕ⊕ψ
f ds =
∫
ϕ
f ds+
∫
ψ
f ds ,
∫
ϕ⊕ψ
~T d(~ϕ⊕ ~ψ) =
∫
ϕ
~T d~ϕ+
∫
ψ
~T d~ψ .
Poznámka. • Souvislost integrálu 1. a 2. druhu:∫
ϕ
f ds =
∫ b
a
f(
~ϕ(t)) ‖~ϕ ′(t)‖ dt =
=
∫ b
a
f(
~ϕ(t))~ϕ ′(t)
‖~ϕ ′(t)‖· ~ϕ ′(t) dt =
∫
ϕ
(f~τ) d~ϕ.
• Souvislost integrálu 2. a 1. druhu:∫
ϕ
~T d~ϕ =
∫ b
a
~T(
~ϕ(t)) · ~ϕ ′(t) dt =
=
∫ b
a
(~T · ~τ)(
~ϕ(t))‖~ϕ ′(t)‖ dt =
∫
ϕ
(~T · ~τ) ds.
Veta 4.1(nezávislost na parametrizaci). Bud’te ~ϕ : 〈a, b〉 → Rn, ~ψ : 〈c, d〉 → R
n prosté krivky vRn
takové, že〈ϕ〉 = 〈ψ〉. Potom∫
ϕ
f ds =
∫
ψ
f ds , (1)
∫
ϕ
~T d~ϕ = ±
∫
ψ
~T d~ψ , (2)
pokud existuje vždy alespon jeden z dvojice integrálu v (1) resp. (2).Pritom v (2) je znaménko "plus", pokud~ϕ(a) = ~ψ(c), ~ϕ(b) = ~ψ(d), v opacném prípade je v (2)
znaménko "minus".
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 4: Krivkový integrál 21M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 4: Krivkový integrál 21
4.3 Krivkový integrál a potenciál vektorového pole
Definice. Rekneme, že množinaG ⊂ Rn je souvislá, pokud pro každou dvojici bodu~x, ~y ∈ G existuje
krivka ~ϕ : 〈a, b〉 → G (tj. 〈ϕ〉 ⊂ G) taková, že~ϕ(a) = ~x, ~ϕ(b) = ~y.
Definice. Bud’ G ⊂ Rn otevrená a souvislá množina, bud’~T : G→ R
n vektorové pole naG. Rekneme, že~T má (klasický)potenciálnaG, pokud existuje funkceU ∈ C1(G) (potenciál~T ), taková, že
~T (~x) = ∇U(~x) ∀~x ∈ G .
Pozorování: Potenciál je urcen jednoznacne až na konstantu.
Veta 4.2. Bud’G ⊂ Rn otevrená a souvislá množina, bud’~T : G→ R
n vektorové pole naG s potenciálemU ∈ C1(G). Bud’ dále~ϕ : 〈a, b〉 → G krivka vG. Potom
∫
ϕ
~T d~ϕ = U(
~ϕ(b))
− U(
~ϕ(a))
.
Dusledek 4.3.Je-li v situaci prechozí vety~ϕ Jordanova krivka, platí∫
ϕ
~T d~ϕ = 0 .
Definice (nezávislost na ceste). Bud’ G ⊂ Rn otevrená a souvislá množina, bud’~T : G → R
n spojitévektorové pole naG. Rekneme, že integrál druhého druhu z~T nezávisí na ceste vG, pokud pro libovolnédve krivky ~ϕ : 〈a, b〉 → G, ~ψ : 〈c, d〉 → G takové, že~ϕ(a) = ~ψ(c), ~ϕ(b) = ~ψ(d) platí
∫
ϕ
~T d~ϕ =
∫
ψ
~T d~ψ .
Veta 4.4.Bud’G ⊂ Rn otevrená a souvislá množina, bud’~T : G→ R
n spojitévektorové pole naG. Potomnásledující tri podmínky jsou ekvivalentní:
1. ~T má potenciálU vG.
2. Integrál druhého druhu z~T nezávisí na ceste vG.
3.∫
ϕ~T d~ϕ = 0 pro každou Jordanovu krivku~ϕ vG.
Navíc: je-li splnena podmínka 2, je funkce
U~a(~x) :=
∫
ϕ(~a;~x)
~T d~ϕ , ~x ∈ G , (3)
(kde~a ∈ G je pevný, aϕ(~a; ~x) je jakákoli krivka spojující body~a, ~x) potenciálem~T v G. Naopak, každýpotenciál pole~T vG je tvaru (3).
Opakování:
Definice(rotace trírozmerného pole). Bud’ ~T : G ⊂ R3 → R
3,G otevrená.Rotací ~T v bode~a ∈ G nazvu
rot ~T (~a) :=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
~e1 ~e2 ~e3
∂∂x
∂∂y
∂∂z
T1 T2 T3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(~a) =
=
(
∂T3
∂y−∂T2
∂z,∂T1
∂z−∂T3
∂x,∂T2
∂x−∂T1
∂y
)
(~a) ,
vždy když existují (vlastní) príslušné parciální derivace.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 4: Krivkový integrál 22M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 4: Krivkový integrál 22
Poznámka(rotace dvourozmerného pole). Bud’ ~T : G ⊂ R2 → R
2, G otevrená. Pro výpocet rotace~T lzeformálne pracovat ve 3 dimenzích položenímT3 ≡ 0, a ∂
∂z≡ 0:
rot ~T (~a) :=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
~e1 ~e2 ~e3
∂∂x
∂∂y
0
T1 T2 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(~a) =
=
(
0, 0,∂T2
∂x−∂T1
∂y
)
(~a) .
Klademe tedy pro~T : G ⊂ R2 → R
2,
rot ~T (~a) :=∂T2
∂x(~a) −
∂T1
∂y(~a) .
Tvrzení 4.5. Bud’ n = 2 nebon = 3. Bud’ dáleG otevrená a souvislá množina vRn, ~T : G ⊂ R
n → Rn
vektorové pole, které má vG potenciálU ∈ C2(G). Potom
rot ~T = 0 vG .
POZOR! Tvrzení neplatí naopak. Tj. existují vektorová pole v otevrených a souvislých množinách,která mají nulovou rotaci a pritom nemají potenciál. Viz následující príklad.
Cvicení. Uvažte~T (x, y) =(
− yx2+y2
, xx2+y2
)
v R2\0, a krivku ~ϕ, která probíhá proti smeru hodinových
rucicek obvod kružnice o polomerur > 0 a stredu0.Je
∫
ϕ~Td~ϕ = 2π (nezávisle na velikostir > 0). Proto podle Vety 4.4 nemá~T v R
2 \ 0 potenciál (a
nemá jej ani v žádné otevrené a souvislé podmnožineR2 \ 0, která obsahuje nejakou kružnici o polomeru
r > 0 a stredu0).Pritom rot ~T = 0 všude vR2 \ 0.
Poznámka.Bud’ ~T ∈ C2(G), kdeG je otevrená a souvislá množina. Potom platí implikace "existuje po-tenciál k ~T v G =⇒ rot ~T = 0 v G", zatímco implikace "rot ~T = 0 v G =⇒ existuje potenciál k~T vG" platí jen ve speciálních otevrených a souvislých množináchG, v tzv. množinách, kde "každá Jordanovakrivka lze stáhnout do bodu".
Cvicení. Ukažte, že vektorové pole z predchozího príkladu má potenciálU(x, y) = arctg yx
na množineR
2 ∩ x > 0 a na množineR2 ∩ x < 0. Tyto dve množiny mají tu vlastnost, že v nich "každá Jordanova
krivka lze stáhnout do bodu".
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 5: Plošnýintegrál 23M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 5: Plošnýintegrál 23
5 Plošný integrál
5.1 Plošný integrál 1. druhu vR3
Definice. Rekneme, žeS ⊂ R3 je hladká2-plocha (hladká dvoudimenzionální plocha), pokud existuje
zobrazení
~ϕ : Ω ⊂ R2 → R
3 , Ω otevrená, ~ϕ(Ω) = S,
~ϕ :
x = ϕ1(u, v) ,y = ϕ2(u, v) ,z = ϕ3(u, v) ,
(1)
pricemž~ϕ ∈ C1(Ω), ~ϕ je prosté naΩ, a
hodnost matice
(
D(ϕ1, ϕ2, ϕ3)
D(u, v)
)
= 2 ∀ (u, v) ∈ Ω . (2)
Poznámka. • Budeme psát~ϕu ≡ ∂~ϕ∂u
=(
∂ϕ1
∂u, ∂ϕ2
∂u, ∂ϕ3
∂u
)
apod.
• Podmínka (2)ríká, že (∀(u, v) ∈ Ω) jsou vektory~ϕu a ~ϕv, které mají geometrický význam tecnýchvektoru k plošeS v bode ~ϕ(u, v), lineárne nezávislé, a tvorí tedy bázi dvojrozmerného tecného pros-toru kS v bode ~ϕ(u, v).
• Vektorový soucin ~ϕu × ~ϕv je paknenulovýa má smer normálového vektoru k plošeS; jeho velikost‖~ϕu × ~ϕv‖ je císelne rovna plošnému obsahu rovnobežníka se stranami~ϕu a ~ϕv. PlochaS je takori-entovánapolem jednotkových normálových vektoru~ν(~ϕ(u, v)) := ~ϕu×~ϕv
‖~ϕu×~ϕv‖. V situaci, kdy plocha
S je orientována normálami~ν, píšemeS = (S, ~ν).
Definice. Bud’ S ⊂ R3 hladká2-plocha parametrizovaná zobrazením~ϕ : Ω ⊂ R
2 → R3. Bud’ f definovaná
naS, taková, žef(~ϕ(u, v)) má smysl alespon pro s.v. hodnoty(u, v) ∈ Ω. Definujemeplošný integrál 1.druhu z f pres plochuS jako
∫
S
f dS :=
∫
Ωf(~ϕ(u, v)) ‖~ϕu × ~ϕv‖(u, v) du dv , (3)
pokud existuje integrál na pravé strane (napríklad v Lebesgueove smyslu).
Tvrzení 5.1(nezávislost na parametrizaci). Bud’S⊂ R3 hladká2-plocha parametrizovaná dvema ruznými
zobrazeními:
• ~ϕ : Ω ⊂ R2 → R
3, Ω otevrená,~ϕ(Ω) = S, (~ϕu × ~ϕv)(u, v) 6= 0 ∀(u, v) ∈ Ω;
• ~ψ : G ⊂ R2 → R
3,G otevrená,~ψ(G) = S, (~ψs × ~ψt)(s, t) 6= 0 ∀(s, t) ∈ G;
Bud’ f definovaná naS, taková, žef(~ϕ(u, v)) má smysl alespon pro s.v. hodnoty(u, v) ∈ S a f(~ψ(s, t))má smysl alespon pro s.v. hodnoty(s, t) ∈ G. Potom
∫
S
f dS =
∫
G
f dS , (4)
pokud existuje alespon jeden z obou integrálu.
Cvicení(Grammuv determinant). Jiný zpusob výpoctu tzv. "metrickéhoclenu"‖~ϕu × ~ϕv‖ se opírá o násle-dující identitu (determinant vpravo se nazýváGrammuv):
‖~ϕu × ~ϕv‖2 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
~ϕu · ~ϕu ~ϕu · ~ϕv
~ϕv · ~ϕu ~ϕv · ~ϕv
∣
∣
∣
∣
∣
∣
. (5)
Dokažte tuto identitu.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 5: Plošnýintegrál 24M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 5: Plošnýintegrál 24
Cvicení. • Spoctete povrch plochy, která je popsána parametrizací:
~ϕ :
x = (R+ r cosu) cos v ,y = (R+ r cosu) sin v ,z = r sinu ,
(6)
u, v ∈ (0, 2π), 0 < r < R. O jakou jde plochu?
[Rešení:Jde o torus (pneumatiku, anuloid, . . . ) a povrch by vám mel vyjít 4π2rR = 2πr · 2πR.]
• Parametrizujte kouli vR3 a spoctete její povrch.
Cvicení. Ukažte: je-li plochaS zadána explicitne, jako graf hladké funkceψ : Ω ⊂ R2 → S, tedy pokud je
S := [x, y, z] ∈ R3 ; z = ψ(x, y) ; (x, y) ∈ Ω, platí
∫
S
f dS =
∫
Ωf(x, y, ψ(x, y))
√
1 + |∇ψ|2 dx dy . (7)
[Návod: Z explicitního zadání plochy pomocíz = ψ(x, y) lze vyrobit parametrizaci~ϕ: (x = x, y = y, z = ψ(x, y)), (x, y) ∈ Ω. Zbytek plyne prímým výpoctem.]
5.2 Plošný integrál 2. druhu vR3
Definice. Bud’ S ⊂ R3 hladká2-plocha parametrizovaná zobrazením~ϕ : Ω ⊂ R
2 → R3 a orientovaná
polem jednotkových normálových vektoru~ν(~ϕ(u, v)) := ~ϕu×~ϕv‖~ϕu×~ϕv‖
. Bud’ ~T vektorové pole definované naS,
takové, že~T (~ϕ(u, v)) má smysl alespon pro s.v. hodnoty(u, v) ∈ S. Definujemeplošný integrál 2. druhuz ~T pres (orientovanou) plochu(S, ~ν) jako
∫
(S,~ν)
~T d~S :=
∫
Ω
~T (~ϕ(u, v)) · (~ϕu × ~ϕv) (u, v) du dv , (8)
pokud existuje integrál na pravé strane (napríklad v Lebesgueove smyslu).
Definice (souhlasná a nesouhlasná orientace). Bud’ S ⊂ R3 hladká2-plocha parametrizovaná dvema
ruznými zobrazeními:
• ~ϕ : Ω ⊂ R2 → R
3, Ω otevrená,~ϕ(Ω) = S, (~ϕu × ~ϕv)(u, v) 6= 0 ∀(u, v) ∈ Ω;
• ~ψ : G ⊂ R2 → R
3,G otevrená,~ψ(G) = S, (~ψs × ~ψt)(s, t) 6= 0 ∀(s, t) ∈ G.
Položme~ν(~ϕ(u, v)) :=
~ϕu × ~ϕv
‖~ϕu × ~ϕv‖, ~µ(~ψ(s, t)) :=
~ψs × ~ψt
‖~ψs × ~ψt‖.
Rekneme, že plochy(S, ~ν) a (S, ~µ) jsou souhlasne resp. nesouhlasne orientované, pokud je~ν = ~µ
resp.~ν = −~µ (ve všech bodech plochyS).
Tvrzení 5.2(nezávislost na parametrizaci). Bud’S⊂ R3 hladká2-plocha parametrizovaná dvema ruznými
zobrazeními,~ϕ : Ω ⊂ R2 → R
3 a ~ψ : G ⊂ R2 → R
3 (viz znacení z predchozí definice). Bud’~T poledefinované naS, takové, že~T (~ϕ(u, v)) má smysl alespon pro s.v. hodnoty(u, v) ∈ S a ~T (~ψ(s, t)) má smyslalespon pro s.v. hodnoty(s, t) ∈ G. Potom (pokud existuje alespon jeden z obou integrálu)
∫
(S,~ν)
~T d~S = ±
∫
(S,~µ)
~T d~S , (9)
kde znaménko "plus" resp. "minus" je v prípade, že orientace(S, ~ν) a (S, ~µ) je souhlasná resp. nesouhlasná.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 5: Plošnýintegrál 25M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 5: Plošnýintegrál 25
Poznámka.Bud’ S = (S, ~ν) hladká orientovaná2-plocha,~ν := ~ϕu×~ϕv‖~ϕu×~ϕv‖
, ~ϕ je parametrizující zobrazení.Pak platí následující vztahy mezi integrály prvního a druhého druhu:
∫
(S,~ν)
~T d~S =
∫
S
~T · ~ν dS ,
∫
S
f dS =
∫
(S,~ν)f~ν d~S , (10)
kdef resp.~T mají stejný význam jako v definicích príslušných integrálu, (3) resp. (8). Na základe techtorovností se také nekdy formálne píšed~S = ~ν dS, (pak tedy je i~ν d~S = ~ν · ~ν dS = dS).
Poznámka.Nekdy také píšeme formálned~S = (dy dz, dx dz, dx dy). Pak pro~T = (P,Q,R) lze psát∫
(S,~ν)
~T d~S =
∫
S
P dy dz +Qdxdz +Rdxdy . (11)
Napr. zápis∫
Sx2 dy dz + z2 dx dy tedy ukazuje, že jde o plošný integrál 2. druhu
∫
(S,~ν)~T d~S, kde ~T =
(x2, 0, z2).
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplik. mat. III – kap. 6: Vety Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta 26M. Rokyta, MFF UK: Aplik. mat. III – kap. 6: Vety Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta 26
6 Vety Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
6.1 Úvod
Definice (zobecnená plocha). Rekneme, žeS ⊂ Rn (n ≥ 2) je zobecnená (n−1)-plocha, pokudS je
konecným sjednocením hladkých(n−1)-ploch,(n−2)-ploch,. . . ,2-ploch, hladkých krivek a bodu. Jsou-liSj , j = 1, . . . , k všechny hladké(n−1)-plochy z tohoto sjednocení, definujeme plošné integrály 1. resp. 2.druhu z funkcef resp. pole~T jako
∫
S
f dS =
k∑
j=1
∫
Sj
f dS , resp.∫
S
~T d~S =
k∑
j=1
∫
Sj
~T d~S ,
mají-li výrazy na prave strane smysl.
Poznámka(zobecnená krivka). V prípade, žen = 2, zahrnuje predchozí definice i krivkový integrál. Vtomto prípade tedy chápeme krivku jako "1-plochu" (~ϕ ≡ S) a krivkový integrál pres jako "plošný integrálpres1-plochu". Tato dohoda nám umožní formulovat následující vety v jednotném tvaru. Pod zápisem
∫
S
f dS resp.∫
S
~T d~S
pak rozumíme∫
ϕ
f ds resp.∫
ϕ
~T d~ϕ .
6.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce
Úmluva
V následujících vetách budeme predpokládat:
• Ω je omezená souvislá otevrená množina vRn, n ≥ 2, její hranice∂Ω je zobecnená(n−1)-plochave smyslu predchozí definice a poznámky.
• Všechny integrované (skalárníci vektorové) funkce jsou (pro jednoduchost) spojité spolu se všemipotrebnými derivacemi naΩ.
• Symbolem~ν oznacujeme jednotkový vektorvnejší normály k Ω, v bodech∂Ω, ve kterých existuje.
Veta 6.1. Pro f : Ω ⊂ Rn → R, resp.~T : Ω ⊂ R
n → Rn platí (za predpokladu predchozí úmluvy):
Gauss-Green-Ostrogradský, pro k ∈ 1, . . . , n:
∫
Ω
∂f
∂xkdx =
∫
∂Ωfνk dS . (1)
Veta o divergenci:∫
Ωdiv ~T dx =
∫
∂Ω
~T · ~ν dS . (2)
Veta 6.2. Pro u, v : Ω ⊂ Rn → R platí (za predpokladu predchozí úmluvy):
Integrace per partes (po složkách), pro k ∈ 1, . . . , n:
∫
Ωu
∂v
∂xkdx =
∫
∂Ωu v νk dS −
∫
Ωv
∂u
∂xkdx . (3)
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplik. mat. III – kap. 6: Vety Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta 27M. Rokyta, MFF UK: Aplik. mat. III – kap. 6: Vety Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta 27
Integrace per partes (vektorove):∫
Ωu∇v dx =
∫
∂Ωu v ~ν dS −
∫
Ωv∇u dx. (4)
Veta 6.3. Pro u, v : Ω ⊂ Rn → R platí (za predpokladu predchozí úmluvy):
1. Greenova formule:∫
Ω∇u∇v dx =
∫
∂Ωv
∂u
∂~νdS −
∫
Ωv ∆u dx , (5)
kde ∂u∂~ν
:= ∇u · ~ν je derivace ve smeru vektoru~ν.
2. Greenova formule:∫
Ω
(
u ∆v−v ∆u)
dx =
∫
∂Ω
(
u∂v
∂~ν−v
∂u
∂~ν
)
dS . (6)
Dusledek 6.4.Pro u : Ω ⊂ Rn → R platí (za predpokladu predchozí úmluvy):
∫
Ω∆u dx =
∫
∂Ω
∂u
∂~νdS . (7)
Dále platí (je-li~ν jednotkový vektorvnejší normályk Ω):∫
∂Ω~ν dS = 0 . (8)
Poznámky k dukazum vzorcu(1)–(8):
• Vzorec (1) považujeme za základní. Všimnete si jeho analogie se známým Newton-Leibnizovýmvztahem v 1D, platným napr. prof ∈ C1(〈a, b〉),
∫ b
a
f ′ dx = f(b) − f(a) . (9)
Interval (a, b) v (9) hraje roli množinyΩ ve vztahu (1), jeho hranicí jsou dva bodya a b. Hodnotyv hranicních bodechf(b) af(a) na pravé strane (9) jsou násobeny hodnotami1 a−1, které lze chápatjako hodnoty "vnejší jednotkové normály k intervalu(a, b)", v bodecha a b. S využitím této úvahy aFubiniovy vety není težké vzorec (1) v prípade jednoduchých oblastí odvodit.
• Vztah (2) plyne z (1): dosad’tef := Tk v (1) a sectete presk.
• Vztah (3) plyne z (1): dosad’tef := uv v (1) a derivujte soucin na levé strane.
• Vztah (4) je jen vektorovým zápisem vztahu (3).
• Vztah (5) plyne z (3): místou dosad’te∂u
∂xka takto vzniklé rovnosti sectete presk.
• Vztah (6) plyne z (5): napište si modifikaci vztahu (5), tak, že prohodíteroli u av. Potom odectete (5)a tento modifikovaný vztah.
• Vztah (7): položtev = 1 v (5).
• Vztah (8): položteu = v = 1 v (4).
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplik. mat. III – kap. 6: Vety Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta 28M. Rokyta, MFF UK: Aplik. mat. III – kap. 6: Vety Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta 28
6.3 Greenova a Stokesova veta
Veta 6.5(Green). Bud’ n=2 . Pro ~T : Ω ⊂ R2 → R
2 platí (za predpokladu predchozí úmluvy, tj. speciálne∂Ω je sjednocení konecného poctu hladkých krivek a bodu):
∫
Ω
(
∂T1
∂x1+
∂T2
∂x2
)
dx =
∫
∂Ω
~T · ~ν dϕ , (10)
∫
Ω
(
∂T2
∂x1−
∂T1
∂x2
)
dx =
∫
∂Ω
~T · ~τ dϕ , (11)
kde~ν je vnejší normálový vektor (kΩ) a ~τ tecný vektor ke krivce∂Ω, která "obíhá"Ω tak, že máΩ "po levéruce".
Poznámka.Jiný zápis predchozích dvou vztahu (10), (11) (stále jsme vRn pron = 2) je
∫
Ωdiv ~T dx =
∫
∂Ω
~T · ~ν dϕ , (12)
∫
Ωrot ~T dx =
∫
∂Ω
~T · ~τ dϕ , (13)
kde rot ~T = ∂T2
∂x1− ∂T1
∂x2je "dvourozmerná rotace dvourozmerného pole~T = (T1, T2)" (tretí souradnice
trirozmerné rotace pole~T = (T1, T2, 0)). Zobecnením vztahu (13) do trí dimenzí je tzv. Stokesova veta.
Veta 6.6(Stokes). Bud’ (S, ~ν) ⊂ R3 hladká orientovaná2-plocha taková, že∂S = 〈~ϕ〉, kde~ϕ je Jordanova
krivka, obíhající(S, ~ν) v kladném smyslu, tj. v souladu "s pravidlem palce pravé ruky". Potom (platí-listále úmluva z pocátku této kapitoly)
∫
(S,~ν)rot ~T · ~ν dS =
∫
ϕ
~T · ~τ dϕ =
∫
ϕ
~T d~ϕ . (14)
Poznámka(integrální reprezentace divergence). Necht’Kr(x0) ⊂ Rn je koule o stredux0 ∈ R
n a polomerur ∈ (0, R), a ~T ∈ C1(KR(x0)), pak
div ~T (x0) = limr→0+
1
λn(Kr(x0))
∫
∂Kr(x0)
~T · ~ν dS . (15)
Poznámka(integrální reprezentace rotace). Necht’ (S, ~ν) ≡ Sr(x0) ⊂ R3 je dvourozmerný orientovaný
kruh o stredux0 ∈ R3 a polomerur ∈ (0, R), který leží v rovine rovnobežné z nekterou dvojicí souradných
rovin (xy, xz neboyz), s hranicí∂S = 〈~ϕ〉, orientovanou v souladu se Stokesovou vetou. Necht’ dále~T ∈ C1(KR(x0)). Pak
(
rot ~T · ~ν)
(x0) = limr→0+
1
λ2(Sr(x0))
∫
ϕ
~T · ~τ dϕ . (16)
. . . a to je vše v ZS 2019/20
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/