Aplikasi Statistik Maxwell-Boltzmann: EkipartisiEnergi By: Paian Tamba E-mail: paian_6tamba@yahoo.co.id Bilaenergipartikel-partikeldalamsuatusistemberbentuk kuadratdarikoordinatposisidanmomentumsistemmakasetiap sukuyangmengandungkuadrattersebutakanberkontribusi terhadapenergirata-ratasebesar1/2kT,dimanaTadalah temperatursistem.Haliniakandibahassebagaisuatuaplikasi dari statistik Maxwell-Boltzmann. 1. Bentuk-Bentuk Energi Energisuatupartikeldapatberbentukmurnienergikinetik, misalnya dalam arah-x : x=p2x/2m (1) yang juga berlaku sama dengan dalam arah-y dan arah-z Ekipartisi Energi Dapat pula berbentuk energi kinetik dan energi potensial, misalnya pada osilator harmonik, yanguntuk arah-x-nya adalah: yang akan memiliki bentuk yang sama pula dalam kedua arah lainnya. Dengan demikian, secara lengkap suku energi merupakan fungsi dari x,y,z,px,py,danpzataukoordinatdariruangfasaenam-dimensi. Suatubentuklengkapyangbergantungkuadratdarikoordinat-koordinat ruang adalah (2) x212m2x2 + = epx(3) z212my212mx212m2z22y22x2||.|

\|+ +||.|

\|+ +||.|

\|+ = e p p px2. Rata-rata energi kinetik Rata-rata nilai xpada temperatur T: dengan d = dxdydxdpxdpydpz.Dengan melihat bentuk umum dalam Persamaan (4) maka apabila dituliskan merupakan suatu suku yang tidak lagi bergantung dari px. (4)2 / p// 2x}}I II I= ee e d ed me xkTkT(5)/2mx2p eDenganmenggunakancarainimakaPersamaan(1)dapat dituliskan menjadi: Denganmelakukansubtsitusiu2=p2x /2mkTmakaPersamaan (6) akan menjadi: ( )(6) 2 /

2 /2 /222x2222dpx edp e m pdp dp dV edp dp dV emkT pxmkT pxz y pkTmpz y pkTmpxxxx}}}} (((

||.|

\| e (((

||.|

\| e III= e(7)ee u kT

-u --u - 2x22dudu}}= edengan menggunakan integral parsial, dimana : Maka persamaan (7) menjadi: Dengan cara yang sama akan dapat diperoleh bahwa | |} }} } = = + ==du duu d ue duuu2 2 22 2u - u - u -2-u - 2e21e21 ue21

) (21e u(8) kT21 ee21ee u kT

-u -u --u --u - 2x2222= = = e} }}} dudu kTdudu(9) 2 / 1 dan2 / 1 kT kTz y= e = e3. Rata-Rata Energi Potensial Mirip Pegas Bilapartikelmemilikienergipotensialyangbergantungposisi sepertidalamPersamaan(2),makarata-rataenergipotensial dalam arah-x dapat dicari, misalnya saja Kemudiandenganmenggunakanproseduryangsamaseperti sebelumnya, yaitu membuat suatu suku yang bebas terhadap x, yaitu (10) x212 =xu(11)x212 emaka dapat diperoleh bahwa: dengan menggunakan u2 = x2 /2kT maka Persamaana (12) akan menjadi( ) | |( ) | |dx edx e xdydz dV edydz dV eukT xkT xpkT xpkT x}}}} e e III=2 /2 / 22 /2 /x2222) 2 / (

(13) kT21 ee u kT

-u --u - 2x22= =}}duduu(12) ) 2 / (2 /2 / 222}} =dx edx e xkT xkT xsehingga untuk potensial pada arah-y dan arah-z akan diperoleh pula: 4. Rata-Rata Energi Osilator Harmonik Suatuosilatorharmonikyangmemilikienergipadaarah-xseperti dalamPersamaan(2)dapatpuladihitungenergirata-ratanyapada arah-x, yaitu (14) 2 / 1 dan2 / 1 kT u kT uz y= =( ) | |(15) ) 2 / 2 / (/ ) 2 / 2 / ( exp 2 / 2 /222222x} }} } ++ += ex xx x xdxdp x m pdxdp kT x m p x m p dengankembalimenggunakanproseduryangsamadalam membahasintegraldalamd.UntukmenyelesaikanPersamaan (15), nyatakan koordinat x dan px dalam bentuk polar sehingga: (18) d drr/x) 2( dxdp(17) cos r x21(16)sinr2mp1/2x2 2 22 22xu u u===Persamaan 15akan menjadi: Integraldapat dipecahkan lewat: (19) kTd 0/2030/2022= = e} } } }rdr e ddr r ekT rkT rxttuurdr e kT dr r ekT1aa1a1 0a1 21

) (21 0/ r - 30/ r -0 00 0 u2202 32 22 22 22 2} }} }}} } == == + =+((

==kT kTau auau auau audu ue du uedu ue e uaau d e uadu u e} 32du u eau