APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf ·...

79
i APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM PENGATURAN KECERAHAN LAYAR TELPON GENGGAM Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika Program Studi Matematika Oleh: Florens Septiane Trisnanta NIM: 153114012 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2019 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Transcript of APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf ·...

Page 1: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

i

APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM

PENGATURAN KECERAHAN LAYAR TELPON GENGGAM

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Florens Septiane Trisnanta

NIM: 153114012

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 2: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

ii

APPLICATION OF MAMDANI FUZZY INFERENCE SYSTEM IN

MOBILE PHONE SCREEN BRIGTHNESS SETTING

Thesis

Presented as Partipal Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:

Florens Septiane Trisnanta

Student ID: 153114012

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 3: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 4: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 5: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 6: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

vi

MOTTO

“Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apa pun juga, tetapi nyatakanlah

dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan permohonan dengan

ucapan syukur” (Filipi 4:6)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 7: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus, kedua orang tuaku dan keluargaku.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 8: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 9: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

ix

ABSTRAK

Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada

tahun 1965. Nilai kebenaran dalam logika kabur dinyatakan dengan suatu bilangan

real dalam selang tertutup [0,1]. Sistem inferensi kabur adalah sistem komputasi

yang bekerja atas dasar penalaran kabur. Dalam tugas akhir ini digunakan salah satu

sistem inferensi, yaitu sistem inferensi Mamdani, untuk menetapkan tingkat

kecerahan layar pada telpon genggam. Faktor-faktor yang dipertimbangkan untuk

memutuskan tingkat kecerahan layar telpon genggam, yaitu kondisi cahaya ruangan

dan jarak pemakai telpon genggam. Kedua faktor tersebut yang menjadi variabel

masukan pada sistem inferensi ini.

Kata kunci: Logika kabur, sistem inferensi kabur Mamdani, tingkat kecerahan

layar telpon genggam.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 10: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

x

ABSTRACT

Fuzzy logic was first introduced by Prof. Lotfi A. Zadeh in 1965. Truth

value in fuzzy logic is expressed by a real number in the closed interval [0,1]. Fuzzy

inference system is a computation system based on fuzzy reasoning. In this final

paper one of the fuzzy inference system is used, i.e. the Mamdani inference system,

to set the brightness level of a mobile phone’s screen. The factors are considered to

decide the brightness level of a mobile phone’s screen are the conditions of room

light and the distance of mobile phone’s user. Both factors are the input variables

in this system.

Keywords: Fuzzy logic, Mamdani fuzzy inference system, brightness level of a

mobile phone’s screen

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 11: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

xi

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala kasih, berkat, dan

karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi

ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata

Dharma.

Dalam penulisan skripsi ini, penulis menyadari bahwa penulis melibatkan

banyak pihak yang bersedia membantu dalam berbagai macam kesulitan. Penulis

juga tidak lepas dari dukungan dari banyak pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan

ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Prof. Dr. Frans Susilo, SJ selaku dosen pembimbing skripsi yang selalu

sabar memberikan arahan kepada penulis untuk menyelesaikan tugas akhir

ini.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si, M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi dan selaku Dosen Pembimbing Akademik.

3. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto

Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ricky Aditya, M.Sc, dan Ibu Maria Vianney

Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang

telah memberikan banyak ilmu pengetahuan kepada penulis selama proses

perkuliahan.

5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

6. Kedua orang tua, kakak, saudara dan keluarga yang telah mendoakan,

membantu dan mendukung penulis selama proses pengerjaan skripsi.

7. Sahabat Penulis yang sudah meluangkan waktunya untuk mendengarkan

keluh kesah, dan memberi dukungan serta motivasi dari awal penulisan

sampai akhir penulisan skripsi ini, yakni Marsella Novita.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 12: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 13: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ...................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................... v

MOTTO..............................................................................................................vi

HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................... vii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN .............................................. viii

ABSTRAK ..................................................................................................... ix

ABSTRACT.................................................................................................... x

KATA PENGANTAR .................................................................................... xi

DAFTAR ISI................................................................................................ xiii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1

A. Latar Belakang ....................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah .................................................................................. 3

C. Batasan masalah ..................................................................................... 3

D. Tujuan penulisan .................................................................................... 3

E. Metode penulisan ................................................................................... 3

F. Manfaat penulisan .................................................................................. 3

G. Sistematika penulisan ............................................................................. 4

BAB II HIMPUNAN KABUR ........................................................................ 6

A. Konsep Himpunan Kabur ....................................................................... 6

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 14: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

xiv

B. Fungsi Keanggotaan ............................................................................. 10

C. Operasi-Operasi pada Himpunan Kabur ............................................... 15

D. Relasi Kabur ...................................................................................... 23

BAB III LOGIKA KABUR ........................................................................... 26

A. Variabel Linguistik ............................................................................... 26

B. Pengubah Linguistik ............................................................................. 27

C. Proposisi Kabur .................................................................................... 28

D. Implikasi Kabur.................................................................................... 30

E. Penalaran Kabur ................................................................................... 32

F. Sistem Inferensi Kabur ......................................................................... 37

1. Unit Pengaburan .............................................................................. 38

2. Unit Basis Pengetahuan ................................................................... 39

3. Unit Penalaran Kabur ...................................................................... 40

4. Unit Penegasan ................................................................................ 40

BAB IV APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI ................ 43

A. Sistem Inferensi Kabur Mamdani ......................................................... 43

B. Implementasi Sistem Inferensi Kabur Mamdani Pada Pengaturan

Kecerahan Layar Telpon Genggam ...................................................... 43

1. Pembentukan Himpunan Kabur ....................................................... 43

2. Basis Kaidah.................................................................................... 47

3. Unit Pengaburan .............................................................................. 48

4. Unit Penalaran Kabur ...................................................................... 50

5. Unit Penegasan ................................................................................ 60

BAB V PENUTUP ........................................................................................ 61

A. Kesimpulan .......................................................................................... 61

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 15: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

xv

B. Saran .................................................................................................... 63

DAFTAR PUSTAKA.................................................................................... 64

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 16: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Perkembangan teknologi saat ini semakin maju. Salah satunya di bidang

teknologi komunikasi, yaitu telpon genggam. Telpon genggam yang pada awalnya

merupakan barang langka dan mewah serta hanya orang dari kalangan ekonomi atas

yang memilikinya. Namun, seiring perkembangan zaman, telpon genggam menjadi

kebutuhan dan mudah dibeli. Telpon genggam saat ini sudah menjadi bagian dari

gaya hidup masyarakat modern. Hampir setiap orang memiliki telpon genggam

sebagai alat komunikasi mereka. Keberadaan telpon genggam saat ini tidak hanya

digunakan oleh orang dewasa saja, namun anak-anak pun sudah banyak yang

memiliki telpon genggam. Bahkan masyarakat sekarang tidak dapat dipisahkan

oleh telpon genggam. Telpon genggam dapat membantu seseorang melakukan

komunikasi dengan cepat. Tetapi pemakaian telpon genggam yang terlampau lama

dapat menimbulkan dampak negatif bagi kesehatan, terutama kesehatan mata.

Masalah kesehatan mata ini tidak lepas dari peran cahaya karena cahaya yang

menimpa benda tersebut akan dipantulkan ke mata untuk dapat terlihat. Aktivitas

pada saat menggunakan telpon genggam harus memperhatikan penerangan yang

cukup, sebab dalam jangka waktu lama akan berdampak pada kelelahan mata jika

tidak diimbangi dengan intensitas penerangan yang memadai. Oleh karena itu,

kecerahan pada layar telpon genggam menjadi bagian yang penting dalam

penggunaan telpon genggam. Kecerahan layar telpon genggam dapat diatur dengan

menerapkan logika kabur.

Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun

1965. Nilai kebenaran dalam logika kabur dinyatakan dengan suatu bilangan real

dalam selang tertutup [0,1]. Dasar dari logika kabur adalah himpunan kabur. Pada

teori himpunan kabur, peranan derajat keanggotaan sebagai penentu keberadaan

elemen dalam suatu himpunan sangatlah penting. Salah satu aplikasi logika kabur

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 17: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

2

yang telah berkembang amat luas dewasa ini adalah dalam sistem inferensi kabur,

yaitu sistem komputasi yang bekerja atas dasar penalaran kabur, misalnya sistem

kendali otomatis, sistem klasifikasi data, sistem pakar, sistem pengenalan pola,

robotika, dan sebagainya (Susilo, 2018). Sistem inferensi kabur yang banyak

dikenal diantaranya adalah sistem inferensi kabur Mamdani, sistem inferensi kabur

Tsukamoto, dan sistem inferensi kabur Takagi-Sugeno-Kang.

Sistem inferensi kabur Mamdani atau biasa dikenal sebagai metode Min-

Max merupakan suatu metode menggunakan aturan “Jika-Maka”. Sistem inferensi

kabur Mamdani ini diperkenalkan oleh Ebrahim Mamdani pada tahun 1974. Sistem

inferensi kabur Mamdani dapat memberikan solusi yang baik untuk menentukan

tingkat kecerahan layar telpon genggam dengan kondisi tertentu. Pada tugas akhir

ini, sistem inferensi kabur Mamdani akan dipakai untuk menentukan tingkat

kecerahan pada layar telpon genggam berdasarkan terangnya ruangan dan jarak

pemakai dengan telpon genggam.

Permasalahan ini hanya terdiri dari dua masukan saja, yaitu terangnya ruangan

dan jarak pemakai dengan telpon genggam. Nilai linguistik untuk variabel

“terangnya ruangan” ada tiga macam, yaitu :

1. Terang

2. Sedang

3. Gelap

Sedangkan variabel “jarak pemakai dengan telpon genggam” mempunyai tiga nilai

linguistik, yaitu :

1. Jauh

2. Sedang

3. Dekat

Varibel keluaran, yaitu “tingkat kecerahan layar pada telpon genggam” mempunyai

tiga nilai linguistik, yaitu rendah, sedang, dan tinggi. Untuk mendapatkan keluaran

diperlukan empat tahapan:

1. Menentukan semua variabel terkait, baik variabel masukan maupun variabel

keluaran

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 18: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

3

2. Membentuk basis kaidah

3. Menarik kesimpulan

4. Mengubah kesimpulan yang masih berupa himpunan kabur menjadi suatu nilai

tegas dengan menggunakan fungsi penegasan

B. Rumusan Masalah

Masalah yang diangkat dalam skripsi ini adalah bagaimana menerapkan

sistem inferensi kabur Mamdani untuk mengatur tingkat kecerahan layar telpon

genggam dengan dua variabel masukan, yaitu terangnya ruangan dan jarak pemakai

dengan telpon genggam?

C. Batasan masalah

Dalam tugas akhir ini, penulis akan membatasi penulisan agar lebih terarah

dan tidak menyimpang dari masalah yang akan dibahas, yaitu:

1. Metode yang digunakan yaitu metode Mamdani.

2. Masukannya adalah terangnya ruangan dan jarak pemakai dengan telpon

genggam.

D. Tujuan penulisan

Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah untuk menentukan tingkat

kecerahan layar telpon genggam dengan menggunakan sistem inferensi kabur

Mamdani.

E. Metode penulisan

Metode penulisan yang digunakan untuk menyusun tugas akhir ini adalah

studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari jurnal-jurnal, makalah, dan

buku-buku yang berkaitan dengan sistem inferensi kabur Mamdani.

F. Manfaat penulisan

Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 19: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

4

1. Penulis dan pembaca mendapat gambaran tentang penerapan sistem inferensi

kabur Mamdani untuk mengatur tingkat kecerahan layar telpon genggam.

2. Tugas akhir ini dapat dijadikan referensi bagi peneliti lain.

G. Sistematika penulisan

Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Metode Penulisan

F. Manfaat Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II HIMPUNAN KABUR

A. Konsep Himpunan Kabur

B. Fungsi Keanggotaan

C. Operasi-operasi pada Himpunan Kabur

D. Relasi Kabur

BAB III LOGIKA KABUR

A. Variabel Linguistik

B. Pengubah Linguistik

C. Proposisi Kabur

D. Implikasi Kabur

E. Penalaran Kabur

F. Sistem Inferensi Kabur

BAB IV APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI

A. Sistem Inferensi Kabur Mamdani

B. Implementasi Sistem Inferensi Kabur Mamdani Pada Pengaturan

Kecerahan Layar Telpon Genggam

BAB V PENUTUP

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 20: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

5

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 21: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

6

BAB II

HIMPUNAN KABUR

A. Konsep Himpunan Kabur

Himpunan tegas adalah himpunan yang terdefinisi secara tegas, dalam arti

bahwa untuk setiap elemen dalam semestanya selalu dapat ditentukan secara tegas

apakah ia merupakan anggota himpunan itu atau tidak. Dengan kata lain, terdapat

batas tegas antara unsur-unsur yang merupakan anggota dan unsur-unsur yang

tidak merupakan anggota.

Tetapi tidak semua himpunan dapat didefiniskan secara demikian, misalnya

himpunan orang kaya, himpunan orang pandai, himpunan orang miskin, dan

sebagainya. Himpunan semacam itu disebut himpunan kabur (fuzzy set).

Zadeh mengaitkan himpunan semacam itu dengan suatu fungsi yang

menyatakan derajat kesesuaian unsur-unsur dalam semestanya dengan konsep

yang merupakan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Fungsi itu disebut fungsi

keanggotaan dan nilai fungsi itu disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam

himpunan itu. Derajat keanggotaan itu dinyatakan dengan suatu bilangan real

dalam selang tertutup [0,1].

Definisi 2.1.1

Suatu himpunan kabur 𝐴 ̃ dalam semesta wacana X adalah himpunan yang

mempunyai fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam pemetaan 𝜇�̃� dari X ke

selang [0,1], yaitu

𝜇�̃� ∶ 𝑋 → [0,1].

Nilai fungsi 𝜇�̃�(𝑥) menyatakan derajat keanggotaan unsur 𝑥 ∈ 𝑋 dalam himpunan

kabur 𝐴 ̃. Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, sedangkan

nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan sama sekali bukan anggota himpunan kabur

tersebut. Oleh karena itu, himpunan tegas juga dapat dipandang sebagai kejadian

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 22: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

7

khusus dari himpunan kabur, yaitu himpunan kabur yang fungsi keanggotaannya

hanya bernilai 0 atau 1 saja.

Suatu himpunan kabur 𝐴 ̃dalam semesta wacana X dapat dinyatakan sebagai

himpunan pasangan terurut

𝐴 ̃ = {(𝑥, 𝜇�̃�(𝑥))| 𝑥 ∈ 𝑋}

dimana 𝜇�̃� adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur 𝐴 ̃.

Jika X kontinu maka himpunan kabur 𝐴 ̃ seringkali ditulis

𝐴 ̃ = ∫ 𝜇�̃�(𝑥)/𝑥

𝑟

𝑥∈𝑋

dimana lambang ʃ bukan lambang integral seperti yang dikenal dalam kalkulus,

tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur 𝑥 ∈ 𝑋 bersama dengan derajat

keanggotaannya dalam himpunan kabur 𝐴 ̃ dan lambang / tidak melambangkan

operasi pembagian yang dikenal dalam aritmetika, tetapi melambangkan pasangan

unsur 𝑥 dan derajat keanggotaannya.

Jika X diskret maka himpunan kabur 𝐴 ̃ sering kali ditulis

𝐴 ̃ = ∑𝜇�̃�(𝑥)/𝑥

𝑥∈𝑋

dimana lambang ∑ di sini tidak melambangkan operasi jumlahan yang dikenal

dalam aritmetika, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur 𝑥 ∈ 𝑋 bersama

dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan kabur 𝐴 ̃ dan lambang / tidak

melambangkan operasi pembagian yang dikenal dalam aritmetika, tetapi

melambangkan pasangan unsur 𝑥 dan derajat keanggotaannya.

Definisi 2.1.2

Pendukung dari suatu himpunan kabur 𝐴,̃ yang dilambangkan dengan Pend(𝐴 ̃),

adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang mempunyai

derajat keanggotaan taknol dalam 𝐴 ̃, yaitu:

𝑃𝑒𝑛𝑑(𝐴 ̃) = {𝑥 ∈ 𝑋 │ 𝜇�̃�(𝑥) > 0}.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 23: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

8

Definisi 2.1.3

Tinggi dari suatu himpunan kabur 𝐴,̃ yang dilambangkan dengan 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(𝐴 ̃),

didefinisikan sebagai

𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 (𝐴 ̃) = sup𝑥∈𝑋

{𝜇�̃�(𝑥)}.

Himpunan kabur yang mempunyai tinggi sama dengan satu disebut himpunan

kabur normal, sedangkan himpunan kabur yang mempunyai tinggi kurang dari satu

disebut himpunan kabur subnormal.

Definisi 2.1.4

Titik silang dari suatu himpunan kabur 𝐴 ̃ adalah anggota dari semesta yang

mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 0.5.

Definisi 2.1.5

Teras dari suatu himpunan kabur 𝐴 ̃, yang dilambangkan dengan 𝑇𝑒𝑟𝑎𝑠(𝐴 ̃),

adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semestanya yang

mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, yaitu

𝑇𝑒𝑟𝑎𝑠(𝐴 ̃) = {𝑥 ∈ 𝑋 │ 𝜇�̃�(𝑥) = 1}.

Definisi 2.1.6

Pusat dari suatu himpunan kabur didefinisikan sebagai berikut: Jika nilai purata

dari semua titik dimana fungsi keanggotaan himpunan kabur itu mencapai nilai

maksimum adalah berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah nilai purata

tersebut. Jika purata itu takhingga positif (negatif) , maka pusat himpunan kabur itu

adalah yang terkecil (terbesar) diantara semua titik yang mencapai nilai fungsi

keanggotaan maksimum.

Contoh 2.1.1

Dalam semesta 𝑋 = {−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3,4}, himpunan kabur 𝐴 ̃ dapat

dinyatakan misalnya sebagai

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 24: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

9

𝐴 ̃ = ∑ 𝜇�̃�(𝑥) 𝑥⁄

𝑥∈𝑋

= 0.3 −3⁄ + 0.5 −2⁄ + 0.8 −1⁄ + 1 0⁄ + 0.8 1⁄ + 0.5/2 + 0.3/3

Bilangan −4 dan 4 mempunyai derajat keanggotaan 0 yang biasanya tidak ditulis

dalam penyajian himpunan kabur dengan semesta diskret.

𝑃𝑒𝑛𝑑(𝐴 ̃) = {−3,−2, −1 , 0 , 1, 2, 3}.

𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(𝐴 ̃) = 1; himpunan kabur 𝐴 ̃ ini adalah himpunan kabur normal.

Titik silang dari himpunan kabur 𝐴 ̃ ini adalah −2 dan 2.

𝑇𝑒𝑟𝑎𝑠(𝐴 ̃) = {0}.

Definisi 2.1.7

Dua buah himpunan kabur 𝐴 ̃ dan 𝐵 ̃ dalam semesta X dikatakan sama, dinotasikan

dengan 𝐴 ̃ = 𝐵,̃ bila dan hanya bila

𝜇�̃�(𝑥) = 𝜇�̃�(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝑋.

Definisi 2.1.8

Dalam semesta X, himpunan kabur 𝐴 ̃ disebut himpunan bagian dari himpunan

kabur 𝐵 ̃, yaitu 𝐴 ̃ ⊆ 𝐵,̃ bila dan hanya bila

𝜇�̃�(𝑥) ≤ 𝜇�̃�(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝑋.

Jadi, 𝐴 ̃ = 𝐵 ̃ bila dan hanya bila 𝐴 ̃ ⊆ 𝐵 ̃ dan 𝐵 ̃ ⊆ 𝐴 ̃.

Contoh 2.1.2

Jika 𝐴 ̃ = 0.3/−3 + 0.5/−2 + 0.8/−1 + 1/0 + 0.8/1 + 0.5/2+ 0.3/3

dan 𝐵 ̃ = 0.4/−3 + 0.6/−2 + 0.9/−1 + 1/0 + 0.9/1 + 0.6/2 + 0.4/3,

maka 𝐴 ̃ ⊆ 𝐵 ̃.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 25: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

10

B. Fungsi Keanggotaan

Setiap himpunan kabur dapat dinyatakan dengan suatu fungsi keanggotaan.

Ada beberapa cara yang digunakan untuk menyatakan himpunan kabur dengan

fungsi keanggotaannya.

Untuk semesta hingga diskret biasanya dipakai cara daftar, yaitu daftar

anggota-anggota semesta bersama dengan derajat keanggotaannya. Misalnya

diberikan semesta 𝑋 = {Surya, Boby, Shintia, Bagas, Desi} yang terdiri dari

mahasiswa dengan indeks prestasi berturut-turut 3.5, 2.6, 3.8, 1.7, dan 2.9.

Himpunan kabur 𝐴 ̃ = “himpunan mahasiswa yang pandai” dapat dinyatakan

dengan cara daftar sebagai berikut:

𝐴 ̃ = 0.8/Surya + 0.6/Boby + 0.9/Shintia + 0.4/Bagas + 0.7/Desi.

Untuk semesta takhingga yang kontinu, cara yang paling sering digunakan

adalah cara analitik, yaitu mempresentasikan fungsi keanggotaan himpunan kabur

dalam bentuk suatu formula matematis yang dapat disajikan dalam bentuk grafik.

Misalnya 𝐴 ̃ adalah himpunan kabur “bilangan real yang dekat dengan 2”. Maka 𝐴 ̃

dapat disajikan dalam bentuk

𝐴 ̃ = ∫ 𝑒−(𝑥−2)2𝑥⁄

𝑟

𝑥∈𝑅

dimana 𝜇�̃�(𝑥) = 𝑒−(𝑥−2)2 adalah fungsi keanggotaan 𝐴 ̃.

Bilangan 2 mempunyai derajat keanggotaan penuh sama dengan 1, yaitu

𝜇�̃�(2) = 1, sedangkan 1 dan 3 mempunyai derajat keanggotaan 0.37, yaitu

𝜇�̃�(1) = 𝜇�̃�(3) = 0.37.

Himpunan kabur 𝐴 ̃ = "bilangan real yang dekat dengan 2" itu juga dapat

dinyatakan dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut

𝜇�̃�(𝑥) = {𝑥 − 1 untuk 1 ≤ 𝑥 ≤ 23 − 𝑥 untuk 2 ≤ 𝑥 ≤ 30 untuk 𝑥 lainnya

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 26: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

11

dengan derajat keanggotaan 𝜇�̃�(2) = 1,

𝜇�̃�(1.5) =

𝜇�̃�(2.5) = 0.5,

𝜇�̃�(1) =

𝜇�̃�(3) = 0.

Kebanyakan himpunan kabur berada dalam semesta himpunan semua

bilangan real ℝ dengan fungsi keanggotaan yang dinyakatan dalam bentuk suatu

formula matematis. Beberapa fungsi keanggotaan himpunan kabur yang sering

digunakan adalah sebagai berikut:

1. Fungsi Keanggotaan Segitiga

Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan

segitiga jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu a, b, c ∈ ℝ dengan a < b <

c, dan dinyatakan dengan Segitiga (x; a, b, c) dengan aturan:

𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎(𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) =

{

𝑥 − 𝑎

𝑏 − 𝑎 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

𝑐 − 𝑥

𝑐 − 𝑏 untuk 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐

0 untuk 𝑥 lainnya

Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai

berikut:

𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) = max (min(𝑥 − 𝑎

𝑏 − 𝑎 ,𝑐 − 𝑥

𝑐 − 𝑏) , 0) .

Contoh 2.2.1

Misalkan diketahui fungsi keanggotaan Segitiga (x; 15, 25, 35), maka grafik

fungsi tersebut adalah

Gambar 2.1 Fungsi Keanggotaan Segitiga (x; 15, 25, 35)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 27: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

12

2. Fungsi Keanggotaan Trapesium

Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan

trapesium jika mempunyai empat buah parameter, yaitu a, b, c, d ∈ ℝ dengan

a < b < c < d, dan dinyatakan dengan Trapesium (x; a, b, c, d) dengan aturan:

𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) =

{

𝑥 − 𝑎

𝑏 − 𝑎 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

1 untuk 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐𝑑 − 𝑥

𝑑 − 𝑐 untuk 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑

0 untuk 𝑥 lainnya

Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai

berikut:

𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) = max (min(𝑥 − 𝑎

𝑏 − 𝑎 , 1,

𝑑 − 𝑥

𝑑 − 𝑐) , 0).

Contoh 2.2.2

Misalkan diketahui fungsi keanggotaan Trapesium (x; 40, 60, 90, 100), maka grafik

fungsi keanggotaan tersebut adalah

Gambar 2.2 Fungsi Keanggotaan Trapesium (x; 40, 60, 90, 100)

3. Fungsi Keanggotaan Gauss

Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur dengan dua buah parameter

𝑎, 𝑏 ∈ ℝ disebut fungsi keanggotaan Gauss, dinyatakan dengan

𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 (𝑥; 𝑎, 𝑏), jika memenuhi:

𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 (𝑥; 𝑎, 𝑏) = 𝑒−(𝑥−𝑎𝑏)2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 28: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

13

dimana 𝑥 = 𝑎 adalah pusat dan b menentukan lebar dari grafik fungsi

keanggotaan Gauss tersebut.

Contoh 2.2.3

Misalkan diketahui fungsi keanggotaan Gauss (x; 15, 15), maka grafik fungsi

keanggotaan tersebut adalah

Gambar 2.3 Fungsi Keanggotaan Gauss (𝑥; 15, 15)

4. Fungsi Keanggotaan Cauchy

Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur dengan tiga buah parameter a, b,

c ∈ ℝ disebut fungsi keanggotaan Cauchy atau fungsi keanggotaan genta,

dinyatakan dengan Cauchy (x; a, b, c), jika memenuhi:

𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦 (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) = 1

1 + |𝑥 − 𝑐𝑎

|2𝑏

dimana x = c adalah pusat, a menentukan lebar, dan b menentukan kemiringan

(slope) di titik silang dari fungsi keanggotaan Cauchy tersebut.

Contoh 2.2.4

Misalkan diketahui fungsi keanggotaan Cauchy (x; 8, 2, 15), maka grafik fungsi

keanggotaan tersebut adalah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 29: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

14

Gambar 2.4 Fungsi Keanggotaan Cauchy (𝑥; 8, 2, 15)

5. Fungsi Keanggotaan Sigmoid

Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur dengan dua buah parameter a

dan c ∈ ℝ disebut fungsi keanggotaan sigmoid, dinyatakan dengan Sigmoid

(x; a, c), jika memenuhi:

𝑆𝑖𝑔𝑚𝑜𝑖𝑑 (𝑥; 𝑎, 𝑐) =1

1 + 𝑒−𝑎(𝑥−𝑐)

dimana a menentukan kemiringan fungsi sigmoid tersebut di titik silang x = c.

Jika 𝑎 > 0 maka grafik terbuka kanan dan jika 𝑎 < 0 maka grafik terbuka kiri.

Contoh 2.2.5

Misalkan diketahui fungsi keanggotaa Sigmoid (x; 3, 6), maka grafik fungsi

keanggotaan tersebut adalah

Gambar 2.5 Fungsi Keanggoaan Sigmoid (𝑥; 3, 6) yang Terbuka Kanan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 30: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

15

Contoh 2.2.6

Misalkan diketahui fungsi keanggotaan Sigmoid (x; −3, 6), maka grafik fungsi

keanggotaan tersebut adalah

Gambar 2.6 Fungsi Keanggoaan Sigmoid (𝑥; −3, 6) yang Terbuka Kiri

C. Operasi-Operasi pada Himpunan Kabur

Sama seperti pada himpunan tegas, dalam himpunan kabur juga dapat

didefinisikan operasi uner “komplemen” dan operasi-operasi biner “gabungan” dan

“irisan”. Suatu himpunan tegas dapat dinyatakan secara lengkap dengan fungsi

karakteristiknya sehingga ketiga operasi pada himpunan tegas itu dapat

didefinisikan dengan menggunakan fungsi karakteristik itu. Ketiga operasi tersebut

adalah sebagai berikut:

1. Komplemen

Misalnya A adalah suatu himpunan tegas dalam semesta X, maka

komplemen dari A, yaitu 𝐴′, dapat didefinisikan dengan tabel nilai kebenaran

sebagai berikut:

𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐴′

1 0

0 1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 31: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

16

Bila 𝜒𝐴 adalah fungsi karakteristik dari himpunan A tersebut, maka definisi

komplemen itu juga dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi

karakteristik sebagai berikut

𝜒𝐴′(𝑥) = 1 − 𝜒𝐴(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑋.

2. Gabungan

Gabungan dari himpunan-himpunan tegas A dan B dalam semesta X, yaitu

A ∪ 𝐵, dapat didefinisikan dengan menggunakan tabel kebenaran sebagai

berikut:

𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Definisi tersebut juga dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi

karakteristik sebagai berikut

𝜒𝐴∪𝐵(𝑥) = max{𝜒𝐴(𝑥), 𝜒𝐵(𝑥)} , ∀𝑥 ∈ 𝑋.

3. Irisan

Irisan dari himpunan-himpunan tegas A dan B dalam semesta X, yaitu

dinotasikan A ∩ 𝐵, dapat didefinisikan dengan menggunakan tabel kebenaran

sebagai berikut:

𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Definisi tersebut juga dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi

karakteristik sebagai berikut

𝜒𝐴∩𝐵(𝑥) = min{𝜒𝐴(𝑥), 𝜒𝐵(𝑥)} , ∀𝑥 ∈ 𝑋.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 32: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

17

Karena fungsi keanggotaan suatu himpunan kabur adalah perampatan dari

fungsi karakteristik himpunan tegas, maka operasi-operasi pada himpunan kabur

dapat didefinisikan sesuai dengan operasi-operasi pada himpunan tegas seperti

didefinisikan di atas.

1. Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan kabur 𝐴 ̃ dalam semesta X adalah

himpunan kabur 𝐴′̃ dengan fungsi keanggotaan

𝜇𝐴′̃(𝑥) = 1 − 𝜇�̃�(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑋.

2. Gabungan

Gabungan dua buah himpunan kabur 𝐴 ̃ dan 𝐵 ̃ dalam semesta X adalah

himpunan kabur 𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃ dengan fungsi keanggotaan

𝜇�̃�∪�̃�(𝑥) = max{ 𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑥)}, ∀𝑥 ∈ 𝑋.

3. Irisan

Irisan dua buah himpunan kabur 𝐴 ̃ dan 𝐵 ̃ dalam semesta X adalah

himpunan kabur 𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃ dengan fungsi keanggotaan

𝜇�̃�∩�̃�(𝑥) = min{ 𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑥)}, ∀𝑥 ∈ 𝑋.

Ketiga operasi yang didefinisikan di atas tersebut disebut operasi baku pada

himpunan kabur.

Contoh 2.3.1

Misalkan dalam semesta 𝑋 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} diketahui himpunan-

himpunan kabur

𝐴 ̃ = 0.1/1 + 0.5/2 + 0.7/3 + 0.8/4 + 0.9/5 + 0.8/6 + 0.5/7 + 0.3/8 +

0.2/9 + 0.1/10

𝐵 ̃ = 0.2/1 + 0.5/2 + 0.6/3 + 0.8/4 + 0.8/5 + 0.7/6 + 0.5/7 + 0.4/8 +

0.3/9 + 0.2/10

maka

𝐴 ̃′ = 0.9/1 + 0.5/2 + 0.3/3 + 0.2/4 + 0.1/5 + 0.2/6 + 0.5/7+

0.7/8 + 0.8/9 + 0.9/10

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 33: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

18

𝐵 ̃′ = 0.8/1 + 0.5/2 + 0.4/3 + 0.2/4 + 0.2/5 + 0.3/6 + 0.5/7+

0.6/8 + 0.7/9 + 0.8/10

𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃ = 0.2/1 + 0.5/2 + 0.7/3 + 0.8/4 + 0.9/5 + 0.8/6 + 0.5/7 +

0.4/8 + 0.3/9 + 0.2/10

𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃ = 0.1/1 + 0.5/2 + 0.6/3 + 0.8/4 + 0.8/5 + 0.7/6 + 0.5/7 +

0.3/8 + 0.2/9 + 0.1/10

Seperti halnya pada himpunan tegas, pada himpunan kabur juga berlaku sifat-

sifat operasi sebagai berikut:

1. (𝐴 ̃′)′ = 𝐴 ̃ (Involusi)

2. 𝐴 ̃ ∪ 𝐴 ̃ = 𝐴 ̃ dan 𝐴 ̃ ∩ 𝐴 ̃ = 𝐴 ̃ (Idempoten)

3. 𝐴 ̃ ∪ ∅ = 𝐴 ̃ dan 𝐴 ̃ ∪ 𝑋 = 𝐴 ̃ (Identitas)

4. 𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃ = 𝐵 ̃ ∪ 𝐴 ̃ dan 𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃ = 𝐵 ̃ ∩ 𝐴 ̃ (Komutatif)

5. 𝐴 ̃ ∪ ( 𝐵 ̃ ∪ 𝐶 ̃) = (𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃) ∪ 𝐶 ̃

𝐴 ̃ ∩ ( 𝐵 ̃ ∩ 𝐶 ̃) = (𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃) ∩ 𝐶 ̃ (Asosiatif)

6. 𝐴 ̃ ∪ ( 𝐵 ̃ ∩ 𝐶 ̃) = (𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃) ∩ (𝐴 ̃ ∪ 𝐶 ̃)

𝐴 ̃ ∩ ( 𝐵 ̃ ∪ 𝐶 ̃) = (𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃) ∪ (𝐴 ̃ ∩ 𝐶 ̃) (Distributif)

7. 𝐴 ̃ ∪ (𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃) = 𝐴 ̃ dan 𝐴 ̃ ∩ (𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃) = 𝐴 ̃ (Absorbsi)

8. (𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃)′= 𝐴 ̃′ ∩ 𝐵 ̃′ dan (𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃)

′= 𝐴 ̃′ ∪ 𝐵 ̃′ (De Morgan)

Operasi-operasi komplemen, gabungan, dan irisan yang didefinisikan di atas

disebut operasi baku untuk himpunan-himpunan kabur. Definisi tersebut dapat

dirampatkan sedemikian sehingga definisi operasi-operasi baku tersebut

merupakan kejadian khususnya. Perampatan tersebut akan didefinisikan dengan

menggunakan sifat-sifat yang harus dipenuhi, kemudian akan diperlihatkan macam-

macam operasi yang memenuhi sifat-sifat tersebut.

Definisi 2.3.1 Komplemen Kabur

Suatu pemetaan 𝑘: [0,1] → [0,1] disebut komplemen kabur jika memenuhi sifat-

sifat berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 34: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

19

K1. k(0) = 1 dan k(1) = 0 (syarat batas).

K2. Jika x ≤ y, maka k(x) ≥ k(y) untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ [0,1] (syarat taknaik).

Contoh 2.3.2

Operasi komplemen baku, yaitu 𝑘(𝑥) = 1 − 𝑥.

Kelas Sugeno yang didefinisikan sebagai berikut:

𝑘𝜆 (𝑥) = 1 − 𝑥

1 + 𝜆𝑥

dengan prameter 𝜆 = (−1,∞). Untuk setiap nilai parameter 𝜆 diperoleh operasi

komplemen kabur. Untuk 𝜆 = 0, diperoleh operasi komplemen baku, yaitu

𝑘0(𝑥) = 1 − 𝑥, dimana x adalah derajat keanggotaan suatu elemen dalam suatu

himpunan kabur �̃� dan 𝑘0(𝑥) adalah derajat keanggotaan elemen tersebut dalam

himpunan kabur 𝐴′̃.

Contoh 2.3.3

Kelas Yager yang didefinisikan sebagai berikut:

𝑘𝑤(𝑥) = (1 − 𝑥𝑤)1/𝑤

dengan parameter 𝑤 ∈ (0,∞). Untuk setiap nilai parameter w diperoleh suatu

himpunan kabur, dan untuk w = 1, diperoleh operasi komplemen baku, yaitu

𝑘1(𝑥) = 1 − 𝑥.

Definisi 2.3.2 Gabungan Kabur: Norma-s

Suatu pemetaan 𝑠 ∶ [0,1] × [0,1] → [0,1] disebut gabungan kabur (norma-s) jika

untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ [0,1] memenuhi sifat-sifat berikut:

S1. 𝑠(0, 𝑥) = 𝑠 (𝑥, 0) = 𝑥 dan 𝑠(1,1) = 1 (syarat batas)

S2. 𝑠(𝑥, 𝑦) = 𝑠 (𝑦, 𝑥) (syarat komutatif)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 35: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

20

S3. Jika 𝑥 ≤ 𝑥′ dan 𝑦 ≤ 𝑦′, maka 𝑠(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑠(𝑥′, 𝑦′) untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ [0,1]

(syarat takturun)

S4. 𝑠(𝑠(𝑥, 𝑦), 𝑧) = 𝑠(𝑥, 𝑠(𝑦, 𝑧)) (syarat asosiatif)

Contoh 2.3.4

Contoh-contoh norma-s adalah sebagai berikut:

a. Gabungan baku : 𝑠(𝑥, 𝑦) = max{𝑥, 𝑦}

b. Jumlah aljabar : 𝑠𝑗𝑎(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦

c. Jumlah Eistein :

𝑠𝑗𝑒(𝑥, 𝑦) =𝑥 + 𝑦

1 + 𝑥𝑦

d. Jumlah drastis : 𝑠𝑗𝑑(𝑥, 𝑦) =

1

y

x jika 𝑦 = 0… .jika 𝑥 = 0… .jika 𝑥 lainnya

Beberapa kelas pemetaan yang merupakan norma-s (gabungan kabur), yaitu:

a. Kelas Yager

𝑠𝑤(𝑥, 𝑦) = min{1, (𝑥𝑤 + 𝑦𝑤)1/𝑤} , 𝑤 ∈ (0,∞)

b. Kelas Dubois-Prade

𝑠𝛼(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦 − min {𝑥, 𝑦, 1 − 𝛼}

max {1 − 𝑥, 1 − 𝑦, 𝛼}, 𝛼 ∈ [0,1]

c. Kelas Dombi

𝑠𝜆(𝑥, 𝑦) = 1

1 + ((1𝑥 − 1)

−𝜆

+ (1𝑦 − 1)

−𝜆

)

−1/𝜆 , 𝜆 ∈ (0,∞)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 36: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

21

Teorema 2.3.3

Untuk setiap operasi gabungan kabur s dan setiap 𝑥, 𝑦 ∈ [0, 1] berlaku max{𝑥, 𝑦} ≤

𝑠(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑠𝑗𝑑(𝑥, 𝑦).

Bukti:

Ambil sebarang operasi gabungan kabur s dan sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ [0, 1].

Karena s memenuhi syarat batas dan syarat takturun dari norma-s, maka diperoleh

𝑠(𝑥, 0) = 𝑥 dan 𝑠(0, 𝑦) = 𝑦. (syarat batas)

Karena 0 ≤ 𝑥,maka 𝑠(0, 𝑦) ≤ 𝑠(𝑥, 𝑦). (syarat takturun)

Karena 0 ≤ 𝑦,maka 𝑠(𝑥, 0) ≤ 𝑠(𝑥, 𝑦). (syarat takturun)

Jadi, 𝑠(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑠(0, 𝑦) = 𝑦, sehingga 𝑦 ≤ 𝑠(𝑥, 𝑦)

𝑠(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑠(𝑥, 0) = 𝑥, sehinngga 𝑥 ≤ 𝑠(𝑥, 𝑦).

Maka diperoleh max{𝑥, 𝑦} ≤ 𝑠(𝑥, 𝑦).

Selanjutnya,

jika 𝑥 = 0,maka 𝑠(𝑥, 𝑦) = 𝑠(0, 𝑦) = 𝑦 = 𝑠𝑗𝑑(𝑥, 𝑦)

jika 𝑦 = 0,maka 𝑠(𝑥, 𝑦) = 𝑠(𝑥, 0) = 𝑥 = 𝑠𝑗𝑑(𝑥, 𝑦)

jika 𝑥 ≠ 0 dan 𝑦 ≠ 0,maka 𝑠(𝑥, 𝑦) ≤ 1 = 𝑠𝑗𝑑(𝑥, 𝑦)

Terbukti bahwa 𝑠(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑠𝑗𝑑(𝑥, 𝑦).∎

Definisi 2.3.4 Irisan Kabur: (Norma-t)

Suatu pemetaan 𝑡 ∶ [0,1] × [0,1] → [0,1] disebut irisan kabur (norma-t) jika untuk

setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ [0, 1] memenuhi sifat-sifat berikut:

T1. 𝑡(𝑥, 1) = 𝑡(1, 𝑥) = 𝑥 dan 𝑡(0,0) = 0 (syarat batas)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 37: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

22

T2. 𝑡(𝑥, 𝑦) = 𝑡(𝑦, 𝑥) (syarat komutatif)

T3. Jika 𝑥 ≤ 𝑥′ dan 𝑦 ≤ 𝑦′, maka 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡(𝑥′, 𝑦′) untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ [0,1]

(syarat takturun)

T4. 𝑡(𝑡(𝑥, 𝑦), 𝑧) = 𝑡(𝑥, 𝑡(𝑦, 𝑧)) (syarat asosiatif)

Contoh 2.3.5

Contoh-contoh suatu norma-t adalah sebagai berikut:

a. Irisan baku : 𝑡(𝑥, 𝑦) = min {𝑥, 𝑦}

b. Darab aljabar : 𝑡𝑑𝑎(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦

c. Darab Eistein :

𝑡𝑑𝑒(𝑥, 𝑦) =𝑥𝑦

2 − (𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦)

d. Darab drastis : 𝑡𝑑𝑑(𝑥, 𝑦) =

0

y

x

jika 𝑦 = 1… .jika 𝑥 = 1… .jika 𝑥 lainnya

Beberapa kelas pemetaan yang merupakan norma-t (irisan kabur), yaitu:

a. Kelas Yager

𝑡𝑤(𝑥, 𝑦) = 1 − min {1 − ((1 − 𝑥)𝑤 + (1 − 𝑦)𝑤)

1𝑤} , 𝑤 ∈ (0,∞)

b. Kelas Dubois-Prade

𝑡𝛼(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦

max{𝑥, 𝑦, 𝛼} , 𝛼 ∈ [0,1]

c. Kelas Dombi

𝑡𝜆(𝑥, 𝑦) = 1

1 + ((1𝑥 − 1)

𝜆

+ (1𝑦 − 1)

𝜆

)

1/𝜆 , 𝜆 ∈ (0,∞)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 38: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

23

Teorema 2.3.5

Untuk setiap operasi irisan kabur t dan setiap 𝑥, 𝑦 ∈ [0, 1] berlaku 𝑡𝑑𝑑(𝑥, 𝑦) ≤

𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ min{𝑥, 𝑦}.

Bukti:

Ambil sebarang operasi irisan kabur t dan sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ [0, 1].

Karena t memenuhi syarat batas dan syarat takturun dari norma-t, maka diperoleh

𝑡(𝑥, 1) = 𝑥 dan 𝑡(1, 𝑦) = 𝑦. (syarat batas)

Karena 𝑥 ≤ 1,maka 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡(1, 𝑦). (syarat takturun)

Karena 𝑦 ≤ 1,maka 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡(𝑥, 1). (syarat takturun)

Jadi, 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡(𝑥, 1) = 𝑥, sehingga 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑥

𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡(1, 𝑦) = 𝑦, sehingga 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑦.

Maka diperoleh 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ min{𝑥, 𝑦}.

Selanjutnya,

jika 𝑥 = 1,maka 𝑡(𝑥, 𝑦) = 𝑡(1, 𝑦) = 𝑦 = 𝑡𝑑𝑑(𝑥, 𝑦)

jika 𝑦 = 1,maka 𝑡(𝑥, 𝑦) = 𝑡(𝑥, 1) = 𝑥 = 𝑡𝑑𝑑(𝑥, 𝑦)

jika 𝑥 ≠ 1 dan 𝑦 ≠ 1,maka berlaku 𝑡𝑑𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ≤ 𝑡(𝑥, 𝑦)

Terbukti bahwa 𝑡𝑑𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡(𝑥, 𝑦).∎

D. Relasi Kabur

Definisi 2.4.1

Relasi kabur 𝑅 ̃ antara elemen-elemen dalam himpunan X dengan elemen-elemen

dalam himpunan Y didefinisikan sebagai himpunan bagian kabur dari darab

Cartesisus 𝑋 × 𝑌, yaitu himpunan kabur

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 39: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

24

𝑅 ̃ = {((𝑥, 𝑦), 𝜇�̃�(𝑥, 𝑦))│(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑌}.

Jika himpunan X dan Y keduanya berhingga, misalnya 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑚}

dan 𝑌 = {𝑦1, 𝑦2, ⋯ , 𝑦𝑛}, maka relasi kabur 𝑅 ̃ antara elemen-elemen dalam

himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y dapat dinyatakan dalam

bentuk suatu matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 sebagai berikut:

𝑅 ̃ = [

𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21⋮

𝑎22 ⋮⋯ 𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

]

dimana 𝑎𝑖𝑗 = 𝜇�̃�(𝑥𝑖, 𝑦𝑗) untuk 𝑖 = 1,2,⋯ ,𝑚 dan 𝑗 = 1,2,⋯ , 𝑛. Bila X=Y, maka

relasi kabur 𝑅 ̃ pada himpunan X itu dapat disajikan dengan suatu matriks persegi.

Contoh 2.4.1

Misalkan 𝑋 = {1, 27, 119}, 𝑌 = {10, 225, 94}, dan 𝑅 ̃ adalah relasi kabur “jauh

lebih kecil” antara elemen-elemen dalam X dengan elemen-elemen dalam Y. Maka

relasi 𝑅 ̃ tersebut dapat dinyatakan sebagai 𝑅 ̃ = 0.1/(1, 10) + 0.9/(1, 225) +

0.5/(1, 94) + 0.8/(27, 225) + 0.3/(27, 94) + 0.5/(119,225). Relasi 𝑅 ̃tersebut

dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks persegi sebagai berikut:

𝑅 ̃ = [0.1 0.9 0.50.0 0.8 0.30.0 0.5 0.0

]

dengan elemen baris ke-i kolom ke-j dalam matriks tersebut menyatakan derajat

keanggotaan (𝑥𝑖, 𝑦𝑗) dalam relasi 𝑅 ̃, yaitu 𝜇�̃�(𝑥𝑖, 𝑦𝑗), dimana 𝑥𝑖 ∈ 𝑋 dan 𝑦𝑗 ∈ 𝑌.

Definisi 4.2.4

Invers dari suatu relasi kabur 𝑅 ̃ pada semesta 𝑋 × 𝑌, yang dinyatakan

dengan 𝑅 ̃−1 , adalah relasi kabur pada semesta 𝑌 × 𝑋 dengan fungsi keanggotaan

𝜇�̃�−1(𝑦, 𝑥) = 𝜇�̃�(𝑥, 𝑦)

untuk setiap (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑌 × 𝑋. Jelas bahawa (𝑅 ̃−1)−1= 𝑅 ̃ untuk setiap relasi kabur

𝑅 ̃. Matriks dari invers dari relasi kabur 𝑅 ̃, yaitu 𝑅 ̃−1 , adalah transpos dari matriks

dari relasi 𝑅 ̃.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 40: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

25

Contoh 2.4.2

Dari contoh 2.4.1 diperoleh 𝑅 ̃−1 = [0.1 0.0 0.00.9 0.8 0.50.5 0.3 0.0

].

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 41: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

26

BAB III

LOGIKA KABUR

A. Variabel Linguistik

Suatu variabel adalah suatu lambang atau kata yang menunjuk kepada

sesuatu yang tidak tertentu dalam semesta wacananya. Misalnya dalam kalimat:

“Mahasiswa itu lulus dengan pujian”, kata “mahasiswa” adalah suatu variabel

karena menunjuk kepada orang yang tidak tertentu dalam semesta wacananya yaitu

himpunan manusia. Demikian pula dalam kalimat: “y habis dibagi 3”, lambang “y"

adalah suatu variabel dengan semesta wacana himpunan bilangan-bilangan. Suatu

variabel dapat diganti oleh unsur-unsur dalam semesta wacananya, misalnya

variabel “mahasiswa” dapat diganti dengan “Budi” dan variabel “y” dapat diganti

dengan bilangan 6. Kata “Budi” dan lambang “6” menunjuk pada unsur yang

tertentu pada masing-masing semesta wacananya, dan disebut konstanta. Terdapat

dua jenis variabel, yaitu:

1. Variabel numeris, yang digunakan bila semesta wacananya adalah himpunan

bilangan-bilangan.

2. Variabel linguistik, yang digunakan bila semesta wacananya adalah himpunan

kata-kata atau istilah-istilah dari bahasa sehari-hari.

Suatu variabel linguistik adalah suatu rangkap-5 (x, T, X, G, M) dimana:

a. x adalah lambang variabelnya.

b. T adalah himpunan nilai-nilai linguistik yang dapat menggantikan x.

c. X adalah semesta wacana (numeris) dari nilai-nilai linguistik dalam T.

d. G adalah himpunan aturan-aturan sintaksis yang mengatur pembentukan

istilah-istilah anggota T.

e. M adalah himpunan aturan-aturan semantik yang mengaitkan setiap istilah T

dengan suatu himpunan kabur dalam semesta wacana X.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 42: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

27

Contoh 3.1.1

Bila variabel linguistiknya adalah “kecepatan”, maka sebagai himpunan nilai-nilai

linguistik dapat diambil himpunan istilah-istilah

𝑇 = {sangat lambat, lambat, agak lambat, cepat, agak cepat, sangat cepat},

dengan semesta numeris 𝑋 = [0, 160], himpunan aturan sintaksis 𝐺 = {𝑥│𝑥 =

aturan pembentukan kata majemuk yang mengikuti kaidah yang berlaku dalam

bahasa Indonesia}, dan himpunan aturan semantik 𝑀 = {𝜇𝑙𝑎𝑚𝑏𝑎𝑡(𝑥) =

160−𝑥

160, 𝜇𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡(𝑥) =

𝑥

160, 𝜇𝑠𝑎𝑛𝑔𝑎𝑡𝐴(𝑥) = (𝜇�̃�(𝑥))

2 , 𝜇𝑎𝑔𝑎𝑘𝐴(𝑥) = √𝜇�̃�(𝑥)}.

B. Pengubah Linguistik

Pengubah lingusitik adalah suatu kata yang dipergunakan untuk mengubah

suatu kata/istilah menjadi suatu kata/istilah yang baru dengan makna yang baru.

Dua buah pengubah linguistik yang paling sering digunakan adalah “sangat” dan

“agak”.

Jika suatu istilah A dikaitkan dengan himpunan kabur 𝐴 ̃ dalam semesta X,

maka istilah “sangat A” dikaitkan dengan himpunan kabur konsentrasi dari

𝐴 ̃ dengan lambang Kon(�̃�) dan fungsi keanggotaan

𝜇𝐾𝑜𝑛(�̃�)(𝑥) = (𝜇�̃� (𝑥))2, ∀ 𝑥 ∈ 𝑋

sedangkan istilah “agak A” dikaitkan dengan himpunan kabur dilasi dari �̃� dengan

lambang Dil(�̃�) dan fungsi keanggotaan

𝜇𝐷𝑖𝑙(�̃�)(𝑥) = (𝜇�̃� (𝑥))1/2, ∀ 𝑥 ∈ 𝑋.

Contoh 3.2.1

Misalkan 𝑋 = {6, 7, 8, 9, 10} dan istilah “dekat dengan 10” dikaitkan dengan

himpunan kabur 𝐴 ̃ = 0.60/6 + 0.70/7 + 0.80/8 + 0.90/9 + 1.00/10. Maka

istilah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 43: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

28

“sangat dekat dengan 10” dikaitkan dengan himpunan kabur

𝐾𝑜𝑛(�̃�) = 0.36/6 + 0.49/7 + 0.64/8+ 0.81/9+ 1.00/10

“sangat dekat sekali dengan 10” dikaitkan dengan himpunan kabur

𝐾𝑜𝑛(𝐾𝑜𝑛(�̃�)) = 0.1296/6 + 0.2401/7 + 0.4096/8 + 0.6561/9 + 1.00/10

“agak dekat dengan 10” dikaitkan dengan himpunan kabur

𝐷𝑖𝑙(�̃�) = 0.77/6 + 0.84/7 + 0.89/8 + 0.95/9 + 1.00/10

“tidak sangat dekat dengan 10” dikaitkan dengan himpunan kabur

(𝐾𝑜𝑛(�̃�))′ = 0.64/6 + 0.51/7 + 0.36/8 + 0.19/9

“dekat tetapi tidak sangat dekat dengan 10” dikaitkan dengan himpunan kabur

�̃� ∩ (𝐾𝑜𝑛(�̃�))′ = 0.60/6 + 0.51/7 + 0.36/8 + 0.19/9.

C. Proposisi Kabur

Proposisi kabur adalah kalimat yang memuat predikat kabur, yaitu predikat

yang dapat direpresentasikan dengan suatu himpunan kabur. Proposisi kabur yang

mempunyai nilai kebenaran tertentu disebut pernyataan kabur. Nilai kebenaran dari

suatu pernyataan kabur disajikan dengan suatu bilangan real dalam selang [0,1].

Nilai kebenaran itu disebut derajat kebenaran dari pernyaataan kabur itu. Bentuk

umum dari proposisi kabur adalah

𝑥 adalah 𝐴

dimana x adalah suatu variabel linguistik dan predikat A adalah suatu nilai linguistik

dari x. Bila 𝐴 ̃ adalah himpunan kabur yang dikaitkan dengan nilai linguistik A dan

𝑥0 adalah suatu elemen tertentu dalam semesta X dari himpunan kabur 𝐴 ̃, maka 𝑥0

mempunyai derajat keanggotaan 𝜇�̃�(𝑥0) dalam himpunan kabur 𝐴 ̃. Derajat

kebenaran dari pernyataan kabur

𝑥0 adalah 𝐴

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 44: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

29

didefinisikan sama dengan derajat keanggotaan 𝑥0 dalam himpunan kabur 𝐴 ̃, yaitu

𝜇�̃�(𝑥0).

Misalkan proposisi kabur “𝑥 adalah 𝐴” dilambangkan dengan 𝑝(𝑥),

pernyataan kabur “𝑥0 adalah 𝐴” dengan 𝑝(𝑥0), dan derajat keanggotaan dari 𝑝(𝑥0)

dengan 𝜏(𝑝(𝑥0)), maka

𝜏(𝑝(𝑥0)) = 𝜇�̃�(𝑥0) .

Seperti halnya dengan proposisi yang tegas, kita juga dapat membentuk

proposisi kabur majemuk dari proposisi-proposisi kabur tunggal, dengan

mengunakan operator-operator logika. Beberapa contoh proposisi kabur majemuk

misalnya:

Orang itu kaya dan rumahnya besar

Sekolah itu mahal atau kemampuan finansial orangtua siswanya rendah

Bila prestasi studi tinggi, maka peluang memperoleh beasiswa juga tinggi

Udara dingin bila dan hanya bila suhunya rendah

Secara umum terdapat empat macam proposisi kabur majemuk dengan

operator logika biner, yaitu:

Konjungsi kabur : x adalah A dan y adalah B

Disjungsi kabur : x adalah A atau y adalah B

Implikasi kabur : Bila x adalah A, maka y adalah B

Ekivalensi kabur : x adalah A bila dan hanya bila y adalah B

Variabel-variabel linguistik dalam proposisi-proposisi tunggal penyusun-

nya tidak harus sama (yaitu tidak harus dalam semesta numeris yang sama).

Misalkan x adalah variabel linguistik dengan semesta numeris X, dan A

adalah suatu predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur 𝐴 ̃ dalam X,

maka negasi dari proposisi kabur “x adalah A” adalah proposisi kabur

x adalah tidak A

dengan predikat kabur “tidak A” yang dapat dikaitkan dengan himpunan kabur

komplemen kabur dari 𝐴 ̃, yaitu 𝐴 ̃′, dengan fungsi keanggotaan

𝜇𝐴′̃(𝑥) = 𝑘(𝜇𝐴 ̃(𝑥))

dimana k adalah suatu komplemen kabur.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 45: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

30

Jika x adalah variabel linguistik dengan semesta numeris X dan y adalah

variabel linguistik dengan semesta numeris Y , maka konjungsi kabur:

x adalah A dan y adalah B

di mana A dikaitkan dengan hipunan kabur 𝐴 ̃ dalam X, dan B dikaitkan dengan

himpunan kabur 𝐵 ̃dalam Y, dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur ∧ dalam

𝑋 × 𝑌 dengan fungsi keanggotaan

𝜇∧(𝑥, 𝑦) = 𝑡(𝜇𝐴 ̃(𝑥), 𝜇𝐵 ̃ (𝑦))

dengan t adalah suatu norma-t, sedangkan disjungsi kabur:

x adalah A atau y adalah B

dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur ∨ dalam 𝑋 × 𝑌 dengan fungsi

keanggotaan

𝜇∨(𝑥, 𝑦) = 𝑠(𝜇𝐴 ̃(𝑥), 𝜇𝐵 ̃ (𝑦))

dengan s adalah suatu norma-s

Proposisi kabur majemuk yang paling sering dipakai dalam aplikasi teori

kabur adalah implikasi kabur.

D. Implikasi Kabur

Bentuk umum suatu implikasi kabur adalah

Bila x adalah A, maka y adalah B

dengan A dan B adalah predikat-predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan-

himpunan kabur 𝐴 ̃ dan 𝐵 ̃ dalam semesta X dan Y berturut-turut. Seperti halnya

dengan konjungsi dan disjungsi kabur, implikasi kabur juga dapat dipandang

sebagai suatu relasi kabur dalam 𝑋 × 𝑌, yang dilambangkan dengan →.

Dalam logika dwinilai, telah diketahui bahwa implikasi tegas 𝑝 ⟹ 𝑞

ekivalen dengan ¬𝑝 ∨ 𝑞. Berdasarkan ekivalensi tersebut, dengan mengganti

proposisi p dan q berturut-turut dengan proposisi kabur “x adalah A” dan “y adalah

B”, implikasi kabur tersebut di atas dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur →

dalam 𝑋 × 𝑌 dengan fungsi keanggotaan

𝜇⟶(𝑥, 𝑦) = s (𝑘(𝜇�̃�(𝑥)), 𝜇�̃�(𝑦))

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 46: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

31

dengan s adalah suatu norma-s dan k adalah suatu komplemen kabur. Bila sebagai

norma-s dan komplemen kabur diambil operasi-operasi gabungan dan komplemen

baku, maka diperoleh

𝜇→𝑑𝑟(𝑥, 𝑦) = max(1 − 𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦))

yang seringkali disebut implikasi Dienes-Rescher.

Karena implikasi tegas 𝑝 ⟹ 𝑞 juga ekivalen dengan (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ¬𝑝, maka

implikasi kabur di atas juga dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur → dalam

𝑋 × 𝑌 dengan fungsi keanggotaan

𝜇⟶(𝑥, 𝑦) = s (𝑡(𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦)), 𝑘(𝜇�̃�(𝑥)))

dengan s adalah suatu norma-s, t adalah suatu norma-t, dan k adalah suatu

komplemen kabur. Bila sebagai norma-s, norma-t, dan komplemen kabur diambil

operasi-operasi gabungan, irisan, dan komplemen baku, maka diperoleh

𝜇→𝑧(𝑥, 𝑦) = max(min (𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦)),1 − 𝜇�̃�(𝑥))

yang seringkali disebut implikasi Zadeh.

Dalam literatur masih banyak interpretasi lainnya untuk implikasi kabur.

Salah satu implikasi kabur yang paling sering digunakan dalam aplikasi sistem

kabur adalah implikasi Mamdani. Implikasi ini didasarkan pada asumsi bahwa

implikasi kabur pada dasarnya bersifat lokal, dalam arti bahwa implikasi

Jika x adalah A, maka y adalah B

hanya berbicara mengenai keadaan dimana x adalah A dan y adalah B saja, dan tidak

mengenai keadaan lainnya di luar itu. Berdasarkan asumsi tersebut, implikasi kabur

dapat dipandang sebagai suatu konjungsi kabur, sehingga diperoleh

𝜇⟶(𝑥, 𝑦) = 𝑡(𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦))

yang disebut implikasi Mamdani. Bila sebagai norma-t diambil operasi baku “min”,

maka diperoleh

𝜇→𝑚𝑚(𝑥, 𝑦) = min (𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦))

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 47: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

32

dan bila sebagai norma-t diambil operasi “darab aljabar”, maka diperoleh

𝜇→𝑚𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝜇�̃�(𝑥)𝜇�̃�(𝑦).

Implikasi kabur dapat diperluas menjadi implikasi dengan bentuk umum:

Jika <𝑃𝐾1>, maka <𝑃𝐾2>

dengan 𝑃𝐾1 dan 𝑃𝐾2 berturut-turut adalah proposisi kabur dalam semesta 𝑋1 ×

𝑋2 ×⋯× 𝑋𝑛 dan 𝑌1 × 𝑌2 ×⋯× 𝑌𝑛.

Contoh 3.4.1

Misalkan diketahui semesta 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} dan 𝑌 = {𝑝, 𝑞, 𝑟}, dan implikasi kabur

Jika x tinggi, maka y kecil

di mana predikat “tinggi” dan “kecil” berturut-turut dikaitkan dengan himpunan

kabur 𝐴 ̃ = 0.2/𝑎 + 0.5/𝑏 + 0.7/𝑐 + 0.9/𝑑 dan 𝐵 ̃ = 0.4/𝑝 + 0.6/𝑞 + 0.8/𝑟.

Maka diperoleh

1. Implikasi Dienes-Rescher

→𝑑𝑟 = 0.8/(a, p) + 0.8/(a, q) + 0.8/(a, r) + 0.5/(b, p) + 0.6/(b, q) + 0.8/(b, r) +

0.4/(c, p) + 0.6/(c, q) + 0.8/(c, r) + 0.4/(d, p) + 0.6/(d, q) + 0.8/(d, r)

2. Implikasi Zadeh

→𝑧 = 0.8/(a, p) + 0.8/(a, q) + 0.8/(a, r) + 0.5/(b, p) + 0.5/(b, q) + 0.5/(b, r) +

0.4/(c, p) + 0.6/(c, q) + 0.7/(c, r) + 0.4/(d, p) + 0.6/(d, q) + 0.8/(d, r)

3. Implikasi Mamdani

→𝑚𝑚 = 0.2/(a, p) + 0.2/(a, q) + 0.2/(a, r) + 0.4/(b, p) + 0.5/(b, q) + 0.5/(b, r)

+ 0.4/(c, p) + 0.6/(c, q) + 0.7/(c, r) + 0.4/(d, p) + 0.6/(d, q) + 0.8/(d, r)

→𝑚𝑑 = 0.08/(a, p) + 0.12/(a, q) + 0.16/(a, r) + 0.2/(b, p) + 0.3/(b, q) +

0.4/(b, r) + 0.28/(c, p) + 0.42/(c, q) + 0.56/(c, r) + 0.36/(d, p) +

0.56/(d, q) + 0.72/(d, r).

E. Penalaran Kabur

Penalaran kabur (fuzzy reasoning), yang seringkali juga disebut penalaran

hampiran (approximate reasoning), adalah suatu cara penarikan kesimpulan

berdasarkan seperangkat implikasi kabur dan suatu fakta yang diketahui (yang

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 48: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

33

sering kali disebut premis). Penalaran (penarikan kesimpulan) dalam logika klasik

didasarkan pada tautologi-tautologi, yaitu proposisi-proposisi yang selalu benar,

tanpa tergantung pada nilai kebenaran proposisi-proposisi penyusunnya. Salah satu

aturan penalaran yang paling sering digunakan adalah modus ponens, yang

didasarkan pada tautologi:

((𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ 𝑝) ⟹ 𝑞.

Bentuk umum penalaran modus ponens adalah sebagai berikut:

Premis 1 (Kaidah) : Bila x adalah A, maka y adalah B

Premis 2 (Fakta) : x adalah A

Kesimpulan : y adalah B

Suatu contoh penalaran modus ponens misalnya adalah sebagai berikut:

Premis 1 : Bila cuaca mendung, maka Lisa tidak menjemur pakaian

Premis 2 : Cuaca mendung

Kesimpulan : Lisa tidak menjemur pakaian

Aturan penalaran tegas ini dapat dirampatkan menjadi aturan penalaran

kabur dengan premis dan kesimpulannya adalah proposisi-proposisi kabur,

misalnya:

Premis 1 : Bila kain itu halus, maka harganya mahal.

Premis 2 : Kain itu agak halus.

Kesimpulan : Kain itu harganya agak mahal.

Penalaran tersebut dapat dirumuskan secara umum dengan skema sebagai

berikut:

Premis 1 (Kaidah) : Bila x adalah A, maka y adalah B

Premis 2 (Fakta) : x adalah 𝐴′

Kesimpulan : y adalah 𝐵′

Penalaran kabur dengan skema seperti di atas disebut modus ponens rampat

(generalized modus ponens). Untuk memperoleh kesimpulan tersebut secara sah,

digunakan suatu aturan penarikan kesimpulan yang disebut kaidah inferensi

komposisional, yang mengomposisikan relasi-relasi pada premis untuk

menghasilkan kesimpulan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 49: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

34

Kaidah inferensi komposisional dalam modus ponens rampat diterapkan

sebagai berikut:

Premis 1 : Bila x adalah A, maka y adalah B

(yang merupakan relasi/implikasi kabur → di X ×Y)

Premis 2 : x adalah 𝐴′

(yang didapat direpresentasikan dengan himpunan kabur 𝐴′̃ dalam

X)

Kesimpulan : y adalah 𝐵′

diperoleh dengan menentukan himpunan kabur 𝐵′̃ = 𝐴′̃ ∘→ dalam

Y dengan fungsi keanggotaan 𝜇𝐵 ̃ ′(𝑦) = sup𝑥∈𝑋

𝑡(𝜇𝐴′̃(𝑥), 𝜇→(𝑥, 𝑦))

dengan t adalah suatu norma-t.

Bila 𝐴′ misalnya adalah predikat kabur “sangat A”, untuk norma-t diambil

operasi baku “min”, dan untuk implikasi kabur dipakai implikasi Mamdani →𝑚𝑑 ,

maka kesimpulan “y adalah 𝐵′” di atas diperoleh dengan menentukan himpunan

kabur 𝐵 ̃′ dengan fungsi keanggotaan

𝜇𝐵 ̃ ′(𝑦) = sup𝑥∈𝑋

min{(𝜇�̃�(𝑥))2, 𝜇�̃�(𝑥)𝜇�̃�(𝑦)}.

Bila 𝐴 ̃ dan 𝐵 ̃ adalah himpunan-himpunan tegas dan 𝐴′̃ = 𝐴 ̃, maka

𝜇𝐵 ̃ ′(𝑦) = sup𝑥∈𝑋

min{𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑥)𝜇�̃�(𝑦)}

= sup𝑥∈𝑋

𝜇�̃�(𝑥)𝜇�̃�(𝑦)

= 𝜇�̃�(𝑦)

untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑌. Jadi, 𝐵′̃ = 𝐵 ̃, yang berarti dalam kasus ini aturan penalaran

tersebut tidak lain daripada modus ponens tegas yang sudah dikenal dalam logika

tradisional. Hal yang sama dapat diperoleh bila untuk implikasi kabur dipakai

implikasi Mamdani →𝑚𝑚 .

Bila 𝐴′ adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur 𝐴 ̃′,

untuk norma-t diambil operasi baku “min” , dan untuk implikasi kabur dipakai

implikasi Mamdani →𝑚𝑚, maka kesimpulan “y adalah 𝐵′” diatas dapat diperoleh

dengan menentukan himpunan kabur𝐵′̃ dengan fungsi keanggotaan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 50: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

35

𝜇𝐵 ̃ ′(𝑦) = sup𝑥∈𝑋

min{𝜇�̃�′(𝑥),min(𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦))}

= sup𝑥∈𝑋

min{𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦)}

= min {sup𝑥∈𝑋

min ( 𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�(𝑥)), 𝜇�̃�(𝑦)}

= min{𝑤, 𝜇�̃�(𝑦)}

dengan 𝑤 = sup𝑥∈𝑋

min{𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�(𝑥)} = sup𝑥∈𝑋

( 𝐴 ̃′ ∩ 𝐴 ̃) yang menyatakan derajat

keserasian (degree of compatibility) antara predikat 𝐴′ dengan A. Jadi untuk

memperoleh himpunan kabur 𝐵 ̃′ tersebut, pertama-tama ditentukan derajat

keserasian w, yaitu supremum dari irisan himpunan kabur 𝐴 ̃′ dan 𝐴 ̃, dan kemudian

𝐵 ̃′ diperoleh sebagai irisan w dengan himpunan kabur 𝐵 ̃.

Modus ponens rampat dapat digeneralisasikan menjadi modus ponen

rampat multikondisional, yang terdiri dari m buah premis kabur berupa kaidah,

sebuah peremis kabur berupa fakta, dan sebuah kesimpulan. Skema umumnya

adalah sebagai berikut:

Premis 1 : Bila 𝑥1 adalah 𝐴11 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴1𝑛, maka y adalah 𝐵1

Premis 2 : Bila 𝑥1 adalah 𝐴21 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴2𝑛, maka y adalah 𝐵2

⋮ ⋮ ⋮

Premis m : Bila 𝑥1 adalah 𝐴𝑚1 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴𝑚𝑛, maka y adalah 𝐵𝑚

Fakta : 𝑥1 adalah 𝐴′1 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴′𝑛

Kesimpulan : y adalah 𝐵′

dengan 𝐴𝑖𝑗 dan 𝐴′𝑗 adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur

�̃�𝑖𝑗 dan �̃�′𝑗 dalam semesta 𝑋𝑗, dan 𝐵𝑖 adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan

himpunan kabur �̃�𝑖 dalam semesta Y (𝑖 = 1,⋯ ,𝑚; 𝑗 = 1,⋯ , 𝑛). Masing-masing

premis tersebut dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur �̃�𝑖 (𝑖 = 1,⋯ ,𝑚) dalam

𝑋1 ×⋯×𝑋𝑛 × 𝑌 dan faktanya sebagai himpunan kabur 𝐴′̃ = �̃�′1 ×⋯× �̃�′𝑛

dalam 𝑋1 ×⋯× 𝑋𝑛. Premis-premis �̃�𝑖 tersebut biasanya diperlakukan secara

disjungtif, sehingga semua premis itu dapat digabung menjadi satu premis �̃�, yaitu

�̃� = ⋃ �̃�𝑖𝑚𝑖=1 . Maka kesimpulan “𝑦 adalah 𝐵′” dapat diperoleh dengan kaidah

inferensi komposisional untuk menentukan himpunan kabur �̃�′ = �̃�′ ∘ �̃� dalam

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 51: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

36

semesta Y dengan fungsi keanggotaan (dengan mengambil operasi baku “min”

untuk norma-t dan “max” untuk gabungan kabur)

𝜇�̃�′(𝑦) = 𝜇�̃�′∘�̃�(𝑦)

= sup(𝑥1,⋯,𝑥𝑛)∈𝑋1×⋯×𝑋𝑛

min{𝜇�̃�′(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛), 𝜇�̃�(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦)}

= sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗

min {𝜇�̃�′(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛), max𝑖∈{1,⋯,𝑚}

(𝜇�̃�𝑖(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦))}

= sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗

max𝑖∈{1,⋯,𝑚}

min{𝜇�̃�′(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛), 𝜇�̃�𝑖(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦)}

= max𝑖∈{1,⋯,𝑚}

sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗

min{𝜇�̃�′(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛), 𝜇�̃�𝑖(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦)}

= max𝑖∈{1,⋯,𝑚}

{�̃�′ ∘ �̃�𝑖}

= 𝜇⋃ (�̃�′∘�̃�𝑖)𝑚𝑖=1

(𝑦)

untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑌. Jadi �̃�′ = 𝐴′̃ ∘ ⋃ �̃�𝑖𝑚𝑖=1 = ⋃ (�̃�′ ∘ �̃�𝑖)

𝑚𝑖=1 = ⋃ 𝐵′̃𝑖

𝑚𝑖=1 , di mana

𝐵′̃𝑖 = �̃�′ ∘ �̃�𝑖.

Jika untuk implikasi kabur �̃�𝑖 tersebut diambil implikasi Mamdani →𝑚𝑚,

sehingga fungsi keanggotaannya adalah

𝜇�̃�𝑖(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦) = min {𝜇�̃�𝑖1×⋯×�̃�𝑖𝑛(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛), 𝜇�̃�𝑖(𝑦)},

maka fungsi keanggotaan �̃�′ adalah

𝜇�̃�′(𝑦) = 𝜇⋃ �̃�′∘�̃�𝑖𝑚𝑖=1

(𝑦)

= max𝑖∈{1,⋯,𝑚}

sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗

min{𝜇𝐴′1×⋯×𝐴′𝑛(𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛),min(𝜇𝐴𝑖1×⋯×𝐴𝑖𝑛(𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛), 𝜇�̃�𝑖(𝑦))}

= max𝑖∈{1,⋯,𝑚}

sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗

min { min𝑗∈{1,⋯,𝑛}

(𝜇�̃�′𝑗(𝑥𝑗)), min𝑗∈{1,⋯,𝑛}

( 𝜇�̃�𝑖𝑗(𝑥𝑗)), 𝜇�̃�𝑖(𝑦)}

= max𝑖∈{1,⋯,𝑚}

min { min𝑗∈{1,⋯,𝑛}

sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗

min𝑗∈{1,⋯,𝑛}

(𝜇�̃�′𝑗(𝑥𝑗), 𝜇�̃�𝑖𝑗(𝑥𝑗)), 𝜇�̃�𝑖(𝑦)}

= max𝑖∈{1,⋯,𝑚}

min{𝑤𝑖 , 𝜇�̃�𝑖(𝑦)}

dengan 𝑤𝑖 = min𝑗∈{1,⋯,𝑛}

𝑤𝑖𝑗 dan 𝑤𝑖𝑗 = sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗

min𝑗∈{1,⋯,𝑛}

( 𝜇�̃�′𝑗(𝑥𝑗), 𝜇�̃�𝑖𝑗(𝑥𝑗)),

𝑖 = 1,⋯ ,𝑚.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 52: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

37

Nilai 𝑤𝑖𝑗 = sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗

(�̃�′𝑗 ∩ �̃�𝑖𝑗) merupakan derajat keserasian (degree of

compatibility) antara fakta �̃�′𝑗 yang diberikan dengan anteseden �̃�𝑖𝑗 dari

premis/kaidah �̃�𝑖, sedangkan 𝑤𝑖 yang merupakan minimum dari semua

𝑤𝑖𝑗 untuk 𝑗 = 1,⋯𝑛 seringkali disebut daya sulut (firing strength) yang

menyatakan sejauh mana anteseden dari kaidah �̃�𝑖 dipenuhi oleh fakta �̃�′ yang

diberikan dan menyulut konsekuen dari kaidah tersebut. Dengan demikian

kesimpulan �̃�′ ditentukan dengan empat langkah sebagai barikut:

Langkah 1 : Tentukan derajat keserasian 𝑤𝑖𝑗 , yaitu supremum dari �̃�′𝑗 ∩ �̃�𝑖𝑗

untuk setiap 𝑖 = 1,⋯ ,𝑚 dan 𝑗 = 1,⋯ , 𝑛.

Langkah 2 : Untuk setiap i, tentukan daya sulut 𝑤𝑖 sebagai minimum dari

semua derajat keserasian 𝑤𝑖𝑗 (𝑗 = 1,⋯ , 𝑛).

Langkah 3 : Untuk setiap i, tentukan irisan 𝑤𝑖 dengan �̃�𝑖.

Langkah 4 : Gabungkanlah semua irisan tersebut untuk memperoleh �̃�′.

F. Sistem Inferensi Kabur

Salah satu aplikasi logika kabur yang telah berkembang amat luas dewasa ini

adalah sistem inferensi kabur, yaitu sistem komputasi yang bekerja atas dasar

penalaran kabur, misalnya sistem kendali otomotis, sistem klasifikasi data, sistem

pakar, sistem pengenalan pola, robotika, dan sebagainya. Sistem kendali ini

berfungsi untuk mengendalikan proses tertentu dengan mempergunakan aturan

inferensi berdasarkan logika kabur. Pada dasarnya sistem kendali semacam itu

terdiri dari empat unit, yaitu:

1. Unit pengaburan (fuzzification unit)

2. Unit penalaran logika kabur (fuzzy logic reasoning unit)

3. Unit basis pengetahuan (knowledge base unit), yang terdiri dari dua bagian:

a. Basis data (data base), yang memuat fungsi-fungsi keanggotaan dari

himpunan-himpunan kabur yang terkait dengan nilai dari variabel-variabel

linguistik yang dipakai.

b. Basis kaidah (rule base), yang memuat kaidah-kaidah berupa implikasi

kabur.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 53: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

38

4. Unit Penegasan (defuzzification unit).

Suatu sistem kendali semacam itu mula-mula mengukur nilai-nilai tegas

dari semua variabel masukan yang terkait dalam proses yang akan dikendalikan.

Nilai-nilai itu kemudian dikonversikan oleh unit pengaburan ke nilai kabur yang

sesuai. Hasil pengukuran yang telah dikaburkan itu kemudian diproses oleh unit

penalaran, yang dengan menggunakan unit basis pengetahuan, menghasilkan

himpunan (himpunan-himpunan) kabur sebagai keluarannya. Langkah terakhir

dikerjakan oleh unit penegasan, yaitu menerjemahkan himpunan (himpunan-

himpunan) kabur keluaran itu ke dalam nilai (nilai-nilai) yang tegas. Nilai tegas

inilah yang kemudian direalisasikan dalam bentuk suatu tindakan yang

dilaksanakan dalam proses pengendalian itu.

Selanjutnya akan dibahas masing-masing unit tersebut.

1. Unit Pengaburan

Langkah pertama pada sistem kendali kabur logika kabur adalah mengubah

nilai variabel masukan yang tegas (yang biasa dinyatakan dalam bilangan real)

menjadi nilai pendekatan yang kabur. Untuk itu digunakan fungsi pengaburan,

yaitu pemetaan 𝑓: ℝ → 𝐾, dengan 𝐾 dalah suatu kelas himpunan kabur dalam

semesta ℝ. Fungsi pengaburan itu biasanya ditentukan berdasarkan beberapa

kriteria:

a. Fungsi pengaburan diharapkan mengubah suatu nilai tegas, misalnya 𝑎 ∈ ℝ, ke

suatu himpunan kabur 𝐴 ̃ dengan 𝜇𝐴 ̃(𝑎) = 1 atau sekurang-kurangnya 𝑎

mempunyai derajat keanggotaan yang tinggi.

b. Bila nilai masukannya cacat karena derau, diharapkan fungsi pengaburan dapat

menekan sejauh mungkin derau itu.

c. Fungsi pengaburan diharapkan dapat membantu menyederhanakan komputasi

yang harus dilakukan oleh sistem tersebut dalam proses inferensinya.

Berikut diberikan beberapa contoh fungsi pengaburan.

a. Fungsi Pengaburan Segitiga memetakan nilai 𝑎 ∈ ℝ ke himpunan kabur 𝐴 ̃

dengan fungsi keanggotaan berbentuk segitiga samakaki, yaitu

𝜇�̃� (𝑥) = 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎(𝑥; 𝑎 − 𝜎, 𝑎, 𝑎 + 𝜎)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 54: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

39

dengan 𝜎 adalah suatu parameter berupa bilangan positif yang menentukan

lebarnya pendukung dari himpunan kabur tersebut.

b. Fungsi Pengaburan Gauss yang memetakan nilai 𝑎 ∈ ℝ ke himpunan kabur 𝐴 ̃

dengan fungsi keanggotaan Gauss, yaitu

𝜇�̃� (𝑥) = 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠(𝑥; 𝑎, 𝑏) = 𝑒−(𝑥−𝑎𝑏)2

dengan 𝑏 adalah suatu parameter berupa bilangan positif.

c. Fungsi Pengaburan Elemen Tunggal memetakan nilai tegas 𝑎 ∈ ℝ ke

himpunan kabur 𝐴 ̃dengan fungsi keanggotaan

𝜇�̃� (𝑥) = {1 jika 𝑥 = 𝑎0 jika 𝑥 ≠ 𝑎

untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ. Jadi sebenarnya himpunan kabur 𝐴 ̃ini adalah himpunan

tegas dengan elemen tunggal, yaitu 𝐴 ̃ = {𝑎}.

2. Unit Basis Pengetahuan

Unit basis pengetahuan dari suatu sistem kendali logika kabur terdiri dari

basis data dan basis kaidah. Basis data adalah himpunan fungsi-fungsi keanggotaan

dari himpunan-himpunan kabur yang terkait dengan nilai-nilai linguistik dari

variabel-variabel yang terlibat dalam sistem itu. Sedangkan basis kaidah adalah

himpunan implikasi-implikasi kabur yang berlaku sebagai kaidah dalam sistem itu.

Bila sistem itu mempunyai m buah kaidah dengan (𝑛 + 1) variabel, maka bentuk

umum kaidah ke-𝑖 (𝑖 = 1,⋯ ,𝑚) adalah sebagai berikut:

𝐵𝑖𝑙𝑎 𝑥1 adalah 𝐴𝑖1 dan ⋯ ⋯dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴𝑖𝑛 , maka 𝑦 adalah 𝐵𝑖

dengan 𝑥𝑗 adalah variabel linguistik dengan semesta numeris 𝑋𝑗 (𝑗 = 1,⋯ , 𝑛).

Suatu basis kaidah diharapkan memenuhi beberapa kriteria sebagai berikut:

a. Lengkap, yaitu setiap (𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛) ∈ 𝑋1 × 𝑋2 ×⋯× 𝑋𝑛 terdapat 𝑖 ∈ {1,⋯ ,𝑚}

sedemikian sehingga 𝜇�̃�𝑖𝑗(𝑥𝑗) ≠ 0 untuk semua 𝑗 ∈ {1,⋯ , 𝑛}. Dengan

perkataan lain, untuk setiap nilai masukan terdapat sekurang-kurangnya satu

kaidah yang “tersulut”.

b. Konsisten, yaitu tidak terdapat kaidah-kaidah yang mempunyai anteseden yang

sama tetapi konsekuennya berbeda.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 55: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

40

c. Kontinu, yaitu tidak terdapat kaidah-kaidah dengan himpunan-himpunan kabur

yang terkait dalam anteseden beririsan, tetapi himpunan-himpunan kabur yang

terkait dalam konsekuennya saling asing.

3. Unit Penalaran Kabur

Masukan kabur hasil pengolahan unit pengaburan diterima oleh unit

penalaran untuk disimpulkan berdasarkan kaidah-kaidah yang tersedia dalam unit

basis pengetahuan. Penarikan kesimpulan itu dilaksanakan berdasarkan aturan

modus ponens rampat multikondisional dengan skema sebagai berikut:

Kaidah 1 : Bila 𝑥1 adalah 𝐴11 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴1𝑛, maka y adalah 𝐵1

Kaidah 2 : Bila 𝑥1 adalah 𝐴21 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴2𝑛, maka y adalah 𝐵2

⋮ ⋮ ⋮

Kaidah m : Bila 𝑥1 adalah 𝐴𝑚1 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴𝑚𝑛, maka y adalah 𝐵𝑚

Fakta : 𝑥1 adalah 𝐴′1 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴′𝑛

Kesimpulan : y adalah 𝐵′

dengan 𝐴𝑖𝑗 dan 𝐴′𝑗 adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur

�̃�𝑖𝑗 dan �̃�′𝑗 dalam semesta 𝑋𝑗 dan 𝐵𝑖 adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan

himpunan kabur �̃�𝑖 dalam semesta 𝑌 (𝑖 = 1,⋯ ,𝑚, 𝑗 = 1,⋯ , 𝑛). Jika

fakta/masukannya dinyatakan dengan himpunan kabur 𝐴′̃ = 𝐴′̃1 ×⋯×𝐴′̃𝑛 dalam

𝑋1 ×⋯×𝑋𝑛, masing-masing kaidah dinyatakan dengan relasi kabur �̃�𝑖 (𝑖 =

1,⋯ ,𝑚) dalam 𝑋1 ×⋯× 𝑋𝑛 × 𝑌, dan �̃� = ⋃ �̃�𝑖𝑛𝑖=1 , maka kesimpulan/keluaran “y

adalah 𝐵′” dapat diperoleh dengan mempergunakan kaidah inferensi komposisional

untuk menentukan himpunan kabur 𝐵′̃ = 𝐴′̃ ∘ 𝑅 ̃ dalam Y.

4. Unit Penegasan

Kesimpulan/keluaran dari sistem kendali kabur adalah suatu himpunan

kabur. Karena sistem tersebut hanya dapat mengeksekusikan nilai yang tegas, maka

diperlukan suatu mekanisme untuk mengubah nilai kabur keluaran itu menjadi nilai

yang tegas. Itulah peranan unit penegasan yang memuat fungsi-fungsi penegasan

dalam sistem itu. Fungsi penegasan adalah suatu pemetaan 𝑡: 𝐾 → ℝ, dengan 𝐾

adalah suatu kelas himpunan-himpunan kabur, yang memetakan suatu himpunan

kabur ke suatu bilangan real yang tegas. Bilangan ini menentukan tindakan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 56: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

41

pengendalian yang harus dilakukan oleh sistem itu. Pemilihan fungsi penegasan

biasanya ditentukan oleh beberapa kriteria:

a. Masuk akal, artinya secara intuitif bilangan tegas 𝑡(�̃�) dapat diterima sebagai

bilangan yang mewakili himpunan kabur 𝐴 ̃, misalnya: 𝑡(�̃�) kurang-lebih

berada di tengah-tengah Pendukung(�̃�), atau 𝑡(�̃�) mempunyai derajat

keanggotaan yang tinggi dalam himpunan kabur 𝐴 ̃.

b. Kemudahan komputasi, yaitu diharapkan fungsi penegasan itu cukup mudah

dan sederhana dalam proses komputasinya untuk menghasilkan bilangan tegas

keluarannya.

c. Kontinyu, artinya perubahan kecil pada 𝐴 ̃ tidak akan mengakibatkan

perubahan besar pada 𝑡(�̃�).

Dalam literatur dikenal beberapa fungsi penegasan, di antaranya a-dalah:

a. Purata Maksimum (Mean of Maximum): Himpunan kabur 𝐴 ̃ dalam semesta

ℝ diubah menjadi bilangan tegas 𝑡(�̃�) yang merupakan purata dari semua nilai

yang mencapai nilai maksimum dalam 𝜇�̃�, yaitu

𝑡(�̃�) =∫ 𝑥 𝑑𝑥𝑟

𝑀

∫ 𝑑𝑥𝑟

𝑀

dengan 𝑀 = {𝑥 ∈ ℝ│𝜇�̃�(𝑥) = 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(�̃�)} dan ʃ adalah notasi integral biasa

dalam kalkulus.

Apabila 𝑀 = [𝑎, 𝑏], maka

𝑡(�̃�) =∫ 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

∫ 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= [1

2𝑥2]

𝑎

𝑏

[𝑥]𝑎𝑏

=

12 (𝑏

2 − 𝑎2)

𝑏 − 𝑎

=

12(𝑏 + 𝑎)(𝑏 − 𝑎)

𝑏 − 𝑎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 57: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

42

𝑡(�̃�) =𝑎 + 𝑏

2

Apabila himpunan kabur 𝐴 ̃ terdefinisi pada semesta diskret berhingga

𝑋 = {𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛}, maka bilangan tegas 𝑡(�̃�) didefinisikan sebagai rerata dari

semua nilai 𝑥𝑖 dalam himpunan tegas 𝑀 = {𝑥𝑖𝜖𝑋│𝜇�̃�(𝑥𝑖) = 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(�̃�)},

yaitu

𝑡(�̃�) =∑ 𝑥𝑖𝑥𝑖∈𝑀

|𝑀|

dengan |𝑀| menyatakan banyaknya anggota dari himpunan tegas M.

b. Pusat Gravitasi (Center of Gravity): Himpunan kabur 𝐴 ̃ dalam semesta ℝ

diubah menjadi bilangan tegas 𝑡(�̃�) yang merupakan absis dari pusat gravitasi

daerah di bawah grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur 𝐴 ̃. Jadi

𝑡(�̃�) =∫ 𝜇�̃�(𝑥)𝑥 𝑑𝑥𝑟

𝑥

∫ 𝜇�̃�(𝑥)𝑑𝑥𝑟

𝑥

.

Bila himpunan kabur 𝐴 ̃ terdefinisi pada semesta diskret berhingga

𝑋 = {𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛}, maka

𝑡(�̃�) =∑ 𝜇�̃�(𝑥𝑖)𝑛𝑖=1 𝑥𝑖∑ 𝜇�̃�(𝑥𝑖)𝑛𝑖=1

Nilai 𝑡(�̃�) ini dapat dipandang sebagai nilai harapan dari variabel x.

c. Rerata Pusat (Center Average): Jika himpunan kabur 𝐴 ̃dalam semesta ℝ

merupakan gabungan dari m buah himpunan kabur, yaitu 𝐴 ̃ = ⋃ 𝐴�̃�𝑚𝑖=1 , maka

𝐴 ̃diubah menjadi bilangan tegas 𝑡(�̃�) yang merupakan rerata terbobot dari

pusat-pusat m buah himpunan kabur tersebut, dengan tinggi masing-masing

himpunan kabur itu sebagai bobotnya. Jadi

𝑡(�̃�) =∑ 𝑏𝑖𝑥𝑖𝑚𝑖=1

∑ 𝑏𝑖𝑚𝑖=1

dengan 𝑥𝑖 adalah pusat dari himpunan kabur 𝐴�̃� dan 𝑏𝑖 = 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(𝐴�̃�).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 58: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

43

BAB IV

APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI

A. Sistem Inferensi Kabur Mamdani

Salah satu sistem inferensi kabur yang paling sering digunakan adalah

sistem inferensi kabur Mamdani. Sistem inferensi kabur Mamdani sering juga

dikenal dengan nama Metode Max-Min. Sistem inferensi kabur Mamdani pertama

kali diperkenalkan oleh Ebrahim H. Mamdani pada tahun 1974 dan merupakan

implementasi sistem kendali kabur yang pertama. Model mamdani menggunakan

operasi baku “min” untuk norma-t dan “max” untuk norma-s, serta implikasi

Mamdani →𝑚𝑚 atau →𝑚𝑑. Bentuk umum kaidah ke-i dari sistem tersebut adalah

sebagai berikut:

Bila 𝑥1adalah 𝐴𝑖1 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴𝑖𝑛, maka y adalah 𝐵𝑖

dimana 𝑥𝑗 (j=1,2, ⋯,n) adalah variabel masukan, y adalah variabel keluaran, 𝐴𝑖𝑗

adalah predikat kabur yang direpresentasikan dengan himpunan kabur �̃�𝑖𝑗 dan 𝐵𝑖

adalah predikat kabur yang direpresentasikan dengan himpunan kabur �̃�𝑖, dengan

𝑖 = 1,2,⋯ ,𝑚 dan m adalah banyaknya kaidah dalam sistem tersebut. Keluaran

dalam sistem inferensi kabur Mamdani berupa himpunan kabur yang kemudian

diubah menjadi nilai tegas dengan suatu fungsi penegasan.

B. Implementasi Sistem Inferensi Kabur Mamdani Pada Pengaturan

Kecerahan Layar Telpon Genggam

Pada tugas akhir ini, sistem inferensi kabur Mamdani akan digunakan untuk

mengatur tingkat kecerahan layar telpon genggam. Langkah-langkah penyusunan

sistem inferensi kabur Mamdani untuk mengatur tingkat kecerahan layar telpon

genggam adalah sebagai berikut:

1. Pembentukan Himpunan Kabur

Terdapat tiga variabel kabur yang digunakan dalam sistem pengambilan

keputusan menggunakan sistem inferensi kabur dalam penulisan skripsi ini, yaitu

terangnya ruangan, jarak pemakai dengan telpon genggam, dan tingkat kecerahan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 59: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

44

layar pada telpon genggam dengan menggunakan fungsi keanggotaan segitiga.

Variabel masukan dalam sistem pengambilan keputusan ini adalah terangnya

ruangan dan jarak pemakai dengan telpon genggam, sedangkan variabel

keluarannya adalah tingkat kecerahan pada layar telpon genggam.

a. Variabel terangnya ruangan

Variabel terangnya ruangan adalah kondisi cahaya suatu ruangan pada saat

melihat layar sebuah telpon genggam. Misalkan x adalah variabel linguistik

terangnya ruangan yang mengambil nilai-nilai kabur “gelap”, “sedang”, dan

“terang” (yang secara numerik diukur dengan bilangan real dalam selang 𝑋 =

[0,100] dengan satuan lux). Nilai-nilai kabur itu misalnya dinyatakan dengan

himpunan kabur berturut-turut �̃�1, �̃�2 dan �̃�3 dengan fungsi keanggotaan sebagai

berikut:

𝜇�̃�1(𝑥) = {

40 − 𝑥

40 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 40

0 untuk 𝑥 lainnya

𝜇�̃�2(𝑥) =

{

𝑥 − 20

30 untuk 20 ≤ 𝑥 ≤ 50

80 − 𝑥

30 untuk 50 ≤ 𝑥 ≤ 80

0 untuk 𝑥 lainnya

𝜇�̃�3(𝑥) = {

𝑥 − 60

40 untuk 60 ≤ 𝑥 ≤ 100

0 untuk 𝑥 lainnya

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 60: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

45

Grafik fungsi keanggotaan keempat himpunan kabur tersebut adalah sebagai

berikut:

X

Gambar 4.1 Fungsi keanggotaan terangnya ruangan

b. Variabel jarak pemakai dengan telpon genggam

Misalnya y adalah variabel linguistik jarak pemakai dengan telpon genggam

yang mengambil nilai-nilai kabur “dekat”, “sedang”, dan “jauh” (yang secara

numerik diukur dengan bilangan real dalam selang 𝑌 = [0, 50] dengan satuan

cm). Nilai-nilai kabur itu misalnya dinyatakan dengan himpunan kabur berturut-

turut �̃�1, �̃�2, dan �̃�3 dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:

𝜇�̃�1(𝑦) = {

20 − 𝑦

20 untuk 0 ≤ 𝑦 ≤ 20

0 untuk 𝑦 lainnya

𝜇�̃�2(𝑦) =

{

𝑦 − 5

20 untuk 5 ≤ 𝑦 ≤ 25

45 − 𝑦

20 untuk 25 ≤ 𝑦 ≤ 45

0 untuk 𝑦 lainnya

𝜇�̃�3(𝑦) = { 𝑦 − 30

20 untuk 30 ≤ 𝑦 ≤ 50

0 untuk 𝑦 lainnya

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 61: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

46

Grafik fungsi keanggotaan ketiga himpunan kabur tersebut adalah sebagai

berikut:

Y

Gambar 4.2 Fungsi keanggotaan jarak pemakai dengan telpon genggam

c. Variabel tingkat kecerahan pada layar telpon genggam

Misalnya z adalah variabel linguistik kecerahan pada layar telpon genggam

yang mengambil nilai kabur “rendah”, “sedang”, dan “tinggi” (yang secara numerik

diukur dengan bilangan real dalam selang 𝑍 = [0, 100] dengan satuan lux). Ketiga

nilai linguistik tersebut berturut-turut dinyatakan dengan himpunan kabur �̃�1, �̃�2,

dan �̃�3 dengan fungsi keanggotaan berturut-turut sebagai berikut:

𝜇�̃�1(𝑧) = {

40 − 𝑧

40 untuk 0 ≤ 𝑧 ≤ 40

0 untuk 𝑧 lainnya

𝜇�̃�2(𝑧) =

{

𝑧 − 30

20 untuk 30 ≤ 𝑧 ≤ 50

70 − 𝑧

20 untuk 50 ≤ 𝑧 ≤ 70

0 untuk 𝑧 lainnya

𝜇�̃�3(𝑧) = { 𝑧 − 60

40 untuk 60 ≤ 𝑧 ≤ 100

0 untuk 𝑧 lainnya

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 62: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

47

Grafik fungsi keanggotaan ketiga himpunan kabur tersebut adalah sebagai

berikut:

Z

Gambar 4.3 Fungi keanggotaan tingkat kecerahan layar telpon genggam

2. Basis Kaidah

Kemungkinan banyaknya kaidah dalam basis kaidah untuk menentukan

kecerahan pada layar telpon genggam ini adalah 27 kaidah, yang merupakan hasil

kombinasi 3 variabel kabur, yaitu terangnya ruangan dengan 3 nilai linguistik

kabur, jarak pemakai dengan telpon genggam dengan 3 nilai linguistik kabur, dan

tingkat kecerahan pada layar telpon genggam dengan 3 nilai linguistik kabur.

Namun basis kaidah dalam karya tulis ini hanya akan terdiri dari 9 kaidah yang

sesuai karena suatu basis kaidah harus konsisten, yaitu tidak terdapat kaidah-

kaidah yang mempunyai anteseden yang sama tetapi konsekuennya berbeda. Ke

9 kaidah kabur tersebut diperoleh dari hasil kombinasi 2 variabel masukan (yang

merupakan variabel bebas), yaitu terangnya ruangan dengan 3 nilai linguistik

kabur dan jarak pemakai dengan telpon genggam dengan 3 nilai linguistik kabur.

Ke 9 kaidah kabur tersebut adalah sebagai berikut:

[𝐾1] Jika terangnya ruangan TERANG, jarak pemakai dengan telpon genggam

JAUH, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam TINGGI

[𝐾2] Jika terangnya ruangan TERANG, jarak pemakai dengan telpon genggam

SEDANG, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam SEDANG

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 63: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

48

[𝐾3] Jika terangnya ruangan TERANG, jarak pemakai dengan telpon genggam

DEKAT, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam SEDANG

[𝐾4] Jika terangnya ruangan SEDANG, jarak pemakai dengan telpon genggam

JAUH, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam TINGGI

[𝐾5] Jika terangnya ruangan SEDANG, jarak pemakai dengan telpon genggam

SEDANG, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam SEDANG

[𝐾6] Jika terangnya ruangan SEDANG, jarak pemakai dengan telpon genggam

DEKAT, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam RENDAH

[𝐾7] Jika terangnya ruangan GELAP, jarak pemakai dengan telpon genggam

JAUH, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam TINGGI

[𝐾8] Jika terangnya ruangan GELAP, jarak pemakai dengan telpon genggam

SEDANG, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam SEDANG

[𝐾9] Jika terangnya ruangan GELAP, jarak pemakai dengan telpon genggam

DEKAT, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam RENDAH

3. Unit Pengaburan

Fungsi pengaburan yang digunakan dalam implementasi sistem inferensi

kabur Mamdani pada penetapan kecerahan layar pada telpon genggam ini adalah

fungsi pengaburan segitiga.

Contoh kasusnya adalah sebagai berikut: Misalkan seseorang menggunakan telpon

genggam dengan kondisi cahaya di ruangan tersebut 85 lux dan jarak pengguna

tersebut dengan telpon genggam adalah 47 cm. Dengan menggunakan fungsi

pengaburan segitiga, masukan terangnya ruangan dan jarak pemakai tersebut

diubah ke himpunan kabur �̃�′ dan �̃�′ dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:

𝜇�̃�′(𝑥) = 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎(𝑥; 83,85,87) =

{

𝑥 − 83

2 untuk 83 ≤ 𝑥 ≤ 85

87 − 𝑥

2 untuk 85 ≤ 𝑥 ≤ 87

0 untuk 𝑥 lainnya

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 64: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

49

Gambar 4.4 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎(𝑥; 83,85,87)

𝜇�̃�′(𝑦) = 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎(𝑦; 45,47,49) =

{

𝑦 − 45

2 untuk 45 ≤ 𝑦 ≤ 47

49 − 𝑦

2 untuk 47 ≤ 𝑦 ≤ 49

0 untuk 𝑦 lainnya

Gambar 4.5 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎(𝑦; 45,47,49)

�̃�′

�̃�′

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 65: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

50

4. Unit Penalaran Kabur

Pada tahap penalaran kabur untuk data masukan di atas diperoleh hasil

sebagai berikut:

a. Menentukan derajat keserasian, yaitu

𝑤𝑖𝑗 = sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗

min𝑗∈{1,2}

{𝜇�̃�𝑗′(𝑥𝑗), 𝜇�̃�𝑖𝑗(𝑥𝑗)} = sup

𝑥𝑗∈𝑋𝑗 �̃�𝑗′ ∩ �̃�𝑖𝑗

untuk 𝑖 = 1, 2,⋯ , 9 dan j = 1, 2. Diperoleh derajat keserasian 𝑤𝑖𝑗 sebagai berikut:

𝑋1 = 𝑋 = [0,100], 𝑋2 = 𝑌 = [0,50], 𝑥1 = 𝑥, 𝑥2 = 𝑦

�̃�1′ = �̃�′ , �̃�2

′ = �̃�′

�̃�11 = �̃�3, �̃�12 = �̃�3, �̃�21 = �̃�3, �̃�22 = �̃�2, �̃�31 = �̃�3, �̃�32 = �̃�1, �̃�41 = �̃�2,

�̃�42 = �̃�3, �̃�51 = �̃�2, �̃�52 = �̃�2, �̃�61 = �̃�2, �̃�62 = �̃�1, �̃�71 = �̃�1, �̃�72 = �̃�3,

�̃�81 = �̃�1, �̃�82 = �̃�2, �̃�91 = �̃�1, �̃�92 = �̃�1

𝑤11 = sup𝑥∈[0,100]

�̃�′ ∩ �̃�3

= sup𝑥∈[0,100]

min {𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�3(𝑥)}

Akan dicari titik potong grafik 𝜇�̃�′ dan 𝜇�̃�3 (Gambar 4.6):

𝜇�̃�′(𝑥) = 𝜇�̃�3(𝑥)

𝑥 − 83

2=𝑥 − 60

40

38𝑥 = 3200

𝑥1 = 84.21

𝜇�̃�′(84.21) =84.21 − 83

2= 0.605

𝜇�̃�′(𝑥) = 𝜇�̃�3(𝑥)

87 − 𝑥

2=𝑥 − 60

40

42𝑥 = 3600

𝑥2 = 85.71

𝜇�̃�′(85.71) =87 − 85.71

2= 0.645

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 66: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

51

Gambar 4.6 Menentukan derajat keserasian 𝑤11

𝑤11 = sup𝑥∈[0,100]

min {𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�3(𝑥)}

= sup [0, 0.645]

= 0.645

Dengan cara yang sama dengan 𝑤11 diperoleh

𝑤21 = sup𝑥∈[0,100]

�̃�′ ∩ �̃�3 = 0.645

𝑤31 = sup𝑥∈[0,100]

�̃�′ ∩ �̃�3 = 0.645

𝑤41 = sup𝑥∈[0,100]

�̃�′ ∩ �̃�2

= sup𝑥∈[0,100]

min{𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�2(𝑥)}

= sup {0}

= 0

�̃�′

�̃�3

�̃�′ ∩ �̃�3

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 67: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

52

Gambar 4.7 Menentukan derajat keserasian 𝑤41

Dengan cara yang sama dengan 𝑤41 diperoleh

𝑤51 = sup𝑥∈[0,100]

�̃�′ ∩ �̃�2 = 0

𝑤61 = sup𝑥∈[0,100]

�̃�′ ∩ �̃�2 = 0

𝑤71 = sup𝑥∈[0,100]

�̃�′ ∩ �̃�1

= sup𝑥∈[0,100]

min {𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�1(𝑥)}

= sup {0}

Gambar 4.8 Menentukan derajat keserasian 𝑤71

𝐴′̃ ∩ �̃�1

�̃�1 �̃�′

�̃�′ �̃�2

�̃�′ ∩ �̃�2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 68: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

53

Dengan cara yang sama dengan 𝑤71 diperoleh

𝑤81 = sup𝑥∈[0,100]

�̃�′ ∩ �̃�1 = 0

𝑤91 = sup𝑥∈[0,100]

�̃�′ ∩ �̃�1 = 0

𝑤12 = sup𝑦∈[0,50]

�̃�′ ∩ �̃�3

= sup𝑦∈[0,50]

min{𝜇�̃�′(𝑦), 𝜇�̃�3(𝑦)}

Akan dicari titik potong grafik 𝜇�̃�′ dan 𝜇�̃�3 (Gambar 4.9):

𝜇�̃�′(𝑦) = 𝜇�̃�3(𝑦)

𝑦 − 45

2=𝑦 − 30

20

18𝑦 = 840

𝑦1 = 46.67

𝜇�̃�′(46.67) =46.67 − 45

2= 0.835

𝜇�̃�′(𝑦) = 𝜇�̃�3(𝑦)

49 − 𝑦

2=𝑦 − 30

20

22𝑦 = 1040

𝑦2 = 47.27

𝜇�̃�′(47.27) =49 − 47.27

2= 0.865

Gambar 4.9 Menentukan derajat keserasian 𝑤12

�̃�3

�̃�′

�̃�′ ∩ �̃�3

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 69: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

54

𝑤12 = sup𝑦∈[0,50]

min {𝜇�̃�′(𝑦), 𝜇�̃�3(𝑦)}

= sup [0, 0.865]

= 0.865

𝑤22 = sup𝑦∈[0,50]

�̃�′ ∩ �̃�2

= sup𝑦∈[0,50]

min{𝜇�̃�′(𝑦), 𝜇�̃�2(𝑦)}

= sup {0}

= 0

Gambar 4.10 Menentukan derajat keserasian 𝑤22

𝑤32 = sup𝑦∈[0,50]

�̃�′ ∩ �̃�1

= sup𝑦∈[0,50]

min{𝜇�̃�′(𝑦), 𝜇�̃�1(𝑦)}

= sup {0}

= 0

�̃�′ ∩ �̃�2

�̃�2

�̃�′

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 70: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

55

Gambar 4.11 Menentukan derajat keserasian 𝑤32

Dengan cara yang sama dengan 𝑤12 diperoleh

𝑤42 = sup𝑦∈[0,50]

�̃�′ ∩ �̃�3 = 0.865

Dengan cara yang sama dengan 𝑤22 diperoleh

𝑤52 = sup𝑦∈[0,50]

�̃�′ ∩ �̃�2 = 0

Dengan cara yang sama dengan 𝑤32 diperoleh

𝑤62 = sup𝑦∈[0,50]

�̃�′ ∩ �̃�1 = 0

Dengan cara yang sama dengan 𝑤12 diperoleh

𝑤72 = sup𝑦∈[0,50]

�̃�′ ∩ �̃�3 = 0.865

Dengan cara yang sama dengan 𝑤22 diperoleh

𝑤82 = sup𝑦∈[0,50]

�̃�′ ∩ �̃�2 = 0

Dengan cara yang sama dengan 𝑤32 diperoleh

𝑤92 = sup𝑦∈[0,50]

�̃�′ ∩ �̃�1 = 0

b. Menentukan daya sulut

Langkah berikutnya adalah menentukan daya sulut, yaitu:

𝑤𝑖 = min𝑤𝑖𝑗

untuk 𝑖 = 1, 2,⋯ , 9 dan 𝑗 = 1,2.

�̃�′ ∩ �̃�1

�̃�′ �̃�1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 71: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

56

𝑤1 = min𝑗∈{1,2}

𝑤1𝑗

= min{𝑤11, 𝑤12}

= min{0.645, 0.865}

= 0.645

𝑤2 = min𝑗∈{1,2}

𝑤2𝑗

= min{𝑤21 , 𝑤22}

= min{0.645, 0}

= 0

𝑤3 = min𝑗∈{1,2}

𝑤3𝑗

= min{𝑤31 , 𝑤32}

= min{0.645,0}

= 0

𝑤4 = min𝑗∈{1,2}

𝑤4𝑗

= min{𝑤41, 𝑤42}

= min{0, 0.865}

= 0

𝑤5 = min𝑗∈{1,2}

𝑤5𝑗

= min{𝑤51 , 𝑤52}

= min{0, 0}

= 0

𝑤6 = min𝑗∈{1,2}

𝑤6𝑗

= min{𝑤61 , 𝑤62}

= min{0, 0}

= 0

𝑤7 = min𝑗∈{1,2}

𝑤7𝑗

= min{𝑤71 , 𝑤72}

= min{0, 0.865}

= 0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 72: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

57

𝑤8 = min𝑗∈{1,2}

𝑤8𝑗

= min{𝑤81 , 𝑤82}

= min{0, 0}

= 0

𝑤9 = min𝑗∈{1,2}

𝑤9𝑗

= min{𝑤91, 𝑤92}

= min{0, 0}

= 0

c. Menentukan �̃�𝑖′

Langkah selanjutnya adalah menentukan �̃�𝑖′, yaitu irisan 𝑤𝑖 dengan �̃�𝑖,

untuk setiap 𝑖 = 1, 2,⋯ , 9.

𝜇�̃�1′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]

{𝑤1, 𝜇�̃�3(𝑧)}

= min𝑧∈[0,100]

{0.645, 𝜇�̃�3(𝑧)}

Mencari nilai 𝑧 sedemikian sehingga 𝜇�̃�3(𝑧) = 0.645 (Gambar 4.12):

untuk 60 ≤ 𝑧 ≤ 100 :

𝑧 − 60

40= 0.645

𝑧 − 60 = 25.8

𝑧 = 85.8

sehingga diperoleh

𝜇�̃�1′(𝑧) = {

𝑧 − 60

40 untuk 60 ≤ 𝑧 ≤ 85.8

0.645 untuk 85.8 ≤ 𝑧 ≤ 100 0 untuk 𝑧 lainnya

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 73: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

58

Gambar 4.12 Menentukan �̃�1′

𝜇�̃�2′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]

{𝑤2, 𝜇�̃�2(𝑧)}

= min𝑧∈[0,100]

{0, 𝜇�̃�2(𝑧)}

= 0

𝜇�̃�3′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]

{𝑤3, 𝜇�̃�2(𝑧)}

= min𝑧∈[0,100]

{0, 𝜇�̃�2(𝑧)}

= 0

𝜇�̃�4′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]

{𝑤4, 𝜇�̃�3(𝑧)}

= min𝑧∈[0,100]

{0, 𝜇�̃�3(𝑧)}

= 0

𝜇�̃�5′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]

{𝑤5, 𝜇�̃�2(𝑧)}

= min𝑧∈[0,100]

{0, 𝜇�̃�2(𝑧)}

= 0

𝜇�̃�6′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]

{𝑤6, 𝜇�̃�1(𝑧)}

= min𝑧∈[0,100]

{0, 𝜇�̃�1(𝑧)}

= 0

𝜇�̃�7′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]

{𝑤7, 𝜇�̃�3(𝑧)}

�̃�3

�̃�1′

,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 74: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

59

= min𝑧∈[0,100]

{0, 𝜇�̃�3(𝑧)}

= 0

𝜇�̃�8′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]

{𝑤8, 𝜇�̃�2(𝑧)}

= min𝑧∈[0,100]

{0, 𝜇�̃�2(𝑧)}

= 0

𝜇�̃�9′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]

{𝑤9, 𝜇�̃�1(𝑧)}

= min𝑧∈[0,100]

{0, 𝜇�̃�1(𝑧)}

= 0

d. Menentukan kesimpulan

Pada tahap ini, semua irisan 𝑤𝑖 dengan �̃�𝑖 yang diperoleh pada

bagian c di atas digabung untuk memperoleh �̃�′, yaitu:

�̃�′ =⋃�̃�𝑖′

9

𝑖=1

dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:

𝜇�̃�′(𝑧) = max𝑖∈{1,2,⋯,9}

{𝜇�̃�𝑖′(𝑧)} = max{0, 𝜇�̃�1′(𝑧) }

= 𝜇�̃�1′(𝑧) = {

𝑧 − 60

40 untuk 60 ≤ 𝑧 ≤ 85.8

0.645 untuk 85.8 ≤ 𝑧 ≤ 100 0 untuk 𝑧 lainnya

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 75: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

60

Gambar 4.13 Himpunan Kabur �̃�′

Jadi, tingkat kecerahan layar telpon genggam tersebut adalah nilai kabur

yang berkaitan dengan himpunan kabur �̃�′. Karena hasilnya ini berupa nilai

kabur, maka pada langkah berikutnya himpunan kabur ini diubah menjadi

nilai tegas oleh unit penegasan.

5. Unit Penegasan

Pada langkah terakhir, unit penegasan mengubah himpunan kabur �̃�′

menjadi nilai tegas. Dengan fungsi penegasan “purata maksimum”, nilai kabur �̃�′

diubah menjadi bilangan tegas

𝑡(�̃�′) =inf𝑀 + sup𝑀

2

dimana 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ│𝜇�̃�′(𝑧) = 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(�̃�′)}

𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(�̃�′) = sup𝑧∈[0,100]

{𝜇�̃�′(𝑧)} = 0.645, sehingga 𝑀 = [85.8,100].

Jadi,

𝑡(�̃�′) =85.8 + 100

2= 92.9

Sehingga tingkat kecerahan layar pada telpon genggam tersebut adalah

92.9 𝑙𝑢𝑥.

�̃�′

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 76: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

61

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Sistem inferensi kabur adalah sistem komputasi yang bekerja atas dasar

penalaran kabur. Sistem inferensi kabur Mamdani sangat berguna dalam kehidupan

sehari-hari. Salah satunya, yaitu dalam menentukan kecerahan pada layar telpon

genggam. Pada skripsi ini, sistem inferensi kabur Mamdani diterapkan pada

penentuan kecerahan layar telpon genggam dengan menggunakan dua variabel

masukan, yaitu variabel terangnya ruangan dengan semesta 𝑋 = [0,100] dan

variabel jarak pemakai dengan telpon genggam dengan semesta 𝑌 = [0,50].

Sedangkan, variabel keluarannya adalah variabel tingkat kecerahan pada layar

telpon genggam dengan semesta 𝑍 = [0,100].

Dalam menentukan tingkat kecerahan layar telpon genggam dilakukan empat

tahap. Tahap pertama adalah menentukan semua variabel terkait, baik variabel

masukan maupun variabel keluaran . Terdapat dua variabel masukan, yaitu variabel

terangnya ruangan dan variabel jarak pemakai dengan telpon genggam. Sedangkan,

variabel keluarannya adalah tingkat kecerahan pada layar telpon genggam.

Kemudian ditentukan semesta numeris dari masing-masing variabel itu, yaitu

selang tertutup [0,100], [0,50], dan [0,100] untuk variabel terangnya ruangan,

variabel jarak pemakai dengan telpon genggam, dan variabel tingkat kecerahan

layar telpon genggam berturut-turut. Selanjutnya ditentukan nilai-nilai linguistik

untuk masing-masing variabel itu serta himpunan-himpunan kaburnya yang terkait.

Nilai-nilai linguistik untuk variabel terangnya ruangan, yaitu gelap, sedang, dan

terang. Ketiga nilai linguistik tersebut berturut-turut dinyatakan dengan himpunan

kabur �̃�1, �̃�2 dan �̃�3. Nilai-nilai linguistik untuk variabel jarak pemakai dengan

telpon genggam, yaitu dekat, sedang, dan jauh. Ketiga nilai linguistik tersebut

berturut-turut dinyatakan dengan himpunan kabur �̃�1, �̃�2, dan �̃�3. Nilai-nilai

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 77: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

62

linguistik untuk variabel tingkat kecerahan pada layar telpon genggam, yaitu

rendah, sedang, dan tinggi. Ketiga nilai linguistik tersebut berturut-turut dinyatakan

dengan himpunan kabur �̃�1, �̃�2, dan �̃�3.

Tahap kedua adalah membentuk basis kaidah, yaitu himpunan kaidah-kaidah

berupa implikasi-implikasi kabur yang menyatakan relasi antar variabel masukan

dengan variabel keluaran. Kemungkinan banyaknya kaidah dalam basis kaidah

untuk menentukan tingkat kecerahan pada layar telpon genggam ini adalah 27

kaidah, yang merupakan hasil kombinasi 3 variabel kabur, yaitu terangnya ruangan

dengan 3 nilai linguistik kabur (gelap, sedang, terang), jarak pemakai dengan telpon

genggam dengan 3 nilai linguistik kabur (dekat, sedang, jauh), dan tingkat

kecerahan pada layar telpon genggam dengan 3 nilai linguistik kabur (rendah,

sedang, tinggi). Namun dalam skripsi ini hanya akan digunakan 9 kaidah yang

sesuai. Tahap ketiga, yaitu menarik kesimpulan. Dalam menarik kesimpulan

dilakukan beberapa langkah. Langkah pertama adalah mencari derajat keserasian,

yaitu supremum dari irisan himpunan kabur pada anteseden masing-masing kaidah

dengan himpunan kabur fakta atau masukan. Selanjutnya, dicari daya sulut yang

merupakan minimum dari semua derajat keserasian. Kemudian dicari irisan

masing-masing daya sulut dengan himpunan kabur pada konsekuen masing-masing

kaidah. Dengan menggabungkan semua irisan tersebut dapat ditarik kesimpulan

mengenai tingkat kecerahan layar telpon genggam. Namun, kesimpulan tersebut

masih berupa himpunan kabur. Pada tahap keempat, dengan fungsi penegasan

purata maksimum, kesimpulan tersebut diubah ke suatu nilai tegas.

Pada contoh kasus dalam skripsi ini, seseorang menggunakan telpon genggam

dengan kondisi cahaya di ruangan tersebut 85 lux dan jarak pengguna tersebut

dengan telpon genggam adalah 47 cm. Dengan menggunakan sistem inferensi kabur

Mamdani seperti diuraikan di atas diperoleh tingkat kecerahan layar pada telpon

genggam, yaitu 92.9 lux.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 78: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

63

B. Saran

Dalam skripsi ini, penulis hanya menggunakan satu sistem inferensi kabur,

yaitu sistem inferensi kabur Mamdani. Untuk selanjutnya bisa digunakan sistem

inferensi kabur yang lain, yaitu sistem inferensi kabur Tsukamoto atau sistem

inferensi kabur Takagi-Sugeno-Kang. Selain itu, dalam tugas akhir ini hanya

dipakai dua variabel masukan, yaitu terangnya ruangan dan jarak pemakai dari

telpon genggam. Untuk selanjutnya dapat ditambahkan variabel masukan lainnya

yang berpengaruh dalam menentukan tingkat kecerahan layar pada telpon

genggam. Fungsi pengaburan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah fungsi

pengaburan segitiga. Untuk selanjutnya bisa digunakan fungsi pengaburan Elemen

Tunggal atau fungsi pengaburan Gauss. Fungsi penegasan yang digunakan dalam

tugas akhir ini adalah fungsi penegasan purata maksimum. Untuk selanjutnya bisa

digunakan fungsi penegasan yang lain, yaitu fungsi penegasan pusat gravitasi atau

fungsi penegasan rerata pusat.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 79: APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM …repository.usd.ac.id/35781/2/153114012_full.pdf · Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.

64

DAFTAR PUSTAKA

Andani, Sundari Retno. (2013). Fuzzy Mamdani dalam Menentukan Tingkat

Keberhasilan Dosen Mengajar. Seminar Nasional Informatika

(SEMNASIF), 1 (4): 57-65.

Azmi, Zulfian dan Ilham. (2018). Logika Fuzzy untuk Sistem Pemantau

Penggunaan Komputer bagi Kesehatan Mata. Journal of Informatiom

System, Applied, Management, Accounting and Research, 2 (2): 13-22.

Ross, T. J. (2010). Fuzzy Logic with Engineering Applications. Hoboken: John

Wiley and Sons.

Susilo, Frans. (2018). Himpunan & Logika Kabur serta Aplikasinya (Edisi 2).

Yogyakarta: Matematika.

Tantra Nirwana, Fandi. (2015). Alat Kendali Penerangan Ruangan Dengan Logika

Fuzzy Berbasis Atmega16. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI