APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by...

21
1 APLIKASI INTEGRAL TENTU

Transcript of APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by...

Page 1: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

1

APLIKASI

INTEGRAL TENTU

Page 2: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

2

Aplikasi Integral Tentu

థ Luas diantara 2 kurva

థ Volume benda dalam bidang

(dengan metode cakram dan cincin)

థ Volume benda putar

(dengan metode kulit tabung)

థ Luas permukaan benda putar

థ Momen dan pusat massa

Page 3: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

3

1. LUAS DIANTARA 2 (DUA) KURVA

Page 4: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

4

Cara menghitung :

1. Bagi luasan S menjadi n irisan dg lebar yang

sama besar kemudian tentukan irisan ke-i

dengan membuat persegi panjang beralas x

dan tinggi f(xi*)- g(xi*)

Page 5: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

5

2. Jumlahkan semua persegi panjang yang

telah dibuat

3. Tentukan batas kurvanya lalu jumlahkan

Page 6: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

6

Luas A yang dibatasi kurva

y=f(x), y=g(x) dan garis x=a,

x=b dengan f dan g kontinu

dan f(x) ≥ g(x) untuk semua

x pada selang [a,b] adalah

b

a

dx g(x)][f(x)A

Luas A dari S sebagai nilai

limit dari jumlah persegi

panjang

xxgxfAn

iii

n

Δ )()(1

**lim

Page 7: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

7

Carilah luas daerah yang dilingkupi oleh

parabola y = x2 dan y = 2x-x2

Page 8: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

8

Carilah luas daerah yang dilingkupi oleh

parabola y = x2 dan y = 2x-x2

* Cari titik potong batas atas dan bawah

y1 = y2

x2 = 2x-x2

2x2-2x

x (x-1) = 0

Jadi x = 0 atau x = 1

Titik potongnya = (0,0) dan (1,1)

y1= x2 dan y2 = 2x-x2

Luas persegi panjang khas :

(y2-y1)x = (2x-x2-x2)x

Daerah terletak diantara

x=0 dan x=1

Page 9: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

9

Luas total

3

1

3

1

2

12

x3

1x

2

12

)dxx(x2)dx2x(2xA

1

0

32

1

0

1

0

22

Page 10: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

10

2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG

Volume benda padat yang luas penampangnya

A(x) dan berada antara x=a dan x=b adalah

bn*i

n i 1 a

V A(x )Δx A(x)dxlim

Langkah-langkah mencari :

1.Gambarkan daerah yang volumenya akan dicari

2.Carilah luas A(x)

3.Carilah batas-batas integrasi

4.Integralkan

Page 11: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

11

METODE CAKRAM

1. Tentukan volume benda putar yang dibentuk

oleh daerah R yang dibatasi kurva y=x, sumbu

x dan garis x=4, bila R diputar mengelilingi

sumbu x.

Volume = A x h

= (x)2 . x

Page 12: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

12

Bila volume tabung2 dijumlahkan lalu diintegralkan

13.2582

16

2

1

dxx

4

0

2

4

0

ππxπ

πV

Page 13: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

13

METODE CINCIN

Bila sebuah benda putar kita potong-potong tegak

lurus pada sumbu putarnya kita akan

memperoleh sebuah cakram yang lubang bagian

tengahnya (disebut cincin)

V= (r22-r1

2)h

r1 = jari-jari dalam

r2 = jari-jari luar

h = tebal cincin

Page 14: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

14

Contoh : Tentukan volume benda putar apabila

daerah yang dibatasi oleh parabola y=x2

dan y2=8x diputar mengelilingi sumbu x.

Titik potong (0,0) dan (2,4)

V [ (8x)2- (x2)2 ] x

Page 15: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

15

30,165

482

05

5x

2

28x

dx )2

0

4x-(8x Volume

ππ

π

Titik potong (0,0) dan (2,4)

Page 16: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

16

3. VOLUME BENDA PUTAR : KULIT TABUNG

Sebuah kulit tabung adalah benda yang dibatasi

oleh dua tabung lingkaran tegak yang sumbu

simetrinya berimpit.

V=(luas alas) . (tinggi)

= (r22- r1

2) h

= (r2 + r1) (r2 - r1) h

1212 rr h

2

rr2

π

Page 17: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

17

sehingga

V= 2 * (rerata jejari) * tinggi * tebal

V= 2 r h r

Page 18: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

18

Jika dibuat potongan jalur yang vertikal dan diputar

mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk benda

seperti kulit tabung.

Page 19: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

19

Untuk memperoleh volume,

hitung V dari kulit tabung,

jumlahkan lalu tarik limit

jumlahnya shg menghasilkan

sebuah integral

b

a

dx f(x)x 2V

x f(x) x 2V

π

ΔπΔ

Page 20: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

20

Contoh : Daerah yang dibatasi kurva y=1/x,

sumbu x, garis x=1 dan garis x=4 diputar

mengelilingi sumbu y.

Tentukan volume benda yang terbentuk

dengan metode kulit tabung

Page 21: APLIKASI INTEGRAL TENTU - Step by Stepshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi4.pdf · 2 Aplikasi Integral Tentu ... dx Luas A dari S sebagai nilai limit dari

21

Contoh : Daerah yang dibatasi kurva y=1/x,

sumbu x, garis x=1 dan garis x=4 diputar

mengelilingi sumbu y.

Tentukan volume benda yang terbentuk

dengan metode kulit tabung

32,293

281.8.

3

22

x3

22

dx x2 dxx 2V

32

4

1

23

4

1

214

1 x

1

Jawab

b

a

dx f(x)x 2V

x f(x) x 2V

π

ΔπΔ