Aplicações Da Função Quadrática

Universidade Estcio de S

2012-2

Atividade estruturada

Introduo ao calculo Equao do 2 grau ou Equao Quadrtica

Andr Luiz Rodrigues de Sousa

Introduo ao Calculo Diferencial Engenharia Eltrica 2012 2 Pgina - 01

Bibliografia

AABOE, Asger. Episdios da Historia Antiga da Matemtica. So Paulo: SBM.

1984.

BATSCHELET. Edward. Introduo Matemtica para Biocientistas. So Paulo:

EDUSO. 1978.

BAUMGART, John K. Tpicos de Histria da Matemtica para uso em sala de

aula. So Paulo: Atual. 1992.

BOYER, Carl B. Histria da Matemtica. So Paulo: Edgard Blucher: EDUSP.

1974.

FILHO, Benigno Barreto; SILVA, Cludio Xavier. Matemtica aula por aula. So

Paulo: FTD. 1998.

GIOVANNI, Jos Ruy; BONJORNO, Jos Roberto. Matemtica aula por aula. So

Paulo: FTD. 1998.

PAIVA, Manoel. Matemtica Volume nico. So Paulo: Moderna. 1999

TROTA, Fernando; JAKUBOVIC, Jos; IMENES, Luiz Mrcio Pereira. Matemtica

Aplicada. So Paulo: Moderna 1980.

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ndice

Introduo Pagina 03

Definio Pagina 03

Resoluo Equao do 2 Grau - Por Trinmios Quadrados Perfeitos Pagina 04

Resoluo Equao do 2 Grau pela frmula de Bhskara Pagina 05

Deduo da frmula de Bhskara Pagina 06

Grfico da Equao 2 Grau Pagina 07

Pontos notveis do grfico de uma funo do 2 Grau Pagina 08

Aplicao da Funo do 2 Grau Definir rea Pagina 09

Aplicao da Funo do 2 Grau Ponte Pnsil Pagina 10

Aplicao da Funo do 2 Grau Definir Produto Pagina 11

Aplicao da Funo do 2 Grau Superfcies Parablicas Pagina 12

Aplicao da Funo do 2 Grau Curvas de Oferta e Demanda Pagina 13

Aplicao da Funo do 2 Grau Equilbrio de Mercado Pagina 14


Introduo - Equao 2 Grau.

Ela diferencia-se da equao do primeiro grau pelo fato de a incgnita aparecer elevada ao quadrado, o que

introduz as operaes de potenciao e radiciao na resoluo dessas equaes. Tambm sendo chamada por

alguns autores de funo quadrtica. A equao do segundo grau ser muito importante na fsica, na geometria e

em diversos campos do conhecimento.

Definio - Equao 2 Grau.

Equao do Segundo Grau toda equao que pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c so

os coeficientes e x a incgnita.

Esse nome existe porque o expoente mais alto existente na equao o 2. Equao do segundo grau toda

equao que pode ser escrita na forma, onde a, b e c so os coeficientes e x a incgnita que se quer

calcular.

Pra que uma funo seja considerada do 2 grau, ela ter que assumir certas caractersticas, como:

Toda funo do 2 grau deve ser dos reais para os reais, definida pela frmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que 'a' deve

pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que 'b' e 'c' deve pertencer ao conjunto dos reais.

Observe alguns exemplos dessas funes:

f(x) = x + 4x +6;

a = 1, b = 4, c = 6 (Completa)

f(x) = 6x 3x;

a = 6, b = - 3, c = 0 (Incompleta, do tipo 'c = 0').

f(x) = x - 9;

a = 1, b = 0, c = -9 (Incompleta, do tipo 'b = 0').

f(x) = - x;

a = -1, b = 0, b = 0 (Incompleta, do tipo 'b e c = 0').

Toda funo do 2 grau tambm ter domnio, imagem e contradomnio;

Os valores de x so o domnio e a imagem e o contradomnio so os valores de y. Ento, podemos dizer que o

domnio e o contradomnio so o conjunto dos reais.


Resoluo Equao do 2 Grau - Por Trinmios Quadrados Perfeitos.

Peguemos, como exemplo, a equao x2 + 2x 8 = 0.

Em primeiro lugar, deve-se colocar o termo independente (no caso, -8) no segundo membro. Assim a equao

fica x2 + 2x = 8.

Agora concentre-se no primeiro membro (em x2 + 2x). Que nmeros poderiam colocar para que ele virasse um

trinmio quadrado perfeito?

Resposta: o nmero +1, pois x2 + 2x + 1 = (x + 1)2.

Nota-se que s esse nmero transforma o primeiro membro em um trinmio quadrado perfeito.

Transformando o primeiro membro em um trinmio quadrado perfeito da seguinte forma:

Se x2 + 2x = 8, ento x2 + 2x + 1 = 8 + 1.

Nota-se que, como uma equao, o que eu fizer no primeiro membro (lado esquerdo da igualdade) dever ser

feito no segundo membro (lado esquerdo da igualdade).

Se x2 + 2x + 1 = 8 + 1, ento (x + 1)2 = 9, e ento .

Como sabemos, a raiz de 9 pode ser +3 ou menos 3, de modo que teremos duas possibilidades para resolver a

equao:

Se x + 1 = 3, ento x = 3 1, o que nos leva a x1 = 2.

Se x + 1 = - 3, ento x = -3 1, o que nos leva a x2 = 4.

Portanto, para resolver qualquer equao desta forma, procedemos da seguinte maneira:

- Colocamos o termo independente no segundo membro.

- Completamos o primeiro membro com um nmero para descobrir um trinmio quadrado perfeito e usamos

a fatorao.

- Aplicamos a raiz quadrada aos dois membros e resolvemos como se fosse uma equao comum.

- Lembre-se que a raiz quadrada tem duas possibilidades de resposta, logo a equao ter duas solues.

- Se ao tirar a raiz quadrada dos dois membros, o segundo membro for um nmero negativo (no existe

raiz quadrada de nmero negativo), ento a equao no ter soluo.


Resoluo Equao do 2 Grau pela frmula de Bhskara.

Outra forma para resolver a equao do 2 grau, atravs da frmula de Bhskara, que dada a seguir:

Se ax2 + bx + c = 0, ento:

e

Em muitos livros, os autores chamam de delta () a expresso que est dentro da raiz, isto , b2 4ac. Assim, a

frmula de Bhskara pode ser reescrita da seguinte forma:

e

Repare que:

Se > 0, a equao ter duas solues distintas ;

Exemplo:

Se = 0, a equao ter duas solues idnticas x1 = x2;

Se for negativo, a equao no ter solues reais;


Deduo da frmula de Bhskara.

A frmula de Bhskara tambm pode ser deduzida descobrindo trinmios quadrados perfeitos.

Temos ax2 + bx + c = 0. Vamos dividir toda a equao por a:

Vamos jogar o termo independente no segundo membro, sempre tendo em mente a manuteno da igualdade na

equao:

Qual o nmero que falta para completar um trinmio quadrado perfeito? Voc descobrir que:

Tirando o mnimo no segundo membro, temos:

Assim,

Como uma raiz quadrada tem duas respostas, uma positiva e outra negativa, temos que:

e

Passando o termo para o segundo membro, finalmente obtemos a frmula de Bhskara!


Grfico da Equao 2 Grau.

Sua representao no plano cartesiano uma parbola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui

concavidade voltada para cima ou para baixo. A funo do 2 grau assume trs possibilidades de resultados ou

razes, que so determinadas quando fazemos f(x) ou y igual a zero, transformando a funo numa equao

do 2 grau.

Coeficiente a > 0, parbola com a concavidade voltada para cima

Coeficiente a < 0, parbola com a concavidade voltada para baixo

> 0 A equao do 2 grau possui duas solues distintas. A parbola intersecta o eixo das abscissas (x) em

dois pontos.

= 0 A equao do 2 grau possui uma nica soluo. A parbola ir intersectar o eixo das abscissas (x) em

apenas um ponto.

< 0 A equao do 2 grau no possui solues reais, portanto, a funo do 2 grau no intersectar o eixo

das abscissas (x).


Pontos notveis do grfico de uma funo do 2 Grau.

O vrtice da parbola constitui um ponto importante do grfico, pois indica o ponto de valor mximo e o

ponto de valor mnimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos sero definidos, observe:

Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parbola possuir valor mximo.

Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parbola possuir valor mnimo.

Outra relao importante na funo do 2 grau o ponto onde a parbola corta o eixo y. Verifica-se que o

valor do coeficiente c na lei de formao da funo corresponde ao valor do eixo y onde a parbola o

intersecta.


Aplicao da Funo do 2 Grau Definir rea.

Caso: Vamos supor que um avicultor pretende fazer um pequeno viveiro, de formato retangular, para alojar alguns pintinhos. Para esta tarefa ele comprou 6 metros de cerca. Pretende-se que a rea seja a mxima. Como proceder?

Queremos que o permetro seja de 6 metros. Ento, fica 2a + 2b = 6 - Se exprimirmos a em funo de b, teremos: 2a = 6 2b / a = 3 b. A rea da regio retangular dada pela formula: A = a.b, onde A a rea. Como a = 3 b, fica assim A = (3 b). b / A = 3b b Pretende-se saber quando a rea mxima. Determinemos ento o valor de b. Sabemos que 0 < b < 3. Vimos j que A = - b + 3b. Portanto utilizando a formula:

Desenhando o grfico desta funo obtemos:

O grfico sugere que a rea mxima no ponto em que a funo toma o maior valor, ou seja:

Ento, a rea mxima 2,25 para b = 1,5. Neste caso, a = 3 b a = 3 1,5 = 1,5. A rea mxima a = b = 1,5; isto quer dizer que uma superfcie quadrada.


Aplicao da Funo do 2 Grau Ponte Pnsil.

Tambm chamada pendente, a ponte pnsil ou suspensa pode vencer distancias ainda maiores que as em arco ou viga, de at 2.100 m. Seu tabuleiro sustentado por cabos de ao. A ponte suspensa apropriada para grandes vos livres, pois ela permite mxima leveza e um peso morto mnimo. Um exemplo a Golden Gate Bridge, com um vo livre de 1.280 metros. Caso: Vamos considerar que os cabos de suspenso de uma ponte (como na figura abaixo) esto presos a duas torres que distam 480 metros e tem 60 metros de altura. Os cabos tocam a ponte no centro. Determine a equao da parbola que tem a forma dos cabos. Observando a figura podemos ver que os cabos da ponte formam uma parbola cujo vrtice foi escolhido para a origem no plano cartesiano. Nesse referencial o ponto de coordenadas (240, 60) pertence parbola. Como a parbola tem a vrtice na origem sabe-se que uma equao do tipo y = ax Vamos descobrir o valor de a atravs das coordenadas dadas. 60 = a. 240 a = 1 960 Portanto a equao da parbola y = 1 . X 960 Veja o grfico:


Aplicao da Funo do 2 Grau Definir Produto.

O plstico derivado das resinas de petrleo. Pertencem ao grupo dos polmeros, com caractersticas especiais e variadas. So divididos em dois grupos de acordo com caractersticas de fuso: Termoplsticos e Termorrgidos. A reciclagem feita de 3 maneiras: Energtica, Qumica e Mecnica. Caso: empresa Plastilit planeja produzir um tipo de arquivo para pastas, a partir de um pedao retangular de plstico de 80 cm por 50 cm e, para isso, preciso fazer duas dobras no plstico ao longo do maior lado, formando o arquivo na forma de U. Que medida da altura x dever ter esse arquivo, para que seu volume interno seja mximo? A largura da pasta ser 80 2x, a altura vale x e a profundidade 50 cm.. O volume interno da pasta dado pelo produto das trs dimenses: V = 50 x (80 2x) = 4000x 100x O volume uma funo quadrtica em funo da altura x. n(t) = - 16t + 480t = -16 (t - 30) - 16 (t - 30 + 15 - 15) n(t) = - 16 (t - 30 + 15) + 3600 - 16 (t 15) + 3600 V(x) = - 100x + 4000x = - 100 (x - 40x) V(x) = - 100 (x - 40x + 20 - 20) = 100(x - 40x + 20) + 40000 - 100 (x 20) + 40000 A pasta dever ter 25 cm de altura na dobradura para um volume interno de 40.000 cm. Veja o grfico da funo:


Aplicao da Funo do 2 Grau Superfcies Parablicas.

Faris de carros: Se colocarmos uma lmpada no foco de um espelho com a superfcie

parablica e esta lmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir

sobre o espelho parablico do farol, os raios refletidos sairo todos paralelamente ao eixo

que contem o "foco" e o vrtice da superfcie parablica.

Antenas parablicas: Se um satlite artificial colocado em uma rbita geoestacionria

emite um conjunto de ondas eletromagnticas, estas podero ser captadas pela sua

antena parablica, uma vez que o feixe de raios atingir a sua antena que tem formato

parablico e ocorrer a reflexo desses raios exatamente para um nico lugar,

denominada o foco da parbola, onde estar um aparelho de receptor que converter

as ondas eletromagnticas em um sinal que a sua TV poder transformar em ondas que

por sua vez significaro filmes, jornais e outros programas que voc assiste

normalmente.

Lanamentos de projteis: Ao lanar um objeto no espao (dardo, pedra,

tiro de canho) visando alcanar a maior distncia possvel tanto na

horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto

aproximadamente uma parbola, se considerarmos que a resistncia do ar

no existe ou pequena. Sob estas circunstncias o ngulo de maior alcance

horizontal de 45 graus.

Foges Solares: possvel utilizar a radiao solar para

fins domsticos. Para isto deve-se concentrar essa

radiao em pequenas regies, utilizando-se de lentes ou

espelhos. Os foges solares usam material refratrio

parablico para a concentrao de calor. Os raios solares

incidem na superfcie do espelho e ao se refletirem

passam pelo foco. O calor concentrado neste ponto

suficiente para cozinhar alimentos.

Luz Solar Angulo

Termmetro

Alimento

Material

Metlico

Vrtice

Material

Refratrio

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Aplicao da Funo do 2 Grau Curvas de Oferta e Demanda.

So discutidas neste exemplo varias aplicaes das funes quadrticas em Administrao e Economia. Estas

aplicaes incluem curvas de oferta e demanda e seus respectivos equilbrios de mercado.

Curvas de Oferta e Demanda.

Os segmentos pertencentes ao primeiro quadrante, de vrios tipos de parbola so frequentemente apropriados

para representar funes de oferta e demanda, como ilustrado nos grficos abaixo.

Observe que cada curva apenas uma dentre uma famlia de curvas apropriadas para representar as funes

discutidas. Por exemplo, o vrtice da parbola abaixo pode localizar-se em qualquer parte do segundo quadrante

ou sobre o semi-eixo positivo de y contando que a parbola tenha intersees x e y positivas.


Aplicao da Funo do 2 Grau Equilbrio de Mercado.

O preo e a quantidade de equilibrio de mercado so aqueles representados pelas coordenadas do ponto de

interseo das curvas de oferta e demanda. Uma soluo aproximada para estas coordenadas pode ser obtida

geometricamente para qualquer curva de oferta e demanda. Entretanto, uma soluo algebrica simultanea, mesmo

para funes de oferta e demanda do segundo grau, pode envolver a resoluo de equaes do terceiro e quarto

grau. Uma vez que aqui no so discutidos a resoluo de grau superior a dois, o exemplo abaixo esta limitado a

resoluo da equao quadratica.

Caso: Ache o preo e a quantidade de equilibrio para as seguintes equaes de oferta e demanda (onde x

representa a quantidade e y, o preo.

Grfico do Caso acima.

Aplicações Da Função Quadrática

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