Aplicaciones Matemáticas_Tarea 1(2doParcial)
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Problema 1. DistanciaUtilice el mtodo de los multiplicadores de Lagrange para calcular la mxima y mnima distancia del punto (2, 1,-2) a la esfera cuya ecuacin es (por supuesto, la respuesta se podra obtener ms fcilmente utilizando un argumento geomtrico simple).Como la principal cuestin es la distancia del punto (2, 1,-1) a la esfera, se establece como ecuacin principal la ecuacin de distancia
La restriccin es que este punto (2, 1, -1) no se encuentre dentro de la esfera, entonces la restriccin es
Se deriva a (1) con respecto a: x, y, z
Se deriva a (2) con respecto a: x, y, z
Utilizando el mtodo de las multiplicaciones de Lagrange, se tiene que:
Se despeja a Se despeja a Se despeja a
Se sustituye en (2), por lo tanto
Se despeja
Se sustituye
Quedando
Ahora se sustituyen estos valores en (1)Primero se sustituyen los mximos (positivos, en este caso), quedando:
Ahora se sustituyen los mnimos (negativos, en este caso), quedando:
Por lo tanto la distancia mxima del punto a la esfera es 4 unidades y la distancia mnima del unto a la esfera es de 2 unidades.
Problema 2. DistanciaUtilice el mtodo los multiplicadores de Lagrange para calcular la mnima distancia entre las rectas x= y= z y x= -y, z= 2 (existen, por supuesto, formas mucho ms sencillas de obtener la respuesta. Esto es un ejemplo de matar moscas a caonazos).Ecuacin principal
Ecuacin Restrictiva
Se obtienen las derivadas de la ecuacin Principal
Se obtienen las derivadas de la restriccin
Se sustituyen , y en
Se despeja a y , obtenindose
Se iguala a cero y se sustituye
De la igualdad de a cero, se obtiene
Se sustituye los valores de z=2, y=0, x=2/3, en la ecuacin principal
Por lo tanto la distancia mnima entre las rectas es de unidades