Escuela de Turismo y Gastronomía

Aplicaciones de la derivada

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

Máximo relativo

El punto es un punto máximo relativo para la función , si hay un intervalo alrededor de en el cual para todos los en el intervalo. En este caso decimos que el máximo relativo se alcanza en y el máximo relativo es

Mínimo relativo

El punto es un punto mínimo relativo para la función , si hay un intervalo alrededor de en el cual para todos los en el intervalo. En este caso decimos que el mínimo relativo se alcanza en y el mínimo relativo es

Ejemplos

• Determinar los posibles puntos mínimos o máximos relativos de la función

• Determinar los posibles puntos mínimos o máximos relativos de la función

Funciones crecientes y decrecientes

Si es una función diferenciable en el intervalo entonces:

Si

Si

Diagrama de signos

Ejemplos

• Generar el diagrama de signos para la función

• Generar el diagrama de signos para la función

Para determinar si un punto de giro de una función es un punto máximo o un punto mínimo, a menudo es útil saber qué hace la gráfica de la función en intervalos a ambos lados del giro. Por tanto, una función es creciente si los valores de la función aumentan a medida que aumenta x, y en caso contrario se dirá decreciente.

La derivada puede cambiar de signo sólo con valores de , donde . Estos valores de se conocen como valores críticos. El punto que corresponde al valor crítico de es un punto crítico.

Entonces…

• Si tiene un máximo relativo en , entonces no está definida

• Si tiene un mínimo relativo en , entonces no está definida

Prueba de la primera derivada.Para encontrar los máximos y

mínimos relativos de una función

1. Encuentre la primera derivada de la función

2. Iguale la derivada a cero (0) y despeje los valores de que satisfacen

3. Sustituya los valores críticos en la función original para encontrar los puntos críticos

4. Evalúe en algunos valores de a la izquierda y a la derecha de cada punto crítico para construir un diagrama de signos

5. Use la información del diagrama de signos y puntos seleccionados para hacer la gráfica

Ejercicio

Para la función

a. Encontrar los máximos y mínimos relativos

b. Dibujar la gráfica de la función

Concavidad: Puntos de inflexión

Se dice que una curva es cóncava hacia arriba en un intervalo si en cada punto del intervalo, la curva está sobre su tangente.

Si la curva está debajo de todas sus tangentes es un intervalo dado, es cóncava hacia abajo en el intervalo.

De manera general…

Si la primera y segunda derivada de una función existe:

Si en un intervalo, entonces la gráfica de es cóncava hacia arriba

Si en un intervalo, entonces la gráfica de es cóncava hacia abajo

Puntos de inflexión

Un punto de la gráfica de una función recibe el nombre punto de inflexión, si la curva es cóncava hacia arriba en un lado y cóncava hacia abajo en el otro o viceversa.

Procedimiento para localizar puntos de inflexión y concavidad

1. Encuentre la segunda derivada de la función

2. Iguale la segunda derivada a cero (0) y despeje x

3. Encuentre los puntos de inflexión potenciales

4. Si la segunda derivada tiene signos opuestos en los dos lados de uno de estos valores de x, ocurre un punto de inflexión

Ejercicio

• Encontrar el punto de inflexión para a ecuación

Prueba de la segunda derivada

1. Encuentre los valores críticos de la función

2. Sustituya los valores críticos de para encontrar los puntos críticos

3. Evalúe en cada valor crítico para el cual a. Si , hay un máximo relativo en

b. Si , hay un mínimo relativo en

Ejercicio

Para la función

a. Encontrar los máximos y mínimos relativos

b. Graficar la función

Extremos absolutos

El valor de es un máximo absoluto de , si para todas las del dominio de (o un intervalo de interés)

El valor de es un mínimo absoluto de , si para todas las del dominio de (o un intervalo de interés)

MAXIMIZACIÓN DEL INGRESO

Si e ingreso de una empresa está dado por la ecuación:

- Qué cantidad debe vender la empresa de tal manera que maximice e ingreso