5/26/2018 Aplicaciones de Las Derivadas Parciales

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ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA

CLCULO II

Miscelneas de problemas

2013

Tema: Aplicaciones de las Derivadas Parciales.

1. Demuestre que el plano tangente al conoz= a2x2 +b2y2 pasa por el origen.

2. Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficiez= x2+y2 en el punto P(3, 4, 25).

3. Hallar las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficiez= x2

2 y2

en el puntoP(2,1, 1).

4. Demostrar que la recta normal al conoz= 3x2 + 3y2 intercepta al ejez.

5. Demostrar que la ecuacin del plano tangente a la superficiex2

a2+

y2

b2

z2

c2= 1, en un

punto cualquiera es:

x0x

a2 +

y0y

b2 z0z

c2 = 1.

6. Demostrar que todo plano tangente a la superficiex2 +y2 =z2 pasa por el origen.

7. Para la superficiex2 + 2y2 + 3z2 = 21hallar las ecuaciones de los planos tangentes a

ella que sean paralelos al planox+ 4y+ 6z= 0.

8. Hallar los valores de m para que el plano x 2y 2z+m = 0 sea tangente a la

superficiex2 + 4y2 + 16z2 144 = 0

9. Determinar el punto de la superficie z = xy + 5 en el que el plano tangente sea

horizontal.

10. Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficie xyz= a3 en un punto cualquiera

P0. Luego, demostrar que el volumen del tetraedro limitado por este plano y los

tres planos coordenados es constante e igual aV = 9a3/2.

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2 APLICACIONES DE LASDERIVADAS PARCIALES.

11. Demostrar que toda recta normal a la esferax2 +y2 +z2 =a2 pasa por su centro.

12. Hallar los puntos del elipsoide x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2 = 1en los que los planos tangentes corten

en los ejes coordenados segmento de igual longitud.

13. Hallar los puntos del elipsoide x2

a2 + y

2

b2 + z

2

c2 = 1 en los que la recta normal forme

ngulos iguales con los ejes coordenados.

Probar que cada par de superficies propuestos son tangentes en el punto dado:

14. x2 +y2 +z2 = 18; xy= 9; (3, 3, 0)

15. x2 +y2 +z2 = 3; xyz= 1; (1, 1, 1)

16. x2 +y2 +z2 8x 8y 6z+ 24 = 0; x2 + 3y2 + 2z2 = 9; (2, 1, 1)

Demostrar que cada par de superficies son mutuamente perpendiculares en el punto

dado:

17. x2 + 2y2 4z2 = 8; 4x2 y2 + 2z2 = 14; (2, 2, 1)

18. x2 y2 +z2 = 2; x2 +y2 + 3z2 = 8; (1, 2, 1)

19. x2 +y2 +z2 = 50; x2 +y2 10z+ 25 = 0; (3, 4, 5)

20. Probar que cada una de las superficies es perpendicular a las otras dos en el punto

(1, 2, 1):

14x2 + 11y2 + 8z2 = 66; 3z2 5x+y = 0; xy+yz 4xz= 0

En los problemas siguientes encontrar los puntos de mximo, mnimo ensilladura de

las funciones:

21. f(x, y) = x2y2(6 x y)

22. f(x, y) = xyln(x2 +y2)

23. f(x, y) = x2 2x+y2 + 3

24. f(x, y) = x2 +y2 + 4

25. f(x, y) = 6x 8y x2 y2

26. f(x, y) = xy + 50x

+ 20y

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APLICACIONES DE LASDERIVADASPARCIALES. 3

27. f(x, y) = 18x2 + 32y2 36x 128y 110

28. f(x, y) = x3 3axy+y3, a >0

29. f(x, y) = xy ln(x2 +y2)

30. Determinar los extremos de la funcin f(x, y) = x + y si los puntos (x, y) estnsujetos a la restriccinx2 +y2 = 1

31. Determinar los extremos de la funcinf(x, y) =exy si los puntos(x, y)estn sujetos

a la restriccinx+y= 2.

32. Determinar los extremos de la funcin f(x, y) =

6 x2 y2 si los puntos(x, y)

estn sujetos a la restriccin x+y = 2.

33. Determinar los extremos de la funcinf(x, y) = 25x2y2 si los puntos(x, y)estn

sujetos a la restriccinx2

+y2

4y= 0.

34. Determinar los extremos de la funcin f(x, y) = 2x+ 2xy+y si los puntos (x, y)

estn sujetos a la restriccin 2x+y= 100

35. Determinar los extremos de la funcin f(x, y) = x + y si los puntos (x, y) estn

sujetos a la restriccinxy = 1

36. Determinar los extremos de la funcinf(x, y, z ) = x2 +y2 +z2 si los puntos(x,y,z)

estn sujetos a la restriccin 3x 2y+z 4 = 0

37. Determinar los extremos de la funcin f(x,y,z) = xyzsi los puntos (x, y, z )estn

sujetos a la restriccin 1x

+ 1y

+ 1z

= 1

38. Determinar los extremos de la funcinf(x, y, z ) = x2 +y2 +z2 si los puntos(x,y,z)

estn sujetos a la restriccin 3x+ 2y 7z= 5.

39. Hallar el mnimo de la funcin f(x, y) = 5x2 + 6y2 xy si los puntos(x, y) estn

sujetos a la restriccinx+ 2y 24

40. Hallar el mximo de la funcin f(x, y) = 12xy x2

3y2

si los puntos(x, y)estnsujetos a la restriccinx+y 16

41. Hallar el mnimo de la funcin f(x, y) = x2 + 2y2 xy si los puntos (x, y) estn

sujetos a la restriccinx+y 8.

42. Hallar los puntos de la curvax2 + 2xy + 2y2 = 100que estn mas prximos al origen.

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4 APLICACIONES DE LASDERIVADAS PARCIALES.

43. Determinar tres nmeros positivos cuya suma sea 21, de manera que su producto

sea mximo.

44. Determinar el punto del planox+ 2y+z= 1ms cercano al origen.

45. Encontrar todos los puntos de la superficiexyz= 8 que estn ms cercanos al origen.

Obtener la distancia mnima.

46. Encontrar los puntos de la superficiex2 +y2 +z2 = 36ms prximo y ms alejado

del punto(1, 2, 2)

47. Un contenedor (en forma de slido rectangular) atiene un volumen de 480 m3.

Hallar las dimensiones que hacen mnimo el costo de fabricacin, sabiendo que el

fondo cuesta 5Bs. el m2, mientras que los laterales y la cubierta superior cuestan

3Bs.elm2.

48. Determinar los puntos de la superficiez= xy +5que sean los ms cercanos al origende coordenadas.

49. Encontrar tres nmeros positivosx, y, z tales quex+ y+z= 1y adems hagan que

la cantidadxy+xz+yzsea tan grande como sea posible.

50. Encontrar los puntos de la curva de interseccin del elipsoidex2 + 4y2 + 4z2 = 4y

el llanox 4y z= 0que sean los ms cercanos al origen de coordenadas. Hallar

esta distancia mnima.

51. Encontrar el mximo de xyzdonde x,y,zson positivos, tal que se cumpla la ecuacinx+ 3y+ 4z= 108.

52. Hallar el punto de la esferax2 + y2 + z2 = 4que se encuentra ms alejado del punto

(1,1, 1).

53. Hallar la mnima distancia que existe entre la curvay2 =x+ 2y el origen.

54. Encontrar la mnima distancia entre el origen de coordenadas y el plano de ecuacin

3x+ 6y+ 2z 28 = 0.

55. Hallar el mximo volumen de una caja, si la suma de las longitudes de las aristas

debe se igual al valora.

56. Determinar las dimensiones del paraleleppedo con caras paralelas a los planos

coordenados, de mximo volumen que est en el primer octante limitado por los

planos coordenados y el planox+ 2y+z= 6

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APLICACIONES DE LASDERIVADASPARCIALES. 5

57. Hallar las dimensiones del paraleleppedo de rea 600cm2 que tenga el mayor vo-

lumen posible.

58. Si la base de una caja rectangular cuesta 4 Bs.por cm2, la tapa y los lados cuestan

2Bs. por cm2. Hallar las dimensiones de la caja de volumen mximo que cueste

72Bs.

59. Si la tapa y base de una caja rectangular cuestan 4 Bs. porcm2,las caras laterales

cuestan 2Bs. por cm2. Hallar las dimensiones de la caja de costo mnimo, si su

volumen debe ser de 2000cm3.

60. Determinar las dimensiones de un envase cilndrico sin tapa, que debe contener un

litro de lquido, de tal modo que en su fabricacin se requiera la mnima cantidad

de material.

61. Calcular las aristas del mayor paraleleppedo rectangular que tiene tres caras en los

planos coordenados y el vrtice opuesto en el planox

a+

y

b+

z

c= 1

62. Determinar el paraleleppedo rectangular de mximo volumen y lados paralelos a

los planos coordenados, que puede inscribirse en el elipsoidex2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1.

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