La integral surge de un problema geométrico: el problema del área.

Además de esta aplicación geométrica, mediante una integral podemos calcular el volumen de un sólido de revolución, el área de una superficie de revolución y la longitud de arco de una curva.

Entre las aplicaciones físicas, podemos destacar el trabajo realizado por un fuerza y el cálculo de la masa y el centro de masa de una varilla.

Si es una función continua tal que para todo , entonces el área de la región R que se muestra en la figura:

𝑎 (𝑅 )=∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

Ejemplo: El área de la región R limitada por el intervalo [-1,2] es:

Notación:

Integración directa

Teorema Fundamental del Cálculo

Si es continua y para todo , entonces es continua y para todo , como se muestra en la siguiente figura:

Entonces:

Ejemplo: El área de la región R de la figura es:

Notación:

Integración directa

Teorema Fundamental del Cálculo

Si es continua y no tiene signo constante, como es el caso de la siguiente figura:

Se tiene que:

Ejemplo: El área de la región

donde:

Actividad:Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función y el eje X en cada uno de los siguientes casos:

(a): (b):

(c): (d):

(d):