T13 Integral Definida Aplicaciones solucionario matematicas 2 bach anaya
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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APLICACIONES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
Ixx
Long.curvavolumenÁREA
C.G
UBICACIÓN DEL TEMA
Integral definida
b
a
dxf(x)
Teoremas F.del CIntegral (R.Barrow)
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
presión trabajo Steinner
Varignón
GEOMÉTRICAS FÍSICAS
integral indefinida
f(x).dx
y = f (x)
derivada de una funciónf’(x)
APLICACIONES
lim f (x)x0
continuidad
Se desea cubrir el contrafrente
del galpón cuya sección y
medidas se indican. Determine
el costo de hacerlo, si se
utilizarán chapas que cuestan
$35. el m2.
2m
SITUACION PROBLEMÁTICA
SITUACION PROBLEMÁTICA
Se desea colocar una mampara vidriada en los accesos a la pérgola que se indica. La forma, sección y medidas se indican el croquis que se adjunta. Determine la cantidad de vidrio necesario (m2)
En el terreno libre de la FAU, adyacente a los talleres, se va a construir un
galpón que servirá de depósito de los elementos empleados en el Proyecto
Bambú. Se desea cubrir con chapas el contrafrente del galpón, cuya
estructura de cubierta está formada por arcos de filigrana con arco superior
de forma parabólica. De acuerdo al análisis de necesidades, las medidas
adecuadas son las indicadas en el gráfico.
Se pide que calcule, en m2 , la superficie a cubrir.
8m
3m4m
AREA DE UNA REGIÓN PLANA
y= f(x)
a b
Demostración
Consideremos una región R del
plano limitada por el eje de las
abscisas (en este caso x), las
rectas x = a y x = b y la curva
y= f(x), grafica de una función
f(x) continua y positiva en el
intervalo cerrado [a,b]
R
Realicemos una partición regular de [a, b]
La misma divide al intervalo en n
subintervalos cerrados de igual longitud.
[a = x0, x1], [x1, x2],… [xn-2, xn-1], [xn-1, xn =
b]
También consideremos puntos c a cada
subintervalo, así:
bn
xnxxa
n
abP ,1
,...i
x,1-i
x...,,1
x,0
c1 a, x1
c2 x2,x3
.
.
. cn xn-1,xn
a=x0 x1 x2 xi xn-1 xn=bc1 xi-1c2 ci cn
Para determinar una aproximación del
área de la región R consideramos una
serie de rectángulos R1,…Rn ,
• cuyas bases son los subintervalos antes
definidos
x0 ,x1 , x1 ,x2 ,…, xi-1,xi ,…, xn-1 ,xn Δx1 Δx2
Δxi=xi-xi-1 Δxn
• y cuyas alturas están dadas por el valor de f(x) en los puntos ci del
subintervalo considerado.
f(c1)
x1
f(c2)f(c3)f(c4)
f(ci)
f(cn)x2 xi xnx3
El área de cada rectángulo Ri es :
A(Ri)= f(ci) .
Δxi
La suma de las medidas de áreas de los n rectángulos nos da una
aproximación del área de la región R:
A( R) f(c1) .Δx1 + f(c2) .Δx2 + … + f(ci) .Δxi + … + f(cn) . Δxn
La cuál podemos expresar:
n
iii xcfA
1
)(
SUMA DE RIEMMAN
Para mejorar esta aproximación de la
medida del área de la región, A(R),
aumentamos la cantidad de
rectángulos:
Si repetimos este procedimiento (n),
en cada paso tendremos una mejor
aproximación a la medida del área
A(R) y así se llegara hasta un valor
límite que no es otra cosa que el
ÁREA DE LA REGIÓN R.
Simbólicamente
n
i
iin
xcfRA1
)(lim)(
Si este limite existe se le asigna un nombre: INTEGRAL DEFINIDA
DE f en [a,b], y una notación especial:
Con lo que la expresión (1) queda
b
adxxfA ).(
ix).
n
1i if(c
nlim
b
adxxf )(
Sea una función f continua y positiva en
el intervalo cerrado [a,b], la medida del
área de la región R del plano, acotada por
la grafica de la función y = f(x), el eje x y
las rectas x = a y x = b está dada por
b
adxxfA ).(
a b
y=f(x)
ÁREA ENTRE CURVAS
El área de la región encerrada por las
funciones y= f(x) y y= g(x) en el
intervalo cerrado [a,b] está dada por
b
a
dxxgxfA .)()(
y=f(x)
y=g (x)
a b x
f(x)-g(x)
x
y
A .M
CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA REGIÓN PLANAMasa de la sección plana
V .MMasa de la sección plana Densidad
Medida del áreade la región plana R
Momento de masa
yMM x . xMM y .
CENTROIDE DE LA REGIÓN PLANA
M
My x
M
Mx y
x
y
M
ii x . f(ci) . A . iM
x . f(ci) .n
1i M
dx )( .b
a xfM
xi
f(ci)
a b
y=f(x)
M
Masa de la región
f(ci) 2
1.. i iii MyMMx
x . f(ci) .2
1 n
1i
2 xM
dx )( .b
a
2 xfM x
xi
f(ci)
Momento de masa
iii xcifxcifMx .)(.2
1f(ci)
2
1.).(. 2
dx )(. .b
a xfxM y
CENTROIDE DE LA REGIÓN PLANA
b
a
x dxxfAM
My 2)(
2
1
b
a
y dxxfxAM
Mx )(.
1
yi
a b
y=f(x)
x
y
Determine, aplicando integrales, el centroide de un triángulo de base
b y altura h. Verifique con geogebra.
Ecuación de la recta que determina la sección plana:
integralesMedida del área de la
sección plana:
geometría
hxb
hy
2
.hbA
Coordenadas del centroide:
bdxxb
hhxdxxfx
Ax
b
a3
1.
b.h
2 )(.
1b
0
hdxxb
hhdxxf
Ay
b
a3
1.
b.h
1 )(
2
1b
0
22
TEOREMA DE VARIGNÓN
El momento estático de la resultante de dos o mas fuerzas
concurrentes respecto a un punto contenido en el plano de las
mismas, es igual a la suma algebraica de los momentos estáticos de
las fuerzas componentes con respecto al mismo punto.
221.1 .F F . xxxR
Si consideramos que F = A ya que la densidad es constante y trabajamos con secciones planas de área A podremos emplear la expresión de Varignón para encontrar el CENTRO DE GRAVEDAD de figuras planas:
n
n
iA
ixiA
gx
1
1
.
n
n
iA
iyiA
gy
1
1
.
F1
F2
R=F1+ F2x1
x2
x
TEOREMA DE STEINER
El momento de inercia de un sólido rígido
respecto a cualquier eje paralelo a un eje
que pasa por el centro de masa, es igual
al momento de inercia con respecto al eje
que pasa por el centro de masa más el
producto de la masa por el cuadrado de
la distancia entre los dos ejes:
2m.d gI xxI
En el caso de secciones rectangulares:
d
x
x
bh
d
x
x2A.d gI xxI
2b.h.d 12
3b.h xxI
Al momento de inercia es un concepto de gran importancia en toda
consideración analítica-estructural. Es un valor dependiente de su
sección en función de su posición, tamaño y forma de la misma y
determina su capacidad de resistencia a la deformación elástica.
Si consideramos dos secciones de igual área pero apoyadas de distinta forma:
10
40
20
20
La sección colocada de canto será capaz de soportar mayor carga porque su
forma es mas apta para el trabajo de flexión.
INTEGRAL DEFINIDA
ix).
n
1i if(c
nlim
b
adxxf )(
Sea una función f definida en el intervalo
cerrado [a,b], la INTEGRAL DEFINIDA de f
en [a, b] simbolizada por
está dada por:
Si el límite existe
b
a
dxxf )(
y
y=f(x)
0 a b x
SEG
UN
DO
TEO
REM
A
FUN
DA
MEN
TAL
DEL
CÁ
LCU
LO
Si f es una función continua en el intervalo [a,b]
y F(x) es una primitiva particular de f(x) en [a , b]
entonces
F(a) F(b)f(x)dxb
a
n
i
ix
1
...........
SUMA DE RIEMMAN