aplicaciones de fourier
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Introducción
La Transformada de Fourier es una herramienta matemática que tiene un
uso muy amplio en lo referente al tratamiento digital de señales, se encuentra
implementada bajo la forma de dispositivos electrónicos de reconocimiento
de voz e imagen; puede ser aplicada a varios campos como análisis
espectral, ecuaciones diferenciales, resolución de problemas elásticos
estacionarios y dinámicos, etc.
El presente trabajo, enlaza los aspectos teóricos con la aplicación práctica de
la Transformada de Fourier en el procesamiento digital de imágenes
mediante el desarrollo de aplicaciones que implementan los algoritmos de la
Transformada Rápida de Fourier, los mismos que son explicados y
analizados de una manera clara y didáctica, en un texto de nivel superior
orientado a los estudiantes de Informática, Sistemas y Ciencias de la
Computación el cual se encuentra en construcción
La Transformada de Fourier
Una de las herramientas matemáticas más útiles en ciencia es la
transformada de Fourier (TF). Sus aplicaciones van desde la teoría de la
señal hasta la Climatología, pasando por la Geografía e incluso la Biología.
En relación a la Astronomía, hay muchos campos en los que es útil aplicarla.
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HISTORIA DE LA RESONANCIA MAGNÉTICA DE FOURIER
La resonancia magnética médica ha producido una revolución en la medicina
y en particular en la imaginología. En su historia se mezclan matemáticos,
físicos, químicos, ingenieros y médicos que desarrollaron conceptos sin una
relación aparente ni una utilidad inmediata y que lograron articular una
técnica de resultado impresionante, aunando elementos tan diversos como:
transformadas de Fourier y Radon, el concepto de spin, el spin nuclear, la
medición de los momentos magnéticos en el neutrón, en el protón, en la
materia condensada, en los tejidos, la solución de ecuaciones integrales, la
retroproyección, la difusión, los gradientes, la codificación de la señal en
frecuencia espacial, el espacio-K, las transformadas dobles de Fourier y la
imagen. Resulta extraordinariamente interesante notar en la historia de la
resonancia magnética la intrincada red de personajes que participaron y que,
descubrimientos sin aparente relación en diferentes campos, y sobre todo sin
una utilidad inmediata para la época, se articulan hoy produciendo una
revolución en el estudio y diagnóstico de los pacientes en la medicina. La
historia de la resonancia magnética es un magnífico ejemplo de que en
ciencias nadie sabe para quién trabaja.
la transformada de Fourier en la resonancia magnética:
Si G y g son funciones continuamente diferenciables y rápidamente
convergentes a cero, entonces se llama transformada de Fourier esta
expresión que nos muestra cómo una función continua se puede expresar
como la suma infinita (integral) de funciones trigonométricas basadas en la
ecuación de Euler: eie = cos θ + isen θ, es una expresión fundamental en el
corazón de buena parte de la tecnología de hoy (1,2). Se encuentra originada
en el extenso y original trabajo del matemático francés Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768-1830). Fourier era hijo de un sastre y, educado por los
benedictinos, fue ingeniero y matemático. Ejerció una cátedra militar de
matemáticas. Acompañó a Napoleón en su expedición oriental de 1798 y fue
nombrado gobernador del Bajo Egipto. De regreso en Francia en 1801, inició
sus estudios sobre la propagación del calor que condujeron a la publicación
de su obra cumbre en 1822: "Théorie analytique de la chaleur". En esta obra,
Fourier estudió la ecuación diferencial del flujo de calor y, como parte de ello,
intentó demostrar que cualquier función diferenciable puede ser expandida
en una serie trigonométrica. Trabajos posteriores de los matemáticos
Dirichet, Riemann, Lebesgue, Ardí, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg,
Weil, Weyl y Radon con su transformada (de Radon o de rayos X) han
desarrollado y completado la teoría (1,3). Este paso, aparentemente
irrelevante para la medicina en su época, es esencial tanto en la tomografía
computada como en la resonancia magnética médica de hoy,
la transformada de Fourier en La físico-química
El siguiente avance se le debe a E. L. Hahn en 1949(20) quien surgió la idea
de Bloch, de producir una corta excitación mediante un pulso de
radiofrecuencia, induciendo una señal hoy conocida como FID (Free
Induction Decay), base de las secuencias usadas actualmente. El trabajo de
E. Hahn se publicó como una carta al editor en Physical Review en 1950. En
enero de 1950 se dio a conocer también por dos grupos independientes en el
mismo número de la revista Physical Review: "The dependence of a nuclear
magnetic resonance frequency upon chemical compound", de W.G. Proctor y
FC. Yu(21), estudiantes de Bloch en Stanford y "Dependence of the 19F
nuclear resonante position on chemical compound" de W. C. Dickinson del
MIT(22). En el primero se da cuenta del desplazamiento químico del 15N y
en el segundo del mismo fenómeno en el 19F También en ese año, HS
Gutowsky y CJ Ho-ffman(23) descubrieron la naturaleza química asociada al
desplazamiento químico, describiendo el fenómeno conocido como
acoplamiento escalar spin-spin, que ocurre cuando dos grupos de protones
no equivalentes producen desdoblamiento mutuo de sus señales, de gran
utilidad analítica en RM química.
En 1965, se publicó un trabajo que recién hoy comienza a tener
repercusiones en medicina. Se trata de "Spin difussion meassurements: spin
echoes in the presence of a time-dependent field gradient" de E. O. Stejskal y
J. E. Tanner(24) donde se establece la secuencia básica de las señales de
difusión del protón, hoy de gran interés en RM médica. Sin embargo, en 1966
se publica un extraordinario avance que cambiaría la dirección del desarrollo
de la RM: "Application of Fourier transform spectroscopy to magnetic
resonance" en Review of Scientific Instruments de Richard R Ernst y Wess W
Anderson (2526). Curiosamente, este trabajo fundamental fue rechazado dos
veces en el Journal of Chemical Physics por ser muy técnico y no lo
suficientemente original (25).
En este trabajo, los investigadores aplican una nueva técnica de
transformada de Fourier a la espectroscopia por RM. Utilizando la FID de
Hahn y analizando la transformada de la respuesta del sistema, aumentando
la razón señal/ruido además de abrir las puertas al análisis computacional de
las señales, reduciendo significativamente el tiempo de registro. Sin
embargo, en palabras de Ernst: "cuando uno considera el complicado
tratamiento de los datos adquiridos en un computador CAT 400, en papel,
luego siendo transferidos a tarjetas perforadas a un IBM San José, luego
traspasados a cinta magnética en el Service Bureau Corporation, Palo Alto,
para realizar la transformada de Fourier en un IBM 7090 y dibujados en un
Calcom Plotter, nadie podría haber estado convencido de un ahorro en
tiempo"(25). El físico-químico suizo Richard R. Ernst fue distinguido con el
premio Nobel de Química de 1991 (Figura 8) por su gran contribución al
avance de la espectroscopia por RM. El trabajo de Ernst, pone de relevancia
la importancia del trabajo de Fourier y sin duda repercute en todo el
desarrollo posterior de la técnica, no sólo en la química, donde permaneció
muchos años y sigue desarrollándose, sino también en la medicina.
Richar R. Ernst, físico-químico suizo, quien aplicó una nueva técnica de
transformada de Fourier a la espectroscopia por RNM, sentando las bases de
toda la tecnología moderna. Además participó en la creación del algoritmo
actual de transformación de la señala las imágenes mediantes transformadas
dobles de Fourier.
la transformada de Fourier en la Electricidad
La tensión que se suministra a los usuarios y la corriente resultante de sus
equipos deberían se ondas senoidales perfectas de 60 Hz, sin embargo, las
no linealidades presentes en el sistema y en las cargas de los usuarios,
causan distorsión en las formas de onda de tensión y corriente. Las cargas
no lineales producen corrientes no senoidales (alto contenido de armónicas)
a pesar de que se alimenten de una tensión senoidal pura. La distorsión de la
corriente provoca la distorsión de la tensión cuando fluye por las impedancias
de la red eléctrica.
• Las principales causas de la producción de armónicas son las siguientes:
Distorsión debida a la saturación magnética de materiales.
Configuración geométrica de máquinas eléctricas.
Comportamiento no-lineal de las cargas, es decir, comportamiento de
interrupción periódica repetitiva en circuitos eléctricos.
• Efectos de las armónicas en la red eléctrica desde el punto de vista técnico
Desde el punto de vista técnico, las armónicas producen una serie de efectos
negativos, que se resumen en lo siguiente:
Incremento de pérdidas en la red eléctrica y equipos.
Disminución de la vida útil de los equipos.
Pérdida de la calidad y de la confiabilidad del sistema eléctrico.
Aunque las corrientes armónicas de las cargas son las responsables de la
distorsión de la tensión, una carga individual no puede controlar dicha
distorsión, porque también depende de las corrientes solicitadas por el resto
de las cargas y de la impedancia del sistema eléctrico.
Por tanto, una misma carga provocará diferentes niveles de distorsión en la
tensión en función de donde se encuentre dentro del sistema eléctrico. El
reconocimiento de esta circunstancia da lugar a la división de las
responsabilidades en el control de la distorsión armónica.
La norma IEEE 519-1992, establece una serie de recomendaciones y
requisitos para el control de las armónicas en los sistemas eléctricos y
especifica lo siguiente:
El control de la cantidad de armónicas de corriente inyectadas al sistema
eléctrico la deberá tener el consumidor.
Si se asume que la inyección de armónicas de corriente se encuentra
dentro de límites razonables, el control de la distorsión de tensión lo deberá
ejercer la entidad que tiene el control de la impedancia del sistema eléctrico,
que generalmente será la compañía suministradora.
En el sistema eléctrico, las armónicas pueden provocar resonancias serie y
paralelo entre las impedancias propias del sistema y los elementos
capacitivos conectados al mismo (generalmente bancos de compensación de
reactivos y filtros pasivos), lo que puede dar lugar a la aparición de tensiones
excesivas y a la circulación de corrientes elevadas por los bancos de
capacitores.
• Técnicas para mitigar las armónicas en redes eléctricas
Reducir la aportación de corrientes armónicas
Utilizar filtros sintonizados
Modificar la respuesta a la frecuencia del sistema eléctrico
Filtros activos
Filtros pasivos
la transformada de Fourier en teledetección
Podríamos decir que se puede estudiar el uso de la Transformada de Fourier
como representación alternativa de una imagen o señal, y también para la
resolución de sistemas de ecuaciones. En concreto se emplea en la
resolución de ecuaciones lineales que llevan asociadas matrices circulantes.
Aparte del filtrado convencional, la transformada de Fourier constituye una
herramienta con aplicaciones en campos muy diversos, entre los que
podemos citar con respecto a l tema que nos ocupa los siguientes.
la transformada de Fourier en el tratamiento de imágenes
Un factor intrigante de las formas de ondas complejas, es el hecho de que se
componen de ondas simples. De acuerdo con el Teorema de Fourier cada
onda compleja periódica es una serie (familia) de ondas sinusoidales simples
e incluye muchos armónicos. Es término armónico describe las relaciones
entre las ondas, donde cada una tiene frecuencias que son múltiplos de la
onda dominante (la amplitud más fuerte). Es segundo armónico tiene dos
veces la frecuencia de la onda fundamental y el tercer armónico tiene tres
veces la frecuencia fundamental.
El teorema de Fourier predice que una onda compleja puede reducirse a una
serie de ondas simples. Lo contrario también es cierto: una serie de ondas
simples pueden combinarse para dar una onda compleja.
Esta es la utilidad práctica del Teorema de Fourier. Hay efectos especiales
que solo se consiguen manipulando el sonido que cae dentro de un estrecho
rango de frecuencias. Por ejemplo un micrófono barato puede distorsionarse
excesivamente la señal a 10 kHz, pero en cambio funcionar razonablemente
bien con un ancho de banda más bajo.
Mediante la técnica denominada ecualización que manipula la forma de la
respuesta en frecuencia de una señal, es posible reducir la intensidad de las
frecuencias en torno a 10 kHz para crear una señal que suena como si se
hubiera grabado con un micro mucho mejor y con un ancho de banda más
bajo. Esta manipulación se puede llevar a cabo en un PC mediante un
algoritmo conocido como FFT (Transformada Rápida de Fourier).
Este ejemplo específico de ecualización también se puede realizar mediante
un sistema analógico de circuitería de audio con tan solo un bajo coste. Sin
embargo, ecualizaciones más complejas, así como efectos especiales (tales
como cambiar la velocidad de reproducción de una voz sin cambiar el tono
de la persona), no son fáciles de llevar a cabo con circuitos analógicos.
La técnica FFT también es la base de la mayoría de los programas de
reconocimiento de la voz y un lugar común en la aplicaciones tanto
comerciales como
la transformada de Fourier en Biomedicina
En el analsis de señales biomédicas, es la aplicación mas popular y también
procesamiento de imágenes como las del fMRI, se utiliza transformada de
fourier.
En análisis de señales de EEG (electro encefalografía), ECG, MEG, EMG,
todas las señales del cuerpo que se puedan adquirir y pasar a una
computadora. Lo que se quiere al final es ver el contenido de frecuencias de
la señal biomédica.
Ahora, hoy en día nadie usa la FFT a secas por si sola, es demasiado
"ruidosa" se utiliza acompañada de otros algoritmos para reducir la varianza
del estimador FFT, como el Periodograma de Welch.
Otras Aplicaciones
Recientemente, la demanda para la identificación ha aumentado. Por la
rápida innovación tecnológica en la industria eléctrica y semiconductor,
varios FTIR han sido usados para la identificación de micro-contaminación en
las puntas IC. Además de ello, en las compañías farmacéuticas han sido
usados para la identificación de materias primas y otros. Y también, en varios
campos más, tales como: forense, industrias, químicas, MP3, Reducción de
ruido en señales, como el ruido blanco, Análisis en frecuencia de cualquier
señal discreta, Tratamiento de imagen (JPEG)) y audio, Análisis de
materiales y estadística, Síntesis, mediante la transformada inversa IFFT
En ciencias, nadie sabe para quien trabaja
Conclusión
La transformada de Fourier tiene una multitud de aplicaciones en muchas
áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la
combinatoria, el procesamiento de señales, la teoría de la probabilidad, la
estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En
procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse
como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias
diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.
La transformada de Fourier es una operación que se realiza sobre
funciones. Lo que Fourier demostró en realidad es que cualquier función que
cumpla una serie de condiciones razonables (las condiciones de Dirichlet) es
equivalente a su transformada. Estas condiciones razonables se cumplen
para la mayoría de las funciones con las que vamos a topar, por lo que se
puede decir que la TF se puede aplicar casi siempre en el análisis de series
temporales en Astronomía.