Aplicaciones
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Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
91
Por lo tanto, la región D se define como:
( ){ }2 3, 1 0D x y x x x y x x= − ≤ ≤ + ≤ ≤ −
La integral de volumen queda como:
3
2
0 3 3
11
x x
x xV x y xy dydx
−
+− = + + ∫ ∫
13 90 11 8 7 6 3 2
1
7 5174 2 24 4 1260
x xV x x x x x x x dx−
= − + − − − + − − =
∫
3 3 51711260D
V x y xy dA = + + = ∫∫
3.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANA
A continuación, se explica como determinar la masa de una figura
plana no homogénea, de área D , como la región mostrada en la
figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en
cada punto ( )x, y D∈ .
Figura 3.16
Región D no homogénea
La densidad tiene unidades de masa por área unitaria. Para esta aplicación, considere que la función densidad ρ es continua en la región D .
En la figura 3.16 la región D es no homogénea, por lo cual su sombreado no es uniforme. Adicionalmente: ( ) ( )0x, y x, y Dρ = ∀ ∉
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Si se escoge un punto arbitrario ( )* *i j ijx , y D∈ , entonces la masa
de este subrectángulo, denotada como ijm , se obtiene como:
( )* *,ij i j ijm x y Aρ= ∆ (III.6)
Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puede
estimar mediante la doble suma de Riemann:
( )* *
1 1,
n m
i j iji j
m x y Aρ= =
≈ ∆∑∑ (III.7)
Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la
norma de la partición P tienda a cero, se tiene:
( )* *
0 1 1,
n m
i j ijP i jm Lim x y Aρ
→= =
= ∆∑∑ (III.8)
( ) ( )* *
0 1 1, ,
n m
i j ij DP i jm Lim x y A x y dAρ ρ
→ = =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.9)
Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene
mediante:
MASA DE UNA FIGURA PLANA
Considere una lámina plana de densidad variable ( )x, yρ ,
que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa,
denotada m , se obtiene como:
( ),D
m x y dAρ= ∫∫ (III.10)
El cálculo de masa de una región D , también puede emplearse para calcular la carga eléctrica, Q, distribuida sobre una región D .
( ),D
Q x y dAσ= ∫∫
Donde σ es la función densidad de carga.
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Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas 2 1x y= − y 22 2x y= − , cuya densidad es igual a la unidad.
Solución:
Recuerde que la densidad se calcula como ( ),D
m x y dAρ= ∫∫ , por
lo tanto para esta placa se tiene:
Dm dA= ∫∫
Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de
integración.
Figura 3.17
Región D del ejemplo 3.7
Entonces la región D está definida como:
( ){ }2 22 2 1 1 1D x, y y x y y= − ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤
Por lo tanto:
( )2
2
1 1 1 2
1 2 2 1
413
y
ym dxdy y dy
−
− − −= = − =∫ ∫ ∫
2
2
1 1
1 2 2
43
y
ym dxdy
−
− −= =∫ ∫
EJEMPLO 3.7
Valor de x a la salida de D
2 1x y= −
Valor de x a la entrada de D
22 2x y= −
D
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Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas
23 6 42
y x x= − + y 2 2y x= − , cuya densidad varía de acuerdo a la
función ( ) 1 2x, y xρ = + .
Solución:
El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble
( ),D
m x y dAρ= ∫∫ , por lo tanto:
( )1 2D
m x dA= +∫∫
A continuación se muestra la región D.
Figura 3.18
Región D del ejemplo 3.8
Entonces:
( ) ( ) ( )1 2
1 2 1 2 1 2D D D
m x dA x dA x dA= + = + + +∫∫ ∫∫ ∫∫
Donde
( )
( )
21
22
30 2 6 4 2 4232 4 6 4 2 42
D x, y x x x y x
D x, y x x x y x
= ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ − + = ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ −
Según la definición del valor absoluto
2 2 02
2 2 0
x si xx
x si x
− − ≥− = − − <
entonces
2 4 2
4 2 2
x si xy
x si x
− ≥= − <
EJEMPLO 3.8
La región D debe dividirse en dos regiones tipo 1, tal que:
1 2D D D= ∪ D
2 4y x= −
23 6 42
y x x= − +
2 4y x= − +
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En la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtener
la masa de la placa con la forma de la región D.
Figura 3.19
Región D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1
Entonces:
( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 43 30 6 4 2 6 42 2
1 2 1 2x x
x x x xm x dydx x dydx
− −
− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫
2 43 2 3 2
0 2
13 293 4 8 3 82 2
m x x x dx x x x dx = − + + + − − + − ∫ ∫
40 80 403 3
m = + =
( )1 2 40D
m x dA= + =∫∫
D1
D2
Valor de y a la salida de D1
4 2y x= −
Valor de y a la salida de D
2 2 4y x= −
Valor de y a la entrada de D1
23 6 42
y x x= − +
Valor de y a la entrada de D2
23 6 42
y x x= − +
2x =
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3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS
El momento estático de una partícula alrededor de un eje se
define como el producto de su masa y la distancia que la separa
de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los
momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes
coordenados.
Considere una lámina o placa plana D , dividida en
subrectángulos ijD , tal como se muestra en la siguiente figura:
Figura 3.20
Región general D no homogénea
Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada
subrectángulo ijD , denotado como ijxM , viene dado por:
( )* * *,ijx j i j ijM y x y Aρ= ∆ (III.11)
Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada
subrectángulo, se tiene que:
( )* * *
1 1,
n m
x j i j iji j
M y x y Aρ= =
≈ ∆∑∑ (III.13)
Los momentos estáticos son momentos de “equilibrio”.
xM es una medida de la tendencia a girar en torno al eje x, análogamente,
yM es una medida de la
tendencia a girar alrededor del eje y.
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Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta
en la expresión anterior:
( )* * *
0 1 1,
n m
x j i j ijP i jM Lim y x y Aρ
→ = =
= ∆∑∑ (III.14)
( ) ( )* * *
0 1 1, ,
n m
x j i j ij DP i jM Lim y x y A y x y dAρ ρ
→ = =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.15)
Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se
denota yM , se obtiene como:
( ) ( )* * *
0 1 1, ,
n m
y i i j ij DP i jM Lim x x y A x x y dAρ ρ
→ = =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.16)
MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS
Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la función 2:ρ → , la cual es continua
( )x, y D∀ ∈ , entonces el momento estático alrededor del eje x,
denotado xM , se obtiene como:
( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ (III.17)
Mientras que el momento estático alrededor del eje y,
denotado yM , se calcula como:
( ),y DM x x y dAρ= ∫∫ (III.18)
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Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.7.
Solución:
Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera:
( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ y ( ),y D
M x x y dAρ= ∫∫ .
Entonces:
( )2
2
1 1 1 2
1 2 2 11 0
y
x yM ydxdy y y dy
−
− − −= = − =∫ ∫ ∫
2
2
1 1 1 4 2
1 2 2 1
3 3 832 2 5
y
y yM xdxdy y y dy
−
− − −
= = − − + = − ∫ ∫ ∫
Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma
de la región D del ejemplo 3.7 son:
0
85
x D
y D
M ydA
M xdA
= =
= = −
∫∫
∫∫
Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.8.
Solución:
Los momentos estáticos se calculan como: ( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ y
( ),y DM x x y dAρ= ∫∫ .
( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 43 30 6 4 2 6 42 2
1 2 1 2x x
x x x x xM y x dydx y x dydx
− −
− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫
2 5 4 3 2
0
4 5 4 3 2
2
9 135 35 10 164 89 135 35 10 164 8
xM x x x x x dx
x x x x x dx
= − + − + + + + − + − + +
∫
∫
EJEMPLO 3.9
EJEMPLO 3.10
La región del ejemplo 3.7 se muestra a continuación
Y se encuentra acotada por las curvas 2 1x y= − y 22 2x y= − . La densidad es :
( ) 1x, yρ =
( ) 2 22 2 1
1 1
x, y y x yD
y
− ≤ ≤ − ∧ = − ≤ ≤
La región del ejemplo 3.8 se muestra a continuación
La densidad:
( ) 1 2x, y xρ = +
Donde 1 2D D D= ∪
( )
( )
1 2
2 2
0 2
3 6 4 2 42
2 4
3 6 4 2 42
x, y xD
x x y x
x, y xD
x x y x
≤ ≤ ∧ =
− + ≤ ≤ − + ≤ ≤ ∧ =
− + ≤ ≤ −
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8 56 643 3 3xM = + =
Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene:
( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 43 30 6 4 2 6 42 2
1 2 1 2x x
y x x x xM x x dydx x x dydx
− −
− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫
262 1162 142415 15 15yM = + =
Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que:
( )
( )
641 23
14241 215
x D
y D
M y x dA
M x x dA
= + =
= + =
∫∫
∫∫
3.1.5. CENTRO DE MASA
El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de
coordenadas ( )x , y D∈ , en el cual la región se equilibra
horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de
las ecuaciones:
yMx
m= (III.19)
xMym
= (III.20)
Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos
estáticos se calculan por medio de integrales dobles.
El centro de gravedad también es llamado centro de masa.
El significado físico del centro de gravedad, es que la lámina se comporta como si su masa estuviera concentrada en ese punto.
El centro de gravedad recibe el nombre de centroide cuando la densidad es constante.