Tutorial de como utilizar correctamente el Plan Iva SaitSAT realiza recomendaciones para presentar planillas a cuenta de ISR

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Aplicación de la Trigonometría a la Solución de Problemas

1. Usando un Teodolito y una Cinta métrica es posible tomar los datos que aparecen en la figura. ¿Cuál es el ancho aproximado en metros, del rio en esos puntos? (ENUNCIADO BASADO EN LIBROS DE TEXTO)A) 82 metrosB) 89 metrosC) 183 metrosD) 73 metros

2. Tal como se muestra en la figura, para ir del punto A al punto P hay un camino recto de 622m. Encuentre el ángulo de elevación del pico de la montaña desde el punto A. (ENUNCIADO BASADO EN LIBROS DE TEXTO)A) 40,02º

B) 49,98ºC) 32,74ºD) 57,26º

3. El cielómetro se compone de un proyector de Luz "P" dirigido verticalmente hacia un techo de nubes y un detector de Luz "D" dirigido hacia las mismas en una base horizontal. En un experimento se ubican a una distancia horizontal de 986m el Proyector del Detector, inclinándose este último a 75º. ¿Cuál es la altura aproximada del techo de nubes? (ENUNCIADO BASADO EN LIBROS DE TEXTO)A) 952,4 metrosB) 264,2 metrosC) 3679,8 metrosD) 255,2 metros

4. A una distancia horizontal de 80 m de la base de

un rascacielos, se observa en la parte superior, la base de un adorno con un ángulo de elevación de 78,99º y el punto más alto del adorno con un ángulo de elevación de 79,24º. ¿Cuál es la altura del adorno? (ENUNCIADO BASADO EN LIBROS DE TEXTO)A) 0,36 metrosB) 9,79 metrosC) 13,32 metrosD) 0,34 metros

5. La luz de un faro se encuentra a 152,4 metros sobre el nivel del mar. Si el radio promedio de la tierra es 6371 Kilométros, ¿Desde que distancia en el horizonte sobre el nivel del mar se alcanza a observar la luz del Faro? (ENUNCIADO BASADO EN LIBROS DE TEXTO)A) 44,07 KilómetrosB) 9963,48 KilómetrosC) 44,07 MetrosD) 9963,48 Metros

6. Usando el sistema G.P.S. se desarrolla un seguimiento a un automóvil. Desde el punto de partida recorre 1500m en una dirección de 20º sobre la línea Oriente - Occidente y después gira 90º hacia el Noroccidente recorriendo 3000m. ¿Qué dirección usa el sistema para ubicar el auto en este punto? (ENUNCIADO BASADO EN LIBROS DE TEXTO)A) 63,43ºB) 26,57ºC) 30ºD) No se puede ubicar el auto

7. Un topógrafo desea medir la altura del pico de la montaña sobre el nivel del Lago. Para esto toma las medidas que aparacen en la figura. ¿A qué altura está la cima con respecto al lago? (ENUNCIADO BASADO EN LIBROS DE TEXTO)A) 1128,86 mB) 1655,25 mC) 1210,57 mD) 502.47 m

8. Un Barco emite una señal de auxilio y aparece en los radares de dos estaciones de rescate tal como se muestra en la figura. Si se sabe que la distancia horizontal entre las dos estaciones es de 177,6 km: ¿A qué distancia se encuentra el Barco de cada estación? y si la ayuda por aire se hace a una velocidad promedio de 296 km/h, ¿Cuánto tiempo tardará la ayuda de la estación más cercana? (ENUNCIADO BASADO EN LIBROS DE TEXTO)A) Estación A= 167,36 km Estación B= 132,35 km y Tiempo de espera, ayuda más cercana= 33' 55,46"

B) Estación A= 132,35 km Estación B= 167,36 km y Tiempo de espera, ayuda más cercana= 26' 49.66"C) Estación A= 167,36 km Estación B= 132,35 km y Tiempo de espera, ayuda más cercana= 26' 49.66"D) Estación A= 132,35 km Estación B= 167,36 km y Tiempo de espera, ayuda más cercana= 33' 55,46"

9. La distancia aproximada del Sol a la Tierra es de 149 600 000 km y del Sol a Mercurio es de 57 910 000 km. El ángulo de Elongación se forma con la Línea de Visión de la Tierra al Sol y la Línea de Visión de la Tierra a Mercurio. Si este ángulo es de 15º para una posición de los planetas con respecto al Sol, ¿Cuál es la distancia posible entre la Tierra y Mercurio en esa posición? (DATOS TOMADOS DEL ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA DE SULLIVAN)A) Distancia Tierra - Mercurio aproximada de 374 659 733,9 kmB) Distancia Tierra - Mercurio aproximada de 187 564 951,5 kmC) Distancia Tierra - Mercurio aproximada de 178 795 029,2 kmD) Distancia Tierra - Mercurio aproximada de 102 594 022 km

10. Dos casas están separadas por un lago. Para saber la distancia de separación un Topógrafo toma las distancias desde un punto externo a cada casa y el ángulo que forman éstas. Según los datos de la figura. ¿Cuál es el valor del cuadrado de esta distancia? (ENUNCIADO BASADO EN LIBROS DE TEXTO)A) Distancia de separación 464,38 mB) Distancia de separación 908,61 mC) Distancia de separación 1097,78 mD) Distancia de separación 275,21 mOtros exámenes de inter

TRIGONOMETRÍA

Construcción de un aparato medidor de ángulos

Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador. Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

Tangente de un ángulo

Marta, que vive en primera línea de playa, observa un hidropedal averiado bajo un ángulo de depresión de 10º. Ella estima que la altura de su apartamento es de 20 m y que la distancia del portal a las olas es de 15 m.

Como desea conocer lo que deben nadar sus ocupantes hasta alcanzar la costa, con la ayuda de un transportador de ángulos dibuja un triángulo semejante y, posteriormente, mide sus catetos. Por ser proporcionales con el triángulo real, Marta consigue averiguar lo que debían nadar sus ocupantes para alcanzar la playa.

Realiza en tu cuaderno la proeza de Marta.

Definición

Consideremos un ángulo agudo cualquiera y tracemos una perpendicular por su semirrecta base obteniendo el triángulo ABC, llamaremos tangente de A a la razón BC/AC.

El Teorema de Thales garantiza que el lugar por el que trazamos la perpendicular es indiferente para el cálculo de la tangente:

En general, sobre un triángulo rectángulo, diremos que la tangente del ángulo es la razón cateto opuesto/cateto contiguo.

   

   

   

   

   

De igual manera diremos que el coseno del ángulo es la razón cateto contiguo/hipotenusa

y que el seno de éste es cateto opuesto/hipotenusa.

También se utilizan las inversas de la tangente, el coseno y el seno, que se llaman respectivamente cotangente, secante y cosecante:

A la tangente, coseno, seno y a sus inversas se las llama razones trigonométricas del ángulo "

Estima, sirviéndote de un transportador de ángulos y midiendo segmentos en los correspondientes dibujos, las razones trigonométricas de los ángulos de 40º y 60º.

Obtención de las razones trigonométricas mediante la calculadora

Anteriormente hemos estimado las razones de los ángulos mediante la medida de segmentos. La imprecisión de la medida provoca que se obtengan valores con poca exactitud. Existen técnicas matemáticas que permiten conocer con suficiente finura el valor de la tangente, el coseno y el seno de un ángulo, pero no se estudian en este curso. No obstante, puedes hacer uso de tu calculadora para obtener una buena estimación utilizando la teclas TAN, COS y SIN.

Pasos para hallar el valor de la tangente del ángulo de 40º:

40 TAN = 0.8390996.

En otros modelos de calculadora se pone TAN en primer lugar y después se introduce 40.

También es posible, conocida la tangente del ángulo, averiguar el ángulo del que se trata. Supongamos que la tangente de un ángulo vale 2.75:

2.75 TAN-1 = 70.016893, se trata de un ángulo 70º aproximadamente. En otras calculadoras se introduce 2.75 después de TAN-1.

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Si Marta hubiera estudiado la tangente y dispuesto de una calculadora, no tendría que haber recurrido al dibujo para calcular la distancia del hidropedal hasta el portal de su casa:

tg(80º)=x/20; x=20. tg(80º)=20 . 5'6712818 =113'42 m aproximadamente.

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APLICACIONES

1) Estimación de la distancia Tierra-Luna

Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km. Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra, contemplamos su disco bajo un ángulo de medio grado.

Si a x, que es la distancia hasta el centro de la Luna, le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separación entre Tierra y Luna de 396579 Km..

(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna. Se ha podido conocer, mediante el envío de rayos láser, que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)

2) Estimación de la distancia Tierra-Sol

Aristarco (s. III a. J.), célebre astrónomo de Alejandría, intentó calcular cuántas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna. Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las líneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un ángulo de 90º. Aristarco midió el

ángulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87º.

De esta forma:

Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna. Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente, obtenemos una distancia solar de 7344920 Km.

Volviendo con nuestro astrónomo, faltaba comentar que cometió un pequeño error al medir el ángulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89º 50'. Esta pequeña diferencia en la medida del ángulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separación Tierra-Sol

Con mayor precisión se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km. Como recordarás, a este valor se le llama unidad astronómica (UA). 

3) Mediciones

Se desea construir un puente sobre un río, que mide 10 m de ancho, de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinación de 20E. ¿Cuál debe ser la longitud de la baranda?, ¿a qué distancia del cauce se situará el comienzo de la rampa?

 

 

 

la baranda es de unos 21 m y 70 cm.

La escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce.

4) Cálculo de alturas

Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ángulos de elevación desde los puntos A y B. Con los datos de la figura tenemos que:

 

 

 

Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos:

(10+x)·0'839=1'96·x; 8'39+0'839·x=1'96·x; 8'39=1'121·x; x=7'484 m, aproximadamente.

h=7'484·1'96=14'668. La torre mide unos 14 metros y medio de alto.

Halla la altura del puente, sabiendo que tiene 17 m de largo.

PROPIEDADES

Consideremos el triángulo rectángulo de la figura:

1) En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que los catetos, si consideramos la definición del seno y el coseno es evidente que:

0  < cos " <1  y 0 < sen " < 1, para cualquier ángulo agudo ".

2)

3) Propiedad fundamental:

Es frecuente en trigonometría que aparezcan los términos (sen ")2 y (cos ")2, para

abreviar su escritura suelen notarse como sen2 " y cos2 "..

De esta manera el teorema fundamental aparece como

4) Demostremos que

:

5) Diremos que " y $ son complementarios si "+$=90E. Esto ocurre con los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

Podemos observar en la figura anterior que el cateto contiguo a " coincide con el opuesto a $ y que la hipotenusa es común a ambos ángulos, por lo tanto cos " = b/c = sen $. De igual manera tenemos que

¿Qué relación existe entre las tangentes de " y $?

Actividad resuelta

De un ángulo agudo " sabemos que su seno vale 0'8. Hallar el coseno y

la tangente: . Sustituyendo:

; . Tomando raíces,

Aunque es conveniente que conozcas muy bien el procedimiento anterior, también es posible resolver el problema con la ayuda de la calculadora:

0'8 = 53.130120, nos devuelve el valor aproximado del ángulo cuyo seno vale 0'8.

A continuación sólo queda hallar su coseno y su tangente con la propia máquina.

De un ángulo " sabemos que su tangente vale 7'3. Hallar, utilizando la propiedad 4, el coseno y el seno del ángulo.

CÁLCULO EXACTO DE LAS RAZONES DE LOS ÁNGULOS DE 45º 30º y 60º

La calculadora aporta un valor aproximado de las razones de un ángulo con un error muy pequeño. No obstante, cuando operamos con valores aproximados, los errores aumentan después de cada operación y conviene por ello conocer su valor exacto.

Cálculo de las razones trigonométricas del ángulo de 45º.-

Como el triángulo es isósceles, los dos catetos son iguales.

Ejercicio nº 10- Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa:

Ejercicio nº 11-

Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m. a la misma hora que un árbol de 21 m. proyecta una sombra de 24 m. Sol: 49 m

Ejemplos de cálculo de alturas

 

Problemas con soluciones

1.  Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.

a)  Datos: Â = 90º ; a = 5 ; b = 3                      

b)  Datos: Â = 90º ; c = 15 ; b = 8; B = 28º      

Solución:  a)  B = 53,13º; C = 36,87º; c = 4    b)  C = 62º; a = 17

2.  Calcula el radio y la apotema de un octógono de lado 10 cm .

Solución: radio =13,1 m; apotema = 12,1 m

3.  Desde dos puntos A y B separados 800 m , observamos un globo con ángulos de elevación de 30º y 75º respectivamente. Hallar la altura a la que se encuentra el globo.

Solución: h = 399,9 m .

4.  Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1200 m y el ángulo de observación desde la torre es de 30º. A que distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 40 m de altura.

Solución: 2340,3 m

5.  Para calcular la altura de la torre Eiffel, nos situamos a 74 m de la base de la torre. Si observamos la torre con un ángulo de elevación de 75º. ¿Cuánto mide la torre?

Solución: h = 276 m

6.  Desde lo alto de una torre de 40 m de altura, se ven las almenas de otra torre separada 20 m bajo un ángulo de 70º. ¿Cuál es la altura de la torre vecina?

Solución: h = 90,95 m