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8/4/2019 AP Geodif PDF

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Notas sobre geometra diferencial

por

Jose Antonio Belinchon


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Indice General

1 Geometra diferencial elemental. 5

1.1 Definiciones basicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3Clasificacion de los puntos de

M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 El operador de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Conexion de una hipersuperficie. . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2 Hipersuperficies convexas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.3 El tensor de curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Conexiones lineales. 21

2.1 Conexiones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Tensor de curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Ecuaciones de Cartan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1 Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Formas de conexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.3 Ecuaciones estructurales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.4 Ecuaciones fundamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Variedades Riemannianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.1 Proposicion 1.4.4 del [SW] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Integracion en vatiedades. 39

3.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Orientacion en variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 Orientacion de hipersuperficies. . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.2 En variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Integracion en variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Version clasica del teorema de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.1 Integral de lnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.2 Integral de superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.3 Teorema de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.4 Teorema de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4.5 Teorema de la divergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Mas ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Teora de Morse. 57

4.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Sistemas Hamiltonianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


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4 INDICE GENERAL

4.2.1 Puntos crticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Prontuario matematico. 63

5.1 Variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Campos tensoriales. Formas diferenciales. . . . . . . . . . . . . . 645.4 Teora de integracion en variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . 695.5 Conexion afn y derivada covariante. . . . . . . . . . . . . . . . . 705.6 Variedades riemannianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


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Captulo 1

GEOMETRIA DIFERENCIAL ELEMENTAL.

1.1 Definiciones basicas.

Definicion 1.1.1 Variedad. Una parametrizacion d-dimensional es (U, ) / U Rd abierto y : U M homeomorfismo diferenciable /

rang(1,.....,n)(x1,.....,xn)

|p

= d (1.1)

Entendemos por variedad d-dimensional como un subconjunto de Rd que admite unaparametrizacion d D.

Teorema 1.1.1 Sea U RN F : U Rr diferenciable con d = N r > 0 /M =

x RN / F(x) = 0 x M

rang

(F1,.....,Fn)

(x1,.....,xn)

|x

= r (1.2)

entonces M es variedad euclidea.

Teorema 1.1.2 TpM tiene estructura de espacio vectorial. TpM = ker dF(x)

Proposicion 1.1.1 Sea U RN F : U Rr diferenciable / M = F1(0) sip M rang

(F1,.....,Fn)(x1,.....,xn)

|x

= r = M es variedad euclidea.

Definicion 1.1.2 Variedad definida implicitamente. Sea V Rn n 2 y V = decimos que V es una variedad diferenciable de Rn de clase m y dimension p cuando a V U Rn / a Rn y n p funciones Fk 1 k n p / Fk : U R declase m y se verifica.

1. rang(xiFk(x)) = n p x U V /U V = {x / x Rn y Fk(x) = 0 / k = 1,....,n p}

Ejemplo 1.1.1 Demostrar que el conjunto

V =

x2 + y2 + z2 = 1

(x,y ,z) R3 /x + y + z = 14

es variedad diferenciable. Especificar dimension y clase.

F1 : R3 R


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6 Geometra diferencial elemental.

(x,y ,z) x2 + y2 + z2 1 = 0F2 : R

3 R F1, F2 C

(x,y ,z) x + y + z 1

4 = 0

DF1 = (2x, 2y, 2z) DF2 = (1, 1, 1)

rang JF =

2x 2y 2z1 1 1

= 2 (x,y ,z) = (0, 0, 0)

dimV = 1; rang = n p = 2 = p = 1 y clase

Definicion 1.1.3 Plano tangente. Sea M = M(u, v) una superficie etc... entoncesel plano tangente a M en un punto p queda determinado como sigue:

TpM := x

x(u0

v0) y

y(u0

v0) z

z(u0

v0)

ux uy uzvx vy vz

= 0 (1.3)Definicion 1.1.4 Vector normal.

N , se define como :

N =

uM vM|uM vM| (1.4)

en donde

M =

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

= uM = (ux, uy, uz)vM = (vx, vy, vz)

Definicion 1.1.5 Primera forma fundamental.El producto interior de Rn, (< , >) induce en el espacio tangente (espacio vectorial)TpM de M un producto interior que denotamos por g T02 (M) / v, w TpM,g(v, w) es un producto interior de vectores en TpM. g T02 (M) es forma bilineal,simetrica, definida positiva que tiene asociada su correspondiente forma cuadraticao I forma fundamental de M. Objeto geometrico este de suma utilidad para elcalculo de la geometra intrnseca de M, la longitud de M y del area de M.

I := ds2 = Edu du + 2F du dv + Gdv dv (1.5)

en donde

gij =

E FF G

/

E =< uM, uM >F =< uM, vM >G =< vM, vM >

(1.6)

Ejemplo 1.1.2 Sea M = M(x,y ,f (x, y)) i.e. expresada en una carta de Monge,entonces la I es:

M =

x = uy = vz = f(u, v)

= uM = (1, 0, uf)vM = (0, 1, vf)

gij = 1 + (uf)2 uf vfuf vf 1 + (vf)2 gij T02 (M)


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Curvatura. 7

que es la forma bilineal asociada a la I.Vamos a calcular la longitud de una curva S2 (esfera unidad R3). En donde

:= = log cot(4 t2) = 2 t t/0 t 2 .L() =

ba

dt

= (d

dt,

d

dt) =

g(, ) / g T02 (S2)

gij =

sin 2 0

0 1

ddt =

1sin(2t)

ddt = 1

1sin( 2 t) , 1 sin2 0

0 1 1

sin(2

t)

1 = sin2

sin 2( 2 t) + 1como = 2 t =

L() =

ba

dt =

2

0

sin 2

sin 2( 2 t)+ 1dt =

2

0

2dt =

2

2

El area de S2 es:

A =

det(gij) =

S2 S2

dd

en este caso es:

A =

det(gij ) =

20

2

0sin 2dd = 4

1.2 Curvatura.

Consideramos la curvatura de una curva sobre una superficie M, esta curvatura ladescomponemos en suma de sus proyecciones tangencial y normal

Definicion 1.2.1 Definimos la curvaturaNormal como:

kn =

II

I (1.7)

en donde II es la segunda forma fundamental.

Sea : I M / Tp TpM. Sea k la curvatura de la curva en p y seacos =< n, N > / n y N X(M) = kn = k cos es la curvatura normal de M en p kn := es la longitud de la proyeccion del vector kn sobre la normal a lasuperficie N

Definicion 1.2.2 Segunda forma fundamental.

M = x = x(u, v)

y = y(u, v)z = z(u, v)

=uM = (ux, uy, uz)

vM = (vx, vy, vz) =


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2uuM =

2uux, 2uuy,

2uuz

2uvM =

2uvx, 2uvy,

2uvz

2vv M = 2vv x,

2vv y,

2vv z

N =

uM vM|uM vM|

2uuM N := e2uvM

N := f

2vvM N := g

= (1.8)

II := edu du + 2f du dv + gdv dv (1.9)El valor de II para un vector unitario v TpM es igual a la curvatura normal deuna curva regular que pasa por p y tiene por vector tangente a v.

Definicion 1.2.3 Dado un vector unitario v TpM, M / = (plano que contienea v y a Np). Se denomina seccion normal de M en p a lo largo de v.

En un entorno de p una seccion normal de M en p es una curva regular planasobre M cuyo vector normal n en p es Np o 0. Su curvatura es por esta razon igualal valor absoluto de la curvatura normal a lo largo de v en p. El teorema de Meusnierdice que el valor absoluto de la curvatura normal en p de una curva es igual a lacurvatura de la seccion normal a M en p a lo largo de .

Ejemplo 1.2.1 Sea

M = (x,y ,z) R3/x = r cos y = r sin

z = 2 ysea= x = cos y = sin

z = 2 p = (1, 0, 0). Hallar la seccion normal de M en p en la direccion de .El punto p = (1, 0, 0) r = 1, = 0.

rM = (cos , sin , 2)

M = (r sin , r cos , 2)

N =

2 sin

42 + r2

,2 cos

42 + r2

,r

42 + r2

|p

= (0, 0, 1)

= ( sin , cos , 2)|p = (0, 1, 0)

:=

x 1 y z

0 0 10 1 0

= 0 = x = 1la seccion normal sera M

x = r cos y = r sin z = 2

x = 1 =

x = 1y = tan z = 2


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Curvatura. 9

Ejemplo 1.2.2 Calculo de kn de S2.

x = a cos cos

y = a cos sin z = a sin =M = (

a sin cos ,

a sin sin , a cos )

M = (a cos sin , a cos cos , 0)

2M = (a cos cos , a cos sin , a sin )2M = (a sin sin , a sin cos , 0)2M = (a cos cos , a cos sin , 0)

gij =

a2 00 a2 cos 2

N = ( cos cos , cos sin , sin )

hij = a2 0

0 a cos2

2M N := e

2M

N := f

2M N := g

kn =II

I=

1

a

Teorema 1.2.1 Meusnier. Todas las curvas contenidas en M que tiene en un puntodado p M , la misma recta tangente, tienen en este punto la misma curvaturanormal.

Definicion 1.2.4 La curvatura geodesica k2 = k2n + k2g . El valor algebraico coin-cide con el de la derivada covariante. kg = 0 es geodesica.

Definicion 1.2.5 Direcciones asintoticas. Son aquellas en las que kn = 0 Seobtiene al resolver II = 0

Ejemplo 1.2.3 Determinar direcciones asintoticas en el punto p = (0, 0, 0) de lasuperficie

M :=

x = u cos vy = u sin v

z = v

uM = (cos v, sin v, 0)vM = (

u sin v, u cos v, 1)

gij = 1 00 u2

2uuM = 02uvM = (sin v, cos v, 0)2vv M = (u cos v, u sin v, 0)

N =

1u2 + 1

( sin v, cos v, 0)

hij =

0 1

u2+11u2+1

0

| (0,0)

=

0 1

1 0

=

dudv = 0 =

du = 0dv = 0

son las direcciones asintoticas


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Definicion 1.2.6 Curvas asintoticas son aquellas cuyo vector tangente es unadireccon asintotica.

Ejemplo 1.2.4 Para una superficie tal que

M =

x = u cos vy = u sin vz =

u

uM = (cos v, sin v,

12

1u

)

vM = (u sin v, u cos v, 0)

uuM = (0, 0, 14u32 )

uvM = ( sin v, cos v, 0)vvM = (u cos v, u sin v, 0)

N = cos v4u + 1 , sin v4u + 1 , 2u12

4u + 1hij =

12u4u+1

0

0 u4u+1

II =1

2u

4u + 1du du + u

4u + 1dv dv

obtenemos las direcciones asintoticas igualando II = 0 y las curvas las obtenemos alintegrar

1

2u

4u + 1du du = u

4u + 1dv dv =

du2

u2= 2dv2 =

duu

=

2

dv = u = Ce2v

sustituyendo este valor en la definicion de M obtenemos las dos curvas asintoticas.

1 =

x = e

2v cos v

y = e2v sin v

z =

e2v

2 =

x = e

2v cos v

y = e2v sin v

z =

e2v

Definicion 1.2.7 Superficie mnima es aquella en la que las curvas asintoticasson ortogonales.

1.3 Clasificacion de los puntos de M

Definicion 1.3.1 Sea M superficie y TpM. Vamos a estudiar la posicion de Mrespecto de TpM.

1. Si II > 0 def positiva = puntos elpticos (el TpM no corta a M).2. Si II = 0 semidef. = puntos parabolicos.3. Si II < 0 def negativa = puntos hiperbolicos ( el TpM corta a M)


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Clasificacion de los puntos de M 11

La superficie en un entorno de un punto elptico esta toda a un lado delplano tangente mientras que en el caso hiperbolico este corta a la superficie, ademasM TpM define las dos direcciones asintoticas.Ejemplo 1.3.1 Clasificar los puntos del toro:

T :=

x = (a + R cos u)cos vy = (a + R cos u)sin vz = R sin u

0 u 20 v 2a > R > 0

uT = [R sin u cos v, R sin u sin v, R cos u]vT = [(a + R cos u)sin v, (a + R cos u)cos v, 0]

N = [ cos u cos v, cos u sin v, sin u]uuT = [R cos u cos v, R cos u sin v, R sin u]vuT = [R sin u sin v, R sin u cos v, 0]vv T = [(a + R cos u)cos v, (a + R cos u)sin v, 0]

hij =

R 00 (a + R cos u)cos v

h11h22 h212 = R(a + R cos u)cos v

Como a > R = (a + R cos u) > 0 . El sig(h11h22 h212) dependera del sig(cos u).1. Elpticos (h11h22 h212) > 0 0 u 2 32 < u < 22. Parabolicos(h11h22

h2

12) = 0

u =

2

3

2= u

3. Hiperbolicos (h11h22 h212) < 0 2 < u < 32

Definicion 1.3.2 Punto cclico o umblico.Es aquel en el que

kn =II

I= const. kn1 = kn2 (1.10)

i.e. las curvaturas principales son iguales.

Definicion 1.3.3 Direcciones de curvaturas principales.Son aquellas en lasque kn toma valores extremos (max. y mn.). Sea

M una curva regular conexa

/ p la recta tangente de es una direccion principal en p = es una lneade curvatura. Se obtienen al resolver:

dv2 dvdu du2E F Ge f g

= 0 (1.11)

Teorema 1.3.1 Si X e Y son dos direcciones de curvatura pertenecientes a valorespropios distintos, entonces X es ortogonal a Y. La demostracion se desprende facil-

mente de cuestiones de algebra elemental.


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Definicion 1.3.4 Se denominan curvaturas principales a las curvaturas normalesen las direcciones principales. Las denotamos por kn1 y kn2. Se obtienen al resolver

EG F2 k2n (Eg + Ge 2F f) kn + eg f2 = 0 (1.12)Teorema 1.3.2 Olinde Rodrigues. La condicion necesaria y suficiente para que sealnea de curvatura es que N = (t)(t) / (t) C1(M) es una curvatura principal.

Ejemplo 1.3.2 Determinar las lneas de curvatura para

M =

x = u cos vy = u sin vz = u2

en P = (

2, 0, 2)

gij = 4u2 + 1 0

0 u2

hij = 24u2+1 0

0 2u2

4u2+1

El punto P = (

2, 0, 2) corresponde a u =

2 , v = 0 =

dv2 dudv du24u2 + 1 0 u2

24u2+1

0 2u2

4u2+1

= 0 = du = dv = 0integrando du = 0

1 := x = C1 cos vy = C1 sin v

z = C21

|P1 := x = 2cos vy = 2sin vz = 2

Integrando dv = 0

2 :=

x = u cos C2y = u sin C2z = u2

|P2 :=

x = uy = 0z = u2

Ejemplo 1.3.3 Calcular las curvaturas principales de:

M = x = u cos v

y = u sin vz = u

en P = (0, 0, 2 )

gij =

1 00 u2 + 1

hij =

0 1

u2+11u2+1

0

u2 + 1

k2n

1

u2 + 1= 0

|p

k1 = 1

k2 = 1


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Clasificacion de los puntos de M 13

Definicion 1.3.5 Curvatura Media. La denotamos por H.

H =kn1 + kn2

2=

1

2

Eg + Ge 2F fEG

F2

(1.13)

Definicion 1.3.6 Curvatura de Gauss. La denotamos por KG

KG = kn1 kn2 = egf2

EGF2 (1.14)

Ejemplo 1.3.4 Calcular I, II, y las curvaturas de M en P = (

2, 0, 2), siendo

M = x = u cos vy = u sin vz = u2

entonces

gij =

4u2 + 1 0

0 u2

hij =

2

4u2+10

0 2u2

4u2+1

El punto P = (

2, 0, 2) corresponde a u =

2 , v = 0 =

gij =

9 00 2

hij =

23 00 43

18k2n

40

3kn +

8

9= 0

k1 =2

3

k2 =227

= kM =10

27

kG =814

Definicion 1.3.7 Clasificacion de los puntos de M

1. Elptico si las dos curvaturas son del mismo signo

2. Parabolico, al menos una de las curvaturas es igual a cero

3. Hiperbolico, las dos curvaturas tienen signos distintos.

Definicion 1.3.8 La indicatriz de Dupin.

D = {v TpM, II(v) = 1}Se toma en TpM un sistema de coordenadas (x, y). Se considera una base ortonor-

mal en dicho espacio de tal forma que cualquier otro vector se pueda expresar enfuncion de esta base. Se obtiene de esta forma el conjunto de conicas

k1x2 + k2y

2 = 1 (1.15)


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Ejemplo 1.3.5 Sea M =

(x,y ,z) R3 / z = x2 + y2. Calcular el conjunto depuntos umblicos y la indicatriz de Dupin.

M = (x,y ,z) R3 / z = x2 + y2 = (x,y ,x2 + y2= xM = (1, 0, 2x)

yM = (0, 1, 2y)

N =

2x

1 + 4x2 + 4y2,

2y1 + 4x2 + 4y2

,1

1 + 4x2 + 4y2

xxM = (0, 0, 2)yxM = (0, 0, 0)yy M = (0, 0, 2)

gij =

1 + 4x2 4xy4xy 1 + 4y2

hij = 21+4x2+4y2 0

0 21+4x2+4y2

Los puntos umblicos se calculan

h11g11

=h12g12

=h22g22

=

xy = 01 + 4x2 = 1 + 4y2

x = y = 0

Respecto a la indicatriz de Dupin:

(g11g22

g212)k

2n

(g11h22 + g22h11

2g12h12)kn + (h11h22

h212) = 0

(1 + 4x2)(1 + 4y2) 16x2y2 k2n 4 + 8x2 + 8y2

1 + 4x2 + 4y2

kn +

41 + 4x2 + 4y2

= 0

si sustituimos en P = (0, 0, 0) x = y = 0 =

k2n 4kn + 4 = 0 =

k1 = 2

k2 = 22x2 + 2y2 = 1circulo

si sustituimos en P = (1, 1, 2)

9k2n 20

3kn +

4

9= 0 =

k1 = 1827k2 =

227

18x2 + 2y2 = 27elipse

1.4 El operador de Forma

Definicion 1.4.1 Sea M Rn, X X(M) y N X(M); es la conexion de(Rn, < , >)

S : TpM

TpM

S(X) = X N (1.16)


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El operador de Forma 15

Se observa que tanto TpM como SmN(p) son a N(p) = TpM := SmN(p). Sea

X TpM, : I M / (0) = p, = X()

N(X) = N (d

dt ) = (N ) = X N = S(X)es lineal 0 = X < N, N >= 2 < X N ,N > X N TpMsimetrico < S(X), Y >=< X, S(Y) >

Definicion 1.4.2 Sea M, X X(M) / Xp = 1

kn := S(Xp) Xp =< S(Xp), Xp > kn = III

(1.17)

Las curvaturas principales de M son los autovalores de S. Al ser S lineal,entonces existe una base BTpM respecto de la cual la matriz de S respecto de esta

base es diagonal, tal que KG = det S etc...

Teorema 1.4.1 Ec. Weingarten Sea M y BTpM = {uM, vM}S(uM) = uN = f FeGEGF2 uM + eFfEEGF2 vM

S(vM) = vN = gFfGEGF2 uM + fFgEEGF2 vM(1.18)

Ejemplo 1.4.1x = uy = v

z = 12v2 + u

3

3 u5

5

u = (1, 0, u4 + u2)v = (0, 1, v)

gij =

1 + (u4 + u2)2 v(u4 + u2)2

v(u4 + u2)2 1 + v2

gij =

E FF G

n = u v u v =

(u4 u2, v, 1)((u4 u2)2 + v2 + 1)

2uu = (0, 0, 4u3 + 2u)

2

vu = (0, 0, 0)2vv = (0, 0, 1)

2uu n = (4u3+2u)

((u4u2)2+v2+1) := e

2

uv n = 0 := f2vv n = 1((u4u2)2+v2+1) := g

K = egf2

EGF2

Definicion 1.4.3 II- forma fundamental es:

II(Xp, Yp) = S(Xp) Yp (1.19)2uuM

N := e := S(uM) uM

2uvM N := f := S(uM) vM

2vvM

N := g := S(vM)

vM

(1.20)


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1.4.1 Conexion de una hipersuperficie.

Sea (M, g) (Rn, < , >). La conexion de Rn es . Sea N X(M) compatible conla orientacion y demas etc... Considero la descomposicion de

en sus componentes

tangencial y normal X Y = X Y+ < X Y,N > N (1.21)(es la ecuacion de Gauss). Se demuestra que verifica las propiedades de conexionRiemann. As es como el tensor metrico y la conexion natural de R nos inducen unametrica Riemanniana y una conxion Riemann en nuestra hipersuperficie M.

Observacion 1.4.1 Dos conexiones estan siempre relacionadas mediante un tensor,digamos H T02 (M), en este caso resulta ser la segunda forma fundamental de lahipersuperficie M

0 ==

=

H(X, Y) =< Y, S(X) >= < X Y,N >que coincide con la ecuacion (16).

< S(Y), N > N = X Y X Y (1.22)Ahora bien si tenemos encuenta que Riemann enRn = 0

0 = XYZ YX Z [X,Y]Z

0 = X (YZ+ < S(Y), Z >) Y(X Z+ < S(X), Z >) [X,Y]Z

0 = X (YZ g (S(Y), Z) N) Y (X Z g (S(X), Z) N)[X,Y]Z = XYZ g (S(X), YZ) N Xg (S(Y), Z) Ng (S(Y), Z) S(X) YX Z+ +g (S(Y), X Z) N

+Y g (S(X), Z) N + g (S(X), Z) S(Y)[X,Y]Z+ g (S[X, Y] , Z) N =

XYZ YX Z [X,Y]Z =< S(Y), Z > S(X) < S(X), Z > S(Y) (1.23)(es la definicion del tensor de Riemann) es la ecuacion de Gauss.

0 = g (S(X), YZ) + Y g (S(X), Z) Xg (S(Y), Z) + g (S(Y), X Z)+g (S[X, Y] , Z) = g (YS(X), Z) g (X S(Y), Z) + g (S[X, Y] , Z)

= g (YS(X), Z) g (X S(Y), Z) + g (S[X, Y] , Z)= g (X S(Y) YS(X) + S([X, Y] , X) = 0

X S(Y) YS(X) S([X, Y]) = 0 (1.24)es la ecuacion de Mainardi-Codazzi o ecuaciones de compatibilidad. Estas dosecuaciones son esenciales para demostrar el teorema egregiun de Gauss.

Teorema 1.4.2 Teorema Egregio de Gauss. SeaM Rn+1 y{X1,....,Xn} basede TpM ortonormal =

K = det Sp

En particular para n = 2 K(p) =< R(X1, X2)X2, X1 > .


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Demostracion. La curvatura de Gauss K en p esta dada por

K(p) = det Sp = det(< Sp(Xi) .Xj >

utilizando la ecuacion de curvatura de Gauss S(X) = X N para n = 2R(X, Y)Z =< S(Y), Z > S(X) < S(X), Z) > S(Y)

R(X, Y)Z = XYZ YX Z [X,Y]Z =< R(X1, X2)X2, X1 >=< S(X2), X2 >< S(X1), X1 > < S(X1), X2 >< S(X2), X1 >=

= det Sp = K(p)

Este teorema es importante porque el termino < R(X1, X2)X2, X1 > de-pende solo de la metrica < , > y de la conexion y es completamente indepen-diente de la normal N o de la aplicacion S (tensor Shape). As pues la curvaturaK(p) =< R(X1, X2)X2, X1 > es un invariante intrnseco, esto es, independiente dela sumersion de N y S.

Definicion 1.4.4 Un punto se dice umblico si S(X) = X TpM para algun R

Teorema 1.4.3 Sea M una hipersuperficie conexa de Rn+1 consitentemente enter-amente en puntos umblicos, entonces M o es un abierto de un hiperplano de Rn obien de una esfera. Si M es cerrada entonces M es un hiperplano o bien una esfera.

Este teorema nos dice que las unicas superficies que tienen puntos umbilicales(i.e. aquellas que tienen las curvaturas principales iguales) son o un hiperplano o unaesfera.

1.4.2 Hipersuperficies convexas.

Teorema 1.4.4 Sobre una M compacta p M / K(p) = 0.

La idea de la demostracion consiste en encerrar a M dentro de una gran esferay entonces ir empequeneciendola hasta que toque la hipersuperficie M, en este puntode contacto p la curvatura de M estara acotada por la de la esfera.

Teorema 1.4.5 Sea M R3 compacta y conexo cuya curvatura de Gauss es con-stante y positiva es una esfera.

Un teorema de Hilbert afirma que no existen en R3 superficies cerradas yconexas con curvatura K < 0 constante, realmente no existe M compacta con K 0variable sobre M.

Conclusion 1.4.1 No M Rn compacta, cuya curvatura de Gauss sea no positivaen todos sus puntos.

Teorema 1.4.6 Sea M compacta, conexa y orientable con K = 0 p M

1. N : M Sm es un difeomorfismo.


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2. M es hipersuperficie convexa i.e. p M M esta enteramente sobre un ladodel hiperplano p + TpM

Teorema 1.4.7 Si M es compacta, conexa y con curvatura K > 0 entonces M esdifeomorfa a la esferaSn

Demostracion. Para demostrar queN : M Sm es un difeomorfismo

debemos observar que N es un isomorfismo, ya que K(p) = det N = 0 por hipotesis,entonces, N es un difeo local entre variedades compactas, por lo que necesariamentedebe ser una funcion recubridora. Pero para m 2 Sm es simplemente conexoy por lo tanto no tiene un recubrimento trivial, entonces

N : M Sm es un

difeomorfismo. En cuanto al segundo punto, fijamos un punto p M, debemosdemostrar que p + TpM yace en el mismo lado que M. Si existen puntos en doslados opuestos, entonces existe al menos un punto en cada lado (digamos q1 y q2).Teniendose en este caso que Np = Nq

1

y Np = Nq2

/ p= qi . Contradiccion con el

hecho de que N es inyectiva.

1.4.3 El tensor de curvatura.

Esta seccion termino hablando algo sobre la curvatura seccional o de Riemann yterminar con el teorema egregium de Gauss que viene a decirnos que la curvatura deRiemann es invariante por isometrias.

Recuerdo que mas arriba habamos definido el tensor de Riemann como

R(X, Y)Z = XYZ YX Z [X,Y]Zveamos ahora las propiedades que verifica dicho tensor:

Proposicion 1.4.1 El tensor de curvatura de Riemann verifica :

R(X, Y)Z+ R(Y, X)Z = 0R(X, Y)Z+ R(Y, Z)X+ R(Z, X)Y = 0< R(X, Y)Z, W >= < R(X, Y)W, Z >< R(X, Y)Z, W >=< R(Z, W)X , Y >

Corolario 1.4.1 Si X = a11X+ a12Y , Y = a21X+ a22Y =< R(X, Y)X, Y >= (det(aij))2 < R(X, Y)X , Y >

en particular si los campos son ortogonales, entonces se verifica:

< R(X, Y)X, Y >=< R(X, Y)X , Y >

El tensor de curvatura es usado para definir la curvatura seccional o deRiemann. Denotamos por la seccion plana, esto es, un subespacio de TpM deter-minado por un par de vectores ortogonales.

Definicion 1.4.5 La curvatura seccional o de Riemann K() la defino como

K() =< R(X, Y)X , Y >

en donde los campos X, Y son ortogonales.


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Observacion 1.4.2 Si M es una variedad Riemanniana 2D entonces denotamosK(TpM) = K(p) que es la curvatura de Gauss. Si M R3 las definiciones coinci-den.

Corolario 1.4.2 Si TpM / dim() = 2 generado por un par de campos nonecesariamente ortogonales, entonces

K() =< R(X, Y)X , Y >

< X,X >< Y, Y > < X, Y >2

Definicion 1.4.6 Una variedad Riemanniana M tiene curvatura constante K sip M y para todo subespacio del tangente de dim = 2 i.e. TpM se tieneque K() = K. Si K() 0 (resp. K() 0 ) se dice que M tiene curvatura deRiemann positiva (resp. negativa)

Teorema 1.4.8 Para n 3. Sea M Rn con curvatura de Riemann o seccionalconstante K(= K 0)

1. Si K > 0 todos lo puntos de M son umblicos2. Si K = 0 como mucho una de las curvaturas principales es igual a cero

Demostracion. Sea {X1,.....,Xn} := BTpM ortonormal, ademas son au-tovectores de las curvaturas principales i.e. () = (k1,.....,kn) S(Xi) = kiXi.Denotamos por Sij el subespacio 2

D de TpM generado por

{Xi, Xj

}. i

= j.

Teniendo en cuenta ahora la ecuacion de Gauss

K = K(Sij) =< R(Xi, Xj)Xj , Xi >=< S(Xi), Xi >< S(Xj), Xj > < S(Xi), Xj >< S(Xj ), Xi >=

K = K(Sij) = kikj

Si K = 0 = kikj = 0 i = j = si k1 = 0 k2, .. = ..., kn = 0. SiK > 0 ki = 0 k1kj = kik1 i, j = 1 = k2 = .... = kn. Similarmentek1 = .... = kn1. Como n 3 = k1 = .... = kn = todos los puntos son umbilicosy K = kikj = k

2i > 0

Corolario 1.4.3 Sea M Rn conexa n 3 con K = 0 const.(seccional) =K > 0 y M es un subconjunto abierto de Sn de radio K2.

Teorema 1.4.9 El tensor de curvatura se preserva bajo isometrias. Las curvat-uras principales es otro invariante bajo isometrias. Entonces (Teorema egregium deGauss) la curvatura de Gauss es un invariante bajo isometrias. (Si las seccionales loson K = det(kj) tambien tiene que serlo.)

1. Hicks. Notas sobre geometra diferencial.

2. ONeil. Elementos de Geometra diferencial.

3. Do Carmo. Geometra diferencial de curvas y superficies.


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Captulo 2

CONEXIONES LINEALES.

2.1 Conexiones lineales.

Sea M = Rn y TpM = {(p,v) := vp/v Rn}

Definicion 2.1.1 Transporte paralelopq

: TpM TpMEl transporte paralelo conecta los dos espacios vectoriales (es por lo tanto un isomor-

fismo). El ejemplo tpico de transporte paralelo lo dan las traslaciones a derecha eizquierda en un grupo de Lie (ya que estos son siempre paralelos)

Paralelismo absoluto M paralelizable

Definicion 2.1.2 Un paralelismo en M es una regla que permite asignar a cadacurva diferenciable : [a, b] M en donde (a) = p y (b) = q un transporteparalelo p

q

: TpM TpMen particular el transporte paralelo deepnde de . Necesito definir unaconexion queme permita derivar campos sobre curvas

: X(M) X(M) X(M)X, Y X Y

: [a, b]

M, X

X(M)

X(t) =

Xi(t)Ei(t)

X :=X

dt= dXi

dtEi((t)) (2.1)

es la derivacion a lo largo de . Definimos ahora la derivada covariante como

X V =

XiVk

xi+ XjVjkij

xk (2.2)

para una interpretacion geometrica de la conexion lineal ver el Abraham-MarsdenFoundations of mechanics.


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22 Conexiones lineales.

A partir de la ecuacion (2.2) podemos obtener la derivada de un campo a lolargo de una curva

X = Xkxi + Xj dxi dt kijxk|(t) (2.3)son las ecuaciones del transporte paralelo

Definicion 2.1.3 X es paralelo si Xdt = 0 geodesicas

La conexion induce un transporte paralelo

Proposicion 2.1.1 Sea || un paralelismo absoluto en M = ! conexion lineal que induce ||

Definicion 2.1.4 Conexion afn .

: X(M) X(M) X(M)X, Y X Y

verificando:

1. f X Y = fX Y2. (X+Y)Z = X Y + X Z X (Y + Z) = X Y + X Z3. X f Y = X(f)Y + fX Y

Si tomamos la base del espacio tangente BTpM = {1,.....,n} entonces:

= ij = kijk / kij C(M)

Definicion 2.1.5 Derivada covariante. Sea : [a, b] M, V X(), V DV

dt , V|verificandoDV + W

dt=

DV

dt+

DW

dt

Df V

dt=

df

dtV + f

DV

dt

DV

dt = V

Teorema 2.1.1 ! conexion lineal que verifica las propiedades anteriores.

Demostracion. (U, ) carta en M, (t) =

x1(t),....,xn(t)

, V =

Vij

DV

dt= DVi

dti + V

jV =

k

DVkdt

+

ij

dxi

dtkijV

j

k

j = dxidt ij =

dxi

dt

kij k


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Conexiones lineales. 23

Lema 2.1.1 Sea : [a, b] M / (p) = V0; p = (0), = ! V X(). Lasecuaciones del transporte paralelo quedan:

V

k

xi + Vj dx

i

dt kij = 0 (2.4)

Definicion 2.1.6 Conexion compatible con la metrica si el transporte paralelo preser-va el producto interior.

Proposicion 2.1.2

d

dtg(X, Y) = g(

DX

dt, Y) + g(X,

DY

dt)

Demostracion. Sea {Pi}ni=1 X(M) / PiPj. Sean X, Y X(M) , X =

XiPi y Y = YjPj en donde Xi = g(X, Pi) =DX

dt= DXi

dtPi

DY

dt= DYj

dtPj

g(DX

dt, Y) + g(X,

DY

dt) =

DXidt

Yj + XiDYj

dt

=

d

dtg(X, Y)

Xg(Y, Z) = g(X Y, Z) + g(Y, X Z)Si ademas nuestra conexion verifica:

[X, Y] = X Y YX

que vendra a decrinos algo as como la regla de Schwarz en Rn para funciones f C2i.e.

[x, y] f = 2xyf 2yxf = 0

[x, y] = kij kji = 0 kij = kji

Se dice que

es simetrica si

T(X, Y) = X Y YX [X, Y] = 0

Teorema 2.1.2 El milagro de la geometra Riemanniana. ! simetrica compatiblecon la metrica caracterizada por la formula de Koszul.

[X, Y] = X Y YX

Xg(Y, Z) = g(X Y, Z) + g(Y, X Z)= kij = 12

m g

mk (xigjm + xjgim xkgij) (2.5)


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2.1.1 Tensor de curvatura.

Definicion 2.1.7

R(X, Y)Z = XYZ YX Z [X,Y]ZLema 2.1.2 El valor de R(X, Y)Z deepnde unicamente de Xp, Yp, Zp

D

y

D

xV D

x

D

yV = R(x, y)V (2.6)

Es la interpretacion geometrica mas potable del tensor de Rieman, tambienuna buena interpretacion la dan las ecuaciones de Jacobi y sus campos pero es nece-sario desarrollar una teora de calculo de variaciones y no resulta tan inmediato comoesta formula que nos viene a decir que cuando a un campo se le somete a dos deriva-ciones en dos direcciones estas no necesariamente conmutan y es que depende de lacurvatura del espacio R.

2.1.2 Ejemplos.

Ejemplo 2.1.1 Determinar si = (et cos t, et sin t) es geodesica con:

gij =

1

x2+y20

0 1x2+y2

gij =

x2 + y2 0

0 x2 + y2

los simbolos de Christoffel son :

kij =1

2m gkm(

gjm

xi

+gim

xj

gij

xm

)

111 =x

x2+y2112 =

yx2+y2

122 =x

x2+y2

211 =y

x2+y2212 =

xx2+y2

222 =y

x2+y2

el elemento de lnea ds2 es:ds

dt=

gij

dx

dt

dy

dt

= et(cos t sin t, cos t + sin t) ds

dt=

2 = dt

ds=

2

2

dx

ds =

dx

dt dt

ds =

2

2

dx

dt

d2x

ds2=

d

dt

2

2

dx

dt

dt

ds=

1

2 d

2x

dt2

La ecuacion de las geodesicas es:(solo escribimos la ecuacion para x)

d2x

ds2+ 111

dx

ds

2+ 2112

dx

ds

dy

ds

+ 122

dy

ds

2= 0

si sustituimos, queda:

12

d2

xdt2

+ 12

111dxdt2 + 112dxdtdydt+ 12 122dydt2 = 0


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Conexiones lineales. 25

efectuamos el cambio de variables para los simbolos de Christoffel.

111 = cos t

et 112 =

sin tet

122 =

cos tet

211

= sin t

et

2

12= cos t

et

2

22= sin t

et

dx

dt= et(cos t sin t) dy

dt= et(cos t + sin t)

d2x

dt2= 2et sin t

12(2et sin t) + 12

cos tet

et(cos t sin t)2 + sin tet et(cos t sin t) et(cos t + sin t)

+12cos t

et

et(cos t + sin t)

2= 0

simplificando esta expresion queda:

et sin t + 2et sin t cos 2t

et sin t(cos 2t

sin 2t) = 0

et( sin t + sin t cos 2t + sin 3t) = 0et( sin t + sin t cos 2t + sin t(1 cos 2t)) = 0

Ejemplo 2.1.2 Verificar si los campos E1 = y y E2 = eyx se transportan par-

alelamente a traves de las curvas x = const., e y = 0 en una variedad que tiene lasiguiente metrica:

gij =

e2y 0

0 1

= gij =

e2y 00 1

los unicos simbolos de Christoffel no nulos en este caso son :

111 = 112 = 1 211 = e2y

Las ecuaciones del transporte paralelo son :

dVk

dt+ kij

dxi

dtVj = 0

La primera curva =

x = consty = t

la ecuacion queda:

dV1

dt

V1 = 0

dV2dt = 0

El campo E1 = (0, 1) = (V1, V2) : y verifica trivialmente las ecuaciones y el campo

E2 = (ey , 0) := eyx (teniendo en cuenta que y = t) queda E2 = (e

t , 0) verificandotambien las ecuaciones.

La segunda curva es de la forma =

x = ty = 0

quedando las ecuaciones de la siguiente

forma: dV1

dt V2 = 0dV2

dt + V1 = 0

En este caso, el campo E1 no verifica la primera de las ecuaciones, y el campo E2 noverifica ninguna de las ecuaciones .


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Ejemplo 2.1.3 Conexion de un grupo de Lie. Determinar los smbolos deChristoffel de la conexion canonica del grupo de Lie G =

(x, y) R2; y > 0 con

la operacion:

(x, y) (x, y) = (yx +x

y , yy )y x0 1y

y x

0 1y

=

yy yx + xy0 1yy

Vamos a calcular el elemento neutro del grupo para luego poder calcular los camposinvariantes por traslaciones a la izquierda. El elemento neutro se calcula:

(x, y) (a, b) = (x, y)

(x, y) (a, b) = (ya + xb

, yb)

ya + xb = x a = 0yb = y b = 1

= e = (0, 1)

Los campos por traslaciones a la izquierda quedan :

A =d

dt |t=0(x, y)(t, 1) =

d

dt |t=0(yt +

x

1, y) = (y, 0)|t=0 = yx

B =d

dt |t=1(x, y)(0, t) =

d

dt |t=1(

x

t, yt) = (

xt2

, y)|t=1 = (x, y) = xx + yy

tambien se puede calcular el campo B como:

B =d

dt |t=0(x, y)(0, 1 + t) =

d

dt |t=0(

x

1 + t, y + yt) = (

x(1 + t)2

, y)|t=0 = xx + yy

Si tenemos en cuenta la expresion matricial de la composicion, los campos los podemoscalcular como sigue:

(x, y) (x, y) = (yx + xy

, yy ) = (F1, F2)

A, B

xF1 xF2yF1 yF2

=

y 0

xy2 y

|(x,y)=(0,1)

=

A = yxB = xx + yy

A = yxB = xx + yy

A(e) = (x)|e=(0,1)B(e) = (y)|e=(0,1)

Ahora bien x =

1y A

y =x

y2A + 1y B

Los smbolos de Christoffel se obtienen calculando las siguientes derivadas covari-antes:

xx = 111x + 211yyx = 121x + 221yxy =

112x +

212yyy = 122x + 222y


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Ecuaciones de Cartan. 27

A la hora de calcular estas derivadas nos aparecen AA, AB, BB, BA quepasamos a calcular a continuacion. Si tenemos en cuenta la siguiente expresion

AB

BA = [A, B] = 2

AB

[A, B] = [yx, xx + yy] = [yx, xx] + [yx, yy] == yx(xx) (xx)(yx) + yx(yy) yy(yx) =

= yx yx = 2yy= [A, B] = 2AB = 2yy AB = yy

AB = yyAA = 0BB = 0BA = yy

Podemos ahora calcular los smbolos. Recuerdo que:x =

1y A

y =x

y2A + 1y B

A = yxB = xx + yy

xy = 1y

A(x

y2A +

1

yB) = 1

yA(

x

y2A) + 1

yA(

1

yB) =

=1

y

x

y2AA + A( x

y2)A +

1

yAB + A( 1

y)B

=

1

y{x x} = 0

yx = ( xy2

A+ 1y

B)

1

yA = ( x

y2A)

1

yA + ( 1

yB)

1

yA =

=x

y21

yAA + A( 1

y)A

+1

y

1yBA + B( 1

y)A

=1

y{x x} = 0

xx = 1y

A

1

yA =

1

y

1

yAA + A( 1

y)A

= 0

yy = ( xy2

A+ 1y

B)(x

y2A +

1

yB) = x

y2A

x

y2A + x

y2A

1

yB + 1

yB

1

yB + 1

yB

x

y2A =

teniendo en cuenta las propiedades de la conexion y simplificando, llegamos al sigu-iente resultado:

yy =xy2

x 1y

y

entonces los unicos smbolos no nulos son:

yy = 122x + 222y

122 =xy2

222 =1y

2.2 Ecuaciones de Cartan.

En esta seccion pretendo hacer ver la utilidad de las ecuaciones estructurales deCartan, como siempre, prefiero ver la utilidad y el ejemplo que no la pesada de-mostracion que se debe buscar en la bibliografa. Parto de la geometra elemental deR3 en donde las cosas parecen que tienen sentido ([1] , [2]) para pasar al caso de las

variedades Riemannianas ([3] , [4]) y terminar con la pesadsima proposicion 1.4.4 del[5] .


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2.2.1 Sistemas de referencia

Definicion 2.2.1 Los campos vectoriales E1, E2, E3 decimos que forman un sistemade referencia si Ei

Ej = ij

Ejemplo 2.2.1 Para el cilindro de ecuaciones:x = cos y = sin z = z

=

= sin x + cos y = cos x + sin yz = z

E1 = sin x + cos yE2 = cos x + sin yE3 = z

Ejemplo 2.2.2 Para la esfera:

x = cos cos y = cos sin z = sin

= sin cos x sin sin y + cos z = cos sin x + cos cos y = cos cos x + cos sin y + sin z

E1 = cos cos x + cos sin y + sin z E2 = sin x + cos y E3 = sin cos x sin sin y + cos z

2.2.2 Formas de conexion.

Lo mismo que pasaba con Frenet en donde expresabamos T, N, B en funcion deT , N , B aqu hacemos lo mismo. Sea E1, E2, E3 i.e. {Ei}3i=1 un sistema de referencia,entonces expresamos X Ei en funcion de {Ei}3i=1 en donde X X(M) es un campotangente arbitrario.

X E1 = c11E1 + c12E2 + c13E3X E2 = c21E1 + c22E2 + c23E3X E3 = c31E1 + c32E2 + c33E3

X Ei = cijEj wij(X) = X Ei EjLema 2.2.1 Sea{Ei}3i=1 /X X(M) defino wij(X) = X Ei Ej como las formasde conexion de Ei tal que wij 1(M) y obviamente se da wij = wji

wij(X) = X Ei Ej formas de conexion (2.7)

la definicion nos muestra que wij es la tasa inicial de rotacion de Ei hacia Ej cuandop se mueve en la direccion de X.

Teorema 2.2.1 Sea wij = X (M) se verifica que

X Ei =

j

wij(X)Ej (2.8)

son las ecuaciones de conexion para los campos de referencia {Ei}3

i=1


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Ecuaciones de Cartan. 29

Al ser los wij = wji =

wij = 0 w12 w13

w12 0 w23w13 w23 0 X E1 = w12(X)E2 +w13(X)E3X E2 = w21(X)E1 +w23(X)E3X E3 = w13(X)E1 w23(X)E2

T = kNN = kT + BB = N

Frenet.

ahora bien :

E1 = a11U1 + a12U2 + a13U3E2 = a21U1 + a22U2 + a23U3E3 = a31U1 + a32U2 + a33U3

en donde {Ui}3i=1 forma una base de TpM, entonces consideramos la matriz de coe-ficientes

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Teorema 2.2.2

wij = dA

At (2.9)

este teorema nos evita tener que aplicar la formula (1) para calcular los wij

Ejemplo 2.2.3 Para el cilindro tenamos que :E1 = cos x + sin yE2 = sin x + cos yE3 = z

A = cos sin 0 sin cos 0

0 0 1

At = cos sin 0sin cos 0

0 0 1 dA = sin d cos d 0

cos d

sin d 0

0 0 1 wij = dA At =

sin d cos d 0 cos d sin d 00 0 1

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

=

wij = dA At = 0 d 0d 0 0

0 0 1

= w12 = dy el resto de wij son ceros.


30/72


2.2.3 Ecuaciones estructurales.

Definicion 2.2.2 Sean las {i}3i=1 las 1-formas duales de los campos {Ei}3i=1

i(X) = X Ei i = g(Ei, ) 1

(M) (2.10)

Teorema 2.2.3

1. di =

i wij i

2. dwij =

k wik wkj(2.11)

Ejemplo 2.2.4 Para esfera tenamos que :N E3 = cos cos x + cos sin y + sin z

E2 = sin x + cos y E1 = sin cos x sin sin y + cos z

3 = d1 = d2 = cos d

=w12 = sin dw13 = dw23 = cos d

wij = dA At

se comprueba facilmente que se verifican las ecuaciones .

2.2.4 Ecuaciones fundamentales.

Definicion 2.2.3 Campo adaptado de sistemas de referencia es aquel en el queN

E3 y E1, E2 TpM.El ejemplo ultimo sobre la esfera nos da cuenta de esta situacion.

Observacion 2.2.1 Al serN E3, entonces el operador de formaS queda descrito

por las formas de conexion.

Corolario 2.2.1 SeaS el operador de forma que se obtiene a partir deN E3 i.e.

S(X) = X Nsi tenemos en cuenta que X Ei =

j wij(X)Ej entonces

S(X) = w13(X)E1 + w23(X)E2

Si tenemos en cuenta las simetras de las formas de conexion nos quedan enesencia tan solo cinco formas por calcular

1, 2 duales de los campos tangentes

w12 tasa de rotacion de E1, E2

w13, w23 describe el operador de forma


31/72

Variedades Riemannianas. 31

Teorema 2.2.4

1.

d1 = w12 2d

2= w

21 1

2. w31 1 + w32 2 = 0

3. dw12 = w13 w23 ec. Gauss := KG1 2

4.

dw13 = w12 w23dw23 = w21 w13 ec. Codazzi-Mainardi.

Lema 2.2.2

dw12 = w13 w23 := KG1 2 (2.12)

w23 1 + w13 2 = 2H1 2

Ejemplo 2.2.5 Para la esfera.

1 2 = 2 cos d = 2 cos d d

dw12 = d(sin d) = cos d d =

KG =1

2

2.3 Variedades Riemannianas.

Teorema 2.3.1 Sea{X1,.....,Xn} un sistema ortonormal de referencia (moving frame)sobre una variedad riemanniana (M, g). Las ecuaciones de Cartan para (M, g)quedan:

1. di =

j i wij

2.

dwij =

k wik wkj + ij(2.13)

en donde

wij =

k

ikj k son las formas de conexion

y ij denota la 2-forma de curvatura.

ij =1

2

k,l

Rijklk l

Se observa la diferencia que hay entre estas expresiones y las expresiones

anteriores que nos daban cuenta cuenta de las ecuaciones deRn

mientras que estasla dan de (M, g) y por lo tanto apararece el tensor de curvatura.


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Ejemplo 2.3.1 Consideramos un E T (M4, g) dotado de la siguiente metrica:ds2 = e2adt2 e2bdr2 r2(d2 + sin 2d2)

en donde a = a(r, t) y b = b(r, t). Esta metrica describe un objeto con simetraesferica. Las formas de conexion obviamente son:

0 = eadt

1 = ebdr

2 = rd3 = r sin d

obtenemos entonces:

d0 = eaadr dt d1 = eb

bdt dr

d2 = dr d d3 = sin dr d + r cos d dteniendo en cuenta di =

wij j y que wij + wji = 0 entonces.

w01 = eabadt + eba

bdr = w10 w12 = e

bd = w21

w31 = eb sin d = w13 w32 = cos d = w23

el resto de los wij = 0

dw01 =

e2b(a2 ab + a) + e2a( a

b +

b2

+b)

0 1 = A0 1

dw12 = ebbdt d ebbdr d dw32 = sin d d

para la forma de curvatura resulta entonces 01 = A0 1 i.e.R0101 = R0110 = A el resto R0lik = 0

02 = w01 w12 = (eba0 + eab1) ebr 2

12 = eba b0 2r + e2bb1 2r

23 = 2 3

r2 eb

2 eb 3

r

i.e.

R0202 = R0303 = (eba)/r R0212 = R0313 = (eab

b)/r

R1212 = R1313 = (e

ab b)/r R1212 = R1313 = (e

bb)/r

R2323 = 1/r2(1 e2b) el resto Riklm = 0

punto y prima denotan derivada respecto de t y r


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2.3.1 Proposicion 1.4.4 del [SW]

En este ultimo apartado pretendo clarificar la pesada proposicion 1.4.4 del [SW] libroeste que utiliza una notacion de los mas pesada influeciado por [4]. Empezare por

repasar todos los resultados ya que en esta nueva notacion pareceran distintos yluego pasare directamente a la demostracion de la proposicion con todos los detallessangrientos que los autores prefirieron omitir. Sere pesado y repetitivo en ella yabusare de todo tipo de observaciones. Empezemos pues.

Sea (M, g) una variedad Lorentziana,

i

base de 1-formas en M dual delsistema de referencia {Xi}, es la conexion de Levi-Civita. Las formas de conexionson

ij

caracterizadas por

XiXj =4

k=1kj (Xi)Xk

X Y =4

i=1

X(iY) +4

j=1

ij(X)j(Y)

XiLas formas de curvatura ij se definen (ojo pues aqu aparece un dos que solo apareceen ciertos libros como el [4])

ij = 2

dij +

4k=1

ik kj

(2.14)

y defino el tensor de curvatura como

R =4

i,j=1

Xi j ij (2.15)

Si

i

es una base ortonormal = las formas de conexion estan determinadas por

1. di = 4j=1 ij j , = 1, 2, 32. = 4 = 4 44 = 0

R =4

i,j,k,l=1

RijklXi j k l

Ricc =4

j,l=1

4i=1

Rijilj l (Ricc)jl =

4i=1

Rijil

S =4

j,l=1

gjl (Ricc)jl

Una vez expuesto todos los ingredientes que vamos a necesitar pasamos a la preparaci ony ejecucion de la proposicion.


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Proposicion 2.3.1 Proposicion 1.4.4. El tensor de Einstein para el modelo Einstein-de Sitter es:

G = 4

3 (u4)2du4

du4

Demostracion. Recuerdo que

g =

(R u4)23

=1

du du du4 du4

en donde (R u4) = R(u) = u 23 (pesima notacion). Notacion i, j = 1, 2, 3, 4,, = 1, 2, 3

4 = du4

= (u4)23 du

= d4 = 0

d = (23)(u4)14 obs.

obs. d = ( 23)(u4)13 du4 du = (23)(u4)

13 4 (u4) 23

Defino ahora las

ij

aunque como hemos visto en el ultimo ejemplo estas se pueden

calcular. ij

44 = 0 =

4 = (23)(u

4)1 = 4=

d44 = 0 = d

d4 = (23)(u4)2du4 + ( 23)(u4)1d == (29)(u4)24 = d4 obs.

du4 = 4

d = (23)(u4)14 =

(23)(u4)24 + ( 23)(u4)1( 23)(u4)14 =(23)(u4)24 + ( 49)(u4)24 = (29)(u4)24

Pasamos ahora a calcular las formas de conexion ij = 2

dij +4

k=1 ik kj

44 = 0 d44 = 044 = 04 = (

4

9)(u4)24 = 4

= (8

9)(u4)2 =

Aclaraciones:

4 = 2

d4 +

4k=1

4k k

d4 = (29)(u4)24 4k=1 4k k = 0 44 = 0 = y 4 = 0 k = 1, 2, 3 = 1, 2, 3


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= 2

d +

4k=1

k k

/ 0 = d 44 = 0 =

4 = (

2

3)(u4)1

= 24

k=1

k k k = 1, 2, 3 = 1, 2, 3 4 = 4 k = 0 = 2

(

2

3)(u4)1 ( 2

3)(u4)1

= (

8

9)(u4)2

entonces el tensor de curvatura queda:

R =4

i,j,k,l=1

RijklXi j k l R=4

i,j=1Xijij

R = 49 (u4)2 3,=1 2X 3=1 X 4 + X4 4

En donde {Xi} forman base del tangente (sistemas de referencia) y las

i

son subase dual. Ademas debemos tener en cuenta:

44 = 0 4 = (

4

9)(u4)24 = 4

= (8

9)(u4)2 = = y =

Pasamos ahora a calcular Ricci.

Ricc = C12R Ricc = R(Xi, , i, )

Ricc =

4

9

(u4)2

3

=1

ii

ii

12

i4i

4 ii 4 4 + i44i i44i 4

=

= 49 (u4)23

12 34 4 +

==

4

9

(u4)2

3

2

+ 32

4 4

=

Ricc =2

3(u4)2

4k=1

k k T02 (M)

Aclaraciones:

= 12

( )

X4 4 Xi, , i, =


36/72

36 Conexiones lineales.1

2X4 4 1

2X4 4

Xi, , i,

=

=

1

2 i

44

i

1

2 i

4

i

4

=

1

2

/ i

4

i = 0 = 1, 2, 3

Pasamos ahora al calculo de la curvatura escalar, para ello necesitamos subir el indicea Ricc para luego contraerlo.

Ricc

ij

= gih (Ricc)hj T11 (M) y S = C11

Ricc (M)

Ricc =

2

3(u4)2

4

k=1Xk

g(k, ) k T11 (M) =

Ricc =

2

3(u4)2

X4 4 +3

=1

X

S =

Ricc(Xi, i) =

2

3(u4)2

X4 4 + X (Xi, i) ==

2

3(u4)2

i44i + ii = 43 (u4)2S =

4

3(u4)2

Aclaraciones: El signo que aparece en el calculo de

Ricc =

2

3(u4)2

X4 4 +3

=1

X

se debe a la signatura de la metrica (+, +, +, ) y i44i = 1 y ii = 3 se suman.Y ya por fin y con esto terminamos, calculamos el tensor de Einstein:

G = Ricc

1

2gS

recuerdo que los ingredientes que forman este tensor son:

Ricc =

2

3

(u4)2

3k=1

k k +

2

3

(u4)24 4

S =4

3(u4)2

g = (R u4)23

=1du

du du4 du4 / R(u) = u 23


37/72


Entonces no hacemos mas que substituir. Recuerdo antes que

4 = du4

= (u4

)

23

du

G =23

(u4)2

3k=1

k k + 23 (u4)24 412

43(u

4)2 u4 43 3=1 du du du4 du4 =

=23

(u4)2

3k=1

k k + 23 (u4)24 4

23

(u4)

233

=1 du du 23 (u4)2du4 du4 =

= (u4)43

23

(u4)2

3=1 du

du + 23 (u4)2du4 du4+23

(u4)2du4 du4 23 (u4) 23 3=1 du du =

= 43(u4)2du4 du4

G =4

3 (u4)2du4 du4

como queramos demostrar.

1. ONeill. Elementos de geometra diferencial. Limusa 1990

2. do Carmo. Differential forms and Applications. S. Verlang. 1994

3. Von Westenholtz. Differential forms in mathematical physics. North Holland 1978

4. Bishop-Golberg. Tensor analysis on manifolds. Dover 1980

5. Sachs-Wu. General relativity for mathematicians. S. Verlang. 1977


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Captulo 3

INTEGRACION EN VATIEDADES.

3.1 Introduccion.

Empezamos con un rollete sobre orientacion en variedades en general, luego nosrestringiremos al caso en el que la varidad sea riemanniana y mas en concreto alde una hipersuperficie contenidas en Rn. Analizaremos la teora de integracion en

variedades utilizando la notacion de formas diferenciales y pull-backs para enunciar elteorema de Stokes. Terminaremos rescatando toda la teora clasica de integracion, esdecir, integrales de lnea, superficie y los teoremas clasicos de Green, Stokes y Gausstodo ello condimentado con gran numero de ejemplos.

3.2 Orientacion en variedades.

3.2.1 Orientacion de hipersuperficies.

Sea, en este apartado, M Rn una hipersuperficie contenida en Rn. Sea (M, g) y sea(Rn, < , >) la variedad ambiente con la metrica usual.

Como motivacion e idea intuitiva vemos que en cado punto p

M

R3 existe

un plano tangente TpM (nuestro espacio tangente espacio vectorial), la eleccion deuna orientacion en cada uno de estos espacios vectoriales TpM induce una orientacionen un entorno de p. Si hacemos este proceso en todo punto p de M de tal forma quela orientacion en la interseccion de cada entorno se preserve entonces decimos queMes orientable. Dada una expresion coordenada de nuestra variedad (superficie) laorientacion de TpM vendra dada por la orientacion de la base BTpM = {x, y} sitomamos otra parametrizacion de M entonces tendremos otra orientacion inducidapor la base del espacio tengente BTpM =

x , y

de tal forma que las bases B y

B determinan la misma orientacion si el determinante del jacobiano del cambio decarta es positivo. Como el campo normal a M lo definimos como

N = x yx yal cambiar de carta

x y = x y (x, y)(x, y)

entonces N mantendra el signo o lo cambiara dependiendo del signo de J = (x,y)(x,y) .

Definicion 3.2.1 Campo normal sobre M aN : M Rn tal que < N, X >= 0

X X(M).

Proposicion 3.2.1 M Rn

es orientable sii N campo normal unitario definidosobre todo M.


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40 Integracion en vatiedades.

Definicion 3.2.2 SeaN X(M), M orientada M Rn. Se dice que N es consis-tente con la orientacion si

det

N

X1...Xn

> 0 BTxM = {X1,.....,Xn}Por supuesto toda hipersuperficie orientada tiene precisamente un N X(M)

consistente con la orientacion.

Observacion 3.2.1 Sea M Rn / M = . La orientacion de M es la inducidapor la orientacion de M, entonces N X(M) es consistente con la orientacion deM sii apunta hacia afuera.

Observacion 3.2.2 Si M es conexa y orientable, entonces M tiene precisamentedos campos normales N1 = N23.2.2 En variedades.

Como anticipamos en la motivacion de esta seccion, una orientacion en un espaciovectorial real de dimension finita es una clase de equaivalencia de las bases ordenadas.La base ordenada B = (b1,....,bn) determina la misma orientacion que la base B

=aijbj si det aij > 0 y la contraria si det aij < 0, det aij es el determinante de la

matriz de cambio de base.

Definicion 3.2.3 Una variedad (M) se dice orientada si en cada espacio tangente

TxM tiene la misma orientacion

Para todo x M U M y f C; f : U Rn que preserva laorientacion en el sentido de que x U, df := f lleva la orientacion de TxM Rn

U M f Rn

TxMf Rn

En este caso se dice que la variedad esta orientada. Si M es conexa y orientable,entonces tiene dos orientaciones.

Proposicion 3.2.2 Una variedad M es orientable sii {U, f} cartas / M = Uy det(f(p)) > 0, i.e. el determinande del jacobiano de la aplicacion cambio de cartaes > 0.

Hemos visto que la existencia de un campo normal en M que nunca se anuleinduce una orientacion en M. En una superficie, para motivar la idea intuitiva deforma de volumen, podemos pensar en la definicion de N = xy (producto vectorialde dos campos tangentes). Podemos definir el area (infinitesimalmente en un entornode un punto) como

A(U) = x y

ahora bien x y2 = xx yy (xy)2


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Orientacion en variedades. 41

i.e.x y =

det gij

donde

gij = xx xyxy yy definimos el area de U como

U

det gijdxdy

y la forma de volumen como

(x, y) =

det gij

M es orientable si N, pero es que precisamente N = x y (x, y) (comoidea intuitiva se entiende)

Definicion 3.2.4 Forma de volumen: (x, y) = x yLema 3.2.1 M es orientable si admite una forma de volumen

En general para variedades tememos el siguiente teorema:

Teorema 3.2.1 Sea (M, g) entonces existe n(M) / (x) = 1 x M sobretoda base positivamnete orientada.

Demostracion. Sea n(M) = (x) = 0 x M. Si BTxM ={X1,.....,Xn} y BTxM = {X1,.....,Xn} son dos bases positivamente orientadas deTxM entonces

(X1,.....,Xn) = (X1,.....,Xn).

Sea f : M R / f(p) = (X1,.....,Xn) esta bien definida es = 0 y diferenciable,entonces defino

=

f

como era de esperar.

Definicion 3.2.5 Una n-forma definida en un esapcio M de dimension n se de-nomina forma de volumen si (x) = 0 x M. En particular es definida comouna forma de volumen.

Proposicion 3.2.3 Toda variedad orientable tiene una forma de volumen.Demostracion. Sea (Ui)iI un recubrimiento abierto de M tal que para

cada i I existe un difeo que preserva la orientacion xi : Ui Rn. Sea {i}iIuna particion diferenciable de la unidad subordinada a (Ui)iI . Para cada i Idefinimos i mc (Ui)

i = dxi1 ..... dxin

como x Ui Uj, i(x) = j(x) para algun > 0, de forma clara la nforma =

iI

i

es una forma de volumen.Para variedades riemannianas se tiene:


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Corolario 3.2.1 Sea {U, f} una carta sobre (M, g) entonces tiene la siguienteexpresion en dicha carta

(X1

,.....,Xn

) = (det gij

(x))1/2

=

det gijdx1 ..... dxn

con = 1

3.3 Integracion en variedades.

Sea M una variedad orientada de dimension m que puede tener o no frontera. Dadauna kforma k(M) definimos el soporte de como la clausura del conjunto{x M; (x) = 0} . Sea kc (M) el conjunto de kformas con soporte compacto. Sea = f dx1 .... dxn nc (U) tal que U Rn, definimos

U

= U

f dx1 .... dxn

Lema 3.3.1 SeaV Rn y sea : V U un difeo que preserva la orientacion i.e.(det ) > 0. Si = f dx1 .... dxn nc (U) entonces

U =

V

Demostracion. es inmediata ya que

U = U f dx1

....

dxn = V f det()dx

1

....

dxn = V

.

Observamos que hemos utilizado el teorema de cambio de varibles.

Teorema 3.3.1 SeaM una variedad orientada de dimensionm. Entonces existe unaunica aplicacion lineal

: mc (M)

M R

que satisface la siguiente propiedad:Si : U V es un difeo que preserva la orientacion desde U Rn hasta

V

M, y si

mc (M) tal que el soporte de este contenido en V, entonces

M =

U

Demostracion. Comentaremos por encima la idea de la demostracion.Por el lema anterior sabemos que en una carta la integral se define como

V =

U

con : U Rn V M. Tomo una particion diferenciable de la unidad subordi-nada al recubrimiento de la variedad, definimos en una carta la integral y mediante

la particion extiendo la definicion a toda la variedad ( F(M)) esta definida entoda la variedad).


43/72

Integracion en variedades. 43

La unicidad se demuestra precisamente teniendo en cuenta estas considera-ciones. Sea (Vi)iI un recubrimiento abierto de M / i I existe un difeomorfismoque preserva la orientacion, F(M) / : Ui Vi, al ser M orientable tal re-cubrimiento existe. Sea {i}iI una particion diferenciable de la unidad subordinadaa (Vi)iI. Sea mc (M) / I I / I := i I sopp 1i (0) = . Escribimoscon un poco de cuidado =

iI i entonces:

M =

M

iI

i =iI

M

i =iI

Vi

i (i) =iI

Ui

i (i)

entonces vemos que si existe el operador

M

=iI

Ui

i (i)

recuerdo que iI i = 1.Para demostrar la existencia vemos que para mc (M) definimos

M =

iI

Ui

i (i)

que define la forma lineal, solo necesitamos comprobar que : U V preserva laorientacion, entonces

M =

U

el problema claro esta solo se presenta en la interseccion de las cartas, y esto se ve

facilmente escribiendo estas igualdades con un peln de cuidado.

Lema 3.3.2 Sea m1c (M) entonces:

1.

U d = 0 si U M = 2.

U d =

V i si U M =

donde V = U M y i : V U es la inclusion

Teorema 3.3.2 Stokes: SeaM una variedad orientada de dimensionm con fronteraM en la que esta inducida una orientacion. Sea m1c (M), entonces

M

d = M

i

donde i : M M es la inclusion.

Demostracion. En primer tomamos una particion diferenciable de la unidadP.D.U. i : M [0, 1] /

i i = 1 y escribimos =

i i. En segundo lugar

escogemos un recubrimiento subordinado a la particion que preserve la orientacion(al ser variedad verifica el I AN entonces tales cosas siempre se pueden hacer) y unafuncion : U V exactamente igual que en la demostracion anterior. En tercerlugar escribimos con cuidado:

d = d(i

i) = i

d(i)


44/72


entonces

Md =

Md(

ii) = i M

d(i) = i Uii d(i) =

Sea j : M Rn la inclusion y sea ki = i|UiM por el lema anteriorUi

i d(i) =

Ui

d(i i) = 0 si Ui M =

y Ui

d(i i) =

UiMj(i (i)) =

UiM

ki (ii) =

UiM

ki ((ii)i)

si Ui

M

=

.

De aqu M

d =

i

UiM

ki ((ii)i) =

M

i

como queramos demostrar.

Corolario 3.3.1 (Teorema de Green). Sea M R2 una variedad compacta con frontera. Definimos la 1-forma = f dx + gdy donde f, g C(M). En virtud delteorema de Stokes se tiene:

Md =

M

i

i.e M

(xg yf)dx dy = M

f dx + gdy

Corolario 3.3.2 (Teorema de Gauss). Sea M una variedad compacta con fronteratal que dimM = n. SeaX X(M) con sporte compacto y n(M) i.e. una formade volumen sobre M. En virtud del teorema de Stokes se tiene:

Md =

M

i

i.e

M diX = M iX donde i representa el producto interior de formas (no confundirse con el pullback dela inclusion).

Demostracion. Es inmediato comprobar que LX = diX + iX d (formulamagica de Cartan) pero como n(M) entonces d = 0 obteniendose que LX =diX . Por otro lado, sabemos que LX = (divX) as podemos recurerar la versionclasica del teorema de Gauss o de la divergencia i.e.

M(divX) =

MiX

como queramos ver.


45/72

Version clasica del teorema de Stokes. 45

3.4 Version clasica del teorema de Stokes.

En esta seccion repasaremos la version clasica de las integrales de lnea y de cam-po as como los teoremas de Green, stokes y Gauss pero con la notacion de formas

diferenciales isomorfismos musicales y demas. n oseremos muy rigurosos en las defini-ciones en el sentido de que vamos a presuponer conocida la notacion y que estamostrabajando en una carta etc.. por economa de tiempo.

3.4.1 Integral de lnea.

Sea : I M (con la notacion habitual) una curva diferenciable definida sobre M(nuestra curva ) etc... tal que : t (x1(t),.....,xn(t)). Sea 1(M) tal que = a1dx

1 + .... + andxn de tal forma que las ai C.

Definicion 3.4.1 Definimos la integral de lnea como

= Ejemplo 3.4.1 Sea = xdy ydx 1(R2). Sea (t) = (cos t, sin t) tal que t [0, 2] , queremos calcular

.

Para ello no tenemos mas que seguir la definicion dada. En primer lugar debemoscalcular el pullback de la forma i.e. , obteniendose que

= cos t d(sin t) sin t d(cos t) = dtentonces

=

=

2

0dt = 2

aclaraciones:

x = cos t, y = sin t, dx = sin tdt, dy = cos tdt

Definicion 3.4.2 Sea f una funcion funcion f : Rn R . La integral de lnea def sobre se define como

f =

ba

f((t)) (t) dt

Ejemplo 3.4.2 Sea : I R3 y sea f : R3 R dadas por (t) = (cos t, sin t, t)y f = x2 + y2 + z2, entonces

f =

20

(cos2 t + sin2 t + t2)

2dt =

20

(1 + t2)

2dt

ya que

(t) =

cos2 t + sin2 t + 1 =

2

Definicion 3.4.3 Sea X X(M). Definimos la integral de lnea de X como lacomponente tangencial del campo sobre el camino i.e.

X =

b

ag(X, )ds

g es el producto interior.


46/72


Ejemplo 3.4.3 Sea X = xx + yy + zz X(M) y sea (t) = (t, t2, 1) tal quet [0, 1] . Entonces (t) = (1, 2t, 0) y por lo tanto

X = 1

0 g((t, t2

, 1), (1, 2t, 0))dt = 10 (t + 2t3)dt = 1ya que X((t)) = (t, t2, 1).Este mismo ejemplo pero en notaci on de formas se resolvera de la siguiente manera:El campo X lo transformamos en la 1forma metricamente equivalente i.e. =g(X, ) de esta manera queda definida como = xdx+ydy +zdz 1(R3) mientrasque la curva (t) = (t, t2, 1) queda tal cual. La integral de lnea del campo

X =b

a g(X, )ds se transforma en la consabida formula expuesta anteriormente;

= de esta manera no tenemos mas que operar:

= = 1

0 (t + 2t3

)dt = 1

ya que = tdt + t2d(t2) + 1d(1) = (t + 2t3)dt. Como se ve, esta notacion es muchomas comoda que la clasica y sirve para cualquier funcion ya sea escalar o vectorial.

3.4.2 Integral de superficie.

Para una 2-forma en R. Sea = ady dz + bdz dx + cdx dzy 2(R3) cona,b,c C. Sea S una superficie R3 parametrizada por una carta de Monge (u, v)S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

Definicion 3.4.4 Definimos la integrla de superficie de una 2-forma como

S

= SDefinicion 3.4.5 En notacion clasica para una funcion la integral de superficie sedefine como

Sf =

f(S(u, v)) u v dudv

Ejemplo 3.4.4 Sea S =

(x,y ,z) R3 / z = x2 + y con x, y [0, 1] . Sea f = x,queremos calcular

S f. Para ello lo primero que debemos hacer es reparametrizar la

superficie S de tal forma que ahora queda, S(u, v) = (u ,v,u2 + v) con u, v [0, 1] .Calcularemos ahora u v . Para ello debemos conocer u y v.

u = uS = (1, 0, 2u) y vS = (0, 1, 1)

u v = (2u, 1, 1) = u v =

2 + 4u2

entonces S

f =

10

10

u(

2 + 4u2)dudv

Definicion 3.4.6 Para campos definimos la integral de superficie comoS

X =

g(X, N)

es la integral de la componente normal del campo. Se identifica con el flujo del campoa traves de la superficie S con normal N. g es el producto interior.


47/72


Sea X X(M) definimos la forma metricamente equivalente mediante lametrica como = g(X, ). Pero 1(M) para convertirla en una dos formaintroducimos el operador estrella de Hodge. De forma equivalente podemos bajar

el ndice del campo X X(M) visto este como un tensor X T10(M) mediante la

utilizacion de los isomorfismos musicales, subida y bajada de ndices : T10 T01y : T01 T10. De esta forma definimos nuestra 2forma = X 2(M). Sipor ejemplo X = P x + Qy + Rz con P,Q,R C = = X se traduceen: = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy observandose que dx dy Nz i.e.es la componente z del vector N = (Nx, Ny, Nz) y (dx dy) = z . Con estasobservaciones vemos que

S =

S.

Ejemplo 3.4.5 Sea = xdy dz + ydx dy 2(S). SeaS(u, v) = (u + v, uv,uv)con u, v [0, 1] , queremos calcular S . Para ello calculamos S = (u + v)2du dv 2(u v)du dv, asi

S

= 10

10

(u + v)2 2(u v) du dvdonde S = (u + v)d(u v) d(uv) + (u v)d(u + v) d(u v) = .... donded(u v) d(uv) = (du dv) (vdu + udv) = udu dv vdv du = (u + v)du dvetc...Observamos ahora que si = xdy dz + ydx dy 2(S), entonces definimosX = xx + yy X(S) de tal forma que = X. Entonces

S X =

g(X, N) =

g(X, N) =

10

10

(u + v)2 2(u v) dudv

ya que N = u v = (u + v, v u, 2)3.4.3 Teorema de Green.

El teorema de Green relaciona una integral de lnea a lo largo de una curva cerrada en un plano con la integral doble sobre una region D encerrada dentro de la curva.

Teorema 3.4.1 Sea D una region cerrada en R2 con frontera (curva cerrada ori-entada). Sean P, Q C

P dx + Qdy =

D(xQ yP)dxdy

o mas brevemente D

d =

D

Ejemplo 3.4.6 Sea = xdx + xydy y D =

x, y R2 / x2 + y2 1 = D =x, y R2 / x2 + y2 = 1 := , hacemos un cambio a polares de esta forma queda

D = (cos t, sin t) t [0, 2] y por lo tanto D d = D D

=

20

=20

( cos t sin t + cos2 t sin t)dt =

cos2 t

2 cos

3 t

3

20

= 0

D

d = 1020

sin d d = 0


48/72


Teorema 3.4.2 Forma vectorial del Teorema de Green.

Dg(rotX,n) =

Dg(X, )

teorema de Stokes

Teorema 3.4.3 Teorema de la divergencia en el planoD

g(X, n) =

D

divX

Corolario 3.4.1 El area de una figura plana cerrada etc...

A = 12

xdy ydx

Ejemplo 3.4.7 Area de una elipse. Sea = (a cos t, b sin t), el area entonces vienedado por:

A = 12

20

(ab cos2 t + ab sin2 t)dt = ab

3.4.4 Teorema de Stokes.

Teorema 3.4.4 Sea M variedad orientada y sea n1c (M), entoncesM

d =

M

i

donde i : M

M es la inclusion.

Teorema 3.4.5 Version clasica del teorema:S

g(rotX,n) =

S

g(X, )

Demostracion.

D g(X, ) =

D i / = X entonces d = (rotX).

Se ve facilmente queD

g(X, ) =

D

i =

DX =

D

(rotX) =

Dg(rotX,n)

como queramos.

Ejemplo 3.4.8 Aplicacion del teorema de Stokes. Sea X = y3x + x3y z3zy S =

x,y ,z R3 / z = 1 x y mientras que S queda definida como S =

x,y ,z R3 / z = 1 x y x2 + y2 = 1. Queremos comprobar el teorema de Stokesi.e.

S g(rotX,n) =

S g(X, ). En primer lugar calculamos el rotX = 3(x

2 + y2)zy comprobamos con suma facilidad que = X = d = 3(x2 + y2)dx dy. Aho-ra pasamos a calcula la normal N a la superficie S, para ello hacemos un cambiode carta y escribimos S = (u,v, 1 u v) de esta forma N = u v = (1, 1, 1)con lo que g(rotX,n) = 3(x2 + y2) cosa que por otro lado ya sospechabamos al serd = 3(x2 + y2)dx dy. Entonces

S

3(x2 + y2)dxdy = 310

20

3dd = 32


49/72


igualmente

S d = S 3(x2 + y2)dx dy = 31

0 2

0

3d

d =

3

2

Ahora pasamos a verificar el otro lado de la igualdad, i.e.

S g(X, ) donde S =(cos t, sin t, 1 cos t sin t)

Sg(X, ) =

=

20

(sin4 t + cos4 t + (3 2sin t)cos3 t + (3 sin t 5)cos t+

+ cos t(2sin3

t 3sin2

t + 1) 3sin3

t + 3 sin2

t sin t + 1)dtverificandose que

=

3

2

como todo el mundo puede comprobar !.

Campos conservativos.

Teorema 3.4.6 Son equivalentes:

1. cerrada X = 02. la integral X es independiente del camino3. f C / X = gradf funcion potencial.

4. rotX = 0 (d = (rotX))

Las implicaciones (3) y (4) son una consecuencia del Lema de Poincare querecordamos brevemente. En un entorno estrellado etc.. sea / d = 0 entonces

decimos que escerrada y si = d entonces es exacta.

Ejemplo 3.4.9 Calculo de la funcion potencial. Sea X = yx + (z cos(yz) + x)y +(y cos(yz))z. En primer lugar vemos que el campo es conservativo i.e. rotX = 0 d = 0 / = X i.e. = ydx + (z cos(yz) + x)dy + (y cos(yz))dz. Calculamos la

funcion potencial de la siguiente manera:

f =

x0

X1(t, 0, 0)dt +

y0

X2(x,t, 0)dt +

z0

X3(x,y ,t)dt

entonces

f = x0

0dt + y0

xdt + z0

(y cos(yt))dt = xy + sin(yz)


50/72


3.4.5 Teorema de la divergencia.

Como enunciamos como colorario en otra seccion volveremos aqu a repetir un pocode que va el tema.

Corolario 3.4.2 Teorema 3.4.7 (Teorema de Gauss). Sea M una variedad com-pacta con frontera tal que dimM = n. Sea X X(M) con sporte compacto y n(M) i.e. una forma de volumen sobre M. En virtud del teorema de Stokes setiene:

Md =

M

i

i.e M

diX =

M

iX

donde i representa el producto interior de formas (no confundire con el pullback de

la inclusion).Demostracion. Es inmediato comprobar que LX = diX + iX d (formula

magica de Cartan) pero como n(M) entonces d = 0 obteniendose que LX =diX . Por otro lado, sabemos que LX = (divX) as podemos recurerar la versionclasica del teorema de Gauss o de la divergencia i.e.

M(divX) =

M

iX

como queramos ver.

Definicion 3.4.7 Operador divergencia. Se denomina operador divergencia de un

campo X de M respecto a una forma de volumen (en M) , a la unica funcion divX,que verifica la identidad LX = (divX). Sea (U, U0, , F ) un flujo local para X enel punto x de M. Entonces:

d

dt t=0(vol(Ut)) = lim

t01

t

U0

Ft ()

U0

=

Uo

limt0

Ft () t

=

U0

divX(x)

Teniendose as la definici on geometrica del operador divergencia:

divX = limV ol(U0)0limt0 1t vol(Ut) vol(U0)vol(U0)

Teorema 3.4.8 La version clasica del teorema diceM

(divX) =

M

g(X, N)ds

donde := dxdydz es el elemento de volumen clasico.

Demostracion.

M g(X, N) =

M X =

M d X =

M(divX)

Definicion 3.4.8 Flujo de un campo X a traves de una superficie S.

F = S

g(X, N)


51/72

Mas ejemplos. 51

Ejemplo 3.4.10 Calculo del flujo del campo X = xx + xyy + xyzz a traves de laesfera de radio 2 i.e. S2 := x2 + y2 + z2 = 4. Sabemos que el flujo del campo se calculapor medio de la formula F =

Sg(X, N) pero si desarrollamos esta expresion nos

encontramos con un chorizo monumental, todo esto nos invita a tener en cuenta elteorema de la divergencia

M(divX) =

M g(X, N) y a calcular precisamente la

integral

M(divX) que es mucho mas facil de calcular.

g(X, N) = x2 + xy2 + xyz2

que pasando a polares resulta una expresion espantosa, pero(1 + cos sin + 2 cos2 sin cos )d d d = 32

3

Con mas precision podemos ver la siguiente definicion de flujo de un campoa traves de una superficie.

Sea S una hipersuperficie orientada compacta de la variedad riemannianaorientada M, i.e. S M, con vector normal unitario N, i.e. N X(S). Si n(M), es decir, es la forma de volumen de M inducida por la metrica, es facil verque la forma de volumen n1(S) de S esta realcionada con la de M mediantela siguiente expresion: j(iN) = donde j : S M es la inclusion canonica.Como hemos visto anteriormente, se denomina flujo del campo X X(M) de M, ala integral:

S g(X, N).

Lema 3.4.1 Con las anteriores hipotesis se verifica:

j(iX ) = g(X, N)

3.5 Mas ejemplos.

Ejemplo 3.5.1 Verificar el teorema de Grenn:

=

D

d

Sea = (2xy x2)dx + (x + y2)dy 1(R2) y = y = x2 y2 = xX = = g(X, ) X = (2xy x2)x + (x + y2)y (R2)

1

= 10

1 = 10(2t3 t2) + 2t(t + t4) dt = 76

1 = (2t(t2) t2)dt + (t + t4)2tdt

en donde 1 =

x = t dx = dty = t2 dx = 2tdt y 2 =

x = t2 dx = 2tdty = t dx = dt

(1) = (1, 2t) (2) = (2t, 1)2

=

01

2 = 10

2t(2t3 t4) + (2t2) dt = 17

15

= 10

= 76

1715

= 130


52/72


recuerdo que la versionn clasica de la intregral de lnea de un campo es:

g(X, ) =

g((2xy x2, x + y2), (1, 2t)) = 2t3 + t2 + 2t5en donde g representa el producto interior i.e. es la metrica del espacio. Pasamosahora a comprobar la parte derecha del teorema.

Dd =

D

(1 2x)dx dy =10

xx2

(1 2x)dy dx =

= 10

x2

x(1 2x)dy dx =

10

y2

y(1 2x)dx dy =

= 10

y

y2 (1 2x)dx dy = 1

0 (x

1

2 2x3

2 x2

+ 2x3

)dx =

1

30

comprobando as que se verifica el torema. Ejemplo 3.5.2 Sea f = 1 y S =

(x,y ,z) R3 / z = 2 (x2 + y2) z = 0.

Calcular

S f .S es la interseccion del paraboloide con el plano z = 0.

Sf n

n es el vector normal a la superficie S.

n = u v = (2u, 2v, 1) n = (1 + 4u2 + 4v2)20

20

1 + 42dd

Ejemplo 3.5.3 Sea = xz2dydz + (x2y z3)dzdx + (2xy + y2z)dxdy 2(R3) yS =

(x,y ,z) R3 / z =

a2 x2 y2 z = 0

. Nos piden que calculemos la

integral de superficie. Podemos proceder como siempre i.e. integrando la componentenormal del campo o podemos aplicar al teorema de Gauss. Aplicaremos esta ultimaposibilidad.

S =

d

donde d hace las veces de divX en donde X como antes es el campo asociado a aunque en realidad al ser una 2 forma es el campo X multiplicado ya por lanormal a la superficie.

d = (x2 + y2 + z2)dx dy dz divXComo estamos trabajando sobre el casquete superior de la esfera de radia a todo invitaa efectuar un pull-back a esfericas. Simplificando obtenemos:a

0

20

2

0(2)2 sin d d d = 2a

5

5

Como se puede comprobar es extremadamente sencilla esta notacion de formas difer-enciales y pull-backs.


53/72

Mas ejemplos. 53

Ejemplo 3.5.4 Pasamos ahora a exponer unos cuantos ejemplos del teorema de

Stokes. SeaX =

3y, xz,yz2 X(R3) y seaS = (x,y ,z) R3 / 2z = x2 + y2 z = 2i.e. es la interseccion del paraboloide con el plano z = 2.

Vamos a verificar el teorema de Stokes.

g(X, ) =

g(rotX,n)

=

x = 2cos y = 2 sin

z = 2 = (2sin , 2cos , 0)

g(X, ) =

g(X, )

g(X, ) = 12sin2

8cos2

X =

3y, xz,yz2 = 3ydx xzdy + yz2dz

= 12 sin 2 + 8 cos 2g(X, ) =

20

12sin 2 + 8 cos 2 = 20

Pasamos ahora a verificar la segunda parte del teorema.

= 3ydx xzdy + yz2dz

d = (z 3)dx dy + (z2 + x)dy dz 2(R3)rotX = (z2 + x)

i (z + 3)k rotX = d

efectuamos ahora la siguiente parametrizacion del paraboloide.x = u dx = duy = v dy = dv

z = u2+v2

2 dz = udu + vdv

n = (u,v, 1)

d = (

u2 + v2

2 3)du

dv + u(

u2 + v2

2 2

+ u)dv

du

efectuamos un nuevo cambio de variableu = cos du = cos d sin dv = sin dv = sin d + cos d

(d) = cos

(2

2)2 + cos +

2

2+ 3

d d

dv du = d d

2020

cos ( 22 )2 + cos + 22 + 3 d d = 20


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Ejemplo 3.5.5 Calcular la integral de lnea del campo X = (2x3 y3, x3 + y3) a lolargo de la circunferencia unidad i.e. = (cos t, sin t) = ( sin t, cos t)

Aplicamos el teorema de Grenn.

=

S1

d

= 2x3 y3dx + x3 + y3dy = (2cos 3t sin t + sin 4t + cos 4t + sin 2t cos t)dt

parece que esta integral no la resuelve ni su tia, por eso nos decidimos ahora mas quenunca a aplicar el teorema.

d = 3(x2 + y2)dx dy d = 32 d d

2

0 1

0 33

d d =3

2

Ejemplo 3.5.6 Calcular el flujo del campo X a traves de la superficie S M en(M, g) donde:

X = y3y, S =

(x, y) R2 / x2 + y2 = 1 ygij =

1

y20

0 1y2

Aplicando el teorema de la divergencia tenemos que:

S

(divgX)ds = S

g(X, n)dl

donde S = (cos t, sin t) := = ( sin t, cos t) = (y, x). Para calcular elcampo normal operamos de la siguiente forma: g(, n) = 0

(y, x)

1y2

0

0 1y2

n1n2

= 0

encontrando que n = (x, y) de esta forma ya podemos calcular g(X, n)

g(X, n) = y2

recuerdo que 0, y3

1y2

0

0 1y2

xy

= y2

Para calcular la integral

S g(X, n)dl necesitamos conocer el elemento de lnea dl.

dl t = sin tx + cos ty = g(t, t) = 1sin2 t

entonces dl = 1sin t dt, (recordamos que la forma de volumen es =

det gijd).

Ahara calculamos S

g(X, n)dl = 20

sin2 t 1sin t

dt = 0


55/72

Mas ejemplos. 55

pasamos ahora a calcular la otra integral

S(divgX)ds.

divgX =1

det gij k det gijXk

=?necesitamos hacer los siguientes apanos:

det gij =1

y2

pero cambiando a polares encontramos que

gij =

1

2 sin2 0

0 1sin2

=

ya que

= cos x + sin y = sin x + cos yencontrando ahora que

det gij =1

sin2

volvemos ahora a calcular la divergencia del campo X

divgX = sin2

1

sin2 3 sin3

= sin2

2 cos

mientras que

ds =

1

sin2 d dentonces

S(divgX)ds =

20

10

2 cos

d d = 0

Observandose que si = g(X, ), = = ydy de tal forma que d = 0 i.e. que elcampo es conservativo y al ser una curva cerrada sabemos que la integral es nula.


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Captulo 4

TEORIA DE MORSE.

4.1 Introduccion.

Esta teora esta estrechamente relacionada con el teorema de Gauss-Bonnet. Rela-ciona los puntos crticos de cierta clase de funciones sobre superficies compactas ysu topologa . Sea M2 una variedad diferenciable orientable y compacta de dimen-

sion 2. Sea f : M2 R una funcion diferenciable de clase 2 i.e. f C2. Seap M / df(p) = 0 i.e. un punto crtico de la funcion f, sabemos que df X(M);df = gradf; entonces el punto p es una singularidad para el campo gradiente, (aqu sepuede meter toda la farralla a cerca de campos gradientes y en particular de camposHamiltonianos) podemos decir: p es punto crtico para f sii es punto singular paragradf.

Decimos que p es un punto no degenerado si para una parametrizacion adecua-da la matriz Hessiana de f (su determinante) es distinto de cero. Sea g : U R2 M; p = g(0, 0) tenemos que det A = 0

A = 2xx(f g) 2xy(f g)

2yx(f g)

2yy(f g) = 0

si f g = h ; hacemos el desarrollo de Taylor de la funcion

d := T2h = h(x, y) = h(0, 0) +1

2

x22xxh + 2xy

2xyh + y

22yy h

como bien sabemossi d < 0 p es maximo para fsi d > 0 p es mnimo para f

en estos dos casos detA > 0. Si detA < 0 entonces el punto es de silla.

Observacion 4.1.1 Especialmente aqu quiero relacionar esto con el tensor Shape

y sus autovalores i.e. si detA > 0 pueden ocurrir dos posibilidades; una que los dosautovalores sean negativos (esto correspondera en la teora de estabilidad a puntoestable (Hartman) y la otra posibilidad es que los dos autovalores sean positivos (puntoinestable) (recuerdo que los autovalores del operados de forma correspondes con lascurvaturas principales y el producto de estas con la curvatura Gaussiana))

Teorema 4.1.1 (Morse). Sea f : M2 R una funcion diferenciable sobre una su-perficie compacta orientable. Todos suspuntos crticos no degenerados los denotamosporM, m y s, como los de maximo, mnimo y de silla respectivamente de f verifican

M + m s = (M2)i.e. es igual a la caracterstica de Euler-Poincare de la variedad


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58 Teora de Morse.

Conjetura 4.1.1 Como saber si el punto p es degenerado o no? como se reflejaeso en el campo gradf ?

Sea X X(M2

); X(p) = 0 la expresion de X en una carta adecuada puedeser de la forma

X = (x, y)x + (x, y)y, F(M2)

linealizando el campo. Sea Ag la parte lineal del campo X i.e.

Ag =

x yx y

decimos que el punto p es una singularidad simple si det Ag = 0

Proposicion 4.1.1 Sea p M2 un punto crtico de una funcion diferenciable f :M2 R, entonces el punto p es un punto no degenerado de f sii es una singularidadsimple de gradf

Lema 4.1.1 Sea p M2 una singularidad simple del campo X, entonces p es unpunto aislado del campo

Lema 4.1.2 Los puntos crticos no degenerados de funciones diferenciables estanaislados.

Proposicion 4.1.2 Sea p M2

una singularidad simple del campo X, entonces elndice de X(p) es +1 si det Ag > 0 o 1 si det Ag < 0

Ind(X(p)) =

+1 det Ag > 01 det Ag < 0

Demostracion del teorema de Morse:

Demostracion. Elegimos g T02 (M2). Como los puntos crticos de f sonno degenerados, las singularidades del campo gradf estan aisladas y son simples. Elndice de gradf es 1 donde f alcanza un maximo o mnimo y 1 cuando alcanza unpunto de silla. Como

M + m s = Ind(X) = (M2) en virtud de Gauss-Bonnet.como facilmente se ve.

En resumen:

Ind(X(p)) +1 det Ag > 0

maximomnimo

1 det Ag < 0 Punto de silla

Observacion 4.1.2 Si det Ag = 0 entoces decimos que el punto en cuestion es de-generado, por ejemplo, el campo X = (x2

y2, 2xy) tiene ndice 2 en el origen y el

campo X = (x3 3xy2, 3x2y y3) tiene ndice 3 en el origen.


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Sistemas Hamiltonianos. 59

4.2 Sistemas Hamiltonianos.

qi =H

pipi =

H

qi(4.1)

Teorema 4.2.1 El flujo que define el sistema Hamiltoniano preserva el volumen(Louville). Las curvar integrales del sistema yacen sobre las superficies de nivelH(q;p) = C. (Principio de conservacion de la energa )

Demostracion. La primera de las afirmaciones se puede ver sencillamentesi tenemos en cuenta un teorema del analisis vectorial que nos asegura que el campode velocidades X preserva el volumen si tiene divX = 0.

divX =

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