Κεφαλαιο“ 7users.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/07.pdf · Κεφαλαιο“ 7...

Κεφαλαιο 7

Παραδειγµατα Λαγκρανζιαν£ωνΣυναρτησεων

“Σκουπε σκουπακιαρουφηχτηρια φτερα τιναχτηρια

ξεσκονοπανα κουρελοπανα κλοουνθορυ1οι και τροποι ακρο1ατε,µαστιγιο πεφτουν οι κινησειπανω στην κατοικιδια σκονη”

Κικη ∆ηµουλα

Σε τουτο το κεφαλαιο θα κατασκευασουµε τη λαγκρανζιανη συναρ-τηση για µια σειρα απο πολυ διαφορετικα φυσικα µηχανικα συστηµατα,απο παιδικα παιχνιδια εω κοσµολογικα µοντελα. Στοχο µα εδ£ω δενειναι τοσο η επιδειξη τη απλοποιηση και τη γενικευση που προσφε-ρει ο λαγκρανζιανο φορµαλισµο –αυτο εξαλλου ειναι ενα θεµα το οποιοεχουµε συζητησει διεξοδικα σε προηγουµενα κεφαλαια– οσο η παρουσι-αση των τεχνικ£ων που χρησιµοποιει κανει για να κατασκευασει λαγκραν-ζιανε συναρτησει σε πολυ ετεροκλητη προελευση συστηµατα, καθ£ωεπιση και η ακολουθη αναλυση τη εξελιξη του συστηµατο µεσω τωνεξισ£ωσεων Euler - Lagrange. Ευκολα συνειδητοποιει κανει οτι η δυσκο-λια επιλυση ενο µηχανικου προ1ληµατο εστιαζεται αποκλειστικα στηγραφη τη σχετικη µε αυτο Λαγκρανζιανη. Επιπλεον, καποιε διατη-ρουµενε ποσοτητε αναδεικνυονται αµεσα απο τη µορφη τη ιδια τηΛαγκρανζιανη και µπορουν να βοηθησουν στην ευκολοτερη ευρεση τωνεξισ£ωσεων κινηση.

7.1 Ισοτροπο και ανισοτροπο αρµονικο

ταλαντωτη σε 2 διαστασει

Ενα σωµατιδιο κινειται στο επιπεδο υπο την επιδραση ελκτικη δυ-ναµη αναλογη τη αποσταση του σωµατιδιου απο καποιο σηµειο τουχ£ωρου. Σε ενα καρτεσιανο συστηµα συντεταγµενων µε αρχη το ελκτικοκεντρο, η Λαγκρανζιανη του σωµατιδιου διδεται απο τη διαφορα µεταξυ

193

194 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ

Σχηµα 7.1: (α) Η τροχια ενο ισοτροπου ταλαντωτη ειναι ελλειπτικη (εδ£ω ω = 1 καιx = cos t, y = cos(t + π/3). (β) Η περιοδικη τροχια ανισοτροπου ταλαντωτη µε ωx = 1και ωy = 2 (x = cos t, y = cos(2t+π/3)). (γ)Περιοδικη τροχια ανισοτροπου ταλαντωτηµε ωx = 2 και ωy = 3 (x = cos 2t, y = cos(3t + π/3)). (δ) Ψευδο-περιοδικη τροχιαανισοτροπου ταλαντωτη µε ωx = 1 και ωy = (2)1/4 (x = cos t, y = cos((2)1/4t + π/3)).Με την παροδο του χρονου η τροχια θα καλυψει πυκνα ολα τα σηµεια του ορθογωνιου.

τη κινητικη και τη δυναµικη του ενεργεια

L =1

2m(x2 + y2) −

1

2k(x2 + y2) . (7.1)

Η ισοτροπια του αρµονικου ταλαντωτη κρυ1εται στον κοινο συντελεστησκληροτητα k και στι δυο κατευθυνσει x, y και η Λαγκρανζιανη αυτηαναφερεται ω Λαγκρανζιανη ενο ισοτροπου ταλαντωτη σε δυο διαστα-σει. Οι δυο εξισ£ωσει Euler - Lagrange ειναι οι

mx+ kx = 0 , my + ky = 0 . (7.2)

Εκτελουνται, δηλαδη, δυο ανεξαρτητε ταλαντ£ωσει µε την ιδια συχνο-τητα ω =

√

k/m

x = A cos(ωt+ θ0) , y = B cos(ωt+ φ0) .

Οι σταθερε A,B, θ0 και φ0 προσδιοριζονται απο τι αρχικε συνθηκε. Ηισοτητα των δυο συχνοτητων που πηγαζει απο την ισοτροπια του αρµο-νικου ταλαντωτη οδηγει σε ελλειπτικε τροχιε στο επιπεδο (x, y), οπωφαινεται στο Σχηµα 7.1(α).Ισω, να φαινοταν πιο καταλληλη η χρηση πολικ£ων συντεταγµενων

για την κατασκευη τη Λαγκρανζιανη ενο τετοιου συστηµατο, αφου ηδυναµικη ενεργεια εξαρταται µονο απο την αποσταση r (r =

√

x2 + y2)

7.1. ΙΣΟΤΡΟΠΟΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 195

και οχι απο τη γωνια θ, οπω συµ1αινει µε ολε τι κεντρικε δυναµει.Χρησιµοποι£ωντα το τεχνασµα του Landau, ειναι ευκολο να αποδειξουµεοτι η Λαγκρανζιανη σε πολικε συντεταγµενε ειναι

L =1

2m(r2 + r2θ2) −

1

2kr2 . (7.3)

Ηαπουσια τη συντεταγµενη θ απο τηΛαγκρανζιανη σηµαινει αυτοµατατη διατηρηση τη αντιστοιχη ορµη ∂L/∂θ –στην προκειµενη περιπτωσητη στροφορµηmr2θ–, αφου η εξισωση Euler - Lagrange που αντιστοιχεισε αυτη τη συντεταγµενη λαµ1ανει την απλη µορφη

d

dt(mr2θ) = 0 . (7.4)

Οσο για την ακτινικη εξισωση Euler - Lagrange αυτη ειναι µια δυσκολαεπιλυσιµη διαφορικη εξισωση δευτερη ταξη

mr −mrθ2 + kr = 0 ,

η οποια απλοποιειται και λαµ1ανει τη µορφη

mr −L2

mr3+ kr = 0 ,

αν εκµεταλλευτουµε τη διατηρηση τη στροφορµη L = mr2θ. Η περι-πλοκη µορφη τη ακτινικη εξισωση οφειλεται στο γεγονο οτι ειναι δυ-σκολη η περιγραφη µια ελλειψη σε πολικε συντεταγµενε µε το κεντροτη ελλειψη να βρισκεται στην αρχη των αξονων.Το παραδειγµα αυτο καταδεικνυει οτι η επιλογη του συστηµατο συ-

ντεταγµενων µπορει να καταστησει την ευρεση τη τροχια ενο φυσικουσυστηµατο ευκολοτερη η δυσκολοτερη. Ταυτοχρονα, οµω, µπορει νααναδειξει αµεσα καποια συµµετρια του φυσικου συστηµατο –εδ£ω τη µηεξαρτηση τη Λαγκρανζιανη απο τη γωνια θ– η οποια οπω ειδαµε συν-δεεται παντοτε µε µια διατηρουµενη ποσοτητα –εδ£ω µε τη στροφορµη.Αν ο αρµονικο ταλαντωτη ηταν ανισοτροπο, δηλαδη αν η δυναµικη

ενεργεια ειχε τη µορφη

V =1

2

(

kxx2 + kyy

2)

,

µε kx 6= ky, τοτε οι ταλαντ£ωσει στη διευθυνση x και στη διευθυνση y δενθα εκτελουνταν µε την ιδια συχνοτητα, µε αποτελεσµα η τροχια να µηνειναι κατ αναγκην κλειστη. Αν οι συχνοτητε εχουν ρητο λογο

ωx

ωy=κ

λ,

τοτε υστερα απο λ περιοδου τη y ταλαντωση, που διαρκουν οσο ακρι-1£ω κ περιοδοι τη x ταλαντωση, το σωµατιδιο επανερχεται στο αρχικοσηµειο. Σε αυτη την περιπτωση η τροχια κλεινει και επαναλαµ1ανεται–προκειται για τι λεγοµενε καµπυλε Lissajous– και η κινηση ειναι πε-ριοδικη (βλ. Σχηµα 7.1β,γ). Τελο, αν οι συχνοτητε εχουν αρρητο λογο,


η τροχια δεν κλεινει και µε την παροδο του χρονου το σωµατιδιο θα περα-σει σε οσοδηποτε µικρη αποσταση απο καθε σηµειο του ορθογ£ωνιου πα-ραλληλογραµµου. Η τροχια, λοιπον, του σωµατιδιου θα “σαρ£ωσει” τελικαολοκληρο αυτο το ορθογ£ωνιο παραλληλογραµµο που εχει πλατο και υ-ψο αντιστοιχα οσο τα πλατη των δυο ταλαντ£ωσεων τα οποια µε τη σειρατου καθοριζονται πληρω απο τι αρχικε συνθηκε (βλ.Σχηµα 7.1δ). Σεαυτη την περιπτωση η κινηση λεγεται ψευδο-περιοδικη (quasi-periodic).

7.2 Κινηση φορτισµενου σωµατιδιου σε

οµογενε ηλεκτρικο και µαγνητικο πεδιο

Θεωρουµε εναφορτισµενο σωµατιδιο µαζαm και φορτιου q, το οποιοκινειται µεσα σε ενα συνδυασµενο οµογενε ηλεκτρικο και µαγνητικο πε-διο. ΗΛαγκρανζιανη του σωµατιδιου, οπω ειδαµε στο Κεφαλαιο 3,1 εχειτη µορφη

L =1

2m|~v|2 + q

~A

c· ~v − qφ . (7.5)

Στο ιδιαιτερο αυτο ηλεκτροµαγνητικο πεδιο που ειναι στατικο, δηλαδηχρονοανεξαρτητο, το µεν βαθµωτο δυναµικο σχετιζεται αποκλειστικα µετο ηλεκτρικο πεδιο (−~∇φ = ~E), εν£ω το ανυσµατικο δυναµικο µε το µα-γνητικο πεδιο ( ~B = ~∇ × ~A). Ειναι ευκολο να δειχθει οτι λογω τη οµο-γενεια των συγκεκριµενων πεδιων (τα πεδια ειναι σταθερα σε ολοκληροτο χ£ωρο), το βαθµωτο και το ανυσµατικο δυναµικο µπορουν να γραφουνω ακολουθω :

φ = −~E · ~x , ~A =1

2~B × ~x . (7.6)

Προκειµενου να απλοποιησουµε την αναλυση µα, α θεσουµε εναν αποτου καρτεσιανου αξονε,2 για παραδειγµα τον αξονα z, παραλληλο µετο µαγνητικο πεδιο, αφου αυτο καθιστα πολυπλοκη την αναλυση εξαι-τια του εξωτερικου γινοµενου, και α θεωρησουµε οτι το διανυσµα τουηλεκτρικου πεδιου βρισκεται στο επιπεδο x− z. Με αυτε τι επιλογε ηΛαγκρανζιανη του φορτισµενου σωµατιδιου γραφεται

L =1

2m(x2 + y2 + z2) +

qB

2c(−yx+ xy) + q(Exx+ Ezz) , (7.7)

1Σε τουτο το εδαφιο εµφανιζεται στη Λαγκρανζιανη του φορτισµενου σωµατιδιου ηταχυτητα του φωτο c, σε αντιθεση µε τη Λαγκρανζιανη που κατασκευασαµε στο Κε-φαλαιο 3. Η διαφορα οφειλεται στο διαφορετικο συστηµα µοναδων που θεωρουµε στοπαρον προ1ληµα. Βλεπε σχετικα στην αντιστοιχη υποσηµειωση του Κεφαλαιου 3.

2∆οκιµαστε αλλο συστηµα συντεταγµενων, οπω για παραδειγµα τι κυλινδροπολι-κε συντεταγµενε, για να πειστειτε οτι οι καρτεσιανε συντεταγµενε ειναι καταλληλο-τερε για την αντιµετ£ωπιση του προ1ληµατο αυτου.

7.2. ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ∆ΙΟΥ 197

και οι εξισ£ωσει Euler - Lagrange διαµορφ£ωνονται ω εξη :

mx =qB

cy + qEx (7.8)

my = −qB

cx (7.9)

mz = qEz . (7.10)

Παρατηρουµε οτι οι εξισ£ωσει αυτε δεν ειναι αλλε απο εκεινε που θαλαµ1αναµε, αν γραφαµε το δευτερο νοµο του Νευτωνα και υπολογιζαµετι συνιστ£ωσε τη δυναµη Lorentz. Εδ£ω οι εξισ£ωσει Euler - Lagrangeπροεκυψαν α1ιαστα απο την τυποποιηµενη Λαγκρανζιανη του φορτισµε-νου σωµατιδιου. Η επιλυση των εξισ£ωσεων αυτ£ων παρουσιαζει δυσκολιαεξαιτια του οτι οι δυο πρ£ωτε ειναι πεπλεγµενε διαφορικε εξισ£ωσει.Η δυσκολια αυτη, οµω, µπορει µε κοµψο τροπο να αντιµετωπισθει µε τηχρηση τη µιγαδικη συντεταγµενη

ζ = x+ iy .

Πραγµατι, οι δυο πρ£ωτε εξισ£ωσει συµπτυσσονται σε µια µιγαδικη δια-φορικη εξισωση

mζ = −iqB

cζ + qEx . (7.11)

Αυτη ειναι µια µη οµογενη, γραµµικη διαφορικη εξισωση πρ£ωτη ταξηω προ τη ζ και ω εκ τουτου η λυση τη ειναι

ζ = ζ0e−iqBt/mc −

icEx

B.

Με µια επιπλεον ολοκληρωση η παραπανω εξισωση δινει

ζ = ζ0 −imcζ0qB

(

1 − e−iqBt/mc)

−icEx

Bt ,

δηλαδη

x(t) = x0 +α

ωsinωt+

β

ω(1 − cosωt) (7.12)

y(t) = y0 +β

ωsinωt−

α

ω(1 − cosωt) −

cEx

Bt , (7.13)

οπου εχουµε ορισει ω

ω ≡qB

mc,

την κυκλοτρονικη συχνοτητα. Αν υπολογισουµε τι σταθερε τη ολοκλη-ρωση α, β συναρτησει των αρχικ£ων ταχυτητων u0x, u0y, η κινηση στο επι-πεδο x− y ειναι

x(t) = x0 + u0xsinωt

ω+

(

u0y +cEx

B

)

1 − cosωt

ω,

y(t) = y0 +

(

u0y +cEx

B

)

sinωt

ω− u0x

1 − cosωt

ω−cEx

Bt .


Σχηµα 7.2: Η ελικοειδη κινηση φορτισµενου σωµατιδιου σε σταθερο µαγνητικο και ηλε-κτρικο πεδιο. Το µαγνητικο πεδιο ειναι στη διευθυνση z, εν£ω το ηλεκτρικο πεδιο κειταιστο επιπεδο x − z. Εν£ω η ελικοειδη κινηση του σωµατιδιου αναπτυσσεται κατα µηκοτου αξονα z µε αυξανοµενο βηµα, η ελικα µετατοπιζεται κατα τη διευθυνση y µε στα-θερη ταχυτητα.

Οσο για την κινηση κατα τον αξονα z, αυτη υπολογιζεται ευκολα αποτην τριτη εξισωση Euler - Lagrange (7.10)

z(t) = z0 + u0zt+qEz

2mt2 . (7.14)

Ηκινηση του φορτισµενου σωµατιδιου ειναι αυτη που φαινεται στο Σχηµα7.2· µια ελικα µε αυξανοµενο βηµα κατα µηκο του αξονα z, η οποια συ-νεχ£ω µετατοπιζεται κατα τον y αξονα, ο οποιο ειναι ο αξονα ο καθετοστο ηλεκτρικο πεδιο!Αν και η λυση x(t) µε µια πρ£ωτη µατια φαινεται λανθασµενη στο οριο

που το µαγνητικο πεδιο µηδενιζεται –φυσιολογικα, αναµενουµε επιταχυ-νοµενη κινηση–, λαµ1ανοντα το οριο B → 0, οποτε και ω → 0, και χρη-σιµοποι£ωντα το οριο

limω→0

sinωt

ω= t

καταληγουµε στην οµαλ£ω επιταχυνοµενη κινηση που αναµενεται οταναπουσιαζει το µαγνητικο πεδιο

x(t) = x0 + u0xt+qEx

2mt2 ,

y(t) = y0 + u0yt ,

z(t) = z0 + u0zt+qEz

2mt2 .

7.3. ΑΤΜΟΜΗΧΑΝΗ 199

7.3 Ατµοµηχανη

Στο εδαφιο αυτο θα επιχειρησουµε να κατασκευασουµε ενα απλοποιη-µενο µηχανικο αναλογο µια ατµοµηχανη (βλ. Σχηµα 7.3). Γι αυτο τολογο θα θεωρησουµε οτι η µαζα ολοκληρη τη ατµοµηχανη ειναιM , εν£ωτα µονα κινητα µερη αυτη ειναι ο κινητηριο τροχο µε ροπη αδρανειαI και το εµ1ολο, το οποιο συνδεεται µε τον τροχο µεσω ενο διωστηρα.Τα τελευταια αυτα εξαρτηµατα θα τα θεωρησουµε α1αρη. Το εµ1ολο θαυποθεσουµε πω ωθειται µε σταθερη δυναµη F (φαση εκτονωση), περι-στρεφοντα τον τροχο κατα µισο κυκλο, και επιστρεφει χωρι να ασκειταισε αυτο καποια δυναµη (φαση συµπιεση). Η απλουστευµενη αυτη περι-γραφη αποτελει µια ικανοποιητικη προσεγγιση τη λειτουργια των µηχα-ν£ων εσωτερικη καυση, οσον αφορα στο σκοπο µα. Η Λαγκρανζιανητη ατµοµηχανη, λοιπον, θα εχει τη µορφη3

L =1

2M(Rφ)2 +

1

2Iφ2 + F (φ)x(φ) . (7.15)

Η Λαγκρανζιανη που προκυπτει οριζει ενα µηχανικο συστηµα ενο βαθ-µου ελευθερια, αφου η γωνια περιστροφη του κινητηριου τροχου ειναιαρκετη για να περιγραψει πληρω την κατασταση τη ατµοµηχανη. Μεαπλη γεωµετρια µπορουµε να συσχετισουµε τη διαδροµη x που διανυειτο εµ1ολο µε τη γωνια στροφη φ του κινητηριου τροχου. Εστω l το µη-κο του διωστηρα –τη ρα1δου που µεταφερει την παλινδροµικη κινησητου εµ1ολου στον τροχο– καιR η ακτινα του τροχου. Θεωρουµε οτι η αρ-θρωση του διωστηρα µε τον τροχο βρισκεται στην περιφερεια του δευτε-ρου. Ειναι ευκολο να δειξουµε τοτε οτι

x+ l cosω +R cosφ = σταθερο ,

l sinω = R sinφ , (7.16)

οπου ω ειναι η γωνια που σχηµατιζει ο διωστηρα µε τον αξονα κινησητου εµ1ολου. Με µια µικρη ανακατανοµη των ορων µπορουµε να γρα-ψουµε το x ω

x = C − R cosφ−

√

l2 −R2 sin2 φ ,

οποτε τ£ωρα η Λαγκρανζιανη θα εχει τη µορφη

L =1

2(MR2 + I)φ2 − F

√

l2 − R2 sin2 φ− FR cosφ . (7.17)

Προφαν£ω ο σταθερο ορο εχει απαλειφθει απο τηΛαγκρανζιανη, εν£ω ηεξισωση κινηση πρεπει να υπολογιστει µονο για γωνιε 0 ≤ φ ≤ π, αφου

3Το γεγονο οτι η κινητικη ενεργεια του περιστρεφοµενου τροχου µπορει να αναλυ-θει στην κινητικη ενεργεια τη καθαρη µεταφορικη του κινηση και τη περιστροφικητου ενεργεια γυρω απο το κεντρο µαζα του αποδεικνυεται ευκολα αν προσθεσουµε τικινητικε ενεργειε ολων των υλικ£ων σηµειων απο τα οποια αποτελειται ο τροχο.


Σχηµα 7.3: Η ατµοµηχανη µε τον κινητηριο µηχανισµο τη (το εµ1ολο, το διωστηρα καιτον κινητηριο τροχο)

µονο τοτε δρα η δυναµη.4 Γραφοντα τι εξισ£ωσει Euler - Lagrange κα-ταληγουµε στη σχεση

φ =FR

MR2 + I

(

1 +R cosφ

√

l2 −R2 sin2 φ

)

sinφ . (7.18)

Σε αυτο το σηµειο αξιζει να σηµει£ωσουµε πω η διαφορικη αυτη εξισωσηδεν ειναι και τοσο χρησιµη απο πρακτικη αποψη, αφου πρεπει να λυ-σουµε τη δυσκολη αυτη διαφορικη εξισωση προκειµενου να δουµε π£ω κι-νειται η ατµοµηχανη µε την παροδο του χρονου. Χρησιµοτερο θα ηταν ναγνωριζουµε την ταχυτητα που αποκτα η ατµοµηχανη µε καθε περιστροφητου κινητηριου τροχου. Αυτο, οµω, ειναι κατι που ευκολα µπορουµε ναµαθουµε απο τη διατηρηση τη ενεργεια. Α µην ξεχναµε οτι το συστηµαπου µελεταµε ειναι συντηρητικο, γι αυτο και καταφεραµε να κατασκευα-σουµε αµεσα τη λαγκρανζιανη του συναρτηση. Εποµενω,

1

2(MR2 + I)φ2 − Fx = σταθερο

για καθε µισο κυκλο, αφου στον υπολοιπο µισο κυκλο η γωνιακη ταχυ-τητα δεν µετα1αλλεται. Ετσι, υστερα απο N κυκλου η ταχυτητα πουθα εχει αναπτυξει η ατµοµηχανη θα ειναι

uN = RφN =

√

4NFR3

MR2 + I.

4Θα µπορουσαµε τον περιορισµο αυτον να τον εισαγαγουµε στη συναρτησιακηµορφη τη δυναµικη ενεργεια, µεσω για παραδειγµα τη συναρτηση αλµατοΘ, αλλαθα επρεπε να ειµαστε πολυπροσεκτικοι £ωστε να µην δηµιουργησουµε ασυνεχειε στη δυ-ναµικη ενεργεια, οι οποιε θα οδηγουσαν σε απειρε δυναµει. (Η συναρτηση αλµατοειναι Θ(x) = 1 για x > 0 και Θ(x) = 0 για x < 0.) Ο καλυτερο τροπο για να επιτευχ-θει αυτο στο εν λογω προ1ληµα θα ηταν να αντικαταστησουµε στη δυναµικη ενεργεια τηγωνια φ µε φΘ[φ(π−φ)]+πΘ[φ−π]· αλλι£ω, αν µηδενιζαµε τη δυναµη εκτο των οριωνφ = 0, φ = π, θα καταληγαµε σε απειρε δυναµει απο την παραγ£ωγιση τη δυναµικηενεργεια στα σηµεια αυτα.

7.4. ΕΚΤΙΝΑΣΣΟΜΕΝΗ ΓΡΟΘΙΑ 201

Σχηµα 7.4: H εκτινασσοµενη γροθια.

Στον υπολογισµο τη ταχυτητα εχει ληφθει υποψη η συνολικη διαδροµητου εµ1ολου σε καθε κυκλο, xoλ = 2R.

7.4 Εκτινασσοµενη γροθια

Μεσα σε ενα κουτι βρισκεται µια πλαστικη γροθια στερεωµενη στο α-κρο ενο συµπιεσµενου ελατηριου (βλ. Σχηµα 7.4). Ο “τυχερο” παραλη-πτη ενο τετοιου δεµατο, αν προλα1αινε να αποφυγει τη δραµατικη συ-γκρουση τη γροθια µε το σαστισµενο του προσωπο, σιγουρα θα ε1λεπετη γροθια να εκτινασσεται στον αερα συµπαρασυροντα ισω µαζι τη τοκουτι. Παρακολουθ£ωντα την κινηση ολου του συστηµατο, θα µπορουσεκανει να καταληξει σε ενδιαφεροντα συµπερασµατα για το βαθµο κακε-ντρεχεια του δωρητη οσον αφορα στη σκληροτητα του ελατηριου πουεπελεξε και στην αρχικη του συσπειρωση. Προσπαθ£ωντα να κανουµεευκολοτερο το προ1ληµα, χωρι οµω να αλλαξουµε τη γενικη δυναµικητου, θα θεωρησουµε οτι η γροθια εχει µαζαM , εν£ω το ελατηριο σκληρο-τητα k ειναι αµελητεα µαζα, οπω επιση και το κουτι. Ενα αλλο στοι-χειο που θα χρειαστει στην αναλυση του συστηµατο ειναι το φυσικο µη-κο του ελατηριουL. Αν το ελατηριο φτασει σε αυτο το µηκο, δεν θα επι-µηκυνθει πλεον αλλο, εν£ω το ελευθερο ακρο του θα εγκαταλειψει το εδα-φο. Θεωρ£ωντα αποκλειστικα κινησει κατα µηκο του αξονα z, οπουτο z µετρα τι αποστασει απο το εδαφο, µπορουµε να γραψουµε τη Λα-γκρανζιανη του συστηµατο ω

L =1

2Mz2 −Mgz −

1

2k(L− z)2Θ(L− z) , (7.19)

αφου για z > L το ελατηριο διατηρει το φυσικο του µηκο διχω δυναµικηενεργεια και ανυψ£ωνεται στον αερα µαζι µε τη γροθια. Η εξισωση κινησηγια ενα τετοιο φυσικο συστηµα ειναι

Mz = −Mg + k(L− z)Θ(L− z) +1

2k(L− z)2δ(L− z) . (7.20)


Η τελευταια δυναµη που εµφανιζεται στην παραπανω σχεση προεκυψεαπο την παραγ£ωγιση τη συναρτηση Θ και ισουται µε µηδεν, αφου η συ-ναρτηση δ(L − z) πολλαπλασιαζει µια συναρτηση, η οποια µηδενιζεταιστο σηµειο z = L (βλ. Μαθηµατικο Παραρτηµα). Ετσι, για παραδειγµα,αν ξεκινησουµε µε τη γροθια ακινητη και το ελατηριο συσπειρωµενο καταs, το ελατηριο θα αποσυσπειρωθει συµφωνα µε την εξισωση κινηση

Mz = −Mg + k(L− z) , (7.21)

και στη συνεχεια, αφοτου το ελατηριο αποκτησει το φυσικο του µηκο, ηγροθια θα συνεχισει να κινειται συµφωνα µε την εξισωση

Mz = −Mg . (7.22)

Με τι δεδοµενε αρχικε συνθηκε η εξισωση (7.21) δινει

z(t) = (L−Mg/k) − (s−Mg/k) cos

(√

k

Mt

)

, (7.23)

ενοσω z < L. Για να φτασει το ελατηριο στο φυσικο του µηκο θα πρεπειs ≥ 2Mg/k, αλλι£ω η γροθια θα ταλαντ£ωνεται γυρω απο τη θεση ισορρο-πια z = L −Mg/k και το ελατηριο δεν θα µπορεσει ποτε να αποκτησειτο φυσικο του µηκο που απαιτειται για να αποδεσµευθει η γροθια αποτο εδαφο. Αν, οµω, s ≥ 2Mg/k, στη συνεχεια η εξισωση (7.22) δινει ωλυση

z(t+ t0) = L+ st

√

k

M

√

1 −2Mg

sk−

1

2gt2 ,

οπου t0 ειναι η χρονικη στιγµη που το ελατηριο αποκτα το φυσικο του µη-κο z = L. Η παραπανω σχεση βασιστηκε στον υπολογισµο τη ταχυτη-τα z απο τη σχεση (7.23) οταν z = L, οπω αυτη δινεται απο την ακο-λουθη σχεση :

z(t0) = s

√

k

M

√

1 −2Mg

sk.

Εποµενω, το µεγιστο υψο στο οποιο φτανει η γροθια ειναι

Hmax = L+ s

(

sk

2Mg− 1

)

.

Προκειται για ενα αποτελεσµα, το οποιο ευκολα θα µπορουσατε να επα-ληθευσετε χρησιµοποι£ωντα τη διατηρηση τη ενεργεια, εφοσον φυσικατο κεφαλι σα βρισκοταν πιο ψηλα απο το εν λογω υψο.

7.5 Ηλεκτρικη σκουπα

Σε αυτο το παραδειγµα θα κατασκευασουµε τη Λαγκρανζιανη ενοµηχανικου συστηµατο µετα1λητη µαζα και συγκεκριµενα µια αυτοµα-τη ηλεκτρικη σκουπα που µαζευει το καλ£ωδιο τη, το οποιο βρισκεται

7.5. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΣΚΟΥΠΑ 203

Σχηµα 7.5: Η ηλεκτρικη σκουπα εν£ω µαζευει το καλ£ωδιο τη.

απλωµενο στο οριζοντιο επιπεδο (βλ. Σχηµα 7.5). Για ευκολια θα υπο-θεσουµε οτι η κινηση τη σκουπα και του καλωδιου εκτελειται στην ευ-θεια του αξονα x. Εστω M η µαζα τη σκουπα χωρι το καλ£ωδιο καιµ = m/l η γραµµικη πυκνοτητα µαζα του καλωδιου. Αν ο µηχανισµοτη σκουπα µαζευει το καλ£ωδιο συµφωνα µε το νοµο y(t), τοτε η κινητικηενεργεια τη σκουπα, τη οποια η θεση καθοριζεται απο τη συντεταγ-µενη x, ειναι

1

2Mx2 ,

εν£ω η κινητικη ενεργεια του καλωδιου ειναι

1

2µy(t)x2 ,

για το τµηµα του καλωδιου πουεχει ηδη µαζευτει στο εσωτερικο τη σκου-πα, αν θεωρησουµε οτι το καλ£ωδιο, αφοτου µαζευτει, µενει ακινητο ωπρο τη σκουπα. Τελο, το τµηµα του καλωδιου που σερνεται στο πισωµερο τη σκουπα εχει κινητικη ενεργεια

1

2µ(l − y(t))(x+ y)2 .

Το συστηµα αυτο δεν εχει δυναµικη ενεργεια, αφου θεωρησαµε οτι η κι-νηση του πραγµατοποιειται στο οριζοντιο επιπεδο και οτι ο νοµο πουκαθοριζει το µαζεµα του καλωδιου ειναι δεδοµενο. Αν ηθελε καποιονα κανει τη λαγκρανζιανη περιγραφη πιο ρεαλιστικη, θα επρεπε ισω ναθεωρησει ενα συγκεκριµενο µηχανισµο µαζεµατο του καλωδιου, για πα-ραδειγµα ενα καρουλι τυλιγµατο συνδεδεµενο µε περιστροφικο ελατη-ριο, οποτε το συστηµα θα ειχε παραπανω απο εναν βαθµο ελευθερια καιθα επρεπε να συµπεριλα1ει στη Λαγκρανζιανη και τη δυναµικη ενεργειατου ελατηριου και την περιστροφικη ενεργεια του καρουλιου. Γι αυτονακρι1£ω το λογο αποφυγαµε να µιλησουµε για τυλιγµα του καλωδιου καιχρησιµοποιησαµε τη λεξη µαζεµα.Συνολικα, λοιπον, η Λαγκρανζιανη τη σκουπα µαζι µε το καλ£ωδιο

ειναι

L =1

2[M + µy(t)] x2 +

1

2µ[l − y(t)][x+ y(t)]2 . (7.24)

Οι εξισ£ωσει Euler - Lagrange του συστηµατο λαµ1ανουν τη µορφη

d

dt[(M + µy)x+ µ(l − y)(x+ y)] = 0 . (7.25)


Η διατηρουµενη ποσοτητα εντο των αγκυλ£ων ειναι προφαν£ω η ορµη pτου συστηµατο. Ετσι,

x =p− µ(l − y)y

M + µl. (7.26)

Αν υποθεσουµε οτι αρχικα η σκουπα ειναι ακινητη και ο νοµο που διεπειτο µαζεµα του καλωδιου ειναι5

y(t) = l(1 − cosωt) ,

για χρονου t ≤ π/2ω, ευκολα βρισκουµε οτι η σκουπα θαεχει καθε στιγµηταχυτητα

x = −µl

M + µl

lω

2sin 2ωt .

Η ταχυτητα αυτη µηδενιζεται στο τελο τη κινηση (για t = π/2ω), οπωειναι αναµενοµενο απο τη διατηρηση τη ορµη του συστηµατο. Αυτοπου ισω ερχεται σε αντιθεση µε τη διαισθηση µα ειναι οτι η επιταχυνσητη σκουπα ειναι αρνητικη για 0 < t < π/4ω και θετικη για π/4ω < t <π/2ω. Απο που µπορει να προερχεται µια θετικη επιταχυνση ; ∆εν ειναι ηταση του καλωδιου, καθ£ω αυτο µαζευεται στο εσωτερικο τη σκουπα,η µοναδικη δυναµη που ασκειται στη σκουπα; Οχι. Στο εσωτερικο τησκουπα ασκειται επιπλεον µια δυναµη στη σκουπα απο το καλ£ωδιο, κα-θ£ω αυτο ακινητοποιειται ω προ τη σκουπα, οπω θα συνε1αινε σε µιαπλαστικη κρουση. Στο δευτερο µισο τη κινηση τη σκουπα η δυναµηαυτη ειναι µεγαλυτερη απο την ταση, οποτε και η σκουπα επι1ραδυνεται.Ποσο µηκο θα διανυσει συνολικα η σκουπα µεχρι να ακινητοποιηθει; Ει-ναι ευκολο να δειξουµε οτι

xολ =−µl2

2(M + µl).

Αυτο το αποτελεσµα ειναι, µαλιστα, ανεξαρτητο απο τον τροπο µε τονοποιο µαζευεται το καλ£ωδιο. Αυτο και παλι ειναι αναµενοµενο αφου τοκεντρο µαζα του αποµονωµενου συστηµατο πρεπει να βρισκεται στηνιδια θεση που βρισκοταν αρχικα.

7.6 Πολυανελκυστηρα τυπου Atwood

Α θεωρησουµε n + 1 σταθερε α1αρει τροχαλιε κρεµασµενε αποτην οροφη και αλλε n κινητε α1αρει τροχαλιε που εναλλασσονται µετι σταθερε τροχαλιε. Ολε οι τροχαλιε συνδεονται µε ενα σχοινι, τοοποιο κλεινει οπω στο Σχηµα 7.6. Εστω z1, z2, . . . , zn τα υψη των βα-ριδι£ωνm1, m2, . . . , mn που κρεµονται απο τι κινητε τροχαλιε. Το στα-θερο συνολικο µηκο του σχοινιου υποχρε£ωνει τι συντεταγµενε του συ-στηµατο να ικανοποιουν το δεσµο

z1 + z2 + · · · + zn = 0 ,

5Αν η κινηση προερχεται απο καποιο ελατηριο ειναι αναµενοµενη µια τετοια χρονικηεξελιξη.

7.6. ΠΟΛΥΑΝΕΛΚΥΣΤΗΡΑΣ ΤΥΠΟΥ ATWOOD 205

Σχηµα 7.6: Το συστηµα των τροχαλι£ων του πολυανελκυστηρα.

αφου, οσο ανυψ£ωνεται µια µαζα, πρεπει ολε οι αλλε να κατερχονταιαθροιστικα ακρι1£ω κατα το ιδιο διαστηµα. Συνεπ£ω, η Λαγκρανζιανητου συστηµατο ειναι η

L =1

2(m1z

21 + · · ·+mnz

2n) + g(m1z1 + · · · +mnzn), (7.27)

και αν αντικαταστησουµε την zn, για παραδειγµα, συντεταγµενη απο τηνεξισωση του συνδεσµου καταληγουµε στη Λαγκρανζιανη

L =1

2

n−1∑

i=1

miz2i +

1

2mn

(

n−1∑

i=1

zi

)2

+ gn−1∑

i=1

(mi −mn)zi .

Οι n−1 εξισ£ωσει Euler - Lagrange του συστηµατο µπορουν να γραφουνσυνοπτικα υπο µορφη πινακων

m1 +mn mn · · · mn

mn m2 +mn · · · mn...

.... . .

...

mn mn · · · mn−1 +mn

z1z2...

zn

=

m1 −mn

m2 −mn...

mn−1 −mn

g .

Πολλαπλασιαζοντα το παραπανω συστηµα µε τον αντιστροφο του πρ£ω-του πινακα, υπολογιζουµε τι επιταχυνσει των πρ£ωτων n − 1 βαριδι£ωνκαι τελο απο την εξισωση συνδεσµου την επιταχυνση του τελευταιου βα-ριδιου. Αν θελαµε να προσδιορισουµε την εξελιξη του συστηµατο κατα-φευγοντα στου πολλαπλασιαστε Lagrange, θα επρεπε να χρησιµοποιη-σουµε τη Λαγκρανζιανη ανευ συνδεσµου (7.27), αλλα στι n εξισ£ωσειEu-ler - Lagrange που θα προεκυπταν θα επρεπε να αντικαταστησουµε το 0,που συνηθω γραφουµε στο δεξιο µελο, µε τον κοινο πολλαπλασιαστηLagrange του συνδεσµου, αφου

dz1 + dz2 + . . .+ dzn = 0 .


Για παραδειγµα η i-οστη εξισωση Euler - Lagrange θα ειναι

mi(zi − g) = λ , (7.28)

οποτε η επιταχυνση του i-οστου βαριδιου θα ειναι

zi = g + λ/mi .

Αν, τ£ωρα, προσθεσουµε ολε τι επιταχυνσει, θα πρεπει απο την εξισωσητου συνδεσµου ναπαρουµε αθροισµα µηδεν. Συνεπ£ω, µπορουµε να υπο-λογισουµε το λ

λ = −ngµ ,

οπου µ η ανηγµενη µαζα ολων των βαριδι£ων. Σε αυτο το σηµειο µπορουµεαµεσω να υπολογισουµε την ταση του σχοινιου, αφου, οπω εχουµε ανα-φερει, το φυσικο νοηµα των πολλαπλασιαστ£ων Lagrange στο λαγκρανζι-ανο φορµαλισµο ειναι η δυναµη που αναπτυσσεται προκειµενου να ικα-νοποιειται η εξισωση του συνδεσµου. Η ταση, λοιπον, αυτη σε καθε πλευ-ρα τη κινητη τροχαλια ειναι ngµ/2, εν£ω το αρνητικο προσηµο σηµαι-νει οτι η δυναµη αυτη σε καθε κινητη τροχαλια εχει κατευθυνση προ ταεπανω (αρνητικη κατευθυνση). Γνωριζοντα την τιµη του λ, υπολογιζου-µε στη συνεχεια καθε επιταχυνση χωριστα. Συγκεκριµενα

zi = g

(

1 −nµ

mi

)

. (7.29)

Ετσι, αν αρχικα το συστηµα ειναι ακινητο, οι µαζε, οι οποιε υπερ1αι-νουν την τιµη nµ, θα κατευθυνθουν προ τα κατω, εν£ω οι αλλε προ ταεπανω. Ειναι σκοπιµο να επισηµανουµε το κερδο που αποκοµισαµε µετη χρηση των πολλαπλασιαστ£ων Lagrange οσον αφορα στο τεχνικο µεροεπιλυση του προ1ληµατο.

7.7 Μπιζελι σε γα1αθα

Α περιγραψουµε την κινηση ενο µπιζελιου στο εσωτερικο µια αξο-νικα συµµετρικη γα1αθα. Εστω z(ρ) ειναι το σχηµα τη γα1αθα καικατα συνεπεια η εξισωση συνδεσµου του µπιζελιου. ΗΛαγκρανζιανη τουµπιζελιου σε κυλινδροπολικε συντεταγµενε ειναι

L =1

2m

[

ρ2φ2 + ρ2

(

1 +

(

dz(ρ)

dρ

)2)]

−mgz(ρ) . (7.30)

Προφαν£ω η µαζα, οντα πολλαπλασιαστικη σταθερα τη Λαγκρανζια-νη, δεν παιζει κανενα ρολο στην κινηση, οπω συµ1αινει παντοτε µε τηνκινηση ενο σωµατιδιου σε καποιο βαρυτικο πεδιο. Οι εξισ£ωσει κινησηειναι δυο, οσοι δηλαδη και οι βαθµοι ελευθερια του συστηµατο,

ρ2φ = σταθερο = l ,

ρ(z′2+ 1) + ρ2z′z′′ −

l2

ρ3+ gz′ = 0 ,

7.7. ΜΠΙΖΕΛΙ ΣΕ ΓΑΒΑΘΑ 207

Σχηµα 7.7: Ενα µπιζελι στριφογυριζει στο εσωτερικο µια συµµετρικη γα1αθα. Θαπερασει ποτε απο τον αξονα περιστροφη του; Τι σχηµα πρεπει να εχει η γα1αθα για ναµπορεσουµε να πετυχουµε κυκλικε τροχιε;

οπου στην τελευταια εξισωση χρησιµοποιηθηκε η πρ£ωτη, εν£ωο τονο συµ-1ολιζει παραγ£ωγιση ω προ ρ. Ηπρ£ωτη σχεση υποδηλ£ωνει τη διατηρησητη στροφορµη του µπιζελιου γυρω απο τον αξονα z που εξασφαλιζειτη σταθερη φορα περιστροφη του µπιζελιου γυρω απο τον αξονα συµ-µετρια τη γα1αθα και την αδυναµια του µπιζελιου να τον προσεγγισει(οταν l 6= 0). Η δευτερη εξισωση ειναι µια δυσκολη, µη γραµµικη δια-φορικη εξισωση που περιγραφει την ακτινικη µετακινηση του µπιζελιου.Ειναι δυνατον παντω να βρουµε τη λυση του προ1ληµατο για κυκλικεκινησει, δηλαδη για

ρ = ρ = 0 , ρ = ρκ = σταθερη.

Τοτε η δευτερη εξισωση µετατρεπεται στην

ρ3κz

′(ρκ) = ρ3κz

′κ =

l2

g. (7.31)

Θα µπορουσαµε να υπολογισουµε και κατι ακοµη. Κατα ποσον οι κυκλι-κε αυτε τροχιε ειναι ευσταθει. Γι αυτο το λογο θα θεωρησουµε µικρεδιαταραχε γυρω απο την ακτινα τη κυκλικη τροχια, διχω να αλλαξειη στροφορµη l,

ρ = ρκ + η ,

µε η << ρκ και θα αναπτυξουµε τη γενικη εξισωση τη ακτινικη κινη-ση σε πρ£ωτη ταξη ω προ η γυρω απο την κυκλικη κινηση. Η ακτινικηεξισωση, αν αγνοησουµε τον πολυ µικρο ορο η2, αποκτα την ακολουθηµορφη :

η(1 + (z′κ)2) + g

(

3z′κρκ

+ z′′κ

)

η = 0 . (7.32)

Στην παραπανω σχεση χρησιµοποιηθηκε η αναγκαια σχεση (7.31) την ο-ποια πρεπει να ικανοποιει η κυκλικη τροχια. Συνεπ£ω, η τροχια θα ειναιευσταθη (α θυµηθουµε τον αρµονικο ταλαντωτη) εφοσον

3z′κρκ

+ z′′κ > 0 .


Στην περιπτωση που το σχηµα τη γα1αθα εχει πολυωνυµικη µορφη

z(ρ) ∝ ρσ ,

φαινεται αµεσω οτι µονο για −2 < σ < 0 θα εχουµε ασταθει κυκλικετροχιε, εν£ω για καθε αλλη τιµη του σ οι κυκλικε τροχιε θα ειναι ευστα-θει και εποµενω πραγµατοποιησιµε.

7.8 Bungee Jump σε τσουληθρα

Εστω ενα σ£ωµα µαζα m που ολισθαινει χωρι τρι1η στη ραχη ενοκεκλιµενου επιπεδου µαζαM , το οποιο µε τη σειρα του κινειται ελευθερασε οριζοντιο δαπεδο (βλ. Σχηµα 7.8). Η γωνια κλιση του κεκλιµενου επι-πεδου ειναι φ και το σ£ωµα κρεµεται απο την επανω γωνια του κεκλιµενουεπιπεδου µεσω ελατηριου σταθερα k. Τι κινηση εκτελει το συστηµα; ΗΛαγκρανζιανη του συστηµατο περιλαµ1ανει την κινητικη ενεργεια καιτου σ£ωµατο και του κεκλιµενου επιπεδου (αυτη του σ£ωµατο ειναι κα-πω πιο πολυπλοκη, αφου το σ£ωµα µετεχει στην κινηση του κεκλιµενουεπιπεδου), τη δυναµικη ενεργεια του σ£ωµατο λογω τη κινηση του στοβαρυτικο πεδιο και τη δυναµικη ενεργεια του ελατηριου. Χρησιµοποι£ω-ντα ω συντεταγµενε του προ1ληµατο την οριζοντια µετακινηση τουκεκλιµενου επιπεδου x(t) και την αποσταση του ολισθαινοντο σ£ωµατοαπο το αν£ωτατο ακρο του κεκλιµενου επιπεδου y(t), το τετραγωνο τηταχυτητα του ολισθαινοντο σ£ωµατο ειναι

u22 = (x+ y cosφ)2 + (y sinφ)2 ,

και η Λαγκρανζιανη του συστηµατο ειναι :

L =1

2Mx2 +

1

2m[

(x+ y cosφ)2 + y2 sin2 φ]

+mgy sinφ−1

2ky2 .

Θεωρησαµε για ευκολια οτι το ελατηριο εχει µηδενικο φυσικο µηκο. Οιεξισ£ωσει κινηση, λοιπον, των δυο σωµατων ειναι

(M +m)x+my cosφ = 0 , (7.33)

m(x cosφ+ y) −mg sin φ+ ky = 0 . (7.34)

Η πρ£ωτη απο αυτε τι εξισ£ωσει εκφραζει τη διατηρηση τη ορµη στοναξονα x και µπορει να χρησιµοποιηθει για αντικατασταση του x στη δευ-τερη εξισωση. Με την αντικατασταση αυτη η δευτερη εξισωση ξαναγρα-φεται ω ακολουθω :

(

m cos2 φ

M +m+ 1

)

my = −k

(

y −mg sinφ

k

)

. (7.35)

Η µορφη αυτη δοθηκε προκειµενου να διαφανει η y συνιστ£ωσα τη κινη-ση. Προκειται για ταλαντωση γυρω απο τη θεση ισορροπια

y0 =mg

ksinφ ,

7.9. ΡΥΘΜΙΣΤΗΣ ΜΗΧΑΝΗΣ ΤΟΥWATT 209

Σχηµα 7.8: Ενα σ£ωµα αγκιστρωµενο µεσω ελατηριου στην κορυφη µια τσουληθραολισθαινει επανω σε αυτη. Η τσουληθρα βρισκεται σε παγοδροµιο και µπορει να κινειταιελευθερα στο οριζοντιο επιπεδο. Τι κινηση εκτελει το συστηµα;

µε συχνοτητα

ω =

√

k

m

M +m

M +m(1 + cos2 φ).

Αφου µαλιστα οι επιταχυνσει του κεκλιµενου επιπεδου και του ολισθαι-νοντο σ£ωµατο ω προ το κεκλιµενο επιπεδο ειναι αναλογε, το κεκλι-µενο επιπεδο, αν εξαιρεσει κανει µια πιθανη οµαλη κινηση που θα µπο-ρουσε να εκτελει, αναµενεται να εκτελει και αυτο οριζοντια ταλαντωση µετην ιδια συχνοτητα ω. Μπορουµε µαλιστα να εξετασουµε τα δυο ακραιαορια των µαζ£ων : (α) ΑνM >> m, τοτε η (7.33) οδηγει σε µηδενικη επι-ταχυνση x, οποτε το σ£ωµα ταλαντ£ωνεται µε συχνοτητα

√

k/m, οπω θασυνε1αινε αν το κεκλιµενο επιπεδο ηταν πακτωµενο. (β) Αν M << m,

τοτε η οριζοντια θεση του ολισθαινοντο σ£ωµατο x+ y cosφ εχει επιτα-χυνση µηδενικη (βλ. σχεση (7.33)), γεγονο το οποιο σηµαινει οτι, αν αρ-χικα ολα τα µερη του συστηµατο ηταν ακινητα, το σ£ωµα αυτο θα παρε-µενε στην ιδια οριζοντια θεση, εν£ωπαραλληλα θα ταλαντωνοταν κατακο-ρυφα και αντιστοιχα το κεκλιµενο επιπεδο θα ταλαντωνοταν οριζοντια,£ωστε τα δυο σ£ωµατα να βρισκονται συνεχ£ω σε επαφη, µε συχνοτητα

ω =

√

k

m(1 + cos2 φ).

Προφαν£ω, οι εξισ£ωσει κινηση που γραψαµε εχουν ισχυ εφοσον το ολι-σθαινον σ£ωµα δεν φτασει σε αρνητικε y τιµε, δηλαδη περα απο το ακροτου κεκλιµενου επιπεδου.

7.9 Ρυθµιστη µηχανη τουWatt

Στα τελη του 18ου αι£ωνα ο εφευρετη και κατασκευαστη τη οµ£ω-νυµη ατµοµηχανη James Watt [1736-1819] επινοησε τον ακολουθο µη-χανισµο προκειµενου να διατηρειται αυτοµατα η ταχυτητα µια µηχανη


Σχηµα 7.9: Ο αυτοµατο ρυθµιστη τουWatt διατηρει την ταχυτητα µια µηχανη στα-θερη.

(βλ. Σχηµα 7.9). ∆υο βαρειε µεταλλικε σφαιρε στηριγµενε σε αρθρ£ω-σει αναγκαζονται να περιστρεφονται συµφωνα µε το ρυθµο περιστροφητη µηχανη. Λογω τη περιστροφη του οι σφαιρε αναγκαζονται ναανυψωθουν ρυθµιζοντα ετσι την παροχη καυσιµου στη µηχανη. Εστωοτι η µηχανη περιστρεφεται µε ταχυτητα ω. Η γωνιακη αυτη ταχυτηταρυθµιζεται απο το υψο z του δακτυλιου, το οποιο µε τη σειρα του καθο-ριζεται απο το υψο στο οποιο ανυψ£ωνονται λογω φυγοκεντρου οι βραχι-ονε στου οποιου ειναι αναρτηµενε οι µεταλλικε σφαιρε. Αν για κα-ποιο λογο η ταχυτητα τη µηχανη αυξηθει, οι σφαιρε θα ανυψωθουν καιµαζι του θα ανυψωθει και ο αρθρωτο δακτυλιο, υποχρε£ωνοντα τη µη-χανη να ελαττ£ωσει ταχυτητα. ΗΛαγκρανζιανη του συστηµατο αποτελει-ται απο την κινητικη και τη δυναµικη ενεργεια των σφαιρ£ων. Μπορουµε,µαλιστα, να χρησιµοποιησουµε τη γωνια ανυψωση φ που σχηµατιζουνοι βραχιονε µε την κατακορυφο για να περιγραψουµε τη θεση των σφαι-ρ£ων. Αν θεωρησουµε οτι οι βραχιονε στου οποιου αναρτ£ωνται οι σφαι-ρε εχουν µηκο l και οτι οι δευτεροι βραχιονε που συνδεουν το µεσο τωνπρ£ωτων βραχιονων µε τον δακτυλιο εχουν το µισο µηκο l/2, η Λαγκραν-ζιανη του συστηµατο λαµ1ανει την ακολουθη µορφη

L =1

2(2m)l2(φ2 + ω2 sin2 φ) − 2mgl(1 − cosφ) . (7.36)

Η εξισωση κινηση των σφαιρ£ων ειναι

φ = sin φ(

ω2 cosφ−g

l

)

. (7.37)

Αν η συχνοτητα περιστροφη ειναι αρκετα µικρη (µικροτερη απο√

g/l),η θεση φ = 0 ειναι θεση ευσταθου ισορροπια, αφου η παραπανω δια-φορικη εξισωση µοιαζει µε αυτη του αρµονικου ταλαντωτη για µικρα φ,

7.10. ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ 211

και οι σφαιρε παραµενουν κολληµενε στον αξονα. Α υποθεσουµε οτιθελουµε να διατηρουµε την ταχυτητα τη µηχανη στη σταθερη τιµη ω0, ηοποια ξεπερνα το οριο

√

g/l. Ειναι προφανε οτι σε αυτη την περιπτωσηη θεση φ = 0 παυει να ειναι θεση ευσταθου ισορροπια και εµφανιζεταιµια αλλη θεση ισορροπια, η γωνια φ0, που αποτελει ριζα τη εξισωση

ω2 cosφ−g

l= 0 .

Αν αναπτυξουµε το δευτερο µελο τη διαφορικη εξισωση (7.37) γυρωαπο αυτο το σηµειο ισορροπια µπορουµε να αποδειξουµε οτι αυτο το νεοσηµειο ισορροπια ειναι ευσταθε. Αν µαλιστα εξασφαλισουµε τον ελεγχοτη ταχυτητα περιστροφη αναλογα µε την ανυψωση των σφαιρ£ων, συµ-φωνα µε το νοµο

ω = ω0 + α(cosφ− cos φ0) ,

µε α > 0, που συνεπαγεται ελαττωση τη ταχυτητα, οταν η γωνια φ ξε-περασει τη θεση ισορροπια φ0, η µηχανη θα λειτουργει µε σταθερη τα-χυτητα. Μπορουµε, επιπλεον, να αποδειξουµε οτι τοτε η συχνοτητα τωνµικρ£ων ταλαντ£ωσεων γυρω απο τη θεση ισορροπια θα ειναι ακοµη µε-γαλυτερη απ ο,τι αν η συχνοτητα δεν µετα1αλλοταν. Τουτο ειναι αναµε-νοµενο αφου ο µηχανισµο κατασκευαστηκε για να προκαλει αναδραση.Ετσι, σε καθε µετα1ολη τη συχνοτητα, οποιουδηποτε ειδου τρι1η στα-θεροποιει ταχυτερα το συστηµα στη θεση ισορροπια.6

7.10 Κοσµολογια σε ενα κλειστο, µονοδιαστατο

και σχεδον οµογενε Συµπαν

Α υποθεσουµε οτι ο κοσµο ειναι µονοδιαστατο και µαλιστα πεπε-ρασµενο. Θα µπορουσαµε να περιγραψουµε εναν τετοιο κοσµο εχοντακατα νου την τοπολογια ενο δακτυλιου. Αν συµπληρ£ωναµε το γεωµε-τρικο αυτο υπο1αθρο µε µαζε, οι οποιε θα επαιζαν το ρολο των γαλα-ξι£ων αυτου του κοσµου και θα αλληλεπιδρουσαν βαρυτικα µεταξυ του,θα ειχαµε ενα κοσµολογικο µοντελο γι αυτο τον κοσµο. Αυτο που θε-λουµε να ελεγξουµε ειναι π£ω θα εξελισσοταν µια οµοιοµορφη κατανοµηµαζ£ων κατα µηκο του δακτυλιου σε ενα τετοιο Συµπαν. Η βαρυτικη δυ-ναµη σε ενα µονοδιαστατο κοσµο –οπω συµ1αινει και µε την ελκτικη δυ-ναµη δυο φορτισµενων απειρων πλακ£ων ενο πυκνωτη που ειναι ανεξαρ-τητη τη µεταξυ του αποσταση– αποδεικνυεται οτι ειναι σταθερη καιανεξαρτητη απο την αποσταση µεταξυ των σωµατων. Συνεπ£ω, το αντι-στοιχο τη νευτ£ωνεια βαρυτικη ελξη δυο µαζ£ων σε ενα µονοδιαστατοκοσµο θα ειναι

F1→2 = Gm1m2x2 − x1

|x2 − x1|.

6Aν, βε1αια, η τρι1η ειναι αναλογη µε την ταχυτητα κινηση, ο χρονο αποσ1εση,οπω γνωριζουµε απο την περιπτωση του ταλαντωτη µε αποσ1εση, δεν θα εξαρταταιαπο τη συχνοτητα τη ταλαντωση.


Σχηµα 7.10: Το µονοδιαστατο Συµπαν µε του γαλαξιε του.

Γενναται, βε1αια, το ερ£ωτηµα τι γινεται οταν η µια διασταση παρουσια-ζει περιοδικε συνθηκε. Σε αυτην την περιπτωση πρεπει να λα1ουµε τηδυναµη ω ανωτερω, µετρ£ωντα τι αποστασει µεταξυ των µαζ£ων· δεξι-οστροφα οµω η αριστεροστροφα; Θα επιλεξουµε εκεινη τη φορα κατατην οποια η αποσταση των δυο µαζ£ων ειναι ελαχιστη.7 Η δυναµικη, λοι-πον, ενεργεια ενο ζευγου σωµατιδιων, οι θεσει των οποιων σε αυτο τονκοσµο καθοριζονται απο τι γωνιε θi, θj , θα εχει τη µορφη

Vij(θi, θj) = G(1)mimjR

(

minn=0,±1,±2,...

|θi − θj − 2nπ|

)

, (7.38)

οπου ο συµ1ολισµο G(1) αναφερεται στη σταθερα τη βαρυτητα στοµονοδιαστατο κλειστο Συµπαν και R ειναι η ακτινα του δακτυλιου. Ειναιευκολο να διαπιστ£ωσουµε οτι πραγµατι η δυναµικη ενεργεια τη σχεση(7.38) δηµιουργει µεταξυ δυο µαζ£ων µια ελκτικη δυναµη µε σταθερο µε-τρο και φορα αυτην του κοντινοτερου τοξου που συνδεει τι δυο µαζε,ανεξαρτητω των πολλαπλασιων του 2π που πιθαν£ω εµπεριεχονται στηµετρηση τη καθε γωνια.Α υποθεσουµε στη συνεχεια οτι γεµιζουµε ολοκληρο το δακτυλιοει-

δε Συµπαν µε ισε µαζε οµοιοµορφα κατανεµηµενε, ετσι ωστε να σχη-µατιζουν ενα κανονικο N-γωνο. Λογω τη κανονικοτητα του N-γ£ωνουοι µαζε θα ισορροπουν στην αρχικη του θεση. Αν, µαλιστα, σα προ1λη-

7Για ενεργειακου λογου θα πρεπει να επιλεγει εκεινη η φορα που οδηγει στη µικρο-τερη δυνατη συνολικη δυναµικη ενεργεια του πεδιου και, επειδη η δυναµη ειναι σταθερη,η εκταση ισχυο τη δυναµη πρεπει να ειναι η µικροτερη δυνατη, δηλαδη η κοντινοτερηαποσταση. Ευχαριστουµε τον Καθηγητη Φ. Χατζηωαννου για την επισηµανση αυτη.

7.10. ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ 213

µατιζει η ευσταθεια του, υποθεστε οτι οN ειναι περιττο αριθµο, οποτε,επειδη η δυναµη ειναι σταθερη και υπαρχει ισο αριθµο µαζ£ων στα αρι-στερα και στα δεξια τη καθε µαζα, θα ασκειται σε καθε µαζα µηδενικησυνολικη δυναµη. Επιπλεον, ακοµη και αν µετακινησουµε ελαφρ£ω (λι-γοτερο απο 2π/N) τι µαζε απο τη θεση ισορροπια του, αυτε θα εξα-κολουθησουν ολε να βρισκονται σε ισορροπια. Υποθετουµε, λοιπον, οτιοι γωνιακε θεσει των µαζ£ων ειναι σταθερε στι κορυφε του κανονικουN-γ£ωνου. Θα επιτρεψουµε οµω στο δακτυλιοειδε αυτο Συµπαν να εχειµετα1λητη µε το χρονο ακτινα R(t).Ποια θα ειναι τοτε η κινητικη ενεργεια του συστηµατο; Χρειαζοµαστε

ενα συστηµα εντο του Συµπαντο αυτου για να µετραµε ταχυτητε. Ανεπιλεξουµε να µετραµε τι ταχυτητε ω προ µια οποιαδηποτε µαζα,8 ηταχυτητα τη k-οστη µαζα στα δεξια η στα αριστερα απο τη µαζα πουεπιλεξαµε θα ειναι

vk = R(t)2πk

N, 1 ≤ k ≤

N − 1

2.

Εποµενω, η κινητικη ενεργεια ολου του Συµπαντο θα ειναι αναλογη τουR(t)2. Ηδυναµικη ενεργεια, οντα το αθροισµα ολων των δυναµικ£ων ενερ-γει£ων αλληλεπιδραση των επι µερου µαζ£ων θα ειναι

V =1

2

∑

i

∑

j 6=i

Vij =N

2

N−1∑

i=1

ViN ,

δηλαδη θα ειναι αναλογη τη ακτινα R(t). Συνολικα, η Λαγκρανζιανητου Συµπαντο θα ειναι

L =1

2mα

(

2π

N

)2

R2 −1

2G(1)m2β

(

2π

N

)

R , (7.39)

οπου α, β αριθµητικοι παραγοντε που σχετιζονται µε το αθροισµα τωνκινητικ£ων και δυναµικ£ων ενεργει£ων αντιστοιχα. Συγκεκριµενα,

α = 2

(N−1)/2∑

k=1

k2 =N(N − 1)(N + 1)

12,

–το διπλασιο του αθροισµατο των τετραγ£ωνων των σχετικ£ων θεσεων γιακαθε ηµικυκλιο– και

β = 2N

(N−1)/2∑

k=1

k =N(N − 1)(N + 1)

4,

–το διπλασιο του αθροισµατο των σχετικ£ων θεσεων για καθε ηµικυκλιοκαι για καθε µαζα. Ηεξελιξη του Συµπαντο θα διεπεται απο τη δυναµικησχεση που υπαγορευει η εξισωση Euler - Lagrange

R = −G(1)m

(

β

α

)

N

4π= −

3G(1)

4πMολ (7.40)

8Αυτο ειναι ουσιαστικα ο αντιστοιχο νοµο του Hubble για το µονοδιαστατο αυτοΣυµπαν, αφου, οσο µακρυτερα βρισκεται ενα αστρο, τοσο ταχυτερα θα φαινεται οτιαποµακρυνεται.


οπουMολ = Nm η ολικη µαζα του Συµπαντο. Με αλλα λογια το Συµπανθα επι1ραδυνει την αυξηση τη ακτινα του µε σταθερο ρυθµο. Αν ο αρ-χικο ρυθµο διαστολη του Συµπαντο ηταν R(0) = u0, το Συµπαν θαφτασει στο µεγιστο µεγεθο του

Rmax =2πu2

0

3G(1)Mολ(7.41)

σε χρονο

T =4πu0

3G(1)Mολ(7.42)

µε την προποθεση βε1αια οτι ειχε ξεκινησει µε σχεδον µηδενικε διαστα-σει. Φυσικα, υστερα απο αλλο τοσο χρονικο διαστηµα οι διαστασει τουθα εκµηδενιστουν και παλι. Απο µια αποψη αυτο ειναι το µονοδιαστατοαναλογο του χρονικου τη εξελιξη του πραγµατικου µα Συµπαντο, εφο-σον οι µοναδικε δυναµει που δρουν ειναι οι βαρυτικε ελξει µεταξυ τωνσυνιστωσ£ων του.

7.11. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 215

7.11 Προ1ληµατα

1. Ενα φορτισµενο σωµατιδιο ειναι υποχρεωµενο να κινειται επανωσε ενα επιπεδο. Το σωµατιδιο βρισκεται µεσα σε οµογενε µαγνη-τικο πεδιο, εν γενει πλαγιο σε σχεση µε το επιπεδο. Τι µορφη εχει ητροχια τη κινηση που εκτελει το σωµατιδιο;

2. Ενα σωµατιδιο κινειται ελευθερα στην επιφανεια µια σφαιρα.Προσδιοριστε την κινηση του.

3. Αβαρε σχοινι περνα γυρω απο α1αρη τροχαλια που ειναι στηριγ-µενη στην οροφη ενο δωµατιου. Στη µια ακρη του σχοινιου ειναιδεµενη µια αρµαθια µπανανε µαζαM , εν£ω στην αλλη ακρη εναπιθηκο µαζα επισηM αναρριχαται µε σκοπο να φτασει τι µπα-νανε. Αρχικα ο πιθηκο και οι µπανανε δεν βρισκονται στο ιδιουψο. Η σχετικη µετατοπιση του πιθηκου ω προ την ακρη τουσχοινιου ειναι ψ(t) µε αρχικε συνθηκε ψ(0) = ψ(0) = 0. Γραψτετη λαγκρανζιανη συναρτηση του συστηµατο και µελετηστε την κι-νηση. Ποιε ειναι οι διατηρουµενε ποσοτητε και ποια η φυσικησηµασια του. Θα καταφερει να φτασει ο πιθηκο τι µπανανε;

4. Κυκλικο δακτυλιο ακτινα R κυλιεται χωρι να ολισθαινει επανωσε οριζοντιο δαπεδο που κινειται οριζοντια κατα x(t) οπω στο σχη-µα. Ηµαζα του δακτυλιουM ειναι συγκεντρωµενη στην περιφερειατου. Προσδιοριστε το λογο τη µετατοπιση του κεντρου του δακτυ-λιου προ τη µετατοπιση του δαπεδου. Θεωρηστε στη συνεχεια ενανοµισµα µε την ιδια συνολικη µαζαM , την ιδια ακτιναR και το ιδιοκεντρο µαζα, αλλα µε τη µαζα κατανεµηµενη µε τετοιο τροπο£ωστεη περιστροφικη κινητικη ενεργεια να ειναι

1

2M ′R2θ2 ,

µε M ′ < M . Προσδιοριστε το νεο λογο µετατοπιση του κεντρουβαρου προ τη µετατοπιση του δαπεδου. Τι θα συµ1ει στι δυο πε-ριπτ£ωσει, αν τοποθετηθουν δυο δακτυλιοι διαφορετικη ακτινα,ο ενα διπλα στον αλλο, στο κινουµενο δαπεδο; Επι1ε1αι£ωστε τηναπαντηση σα εκτελ£ωντα το πειραµα.


5. Κατασκευαστε τη Λαγκρανζιανη και στη συνεχεια υπολογιστε τηνκινηση ενο συστηµατο που αποτελειται απο ενα δακτυλιο µαζαM και ακτιναR, ο οποιο µπορει να κυλιεται σε οριζοντιο επιπεδο,και ενο σωµατιδιου µαζα m που ολισθαινει χωρι τρι1ε επανωστο δακτυλιο ξεκιν£ωντα απο το αν£ωτερο σηµειο του δακτυλιου ο-ταν αυτο ειναι ακινητο. Που βρισκονται τα δυο σ£ωµατα, οταν συµ-1αινει ο διαχωρισµο του;

6. Η Λαγκρανζιανη µια εκρηξη: Θεωρηστε ω απλουστευµενο µο-ντελο µια εκρηξη ενα συστηµα δυο µαζ£ων που µπορουν να κινου-νται πανω σε εναν αξονα διχω τρι1ε. Μεταξυ των δυο µαζ£ων υ-παρχει συµπιεσµενο ελατηριο, το οποιο καποια στιγµη αφηνεται ε-λευθερο να αποσυµπιεστει, εω οτου αποκτησει το φυσικο του µη-κο οποτε οι δυο µαζε διαχωριζονται. Γραψτε τη Λαγκρανζιανηκαι υπολογιστε την κινηση των δυο σωµατων, αν αρχικα αυτα ητανακινητα. Στο οριο που η σταθερα του ελατηριου τεινει στο απειρο,αλλα η ενεργεια του συµπιεσµενου ελατηριου ειναι δεδοµενη, ποιαειναι η εξισωση τη κινηση; Εχοντα καταληξει στο επιθυµητο α-ποτελεσµα θα µπορουσατε µηπω να γραψετε τη λαγκρανζιανη συ-ναρτηση του συστηµατο συµπεριλαµ1ανοντα µονο τι κινητικεενεργειε των σωµατων µε δεδοµενη τη σχετικη ταχυτητα των δυοσωµατων πριν και µετα την εκτιναξη του ελατηριου;

7. Στηριζοµενοι στο αποτελεσµα τη προηγουµενη ασκηση, γραψτετη Λαγκρανζιανη ενο πυραυλου, ο οποιο προωθειται απο την ε-κτοξευση αεριων µε σταθερο ρυθµο και σχετικη ταχυτητα V , απου-σια οποιουδηποτε πεδιου. Στη συνεχεια υπολογιστε την εξισωση κι-νηση του πυραυλου.

8. Ενα σωµατιδιο κινειται µεσα σε οµογενε µαγνητικο πεδιο. Ναανα-φερετε ολε τι συµµετριε τη λαγκρανζιανη συναρτηση και ναπροσδιορισετε τι διατηρουµενε ποσοτητε. Να συγκρινετε κατο-πιν τι διατηρουµενε ποσοτητε µε αυτε που διατηρουνται σε εναελευθερο σωµατιδιο.

9. Προσδιοριστε την κινηση σωµατιδιου που κινειται ελευθερα επι µιαζ£ωνη του Mɻobius. Η ζ£ωνη προσδιοριζεται παραµετρικα απο τισχεσει

x = −v sin(u/2) cos(u) + cos(u) ,

y = −v sin(u/2) sin(u) + sin(u) ,

z = cos(u/2) ,

µε 0 ≤ v ≤ 0.2 και 0 ≤ u < 4π.

Κεφαλαιο“ 7users.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/07.pdf · Κεφαλαιο“ 7...

Documents

Transcript of Κεφαλαιο“ 7users.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/07.pdf · Κεφαλαιο“ 7...