Anwendungslinien für einen langfristigen …bezogenes Wissen und Können (degree of coverage) 1....
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Anwendungslinien für einen
langfristigen Kompetenzaufbau im
mathematischen Modellieren
Prof. Dr. Regina Bruder
Technische Universität Darmstadt
www.math-learning.com
01.12.2012 ISTRON Münster
Gliederung
1. Drei Konzepte für anwendungsorientierten
Mathematikunterricht und zum Erwerb von
Modellierungskompetenz
2. Wie kann man mathematische
Modellierungskompetenz langfristig aufbauen ?
Was soll durch den Mathematikunterricht von der Mathematik
verstanden,
behalten und
angewendet
werden können?
Mathematische Gegenstände ... als eine
deduktiv geordnete Welt eigener Art ...
begreifen.
Problemlösefähigkeiten (heuristische
Fähigkeiten, die über die Mathematik
hinausgehen)
Erscheinungen der Welt um uns ... in einer
spezifischen Art wahrzunehmen und zu
verstehen.
Vision für modernen MU:
Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995
Was ist wesentlich?
Orientierung an der Curriculumspirale
Figuren
erkennen untersuchen
erzeugen
variieren
Abstände
berechnen
Datensätze
beschreiben
darstellen
strukturieren
Objekte (und Prozesse)
optimieren
Algebraische
Aspekte: Zahl
Geometrische Aspekte:
Raum
- z.B. bei
Verpackungen
Dimensionen von Modellierungskompetenz
1. Auf den Modellierungsprozess bezogenes Wissen und Können
(degree of coverage)
1. Mathematische Inhalte (technical level)
2. Situationen und Kontexte, aus denen das reale Problem stammen kann (radius of action).
… als Mathematisierungsmuster
Blomhøj und Jensen (2007, S. 51)
Themenvielfalt und vertikale Linien
Warum Modellieren als „Ganzes“ im MU Platz finden soll…
- Es wird das von den SuS angewendet, was sie gerade aktuell im MU gelernt
haben: Der Blick von der Mathematik in die Welt muss ergänzt werden durch den
Blick auf die Realität mit der Mathebrille!
-Wo wird Mathematik benötigt –
-Welchen Mehrwert bringt die
Anwendung von Mathematik?
- Es gibt bisher zu wenig Gelegenheit zu zeigen, was an mathematischen
Begriffen, Zusammenhängen und Verfahren tatsächlich verfügbar ist
(Kompetenz!)
-Modellierungssituationen bieten diese Chance!
Interpretationsrahmen und verschiedene Ansätze:
A) Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen
Mitteln projektartig erschlossen (lokal)
B) Ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale
Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen
immer wieder aufgegriffen
C) In einen stärker an der mathematischen Sachlogik
orientierten Unterricht werden abschnittsweise
Anwendungen „eingestreut“
Ziel: Handlungs-
kompetenz im
Modellieren
Anwendungsorientierter MU für das Ausbilden von Modellierungskompetenz
- reale Fragestellungen und Probleme dominieren und strukturieren den Unterricht
entweder als Rekonstruktion mathematischer Hintergründe oder als „Mehrwerterleben“ von Mathematiknutzung in einer (Problem-)Situation
- es wird die Mathematik geübt und entwickelt, die tatsächlich „gebraucht“ wird
A)Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen Mitteln projektartig erschlossen (lokal)
- als Einstieg in ein neues mathematisches Thema geeignet bzw. für fächerverbindenden Unterricht oder als
- Modellierungswoche, Projekttag…
Themenbeispiele: Brückenbau, Autobahnabfahrt,
Sportwetten, Kirchenfenster …
vgl. auch www.amustud.de
Durchschnittbilanz
Tonnen CO2 pro Jahr
Heizen und Warmwasser 1,97
Elektrogeräte 0,75
Energieverbrauch gesamt 2,72
Privatfahrzeuge 1,56
Offentliche Verkehrsmittel 0,11
Flugreisen 0,85
Mobilität gesamt 2,52
Ernährung 1,65
Persönlicher Konsum 2,75
Verbrauch der Allgemeinheit 1,24
Konsum gesamt 5,64
Gesamt 10,88
Durchschnittliche CO2 - Emission pro Kopf in Privathaushalten
Elektrogeräte
7%
Heizen und
Warmwasser
18%
Ernährung
15%
Persönlicher Konsum
26%
Verbrauch der
Allgemeinheit
11%
Offentliche
Verkehrsmittel
1%
Flugreisen
8%
Privatfahrzeuge
14%
Verpackungen machen in Deutschland ca. 1% in der CO2-Gesamtemission aus.
Quelle: Umweltbundesamt
A)Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen Mitteln projektartig erschlossen (lokal): CO2-Fußabdruck
A)Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen Mitteln projektartig erschlossen (lokal): Thema „virtuelles Wasser“ Historischer Fakt:
Der Begriff „virtuelles Wasser“ wurde 1993 von dem britischen Geographen Tony Allan eingeführt.
Allan berechnete den Wasserverbrauch, der durch die Produktion, Lagerung und den Transport verschiedener Konsumgüter entsteht,
und machte so erstmals transparent,
wie viel Wasser in den Produkten steckt,
die der Endverbraucher konsumiert.
http://www.waterfootprint.org/?page=cal/WaterFootprintCalculator
13 Liter Wasser in einer Tomate
Die Tomaten wachsen nicht im Supermarkt, sondern an Tomatenpflanzen. Bis aus einem Tomatensamen ein Tomatenstrauch wird und an diesem Strauch die Tomaten reif werden, dauert es ca. 3 Monate.
In dieser Zeit braucht die Pflanze Wasser um zu wachsen und zu reifen. Für das Wachstum von einem Kilogramm Tomaten werden durchschnittlich 184 Liter Wasser benötigt.
Entsprechend stecken ca. 13 Liter virtuelles Wasser in einer 70 Gramm schweren Tomate.
Die Niederschläge reichen für die Tomatenbewässerung nicht aus. Deswegen wird kostbares Grundwasser benutzt. Die Folge des Gemüseanbaus in trockenen Regionen Spaniens sind Versalzung und Versteppung des Bodens.
Die meisten in D. verzehrten Tomaten kommen aus Spanien.
Autorin: Diana Milev 2012
Virtuelles Wasser eines Brotes In einem Kilogramm des
deutschen Weizens stecken 690 Liter virtuelles Wasser.
80% von diesem Wassergehalt konzentrieren sich im Mehl, welches aus dem Weizen gewonnen wird;
Aus einem Kilogramm Getreide wird 790 Gramm Weizenmehl gewonnen. Wie viel Liter des virtuellen Wassers stecken in einem Kilogramm Weizenmehl?
Aus einem Kilo Mehl bekommt man 1,15 Kg Brot. Wie viel Liter des virtuellen Wassers stecken in einem 750 Gramm schweren Brot?
Autorin: Diana Milev 2012
Wasserpreis- und Verbrauchsänderungen (BRD)
2003 durchschnittlicher Wasserpreis in der BRD bei 1,72€ pro 1 m³
Quelle: Statistisches Bundesamt
Interpretationsrahmen und verschiedene Ansätze:
A) Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen
Mitteln projektartig erschlossen (lokal)
B) Ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale
Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen
immer wieder aufgegriffen
C) In einen stärker an der mathematischen Sachlogik
orientierten Unterricht werden abschnittsweise
Anwendungen „eingestreut“
- Wichtig für Schulcurriculum,
- LB-Gestaltung
- Mehrwerterleben von Mathematik
- Kumulatives Lernen…
Anwendungsorientierter MU für das Ausbilden von Modellierungskompetenz
B) ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen immer wieder aufgegriffen Möglichkeiten einer vertikalen Strukturierung:
Interpretations- und
Entscheidungsprobleme
Umgehen mit Geld
Umgang mit Energie und
Ressourcen (Wasser…)
Lebensweise – Gesundheit,
Freizeitverhalten (CO2-
Fußabdruck…)…
B) ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen immer wieder aufgegriffen Möglichkeiten einer vertikalen Strukturierung:
Mehrwert von Mathematik
erleben:
Schrittweise Erweiterung der
mathematischen Werkzeuge
zur Bearbeitung eines
praxisrelevanten
Problemfeldes, das immer
wieder aufgegriffen wird:
Mittelwerte…
Unzugängliche
Entfernungen bestimmen,
Wachstumsprobleme
Interpretations- und
Entscheidungsprobleme
Umgehen mit Geld
Umgang mit Energie und
Ressourcen (Wasser…)
Lebensweise – Gesundheit,
Freizeitverhalten…
Mittelwerte – ein Gedankenexperiment
Wer ist schneller?
Ein Ruderboot auf einem See rudert eine bestimmte Strecke gleichmäßig hin
und wieder zurück.
Zur gleichen Zeit startet ein gleich starkes Ruderboot auf einem Fluss und fährt
die gleiche Streckenlänge – jedoch einmal flussaufwärts und einmal
flussabwärts.
Ein analoges Beispiel:
Für einen Besuch bei Freunden wurde für die Autofahrt eine
Durchschnittsgeschwindigkeit von 100km/h eingeplant.
Leider gab es einen Stau, so dass die erste Hälfte der Strecke nur mit einem
„Schnitt“ von 50km/h absolviert wurde.
Wie schnell hätte auf der zweiten Hälfte gefahren werden müssen, um
trotzdem wie vorgesehen am Ziel einzutreffen?
Für die Zeit gilt bei konstanter Geschwindigkeit :
Fahrzeit 1. Hälfte + Fahrzeit 2.Hälfte = Gesamtzeit
ts
v
s s
v
s2 2
50 100
s s
v
s
100 2 100
Interpretation: Die für den Gesamtweg geplante Zeit ist bereits
nach der 1.Weghälfte abgelaufen!
t t t gesamt1 2
Lernanlass: Vergleich mehrerer Mittelwerte im MU Fragen: Wo liegt das harmonische Mittel im Vergleich zum
geometrischen und arithmetischen Mittel?
a b
a b
2 a b2
1 1a b> >
Quadratisches Mittel und Kubisches Mittel
mit Anwendungen:
- Standardabweichung - Wann ist ein Weinbecher
halb voll?
a b2 2
2
a b3 3
3
2
Weitere Mittelwerte:
Lernziele
Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik
verstanden,
behalten und
angewendet
werden können?
Funktion von Mathematik zur Aufklärung
struktureller Unterschiede in realitätsbezogenen Situationen erkennen
Der Begriff Mittelwert besitzt verschiedene
Ausprägungen
Beispielkontexte und Visualisierungen als
Merkhilfen
Mittelwerte als mathematische Modelle
begreifen und in verschiedenen Kontexten
wiedererkennen und nutzen
Unzugängliche Entfernungen bestimmen
23
Wie kann man die Breite
eines Flusses
(Höhe eines Baumes o.ä.
nicht zugängliche Entfer-
nungen) bestimmen?
Maßband und Winkel-
messgerät stehen zur
Verfügung.
Erarbeitung des Themenfeldes: Wo kommen
Wachstumsprozesse vor?
a) Natur / Umwelt: Pflanzen, Tiere, Erdbevölkerung,
Pilze, Bakterien und Viren
b) Wachstum von Kosten und Gewinnen: Guthaben und
Schulden bei Banken, Einkaufen, Dienstleistungen
(Taxi, Handy- bzw. Telefonkosten)
c) Physikalisch: Radioaktiver Zerfall (Atomenergie und
C14-Methode), Entstehung und Verlust von Wärme
Wachstumsprozesse
a) Lineares Wachstum: In jeder Zeiteinheit kommt
der gleiche Betrag hinzu. Beispiele: Taxifahrt…
Nachteil: Es existiert nur bedingt.
b) Rolle der Fibonaccizahlen bei Wachstum:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,.....
Beispiele: Spiralen bei Kiefernzapfen und andere
Wuchsformen von Pflanzen
Grund: Optimale Verteilung – geringste
Überlappung
Mathematisierungsmuster für die
Beschreibung von Wachstumsprozessen
c) Exponentielles Wachstum:
Der Zuwachs ist hierbei proportional zum
vorhandenen Bestand. In jeder Zeiteinheit nimmt
der Bestand mit dem gleichen Faktor zu. Beispiele
Zinsen, Bakterienwachstum.
Nachteil: Gilt nur in gewissen Grenzen, da
normalerweise nichts unbegrenzt wachsen kann.
Mathematisierungsmuster für die
Beschreibung von Wachstumsprozessen
d) Logistisches Wachstum: Es gibt eine Grenze, die nicht
überschritten werden kann. Der Bestand entwickelt sich
zunächst fast exponentiell. Je näher er aber an die
Grenze heran kommt, desto mehr wird das Wachstum
gehemmt.
Beispiel: Populationsmodelle
Was sind „prototypische
Anwendungen“ im MU ?
Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale
• Umgehen mit Geld...
• Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz,
Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...)
• Optimieren
• Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen
• Funktionale Zusammenhänge beschreiben (Wachstum/Zerfall;
lokale und globale Veränderungen)
• Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben
• Visualisierungen (Mittelwerte, bin. Formeln...)
• Symmetrie, Kongruenz – Ähnlichkeit...
• Figuren erzeugen und vergleichen in Ebene und Raum
• Zufall beschreiben...
Was sind die
„Mathematisierungsmuster“?
Berechnungs-
möglichkeiten für
unzugängliche
Strecken Beschreibungs-
möglichkeiten für
Datensätze und
(lokale)
Änderungen
-Pythagoras
-Strahlensätze
-Trigonometrie
-Skalarprodukt…
-Funktionstypen
-Regression
-Linearisierung
-Ableitung…
Erzeugen von
Figuren, Mustern
-Kongruenzabb.
-Ähnlichkeitsabb.
-Grundkonstruktionen
-Symmetrie…
Optimieren von
Prozessen und
Objekten
-Extremalprinzip
-Differenzial-
rechnung
-Ungleichungen
-Symmetrieprinzip
…
Interpretationsrahmen und verschiedene Ansätze:
A) Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen
Mitteln projektartig erschlossen (lokal)
B) Ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale
Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen
immer wieder aufgegriffen
C) In einen stärker an der mathematischen Sachlogik
orientierten Unterricht werden abschnittsweise
Anwendungen „eingestreut“
- Typisch für den aktuellen Unterricht
- die Mathematik wird angewendet, die gerade behandelt wurde
- Ziel: Schrittweise offenere Aufgaben einsetzen
Anwendungsorientierter MU für das Ausbilden von Modellierungskompetenz
Kreativ sein dürfen:
Ein Spieler zahlt 1 Euro Einsatz und wirft 3 (ideale) Würfel.
Erscheint dabei die 6 ein-, zwei- oder dreimal, erhält er den
Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von 1 bzw. 2
bzw. 3 Euro.
Erscheint keine 6, ist der Einsatz verloren.
a) Weise nach, dass das Spiel nicht fair ist!
b) Was könnte man an dem Spiel verändern, damit es fair
wird?
Lösungsvorschläge zu b):
- Änderung des Gewinnplanes – z.B. soll man auch mit einer 5
noch einen kleinen Gewinn erzielen können (wie groß
müsste dann dieser Gewinn sein?)
- Änderung der Gewinnquote – man könnte für drei Sechsen
z.B. etwas mehr als nur die 3 Euro plus Einsatz erhalten (wie
viel dann?)
- der Einsatz wird verringert bei Konstanthalten des Gewinn-
planes (tatsächlich genügen 0,86 Euro für ein faires Spiel).
Interpretationsrahmen und verschiedene Ansätze:
A) Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen
Mitteln projektartig erschlossen (lokal)
B) Ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale
Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen
immer wieder aufgegriffen
C) In einen stärker an der mathematischen Sachlogik
orientierten Unterricht werden abschnittsweise
Anwendungen „eingestreut“
– flankiert durch ein Modellierungstrainingslager zum
Erwerb von Metakompetenz zum Modellieren
(z.B. halbjährlich 2 - 4h)
Anwendungsorientierter MU für das Ausbilden von Modellierungskompetenz
Mathematische Fragen stellen…
Stellt Euch vor, Ihr werdet als
Mathematikexperte bei einer Firma, die
Schokowaffeln produziert, um Hilfe
gebeten.
Eure Aufgabe ist es, möglichst viele
Ideen zu entwickeln, was alles an den
Schokowaffeln verändert werden kann!
Welche Vorschläge würdet ihr
unterbreiten?
Wie findet man möglichst viele
Veränderungsvorschläge?
Schülerreaktionen aus dem Unterricht:
Die Waffeln krümeln immer so, kann man das ändern?
Wenn man Werbeblättchen bekommt, würden bestimmt mehr
Leute die Waffeln kaufen.
Ich möchte gerne wissen, wie lange ich joggen muss für so
eine Waffel! Das sollte man dann drauf schreiben!
Ich habe mal gelesen, dass Kakao teurer ist als Nüsse. Ob
sich die Zusammensetzung der Schokowaffel in den letzten
Jahren schon geändert hat?
Wieso sind die Waffeln eigentlich quadratisch – hat das
einen besonderen Grund?
Kann man die Waffeln noch anders einpacken und Papier
sparen ohne gleich schmutzige Finger zu bekommen?
-
• Rundgang mit der „Mathematikbrille“...
Frage: Wo ist Mathematik (in Verpackungen) versteckt ?
Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in
Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren.
-
• Rundgang mit der „Mathematikbrille“...
Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt ?
• Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinander
• Verpackungen analysieren
• Kreation einer neuen Leckerei mit Verpackung
Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge
mathematisch beschreiben?
Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine
mathematische Beschreibung bieten?
Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in
Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren.
Gliederung
1. Drei Konzepte für anwendungsorientierten
Mathematikunterricht und zum Erwerb von
Modellierungskompetenz
2. Wie kann man mathematische
Modellierungskompetenz langfristig aufbauen ?
Hypothese: Stufen beim mathematischen Modellieren
Unmittelbares Modellieren (Stufe I): „Textaufgaben“ mit (sinnvollem) Anwendungsbezug
Idealisierendes Modellieren (Stufe II) Normatives Modellieren (Stufe IIa):
Schaffen von Realität; Typ: „was ist gerecht?“
Deskriptives Modellieren (Stufe IIb):
„Abbildung“ der Realität, Anwendung
Anzupassendes Modellieren (Stufe III) Arbeiten mit Daten und geeigneten Funktionsklassen…
Stufenkonzept von Ulrich Böhm, 2012
Hypothese:
Wenn die im Curriculum angelegte Modellierungskompetenz einer Stufenform unterliegt, bedeutet dies, dass in Jahrgangsstufe 5 Stufe I überwiegt, die dann im Laufe der Schulzeit durch Stufe II und III ergänzt und auch ersetzt wird.
Untersucht wurde:
Neue Wege 5/7/9 (Schroedel-Verlag)
von Rene Sauer, Darmstadt 2012.
Ergebnisse der LB-Analysen
Klasse 5
235 Anwendungs-/Modellierungsaufgaben insgesamt
Neue Wege 5 Modellierungsaufgaben
Aufgaben, die keiner
Stufe eindeutig
zugeordnet werden
können
10
4%
Normative
Modelleriungsaufgaben
8
3%
Unmittelbare
Modelleriungsaufgaben
217
93%
1
2
3
Klasse 7 333 Anwendungs-/Modellierungsaufgaben
Neue Wege 7 ModellierungsaufgabenNormative
Modellierungsaufgaben
30
9%
Aufgaben die keiner Stufe
zuzuordnen sind
4
1%
Deskriptive
Modellierungsaufgaben
172
52%
Unmittelbare
Modellierungsaufgaben
127
38%1
2
3
4
Klasse 9
202 Modellierungsaufgaben
Graphische Darstellung der Ergebnisse Neue Wege 9
Normative
Modellierungsaufgaben;
13;
6%
Unmittelbare
Modellierungsaufgaben;
13;
6%
Deskriptive
Modellierungsaufgaben;
116;
58%
Anzupassende
Modellierungsaufgaben;
60;
30% 1
2
3
4
Beispiele für Aufgabeneinstu-fungen aus den einzelnen Klassen
Unmittelbares Modellieren:
Klasse 5:
Ein Kellerraum soll gefliest
werden. Das Fliesen des
Fußbodens kostet 46 € pro
Quadratmeter, der Meter
Fußleiste kostet 8 €. Wie teuer
wird das Vorhaben?
(Neue Wege 5 2006, S. 221)
Klasse 7:
Natascha hat in einem
Mathe-Test 43 von 55
Punkten erzielt. Der
Lehrer teilt den
Schülerinnen und
Schülern mit, dass er
von 90 % bis 100 %
eine Eins gibt, von 75 %
bis 90 % eine Zwei, von
60 % bis 70 % eine Drei
und von 45 % bis 60 %
eine Vier. Natascha
kann ihre Note
ausrechnen.
(Neue Wege 7 2007, S. 74)
Klasse 9
Licht legt im Vakuum in 1
Sekunde 3*10^8 m zurück.
Ein Lichtjahr ist die Strecke,
die das Licht in einem Jahr
zurücklegt. Wie viele km sind
ein Lichtjahr?
(Neue Wege 9, 2009, S.94)
Normative Modellierungsaufgaben
Klasse 5:
Inventur im Supermarkt. Herr
Wagner zählt: „4, 8,, …“. Hilf
Herrn Wagner und zähle
weiter.
Natürlich könnte Herr Wagner
auch noch schneller zählen.
Du auch?
(Neue Wege 5 2006, S. 132)
Klasse 7:
a) Erfinde zu dem Bild eine
einfache und eine komplizierte
Dreisatzaufgabe
b) Erstelle Musterlösungen zu
deiner Aufgabe
c) Lass die Aufgabe von jemand
anderen lösen. Vergleicht die
Lösungen.
d) Entscheidet gemeinsam, ob die
Aufgabenstellung verbessert
werden kann.
(Neue Wege 7 2007, S. 50)
Klasse 9
Zwei Spieler A und B setzen je
32 Pistolen (Geldstücke) ein
und vereinbaren, einen
Münzwurf mehrmals
durchzuführen:
A gewinnt jeweils einen Punkt
bei Zahl, B bei Wappen. Wer
zuerst drei Punkte erreicht,
erhält den Gesamteinsatz von
64 Pistolen.
Aus irgendwelchen Gründen
muss das Spiel beim Stand
von 2:1 für den Spieler A
abgebrochen werden. Wie ist
der Einsatz gerecht
aufzuteilen?
(Neue Wege 9, 2009, S.182)
Beispiele für Aufgabeneinstu-fungen aus den einzelnen Klassen
Deskriptive Modellierungsaufgaben
Klasse 7: Der 60. südliche Breitenkreis verläuft
vollständig durch die Ozeane, er
kreuzt kein Festland. Sein Radius
beträgt ungefähr 3190 km. Auf diesem
Breitenkreis liegt auch die berüchtigte
Drake Passage (Meerenge zwischen
Südamerika und der Antarktis), die für
ihre schwierigen Wasserströmungen
starke Stürme bekannt ist. Wie lange
bräuchte ein Schiff mit einer
Durchschnittsgeschwindigkeit von
ungefähr 40 km/h für eine
(störungsfreie) vollständige
Umrundung dieses Breitenkreises?
(Neue Wege 7 2007, S. 213)
Klasse 9
Wie groß sind das Volumen und der
Oberflächeninhalt der Globe Arena
in Stockholm ungefähr? Vergleiche
mit den Maßen eurer Sporthalle.
Wie groß ist die zur Verfügung
stehende Grundfläche der
Innenarena, wenn man sie etwa in
der Höhe von einem Viertel
Durchmesser anlegt?
(Neue Wege 9, 2009, S.138)
Beispiele für Aufgabeneinstu-fungen aus den einzelnen Klassen
Beispiele für Aufgaben aus den einzelnen Klassenstufen
Anzupassende Modellierungsaufgaben (ab Klasse 9)
Interpretation des Resultats
Die Hypothese lässt sich am untersuchten LB bestätigen!
Stufenkonzept für das Modellierenlernen – auch als Hintergrund für Reflexionen mit den S. nutzen: Unmittelbares Modellieren (Stufe I):
Idealisierendes Modellieren (Stufe II) Normatives Modellieren (Stufe IIa): Deskriptives Modellieren (Stufe IIb):
Anzupassendes Modellieren (Stufe III)
Vielen Dank für Ihr Interesse!