Anwendung und Modellierung im Mathematikunterricht

Ines HeinrichRonny Do XuanMathematik Didaktik 05.05.10

Gliederung

Was ist ein Modell? Mathematisches Modell Aufgabe entwerfen Aufgabenstellung, Ziele, Probleme Fermi-Aufgaben mit Beispielen Weitere Beispiele

Gibt es einen Unterschied zwischen Problemlösen und Modellieren?

Problemlösen Orientierung an einem

Mathematischen Problem oder Rechenverfahren

Heuristik Begrenztes Wissen

wenig Zeit

Modellieren Orientierung an einer

Fragestellung mit komplexem Inhalt (außermathematisch)

Mathematisierung dieses Problems (Prozessorientierung)

Recherche und Datensammlung

Werkzeug

„Echte“ und „unechte“ Anwendungen

Unechte Anwendung „eingekleidete“

Aufgaben Kein Bezug zu dem

Schüler Sämtliche

Überlegungen zur Mathematisierung bereits gegeben

Echte Anwendung Relevanz für Schüler

(„authentisch“), aber auch von allgemeinem Interesse

Motivierend und Interesse weckend

Offene Fragestellungen veranlassen selbstständiges Modellieren

Reales Problem

Was ist ein Modell?

lat.: „modulus“ : Maßstab in der Architektur

Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die „nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte“ berücksichtigt.

Modellvarianten

DESKRIPTIV Vorhersagend –

Wetterbericht

Erklärend – Planetenbewegung

Beschreibend – Landkarten

NORMATIV

Vorschreibend – Kochrezepte, Schnittmuster für Schneiderei

Mathematisches Modell

Verwendet mathematische Sprache zur Beschreibung eines Systems

Erfassen wesentlicher Parameter meist natürlicher Phänomene

Kann berechnet und wissenschaftlich beschrieben werden (analytisch, numerisch)

Kreislaufschema ( nach Blum)

Reales Modell

Reale Situation

Mathematisches Modell

MathematischeResultate

Realität Mathematik

Konstruieren / Verstehen

Gegebene Situation bzw. Aufgabe verstehen Nötige Informationen aus dem Text

entnehmen Vorstellungen entwickeln Situationsmodell

Vereinfachen / Strukturieren

Ziel: Situationsmodell mathematisieren Konkrete Leitfrage trennt „wichtige“ von

„unwichtigen“ Informationen, Struktur vereinfachen

Mathematisches Wissen, Ideen, Analogien sammeln

Zeit und Motivation überdenken Datenerfassung, Recherche, Messungen

Mathematisieren

Funktionen, Gleichungen, Bildungsvorschriften, Graphen, Formeln aufstellen

Nebenbedingungen, Daten beachten Lösungsvielfalt

Mathematisch arbeiten

„Lösung“ des Problems führt zu mathematischem Resultat

Mathematische Werkzeuge anwenden: analytisch, geometrisch, numerisch (Computer),…

Interpretieren

Mathematisches Resultat wieder auf Realsituation bzw. reales Modell beziehen

Einheiten mit berücksichtigen

Validieren

Überprüfen realer Resultate im Hinblick auf Realsituation, Reflexion getroffener Modellannahmen (Ziel führend) – Erweiterungen/Verbesserungen

Vergleich verschiedener Modelle Verschiedene Perspektiven Rundungen/Approximationen überdenken Kontrolle Dimension, Größenordnung,

Abhängigkeiten, Randbedingungen, Widerspruchsfreiheit, Stabilität des Modells

Darlegen / Erklären

Ergebnisse dokumentieren und präsentieren Vorgehen erläutern Kommunikative und argumentative

Kompetenzen gefördert

Ziele

Bildungsstandards – K3 Mathematisches Modellieren

Schule soll auf Leben vorbereiten (Umgang mit Geld), Verbindung zwischen Umwelt und Mathematik schaffen

Schüler zu eigenen kompetenten Einschätzungen befähigen (kritische Ergebnisanalyse)

Einsicht in die Bedeutung der Mathematik als Wissenschaft aber auch als Alltagsrelevanz

Motivierende und Interesse weckende Funktion Mathematisieren und Modellieren lernen …

Voraussetzungen und Gestaltung

Lehrer erfahren und flexibel Zielklarheit für Lehrer und Schüler Realitätsnah und Interesse weckend Offene Fragestellungen – fehlende und überflüssige

Angaben Projektartige Arbeitsform, Freiarbeit, Gruppenarbeit,

fächerübergreifend Aufgabenstellung authentisch und differenzierbar, …

Probleme und Schwierigkeiten

Kein Schema, fehlende Problemlösetechnik Zeitaufwendig (Vorbereitung, Unterricht) Komplexität der Realsituation Problem der Relevanz für Schüler

(Themenwahl) Gezieltes und dosiertes Einsetzen Geeignete Fragestellung finden Erfahrung mit Modellierung, …

Fermi-Aufgaben

Italienischer Physiker und Nobelpreisträger Enrico Fermi (1901-1954)

Dafür bekannt, „dass er direkte, eher provisorisch anmutende Lösungswege häufig den eleganten und meist aufwändigeren Methoden vorzog“ (Peter-Koop)

War davon überzeugt, dass jeder denkende Mensch jede Frage beantworten kann

Berühmteste Frage: „Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“

Fermi-Aufagbe

keine richtige oder falsche Lösung -> sondern: nachvollziehbares oder nichtnachvollziehbares Ergebnis

kein Standardverfahren zum Lösen der Aufgaben Fermi-Aufgaben bilden somit komplexe Probleme, die für die

rechnerische Beantwortung einer Frage entweder keine oder nur unzureichend numerische Angaben aufweisen. Der Bearbeiter wird gezwungen, seine eigenen Daten zu erheben, plausible Annahmen zu formulieren oder zu schätzen, um zu einer Lösung zu gelangen.

Ziele: Problemlösen , Argumentieren, Kommunizieren, Darstellen Anlass, Vorwissen zu aktualisieren, Sachen zu erforschen, zu erleben

und zu erkunden, Denkprozesse zu Ende führen, festzuhalten und zu überprüfen

Fermiaufgaben kommen damit der Lernforschung nach vernetztem, problemorientiertem, ganzheitlichen Lernen entgegen

Beispiel

Weitere Beispiele

Weitere Beispiele

Weitere Beispiele

Literatur und Quellen

Modellierung im Mathematikunterricht – Gerd Hinrichs, Verlag Spektrum 2008 ISTRON-Schriftenreihe – Materialien für einen realitätsbezogenen Unterricht, Bände 1-9,

Verlag Franzbecker Einführung in die Didaktik der Mathematik – Heinz Jörg Claus, 2. Auflage 1995,

Wissenschaftliche Buchgesellschaft, S. 160 ff Der Mathematikunterricht in der Primarstufe – Gerhard Müller / Erich Ch. Wittmann, 3.

Auflage, Vieweg 1984 Peter-Koop,A. (2003): „Wieviele Autos stehen in einem 3-km-Stau?“ –

Modellbildungsprozesse beim Bearbeiten von Fermi-Problemen in Kleingruppen, In: Ruwisch/Peter-Koop, (Hrsg.): Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule, Offenburg: Mildenberger Verlag

Baireuther, P.(1990): „Konkreter Mathematikunterricht“, Bad Salzdetfurth: Franzbecker Krauthausen,G., Scherer, P. (2001): „Einführung in die Mathematikdidaktik“, Heidelberg,

Berlin, Spektrum http://de.wikipedia.org/wiki/Modell 03.05.10. http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Modell 03.05.10