Case History Ecommerce Di Successo - Sediarreda Studio Cappello - Ecommerce Day
ANTROMÁTICA - Cappello
27
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MUSEO ANTROMÁTICA Viviana Cappello y Romina Herrera (coordinadoras) Aporte para la formación en Matemática de estudiantes de Antropología y Profesorado de Biología
Transcript of ANTROMÁTICA - Cappello
FACULTAD DECIENCIAS NATURALES Y MUSEO
ANTROMÁTICA
Viviana Cappello y Romina Herrera (coordinadoras)
Aporte para la formación en Matemática de estudiantes de Antropología y Profesorado de Biología
110
CAPÍTULO 5 Integrales
Anyelen Di Paolantonio y Guillermo Lamenza
Integración de funciones
¿Qué es integrar una función?
Entenderemos a la integración como una operación matemática que resulta ser la operación
inversa a la derivación, así como la división lo es a la multiplicación, o la radicación lo es a la
potenciación. Para ello, definiremos algunos conceptos analizando un ejemplo:
Consideremos la función 3( )f x x cuya derivada es 2´( ) 3f x x .
Pensemos ahora en el camino inverso, es decir si tuviéramos la función 2( ) 3f x x , y
quisiéramos saber de qué función derivada se obtuvo. ¿Cuál es el procedimiento a realizar?
Pensar qué función derivamos para obtener ese resultado.
2( ) 3f x x es una función polinómica, con lo cual su derivada, por regla, se obtuvo de
derivar 3( )F x x .
A ésta última función que obtuvimos se la llama primitiva o antiderivada de la función
2( ) 3f x x .
En general, a una función ( )F x se la denomina primitiva o antiderivada de la función ( )f x ,
si y sólo si al derivar ( )F x se obtiene ( )f x en un intervalo real I.
En símbolos, ( )F x es una primitiva de ( )f x ´( ) ( ),F x f x x I
Sin embargo, ( )f x no tiene una única primitiva, sino que todas las funciones de la forma
( )F x C , es decir, que difieren en una constante C real, son primitivas de ( )f x dado que la
derivada de una constante es cero.
Teorema: Familia de primitivas
( )F x C son las primitivas de ( )f x sí y sólo si ( ) ´ ( )F x C f x
111
La operación de hallar todas las primitivas de una función ( )f x se llama integración
indefinida o antiderivación. Simbólicamente: ( ) ( )f x dx F x C
Algunas propiedades de la integración
( ) ( )k f x dx k f x dx
La integral de una constante multiplicada por una función es igual a la constante
multiplicada por la integral de la función.
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
La integral de la suma o resta de dos funciones es igual a la suma o resta de las
integrales de cada función.
Lista de algunas primitivas
Observamos que, si leemos en sentido inverso la tabla de derivadas, obtenemos el
siguiente listado.
k dx kx C
1
11
nn x
x dx C nn
1 lndx x Cx
ln
xx a
a dx Ca
cos senx dx x C
sen cosx dx x C
Actividad 1
Hallar las primitivas
1.1 1.2 = 1.3 √
1.4 1.5 √ 1.6 √
1.7 1.8 2 4
3 42
dtt t
= 1.9 2 ( )by y a dy
1.10 2 1.11 2 1x
dxx
1.12 1( cos ) 2
sen u u du
112
Métodos de integración
Generalmente sucede que las funciones a integrar no tienen una familia de primitivas
que se pueden hallar directamente. Para ello, existen métodos que nos permiten encontrar
dichas primitivas.
Integración por sustitución
En algunos casos nos podemos encontrar con integrandos que son el producto de una
función y su derivada o parte de ella.
Consideremos la función 3 2( ) 1 3f x x x .
Si llamamos 3( ) 1u u x x , su derivada es 2´( ) 3du u x dx x dx . El método de
sustitución nos permite hacer lo siguiente:
3 2( ) 1 3 ( ). ´( )f x dx x x dx u x u x dx udu simplificando la notación.
La resolvemos aplicando reglas:
1 311 2 22
1 312 2
u uudu u du C C
Y por último, reemplazamos por lo que originalmente habíamos llamado 3( ) 1u u x x :
3
3 21( ) 3
2
xf x dx C
Otro ejemplo:
Resolver 2 12 x
x e dx
Para resolver esta integral podemos usar el método de sustitución porque en ella
encontramos la función 2 1x y su derivada 2x .
A la función la llamamos 2 1u x y con la derivada y el dx formamos el du:
2 1 2du d x xdx .
Reemplazando la integral que queremos resolver:
2 21 12 x xu ux e dx e du e C e C
113
Actividad 2
Calcular aplicando el método de sustitución:
2.1 2 4 2.2 2.3
2.4 √
2.5 2.6
2.7 2 2.8 2.9
Otro método muy utilizado para la resolución de integrales indefinidas es el siguiente.
Integración por partes
Este método nos es útil cuando reconocemos en el integrando el producto entre una función
y el diferencial de otra. Se deduce de la derivada por regla de un producto de funciones.
Consideremos la siguiente función: ( ) xf x x e
Supongamos que queremos derivarla por regla, entonces tomamos: ( )u x x y ( ) xv x e
La elección no es arbitraria, se hará de manera que se simplifique al máximo la integral que
quede por resolver.
Recordando la derivada de un producto: ´( ) ( ) ( ) ´ ( )´ ( ) ( ) ( )´f x u x v x u x v x u x v x y
aplicándola a la función obtenemos: ´( ) 1 x xf x e x e .
Si tomamos la regla del producto y la integramos:
la integral de una
derivada es la misma función
´( ) ( ) ( ) ´ ( )´ ( ) ( ) ( )´ ( )´ ( ) ( ) ( )´
( ) ( )
f x dx u x v x dx u x v x u x v x dx u x v x dx u x v x dx
u x v x
Entonces
ésta es la integralque queríamos
resolver
( ) ( ) ( )´ ( ) ( ) ( )´u x v x u x v x dx u x v x dx
Despejando:
( ) ( )´ ( ) ( ) ( ). ( )´ u x v x dx u x v x v x u x dx
Veamos el ejemplo con el que estábamos trabajando.
Tomamos la derivada y la integramos:
En
Activ
Ca
3.
3.
Pr
calcu
conce
Ex
cálcu
repre
lla
ntonces:
vidad 3
alcular utiliza
1
.4 cos x x
reviamente h
ulamos integ
epto de integ
xiste una ca
ulo del área b
Las gana
esenta en la s
la integral dea derivada esla función
( )
´( )
xf x x e
f x dx
x e
x e
ando el méto
dx
habíamos de
rales indefin
gral como cá
ntidad muy
bajo su gráfic
ancias de una
siguiente grá
1 xe
x x
x x
e dx x e
e dx x e
odo de integr
23.2 l x
3.5 x e
efinido a la in
nidas halland
álculo de área
importante d
ca, algunos e
a compañía
áfica:
114
xx e dx
x
x x
e dx
e e x
ración por pa
ln x dx
x dx
ntegración co
do su familia
as.
de funciones
ejemplos son
de electricid
1 xx e d
1x C
artes
3
3
omo la opera
a de primitiv
s para las cu
n:
ad durante e
la integrquereresol
xx e
dx x e
23.3 xx e dx
3.6 ln2
xd
ación inversa
vas. Ahora d
ales tiene in
el primer sem
ral queemoslverx
x
dx
e dx
x
dx
a a la deriva
desarrollarem
nterés particu
mestre del añ
ción y
mos el
ular el
ño, se
Si
que c
un cie
. Q
La e
aprox
Te
funció
De
pued
área.
entre
son x
i queremos c
calcular el ár
La figura
erto local, a
Queremos ca
energía, en
ximadamente
erminamos d
ón tiene, en
El área b
El área b
e los ejemp
e resultar d
. Para ello, c
e dicha curv
x = a y x =
conocer las g
rea bajo la cu
representa
lo largo del d
alcular el con
kWh, es e
e:
de ver dos e
cada caso, u
ajo la curva
ajo la curva
plos anterior
de mucha u
conociendo
a, el eje de
b.
ganancias ac
urva de gana
5 + 4,5 + 4 =
la potencia,
día
nsumo de en
el área bajo
(12,1 kW).(
ejemplos en
un significado
de ganancia
de potencia,
res podemo
utilidad. Esto
la ecuación
las x y do
115
cumuladas a
ancias para lo
= 13,5 millon
en kW, que
nergía entre
o la curva
(4,5 horas) =
los cuales e
o especial:
as nos da el m
, nos proporc
os entender
o nos lleva
de una curv
os rectas qu
al finalizar el
os tres prime
nes de pesos
se está emp
las 0 horas
de potenci
= 54,45 kWh
el área bajo
monto de las
ciona la ener
que el cálc
a averigua
va y = f (x),
ue pasan po
mes de ma
eros meses:
s.
pleando en c
y las 4,5 hor
a y, para
la curva de
s ganancias a
rgía consumi
culo de área
ar cómo pue
veremos có
or los puntos
arzo, sólo ten
cada momen
ras de la ma
nuestro cas
e una determ
acumuladas
ida.
a bajo una
ede calcular
ómo hallar e
s cuyas abs
nemos
nto en
añana.
so es
minada
curva
rse el
l área
scisas
Un
x y
corre
Q
recta
En
altura
mínim
prete
A
na primera a
altura equi
espondiente
ueremos cal
s de ecuació
n este caso
a será el va
mo en el int
endemos cal
esta área la
. a)
aproximació
ivalente al
rectángulo.
lcular el área
ón x = a y x
calcularemo
alor f(xm) sie
tervalo cons
cular.
a llamaremo
n es calcula
mínimo va
a encerrada
x = b.
os el área d
endo xm la a
siderado; de
s Am. Ésta s
116
ar el área me
alor que to
por la curva
el rectángul
abscisa para
e manera qu
será el prod
ediante un r
ma la func
a de la funció
o cuya base
a la cual la
ue tal área
ucto de f (x
rectángulo c
ción en tod
ón f(x), el eje
e será el seg
función f(x)
será menor
m) por (b – a
con base en
do el anch
e de las x
gmento ab y
) asume su
r que el área
a). Es decir
el eje
o del
y las
y cuya
valor
a que
De
dond
área
Si
de re
que d
Pa
xi, pe
a
subin
Lla
subin
Se
N
De
Ta
Da
1 2, ,t t
símbo
ta
e manera a
e la función
bajo la curv
i consideram
ectángulos qu
define la func
ara esto deb
ertenecientes
la cual llam
ntervalos def
amaremos l
ntervalo i – és
e define norm
= máximo
e manera qu
ambién debe
ada una pa
,......., ,.....,it
olos:
l que cumpla
náloga toma
n toma su va
va.
mos una divis
ue se ajuste
ción f(x).
bemos definir
s a dicho inte
xa
maremos pa
inidos por do
n xP ,0
longitud del
simo será el
ma de la pa
xi
ue nos propo
emos definir
rtición Pn lla
, nt perteneci
an las condic
aremos el re
alor máximo
sión del inte
n a la curva,
r que es una
ervalo, tales q
xxx 210
artición de o
os valores su
xxx ,.,, 211
intervalo [a
número:
rtición al ma
rciona la lon
el aumento
amaremos a
entes cada
ciones:
xi 1
117
ectángulo d
o; en tal caso
ervalo dado [
, obtendremo
a partición d
que:
x .........
orden n, de
ucesivos xi.
i xx ,......... 1
a,b] al núme
x x xi i
ayor número
ngitud del ma
de una part
aumento de
uno a un
1 2,nT t t
t xi i par
e base ab y
o el área ca
[a,b] en sub
os una mejo
de un interv
xx ii ..1
enotando co
ni xx ,,...... 1
ero: b – a
xi1
o de los xi ,
ayor subinter
tición en un
dicha partic
subintervalo
,......., ,.....it
ra i = 1, 2, ..
y , sien
alculada sup
intervalos y
or aproximac
alo [a,b] tom
bxn ...
omo Pn al c
nx
, y entonce
, es decir la n
valo.
intervalo [a
ción al conj
o distinto de
, nt
.......,n.
ndo xM la ab
perará el val
calculamos
ción al área e
mando n+1 v
conjunto de
es la longitu
norma N es:
a,b].
unto de núm
e la partició
bscisa
or del
áreas
exacta
alores
estos
ud del
meros
n. En
Vo
defini
eleme
En
enton
Sum
Se
Tn un
valor
Lla
Sn
abrev
El
la par
olviendo al c
iendo en ella
entales: iA
n la figura el
nces aproxA
ma de Ri
ea una funció
aumento co
de la funció
amaremos s
n = 1tf
viada escribi
valor que to
rtición especí
cálculo del
a un aumento
ii xtf
área aproxim
7
1i
itf
emann
ón f(x) defini
orrespondien
n f(x): itf
suma de Rie
1x + 2tf
remos: Sn = oma la suma
ífica Pn que s
área bajo la
o Tn y toman
mada está d
ix
ida en el inte
nte a esa par
ix
emann a la s
2x +........
i
n
1 itf
dependerá d
e haya elegid
118
a curva y ha
ndo como áre
ada por la su
ervalo cerrad
rtición. Se to
suma de todo
.......+ itf
ix
de la función f
do, y también
aciendo aho
ea la suma d
uma aproxA
do [a,b], Pn u
oma el produ
os estos prod
ix +.........+
f(x) considera
n de los valore
ra una parti
e las áreas d
7
1i
i
A
com
na partición
ucto entre la
ductos:
+ nn xtf
ada, de los va
es tomados
ición Pn del
de los rectán
mo ii tfA
de ese inter
a longitud x
n que en
valores de a y
s para el aum
[a,b],
ngulos
ii x ,
rvalo y
xi y el
forma
y b, de
mento.
119
Integral Definida
Continuando con la idea de dividir al intervalo en el cual queremos calcular el área,
seleccionando rectángulos que mejor se ajusten a la curva, iremos tomando distintas
particiones Pn cada una posterior a la otra a medida que n, el número de sub-intervalos crece.
Consecuentemente, aumentando el número de intervalos haciendo tender n a infinito, pero
teniendo la precaución de no dejar ningún subintervalo sin subdividir. Para lograr esto, por
ejemplo, se puede hacer que cada partición posterior se obtenga de una anterior por una
subdivisión de cada subintervalo en dos.
Además, si a medida que aumentamos n haciendo tender la norma N a cero, estamos
asegurando que ningún subintervalo permanezca sin subdividir.
Teniendo en cuenta estas consideraciones sobre la forma particular de hacer tender n a
infinito, podemos definir la integral definida como el límite al cual tiende la suma de Riemann,
siempre que dicho límite exista. Si el límite existe, decimos que f(x) es integrable sobre ,a b
Si una función es continua sobre ,a b entonces se puede demostrar que es integrable sobre
dicho intervalo, cuando el número de subintervalos n tiende a infinito.
Ixtf ii
n
in
1lim
y para expresarlo usaremos el símbolo de Leibnitz: dxxfIb
a
que se lee “integral entre y b de f de x, diferencial de x”. El símbolo proviene de una
deformación de la S de suma; el número “ ” recibe el nombre de límite inferior de integración y
“ ” el de límite superior.
Llamaremos intervalo de integración, al intervalo ,a b y a f(x), integrando.
Entonces: ii
n
in
b
axtfdxxf
1
lim usando el concepto de norma, esto mismo
se podrá escribir: ii
n
iN
b
axtfdxxf
10
lim
Se puede demostrar, que una vez aplicado el límite sobre la suma de Riemann, el valor
resultante, es decir la integral, ya no depende de la partición ni del aumento particularmente
tomado, sino sólo de la función f(x) y de los extremos y b. Se hace notar especialmente que
el cálculo de una integral definida es un número, el que resulte del límite propuesto sobre la
suma de Riemann.
Si volvemos sobre el cálculo del área bajo la curva planteado anteriormente, en donde
obtuvimos como resultado: 7
1aprox i i
i
A f t x
, intuitivamente nos damos cuenta que el área
aproximada Aaprox se ajustará cada vez más al área A bajo la curva a medida que mayor sea el
120
número de intervalos de la partición. También es intuitivo que, en el límite, cuando el número
de los rectángulos elementales tiende a , la suma dará exactamente el área A.
1
limn b
i i ani
A f t x f x dx
Como conclusión obtenemos:
Si f(x) es continua y no negativa en el intervalo cerrado a b, , el área de la región limitada
por la gráfica de f(x), el eje x y las rectas verticales y viene dada por:
Área= b
af x dx
Algunas propiedades de la integral definida
Intervalo de integración de longitud nula: 0 dxxfa
a
Aditividad de los intervalos de integración:
dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a si c es un punto del intervalo a b,
Intercambio de los extremos de integración: dxxfdxxfa
c
c
a
Propiedad lineal de las integrales definidas:
Propiedad de aditividad o superposición:
dxxgxfdxxgdxxfb
a
b
a
b
a
Propiedad de homogeneidad:
dxxfKdxxfKb
a
b
a
Si f(x) es una función continua en a b, , ,x a b entonces se puede definir la función
integral dxxfxAx
a donde A x es una primitiva de f(x); o sea: xfxA ' .
Esta definición nos es útil para la demostración del siguiente teorema.
Teorema Fundamental de Cálculo Integral Sea F(x) una primitiva de f(x), entonces se verifica que
xfxF ' (I);
121
por la definición anterior la función integral A(x) es otra primitiva de f(x) o sea:
xfxA ' (II)
y sabemos que dos funciones que tienen igual derivada difieren de una constante. Por lo
tanto de las ecuaciones (I) y (II) podemos plantear:
(III) ( ) Cx
aA x f x dx F x
Para calcular la constante C hacemos x = a.
( ) Ca
af x dx F x
Usando una de las propiedades de la integral definida
0 ( ) CF a
de donde
( )C F a (IV)
Reemplazando (IV) en (III)
c
x
aaFxFdxxf
y haciendo x = b, resulta
aFbFdxxfb
a (V) conocida con el nombre de:
Regla de Barrow
Recordemos que F(x) es una primitiva de f(x).
La expresión (V) vincula el concepto de integral definida y el de antiderivada, que como
sabemos, se calcula mediante integración indefinida. El uso de esta regla simplifica
notablemente el cálculo de las integrales definidas.
Resulta cómodo usar la notación:
baxFaFbF
con ello la regla de Barrow puede escribirse:
bab
axFdxxf
Por ejemplo, para hallar dxx 22
1
232 2
11
8 1 33 3 3x
x dx
Actividad 4
Hallar las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow:
Cálc
La
de ve
La
ocurr
interv
Po
4
2
(
x
De
result
183
04.1 x d
0
24.3
d
x
1
04.5 xe
culo de á
as áreas, sie
eces que cab
as integrales
re precisame
valo de integ
or ejemplo, i
23) 2
483
64
x d
entro de es
tante de la in
dx
3
dx
xe dx
áreas po
endo número
be la unidad
s definidas en
ente toda ve
ración.
integremos l
4
2
2
828
6
3
dx x
se intervalo
ntegración e
or integra
os que repre
de superficie
n cambio, sí
ez que la fu
a función f
12
6 7
14
dxx
la función
s un número
122
04.2
04.4
14.6
e
ación de
esentan una
e, no pueden
pueden dar
unción asum
3 xxf
323
3
4 143 3
xx
toma exclu
o negativo; s
3 2 1 t t d
1 xx e dx
2 lne
x x d
finida
medida de
n ser negativ
como result
me valores
23 2 entr
4
27
103
x
usivamente v
sin embargo,
dt
dx
superficie, e
as.
ado un núme
negativos en
re los valores
valores neg
el área entr
es decir el nú
ero negativo
n la totalida
s 2 y 4 y el
gativos y el
re la curva y
úmero
o. Esto
ad del
eje x
valor
el eje
123
no puede ser negativa; en consecuencia, debe tomarse el valor absoluto del resultado de la
integral cuando lo que se está calculando es un área. El valor negativo de la integral en estos
casos lo único que indica es que la curva está por debajo del eje x.
En estos casos, tomamos el valor absoluto del resultado: 10 103 3
. Este será el valor del
área que encierran las curvas dadas.
La dificultad se presenta cuando a lo largo del intervalo de integración la función cambia de
signo de modo que parte de la curva queda debajo del eje y parte encima de él. Si no se
tiene la precaución de graficar la curva y con ello evidenciar este hecho, se cometerá el error
de suponer que la integral está dando el área entre la curva y el eje x, cuando en realidad el
resultado de la integral estará dando la diferencia entre las áreas que están por encima del eje
y las que están debajo.
En el ejemplo, ocurriría esto si integramos entre 0 y 6. Para evitar este inconveniente
debemos dividir el intervalo de integración en tantos subintervalos dentro de los cuales la
función tenga un mismo signo; integrar entonces separadamente sobre cada intervalo y sumar
luego los valores absolutos de cada resultado.
Por ejemplo, calcularemos el área limitada por 2 2y x x , el eje x y las rectas x=0 y x=3
1) Hallamos las intersecciones de la curva con el eje x.
2 2 0 2 0x x x x resulta 1 20 2x y x
2) Calculamos la integral definida en 0 2,
232 2 2
1 00
8 42 43 3 3x
A x x dx x
Tomamos el valor absoluto del resultado obtenido:
4 43 3
3) Calculamos la integral definida en 2,3
333 2 2
2 22
27 8 42 9 43 3 3 3x
A x x dx x
Finalmente se suman los resultados que obtuvimos:
1 2
4 4 83 3 3
A A
Ca
El
paráb
x2
1
0
alcularemos
l área deber
bola, entre lo
– x =0 que t
1 2
0x x dx
el área ence
rá obtenerse
os límites que
tiene como ra
12 3
02 3x x
x
errada entre
e como dife
e marcan las
aíces 0 y 1
13
0
1 12 3
124
la recta y =
rencia entre
s interseccion
16
x y la parábo
e el área ba
nes de amba
ola y = x2
jo la recta y
as gráficas, e
y el área ba
es decir: x2
ajo la
= x
Activ
Ha
Inte
En
caso
primit
el lím
toma
Pa
la fun
valor
vidad 5
allar el área
5.1 y x
5.2
5.3 y x
5.4 lny
5.5 y s
5.6 y x
5.7 6
egración
n general su
de aplicació
tiva fácilmen
mite de una s
ndo un térm
artimos el in
nción en el e
r aproximado
limitada por:
2 5x x
6
2 2x x
n x
senx
2x
numéric
cede que no
ón no lo requ
nte calculable
sucesión, pa
ino de la suc
ntervalo [a,b
extremo izq
o:
y el eje x
y el eje x
0,y x
el eje x en
0,y x
e y x
e
ca
o se puede h
uiere o más c
e. Dado que
ara aproxima
cesión suficie
] en n sub-in
uierdo de ca
125
1 y 3x
el intervalo [
0, 2x
6 10
hallar el valo
comúnmente
e la integral d
ar dicho resu
entemente av
ntervalos igu
ada interval
[1,e]
or exacto de
e porque las
de una func
ultado se em
vanzado.
ual de longit
o, de maner
una integral,
funciones a
ión puede o
mplea el mis
tud x y tom
ra que la int
, ya sea porq
integrar no t
btenerse ha
mo procedim
mamos el va
tegral tiene
que el
tienen
llando
miento
lor de
como
Po
a)
b)
Un
altura
subin
Mét
Es
igual
valore
este m
b ax
n
or ejemplo, c
) Por el mé
) Por el mé
1
0x dx
n método de
as correspon
ntervalos es e
todo de l
ste método r
a la longitu
es de la fun
modo una m
calculando la
étodo exacto
étodo aproxim
1 10100 100
e cálculo ap
ndientes al v
el llamado:
los Trape
reemplaza c
ud x comú
ción en los
mejor aproxim
a integral: 1
0
: 1
0x dx
mado: hacem
20 100
proximado q
valor de la
ecios
ada uno de
ún de los su
extremos de
mación al valo
126
x dx
12 2
0
12 2x
mos n = 100
98 99100 10
que mejora e
función en
los rectángu
ub-intervalos
e cada uno
or exacto de
20 0,52
para lo cual
9 0, 495 0
el de tomar
el extremo
ulos element
s y bases re
de los sub-i
la integral.
resulta x
(el valor ex
rectángulos
izquierdo (o
tales por un
espectivame
ntervalos, co
1 0 0,0100
xacto es 0,5)
s de igual b
o derecho) d
trapecio de
ente iguales
onsiguiéndos
01
)
base y
de los
altura
a los
se, de
Su
igual
Un
suma
Ár
xsie
pares
Po
Regla
Si
Re
X
f(x
uponemos e
distancia x0,
n primer valo
ando las área
rea (y0, y1, x0
0
( )nx
xf x dx
endo E = su
s; I = suma d
or ejemplo, c
a de Barrow)
iendo ( )f x
esultando 2E
P
y
X 0
x) 0,7071 0
entonces con
, x1, ..., xn sie
or aproximad
as de los trap
0, x1) = ½ x
02x
y
uma de las o
de las ordena
calcularemos
)
2
12 x
;
0,70712 2E
1
0
5,94
( )
P I
y
f x dx
0,1 0,2
,7053 0,7001
nocidos los v
endo x = xi
do del área
pecios inscri
(y0 + y1); la
1 22 2y y
ordenadas e
adas de índic
s: 1
0 2dx
x
; tomando x
0,5773 02
07
0,1 6,5829
0,3 0
1 0,6917 0,6
127
valores que
– xi-1.
limitada por
ptos en cada
suma result
12 ny
extremas; P
ces impares.
2x (esta inte
x = 0,1 pued
0,6422
9 0,65829
0,4 0,5
6804 0,6666
toma la func
los puntos A
a una de las
ta:
ny x
= suma de
.
egral no pue
e construirse
9
0,6 0
0,6509 0,63
ción en los p
A0, An, xn, x0
superficies p
2E
P I
las ordenad
ede hallarse
e la siguiente
,7 0,8
337 0,6155
puntos situa
0 puede obte
parciales.
das de subín
fácilmente c
e tabla:
0,9 1
0,5965 0,57
ados a
enerse
ndices
con la
73
128
El área aproximada bajo la curva 2
1( )2
f xx
en el intervalo 0,1 es de
20,65829cm .
Fórmula de Simpson
En la fórmula de los trapecios, hemos sustituido la curva por una poligonal inscripta. Una
mejor forma de aproximación es sustituir la curva por arcos de parábola. La fórmula de
Simpson, aproxima el cálculo del área bajo la curva, sustituyendo la curva por una parábola,
resultando para el cálculo la siguiente expresión:
4 23x
Área E I P
teniendo E, I y P significado análogo al descripto para la fórmula de los trapecios.
Por ejemplo, calcularemos: 1
20 2dx
x ; tomando x = 0,1 como en el método de los
trapecios, podemos hallar (usando la tabla construida para dicho método):
0,7071 0,5773 1, 2844E
4 4 0,7053 0,6917 0,6666 0,6337 0,5965 13,1752I
2 2 0,7001 0,6804 0,6509 0,6155 5,2938P
0,1 0,11, 2844 13,1752 5, 2938 19,7534 0,65843 3
A
El área aproximada bajo la curva 2
1( )2
f xx
en el intervalo 0,1 es de 20,6584cm .
Sugerimos leer del capítulo 10: “Estimación del trabajo que realiza el músculo cardíaco
durante un ciclo” y “Cálculo de la fotosíntesis”, donde se vincula la integración estudiada en
este capítulo. Y del capítulo 9: “Áreas y volúmenes de piezas arqueológicas”.
Actividad 6
6.1 Aplicando la fórmula de los trapecios, hallar el valor aproximado de las siguientes
integrales definidas, tomando un total de 10 intervalos entre los extremos de integración
6.1.1 21
0
xe dx 6.1.2
5
3 lndx
x
6.
aprox
Ot
es pa
ámbit
utiliza
estru
comie
se pu
Se
sobre
Un
inters
La
profu
En
2 Aplicand
ximadamente
tro campo de
ara calcular
to de las geo
ar este mét
ctura arqueo
enza a exca
uede discrim
e desea calc
e un plano po
n sistema de
secciones en
a primera a
ndidad; a 17
n un corte ve
do la fórm
e la longitud
e aplicación
el volumen
ociencias (M
todo de inte
ológica. Pens
varse con ni
inar una estr
cular el volum
or medio de
e este tipo es
ntre la superf
aparición de
70cm estaba
ertical su form
mula de S
de arco de la
donde nos p
de algún c
Malvić et al. 2
egración nu
semos en un
iveles artifici
ructura de co
men del fogó
un sistema l
stá basado e
ficie del sitio
e la estructu
su límite infe
ma aproxima
129
Simpson
a curva y
puede resulta
cuerpo o es
2014; Slavini
mérica, por
na práctica e
ales de un e
ombustión.
ón teniendo
lamado curv
en la proyecc
y un conjunt
Figura 1
ura de com
erior.
ada es:
)( dxxfb
a
xe en el inte
ar de suma u
tructura. Co
ć y Cvetkov
ejemplo, p
en terreno d
espesor de 5
como dato u
va de nivel.
ción sobre un
to de planos
mbustión fue
4(3
IEx
ervalo [-1,1]
utilidad la fór
omo puede e
ić 2016; entr
para relevar
e un sitio ar
5cm, una cua
una represen
n plano de co
paralelos y e
e evidente
)2PI ca
10n .
rmula de Sim
encontrarse
re otros) pod
el volumen
rqueológico d
adrícula en l
ntación del m
omparación
equidistante
a los 150c
alcular
mpson
en el
demos
n una
donde
a cual
mismo
de las
s
cm de
Su
los ej
rema
No
Simp
las su
Cuad
u dispersión
jes represen
arcados en la
os proponem
pson. Para lo
uperficies en
dro I
Profundid
10n
fue mapead
tan los senti
a Figura 1.
mos, como y
ograr el objet
ncerradas po
dad: 150z
; a
A
da mediante
dos E y N en
a dijimos, ca
ivo propuest
r la curva de
0cm
8 ; 48b
ABSCISAS
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
4I + 2P
130
el empleo d
n la cuadrícu
alcular el vol
to debemos
e nivel. Ver lo
; h
ORDE
E
0
1
2
2
2
1
0
0 9
37
de un sistem
ula. Los punt
umen aprox
calcular prim
os cuadros I,
10
40
n
ab
ENADAS
I P
1
17
22
26
28
15
21
16
2
94 74
76 148
ma cartesiano
tos que se re
imado utiliza
mero las área
II, III y IV.
]cm[4
o ortogonal d
econocieron
ando la fórmu
as de cada u
donde
están
ula de
una de
131
El área a 1,5 m será: ][00,7][67,698148376034150 22 dmcmA
Cuadro II
Profundidad: cm155z
14n ; 2a ; 58b ; ]cm[4
14
56
n
abh
ABSCISAS ORDENADAS
E I P
2 0
6 16
10 24
14 29
18 35
22 40
26 42
30 42
34 42
38 40
42 37
46 29
50 25
54 18
58 0
0 214 205
4I + 2P 856 410
El área a 1,55 m será:
]dm[9,16]cm[16884108560
3
4155A 22
Cuadro III
Profundidad: cm160z
6n ; 16a ; 40b ; ]cm[4
6
1640h
132
ABSCISAS ORDENADAS
E I P
16 0
20 12
24 18
28 20
32 14
36 12
40 0
0 44 32
4I + 2P 176 64
El área a 1,60 m será:
]dm[2,3]cm[32064176
3
4160A 22
Cuadro IV
Profundidad: cm165z
6n ; 24a ; 36b ; ]cm[2
6
2436h
ABSCISAS ORDENADAS
E I P
24 0
26 6
28 8
30 7
32 5
34 3
36 0
0 16 13
4I + 2P 64 26
El
Cálcu
Pa
result
de las
La
Ap
n
l área a 1,65
165A
170A
ulo del volu
ara compren
tados obteni
s curvas de
a integral def
V
plicando Sim
4
m será:
26643
2
0
men
nder el proce
dos sobre u
nivel en dm
finida:
17
15V A z mpson con:
; a
ABS
1
1
1
1
1
4I
]cm[60 2
edimiento qu
n gráfico en
2 y sobre el
dz nos da
15 ;
CISAS
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
+ 2P
133
dm[6,0] 2
ue seguirem
el cual sobr
eje de absc
ará el volume
17b
ORD
E
7,0
0
7,0
7,0
]2
os para hall
e el eje de o
cisas las cota
en buscado.
; 4
17h
ENADAS
I
16,0
0,6
17,5
70,0
ar el volume
ordenadas an
as del fogón e
d[5,04
15
P
3,2
3,2
6,4
en, volquemo
notamos las
en dm.
]dm
os los
áreas
134
El volumen de manera aproximada será:
]dm[9,134,6707
3
5,0V 3
Bibliografía
Berio, A. y otros. (2011). Matemática 2 Activa. (1ª ed). Argentina. Puerto de Palos.
Larson, R. (2001). Cálculo y geometría analítica. (6ª ed). México. Programas Educativos S.A.
López C (2005). Apuntes de clase. Matemática y Elementos de Matemática. Facultad de
Ciencias Naturales y Museo.
Malvić T., Rajić R., Slavinić P. y K. Novak Zelenika (2014). Numerical integration in volume
calculation of irregular anticlines. The Mining-Geological-Petroleum Engineering Bulletin 29
(2):1–8.
Slavinić P. y M. Cvetković (2016). Volume calculation of subsurface structures and traps in
hydrocarbon exploration – A comparison between numerical integration and cell based
models. Open Geosciences 8:14–21.
Smith, S. (1998). Algebra, trigonometría y geometría analítica. Naucalpan de Juárez: Addison
Wesley.
Diseño de tapa: Dirección de Comunicación Visual de la UNLP
Universidad Nacional de La Plata � Editorial de la Universidad de La Plata47 N.º 380 / La Plata B1900AJP / Buenos Aires, Argentina+54 221 427 3992 / 427 [email protected]
Edulp integra la Red de Editoriales Universitarias Nacionales (REUN)
Primera edición, 2017ISBN 978-950-34-1484-2© 2017 - Edulp
Antromática : aporte para la formación en matemática de estudiantes de Antropología y Profesorado de Biología / Viviana Cappello ... [et al.] ; coordinación general de Viviana Cappello ; Romina Herrera ; prólogo de Ricardo Alberto Massucco. - 1a ed . - La Plata : Universidad Nacional de La Plata, 2017. Libro digital, PDF
Archivo Digital: descarga y online ISBN 978-950-34-1484-2
1. Matemática. 2. Antropología. 3. Biología. I. Cappello, Viviana II. Cappello, Viviana , coord.III. Herrera, Romina, coord. IV. Massucco, Ricardo Alberto , prolog. CDD 510.7
