Antonio Leonelli

MATEMATICAPER LE SCIENZE

SPERIMENTALI

Editore JAPADRE

Testo consigliato

Spazi euclideie funzioni

Titolo

P (3,2)

Q (2,3)

Piano cartesiano

Se A e B sono due insiemi, si chiama Prodotto Cartesiano di A per B l’insieme, indicato con A x B , i cui elementi sono le coppie ordinate (x,y) dove il primo termine x viene scelto in A e il secondo termine y viene scelto in B .

Prodotto cartesiano

Se A = B ,

invece di AxAsi usa scrivere:

A2

Quadrato cartesiano

RRxRRRR

22

R2

RR22

Spazio cartesiano

x

y

z

3

2

4

PP(3,2,4)

RR33

R3

0 1 2 3-1-2 RRspazio euclideo di dimensione 1

RR22

spazio euclideo di dimensione 2

RR33

spazio euclideodi dimensione 3

Dimensioni

nn

( )x x x xn1 2 3

, , ,...,n-uple ordinate di numeri realiennuple

spazio euclideo n-dimensionale

RR

Rn

analisi su un campione sperimentale:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10unità campionarie

• risultati analisi del colesterolo: (a )1, ,...,a a

2 10

• risultati analisi della glicemia: (b )1, ,...,b b

2 10

• risultati analisi dell’azotemia: (c )1, ,...,c c

2 10

Analisi su un campione

Correlazione Peso-Altezza

x (peso in Kg.) 70 66 74 72 76 72 76 73y (altezza in cm.) 168 167 172 175 177 169 176 175

Peso - altezza

peso

alte

zza

x

y

60 65 70 75 80

160

165

17

0

1

75

1

80

x

y

0

A

tgx

y

y = m x

m = tg

y

x

coefficiente angolare

m

Equazione della retta

x

y

0

A

m CRESCENTE

x

y

0

A

m < 0 :

DECRESCENTE

x

y

0

Q

q

x

m x

q

mx+q

y = m x

y = m x + q

intercetta q m coefficiente angolare

Coeff. angolare e intercetta

x

y

0

Q

q

x

m x

q

mx+q

y = m x+q

m coefficiente angolare

q intercetta

peso

alte

zza

x

y

60 65 70 75 80

160

165

17

0

1

75

1

80

m

q

y = x + 100

equazione

vari

abile

in

dip

end

ente

variabile dipendente

altezza

peso

y = x 100

60

65

7

0

7

5

80

equazione

y

160 165 170 175 180x

vari

abile

dip

end

ente

variabile indipendente

altezza

peso

x

y

y = ax2 bx c

equazione

vari

abile

dip

end

ente

variabile indipendente

F U N Z I O N E

parabola

x

y

y varia in funzione di x

Concetto di funzione

A Bf

DOMINIODOMINIO CODOMINIOCODOMINIO

xf(x)

immagine di x mediante f

valore di f su xargomento

Immagini o valori

A Bf

f (A)f (A)

immagine di A f

x

y

z

Traiettoria

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

f (t)

3RR :f )t(z),t(y),t(x

t

posizione dell’aereo

nell’istante t

T ( x, y, z, t )

RR 4:T

(x, y, z)

Temperatura in °C

nel punto (x, y, z)

nell’istante t

OPERAZIONI ALGEBRICHE

addizione :

add (x , y) = x + y

addRR22 RR

moltiplicazione :moltRR22 RR

yx)y,x(molt

Operazioni come funzioni

A A

IDENTITA’ di A

idA

x x

id (x) = xA

Identità

SUCCESSIONERRfNN*

f(1) = a1

f(2) = a2

f(n) = an

n

2

1

Successioni

SUCCESSIONERRfNN*

Esempio :

f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3

f(4) = 5 f(5) = 8 f(6) = 13

f(n+2) = f(n) + f(n+1)definizione ricorsiva :

successione di Fibonaccisuccessione di Fibonacci

SUCCESSIONERRfNN

Esempio :

f(0) = 3 f(1) = 5 f(2) = 7

f(3) = 9 f(4) = 11 f(5) = 13

f(n) = a n + b

progressione aritmeticaprogressione aritmetica

2 3

Progressione aritmetica

f( n ) = a n + b

RRf

NNRR

x xfunzione lineare

y = a x + b

x

y

linea

ret

ta

x

y

mxx

yy

o

o

yo

xo x

y

y yo = m (xxo) coefficiente angolare(rapidità di crescita)

y yo

x xo

y = f(x) lineare

f(xo)

Rapidità di crescita

x

y

yo

)h(f

h

mxx

yy

o

o coefficiente angolare

(rapidità di crescita)

xo+ h

f(xo+ h)

xo

yo

f ( xo+ h ) = f ( xo) + m h f ( xo+ h ) = f ( xo) + m h

f(xo)

m h

y = f(x) lineare

y yo = m (xxo) h)h(f

Previsione

x

y

xo

f(xo)

y = f(x) non lineare

y = m x + q

x1

y = m 1 x + q 1

m varia in funzione di x )x('fconindicasiperciòe

DERIVATA di f

x

y

xo

f(xo)

y = f(x) non lineare

xo+ hh

)x('f o

f(xo+ h)

??

h

)x(f)hx(f oo

rapporto incrementale

y = m x + q

f(xo+h) f(xo)

h

f(xo+ h) f(xo)

h

)x(f)hx(f oo

h

)x(f)hx(f oo

h

f(xo+ h) f(xo)

h

f(xo+ h) f(xo)

h

)x(f)hx(f oo

h

f(xo+ h) f(xo)

h

)x(f)hx(f oo

)x('f oh

)x(f)hx(flim oo

0h

Definizione di derivata

h

xahaxalim

0h

bxa)x(f Esempio

h

)x(f)hx(flim)x('f

0h

h

bxab)hx(alim

0h

h

halim

0h

aalim0h

funzioni lineari

a)x('f

y = a x + b

coefficiente angolare

Esempio

2x)x(f Esempio

h

)x(f)hx(flim)x('f

0h

h

x)hx(lim

22

0h

h

xhxh2xlim

222

0h

h

h)hx2(lim

0h

x2x2xD 2

funzione

Derivate fondamentali

1nn xnxD

più in generale:

0)x('f 0)x('f

x

y

y = f(x) non lineare

x1 x2

Crescenza e decrescenza

ttsin tsin t

Rt

Funzione seno

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

Rt

y = sin x

y = cos x

Grafici di seno e coseno

Grafico della funzione tangente

crescente

decrescente

??Una strana “funzione”

ox

0)x('f o

0)x('f o

?? NON E’ UNA FUNZIONE ! NON E’ UNA FUNZIONE !

Non è una funzione

La definizione corretta di funzione

ox

la funzionela funzione senoseno non ènon è invertibileinvertibile

Non invertibilità

x1

x2

FUNZIONE NON INVERTIBILE

b y = b

21 xx però )x(f)x(f 21

perché f sia invertibile occorre che :

)x(f)x(fxx 2121 FUNZIONE INIETTIVAFUNZIONE INIETTIVA

Iniettività

A Bf

INIETTIVA

A Bf

INIETTIVA

A Bf - 1

inversa di f

f(A)

??

Ricerca dell’inversa

FUNZIONE NON INVERTIBILE

y = sin x + 3

b y = b

??

A B

f(A)

f

f (A) = B f SURIETTIVA

INIETTIVA SURIETTIVA BIETTIVA

Suriettività e biettività

A Bf 1

Grafico della funzione arcoseno

2

2

Inversione parziale

Grafico della funzione arcocoseno

Grafico dell’arcocoseno

Grafico della funzione arcotangente

2y

2y

Grafico dell’arcotangente

A

B

C

fg

x

f(x)

g( f(x) )

g f g COMPOSTO f

COMPOSIZIONE

Composizione

f : RR RR f(x) = x + 1

Esempio :

)x(fg

g : RR RR g(x) = x2

)x(fg 1xg

21x 1x2x2

)x(gf )x(gf 2xf 1x2

gffg

L’OPERAZIONE DI COMPOSIZIONE

NON È COMMUTATIVA

Non commutatività

)x('f))x(f('g)x)(fg(D

Esercizio

regola della catena

Esempiox5)x(f xsin)x(g

)x('f))x(f('g)x)(fg(D

)x('f)x(fcos

5x5cos

x5cos5x5sinD

x5sin)x(fg

Regole di derivazione

Esempio xsin)x(f xcos)x(g

xcos

xsinDxtgD

xcos

xsinxtg

xcos2

xcosDxsinxcosxsinD )xsin(xsinxcosxcos xsinxcos 22

xcos

12

xcos

xsin

xcos

xcos2

2

2

2

xtg1 2

Esercizio

h

aalim

xhx

0h

0a,a R 1a xa a:)x(exp

h

)1a(alim

hx

0h h

1alima

h

0h

x

xx aaD

1n

11lima

n

n

e

numero di Nepero

xx eeD

e = 2.71828...

funzione esponenziale di base a

esponenziale naturale

Funzioni esponenziali

Studiare la funzione:

Esercizio

xe)x(f

xe)x('f R x,0

Dominio: R

la funzione è sempre crescente

xe)x("f R x,0Il grafico volge sempre la concavità verso l’alto

x

xelim

x

xelim

0

[,]

base naturale e

xloge logaritmo naturale xln xlog

x

1xlogD Rx

Logaritmo naturale

o 1

y = log x

8

8+

0 < x < 1 log x < 0

x > 1 log x > 0

Tabella 4.1

Pagina 308

2x3xx4lim 23

x

3

xx4lim

3

233

x x4

2x3xx4x4lim

== ??FORMA INDETERMINATA FORMA INDETERMINATA ∞ ∞ ∞ ∞

323

x x4

2

x4

3

x4

11x4lim

Forme indeterminate

6xx5

2x4x3lim 2

2

x

1x10

4x6lim

x

10

6lim

x

10

6

5

3

6xx5

2x4x3lim 2

2

x

FORMA INDETERMINATA FORMA INDETERMINATA ∞ ∞ ∞ ∞

)x('g

)x('flim

)x(g

)x(flim

oo xxxx

)x('g

)x('flim

)x(g

)x(flim

oo xxxx

Teorema di De L’HospitalTeorema di De L’Hospital

x

xsinlim

0x

x

xsinlim

0x 1

xcoslim

0x 1

Teorema di De L’HospitalTeorema di De L’Hospital

FORMA INDETERMINATA FORMA INDETERMINATA 00 00

1

Limite notevole

2

x

x x

elim

x2

elim

x

x 2

x

x x

elim

2

elim

x

x

ex infinito di ordine superiore rispetto ad ogni polinomio

FORMA INDETERMINATA FORMA INDETERMINATA ∞ ∞ ∞ ∞

Teorema di De L’HospitalTeorema di De L’Hospital

:xper

Soluzioni degli esercizi proposti a pagina 326

Esercizi sugli integrali definiti