Antologia Psicopedagogia de Las as

5/12/2018 Antologia Psicopedagogia de Las as - slidepdf.com

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ASIGNATURA

PSICOPEDAGOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS

CICLO

CUARTO CUATRIMESTRE

CLAVE DE LA ASIGNATURA

PSP420

Profesora: Lic. Noemí Burgos



PSICOPEDAGOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS LICENCIATURA EN PSICOPEDAGOGIA (CUARTO CUATRIMESTRE)

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Unidad I.INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

1.2 MEJORES PRÁCTICASNuevos Estándares para la Enseñanza y el Aprendizaje

Las ³Mejores Prácticas´, concepto establecido por las profesiones médicas, se utilizan paradescribir el trabajo sólido, respetable y actualizado que se realiza en un campo. Si un profesional

sigue los estándares de µmejores prácticas¶ quiere decir que es consciente de las últimasinvestigaciones y permanentemente ofrece a sus ³clientes´ todos los beneficios que se derivan delos conocimientos, tecnologías y procedimientos más recientes.

Se ha dicho durante mucho tiempo que la educación como campo no ha cambiado mucho;esto es, no ha evolucionado como sí lo han hecho la mayoría de los otros campos. Pero aún si esono fuera verdad, si los educadores son personas que toman en serio las ideas, que creen en lainvestigación, y que creen en la posibilidad del progreso humano, entonces nuestro lenguajeprofesional debe promover y respetar las prácticas de avanzada que están jalonando el progresoen éste campo. Por eso los autores resolvieron utilizar el término ³Mejores Prácticas´ y elsignificado que conllevan como emblema de la enseñanza seria, reflexiva, informada, responsabley actualizada.

Aunque el libro se ocupa básicamente de hechos reales, plasma abiertamente la visión de

los autores: ³creemos, e intentamos probar, que los principios progresistas en educación pueden ydeben ser los que gobiernen la práctica en las aulas de clase que ofrece la esperanza de generar la reforma más profunda y duradera que haya tenido lugar en el sistema escolar´.

Resaltaron los autores que los proyectos para establecer estándares de lo que entrañacada una de las materias del currículo les ayudó a ver a los estudiantes como personas capaces yvaliosas. Además, se evidenció un concepto subyacente entre las distintas materias: mucha de laenseñanza tradicional es poco efectiva y debe revisarse. También resaltaron algunos métodosespecíficos alternativos que ayudan a los estudiantes a aprender más, alcanzar más, y desarrollar los hábitos de trabajo necesarios para desempeñarse con éxito en el complejo mundo que van aheredar. Sobre todo consideran ellos, han vuelto a dar a la profesión de maestro el lugar de honor y respeto que merece el trabajo más importante de nuestra sociedad, cuidar y desarrollar la

juventud.

Para poder explicar con precisión el consenso actual de lo que lo que constituye mejoresprácticas en educación matemática, el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM,por sus siglas en Inglés), planteó un currículo retador que hace énfasis en las matemáticas comoforma de pensar y demanda para éstas enseñanza de muy alto nivel.

CARACTERÍSTICAS DE LAS MEJORES PRÁCTICASPARA ENSEÑAR MATEMÁTICAS

Las que siguen son características importantes e interrelacionadas de las mejores prácticaspara enseñar matemáticas incluidas en los reportes de la NCTM. Al final presentamos un cuadrocon sugerencias de lo que se debe aumentar y lo que se debe disminuir en la enseñanza en elaula de clase.

El objetivo al enseñar matemáticas es ayudar a que todos los estudiantes desarrollen

capacidad matemática. Los estudiantes deben desarrollar la comprensión de los conceptos yprocedimientos matemáticos. Deben estar en capacidad de ver y creer que las matemáticas hacensentido y que son útiles para ellos. Maestros y estudiantes deben reconocer que la habilidadmatemática es parte normal de la habilidad mental de todas las personas, no solamente de unospocos dotados.

Enseñar capacidad matemática requiere ofrecer experiencias que estimulen la curiosidadde los estudiantes y construyan confianza en la investigación, la solución de problemas y lacomunicación. Se debe alentar a los estudiantes a formular y resolver problemas relacionados consu entorno para que puedan ver estructuras matemáticas en cada aspecto de sus vidas.Experiencias y materiales concretos ofrecen las bases para entender conceptos y construir




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significados. Los estudiantes deben tratar de crear su propia forma de interpretar una idea,relacionarla con su propia experiencia de vida, ver cómo encaja con lo que ellos ya saben y quépiensan de otras ideas relacionadas.

Qué tan bien lleguen a entender los estudiantes las ideas matemáticas es mucho másimportante que el número de habilidades que puedan adquirir. Los maestros que ayudan a losniños a desarrollar su capacidad matemática dedican menos tiempo a hablar sobre matemáticas, a

asignarles trabajos de práctica de cómputo, y a pedirles que memoricen mecánicamente. Encambio realizan actividades que promueven la participación activa de sus estudiantes en aplicar matemáticas en situaciones reales. Esos maestros regularmente utilizan la manipulación demateriales concretos para construir comprensión. Hacen a los estudiantes preguntas quepromuevan la exploración, la discusión, el cuestionamiento y las explicaciones. Los niñosaprenden, además, los mejores métodos para determinar cuándo y cómo utilizar una gama ampliade técnicas computacionales tales como aritmética mental, estimaciones y calculadoras, oprocedimientos con lápiz y papel.

Las matemáticas no son un conjunto de tópicos aislados, sino más bien un todo integrado.Matemáticas es la ciencia de patrones y relaciones. Entender y utilizar esos patrones constituyeuna gran parte de la habilidad o competencia matemática. Los estudiantes necesitan ver lasconexiones entre conceptos y aplicaciones de principios generales en varias áreas. A medida que

relacionan ideas matemáticas con experiencias cotidianas y situaciones del mundo real, se vandando cuenta que esas ideas son útiles y poderosas. El conocimiento matemático de losestudiantes aumenta a medida que entienden que varias representaciones (ej.: física, verbal,numérica, pictórica y gráfica) se interrelacionan. Para lograrlo necesitan experimentar con cadauna y entender cómo están conectadas.

La solución de problemas es el núcleo de un currículo que fomenta el desarrollo de lacapacidad matemática. Ampliamente definida, la solución de problemas es parte integral de todaactividad matemática. En lugar de considerarse cómo un tópico separado, la solución deproblemas debería ser un proceso que permea el currículo y proporciona contextos en los que seaprenden conceptos y habilidades. La solución de problemas requiere que los estudiantesinvestiguen preguntas, tareas y situaciones que tanto ellos como el docente podrían sugerir. Losestudiantes generan y aplican estrategias para trabajarlos y resolverlos.

Los estudiantes necesitan muchas oportunidades de usar el lenguaje para comunicar ideasmatemáticas. Discutir, escribir, leer y escuchar ideas matemáticas profundiza el entendimiento enesta área. Los estudiantes aprenden a comunicarse de diferentes maneras relacionandoactivamente materiales físicos, imágenes y diagramas con ideas matemáticas; reflexionando sobreellas y clarificando su propio pensamiento; estableciendo relaciones entre el lenguaje cotidiano conideas y símbolos matemáticos; y discutiendo ideas matemáticas con sus compañeros.

Uno de los mayores cambios en la enseñanza matemática se ha dado ayudando a losestudiantes a trabajar en grupos pequeños en proyectos de recolección de datos, construcción degráficas y cuadros con sus hallazgos y resolución de problemas. Dar a los estudiantesoportunidades para realizar trabajo reflexivo y colaborativo con otros, constituye parte crítica de laenseñanza de matemáticas. Las ideas matemáticas las construyen las personas; los estudiantesnecesitan experimentar la interacción social y la construcción de representaciones matemáticas

que tengan significado, con sus compañeros y sus profesores. En un enfoque democrático, elprofesor no es el único que conoce y transmite conocimiento, ni debe ser el que siempre tiene ³larespuesta´. Los estudiantes deben tomar la iniciativa en el planteamiento de preguntas einvestigaciones que les interesen y llevar a cabo investigaciones en forma conjunta con el maestro.

Razonar es fundamental para saber y hacer matemáticas. El estudiante debe entender quelas matemáticas hacen sentido, que no son simplemente un conjunto de reglas y procedimientosque se deben memorizar. Por ese motivo necesitan experiencias en las que puedan explicar,

justificar y refinar su propio pensamiento, no limitarse a repetir lo que dice un libro de texto.Necesitan plantear y justificar sus propias conjeturas aplicando varios procesos de razonamiento yextrayendo conclusiones lógicas.




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Ayudar a que los estudiantes se muevan por etapas entre varias ideas y susrepresentaciones, es tarea muy importante del maestro; cómo también lo es, promover en losestudiantes de manera creciente, la abstracción y la generalización, mediante la reflexión y laexperimentación, en lugar de ser él el único que explique y que exponga. Parte vital de hacer matemáticas conlleva, que los estudiantes discutan, hagan conjeturas, saquen conclusiones,defiendan sus ideas y escriban sus conceptualizaciones, todo lo anterior, con retroalimentación del

maestro.Los conceptos de números, operaciones, y cálculos deben ser definidos, concebidos, y

aplicados, ampliamente. Los problemas del mundo real requieren una cantidad de herramientaspara poder manejar la información cuantitativa. Los estudiantes deben tener una buena cantidadde experiencias para poder desarrollar un sentido intuitivo de números y operaciones; una formade ³sentir´ lo que está ocurriendo en las distintas situaciones en las que se podrían utilizar variasoperaciones. Para dar un ejemplo de lo anterior, dos concepciones diferentes de la resta estáninvolucradas si se pregunta (1) Si tengo tres canicas y entrego dos, ¿cuántas conservo? Versus (2)Si tengo tres canicas y otra persona tiene siete, ¿cuántas canicas de más tiene la otra persona? Elmaestro no debe eludir la diferencia entre las dos situaciones, invocando simplemente elprocedimiento de la resta, con el fin de encontrar la ³respuesta correcta´.

Los conceptos de geometría y medición se aprenden mejor mediante experiencias que

involucren la experimentación y el descubrimiento de relaciones con materiales concretos. Cuandolos estudiantes construyen su propio conocimiento de geometría y medición, están mejor capacitados para usar su comprensión inicial en ambientes del mundo real. Desarrollan su sentidoespacial en dos o tres dimensiones por medio de exploración con objetos reales. Los conceptos demedición se entienden mejor con experiencias verdaderas realizando mediciones y estimación demedidas. Lo que es más importante es que esas experiencias son especialmente valiosas paraconstruir sentido numérico y operativo.

La comprensión de estadísticas, datos, azar y probabilidad se deriva de aplicaciones delmundo real. La necesidad de tomar decisiones en base a información numérica permea lasociedad y motiva trabajar con datos reales. La probabilidad se desprende de la consideraciónrealista de riesgo, azar e incertidumbre. Los estudiantes pueden desarrollar competenciamatemática por medio de la formulación de problemas y soluciones que involucren decisiones

basadas en recolección de datos, organización, representación (gráficas, tablas) y análisis.Uno de los mayores propósitos de la evaluación es ayudar a los maestros a entender mejor

qué saben los estudiantes y a tomar decisiones significativas sobre actividades de enseñanza yaprendizaje. Debe usarse una cantidad de métodos de evaluación para valorar a los estudiantesinidualmente, incluyendo pruebas escritas, orales y demostraciones, las cuáles deben todasconcordar con el currículo. Todos los aspectos del conocimiento matemático y sus relacionesdeben ser valorados y utilizados para ayudar al profesor a planear actividades de enseñanza yaprendizaje. Las pruebas estandarizadas cumplen una mejor función en la evaluación deprogramas que en la evaluación de estudiantes iniduales.

AUMENTE DISMINUYAPrácticas de Enseñanza

y

Uso de materiales manipulablesy Trabajo de grupo cooperativo

y Discusiones sobre matemáticas

y Cuestionar y realizar conjeturas

y Justificación del pensamiento

y Escribir acerca de las matemáticas

y Solución de problemas como enfoque de enseñanza

y Integración de contenidos

y Uso de calculadoras y computadores

y Ser un facilitador del aprendizaje

y Evaluar el aprendizaje como parte integral de laenseñanza

y

Práctica mecánicay Memorización mecánica de reglas y fórmulas

y R espuestas únicas y métodos únicos para encontrarrespuestas

y Uso de hojas de ejercicios rutinarios· Prácticasescritas repetitivas

y Práctica de la escritura repetitiva

y Enseñar diciendo

y Enseñar a calcular fuera de contexto

y Enfatizar la memorización

y Examinar únicamente para las calificaciones

y Ser el dispensador del conocimiento




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Matemáticas como Solución de Problemas

y Planteamiento verbal de problemas con variedad deestructuras y de formas de solución

y Problemas y aplicaciones de la vida diaria

y Estrategias de solución de problemas

y Problemas abiertos y proyectos de solución deproblemas ampliados

y Investigación y formulación de preguntasprovenientes de problemas o situacionesproblemáticas

y Uso de palabras claves para determinar lasoperaciones a utilizar

y Práctica rutinaria, problemas de un solo paso o nivel

y

Práctica de problemas categorizados por tipos

Matemáticas como Comunicación

y Discusiones matemáticas·

y Lecturas sobre matemáticas

y Escritura sobre matemáticas

y Escuchar la exposición de ideas matemáticas

y Llenar los espacios de hojas de trabajo

y R esponder preguntas que solo necesitan comorespuesta si o no

y R esponder preguntas que requieren únicamenterespuestas numéricas

Matemáticas como Razonamiento

y Deducir conclusiones lógicas

y Justificar respuestas y procesos de solución

y R azonar inductiva y deductivamente

y Confiar en la autoridad (maestro, hoja derespuestas)

Conexiones Matemáticas

y Conectar las matemáticas a otras materias y almundo real

y Conectar tópicos dentro del mismo campomatemático

y Aplicar las matemáticas

y Aprender tópicos aislados· Desarrollar habilidadesfuera de contexto

Números/Operaciones/Cálculos

y Desarrollar sentido numérico y de operaciones

y Entender el significado de conceptos claves comoposición numérica, fracciones, decimales, razones,proporciones y porcentajes

y Varias estrategias para estimar

y Pensar estrategias para hechos básicos

y Uso de calculadoras para operaciones de cálculocomplejas

y Uso temprano de notaciones simbólicas

y Cálculos complejos y tediosos con lápiz y papel

y Memorización de reglas y procedimientos sinentenderlos

Geometría / Mediciones

y Desarrollo de sentido espacial

y Mediciones reales y los conceptos relacionados conunidades de medida

y Uso de geometría en solución de problemas

y Memorizar hechos y relaciones

y Memorizar equivalencias entre unidades de medida

y Memorizar fórmulas geométricas

Estadísticas / Probabilidad

y R ecolección y organización de datos

y Usar métodos estadísticos para describir, analizar,evaluar y tomar decisiones

y Memorizar fórmulas

Patrones / Funciones / Álgebra

y R econocimiento y descripción de patrones

y Identificación y uso de relaciones funcionales

y Desarrollo y utilización de tablas, gráficas y reglas

para describir situacionesy Utilización de variables para expresar relaciones

y Manipulación de símbolos

y Memorización de procedimientos y ejercicios

repetitivos

Evaluación

y La evaluación/valoración como parte integral de laenseñanza

y Enfocarse en una amplia gama de tareas matemáticas yoptar por una visión integral de las matemáticas

y Desarrollar situaciones de problemas que para susolución requieran la aplicación de un número de ideasmatemáticas

y Hacer uso de técnicas múltiples de evaluación queincluyan pruebas escritas, orales y demostraciones

y Evaluar o valorar, contando simplemente lasrespuestas correctas de pruebas o exámenesrealizados con el único propósito de otorgarcalificaciones

y Enfocarse en un amplio número de habilidadesespecíficas y aisladas· Hacer uso de ejercicios oplanteamientos de problemas que requieran para susolución solamente de una o dos habilidades

y Utilizar únicamente exámenes o pruebas escritas




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1.3 Inteligencia intuitiva y reflexiva. Al nivel intuitivo somos conscientes a través de nuestros receptores de datos, en específico visióny oído, que proceden del ambiente externo. Es decir aceptar intuitivamente la verdad.La inteligencia intuitiva es pues obtener éxito en algún cálculo mental sin haber comprendido elproceso mental involucrado.

A nivel reflexivo, estas actividades mentales intervinientes son objeto de compresión introspectiva.` Por ejemplo: el multiplicar 16X25=400 implica un proceso mental para encontrar la respuesta,

esta base de datos esta en nosotros, no en el ambiente, pero como hacemos uso constantede ella damos por supuesta esta capacidad reflexiva de nuestros propios procesos mentales.

` Lo cual determina que, el poder solucionar este planteamiento, la persona estará adoptando unmodelo de resolución de problemas dado que al presentarse un problema similar, iniciara conun modelo que se asemeje al que resolvió anteriormente.

` Estos modelos o esquemas que vamos adquiriendo a los largo de nuestra vida, son de granutilidad, como podemos apreciar.

` Sin embargo esa no es única cualidad, la resolución de situaciones, sino que se puedenmodificar.

` Por ejemplo:

Si yo digo estoy actuando erróneamente, esto implica no solo una reflexión sobre el métodoexistente, sino el descubrimiento de detalles particulares en el que son la causa del fracaso.` La generalización matemática, se inicia con la acomodación intuitiva, es un punto de acertar o

no. La intuición es un precursor de la generalización matemática.` Por ejemplo: para los individuos la primer aparición de los números son los naturales es decir

contar. 1234 etc. Para después utilizarlos en la resta, suma, multiplicación y división, mismosque se manejan con reglas las cuales son dictadas por el profesor. En cuyo caso se puedeperder la comprensión de los mismos.

` Dado que no hay lugar para la reflexión y acomodación según lo desee realizar el sujeto.` Esto podría ocasionar que para el individuo se pierda el interés y por lo tanto considere

tediosas la matemáticas.` En este orden de ideas, la inteligencia es de tal importancia para el progreso de las

matemáticas que nos de gran interés conocer a que edades debemos dar su presentación alos individuos.

` Para dar una aceleración a este proceso de inteligencia intuitiva y reflexiva, es necesario quelos centros de enseñanza clarifiquen el pensamiento de los estudiantes, y una aprecian es lacomunicación efectiva.

` Podemos aprender matemática al nivel intuitivo antes de que nos sea posible funcionar al nivelreflexivo.

` Mientras el que aprende se encuentra en el estadio intuitivo, depende de la manera en comose le presente el material, si el nuevo concepto esta demasiado apartado de sus esquemasexistentes puede no ser capaz de asimilarlos.

` Con respecto del profesor su contribución será la de reducir de manera gradual la dependenciadel que aprende respecto de él.

` De esta manera el profesor tiene una triple tarea:` Situar el material matemático en el estadio del desarrollo.` Presentación según los modos de pensamiento.` Incrementar las aptitudes analíticas para pre-asimilar cualquier material que analicen los

estudiantes.

1.4 EL MUNDO MATEMÁTICOLa matemática es principalmente un proceso de pensamiento que implica la construcción y

aplicación de una serie de ideas abstractas relacionadas lógicamente. Estas ideas, por lo general,surgen de la necesidad de resolver problemas en la ciencia, la tecnología y la vida cotidiana que




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van desde cómo modelar ciertos aspectos de un problema científico complejo hasta cómo hacer elbalance de un talonario de cheques. Este capítulo presenta recomendaciones sobre las ideasmatemáticas básicas, en particular aquéllas con aplicaciones prácticas, que en conjuntodesempeñan un papel clave en casi todas las actividades humanas.

Hay diferentes clases de números. Los que provienen de contar objetos son los númerosnaturales, los cuales son los más utilizados en la vida diaria. Un número natural en si es una

abstracción de la cantidad de cosas existente en un conjunto, pero no de los objetos mismos. El"tres" puede referirse a manzanas, piedras, personas o cualquier otra cosa. Pero en casi todas lassituaciones prácticas se intenta saber lo que son los objetos, así como la cantidad que hay. Por tanto, la respuesta a la mayor parte de los cálculos es una cantidad un número vinculado con unaunidad. Si ciertas personas recorrieron 165 kilómetros en 3 horas, su velocidad promedio fue 55kmpor hora, no 55. En este ejemplo, 165, 3 y 55 son números: 165 km, 3 horas y 55 km por hora soncantidades. Las unidades son importantes para no olvidar el significado de los números.

Las fracciones son números que se usan para designar una parte de algo o comparar doscantidades. Un tipo común de comparación sucede cuando se miden ciertas cantidades como lalongitud y el peso, esto es, se comparan con una unidad estándar como el metro o el kilogramo.Se usan por lo general dos clases de expresiones para representar fracciones, que sonequivalentes numéricamente. Por ejemplo, la fracción común 3/4 y la fracción decimal 0.75

representan ambas el mismo número. No obstante, las dos expresiones empleadas pararepresentar cantidades pueden tener implicaciones diferentes: 3/4 podría emplearse para significar simplemente más cercano a 3/4 que a 2/4 o 4/4, mientras que 0.75 puede implicar que es máscercano a 0.75 que a 0.74 o 0.76 lo cual es una especificación mucho más precisa. Los númerosnaturales y las fracciones pueden usarse juntos: 1 1/4, 1.25, 125/100 y 5/4, por ejemplo, todossignifican la misma cantidad numéricamente.

Se proporciona más flexibilidad a las matemáticas utilizando números negativos, los cualespueden representarse en una recta numérica. Esta muestra números consecutivos a intervalosiguales a lo largo de una línea recta cuyo centro es el cero. Los números a un lado del cero sellaman positivos, mientras que los del otro son negativos. Si los números a la derecha del cero sonpositivos, los números a la izquierda son negativos; si la distancia sobre el nivel del mar espositiva, la distancia debajo de éste es negativa; silos ingresos son positivos, las deudas son

negativas; si 2:15 es el tiempo programado de despegue, 2:10 es "menos 5 minutos". La seriecompleta de números enteros (positivos, cero y negativos) permite restar cualquier número de otroobteniendo un resultado.

Aparte de su aplicación en el mundo de la experiencia cotidiana, los números soninteresantes por sí mismos. Desde el principio de la historia, la gente se ha hecho preguntas como:¿existe un número más grande que todos los demás? ¿Existe uno más pequeño que todos losotros? ¿Puede obtenerse todo número posible dividiendo algún número entero entre otro? Algunosnúmeros, como la razón de la longitud de una circunferencia a la longitud de su diámetro (pi),atraen la atención de muchos profesionistas, no sólo la de los matemáticos.

Los números y las relaciones entre ellos pueden representarse como enunciadossimbólicos, los cuales brindan un medio para modelar, investigar y mostrar las relaciones delmundo real. Es raro el interés en una sola cantidad o categoría; generalmente interesa la relación

entre ellas (la relación entre edad y estatura, temperatura y hora del día, partida política e ingresoanual, sexo y ocupación). Esas comparaciones se pueden expresar utilizando ilustracionesdiagramas y gráficas. cuadros, ecuaciones algebraicas o palabras. Las gráficas son especialmenteútiles para examinar las relaciones entre cantidades.

El álgebra es un campo de las matemáticas que explora las relaciones entre cantidadesdiferentes representándolas mediante símbolos, y manipulando las expresiones que las relacionan.

A veces, una expresión simbólica implica que sólo un valor o conjunto de valores la haránverdadera. Por ejemplo, la expresión 2A + 4 = 10 es verdadera si (y sólo si) A = 3. No obstante,con frecuencia, una expresión algebraica permite que una cantidad tome una serie de valores eimplica para cada uno de ellas el valor correspondiente de otra cantidad. Por ejemplo, la expresión




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A = s2 especifica un valor para la variable A que corresponde a cualquier elección de un valor parala variable s.

Los modelos espaciales se pueden representar a través de un grupo muy pequeño deformas y relaciones geométricas fundamentales que tienen representación simbólicacorrespondiente. Para comprender el mundo, la mente humana depende en gran medida de supercepción de las figuras y modelos. Todas las cosas existentes, como edificios, vehículos,

juguetes y pirámides, y las figuras que son tan familiares en la naturaleza, como animales, hojas,piedras, flores, la Luna y el Sol, con frecuencia se pueden caracterizar en términos de su formageométrica. Algunas de las ideas y términos de la geometría se han convertido en parte dellenguaje cotidiano. Aunque los objetos reales jamás concuerdan exactamente con una figurageométrica, sí se aproximan, de modo que lo que se sabe sobre las figuras y relacionesgeométricas se puede aplicar a los objetos. Para muchos propósitos, es suficiente familiarizarsecon puntos, líneas, planos, triángulos, rectángulos, cuadrados, círculos y elipses; cuerposrectangulares y esferas; relaciones de semejanza y congruencia; relaciones de convexidad,concavidad, intersección y tangentes; ángulos entre rectas o planos; relaciones paralelas yperpendiculares entre líneas y planos; formas de simetría, como la sustitución, reflexión y rotación,y el teorema de Pitágoras.

Tanto la figura como la escala pueden tener consecuencias importantes para la realización

de sistemas. Por ejemplo, las conexiones triangulares maximizan la rigidez, las superficies lisasdisminuyen la turbulencia y los recipientes esféricos minimizan el área de la superficie paracualquier volumen o masa dada. Cambiar el tamaño de objetos manteniendo la misma formapuede tener efectos profundos debido a la geometría de la escala: el área varía como el cuadradode las dimensiones lineales, y el volumen lo hace como el cubo. Por otro lado, algunas clases depatrones particularmente interesantes conocidos como fractales parecen ser muy similares entre sicuando se observan a una escala cualquiera y algunos fenómenos naturales (como la forma de lasnubes, montañas y litorales) parecen ser como eso.

Las relaciones geométricas también se pueden expresar a través de símbolos y números, yviceversa. Los sistemas coordenados son un medio común de relacionar los números con lageometría. Por poner el ejemplo más sencillo, cualquier número se puede representar como unpunto único sobre una línea si primero se especifican puntos para representar el cero y el uno.

Sobre cualquier superficie plana se pueden especificar las localizaciones sólo por un par denúmeros o coordenadas. Por ejemplo, la distancia desde el lado izquierdo de un mapa y ladistancia desde la base, o la distancia y dirección desde el centro del mapa.

Los sistemas coordenados son esenciales para realizar mapas precisos, pero hay algunassutilezas. Por ejemplo, la superficie esférica aproximada de la Tierra no se puede representar sobre un mapa plano sin que haya distorsión. A unas cuantas docenas de millas, el problema esmuy poco notorio, pero a una escala de cientos o miles de millas, la distorsión aparecenecesariamente. Se puede hacer una variedad de representaciones aproximadas y cada unaimplica un tipo algo diferente en la distorsión de forma, área o distancia. Un tipo común de mapaexagera las áreas aparentes de las regiones cercanas a los polos (por ejemplo, Groenlandia y

Alaska), mientras que otros tipos específicos representan de manera engañosa la distancia máscorta entre dos lugares, o aun qué punto es adyacente a qué otro.

La interpretación matemática de la figura también incluye la descripción gráfica de lasrelaciones numéricas y simbólicas. Las cantidades se visualizan como longitudes o áreas (comoen las gráficas de barras y de sectores circulares) o como distancias desde ejes de referencia(como en las gráficas lineales o planos esparcidos). La exposición gráfica hace posible identificar patrones de inmediato, que de otra forma no serian obvios: por ejemplo, tamaños relativos(proporciones o diferencias), índices de cambio (pendientes), discontinuidades abruptas (aumentosa intervalos), agrupación (distancias entre puntos marcados) y tendencias (cambio de pendientes oproyecciones). La matemática de las relaciones geométricas también ayuda en el análisis deldiseño de estructuras complejas (moléculas proteínicas o alas de aviones) y redes lógicas(conexiones de células cerebrales o sistemas telefónicos de larga distancia).




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INCERTIDUMBREProbabilidad

El conocimiento sobre la manera en que opera el mundo está limitado por lo menos por cinco tipos de incertidumbre: 1. conocimiento inadecuado de todos los factores que pueden influir en algo; 2. número inadecuado de observaciones sobre esos factores; 3. falta de precisión en las

observaciones; 4. carencia de modelos apropiados para combinar toda la información de modosignificativo, y 5. capacidad inadecuada para calcular a partir de los modelos. Es posible predecir algunos sucesos con mucha precisión (eclipses), otros con meros exactitud (elecciones) y otroscon muy poca certeza (terremotos). Aunque la certidumbre absoluta es casi imposible deconseguir, con frecuencia se puede estimar la probabilidad sea grande o pequeña de que algunascosas sucedan y el margen probable de error de la estimación.

Con frecuencia resulta útil expresar la probabilidad en forma numérica. Por lo general seutiliza una escala de probabilidad de O a 1, donde el O indica la creencia de que algún sucesoespecífico es seguro que no ocurrirá, el 1 indica la creencia de que es seguro que sucederá y elintervalo entre los dos indica certidumbre. Por ejemplo, una probabilidad de 0.9 indica que hay 9oportunidades en 10 de que ocurra un suceso como se predijo; una probabilidad del 0.001 indicaque hay solamente una oportunidad en 1 000 de que ocurra. También se pueden expresar las

probabilidades como porcentajes, que van desde 0% (no hay certeza) hasta el 100% (certeza). Lasincertidumbres también pueden expresarse como desigualdades: una probabilidad de 0.8 para unevento puede expresarse como las posibilidades de 8 a 2 (o 4 a 1) en favor de que ocurra.

Una manera para estimar la probabilidad de un evento es considerando los acaecimientospasados. Si la situación actual es similar a las anteriores, entonces se pueden esperar resultadosalgo similares. Por ejemplo, si llovió el 10% de los días de verano del año pasado, se puedeesperar que llueva aproximadamente el 10% de los días del siguiente verano. Así, una estimaciónrazonable de la probabilidad de lluvia de cualquier día de verano es 0. 1 una oportunidad en 10. Lainformación adicional puede cambiar la estimación de la probabilidad. Por ejemplo, pudo haber llovido el 40% de los días nublados del pasado verano; de modo que, si el día actual está nublado,se puede aumentar la estimación de 0.1 a 0.4 para la probabilidad de lluvia. Cuanto más separezca la situación que interesa a aquélla de la que se tienen datos, mayor es la probabilidad de

que la estimación resulte más acertada.Otro enfoque para estimar las probabilidades es considerar los posibles y distintos

resultados de un suceso específico. Por ejemplo, si hay 38 ranuras de amplitud igual en una ruletarusa, se puede esperar que la bola caiga en cada ranura más o menos 1/38 veces. Lasestimaciones de esa probabilidad teórica descansan en la suposición de que todos los resultadosposibles son razonables y es igualmente probable que todos ocurran. Pero si ello no es cierto por ejemplo, si las ranuras no son de igual tamaño o si en ocasiones la bola se sale de la ruleta, laprobabilidad calculada será errónea.

Las probabilidades son muy útiles para predecir proporciones de resultados en grandescantidades de eventos. Una moneda lanzada al aire tiene una probabilidad de 50% de que caigacara, aunque una persona no va conseguir precisamente 50% de caras en un número par delances. Cuanto más se lance una moneda, será menos probable que uno consiga una cantidad

precisa del 50%, pero la proporción más cercana de caras es probable que sea el teórico 50%. Deigual manera, las compañías aseguradoras pueden, dentro de un rango de uno o dos puntosporcentuales, predecir la proporción de personas de 20 años que morirá en un año específico,pero es probable que se equivoquen por miles de muertes totales y no tienen ninguna capacidadde predecir si alguien en particular que tenga 20 años morirá. En otras palabras, también esimportante distinguir entre la proporción y la cifra real. Cuando hay una gran cantidad de sucesossimilares, aun un resultado con una probabilidad muy pequeña de ocurrir puede suceder conmucha frecuencia. Por ejemplo, un examen médico con una probabilidad de 99% de ser correctopuede parecer muy preciso pero si ese examen se hubiera aplicado a un millón de personas,aproximadamente 10 000 individuos recibirían resultados falsos.




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PRINCIPIOS DE APRENDIZAJEAprender no es necesariamente un resultado de enseñar

La investigación cognoscitiva revela que, incluso con lo que se considera una buenaenseñanza, muchos estudiantes, incluidos aquéllos de talento académico, comprenden menos de

lo que se piensa. Con determinación, los alumnos que presentan un examen son comúnmentecapaces de identificar lo que se les ha dicho o lo que han leído; sin embargo, un sondeo cuidadosocon frecuencia muestra que su comprensión es limitada o distorsionada, si no del todo errónea.Este hallazgo sugiere que la parsimonia es esencial para establecer metas en educación: lasescuelas deben recoger los conceptos y las habilidades más importantes que deben destacarse, afin de que puedan concentrarse en la calidad de la comprensión más que en la cantidad de lainformación presentada.

Lo que los estudiantes aprenden recibe la influencia de sus ideas preexistentesLas personas tienen que construir sus propios significados independientemente de la

claridad con la que enseñen libros o profesores. Una persona lleva a cabo esta tarea sobre todo alconectar nueva información y conceptos con lo que ya conoce. Los conceptos las unidades

esenciales del pensamiento humano que no tienen vínculos múltiples con lo que un estudiantepiensa sobre el mundo no es probable que se recuerden o sean de utilidad. O, si permanecen enla memoria, se quedarán en un lugar etiquetado, por ejemplo, curso de biología, 1995", y no seráncapaces de influir en los pensamientos acerca de ningún otro aspecto del mundo. Los conceptosse aprenden mejor cuando se encuentran en una variedad de contextos y se expresan en diversasformas, pues ello asegura que haya más oportunidades para que entren en el sistema deconocimiento del estudiante.

Pero el aprendizaje efectivo con frecuencia requiere más que sólo hacer múltiplesconexiones de las ideas nuevas con las antiguas; a veces necesita que las personas reestructurensu pensamiento radicalmente. Esto es, para incorporar alguna idea nueva, los educandos debencambiar las conexiones entre las cosas que ya saben o incluso descartar algunas creenciasarraigadas sobre el mundo. Las alternativas a la reestructuración necesaria son distorsionar la

nueva información para ajustarla con las viejas ideas o para rechazarla por completo. Losestudiantes llegan a la escuela con sus propias ideas, algunas correctas y otras incorrectas, sobreprácticamente cualquier tema. Si la intuición y las concepciones erróneas de los alumnos se pasanpor alto o se descartan sin ninguna explicación, sus creencias originales tienden a prevalecer, auncuando puedan dar las respuestas de la prueba que quieren sus maestros. La mera contradicciónno es suficiente; se debe estimular a los estudiantes para que desarrollen nuevas perspectivaspara lograr una mejor visión del mundo.

El avance en el aprendizaje va generalmente de lo concreto a lo abstractoLas personas jóvenes pueden aprender con más facilidad acerca de cosas tangibles y

directamente accesibles a sus sentidos visual, auditivo, táctil y cinestésico. Con la experiencia,incrementan su capacidad para comprender conceptos abstractos, manipular símbolos, razonar

lógicamente y generalizar. Sin embargo, estas destrezas se desarrollan con lentitud, y ladependencia de la mayoría de las personas de ejemplos concretos de nuevas ideas persiste por toda la vida. Las experiencias concretas son más efectivas en el aprendizaje cuando ocurren en elcontexto de alguna estructura conceptual pertinente. Las dificultades que muchos estudiantestienen para comprender las abstracciones se enmascaran con frecuencia por su capacidad pararecordar y repetir términos técnicos que no entienden. Como resultado, los profesores desdeeducación preescolar hasta preparatoria algunas veces sobrestiman la capacidad de los alumnospara manejar las abstracciones, y toman el uso apropiado de las palabras correctas por parte delos estudiantes como evidencia de comprensión.




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Las personas aprenden a hacer bien solamente aquello que practicanSi se espera que los estudiantes apliquen ideas en situaciones novedosas, entonces deben

practicar aplicándolas en situaciones de este tipo. Si practican solamente calculando respuestaspara ejercicios predecibles o "problemas de palabras" no realistas, entonces eso es todo lo queprobablemente aprenderán. De manera similar, los estudiantes no pueden aprender a pensar críticamente, analizar información, comunicar ideas científicas, formular argumentos lógicos,

trabajar como parte de un grupo y adquirir otras destrezas deseables a menos que se les permita yanime a realizar dichas tareas una y otra vez en muchos contextos.

El aprendizaje efectivo de los alumnos requiere retroalimentación La mera repetición de las tareas por parte de los estudiantes ya sean manuales o

intelectuales es poco probable que conduzca a la excelencia. El aprendizaje con frecuencia selleva a cabo mejor cuando los alumnos tienen oportunidades para expresar ideas y obtener retroalimentación de sus compañeros. Pero para que ésta sea más útil, debe consistir de algo másque una provisión de respuestas correctas. La retroalimentación debe ser analítica, sugestiva yllegar en el momento en que los estudiantes están interesados en ella. Y entonces, debe haber tiempo para que los estudiantes se reflejen en la retroalimentación que reciben, para hacer ajustese intentar de nuevo un requerimiento que se niega, no significa nada en la mayor parte de los

exámenes, especialmente en las pruebas finales.

Concentrarse en reunir y utilizar la evidencia.Los estudiantes responden a sus propias expectativas de lo que pueden y no pueden

aprender. Si creen que son capaces de aprender algo, ya sea resolver ecuaciones o montar enbicicleta, generalmente logran avances. Pero cuando no tienen confianza en si mismos, noconsiguen aprender. Los alumnos desarrollan autoconfianza a medida que obtienen éxito en elaprendizaje, igual que la pierden si enfrentan fracasos repetidos. Así, los maestros necesitan dar alos estudiantes tareas de aprendizaje que entrañen un reto pero que sean asequibles y que losayuden a alcanzar el éxito.

Es más, los estudiantes están prestos a recoger las expectativas de éxito o fracaso que losdemás tienen de ellos. Las expectativas positivas y negativas que muestran los padres,

consejeros, directores, compañeros y de manera más general algunos medios de comunicación,afectan las expectativas de los estudiantes y, por tanto, su conducta de aprendizaje. Por ejemplo,cuando un maestro expresa su falta de confianza en la capacidad de los alumnos para comprender ciertas materias, éstos pueden perder la confianza en su capacidad y tener un rendimiento menor del que tendrían de otra manera. Si este fracaso aparente refuerza el juicio original del maestro,puede resultar en una espiral desalentadora de confianza y rendimiento decrecientes.

ENSEÑANZA DE LA CIENCIA, LAS MATEMÁTICAS Y LA TECNOLOGÍALa enseñanza debe ser compatible con la naturaleza de la investigación científica

La ciencia, las matemáticas y la tecnología se definen tanto por lo que hacen y cómo lohacen como por los resultados que logran. Para comprenderlas como formas de pensamiento yacción, así como cuerpos de conocimiento, se requiere que los estudiantes tengan alguna

experiencia con los tipos de pensamiento y acción que son típicos de esos campos. Los maestros,por tanto, deben hacer lo siguiente:

Comenzar con preguntas sobre la naturaleza La enseñanza verbalizada por lo general comienza con preguntas y fenómenos

interesantes y familiares para los alumnos, no con abstracciones o fenómenos ajenos a su ámbitode percepción, comprensión o conocimiento. Los estudiantes necesitan familiarizarse con losobjetos que los rodean incluidos instrumentos, organismos, materiales, formas y números yobservarlos, reunirlos, manejarlos, describirlos, sentirse intrigados por ellos, hacer preguntas sobreellos, argumentar acerca de ellos y entonces tratar de encontrar respuestas a sus preguntas.




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Involucrar activamente a los estudiantes.Los alumnos necesitan tener muchas y variadas oportunidades para reunir, clasificar y

catalogar; observar, tomar notas y hacer bosquejos; entrevistar, votar y encuestar; lo mismo queusar lupas, microscopios, termómetros, cámaras y otros instrumentos comunes. Deben hacer disecciones; medir, contar, hacer gráficas y calcular; explorar las propiedades químicas de las

sustancias comunes; plantar y cultivar; y observar de manera sistemática la conducta social de losseres humanos y otros animales. Entre estas actividades, ninguna es más importante que lamedición, donde imaginarse qué medir, qué instrumentos usar, cómo verificar la exactitud de lasmediciones y cómo configurar y darle sentido a los resultados son en gran medida el corazón de laciencia y la ingeniería.

Concentrarse en reunir y utilizar la evidenciaLos estudiantes deben encarar problemas en niveles apropiados a su madurez que

requieran decisión sobre qué. Evidencia es pertinente y ofrecer sus propias interpretaciones de loque ésta significa. Esto representa una gran demanda, exactamente como lo hace la ciencia, encuanto a observación cuidadosa y análisis concienzudo. Los estudiantes requieren guía, aliento ypráctica para recoger, clasificar y analizar la evidencia, así como para formular argumentos con

base en ella. Sin embargo, si tales actividades no son destructivamente aburridas, deben conducir a cierta satisfacción intelectual que buscarán los estudiantes.

Ofrecer perspectivas históricas.Durante los años escolares, los estudiantes deben encontrar muchas ideas científicas

presentadas en contexto histórico. Importa menos qué episodios particulares eligen los profesores(además de los pocos episodios clave que se presentan en el capítulo 10) que la selecciónrepresente el ámbito y la diversidad de la empresa científica. Los alumnos pueden desarrollar unsentido de cómo se construye realmente la ciencia aprendiendo algo acerca del crecimiento de lasideas científicas, de las vueltas y recovecos hasta el entendimiento actual de tales ideas, de lospapeles que desempeñan los diferentes investigadores y comentaristas, y de la interacción entreevidencia y teoría al paso del tiempo.

La historia también es importante para la enseñanza efectiva de la ciencia, las matemáticasy la tecnología porque puede conducir a perspectivas sociales la influencia de la sociedad en eldesarrollo de la ciencia y la tecnología, y la repercusión de la ciencia en la tecnología y lasociedad. Por ejemplo, es importante para los estudiantes adquirir conciencia de que las mujeres ylas minorías han hecho aportaciones importantes a pesar de las barreras puestas en su caminopor la sociedad; que las raíces de la ciencia, las matemáticas y la tecnología yacen en las antiguasculturas egipcia, griega, árabe y china, y que los científicos confieren a su trabajo los valores yprejuicios de la cultura en que viven.

Insistir en la expresión clara.La comunicación eficaz oral y escrita es tan importante en cada etapa de la vida que los

maestros de todas las materias y de cada grado deberían darle prioridad.

Además, los profesores que enseñan ciencia deben enfatizar la expresión clara debido aque el papel de la evidencia y la repetición de ésta sin ambigüedad no se puede entender sin ciertoesfuerzo para expresar los propios procedimientos, hallazgos e ideas de manera rigurosa, y paradescifrar los informes de los demás.

Utilizar un enfoque de grupo.La naturaleza interdisciplinaria del trabajo debe ser reforzada por la actividad grupal

frecuente en el salón de clases. Los científicos y los ingenieros trabajan principalmente en grupo ycon menor frecuencia como investigadores aislados. De manera similar, los estudiantes debenganar experiencia compartiendo responsabilidad para aprender entre sí. En el proceso de llegar a




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la comprensión común, los alumnos en un grupo deben informar a menudo a los demás sobre losprocedimientos y significados, argumentar acerca de los descubrimientos y valorar los avances delas tareas. En el contexto de la responsabilidad del equipo, la retroalimentación y la comunicaciónse hacen más realistas.

No separar el conocimiento del descubrimiento

En la ciencia, las conclusiones y los métodos que conducen a ella están unidos de maneraestrecha. La naturaleza de la búsqueda depende de lo que se está investigando, y lo que seaprende depende del método que se emplee. La enseñanza de la ciencia que intenta sólo impartir a los estudiantes el conocimiento acumulado de un campo conduce a muy poca comprensión yciertamente no al desarrollo de la independencia y la habilidad intelectuales. Pero enseñar elrazonamiento científico como un conjunto de procedimientos separados de cualquier sustanciaparticular "el método científico", por ejemplo es igualmente vano. Los maestros que enseñanciencia deben ayudar a los alumnos a adquirir el conocimiento científico del mundo y los hábitoscientíficos de la mente al mismo tiempo.

Desalentar la memorización del vocabulario técnico.Comprender los términos más que memorizarlos debe ser el propósito principal de la

enseñanza de la ciencia. Sin embargo, la terminología no ambigua también es importante en lacomunicación científica y por último para la comprensión. Algunos términos técnicos son, por tanto,útiles para todos, pero el número de los que son esenciales es realmente bajo. Silos maestrosintroducen términos técnicos sólo cuando se necesite para clarificar el pensamiento y promover lacomunicación efectiva, entonces los estudiantes construirán gradualmente un vocabulariofuncional que sobrevivirá después del siguiente examen. Sin embargo, si los maestros seconcentran en el vocabulario disminuyen el valor de la ciencia como proceso, ponen en peligro lacomprensión por el aprendizaje y pueden engañarse acerca de lo que los alumnos han aprendido.

La enseñanza de la ciencia debe reflejar los valores científicosLa ciencia es algo más que un cuerpo de conocimiento y una forma de acumular y validar

dicho conocimiento. También es una actividad social que incorpora ciertos valores humanos. No

sólo en la ciencia, las matemáticas y la ingeniería se tiene en alta estima la curiosidad, lacreatividad, la imaginación y la belleza lo mismo sucede con el escepticismo y el disgusto por eldogmatismo. Sin embargo, todas ellas son altamente características del quehacer científico. Alaprender ciencia, los estudiantes deben encontrar tales valores como parte de su experiencia, nocomo exigencias vacías. Esto sugiere que los maestros deben esforzarse por hacer lo siguiente:

Dar la bienvenida a la curiosidad. La ciencia, las matemáticas y la tecnología no creancuriosidad. La aceptan, la fomentan, la incorporan, la recompensan y la disciplinan y así lo hace labuena enseñanza de la ciencia. Por consiguiente, los maestros que enseñan ciencia deben alentar a los estudiantes a hacer preguntas sobre el material que están estudiando, ayudarlos a aprender o formular sus preguntas claramente a fin de comenzar a buscar respuestas, sugerirles formasproductivas para encontrar respuestas y recompensar a quienes planteen e investiguen cuestionespoco comunes pero pertinentes. En el salón de clases donde se enseña ciencia, hacer preguntas

debe valorarse tanto como el conocimiento.Recompensar la creatividad. Los científicos, matemáticos e ingenieros aprecian el uso

creativo de la imaginación. El salón de clases debe ser un lugar donde se reconozcan y fomentenla creatividad y la inventiva como cualidades distintivas de la excelencia académica. De hecho, losmaestros pueden expresar su propia creatividad ideando actividades en las cuales se desplieguela creatividad y la imaginación de los alumnos.

Favorecer un espíritu de sanos cuestionamientos. La ciencia, las matemáticas y laingeniería prosperan debido al escepticismo institucionalizado de sus practicantes. Su principiocentral es que la evidencia, la lógica y las afirmaciones de cualquier individuo puedencuestionarse, y los experimentos de cada quien estarán sujetos a repetición. En los salones de




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clase donde se enseña ciencia, la práctica normal debe ser que los maestros planteen preguntas,del siguiente tipo: ¿Cómo conocemos? ¿Cuál es la evidencia? ¿Cuál es el argumento queinterpreta la evidencia? ¿Hay explicaciones alternativas u otras formas mejores de resolver elproblema? El objetivo debe ser imbuir a los estudiantes el hábito de plantear preguntas y buscar respuestas.

Evitar el dogmatismo.Los estudiantes deben experimentar la ciencia como un proceso para ampliar la

comprensión, no como verdad inalterable. Esto significa que los maestros deben tener cuidado deno dar la impresión de que ellos o los libros de texto son las autoridades absolutas cuyasconclusiones son siempre correctas. Al tratar acerca de la credibilidad de las aseveracionescientíficas, el derrocamiento de las creencias científicas aceptadas, y qué hacer con losdesacuerdos entre los científicos, los maestros que enseñan ciencia pueden ayudar a losestudiantes a equilibrar la necesidad de aceptar una gran cantidad de ciencia con base en la fecontra la importancia de mantener una mente abierta.

Promover respuestas estéticas. Muchas personas consideran a la ciencia como algo frío ysin interés. Sin embargo, una comprensión científica de, por ejemplo, la formación de las estrellas,el azul del cielo o la constitución del corazón humano no necesitan desplazar el significado

romántico y espiritual de tales fenómenos. Además, el conocimiento científico da respuestasestéticas adicionales, como el patrón de difracción de las luces de la calle que se ven a través deuna cortina, el pulso de la vida en un organismo microscópico, la extensión volada de un puente, laeficiencia de la combustión en las células vivas, la historia en una roca o un árbol, una refinadaprueba matemática. Los maestros de ciencia, matemáticas y tecnología deben establecer unambiente de aprendizaje en el cual los estudiantes sean capaces de ampliar y profundizar surespuesta a la belleza de ideas, métodos, herramientas, estructuras, objetos y organismos vivos.

La enseñanza de la ciencia debe proponerse contrarrestar las angustias del aprendizajeLos maestros deben reconocer que para muchos estudiantes el aprendizaje de las

matemáticas y la ciencia incluye sentimientos de angustia extrema y temor de fracaso. No hayduda de que esto resulta en parte de lo que se enseña y de la forma en que se hace y en parte de

actitudes recogidas incidentalmente en las primeras etapas escolares a partir de los padres ymaestros, pues ellos mismos se sienten incómodos con la ciencia y las matemáticas. No obstante,lejos de descartar la angustia por estas disciplinas como algo sin fundamento, los maestros debenasegurar a los alumnos que comprenden el problema y trabajarán con ellospara superarlo. Los profesores pueden tomar medidas como las siguientes:

Construir el éxito.Los maestros deben asegurarse de que los estudiantes tienen cierto sentido de éxito en el

aprendizaje de la ciencia y las matemáticas, y deben dejar de considerar como principal criterio deéxito obtener todas las respuestas correctas. Después de todo, la ciencia misma, como dijo AlfredNorth Whitehead, nunca es completamente correcta. Comprender algo nunca es absoluto y tomamuchas formas. En consecuencia, los maestros deben esforzarse para hacer que todos los

estudiantes particularmente los que tienen menos confianza se den cuenta de su progreso yalentarlos para que sigan estudiando.

Suministrar gran experiencia en el uso de herramientas.Muchos estudiantes tienen miedo de utilizar los instrumentos de laboratorio y otras

herramientas. Este temor puede provenir sobre todo de la falta de oportunidades parafamiliarizarse con los instrumentos en circunstancias seguras. Las niñas en particular tienen la ideaequivocada de que los niños tienen mayor facilidad para usar herramientas. Al comenzar en fasesmuy tempranas, todos los estudiantes deberían familiarizarse gradualmente con los instrumentos ysu uso apropiado. Al momento de terminar la escuela, todos los alumnos deben haber tenido




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experiencia supervisada con herramientas manuales comunes, electrodos de soldadura,medidores eléctricos, instrumentos de dibujo, equipo óptico y de sonido, calculadoras ycomputadoras.

Apoyar los papeles de las mujeres y las minorías en la ciencia.Debido a que las profesiones en las áreas de la ciencia y la ingeniería han sido

predominantemente para los hombres blancos, las mujeres y las minorías pueden tener fácilmentela impresión de que estos campos están más allá o son inadecuados para ellas. Esta percepcióndebilitante reforzada con demasiada frecuencia por el ambiente fuera de la escuela persistirá amenos que los maestros trabajen activamente para modificarla. Los profesores deben seleccionar material de aprendizaje que ilustre las contribuciones de las mujeres y las minorías, establecer modelos y dejar claro para las mujeres y los alumnos pertenecientes a minorías que se espera deellos que estudien las mismas materias al mismo nivel como todos los demás y que tengan unrendimiento similar.

Enfatizar el aprendizaje en grupo.Un enfoque grupal tiene valor de motivación además de la necesidad de recurrir al

aprendizaje en equipo (como se observó antes) para promover la comprensión de cómo funcionan

la ciencia y la ingeniería. Insistir en la competencia entre los estudiantes por lograr altos gradosdistorsiona lo que debe ser el primer motivo para estudiar ciencia: descubrir cosas. Lacompetencia entre los alumnos en el salón de clases también puede dar por resultado que muchosde ellos desarrollen un desagrado por la ciencia y pierdan la confianza en su capacidad paraaprenderla. El trabajo en grupo, norma en la ciencia, tiene muchas ventajas en la educación; por ejemplo, ayuda a que los jóvenes vean que todos pueden contribuir a lograr metas comunes y queel progreso no depende de que todos tengan las mismas capacidades.

La enseñanza de la ciencia debe extenderse más allá de la escuelaLos niños aprenden de sus familiares, compañeros, amistades y maestros. Aprenden del

cine, la televisión, la radio, los discos, los libros y las revistas comerciales y las computadoraspersonales, y de visitas a museos y zoológicos; de asistir a fiestas, reuniones de club, conciertos

de rock y encuentros deportivos, así como de la escuela y del ambiente escolar en general. Losmaestros de ciencia deben explotar los ricos recursos de la comunidad más grande e involucrar alos padres y otros adultos interesados en formas útiles. También es importante que los profesoresreconozcan que algo de lo que los estudiantes aprenden de manera informal está equivocado,incompleto, no comprendido a cabalidad o mal entendido, pero que la educación formal puedeayudarlos a reestructurar ese conocimiento y a adquirir conocimiento nuevo.

La enseñanza debe tomarse tiempo.En la ciencia del aprendizaje, los estudiantes necesitan tiempo para explorar, hacer

observaciones, tomar caminos equivocados, probar ideas, repetir experiencias; tiempo paraconstruir cosas, calibrar instrumentos, reunir objetos y construir modelos físicos y matemáticospara probar ideas; tiempo para aprender las matemáticas, la tecnología y las ciencias que pueden

necesitar para abordar las cuestiones; tiempo para preguntar, leer y argumentar; tiempo paracomprender las ideas no familiares y contraintuitivas y para ponderar la ventaja de pensar dediferente manera. Además, cualquier tema en la ciencia, las matemáticas o la tecnología que seenseña en una sola lección o unidad es poco probable que deje huella al finalizar la escuela. Paraconservarse y madurar, los conceptos no deben presentarse a los estudiantes sólo de vez encuando, sino que deben ofrecerse periódicamente en diferentes contextos y en niveles crecientes.

La historia de las matemáticas muestra que las definiciones, propiedades y teoremasenunciados por matemáticos famosos también son falibles y están sujetos a evolución. De maneraanáloga, el aprendizaje y la enseñanza deben tener en cuenta que es natural que los alumnostengan dificultades y cometan errores en su proceso de aprendizaje y que se puede aprender de




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los propios errores. Esta es la posición de las teorías psicológicas constructivistas sobre elaprendizaje de las matemáticas, las cuales se basan a su vez en la visión filosófica sobre lasmatemáticas conocida como constructivismo social.

2. Busca algún episodio de historia de las matemáticas en que se muestre cómo unconcepto ha evolucionado.

1.1. Concepción idealista-platónicaEntre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemáticas y sus

aplicaciones y sobre el papel de éstas en la enseñanza y el aprendizaje, podemos identificar dosconcepciones extremas.

Una de estas concepciones, que fue común entre muchos matemáticos profesionales hastahace unos años, considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales delas matemáticas de forma axiomática. Se supone que una vez adquirida esta base, será fácil queel alumno por sí solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten.

Según esta visión no se puede ser capaz de aplicar las matemáticas, salvo en casos muytriviales, si no se cuenta con un buen fundamento matemático. La matemática pura y la aplicadaserían dos disciplinas distintas; y las estructuras matemáticas abstractas deben preceder a susaplicaciones en la Naturaleza y Sociedad. Las aplicaciones de las matemáticas serían un

"apéndice" en el estudio de las matemáticas, de modo que no se producirían ningún perjuicio sieste apéndice no es tenido en cuenta por el estudiante. Las

Personas que tienen esta creencia piensan que las matemáticas son una disciplinaautónoma. Podríamos desarrollar las matemáticas sin tener en cuenta sus aplicaciones a otrasciencias, tan solo en base a problemas internos a las matemáticas.

Esta concepción de las matemáticas se designa como "idealista-platónica". Con estaconcepción es sencillo construir un currículo, puesto que no hay que preocuparse por lasaplicaciones en otras áreas. Estas aplicaciones se ³filtrarían´, abstrayendo los conceptos,propiedades y teoremas matemáticos, para constituir un dominio matemático ³puro´.

1.2. Concepción constructivistaOtros matemáticos y profesores de matemáticas consideran que debe haber una estrecha

relación entre las matemáticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el currículo. Piensan que esimportante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemáticas antes de que lessea presentada. Los alumnos deberían ser capaces de ver cómo cada parte de las matemáticassatisfacen una cierta necesidad.

Ejemplo:Poniendo a los niños en situaciones de intercambio les creamos la necesidad de comparar,

contar y ordenar colecciones de objetos. Gradualmente se introducen los números naturales paraatender esta necesidad En esta visión, las aplicaciones, tanto externas como internas, deberíanpreceder y seguir a la creación de las matemáticas; éstas deben aparecer como una respuestanatural y espontánea de la mente y el genio humano a los problemas que se presentan en elentorno físico, biológico y social en que el hombre vive. Los estudiantes deben ver, por sí mismos,que la axiomatización, la generalización y la abstracción de las matemáticas son necesarias con el

fin de comprender los problemas de la naturaleza y la sociedad. A las personas partidarias de estavisión de las matemáticas y su enseñanza les gustaría poder comenzar con algunos problemas dela naturaleza y la sociedad y construir las estructuras fundamentales de las matemáticas a partir deellas. De este modo se presentaría a los alumnos la estrecha relación entre las matemáticas y susaplicaciones.

La elaboración de un currículo de acuerdo con la concepción constructivista es compleja,porque, además de conocimientos matemáticos, requiere conocimientos sobre otros campos. Lasestructuras de las ciencias físicas, biológicas, sociales son relativamente más complejas que lasmatemáticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemáticas. Hay




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una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de las matemáticas en otras áreas, perola tarea de selección, secuenciación e integración no es sencilla.

2. MATEMÁTICAS Y SOCIEDADCuando tenemos en cuenta el tipo de matemáticas que queremos enseñar y la forma de

llevar a cabo esta enseñanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta enseñanza:

Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemáticas en lasociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicación y el modo en que las matemáticas hancontribuido a su desarrollo.

Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el método matemático, esto es, laclase de preguntas que un uso inteligente de las matemáticas permite responder, las formasbásicas de razonamiento y del trabajo matemático, así como su potencia y limitaciones.

2.1. ¿Cómo surgen las matemáticas? Algunas notas históricasLa perspectiva histórica muestra claramente que las matemáticas son un conjunto de

conocimientos en evolución continua y que en dicha evolución desempeña a menudo un papel deprimer orden la necesidad de resolver determinados problemas prácticos (o internos a las propiasmatemáticas) y su interrelación con otros conocimientos.

2.2. Papel de las matemáticas en la ciencia y tecnologíaLas aplicaciones matemáticas tienen una fuerte presencia en nuestro entorno. Si queremos

que el alumno valore su papel, es importante que los ejemplos y situaciones que mostramos en laclase hagan ver, de la forma más completa posible, el amplio campo de fenómenos que lasmatemáticas permiten organizar.

2.2.1. Nuestro mundo biológicoDentro del campo biológico, puede hacerse notar al alumno que muchas de las

características heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: sexo, color de pelo,peso al nacer, etc. Algunos rasgos como la estatura, número de pulsaciones por minuto, recuentode hematíes, etc., dependen incluso del momento en que son medidas. La probabilidad permite

describir estas características.En medicina se realizan estudios epidemiológicos de tipo estadístico. Es necesario

cuantificar el estado de un paciente (temperatura, pulsaciones, etc.) y seguir su evolución,mediante tablas y gráficos, comparándola con los valores promedios en un sujeto sano. El modoen que se determina el recuento de glóbulos rojos a partir de una muestra de sangre es un ejemplode situaciones basadas en el razonamiento proporcional, así como en la idea de muestreo.

Cuando se hacen predicciones sobre la evolución de la población mundial o sobre laposibilidad de extinción de las ballenas, se están usando modelos matemáticos de crecimiento depoblaciones, de igual forma que cuando se hacen estimaciones de la propagación de una ciertaenfermedad o de la esperanza de vida de un individuo.

Las formas de la naturaleza nos ofrecen ejemplos de muchos conceptos geométricos,abstraídos con frecuencia de la observación de los mismos.

El crecimiento de los alumnos permite plantear actividades de medida y ayudar a losalumnos a diferenciar progresivamente las diferentes magnitudes y a estimar cantidades de lasmismas: peso, longitud, etc.

2.2.2. El mundo físico Además del contexto biológico del propio individuo, nos hallamos inmersos en un medio

físico. Una necesidad de primer orden es la medida de magnitudes como la temperatura, lavelocidad, etc. Por otra pare, las construcciones que nos rodean (edificios, carreteras, plazas,puentes) proporcionan la oportunidad de analizar formas geométricas; su desarrollo ha precisado




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de cálculos geométricos y estadísticos, uso de funciones y actividades de medición y estimación(longitudes, superficies, volúmenes, tiempos de transporte, de construcción, costes, etc.)

¿Qué mejor fuente de ejemplos sobre fenómenos aleatorios que los meteorológicos? Laduración, intensidad, extensión de las lluvias, tormentas o granizos; las temperaturas máximas ymínimas, la intensidad y dirección del viento son variables aleatorias. También lo son las posiblesconsecuencias de estos fenómenos: el volumen de agua en un pantano, la magnitud de daños de

una riada o granizo son ejemplos en los que se presenta la ocasión del estudio de la estadística yprobabilidad.

2.2.3. El mundo socialEl hombre no vive aislado: vivimos en sociedad; la familia, la escuela, el trabajo, el ocio

están llenos de situaciones matemáticas. Podemos cuantificar el número de hijos de la familia, laedad de los padres al contraer matrimonio, el tipo de trabajo, las creencias o aficiones de losmiembros varían de una familia a otra, todo ello puede dar lugar a estudios numéricos oestadísticos.

Para desplazarnos de casa a la escuela, o para ir de vacaciones, dependemos deltransporte público. Podemos estimar el tiempo o la distancia o el número de viajeros que usarán elautobús.

En nuestros ratos de ocio practicamos juegos de azar tales como quinielas o loterías. Acudimos a encuentros deportivos cuyos resultados son inciertos y en los que tendremos

que hacer cola para conseguir las entradas. Cuando hacemos una póliza de seguros no sabemossi la cobraremos o por el contrario perderemos el dinero pagado; cuando compramos acciones enbolsa estamos expuestos a la variación en las cotizaciones La estadística y probabilidad se revelacomo herramienta esencial en estos contextos.

2.2.4. El mundo políticoEl Gobierno, tanto a nivel local como nacional o de organismos internacionales, necesita

tomar múltiples decisiones y para ello necesita información. Por este motivo la administraciónprecisa de la elaboración de censos y encuestas diversas. Desde los resultados electorales hastalos censos de población hay muchas estadísticas cuyos resultados afectan las decisiones de

gobierno.Los índices de precios al consumo, las tasas de población activa, emigración - inmigración,

estadísticas demográficas, producción de los distintos bienes, comercio, etc., de las quediariamente escuchamos sus valores en las noticias, proporcionan ejemplo de razones yproporciones.

2.2.5 El mundo económicoLa contabilidad nacional y de las empresas, el control y previsión de procesos de

producción de bienes y servicios de todo tipo no serían posibles sin el empleo de métodos ymodelos matemáticos.

En la compleja economía en la que vivimos son indispensables unos conocimientosmínimos de matemáticas financieras. Abrir una cuenta corriente, suscribir un plan de pensiones,

obtener un préstamo hipotecario, etc. son ejemplos de operaciones que necesitan este tipo dematemáticas.

2.3. Matemáticas en la vida cotidiana. Cultura matemáticaUno de los fines de la educación es formar ciudadanos cultos, pero el concepto de cultura

es cambiante y se amplía cada vez más en la sociedad moderna. Cada vez más se reconoce elpapel cultural de las matemáticas y la educación matemática también tiene como fin proporcionar esta cultura. El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en ³matemáticosaficionados´, tampoco se trata de capacitarlos en cálculos complejos, puesto que los ordenadores




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hoy día resuelven este problema. Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varioscomponentes interrelacionados:

a) Capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información matemática y losargumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos,incluyendo los medios de comunicación, o en su trabajo profesional.

b) Capacidad para discutir o comunicar información matemática, cuando sea relevante, y

competencia para resolver los problemas matemáticos que encuentre en la vida diaria o en eltrabajo profesional.

3.1. Modelización y resolución de problemas El dar un papel primordial a la resolución de problemas y a la actividad de modelización

tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo. Sería cuanto menoscontradictorio con la génesis histórica de las matemáticas, al igual que con sus aplicacionesactuales, presentar las matemáticas a los alumnos como algo cerrado, completo y alejado de larealidad. Debe tenerse en cuenta, por una parte, que determinados conocimientos matemáticospermiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra, que a menudo estosproblemas no estrictamente matemáticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la quese elaboran nuevos conocimientos matemáticos.

Ejemplo: En el siguiente problema, ¿cuál es el conocimiento matemático que permiteresolverlo? ¿Qué significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento? Inventa otrosproblemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el conocimiento encuestión.

Problema. Unos niños llevan a clase caramelos. Andrés lleva 5, María 8, José 6, Carmen 1y Daniel no lleva ninguno. ¿Cómo repartir los caramelos de forma equitativa?

¿Qué contenidos matemáticos serían útiles para resolver los siguientes tipos deproblemas:

Construir a escala la maqueta de un edificio Determinar en forma aproximada la altura de una torre, desde el suelo Calcular el número de lentejas en un paquete de kilo, sin contarlas todas.

Desde el punto de vista de la enseñanza de las matemáticas, las reflexiones anterioresdeben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos. No podemos proponer los mismosproblemas a un matemático, a un adulto, a un adolescente o a un niño, porque sus necesidadesson diferentes. Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepción delentorno físico y social y componentes imaginadas y lúdicas que despiertan su interés en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto.

En consecuencia, la activación del conocimiento matemático mediante la resolución deproblemas reales no se consigue trasvasando de forma mecánica situaciones "reales", aunquesean muy pertinentes y significativas para el adulto, ya que éstas pueden no interesar a losalumnos.

3.2. Razonamiento matemático

Razonamiento empírico-inductivoEl proceso histórico de construcción de las matemáticas nos muestra la importancia del

razonamiento empírico-inductivo que, en muchos casos, desempeña un papel mucho más activoen la elaboración de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo.

Esta afirmación describe también la forma en que trabajan los matemáticos, quienes noformulan un teorema ³a la primera´. Los tanteos previos, los ejemplos y contraejemplos, la soluciónde un caso particular, la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver qué sucede, etc.,son las auténticas pistas para elaborar proposiciones y teorías. Esta fase intuitiva es la queconvence íntimamente al matemático de que el proceso de construcción del conocimiento va por buen camino. La deducción formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior.




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Esta constatación se opone frontalmente a la tendencia, fácilmente observable en algunaspropuestas curriculares, a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano, tendencia quepriva a los alumnos del más poderoso instrumento de exploración y construcción del conocimientomatemático.

Formalización y abstracciónDesde una perspectiva pedagógica -y también epistemológica-, es importante diferenciar el

proceso de construcción del conocimiento matemático de las características de dicho conocimientoen un estado avanzado de elaboración. La formalización, precisión y ausencia de ambigüedad delconocimiento matemático debe ser la fase final de un largo proceso de aproximación a la realidad,de construcción de instrumentos intelectuales eficaces para conocerla, analizarla y transformarla.

Ciertamente, como ciencia constituida, las matemáticas se caracterizan por su precisión,por su carácter formal y abstracto, por su naturaleza deductiva y por su organización a menudoaxiomática. Sin embargo, tanto en la génesis histórica como en su apropiación individual por losalumnos, la construcción del conocimiento matemático es inseparable de la actividad concretasobre los objetos, de la intuición y de las aproximaciones inductivas activadas por la realización detareas y la resolución de problemas particulares. La experiencia y comprensión de las nociones,propiedades y relaciones matemáticas a partir de la actividad real es, al mismo tiempo, un pasoprevio a la formalización y una condición necesaria para interpretar y utilizar correctamente todas

las posibilidades que encierra dicha formalización.

ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LASMATEMÁTICAS

APRENDER Y ENSEÑAR MATEMATICAS"conocer" o "saber" matemáticas, es algo más que repetir las definiciones o ser capaz de

identificar propiedades de números, magnitudes, polígonos u otros objetos matemáticos.La persona que sabe matemáticas ha de ser capaz de usar el lenguaje y conceptos

matemáticos para resolver problemas. No es posible dar sentido pleno a los objetos matemáticossi no los relacionamos con los problemas de los que han surgido.

Ejemplos:Si no se pone a los niños en situación de contar o de comparar cantidades de objetos, de

ordenar colecciones, no captarán el sentido de los números naturales.Es difícil comprender la utilidad de los números enteros negativos si no nos hemos

encontrado con la necesidad de resolver algunas ecuaciones algebraicas cuya solución esnegativa.

Es frecuente que las orientaciones curriculares insistan en que el aprendizaje de lasmatemáticas debe ser significativo y que para conseguirlo ³Los estudiantes deben aprender lasmatemáticas con comprensión, construyendo activamente los nuevos conocimientos a partir de laexperiencia y los conocimientos previos.

Las orientaciones curriculares consideran que el aprendizaje significativo suponecomprender y ser capaz de aplicar los procedimientos, conceptos y procesos matemáticos, y paraello deben coordinarse el conocimiento de hechos, la eficacia procedimental y la comprensiónconceptual.

13. Supongamos que quieres lograr de tus alumnos de primaria un aprendizaje significativode la multiplicación de números naturales de hasta dos cifras . Enumera: Algunos hechos que los alumnos deben conocer . Algunos procedimientos que deben dominar . Algunos conceptos y propiedades que deben comprender . Redacta un ejercicio de evaluación para cada uno de ellos. 14. ¿Por qué los estudiantes que memorizan hechos o procedimientos sin comprensión amenudo no están seguros de cuándo y cómo usar lo que conocen, y ese aprendizaje escon frecuencia frágil?




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15. ¿Por qué el aprendizaje con comprensión hace más fácil el aprendizaje posterior y lasmatemáticas tienen más sentido y son más fáciles de recordar y de aplicar cuando losestudiantes conectan de manera significativa los nuevos conocimientos con los yaconstruidos?

3.1. Papel de la resolución de problemas en el aprendizaje significativo

La actividad de resolver problemas es esencial si queremos conseguir un aprendizajesignificativo de las matemáticas. No debemos pensar en esta actividad sólo como un contenidomás del currículo matemático, sino como uno de los vehículos principales del aprendizaje de lasmatemáticas, y una fuente de motivación para los alumnos ya que permite contextualizar ypersonalizar los conocimientos. Al resolver un problema, el alumno dota de significado a lasprácticas matemáticas realizadas, ya que comprende su finalidad.

El trabajo del alumno en la clase de matemáticas debe ser en ciertos momentoscomparable al de los propios matemáticos:

El alumno investiga y trata de resolver problemas, predice su solución (formula conjeturas) trata de probar que su solución es correcta, construye modelos matemáticos, Usa el lenguaje y conceptos matemáticos, incluso podría crear sus propias teorías,

intercambia sus ideas con otros, Finalmente reconoce cuáles de estas ideas son correctas- conformes con la cultura

matemática-, y entre todas ellas elige las que le sean útiles.Por el contrario, el trabajo del profesor es, en cierta medida, inverso al trabajo de un

matemático: En lugar de partir de un problema y llegar a un conocimiento matemático, parte de un

conocimiento matemático y busca uno o varios problemas que le den sentido para proponerlo asus alumnos (recontextualización).

Una vez producido un conocimiento, el matemático lo despersonaliza. Trata de quitarletodo lo anecdótico, su historia y circunstancias particulares, para hacerlo más abstracto y dotarlode una utilidad general. El profesor debe, por el contrario, hacer que el alumno se interese por elproblema (repersonalización). Para ello, con frecuencia busca contextos y casos particulares que

puedan motivar al alumno.

Enseñanza de las matemáticasLa mayor parte de los profesores comparten actualmente una concepción constructivista de

las matemáticas y su aprendizaje. En dicha concepción, la actividad de los alumnos al resolver problemas se considera esencial para que éstos puedan construir el conocimiento.

Pero el aprendizaje de conceptos científicos complejos (por ejemplo de conceptos físicos omatemáticos) en adolescentes y personas adultas, no puede basarse solamente en unconstructivismo estricto. Requeriría mucho tiempo de aprendizaje y, además, se desperdiciaríanlas posibilidades de poder llevar al alumno rápidamente a un estado más avanzado delconocimiento, mediante técnicas didácticas adecuadas.

El aprendizaje de una lengua, requiere la práctica de la conversación desde su comienzo,

pero si queremos lograr un aprendizaje funcional que permita la comunicación, será preciso elestudio de la gramática. Del mismo modo, además de hacer matemáticas es preciso estudiar lasreglas matemáticas para poder progresar en la materia.

Puesto que disponemos de todo un sistema conceptual previo, herencia del trabajo de lasmentes matemáticas más capaces a lo largo de la historia desaprovecharíamos esta herencia sicada estudiante tuviese que redescubrir por sí mismo todos los conceptos que se le tratan deenseñar.

La ciencia, y en particular las matemáticas, no se construyen en el vacío, sino sobre lospilares de los conocimientos construidos por nuestros predecesores. El fin de la enseñanza de lasmatemáticas no es sólo capacitar a los alumnos a resolver los problemas cuya solución ya




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conocemos, sino prepararlos para resolver problemas que aún no hemos sido capaces desolucionar. Para ello, hemos de acostumbrarles a un trabajo matemático auténtico, que no sóloincluye la solución de problemas, sino la utilización de los conocimientos previos en la solución delos mismos.

Los estudiantes aprenden matemáticas por medio de las experiencias que les proporcionanlos profesores. Por tanto, la comprensión de las matemáticas por parte de los estudiantes, su

capacidad para usarlas en la resolución de problemas, y su confianza y buena disposición hacialas matemáticas están condicionadas por la enseñanza que encuentran en la escuela.

No hay recetas fáciles para ayudar a todos los estudiantes a aprender, o para que todos losprofesores sean eficaces. No obstante, los resultados de investigaciones y experiencias que hanmostrado cómo ayudar a los alumnos en puntos concretos deberían guiar el juicio y la actividadprofesional. Para ser eficaces, los profesores deben conocer y comprender con profundidad lasmatemáticas que están enseñando y ser capaces de apoyarse en ese conocimiento conflexibilidad en sus tareas docentes. Necesitan comprender y comprometerse con sus estudiantesen su condición de aprendices de matemáticas y como personas y tener destreza al elegir y usar una variedad de estrategias pedagógicas y de evaluación. Además, una enseñanza eficaz requiereuna actitud reflexiva y esfuerzos continuos de búsqueda de mejoras.

ESTUDIO DIRIGIDO DE LAS MATEMÁTICASLlamaremos instrucción matemática o estudio dirigido de las matemáticas a la enseñanza y

aprendizaje organizado de un contenido matemático dentro de la clase de matemáticas.Ejemplos: El estudio dirigido del sistema de numeración decimal en la escuela primaria El estudio dirigido de la suma de números naturales en una clase de primaria El estudio dirigido de las funciones en una clase de educación secundaria.En los ejemplos anteriores, y en todo proceso de instrucción matemáticaintervienen: Un contenido matemático, que incluye todas las prácticas en torno al mismo. En el

segundo ejemplo anterior estas prácticas incluirían los algoritmos de la suma, el aprendizaje de lastablas, la forma de colocación de los sumandos y el total, la resolución de problemas sencillos, etc.

Hablamos de sistema de prácticas matemáticas relativas a la suma. Unos sujetos que tratan de adquirir (apropiarse, construir) dicho contenido, en nuestro

ejemplo los alumnos de la clase. El profesor, que dirige y organiza el proceso de instrucción. Los recursos didácticos o medios instruccionales, entre los que incluimos el tiempo, libros,

fichas, materiales manipulativos, etc.Un supuesto básico del constructivismo piagetiano es el aprendizaje por adaptación a un

medio. Ciertamente que el conocimiento progresa como resultado de la construcción personal delsujeto enfrentado a tareas problemáticas. Pero es preciso tener también en cuenta el papel de lainteracción entre los propios alumnos y la de éstos con el profesor. Esta última es crucial paraorientar e impulsar el aprendizaje, debido a que el conocimiento matemático tiene un componentediscursivo (basado en reglas y argumentos) y no sólo un componente práctico (basado en

problemas y acciones).

DIFICULTADES, ERRORES Y OBSTÁCULOSTodas las teorías sobre la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas coinciden en la

necesidad de identificar los errores de los alumnos en el proceso de aprendizaje, determinar suscausas y organizar la enseñanza teniendo en cuenta esa información. El profesor debe ser sensible a las ideas previas de los alumnos y utilizar las técnicas del conflicto cognitivo para lograr el progreso en el aprendizaje.

Hablamos de error cuando el alumno realiza una práctica (acción, argumentación, etc.)que no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar.




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El término dificultad indica el mayor o menor grado de éxito de los alumnos ante una tareao tema de estudio. Si el porcentaje de respuestas incorrectas (índice de dificultad) es elevado sedice que la dificultad es alta, mientras que si dicho porcentaje es bajo, la dificultad es baja.

Las creencias del profesor sobre los errores de los alumnos dependen de sus propiasconcepciones sobre las matemáticas. Aquellos que no han tenido ocasión de conocer cómo sedesarrollan las matemáticas, o no han realizado un cierto trabajo matemático piensan que hay que

eliminar el error a toda costa. Cambiar su manera de pensar implica un cierto cambio en la relaciónde dicho profesor con respecto a la actividad matemática.

El modelo de aprendizaje es también determinante. En un aprendizaje conductista, el error tiene que ser corregido, mientras que es constitutivo del conocimiento en un aprendizaje de tipoconstructivista.

ESTÁNDARES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

ESTÁNDAR 1: TAREAS MATEMÁTICAS VALIOSASEl profesor de matemáticas debería plantear tareas que estén basadas en:* Unas matemáticas significativas y razonables;

* El conocimiento de los intereses, experiencias y comprensión de los estudiantes; elconocimiento de los distintos modos en que aprenden los alumnos: y que

* comprometa el intelecto de los estudiantes; * desarrolle la comprensión y destrezasmatemáticas de los estudiantes

* estimule a los estudiantes a hacer conexiones y a desarrollar un marco coherente para lasideas matemáticas

* exija la formulación y resolución de problemas y el razonamiento matemático* promueva la comunicación sobre las matemáticas* presente las matemáticas como una actividad humana en desarrollo* muestre sensibilidad y tenga en cuenta las diversas disposiciones y experiencias previas

de los estudiantes*promueva el desarrollo de las disposiciones para hacer matemáticas de los estudiantes.

ESTÁNDAR 2: EL PAPEL DEL PROFESOR EN EL DISCURSOEl profesor de matemáticas debería organizar el discurso mediante* El planteamiento de cuestiones y tareas que pongan de manifiesto, comprometan y

desafíen el pensamiento de cada estudiante* escuchar cuidadosamente las ideas de los estudiantes*pidiendo a los estudiantes que clarifiquen y justifiquen sus ideas oralmente y por escrito* decidiendo cuáles ideas de las que los estudiantes afloran durante una discusión se van a

tratar con detalle* decidiendo cuando y cómo asociar una notación y el lenguaje matemático a las ideas de

los estudiantes* decidir cuando proporcionar una información, cuando clarificar una cuestión, cuando

modelizar, cuando llevar el protagonismo y cuando dejar al estudiante luchar contra una dificultad * registrar la participación de cada estudiante en las discusiones y decidir cuando y como

animar a cada estudiante a participar.

ESTÁNDAR 3: EL PAPEL DEL ESTUDIANTE EN EL DISCURSOEl profesor de matemática debería promover un discurso de la clase en el que los

estudiantes:* escuchen, respondan y pregunten al profesor y unos a otros* usen una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver problemas y

comunicarlos




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* plantear problemas y cuestiones* hacer conjeturas y presentar soluciones* explorar ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar * tratar de convencerse a sí mismos y a los demás de la validez de representaciones

particulares, soluciones, conjeturas y respuestas;* apoyarse en la evidencia y los argumentos matemáticos para determinar la validez.

ESTÁNDAR 4: INSTRUMENTOS PARA ESTIMULAR EL DISCURSOEl profesor de matemáticas, con objeto de estimular el discurso, debería promover y

aceptar el uso de:* Ordenadores, calculadoras y demás tecnología* Materiales concretos usados como modelos* Dibujos, diagramas, tablas y gráficas* Términos y símbolos inventados y convencionales* Metáforas, analogías y relatos* Hipótesis, explicaciones y argumentos escritos* Presentaciones orales y dramatizaciones.

ESTÁNDAR 5: ENTORNO DE APRENDIZAJEEl profesor de matemáticas debería crear un entorno de aprendizaje que estimule el

desarrollo de la capacidad matemática de cada estudiante:* proporcionando y estructurando el tiempo necesario para que exploren unas matemáticas

adecuadas y que intenten resolver problemas e ideas significativas* usando el espacio físico y los materiales de modo que faciliten el aprendizaje matemático

por los estudiantes* proporcionando un contexto que estimule el desarrollo de las destrezas y eficiencia

matemática* respetando y valorando las ideas de los estudiantes, modos de pensamiento y disposición

hacia las matemáticas y mediante la animación consistente de los estudiantes para:* trabajar independientemente y en colaboración para dar sentido a las matemáticas

* asumir riesgos intelectuales mediante el planteamiento de cuestiones y formulandoconjeturas

* mostrar competencia matemática mediante la validación y el apoyo de ideas matemáticascon argumentos matemáticos.

ESTÁNDAR 6: ANÁLISIS DE LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJEEl profesor de matemáticas debería comprometerse en el análisis progresivo de la

enseñanza y el aprendizaje sabiendo:* observar, escuchar y reunir información sobre los estudiantes para evaluar lo que están

aprendiendo examinar los efectos de las tareas, el discurso, y el entorno del aprendizaje sobre elconocimiento de los estudiantes, sus destrezas y actitudes en orden a:

* asegurar que cada estudiante está aprendiendo unas matemáticas adecuadas y

significativas y que está desarrollando una disposición positiva hacia las matemáticas* desafiar y extender las ideas de los estudiantes* adaptar o cambiar las actividades durante la enseñanza* hacer planes, tanto a corto como a largo plazo* describir y comentar sobre el aprendizaje de cada estudiante con los padres, directores,

así como con los propios estudiantes.




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CONCLUSIONES.

Como podrás darte cuenta las matemáticas en si son como un arte distinto a las demás materias o ciencias pero relacionado al mismo tiempo, que necesita de un trato especial en el momento educativo, se volvió un pesar en la mente de los

alumnos por imaginar a los números tediosos y llenos de fórmulas, ecuaciones y procedimientos raros que solo le llenan la mente y no comprenden a ciencia cierta la aplicación de los mismos, es por ello que hoy en día la enseñanza de las matemáticas debe ser diferente, sencilla, aplicada y sobre todo significativa en la vida de cada alumno, espero que tomes en cuenta toda está información en el proceso de enseñanza- aprendizaje de las matemáticas y te conviertas en precursor de

una enseñanza motivadora y renovadora para trascender significativamente en el desarrollo integral de tus futuros alumnos.

2012

Antologia Psicopedagogia de Las as

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