Objetivos

• Hallar la antiderivada de una función.

• Utilizar la antiderivada para solucionar problemas de ingeniería y administración

• Un administrador que conoce el ingreso marginal de una producción puede interesarse en deducir el ingreso total de la producción. En este caso, el problema es hallar una función cuya derivada sea una función conocida. Si existe tal función F, se le denomina una ANTIDERIVADA de f.

Derivada

Antiderivada

f ‘( x)f ( x)

Ejemplo.

Si el ingreso marginal mensual por un producto es

f(x) = –0,4x + 30. Encuentre la función del ingreso total.

Derivada

Antiderivada

f( x)F ( x)Ingreso Total Ingreso MarginalI ( x) I‘( x)

DEFINICIÓN

• Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I si, F’(x) = f(x) para todo x en I.

Ejemplo: ¿Qué función F (x) es tal que ?2F'( x ) f ( x ) 3x

¿Y por qué no ?3 3F( x ) x 4 o F( x ) x 7

3F( x ) x

Hallar una antiderivada de las siguientes funciones

1) f(x) x 32F(x) x

3

3) f(x) cosx

24) f(x) sec x

F(x) cosx

F(x) senx

F(x) tgx

2) f(x) senx

5) f(x) sec x.tgx F(x) sec x

16) f(x)

x F(x) lnx

2

17) f(x)

x

1F(x)

x

INTEGRAL INDEFINIDA

Una sola función tiene muchas

antiderivadas, mientras que una función

sólo puede tener una derivada

• Definición:

Al conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se

le llama INTEGRAL INDEFINIDA de f(x) y se

representa por f(x)dx F(x) c

• Propiedades

1. kf(x)dx k f(x)dx

2. [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx

Ejemplos: Hallar las siguientes integrales indefinidas

1) I xdx

22) I [senx sec x]dx

23) I x dx

34) I x dx

n 1n x

x dx cn 1

32x c

3

cosx tgx c

3x

c3

4x

c4

55) I (x 1) dx

26) I (5x 1) dx

6(x 1)c

6

35(5x 1)c

3

A partir de las fórmulas de

derivación podemos obtener

fórmulas de integración

1. dx x C

n 1xn2 x dx C , n -1n 1

13. dx ln x Cx

x x5. e dx e C

cos(ax)6. sin(ax)dx c

a

sin(ax)

7. cos(ax)dx ca

28. sec x tanx c