(Pertemuan tgl 11 November 2013)

1. Defenisi 4.1.1 (Dijelaskan oleh Eka Jumianti)

Diberikan A⊆R. Sebuah titik c⊆R adalah titik limit dari A jika ∀ δ>0terdapat

setidaknya satu titik x∈ A , x≠ c sehingga berlaku ¿ x−c∨¿δ

Defenisi ini diulang dalam bahasa persekitaran sebagai berikut: Sebuah titik c adalah titik

limit dari himpunan A jika ∀ persekitaran-δ V δ (c )=(c−δ , c+δ) dari c memuat setidaknya satu

titik A yang berbeda dari c.

Catatan. Titik c boleh jadi anggota dari A atau bukan anggota dari A, Sebaliknya, suatu

anggota A dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit A, karena secara khusus yang

diperlukan adalah adanya titik di V δ (c ) ∩ A yang berbeda dengan c agar c menjadi titik limit dari

A.

Sebagai contoh, jika A≔{1,2 }, lalu titik 1 bukan lah titik limit dari A, oleh karena itu pilih

δ≔ 12

yang diberikan dari persekitaran 1 yang tidak memuat titik A yang berbeda dari 1. Hal

serupa benar untuk titik 2, jadi kita ketahui bahwa A tidak memiliki titik-titik limit.

2. Teorema 4.1.2 (Dijelaskan oleh Nurafni)

Sebuah bilangan c∈R adalah titik limit dari A⊆R jika dan hanya jika terdapat barisan

(an ) di A sedemikian hingga lim (an )=c danan ≠ cuntuk semua n∈N

EKA JUMIANTI

11154203071

NURAFNI

11154201774

Bukti.

→ jika c adalah titik limit dari A, kemudian untuk suatu n∈N , persekitaran-

( 1n )V 1

n

(c )=(c−1n

, c+ 1n) memuat setidaknya satu titik an di A yang berbeda dari c. kemudian

an∈ A ,an≠ cdan|an−c|< 1n

. Karena berlaku |an−c|< 1n

maka disimpulkan lim (an )=c

← Sebaliknya, jika diketahui terdapat barisan (a¿¿n)di A ¿c }¿ dengan lim (an )=c danan ≠ c,

dibuktikan c adalah titik limit A. Karena diketahui lim (an )=c kemudian untuk suatu δ >0∃K , K

bilangan asli sedemikian hingga jika n ≥ K kemudianan∈V s ( c ) sehingga|an−c|<δ .Oleh karena

itu, persekitaran-δ V δ (c )dari c mengandung titik anuntuk n≥ K yang termasuk ke A dan berbeda

dari c. yaitu A ∩V δ ¿c }≠∅ . Terbukti c titik limit A.