BAGIANKEDUA Fungsi,LimitdanKekontinuan,Turunan 51 52 HendraGunawan PengantarAnalisisReal 53 6.FUNGSI 6.1FungsidanGraknyaKonsepfungsitelahdipelajariolehGottfriedvonLeibnizsejakakhirabadke- 17,namundenisifungsiyangkitakenalsekarangberakarpadarumusanLeonhard Eulerpada1749,yangdisempurnakankemudianolehJosephFourierpada1822dan LejeuneDirichletpada1837.SebuahfungsidarihimpunanAkehimpunanBadalahsuatuaturanyang mengaitkansetiapxAdengansebuahelementunggalyB,ditulisf:ABxy.Elemenyyangterkaitdenganxdisebutpetadarix(dibawahf)dankitatulis y=f(x).Bilaf(x)mempunyairumusyangeksplisit,fungsifseringdinyatakan sebagaipersamaany=f(x).Dalambukuini,kitamembatasipembahasankitapadafungsidariARke BR,yaknifungsibernilairealdenganpeubahreal.Dalamhalini,kitadapat menggambargrakfungsif:ABpadabidang-xy(lihatGambar6.1).Denisidi atasmenjaminbahwasetiapgarisvertikalyangmemotongAakanmemotonggrak tepatpadasatubuahtitik(tidakmungkinlebih).JikafadalahsebuahfungsidariAkeBdanHA,makakitakatakan bahwafterdenisipadaH.HimpunanterbesarpadamanafterdenisiadalahA. HimpunanAdalamhalinidisebutsebagaidaerahasalf.Sebagaicontoh,sebuahbarisanmerupakanfungsidengandaerahasalhimpunanbilanganasliN.JikafterdenisipadaH,makakitadenisikanpetadariHdibawahfsebagai f(H):={f(x):xH}. 54HendraGunawan Gambar6.1Graksebuahfungsi

Untukilustrasi,lihatGambar6.2dibawahini.DalamhalH=A,himpunanf(A)disebutsebagaidaerahnilaif.Catatbahwaf(A)tidakharussamadenganB. Gambar6.2PetadariHdibawahf Contoh1.Persamaany=x2mendenisikansebuahfungsidariRkeR.Untuk tiapxRterdapattepatsebuahyRyangmemenuhiaturany=x2.Amati bahwa,dalamGambar6.3padahalamanberikut,setiapgarisvertikalmemotong graky=x2tepatpadasebuahtitik.DaerahasalfungsiiniadalahRdandaerah nilainyaadalah[0,).Petadari(0.5,1],misalnya,adalah[0,1].Contoh2.Persamaany2=xtidakmendenisikanfungsidari[0,)keR.Untuk PengantarAnalisisReal 55 Gambar6.3Grakpersamaany=x2 tiapx>0terdapatduabuahyR,yakniy=x,yangmemenuhiaturany2=x. DalamGambar6.4,amatibahwasetiapgarisvertikalyangmemotongsumbu-xpadax 0>0akanmemotonggraky2=xpadaduabuahtitik. Gambar6.4Grakpersamaany2=x Contoh3.Persamaany2=x,y0,mendenisikansebuahfungsidari[0,)ke [0,).Untuktiapx>0terdapattepatsebuahy[0,),yakniy=x,yang memenuhiaturany2=x.DalamGambar5.5,amatibahwasetiapgarisvertikalyangmemotongsumbu-xpadax00akanmemotonggraky2=x,y0,tepatpada sebuahtitik.

56 HendraGunawan Gambar6.5Grakpersamaany2=x,y0 SoalLatihan1.Gambargrakhimpunansemuatitik(x,y)sedemikiansehinggay= 5jikax1 2jikax0sedemikiansehinggauntuktiapxHberlaku |f(x)|K. Contoh8.Misalkanf:(0,)Rdidenisikansebagaif(x)=1 x, x>0. 62HendraGunawan Fungsiiniterbatasdibawahpada(0,)daninfx>0f(x)=0,namunftidakmempunyainilaiminimum.Perhatikanpulabahwaftidakterbatasdiataspada(0,). Contoh9.Misalkanf:[0,1][0,1]didenisikanolehf(x)=1x.Fungsiiniterbataspada[0,1],mencapainilaimaksimumnya(yaitu1)di0,danjuga mencapainilaiminimumnya(yaitu0)di1. SoalLatihan1.Selidikiapakahf:[0,1][0,1]yangdidenisikansebagaif(x)=1x 1+x, 0x1,terbatassertamencapainilaimaksimumdanminimumnya. 2.Selidikiapakahg:[0,1][0,1]yangdidenisikansebagaig(x)=4x4x2,0x1.terbatassertamencapainilaimaksimumdanminimumnya.3.Tunjukkanbahwaf(x)= 1+x2 1 terbataspadaR.Apakahfmencapainilaimaksimumdanminimumnya?4.MisalkanfdangterbatasdiataspadaHdanaR.Buktikanbahwa supxH{a+f(x)}=a+sup xHf(x).supxH{f(x)+g(x)}supxHf(x)+supxHg(x). Bericontohbahwakesamaantidakharusberlaku. PengantarAnalisisReal 63 7.LIMITDANKEKONTINUAN 7.1LimitFungsidiSuatuTitik Diberikansebuahfungsiyangterdenisipadainterval(a,b)kecualimungkindi sebuahtitikc(a,b),kitatertarikuntukmengamatinilaif(x)untukxdisekitar c.Khususnya,kitabertanya:apakahf(x)menujusuatubilangantertentubilax menujuc?Berikutiniadalahdenisilimitsepihak,yaitulimitkiridanlimitkanan, disuatutitik.Misalkanfterdenisipadainterval(a,c)danLR.Kitakatakanbahwaf menujuLbilaxmenujucdarikiri,dankitatulisf(x)Lbilaxcataulimxcf(x)=L,apabilauntuksetiap>0terdapat>0sedemikiansehinggajikac