CADERNODEAPOIO

AOPROFESSOR

– 12.o ANO

▪ Desenvolvimento e resoluçãode todas as atividades práticaspropostas no manual

CRISTINA VIEGAS • FRANCELINO GOMES • YOLANDA LIMA

Matemática A

TEMA 1 – Probabilidades e Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

TEMA 2 – Introdução ao Cálculo Diferencial II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

TEMA 3 – Trigonometria e Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

– Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

– Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Atividades de Investigação e Curiosidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

ÍNDICE

APRESENTAÇÃO

Nota: Este caderno encontra-se redigido conforme o novo Acordo Ortográfico.

Com este trabalho sobre as Atividades não pretendemos substituir a criatividade dos colegas e dos alunos ou esgotar as hipóteses de exploração das tarefas.

Fazemos apenas algumas sugestões que podem lançar pistas para um desenvolvimento ajustado das váriasatividades propostas.

Os Autores

Probabilidadese Combinatória

4

ATIVIDADE 1 Verdadeiro ou falso? (pág. 12)

A1: Muitas vezes é esta a ideia que os alunos têm do que é uma experiência aleatória. Trata-se de uma afirma-ção falsa: os resultados que podem ocorrer numa experiência aleatória são conhecidos. O que não se sabe équal dos resultados se vai obter em cada realização da experiência.

A2: É uma afirmação falsa. Do que aprenderam no 9.o ano, os alunos devem saber que a probabilidade nunca ésuperior a 1 (ou 100%).

A3: É uma afirmação verdadeira. Os alunos não estão, frequentemente, de acordo sobre esta matéria. É umaboa ocasião para favorecer a troca de opiniões, pedindo aos alunos para fundamentarem as suas posições.É importante que os alunos percebam que têm de trabalhar com resultados com igual possibilidade deocorrer.

A4: É uma afirmação falsa. Os alunos podem apresentar exemplos de situações idênticas: no lançamento deuma moeda, se sai «valor» num lançamento, não é certo que saia «nacionalidade» no lançamento seguinte.

A5: É uma afirmação falsa. Se os alunos entenderam a situação da afirmação anterior, já não devem ter amesma dúvida. Se necessário, o professor pode aproveitar para continuar a esclarecer o conceito de proba-bilidade.

A6: É uma afirmação falsa. O conceito é, na verdade, intuitivo, mas é possível definir probabilidade, como osalunos vão perceber ao longo do Tema I.

ATIVIDADE 2 «Honestos» ou «viciados» (pág. 25)

ATIVIDADE 3 Dois jogos com dados (pág. 25)

Estas duas atividades devem permitir pôr em confronto, perceber como interagem e formalizar as teorias fre-quencista e clássica de probabilidade.

No caso da atividade 2 deve realçar-se a vantagem de calcular as frequências relativas (e não absolutas) con-forme se explica na página 26. Também é importante que os alunos calculem as frequências relativas de cadaface em várias etapas, para perceber que as frequências vão estabilizando em torno de um valor (não necessaria-mente igual para todas as faces porque muitos dos dados que são comercializados não são «honestos»). Os alunostambém devem perceber que a decisão de reconhecer os dados como «honestos» ou «viciados» resulta de compa-rar uma hipótese formulada a partir da teoria frequencista com um resultado baseado na lei de Laplace.

Relativamente ao segundo ponto da atividade 3, os alunos devem ser chamados a explicar as suas convicções.

No jogo 1, as probabilidades de ganho são iguais e, no jogo 2, a probabilidade de ganhar o «par» é 75%, conformese comprova com tabelas de dupla entrada (no caso de os dados serem equilibrados).

5

ATIVIDADE 4 O concurso (pág. 42)

Os alunos devem concluir que não há razão para o desagrado dos rapazes. O número de rapazes que passam àfase seguinte é inferior ao número de raparigas que passam à fase seguinte, mas a proporção até é mais favorável:40 em 70 para as raparigas e 20 em 30 para os rapazes.

ATIVIDADE 5 O exame (pág. 42)

Os alunos ainda não formalizaram o conceito de probabilidade condicionada. Na atividade anterior, percebe-ram que o facto de passarem, ou não, à fase seguinte do concurso dependia de ser rapaz ou rapariga.

Será que a percentagem de pareceres favoráveis do professor «Terror» é diferente para alunos aprovados e re-provados?

Os alunos devem obter uma tabela como esta. Chamámos A ao acontecimento «Ficaraprovado» e F ao acontecimento «O professor “Terror” dar parecer favorável» e utilizámospercentagens que permitem trabalhar, neste caso, com números inteiros.

Depois de construir a tabela, e embora não conhecendo o conceito de probabilidade condicionada, os alunosencontram, em geral, a resposta correta dividindo 15 por 20.

O professor pode aproveitar para pôr outras questões que os dados da tabela permitam resolver e deve compa-rar esta situação com a da atividade anterior.

ATIVIDADE 6 Em busca de relações (pág. 54)

1. Os alunos, em geral, começam por observar que as tabelas relativas ao sexo dos alunos e à prática de des-porto têm distribuições semelhantes e muito diferentes da que traduz a relação do sucesso nos exames com aassiduidade.Quanto à assiduidade, é evidente a sua «influência» no sucesso (ou insucesso) nos exames. No que diz res-peito à prática de desporto ou ao facto de o aluno ser rapaz ou rapariga, um primeiro olhar não é esclarece-dor e, de um modo geral, são os alunos que tomam a iniciativa de fazer alguns cálculos, conforme lhes ésolicitado no segundo ponto.

2. p (S) = 80% , p (S | D) = 87,5% , p (S | F ) � 31% e p (S | M ) = 80% .

3. Os cálculos confirmam a influência da falta de assiduidade no sucesso nos exames e também mostram queo sucesso nos exames não depende de o aluno ser rapaz ou rapariga. A prática de desporto influencia demodo positivo o sucesso nos exames, embora essa influência não seja muito acentuada.

A

A�

F

15

35

50

F�

5

45

50

20

80

100

6

ATIVIDADE 7 Com três moedas (pág. 60)

É importante que o professor confirme com os vários pares de alunos se compreenderam bem o que se pre-tende, pois frequentemente os alunos precipitam-se no lançamento das moedas sem interpretar conveniente-mente a tarefa proposta.

Esta atividade deve permitir uma breve revisão dos conceitos de variável estatística, frequência relativa e cál-culo da média.

ATIVIDADE 8 Probabilidade empírica e teórica (pág. 61)

Com esta atividade pretende-se que os alunos percebam a diferença entre distribuição estatística (ou de proba-bilidade empírica) e distribuição de probabilidade. Pretende-se também que percebam que a distribuição estatísticadeve aproximar-se da distribuição de probabilidades se a experiência se realizar um número muito elevado de vezes.

ATIVIDADE 9 Probabilidades numa distribuiçãonormal (pág. 73)

Pretende-se com esta atividade que os alunos sintam que não há necessidade de decorar a probabilidade deuma variável normal tomar valores em cada uma das regiões coloridas, pois podem sempre obter esses valoresusando apenas a informação dada no enunciado.

ATIVIDADE 10 Para quem já sabe ler e escrever! (pág. 90)

Alguns alunos já conhecem este texto, outros não; também podemos dar largas à imaginação e escrever tex-tos diferentes. Os alunos, em geral, empenham-se na realização da tarefa e percebem a necessidade de desenvol-ver uma técnica de contagem. Por vezes, essa técnica de contagem, a que vamos chamar princípio damultiplicação, já pode ter surgido em situações anteriores e é apenas questão de a formalizar.

ATIVIDADE 11 À procura de uma regra (pág. 104)

Pensamos que é uma boa atividade para os alunos desenvolverem as capacidades de experimentar, conjeturar,validar as hipóteses e, também, expor e explicar o raciocínio desenvolvido.

As respostas são: a) n – m + 1 b) (n – m + 1) � m !

7

ATIVIDADE 12 Em busca de propriedades (pág. 120)

Se há tantas «curiosidades» no triângulo de Pascal, porque não dar oportunidade aos alunos para descobrirem algumas delas?

Sem limitar as observações dos alunos, a nossa ideia é:

A. Todas as linhas começam por 1 porque � n � IN0 , nCo = 1 .

B. Todas as linhas acabam em 1 porque � n � IN0 , nCn = 1 .

C. Cada número de uma linha (exceto o primeiro e o último) pode obter-se somando os dois que estão «porcima dele».

D. Dado um conjunto com seis elementos, por cada subconjunto que se define com dois elementos obtém-seoutro com quatro elementos.Logo, 6C2 = 6C4 .

E. Dado um conjunto com oito elementos, por cada subconjunto que se define com três elementos obtém-seoutro com cinco elementos.Logo, 8C3 = 8C5 .

F. As afirmações D e E estão relacionadas com o facto de, em cada linha, o primeiro elemento ser igual ao úl-timo, e o segundo ser igual ao penúltimo, o terceiro ser igual ao antepenúltimo…

G. A sucessão das somas dos números de cada linha é uma progressão geométrica de razão dois.

ATIVIDADE 13 Os caminhos para a escola (pág. 125)

Esta é uma atividade clássica que nos parece ser uma boa aplicação dos conhecimentos que os alunos já adquiri-ram. Esses conhecimentos surgiram da observação do triângulo de Pascal e é interessante verificar uma sua aplicaçãoconcreta.

As respostas nesta atividade são:

1. O caminho tem sete troços: cinco para leste e dois para norte.

2. e 3. O total de troços é sempre sete: cinco para leste e dois para norte.

4. As respostas são várias (ao todo são 21 as respostas possíveis). Exemplos:

N N L L L L L , L L L L L N N , L N L L N L L , …

As representações só diferem na posição ocupada, por exemplo, pelos dois N.

5. Os trajetos para norte podem posicionar-se de 7C2 maneiras diferentes. Como 7C2 = 7C5 , concluímos que éindiferente contar o número de maneiras de posicionar os dois troços para norte ou o número de maneirasde posicionar os cinco troços para leste.

6. 7C3 = 7C4

8

7. Os números que escrevemos correspondem às linhas das combinações de cinco, sete e oito elementos notriângulo de Pascal.

ATIVIDADE 14 Distribuição de probabilidades (pág. 131)

1. A probabilidade de obter exatamente um ás e ser no primeiro lançamento é �16

� × ��56

��5

. Como a probabilidade

de obter um único ás no segundo, no terceiro, … ou no sexto lançamento é sempre a mesma, a probabilidade

de obter exatamente um único ás em seis lançamentos de um dado é �16

� × ��56

��5

× 6 = ��56

��5

.

A probabilidade de, nos seis lançamentos, não obter ases é ��56

��6

e ��56

��6

� ��56

��5

.

2.

3. As probabilidades obtidas são os termos do desenvolvimento de ��56

� + �16

��6

, calculados pela fórmula do binó-mio de Newton.

xi

p(X = xi)

0

6C0��56

��6

1

6C1�16

���56

��5

2

6C2��16

��2

��56

��4

3

6C3��16

��3

��56

��3

4

6C4��16

��4

��56

��2

5

6C5��16

��5

�56

�

6

6C6��16

��6

Leste

Norte

1Casa

X

E

1 1 1

1

1 8

7 28

21 56

5 35

10 35 56

10 21 28

5 7 8

70

1

Introduçãoao Cálculo Diferencial II

10

ATIVIDADE 1 O perigo de não descansar (pág. 7)

Os alunos ainda não estudaram funções exponenciais, mas estão habituados a utilizar a calculadora para re-solver questões relacionadas com funções. Pretende-se com esta atividade, e com a atividade seguinte, recordarconceitos básicos sobre funções, bem como recuperar alguns procedimentos com a calculadora. Outro objetivodestas atividades é apresentar aos alunos alguns dos modelos com que vão trabalhar neste ano letivo.

Para além da resolução gráfica, deve procurar-se que os alunos escrevam as expressões ou condições que per-mitem resolver cada uma das questões e percebam as limitações que elas envolvem.

2. Para responder à primeira questão, basta calcular 24 mas, para responder à segunda questão, os alunospercebem que têm de recorrer à calculadora e podem até interrogar-se sobre o significado de 25,5 . Talvezseja uma oportunidade para ir introduzindo, ou recordando, o conceito de potência de expoente fracionário.

3., 4. e 5. Os alunos devem observar que as condições que traduzem as questões agora propostas não envol-vem polinómios e só no primeiro caso conseguem obter a solução por processos algébricos.Poderá chamar-se a atenção dos alunos para o facto de procurarmos o valor de um expoente.

Respostas: 2. 15% e �44%3. 5 horas4. 5 horas e 40 minutos (aproximadamente)5. 4 horas e 23 minutos (aproximadamente)

ATIVIDADE 2 As vendas de telemóveis (pág. 7)

As considerações relativas a esta atividade são idênticas às que fizemos a propósito da atividade 1.Neste caso, os alunos devem ter atenção à unidade e à correspondência estabelecida entre x = 0 e 1/01/2012.

Este modelo de função exige mais «perícia» na utilização da calculadora.A questão relativa ao ritmo de crescimento deverá ser tratada de modo informal (como o enunciado sugere);

de um modo geral, os alunos associam corretamente a «quebra» no ritmo de vendas à mudança do sentido da con-cavidade do gráfico.

A observação do gráfico sugere que, em IR+ , o gráfico tem uma assíntota horizontal. Trata-se de um conceitoque os alunos já estudaram, mas a propósito de funções racionais.

Com a última questão pretende-se que os alunos explicitem, em linguagem corrente, as conclusões da obser-vação gráfica.

Respostas: 2. v (0) � 99 , v (3) � 1351 (os alunos devem observar que podem tomar o fim de março como o iní-cio de abril), v (x) = 9000 ⇔ x � 7,4 , ou seja, espera-se atingir a venda de 9000 telemóveis emmeados de agosto. O número de vendas está a crescer mais rapidamente para valores de x entre4 e 6, ou seja, nos meses de maio e junho, sendo no início de junho que se dá a «quebra» nas ven-das. Para além da observação do gráfico, os alunos podem apoiar esta análise ativando a ferra-menta «Derivative On» e percorrendo o gráfico com «Trace».O número de vendas não vai atingir as 11 000 unidades. Na realidade, nunca se ultrapassa a vendade 10 000 unidades, como os alunos podem «visualizar» alargando a «janela» em x .

3. Introduzindo as funções x�v (x) e x�t (x) em simultâneo na calculadora, percebemos que o se-gundo modelo tem maior número de telemóveis vendidos em 1 de janeiro de 2012 e mantém-se naliderança até ao início de julho de 2012. A partir de julho, o número de telemóveis vendidos pelofabricante do primeiro modelo será sempre superior ao número de telemóveis vendidos do segundomodelo, à mesma data.

11

ATIVIDADE 3 O significado de 2� (pág. 9)

A necessidade de formalizar o conceito de potência de expoente irracional pode ser uma oportunidade para fa-lar da natureza das construções matemáticas onde todo o conceito que não seja tomado como conceito «primi-tivo» tem de ser definido.

1. Recorrendo à calculadora, os alunos devem escrever:

2. As aproximações que pretendemos são as obtidas com a calculadora (acerca das quais não temos argumen-tos para indicar se são valores exatos ou aproximados).Não se exige sequer que os alunos escrevam os termos das sucessões (xn) e (yn) , mas apenas que interpre-tem o comportamento dessas sucessões: (xn) é crescente, (yn) é decrescente, as duas sucessões são limita-das e convergem ambas para o número que designamos por 2� .

ATIVIDADE 4 Funções exponenciais (pág. 11)

Pretendemos, mais uma vez, que os alunos estabeleçam hipóteses recorrendo à calculadora. Procuramostambém que os alunos desenvolvam espírito crítico em relação às observações feitas: a calculadora facilmentecria a ilusão de que a função toma o valor zero e também sugere a existência de uma assíntota vertical.

1. As afirmações verdadeiras são a), b), d) e e).2. Os alunos devem observar que as representações gráficas são semelhantes, o que reflete um conjunto de

características comuns, embora o único ponto que pertence aos três gráficos seja o ponto I (0, 1) .As calculadoras gráficas que dispõem de cores facilitam a resposta à alínea b), mas as conjeturas tambémpodem ter como base a observação de tabelas.

2x = 3x = (�10�)x se e só se x = 0

2x � 3x � (�10�)x se e só se x � 0

2x � 3x � (�10�)x se e só se x � 0

3. Sem limitar as observações dos alunos, parece importante que refiram que o domínio também parece ser IR , ocontradomínio também parece ser IR+ e que o gráfico, que é uma linha contínua, também interseta o eixoOy em (0, 1) . A reta de equação y = 0 continua a ser a única assíntota do gráfico. A diferença mais evidenteconsiste no facto de esta função ser decrescente em IR .

4. Os alunos já estudaram, nos 10.o e 11.o anos, as transformações sobre gráficos e recordaram, recentemente,a definição de potência de expoente negativo. É então natural que escrevam:

r (x) = ��12

��x

= 2–x = f (–x)

e expliquem que o gráfico de y = f (–x) se obtém a partir do gráfico de y = f (x) por meio de uma simetria emrelação a Oy .

5. Todos os pedidos têm uma infinidade de respostas. Os alunos procuram, em geral, o que pensam ser o me-nor valor de x0 que serve como resposta. Parece-nos que é importante que percebam que não é isso que sepede e que, portanto, as respostas podem ser todas diferentes. Também acontece com alguma frequênciaque os alunos não interpretam bem o que lhes é pedido, indicando como resposta um valor que satisfaz acondição e não um valor a partir do qual todos satisfazem a condição.

u5 = 3,14159 u6 = 3,141592 u7 = 3,1415926v5 = 3,14160 v6 = 3,141593 v7 = 3,1415927

O que se pretende com esta tarefa é que os alunos «desconfiem» que, para qualquer valor de n � IN , é semprepossível encontrar um valor x0 tal que x � x0 ⇒ 2x � x n . Pretende-se também que os alunos usem a calcula-dora, com as suas potencialidades gráficas ou com tabelas, para fundamentar as escolhas feitas para o valorx0 , em cada caso. Podem levantar-se questões idênticas para as funções g(x) = 3x e h(x) = (�10�)x .Indicamos, a título de exemplo, valores de x0 que os alunos podem apresentar:a) 10; 9,95 b) 44; 43,6 c) 144; 143,3 d) 286; 285,6

ATIVIDADE 5 Transformações geométricas (I) (pág. 17)

Esta atividade assenta em conhecimentos que os alunos já devem possuir, e o que pretendemos de novo é queos alunos reflitam sobre a influência dos vários tipos de transformação sobre a função exponencial, nomeada-mente no que respeita a contradomínio, monotonia e interseção com o eixo Oy .

No primeiro ponto também é importante que os alunos verbalizem o tipo de transformações efetuadas sobre ográfico de y = 3x .

1.

2. a) O professor pode aproveitar esta tarefa para realçar que é difícil obter «boas» representações gráficasdestas funções, bem como propor a apreciação de representações como as seguintes, todas da função g ,em diferentes janelas.

b) D ’v = IR– , t é decrescente, os gráficos de r , s e v não intersetam o eixo Oy em (0, 1) .Os gráficos só intersetam o eixo Oy em (0, 1) se c = 1 , independentemente do valor de k .O contradomínio é IR+ se c � IR+ ; a monotonia das funções desta família depende de «forma conjunta» dec e k .Se c · k � 0 então y = c · 3k x é crescente, e y = c · 3k x é decrescente se c · k � 0 .

3. Aplicando as conclusões que acabámos de resumir, apresentamos as famílias de funções que cumprem asexigências feitas. Os alunos podem limitar-se a apresentar exemplos concretos se o professor entender quenão há possibilidade ou vantagem em ir mais além.a) y = 3k x com k � 0b) y = � · 3k x com k � 0c) y = –2 · 3k x com k � 0

g�B

Translação definida por u�(0, –1) .

m�A

Simetria em relação a Oy .

h�D

Translação definida por v�(1, 0) .

s�F

Translação definida por u�(–1, 0) ,simetria em relação a Ox e trans-lação definida por v�(0, 2).

r�E

Simetria em relação a Ox e a Oyque equivalem a uma única sime-tria em relação à origem do refe-rencial.

12

p�C

Simetria em relação a Ox .

ATIVIDADE 6 Logaritmos (pág. 28)

Achamos importante que o aluno seja capaz de verbalizar o conceito de logaritmo de um número numa dadabase. Pensamos também que se deve solicitar ao aluno a redação da justificação apresentada em cada caso.

Exemplo:a) log1 3 seria a representação do número a que se deve elevar 1 para obter 3; esse número não existe pois 1 ele-

vado a qualquer número é sempre 1.b) log2 (–4) não existe pois, seja qual for o número a que se eleve 2, obtém-se sempre um número positivo, ou

seja, nunca se obtém –4.

ATIVIDADES 7 e 8 Propriedades dos logaritmos (I, II)(págs. 34 e 35)

Com estas atividades pretendemos que os alunos desenvolvam a capacidade de formular e testar hipóteses. Oprofessor tem também uma nova oportunidade para destacar a necessidade de, posteriormente, validar as conje-turas feitas.

Respostas:Atividade 7:b) 8 × 128 = 23 × 27 = 23 + 7 . Então, 3 + 7 = log2 (8 × 128) ⇔ log2 8 + log2 128 = log2 (8 × 128) .c) Uma possível explicação do aluno é:

«Procuro os números que estão por baixo de 256 e 8 que são, respetivamente, 8 e 3. A diferença entre 8 e 3 é5 e identifico o número que está por cima de 5, que é 32 e é o quociente de 256 por 8.

�25

86� = �

22

8

3� = 28 – 3

Então, 8 – 3 = log2 ��258

6��⇔ log2 256 – log2 8 = log2 ��25

86�� .»

Atividade 8:1. Em todos os casos, as expressões representam o mesmo número.2. Os alunos devem ser capazes de escrever afirmações equivalentes a:

log u + log v = log (u ×v ) ; ln u + ln v = ln (u · v )

log u – log v = log ; ln u – ln v = ln

O professor deve aproveitar para ressalvar a necessidade de exigir que u e v sejam números positivos.3. Mais uma vez, os resultados são iguais.4. A propriedade sugerida no ponto anterior será log u v = v log u e também ln u v = v ln u .

log2 24 = 4, por definição de logaritmo, e 4 log2 2 = 4 × 1 = 4.

log3 �3� = log3 3 = �12

� , por definição de logaritmo, e �12

� log3 3 = �12

� × 1 = �12

� .

u�v

1�2

u�v

13

ATIVIDADE 10 Qual é qual? (pág. 43)

1. Uma observação superficial dos gráficos não permite dar resposta a esta questão. É necessário fazer umaanálise mais profunda utilizando a ferramenta Zoom das calculadoras ou tabelas de valores. Também sepode sugerir a exploração dos gráficos das funções inversas de cada uma das funções f , g e h .

2. Identificando os gráficos no primeiro ponto desta etapa, apenas se pretende que os alunos façam um «trans-porte» do que analisaram e concluíram.a) log2 x = log3 x = log4 x ⇔ x = 1b) log2 x � log3 x � log4 x ⇔ x � 0 ∧ x � 1c) log2 x � log3 x � log4 x ⇔ x � 1

ATIVIDADE 11 Transformações geométricas (II) (pág. 44)

A atividade tem como objetivo consolidar o conhecimento da representação gráfica das funções logarítmicas,bem como reforçar as consequências gráficas de várias operações de composição de funções.

1. g�B h�E r�A s�D m�C

2.

É importante que os alunos reflitam sobre as razões que levam à alteração do domínio, contradomínio …

Funções g h r s m

Domínio ]–2, +�[ ]–�, 0[ ]0, +�[ ]0, +�[ IR\{0}

Contradomínio IR IR IR [0, +�[ IR

Zeros –1 –1 1 1 1 e –1

Equação da assíntota

x = –2 x = 0 x = 0 x = 0 x = 0

ATIVIDADE 9 Propriedades dos logaritmos (III) (pág. 38)

Para além dos resultados corretos, parece-nos desejável que os alunos explicitem o caminho percorrido em cada caso.a) loga (u � v ) = loga u + loga v = 3 + 2 = 5

b) logu a = �log

1

a u� = �

13

�

c) loga u 4 = 4 � loga u = 4 × 3 = 12

d) loga ��avu�� = loga v – loga (au) = loga v – loga a – loga u = 2 – 1 – 3 = –2

e) logv u = �lloo

gg

a

a

uv

� = �32

�

f) loga �u� = loga u = �12

� loga u = �12

� × 3 = �32

�

g) log�a� v = �log

lo

a

g

�a v

a�� = = = 4

h) loga ��1v

�� = –loga v = –2

2�

�12

�

2�

loga a�12�

1�2

14

ATIVIDADE 13 Iguais? (II) (pág. 45)

1. a) f (3) = g (3) , f (10) = g (10) e f (–1) = g (–1).b) Para f (x) ser diferente de g(x) escolhemos um valor para x que pertença ao domínio de f e não pertença

ao domínio de g . Tal é possível se x + 3 � 0 ∧ x + 2 � 0 , condição que é equivalente a x � –3 .2. a) f (3) e g (3) não existem.

f (10) e g (10) não existem.f (–1) = g (–1)

b) Não é possível encontrar x tal que f (x) g (x) . Se f (x) e g (x) existem, então são iguais.3. As funções f e g do 2.o ponto são iguais nos seus domínios de existência:

Df = Dg = ]–2, 3[ e ∀ x � ]–2, 3[ , f (x) = g(x)

ATIVIDADE 14 A função logística (pág. 61)

Para facilitar a resolução de problemas de modelação é importante perceber a influência de cada parâmetrono modelo.

a) �1 +

ca

� é a imagem de zero, ou seja, é a ordenada do ponto em que o gráfico interseta o eixo Oy .

c é o limite de f (x) quando x → +� , ou seja, y = c é assíntota do gráfico de f em IR+ .

b) Cada aluno vai obter o seu gráfico conforme os valores de a , b e c . Todos eles têm as retas y = 0 e y = ccomo assíntotas horizontais e não existem assíntotas verticais.

ATIVIDADE 15 Sucessões e mais sucessões (pág. 76)

Os alunos devem recordar a linguagem relativa a sucessões, bem como o conceito de sucessão convergente.No sétimo ponto é natural que se trabalhe o conceito de infinitésimo e, sendo variados os exemplos de suces-

sões (xn) apresentados pelos alunos, estes devem concluir que não é possível definir uma sucessão (an) que tendapara 2 e tal que f (an) não tenda para 3.

ATIVIDADE 12 Iguais? (I) (pág. 45)

Depois de interiorizarem as propriedades operatórias dos logaritmos, parece-nos importante que os alunos re-forcem a importância do domínio de existência na aplicação das propriedades.

a) f g ; g é a restrição de f a IR+ porque Df = IR\{0} e ∀ x � IR+ , ln x 2 = 2 ln x .

b) f = g, pois Df = Dg = IR+ e ln x 3 = 3 ln x .

c) f g ; g é a restrição de f a ]1, +�[ porque Df = ]–� , –1[ � ]1, +�[ e log ��uv��= log u – log v se u � 0 ∧ v � 0 .

d) f = g , pois Df = Dg = IR+ e ∀ x � IR+ , log2 ��2x�� = log2 x – log2 2 = log2 x – 1 .

Nota: Se a calculadora estiver no modo complexo, os gráficos em c) também são iguais.

15

ATIVIDADE 17 Estudo da convergênciade sucessões (pág. 89)

As sucessões (un) e (vn) tendem ambas para zero, mas (f (un)) é convergente para –1 enquanto que (f (vn)) é di-vergente. É importante que os alunos percebam as características das sucessões e da função que levam a esta di-ferença de comportamento.

A sucessão (wn) tende para –� e lim f (wn) = 0 porque limx → –�

f (x) = 0 .

ATIVIDADE 18 Sucessões por encomenda (pág. 89)

Há uma infinidade de respostas possíveis.1. A sucessão (un) pode ser qualquer sucessão convergente desde que não tenda para zero. Como h é contínua

em IR\{0} , se un → a (com a 0), então h (un) → h(a) .2. A sucessão (vn) deve ser um infinitésimo.3. A sucessão (wn) pode ser um infinitamente grande positivo ou negativo pois, se wn → +� , (wn ) é uma suces-

são divergente e (h (wn )) é convergente para zero; se wn → –� , (wn ) é uma sucessão divergente e (h (wn )) éconvergente para 1.

ATIVIDADE 16 Gráficos por encomenda (pág. 89)

As respostas dos alunos serão, certamente, variadas. As representações seguintes são exemplos de funçõesque cumprem as exigências feitas.

Também podem apresentar-se representações gráficas de funções que não cumpram alguma das exigênciasfeitas, para que os alunos identifiquem, em cada caso, qual a condição que não está satisfeita.

y

x0

1

3

21 3–2–3 –1

–2

–1

2

4

–3

y

x0

3

4

2

1

–1–2–3 32

1

–2

–1

–3

y

x0 2 31

1

2

3

4

–2–3

–1

–1

–2

–3

16

ATIVIDADE 21 Contínua no ponto c ? (pág. 120)

No primeiro gráfico, o ponto c nem sequer pertence ao domínio da função f . Na definição que vamos conside-rar só se refere a continuidade em pontos do domínio, mas parece-nos que este primeiro exemplo ajuda a escolhera opção correta para a frase I.

As frases seguintes devem ajudar os alunos a perceber o conceito de função contínua num ponto e tambémdevem contribuir para esclarecer a diferença entre condição necessária e suficiente.

As frases corretas são:I. Para que f seja contínua num ponto c é necessário que c pertença ao domínio de f .II. Para que f seja contínua num ponto c é necessário que exista lim

x → cf (x) .

III. Existir limx → c

f (x) não é condição suficiente para que f seja contínua no ponto c .

ATIVIDADE 19 limx → 0

�e x

x– 1� (pág. 106)

O que pretendemos, como é óbvio, não é uma demonstração de que limx → 0

�e x

x– 1� = 1 . Procuramos apenas que, com os

cálculos ou com a representação gráfica que se propõem, os alunos aceitem melhor o resultado que é habitual-mente referido como um dos limites notáveis.

Também nos parece importante que o professor destaque o facto de os cálculos feitos não terem valor dedemonstração, não só por apenas se considerarem alguns termos de qualquer das sucessões, mas também pornão ser possível esgotar o estudo da infinidade de infinitésimos que é possível considerar.

ATIVIDADE 20 O pudim da Sofia (pág. 120)

Os alunos já trataram informalmente o conceito de continuidade que nos preparamos agora para fundamen-tar com rigor. Por vezes, deixam-se iludir pela passagem do pudim da bancada para o frigorífico mas, em geral, ra-pidamente percebem que a temperatura só pode variar de forma contínua e, portanto, o gráfico não pode ter adescontinuidade que apresenta no ponto de abcissa 60.

17

ATIVIDADE 24 Soma de funções contínuase não contínuas num ponto (pág. 126)

Os alunos já sabem que a soma de duas funções contínuas num ponto também é uma função contínua nesseponto. Pretende-se agora que percebam que a soma de duas funções descontínuas num ponto pode ser uma fun-ção contínua nesse ponto e que a soma de uma função contínua com uma outra que não é contínua num ponto,nunca é contínua nesse ponto.

No que respeita ao terceiro ponto da atividade, os alunos devem ser capazes de fazer uma demonstração. Seriabom que explicitassem a hipótese e a tese e aplicassem a definição de continuidade de uma função num pontopara mostrar que a hipótese implica a tese.

Hipótese: A função f é contínua em a e a função g não é contínua em a .

Tese: A função f + g não é contínua em a .

Demonstração: Temos, por hipótese, que limx → a

f (x) = f (a) e, ou não existe limx → a

g (x) ou limx → a

g (x) g (a) .

A função f + g seria contínua em a se limx → a

(f + g )(x) = (f + g )(a) , o que não acontece. Se não existe limx → a

g (x) ,

também não existe limx → a

(f + g )(x). Se limx → a

g (x) g (a) então limx → a

(f + g) (x) = limx → a

f (x) + limx → a

g (x) e limx → a

f (x) +

+ limx → a

g (x) f (a) + g(a) , porque limx→a

f(x) = f (a) e limx→a

g(x) g(a) .

ATIVIDADE 22 Verdadeiro ou falso? (pág. 121)

Procuramos com esta atividade contribuir para esclarecer o conceito de continuidade de uma função numponto e relacionar a continuidade num ponto com a existência de assíntotas verticais. Se as condições na turma opermitirem, parece-nos preferível acrescentar ao enunciado «... sendo c um ponto do domínio da função f ». Paraalém de se criar mais uma exigência, parece-nos que essa condição também pode ajudar a desmistificar a ideia deque só podem existir assíntotas verticais em pontos que não pertencem ao domínio da função.

As afirmações I e II são verdadeiras e a afirmação III é falsa.

ATIVIDADE 23 «Missão impossível» (pág. 122)

Depois de ser dada a definição formal de continuidade de uma função num ponto, esta atividade permite queprofessores e alunos avaliem o grau de interiorização que já se conseguiu atingir.

No caso da alínea a), a impossibilidade de esboçar o gráfico de uma função contínua no ponto 1 decorre de 1 nãopertencer ao domínio da função. No caso da alínea b), não é possível definir uma função contínua no ponto 2 por-que não existe limite de f (x) quando x tende para 2. No caso da alínea c), a função não pode ser contínua no ponto–1 porque o valor do limite de f (x) quando x tende para –1 é diferente de f (–1) .

Os alunos devem fazer esboços de funções de acordo com as exigências de cada alínea e perceber como se tra-duz a descontinuidade em termos da representação gráfica.

18

ATIVIDADE 25 Prolongamentos (pág. 127)

Só no caso da função g é possível definir um prolongamento a IR que seja uma função contínua. Essa funçãopode ser definida por:

No caso da função f , não é possível definir um prolongamento que seja uma função contínua em –1 porque nãoexiste lim

x→–1f(x) . A situação é idêntica no caso da função h .

Os alunos percebem facilmente, a nível da representação gráfica, a impossibilidade de definir um prolonga-mento de f e de h a IR que sejam funções contínuas no ponto –1. Parece-nos desejável que essa impossibilidadetambém seja traduzida analiticamente, referindo os valores dos limites laterais no ponto –1.

ATIVIDADE 26 À procura de funções (pág. 132)

No que respeita às duas primeiras tarefas há, por vezes, necessidade de realçar junto dos alunos que não se es-tão a fazer imposições acerca da continuidade. Ao se exigir a continuidade, os alunos apercebem-se de que as ta-refas pedidas nos primeiro e segundo pontos são impossíveis de realizar.

O professor deve estar atento às tentativas feitas pelos alunos pois, muitas vezes, estes fazem representaçõesgráficas de correspondências que não são funções.

ATIVIDADE 27 Assíntotas oblíquas (pág. 148)

Tão importante como saber escrever a equação reduzida de uma assíntota oblíqua do gráfico de um função,é saber reconhecer graficamente a sua existência.

Os gráficos que apresentam assíntotas oblíquas são os das funções g , i e j . O conceito formal de assíntotaoblíqua ainda não foi apresentado e o professor pode aproveitar as explicações/justificações dos alunos para che-gar ao conceito formal de assíntota oblíqua do gráfico de uma função.

A experiência que os alunos têm acerca de assíntotas reflete, frequentemente, a convicção de que uma assíntotanão pode intersetar o gráfico da função. Os exemplos apresentados podem ajudar a esclarecer o facto de essa seruma ideia errada.

g (x) se x � –1g1(x) = �–1 se x = –1

19

ATIVIDADE 28 Várias formas de crescer (pág. 201)

Pretende-se, com esta atividade, relacionar o sinal da segunda derivada de uma função com o sentido da con-cavidade do seu gráfico, através do estudo da variação da primeira derivada. Parece-nos importante que os alunosnunca esqueçam que a segunda derivada de uma função f é a primeira derivada da função derivada de f (f ’) .

I. Ao esboçar os gráficos no ponto I , os alunos percebem que, no caso da alínea a), a concavidade do gráficoestá virada para baixo e, no caso da alínea b), a concavidade está virada para cima.

No caso da alínea a), se pensarmos nas retas tangentes ao gráfico, em cada ponto, quando se percorre o grá-fico da esquerda para a direita, é evidente que os seus declives (sempre positivos) vão diminuindo. Tal factotraduz que f ’ é decrescente e, portanto, a sua derivada, f ’’ , é negativa.No caso da alínea b), pelo contrário, os declives (também positivos) estão a aumentar, o que significa que f ’ écrescente e, portanto, a sua derivada, f ’’ , é positiva.

II. No caso de f ser uma função crescente, os alunos são então levados a concluir que, nos intervalos em que aconcavidade do gráfico está virada para baixo, a segunda derivada é negativa, sendo positiva nos intervalosem que a concavidade do gráfico está virada para cima.

III. As conclusões que relacionam o sentido da concavidade do gráfico de f com a monotonia de f ’ e o sinalde f ’’ são idênticas para funções crescentes e decrescentes. No caso das funções decrescentes, é precisomais cuidado na análise da variação dos declives das retas tangentes porque estamos, nesse caso, a lidarcom números negativos.

IV. Se uma função cresce de modo constante, o seu gráfico é uma reta e a segunda derivada é constantementenula. Nesse caso, não falamos em sentido da concavidade do gráfico da função.

Gráficode f

Sinalde f ’’

�

–

�

+

20

Trigonometriae Números Complexos

ATIVIDADE 1 As funções seno e cosseno em [0, 2�] (pág. 19)

Apesar de os gráficos poderem ser obtidos na calculadora ou observados no manual, parece-nos que o facto depedir aos alunos para os reproduzirem, exige que tenham atenção aos zeros, maximizantes e minimizantes, ouseja, aos pontos notáveis dos gráficos. É também importante que o professor observe nas representações gráficasdos alunos a ausência de «pontos angulosos».

O resumo que é pedido aos alunos pode ser confirmado no manual, nas páginas seguintes.

ATIVIDADE 2 Transformações de gráficos (I): y = b sen (x + d ) (pág. 24)

Embora os alunos possam obter os gráficos com a calculadora, deve exigir-se a descrição das transformaçõesdo gráfico da função seno que permitem obter cada um dos gráficos pedidos, bem como assinalar nos gráficos ascoorde nadas dos «pontos notáveis». Pensamos que se deve aceitar a linguagem informal do «estica» ou «achata»nos casos das funções das alíneas d) e e), que são as únicas que não mantêm o contradomínio da função seno.Todas as funções têm o mesmo período da função seno.

ATIVIDADE 3 Transformações de gráficos (II): y = a + b cos (x + d ) (pág. 24)

Embora seja desejável que os alunos desenvolvam a sua autonomia, e sem querer limitar-lhes a livre iniciativa,pensamos que o professor deve insistir para que cada aluno explique o raciocínio que lhe permitiu encontrar a fun-ção adequada em cada caso. Mesmo quando os alunos não tomam à partida uma atitude consciente, ela acabapor surgir da necessidade de irem fazendo alterações nos parâmetros.

Dentro do modelo escolhido, as respostas são:

a) x � –2 cos x ou x � 2 cos (x – �) b) x � cos �x – �c) x � 2 + cos x d) x � 2 – cos x ou x � 2 + cos (x – �)

��4

1�2

1�2

TRIGONOMETRIA

22

ATIVIDADE 4 Transformações de gráficos (III) (pág. 25)

Pretendemos com esta atividade que os alunos concluam que o período das funções x � sen (cx) e

x � cos (cx) é e que o período de x � tg (cx) é (com c ≠ 0) .

1. e 2. Quando os alunos reproduzem os gráficos nos seus cadernos, é natural que tomem consciência do con-tradomínio e período de cada uma das funções. Todas têm contradomínio [–1, 1] . O período de g é � , o de h

é e o de r é 4� .

3. Permitindo que os alunos utilizem a calculadora para confirmar as hipóteses que vão colocando, é natural

que cheguem às respostas corretas: s tem período , t tem período 8� e u tem período .

4. As respostas devem ser:

a) �1

5� b) 12 c) 2� d) �

6. O nível de exigência na validação das conjeturas será decidido pelo professor. No exemplo 1 da página se-guinte é apresentada a verificação usualmente feita nestes casos.

ATIVIDADE 5 Ao sabor das marés (pág. 25)

1. Aceitando a sugestão feita na margem (considerar o gráfico num referencial com origem (8,8; 4) ), os alunos começam por descobrir uma função da família y = b sen (cx) que se adapte ao gráfico. Atendendo a que, nessereferencial, o contradomínio é o intervalo [–2, 2] , tem-se b = 2 . Para descobrir o valor de c , identifica-se operíodo e utilizam-se as conclusões da atividade anterior. Com a aproximação que o gráfico permite, obtemos

12,4 para valor do período e, como = 12,4 , concluímos que c � 0,5 .

Voltando ao referencial inicial, podemos afirmar que y = 2 sen (0, 5 (x + 8,8)) + 4 ⇔ y = 2 sen (0,5x + 4,4) + 4 éum modelo aceitável para descrever a situação descrita no gráfico da figura, como os alunos podem confir-mar usando a calculadora gráfica.

2. Tendo em atenção que os dados são reais e que, portanto, não é natural que se ajustem perfeitamentea uma lei, a função y = 2,1 – 0,55 sen (0,5x – 0,75) é um modelo aceitável…

3. Neste ponto, os alunos devem procurar sistematizar as conclusões que foram obtendo e aplicando nas ativi-dades anteriores:

• O valor de a desloca o gráfico da função seno para cima ou para baixo, consoante é positivo ou negativo, e

tem-se a = �mín. +

2máx.� .

• O valor de b «estica» ou «encolhe» o gráfico da função seno, consoante o seu módulo é maior ou menor do

que 1. É ele que determina a amplitude do contradomínio e tem-se b = �máx.

2– mín.� .

• O valor de c determina o período da função e já vimos que o período das funções desta família é igual a .

• O valor de d tem a ver com a deslocação do gráfico segundo o eixo Ox e, determinados todos os outros

parâmetros, pode ser calculado utilizando as coordenadas de um ponto que faça parte do gráfico da função.

��|c |

2��|c |

��2

2��3

��3

2��

c

2��|c |

23

ATIVIDADE 6 Expressão de sen ( + �) (pág. 29)

Como a fórmula que obtivemos no 11.o ano para cos ( – �) já foi certamente esquecida, optámos por outra viapara sugerir uma fórmula idêntica para sen ( + �) .

Os resultados das alíneas a) e b) obtêm-se de modo idêntico, considerando os catetos dos triângulos indicadoscomo base e altura e usando as razões trigonométricas. Na alínea c), toma-se A�C� para base e B�E� para altura.

A igualdade da alínea d) é consequência de cos = A�D� e cos � = .

A igualdade da alínea e) obtém-se utilizando a sugestão e os resultados anteriores:

Área �[ABC] = Área �[ADC] + Área �[ABD] ⇔ �12

� A�B� sen ( + �) = �12

� sen cos + �12

� A�B� 2 sen � cos � ⇔

⇔ sen ( + �) = sen cos + sen � cos � ⇔ sen ( + �) = cos � sen + cos sen �

ATIVIDADE 7 A mesma igualdade,um outro caminho (pág. 29)

A fórmula foi obtida no 11.o ano recorrendo à expressão do produto de vetores num referencial ortonormado. Podemos chegar ao mesmo resultado pelo caminho sugerido no segundo ponto da atividade.

NÚMEROS COMPLEXOS

ATIVIDADE 8 Onde se aceita �–�1� (pág. 65)

Os alunos devem efetuar as operações indicadas sem utilizar a calculadora. Se o professor achar oportuno, po-dem recordar a fórmula do binómio de Newton. Nesta altura, os alunos ainda não conhecem o número i e, portanto, devem utilizar �–�1� .

(2 + �–�1�)3 = (2 + �–�1�)2 × (2 + �–�1�) = (4 + 2 × 2 × �–�1� + (�–�1�)2) × (2 + �–�1�) = (4 + 4�–�1� – 1) × (2 + �–�1�) =

= (3 + 4�–�1�) × (2 + �–�1�) = 6 + 8�–�1� + 3�–�1� + 4 × (–1) = 2 + 11 × �–�1� = 2 + �–�12�1�

ATIVIDADE 9 Com números conjugados (pág. 71)

Pretende-se com esta atividade que os alunos concluam e provem que a soma e o produto de números com-plexos conjugados é sempre um número real.

3. Os alunos devem afirmar que a soma de um número complexo com o seu conjugado é o dobro da sua partereal e que o produto de um número pelo seu conjugado é a soma do quadrado da sua parte real com o qua-drado do coeficiente da parte imaginária.

4. Por exemplo:a) 20 = 5i × (–4i ) , 10 = –2i × 5i b) 20 = (4 + 2i ) × (4 – 2i ) , 10 = (3 + i ) × (3 – i )

cos �cos �

cos ��cos

A�D��

A�B�

24

ATIVIDADE 10 Será verdade que…? (pág. 72)

Optámos por desenvolver esta atividade antes de trabalhar com a calculadora no modo complexo, mas é claroque nenhum prejuízo resulta se o professor achar conveniente explicar aos alunos como podem usar a calcula-dora para efetuar os cálculos que acharem necessários.

1. A afirmação é falsa pois a soma de dois imaginários puros de coeficientes simétricos é o número real zero. Seos imaginários puros não são simétricos, então a sua soma também é um imaginário puro.

2. A afirmação é verdadeira pois o produto de dois imaginários puros é sempre um número real: (ai ) × (bi) = –ab � IR ,pois a e b são números reais (não nulos).

3. A afirmação é falsa: (2 + 3i ) + (4 – 3i ) = 6 e 2 + 3i e 4 – 3i não são números reais nem são números complexosconjugados.

4. A afirmação é verdadeira. Por exemplo: �42

++

2ii

� = 2 .

5. A afirmação é falsa. Se fosse verdadeira, o quadrado de um imaginário puro seria um imaginário puro, o queé falso pois o quadrado de um imaginário puro é um número real.

ATIVIDADE 11 Potências de expoente inteirodo número i (pág. 72)

Tal como no caso anterior, pensamos que esta atividade deve ser desempenhada sem recorrer à calculadorano modo complexo.

Como é frequente os alunos não se lembrarem do algoritmo da divisão inteira, pode ser uma oportunidadepara recordar o referido algoritmo ou deixar que os alunos usem a calculadora para criar soluções alternativas,que permitam determinar o resto da divisão inteira de um número natural por quatro.

ATIVIDADE 12 Números complexos no plano (pág. 77)

1. O ponto Q obtém-se a partir de P por simetria em relação ao eixo real. No que respeita ao ponto R , os alunostanto podem indicar que ele se obtém a partir de P por simetria em relação à origem do referencial, comopor meio de uma rotação de centro na origem do referencial e amplitude �180o.

2. Como as imagens vetoriais dos números complexos são, em geral, representadas por vetores aplicados naorigem do referencial, é mais comum utilizar a regra do paralelogramo para efetuar a adição dos dois veto-res. É fácil concluir que, à adição de números complexos, corresponde a adição dos vetores que os repre-sentam.

3. O vetor soma de dois números complexos conjugados é um vetor que pode ser representado sobre o eixoreal. É, portanto, a imagem vetorial de um número real.

e.i.

e.r.O

Q

S

P

e.i.

e.r.O

Q

S

P

z OP

z OQ

z + z OS

25

26

ATIVIDADE 13 Complexos e vetores (pág. 78)

1.

Tem-se OQ→

= 2 × OP→

e OR→

= –3 × OP→

. Os vetores OS→

e OT→

têm a norma de OP→

e são ambos perpendicula-res a OP

→. O primeiro obtém-se por uma rotação de 90° no sentido positivo e o segundo por uma rotação de

90° no sentido negativo.2. Têm de ser vetores colineares.3. Têm de ser vetores perpendiculares.

ATIVIDADE 14 Coordenadas cartesianas e coordenadas polares (pág. 80)

1. Tomando O�A� para unidade, tem-se: A (1, 0) , B (0, 1) , C (–1, 0) , D (0, –1) , E ���2

2�� , �

�2

2��� , F �– �

�2

2�� , �

�2

2��� ,

G �– ��

2

2�� , – �

�2

2��� e H ���2

2�� , – �

�2

2���.

Se tomarmos para unidade, tem-se: A(�2�, 0) , B(0, �2�) , C(–�2�, 0) , D(0, –�2�) , E (1, 1) , F (–1, 1) ,

G (–1, –1) e H (1, –1) .

2. Tomando O�A� para unidade, tem-se: A (1, 0) , B �1, � , C (1, �) , D �1, � , E �1, � , F �1, � ,

G �1, � e H �1, � .

ATIVIDADE 15 Coordenadas polares e operaçõessobre complexos (pág. 81)

Com esta atividade pretendemos preparar os alunos para trabalhar com números complexos na forma trigo-nométrica, que não é senão trabalhar com pontos dados em coordenadas polares.

Deve incentivar-se os alunos para trabalharem com régua, compasso e transferidor.

5��4

7��4

��2

3��2

��4

3��4

F�E��

2

Q

e.i.

e.r.O

S

T

P

R

51-15

-6

-2

2

1

4

5

10

1. Os alunos já sabem que Q é simétrico de P em relação a Ox e R é simétrico e P em relação à origem doreferencial.

Q ��2, – � e R �2, �

2. L �2, � ; M �2, � e N �2, – �As experiências efetuadas com os alunos mostram quemuitos têm alguma dificuldade em desempenhar esta ta-refa, sendo muito comum desenharem um retângulo de la-dos paralelos aos eixos coordenados.Deve procurar-se que os alunos recordem propriedades dosquadrados que possam ser úteis, nomeadamente, nestecaso, que as diagonais são perpendiculares e iguais.

3. Utilizando a representação geométrica, os alunos devem concluir que �6, � � 3z , �2, � � iz e

�2, �� –z� .

4. Os pontos de coordenadas � , � estão sobre a semirreta y = �3�x ∧ x � 0 que faz um ângulo de radianos

com o semieixo positivo Ox .

Os pontos de coordenadas (2, θ) estão sobre a circunferência de centro na origem e raio 2.

ATIVIDADE 16 De coordenadas cartesianas para coordenadas polares e vice-versa (pág. 81)

A base desta atividade deve ser sempre a representação geométrica e, se necessário, as razões trigonométri-cas seno, cosseno ou tangente.

1. A �4�2�, � , B (2, �) , C �3, – � , D �3�2�, � , E �2�3�, – �2. P (0, 3) , Q �2 cos , 2 sen � = (–�2�, –�2�) , R �4 cos , 4 sen � = (2, 2�3�) e

S �2 cos �– � , 2 sen �– �� = (�3�, –1)

ATIVIDADE 17 Sobre o que deve ser (quase) imediato (pág. 83)

Estamos convictos de que a passagem da representação algébrica para a representação trigonométrica de umnúmero complexo (e vice-versa) deve apoiar-se sempre na representação geométrica. Essa convicção tem parti-cular relevância quando os números complexos são reais, imaginários puros ou quando têm a parte real e o coefi-ciente da parte imaginária com valores absolutos iguais.

4��3

��3

��6

4��3

5��6

5��6

��3

2��3

��3

��3

��3

3��4

��2

��4

��3

��3

5��4

5��4

��6

��6

P

N

M

L

0 x

y

27

É nessa perspetiva que propomos a presente atividade.

III. As frases devem ter a redação seguinte, ou qualquer outra que seja equivalente:

1. Se um número complexo é real, então a sua imagem geométrica está sobre o eixo Ox . O seu argumentoprincipal é zero ou � , conforme o número é positivo ou negativo.

2. Se um número complexo tem argumento ou – , então a sua imagem geométrica está sobre o eixo

imaginário ( Oy) . A parte real do número é zero e o número complexo é um imaginário puro.

3. z = cis θ é real se e só se θ = k�, k � ZZ

z = cis θ é imaginário puro se e só se θ = + k�, k � ZZ

4. Se um número complexo tem a sua imagem geométrica sobre a reta de equação y = x , então o seu argu-

mento principal é ou – . E se um número complexo tem argumento θ = – + k� , com k � ZZ , então a

sua imagem geométrica pertence à reta de equação y = –x que é a reunião das bissetrizes dos quadrantespares.

III. Tendo em conta a representação geométrica, a resposta deve ser:a) Qualquer número com imagem na parte negativa do eixo Ox , ou seja, qualquer número real negativo.b) Qualquer número com imagem na bissetriz do 4.o quadrante: a – ai , com a � 0 .c) Qualquer número com imagem na parte negativa do eixo Oy , ou seja, um imaginário puro com o coefi-

ciente de parte imaginária negativo: bi , com b � 0 .d) Qualquer número com imagem na bissetriz do 3.o quadrante: a + ai com a � 0 .

III. Mais uma vez, pensamos que os alunos devem considerar a representação geométrica dos números com-plexos para dar a resposta pedida:a) 5�A (5, 0) b) –2i�B (0, –2) c) –1 + i�C (–1, 1) d) �

2i��D �0, �

12

��

•OA∧ •

Ox = 05 = 5 cis 0 –2i = 2 cis � � –1 + i = �2� cis � � �

2i� = �

12

� cis � �

ATIVIDADE 18 Tantas raízes! (pág. 98)

O professor deve certificar-se de que os alunos estão recordados do conceito de polígono regular e de que sãocapazes de tirar partido das suas características.

1. zA = cis 0 , zB = cis � � , zC = cis � �zD = 2 cis � � , zE = 2 cis � + � = 2 cis � � , zF = 2 cis � – � = 2 cis �– �zG = 2 cis 0 , zH = 2 cis � � , zI = 2 cis � � , zJ = 2 cis � � e zK = 2 cis � �

��2

��2

3��4

3��2

3��4

��4

��4

��2

��2

4��3

2��3

��6

2��3

��2

7��6

2��3

��2

��2

8��5

6��5

4��5

2��5

y

x0A

ρ = 5

B

ρ = 2

y

x0

3π—2

Cρ = 2

3π—4

y

x0–1

1

ρ = 1—2

π—2

y

x0

D

28

2. Os alunos devem ser capazes de concluir que zA , zB e zC são três raízes de índice três de 1. É uma conse-quência da definição de raiz de índice n de um número que deve estar sempre presente.

3. e 4. zD , zE e zF são três raízes de índice três de –8i e zG , zH , zI , zJ e zK são cinco raízes de índice cincode 32.

ATIVIDADE 19 Condições e conjuntos (pág. 108)

Os conceitos de módulo e argumento de um número complexo devem ser suficientes para os alunos desempe-nharem as tarefas propostas nesta atividade, antes de entrar no campo da sistematização dos conceitos. A siste-matização é importante (e fundamental para os alunos menos perspicazes), mas muitas vezes «adormece» acapacidade de os alunos estabelecerem relações entre conceitos.

1. Para além da representação no plano complexo, os alunos devem habituar-se a usar linguagem matemática:a) Circunferência de centro na origem e raio 3.b) Círculo de centro na origem e raio 2.c) Exterior do círculo de centro na origem e raio 4 (circunferência não incluída).d) Coroa circular de centro na origem definida pelas circunferências de raios 1 e 3.

2. É comum os alunos passarem os números para a forma algébrica para então os representarem no plano.Não nos parece haver vantagem nesse procedimento que consideramos, frequentemente, desaconselhável.O lugar geométrico a que pertencem todas as imagens é semirreta de origem em O e pontos no 1.o qua-drante, que tem inclinação 60o (ou declive �3�).

5. a) |z | = �2� b) arg z = + , k � ZZ

c) |z | � 2 ∧ – � arg z � d) |z | � �12� ∧ � arg z �

Deve discutir-se com os alunos a escolha dos argumentos, confrontando-os, por exemplo, no caso da alínea d),com a escrita � arg z � – que está, evidentemente, errada.

ATIVIDADE 20 Translações (pág. 117)

1. A figura obtida seria uma circunferência de centro Zo (2, 3) e raio 2, que pode ser definida, em CI , por:

|z – zo| = 2 ⇔ |z – 2 – 3i | = 2

2. Para deslocar o centro, de A (1, 0) para B (–2, 1), temos de aplicar a translação definida por AB→

= (–3, 1) .

k��2

��4

11��

6��6

5��4

��4

��6

��6

e.i.

e.r.0

1

1–2 –1

29

Conforme a natureza das atividades, apresentamos as respostas que achamos adequadas ou apenas algumassugestões.

TEMA 1

1. Sem perda de generalidade, vamos supor que a aldeia tem 100 habitantes. Então, há 90 que bebem chá, 80que bebem café, 70 que bebem uísque e 60 que bebem gim.Como ninguém consome as quatro bebidas e 90 + 80 + 70 + 60 = 300 , concluímos que todos bebem, exata-mente, três bebidas. Logo, todos bebem, pelo menos, uma bebida alcoólica.A percentagem de pessoas da aldeia que consome bebidas alcoólicas é 100%.

2. O aluno deve estudar todas as possibilidades para verificar qual a distribuição de bolas que oferece maiorprobabilidade de ganho (p ) .

p = �12

� × �12

� + �12

� × 0 = �14

�

p = �12

� × �23

� + �12

� × 0 = �13

�

p = �12

� × �13

� + �12

� × 1 = �23

�

p = �12

� × �12

� + �12

� × �12

� = �12

�

p = �12

� × 0 + �12

� × 1 = �12

�

Podemos agora afirmar que o jogador tem maior probabilidade de ganhar se colocar todas as bolas verdes numa

caixa e uma bola encarnada em cada uma das duas caixas, sendo �23

� a probabilidade de ganhar com essadistribuição das bolas.

De modo idêntico se conclui que, no caso de se jogar com três bolas verdes, três bolas encarnadas e três caixas,o jogador tem maior probabilidade de ganhar colocando as três bolas verdes numa caixa e uma bola encarnada

em cada uma das três caixas. A probabilidade de ganho, nesse caso, é �34

� .

Quando jogamos com 2n bolas, n verdes e n encarnadas e n caixas, obtém-se a maior probabilidade de ganharcolocando todas as bolas verdes numa caixa e uma bola encarnada em cada uma das n caixas. A probabilidade

de ganhar com essa distribuição é �n

n+ 1� , que tende para 1 quando n → +� .

3. A probabilidade de o rato ser branco ou de o rato ser preto é �16

� , e a probabilidade de ser cinzento é �23

� .

4. São sete bolas brancas e duas vermelhas. Podemos argumentar de várias maneiras.Uma sugestão:• O número de bolas brancas tem de ser maior ou igual a 4. • Se fossem cinco ou seis bolas brancas, a variável poderia tomar o valor 0 ou 1, o que não acontece.• Se o número de bolas brancas for maior ou igual a 8, a variável não pode tomar o valor 2, que faz parte

dos valores que a variável pode tomar.Então, o número de bolas brancas é 7.Sendo 7 o número de bolas brancas:• Tem de haver pelo menos duas bolas vermelhas para a variável poder tomar o valor 4.• Não pode haver mais de duas bolas vermelhas pois, nesse caso, a variável tomaria valores superiores a 4, o

que não acontece.Então, o número de bolas vermelhas é 2.

VVEE

EE V V

VE VE

V VE E

V VEE

30

ATIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO E CURIOSIDADES

5. Parece-nos sensato que os alunos comecem por fazer contagens diretas em vários polígonos que vão desenhando,calculando então a probabilidade pedida. De um modo geral, conseguem concluir que, no caso de o polígonoser um pentágono, podem desenhar-se dez triângulos e, desses dez triângulos, há cinco cujos vértices são vérti-ces consecutivos do pentágono. Ou seja, um polígono com cinco lados é uma solução do problema.Para responder à segunda parte da atividade, apresentamos duas hipóteses:• Os alunos argumentam que a probabilidade vai diminuindo, pois o número de casos possíveis aumenta

mais rapidamente do que o número de casos favoráveis.

• Os alunos mostram que a equação p = �12

� só admite a solução 5, sendo p a probabilidade do aconteci-

mento em causa, num polígono de n lados:

p = �12

� ⇔ = �12

� ⇔ = �12

� ⇔ = �12

� ⇔ n = 5

6. A frase a que nos referimos é: «O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. O que há é poucagente para dar por isso.»

TEMA 2

5. a) O gráfico de f + g pode ter, ou não, assíntotas verticais.• Todas as assíntotas verticais distintas dos gráficos de f e g são assíntotas verticais do gráfico de f + g .• Se a reta de equação x = a é assíntota dos gráficos de f e de g , pode, ou não, ser assíntota do gráfico de f +g .

Exemplos:A reta de equação x = 1 é assíntota dos gráficos de f e g , sendo:

⎧ �x –

11

� se x 1 ⎧ 2 – �x –

11

� se x 1f (x) = ⎨ e g(x) = ⎨

⎩ 2 se x = 1 ⎩ 1 se x = 1

e não é assíntota do gráfico de f + g .

Se considerarmos a função f do exemplo anterior e sendo g definida por:

já se tem que a reta de equação x = 1 é assíntota dos gráficos de f , g e f + g .

b) O gráfico de f + g pode ter, ou não, assíntotas não verticais.• Se, por exemplo, f (x) = e x e g(x) = e –x , os gráficos de f e de g admitem como assíntota a reta de equa-

ção y = 0 , e o gráfico de f + g não tem assíntotas não verticais.• Se os gráficos de f e g admitem, ambos, uma assíntota não vertical em IR+ (ou em IR–) , então o gráfico de

f + g também admite uma assíntota não vertical em IR+ (IR–) e tem-se: se a reta de equação y = mx + b éassíntota do gráfico de f e a reta de equação y = m’x + b’ é assíntota do gráfico de g , então a reta deequação y = (m + m’ )x + b + b’ é assíntota do gráfico de f + g .

7. Os alunos sabem que a igualdade 1 + x + x2 + … = �1 –

1x

� só é válida para –1 � x � 1 , tendo sido aplicada para x = 3 .

Os alunos podem aproveitar para investigar o que é um método iterativo e o que é a soma de uma série.Quanto aos comentários dos alunos… são sempre surpreendentes!

6��(n – 1) × (n – 2)

n × (n – 3)! × 3!��

n!n

�nC3

⎧ �x –

31

� se x 1g(x) = ⎨

⎩ 2 se x = 1

31

TEMA 3

2. a) Seja BÂD = , CÂB = � e A�B� = x ; – � é tanto maior quanto maior for a sua tangente.

tg ( – �) = = = �x 2

2+x

3� toma o valor máximo quando x = �3� .

Deves colocar-te a �3� metros da parede, ou seja, a 1,7 metros (aproximadamente).b) Esta questão é idêntica à anterior. A posição ideal é a �2� metros da parede.

c) A soma dos ângulos de visão �tg–1 ��1x

�� + tg–1 ��6 –2

x��� , é máxima quando x tende para zero, o que significa

que o disc-jockey estaria encostado a uma das paredes e, portanto, não tinha visão para um dos plasmas.

A diferença dos ângulos é mínima quando �tg–1 ��1x

�� + tg–1 ��6 –2

x��� toma o valor mínimo. Recorrendo à cal-

culadora, conclui-se que o mínimo da função é atingido quando x = 2 . Ou seja, a posição ideal é a 2 metros doplasma que tem 1 metro de altura e, consequentemente, a 4 metros do plasma que tem 2 metros de altura.Os alunos devem apresentar esquemas, bem como os gráficos obtidos com a calculadora.

3. a) Atendendo a que o volume do cilindro é V (2�) = 160� e que o raio da base é 4 metros, conclui-se que ocomprimento do depósito é 10 metros.

b) Área do setor circular = 8x

Área do triângulo branco = = 8 sen x

Área da região colorida = 8x – 8 sen x = 8 (x – sen x)

c) Corresponde a tomar V = área da base × altura

5. a) f ( + �) = cis ( + �) = cis × cis � =*= f () × f (�)

f ’() = (cis )’ = (cos + i sen )’ = –sen + i cos = i (i sen + cos ) = = i cis = if ()

b) g ( + �) = ei( + �) = ei + i� = ei × ei� = g () × g(�) g ’() = (ei )’ = i × ei = ig ()

7. A expressão representa o perímetro do polígono [A0A1A2 … An – 1] . Trata-se de um polígono regular de n la-

dos que medem 2�n � sen � � .

Quando n tende para +� , o polígono cujos vértices são as raízes de índice n de cis θ tende para uma cir-cunferência de raio 1. O perímetro do polígono tende, portanto, para 2� , que é o perímetro de uma circunfe-rência de raio 1.

8. �n1� = cis � � , k = 0, 1, 2, …, n – 1

n – 1

Σk = 0

cis � � = cis 0 × cis × cis × … × cis = cis �0 + + + … + � **=

(*) Como foi demonstrado na página 88 do manual aplicando a fórmula da soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética.(**) A expressão cis ((n – 1)�) representa o número 1 se n é ímpar e o número –1 se n é par. Está então demonstrado que o produto das n

raízes de índice n de 1 é igual a 1 ou a – 1 .

��n

8 sen ��2x

�� × 4 cos ��2x

�����

2

2(n – 1)��

n4��

n2��

n2(n – 1)��

n4��

n2��

nk 2��

n

k 2��

n

�3x

� – �1x

�

��

1 + �x3

2�

tg – tg ���1 + tg tg �

A Bx

C

D

2

1

β

α - β

α

limn → +� �2n�

n � sen � �� = 2 lim

n → +� �1n� × lim

n → +� �n sen � = 2 × 1 × limn → +�� × × n� = 2 × 1 × � = 2�

sen ���

n��

����

n�

��n

��n

��n

= cis � �× n = cis ((n – 1)�)0 + �

2(n –n

1)��

��2

32