8/16/2019 Annexe Analyse Vectorielle

1/4

UNIVERSITE IBN ZOHR     Année 2008/2009FACULTÉ DES SCIENCESDÉPARTEMENT DE PHYSIQUEAGADIR 

Annexe

Analyse vectorielleModule ‘’Phy!"ue #’’ $% Electricité 2’’

Se&'!o(  SMP #) SMC #

L'étude de l'électromagnétisme fait usage d'un certain nombre d'outils d'analyse vectorielle. L'objet decette annexe est de raeler sans démonstration ces outils! "uel"ue relations utiles et leurs exressions.

*+ DEFINITIONS ET THEOREMES FONDAMENTAU,

*+ * Po'e('!el &-l-!.e

  #ans un esace affine E  $ trois dimensions! on aelle potentiel scalaire! toute alication "ui! $ un oint %de E  fait corresondre un nombre réel &%(. &ne surface équipotentielle définie ar &%( ) * est un ensemblede oints our les"uels &%( rend une valeur donnée *.

*+ / Ch-01 de 2e&'eu.  #ans un esace affine E ! on aelle champ de vecteurs! toute alication "ui! $ un oint % de E  fait

corresondre un vecteur E%( de l'esace vectoriel associé $ E . Les lignes de champ sont les courbes de E  telles"u'en tout oint le vecteur E%( leur soit tangent.

*+ # C!.&ul-'!o( d3u( 2e&'eu.  A%( désignant le vecteur c+am au oint % et dM un vecteur délacement élémentaire "uelcon"ue de %!on aelle circulation élémentaire de A%( le roduit scalaire

δ , ) A%(+ dM

 L étant un arcours "uelcon"ue entre les oints a et b de E  et le c+am de vecteurs A%( étant défini et continuen tout oint de L! on aelle circulation de A%( sur le arcours L l'intégrale curviligne

*+ 4 Flu5 d3u( 2e&'eu.  -oit une surface élémentaire d- localisée en % définie ar son vecteur surface dS ) d- (! ( étant le vecteur unitaire suivant la normale $ d-. n aelle flux du vecteur A%( $ travers d- le roduit scalaire

dφ ) A%(+ dS ) d- A%(+ (

  - étant une surface définie en c+acun de ses oints ar le vecteur unitaire normal (%(! (%( est unefonction vectorielle continue et le flux de A%( $ travers - s'écrit

L'orientation de (%( est arbitraire et de celleci déend le signe du flux du vecteur A%( $ travers lasurface -. #ans le cas d'une surface fermée on oriente généralement la normale vers l'extérieur.

*+ 6 Th7o.80e d3O'.o9.-d:!  ,onsidérons un domaine D de l'esace affine E ! dans le"uel le c+am de vecteurs A%( est défini en tout

8/16/2019 Annexe Analyse Vectorielle

2/4

 oint. -oit une surface fermée -! caractérisée en c+acun de ses oints ar le vecteur unitaire (%(! et délimitantun volume 1 de D.l existe alors une fonction scalaire div A%(! aelée divergence de A%( au oint %! définie en tout oint dudomaine D! telle "ue

d1 est l'élément de volume centré sur le oint % de 1 et d- l'élément de surface entourant le oint 3 de -. ,etterelation constitue le théorème d'Ostrogradski. n eut l'exrimer de la fa4on suivante Le flux du vecteur A%($ travers une surface fermée est égal $ l'intégrale volumi"ue de div A%( sur le volume "u'elle délimite.

*+ ; Th7o.80e de S'o:e  -oit un c+am de vecteurs A%( défini en tout oint du domaine D de l'esace affine E ! et un arcours ferméet orienté L contour orienté(. ,onsidérons une surface - s'auyant sur L! caractérisée ar son vecteur normal

(%(! orienté de fa4on $ ce "ue le délacement élémentaire dP sur L et (%( forme un re5re direct de E .l existe une fonction vectorielle .o' A%(! aelée rotationnel  de A%( au oint %! définie en tout oint du

domaine D! telle "ue

dP est le délacement élémentaire du oint 3 sur L et d- l'élément de surface entourant le oint % de -. ,etterelation est l'exression du t+éor5me de Stokes. n eut l'énoncer ar La circulation du vecteur A%( sur un arcours fermé L est égale au flux de .o' A%( $ travers une surface "uelcon"ue s'auyant sur L.

*+ < Ch-01 de 2e&'eu. d7.!2-(' d3u( 1o'e('!el 2e&'eu.  3ar définition! dans un domaine D de l'esace affine E ! on dit "ue le c+am de vecteurs A%( dérive du

 potentiel vecteur  V%(! si en tout oint % de D! la relation

A%( ) .o' V%( est vérifiée.

,ette définition entra6ne "uel"ues roriétés articuli5res. ,onsidérons une surface -! "uelcon"ue!

s'auyant sur un arcours fermé L. Le t+éor5me de -to7es montre "ue

dP est le délacement élémentaire du oint 3 sur L! d- l'élément de surface entourant le oint % de - et (%( levecteur unitaire normal $ - en %.

l aara6t donc "ue le flux d'un vecteur A%(! dérivant d'un otentiel vecteur! $ travers une surface"uelcon"ue - s'auyant sur un arcours fermé L! est égal $ la circulation de son vecteur otentiel sur ce arcours fermé. Le flux de A%( ne déendant "ue de L! on ourra arler de flux de A%( travers le parcours fermé L sans réciser le c+oix de la surface -.

-i dans le domaine D! le vecteur A%( dérive d'un otentiel vecteur! son flux $ travers une surface - nedéend donc "ue du arcours L sur le"uel elle s'auie. aire décro6tre L vers éro revient $ faire tendre - versune surface fermée. 3ar assage $ la limite on voit donc "ue! si un c+am de vecteurs dérive d'un otentielvecteur! son flux $ travers une surface fermée "uelcon"ue est nul.

:n ali"uant le t+éor5me d'strograds7i! "uel"ue soit la surface fermée -! telle "ue le volume 1"u'elle délimite soit inclus dans le domaine D! en tout oint % de D on eut écrire!

http://assocampus.ifrance.com/pages/defth.htmhttp://assocampus.ifrance.com/pages/defth.htmhttp://assocampus.ifrance.com/pages/defth.htmhttp://assocampus.ifrance.com/pages/defth.htm

8/16/2019 Annexe Analyse Vectorielle

3/4

;)< div A%( ) 0.

n dit alors "ue A%( est $ flux conservatif . n retiendra "ue cette relation est une condition nécessaireet suffisante our "ue le c+am de vecteurs A%( dérive d'un otentiel vecteur.

/+ RELATIONS UTILES

  n eut raeler! sans les démontrer! "uel"ues relations vectorielles utiles en électromagnétisme.,onsidérons our cela  les nombres comlexes a et b!  les fonctions scalaires &%( et 1%(!  les fonctions vectorielles A%( et B%(.

/+ * Rel-'!o( d!==7.e('!elle

9.-d =a&%( > b1%(? ) a 9.-d &%( > b 9.-d 1%(9.-d =&%(1%(? ) &%( 9.-d 1%( > 1%( 9.-d &%(

9.-d =A%(+ B%(? ) =A%(+ 9.-d?B%( > =B%(+ 9.-d?A%(> A%( 5 .o' B%( > B%( 5 .o' A%(

div =aA%( > bB%(? ) a div A%( > b div B%(div =&%(A%(? ) &%( div A%( > A%(+ 9.-d &%(div =A%( 5 B%(? ) B%(+ .o' A%( A%(+ .o' B%(

.o' =aA%( > bB%(? ) a .o' A%( > b .o' B%(.o' =&%(A%(? ) &%( .o' A%( > 9.-d &%( 5 A%(

.o' =.o' A%(? ) 9.-d =div A%(? A%(

.o' =A%( 5 B%(? ) A%( div B%( B%( div A%(

> =B%(+ 9.-d?A%( =A%(+ 9.-d?B%(

.o' =9.-d &%(? ) >div =.o' A%(? ) 0

div =9.-d &%(? ) ∆&%(

∆=&%(1%(? ) &%(∆1%( > 2=9.-d &%(+ 9.-d 1%(? > 1%(∆&%(

/+ / O17.-'eu. (-?l-  n introduit souvent our réduire les exressions et faciliter les calculs l'oérateur vectoriel na!la!

rerésenté ar le symbole ∇. -es comosantes dans les rinciaux syst5mes de coordonnées seront récisées

 lus tard. ,et oérateur vérifie les roriétés suivantes

#+ E,PRESSIONS ANALYTIQUES

Coo.do((7e &-.'7!e((e  ,onsidérons un re5re ort+onormé cartésien ! !! @! : ( de l'esace affine E ! un oint %x! y! (! une fonctionscalaire &%( et un vecteur c+am A%( ) ax%( ! > ay%( @ > a%( : .

#élacement élémentaire du oint % dM ) dx ! > dy @ > d : 

8/16/2019 Annexe Analyse Vectorielle

4/4

#ifférentielle de la fonction scalaire &%(

1ecteur gradient de la fonction scalaire &%(

Lalacien de la fonction scalaire &%(

Lalacien vectoriel du vecteur A %(

 A%( ) ∆ax%( ! > ∆ay%( @ > ∆a%( : 

,irculation élémentaire du vecteur A %(

δ , ) A%( + dM ) ax dx > ay dy > a d

#ivergence du vecteur A %(

*otationnel du vecteur A %(

érateur @abla