Análisis y resolución del régimen transitorio de circuitos...
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Julia Garibaldi
Análisis y resolución del régimen transitorio de circuitos de corriente continua
1) Resolución de ecuaciones diferenciales 1.1) Definición Una ecuación diferencial lineal, ordinaria, de orden n y a coeficientes constantes relaciona las enésimas derivadas de una función x(t), que es la incógnita. Tiene la forma:
)()()(...)()(011
1
1 tftxadt
tdxadt
txdadt
txda n
n
nn
n
n =++++ −
−
− (1.1)
con y ℜ∈naa ;...;0 0≠na En el caso particular en que f(t) = 0, la ecuación se llama homogénea. Si 0)( ≠tf , la ecuación es no homogénea. La solución general x(t) de una ecuación de orden n puede escribirse como la suma de la solución de la ecuación homogénea asociada xH(t) y de una solución particular xP(t). La ecuación homogénea asociada a (1.1) tiene la forma:
0)()(...)()(011
1
1 =++++ −
−
− txadt
tdxadt
txdadt
txda Hn
Hn
nnH
n
n (1.2)
Entonces
)()()( txtxtx PH += siendo: x(t): solución general xH(t): solución de (1.2) xP(t): solución de (1.1)
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1.2) Solución de la ecuación homogénea asociada El primer paso para hallar la solución general x(t) es encontrar la solución de la ecuación homogénea asociada xH(t). Para esto se propone lo siguiente:
stH etx =)( (1.3)
Reemplazando (1.3) en la ecuación (1.2) se obtiene
0)(...)()(011
1
1 =++++ −
−
−st
st
n
stn
nn
stn
n eadteda
dteda
dteda
0... 01
11 =++++ −−
stststnn
stnn easeaesaesa
Tomando est como factor común y sabiendo que dicha función no puede ser cero:
[ ] 0... 011
1 =++++ −− asasasae n
nn
nst
Así se obtiene que, para que se cumpla la igualdad anterior, debe darse:
0... 011
1 =++++ −− asasasa n
nn
n que se conoce como ecuación característica. Hallando las n raíces de la ecuación característica, si todas son distintas, la solución de la ecuación (1.2) se puede escribir como:
∑=
=n
k
tskH
keCtx1
)(
siendo las Ck constantes a determinar a partir de las condiciones iniciales del problema. Si hubiese una raíz que se repite n-m veces
∑∑−−
==
+=1
01)(
mn
j
tsjj
m
k
tskH
jk etDeCtx m < n
En el caso de hallarse más de una raíz repetida se agregan las sumatorias necesarias a xH(t) para cada una de ellas.
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1.3) Ejemplos A continuación se realizan algunos ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas. Notar que en este caso x(t) = xH(t), así que se usará la notación x(t) para referirse a la solución. Ejemplo 1.3.1 Hallar x(t)
0)(2)()(2
2
=−− txdt
tdxdt
txd
la ecuación característica se obtiene directamente por inspección: 022 =−− ss y las raíces son: s1 = -1 s2 = 2 por lo tanto, la solución es
tt eCeCtx 221)( += −
siendo C1 y C2 constantes a determinar a partir de las condiciones iniciales del problema. Ejemplo 1.3.2 Resolver
04)(4)(3)(4)(2
2
3
3
4
4
=−++−dt
tdxdt
txddt
txddt
txd
la ecuación característica es: 04434 234 =−++− ssss raíces: s1 = 1; s2 = -1; s3 = 2; s4 = 2 En este caso, la raíz s = 2 se repite, por lo tanto la solución es
tttt teDeDeCeCtx 21
2021)( +++= −
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Ejemplo 1.3.3 Resolver la ecuación diferencial
0)(4)(4)(3)(2)(2
2
3
3
4
4
=+−−+ txdt
tdxdt
txddt
txddt
txd
planteando la ecuación característica: 04432 234 =+−−+ ssss se obtienen las raíces: s1 = s2 = 1 s3 = s4 = -2 con lo cual se observa que hay dos raíces repetidas. Por lo tanto, la solución es:
tttt teDeDteCeCtx 21
2010)( −− +++=
Ejemplo 1.3.4 Hallar x(t)
027)(27)(9)(2
2
3
3
=+++dt
tdxdt
txddt
txd
la ecuación característica es: 027279 23 =+++ sss y tiene como raíces: s1 = s2 = s3 = -3 La solución es:
ttt etCteCeCtx 322
31
30)( −−− ++=
1.4) Solución particular La solución particular de (1.1) se obtiene de la siguiente manera:
1) proponiendo una solución xP(t) de la misma forma que f(t) 2) reemplazando la solución propuesta en (1.1) y despejando las constantes
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La siguiente tabla ilustra las distintas soluciones a proponer dependiendo de la forma de f(t):
f(t) xP(t) K (constante) K’ (otra constante)
polinomio de grado n
∑=
n
i
iitC
0
otro polinomio de grado n, con iKi ∀≠ ,0
∑=
n
i
iitK
0
)( tCsen ⋅ω )cos( tD ⋅ω
)()cos( tBsentA ⋅+⋅ ωω
siendo K’, Ki, A y B constantes a determinar en el paso 2) y son distintas de las constantes a determinar a través de las condiciones iniciales del problema (ver secciones 1.2 y 1.3). Para despejar las constantes que quedaron en la solución propuesta xP(t), se debe reemplazar dicha función en (1.1) y obtener las condiciones de igualdad:
)()()(...)()(011
1
1 tftxadt
tdxadt
txdadt
txda PP
nP
n
nnP
n
n =++++ −
−
−
Este método resultará más claro en los siguientes ejemplos. 1.5) Ejemplos A continuación se realiza una serie de ejemplos para ilustrar el método de obtención de la solución particular explicado en la sección anterior. Ejemplo 1.5.1 Hallar una solución particular de:
5)()(2 =− txdt
tdx
Como f(t) = 5 (constante), la solución propuesta será: xP(t) = K (otra constante) Reemplazando xP(t) en la ecuación dada:
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⇒=−⇒=−⇒=− 55)(25)()(2 KKdtKdtx
dttdx
PP 5−=K
Por lo tanto: 5)( −=txP Ejemplo 1.5.2 Hallar una solución particular de:
1)(2)(3)( 22
2
+=+− ttxdt
tdxdt
txd
En este caso, f(t) es un polinomio de grado 2, por lo tanto la solución propuesta es:
012
2)( CtCtCtxP ++= que contiene todos los términos de un polinomio del mismo grado que f(t). Reemplazando la solución propuesta en la ecuación dada:
( ) 12)(
3)( 2
012
201
22
201
22
2
+=+++++
−++
tCtCtCdt
CtCtCddt
CtCtCd
( ) ( ) 12232 2
012
2122 +=++++− tCtCtCCtCC
1222362 201
22122 +=+++−− tCtCtCCtCC
( ) ( ) 1232622 2
012212
2 +=+−+−+ tCCCtCCtC Teniendo en cuenta que para que dos polinomios sean iguales deben ser iguales sus coeficientes, se puede plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
=+−=−
=
1232062
12
012
21
2
CCCCC
C
Resolviendo el sistema anterior se obtienen las constantes: 49
0 =C ; 23
1 =C ; 21
2 =C
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Por lo tanto:
49
23
21)( 2 ++= tttxP
1.6) Solución general Una vez halladas xH(t) y xP(t), todo lo que resta es escribir la solución general de la ecuación (1.1) como:
)()()( txtxtx PH += y despejar las constantes que quedaron de las condiciones iniciales del problema (esto se verá más adelante en la resolución de circuitos).
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2) Consideraciones generales Antes de empezar a resolver el régimen transitorio de los circuitos de corriente continua, o sea, determinar la corriente que circula por el mismo como función del tiempo, es conveniente realizar algunas consideraciones generales para todos los problemas de este tipo. 2.1) Determinación del orden de la ecuación diferencial a partir de la inspección del circuito En todos los problemas de régimen transitorio, el orden de la ecuación diferencial que modela dicho transitorio es igual al número de elementos almacenadores de energía que tiene el circuito. Los elementos almacenadores de energía son los capacitores, que la almacenan en forma de un campo eléctrico, y los inductores, que lo hacen mediante un campo magnético. Las resistencias sólo pueden disipar la energía en forma de calor. Ejemplo 2.1.1
0
C1
1n
R1
1k
V5
1V
El régimen transitorio de la corriente de este circuito se describirá con una ecuación diferencial de orden 1, ya que contiene un único elemento almacenador.
Ejemplo 2.1.2
0
V61V
R2
1k
L1
10uHL2
10uH
La ecuación diferencial para este circuito también será de orden 1, ya que, aunque el circuito tiene dos inductores, como estos están en serie puede obtenerse un inductor equivalente.
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Ejemplo 2.1.3
0
V61V
R2
1k
L1
10uH
C2
1n
Cuando se plantea el régimen transitorio de este circuito se obtiene una ecuación diferencial de orden 2, porque claramente el circuito tiene dos elementos almacenadores de energía.
2.2) Determinación de las condiciones iniciales del problema Las condiciones iniciales del problema (recordemos que son necesarias para despejar las constantes de la solución de la ecuación diferencial) se determinan de la siguiente manera:
1) en los capacitores: se da la tensión sobre el capacitor en el instante inicial, por ejemplo: V 0)0( ==tc
2) en los inductores: en este caso se establece la corriente que pasa por el inductor en el instante inicial, por ejemplo: 0)0( ==tLi
Aclaración: en el caso de los capacitores, resulta equivalente conocer la tensión inicial o la carga inicial, dado que . VQC /=Notar que la cantidad de condiciones iniciales que debe darse debe ser igual al número de constantes que tenga la ecuación diferencial, y ese número es igual al orden de dicha ecuación. 2.3) Forma de las exponenciales de las soluciones Las soluciones que se obtienen en estos problemas siempre son exponenciales, que pueden ser reales o complejas. En el caso de las exponenciales reales (y de la parte real de las exponenciales complejas) siempre son decrecientes, o sea, los exponentes son siempre menores que cero. Esto es así porque una exponencial positiva implicaría, por ejemplo, que un capacitor se carga hasta el infinito, y esto no es físicamente posible.
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3) Circuitos de primer orden Los circuitos de primer orden reciben ese nombre porque la ecuación diferencial que caracteriza la variación de la corriente con el tiempo es de primer orden. En este caso particular, la resolución de la ecuación diferencial se simplifica debido a que puede aplicarse separación de variables en las ecuaciones homogéneas. 3.1) Ejemplos Ejemplo 3.1.1: circuito RC serie excitado por fuente Dado el siguiente circuito, encontrar la variación de la corriente que circula en función del tiempo.
condiciones iniciales:
0
C1
1n
R1
1k
E
1V
0)0( ==tVC
Como en todo circuito serie, se plantea en primer lugar la ecuación de la malla:
0=−− CR VVE Reemplazando las tensiones sobre la resistencia y sobre el capacitor:
∫+=t
diC
RtiE0
)(1).( ττ
La ecuación obtenida es una ecuación integral. Para transformarla en diferencial, se derivan ambos miembros:
)(1)(0 tiCdt
tdiR +=
Resolviendo por separación de variables:
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[ ])(ln1)()(1)()(1)(1)(0 tiKt
RCtitdidt
RCdttdiRti
Cti
CdttdiR =+−⇒=−⇒=−⇒+= ⇒
)(')(11
tieKtiet
RCKt
RC =⇒=⇒−+−
donde K’ es la constante a determinar a partir de la condición inicial dada. El término que está en el exponente se denomina “constante de tiempo” del circuito y se lo denota con la letra
RCτ (tau).
RC=τ en el circuito RC serie
La constante de tiempo depende del circuito, y da una idea de cuánto dura el régimen transitorio, ya que luego de transcurridas cinco constantes de tiempo se puede considerar que el circuito alcanzó el régimen permanente. La condición inicial se da en la tensión del capacitor, pero se necesita una condición inicial sobre la corriente del circuito. Para obtenerla se plantea la ecuación de malla en el instante t = 0:
)0()0()0()0()0()0( CCR VRiEVVE +=⇒+=
Como V y 0)0( =C REiEE =⇒= )0()0(
Para despejar la constante K’, se evalúa i(t) en el instante t = 0:
REK
REeKi RC =⇒==
−'')0(
01
Por lo tanto, la solución del problema es:
tRCe
REti
1
)(−
=
Ejemplo 3.1.2: circuito RC serie excitado por condiciones iniciales En este caso, se tiene un capacitor que tiene una tensión inicial distinta de cero para poder hacer funcionar el circuito, y no hay fuentes.
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condición inicial: V 0)0( VC =
C
1n
R
1k
+Vo--
en el sentido en que se indica
El procedimiento de resolución es idéntico al ejemplo 3.1.1, con la salvedad de que la ecuación de malla está igualada a cero porque no hay fuentes.
La solución tiene la forma: t
RCeKti1
')(−
= Planteando la malla en el instante t = 0 para obtener la condición inicial:
RV
iVRiVRiVV CCR0
0 )0()0(0)0()0(0)0()0(0 −=⇒+=⇒+=⇒+=
Evaluando i(t) en t = 0:
RV
KR
VeKi RC 0001
'')0( −=⇒−==−
Por lo tanto, la solución es:
tRCe
RVti
10)(
−−=
Ejemplo 3.1.3: circuito RL excitado por fuente Antes de resolver el circuito se establecerá una convención para la polaridad de la caída de tensión en el inductor y para el sentido de circulación de corriente por el mismo. L1
10uH
+VL--
Dados estos sentidos, la caída de tensión en el inductor L se define como:
IL
dttdiLVL)(
= sin el “signo menos” de la ley de Lenz
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0
R
1k
E
1V
L
10uH
condiciones iniciales: iL(0) = 0 Se plantea la ecuación de la malla:
LR VVE +=
Reemplazando por las expresiones correspondientes:
dttdiLRtiE )()( +=
En primer lugar se obtiene una solución de la ecuación homogénea asociada aplicando separación de variables:
[ ]⇒=+−⇒=−⇒=−⇒+= )(ln)()()()()()(0 tiKt
LR
titdidt
LR
dttdiLRti
dttdiLRti H
H
HHH
HH
t
LR
HH
KtLR
eKtitie−+−
=⇒=⇒ ')()( siendo K’ la constante a determinar a partir de la condición inicial, y la constante de tiempo:
RL
=τ en el circuito RL serie
Finalmente se debe encontrar una solución particular. Como la ecuación diferencial está igualada a una constante (tensión de la fuente E), se propone otra constante como solución particular:
KtiP =)( Reemplazando en la ecuación diferencial y despejando:
( ) ⇒=⇒=⇒+=REKKREK
dtdLKRE
REtiP =)(
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Existe otra forma de obtener la solución particular que consiste en estudiar el comportamiento del circuito en régimen permanente, es decir, cuando t . En este caso, el inductor se comporta como un cortocircuito ya que la caída de tensión en el mismo es cero.
∞→
La solución particular se obtiene calculado la corriente en el régimen permanente reemplazando el inductor por un cortocircuito:
0
R
1k
E
1V
RE
=tiREi P⇒= )(
En cualquier análisis del régimen transitorio de un circuito, se puede obtener la solución particular de la ecuación diferencial estudiando el comportamiento de dicho circuito cuando
∞→t La solución general es entonces la suma de iH(t) e iP(t):
REeKti
tLR
+=−
')(
Para despejar la constante K’ se evalúa la condición inicial:
REK
REKi −=⇒=+= '0')0(
Finalmente, la solución es:
−=+−=
−− tLRt
LR
eRE
REe
REti 1)(
Se deja como ejercicio para el lector la resolución del circuito RL serie excitado por condiciones iniciales (sin fuentes).
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4) Circuitos de segundo orden En esta sección se resolverán los tres casos correspondientes al régimen transitorio del circuito RLC serie.
0
L
10uH
R
1k
C
1n
E1V
condiciones iniciales:
0)0( =Li
0)0( =CV
Planteando la ecuación de la malla
CLR VVVE ++= y reemplazando
∫++=t
diCdt
tdiLRtiE0
)(1)()( ττ
La ecuación anterior, que tiene tanto a la función incógnita como a su derivada primera y su integral, se conoce con el nombre de ecuación íntegro-diferencial. Para resolverla, se derivan ambos miembros:
)(1)()(0 2
2
tiCdt
tidLdt
tdiR ++=
La ecuación característica es: 012 =++C
RsLs
Dividiendo ambos miembros por L: 012 =++LC
sLRs
Proponiendo que LR
=σ2 y LC12
0 =ω , la ecuación característica queda como:
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02 2
02 =++ ωσss
Resolviendo la ecuación característica se encuentra que las raíces son:
20
22,1 ωσσ −±−=s
Esto da origen a tres casos:
1. (raíces reales y distintas) 212120
2 ssss ≠∧ℜ∈∧ℜ∈⇒>ωσ2. (raíces reales y coincidentes) 2121
20
2 ssss =∧ℜ∈∧ℜ∈⇒=ωσ3. (raíces complejas conjugadas) *
212120
2 ssCsCs =∧∈∧∈⇒<ωσ 4.1) Primer caso: raíces reales y distintas En el primer caso, la solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente forma:
ttBeAeti
−−−
−+−
+=20
220
2
)(ωσσωσσ
A y B son las constantes a determinar a partir de las condiciones iniciales. Ejemplo 4.1.1 Analizar el régimen transitorio del siguiente circuito:
datos:
0
L
500HC
1mF
R
1500
E1V
mFCVE
11
==
HL 500= Ω= 1500R
0)0(
0)0(==
C
L
Vi
La ecuación característica tiene la forma: 012 =++LC
sLRs
Reemplazando con los datos del problema se obtiene: 0232 =++ ss
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Las raíces son: 11 −=s y 22 −=s , lo cual corresponde con el primer caso estudiado (raíces reales y distintas). La solución es, entonces:
tt BeAeti 2)( −− += Para obtener las condiciones iniciales para la corriente y su derivada se plantea la ecuación de malla en el instante inicial:
)0()0()0( CVdt
diLRiE ++= (observando que i(0) = iL(0) )
Se obtiene que: LE
dtdi
=)0(
Por lo tanto, las condiciones inciales son: 0)0( =i e 002,0)0(' =i Evaluando dichas condiciones en i(t) e i’(t) se despejan las constantes A y B:
=−−==+=
002,02)0('0)0(
BAiBAi
⇒002,0
002,0−=
=BA
Finalmente
[ ]tt eeti 2002,0)( −− −=
0
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0005
0,0006
0 2 4 6 8
Tiempo (seg)
Cor
rient
e (A
)
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4.2) Segundo caso: raíces reales y coincidentes La solución para este caso es:
tt BteAeti σσ −− +=)( Ejemplo 4.2.1 Analizar el régimen transitorio del siguiente circuito
0
L
250HC
1mF
R
1000
E1V
datos:
0)0(0)0(
110002501
==
=Ω=
==
C
L
Vi
VER
HLmFC
La resolución es similar al ejemplo 4.1.1 (se deja como ejercicio). En este caso, la solución que se obtiene es la siguiente:
tteti 2004,0)( −=
0
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0005
0,0006
0,0007
0,0008
0 1 2 3 4 5
Tiempo (seg)
Cor
rient
e (A
)
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4.3) Tercer caso: raíces complejas conjugadas La obtención de la solución en este caso requiere un desarrollo matemático que se detalla a continuación. Las raíces obtenidas de la ecuación característica son, en este caso:
20
22,1 ωσσ −±−= js
Reemplazando en la solución propuesta se obtiene:
tjtjBeAeti
−−−
−+−
+=20
220
2
)(ωσσωσσ
tjttjt eBeeAeti20
220
2
)(ωσσωσσ −−−−− +=
Recordando la relación de Euler:
ϕϕϕ jAsenAAe j += cos Reemplazando en i(t):
+
−+
−= −− tsenjAetAeti tt 2
022
02cos)( ωσωσ σσ
−+
−−+ −− tsenjBetBe tt 2
022
02cos ωσωσ σσ
Dado que la función coseno es par y la función seno es impar, se cumple que
( ) ( )αα coscos =−
( ) ( )αα sensen −=− Reemplazando todo en i(t):
+
−+
−= −− 2
022
02cos)( ωσωσ σσ senjAeAeti tt
−−
−+ −− tsenjBetBe tt 2
022
02cos ωσωσ σσ
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En general, las constantes A y B son complejas. Tomando el factor como factor común:
te σ−
−
−+
−+
−= − tBtjAsentAeti t 2
022
022
02 coscos)( ωσωσωσσ
−− tjBsen 2
02 ωσ
Reagrupando:
( ) ( )
−−+
−+= − tsenBAjtBAeti t 2
022
02cos)( ωσωσσ
Llamando y , la solución queda como: BAC += ( BAjD −= )
−+
−= − tDsentCeti t 2
022
02cos)( ωσωσσ
Donde C y D son las constantes a determinar a partir de las condiciones iniciales. Ejemplo 4.3.1 Resolver el régimen transitorio del siguiente circuito.
0
R
400L
200HC
1mF
E1V
datos:
0)0(0)0(
14002001
==
=Ω=
==
C
L
Vi
VER
HLmFC
Reemplazando los datos del problema en la ecuación característica se obtiene:
0522 =++ ss Las raíces son: y 211 js +−= 212 js −−= , por lo tanto corresponde al tercer caso en estudio (raíces complejas conjugadas). La solución tiene entonces la siguiente forma:
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−+
−= − tDsentCeti t 2
022
02cos)( ωσωσσ
donde L
R2
=σ y LC12
0 =ω . Al reemplazar con los datos del problema, se obtiene la
solución:
( ) ( )[ ]tEsentDeti t 22cos)( += − Evaluando las condiciones iniciales (se obtienen de la misma manera que en los ejemplos 4.1.1 y 4.2.1):
=+−===
005,02)0('0)0(
EDiDi
⇒
==
0025,00
ED
Con lo cual, la solución obtenida es:
( )tseneti t 20025,0)( −=
-0,0004
-0,0002
0
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0,001
0,0012
0,0014
0 1 2 3 4 5 6 7
Tiempo (seg)
Corr
ient
e (A
)
Se deja como ejercicio para el lector la resolución del circuito RLC serie sin fuentes, o sea, excitado por condiciones iniciales.
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