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Análisis Numérico para Ingeniería

Clase Nro. 11

Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 2

Aproximación de Funciones

Temas a tratar:

Funciones Aproximantes.

Criterios de Aproximación.

Aproximación por Interpolación.

Error en la Interpolación.

Polinomios de Lagrange.

Polinomios de Newton.


Dada una función discreta (puntos dato), se desea obtener una función contínua que aproxime a la primera, de acuerdo a un cierto criterio de aproximación.

CRITERIO DE INTERPOLACIÓN

Problema a resolver


Interrogantes

CON QUÉ APROXIMO ?

Elección de la función aproximante.

CÓMO APROXIMO ?

Elección del criterio de aproximación.

DÓNDE APROXIMO ?

Elección del intervalo de aproximación.


Funciones Aproximantes

Sea el conjunto S tal que:

S={f(x) tal que f(x) pueda expresarse exactamente como combinación lineal ( o no ) de ciertas funciones coordenadas {h

k(x)}, k=1, 2, …, m}

Se selecciona un conjunto apropiado de funciones coordenadas g

0(x), g

1(x), …, g

n(x)

Sea el conjunto Sn tal que: S

n = {p(x) tal que p(x)

pueda ser expresada exactamente como combinación lineal ( o no ) de funciones coordenadas {g

k(x)}, k=0, 1, 2,..., n}


Funciones Aproximantes

Sn={ p

n(x) tal que p

n(x) pueda expresarse exactamente como

combinación lineal de 1, x, x2, …, xn }. En este caso gk(x) = xk,

k=0, 1, 2, …, n. Y las componentes pn(x) del conjunto S

n son

polinomios de grado menor o igual a n.

Si el objetivo es aproximar una cierta f(x) ∈ S, se selecciona en S

n una función p(x) cuyas

propiedades se acerquen lo más posible a las propiedades conocidas de f(x).


f x ≈ pnx = a0⋅g0xa1⋅g1x⋯an⋅gn x

f x ≈ pnx =a0⋅g0x a1⋅g1x⋯am⋅gmx

b0⋅g0x b1⋅g1x⋯bk⋅gk x

En general, una función aproximante lineal, tendrá la forma:

En cambio, una función aproximante de tipo racional, tendrá la forma:

Posibles Funciones Aproximantes


Criterios de Aproximación

La base del problema de aproximación es el criterio utilizado para determinar las constantes de la función aproximante.

Algunos de los criterios de aproximación son:

Aproximación por Interpolación.

Aproximación por Splines Cúbicos.

Aproximación por Mínimos Cuadrados.

Aproximación por Error Mínimo (MiniMax).


Aproximación por Taylor

Esta aproximación encuentra un polinomio de grado n que ”aproxima bien” a f(x) alrededor del punto x

0.

p x0=f x0

pnk

x0=f k x0 para k=1,2,3, ...

”Aproximar bien” significa que pn(x) coincide con f(x) en el

punto x0 y esto también se cumple para sus k derivadas.


Aproximación por Taylor

Expresando el desarrollo de Taylor de f(x) alrededor del punto x

0, tenemos :

p(x)=f (x0)+ f ' (x0)⋅(x−x0)+f ' ' (x0)⋅(x−x0)

2

2!+⋯+

f (n)(x0)⋅(x−x0)

n

n !

Cuyo término de error es :

px −f x =Rnx =f n1x ⋅x−x0

n1

n1!


Problema a resolver

Se tiene un conjunto de 4 puntos pertenecientes a una función f(x) desconocida.

i x f(x) p(x)0 -4,00 -7,38 -7,381 -2,00 0,52 0,522 0,00 2,00 2,003 2,00 14,52 14,52

Se desea obtener un polinomio p(x) que pase por todos los puntos dato.


Polinomio Interpolante


Interpolación Polinómica

POLINOMIO DE COLOCACIÓN


Problema a resolverSe tiene un conjunto de 5 puntos pertenecientes a una función f(x) desconocida.

i x f(x) p(x)0 -5,00 25,92 25,921 -3,00 -5,36 -5,362 -1,00 2,58 2,583 1,00 3,59 3,594 2,00 14,52 14,52

Se desea obtener un polinomio p(x) que pase por todos los puntos dato.


Polinomios Aproximantes

Para calcular los polinomios interpolantes vistos anteriormente, se ha utilizado el siguiente criterio:

f xi=pn xi para i=1,2,3, ... , n

Es decir, dados n+1 puntos, debemos hacer coincidir los valores del polinomio aproximante p

n(x)

con la función aproximada f(x), en cada punto xi .


Determinación de los coeficientes

Se tiene un conjunto de 4 puntos pertenecientes a una función f(x) desconocida.

0 -4,00 -7.38 -7.381 -2,00 0.52 0.522 0,00 2,00 2,003 2,00 14,52 14,52

i x f(x) p(x)

Se desea calcular los coeficientes del polinomio p(x) que pase por todos los puntos dato.



Para calcular los coeficientes del polinomio aproximante :

pn x = a0a1⋅xa2⋅x2⋯an⋅x

n

Podemos plantear las siguientes ecuaciones:

[1.00 −4.00 16.00 −64.001.00 −2.00 4.00 −8.001.00 0.00 0.00 0.001.00 2.00 4.00 8.00

]⋅[a0

a1

a2

a3] = [

−7.380.522.00

14.52]



Resolviendo el sistema obtenemos los valores de los coeficientes :

a0=2; a1=2.045 ; a2=1.38 ; a3=0.36375

Por lo que el polinomio aproximante queda de la forma :

p3 x = 0.36375⋅x31.38⋅x22.045⋅x2



p3 x = 0.36375⋅x31.38⋅x22.045⋅x2


Unicidad del Polinomio Interpolante

Dados n+1 puntos de la función f(x), el polinomio interpolante que pasa por todos ellos es único:

Demostración por el absurdo:

1) Supongamos que existan dos polinomios interpolantes p

n(x) y q

n(x) que pasan por los n+1 puntos de f(x).

2) Entonces creamos un polinomio dn(x) = p

n(x) – q

n(x)

3) Dado que dn(x) proviene de la diferencia de dos

polinomios de grado n, el grado del mismo será menor o igual a n.


Unicidad del Polinomio Interpolante

Dados n+1 puntos de la función f(x), el polinomio interpolante que pasa por todos ellos es único:

Continuación de la Demostración por el absurdo:

4) Las raíces de dn(x) coinciden con las abscisas de los

puntos dato, en cuyo caso, dn(x) debería tener n+1 raíces.

Por lo tanto, es imposible que siendo dn(x) un polinomio

de grado n, el mismo posea n+1 raíces.

A menos que se trate del polinomio nulo, en cuyo caso se cumplirá que p

n(x) = q

n(x).


Sea el polinomio :

A x = x−x0⋅x−x1⋯ x−xn =∏i=0

n

x−x i

Por lo tanto todos los xi serán ceros de dicho polinomio.

Además podemos definir otro polinomio Ak, en el cuál

todos los xi serán ceros de dicho polinomio, menos x

k :

Ak x = x−x0⋅x−x1⋯x−xk−1⋅x−xk1⋯x−xn =∏i=0i≠k

n

x−xi

Polinomio de Lagrange


Método de Lagrange

Por lo tanto, definimos a los coeficientes Lk(x) del

polinomio de LAGRANGE como:

Lk( x) =Ak( x)

Ak (xk)=

(x−x0)⋅(x−x1)⋯(x−xk−1)⋅(x−xk+1)⋯(x−xn)

( xk−x0)⋅(xk−x1)⋯( xk−xk−1)⋅(xk−xk+1)⋯(xk−xn)

Lk xi = {0 i≠k1 i=k

Donde los coeficientes Lk(x) del polinomio de LAGRANGE

sólo dependen de los nodos y toman los siguientes valores :


Método de Lagrange

Por lo tanto el polinomio de LAGRANGE nos queda como :

pnx = ∑k=0

n

Lk x⋅f xk = ∑k=0

n

[∏i=0i≠k

n x−xi

xk−xi ]⋅yk

Donde se cumple la condición :

f x i =pnx i = y i


Ejemplo de Aplicación

0 -4,00 -7,38 -7,381 -2,00 0,52 0,522 0,00 2,00 2,003 2,00 14,52 14,52

i x f(x) p(x)Dado este conjunto de puntos, se desea calcular el polinomio de interpolación de LAGRANGE

pn(x)=(x+2)(x−0)(x−2)

(−4+2)(−4−0)(−4−2)⋅(−7.38) +

(x+4)(x−0)(x−2)

(−2+4)(−2−0)(−2−2)⋅(0.52) +

+(x+4 )(x+2)(x−2)

(0+4)(0+2)(0−2)⋅(2.00) +

(x+4)(x+2)(x−0)

(2+4)(2+2)(2−0)⋅(14.52) =

= 0.36375 x3+1.38 x2+2.045 x+2


Método de Lagrange

Para nodos equiespaciados, la expresión anterior puede simplificarse, reemplazando x = x

0 + sh :

pn(s)= ∑k=0

n

Lk (x0+s⋅h)⋅f (xk )= ∑k=0

n(−1)

n+k

n! (nk )⋅∏i=0i≠k

n

(s−i)⋅yk =

=(−1)n

n !⋅s⋅(s−1)⋯(s−n)∑

k=0

n (−1)k⋅(nk )(s−k )

⋅yk


Error en la Interpolación

La expresión del error de Interpolación es :

E x = x−x0⋅x−x1⋯x−xn⋅f n1

n1!

Como se puede apreciar, el error es nulo en cada uno de los nodos, pues p

n(x

i ) coincide con f(x

i ).



TEOREMA

Si x0, x

1, …, x

n, son distintos en el intervalo [a, b] y

si f ∈ Cn+1 [a, b], entonces, para cada x en [a, b] existe un número ξ (x) en (a, b) tal que:

f x = P x f n1

n1!⋅x−x0⋅x−x1⋯x−xn



DEMOSTRACIÓN

Vemos que si x=xk, para k = 0, 1, …, n entonces f(x

k)=P(x

k)

y eligiendo ξ (xk) arbitrariamente en (a, b), se satisface la

ecuación anterior.Si x≠x

k para cualquier k = 0, 1, …, n definimos la función

g( t ) en [a, b] mediante:

g(t )=f (t )−P(t)−[ f (x)−P(x)]⋅(t−x0)⋅(t−x1)⋯(t−xn)

(x−x0)⋅(x−x1)⋯(x−xn)



g t = f t −P t −[ f x −P x ]⋅∏i=0

n t−x i

x−xi

Como f ∈ Cn+1 [a, b], P ∈ C∞ [a, b], y x≠xk , para

cualquier k se sigue que g ∈ Cn+1 . Para t=xk

g xk = f xk −P xk −[ f x−P x]⋅∏i=0

n xk−x i

x−x i=

= 0−[ f x −P x ]⋅0 = 0



Además

g x = f x−P x−[ f x −Px ]⋅∏i=0

n x−x i

x−x i=

= f x −P x −[ f x −P x ] = 0


Teorema de ROLLE

Establece que si :

f es una función contínua en un intervalo [a, b]

f es derivable en un intervalo (a, b)

f(a) = f(b)

Entonces:

Existe al menos un valor c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f ' (c) = 0.



Por lo tanto g ∈ Cn+1 [a, b], y g se anula en los n+2 números distintos x, x

0, x

1, …, x

n. Por el

teorema de ROLLE generalizado existe ξ ≡ ξ (x) en (a, b) tal que g(n+1)(ξ )=0. Evaluando g(n+1)(ξ ) da :

0 = g(n+1)(ξ) =

= f (n+1)(ξ)−P(n+1)

(ξ)−[ f (x)−P(x)]⋅dn+1

dtn+1⋅(∏i=0

n (t−xi)

(x−xi))t=ξ


Error en InterpolaciónComo P es un polinomio de grado, como máximo n, la derivada (n+1), es decir, P(n+1) debe ser igual a cero.

Además :

∏i=0

n t−xi

x−xi

Esta productoria es un polinomio de grado (n+1), entonces :


Error en Interpolación

∏i=0

n (t−xi)

(x−xi)=

t n+1

∏i=0

n

(x−xi)

+ (términos de menor grado en t)

y

dn1

dtn1⋅∏i=0

n t−x i

x−x i=

n1!

∏i=0

n

x−x i



0 = g(n+1)(ξ) =

= f (n+1)(ξ)−P(n+1)

(ξ)−[ f (x)−P(x)]⋅dn+1

dtn+1⋅(∏i=0

n (t−xi)

(x−xi))t=ξ

0=[ f n1−0]−[ f x −P x ]⋅

n1!

∏i=0

n

x−xi

La ecuación anterior se transforma en:


Error en InterpolaciónY resolviendo para f(x) obtenemos finalmente :

f x = P x f n1

n1!⋅∏

i=0

n

x−xi

La fórmula anterior es un resultado teórico muy importante, ya que los polinomios de LAGRANGE son extensamente utilizados para desarrollar métodos numéricos de derivación e integración.



f n1x n1!

⋅ x−x0n1

Nótese que la forma del error para el polinomio de LAGRANGE es muy similar a la del polinomio de TAYLOR. El polinomio de TAYLOR de grado n alrededor de x

0 concentra toda la información

conocida en x0 y tiene un término de error de la

forma :



El polinomio de LAGRANGE de grado n utiliza la información de los diferentes valores x

0, x

1,...,

x

n,

en vez de (x - x0 )n su fórmula de error contiene un

producto de n+1 términos :

Error =f (n+1)(ξ(x))

(n+1)!⋅(x−x0)⋅(x−x1)⋯(x−xn)


Error en InterpolaciónA pesar de que la fórmula del error en los polinomios de LAGRANGE constituye un resultado teórico importante, su uso práctico está restringido a aquellas funciones cuyas derivadas tengan cotas conocidas, como las funciones trigonométricas ó logarítmicas.

Error =s⋅(s−1)⋅(s−2)⋯(s−n)

(n+1)!⋅hn+1 f (n+1)(ξ)

Por último, para el caso de puntos equiespaciados, nos queda:


Interpolación y Extrapolación

ZONA DE INTERPOLACIÓN

ZONA DE EXTRAPOLACIÓN

ZONA DE EXTRAPOLACIÓN


Para puntos equiespaciados únicamente y utilizando diferencias ascendentes, tenemos :

Δ f (x)=f (x+h)−f (x)

Δ2 f (x)=Δ(Δ f (x))=Δ( f (x+h)−f (x))=

=Δ f (x+h)−Δ f (x)=f (x+2h)−f (x+h)−f (x+h)+ f (x)== f (x+2h)−2⋅f (x+h)+ f (x)

Δn=Δ(Δ

(n−1) f (x))

Interpolación con Diferencias Finitas


Tabla de Diferencias

Δ0 -5 5,1 0,37798

0,090541 -4 5,2 0,46852 -0,00469

0,08585 -0,000842 -3 5,3 0,55437 -0,00553 0,00003

0,08032 -0,00081 0,000043 -2 5,4 0,63469 -0,00634 0,00007

0,07398 -0,000744 -1 5,5 0,70867 -0,00708

0,06695 0 5,6 0,77557

iASC

iDESC

xi

f(xi) Δ2 Δ3 Δ4 Δ5


Esta expresión nos permite obtener el polinomio interpolante de Newton, con diferencias ascendentes. La misma puede utilizarse únicamente si los puntos dato son equiespaciados.

pn(s)= y0+s⋅Δ y0+s⋅(s−1)

2!⋅Δ2 y0+⋯+

s⋅(s−1)⋯(s−n+1)

n !⋅Δn y0

Siendo: s=x−x0

h

Newton con Diferencias Ascendentes


Diferencias Ascendentes

Δ0 -5 5,1 0,37798

0,090541 -4 5,2 0,46852 -0,00469

0,08585 -0,000842 -3 5,3 0,55437 -0,00553 0,00003

0,08032 -0,00081 0,000043 -2 5,4 0,63469 -0,00634 0,00007

0,07398 -0,000744 -1 5,5 0,70867 -0,00708

0,06695 0 5,6 0,77557

iASC

iDESC

xi



Esta expresión nos permite obtener el polinomio interpolante de Newton, con diferencias descendentes. La misma puede utilizarse únicamente si los puntos dato son equiespaciados.

pn(s)= y0+s⋅Δ y−1+s⋅(s+1)

2!⋅Δ2 y−2+⋯+

s⋅(s+1)⋯(s+n+1)

n!⋅Δn y−n

Siendo: s=x−x0

h

Newton con Diferencias Descendentes


Diferencias Descendentes

Δ0 -5 5,1 0,37798

0,090541 -4 5,2 0,46852 -0,00469

0,08585 -0,000842 -3 5,3 0,55437 -0,00553 0,00003

0,08032 -0,00081 0,000043 -2 5,4 0,63469 -0,00634 0,00007

0,07398 -0,000744 -1 5,5 0,70867 -0,00708

0,06695 0 5,6 0,77557

iASC

iDESC

xi



Para puntos no equiespaciados se puede utilizar diferencias divididas.

Df xi=f x i1−f xi

x i1−x i

Dn f x i=Dn−1 f xi1−Dn−1 f x i

xin−xi

Interpolación con Diferencias Divididas


Esta expresión nos permite obtener el polinomio interpolante de Newton, con diferencias divididas. La misma puede utilizarse con puntos dato equi-espaciados o no.

pn(x)= y0+(x−x0)⋅D y0+(x−x0)⋅(x−x1)⋅D2 y0+⋯+

+(x−x0)⋅(x−x1)⋯(x−xn−1)⋅Dn y0

Newton con Diferencias Finitas


Tabla de Diferencias Divididas

D5,1 0,37798

0,90545,2 0,46852 -0,2345

0,8585 -0,145,3 0,55437 -0,2765 0,0125

0,8032 -0,135 0,033335,4 0,63469 -0,317 0,029167

0,7398 -0,123335,5 0,70867 -0,354

0,6695,6 0,77557

xi

f(xi) D2 D3 D4 D5


Fórmula de Aitken

Está basada en la realización de interpolaciones lineales iteradas.Por ejemplo, para el polinomio de grado 1, tenemos:

P0,k=[ y0 x0−xyk xk−x ]xk−x0

Para k=1, 2, …, n


Fórmula de Aitken

Desarrollando, obtenemos:

P0,k=[ y0 x0−xyk xk−x ]xk−x0

Para k=1, 2, …, n

P0,k=y0⋅xk−x − yk⋅x0−x

xk−x0


Fórmula de Aitken

Y reagrupando términos, obtenemos el polinomio de LAGRANGE que pasa por los puntos (x

0, y

0 ) y

(xk,

yk ).

P0,k=y0⋅xk−x − yk⋅x0−x

xk−x0

P0,k=xk−x

xk−x0

⋅y0x−x0

xk−x0

⋅yk


Fórmula de Aitken

A partir de la interpolación anterior y aplicando el mismo esquema, podemos obtener el polinomio de LAGRANGE que pasa por los puntos (x

0, y

0 ), (x

1, y

1 )

y (xk,

yk ).

P0,1,k=[P01 x1−xP0k xk−x ]

xk−x1

Para k=2, 3, …, n


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