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11/12/2014
1
ANÁLISIS DE ARMONICOS EN SISTEMAS DE POTENCIA.LEÓNIDAS SAYAS POMA, Phd © ,Msc, MBA, Prof. IngGerencia de Fiscalización Eléctrica
Magdalena del Mar, Junio 2014
• Definiciones conceptuales, fundamento teórico de
armónicos
• Origen de los armónicos de potencia
• Efecto de los armónicos en el sistema eléctrico.
• Modelamiento de la red para análisis de armónicos
• Mitigación y confinamiento de armónicos en SEP
CONTENIDO
2
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¿Cuales son las Principales perturbaciones en un SEP?
4
Inter Armónicos
SWELLS, SAG
Armónicos aperiódicos
Surge (Impulso)
voltage dips
Ruido (Wave Notching)
Sub Armónicos
Armónicos periódicos
Flicker
Perturbaciones en el SEP
Perturbaciones en un SEP
tt
U
t
U
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Tipos de disturbios en la tensión
Depresiones de tensiónElevaciones de tensión
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Curva de tolerancias en baja tensión según CBEMA(Asociación industrial de negocio de equipos de computación);
Nota:Estos limites fueron definidos tomando en cuenta la sensibilidad de equipos eléctricos de oficina.
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4
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Daños Por Variaciones De TensiónT
ensi
ón e
n %
de
la n
omin
al, V
alor
efic
az
Límites estáticos
Perturbaciones Tipo IIIPerturbaciones Tipo IIPerturbaciones Tipo I
+200%
+100%
Area desusceptibilidad
Tipo I
Area de susceptibilidad Tipo II
Límite desobretensióndel computador
Límites de subtensión
Tiempo.01
100u0.11m
0.58.33m
1.0
0.1
10
0.5
100
2
100
Segundos
Ciclos
-13%
+6%
+30%
Tensión nominal
-70% -42% -30%
Análisis teórico de armónicos
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ARMÓNICOS: TEORÍA
ARMÓNICOS: “Distorsiones periódicas de formas de ondas de corriente o tensión en sistemas eléctricos”
FUNCIÓN PERIÓDICA:
T es el período de la función periódica x(t)
Ejemplo:
)()( txTtx
x/(t)
t
-T/2 T/2
ARMÓNICOS: TEORÍA
donde k es un entero
Si dos funciones x1(t) y x2(t) tienen el mismo periodo T, luego la función:
donde a y b son constantes, también tiene el periodo T.
También es cierto que la función:
también es periódica
)()( txkTtx
)()()( 213 tbxtaxtx
x(t)=constante
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COEFICIENTES Y SERIES DE FOURIER:La serie de Fourier de una función periódica x(t) tiene la siguiente expresión:
En esta expresión a0 constituye el valor medio de la función x(t), mientras que an y bn,los coeficientes de la serie, son las componentes rectangulares del nth armónico.
El correspondiente nth vector armónico es:
Con una magnitud:
y un ángulo de fase:
10
22cos)(
nnn T
ntsenb
Tnt
aatx
nnnn jbaA
22nnn baA
n
nn a
b1tan
COEFICIENTES Y SERIES DE FOURIER:
Puede demostrarse que para una función dada x(t) el coeficienteconstante a0 es:
También puede verificarse que:
para los n=1
2
20 )(
1 T
Tdttx
Ta
2
2
2cos)(
2 T
Tn dtTnt
txT
a
2
2
2)(
2 T
Tn dtTnt
sentxT
b
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FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:
Un vector rotando uniformemente (A/2)e+j tiene una magnitudconstante A/2 y un ángulo de fase el cual esta variando en eltiempo de acuerdo a:
donde es el ángulo de fase inicial cuando t=0. Un segundovector (A/2)e‐j rotará en la dirección opuesta al anterior. Esteaumento negativo de cambio en el ángulo de fase puede serconsiderado como una frecuencia negativa.
La suma de estos dos vectores estará siempre a lo largo del ejereal, con la magnitud oscilando entre A y –A a:
ft2
cos22
AeA
eA jj
FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:Reescribiendo la serie de Fourier como:
Donde x(t) es periódica con período T y
=2/T=2f, la componente nth de esta
serie, correspondiente a la armónica a una
frecuencia de fn=nf, es dado por:
Donde es el vector unitario y X(fn) da la
amplitud y fase para el vector armónico.
Amplitud instantánea
Máxima amplitud (A)
Im
Re
A/2
--
2/
2/
2)(1
)(T
T
tfjn dtetx
TfX n
tfj ne 2
.....)2()()( 22110 tsenAtsenAatx
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TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:
En el caso donde la función en el dominio del tiempo es unafunción muestreada la expresión toma la forma:
Se asume que la función es periódica con un total de N muestraspor período. Esta forma discreta de la Transformada de Fourieres la apropiada para evaluación numérica por cálculo digital.
La ecuación anterior puede también escribirse como:
Donde:W=e‐j2/N
1
0
/2)(1
)(N
n
Nknjnk etx
NfX
1
0
)(1
)(N
n
knnk Wtx
NfX
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:Sobre todas las componentes de frecuencia la ecuación anterior adquiere la siguienteforma matricial:
En esta ecuación, [X(fk)] es un vector representando los N componentes de la funciónen el dominio de la frecuencia, mientras que [x(t)] es un vector representando las Nmuestras de la función en el dominio del tiempo.
El cálculo de las N componentes de frecuencia a partir de las N muestras requiere untotal de N2 multiplicaciones complejas para implementar la forma anterior.
)(
.
)(
.
)(
)(
.
..1
......
..1
......
..1
1.1.11
1
)(
.
)(
.
)(
)(
1
1
0
)1()1(1
)1(
1
1
1
0
2
2
N
n
NkNN
Nkkk
Nk
N
k
tx
tx
tx
tx
WWW
WWW
WWW
N
fX
fX
fX
fX
)(.1
)( nkn
k txWN
fX
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9
FRECUENCIA MULTIPLOS ENTEROS Y NO ENTEROS Y SUB MULTIPLOS:
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-1
-0.5
0
0.5
1
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-1
-0.5
0
0.5
1
Intervalo de muestreo
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-1
-0.5
0
0.5
1
Intervalo de muestreo
nk
k
‐nk
k/n
INTERARMÓNICOS: Frecuencias armónicas que no son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental
SUBARMÓNICOS: valores de frecuencia que están por debajo de la frecuencia fundamental.
APERIODICOS????
X(f)
-f f
fc
1
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CONCEPTOS BÁSICOS NECESARIOS
• Valor RMS• THD• Potencia Armónica• Factor de cresta• Resonancia• Componentes simétricas
armónicas
Potencia media
Tto
to
Tto
to
titvT
dttpT
WP )()(
1)(
dttiT
IefI
dttVT
VefV
R
Vefdttv
TRdt
R
tv
Tdttitv
Tdttp
TP
R
VefPy
R
VccP
T
rms
T
rms
TT
o
T
o
T
o
0
22
0
22
2
0
22
22
)(1
)(1
)(11)(1
)()(1
)(1
También conocido como cuadrático medio. Se basa en la potencia media entregada a una resistencia. Para una tensión periódica aplicada sobre una resistencia, la tensión eficaz se define como una tensión que proporciona la misma potencia media que la tensión continua.
Valor eficaz, RMS
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VALOR RMS DE CANTIDADES ARMONICAS
Señal continua:
Señal discreta:
O, en término de los valores rms de los armónicos:
T
rms dttvT
V0
22 )(1
N
kkrms tV
NV
1
21
2hrmsrms VV
DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL (THD)
A partir de lo cual:
k
hhrms
rmsVV V
VTHDTDT
2
2
1
1
k
hhrms
rmsII I
ITHDTDT
2
2
1
1
21 100/1 Vrmsrms THDVV
21 100/1 Irmsrms THDII
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POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEPOTENCIA ACTIVA:
En el caso senoidal:
T
dttitvT
P0
).().(1
h
hhh CosIVP ..
CosIVP ..
22.. PSSenIVQ
22. PQIVS
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE:
En el caso NO‐senoidal:
Budeanu:
En estas condiciones se define la Distorsión de Potencia:
IVS .
h
hh
h IVS 22 .
h
hhh senIVQ ..
)( 2222 QPSD
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13
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FACTORES DE CRESTA
1
2
1
2
V
VVCF
I
ICCF
hh
hh
)1(
)1(
11
11
VCFVVV
CCFIII
hhpico
hhpico
VCFV
V
V
VV
V
VV
CCFI
I
I
II
I
II
picopicopicopupico
picopicopicopupico
1
1
11
1
1)(
11
1
1)(
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RESONANCIA:En un circuito RLC se producirá resonancia cuando:
La frecuencia de resonancia será:
Y el orden armónico al cual se produce la resonancia:
CXLX
rCrrLr
1
LCr
1
L
cr X
Xf
LC
f
LCf 0
0
0
2
1
L
Crr X
X
LCf
fh
00
1
RESONANCIA SERIE:
La impedancia equivalente será:
Para cualquier armónico h:
El módulo de la impedancia:
Para la frecuencia resonante:
El Factor de Calidad Q:
CL XXjRZ
h
XhXjRhZ C
L)(
2
2
h
XhXRhZ C
L
rr
CLr X
h
XXh
L
Cr X
Xh
C
LXXX CLr 2
C
LXXX CLr
R
XQ r
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RESONANCIA SERIE:
0 500 1000 1500 2000 25000.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Frecuencia [Hz]
IZI [
Oh
m]
RESONANCIA PARALELO:
La impedancia equivalente será:
La impedancia para cualquier armónico será:
CLCL
CL
CL
CL
CL
CL
XjXXXR
XjRX
XX
XXjR
XX
XRXj
Z
2
2
CLC
L
CL
CLC
L
CL
XXh
XhXR
XRXhZ
XjXh
XhXR
XjRXhZ
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RESONANCIA PARALELO:
En resonancia:
Y el Factor de Calidad:
rr
CLr X
h
XXh
L
Cr X
Xh
C
LXXX
C
LXXX
CLr
CLr
2
rX
RQ
RESONANCIA PARALELO:
0 500 1000 1500 2000 25000
5
10
15
20
Frecuencia [Hz]
IZI [
Oh
m]
Q=0,5Q=1Q=3
0 500 1000 1500 2000 2500-100
-75
-50
-25
0
25
50
75
100
Frecuencia [Hz]
Fa
se [º
]
Q=0,5Q=1Q=3
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COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:
“Las tensiones o corrientes de un sistema trifásico puedendescomponerse como la suma de dos sistemas trifásicos, una desecuencia positiva y otro de secuencia negativa, mas unacomponente homopolar”
Lógicamente esto es aplicable a los armónicos:
Donde:a =‐0,5+j0,866=1120, y a2=‐0,5‐j0,866=1240
2
1
0
2
2
1
1
111
I
I
I
aa
aa
I
I
I
c
b
a
012* IAIabc abcIAinvI *)(012
COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Tercer armónico
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1
0
1
R
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1
0
1
S
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1
0
1
T
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Vr=V1+V3
COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Quito armónico
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1
0
1
R
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1
0
1
S
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1
0
1
T
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -0.5
0
0.5
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19
Vr=V1+V3+V5
Vr=V1+V3+V5+V7
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20
Vr=V1+V3+V5+V7+V9
COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Secuencias de los componentes armónicos:
h 1 2 3 4 5 6 7
Sec + - 0 + - 0 +
h 8 9 10 11 12 13 14
Sec - 0 + - 0 + -
h 15 16 17 18 19 20 21
Sec 0 + - 0 + - 0
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Inyección de corriente armónica desbalanceada en un sistema de potencia AC desbalanceada
Solución de la Inyección de corriente armónica de las ecuaciones lineales simultaneas
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ORIGEN, EFECTOS, MEDICIÓN, CONFINAMIENTO