ANÁLISIS CINEMÁTICO DE TRES MECANISMOS PARA LA …

ANÁLISIS CINEMÁTICO DE TRES MECANISMOS PARA LA

ORIENTACIÓN ÁNGULAR COORDINADA E INDIVIDUAL DE LOS ÁLABES DE

UN ROTOR DE EJE VERTICAL

ESTEBAN CAMILO APONTE BERMUDEZ

JHON EDINSON GUZMAN MORENO

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

FACULTAD TECNOLÓGICA

PROYECTO CURRICULAR DE MECÁNICA

BOGOTÁ D.C.

2016

2

ANÁLISIS CINEMÁTICO DE TRES MECANISMOS PARA LA ORIENTACIÓN

ÁNGULAR COORDINADA E INDIVIDUAL DE LOS ÁLABES DE UN ROTOR DE

EJE VERTICAL

ESTEBAN CAMILO APONTE BERMUDEZ

JHON EDINSON GUZMAN MORENO

Trabajo de grado para optar al título de Tecnólogo Mecánico

Modalidad monografía

Director

HENRY MORENO ACOSTA

Ingeniero Mecánico

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

FACULTAD TECNOLÓGICA

PROYECTO CURRICULAR DE MECÁNICA

BOGOTÁ D.C.

2016

3

Nota de Aceptación

Presidente del Jurado

Jurado

Jurado

Bogotá D.C. 22 agosto del 2016.

4

AGRADECIMIENTOS

Al Ing. Henry Moreno por su apoyo y asesoría a tiempo y fuera de tiempo

para el desarrollo de esta monografía.

A la Universidad Distrital Francisco José de Caldas – Facultad Tecnológica

por haber sido la unidad proveedora de alimento intelectual y brindarnos las

facilidades en el uso de sus instalaciones para realizar la recopilación de

informaciones teóricas y prácticas para la presente monografía.

A nuestras familias por su apoyo incondicional en cada momento para

poder desarrollarnos como profesionales.

A los profesores y amigos que nos acompañaron y de quienes siempre

recibimos lo mejor.

5

INDICE

1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 13

2. ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIÓN. .......................................................... 14

3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. ............................................................ 14

3.1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA ................................................................ 14

4. OBJETIVOS .................................................................................................... 19

4.1. OBJETIVO GENERAL ............................................................................. 19

4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................................................... 19

5. MARCO TEÓRICO CONCEPTUAL. ............................................................... 19

5.1. MECANISMOS ............................................................................................ 19

5.1.1. DEFINICIÓN DE MECANISMOS Y MÁQUINAS ...................................................... 19

5.1.2. APLICACIONES DE LA CINEMÁTICA ..................................................................... 20

5.1.3. TIPOS DE MOVIMIENTO ...................................................................................... 21

5.1.4. GRADO DE LIBERTAD O MOVILIDAD ................................................................... 22

5.1.5. ANÁLISIS DE POSICIÓN ........................................................................................ 22

5.1.6. ANÁLISIS DE VELOCIDAD. .................................................................................... 23

5.1.7. ANÁLISIS DE ACELERACIÓN. ................................................................................ 23

5.2. TURBO MÁQUINA ...................................................................................... 24

5.3. ÁLABE ........................................................................................................ 24

5.4. ROTOR. ...................................................................................................... 24

5.5. RODETE ..................................................................................................... 24

6. DESARROLLO DE LA PROPUESTA. ............................................................ 25

6.1. Definición de los tres mecanismos para la orientación angular coordinada

e individual de los álabes de un rotor de eje vertical .......................................... 25

6.1.1. Mecanismos considerados. ............................................................................. 25

6.1.1.1. Mecanismo 1. .............................................................................. 25

6.1.1.2. Mecanismo 2. .............................................................................. 28

6.1.1.3. Mecanismo 3. .............................................................................. 31

6.1.1.4. Mecanismo 4. .............................................................................. 32

6.1.1.5. Mecanismo 5. .............................................................................. 35

6

6.1.1.6. Mecanismo 6. .............................................................................. 39

6.1.2. Selección de los tres mecanismos a estudiar. ...................................... 40

6.1.2.1. Criterios de evaluación ................................................................ 40

6.1.2.2. Matriz de decisión de todos los mecanismos. ............................. 42

6.2. Análisis cinemático de cada uno de los mecanismos............................... 43

6.2.1. MECANISMO N° 1. .......................................................................................... 43

6.2.1.1. Grados de libertad (Movilidad) .................................................... 49

6.2.1.2. La condición de Grashof. ............................................................ 50

6.2.1.3. Análisis de posición. .................................................................... 52

6.2.1.4. Análisis de velocidad. .................................................................. 60

6.2.1.5. Análisis de aceleración. .............................................................. 64

6.2.2. MECANISMO N° 2 ........................................................................................... 67

6.2.2.1. Grados de libertad. ...................................................................... 70

6.2.2.2. La condición de grashof. ............................................................. 71

6.2.2.3. Generalidades para la construcción gráfica. ............................... 73

6.2.2.4. Análisis de posición. .................................................................... 76

6.2.2.5. Análisis de velocidad. .................................................................. 84

6.2.2.6. Análisis de Aceleración. .............................................................. 89

6.2.3. MECANISMO 3 ................................................................................................ 93

6.2.3.1. Análisis de posición, velocidad y aceleración del mecanismo. .... 95

6.3. Modelos gráficos y simulaciones cinemáticas computacionales. ........... 102

6.3.1. Mecanismo No. 1 .......................................................................................... 102

6.3.2. Mecanismo No. 2 .......................................................................................... 108

6.3.3. Mecanismo No. 3 .......................................................................................... 115

7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................ 120

8. ANEXOS. ...................................................................................................... 122

9. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................. 131

9.1. WEBGRAFÍA .......................................................................................... 131

7

LISTA DE TABLAS

Tabla 1. Factores de ponderación para cada criterio. ........................................... 42

Tabla 2. Tabla de decisión de los tres mecanismos más óptimos. ........................ 42

Tabla 3. Iteraciones para demostrar que θ2= θ4 .................................................... 55

Tabla 4. Iteraciones para demostrar que el ángulo de la biela no varía. ............... 58

Tabla 5. Descripción de variables para hallar el ángulo θ2 y θ4 con resultado. ..... 80

Tabla 6. Velocidades angulares y lineales calculadas para el mecanismo base en

distintos ángulos. ................................................................................................... 86

Tabla 7. Valores de aceleración calculada para distintos ángulos del mecanismo

propuesto. ............................................................................................................. 90

8

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Representación general en vista isométrico de una turbina eólica en (a)

ensamblada y (b) explosionada. Los autores. 2015. ............................................. 15

Figura 2. Representación general en vista de planta de un rotor de eje vertical. Los

autores, 2015. ....................................................................................................... 16

Figura 3. Descripción Gráfica de la acción del viento y su efecto en el rotor de eje

vertical. Los autores, 2015. ................................................................................... 17

Figura 4. Representación esquemática del rotor eólico con velocidades

tangenciales, nótese que el eje principal se toma como un origen de coordenadas

con sus respectivos cuadrantes. Los autores. 2015. ............................................. 18

Figura 5. Movimiento perpetuo / Perpetual Motion (Idea). Pedro Dueñas. 2015. .. 26

Figura 6. Perpetual Motion. Shifted Levers. Veproject 1. 2015. ............................ 26

Figura 7. Modificación de la Figura 18 para mostrar los mecanismos. Los autores.

2015. ..................................................................................................................... 27

Figura 8. Wind-mill 1ª en 8 posiciones diferentes. Duc Thang,Nguyen. Vietnam.

2010. ..................................................................................................................... 28

Figura 9. Componentes principales del segundo mecanismo. Los autores. 2015.

.............................................................................................................................. 30

Figura 10. Detalle de uno de los brazos para mostrar el mecanismo de cuatro

barras implementado en el segundo ejemplo. Los autores. 2015. ....................... 30

Figura 11. Dos posiciones del rotor Sam Weiss - VAWT Concept (Revised).avi.

2010. ..................................................................................................................... 31

Figura 12. Sam Weiss. Anonimo. 2010. ................................................................ 32

Figura 13. Vertical Axis Wind Turbine (VAWT) Type: Pivoted Panel. Canal

Sveasun1. 2009. ................................................................................................... 33

Figura 14. Esquema mecanismo 4. Los autores. 2015. ........................................ 34

Figura 15. Mecanismo del rotor 4. Los autores. 2015. .......................................... 34

Figura 16. Wind mill Innovative high-energy potential. Pierre Dieudonné, 2013. .. 35

Figura 17. Descripción general de la configuración del mecanismo número 5. Los

autores. 2015. ....................................................................................................... 36

Figura 18. Visualización de velocidades tangenciales de distintos puntos en el

rotor. Los autores. 2015. ....................................................................................... 37

Figura 19. Descripción Gráfica del mecanismo para la configuración número 1. Los

autores. 2015. ....................................................................................................... 38

Figura 20. Keeping direction unchanged during rotation 9b. Thang, Nguyen Duc.

2014 ...................................................................................................................... 39

Figura 21. Repost Figura 5 de la Unidad 7.1.1.1 ................................................... 43

Figura 22. Modificaciones en álabes del mecanismo tomado en la red. Los

autores. 2016. ....................................................................................................... 43

9

Figura 23. Representación de los tres sub-mecanismos que intervienen. Los

autores. 2016. ....................................................................................................... 44

Figura 24 Detalle de mecanismo base. Los autores. 2016. .................................. 44

Figura 25. Detalle de los eslabones que conforman el mecanismo base. Los

autores. 2016. ....................................................................................................... 45

Figura 26. Esquema del eslabón A (biela) con el álabe. Los autores. 2016. ......... 46

Figura 27. Diámetro total de uso como factor de diseño. Los autores. 2016. ....... 47

Figura 28. Detalle composición de un radio. Los autores. 2016. ........................... 47

Figura 29. Circunferencia trazada por los álabes. Los autores. 2016. .................. 48

Figura 30. Resultado de la longitud del brazo. Los autores. 2016. ........................ 48

Figura 31. Modelo pictórico con modelo cinemático (diagrama de cuerpo libre). .. 51

Figura 32. Modelo para diagrama de cuerpo libre. Los autores. 2016. ................. 53

Figura 333 Diagrama de cuerpo libre para estudio de velocidades. Norton Robert.

2005. ..................................................................................................................... 60

Figura 34. Wind-mill 1ª, Descripción simplificada del rotor realizada por el autor.

Duc Thang,Nguyen. Vietnam. 2010. ..................................................................... 69

Figura 35. Detalle sub-mecanismo fundamental. Izquierda: mecanismo a estudiar.

Derecha: Composición de cuatro barras a partir de la imagen de la izquierda

tomando como referencia los puntos A y B. Los autores. 2016. ........................... 70

Figura 36. Detalle de eslabones. Izquierda: designación 4 barras para el

mecanismo Nº 2. Derecha: Inversión de eslabonamiento de Grashof de cuatro

barras, Diseño de maquinaria, Norton (2005). ...................................................... 71

Figura 37. Construcción de un boceto a partir de mediciones a escala. Los

autores. 2016. ....................................................................................................... 72

Figura 38. Esquema modelo del mecanismo. Los autores. 2016. ......................... 73

Figura 39. Dibujo del Eslabón 3 o biela. Los autores. 2016. ................................. 74

Figura 40. Dibujo de eslabones 2 y 4 o manivelas. Los autores. 2016. ................ 74

Figura 41. Modelo de ideal del mecanismo. Los autores. 2016. ........................... 75

Figura 42. Izquierda: El álabe se encuentra en posición perpendicular a la

dirección del viento. Derecha: El álabe se encuentra paralelo a la dirección del

viento. (El viento está representado por las flechas de color negro). Los autores.

2016. ..................................................................................................................... 76

Figura 43. Se ordena el mecanismo de 4 Barras a un plano cartesiano y se

renombran los puntos según la teoría. Los autores. 2016. ................................... 77

Figura 44. Posiciones a analizar en el mecanismo. El sentido de giro del

mecanismo es contrario a las manecillas del reloj. Los autores. 2016. ................. 77

Figura 45. Boceto pictórico del mecanismo con ángulos en una posición inicial. Los

autores. 2016. ....................................................................................................... 81

Figura 46. Dirección de velocidades y ángulos. Los autores. 2016. ...................... 84

10

Figura 47. Especificación del mecanismo repetido matricialmente. Los autores.

2016. ..................................................................................................................... 93

Figura 48. Composición Polea- Correa y álabe. Los autores. 2016. ..................... 94

Figura 49. Representación real de polea – correa. Robert Norton. 2005. ............. 94

Figura 50. Diagrama de cuerpo libre real de polea – correa. Robert Norton. 2005.

.............................................................................................................................. 95

Figura 51. Posicionamiento de álabe en distintas posiciones. Los autores. 2016. 95

Figura 52. Engranaje epicíclico. Robert Norton. 2015. .......................................... 96

Figura 53. Velocidades y ángulo que intervienen. ................................................. 96

Figura 54. Detalle longitudes de las poleas. Los autores. 2016. ........................... 98

Figura 55. Movimientos trazados por el álabe. Los autores. 2016. ....................... 99

Figura 56 Visualización ideal del mecanismo No. 1 construido. .......................... 102

Figura 57 Plano 1 de 5 mecanismo No. 1 ........................................................... 103



Figura 60 Plano 4 de 5 mecanismos No. 1 ......................................................... 106



Figura 63 Ensamble del mecanismo n° 2. ........................................................... 109


Figura 65 Plano 2 de 5 mecanismo No. 2 .......................................................... 111









11

LISTA DE GRAFICAS

Gráfica 1 Cambio de ángulo para cada eslabón del mecanismo 1 respecto al

tiempo. Software Working Model 2D. Los autores. 2016. ..................................... 59

Gráfica 2 Velocidades de los eslabones del mecanismo 1 contra el tiempo.

Software Working Model 2D. Los autores. 2016. .................................................. 63

Gráfica 3. Aceleración de los eslabones del mecanismo 1 respecto al tiempo.

Software Working Model 2D. Los autores. 2016. .................................................. 67

Gráfica 4 Ángulo de entrada del mecanismo 2 respecto al ángulo de salida del

álabe. Microsoft Excel. Los autores. 2016. ............................................................ 82

Gráfica 5 Ángulo de entrada del mecanismo 2 y de salida del álabe respecto al

tiempo. Working Model 2D. Los autores. 2016...................................................... 83

Gráfica 6 Velocidades angulares y lineales de los eslabones respecto al ángulo de

entrada. Microsoft Excel. Los autores. 2016. ........................................................ 87

Gráfica 7 Velocidad Lineal de la Junta B respecto al tiempo. Software CAD

Solidworks. Los autores. 2016. ............................................................................. 87

Gráfica 8 Velocidad lineal de la Junta A respecto al tiempo. Software CAD

Soliworks. Los autores. 2016. ............................................................................... 88

Gráfica 9 Velocidad Angular del eslabón 3 (biela) respecto al tiempo. Software

CAD Soliworks. Los autores. 2016. ....................................................................... 88

Gráfica 10 Velocidad angular del eslabón 4 respecto al tiempo. Software CAD


Gráfica 11 Aceleraciones del mecanismo respecto ángulo recorrido. Microsoft

Excel. Los autores. 2016. ...................................................................................... 91

Gráfica 12 Aceleración angular de la biela respecto al tiempo. Software CAD

Solidworks. Los autores. 2016. ............................................................................. 92

Gráfica 13 Aceleración del Eslabón n° 3 respecto al tiempo. Software CAD


Gráfica 14 Ángulo del brazo en el tiempo. Solidworks. Los autores. 2016 ........... 99

Gráfica 15 Ángulo de engranaje planetario respecto al tiempo. Solidworks. Los

autores. 2016 ...................................................................................................... 100

Gráfica 16 Velocidad angular tomada por el brazo respecto al tiempo. Solidworks.

Los autores. 2016 ................................................................................................ 101

Gráfica 17 Velocidad angular del engranaje planetario. Solidworks. Los autores.

2016 .................................................................................................................... 101

12

LISTA DE ANEXOS

Anexo A Desarrollo del análisis de posición, Robert Norton, Diseños de

Maquinaria. Edición 3ra. 2015. ............................................................................ 122

Anexo B Desarrollo del análisis de posición, Robert Norton, Diseños de


Anexo C Desarrollo del análisis de velocidad, Robert Norton, Diseños de


Anexo D Desarrollo del análisis de aceleración, Robert Norton, Diseños de


13

1. INTRODUCCIÓN

En los estudios mecánicos de aplicaciones eólicas hay multiplicidad de artículos,

textos, investigaciones y demás, que proporcionan gran cantidad de información

muy completa sobre el funcionamiento, velocidades, rendimientos entre otras

características de los álabes que integran los rotores de las maquinas hidráulicas

o eólicas, pero esta gran cantidad de información está limitada a un movimiento

fijo de los álabes al respecto del rotor los cuales conforman una sola pieza.

Ahora bien, cuando el álabe lleva el movimiento rotacional del rotor, pero además

de eso se pretende llevar un movimiento independiente que cumpla un

determinado patrón para mejorar o cumplir alguna función determinada, es cuando

el diseñador comienza a consultar el tema de los rodetes guiados por

mecanismos. Sobre estos se sabe de su existencia por su funcionamiento en otra

clase de maquinaria y al momento que se quiere incluir en nuevos diseños, los

tecnólogos o ingenieros buscan fuentes de los movimientos cinemáticos de estos

álabes con movimientos agregados independientes distintos al movimiento del

rodete. En la búsqueda de dichas fuentes para comenzar su proceso de diseño es

cuando se llega a algunos inconvenientes, ya que los estudios sobre estos álabes

guiados por mecanismos se hacen cortos y restringidos, entonces se debe partir

de cero sin ayudas guías para determinar relaciones de movimientos y

velocidades, el cómo se logra formular una descripción del movimiento de estos

mecanismos con modelos matemáticos.

El objeto de estudio y trabajo de este proyecto es el mecanismo de orientación

angular coordinada e individual de los álabes de un rotor de eje vertical, además

se enfoca en el análisis de aspecto descriptivo y predictivo de los mecanismos

propuestos, pero no está orientado a estudiar ninguna aplicación específica de

ellos, por ejemplo, no se considerarán aspectos de fuerzas, estudios cinéticos o

eficiencias porque no se considera la aplicación particular. La utilidad está en el

conocimiento que se obtiene este proyecto sobre el mecanismo propiamente

dicho.

14

2. ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIÓN.

La importancia en el desarrollo de los análisis cinemáticos de una cantidad

determinada de mecanismos eólicos de orientación angular coordinada e

individual de los álabes de un rotor, es darle herramientas al diseñador para poder

recurrir al uso de estos modelos con muchas más bases y destrezas para

determinar distintos parámetros de diseño, ya que facilita la descripción del

comportamiento cinemático de estos mecanismos, por ende, un mejor

aprovechamiento o aplicación de estos.

Esta noción no solo se limitará a los tres mecanismos planteados, ya que estos

sirven de ejemplo y guía para desarrollar el mismo estudio con distintos

mecanismos para el enriquecimiento del campo y de esta teorización.

Al momento de realizarse el diseño de la máquina, en este caso las turbinas

eólicas de eje vertical previamente se debe determinar la configuración cinemática

necesaria para producir el movimiento esperado, pero para optimizar el proceso

de diseño se pretende realizar un análisis cinemático, y que quede documentado

para que el ingeniero ya parta de unas bases fundamentales para el posterior

desarrollo mecánico de una máquina y en este caso un mecanismo de eje vertical.

3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

3.1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

Las turbinas eólicas de eje vertical son dispositivos de rotación las cuales su eje

principal (eje de rotación) se encuentra perpendicular al suelo. Funcionan

utilizando el viento como recurso para transformar energía eólica (viento) a

energía mecánica (rotor), y luego a energía eléctrica (generador eléctrico). Figura

1.

Estas turbinas tienen la ventaja de adaptarse a cualquier dirección de viento y por

ello se les llama panémonos (todos los vientos). No precisan dispositivos de

orientación; trabajan por la diferencia de coeficiente de arrastre entre las dos

15

mitades de la sección expuesta al viento. Esta diferencia de resistencia al viento

hace que el rotor sea propenso a girar sobre su eje en un sentido específico.

Figura 1. Representación general en vista isométrico de una turbina eólica en (a) ensamblada y (b) explosionada. Los autores. 2015.

Ya que los rotores que necesitan del viento para hacer que su sistema funcione, el

correcto movimiento de cada uno de sus elementos hará que el eje principal

(punto O Figura 2) gire en dirección del viento. El rotor (Figura 2) es el primer

componente del sistema que interactúa con el viento para llevar a cabo el proceso

de conversión, convirtiendo la energía cinética del viento en energía mecánica en

el eje (O) del rotor1.

1Diseño y construcción de un prototipo de turbina eólica de eje vertical para generación a baja potencia, Orduz Berdugo, Oscar; Suárez Pérez, Julián. UIS, Bucaramanga 2011.

16

Figura 2. Representación general en vista de planta de un rotor de eje vertical. Los autores, 2015.

El rotor por su parte, está conformado por un conjunto de elementos mecánicos

que, trabajando articulada y ordenadamente, pueden transformar el movimiento

óptimo de la turbina, los cuales se detallan de una forma general: el eje principal

(E) y los álabes (A), (B), (C) Y (D) mostrados en la Figura 1.

El sistema eólico, para este caso, está compuesto por el viento el cual va en dirección negativa del eje x como se muestra en la Figura 2, y por el rotor. Este último recibe al viento con mayor intensidad en los álabes A y B, pero la interacción del viento con el álabe A provocará un sentido de giro en sentido contrario a las manecillas del reloj y teniendo una velocidad tangencial como se muestra en el esquema de movimiento del rotor (Figura 3), obedeciendo principios de movimiento circular de física.

17

Figura 3. Descripción Gráfica de la acción del viento y su efecto en el rotor de eje vertical. Los autores, 2015.

Las ilustraciones mostradas anteriormente representan una de varias

configuraciones de turbinas eólicas de eje vertical diseñadas y patentadas en el

mundo, y su diseño se basa en la eficiencia energética de las mismas. Por tal

razón, el diseñarlas depende de muchos factores de ingeniería, por ejemplo, en la

Figura 4 se necesita que el viento golpee con mayor magnitud en los cuadrantes I

y II (zona donde está ubicado el álabe A), y con menor magnitud en los cuadrantes

III y IV (zona donde está ubicado el álabe B) pero ya se puede concluir por lógica

que el viento tendrá la misma magnitud en todos los cuadrantes, así que la

posición del álabe B presenta una dificultad de movimiento de giro ya que hay dos

direcciones de movimiento que se enfrentan entre sí. (Véase Figura 4).

Por ende, se han diseñado varios modelos de turbinas eólicas de eje vertical, los

cuales buscan una mejora en el movimiento circular y aprovechar al máximo la

energía entregada por el viento, pero hasta el momento, el movimiento articulado

de los álabes (que es el punto central del análisis) sólo ha sido diseñado para

depender exclusivamente del viento, es decir, siguen un patrón de movimiento

relativo en cada uno de los cuadrantes del rotor para conseguir la velocidad

angular deseada.

18

Figura 4. Representación esquemática del rotor eólico con velocidades tangenciales, nótese que el eje principal se toma como un origen de coordenadas con sus respectivos cuadrantes. Los autores. 2015.

Ahora bien, si una opción es permitir que haya una posición perpendicular entre el

viento y los álabes en los cuadrantes I y II, y todo lo contrario en los cuadrantes III

y IV, entonces se recurre a dar orientación a los álabes del rotor, pero siguiendo

un patrón de movimiento para que se pueda resolver este problema, y a pesar de

existir información de diferentes configuraciones para lograr este resultado,

también hay carencia de información en lo que respecta al comportamiento

cinemático de esta clase de elementos mecánicos, además, como se mencionó

anteriormente, sólo obedecen su movimiento a la acción del viento sobre ellos, sin

embargo, existe la posibilidad de mejorar el rendimiento de estos sistemas

consiguiendo un movimiento articulado y coordinado entre cada uno de los álabes

para obtener el mismo resultado.

19

4. OBJETIVOS

4.1. OBJETIVO GENERAL

Realizar el análisis cinemático de tres mecanismos para la orientación

angular coordinada e individual de los álabes de un rotor de eje vertical.

4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Definir los tres mecanismos para la orientación angular coordinada e

individual de los álabes de un rotor de eje vertical.

Describir los tres mecanismos definidos.

Realizar el análisis cinemático de cada uno de los tres mecanismos.

Elaborar los modelos gráficos y simulaciones cinemáticas computacionales

de cada uno de los tres mecanismos.

Elaborar los modelos físicos funcionales de cada uno de los tres

mecanismos.

5. MARCO TEÓRICO CONCEPTUAL.

El sentido de la contextualización y con el fin de marcar ayudas que faciliten

comprender los temas más amplios que intervienen en el proyecto, se acude a las

siguientes definiciones que se necesitan conocer:

5.1. MECANISMOS

5.1.1. DEFINICIÓN DE MECANISMOS Y MÁQUINAS

Un mecanismo es un dispositivo que transforma el movimiento en un patrón

deseable, y por lo general desarrolla fuerzas muy bajas y transmite poca potencia.

Una máquina, en general, contiene mecanismos que están diseñados para

producir y transmitir fuerzas significativas. Algunos ejemplos comunes de

20

mecanismos pueden ser un sacapuntas, un obturador de cámara fotográfica, un

reloj análogo, una silla plegable, una lámpara de escritorio ajustable y un

paraguas. Algunos ejemplos de máquinas que poseen movimientos similares a los

mecanismos antes mencionados son un procesador de alimentos, la puerta de la

bóveda de un banco, la transmisión de un automóvil, una niveladora, un robot y un

juego mecánico de un parque de diversiones. No existe una clara línea divisoria

entre mecanismos y máquinas. Difieren en su grado y no en su clase. Si las

fuerzas o niveles de energía en el dispositivo son significativos, se considerará

como una máquina; si no es así, será considerado como un mecanismo. Una

definición útil de trabajo de un mecanismo es un sistema deelementos

acomodados para transmitir movimiento de una forma predeterminada. Ésta

puede ser convertida en una definición de una máquina si se le agregan las

palabras y energía después de la palabra movimiento.

5.1.2. APLICACIONES DE LA CINEMÁTICA

Una de las primeras tareas al resolver cualquier problema de diseño de máquinas

es determinar la configuración cinemática necesaria para producir los movimientos

deseados. En general, los análisis de fuerzas y esfuerzos no pueden ser

realizados hasta que los problemas cinemáticos hayan sido resueltos. Esto

depende del diseño de dispositivos cinemáticos tales como eslabonamientos,

levas y engranes.

Virtualmente cualquier máquina o dispositivo que se mueve contiene uno o más

elementos cinemáticos, tales como eslabonamientos, levas, engranes, bandas,

cadenas. La bicicleta puede ser un ejemplo simple de un sistema cinemático que

contiene una transmisión de cadena para generar la multiplicación del par de

torsión, y eslabonamientos operados por cables simples para el frenado. Un

automóvil contiene muchos más dispositivos cinemáticos. Su sistema de dirección,

la suspensión de las llantas y el motor de pistones contienen eslabonamientos; las

válvulas del motor son abiertas por levas, y la transmisión tiene muchos engranes.

Incluso los limpiaparabrisas son operados por eslabonamientos.

21

5.1.3. TIPOS DE MOVIMIENTO

Un cuerpo rígido libre de moverse dentro de un marco de referencia, en el caso

general, tendrá movimiento complejo, el cual es una combinación simultánea de

rotación y traslación. En el espacio tridimensional, puede haber rotación

alrededor de un eje (cualquier eje oblicuo o uno de los tres ejes principales) y

también traslación simultanea que se puede resolver en elementos a lo largo de

tres ejes. En un plano, o espacio bidimensional, el movimiento complejo se vuelve

una combinación de rotación simultánea alrededor de un eje (perpendicular al

plano) así como traslación descompuesta en elementos a lo largo de dos ejes en

el plano. Para simplificar, se limitara este análisis al caso de sistemas

cinemáticos planos (2-D). Para este propósito, se definirán estos términos en

movimiento plano como sigue:

Rotación pura

El cuerpo posee un punto (centro de rotación) que no tiene movimiento con

respecto al marco de referencia “estacionario”. Todos los demás puntos del cuerpo

describen arcos alrededor del centro. Una línea de referencia trazada en el cuerpo

a través del centro cambia sólo su orientación angular.

Traslación pura

Todos los puntos del cuerpo describen trayectorias paralelas (curvilíneas o

rectilíneas). Una línea de referencia trazada en el cuerpo cambia su posición lineal

pero no su orientación angular.

Movimiento complejo

Una combinación simultánea de rotación y traslación. Cualquier línea de referencia

trazada en el cuerpo cambiará tanto su posición lineal como su orientación

angular. Los puntos en el cuerpo recorrerán trayectorias no paralelas, y habrá, en

todo instante, un centro de rotación, el cual cambiará continuamente de ubicación.

La traslación y rotación representan movimientos independientes del cuerpo.

Cada uno puede presentarse sin el otro. Si se define un sistema de coordenadas

22

2-D los términos en x e y representan componentes de movimiento de traslación,

y el término θ la componente de rotación.

5.1.4. GRADO DE LIBERTAD O MOVILIDAD

El concepto de grado de libertad (GDL) es fundamental tanto para la síntesis como

para el análisis de mecanismos. Es necesario ser capaz de determinar

rápidamente el GDL de cualquier conjunto de eslabones o juntas que pueda ser

sugerido como solución a un problema. El grado de libertad (también llamado

movilidad M) de un sistema se define como:

Grado de libertad el número de entradas que se necesita proporcionar para crear

una salida predecible.

O también:

El número de coordenadas independientes requerido para definir su posición.

5.1.5. ANÁLISIS DE POSICIÓN

Una vez que el diseño tentativo de un mecanismo ha sido sintetizado, debe

entonces ser analizado. Un objetivo fundamental del análisis cinemático es

determinar las aceleraciones de todas las partes móviles del ensamble. Las

fuerzas dinámicas son proporcionales a la aceleración, según la segunda ley de

Newton. Es necesario conocer las fuerzas dinámicas para calcular los esfuerzos

en los componentes. El ingeniero de diseño debe garantizar que el mecanismo o

máquina propuesta no fallará en condiciones de operación. Por lo tanto, los

esfuerzos en los materiales deben mantenerse por debajo de los niveles

permisibles. Para calcular los esfuerzos, es necesario conocer las fuerzas

estáticas y dinámicas sobre las partes. Para calcular las fuerzas dinámicas se

necesita conocer las aceleraciones, primero se deben localizar las posiciones de

todos los eslabones o elementos en el mecanismo por cada incremento del

movimiento de entrada, y luego diferenciar las ecuaciones de posición contra el

tiempo para hallar las velocidades y luego diferenciar otra vez para obtener

expresiones para la aceleración. Por ejemplo, en un simple mecanismo de

Grashof de cuatro barras, es probable que se desee calcular las posiciones,

23

velocidades y aceleraciones de los eslabones de entrada (acoplador y balancín)

quizá para cada dos grados (180 posiciones) de la posición de la manivela de

entrada durante una revolución de ésta.

5.1.6. ANÁLISIS DE VELOCIDAD.

Una vez que se analiza la posición, el siguiente paso es determinar las

velocidades de todos los eslabones y puntos de interés en el mecanismo. Es

necesario conocer todas las velocidades en el mecanismo o máquina, tanto para

calcular la energía cinética, como para determinar las aceleraciones de los

eslabones que se requieren para calcular la fuerza dinámica. Existen muchos

métodos para hallar las velocidades en los mecanismos, aquí se examinaran solo

algunos de ellos. Primero se desarrollan métodos gráficos manuales, que a

menudo son útiles para comprobar una solución analítica más completa y precisa.

También se investigan las propiedades del centro instantáneo de velocidad, que

pueden arrojar mucha luz sobre el comportamiento de la velocidad de un

mecanismo con muy poco esfuerzo. Por último, se deriva la solución analítica del

mecanismo de cuatro barras y del mecanismo manivela-corredera invertido como

ejemplos de la solución de lazo vectorial general a problemas de análisis de

velocidad. Con estos cálculos, se establecerán algunos índices de mérito para

juzgar los diseños expuestos mientras aún están en la mesa de dibujo (o en la

computadora).

5.1.7. ANÁLISIS DE ACELERACIÓN.

Una vez que se ha hecho el análisis de la velocidad, el siguiente paso es

determinar las aceleraciones de todos los eslabones y puntos de interés en el

mecanismo o máquina. Existen muchos métodos para encontrar las aceleraciones

en mecanismos. Aquí sólo se examinarán algunos. Primero se desarrolla un

método gráfico manual, que a menudo es útil como comprobación de la solución

analítica más completa y precisa. Luego se deriva la solución analítica para las

aceleraciones en los mecanismos de cuatro barras y de manivela-corredera

invertidos como ejemplos de solución con la ecuación de lazo vectorial general a

muchos problemas de análisis de la aceleración.

24

5.2. TURBO MÁQUINA

Una turbo máquina es una máquina cuyo elemento principal es un rodete (rotor

giratorio) a través del cual pasa un fluido de forma continua, cambiando éste su

cantidad de movimiento por acción de la máquina. Se da así una transferencia de

energía entre la máquina y el fluido a través del momento del rotor sea en sentido

máquina-fluido (como en el caso de una bomba hidráulica) o fluido-máquina (como

en el caso de una turbina).

5.3. ÁLABE

Un álabe es la paleta curva de una turbo máquina o máquina de fluido

rotodinámica. Forma parte del rodete y, en su caso, también del difusor o del

distribuidor. Los álabes desvían el flujo de corriente, bien para la transformación

entre energía cinética y energía de presión por el principio de Bernoulli, o bien

para intercambiar cantidad de movimiento del fluido con un momento de fuerza en

el eje.

5.4. ROTOR.

El rotor más adecuado para producir energía eléctrica es el tipo hélice. El rotor

convierte la energía del viento en rotación y, por lo tanto, es el motor.

5.5. RODETE

El rodete es un tipo de rotor situado dentro de una tubería o un conducto y

encargado de impulsar un fluido. Generalmente se utiliza este término para

referirse al elemento móvil de una bomba centrífuga, pero en ocasiones también

se utiliza para referirse al elemento móvil de turbinas y ventiladores.

Consiste en un disco perpendicular al eje de giro, compuesto por álabes curvados

en dirección contraria al movimiento. Según los esfuerzos que deba soportar y la

agresividad del medio que deba impulsar, el rodete puede estar hecho de aleación

metálica, como por ejemplo acero o aluminio, o de algún polímero, como por

ejemplo poliamida.

25

6. DESARROLLO DE LA PROPUESTA.

6.1. Definición de los tres mecanismos para la orientación angular

coordinada e individual de los álabes de un rotor de eje vertical

6.1.1. Mecanismos considerados.

Se recopiló información de distintas fuentes en libros, artículos e internet,

principalmente sobre mecanismos presentes en rotores que les dan a sus álabes

una orientación angular, coordinada e individual que se asemejen a los estudiados

en este proyecto.

Teniendo reseñadas y seleccionadas las distintas fuentes, se comienza a

descartar información innecesaria y a organizar los datos productivos para la

iniciación de los estudios autónomos.

Los artículos preseleccionados de manera general fueron:

6.1.1.1. Mecanismo 1.

Descripción: Este rotor en esencia no es elaborado por los autores con fines de

crear energía eólica, ellos describen el rotor en un video como una forma de crear

un movimiento perpetuo y lo llaman “Perpetual Motion Shifted Levers”2. Esta teoría

no es propósito de discusión para este artículo, sin embargo, se puede estudiar el

mecanismo de orientación de álabes que ayuda a erradicar par contrarios al

movimiento, este mecanismo lo que hace es reducir considerablemente la

distancia entre el eje central del álabe y el centro del rotor, así el torque contrario

al movimiento se reduce notablemente. (Ver Figura 5).

2 Movimiento perpetuo / Perpetual Motion (Idea); (2015, Enero 27), Pedro Dueñas. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=srBbJSzaqOg.

26

Figura 5. Movimiento perpetuo / Perpetual Motion (Idea). Pedro Dueñas. 2015.

Figura 6. Perpetual Motion. Shifted Levers. Veproject 1. 2015.

Composición: Este rotor se estructura de dos bases descentralizadas de tres

brazos cada una, con bielas que unen un brazo con otro de cada base, en las

bielas vienen estructurados los álabes de impulso.

27

Figura 7. Modificación de la Figura 18 para mostrar los mecanismos. Los autores. 2015.

28


Descripción: El rotor con el mecanismo Número dos se encuentra en la red como

Wind-mill 1ª 3, el cual presenta una configuración diferente para la creación de

energía eólica, este mecanismo cumple la condición de poseer un eje vertical, las

imágenes que ilustra la configuración de este son:

Figura 8. Wind-mill 1ª en 8 posiciones diferentes. Duc Thang,Nguyen. Vietnam. 2010.

3 La simulación de este mecanismo se consigue en esta dirección de página web publicado el 6 Oct. del 2010: https://www.youtube.com/watch?v=7pN7hFZuIUw

29

Este mecanismo fue elaborado por el Ingeniero Mecánico Nguyen Duc Thang,

Doctor en Ingeniería, 1984, Kosice Universidad de Tecnología de Eslovaquia 4,

este Doctor ha publicado en su canal numerosos videos de simulaciones de

mecanismos con distintas aplicaciones.

El rotor fue simulado enfocándolo principalmente a la producción de energía eólica

con rotores de eje vertical, lo que se ajusta completamente al desarrollo de alguna

solución para el problema principal.

Función: En la Figura 8 se muestra el recorrido de un álabe de los 6 disponibles

para este rotor. En la posición a, b y c el álabe entra en mayor contacto posible

con las ráfagas de aire al tomar una posición perpendicular al vector dirección del

aire.

Los campos d, g, y h son posiciones de transición en el mayor y menor contacto

con el aire y viceversa, por último, las posiciones e y f el álabe esta de perfil a la

dirección del aire y en su forma más aerodinámica, lo que quiere decir que causa

la menor resistencia posible al paso del aire, los que amplifica el giro en sentido

horario.

Composición: Es un enlace de 4 barras que consta de dos manivelas (barra azul,

disco amarillo) y una biela (vela verde). La barra azul gira sobre la excéntrica de

un eje fijo de color rosa. Esta disposición hace que la vela verde presente su cara

a la acción del viento, pero se muestra en filo al volver hacia el viento (la dirección

del viento se indica con la flecha roja). El movimiento de salida (rotación en

sentido horario) se toma desde el disco amarillo pasando al eje principal, todo esto

para la Figura 8. 5

4 Datos obtenidos en la información de su canal en la página de web con dirección: https://www.youtube.com/user/thang010146/about 5 Información tomada y traducida al español de: https://www.youtube.com/watch?v=7pN7hFZuIUw

30

Figura 9. Componentes principales del segundo mecanismo. Los autores. 2015.

La Figura 9 indica los componentes principales que hacen parte del rotor. Estos

son: La base, que funciona como una manivela, cuatro brazos que también

trabajan como manivelas, cuatro álabes que tienen una añadidura la cual sirve

como biela. Estos forman un mecanismo de cuatro barras.

Figura 10. Detalle de uno de los brazos para mostrar el mecanismo de cuatro barras implementado en el segundo ejemplo. Los autores. 2015.

31

En la Figura 10 se ve el detalle y la especificación del mecanismo de cuatro

barras que modela el movimiento rotacional y de traslación del álabe alrededor de

sus dos centros.


Descripción: El rotor con el mecanismo número 4 es titulado por el autor como

Sam Weiss - VAWT Concept (Revised).avi y publicado en la red6, donde el

mecanismo genera una restricción cinemática impuesta a los álabes que

determina sus ángulos para que cada hoja siempre está generando par positivo.

Figura 11. Dos posiciones del rotor Sam Weiss - VAWT Concept (Revised).avi. 2010.

Composición: Este rotor está restringido por un mecanismo que tiene como

componente de trasmisión principal las correas evidenciadas en la Figura 11 y un

juego de poleas que le dan la exactitud del movimiento.

6Canal de youtube "sweissarmyknife"; (2010, Marzo 22) Sam Weiss - VAWT Concept (Revised).avi. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=vdMGdF9g490

32

Figura 12. Sam Weiss. Anonimo. 2010.

En la Figura 12 tomada de otro video del mismo autor7, se ve claramente el juego

de poleas que le de los movimientos a los álabes, además en la parte media se

encuentran unas ruedas dentadas que ayudan al mecanismo a poner el álabe

inicial en la posición con mayor contacto con el aire, independiente del sentido del

aire.


En la red se encuentra con el nombre "Vertical Axis Wind Turbine (VAWT) Type:

Pivoted Panel"8 por un usuario anónimo suscrito a una página web9, el nombre de

este video que traducido al español significa "turbina de viento con eje vertical

(VAWT) Tipo: Panel Pivotado", lleva a recompilar e integrar esta información, ya

que se considera como una opción de solución.

7 Canal de youtube "sweissarmyknife"; (2010, Marzo 22) Sam Weiss – VAW. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=Au4-3Gs1O_g. 8 Canal de youtube Sveasun1. (2009, Abril 11) Vertical Axis Wind Turbine (VAWT) Type: Pivoted Panel. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Tgq4TC2etag. 9 http//:www.youtube.com

33

Figura 13. Vertical Axis Wind Turbine (VAWT) Type: Pivoted Panel. Canal Sveasun1. 2009.

Esta figura fue tomada del video reseñado10, el cual muestra el funcionamiento de

modelos físicos ensamblados y en movimiento por la acción del aire.

Función: Este mecanismo en esencia es análogo a los tres anteriores, busca en

un extremo ejercer máxima resistencia al paso del aire y en el extremo opuesto de

un diámetro lo contrario a la anterior.

10 Canal de youtube Sveasun1. (2009, Abril 11) Vertical Axis Wind Turbine (VAWT) Type: Pivoted Panel. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Tgq4TC2etag.

34

Figura 14. Esquema mecanismo 4. Los autores. 2015.

Composición: De la Figura 14 se pueden ver tres grandes grupos, el "a." que son

los juegos de álabes, 12 para este ejemplo, el grupo "b." que son las piezas de

sostenimiento y bases donde se apoyan las demás piezas, y el grupo "c." que es

el conjunto de piezas que componen el mecanismo principal, lo componen las

manivelas grises y las bielas verdes.

Figura 15. Mecanismo del rotor 4. Los autores. 2015.

35

El mecanismo está compuesto de siete bielas y dos manivelas como lo muestra la

Figura 15, la manivela 5-8 tiene una ranura en el centro pasando por el punto 0

conformando una junta deslizante y rodante con la otra manivela 2-11.


Descripción: Este mecanismo desarrollado por el francés Pierre Dieudonné y

publicado en la red11, es aplicado en el mismo campo de interés, es decir, la

generación de energía eólica a partir de rotores de ejes verticales y álabes

orientables por mecanismos. De este estudio se tomó como guía la Figura 16, se

da una idea de la configuración básica del rotor, y se ve la orientación de los

álabes en distintas posiciones sin mostrar especificaciones de los componentes

del mecanismo que registre dichas posiciones.

Figura 16. Wind mill Innovative high-energy potential. Pierre Dieudonné, 2013.

Función: Para poder detallar y hacer bosquejos de la configuración del

mecanismo, se debe entender el funcionamiento y patrones del posicionamiento

angular de los álabes respecto al movimiento circular entorno del eje, para esto se

realizó una descripción visual del posicionamiento (Figura 17).

11Los videos que simulan este mecanismo se encuentran en https://www.youtube.com/watch?v=qg7hxaPAjnw.

36

Figura 17. Descripción general de la configuración del mecanismo número 5. Los autores. 2015.

En la Figura 17 se identifican dos parejas de álabes opuestos, el álabe "a" con el

"b" y álabe "c" con el "d", si se extiende el eje central de cualquiera de estos

álabes formara un ángulo recto con la extensión del eje central del álabe opuesto,

esto se repite para cualquier posición que tome dicho álabe. Esta disposición de

los álabes es muy beneficiosa para la producción de energía eólica y evitar el

problema principal de investigación.

La posición del álabe "d" en la Figura 17 es la más óptima aerodinámicamente

presentando la menor resistencia posible al paso del aire, el caso contrario se

presenta en el álabe opuesto "c" donde su posición es contraria a la dirección del

viento, estas dos situaciones benefician a la rotación del rotor con un giro positivo

alrededor del eje Z, como se muestra en la Figura 18 alrededor del Punto B.

37

Figura 18. Visualización de velocidades tangenciales de distintos puntos en el rotor. Los autores. 2015.

En la Figura 18, se ve el sentido de rotación del álabe alrededor del Punto A,

también el sentido de traslación del álabe alrededor del Punto B, además las

velocidades tangenciales del recorrido con Punto C y Punto A, sujetas a los

anteriores movimientos de rotación y traslación.

Composición: Para restringir el movimiento coordinado de este rotor como se

mostró en el punto anterior, se debe diseñar un mecanismo que lleve a cabo los

movimientos correlacionados de cada álabe, para esto se pensó un juego de

ruedas dentadas como se muestra a continuación.

38

Figura 19. Descripción Gráfica del mecanismo para la configuración número 1. Los autores. 2015.

A. Álabe. B. Ruedas dentadas cónicas.

C. Rodamientos. D. Eje trasmisor.

E. Base del rotor. F. Engrane cónico principal.

G. Eje principal de producción energética.

La base del rotor es una de las piezas esenciales del mismo, es donde se

sostienen y apoyan las demás piezas. Como se ha visto a lo largo del estudio,

estos rotores están condicionado al uso de álabes, 4 para este ejemplo. Otro

grupo de piezas son las que limitan el movimiento especial o propias del

mecanismo, para este caso en particular son las piezas B, D, y F de la Figura 19.

Y por último, son los accesorios complementarios o de ayuda como lo pueden ser

los rodamientos, estas son las piezas que componen este mecanismo en un

escaneo rápido.

39


Descripción: El rotor número 6 lo compone un mecanismo de trasmisión por

ruedas dentadas para darle orientación a los álabes, estos álabes van a

permanecer paralelos entre sí en todo el recorrido además se ajustan según la

dirección del aire. Este rotor se encuentra en la red en un video llamado por el

autor como: “Keeping direction unchanged during rotation 9b”12, lo que traduce al

español “Mantener dirección sin cambios durante la rotación 9b” que afirma la idea

de mantener los álabes con la misma dirección a lo largo de la circunferencia del

rotor.

Figura 20. Keeping direction unchanged during rotation 9b. Thang, Nguyen Duc. 2014

Composición: Este rotor está compuesto de cuatro álabes, 8 ruedas dentadas, un

juego sinfín-corona, y las bases de sostenimiento como se muestra en la Figura

20, los álabes se mantendrán paralelos entre ellos dependiendo de la relación de

trasmisión en las ruedas dentadas, y los piñones sinfín-corona son los que dan la

dirección deseada.

12 Nguyen Duc Thang (2014, Feb 5) Keeping direction unchanged during rotation 9b. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=APdnbZl20S0.

40

6.1.2. Selección de los tres mecanismos a estudiar.

Una vez seleccionados los mecanismos que dan posiciones coordinadas

angulares e individuales de los alabes de un rotor, en este caso particular 6 de

ellos, se debe seleccionar los más funcionales entre estos para el diseño, estudio

detallado, creación de prototipos y pruebas. Para este proceso de selección se

debe hacer uso de un análisis comparativo de los mecanismos, una matriz de

decisión ayuda a identificar los mecanismos más óptimos para adaptarse a las

restricciones, forzándolos a considerar varios factores de evaluación de manera

sistemática.

Dentro de la matriz de decisión cada mecanismo ocupa su propia fila, a las

columnas se les asigna criterios de calificación para calificar cuantitativamente

cada diseño, estos criterios por ejemplo pueden ser: número de elementos,

elementos normalizados o no normalizados, la facilidad para conseguir el

mercado, las exigencias de construcción, entre otras más que se considere

apropiadas para la selección. Luego a cada criterio se le asigna un factor de

ponderación, el cual mide su importancia relativa, los que por lo general son

elegidos de modo que sumen a un número conveniente como 1. Posteriormente,

el cuerpo de la matriz se llena con números que clasifican cada mecanismo en

una escala conveniente, tal como del 1 al 10, en cada uno de los criterios. Luego,

las calificaciones se multiplican por los factores de ponderación y los productos

sumados de cada mecanismo, todo esto con el fin de descomponer el problema

en piezas de pequeños problemas más tratables. Luego se puede tomar una

decisión más informada en lo que se refiere al “mejor” mecanismo.

6.1.2.1. Criterios de evaluación

Son las categorías en las que los diseños tienen que ser evaluados, cuantificando

las ventajas o desventajas que tendrán el mecanismo con respecto a los otros, la

suma de estos criterios dará la totalidad de viabilidad del sistema expresado en un

número, el cual ayudara para la decisión de tomar los mecanismos a los que se

les harán los estudios posteriores. Los criterios serán:

a. Número total de elementos (N° Elem.): Es la cantidad total de piezas o

componentes que hacen parte del total del modelo del rotor, sin tener en

cuenta los elementos de sujeción y unión (tornillos, remaches, tuercas, entre

41

otras), para esta cantidad de piezas se tendrá en cuenta la economía y

facilidad para elaborar y repetición de las mismas.

b. Número de elementos normalizados (N° Elem. Norm.): La cantidad de

elementos normalizados es importante ya que no se tiene que acudir a una

fabricación, debido a que se puede tener acceso a ellos en la industria

Colombiana cotidiana y en algunos casos la especializada.

c. Número de elementos de geometría compleja (N° Elem. Comp.): Aquí

entran las piezas particulares o especiales, con curvas o formas en el espacio

o con procesos de fabricación de difícil acceso que hacen que la fabricación

de los mecanismos se dificulte, esto es muy importante en la selección.

d. Número de elementos de geometría compleja normalizados(N° Elem.

Comp. Norm): Son un grupo pequeño que se hace exento del criterio número

2, son piezas que son normalizadas y tienen reglas que los rigen, pero a la

hora de adquirirlos requiere una búsqueda tediosa o especializada en

industrias de difícil acceso o poco reconocimiento.

e. Facilidad de fabricación de los elementos (Fab. Elem.) Es un criterio en el

cual se tiene en cuenta la factibilidad de los elementos y procesos

defabricación de piezas que estén a nuestro alcance y se dará una menor

calificación a los procesos de difícil acceso, de mayor costo, o de fabricación

compleja. Dándole 10 al mecanismo más complejo y 1 al más sencillo de la

fabricación de elementos.

f. Nivel de complejidad de los mecanismos (Niv. Comp.): En este criterio se

evaluará el conjunto de las piezas revisadas, analizando si se tiene un

ensamble de piezas muy complejo, con ajustes y tolerancias muy exactos que

necesitan hacer uso de maquinaria con mucha exactitud y precisión, las

construcciones con menor demanda sin hace uso de muchas tolerancias de

orientación, de situación, de forma o alabeo. Dándole 10 a mecanismos de

suma complejidad y 1 a los más sencillos.

g. Utilidad eólica. : Aquí se estimó el grado de adaptación del posicionamiento

que el mecanismo le da a los alabes para el aprovechamiento de las

velocidades de aire para crear energía eólica.

42

Tabla 1. Factores de ponderación para cada criterio.

N°

Elem.

N°

Elem.

Norm.

N°

Elem.

Comp.

N° Elem.

Comp. Norm.

Fab.

Elem.

Niv.

Comp.

Utilidad

eólica RANGO

Factor de

ponderación 0,1 0,1 0,15 0,13 0,16 0,18 0,2 1,02

6.1.2.2. Matriz de decisión de todos los mecanismos.

La siguiente es una Tabla donde se registra un estimado de cada Mecanismo

según los criterios de evaluación y se multiplica por el factor de ponderación para

luego sumar todos los resultados por mecanismo y seleccionar los tres

mecanismos con mejores resultados para adelantar estudios con estos.

Tabla 2. Tabla de decisión de los tres mecanismos más óptimos.

43

6.2. Análisis cinemático de cada uno de los mecanismos.

6.2.1. MECANISMO N° 1.

Después del proceso de selección se retoma el primero de los escogidos, que es

el mecanismo N° 1 tomado de la red13, descrito en la unidad 7.1.1.1 Mecanismo 1,

para desarrollar su estudio detallado.

Figura 21. Repost Figura 5 de la Unidad 7.1.1.1

A este mecanismo se le realizaron modificaciones en los álabes (componente

amarillo) para una mejor representación de su finalidad y queriendo mostrar

funcionalidad aerodinámica en el ámbito eólico donde se pretende que sea

aplicado.

Figura 22. Modificaciones en álabes del mecanismo tomado en la red. Los autores. 2016.

13 Canal de youtube "sweissarmyknife"; (2010, Marzo 22) Sam Weiss – VAW. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=Au4-3Gs1O_g.

44

Este mecanismo se compone de tres sub-mecanismos iguales, enlazados y

conectados entre ellos por los dos puntos fijos que conforman el eslabón de

bancada, como el mostrado en la Figura 22 enlazados entre ellos para lograr

formar el mecanismo de la Figura 1.3.

Figura 23. Representación de los tres sub-mecanismos que intervienen. Los autores. 2016.

En la Figura 23 se diferencian con un color cada mecanismo que interviene en la

construcción de este conjunto, identificando la repetición del mecanismo se puede

entrar en estudio del mecanismo en específico ya que los otros dos van a seguir

los mismos movimientos de este.

Figura 24 Detalle de mecanismo base. Los autores. 2016.

45

Se puede observar claramente el mecanismo fundamental que al repetirse el

número de álabes dispuestos conforma el conjunto estudiado, este mecanismo se

puede descomponer en eslabones fundamentales.

Figura 25. Detalle de los eslabones que conforman el mecanismo base. Los autores. 2016.

Este mecanismo es el de los más comunes en la teorización de cadenas

cinemáticas, es conocido como mecanismo paralelogramo de cuatro barras, el

texto “Diseño de Maquinaria” lo describe de la siguiente manera:

“El mecanismo con forma de paralelogramo es muy útil, ya que duplica con

exactitud el movimiento rotatorio de la manivela impulsora en la impulsora. El

acoplador del eslabonamiento de paralelogramo está en traslación curvilínea, y

permanece en el mismo ángulo mientras que todos los puntos en ella describen

rutas circulares idénticas. A menudo y como en este caso, se utiliza para este

movimiento paralelo.”14

14 Robert L. Norton; (2005); DISEÑO DE MAQUINARIA, Síntesis y análisis de máquinas y mecanismos, Tercera Edición. Página 42.

46

Figura 26. Esquema del eslabón A (biela) con el álabe. Los autores. 2016.

El conjunto general se compone de 4 eslabones; los tres subconjuntos comparten

el mismo eslabón de bancada.

Los elabones 1 por ser un mecanismo en forma de paralelogramo tienen la

misma longitud que los eslabones 3 y por lo tanto para completar la Figura

geometrica los eslabones 2 necesariamente deben tener las misma longitud que

hay entre los dos puntos de bancada.

El primer aspecto de diseño que se debe tomar para este mecanismo es el

espacio con que se cuenta para hacer el montaje, el primer ítem es calcular el

diámetro máximo de cobertura del mecanismo, o espacio necesario para cubrir

todas las posiciones que pueda optener el mecanismo ya montado.

47

Figura 27. Diámetro total de uso como factor de diseño. Los autores. 2016.

El diámetro de esta circunferencia marcada por el extremo más lejano de álabe,

mostrada en la Figura 27, es la que se debe ajustar a la necesidad de diseño y de

ahí se puede arrancar a calcular las longitudes necesarias.

Figura 28. Detalle composición de un radio. Los autores. 2016.

Como se muestra en la Figura 28, un radio de la circunferencia total se compone

de la sumatoria de la longitud del eslabón A más la medida del brazo que sostiene

el álabe donde impactara la corriente del aire, la medida del eslabón A tiene

directa influencia en la circunferencia que demarcara el mecanismo cuando la

bancada es fija.

48

Figura 29. Circunferencia trazada por los álabes. Los autores. 2016.

Para la decisión de la medida del Eslabón “a” que marcará el diámetro de la

circunferencia trazada por el movimiento de los álabes del rotor, ya que dicha

circunferencia tiene como radio la misma medida de tal eslabón.

Además de esto, el centro de esta circunferencia está a una distancia del punto fijo

de la bancada exactamente igual al largo del brazo.

Figura 30. Resultado de la longitud del brazo. Los autores. 2016.

49

Teniendo clara la geometría específica del mecanismo en general se procederá a

analizar cinemática desarrollando la teoría para el caso en específico.

6.2.1.1. Grados de libertad (Movilidad)

¨Para determinar el GDL global de cualquier mecanismo, se debe considerar el

número de eslabones así como las juntas y las interacciones entre ellos. El GDL

de cualquier ensamble de eslabones se puede pronosticar con una investigación

de la Ecuación de Gruebler.

El valor de J en la ecuación de Gruebler debe reflejar el valor de todas las juntas

en el mecanismo. Esto es, las semi juntas cuentan como ½ porque sólo eliminan

un GDL. Esto es menos confuso si se utiliza la modificación de Kutzbach de la

ecuación de Gruebler en esta forma:”15

𝑀 = 3(𝐿 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2

Donde: M = grado de libertad o movilidad. L = número de eslabones.

J₁ = número de juntas de 1 GDL (completas). J₂ = número de juntas de 2 GDL (Semi). L (número de eslabones): Para este mecanismo y como es mostrado en la Figura 25 el número total de eslabones lo conforman 2 manivelas (Eslabón 2 y 4), un álabe que también cumple la función de biela (Eslabón 3) y la bancada que es conformada por las dos juntas de anclaje (Eslabón 1, entre O2 y O4), para un total de 4 eslabones.

J₁ (número de juntas de 1 GDL, completas): Las 4 Juntas que intervienen en este mecanismo son juntas rotatorias completas.

J₂ (número de juntas de 2 GDL, Semi-juntas): Este mecanismo no posee ninguna Semi junta que aporte dos grados de libertad al mecanismo.


50

El resultado que no debe variar al arrojado por la ecuación de Gruebler , debido que solo es una variación para no tener problemas con la suma de distintos tipos de Juntas además que el mecanismo solo intervienen Juntas completas que no marcan gran diferencia en los GDL.

𝑀 = 3(𝐿 − 1) − 2 ∗ J1 − J2

𝑀 = 3(4 − 1) − 2 ∗ 4 − 0

𝑀 = 9 − 8 − 0

𝑀 = 1

Con esto se comprueba que Kutzbasch solo planteo un pequeña modificación a la

ecuación de Gruebler que en términos generales arrojan el mismo resultado.

6.2.1.2. La condición de Grashof.

“La condición de Grashof es una relación muy simple que predice el

comportamiento de rotación o rotabilidad de las inversiones de un eslabonamiento

de cuatro barras basado solo en la longitud de los eslabones.

Sea: S = Longitud del eslabón más corto. L = Longitud del eslabón más largo. P = Longitud de un eslabón restante. Q = Longitud de otro eslabón restante. En el caso de la Clase III, S + L = P + Q: Conocida como caso especial de Grashof y también como cadena cinemática clase III, todas las inversiones serán dobles-manivelas o manivela-balancín, pero tendrán “puntos de cambio” dos veces por revolución de la manivela de entrada cuando todos los eslabones se vuelven colineales. En estos puntos de cambio el comportamiento de salida se volverá indeterminado. Hunt las denomina “configuraciones inciertas”. En estas posiciones colineales el comportamiento del eslabonamiento es entonces impredecible ya que puede asumir cualquiera de dos configuraciones. Su movimiento debe ser limitado para evitar que alcance los puntos de cambio o utilizar un eslabón adicional fuera de fase para garantizar un “arrastre” de los puntos de cambio.

51

El eslabonamiento de paralelogramo es muy útil, ya que duplica con exactitud el movimiento rotatorio de la manivela impulsora en la impulsada. Un uso común es acoplar los dos balancines de salida de limpiaparabrisas a todo lo ancho del parabrisas de un automóvil. El acoplador del eslabonamiento de paralelogramo está en traslación curvilínea, y permanece en el mismo ángulo mientras que todos los puntos en ella describen rutas circulares idénticas. A menudo, se utiliza para este movimiento paralelo, como en la puerta trasera de un camión y en robots industriales.”16

Figura 31. Modelo pictórico con modelo cinemático (diagrama de cuerpo libre).

Por ser un mecanismo que posee una forma de paralelogramo, la geometría

euclidiana indica que los ángulos opuestos y lados opuestos son congruentes

(iguales), los ángulos continuos son suplementarios (Suman 180°)17

Por lo anterior refiriéndose a la Figura 31 se puede asegurar que:

Longitud Eslabón 2 = Longitud Eslabón 4 (1)

Longitud Eslabón 3 = Longitud Eslabón 1 o de bancada. (2)

16 Robert L. Norton; (2005); DISEÑO DE MAQUINARIA, Síntesis y análisis de máquinas y mecanismos, Tercera Edición. Página 42. 17 Información tomada de la página web: http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/url/view.php?id=138018

52

Asumiendo que la longitud más larga el eslabón 4 o el eslabón 2, y la más corta

está entre el eslabón 3 y la bancada se puede reemplazar en la ecuación de

Grashof de la siguiente manera:

S + L = P + Q

Eslabón 4 + Eslabón 1 = Eslabón 2 + Eslabón 3 (3)

Y sustituyendo las igualdades (1) y (2) en la ecuación (3) se obtiene:

Con esto se demuestra que los mecanismos en forma de paralelogramo cumplen

con la condición de Grashof Caso III y no presentará agarrotamiento en su

movimiento normal.

6.2.1.3. Análisis de posición.

“Una vez que el diseño tentativo de un mecanismo ha sido sintetizado, debe entonces ser analizado. Un objetivo fundamental del análisis cinemático es determinar las aceleraciones de todas las partes móviles del ensamble. Las fuerzas dinámicas son proporcionales a la aceleración, según la segunda ley de Newton. Es necesario conocer las fuerzas dinámicas para calcular los esfuerzos en los componentes. El ingeniero de diseño debe garantizar que el mecanismo o máquina propuesta no fallará en condiciones de operación. Por lo tanto, los esfuerzos en los materiales deben mantenerse por debajo de los niveles permisibles. Para calcular los esfuerzos, es necesario conocer las fuerzas estáticas y dinámicas sobre las partes. Para calcular las fuerzas dinámicas se necesita conocer las aceleraciones, primero se deben localizar las posiciones de todos los eslabones o elementos en el mecanismo por cada incremento del movimiento de entrada, y luego diferenciar las ecuaciones de posición contra el tiempo para hallar las velocidades y luego diferenciar otra vez para obtener expresiones para la aceleración. Por ejemplo, en un simple mecanismo de Grashof de cuatro barras, es probable que se desee calcular las posiciones, velocidades y aceleraciones de los eslabones de entrada (acoplador y balancín) quizá para cada dos grados (180 posiciones) de la posición de la manivela de entrada durante una revolución de ésta.”18


53

“Para cualquier mecanismo con un GDL, tal como uno de cuatro barras, se requiere sólo un parámetro para definir por completo las posiciones de todos los eslabones. El parámetro usualmente elegido es el ángulo de eslabón de entrada. Éste se muestra como θ2 en la Figura 32. Se quieren hallar θ3 y θ4, y se conocen las longitudes de los eslabones. Observe que en estos ejemplos siempre se numera el eslabón de bancada como 1 y el motriz como 2.”19

Figura 32. Modelo para diagrama de cuerpo libre. Los autores. 2016.

Con los cálculos de posición se debe demostrar que el mecanismo cumplirá el

recorrido estudiado y garantizar que cumpla las posiciones debidas, la biela en

dos posiciones distintas cualesquiera debe ser paralela a la bancada, para cumplir

esto el ángulo θ4 debe ser exactamente igual al θ2 y se ratifica la idea que este

mecanismo posee dos manivelas de igual movimiento.

Para esto se utilizan las ecuaciones de posición tomadas del libro DISEÑO DE

MAQUINARIA, Robert L. Norton, desarrolladas en el Anexo A. Las formulas son:

𝑘1 = 𝑑

𝑎

(1)

𝑘2 = 𝑑

𝑐

(2)

𝑘3 = 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2

2𝑎𝑐 (3)


54

𝐴 = cos θ2 − 𝑘1 − 𝑘2 cos θ2 + 𝑘3

𝐵 = −2 sin θ2

𝐶 = 𝑘1 − (𝑘2 + 1) cos θ2 + 𝑘3

θ4 = 2 tan−1(−𝐵 ± √𝐵2 − 4𝐴𝐶

2𝐴)

Teniendo que:

a = Longitud del eslabón 2 b = Longitud del eslabón 3 c = Longitud del eslabón 4 d = Longitud de la bancada.

Se puede asegurar que:

𝑎 = 𝑐 (4)

𝑏 = 𝑑 (5)

Por lo que sustituyendo (4) en (1):

𝑘1 = 𝑑

𝑐

Y reemplazando (2) en la anterior ecuación:

𝒌𝟏 = 𝒌𝟐

Además se puede reemplazar (4) y (5) en la ecuación (3) para intentar

simplificarla.

𝑘3 = 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2

2𝑎𝑐

𝑘3 = 𝑎2 − (𝑑)2 + (𝑎)2 + 𝑑2

2𝑎 ∗ 𝑎

𝑘3 = 2𝑎2

2𝑎2

55

𝑘3 = 1

Con estos resultados se puede simplificar las ecuaciones A, B y C para este

mecanismo en específico resultando.

𝐴 = cos θ2 − 𝑘1 − 𝑘1 cos θ2 + 1

𝐵 = −2 sin θ2

𝐶 = 𝑘1 − (𝑘1 + 1) cos θ2 + 1

Se reemplazan éstas últimas para hallar la ecuación que modele el ángulo θ4.

θ4 = 2 tan−1(−𝐵 ± √𝐵2 − 4𝐴𝐶

2𝐴)

θ4 = 2 tan−1(−(−2 sin θ2)±√(−2 sin θ2)2−4(cos θ2−𝑘1−𝑘1 cos θ2+1)(𝑘1−(𝑘1+1) cos θ2+1)

2(cos θ2−𝑘1−𝑘1 cos θ2+1))

Se puede introducir esta fórmula en una Hoja de cálculo para iterar con distintos

datos y comprobar que por más que varíen los datos de entrada que son las

longitudes de los eslabones y el ángulo de entrada θ2, en ángulo de salida

matemáticamente siempre será igual al ángulo de entrada.

Tabla 3. Iteraciones para demostrar que θ2= θ4

Iteración 1

Iteración 2

Iteración 3

Iteración 4

Iteración 5

Iteración 6

Iteración 7

Iteración 8

Iteración 9

Iteración 10

Dato

s d

e

en

tra

da

a=c= 2 1 3 4 4 4 4 4 10 1

b=d= 5 3 1 2 2 2 2 2 9 2

θ2= 30 30 30 30 40 90 180 270 30 10

Dato

s d

e

tran

sic

ión

. k1=k2= 2,500 3,000 0,333 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,900 2,000

A= -2,799 -3,732 1,244 0,933 0,883 0,500 0,000 0,500 0,187 -1,985

B= -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,286 -2,000 0,000 2,000 -1,000 -0,347

C= 0,469 0,536 0,179 0,201 0,351 1,500 3,000 1,500 0,255 0,046

θ4= 30 30 30 30 40 90 180 -90 30 10

De aquí se concluye que en ángulo del eslabón 2 es exactamente igual al ángulo

del eslabón 4 y ratifica la idea que este es un mecanismo de dos manivelas que

replica los movimientos del eslabón conductor.

56

𝜃2 = 𝜃4 (6)

Lo mismo se procederá a realizar para el ángulo θ3, y demostrar que este siempre

conservará el mismo ángulo con la horizontal que para este caso en particular

será formando un ángulo recto con las abscisas.

Las fórmulas para este son (detalladas en el Anexo B):

𝑘4 = 𝑑

𝑏 (7)

𝑘5 = 𝑐2 − 𝑑2 − 𝑎2 − 𝑏2

2𝑎𝑏 (8)

𝐷 = cos θ2 − 𝑘1 + 𝑘4 ∗ cos θ4 + 𝑘5

𝐸 = −2 ∗ sin θ2

𝐹 = 𝑘1 + (𝑘4 − 1) cos θ2 + 𝑘5

Se sustituye (5) en la ecuación (7):

𝑘4 = 𝑑

𝑏

𝑘4 = 𝑑

𝑑

𝑘4 = 1 (9)

Ahora se reemplaza la igualdad (5) en la ecuación (8):

𝑘5 = 𝑐2 − 𝑑2 − 𝑎2 − 𝑏2

2𝑎𝑏

𝑘5 = 𝑎2 − 𝑑2 − 𝑎2 − 𝑑2

2𝑎𝑑

𝑘5 = −2𝑑2

2𝑎𝑑

57

𝑘5 = −𝑑

𝑎

Y (1) en el resultado anterior para saber que:

𝑘5 = −𝑘1 (10)

Y con estos resultados se puede simplificar las ecuaciones D, E y F de la siguiente

manera:

𝐷 = cos θ2 − 𝑘1 + 𝑘4 ∗ cos θ4 + 𝑘5

Con (9)

𝐷 = cos θ2 − 𝑘1 + 1 ∗ cos θ4 + 𝑘5

𝐷 = 2 ∗ cos θ2 − 𝑘1 + 𝑘5

Y con (10)

𝐷 = 2 ∗ cos θ2 − 𝑘1 + 𝑘1

𝐷 = 2 ∗ cos θ2 − 2𝑘1 (11)

De la misma manera con F:

𝐹 = 𝑘1 + (𝑘4 − 1) cos θ2 + 𝑘5

Con la igualdad (9)

𝐹 = 𝑘1 + (1 − 1) cos θ2 + 𝑘5

𝐹 = 𝑘1 + 𝑘5

Se trae (10) y se reemplaza.

𝐹 = 𝑘1 − 𝑘1

𝐹 = 0 (12)

Con esto se puede simplificar la ecuación final de la teoría para encontrar una

ecuación más sencilla específica para el mecanismo.

θ3 = 2 ∗ tan−1−𝐸 ± √𝐸2 − 4𝐷𝐹

2𝐷

Teniendo que F = 0, se cancela todo el término y tenemos:

θ3 = 2 ∗ tan−1−𝐸 ± √𝐸2 − 4𝐷 ∗ 0

2𝐷

58

θ3 = 2 ∗ tan−1−𝐸 ± √𝐸2

2𝐷

θ3 = 2 ∗ tan−1−𝐸 ± 𝐸

2𝐷

Para estudio del mecanismo de paralelogramo se utiliza el resultado del radical

positivo, para el mecanismo anti-paralelogramo la parte negativa.

θ3 = 2 ∗ tan−1−𝐸 + 𝐸

2𝐷

θ3 = 2 ∗ tan−10

2𝐷

θ3 = 2 ∗ 0

θ3 = 0 (13)

Con esto se demuestra que por cualquier valor de adopte el ángulo θ3, el ángulo

de la biela respecto al marco de referencia no cambiara y mantiene por toda la

trayectoria, obligando así tener la misma dirección en todas las posiciones y

siendo paralela en dos posiciones distintas cualesquiera.

Aquí se muestra la demostración con distintas iteraciones en una hoja de cálculo.

Tabla 4. Iteraciones para demostrar que el ángulo de la biela no varía.

Iteración 1

Iteración 2

Iteración 3

Iteración 4

Iteración 5

Iteración 6

Iteración 7

Iteración 8

Iteración 9

Iteración 10

Dato

s d

e

en

trad

a a=c= 2 1 3 4 4 4 4 4 10 1

b=d= 5 3 1 2 2 2 2 2 9 2

θ2= 90 30 30 30 40 90 180 270 30 10

Dato

s d

e

tran

sic

ión

. k1=k2= 2,500 3,000 0,333 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,900 2,000

A= -1,500 -3,732 1,244 0,933 0,883 0,500 0,000 0,500 0,187 -1,985

B= -2,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,286 -2,000 0,000 2,000 -1,000 -0,347

C= 3,500 0,536 0,179 0,201 0,351 1,500 3,000 1,500 0,255 0,046

θ4= 90 30 30 30 40 90 180 -90 30 10

59

Dato

s d

e t

ran

sic

ión

. k4= 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

k5= -2,50 -3,00 -0,33 -0,50 -0,50 -0,50 -0,50 -0,50 -0,90 -2,00

D= -5,00 -4,27 1,07 0,73 0,53 -1,00 -3,00 -1,00 -0,07 -2,03

E= -2,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,29 -2,00 0,00 2,00 -1,00 -0,35

F= 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

θ3= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Esto se ratifica y soporta mostrándolo en el software especializado en el análisis

de mecanismos WORKING MODEL 3D. Se realiza el mismo mecanismo de cuatro

barras en forma de paralelogramo, se le da movimiento rotacional y se Gráfica el

recorrido de la amplitud de los ángulos de cada barra.

Gráfica 1 Cambio de ángulo para cada eslabón del mecanismo 1 respecto al tiempo. Software Working Model 2D. Los autores. 2016.

60

Se ve claramente que cumple con las ecuaciones descritas, siendo la gráfica de θ2

exactamente igual de θ4, con la misma pendiente y punto de corte, además de

ratificar cómo en la Tabla 4 y en la ecuación 13 que el ángulo θ3 no cambia de un

valor constante 0.

6.2.1.4. Análisis de velocidad.

“Una vez que se analiza la posición, el siguiente paso es determinar las



calcular la energía cinética almacenada con mV2/2, como para determinar las

aceleraciones de los eslabones que se requieren para calcular la fuerza

dinámica.”20

Figura 33 Diagrama de cuerpo libre para estudio de velocidades. Norton Robert. 2005.

Teniendo en cuenta la Figura 33 y ecuaciones desarrolladas en el Anexo C, se

puede empezar a desarrollar el análisis de Velocidad específico para este

mecanismo y, demostrar que las velocidades concuerdan con la descripción

general del mecanismo. Con estos fines se retoman las ecuaciones más

importantes que son:

𝜔3 =𝑎𝜔2 sin 𝜃4 − 𝜃2

𝑏 sin 𝜃3 − 𝜃4 (14)


𝑐 sin 𝜃4 − 𝜃3 (15)


61

Una vez que se tienen las ecuaciones (13) y (14) que modelan la magnitud de las

velocidades angulares, se procede a simplificarlas con las ecuaciones

encontradas en el estudio de posición de la siguiente manera:

Se sustituye la igualdad (4) para empezar a simplificar (14).


𝑏 sin 𝜃3 − 𝜃4



𝜔3 =𝑎𝜔2 sin 0


𝜔3 =𝑎𝜔20


𝜔3 = 0 (16)

Con este resultado se demuestra por velocidades que el eslabón 3 no tomará una

dirección distinta a la inicial y conservará el paralelismo en distintas posiciones por

todo el recorrido.

Se reduce la ecuación (15) de la siguiente manera:


𝑐 sin 𝜃4 − 𝜃3

Por (4)


𝑎 sin 𝜃4 − 𝜃3

𝜔4 =𝜔2 sin 𝜃2 − 𝜃3

sin 𝜃4 − 𝜃3

Entonces con (13)

𝜔4 =𝜔2 sin 𝜃2 − 0

sin 𝜃4 − 0

𝜔4 =𝜔2 sin 𝜃2

sin 𝜃4

Y por último con la igualdad (6)

62

𝜔4 =𝜔2 sin 𝜃2

sin 𝜃2

𝜔4 = 𝜔2 (17)

Efectivamente como se ha venido demostrando se duplicará el movimiento de la

manivela conductora a la manivela conducida.

La velocidad absoluta del punto A y la diferencia de velocidad del punto A con

respecto al punto B se encuentra con las siguientes ecuaciones (desarrolladas en

el Anexo C):

𝑉𝐴 = 𝑎𝜔2(−sin 𝜃2 + 𝑗 cos 𝜃2) (18)

𝑉𝐴𝐵 = 𝑏𝜔3(−sin 𝜃3 + 𝑗 cos 𝜃3) (19)

Estas dos últimas ecuaciones también se pueden reducir para el mecanismo en

estudio y así hacer más sencilla las demostraciones.

De la ecuación (18) podemos hallar la magnitud de la velocidad absoluta del punto

A como:

|𝑉𝐴| = 𝑎𝜔2 (20)

Para verificar la veracidad de estos datos se toma un ejemplo al azar y se modela

en el WORKING MODEL 2D.

63

Con el cuadro b de la Gráfica 2 se demuestra la veracidad de la ecuación 16, ya

que este cuadro describe la velocidad angular del eslabón N° 3 y se ve como esta

no cambia de un valor 0 como la fórmula lo describía.

Para este caso modelo el Eslabón 2 tiene una longitud de 2,3 metros y el motor

gira a una velocidad angular de 57,296 °/s o 1 rad/s, con esta información y para

hallar la magnitud de la velocidad absoluta del punto A se reemplaza en la

ecuación 20.

|𝑉𝐴| = 𝑎𝜔2

|𝑉𝐴| = (2,3𝑚) ∗ (1𝑟𝑎𝑑

𝑠)

|𝑉𝐴| =2,3𝑚

𝑠

Resultado que es el mismo hallado en el software es especializado y mostrado en

la Gráfica 2 cuadro a.

El cuadro C y D es regido por la ecuación (18) que descompone en componentes

rectangular X y Y la velocidad absoluta.

Grafica 2 Velocidades de los eslabones del mecanismo 1 contra el tiempo. Software Working Model 2D. Los autores. 2016.

64

𝑉𝐴𝑥= 𝑎𝜔2(−sin 𝜃2) (21)

𝑉𝐴𝑦= 𝑎𝜔2(cos 𝜃2) (22)

La ecuación 21 modela el componente en x de la velocidad absoluta de manera

senoidal con una amplitud de |Va| como efectivamente lo muestra el cuadro C de

la Gráfica 2.

Como también la ecuación 22 modela el componente y de la velocidad absoluta de

manera sinusoidal con la misma amplitud y como también confirma el cuadro D.

6.2.1.5. Análisis de aceleración.

“Una vez que se ha hecho el análisis de la velocidad, el siguiente paso es


mecanismo o máquina”.21

Con este fin se procederá a desarrollar las soluciones analíticas para el análisis de

aceleración en un mecanismo de cuatro barras con juntas de pasador expuestas

en el libro Diseño de Maquinaria de Robert Norton, las ecuaciones para esto son

(el desarrollo se encuentra en el Anexo 4):

𝛼3 =𝐶𝐷 − 𝐴𝐹

𝐴𝐸 − 𝐵𝐷 (23)

𝛼4 =𝐶𝐸 − 𝐵𝐹

𝐴𝐸 − 𝐵𝐷 (24)

Donde:

𝐴 = 𝑐 sin 𝜃4 (25)

𝐵 = 𝑏 sin 𝜃3 (26)

𝐶 = 𝑎𝛼2 sin 𝜃2 + 𝑎𝜔22 cos 𝜃2 + 𝑏𝜔3

2 cos 𝜃3 − 𝑐𝜔42 cos 𝜃4 (27)

𝐷 = 𝑐 cos 𝜃4 (28)

𝐸 = 𝑏 cos 𝜃3 (29)

𝐹 = 𝑎𝛼2 cos 𝜃2 + 𝑎𝜔22 sin 𝜃2 + 𝑏𝜔3

2 sin 𝜃3 − 𝑐𝜔42 sin 𝜃4 (30)


65

Algunas de estas se pueden reducir utilizando las ecuaciones e igualdades

encontradas en los análisis anteriores.

Utilizando la igualdad (13) para sustituir en (26) tenemos:

𝐵 = 𝑏 sin 𝜃3

𝐵 = 𝑏 sin 0

𝐵 = 0 (31)

Ahora se sustituye (6), (16) y (17) en la ecuación (27) para obtener:


2 cos 𝜃3 − 𝑐𝜔42 cos 𝜃4

𝐶 = 𝑎𝛼2 sin 𝜃2 + 𝑎𝜔22 cos 𝜃2 + 𝑏02 cos 𝜃3 − 𝑎𝜔2

2 cos 𝜃2

𝐶 = 𝑎𝛼2 sin 𝜃2 (32)

En la ecuación (29) se puede hacer unas sustituciones con (13) para intentar

reducir el término.

𝐸 = 𝑏 cos 𝜃3

𝐸 = 𝑏 cos 0

𝐸 = 𝑏 (29a)

Y por último se reemplaza (6), (16) y (17) en la ecuación (30) para reducirla.


2 sin 𝜃3 − 𝑐𝜔42 sin 𝜃4

𝐹 = 𝑎𝛼2 cos 𝜃2 + 𝑎𝜔22 sin 𝜃2 + 𝑏02 sin 𝜃3 − 𝑎𝜔2

2 sin 𝜃2

𝐹 = 𝑎𝛼2 cos 𝜃2 (30a)

Con esto se puede reemplazar en la formulas (23) y (24) para así hallar el valor de

la aceleración angular del eslabón 3 y 4 dependientes de la aceleración del

eslabón conductor 2.

66


𝐴𝐸 − 𝐵𝐷

𝛼3 =(𝑎𝛼2 sin 𝜃2)(𝑐 cos 𝜃4) − (𝑐 sin 𝜃4)(𝑎𝛼2 cos 𝜃2)

(𝑐 sin 𝜃4)(𝑏) − (0)(𝑐 cos 𝜃4)

𝛼3 =(𝑎𝑐𝛼2 sin 𝜃2 cos 𝜃4) − (𝑎𝑐𝛼2 sin 𝜃4 cos 𝜃2)

𝑏𝑐 sin 𝜃4

Y como por (6) se sabe que 𝜃2 = 𝜃4 entonces se tiene:

𝛼3 =(𝑎𝑐𝛼2 sin 𝜃2 cos 𝜃2) − (𝑎𝑐𝛼2 sin 𝜃2 cos 𝜃2)

𝑏𝑐 sin 𝜃4

𝛼3 =0

𝑏𝑐 sin 𝜃4

𝛼3 = 0 (33)

Esto quiere decir que la aceleración angular de la biela, así como su ángulo y

velocidad angular es nula. Lo que quiere decir que matemáticamente se asegura

que el mecanismo cumplirá con el movimiento descrito previamente.

Solo resta demostrar que la aceleración angular de la manivela llamada eslabón 2

es exactamente igual a la aceleración del eslabón 4 y así terminar de demostrar

que el movimiento de estos dos eslabones es exactamente el mismo, con la

formula (24) se demuestra:

𝛼4 =(𝑎𝛼2 sin 𝜃2)(𝑏) − (0)(𝑎𝛼2 cos 𝜃2)

(𝑐 sin 𝜃4)(𝑏) − (0)(𝑐 cos 𝜃4)

𝛼4 =(𝑎𝛼2 sin 𝜃2)(𝑏)

(𝑐 sin 𝜃4)(𝑏)

Y reemplazando las igualdades (4) y (6) se llega a:

𝛼4 =(𝑎𝛼2 sin 𝜃2)(𝑏)

(𝑎 sin 𝜃2)(𝑏)

𝛼4 =𝛼2(𝑎 sin 𝜃2)(𝑏)

(𝑎 sin 𝜃2)(𝑏)

67

𝛼4 = 𝛼2 (34)

Se concluye el estudio matemático de este mecanismo demostrando en distintos

puntos como las posiciones, velocidades y aceleraciones para un mecanismo en

paralelogramo son exactamente iguales entre manivelas, además que estas

magnitudes son nulas para la biela lo que asegura que conservará su posición

relativa inicial y se registre a las características iniciales.

Por último, se hace la simulación en Working model 2d:

Gráfica 3. Aceleración de los eslabones del mecanismo 1 respecto al tiempo. Software Working Model 2D. Los autores. 2016.

Y así se demuestra como el software ratifica lo concluido con anterioridad y

también se rige por las ecuaciones ya desarrolladas.

6.2.2. MECANISMO N° 2

El segundo mecanismo seleccionado pertenece al numeral 7.1.1.2, el cual se

encuentra en internet1 como Wind-mill 1b y se muestra en la Figura 34.

68

Figura 34. Wind-mill 1b, muestra general del rotor de eje vertical. Duc Thang,Nguyen. Vietnam. 2010.

Debido a que este rotor muestra un comportamiento similar para sus álabes, el

autor hace una simplificación de funcionamiento de uno de sus componentes.

Figura 35. Discriminación del mecanismo principal que se repite para cada álabe. Los autores. 2016.

69

Figura 34. Wind-mill 1ª, Descripción simplificada del rotor realizada por el autor. Duc Thang,Nguyen. Vietnam. 2010.

Este mecanismo se compone por seis sub-mecanismos iguales, los cuales están

sujetos por dos puntos (A y B) situados en un elemento fijo (color rosado), y tales

puntos conforman el eslabón de bancada, como se muestra en la Figura 36 (para

simplificar su análisis, se toma sólo un álabe como referencia).

70

Figura 35. Detalle sub-mecanismo fundamental. Izquierda: mecanismo a estudiar. Derecha: Composición de cuatro barras a partir de la imagen de la izquierda tomando como referencia los puntos A y B. Los autores. 2016.

Como se puede observar en la Figura 37, se tiene un mecanismo compuesto por

cuatro elementos rígidos mostrados en color azul, amarillo, rosado y verde.

Inicialmente se puede notar que el punto A es un eje concéntrico al elemento de

color amarillo, sin embargo, está en una posición excéntrica al elemento de color

rosado. Por otra parte, se tiene al punto B e cual es un eje que es concéntrico al

elemento de color rosado, pero a su vez es excéntrico al elemento de color

amarillo. Se observa que es un mecanismo de 4 barras tal como se aprecia en la

imagen de lado derecho en la Figura 37.

Una vez descrito el detalle del sub-mecanismo, se procede a revisar los conceptos

para verificar que cumple con requisitos de movimiento para los mecanismos de 4

barras.

6.2.2.1. Grados de libertad.

El primer concepto a analizar en este mecanismo pertenece a los grados de

libertad GDL, en donde se utiliza la ecuación de Kutzbach:

𝑀 = 3(𝐿 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2

Dónde:

𝑀: Grado de libertad o movilidad

𝐿: Número de eslabones

71

𝐽1: Número de juntas de 1GDL (completas)

𝐽2: Número de juntas de 2GDL (semi)

𝑀 = 3(4 − 1) − 2(4) − 0

𝑀 = 9 − 8 − 0

𝑀 = 1 Con esta ecuación se comprueba que el mecanismo Nº 2 es un mecanismo de 1GDL.

6.2.2.2. La condición de grashof.

El segundo concepto a analizar es la condición de Grashof, donde se predice la rotabilidad del mecanismo y bajo qué caso se encuentra. En la Figura 37 se observa que el mecanismo tiene una disposición similar a una “doble manivela”, de acuerdo a la teoría.

Figura 36. Detalle de eslabones. Izquierda: designación 4 barras para el mecanismo Nº 2. Derecha: Inversión de eslabonamiento de Grashof de cuatro barras, Diseño de maquinaria, Norton (2005).

Haciendo una relación entre la teoría y la inspección visual se tiene que es un

mecanismo de la clase I, 𝑆 + 𝐿 < 𝑃 + 𝑄, donde:

72

S=Longitud del eslabón más corto L=Longitud del eslabón más largo P=Longitud de un eslabón restante Q=Longitud de otro eslabón restante

“Si se fija el eslabón más corto, se obtendrá una doble-manivela, en la que ambos eslabones pivotados a la bancada realizan revoluciones completas, así como lo hace el acoplador”22. Ahora bien, como se definió al comienzo, este mecanismo tiene dos puntos fijos (A y B), y su longitud es la más corta que el resto de eslabones si se realiza una inspección visual; otra particularidad de este mecanismo es que dos de sus eslabones tienen la misma longitud, si se observa en la Figura 38, estos eslabones son los de color azul y amarillo. De acuerdo a la información obtenida en la teoría, y con el análisis hecho en la inspección visual, se procedió a realizar un bosquejo con dimensiones hechas a escala el cual se nota en la siguiente Figura.

Figura 37. Construcción de un boceto a partir de mediciones a escala. Los autores. 2016.

22Robert L. Norton; (2005); DISEÑO DE MAQUINARIA, Fundamentos de cinemática, Tercera Edición. Página 50.

73

Las mediciones realizadas para el mecanismo fueron las siguientes:

S=14mm L=70mm P=70mm Q=20mm

Al aplicar la condición de Grashof se tiene:

14 + 70 < 70 + 20

84 < 90

Lo anterior verifica la condición y se comprueba que este mecanismo pertenece al

caso de la clase I, es decir es un mecanismo de doble-manivela.

6.2.2.3. Generalidades para la construcción gráfica.

La finalidad es poder construir en cualquier momento una modificación de este

mecanismo con las medidas necesarias para diversidades de tamaños que se

pueden presentar en la aplicación sin la necesidad de teorizar una y otra vez,

para comenzar se presentara el diseño final para su presentación detallada de

cómo llegar a este.

Figura 38. Esquema modelo del mecanismo. Los autores. 2016.

Se partirá por establecer que el eslabón 3 que contiene al álabe tendrá una

dirección de 45° con respecto al eje Y, de esta manera el álabe entra en contacto

74

directo con el aire en esta posición, se establece la longitud b del eslabón 3,

teniendo en cuenta que el centro del eslabón debe estar sobre el eje de las

ordenadas en su medio exacto como se muestra en la siguiente Figura.

Figura 39. Dibujo del Eslabón 3 o biela. Los autores. 2016.

Teniendo esto se determina la distancia que este tendrá de la bancada

dependiendo del diámetro que se utilice en la aplicación específica, teniendo este

valor se traza con el compás una circunferencia alrededor de del punto A y B del

diámetro establecido en el diseño, abran dos puntos de corte con el eje X los

cuales determinaran los puntos O2 y O4 o puntos de bancada. Para este caso en

especial se tomará una medida de 70 mm.

Figura 40. Dibujo de eslabones 2 y 4 o manivelas. Los autores. 2016.

De esta manera se realiza este mecanismo que tendrá un óptimo funcionamiento

para la orientación coordinada descrita con anterioridad.

75

Figura 41. Modelo de ideal del mecanismo. Los autores. 2016.

Cada eslabón está íntimamente relacionado con el resto, después de varias

iteraciones y construcciones geométricas se puede asegurar que para este

mecanismo:

𝑎 = 𝑐 (35)

𝑑 = 0,7071 𝑏 (36)

Estas dos últimas igualdades serán de mucha ayuda para cálculos posteriores.

El ángulo para esta posición inicial y base es fácil de hallar mediante la ley de los

senos que dice:

𝑎

sin 𝐴=

𝑏

sin 𝐵=

𝑐

sin 𝐶

Para este caso en especial se tiene:

𝑎

sin 45°=

𝑏2

sin 𝜃2

Lo que se despeja a:

𝜃2 = sin−1

𝑏2 sin 45°

𝑎

( 357)

76

6.2.2.4. Análisis de posición.

En el análisis de posición se pretende conocer a partir de las posiciones de los

eslabones, la posición del álabe, por lo tanto, este estudio se centrará en dos

posiciones particulares de los álabes del rotor, los cuales se muestran en la

Figura 43.

Figura 42. Izquierda: El álabe se encuentra en posición perpendicular a la dirección del viento. Derecha: El álabe se encuentra paralelo a la dirección del viento. (El viento está representado por las flechas de color negro). Los autores. 2016.

Teniendo en cuenta la Figura anterior, se procede a realizar el análisis gráfico de

la posición de mecanismos articulados, para lo cual se va a trasladar el

mecanismo de doble manivela a un plano cartesiano y se darán los nombres

correspondientes a las juntas y eslabones como se muestra en la Figura 44.

77

Figura 43. Se ordena el mecanismo de 4 Barras a un plano cartesiano y se renombran los puntos según la teoría. Los autores. 2016.

Ahora bien, se necesita saber las dos posiciones específicas del álabe y, como se

mencionó anteriormente, este se encuentra sujeto fijamente al eslabón No. 3,

como se muestra en la Figura 45.

Figura 44. Posiciones a analizar en el mecanismo. El sentido de giro del mecanismo es contrario a las manecillas del reloj. Los autores. 2016.

En la Figura 46 se muestran las posiciones de análisis del álabe en el mecanismo.

Lo que se puede observar en esta articulación, es que en la imagen A el álabe se

A B

78

encuentra en el cuadrante III y está en una posición paralela al eje vertical del

plano cartesiano, mientras que en la imagen B se encuentra en el cuadrante I y

paralelo al eje horizontal del plano. Además, las longitudes de los eslabones a y c

son iguales, donde 𝑎 = 𝑐, como se mencionó anteriormente.

Otra condición importante vista en la Figura 46, es la posición del eslabón 3 en

cada cuadrante, es decir, se observa que en la imagen A el eslabón tiene un

ángulo θ3=45°, mientras que en la imagen B el eslabón tiene un ángulo θ3=315°.

Con estas condiciones se podría garantizar las dos posiciones del alabe

mostradas anteriormente.

Ahora bien, debido a la condición de igualdad entre dos eslabones, se tiene que:

𝐾1 =𝑑

𝑎 ( 38)

𝐾2 =𝑑

𝑐

Por la ecuación (35) se asegura que:

𝐾1 = 𝐾2 ( 39)

Luego,

𝐾3 =𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2

2𝑎𝑐

Reemplazando la igualdad (35) y (36)

𝐾3 =2𝑎2 − 𝑏2 + 𝑑2

2𝑎2

𝐾3 =2𝑎2 − 0,2928𝑏2

2𝑎2

( 40)

Haciendo la simplificación con las ecuaciones para determinar las constantes A, B

y C, se busca el valor de θ4:

𝐴 = cos θ2 − 𝑘1 − 𝑘1 cos θ2 + 𝑘3

𝐵 = −2 sin θ2

𝐶 = 𝑘1 − (𝑘1 + 1) cos θ2 + 𝑘3

Se reemplazan estas últimas para hallar la ecuación que modela el ángulo θ4.

79

θ4 = 2 tan−1(−𝐵 ± √𝐵2 − 4𝐴𝐶

2𝐴)

Y se tiene:

θ4 = 2 tan−1(−(−2 sin θ2) ± √(−2 sin θ2)2 − 4(cos θ2 −

𝑑𝑎

−𝑑𝑎

cos θ2 +2𝑎2 − 0,2928𝑏2

2𝑎2 )(𝑑𝑎

− (𝑑𝑎

+ 1) cos θ2 +2𝑎2 − 0,2928𝑏2

2𝑎2 )

2 (cos θ2 −𝑑𝑎

−𝑑𝑎

cos θ2 +2𝑎2 − 0,2928𝑏2

2𝑎2 )) ( 41)

Para hallar el ángulo θ3 se usarán las siguientes ecuaciones:

𝑘4 =𝑑

𝑏

Por la igualdad (36)

𝑘4 = 0,7071 ( 42)

Y:

𝑘5 =𝑐2 − 𝑑2 − 𝑎2 − 𝑏2

2𝑎𝑏

Por la ecuaciones (35) y (36):

𝑘5 =

𝑐2 − 𝑐2 − (𝑑

√0.5)2 − 𝑑2

2𝑎𝑏

𝑘5 =−3𝑑2

0.894𝑎𝑑

𝑘5 =−3,354𝑑

𝑎

( 43)

Estos con el fin de hallar las siguientes variables:

𝐷 = cos θ2 − 𝑘1 + 𝑘4 ∗ cos θ4 + 𝑘5

𝐸 = −2 ∗ sin θ2

𝐹 = 𝑘1 + (𝑘4 − 1) cos θ2 + 𝑘5

Estas ayudan a resolver la ecuación que no predice el valor del ángulo θ4.

θ3 = 2 ∗ tan−1−𝐸 ± √𝐸2 − 4𝐷𝐹

2𝐷

θ3 = 2 ∗ tan−1−(−2 ∗ sin θ2) ± √(−2 ∗ sin θ2)2 − 4(cos θ2 −

𝑑𝑎

+ 0,7071 ∗ cos θ2 +−3,354𝑑

𝑎)(

𝑑𝑎

+ (0,7071 − 1) cos θ2 +−3,354𝑑

𝑎)

2(cos θ2 −𝑑𝑎

+ 0,7071 ∗ cos θ2 +−3,354𝑑

𝑎)

( 44)

Estas ecuaciones se pueden comprobar introduciéndolas a una hoja de cálculo,

para iterar cuantas veces sea necesaria y demostrar que por más que se varíen

las longitudes de entrada, el mecanismo en su posición inicial pondrá el álabe en

80

contacto directo con el aire, y en su opuesto en la posición más aerodinámica

posible.

Tabla 5. Descripción de variables para hallar el ángulo θ2 y θ4 con resultado.

Es

lab

ón

2

Es

lab

ón

3

Es

lab

ón

4

Es

lab

ón

1

Án

gu

lo θ

2

Variables de proceso.

Án

gu

lo θ

4

Án

gu

lo θ

3

Variable: a b c d θ2 K1 K2 K3 K4 K5 θ3 θ4

Ecuación: Dato Ent. Dato Ent. (35). (36). Dato Ent. (39). (39). (40). (42). (43). (44). (41).

Iteración 1 70,00 20,00 70,00 14,00 6,37 0,20 0,20 0,98 0,70 -0,21 -5,23 -45,00

Iteración 2 10,00 2,00 10,00 1,41 4,05 0,14 0,14 0,99 0,71 -0,15 -4,05 -45,00

Iteración 3 15,00 20,00 15,00 14,14 28,13 0,94 0,94 0,56 0,71 -1,00 -28,13 -45,00

Iteración 4 15,00 10,00 15,00 7,07 13,63 0,47 0,47 0,89 0,71 -0,50 -13,63 -45,00

Iteración 5 30,00 15,00 30,00 10,61 10,18 0,35 0,35 0,94 0,71 -0,38 -10,18 -45,00

Iteración 6 30,00 30,00 30,00 21,21 20,70 0,71 0,71 0,75 0,71 -0,75 -20,70 -45,00

Iteración 7 45,00 25,00 45,00 17,68 11,33 0,39 0,39 0,92 0,71 -0,42 -11,33 -45,00

Iteración 8 45,00 50,00 45,00 35,36 23,13 0,79 0,79 0,69 0,71 -0,83 -23,13 -45,00

Iteración 9 60,00 80,00 60,00 56,57 28,13 0,94 0,94 0,56 0,71 -1,00 -28,13 -45,00

Iteración 10 60,00 100,00 60,00 70,71 36,10 1,18 1,18 0,31 0,71 -1,25 -36,10 -45,00

Iteración 11 60,00 100,00 60,00 70,71 216,10 1,18 1,18 0,31 0,71 -1,25 143,90 45,00

Iteración 12 60,00 100,00 60,00 70,71 80,00 1,18 1,18 0,31 0,71 -1,25 49,69 -7,66

Iteración 13 60,00 100,00 60,00 70,71 120,00 1,18 1,18 0,31 0,71 -1,25 90,99 4,61

Iteración 14 60,00 100,00 60,00 70,71 180,00 1,18 1,18 0,31 0,71 -1,25 132,94 26,06

Iteración 15 60,00 100,00 60,00 70,71 236,10 1,18 1,18 0,31 0,71 -1,25 145,57 56,85

Iteración 16 60,00 100,00 60,00 70,71 270,00 1,18 1,18 0,31 0,71 -1,25 141,72 76,34

Iteración 17 60,00 100,00 60,00 70,71 300,00 1,18 1,18 0,31 0,71 -1,25 126,98 87,35

Datos de entrada o diseño.

Ángulos de salida o finales.

81

En las Iteraciones de la 1 a la 9, se muestra como dependiendo del cambio del

eslabón 2 y 3 varia el ángulo de la primera posición, pero también recalcula las

dimensiones de los otros dos eslabones para hacerlos funcionales.

En las Iteraciones de la 10 a la última se calculan los ángulos de salida para el

mismo mecanismo, pero en distintas posiciones del eslabón motriz 2.

Para terminar de ratificar estas conclusiones se Gráfica la Iteración 1 de la Tabla

5.

Figura 45. Boceto pictórico del mecanismo con ángulos en una posición inicial. Los autores. 2016.

Relación angular rotor-álabe.

La ecuación que describe el movimiento del álabe según el movimiento motriz del

rotor, es la suma del ángulo θ3 más el ángulo que hay entre el álabe y el Eslabón 3

que, para este caso en particular es de 45°.

𝛉á𝒍𝒂𝒃𝒆. = 𝟐 ∗ 𝐭𝐚𝐧−𝟏−(−𝟐 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝛉𝟐) ± √(−𝟐 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝛉𝟐)𝟐 − 𝟒(𝐜𝐨𝐬 𝛉𝟐 −

𝒅𝒂

+ 𝟎, 𝟕𝟎𝟕𝟏 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝛉𝟐 +−𝟑, 𝟑𝟓𝟒𝒅

𝒂)(

𝒅𝒂

+ (𝟎, 𝟕𝟎𝟕𝟏 − 𝟏) 𝐜𝐨𝐬 𝛉𝟐 +−𝟑, 𝟑𝟓𝟒𝒅

𝒂)

𝟐(𝐜𝐨𝐬 𝛉𝟐 −𝒅𝒂

+ 𝟎, 𝟕𝟎𝟕𝟏 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝛉𝟐 +−𝟑, 𝟑𝟓𝟒𝒅

𝒂)

+ 𝟒𝟓°

( 44a)

Aplicando esta nueva fórmula a las iteraciones mostradas en la Tabla 5, se

obtiene la siguiente gráfica que relaciona el ángulo de salida del álabe con el

ángulo del eslabón motor.

82

Gráfica 4. Ángulo de entrada del mecanismo 2 respecto al ángulo de salida del álabe. Microsoft Excel. Los autores. 2016.

Con las iteraciones calculadas mediante la Ecuación 44a se consiguió le Gráfica

de la Gráfica 4 para el mecanismo utilizado en el cálculo de grados de libertad en

el numeral 7.2.2.1, se procede a dibujar el mismo mecanismo en el software

especializado de mecanismo Working Model 2D.

Las Gráfica 4 y 5 están netamente relacionadas ya que ambas describen los

mismos movimientos del Eslabón 2, que es el principal componente para la

trasmisión del movimiento en el contra los ángulos de salida en el álabe, el cual

estará en interacción con el viento.

83

Gráfica 5. Ángulo de entrada del mecanismo 2 y de salida del álabe respecto al tiempo. Working Model 2D. Los autores. 2016.

La Gráfica 4 es obtenida mediante la iteración de la ecuación 44a, con valores de

entrada del ángulo θ2 entre 0° a 720°, lo que corresponde a dos giros completos,

rango que se repitió a propósito en la Gráfica 4 a. Para fines analíticos se debe

considerar que el aire se mueve con la misma dirección del eje Y+, sabiendo esto

de las dos gráficas se puede analizar cómo en los valores de entrada que

corresponden a 0° o 360°, donde se pretende que la interacción del álabe sea la

mayor posible con el aire el ángulo del álabe también es de 0° respecto a la

horizontal y, en perpendicularidad a la dirección del aire, siguiendo las curvas se

diferencia cómo en la primera media vuelta correspondiente al intervalo entre 0 a

π radianes, la curva del ángulo del alabe pierde inclinación haciendo su

movimiento más lento dando como resultado que al finalizar y llegar a π radianes

de inclinación en el eslabón motriz 2 el álabe acoge una inclinación de 90°

respecto a la horizontal, lo que quiere decir que queda en la forma más dinámica

para romper el contra golpe del aire en el rotor principal. En el segmento entre π y

84

2π la curva del álabe adquiere de nuevo inclinación buscando cruzarse de nuevo

con la curva del eslabón 2, cruce que se presenta en 360° donde el álabe vuelve a

tomar su posición inicial de perpendicularidad a la dirección del aire. Seguido a

esto es la repetición cíclica creciente de los últimos dos segmentos por cada

vuelta que dé el rotor.

La diferencia entre la curva del álabe calculada y la del software radica que para el

software las revoluciones son seguidas y los grados no se reinician, es decir que

para el software la primera revolución representa 360°, la segunda 720°, la tercera

1080° y así sucesivamente. Esta propiedad no se puede calcular mediante la

ecuación, ya que se basa en cálculos de Senos y Cosenos para dar el resultado,

por lo que con trigonometría no es posible calcular ángulos más grandes a 360°.

6.2.2.5. Análisis de velocidad.

“Una vez que se analiza la posición, el siguiente paso es determinar las



calcular la energía cinética almacenada con mV2/2, como para determinar las

aceleraciones de los eslabones que se requieren para calcular la fuerza

dinámica.”23

Figura 46. Dirección de velocidades y ángulos. Los autores. 2016.


85

Con este fin se utilizarán las ecuaciones desarrolladas en el Anexo C, la cuales

son:

Velocidades angulares.

Velocidad del Eslabón 3.

𝜔3=

𝑎𝜔2 sin(𝜃4−𝜃2)𝑏 sin(𝜃3−𝜃4)

( 45a)

Velocidad del Eslabón 4.

𝜔4=

𝑎𝜔2(sin 𝜃2−𝜃3)𝑐 sin(𝜃4−𝜃3)

Donde por la igualdad (1) reduce a:

𝜔4=

𝜔2(sin 𝜃2−𝜃3)sin(𝜃4−𝜃3)

( 45b)

Velocidades lineales.

Las ecuaciones que ayudan a determinar las velocidades lineales del sistema son:

𝑉𝐴 = 𝑎𝜔2(− sin 𝜃2 + 𝑗 cos 𝜃2) ( 46a)

𝑉𝐵𝐴 = 𝑏𝜔3(− sin 𝜃3 + 𝑗 cos 𝜃3)

La cual reduce a:

𝑉𝐵𝐴 = 𝑏𝑎𝜔2 sin(𝜃4 − 𝜃2)

𝑏 sin(𝜃3 − 𝜃4)(− sin 𝜃3 + 𝑗 cos 𝜃3) ( 46b)

Y:

𝑉𝐵 = 𝑐𝜔4(− sin 𝜃3 + 𝑗 cos 𝜃3)

Que se puede ver en función de los datos de entrada 𝜔2 y 𝜃2 de la siguiente

manera:

𝑉𝐵 = 𝑐𝜔2(sin 𝜃2 − 𝜃3)

sin(𝜃4 − 𝜃3)(− sin 𝜃3 + 𝑗 cos 𝜃3)

( 46c)

Ya que con las formulas se puede identificar claramente una relación entre

velocidades, se empezará a iterar con el fin de demostrar en comparación con el

software que las ecuaciones son funcionales.

86

Tabla 6. Velocidades angulares y lineales calculadas para el mecanismo base en distintos ángulos.

Esla

bó

n 2

Esla

bó

n 3

Án

gu

lo θ

2

Velo

cid

ad

an

gu

lar

mo

triz

.

Acele

ració

n

an

gu

lar

mo

triz

.

Án

gu

lo θ

4

Án

gu

lo θ

3

Velo

cid

ad

an

gu

lar

esla

bó

n

3

Velo

cid

ad

an

gu

lar

esla

bó

n

4

Velo

cid

ad

lin

eal

Ju

nta

A

Velo

cid

ad

lin

eal

Ju

nta

b

Variable: a (mm) b (mm) θ2 (grad.) ω2 (rpm) α2 θ4 (grad.) θ3 (grad.) ω3 (rpm) ω4 (rpm) |Va| (m/sg) |Vb| (m/sg)

Ecuación: Dato Ent. Dato Ent. Dato Ent. Dato Ent. Dato Ent. (44). (41). (45a) (45b) (46a) (46c)

Iteración 1 70,00 20,00 5,80 10,00 0,00 -5,93 -45,64 57,75 71,50 73,30 87,36

Iteración 2 70,00 20,00 20,80 10,00 0,00 11,89 -31,46 40,66 67,48 73,30 82,45

Iteración 3 70,00 20,00 35,80 10,00 0,00 28,72 -21,45 29,53 64,59 73,30 78,91

Iteración 4 70,00 20,00 50,80 10,00 0,00 44,84 -14,15 23,07 62,68 73,30 76,58

Iteración 5 70,00 20,00 65,80 10,00 0,00 60,49 -8,42 19,60 61,36 73,30 74,96

Iteración 6 70,00 20,00 80,80 10,00 0,00 75,81 -3,54 18,14 60,32 73,30 73,70

Iteración 7 70,00 20,00 95,80 10,00 0,00 90,88 1,00 18,23 59,37 73,30 72,54

Iteración 8 70,00 20,00 110,80 10,00 0,00 105,71 5,59 19,83 58,34 73,30 71,27

Iteración 9 70,00 20,00 125,80 10,00 0,00 120,27 10,60 23,22 57,04 73,30 69,69

Iteración 10 70,00 20,00 140,80 10,00 0,00 134,50 16,50 28,88 55,32 73,30 67,59

Iteración 11 70,00 20,00 155,80 10,00 0,00 148,30 23,85 37,25 53,06 73,30 64,83

Iteración 12 70,00 20,00 170,80 10,00 0,00 161,52 33,34 47,99 50,45 73,30 61,64

Iteración 13 70,00 20,00 185,80 10,00 0,00 174,10 45,52 59,46 48,10 73,30 58,76

Iteración 14 70,00 20,00 200,80 10,00 0,00 -173,90 60,54 69,79 46,70 73,30 57,05

Iteración 15 70,00 20,00 215,80 10,00 0,00 -162,22 78,11 78,23 46,63 73,30 56,97

Iteración 16 70,00 20,00 230,80 10,00 0,00 -150,54 97,77 85,08 47,95 73,30 58,58

Iteración 17 70,00 20,00 245,80 10,00 0,00 -138,51 119,13 91,00 50,58 73,30 61,80

Iteración 18 70,00 20,00 260,80 10,00 0,00 -125,80 141,96 96,43 54,44 73,30 66,51

Iteración 19 70,00 20,00 275,80 10,00 0,00 -112,11 166,14 101,47 59,39 73,30 72,56

Iteración 20 70,00 20,00 290,80 10,00 0,00 -97,17 -168,42 105,71 65,12 73,30 79,56

Iteración 21 70,00 20,00 305,80 10,00 0,00 -80,80 -141,96 107,92 70,93 73,30 86,66

Iteración 22 70,00 20,00 320,80 10,00 0,00 -62,99 -115,02 105,80 75,58 73,30 92,34

Iteración 23 70,00 20,00 335,80 10,00 0,00 -44,08 -88,73 96,35 77,44 73,30 94,61

Iteración 24 70,00 20,00 350,80 10,00 0,00 -24,76 -64,95 78,65 75,62 73,30 92,39

Iteración 25 70,00 20,00 365,80 10,00 0,00 -5,93 -45,64 65,97 73,26 73,30 89,51

Datos de entrada.


Para ver más ilustrativamente el movimiento de las distintas velocidades, se hace

un gráfico con los datos de la Tabla 6.

87

Gráfica 6. Velocidades angulares y lineales de los eslabones respecto al ángulo de entrada. Microsoft Excel. Los autores. 2016.

El software especializado en diseño de elementos de mecanismos SOLIDWORKS,

arroja los siguientes gráficos para corroborar los datos descritos con anterioridad

para el mecanismo en estudio.

Gráfica 7. Velocidad Lineal de la Junta B respecto al tiempo. Software CAD Solidworks. Los autores. 2016.

0.00 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 3.60 4.20 4.80 5.40 6.00

Tiempo (sec)

57

66

76

85

95

Vel

oc.

tra

slaci

ona

l - M

ag (m

m/s

ec)

88

Gráfica 8. Velocidad lineal de la Junta A respecto al tiempo. Software CAD Soliworks. Los autores. 2016.

Gráfica 9. Velocidad Angular del eslabón 3 (biela) respecto al tiempo. Software CAD Soliworks. Los autores. 2016.

0.00 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 3.60 4.20 4.80 5.40 6.00

Tiempo (sec)

72.3

72.8

73.3

73.8

74.3

Vel

oc.

tra

slaci

ona

l - M

ag (m

m/s

ec)

0.00 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 3.60 4.20 4.80 5.40 6.00

Tiempo (sec)

18

40

63

85

108

Vel

oc.

angula

r - M

ag (

deg

/sec

)

89

Gráfica 10. Velocidad angular del eslabón 4 respecto al tiempo. Software CAD Soliworks. Los autores. 2016.

Comparando la gráfica de la gráfica 6 con las gráficas 52 a la 55, se puede

establecer que son las mismas gráficas con las mismas tendencias, con una gran

diferencia de resolución a favor del Software especializado que itera muchas

veces más para producir tales gráficas.

6.2.2.6. Análisis de Aceleración.

“Una vez que se ha hecho el análisis de la velocidad, el siguiente paso es


mecanismo o máquina. “24

Con este fin se procederá a desarrollar las soluciones analíticas para el análisis de

aceleración en un mecanismo de cuatro barras, con juntas de pasador expuestas

en el libro Diseño de Maquinaria de Robert Norton, las ecuaciones para esto son

(el desarrollo se encuentra en el Anexo D):


𝐴𝐸 − 𝐵𝐷 (47)

𝛼4 =𝐶𝐸 − 𝐵𝐹

𝐴𝐸 − 𝐵𝐷 (48)


0.00 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 3.60 4.20 4.80 5.40 6.00

Tiempo (sec)

46

54

62

70

77

Vel

oc.

angula

r - M

ag (

deg/

sec)

90

Donde:

𝐴 = 𝑐 sin 𝜃4 (49)

𝐵 = 𝑏 sin 𝜃3 (50)


2 cos 𝜃3 − 𝑐𝜔42 cos 𝜃4 (51)

𝐷 = 𝑐 cos 𝜃4 (52)

𝐸 = 𝑏 cos 𝜃3 (53)


2 sin 𝜃3 − 𝑐𝜔42 sin 𝜃4 (54)

Sin tener reducción clara se procede a iterar la entrada de datos con el fin de

encontrar gráficas que muestren las tendencias de cómo actúan las aceleraciones

de cada eslabón.

Tabla 7. Valores de aceleración calculada para distintos ángulos del mecanismo propuesto.

Es

lab

ón

2

Es

lab

ón

3

Án

gu

lo θ

2

Ve

loc

ida

d

an

gu

lar

mo

triz

.

Acele

ració

n

an

gu

lar

mo

triz

.

Án

gu

lo θ

4

Án

gu

lo θ

3

Ace

lera

ció

n

an

gu

lar

es

lab

ón

3

Ace

lera

ció

n

an

gu

lar

es

lab

ón

4

Variable: a (mm) b (mm) θ2 (grad.) ω2 (rpm) α2 θ4 (grad.) θ3 (grad.) α3 α4

Ecuación: Dato Ent. Dato Ent. Dato Ent. Dato Ent. Dato Ent. (44). (42). (47.) (48.)

Iteración 1 70,00 20,00 5,80 10,00 0,00 -5,93 -45,64 79,41 17,58

Iteración 2 70,00 20,00 20,80 10,00 0,00 11,89 -31,46 56,11 13,95

Iteración 3 70,00 20,00 35,80 10,00 0,00 28,72 -21,45 33,91 9,34

Iteración 4 70,00 20,00 50,80 10,00 0,00 44,84 -14,15 18,99 6,24

Iteración 5 70,00 20,00 65,80 10,00 0,00 60,49 -8,42 9,41 4,55

Iteración 6 70,00 20,00 80,80 10,00 0,00 75,81 -3,54 2,59 3,84

Iteración 7 70,00 20,00 95,80 10,00 0,00 90,88 1,00 3,31 3,86

Iteración 8 70,00 20,00 110,80 10,00 0,00 105,71 5,59 9,69 4,54

Iteración 9 70,00 20,00 125,80 10,00 0,00 120,27 10,60 17,72 5,93

Iteración 10 70,00 20,00 140,80 10,00 0,00 134,50 16,50 27,94 7,96

Iteración 11 70,00 20,00 155,80 10,00 0,00 148,30 23,85 38,89 10,00

Iteración 12 70,00 20,00 170,80 10,00 0,00 161,52 33,34 45,81 10,44

Iteración 13 70,00 20,00 185,80 10,00 0,00 174,10 45,52 44,59 7,90

Iteración 14 70,00 20,00 200,80 10,00 0,00 -173,90 60,54 37,57 3,04

Iteración 15 70,00 20,00 215,80 10,00 0,00 -162,22 78,11 30,17 2,54

Iteración 16 70,00 20,00 230,80 10,00 0,00 -150,54 97,77 25,15 7,95

Iteración 17 70,00 20,00 245,80 10,00 0,00 -138,51 119,13 22,48 13,04

Iteración 18 70,00 20,00 260,80 10,00 0,00 -125,80 141,96 21,02 17,74

Iteración 19 70,00 20,00 275,80 10,00 0,00 -112,11 166,14 19,07 21,67

Iteración 20 70,00 20,00 290,80 10,00 0,00 -97,17 -168,42 14,06 23,72

Iteración 21 70,00 20,00 305,80 10,00 0,00 -80,80 -141,96 2,10 21,95

Iteración 22 70,00 20,00 320,80 10,00 0,00 -62,99 -115,02 21,29 14,07

91

Iteración 23 70,00 20,00 335,80 10,00 0,00 -44,08 -88,73 55,43 0,03

Iteración 24 70,00 20,00 350,80 10,00 0,00 -24,76 -64,95 82,41 13,52

Iteración 25 70,00 20,00 365,80 10,00 0,00 -5,93 -45,64 84,50 17,30

Datos de entrada.


La gráfica de los datos anteriormente obtenidos es:

Gráfica 11. Aceleraciones del mecanismo respecto ángulo recorrido. Microsoft Excel. Los autores. 2016.

Para corroborar la funcionalidad de los datos, se toma las gráficas del mismo

mecanismo construido en el software CAD Solidworks.

92

Gráfica 12. Aceleración angular de la biela respecto al tiempo. Software CAD Solidworks. Los autores. 2016.

Gráfica 13. Aceleración del Eslabón n° 3 respecto al tiempo. Software CAD Soliworks. Los autores. 2016.

Se puede observar que en la Gráfica 11 a comparación con las Gráficas 12 y 13

se ve como representan las mismas curvas, cambiando de amplitud ya que la

primera está en función de los grados y las dos últimas en función del tiempo.

0.00 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 3.60 4.20 4.80 5.40 6.00

Tiempo (sec)

0

22

43

64

85

Ace

lera

c. a

ngula

r - M

ag (

deg

/sec

**2)

0.00 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 3.60 4.20 4.80 5.40 6.00

Tiempo (sec)

0

6

12

18

24

Ace

lera

c. a

ngula

r - M

ag

(deg/

sec*

*2)

93

6.2.3. MECANISMO 3

El mecanismo 2 lo presentan en la red como muestra la Figura 49, se expone esta

imagen con el fin de una re-contextualización al estudio detallado del mismo.

Figura 49 Dos posiciones del rotor Sam Weiss - VAWT Concept (Revised).avi. 2010.

Este mecanismo como en lo anteriores es una repetición por álabe del mismo

mecanismo para conformar los distintos brazos del rotor.

Figura 47. Especificación del mecanismo repetido matricialmente. Los autores. 2016.

94

De esta forma se empezará el desarrollo de posiciones y formas del mecanismo

número 3 con base a su mecanismo base que se detalla de la siguiente manera:

Figura 48. Composición Polea- Correa y álabe. Los autores. 2016.

La línea azul de la Figura 51 representa un sistema de transmisión por correa.

Este mecanismo también trasfiere potencia mediante fricción y proporciona niveles

de potencia bastante grandes.

Figura 49. Representación real de polea – correa. Robert Norton. 2005.

“Tanto las transmisiones de cilindros rodantes como las de banda (o cadena)

tienen equivalentes de efectivos mecanismos articulados, como se muestra en la fi

gura 52. Estos mecanismos articulados efectivos son válidos sólo en una posición

instantánea; sin embargo, se muestra que estos dispositivos sólo son otra variante

del mecanismo articulado de cuatro barras disfrazado.”25


95

Figura 50. Diagrama de cuerpo libre real de polea – correa. Robert Norton. 2005.

Este mecanismo tiene un movimiento complejo, dado a que su bancada gira con

un movimiento de rotación pura.

6.2.3.1. Análisis de posición, velocidad y aceleración del mecanismo.

Figura 51. Posicionamiento de álabe en distintas posiciones. Los autores. 2016.

El movimiento que se muestra en la Figura 55 es un ejemplo simple de tren

epicíclico, lo que quiere decir que el eslabón 1 es libre para que gire como un

brazo que conecta las dos poleas. Entonces sólo en la articulación O₂ está fija y el

grado de libertad del sistema es 2.

96

Figura 52. Engranaje epicíclico. Robert Norton. 2015.

Éste se ha convertido en un tren epicíclico con un engrane solar y un engrane

planetario que gira alrededor del sol. Mantenido en órbita por el brazo. Se requiere

dos entradas. Por lo general, el brazo y el engrane solar serán impulsados en

alguna dirección a cierta velocidad. En muchos casos, una de estas entradas será

velocidad cero, es decir, un freno aplicado al brazo o al engrane solar.

Figura 53. Velocidades y ángulo que intervienen.

“De la Figura 55 se puede sacar varias conclusiones con un análisis gráfico, Si

bien es relativamente fácil visualizar el flujo de potencia a través de un tren de

engranes convencional y observar las direcciones del movimiento de sus engranes

miembros, es muy difícil determinar el comportamiento de un tren planetario por

observación. Para ello deben hacerse los cálculos necesarios para determinar su

comportamiento y pueden resultar sorprendentes los contraintuitivos resultados.

Como los engranes giran con respecto al brazo y este tiene movimiento, se tiene

un problema de diferencia de velocidad. Si se reescribe la ecuación de diferencia

97

de velocidad en función de velocidades angulares propias de este sistema, se

obtiene:”26

𝜔𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑗𝑒 = 𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 + 𝜔𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 (55)

Por ser una transmisión por correa el mecanismo cumple con la siguiente regla:

𝜔1 ∗ ∅1 = 𝜔2 ∗ ∅2 (56)

Que para este caso en específico quedaría:

𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 ∗ ∅𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟 = 𝜔𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑗𝑒 ∗ ∅𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 ( 57)

Lo que para fines de reducciones posteriores se despeja de la siguiente manera:

𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 ∗∅𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟

∅𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜= 𝜔𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑗𝑒 (58)

Para poder cumplir que el ángulo de salida en el álabe sea exactamente la mitad

del ángulo del brazo con lo muestra el ángulo β de la Figura 56 debemos que

asegurar que la velocidad de salida sea la mitad de la velocidad del brazo. 𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜

2= 𝜔𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 ( 369)

Con estas ecuaciones se procede a hacer un despee para encontrar la relación

entre diámetros de poleas para poder hacer las construcción de este tipo de

mecanismo sencillamente.

Reemplazamos la ecuación (59) en la igualdad (55)

𝜔𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑗𝑒 = 𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 + 𝜔𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝜔𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑗𝑒 = 𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 +𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜

2

𝜔𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑗𝑒 =3𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜

2

Y de esta última se hace igualación con la ecuación (58) para obtener:

𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 ∗∅𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟

∅𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜=

3𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜

2

∅𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟




∅𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟


3

2

∅𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟 = 1,5∅𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 ( 370)


98

La ecuación (60) da la relación de diseño para las posiciones de los componentes

que conforman el mecanismo.

Con esto y sabiendo que la velocidad de entrada que genera el aire y es llamada

ω del brazo, se puede conocer el resto de velocidades del mecanismo con ayuda

de las ecuaciones de la (55) a la (59).

Esto se demuestra con un ejemplo grafico en el software CAD (diseño asistido por

computadora) para modelado mecánico en 3D Solidworks.

Figura 54. Detalle longitudes de las poleas. Los autores. 2016.

En la Figura 57 se puede verificar los diámetros de trasmisión que cumplen con la

ecuación (60) para poder realizar el movimiento deseado.

En primera instancia se verificara que el movimiento de posición sea el deseado.

99

Figura 55. Movimientos trazados por el álabe. Los autores. 2016.

Aquí se demuestra que el movimiento deseado se está cumpliendo efectivamente

y las ecuaciones están modelando de forma correcta los diámetros de las poleas

que registren el mecanismo.

Se propone un motor que gira a una velocidad de 10 RPM y es aportado al brazo

para darle movimiento al mecanismo, de esta manera el software arroja unas

graficas de desplazamiento angular vs tiempo.

Gráfica 14. Ángulo del brazo en el tiempo. Solidworks. Los autores. 2016

0.00 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 3.60 4.20 4.80 5.40 6.00

Tiempo (sec)

-180

-91

-1

88

178

Desp

laza

mie

nto a

ngul

ar (d

eg)

100

Gráfica 15. Ángulo de engranaje planetario respecto al tiempo. Solidworks. Los autores. 2016

.

La gráfica 14 en comparación de la gráfica 15 demuestra como el ángulo del

brazo es el doble de amplitud que el ángulo del álabe, gráficamente se ve en las

pendientes de cada recta y mientas el brazo recorre 360 grados en 6 segundos el

álabe hace un recorrido de apenas 180° en el mismo tiempo.

0.00 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 3.60 4.20 4.80 5.40 6.00

Tiempo (sec)

-180

-90

-0

90

179

Desp

laza

mie

nto a

ngul

ar (d

eg)

101

Gráfica 16. Velocidad angular tomada por el brazo respecto al tiempo. Solidworks. Los autores. 2016

Gráfica 17. Velocidad angular del engranaje planetario. Solidworks. Los autores. 2016

102

De esta manera se termina de ratificar que el modelo computacional se rige por

las ecuaciones antes descritas, y cómo la relación entre la gráfica 16 y la gráfica

17 es la que se describió con anterioridad en la ecuación (59).

6.3. Modelos gráficos y simulaciones cinemáticas computacionales.

6.3.1. Mecanismo No. 1

Figura 56. Visualización ideal del mecanismo No. 1 construido.

103

Figura 57. Plano 1 de 5 mecanismo No. 1

104


105


106

Figura 60. Plano 4 de 5 mecanismos No. 1

107


108



109

Figura 63. Ensamble del mecanismo n° 2.

110


111


112


113


114


115



116


117


118


119


120

7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.

Con el fin de realizar un estudio cinemático de mecanismos los cuales

intervinieran en el movimiento normal de un rotor de eje vertical, haciendo que los

álabes se orientaran de forma que el movimiento del rotor no presentara

problemas de contra golpes y reducciones de velocidades, se escogieron de la red

(Internet) seis mecanismo que cumplieran con tal fin, entre estos mecanismo se

encontraron adaptaciones o variaciones entre ellos, por lo que se cerró el estudio

detallado a tres de ellos, los cuales se escogieron mediante una matriz de decisión

tomada del Libro referencia y desarrollada en el numeral 6.1.2.2. “Matriz de

decisión de todos los mecanismos.”.

Teniendo claro los mecanismos a estudio, se procedió a realizar su estudio

cinemático y como el movimiento del rotor va ligado íntimamente al movimiento de

álabe.

En el capítulo 7 donde se desarrolló el análisis cinemático de los mecanismos,

dejo grandes aportes, comenzando por el Mecanismo 1, donde se evidencio que

múltiples álabes del rotor solo eran repeticiones matriciales alrededor de un punto

del mismo mecanismo el cual contiene el álabe, al ser un solo mecanismo de 4

barras tenemos que el número de variables de entrada para el movimiento de este

rotor era una sola, que es el golpe del aire, golpe que afecta a un mecanismo pero

este lleva en cadena la acción sobre los otros mecanismo que componen el rotor.

Este mecanismo debe cumplir con ciertas reglas que se establecieron para poder

funcionar según su aplicación en específica, se establecieron ecuaciones que

registren su geometría con lo son la ecuación 1 y 2, además de ecuaciones que

vinculan el movimiento del rotor al movimiento del álabe particular como es lo visto

en la página 60 Ecuaciones 6 y 13. También de esto de demostró gráficamente y

por medios de software especializados como estas ecuaciones tenían congruencia

con lo que puede pasar físicamente. Seguido a esto se hallaron ecuaciones que

predicen las velocidades y aceleraciones que adoptara este mecanismo con el

golpe del aire que proporcionara una velocidad de entrada, las ecuaciones 16-17

para velocidad y 33-34 para aceleración, y por último se cerró este mecanismo

con los modelos gráficos y simulaciones cinemáticas computacionales.

Para el mecanismo 2 también se desgloso el rotor en un mecanismo principal que

se repetirá para conformarlo, se mostró que el mecanismo era un mecanismo de

121

cuatro barras con propiedades especiales, para lograr su geometría se dio un

procedimiento grafico de cómo hallar las medidas, no siendo suficiente esto se

estableció ecuaciones que da restricciones a la geometría de este y van acorde

con el diseño gráfico, las ecuaciones son la 35 y 36 para geometrías, se estableció

una ecuación de tipo matemático que vincula el movimiento del rotor al

movimiento de álabe para este mecanismo en particular en todas sus regiones de

movimiento, estas ecuaciones son la 41 y 44 en la página 82 y 84

respectivamente, estas ecuaciones fueron validadas por los modelos

computacionales y simulaciones cinemáticas que se realizaron, como también lo

fueron las ecuaciones 45a, 45b, 47 y 48 que corresponden a las velocidades y

aceleraciones que acogerá este mecanismo.

El tercer mecanismo fue un caso especial y distinto a los anteriores, ya que este

es una adaptación con correas en un engranaje epicicloidal, teniendo una teoría

de transmisión de movimiento distinta a los otros dos, sin embargo de igual forma

se estableció las ecuaciones 55 y 60 que me restringe las velocidad y formas

respectivamente de este mecanismo. Se demostró que al moverse con una

velocidad angular constante su aceleración será nula. Todo esto se validó con las

demostraciones en software de estudio de mecanismo y la realización de modelos

gráficos y simulaciones cinemáticas que se acogían a dichas ecuaciones.

122

8. ANEXOS.

Anexo A Desarrollo del análisis de posición, Robert Norton, Diseños de Maquinaria. Edición 3ra. 2015.

125

Anexo B Desarrollo del análisis de posición, Robert Norton, Diseños de Maquinaria. Edición 3ra. 2015.

126

Anexo C Desarrollo del análisis de velocidad, Robert Norton, Diseños de Maquinaria. Edición 3ra. 2015.

128

Anexo D Desarrollo del análisis de aceleración, Robert Norton, Diseños de Maquinaria. Edición 3ra. 2015.

131

9. BIBLIOGRAFIA.

Norton, Robert L. Diseño de maquinaria, Ed. Mc Graw Hill, 3ra ed.

9.1. WEBGRAFÍA

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/url/view.php?id=138018

https://www.youtube.com/watch?v=Au4-3Gs1O_g

https://www.youtube.com/watch?v=APdnbZl20S0

https://www.youtube.com/watch?v=qg7hxaPAjnw

https://www.youtube.com/watch?v=Tgq4TC2etag

https://www.youtube.com/watch?v=7pN7hFZuIUw

https://www.youtube.com/watch?v=srBbJSzaqOg

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/url/view.php?id=138018

https://www.youtube.com/watch?v=Au4-3Gs1O_g

https://www.youtube.com/watch?v=APdnbZl20S0

https://www.youtube.com/watch?v=qg7hxaPAjnw

https://www.youtube.com/watch?v=Tgq4TC2etag

https://www.youtube.com/watch?v=7pN7hFZuIUw

https://www.youtube.com/watch?v=srBbJSzaqOg

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