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ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE UM RESERVATÓRIO CILÍNDRICO EM BETÃO ARMADO Miguel Bacelar de Begonha de Meneses Dissertação para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Prof. Doutor José Manuel Matos Noronha da Camara Orientador: Prof. Doutor Rui Vaz Rodrigues Vogal: Prof. Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira Outubro de 2013
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ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE UM
RESERVATÓRIO CILÍNDRICO EM BETÃO ARMADO
Miguel Bacelar de Begonha de Meneses
Dissertação para obtenção do grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente: Prof. Doutor José Manuel Matos Noronha da Camara
Orientador: Prof. Doutor Rui Vaz Rodrigues
Vogal: Prof. Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira
Outubro de 2013
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RESUMO
Este trabalho tem como principal objetivo a análise e o dimensionamento estrutural de um reservatório
cilíndrico em betão armado, concebido originalmente em meados do século passado. Pretende-se
apresentar, de uma forma global para este tipo de estruturas, os aspetos mais relevantes a ter em conta à
luz dos novos eurocódigos estruturais, que incluem normas específicas aos reservatórios.
É abordada a importância da especificação da durabilidade de forma a garantir o correto funcionamento
destas obras durante a sua vida útil. É descrito como se poderão quantificar as ações, em particular as ações
diferidas no tempo, fazendo-se uma avaliação ao longo do tempo dos efeitos conjuntos da retração e da
fluência através do conceito do módulo de elasticidade ajustado.
Face às forças estáticas, é analisado em detalhe o comportamento estrutural dos reservatórios cilíndricos e
introduzem-se métodos de cálculo simplificados. Com recurso ao método dos elementos finitos, é ainda
avaliado a influência da deformabilidade do solo nos esforços gerados na estrutura.
Efetua-se um estudo sísmico do reservatório, em que são determinadas as distribuições das pressões
hidrodinâmicas nas paredes e examinadas as formas de combinar as diferentes componentes. Em adição,
com base no método dos elementos finitos, é feita uma análise modal da estrutura e são obtidos os esforços
sísmicos.
O dimensionamento da estrutura é realizado a partir das disposições presentes nos eurocódigos, em que se
destacam os critérios da abertura de fendas, específicos aos reservatórios. É encontrada uma solução de
dimensionamento que respeita a geometria da obra original, envolvendo obrigatoriamente um solo de
fundação extremamente rígido.
Por fim, é conduzida uma análise não linear a um nó genérico dotado de diferentes pormenorizações da
armadura, com o objetivo de avaliar a sua eficiência em termos de ductilidade e resistência. Seguidamente,
é aplicado o mesmo tipo de análise à ligação entre a parede e a laje de fundo do reservatório.
Palavras-chave: Reservatórios cilíndricos, Betão armado, Análise estrutural, Dimensionamento, Análise
sísmica, Análise não-linear.
ii
ABSTRACT
This work presents as its main objective the analysis and structural design of a reinforced concrete cylindrical
tank, originally conceived in the middle of the last century. The most relevant aspects in light of the structural
Eurocodes are covered, which include specific regulations that apply to reservoirs.
The main durability requirements in order to ensure proper operation of these constructions over their
lifetime are addressed. It is described how to quantify indirect actions, through a temporal evaluation of the
joint effect of concrete shrinkage and creep, by applying the effective modulus method.
The structural behavior of cylindrical shells in presence of static forces is analyzed in detail, and simplified
calculation methods are introduced. Using the finite element method, it is further assessed the influence of
the deformability of the soil on the stresses generated in the structure.
It is performed a seismic analysis of the tank, in which the hydrodynamic pressures’ distribution on the walls
are found, and different forms for combining the pressure components are examined. In addition, based on
the finite element method, a modal analysis of the structure is carried out and the seismic stresses are
attained.
The structure is designed based on the provisions included in the relevant Eurocodes, wherein the criteria for
limiting crack width in tanks stand out. A reinforcement solution for the original structure’s geometry is found
considering a rigid homogeneous foundation soil.
Lastly, a non-linear analysis was conducted on a generic frame corner with different reinforcement detailing,
in order to assess its efficiency in terms of ductility and resistance. Further in, the same type of analysis is
applied to the node joining the wall and the slab bottom of the tank.
Keywords: Cylindrical tanks, Reinforced concrete, Structural analysis, Structural design, Seismic analysis,
Non-linear analysis.
iii
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao meu orientador, Prof. Rui Vaz Rodrigues, pela constante disponibilidade e valiosa ajuda no
desenvolvimento deste trabalho.
Agradeço a toda a minha família o apoio e incentivo que me deram durante todo o meu curso.
Por fim, deixo também uma palavra de agradecimento a todos aqueles que, de uma forma ou outra, me
acompanharam ao longo destes anos.
iv
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ÍNDICE REMISSIVO
RESUMO...................................................................................................................................... I
ABSTRACT ................................................................................................................................II
AGRADECIMENTOS............................................................................................................... III
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 1
1.1. Âmbito ............................................................................................................................................ 1
1.2. Aspetos básicos de conceção de reservatórios cilíndricos................................................................ 2
1.3. Apresentação do reservatório estudado.......................................................................................... 3
1.4. Organização do trabalho ................................................................................................................. 4
2. ASPETOS REGULAMENTARES....................................................................................... 5
2.1. Durabilidade e materiais ................................................................................................................. 5
Durabilidade ............................................................................................................................. 5
Especificação da durabilidade no reservatório estudado ......................................................... 13
Propriedades dos materiais utilizados ..................................................................................... 15
2.2. Ações de projeto ........................................................................................................................... 16
Ações diretas .......................................................................................................................... 18
Ações indiretas ....................................................................................................................... 21
Reação do solo ....................................................................................................................... 31
3. ANÁLISE ESTRUTURAL .................................................................................................35
3.1. Comportamento estrutural do reservatório circular ...................................................................... 35
Cobertura em cúpula .............................................................................................................. 35
Paredes cilíndricas .................................................................................................................. 39
Laje de fundo.......................................................................................................................... 45
Análise do reservatório a duas dimensões............................................................................... 48
3.2. Cálculo com recurso ao método de elementos finitos (MEF) ......................................................... 49
Programa utilizado ................................................................................................................. 49
Modelação da estrutura estudada .......................................................................................... 49
3.3. Aplicação dos modelos de cálculo simplificados ao reservatório estudado ................................... 52
Parede .................................................................................................................................... 52
Cúpula .................................................................................................................................... 54
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4. ANÁLISE DE RESULTADOS........................................................................................... 55
4.1. Resultados dos modelos calculados pelo MEF................................................................................ 56
Modelo A ................................................................................................................................ 56
Modelo B ................................................................................................................................ 62
Discussão dos resultados ........................................................................................................ 68
4.2. Validação dos resultados (comparação entre MEF e modelos de cálculo simplificados) ................ 69
5. ANÁLISE SÍSMICA ........................................................................................................... 73
5.1. Os efeitos da ação sísmica em tanques .......................................................................................... 73
5.2. Definição da ação sísmica em tanques ........................................................................................... 74
A ação sísmica segundo o EC8 ................................................................................................. 74
Zonamento sísmico em Portugal ............................................................................................. 75
Espectro de resposta ............................................................................................................... 76
Tipo de solo ............................................................................................................................ 77
Coeficiente de comportamento ............................................................................................... 78
A ação sísmica no reservatório estudado ................................................................................. 79
5.3. Análise da resposta dinâmica de tanques cilíndricos térreos ......................................................... 80
Introdução .............................................................................................................................. 80
Discussão dos modelos de cálculo ........................................................................................... 81
Análise sísmica de tanques térreos ancorados segundo o Eurocódigo 8 ................................... 83
Método simplificado para tanques cilíndricos ancorados (EC8) ................................................ 94
5.4. Análise da resposta dinâmica do reservatório estudado ................................................................ 96
Método simplificado (Eurocódigo 8) ........................................................................................ 97
Eurocódigo 8 ........................................................................................................................... 98
5.5. Análise modal do tanque com recurso ao MEF ............................................................................ 105
Modos de vibração de tanques térreos ancorados................................................................. 105
Modelação proposta por Virella (2006) ................................................................................. 106
Modelação da estrutura ........................................................................................................ 109
Análise de Resultados ........................................................................................................... 112
5.6. Discussão de resultados ............................................................................................................... 117
6. DIMENSIONAMENTO DO RESERVATÓRIO ........................................................... 121
6.1. Critérios de dimensionamento ..................................................................................................... 121
Estados limites últimos ......................................................................................................... 121
Estados limites de utilização .................................................................................................. 124
6.2. Dimensionamento do reservatório estudado............................................................................... 130
Estados limites de utilização .................................................................................................. 131
Estados limites últimos ......................................................................................................... 133
Disposições construtivas ....................................................................................................... 134
vii
6.3. Comparação da solução de dimensionamento com Santarella .................................................... 136
7. ANÁLISE NÃO LINEAR ................................................................................................ 137
7.1. Introdução ................................................................................................................................... 137
7.2. Caracterização do programa de cálculo utilizado ......................................................................... 138
Caracterização dos materiais ................................................................................................ 138
Modelação geométrica da estrutura ..................................................................................... 139
Malha de elementos finitos .................................................................................................. 139
7.3. Análise não linear na rotura de um nó ......................................................................................... 140
Descrição do problema ......................................................................................................... 140
Modelo utilizado .................................................................................................................. 144
Resistência teórica do nó ...................................................................................................... 146
Análise de resultados ............................................................................................................ 147
Considerações finais ............................................................................................................. 155
7.4. Análise não linear da ligação entre laje e parede do tanque ........................................................ 156
Descrição do problema ......................................................................................................... 156
Modelo utilizado .................................................................................................................. 157
Análise de resultados ............................................................................................................ 159
Considerações finais ............................................................................................................. 165
8. CONCLUSÃO .................................................................................................................. 167
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................... 169
viii
ix
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 2.1 - Categorias das classes de exposição (adaptado de LNEC E 464 [16]) ......................................... 6
Quadro 2.2 – Valores Limite para a classificação do ataque químico em elementos de betão em ................. 8
Quadro 2.3 - Recobrimento mínimo das armaduras de betão armado segundo o EC2-1-1 (em milímetros). 10
Quadro 2.4 - Limites da composição e da classe de resistência do betão sob ação ...................................... 12
Quadro 2.5 – Properiedades do betão ....................................................................................................... 16
Quadro 2.6 - Propriedades do aço.............................................................................................................. 16
Quadro 2.7 – Valores característicos dos parâmetros geotécnicos considerados ........................................ 20
Quadro 2.8 - Ações térmicas adotadas no modelo do reservatório estudado.............................................. 23
Quadro 2.9 – Quantificação dos parâmetros no cálculo da extensão de retração........................................ 25
Quadro 2.10 – Quantificação dos parâmetros no cálculo da extensão da fluência....................................... 28
Quadro 2.11 - Módulos de elasticidade usados no calculo das ações indiretas ............................................ 31
Quadro 2.12 - Valores do coeficiente de Winkler de acordo com Moraes (1976) [23] ................................. 33
Quadro 2.13 - Coeficientes de Winkler aplicados nos modelos de cálculo ................................................... 33
Quadro 3.1 – Leis definidoras do comportamento estrutural da parede ..................................................... 43
Quadro 3.2 – Modelos de elementos finitos analisados .............................................................................. 51
Quadro 3.3 – Definição dos parâmetros utilizados nos modelos de cálculo simplificados ............................ 52
Quadro 3.4 – Momento vertical na parede obtidos pelo método de Hangan-Soare .................................... 53
Quadro 3.5 – Força axial horizontal na parede obtidos pelo método de Hangan-Soare ............................... 53
Quadro 3.6 – Esforços na cúpula ................................................................................................................ 54
Quadro 3.7 – Carregamento introduzido pela cúpula no anel ..................................................................... 54
Quadro 3.8 – Força axial de tração no anel ................................................................................................ 54
Quadro 5.1 – Factor de importância (EC8-1)............................................................................................... 76
Quadro 5.2 – Acelerações máximas de referência e de projecto ................................................................. 79
Quadro 5.3 – Classificação do terreno selecionado, segundo o EC8 ............................................................ 79
Quadro 5.4 – Parâmetros definidores do espectro de resposta elástico ...................................................... 79
Quadro 5.5 – Parâmetros de cálculo do procedimento simplificado de acordo com a esbelteza do tanque . 95
Quadro 5.6 – Definição de parâmetros gerais utilizados no tanque em estudo ........................................... 96
Quadro 5.7 – Parâmetros do método simplificado (EC8) aplicado ao reservatório ...................................... 97
Quadro 5.8 – Massas de líquido impulsivo e convectivo ............................................................................. 97
Quadro 5.9 – Alturas das linhas de acção das forças hidrodinamicas .......................................................... 98
Quadro 5.10 – Períodos e acelerações espectrais do líquido..................................................................... 100
Quadro 5.11 – Massa de líquido e força de corte basal em cada modo convectivo ................................... 100
Quadro 5.12 – Período e aceleração espectral ......................................................................................... 102
Quadro 5.13 – Massa e força de corte basal da componente flexível do líquido........................................ 103
Quadro 5.14 – Esforço de corte basal e momento derrubador de cada componente ................................ 104
Quadro 5.15 – Combinação do esforços de corte basal e momento derrubador ....................................... 105
Quadro 5.16 – Modos de vibração analisados .......................................................................................... 112
Quadro 5.17 – Atributos dos primeiros dois modos de vibração ............................................................... 113
Quadro 6.1 – Parâmetros das equações de cálculo do E.T. resistente em elementos sem armadura de E.T.
............................................................................................................................................................... 123
Quadro 6.2 – Parâmetros do cálculo da armadura mínima ....................................................................... 125
Quadro 6.3 – Valores de wmax em elementos de betão armado (Adaptado de [6]) .................................. 126
Quadro 6.4 – Classificação quanto à estanquidade (Adaptado de [53]) ..................................................... 126
Quadro 6.5 - Alturas úteis consideradas no dimensionamento dos elementos.......................................... 130
Quadro 6.6 – Limites wk1 para a abertura de fendas ................................................................................. 132
Quadro 7.1 - Dimensionamento da armadura diagonal do nó .................................................................. 141
x
Quadro 7.2 - Armaduras incluídas nos modelos analisados ....................................................................... 145
Quadro 7.3 - resistência teórico das seções críticas .................................................................................. 147
Quadro 7.4 - Armaduras adotadas nos modelos ....................................................................................... 158
xi
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 – Ligação articulada [31] .............................................................................................................. 2
Figura 1.2 - Ligação monolítica com junta estanque na laje [39] ................................................................... 2
Figura 1.3 – Reservatório original concebido por Santarella [15] .................................................................. 3
Figura 2.1 - Mecanismo de corrosão das armaduras [18] .............................................................................. 7
Figura 2.2 – Variação da velocidade de corrosão com a humidade relativa [14] ............................................ 7
Figura 2.3 - Grau de carbonatação em relaçao à humidade reltaiva do ar [14] .............................................. 7
Figura 2.4 - Efeito da razão água/cimento na permeabilidade do betão [19] ................................................. 9
Figura 2.5 - Enquandramento Normativo relativo às estruturas de betão [14] ............................................ 11
Figura 2.6 - Degradação de elemento estrutural infetado por óleos minerais e emulsões na Universidade de
Psicologia Social em Varsóvia [20].............................................................................................................. 13
Figura 2.7 - Evolução ao longo do tempo da resistência à compressão de um betão C20/25 ....................... 14
Figura 2.8 - Definição dos recobrimentos em centímetros: a) cobertura B) Laje de fundo .......................... 14
Figura 2.9 - Classes de exposição e recobrimentos adotados na estrutura .................................................. 15
Figura 2.10 - Sobrecarga aplicada à cobertura do reservatório ................................................................... 18
Figura 2.11 - Pressão hidrostática no reservatório ...................................................................................... 19
Figura 2.12 - Pressões de terras no reservatório ......................................................................................... 21
Figura 2.13 – Decomposição da distribuição da temperatura em quatro componentes [4] ......................... 22
Figura 2.14 - Principais componentes da temperatura para condutas, silos e reservatórios: a) Variação
Uniforme e em escada B) Variação diferencial [4] ...................................................................................... 22
Figura 2.15 - Variação de temperatura aplicada ao reservatório: a) Uniforme B) Diferencial ....................... 23
Figura 2.16 – Influência na retração de: a) dosagem de água b) humidade relativa do ar [10] ..................... 25
Figura 2.17 – Evolução no tempo da extensão da retração no reservatório ................................................ 26
Figura 2.18 - Variação de temperatura com efeito equivalente à retração aplicada ao reservatório ............ 27
Figura 2.19 – Evolução no tempo do coeficiente de fluência no reservatório .............................................. 28
Figura 2.20 - Evolução ao longo do tempo do módulo de elasticidade ajustado e da tensão devido à retração
................................................................................................................................................................. 30
Figura 2.21 - Modelação do terreno segundo a Hipótese de Winkler .......................................................... 32
Figura 3.1 – Casca de revolução obtida por rotação de um arco em torno de eixo vertical [28] ................... 35
Figura 3.2 – Comportamento de cúpulas sujeitas a cargas verticais uniformes [39]..................................... 36
Figura 3.3 - Cúpulas com meridianos com formas: a) elípticas b) Ogiva c) Parabólicas [28] ...................... 37
Figura 3.4 – Esforços desenvolvidos numa cúpula esférica na aplicação de cargas verticais [30]: ................ 38
Figura 3.5 - Propriedades geométricas de uma cúpula esférica parcial........................................................ 39
Figura 3.6 - Principais esforços a considerar na parede cilíndrica ................................................................ 40
Figura 3.7 - Configuração típica dos esforços na parede no caso de ligação rígida e solo indeformável ....... 41
Figura 3.8 – Distribuição das tensões no solo ............................................................................................. 46
Figura 3.9 - Faixa circunferencial unitária da laje ........................................................................................ 46
Figura 3.10 - Deformada típica da laje de fundo encastrada às paredes sobre solo deformável ................... 47
Figura 3.11 - Deformada da laje de fundo sobre solo indeformável ............................................................ 48
Figura 3.12 - Modelo de analise bidimensional de um reservatório ............................................................ 48
Figura 3.13 – Malha de elementos finitos modelo A ................................................................................... 50
Figura 3.14 – Malha de elementos finitos modelo B ................................................................................... 50
Figura 3.15 – Deslocamentos radiais da parede do reservatório sob ação da pressão hidrostática .............. 53
Figura 4.1 – Orientação dos esforços positivos na análise de resultados ..................................................... 55
Figura 4.2 – Momento radial na laje (PP) .................................................................................................... 57
Figura 4.3 – Momento radial na laje (PH) ................................................................................................... 57
Figura 4.4 – Momento radial na laje (PP+PH) ............................................................................................. 57
xii
Figura 4.5 – Momento radial na laje (PP+PT) .............................................................................................. 57
Figura 4.6 – Esforço Transverso radial na laje (PP+PH) ................................................................................ 58
Figura 4.7 – Esforço Transverso radial na laje (PP+PT)................................................................................. 58
Figura 4.8 – Esforços axiais na laje .............................................................................................................. 58
Figura 4.9 – Imagem da Deformada do modelo “A” com ks=40 MN/m3 (PP) ............................................... 59
Figura 4.10 – Momento vertical na parede (PP) .......................................................................................... 59
Figura 4.11 – Momento vertical na parede (PH).......................................................................................... 59
Figura 4.12 – Momento vertical na parede (PP+PH) .................................................................................... 60
Figura 4.13 – Momento vertical na parede (PP+PT) .................................................................................... 60
Figura 4.14 – Força axial horiz. na parede (PP) ............................................................................................ 60
Figura 4.15 – Força axial horiz. na parede (PH) ........................................................................................... 60
Figura 4.16 – Força axial horiz. na parede (PP+PH)...................................................................................... 61
Figura 4.17 – Força axial horiz. na parede (PP+PT) ...................................................................................... 61
Figura 4.18 – Momento vertical na parede (R/TUN/TDP) ............................................................................ 61
Figura 4.19 – Força axial horiz. na parede (R/TUN/TDP) .............................................................................. 61
Figura 4.20 – Momento radial na laje (PP) .................................................................................................. 62
Figura 4.21 – Momento radial na laje (PH) .................................................................................................. 62
Figura 4.22 – Momento radial na laje (PP+PH) ............................................................................................ 63
Figura 4.23 – Momento radial na laje (PP+PT) ............................................................................................ 63
Figura 4.24 – Imagem da Deformada do modelo B com Ks=40 MN/M3 (PP+PH): ......................................... 63
Figura 4.25 – Esforço transverso radial na laje (PP+PH) ............................................................................... 64
Figura 4.26 – esforço transverso radial na laje (PP+PT) ............................................................................... 64
Figura 4.27 – Esforços axiais na laje interior ............................................................................................... 64
Figura 4.28 – Momento vertical na parde (PP+PH) ...................................................................................... 65
Figura 4.29 – Momento vertical na parede (PP+PT) .................................................................................... 65
Figura 4.30 – Esforço t. vertical na parde (PP+PH/PP+PT)............................................................................ 65
Figura 4.31 – Força axial horiz. na parede (PP+PH/PP+PT) .......................................................................... 65
Figura 4.32 – Imagem da Deformada do modelo B (TUN) ........................................................................... 66
Figura 4.33 – Imagem da Deformada do modelo B (TDP) ............................................................................ 66
Figura 4.34 – Momentos verticais na parede (R/TUN/TDP) ......................................................................... 66
Figura 4.35 – Força axial horiz. na parede (R/TUN/TDP) .............................................................................. 66
Figura 4.36 – Esforço transverso vertical (R/TUN/TDP) ............................................................................... 66
Figura 4.37 – Momento radial na cúpula .................................................................................................... 67
Figura 4.38 – EsForço transverso radial na cúpula ....................................................................................... 67
Figura 4.39 – Força axial radial na cúpula ................................................................................................... 67
Figura 4.40 – Imagem da Deformada da cobertura (PP+SC) ........................................................................ 67
Figura 4.41 – Momento circunferencial na cúpula ...................................................................................... 68
Figura 4.42 – Força axial circunferencial na cúpula ..................................................................................... 68
Figura 4.43 – Força axial na viga de bordadura ........................................................................................... 68
Figura 4.44 – Comparação dos resultados do momento fletor vertical na parede........................................ 69
Figura 4.45 – comparação dos resultados da força axial horizontal na parede ............................................. 70
Figura 4.46 – Força axial radial na cúpula ................................................................................................... 71
Figura 4.47 – Força axial circunferencial na cúpula ..................................................................................... 71
Figura 4.48 – Força axial na viga ................................................................................................................. 71
Figura 5.1 – Encurvaduras do tipo pata de elefante (dir.) e tipo diamante (esq.) ......................................... 73
Figura 5.2 – Quebra de ligações devido ao deslizamento do tanque............................................................ 74
Figura 5.3 – Zonamento sísmico em Portugal Continental [36].................................................................... 75
Figura 5.4 – Espectro de resposta da estrutura e do líquido para o sismo tipo 1 .......................................... 80
Figura 5.5 – Pressões hidrodinâmicas no tanque durante a acção sísmica [45] ............................................ 81
Figura 5.6 – Modelo mecânico de Housner [40] .......................................................................................... 82
xiii
Figura 5.7 – Resposta de um tanque à acção sísmica [42] ........................................................................... 82
Figura 5.8 – Modelo mecânico incluído no EC8 [41] ................................................................................... 83
Figura 5.9 – Sistema de Coordenadas utilizado ........................................................................................... 84
Figura 5.10 – a) Variação da pressão impulsiva (normalizada) em altura; b) Variação da parcela da massa
impulsiva do líquido com a esbelteza do tanque [37] ................................................................................. 85
Figura 5.11 – Modos de vibração da água num reservatório [39] ................................................................ 86
Figura 5.12 – a) Variação da pressão convectiva (normalizada) em altura; b) Variação da parcela da massa
convectiva do líquido com a esbelteza do tanque [37] ............................................................................... 87
Figura 5.13 – Processo iterativo para cálculo da pressão flexível ................................................................ 89
Figura 5.14 – Distribuição da pressão flexível normalizada de acordo com a esbelteza do tanque [48] ........ 90
Figura 5.15 – Acelerações livres do solo durante o sismo de Friuli em 1976 [48] ......................................... 93
Figura 5.16 – Resposta de um oscilador de um grau de liberdade [48] ........................................................ 93
Figura 5.17 – Espectro de resposta de velocidade absoluta e relativa [48] .................................................. 94
Figura 5.18 – Distribuição da pressão de líquido impulsivo em altura ......................................................... 99
Figura 5.19 – Distribuição da pressão do líquido convectivo em altura ..................................................... 100
Figura 5.20 – Deformada modal da parede .............................................................................................. 102
Figura 5.21 – Distribuição em altura da Pressão da componente flexível do líquido .................................. 102
Figura 5.22 – Distribuição em altura da pressão combinada na parede ..................................................... 104
Figura 5.23 – Modos de vibração de acordo com Nachtigall [49] .............................................................. 106
Figura 5.24 – Modelo com massas normais distribuidas ao longo da altura da parede [47] ....................... 107
Figura 5.25 – Modelo com massas normais distribuidas circunferencialmente [47] .................................. 108
Figura 5.26 – Deformada no modo fundamental de um tanque de esbelteza (H/R=0,63) (Virella [47]) ...... 109
Figura 5.27 – Factores de participação de massa dos modos de vibração ................................................. 112
Figura 5.28 – Factores de participação de massa acumulados .................................................................. 113
Figura 5.29 – Configuração deformada do modo fundamental (modelo encastrado) ................................ 114
Figura 5.30 – Configuração deformada do 2º modo de vibração (modelo encastrado) .............................. 114
Figura 5.31 – Conf. deformada do modo fundamental na seção circunferencial de máxima amplitude ..... 114
Figura 5.32 – Distribuição da pressão hidrodinâmica nas paredes [51] ..................................................... 115
Figura 5.33 – Distribuição do esforço transverso tangencial à membrana [51] .......................................... 115
Figura 5.34 – Esforço transverso tangencial na parede (sismo) ................................................................. 116
Figura 5.35 – Momento vertical na Parede e momento radial na laje (sismo) ........................................... 116
Figura 5.36 – Força axial horizontal na parede (sismo) ............................................................................. 116
Figura 5.37 – Momento vertical na parede ............................................................................................... 117
Figura 5.38 – Força axial horizontal na parede ......................................................................................... 117
Figura 5.39 – Massas de líquido associadas a cada parcela ....................................................................... 118
Figura 5.40 – Período de vibração do modo fundamental ......................................................................... 118
Figura 5.41 – Força de corte basal de cada Parcela ................................................................................... 118
Figura 5.42 – Força de corte basal total .................................................................................................... 118
Figura 6.1 – Domínio das distribuições de tensões admissíveis no estado limite último [6] ....................... 122
Figura 6.2 – Valores recomendados de wk1 de acordo com o EC2-3 ......................................................... 127
Figura 6.3 – Diagramas de tensão e deformação nos materiais (adaptado de [12]) ................................... 128
Figura 6.4 - Parede restringida na sua base .............................................................................................. 129
Figura 6.5 – Diâmetro máximo dos varões para controlo da fendilhação (adaptado de [53]) ..................... 129
Figura 6.6 – Espaçamento máximo entre varões para controlo da fendilhação (adaptado de [53]) ............ 130
Figura 6.7 - Alturas úteis das seções na zona da ligação parede-laje de fundo........................................... 131
Figura 6.8 – Disposição de armaduras numa laje circular [52] ................................................................... 135
Figura 6.9 – Disposição de armaduras numa laje anelar [52] .................................................................... 135
Figura 6.10 – Disposição de armaduras ortogonais numa laje circular [52] ............................................... 135
Figura 7.1 - Relações constitutivas do: a) Betão b) aço ............................................................................. 138
Figura 7.2 – Exemplo da modelação das armaduras (a vermelho) e carregamento ................................... 139
xiv
Figura 7.3 - Diagrama simplificado das principais tensões num nó sujeito a: a) momento positivo b) momento
negativo .................................................................................................................................................. 140
Figura 7.4 - Relação das resistências últimas experimental e teórica do nó sob momento positivo [56] ..... 141
Figura 7.5 – Padrão de fendilhação no nó (momento positivo) [57] .......................................................... 142
Figura 7.6 – Eficiência de nós sujeitos a momentos positivos [57] ............................................................. 142
Figura 7.7 – Destacamento lateral do betão (momento negativo) [57] ...................................................... 143
Figura 7.8 – Eficiência de nós sujeitos a momentos negativos [57] ............................................................ 143
Figura 7.9 - Estrutura modelada: a) dimensões geométricas b) ligações ao exterior e força aplicada ......... 144
Figura 7.10 – Desenhos esquemáticos das pormenorizações analisadas ................................................... 145
Figura 7.11 – Modelação em elementos finitos do arranjo A1 no programa ICONC ................................... 146
Figura 7.12 – Decomposição da força aplicada na situação de momento negativo .................................... 146
Figura 7.13 - Grandezas registadas na estrutura ....................................................................................... 147
Figura 7.14 – Deslocamento do apoio em função do momento aplicado na ligação. ................................. 148
Figura 7.15 – Tensões nas estruturas logo após a cedência com os arranjos: a) A1 B) A2 ........................... 148
Figura 7.16 - Deformada da estrutura com o arranjo A2, sujeita a momentos positivos (aumentada 10X) . 149
Figura 7.17 - Tensões nas estruturas na rotura com os arranjos: a) A5 B) A7 ............................................. 149
Figura 7.18 – Variação da tensão na armadura com o momento aplicado na ligação ................................. 150
Figura 7.19 - Deslocamento do apoio em função do momento aplicado na ligação. .................................. 150
Figura 7.20 - Tensões nas estruturas logo após a cedência com os arranjos: a) A1 B) A5 ........................... 151
Figura 7.21 – Variação da tensão na armadura com o momento aplicado na ligação ................................. 151
Figura 7.22 - Momento negativo fortemente armado ............................................................................... 152
Figura 7.23 - Tensões nas estruturas, logo após a cedência da armadura, com os arranjos: a) A1 B) A2 c) A5 D)
A7 ............................................................................................................................................................ 152
Figura 7.24 - Deformada da estrutura com o arranjo A2, sujeita a momentos positivos (aumentada 10X) . 153
Figura 7.25 - Tensões nas estruturas, perto da rotura, com os arranjos: a) A1 B) A2 .................................. 153
Figura 7.26 - Momento negativo fracamente armado ............................................................................... 154
Figura 7.27 - Tensões nas estruturas, logo após a cedência da armadura, com os arranjos: a) A2 B) A7 ..... 155
Figura 7.28 - Eficiências dos arranjos na situação de: a) momento positivo B) momento negativo ............. 155
Figura 7.29 - Esforços na proximidade da ligação ...................................................................................... 156
Figura 7.30 – Diagrama de forças aplicadas e correspondentes deformadas da ligação sob ação de: a) pressão
hidrostática b) pressão do terreno ........................................................................................................... 157
Figura 7.31 - Modelo desenhado no programa ICONC (pressão hidrostática) ............................................ 158
Figura 7.32 - Modelo desenhado no programa ICONC (pressão do terreno) .............................................. 158
Figura 7.33 – Malha de elementos finitos gerada pelo ICONC ................................................................... 159
Figura 7.34 – Grandezas registadas nas estruturas sob pressão hidrostática e pressão do terreno ............ 159
Figura 7.35 – Deslocamentos medidos em função do carregamento hidrostático ..................................... 160
Figura 7.36 - Deformada da estrutura sob ação hidrostática, aumentada em 10 vezes .............................. 160
Figura 7.37 – Tensões na estrutura sob ação hidrostática perto da rotura (F = 115 kN) ............................. 161
Figura 7.38 - Deslocamentos medidos em função do carregamento devido ao terreno ............................. 162
Figura 7.39 – Deformada da estrutura sob ação do terreno, aumentada em 10 vezes ............................... 162
Figura 7.40 – Tensões na estrutura sob ação do terreno (F = 140 kN) ........................................................ 163
Figura 7.41 - Tensões na estrutura sob ação do terreno perto da rotura (F = 370 kN) ................................ 163
Figura 7.42 – Tensões na estrutura com armadura de E.T. sob ação do terreno (F = 370 KN) ..................... 164
Figura 7.43 – Tensões na estrutura com armadura de E.T. sob ação do terreno, após cedência da armadura
................................................................................................................................................................ 164
Figura 7.44 – Tensão no troço de armadura mais esforçado em função do carregamento ......................... 165
xv
SÍMBOLOS
LETRAS MAÚSCULAS LATINAS
𝐴 Área; aceleração
𝐴𝑐 Área da seção transversal de betão
𝐴𝑐𝑡 Área da seção transversal de betão tracionado
𝐴𝑠 Área de armadura longitudinal na seção transversal
𝐴𝑠𝑙 Área de armadura longitudinal de tração na seção transversal
𝐷 Rigidez à flexão
𝐷𝑚𝑎𝑥 Máxima dimensão do agregado mais grosso no betão
𝐸 Módulo de elasticidade
𝐸𝑐 Módulo de elasticidade do betão
𝐸𝑐,28 Módulo de elasticidade do betão aos 28 dias de idade
𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 Módulo de elasticidade ajustado do betão
𝐸𝑐,𝑒𝑓 Módulo de elasticidade efetivo do betão
𝐸𝑠 Módulo de elasticidade do aço
𝐹 Força
𝐺 Ação permanente
𝐻 Altura do nível máximo de líquido
𝐾 Rigidez das molas; rigidez ao deslocamento radial conferido pelo cilindro
𝐾0 Coeficiente de impulso passivo
𝑀 Momento fletor
𝑀𝑐 Momento fletor circunferencial
𝑀𝑟 Momento fletor radial
𝑀𝑠𝑑 Valor de cálculo do momento fletor
𝑀𝑣 Momento fletor vertical na parede
𝑁 Esforço normal
𝑁𝑐 Esforço normal circunferencial
𝑁𝑟 Esforço normal radial
𝑁𝑠𝑑 Valor de cálculo do esforço normal
𝑁𝜑 Esforço normal na direção horizontal
𝑄 Força basal; ação variável
𝑅 Raio do tanque medido na linha média da parede
𝑅0 Raio da base da cúpula esférica parcial
𝑅𝑎𝑥 Factor que define o grau de restrição de um elemento
𝑆 Aceleração espectral associada a um período
xvi
𝑇 Período de vibração
𝛥𝑇𝑢 Variação uniforme de temperatura
𝛥𝑇𝑑 Variação diferencial de temperatura
𝑉 Esforço transverso
𝑉𝑟 Esforço transverso radial
𝑉𝑅𝑑,𝑐 Valor de cálculo do esforço transverso resistente de elementos para os quais não é requerida
armadura de esforço transverso
𝑉𝑠𝑑 Valor de cálculo do esforço transverso
𝑉𝑣 Esforço transverso vertical
LETRAS MINÚSCULAS LATINAS
𝑎𝑔 Aceleração do solo
𝑏, 𝑏𝑤 Largura da seção transversal
𝛥𝑐𝑑𝑒𝑣 Margem de cálculo do recobrimento das armaduras
𝑐𝑚𝑖𝑛 Recobrimento mínimo das armaduras
𝑐𝑛𝑜𝑚 Recobrimento nominal das armaduras
𝑑 Altura da onda (sismo); altura útil de uma seção transversal
𝑓 Flecha da cúpula esférica parcial; frequência de vibração; configuração deformada
𝑓𝑐𝑑 Valor de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão
𝑓𝑐𝑡𝑚 Valor médio da tensão de rotura do betão à tração simples
𝑓𝑐𝑘 Valor característico da tensão de rotura do betão à compressão aos 28 dias de idade
𝑓𝑦𝑑 Valor de cálculo da tensão de cedência à tração do aço
𝑓𝑦𝑘 Valor característico da tensão de cedência à tração do aço
𝑔 Aceleração gravítica
ℎ Distância de uma seção ao fundo do reservatório; altura total de uma seção transversal
ℎ𝐿 Profundidade do líquido armazenado
ℎ𝑠 Profundidade das terras exteriores que exercem pressão sobre o reservatório
𝑘𝑠 Coeficiente de Winkler
𝑚 Massa
𝑛 Modo de vibração
𝑝 Pressão
𝑝𝐻 Pressão hidrostática
𝑝𝑇 Pressão das terras
𝑞 Carregamento uniforme na superfície; coeficiente de comportamento sísmico
𝑟 Distância da seção em relação ao centro do reservatório
𝑠 Espessura da parede
𝑠𝑟,𝑚𝑎𝑥 Distância máxima entre fendas
𝑡 Espessura da parede; idade do betão no instante considerado
xvii
𝑡𝑙 Espessura da laje
𝑡0 Idade do betão à data do carregamento
𝑤 Deslocamento radial; módulo de flexão
𝑤𝑘 Largura de fendas
𝑤𝑠 Deformação do terreno
𝑧 Cota de uma seção em relação ao fundo do reservatório
LETRAS GREGAS
𝛼 Coeficiente de dilatação térmica linear do betão
𝛽 Constante de casca
Δ Variação; deslocamento
𝛾 Esbelteza do tanque (H/R)
𝛾𝐺 Coeficiente parcial relativo às ações permanentes
𝛾𝐿 Peso volúmico do líquido armazenado
𝛾𝑄 Coeficiente parcial relativo às ações variáveis
𝛾𝑠 Peso volúmico do solo de aterro
휀 Extensão
휀𝑐 Extensão no betão
휀𝑐2 Extensão de cedência de cálculo do betão à compressão
휀𝑐𝑎 Extensão de retração autogénea
휀𝑐𝑐 Incremento de extensão no betão devido à fluência
휀𝑐𝑑 Extensão de retração por secagem
휀𝑐𝑚 Extensão média do betão entre fendas
휀𝑐𝑠 Extensão total de retração
휀𝑐𝑢 Extensão última do betão à compressão
휀𝑓𝑟𝑒𝑒 Extensão livre de um elemento de betão
휀𝑠 Extensão no aço
휀𝑠𝑚 Extensão média da armadura
𝜃 Rotação
𝜇 Valor reduzido do momento fletor
𝜈 Valor reduzido do esforço normal; coeficiente de Poisson
𝜉 Coeficiente de amortecimento
𝜌 Massa volúmica do líquido armazenado
𝜌𝑏 Massa volúmica da parede
𝜌𝑙 Taxa de armadura longitudinal
𝜎 Tensão
𝜎𝑐 Tensão no betão
𝜎𝑐𝑠 Tensão no betão devido à ação da retração num elemento totalmente restringido
xviii
𝜎𝑐𝑝 Tensão de compressão no betão
𝜎𝑠 Tensão na armadura
𝜙, 𝜙𝑠 Diâmetro de um varão
𝜙′ Ângulo de atrito interno em tensões efetivas
𝜑 Ângulo; coeficiente de fluência
𝜒 Coeficiente de envelhecimento do betão
𝜓 Coeficiente reduzido de combinação de ações
𝜔 Frequência circular; taxa mecânica de armadura
1
1. INTRODUÇÃO
1.1. ÂMBITO
Os reservatórios são estruturas cuja finalidade é essencialmente o armazenamento de todo o tipo
de substâncias, quer sejam fluidas, sólidas ou gasosas, estendendo-se a diversas vertentes como por exemplo
os tanques de água potável, águas residuais, produtos à base de hidrocarbonetos, ou ainda os silos de
armazenagem de cereais ou cimento, ou até aos depósitos de armazenamento de gases liquefeitos sob
pressão.
Assim, devido à grande diversidade de aplicações, que englobam necessariamente diferentes
requisitos a nível do tipo de substância a armazenar, tamanho do depósito, condições operacionais ou as
condições do local de implementação da obra, várias soluções estruturais têm sindo desenvolvidas, com vista
a garantir bons níveis de funcionamento ao longo da vida útil da obra e, logicamente, soluções económicas.
Em Portugal, tem sido prática comum, na construção de reservatórios, o uso do betão armado ou
betão armado pré-esforçado devido aos menores custos associados em relação às estruturas de aço. Quando
devidamente dimensionadas e construídas, estas estruturas são capazes de assegurar vidas úteis elevadas
com baixos custos de manutenção. Existem, contudo, vantagens nos reservatórios em aço, nomeadamente
quando há o requisito de estanquidade total.
Os reservatórios possuem a particularidade de, ao contrário da generalidade das estruturas, estarem
sujeitas durante a maior parte da sua vida útil, às cargas máximas. Consequentemente, nas estruturas de
betão armado, é necessário cumprir elevados requisitos que se prendem, nomeadamente, com o controlo
da fendilhação em serviço, que está diretamente relacionado com a durabilidade e com a função primária da
obra de impedir a percolação do líquido contido através dos elementos estruturais, onde a composição do
betão também desempenha um papel importante.
Em termos gerais, um reservatório pode ser classificado quanto à sua posição em relação ao solo
(térreo ao nível do solo, térreo semienterrado ou enterrado, ou elevado), à sua geometria (em que se destaca
a base circular ou retangular), presença de cobertura, compartimentação (única célula ou multicelular) e nível
de exigência de estanquidade [39].
Este trabalho tem o objetivo de efetuar uma análise estática e dinâmica, e de obter uma solução
estrutural, de um reservatório cilíndrico em betão armado que armazena óleo mineral, dimensionado
originalmente por Santarella [15] que seguiu o regulamento Italiano de 1939. Uma vez que se pretende
respeitar a geometria original, devido à elevada esbelteza da obra, o dimensionamento efetuado apenas é
possível tendo obrigatoriamente em conta um solo extremamente rígido, e não representa a solução ideal
para este tipo de estruturas, que envolveria naturalmente um aumento das espessuras dos elementos.
Ao longo do processo, pretende-se discutir de uma forma generalista a este tipo de estruturas, os
principais aspetos a ter em conta no dimensionamento, em que se incluem os requisitos de durabilidade, a
correta quantificação das ações, e a avaliação do comportamento estático e dinâmico com recurso a métodos
de cálculo simplificados e ao métodos dos elementos finitos, assim como os principais critérios de
dimensionamento a adotar.
Cada uma destas etapas será percorrida fazendo-se referência à nova regulamentação em vigor (os
eurocódigos estruturais). As soluções pré-esforçadas não serão abordadas.
2
1.2. ASPETOS BÁSICOS DE CONCEÇÃO DE RESERVATÓRIOS CILÍNDRICOS
Os reservatórios cilíndricos constituem, em geral, soluções estruturais mais eficazes que os
reservatórios de base retangular. De fato, fixando-se uma área da base, a seção circular corresponde a um
menor perímetro, sendo assim necessário menores quantidades de cofragem, área a impermeabilizar e
volume de betão. Além disso, sob a mesma pressão hidrostática, enquanto as trações sobre as paredes
circulares são cerca de 10% superiores nas seções circulares, as seções retangulares gerarão importantes
esforços de flexão, que não existem no primeiro caso, podendo a conduzir a maiores quantidades de
armadura e a um aumento da espessura da parede [39]. Há no entanto que considerar as dificuldades
adicionais que as seções circulares apresentam em termos construtivos, nomeadamente no processo de
cofragem.
O reservatório que será estudado é térreo e semienterrado. O solo que a envolve parcialmente
protege a estrutura das ações térmicas que, como se verá, podem ser decisivas no dimensionamento
considerando o controlo da fendilhação. Nestes reservatórios, o principal aspeto a ter em conta na sua
conceção é o tipo de ligação entre a parede e a laje de fundo, que determinará o tipo de transmissões de
esforços entre os elementos e consequentemente, o comportamento estrutural a nível global. As ligações,
em termos básicos, podem ser divididas nas seguintes categorias:
Ligação monolítica ou contínua
Ligação articulada ou rótula fixa
Ligação deslizante
A ligação monolítica implica a transmissão de deslocamentos e rotações meridionais entre os dois
elementos e é normalmente aplicada nos reservatórios de pequena dimensão, pois a sua construção é mais
simples e a ausência de juntas afasta os problemas de manutenção que estas acarretam.
À medida que aumentam as grandezas dos esforços, há que considerar um incremento da espessura
da laje perto da ligação para acomodar os esforços de flexão gerados pela força axial e momento que a parede
transmite. A zona mais central da laje limita-se a transmitir ao solo o peso da água sobrejacente e pode ter
espessura reduzida. Já nos reservatórios de maior dimensão, é habitual a aplicação das ligações articuladas,
que não transmitem rotações à laje, em que a laje é desligada da parede e correspondente sapata, ou a
própria parede é desligada da laje de fundação (Figura 1.1). Por fim, as ligações deslizantes não transmitem
deslocamentos radiais nem rotações, sendo um tipo de união apenas utilizada em situações especiais.
FIGURA 1.1 – LIGAÇÃO ARTICULADA [31]
FIGURA 1.2 - LIGAÇÃO MONOLÍTICA COM JUNTA ESTANQUE NA LAJE [39]
Mesmo nas ligações monolíticas, é comum desligar-se a parte central através de uma junta
estanque, em que a zona da laje sob a parede possui uma espessura superior (Figura 1.2). A localização desta
junta deve ser tal que não comprometa as verificações de estabilidade, isto é, que a força de flexão consiga
3
ser equilibrada pela pressão de água vertical, e que respeite o nível máximo de tensões no terreno [31]. A
adoção de outras juntas poderá ser necessário para cumprir os critérios de fendilhação em reservatórios
muito extensos ou onde se prevejam assentamentos diferenciais significativos.
De qualquer forma, o terreno de fundação deve ter características uniformes, sendo necessário
efetuar um estudo prévio que providencie dados acerca da sua deformabilidade e constituição, para prever
qual o nível de proteção da obra face a possíveis ataques químicos. Além disso, é aconselhável dispor de um
sistema de drenagem adequado sob a laje para evitar a acumulação de água que pode causar a flutuação do
reservatório e elevadas pressões no sentido de baixo para cima na laje.
As juntas devem em geral coincidir com as juntas de construção, necessitando de ser estanques.
Podem ser juntas de dilatação ou contração, em que se interrompe ou não as armaduras, e permitir o
movimento parcial ou total. A norma britânica BS 8007 [61] inclui informação detalhada acerca da
pormenorização de diversos tipos de juntas.
Os principais esforços na parede, no reservatório cilíndrico, serão as trações circunferenciais, cujo
máximo se localizam normalmente entre 1/5 e 1/3 da altura 𝐻 da parede. Como se verificará neste estudo,
o máximo terá geralmente valor próximo daquele induzido pelo total da pressão hidrostática. Assim, caso se
considere conservativamente este valor na base da parede (𝑝ℎ = 𝐻 ∙ 𝛾𝐿), o critério da não fendilhação conduz
à seguinte regra de pré-dimensionamento para a espessura da parede 𝑡:
𝐻 ∙ 𝛾𝐿 ∙ 𝑅 ≤ 𝑡 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚 (1.1)
É ainda aconselhável a adoção de esquadros na ligação para simplificar as operações de limpeza e
para que a zona apresente maior resistência à fendilhação.
1.3. APRESENTAÇÃO DO RESERVATÓRIO ESTUDADO
FIGURA 1.3 – RESERVATÓRIO ORIGINAL CONCEBIDO POR SANTARELLA [15]
4
Neste trabalho será analisado e dimensionando um reservatório cilíndrico, concebido originalmente
por Santarella, na sua publicação Il Cemento Armato – Vol. II [15], conforme se reproduz na Figura 1.3. O
reservatório destina-se a armazenar óleo mineral, cuja altura de líquido atinge 𝐻 = 5,4 𝑚 e possui um raio
𝑅 = 8,2 𝑚 , medido na linha média da parede. Possui portanto uma capacidade máxima de 1113 m3,
classificando-se como um reservatório de média dimensão [35]. É exteriormente parcialmente coberto por
um aterro que atinge cerca de 3 m de altura. A planta encontra-se representada na Peça Desenhada 01
(Anexo B).
A laje de fundo prolonga-se ao exterior das paredes e possui uma espessura reduzida de 10 cm. A
ligação entre esta e a parede, com espessura de 20 cm, é monolítica. Por fim, a cúpula possui uma espessura
de 8 cm, tem ligação rígida à viga anelar de bordadura que faz a transição com a parede e apresenta uma
pequena abertura central com diâmetro de 0,60 m (não ilustrada na figura reproduzida). Refira-se que as
coberturas em cúpula formam soluções estruturais eficazes para vencer grandes vãos sem a necessidade da
adoção de colunas e com espessuras reduzidas, uma vez que são autoportantes, e são ainda eficientes a
drenar as águas provenientes da chuva.
1.4. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
O trabalho é dividido em oito capítulos, em que o primeiro corresponde à introdução e o último às
conclusões finais.
No capítulo 2 são discutidos os aspetos regulamentares mais importantes a ter em conta nos
modelos de cálculo dos reservatórios cilíndricos, nomeadamente a especificação da durabilidade do betão
armado e a quantificação das ações de projeto.
No capítulo 3 é analisado o comportamento estrutural dos diferentes elementos que compõem os
reservatórios cilíndricos com ligação monolítica entre a parede e a laje de fundo. São apresentados alguns
métodos de cálculo simplificados para estimar os principais esforços e por fim, são introduzidos os modelos
de elementos finitos usados na análise do reservatório.
No capítulo 4 são analisados os resultados dos esforços obtidos a partir da análise pelo método de
elementos finitos com recurso ao programa de cálculo automático SAP2000. Os valores são posteriormente
confrontados com os resultados dos métodos de cálculo simplificados anteriormente introduzidos.
No capítulo 5 procede-se à análise dinâmica do reservatório. É definido o espectro de resposta com
base nas disposições do eurocódigo 8. São discutidos as bases dos métodos presentes no regulamento para
a dedução das pressões hidrodinâmicas nas paredes e a sua formulação, para posterior aplicação ao
reservatório em análise. É ainda efetuada uma análise modal através do método de elementos finitos cuja
modelação é baseada em hipóteses simplificativas.
No capítulo 6 são apresentados os critérios de dimensionamento regulamentares relevantes
segundo constam nos eurocódigos. Com suporte nestes, é dimensionado o reservatório aos estados limites
de utilização e estados limites últimos considerando-se um solo de fundação muito rígido. É feita uma breve
comparação da solução obtida com aquela proposta originalmente por Santarella.
No capítulo 7 é efetuada uma análise não linear em estado limite último a um conjunto de nós
genéricos com diferentes pormenorizações, sujeitos a momentos positivos e negativos. Posteriormente, é
feita a mesma análise no reservatório estudado, na ligação entre a laje de fundo e a parede, sob os
carregamentos encontrados na análise linear.
5
2. ASPETOS REGULAMENTARES
2.1. DURABILIDADE E MATERIAIS
Nas últimas décadas, e com a introdução da nova regulamentação, tem-se observado uma crescente
preocupação face aos problemas de desempenho que as estruturas de betão armado tendem a apresentar
durante a sua vida útil.
Tradicionalmente, a avaliação do desempenho do betão armado é baseado na resistência à
compressão do betão e a resistência à tração do aço, necessárias para o dimensionamento à rotura da
estrutura. Contudo, a capacidade de o betão armado satisfazer os requisitos implícitos à finalidade para o
qual a estrutura foi projetada, sob o ponto de vista não só de segurança, mas também de funcionalidade e
estética, está dependente de outros parâmetros, relacionados com a composição e produção do material, e
ainda com o processo de execução da obra e dos procedimentos relativos à inspeção e manutenção.
O projeto estrutural terá de contabilizar os mecanismos de degradação da estrutura, antevendo não
só as ações contabilizadas no cálculo estrutural, mas também os diversos fatores que envolvem a interação
da obra com o meio ambiente, e garantindo a sua durabilidade, essencial para uma construção mais
sustentável.
O problema da durabilidade ganha ainda maior dimensão nos reservatórios em betão armado. Estas
estruturas detêm características muito próprias já que experienciam carregamentos permanentes elevados
durante largos períodos de funcionamento, estando em contacto com produtos armazenados que induzem
frequentemente problemas de corrosão no betão e armaduras. No caso de serem enterrados, existe também
o problema da interação de grandes áreas de betão com solos potencialmente agressivos. Além disso, as
estruturas de retenção de líquidos exigem elevados requisitos de estanquidade, que aumenta a exigência ao
nível do controlo da fendilhação e composição do betão.
Além dos cuidados no dimensionamento e execução da estrutura, deverão estar especificadas em
projeto as operações de inspeção e manutenção preventivas que deverão ser levadas a cabo ao longo da vida
útil da estrutura, assim como a sua periodicidade, a fim de se garantir que não surjam problemas que,
subitamente, aumentem rapidamente de extensão no tempo (entram na fase de propagação), até ao ponto
de não serem recuperáveis. Tal se aplica igualmente aos elementos não estruturais, como juntas estruturais
ou algum do equipamento hidráulico.
Abordar-se-ão seguidamente, sumariamente, alguns aspetos relevantes relacionados com a
durabilidade, e posteriormente, aplicados ao reservatório em estudo.
DURABILIDADE
Para antever o grau de deterioração a que a obra estará exposta devido aos mecanismos resultantes
das condições ambientais, é necessário primeiro definir a vida útil da obra. De acordo com o Quadro 2.1 da
NPEN1990-2009 [1], nos reservatórios, tal como a maioria dos edifícios e outras estruturas correntes, esta
deverá ter uma duração de 50 anos, durante os quais a obra deverá manter os requisitos de funcionalidade
e segurança, sem necessidade de grandes intervenções a nível de reparações, além dos trabalhos de
manutenção inicialmente previstos.
6
Ainda segundo a mesma norma, para assegurar uma adequada durabilidade, deverão ter-se em
consideração os seguintes aspetos:
A utilização prevista ou futura da estrutura;
Os critérios requeridos para o projeto;
As condições ambientais previstas;
A composição, as propriedades e o desempenho dos materiais e dos produtos;
As propriedades do solo;
A escolha do sistema estrutural;
A forma dos seus elementos e as disposições construtivas;
A qualidade da execução e o seu nível de controlo;
As medidas específicas de proteção;
A manutenção prevista durante o tempo de vida útil de projeto;
Estes parâmetros não são, evidentemente, independentes. De forma a possibilitar a definição dos
requisitos de durabilidade, para proceder a medidas de proteção que controlem os mecanismos de
deterioração, é necessário caracterizar as condições de exposição da obra, que passa por identificar as
substâncias agressivas, os mecanismos de transporte e as reações envolvidas na deterioração [14].
2.1.1.1. MECANISMOS DE DETERIORAÇÃO
A Especificação LNEC E 464 [16], que prescreve para aplicação em Portugal informação incluída na
norma europeia NP EN 206-1 [8], classifica as ações ambientais com base no tipo e severidade de exposição
a que a estrutura estará sujeita (classes de exposição), divididas em 6 categorias:
QUADRO 2.1 - CATEGORIAS DAS CLASSES DE EXPOSIÇÃO (ADAPTADO DE LNEC E 464 [16])
Descrição Designações
Sem risco de corrosão de metais ou ataque ao betão X0
Corrosão induzida por carbonatação XC1 / XC2 / XC3 / XC4
Corrosão induzida por cloretos não provenientes da
água do mar XD1 / XD2 / XD3
Corrosão induzida por cloretos da água do mar XS1 / XS2 / XS3
Ataque gelo-degelo XF1 / XF2
Ataque químico XA1 / XA2 / XA3
Conforme a informação no Quadro 2.1, são considerados dois tipos de ataque ao betão armado:
sobre o betão (ataque pelo gelo-degelo ou ataque químico) ou sobre as armaduras embebidas (corrosão por
carbonatação e por cloretos).
A corrosão das armaduras ocorre pela redução da alcalinidade do betão envolvente (despassivação
das armaduras), através da lixiviação das substâncias alcalinas com água ou pela sua neutralização parcial
com o dióxido de carbono (carbonatação) ou outro material ácido, ou ainda, pela ação do ião cloro (cloretos)
na presença de oxigénio [17]. A modificação do pH, para valores abaixo de 9-10, inicia as reações
eletroquímicas de corrosão da armadura (dissolução do aço e redução do oxigénio).
7
FIGURA 2.1 - MECANISMO DE CORROSÃO DAS ARMADURAS [18]
A propagação destas, uma vez que as armaduras se encontram despassivadas, depende ainda da
presença de água e oxigénio (Figura 2.1). Em ambientes submersos (ou muito húmidos), o transporte de
oxigénio não é eficiente, e pelo contrário, em ambientes muito secos, o betão apresentará baixa
condutividade (inexistindo eletrólito), logo, a velocidade das reações será máxima em elementos
alternadamente molhados e secos, que apresentem frequentemente, humidades intermédias.
FIGURA 2.2 – VARIAÇÃO DA VELOCIDADE DE CORROSÃO
COM A HUMIDADE RELATIVA [14]
FIGURA 2.3 - GRAU DE CARBONATAÇÃO EM RELAÇAO À
HUMIDADE RELTAIVA DO AR [14]
A velocidade da carbonatação será superior quando o betão está em contacto com atmosferas
poluídas, como acontece em ambientes urbanos. Além disso, é também fortemente influenciada pela
presença de humidade (Figura 2.3), razão pela qual ser o parâmetro de distinção entre as classes de exposição
8
XC: é a reação do dióxido de carbono com as moléculas de água que produz o ácido carbónico, responsável
pela reação com os componentes alcalinos do betão. A difusão do CO2 na água é praticamente nula e por
isso, nos ambientes enterrados e submersos, a carbonatação é pouco relevante.
O transporte dos cloretos no betão, por sua vez, está dependente dos mecanismos existentes no
meio ambiente no local, consoante se trate de uma zona submersa, de maré ou de rebentação (em que existe
secagem e molhagem cíclica do betão), ou ainda, atmosférica. Neste último caso, há que ainda ter em conta
a proximidade da orla costeira, o rumo do vento, e a exposição da chuva [14]. Estes parâmetros determinam
a classificação das classes XD (para cloretos não provenientes da água do mar) ou XS (para cloretos
provenientes da água do mar).
Por fim, os ataques ao betão devem-se, sobretudo mas não exclusivamente, à presença de águas ou
solos contendo certos componentes. Incluem-se os ataques químicos por reação dos sulfatos (SO42-) com os
aluminatos (C3A) do cimento hidratado ou com os inertes, ou ainda, dos álcalis com os inertes expansivos. Há
a considerar também por exemplo, os ataques por parte de diversos ácidos, sais de magnésio ou sais
amoniacais à pasta de cimento hidratado. A concentração destas substâncias em contacto com o betão
determina a classificação nas classes de exposição XA, conforme se pode observar pelos dados do Quadro
2.2.
QUADRO 2.2 – VALORES LIMITE PARA A CLASSIFICAÇÃO DO ATAQUE QUÍMICO EM ELEMENTOS DE BETÃO EM
CONTACTO COM ÁGUAS (ADAPTADO DE NP EN 206-1 [8])
Característica
química
Classe XA1 -
Ligeiramente
agressivo
Classe XA2 -
Moderadamente
agressivo
Classe XA3 -
Fortemente
agressivo
SO42- (mg/l) ≥ 200 e ≤ 600 > 600 e ≤ 3000 > 3000 e ≤ 6000
pH ≥ 5,5 e ≤ 6,5 ≥ 4,5 e < 5,5 ≥ 4,0 e < 4,5
CO2 agressivo (mg/l) ≥ 15 e ≤ 40 > 40 e ≤ 100 > 100 até à saturação
NH4+ (mg/l) ≥ 300 e ≤ 1000 > 1000 e ≤ 3000 > 3000 até à saturação
NOTA: Sempre que nas classes XA1 ou XA2 houver riscos de acumulação de sulfatos devido a ciclos de secagem
e molhagem ou absorção capilar, devem satisfazer-se os requisitos da classe superior.
No projeto de reservatórios existem especificações próprias do seu funcionamento e do material
armazenado. De acordo com o ponto 4.3 da EN1992-3 [53], é necessário contabilizar os seguintes fatores de
durabilidade, que podem levar ao desgaste das superfícies interiores dos elementos de betão:
Ataque mecânico devido ao processo de enchimento e vazamento;
Ataque físico devido à erosão e corrosão com a mudança de temperatura e condições de
humidade;
Ataque químico entre o betão e o material armazenado;
O primeiro ponto aplica-se em especial às estruturas de armazenamento de sólidos ou líquidos
contendo sólidos (como areias ou britas). O último ponto é determinante, por exemplo, nos casos frequentes
em que os reservatórios são destinados ao armazenamento de efluentes (integrando estações de tratamento
de águas residuais): as bactérias presentes originam ataques químicos muito agressivos através da produção
dos ácidos sulfúrico e nítrico, devendo ser integrados na classe XA3 [8].
9
2.1.1.2. MEDIDAS DE PROTEÇÃO
O desempenho do betão armado na durabilidade, sob determinada ação do ambiente, está
relacionado com diversos fatores, onde se destacam a sua permeabilidade e a espessura do recobrimento.
De fato, o recobrimento de betão sobre as armaduras determina a resistência ao acesso às
armaduras a partir do exterior, das diferentes substâncias necessárias à sua corrosão tais como, conforme foi
discutido, oxigénio, água (humidade), dióxido de carbono ou cloretos. Porém, a eficiência do recobrimento
depende da qualidade do betão, nomeadamente, da sua composição, compactação e cura [14].
FIGURA 2.4 - EFEITO DA RAZÃO ÁGUA/CIMENTO NA PERMEABILIDADE DO BETÃO [19]
Pretende-se que o betão possua baixos níveis de permeabilidade, que está interligada com a
dimensão e continuidade da estrutura porosa do betão. Esta característica dita a facilidade com que o
material se deixa atravessar por gases e líquidos. É preferível adotar baixas razões água/cimento, que criam
estruturas mais compactas após a evaporação da água (Figura 2.4). Porém, o aumento do teor de cimento
tem de ser feita com atenção ao aumento da fendilhação superficial devido à retração térmica durante a
cura, sendo assim prudente o uso de cimentos de endurecimento mais lento (a retração é abordada com
maior pormenor no ponto 2.2.2.2).
A compactação do betão após colocação em obra é fundamental para obter uma massa densa e
homogénea, expelindo-se as bolhas de ar através de, por exemplo, vibração, em particular na zona de
recobrimento das armaduras. Nos primeiros dias após colocação do betão, há que providenciar condições
para que as reações de hidratação do betão se consigam desenvolver plenamente, adotando-se métodos de
cura e proteção que protejam as superfícies da ação de grandes variações de temperatura, ou secagem
prematura pela ação do vento. Isto pode ser conseguido através de uma adequada cofragem, aspersão com
água em intervalos frequentes e o uso de membranas protetoras.
As observações apresentadas acerca do aumento de impermeabilidade do betão aplicam-se
também à resistência aos ataques ao betão, nomeadamente à penetração de sulfatos e ao movimento de
álcalis no interior do betão. Em adição, há que limitar os teores de álcalis e de C3A na composição do betão e
evitar o uso de agregados reativos. No caso de se prever que o betão vá entrar em contacto com
concentrações de químicos agressivos superiores às indicadas para a classe XA3 (Quadro 2.2) ou com um pH
> 4, é necessário, segundo a Esp. LNEC E 464 [8], protegê-lo através de um revestimento por pintura.
10
O uso de adições sem propriedades hidráulicas latentes (adição do tipo I), como o filler calcário
introduz um efeito benéfico na trabalhabilidade, impermeabilidade, exsudação e calor de hidratação,
atenuando a fendilhação. As adições do tipo II, em que se incluem as pozolanas, escórias de alto-forno ou
sílica de fumo, são também positivas na durabilidade, pois contribuem, nomeadamente, no preenchimento
de vazios, desenvolvendo ainda propriedades resistentes a longo prazo [19]. Já o uso de adjuvantes redutores
de água (plastificantes) permitem limitar a quantidade de água usada a valores muito baixos, sem perda
importante da trabalhabilidade, dando origem a betões mais resistentes e praticamente impermeáveis.
Finalmente, a impermeabilização do betão pode ser comprometida por um excesso de fendilhação,
que permite um acesso imediato dos agentes agressivos ao interior do betão, e ao nível da armadura. O valor
da abertura de fendas é definido para estruturas de edifícios com base na classe de exposição da estrutura.
No caso dos reservatórios, o critério é mais apertado, devido à necessidade de impedir a percolação do
líquido armazenado a elevadas pressões hidrostáticas, aplicando-se os limites que constam na EN1992-3 [53],
que serão apresentados no ponto 6.1.
2.1.1.3. ESPECIFICAÇÃO REGULAMENTAR DA DURABILIDADE
A NP EN 1992-1-1 [6] estipula que o recobrimento nominal a especificar nos desenhos de projeto
deve ser dado por:
𝑐𝑛𝑜𝑚 = 𝑐𝑚𝑖𝑛 + 𝛥𝑐𝑑𝑒𝑣 (2.1)
Em que 𝛥𝑐𝑑𝑒𝑣 corresponde à margem de cálculo para as tolerâncias de execução, função do tipo de
estrutura, cujo valor recomendado é de 10 mm. O recobrimento mínimo, 𝑐𝑚𝑖𝑛 , por sua vez, deve assegurar a
transmissão eficaz das forças de aderência, a proteção contra a corrosão, e uma adequada resistência ao
fogo, e possui um valor mínimo de 10 mm.
Reproduzem-se no Quadro 2.3 os valores indicados para 𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑑𝑢𝑟 (relativo à durabilidade) em função
da classe de exposição e classe estrutura. Em Portugal, a classe estrutural de referência para períodos de vida
útil de 50 anos é a S4 e de 100 anos é a S6.
QUADRO 2.3 - RECOBRIMENTO MÍNIMO DAS ARMADURAS DE BETÃO ARMADO SEGUNDO O EC2-1-1 (EM MILÍMETROS)
Classe de exposição
Classe
estrutural X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1 XD2/XS2 XD3/XS3
S1 10 10 10 15 20 25 30
S2 10 10 15 20 25 30 35
S3 10 10 20 25 30 35 40
S4 10 15 25 30 35 40 45
S5 15 20 30 35 40 45 50
S6 20 25 35 40 45 50 55
O valor de 𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑑𝑢𝑟 pode também sofrer reduções e a própria classificação estrutural pode ser
reduzida caso se cumpram certos requisitos indicados no Quadro 4.3N do EC2-1-1 [6]. No entanto, o
recobrimento após eventuais reduções, em todos os casos, nunca poderá ser menor que o valor 𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑑𝑢𝑟
correspondente à classe S2 ou S4 para, respetivamente, períodos de vida úteis de 50 e 100 anos.
11
A especificação e produção do betão devem estar de acordo com a norma NP EN 206-1 [8], que faz
a ligação às diferentes partes do regulamento, nomeadamente, as normas de produto que descrevem os
requisitos relativos aos materiais constituintes. Existem ainda, para aplicação a nível nacional, diversas
Especificações do LNEC que complementam o regulamento Europeu, onde se incluem aqueles relativos à
durabilidade das estruturas de betão (Figura 2.5).
FIGURA 2.5 - ENQUANDRAMENTO NORMATIVO RELATIVO ÀS ESTRUTURAS DE BETÃO [14]
De acordo com a NP EN 206-1, os requisitos relacionados com a resistência do betão às ações
ambientais podem ser obtidos através de dois métodos:
Metodologia prescritiva, com base em valores limite para a composição do betão e
recobrimento de armaduras, indicada na Especificação LNEC E 464;
Metodologia baseada no desempenho do betão, com base em modelos analíticos
probabilísticos, indicada na Especificação LNEC E 465;
A Especificação LNEC E 461, por sua vez, cobre os mecanismos que conduzem a reações expansivas
internas no betão e a forma de as prevenir.
Na metodologia prescritiva, para uma vida útil de 50 anos, estabelecem-se valores limite para
determinados parâmetros conforme a classe de exposição. Quando há risco de corrosão de armadura (classes
XC e XS) é indicado o mínimo recobrimento nominal, enquanto para a ocorrência de gelo/degelo (classes XF)
é indicado o teor mínimo de ar. Em comum a estas duas categorias, em adição à de ataque químico (classes
XA), estão definidos a mínima dosagem de cimento, máxima razão água/cimento e mínima classe de
resistência.
São ainda indicados os tipos de cimento que se poderão utilizar. A Especificação apresenta algumas
alterações aos valores limite para emprego a estruturas com vidas úteis de 100 anos. Reproduzem-se, a título
12
ilustrativo, no Quadro 2.4, os valores limite indicados para as classes de exposição XC, para vidas úteis de 50
anos (o reservatório em estudo, conforme se discutirá, estará exposto a este tipo de ação ambiental).
QUADRO 2.4 - LIMITES DA COMPOSIÇÃO E DA CLASSE DE RESISTÊNCIA DO BETÃO SOB AÇÃO
DO DIÓXIDO DE CARBONO, PARA UMA VIDA ÚTIL DE 50 ANOS [16]
Tipo de cimento CEM I (referência); CEM II/A(1) CEM II/B(1); CEM III/A(2); CEM IV(2); CEM V/A(2)
Classe de exposição XC1 XC2 XC3 XC4 XC1 XC2 XC3 XC4
Mínimo recobrimento
nominal (mm) 25 35 35 40 25 35 35 40
Máxima razão
água/cimento 0,65 0,65 0,60 0,60 0,65 0,65 0,55 0,55
Mínima dosagem de
cimento C (kg/m3) 240 240 280 280 260 260 300 300
Mínima classe de
resistência
C25/30
LC25/28
C25/30
LC25/28
C30/37
LC30/33
C30/37
LC30/33
C25/30
LC25/28
C25/30
LC25/28
C30/37
LC30/33
C30/37
LC30/33
Notas: (1) Não aplicável aos cimentos II/A-T e II/A-W e aos cimentos II/B-T e II/B-W, respetivamente.
(2) Não aplicável aos cimentos com percentagem inferior a 50% de clinquer Portland, em massa.
As mínimas dosagens de cimento indicadas, C, referem-se a betões com máxima dimensão do
agregado mais grosso, Dmax, igual ou maior que 20 mm. Este será o tamanho máximo recomendado para
elementos estruturais de até 0,3 ou 0,4 mm de espessura [25]. Para valores de Dmax menores, as dosagens
devem ser alteradas da seguinte forma:
{ 20 𝑚𝑚 > 𝐷𝑚𝑎𝑥 ≥ 12,5 𝑚𝑚;𝐶20/12,5 = 1,10 𝐶
12,5 𝑚𝑚 > 𝐷𝑚𝑎𝑥 ≥ 4 𝑚𝑚;𝐶12,5/4 = 1,23 𝐶 (2.2)
Refira-se que estes requisitos quanto à constituição do betão têm em conta apenas a condição de
exposição da obra. Nos reservatórios, dependendo do tipo de revestimento, se existir, os requisitos de
impermeabilidade poderão ser superiores. Por exemplo, a norma britânica BS 8007 [61], dedicada ao
dimensionamento de tanques, indica uma dosagem mínima de cimento de 325 kg/m3 e uma máxima razão
água/cimento de 0,55, ou 0,50 no caso de cimentos contendo cinzas volantes.
Já para a classe X0, o único requisito, para qualquer vida útil da estrutura, é o uso de uma classe
mínima de resistência C12/15, podendo-se usar qualquer tipo de cimento, com exceção de II/T e II/W. Nas
classes XA, caso a agressividade química se deva à ação dos sulfatos presentes na água ou nos solos em
contacto com o betão, são indicados na norma teores máximos de C3A e (C3A + C4AF) na composição do
clinquer, de acordo com o tipo de cimento utilizado.
As condições ambientais a que o betão está sujeito podem ser expressas através de uma combinação
de classes de exposição, e as diferentes superfícies de um elemento estrutural podem ser classificadas de
forma distinta. No caso de combinação, devem ser satisfeitos os valores limite mais exigentes de entre as
classes consideradas.
A aplicação ao betão do conjunto de requisitos, no contexto da classe de exposição apropriada,
permite presumir-se que fica garantida a durabilidade para a utilização pretendida sob as ações ambientais,
desde que o betão seja devidamente colocado, compactado e curado, de acordo com a NP ENV 13670-1, e
que seja feita a manutenção prevista.
13
Como indicam os dados do Quadro 2.4, uma maior percentagem de adições implicam geralmente,
para a mesma classe de exposição, o uso de maior quantidade de cimento e/ou menor relação água/cimento,
porque, devido ao menor uso de clínquer, o betão exibirá menor capacidade resistente, em particular, inicial.
Contudo, há que considerar a vantagem das adições na durabilidade, conforme foi discutido anteriormente.
ESPECIFICAÇÃO DA DURABILIDADE NO RESERVATÓRIO ESTUDADO
2.1.2.1. EFEITO DO ÓLEO MINERAL NA ESTRUTURA DE BETÃO ARMADO
Para a avaliação do efeito do líquido contido, óleo mineral, sobre o betão armado, faz-se referência
aos trabalhos de Błaszczyński [20,21], que analisam estruturas de betão armado influenciados por produtos
derivados do petróleo.
A influência dos produtos à base de hidrocarbonetos, ao longo de períodos de tempo extensos, é
muito variada, sendo praticamente nula no caso de produtos brutos como o petróleo ou querosene, mas
significativa no caso de certos óleos minerais contendo aditivos.
A qualidade do betão, em termos de permeabilidade, que depende de certa forma da resistência à
compressão, é determinante, tendo-se observado que em betões muito impermeáveis, em que se destaca o
papel das adições, a deterioração é muito reduzida. A viscosidade do líquido desempenha também um papel
importante no grau de penetração do óleo e consequente degradação estrutural.
A deterioração ocorre devido a reações entre o óleo mineral aditivado e as ligações da pasta de
cimento, e devido à perda de aderência entre o betão e as armaduras, em especial, quando os varões são
lisos, tendo Błaszczyński verificado perdas de resistência à compressão de até 55%.
FIGURA 2.6 - DEGRADAÇÃO DE ELEMENTO ESTRUTURAL INFETADO POR ÓLEOS MINERAIS E EMULSÕES NA UNIVERSIDADE DE
PSICOLOGIA SOCIAL EM VARSÓVIA [20]
Informação mais pormenorizada acerca do mecanismo de degradação e de métodos de avaliação da
agressividade de produtos hidrocarbonetos pode ser consultado no trabalho de Błaszczyński [21]. Nos casos
em que realmente se verifique que o líquido armazenado é agressivo, é sugerido a aplicação sobre as
superfícies do betão de revestimentos protetores não reativos com os hidrocarbonetos.
14
FIGURA 2.7 - EVOLUÇÃO AO LONGO DO TEMPO DA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO DE UM BETÃO C20/25
SOB A INLUÊNCIA DE ÓLEOS MINERAIS ADITIVADOS [20]
2.1.2.2. CLASSES DE EXPOSIÇÃO E RECOBRIMENTOS ADOTADOS NO RESERVATÓRIO
Na definição das classes de exposição das diferentes partes do reservatório em análise, considera-
se que a obra é localizada numa região afastada do mar, e não se encontra de outra forma sujeita à ação dos
cloretos. Considera-se ainda que tanto o solo de aterro como o solo de fundação não contêm quaisquer
químicos agressivos ao betão armado, nomeadamente sulfatos.
Na ausência de dados concretos acerca da agressividade do tipo de óleo mineral armazenado,
admitir-se-á que este não constitui uma ameaça à integridade ao betão armado e/ou que o betão se encontra
devidamente protegido por um revestimento adequado.
Adota-se na laje de fundo, a classe de exposição XC2, que corresponde a ambientes húmidos e
raramente secos. Já na parede, viga e cobertura atribuir-se-á a classe XC4, apropriado para ambientes
ciclicamente húmido e seco, contabilizando-se assim a ação da chuva na parte superior, não coberta, do
reservatório (Figura 2.9).
a)
b)
FIGURA 2.8 - DEFINIÇÃO DOS RECOBRIMENTOS EM CENTÍMETROS: A) COBERTURA B) LAJE DE FUNDO
O dimensionamento das armaduras na cobertura em cúpula e na laje de fundo está limitado, pelas
respetivas reduzidas espessuras dos elementos, a uma só camada para ambas as faces (Figura 2.8).
Contabilizando-se varões possuindo diâmetros de 6 mm e 10 mm, na cobertura e na laje, respetivamente, o
recobrimento nominal (Eq. (2.1)) na cobertura terá de ser menor que os 4 cm de acordo com o Quadro 2.3
15
para a classe estrutural S4 e classe de exposição XC4. É possível reduzir, no reservatório, a classe estrutural
para S3, obtendo-se um recobrimento mínimo de 3,5 cm, através da garantia especial de controlo da
qualidade de produção do betão, o que ainda assim é superior ao que se consegue possivelmente obter –
consultar Figura 2.8 a). De acordo com a NP ENV 13670-1, os reservatórios pertencem à classe de inspeção
3, para a qual a certificação do controlo da produção é, de qualquer forma, obrigatória.
Na laje de fundo, será necessário adotar um recobrimento superior. Há que ter em conta que a
abertura de fendas cresce proporcionalmente ao recobrimento. É curioso observar que na estrutura original
(Figura 1.3), Santarella dispôs de duas camadas de armaduras em todos os elementos, o que indica espessuras
de recobrimento reduzidíssimas. Apesar de não haver qualquer alusão quanto ao seu valor, os recobrimentos
estarão na ordem de grandeza de 2,0 cm na cobertura e 2,5 cm na parede e na laje de fundo.
FIGURA 2.9 - CLASSES DE EXPOSIÇÃO E RECOBRIMENTOS ADOTADOS NA ESTRUTURA
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS UTILIZADOS
Não será desenvolvido a composição do betão que será utilizado na análise e dimensionamento do
reservatório, já que este tema não faz parte do âmbito deste trabalho, tendo-se já apresentado os principais
pontos a considerar neste aspeto quanto às variáveis a considerar na sua escolha em função dos requisitos
de impermeabilidade e durabilidade da estrutura.
O betão será da classe C20/25. Esta é inferior ao mínimo regulamentar para a classe de exposição
da obra, contudo, o objetivo é o de possibilitar uma posterior comparação entre a solução estrutural
encontrada e aquela apresentada por Santarella [15].O aço utilizado pertence à classe A400 NR.
Na verdade, conforme será demonstrado ao longo do desenvolvimento do trabalho, as
características resistentes dos dois materiais pouco impacto terão no dimensionamento da estrutura, uma
vez que os critérios decorrentes dos estados limites de utilização vão impor tensões bastante reduzidas, tanto
no aço como no betão. A influência da resistência do betão só será relevante na análise não linear que será
efetuada em estado limite último (Capítulo 7).
16
QUADRO 2.5 – PROPERIEDADES DO BETÃO
Classe fck (MPa) fcd (MPa) fctm (MPa) Ec (GPa) εc2 (‰) εcu2 (‰)
C20/25 20 13,3 2,2 30 2,0 3,5
QUADRO 2.6 - PROPRIEDADES DO AÇO
Classe fyk (MPa) fyd (MPa) Es (GPa) εyd (‰)
A400 400 348 200 1,74
2.2. AÇÕES DE PROJETO
A quantificação das ações que atuam simultaneamente sobre uma estrutura é essencial para a
adoção de um modelo de cálculo fidedigno. Uma falha no seu processo pode levar ao surgimento de situações
de esforços não contabilizadas e, por conseguinte, a eventuais falhas no comportamento em serviço, ou até
ao aparecimento de estados limites últimos para os quais a estrutura não foi preparada. Deve ser feita tendo
em conta as condicionantes próprias da construção, que estão relacionadas com as características da própria
estrutura e as do terreno, condições meteorológicas, nível de risco sísmico, o tipo de utilização futura da
estrutura, entre outros.
Esta fase do presente estudo será abordada com base na recente regulamentação: a norma que
fornece as bases para os projetos de estruturas, NP EN 1990 (EC0) [1], e as normas NP EN 1991-1-1 (EC1-1-1)
[2], NP EN 1991-1-5 (EC1-1-5) [3] e EN 1991-4 (EC1-4) [4], que visam a definição das ações gerais em edifícios,
ações térmicas, e ações em silos e tanques, respetivamente. Estas têm como base a definição dos valores das
ações com base em modelos probabilísticos, em que os valores característicos são afetados por fatores
parciais γ, que têm em conta eventuais desvios desfavoráveis, e coeficientes de combinação ψ, que
correspondem a um valor reduzido da ação para efeitos de combinação de ações.
Será dado maior destaque às disposições do EC1-4 no que se refere aos tanques (reservatórios que
armazenam líquidos, ao contrário dos silos, que armazenam sólidos), uma vez que esta é uma área mais
específica, menos frequentemente debatida, na qual se insere a estrutura analisada.
De acordo com o EC1-1-1, as ações podem, em geral, ser classificadas quanto à sua variabilidade no
tempo, da seguinte forma:
Ações permanentes (G), por exemplo, peso próprio da estrutura e de equipamentos fixos,
ou os efeitos da retração ou assentamentos diferenciais;
Ações variáveis (Q), por exemplo, sobrecargas na cobertura, ação do vento ou da neve;
Ações acidentais (A), por exemplo, explosões ou eventos sísmicos;
As ações podem ainda ser classificadas em diretas ou indiretas. As primeiras consistem normalmente
em forças exteriores que aplicam à estrutura cargas horizontais ou verticais, que geram diretamente esforços
globais que equilibram essas forças, cuja magnitude é independente do material utilizado (que apenas
influencia a distribuição dos esforços).
Por outro lado, as ações indiretas residem em deformações impostas, quer seja pela dilatação ou
retração térmica, retração do betão, ou por assentamentos diferenciais. Estas deformações, caso estejam
impedidas, traduzem-se em esforços na estrutura de acordo com a sua rigidez (módulo de elasticidade),
obedecendo assim às características do material, e, no caso do betão, ao seu estado de fendilhação. Perto da
rotura, as seções críticas perdem gradualmente rigidez, pelo que estas ações tendem a anularem-se, não
17
sendo por isso consideradas no estado limite último, exceto quando são importantes os efeitos de segunda
ordem, por exemplo, quando a estrutura não evidencie ductilidade.
Porque os tanques são estruturas com a finalidade de reter líquidos, é essencial minimizar a
fendilhação, e a correta definição das ações indiretas, que detêm um papel importante no comportamento
da estrutura em serviço, ganha assim especial relevância e são frequentemente condicionantes.
O EC1-4 recomenda, no dimensionamento de tanques, a consideração das seguintes ações,
remetendo a quantificação de algumas destas a outras partes dos regulamentos:
Peso próprio da estrutura e dos componentes permanentemente ligados ao tanque (EN
1991-1-1, Anexo A);
Peso próprio dos revestimentos (EN 1991-1-1, Anexo A);
Cargas resultantes das ligações, como tubagens, válvulas e outros equipamentos ligados ao
tanque, e cargas resultantes de assentamentos de suportes independentes da fundação do
tanque.
Cargas induzidas pelo líquido;
Ações térmicas (EN 1991-1-5);
Ação da neve (EN 1991-1-3);
Ação do vento (EN 1991-1-4, sendo indicados, contudo, coeficientes de pressão específicos
para tanques cilíndricos);
Deformações impostas por assentamentos diferenciais (EN 1997);
Sução devido a inadequada ventilação;
Outras sobrecargas pontuais ou distribuídas (EN 1991-1-1);
Ação sísmica (EN 1998);
Outras ações acidentais, por consequência de eventos como: impactos, fogo adjacente no
exterior, explosão, sobreenchimento do tanque, ou derrames;
Nem todas as referidas ações serão contabilizadas neste estudo. Devido à diminuta altura do tanque
em análise, que possui baixa esbelteza, em adição a este encontrar-se parcialmente coberto pelo aterro, a
ação do vento foi desprezada. Também não é analisada a situação de sução, nem a ação da neve, podendo-
se admitir que a construção localiza-se numa zona onde não existem condições atmosféricas para ocorrência
da última.
Uma vez que não se possui nenhum dado acerca dos revestimentos, equipamentos hidráulicos e
outros componentes conectados, as suas ações sobre o tanque não podem ser quantificadas. É no entanto
provável, devido ao seu baixo peso quando comparado com outras ações, que a sua inclusão apenas afetasse
o dimensionamento local de zonas específicas. Não serão identificadas quaisquer ações resultantes do
enchimento e esvaziamento do tanque, o que pressupõe que estas tarefas são realizadas de modo
suficientemente lento. No entanto, em especial nos silos, a avaliação dos esforços gerados pelo movimento
dos sólidos, durante as operações, é essencial.
Por fim, a única ação acidental considerada será a ocorrência de um evento sísmico. A sua
quantificação é efetuada separadamente, no Capítulo 73, dedicado à análise sísmica do reservatório.
18
Serão adotadas as combinações de esforços que visam carregar a estrutura da forma mais
condicionante tendo em conta os estados limites considerados, utilizando-se os fatores parciais e coeficientes
de combinação explicitados no EC1-4 para algumas das ações nas situações de projeto de reservatórios.
Proceder-se-á seguidamente à descrição das ações consideradas no reservatório segundo constam
nos regulamentos, e da sua definição para o caso em estudo.
AÇÕES DIRETAS
2.2.1.1. CARGAS PERMANENTES
As ações permanentes na estrutura consistem em todas aquelas invariáveis no tempo. Incluem-se o
peso próprio da estrutura, e as restantes cargas permanentes, que englobam as ações de todos os elementos
não estruturais, e que se mantêm durante toda a vida útil da obra.
De acordo com o que foi já referido, só se considerará, dentro das cargas permanentes, o peso
próprio da estrutura. Segundo o Quadro A.1, incluído no EC1-1-1, o betão “normal”, se incluir percentagem
normal de aço, terá um peso volúmico de 25 kN/m3. Sendo a totalidade da estrutura de betão armado, será
este o valor adotado.
2.2.1.2. SOBRECARGA NA COBERTURA
A cobertura do reservatório, pelas suas características, suportará uma ação variável que na maior
parte do tempo será praticamente nula. Esta insere-se, de acordo com a classificação de sobrecargas do
EC1.1, na categoria H, que se aplica a coberturas não acessíveis, exceto para operações de manutenção e
reparação correntes.
O Anexo Nacional da mesma norma define que devem ser considerados, nesta categoria, uma carga
distribuída, com valor característico de 0,4 kN/m2, a atuar em toda a cobertura. Para o dimensionamento de
elementos locais, deve ser aplicada separadamente uma só carga concentrada de 1 kN numa superfície
quadrada com 50 mm de lado. No âmbito do presente estudo, só será empregada a primeira.
No caso de superfícies curvas, como a cúpula do reservatório estudado, a carga distribuída deverá
ter sempre direção vertical (gravítica), e ser aplicada sobre a área da superfície horizontal projetada (Figura
2.10).
FIGURA 2.10 - SOBRECARGA APLICADA À COBERTURA DO RESERVATÓRIO
19
2.2.1.3. PRESSÃO HIDROSTÁTICA
Os tanques armazenam, no seu interior, fluidos que exercem sobre a estrutura uma pressão
hidrostática que terá formato triangular, apresentando valor máximo no fundo do tanque, e nula na
superfície.
Esta ação é classificada como “variável fixa” porque, por um lado possui valores máximos
considerados constantes, que poderão atuar durante grandes períodos de tempo, por outro, segundo o EC1-
4, é necessário avaliar as situações limite de reservatório na sua capacidade operacional máxima, e vazio.
Ainda de acordo com o EC1-4, o valor característico da pressão do tanque cheio em cada ponto a
uma profundidade ℎ𝐿, é dado pela equação (2.3). Os valores devem ser os máximos após consideração dos
pesos volúmicos, 𝛾𝐿, da gama de líquidos a serem armazenados, e as cotas a que se encontrará a superfície
do líquido (não se consideram, contudo, níveis de sobreenchimento, que é tratado como uma ação acidental).
𝑝𝐻 = 𝛾𝐿 ∙ ℎ𝐿 (2.3)
O peso volúmico do líquido deve ser retirado dos dados constantes no Anexo A do EC1.1, que indica
valores aplicáveis a diferentes tipos de líquido. No tanque em estudo, apesar de a norma referir que a parafina
líquida possui γ = 8,3 kN/m3, será utilizado o valor de 9,5 kN/m3, pois é este o valor que consta na bibliografia,
no cálculo da mesma estrutura. A pressão máxima no fundo do tanque, a 5,4 m de profundidade, é então de
51,3 kN/m2 (Figura 2.11).
FIGURA 2.11 - PRESSÃO HIDROSTÁTICA NO RESERVATÓRIO
Nos reservatórios semienterrados ou enterrados, é importante considerar ainda os impulsos
hidrostáticos devido à água no exterior, que, dependendo da cota do nível freático, poderão provocar cargas
importantes na laje de fundo no sentido de baixo para cima. Em último caso, poderá mesmo levar à rotura
por levantamento global (flutuação) do tanque, caso o peso próprio da estrutura e do terreno sobre a laje
exterior (se existir) seja insuficiente. Como o tanque em estudo não é enterrado, ao invés, parcialmente
coberto por um aterro, cuja drenagem se admite ser satisfatória, esta situação não será avaliada.
20
2.2.1.4. PRESSÃO DE TERRAS
Nos reservatórios enterrados ou semienterrados, a pressão das terras sobre as paredes, cobertura
(caso esteja totalmente enterrado) ou laje exterior à parede, consiste numa ação de características
semelhantes à pressão hidrostática, atuando de fora para dentro.
Normalmente, esta ação é aplicada após a condução dos testes de impermeabilização do
reservatório, mantendo-se depois por toda a vida útil da estrutura, e por isso considerada permanente.
A sua ação vertical sobre lajes exteriores ou coberturas deve-se ao peso do solo, de acordo com a
expressão (2.4).
𝑝𝑇𝑣 = 𝛾𝑆 ∙ ℎ𝑆 (2.4)
A impulsão horizontal depende do estado de tensão do solo. Perante um movimento da estrutura
no sentido do terreno, existe um acréscimo das tensões (lado passivo), e em sentido contrário, gera-se um
alívio das tensões (lado ativo). Na situação de carregamento do terreno mais condicionante (em que o
reservatório está vazio), há lugar a esta última situação.
Porém, segundo a NP EN 1997-1 (EC7-1) [4], quando não se desenvolve movimento relativo
suficiente entre a estrutura de suporte e o terreno (mais concretamente de 5 × 10−4 ×𝐻, sendo H a altura da
estrutura), a pressão de terras deve ser calculada a partir do estado de tensão em repouso - expressão (2.5).
Uma vez que os deslocamentos radiais da parede do reservatório são pequenos, devido à rigidez conferida
pela sua forma cilíndrica, admitir-se-á esta situação, que conduzirá a maiores valores que o impulso ativo,
quando a ação do terreno é desfavorável.
𝑝𝑇ℎ = 𝐾0 ∙ 𝛾𝑆 ∙ ℎ𝑆 (2.5)
O coeficiente de impulso em repouso poderá ser determinado simplificadamente através de:
𝐾0 = 1− 𝑠𝑒𝑛(𝜙′) (2.6)
Os parâmetros geotécnicos utilizados (peso volúmico do solo 𝛾𝑆 e o ângulo de resistência ao corte
𝜙′) devem ser determinados através de estudos de caracterização geotécnica do solo. No caso estudado, na
ausência de dados concretos, foram adotados os valores correntes indicados no Quadro 2.5.
QUADRO 2.7 – VALORES CARACTERÍSTICOS DOS PARÂMETROS GEOTÉCNICOS CONSIDERADOS
𝛾𝑆 19 kN/m3
𝜙′ 30 °
Os valores de cálculo destes parâmetros, utilizadas nas expressões (2.5) e (2.6), são iguais aos valores
característicos, pois será utilizada a combinação 1 da abordagem de cálculo 1 do Quadro 1.3 do EC7-1 [4],
indicada para a avaliação dos estados limites de rotura estrutural (STR), em que ambos os respetivos
coeficientes de segurança parciais (𝛾𝛾 e 𝛾𝜙′) são unitários.
Conforme anteriormente referido, não será tido em conta a influência da presença de nível freático
no aterro, que determinaria alterações às tensões efetivas do solo.
21
FIGURA 2.12 - PRESSÕES DE TERRAS NO RESERVATÓRIO
AÇÕES INDIRETAS
2.2.2.1. VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
As variações de temperatura podem ter um efeito relevante nas estruturas ao impor-lhes
importantes extensões na estrutura, de forma cíclica, que dependem do coeficiente de dilatação térmica, 𝛼𝑇 .
Nos reservatórios enterrados, a sua ação é mais restringida pelo fato de a radiação solar não incidir
diretamente sobre a estrutura, além de o solo ter a propriedade de amenizar sazonalmente a temperatura
no seu interior para valores moderados. Porém, é indispensável a consideração desta ação no caso de
reservatórios expostos ao sol, onde frequentemente é condicionante nas verificações em estado limite de
serviço.
A sua intensidade e distribuição, no espaço e no tempo, depende ainda de diversos fatores, como
são: a orientação da estrutura; propriedades térmicas do material de construção, fluido armazenado e
eventuais revestimentos; ventilação; espessura das paredes; absorvidade relativa das superfícies expostas à
radiação.
As variações de temperatura não são, geralmente, uniformes ao longo da espessura da peça,
podendo-se decompô-las nas seguintes parcelas, representadas na Figura 2.13:
(a) Componente da variação uniforme de temperatura;
(b) Componente linear da variação diferencial de temperatura ao longo do eixo z;
(c) Componente linear da variação diferencial de temperatura ao longo do eixo y;
(d) Componente não linear da variação diferencial de temperatura que corresponde a um sistema
de tensões auto-equilibradas com esforços resultantes nulos;
As variações uniformes podem corresponder às variações sazonais da temperatura ambiente, que
ocorrem lentamente durante o ano, enquanto as variações diferenciais estão normalmente relacionadas com
as variações rápidas devido à alteração de temperatura num período diário.
22
FIGURA 2.13 – DECOMPOSIÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DA TEMPERATURA EM QUATRO COMPONENTES [4]
O EC1.5 inclui regras específicas que se aplicam a reservatórios. Nas estruturas em contacto com
líquidos, fluxos gasosos ou com materiais com diferentes temperaturas, deverão ser consideradas as
seguintes situações:
Ações térmicas resultantes de efeitos climáticos devido à variação da temperatura do ar à
sombra e da radiação solar;
Distribuição da temperatura relativa a condições de funcionamento, normais e anormais
(por exemplo, caso o líquido entre no reservatório a altas ou baixas temperaturas);
Efeitos da interação entre a estrutura e o seu conteúdo durante as variações de
temperatura (por exemplo, a restrição à retração do betão devido à presença de um
conteúdo sólido);
Em ambas situações apresentadas nos dois primeiros pontos, devem ser contabilizadas a
componente da variação uniforme de temperatura e a componente linear da variação diferencial de
temperatura. O efeito da radiação solar poderá ser traduzido por uma distribuição em escada da variação de
temperatura, ao longo do perímetro da estrutura (Figura 2.14).
a) b)
FIGURA 2.14 - PRINCIPAIS COMPONENTES DA TEMPERATURA PARA CONDUTAS, SILOS E RESERVATÓRIOS: A) VARIAÇÃO UNIFORME
E EM ESCADA B) VARIAÇÃO DIFERENCIAL [4]
23
Ainda de acordo com o EC1-1-5, caso se considerem as ações térmicas apenas devido aos efeitos
climáticos, a avaliação individual de cada uma das três referidas parcelas (uniforme, diferencial e em escada)
tem conta a simultaneidade dos efeitos.
No reservatório em análise, não existe nenhuma interação relevante entre a estrutura e o fluido
(óleo) armazenado. Não se antevê também qualquer variação de temperatura devido à sua operação. Só se
estudarão, portanto, as ações térmicas devido aos efeitos climáticos..
Os valores característicos das temperaturas máximas (Tmax) e mínimas (Tmin) do ar à sombra
encontram-se definidas, em campo aberto e ao nível médio do mar, para o território nacional, no Anexo
Nacional do EC1-1-5, correspondendo a uma probabilidade anual de, respetivamente, serem ou não
excedidas de 2%. A temperatura média do ar inicial (T0), por sua vez, deve ser igual ao valor médio no local
da obra ou, caso não exista essa informação, pode ser fixada em 15°C (será utilizado 20°C).
Foram adotados, no presente estudo, os valores constantes para a zona B (Quadro 2.8), que
corresponde à maior parte da faixa litoral de Portugal Continental, incluindo a região sul, para a qual foi
também calculada a ação sísmica (no capítulo 5).
Quanto à variação diferencial de temperatura, não constam na norma dados específicos a aplicar
em reservatórios, pelo que foi utilizado o valor recomendado para condutas de betão. O valor elevado
justifica-se com a grande energia potencial térmica dos líquidos, que ameniza a variação de temperatura da
face interior da parede.
QUADRO 2.8 - AÇÕES TÉRMICAS ADOTADAS NO MODELO DO RESERVATÓRIO ESTUDADO
Tmax (°C) Tmín (°C) T0 (°C) ΔTu (°C) ΔTd (°C)
40 0 20 ± 20 ± 15
As variações de temperaturas apresentadas no Quadro 2.8 apenas serão somente aplicadas nas
superfícies do tanque que não estejam cobertas pelo solo. Conforme se pode observar na Figura 2.15, a
abaixo do nível do solo, o valor de ambas as variações descem gradualmente até se anularem. Como a
variação diferencial ocorre em períodos bastante menos extensos, determinou-se que se anula mais próxima
da superfície do solo. Não será contabilizada a variação diferencial na viga de bordadura.
a) b)
FIGURA 2.15 - VARIAÇÃO DE TEMPERATURA APLICADA AO RESERVATÓRIO: A) UNIFORME B) DIFERENCIAL
24
Em rigor, a norma considera que, para a zona B em profundidades superiores a 1 m, a temperatura
exterior será de 15°C, no Verão, e de 8°C, no Inverno. Porém, está-se do lado da segurança na situação de
Inverno porque a não consideração da contração da parte inferior do cilindro (tanque) restringe esse efeito
na restante estrutura, dando origem a esforços superiores. Já no Verão, a variação é muito pequena.
2.2.2.2. RETRAÇÃO
A retração é uma ação diferida no tempo que se caracteriza pela diminuição do volume do betão ao
longo do processo de endurecimento, independentemente do estado de tensão da peça, ou seja, não
depende das cargas aplicadas aos elementos. Trata-se assim, de uma deformação imposta, que assume
valores relevantes na ordem de grandeza entre 0,2 a 0,5‰ e que tem origem na evaporação da água e nas
reações químicas que ocorrem durante a cura.
Tal como a ação da temperatura, em estruturas contínuas de elevada dimensão ou no caso de
reservatórios, que exigem a garantia de estanquidade, a sua avaliação é determinante para um correto
comportamento em serviço, uma vez que o impedimento da deformação produz tensões de tração com
implicações ao nível da fendilhação.
A extensão de retração do betão divide-se em diferentes parcelas, que se podem classificar da
seguinte forma [9]:
Retração hídrica;
Retração plástica, que dá-se antes da presa, quando a evaporação da água perto das
superfícies livres dos elementos é mais rápida que a sua migração do interior da peça;
Retração térmica, que ocorre devido ao arrefecimento do betão após a libertação de calor
proporcionada pelas reações químicas exotérmicas de hidratação do cimento;
Retração química, que consiste na redução de volume absoluto durante a hidratação do
cimento;
As duas últimas parcelas representam participações pouco significativas e apenas ocorrem numa
fase muito inicial do processo. O EC2-1 apenas contabiliza a retração hídrica no cálculo do valor da extensão
total (휀𝑐𝑠), que, por sua vez, consiste na soma das duas componentes (휀𝑐𝑠 = 휀𝑐𝑎 + 휀𝑐𝑑):
Retração autogénea (휀𝑐𝑎), que ocorre durante o endurecimento do betão, nos primeiros
dias após a betonagem, e é função linear da resistência do betão. Surge devido ao consumo
de água pelas reações químicas de hidratação, gerando subpressões nos poros e aumenta
com a diminuição da relação água/cimento do betão. É por isso mais marcante nos betões
de elevada resistência.
Retração por secagem (휀𝑐𝑑), que evolui lentamente por períodos largos de tempo (anos) e
resulta da migração da água através do betão endurecido e sequente evaporação.
Naturalmente, tem maior expressão nos betões correntes com elevadas relações
água/cimento.
A retração por secagem é a parcela mais significativa na retração total, pelo que é sempre preferível
a aplicação de baixas razões água/cimento, de acordo com a Figura 2.16 a). A extensão da retração depende
também fortemente da humidade relativa do ar, que determina o gradiente da transferência de água - Figura
2.16 b).
25
a) b)
FIGURA 2.16 – INFLUÊNCIA NA RETRAÇÃO DE: A) DOSAGEM DE ÁGUA B) HUMIDADE RELATIVA DO AR [10]
Outros fatores incluem a temperatura ambiente e velocidade do vento, a forma e dimensão do
elemento, e a composição do betão; por exemplo, a inclusão de adjuvantes de redutores de retração (SRAs),
adições expansivas e o incremento dos agregados grossos, que limita o uso de cimento e água, têm um efeito
positivo.
As retrações plástica e térmica podem ser controladas através do tipo e duração da cofragem (que
influencia a perda de água e calor nos períodos inicias após betonagem), e a escolha de cimento no que diz
respeito ao calor que desenvolve na hidratação.
No reservatório em estudo, a evolução no tempo da extensão da retração foi calculada com base na
formulação presente no Anexo B do EC2-1-1. Os parâmetros empregados encontram-se no Quadro 2.9.
QUADRO 2.9 – QUANTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS NO CÁLCULO DA EXTENSÃO DE RETRAÇÃO
Parâmetro Descrição Valor
𝑅𝐻 Humidade relativa do ar 70 %
ℎ0 Espessura equivalente do elemento 200 mm (parede)
𝑡𝑠 Idade do betão no início da retração
por secagem 3 dias
𝑓𝑐𝑚 Resistência à compressão média
do betão 28 MPa
𝛼𝑑𝑠1 Coeficientes que dependem do
tipo de cimento
4 (Classe N)
𝛼𝑑𝑠2 0,12 (Classe N)
O valor de 𝑡𝑠 foi definido com base no período mínimo de cura de betões com desenvolvimento de
resistência lento, nos casos em que a temperatura da superfície de betão se situa ente os 15 e os 25°C,
segundo regulamentado na NP-ENV-13670-1 [7]. Os valores resultantes encontram-se no Anexo A.2.
26
FIGURA 2.17 – EVOLUÇÃO NO TEMPO DA EXTENSÃO DA RETRAÇÃO NO RESERVATÓRIO
A Figura 2.17 indica, como seria esperado (porque se trata de um betão de baixa resistência, ao
contrário do que seria recomendado), que a parcela de secagem constitui a maior parte da retração. Esta
desenvolve-se lentamente até a cerca dos 1200 dias, a partir dos quais toma um valor relativamente
constante. A parcela autogénea, por outro lado, desenvolve-se rapidamente nos primeiros dias após a
betonagem.
A extensão de retração a tempo infinito é de 0,37‰. Foi adotado o valor de 0,3‰, que se verifica
aos 500 dias, com base nas conclusões apresentadas no ponto 2.2.2.4 (será desprezada a influência das
espessuras dos diferentes elementos). A modelação desta ação pode ser feita através da aplicação de uma
variação de temperatura uniforme equivalente, de acordo com a equação:
𝛥𝑇𝑢 = 휀𝑐𝑠 𝛼⁄ (2.7)
Na modelação desta ação (Figura 2.18), considerou-se que a laje de fundo, na altura da betonagem
da parede, já desenvolveu metade da extensão de retração. Esta hipótese, apesar de comum, não está
totalmente correta.
Supondo que a ligação é estabelecida ao final de 30 dias, de acordo com os cálculos efetuados (Figura
2.18), a retração é de apenas 0,08‰, o que representa cerca de 23% do valor final. Nos betões mais comuns
nestas estruturas (de classes superiores), este rácio poderá ultrapassar os 30%. Nos casos apropriados, é
necessário contabilizar a restrição devido à ligação da laje a fundações indiretas.
Nos reservatórios cilíndricos, como é o caso, a hipótese adotada está do lado da segurança, porque
que a ausência de contração da laje impede a restrição da restante estrutura. Mas em outros tipos de
estruturas, nomeadamente aquelas contínuas no plano, como tabuleiros de pontes, este aspeto necessita de
ser avaliado com precaução, já que o faseamento construtivo poderá não ser uma forma eficaz de controlar
a retração.
0,0E+00
5,0E-05
1,0E-04
1,5E-04
2,0E-04
2,5E-04
3,0E-04
3,5E-04
4,0E-04
0 200 400 600 800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000
ε (-)
t (dias)Autogénea Secagem Total
27
FIGURA 2.18 - VARIAÇÃO DE TEMPERATURA COM EFEITO EQUIVALENTE À RETRAÇÃO APLICADA AO RESERVATÓRIO
2.2.2.3. FLUÊNCIA
A fluência representa um efeito diferido no tempo do betão, e define-se como uma perda gradual
de rigidez da estrutura, sob a ação de um estado de tensão constante (ao contrário da retração), que se traduz
no aumento das deformações.
A extensão da fluência depende de diferentes fatores, onde se incluem:
Dimensões e forma do elemento: por exemplo, quanto maior a esbelteza do elemento,
maior será o efeito de fluência;
Humidade e temperatura do ar: os efeitos da fluência far-se-ão sentir mais cedo sob
temperaturas mais elevadas, mas o valor final a longo prazo será semelhante. A humidade,
pelo contrário, é inversamente proporcional à extensão da fluência;
Idade do betão no primeiro carregamento: quanto mais cedo o betão for carregado após a
betonagem, maior será a fluência, que está relacionado com o grau das reações de
hidratação ainda não consolidadas (o betão vai adquirindo rigidez);
Duração e intensidade do carregamento: a fluência é naturalmente proporcional a estes
dois fatores, sendo linear, segundo o EC2-1-1, até tensões de compressões permanentes
de 0,45 𝑓𝑐𝑘, a partir do qual será necessário contabilizar fenómenos de não linearidade (o
que poderá suceder, por exemplo, em soluções pré-esforçadas);
Composição e consistência do betão: maior quantidade de inertes significa menor pasta de
cimento e, consequentemente, menor fluência; betões mais resistentes com menores
razões água/cimento experienciam menor fluência porque são menos porosos;
A fluência é geralmente quantificada através do coeficiente de fluência 𝜑(𝑡∞, 𝑡0), que representa o
quociente entre o incremento de extensão 휀𝑐𝑐(𝑡∞, 𝑡0), no intervalo de tempo (𝑡0 a 𝑡∞), e a extensão inicial,
휀𝑐(𝑡0), representada pela equação:
28
휀𝑐𝑐(𝑡∞, 𝑡0) = 𝜑(𝑡∞, 𝑡0) ∙ (𝜎𝑐/𝐸𝑐) (2.8)
𝜑(𝑡∞, 𝑡0) torma valores normalmente entre 2 e 4, carregamentos 14 a 28 dias após betonagem [12].
O EC2-1-1 permite a sua determinação aproximada expedita através de ábacos como também apresenta uma
formulação para o cálculo da sua evolução no tempo, que será determinado para o caso em estudo, seguindo
os parâmetros do Quadro 2.10.
QUADRO 2.10 – QUANTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS NO CÁLCULO DA EXTENSÃO DA FLUÊNCIA
Parâmetro Descrição Valor
𝑅𝐻 Humidade relativa do ar 70 %
ℎ0 (parede) Espessura equivalente do elemento 200 mm
𝑡0 Idade do betão à data
do carregamento 7/40 dias
𝑓𝑐𝑘 Resistência à compressão do betão
(valor característico) 20 MPa
α Coeficiente função da
classe do cimento 0 (Classe N)
𝑇(𝛥𝑡) Temperatura do ar durante o
tempo de carregamento 20 °C
As duas curvas desenhadas na Figura 2.19 são funções de carregamentos com início aos 7 e 40 dias
após betonagem. O coeficiente de fluência para 𝑡 = ∞ vale, respetivamente, 3,13 e 2,25. Os valores podem
ser consultados no Anexo A.2.
FIGURA 2.19 – EVOLUÇÃO NO TEMPO DO COEFICIENTE DE FLUÊNCIA NO RESERVATÓRIO
2.2.2.4. MÓDULO DE ELASTICIDADE AJUSTADO
As consequências na estrutura das deformações impostas aplicadas traduzem-se em tensões, com
base nas equações constitutivas do material, mais concretamente, no módulo de elasticidade. Devido aos
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0 200 400 600 800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800
𝜙(t0,t)
t (dias)t0 = 7 dias t0 = 40 dias
29
efeitos do envelhecimento do betão, nomeadamente da fluência, nas situações de deformações aplicadas
durante largos períodos de tempo, não se pode garantir um valor constante da rigidez.
O efeito da fluência e o efeito da retração não podem ser avaliados através da sua sobreposição,
uma vez que são interdependentes: A retração origina a fluência que diminui o seu efeito na estrutura.
A avaliação mais precisa da evolução da deformação total pode ser efetuada com base no método
do módulo de elasticidade ajustado que consiste, simplificadamente, na aplicação da expressão:
휀𝑐(𝑡, 𝑡0) =𝜎𝑐(𝑡0)
𝐸𝑐,𝑒𝑓(𝑡0)+
𝛥𝜎𝑐(𝑡, 𝑡0)
𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 (𝑡, 𝑡0) (2.9)
O último termo da expressão (2.9) aplica-se aos casos em que as tensões, 𝛥𝜎𝑐(𝑡, 𝑡0), evoluem
gradualmente no tempo de acordo com o aumento da fluência, desde a idade do betão à data do
carregamento (𝑡0) até ao instante 𝑡, como é o caso das resultantes da retração (comparar forma dos gráficos
da Figura 2.17 e Figura 2.19), ou da variação uniforme de temperatura. O módulo de elasticidade ajustado,
𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 (𝑡, 𝑡0), é calculado através de:
𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 =
𝐸𝑐(𝑡0)
1 + 𝜒(𝑡, 𝑡0) ∙𝐸𝑐(𝑡0)𝐸𝑐,28
∙ 𝜙(𝑡, 𝑡0)
(2.10)
onde 𝜒(𝑡, 𝑡0) corresponde ao coeficiente de envelhecimento do betão e toma valores inferiores à unidade.
Tendo em ponderação que as deformações devido à fluência em cada instante podem ser sobrepostas, este
parâmetro permite fazer a correspondência entre a solução do integral das deformações, em todos os
instantes 𝑡0 a 𝑡, com a deformação causada por uma tensão constante.
O valor de 𝜒(𝑡, 𝑡0) aumenta com a idade à data do carregamento inicial 𝑡0, e com a idade do instante
considerado (𝑡 − 𝑡0) até à volta dos 200 dias, variando muito pouco a partir desse ponto. Pode-se fixar com
boa aproximação, em situações usuais de longa duração, o valor de 0,80.
A razão entre o módulo de elasticidade no instante do carregamento inicial e aos 28 dias toma
valores compreendidos entre 0,9 e 1,1, podendo-se admitir, na maioria dos casos, que é igual à unidade.
Reproduzem-se, no Anexo A.1, os valores destas duas variáveis para diferentes situações específicas,
propostos por Bazant [13].
Já as tensões constantes no tempo 𝜎𝑐(𝑡0), de acordo com segundo termo da expressão (2.9), são
afetadas pelo módulo de elasticidade efetivo, 𝐸𝑐,𝑒𝑓(𝑡0), calculado pela expressão (2.11), onde é excluído o
coeficiente de envelhecimento.
𝐸𝑐,𝑒𝑓 =
𝐸𝑐(𝑡0)
1 +𝐸𝑐(𝑡0)𝐸𝑐,28
∙ 𝜙(𝑡, 𝑡0)
(2.11)
A formulação de 𝐸𝑐,𝑒𝑓 vai de encontro à definição do coeficiente de fluência, pois o denominador
representa diretamente o decréscimo da rigidez, ou seja, o acréscimo da deformação, tal como foi definido
na expressão (2.8).
Naturalmente, os conceitos discutidos não podem ser aplicados às ações diretas, cujas tensões
decorrentes equilibram diretamente as forças aplicas.
30
A partir do cálculo da fluência no reservatório estudado (Figura 2.19), foi calculado a evolução ao
longo do tempo do módulo de elasticidade ajustado tomando-se 𝜒(𝑡, 𝑡0) = 0,8 (Figura 2.20). Sabendo-se que
a tensão devido a uma deformação é deduzida por:
𝜎𝑐 = 𝐸𝑐 ∙ 휀𝑐 (2.12)
É possível avaliar a tensão em cada instante, devido ao efeito da retração, relacionando-se
temporalmente a evolução do módulo de elasticidade ajustado e a extensão da retração no betão, conforme
a expressão (2.13).
𝜎𝑐𝑠(𝑡) = 𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡(𝑡) ∙ 휀𝑐𝑠(𝑡) (2.13)
É importante salientar que a magnitude das tensões resultantes do cálculo correspondem à situação
de restrição total a qualquer deformação imposta devido à retração, que não ocorre na realidade nas
estruturas em geral.
Apresentam-se graficamente os resultados da equação (2.13), aplicada no caso em estudo, na Figura
2.20. Todos os valores envolvidos encontram-se no Anexo A.2.
FIGURA 2.20 - EVOLUÇÃO AO LONGO DO TEMPO DO MÓDULO DE ELASTICIDADE AJUSTADO E DA TENSÃO DEVIDO À RETRAÇÃO
Observa-se que a rigidez decresce muito rapidamente nos primeiros 400 dias posteriores à aplicação
da carga devido ao abrupto aumento de fluência. Após esse período, a variação é já pequena, e tem
praticamente a mesma magnitude que o aumento da retração, pois a tensão, a partir de certo ponto,
mantém-se quase constante: aos 500 dias apresenta um valor de 𝜎𝑐𝑠 = 3,083 𝑀𝑃𝑎 enquanto a tempo
infinito é de 𝜎𝑐𝑠 = 3,187 𝑀𝑃𝑎. O máximo é atingido à volta dos 3000 dias, tendo-se 𝜎𝑐𝑠 = 3,194 𝑀𝑃𝑎, com
os valores associados de 휀𝑐𝑠 = 0,36 ‰ e 𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 = 8,89 𝐺𝑃𝑎 (consultar Anexo A.2).
Assim, em rigor, na análise da retração na estrutura, aplicar-se-ia no modelo o par de valores de 휀𝑐𝑠
e 𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 , correspondentes à tensão máxima. Contudo, sabendo-se que a tensão a partir desse ponto se
mantém praticamente inalterável, na prática, é mais vantajoso o uso das grandezas a tempo infinito, cujo
cálculo é muito mais expedito que a dedução da sua evolução ao longo do tempo.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 200 400 600 800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000σ
cs=
Ec,
aju
st(t
) x ε
ct(t
) (
MP
a)
E c,a
just
(GP
a)
t (dias)Módulo de elasticidade ajustado Tensão derivada da ação da retração restringida
31
Os resultados obtidos combinam bem com as recomendações de Camara & Figueiredo [11], segundo
as quais, para análise do efeito da retração, poder-se-á tomar um módulo de elasticidade na ordem de 1/3
do regulamentar (10 𝐺𝑃𝑎, no caso estudado).
A ação da variação uniforme de temperatura terá um efeito semelhante sobre a estrutura, mas a
sua variação é mais rápida, e por isso haverá menos tempo para o efeito da fluência se desenvolver
totalmente. Camara & Figueiredo [11] indicam, simplificadamente, uma redução do módulo de elasticidade
para metade, nas análises a esta ação.
Face aos desenvolvimentos apresentados, serão usados os valores indicados no Quadro 2.11 nos
modelos de cálculo do reservatório. A extensão de retração, representada através de uma variação de
temperatura, de acordo com a equação (2.7), e o correspondente módulo de elasticidade, garantem tensões
próximas dos máximos calculados. A variação uniforme diferencial de temperatura será calculada com um
módulo de elasticidade reduzido para metade. Finalmente, este valor será igualmente utilizado na variação
diferencial de temperatura que é elevada, contabilizando-se assim, simplificadamente, alguma perda de
rigidez por fendilhação nas zonas mais esforçadas em simultâneo com o carregamento por parte das ações
diretas.
QUADRO 2.11 - MÓDULOS DE ELASTICIDADE USADOS NO CALCULO DAS AÇÕES INDIRETAS
Ação Valor Ec,ajust
Retração - 30 °C 10 GPa
Var. uniforme de temperatura +/- 20 °C 15 GPa
Var. diferencial de temperatura +/- 15 °C 15 GPa
REAÇÃO DO SOLO
Conforme se avaliará na análise do comportamento estrutural da laje de fundo do reservatório, a
hipótese de que o solo que apoia as fundações da estrutura é indeformável pode conduzir a resultados
conservativos distantes da realidade. Como os reservatórios estão sujeitos aos elevados carregamentos
provenientes do seu conteúdo, o movimento do solo poderá ser elevado e mudar drasticamente a
distribuição dos esforços.
Apesar de se observar atualmente uma grande evolução nos modelos de cálculo das estruturas, a
avaliação do comportamento do solo é ainda, na generalidade dos casos, bastante limitada, apesar de
existirem métodos bastante precisos para considerar a deformabilidade do solo por meio de análises
interativas tridimensionais, em que o solo e a estrutura são idealizados como um sistema único [23]. Estas
análises são, porém, muito complexas e requerem um conhecimento espacial aprofundado de diversos
parâmetros do solo em questão, e a realização dos trabalhos de prospeção necessários para obter esse tipo
de dados apenas se justifica em um número muito limitado de obras.
A análise da interação entre a estrutura e solo pode ser realizada simplificadamente recorrendo à
Hipótese de Winkler, que consistem em modelar a deformabilidade do terreno através de uma série de molas
elásticas lineares (Figura 2.21). Estas molas fazem a ligação da estrutura com o “exterior”, estando
infinitamente próximas uma das outras, sendo porém independentes.
32
FIGURA 2.21 - MODELAÇÃO DO TERRENO SEGUNDO A HIPÓTESE DE WINKLER
Desta forma, assume-se que a deformação do terreno 𝑤𝑠 , é diretamente proporcional à tensão
aplicada 𝜎𝑠.
𝜎𝑠 = 𝑘𝑠 ∙ 𝑤𝑠 (2.14)
A constante de proporcionalidade 𝑘𝑠 é designada por coeficiente de Winkler, normalmente expresso
em [𝑘𝑁/𝑚3], e representa assim, numa área unitária, a força necessária para provocar um deslocamento
unitário no solo. Esta metodologia tem, evidentemente, as suas limitações, pois, por exemplo, considera que
o solo é completamente homogéneo e não contabiliza a não linearidade que se verifica na deformação dos
solos sob grandes tensões. Quanto menor for a rigidez geral do solo, maiores desvios se poderão esperar dos
resultados, pois torna-se bastante mais provável a existência, em zonas muito específicas, de aumentos
concentrados de rigidez, conduzindo a distribuições de esforços distintos na estrutura.
Diferentes coeficientes de Winkler podem ser atribuídos conforme se trate de um deslocamento
vertical, um deslocamento horizontal, ou uma rotação. Neste trabalho, apenas se usarão molas aplicadas a
deslocamentos verticais.
A principal dificuldade consiste na determinação de 𝑘𝑠, uma vez que este não é constante para um
determinado tipo de solo, dependendo de variados fatores, como a forma e dimensões da fundação, e da
profundidade [24].
Diversos autores têm sugerido valores com base em diferentes metodologias, sendo as mais comuns
por ensaios de placa, tabelas de valores típicos ou correlações com o módulo de elasticidade, onde se incluem
ainda funções corretivas de forma a ter em conta as dimensões dos elementos de fundação. Informação mais
detalhada neste tema incluindo diferentes valores propostos pode ser obtida no trabalho de Souza e Reis
[23].
De uma forma pouco aprofundada, na falta de ensaios e dados apropriados, podem ser utilizados os
valores reproduzidos no Quadro 2.12.
33
QUADRO 2.12 - VALORES DO COEFICIENTE DE WINKLER DE ACORDO COM MORAES (1976) [23]
Tipo de solo 𝐾𝑠𝑣 (kN/m3)
Turfa leve – solo pantanoso 5.000 a 10.000
Turfa pesada – solo pantanoso 10.000 a 15.000
Areia fina de praia 10.000 a 15.000
Aterro de silte, de areia e cascalho 10.000 a 20.000
Argila molhada 20.000 a 30.000
Argila húmida 40.000 a 50.000
Argila seca 60.000 a 80.000
Argila seca endurecida 100.000
Silte compactado com areia e pedra 80.000 a 100.000
Silte compactado com areia e muita pedra 100.000 a 120.000
Cascalho miúdo com areia fina 80.000 a 120.000
Cascalho médio com areia fina 100.000 a 120.000
Cascalho grosso com areia grossa 120.000 a 150.000
Cascalho grosso com pouca areia 150.000 a 200.000
Cascalho grosso com pouca areia compactada 200.000 a 250.000
No âmbito de se avaliar a influência da deformabilidade do solo nos esforços gerados pela estrutura,
serão aplicados, nos modelos de elementos finitos, quatro valores distintos do coeficiente de Winkler.
Logicamente, os solos mais deformáveis considerados não são propícios à implementação de fundações
diretas de um reservatório, tratando-se aqui simplesmente de uma hipótese académica.
QUADRO 2.13 - COEFICIENTES DE WINKLER APLICADOS NOS MODELOS DE CÁLCULO
Descrição 𝐾𝑠𝑣 (kN/m3)
Solo extremamente deformável 5.000
Solo deformável 40.000
Solo muito rígido 200.000
Solo indeformável 2E7
A estrutura será dimensionada com base nos resultados da análise de esforços do modelo
integrando um coeficiente de Winkler de 200.000 kN/m3.
34
35
3. ANÁLISE ESTRUTURAL
3.1. COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DO RESERVATÓRIO CIRCULAR
Neste ponto serão discutido os principais fatores a ter em conta no comportamento estrutural dos
reservatórios circulares, e como é que estes se refletem ao nível da distribuição dos esforços nos elementos
estruturais. Serão ainda apresentados alguns métodos de cálculo simplificados que possibilitam uma rápida
análise à estrutura e, nomeadamente, a validação dos resultados dos modelos de elementos finitos.
Este texto estará focado no caso particular em estudo, isto é, nos reservatórios com ligações rígidas
entre a parede e os restantes elementos (cobertura e laje de fundo). Contudo, a análise tentará ser
suficientemente ampla para que se possam extrapolar as principais conclusões para o âmbito de outro tipo
de ligações.
COBERTURA EM CÚPULA
Como foi referido no capítulo introdutório, as coberturas em cúpula formam soluções estruturais
muito comuns nos reservatórios cilíndricos porque, conforme se avaliará, são autoportantes.
As cúpulas são superfícies de revolução que apresentam dupla curvatura e são geradas pela rotação
de uma curva, frequentemente um arco, denominada de meridiano, em torno de um eixo vertical
pertencente ao plano da curva. No caso das cúpulas esféricas, ambas as curvaturas são iguais e constantes.
As linhas resultantes da interseção da superfície com planos horizontais são denominadas de paralelos, ou
anéis (Figura 3.1).
FIGURA 3.1 – CASCA DE REVOLUÇÃO OBTIDA POR ROTAÇÃO DE UM ARCO EM TORNO DE EIXO VERTICAL [28]
Quanto ao seu comportamento estrutural, as estruturas de revolução podem ser classificadas como
laminares, caracterizadas por possuírem duas dimensões muito superiores a uma terceira (a espessura).
Podem assim ser analisadas com base em modelos bidimensionais [27].
As cúpulas, em particular, respondem estruturalmente bastante bem a quase todo o tipo de
carregamentos. É fácil imaginar que um arco isolado, correspondente a um meridiano, com as extremidades
travadas, sob um carregamento uniforme, irá desenvolver exclusivamente forças axiais de compressão, uma
36
vez que todas as seções, que tendem a deformar-se, restringem-se simultaneamente devido à curvatura.
Porém, face a um carregamento parcial, desenvolvem-se flexões consideráveis. Já na cúpula, a deformação
do meridiano numa direção é amortecida pelas forças circunferenciais ao longo dos paralelos, que formam
anéis rígidos ao longo de todo o meridiano.
Assim, nas cúpulas, geralmente desenvolvem-se somente esforços de membrana (os esforços de
flexão e de torção são desprezáveis) e frequentemente, inclusive, os esforços tangenciais são nulos, exibindo
unicamente esforços axiais de tração ou compressão. Tal acontece nos casos em que a estrutura verifique
algumas características [39]:
A espessura t não varia bruscamente e é muito inferior aos raios de curvatura da superfície
R (na ordem de grandeza R/t > 30);
A curvatura medida no folheto médio também não varia bruscamente;
Não existem cargas concentradas significativas e a carga distribuída é praticamente
uniforme;
Os deslocamentos no folheto médio provocados pela intensidade da carga são reduzidos;
As condições de apoio são compatíveis com o comportamento de membrana, isto é, as
reações no bordo são tangentes ao folheto médio;
As condições de apoio dos bordos da cúpula, referidas no último ponto, são determinantes no
comportamento da estrutura. Atente-se às estruturas representadas na Figura 3.2, nas quais estão aplicadas
cargas verticais uniformes (poderá ser, por exemplo, o peso próprio).
Nos casos a) e b), as reações exteriores são tangentes à membrana e contrariam diretamente os
esforços de compressão radiais (𝑁𝑟) que se desenvolvem ao longo dos arcos (meridianos). Na direção dos
anéis, desenvolvem-se compressões circunferenciais (𝑁𝑐) até determinada cota, a partir da qual a cúpula
exibirá uma tendência para abrir, gerando-se tensões de tração. Este é o caso da cúpula hemisférica (também
denominada de cúpula em arco pleno) da Figura 3.2 a). Já a Figura 3.2 b) representa uma cúpula esférica
parcial (ou cúpula abatida) que não chega a desenvolver trações porque não possui um ângulo de abertura
suficientemente elevado. Este último tipo de condições de apoio é, contudo, difícil de se conseguir na prática.
a) b) c) d)
FIGURA 3.2 – COMPORTAMENTO DE CÚPULAS SUJEITAS A CARGAS VERTICAIS UNIFORMES [39]
A cúpula da Figura 3.2 c) encontra-se apoiada apenas verticalmente, que é o caso comum em que
não existe ligação monolítica com o resto da estrutura. As reações de apoio terão de se decompor numa
componente tangencial à membrana, e numa componente normal, que desenvolverá forçosamente esforços
de flexão na cúpula, na vizinhança dos bordos. Nessa mesma zona, a componente normal, porque é aplicada
37
no sentido de baixo para cima, tende a abrir a cúpula e consequentemente desenvolve também esforços de
tração, que poderão ser elevados.
Uma forma de corrigir, ou pelo menos, aliviar este problema consiste em adotar uma viga de
bordadura, como representado na Figura 3.2 d). A viga tem a finalidade de fornecer à cúpula a reação
horizontal que faltava na situação anterior, desenvolvendo uma força de tração axial circunferencial.
Porém, apesar de introduzir maior rigidez ao bordo, a viga estará sempre sujeita a algumas extensões
que, devido à compatibilidade entre os dois elementos, gerarão na cúpula esforços de tração. Pode ser por
isso necessário aumentar-se a espessura da cúpula perto do bordo. Caso haja ligação monolítica com as
paredes do reservatório, a cúpula irá igualmente aplicar sobre elas trações, com uma magnitude que
dependerá da existência e rigidez da viga. Já a influência da parede na cobertura devido à pressão hidrostático
é, conforme se verá, desprezável,
Os casos analisados correspondem apenas a cúpulas esféricas. Existem diversas outras soluções
estruturais com base circular, que passam pela definição de, por exemplo, meridianos com formas elípticas,
parabólicas ou ogiva (Figura 3.3).
a) b) c)
FIGURA 3.3 - CÚPULAS COM MERIDIANOS COM FORMAS: A) ELÍPTICAS B) OGIVA C) PARABÓLICAS [28]
Nas membranas de revolução sob carregamentos uniformes, os esforços podem ser calculados com
base na simetria geométrica da estrutura e do carregamento. Ao longo de um determinado paralelo, as forças
em ambas as direções (𝑁𝑟 e 𝑁𝑐) são constantes, dependendo apenas da cota.
Considerando-se que as reações exteriores são tangentes à membrana e equilibram diretamente os
esforços nos bordos, em cada paralelo os esforços dependem somente do diagrama de corpo livre da parte
da cúpula acima da cota em análise. O desenvolvimento dos esforços nestas condições pode ser consultado
no trabalho de Mendes [39] e os resultados são aqui reproduzidos.
Para uma carga uniforme 𝑞 em superfície (por exemplo, o peso próprio da estrutura), e sendo 𝑍 a
resultante das pressões na cúpula acima do paralelo a um ângulo de abertura ϕ (Figura 3.5), tem-se, de
acordo com Timoshenko & Woinowsky-Krieger [26]:
{
𝑞𝑛 = 𝑞 ∙ cos(𝜑)
𝑍 = 2 ∙ 𝑞 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ [1 − cos (𝜑)]
𝑁𝑟 = −𝑞 ∙ 𝑅
1 + cos (𝜑)
𝑁𝑐 = −𝑞 ∙ 𝑅 ∙ (cos(𝜑)−1
1 + cos (𝜑))
(3.1)
38
Por sua vez, no caso de cargas uniformes em projeção horizontal (como são tratadas a maioria das
sobrecargas), as forças calculam-se pelo seguinte conjunto de equações.
{
𝑞𝑛 = 𝑞 ∙ cos2(𝜑)
𝑍 = 𝑞 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ sen2(𝜑)
𝑁𝑟 = −𝑞 ∙ 𝑅
2
𝑁𝑐 = −𝑞 ∙ 𝑅 ∙ cos2(𝜑) +
𝑞 ∙ 𝑅
2
(3.2)
As distribuições dos esforços encontram-se representadas na Figura 3.4, tendo-se, em cada desenho,
no lado esquerdo as forças na direção das meridionais 𝑁𝑟, e no lado direito as forças na direção dos paralelos
𝑁𝐶.
Pode-se aferir, tal como mencionado anteriormente, que 𝑁𝑐 regista uma inversão do sinal a partir
de um determinado ângulo de abertura, já que a componente horizontal da reação tangente à meridional já
não é suficiente para impor compressões no anel. Os esforços nos arcos 𝑁𝑟, por sua vez, são sempre de
compressão.
a) b)
FIGURA 3.4 – ESFORÇOS DESENVOLVIDOS NUMA CÚPULA ESFÉRICA NA APLICAÇÃO DE CARGAS VERTICAIS [30]:
A) UNIFORMES EM SUPERFÍCIE B) UNIFORMES EM PROJEÇÃO VERTICAL
Os esforços de membrana apresentados são obtidos com base apenas nas equações de equilíbrio ao
longo do folheto médio, não contabilizando assim os efeitos de flexão e de torção que se podem desenvolver,
por exemplo, dependendo das condições de fronteira, conforme já discutido.
Evidentemente, existem outros tipos de formulações para cúpulas com meridianos não circulares,
sugerindo-se, para maiores desenvolvimentos, a consulta do trabalho de Billington [29].
Tendo-se uma cúpula esférica parcial, de raio 𝑅0 e flecha 𝑓, o raio 𝑅 e o ângulo de abertura 𝜑 da
cúpula podem ser obtidos por relações trigonométricas:
𝑅 =𝑅02 + 𝑓2
2 ∙ 𝑓 (3.3)
𝑵𝒓 𝑵𝒄 𝑵𝒓 𝑵𝒄
39
𝜑 = 2 ∙ 𝑡𝑔−1 (𝑓
𝑅0)
(3.4)
FIGURA 3.5 - PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA CÚPULA ESFÉRICA PARCIAL
A força 𝑁𝑟, que os meridianos exercem sobre a viga de bordadura caso esta exista e admitindo-se
que possui rigidez infinita, isto é, que absorve todos os esforços de tração, assumirá as seguintes
componentes horizontal, 𝑄ℎ, e vertical 𝑄𝑣:
𝑄𝑣 = 𝑁𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜑) (3.5)
𝑄ℎ = 𝑁𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜑) (3.6)
A componente horizontal, nas condições referidas, desenvolverá forças axiais de tração ao longo do
anel, 𝑁𝑎, com o valor de:
𝑁𝑎 = 𝑄ℎ ∙ 𝑅𝑜 (3.7)
PAREDES CILÍNDRICAS
3.1.2.1. COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
Um cilindro, à semelhança das cúpulas, é uma superfície de revolução. Caso o carregamento sobre
a parede seja também axissimétrico (como o é a pressão hidrostática), então observar-se-ão os mesmos
esforços ao longo de um determinado anel horizontal.
Caso a parede do reservatório esteja totalmente encastrada na base, o que corresponde à hipótese
de uma laje de fundo infinitamente rígida, então a capacidade resistente da estrutura face à pressão
hidrostática, dirigida de dentro para fora, pode ser distinguida em duas componentes:
Capacidade resistente de um grupo de faixas verticais, de largura infinitesimal, que funcionam
como consolas encastradas no fundo do reservatório, desenvolvendo momento fletor (𝑀𝑣) e
esforços transverso (𝑉𝑣).
Capacidade resistente de um grupo de faixas horizontais, de altura infinitesimal, que funcionam
como vigas anelares, desenvolvendo forças axiais de tração (𝑁𝜑).
40
Os esforços axiais verticais devem-se apenas ao peso próprio da parede e da cobertura (se existir)
podendo geralmente ser desprezados porque são pequenos e porque têm um efeito positivo de compressão
na flexão do betão.
FIGURA 3.6 - PRINCIPAIS ESFORÇOS A CONSIDERAR NA PAREDE CILÍNDRICA
Em suma, tem-se um sistema equivalente a uma grelha de vigas verticais e vigas anelares horizontais.
Pode-se assim decompor a pressão total atuante em cada nível, 𝑝(𝑧), numa parcela suportada pelas consolas,
𝑝𝑣(𝑧), e outra suportada pelos anéis, 𝑝ℎ(𝑧) [39].
𝑝(𝑧) = 𝑝𝑣(𝑧) + 𝑝ℎ(𝑧) (3.8)
A distribuição depende da rigidez à deformação radial de cada um dos dois sistemas, já que é
necessário verificarem-se as condições de compatibilidade, o que significa que, num dado ponto da parede,
a deformação por flexão das vigas verticais terá de ser sempre igual à deformação por extensão dos anéis
horizontais. Este conceito pode ser facilmente observado, por exemplo, na deformada de uma malha de
elementos finitos.
Assim, assumindo ainda um encastramento perfeito na laje, torna-se relativamente fácil a dedução
dos esforços a partir da teoria da elasticidade, que será apresentada no ponto 3.1.2.2. Naturalmente, o grau
de restrição à rotação da parede, que dependerá da rigidez desta em relação à da laje de fundo, determinada
acima de tudo pelas respetivas espessuras, terá uma influência significativa na distribuição entre esforço axial
de tração circunferencial, e momento fletor/esforço transverso vertical.
Outros fatores estão relacionados com as propriedades geométricas da estrutura cilíndrica, descritos
seguidamente, e podem ser identificados ao longo da dedução dos esforços realizados nos próximos pontos.
Caso se tivesse um raio exageradamente grande, conclui-se que as seções seriam,
circunferencialmente, praticamente planas, e o seu comportamento seria maioritariamente o de consola.
Por outro lado, em reservatórios muito altos, como a deformada das consolas, sob carregamento
constante, aumenta em altura, ao contrário da deformada dos anéis, a partir de determinada cota a rigidez
dos anéis é dominante, absorvendo os esforços. Esta situação é comum na generalidade dos reservatórios,
isto é, o predomínio dos esforços de flexão na parte inferior, e de tração circunferencial na parte superior do
reservatório (Figura 3.7).
41
FIGURA 3.7 - CONFIGURAÇÃO TÍPICA DOS ESFORÇOS NA PAREDE NO CASO DE LIGAÇÃO RÍGIDA E SOLO INDEFORMÁVEL
Finalmente, a rigidez à flexão depende do cubo da espessura da parede (𝑡), enquanto a rigidez à
tração é diretamente proporcional a esta medida, logo, maiores espessuras significam maiores esforços de
flexão em detrimento da tração circunferencial.
A configuração do momento fletor na parede pode mudar drasticamente no caso de se ter um solo
deformável. A laje, sob esta condição, tende a rodar, e na base da parede é comum verificar-se desde logo
momentos negativos ao invés de positivos (esta situação é discutida com maior pormenor no ponto 3.1.3,
dedicado à análise do comportamento da laje de fundo).
3.1.2.2. ANÁLISE ANALÍTICA DE CASCAS CILÍNDRICAS COM LIGAÇÃO NUM DOS BORDOS
A análise será efetuada com base na Teoria da elasticidade, assumindo-se que o material revela um
comportamento elástico linear e que a pressão é axissimétrica, podendo-se assim abordar o problema
analisando-se somente uma faixa circunferencial unitária da parede cilíndrica.
A parcela da pressão atuante na parede do reservatório que é absorvida pelos anéis, 𝑝ℎ(𝑧) ,
provocará, a determinada profundidade 𝑧, uma tensão circunferencial de tração de:
𝜎𝜑(𝑧) =𝑁𝜑𝑡=𝑝ℎ(𝑧) ∙ 𝑅
𝑡 (3.9)
Uma extensão axial 휀𝜑(𝑧) no perímetro 𝑃, provoca o seguinte deslocamento radial, 𝑤(𝑧):
휀𝜑(𝑧) =𝛥𝑃
𝑃=2 ∙ 𝜋 ∙ 𝛥𝑅
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅=𝑤(𝑧)
𝑅 (3.10)
Assim, combinando as duas últimas expressões através da introdução do módulo de elasticidade do
material (𝐸), com 𝜎𝜑(𝑧) = 𝐸 ∙ 휀𝜑(𝑧), obtém-se a relação entre a pressão aplicada e o deslocamento radial:
𝑝ℎ(𝑧) =𝐸 ∙ 𝑡
𝑅2∙ 𝑤(𝑧) (3.11)
Considerando que a espessura é constante, a rigidez pode assim ser definida a partir do parâmetro
𝐾:
42
𝐾 =𝐸 ∙ 𝑡
𝑅2 (3.12)
Já nas vigas verticais, o comportamento em flexão pode ser descrito da mesma forma que uma viga
genérica. De acordo com Timoshenko & Woinowsky-Krieger [26], a determinada cota, a relação entre o
deslocamento radial 𝑤(𝑧) e a pressão 𝑝𝑣(𝑧) absorvida pela viga, é descrita pela equação diferencial de
quarta ordem:
𝑝𝑣(𝑧) =𝑑2 ∙ 𝑡
𝑑𝑧2∙ (𝐷 ∙
𝑑2𝑤(𝑧)
𝑑𝑧2) (3.13)
Em que 𝐷 = 𝐸 ∙ 𝑡3/[12 ∙ (1 − 𝑣2)] representa a rigidez à flexão do elemento, sendo constante para
espessuras constantes. Por sua vez, 𝑣 é o coeficiente de Poisson.
Combinando-se as expressões (3.8) e (3.11) a (3.13), obtém-se finalmente a equação que relaciona
o deslocamento radial da parede com a pressão total atuante:
𝑝(𝑧) = 𝐷 ∙𝑑4𝑤(𝑧)
𝑑𝑧4+𝐾 ∙ 𝑤(𝑧) (3.14)
A expressão (3.14) é em tudo semelhante à das vigas sobre fundação elástica, substituindo-se, neste
caso, a rigidez elástica do solo 𝑘𝑠, pela rigidez 𝐾 (expressão (3.12)) conferida pelo efeito de anel das paredes
cilíndricas. O mesmo conceito é aplicado, por exemplo, a estacas com momento e esforço transverso
aplicados na cabeça, em que o deslocamento lateral é amortecido pelo terreno.
Tal como nas vigas sobre fundação elástica, pode-se definir o parâmetro 𝛽, denominado neste caso
de constante de casca [39]:
𝛽 = √3 ∙ (1 − 𝑣2)
𝑅2 ∙ 𝑡2
4 → (𝑣 = 0,2) → 𝛽 =
1,30
√𝑅 ∙ 𝑡 (3.15)
A solução geral da equação (3.14) corresponde à lei dos deslocamentos radiais, e fica:
𝑤(𝑧) = 𝑒−𝛽𝑧 ∙ [𝑐1 ∙ cos(𝛽𝑧) + 𝑐2 ∙ sen(𝛽𝑧)] + 𝑒𝛽𝑧 ∙ [𝑐3 ∙ cos(𝛽𝑧) + 𝑐4 ∙ sen(𝛽𝑧)]
+ 𝑓(𝑧)
(3.16)
A função 𝑓(𝑧) representa a solução particular, sendo nula para forças pontuais, e no caso de uma
carga distribuída contante ou com variação linear (como a pressão hidrostática) ganha o seguinte valor:
𝑓(𝑧) = −𝑝(𝑧) ∙ 𝑅2
𝐸 ∙ 𝑡= −
𝛾 ∙ (𝐻 − 𝑧) ∙ 𝑅2
𝐸 ∙ 𝑡 (3.17)
Os coeficientes 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 e 𝑐4 representam constantes de integração que dependem das condições
de fronteira do cilindro nos bordos superiores e inferiores.
43
Mais uma vez tal como acontece nas vigas sobre fundação elástica, o parâmetro 𝛽𝐻 representa a
rigidez do elemento em relação à rigidez do meio envolvente, neste caso, conferida pelos anéis horizontais
do cilindro.
De acordo com Mendes [39], um reservatório pode ser classificado de “grande altura” quando, como
ordem de grandeza, se tenha 𝛽𝐻 > 5 . A maioria dos reservatórios térreos verifica esta condição, ao
contrário, por exemplo, das piscinas. Por exemplo, o reservatório em estudo, que possui um rácio 𝐻/𝑅 =
0,66, que pode ser considerado relativamente baixo, ainda assim verifica 𝛽𝐻 = 5,08.
Para valores muito baixos de 𝛽𝐻 a viga vertical comporta-se quase como corpo rígido, isto é, na
aplicação de esforços na extremidade, todo o elemento desloca-se e/ou roda como um só, provocando
reações ao longo de todo o seu comprimento.
Por outro lado, com valores elevados de 𝛽𝐻 a distribuição de tensões concentra-se junto à zona de
aplicação das forças, já que a viga é bastante deformável em relação aos arcos horizontais. Nestes casos,
como a pressão hidrostática aumenta em profundidade, verifica-se que os deslocamentos radiais próximos
da parte superior do reservatório são praticamente nulos. Conclui-se que as paredes possuem um efeito
desprezável sobre uma eventual cobertura com ligação monolítica.
Consequentemente, nos “reservatórios de grande altura” é possível adotar as mesmas hipóteses de
um reservatório de altura infinita, em que as condições de fronteira do bordo superior do cilindro seriam
irrelevantes. Analiticamente, isto corresponde a anularem-se duas constantes de integração (𝑐3 = 𝑐4 = 0), o
que simplifica notavelmente a resolução da expressão (3.16) e o cálculo das leis de comportamento da
estrutura que dela derivam.
𝑤(𝑧) = 𝑒−𝛽𝑧 ∙ [𝑐1 ∙ cos(𝛽𝑧) + 𝑐2 ∙ sen(𝛽𝑧)] −𝛾 ∙ (𝐻 − 𝑧) ∙ 𝑅2
𝐸 ∙ 𝑡
(3.18)
A partir da lei dos deslocamentos radiais 𝑤(𝑧) é possível obter as funções dos esforços ao longo da
parede do reservatório, cujas soluções se encontram no Quadro 3.1.
QUADRO 3.1 – LEIS DEFINIDORAS DO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DA PAREDE
Rotações do folheto médio 𝜃(𝑧) =𝑑𝑤(𝑧)
𝑑𝑧 (3.19)
𝑑𝑤(𝑧)
𝑑𝑧= −𝑐1 ∙ 𝑒
−𝛽𝑧 ∙ 𝛽 ∙ [cos(𝛽𝑧) + 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑧)] + 𝑐2 ∙ 𝑒−𝛽𝑧 ∙ 𝛽 ∙ [cos(𝛽𝑧) − 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑧)] +
𝛾 ∙ 𝑅2
𝐸 ∙ 𝑡
Momentos fletores verticais 𝑀𝑣(𝑧) = −𝐷 ∙𝑑2𝑤(𝑧)
𝑑𝑧2 (3.20)
𝑑2𝑤(𝑧)
𝑑𝑧2= 𝑐1 ∙ 𝑒
−𝛽𝑧 ∙ 2 ∙ 𝛽2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑧) − 𝑐2 ∙ 𝑒−𝛽𝑧 ∙ 2 ∙ 𝛽2 ∙ cos(𝛽𝑧)
Esforço transverso associado a 𝑀𝑥 𝑉𝑣(𝑧) = −𝐷 ∙𝑑3𝑤(𝑧)
𝑑𝑧3 (3.21)
𝑑3𝑤(𝑧)
𝑑𝑧3= 𝑐1 ∙ 𝑒
−𝛽𝑧 ∙ 2 ∙ 𝛽3 ∙ [cos(𝛽𝑧) − 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑧)] + 𝑐2 ∙ 𝑒−𝛽𝑧 ∙ 2 ∙ 𝛽3 ∙ [cos(𝛽𝑧) + 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑧)]
Esforço normal circunferencial 𝑁𝜑(𝑧) = 𝑝ℎ(𝑧) ∙ 𝑅 =𝐸 ∙ 𝑡
𝑅∙ 𝑤(𝑧) (3.22)
Momento fletor horizontal 𝑀𝜑(𝑧) = 𝑣 ∙ 𝑀𝑧(𝑧) (3.23)
44
Paredes encastradas na laje
O encastramento das paredes do tanque na laje de fundo implica que não existe deslocamento radial
nem rotação, traduzido por:
{ 𝑤(0) = 0
𝜃(0) = 0 (3.24)
A partir destas condições de fronteira, e admitindo-se um reservatório de grande altura, as duas
incógnitas 𝑐1 e 𝑐2 podem ser obtidas pela resolução do sistema das duas expressão (3.19) e (3.20), obtendo-
se (𝛾 é o peso próprio do liquido):
{
𝑐1 =𝛾 ∙ 𝐻 ∙ 𝑅2
𝐸 ∙ 𝑡
𝑐2 =𝛾 ∙ 𝑅2
𝐸 ∙ 𝑡∙ (−
1
𝛽+ 𝐻)
(3.25)
Paredes apoiadas na laje
No caso em que a parede esteja apoiada na laje, isto é, impedida de se deslocar mas livre de rodar
(despreza-se simplificadamente a extensão por tração da laje), verificam-se as seguintes condições na ligação:
{ 𝑤(0) = 0
𝑀(0) = 0 (3.26)
A resolução das expressões (3.18) e (3.20) em função das incógnitas, com base nestas condições,
fornece o resultado:
{ 𝑐1 =
𝛾 ∙ 𝐻 ∙ 𝑅2
𝐸 ∙ 𝑡
𝑐2 = 0
(3.27)
Encastramento elástico
A larga maioria dos tanques com ligações rígidas à laje de fundo exibirá, na ligação, uma rigidez
intermédia às rigidezes da parede encastrada e simplesmente apoiada. O seu cálculo deve ser feito através
da compatibilização dos deslocamentos e rotação da parede com aqueles da laje, podendo-se deduzir os
esforços em ambos os elementos a partir desses valores.
Porém, esta situação aumenta largamente o grau de dificuldade exigida para resolver o problema,
em especial, se for considerado a influência de um solo deformável, onde a determinação da rigidez da ligação
não é imediata.
45
3.1.2.3. MÉTODO DE HANGAN-SOARE
O método de Hangan-Soare consiste na obtenção dos esforços nas paredes de reservatórios
cilíndricos, com ligação rígida elástica à laje de fundo, a partir de um conjunto de soluções analíticas,
apresentadas na forma de ábacos.
Este procedimento tem a desvantagem de não considerar a deformabilidade do solo, no entanto, a
forma bastante expedita e prática com que permite a definição dos valores dos esforços notáveis na parede
torna-o uma ferramenta muito útil, nomeadamente, no pré-dimensionamento e na validação de modelos
mais complexos.
Os ábacos, que se encontram reproduzidos no Anexo A.3, consistem em seis figuras de onde se
podem obter as seguintes grandezas:
Momento fletor na ligação entre a parede e a laje de fundo;
Ponto de anulamento do momento fletor vertical;
Máximo momento vertical negativo;
Localização do máximo momento vertical negativo;
Máximo esforço axial de tração circunferencial;
Localização do máximo esforço axial de tração circunferencial.
A definição dos valores nos ábacos é feita a partir de parâmetros já referidos: constante de casca 𝛽,
dado pela expressão (3.15), peso volúmico do líquido (referido nos ábacos como 𝛿), altura total de líquido
(ℎ), raio do reservatório (𝑅) e espessuras 𝑡 e 𝑡𝑙, respetivamente, da parede e da laje (referido como 𝑒 e 𝑒’).
LAJE DE FUNDO
A laje de fundo transmite ao solo um carregamento que provém do peso próprio da parede, paredes,
e cobertura (além da sobrecarga na cobertura), e da pressão hidrostática, que por sua vez se divide numa
carga vertical distribuída na laje, e em momentos aplicados aos bordos da laje (caso haja ligação rígida),
devido ao impulso nas paredes.
A componente vertical da pressão hidrostática e o peso próprio da laje, caso a laje tenha espessura
constante e seja horizontal, são forças uniformemente distribuídas por toda a superfície da laje, e por isso,
pode-se admitir que é diretamente anulada pela reação no solo subjacente, não introduzindo esforços de
flexão na laje.
Assim, as tensões relevantes no solo são geradas pelos esforços aplicadas nos bordos,
nomeadamente, a força axial vertical da parede e o momento fletor, como ilustra a Figura 3.8.
O comportamento estrutural de uma faixa unitária circunferencial da laje, à semelhança da parede,
pode ser equiparado ao de uma viga sobre fundação elástica, em que, desta vez, a rigidez ao deslocamento
(vertical) provém da soma da rigidez de flexão da “viga” com a rigidez do solo. Esta última admite-se
simplificadamente que é elástica linear através da introdução das molas de Winkler (já discutidas
anteriormente).
46
FIGURA 3.8 – DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES NO SOLO
As lajes podem assim ser analisadas a partir de uma equação diferencial análoga à expressão (3.14),
deduzida anteriormente para as paredes. Porém, há que ter em conta um aspeto, por vezes ignorado, que
está relacionado com a configuração circular da laje. Ao contrário das lajes retangulares sob flexão cilíndrica,
uma seção circunferencial unitária não possui largura constante, variando proporcionalmente ao raio do
ponto considerado, e assim, ambas as rigidezes referidas variam igualmente, anulando-se no ponto central
da laje (Figura 3.9).
FIGURA 3.9 - FAIXA CIRCUNFERENCIAL UNITÁRIA DA LAJE
Tal como foi discutido em relação à parede, o comportamento estrutural deste elemento está
estreitamente interligado com a relação entre a rigidez á flexão da laje e a rigidez do meio envolvente, neste
caso, do solo.
No caso de se ter uma laje muito rígida assente sobre um solo muito deformável, que corresponde
ao comportamento de uma “viga curta”, as tensões do solo resultantes das forças aplicadas nos bordos serão
praticamente uniformemente distribuídas, uma vez que a laje se comportará quase como um corpo rígido.
Em suma, os deslocamentos ao longo do raio serão constantes, gerando nas molas de Winkler do solo, forças
homogéneas.
Por outro lado, em lajes mais deformáveis e solos mais rígidos, as zonas da laje junto aos bordos
deformar-se-ão mais facilmente em relação ao centro, e bastará um pequeno deslocamento vertical por
flexão para imediatamente gerar tensões de reação no solo significativas. Assim, a reação do solo tenderá a
concentrar-se junto aos bordos da laje, diminuindo na zona central.
A diferença entre a primeira e segunda situação referidas pode ser observada na Figura 3.8,
respetivamente, na distribuição de tensões (1) e (2). Para efeitos de cálculo por via de, por exemplo, tabelas,
a distribuição das tensões no solo pode ser simplificada em cargas triangulares dependendo de parâmetros
de rigidez relativa, que podem ser consultados no trabalho de Mendes [39].
A distribuição das tensões no terreno vai, evidentemente, ter influência na distribuição e magnitude
dos esforços na própria laje. De um modo geral, terrenos mais deformáveis geram maiores esforços na
estrutura. Isto pode ser visualizado imaginando-se o sistema invertido, com as paredes a funcionar como
47
pilares: maior concentração de esforços na zona do vão provocará um aumento substancial de momentos
fletores na zona dos apoios.
Através da observação de uma deformada típica de lajes de fundo encastradas sobre solos
deformáveis (Figura 3.10), como o momento depende da curvatura no elemento, conclui-se que haverá
momentos positivos concentrados junto aos bordos, passando para sinal negativos em direção ao centro. A
rotação da ligação parede-laje provocará também momentos localizados acrescidos na zona inferior da
parede.
FIGURA 3.10 - DEFORMADA TÍPICA DA LAJE DE FUNDO ENCASTRADA ÀS PAREDES SOBRE SOLO DEFORMÁVEL
Naturalmente, em solos mais deformáveis esta configuração deformada será mais acentuada, onde
mais uma vez se conclui que os momentos fletores terão valores superiores. É preciso fazer referência que,
porque a laje está a travar a extremidade das paredes sujeitas à pressão hidrostática horizontal axissimétrica,
existirão ainda forças axiais de tração, que poderão ser condicionantes no dimensionamento.
No caso de reservatórios enterrados ou semienterrados, a pressão adicional do terreno, em solos
deformáveis, pode ter um efeito prejudicial na ligação. De fato, na situação da Figura 3.10, a pressão do
terreno (considerada neste caso pelo coeficiente de repouso), “empurra” a parede para dentro, aumentando
a distorção da ligação e consequentemente os momentos fletores.
A consideração da deformabilidade ganha ainda maior importância considerando que, caso se tenha
um solo indeformável (de rigidez infinita), o bordo da laje apenas roda devido ao momento proveniente da
parede, que é contrariado pela pressão vertical, verificando-se então momentos negativos ao invés de
positivos, o que pode conduzir a um dimensionamento errado (Figura 3.11). Esse momento é contrariado
pela diferença entre a pressão vertical e a diminuição da reação do solo.
Este fato aliado com a possibilidade de ocorrência de assentamentos diferenciais a meio da laje, em
que a pressão hidrostática provoca momentos positivos, faz com seja aconselhável dispor sempre armaduras
em ambas as faces.
48
FIGURA 3.11 - DEFORMADA DA LAJE DE FUNDO SOBRE SOLO INDEFORMÁVEL
No caso de haver um prolongamento da laje (aumento do raio) para a zona exterior às paredes, a
distribuição de esforços na ligação mudará de forma significativa, particularmente caso se tenha um solo
deformável. Esta situação será alvo da análise não linear no capítulo 7.
ANÁLISE DO RESERVATÓRIO A DUAS DIMENSÕES
Com base na análise ao comportamento do reservatório axissimétrico sob carregamentos
axissimétricos, pode-se resumir o problema a duas dimensões, analisando-se uma seção circunferencial da
estrutura. A rigidez conferida pelo efeito de anel nas paredes é dado pela expressão (3.12), enquanto na laje
de fundo há a rigidez conferida pelo solo, traduzida pelas molas de Winkler.
FIGURA 3.12 - MODELO DE ANALISE BIDIMENSIONAL DE UM RESERVATÓRIO
Esta forma de análise pode ser vantajosa para uma modelação rápida da estrutura, por exemplo,
num programa de cálculo pelo método dos elementos finitos. As rigidezes podem ser representadas por
49
molas aplicadas na área, ou molas aplicadas pontualmente, conforme se encontra representado na Figura
3.12. Neste último caso, há que multiplicar as suas rigidezes pelo comprimento de influência de cada mola (a
e b, na figura).
Há que ter em conta, conforme foi referido anteriormente, que a laje de fundo, em cada seção
circunferencial unitária, diminui linearmente de largura em direção ao centro. As molas têm assim de
representar a variação de rigidez conferida pelo solo através, por exemplo, da razão r/R (Figura 3.12).
Também a rigidez de flexão da laje deve variar. Caso a forma de modelação não suporte a definição da
variação de largura (se for puramente bidimensional) então uma opção consiste em fazer variar o módulo de
elasticidade de cada segmento também de acordo com a razão r/R. A variação linear da altura da laje não
produz os mesmos resultados, já que a rigidez à flexão varia cubicamente com esta medida.
Logicamente, quanto maior for a discretização do sistema apresentado na Figura 3.12, maior será a
precisão dos resultados do cálculo.
3.2. CÁLCULO COM RECURSO AO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF)
PROGRAMA UTILIZADO
O método dos elementos finitos (MEF) é uma ferramenta numérica muito versátil que fornece
soluções aproximadas para problemas descritos em termos de equações com derivadas parciais, usado numa
gama extensa de áreas da física, sendo atualmente o método numérico mais utilizado na Engenharia Civil
praticamente em todo o tipo de estruturas.
Para a análise ao reservatório em estudo pelo MEF, foi utilizado o programa de cálculo automático
SAP2000 [32], comercializado pela CSI - Computers and Structurs, Inc. e inicialmente desenvolvido na
Universidade de Berckley. Este programa permite a análise a diversos tipos de estruturas bidimensionais ou
tridimensionais, desde pórticos simples a estruturas de geometria complexa, incluindo análises estáticas e
dinâmicas sob comportamento linear e não linear.
A modelação da geometria da estrutura é efetuada graficamente sobre uma grelha de coordenadas
previamente definidas que deverá contemplar os pontos de mudança de geometria. Os resultados podem
ser visualizados graficamente na estrutura desenhada através de mapas da distribuição das grandezas
obtidas, ou gerados em tabelas de acordo com o tipo de pedido específico do utilizador.
As capacidades de modelação e análise do programa são, de resto, muito vastas, remetendo-se para
o ponto seguinte a descrição das funcionalidades utilizadas de acordo com as hipóteses de modelação e de
cálculo adotadas para o reservatório em estudo.
MODELAÇÃO DA ESTRUTURA ESTUDADA
Foram realizados análises em dois modelos tridimensionais distintos do reservatório. Observando-
se a geometria do reservatório original na Peça desenhada 01 do Anexo B, no modelo A foi omitido a
cobertura em cúpula e a viga de bordadura, assim como o prolongamento da laje de fundo fora das paredes.
Já o modelo B contempla todos os elementos estruturais.
50
Com o modelo A pretende-se validar os resultados com aqueles dos modelos simplificados de
cálculo, avaliar o comportamento estrutural de um reservatório genérico e verificar a influência da cobertura
e do prolongamento da laje, através de uma comparação dos esforços com aqueles resultantes do modelo B.
Estes últimos serão, logicamente, utilizados posteriormente no dimensionamento da estrutura.
FIGURA 3.13 – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS MODELO A
Os elementos finitos de casca da laje, parede e cúpula, e os elementos finitos de barra da viga, foram
desenhados a partir de uma grelha tridimensional definida por um conjunto de pontos interligados. Os pontos
estão circunferencialmente afastados de 5°. Radialmente, estão separados em 0,41 m (interior às paredes) e
0,3 m (exterior às paredes). Por fim, verticalmente, os pontos entre a laje e a parede encontram-se separados
em 0,2 m, e acima da parede, as suas cotas foram definidas de acordo com a interseção da função que define
o meridiano cilíndrico da cúpula e as retas verticais que ligam os referidos pontos afastados radialmente de
0,41 m, sendo definido um anel adicional com 0,3 m de raio para definir a abertura da cúpula.
FIGURA 3.14 – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS MODELO B
51
Foram utilizados elementos de casca fina lineares de 4 nós, possuindo 6 graus de liberdade, que
usam a formulação de Kirschoff (adequado para membranas) ignorando a deformação por esforços
transverso. As vigas foram modeladas por elementos lineares de 2 nós. As seções foram definidas segundo a
geometria: espessuras de 10, 20 e 8 cm, respetivamente, na laje, parede e cúpula, e seção de 0,20 x 0,40 m2
na viga. Em ligação ao ponto central da laje, foram usados elementos de casca fina triangulares de 3 nós.
Conforme foi discutido no ponto 2.2.3, as ligações ao exterior são modeladas através de molas de
Winkler verticais, distribuídas sob toda a área sob a laje. A introdução do valor da rigidez por área leva ao
programa automaticamente atribuir a rigidez aos nós da superfície calculando a sua superfície de influência.
As molas foram definidas para funcionar exclusivamente à compressão (já que o solo não desenvolve tensões
de tração). Este aspeto é importante já que o levantamento da parte central da laje pode ocorrer em solos
muito deformáveis.
Em adição, as paredes do modelo A foram analisadas na condição de encastramento na base, através
da restrição nos nós na sua base de todos os deslocamentos e rotações. A presença da laje, neste caso, é
indiferente.
QUADRO 3.2 – MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS ANALISADOS
Geometria 𝑘𝑠𝑣(𝑘𝑁/𝑚3)
Modelo A
5000
40 000
200 000
2 x 10 10
(Paredes encastradas)
Modelo B
5000
40 000
200 000
2 x 10 10
Foram definidas ainda, no ponto central da laje, duas molas horizontais ortogonais (k = 10000 kN/m)
e uma mola rotacional (k = 10000 kN/rad) sobre o eixo vertical, de forma a equilibrar o modelo, apesar de,
na prática, devido à natureza axissimétrica do carregamento, estas não absorverem quaisquer esforços, pelo
que a sua rigidez é irrelevante.
As ações diretas e indiretas foram aplicadas à estrutura de acordo com os carregamentos definidos
no ponto 2.2, através da introdução de forças e variações de temperatura aplicadas nas superfícies. As
variações do carregamento na parede (entre a zona descoberta e coberta pela terra) foram definidas com
recurso à funcionalidade “joint patterns” do SAP2000. Na variação diferencial de temperatura, foram
definidos gradientes na espessura de 187,5°C/m na cobertura e 75°C/m na parede (despreza-se esta ação na
viga).
Naturalmente, no modelo A, não existindo a laje exterior às paredes nem a cúpula, não foi modelada
a ação vertical da pressão das terras nem as ações, nomeadamente a sobrecarga, atuantes na cúpula.
Foi efetuada uma análise elástica linear considerando um comportamento linear do material
(linearidade física), em que se admite que os deslocamentos e deformações são infinitesimais (linearidade
geométrica). Desta forma, os únicos parâmetros relativos aos materiais relevantes são o módulo de
elasticidade do betão e o peso volúmico para cálculo do peso próprio (a presença das armaduras tem uma
influência muito pequena na rigidez no betão não fendilhado). Estes parâmetros foram definidos segundo os
valores apresentados no ponto 2.1.3. No caso particular das ações indiretas, foram usados nos modelos, os
módulos de elasticidade ajustados associados a cada tipo de carregamento, definidos em 2.2.2.4.
52
Em todos os modelos, foram recolhidos nos nós ao longo de uma seção circunferencial os dados
relativos aos esforços resultantes do cálculo, que serão analisados no capítulo seguinte.
3.3. APLICAÇÃO DOS MODELOS DE CÁLCULO SIMPLIFICADOS AO RESERVATÓRIO
ESTUDADO
Com base na informação já disponibilizada, resumem-se no Quadro 3.3 os parâmetros associados ao
reservatório em análise para a aplicação dos modelos de cálculo simplificados.
QUADRO 3.3 – DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS UTILIZADOS NOS MODELOS DE CÁLCULO SIMPLIFICADOS
Parâmetro Valor
𝐻 (m) 5,4
𝑅 (m) 8,2
𝛾𝐿 (kN/m3) 9,5
𝑡 (m) 0,2
𝑡𝑙 (m) 0,1
𝐸 (Gpa) 30
PAREDE
3.3.1.1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
São utilizadas as expressões apresentadas no ponto 3.1.2.2, considerando-se que a base da parede
se encontra perfeitamente encastrada.
Os parâmetros 𝛽 e 𝐷 do reservatório possuem os seguintes valores.
𝛽 = 1,015 (3.28)
𝐷 = 20833,3 𝑘𝑁𝑚2 (3.29)
As constantes de integração são calculadas impondo-se as condições de fronteira do bordo inferior,
em que as rotações e os deslocamentos se encontram impedidos, através das expressões (3.26), obtendo-se
os resultados:
{ 𝑐1 = 5,74902 × 10
−4
𝑐2 = 4,70025× 10−4
(3.30)
Reunidos todos os dados, pode-se calcular a lei dos deslocamentos radiais, 𝑤(𝑧), resultantes da ação
da pressão hidrostática, a partir da qual aplicam-se as leis definidoras do comportamento estrutural da
parede (Quadro 3.1). Os resultados referentes à distribuição do momento fletor vertical e da força axial
horizontal na parede encontram-se no ponto 4.2. A deformada da parede sob a ação da pressão hidrostática
é representada no Figura 3.15.
53
FIGURA 3.15 – DESLOCAMENTOS RADIAIS DA PAREDE DO RESERVATÓRIO SOB AÇÃO DA PRESSÃO HIDROSTÁTICA
3.3.1.2. MÉTODO DE HANGAN-SOARE
Os coeficientes 𝑘 dos ábacos, reproduzidos no Anexo A.3, são lidos com base nos parâmetros que
medem a rigidez do anel e o encastramento conferido pela laje de fundo às paredes laterais:
𝛽𝐻 = 5,482 (3.31)
𝑡/𝑡𝑙 = 2 (3.32)
Indicam-se, no Quadro 3.4 e Quadro 3.5, os esforços resultantes da pressão hidrostática, obtidos
pela aplicação deste método no reservatório em análise, para as situações de encastramento total da base
da parede, e ligação rígida com a laje de fundo.
QUADRO 3.4 – MOMENTO VERTICAL NA PAREDE OBTIDOS PELO MÉTODO DE HANGAN-SOARE
Ligação da base Encastrado Rígido
𝑘 0,0135 0,0043
𝑀0 (kNm/m) 20,19 6,43
𝑘0 0,126 0,045
𝑧0 (m) 0,68 0,24
𝑘′ 0,0035 0,0042
𝑀1 (kNm/m) -5,24 -6,28
𝑘1 0,270 0,190
𝑧1 (m) 1,46 1,03
QUADRO 3.5 – FORÇA AXIAL HORIZONTAL NA PAREDE OBTIDOS PELO MÉTODO DE HANGAN-SOARE
Ligação da base Encastrado Rígido
𝑘′′ 0,59 0,67
𝑁𝜙,𝑚𝑎𝑥 (kN/m) 248,2 281,8
𝑘2 0,38 0,32
𝑥2 (m) 2,05 1,73
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-1,E-040,E+001,E-042,E-043,E-044,E-04
h (m)
w (m)
54
CÚPULA
No reservatório analisado, a base da cúpula esférica parcial tem raio de 𝑅0 = 8,2 𝑚 e flecha de 𝑓 =
2,04 𝑚, obtendo-se, pela aplicação das expressões (3.3) e (3.4), respetivamente, 𝑅 = 17,50 m e 𝜑 = 27,94°.
As forças aplicadas na cúpula consistem no peso próprio (𝑃𝑃 = 25 × 0.08 = 2,0 𝑘𝑁/𝑚2), atuando
na superfície, e na sobrecarga (𝑆𝐶 = 0,4 𝑘𝑁/𝑚2), atuando na superfície projetada horizontalmente. Assim,
desprezando-se a influência da abertura central, que possui pequena dimensão (diâmetro de 0,60 m),
calculam-se os esforços radiais e circunferenciais na cúpula pela aplicação das expressões (3.1) no peso
próprio e expressões (3.2) na sobrecarga (resultados no Quadro 3.6).
QUADRO 3.6 – ESFORÇOS NA CÚPULA
𝑁𝑟 (kN/m) 𝑁𝑐 (kN/m)
r (m) ϕ (°) PP SC PP SC
0,00 0,00 -17,50 -3,50 -17,50 -3,50
2,73 10,00 -17,63 -3,50 -16,83 -3,29
5,63 20,00 -18,04 -3,50 -14,85 -2,68
8,20 27,94 -18,58 -3,50 -12,34 -1,96
Observa-se que os resultados variam pouco ao longo da superfície devido à pequena abertura da
estrutura. Com base na força transmitida pelos meridianos na borda da cúpula, calculam-se as componentes
vertical e horizontal transmitidas pela estrutura à zona da viga de bordadura, com sentidos, respetivamente
para baixo e para “fora”.
QUADRO 3.7 – CARREGAMENTO INTRODUZIDO PELA CÚPULA NO ANEL
Componente PP SC
𝑄𝑣 (kN/m) -8,71 -1,64
𝑄ℎ (kN/m) -16,42 -3,09
E finalmente, aplicando-se a equação (3.7) às componentes horizontais, obtém-se a força de tração.
É importante voltar a salientar que esta força não se irá concentrar exclusivamente na viga devido à
compatibilidade dos deslocamentos do sistema cobertura-viga-parede (a não ser que a viga fosse axialmente
infinitamente rígida). E como há esforços que serão consequentemente distribuídos na cúpula (perto da viga),
é normal que surjam nessa zona esforços de flexão.
QUADRO 3.8 – FORÇA AXIAL DE TRAÇÃO NO ANEL
PP SC
𝑁𝑎 (kN) -134,62 -25,36
55
4. ANÁLISE DE RESULTADOS
Serão analisados, neste capítulo, os esforços resultantes dos modelos do reservatório calculados
pelo método dos elementos finitos através do SAP2000, que serão posteriormente comparados com aqueles
obtidos através da aplicação dos métodos de cálculo simplificados, introduzidos no capítulo anterior.
A convenção de sinais que será utilizada, indicada na Figura 4.1, corresponde a: forças axiais positivas
provocam trações em todos os elementos, e momentos fletores de sinal positivo provocam trações nas faces
inferiores da laje de fundo e da cúpula, e nas faces interiores da parede.
FIGURA 4.1 – ORIENTAÇÃO DOS ESFORÇOS POSITIVOS NA ANÁLISE DE RESULTADOS
Para maior facilidade na apresentação dos dados, os carregamentos terão as seguintes siglas:
PP – Peso próprio
PH – Pressão hidrostática
PT – Pressão do terreno
R – Retração
TUP – Variação uniforme positiva da temperatura
TUN – Variação uniforme negativa da temperatura
TDP – Variação diferencial positiva da temperatura
TDN – Variação diferencial negativa da temperatura
56
4.1. RESULTADOS DOS MODELOS CALCULADOS PELO MEF
Conforme foi já por diversas vezes salientado, os esforços na estrutura, devido às características
axissimétricas da sua geometria e do seu carregamento, serão uniformes em termos circunferenciais. Assim,
devido à grande quantidade de resultados obtidos como consequência da consideração de várias rigidezes
do solo, juntamente com a adoção de um leque variado de carregamentos, os resultados serão apresentados
sob a forma gráfica de forma poderem ser agrupados, ao invés de se reproduzirem os mapas de tensões na
estrutura tridimensional, gerados pelo SAP2000.
Ao longo da apresentação dos resultados, para determinados elementos, serão omissos alguns
carregamentos que não geram forças ou que são pouco relevantes. Estas situações serão identificadas
oportunamente ao longo do texto, podendo-se, porém, referir já que não serão apresentados, em qualquer
um dos modelos, os resultados relativos a TUP e TDN, porque possuem o mesmo valor de sinal contrário a
TUN e TDP, salvo raras exceções em que a diferença é, de qualquer forma, diminuta.
Também a combinação PP+PH+PT não será apresentada com o propósito de não prolongar em
demasia a análise (serão apresentadas as combinações PP+PH e PP+PT). Ainda assim, como é lógico, todos
os carregamentos serão considerados no dimensionamento da estrutura.
MODELO A
4.1.1.1. LAJE DE FUNDO
Verificou-se que a laje tem o comportamento de viga flexível, uma vez que devido à baixa rigidez, as
forças introduzidas pelas paredes têm somente influência na zona perto do bordo da laje, sendo na parte
central nulos (com exceção dos esforços axiais). Para melhorar a perceção da variação dos esforços,
apresentam-se apenas os valores nessa zona.
A deformabilidade do solo provou ser determinante no comportamento estrutural do reservatório.
Segundo se observa na Figura 4.2, sob a ação do peso próprio das paredes, enquanto no solo indeformável a
reação do solo desenvolve-se por inteiro diretamente abaixo da parede, quanto maior a deformabilidade do
solo, cada vez é maior a transferência da reação em direção ao centro da laje, provocando momentos fletores
acrescidos como se tratasse de uma consola invertida. Esta situação foi explicada anteriormente no contexto
da Figura 3.10.
No caso em estudo, a pressão hidrostática por si só, em solos deformáveis, introduz momentos
fletores pequenos na laje, pois a componente vertical atuante sobre a laje é diretamente anulada pelo solo
subjacente, e a rotação da ligação provocada pela componente horizontal é acomodada pelo terreno (Figura
4.3).
57
FIGURA 4.2 – MOMENTO RADIAL NA LAJE (PP)
FIGURA 4.3 – MOMENTO RADIAL NA LAJE (PH)
É visível, porém, um aumento dos esforços no caso de terreno indeformável em consequência da
referida rotação da ligação. Como não há deformação, a rotação provoca uma subida da laje em direção ao
centro que é contrariada pela pressão vertical, à custa de menor reação do solo, criando momento. Esta
situação foi explicada anteriormente no contexto da Figura 3.11. A pressão das terras provoca o mesmo
efeito, mas, naturalmente, de sinal contrário (igual ao do peso próprio), e em menor magnitude (porque a
pressão é também inferior), não sendo por isso apresentada.
FIGURA 4.4 – MOMENTO RADIAL NA LAJE (PP+PH)
FIGURA 4.5 – MOMENTO RADIAL NA LAJE (PP+PT)
Pode-se concluir que os esforços, na combinação do peso próprio com a pressão hidrostática ou a
pressão do terreno, em solos deformáveis, devem-se essencialmente ao peso próprio, enquanto nos solos
indeformáveis se devem às pressões hidrostática e de terras (Figura 4.4 e Figura 4.5). Como se observa na
Figura 4.4, a disposição única de armadura superior, na hipótese do solo ser infinitamente rígido, pode ser
extremamente condicionante caso o solo exiba a mínima deformabilidade (há que salientar que a rigidez de
200 MN/m3 corresponde ainda assim, a um solo extremamente rígido).
-6,0
-1,0
4,0
9,0
14,0
4,925,746,567,388,20
r (m)
Mr (kNm/m)
PP: Ks=5
PP: Ks=40
PP: Ks=200
PP: Ks=2E7
[MN/m3]
-6,0
-1,0
4,0
9,0
14,0
4,925,746,567,388,20
r (m)
Mr (kNm/m)
PH: Ks=5
PH: Ks=40
PH: Ks=200
PH: Ks=2E7
[MN/m3]
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
4,925,746,567,388,20
r (m)
Mr (kNm/m) PP+PH: Ks=5
PP+PH: Ks=40
PP+PH: Ks=200
PP+PH: Ks=2E7
[MN/m3]
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
4,925,746,567,388,20
r (m)
Mr (kNm/m)
PP+PT: Ks=5PP+PT: Ks=40PP+PT: Ks=200PP+PT: Ks=2E7
[MN/m3]
58
FIGURA 4.6 – ESFORÇO TRANSVERSO RADIAL NA LAJE (PP+PH)
FIGURA 4.7 – ESFORÇO TRANSVERSO RADIAL NA LAJE (PP+PT)
Na análise aos resultados do esforço transverso na direção radial, podem ser extrapoladas as
observações apresentadas anteriormente quanto à influência da transferência da reação do solo ao peso
próprio das paredes para o centro da laje, devido à deformabilidade do terreno (Figura 4.6 e Figura 4.7) e as
consequências do solo indeformável.
As ações indiretas apenas aplicam esforços axiais na laje, principalmente por via da retração, já que
a laje restringe a contração das paredes (relembra-se que um cilindro livre sujeito a uma variação de
temperatura uniforme não gera esforços). As restantes ações indiretas resultantes das variações de
temperatura são aplicadas somente na parte superior do reservatório e detêm pouca influência na laje.
Em adição, há que considerar as forças geradas na laje pelo travamento das paredes devido às
componentes horizontais das ações diretas. A rigidez do terreno tem influência expressiva na força axial
proveniente da ação do peso próprio (Figura 4.8). Isto acontece porque a introdução de momento na ligação
rígida por parte da laje (devido ao peso próprio), aplica um momento fletor na parede que é contrariado pelo
efeito de anel, introduzindo um esforço transverso na base da parede.
FIGURA 4.8 – ESFORÇOS AXIAIS NA LAJE
Os esforços axiais na laje na direção radial e circunferencial são iguais (constituindo um estado plano
de tensão uniforme) porque as forças são aplicadas na direção radial uniformemente ao longo do perímetro.
-25,0
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
4,925,746,567,388,20r (m)
Vr (kN/m) PP+PH: Ks=5
PP+PH: Ks=40
PP+PH: Ks=200
PP+PH: Ks=2E7
[MN/m3]
-25,0
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
4,925,746,567,388,20r (m)
Vr (kN/m) PP+PT: Ks=5
PP+PT: Ks=40
PP+PT: Ks=200
PP+PT: Ks=2E7
[MN/m3]
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
PP PH PT R TUN TDP
Nr=Nc (kN/m)
Ks=5
Ks=40
Ks=200
Ks=2E7
[MN/m3]
59
Na parte central da laje, onde não se verificam esforços de flexão (ver deformada na Figura 4.9), a pressão
hidrostática constitui assim a ação mais condicionante, provocando trações relativamente elevadas.
FIGURA 4.9 – IMAGEM DA DEFORMADA DO MODELO “A” COM KS=40 MN/M3 (PP)
4.1.1.2. PAREDES
Introduzindo-se mais uma vez a analogia da estrutura com uma laje invertida, a parede pode ser
vista como uma coluna que suporta a laje. O valor do momento na parede é transmitido pela laje devido à
ligação rígida, sendo assim igualmente influenciado pela distribuição (na laje) da reação do solo à ação do
peso próprio das paredes (Figura 4.10).
FIGURA 4.10 – MOMENTO VERTICAL NA PAREDE (PP)
FIGURA 4.11 – MOMENTO VERTICAL NA PAREDE (PH)
Tal como foi verificado no ponto anterior, a rigidez do solo, por sua vez, tem pouca influência nos
esforços desenvolvidos pela ação das pressões na parede. Como consequência, observa-se na Figura 4.10 que
a única diferença óbvia se encontra entre o modelo cujas paredes estão encastradas, e os modelos cujas
paredes estão rigidamente ligadas à laje (cujo momento “de fixação” na base é função da relação entre as
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-15 -10 -5 0 5 10
h (m)
Mv (kNm/m)
PP: Ks=5
PP: Ks=40
PP: Ks=200
PP: Ks=2E7
PP: Encastrado
[MN/m3]
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-10 -5 0 5 10 15 20 25
h (m)
Mv (kNm/m)
PH: Ks=5
PH: Ks=40
PH: Ks=200
PH: Ks=2E7
PH: Encastrado
[MN/m3]
60
rigidezes da parede e da laje). A combinação dos efeitos do peso próprio com pressões encontram-se nas
Figura 4.12 e Figura 4.13.
FIGURA 4.12 – MOMENTO VERTICAL NA PAREDE (PP+PH)
FIGURA 4.13 – MOMENTO VERTICAL NA PAREDE (PP+PT)
Sob a ação do peso próprio, como o momento transmitido pela laje é contrariado, na parede, pelo
“efeito de anel”, por sua vez, a força axial circunferencial (horizontal) irá igualmente aumentar com o
decréscimo da rigidez do terreno (Figura 4.14).
FIGURA 4.14 – FORÇA AXIAL HORIZ. NA PAREDE (PP)
FIGURA 4.15 – FORÇA AXIAL HORIZ. NA PAREDE (PH)
Já sob as ações das pressões hidrostática e de terras, o carregamento horizontal reparte-se sobre as
vigas verticais (flexão) e nos anéis horizontais (tração circunferencial), segundo o funcionamento em grelha
discutido no capítulo anterior. Assim, é natural que se tenham verificado uma diminuição da força axial
horizontal máxima, na situação de encastramento da parede.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
h (m)
Mv (kNm/m)
PP+PH: Ks=5
PP+PH: Ks=40
PP+PH: Ks=200
PP+PH: Ks=2E7
PP+PH: Encastrado
[MN/m3]
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-20 -15 -10 -5 0 5 10
h (m)
Mv (kNm/m)
PP+PT: Ks=5
PP+PT: Ks=40
PP+PT: Ks=200
PP+PT: Ks=2E7
PP+PT: Encastrado
[MN/m3]
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-50050100
h (m)
Nϕ (kN/m)
PP: Ks=5
PP: Ks=40
PP: Ks=200
PP: Ks=2E7
PP: Encastrado
[MN/m3]
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-1000100200300
h (m)
Nϕ (kN/m)
PH: Ks=5
PH: Ks=40
PH: Ks=200
PH: Ks=2E7
PH: Encastrado
[MN/m3]
61
Nos diagramas das forças combinadas (Figura 4.16 e Figura 4.17), constata-se que, no global, a
influência da rigidez do solo não é tão elevada como nos momentos fletores.
FIGURA 4.16 – FORÇA AXIAL HORIZ. NA PAREDE (PP+PH)
FIGURA 4.17 – FORÇA AXIAL HORIZ. NA PAREDE (PP+PT)
Passando-se às ações indiretas, observa-se nos gráficos seguintes (Figura 4.18 e Figura 4.19), que
estas geram esforços na parede da mesma ordem de grandeza das ações diretas.
FIGURA 4.18 – MOMENTO VERTICAL NA PAREDE (R/TUN/TDP)
FIGURA 4.19 – FORÇA AXIAL HORIZ. NA PAREDE (R/TUN/TDP)
A restrição da laje de fundo à retração de todo o cilindro gera na base da parede esforços de tração
elevados. O mesmo efeito produz a variação uniforme de temperatura, que como é aplicada somente na
parte superior da parede, a parte inferior restringe a contração ou expansão. Por fim, a variação diferencial
positiva de temperatura, também aplicada somente na parte superior da parede, expande a superfície
exterior e contrai a superfície interior. A restrição à curvatura vertical pelo efeito de anel gera neste caso
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-5050150250350
h (m)
Nϕ (kN/m)
PP+PH: Ks=5
PP+PH: Ks=40
PP+PH: Ks=200
PP+PH: Ks=2E7
PP+PH: Encastrado
[MN/m3]
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-150-100-500
h (m)
Nϕ (kN/m)
PP+PT: Ks=5
PP+PT: Ks=40
PP+PT: Ks=200
PP+PT: Ks=2E7
PP+PT: Encastrado
[MN/m3]
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-10 -5 0 5 10
h (m)
Mv (kNm/m)
R
TUN
TDP
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-300-100100300
h (m)
Nϕ (kN/m)
R
TUN
TDP
62
esforços de compressão no exterior e tração no interior. Em todos os casos, naturalmente, momentos
positivos, em que a parede tem tendência a curvar para o interior, provocam esforços de compressão
horizontais.
MODELO B
Ao longo da análise dos resultados relativos a este modelo, os esforços gerados pela sobrecarga na
cobertura (SC) não serão apresentados, uma vez que estes são extremamente reduzidos (para se ter uma
ideia, o peso próprio da cobertura, já de si pequeno devido à espessura reduzida deste elemento, vale 2,0
kN/m2 enquanto a sobrecarga é de 0,4 kN/m2).
4.1.2.1. LAJE DE FUNDO
Em relação ao modelo A, a laje é prolongada de 𝑅 = 8,2 𝑚 para 𝑅 = 9,5 𝑚 , alterando
drasticamente a distribuição dos esforços. Verifica-se desde logo, que o peso próprio da parede e da
cobertura é distribuído para a laje interior e exterior, praticamente sem provocar rotação da parede, já que
os momentos gerados de um lado e de outro são semelhantes (Figura 4.20).
FIGURA 4.20 – MOMENTO RADIAL NA LAJE (PP)
FIGURA 4.21 – MOMENTO RADIAL NA LAJE (PH)
Analisando-se exclusivamente a ação da pressão hidrostática (Figura 4.21), tendo-se um solo
indeformável (a lilás), o momento transmitido à laje pela parede é distribuído para ambos os lados exterior e
interior da laje. No interior, a laje tende a descer e é contrariada pelo solo, enquanto no exterior a laje tende
a subir e é contrariada por uma diferença entre a pressão vertical e a reação do solo.
Sob solo deformável, a pressão hidrostática vertical atuante sobre a laje interior faz todo o
reservatório descer provocando reações em todo o solo subjacente à laje, e como essa pressão não existe na
laje exterior, esta última funcionará como uma consola invertida fazendo rodar a ligação (Figura 4.23). A
deformada da estrutura pode ser observada na Figura 4.24. No caso da pressão das terras, o comportamento
é semelhante, invertendo-se os papéis da parte exterior e interior.
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
4,925,746,567,388,209,02
r (m)
Mr (kNm/m)
PP: Ks=5
PP: Ks=40
PP: Ks=200
PP: Ks=2E7
[MN/m3]
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
4,925,746,567,388,209,02
r (m)
Mr (kNm/m) PH: Ks=5
PH: Ks=40
PH: Ks=200
PH: Ks=2E7
[MN/m3]
63
FIGURA 4.22 – MOMENTO RADIAL NA LAJE (PP+PH)
FIGURA 4.23 – MOMENTO RADIAL NA LAJE (PP+PT)
A combinação das pressões com o peso próprio aumenta ainda mais os esforços na parcela da laje
não carregada verticalmente (Figura 4.22 e Figura 4.23). Pode-se concluir que, enquanto no modelo A os
esforços diretamente associados às pressões não eram influenciados pela deformabilidade, verifica-se neste
modelo a existência de uma forte dependência. Esta ligação será objeto de uma análise mais aprofundada no
capítulo 7. Estes esforços na ligação, aliado ao efeito de punçoamento que o peso próprio provoca na laje,
justificam a conceção frequente dos grandes reservatórios com recurso a fundações próprias para as paredes
(em anel), sem transmissão de momentos com a laje.
a) b)
FIGURA 4.24 – IMAGEM DA DEFORMADA DO MODELO B COM KS=40 MN/M3 (PP+PH):
A) VISTA TRIDIMENSIONAL B) VISTA EM PLANTA DA LAJE DO FUNDO
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
4,925,746,567,388,209,02
r (m)
Mr (kNm/m)
PP+PH: Ks=5
PP+PH: Ks=40
PP+PH: Ks=200
PP+PH: Ks=inf.
[MN/m3]
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
4,925,746,567,388,209,02
r (m)
Mr (kNm/m)
PP+PT: Ks=5
PP+PT: Ks=40
PP+PT: Ks=200
PP+PT: Ks=inf.
[MN/m3]
64
FIGURA 4.25 – ESFORÇO TRANSVERSO RADIAL NA LAJE (PP+PH)
FIGURA 4.26 – ESFORÇO TRANSVERSO RADIAL NA LAJE (PP+PT)
Tal como no modelo A, as ações indiretas provocam unicamente esforços axiais na laje, em
consequência da restrição à deformação radial das paredes. Ente estas, destaca-se claramente a ação da
retração (Figura 4.27), por ser a única aplicada à parte inferior da estrutura (foi aplicado um efeito equivalente
a uma variação uniforme da temperatura de -30°C na parede e -15°C na laje).
Já nas ações diretas, o esforço axial é função do esforço transverso na base da parede que está
diretamente ligado ao momento fletor, que neste modelo, conforme foi referido, provém unicamente das
pressões hidrostáticas e de terras e é dependente da rigidez do terreno.
FIGURA 4.27 – ESFORÇOS AXIAIS NA LAJE INTERIOR
4.1.2.2. PAREDES
Tendo em conta que a ligação parede-laje, sob a ação do peso próprio, não transmite momentos
fletores na parede, só serão apresentados nesta seção os resultados referentes à combinação do peso próprio
com a pressão hidrostática e a pressão de terras. A ação do peso próprio apenas produz esforços de flexão
na zona da parede próxima da ligação à viga de bordadura da cúpula, que será analisada no próximo ponto.
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
4,925,746,567,388,209,02
r (m)
Vr (kN/m) PP+PH: Ks=5
PP+PH: Ks=40
PP+PH: Ks=200
PP+PH: Ks=2E7[MN/m3]
-50,0
-40,0
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
4,925,746,567,388,209,02
r (m)
Vr (kN/m)
PP+PT: Ks=5
PP+PT: Ks=40
PP+PT: Ks=200
PP+PT: Ks=2E7
[MN/m3]
-40,0
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
PP PH PT R TUN TDP
Nr=Nc (kN/m)
Ks=5
Ks=40
Ks=200
Ks=2e7[MN/m3]
65
Resta referir, em relação a esta ação, que na base da parede o peso próprio exerce uma compressão axial
vertical moderada, de valor -37,2 kN/m.
FIGURA 4.28 – MOMENTO VERTICAL NA PARDE (PP+PH)
FIGURA 4.29 – MOMENTO VERTICAL NA PAREDE (PP+PT)
Na presença da pressão hidrostática, a rotação da ligação parede-laje devido à deformabilidade do
terreno (que ocorre porque a componente vertical aplicada na laje interior cria um assentamento do
reservatório que não é acompanhada pela laje exterior), impele a parede na direção do interior, por sua vez
absorvendo mais esforços da componente horizontal por flexão (Figura 4.28), em detrimento das trações
horizontais (Figura 4.31). O efeito oposto ocorre sob ação da pressão do terreno (Figura 4.29).
FIGURA 4.30 – ESFORÇO T. VERTICAL NA PARDE
(PP+PH/PP+PT)
FIGURA 4.31 – FORÇA AXIAL HORIZ. NA PAREDE
(PP+PH/PP+PT)
Na zona superior da parede (onde no modelo A praticamente não se verificavam esforços) observa-
se que, por causa da ligação rígida, a viga de bordadura transmite à parede alguns dos seus esforços de tração
que a cúpula lhe imprime (será discutido no ponto seguinte).
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35
h (m)
Mv (kNm/m)
PP+PH: Ks=5
PP+PH: Ks=40
PP+PH: Ks=200
PP+PH: Ks=2E7
[MN/m3]
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10
h (m)
Mv (kNm/m)
PP+PT: Ks=5
PP+PT: Ks=40
PP+PT: Ks=200
PP+PT: Ks=2E7
[MN/m3]
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
h (m)
Vv (kN/m)
PP+PH: Ks=5
PP+PH: Ks=40
PP+PH: Ks=200
PP+PT: Ks=5
PP+PT: Ks=40
PP+PT: Ks=200
[MN/m3]
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-200-1000100200300
h (m)
Nϕ (kN/m)
PP+PH: Ks=5
PP+PH: Ks=40
PP+PH: Ks=200
PP+PT: Ks=5
PP+PT: Ks=40
PP+PT: Ks=200
[MN/m3]
66
FIGURA 4.32 – IMAGEM DA DEFORMADA DO MODELO B (TUN)
FIGURA 4.33 – IMAGEM DA DEFORMADA DO MODELO B (TDP)
Quanto aos resultados das ações indiretas, podem-se fazer leituras semelhantes àquelas
apresentadas para os resultados do modelo A, pois novamente não há influência da laje de fundo. As
diferenças prendem-se com a ligação rígida à cúpula, que leva ao aparecimento de momentos fletores
superiores devido às variações diferenciais de temperatura. No caso da retração e da variação uniforme de
temperatura, como a cobertura (cúpula e viga) encontra-se sob a ação dos mesmos valores destes
carregamentos que a parte superior da parede, não há lugar à geração de esforços na ligação.
FIGURA 4.34 – MOMENTOS VERTICAIS NA PAREDE (R/TUN/TDP)
FIGURA 4.35 – FORÇA AXIAL HORIZ. NA PAREDE (R/TUN/TDP)
FIGURA 4.36 – ESFORÇO TRANSVERSO VERTICAL (R/TUN/TDP)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-10 -5 0 5 10
h (m)
Mv (kNm/m)
R
TUN
TDP
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-200 -100 0 100 200 300 400
h (m)
Nϕ (kN/m)
R
TUN
TDP
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-15 -10 -5 0 5 10 15
h (m)
Vv (kN/m)
RTUNTDP
67
4.1.2.3. COBERTURA
O comportamento estrutural da cobertura do reservatório não é influenciado pela rigidez do solo,
porque as paredes não transmitem esforços nos seus bordos superiores. Conforme foi discutido no ponto
3.1.1, a viga de bordadura absorve os esforços de membrana induzidos axialmente pelo carregamento da
cúpula (peso próprio e sobrecarga), gerando reações com direção fora do plano da membrana. Assim,
verificam-se na zona fronteira ao bordo esforços transversos na cúpula que geram momentos fletores (Figura
4.37 e Figura 4.38).
FIGURA 4.37 – MOMENTO RADIAL NA CÚPULA
FIGURA 4.38 – ESFORÇO TRANSVERSO RADIAL NA CÚPULA
FIGURA 4.39 – FORÇA AXIAL RADIAL NA CÚPULA
FIGURA 4.40 – IMAGEM DA DEFORMADA DA COBERTURA
(PP+SC)
A deformação axial na viga de bordadura resultante da componente horizontal que a cúpula lhe
transmite, devido à ligação rígida, provoca trações bastante elevadas na base da cúpula (Figura 4.42). Assim
devido à compatibilidade, os esforços na viga serão semelhantes (Figura 4.43). Na Figura 4.40 é visível a
deformação axial da viga e a deformação da cúpula por flexão devido à reação da viga.
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,925,746,567,388,20
r (m)
Mr (kNm/m) PP
SC
RTUNTDP
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
4,925,746,567,388,20r (m)
Vr (kN/m) PP
SC
RTUNTDP
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
3,284,104,925,746,567,388,20
r (m)
Nr (kN/m) PP
SC
RTUNTDP
68
FIGURA 4.41 – MOMENTO CIRCUNFERENCIAL NA CÚPULA
FIGURA 4.42 – FORÇA AXIAL CIRCUNFERENCIAL NA CÚPULA
Por fim, como a cobertura se expande ou contrai concomitantemente com a parte superior da
parede, de entre as ações indiretas somente a variação diferencial de temperatura induz esforços. No caso
da variação positiva, a expansão da face superior em relação à inferior gera uma curvatura impedida, dando
origem a momentos ao longo de toda a cúpula (Figura 4.41).
FIGURA 4.43 – FORÇA AXIAL NA VIGA DE BORDADURA
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Globalmente, pode-se concluir que a ordem de grandeza dos esforços que a estrutura tende a
desenvolver está fortemente dependente da deformabilidade do solo, quer seja devido à distribuição da
reação do peso próprio (modelo A), ou ainda, devido à sobreposição deste efeito com a diferença entre os
carregamentos na laje interior e exterior (modelo B).
Na sua publicação, Santarella [15] efetua o cálculo desta estrutura (modelo B) admitindo que o solo
é infinitamente rígido, o que justifica de certa forma a elevada esbelteza dos elementos, nomeadamente, da
laje de fundo (a outra razão está relacionada com a adoção de recobrimentos muito reduzidos).
Já na hipótese de solo muito deformável, o autor aumenta a espessura da laje de 10 cm para 20 cm,
o que face à análise de esforços efetuada se averigua inevitável. Ainda assim, a solução mais prática nesse
caso poderia passar pela adoção de outro sistema estrutural, por exemplo, “desligar” as paredes da laje
(empregando juntas “waterstop”), que estariam assentes sobre a sua própria fundação em anel, impedindo
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
4,925,746,567,388,20
r (m)
Mc (kNm/m) PP
SC
RTUNTDP
-40,0
-20,0
0,0
20,0
40,0
4,925,746,567,388,20
r (m)
Nc (kN/m) PP
SC
RTUNTDP
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
PP SC R TUN TDP
Na (kN/m)
69
a elevada transmissão de esforços. O mesmo se aplica a reservatórios com elevada extensão no plano, onde
se antevejam assentamentos diferenciais importantes.
No dimensionamento do reservatório, e uma vez que foi adotada a espessura originalmente
proposta por Santarella de 10 cm na laje, considerar-se-á que o solo possui uma rigidez de 𝑘𝑠 = 200 𝑀𝑁/𝑚3
(modelo B). Esta hipótese deve ser tomada com cautela, uma vez que são frequentes as situações em que,
apesar de muito rígido, o solo de fundação apresenta zonas mais deformáveis. Só se apresentam, no Anexo
A.7, os resultados dos principais esforços relativos a este caso.
4.2. VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS (COMPARAÇÃO ENTRE MEF E MODELOS DE
CÁLCULO SIMPLIFICADOS)
A comparação dos resultados dos principais esforços na parede do reservatório analisado (o
momento fletor vertical e a força circunferencial horizontal), obtidos através dos diferentes métodos de
cálculo, validará os modelos constituídos por elementos finitos. Uma vez que os modelos simplificados não
contemplam o prolongamento da laje, os resultados da parede apenas incluirão o modelo A entre os dois
modelos de elementos finitos.
Na Figura 4.44 e Figura 4.45 verificam-se boas convergências entre os resultados dos esforços na
parede. De fato, as curvas resultantes da aplicação das equações diferenciais que regem o comportamento
da parede encastrada coincidem quase perfeitamente com os resultados do MEF, levando a crer que o nível
de discretização dos elementos finitos é satisfatória.
FIGURA 4.44 – COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DO MOMENTO FLETOR VERTICAL NA PAREDE
Nota-se, no entanto, um pequeno desfasamento entre os valores do momento fletor resultantes do
método de Hangan-Soare e o MEF, que poderá dever-se à leitura aproximada dos valores nos ábacos. Outra
razão poderá prender-se pela aplicação na laje, no MEF, de molas que, apesar de serem praticamente
infinitamente rígidas, funcionam exclusivamente à compressão, ao invés da aplicação da restrição total do
deslocamento vertical dos nós.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-10 -5 0 5 10 15 20 25
h (m)
Mv (kNm/m)
PH: MEF Modelo A (encastrado)
PH: Eq. Dif. (encastrado)
PH: Hangan-Soare (encastrado)
PH: MEF Modelo A (Ks=2E7 MN/m3)
PH: Hangan-Soare (indeformável)
70
FIGURA 4.45 – COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DA FORÇA AXIAL HORIZONTAL NA PAREDE
É interessante apontar que, na hipótese de, nos pontos da parede onde se verifica a força axial
horizontal máxima, toda a pressão hidrostática ser dirigida para os anéis horizontais, verificar-se-iam as
seguintes forças:
{ Encastrado: 𝑁𝜑 = (5,4 − 2,05) × 9,5 × 8,2 = 260,8 𝑘𝑁/𝑚
Rígido: 𝑁𝜑 = (5,4 − 1,73) × 9,5 × 8,2 = 286,1 𝑘𝑁/𝑚 (4.1)
Estas forças são quase iguais às forças que efetivamente se fazem sentir nesses pontos (Figura 4.45),
o que indica claramente a preponderância na parte intermédia e superior das paredes, da tração
circunferencial em relação à flexão, o que representa uma grande vantagem no comportamento estrutural
do reservatórios cilíndricos em relação aos reservatórios de base retangular, onde a pressão mobiliza
exclusivamente esforços de flexão. A progressão das forças em reta que pode ser observada no gráfico
corresponde assim diretamente ao aumento da pressão hidrostática.
Por fim, os esforços calculados pelo MEF (modelo B) e pelo modelo simplificado, que tem em conta
apenas os esforços axiais de membrana, combinam muito bem nas zonas intermediárias da cúpula, fora da
influência das condições de fronteira (Figura 4.46 e Figura 4.47). No bordo interior, onde se localiza a pequena
abertura circular, não considerada no método simplificado, os esforços radiais de compressão diminuem para
dar lugar a uma elevação dos esforços circunferenciais, consequentes do efeito de arco comprimido na
direção normal.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-50050100150200250300
h (m)
Nφ (kN/m)
PH: MEF Modelo A (encastrado)
PH: Eq. Dif. (encastrado)
PH: Hangan-Soare (encastrado)
PH: MEF Modelo A (Ks=2E7 MN/m3)
PH: Hangan-Soare (indeformável)
71
FIGURA 4.46 – FORÇA AXIAL RADIAL NA CÚPULA
FIGURA 4.47 – FORÇA AXIAL CIRCUNFERENCIAL NA CÚPULA
Já perto no bordo exterior, a introdução de forças de tração circunferenciais na cúpula foi já
analisado e é consequente da ligação rígida com a viga, que exibe alguma deformabilidade. Esta distribuição
de forças da viga para a cúpula e para a parede, não contabilizada nos cálculos simplificados, leva,
logicamente, a que se verifique uma redução substancial na força de tração na viga nos resultados do MEF
(Figura 4.48). Desta forma, é prudente um aumento gradual da espessura da cúpula perto do bordo,
devidamente reforçada, para que estes esforços possam ser acomodados sem provocar uma fendilhação
elevada.
FIGURA 4.48 – FORÇA AXIAL NA VIGA
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
0,001,643,284,926,568,20r (m)
Nr (kN/m) PP: MEF
PP: Simp.
SC: MEF
SC: Simp.
-40,0
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
0,001,643,284,926,568,20r (m)
Nc (kN/m) PP: MEF
PP: Simp.
SC: MEF
SC: Simp.
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
120,0
140,0
160,0
PP: MEF SC: MEF PP: Simp. SC: SimpNa (kN/m)
72
73
5. ANÁLISE SÍSMICA
5.1. OS EFEITOS DA AÇÃO SÍSMICA EM TANQUES
A resposta dos tanques aos eventos sísmicos tem uma importância que ultrapassa o valor económico
das suas estruturas e conteúdos. No caso de um terramoto de grande magnitude, é essencial deter reservas
funcionais no cenário subsequente para abastecer as populações de água potável e controlar eventuais
incêndios que podem ser devastadores, como sucedeu no sismo de 1906 em San Francisco (E.U.A.) ou 1995
em Kobe (Japão). Por outro lado, danos substanciais em reservatórios de produtos inflamáveis como os
derivados do petróleo, químicos tóxicos, ou gases líquificados podem dar origem a derrame de líquidos ou
nuvens gasosas com grandes consequências em áreas populacionais ou em termos ambientais.
A ação sísmica provoca danos de diferentes naturezas dependendo do tipo de reservatório e
materiais utilizados. Os tanques circulares metálicos térreos exibem danos específicos inerentes a este
material devido à plastificação da membrana aquando a aplicação das forças hidrodinâmicas, provocando
trações circunferenciais conjuntamente com forças verticais de compressão na parede devido ao momento
derrubador. Exemplos são a encurvadura da parte inferior da parede, denominada de pata de elefante
(comum em tanques pouco esbeltos), e a encurvadura do tipo diamante (em tanques esbeltos).
FIGURA 5.1 – ENCURVADURAS DO TIPO PATA DE ELEFANTE (DIR.) E TIPO DIAMANTE (ESQ.)
Analisa-se neste trabalho um tanque térreo em betão armado. Em geral, estes não exibem os tipos
de danos (a nível local) referidos anteriormente devido à sua maior rigidez e menor capacidade de resistir a
esforços na fase não linear. Como são dimensionados aos estados limites de fendilhação ao invés do estado
limite último, possuem uma resistência elástica superior. Alguns dos tipos de danos observados nestes
tanques são em geral comuns aos dois materiais.
As principais causas do colapso dos tanques estão então associadas ao seu movimento de corpo
rígido. Quando não está ancorado, o tanque pode experimentar deslizamento e consequente inclinação, ou
até mesmo levantamento de parte do tanque. Na prática, a ancoragem completa do tanque nem sempre é
possível ou economicamente viável [38]. Mesmo quando ancorado, a ligação às fundações poderá não ter a
resistência necessária ou poderá ocorrer o deslizamento conjunto do tanque e fundação. A rotação ou
levantamento do tanque pode produzir grandes deslocamentos nas fundações que, por sua vez, cria um
elevado aumento das tensões na junção entre a laje de fundo e a parede, com eventual plastificação da
secção. Existe ainda o risco de, no caso de o tanque se apoiar parcialmente num solo mais fraco, haver
74
liquefação do mesmo, provocando a rotação do tanque e um posterior acréscimo de tensões sobre essa zona
do solo, o que poderá levar à sua rotura. Finalmente, o movimento do tanque poderá romper as ligações a
condutas, inutilizando-o.
FIGURA 5.2 – QUEBRA DE LIGAÇÕES DEVIDO AO DESLIZAMENTO DO TANQUE
Outros danos que se têm verificado estão relacionados com a cobertura. Quando não existe uma
superfície livre adequada, as ondas geradas pelo sismo poderão atingir a cobertura que, não tendo sido
dimensionada para resistir aos impulsos, pode mover-se, no caso de estar apoiada na parede, ou sofrer danos
na ligação à parede, caso tenha ligação monolítica. Mas mesmo caso essa distância livre exista, é igualmente
necessário antever a resposta da estrutura às forças horizontais de inércia da cobertura, que muitas vezes
são ignoradas.
Um relatório da Water Research Foundation [44] sobre os danos nos sistemas de abastecimento de
água ocorridos durante os recentes sismos de grande magnitude no Chile (2010), Nova Zelândia (2011) e
Japão (2011) descreve que as principais razões de falhas deveram-se às roturas das condutas de
abastecimento. Nos tanques térreos de betão armado, os danos deveram-se sobretudo às deformações do
solo.
5.2. DEFINIÇÃO DA AÇÃO SÍSMICA EM TANQUES
A AÇÃO SÍSMICA SEGUNDO O EC8
A ação sísmica encontra-se definida na regulamentação NP-EN-1998-1 (EC8-1) [36], em que se inclui
o Anexo Nacional com normas particulares para utilização em Portugal. A EN-1998-4 (EC8-4) [37] prescreve
regras específicas no dimensionamento de tanques, silos e condutas.
Sob o efeito de uma ação sísmica, existem dois níveis de exigência que a estrutura deve satisfazer
[37]:
1) Requisito de não ocorrência de colapso, onde, no caso de um evento sísmico raro, a estrutura
deve estar projetada e construída de forma a resistir sem colapso local ou global, mantendo
assim a sua integridade estrutural e uma capacidade resistente residual depois do sismo. No
caso de tanques, este requisito implica que não haja perda de estabilidade devido a
deslizamento ou derrubamento consequente da oscilação do líquido armazenado. Eventuais
perdas do seu conteúdo devem ser controladas.
75
2) Requisito de limitação de danos – sob ação de um sismo relativamente frequente, devem ser
limitados os danos na estrutura que levem a prejuízos significativos quer do ponto de vista
económico, quer no que respeita à funcionalidade da estrutura para a utilização prevista. Nos
tanques deverá ser assegurada a manutenção da sua estanqueidade, e o equipamento
hidráulico conectado aos mesmos devem ser capazes de acomodar os esforços e deformações
sem que as suas funções sejam comprometidas.
Apenas se abordará, ao longo deste texto, a verificação ao estado limite último (não ocorrência de
colapso). A ação sísmica de cálculo deverá ter um período de retorno de referência de 475 anos (𝑇𝑁𝐶𝑅), o que
corresponde a uma probabilidade de 10% de ser excedida durante um período de vida útil de 50 anos de uma
estrutura (PNCR).
ZONAMENTO SÍSMICO EM PORTUGAL
O território nacional é dividido, para cada tipo de sismo, em zonas sísmicas às quais corresponde um
valor de referência de aceleração máxima, 𝑎𝑔𝑅 , de acordo com a propensão de cada zona ao surgimento de
eventos sísmicos dentro do período de retorno mencionado.
De acordo com o Anexo Nacional do EC8-1, em Portugal Continental, devem ser considerados dois
tipos de ação sísmica: Tipo 1 e Tipo 2, enquanto nos arquipélagos da Madeira e dos Açores apenas é
necessário considerar o Tipo 1 e Tipo 2, respetivamente.
A necessidade da apreciação dos dois tipos resulta da existência, em Portugal, de sismos que são
gerados de maneira diferente. O Tipo 1 corresponde a sismos de grande magnitude, designados de
“afastados”, que têm normalmente epicentro na região Atlântica, enquanto o Tipo 2 é designado de
“próximo” e refere-se a sismos moderados com epicentro no território Continental ou no Arquipélago dos
Açores. A diferença centra-se com a maior atenuação com a distância na energia associada às componentes
de mais baixo período das ondas sísmicas, pelo que um sismo gerado próximo do local em estudo deverá
provocar um efeito mais forte em estruturas mais rígidas (têm menores períodos) [35].
FIGURA 5.3 – ZONAMENTO SÍSMICO EM PORTUGAL CONTINENTAL [36]
76
O período de retorno poderá ser ajustado multiplicando-se o valor de referência da aceleração
máxima, 𝑎𝑔𝑅 , por um fator de importância, ϒI, de acordo com a classe de importância da estrutura- equação
(5.1). O EC8-4 define quatro classes de importância de acordo com o tipo de uso e conteúdo do reservatório,
que está ligado ao risco de perdas de vida e as consequências económicas e sociais que advêm do colapso.
𝑎𝑔 = 𝑎𝑔𝑅 ∙ ϒ𝐼 (5.1)
São indicados valores recomendados para os coeficientes de importância específicos para os
reservatórios, contudo, não havendo nenhuma prescrição nacional, é prudente utilizar as definições
constantes no Anexo Nacional do EC8-1 indicadas para estruturas em geral (Quadro 5.1), pois estas podem
atingir valores superiores.
QUADRO 5.1 – FACTOR DE IMPORTÂNCIA (EC8-1)
Classe de
Importância
Acão sísmica
Tipo 1
Acão sísmica Tipo 2
Continente Açores
I 0,65 0,75 0,85
II 1,00 1,00 1,00
III 1,45 1,25 1,15
IV 1,95 1,50 1,35
ESPECTRO DE RESPOSTA
O EC8-1, à semelhança da generalidade dos regulamentos atuais, caracteriza a ação sísmica através
de espectros de resposta elástico de aceleração à superfície do terreno. Na prática, não representam
diretamente a ação sísmica no tempo mas sim o pico de resposta, em termos de acelerações máximas, de
uma dada estrutura amortecida, que possui n modos de vibração, representados pelos referidos osciladores
e respetivas frequências próprias. Conforme se abordará posteriormente, ao contrário do que acontece
frequentemente, por exemplo, em edifícios de betão armado, nos tanques térreos ancorados normalmente
apenas o primeiro modo de vibração (tanto na estrutura como no líquido) contribui significativamente na
geração de esforços.
Existem espectros de resposta elásticos para a componente horizontal e vertical da ação sísmica. A
componente vertical não será desenvolvida. O espectro de resposta elástico horizontal é definido segundo o
EC8-1 pelas seguintes expressões:
{
0 ≤ 𝑇 ≤ 𝑇𝐵: 𝑆𝑒(𝑇) = 𝑎𝑔 ∙ 𝑆 ∙ [1 +𝑇
𝑇𝐵∙ (𝜂 ∙ 2,5 − 1)]
𝑇𝐵 ≤ 𝑇 ≤ 𝑇𝐶: 𝑆𝑒(𝑇) = 𝑎𝑔 ∙ 𝑆 ∙ 𝜂 ∙ 2,5
𝑇𝐶 ≤ 𝑇 ≤ 𝑇𝐷: 𝑆𝑒(𝑇) = 𝑎𝑔 ∙ 𝑆 ∙ 𝜂 ∙ 2,5 ∙ [𝑇𝐶𝑇]
𝑇𝐷 ≤ 𝑇 ≤ 4𝑠: 𝑆𝑒(𝑇) = 𝑎𝑔 ∙ 𝑆 ∙ 𝜂 ∙ 2,5 ∙ [𝑇𝐶 ∙ 𝑇𝐷𝑇2
]
(5.2)
em que:
T – período de vibração de um sistema linear com um grau de liberdade
TB e TC – limite inferior e superior, respetivamente, do período do patamar de aceleração espectral
constante
TD – valor que define no espectro o início do ramo de deslocamento constante
77
S – coeficiente de solo
η – coeficiente de correção do amortecimento
A fim de ter em conta a capacidade de dissipação da energia da estrutura evitando-se uma análise
estrutural não elástica explícita, o EC8-1 define um espectro resposta de cálculo 𝑆𝑑(𝑇), reduzido em relação
ao de resposta elástica, através do coeficiente de comportamento 𝑞 . Esta questão será posteriormente
abordada de forma mais profunda.
O espectro de cálculo é definido pelas expressões:
{
0 ≤ 𝑇 ≤ 𝑇𝐵: 𝑆𝑑(𝑇) = 𝑎𝑔 ∙ 𝑆 ∙ [2
3+𝑇
𝑇𝐵∙ (2,5
𝑞−2
3)]
𝑇𝐵 ≤ 𝑇 ≤ 𝑇𝐶: 𝑆𝑑(𝑇) = 𝑎𝑔 ∙ 𝑆 ∙2,5
𝑞
𝑇𝐶 ≤ 𝑇 ≤ 𝑇𝐷: 𝑆𝑑(𝑇) = 𝑎𝑔 ∙ 𝑆 ∙2,5
𝑞∙ [𝑇𝐶𝑇]
𝑇𝐷 ≤ 𝑇 ≤ 4𝑠: 𝑆𝑑(𝑇) = 𝑎𝑔 ∙ 𝑆 ∙2,5
𝑞∙ [𝑇𝐶 ∙ 𝑇𝐷𝑇2
]
(5.3)
O coeficiente de solo é calculado de acordo com o valor de cálculo de aceleração do solo:
{
𝑎𝑔 ≤ 1𝑚 𝑠2⁄ ∶ 𝑆 = 𝑆𝑚á𝑥
1𝑚 𝑠2⁄ < 𝑎𝑔 < 4𝑚 𝑠2⁄ ∶ 𝑆 = 𝑆𝑚á𝑥 −𝑆𝑚á𝑥 − 1
3(𝑎𝑔 − 1)
𝑎𝑔 ≤ 1𝑚 𝑠2⁄ ∶ 𝑆 = 1,0
(5.4)
O parâmetro Smáx mede proporcionalmente a variação do valor da aceleração de cálculo, já que este
último (ag) é obtido para um solo do tipo A (onde consequentemente Smáx=1,0).
Por fim, o coeficiente de correção de amortecimento η varia de acordo com o amortecimento viscoso
(ξ) dos materiais tratados, para correta definição do modelo (oscilador).
𝜂 = √10/(5 + 𝜉) ≥ 0,55 (5.5)
Este coeficiente toma valor unitário para 𝜉 = 5%, valor indicado para o betão armado. Para a
parcela da água ou outros líquidos o EC8-4 recomenda 𝜉 = 0,5%, a partir do qual se obtém 𝜂 = 1,348.
TIPO DE SOLO
O Anexo Nacional define os parâmetros Smáx, TB, TC e TD, dos dois tipos de sismo, para sete padrões
de terrenos distintos (A, B, C, D, E, S1, S2), contabilizando o modo desigual como se propagam as ondas
sísmicas de acordo com o terreno. Em geral, a ordem apresentada está de acordo com uma consecutiva
menor rigidez do solo, e maior velocidade das ondas sísmicas. Estes terrenos estão identificados com base
em:
Descrição do seu perfil estratigráfico
Velocidade média das ondas sísmicas secundárias (νs,30)
78
Resultados de ensaio SPT (NSPT)
Coeficiente de resistência não drenada (Cu)
O tipo de solo existente no local tem um grande efeito na definição do espectro de resposta.
COEFICIENTE DE COMPORTAMENTO
A capacidade de uma estrutura de resistir a ações sísmicas no estado limite último na fase não linear
permite o seu dimensionamento para resistir a forças menores àquelas associadas a uma resposta linear
elástica. Essa capacidade advém da dissipação de energia através da transferência de esforços para outras
zonas à medida que o material entra em cedência.
O EC8-4 sugere a análise dos tanques assumindo uma resposta elástica linear na estrutura e as
propostas de cálculo presentes no anexo A do regulamento seguem essa ideia, deixando todavia espaço para
a análise de fenómenos não lineares localizados, que não afetem a resposta global. Não existem métodos
globalmente aceites para realizar uma análise sísmica não linear em tanques [38].
De forma a evitar uma análise não elástica explicita no dimensionamento, a capacidade de dissipação
de energia da estrutura durante o evento sísmico é tida em conta através do coeficiente de comportamento
(q), cujo valor depende do material e tipo de estrutura, sendo inversamente proporcional à aceleração
sísmica de cálculo resultante.
Ao contrário de sistemas estruturais de edifícios dúcteis, por exemplo em pórtico, as estruturas
usuais de reservatórios enterrados ou ao nível do solo carecem de um mecanismo de dissipação de grandes
quantidades de energia sísmica de natureza não-linear. As razões provêm do facto de possuírem fraca
redundância estrutural, havendo uma transferência muito próxima de tensões com o solo, além da
inexistência de elementos não estruturais capazes de absorver energia. Nesses casos, O EC8-1 limita o valor
do coeficiente de comportamento em 𝑞 = 1,5 para análises elásticas, com algumas exceções aplicáveis a
tanques de estrutura metálica, onde, cumpridas certas regras de dimensionamento devidamente
especificadas no regulamento (relacionadas nomeadamente com a capacidade de movimento na zona das
fundações), poder-se-á aumentar o coeficiente de comportamento para até 𝑞 = 2,5.
Os reservatórios elevados exibem um comportamento dissipativo estrutural superior conferido pela
capacidade da estrutura de suporte para resistir às ações sísmicas na sua fase não linear. Esta deve ser
associada a uma classe de ductilidade média (DCM) ou alta (DCH) e de acordo com o material utilizado,
utilizando-se para isso as disposições do EC8-1, onde o coeficiente de comportamento poderá ser superior a
𝑞 = 1,5. Devido à sua limitada redundância, aos grandes esforços axiais desenvolvidos e a ausência de
elementos não-estruturais cooperantes na resistência e dissipação de energia, há lugar a certas limitações
específicas adicionais, pormenorizadas na EC8-4 de acordo com o tipo de suporte.
É importante salientar que, em qualquer um dos referidos casos, a resposta à ação sísmica
decorrente da aceleração da parcela convectiva (oscilante) do líquido armazenado deverá sempre ser
analisado tendo em conta uma resposta exclusivamente elástica. Esta obrigatoriedade está ligada ao facto
de se considerar os líquidos como incompressíveis e por consequente, sem qualquer capacidade de
dissipação de energia.
Conclui-se que, em estruturas de tanques térreos em betão armado, como analisado neste estudo,
é prudente efetuar-se uma análise às ações sísmicas fixando-se um coeficiente de comportamento não
superior a 1,5 para todas as componentes da aceleração. O líquido deverá ser analisado com base no espectro
de resposta elástico amortecido a 0,5%.
79
A AÇÃO SÍSMICA NO RESERVATÓRIO ESTUDADO
O reservatório estudado situa-se em Itália, um país onde a incidência sísmica é mais elevada que em
Portugal. Com o propósito de se utilizarem as normas específicas para o território nacional, designar-se-á,
para cada tipo de ação sísmica, a zona referente à localização mais desfavorável. Estas são, para o Tipo 1, a
região mais sudoeste do Continente, e para o Tipo 2, parte do arquipélago dos Açores.
Pode-se classificar o reservatório como sendo de classe II, pressupondo que este e o líquido
armazenado, óleo, posam um risco médio à vida e consequências económicas e sociais locais, resultantes do
colapso. O fator de importância ϒI assume-se então 1,0.
Apresentam-se no Quadro 5.2 as acelerações máximas de projeto que serão consideradas no estudo
do reservatório.
QUADRO 5.2 – ACELERAÇÕES MÁXIMAS DE REFERÊNCIA E DE PROJECTO
Ação sísmica agR (m/s2) ϒI ag (m/s2)
Tipo 1 – zona 1.1 2,5 1,0
2,5
Tipo 2 – zona 2.1 2,5 2,5
Tendo-se dimensionado anteriormente o reservatório segundo a hipótese da existência de um solo
bastante rígido (recorde-se, modelado com molas de Winkler possuindo um módulo de reação de ks=200.000
kN/m3), apenas será coerente admitir um terreno rochoso, de areias muito compactas ou de argilas duras
[24]. Para o sismo tipo 1, estas podem corresponder a formações tipo A ou B, segundo a descrição no EC8.
Foi selecionado o mais condicionante (B), cujas características se reproduzem no Quadro 5.3.
QUADRO 5.3 – CLASSIFICAÇÃO DO TERRENO SELECIONADO, SEGUNDO O EC8
Tipo de
Terreno Descrição do perfil estratigráfico
Parâmetros
νs,30 (m/s) NSPT (pancadas/
30 cm)
Cu (kPa)
B
Depósitos de areia muito compacta, de seixo (cascalho) ou
de argila muito rija, com uma espessura de, pelo menos,
várias dezenas de metros, caracterizados por um aumento
gradual das propriedades mecânicas com a profundidade
360 – 800 > 50 > 250
Como as características geológicas do terreno nos Açores diferem consideravelmente dos tipos de
terreno da referida classificação, o Anexo Nacional do EC8-1 apresentada cinco perfis representativos da
região e uma tabela de correspondência com a classificação já apresentada. Havendo solos equivalentes ao
tipo de terreno B, este será igualmente selecionado para o sismo tipo 2. Estão assim reunidos os dados
necessários para obter os parâmetros que definem a curva do espectro de resposta elástico.
QUADRO 5.4 – PARÂMETROS DEFINIDORES DO ESPECTRO DE RESPOSTA ELÁSTICO
Sismo Tipo de
terreno Smáx TB (s) TC (s) TD (s)
Tipo 1 B 1,35 0,1 0,6 2,0
Tipo 2 B 1,35 0,1 0,25 2,0
80
Por fim, tem-se:
𝑆 = 1,35− (1,35− 1) 3⁄ × (2,5 − 1) = 1,175 (5.6)
Da análise ao Quadro 5.4 é possível perceber que os espectros de resposta elásticos de cada sismo
diferem apenas no comprimento do patamar de aceleração máxima, donde se conclui que o sismo Tipo 1
será mais condicionante por demonstrar um valor de Tc superior.
Através da aplicação das equações (5.2) e (5.3), são representados graficamente na Figura 5.4 os
espectros de resposta de cálculo da estrutura (𝑞 = 1,5), e elástico da componente convectiva do líquido (em
que 𝜉 = 0,5%) . A forma como serão utilizadas estas duas parcelas será abordada seguidamente. Para
períodos superiores a 4 segundos considerar-se-á, conservativamente, que a aceleração espectral é igual a
𝑆𝑑(𝑇 = 4𝑠).
FIGURA 5.4 – ESPECTRO DE RESPOSTA DA ESTRUTURA E DO LÍQUIDO PARA O SISMO TIPO 1
5.3. ANÁLISE DA RESPOSTA DINÂMICA DE TANQUES CILÍNDRICOS TÉRREOS
INTRODUÇÃO
A resposta dinâmica de tanques cilíndricos a ações sísmicas é um problema de elevada complexidade
envolvendo a interação entre o movimento do líquido armazenado e as deformações da estrutura e do
próprio solo. A determinação rigorosa das forças hidrodinâmicas resultantes requer uma modelação
apropriada e uma análise analítica cuja resolução é bastante exaustiva. Por isso, vários modelos mecânicos
simplificados foram propostos de forma a tornar a avaliação dos esforços gerados mais eficiente, através de
forças estáticas equivalentes. Estes assumem normalmente que o líquido é incompressível, não viscoso, e o
movimento associado às vibrações do líquido processa-se em regime laminar [39], sendo irrotacional e
satisfazendo as equações de Laplace.
Apesar da generalidade dos modelos desenvolverem expressões para descrever a distribuição das
forças estáticas equivalentes ao longo das paredes do reservatório, normalmente apresentam as pressões
hidrodinâmicas em termos de forças resultantes, 𝑄, e as alturas das respetivas linhas de ação ℎ para cálculo
do momento fletor derrubador 𝑀. Como, nos tanques, devido à ação sísmica, a zona da base das paredes é
a mais esforçada, torna-se desta forma célere a avaliação da força de corte nessa zona. Apresentam ainda
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Sd (m/s2)
T (s)Estrutura Líquido
81
uma altura equivalente, ℎ’, que tem adicionalmente em conta as pressões na laje de fundo, para o cálculo do
momento derrubador do tanque 𝑀′, e da resistência necessária das ancoragens – Figura 5.5.
As ancoragens são apicadas sobretudo nos reservatórios metálicos que, devido ao seu menor peso
estrutural e ausência de ligação imediata às fundações, são mais suscetíveis aos movimentos de corpo rígido
devido aos efeitos sísmicos, podendo consistir, por exemplo, em parafusos efetuando a ligação entre o
tanque e a fundação de betão.
FIGURA 5.5 – PRESSÕES HIDRODINÂMICAS NO TANQUE DURANTE A ACÇÃO SÍSMICA [45]
DISCUSSÃO DOS MODELOS DE CÁLCULO
Após estudos iniciais acerca da influência do líquido no comportamento dinâmico de tanques por
Jacobsen (1949), os primeiros modelos simplificados de cálculo para tanques circulares e retangulares foram
desenvolvidos por Housner (1957), que os considera ancorados na sua base e cujas paredes são rígidas.
Segundo este modelo, se um tanque é sujeito a uma aceleração horizontal do solo, o líquido com superfície
livre produzirá pressões nas paredes que podem ser divididas em duas parcelas [40]:
1) Componente impulsiva – O movimento das paredes do tanque faz com que uma fração do
líquido seja forçado a movimentar-se solidariamente com a estrutura. Sendo considerado
infinitamente rígido, o conjunto sofre a mesma aceleração que o terreno.
2) Componente convectiva – O movimento do tanque excita o líquido, gerando-se ondas à
superfície cujo movimento é independente das paredes do tanque. Esta parcela exibe modos de
vibração próprios associados ao líquido, cujos modos mais simples (em termos de configuração)
são caracterízados por períodos de valor elevados, dos quais só o primeiro é considerado.
As parcelas impulsiva e convectiva produzem, respetivamente, forças resultantes globalmente
equivalente a uma massa mi ligada rigidamente ao reservatório a uma altura hi e a uma massa mc ligada ao
reservatório por molas a uma altura hc (Figura 5.6).
Assim, estamos perante um modelo representado por sistemas de um grau de liberdade. As forças
exercidas (Qi e Qc) têm carácter de forças de inércia, ou seja, são produtos de uma massa por uma aceleração.
No caso de se ter um tanque coberto totalmente cheio, toda a massa líquida seria impulsiva.
82
FIGURA 5.6 – MODELO MECÂNICO DE HOUSNER [40]
O método de Housner não contabiliza efeitos dos modos de vibração vertical e ainda hoje é utilizado
e serviu de base para trabalhos subsequentes.
Durante as décadas de 1960 e 1970 ocorreram grandes sismos, nomeadamente no Alaska em 1964,
onde se verificaram a ocorrência de danos severos em diversos reservatórios, o que levou a que este modelo
fosse posto em causa. Veletsos e Yang (1977) reformularam os modelos existentes com a introdução de uma
terceira componente que tem em conta a deformabilidade das paredes à flexão. Contabiliza-se então a
interação dinâmica entre o líquido e a estrutura. Esta traduz-se pela introdução da condição de que a
velocidade radial do líquido ao longo da parede é igual à velocidade da deformação da parede.
FIGURA 5.7 – RESPOSTA DE UM TANQUE À ACÇÃO SÍSMICA [42]
Devido à sua flexibilidade, o movimento do tanque deixa de ser igual ao do terreno e passa-se a ter
a aceleração correspondente à frequência natural fundamental da interação liquido impulsivo-estrutura, que
pode ser várias vezes superiores à máxima aceleração do tereno. As pressões geradas pelas forças de inércia
(massa vezes aceleração) da parcela impulsiva do líquido atuando conjuntamente com a estrutura podem
desta forma ser dominantes, em especial quando se trata de reservatórios metálicos, cuja deformabilidade é
superior aos reservatórios de betão armado.
Como as frequências fundamentais das parcelas impulsivas e convectivas diferem grandemente,
existe uma fraca ligação entre as mesmas. Podem consequentemente ser avaliadas separadamente ou seja,
a parcela convectiva, devido ao seu longo período, não é afetada pela flexibilidade do tanque e pode ser
calculada com recurso a um modelo de tanque rígido.
Wozniak & Mitchell [43] generalizaram o modelo revisto de Housner (1963) para tanques baixos e
altos tendo em consideração as descobertas de Veletsos, trabalho que serviu de base para o regulamento
Norte-Americano ACI350.3 [51], que abrange os reservatórios de betão armado, e o API 650 (American
Petroleum Institute), que se foca no dimensionamento de tanques metálicos. De forma a ter em conta a
83
flexibilidade, propuseram substituir a aceleração do terreno por um valor espectral da aceleração amplificada
através de um coeficiente associado à frequência natural do sistema tanque-fluido. Para tal, são fornecidas
expressões de cálculo aproximado do período. Mantêm-se assim as duas componentes, e o efeito da
interação fluido-estrutura não é contabilizada diretamente. Isto é possível porque as componentes flexível e
impulsiva possuem distribuições de pressão na parede semelhantes.
O procedimento presente no EC8-4 para tanques circulares rígidos é baseado no referido modelo
mecânico de Veletsos & Yang (1977) enquanto a componente de interação entre a estrutura e o fluido é
calculada com base nos trabalhos subsequentes de Haroun & Housner (1981) e Fischer [48].
O EC8-4 segue uma abordagem diferente aos regulamentos Norte-Americanos ao assumir que as
componentes impulsivas (sob aceleração do solo) e convectivas mantêm-se inalteráveis entre o modelo rígido
e flexível. Adiciona ao cálculo uma terceira componente “flexível” de massa equivalente mf, definida
separadamente (Figura 5.8), sujeita à aceleração amplificada. Esta divisão é possível porque, conforme já
referido, a ligação dinâmica entre as componentes rígido-impulsiva e flexível-impulsiva e a componente
convectiva é fraca, já que que os valores dos seus períodos fundamentais diferem substancialmente.
FIGURA 5.8 – MODELO MECÂNICO INCLUÍDO NO EC8 [41]
Por outro lado, o EC8 admite um procedimento de cálculo alternativo bastante mais simples,
aplicável a tanques cilíndricos flexíveis ancorados. Este não faz a separação da componente da interação
fluido-estrutura e traz modificações que o tornam de aplicação bastante simples.
Proceder-se-á seguidamente à apresentação das expressões de cálculo segundo o EC8-4 [37],
incluindo o método simplificado, para posterior aplicação ao reservatório em estudo e análise de resultados.
ANÁLISE SÍSMICA DE TANQUES TÉRREOS ANCORADOS SEGUNDO O
EUROCÓDIGO 8
O anexo A do EC8-4 transmite procedimentos para a análise sísmica de tanques térreos cilíndricos e
retangulares, em adição a tanques elevados. Faz referência ainda a algumas verificações de segurança para
tanques não ancorados.
No que se refere aos tanques cilíndricos térreos ancorados, o EC8-4 aborda as componentes das
pressões resultantes das ações sísmicas horizontais que aqui se apresentarão: impulsiva, convectiva e flexível.
84
Nestes tanques, a ligação entre a laje de fundo e a parede é fixada a uma base que poderá, por exemplo, ser
uma fundação em anel de betão armado. Neste trabalho, considerar-se-á esta situação na análise dinâmica
do tanque.
As restantes ações presentes não serão abordadas neste trabalho – pressões resultantes das ações
sísmicas verticais – que têm pouca expressão e não produzem momento derrubador – e o efeito da interação
solo-estrutura. Este último não deve, contudo, ser ignorado no caso de se ter solos muito deformáveis, pois
verificam-se translações na base do reservatório, aumentando o período fundamental do sistema e o seu
amortecimento, resultando em valores de pico inferiores na resposta estrutural [38].
O raio do tanque e a altura livre da água são indicados por R e H, respetivamente (Figura 5.9). Serão
usadas coordenadas cilíndricas (r, z, θ) com origem no centro do fundo do tanque, além dos parâmetros
adimensionais ξ = r/R (raio relativo) e ς = z/H (cota altimétrica relativa). Os esforços são calculados com base
na esbelteza do tanque, expressa no rácio ϒ = H/R.
FIGURA 5.9 – SISTEMA DE COORDENADAS UTILIZADO
5.3.3.1. TANQUE RÍGIDO – COMPONENTE IMPULSIVA
A variação espácio-temporal da pressão impulsiva no tanque rígido é dada pela expressão:
𝑝𝑖(𝜉, 𝜍, 𝜃, 𝑡) = 𝐶𝑖(𝜉, 𝜍) ∙ 𝜌 ∙ 𝐻 ∙ cos (𝜃) ∙ 𝑎𝑔(𝑡) (5.7)
em que 𝜌 é a densidade do líquido e a distribuição em altura é dado em termos da expansão em série:
𝐶𝑖(𝜉, 𝜍) = 2 ∙∑(−1)𝑛
𝐼′1(𝜈𝑛/ϒ ) ∙ 𝜈𝑛2 ∙ cos (𝜈𝑛/ϒ) ∙ 𝐼1(
𝜈𝑛ϒ∙ 𝜉)
∞
𝑛=0
(5.8)
e:
𝜈𝑛 =2𝑛 + 1
2∙ 𝜋 (5.9)
Os parâmetros I1() e I’1() na equação (5.8) indicam a função modificada de Bessel de primeira ordem
e a sua derivada.
85
A componente ag(t) corresponde à aceleração do terreno livre uma vez que se considera o tanque
como rígido. De facto, devido à ausência de qualquer flexibilidade (rigidez infinita), não há lugar a
amplificação do movimento do solo por parte do oscilador.
A função Ci() devolve a distribuição em altura da pressão e, em termos circunferenciais, a pressão
varia de acordo com a função cos(θ). No cálculo da pressão máxima na parede na direção do sismo, a
aceleração é expressa por 𝑎𝑔, o raio relativo toma o valor de ξ =1 e cos(θ) = 1. Suprime-se assim três variáveis,
simplificando a resolução das equações. Estas considerações estendem-se às restantes componentes.
Tratando-se de forças de inércias, a força de corte resultante na base da parede é dada por:
𝑄𝑖(𝑡) = 𝑚𝑖 ∙ 𝑎𝑔(𝑡) (5.10)
A parcela do líquido que corresponde à massa impulsiva é calculada por:
𝑚𝑖
𝑚= 2 ∙ ϒ ∙ ∑
𝐼1(𝜈𝑛/𝜈)
𝜈𝑛3 ∙ 𝐼′1(𝜈𝑛/𝜈)
∞
𝑛=0
(5.11)
Conforme demonstra a Figura 5.10 a), quanto mais esbelto é o tanque, maior será a pressão
impulsiva nas paredes, o que está ligada ao aumento da massa de líquido que vibra com a estrutura – Figura
5.10 b) – uma vez que a parcela da massa convectiva concentra-se na parte superior do tanque.
a) b)
FIGURA 5.10 – A) VARIAÇÃO DA PRESSÃO IMPULSIVA (NORMALIZADA) EM ALTURA; B) VARIAÇÃO DA PARCELA DA MASSA
IMPULSIVA DO LÍQUIDO COM A ESBELTEZA DO TANQUE [37]
Sabendo-se a força de corte resultante – equação (5.10) – multiplicando-a pela altura de aplicação,
obtém-se o momento derrubador na base da parede:
𝑀𝑖(𝑡) = 𝑚𝑖 ∙ ℎ𝑖 ∙ 𝑎𝑔(𝑡) (5.12)
A altura de aplicação, por sua vez, é obtida através de:
ς = z/H
pi / (ρ·R·ag)
86
ℎ𝑖𝐻=
∑(−1)𝑛 ∙ 𝐼1(𝜈𝑛/𝛾)𝜈𝑛4 ∙ 𝐼′1(𝜈𝑛/𝛾)
∞𝑛=0 ∙ (𝜈𝑛 ∙ (−1)
𝑛 − 1)
∑𝐼1(𝜈𝑛/𝛾)
𝜈𝑛3 ∙ 𝐼′1(𝜈𝑛/𝛾)
∞𝑛=0
(5.13)
No caso de se pretender obter o momento derrubador imediatamente abaixo do fundo do tanque,
é necessário contabilizar as pressões na laje de fundo. A altura hi em (5.12) é substituída pela altura
equivalente h’i:
ℎ′𝑖𝐻=
12+ 2 ∙ 𝛾 ∙ ∑
𝜈𝑛 + 2 ∙ (−1)𝑛 ∙ 𝐼1(𝜈𝑛/𝛾)
𝜈𝑛4 ∙ 𝐼′1(𝜈𝑛/𝛾)
∞𝑛=0
2 ∙ 𝛾 ∙ ∑𝐼1(𝜈𝑛/𝛾)
𝜈𝑛3 ∙ 𝐼′1(𝜈𝑛/𝛾)
∞𝑛=0
(5.14)
O valor de hi varia pouco com a relação H/R, cifrando-se em valores perto de metade da altura do
tanque. Naturalmente, o valor de h’i é sempre superior a hi, e em tanques pouco esbeltos toma valores
bastante superiores a H devido à contribuição predominante das pressões na laje de fundo, tendendo para o
valor de hi com o aumento da esbelteza.
5.3.3.2. TANQUE RÍGIDO – COMPONENTE CONVECTIVA
A variação espácio-temporal da pressão convectiva no tanque rígido é dada pela expressão:
𝜌𝑐(𝜉, 𝜍, 𝜃, 𝑡) = 𝜌 ∙∑𝜓𝑛 ∙ cosh (𝜆𝑛 ∙ ϒ ∙ 𝜍) ∙ 𝐽1(𝜆𝑛 ∙ 𝜉) ∙ cos (𝜃) ∙ 𝐴𝑐𝑛(𝑡)
∞
𝑛=1
(5.15)
em que:
𝜓𝑛 =2 ∙ 𝑅
(𝜆𝑛2 − 1) ∙ 𝐽1(𝜆𝑛) ∙ cosh (𝜆𝑛 ∙ ϒ)
(5.16)
Onde J1() corresponde à função de Bessel da primeira ordem e, consoante o modo analisado:
𝜆1 = 1,841 ; 𝜆2 = 5,331 ; 𝜆3 = 8,536 (5.17)
Novamente, a pressão varia circunferencialmente segundo a função cos(θ). O líquido possui infinitos
modos de vibração distintos distinguidos nas expressões pelo índice n. Os primeiros quatro modos
encontram-se exemplificados na Figura 5.11.
FIGURA 5.11 – MODOS DE VIBRAÇÃO DA ÁGUA NUM RESERVATÓRIO [39]
87
É importante referir que, segundo o EC8, apenas o primeiro modo requer consideração porque
mobiliza a maior parte da massa oscilante (cerca de 85% a 98%), sendo assim possível simplificar as
expressões largando-se os índices n e correspondentes somatórios.
Acn(t) expressa a aceleração no tempo de um oscilador de um grau de liberdade tendo a seguinte
frequência circular e período:
𝜔𝑐𝑛 = √𝑔 ∙𝜆𝑛𝑅∙ tanh(𝜆𝑛 ∙ ϒ)
𝑇𝑐𝑛 = 2 ∙ 𝜋/√𝑔 ∙𝜆𝑛𝑅∙ tanh (𝜆𝑛 ∙ ϒ)
(5.18)
(5.19)
Os períodos associados ao líquido têm valores elevados, fixando-se os modos fundamentais
normalmente na faixa entre os 4 e os 10 segundos. Para cada modo, a partir do período, deve ser obtida a
aceleração do líquido no espectro de resposta elástico adequado.
A força de corte na base das paredes é obtida por:
𝑄𝑐(𝑡) = ∑𝑚𝑐𝑛 ∙ 𝐴𝑐𝑛(𝑡)
∞
𝑛=1
(5.20)
A parcela da massa convectiva do modo n é dada por:
𝑚𝑐𝑛
𝑚=2 ∙ tanh (𝜆𝑛 ∙ ϒ)
ϒ ∙ 𝜆𝑛 ∙ (𝜆𝑛2 − 1)
(5.21)
A pressão convectiva é máxima no topo do tanque e decresce para valores que depende da esbelteza
do tanque. O efeito da oscilação nos tanques menos esbeltos é mais pronunciado, traduzindo-se numa
componente de massa de líquido convectivo superior – Figura 5.12 b) – e maiores pressões nas paredes na
parte inferior do reservatório – Figura 5.12 a). O segundo modo de vibração tem já reduzida expressão.
a) b)
FIGURA 5.12 – A) VARIAÇÃO DA PRESSÃO CONVECTIVA (NORMALIZADA) EM ALTURA; B) VARIAÇÃO DA PARCELA DA MASSA
CONVECTIVA DO LÍQUIDO COM A ESBELTEZA DO TANQUE [37]
88
Tal como a componente rígida, o momento fletor na base da parede devido à componente
convectiva é obtido através do produto da força convectiva total, equação (5.20), pela sua altura de aplicação:
𝑀𝑐(𝑡) =∑𝑄𝑐𝑛(𝑡) ∙ ℎ𝑐𝑛
∞
𝑛=1
(5.22)
A altura é calculada por:
ℎ𝑐𝑛𝐻= 1 +
1 − cosh (𝜆𝑛 ∙ ϒ)
𝜆𝑛 ∙ ϒ ∙ sinh (𝜆𝑛 ∙ ϒ)
(5.23)
O momento fletor derrubante, imediatamente abaixo do tanque (tendo em conta as pressões na laje
de fundo), é obtido substituindo-se em (5.22) a altura hcn pela altura equivalente h’cn:
ℎ′𝑐𝑛𝐻
= 1 +2 − cosh (𝜆𝑛 ∙ ϒ)
𝜆𝑛 ∙ ϒ ∙ sinh (𝜆𝑛 ∙ ϒ) (5.24)
À semelhança do que foi descrito na componente rígida, para o primeiro modo, a altura hc mantém-
se relativamente constante independentemente da esbelteza do tanque, entre a meia altura e a altura total
do tanque, enquanto a altura equivalente h’c varia rapidamente de valores bem acima de H para valores
próximos de hc à medida que se aumenta a esbelteza H/R.
5.3.3.3. TANQUE FLEXÍVEL – COMPONENTE FLEXÍVEL
A pressão resultante da vibração comum do líquido e da laje elástica nas paredes do tanque em
relação à sua base tem frequentemente uma contribuição predominante na pressão dinâmica total porque
varia de acordo com a aceleração amplificada do sistema. A sua distribuição pode ser obtida através da soma
das contribuições dos vários modos de vibração do sistema tanque-líquido, dado pela expressão:
𝑝𝑓(𝜍, 𝜃, 𝑡) = 𝜌 ∙ 𝐻 ∙ 𝜓 ∙ cos (𝜃) ∙ ∑ 𝑑𝑛 ∙ cos(𝜈𝑛 ∙ 𝜍) ∙ 𝐴𝑓𝑛(𝑡)
∞
𝑛=0
(5.25)
onde:
𝜓 =∫ 𝑓(𝜍) ∙ [
𝜌𝑠𝜌 ∙
𝑠(𝜍)𝐻 + ∑ 𝑏𝑛
′ ∙ cos (𝜈𝑛 ∙ 𝜍)∞𝑛=0 ] 𝑑𝜍
1
0
∫ 𝑓(𝜍) ∙ [𝜌𝑠𝜌 ∙
𝑠(𝜍)𝐻 ∙ 𝑓(𝜍) + ∑ 𝑑𝑛 ∙ cos (𝜈𝑛 ∙ 𝜍)
∞𝑛=0 ] 𝑑𝜍
1
0
(5.26)
𝑏𝑛′ =
2 ∙ (−1)𝑛 ∙ 𝐼1(𝜈𝑛/ϒ)
𝜈𝑛2 ∙ 𝐼′1(𝜈𝑛/ϒ)
(5.27)
𝑑𝑛 =2 ∙ ∫ 𝑓(𝜍) ∙ cos(𝜈𝑛 ∙ 𝜍) 𝑑𝜍 ∙ 𝐼1(𝜈𝑛/ϒ)
1
0
𝜈𝑛 ∙ 𝐼′1(𝜈𝑛/ϒ) (5.28)
Os significados da generalidade das variáveis utilizadas foram expostos anteriormente em 5.3.3.1,
5.3.3.2 e 5.3.3.4.
89
A distribuição da pressão flexível depende das configurações deformadas de modos de vibração
específicos do sistema tanque-líquido, em que cada secção radial se deforma como se uma consola fosse,
que mobilizam a maior parte da massa, e para os quais as expressões (5.26) a (5.28) foram deduzidas. De
facto, só são relevantes os modos que apresentam deformadas com uma única onda circunferencial, isto é,
representadas na parede do tanque por:
𝜙(𝜍, 𝜃) = 𝑓(𝜍) ∙ cos (𝜃) (5.29)
A deformada de maior amplitude da secção circunferencial da parede é então descrita em altura
pela função 𝑓(𝜍). Desta forma, o termo “primeiro modo”, neste caso, não corresponderá ao primeiro modo
de vibração real, isto é, ao modo de menor frequência do sistema tanque-líquido, mas sim ao primeiro modo
entre aqueles concordantes com a expressão (5.29). Este tema é desenvolvido com maior detalhe em 5.5.1.
A deformada do primeiro modo do tanque não é geralmente conhecida à partida porque depende
da referida interação líquido-estrutura. Para a determinação de 𝑓(𝜍) , o EC8-4 apresenta um método
interativo sugerido por Fischer [48] que consiste no conceito de massa adicionada à parede do tanque,
resultando numa densidade efetiva variável em altura calculada por:
𝜌𝑖(𝜍) =𝑝𝑓𝑖
2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑠(𝜍) ∙ 𝑓𝑖(𝜍)+ 𝜌𝑠 (5.30)
Com base nesta parede “seca” modificada, obtém-se a frequência natural e deformada modal
𝑓(𝜍)𝑖+1 com recurso a ferramentas de cálculo estrutural como os programas de elementos finitos nos quais
se inclui o SAP2000. Esta função atualizada poderá ser usada na próxima iteração segundo (5.30) para o
cálculo de uma nova densidade efetiva. A iteração continuará até se chegar à convergência, na qual se cumpre
um critério de paragem que pode ser baseada, por exemplo, na diferença máxima entre as densidades
efetivas 𝜌𝑖 e 𝜌𝑖+1.
FIGURA 5.13 – PROCESSO ITERATIVO PARA CÁLCULO DA PRESSÃO FLEXÍVEL
A expressão (5.30) tende para infinito junto à base da parede devido à existência de uma
singularidade em 𝜍 = 0, sendo necessário adoptar um método de sub-relaxação para limitar os valores de 𝜌
nesta zona. Na primeira iteração, pode-se encontrar uma deformada 𝑓1(𝜍) a partir de uma análise no
90
programa de cálculo por elementos finitos (como será efetuado neste trabalho), ou, na falta de dados,
selecionar uma função proporcional à altura relativa 𝜍. Fischer [48] sugere a função simplificada:
𝑓(𝜍) = sin (0,5 ∙ π ∙ ς) (5.31)
O valor das pressões é diretamente proporcional à aceleração de resposta 𝐴𝑓𝑛(𝑡) de um oscilador
de um grau de liberdade em relação à base, tendo um período e amortecimento do modo n. Isto significa que
apenas interessa a aceleração relativa das paredes em relação ao movimento rígido do tanque, que é solidário
com o solo. Esta pode ser obtida a partir do espectro de resposta relativo apropriado. Normalmente, apenas
o primeiro modo necessita de ser considerado porque os restantes têm pequenas participações modais.
FIGURA 5.14 – DISTRIBUIÇÃO DA PRESSÃO FLEXÍVEL NORMALIZADA DE ACORDO COM A ESBELTEZA DO TANQUE [48]
A pressão flexível máxima, naturalmente, é proporcional à esbelteza do reservatório, segundo se
observa na (Figura 5.14), onde estão representadas curvas correspondentes à deformada descrita pela
equação (5.31) .
O período fundamental do sistema tanque-fluido é dado pela expressão aproximada, deduzida
originalmente para tanques metálicos, onde se toma a espessura da parede a um terço da altura:
𝑇𝑓 = 2 ∙ 𝑅 ∙ (0,157 ∙ ϒ
2 + ϒ+ 1,49)√𝜌 ∙ 𝐻
𝐸 ∙ 𝑠(𝜍 = 1/3) (5.32)
A parcela da massa de líquido que participa no movimento é calculada por:
𝑚𝑓
𝑚= 𝜓 ∙ 𝛾 ∙∑
(−1)𝑛
𝜈𝑛
∞
𝑛=0
∙ 𝑑𝑛 (5.33)
A partir da massa é possível calcular a força de corte basal:
𝑄𝑓(𝑡) = 𝑚𝑓 ∙ 𝐴𝑓(𝑡) (5.34)
A multiplicação da força total pela altura equivalente de aplicação fornece o momento fletor na
parede imediatamente acima da base do tanque:
91
𝑀𝑓 = 𝑚𝑓 ∙ 𝐴𝑓(𝑡) ∙ ℎ𝑓 (5.35)
em que:
ℎ𝑓𝐻=
𝛾 ∙ ∑ 𝑑𝑛 ∙(−1)𝑛 ∙ 𝜈𝑛 − 2
𝜈𝑛2
∞𝑛=0 + ∑
𝑑𝑛 ∙ 𝐼′1(𝜈𝑛/𝛾)𝜈𝑛
∞𝑛=0
𝛾 ∙ ∑ 𝑑𝑛 ∙(−1)𝑛
𝜈𝑛∞𝑛=0
(5.36)
5.3.3.4. FORÇAS DE INÉRCIA DA ESTRUTURA (TANQUE RÍGIDO)
A ação sísmica induz acelerações na própria massa da estrutura, gerando forças de inércia. Em
tanques metálicos, devido à sua pequena massa, estas forças serão diminutas quando comparadas com as
forças hidrodinâmicas. O EC8-4 estipula que neste caso podem ser desprezadas, o mesmo já não acontecendo
no caso de tanques em betão armado.
As forças de inércia são paralelas à ação sísmica horizontal e induzem a seguinte pressão normal à
parede:
𝑝𝑤 = 𝜌𝑠 ∙ 𝑠(𝜍) ∙ cos (𝜃) ∙ 𝑎𝑔(𝑡) (5.37)
em que s(ς) representa a espessura da parede ao longo da altura da parede.
Esta ação deve ser diretamente adicionada à pressão do líquido impulsivo, uma vez que ambas estas
componentes experimentam um movimento conjunto, afetadas, no tempo, pela mesma aceleração, de corpo
rígido da estrutura.
A força de corte basal devido às forças de inércia, não só das paredes (Qw) mas também da cobertura
(Qr), caso exista, pode ser deduzida multiplicando-se as suas massas totais pela aceleração do solo.
𝑄𝑤 = 𝑚𝑤 ∙ 𝑎𝑔(𝑡)
𝑄𝑟 = 𝑚𝑟 ∙ 𝑎𝑔(𝑡)
(5.38)
(5.39)
Por fim, a sua contribuição para o momento derrubador é facilmente calculado pelo produto da
altura, em relação ao solo, dos seus centros de massa, e a força de corte basal.
𝑀𝑤 = 𝑄𝑤 ∙ ℎ𝑤
𝑀𝑟 = 𝑄𝑟 ∙ ℎ𝑟
(5.40)
(5.41)
5.3.3.5. ALTURA DA ONDA
A altura da onda devido à oscilação do líquido provém maioritariamente do primeiro modo de
vibração do líquido. O EC8 sugere a seguinte expressão para o seu cálculo:
𝑑𝑚𝑎𝑥 = 0,84 ∙ 𝑅 ∙ 𝑆𝑒(𝑇𝑐1)/𝑔 (5.42)
em que Se(Tc1) é aceleração espectral para o período fundamental do líquido e g a aceleração gravítica.
92
5.3.3.6. COMBINAÇÃO DAS COMPONENTES HORIZONTAIS DE PRESSÃO DINÂMICA
Nos tanques flexíveis, a pressão dinâmica total ao longo do tempo ativada por uma excitação sísmica
horizontal é igual à soma das componentes temporais de pressão impulsiva (definida em 5.3.3.1), convectiva
(5.3.3.2) e flexível (5.3.3.3), segundo a equação (5.43).
𝑄(𝑡) = 𝑚𝑖 ∙ 𝐴𝑔(𝑡) +∑𝑚𝑐𝑛
∞
𝑛=1
∙ 𝐴𝑐𝑛(𝑡) +𝑚𝑓 ∙ 𝐴𝑓(𝑡) (5.43)
De acordo com o que foi analisado nas secções dedicadas a cada componente, os máximos
individuais dos termos na equação (5.43) são conhecidos através das respetivas acelerações de pico que
podem ser obtidas com base nos espectros de resposta das acelerações absolutas e relativas. A partir destes
é ainda possível obter as respetivas distribuições de pressão derivadas de cada componente, distribuídas
radialmente de acordo com a função cos(𝜃).
Surge, contudo, o problema de como se poderá combinar os máximos individuais de cada termo,
obtidos através dos espectros de resposta, para estimar a máxima pressão dinâmica total. Apesar de ser
unânime entre a generalidade dos estudos consultados e o EC8 de que a componente convectiva da massa
líquida pode ser considerada independente das restantes devido ao seu longo período de oscilação, não
existe uma forma precisa de combinar o pico de 𝐴𝑔(𝑡) com o de 𝐴𝑓(𝑡).
De facto, ambos ocorrem a períodos relativamente baixos, exibindo alguma interdependência, e
assim uma combinação pela raiz quadrada da soma dos quadrados (RQSQ) revela-se inadequada em certas
situações. Por outro lado, a soma dos máximos individuais poderá levar a resultados demasiado
conservativos. Outra dificuldade prende-se ainda com a necessidade de deduzir um espectro de resposta de
acelerações relativas para 𝐴𝑓(𝑡), porque esta aceleração depende do movimento flexível das paredes do
tanque em relação ao movimento de corpo rígido do mesmo, que por sua vez é igual ao movimento do solo.
De modo a ultrapassar os obstáculos referidos e tornar o cálculo mais simples várias abordagens
aproximadas têm sido apresentadas por diferentes autores.
O método de Veletsos e Yang tem sido amplamente usado, consistindo em assumir que toda a massa
de líquido impulsivo responde com a aceleração amplificada absoluta do sistema de tanque flexível, 𝐴𝑓𝑎(𝑡).
𝐴𝑓𝑎(𝑡) = 𝐴𝑔(𝑡) + 𝐴𝑓(𝑡) (5.44)
O máximo de 𝐴𝑓𝑎(𝑡) pode ser facilmente obtido através do espectro de resposta correspondente,
possuindo um período definido pela equação (5.32) e um amortecimento adequado ao sistema. A expressão
(5.43) é, de acordo com este método, substituída por:
𝑄(𝑡) = 𝑚𝑖 ∙ 𝐴𝑓𝑎(𝑡)+∑𝐴𝑐𝑛(𝑡)
∞
𝑛=1
(5.45)
Diferentes metodologias de cálculo tiveram como base este procedimento, em que se inclui o
regulamento Norte-Americano e o procedimento simplificado do EC8 (discutido na próxima secção deste
trabalho), onde se procede à soma algébrica dos máximos das duas parcelas definidas na equação (5.45).
Normalmente são apresentadas fatores de correção de forma a ter em conta fatores de participação de
massa no primeiro modo de vibração variáveis, que tendem a ser menores em tanques pouco esbeltos. Este
tipo de procedimento leva geralmente a resultados conservativos.
93
São apresentados no EC8 outras abordagens. Devido ao facto de, num certo intervalo de
frequências, as acelerações absolutas e relativas não diferirem de forma apreciável, a equação (5.43) pode
ser substituída pela seguinte:
𝑄(𝑡) = 𝑚𝑖 ∙ 𝐴𝑔(𝑡) +∑𝑚𝑐𝑛
∞
𝑛=1
∙ 𝐴𝑐𝑛(𝑡) +𝑚𝑓 ∙ 𝐴𝑓𝑎(𝑡) (5.46)
Substitui-se portanto a aceleração relativa, 𝐴𝑓(𝑡), pela aceleração absoluta, 𝐴𝑓𝑎(𝑡), cujo máximo é
facilmente encontrado.
No seu trabalho, Fischer [48] apresenta um exemplo prático para demonstrar a adequabilidade da
equação (5.46), considerando os registos sismográficos do sismo de Friuli de 1976 registados em Tolmezzo,
cujas acelerações do solo no tempo, 𝑎𝑔(𝑡), se reproduzem na Figura 5.15.
. FIGURA 5.15 – ACELERAÇÕES LIVRES DO SOLO DURANTE O SISMO DE FRIULI EM 1976 [48]
Com base num oscilador linear de um grau de liberdade, representando um tanque em aço típico
com uma frequência natural de 2,0 ℎ𝑧 (𝑇 = 0,5 𝑠) e amortecimento de 𝜉 = 2%, foram calculados para este
registo sísmico as acelerações absolutas, acelerações relativas, e deslocamentos relativos, apresentados na
Figura 5.16.
FIGURA 5.16 – RESPOSTA DE UM OSCILADOR DE UM GRAU DE LIBERDADE [48]
94
Por fim, é apresentado na Figura 5.17 o correspondente espectro de resposta com as máximas
acelerações absolutas 𝐴𝑓𝑎(𝑡) e relativas 𝐴𝑓(𝑡) da resposta para um frequência no intervalo entre os 0,3 e 20
hz. Conclui-se que para frequências naturais reduzidas, os valores espectrais de 𝐴𝑓(𝑡) aproximam-se da
aceleração do solo 𝑎𝑔(𝑡) , enquanto 𝐴𝑓𝑎(𝑡) anula-se. Por outro lado, para frequências naturais elevadas
sucede-se o contrário: 𝐴𝑓𝑎(𝑡) aproxima-se de 𝑎𝑔(𝑡) e 𝐴𝑓(𝑡) tende para zero. Na larga gama de frequências
intermediárias, onde tipicamente se inserem as frequências naturais dos tanques, verifica-se que de facto
𝐴𝑓𝑎(𝑡) é aproximadamente igual a 𝐴𝑓(𝑡), justificando a equação (5.46).
FIGURA 5.17 – ESPECTRO DE RESPOSTA DE VELOCIDADE ABSOLUTA E RELATIVA [48]
Ainda de acordo com Fischer [48] ou o EC8-4 [37] – que faz alusão ao trabalho de Scharf (1990) – nas
frequências intermediárias relevantes, a aceleração do solo livre 𝑎𝑔(𝑡) e a aceleração relativa devido à
vibração do sistema tanque-líquido 𝐴𝑓(𝑡) demonstram não estar em fase nem em fase contrária e os seus
máximos registam-se em alturas muito diferentes. Este efeito pode ser observado, por exemplo, pela
comparação entre a Figura 5.15 e a Figura 5.16.
Assim, torna-se adequada a combinação pela raiz quadrada da soma dos quadrados (RQSQ) destas
duas componentes [48]. A posterior combinação RQSQ da componente convectiva leva que da equação (5.46)
se obtenha a seguinte expressão para cálculo da máxima força de corte basal, calculada a partir da aceleração
de pico de cada componente:
𝑄 = √(𝑚𝑖 ∙ 𝑎𝑔)2 + (∑𝑚𝑐𝑛
∞
𝑛=1
∙ 𝑎𝑐𝑛)2 + (𝑚𝑓 ∙ 𝑎𝑓𝑎)2 (5.47)
MÉTODO SIMPLIFICADO PARA TANQUES CILÍNDRICOS ANCORADOS (EC8)
O procedimento simplificado do EC8 foi desenvolvido para tanques térreos totalmente ancorados
sobre fundações rígidas e baseia-se no conceito de sistemas generalizados de um grau de liberdade
representando os modos impulsivo-flexivel e convectivos do sistema tanque-líquido. Não apresenta a
distribuição de pressões mas sim apenas as forças resultantes. Apesar de representar o sistema pelos
95
primeiros modos de ambas as parcelas, tanto as massas como as alturas equivalentes foram ajustadas de
forma a ter em conta o efeito instabilizante dos modos superiores.
Estudos comparativas entre este procedimento e uma análise modal detalhada efetuados a três
tanques metálicos usando a mesma resposta espectral demonstraram que o primeiro ofereceu valores 2 a
10% superiores para o corte basal e o momento fletor, enquanto o valor da altura da onda situou-se 12 a 18%
superior [38]. Este método pode portanto ser considerado conservativo mas fiável.
Os períodos naturais das respostas impulsiva e convectiva, em segundos, são calculados por:
𝑇𝑖𝑚𝑝 = 𝐶𝑖 ∙
√𝜌 ∙ 𝐻
√𝑠/𝑅 ∙ √𝐸
𝑇𝑐𝑜𝑛 = 𝐶𝐶 ∙ √𝑅
(5.48)
(5.49)
em que:
s – espessura uniforme equivalente da parede do tanque (média ponderada ao longo da altura da
parede, proporcionalmente aos esforços em cada ponto)
E – módulo de elasticidade do material do material do tanque
Ρ – densidade do líquido
Verifica-se que o período de vibração do líquido não depende das características estruturais das
paredes, mas sim, apenas da esbelteza e raio do tanque. Os coeficientes Ci e CC são apresentados no Quadro
5.5, juntamente com as massas relativas e alturas de aplicação da pressão resultante de ambas as parcelas.
Através deste, podem ser retiradas conclusões semelhantes ao que foi descrito no ponto anterior, 5.3.3,
acerca da relevância de cada componente consoante a esbelteza do tanque.
QUADRO 5.5 – PARÂMETROS DE CÁLCULO DO PROCEDIMENTO SIMPLIFICADO DE ACORDO COM A ESBELTEZA DO TANQUE
H/R Ci Cc
(s/m1/2) mi/m mc/m hi/H hc/H h’i/H h’c/H
0,3 9,28 2,09 0,176 0,824 0,400 0,521 2,240 3,414
0,5 7,74 1,74 0,300 0,700 0,400 0,543 1,460 1,517
0,7 6,97 1,60 0,414 0,586 0,401 0,571 1,009 1,011
1,0 6,36 1,52 0,548 0,452 0,419 0,616 0,721 0,785
1,5 6,06 1,48 0,686 0,314 0,439 0,690 0,555 0,734
2,0 6,21 1,48 0,763 0,237 0,448 0,751 0,500 0,764
2,5 6,56 1,48 0,810 0,190 0,452 0,794 0,480 0,796
3,0 7,03 1,48 0,842 0,158 0,453 0,825 0,472 0,825
Fazendo-se uso dos valores apresentados, calcula-se a força basal total, onde se inclui, na parcela
impulsiva, a aceleração derivada da massa da estrutura:
𝑄 = (𝑚𝑖 +𝑚𝑤 +𝑚𝑟) ∙ 𝑆𝑒(𝑇𝑖𝑚𝑝) +𝑚𝑐 ∙ 𝑆𝑒(𝑇𝑐𝑜𝑛) (5.50)
em que,
mw – massa das paredes do tanque
mr – massa do teto do tanque
O momento fletor imediatamente acima da laje de fundo é dado por:
96
𝑀 = (𝑚𝑖 ∙ ℎ𝑖 +𝑚𝑤 ∙ ℎ𝑤 +𝑚𝑟 ∙ ℎ𝑟) ∙ 𝑆𝑒(𝑇𝑖𝑚𝑝) +𝑚𝑐 ∙ ℎ𝑐 ∙ 𝑆𝑒(𝑇𝑐𝑜𝑛) (5.51)
em que hi e hr são as alturas dos centros de gravidade das paredes e teto do tanque, respetivamente.
O cálculo do momento fletor imediatamente abaixo da laje de fundo é análogo:
𝑀′ = (𝑚𝑖 ∙ ℎ′𝑖 +𝑚𝑤 ∙ ℎ𝑤 +𝑚𝑟 ∙ ℎ𝑟) ∙ 𝑆𝑒(𝑇𝑖𝑚𝑝) +𝑚𝑐 ∙ ℎ′𝑐 ∙ 𝑆𝑒(𝑇𝑐𝑜𝑛) (5.52)
A altura atingida pelo movimento do líquido na superfície livre é dada pela expressão (5.42),
apresentada anteriormente.
5.4. ANÁLISE DA RESPOSTA DINÂMICA DO RESERVATÓRIO ESTUDADO
Proceder-se-á, neste subcapítulo, à análise da resposta dinâmica do reservatório estudado com base
na aplicação das metodologias apresentadas no subcapítulo anterior. Admite-se portanto, que o reservatório
se encontra ancorado e despreza-se o confinamento das paredes proporcionado pelas terras exteriores, que
provocaria, naturalmente, um decréscimo das forças na estrutura.
No caso geral, será de considerar o efeito dos impulsos sísmicos das terras exteriores,
nomeadamente, por exemplo, através do método de Mononobe-Okabe.
A simbologia utilizada manter-se-á igual pelo que os significados de variáveis apresentadas deverão
ser consultadas na secção 5.3, juntamente com os procedimentos aplicados.
Podem-se definir desde já algumas grandezas inerentes ao tanque em estudo, que serão utilizadas
e são independentes do método aplicado. Estes encontram-se no Quadro 5.6.
QUADRO 5.6 – DEFINIÇÃO DE PARÂMETROS GERAIS UTILIZADOS NO TANQUE EM ESTUDO
Descrição Parâmetro Valor
Altura total do líquido H (m) 5,4
Raio do tanque R (m) 8,2
Esbelteza do tanque γ = H/R 0,66
Espessura da parede s (m) 0,2
Densidade da parede ρb (ton/m3) 2,5
Densidade do líquido ρ (ton/m3) 0,95
Módulo de elasticidade da parede E (N/m2) 3,0E10
As massas do líquido total armazenado (m), das paredes (mw) e da cobertura (mr) encontram-se
definidas nas equações (5.53) a (5.55). A massa da cobertura foi calculada com recurso ao raio de curvatura,
altura, e espessura da cúpula (rr, hr e sr, respetivamente). No cálculo da massa do líquido é usado o raio
interior do tanque.
𝑚 = 𝜌 ∙ 𝐻 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅𝑖2 = 0,95× 5,4 × 𝜋 × 8,12 = 1057,4 𝑡𝑜𝑛 (5.53)
𝑚𝑤 = 𝜌𝑏 ∙ 𝐻 ∙ 𝑠 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 = 2,5 × 5,4 × 0,2 × 2𝜋 × 8,2 = 139,1 𝑡𝑜𝑛 (5.54)
97
𝑚𝑟 = 𝜌𝑏 ∙ 𝑠𝑟 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟𝑟 ∙ ℎ𝑟 = 2,5 × 0,08 × 2 × 𝜋 × 17,85 × 2,04 = 45,8 𝑡𝑜𝑛 (5.55)
Por fim, definem-se seguidamente as alturas dos centros de massa das superfícies da parede e da
cúpula da cobertura.
ℎ𝑤 = 𝐻 2⁄ = 5,4 2⁄ = 2,70 𝑚 (5.56)
ℎ𝑟 = 𝐻 + ℎ𝑟 2⁄ = 5,4 + 2,04/2 = 6,42 𝑚 (5.57)
MÉTODO SIMPLIFICADO (EUROCÓDIGO 8)
Para a aplicação do método simplificado segundo o EC8, é necessário retirar os parâmetros que
dependem da esbelteza (apresentados no Quadro 5.5). Foi feita uma interpolação linear uma vez que a
esbelteza do reservatório (γ) se situa entre 0,5 e 0,7. Os valores calculados apresentam-se seguidamente.
QUADRO 5.7 – PARÂMETROS DO MÉTODO SIMPLIFICADO (EC8) APLICADO AO RESERVATÓRIO
H/R Ci Cc mi/m mc/m hi/H hc/H h’i/H h’c/H
0,66 7,13 1,63 0,390 0,610 0,40 0,57 1,10 1,12
Procede-se ao cálculo dos períodos de vibração do sistema impulsivo estrutura-líquido e do líquido
através da aplicação das equações (5.48) e (5.49).
𝑇𝑖𝑚𝑝 = 7,13×√0,95× 5,4
√0,2/8,2 × √3× 1010= 0,044 𝑠 (5.58)
𝑇𝑐𝑜𝑛 = 1,63 × √8,2 = 4,66 𝑠 (5.59)
A partir destes resultados, de acordo com o espectro elástico definido no ponto 5.2.6, as aceleração
espectrais impulsiva e convectiva são:
𝑆𝑒(𝑇𝑖𝑚𝑝) = 3,25 𝑚/𝑠2 (5.60)
𝑆𝑒(𝑇𝑐𝑜𝑛) = 0,74 𝑚/𝑠2
(5.61)
Ainda com recurso aos valores do Quadro 5.7 e à massa de líquido total armazenada da equação
(5.53), calculam-se as massas de líquido impulsivo e convectivo – Quadro 5.8.
QUADRO 5.8 – MASSAS DE LÍQUIDO IMPULSIVO E CONVECTIVO
mi (ton) 412,8
mc (ton) 644,6
De modo análogo, com recurso à altura total do tanque, calculam-se as alturas de aplicação de cada
componente – Quadro 5.9.
98
QUADRO 5.9 – ALTURAS DAS LINHAS DE ACÇÃO DAS FORÇAS HIDRODINAMICAS
hi (m) 2,16
h’i (m) 5,95
hc (m) 3,05
h’c (m) 6,03
A força de corte basal, obtida pela aplicação da equação (5.50) e onde se incluem as componentes
devido à massa estrutura – obtida nas equações (5.54) e (5.55) – é dada por:
𝑄 = (412,8 + 139,1 + 45,8) × 3,25 + 644,6 × 0,74 = 2419,3 𝑘𝑁 (5.62)
Os momentos fletores acima e abaixo da laje de fundo (que tem em conta as sobrepressões na laje),
obtidas, respetivamente pela aplicação das equações (5.51) e (5.52), são calculados com recurso às alturas
das linhas de ação das forças do líquido, e das paredes e cobertura da estrutura:
𝑀 = (412,8 × 2,16+ 139,1 × 2,70+ 45,8 × 6,42) × 3,25+ 644,6 × 3,05 × 0,74
= 6535,3 𝑘𝑁𝑚 (5.63)
𝑀′ = (412,8 × 5,95+ 139,1 × 2,70+ 45,8 × 6,42) × 3,25+ 644,6 × 6,03 × 0,74
= 13037,5 𝑘𝑁𝑚 (5.64)
Finalmente, a altura máxima atingida pela onda acima da superfície do líquido devido à oscilação,
calculada por meio da expressão (5.42) é:
𝑑 = 0,84× 8,2 × 0,74/9,8 = 0,52 𝑚 (5.65)
EUROCÓDIGO 8
5.4.2.1. COMPONENTE IMPULSIVA
A distribuição da pressão da componente impulsiva do líquido em altura, no reservatório em estudo
– 𝐶𝑖(𝜉, 𝜍) – foi encontrada através da aplicação das expressões (5.8) e (5.9). Estas foram deduzidas na parede
do reservatório (𝜉 = 𝑟/𝑅 = 1) para diferentes valores em altura 𝜍 = 𝑧/𝐻.
A partir da função 𝐶𝑖(𝜉 = 1, 𝜍), deduziu-se a pressão impulsiva na direção da ação sísmica (𝜃 = 0)
ao longo da altura do tanque, de acordo com a expressão (5.9):
𝑝𝑖(𝜍) = 𝐶𝑖(𝜉 = 1, 𝜍) × 0,95× 5,4 × cos (0) × 2,5 (5.66)
Esta sofre a aceleração do solo, definida no ponto 5.2.6, de 𝑎𝑔 = 2,5 𝑚/𝑠2. A aplicação de (5.66) em
altura está desenhada na Figura 5.18. Circunferencialmente, a pressão varia de acordo com a função 𝐶𝑜𝑠(𝜃).
Os valores tabelados podem ser consultados no Anexo A.5.
99
FIGURA 5.18 – DISTRIBUIÇÃO DA PRESSÃO DE LÍQUIDO IMPULSIVO EM ALTURA
A porção de massa do líquido impulsivo, aplicando-se a equação (5.11), resulta em 𝑚𝑖/𝑚 = 0,396.
Sabendo-se que a massa de líquido total cifra-se em 𝑚 = 1057,4 𝑡𝑜𝑛, tem-se:
𝑚𝑖 = 418,9 𝑡𝑜𝑛 (5.67)
Esta massa sofrerá a acelaração do solo, assim, a força de corte basal é:
𝑄𝑖 = 418,9 × 2,50 = 1047,2 𝑘𝑁 (5.68)
As alturas dos centróides das pressões impulsivas do líquido para cálculo do momento,
respectivamente, acima e abaixo da laje de fundo ficam, de acordo com (5.13) e (5.14):
{ ℎ𝑖/𝐻 = 0,40
ℎ′𝑖/𝐻 = 1,08 (5.69)
A altura total do líquido no tanque é de 5,4 m, consequentemente:
{ ℎ𝑖 = 2,16 𝑚
ℎ′𝑖 = 5,81 𝑚 (5.70)
Em posse do resultado anterior calculam-se os momentos imediatamente acima e abaixo da laje de
fundo:
{ 𝑀𝑖 = 418,9 × 2,16 × 2,50 = 2262,5 𝑘𝑁𝑚
𝑀′𝑖 = 418,9 × 5,81 × 2,50 = 6087,9 𝑘𝑁𝑚 (5.71)
5.4.2.2. COMPONENTE CONVECTIVA
Apesar de o EC8 referir que apenas o primeiro modo de vibração do líquido necessita de ser
contabilizada, procedeu-se ao cálculo da distribuição da componente de pressão convectiva para os três
primeiro modos de forma a avaliar a relevância de cada um.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0
h (m)
pi (kN/m2)
100
O período de vibração de cada modo é dado pela aplicação da equação (5.19), com recurso aos
valores de (5.17). Através destes, obtém-se as acelerações de cada modo com base no espectro elástico
amortecido a 0,5%, definido em 5.2.6. Os resultados encontram-se no Quadro 5.10.
QUADRO 5.10 – PERÍODOS E ACELERAÇÕES ESPECTRAIS DO LÍQUIDO
Modo n T (s) Se(Tcn) (m/s2)
1 4,60 0,74
2 2,47 1,94
3 1,95 3,04
A distribuição da pressão convectiva do líquido em altura foi calculada separadamente para cada
modo considerado com recurso às equações (5.15) a (5.17), contabilizando a respetiva aceleração. Aplicaram-
se as equações com vista a obter-se a distribuição na parede (isto é, 𝜉 = 𝑟/𝑅 = 1) na direcção da força
sísmica (ou seja, 𝜃 = 0). Os valores da pressão em vários pontos em altura encontram-se no Anexo A.5. A
curva resultante apresenta-se na Figura 5.19.
FIGURA 5.19 – DISTRIBUIÇÃO DA PRESSÃO DO LÍQUIDO CONVECTIVO EM ALTURA
Verifica-se que o primeiro modo de vibração é preponderante em relação aos seguintes, embora a
sua massa sofra inferior aceleração. Em comparação com a pressão impulsiva (Figura 5.18), a pressão
convectiva nas paredes do tanque tem menor expressão.
Sabendo-se que a massa de líquido total é de 1057,4 ton, conforme já calculado, as porções de massa
líquida a vibrar em cada modo são, de acordo com (5.21), as seguintes:
QUADRO 5.11 – MASSA DE LÍQUIDO E FORÇA DE CORTE BASAL EM CADA MODO CONVECTIVO
𝑀𝑜𝑑𝑜 𝑛 𝑚𝑐𝑛/𝑚 𝑚𝑐𝑛 (𝑡𝑜𝑛) 𝑄𝑐𝑛 (𝑘𝑁)
1 0,58 611,4 454,0
2 0,02 21,9 42,5
3 0,01 5,2 15,9
Ʃ 0,60 638,5 512,5
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
h (m)
pc (kN/m2)pc1 pc2 pc3
101
Apresenta-se também no Quadro 5.11 a força de corte basal relativo a cada modo, obtida do produto
das massas pelas respetivas acelerações, do Quadro 5.10. O primeiro modo movimenta a larga maioria da
massa líquida convectiva. Nos cálculos sequentes apenas se considerará o primeiro modo.
As alturas dos centróides do primeiro modo pressão convectiva do líquido para cálculo do momento,
respectivamente, acima e abaixo da laje de fundo ficam, de acordo com (5.23) e (5.24):
{ ℎ𝑐1/𝐻 = 0,55
ℎ′𝑐1/𝐻 = 1,15 (5.72)
A altura total do líquido no tanque é de 5,4 m, consequentemente, para o primeiro modo:
{ ℎ𝑐1 = 2,99 𝑚
ℎ′𝑐1 = 6,20 𝑚 (5.73)
Em posse do resultado anterior calculam-se os momentos fletores devido ao primeiro modo de
vibração do líquido convectivo, conforme (5.22), imediatamente acima e abaixo da laje de fundo:
{ 𝑀𝑐1 = 454,0 × 2,99 = 1356,8 𝑘𝑁𝑚
𝑀′𝑐1 = 454,0 × 6,20 = 2817,3 𝑘𝑁𝑚 (5.74)
5.4.2.3. COMPONENTE FLEXÍVEL
O cálculo da pressão devido à componente flexível do tanque foi efetuado por aplicação das
equações (5.25) a (5.28), contabilizando-se os dois primeiros modos de vibração do tanque (n=0 e n=1), uma
vez que o segundo modo tem ainda uma expressão significante nos valores encontrados. Todos os valores
referidos neste cálculo estão apresentados no Anexo A.5.
Na primeira iteração do processo de cálculo, utilizou-se uma função interpolada dos deslocamentos
dos pontos ao longo da altura do reservatório – 𝑓1(𝜍) – encontrada na análise modal ao reservatório,
apresentada na seção 5.5 deste trabalho. A função representa a deformada modal na seção circunferencial
de máxima amplitude, no modo de vibração de maior participação modal, que cumpre as condições de uma
única onda circunferencial, de acordo com a expressão (5.29).
Em cada uma das iterações subsequentes, através da expressão (5.30), deduziu-se a distribuição de
densidade efetiva ao longo da altura da parede – 𝜌𝑖(𝜍). Esta distribuição foi aplicada às seções da parede no
modelo do reservatório no SAP2000 utilizado anteriormente na análise estática. Através dos resultados no
programa da análise modal, foi encontrado a função da deformada a ser aplicada na iteração seguinte,
𝑓𝑖+1(𝜍), seguindo-se a metodologia descrita no parágrafo anterior para a primeira iteração.
A singularidade da função 𝜌𝑖(𝜍) na base da parede foi contornada adotando-se, simplesmente, um
valor constante para a zona da parede situado abaixo da altura de 0,2 m. Estes dados podem ser consultados
no referido anexo.
A aceleração espectral da componente de líquido flexível foi adquirida do espectro de resposta do
tanque, apresentado em 5.2.6, a partir do período de vibração desta parcela, calculado por aplicação da
102
equação (5.32). É importante realçar que se trata da aceleração absoluta do tanque, e não relativa à sua base.
Estes resultados apresentam-se no Quadro 5.12.
QUADRO 5.12 – PERÍODO E ACELERAÇÃO ESPECTRAL
Tfa (s) Se(Tfa) (m/s2)
0,034 2,95
Foram efetuadas, no total, quatro iterações. Como pode ser observado na Figura 5.20, o cálculo
convergiu rapidamente a partir da segunda iteração, apresentando deformadas semelhantes no modo de
maior participação de massa.
FIGURA 5.20 – DEFORMADA MODAL DA PAREDE
A distribuição da componente flexível da pressão hidrodinâmica é proporcional à deformada (Figura
5.21), e também converge rapidamente a partir da 2ª iteração. O ponto de máxima pressão verifica-se
aproximadamente a meio da altura do reservatório.
FIGURA 5.21 – DISTRIBUIÇÃO EM ALTURA DA PRESSÃO DA COMPONENTE FLEXÍVEL DO LÍQUIDO
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
ς (z/H)
f(ς)1ª iteração 2ª iteração 3ª iteração 4ª iteração
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0
h (m)
pf (kN/m2)1ª iteração 2ª iteração
103
De um modo geral, observa-se que a primeira iteração, calculada a partir da deformada modal obtida
da análise modal (ponto 5.5.4.1), já fornece um resultado razoável, de valor superior. O Quadro 5.13
apresenta a massa da componente flexível do líquido e a força de corte basal correspondente em cada
iteração, calculados com recurso às expressões (5.33) e (5.34), respetivamente.
QUADRO 5.13 – MASSA E FORÇA DE CORTE BASAL DA COMPONENTE FLEXÍVEL DO LÍQUIDO
Iteração mf/m (-) mf (ton) Qf (kN)
1 0,39 409,6 1206,5
2 0,36 382,0 1125,2
3 0,35 372,2 1096,5
4 0,36 379,6 1118,3
A altura da força equivalente à pressão foi obtida por meio de um ábaco presente no trabalho de
Fischer [48]. O momento derrubador Mf é calculado pelo produto da força de corte basal, segundo a equação
(5.35).
{
ℎ𝑓/𝐻 = 0,43
ℎ𝑓 = 2,32 𝑚
𝑀𝑓 = 1118,3 × 2,32 = 2596,7 𝑘𝑁𝑚
(5.75)
5.4.2.4. FORÇAS DE INÉRCIA
A pressão na parede do tanque devido à inércia é calculada de acordo com a expressão (5.37),
segundo a qual é aplicado a aceleração do solo (2,5 m/s2), traduzindo-se numa distribuição constante ao
longo da altura com o valor:
𝑝𝑤 = 2,5 × 0,2 × 2,5 = 1,25 𝑘𝑁/𝑚2 (5.76)
Tendo em conta a massa da parede e a altura do seu centro de massa, calculadas, respetivamente,
nas expressões (5.54) e (5.56), obtém-se a força de corte basal e o momento derrubador com que esta
componente contribui:
{ 𝑄𝑤 = 139,1 × 2,5 = 347,8 𝑘𝑁
𝑀𝑤 = 347,8 × 2,70 = 939,0 𝑘𝑁𝑚 (5.77)
O mesmo cálculo é efetuado para a componente devido à força de inércia da cobertura, tendo em
conta os resultados (5.55) e (5.57):
{ 𝑄𝑟 = 45,8 × 2,5 = 114,4 𝑘𝑁
𝑀𝑟 = 114,4 × 6,42 = 734,4 𝑘𝑁𝑚 (5.78)
104
5.4.2.5. PRESSÃO TOTAL COMBINADA
De acordo com o discutido no ponto 5.3.3.6, as três componentes da pressão hidrodinâmica e a força
de inércia da parede, nas paredes do reservatório, anteriormente calculadas, foram reunidas pela
combinação da raiz quadrada da soma dos quadrados (RQSQ), segundo a expressão (5.79):
𝑝𝑡 = √(𝑝𝑖 + 𝑝𝑤)2 + 𝑝𝑐12+ 𝑝𝑓2 (5.79)
A força de inércia da parede inclui-se na componente impulsiva do líquido uma vez que
experimentam a mesma aceleração.
Para termo de comparação, apresentam-se também nos resultados a distribuição da pressão
hidrodinâmica combinada com a soma absoluta de cada componente (ABS), tratando-se dos valores mais
conservativos que se pode alcançar. Inclui-se ainda a distribuição da pressão hidrostática.
Todos estes resultados, deduzidos para a seção circunferencial de máxima pressão, estão
graficamente desenhados na Figura 5.22, e os seus valores podem ser consultados no Anexo A.5.
FIGURA 5.22 – DISTRIBUIÇÃO EM ALTURA DA PRESSÃO COMBINADA NA PAREDE
Apresentam-se, no Quadro 5.17, as forças de corte basal e momento derrubador na base da parede
resultantes de cada componente calculada de acordo com o EC8.
QUADRO 5.14 – ESFORÇO DE CORTE BASAL E MOMENTO DERRUBADOR DE CADA COMPONENTE
Componente Q (kN) h (m) M (kNm)
Impulsiva 1047,2 2,16 2262,5
Convectiva 454,0 2,99 1356,8
Flexível 1118,3 2,32 2596,7
Paredes 347,8 2,70 939,0
Cobertura 114,4 6,42 734,4
A combinação destes valores pela raiz quadrada da soma dos quadrados (RQSQ), também com base
na expressão (5.79), conduz aos resultados do Quadro 5.15.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0
h (m)
ph (kN/m2)
RQSQ
ABS
Hidrostático
105
QUADRO 5.15 – COMBINAÇÃO DO ESFORÇOS DE CORTE BASAL E MOMENTO DERRUBADOR
Combinação Qt Mt
RQSQ 1932,6 3701,7
ABS 3081,7 6216,0
Verifica-se que a forma de combinação das componentes merece discussão: a soma absoluta dos
valores conduz a resultados bastante mais elevados que a combinação pela RQSQ.
5.5. ANÁLISE MODAL DO TANQUE COM RECURSO AO MEF
Após a análise dinâmica do tanque cilíndrico com base em formulações gerais propostos pelo EC8, é
pertinente confrontar alguns dos valores encontrados com a análise da resposta dinâmica de um modelo de
cálculo independente.
Conforme foi discutido, é possível considerar as sobrepressões devido à parcela convectiva do
líquido como apenas dependente da altura total do líquido (H) e do raio do tanque, separadamente da
componente impulsiva, devido à grande diferença entre os períodos de vibração. As sobrepressões
resultantes da componente impulsiva, por outro lado, dependem da interação da massa de líquido que vibra
com a estrutura. Caso se considere essa massa constante para um par de valor H e R, como sugerem as
expressões do EC8, então a força devido à componente impulsiva é função da aceleração amplificada, ligada
aos períodos dos modos de vibração do tanque, que resultam da sua flexibilidade.
Torna-se desta forma essencial modelar corretamente o sistema tanque-líquido para determinar os
modos de vibração predominantes. Avaliar-se-ão, com suporte num modelo de elementos finitos, os modos
de vibração do tanque estudado e esforços gerados pela resposta espectral à solicitação sísmica.
MODOS DE VIBRAÇÃO DE TANQUES TÉRREOS ANCORADOS
Conforme discutido no ponto 5.3.3.3, o EC8-4 considera que a pressão devido à interação entre o
fluido e a estrutura, ou “flexível”, depende nos modos de vibração do sistema tanque-líquido que apresentam
apenas uma onda circunferencial, ou seja, cujo deslocamento varia circunferencialmente de acordo com a
função cos (𝜃). É ainda referido que a consideração do modo fundamental é normalmente suficiente, o que
pressupõe que a maior parte da massa será mobilizada no primeiro modo de vibração. Outras normas, como
a Norte-Americana API 650, aplicáveis a tanques metálicos cilindros ancorados, assumem as mesmas
hipóteses.
Estas considerações são baseadas no trabalho de diversos investigadores dos quais se destacam
Veletsos (1997) e Haroun & Housner (1981). De acordo com estes estudos, em resposta a uma aceleração
horizontal, o tanque desenvolve um modo fundamental semelhante ao de uma viga em consola, com um
grau de liberdade, onde os deslocamentos aumentam em altura, o que implica que uma secção horizontal da
parede se mantém circular durante a oscilação. Em tanques menos esbeltos, a deformação tenderá a ser
máxima abaixo da altura total, apresentando uma concavidade. Modos superiores apresentam configurações
diferentes mas a sua participação é normalmente desprezável, e não contribuem para o momento
derrubador que é predominantemente relevante para o colapso deste tipo de tanques [48].
106
Numa perspetiva diferente, Nachtigall [49] propôs modos mais complexos como possíveis modos
fundamentais, questionando as metodologias de cálculo baseados nos modelos de consola que se têm
generalizado. Ao efetuar o estudo paramétrico do comportamento de tanques metálicos de uma gama
variada de esbeltezas, conclui que tendem a vibrar em duas direções descritas como: axial (onda m) e
circunferencial (onda n), associado à curva cos (𝑛𝜃) – como demonstra a Figura 5.23. De facto, caso se assuma
a hipótese de que diferentes partes do tanque possuem acelerações amplificadas distintas, não é possível
adotar o dimensionamento por espectros de resposta que pressupõem um único grau de liberdade.
FIGURA 5.23 – MODOS DE VIBRAÇÃO DE ACORDO COM NACHTIGALL [49]
É possível utilizar modelos de elementos finitos simplificados para simular os sistemas tanque-
líquido sob ações sísmicas horizontais. Virella [47] publicou um estudo que servirá de suporte na modelação
que se utilizará neste trabalho.
MODELAÇÃO PROPOSTA POR VIRELLA (2006)
A modelação de sistemas dinâmicos que envolvem uma estrutura (tanque) e respetivo líquido
contido é atualmente possível através de diversas ferramentas de cálculo com base no método dos elementos
finitos. Exemplo são os programas comerciais ANSYS ou o ABAQUS, que permitem eficazmente a modelação
do líquido tendo em conta as suas propriedades, nomeadamente a sua massa volúmica, viscosidade, e
compressibilidade, essenciais para uma análise dinâmica precisa. Para maiores detalhes numa modelação
desta natureza, remete-se para o trabalho de Pinho [45].
Virella [47] propôs uma metodologia para a avaliação dos períodos naturais, deformadas modais e
resposta dinâmica de tanques sujeitos a uma ação sísmica horizontal com base numa análise pelo método
dos elementos finitos sem recurso à modelação direta do fluido. É particularmente útil para a aplicação em
programas como aquele utilizado neste trabalho (SAP2000), que não incorporem tais possibilidades.
Com recurso ao ABAQUS, Virella [47] efetuou dois estudos paramétricos paralelos em tanques
metálicos com cobertura, de diferentes esbeltezas (H/R igual a 0,8, 1,26 e 1,9), o primeiro consistindo num
modelo com massas de líquido adicionadas, enquanto o segundo se baseou em elementos finitos que
simulam o líquido. Foram tomadas as seguintes simplificações:
107
Não consideração da componente convectiva de pressão, uma vez que, conforme já
discutido, é possível a avaliação entre esta e a componente impulsiva em separado. Avalia-
se, portanto, apenas a componente impulsiva e a sua interação com o tanque.
Os tanques encontram-se devidamente ancorados, não havendo lugar a levantamentos ou
rotação das fundações. Consequentemente, a laje de fundo não é modelada.
Com referência ao primeiro estudo, as massas a adicionar são calculadas a partir de uma distribuição
de pressões resultantes da massa de líquido impulsivo, que se move rigidamente com o tanque (acelerado à
mesma velocidade do solo). A distribuição poderá ser, por exemplo, aquela apresentada pelo EC8, definida
na equação (5.7).
Assim, em cada nó da malha de elementos finitos da parede do tanque, a massa adicionada é
calculada a partir da força que a pressão impulsiva exerce sobre a área de influência do nó. Pretende-se desta
forma que o programa, ao calcular as deformadas modais, tenha em conta a influência da inércia da massa
líquida, que participa conjuntamente com o tanque na oscilação.
FIGURA 5.24 – MODELO COM MASSAS NORMAIS DISTRIBUIDAS AO LONGO DA ALTURA DA PAREDE [47]
Conforme esquematizado na Figura 5.24, numa faixa meridional unitária de parede, cada massa tem
um valor dado por:
𝑚𝑖 =𝑝𝑖 ∙ 𝛥ℎ
𝑎𝑔 (5.80)
Nos nós localizados juntos à laje de fundo e junto à superfície do líquido, a altura de influência será,
naturalmente, de metade (𝛥ℎ/2). A massa impulsiva é calculada com recurso à máxima pressão impulsiva
(na direção da aceleração) e a distribuição vertical das massas assim calculadas será qualitativamente
semelhante à da pressão impulsiva. Contudo, apesar de a distribuição da pressão impulsiva na parede variar
circunferencialmente de acordo com a função cos (𝜃), as massas terão valor constante.
Como a pressão impulsiva é normal à parede do tanque em qualquer ponto, as massas derivadas
devem ser inseridas no sistema de forma a adicionar inércia apenas nessa direção, mesmo após deformação.
São assim referidas como “massas normais”.
Uma forma de obter tal efeito é de ligar as massas aos nós da parede através de elementos barra
rígidos desprovidos de massa e de pequeno comprimento. Estes elementos devem ser rotulados em ambas
as extremidades de forma a não induzir momentos fletores. Os elementos de massa, por sua vez, devem ter
o movimento restringido nas direções vertical (global) e tangencial à parede, de forma a serem livres de se
108
mover apenas na direção normal à parede (ou seja, na direção do eixo do elemento de ligação). Esta
modelação encontra-se esquematizada na Figura 5.25.
FIGURA 5.25 – MODELO COM MASSAS NORMAIS DISTRIBUIDAS CIRCUNFERENCIALMENTE [47]
Percebe-se agora porque se distribui a massa circunferencialmente de forma igual, sem a fazer variar
como acontece com a distribuição da pressão. De facto, com o modelo proposto, a contribuição de uma
massa individual na oscilação é igual à projeção do sentido em que está definida, na direção da solicitação,
ou seja, variará de acordo a função cos(𝜃).
Uma massa definida na linha da ação sísmica provocará máxima deformação na laje, representando
máxima pressão hidrodinâmica, enquanto uma massa definida numa parede cuja normal é perpendicular não
provocará qualquer deslocamento, representando a inexistência de pressão proveniente do líquido.
Em suma, o somatório da massa que efetivamente participa na oscilação numa direção específica é
igual a metade do total das massas pontuais atribuída. Sendo 𝑚𝑟𝑒𝑠 a massa resultante da soma das massas
individuais dos nós num meridiano, então a massa participante é dada pelo integral em torno da
circunferência:
𝑀𝑖 = 4 ∙ ∫ 𝑚𝑟𝑒𝑠 ∙ cos
2(𝜃) ∙ 𝑅 𝑑𝜃𝜋/2
0
= 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ 𝑚𝑟𝑒𝑠 (5.81)
Interessa acrescentar que este procedimento pode-se tornar mais prático caso o programa de
elementos finitos utilizado permita a adição, aos nós da parede, de massas pontuais a funcionar numa só
coordenada cilíndrica (neste caso a radial), excluindo-se a necessidade do uso dos elementos barra e da
imposição da restrição de dois graus de liberdade às massas.
Com recurso a este modelo, pode-se efetuar uma análise modal para determinar os modos de
vibração do sistema. O modo de vibração com um fator de participação mais alto é identificado como o modo
fundamental e normalmente não corresponde ao modo de maior período, como acontece na generalidade
dos edifícios correntes. É necessário prolongar a análise modal até se atingir um valor satisfatório do fator de
participação acumulado.
Virella [47] conclui no seu trabalho que a resposta dos sistemas tanque-líquido, sujeitos a ação
sísmica horizontal, pode ser avaliada considerando apenas o modo fundamental, que exibe um modo de
flexão (n=1), independentemente da esbelteza. Ambos os modelos propostos, com base em massas
adicionadas e outro mais sofisticado modelado com recurso a elementos finitos “líquidos”, exibem períodos
109
fundamentais e deformadas modais muito semelhantes, provando que o modelo simplificado constitui uma
ferramenta fiável na análise dinâmica de tanques cilíndricos.
FIGURA 5.26 – DEFORMADA NO MODO FUNDAMENTAL DE UM TANQUE DE ESBELTEZA (H/R=0,63) (VIRELLA [47])
No tanque metálico com esbelteza 𝐻/𝑅 = 0,40 o modo fundamental é um modo de flexão
caracterizado por uma convavidade formada próximo da meia altura do cilindro. Nos tanques com esbelteza
superior, este aproxima-se cada vez mais ao primeiro modo de uma viga em consola, onde a deformada
aumenta em altura.
MODELAÇÃO DA ESTRUTURA
5.5.3.1. MODELO UTILIZADO NO CASO DE ESTUDO
Para efetuar a análise modal ao tanque em estudo através do programa de elementos finitos
SAP2000, foi reutilizado o modelo anteriormente criado para a análise de esforços estáticos (descrito no
ponto 3.2.2), onde se aplica o procedimento descrito por Virella [47].
Foram construídos três modelos distintos, em que a parede se encontrava: elasticamente encastrada
na laje de fundo, totalmente encastrada, ou livre de rodar. No primeiro, as translações na laje foram
impedidas e nos últimos dois, a laje de fundo não foi modelada. O objetivo passa por avaliar a influência da
rigidez da ligação da base da parede.
As massas foram adicionadas diretamente aos nós da malha de elementos finitos da parede, a atuar
apenas na direção radial. Para tal, é crucial primeiro orientar os eixos locais dos nós segundo as coordenadas
cilíndricas, significando que um eixo estará sempre perpendicular, e outro sempre normal à parede adjacente.
Esta orientação dos eixos facilita também a análise de resultados, uma vez que se poderá avaliar os
deslocamentos nodais radiais diretamente sem a necessidade de combinar os valores de dois eixos distintos.
Para cálculo das massas, variáveis em altura, de uma faixa meridional unitária (𝑚𝑖 ) através da
equação (5.80), foi utilizada a distribuição de pressão impulsiva calculada anteriormente no ponto 5.4.2.1,
segundo o EC8, representada na Figura 5.18.
110
Posteriormente, multiplicam-se as massas 𝑚𝑖 pelo distanciamento horizontal entre nós ao longo da
malha circular.
𝑚𝑛ó = 𝑚𝑖 ∙ 𝑑ℎ (5.82)
Sabendo-se que os nós se encontram afastados de 5°, o distanciamento é de:
𝑑ℎ = 5/360 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 = 0,707 𝑚 (5.83)
Os valores das massas (𝑚𝑛ó) a adicionar a cada nó assim calculados, variáveis ao longo da altura da
parede do reservatório, encontram-se no Anexo A.6.
A confirmação dos valores pode ser conseguida por via da comparação entre a massa de líquido
impulsivo, calculada anteriormente segundo o EC8 em 5.4.2.1, com um valor de 418,9 ton, e o total da massa
impulsiva oscilante. Esta última é deduzida por aplicação da equação (5.84):
𝑀𝑖 = 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ 𝑚𝑟𝑒𝑠 = 𝜋 × 8,1 × 16,46 = 418,9 𝑡𝑜𝑛 (5.84)
Apesar das aproximações tomadas na definição das massas a adicionar aos nós, os valores estão em
concordância, verificando-se uma diferença muito reduzida de -0,01%.
5.5.3.2. MÉTODO DE ANÁLISE MODAL UTILIZADO
Uma vez constituído o modelo do sistema no SAP2000, definiu-se no programa a forma como seria
efetuada a análise modal. Este permite a determinação dos modos por vetores próprios (Eigenvector
analysis), que consiste na identificação das frequências de vibração do sistema com base na análise do seu
movimento harmónico em regime livre e sem amortecimento, simplificando o problema.
Solucionando-se as equações de equilíbrio dinâmico relativo a cada grau de liberdade, é possível
chegar ao seguinte sistema de equações [50]:
[𝐾 − 𝑝2𝑀] {𝑣} = {0} (5.85)
em que
[𝐾] – matriz de rigidez da estrutura nos seus graus de liberdade
𝑝 – frequência de vibração do modo
[𝑀] – matriz de massa da estrutura
{𝑣} – vetor que representa a configuração deformada da estrutura
A resolução do problema, para que tenha solução {𝑣} diferente de zero, assenta em anular o
determinante da matriz [𝐾 − 𝑝2𝑀] e, desta forma, consiste na determinação de valores e vetores próprios,
obtendo-se, respetivamente, as frequências e correspondentes modos de vibração.
111
Foi fixado em 100 o número de modos a determinar pelo programa, um valor elevado, contudo
necessário para a obtenção de um fator de participação de massa acumulado acima dos 80%, em ambas
direções.
Apesar de o SAP2000 permitir a utilização de uma matriz de rigidez do sistema deduzida após a
aplicação de um carregamento estático (poderia ser a combinação do peso próprio da estrutura com a
pressão hidrostática), verificou-se que, neste caso, esta componente não induz modificações nos resultados
observados. Tal poderá não corresponder a análises de tanques metálicos.
5.5.3.3. MÉTODO DE CÁLCULO DOS ESFORÇOS DINÂMICOS
Para cálculo das forças dinâmicas máximas, foi introduzido no SAP2000 o espectro de resposta
determinado em 5.2.6, através de uma funcionalidade do programa que deduz a curva com base nos
parâmetros definidores do espetro, apresentados anteriormente. Definiu-se um coeficiente de
amortecimento constante de 5%.
Para cada modo de vibração são obtidos valores máximos da resposta da estrutura que dependem
do valor espectral do modo, por exemplo a aceleração, e do respetivo fator de participação de massa. Tal
como foi debatido em relação aos diferentes componentes da pressão hidrodinâmica, é necessário encontrar
uma forma de combinar estes máximos referentes a cada modo. Como o SAP2000 oferece várias formas de
o fazer, abordar-se-á a aplicabilidade daquelas que serão as mais comuns.
Considere-se a equação (5.86) de duplo somatório sobre todos os modos:
𝑔 = √∑∑𝑔𝑛 𝜌𝑛𝑚 𝑔𝑚𝑚𝑛
(5.86)
em que
𝑔 – resposta combinada
𝑔𝑛 – resposta do modo n
𝜌𝑛𝑚 – Coeficiente de correlação
A forma de combinação mais conservativa consiste em usar a soma absoluta das respostas,
assumindo que os seus máximos ocorrem simultaneamente, constituindo um acontecimento muito
improvável. Isto equivale a ter-se 𝜌𝑛𝑚= 1 (desde que se considerem os valores absolutos). Por outro lado,
uma abordagem comum é a raiz quadrada da soma dos quadrados (RQSQ) em que se assume que as
respostas são estatisticamente independentes, que corresponde a 𝜌𝑛𝑚 = 0.
Conforme já se discutiu anteriormente, essa independência apenas se observa quando as
frequências dos modos estão afastadas. Assim, introduz-se a “combinação quadrática completa” (CQC), que
utiliza um coeficiente 𝜌𝑛𝑚 variável – equação (5.87). Este aumenta gradualmente de valor (até à unidade) à
medida que as frequências do par de modos considerados se aproximam, contabilizando desta forma com
uma possível interação mútua.
𝜌𝑛𝑚 =
8𝜉 ∙ (1 + 𝑟) ∙ 𝑟3/2
(1 − 𝑟2)2+ 4𝜉2 ∙ 𝑟 ∙ (1 + 𝑟)2 (5.87)
em que 𝑟 = 𝑓𝑛/𝑓𝑚 representa o quociente entre as frequências dos modos, e 𝜉 o amortecimento.
112
Contudo, como a combinação CQC considera o sinal, nas situações em que as respostas num grau
de liberdade tenham sinais contrários, este será menos conservativo que a combinação SRSS, que concilia
sempre os valores absolutos.
Nos tanques observa-se que a generalidade dos modos está aliada a frequências que se situam na
mesma gama de valores, pelo que é vantajosa a utilização da combinação CQC, que foi escolhida no SAP2000
na presente análise.
Proceder-se-á, nas próximas secções, à apresentação dos resultados da análise modal do tanque, e
análise dos esforços que se desenvolvem na resposta da estrutura a um sismo.
ANÁLISE DE RESULTADOS
5.5.4.1. ANÁLISE MODAL
Conforme referido, o programa foi configurado para calcular 100 modos de vibração do sistema.
Estes são encontrados começando pelo modo de menor frequência (maior período).
QUADRO 5.16 – MODOS DE VIBRAÇÃO ANALISADOS
Modelo Nº de
modos 𝑇𝑚𝑎𝑥 (𝑠) 𝑇𝑚𝑖𝑛 (s)
Fator de participação de massa acumulado
Encastado 100 0,065 0,030 0,84
Apoiado 100 0,071 0,022 0,90
Elástico 100 0,068 0,021 0,88
Apresentam-se, no Quadro 5.16, os intervalos entre valores máximos e mínimos do período dos
modos de vibração, que o programa encontrou em cada um dos modelos, juntamente com o fator de
participação de massa acumulado. Como seria previsível, quanto mais rígido o modelo, menores são as gamas
dos períodos patenteados.
FIGURA 5.27 – FACTORES DE PARTICIPAÇÃO DE MASSA DOS MODOS DE VIBRAÇÃO
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0,0200,0300,0400,0500,0600,070
Fact
or
de
par
tici
paç
ão d
e m
assa
T (s)Encastrado Apoiado Elástico
113
Os fatores de participação de cada modo de vibração foram reunidos, de acordo com o respetivo
período, na Figura 5.27, alusiva aos três modelos analisados. Combinaram-se os modos de igual período.
Descortinam-se em todos os modelos, um modo com clara preponderância que será o modo fundamental,
tendo sido o 17º encontrado pelo programa.
Todos os restantes modos possuem contribuições praticamente nulas, o que explica as retas
percorrendo largas gamas de períodos, na Figura 5.28, que apresenta o somatório do fator de participação
de massa à medida que se avalia os modos de maior para menor período.
FIGURA 5.28 – FACTORES DE PARTICIPAÇÃO DE MASSA ACUMULADOS
Existe porém uma exceção, cujo modo, de período reduzido, ainda assim, não atinge os 10% de fator
de participação de massa, em qualquer um dos modelos. Considerar-se-á este o segundo modo de vibração.
QUADRO 5.17 – ATRIBUTOS DOS PRIMEIROS DOIS MODOS DE VIBRAÇÃO
Modo Modelo T (s) Fator de participação
de massa
n = 1
Encastado 0,045 0,75
Apoiado 0,047 0,83
Elástico 0,046 0,79
n = 2
Encastado 0,024 0,09
Apoiado 0,025 0,07
Elástico 0,025 0,09
Os dados do Quadro 5.17 indicam que as condições de apoio das paredes na laje de fundo não
alteram radicalmente os resultados, o que poderá ser a razão pela qual este aspeto é raramente abordado
na bibliografia. Além disso, confirmam que, de facto, o primeiro modo é largamente predominante sobre os
restantes. Como se observa a partir da sua configuração deformada (Figura 5.29), este modo possui apenas
uma onda circunferencial (n=1), ou seja, cada seção horizontal da parede mantém-se circular. A máxima
deformação apresenta-se sensivelmente a meia altura da parede.
Todas estas observações combinam bem com aquelas de Veletsos (1997) e Haroun e Housner (1981),
expostas anteriormente. A configuração deformada do modo fundamental do tanque estudado por Virella
[47], com sensivelmente a mesma esbelteza (Figura 5.26), é bastante semelhante. Por fim, justifica-se desta
forma, no EC8-4, a chamada de uma função com este tipo de configuração para definir a componente flexível
da pressão, de acordo com a expressão (5.29).
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,0200,0300,0400,0500,0600,070 Fact
or
de
par
tici
paç
ão d
e m
assa
ac
um
ula
do
T (s)Encastrado Apoiado Elástico
114
A configuração deformada do segundo modo (Figura 5.30) sugere que este mobiliza, sobretudo, a
cobertura da estrutura, não tendo grande efeito sobre as paredes ou conteúdo do reservatório.
FIGURA 5.29 – CONFIGURAÇÃO DEFORMADA DO MODO FUNDAMENTAL (MODELO ENCASTRADO)
FIGURA 5.30 – CONFIGURAÇÃO DEFORMADA DO 2º MODO DE VIBRAÇÃO (MODELO ENCASTRADO)
Finalmente, comprova-se na Figura 5.31 que, à semelhança das características dos modos, também
a configuração deformada do modo fundamental é muito semelhante entre todos os três modelos.
FIGURA 5.31 – CONF. DEFORMADA DO MODO FUNDAMENTAL NA SEÇÃO CIRCUNFERENCIAL DE MÁXIMA AMPLITUDE
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08
h (m)
f (-)Encastrado Apoiado Elástico
115
É importante salientar que os valores absolutos dos deslocamentos nodais apresentados não
possuem qualquer significado. Representam simplesmente a configuração deformada da estrutura para uma
vibração a dada frequência, isto é, apenas importa a relação entre eles. De facto, existem inúmeras formas
de se resolver o sistema de vectores próprios apresentado na expressão (5.85), sendo necessário fixar
inicialmente um dos valores do vetor {𝑣}.
5.5.4.2. ANÁLISE DOS ESFORÇOS
É necessário ter em conta que, ao contrário da pressão hidrostática, a pressão hidrodinâmica não é
um carregamento axissimétrico na estrutura. Na verdade, apesar de possuir também, em todos os pontos,
uma direção normal à parede, não só a sua magnitude é variável circunferencialmente na parede do tanque,
como também o sentido não é sempre de dentro para fora. O sentido de fora para dentro deve-se às
subpressões criadas pelo impulso do líquido na direção oposta.
FIGURA 5.32 – DISTRIBUIÇÃO DA PRESSÃO HIDRODINÂMICA NAS PAREDES [51]
Desta forma, os anéis horizontais são todos impelidos numa direção, e a força de corte basal é
transmitida, na sua maioria, por esforço transverso tangencial à membrana, que apresenta um valor máximo
na parede orientada a 90° da direção da ação sísmica (Figura 5.33). Já a restante força será transmitida por
esforço transverso radial (normal à membrana), gerado pela resposta à flexão da parede, que terá uma
distribuição semelhante, mas cujo máximo coincide com a direção do sismo.
Segundo o regulamento Norte-Americano ACI-350.3 [51], em tanques com H/R de 0,5 cujas paredes
se encontram perfeitamente encastradas, cerca de 80% da força é resistida tangencialmente. Esta
distribuição deve-se à rigidez muito superior da membrana nesta direção. Caso a ligação da parede com a
laje de fundo permita rotações, então o valor é, logicamente, de 100%. Fica assim mais uma vez patente a
fraca influência, do tipo de ligação da parede à laje, na avaliação das ações sísmicas.
FIGURA 5.33 – DISTRIBUIÇÃO DO ESFORÇO TRANSVERSO TANGENCIAL À MEMBRANA [51]
116
Podem ser feitas deduções análogas quanto à força na ligação entre a parede e a cobertura devido
às forças de inercia da cobertura. O esforço transverso basal tangencial na parede pode assim, no caso da
ligação rígida, ser rapidamente estimado a partir da força de corte basal 𝑄𝑡, por [51]:
𝑞𝑚𝑎𝑥 =
𝑉
𝜋 ∙ 𝑅=(0,8 𝑎 1,0) ∙ 𝑄𝑡
𝜋 ∙ 𝑅 (5.88)
Proceder-se-á à análise dos esforços gerados pelo cálculo da ação sísmica no modelo com ligação
rígida à laje de fundo segundo o método de Virella anteriormente descrito. Estes esforços contabilizam as
componentes de inércia da estrutura, e impulsiva e flexível do líquido armazenado, sendo assim uma
componente “impulsiva-flexível”, análoga à do método simplificado do EC8. A componente convectiva do
líquido não é incluída nesta análise.
A força de corte basal calculada vale 1586,1 kN. Para obter a força total, à semelhança do método
simplificado do EC8, soma-se este valor com a força de corte devido à parcela convectiva.
𝑄𝑡 = 1586,1 + 478,7 = 2064,8 𝑘𝑁 (5.89)
Observa-se, na Figura 5.34, a concentração do esforço transverso tangencial na base da parede do
reservatório localizada numa direção perpendicular à direção sísmica, com um valor máximo de 61,4 kN/m.
Por outro lado, os esforços de flexão e as forças axiais horizontais concentram-se nas zonas da parede
localizadas na direção da ação sísmica.
FIGURA 5.34 – ESFORÇO TRANSVERSO TANGENCIAL NA
PAREDE (SISMO)
FIGURA 5.35 – MOMENTO VERTICAL NA PAREDE E MOMENTO
RADIAL NA LAJE (SISMO)
FIGURA 5.36 – FORÇA AXIAL HORIZONTAL NA PAREDE (SISMO)
117
Uma vez que a maior parte da força é conduzida à base por esforço transverso tangencial, os esforços
de flexão resultantes da ação sísmica são relativamente pequenos, assim como os esforços axiais horizontais
(apesar de ter sido aplicado a ação sísmica para a zona mais condicionante em todo território de Portugal).
Apresentam-se na Figura 5.37 e Figura 5.38 as suas distribuições na parede (SIS), juntamente as combinações
com os esforços devido à pressão hidrostática, obtidas com o modelo com 𝑘𝑠𝑣 = 200 𝑀𝑁/𝑚3. Observa-se
que a cúpula absorve esforços muito pequenos porque, devido ao efeito de anel, a parte superior das
paredes, que está rigidamente ligada, tem uma deformação reduzida.
FIGURA 5.37 – MOMENTO VERTICAL NA PAREDE
FIGURA 5.38 – FORÇA AXIAL HORIZONTAL NA PAREDE
Recorda-se que os resultados apresentados não incluem os esforços devido à componente
convectiva do líquido, devendo-se para isso aplicar, no modelo de elementos finitos, a respetiva distribuição
de pressão variável circunferencialmente e em altura, calculada com recurso à metodologia apresentada
anteriormente. Em alternativa, pode-se aplicar no modelo diretamente a distribuição da pressão total,
ignorando-se a análise modal e sísmica pelo método de Virella. No entanto, pelo resultado da expressão
(5.89), pode-se concluir que o acréscimo de esforços não será muito elevado, concentrando-se na parte
superior da parede.
5.6. DISCUSSÃO DE RESULTADOS
Na comparação de resultados, serão adicionados os dados relativos ao método de Housner que é
ainda atualmente usado frequentemente, calculado de acordo as expressões que Mendes [39] reproduz no
seu trabalho. Este método é em tudo semelhante ao método simplificado do EC8, com a diferença que a
massa impulsiva sobre a aceleração do terreno, ao invés da aceleração amplificada, devido à hipótese da
estrutura ser infinitamente rígida, conforme foi discutido anteriormente.
Na Figura 5.39 observa-se que as massas relativas são muito semelhantes entre os diferentes
métodos aplicados à estrutura. Refira-se que a diferença na parcela convectiva no método de Housner deve-
se ao fato de a formulação aplicada corresponder à versão mais antiga, de 1957, que foi posteriormente
corrigida por Housner em 1963 [40], que produz já resultados concordantes com os métodos do EC8-4.
Como indica a Figura 5.40, observa-se uma diferença entre os períodos calculados entre o EC8 e o
método simplificado. Isto pode dever-se ao fato de a formulação do EC8 ter sido desenvolvida exclusivamente
para tanques metálicos, ao contrário do método simplificado que é aplicável também à estruturas de betão
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-10 -5 0 5 10
h (m)
Mv (kNm/m)
SIS
SIS+PP+PH (max)
SIS+PP+PH (min)
PP+PH
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
-1000100200300400500
h (m)
Nφ (kN/m)
SIS
SIS+PP+PH (max)
SIS+PP+PH (min)
PP+PH
118
armado. Um aspeto importante a reter é que se obteve no modelo de elementos finitos um valor muito
semelhante ao do método simplificado, o que reforça a sua aplicabilidade.
FIGURA 5.39 – MASSAS DE LÍQUIDO ASSOCIADAS A CADA
PARCELA
FIGURA 5.40 – PERÍODO DE VIBRAÇÃO DO MODO FUNDAMENTAL
Naturalmente, as forças de corte das parcelas impulsiva, flexível ou impulsiva-flexível divergem entre
os diferentes métodos, já que as acelerações espectrais obtidas a partir dos períodos são diferentes (Figura
5.41). Nos resultados da força de corte basal total (Figura 5.42), o método de Housner fornece os valores
mais baixos, devido à hipótese de tanque rígido. O Eurocódigo 8 forneceu resultados significativamente mais
baixos que o método simplificado, o que poderá estar ligado à utilização da aceleração absoluta da
componente flexível. Os reservatórios de betão exibem uma rigidez bastante mais elevada do que os
metálicos, pelo que a frequência de vibração obtida é bastante superior ao intervalo do exemplo da Figura
5.17, em que as acelerações absolutas são semelhantes às acelerações relativas.
De fato, na Figura 5.17, localizando-se a ordenada referente ao período de 0,04 segundos -
𝑙𝑜𝑔(1/0,04) = 1,40 – em que se verifica que a aceleração absoluta toma um valor inferior à aceleração
relativa. Além disso, a própria aceleração absoluta é menor devido ao menor período calculado relativamente
ao método simplificado. Ainda assim, um valor ligeiramente subestimado da componente flexível não terá
grande influência no valor da resposta combinada. Por outro lado, conforme foi referido anteriormente, é
também necessário ter em conta que o método simplificado devolve resultados à volta de 2 a 10% superiores
ao real, no caso dos tanques metálicos, desconhecendo-se qual sua a precisão no caso dos reservatórios de
betão armado.
FIGURA 5.41 – FORÇA DE CORTE BASAL DE CADA PARCELA
FIGURA 5.42 – FORÇA DE CORTE BASAL TOTAL
0
100
200
300
400
500
600
700
Eurocódigo 8M. Simplificado
EC8 HousnerM (ton)
Estrutura Líquido impulsivoLíquido convectivo Líquido flexível
0,000
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
Eurocódigo 8M. Simplificado
EC8 MEFT (s)
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
Eurocódigo 8M. Simplificado
EC8 Housner
Q (kN)
Estrutura Líquido impulsivoLíquido convectivo Líquido flexível
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
Eurocódigo 8
M.Simplificado
EC8 Housner MEF
Q (kN)
119
Por fim, o resultado obtido pelo método dos elementos finitos apresenta-se também ligeiramente
abaixo do método simplificado do EC8. Como a força de corte total foi obtida igualmente pela soma com a
parcela convectiva, que possui o mesmo valor, verifica-se que a diferença centra-se no valor referente à
parcela impulsiva-flexível, que apresenta uma diferença de -18,3%, apesar de, como já se observou, os valores
do período de vibração serem praticamente iguais. Neste aspeto, menciona-se o trabalho de Fourie [46], que
aplicou o mesmo procedimento baseado no MEF e, para um tanque em betão armado de características
geométricas semelhantes ao estudado, obteve uma força de corte basal da componente impulsiva-flexível
praticamente igual ao valor fornecido pela aplicação do método desenvolvido por Veletsos (1999) (que não
é apresentado neste trabalho), mas inferior em cerca de 15% quando comparado com o método simplificado
do EC8. Assim, este último poderá ostentar um carácter conservativo.
Torna-se claro que o procedimento desenvolvido pelo EC8 concentra-se no estudo dos reservatórios
metálicos. Isto pode ser explicado pelo resultado dos esforços desenvolvidos na estrutura, obtidos neste
trabalho, que são relativamente pequenos. Como nos reservatórios as cargas permanentemente aplicadas
ao longo da maior parte da sua vida útil são próximas das cargas máximas, em estado limite último, a
combinação sísmica, em que os esforços estáticos não majorados são somados aos reduzidos esforços
sísmicos, retornará valores pouco superiores à combinação fundamental, que envolve os esforços estáticos
majorados.
Apesar de não ter sido desenvolvida ao longo deste texto a componente vertical da ação sísmica,
faz-se referência ao facto do seu cálculo, segundo o EC8, ter devolvido valores extremamente reduzidos, uma
vez que, além de a aceleração vertical ter menores valores, a sua ação incide maioritariamente somente sobre
o peso próprio da cúpula, criando forças de inércia relativamente pequenas. A própria cúpula, devido às suas
anteriormente referidas características autoportantes, comporta-se bastante bem sob as ações verticais.
Como o dimensionamento dos reservatórios de betão são fortemente condicionados pela
verificação ao estado limite de fendilhação, a estrutura estará sobredimensionada em relação aos estados
últimos. Esta observação não se aplica às estruturas metálicas, em que a combinação sísmica pode ser de
fato condicionante, tendo para mais em conta que a componente flexível poderá ser superior (apresentam
maiores períodos), e que as compressões verticais na parede provocadas pelo movimento da estrutura
contribuem para o aparecimento de problemas de encurvadura, como aqueles resumidos no início do
capítulo.
Justifica-se desta forma que os principais problemas relatados nos reservatórios de betão armado
(discutidos no inicio do capítulo) tenham envolvido em geral fenómenos de movimentos de corpo rígido,
nomeadamente, deslizamentos. O método simplificado do EC8, que deduz apenas a força de corte basal e o
momento derrubador, torna-se assim geralmente suficiente, fornecendo os dados necessários ao
dimensionamento das ancoragens, caso existam, e do equilíbrio global da estrutura.
Com base nas conclusões apresentadas, apenas serão considerados no dimensionamento do
reservatório as ações estáticas.
Por fim, resta acrescentar que a formulação presente no EC8, para o cálculo das distribuições das
forças na parede, é demasiado complexa para a aplicação corrente em projetos de estruturas, em especial
na dedução das forças hidrodinâmicas associadas à componente flexível, na medida que exige um método
iterativo de cálculo de equações complexas através de um programa de cálculo matemático.
Alternativamente, existem, na bibliografia apresentado pelo EC8-4, soluções apresentadas sob a forma de
ábacos que podem ser obtidas a partir das características geométricas dos reservatórios. Além disso, a norma
não é muito clara como devem ser combinadas as componentes da ação sísmica, limitando-se a fornecer uma
diversidade de opções sugeridas por diferentes autores.
120
121
6. DIMENSIONAMENTO DO RESERVATÓRIO
6.1. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO
As verificações de segurança à estrutura serão realizadas de acordo com as disposições das normas
NPEN1992-1-1 (EC2-1), relativa ao dimensionamento de edifícios em geral de betão armado, e EN1992-3
(EC2-3) [53], relativa ao dimensionamento das estruturas de retenção de líquidos, recorrendo-se ao método
dos fatores parciais.
Os estados limites considerados devem abranger uma vasta gama de tipos de carregamento, de tal
forma que se salvaguarde a segurança e funcionalidade da estrutura dentro das condições de
operacionalidade que se anteveja que ocorram. Em qualquer um destes, pretende-se que o valor de cálculo
das grandezas associadas, que são determinadas através da combinação dos carregamentos que se
consideram ocorrer simultaneamente seja menor que o valor limite correspondente.
ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
Os estados limites últimos (ELU) referem-se a situações de carregamento extremos, que
correspondem a possíveis modos de colapso da estrutura. Para minimizar a probabilidade de ocorrência da
rotura, as ações desfavoráveis são majoradas, de forma a contabilizar eventuais variações no seu valor,
através da aplicação da combinação fundamental. Já o esforço resistente é minorado para contabilizar as
incertezas ligadas às imperfeições geométricas e às propriedades dos materiais, e aos modelos de cálculo,
fazendo-se uso dos valores de cálculo da resistência dos materiais, definidos no ponto 2.1.3.
Procede-se seguidamente à apresentação das principais verificações de segurança às seções dos
elementos para cada tipo de forças instaladas.
6.1.1.1. FLEXÃO
A determinação da resistência à flexão última de seções de betão armado segundo o EC2-1-1 baseia-
se nas seguintes hipóteses:
As seções mantêm-se planas;
A extensão nas armaduras aderentes, em tração ou em compressão, é a mesma da do betão
que as envolve;
A resistência do betão à tração é ignorada;
As tensões no betão comprimido são obtidas do diagrama tensões-extensões de cálculo;
As tensões nas armaduras de betão armado são obtidas dos diagramas de tensões-extensões
de cálculo;
A resistência das seções é definida limitando-se as extensões máximas no aço e no betão segundo
representado na Figura 6.1.
122
FIGURA 6.1 – DOMÍNIO DAS DISTRIBUIÇÕES DE TENSÕES ADMISSÍVEIS NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO [6]
A flexão composta será verificada com recurso às tabelas de dimensionamento de Barros & Figueiras
[54]. Estas tabelas foram elaboradas cumprindo os limites da extensão indicadas na Figura 6.1, de acordo
com a classe de betão e do aço. As relações tensões-extensões de cálculo do betão comprimido foram
definidas pela lei da parábola-retângulo, descrita pelo ponto 3.1.7 do EC2-1-1. No aço foi utilizada a relação
elástica-perfeitamente plástica, descrita pelo diagrama de cálculo na mesma norma.
O uso das tabelas depende se a seção é simplesmente armada ou duplamente armada, mas consiste
basicamente na correlação entre os valores dos esforços adimensionais na seção (o esforço normal reduzido
𝑣, e o momento reduzido 𝜇), calculados pelas seguintes expressões:
𝜈 =𝑁𝑅𝑑
𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑐𝑑 (6.1)
𝜇 =𝑀𝑅𝑑
𝑏 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 (6.2)
Em que b representa a largura da seção e d representa a altura útil, medida do eixo da armadura
tracionada à face oposta do elemento, perpendicular ao eixo de flexão:
𝑑 = ℎ − 𝑐 −𝜙/2 (6.3)
No caso de se ter flexão simples na seção, a relação entre o momento adimensional e a percentagem
mecânica de armadura é deduzida aproximadamente pelo método do diagrama retangular simplificado [55],
obtendo-se:
𝜇 = 𝜔 ∙ (1 − 0,588 ∙ 𝜔) (6.4)
Em que 𝜇 é calculado novamente pela expressão (6.2), e 𝜔 é a percentagem mecânica de armadura:
123
𝜔 =𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑓𝑐𝑑
(6.5)
6.1.1.2. ESFORÇO TRANSVERSO
O EC8-1 identifica três situações limite na verificação da resistência em relação ao esforço
transverso:
Esforço transverso resistente do elemento sem armadura de esforço transverso;
Esforço transverso equilibrado pela armadura de esforço transverso na tensão de cedência;
Esforço transverso máximo do elemento, limitado pelo esmagamento das escoras comprimidas;
Como os valores de esforço transverso no reservatório analisado são relativamente baixos, apenas
será apresentada o cálculo da verificação de segurança relativo à primeira situação, admitindo-se como
hipótese que não será necessária armadura transversal (em elementos de laje não é requerida armadura
transversal mínima). Nesta condição, o valor de cálculo do esforço transverso resistente, 𝑉𝑅𝑑,𝑐, é obtido por:
𝑉𝑅𝑑,𝑐 = [𝐶𝑅𝑑,𝑐 ∙ 𝑘 ∙ (100 ∙ 𝜌1 ∙ 𝑓𝑐𝑘)1/3+ 𝑘1 ∙ 𝜎𝑐𝑝] ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (6.6)
com fck em MPa e 𝑉𝑅𝑑,𝑐 em N, tendo um valor mínimo de:
𝑉𝑅𝑑,𝑐 ≥ (𝜈𝑚𝑖𝑛 + 𝑘1 ∙ 𝜎𝑐𝑝) ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (6.7)
QUADRO 6.1 – PARÂMETROS DAS EQUAÇÕES DE CÁLCULO DO E.T. RESISTENTE EM ELEMENTOS SEM ARMADURA DE E.T.
Símbolo Expressão Designação/observações
𝑘 𝑘 = 1 + √200
𝑑≤ 200 𝑑 é a altura útil da seção (mm)
𝜌𝑙 𝜌𝑙 =𝐴𝑠𝑙𝑏𝑤 ∙ 𝑑
≤ 0,02 Taxa de armadura de tração
𝐴𝑠𝑙 - Área da armadura de tração
𝑏𝑤 - Menor largura da seção transversal na área tracionada (mm)
𝜎𝑐𝑝 𝜎𝑐𝑝 =𝑁𝐸𝑑𝐴𝑐
< 0,2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 𝑁𝐸𝑑 é o esforço normal com compressões positivas (N)
𝐴𝑐 é a área da seção transversal de betão (mm2)
𝐶𝑅𝑑,𝑐 𝐶𝑅𝑑,𝑐 =0,18
𝛾𝑐= 0,12 Valor recomendado
𝑣𝑚𝑖𝑛 𝑣𝑚𝑖𝑛 = 0,035 ∙ 𝑘3/2 ∙ 𝑓𝑐𝑘
1/2 𝑓𝑐𝑘 em MPa
𝑘1 𝑘1 = 0,15 Valor recomendado
124
6.1.1.3. ESFORÇO AXIAL
Perante a ação de uma força axial de compressão, é necessário verificar que as tensões no betão,
distribuídas na área transversal 𝐴𝑐 , não ultrapassem o valor de cálculo da resistência, de acordo com a
expressão (6.8).
𝑁𝐸𝑑 ≤ 𝑓𝑐𝑑∙ 𝐴𝑐 (6.8)
No caso de se ter na seção uma força axial de tração, não se considera qualquer contribuição
resistente do betão, sendo necessário verificar se a área de armadura longitudinal na seção, 𝐴𝑠 , será
suficiente para acomodar os esforços de tração, sem ultrapassar o valor de cálculo resistente (expressão (6.8))
𝑁𝐸𝑑 ≤ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠 (6.9)
ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO
Os estados limites de utilização correspondem a situações de carregamento, decorrentes da
utilização normal da estrutura, em que se pretende que se verifiquem certos requisitos que visam garantir a
aparência, funcionalidade, desempenho e durabilidade da estrutura. As principais verificações que devem ser
efetuadas prendem-se com a limitação das tensões, o controlo da fendilhação e o controlo das deformações.
No caso dos reservatórios, a deformação não é tão relevante e por isso não será avaliada neste
trabalho. Por outro lado, o controlo da fendilhação é um aspeto fulcral e geralmente condicionante no
dimensionamento, já que se pretende que estas estruturas possuam algum nível de estanqueidade. Neste
tema, será dada especial atenção às disposições do EC2-3. O valor da tensão máxima do betão à tração
considerada é de 𝑓𝑐𝑡𝑚.
6.1.2.1. LIMITAÇÃO DAS TENSÕES
De forma a evitar o eventual aparecimento de fendilhação longitudinal (paralela às tensões), as
tensões no betão, na combinação característica, devem ser limitadas por:
𝜎𝑐 ≤ 0,6 ∙ 𝑓𝑐𝑘 (6.10)
Também no betão, o comportamento da fluência manter-se-á linear (tal como foi calculada no
capítulo 2), se as tensões, na combinação quase permanente, respeitarem a condição:
𝜎𝑐 ≤ 0,45 ∙ 𝑓𝑐𝑘
(6.11)
Já na armadura ordinária, a fim de se evitar níveis inaceitáveis de deformação e fendilhação, na
combinação característica de ações, deve-se assegurar que:
𝜎𝑠 ≤ 0,8 ∙ 𝑓𝑠𝑦𝑘 (para ações diretas) (6.12)
125
𝜎𝑠 ≤ 1,0 ∙ 𝑓𝑠𝑦𝑘 (para ações indiretas) (6.13)
6.1.2.2. ARMADURA MÍNIMA
Nas zonas sob tensões de tração, no caso de se pretender limitar a largura de fendas, é necessário
uma quantidade mínima de armaduras para que, no momento da fendilhação da seção, a transferência de
tensões do betão para as armaduras não provoque a sua plastificação. Trata-se assim de um problema de
equilíbrio traduzida, em termos gerais, pela expressão (6.14).
𝐴𝑐 ∙ 𝜎𝑐 = 𝐴𝑠 ∙ 𝜎𝑠 (6.14)
Para ter em conta a distribuição de tensões na seção, o EC2-1-1 apresenta a formulação da expressão
(6.15), cujos parâmetros são descritos no Quadro 6.2.
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =𝑘𝑐 ∙ 𝑘 ∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑒𝑓𝑓 ∙ 𝐴𝑐𝑡
𝜎𝑠 (6.15)
QUADRO 6.2 – PARÂMETROS DO CÁLCULO DA ARMADURA MÍNIMA
Símbolo Expressão Designação/observações
𝑘
𝑘 = 1 (ℎ ≤ 0,3 𝑚)
0,65 < 𝑘 < 1 (0,3 𝑚 ≥ ℎ ≥ 0,8 𝑚)
𝑘 = 0,65 (ℎ ≥ 0,8 𝑚)
Coeficiente que considera o efeito das tensões não uniformes auto-
equilibradas, de que resulta uma redução dos esforços de coação.
𝑘𝑐 𝑘𝑐 = 1,00 (tração simples)
𝑘𝑐 = 0,40 (flexão s/ esforço normal)
Coeficiente que tem em conta a distribuição de tensões na seção,
imediatamente antes da fendilhação e da variação do braço binário.
Para o caso de flexão composta, existem outras expressões no
regulamento.
𝐴𝑐𝑡 - Área de betão tracionado imediatamente antes da formação da fenda.
𝜎𝑠 -
Tensão máxima admissível na armadura imediatamente depois da formação da fenda,
que poderá ser 𝑓𝑦𝑘 ou mais baixo, para satisfazer a largura máxima de fendas em função
do diâmetro máximo ou do espaçamento máximo entre varões (controlo indireto)
Neste contexto apresentar-se-ão outras limitações às quantidades de armadura de acordo com a
mesma norma. Estes valores são meramente indicativos, uma vez que a armadura mínima no reservatório
será sempre limitada pelo critério da não plastificação. A armadura vertical das paredes deverá estar sempre
compreendida entre 0,002 ∙ 𝐴𝑐 e 0,04 ∙ 𝐴𝑐, enquanto na direção horizontal não deverá ser inferior a 25% da
armadura vertical, ou 0,001 ∙ 𝐴𝑐. Já nas lajes, os limites de armadura são definidos por:
0,26 ∙𝑓𝑐𝑡𝑚𝑓𝑦𝑘
∙ 𝑏𝑡 ∙ 𝑑 ≤ 𝐴𝑠 ≤ 0,04 ∙ 𝐴𝑐 (6.16)
em que 𝐴𝑠 possui um valor mínimo de 0,0013 ∙ 𝑏𝑡 ∙ 𝑑.
126
6.1.2.3. LIMITE DE ABERTURA DE FENDAS
A ocorrência de fendilhação do betão é normal e inevitável na maioria das estruturas. Deve, no
entanto, ser limitada de forma que não prejudique o funcionamento correto, durabilidade ou aspeto da
estrutura. Nos edifícios, o valor limite (𝑤𝑚𝑎𝑥) para a largura de fendas, (𝑤𝑘), é definido segundo a classe de
exposição da estrutura (EC2-1-1) segundo indicado no Quadro 6.3 (não é incluída informação relativa a
elementos pré-esforçados). Relativamente aos reservatórios, há que ter em conta que estas estruturas
requerem diferentes níveis de exigência quanto à estanquidade, onde a fendilhação desempenha um papel
importante, nomeadamente a largura das fendas, e se atravessam ou não toda a espessura do elemento.
QUADRO 6.3 – VALORES DE WMAX EM ELEMENTOS DE BETÃO ARMADO (ADAPTADO DE [6])
Classe de exposição Combinação de ações
quase-permanente
XC0, XC1 0,4 mm
XC2, XC3, XC4, XD1, XD2, XS1, XS2, XS3 0,3 mm
Assim, para definir o limite de aberturas de fendas, o EC2-3 classifica os reservatórios com base no
nível de proteção contra fugas requerido (Quadro 6.4). É de notar que, independentemente da sua qualidade
e nível de controlo implementado, todo o betão permite a passagem de pequenas quantidades de líquidos e
gases por difusão [53].
QUADRO 6.4 – CLASSIFICAÇÃO QUANTO À ESTANQUIDADE (ADAPTADO DE [53])
Classe de
estanquidade Requisitos para fugas
0 Aceitável um certo nível de fuga, ou a fuga de líquidos é irrelevante.
1 Fugas limitadas a pequenas quantidades. São aceitáveis algumas
manchas superficiais ou manchas de humidade.
2 Fugas devem ser mínimas. Aspeto não afetado por manchas.
3 Nenhuma fuga é permitida.
Segundo determina o EC2-3, na ausência de informação mais específica, os limites da abertura de
fendas deverá ser definida a partir da classificação quanto à estanquidade, da seguinte forma:
Classe de estanquidade 0 – Poderão ser adotadas as disposições do ponto 7.3.1 do EC2-1-1
(Quadro 6.3);
Classe de estanquidade 1 – Todas as fendas que se preveja que atravessem toda a espessura da
seção devem ser limitadas a 𝑤𝑘1. As provisões do ponto 7.3.1 do EC2-1-1 aplicam-se nos casos
em que a seção não está fendilhada em toda a sua espessura;
Classe de estanquidade 2 – Em geral, deverão ser evitadas fendas que atravessem toda a
espessura da seção, a não ser que tenham sido tomadas medidas apropriadas (por exemplo,
revestimentos ou juntas waterstop);
Classe de estanquidade 3 – Serão, em geral, necessárias medidas especiais a fim de garantir
estanquidade total (por exemplo, revestimentos ou aplicação de pré-esforço)
127
Nas classes 2 e 3, a condição de que as fendas não atravessam toda a espessura da seção
corresponde a ter-se permanentemente pelo menos 50 mm ou 0,2 vezes a espessura sob compressão, na
combinação quase-permanente ações e desprezando a resistência à tração do betão no cálculo.
Nas estruturas de retenção de água, o valor recomendado de 𝑤𝑘1 é definido como uma função da
relação entre a altura do líquido ℎ𝐿 (proporcional à pressão hidrostática), e a espessura do elemento 𝑡. Para
ℎ𝐿/ℎ ≤ 5, 𝑤𝑘1 = 0,2 𝑚𝑚, e para ℎ𝐿/ℎ ≥ 35, 𝑤𝑘1 = 0,05 𝑚𝑚. Para relações intermédias pode ser efetuada
uma interpolação linear (Figura 6.2).
FIGURA 6.2 – VALORES RECOMENDADOS DE WK1 DE ACORDO COM O EC2-3
A limitação da largura de fendas para estes valores deverá resultar numa auto-selagem efetiva das
fendas num período de tempo curto, desde que as ações em serviço não gerem extensões superiores a 150 ×
10−6 [53].
6.1.2.4. CÁLCULO DA ABERTURA DE FENDAS
O valor de cálculo da largura de fendas é determinado, segundo o EC2-1-1, pela expressão (6.17).
𝑤𝑘 = 𝑆𝑟,𝑚𝑎𝑥 ∙ (휀𝑠𝑚 − 휀𝑐𝑚) (6.17)
em que:
𝑆𝑟,𝑚𝑎𝑥 – Distância máxima entre fendas;
휀𝑠𝑚 – Deformação média da armadura;
휀𝑐𝑚 – Deformação média do betão entre fendas;
A extensão média relativa entre o aço e o betão, 휀𝑠𝑟𝑚 = (휀𝑠𝑚 − 휀𝑐𝑚), é calculado por:
(휀𝑠𝑚 − 휀𝑐𝑚) =
𝜎𝑠 − 𝑘𝑡 ∙𝑓𝑐𝑡,𝑒𝑓𝑓𝜌𝜌,𝑒𝑓𝑓
∙ (1 + 𝛼𝑒 ∙ 𝜌𝜌,𝑒𝑓𝑓)
𝐸𝑠≥ 0,6 ∙
𝜎𝑠𝐸𝑠
(6.18)
em que:
𝑘𝑡 – Coeficiente função da duração do carregamento (=0,6 se curta duração; =0,4 se longa duração);
𝜎𝑠 – tensão no aço;
𝛼𝑒 – Relação 𝐸𝑠/𝐸𝑐𝑚;
128
𝜌𝜌,𝑒𝑓𝑓 = 𝐴𝑠/𝐴𝑐,𝑒𝑓𝑓 em elementos sem armadura pré-esforçada;
𝐴𝑐,𝑒𝑓𝑓 – Área da seção efetiva de betão tracionado que envolve as armaduras, que em elementos retangulares sob flexão
sobre o eixo horizontal, terá com uma altura de ℎ𝑐,𝑒𝑓 = 𝑚𝑖𝑛{2,5 ∙ (ℎ − 𝑑); (ℎ − 𝑥)/3;ℎ/2};
Por fim, a distância máxima entre fendas, 𝑆𝑟,𝑚𝑎𝑥, é calculado por:
𝑆𝑟,𝑚𝑎𝑥 = 3,4 ∙ 𝑐 + 0,425 ∙ 𝑘1 ∙ 𝑘2 ∙𝜙
𝜌𝜌,𝑒𝑓𝑓 (6.19)
em que:
𝑘1 – Coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência das armaduras (=0,8 para varões de alta aderência; =
0,4 para varões com superfície lisa);
𝑘2 – Coeficiente que tem em conta a distribuição das extensões (=0,5 para flexão; =1,00 para tração simples);
𝜙 – Diâmetro dos varões;
𝑐 – Valor do recobrimento das armaduras;
FIGURA 6.3 – DIAGRAMAS DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO NOS MATERIAIS (ADAPTADO DE [12])
O anexo M do EC2-3 [53] dispõe de uma forma simplificada para calcular o valor da abertura de
fendas devido aos efeitos da retração e em particular das variações de temperatura nos primeiros dias após
betonagem. A diferença entre as extensões médias da armadura e do betão pode ser obtido pela expressão
(6.20).
(휀𝑠𝑚 − 휀𝑐𝑚) = 𝑅𝑎𝑥 ∙ 휀𝑓𝑟𝑒𝑒 (6.20)
O fator 𝑅𝑎𝑥 define o grau de restrição axial a que está sujeito o elemento, e é obtido através da
consulta de figuras no anexo L da norma onde estão representados várias situações distintas. Para uma
parede restringida pela laje de fundo (situação comum em reservatórios - Figura 6.4) o valor a adotar é 0,5.
Por sua vez, 휀𝑓𝑟𝑒𝑒 é a extensão que ocorreria se o elemento estivesse completamente livre de se deformar.
129
FIGURA 6.4 - PAREDE RESTRINGIDA NA SUA BASE
6.1.2.5. CONTROLO INDIRETO DA FENDILHAÇÃO
Avaliando-se as expressões (6.17) a (6.19) de cálculo da abertura de fendas, pode-se concluir que o
seu valor depende fundamentalmente da quantidade de armadura (diretamente relacionada com a tensão
no aço) e o afastamento entre os varões (relacionado com o diâmetro dos varões).
Assim, fixando-se os restantes parâmetros nos valores comuns, é possível relacionar as principais
variáveis através de ábacos, possibilitando o controlo de abertura de fendas aproximado sem necessidade do
seu cálculo direto.
De acordo com o EC3-2, o controlo indireto da fendilhação pode ser efetuado consultando os valores
da Figura 6.5, no caso de carregamentos causados predominantemente por deformações impostas. No caso
de carregamentos devidos a ações diretas, podem ser utilizadas tanto a Figura 6.5 como a Figura 6.6.
Confirma-se a ideia que para cumprir critérios de fendilhação apertados, as tensões nas armaduras
em serviço deverão ser bastante baixas. Conforme se verificou no capítulo 4, nos reservatórios os esforços
em serviço são superiores aos esforços nos estados limites últimos, pelo que a capacidade resistente das
armaduras é pouco explorada e este critério é, de facto, geralmente condicionante.
De forma a contabilizarem-se betões de resistências à compressão distintas, o diâmetro máximo dos
varões (𝜙𝑠∗) obtido deverá ser modificado através de:
𝜙𝑠 = 𝜙𝑠∗ ∙ (
𝑓𝑐𝑡,𝑒𝑓𝑓2,9
) ∙ℎ
10 ∙ (ℎ − 𝑑) (6.21)
FIGURA 6.5 – DIÂMETRO MÁXIMO DOS VARÕES PARA CONTROLO DA FENDILHAÇÃO (ADAPTADO DE [53])
Tensão na armadura (N/mm2)
Diâmetro máximo dos
varões (m
m)
130
FIGURA 6.6 – ESPAÇAMENTO MÁXIMO ENTRE VARÕES PARA CONTROLO DA FENDILHAÇÃO (ADAPTADO DE [53])
6.2. DIMENSIONAMENTO DO RESERVATÓRIO ESTUDADO
Conforme foi justificado na discussão de resultados da análise sísmica (ponto 0), os esforços
hidrodinâmicos devido à ação sísmico não serão contabilizados no dimensionamento da estrutura, fazendo-
se uso unicamente dos resultados da análise estática efetuada no capítulo 4, mais precisamente do modelo
B com um coeficiente de Winkler de 𝑘𝑠 = 200 𝑀𝑁/𝑚3. Conforme foi referido anteriormente, esta hipótese
é tomada para que se consiga um dimensionamento não exagerado das armaduras, tendo em conta a elevada
esbelteza da estrutura originalmente concebida por Santarella [52].
Em termos gerais, para uma conceção de raiz da estrutura seria prudente aumentar a espessura das
seções (nomeadamente da cúpula e laje de fundo) e, dependendo do solo, considerar uma maior
deformabilidade (menor valor do coeficiente de Winkler) para antever maiores esforços causados por
assentamentos não previstos.
Devido às referidas espessuras muito pequenas na laje de fundo e na cúpula, foi necessário adotar
apenas uma camada de armadura em cada direção. Nestes dois elementos, para efeitos de cálculo, foi
considerado simplificadamente que o eixo das armaduras, em ambas direções, passa pelo meio da seção.
QUADRO 6.5 - ALTURAS ÚTEIS CONSIDERADAS NO DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS
Elemento h d d’
Laje de fundo 0,10 m 0,05 m 0,05 m
Parede 0,20 m 0,16 m 0,04 m
Cúpula 0,08 m 0,04 m 0,04 m
Serão dimensionadas as seções nos pontos correspondentes à malha de elementos finitos utilizada,
onde foram medidos os esforços na estrutura. Devido à concentração de esforços nas ligações, é necessário
contabilizar o aumento da espessura nestas zonas, e a presença da segunda camada de armadura, que está
indicada nos resultados (Anexo A.9). A Figura 6.7 indica os valores adotados para as seções analisadas na
ligação parade-laje de fundo. Também na cúpula, na seção mais periférica analisada, que faz a ligação com a
viga, foi adotado no cálculo h = 0,12 m e d = 0,08 m, e na direção radial, duas camadas de armaduras, como
pode ser observado nos desenhos finais.
Esp
açamento máximo entre va
rões
(mm)
Tensão na armadura (N/mm2)
131
Desta forma, apesar de os esforços se concentrarem no eixo das ligações, as seções críticas poderão
ser aquelas imediatamente sequentes, com menores esforços mas também menores alturas úteis e/ou uma
só camada de armadura. Como este aumenta das espessuras dos elementos não foi considerado no modelo
de elementos finitos, há que ter em conta uma concentração superior dos esforços nestas zonas que aqueles
medidos, porém, por outro lado, como se verá seguidamente, o cálculo das armaduras terá um carácter
conservativo, de forma a controlar a fendilhação e garantir a estanquidade do reservatório.
FIGURA 6.7 - ALTURAS ÚTEIS DAS SEÇÕES NA ZONA DA LIGAÇÃO PAREDE-LAJE DE FUNDO
ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO
Na verificação aos estados limites de utilização, para a avaliação dos efeitos a longo prazo, deve ser
aplicada a combinação de ações quase permanente, dada pela expressão (6.22) [1].
∑𝐺𝑘,𝑗𝑗≥1
+∑𝜓2,𝑖𝑄𝑘,𝑖𝑗≥𝑖
(6.22)
Admitir-se-á, conservativamente, um coeficiente reduzido para a ação das variações de temperatura
de 𝜓2 = 0,5. A sobrecarga na cobertura tem valor reduzido nulo. Assim, para ter em conta a situações de
carregamento correspondentes ao reservatório vazio e cheio (com e sem a aplicação da pressão das terras,
para incluir a fase de testes à estanquidade), em cada situação, será utilizada o valor mais desfavorável de
entre as seguintes situações:
{𝑃𝑃 + 𝑃𝐻𝑃𝑃+ 𝑃𝑇
𝑃𝑃 + 𝑃𝐻 + 𝑃𝑇 } ; {
𝑃𝑃 + 𝑃𝐻𝑃𝑃+ 𝑃𝑇
𝑃𝑃 + 𝑃𝐻 + 𝑃𝑇 } + 𝑅 ; {
𝑃𝑃 + 𝑃𝐻𝑃𝑃 + 𝑃𝑇
𝑃𝑃 + 𝑃𝐻 + 𝑃𝑇 } + 𝑅 + 0,5 × {
𝑇𝑈𝑁 𝑇𝑈𝑃𝑇𝐷𝑁𝑇𝐷𝑃
} ; (6.23)
Consideram-se os carregamentos mais desfavoráveis entre chavetas. Como as tensões resultantes
da retração desenvolvem-se relativamente rápido (ponto 2.2.2.4), é coerente admitir-se apenas os efeitos da
temperatura com aqueles da retração. O significado das siglas foi descrito no início do capítulo 4.
6.2.1.1. TENSÕES NO ESTADO I
132
De forma a avaliar-se o estado da fendilhação em serviço da estrutura, calcularam-se as tensões de
tração máximas no betão em estado não fendilhado (estado I), aplicando-se a combinação de ações dada
pela expressão (6.23). Estas ocorrem sempre nas faces dos elementos (devido à flexão) e são calculados pela
expressão (6.24), em que o sinal varia de acordo com o sinal do momento que produz trações na face
considerada:
𝜎 =𝑁
𝐴𝑐∓𝑀
𝑤 (6.24)
em que w [L3] é o módulo de flexão, que em seções retangulares toma o valor de b ∙ h2/6.
Os resultados encontram-se no Anexo A.8. As maiores trações no reservatório verificam-se
predominantemente na parede, na direção horizontal, consequência do efeito de anel que marca o
comportamento deste tipo de estruturas. O valor máximo fixa-se em 1,70 MPa, inferior à resistência do betão
à tração, de 2,20 MPa. Conclui-se que a estrutura tem um comportamento elástico, e não haverá lugar a
reduções das tensões na estrutura devido à presença das ações indiretas combinadas com as cargas
aplicadas, resultantes de decréscimos de rigidez provenientes da fendilhação. Conclui-se ainda, à parte das
questões relacionadas com a durabilidade e estanquidade, que a baixa qualidade do betão terá pouca
influência no dimensionamento da estrutura.
6.2.1.2. LIMITAÇÃO DA ABERTURA DE FENDAS
Admitir-se-á que o reservatório pertence à classe de estanquidade 1. Na laje de fundo, nas paredes
e na viga, como estão em contato com o líquido, aplicam-se os limites da abertura de fendas do EC2-3. Na
direção vertical da parede, apesar da presença, em todas as combinações de ações, de uma força axial de
compressão (devido ao peso próprio), as trações variam entre as duas faces porque há lugar à aplicação
alternada de momentos negativos e positivos nas situações de tanque cheio e vazio. Logo, não se pode
garantir uma compressão constante em parte da espessura da parede.
Assim, na laje e na parede, em ambas as direções, e na viga, devem ser aplicados os limites 𝑤𝑘1.
Estes limites são calculados com base no rácio entre a altura de líquido e a espessura do elemento. Na parede
foram definidos três limites a diferentes cotas (Quadro 6.6). Cada limite será aplicado na zona da parede
localizada acima da respetiva cota. Destes, o mais exigente foi definido a 0,40 m do fundo, já que abaixo dessa
cota a parede aumenta de espessura até à ligação com a laje de fundo.
QUADRO 6.6 – LIMITES WK1 PARA A ABERTURA DE FENDAS
Elemento z (m) hL (m) t (m) hL/t wk1 (mm)
Parede
3,4 2,0 0,2 10 0,175
1,4 4,0 0,2 20 0,125
0,4 5,0 0,2 25 0,100
Laje - 5,4 0,1 54 0,050
Viga - 0,1 0,4 0,25 0,200
Na cúpula, que não está em contacto com o líquido, é definido o limite de abertura de fendas
segundo o EC2-1-1 (Quadro 6.3), correspondente à classe de exposição XC4, que é de 0,3 mm.
133
Foi utilizada uma aplicação em Excel, que a partir das propriedades dos materiais, geometria da
seção, par de esforços N e M, e posição das armaduras, calcula as extensões no aço e no betão, das quais
deduz as respetivas tensões nos materiais, e por fim, obtém a abertura de fendas segundo a formulação do
EC2-1-1. Os diâmetros dos varões e o seu espaçamento foram definidos iterativamente para as combinações
de ações mais desfavoráveis para a abertura de fendas em cada face dos elementos, de forma a se cumprirem
os critérios da abertura de fendas anteriormente fixados, garantindo-se consequentemente também as
armaduras mínimas de acordo com a expressão (6.16).
Estas combinações de ações nem sempre serão as mesmas que aquelas utilizadas no cálculo das
tensões em estado I, já que agora considera-se que as seções estão fendilhadas e não há contribuição do
betão à tração. Há que referir ainda, que apesar disso, conservativamente, não foram consideradas
decréscimos das forças resultantes das ações indiretas devido à perda de rigidez, já que as soluções obtidas
não representam quantidades exageradas de armadura, inclusive em muitas zonas foi necessário aumentar
para a quantidade mínima aceitável.
Os resultados deste cálculo encontram-se no Anexo A.9.
6.2.1.3. LIMITAÇÃO DAS TENSÕES
As tensões serão sempre bastante pequenas já que o funcionamento da estrutura assenta no
desenvolvimento esforços de flexão e de tração, em que as tensões no aço são controladas pela abertura de
fendas.
Nos resultados do cálculo de abertura de fendas são apresentados as tensões nas armaduras em
cada seção, cujo máximo regista-se na cúpula (direção circunferencial), onde existem menores requisitos na
abertura de fendas, com um valor de 164,2 MPa, que corresponde a 0,41 𝑓𝑠𝑦𝑘 , muito distante do limite de
1,0 𝑓𝑠𝑦𝑘 .
No betão, as máximas compressões registam-se nas paredes, devido ao peso próprio. Apesar de os
resultados do cálculo da abertura de fendas terem sido efetuados para as situações de máximas trações na
armadura, o esforço axial na parede é igual em todas as combinações, por isso neste elemento as
combinações consideradas correspondem simplesmente às que geram maiores flexões, e consequentemente
correspondem também às maiores compressões no betão. Logo, a tensão máxima no betão é de 4,3 MPa, ou
0,22 𝑓𝑐𝑘, abaixo do limite de 0,45 𝑓𝑐𝑘.
Assim, como a combinação característica terá valores semelhantes à combinação considerada, e os
limites neste caso seriam de qualquer forma superiores, admitem-se verificados os limites de tensão.
ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
Na verificação aos estados limites últimos, na ausência de forças sísmicas, deve ser usada a
combinação fundamental de ações, calculada segundo a expressão (6.25).
𝑆𝑑 =∑𝛾𝐺,𝑗𝐺𝑘,𝑗 + 𝛾𝑄,1𝑄𝑘,1 +∑𝛾𝑄,𝑖𝜓0,𝑖𝑄𝑘,𝑖𝑖>1𝑗⪖1
(6.25)
O EC1-4 dispõe em anexo algumas recomendações que complementam a informação disponível no
EC0, acerca da forma como se deverão combinar as ações nos reservatórios. Durante a fase de testes (que
134
no presente caso corresponde à situação em que a pressão do terreno não é aplicada), o coeficiente parcial
de segurança do impulso hidrostático pode ser tomado como 𝛾 = 1,0, enquanto na fase de operação poderá
ser de 𝛾 = 1,2. Estão presentes outras disposições adicionais.
Neste estudo, considerar-se-á que as ações permanentes (peso próprio) terão sempre um efeito
globalmente desfavorável. Simplificadamente, será aplicado o coeficiente de 𝛾 = 1,5 para todas as ações
avaliadas, quer sejam permanentes ou variáveis. Por fim, o valor do coeficiente reduzido 𝜓0 terá sempre valor
unitário.
Assim, tendo em conta que as ações indiretas não são contabilizadas, as combinações que serão
consideradas resumem-se da seguinte forma, em que é escolhida a parcela mais desfavorável entre chavetas:
1,5 ∙ {𝑃𝑃 + 𝑃𝐻𝑃𝑃 + 𝑃𝑇
𝑃𝑃 + 𝑃𝐻 + 𝑃𝑇 } ; 1,5 ∙ {
𝑃𝑃 + 𝑃𝐻𝑃𝑃+ 𝑃𝑇
𝑃𝑃 + 𝑃𝐻 + 𝑃𝑇 } + 1,5 ∙ 𝑆𝐶 (6.26)
Na direção radial na cúpula, e na direção vertical na parede, os elementos estão, em todas as seções,
sob compressões moderadas, que terá um efeito benéfico na flexão, pelo que o cálculo das armaduras é feita
para a flexão simples. Na direção horizontal da parede e na viga, as armaduras são calculadas para a tração
pura. Por fim, em ambas direções da laje de fundo, e na direção circunferencial da cúpula o cálculo é feito
para a flexão composta com tração, com recurso a tabelas. Para que o processo não fosse demasiado moroso,
verificaram-se as seções mais críticas dos elementos, com exceção da parede.
Os resultados encontram-se no Anexo A.10. Conforme era previsível, o dimensionamento em estado
limite último conduz a valores de armaduras de um grau de grandeza muito inferior aos valores obtidos pelo
critério da fendilhação. Apenas na direção horizontal da parede se obtêm valores mais elevados, reflexo do
tipo de comportamento da estrutura.
Apesar de não se ter incluído os resultados de forma a não estender o trabalho em demasia, foram
verificados adicionalmente os esforços na cúpula face a um carregamento assimétrico, em que se aplicou a
sobrecarga somente sobre metade da cobertura. Concluiu-se que, devido à anteriormente referida
capacidade de redistribuição conferida pelos anéis da cúpula (em contraste com um arco individual), são
gerados esforços adicionais reduzidos, que não constituem uma situação condicionante.
Por fim, também foi verificado a necessidade de armadura de esforço transverso nas seções críticas.
Conforme indicam os resultados no Anexo A.11, em todos os elementos os esforços encontram-se bastante
baixo dos limites segundo o EC2-1-1.
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
Se a laje circular for pormenorizada com as armaduras orientadas segundo direções radial e anelar,
a distância entre os varões radiais vai-se diminuindo em direção ao centro, e no centro da laje cruzar-se-ão
demasiados varões. Segundo Leonhardt [52], uma solução será dispor de três ou quatro séries de varões
paralelos de diâmetro reduzido, cruzando-se assim no centro apenas três ou quatro camadas de armaduras
(Figura 6.8).
135
FIGURA 6.8 – DISPOSIÇÃO DE ARMADURAS NUMA LAJE
CIRCULAR [52]
FIGURA 6.9 – DISPOSIÇÃO DE ARMADURAS NUMA LAJE
ANELAR [52]
No caso da cúpula no reservatório em análise, a pequena abertura no centro impede que se verifique
o problema do cruzamento dos varões (Figura 6.9), sendo assim uma boa solução. A diminuição do
afastamento entre armaduras radiais em direção ao centro leva a que se tenha em cada ponto uma
resistência inversamente proporcional à distância ao centro.
Em toda a cúpula foi atribuída uma armadura radial 𝜙6//12,5 cm. Se os varões partirem do bordo
exterior com este afastamento significa que, por exemplo, a meia distância do centro (4,1 m) ter-se-á um
afastamento de 6,25 cm, e poder-se-á dispensar metade dos varões para regressar ao afastamento inicial, e
novamente a metade dessa distância (2,05 m) dispensar novamente metade dos varões restantes, poupando-
se armadura e reduzindo-se a quantidade de varões que convergem junto à abertura, que possui um diâmetro
pequeno (0,6 m). A pormenorização pode ser consultada nas Peças Desenhadas no Anexo B.
Já na laje de fundo, que não possui a abertura, decidiu-se adotar uma distribuição ortogonal das
armaduras, que possui como vantagens uma maior simplicidade de execução e menor custo de mão-de-obra.
Contudo, é preciso ter em conta que, como as lajes circulares com carregamentos axissimétricos geram
flexões cuja direção principal é radial, existirá um desvio angular de até 45° (Figura 6.10). Enquanto em lajes
muito extensas no plano se pode efetuar o cálculo das armaduras por zonas e reforçar adequadamente,
optou-se neste caso simplesmente por aumentar as armaduras multiplicando-se os esforços por √2, como
se encontra indicado nos resultados dos cálculos em estado limite de utilização e último.
Este tipo de pormenorização aplicada na cúpula e da laje de fundo é também adotada na estrutura
original.
FIGURA 6.10 – DISPOSIÇÃO DE ARMADURAS ORTOGONAIS NUMA LAJE CIRCULAR [52]
136
6.3. COMPARAÇÃO DA SOLUÇÃO DE DIMENSIONAMENTO COM SANTARELLA
Os desenhos finais com a solução de dimensionamento proposta encontram-se no anexo B e
proceder-se-á a uma breve comparação com o desenho apresentado por Santarella [52], no
dimensionamento do mesmo reservatório, reproduzido na Figura 1.3.
O dimensionamento efetuado por Santarella baseou-se no regulamento Italiano de 1939, que
limitava simplesmente as tensões no aço em 200 MPa, não havendo o cuidado com o afastamento entre
varões para controlar a fendilhação.
Tanto na laje como na cúpula, que possuem espessuras de respetivamente 10 e 8 cm, Santarella
dispôs de armaduras #φ6//25. Na cúpula esse fato não constitui surpresa, uma vez que praticamente só
desenvolve compressões (neste trabalho atribui-se #φ6//12,5), contudo na laje existem trações significativas,
razão pela qual se verifica uma grande diferença em relação ao que foi adotado (#φ12//12,5, mas só uma
camada). Já na parede, a mesma conclusão se pode retirar ao avaliar a direção vertical, onde Santarella
adotou novamente reduzidas quantidades de armadura (φ8//40 na face interior e φ6//30 na face interior).
Apenas na direção horizontal Santarella aplicou quantidades mais elevadas de armadura, com uma
área máxima aproximada de 18 cm2/m na parte de baixo da parede (só na fase exterior). Caso se
dimensionasse a estrutura com base nos mesmos critérios, obter-se-ia sensivelmente a mesma armadura em
toda a estrutura. De fato, basta analisar os resultados do cálculo da armadura em estado limite último. A
única zona onde se verificou a necessidade de quantidades razoáveis de armadura foi precisamente na
direção horizontal da parede, onde se verificam trações muito elevadas nos anéis. Neste estudo foi adotado
exatamente o dobro da área (36 cm2/m na soma das duas faces), mas por outro lado, as tensões em serviço
são sensivelmente de metade (cerca de 80 MPa).
Em suma, esta diferença entre as duas soluções demonstra a grande evolução nos regulamentos
com vista a melhorar o comportamento em serviço e a durabilidade das estruturas, e no caso particular dos
reservatórios, em cumprir os seus requisitos de estanquidade.
137
7. ANÁLISE NÃO LINEAR
7.1. INTRODUÇÃO
Em geral, as estruturas seguem um comportamento linear até certo nível de carregamento,
traduzindo-se numa proporcionalidade entre o nível de esforços e deformações. A partir do ponto em que
pelo menos um dos materiais deixa de exibir linearidade constitutiva ou linearidade geométrica, a
deformação passa a ser definida por uma função não linear dos esforços. Além disso, há lugar a uma perda
de rigidez que se traduz em deformações elevadas, alterando-se significativamente a geometria da estrutura,
de tal forma que os deslocamentos induzidos já não podem ser desprezados.
A análise linear tem a óbvia vantagem de utilizar relações constitutivas bastante simples e permitir
a aplicação do princípio da sobreposição dos efeitos. A aproximação deste tipo de análise para a situação
próxima da rotura é possível porque, dimensionando-se para os esforços máximos resultantes, consegue-se
uma solução equilibrada para a qual a estrutura naturalmente convergirá através da redistribuição de
esforços, deste que exista essa capacidade.
No caso do betão armado, o comportamento é fortemente influenciado pela pequena resistência do
betão à tração, 𝑓𝑐𝑡𝑚 , provocando a fendilhação dos elementos estruturais para baixos esforços. Há uma
rápida perda de rigidez, que é assegurada pela presença das armaduras tracionadas. Na situação em que,
numa secção, a perda de rigidez dá lugar a grandes deformações, o acréscimo de esforços irá concentrar-se
noutras zonas, por via da compatibilidade dos deslocamentos.
Como o betão é relativamente frágil, ao contrário do aço que possui um grande patamar de cedência,
as deformações necessários só são conseguidas se, no estado limite último, o aço tracionado estiver em
cedência. Desta forma, é crucial a adoção de uma pormenorização das armaduras cuidada que garanta um
comportamento dúctil, de forma que uma rotura local não provoque o colapso total da estrutura.
Nos elementos corridos, a ductilidade pode ser facilmente avaliada analiticamente deduzindo-se as
extensões últimas no aço e no betão. Contudo, o problema torna-se mais complicado quando se trata de um
nó de ligação entre elementos, devido à sua geometria e à disposição complexa das armaduras.
Consequentemente, a avaliação da capacidade resistente do nó, que se pretende ser superior à dos
elementos que nele concorrem, também não é de fácil resolução.
Com base nas dificuldades descritas, proceder-se-á a uma análise não linear utilizando-se o
programa de cálculo automático com base em elementos finitos ICONC [59]. O estudo será composto por
duas partes:
1. Avaliação e comparação do comportamento estrutural, na rotura, de um nó genérico dotado de
diferentes pormenorizações e posterior confrontação dos resultados com dados experimentais
indicados por bibliografia [56] [57].
2. Determinação do comportamento estrutural da ligação monolítica entre a laje de fundo e a parede,
no reservatório em estudo, com base nos esforços encontrados na análise linear.
138
7.2. CARACTERIZAÇÃO DO PROGRAMA DE CÁLCULO UTILIZADO
O ICONC é um programa de cálculo por elementos finitos desenvolvido pela École Polytechnique
Fédérale de Lausanne, na Suíça, capaz de efetuar análises não lineares exclusivamente no plano e cujo
desenvolvimento focou-se na análise de estruturas de betão armado, apesar de ser possível a sua utilização
para outros tipos de estruturas. Funciona através de uma aplicação em Java que corre diretamente no
browser, capaz de calcular em poucos segundos a resposta do sistema.
CARACTERIZAÇÃO DOS MATERIAIS
O programa permite definir um material com base no seu módulo de elasticidade, tensão de
cedência e coeficiente de Poisson (𝜈). O seu comportamento depende do tipo de material escolhido. É
possível classificá-lo como betão, aço, aço com resistência apenas à compressão ou aço com resistência
apenas à tração. No âmbito do estudo efetuado foram utilizados os primeiros dois.
Para o betão, a aplicação despreza totalmente a resistência à tração, pelo que é de esperar uma
menor rigidez no comportamento da estrutura analisada nas fases iniciais de carregamento, nas quais a
contribuição do betão entre fendas existe na realidade. Consequentemente, o programa não é indicado para
análises em estados últimos de serviço, mas exclusivamente para avaliar situações próximas da rotura.
Na compressão, o betão é caracterizado por uma relação constitutiva representada na Figura 7.1 a).
Na fase elástica é adotado o módulo de elasticidade definido pelo utilizador para o betão, finda a qual,
decresce gradualmente até ao ponto de cedência, em que ocorre a plastificação do material.
a) b)
FIGURA 7.1 - RELAÇÕES CONSTITUTIVAS DO: A) BETÃO B) AÇO
Por outro lado, o aço é caracterizado por um comportamento elástico-perfeitamente plástico, tanto
na situação de tração como na compressão, conforme representado na Figura 7.1 b). A transição dá-se
quando a tensão instalada iguala a tensão de cedência do material, indicada pelo utilizador. Por fim, o
programa considera que existe perfeita aderência entre o aço e o betão.
139
MODELAÇÃO GEOMÉTRICA DA ESTRUTURA
A geometria da estrutura é definida no plano, pois o ICONC apenas efetua análises bidimensionais.
As diferentes áreas que constituem a estrutura são desenhadas graficamente sobre uma imagem de fundo
que represente a estrutura ou com recurso à introdução das coordenadas dos nós que a definem. É atribuído
a cada área a respetiva espessura no plano e o material que representa.
As armaduras, por sua vez, são modeladas por elementos de barra lineares, definindo-se tanto o
material como o diâmetro de cada linha. Tratando-se de uma análise não linear, a correta definição das
armaduras, tanto respetivas áreas como localização, tem grande influência nos resultados, nomeadamente
na correta distribuição de esforços e no modo de rotura. As armaduras perpendiculares ao plano em análise
não são modeladas.
FIGURA 7.2 – EXEMPLO DA MODELAÇÃO DAS ARMADURAS (A VERMELHO) E CARREGAMENTO
Uma das limitações do ICONC está relacionada com a definição dos apoios e forças aplicadas no
modelo. Ao contrário de outros programas de elementos finitos, não é possível a aplicação de pressões
(forças distribuídos na área) na estrutura, nem definir molas (pontuais ou aplicadas na área) nas ligações ao
exterior. Apenas é possível a aplicação de forças e apoios pontuais, situação que geraria tensões localizadas
muito elevadas na vizinhança, que rapidamente encaminhariam a estrutura para uma situação de rotura que
não existe na prática.
Para contornar esta limitação, criam-se pequenas áreas fictícias que servem de elementos de
transição entre o apoio ou força aplicada, e a estrutura (Figura 7.2). Seleciona-se para material dos elementos
de transição o aço, contudo a funcionar num regime exclusivamente elástico, de forma a dotar as zonas de
transição de uma rigidez muito superior à do betão, e de resistência infinita. Consegue-se, desta forma,
distribuir as forças pontuais por uma área adequada da estrutura de betão.
MALHA DE ELEMENTOS FINITOS
O último passo na modelação da estrutura consiste na conceção da malha de elementos finitos,
criada automaticamente pelo programa, respeitando a geometria final da estrutura desenhada e
contemplando elementos de três nós compatíveis entre si.
A malha é gerada com base em dois parâmetros definidos pelo utilizador: o ângulo mínimo interior
em cada elemento, e o máximo rácio entre a dimensão de um elemento e a malha inteira. Evidentemente,
uma malha mais densa fornecerá resultados mais precisos com a contrapartida da necessidade de um maior
tempo de cálculo. Constata-se que, nas zonas onde se apresentam singularidades (nó entre diferentes áreas,
força ou apoio) a discretização da malha é superior.
140
7.3. ANÁLISE NÃO LINEAR NA ROTURA DE UM NÓ
DESCRIÇÃO DO PROBLEMA
Conforme já exposto, pretende-se idealmente que um nó apresente comportamento dúctil e possua
uma resistência, em estado limite último, superior aos elementos que nele concorrem. A pormenorização
não deverá, contudo, ser demasiado complexa ou usar quantidades excessivas de armadura de forma a
implicar dificuldades na sua execução em obra e acrescidos custos económicos.
As ligações podem-se dividir em duas grandes categorias, consoante se encontram sob a ação de
momentos positivos, ou de momentos negativos.
No primeiro caso, quando sujeito a um momento positivo, o nó tende a abrir. O momento cria um
binário de forças que tendem a separar a peça em dois ao impelir a parte exterior para fora. Num nó que
perfaz um ângulo reto entre dois elementos estruturais, é gerada uma força de tração na diagonal que, por
equilíbrio, terá um valor na ordem de √2 vezes superior à armadura de tração interior. Esta força terá de ser
eficazmente absorvida pela pormenorização adotada.
Por outro lado, na aplicação de momentos negativos, as forças resultantes confinam o betão na zona
central do nó, onde se instalam grandes compressões. Os dois diagramas de encaminhamento de forças são
exemplificados na Figura 7.3.
a) b)
FIGURA 7.3 - DIAGRAMA SIMPLIFICADO DAS PRINCIPAIS TENSÕES NUM NÓ SUJEITO A: A) MOMENTO POSITIVO B) MOMENTO
NEGATIVO
Pode-se concluir que o processo de rotura sob momento positivo depende muito da presença da
armadura e das forças de desvio afetas à pormenorização, ao contrário da situação de momento negativo,
que é caracterizada sobretudo pela resistência à compressão do betão.
Estas observações estão de acordo com os resultados do programa de ensaios desenvolvido por
Nilsson [56] em nós sob a ação de momentos positivos, que se reproduzem na Figura 7.4. De facto, observa-
se grande variação nas resistências conseguidas, em que apenas um dos arranjos (A2) garantiu uma
resistência ao nó superior à dos elementos estruturais nele concorrentes.
A existência de valores muito baixos para certos arranjos revela a importância da disposição das
armaduras nesta situação de carregamento. A distribuição da fendilhação observada nos mesmos ensaios
141
concentrou-se na parte interior do nó, e a sua progressão foi influenciada pela pormenorização das
armaduras devido às forças de desvio e aderência.
FIGURA 7.4 - RELAÇÃO DAS RESISTÊNCIAS ÚLTIMAS EXPERIMENTAL E TEÓRICA DO NÓ SOB MOMENTO POSITIVO [56]
A armadura diagonal, de área 𝐴𝑑 , incluída no arranjo A2 (Figura 7.4), é também importante no
controlo da fendilhação. O seu dimensionamento pode ser baseado na maior percentagem de armadura
longitudinal, ρ, entre os dois elementos que concorrem no nó, de acordo com o Quadro 7.1 [52].
QUADRO 7.1 - DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DIAGONAL DO NÓ
𝜌 < 0,4 % Armadura dispensada
0,4 % < 𝜌 < 1% 𝐴𝑑 = 1/2 𝐴𝑠
1 % < 𝜌 𝐴𝑑 = 𝐴𝑠
Em outro estudo, Johansson [57] realizou ensaios experimentais em nós com pormenorizações
semelhantes aos arranjos A2 e A3 (sujeitos a momentos positivos), e A2 e A7 (sujeitos a momentos negativos),
apresentados na Figura 7.4. Contudo, a armadura em laço do interior do nó foi amarrada aos varões
longitudinais dos elementos concorrentes, no exterior do nó, conferindo a estas regiões maior resistência
devido à sobreposição de armaduras.
Na situação de momento positivo, as primeiras fendas surgiram no vértice interior do nó, para
esforços de baixo valor. Posteriormente, estas propagaram-se, seguindo os laços da armadura, até chegar à
armadura de compressão (Figura 7.5). Imediatamente antes da rotura, as fendas contornavam todo o laço, o
que ocasionou o destacamento súbito do betão (spalling) no vértice exterior do nó.
Esta ocorrência fez diminuir a aderência dos laços, que começaram a deslizar em torno do maciço
de betão da zona central do nó, causando a rotura. Na rotura, os laços encontravam-se em cedência nas
imediações da fenda inicial, no canto interior do nó, havendo lugar a grandes deformações. Apesar disso, o
nível de carregamento máximo observado foi inferior ao teórico, devido ao referido destacamento do betão.
142
FIGURA 7.5 – PADRÃO DE FENDILHAÇÃO NO NÓ (MOMENTO POSITIVO) [57]
Johansson procedeu à comparação dos seus resultados com os obtidos em nove estudos anteriores
realizados por diferentes autores. De forma a ultrapassar diferenças entre as metodologias adotadas na
estimativa da resistência teórica dos nós, estas foram recalculadas com base nos mesmos critérios. As
eficiências podem ser comparadas com base na Figura 7.6. Estas combinam bem com os resultados obtidos
por Nelsson (Figura 7.4): o arranjo A2 atinge até à volta de 120 % enquanto o arranjo A3 fica geralmente em
torno dos 80%. Com maiores taxas de armadura, a eficiência decai.
Johansson conclui que a resposta perto da rotura depende da quantidade de armadura junto ao
vértice inferior, pelo que se torna indiferente o uso de laços adicionais amarrados à armadura de tração, ou
de armadura diagonal no interior do nó.
FIGURA 7.6 – EFICIÊNCIA DE NÓS SUJEITOS A MOMENTOS POSITIVOS [57]
Na situação de momento negativo, durante a fase inicial de carregamento, formaram-se, em todas
as amostras, duas fendas principais próximas do canto exterior. Na maioria dos ensaios, a rotura foi causada
por fendas localizadas na fronteira entre o nó e os elementos concorrentes.
Ainda na situação de momento negativo, todas as eficiências foram superiores a 100% e observaram-
se grandes patamares de cedência onde ocorreram deformações apreciáveis, demonstrando possuírem boa
143
ductilidade. Conclui-se que os diferentes arranjos possuem comportamentos semelhantes e que a disposição
das armaduras tem menor influência quando o nó está sujeito a momentos negativos.
A exceção coloca-se nos arranjos do tipo A3, com alta taxa de armadura. A capacidade máxima do
nó ficou aquém do esperado, com eficiências a rondar os 85% a 90%, porque a rotura deu-se por
destacamento súbito (spalling) do recobrimento de betão na face lateral do nó (Figura 7.7). A deformação
nas armaduras mais interiores aumentou rapidamente perto do carregamento máximo, compensando em
parte a perda de aderência das barras exteriores. As ligações revelaram, portanto, ainda assim, alguma
ductilidade.
FIGURA 7.7 – DESTACAMENTO LATERAL DO BETÃO (MOMENTO NEGATIVO) [57]
Se a maior parte da armadura estiver disposta perto das faces laterais e for afetada pelo
destacamento súbito do betão, existirá o risco de rotura frágil. Isto pode acontecer, por exemplo, em ligações
entre uma coluna e uma viga. Por outro lado, em ligações entre paredes, apenas uma diminuta percentagem
da armadura será afetada, e o efeito na resistência ou ductilidade da ligação deste tipo de rotura será
desprezável.
A comparação entre as eficiências de diferentes estudos recolhidas por Johansson [57] encontra-se
representada na Figura 7.8.
FIGURA 7.8 – EFICIÊNCIA DE NÓS SUJEITOS A MOMENTOS NEGATIVOS [57]
144
A informação apresentada resultante de ensaios experimentais servirá para uma melhor perceção
do comportamento das estruturas que serão estudadas, e para uma validação dos métodos empregues e
resultados obtidos na análise não linear numérica.
MODELO UTILIZADO
Para avaliar o comportamento na rotura de ligações entre elementos estruturais, em todos os
ensaios numéricos foi modelado uma estrutura simétrica composta por dois elementos de seção constante
unidos por um nó perfazendo 90°, cujas dimensões se representam na Figura 7.9 a).
a) b)
FIGURA 7.9 - ESTRUTURA MODELADA: A) DIMENSÕES GEOMÉTRICAS B) LIGAÇÕES AO EXTERIOR E FORÇA APLICADA
Os materiais utilizados foram o betão de classe C30/37 ( 𝑓𝑐𝑑 = 20 𝑀𝑃𝑎; 𝐸𝑐 = 30 000 𝑀𝑃𝑎; 𝜈 = 0,15
) e o aço A500 ( 𝑓𝑦𝑑 = 435 𝑀𝑃𝑎; 𝐸𝑠 = 205 000 𝑀𝑃𝑎; 𝜈 = 0,33 ).
Foram realizados duas séries de ensaios em que se pretendia induzir no nó momentos negativos e
momentos positivos. Para o primeiro caso, a estrutura foi carregada com uma força pontual com a direção e
sentido representado na Figura 7.9 b). No segundo caso, inverteu-se o sentido de aplicação da força. A
escolha da localização dos apoios e da força permite obter em cada elemento um momento e esforço axial
de igual valor, crescente em direção ao nó, garantindo-se que os esforços máximos e eventual rotura surjam
na zona da ligação.
De forma a analisar a sua influência nos resultados, em cada série de ensaios foram utilizadas duas
quantidades de armadura distintas, correspondendo a situações em que a estrutura se encontra fortemente
armada, ou fracamente armada (Quadro 7.2). As quantidades podem ser avaliadas pela taxa mecânica de
armadura à tração (ω), que também tem em conta a resistência da armadura e do betão.
A área da armadura de compressão tomou-se metade da armadura de tração (𝛽 = 0,5), tal como a
área da armadura diagonal, nos arranjos em que está presente, seguindo as recomendações presentes no
Quadro 7.1 para taxas de armadura intermédias. Na situação de momento negativo, considera-se a armadura
de tração aquela que contorna o nó pelo exterior, enquanto a restante será a de compressão. Na situação de
momento positivo os papéis invertem-se. Mas zonas exteriores ao nó introduziram-se estribos de forma a
evitar roturas precoces por esforço transverso, cuja análise não consta nos objetivos deste estudo.
145
QUADRO 7.2 - ARMADURAS INCLUÍDAS NOS MODELOS ANALISADOS
Modelo Armadura Critério 𝐴𝑠
(cm2) 𝜙 (mm)
equivalente ρ (-) ω (-)
fortemente armado
Tração 2 𝜙16 + 𝜙12 5,15 𝜙26 0,86% 0,216
Compressão β = 0,5 2,58 𝜙18 0,43% -
Diagonal Ad = 0,5 As 2,58 𝜙18 - -
Estribos - 3,93 /m
1R 𝜙10 af. 0,2 m
- -
fracamente armado
Tração 2 𝜙10 1,57 𝜙14 0,26% 0,066
Compressão β = 0,5 0,79 𝜙10 0,13% -
Diagonal Ad = 0,5 As 0,79 𝜙10 - -
Estribos - 2,51 /m
1R 𝜙8 af. 0,2 m
- -
Como o ICONC apenas permite efetuar análise no plano, foi necessário encontrar um varão único
equivalente cuja área da seção fosse igual à soma do conjunto de varões paralelos ao plano (Quadro 7.2).
As pormenorizações analisadas foram desenhadas com base em alguns dos arranjos ensaiados
experimentalmente por Nilsson [56], para posterior comparação. Estes encontram-se esquematizados na
Figura 7.10. Adicionou-se ao estudo um arranjo suplementar (A8), semelhante ao ensaiado por Johansson
[57]. Será possível estudar diferenças no comportamento da armadura amarrada no nó (A1 e A2) ou contínua
(A3 e A8), onde estará ausente ou presente a armadura diagonal.
A distância do eixo das armaduras à face da peça tomou-se 4 cm.
FIGURA 7.10 – DESENHOS ESQUEMÁTICOS DAS PORMENORIZAÇÕES ANALISADAS
Cada análise consistiu num conjunto de passos, em que a força foi gradualmente aumentada em
acréscimos de 5 kN enquanto a estrutura exibia rigidez constante. Perto da rotura, este intervalo foi
diminuído para 1 kN, de forma a se assinalar com maior pormenor o comportamento da estrutura face às
quebras de rigidez.
A malha foi criada automaticamente pelo programa, no qual se definiu uma densidade que
permitisse obter resultados com um nível de detalhe suficiente sem prejudicar em demasia a velocidade do
processo de cálculo, exemplificada na Figura 7.11.
146
FIGURA 7.11 – MODELAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS DO ARRANJO A1 NO PROGRAMA ICONC
RESISTÊNCIA TEÓRICA DO NÓ
A força aplicada na estrutura pode ser decomposta em duas componentes, uma normal (𝐹𝑛) e outra
perpendicular (𝐹𝑡) ao eixo dos elementos, com igual valor absoluto de 𝐹/√2 (Figura 7.12). Assim, as
estruturas encontram-se sob flexão composta com compressão ou tração, consoante o caso em que o
momento fletor é negativo ou positivo, respetivamente.
FIGURA 7.12 – DECOMPOSIÇÃO DA FORÇA APLICADA NA SITUAÇÃO DE MOMENTO NEGATIVO
Considera-se que a seção crítica corresponde à seção onde o elemento deixa de ser regular, na
fronteira com o nó. Pressupõe-se que será nessa seção onde se formarão as fendas críticas no caso do
momento negativo (na face exterior) e do momento positivo (na face interior). A força está aplicada no
extremo exterior da base do elemento (ver o exemplo da Figura 7.11), mas a placa de aço distribuirá a força
e assim, para efeitos de cálculo, a força estará a atuar no eixo da estrutura.
O braço em relação à componente perpendicular ao eixo da força é de 1,35 m. Desta forma, tem-se
as seguintes relações entre força, força decomposta e momento fletor, na seção crítica:
𝑀 = 1,35 ∙ 𝐹𝑡 = 1,35×
𝐹
√2 (7.1)
147
O par de valores resistentes de momento fletor e esforço axial, que cumpram a equação (7.1), foi
encontrado, para cada situação, através de um processo iterativo de tentativa e erro, utilizando-se o
programa NLinearSection, desenvolvido pelo Laboratório Geotécnico do Departamento de Engenharia Civil
da Universidade de Coimbra [60]. Esta aplicação permite obter resultados muito precisos das extensões no
aço e betão através de um cálculo não linear, após a correta definição das armaduras de tração e compressão.
Os valores das resistências teóricas nas seções críticas encontram-se no Quadro 7.3, juntamente com
as extensões finais do aço e betão. É possível concluir que em todas as situações a rotura é dúctil.
QUADRO 7.3 - RESISTÊNCIA TEÓRICO DAS SEÇÕES CRÍTICAS
Modelo 𝐹
(kN) 𝐹𝑛 = 𝐹𝑟𝑑
(kN) 𝑀 = 𝑀𝑟𝑑
(kNm) 𝜈 (-)
𝜇 (-)
휀𝑐 (x 10-3)
휀𝑠,𝑡𝑟𝑎çã𝑜
(x 10-3)
Momento positivo
Fortemente armado
50,2 35,47 47,88 0,030 0,177 -2,8 10,0
Fracamente armado
16,2 11,46 15,47 0,010 0,057 -1,5 10,0
Momento negativo
Fortemente armado
-58,6 -41,46 -55,97 -0,035 0,207 -3,5 9,6
Fracamente armado
-19,5 -13,80 -18,63 -0,012 0,069 -1,8 10,0
ANÁLISE DE RESULTADOS
Em todos os ensaios numéricos, à medida que se aplicava uma força crescente à estrutura, foi
registado a variação do deslocamento horizontal do ponto de aplicação da força (no apoio móvel), e da tensão
no aço num troço de armadura imediatamente abaixo do cruzamento dos varões (só no caso de momentos
positivos), conforme indicado na Figura 7.13.
Todos os valores dos resultados obtidos encontram-se apresentados em detalhe no Anexo A.12.
FIGURA 7.13 - GRANDEZAS REGISTADAS NA ESTRUTURA
7.3.4.1. MOMENTO POSITIVO
Modelos fortemente armados
Percebe-se da Figura 7.14, que mede o deslocamento do apoio móvel em função do carregamento
crescente, que as quatro estruturas modeladas com pormenorizações que contemplam um laço na zona de
148
ligação (arranjos A1, A3, A2 e A8), revelaram comportamentos semelhantes, quando sujeitas a momentos
positivos. Os arranjos A5 e A7 tiveram desempenhos bastante abaixo, exibindo inclusive menor rigidez na
fase “elástica” (o programa não contabiliza o efeito do betão à tração).
FIGURA 7.14 – DESLOCAMENTO DO APOIO EM FUNÇÃO DO MOMENTO APLICADO NA LIGAÇÃO.
Não se observaram diferenças notáveis nos resultados entre arranjos iguais com armadura contínua
(A3 e A8), ou amarrada na zona do nó (A1 e A2), como a Figura 7.14 indica. A exceção seria o aparecimento
de maiores tensões de compressão na armadura, no primeiro caso, devido a menor área de aço nessa zona,
o que, contudo, não é de todo condicionante. Assim, representam-se, na Figura 7.15, apenas as imagens
geradas pelo programa ICONC dos arranjos amarrados na zona do nó, para carregamentos logo após a
cedência das armaduras (ainda distantes rotura), que serão seguidamente discutidas.
Para um nível de esforços intermédio, surgiram desde logo grandes compressões no betão de
recobrimento da armadura de compressão, segundo a direção do eixo da peça (as zonas a preto indicam
grandes compressões e deformações no betão). Isto pode explicar o destacamento súbito do betão
observado por Johansson [57] e consequente rotura da ligação.
a) b)
FIGURA 7.15 – TENSÕES NAS ESTRUTURAS LOGO APÓS A CEDÊNCIA COM OS ARRANJOS: A) A1 B) A2
A força no recobrimento de betão, juntamente com a da armadura de compressão, é desviada pelas
armaduras em laço que se encontram tracionados (a vermelho), que são capazes de encaminhar os esforços
para a armadura de tração, no exterior da zona de ligação. Estes quatro arranjos conseguem, assim,
encaminhar as forças até ao topo da peça.
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03
M (kNm)
Δ apoio (m)
A1
A2
A3
A5
A7
A8
149
O facto de a parte superior da estrutura ser impelida na direção oposta da parte inferior, faz com
que os laços tenham a tendência para fechar, o que explica algumas compressões importantes observadas
no betão no centro do nó, segundo a direção horizontal da Figura 7.15.
FIGURA 7.16 - DEFORMADA DA ESTRUTURA COM O ARRANJO A2, SUJEITA A MOMENTOS POSITIVOS (AUMENTADA 10X)
Os primeiros troços de armadura a cederem estavam, em todos estes quatro casos, localizados na
vizinhança do cruzamento de varões, junto ao vértice interior. A cedência desta armadura leva a que as
deformações na parte inferior da peça cresçam rapidamente e haja lugar a uma redistribuição de esforços
para a parte superior. Já muito perto da rotura observou-se, em certos casos, a plastificação da armadura de
compressão e dos estribos mais próximos da ligação. Verifica-se que estes arranjos possuem boa ductilidade
e boa capacidade de deformação da armadura.
A presença da armadura diagonal alivia parte das tensões na armadura de tração, em especial
precisamente no ponto onde a primeira cedência ocorre, proporcionando ao nó maior resistência e rigidez
ao nó (Figura 7.14). Não é possível concluir se, segundo sugere Johansson [57], será preferível, ao invés de
ter a armadura diagonal, adotar laços adicionais amarrados na armadura de tração, uma vez que o ICONC
não permite avaliar as consequências na fendilhação.
Avaliar-se-ão seguidamente os arranjos A5 e A7, cujas imagens geradas pelo ICONC, antes da rotura,
se representam na Figura 7.17: em ambas as situações, nenhuma das armaduras se encontra na cedência, o
que revela roturas frágeis. A incapacidade dos arranjos de encaminharem tensões de tração para o topo da
peça faz com que o betão e armadura de compressão da parte superior (que possuem maior braço) não
estejam a contribuir para a resistência da estrutura. Na ligação, as compressões acumulam-se rapidamente
numa pequena faixa de betão adjacente à armadura, que o leva à rotura.
a) b)
FIGURA 7.17 - TENSÕES NAS ESTRUTURAS NA ROTURA COM OS ARRANJOS: A) A5 B) A7
150
O arranjo A7 ainda é mais penalizante porque os arcos da armadura na ligação, quando há
deslocamento do apoio, tendem a “abrir” o que dá origem a grandes deformações no betão adjacente. Desta
forma, a rotura dá-se em zonas muito específicas quando, em toda a peça, as tensões são ainda diminutas.
Na Figura 7.18 encontra-se em gráfico a variação da tensão na armadura, no ponto onde se verificou
a primeira cedência, indicado na Figura 7.13. Este comprova que as roturas nos arranjos A5 e A7 são frágeis
porque a cedência do betão à compressão leva a um abrupto aumento de tensão no aço, que rapidamente
cede também, causando a rotura da estrutura. Por outro lado, os restantes arranjos exibem roturas dúcteis,
já que as respetivas tensões no aço aumentam linearmente até ao ponto da cedência, onde as estruturas
ainda conseguem suportar um acréscimo considerável de esforços, devido à capacidade de redistribuição de
forças para outras zonas.
FIGURA 7.18 – VARIAÇÃO DA TENSÃO NA ARMADURA COM O MOMENTO APLICADO NA LIGAÇÃO
Modelos fracamente armados
Perante menores quantidades de armadura, segundo é possível observar pelo gráfico da Figura 7.19,
podem-se tirar algumas conclusões semelhantes às já referidas na avaliação das estruturas mais armadas:
não se denotam diferenças no comportamento entre os arranjos com laços contínuos ou amarrados na
ligação, a inclusão da armadura diagonal introduz um acréscimo de rigidez e resistência à ligação, e o arranjo
A7 mais uma vez tem um pobre rendimento.
FIGURA 7.19 - DESLOCAMENTO DO APOIO EM FUNÇÃO DO MOMENTO APLICADO NA LIGAÇÃO.
0,0
100,0
200,0
300,0
400,0
500,0
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0
σs (MPa)
M (kNm)
A1
A2
A3
A5
A7
A8
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03
M (kNm)
Δ apoio (m)
A1
A2
A3
A5
A7
A8
151
Apesar das semelhanças, o arranjo A5 aparenta um rendimento mais elevado. De facto, analisando-
se a Figura 7.20 b), que apresenta as tensões na ligação logo após a cedência da armadura, verifica-se que
inclusivamente este arranjo revela um comportamento dúctil que não se observara anteriormente.
Confrontando-se as tensões instaladas nas estruturas com os arranjos A1 e A5, com pouca e muita
armadura, chega-se à conclusão que, devido à sua menor força resistente, as armaduras de tração plastificam
prematuramente, e o betão não chega a desenvolver grande parte da sua capacidade resistente. Isto justifica
a subida de rendimento do arranjo A5.
a) b)
FIGURA 7.20 - TENSÕES NAS ESTRUTURAS LOGO APÓS A CEDÊNCIA COM OS ARRANJOS: A) A1 B) A5
De acordo com os dados apresentados na Figura 7.21, que representam a tensão na armadura de
tração no ponto onde se cruzam, constata-se que, ainda assim, a ligação com o arranjo A7 revelou uma rotura
frágil, já que a armadura não chegou sequer à cedência, que ocorre na tensão de 435 MPa.
FIGURA 7.21 – VARIAÇÃO DA TENSÃO NA ARMADURA COM O MOMENTO APLICADO NA LIGAÇÃO
7.3.4.2. MOMENTO NEGATIVO
Modelos fortemente armados
-
100,0
200,0
300,0
400,0
500,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0
σs (MPa)
M (kNm)
A1
A2
A3
A5
A7
A8
152
Sob a ação de momentos negativos crescentes, todas as estruturas com diferentes arranjos tiveram
comportamentos semelhantes em termos de rigidez e resistência, conforme demonstra a curva, que
relaciona o deslocamento do apoio com o momento aplicado na ligação (Figura 7.22).
FIGURA 7.22 - MOMENTO NEGATIVO FORTEMENTE ARMADO
Com recurso às imagens das tensões instaladas nas estruturas, geradas pelo programa ICONC, para
diferentes situações de carregamento, observou-se que, em todos os arranjos, na presença de forças
aplicadas relativamente baixas, se instalam grandes compressões no betão localizado perto do vértice
inferior, que rapidamente entra em cedência.
b) c)
c) d)
FIGURA 7.23 - TENSÕES NAS ESTRUTURAS, LOGO APÓS A CEDÊNCIA DA ARMADURA, COM OS ARRANJOS: A) A1 B) A2 C) A5 D) A7
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
-0,025-0,02-0,015-0,01-0,0050
M (kNm)
Δ apoio (m)
A1
A2
A3
A5
A7
A8
153
À medida que o carregamento aumenta, as compressões propagam-se no betão de recobrimento
ao longo das faces inferiores dos elementos. Enquanto a parte inferior da estrutura se encontra forçada a
mover-se num sentido ascendente, a parte superior contraria essa tendência pela ação das armaduras à
tração (ver deformada na Figura 7.24), criando grandes compressões no núcleo do nó no sentido vertical, em
concordância as imagens da Figura 7.23.
A Figura 7.23 corrobora que, qualquer que seja a pormenorização da ligação, na altura da primeira
cedência da armadura, as tensões na armadura no interior do nó são quase inexistentes, o que revela a sua
diminuta relevância no mecanismo de rotura, e justifica a aproximação entre valores medidos em diferentes
arranjos.
FIGURA 7.24 - DEFORMADA DA ESTRUTURA COM O ARRANJO A2, SUJEITA A MOMENTOS POSITIVOS (AUMENTADA 10X)
De facto, devido à cedência do betão na zona do vértice interior, as peças sofrem distorções
crescentes (Figura 7.24) de tal maneira que a força na armadura de tração (na face exterior) aumenta
consideravelmente, dando consequência às primeiras cedências no aço, geralmente na zona da fronteira
entre os elementos e o nó (troços a vermelho escuro na Figura 7.23). Estas observações combinam bem com
aquelas de Johansson [57], que, nos seus ensaios, localizou as fendas críticas, que levaram a estrutura à
rotura, na mesma zona. Está assim patente a importância da resistência a compressão do betão no caso da
aplicação de momento negativo.
Como a primeira cedência do aço se forma fora da zona da ligação, não se verificou grande diferença
entre os arranjos com laço amarrado no nó ou contínuo, com exceção de um pequeno acréscimo de rigidez
no primeiro caso devido à maior quantidade de armadura de tração na zona de amarração.
a) b)
FIGURA 7.25 - TENSÕES NAS ESTRUTURAS, PERTO DA ROTURA, COM OS ARRANJOS: A) A1 B) A2
154
Por outro lado, a inclusão da armadura diagonal não teve igualmente grande influência nos
resultados, apesar de ter um efeito benéfico na resistência da peça, ao contribuir para uma maior rigidez e
para aliviar, perto da rotura, algumas compressões no betão nos extremos dos elementos concordantes, cuja
distribuição sugere se deverem ao esforço transverso - Figura 7.25 b).
A rotura observada em todos os modelos pode ser classificada de dúctil, uma vez que, após a
cedência da armadura, as estruturas ainda suportaram acréscimos de carga e deformações consideráveis.
Estas eram redistribuídas para outras áreas à medida que mais betão comprimido e mais troços de armadura
tracionada iam entrando em cedência. Na maioria dos casos, na altura da rotura, verificou-se, inclusivamente,
que a armadura de compressão se encontrava plastificada.
Modelos fracamente armados
Nos modelos contendo menor quantidade de armadura, sujeitos à ação de momento negativo,
aplicam-se muitas das observações já apresentadas anteriormente. As primeiras cedências localizaram-se,
novamente, na zona extrema do elemento, mas fora do nó. Devido à sua baixa área, a armadura de tração
entra em cedência antes de se formarem grandes compressões no betão no interior da ligação. Assim, a
resistência da ligação é mais condicionada pela resistência dos elementos concorrentes em relação aos
modelos contendo altas taxas de armadura.
FIGURA 7.26 - MOMENTO NEGATIVO FRACAMENTE ARMADO
De acordo com o gráfico da Figura 7.26, em geral, todos os arranjos tiveram um comportamento
estrutural semelhante. Denota-se, contudo, algum predomínio, em termos de rigidez e até resistência, dos
arranjos em laço amarrados dentro do nó (A1 e A2,) que beneficiam da armadura adicional na parte exterior
do nó.
Apesar de os laços não terem sido determinantes na absorção de esforços - Figura 7.27 a) - a
armadura diagonal, por outro lado, teve um papel na distribuição de esforços que resultou num aumento de
resistência dos arranjos A2 e A8 em relação aos seus idênticos, sem essa armadura, A1 e A3.
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
-0,025-0,02-0,015-0,01-0,0050
M (kNm)
Δ apoio (m)
A1
A2
A3
A5
A7
A8
155
a) b)
FIGURA 7.27 - TENSÕES NAS ESTRUTURAS, LOGO APÓS A CEDÊNCIA DA ARMADURA, COM OS ARRANJOS: A) A2 B) A7
Por fim, faz-se referência ao arranjo A7 que, apesar de ter revelado resultados muito fracos sob a
ação de momentos positivos, justificou a razão de ser frequentemente sugerido como opção em nós onde
são aplicados momentos negativos. A armadura disposta no interior do nó coopera na resistência ao
movimento de “fecho” - Figura 7.27 b).
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Sumarizam-se, na Figura 7.28, as eficiências (razão entre os momentos resistentes teóricos e
observados) das pormenorizações estudadas.
a) b)
FIGURA 7.28 - EFICIÊNCIAS DOS ARRANJOS NA SITUAÇÃO DE: A) MOMENTO POSITIVO B) MOMENTO NEGATIVO
Pode-se concluir que nos momentos positivos é importante adotar um arranjo em laço ou
semelhante, que seja capaz de distribuir os esforços por toda a zona da ligação. A inclusão da armadura
diagonal é essencial para elevar a eficiência acima dos 100%. No momento negativo, fica demonstrado que a
pormenorização do nó é menos importante, sendo a rotura condicionada, acima de tudo, pela resistência à
compressão do betão.
Os valores das eficiências nos momentos positivos comparam-se muito bem, tanto qualitativamente
como quantitativamente, com os valores obtidos experimentalmente por Nilsson [56] e Johansson [57],
contribuindo para um certo grau de fiabilidade à análise não linear realizada através do iCONC. É necessário,
contudo, deter as devidas reservas a este tipo de análise numérica, uma vez que não é possível prever
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
0,22 0,07
Eficiência
ω (-)
A1
A2
A3
A5
A7
A8
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
140%
0,22 0,07
Eficiência
ω (-)
A1
A2
A3
A5
A7
A8
156
adequadamente, por exemplo, as roturas por destacamento súbito do betão, como observadas por
Johansson [57], que limitou a eficiência de certos nós, sob momentos negativos, abaixo dos 100%.
7.4. ANÁLISE NÃO LINEAR DA LIGAÇÃO ENTRE LAJE E PAREDE DO TANQUE
DESCRIÇÃO DO PROBLEMA
A ligação monolítica entre a laje de fundo e a parede do tanque é a zona do tanque que
experimentará mais esforços e logo, mais sensível à pormenorização, em especial se tivermos em conta a
elevada esbelteza dos elementos concorrentes. Na hipótese de ocorrerem ações de acidente, como elevados
assentamentos causados por um evento sísmico, é também importante dotar a ligação de alguma
ductilidade.
Estes esforços foram anteriormente calculados com base numa análise elástica, no programa
SAP2000. A pormenorização adotada na ligação teve em conta algumas indicações dadas pelo estudo,
apresentado anteriormente, acerca do comportamento não linear de um nó genérico. Porém, pretende-se
avaliar com maior detalhe o comportamento desta ligação, que é essencial para o correto funcionamento
estrutural do reservatório.
Pela análise dos valores das forças usadas no dimensionamento, sumarizadas na Figura 7.29, tanto
na parede como na laje, as combinações de ações que têm como base a pressão hidrostática ou a pressão do
terreno apresentam valores extremos, enquanto a combinação das duas somadas apresenta valores
intermédios. No âmbito da análise a efetuar, poder-se-á ignorar esta última combinação.
FIGURA 7.29 - ESFORÇOS NA PROXIMIDADE DA LIGAÇÃO
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
7,387,798,208,61
V (kN)
R (m)
Esforço transverso na laje
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
7,387,798,208,61
M (kNm)
R (m)
Momento flector na laje
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
-20,0 -10,0 0,0 10,0 20,0 30,0
h (m)
V (kN)
Esforço transverso na parede
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
-10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0
h (m)
M (kNm)
Momento flector na parede
P. Hidrostática
P. Terreno
157
Os diagramas de esforços indicam que, sob a combinação de ações da pressão hidrostática, a maior
parte dos esforços da parede são encaminhados para a parte exterior da laje.
De facto, a pressão vertical do líquido dentro do tanque é diretamente anulado pela reação, de
sentido contrário, do solo sob a laje. Basta um assentamento mínimo da laje interior para que imediatamente
se criem igualmente reações do solo na parte exterior da laje, que funciona assim como uma consola invertida
- Figura 7.30 a).
O momento fletor na laje junto à ligação é equilibrado pelo momento na parede devido à
componente horizontal da pressão hidrostática. Quando sujeito à pressão do terreno, a estrutura tem
precisamente o comportamento inverso, esquematizado na Figura 7.30 b).
Existem ainda dois esforços axiais: na parede, devido ao peso próprio da parede e cobertura, e na
laje interior, devido à simetria da estrutura (tração sob pressão hidrostática e compressão sob pressão do
terreno). Estes serão importantes para completar o equilíbrio de forças no nó do modelo.
a) b)
FIGURA 7.30 – DIAGRAMA DE FORÇAS APLICADAS E CORRESPONDENTES DEFORMADAS DA LIGAÇÃO SOB AÇÃO DE: A) PRESSÃO
HIDROSTÁTICA B) PRESSÃO DO TERRENO
Os diagramas de esforços transversos aumentam rapidamente perto da ligação e abrangem valores
muito superiores aos diagramas de momentos fletores, tanto na parede como na laje. O rácio M/V, que
corresponde ao braço médio, é de cerca de 0,40 m. Há assim a indicação de que os momentos possuem
braços pequenos, e os esforços são gerados numa área próxima da ligação.
MODELO UTILIZADO
Foram desenhados, no programa ICONC, dois modelos distintos, para simular a ação da combinação
da pressão hidrostática, e da pressão do terreno. Ambos foram construídos com base no desenho da
pormenorização da secção transversal do nó (ver Peça Desenhada 02 do Anexo B) e possuem 1 m de
espessura (na direção perpendicular ao plano da imagem).
Nos materiais foram selecionadas as mesmas classes anteriormente utilizadas na análise linear:
betão de classe C20/25 ( 𝑓𝑐𝑑 = 13,3 𝑀𝑃𝑎; 𝐸𝑐 = 30 000 𝑀𝑃𝑎; 𝜈 = 0,15 ) e o aço A400 ( 𝑓𝑦𝑑 = 348 𝑀𝑃𝑎; 𝐸𝑠 =
205 000 𝑀𝑃𝑎; 𝜈 = 0,33 ).
Tentou-se reproduzir a distribuição dos esforços obtidos da análise linear da estrutura global (Figura
7.29). Uma vez que o ICONC não suporta a definição de esforços distribuídos na área, adotou-se, para cada
situação, um sistema autoequilibrado de forças pontuais.
158
Força Sentido Braço (m) M
F/2 +V 0,512 -0,256
F/2 +V 0,328 -0,164
F -V 0,004 -0,004
F/2 -H 0,592 0,296
F/2 -H 0,396 0,198
F +H 0,070 -0,070
Σ 0,000
FIGURA 7.31 - MODELO DESENHADO NO PROGRAMA ICONC (PRESSÃO HIDROSTÁTICA)
O objetivo passa por garantir que os apoios não absorvam qualquer força. Para isso, as forças axiais
da parede e laje interior têm valor de F, com sinal contrário às duas forças, em cada direção, de valor F/2,
que representam as pressões (Figura 7.31 e Figura 7.32). Estas últimas foram cuidadosamente localizadas
para que os respetivos braços ao apoio central (indicados no quadro) fossem pequenos, de forma a simular
altos esforços transversos em comparação com os momentos fletores, conforme já discutido. Em adição,
também se procurou que o somatório de momentos fosse nulo, para não criar um binário nos apoios, e que
a peça não rodasse, para não prejudicar a leitura dos deslocamentos.
Força Sentido Braço (m) M
F/2 +V 0,369 0,185
F/2 +V 0,616 0,308
F -V 0,001 0,001
F/2 +H 0,662 -0,331
F/2 +H 0,436 -0,218
F -H 0,056 0,056
Σ -0,001
FIGURA 7.32 - MODELO DESENHADO NO PROGRAMA ICONC (PRESSÃO DO TERRENO)
Como o ICONC apenas efetua análise no plano, as armaduras foram definidas com diâmetros
equivalentes cuja área é igual à respetiva armadura distribuída na estrutura, no metro de espessura a que
corresponde o modelo (Quadro 7.4).
QUADRO 7.4 - ARMADURAS ADOTADAS NOS MODELOS
Descrição Armadura 𝐴𝑠/𝑠
(cm2/m) 𝜙 (mm)
equivalente
Parede 𝜙8 // 0,20** 2,51 𝜙18
Diagonal (parede) 𝜙8 // 0,10 5,03 𝜙25
Diagonal (laje) 𝜙10 // 0,10 7,85 𝜙32
Laje 𝜙10 // 0,125* 6,28 𝜙28
Laje (reforço) 𝜙8 // 0,125 4,02 𝜙23
* No dimensionamento da estrutura foi alterada para 𝜙12 // 0,125
**No dimensionamento da estrutura foi alterada para 𝜙8 // 0,10 na face da direita
F
F
F/2
F/2
F/2 F/2
F/2
F/2
F
F
F/2 F/2
159
Em ambas as análises a força foi aumentada em incrementos de 20 kN, com exceção nos intervalos
em que as estruturas exibiram quebras de rigidez, em que se aplicaram intervalos mais curtos.
A partir dos modelos desenhados, a malha de elementos finitos foi gerada automaticamente pelo
ICONC, exemplificado na Figura 7.33.
FIGURA 7.33 – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS GERADA PELO ICONC
ANÁLISE DE RESULTADOS
Durante os dois ensaios numéricos efetuados, nos modelos referentes à ação da pressão
hidrostática, e da pressão do terreno, foram registados, à medida que aplicaram forças crescentes,
deslocamentos na laje e parede, e tensão no aço, conforme esquematizado na Figura 7.34.
Os valores de todos os resultados obtidos encontram-se detalhados no Anexo A.13.
FIGURA 7.34 – GRANDEZAS REGISTADAS NAS ESTRUTURAS SOB PRESSÃO HIDROSTÁTICA E PRESSÃO DO TERRENO
Em cada uma dos modelos, os pontos de registo dos deslocamentos da laje e da parede possuem
uma distância idêntica ao eixo do nó, de forma que uma rotação de corpo rígido do nó corresponda à mesma
distância percorrida em ambos os pontos. É assim possível, através dos dados, avaliar um deslocamento
160
verificando o efeito, caso exista, da rotação global da estrutura. Por outras palavras, pretende-se avaliar a
distorção do nó. Os pontos de medição da tensão na armadura foram localizados, em cada modelo, no troço
de armadura mais esforçado.
Na avaliação dos resultados, é essencial ter em conta que, apesar de existir um esforço no sentido
de replicar as características dos apoios e carregamento da estrutura anteriormente analisada, não é possível
correlacionar quantitativamente os resultados de ambas as análises. De facto, é inviável duplicar com
exatidão o efeito da distribuição complexa de esforços, na zona próxima do nó, através da aplicação de duas
forças pontuais.
7.4.3.1. PRESSÃO HIDROSTÁTICA
Com base no gráfico da Figura 7.35, é possível verificar que o modelo experimentou uma pequena
rotação como corpo rígido, já que tanto a laje exterior como a parede do tanque registaram, respetivamente,
translações para cima e para a direita, ou seja, no mesmo sentido em torno do eixo do nó. Ainda assim, não
se registaram quaisquer esforços nos apoios.
FIGURA 7.35 – DESLOCAMENTOS MEDIDOS EM FUNÇÃO DO CARREGAMENTO HIDROSTÁTICO
FIGURA 7.36 - DEFORMADA DA ESTRUTURA SOB AÇÃO HIDROSTÁTICA, AUMENTADA EM 10 VEZES
Para ignorar os efeitos da rotação no deslocamento da laje registado poder-se-lhe-ia subtrair o
deslocamento da parede. Contudo, este último possui valores de um grau de grandeza inferior e a tendência
0
20
40
60
80
100
120
140
0,E+00 1,E-03 2,E-03 3,E-03 4,E-03 5,E-03 6,E-03
F (kN)
Δ (m)Desl. Vertical da laje
161
do nó é, naturalmente, de fechar, como pode ser observado na deformada da estrutura perto da rotura,
reproduzida na Figura 7.36.
As principais tensões acumularam-se na zona do encastramento da laje exterior em consola, como
seria de esperar, já que a parede (e a ligação) possui uma resistência bem superior em relação à da laje porque
tem maior altura útil.
Quando o carregamento atinge 𝐹 = 95 𝑘𝑁, nota-se uma quebra de rigidez (Figura 7.35) que se
atribui ao início da cedência do betão na seção de encastramento da consola na presença do momento fletor.
Como já se tinha previsto no dimensionamento da seção, a rotura é frágil, ocorrendo muito rapidamente
(𝐹 = 115 𝑘𝑁 ) devido à insuficiente resistência à compressão do betão, numa altura em que a armadura não
atingiu a cedência ainda (Figura 7.37).
FIGURA 7.37 – TENSÕES NA ESTRUTURA SOB AÇÃO HIDROSTÁTICA PERTO DA ROTURA (F = 115 KN)
7.4.3.2. PRESSÃO DO TERRENO
Conforme foi discutido anteriormente, sob a ação da pressão do terreno na face exterior da parede
do tanque, é a laje interior que alberga a maioria das deformações.
Segundo indica o gráfico da Figura 7.38, a parede apresenta deslocamentos mínimos ao longo dos
ensaios e conclui-se que a estrutura modelada praticamente não rodou. É possível avaliar o comportamento
da laje, que é condicionante, independentemente do resto da estrutura.
162
FIGURA 7.38 - DESLOCAMENTOS MEDIDOS EM FUNÇÃO DO CARREGAMENTO DEVIDO AO TERRENO
FIGURA 7.39 – DEFORMADA DA ESTRUTURA SOB AÇÃO DO TERRENO, AUMENTADA EM 10 VEZES
Pela observação da deformada da estrutura (Figura 7.39), torna-se claro que a maioria das
deformações, e consequentemente tensões, se concentram na zona de encastramento da laje na parede.
Quando a carga ultrapassa 𝐹 = 140 𝑘𝑁, existe uma evidente quebra de rigidez, traduzido por um
acréscimo dos deslocamentos da laje com o aumento do carregamento (Figura 7.38). Esta situação
corresponde ao início da cedência do betão no vértice interior da ligação, conforme mostra a Figura 7.40,
gerada pelo ICONC, que apresenta as tensões instaladas na estrutura.
Na mesma figura, constata-se que existe uma boa distribuição dos esforços, em que praticamente
toda a armadura utilizada na pormenorização da ligação é solicitada.
Já perto da rotura, que ocorre quando 𝐹 = 370 𝑘𝑁, existe uma crescente perda de rigidez causada
pela cedência das armaduras de tração e compressão que, por sua vez, acontece porque o betão em toda a
zona do encastramento se encontra em cedência (a preto) e já não suporta mais esforços. Esta situação está
patente na Figura 7.41.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0,E+00 1,E-03 2,E-03 3,E-03 4,E-03 5,E-03 6,E-03 7,E-03 8,E-03
F (kN)
Δ (m)Desl. Vertical da laje Desl. Horizontal da parede
163
FIGURA 7.40 – TENSÕES NA ESTRUTURA SOB AÇÃO DO TERRENO (F = 140 KN)
FIGURA 7.41 - TENSÕES NA ESTRUTURA SOB AÇÃO DO TERRENO PERTO DA ROTURA (F = 370 KN)
Ainda com base na avaliação da Figura 7.41, a distribuição dos elementos finitos de betão sob
grandes deformações (a preto) e a direção das compressões principais (a azul) demostra que os esforços são
encaminhados diretamente dos pontos de aplicação das forças para a parede, o que indica uma rotura por
esforço transverso.
Esta distribuição de tensões não é insólita uma vez que, como foi exposto, existe uma maior
incidência de esforço transverso que momento fletor na ligação (as forças estão aplicadas perto da ligação).
Caso fosse desejável uma resistência superior para esta situação de carga, poder-se-iam adicionar
estribos. De forma a avaliar a sua eficácia, foi testado, no mesmo modelo, a inclusão de duas armaduras de
esforço transverso 𝜙8 // 0,20 (2,56 cm2/m) na laje, afastadas de cerca de 10 cm no plano de análise.
Perante igual carregamento para o qual se verificava a rotura anteriormente, observa-se agora
(Figura 7.42), em comparação, que houve um alívio das compressões no betão na extremidade da laje.
164
FIGURA 7.42 – TENSÕES NA ESTRUTURA COM ARMADURA DE E.T. SOB AÇÃO DO TERRENO (F = 370 KN)
A rotura dá-se acima de 𝐹 = 430 𝑘𝑁, agora com a particularidade de ocorrer devido ao momento
fletor: na seção de encastramento da laje, o binário criado leva a grandes trações no aço, que plastifica por
incapacidade resistente (a cerca de 𝐹 = 390 𝑘𝑁), e consequentes compressões no betão (desta vez no
sentido horizontal da figura). A rotura é portanto bastante dúctil. Na Figura 7.43 observam-se as tensões na
estrutura na fase de cedência, obtida por um cálculo efetuado com recurso a uma malha bastante mais
refinada.
FIGURA 7.43 – TENSÕES NA ESTRUTURA COM ARMADURA DE E.T. SOB AÇÃO DO TERRENO, APÓS CEDÊNCIA DA ARMADURA
165
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Pode-se concluir, a partir das análises efetuadas, que o comportamento na rotura de ambas as
situações avaliadas é determinado pela resistência à compressão do betão, que se deve parcialmente à sua
relativa fraca resistência à compressão (fcd = 13,3 MPa).
Conforme já foi discutido no dimensionamento, no caso da estrutura sob ação da pressão
hidrostática, a rotura frágil deve-se ainda à presença de uma única armadura, que se traduz numa altura útil
bastante pequena e por isso apenas uma diminuta parcela do betão é mobilizada. No gráfico da Figura 7.44,
onde se apresentam as tenções das armaduras nos troços condicionantes em cada caso, verifica-se que a
armadura é pouco aproveitada, atingindo apenas 220 MPa.
Para um funcionamento mais eficaz, a ligação deveria apresentar, do lado esquerdo, uma geometria
semelhante à do lado direito. Contudo, uma eventual rotura desta seção não condicionaria o conteúdo do
reservatório, e pode-se ainda considerar alguma redundância adicional no plano perpendicular do plano em
análise (direção circunferencial do reservatório). Assim, decidiu-se manter a geometria da estrutura original.
No caso da estrutura sob a ação da pressão do terreno, conclui-se que o nó apresenta um
comportamento aceitável, apesar de não apresentar uma ductilidade ótima. Conforme se observa na Figura
7.44, a armadura entra em cedência mas apenas após uma transferência repentina de tensões para o aço
provocada por uma cedência do betão devido ao esforço transverso.
Verificou-se que a inclusão de estribos permitiriam corrigir eficazmente o problema, no entanto, tal
não é essencial porque a ligação apresenta uma resistência muito elevada para o nível de esforços presentes,
aliada a uma redundância provida pelas armaduras à tração e compressão existentes no lado direito da
ligação.
FIGURA 7.44 – TENSÃO NO TROÇO DE ARMADURA MAIS ESFORÇADO EM FUNÇÃO DO CARREGAMENTO
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
250,0
300,0
350,0
400,0
0 50 100 150 200 250 300 350 400
σs (MPa)
F (kN)P. Hidrostática
P. Terreno
166
167
8. CONCLUSÃO
Ao longo do desenvolvimento deste trabalho, foram feitas considerações gerais no final da maioria
dos capítulos acerca dos temas abordados e os resultados obtidos. Pretende-se neste ponto fazer uma síntese
das principais conclusões conjugadas.
Neste trabalho foi estudado um reservatório em betão armado concebido na década de 1940 à luz
dos novos regulamentos, onde se tentou englobar todos os aspetos relevantes à análise e dimensionamento
deste tipo de estruturas, generalizando-se, de certa forma, os princípios a adotar aos reservatórios cilíndricos.
Se a verificação à rotura das estruturas foi sempre um fator primário no dimensionamento das
estruturas, a recente introdução de nova regulamentação trouxe novas medidas que visam otimizar o
comportamento das estruturas em betão armado em serviço. Para tal, é fundamental que o projeto
especifique corretamente quais as condições de exposição ambiental, nomeadamente, o tipo de substâncias
agressivas que estarão em contacto com a obra, para em função dessa informação se adotarem as medidas
protetoras adequadas, que passam pela definição de um recobrimento às armaduras suficiente, e um betão
suficientemente impermeável.
A nova regulamentação veio também colmatar a ausência de normas específicas aplicadas ao caso
particular dos reservatórios, que possuem características muito próprias, como a necessidade de serem
estanques e de estarem permanentemente (em serviço) sob a ação de carregamentos próximos dos
máximos.
Verificou-se que o critério de dimensionamento condicionante nos reservatórios será o critério da
fendilhação, que devido à referida necessidade de estanquidade, representa normalmente limites de
abertura de fendas entre 0,05 mm e 0,20 mm. Este critério no reservatório estudado conduziu a tensões nas
armaduras muito baixas, em geral, na ordem dos 50 a 90 MPa (consultar anexo A.9), o que representa cerca
de 20% da tensão de cedência do aço. Os esforços mais elevados verificaram-se sob a forma de trações
circunferenciais na cúpula junto ao bordo, com um valor de 164,2 MPa, devido à adoção do limite de abertura
de fendas mais largo de 0,2 mm, por este elemento não se encontrar em contacto com o líquido armazenado.
Os estados limites últimos não são de todo condicionantes. De facto, uma vez que o carregamento
é semelhante ao carregamento em serviço (em certos casos até é inferior devido à não consideração, nesta
situação, das ações indiretas que podem apresentar valores elevados), as tensões nas armaduras serão
igualmente semelhantes àquelas apresentadas no parágrafo anterior.
É importante não esquecer que o dimensionamento às armaduras realizado foi efetuado sem
alteração da geometria do reservatório original, que apresenta elementos extremamente esbeltos. A solução
encontrada apenas é possível tendo em conta um solo homogéneo de elevada rigidez (ks=200 MN/m3), o que
corresponde a uma situação excecional. Mesmo tendo em conta estas características de fundação,
idealmente, na prática seria sempre aconselhável o aumento da espessura dos elementos de forma a facilitar
a betonagem, a aumentar a resistência face a possíveis assentamentos diferenciais, e até em termos
económicos, uma vez que apesar do aumento do betão implicado haveria uma importante redução na
quantidade de armadura aplicada.
Devido à sensibilidade destas estruturas à fendilhação, é muito importante definir corretamente as
ações de projeto, onde se incluem as ações indiretas, que se mostrou gerarem esforços relevantes. Desde
logo, é necessário destacar os efeitos da retração do betão. A restrição da base de fundo à contração das
paredes cilíndricas é um aspeto que deve ser alvo de uma análise cuidada e diversas vezes fonte dos
problemas funcionais apresentados pelos reservatórios. Para uma avaliação mais exata dos esforços gerados,
168
foi analisada o efeito conjugado da retração com a fluência, através do conceito do módulo de elasticidade
efetivo, donde se concluiu que a retração pode ser avaliada tomando-se um módulo de elasticidade de cerca
de um terço da regulamentar. Na avaliação dos efeitos da variação uniforme de temperatura, poderá ser
utilizado metade do módulo de elasticidade regulamentar.
A análise dos esforços nos reservatórios circulares simplifica-se notoriamente avaliando-se apenas
uma seção meridional, tomando-se como hipótese a existência exclusiva de carregamentos axissimétricos. O
comportamento estrutural do sistema consiste no equilibro entre a rigidez à flexão da ligação parede-laje, e
a rigidez ao deslocamento lateral da parede, conferido pelo efeito de anel, e ao deslocamento lateral da laje,
conferido pelo solo, cuja deformabilidade pode ser representada por molas de Winkler. Este sistema é de
fácil implementação em programas de cálculo automatizado em ambiente bidimensional.
Através do método dos elementos finitos foram analisados os esforços na estrutura em solos
caracterizados por diferentes níveis de deformabilidade, através da aplicação de molas de Winkler. Conclui-
se que a configuração dos esforços é muito dependente deste parâmetro, em particular na zona da ligação
parede-laje. A consideração de solo deformável, mesmo que muito rígido, pode inverter o sinal dos
momentos na ligação em relação ao solo indeformável, e em solos de maior deformabilidade, os esforços
assumem valores por vezes de um nível de grandeza várias vezes superior. Isto acontece principalmente
devido à redistribuição da reação do solo à força axial vertical incutida pela parede para zonas mais centrais
da laje de fundo. O prolongamento da laje para o exterior da parede, em solos deformáveis, gera também
esforços elevados, porque nas situações em que se encontram exclusivamente carregadas a parte interior
(pressão hidrostática) ou a parte exterior da laje (pressão do terreno), a reação do solo na parte não carregada
não é diretamente anulada por nenhuma ação vertical, e consequentemente a laje comporta-se como uma
consola.
Na análise sísmica, foram analisadas hipóteses adotadas pelos principais modelos de cálculo e foram
aplicadas as metodologias que integram o EC8-4 [37] para a obtenção das distribuições das pressões
hidrodinâmicas nas paredes do reservatório, que consiste na determinação das componentes impulsiva,
convectiva e flexível. Foi discutido como podem ser combinadas estas componentes. No global, o processo
provou-se ser demasiado moroso e complicado para a aplicação corrente em projetos estruturais. Foi
também aplicado o método simplificado presente na mesma norma, que constitui uma ferramenta bem mais
simples, mas que apenas fornece as forças globais na estrutura (esforço de corte basal e momento
derrubador).
Como alternativa, foi efetuada uma análise modal e foram obtidos os esforços sísmicos com recurso
ao método dos elementos finitos, utilizando-se para isso a modelação proposta por Virella [47], que se
revelou bastante eficaz. Os dados conseguidos indicam que o reservatório cilíndrico possui um modo de
vibração predominante cujo fator de participação modal ronda os 80%. As forças sísmicas são encaminhadas
às fundações maioritariamente por esforço de corte tangencial à parede. Assim, uma vez que os reservatórios
de betão armado estão sobredimensionados em estado limite último devido ao critério da fendilhação, a
combinação sísmica não se revela condicionante, o que não corresponde às estruturas de aço.
Por fim, para perceber como poderá ser efetuada a pormenorização do nó de ligação entre a parede
e a laje de forma a dota-lo de ductilidade e resistência, foi efetuada uma análise linear da rotura de um nó
genérico entre dois elementos perpendiculares, dispondo de diferentes pormenorizações. Conclui-se que sob
momentos negativos, a rotura é condicionada principalmente pela resistência à compressão do betão. Já sob
momentos positivos, a pormenorização com maior eficiência é constituída por uma armadura em laço, em
adição a uma armadura diagonal de reforço, já que se verificou que a resistência depende da quantidade de
armadura no vértice interior da ligação, e da capacidade da armadura de encaminhar os esforços de tração
para o vértice exterior. Posteriormente, foi analisado a pormenorização adotada no reservatório, que se
conclui ser satisfatória.
169
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[45] Pinho, Leandro (2009). Projecto de Tanques Metálicos Circulares de Grandes Dimensões sob Acções
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[46] Fourie, Johanna A. (2009). Effect of Seismic Loads on Water-Retaining Structures in Areas of Moderate
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[47] Virella, Juan C.; Godoy, Luis A.; Suárez, Luis E. (2006). Fundamental modes of tank-liquid systems under
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[48] Fischer, F.D.; Rammerstorfer, F.G.; Scharf, K. (1991). Earthquake Resistant Design of Anchored and
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[49] Nachtigall, I.; Gebbeken, N.; Urrutia-Galicia, J. L. (2003). On the analysis of vertical circular cylindrical
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[50] Guerreiro, Luis (1999). Apontamentos da Disciplina de Dinâmica e Engenharia Sísmica - Revisões de
análise modal e análise sísmica por espectros de resposta – Instituto Superior Técnico (IST), Lisboa.
[51] ACI Committee 350 (2006). Seismic Design of Liquid-Containing Concrete Structures and Commentary
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[52] Leonhardt, Fritz; Mönnig, Eduard (1978). Construções de Concreto – Volume 3. Editora Interciência, Rio
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[54] Barros, Helena; Figueiras, Joaquim (2007). Estruturas de Betão – Secções à flexão e esforços axiais -
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Universidade do Porto (FEUP), Porto.
172
[55] Camara, José (2012). Betão Armado e Pré-Esforçado I - Módulo 2 – Verificação da Segurança aos Estados
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Lisboa.
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[58] Luo, Y.H.; Durrani, A.J.; Bai, Shaoliang; Yuan, Jixing (1994). Study of Reinforcing Detail of Tension Bars in
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[59] EPFL. (Janeiro de 2012). ICONC. Obtido em Julho de 2013, de École polytechnique fédérale de Lausanne: http://i-concrete.epfl.ch/secure/login.asp
[60] FCTDUC. NLinearSection. Obtido em Setembro de 2013, de Laboratório Geotécnico do Departamento de Engenharia Civil - Faculdade de Ciências e Tecnologia - Universidade de Coimbra: http://www.dec.uc.pt/~lgsoft/index.php?section=software&program=NLinearSection
[61] British Standards Institution (1987). British Standard 8007: Code of practice for design of concrete
structures for retaining aqueous liquids. British Standards Institution, London.
A-1
ANEXO A
Anexo A.1 – Valores do coeficiente de envelhecimento 𝜒(𝑡, 𝑡0) propostos por Bazant [13]
Anexo A.2 – Evolução ao longo do tempo da extensão de retração, coeficiente de fluência
e módulo de elasticidade ajustado no reservatório.
Anexo A.3 – Ábacos de Hangan-Soare para determinação dos esforços nas paredes de
reservatórios cilíndricos [31]
Anexo A.4 - Espectro de resposta aplicado ao reservatório
Anexo A.5 – Distribuições das pressões sísmicas na parede do reservatório resultantes da
aplicação do EC8-4
Anexo A.6 – Resultados da análise modal do reservatório pelo MEF
Anexo A.7 – Resultados do cálculo de esforços no reservatório pelo MEF (Modelo B; ks=200
MN/m3)
Anexo A.8 – Tensões no reservatório em estado I (não fendilhado)
Anexo A.9 – Dimensionamento do reservatório aos ELUtilização
Anexo A.10 – Dimensionamento do reservatório aos ELÚltimos
Anexo A.11 – Verificação do esforço transverso em ELÚltimo
Anexo A.12 – Resultados da análise não linear em diferentes arranjos
Anexo A.13 – Resultados da análise não linear na ligação entre a parede e a laje de fundo
do reservatório
A-2
Anexo A.1 – Valores do coeficiente de envelhecimento 𝜒(𝑡, 𝑡0) propostos por
Bazant [13]
(𝑡 − 𝑡0) 𝜙(𝑡∞, 7) Valor de 𝜒(𝑡, 𝑡0) 𝜙(𝑡, 𝑡0)
𝜙(𝑡∞, 𝑡0)
𝑡0 = 10 𝑡0 = 102 𝑡0 = 10
3 𝑡0 = 104
10 dias
0,5 0,525 0,804 0,811 0,809
0,273 1,5 0,720 0,826 0,825 0,820
2,5 0,774 0,842 0,837 0,830
3,5 0,806 0,856 0,848 0,839
102 dias
0,5 0,505 0,888 0,916 0,915
0,608 1,5 0,739 0,919 0,932 0,928
2,5 0,804 0,935 0,943 0,938
3,5 0,839 0,946 0,951 0,946
104 dias
0,5 0,511 0,912 0,973 0,981
0,857 1,5 0,732 0,943 0,981 0,985
2,5 0,795 0,956 0,985 0,988
3,5 0,830 0,964 0,987 0,990
104 dias
0,5 0,461 0,887 0,956 0,965
0,954 1,5 0,702 0,924 0,966 0,972
2,5 0,770 0,940 0,972 0,976
3,5 0,808 0,950 0,977 0,980
𝜙(𝑡∞, 𝑡0)
𝜙(𝑡∞, 7) 0,960 0.731 0,558 0,425
𝐸𝑐(𝑡0)
𝐸𝑐(28) 0,895 1,060 1,083 1,089
A-3
Anexo A.2 – Evolução ao longo do tempo da extensão de retração, coeficiente
de fluência e módulo de elasticidade ajustado no reservatório.
t (dias)
Extensão da retração Coeficiente de fluência Ec,ajust
(GPa) (t0=7)
σcs
(MPa) 𝑡0 = 7 𝑡0 = 40
βds (t,ts) εcd (t) βas (t) εca (t) εcs (t) βc (t,t0) 𝜙 (t,t0) βc (t,t0) 𝜙 (t,t0)
0 -0,027 -9,45E-06 0,000 0,00E+00 -9,45E-06 - - - - - -
1 -0,018 -6,24E-06 0,181 4,53E-06 -1,71E-06 - - - - - -
2 -0,009 -3,09E-06 0,246 6,16E-06 3,06E-06 - - - - - -
3 0,000 0,00E+00 0,293 7,32E-06 7,32E-06 - - - - - -
4 0,009 3,04E-06 0,330 8,24E-06 1,13E-05 - - - - - -
5 0,017 6,03E-06 0,361 9,01E-06 1,50E-05 - - - - - -
6 0,026 8,96E-06 0,387 9,68E-06 1,86E-05 - - - - - -
7 0,034 1,19E-05 0,411 1,03E-05 2,21E-05 0,000 0,00 - - 30,00 0,664
8 0,042 1,47E-05 0,432 1,08E-05 2,55E-05 0,149 0,47 - - 21,83 0,556
10 0,058 2,02E-05 0,469 1,17E-05 3,19E-05 0,208 0,65 - - 19,74 0,631
12 0,074 2,56E-05 0,500 1,25E-05 3,81E-05 0,242 0,76 - - 18,69 0,712
14 0,089 3,08E-05 0,527 1,32E-05 4,39E-05 0,267 0,84 - - 17,98 0,790
16 0,103 3,58E-05 0,551 1,38E-05 4,95E-05 0,288 0,90 - - 17,44 0,864
18 0,117 4,06E-05 0,572 1,43E-05 5,49E-05 0,305 0,95 - - 17,01 0,934
20 0,131 4,53E-05 0,591 1,48E-05 6,01E-05 0,321 1,00 - - 16,65 1,001
22 0,144 4,99E-05 0,609 1,52E-05 6,51E-05 0,334 1,05 - - 16,33 1,064
24 0,157 5,43E-05 0,625 1,56E-05 6,99E-05 0,347 1,08 - - 16,06 1,123
26 0,169 5,86E-05 0,639 1,60E-05 7,46E-05 0,358 1,12 - - 15,82 1,180
28 0,181 6,28E-05 0,653 1,63E-05 7,91E-05 0,369 1,15 - - 15,60 1,235
30 0,193 6,69E-05 0,666 1,66E-05 8,35E-05 0,379 1,18 - - 15,41 1,286
32 0,204 7,08E-05 0,677 1,69E-05 8,77E-05 0,388 1,21 - - 15,23 1,336
34 0,215 7,46E-05 0,688 1,72E-05 9,18E-05 0,396 1,24 - - 15,06 1,383
36 0,226 7,84E-05 0,699 1,75E-05 9,58E-05 0,405 1,27 - - 14,91 1,429
38 0,236 8,20E-05 0,709 1,77E-05 9,97E-05 0,412 1,29 - - 14,77 1,472
40 0,246 8,55E-05 0,718 1,79E-05 1,03E-04 0,420 1,31 0,000 0,00 14,63 1,514
50 0,293 1,02E-04 0,757 1,89E-05 1,21E-04 0,452 1,41 0,297 0,67 14,08 1,700
60 0,335 1,16E-04 0,788 1,97E-05 1,36E-04 0,479 1,50 0,364 0,82 13,64 1,855
70 0,372 1,29E-04 0,812 2,03E-05 1,49E-04 0,502 1,57 0,409 0,92 13,30 1,986
80 0,405 1,41E-04 0,833 2,08E-05 1,61E-04 0,522 1,63 0,443 1,00 13,00 2,098
90 0,435 1,51E-04 0,850 2,13E-05 1,72E-04 0,540 1,69 0,471 1,06 12,76 2,195
100 0,462 1,60E-04 0,865 2,16E-05 1,82E-04 0,557 1,74 0,496 1,11 12,54 2,280
120 0,508 1,76E-04 0,888 2,22E-05 1,99E-04 0,585 1,83 0,535 1,20 12,18 2,419
140 0,548 1,90E-04 0,906 2,27E-05 2,13E-04 0,609 1,90 0,567 1,28 11,89 2,529
160 0,581 2,02E-04 0,920 2,30E-05 2,25E-04 0,629 1,97 0,594 1,33 11,65 2,618
180 0,610 2,12E-04 0,932 2,33E-05 2,35E-04 0,648 2,03 0,616 1,39 11,45 2,690
200 0,635 2,20E-04 0,941 2,35E-05 2,44E-04 0,664 2,08 0,636 1,43 11,27 2,750
250 0,686 2,38E-04 0,958 2,39E-05 2,62E-04 0,698 2,18 0,676 1,52 10,92 2,862
300 0,724 2,51E-04 0,969 2,42E-05 2,76E-04 0,725 2,27 0,708 1,59 10,66 2,937
350 0,754 2,62E-04 0,976 2,44E-05 2,86E-04 0,747 2,34 0,733 1,65 10,45 2,991
400 0,778 2,70E-04 0,982 2,45E-05 2,95E-04 0,766 2,40 0,754 1,70 10,29 3,030
500 0,815 2,83E-04 0,989 2,47E-05 3,07E-04 0,796 2,49 0,787 1,77 10,03 3,083
600 0,841 2,92E-04 0,993 2,48E-05 3,17E-04 0,819 2,56 0,812 1,83 9,84 3,116
700 0,860 2,99E-04 0,995 2,49E-05 3,23E-04 0,837 2,62 0,831 1,87 9,70 3,137
800 0,876 3,04E-04 0,997 2,49E-05 3,29E-04 0,851 2,66 0,847 1,90 9,58 3,151
900 0,888 3,08E-04 0,998 2,49E-05 3,33E-04 0,864 2,70 0,860 1,93 9,49 3,161
1000 0,898 3,12E-04 0,998 2,50E-05 3,37E-04 0,874 2,73 0,871 1,96 9,41 3,169
1200 0,914 3,17E-04 0,999 2,50E-05 3,42E-04 0,891 2,79 0,888 2,00 9,29 3,179
1400 0,925 3,21E-04 0,999 2,50E-05 3,46E-04 0,903 2,82 0,901 2,03 9,20 3,184
1600 0,934 3,24E-04 1,000 2,50E-05 3,49E-04 0,913 2,86 0,912 2,05 9,13 3,188
1800 0,941 3,26E-04 1,000 2,50E-05 3,51E-04 0,921 2,88 0,920 2,07 9,08 3,190
2000 0,946 3,28E-04 1,000 2,50E-05 3,53E-04 0,928 2,90 0,927 2,09 9,03 3,191
2500 0,957 3,32E-04 1,000 2,50E-05 3,57E-04 0,941 2,94 0,940 2,11 8,95 3,193
3000 0,964 3,34E-04 1,000 2,50E-05 3,59E-04 0,950 2,97 0,949 2,13 8,89 3,194
4000 0,972 3,37E-04 1,000 2,50E-05 3,62E-04 0,961 3,01 0,961 2,16 8,81 3,194
10000 0,989 3,43E-04 1,000 2,50E-05 3,68E-04 0,984 3,08 0,984 2,21 8,67 3,191
∞ 1,000 3,47E-04 1,000 2,50E-05 3,72E-04 1,000 3,13 1,000 2,25 8,57 3,187
A-4
Anexo A.3 – Ábacos de Hangan-Soare para determinação dos esforços nas
paredes de reservatórios cilíndricos [31]
Momento na ligação parede-laje de fundo
Cota do ponto de momento fletor nulo
A-5
Momento vertical negativo máximo
Cota do ponto de momento vertical negativo máximo
A-6
Força de tração circunferencial máxima
Cota do ponto de força de tração circunferencial máxima
A-7
Anexo A.4 - Espectro de resposta aplicado ao reservatório
T 5% 0,5% T 5% 0,5% T 5% 0,5%
0,00 1,96 2,94 0,8 3,67 7,43 2,5 0,94 1,90
0,01 2,25 3,63 0,9 3,26 6,60 2,6 0,87 1,76
0,02 2,55 4,33 1,0 2,94 5,94 2,7 0,81 1,63
0,03 2,84 5,03 1,1 2,67 5,40 2,8 0,75 1,52
0,04 3,13 5,72 1,2 2,45 4,95 2,9 0,70 1,41
0,05 3,43 6,42 1,3 2,26 4,57 3,0 0,65 1,32
0,06 3,72 7,12 1,4 2,10 4,24 3,1 0,61 1,24
0,07 4,01 7,81 1,5 1,96 3,96 3,2 0,57 1,16
0,08 4,31 8,51 1,6 1,84 3,71 3,3 0,54 1,09
0,09 4,60 9,21 1,7 1,73 3,49 3,4 0,51 1,03
TB 0,1 4,90 9,90 1,8 1,63 3,30 3,5 0,48 0,97
0,2 4,90 9,90 1,9 1,55 3,13 3,6 0,45 0,92
0,3 4,90 9,90 TD 2,0 1,47 2,97 3,7 0,43 0,87
0,4 4,90 9,90 2,1 1,33 2,69 3,8 0,41 0,82
0,5 4,90 9,90 2,2 1,21 2,46 3,9 0,39 0,78
TC 0,6 4,90 9,90 2,3 1,11 2,25 4,0 0,37 0,74
0,7 4,20 8,49 2,4 1,02 2,06
Anexo A.5 – Distribuições das pressões sísmicas na parede do reservatório resultantes da aplicação do EC8-4
Pressão impulsiva no reservatório
𝜍 = 𝑧/𝐻 h (m) 𝐶𝑖(𝜍) 𝑝𝑖/𝑔
(kN/m2) 𝑝𝑖
(kN/m2) 0,00 0,00 0,817 4,19 10,48
0,05 0,27 0,816 4,18 10,46
0,10 0,54 0,812 4,16 10,41
0,15 0,81 0,805 4,13 10,32
0,20 1,08 0,795 4,08 10,19
0,25 1,35 0,782 4,01 10,03
0,30 1,62 0,766 3,93 9,82
0,35 1,89 0,747 3,83 9,58
0,40 2,16 0,725 3,72 9,29
0,45 2,43 0,699 3,59 8,96
0,50 2,70 0,670 3,43 8,59
0,55 2,97 0,636 3,26 8,16
0,60 3,24 0,599 3,07 7,68
0,65 3,51 0,556 2,85 7,13
0,70 3,78 0,508 2,61 6,52
0,75 4,05 0,455 2,33 5,83
0,80 4,32 0,394 2,02 5,05
0,85 4,59 0,324 1,66 4,15
0,90 4,86 0,243 1,24 3,11
0,95 5,13 0,144 0,74 1,84
1,00 5,40 0,000 0,00 0,00
Pressão convectiva no reservatório
𝑛 𝜓𝑛 1 6,3695
2 -0,1019
3 0,0060
𝜍 (𝑧/𝐻)
h (m) 𝑝𝑐1
(kN/m2) 𝑝𝑐2 (kN/m2)
𝑝𝑐3 (kN/m2)
𝑝𝑐1 + 𝑝𝑐2 + 𝑝𝑐3 (kN/m2)
0,00 0,00 2,58 0,06 0,00 2,65
0,05 0,27 2,59 0,06 0,00 2,65
0,10 0,54 2,60 0,07 0,01 2,67
0,15 0,81 2,63 0,07 0,01 2,70
0,20 1,08 2,66 0,08 0,01 2,75
0,25 1,35 2,70 0,09 0,01 2,80
0,30 1,62 2,76 0,10 0,01 2,87
0,35 1,89 2,82 0,12 0,02 2,96
0,40 2,16 2,90 0,14 0,02 3,06
0,45 2,43 2,99 0,16 0,03 3,18
0,50 2,70 3,08 0,19 0,04 3,31
0,55 2,97 3,19 0,22 0,05 3,47
0,60 3,24 3,31 0,27 0,07 3,65
0,65 3,51 3,45 0,32 0,09 3,85
0,70 3,78 3,60 0,38 0,12 4,09
0,75 4,05 3,76 0,45 0,16 4,36
0,80 4,32 3,93 0,54 0,21 4,68
0,85 4,59 4,12 0,64 0,28 5,04
0,90 4,86 4,32 0,76 0,37 5,46
0,95 5,13 4,55 0,91 0,49 5,95
1,00 5,40 4,78 1,09 0,65 6,52
A-9
Pressão flexível no reservatório
Modo n v t = v/γ b d (1ª it.) d (2ª it.) d (3ª it.) d (4ª it.)
0 1,571 2,385 0,8901 3,281E-02 3,031E-02 2,946E-02 3,015E-02
1 4,712 7,156 -9,594E-02 -9,138E-03 -7,396E-03 -8,068E-03 -7,581E-03
- 1ª iteração
f1 (𝜍) = −0,3389 ∙ 𝜍6 + 0,4227 ∙ 𝜍5 + 0,9447 ∙ 𝜍4 − 1,9544 ∙ 𝜍3 + 0,9599 ∙ 𝜍2 − 0,0038 ∙ 𝜍
h (m) 𝜍
(𝑧/𝐻) f1 (𝜍) ψ
𝑝𝑓1(𝜍)
(kN/m2)
𝜌2 (ton/m3)
𝜌2 (kN/m3)
0,00 0,00 0,0000 25,77 9,22 745,3 7311,3
0,20 0,04 0,0011 25,77 9,25 745,3 7311,3
0,40 0,07 0,0042 25,77 9,35 194,3 1905,9
0,60 0,11 0,0089 25,77 9,50 95,0 931,6
0,80 0,15 0,0146 25,77 9,71 59,9 588,1
1,00 0,19 0,0210 25,77 9,95 43,6 427,3
1,20 0,22 0,0276 25,77 10,23 34,6 339,3
1,40 0,26 0,0341 25,77 10,51 29,2 286,2
1,60 0,30 0,0403 25,77 10,80 25,7 252,0
1,80 0,33 0,0459 25,77 11,06 23,4 229,1
2,00 0,37 0,0508 25,77 11,29 21,7 213,3
2,20 0,41 0,0548 25,77 11,46 20,6 202,1
2,40 0,44 0,0579 25,77 11,57 19,8 194,2
2,60 0,48 0,0600 25,77 11,58 19,2 188,4
2,80 0,52 0,0612 25,77 11,49 18,8 184,1
3,00 0,56 0,0614 25,77 11,29 18,4 180,7
3,20 0,59 0,0608 25,77 10,97 18,1 177,8
3,40 0,63 0,0595 25,77 10,52 17,8 174,8
3,60 0,67 0,0575 25,77 9,95 17,5 171,4
3,80 0,70 0,0551 25,77 9,24 17,0 167,1
4,00 0,74 0,0522 25,77 8,40 16,4 161,2
4,20 0,78 0,0492 25,77 7,45 15,6 153,3
4,40 0,81 0,0460 25,77 6,39 14,5 142,6
4,60 0,85 0,0428 25,77 5,23 13,1 128,5
4,80 0,89 0,0396 25,77 4,00 11,2 110,3
5,00 0,93 0,0365 25,77 2,70 8,9 87,4
5,20 0,96 0,0334 25,77 1,36 6,0 59,2
5,40 1,00 0,0302 25,77 0,00 2,5 24,5
- 2ª iteração
f 2 (𝜍) = 1,363 ∙ 𝜍6 − 4,837 ∙ 𝜍5 + 6,753 ∙ 𝜍4 − 4,533 ∙ 𝜍3 + 1,267 ∙ 𝜍2 + 1,687 × 10−2 ∙ 𝜍
h (m) 𝜍
(𝑧/𝐻) f 2 (𝜍) ψ
𝑝𝑓2(𝜍)
(kN/m2) 𝜌3 (ton/m3)
𝜌3 (kN/m3)
0,00 0,00 0,0000 26,29 9,10 371,0 3639,6
0,20 0,04 0,0021 26,29 9,13 371,0 3639,6
0,40 0,07 0,0066 26,29 9,20 124,1 1217,2
0,60 0,11 0,0122 26,29 9,31 68,4 670,5
0,80 0,15 0,0185 26,29 9,47 46,8 459,5
1,00 0,19 0,0247 26,29 9,65 36,3 355,9
1,20 0,22 0,0306 26,29 9,85 30,4 298,0
1,40 0,26 0,0358 26,29 10,05 26,8 263,1
1,60 0,30 0,0402 26,29 10,25 24,6 240,9
1,80 0,33 0,0438 26,29 10,43 23,1 226,6
2,00 0,37 0,0466 26,29 10,57 22,1 217,1
2,20 0,41 0,0486 26,29 10,66 21,5 210,8
2,40 0,44 0,0499 26,29 10,69 21,0 206,5
2,60 0,48 0,0506 26,29 10,65 20,7 203,2
2,80 0,52 0,0508 26,29 10,51 20,4 200,4
3,00 0,56 0,0505 26,29 10,28 20,1 197,4
3,20 0,59 0,0499 26,29 9,95 19,8 193,9
3,40 0,63 0,0490 26,29 9,51 19,3 189,3
3,60 0,67 0,0479 26,29 8,96 18,7 183,6
3,80 0,70 0,0465 26,29 8,30 18,0 176,2
4,00 0,74 0,0449 26,29 7,53 17,0 167,2
4,20 0,78 0,0430 26,29 6,66 15,9 156,1
4,40 0,81 0,0410 26,29 5,70 14,6 142,8
4,60 0,85 0,0388 26,29 4,67 12,9 126,9
4,80 0,89 0,0364 26,29 3,56 11,0 107,6
5,00 0,93 0,0340 26,29 2,40 8,6 84,5
5,20 0,96 0,0318 26,29 1,21 5,8 56,9
5,40 1,00 0,0299 26,29 0,00 2,5 24,5
- 3ª iteração
f 3 (𝜍) = 5,705 × 10−1 ∙ 𝜍6 − 2,207 ∙ 𝜍5 + 3,548 ∙ 𝜍4 − 2,87 ∙ 𝜍3 + 9,821 ∗ 10−1 ∙ 𝜍2 + 7,103 × 10−1 ∙ 𝜍6
h (m) 𝜍
(𝑧/𝐻) f 3 (𝜍) ψ
𝑝𝑓3(𝜍)
(kN/m2)
𝜌4 (ton/m3)
𝜌4 (kN/m3)
0,00 0,00 0,00000 26,12 8,44 501,3 4917,7
0,20 0,04 0,00147 26,12 8,47 501,3 4917,7
0,40 0,07 0,00485 26,12 8,56 155,3 1523,3
0,60 0,11 0,00948 26,12 8,69 81,9 803,5
0,80 0,15 0,01483 26,12 8,88 54,3 532,9
1,00 0,19 0,02048 26,12 9,09 40,9 401,6
1,20 0,22 0,02611 26,12 9,33 33,5 328,3
1,40 0,26 0,03146 26,12 9,59 28,9 283,5
1,60 0,30 0,03636 26,12 9,84 25,9 254,4
1,80 0,33 0,04070 26,12 10,07 23,9 234,7
2,00 0,37 0,04439 26,12 10,27 22,5 221,0
2,20 0,41 0,04741 26,12 10,42 21,5 211,2
2,40 0,44 0,04975 26,12 10,50 20,8 203,8
2,60 0,48 0,05143 26,12 10,50 20,2 198,1
2,80 0,52 0,05246 26,12 10,42 19,7 193,2
3,00 0,56 0,05291 26,12 10,23 19,2 188,8
3,20 0,59 0,05280 26,12 9,94 18,8 184,4
3,40 0,63 0,05220 26,12 9,53 18,3 179,6
3,60 0,67 0,05114 26,12 9,00 17,7 174,0
3,80 0,70 0,04969 26,12 8,35 17,1 167,4
4,00 0,74 0,04789 26,12 7,60 16,2 159,3
4,20 0,78 0,04579 26,12 6,73 15,2 149,5
4,40 0,81 0,04345 26,12 5,77 14,0 137,4
4,60 0,85 0,04092 26,12 4,73 12,5 122,7
4,80 0,89 0,03828 26,12 3,61 10,7 104,7
5,00 0,93 0,03562 26,12 2,44 8,4 82,7
5,20 0,96 0,03305 26,12 1,23 5,7 56,1
5,40 1,00 0,03070 26,12 0,00 2,5 24,5
- 4ª iteração
f 4 (𝜍) = 9,605 × 10−1 ∙ 𝜍6 − 3,598 ∙ 𝜍5 + 5,389 ∙ 𝜍4 − 3,926 ∙ 𝜍3 + 1,194 ∙ 𝜍2 + 9,425 × 10−3 ∙ 𝜍
h (m) 𝜍
(𝑧/𝐻) f 4 (𝜍) ψ
𝑝𝑓4(𝜍)
(kN/m2)
𝜌5 (ton/m3)
𝜌5 (kN/m3)
0,00 0,00 0,00000 26,21 8,94 434,4 4261,2
0,20 0,04 0,00180 26,21 8,96 434,4 4261,2
0,40 0,07 0,00581 26,21 9,04 137,3 1346,5
0,60 0,11 0,01116 26,21 9,16 73,5 721,4
0,80 0,15 0,01719 26,21 9,32 49,5 485,2
1,00 0,19 0,02335 26,21 9,51 37,8 370,5
1,20 0,22 0,02928 26,21 9,72 31,2 306,5
1,40 0,26 0,03471 26,21 9,94 27,3 267,8
1,60 0,30 0,03946 26,21 10,15 24,8 243,0
1,80 0,33 0,04344 26,21 10,34 23,1 226,8
2,00 0,37 0,04662 26,21 10,50 22,0 215,8
2,20 0,41 0,04901 26,21 10,60 21,2 208,4
2,40 0,44 0,05065 26,21 10,65 20,7 203,1
2,60 0,48 0,05160 26,21 10,62 20,3 199,3
2,80 0,52 0,05194 26,21 10,49 20,0 196,2
3,00 0,56 0,05175 26,21 10,28 19,7 193,2
3,20 0,59 0,05110 26,21 9,95 19,4 190,0
3,40 0,63 0,05007 26,21 9,52 19,0 186,0
3,60 0,67 0,04870 26,21 8,97 18,5 181,1
3,80 0,70 0,04705 26,21 8,32 17,8 174,7
4,00 0,74 0,04516 26,21 7,55 17,0 166,6
4,20 0,78 0,04306 26,21 6,68 15,9 156,4
4,40 0,81 0,04079 26,21 5,72 14,7 143,7
4,60 0,85 0,03839 26,21 4,68 13,1 128,2
4,80 0,89 0,03591 26,21 3,57 11,1 109,1
5,00 0,93 0,03342 26,21 2,41 8,8 85,9
5,20 0,96 0,03104 26,21 1,22 5,9 57,8
5,40 1,00 0,02893 26,21 0,00 2,5 24,5
A-11
Pressão hidrodinâmica total no reservatório
𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (kN/m2)
𝜍 (𝑧/𝐻)
h (m) 𝑝𝑖 (kN/m2) 𝑝𝑐1
(kN/m2) 𝑝𝑓 (kN/m2)
𝑝𝑤 (kN/m2)
RQSQ ABS
0,00 0,00 10,48 2,58 8,94 1,25 14,97 23,25
0,05 0,27 10,46 2,59 8,96 1,25 14,97 23,26
0,10 0,54 10,41 2,60 9,04 1,25 14,98 23,30
0,15 0,81 10,32 2,63 9,16 1,25 14,99 23,35
0,20 1,08 10,19 2,66 9,32 1,25 14,99 23,42
0,25 1,35 10,03 2,70 9,51 1,25 15,00 23,49
0,30 1,62 9,82 2,76 9,72 1,25 14,99 23,55
0,35 1,89 9,58 2,82 9,94 1,25 14,97 23,59
0,40 2,16 9,29 2,90 10,15 1,25 14,92 23,59
0,45 2,43 8,96 2,99 10,34 1,25 14,84 23,54
0,50 2,70 8,59 3,08 10,50 1,25 14,71 23,42
0,55 2,97 8,16 3,19 10,60 1,25 14,53 23,21
0,60 3,24 7,68 3,31 10,65 1,25 14,28 22,89
0,65 3,51 7,13 3,45 10,62 1,25 13,96 22,45
0,70 3,78 6,52 3,60 10,49 1,25 13,54 21,86
0,75 4,05 5,83 3,76 10,28 1,25 13,03 21,11
0,80 4,32 5,05 3,93 9,95 1,25 12,42 20,18
0,85 4,59 4,15 4,12 9,52 1,25 11,69 19,04
0,90 4,86 3,11 4,32 8,97 1,25 10,87 17,66
0,95 5,13 1,84 4,55 8,32 1,25 9,97 15,95
1,00 5,40 0,00 4,78 7,55 1,25 9,03 13,58
A-12
Anexo A.6 – Análise modal do reservatório pelo MEF
Massas adicionadas aos nós da parede nos modelos de elementos finitos
ℎ
(𝑚)
𝑚𝑖
(𝑡𝑜𝑛/𝑚)
𝑚𝑛ó
(𝑡𝑜𝑛)
ℎ
(𝑚)
𝑚𝑖
(𝑡𝑜𝑛/𝑚)
𝑚𝑛ó
(𝑡𝑜𝑛)
ℎ
(𝑚)
𝑚𝑖
(𝑡𝑜𝑛/𝑚)
𝑚𝑛ó
(𝑡𝑜𝑛)
0,0 0,419 0,300 2,0 0,758 0,543 3,8 0,517 0,370
0,2 0,839 0,601 2,2 0,741 0,530 4,0 0,477 0,341
0,4 0,837 0,599 2,4 0,722 0,516 4,2 0,434 0,310
0,6 0,832 0,595 2,6 0,700 0,501 4,4 0,386 0,276
0,8 0,825 0,590 2,8 0,675 0,483 4,6 0,332 0,238
1,0 0,817 0,585 3,0 0,648 0,464 4,8 0,270 0,193
1,2 0,809 0,579 3,2 0,619 0,443 5,0 0,197 0,141
1,4 0,798 0,571 3,4 0,587 0,420 5,2 0,110 0,078
1,6 0,787 0,563 3,6 0,553 0,396 5,4 0,000 0,000
1,8 0,774 0,554
Deformada do modo fundamental
𝑓(𝜍) (-)
h (m) Encastrado Apoiado Elástico
0,00 0,0000 0,0000 0,0000
0,20 0,0012 0,0078 0,0038
0,40 0,0043 0,0154 0,0087
0,60 0,0089 0,0227 0,0144
0,80 0,0146 0,0295 0,0206 1,00 0,0209 0,0357 0,0270
1,20 0,0276 0,0413 0,0332
1,40 0,0341 0,0460 0,0391
1,60 0,0403 0,0500 0,0445
1,80 0,0460 0,0531 0,0492
2,00 0,0509 0,0554 0,0530
2,20 0,0549 0,0568 0,0560 2,40 0,0580 0,0575 0,0581
2,60 0,0601 0,0574 0,0593
2,80 0,0612 0,0567 0,0597
3,00 0,0614 0,0554 0,0593
3,20 0,0608 0,0537 0,0582
3,40 0,0594 0,0516 0,0565
3,60 0,0575 0,0492 0,0544 3,80 0,0551 0,0466 0,0518
4,00 0,0523 0,0439 0,0491
4,20 0,0492 0,0411 0,0461
4,40 0,0460 0,0384 0,0431
4,60 0,0428 0,0357 0,0401
4,80 0,0396 0,0331 0,0371
5,00 0,0364 0,0306 0,0342 5,20 0,0333 0,0282 0,0313
5,40 0,0303 0,0259 0,0286
A-13
Esforços na parede (modelo com ligação rígida)
Momento vertical (kNm/m) Força axial horizontal (kN/m) Esforço transverso vertical (kN/m)
h (m) SIS PP+PH+SIS
max PP+PH+SIS
min SIS
PP+PH+SIS max
PP+PH+SIS min
SIS PP+PH+SIS
max PP+PH+SIS
min
0,0 3,2 0,8 -5,6 4,6 31,7 22,5 4,2 36,5 28,0
0,2 2,4 -3,4 -8,1 3,4 100,5 93,6 4,0 27,2 19,2
0,4 1,6 -6,0 -9,2 14,6 173,9 144,7 3,7 19,3 11,9
0,6 1,0 -7,3 -9,3 28,1 239,3 183,2 3,3 12,7 6,1
0,8 0,7 -7,5 -8,9 42,8 294,4 208,9 2,8 7,5 1,9
1,0 0,8 -6,8 -8,4 57,9 338,5 222,7 2,4 3,6 -1,1
1,2 1,1 -5,6 -7,7 72,6 371,5 226,3 2,0 0,8 -3,2
1,4 1,3 -4,3 -6,9 86,4 394,3 221,5 1,7 -1,1 -4,4
1,6 1,5 -3,0 -6,1 98,7 407,6 210,3 1,5 -2,1 -5,1
1,8 1,7 -1,8 -5,2 109,2 412,8 194,5 1,4 -2,6 -5,4
2,0 1,8 -0,8 -4,4 117,5 410,9 175,8 1,3 -2,7 -5,3
2,2 1,9 0,1 -3,6 123,7 403,0 155,7 1,1 -2,7 -4,9
2,4 1,9 0,8 -3,0 127,4 390,3 135,5 1,0 -2,5 -4,4
2,6 1,8 1,2 -2,5 128,9 373,6 115,9 0,9 -2,2 -4,0
2,8 1,7 1,5 -2,0 128,0 353,8 97,8 1,0 -1,7 -3,7
3,0 1,6 1,6 -1,6 125,0 331,4 81,3 1,1 -1,2 -3,5
3,2 1,4 1,6 -1,2 120,2 307,2 66,8 1,3 -0,7 -3,3
3,4 1,1 1,4 -0,8 113,8 281,6 54,1 1,4 -0,3 -3,1
3,6 0,8 1,2 -0,5 106,1 255,2 43,0 1,4 0,0 -2,9
3,8 0,6 0,9 -0,3 97,5 228,3 33,3 1,3 0,2 -2,5
4,0 0,3 0,6 -0,1 88,3 201,3 24,7 1,2 0,4 -1,9
4,2 0,2 0,5 0,0 78,9 174,4 16,7 0,9 0,6 -1,2
4,4 0,2 0,4 0,0 69,4 147,9 9,1 0,6 1,0 -0,2
4,6 0,3 0,4 -0,1 60,2 121,9 1,5 0,3 1,6 1,0
4,8 0,3 0,4 -0,2 51,3 96,4 -6,2 0,3 2,7 2,2
5,0 0,3 0,3 -0,2 42,9 71,5 -14,2 0,5 4,5 3,5
5,2 0,2 0,2 -0,2 35,0 47,2 -22,7 0,8 6,6 5,1
5,4 0,1 0,1 -0,1 27,4 22,4 -32,5 0,8 6,6 5,1
A-14
Anexo A.7 – Resultados do cálculo de esforços no reservatório pelo MEF (Modelo
B; ks=200 MN/m3)
- ESFORÇOS NA LAJE
Momento fletor radial na laje (kNm/m) Força axial radial na laje (kN/m)
r (m) PP PH PT CU R TUN TUP TDP TDN PP PH PT CU R TUN TUP TDP TDN
0,00 0,00 0,00 -0,09 -0,01 -0,01 0,00 0,00 0,00 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
0,41 0,00 0,00 -0,09 -0,01 -0,01 0,00 0,00 0,00 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
0,82 0,00 0,00 -0,09 -0,01 -0,01 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
1,23 0,00 0,00 -0,09 -0,01 0,06 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
1,64 0,00 0,00 -0,09 -0,01 0,24 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
2,05 0,00 0,00 -0,09 -0,01 0,21 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
2,46 0,00 0,00 -0,09 -0,01 0,20 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
2,87 0,00 0,00 -0,09 -0,01 0,19 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
3,28 0,00 0,00 -0,09 -0,01 0,18 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
3,69 0,00 0,00 -0,09 -0,01 0,18 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
4,10 0,00 0,00 -0,09 -0,01 0,18 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
4,51 0,00 0,00 -0,09 -0,01 0,17 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
4,92 0,00 0,00 -0,09 -0,01 0,17 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
5,33 0,02 -0,02 -0,09 -0,01 0,17 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
5,74 0,04 -0,03 -0,09 -0,01 0,17 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
6,15 0,04 -0,02 -0,09 -0,01 0,17 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
6,56 -0,09 0,12 -0,09 -0,01 0,17 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
6,97 -0,49 0,46 -0,09 -0,01 0,17 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
7,38 -1,01 0,74 -0,09 -0,01 0,17 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
7,79 -0,46 -0,21 0,03 0,00 0,17 0,00 0,00 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
8,20 3,88 -4,52 3,10 0,18 0,17 -0,02 0,02 0,01 -0,01 0,76 28,69 -16,86 0,05 -16,57 3,35 -3,35 0,26 -0,26
8,20 4,23 4,76 -3,17 0,20 -0,02 0,02 -0,02 0,00 0,00 -0,07 -2,69 1,58 0,00 1,55 -0,31 0,31 -0,02 0,02
8,50 0,32 1,20 -0,34 0,04 -0,01 0,01 -0,01 0,00 0,00 -0,05 -1,86 1,09 0,00 1,07 -0,22 0,22 -0,02 0,02
8,80 -0,78 0,00 0,50 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,03 -1,11 0,65 0,00 0,64 -0,13 0,13 -0,01 0,01
9,10 -0,59 0,00 0,41 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,01 -0,30 0,18 0,00 0,17 -0,04 0,04 0,00 0,00
9,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,01 -0,44 0,26 0,00 0,26 -0,05 0,05 0,00 0,00
Esforço transverso radial na laje (kN/m)
r (m) PP PH PT CU R TUN TUP TDP TDN
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,00 0,00 -0,01 0,00
0,41 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,02 0,00
0,82 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,17 0,00 0,00 0,00 0,00
1,23 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,47 0,00 0,00 0,00 0,00
1,64 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,00 0,00 0,00 0,00
2,05 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00
2,46 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00
2,87 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00
3,28 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
4,10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
4,51 -0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
4,92 -0,04 0,03 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
5,33 -0,06 0,05 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
5,74 -0,01 -0,04 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
6,15 0,31 -0,34 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
6,56 0,98 -0,84 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
6,97 1,31 -0,73 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
7,38 -1,21 2,23 -0,23 -0,01 0,00 0,01 -0,01 0,00 0,00
7,79 -10,60 10,57 -7,55 -0,44 0,00 0,05 -0,05 0,00 0,00
8,20 -10,79 10,75 -7,68 -0,45 0,00 0,05 -0,05 0,00 0,00
8,20 12,90 11,70 -9,32 0,54 -0,01 0,05 -0,05 0,00 0,00
8,50 3,67 3,97 -2,81 0,13 -0,01 0,02 -0,02 0,00 0,00
8,80 -0,60 0,00 0,30 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00
9,10 -1,45 0,00 1,00 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00
9,50 -1,47 0,00 1,02 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00
A-15
- ESFORÇOS NA PAREDE
Momento vertical na parede (kNm/m) Esforço transverso vertical na parede (kN/m)
h (m) PP PH PT CU R TUN TUP TDP TDN PP PH PT CU R TUN TUP TDP TDN
0,0 0,39 9,29 -6,27 0,02 -0,19 0,04 -0,04 -0,01 0,01 0,76 27,58 -16,34 0,05 -15,00 3,80 -3,80 0,28 -0,28
0,2 0,24 3,77 -3,01 0,02 2,81 -0,72 0,72 -0,07 0,06 0,61 19,66 -11,88 0,04 -9,05 3,93 -3,93 0,22 -0,22
0,4 0,12 -0,16 -0,63 0,01 4,62 -1,50 1,50 -0,11 0,11 0,47 13,06 -8,08 0,04 -4,47 4,03 -4,03 0,09 -0,08
0,6 0,02 -2,77 0,99 0,00 5,51 -2,31 2,31 -0,13 0,13 0,35 7,77 -4,97 0,03 -1,12 4,05 -4,05 -0,12 0,13
0,8 -0,05 -4,32 1,98 -0,01 5,74 -3,12 3,12 -0,10 0,10 0,24 3,72 -2,51 0,02 1,20 3,92 -3,92 -0,41 0,42
1,0 -0,09 -5,07 2,48 -0,01 5,50 -3,90 3,90 -0,02 0,02 0,14 0,77 -0,65 0,01 2,65 3,52 -3,52 -0,78 0,80
1,2 -0,12 -5,22 2,61 -0,01 4,96 -4,61 4,61 0,13 -0,14 0,06 -1,25 0,69 0,01 3,45 2,72 -2,72 -1,24 1,26
1,4 -0,13 -4,97 2,48 -0,01 4,27 -5,15 5,15 0,38 -0,39 -0,02 -2,51 1,60 0,00 3,74 1,37 -1,37 -1,77 1,79
1,6 -0,13 -4,47 2,16 -0,01 3,52 -5,43 5,43 0,74 -0,75 -0,09 -3,18 2,16 -0,01 3,69 -0,71 0,71 -2,37 2,40
1,8 -0,11 -3,83 1,72 -0,01 2,79 -5,29 5,29 1,21 -1,23 -0,16 -3,41 2,45 -0,02 3,40 -3,70 3,70 -3,00 3,03
2,0 -0,08 -3,15 1,24 -0,01 2,11 -4,55 4,55 1,81 -1,84 -0,24 -3,34 2,52 -0,04 2,98 -7,38 7,38 -3,63 3,66
2,2 -0,03 -2,48 0,73 0,00 1,51 -3,08 3,08 2,54 -2,57 -0,33 -3,07 2,42 -0,06 2,50 -9,75 9,75 -4,19 4,21
2,4 0,03 -1,87 0,25 0,01 1,01 -1,14 1,14 3,38 -3,41 -0,43 -2,68 2,17 -0,07 2,01 -10,53 10,53 -4,58 4,60
2,6 0,12 -1,33 -0,18 0,03 0,61 0,96 -0,96 4,29 -4,33 -0,53 -2,25 1,77 -0,09 1,54 -9,74 9,74 14,03 -14,02
2,8 0,23 -0,88 -0,54 0,05 0,30 2,90 -2,90 5,24 -5,28 -0,64 -1,81 1,24 -0,12 1,13 -7,37 7,37 14,24 -14,25
3,0 0,35 -0,52 -0,79 0,07 0,07 4,37 -4,37 6,14 -6,18 -0,74 -1,41 0,60 -0,14 0,78 -3,70 3,70 -3,95 3,91
3,2 0,50 -0,24 -0,91 0,10 -0,08 5,11 -5,11 6,93 -6,96 -0,82 -1,05 0,10 -0,15 0,49 -0,74 0,74 -3,14 3,07
3,4 0,66 -0,03 -0,93 0,13 -0,18 5,26 -5,26 7,56 -7,58 -0,87 -0,75 -0,25 -0,16 0,26 1,29 -1,29 -2,14 2,03
3,6 0,84 0,12 -0,88 0,16 -0,23 5,00 -5,00 7,99 -7,98 -0,86 -0,51 -0,46 -0,16 0,09 2,56 -2,56 -1,04 0,87
3,8 1,01 0,23 -0,78 0,19 -0,25 4,48 -4,48 8,19 -8,16 -0,76 -0,33 -0,58 -0,15 -0,03 3,23 -3,23 0,13 -0,37
4,0 1,16 0,29 -0,67 0,22 -0,24 3,84 -3,84 8,17 -8,08 -0,54 -0,19 -0,61 -0,11 -0,11 3,48 -3,48 1,32 -1,63
4,2 1,27 0,33 -0,54 0,24 -0,22 3,14 -3,14 7,90 -7,76 -0,16 -0,09 -0,60 -0,03 -0,16 3,41 -3,41 2,49 -2,88
4,4 1,30 0,35 -0,42 0,25 -0,19 2,46 -2,46 7,40 -7,18 0,42 -0,02 -0,55 0,08 -0,18 3,15 -3,15 3,58 -4,05
4,6 1,22 0,35 -0,32 0,24 -0,15 1,83 -1,83 6,69 -6,37 1,25 0,03 -0,48 0,23 -0,19 2,78 -2,78 4,53 -5,07
4,8 0,97 0,34 -0,22 0,19 -0,11 1,27 -1,27 5,78 -5,36 2,36 0,08 -0,41 0,45 -0,18 2,36 -2,36 5,23 -5,83
5,0 0,50 0,32 -0,14 0,10 -0,08 0,80 -0,80 4,73 -4,19 3,79 0,14 -0,33 0,72 -0,16 1,93 -1,93 5,56 -6,19
5,2 -0,26 0,30 -0,07 -0,04 -0,04 0,41 -0,41 3,62 -2,95 5,55 0,22 -0,26 1,06 -0,14 1,53 -1,53 5,37 -5,97
5,4 -1,37 0,25 -0,02 -0,26 -0,02 0,11 -0,11 2,55 -1,76 5,55 0,22 -0,26 1,06 -0,14 1,53 -1,53 5,37 -5,97
Força axial horizontal na parede (kN/m) Força axial vertical na parede (kN/m)
h (m) PP PH PT CU R TUN TUP TDP TDN PP PH PT CU R TUN TUP TDP TDN
0,0 -6,22 45,21 -26,82 -0,25 304,75 5,36 -5,36 0,48 -0,48 -37,16 -3,48 0,78 -1,63 6,29 -0,01 0,01 0,30 -0,30
0,2 -6,13 78,51 -34,20 -0,28 244,32 5,48 -5,48 -2,41 2,44 -36,20 -4,07 1,24 -1,64 5,90 0,10 -0,10 0,31 -0,31
0,4 -5,68 117,61 -46,09 -0,29 187,52 4,62 -4,62 -5,38 5,45 -35,21 -4,08 1,35 -1,64 5,25 0,32 -0,32 0,33 -0,33
0,6 -5,06 156,86 -59,10 -0,29 136,98 1,65 -1,65 -8,50 8,60 -34,22 -3,70 1,22 -1,64 4,46 0,65 -0,65 0,34 -0,35
0,8 -4,39 192,52 -70,88 -0,29 94,03 -4,53 4,53 -11,80 11,91 -33,21 -3,09 0,94 -1,64 3,63 1,11 -1,11 0,36 -0,36
1,0 -3,78 222,30 -80,01 -0,29 59,04 -15,07 15,07 -15,22 15,36 -32,20 -2,36 0,59 -1,63 2,83 1,68 -1,68 0,36 -0,36
1,2 -3,30 245,11 -85,74 -0,31 31,72 -31,06 31,06 -18,67 18,82 -31,18 -1,60 0,21 -1,63 2,11 2,35 -2,35 0,34 -0,34
1,4 -2,99 260,66 -87,85 -0,35 11,37 -53,48 53,48 -21,91 22,07 -30,16 -0,88 -0,15 -1,63 1,48 3,10 -3,10 0,28 -0,28
1,6 -2,87 269,27 -86,52 -0,41 -2,97 -83,07 83,07 -24,60 24,74 -29,14 -0,23 -0,46 -1,63 0,97 3,88 -3,88 0,17 -0,16
1,8 -2,92 271,60 -82,16 -0,48 -12,32 -120,20 120,20 -26,25 26,34 -28,13 0,33 -0,71 -1,63 0,56 4,64 -4,64 -0,01 0,02
2,0 -3,13 268,55 -75,38 -0,58 -17,73 -182,77 182,77 -26,17 26,20 -27,11 0,79 -0,89 -1,63 0,25 -10,33 10,33 -0,28 0,29
2,2 -3,46 261,04 -66,85 -0,67 -20,13 -113,49 113,49 -23,54 23,46 -26,11 1,15 -1,00 -1,63 0,02 -9,89 9,89 -0,66 0,67
2,4 -3,82 250,01 -57,27 -0,77 -20,38 -48,48 48,48 -17,34 17,10 -25,12 1,43 -1,04 -1,63 -0,13 -9,73 9,73 -1,15 1,17
2,6 -4,14 236,33 -47,32 -0,85 -19,17 14,91 -14,91 -6,35 5,91 -24,13 1,63 -1,01 -1,63 -0,22 -9,87 9,87 -1,55 1,58
2,8 -4,28 220,74 -37,60 -0,89 -17,08 79,56 -79,56 8,58 -9,27 -23,17 1,76 -0,93 -1,64 -0,26 -10,28 10,28 -1,50 1,53
3,0 -4,11 203,88 -28,61 -0,86 -14,54 166,26 -166,26 23,02 -24,03 -22,22 1,84 -0,82 -1,65 -0,28 4,72 -4,72 -1,11 1,15
3,2 -3,43 186,27 -20,69 -0,73 -11,87 120,79 -120,79 33,75 -35,14 -21,29 1,87 -0,69 -1,66 -0,27 3,99 -3,99 -0,75 0,79
3,4 -2,06 168,30 -14,02 -0,47 -9,30 82,37 -82,37 40,99 -42,79 -20,39 1,88 -0,56 -1,68 -0,24 3,23 -3,23 -0,48 0,52
3,6 0,25 150,28 -8,63 -0,03 -6,97 51,25 -51,25 45,62 -47,86 -19,51 1,86 -0,43 -1,71 -0,21 2,50 -2,50 -0,27 0,31
3,8 3,73 132,41 -4,47 0,64 -4,96 27,11 -27,11 48,23 -50,90 -18,66 1,83 -0,32 -1,73 -0,17 1,85 -1,85 -0,09 0,13
4,0 8,62 114,85 -1,41 1,58 -3,29 9,26 -9,26 49,12 -52,18 -17,83 1,79 -0,22 -1,77 -0,14 1,29 -1,29 0,09 -0,07
4,2 15,13 97,69 0,72 2,83 -1,97 -3,18 3,18 48,27 -51,59 -17,01 1,74 -0,14 -1,80 -0,11 0,83 -0,83 0,31 -0,31
4,4 23,40 80,99 2,07 4,41 -0,95 -11,18 11,18 45,30 -48,68 -16,20 1,69 -0,08 -1,84 -0,08 0,46 -0,46 0,61 -0,64
4,6 33,49 64,77 2,82 6,35 -0,19 -15,70 15,70 39,53 -42,66 -15,38 1,64 -0,03 -1,87 -0,06 0,20 -0,20 1,01 -1,08
4,8 45,25 49,03 3,12 8,61 0,35 -17,61 17,61 29,97 -32,39 -14,51 1,59 0,00 -1,90 -0,04 0,01 -0,01 1,54 -1,67
5,0 58,34 33,78 3,11 11,13 0,73 -17,70 17,70 15,35 -16,47 -13,58 1,54 0,02 -1,91 -0,03 -0,11 0,11 2,22 -2,44
5,2 72,09 18,99 2,90 13,78 1,01 -16,63 16,63 -5,78 6,73 -12,53 1,50 0,03 -1,90 -0,02 -0,17 0,17 3,06 -3,38
5,4 85,72 4,01 2,57 16,46 1,22 -14,89 14,89 -36,39 40,48 -9,81 -1,50 -0,03 -1,37 0,02 0,17 -0,17 -3,06 3,38
A-16
- ESFORÇOS NA CÚPULA
Momento radial na cúpula (kNm/m) Força axial radial na cúpula (kN/m)
r (m) PP PH PT CU R TUN TUP TDP TDN PP PH PT CU R TUN TUP TDP TDN
8,20 -1,36 0,24 -0,02 -0,25 -0,02 0,11 -0,11 2,52 -1,73 -13,99 -0,10 0,10 -2,67 0,05 -0,56 0,56 -2,08 2,31
7,79 -0,41 0,14 0,00 -0,08 0,00 0,01 -0,01 1,95 -1,10 -14,86 -0,32 0,07 -2,84 0,04 -0,38 0,38 -2,14 2,37
7,38 0,08 0,06 0,00 0,01 0,00 -0,03 0,03 1,59 -0,70 -16,29 -0,32 0,03 -3,13 0,03 -0,19 0,19 -1,51 1,68
6,97 0,25 0,01 0,01 0,05 0,00 -0,04 0,04 1,42 -0,52 -17,51 -0,22 0,01 -3,37 0,01 -0,05 0,05 -0,79 0,88
6,56 0,26 -0,01 0,00 0,05 0,00 -0,03 0,03 1,38 -0,47 -18,26 -0,12 0,00 -3,52 0,00 0,02 -0,02 -0,25 0,28
6,15 0,18 -0,02 0,00 0,03 0,00 -0,02 0,02 1,39 -0,48 -18,56 -0,04 -0,01 -3,60 0,00 0,05 -0,05 0,07 -0,08
5,74 0,11 -0,02 0,00 0,02 0,00 -0,01 0,01 1,43 -0,52 -18,57 0,01 -0,01 -3,61 0,00 0,05 -0,05 0,20 -0,22
5,33 0,05 -0,01 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 1,46 -0,56 -18,43 0,03 -0,01 -3,60 0,00 0,04 -0,04 0,21 -0,23
4,92 0,01 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,49 -0,58 -18,24 0,03 0,00 -3,58 0,00 0,02 -0,02 0,16 -0,17
4,51 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,50 -0,60 -18,06 0,02 0,00 -3,55 0,00 0,01 -0,01 0,10 -0,10
4,10 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,51 -0,61 -17,91 0,01 0,00 -3,53 0,00 0,00 0,00 0,04 -0,04
3,69 -0,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,51 -0,61 -17,79 0,01 0,00 -3,52 0,00 -0,01 0,01 -0,01 0,01
3,28 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,51 -0,61 -17,71 0,00 0,00 -3,51 0,00 -0,01 0,01 -0,07 0,04
2,87 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,51 -0,61 -17,62 0,00 0,00 -3,50 0,00 -0,01 0,01 -0,16 0,09
2,46 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,50 -0,60 -17,52 -0,01 0,00 -3,49 0,00 0,00 0,00 -0,34 0,16
2,05 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,49 -0,60 -17,36 -0,01 0,00 -3,46 0,00 0,00 0,00 -0,69 0,29
1,64 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,46 -0,58 -17,05 0,00 0,00 -3,40 0,00 0,00 0,00 -1,31 0,54
1,23 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,40 -0,56 -16,24 0,00 0,00 -3,25 0,00 0,00 0,00 -2,32 0,94
0,82 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,31 -0,52 -12,87 0,00 0,00 -2,57 0,00 0,00 0,00 -3,05 1,22
0,41 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,69 -0,28 -4,06 0,00 0,00 -0,81 0,00 0,00 0,00 -1,24 0,49
0,30 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,06 -0,02 -6,06 0,00 0,00 -1,21 0,00 0,00 0,00 -3,32 1,33
Força axial circunferencial na cúpula (kN/m) Esforço transverso radial na cúpula (kN/m)
r (m) PP PH PT CU R TUN TUP TDP TDN PP PH PT CU R TUN TUP TDP TDN
8,20 32,26 1,75 1,05 6,16 0,50 -6,09 6,09 -14,64 16,29 -2,12 0,22 -0,04 -0,39 -0,02 0,21 -0,21 1,29 -1,43
7,79 29,11 -2,13 0,82 5,62 0,48 -4,77 4,77 -21,25 23,58 -1,11 0,18 -0,02 -0,21 -0,01 0,09 -0,09 0,80 -0,89
7,38 15,20 -3,02 0,48 3,04 0,33 -2,85 2,85 -17,61 19,52 -0,37 0,11 0,00 -0,07 0,00 0,02 -0,02 0,38 -0,42
6,97 1,11 -2,50 0,21 0,40 0,18 -1,27 1,27 -11,10 12,29 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 -0,02 0,02 0,10 -0,11
6,56 -9,07 -1,59 0,05 -1,53 0,06 -0,28 0,28 -5,38 5,95 0,18 0,02 0,00 0,03 0,00 -0,03 0,03 -0,04 0,04
6,15 -14,97 -0,78 -0,04 -2,68 0,00 0,20 -0,20 -1,56 1,72 0,18 -0,01 0,00 0,03 0,00 -0,02 0,02 -0,09 0,10
5,74 -17,63 -0,24 -0,06 -3,22 -0,02 0,34 -0,34 0,42 -0,48 0,14 -0,01 0,00 0,03 0,00 -0,02 0,02 -0,08 0,09
5,33 -18,35 0,05 -0,05 -3,40 -0,03 0,31 -0,31 1,13 -1,26 0,08 -0,01 0,00 0,01 0,00 -0,01 0,01 -0,06 0,07
4,92 -18,14 0,16 -0,04 -3,40 -0,02 0,22 -0,22 1,11 -1,26 0,06 -0,01 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 -0,04 0,04
4,51 -17,63 0,17 -0,02 -3,34 -0,01 0,12 -0,12 0,81 -0,93 0,01 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,02 0,02
4,10 -17,22 0,13 -0,01 -3,30 -0,01 0,05 -0,05 0,48 -0,55 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,01 0,00
3,69 -17,05 0,08 0,00 -3,30 0,00 0,01 -0,01 0,26 -0,27 -0,04 0,00 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,28 -17,13 0,04 0,00 -3,34 0,00 -0,02 0,02 0,22 -0,13 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 -0,01
2,87 -17,29 0,01 0,00 -3,39 0,00 -0,02 0,02 0,37 -0,12 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 -0,01
2,46 -17,48 0,00 0,00 -3,45 0,00 -0,02 0,02 0,72 -0,24 0,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 -0,02
2,05 -17,67 -0,01 0,00 -3,50 0,00 -0,01 0,01 1,21 -0,44 -0,03 0,00 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,08 -0,03
1,64 -17,99 -0,01 0,00 -3,58 0,00 -0,01 0,01 1,68 -0,63 0,04 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,15 -0,06
1,23 -18,42 -0,01 0,00 -3,67 0,00 0,00 0,00 1,69 -0,65 -0,03 0,00 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,31 -0,12
0,82 -18,90 -0,01 0,00 -3,77 0,00 0,00 0,00 0,67 -0,26 -0,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,27 -0,51
0,41 -25,68 0,00 0,00 -5,14 0,00 0,00 0,00 -7,49 3,00 0,06 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 4,16 -1,66
0,30 -35,71 0,00 0,00 -7,14 0,00 0,01 -0,01 -17,86 7,14 0,04 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 1,49 -0,60
- ESFORÇOS NA VIGA
Força axial circunferencial na cúpula (kN/m)
PP PH PT CU R TUN TUP TDP TDN
35,07 1,73 1,03 6,69 0,49 -5,97 5,97 -14,31 15,92
A-17
Anexo A.8 –Tensões no reservatório em estado I (não fendilhado)
CÚPULA - Tensões nas faces na direção radial em estado I (MPa)
Máx ELUtil. Face Inferior Face Superior
r (m) Face Inf.
Face Sup.
D+PH D+PT D+PH+PT
R TUN TUP TDP TDN D+PH D+PT D+PH+PT
R TUN TUP TDP TDN
8,20 -0,07 0,83 -0,58 -0,69 -0,59 -0,01 0,04 -0,04 1,03 -0,70 0,35 0,46 0,36 0,01 -0,05 0,05 -1,07 0,74
7,79 0,46 0,73 -0,44 -0,57 -0,44 0,00 0,01 -0,01 1,80 -1,00 0,06 0,20 0,06 0,01 -0,02 0,02 -1,85 1,06
7,38 0,67 0,05 -0,07 -0,12 -0,06 0,00 -0,03 0,03 1,47 -0,64 -0,35 -0,29 -0,35 0,00 0,02 -0,02 -1,51 0,68
6,97 0,69 -0,21 0,02 0,02 0,03 0,00 -0,03 0,03 1,33 -0,47 -0,47 -0,46 -0,47 0,00 0,03 -0,03 -1,35 0,49
6,56 0,66 -0,24 0,00 0,02 0,00 0,00 -0,03 0,03 1,29 -0,43 -0,46 -0,47 -0,46 0,00 0,03 -0,03 -1,30 0,44
6,15 0,59 -0,16 -0,08 -0,06 -0,09 0,00 -0,02 0,02 1,31 -0,45 -0,38 -0,40 -0,39 0,00 0,02 -0,02 -1,31 0,45
5,74 0,54 -0,08 -0,15 -0,13 -0,17 0,00 -0,01 0,01 1,34 -0,49 -0,32 -0,33 -0,32 0,00 0,01 -0,01 -1,34 0,49
5,33 0,50 0,00 -0,20 -0,19 -0,23 0,00 0,00 0,00 1,37 -0,53 -0,26 -0,27 -0,26 0,00 0,00 0,00 -1,37 0,52
4,92 0,48 0,04 -0,22 -0,22 -0,26 0,00 0,00 0,00 1,40 -0,55 -0,24 -0,24 -0,24 0,00 0,00 0,00 -1,39 0,55
4,51 0,47 0,07 -0,24 -0,24 -0,28 0,00 0,00 0,00 1,41 -0,56 -0,21 -0,21 -0,21 0,00 0,00 0,00 -1,41 0,56
4,10 0,47 0,08 -0,24 -0,24 -0,28 0,00 0,00 0,00 1,41 -0,57 -0,21 -0,21 -0,21 0,00 0,00 0,00 -1,41 0,57
3,69 0,47 0,08 -0,24 -0,24 -0,28 0,00 0,00 0,00 1,42 -0,57 -0,21 -0,21 -0,21 0,00 0,00 0,00 -1,42 0,57
3,28 0,49 0,06 -0,22 -0,22 -0,26 0,00 0,00 0,00 1,42 -0,57 -0,22 -0,22 -0,22 0,00 0,00 0,00 -1,42 0,57
2,87 0,49 0,06 -0,22 -0,22 -0,26 0,00 0,00 0,00 1,41 -0,57 -0,22 -0,22 -0,22 0,00 0,00 0,00 -1,42 0,57
2,46 0,49 0,06 -0,21 -0,21 -0,26 0,00 0,00 0,00 1,40 -0,56 -0,22 -0,22 -0,22 0,00 0,00 0,00 -1,41 0,57
2,05 0,47 0,07 -0,22 -0,22 -0,27 0,00 0,00 0,00 1,39 -0,55 -0,21 -0,21 -0,21 0,00 0,00 0,00 -1,40 0,56
1,64 0,47 0,06 -0,21 -0,21 -0,25 0,00 0,00 0,00 1,35 -0,54 -0,22 -0,22 -0,22 0,00 0,00 0,00 -1,38 0,55
1,23 0,43 0,07 -0,21 -0,21 -0,25 0,00 0,00 0,00 1,28 -0,51 -0,20 -0,20 -0,20 0,00 0,00 0,00 -1,34 0,54
0,82 0,43 0,09 -0,16 -0,16 -0,19 0,00 0,00 0,00 1,19 -0,47 -0,16 -0,16 -0,16 0,00 0,00 0,00 -1,26 0,50
0,41 0,27 0,07 -0,04 -0,04 -0,05 0,00 0,00 0,00 0,63 -0,25 -0,06 -0,06 -0,06 0,00 0,00 0,00 -0,66 0,26
0,30 -0,07 -0,06 -0,08 -0,08 -0,09 0,00 0,00 0,00 0,01 -0,01 -0,08 -0,08 -0,08 0,00 0,00 0,00 -0,10 0,04
CÚPULA - Tensões nas faces na direção circunferencial em estado I (MPa)
Máx ELUtil. Face Inferior Face Superior
r (m) Face Inf.
Face Sup.
D+PH D+PT D+PH+PT
R TUN TUP TDP TDN D+PH D+PT D+PH+PT
R TUN TUP TDP TDN
8,20 0,50 0,65 0,19 0,16 0,20 0,00 -0,04 0,04 0,60 -0,22 0,37 0,40 0,38 0,01 -0,06 0,06 -0,84 0,49
7,79 0,95 0,90 0,32 0,33 0,33 0,01 -0,06 0,06 1,22 -0,36 0,35 0,42 0,36 0,01 -0,06 0,06 -1,75 0,95
7,38 0,85 0,54 0,22 0,26 0,23 0,00 -0,05 0,05 1,19 -0,32 0,08 0,14 0,09 0,00 -0,03 0,03 -1,63 0,81
6,97 0,72 0,27 0,07 0,10 0,09 0,00 -0,03 0,03 1,23 -0,37 -0,10 -0,07 -0,10 0,00 -0,01 0,01 -1,51 0,68
6,56 0,61 0,11 -0,07 -0,04 -0,07 0,00 -0,01 0,01 1,30 -0,45 -0,20 -0,19 -0,20 0,00 0,00 0,00 -1,44 0,60
6,15 0,54 0,04 -0,16 -0,14 -0,18 0,00 0,00 0,00 1,36 -0,51 -0,24 -0,24 -0,24 0,00 0,01 -0,01 -1,40 0,55
5,74 0,50 0,02 -0,20 -0,20 -0,24 0,00 0,00 0,00 1,39 -0,55 -0,24 -0,25 -0,25 0,00 0,01 -0,01 -1,38 0,54
5,33 0,49 0,03 -0,22 -0,22 -0,26 0,00 0,00 0,00 1,41 -0,57 -0,24 -0,24 -0,24 0,00 0,00 0,00 -1,38 0,54
4,92 0,48 0,05 -0,23 -0,23 -0,27 0,00 0,00 0,00 1,42 -0,58 -0,22 -0,23 -0,22 0,00 0,00 0,00 -1,39 0,55
4,51 0,49 0,06 -0,22 -0,22 -0,26 0,00 0,00 0,00 1,42 -0,58 -0,21 -0,22 -0,21 0,00 0,00 0,00 -1,40 0,55
4,10 0,49 0,07 -0,22 -0,22 -0,26 0,00 0,00 0,00 1,42 -0,57 -0,21 -0,21 -0,21 0,00 0,00 0,00 -1,40 0,56
3,69 0,49 0,07 -0,21 -0,22 -0,26 0,00 0,00 0,00 1,41 -0,57 -0,21 -0,21 -0,21 0,00 0,00 0,00 -1,41 0,56
3,28 0,49 0,07 -0,21 -0,21 -0,25 0,00 0,00 0,00 1,41 -0,57 -0,22 -0,22 -0,22 0,00 0,00 0,00 -1,41 0,56
2,87 0,49 0,06 -0,21 -0,21 -0,26 0,00 0,00 0,00 1,41 -0,56 -0,22 -0,22 -0,22 0,00 0,00 0,00 -1,40 0,56
2,46 0,49 0,06 -0,22 -0,22 -0,26 0,00 0,00 0,00 1,41 -0,56 -0,22 -0,22 -0,22 0,00 0,00 0,00 -1,39 0,56
2,05 0,49 0,05 -0,22 -0,22 -0,26 0,00 0,00 0,00 1,42 -0,57 -0,22 -0,22 -0,22 0,00 0,00 0,00 -1,39 0,55
1,64 0,49 0,05 -0,22 -0,22 -0,26 0,00 0,00 0,00 1,42 -0,57 -0,23 -0,23 -0,23 0,00 0,00 0,00 -1,38 0,55
1,23 0,49 0,04 -0,23 -0,23 -0,27 0,00 0,00 0,00 1,43 -0,57 -0,23 -0,23 -0,23 0,00 0,00 0,00 -1,39 0,55
0,82 0,49 0,04 -0,23 -0,23 -0,27 0,00 0,00 0,00 1,44 -0,57 -0,24 -0,24 -0,24 0,00 0,00 0,00 -1,42 0,57
0,41 0,62 0,07 -0,30 -0,30 -0,37 0,00 0,00 0,00 1,85 -0,74 -0,34 -0,34 -0,34 0,00 0,00 0,00 -2,04 0,81
0,30 0,73 0,08 -0,43 -0,43 -0,51 0,00 0,00 0,00 2,30 -0,92 -0,47 -0,47 -0,47 0,00 0,00 0,00 -2,75 1,10
VIGA - Tensões na direção horizontal em estado I (MPa)
Máx
ELUtil. D+PH D+PT
D+PH
+PT R TUN TUP TDP TDN
0,58 0,46 0,45 0,47 0,01 -0,07 0,07 -0,18 0,20
A-18
LAJE DE FUNDO - Tensões nas faces na direção circunferencial em estado I (MPa)
Máx ELUtil. Face Inferior Face Superior
r (m) Face Inf.
Face Sup.
D+PH D+PT D+PH+PT
R TUN TUP TDP TDN D+PH D+PT D+PH+PT
R TUN TUP TDP TDN
0,00 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,17 0,03 -0,03 0,00 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,16 0,03 -0,03 0,00 0,00
0,41 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,17 0,03 -0,03 0,00 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,16 0,03 -0,03 0,00 0,00
0,82 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,17 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,16 0,03 -0,03 0,00 0,00
1,23 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,13 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,20 0,03 -0,03 0,00 0,00
1,64 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,02 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,31 0,03 -0,03 0,00 0,00
2,05 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,04 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,29 0,03 -0,03 0,00 0,00
2,46 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,05 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,28 0,03 -0,03 0,00 0,00
2,87 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,05 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,28 0,03 -0,03 0,00 0,00
3,28 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,06 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,28 0,03 -0,03 0,00 0,00
3,69 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,06 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,27 0,03 -0,03 0,00 0,00
4,10 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,12 -0,06 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,27 0,03 -0,03 0,00 0,00
4,51 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,12 -0,06 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,27 0,03 -0,03 0,00 0,00
4,92 0,29 0,30 0,29 -0,16 0,13 -0,06 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,30 -0,16 0,13 -0,27 0,03 -0,03 0,00 0,00
5,33 0,29 0,29 0,29 -0,14 0,13 -0,06 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,18 0,12 -0,27 0,03 -0,03 0,00 0,00
5,74 0,30 0,29 0,30 -0,11 0,15 -0,06 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,21 0,10 -0,27 0,03 -0,03 0,00 0,00
6,15 0,31 0,28 0,31 -0,11 0,16 -0,06 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,28 -0,21 0,09 -0,27 0,03 -0,03 0,00 0,00
6,56 0,32 0,27 0,32 -0,28 0,11 -0,06 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,27 -0,04 0,15 -0,27 0,03 -0,03 0,00 0,00
6,97 0,28 0,36 0,28 -0,68 -0,11 -0,07 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,31 0,35 0,36 -0,27 0,03 -0,03 0,00 0,00
7,38 0,13 0,56 0,13 -0,82 -0,29 -0,07 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,35 0,56 0,50 -0,20 0,03 -0,03 0,00 0,00
7,79 0,03 0,30 0,03 -0,24 -0,11 -0,06 0,02 -0,02 0,00 0,00 0,30 0,05 0,26 -0,13 0,02 -0,02 0,00 0,00
8,20 0,96 0,24 0,06 0,96 0,42 -0,06 0,01 -0,01 0,00 0,00 0,24 -1,12 -0,29 -0,11 0,02 -0,02 0,00 0,00
8,20 1,34 -0,13 1,34 0,15 0,85 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,37 -0,14 -0,86 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00
8,50 0,98 0,05 0,97 0,00 0,61 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,01 0,02 -0,62 0,02 -0,01 0,01 0,00 0,00
8,80 -0,15 0,35 -0,31 -0,15 -0,35 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,28 0,16 0,34 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00
9,10 -0,10 0,36 -0,13 -0,10 -0,35 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,12 0,10 0,35 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
9,50 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
LAJE DE FUNDO - Tensões nas faces na direção radial em estado I (MPa)
Máx ELUtil. Inferior Superior
r (m) Face Inf.
Face Sup.
D+PH D+PT D+PH+PT
R TUN TUP TDP TDN D+PH D+PT D+PH+PT
R TUN TUP TDP TDN
0,00 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,17 0,03 -0,03 0,00 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,16 0,03 -0,03 0,00 0,00
0,41 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,17 0,03 -0,03 0,00 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,16 0,03 -0,03 0,00 0,00
0,82 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,17 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,16 0,03 -0,03 0,00 0,00
1,23 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,16 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,17 0,03 -0,03 0,00 0,00
1,64 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,11 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,22 0,03 -0,03 0,00 0,00
2,05 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,10 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,23 0,03 -0,03 0,00 0,00
2,46 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,09 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,24 0,03 -0,03 0,00 0,00
2,87 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,08 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,25 0,03 -0,03 0,00 0,00
3,28 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,08 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,25 0,03 -0,03 0,00 0,00
3,69 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,08 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,25 0,03 -0,03 0,00 0,00
4,10 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,08 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,26 0,03 -0,03 0,00 0,00
4,51 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,07 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,26 0,03 -0,03 0,00 0,00
4,92 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,07 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,16 0,13 -0,26 0,03 -0,03 0,00 0,00
5,33 0,29 0,29 0,29 -0,16 0,13 -0,07 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,17 0,12 -0,26 0,03 -0,03 0,00 0,00
5,74 0,30 0,29 0,30 -0,15 0,13 -0,07 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,17 0,12 -0,26 0,03 -0,03 0,00 0,00
6,15 0,30 0,29 0,30 -0,15 0,14 -0,07 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,18 0,12 -0,26 0,03 -0,03 0,00 0,00
6,56 0,30 0,29 0,30 -0,18 0,13 -0,07 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,29 -0,14 0,13 -0,26 0,03 -0,03 0,00 0,00
6,97 0,29 0,30 0,29 -0,28 0,08 -0,07 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,30 -0,05 0,18 -0,26 0,03 -0,03 0,00 0,00
7,38 0,22 0,26 0,22 -0,31 0,01 -0,07 0,03 -0,03 0,01 -0,01 0,26 0,05 0,20 -0,20 0,03 -0,03 0,00 0,00
7,79 0,14 0,20 0,14 -0,16 0,01 -0,06 0,02 -0,02 0,00 0,00 0,20 -0,03 0,13 -0,13 0,02 -0,02 0,00 0,00
8,20 0,13 0,17 0,12 0,13 0,13 -0,06 0,02 -0,02 0,00 0,00 0,17 -0,29 0,00 -0,11 0,02 -0,02 0,00 0,00
8,20 0,38 -0,09 0,38 -0,03 0,22 -0,05 0,01 -0,01 0,00 0,00 -0,15 -0,09 -0,12 -0,08 0,01 -0,01 0,00 0,00
8,50 0,50 -0,06 0,50 -0,11 0,26 -0,05 0,03 -0,03 0,01 -0,01 -0,06 -0,13 -0,07 -0,20 0,02 -0,02 0,00 0,00
8,80 0,24 0,19 0,24 -0,14 0,06 -0,05 0,02 -0,02 0,01 -0,01 0,19 -0,10 0,12 -0,19 0,02 -0,02 0,00 0,00
9,10 0,25 0,16 0,25 -0,13 0,04 -0,05 0,02 -0,02 0,00 0,00 0,16 -0,10 0,13 -0,18 0,02 -0,02 0,00 0,00
9,50 0,26 0,13 0,26 -0,10 0,10 -0,05 0,02 -0,02 0,00 0,00 0,13 -0,11 0,06 -0,17 0,02 -0,02 0,00 0,00
A-19
PAREDE - Tensões nas faces na direção vertical em estado I (MPa)
Máx ELUtil. Inferior Superior
h (m) Face Int.
Face Ext.
D+PH D+PT D+PH+PT
R TUN TUP TDP TDN D+PH D+PT D+PH+PT
R TUN TUP TDP TDN
0,0 0,16 0,09 0,15 -0,22 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,31 0,07 -0,16 0,02 0,00 0,00 0,00 0,00
0,2 0,25 0,04 0,08 -0,24 -0,06 0,15 -0,03 0,03 0,00 0,00 -0,31 0,04 -0,16 -0,12 0,04 -0,04 0,00 0,00
0,4 0,63 -0,09 -0,21 -0,25 -0,29 0,72 -0,22 0,22 -0,01 0,01 -0,19 -0,09 -0,09 -0,67 0,23 -0,23 0,02 -0,02
0,6 1,00 0,22 -0,60 -0,02 -0,61 0,85 -0,34 0,34 -0,02 0,02 0,22 -0,31 0,08 -0,80 0,35 -0,35 0,02 -0,02
0,8 1,24 0,48 -0,84 0,13 -0,85 0,88 -0,46 0,46 -0,01 0,01 0,48 -0,45 0,18 -0,84 0,47 -0,47 0,02 -0,02
1,0 1,33 0,60 -0,95 0,20 -0,96 0,84 -0,58 0,58 0,00 0,00 0,60 -0,51 0,23 -0,81 0,59 -0,59 0,01 0,00
1,2 1,31 0,64 -0,97 0,22 -0,98 0,76 -0,68 0,68 0,02 -0,02 0,64 -0,53 0,25 -0,73 0,70 -0,70 -0,02 0,02
1,4 1,23 0,61 -0,92 0,20 -0,93 0,65 -0,76 0,76 0,06 -0,06 0,61 -0,50 0,24 -0,63 0,79 -0,79 -0,06 0,06
1,6 1,09 0,54 -0,84 0,16 -0,85 0,53 -0,79 0,79 0,11 -0,11 0,54 -0,45 0,22 -0,52 0,83 -0,83 -0,11 0,11
1,8 0,90 0,45 -0,73 0,10 -0,74 0,42 -0,77 0,77 0,18 -0,18 0,45 -0,39 0,19 -0,42 0,82 -0,82 -0,18 0,18
2,0 0,72 0,35 -0,62 0,03 -0,62 0,32 -0,73 0,73 0,27 -0,27 0,35 -0,31 0,16 -0,31 0,63 -0,63 -0,27 0,28
2,2 0,45 0,25 -0,50 -0,03 -0,51 0,23 -0,51 0,51 0,38 -0,38 0,25 -0,24 0,14 -0,23 0,41 -0,41 -0,38 0,39
2,4 0,31 0,26 -0,39 -0,09 -0,40 0,15 -0,22 0,22 0,50 -0,51 0,16 -0,17 0,11 -0,15 0,12 -0,12 -0,51 0,52
2,6 0,27 0,33 -0,29 -0,13 -0,30 0,09 0,09 -0,09 0,64 -0,64 0,07 -0,12 0,09 -0,09 -0,19 0,19 -0,65 0,66
2,8 0,27 0,42 -0,20 -0,17 -0,21 0,04 0,38 -0,38 0,78 -0,78 -0,01 -0,07 0,07 -0,05 -0,49 0,49 -0,79 0,80
3,0 0,34 0,49 -0,13 -0,18 -0,12 0,01 0,68 -0,68 0,92 -0,92 -0,08 -0,05 0,04 -0,01 -0,63 0,63 -0,93 0,93
3,2 0,45 0,53 -0,06 -0,17 -0,05 -0,01 0,79 -0,79 1,04 -1,04 -0,14 -0,05 0,00 0,01 -0,75 0,75 -1,04 1,05
3,4 0,55 0,54 0,00 -0,14 0,01 -0,03 0,80 -0,80 1,13 -1,13 -0,19 -0,07 -0,05 0,03 -0,77 0,77 -1,14 1,14
3,6 0,63 0,54 0,06 -0,11 0,07 -0,04 0,76 -0,76 1,20 -1,20 -0,23 -0,09 -0,10 0,03 -0,74 0,74 -1,20 1,20
3,8 0,70 0,52 0,10 -0,06 0,12 -0,04 0,68 -0,68 1,23 -1,22 -0,27 -0,13 -0,15 0,04 -0,66 0,66 -1,23 1,22
4,0 0,74 0,48 0,14 -0,02 0,16 -0,04 0,58 -0,58 1,23 -1,21 -0,30 -0,16 -0,20 0,04 -0,57 0,57 -1,22 1,21
4,2 0,75 0,42 0,16 0,02 0,19 -0,03 0,48 -0,48 1,19 -1,17 -0,32 -0,19 -0,23 0,03 -0,47 0,47 -1,18 1,16
4,4 0,73 0,35 0,17 0,05 0,20 -0,03 0,37 -0,37 1,11 -1,08 -0,32 -0,21 -0,26 0,03 -0,37 0,37 -1,11 1,07
4,6 0,67 0,28 0,17 0,06 0,19 -0,02 0,28 -0,28 1,01 -0,96 -0,30 -0,21 -0,26 0,02 -0,27 0,27 -1,00 0,95
4,8 0,57 0,23 0,13 0,04 0,15 -0,02 0,19 -0,19 0,87 -0,81 -0,26 -0,19 -0,23 0,02 -0,19 0,19 -0,86 0,80
5,0 0,42 0,20 0,06 -0,01 0,07 -0,01 0,12 -0,12 0,72 -0,64 -0,18 -0,12 -0,16 0,01 -0,12 0,12 -0,70 0,62
5,2 0,22 0,21 -0,05 -0,11 -0,07 -0,01 0,06 -0,06 0,56 -0,46 -0,06 -0,01 -0,05 0,01 -0,06 0,06 -0,53 0,43
5,4 -0,04 0,30 -0,22 -0,26 -0,27 0,00 0,02 -0,02 0,37 -0,25 0,11 0,16 0,11 0,00 -0,02 0,02 -0,40 0,28
PAREDE - Tensões em ambas faces na direção horizontal em estado I (MPa)
h (m) Máx
ELUtil. D+PH D+PT
D+PH+PT
R TUN TUP TDP TDN
0,0 0,69 0,08 -0,07 0,02 0,61 0,01 -0,01 0,00 0,00
0,2 0,91 0,21 -0,11 0,11 0,70 0,02 -0,02 -0,01 0,01
0,4 1,51 0,56 -0,26 0,33 0,94 0,02 -0,02 -0,03 0,03
0,6 1,47 0,76 -0,32 0,46 0,68 0,01 -0,01 -0,04 0,04
0,8 1,44 0,94 -0,37 0,59 0,47 -0,02 0,02 -0,06 0,06
1,0 1,43 1,09 -0,42 0,69 0,30 -0,08 0,08 -0,08 0,08
1,2 1,45 1,21 -0,44 0,78 0,16 -0,16 0,16 -0,09 0,09
1,4 1,48 1,29 -0,45 0,85 0,06 -0,27 0,27 -0,11 0,11
1,6 1,53 1,33 -0,45 0,90 -0,01 -0,42 0,42 -0,12 0,12
1,8 1,58 1,34 -0,42 0,93 -0,06 -0,60 0,60 -0,13 0,13
2,0 1,70 1,33 -0,39 0,95 -0,09 -0,91 0,91 -0,13 0,13
2,2 1,47 1,29 -0,35 0,95 -0,10 -0,57 0,57 -0,12 0,12
2,4 1,25 1,23 -0,31 0,94 -0,10 -0,24 0,24 -0,09 0,09
2,6 1,16 1,16 -0,26 0,92 -0,10 0,07 -0,07 -0,03 0,03
2,8 1,20 1,08 -0,21 0,89 -0,09 0,40 -0,40 0,04 -0,05
3,0 1,34 1,00 -0,16 0,86 -0,07 0,83 -0,83 0,12 -0,12
3,2 1,16 0,91 -0,12 0,81 -0,06 0,60 -0,60 0,17 -0,18
3,4 0,99 0,83 -0,08 0,76 -0,05 0,41 -0,41 0,20 -0,21
3,6 0,85 0,75 -0,04 0,71 -0,03 0,26 -0,26 0,23 -0,24
3,8 0,78 0,68 0,00 0,66 -0,02 0,14 -0,14 0,24 -0,25
4,0 0,72 0,62 0,04 0,61 -0,02 0,05 -0,05 0,25 -0,26
4,2 0,68 0,56 0,08 0,57 -0,01 -0,02 0,02 0,24 -0,26
4,4 0,64 0,52 0,13 0,53 0,00 -0,06 0,06 0,23 -0,24
4,6 0,60 0,49 0,18 0,51 0,00 -0,08 0,08 0,20 -0,21
4,8 0,56 0,47 0,24 0,49 0,00 -0,09 0,09 0,15 -0,16
5,0 0,52 0,46 0,31 0,48 0,00 -0,09 0,09 0,08 -0,08
5,2 0,52 0,46 0,37 0,47 0,01 -0,08 0,08 -0,03 0,03
5,4 0,57 0,45 0,44 0,46 0,01 -0,07 0,07 -0,18 0,20
A-20
Anexo A.9 – Dimensionamento do reservatório aos ELUtilização
- LAJE – DIREÇÃO RADIAL
Condicionante na face inferior Condicionante na face superior Armadura inferior Armadura superior Face inferior Face superior
r (m) Combinação M (x√2) (kNm/m)
N (x√2) (kN/m)
Combinação M (x√2) (kNm/m)
N (x√2) (kN/m)
Arm. As
(cm2/m) Arm.
As (cm2/m)
wk (mm)
σs (MPa)
σc (MPa)
wk (mm)
σs (MPa)
σc (MPa)
0,00 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05
Armadura Única
0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
0,41 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
0,82 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
1,23 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
1,64 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
2,05 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
2,46 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
2,87 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
3,28 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
3,69 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
4,10 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
4,51 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,1 0,042 46,0 0,1
4,92 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,1 0,1 0,042 46,1 0,1
5,33 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
5,74 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,3 0,3 0,042 46,3 0,3
6,15 PP+PH 0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,8 0,5 0,042 46,8 0,5
6,56 PP+PH 0,1 41,6 D+PH 0,1 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 47,1 0,6 0,042 47,1 0,6
6,97 PP+PH -0,0 41,6 D+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 47,0 0,5 0,042 47,0 0,5
7,38 PP+PH -0,4 41,6 D+PH -0,4 41,6 φ12 // 12,5 9,05 φ10 // 10 7,85 0,026 34,8 1,0 0,026 34,8 1,0
7,79 PP+PH -1,0 41,6 D+PH -1,0 41,6 φ12 // 12,5 + φ8 // 12,5
13,07 φ10 // 10 7,85 0,034 38,9 0,7 0,034 38,9 0,7
8,20 PP+PT 9,8 -22,8 D+PH -0,8 41,6 φ12 // 12,5 + φ8 // 12,5
13,07 φ10 // 10 7,85 0,031 45,4 3,3 0,035 36,4 0,3
8,20 PP+PH 12,8 -3,9 D+PT+R+0,5·TUP 1,3 5,6 φ12 // 12,5 + φ8 // 12,5
13,07 φ10 // 20 7,85 0,049 69,7 4,4 0,007 10,0 0,5
8,50 PP+PH 2,3 -1,0 D+PT+R+0,5·TUP -0,1 3,3 φ12 // 12,5 + φ8 // 12,5
13,07 φ10 // 20 7,85 0,029 40,7 4,9 0,003 3,4 0,2
8,80 PP+PT+R+0,5·TUP -0,37 1,89 D+PH+PT -0,8 0,2 φ12 // 12,5 9,05 Armadura
única
0,010 11,5 1,0 0,018 21,3 2,0
9,10 PP+PT+R+0,5·TUP -0,24 0,51 D+PH+PT -0,8 0,1 φ12 // 12,5 9,05 0,006 6,7 0,6 0,018 21,3 2,0
9,50 PP+PT+R+0,5·TUP 0,00 0,76 D+PH+PT 0,0 0,8 φ12 // 12,5 9,05 0,001 0,9 0,0 0,001 0,9 0,0
A-21
- LAJE – DIREÇÃO CIRCUNFERENCIAL
Condicionante na face inferior Condicionante na face superior Armadura inferior Armadura superior Face inferior Face superior
r (m) Combinação M (x√2) (kNm/m)
N (x√2) (kN/m)
Combinação M (x√2) (kNm/m)
N (x√2) (kN/m)
Arm. As
(cm2/m) Arm.
As (cm2/m)
wk (mm)
σs (MPa)
σc (MPa)
wk (mm)
σs (MPa)
σc (MPa)
0,00 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05
Armadura Única
0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
0,41 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
0,82 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
1,23 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
1,64 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
2,05 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
2,46 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
2,87 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
3,28 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
3,69 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
4,10 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
4,51 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,0 0,042 46,0 0,0
4,92 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,1 0,042 46,0 0,1
5,33 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,1 0,042 46,0 0,1
5,74 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,0 0,1 0,042 46,0 0,1
6,15 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,2 0,2 0,042 46,2 0,2
6,56 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,3 0,3 0,042 46,3 0,3
6,97 PP+PH 0,0 41,6 PP+PH 0,0 41,6 φ12 // 12,5 9,05 0,042 46,1 0,1 0,042 46,1 0,1
7,38 PP+PH -0,1 41,6 PP+PH -0,1 41,6 φ12 // 12,5 9,05 φ10 // 10 7,85 0,023 30,2 0,2 0,023 30,2 0,2
7,79 PP+PH -0,2 41,6 PP+PH -0,2 41,6 φ12 // 12,5 + φ8 // 12,5
13,07 φ10 // 10 7,85 0,044 30,5 0,0 0,044 30,5 0,0
8,20 PP+PH -0,3 41,6 PP+PH -0,3 41,6 φ12 // 12,5 + φ8 // 12,5
13,07 φ10 // 10 7,85 0,048 29,7 0,0 0,048 29,7 0,0
8,20 PP+PH 2,5 32,5 PP+PH 2,5 32,5 φ12 // 12,5 + φ8 // 12,5
13,07 φ10 // 20 7,85 0,021 28,5 0,8 0,021 28,5 0,8
8,50 PP+PH 0,7 31,2 PP+PH 0,7 31,2 φ12 // 12,5 + φ8 // 12,5
13,07 φ10 // 20 7,85 0,025 34,9 2,0 0,025 34,9 2,0
8,80 PP+PH 0,1 30,0 PP+PH 0,1 30,0 φ12 // 12,5 9,05 Armadura
única
0,031 34,4 0,5 0,031 34,4 0,5
9,10 PP+PH 0,1 29,0 PP+PH 0,1 29,0 φ12 // 12,5 9,05 0,031 34,6 0,7 0,031 34,6 0,7
9,50 PP+PH 0,2 27,4 PP+PH 0,2 27,4 φ12 // 12,5 9,05 0,030 33,8 0,9 0,030 33,8 0,9
A-22
- PAREDE – DIREÇÃO VERTICAL
Condicionante na face interior Condicionante na face exterior Armadura interior Armadura exterior Face interior Face exterior
h (m) Combinação M
(kNm/m) N
(kN/m) Combinação
M (kNm/m)
N (kN/m)
Arm. As
(cm2/m) Arm.
As (cm2/m)
wk
(mm) σs
(MPa) σc
(MPa) wk
(mm) σs
(MPa) σc
(MPa)
0,0 D+PH 9,6 -40,7 D+PT+R+0,5·TUP -6,1 -30,1 φ8 // 10 5,03 φ8 // 20 2,51 0,009 7,6 0,6 0,007 3,7 0,3
0,2 D+PH+R+0,5·TUP 7,2 -34,4 D+PT -2,8 -35,0 φ8 // 10 5,03 φ8 // 20 2,51 0,016 15,3 0,9 0,000 0,1 0,2
0,4 D+PH+R+0,5·TUP 5,3 -34,2 D+PH+PT -0,7 -37,9 φ8 // 10 5,03 φ8 // 20 2,51 0,026 33,7 2,1 0,000 0,0 0,3
0,6 D+PT+R+0,5·TUP 7,7 -28,9 D+PH -2,8 -37,9 φ8 // 10 5,03 φ8 // 20 2,51 0,055 69,4 3,3 0,004 4,2 0,8
0,8 D+PT+R+0,5·TUP 9,2 -29,2 D+PH -4,4 -36,3 φ8 // 10 5,03 φ8 // 20 2,51 0,071 89,4 4,0 0,043 35,6 2,0
1,0 D+PT+R+0,5·TUP 9,8 -29,6 D+PH -5,2 -34,6 φ8 // 10 5,03 φ8 // 20 2,51 0,078 97,0 4,3 0,071 57,4 2,6
1,2 D+PT+R+0,5·TUP 9,8 -30,0 D+PH -5,4 -32,8 φ8 // 10 5,03 φ8 // 20 2,51 0,076 95,6 4,3 0,081 65,2 2,8
1,4 D+PT+R+0,5·TUP 9,2 -30,4 D+PH -5,1 -31,0 φ8 // 10 5,03 φ8 // 20 2,51 0,070 87,9 4,0 0,078 62,8 2,7
1,6 D+PT+R+0,5·TUP 8,3 -30,6 D+PH -4,6 -29,4 φ8 // 10 5,03 φ8 // 20 2,51 0,060 75,6 3,6 0,067 53,8 2,4
1,8 D+PT+R+0,5·TUP 7,0 -30,6 D+PH -3,9 -27,8 φ8 // 10 5,03 φ8 // 20 2,51 0,047 59,7 3,0 0,050 41,1 2,0
2,0 D+PT+R+0,5·TUP 5,5 -22,6 D+PH+R+0,5·TUN -3,4 -31,2 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,117 91,6 3,2 0,026 22,1 1,5
2,2 D+PT+R+0,5·TUP 3,8 -22,1 D+PH+R+0,5·TUN -2,5 -29,9 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,060 47,8 2,0 0,008 7,6 0,9
2,4 D+PT+R+0,5·TDP 3,0 -26,9 D+PH+R+0,5·TDN -2,5 -23,2 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,024 20,4 1,3 0,019 16,4 1,1
2,6 D+PT+R+0,5·TDP 2,7 -26,1 D+PH+PT+R+0,5·TDN -3,0 -23,0 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,018 15,3 1,1 0,032 26,7 1,4
2,8 D+PT+R+0,5·TDP 2,6 -25,1 D+PH+PT+R+0,5·TDN -3,5 -21,8 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,018 15,1 1,1 0,054 42,9 1,8
3,0 D+PH+R+0,5·TDP 3,0 -21,2 D+PH+PT+R+0,5·TDN -4,0 -20,9 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,038 30,7 1,5 0,070 55,6 2,2
3,2 D+PH+R+0,5·TDP 3,6 -20,1 D+PH+PT+R+0,5·TDN -4,2 -20,0 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,062 49,4 2,0 0,081 63,5 2,3
3,4 D+PH+R+0,5·TDP 4,2 -19,0 D+PH+PT+R+0,5·TDN -4,3 -19,1 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,084 66,4 2,4 0,085 66,7 2,4
3,6 D+PH+R+0,5·TDP 4,7 -18,0 D+PT+R+0,5·TDN -4,3 -20,0 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,103 80,8 2,7 0,082 64,8 2,4
3,8 D+PH+R+0,5·TDP 5,1 -17,0 D+PT+R+0,5·TDN -4,1 -19,1 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,118 91,9 3,0 0,080 62,8 2,3
4,0 D+PH+R+0,5·TDP 5,3 -16,1 D+PT+R+0,5·TDN -3,8 -18,2 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,128 99,2 3,1 0,072 56,8 2,1
4,2 D+PH+R+0,5·TDP 5,3 -15,2 D+PT+R+0,5·TDN -3,4 -17,4 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,132 102,0 3,2 0,061 48,1 1,8
4,4 D+PH+R+0,5·TDP 5,2 -14,3 D+PT+R+0,5·TDN -2,9 -16,7 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,129 99,9 3,1 0,047 37,8 1,5
4,6 D+PH+R+0,5·TDP 4,8 -13,3 D+PT+R+0,5·TDN -2,4 -16,0 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,119 91,9 2,8 0,034 27,6 1,2
4,8 D+PH+R+0,5·TDP 4,1 -12,2 D+PT+R+0,5·TDN -2,0 -15,4 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,100 77,2 2,4 0,024 19,3 1,0
5,0 D+PH+R+0,5·TDP 3,1 -11,0 D+PT+R+0,5·TDN -1,8 -14,8 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,071 55,2 1,8 0,018 15,0 0,8
5,2 D+PH+R+0,5·TDP 1,8 -9,5 D+PT+R+0,5·TDN -1,9 -14,2 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,032 25,2 1,0 0,021 17,0 0,9
5,4 D+PH+R+0,5·TDP 0,1 -12,8 D+PT+R+0,5·TDN -2,3 -8,13 φ8 // 20 2,51 φ8 // 20 2,51 0,000 0,0 0,1 0,052 40,3 1,3
A-23
- PAREDE – DIRECÇÃO HORIZONTAL
Condicionante em ambas as faces Armadura em cada face Ambas as faces
h (m) Combinação M
(kNm/m) N
(kN/m) Arm.
As/face (cm2/m)
wk
(mm) σs
(MPa) σc
(MPa)
0,0 PP+PH+R+0,5·TUN - 346,4 φ12 // 6,25 18,10 0,099 95,7 0,0
0,2 PP+PH+R+0,5·TUN - 319,5 φ12 // 6,25 18,10 0,091 88,3 0,0
0,4 PP+PH+R+0,5·TDN - 302,3 φ12 // 6,25 18,10 0,086 83,5 0,0
0,6 PP+PH+R+0,5·TDN - 293,3 φ12 // 6,25 18,10 0,084 81,0 0,0
0,8 PP+PH+R+0,5·TDN - 288,3 φ12 // 6,25 18,10 0,082 79,7 0,0
1,0 PP+PH+R+0,5·TDN - 285,4 φ12 // 6,25 18,10 0,081 78,9 0,0
1,2 PP+PH+R+0,5·TUP - 289,2 φ12 // 6,25 18,10 0,083 79,9 0,0
1,4 PP+PH+R+0,5·TUP - 295,9 φ12 // 6,25 18,10 0,084 81,8 0,0
1,6 PP+PH+R+0,5·TUP - 305,1 φ12 // 6,25 18,10 0,087 84,3 0,0
1,8 PP+PH+R+0,5·TUP - 316,6 φ12 // 6,25 18,10 0,090 87,5 0,0
2,0 PP+PH+R+0,5·TUP - 339,1 φ12 // 6,25 18,10 0,097 93,7 0,0
2,2 PP+PH+R+0,5·TUP - 294,3 φ12 // 6,25 18,10 0,084 81,3 0,0
2,4 PP+PH+R+0,5·TUP - 250,1 φ10 // 6,25 12,57 0,116 99,5 0,0
2,6 PP+PH - 232,2 φ10 // 6,25 12,57 0,108 92,4 0,0
2,8 PP+PH+R+0,5·TUN - 239,2 φ10 // 6,25 12,57 0,111 95,2 0,0
3,0 PP+PH+R+0,5·TUN - 268,4 φ10 // 6,25 12,57 0,125 106,8 0,0
3,2 PP+PH+R+0,5·TUN - 231,4 φ10 // 6,25 12,57 0,108 92,1 0,0
3,4 PP+PH+R+0,5·TUN - 198,1 Φ8 // 6,25 8,04 0,169 123,2 0,0
3,6 PP+PH+R+0,5·TUN - 169,2 Φ8 // 6,25 8,04 0,144 105,2 0,0
3,8 PP+PH+R+0,5·TDP - 155,3 Φ8 // 6,25 8,04 0,132 96,5 0,0
4,0 PP+PH+R+0,5·TDP - 144,7 Φ8 // 6,25 8,04 0,123 90,0 0,0
4,2 PP+PH+PT+R+0,5·TDP - 135,7 Φ8 // 6,25 8,04 0,116 84,4 0,0
4,4 PP+PH+PT+R+0,5·TDP - 128,2 Φ8 // 6,25 8,04 0,109 79,7 0,0
4,6 PP+PH+PT+R+0,5·TDP - 120,6 Φ8 // 6,25 8,04 0,103 75,0 0,0
4,8 PP+PH+PT+R+0,5·TDP - 112,7 Φ8 // 6,25 8,04 0,096 70,1 0,0
5,0 PP+PH+PT+R+0,5·TUP - 104,8 Φ8 // 6,25 8,04 0,089 65,2 0,0
5,2 PP+PH+PT+R+0,5·TUP - 103,3 Φ8 // 6,25 8,04 0,088 64,2 0,0
5,4 PP+PH+PT+R+0,5·TDN - 113,8 Φ8 // 6,25 8,04 0,097 70,7 0,0
A-24
- CÚPULA – DIREÇÃO RADIAL
Condicionante na face inferior Condicionante na face superior Armadura inferior Armadura superior Face inferior Face superior
r (m) Combinação M
(kNm/m) N
(kN/m) Combinação
M (kNm/m)
N (kN/m)
Arm. As
(cm2/m) Arm.
As (cm2/m)
wk
(mm) σs
(MPa) σc
(MPa) wk
(mm) σs
(MPa) σc
(MPa)
8,20 PP+PH+R+0,5·TDP 0,1 -15,1 PP+PT+R+0,5·TDN -2,3 -12,7 φ6 // 12,5 2,26 φ8 // 20 2,51 0,009 7,6 0,6 0,007 3,7 0,3
7,79 PP+PH+R+0,5·TDP 0,7 -16,2 PP+PT+R+0,5·TDN -1,0 -13,6 φ6 // 12,5 2,26
Armadura única
0,016 15,3 0,9 0,000 0,1 0,2
7,38 PP+PH+PT+R+0,5·TDP 0,9 -17,3 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -15,4 φ6 // 12,5 2,26 0,026 33,7 2,1 0,000 0,0 0,3
6,97 PP+PH+PT+R+0,5·TDP 1,0 -18,1 PP+PT+R+0,5·TDN 0,0 -17,0 φ6 // 12,5 2,26 0,055 69,4 3,3 0,004 4,2 0,8
6,56 PP+PT+R+0,5·TDP 1,0 -18,4 PP+PH+R+0,5·TDN 0,0 -18,2 φ6 // 12,5 2,26 0,071 89,4 4,0 0,043 35,6 2,0
6,15 PP+PH+R+0,5·TDP 0,9 -18,5 PP+PH+R+0,5·TDN -0,1 -18,6 φ6 // 12,5 2,26 0,078 97,0 4,3 0,071 57,4 2,6
5,74 PP+PH+R+0,5·TDP 0,8 -18,5 PP+PH+R+0,5·TDN -0,2 -18,7 φ6 // 12,5 2,26 0,076 95,6 4,3 0,081 65,2 2,8
5,33 PP+PH+R+0,5·TDP 0,8 -18,3 PP+PH+R+0,5·TDN -0,2 -18,5 φ6 // 12,5 2,26 0,070 87,9 4,0 0,078 62,8 2,7
4,92 PP+PH+R+0,5·TDP 0,8 -18,2 PP+PH+R+0,5·TDN -0,3 -18,3 φ6 // 12,5 2,26 0,060 75,6 3,6 0,067 53,8 2,4
4,51 PP+PH+R+0,5·TDP 0,7 -18,0 PP+PH+R+0,5·TDN -0,3 -18,1 φ6 // 12,5 2,26 0,047 59,7 3,0 0,050 41,1 2,0
4,10 PP+PH+R+0,5·TDP 0,7 -17,9 PP+PH+R+0,5·TDN -0,3 -17,9 φ6 // 12,5 2,26 0,117 91,6 3,2 0,026 22,1 1,5
3,69 PP+PH+R+0,5·TDP 0,7 -17,8 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -17,8 φ6 // 12,5 2,26 0,060 47,8 2,0 0,008 7,6 0,9
3,28 PP+PH+R+0,5·TDP 0,8 -17,7 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -17,7 φ6 // 12,5 2,26 0,024 20,4 1,3 0,019 16,4 1,1
2,87 PP+PH+R+0,5·TDP 0,8 -17,7 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -17,6 φ6 // 12,5 2,26 0,018 15,3 1,1 0,032 26,7 1,4
2,46 PP+PH+R+0,5·TDP 0,8 -17,7 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -17,4 φ6 // 12,5 2,26 0,018 15,1 1,1 0,054 42,9 1,8
2,05 PP+PH+R+0,5·TDP 0,7 -17,7 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -17,2 φ6 // 12,5 2,26 0,038 30,7 1,5 0,070 55,6 2,2
1,64 PP+PH+R+0,5·TDP 0,7 -17,7 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -16,8 φ6 // 12,5 2,26 0,062 49,4 2,0 0,081 63,5 2,3
1,23 PP+PH+R+0,5·TDP 0,7 -17,4 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -15,8 φ6 // 12,5 2,26 0,084 66,4 2,4 0,085 66,7 2,4
0,82 PP+PH+R+0,5·TDP 0,7 -14,4 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -12,3 φ6 // 12,5 2,26 0,103 80,8 2,7 0,067 64,8 2,4
0,41 PP+PH+R+0,5·TDP 0,4 -4,7 PP+PT+R+0,5·TDN -0,1 -3,8 φ6 // 12,5 2,26 0,118 91,9 3,0 0,080 62,8 2,3
0,30 PP+PH+R+0,5·TDP 0,0 -7,7 PP+PT+R+0,5·TDN 0,0 -5,4 φ6 // 12,5 2,26 0,128 99,2 3,1 0,072 56,8 2,1
A-25
- CÚPULA – DIREÇÃO CIRCUNFERENCIAL
Condicionante na face inferior Condicionante na face superior Armadura única Face inferior Face superior
r (m) Combinação M
(kNm/m) N
(kN/m) Combinação
M (kNm/m)
N (kN/m)
Arm. As
(cm2/m)
wk (mm)
σs (MPa)
σc (MPa)
wk (mm)
σs (MPa)
σc (MPa)
8,20 PP+PH+PT+R+0,5·TDP 0,6 28,2 PP+PT+R+0,5·TDN -0,7 42,0 φ8 // 12,5 4,02 0,134 119,4 1,8 0,185 164,2 2,0
7,79 PP+PH+PT+R+0,5·TDP 0,8 17,7 PP+PT+R+0,5·TDN -0,4 42,2 φ8 // 12,5 4,02 0,080 96,4 4,5 0,112 130,8 3,5
7,38 PP+PT+R+0,5·TDP 0,8 7,2 PP+PT+R+0,5·TDN -0,2 25,8 φ6 // 12,5 2,26 0,129 128,7 5,2 0,146 141,0 2,7
6,97 PP+PT+R+0,5·TDP 0,8 -4,0 PP+PT+R+0,5·TDN -0,2 7,7 φ6 // 12,5 2,26 0,081 81,8 4,3 0,057 55,9 1,6
6,56 PP+PT+R+0,5·TDP 0,8 -11,6 PP+PT+R+0,5·TDN -0,2 -6,0 φ6 // 12,5 2,26 0,047 48,8 3,5 0,001 1,7 0,5
6,15 PP+PT+R+0,5·TDP 0,8 -15,8 PP+PT+R+0,5·TDN -0,2 -14,1 φ6 // 12,5 2,26 0,028 30,1 2,9 0,000 0,0 0,4
5,74 PP+PT+R+0,5·TDP 0,8 -17,5 PP+PH+R+0,5·TDN -0,3 -18,1 φ6 // 12,5 2,26 0,020 22,0 2,6 0,000 0,0 0,5
5,33 PP+PT+R+0,5·TDP 0,8 -17,9 PP+PH+R+0,5·TDN -0,3 -19,0 φ6 // 12,5 2,26 0,018 19,5 2,4 0,000 0,0 0,5
4,92 PP+PH+R+0,5·TDP 0,7 -17,4 PP+PH+R+0,5·TDN -0,3 -18,6 φ6 // 12,5 2,26 0,018 20,2 2,5 0,000 0,0 0,5
4,51 PP+PH+R+0,5·TDP 0,7 -17,1 PP+PH+R+0,5·TDN -0,3 -17,9 φ6 // 12,5 2,26 0,019 21,2 2,5 0,000 0,0 0,5
4,10 PP+PH+R+0,5·TDP 0,7 -16,9 PP+PH+R+0,5·TDN -0,3 -17,4 φ6 // 12,5 2,26 0,020 22,1 2,5 0,000 0,0 0,5
3,69 PP+PH+R+0,5·TDP 0,7 -16,8 PP+PH+R+0,5·TDN -0,3 -17,1 φ6 // 12,5 2,26 0,021 22,3 2,5 0,000 0,0 0,5
3,28 PP+PH+R+0,5·TDP 0,8 -17,0 PP+PH+R+0,5·TDN -0,3 -17,2 φ6 // 12,5 2,26 0,020 22,2 2,5 0,000 0,0 0,5
2,87 PP+PH+R+0,5·TDP 0,8 -17,1 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -17,3 φ6 // 12,5 2,26 0,020 21,8 2,5 0,000 0,0 0,5
2,46 PP+PH+R+0,5·TDP 0,8 -17,1 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -17,6 φ6 // 12,5 2,26 0,020 21,6 2,5 0,000 0,0 0,5
2,05 PP+PH+R+0,5·TDP 0,7 -17,1 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -17,9 φ6 // 12,5 2,26 0,020 21,5 2,5 0,000 0,0 0,5
1,64 PP+PH+R+0,5·TDP 0,8 -17,1 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -18,3 φ6 // 12,5 2,26 0,020 21,4 2,5 0,000 0,0 0,5
1,23 PP+PH+R+0,5·TDP 0,8 -17,6 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -18,7 φ6 // 12,5 2,26 0,019 20,2 2,5 0,000 0,0 0,5
0,82 PP+PH+R+0,5·TDP 0,8 -18,6 PP+PT+R+0,5·TDN -0,3 -19,0 φ6 // 12,5 2,26 0,017 18,8 2,5 0,000 0,0 0,5
0,41 PP+PH+R+0,5·TDP 1,1 -29,4 PP+PT+R+0,5·TDN -0,4 -24,2 φ6 // 12,5 2,26 0,012 14,0 2,8 0,000 0,0 0,7
0,30 PP+PH+R+0,5·TDP 1,4 -44,7 PP+PT+R+0,5·TDN -0,5 -32,2 φ6 // 12,5 2,26 0,005 6,0 3,0 0,000 0,0 0,9
- VIGA – DIREÇÃO HORIZONTAL
Condicionante em ambas as faces Armadura total Ambas as faces
Combinação M
(kNm) N
(kN) Arm.
As (cm2)
wk
(mm) σs
(MPa) σc
(MPa)
PP+PH+PT+R+0,5·TDN - 46,3 6 φ10 4,71 0,120 98,2 0,0
A-26
Anexo A.10 – Dimensionamento do reservatório aos ELÚltimos
- Paredes – flexão simples na direção vertical e tração pura na direção horizontal
Direção vertical – face interior Direção vertical – face exterior Direção horizontal
h (m) d (m) Comb. (x1,5)
Msd (kNm/m)
μ (-)
As (cm2/m)
Comb. (x1,5)
Msd (kNm/m)
μ (-)
As (cm2/m)
Comb. (x1,5)
Nsd (kN/m)
As/face (cm2/m)
0,0 0,46 PP+PH+SC 14,5 0,005 0,91 PP+PT -8,9 0,003 0,56 PP+PH 58,4 0,84
0,2 0,31 PP+PH+SC 6,0 0,005 0,56 PP+PT -4,2 0,003 0,39 PP+PH 108,7 1,56
0,4 0,16 PP+PH+SC -0,1 0,000 0,00 PP+PT+PT -1,0 0,003 0,18 PP+PH 168,1 2,42
0,6 0,16 PP+PT+SC 1,5 0,004 0,27 PP+PH -4,1 0,012 0,75 PP+PH 228,0 3,28
0,8 0,16 PP+PT 2,9 0,008 0,52 PP+PH+SC -6,6 0,019 1,20 PP+PH 282,5 4,06
1,0 0,16 PP+PT 3,6 0,010 0,64 PP+PH+SC -7,8 0,023 1,42 PP+PH 328,0 4,72
1,2 0,16 PP+PT 3,7 0,011 0,67 PP+PH+SC -8,0 0,024 1,47 PP+PH 362,9 5,22
1,4 0,16 PP+PT 3,5 0,010 0,63 PP+PH+SC -7,7 0,023 1,40 PP+PH 386,7 5,56
1,6 0,16 PP+PT 3,0 0,009 0,55 PP+PH+SC -6,9 0,020 1,26 PP+PH 399,8 5,75
1,8 0,16 PP+PT 2,4 0,007 0,44 PP+PH+SC -5,9 0,017 1,08 PP+PH 403,2 5,80
2,0 0,16 PP+PT 1,7 0,005 0,31 PP+PH+SC -4,8 0,014 0,88 PP+PH 398,2 5,72
2,2 0,16 PP+PT+SC 1,1 0,003 0,19 PP+PH -3,8 0,011 0,68 PP+PH 386,5 5,56
2,4 0,16 PP+PT+SC 0,4 0,001 0,08 PP+PH -2,7 0,008 0,50 PP+PH 369,3 5,31
2,6 0,16 PP+PT+SC 0,0 0,000 0,00 PP+PH -2,1 0,006 0,38 PP+PH 348,3 5,01
2,8 0,16 PP+PT+SC -0,4 0,000 0,00 PP+PH -1,8 0,005 0,32 PP+PH 324,7 4,67
3,0 0,16 PP+PH+SC -0,1 0,000 0,00 PP+PH -1,4 0,004 0,26 PP+PH 299,7 4,31
3,2 0,16 PP+PH+SC 0,5 0,002 0,10 PP+PH -1,0 0,003 0,17 PP+PH 274,3 3,94
3,4 0,16 PP+PH+SC 1,1 0,003 0,21 PP+PH -0,4 0,001 0,08 PP+PH 249,4 3,58
3,6 0,16 PP+PH+SC 1,7 0,005 0,30 PP+PT -0,1 0,000 0,01 PP+PH 225,8 3,25
3,8 0,16 PP+PH+SC 2,1 0,006 0,39 PP+PT 0,3 0,000 0,00 PP+PH+SC 205,2 2,95
4,0 0,16 PP+PH+SC 2,5 0,007 0,45 PP+PT 0,7 0,000 0,00 PP+PH+SC 187,6 2,70
4,2 0,16 PP+PH+SC 2,8 0,008 0,50 PP+PT 1,1 0,000 0,00 PP+PH+SC 174,5 2,51
4,4 0,16 PP+PH+SC 2,8 0,008 0,51 PP+PT 1,3 0,000 0,00 PP+PH+SC 166,3 2,39
4,6 0,16 PP+PH+SC 2,7 0,008 0,49 PP+PT 1,4 0,000 0,00 PP+PH+SC 161,1 2,32
4,8 0,16 PP+PH+SC 2,3 0,007 0,41 PP+PT 1,1 0,000 0,00 PP+PH+SC 159,0 2,29
5,0 0,16 PP+PH+SC 1,4 0,004 0,25 PP+PT 0,5 0,000 0,00 PP+PH+SC 159,5 2,29
5,2 0,16 PP+PH 0,1 0,000 0,01 PP+PT+SC -0,6 0,002 0,10 PP+PH+SC 161,6 2,32
5,4 0,16 PP+PH -1,7 0,000 0,00 PP+PT+SC -2,5 0,007 0,45 PP+PH+SC 163,1 2,35
A-27
- Laje – Flexão composta com tração
Direção radial – face inferior Direção radial – face superior
r (m) d (m) Comb. (x1,5)
Msd (x√2) (kNm/m)
Nsd (x√2) (kN/m)
μ (-)
ω1,s (-)
As (cm2/m)
Comb. (x1,5)
Msd (x√2) (kNm/m)
Nsd (x√2) (kN/m)
μ (-)
ω1,s (-)
As (cm2/m)
6,97 0,05 PP+PH -0,1 62,4 0,00 0,00 1,80 PP+PH+SC -0,1 62,5 0,00 0,00 1,80
8,50 0,05 PP+PH+SC 2,5 -2,9 0,11 0,10 1,81 PP+PT -0,0 2,2 0,00 0,00 0,06
Direção circunferencial – face inferior Direção circunferencial – face superior
r (m) d (m) Comb. (x1,5)
Msd (x√2) (kNm/m)
Nsd (x√2) (kN/m)
μ (-)
ω1,s (-)
As (cm2/m)
Comb. (x1,5)
Msd (x√2) (kNm/m)
Nsd (x√2) (kN/m)
μ (-)
ω1,s (-)
As (cm2/m)
6,97 0,05 PP+PH 0,0 62,4 0,00 0,00 1,80 PP+PH 0,00 62,41 0,00 0,00 1,80
8,50 0,05 PP+PH+SC 1,0 46,9 0,03 0,00 1,35 PP+PH 1,0 46,8 0,00 0,00 1,35
- Cúpula – flexão simples na direção radial e flexão composta com tração na direção circunferencial
Direção radial – face inferior Direção radial – face superior
r (m) d (m) Comb. (x1,5)
Msd (kNm/m)
μ (-)
As (cm2/m)
Comb. (x1,5)
Msd (kNm/m)
μ (-)
As (cm2/m)
8,20 0,08 PP+PH+SC -2,4 0,03 0,89
7,79 0,04 PP+PT -0,7 0,04 0,54
7,38 0,04 PP+PH+SC 0,2 0,01 0,18
Direção circunferencial – face inferior Direção circunferencial – face superior
r (m) d (m) Comb. (x1,5)
Msd (kNm/m)
Nsd (kN/m)
μ (-)
ω1,s (-)
As (cm2/m)
Comb. (x1,5)
Msd (kNm/m)
Nsd (kN/m)
μ (-)
ω1,s (-)
As (cm2/m)
7,79 0,04 PP+PH+PT+SC -0,0 50,1 0,00 0,00 1,44 PP+PT+SC -0,1 53,3 0,00 0,00 1,53
7,38 0,04 PP+PT+SC 0,1 28,1 0,01 0,01 0,96 PP+PT+SC 0,1 28,1 0,00 0,00 0,81
- Viga – tração pura
Direção horizontal – ambas faces
Comb. (x1,5)
Msd (kNm/m)
Nsd (kN/m)
As (cm2/m)
PP+PH+PT+SC - 66,8 1,92
A-28
Anexo A.11 – Verificação do esforço transverso (ELÚltimo)
Elemento Laje de fundo - dir. radial Parede – dir. vertical Cúpula – dir. radial
Seção r = 8,20 m r = 7,79 m h = 0,0 m h = 0,2 m h = 0,4 m r = 8,20 m r = 7,79 m
Nsd (kN) 44,2 -24,2 -40,7 -40,3 -39,3 -20,9 -22,2
Ac (m2) 0,20 0,18 0,50 0,35 0,20 0,12 0,08
d (m) 0,15 0,13 0,46 0,31 0,16 0,08 0,04
fck (MPa) 20 20 20 20 20 20 20
k 2,00 2,00 1,66 1,80 2,00 2,0000 2,0000
Asl (cm2) 13,07 13,07 5,03 5,03 5,03 2,26 2,26
ρ1 0,0087 0,0200 0,0011 0,0016 0,0031 0,0028 0,0057
σcp (MPa) 0,00 0,14 0,00 0,00 0,00 0,17 0,28
k1 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15
CRd,c 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12
νmin (MPa) 0,044 0,044 0,033 0,038 0,044 0,044 0,044
VRd,c,min (kN) 6,6 3,2 15,4 11,7 7,1 5,6 3,4
VRd,c (kN) 93,3 42,1 118,9 99,3 70,9 36,3 23,2
Vsd (kN) 37,1 28,8 42,5 30,4 20,3 3,8 2,0
Combinação PP+PH+SC PP+PT+SC PP+PH PP+PH PP+PH PP+PT+SC PP+PT+SC
A-29
Anexo A.12 – Resultados da análise não linear em diferentes arranjos
Aplicação de momento positivo
- Arranjo A1
Modelo fortemente armado Modelo fracamente armado
M (kNm)
F (kN) Δ apoio
(m) εs (-) σs (MPa)
M (kNm)
F (kN) Δ apoio
(m) εs (-) σs (MPa)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -
4,8 5 2,32E-03 2,44E-04 50,0 4,8 5 6,97E-03 8,45E-04 173,2
9,5 10 4,68E-03 4,89E-04 100,3 9,5 10 1,41E-02 1,70E-03 347,6
14,3 15 7,04E-03 7,35E-04 150,6 10,5 11 1,55E-02 1,87E-03 382,7
19,1 20 9,44E-03 9,81E-04 201,2 11,5 12 1,70E-02 2,04E-03 417,8
23,9 25 1,19E-02 1,23E-03 251,7 12,4 13 2,18E-02 4,36E-03 435,0
28,6 30 1,45E-02 1,47E-03 302,3 13,4 14 6,33E-02 2,60E-02 435,0
33,4 35 1,70E-02 1,72E-03 353,2 14,3 15 x
38,2 40 1,96E-02 1,97E-03 404,5
39,1 41 2,01E-02 2,01E-03 412,9
40,1 42 2,07E-02 2,07E-03 425,2
41,0 43 2,14E-02 2,12E-03 434,2
42,0 44 2,51E-02 3,82E-03 435,0
43,0 45 3,66E-02 8,51E-03 435,0
43,9 46 6,62E-02 1,99E-02 435,0
44,9 47 x
- Arranjo A2
Modelo fortemente armado Modelo fracamente armado
M (kNm)
F (kN)
Δ apoio (m) εs (-) σs (MPa) M
(kNm) F (kN)
Δ apoio (m)
εs (-) σs (MPa)
0 0 0 0 0 0,0 0 0 0,00E+00 0,0
4,8 5 2,02E-03 1,91E-04 39,2 4,8 5 5,92E-03 6,56E-04 134,5
9,5 10 4,03E-03 3,85E-04 79,0 9,5 10 1,20E-02 1,32E-03 270,9
14,3 15 6,07E-03 5,79E-04 118,7 14,3 15 1,84E-02 2,01E-03 412,9
19,1 20 8,22E-03 7,77E-04 159,3 15,3 16 2,10E-02 2,72E-03 435,0
23,9 25 1,04E-02 9,78E-04 200,6 16,2 17 4,78E-02 1,04E-02 435,0
28,6 30 1,26E-02 1,18E-03 242,0 17,2 18 2,14E-01 4,57E-02 435,0
33,4 35 1,49E-02 1,38E-03 283,9 18,1 19 x
38,2 40 1,73E-02 1,59E-03 326,7
43,0 45 1,97E-02 1,80E-03 369,7
47,7 50 2,22E-02 2,02E-03 413,3
48,7 51 2,26E-02 2,10E-03 429,9
49,6 52 2,44E-02 2,82E-03 435,0
50,6 53 3,12E-02 5,33E-03 435,0
51,5 54 4,89E-02 9,73E-03 435,0
52,5 55 9,14E-02 1,95E-02 435,0
53,5 56 1,99E-01 4,62E-02 435,0
54,4 57 x
A-30
- Arranjo A3
Modelo fortemente armado Modelo fracamente armado
M (kNm) F (kN) Δ apoio (m) εs (-) σs
(MPa)
M (kNm) F (kN) Δ apoio
(m) εs (-) σs (MPa)
0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0
4,8 5 2,21E-03 2,41E-04 49,5 4,8 5 6,61E-03 8,40E-04 172,1
9,5 10 4,47E-03 4,85E-04 99,4 9,5 10 1,33E-02 1,69E-03 346,5
14,3 15 6,72E-03 7,28E-04 149,2 10,5 11 1,47E-02 1,86E-03 380,4
19,1 20 9,09E-03 9,73E-04 199,5 11,5 12 1,61E-02 2,03E-03 415,3
23,9 25 1,15E-02 1,22E-03 250,2 12,4 13 1,83E-02 2,89E-03 435,0
28,6 30 1,41E-02 1,47E-03 302,2 13,4 14 3,56E-02 1,11E-02 435,0
33,4 35 1,67E-02 1,73E-03 355,5 14,3 15 x
38,2 40 1,94E-02 2,00E-03 409,3
39,1 41 1,99E-02 2,05E-03 420,1
40,1 42 2,05E-02 2,10E-03 430,9
41,0 43 2,14E-02 2,48E-03 435,0
42,0 44 2,37E-02 3,65E-03 435,0
43,0 45 2,95E-02 6,32E-03 435,0
43,9 46 4,17E-02 1,23E-02 435,0
44,9 47 7,41E-02 2,80E-02 435,0
45,8 48 x
- Arranjo A5
Modelo fortemente armado Modelo fracamente armado
M (kNm)
F (kN) Δ apoio
(m) εs (-)
σs (MPa)
M (kNm)
F (kN) Δ apoio
(m) εs (-) σs (MPa)
0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0
4,8 5 2,31E-03 2,32E-04 47,5 4,8 5 6,88E-03 7,97E-04 163,4
9,5 10 4,66E-03 4,65E-04 95,4 9,5 10 1,39E-02 1,60E-03 327,8
14,3 15 7,02E-03 6,99E-04 143,3 11,5 12 1,67E-02 1,92E-03 392,7
19,1 20 9,43E-03 9,31E-04 190,8 12,4 13 1,81E-02 2,07E-03 425,0
23,9 25 1,22E-02 1,19E-03 243,8 13,4 14 2,56E-02 4,61E-03 435,0
26,7 28 1,48E-02 1,43E-03 293,2 14,3 15 x
27,7 29 1,57E-02 1,51E-03 308,8
28,6 30 1,70E-02 1,61E-03 329,5
29,6 31 4,90E-02 3,95E-03 435,0
30,5 32 x
- Arranjo A7
Modelo fortemente armado Modelo fracamente armado
M (kNm)
F (kN) Δ apoio
(m) εs (-) σs (MPa)
M (kNm) F (kN) Δ apoio (m) εs (-) σs (MPa)
0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0
4,8 5 3,13E-03 2,94E-04 60,3 4,8 5 8,98E-03 9,91E-04 203,1
9,5 10 6,36E-03 5,95E-04 122,1 6,7 7 1,28E-02 1,41E-03 289,2
12,4 13 8,86E-03 8,19E-04 167,9 7,6 8 1,53E-02 1,66E-03 339,3
13,4 14 9,76E-03 8,98E-04 184,1 8,6 9 1,80E-02 1,93E-03 395,1
14,3 15 1,24E-02 1,07E-03 218,3 9,5 10 x
15,3 16 x
A-31
- Arranjo A8
Modelo fortemente armado Modelo fracamente armado
M (kNm)
F (kN) Δ apoio
(m) εs (-)
σs (MPa)
M (kNm)
F (kN) Δ apoio
(m) εs (-) σs (MPa)
0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0
4,8 5 2,00E-03 1,92E-04 39,5 4,8 5 5,92E-03 6,41E-04 131,4
9,5 10 4,05E-03 3,88E-04 79,5 9,5 10 1,20E-02 1,29E-03 265,2
14,3 15 6,10E-03 5,83E-04 119,5 14,3 15 1,85E-02 1,98E-03 405,1
19,1 20 8,37E-03 7,87E-04 161,4 15,3 16 2,00E-02 2,11E-03 432,9
23,9 25 1,06E-02 9,93E-04 203,5 16,2 17 4,08E-02 4,68E-03 435,0
28,6 30 1,29E-02 1,20E-03 245,6 17,2 18 1,49E-01 1,53E-02 435,0
33,4 35 1,52E-02 1,40E-03 287,8 18,1 19 x
38,2 40 1,77E-02 1,62E-03 332,1
43,0 45 2,03E-02 1,84E-03 377,1
47,7 50 2,30E-02 2,06E-03 422,1
48,7 51 2,37E-02 2,10E-03 430,7
49,6 52 2,66E-02 2,54E-03 435,0
50,6 53 3,29E-02 3,71E-03 435,0
51,5 54 4,51E-02 5,84E-03 435,0
52,5 55 6,80E-02 9,72E-03 435,0
53,5 56 x
Aplicação de momento positivo
- Arranjo A1
Modelo fortemente armado Modelo fracamente armado
M (kNm) F (kN) Δ apoio (m) M (kNm) F (kN) Δ apoio (m)
0,0 0 0 0,0 0 0
4,8 5 -1,21E-03 4,8 5 -3,04E-03
9,5 10 -2,43E-03 9,5 10 -6,11E-03
14,3 15 -3,65E-03 14,3 15 -9,19E-03
19,1 20 -4,88E-03 19,1 20 -1,23E-02
23,9 25 -6,10E-03 20,0 21 -1,30E-02
28,6 30 -7,43E-03 21,0 22 -1,56E-02
33,4 35 -8,92E-03 22,0 23 -2,70E-02
38,2 40 -1,04E-02 22,9 24 -2,03E-01
43,0 45 -1,18E-02 23,9 25 x
47,7 50 -1,33E-02
52,5 55 -1,49E-02
57,3 60 -1,66E-02
58,2 61 -1,69E-02
59,2 62 -1,73E-02
60,1 63 -1,87E-02
61,1 64 -2,09E-02
62,0 65 -2,47E-02
63,0 66 -3,13E-02
64,0 67 -4,52E-02
64,9 68 -7,48E-02
65,9 69 x
A-32
- Arranjo A2
Modelo fortemente armado Modelo fracamente armado
M (kNm) F (kN) Δ apoio (m) M (kNm) F (kN) Δ apoio (m)
0 0 0 0 0 0
4,8 5 -1,17E-03 4,8 5 -2,87E-03
9,5 10 -2,34E-03 9,5 10 -5,78E-03
14,3 15 -3,52E-03 14,3 15 -8,68E-03
19,1 20 -4,70E-03 19,1 20 -1,16E-02
23,9 25 -5,87E-03 20,0 21 -1,22E-02
28,6 30 -7,12E-03 21,0 22 -1,29E-02
33,4 35 -8,49E-03 22,0 23 -1,47E-02
38,2 40 -9,85E-03 22,9 24 -1,76E-02
43,0 45 -1,13E-02 23,9 25 -2,51E-02
47,7 50 -1,27E-02 24,8 26 -6,14E-02
52,5 55 -1,43E-02 25,8 27 x
57,3 60 -1,59E-02
60,1 63 -1,69E-02
61,1 64 -1,73E-02
62,0 65 -1,80E-02
63,0 66 -1,90E-02
64,0 67 -2,03E-02
64,9 68 -2,21E-02
65,9 69 -2,42E-02
66,8 70 -2,68E-02
67,8 71 -3,05E-02
68,7 72 -3,63E-02
69,7 73 -4,70E-02
70,6 74 -7,26E-02
71,6 75 x
- Arranjo A3
Modelo fortemente armado Modelo fracamente armado
M (kNm) F (kN) Δ apoio (m) M (kNm) F (kN) Δ apoio (m)
0 0 0 0 0 0
4,8 5 -1,35E-03 4,8 5 -3,48E-03
9,5 10 -2,70E-03 9,5 10 -7,01E-03
14,3 15 -4,06E-03 14,3 15 -1,05E-02
19,1 20 -5,42E-03 19,1 20 -1,50E-02
23,9 25 -6,79E-03 20,0 21 -9,32E-02
28,6 30 -8,35E-03 21,0 22 x
33,4 35 -9,91E-03
38,2 40 -1,15E-02
43,0 45 -1,31E-02
47,7 50 -1,48E-02
52,5 55 -1,65E-02
57,3 60 -1,85E-02
58,2 61 -1,94E-02
59,2 62 -2,35E-02
60,1 63 -3,64E-02
61,1 64 -1,57E-01
62,0 65 x
A-33
- Arranjo A5
Modelo fortemente armado Modelo fracamente armado
M (kNm) F (kN) Δ apoio (m) M (kNm) F (kN) Δ apoio (m)
0 0 0 0 0 0
4,8 5 -1,35E-03 4,8 5 -3,43E-03
9,5 10 -2,71E-03 9,5 10 -7,00E-03
14,3 15 -4,08E-03 14,3 15 -1,05E-02
19,1 20 -5,44E-03 19,1 20 -1,42E-02
23,9 25 -6,80E-03 20,0 21 -1,61E-02
28,6 30 -8,34E-03 21,0 22 -6,45E-02
33,4 35 -9,95E-03 22,0 23 x
38,2 40 -1,16E-02
43,0 45 -1,32E-02
47,7 50 -1,50E-02
52,5 55 -1,68E-02
57,3 60 -1,91E-02
58,2 61 -2,05E-02
59,2 62 -3,32E-02
60,1 63 x
- Arranjo A7
Modelo fortemente armado Modelo fracamente armado
M (kNm) F (kN) Δ apoio (m) M (kNm) F (kN) Δ apoio (m)
0,0 0 0 0,0 0 0
4,8 5 -1,36E-03 4,8 5 -3,31E-03
9,5 10 -2,73E-03 9,5 10 -6,65E-03
14,3 15 -4,10E-03 14,3 15 -1,00E-02
19,1 20 -5,48E-03 19,1 20 -1,34E-02
23,9 25 -6,85E-03 20,0 21 -1,42E-02
28,6 30 -8,36E-03 21,0 22 -1,65E-02
33,4 35 -9,96E-03 22,0 23 -2,94E-02
38,2 40 -1,16E-02 22,9 24 -7,34E-02
43,0 45 -1,33E-02 23,9 25 x
47,7 50 -1,51E-02
52,5 55 -1,75E-02
53,5 56 -1,81E-02
54,4 57 -1,90E-02
55,4 58 -2,13E-02
56,3 59 -6,62E-02
57,3 60 x
- Arranjo A8
Modelo fortemente armado Modelo fracamente armado
M (kNm) F (kN) Δ apoio (m) M (kNm) F (kN) Δ apoio (m)
0,0 0 0 0,0 0 0
4,8 5 -1,25E-03 4,8 5 -3,16E-03
9,5 10 -2,51E-03 9,5 10 -6,36E-03
14,3 15 -3,78E-03 14,3 15 -9,55E-03
19,1 20 -5,04E-03 19,1 20 -1,28E-02
23,9 25 -6,30E-03 20,0 21 -1,38E-02
28,6 30 -7,74E-03 21,0 22 -1,50E-02
33,4 35 -9,22E-03 22,0 23 -3,20E-02
38,2 40 -1,07E-02 22,9 24 x
43,0 45 -1,22E-02
47,7 50 -1,37E-02
52,5 55 -1,55E-02
57,3 60 -1,74E-02
59,2 62 -1,81E-02
60,1 63 -1,87E-02
61,1 64 -2,10E-02
62,0 65 -2,61E-02
63,0 66 -3,57E-02
64,0 67 -7,74E-02
64,9 68 x
A-34
Anexo A.13 – Resultados da análise não linear na ligação entre a parede e a laje
de fundo do reservatório
Aplicação da pressão hidrostática
F (kN) Δy (m) Δx (m) σs (MPa)
0 0,00E+00 0,00E+00 0,0
20 6,30E-04 1,08E-04 38,7
40 1,31E-03 2,39E-04 77,5
60 1,99E-03 3,71E-04 116,3
80 2,67E-03 5,04E-04 155,1
90 3,01E-03 5,71E-04 174,6
95 3,22E-03 6,04E-04 184,1
100 3,68E-03 6,37E-04 189,9
105 3,98E-03 6,70E-04 197,1
110 4,26E-03 7,04E-04 206,2
112,5 4,40E-03 7,20E-04 210,8
115 4,89E-03 7,37E-04 215,5
117,5 x
Aplicação da pressão do terreno
F (kN) Δy (m) Δx (m) σs (MPa)
0 0 0 0,0
20 8,93E-05 2,38E-05 12,3
40 1,88E-04 4,65E-05 24,8
60 2,95E-04 6,57E-05 37,2
80 4,08E-04 8,21E-05 49,7
100 5,25E-04 9,65E-05 62,1
120 6,45E-04 1,09E-04 74,6
140 7,69E-04 1,21E-04 87,1
160 9,41E-04 1,30E-04 102,5
180 1,15E-03 1,35E-04 123,3
200 1,36E-03 1,40E-04 144,4
220 1,58E-03 1,44E-04 165,7
240 1,80E-03 1,47E-04 187,5
260 2,04E-03 1,50E-04 210,7
280 2,29E-03 1,58E-04 234,1
300 2,55E-03 1,72E-04 257,9
320 2,91E-03 1,85E-04 282,0
340 3,36E-03 1,99E-04 307,8
350 3,92E-03 2,02E-04 331,3
360 4,74E-03 2,03E-04 348,0
370 6,67E-03 2,24E-04 348,0
380 x
A-35
ANEXO B
Anexo B.1 – Peça Desenhada 1: Planta da secção meridional da estrutura
Anexo B.2 – Peça Desenhada 2: Pormenorização da armadura de reforço na estrutura
Anexo B.2 – Peça Desenhada 3: Pormenorização da armadura de reforço na laje de fundo e na
cúpula
5.4
0
0.20
0.08
0.40
0.20
0.80
0.10
0.15
0.20
1.308.20
0.15
0.3
0
0.1
0
0.30
2.0
4
R 17.50
Aterro
1.73
1
1.0
0
0.10
I N S T I T U T O S U P E R I O R T É C N I C O
- Mestrado Integrado em Engenharia Civil -
01
PLANTA DA SECÇÃO MERIDIONAL
DA ESTRUTURA
Título da dissertação: Análise e dimensionamento estrutural
de um reservatório em betão armado
1:50
Unidade:
metro [m]
Candidato: Miguel Meneses Nº: 56440
Escala:
Outubro de 2013
Data:
Anexo
B
A
B
A
B
2.0
01
.9
01
.0
0
I N S T I T U T O S U P E R I O R T É C N I C O
- Mestrado Integrado em Engenharia Civil -
02
PORMENORIZAÇÃO DA ARMADURA
DE REFORÇO NA ESTRUTURA
Título da dissertação: Análise e dimensionamento estrutural
de um reservatório em betão armado
1:50
Unidade:
metro [m]
Candidato: Miguel Meneses Nº: 56440
Escala:
Outubro de 2013
Data:
Anexo
B
QUADRO DE MATERIAIS
BETÃO:
Em geral
NP206-1: C20/25 · XC4 (P) · Cl 0.40 · Dmax. 20 mm · S3
Laje de fundo
NP206-1: C20/25 · XC2 (P) · Cl 0.40 · Dmax. 20 mm · S3
AÇO:
A 400 NR
RECOBRIMENTOS:
Laje de fundo: 4.0 cm
Paredes: 3,5 cm
Cobertura: 3,5 cm
CARACTERÍZAÇÃO DO SOLO DE FUNDAÇÃO :
Ks = 200 MN/m
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NOTA: O dimensionamento das armaduras foi efetuado sem alteração da geometria da obra original e não
representa uma solução idealizada, que implicaria o aumento da espessura dos elementos estruturais .
I N S T I T U T O S U P E R I O R T É C N I C O
- Mestrado Integrado em Engenharia Civil -
03
PORMENORIZAÇÃO DA ARMADURA DE
REFORÇO NA LAJE DE FUNDO E NA CÚPULA
Título da dissertação: Análise e dimensionamento estrutural
de um reservatório em betão armado
1:50
Unidade:
metro [m]
Candidato: Miguel Meneses Nº: 56440
Escala:
Outubro de 2013
Data:
Anexo
B
QUADRO DE MATERIAIS
BETÃO:
Em geral
NP206-1: C20/25 · XC4 (P) · Cl 0.40 · Dmax. 20 mm · S3
Laje de fundo
NP206-1: C20/25 · XC2 (P) · Cl 0.40 · Dmax. 20 mm · S3
AÇO:
A 400 NR
RECOBRIMENTOS:
Laje de fundo: 4.0 cm
Paredes: 3,5 cm
Cobertura: 3,5 cm
CARACTERÍZAÇÃO DO SOLO DE FUNDAÇÃO :
Ks = 200 MN/m
NOTA: O dimensionamento das armaduras foi efetuado sem alteração da geometria da obra original e não
representa uma solução idealizada, que implicaria o aumento da espessura dos elementos estruturais .
3
2.052.054.10
