ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MÖBİUS TRANSFORMASYONLARININ GEOMETRİSİ

Semra KAYA

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2006

Her hakkı saklıdır

Prof. Dr. H.Hilmi HACISALİHOĞLU danışmanlığında, Semra KAYA tarafından hazırlanan bu çalışma 11 / 07 / 2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği ile Matematik Anabilim Dalı ‘ nda Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir . Başkan : Prof. Dr. H.Hilmi HACISALİHOĞLU Üye : Prof. Dr. Baki KARLIĞA Üye : Doç. Dr. M. Kemal SAĞEL Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof . Dr . Enstitü Müdürü

i

ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ MÖBİUS TRANSFORMASYONLARININ GEOMETRİSİ

Semra KAYA

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı

Danışman : Prof . Dr .H .Hilmi HACISALİHOĞLU

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm üç kısma ayrılmaktadır.Birinci kısmında Möbius

transformasyonları ile ilgili temel tanımlar ve teoremler verilmiş, matris gösterimleri yapılmıştır.İkinci kısımda Möbius transformasyonlarının grup yapısı oluşturduğu ifade edilmiştir.Üçüncü kısım ise Möbius transformasyonlarının sabit noktalarının nasıl bulunduğuna ayrılmıştır.

İkinci bölümde öncelikle Möbius transformasyonlarının özel tipleri incelenmiş, bu özel hallerle ilgili en bilinen geometrik özelikler verilmiştir.Daha sonra soyut bir nokta olan sonsuzun bu dönüşümlerle olan ilişkisini daha iyi anlayabilmek amacıyla geometri açısından önemli bir yeri olan stereografik izdüşüm ele alınmıştır.

Son bölümde Möbius transformasyonları ile stereografik izdüşüm arasındaki ilgi üzerinde durulmuş ve küre üzerindeki bir dönmenin Möbius transformasyonları yardımıyla elde edilişi açıklanmıştır .

2006 , 38 sayfa Anahtar Kelimeler : Möbius transformasyonları, Stereografik izdüşüm, Çemberler, Küreler

ii

ABSTRACT

Master Thesis

GEOMETRY OF MÖBIUS TRANSFORMATIONS

Semra KAYA

Ankara University Institute of Science

Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU

This study consists of three chapters. The first chapter is separated into three sections. In the first section, basic definitions and theorems concerning Möbius transformations are given and matrix representations of Möbius transformations are made. In the second section, Möbius transformations form a group is expressed. The third section is assigned how the fixed points of Möbius transformations are calculated. In the second chapter, firstly special types of Möbius transformations are investigated and well known geometric properties are given which are related to these special types.Then, in order to understand the relationship between an abstract point infinity and these transformations, stereographic projection which is so important for geometry is mentioned. In the final chapter, the relation between Möbius transformations and stereographic projection is examined and how a rotation of the sphere is derived from Möbius transformations is explained. 2006, 38 pages Key words: Möbius transformations, stereographic projection, Circles, Spheres

iii

TEŞEKKÜR

Bu çalışmamın her aşamasında araştırmalarımı yönlendiren , öneri ve yardımlarını esirgemeyen , engin matematik bilgisiyle bana yol gösteren danışman hocam sayın Prof . Dr . H . Hilmi HACISALİHOĞLU ‘ na ; çalışmalarım süresince gerek maddi gerek manevi katkılarından ötürü TÜBİTAK ‘a ; her konuda bana destek olan çok sevdiğim aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım . Semra KAYA Ankara , Haziran 2006

iv

İÇİNDEKİLER ÖZET ............................................................................................................................... i ABSTRACT ................................................................................................................... ii TEŞEKKÜR ……………………………………………………………………….......iii SİMGELER DİZİNİ …………………………………………………………………...v ŞEKİLLER DİZİNİ ……………………………………………………………...........vi 1 . GİRİŞ …………………………………………………………..................................1 1.1 Möbius Transformasyonları ………………………………………………….......2 1.2 Möbius Transformasyonlarının Grup Yapısı ……………………………….......7 1.3 Möbius Transformasyonlarının Sabit Noktaları …………….............................11 2 . ÖZEL TİPTEKİ MÖBİUS TRANSFORMASYONLARI……………………..12 2.1 Möbius Transformasyonlarının Bazı Geometrik Özelikleri …………………..15 2.2 Sonsuza Dair Geometrik Bir Yorum ……………………………………………23 3 . KÜRE ÜZERİNDE DÖNMENİN MÖBİUS TRANSFORMASYONLARIYLA OLAN İLGİSİ ………………………………………………………………………..29 KAYNAKLAR .............................................................................................................37 ÖZGEÇMİŞ ………………………………………………………………………….38

v

SİMGELER DİZİNİ

C Kompleks düzlem

C∞ Genişletilmiş kompleks düzlem

S Birim küre

R Reel sayılar kümesi

R3 Üç boyutlu reel uzay

ϕ Stereografik izdüşüm

Norm

Modül

{ }L∪ ∞ Genişletilmiş doğru

vi

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 2 . 1 . 1 Çembere göre invers noktalar …………………………………………18 Şekil 2 . 1 . 2 Möbius dönüşümü altında invers noktaların görüntüleri ……………..19 Şekil 2 . 1 . 3 Birim çemberde 0z ve 0z noktaları …………………………………..21 Şekil 2 . 2 . 1 Stereografik izdüşüm ………………………………………………….22 Şekil 2 . 2 . 2 f* dönüşümünün birim küre üzerinde gösterimi ……………………...24 Şekil 2 . 2 . 3 Birim küre üzerinde stereografik izdüşüm altında z ve w noktalarının görüntüsü …………………………………………………………….. 25 Şekil 3 . 1 Birim küre üzerinde ( )zϕ ve ( )wϕ noktaları ………………………..30 Şekil 3 . 2 İzometri ……………………………………………………………… 33

1

1. GİRİŞ Möbius transformasyonları geometrik özelikleri bakımından her zaman ilgi çekici

bir konu olmuştur. Özellikle en bilinen karakteristiği olan çemberleri çemberlere dönüştürme, çifte oranı koruma özelikleriyle gündemdeki yerini korumuştur. Bizde bu çalışmamızda öncelikle bu karakteristik özelikleri ifade ve ispat ettik. Daha sonra da stereografik izdüşüm yardımıyla küre üzerinde dönme ve Möbius transformasyonları arasındaki ilişkiyi açıkladık.

2

1 . 1 Möbius Transformasyonları

Tanım 1. 1 . 1: M : C∞⎯⎯→C∞

z ⎯⎯→ ( ) az bM zcz d

+=

+ a ,b, c ,d ∈C , 0

a bc d

≠

C∞ = C ∪{∞} olarak tanımlanan dönüşüme Möbius transformasyonu adı verilir.

Burada Δ=ad bc− ifadesine M Möbius transformasyonunun determinantı denir. 1 . Δ= 0 olursa ad bc− = 0 olacağından ;

⇒ a cb d

λ= = , λ sabit

⇒ ,a c b dλ λ= =

⇒ ( ) c z dM zcz dλ λ+

=+

⇒ ( ) ( )( )cz d

M zcz d

λ +=

+

⇒ ( )M z λ= olur. Dolayısıyla M dönüşümü bir sabite eşit olur. Burada 0ad bc− ≠ yerine 1ad bc− = alınabilir. Çünkü ,

( ) az bM zcz d

+=

+

=

a bad bc ad bczc dad bc ad bc

− −+

− −

dır. Bu dönüşümün determinantı ;

3

a d b cad bc ad bc ad bc ad bc

Δ = ⋅ − ⋅− − − −

= ad bcad bc

−−

= 1 olur .

2 . 0c = ( ) a bM z zd d

= + olur ve buradan ( )M ∞ = ∞ bulunur .

3 . 0c ≠ ise ( ) az bM zcz d

+=

+ olur ve buradan ( ) aM

d∞ = ve dM

c⎛ ⎞− = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

bulunur.

4 . 0c = ve 1d = ise ( )M z az b= + tam lineer fonksiyonu elde edilir . Bu dönüşüm bir

Möbius transformasyonudur.

5 . 0a d= = ve 1b c= = ise ( ) 1M zz

= inversiyonu elde edilir . Bu dönüşüm de bir

Möbius transformasyonudur.

6 . 0c = ise ( ) a bM z zd d

= + tam lineer fonksiyonu için 0ad bc− ≠ koşulu

0ad ≠ şeklini alır . Bu da bize 0a ≠ ve 0d ≠ olduğunu gösterir .

7 . 0ad bc− ≠ koşulunu a bc d≠ olarak da gösterebiliriz.

Tanım 1 . 1 . 2 ( Möbius Transformasyonlarının Matris Gösterimi ) M : C∞ ⎯⎯→ C∞

z ⎯⎯→ ( ) az bM zcz d

+=

+ , a , b , c , d ∈ C , 0

a bc d

≠ ile

tanımlı M möbius transformasyonuyla eşlenebilen matris A olmak üzere ;

A = a bc d⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

şeklindedir . (Brannon 1999)

Burada ;

4

1 . ( ) az bM zcz d

+=

+ bir möbius transformasyonu olup , Δ= ad bc− ve 0Δ ≠

olduğundan M dönüşümüyle eşlenen her a bc d⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

matrisinin determinantı sıfırdan

farklıdır . 2 . M Möbius transformasyonuyla eşlenen matris A olsun. Eğer k ∈ C ve 0k ≠ ise

kA matrislerinin tümü M Möbius transformasyonuyla eşlenebilir. Dolayısıyla M

Möbius transformasyonuyla eşlenen A matrisi tek değildir.

Örneğin ; M1( z ) = 23 2z iz i++

Möbius transformasyonuyla eşlenen matris A = 23 2

ii

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dır.

M1( z ) dönüşümünü i ile genişletirsek M2( z ) = 2 13 2iziz−−

elde edilir. Dolayısıyla M2( z )

ile eşlenen matris B = 2 13 2ii

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

olmasına karşın A B≠ dir

3 . 2 2× tipindeki singüler olmayan kompleks matrislerin grubu Genel Lineer

Grup adını alır ve (2,GL C ) ile gösterilir . Möbius transformasyonlarının matrislerle

alakası şu dönüşümle verilir:

: (2,GLφ C ) → M

a b

fc d⎛ ⎞

→⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( ) az bf zcz d

+=

+ , 0ad bc− ≠

Teorem 1 . 1 . 3 : φ dönüşümü bir homomorfizmdir.

İspat : a b

Ac d⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ve Bα βγ δ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

matrisleri verilsin ve ( )f Aφ= ,

( )g Bφ= olsun.Göstermeliyiz ki ( ) ( ) ( )AB A Bφ φ φ= dir. Gerçekten de

a b

ABc d

α βγ δ

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

5

ABa b a bc d c dα γ β δα γ β δ+ +⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ olup ,

( )AB fgφ = = ( ) ( )A Bφ φ dir. Burada aklımıza şu soru gelebilir : φ homomorfizminin çekirdeği nedir? Bu sorunun

cevabı olarak aşağıdaki teoremi verelim .

Teorem 1 . 1 . 4 : I 2 2× tipinde birim matris olmak üzere φ dönüşümünün

çekirdeği { :Iλ λ∈C }dir . ( Beardon 2005 )

Tanım 1 . 1 . 5 : ( Determinant ve İz kavramı ) ( ) az bM zcz d

+=

+ dönüşümüne karşılık

gelen matris a b

Mc d⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

olmak üzere det( )M ad bc= − olarak tanımlıdır. Ancak

burada şöyle bir problem karşımıza çıkar . Möbius dönüşümünün payını ve paydasını

sıfırdan farklı bir sabit ile çarparsak bu işlem M dönüşümünün C∞ üzerindeki etkisini

değiştirmez . Bununla birlikte M dönüşümünün determinantı değişir .

k∀ ∈C−{0} için ( ) az bM zcz d

+=

+ , det( )M ad bc= −

kaz kbkcz kd

+=

+ , det( )M = 2 ( )k ad bc− olur .

Buradaki k sabitini M möbius dönüşümünün determinantı 1 olacak şekilde seçebiliriz .

Yani möbius dönüşümünü normalleştirebiliriz .

Örneğin ; 2 3( )2

zM zz−

=+

dönüşümü için det( ) 7M = dir. Bu dönüşümü normalize

edersek şu hali alır:

2 37 7( ) 1 2

7 7

zM z

zz

−=

+ , det( ) 1M = .

Şimdi de iz kavramını ele alalım . ( ) az bM zcz d

+=

+ Möbius dönüşümüne karşılık gelen

6

matris a b

Mc d⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

olmak üzere ( )İz M a d= + olarak tanımlanır . Burada 2 ( )

det( )İz M

M

ve 2

det( )MM

fonksiyonları tanımlanır ve bu fonksiyonlar M Mλ→ , 0λ ≠

dönüşümü altında invaryant kalırlar.(Beardon 1983) Gerçekten ;

a b

Mc d⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, a b

Mc d

λ λλ

λ λ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )22 ( )İz M a d= + , 2 2 2( ) ( )İz M a dλ λ= + det( )M ad bc= − , 2det( ) ( )M ad bcλ λ= − olmak üzere ,

2 2 2

2

( ) ( )det( ) ( )İz M a d

M ad bcλ λλ λ

+=

−

= ( )2a dad bc+−

=2 ( )

det( )İz MM

olur.

Aynı şekilde ( )2 2 2 2 2M a b c d= + + + olmak üzere

( )2 2 2 222

2det( ) ( )

a b c dMM ad bc

λλλ λ

+ + +=

−

= 2

det( )MM

olur .

7

1 . 2. Möbius Transformasyonlarının Grup Yapısı

1 . 2 . 1 Kapalılık Özeliği :

1( ) az bw M zcz d

+= =

+ … ( 1 ) a , b , c , d ∈ C 0ad bc− ≠

'

2 ( ) ez fw M zgz h+

= =+

… ( 2 ) e , f , g , h ∈ C 0eh fg− ≠

olarak iki Möbius dönüşümü alalım. 1 deki dönüşüm ile z düzleminden w düzlemine ,

2 deki dönüşümle de w düzleminden 'w düzlemine geçmiş oluruz . Dolayısıyla 1 ve 2

dönüşümlerini arka arkaya uygularsak z düzleminden w düzlemine geçmiş oluruz .

( )'

1 2 ( )w M M z= o = ( )1 2 ( )M M z

= 1ez fMgz h

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

=

ez fa bgz hez fc dgz h

⎛ ⎞++⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞++⎜ ⎟+⎝ ⎠

= ( ) ( )( ) ( )a ez f b gz hc ez f d gz h

+ + ++ + +

= ( ) ( )( ) ( )ea bg z af bhec dg z cf dh+ + ++ + +

elde edilir. Bu dönüşümün determinantı ;

( )( ) ( )( )ea bg cf dh af bh ec dgΔ = + + − + +

= ( )( )ad bc eh fg− − ≠ 0 olduğundan 1 2M Mo de bir Möbius transformasyonudur. 1M ve 2M dönüşümlerinin

8

arka arkaya uygulanmasına bu iki dönüşümün çarpımı denir ve bu çarpım matrislerle

hesaplanır. 1M Möbius transformasyonuyla eşlenen matris A1 = a bc d⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ve

2M Möbius transformasyonuyla eşlenen matris A2 = e fg h

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

olmak üzere eşlenen

matris

B = ea bg af bhec dg cf dh

+ +⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

olup ,

1 2

a b e fA A

c d g h⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= ea bg af bhec dg cf dh

+ +⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

olduğundan 1 2B A A= dir.Böylece 1 2M Mo , 1 2A A matrisiyle eşlenebilen bir Möbius transformasyonudur .

1 . 2 . 2 Birleşme Özeliği :

( )1w M z= , ( )'2w M z= , ( )"

3w M z= üç Möbius dönüşümü ki bu dönüşümlerin

çarpımı assosyatif özeliğe sahiptir . Yani ; ( ) ( )1 2 3 1 2 3M M M M M M=o o o o dir.

( )1az bw M zcz d

+= =

+ a , b , c , d ∈ C

( )'2

ez fw M zgz h+

= =+

e , f , g , h ∈ C

( )"3

kz lw M zmz n

+= =

+ k , l , m , n ∈ C olsun .

( )( )( )1 2 3 1

kz le fmz nM M M z Mkz lg hmz n

⎛ + ⎞⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎜ ⎟=+⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

o o o

9

( ) ( )( ) ( )1

ek fm z el fnM

gk hm z gl hn⎛ ⎞+ + +

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠o

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

ek fm z el fna b

gk hm z gl hn

ek fm z el fnc d

gk hm z gl hn

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + ++⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠= ⎜ ⎟⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )ae bg kz l af bh mz nce dg kz l cf hd mz n

⎛ ⎞+ + + + += ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠

= ( ) ( )

( ) ( )

kz lae bg af bhmz nkz lce dg cf hdmz n

⎛ + ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎜ ⎟+⎛ ⎞⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

= ( ) ( )( ) ( ) 3

ae bg z af bhM

ce dg z cf hd⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

o

= 3

ez fa bgz h

Mez fc dgz h

⎛ ⎞⎛ ⎞++⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎜ ⎟

⎜ ⎟⎛ ⎞++⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

o

= ( )( )( )1 2 3M M M zo o olur. 1 . 2 . 3 Ters Eleman Özeliği :

( ) az bw M zcz d

+= =

+ için göstereceğiz ki ; ( )1z M w−= de bir Möbius

dönüşümüdür. Burada ters dönüşüm w ‘ nın yaptığı değişimleri eski haline getiren dönüşümdür .

( ) az bw M zcz d

+= =

+ ‘ den z yi w cinsinden hesaplamakla ters dönüşüm bulunur .

10

az bwcz d

+=

+

cwz dw az b+ = +

( )1dw bz M zcw a

−− += =

− olur.

Burada iki dönüşüm var , eğer bu ( )az bw M zcz d

+= =

+ ve ( )' 1dw bw M w

cw a−− +

= =−

dönüşümleri arka arkaya uygulanırsa her z noktası 'w noktası ile üst üste gelecektir.

Yani ;

'

az bd bdw b cz dw z

az bcw a c acz d

+⎛ ⎞− +⎜ ⎟− + +⎝ ⎠= = =+− ⎛ ⎞ −⎜ ⎟+⎝ ⎠

olur. Görülüyor ki birinin yaptığı işi diğeri yok

ediyor. O halde bu dönüşümlerden biri diğerinin tersidir . 1 . 2 . 4 . Birim Dönüşüm :

1 1MM M M− −= = Ι olarak tanımlanan Möbius dönüşümü birim dönüşümdür . Birim

dönüşüm her noktayı kendine dönüştüren dönüşümdür . ( )z zΙ = birim dönüşümünün

eşlendiği matris de 1 00 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

birim matrisidir.

SONUÇ 1 . 2 . 5 : { :M M= C∞→C∞ , ( ) , , , ,az bM z a b c dcz d

+= ∈

+C , 0ad bcΔ = − ≠ }

olmak üzere { },M o bir gruptur.

11

1 . 3 . Möbius Transformasyonlarının Sabit Noktaları

az bwcz d

+=

+ dönüşümü z düzleminin noktalarını w düzleminin noktalarına dönüştürür .

Bir an için bu iki düzlemin çakıştığını düşünelim , bu durumda dönüşüm z düzleminin

bir noktasını başka bir noktasına dönüştürür . Bu esnada resim ile orjinalin çakıştığı

noktalara sabit noktalar denir . O halde w z= alınarak sabit noktalar bulunur .

az bwcz d

+=

+ ifadesinde 0Δ = olursa w nın sabit olduğunu gördük . 0Δ ≠ ve 0c =

alınırsa dönüşüm w Az B= + halini alır. Bu dönüşümün sabit noktası ;

Az B z+ = ⇒ 1BzA

=−

olarak bulunur .

Burada 1A ≠ için z noktası sonlu uzaklıktadır . 1A = ise w z B= + olur ve her z

sayısına B gibi bir kayma verilmiş olur. Sadece sonsuzdaki nokta sabit kalır .

Demek ki tam lineer dönüşümlerin sabit bıraktığı iki nokta vardır . Biri sonluda diğeri

sonsuzdaki bir noktadır . 0Δ ≠ ve 0c ≠ ise

az bzcz d

+=

+

2cz dz az b+ = + ( )2 0cz d a z b+ − − =

( )2

1,2

42

a d d a bcz

c− ± − +

= olur .

Burada 1z , 2z gibi sonlu değerde iki sabit nokta bulunur .

SONUÇ 1 . 3 . 1 :Bir Möbius dönüşümünün ikiden fazla sabit noktası varsa bu

dönüşüm özdeşlik dönüşümüdür .

12

2 . ÖZEL TİPTEKİ MÖBİUS TRANSFORMASYONLARI

Özel tipteki bazı Möbius dönüşümlerini sınıflandırmak mümkündür. Bu özel tipteki

dönüşümleri dört durumda inceleyebiliriz :

1. ( ) iM z e zθθ = (θ ∈R ) şeklindeki Möbius dönüşümlerine dönme dönüşümü denir.

Eğer 0θ > ise pozitif yönde dönme , 0θ < ise negatif yönde dönme olur. Burada θ

dönme açısını gösterir .

2 . ( ) 1J zz

= şeklindeki Möbius dönüşümlerine inversiyon (tersinme ) dönüşümü

denir.

3 . ( )aM z az= , 0a ≠ , a∈ C şeklindeki Möbius dönüşümlerine normal şekil

(benzerlik) dönüşümü denir. Bu dönüşümü a ‘ nın bazı değerlerine göre gruplara

ayıracağız :

( i ) Eliptik dönüşüm ( [ ]1, ia e ϕϕ= = ) : 0ϕ > ise z noktası bir çember çizerse

( )aM z =w da bir çember çizer . O halde bir çemberin resmi kendisi olur . Aynı

merkezli çemberler bir aile oluşturur. Eliptik dönüşümde bu çember ailesinin her ferdi

kendine dönüşür . Bu çemberlere dik olan aile başlangıçtan geçen doğrular ailesidir . Bu

doğruların hepsi 0 ve ∞ sabit noktalarından geçerler. Bu doğrular eliptik dönüşümde

ϕ kadar dönerler . Yani kendilerine dönüşmezler . Bu aileden olan başka bir doğruya dönüşürler . Başlangıçtan geçen doğru ailesi ve bu çemberler birbirine ortogonaldir

( ii ) Hiperbolik dönüşüm ( [ ],0ρ ρ= ) : Bu dönüşümde yalnız bir uzama vardır . İki

şekil homotetiktir.Homoteti oranı a = ρ dır. Bu dönüşümde 0 ve ∞ sabit noktalarından

geçen doğrular kendilerine dönüşmezler . Bu doğru ailesini ortogonal olarak kesen

çember ailesi ise homotetiklerine dönüşürler , kendilerine dönüşmezler .

( iii ) Loksodromik dönüşüm ( [ ], ie ϕρ ϕ ρ= ) : Bu dönüşümde hem uzama hem de

dönme olduğundan doğrular kendilerine dönüşmezler , uzama olduğundan da çemberler

kendilerine dönüşmezler .

13

4 . ( )bM z z b= + , b∈ C , b sabit şeklindeki Möbius dönüşümlerine öteleme( kayma)

dönüşümü denir .

Teorem 2 . 1 : Möbius dönüşümleri dönme , benzerlik , tersinme ve kayma

dönüşümlerinin bileşkesi olarak yazılabilir.

İspat : ( ) az bM zcz d

+=

+ 0ad bc− ≠ , , ,a b c d ∈ C Möbius dönüşümünü ele alalım.

Gerçekten ; 0c ≠ ise ( )( )ad bc

a cM zc cz d

−= −

+ şeklinde yazarsak

( ) ( )( )b aM z M J M z= o o olur.

0c = ise ( ) az bM zd+

= olur ve ia red

θ= , b sd= dersek ;

( ) iM z re z sθ= + ( ) ( )( )s rM z M M M zθ= o o olur . Burada açık olarak görülmektedir ki benzerlik ve öteleme dönüşümleri çemberleri

çemberlere dönüştürür . Şimdi de inversiyon dönüşümü için bu durumu inceleyelim .

Eğer gösterebilirsek ki inversiyon dönüşümü de çemberleri çemberlere dönüştürüyor , o

halde bunların bileşkesi olan Möbius dönüşümü için de bunun geçerli olduğunu

söyleyebiliriz.

Teorem 2 . 2 İnversiyon dönüşümü çemberleri çemberlere dönüştürür.

İspat : 1wz

= dönüşümde iz re θ= dersek , 1 iw er

θ−= olur .Burada 1r

ρ = ,

ϕ θ= − diyelim. O halde iw e ϕρ= yazabiliriz .

14

Şimdi kartezyen koordinatlarda 2 2 0x y Ax By C+ + + + = … ( 1 ) olarak

bildiğimiz çember denklemini kutupsal koordinatlar cinsinden şu şekilde yazalım :

iz re θ= = {cos sin

yx

r i r x iyθ θ+ = +123 olduğundan ( 1 ) denklemi ;

( )2 cos sin 0r r A B Cθ θ+ + + = . . . ( 2 ) halini alır . Bu denklemi şimdi iw e ϕρ= için yazarsak ;

( )2

1 1 cos sin 0A B Cϕ ϕρ ρ

+ − + = … ( 3 )

0C ≠ ise ( 3 ) denklemini ;

2 1cos sin 0A BC C C

ρ ρ ϕ ϕ⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

… ( 4 )

denklemine dönüşür ve bu ( 2 ) denklemi formunda olup bir çember denklemidir .

0C = ise ( 3 ) denklemi ;

cos sin 1 0A Bρ ϕ ρ ϕ− + = . . . ( 5 )

denklemine dönüşür . w u iv= + olduğu düşünülürse bu denklem ;

1 0Au Bv− + = . . . ( 6 ) doğru denklemine dönüşür . C∞ = C ∪{∞} da doğrular yarıçapı sonsuz olan çemberler

olarak göz önüne alındığından ispat tamamlanmış olur .

Böylelikle Möbius dönüşümlerinin en belirgin karakteristiği olan çemberleri çemberlere

dönüştürme işini ispatlamış olduk.

15

2 . 1 Möbius Transformasyonlarının Bazı Geometrik Özelikleri :

Teorem 2 . 1 . 1 Möbius transformasyonları çifte oranı korur .

İspat : 11

1

az bwcz d

+=

+ , 2

22

az bwcz d

+=

+ , 3

33

az bwcz d

+=

+ , 4

44

az bwcz d

+=

+ , , ,a b c d∈

olsun . Göstereceğiz ki ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , ,w w w w z z z z= dir .

1 3 1 4

2 3 2 4

w w w ww w w w

− −=

− − ⇒

31 1 4

1 3 1 4

3 2 42

2 42 3

:

az baz b az b az bcz d cz d cz d cz d

az b az b az baz bcz d cz dcz d cz d

++ + +− −+ + + +

+ + ++ −−+ ++ +

⇒

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 3 1 4

1 1

2 3 2 4

2 2

:

ad bc z z ad bc z zcz d cz d

ad bc z z ad bc z zcz d cz d

− − − −+ +

− − − −+ +

⇒ 1 3 1 4

2 3 2 4

:z z z zz z z z− −− −

olur.

Burada çifte oranı yazarken eğer noktalardan biri ∞ ise ;

( )

( )

( )

( )

2 42 3 4

3 4

1 31 3 4

3 4

2 41 2 4

1 2

1 31 2 3

1 2

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

z zz z zz z

z zz z zz z

z zz z zz z

z zz z zz z

−∞ =

−

⎛ ⎞−∞ = −⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞−∞ = −⎜ ⎟−⎝ ⎠

−∞ =

−

olarak gösterilir .

16

Teorem 2 . 1 . 2 : z – düzleminin 1 2 3, ,z z z noktalarını, sırası ile, w - düzleminin

1 2 3, ,w w w noktalarına dönüştüren bir tek Möbius transformasyonu vardır .

İspat : z – düzleminde 1 2 3, ,z z z gibi üç nokta alalım . w - düzleminde bunlara karşılık

gelen noktalar da 1 2 3, ,w w w olsun . Çifte oran özeliğinden faydalanabilmek için dört

nokta olması gerekir . Bunun için z – düzleminde herhangi bir z noktası alalım , w

düzleminde bu noktaya karşılık gelen nokta da w olsun . z ve w düzlemlerinde

aldığımız 1 2 3, ,z z z ,z noktalarıyla , karşılıkları olan 1 2 3, ,w w w ,w noktalarının çifte

oranı :

2 1 2 2 1 2

3 1 3 3 1 3

: :w w w w z z z zw w w w z z z z− − − −

=− − − −

olur .

Bu eşitliğin sol tarafı 1 2 3, ,w w w sabit ve belli olduğundan w ‘ nın lineer bir

fonksiyonudur . Buna ( )2L w diyelim . Aynı şekilde sağ tarafta 1 2 3, ,z z z sabit ve belli

olduğundan z ‘ nin lineer bir fonksiyonudur . Buna da ( )1L z diyelim . Burada

amacımız aradığımız Möbius dönüşümünün ( ) ( )12 1w L z L L z−= = şeklinde olduğunu

göstermektir . Bunu göstermek için de şartlarımızın gerçeklendiğini göstermek

yeterlidir . Aradığımız ( )w L z= dönüşümünün 1 2 3, ,z z z ‘ü sırasıyla 1 2 3, ,w w w ‘e

dönüştürdüğünü kabul etmiştik. Eğer ( )12 1L L z− dönüşümü de bu özeliği sağlarsa

iddiamız yerinde olacaktır .Bunun için ( )1L z ve ( )2L w dönüşümlerine bakalım :

( ) 2 1 21

3 1 3

:z z z zL zz z z z− −

=− −

dönüşümünde sırasıyla z yerine 1 2 3, ,z z z koyarsak 1

2

3

10

zzz

→⎧⎪ →⎨⎪ →∞⎩

dönüşür.Aynı şekilde ( ) 2 1 22

3 1 3

:w w w wL ww w w w− −

=− −

dönüşümünde w yerine, sırasıyla,

1 2 3, ,w w w koyarsak 1

2

3

10

www

→⎧⎪ →⎨⎪ →∞⎩

dönüşür . Buradan söyleyebiliriz ki ( )2L w nın tersi

olan

17

( )12L w− dönüşümü de

1

2

3

10

www

→⎧⎪ →⎨⎪∞→⎩

dönüştürür .O halde

( ){

( )11 2

1 1

2 2

3 3

10

L z L w

z wz wz w

−

⎧⎪ → →⎪

→ →⎨⎪ →∞→⎪⎩

14243

oluyor .

Yani ( )12 1L L z− dönüşümü de ( )w L z= dönüşümü ile aynı işi yapıyor , 1 2 3, ,z z z

noktalarını 1 2 3, ,w w w ‘ e dönüştürüyor . Şimdi bu dönüşümün tek olduğunu gösterelim .

Kabul edelim ki ( ) ( )12 1w L z L L z−= = tek olmasın . İstediğimiz şartları sağlayan

başka bir dönüşüm ( )T z olsun . İddia ediyoruz ki

( )1T L z− = Ι ‘ dır . Burada 1T − dönüşümü 1 1

2 2

3 3

w zw zw z

→⎧⎪ →⎨⎪ →⎩

ve L dönüşümü 1 1

2 2

3 3

z wz wz w

→⎧⎪ →⎨⎪ →⎩

olduğundan

( )1T TT L z−Ι = ( )T L zΙ = Ι T L= bulunur. O halde ( )L z dönüşümü tektir ve bu dönüşüm

2 1 2 2 1 2

3 1 3 3 1 3

: :w w w w z z z zw w w w z z z z− − − −

=− − − −

‘dir .

Teorem 2 . 1 . 3 : Farklı 1 2 3 4, , ,z z z z noktaları C∞ içinde aynı çember üzerindedir ⇔

( )1 2 3 4, , ,z z z z çifte oranı reeldir .

İspat : Kabul edelim ki 1 2 4, ,z z z noktalarından geçen çember C olsun . Ayrıca bir g

Möbius dönüşümü alalım öyle ki ( )1 0g z = , ( )2 1g z = , ( )4g z = ∞ olsun . Bu

durumda g dönüşümü için söyleyebiliriz ki ( )g C =R { }∪ ∞ dir. Şimdi bu dört

18

noktanın çifte oranını yazarsak ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , ,z z z z g z g z g z g z= ( )( )30,1, ,g z= ∞ ( )3g z= olur . Dolayısıyla ( )1 2 3 4, , ,z z z z çifte oranının reel olması için gerek ve yeter şart ( )3g z ün

reel sayı olmasıdır. ( )3g z reel olması içinde gerek ve yeter şart 3z C∈ olmasıdır .

Böylelikle ispat tamamlanmış olur.

Tanım 2 . 1 . 4 : 0r > olmak üzere r yarıçaplı bir çemberin O merkezi ile aynı

doğrultuda bulunan ve OP . 'OP = r2 şartını sağlayan ',P P noktalarına r yarıçaplı

çemberin O merkezine göre invers noktaları denir . Burada O merkezine

inversiyon merkezi , r yarıçapına inversiyon yarıçapı denir. (Şekil 2.1.1) .

Şekil 2.1.1 Çembere göre invers noktalar Teorem 2 . 1 . 5 : Eğer 1z ve 2z noktaları C çemberine göre invers noktalar ise

( ) az bM zcz d

+=

+ Möbius dönüşümü altındaki görüntüleri olan 1w ve 2w

noktaları da resim çemberine göre invers noktalardır.

İspat : az bwcz d

+=

+ şeklinde tanımladığımız Möbius dönüşümünü

19

1 . 'z cz d= + 2 . '''

1zz

= 3 . ''a ad bcw zc c

−= − dönüşümlerini

arka arkaya uygulayarak elde edebiliriz . Bu teoremin ispatını bu üç dönüşüm için ayrı

ayrı yaparsak bunların bileşkesi olan M Möbius dönüşümü için de ispatı

gerçekleştirmiş olacağız. 1 ve 3 dönüşümleri w Az B= + şeklinde tam lineer

dönüşümlerdir. Bunlar için ispatı yapalım:

Bu dönüşümde başlangıç noktasına yani z = 0 noktasına 0w B= noktası karşılık gelir .

(Şekil 2.1.2)

0z = için 0w B=

1z z= için 1 1w Az B= +

2z z= için 2 2w Az B= + olur.

or

Z1

Z2

worı

w1

w2

Şekil 2.1.2 Möbius dönüşümü altında invers noktaların görüntüleri Hipotezimize göre 1z ve 2z invers noktalar oldukları için 2

1 2.z z r= dir. 1z ve

2z nin resimleri olan 1w ve 2w için de bunun sağlandığını göstermeliyiz . C

çemberinin yarıçapı r ve resim çemberi olan 'C nün yarıçapı 'r ise ' .r A r= olduğu

w Az B= + dönüşümden kolayca görülür .

1 0 2 0 1 2. .w w w w Az B B Az B B− − = + − + −

1 2. . .A z A z= 2

1 2. .A z z=

20

( )2.A r=

( )2'r= .

Demek ki 1w ve 2w noktaları da 'C çemberine göre invers noktalardır .

Şimdi de 2 , 1wz

= dönüşümü için ispatı yapalım. B dönüşümden şunu söyleyebiliriz:

' 1rr

= dir.

1 2 1 2

1 1 1..w w w w

=

1 2

1.z z

=

21

r⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2'r= Böylece 2 dönüşümü için de ispatı yapmış olduk.

Teorem 2 . 1 . 6 : ( ) 0

0 1i z zM z ezz

θ −=

− dönüşümü z- düzlemindeki birim çemberi ,

içindeki bir 0z noktasının w – düzlemindeki görüntüsü w=0 olacak şekilde birim

çembere dönüştürür .(Nehari 1952)

İspat : az bwcz d

+=

+ dönüşümünde 0z z= iken 0w = olacağına göre bu dönüşüm

0....z zw α −

= şeklinde olmalıdır. 0z ‘ın birim çembere göre inversi olan nokta 0

1z

noktasıdır . Dönüşümden sonra bu noktalara karşılık gelen noktalar da invers noktalar

olacaklardır .

21

Hipotezden 0z noktası 0w = başlangıç noktasına karşılık geldiğinden , inversi olan

0

1z

noktası da w düzleminde ∞ ‘ a karşılık gelir . O halde

0

0

1z zwzz

α −=

−

00

0 1z zw zzz

α −=

− , 0zα β=

0

0 1z zwzz

β −=

− … ( * )

olur. Şimdi bu dönüşümün birim çemberi birim çembere dönüştürdüğünü göstermeliyiz.

z-düzlemindeki birim çember w- düzlemindeki birim çembere dönüşeceğinden 1z =

olduğunda 1w = ve 1z = için 1w = olmalıdır .

( * ) eşitliğinde her iki tarafın modülünü alırsak ;

0

0 1z zwzz

β −=

−

0

0

11

z zz

β−

=−

, 0 01 1z z− = − (Şekil 2.1.3)

1β = dolayısıyla ie θβ = olur .

Sonuç olarak ( * ) dönüşümü

0

0 1i z zw ezz

θ −=

−

halini alır .

22

y

x

Zo

Zo

-1

-1

1

1

|Zo- 1|

|Zo- 1|

Şekil 2.1.3 Birim çemberde 0z ve 0z noktaları

23

2 . 2 Sonsuza Dair Geometrik Bir Yorum

Möbius transformasyonlarının özeliklerini daha iyi anlayabilmek için soyut bir nokta

olan sonsuz noktalarını da kompleks sayılar cümlesine katarız ve C∞ genişletilmiş

kompleks düzlemini oluştururuz . Bunu geometrik olarak açıklamak için stereografik

izdüşüm fonksiyonunu ele alacağız .

S ile R3 de birim küreyi gösterelim . S = { X ∈R3 ( ): 1, , ,X X x y z= = }⊂R3 olsun.

Burada x iy+ kompleks sayısını R3 de ( ), ,0x y sayısı ile eşleyelim . C düzlemi S

birim küresini 2 2 1x y+ = çemberi boyunca keser . Bu çemberin oluşturduğu düzleme

kürenin ekvator düzlemi denir . Kürenin kuzey kutup noktasını ( )0,0,1ζ = ile

gösterelim .(Şekil 2.2.1)

M

Z

→=ζ )1,0,0( Kuzey kutup noktası

w

Şekil 2.2.1 Stereografik izdüşüm

ϕ : C → S

( ) ( ), ,0z x y w zϕ= → =

olarak tanımladığımız stereografik izdüşüm fonksiyonu yardımıyla C nin her bir

noktasını kürenin ζ den farklı her noktası ile eşleyebiliriz . Şimdi fonksiyonun açık

formülünü bulalım :

24

( )0,0,1ζ = ve ( ), ,0x y noktalarından geçen doğru L olsun. . Bu doğrunun denklemi ;

( ) ( ) ( )0,0,1 , ,0 0,0,1L t x y= + −⎡ ⎤⎣ ⎦ , t∈ R

( ) ( )0,0,1 , , 1t x y= + −

( ), ,1tx ty t= −

olarak bulunur . L doğrusu ve S küresinin kesim noktası ( )zϕ dir . O halde

( )22 2 2 2 1 1t x t y t+ + − =

0t = ve 2 2

21

tx y

=+ +

elde edilir . Burada 0t = a karşılık gelen çözüm ( )0,0,1ζ = noktasıdır . Diğer çözüm

ise

( )2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 1, ,1 1 1

x y x yzx y x y x y

ϕ⎛ ⎞+ −

= ⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠ ( 2 . 2 . 1 )

( )

2

2 2 2

12 2, ,1 1 1

zx yzz z z

ϕ⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

( 2 . 2 . 2 )

olarak bulunur .

Ayrıca 1z = ise ( )z zϕ = olur . 1z > ise ( )zϕ noktası C düzleminin üstünde ,

1z < ise ( )zϕ noktası C düzleminin altında kalır . 0z = ise ( ) ( )0 0,0, 1ϕ = − dır.

2 2

2 2 21 1x z

zz z≤ =

+ + olduğunu düşünerek söyleyebiliriz ki z →∞ için ( )zϕ ζ→

olur . Yani ( )ϕ ζ∞ = olarak tanımlayabiliriz . Böylelikle C kompleks sayılar

cümlesine ∞ noktasını da ekleyerek C∞ ‘u elde etmiş oluruz.

Dolayısıyla :ϕ C∞ S→ dönüşümü birebir ve örten bir dönüşüm olur . Şimdi C∞da

tanımlı Möbius transformasyonlarını da kullanarak küre üzerinde yeni bir dönüşüm

25

tanımlayabiliriz . f Möbius dönüşümü verilirse * 1f fϕ ϕ−= olacak şekilde bir * :f S S→ dönüşümü inşa edebiliriz. (Şekil 2.2.2) *f dönüşümü S üzerinde ζ ve

dc

ϕ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

noktaları dışında tüm noktalarda tanımlanır . ( ) az bf zcz d

+=

+ dönüşümü için

verilen dfc

⎛ ⎞− = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

ve ( ) afc

∞ = tanımları ile *f dönüşümü de S küresi üzerinde

sürekli bir dönüşüm olur .

ϕϕ

Şekil 2.2.2 *f dönüşümünün birim küre üzerinde gösterimi

Stereografik izdüşümün yararlarından biri de { }L∪ ∞ olarak gösterdiğimiz

genişletilmiş doğruları yarıçapı sonsuz olan çemberler olarak almamızın nedenini

ortaya koymasıdır . Gerçekten de S küresi üzerinde ( )0,0,1ζ = noktasından geçen

çemberler stereografik izdüşüm altında doğrularla birebir eşlenirler .

Küre üzerinde ζ noktasından geçmeyen çemberler ise C deki çemberlerle eşlenirler .

Küredeki bir C çemberi ( Cζ ∉ ) 1 1 2 2 3 3x x xα α α β+ + = , 3α β≠ şeklinde verilen bir

düzlem ile kürenin arakesitidir . Dolayısıyla C nin bir z noktası S üzerindeki C çemberi

üzerinde ise

26

2

1 2 32 2 2

12 21 1 1

zx yz z z

α α α β⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

denklemini sağlar . Bu denklem küre üzerindeki C çemberinin denklemidir .

Böylelikle söyleyebiliriz ki S küresindeki bütün çemberlerin cümlesi 1ϕ− dönüşümü

altında C kompleks düzlemindeki bütün çemberlerin ve genişletilmiş doğruların

cümlesine karşılık gelir . Bu ise { }L∪ ∞ ’ a bir çember demek için yeterli bir

açıklamadır .

Son olarak z ve w C kompleks düzleminde iki nokta ve stereografik izdüşüm

altındaki görüntüleri ( )zϕ ve ( )wϕ olsun. (Şekil 2.2.3) ( 2 . 2 .1 ) eşitliğini

kullanarak ( )zϕ ve ( )wϕ görüntüleri arasındaki öklid uzaklığını hesaplayabiliriz.

)w(ϕ)z(ϕ

Şekil 2.2.3 Birim küre üzerinde stereografik izdüşüm altında z ve w

noktalarının görüntüsü

( 2 . 2 . 2 ) eşitliğinden ( ), ,0z x iy x y= + = ve ( ), ,0w u iv u v= + = olmak üzere

( )2

2 2 2

12 2, ,1 1 1

zx yzz z z

ϕ⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

, ( )2

2 2 2

12 2, ,1 1 1

wu vww w w

ϕ⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

yazılır .

( )zϕ ile ( )wϕ arasındaki öklid uzaklığı ( ) ( )z wϕ ϕ− dır.

27

( ) ( )2 2

2 2 2 2 2 2

1 12 2 2 2, , , ,1 1 1 1 1 1

z wx y u vz wz z z w w w

ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −

− = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

2 2 2 2 2 2

1 12 , 2 ,

1 1 1 1 1 1z wx u y v

z w z w z w

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟= ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )( )( )

( )( )

2 22 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

1 1 1 14 8 4 4 8 4 21 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

z z w wx xu u y yv vz wz w z w z wz w z w z w

ϕ ϕ− − − −

− = − + + − + + − ++ + + + + ++ + + + + +

( )( )

( )( )

( )( )( )( )

2 22 2 2 22 2 2 2

2 2 2 22 2

4 4 1 4 4 1 4 4 1 12

1 11 1

x y z u v w xu yv z w

z wz w

⎛ ⎞+ + − + + − + + − −⎜ ⎟= + − ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ++ + ⎝ ⎠

( ) ( )( )( )

( )( )2 4 2 2 4 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2

4 4 1 14 2 1 4 2 12

1 11 1

xu yv x y u vz z z w w w

z wz w

⎛ ⎞+ + + − + −+ − + + − + ⎜ ⎟= + − ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ++ + ⎝ ⎠

=( )( )

( )( )2 2 2 2

2 2

4 4 1 12 2

1 1

xu yv x y u v

z w

⎛ ⎞+ + + − + −⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

=( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 8 8

1 1

z w z w z w z w xu yv

z w

+ + + − + + − − −

+ +

=2 2

2 2

2 2 2

1 1

z w xu yv

z w

+ − −

+ +

Burada ( ) ( )z w x u i y v− = − + −

( ) ( )2 2x u y v= − + −

28

2 2 2 2 2 2x y u v xu yv= + + + − −

2 2 2 2z w xu yv= + − −

olduğu göz önüne alınırsa ;

( ) ( )z wϕ ϕ− = 2 2

2

1 1

z w

z w

−

+ + ( 2 . 2 . 3 )

olarak bulunur .

Bu ifade w→∞ için ( ) ( )2

2

1z

zϕ ϕ− ∞ =

+ halini alır .

( ) ( )z wϕ ϕ− ifadesi z ve w arasındaki kirişsel uzaklık olarak bilinir . Açıkça

görülüyor ki bu uzaklık için ( ) ( ) 2z wϕ ϕ− ≤ olduğu söylenebilir . Gerçekten de

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden ;

( ) ( )22 2 22 21 1 1 1z w z w z w− ≤ + − ≤ + − +

olduğu kolayca görülür .

29

3 . KÜRE ÜZERİNDE DÖNMENİN MÖBİUS TRANSFORMASYONLARIYLA

OLAN İLGİSİ

:f C∞ → C∞ şeklindeki her dönüşüme * 1f fϕ ϕ−= olacak şekilde bir * :f S S→

dönüşümü karşılık gelir , aynı şekilde * :f S S→ şeklindeki her dönüşüme de

1 *f fϕ ϕ−= olacak şekilde :f C∞ → C∞ dönüşümü karşılık gelir . Bu bölümdeki en

önemli sonuç Möbius dönüşümünün ortaya çıkardığı *f fonksiyonunun küre üzerinde

bir dönmeye karşılık gelmesidir . Bununla birlikte bütün Möbius dönüşümleri bu

özeliği sağlamaz . f ’ nin bazı seçimleri ile ortaya çıkarılan *f dönüşümü bir dönmeye

karşılık gelir . Örneğin sadece tek sabit noktası olan bir Möbius dönüşümü dönmeye

karşılık gelmez , çünkü f in C∞ içinde bir tane sabit noktası varsa , *f ın da S

küresinde bir tane sabit noktası vardır .

Teorem 3 . 1 : ( ) az bf zbz a+

=− +

, 2 2 1a b+ = ( 3 . 1 .1 )

formundaki her Möbius dönüşümü küre üzerinde bir *f dönmesine karşılık gelir ve

küredeki her dönme bu yolla ortaya çıkar.

Bu teoremin ispatı bir çok düşünceyi içerir . Dolayısıyla ispatı birkaç adımda

yapacağız .

Lemma 3 . 2 : ϕ stereografik izdüşümü altında z ve w noktalarının görüntüleri çapa

göre karşılıklı noktalardır ⇔ 1wz

= −

İspat : z x iy= + ve w u iv= + olmak üzere

( )2

2 2 2

12 2, ,1 1 1

zx yzz z z

ϕ⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

ve ( )2

2 2 2

12 2, ,1 1 1

wu vww w w

ϕ⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

olduğunu

biliyoruz . Eğer z ve w nın görüntüleri olan ( )zϕ ve ( )wϕ çapa göre karşılıklı

noktalar ise (Şekil 3.1) aralarındaki öklid uzaklığı ( ) ( ) 2z wϕ ϕ− = olur . ( 2 . 2 . 3 )

eşitliğinden ;

30

( ) ( )z wϕ ϕ− = 2 2

2

1 1

z w

z w

−

+ +

2 = 2 2

2

1 1

z w

z w

−

+ +

2 21 1z w z w− = + +

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 21 1x u i y v x y u v− + − = + + + +

( )22 2 2 2 2 2 2 22 2x u y v xu yv x y u v xu+ + + − − = + + + + + ( ) ( ) ( )2 2 2 1yu vy xv+ + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 2 2 2 0xu vy xu vy xuvy xv yu xuvy+ + + + + + + − =

( ) ( )2 21 0xu vy xv yu+ + + − =

( )1 0xu vy+ + = ve ( ) 0xv yu− =

1xu iyu vy ivx− + + = −

( ) ( ) 1u x iy iv x iy− + − = −

( )( ) 1x iy u iv− + = −

. 1z w = −

1wz

= −

olarak bulunur .

İspatın ikinci kısmı da aynı metodla gösterilebilir .

31

(z)

Z

O

(w)ϕ

w

ϕ

Şekil 3.1 Birim küre üzerinde ( )zϕ ve ( )wϕ noktaları

Lemma 3 . 3 : *f fonksiyonu kürede bir dönme olacak şekilde bir f Möbius

dönüşümü varsa f ( 3 . 1 . 1 ) formundadır .

İspat : ( ) az bf zcz d

+=

+ , 1ad bc− = ve *f küre üzerinde bir dönme olsun . *f bir

dönme ise küre üzerindeki noktalar arası uzaklığı korur . Dolayısıyla çapa göre karşılıklı

noktaları yine çapa göre karşılıklı noktalara dönüştürür . Bu demektir ki ; 1wz

= − ise

( )( )1f wf z

= − dir . Diğer bir deyişle f şu ilişkiyi sağlamalıdır :

( )

1 1fz f z

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Gerçekten de 1 bz afz dz c

−⎛ ⎞− =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ve

( )1 cz d

az bf z− +

− =−

eşit ise

b a c dd c a b

λ⎛ ⎞− −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

olacak şekilde bir 0λ ≠ olmalıdır .

( )( ) ( )( ) ( )21 ad bc d a c b ad bcλ λ λ λ λ= − = − − − = − = 2λ

( ) ( ) ( )2 21 ad bc a a b b a bλ λ λ= − = − − = +

32

Bu iki eşitlikten görülüyor ki 1λ = ve 2 2 1a b+ = dir . Yani f ( 3 . 1 . 1 )

formundadır .

Lemma 3 . 4 : Eğer f Möbius dönüşümü ( 3 . 1 . 1 ) formunda ise *f küre üzerinde

bir dönmedir .

İspat : f ( 3 . 1 . 1 ) formunda olsun . Yani ( ) az bf zbz a+

=− +

, 2 2 1a b+ = dir .

Şimdi aşağıdaki eşitliği gösterelim :

( )( ) ( )( ) ( ) ( )f z f w z wϕ ϕ ϕ ϕ− = − .

( ) az bf zbz a+

=− +

, ( ) aw bf wbw a+

=− +

, 2 2 1a b+ = olmak üzere ( 2 . 2 . 3 )

eşitliğinden

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

2

1 1

f z f wf z f w

f z f wϕ ϕ

−− =

+ + ( 3 . 4 . 1 )

yazabiliriz .

Öncelikle ( ) ( )f z f w− ifadesini hesaplayalım .

( ) ( )( )( )( )( )aa bb z w

f z f wbz a bw a

+ −− =

− + − + olduğundan burada norm alırsak ;

( ) ( )( )2 2a b z w

f z f wbz a bw a

+ −− =

− + − + elde edilir . 2 2 1a b+ = olduğundan ifade

( ) ( ) z wf z f w

bz a bw a−

− =− + − +

halini alır .

Şimdi de ( 3 . 4 . 1 ) ifadesinin paydasını hesaplayalım .

( )2

21 1 az bf z

bz a+

+ = +− +

33

2 2

2

bz a az b

bz a

− + + +=

− +

( )( ) ( )( )bz a bz a az b az b

bz a

− + − + + + +=

− +

( )( ) ( )( )bz a bz a az b az b

bz a

− + − + + + +=

− +

2 2 2 2 2 2b z abz abz a a z abz abz b

bz a

− − + + + + +=

− +

21 z

bz a

+=− +

olarak bulunur .

Aynı şekilde ( )2

2 11

wf w

bw a

++ =

− + dır . Hesapladığımız bu ifadeleri ( 3 . 4 . 1 )

eşitliğinde yerlerine yazarsak

( )( ) ( )( )2 2

2

1 1

z wbz a bw a

f z f wz w

bz a bw a

ϕ ϕ

−

− + − +− =

+ +

− + − +

( )( ) ( )( )2 2

2

1 1

z wf z f w

z wϕ ϕ

−− =

+ +

( )( ) ( )( ) ( ) ( )f z f w z wϕ ϕ ϕ ϕ− = −

elde etmiş oluruz .

Bu eşitlik gösteriyor ki *f dönüşümü küre üzerinde bir izometridir . Gerçekten de

34

∀ ,P Q S∈ için ( )1 P zϕ− = , ( )1 Q wϕ− = olmak üzere

( ) ( ) ( ) ( )* * 1 1f P f Q f P f Qϕ ϕ ϕ ϕ− −− = −

( ) ( )f z f wϕ ϕ= −

( ) ( )z wϕ ϕ= −

P Q= −

elde edilir . Bu da bize *f dönüşümünün uzaklığı koruduğunu , yani bir izometri

olduğunu söyler .

:g S S→ , ( ) ( )g tx tg x= , x S∈ olacak şekildeki her g dönüşümü R3 de bir

izometri verir. (Şekil 3.2) x S∈ için ( ) ( ) ( )0 0 0 0g g x g x= = = dır . *f dönüşümü de

( )* 0 0f = dır . Bu da demektir ki *f R3 de bir izometridir ve *f A ortogonal

matrisi ile verilen bir harekettir . Dolayısıyla *f orjinden geçen düzlemde bir

yansıma veya dönmedir . Bununla birlikte *f bir yansıma olamaz. Çünkü yansıma

olsaydı birçok sabit noktası olurdu. Sonuçta *f bir dönmedir .

Şekil 3.2 İzometri

35

Lemma 3 . 5 : S küresindeki her dönme ( 3 . 1 . 1 ) formundaki f Möbius

dönüşümüyle oluşan *f dönüşümü şeklindedir .

İspat : ( )2

2

0

0

ii

i

e zf z e zz e

θ

θθ

−

+= =

+ ve ( ) 0

0

1z zg zz z+

=− +

olsun.

f ve g dönüşümlerinin her ikisi de ( 3 . 1 . 1 ) formundadır . *f açıkça görülüyor ki

R3 de düşey eksenle θ açı yapan bir dönmedir .

1F g fg−= olarak gösterelim . ( 3 . 1 . 1 ) formundaki möbius dönüşümlerinin

bileşkesi yine bu formda olduğundan F dönüşümü de ( 3 . 1 . 1 ) formunda bir Möbius

dönüşümüdür . Dolayısıyla *F S küresinde bir dönmedir .Bununla birlikte

* 1 1( )F g fgϕ ϕ− −=

( )( )( )1 1 1 1g f gϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − − −=

( )*1 * *g f g−=

( ) 1* * *g f g−

=

*g da bir dönme olduğundan , *F bazı eksenlerle θ açısı yapan bir dönme olacaktır .

F dönüşümü 0z ve 0

1z

− noktalarını sabit bırakır . Böylece *F başlangıcı 0( )zϕ ve

bitişi 0( )zϕ− olan eksende bir dönme olur . 0z keyfi seçilmiş olduğundan , bu ekseni S

küresinin çapı olarak alabiliriz . 0z veθ seçimiyle *F önceden belirlenmiş bir dönme

olur .

Bu dört lemma ile Teorem 3 . 1 in ispatını tamamlamış olduk . Bu lemmaların başka

bir sonucu olarak aşağıdaki teoremi verebiliriz .

Teorem 3 . 6 : ( 3 . 1 . 1 ) formundaki Möbius transformasyonlarının cümlesi 0M bir

grup oluşturur . ( Beardon 2005 )

36

Teorem 3 . 7 : 2 2: 1a b

U a bb a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + =⎜ ⎟⎨ ⎬−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

şeklindeki 2 2× tipindeki matrislerin

cümlesi bir gruptur . Bu gruba üniter grup denir . ( Beardon 2005 )

37

KAYNAKLAR Beardon, A. 1983. The Geometry of Discrete Groups. Springer-Verlag, 9-81, Berlin. Beardon, A. 2005. Algebra and Geometry. Springer-Verlag, 254-283, Berlin. Brannon, A. D, Esplen, M. F, Gray, J. J. 1999. Geometry. Cambridge University Press, , Australia. Hacısalihoğlu, H. H. 1980. Yüksek Boyutlu Uzaylarda Dönüşümler ve Geometriler. İnönü Üniv. Yayınları Mat. 1 , Malatya, Turkey Nehari, Z. 1952. Conformal Mapping. MvGraw – Hill Book Company, 155-164, New York. Özgür, N. Y, Bulut, S. and Özgür, C. Möbius Transformations and The Helix (to appear) Özgür, N. Y, Bulut, S. New Characterizations of Möbius Transformations by use of Apollonius Points of (2n-1)-Gons (to appear

38

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı : Semra KAYA Doğum Yeri : Ankara Doğum Tarihi : 18 . 04 .1981 Medeni Hali : Bekar Yabancı Dili :İngilizce Eğitim Durumu : Lise : İncirli Yabancı Dil Ağırlıklı Lisesi , 1995-1999 Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fak .Matematik Bölümü ,1999-2003