ANKARA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

BİR AKARYAKIT DAĞITIM DİZGESİNİN ULAŞTIRMA GİDERİNİN

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA YOLUYLA EN AZA İNDİRGENMESİ

Mihrican KOCAOĞLU

KİMYA MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

ANKARA 2010

Her hakkı saklıdır

TEZ ONAYI

Mihrican KOCAOĞLU tarafından hazırlanan “Bir Akaryakıt Dağıtım Dizgesinin Ulaştırma Giderinin Doğrusal Programlama Yoluyla En Aza İndirgenmesi ” adlı tez çalışması 27.01.2010 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Danışman : Prof. Dr. M.Çetin KOÇAK Jüri Üyeleri : Başkan : Prof. Dr. Ayşen APAYDIN Ankara Üniversitesi, İstatistik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. M.Çetin KOÇAK Ankara Üniversitesi, Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Yahya SUYADAL

Ankara Üniversitesi, Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım

Prof. Dr.Orhan ATAKOL Enstitü Müdürü

i

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

BİR AKARYAKIT DAĞITIM DİZGESİNİN ULAŞTIRMA GİDERİNİN DOĞRUSAL PROGRAMLAMA YOLUYLA EN AZA İNDİRGENMESİ

Mihrican KOCAOĞLU

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. M. Çetin KOÇAK Doğrusal programlama, uygulama alanı geniş bir en iyileme yöntemidir. Belli sayıda sunum merkezinden belli sayıda istem merkezine yapılan taşımalarda toplam taşıma maliyetini en aza indirecek bir dağıtım planının yapılmasını sağlayan ulaştırma modeli, doğrusal programlama yaklaşımlarından biridir. Bu çalışmada; Türk Silahlı Kuvvetleri’nin üç sunum merkezi ile yirmi yedi istem merkezi arasındaki akaryakıt dağıtımı, 2008 yılı verilerine dayalı olarak çözülmüştür. Tanımlanan ulaştırma problemi için Kuzey Batı Köşe, En Düşük Maliyetli Gözeler ve Vogel’in Yaklaşım (VAM) yöntemlerinden başlangıç çözümü olarak elde edilen en düşük taşıma maliyeti, sırayla, 107.415,19, 105.972,33 (Satır Yaklaşımı), 104.916,40 (Kolon Yaklaşımı), 106.033,74 (Genel Yaklaşım), 105.509,01 TL olmuştur. En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi Kolon Yaklaşımı ile bulunan başlangıç çözümü Atlama Taşı ve MODİ yöntemleri ile yoklanmış; düzeltilmiş maliyet, 104.561,84 TL ile en iyi olmuştur. Ulaştırma problemi ayrıca Lingo ve MATLAB ortamında doğrusal programlama yordamıyla çözülünce maliyet, yine 104.561,84 TL çıkmıştır. Öte yanda, Microsoft Excel deneyimi sonuçsuz kalmıştır. Ocak 2010, 114 sayfa Anahtar Kelimeler: Doğrusal Programlama, uygunlaştırma, en iyileme, ulaştırma modeli, akaryakıt dağıtımı

ii

ABSTRACT

Master Thesis

MINIMISATION OF TRANSPORTATION COST A FUEL DISTRIBUTION SYSTEM VIA LINEAR PROGRAMMING

Mihrican KOCAOĞLU

Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences

Department of Chemical Engineering

Supervisor: Prof. Dr. M. Çetin KOÇAK

Linear programming is a widely used optimization technique. Transportation model is a kind of linear programming to minimise the total cost of transportation from a known number of supply centres to a known number of demand centres. This research solved a fuel distribution case of the Turkish Armed Forces involving three supply centres and twenty-seven demand centres using data for the year 2008. North-west Corner, Minimum Cost Cells, and Vogel’s Approximation Methods (VAM) were applied separately to find an initial solution for the formulated transportation problem. The respective figures were 107.415,19, 105.972,33 (row approach), 104.916,40 (column approach), 106.033,74 (general approach), 105.509,01 TL. Subsequent application of Stepping Stone and MODI methods to the distribution plan obtained by Minimum Cost Cells with column approach, showed that the lowest cost was 104.561,84 TL. The transportation problem was also solved harnessing linear programming in Lingo and Matlab. The minimum cost was again 104.561,84 TL. On the other hand, attempted application of Microsoft Excel failed. January 2010, 114 pages Key Words : Linear programming, optimization, transportation model, fuel distribution

iii

ÖNSÖZ Yüksek Lisans çalışmam boyunca her konuda yardımlarını benden esirgemeyen başta

danışmanım Prof. Dr. M.Çetin KOÇAK (Ankara Üniversitesi Kimya Mühendisliği

Bölümü) olmak üzere bütün hocalarıma, her zaman desteklerini hissettiğim

arkadaşlarım ve aileme, bıkmadan bütün nazımı çeken sevgili eşime bütün içtenliğimle

teşekkür ediyorum.

Başladığımı gören ve hep yanımda olan ama bitirdiğimi görmeye amansız hastalığı izin

vermeyen yiğenim, canımın içi Zebedimi (Zeynep AKBABA) özlemle ve sevgiyle

anıyorum.

Mihrican KOCAOĞLU

Ankara, Ocak 2010

iv

İÇİNDEKİLER

ÖZET ................................................................................................................................ i

ABSTRACT ..................................................................................................................... ii

ÖNSÖZ ............................................................................................................................ iii

ŞEKİLLER DİZİNİ ....................................................................................................... vi

ÇİZELGELER DİZİNİ ................................................................................................ vii

1. GİRİŞ ........................................................................................................................... 1

2. GENEL BİLGİLER .................................................................................................... 5

2. GENEL BİLGİLER .................................................................................................... 5

2.1 Doğrusal Programlama ............................................................................................ 5

2.1.1 Doğrusal Programlama probleminin matematiksel modeli ............................... 6

2.1.2 Simpleks Algoritması ............................................................................................. 9

2.2 Dualite ...................................................................................................................... 10

2.3 Doğrusal Programlama Problemlerinin Bilgisayarda Çözülmesi ...................... 11

3. ULAŞTIRMA PROBLEMLERİ VE ULAŞTIRMA MODELİ ........................... 13

3.1 Ulaştırma Probleminin Matematiksel Modeli ...................................................... 13

3.2 Dengeli ve Dengesiz Ulaştırma Problemleri ......................................................... 16

3.3 Ulaştırma Probleminin Çözüm Algoritması ......................................................... 18

3.4 Ulaştırma Probleminin Başlangıç Çözüm Yöntemleri ........................................ 19

3.4.1 Kuzeybatı Köşe Yöntemi ..................................................................................... 19

3.4.2 En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi ................................................................ 20

3.4.3 Vogel’in Yaklaşım Yöntemi ................................................................................ 20

3.5 En İyi Çözümün Bulunması İçin Geliştirilen Yöntemler .................................... 22

3.5.1 Atlama Taşı Yöntemi ........................................................................................... 22

3.5.2 MODİ Yöntemi ..................................................................................................... 24

3.6 Örnek Ulaştırma Problemi ve Çözüm Algoritmasının Uygulanması................. 27

3.7 Ulaştırma Modelinin Diğer Çeşitleri ..................................................................... 38

3.8 Ulaştırma Problemleri ile İlgili Ülkemizdeki Örnek Çalışmalar ........................ 39

4. MATERYAL VE YÖNTEM .................................................................................... 45

4.1 Materyal ................................................................................................................... 45

4.2 Yöntem ..................................................................................................................... 46

v

5. ARAŞTIRMA BULGULARI ................................................................................... 48

5.1 Kuzey Batı Köşe Yöntemi ....................................................................................... 48

5.2 En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi ................................................................... 52

5.2.1 En Düşük Maliyetli Gözeler (Kolon Yaklaşımı ) Yöntemi ............................... 52

5.2.2 En Düşük Maliyetli Gözeler (Satır Yaklaşımı ) Yöntemi ................................. 54

5.2.3 En Düşük Maliyetli Gözeler (Genel Yaklaşım ) Yöntemi ................................ 57

5.3 Vogel’in Yaklaşım Yöntemi ................................................................................... 59

5.4 En İyi Çözümün Bulunması ................................................................................... 63

5.5 Atlama Taşı Yönteminin Uygulanması ................................................................. 64

5.6 MODİ Yönteminin Uygulanması .......................................................................... 82

5.7 Ulaştırma Probleminin Bilgisayar Programları ile Çözülmesi ......................... 101

5.7.1 Problemin Microsoft Excel Çözücü Eklentisi ile çözülmesi ........................... 102

5.7.2 Problemin Lingo yazılımı ile çözülmesi............................................................ 103

5.7.3 Problemin MATLAB Optimization Toolbox ile çözülmesi ............................ 104

6. TARTIŞMA VE SONUÇ ........................................................................................ 105

KAYNAKLAR ............................................................................................................ 107

EK 1 Ulaştırma Probleminin Lingo Yazılımında Elde Edilen Sonuçlar ............... 109

ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................................. 114

vi

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 3.1 m üretim (sunum) merkezli n tüketim (istem) merkezli ulaştırma

probleminin grafiksel gösterimi ...................................................................... 15

Şekil 3.2 Ulaştırma probleminin çözüm algoritması....................................................... 18

vii

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge 3.1 Ulaştırma tablosu genel yapısı ..................................................................... 16

Çizelge 3.2 Örnek problemin ulaştırma tablosu .............................................................. 27

Çizelge 3.3 Örnek problemin yeni oluşturulan ulaştırma tablosu ................................... 28

Çizelge 3.4 Kuzey Batı Köşe Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı ................ 29

Çizelge 3.5 En düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi (Genel Yaklaşım) sonucunda

elde edilen dağıtım planı ............................................................................ 30

Çizelge 3.6 Örnek probleme VAM Yönteminin uygulanması........................................ 30

Çizelge 3.7 Örnek problem için VAM Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım

planı ............................................................................................................ 31

Çizelge 3.8 Örnek problem için başlangıç çözüm yöntemleri sonucunda elde

edilen maliyetler ......................................................................................... 32

Çizelge 3.9 VAM Yöntemine göre bulunmuş dağıtım planı .......................................... 32

Çizelge 3.10 Örnek problem için bulunan başlangıç çözümüne Atlama Taşı

Yönteminin uygulanması sonucunda elde edilen dağıtım planı ................ 33

Çizelge 3.11 Örnek problem için bulunan başlangıç çözümüne MODİ Yönteminin

uygulanması sonucunda elde edilen dağıtım planı..................................... 36

Çizelge 4.1 Üç sunum 27 istem merkezli ulaştırma probleminin maliyet tablosu ......... 47

Çizelge 5.1 Dengelenmiş ulaştırma tablosu .................................................................... 49

Çizelge 5.2 Kuzey Batı Köşe Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı ................ 51

Çizelge 5.3 En Düşük Maliyetli Gözeler (Kolon Yaklaşımı) Yöntemine göre elde

edilen dağıtım planı .................................................................................... 53

Çizelge 5.4 En Düşük Maliyetli Gözeler (Satır Yaklaşımı) Yöntemine göre elde

edilen dağıtım planı .................................................................................... 56

Çizelge 5.5 En Düşük Maliyetli Gözeler (Genel Yaklaşım) Yöntemine göre elde

edilen dağıtım planı .................................................................................... 58

Çizelge 5.6 Vogel’in Yaklaşım (VAM) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı ...... 62

Çizelge 5.7 Başlangıç çözüm yöntemlerine göre toplam taşıma maliyeti

karşılaştırılması .......................................................................................... 63

Çizelge 5.8 Ulaştırma probleminin başlangıç temel çözümü.......................................... 65

viii

Çizelge 5.9 Atlama Taşı Yöntemine göre ilk yineleme sonucunda oluşan dağıtım

planı ............................................................................................................ 68

Çizelge 5.10 Atlama Taşı Yöntemine göre ikinci yineleme sonucunda oluşan

dağıtım planı .............................................................................................. 71

Çizelge 5.11 Atlama Taşı Yöntemine göre üçüncü yineleme sonucunda oluşan

dağıtım planı .............................................................................................. 74

Çizelge 5.12 Atlama Taşı Yöntemine göre dördüncü yineleme sonucunda oluşan

dağıtım planı .............................................................................................. 76

Çizelge 5.13 Atlama Taşı Yöntemine göre beşinci yineleme sonucunda oluşan

dağıtım planı .............................................................................................. 79

Çizelge 5.14 Ulaştırma probleminin başlangıç temel çözümü........................................ 83

Çizelge 5.15 MODİ Yöntemine göre ilk yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı ..... 86

Çizelge 5.16 MODİ Yöntemine göre ikinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım

planı ............................................................................................................ 88

Çizelge 5.17 MODİ Yöntemine göre üçüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım

planı ............................................................................................................ 91

Çizelge 5.18 MODİ Yöntemine göre dördüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım

planı ............................................................................................................ 94

Çizelge 5.19 MODİ Yöntemine göre beşinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım

planı ............................................................................................................ 97

Çizelge 6.1 Araştırma bulguları .................................................................................... 105

Çizelge 6.1 Araştırma bulguları (devam) ...................................................................... 106

1

1. GİRİŞ Optimizasyon, bir probleme geçerli ve etkili bir çözümü belirlemek veya proseslerin

tasarımını yapmak için özel metotların kullanımıdır. Bu teknik endüstriyel karar

vermede sayısal yöntemlerin en önemlilerinden biridir. Yapı, tasarım, işletme ve

kimyasal fabrikaların incelenmesi gibi problemler optimizasyon ile çözülebilir.

Optimizasyon fen, mühendislik ve işletme alanlarında yaygınlaşmıştır. İstatistik

alanında, maksimum olasılık, minimum kayıp, en küçük kare gibi temel değerlerde,

işletmede maksimum kar, minimum maliyet, kaynakların maksimum kullanımı, minimum

enerji için optimizasyon kullanılır.

Bir optimizasyon probleminin amacı bütün şirket, fabrika, bir proses, işletmenin bir

ünitesi, ekipmanın bir parçası ya da bunların arasında herhangi bir büyüklükte bir istem

olabilir.

Endüstri şirketleri optimizasyonu üç alanda kullanır:

a. İşletme

b. Süreç tasarımı ve ekipman tanımlamasında

c. İşletme operasyonlarında.

Optimizasyon kimyasal süreçlerde ve işletmeler için çok sayıda alanda uygulanabilir.

Bazıları şunlardır:

i. En iyi fabrika yeri belirlemesi,

ii. İşlenmiş ve işlenmemiş ürünlerin dağıtımı için tanker planlaması,

iii. Boru hatlarının boyutlandırılması ve düzenlenmesi,

iv. Bütün bir fabrika ve ekipmanların tasarımı,

v. Ekipmanların değişimi ve bakımının programlanması,

vi. Reaktör, kolon ve çeşitli ekipmanların işletmesi,

vii. Proseslerin modelini kurmak için işletme verilerinin hesaplaması,

viii. Yapıların programlaması ve planlaması.

Optimizasyon teknikleri önemli derecedeki problemlerin çözümü için hızlı ve güvenli

yöntemler olarak yıllardan beri kullanılmaktadır. Optimizasyon algoritması ve

bilgisayar teknolojisinde devam eden gelişmeler binlerce değişkeni kapsayan büyük

2

ölçekli doğrusal olmayan problemlerin optimizasyonuna olanak sağlamalıdır (Edgar vd.

2001).

Bir optimizasyon problemi, belirli kısıtlar altında bir amaç fonksiyonunun optimize

edilmesinden oluşmaktadır. Diğer bir deyişle, karar değişkenleri olarak nitelendirilen

fonksiyon değişkenlerinin kısıtların tümünü sağlayan ( uygun çözüm bölgesinde

bulunan) ve amaç fonksiyonunu optimize eden sayısal değerlerini bulma problemidir.

Optimizasyon modelleri çeşitli kriterlere göre sınıflandırılabilmektedir.

Fonksiyonlarının tipine göre, birinci dereceden fonksiyonlardan oluşuyorsa doğrusal

(lineer) programlama, diğer durumlarda ise doğrusal olmayan (eğrisel) programlama

şeklinde sınıflandırılırlar. Karar değişkenlerinin tipine göre, sadece tam sayılı

değişkenlerden oluşan problemlere tam sayılı programlama adı verilir. Hem sürekli

hem de tam sayılı değişken içeren modeller ise karma tam sayılı programlama adını

alırlar. En az bir tane rassal parametre içeren programlar ise stokastik programlar olarak

nitelendirilirler. Aksi halde ise model deterministik olarak isimlendirilir. Optimizasyon

problemin çözümü zamanın bir fonksiyonu ise, problem dinamik programlama adı ile

adlandırılmaktadır. Dinamik programlama da kendi içerisinde deterministik ve stokastik

olarak sınıflandırılabilmektedir. Birden fazla amaç fonksiyonu ile başa çıkmak için

geliştirilen ve çok kriterli karar verme aracı olan hedef programlama, birbirleriyle

çelişebilen amaçları hep birlikte göz önüne almakta ve amaçlardan sapmaları minimize

ederek çözüme ulaşmaktadır. Konveks ve kesirli programlama türleri de yaygın olarak

kullanılabilen optimizasyon modellerindendir (Çetin 2009).

İster sayısal analizler, ister yöneylem araştırması adı altında olsun uygulanmakta veya

geliştirilmekte olan ve matematik model kullanan bütün yöntemler esasında işletme

sorunlarının matematiksel olarak programlanması ve çözümünden başka bir şey değildir

(Alan ve Yeşilyurt, 2004).

Yöneylem araştırmasındaki matematiksel modellerde karar değişkenleri tamsayılı ya da

sürekli olabilir, buna karşılık amaç ve kısıt fonksiyonları doğrusal olabilir ya da

olmayabilir. Optimizasyon problemleri bu tür modeller sayesinde ortaya çıkmakta ve

değişik çözüm yöntemlerinin gelişmesine kaynak olmaktadır. Bunlar içerisinde en

3

belirgin başarıyla kullanılanı doğrusal programlamadır. Doğrusal programlamada tüm

amaç ve kısıt fonksiyonları doğrusaldır. Farklı modellerin çözümü için geliştirilen

yöntemler arasında dinamik programlama, tamsayılı programlama, doğrusal olmayan

programlama, hedef programlama ve şebeke programlama sayılabilir ( Taha 2002 ).

Yöneylem Araştırması uygulamalarındaki temel aşamalar şöyle ifade edilebilir (Taha

2002 ):

1. Problemin tanımlanması: Ele alınan problemin incelenip izlenerek

tanımlanmasını kapsar.

2. Model kurulması: Problem matematiksel ilişkiler halinde ifade edilir. Başka bir

deyişle, problem matematik diline tercüme edilir. Model doğrusal programlama

gibi standart bir matematiksel model biçiminde ifade edilebiliyorsa, mevcut

algoritmalar yardımıyla çözüme ulaşılır.

3. Modelin çözülmesi: Bu aşamada çok iyi bilinen optimizasyon algoritmaları

kullanılmaktadır. Modelin çözülmesinin önemli bir yanı da duyarlılık analizini

de içermesidir.

4. Modelin geçerliliğinin onaylanması: geliştirilmiş olan modelle sistemin

çalışması karşılaştırılır ve modelin beklenen davranışları sergileyip

sergileyemeyeceği incelenir.

5. Çözümün uygulanması: Tutarlığı kanıtlanmış bir modelin çözümünün

uygulanması, önerilen sistemi uygulayacak olan kişilere anlaşılır bir biçimde

verilecek çalışma talimatlarında yer alan model sonuçlarının aktarılmasını içerir.

Yöneylem araştırmasında iyi bilinen bir yöntem olan ulaştırma modeli, 1960lı yıllardan

bu yana çeşitli sektörlerde ürünlerin pazarlara dağıtımı, atama ve aktarma problemleri,

tesis yeri seçimi, işlerin makinelere ve personele dağıtımı ve üretim programlaması gibi

konularda ortaya çıkan sorunların çözümünde kullanılmaktadır. Temeli, işletmenin

elindeki üretim kaynaklarını gerekli kullanım yerlerine aktararak toplam taşıma

maliyetlerini en aza indirmektir. Modelin amacı gerekli dağıtımlar için en ekonomik

dağıtımın seçilmesidir (Işık ve Ertuğrul 2008).

Bu çalışmasının amacı üç sunum merkezi ve yirmi yedi istem merkezi olan bir ulaştırma

problemine ulaştırma modellerinin çözüm yöntemlerinin uygulanmasıdır. Ulaştırma

4

modelinin doğrusal programlamanın özel bir türü olmasından dolayı optimizasyon

yöntemleri içerisinde sadece doğrusal programlama tanımlanacaktır. Ulaştırma

problemi hem ulaştırma modelinin özel çözüm yöntemleri hem de doğrusal

programlama problemi olarak çözülecek ve elde edilen bulgular değerlendirilecektir.

İkinci Bölümde doğrusal programlama ile ilgili genel bilgiler verildikten sonra Üçüncü

Bölümde doğrusal programlamanın özel bir türü olan ulaştırma problemleri ve ulaştırma

modeli anlatılacaktır. Dördüncü Bölümde Türk Silahlı Kuvvetlerinin akaryakıt taşıması

için gerekli veriler kullanılarak ulaştırma problemi tanımlanacak, Beşinci Bölümde

ulaştırma modeli çözüm yöntemlerinin probleme uygulanması anlatıldıktan sonra altıncı

bölümde sonuçlara ve sonuçların değerlendirilmesine yer verilecektir.

5

2. GENEL BİLGİLER

2.1 Doğrusal Programlama Kısıtlı optimizasyonun en basit hali amaç ve kısıtlayıcı fonksiyonların doğrusal olduğu

durumdur (Greig 1980). Doğrusal Programlama en yaygın ve en etkili olarak kullanılan

optimizasyon tekniklerinden biridir (Edgar 2001). Doğrusal Programlama, sınırlı

kaynakların kullanımını en iyi kılmak için tasarlanmış bir matematiksel modelleme

yöntemidir. Askerlik, endüstri, tarım, ulaştırma, ekonomi, sağlık sistemleri, hatta

davranış bilimleriyle sosyal bilimler gibi alanlarda başarılı doğrusal programlama

uygulamaları vardır (Taha 2002).

Doğrusal Programlama modeli ilk olarak 1942’de Kantoroviç tarafından tanımlanmış,

Dantzig, 1947’de “Simpleks Yöntemi” denilen algoritmayı bulmuştur. Von Neumann,

piyasa güçleri ile büyüme hızının nasıl maksimize edilebileceğini gösteren bir dinamik

genel denge modeli kurmuştur. Dorfman, doğrusal programlamayı firma teorisine

uygulamıştır. Samuelson, Solow, Gale ve daha birçok iktisatçı ve matematikçi doğrusal

programlama tekniğini tanıtmaya ve geliştirmeye çalışmışlardır (Tor 1991).

Doğrusal Programlama Problemi en iyi algoritmalar ve en geniş bilgisayarlarda

çözülmek üzere hazırlanır. Fakat tanımlanan geniş çaplı programlama problemlerinin

çözümü oldukça güçtür. Bu tür problemlerin çözümünde en yaygın olarak kullanılanı “

Simpleks Algoritması ya da Yöntemi” dir. 1984 yılında Neranda Karmarkar,

“Karmarkar Algoritması ya da Yöntemi” olarak anılan yöntemi ortaya atmıştır (Apaydın

2005).

Doğrusal Programlamada geçerli olan varsayımlar aşağıdaki gibi sıralanabilir (Kara

1991):

1. Bölünebilirlik

Problemin karar değişkenleri her türlü reel değer alabiliyorsa, bölünebilirlik özelliği

sağlanıyor demektir.

6

2. Oranlılık

Her bir karar değişkeninin alacağı değerlere göre, bu değişkenden dolayı katkının

oluşumu (amaç) ve kaynakların kullanımı (kısıtlar) belirli (sabit) oranda etkileniyorsa,

oranlılık özelliği söz konusu demektir. Oranlılık özelliği bir anlamada en iyi değeri

araştırılan amacın ve kararı etkileyen kaynakların her bir değişkene göre doğrusal olarak

ifade edilebiliyor olmasıdır.

3. Toplanabilirlik

Karar değişkenlerine verilecek değerlere göre, her birinin sağladığı katkılar toplanıp

toplam katkıyı ve her birinin kullandığı i’nci kaynaklar toplanıp i’inci kaynak

kullanımını veriyorsa ve bu özellik tüm kaynaklar için geçerli ise ele alınan problem

toplanabilirlik özelliği taşıyor demektir. Toplanabilirlik özelliği, katkı oluşumu ve

kaynak kullanımı yönüyle aynı birimlerle ifade edilebilirlik anlamındadır.

4. Belirlilik

Karar probleminin tüm parametrelerinin sayısal değerlerinin biliniyor olmasına belirlilik

özelliği denir. Bu özellik, verilecek kararı etkileyen ancak alabilecekleri değerler karar

vericinin kontrolü dışında oluşan değişkenlerin (parametrelerin), problemin ele alındığı

zamandaki değerlerinin, açıklayıcı ya da kestirim modelleri yardımıyla, belirlenmiş

olması anlamındadır.

2.1.1 Doğrusal Programlama probleminin matematiksel modeli Amaç fonksiyonu en büyükleme biçiminde olan bir doğrusal programlama problemi,

Amaç Fonksiyonu :

1

( )n

j jj

Max f x C x=

=∑ …..…………………………………….(2.1)

Kısıtlar :

∑=

≤n

jijij bxa

1

, mi ,...2,1= …..…………………………………….(2.2)

Negatif Olmama Koşulu :

0≥jx , nj ,...2,1= …..…………………………………….(2.3)

7

olarak tanımlanır (Apaydın 2005).

Burada, ci, bj ve aij (i=1,2,…m; j=1,2,..n) bilinen değişmezler, xj ise karar

değişkenleridir.

Eğer bir xj kümesi (2.2) kısıtlarını sağlarsa çözüm, hem (2.2) hem de (3.2) kısıtını

sağlarsa uygun çözüm adını alır. Amaç fonksiyonunu en iyileyen çözüm ise en iyi

çözüm adını alır. Doğrusal programlamanın amacı en iyi çözümü bulmaktır (Apaydın

2005).

Doğrusal programlamanın farklı biçimleri verilebilir:

1. Standart Biçim

1

1

( ) ( )

, 1,...,

0 , 1,...,

n

j jj

n

ij j ij

j

Max Min f x C x

a x b i m

x j n

=

=

=

= =

≥ =

∑

∑ …………………………….(2.4)

2. Yasal Biçim

1 1

1 1

( ) veya ( )

, 1,..., ,

0 , 1,..., ,

n n

j j j jj j

n n

ij j i ij j ij j

j

Max f x C x Min f x C x

a x b i m a x b

x j n

= =

= =

= =

≤ = ≥

≥ =

∑ ∑

∑ ∑ 0jx ≥

…………………(2.5)

3. Genel Biçim

{ }

1

1

( ) ( )

, = , , 1,...,

0 , 1,...,

n

j jj

n

ij j ij

j

Max Min f x C x

a x b i m

x j n

=

=

=

≤ ≤ =

≥ =

∑

∑ ……………………(2.6)

( )f x z= alındığında genel biçim daha açık olarak

8

{ }{ }

{ }

1 1

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

( ) ...

... , ,

... , ,

... , ,

n n

n n

n n

m m mn n m

Max Min z C x C x

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

= + +

+ + + ≤ = ≥

+ + + ≤ = ≥

+ + + ≤ = ≥

M M

1 2 , , ..., 0nx x x ≥

……………………(2.7)

şeklinde tanımlanır.

Matris simgesi ile

{ }( )

, , b

0

Max Min z Cx

Ax

x

=

≤ = ≥ ≥

.....………………...(2.8)

biçiminde tanımlanır.

Burada,

11 1

1

( ) nij mxn

m mn

a aA a

a a

= =

L

L teknik katsayılar matrisi,

1

2

m

b

bb

b

=

M kaynaklar vektörü veya sağ taraf sabitleri,

1 2( , C ,..., )nC C C= katkı vektörü ya da fiyat vektörü,

1

2

n

x

xX

x

=

M karar değişkenleri vektörüdür.

Matematiksel modelin oluşturulması için aşağıdaki üç sorunun cevaplandırılması

gerekir.

1. Model neyi belirlemek istiyor? Modelin değişkenleri nelerdir?

2. Modellenen sistemdeki değişkenler üzerine hangi kısıtlar konulmalıdır?

3. Olası tüm uygun değişken değerleri arasında en iyi çözümü belirlemek için

sağlanması gereken amaç nedir?

9

Buradan görüldüğü gibi bir matematiksel modelin tanımlanması için karar

değişkenlerinin belirlenmesi, kısıtların ve en iyilenecek amaç fonksiyonunun

oluşturulması önemlidir (Apaydın 2005).

2.1.2 Simpleks Algoritması Simpleks Algoritması, modelin bir başlangıç temel uygun çözümünden başlayarak,

karşı gelen amaç fonksiyonunun değerini de göz önüne alıp, ardışık sayısal işlemlerle en

iyi çözümü araştıran bir yaklaşımdır. Algoritmayla, uygun çözüm alanının bir uç

noktasından başlanarak, amaç fonksiyonunu istenen yöne götüren uç noktalar göz önüne

alınıp, komşu bir uç noktaya geçilmektedir. Böylece modelin tüm uç noktaları işleme

girmediğinden, yoğun işlem yükünden kurtulunmaktadır. Simpleks Algoritması, tek bir

noktada en iyi çözüm, birden fazla uç noktada seçenek çözüm, sınırsız çözüm ve uygun

çözüm alanı boş gibi karşılaşılabilir tüm durumlara da cevap vermektedir (Kara 1991).

=

0

Min z Cx

Ax b

x

= ≥

olarak verilen Doğrusal Programlama problemi için Simpleks Algoritmasında izlenen

adımlar aşağıdaki şekilde verilebilir (Apaydın 2005).

Adım I: Bir başlangıç uygun çözümü veren B temeli seçilir. Temel özellikleri sağladığı

için genellikle birim matris (I) temel matris olarak alınır.

Adım II: 1 , 0 ve B N B BX B b X z C X−= = = hesplanır.

Adım III: Adım II de bulunan z değerinin en küçük olup olmadığının testi için temel

olmayan değişkenlere ilişkin ( )j jz C− ’ler hesaplanır.

{ }( ), ( ) 0k k j j j jz C Mak z C z C− = − − > ölçütünü sağlayan hiçbir değişken

yoksa yani tüm ( ) 0j jz C− ≤ ise son bulunan çözüm en iyi çöüzmdür. Diğer

durumda dördüncü adıma geçilir.

10

Adım IV: k kz C− ya ilişkin k’ ncı vektör temele alınır ve

1k ky B a−= hesaplanır.

Eğer bütün 0ky ≤ ise en iyi çözüm, sınırlanmamış ya da sınısızdır denir. Eğer

y>0 ise beşinci adıma geçilir.

Adım V: Temelden çıkacak olan değişken

, 0BiBrik

rk ik

XXMin y

Y Y

= >

ölçütü ile belirlenir ve temelin r’inci kolonu

temelden çıkarılır.

Adım VI : Beşinci adımda bulunan temelin r’inci vektörü çıkarılır, temel dışındaki ak

vektörü dolayısıyla xk değişkeni temele alınır. Bu şekilde yeni temel

oluşturulur. Bu temelin vereceği uygun çözüm ve z’nin hesaplanması için

ikinci adıma dönülür.

En büyükleme probleminin Simpleks yöntem ile çözümünde de yukarıda verilen

adımlar uygulanır. Ancak temele girecek vektör seçiminde

{ }( ), ( ) 0k k j j j jz C Min z C z C− = − − < ölçütü kullanılır ve tüm temel olmayan

değişkenlere ilişkin

( ) 0j jz C− ≥ ise en iyi çözüme ulaşılır.

Simpleks Algoritması ve örnek çalışmalar (Kara 1991), (Rao 1996) ve (Apaydın 2005)

da ayrıntılı bir şekilde yer almaktadır.

2.2 Dualite Her maksimizasyon modeline karşılık gelen bir minimizasyon modeli vardır ve bu

modellerin her ikisinin de amaç fonksiyonlarının en iyi değerleri eşittir. Aynı şekilde,

her minimizasyon modeline karşılık gelen bir maksimizasyon modeli vardır ve bunların

da amaç fonksiyonlarının en iyi değerleri eşittir. İlk ele alınan modele primal model

(kısaca primal), buna karşılık gelen modele ise dual model (kısaca dual) denir. (Çakanal

2008)

11

Primal Problem:

1

1

1,2,... 1, 2,...

0

n

j jj

n

ij j ij

j

Maksimum z C x

Kısıtlayıcılar a x b i m j n

ve x

=

=

=

≤ = =

≥

∑

∑ .....………………...(2.9)

Dual Problem:

1

1

1,2,... 1, 2,...

0

m

i ii

m

ij i ji

i

Minimum w b y

Kısıtlayıcılar a y C i m j n

ve y

=

=

=

≥ = =

≥

∑

∑ .....……………….(2.10)

y1,y2,….yn dual değişkenlerdir.

2.3 Doğrusal Programlama Problemlerinin Bilgisayarda Çözülmesi Doğrusal Programlama yönteminin kullanışlılığı, bilgisayar yazılımlarındaki gelişmeler

ile daha da artmıştır ( Alan ve Yeşilyurt 2004). Değişken sayısı az ise simpleks yöntemi

ile elle çözüm yapılabilir. Ancak değişken sayısının fazla olduğu durumlarda elle çözüm

güç olmaktadır. Doğrusal Programlama problemleri Lindo, Gino, WinQSB, MATLAB

vb. bilgisayar programları ile çözülebildiği gibi, Microsof Excel’de de

çözülebilmektedir. Windows’un çok yaygınlaşmış olması, ofis uygulama

programlarının hemen herkesçe kullanılabilmesi, bu problemlerin Excel’de çözümünü

önemli kılmaktadır (Alan ve Yeşilyurt 2004). Ancak Microsoft Excel değişken sayısının

fazla olduğu problemlerde yetersiz kalmaktadır. Ulaştırma modelleri doğrusal

programlamanın özel bir durumu olduğundan ulaştırma problemleri değiştirilmiş

doğrusal programlama algoritmaları ile de çözülebilir.

Bir ulaştırma probleminin Doğrusal Programlama problemi olarak çözülebilmesi için

amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı fonksiyonların değişkenler cinsinden ifade edilebilmesi

gerekmektedir. Model için tanımlamalar yapıldıktan sonra bu amaç için hazırlanmış

yazılımlar kullanılarak çözüme ulaşılabilir.

12

Lingo, Lindo Systems Inc. Şirketi tarafından üretilmiş, doğrusal, tamsayılı ve doğrusal

olmayan matematiksel modelleri çözebilen, duyarlılık analizi yapan bir en iyileme

yazılımı ve modelleme dilidir. Daha önce Dos ortamında kullanılan Lindo ve Gino

yazılımlarının bir araya getirilmesi ve yeni özellikler eklenmesiyle oluşturulmuştur. En

önemli iki yenilik, Lingo’nun bir modelleme dili olarak tasarlanması ve Windows

ortamında çalışmasıdır (Sipahioğlu ve Saraç 2003).

WinQSB veya QSB, yönetim bilimleri karar destek çatısı altında ele alınan ve

uygulamada sıklıkla kullanılan, farklı nicel karar alma tekniklerini içeren bir yazılımdır

(Aksoy 1999).

MATLAB doğrusal programlama problemlerinin çözümünde de kullanılan bir

programdır. Optimization Toolbox da yer alan “linprog” komutuyla çözüm

yapılmaktadır.

13

3. ULAŞTIRMA PROBLEMLERİ VE ULAŞTIRMA MODELİ Ulaştırma Modeli, üretim merkezlerinden farklı depolara veya tüketim merkezlerine

ürün dağıtımını içeren problemlere çözüm sunan bir modeldir. Modelin amacı, gerekli

dağıtımlar için en ekonomik dağıtım yollarının seçilmesidir (Kabak 2000). Ulaştırma

modeline ilişkin ilk çalışmalar Kantorovich tarafından yapılmış, Hitchcook tarafından

uygulanmıştır (Işık ve Ertuğrul 2008)

3.1 Ulaştırma Probleminin Matematiksel Modeli

Doğrusal Programlamanın özel bir türü olan ulaştırma modellerinde de Doğrusal

Programlama varsayımları geçerlidir (Aksoy 1999).

Ulaştırma Modeline Özgü Varsayımlar

Doğrusal programlamanın genel varsayımlarının yanında ulaştırma modelinin

kurulabilmesi için bazı özel varsayımların kabul edilmesi gerekir (Aksoy 1999,

Kotaman 1998, Kabak 2000, Çakanel 2008).

1. Bütün faaliyet düzeylerinin aynı mal birimi ile ifade edilmesi yani dağıtılacak

malın homojen olması gerekir.

2. Gönderilen malların doğrudan doğruya üretim merkezlerinden tüketim

merkezlerine gönderilmesi yani istem ve sunum merkezleri arasında nakil yapılmaması

gerekir.

3. Üretim merkezinden toplam olarak gönderilecek miktar, istem merkezlerinin

toplam istem miktarına eşit olmalıdır. Eşitsizlik durumunda kukla bir üretim ya da

tüketim merkezi ilave etmek suretiyle eşitlik sağlanmalıdır.

4. Her bir üretim merkezi ile her bir istem merkezi arasında bir birim malın taşıma

maliyeti bilinmelidir ve birim taşıma maliyeti sabit olmalıdır.

5. Ulaştırma modelinin kısıtlayıcı fonksiyonları içinde yer alan karar

değişkenlerinin katsayılarının bir ya da sıfır olması veya buna indirgenmesi gerekir.

14

Kurulan bütün modeller gibi ulaştırma modellerinin de matematiksel olarak ifade

edilmesi gerekmektedir.

Genel ulaştırma modeli aşağıdaki gibi tanımlanır (Kara 1991).

Amaç Fonksiyonu:

1 1

m n

ij iji j

Min z C x= =

=∑∑ ……...…………………………………(3.1)

Kısıtlayıcılar:

a. Sunum Kısıtı:

1

n

ij ij

x a=

≤∑ i=1,2,..m ……...…………………………………(3.2)

Sunum kısıtı üretim merkezine ilişkin toplam kapasiteyi gösterir.

b. İstem Kısıtları:

m

ij ji 1

x b=

≤∑ j=1,2,..n ……...…………………………………(3.3)

İstem kısıtı istem merkezine ilişkin toplam istemi gösterir.

c. Negatif Olmama Koşulu :

0≥ijx ……...…………………………………(3.4)

i=1,2,3..m ve j=1,2,3..n

Modelin uygun çözümü olması için toplam sunumun toplam isteme eşit veya büyük

olması gerekir.

∑∑==

≥n

jj

m

ii ba

11

……...…………………………………(3.5)

15

m sunum merkezli n istem merkezli ulaştırma probleminin grafiksel gösterimi Şekil 3.1

de verildiği gibidir (Özkal 2003).

Şekil 3.1 m üretim (sunum) merkezli n tüketim (istem) merkezli ulaştırma probleminin grafiksel gösterimi

m : Ulaştırma probleminde mevcut üretim merkezi sayısı,

n : Ulaştırma probleminde mevcut tüketim merkezi sayısı,

Cij : i. sunum merkezinden j. istem merkezine bir birim ürünün taşıma maliyeti

ai : Sunum merkezi kapasitesi

bj : İstem merkezi kapasitesi

xij : Karar değişkeni, i. sunum merkezinden j. istem merkezine taşınacak ürün

miktarı

i=1,2,3…m; j=1,2,3…n

Ulaştırma problemlerinin standart gösterimi ulaştırma tablosu ile olur. Çizelge 3.1

ulaştırma tablosunun genel yapısını göstermektedir (Winston 1994).

Tabloda m satır ve n kolon bulunduğundan dolayı tabloda mxn sayıda göze vardır.

Sunum Miktarı Sunum Merkezleri İstem Merkezleri İstem Miktarı

S1

Sm Dn

D2

D1

S2

a1

a2

am

b1

b2

bn

Ci,j ; xi,j

16

Çizelge 3.1 Ulaştırma tablosu genel yapısı

Çizelge 3.1’ de tabloda bulunan her özel kutucuğa göze veya hücre adı verilir. Her göze

i. Sunum merkezinden j. istem merkezine ulaştırılacak xi,j miktarına ve Ci,j birim taşıma

maliyetine sahiptir (Kotaman 1998).

Modelin uygun çözümü olması için toplam sunumun, toplam isteme eşit veya büyük

olması gerekir.

3.2 Dengeli ve Dengesiz Ulaştırma Problemleri Standart ulaştırma problemlerinde üretim merkezlerince sağlanan toplam sunum miktarı

ile tüketim merkezlerinin toplam istem miktarına eşit olduğu kabul edilir. Bu şekilde

olan ulaştırma problemlerine Dengeli Ulaştırma Problemi denir (Kabak 2000).

Her zaman istem miktarı ile sunum miktarı birbirine eşit olmayabilir. İstem ve sunum

miktarları eşit değilse problem Dengesiz Ulaştırma Problemi adını alır. Problemin

İSTEM MERKEZLERİ

1 2 ……. n

TOPLAM SUNUM

SUNUM M

ERKEZLERİ

1 C1,1 C1,2 C1,n a1 x1,1 x1,2 x1,n

2 C21 C2,2 C2,n b2 x2,1 x2,2 x2,n

…

…

…

…

…

m Cm,1 Cm,2 Cm,n

am xm,1 xm,2 xm,n

TOPLAM İSTEM b1 b2

……. bn

∑ai ∑bj

17

çözümünün olabilmesi için dengeli hale getirmek gerekir. Bunun için probleme kukla

istem ya da istem merkezi ilave edilir.

i. Toplam sunum miktarının toplam istem miktarından büyük olduğu durumlar

Toplam sunum miktarı toplam istem miktarından fazla ise, fazla olan miktarın tüketimi

için bir kukla istem merkezi yaratılır. Gerçekte kukla istem merkezine ürün

gönderilmeyeceği için birim taşıma maliyeti sıfıra eşittir. Eğer sunum merkezinden

kukla istem merkezine gönderilen ürün varsa bu sunum merkezindeki atıl kapasiteyi

gösterir. Kukla istem merkezi için tablonun sonuna bir kolon ilave edilir (Kabak 2000).

ii. Toplam sunum miktarının toplam istem miktarından küçük olduğu durumlar

Eğer toplam sunum miktarı toplam istem miktarından az ise aradaki farkın sözde

üretilebilmesi için modele bir kukla sunum merkezi ilave edilir. Gerçekte hiçbir istem

merkezi kukla sunum merkezinden ürün almaz ve taşıma maliyeti sıfırdır. Kukla sunum

merkezi satırındaki karar değişkenlerinin değeri değerlendirilmeyen pazar payı miktarı

olarak yorumlanır. Kukla sunum merkezi için tablonun sonuna bir satır ilave edilir

(Kabak 2000).

18

3.3 Ulaştırma Probleminin Çözüm Algoritması Ulaştırma Problemlerinde çözüme ulaşmak için uygulanan algoritma Şekil 3.2 de verilmiştir (Kabak 2000).

Şekil 3.2 Ulaştırma probleminin çözüm algoritması

Probleme ait verilerin hazırlanması ve

ulaştırma tablosunun oluşturulması

Başlangıç çözümün

bulunması

Çözüm en iyi çözüm mü ?

Problem çözülmüştür.

Yeni temel uygun çözümün bulunması

Evet

Hayır

19

3.4 Ulaştırma Probleminin Başlangıç Çözüm Yöntemleri Simpleks Algoritması doğrusal programlama problemlerinin çözümünde

uygulanabilmesine rağmen, ulaştırma problemlerine daha kolaylıkla uygulanabilen bazı

yöntemler vardır (Kabak 2000).

3.4.1 Kuzeybatı Köşe Yöntemi Kabak (2000)’a göre yöntem Dantzig tarafından önerilmiş, Charnes ve Cooper

tarafından geliştirilmiştir.

Çözüm için uygulanan adımlar şöyledir (Winston 2004).

1. Ulaştırma tablosunun sol üst köşesindeki x1,1 gözesine sunum ve istem miktarları

içerisindeki en küçük miktar tahsis edilir.

2. x1,1 gözesine yapılan tahsisle birinci sunum merkezinin sunumu kullanılmış ancak

birinci istem merkezinin istem miktarı karşılanmamış ise (x1,1=a1) ilk kolonda aşağıya

doğru inilerek karşılaşılan gözeye istem ve sunum kısıtları içerisinde en küçük miktar

tahsis edilir.

3. x1,1 gözesine yapılan tahsisle birinci istem merkezinin istem miktarı karşılanmış

ancak birinci sunum merkezinin sunumu tamamlanmamış ise (x1,1=b1) birinci kolon

işlemden çıkarılır sağa doğru ilerlenerek karşılaşılan gözeye istem ve sunum kısıtları

içerisinde en küçük miktar tahsis edilir.

4. x1,1 gözesine yapılan tahsisle birinci sunum merkezinin sunum miktarı kullanılmış

ve birinci istem merkezinin talebi karşılanmış ise (x1,1=a1=b1) birinci satır ve birinci

kolon işlemden çıkarılır. Gözenin sağ altındaki gözeye geçilerek işlemler devam ettirilir.

Kuzeybatı Köşesi Yöntemi uygulanması basit fakat verdiği başlangıç çözümü en iyiye

yakın olmayan bir yöntemdir (Kabak 2000).

20

3.4.2 En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi Yöntemin üç yaklaşımı mevcuttur.

1. Satır Yaklaşımı

Ulaştırma tablosunda ilk satırın en düşük maliyetli gözesine sunum ve istem miktarları

içerisinden en küçük miktar kadar tahsis yapılır. Yapılan bu tahsisle istem miktarı

karşılanmış ancak sunum miktarının tamamı kullanılmamış ise aynı satırda ikinci

maliyetli gözeye sunum ve istem miktarlarına dikkat edilerek tahsis yapılır. Sunum

miktarı tükenene kadar aynı işlemlere devam edilir. Sunum miktarı tükenince alt satıra

geçilir.

2. Kolon Yaklaşımı

Ulaştırma tablosundaki ilk kolonun en düşük maliyetli gözesine sunum ve istem

miktarları içerisinden en küçük miktar kadar tahsis yapılır. Yapılan bu tahsisle istem

miktarı karşılanmamış ise ikinci maliyetli gözeye sunum ve istem miktarları dikkate

alınarak tahsis yapılır. İstem miktarı karşılandıysa sağdaki kolona geçilerek aynı

işlemlere devam edilir.

3. Genel Yaklaşım

Genel yaklaşımda en düşük maliyetli göze seçilirken tablonun tamamı dikkate alınır.

Tablodaki en düşük maliyetli gözeye bu gözenin bulunduğu sunum ve istem miktarları

içerisinden büyük miktarda tahsis yapılır. Daha sonra tablo sırasıyla diğer düşük

maliyetli gözelere sunum ve istem miktarları dikkate alınarak tahsis yapılır.

3.4.3 Vogel’in Yaklaşım Yöntemi VAM kısaltması ile gösterilen Vogel’in Yaklaşım Yöntemi nde başlangıç çözümüne

kuzeybatı köşe ve en düşük maliyetli gözeler yöntemi kadar kolay ulaşılamaz. Ancak

çözüm en iyiye oldukça yakındır (Kabak 2000).

21

VAM Yönteminin kullanımında şu adımlar izlenir (Kara 1991, Winston 1994).

1. Ulaştırma tablosunun her bir satır ve kolonu için ayrı ayrı en düşük maliyetli iki

göze belirlenir.

2. Küçük olan gözenin maliyet değeri büyük olan gözenin maliyet değerinden

çıkarılır. Her satır ve kolon için hesaplanan bu değerler, tabloya eklenen satır ve

kolonlara yazılır. Bunlar pişmanlık(ceza) değerleridir.

3. İlave satır ve kolondaki en büyük pişmanlık değerleri (en kötü ceza) belirlenir.

Bu belirlenen pişmanlık değelerinin karşısındaki satır veya kolon da yer alan en küçük

maliyetli gözeye istem ve sunum kısıtları içerisinden en küçük miktar kadar dağıtım

yapılır. İstemi karşılanan kolon veya sunumu tükenen satır tablodan çıkarılır.

4. Geriye kalan satır ve kolonlar için 1,2 ve 3. adımlardaki işlemler satır ve kolon

sayısı bire inene kadar tekrar edilir. Son satır veya kolonda en düşük maliyetli gözeden

başlayarak dağıtım yapılır ve başlangıç çözümü elde edilir.

Satır ve kolonların pişmanlık değerleri hesaplanırken birden fazla en büyük pişmanlık

ortaya çıkabilir. Bu durumda çözüme daha çabuk ulaşmak için şu kurallar

uygulanmalıdır (Kabak 2000).

1. En büyük pişmanlık bir satır ve bir kolonda aynı anda varsa ve bunların kesiştiği

göze en düşük maliyetli ise dağıtım bu gözeye yapılır. Kesişim gözesi en düşük

maliyetli değilse söz konusu satır ve kolondan maliyeti en düşük olan gözeye dağıtım

yapılır.

2. En büyük pişmanlık birden fazla satırda veya birden fazla kolonda varsa, satırlar

veya kolonlar içinden en büyük istem ya da sunum miktarlı olan seçilir.

Bu çalışma kapsamında incelenmeyen Russel’in Yaklaşım Yöntemi de başlangıç çözüm

yöntemleri arasında yer almaktadır.

22

3.5 En İyi Çözümün Bulunması İçin Geliştirilen Yöntemler Ulaştırma problemlerinden başlangıç çözüm yöntemi elde edildikten sonra bulunan

çözümün en iyi olup olmadığının kontrolünün yapılması gerekmektedir.

Çözümde m+n-1 gözeye tahsis yapılmışsa, yani çözüm temel uygun çözüm ise ve

yapılan tahsisler bağımsız pozisyon oluşturuyorsa, m adet sunum merkezli ve n adet

istem merkezli mxn boyutlu bir ulaştırma probleminin herhangi bir uygun çözümüne en

iyi çözümü bulma testi uygulanabilir (Aksoy 1999).

Ulaştırma probleminin başlangıç çözümleri içerisinde en iyi olanını bulabilmek için

geliştirilen yöntemler vardır. Bir uygun çözüm bulunduktan sonra bu çözümün vereceği

maliyetin en iyi olup olmadığının araştırması yapılır. Bu yapılırken de amaç

fonksiyonunun değerindeki potansiyel iyileşme için temel olmayan değişkenlerin

denenmesi gerekmektedir. Böylelikle temel olmayan değişkenler temel değişken haline

getirilerek amaç fonksiyonundaki değişmeye bakılır. Temele girecek değişkenin

bulunabilmesi için başlangıç çözümünde kullanılmamış olan gözelerden hareket edilir

(Aksoy 1999).

En iyi çözümü bulma testini yapmak için geliştirilen iki yöntem vardır:

i. Atlama Taşı Yöntemi

ii. MODİ Yöntemi

3.5.1 Atlama Taşı Yöntemi Atlama taşı yöntemi, başlangıç çözümdeki boş bir gözeye dağıtım yapıldığında toplam

maliyetin ne şekilde değişeceğini hesaplamakta kullanılır. Hangi temel olmayan

değişkenlerin temel hale getirileceğini belirlemek için, boş hücreye bir birimlik ayrım

yapıldığında maliyetteki net değişme veya test miktarı (di,j) hesaplanır. Bu maliyete gizli

maliyet de denir. Hesaplama yapılırken izlenen adımlar şöyledir (Kabak 2000).

23

1. Gizli maliyeti hesaplanacak boş göze belirlenir.

2. Gizli maliyeti hesaplanacak gözeden başlayıp sadece yatay ve dikey ilerleyebilen,

dolu gözelerde 90 derecelik dönüşler yapabilen sonunda tekrar aynı boş gözeye gelen

çevrimler yazılır.

3. İşlem yapılırken seçilen boş gözenin maliyeti önüne (+) dönüş yapılan dolu

gözelerin maliyetlerinin önüne sırasıyla (-),(+),(-) işaretleri konulur.

4. Çevrime giren gözelere ait maliyetler (Ci,j) işaretleri dikkate alınarak toplanır. Bu

işlem boş gözenin gizli maliyetini (di,j) verir. Gizli maliyet üç durumda olabilir.

i. di,j>0 ise, boş gözenin doldurulması toplam maliyeti artırır, boş gözenin boş

kalmasına karar verilir.

ii. di,j<0 ise, boş gözenin doldurulması toplam maliyeti azaltacağından boş gözenin

dolu hale getirilmesi gerekmektedir. Boş gözeye dağıtım yapıldığında, o gözenin

bulunduğu satır ve kolon miktarının aynı kalması gerekir. En uygun miktar, gizli

maliyet hesaplanırken çevrim içerisindeki negatif işaretlenen gözelerdeki en küçük

miktarıdır. Bu miktar çevrim maliyetlerine (+) işaret konulan gözelere ilave edilir,

maliyetlerine (-) konulan gözelerde eksiltilir. Böylece satır ve kolon toplam

miktarlarının değişmemesi sağlanmış olur.

iii. di,j=0 ise, boş gözeye ürün dağıtımı yapılması maliyeti değiştirmeyecektir. Fakat bu

durum dağıtım planı için alternatifler olduğunu gösterir.

5. Her boş gözenin gizli maliyeti hesaplanmalıdır. Eğer bütün gizli maliyetler (di,j)

sıfıra eşit veya büyükse çözüm, en iyi çözümdür. Kaç tane di,j değeri sıfıra eşitse, o

kadar alternatif dağıtım planı vardır. Bu planlarda maliyetler eşittir.

6. Eğer gizli maliyetlerden (di,j) sıfırdan küçük olan varsa; dağıtım yapılacak göze

negatif maliyetlilerden mutlak değerce en büyük maliyete sahip gözedir.

7. Bu gözeye dağıtım yapıldıktan sonra, yeni tabloda oluşan boş gözelerin gizli

maliyetleri hesaplanır. İşlemler boş gözelerin tamamının gizli maliyetleri sıfır veya daha

büyük olana kadar devam ettirilir. Eğer alternatif dağıtım planları da bulunacaksa, gizli

maliyeti sıfır olan gözelere de aynı işlemler yapılır. Bu durumda ulaşılan çözüm en iyi

çözüm, maliyet de en düşük maliyet olur.

24

3.5.2 MODİ Yöntemi Basitleştirilmiş Dağıtım Yöntemi ya da Çoğaltan Yöntemi olarak da bilinen MODİ

yönteminde boş gözelerin gizli maliyetleri çevrim yapılmadan hesaplanır. Atlama taşı

yönteminde yolların saptanması ve izlenmesi yorucudur. MODİ yönteminin işlem sayısı

daha az ve çok daha basittir (Kabak 2000).

MODİ yöntemi doğrusal programlamadaki dual problemin çözümünden hareket eder.

Problem dengelenmiş kabul edildiğinden, dengelenmemiş problem söz konusu değildir.

Ulaştırma modelinin genel formülünü primal model olarak düşünülürse duali aşağıdaki

gibi olur:

Primal Model:

1. Amaç Fonksiyonu:

1 1

m n

Min ij iji j

z C x= =

=∑∑ ……...…………………………………(3.6)

2. Kısıtlayıcı Fonksiyonlar:

a. Sunum Kısıtları:

1

n

ij ij

x a=

=∑ i=1,2,3…m ……...…………………………………(3.7)

b. İstem Kısıtları:

1

m

ij ji

x b=

=∑ j=1,2,3…,n ……...…………………………………(3.8)

1

n

ij ij

x a=

=∑ =1

m

ij iji

x b=

=∑ ……...…………………………………(3.9)

c. Negatif Olmama Koşulu:

0≥ijx i=1,2,3…,m ……...………………………………..(3.10)

j=1,2,3…,n

25

Dual Model:

1. Amaç Fonksiyonu:

1 1

m n

i i j ji j

Mak Y aU b V= =

= +∑ ∑ ...…………………………………(3.11)

2. Kısıtlayıcı Fonksiyonlar:

ijji CVU ≤+ i=1,2,3…,m ..…………………………………(3.12)

j=1,2,3…,n

3. Ui ve Vj değişkenleri pozitif veya negatif değerler alabilir.

Primal modelde (m+n) tane kısıtlayıcı fonksiyon olduğundan dual modelde (m+n) tane

değişken olacaktır. Dual modeldeki değişkenlerden Ui ler sunum kısıtlayıcılarına, Vj ler

istem kısıtlayıcılarına karşılıktır. Ayrıca dual ulaştırma modelinde m adet sıra ve n adet

kolon olduğuna göre (m+n) adet denklem var demektir. Fakat bu denklemlerden

(m+n-1) kadar bilinerek bir çözüme ulaşılabileceğinden Ui veya Vj lerden birinin değeri

sıfır kabul edilir. Genelde U1=0 kabul edilir.

Daha sonra dolu gözeler için gösterge değerleri (Ui ve Vj)

ijji CVU =+ denklemi yardımıyla hesaplanır.

Boş gözelerin gizli maliyetleri (dij) de

ijjiij CVUd −+= bağıntısı ile hesaplanır.

MODİ Yönteminde çözüme ulaşmak için izlenecek adımlar şöyledir:

1. Başlangıç çözüm yöntemlerinden biriyle çözülmüş problemin dağıtım planı

ulaştırma tablosunda gösterilir.

2. Ui veya Vj değerlerinden birisi sıfıra eşit kabul edilerek (genelde U1=0) dağıtım

yapılmış dolu gözeler için jiji CVU ,=+ denklemiyle Ui ve Vj değerleri hesaplanır.

3. Boş gözelerin gizli maliyetleri (dij), jijiij CVUd ,−+= bağıntısıyla bulunur.

4. Bütün boş gözelerin gizli maliyetleri sıfıra eşit veya sıfırdan küçük ise (dij≤0)

mevcut çözüm en iyidir. Eğer boş gözelerden birinin gizli maliyeti pozitif ise bu gözeye

26

ürün dağıtımı yapılarak maliyet azaltılabilir. Eğer birden fazla boş gözenin gizli maliyeti

pozitif ise tahsis en büyük pozitif değerli gözeye yapılır.

5. Dağıtım yapılacak göze belirlendikten sonra, atlama taşı yönteminde olduğu gibi bu

gözeden başlayan kapalı bir çevrim oluşturulur.

6. Dağıtım yapılacak boş gözeye (+) diğer dolu gözelere sırasıyla (-),(+),(-) değerler

verilir. Hareketler yatay ve dikey doğrultuda dolu gözelerde 90 derece ile

dönebilmelidir.

7. Boş gözeye dağıtım yapılacak miktar çevrimde negatif işaretlenen gözelerden en az

miktarlı gözenin değeridir. Çevrimdeki işaretlere göre artırma ve azaltma işlemi yapılır.

Sunum ve istem miktarlarının aynı kalmasına dikkat edilir.

8. Boş gözelerin tamamının gizli maliyetleri sıfır veya sıfırdan küçük olana kadar

işlemler devam ettirilir. Koşul sağlandığında dağıtım planı en iyidir (Kabak 2000).

27

3.6 Örnek Ulaştırma Problemi ve Çözüm Algoritmasının Uygulanması A, B ve C fabrikaları D1, D2, D3, D4 pazarlarına mal göndermektedir. Fabrikaların

gönderebileceği mal miktarları, pazarların tahmin edilen istem miktarları ve taşıma

maliyetleri çizelge 3.2’de verilmiştir.

Çizelge 3.2 Örnek problemin ulaştırma tablosu

D1 D2 D3 D4 SUNUM MİKTARI

A X11 15 X12 18 X13 12 X14 13

200

B X21 10 X22 10 X23 11 X23 9

300

C X31 8 X32 5 X33 7 X33 8

450

İSTEM MİKTARI

250 100 225 325 950

900

Toplam İstem miktarı ile toplam sunum miktarı birbirine eşit olmadığından problem

Dengesiz ulaştırma problemi dir. Problemi çözebilmek için tabloya Kukla İstem

Merkezi ilave etmek gerekir.

Yeni oluşturulan ulaştırma tablosu çizelge 3.3’de verilmiştir.

28

Çizelge 3.3 Örnek problemin yeni oluşturulan ulaştırma tablosu

D1 D2 D3 D4 D5 SUNUM MİKTARI

A x1,1 15 x1,2 18 x1,3 12 x1,4 13 x1,5 0

200

B x2,1 10 x2,2 10 x2,3 11 x2,4 9 x2,5 0

300

C x3,1 8 x3,2 5 x3,3 7 x3,4 8 x3,5 0

450

İSTEM MİKTARI

250 100 225 325 50 950

950

Çizelge 3.3’deki tabloya kukla istem merkezi ilave edip problemi dengeli hale

getirdikten sonra problemin çözümüne başlanabilir.

1. Kuzey Batı Köşesi Yöntemi ile Başlangıç Çözümü:

Ulaştırma tablosunun x1,1 gözesine 200 birimlik ürün (sunum ve istem miktarları

içindeki en küçük miktar) tahsis edilir. Yapılan bu tahsis ile A fabrikasının sunumu

bitmiş olur. Bu durumda tabloda aşağı doğru ilerlenerek x2,1 gözesine 50 birimlik ürün

tahsis edilir. Yapılan bu tahsis ile D1 pazarının istem miktarı karşılanmış olur. Bu

durumda bir sağa doğru ilerlenir. x2,2 gözesine 100 birimlik (sunum ve istem miktarları

içindeki en küçük miktar) ürün tahsis edilir. Böylece D2 pazarının istem miktarı

karşılanmış olur. Ancak hala B fabrikasının sunumu bitmemiştir. Tabloda sağa doğru

ilerlenir. x2,3 gözesine 150 birimlik ürün tahsis edilir. Böylece B fabrikasının

sunabileceği ürün bitmiş olur. Bu durumda bir alt sıraya geçilir ve x3,3 gözesine 75

birimlik ürün tahsis edilerek D3 pazarının istem miktarı karşılanmış olur. Tabloda sağa

doğru ilerlenerek D4 pazarının istem miktarı olan 325 birimlik ürün C fabrikasından

karşılanarak x3,4 gözesine tahsis yapılır. Bütün istem merkezlerinin istemleri karşılanmış

olur. Ancak sunum merkezi olan fabrikalardan C fabrikasının sunabileceği 50 birimlik

ürün miktarı da kukla istem merkezi olan D5 pazarına tahsis edilir. Yapılan tahsislerle

çizelge 3.4 oluşturulur.

29

Çizelge 3.4 Kuzey Batı Köşe Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı

D1 D2 D3 D4 D5 SUNUM MİKTARI

A x1,1 15 x1,2 18 x1,3 12 x1,4 13 x1,5 0

200 200

B x2,1 10 x2,2 10 x2,3 11 x2,4 9 x2,5 0

300 50 100 150

C x3,1 8 x3,2 5 x3,3 7 x3,4 8 x3,5 0

450 75 325 50

İSTEM MİKTARI

250 100 225 325 50 950

950

Çizelge 3.4 incelendiğinde ulaştırma problemi için toplam taşıma maliyeti: 200*15 +

50*10+100*10+150*11+75*7+325*8+50*0=9.275 olarak bulunmuştur.

Başlangıç temel uygun çözüm

x1,1=200 , x2,1=50 , x2,2=100 , x2,3=150 , x3,3=75 , x3,4=325, x3,5=50 şeklindedir.

2. En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi (Genel Yaklaşım ile Başlangıç Çözümü):

Tablonun geneli düşünülerek en düşük taşıma maliyeti olan gözeler x1,5, x2,5 ve x3,5

gözeleridir. En düşük maliyetli gözeler eşit ise herhangi biri seçilir. Burada x1,5 gözesine

50 birimlik ürün (sunum ve istem miktarları içerisindeki en küçük miktar) tahsis edilir.

Yapılan bu tahsisle D5 pazarının talebi karşılanmış olur. Tabloda diğer düşük maliyetli

gözelere istem ve sunum miktarları dikkate alınarak dağıtım yapılır. En düşük maliyet

yöntemi genel yaklaşımına göre dağıtım yapılan gözeler çizelge 3.5’de verilmiştir.

30

Çizelge 3.5 En düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi (Genel Yaklaşım) sonucunda elde edilen dağıtım planı

D1 D2 D3 D4 D5 SUNUM MİKTARI

A x1,1 15 x1,2 18 x1,3 12 x1,4 13 x1,5 0 200 125 25 50

B x2,1 10 x2,2 10 x2,3 11 x2,4 9 x2,5 0 300 300

C x3,1 8 x3,2 5 x3,3 7 x3,4 8 x3,5 0 450 125 100 225

İSTEM MİKTARI

250 100 225 325 50 950

950

Çizelge 3.5 incelendiğinde ulaştırma problemi için toplam taşıma maliyeti:

125*8+125*15+100*5+225*7+25*13+300*9+50*0=7.975 olarak bulunmuştur.

Başlangıç temel uygun çözüm

x1,1=125 , x3,1=125 , x3,2=100 , x3,3=225 , x1,4=25 , x2,4=300, x1,5=50 şeklindedir.

3. Vogel’in Yaklaşım Yöntemi ile Başlangıç Çözümü:

Bu yöntemi uygulamak için pişmanlık (ceza) satır ve kolonları oluşturulur. Bunun için

satır ve kolonlar dikkate alınarak en düşük maliyetli iki göze arasındaki farklar

hesaplanır ve pişmanlık satır ve kolonlara yazılır. Ulaştırma tablosuna ceza satır ve

kolonların ilave edilmesi ile çizelge 3.6 oluşturulur.

Çizelge 3.6 Örnek probleme VAM Yönteminin uygulanması

D1 D2 D3 D4 D5 SUNUM MİKTARI

Satır Pişmanlık

A x1,1 15 x1,2 18 x1,3 12 x1,4 13 x1,5 0 200 12

B x2,1 10 x2,2 10 x2,3 11 x2,4 9 x2,5 0 300 9

C x3,1 8 x3,2 5 x3,3 7 x3,4 8 x3,5 0 450 5

İSTEM MİKTARI

250 100 225 325 50 950

950 Kolon Pişmanlık 2 5 4 1

31

Pişmanlık değerleri içerisinde en büyük değer birinci satırdadır. Bu satırdaki en düşük

maliyetli x1,5 gözesine istem kısıtı dahilinde 50 birimlik ürün tahsis edilir. İstem miktarı

karşılandığından bu kolon işlemden çıkarılır. Bu kolonun işlemden çıkarılması ile

yeniden pişmanlık değerleri hesaplanır. Pişmanlık değeri en yüksek olan Y pazarının

bulunduğu kolonda en düşük maliyetli x3,2 gözesine 100 birimlik ürün tahsis edilir.

Böylece Y pazarının talebinin karşılanması ile ikinci kolon işlemden çıkarılır. İşlemden

satır ve kolon çıkarılması ile pişmanlık değerleri değişeceğinden yeniden pişmanlık

değerleri hesaplanır. En büyük pişmanlık değerine sahip satır veya kolonun içerisinde

en düşük maliyetli gözeye istem ve sunum kısıtları dahilinde ürün tahsisi yapılarak

başlangıç çözümü elde edilir. Dağıtımlardan sonra çizelge 3.7 oluşmuştur.

Çizelge 3.7 Örnek problem için VAM Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı

D1 D2 D3 D4 D5 SUNUM MİKTARI

A x1,1 15 x1,2 18 x1,3 12 x1,4 13 x1,5 0 200 150 50

B x2,1 10 x2,2 10 x2,3 11 x2,4 9 x2,5 0 300 125 175

C x3,1 8 x3,2 5 x3,3 7 x3,4 8 x3,5 0 450 125 100 225

İSTEM MİKTARI

250 100 225 325 50 950

950

Çizelge 3.7 incelendiğinde ulaştırma problemi için toplam taşıma

maliyeti:125*8+125*10+100*5+225*7+150*13+175*9+50*0=7.850 olarak

bulunmuştur.

Başlangıç temel uygun çözüm

x2,1=125 , x3,1=125 , x3,2=100, x3,3=225 , x1,4=150 , x2,4=175, x1,5=50 şeklindedir.

Başlangıç çözüm yöntemlerinde elde edilen toplam taşıma maliyetleri çizelge 3.8’de

verilmiştir.

32

Çizelge 3.8 Örnek problem için başlangıç çözüm yöntemleri sonucunda elde edilen maliyetler

Toplam Taşıma Maliyeti

Kuzey Batı Köşe Yöntemi 9.275

En Düşük Maliyet Yöntemi (Genel Yaklaşım) 7.975

VAM Yöntemi 7.850

Çizelge 3.8’den de anlaşılacağı üzere en düşük toplam taşıma maliyeti VAM

yönteminde elde edilmiştir.

VAM Yöntemine göre bulunan dağıtım planı kullanılarak en iyi çözüm için Atlama

Taşı ve MODİ yöntemleri probleme uygulanmıştır.

1. Atlama Taşı Yöntemine Göre En İyi Çözümü Bulma:

Kesim 3.5.1 de anlatılan adımlar izlenir. Bunun için dağıtım yapılmayan boş gözeler

belirlenir. Gizli maliyeti belirlenecek boş gözeden başlayıp, sadece yatay ve dikey

doğrultularda ilerleyebilen, dolu gözelerde 90 derecelik dönüşler yapılarak sonunda

tekrar aynı boş gözeye gelinecek çevrimler yazılır. Çizelge 3.9’de VAM yöntemine göre

bulunan dağıtım planı kullanılarak boş gözeler için aşağıdaki çevrimler yazılmış ve gizli

maliyetler hesaplanmıştır.

Çizelge 3.9 VAM Yöntemine göre bulunmuş dağıtım planı

D1 D2 D3 D4 D5 SUNUM MİKTARI

A x1,1 15 x1,2 18 x1,3

12 x1,4

13 x1,5 0 200

150 50

B x2,1 10 x2,2 10 x2,3

11 x2,4 9 x2,5 0 300

125 175

C x3,1 8 x3,2 5 x3,3 7 x3,4 8 x3,5 0 450 125 100 225

İSTEM MİKTARI

250 100 225 325 50 950

950

33

113910154,14,21,21,11,1 =−−−=−+−= CCCCd

1,2 1,2 1,4 2,4 2,1 3,1 3,2d C C C C C C 18 13 9 10 8 5 7= − + − − − = − + − + − =

31085101,21,32,32,22,2 =−+−=−+−= CCCCd

1,3 1,3 1,4 2,4 2,1 3,1 3,3d C C C C C C 12 13 9 10 8 7 1= − + − + − = − + − + − = −

21087111,21,33,33,23,2 =−+−=−+−= CCCCd

1810981,31,24,24,34,3 =−+−=−+−= CCCCd

4913004,24,15,15,25,2 =−+−=−+−= CCCCd

3,5 3,5 1,5 1,4 2,4 2,1 3,1d C C C C C C 0 0 13 9 10 8 6= − + − + − = − + − + − =

Hesaplanan gizli maliyet değerleri incelendiğinde x1,3 gözesi için gizli maliyetin negatif

olduğu ve bu gözeye yapılacak bir dağıtım ile maliyetin azaltılabileceği görülmektedir.

Bu gözeye yapılacak dağıtım miktarını belirlemek için yazılan çevrim içerisindeki

negatif işaretlenen gözelerdeki en küçük miktar dikkate alınır. Bu çevrimdeki en küçük

miktar 125 birimdir. x1,3 gözesine 125 birimlik dağıtım yapıldığında x1,4 gözesinden 125

birim azaltılır, x2,4 gözesi 125 birim artırılır, x2,1 gözesi 125 birim azaltılır, x3,1 gözesi

125 birim artırılır ve x3,3 gözesi 125 birim azaltılır. Yeni dağıtım planı çizelge 3.10’de

verilmiştir.

Çizelge 3.10 Örnek problem için bulunan başlangıç çözümüne Atlama Taşı Yönteminin uygulanması sonucunda elde edilen dağıtım planı

D1 D2 D3 D4 D5 SUNUM MİKTARI

A x1,1 15 x1,2 18 x1,3 12 x1,4 13 x1,5 0 200

125 25 50

B x2,1 10 x2,2 10 x2,3 11 x2,4 9 x2,5 0 300

300

C x3,1 8 x3,2 5 x3,3 7 x3,4 8 x3,5 0 450 250 100 100

İSTEM MİKTARI

250 100 225 325 50 950

950

34

Boş gözelerin gizli maliyetleri yeniden hesaplandığında;

28712151,33,33,11,11,1 =−+−=−+−= CCCCd

2,1 2,1 2,4 1,4 1,3 3,3 3,1d C C C C C C 10 9 13 12 7 8 1= − + − + − = − + − + − =

58712182,33,33,12,12,1 =−+−=−+−= CCCCd

2,2 2,2 3,2 3,3 1,3 1,4 2,4d C C C C C C 10 5 7 12 13 9 4= − + − + − = − + − + − =

312139113,14,14,23,23,2 =−+−=−+−= CCCCd

07121383,33,14,14,34,3 =−+−=−+−= CCCCd

4913004,24,15,15,25,2 =−+−=−+−= CCCCd

6810913005,3

1,31,24,24,15,15,35,3

=−+−+−=

−+−+−=

d

CCCCCCd

değerleri bulunur. Bütün değerler pozitif olduğundan dolayı çözüm en iyi çözümdür.

Çizelge 3.10’de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti:

250*8+100*5+125*12+100*7+25*13+300*9+50*0=7.725 olarak bulunmuştur.

En iyi çözüm x3,1=250 , x3,2=100 , x1,3=125, x3,3=100 , x1,4=25 , x2,4=300, x1,5=50

şeklindedir.

2. MODİ Yöntemine göre En İyi Çözümü Bulma:

VAM Yönteminde bulunan dağıtım planı kullanılarak Kesim 3.5.2 de anlatılan adımlar

izlenir. Çizelge 3.9’de verilen dağıtım planında önce dolu gözelerin (temel

değişkenlerin) gösterge değerleri hesaplanır.

35

1,4 1 4

1,5 1 5

2,1 2 1

2,4 2 4 1

3,1 3 1

3,2 3 2

3,3 3 3

13

0

10

9 0

8

5

7

C U V

C U V

C U V

C U V U kabul edilerek

C U V

C U V

C U V

= + = = + = = + =

= + = == + =

= + = = + =

13

11

6

14

4

0

13

3

2

3

1

2

5

4

=

=

−=

=

−=

=

=

V

V

U

V

U

V

V

değerleri bulunur.

Dağıtım tablosundaki boş gözeler (temel olmayan değişkenler) için ise di,j değerleri

hesaplanır.

1151401,1111,1 −=−+=−+= CVUd

7181102,1212,1 −=−+=−+= CVUd

3101142,2222,2 −=−+−=−+= CVUd

1121303,1313,1 =−+=−+= CVUd

2111343,2323,2 −=−+−=−+= CVUd

181364,3434,3 −=−+−=−+= CVUd

40045,2525,2 −=−+−=−+= CVUd

60065,3535,3 −=−+−=−+= CVUd

Çözümün en iyi olabilmesi için bütün değerlerin negatif olması gerekmektedir. Ancak

x1,3 gözesi için hesaplan değer pozitiftir. Bu da x1,3 gözesine yapılacak dağıtım toplam

taşıma maliyetini azaltacak anlamına gelmektedir. Çözüme x1,3 gözesine dağıtım

yaparak başlamak gerekmektedir. x1,3 gözesinden başlayan ve sadece yatay ve dikey

doğrultularda ilerleyebilen, dolu gözelerde 90 derecelik dönüşler yapılarak sonunda

tekrar aynı boş gözeye gelinecek çevrim yazılır. Bu çevrim :

1,3 1,4 2,4 2,1 3,1 3,3x x x x x x− + − + − biçimindedir.

36

x1,3 gözesine yapılacak dağıtım miktarını belirlemek için döngüde negatif işaretlenen

gözelerdeki en küçük değer dikkate alınır. Bu değer 125 birimdir. Çevrimde negatif

işaretlen gözelerden 125 birim azaltılıp pozitif işaretlenen gözeler 125 birim artırılır.

Oluşan yeni dağıtım planı çizelge 3.11’de verilmiştir.

Çizelge 3.11 Örnek problem için bulunan başlangıç çözümüne MODİ Yönteminin uygulanması sonucunda elde edilen dağıtım planı

D1 D2 D3 D4 D5 SUNUM

MİKTARI

A x1,1 15 x1,2 18 x1,3 12 x1,4 13 x1,5 0 200

125 25 50

B x2,1 10 x2,2 10 x2,3 11 x2,4 9 x2,5 0 300

300

C x3,1 8 x3,2 5 x3,3 7 x3,4 8 x3,5 0 450

250 100 100

İSTEM

MİKTARI 250 100 225 325 50

950

950

Yeni oluşan dağıtım planına göre dolu gözelerin gösterge değerleri hesaplanır.

edilerekkabulU

CVU

CVU

CVU

CVU

CVU

CVU

CVU

0

7

5

8

9

0

13

12

1

3,333

2,323

1,313

4,242

5,151

4,141

3,131

=

==+

==+

==+

==+

==+

==+

==+

10

5

13

4

0

13

12

2

3

1

2

5

4

3

=

−=

=

−=

=

=

=

V

U

V

U

V

V

V

değerleri bulunur. Dağıtım tablosundaki boş gözeler için ise di,j değerleri hesaplanır.

37

2151301,1111,1 −=−+=−+= CVUd

8181002,1212,1 −=−+=−+= CVUd

4101042,2222,2 −=−+−=−+= CVUd

1101341,2121,2 −=−+−=−+= CVUd

3111243,2323,2 −=−+−=−+= CVUd

081354,3434,3 =−+−=−+= CVUd

40045,2525,2 −=−+−=−+= CVUd

50055,3535,3 −=−+−=−+= CVUd

Değerler incelendiğinde hepsinin negatif olduğu görülmektedir. Bu durumdan boş

gözelere yapılacak dağıtımın toplam taşıma maliyetini artıracağı ve boş gözelerin boş

kalması gerekmekteği sonucu çıkmaktadır. Elde edilen dağıtım planında bulunan çözüm

“En İyi Çözüm” dür.

Çizelge 3.11’de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti:

250*8+100*5+125*12+100*7+25*13+300*9+50*0=7.725 olarak bulunmuştur.

En iyi çözüm x3,1=250 , x3,2=100 , x1,3=125, x3,3=100 , x1,4=25 , x2,4=300, x1,5=50

şeklindedir.

38

3.7 Ulaştırma Modelinin Diğer Çeşitleri

Standart ulaştırma modelinin geliştirilmesinden bu yana, bazı araştırmacılar tarafından

standart probleme benzer ama küçük farkları olan yeni problemlere uygun modeller ve

çözüm algoritmaları geliştirilmiştir. Standart modelin uzantıları olan ve birkaç noktada

farklılık taşıyan modeller şunlardır (Kotaman 1998, Kabak 2000, Çakanel 2008):

1. Genelleştirilmiş Ulaştırma Problemi

2. Kapasitelendirilmiş Ulaştırma Problemi

3. Karışık Kısıtlı Ulaştırma Problemi

4. Sabit Yüklü Ulaştırma Problemi

5. Tek kaynaklı Ulaştırma Problemi

6. Temel Köşegen Ulaştırma Problemi

7. Tesis Yerleşim Ulaştırma Problemi

8. Zamanı azaltan Ulaştırma Problemi

9. Maliyet/Zaman eğimli Ulaştırma Problemi

10. İki Kriterli Ulaştırma Problemi

11. Çok Amaçlı Ulaştırma Problemi

12. Çok Boyutlu Ulaştırma Problemi

13. Doğrusal olmayan Ulaştırma Problemi

14. Geniş Ölçekli Ulaştırma Problemi

15. Atama Problemi

16. Gezgin (Seyyar) Satıcı Problemi

17. Üretim Programlaması

18. Aktarma Problemi

39

3.8 Ulaştırma Problemleri ile İlgili Ülkemizdeki Örnek Çalışmalar Ülkemizde ulaştırma problemlerine örnek birçok çalışma bulunmaktadır. Bu

çalışmalarda ulaştırma modelleri ile ilgili temel bilgiler kullanılarak birçok işletmenin

dağıtım planı incelenmiş ve mevcut durumları ile karşılaştırmalar yapılmıştır.

Tor (1991), Benzin dağıtımının ulaştırma modeli yardımıyla optimizasyonunu

incelemiştir. Çalışmada doğrusal programlamanın temel ilkelerine de değinilmiştir.

Petrol Ofisi A.Ş nin 1988 yılı verilerinden yola çıkılarak hazırlanan çalışmada Batman,

Orta Anadolu ve Ataş Rafinerilerinden Ankara İstanbul ve Trabzon’a benzin

dağıtımında toplam taşıma maliyetini minimum yapacak bir dağıtım planı belirlemiştir.

Başlangıç çözüm yöntemi olarak kuzey batı yöntemi seçilmiş daha sonra en iyi çözümü

bulma testi yapılmıştır. Gerçek taşıma maliyetleri ile ilgili verilere ulaşılamadığından

bulunan dağıtım planı ile mevcut durum karşılaştırılması yapılamadığı belirtilmiştir.

Çalışmada Doğrusal Programlama Simpleks yöntemi oldukça detaylı anlatılmıştır.

Başlangıç çözüm yöntemlerinden sadece Kuzey Batı Köşe yöntemi uygulanmış diğer

yöntemler en iyi çözüme daha yakın sonuçlar vermesine rağmen uygulanmamıştır.

Sakarya vd (1996) Et Balık Kurumu Kombinalar et taşımasında 1992 yılı verileri

kullanılarak ulaştırma modeli uygulamasını incelemişlerdir. Kuruma bağlı 31 işletmenin

taşıma maliyetleri bulunarak VAM Başlangıç çözümü ile başlangıç dağıtım planı

belirlenmiştir. Başlangıç çözümüne MODİ yöntemi uygulanarak en iyi çözüm

bulunmuştur (1.Model). Daha sonra işletmeler arasında bir takım düzenlemelere

gidilerek işletmelerin birleştirilmesi yapılmış ve ulaştırma modeli 14 işletmeli hale

getirilmiştir (1.Alternatif Plan). Bu 14 işletmeli dağıtım planına VAM yöntemi

uygulanarak başlangıç çözümü elde edilmiştir. Elde edilen dağıtım planına MODİ

40

yöntemi kullanılarak en iyi çözümü bulma testi yapılmıştır. 14 işletmeli dağıtım planı

içerisine bir işletme daha eklenerek iki işletmenin dağıtım noktası olduğu kabul edilmiş

ve Transit ulaştırma modelinden yararlanılmıştır (2.Alternatif Plan). Mevcut durum ile

1. model arasında maliyet karşılaştırılması yapıldığında %9.32 lik bir tasarruf, 1.

Alternatif plan ile % 13.7 tasarruf, 2. Alternatif plan ile %14.9 luk bir tasarruf

sağlanabileceği bulunmuştur. Bu değerlerin kurumun karlılığı açısından oldukça yüksek

olduğu uygun değerlendirilmiştir.

Kotaman (1998) Silahlı Kuvvetlerde İkmal Sistemlerinin, Ulaştırma modelleri

yardımıyla maliyet olarak minimizasyonunu incelemiştir. Kolordu bünyesinde farklı

çoğrafi bölgelerde bulunan dört taburun dört farklı cins top mermisi ihtiyaçlarının iki

farklı yolla temin edilmesi durumunun ulaştırma modeli ile maliyet minimizasyonu

gerçekleştirilmiştir. Dört taburun ikişer yoldan istemde bulunabilmesinden dolayı

problemde sekiz istem merkezi varmış gibi değerlendirme yapılmıştır. Başlangıç

çözümü için Kuzey Batı Köşe, En az maliyetli gözeler, Vogel’in Yaklaşım

Yöntemi(VAM Yöntemi) ve Russel’in yaklaşım yöntemi uygulanmıştır. Probleme

uygulanan başlangıç çözümlerinde en düşük maliyet VAM Yönteminde bulunmuştur.

VAM yönteminde bulunan başlangıç tablosu kullanılarak çözümün en iyi çözümü

bulma testi yapılmıştır. En iyi çözümü bulma testi için Atlama Taşı ve MODİ

yönteminin ikisi de kullanılmıştır. Kolordu Komutanlığı’nın mühimmat istekleri klasik

yollarla yapıldığında 590.202.615.000 TL (1998 yılı para birimiyle) harcanması

gerekirken bulunan ulaştırma modeli yardımıyla 578.961.940.000 TL bulunmuştur.

Yöntemlerin anlatımında birbirine ters düşen ifadelere rastlanmıştır. Çözüm adımlarında

işlemlerin kontrollerine dikkat edilmediği görülmüş ve hesaplama hataları bulunmuştur.

Yapılan hesaplama hataları dağıtım planında değişime neden olmamıştır. Ayrıca

Kotaman tarafından bilgisayar programları ile çözüm yapılmamıştır. Çalışmadaki

veriler kullanılarak Lingo yazılımında problem çözülmüş Kotaman tarafından bulunan

taşıma planına ulaşılmıştır.

Aksoy (1999) Ulaştırma modeli ile işletmelerde dağıtım sistemi optimizasyonunu

incelemiştir. Ulaştırma problemi Türkiye Petrol Ofisi Kurumuna ait iki tane madeni yağ

fabrikasından 21 tane depoya madeni yağ dağıtımıdır. Aliağa ve İzmit de bulunan iki

41

fabrikadan Güvercin, Kırıkkale, İstanbul, Ümraniye, Çubuklu, İskenderun, Batman,

Turan, Fethiye, Edincik, Mudanya, Çukurhisar, Mersin, Konya, Antalya, Trabzon,

Erzurum, Hopa, Rize, Samsun ve Giresun depolarına madeni yağ dağıtımını Vogel’in

Yaklaşım metodunu kullanarak başlangıç çözümünü elde etmiş ve en iyi çözümü bulma

testini yapmıştır. Modelin bilgisayar çözümünü yapmak için QSB paket programı

kullanılmıştır. 1998 yılına ait verilerin kullanıldığı çalışmada öncelikle fabrikaların

istem miktarları kadar üretim yapacağı varsayılmış buna göre bir dağıtım planı

belirlenmiştir. Daha sonra alternatif bir dağıtım planı olması için fabrikaların üretim

kapasitesi dikkate alınarak ve probleme kukla bir istem merkezi ilave edilerek çözüm

gerçekleştirilmiştir. Mevcut dağıtım planıyla karşılaştırılması yapıldığında ulaştırma

maliyetinde azalma meydana geleceği belirtilmiştir.

Kabak (2000) Kara Kuvvetleri akaryakıt İkmal Sistemlerinde Ulaştırma Modelleri

yardımıyla maliyet optimizasyonunu yapmıştır. Çalışmada dört birliğin iki farklı

dağıtım yolu ile dört ihtiyaç maddesinin ulaştırma maliyetleri dikkate alınmıştır.

Ulaştırma tablosu oluşturulduktan sonra başlangıç çözüm yöntemlerinden Kuzey batı

köşe, en düşük maliyetli gözeler, Vogel’in yaklaşım yöntemi ve Russel’in yaklaşım

yöntemini uygulamıştır. Uygulanan bu yöntemlerden en düşük maliyeti veren VAM

yöntemi başlangıç çözüm tablosu olarak kullanılmıştır. En iyi çözümü bulma testi için

probleme Atlama Taşı ve MODİ yöntemi uygulanmıştır. En iyi çözümü bulma testinde

problemin başlangıç çözümünün en düşük toplam taşıma maliyetini sağladığını ve test

miktarlarında on tane boş gözenin değerinin sıfıra eşit çıkmasıyla on tane alternatif

dağıtım planı ile aynı maliyete ulaşılabileceği bulunmuştur. Çözüm sonunda toplam

taşıma maliyeti 1.081.943.600 TL (2000 yılı para birimiyle) olarak elde edilmiştir.

Problemin doğrusal programlama problemi olarak düşünülüp Lindo programında

yazılımı ve çözümü çalışma kapsamında yapılmıştır. Akaryakıt ikmalleri araştırma

yapılmadan ve isteklere göre dağıtım gerçekleştiğinde bulunan toplam taşıma

maliyetinden çok daha fazla maliyet oluşacağı hesaplanarak ortaya konulmuştur.

Ergülen (2003) gıda ürünlerinin karayolu ile taşınmasında tamsayılı doğrusal

programlama uygulamasını yapmıştır. Bunun için bir firmanın 24 ildeki

distribütörlerine dağıtım planı kullanılmıştır. Aylara ve her ayın 1. On Gün, 2. On Gün

42

ve 3. On Gününe göre değişen sefer sayısı kısıtları ve maliyetleri verilmiştir. Kısıtlar

dikkate alınarak model denklemleri oluşturulmuş ve Lindo paket programında model

çözülmüştür. Modelden elde edilen dağıtım planı ile firmanın uyguladığı dağıtım planı

karşılaştırıldığında toplam maliyette % 9.01 lik bir azalma gerçekleşebileceği

bulunmuştur. Çalışma sonucunda tamsayılı bir doğrusal programlama ile modeller

kurularak işletmelerde maliyet minimizasyonuna gidilebileceği görüşüne varılmıştır.

Tabuk (2006) çalışmasında, ulaştırma problemlerinin kullanım alanlarından, çözüm

yöntemlerinden, aktarma problemlerinden ve bulanık programlamadan bahsetmiştir.

Çalışmasında çok amaçlı ve tek amaçlı taşıma problemlerine bulanık ortamda çözüm

önerileri sunan çalışmalara ve yöntemlere yer vermiştir. Bu amaçla; El- Wahed’in

Çözüm Yöntemi, Ringuest ve Rinks’in çözüm yöntemi, Liu ve Kao’nun Çözüm

Yöntemi ve Ahlatçioğlu, Sivri ve Güzel ’nin çözüm yöntemini örnekler vererek

açıklanmıştır. Güncel hayatta değişik alanlarda karşılaşılan bulanık taşıma problemleri

için bilgisayar programlarının geliştirilmesine ihtiyaç duyulduğunu belirtmektedir.

Günaydın (2006) Türk Silahlı Kuvvetlerinde ring taşımacılık faaliyetlerinin maliyet

etkinlik analizi ve ulaştırma modelleri yardımıyla güzergah optimizasyonu çalışmasını

yapmıştır. Çalışmada öncelikle karayolu ulaştırması maliyet yapısı incelenmiş ve

maliyet kalemlerinin hesaplanma yöntemleri anlatılmıştır. Ulaştırma modellerinin genel

yapısı, çözüm yöntemleri ve en iyi çözümü bulma testi yöntemlerinden bahsedilmiştir.

Uygulama kapsamında Türk Silahlı kuvvetlerinde 2001 yılından itibaren icra edilen ring

taşımacılık faaliyetleri değerlendirilmiştir. Problem, yapısına uygun olarak ulaştırma

problemleri içerisinden Seyyar Satıcı Problemi olarak düşünülmüştür. (Seyyar Satıcı

Problemi, başladığı noktaya geri dönmek şartı ile n sayıda şehri ziyaret eden bir

satıcının toplam mesafeyi minimize edecek yolun seçimidir. Bu problemlerde her bir

şehir yalnızca bir kez ziyaret edilir ve en kısa yoldan rota tamamlanarak başlangıç

noktasına geri dönülür.) Çalışmada Seyyar Satıcı Probleminin çözüm algoritmalarını

takip edilmiş ve problem hem elle hem de QSB paket programıyla çözülmüştür. Bu

yöntemle yapılan güzergâh optimizasyonu ile benzer faaliyetlerde kullanılabilecek bir

model oluşturulmuş ve en az maliyeti veren güzergâhın seçimine olanak sağlanmıştır.

43

Ergülen ve Kazan (2007) Taşımacılık sektörünün işleyiş süreci, bulanık dağıtım

problemlerinin tamsayılı doğrusal programlama model denemesini çalışmıştır.

Taşımacılık sektörünün işleyiş süreci içerisinde yük taşıma sistemlerinin performansa

göre farklı akış ya da güzergâh değerlendirmesi, fiyat politikaları ve çeşitli işletim

etkinlikleri analizinde bulanık mantığın tamsayılı doğrusal programlama model ile

birleştirilerek taşıma maliyetlerinin minimize edilmesine çalışılmıştır. Bir firmanın

distribütörüne yaptığı dağıtım için Ocak ayına ait 1. On Gün, 2. On Gün ve 3. On Gün e

ait taşıma miktar ve maliyet verileri kullanılarak matematik modellemesi yapılmıştır.

Modelde karar değişkenleri tanımlanarak kurulan tamsayılı doğrusal programlama

modeli WinQSB paket programıyla çözümlenmiştir. Bir fabrikadan çok sayıdaki

distribütöre sürekli olarak mal taşıma işleminin yapıldığı ve distribütör istem

miktarlarının bulanık olduğu durumlardaki taşıma maliyeti problemi için kullanılacak

bir karışık tamsayılı doğrusal programlama modeli önerilmiştir. Firmanın uyguladığı

dağıtım planıyla modelin bulduğu dağıtım planı karşılaştırılmıştır. Bunun sonucunda

firmanın toplam taşıma maliyetlerinin % 11.51 oranında düşürülebileceği bulunmuştur.

Işık ve Ertuğrul (2008) bir gıda işletmesinde ulaştırma modeli ile yeni bir dağıtım planı

geliştirmeyi çalışmıştır. Çalışmada Denizli ilinde bir gıda işletmesinin üretmiş olduğu

bir ürünün işletmenin depolarından alışveriş merkezlerine dağıtım problemine ulaştırma

modelinin uygulanması gösterilmiştir. Bunun için işletmenin Ankara, İstanbul ve İzmir

Depolarından beş tane ulusal zincir markete 2007 yılı birim taşıma maliyetleri

kullanılmıştır. Problem WinQSB paket programı kullanılarak doğrusal programlama

problemi olarak çözülmüştür. Problem ulaştırma modelleri çözüm yöntemleri ile de

çözülmüştür. Başlangıç çözümünü bulmak için en iyi sonuca en yakın çözümü veren

VAM yöntemi kullanılmıştır. En iyi çözümü bulma testi için MODİ yöntemi

kullanılmıştır. En iyi çözümü bulma testinde başlangıç çözümünde bulunan dağıtım

planının toplam taşıma maliyetini minimum yaptığı ve çözümün en iyi olduğu

bulunmuştur. Bundan dolayı başlangıç dağıtım planında herhangi bir düzenlemeye

gidilmemiştir. Bulunan Toplam taşıma maliyeti ile mevcut taşıma maliyeti

karşılaştırılmıştır. Yeni bulunan dağıtım planı ile %2 lik bir düşüş gerçekleşebileceği

belirtilmektedir. Ayrıca bundan sonra yapılacak çalışmalar için çeşitli önerilerde

44

bulunulmuştur. Bunlara Genetik algoritmalar, tavlama benzetimi ve tabu arama gibi

genel amaçlı sezgisel yöntemler örnek verilebilir.

Çakanel (2008) ulaştırma modelleri ile maliyet minimizasyonunu amaçladığı çalışmada

Denizli ilinde faaliyet gösteren bir tekstil fabrikasına uygulama yapmıştır. Çalışmasında

doğrusal programlamadan, genel ulaştırma modeli yapısından, başlangıç çözüm

yöntemlerinden ve en iyi değeri bulma yöntemlerinden bahsetmiştir. Çalışmada sadece

karayolu ile gümrük merkezlerinden ihracat yapılan ülkelere taşıma maliyetleri dikkate

alınmıştır. İzmir, İstanbul ve Denizli Gümrüklerinden Almanya, İngiltere, İspanya,

Polonya, Finlandiya, İsrail, Hollanda, İran, Romanya ve Amerika ya ihracatın

yapılmasında sunum ve istem değerleri belirlenerek 2007 yılı için birim taşıma

maliyetlerinden yola çıkılarak toplam taşıma maliyetinin minimum yapan bir dağıtım

planı oluşturulmuştur. Problem Doğrusal Programlama problemi olarak modellenmiş ve

WinQSB paket programıyla çözülmüştür. Ayrıca ulaştırma problemlerinin çözüm

yöntemleri probleme uygulanmıştır. VAM Yöntemi ile bulunan başlangıç dağıtım

planına Atlama Taşı ve MODİ yöntemleri ile en iyi değer testi yapılmıştır. Başlangıç

çözümünde elde edilen dağıtım planının en iyi çözüm olmadığı ve dağıtım planında boş

kalan gözelere dağıtım yapılarak maliyetin azaltılacağı bulunmuş ve gerekli

düzenlemeler probleme aktarılmıştır. Modelden toplam taşıma maliyeti 41.521,52 EUR

olarak bulunmuş, mevcut toplam taşıma maliyeti de 47.239,07 EUR olarak

hesaplandığında 5.717,55 EUR kâr elde edilebileceği sonucuna varılmıştır. Ulaştırma

modelleri ile taşıma maliyetlerinin alt seviyelerde gerçekleşebileceği sonucuna

varılmıştır.

45

4. MATERYAL VE YÖNTEM 4.1 Materyal Türk Silahlı Kuvvetlerinin akaryakıt ihtiyacı rafinerilerden tedarik edilmekte ve Milli

Savunma Bakanlığına bağlı bir başkanlık tarafından depolanarak tüm Türkiye

genelindeki askeri birliklere kadar ulaştırılmaktadır. Başkanlık bu ikmal işleminde bazı

yakıtlar için kendi tankerlerini kullanırken bazı yakıtlar için de sivil piyasadan ihale

yoluyla hizmet satın almaktadır.

Tüm Türkiye’de farklı yerlerde depoları bulunan başkanlık benzin, motorin ve jet yakıtı

depolamaktadır. Depolanan bu yakıtlar askeri birliklerin istemleri doğrultusunda kara

tankerleri ile istem merkezlerine ulaştırılmaktadır.

Bu çalışmada başkanlığın Trakya Bölgesinde bulunan ve benzin depolanan 3

deposundan Trakya Bölgesindeki 27 farklı ilçede konuşlu askeri birliğe benzin taşıması

verileri kullanılmıştır. Aynı ilçede birden fazla askeri birlik bulunabilmektedir. Aynı

ilçedeki birliklerin taşıma maliyetleri aynı olduğundan bir ilçeye ait istemler toplanarak

istem merkezi ilçeler alınmıştır.

Sunum miktarları olarak ise 2008 yılı başı itibariyle depolardaki stok durumları dikkate

alınmıştır. Başkanlık stoklarda herhangi bir kısıtlamaya gitmemesine rağmen bu

çalışmada ulaştırma problemi oluşturulurken stoklarda bir kısıtlama belirlenmiştir. 2016

yılında benzinin kullanımdan kalkacağı planlanmakta olduğundan 2008 yılından

itibaren 8 yıl boyunca stoklarda bulunan benzinin Askeri birliklerin istemlerini

46

karşılaması gerektiği varsayılmış bu yüzden 2008 yılı başı itibariyle stok miktarları

yıllara göre eşit olarak paylaştırılmıştır.

2008 yılında askeri birliklere taşıma yapmak için başkanlığın yapmış olduğu ihale

sonucunda taşıma maliyetleri belirlenmiştir. Bu maliyetler depolar ile ilçeler arası

mesafeye göre belirlenmektedir. Ancak işleyen sistemde her bir istem merkezine bir

depodan dağıtım yapılmaktadır. Bu durumda bir istem merkezine farklı diğer iki

deponun maliyeti bilinmemektedir. Ulaştırma tablosu oluşturulurken ilk yapılan iş her

depodan her istem merkezine birim taşıma maliyetinin bulunmasıdır. Her bir istem

merkezinin her bir depoya mesafesi belirlendikten sonra ihalede verilen kriterlere göre

her bir dağıtım yolunun maliyetleri hesaplanmıştır.

İstem ve talep miktarları ton, taşıma maliyetleri ise TL/ton olarak hesaplanmıştır.

Ulaştırma tablolarının büyüklüğünden dolayı birimler çizelgelerde yer almamaktadır.

4.2 Yöntem Bu çalışmada çizelge 4.1’de verilen ulaştırma tablosu oluşturulmuştur. Başlangıç

çözümünün bulunması için aşağıdaki yöntemler uygulanmıştır.

1. Kuzey Batı Köşe Yöntemi

2. En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi

3. Vogel’in Yaklaşım Yöntemi

Başlangıç çözüm yöntemleri ile elde edilen dağıtım planına Atlama Taşı ve MODİ

Yöntemleri uygulanarak en iyi değer testi yapılmıştır.

Ayrıca Doğrusal Programlama ile çözüm yapmak için problemin matematiksel modeli

kurulmuştur. Lingo yazılımında ve MATLAB Optimization Toolbox’ı kullanılarak

bilgisayar ortamında çözülmüştür.

Çizelge 4.1 Üç sunum 27 istem merkezli ulaştırma probleminin maliyet tablosu

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 453

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 873

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 387

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 1.713 1.624,74

47

48

5. ARAŞTIRMA BULGULARI Üç sunum merkezli 27 istem merkezli ulaştırma probleminin çizelge 4.1 ile verilen

maliyet tablosunda görüldüğü gibi, sunum merkezinin sunabileceği toplam miktar 1.713

ton, istem merkezinin toplam istem miktarı ise 1.624,74 tondur. Anlaşılacağı gibi

problem dengelenmemiş bir ulaştırma problemidir. Bu durumda problemin dengeli hale

getirilmesi gerekmektedir. D28 adıyla kukla bir istem merkezi yaratılmış ve buranın

istem miktarı olarak da 88,26 ton belirlenmiştir. Düzenlenen ulaştırma tablosu çizelge

5.1’de verilecektir. Ulaştırma probleminin başlangıç çözümünü bulmak için Kuzey Batı

Köşe Yöntemi, En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi ve VAM Yöntemi uygulanmıştır.

5.1 Kuzey Batı Köşe Yöntemi

Başlangıç çözüm yöntemleri içerinde en basiti olarak bilinen bu yöntemdir. Yöntemin

ulaştırma problemine uygulanmasında aşağıdaki adımlar izlenir.

1. x1,1 gözesine D1 istem merkezinin istemi kadar dağıtım yapılır.

2. S1 deposunda hala benzin bulunduğundan dolayı x1,2 gözesine geçilir. Bu gözeye de

D2 istem merkezinin talebi kadar dağıtım yapılır.

3. S1 deposunda yakıt tükenene kadar sağa doğru ilerlenir.

4. x1,8 gözesine D8 istem merkezinin talebi kadar dağıtım yapıldıktan sonra S1

deposunda benzin biter.

5. Bu durumda x2,9 gözesine geçilir. x2,9 gözesine D9 istem merkezinin talebi kadar

dağıtım yapılır.

6. S2 deposunda benzin bitene kadar sağa doğru ilerlenir.

7. x2,22 gözesine dağıtım yapıldıktan sonra x2,23 gözesine geçilir. Ancak D23 istem

merkezinin istem miktarının tamamı S2 deposundan karşılanamayacaktır. S2 deposunun

karşılayacağı miktar bu gözeye tahsis edilir.

Çizelge 5.1 Dengelenmiş ulaştırma tablosu

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

x1,1 x1,2 x1,3 x1,4 x1,5 x1,6 x1,7 x1,8 x1,9 x1,10 x1,11 x1,12 x1,13 x1,14

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

x2,1 x2,2 x2,3 x2,4 x2,5 x2,6 x2,7 x2,8 x2,9 x2,10 x2,11 x2,12 x2,13 x2,14

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

x3,1 x3,2 x3,3 x3,4 x3,5 x3,6 x3,7 x3,8 x3,9 x3,10 x3,11 x3,12 x3,13 x3,14

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28

(KUKLA) SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

x1,15 x1,16 x1,17 x1,18 x1,19 x1,20 x1,21 x1,22 x1,23 x1,24 x1,25 x1,26 x1,27 x1,28

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

x2,15 x2,16 x2,17 x2,18 x2,19 x2,20 x2,21 x2,22 x2,23 x2,24 x2,25 x2,26 x2,27 x2,28

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

x3,15 x3,16 x3,17 x3,18 x3,19 x3,20 x3,21 x3,22 x3,23 x3,24 x3,25 x3,26 x3,27 x3,28

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

499

50

8. Bir alt gözeye yani x3,23 gözesine geçilir.D23 istem merkezinin eksik kalan talebi S3

deposundan karşılanır.

9. S3 deposunda yakıt bitene kadar sağa doğru ilerlenir.

Dengelenmiş ulaştırma problemi olduğundan dolayı bütün istem merkezlerinin istemleri

karşılanmış, sunum merkezleri olan depoların benzin miktarları tükenmiştir.

Çözümün temel uygun çözüm olabilmesi için (m+n-1) tane gözeye yani (3+28-1)= 30

tane dağıtım yapılması gerekmektedir. Çözüm sırasında D8 istem merkezinin isteminin

S1 sunum merkezinden karşılanması ile aynı anda sunum merkezinin de sunumu

tükenmiştir. x2,8 gözesine “0” tahsis yapıldığında (m+n-1) koşulu sağlanır. Bu durumda

temel çözümün bir öğesi “sıfır” (x2,8=0) değerine sahip olduğu için çözüm “Bozulmuş

Temel Uygun Çözüm” dür. Kuzey Batı Köşe yöntemine göre yapılan dağıtım planı

çizelge 5.2’de gösterilmiştir.

Çizelge 5.2’de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti: 107.415,19 TL

olarak bulunmuştur. Temel uygun çözüm,

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

2,8

2,9

83,04

91,56

28,8

4,8

9

116,88

112,92

6

0

31,8

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2,10

2,11

2,12

2,13

2,14

2,15

2,16

2,17

2,18

2,19

2,4

274,82

8, 4

126,48

69

11,7

91,2

27,6

1, 2

39,12

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2,20

2,21

2,22

2,23

3,23

3,24

3,25

3,26

3,27

3,28

45,6

72,72

29,4

41,56

174,4

43,8

22,22

36,72

21,6

88,26

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

şeklindedir.

Çizelge 5.2 Kuzey Batı Köşe Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 116,88 112,92 6

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

0 31,8 2,4 274,82 8,4 126,48 69

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 45,6 72,72 29,4 41,56

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

174,4 43,8 22,22 36,72 21,6 88,26

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

51

52

5.2 En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi En Düşük Maliyetli Gözeler Yönteminin Satır Yaklaşımı, Kolon Yaklaşımı ve Genel

Yaklaşımı ulaştırma problemine uygulanmıştır.

5.2.1 En Düşük Maliyetli Gözeler (Kolon Yaklaşımı ) Yöntemi Ulaştırma problemine en düşük maliyetli gözeler yönteminin kolon yaklaşımı

uygulanırken aşağıdaki adımlar izlenir:

1. D1 istem merkezinin bulunduğu ilk kolondan başlanır. Bu kolonda yer alan

maliyetlerden en düşük olanı C1,1 dir. x1,1 gözesine D1 istem merkezinin talebi kadar

dağıtım yapılır.

2. Daha sonra ikinci kolona geçilir. Bu kolondaki en düşük maliyetli gözeye dağıtım

yapılır.

3. Sırasıyla diğer kolonlara aynı işlemler uygulanır. Dağıtımlar yapılırken depolarda

bulunan miktarlar dikkate alınır.

Kolon yaklaşımına göre bulunan başlangıç çözümü çizelge 5.3’de verilmiştir. Çözüm

sonunda 30 tane gözeye dağıtım yapılmış ve temel uygun çözüme ulaşılmıştır. Çizelge

5.3’de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti: 104.916,40 TL olarak

bulunmuştur. Temel uygun çözüm,

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

3,6

1,7

1,8

1,9

1,10

83,04

91,56

28,8

4,8

9

116,88

112,92

6

31,8

2, 4

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2,11

2,12

2,13

3,14

3,15

3,16

3,17

3,18

3,19

1,20

274,82

8, 4

126,48

69

11,7

91,2

27,6

1, 2

39,12

15,30

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

3,20

2,21

2,22

2,23

2,24

3,25

1,26

1,27

1,28

2,28

30,30

72,72

29,4

215,96

43,8

22,22

36,72

21,6

9,06

79,2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

şeklindedir.

Çizelge 5.3 En Düşük Maliyetli Gözeler (Kolon Yaklaşımı) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

15,3 36,72 21,6 9,06

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

72,72 29,4 215,96 43,8 22,22 79,2

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 30,3

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

53

54

5.2.2 En Düşük Maliyetli Gözeler (Satır Yaklaşımı ) Yöntemi Ulaştırma problemine en düşük maliyetli gözeler yönteminin satır yaklaşımı

uygulanırken aşağıdaki adımlar izlenir:

1. S1 deposunun bulunduğu ilk satırdan başlanır. Bu satırda yer alan maliyetlerden en

düşük olanı C1,28 dir. x1,28 gözesine D28 istem merkezinin talebi kadar dağıtım yapılır.

2. Daha sonra ikinci düşük maliyetli olan x1,3 gözesine D3 istem merkezinin talebi kadar

dağıtım yapılır.

3. Sırasıyla x1,5, x1,1, x1,2, x14, x1,7 gözelerine istem merkezlerinin talebi kadar dağıtım

yapılır.

4. Yapılan bu dağıtımlardan sonra S1 deposunda 34,62 ton benzin kalmaktadır. Talebi

karşılanan kolonların işlemden çıkarılması ile tabloda birinci satırda kalan en düşük

maliyetli x1,26 gözesine 34,62 tonluk dağıtım yapılır. Yapılan bu dağıtımla D26 istem

merkezinin talebi karşılanmamış olur. Ancak S1 deposunun sunumu tükenmiştir.

6. Birinci satırın tablodan çıkarılması ile ikinci satıra geçilir. Burada da birinci satırda

yapılan işlemler tekrarlanır.

8. Sırasıyla x2,12, x2,13, x2,11, x2,21, x2,25, x2,23, x2,22, x2,19, x2,24 gözelerine istem

merkezlerinin talebi kadar dağıtım yapılır.

9. Talebi karşılanan kolonların işlemden çıkarılması ile ikinci satırda en düşük maliyetli

göze olan x2,16 gözesine gelindiğinde D16 istem merkezinin talebini karşılayacak kadar

yakıt ikinci sunum merkezinden karşılanamayacağından kalan miktar üçüncü sunum

merkezinden karşılanır.

10. Sunum yapabilecek sadece üçüncü sunum merkezi kaldığından talebi karşılanmayan

istem merkezlerine buradan dağıtım yapılır. Sırasıyla x3,16, x3,20, x3,17, x3,15, x3,14, x3,18,

x3,6, x3,27,x3,9, x3,10 gözelerine dağıtım yapılarak dağıtım planı oluşturulur.

Satır yaklaşımına göre bulunan başlangıç çözümü çizelge 5.4’de verilmiştir. Çözüm

sonunda 30 tane gözeye dağıtım yapılmış ve temel uygun çözüme ulaşılmıştır.

55

Çizelge 5.4’de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti: 105.972,33 TL

olarak bulunmuştur.

Temel uygun çözüm,

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

3,6

1,7

3,8

3,9

3,10

83,04

91,56

28,8

4,8

9

116,88

112,92

6

31,8

2, 4

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2,11

2,12

2,13

3,14

3,15

2,16

3,16

3,17

3,18

2,19

274,82

8, 4

126,48

69

11,7

40,08

51,12

27,6

1, 2

39,12

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

3,20

2,21

2,22

2,23

2,24

3,25

1,26

3,26

3,27

1,28

45,60

72,72

29,4

215,96

43,8

22,22

34,62

2,1

21,6

88, 26

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

şeklindedir.

Çizelge 5.4 En Düşük Maliyetli Gözeler (Satır Yaklaşımı) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 6 31,8 2,4 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

34,62 88,26

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

40,08 39,12 72,72 29,4 215,96 43,8 22,22

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 51,12 27,6 1,2 45,6 2,1 21,6

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

56

57

5.2.3 En Düşük Maliyetli Gözeler (Genel Yaklaşım ) Yöntemi Ulaştırma problemine en düşük maliyetli gözeler yönteminin genel yaklaşımı

uygulanırken aşağıdaki adımlar izlenir:

1. Genel yaklaşım uygulanırken ulaştırma tablosunun tamamı dikkate alınır.

2. Tablodaki en düşük maliyetli gözeler “0” maliyetli x1,28, x2,28 ve x3,28 gözeleridir. Bu

gözelerden herhangi birisine dağıtım yapılabileceğinden burada x2,28 gözesine D28 istem

merkezinin istemi kadar dağıtım yapılır.

3. Daha sonra tablodaki sırasıyla diğer düşük maliyetli gözelere sunum miktarları da

dikkate alınarak dağıtımlar yapılır.

Genel yaklaşımına göre bulunan başlangıç çözümü çizelge 5.5’de verilmiştir. Çözüm

sonunda 30 tane gözeye dağıtım yapılmış ve temel uygun çözüme ulaşılmıştır. Çizelge

5.5’de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti: 106.033,74 TL olarak

bulunmuştur.

Temel uygun çözüm,

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

2,6

1,7

1,8

2,8

2,9

83,04

91,56

28,8

4,8

9

116,88

112,92

1, 44

4,56

31,8

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2,10

2,11

2,12

2,13

2,14

2,15

2,16

3,16

2,17

2,18

2,4

274,82

8, 4

126,48

69

11,7

58,9

32,3

27,6

1, 2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1,19

1,20

3,21

2,22

2,23

3,24

3,25

1,26

2,27

2,28

39,12

45,60

72,72

29,4

215,96

43,8

22,22

36,72

21,6

88, 26

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

şeklindedir.

Çizelge 5.5 En Düşük Maliyetli Gözeler (Genel Yaklaşım) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 1,44

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

116,88 4,56 31,8 2,4 274,82 8,4 126,48 69

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

39,12 45,6 36,72

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

11,7 58,9 27,6 1,2 29,4 21,6 88,26

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

32,3 72,72 215,96 43,8 22,22

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

58

59

5.3 Vogel’in Yaklaşım Yöntemi Kesim 3.4.3’de anlatılan adımları ulaştırma problemine uygulandığında çözüme

ulaşmak için izlenen adımlar aşağıdaki gibidir.

1. Ulaştırma tablosuna satır pişmanlık ve kolon pişmanlık sıraları ilave edilir.

2. D1 istem merkezinin olduğu birinci kolondaki en düşük maliyetli iki göze 56,28 ve

74,01 dir.

3. Bu iki maliyetten büyük olandan küçük olan çıkarılır. 74,01-56,28=17,73

4. Bu değer kolon pişmanlık gözesine yazılır.

5. Daha sonra ikinci kolona geçilir ve aynı işlem tekrarlanır.

6. Bütün kolonların pişmanlık değerleri hesaplandıktan sonra satır pişmanlık değerleri

hesaplanır.

7. Birinci satırın en düşük maliyetli iki göze 0 ve 55,40 dir.

8. Bu iki maliyetten büyük olandan küçük olan çıkarılır. 55,40-0 =55,40

9. Bu değer satır pişmanlık gözesine yazılır.

10. Aynı işlemler ikinci ve üçüncü satırlar için de tekrarlanır.

11. Satır ve kolon pişmanlık değerleri tabloya aktarıldıktan sonra pişmanlık

değerlerinden en büyüğü seçilir. Tabloda en büyük pişmanlık değeri 56,63 ile üçüncü

satırdadır.

12. Bu satırdaki en düşük maliyetli olan x3,28 gözesine D28 istem merkezinin istemi

kadar dağıtım yapılır.

13. D28 istem merkezinin istemi karşılandığı için bu kolon tablodan çıkarılır.

14. Kolon pişmanlık ve satır pişmanlık değerleri yeniden hesaplanır. En büyük

pişmanlık değeri ikinci kolondadır. Bu kolonda en düşük maliyetli x1,2 gözesine D2

istem merkezinin istemi kadar dağıtım yapılır ve bu kolon tablodan çıkarılır.

15. Tabloda kalan satır ve kolanlar için yeniden pişmanlık değerleri hesaplanarak en

büyük pişmanlık değerinin olduğu satır veya kolon için aynı işlemler tekrarlanır.

Sırasıyla 5, 1, 4, 17, 7, 24, 14, 10, 16, 8, 13, 12, 11 ve 15.nci kolonlara istem

merkezlerinin istemi kadar dağıtım yapılır ve bu kolonlar tablodan çıkarılır. Tablodan

çıkarılan her kolondan sonra pişmanlık değerleri yeniden hesaplanır.

60

16. Tabloda kalan satır ve kolonlardan pişmanlık değeri en büyük olan 23.ncü kolon

için sunum merkezinde kalan miktar istem miktarını karşılamamaktadır. 23.ncü kolonun

en düşük maliyetli gözesi olan x3,23 gözesine 55,44 ton dağıtım yapılır ve 3.ncü satır

tablodan çıkarılır.

17. Tabloda kalan satır ve kolonlar için pişmanlık değerleri hesaplanır ve en büyük

pişmanlık değerine sahip 18.nci kolona D18 istem merkezinin istemi kadar dağıtım

yapılır.

18. Sırasıyla 21, 9, 22, 26, 20, 26,25 kolonlarına istem merkezinin istemi kadar dağıtım

yapılır ve bu kolonlar tablodan çıkarılır.

19. Tabloda kalan satır ve kolonlar içerisinde en büyük pişmanlık değerine sahip

23.ncü kolon için D23 istem merkezinin kalan istem miktarı olan 160,52 tonluk dağıtım

x2,23 gözesine yapılır ve bu kolon tablodan çıkarılır.

20. Tabloda kalan satır ve kolonlar içerisinde en büyük pişmanlık değerine sahip 2.nci

satırın en düşük maliyetli x2,19 gözesine istem merkezinin istemi kadar dağıtım yapılır ve

bu kolonda tablodan çıkarılır.

21. Bu işlemden sonra en büyük pişmanlık değerine sahip 2.nci satırın en düşük

maliyetli x2,27 gözesine istem merkezinin istemi kadar dağıtım yapılır.

22. 27.nci kolonda tablodan çıkarılması ile tabloda sadece 6.ncı kolon kalmıştır. Bu

kolona sunum merkezlerinin mikatarları dikkate alınarak dağıtım yapılır.

VAM Yöntemine göre bulunan başlangıç çözümü çizelge 5.6’de verilmiştir. Çizelge

5.6’de ayrıca çözümün ilk adımında hesaplanan pişmanlık değerleri de yer almaktadır.

Çözüm sonunda 30 tane gözeye dağıtım yapılmış ve temel uygun çözüme ulaşılmıştır.

61

Çizelge 5.6’de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti: 105.509,01 TL

olarak bulunmuştur. Temel uygun çözüm,

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2,6

1,7

1,8

1,9

83,04

91,56

28,8

4,8

9

0,36

116,52

112,92

6

31,8

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1,10

2,11

2,12

2,13

3,14

3,15

3,16

3,17

2,18

2,19

2,4

274,82

8, 4

126,48

69

11,7

58,9

27,6

1, 2

39,12

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1,20

2,21

2,22

2,23

3,23

3,24

3,25

1,26

2,27

3,28

45,60

72,72

29,4

160,52

55,44

43,8

22, 22

36,72

21,6

88, 26

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

şeklindedir.

Çizelge 5.6 Vogel’in Yaklaşım (VAM) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM

MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 0,36 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

116,52 274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

69 İSTEM

MİKTARI 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

SÜTÜN PİŞMANLIK 17,73 21,09 20,03 14,68 20,03 8,04 12,47 10,83 8,30 11,40 10,51 10,74 10,80 11,45

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM

MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28

SUNUM MİKTARI

SATIR PİŞMANLIK

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 55,40

45,6 36,72

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 55,75

1,2 39,12 72,72 29,4 160,52 22,22 21,6

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 56,63

11,7 91,2 27,6 55,44 43,8 88,26

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

KOLON PİŞMANLIK 9,95 11,14 12,65 5,30 6,94 3,23 4,74 4,73 9,86 11,85 4,33 2,83 0,53 0,00

62

63

5.4 En İyi Çözümün Bulunması Başlangıç çözüm yöntemlerinde bulunan temel değişkenlerin amaç fonksiyonunda

yerine yazılması ile toplam taşıma maliyetleri bulunur. Yöntemlere göre bulunan toplam

taşıma maliyetleri çizelge 5.7’de verilmiştir.

Çizelge 5.7 Başlangıç çözüm yöntemlerine göre toplam taşıma maliyeti karşılaştırılması

Çizelge 5.7’den de anlaşılacağı gibi en düşük maliyet En Düşük Maliyetli Gözeler

Yöntemi (Kolon Yaklaşımı) nda bulunmuştur. Bundan dolayı en iyi çözümü bulmak için

bu yöntemle bulunan dağıtım planı kullanılmıştır.

En iyi çözümü bulmak için ;

i. Atlama Taşı Yöntemi

ii. MODİ Yöntemi uygulanmıştır.

Başlangıç Çözüm Yöntemi Toplam Taşıma Maliyeti, TL

Kuzey Batı Köşe Yöntemi 107.415,19

En Düşük Maliyetli Gözeler

Satır Yaklaşımı 105.972,33

Kolon Yaklaşımı 104.916,40

Genel Yaklaşım 106.033,74

Vogel'in Yaklaşım Yöntemi (VAM Yöntemi) 105.509,01

64

5.5 Atlama Taşı Yönteminin Uygulanması Atlama Taşı yönteminde uygulanan adımlar Kesim 3.5.1’de verilmiştir. Bu adımların

probleme uygulanması aşağıdaki şekilde yapılmıştır.

1. Öncelikle boş gözelerin hepsinin gizli maliyetleri belirlenir. Bunun için gizli

maliyeti hesaplanacak boş gözeden başlanarak ve dolu gözelerde 90 derecelik dönüşler

yapılarak tekrar boş gözeye gelinecek çevrimler yazılır. Çizelge 5.8’de verilen dağıtım

planına göre boş gözelerin gizli maliyetleri için çevrimler yazılmış ve gizli maliyetler

hesaplanmıştır.

Çizelge 5.8 Ulaştırma probleminin başlangıç temel çözümü

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

15,3 36,72 21,6 9,06

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

72,72 29,4 215,96 43,8 22,22 79,2

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 30,3

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

65

66

d2,1= C2,1-C1,1+C1,28-C2,28 = 28,08

d3,1= C3,1-C1,1+C1,20-C3,20 = 20,96

d2,2= C2,2-C1,2+C1,28-C2,28 = 30,47

d3,2= C3,2-C1,2+C1,20-C3,20 = 24,32

d2,3= C2,3-C1,3+C1,28-C2,28 = 31,61

d3,3= C3,3-C1,3+C1,20-C3,20 = 23,26

d2,4= C2,4-C1,4+C1,28-C2,28 = 26,26

d3,4= C3,4-C1,4+C1,20-C3,20 = 17,91

d2,5= C2,5-C1,5+C1,28-C2,28 = 31,61

d3,5= C3,5-C1,5+C1,20-C3,20 = 23,26

d1,6= C1,6-C3,6+C3,20-C1,20 = 4,81

d2,6= C2,6-C3,6+C3,20-C1,20+C1,28-C2,28 = 7,29

d2,7= C2,7-C1,7+C1,28-C2,28 = 22,64

d3,7= C3,7-C1,7+C1,20-C3,20 = 15,70

d2,8= C2,8-C1,8+C1,28-C2,28 = 20,74

d3,8= C3,8-C1,8+C1,20-C3,20 = 14,06

d2,9= C2,9-C1,9+C1,28-C2,28 = 15,82

d3,9= C3,9-C1,9+C1,20-C3,20 = 11,53

d2,10= C2,10-C1,10+C1,28-C2,28 = 21,57

d3,10= C3,10-C1,10+C1,20-C3,20 = 14,63

d1,11= C1,11-C2,11+C2,28-C1,28 = 37,97

d3,11= C3,11-C2,11+C2,28-C1,28+C1,20-C3,20 = 13,74

d1,12= C1,12-C2,12+C2,28-C1,28 = 30,55

d3,12= C3,12-C2,12+C2,28-C1,28+C1,20-C3,20 = 14,03

d1,13= C1,13-C2,13+C2,28-C1,28 = 30,65

d3,13= C3,13-C2,13+C2,28-C1,28+C1,20-C3,20 = 14,03

d1,14= C1,14-C3,14+C3,20-C1,20 = 15,74

d2,14= C2,14-C3,14+C3,20-C1,20+C1,28-C2,28 = 8,22

d1,15= C1,15-C3,15+C3,20-C1,20 = 22,81

d2,15= C2,15-C3,15+C3,20-C1,20+C1,28-C2,28 = 6,72

d1,16= C1,16-C3,16+C3,20-C1,20 = 23,65

d2,16= C2,16-C3,16+C3,20-C1,20+C1,28-C2,28 = 7,91

d1,17= C1,17-C3,17+C3,20-C1,20 = 10,83

d2,17= C2,17-C3,17+C3,20-C1,20+C1,28-C2,28 = 9,42

d1,18= C1,18-C3,18+C3,20-C1,20 = 22,28

d2,18= C2,18-C3,18+C3,20-C1,20+C1,28-C2,28 = 2,07

d1,19= C1,19-C3,19+C3,20-C1,20 = 3,71

67

d2,19= C2,19-C3,19+C3,20-C1,20+C1,28-C2,28 = 4,06

d2,20= C2,20-C1,20+C1,28-C2,28 = 12,34

d1,21= C1,21-C2,21+C2,28-C1,28 = 17,68

d3,21= C3,21-C2,21+C2,28-C1,28+C1,20-C3,20 = -1,51

d1,22= C1,22-C2,22+C2,28-C1,28 = 14,99

d3,22= C3,22-C2,22+C2,28-C1,28+C1,20-C3,20 = -1,50

d1,23= C1,23-C2,23+C2,28-C1,28 = 9,47

d3,23= C3,23-C2,23+C2,28-C1,28+C1,20-C3,20 = -6,63

d1,24= C1,24-C2,24+C2,28-C1,28 = 8,00

d3,24= C3,24-C2,24+C2,28-C1,28+C1,20-C3,20 = -8,62

d1,25= C1,25-C2,25+C2,28-C1,28 = 12,82

d3,25= C3,25-C2,25+C2,28-C1,28+C1,20-C3,20 = -1,10

d2,26= C2,26-C1,26+C1,28-C2,28 = 13,05

d3,26= C3,26-C1,26+C1,20-C3,20 = 6,06

d2,27= C2,27-C1,27+C1,28-C2,28 = 1,86

d3,27= C3,27-C1,27+C1,20-C3,20 = 3,76

d3,28= C3,28-C1,28+C1,20-C3,20 = 3,23

2. Negatif maliyetler, ilgili gözeye dağıtım yapılarak toplam taşıma maliyetinin

azaltılabileceği anlamına gelmektedir. Negatif değerli gözelerden mutlak değerce en

büyük olan x3,24 gözesi seçilir. Bu göze için yazılan döngü içerisinde negatif işaretlenen

gözelerde en küçük miktar 9,06 tondur. Döngü içerisinde (+) ile işaretlenen gözelere bu

miktar kadar artış, (-) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar azalış yapılır. Bu

durumda yeni oluşan dağıtım planı çizelge 5.9’de verilmiştir.

Çizelge 5.9 Atlama Taşı Yöntemine göre ilk yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

24,36 36,72 21,6

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

72,72 29,4 215,96 34,74 22,22 88,26

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 21,24 9,06

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

68

69

3. Çizelge 5.9’de verilen dağıtım planı kullanılarak yeniden boş gözelerin gizli

maliyetleri için aşağıdaki çevrimler yazılmış ve gizli maliyetler hesaplanmıştır.

d2,1= C2,1-C1,1+C1,20-C3,20+C3,24-C2,24 = 19,46

d3,1= C3,1-C1,1+C1,20-C3,20 = 20,96

d2,2= C2,2-C1,2+C1,20-C3,20+C3,24-C2,24 = 21,85

d3,2= C3,2-C1,2+C1,20-C3,20 = 24,32

d2,3= C2,3-C1,3+C1,20-C3,20+C3,24-C2,24 = 22,99

d3,3= C3,3-C1,3+C1,20-C3,20 = 23,26

d2,4= C2,4-C1,4+C1,20-C3,20+C3,24-C2,24 = 17,64

d3,4= C3,4-C1,4+C1,20-C3,20 = 17,91

d2,5= C2,5-C1,5+C1,20-C3,20+C3,24-C2,24 = 22,99

d3,5= C3,5-C1,5+C1,20-C3,20 = 23,26

d1,6= C1,6-C3,6+C3,20-C1,20 = 4,81

d2,6= C2,6-C3,6+C3,24-C2,24 = -1,33

d2,7= C2,7-C1,7+C1,20-C3,20+C3,24-C2,24 = 14,02

d3,7= C3,7-C1,7+C1,20-C3,20 = 15,70

d2,8= C2,8-C1,8+C1,20-C3,20+C3,24-C2,24 = 12,12

d3,8= C3,8-C1,8+C1,20-C3,20 = 14,06

d2,9= C2,9-C1,9+C1,20-C3,20+C3,24-C2,24 = 7,20

d3,9= C3,9-C1,9+C1,20-C3,20 = 11,53

d2,10= C2,10-C1,10+C1,20-C3,20+C3,24-C2,24 = 12,95

d3,10= C3,10-C1,10+C1,20-C3,20 = 14,63

d1,11= C1,11-C2,11+C2,24-C3,24+C3,20-C1,20 = 46,59

d3,11= C3,11-C2,11+C2,24-C3,24 = 22,36

d1,12= C1,12-C2,12+C2,24-C3,24+C3,20-C1,20 = 39,17

d3,12= C3,12-C2,12+C2,24-C3,24 = 22,59

d1,13= C1,13-C2,13+C2,24-C3,24+C3,20-C1,20 = 39,27

d3,13= C3,13-C2,13+C2,24-C3,24 = 22,65

d1,14= C1,14-C3,14+C3,20-C1,20 = 15,74

d2,14= C2,14-C3,14+C3,24-C2,24 = -0,40

d1,15= C1,15-C3,15+C3,20-C1,20 = 22,81

d2,15= C2,15-C3,15+C3,24-C2,24 = -1,90

d1,16= C1,16-C3,16+C3,20-C1,20 = 23,65

d2,16= C2,16-C3,16+C3,24-C2,24 = -0,71

d1,17= C1,17-C3,17+C3,20-C1,20 = 10,83

d2,17= C2,17-C3,17+C3,24-C2,24 = 0,80

d1,18= C1,18-C3,18+C3,20-C1,20 = 22,28

d2,18= C2,18-C3,18+C3,24-C2,24 = -6,55

d1,19= C1,19-C3,19+C3,20-C1,20 = 3,71

d2,19= C2,19-C3,19+C3,24-C2,24 = -4,56

70

d2,20= C2,20-C3,20+C3,24-C2,24 = 3,72

d1,21= C1,21-C2,21+C2,24-C3,24+C3,20-C1,20 = 26,30

d3,21= C3,21-C2,21+C2,24-C3,24 = 7,11

d1,22= C1,22-C2,22+C2,24-C3,24+C3,20-C1,20 = 23,61

d3,22= C3,22-C2,22+C2,24-C3,24 = 7,12

d1,23= C1,23-C2,23+C2,24-C3,24+C3,20-C1,20 = 18,09

d3,23= C3,23-C2,23+C2,24-C3,24 = 1,99

d1,24= C1,24-C3,24+C3,20-C1,20 = 16,62

d1,25= C1,25-C2,25+C2,24-C3,24-C3,20-C1,20 = 21,44

d3,25= C3,25-C2,25+C2,24-C3,24 = 7,52

d2,26= C2,26-C1,26+C1,20-C3,20+C3,24-C2,24 = 4,43

d3,26= C3,26-C1,26+C1,20-C3,20 = 6,06

d2,27= C2,27-C1,27+C1,20-C3,20+C3,24-C2,24 = -6,76

d3,27= C3,27-C1,27+C1,20-C3,20 = 3,76

d1,28= C1,28-C2,28+C2,24-C3,24+C3,20-C1,20 = 8,62

d3,28= C3,28-C2,28+C2,24-C3,24 = 11,85

4. Negatif değerli gözelerden mutlak değerce en büyük olan x2,27 gözesi seçilir. Bu

göze için yazılan döngü içerisinde negatif işaretlenen gözelerde en küçük miktar 21,24

tondur.

5. Döngü içerisinde (+) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar artış, (-) ile işaretlenen

gözelere bu miktar kadar azalış yapılır. Bu durumda yeni oluşan dağıtım planı çizelge

5.10’de verilmiştir.

6. Çizelge 5.10’de verilen dağıtım planı kullanılarak yeniden boş gözelerin gizli

maliyetleri için aşağıdaki çevrimler yazılmış ve gizli maliyetler hesaplanmıştır.

2,1= C2,1-C1,1+C1,27-C2,27 = 26,22

d3,1= C3,1-C1,1+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 27,72

d2,2= C2,2-C1,2+C1,27-C2,27 = 28,61

d3,2= C3,2-C1,2+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 31,08

d2,3= C2,3-C1,3+C1,27-C2,27 = 29,75

d3,3= C3,3-C1,3+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 30,02

d2,4= C2,4-C1,4+C1,27-C2,27 = 24,40

d3,4= C3,4-C1,4+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 24,67

d2,5= C2,5-C1,5+C1,27-C2,27 = 29,75

d3,5= C3,5-C1,5+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 30,02

d1,6= C1,6-C3,6+C3,24-C2,24+C2,27-C1,27 = -1,95

d2,6= C2,6-C3,6+C3,24-C2,24 = -1,33

d2,7= C2,7-C1,7+C1,27-C2,27 = 20,78

Çizelge 5.10 Atlama Taşı Yöntemine göre ikinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

45,6 36,72 0,36

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

72,72 29,4 215,96 13,5 22,22 21,24 88,26

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 30,3

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

71

72

d3,7= C3,7-C1,7+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 22,46

d2,8= C2,8-C1,8+C1,27-C2,27 = 18,88

d3,8= C3,8-C1,8+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 20,82

d2,9= C2,9-C1,9+C1,27-C2,27 = 13,96

d3,9= C3,9-C1,9+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 18,29

d2,10= C2,10-C1,10+C1,27-C2,27 = 19,71

d3,10= C3,10-C1,10+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 21,39

d1,11= C1,11-C2,11+C2,27-C1,27 = 39,83

d3,11= C3,11-C2,11+C2,24-C3,24 = 22,36

d1,12= C1,12-C2,12+C2,27-C1,27 = 32,41

d3,12= C3,12-C2,12+C2,24-C3,24 = 22,59

d1,13= C1,13-C2,13+C2,27-C1,27 = 32,51

d3,13= C3,13-C2,13+C2,24-C3,24 = 22,65

d1,14= C1,14-C3,14+C3,24-C2,24+C2,27-C1,27 = 8,98

d2,14= C2,14-C3,14+C3,24-C2,24 = -0,40

d1,15= C1,15-C3,15+C3,24-C2,24+C2,27-C1,27 = 16,05

d2,15= C2,15-C3,15+C3,24-C2,24 = -1,90

d1,16= C1,16-C3,16+C3,24-C2,24+C2,27-C1,27 = 16,89

d2,16= C2,16-C3,16+C3,24-C2,24 = -0,71

d1,17= C1,17-C3,17+C3,24-C2,24+C2,27-C1,27 = 4,07

d2,17= C2,17-C3,17+C3,24-C2,24 = 0,80

d1,18= C1,18-C3,18+C3,24-C2,24+C2,27-C1,27 = 15,52

d2,18= C2,18-C3,18+C3,24-C2,24 = -6,55

d1,19= C1,19-C3,19+C3,24-C2,24+C2,27-C1,27 = -3,05

d2,19= C2,19-C3,19+C3,24-C2,24 = -4,56

d2,20= C2,20-C1,20+C1,27-C2,27 = 10,48

d3,20= C3,20-C1,20+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 6,76

d1,21= C1,21-C2,21+C2,27-C1,27 = 19,54

d3,21= C3,21-C2,21+C2,24-C3,24 = 7,11

d1,22= C1,22-C2,22+C2,27-C1,27 = 16,85

d3,22= C3,22-C2,22+C2,24-C3,24 = 7,12

d1,23= C1,23-C2,23+C2,27-C1,27 = 11,33

d3,23= C3,23-C2,23+C2,24-C3,24 = 1,99

d1,24= C1,24-C2,24+C2,27-C1,27 = 9,86

d1,25= C1,25-C2,25+C2,27-C1,27 = 14,68

d3,25= C3,25-C2,25+C2,24-C3,24 = 7,52

d2,26= C2,26-C1,26+C1,27-C2,27 = 11,19

d3,26= C3,26-C1,26+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 12,82

d3,27= C3,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 10,52

d1,28= C1,28-C2,28+C2,27-C1,27 = 1,86

d3,28= C3,28-C2,28+C2,24-C3,24 = 11,85

7. Negatif değerli gözelerden mutlak değerce en büyük olan x2,18 gözesi seçilir. Bu

göze için yazılan döngü içerisinde negatif işaretlenen gözelerde en küçük miktar 1,2

tondur.

73

8. Döngü içerisinde (+) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar artış, (-) ile

işaretlenen gözelere bu miktar kadar azalış yapılır. Bu durumda yeni oluşan dağıtım

planı çizelge 5.11’de verilmiştir.

9. Çizelge 5.11’de verilen dağıtım planı kullanılarak yeniden boş gözelerin gizli

maliyetleri için çevrimler yazılmış ve gizli maliyetler hesaplanmıştır.

d21= C2,1-C1,1+C1,27-C2,27 = 26,22

d3,1= C3,1-C1,1+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 27,72

d2,2= C2,2-C1,2+C1,27-C2,27 = 28,61

d3,2= C3,2-C1,2+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 31,08

d2,3= C2,3-C1,3+C1,27-C2,27 = 29,75

d3,3= C3,3-C1,3+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 30,02

d2,4= C2,4-C1,4+C1,27-C2,27 = 24,40

d3,4= C3,4-C1,4+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 24,67

d2,5= C2,5-C1,5+C1,27-C2,27 = 29,75

d3,5= C3,5-C1,5+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 30,02

d1,6= C1,6-C3,6+C3,24-C2,24+C2,27-C1,27 = -1,95

d2,6= C2,6-C3,6+C3,24-C2,24 = -1,33

d2,7= C2,7-C1,7+C1,27-C2,27 = 20,78

d3,7= C3,7-C1,7+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 22,46

d2,8= C2,8-C1,8+C1,27-C2,27 = 18,88

d3,8= C3,8-C1,8+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 20,82

d2,9= C2,9-C1,9+C1,27-C2,27 = 13,96

d3,9= C3,9-C1,9+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 18,29

d2,10= C2,10-C1,10+C1,27-C2,27 = 19,71

d3,10= C3,10-C1,10+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 21,39

d1,11= C1,11-C2,11+C2,27-C1,27 = 39,83

d3,11= C3,11-C2,11+C2,24-C3,24 = 22,36

d1,12= C1,12-C2,12+C2,27-C1,27 = 32,41

d3,12= C3,12-C2,12+C2,24-C3,24 = 22,59

d1,13= C1,13-C2,13+C2,27-C1,27 = 32,51

d3,13= C3,13-C2,13+C2,24-C3,24 = 22,65

d1,14= C1,14-C3,14+C3,24-C2,24+C2,27-C1,27 = 8,98

d2,14= C2,14-C3,14+C3,24-C2,24 = -0,40

d1,15= C1,15-C3,15+C3,24-C2,24+C2,27-C1,27 = 16,05

d2,15= C2,15-C3,15+C3,24-C2,24 = -1,90

d1,16= C1,16-C3,16+C3,24-C2,24+C2,27-C1,27 = 16,89

d2,16= C2,16-C3,16+C3,24-C2,24 = -0,71

Çizelge 5.11 Atlama Taşı Yöntemine göre üçüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

45,6 36,72 0,36

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

1,2 72,72 29,4 215,96 12,3 22,22 21,24 88,26

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 91,2 27,6 39,12 31,5

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

74

75

d1,17= C1,17-C3,17+C3,24-C2,24+C2,27-C1,27 = 4,07

d2,17= C2,17-C3,17+C3,24-C2,24 = 0,80

d1,18= C1,18-C2,18+C2,27-C1,27 = 22,07

d3,18= C3,18-C2,18+C2,24-C3,24 = 6,55

d1,19= C1,19-C3,19+C3,24-C2,24+C2,27-C1,27 = -3,05

d2,19= C2,19-C3,19+C3,24-C2,24 = -4,56

d2,20= C2,20-C1,20+C1,27-C2,27 = 10,48

d3,20= C3,20-C1,20+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 6,76

d1,21= C1,21-C2,21+C2,27-C1,27 = 19,54

d3,21= C3,21-C2,21+C2,24-C3,24 = 7,11

d1,22= C1,22-C2,22+C2,27-C1,27 = 16,85

d3,22= C3,22-C2,22+C2,24-C3,24 = 7,12

d1,23= C1,23-C2,23+C2,27-C1,27 = 11,33

d3,23= C3,23-C2,23+C2,24-C3,24 = 1,99

d1,24= C1,24-C2,24+C2,27-C1,27 = 9,86

d1,25= C1,25-C2,25+C2,27-C1,27 = 14,68

d3,25= C3,25-C2,25+C2,24-C3,24 = 7,52

d2,26= C2,26-C1,26+C1,27-C2,27 = 11,19

d3,26= C3,26-C1,26+C1,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 12,82

d3,27= C3,27-C2,27+C2,24-C3,24 = 10,52

d1,28= C1,28-C2,28+C2,27-C1,27 = 1,86

d3,28= C3,28-C2,28+C2,24-C3,24 = 11,85

10. Negatif değerli gözelerden mutlak değerce en büyük olan x2,19 gözesi seçilir. Bu

göze için yazılan döngü içerisinde negatif işaretlenen gözelerde en küçük miktar 12,3

tondur.

11. Döngü içerisinde (+) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar artış, (-) ile

işaretlenen gözelere bu miktar kadar azalış yapılır. Bu durumda yeni oluşan dağıtım

planı çizelge 5.12’de verilmiştir.

12. Çizelge 5.12’de verilen dağıtım planı kullanılarak yeniden boş gözelerin gizli

maliyetleri için çevrimler yazılmış ve gizli maliyetler hesaplanmıştır.

Çizelge 5.12 Atlama Taşı Yöntemine göre dördüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

45,6 36,72 0,36

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

1,2 12,3 72,72 29,4 215,96 22,22 21,24 88,26

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 91,2 27,6 26,82 43,8

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

76

77

d2,1= C2,1-C1,1+C1,27-C2,27 = 26,22

d3,1= C3,1-C1,1+C1,27-C2,27+C2,19-C3,19 = 23,16

d2,2= C2,2-C1,2+C1,27-C2,27 = 28,61

d3,2= C3,2-C1,2+C1,27-C2,27+C2,19-C3,19 = 26,52

d2,3= C2,3-C1,3+C1,27-C2,27 = 29,75

d3,3= C3,3-C1,3+C1,27-C2,27+C2,19-C3,19 = 25,46

d2,4= C2,4-C1,4+C1,27-C2,27 = 24,40

d3,4= C3,4-C1,4+C1,27-C2,27+C2,19-C3,19 = 20,11

d2,5= C2,5-C1,5+C1,27-C2,27 = 29,75

d3,5= C3,5-C1,5+C1,27-C2,27+C2,19-C3,19 = 25,46

d1,6= C1,6-C3,6+C3,19-C2,19+C2,27-C1,27 = 2,61

d2,6= C2,6-C3,6+C3,19-C2,19 = 3,23

d2,7= C2,7-C1,7+C1,27-C2,27 = 20,78

d3,7= C3,7-C1,7+C1,27-C2,27+C2,19-C3,19 = 17,90

d2,8= C2,8-C1,8+C1,27-C2,27 = 18,88

d3,8= C3,8-C1,8+C1,27-C2,27+C2,19-C3,19 = 16,26

d2,9= C2,9-C1,9+C1,27-C2,27 = 13,96

d3,9= C3,9-C1,9+C1,27-C2,27+C2,19-C3,19 = 13,73

d2,10= C2,10-C1,10+C1,27-C2,27 = 19,71

d3,10= C3,10-C1,10+C1,27-C2,27+C2,19-C3,19 = 16,83

d1,11= C1,11-C2,11+C2,27-C1,27 = 39,83

d3,11= C3,11-C2,11+C2,19-C3,19 = 17,80

d1,12= C1,12-C2,12+C2,27-C1,27 = 32,41

d3,12= C3,12-C2,12+C2,19-C3,19 = 18,03

d1,13= C1,13-C2,13+C2,27-C1,27 = 32,51

d3,13= C3,13-C2,13+C2,19-C3,19 = 18,09

d1,14= C1,14-C3,14+C3,19-C2,19+C2,27-C1,27 = 13,54

d2,14= C2,14-C3,14+C3,19-C2,19 = 4,16

d1,15= C1,15-C3,15+C3,19-C2,19+C2,27-C1,27 = 20,61

d2,15= C2,15-C3,15+C3,19-C2,19 = 2,66

d1,16= C1,16-C3,16+C3,19-C2,19+C2,27-C1,27 = 21,45

d2,16= C2,16-C3,16+C3,19-C2,19 = 3,85

d1,17= C1,17-C3,17+C3,19-C2,19+C2,27-C1,27 = 8,63

d2,17= C2,17-C3,17+C3,19-C2,19 = 5,36

d1,18= C1,18-C2,18+C2,27-C1,27 = 22,07

d3,18= C3,18-C2,18+C2,19-C3,19 = 1,99

d1,19= C1,19-C2,19+C2,27-C1,27 = 1,51

d2,20= C2,20-C1,20+C1,27-C2,27 = 10,48

d3,20= C3,20-C1,20+C1,27-C2,27+C2,19-C3,19 = 2,20

d1,21= C1,21-C2,21+C2,27-C1,27 = 19,54

d3,21= C3,21-C2,21+C2,19-C3,19 = 2,55

d1,22= C1,22-C2,22+C2,27-C1,27 = 16,85

d3,22= C3,22-C2,22+C2,19-C3,19 = 2,56

d1,23= C1,23-C2,23+C2,27-C1,27 = 11,33

d3,23= C3,23-C2,23+C2,19-C3,19 = -2,57

d1,24= C1,24-C3,24+C3,19-C2,19+C2,27-C1,27 = 14,42

d2,24= C2,24-C3,24+C3,19-C2,19 = 4,56

d1,25= C1,25-C2,25+C2,27-C1,27 = 14,68

d3,25= C3,25-C2,25+C2,19-C3,19 = 2,96

78

d2,26= C2,26-C1,26+C1,27-C2,27 = 11,19

d3,26= C3,26-C1,26+C1,27-C2,27+C2,19-C3,19 = 8,26

d3,27= C3,27-C2,27+C2,19-C3,19 = 5,96

d1,28= C1,28-C2,28+C2,27-C1,27 = 1,86

d3,28= C3,28-C2,28+C2,19-C3,19 = 7,29

13. Negatif değerli kalan tek göze olan x3,23 gözesi seçilir. Bu göze için yazılan döngü

içerisinde negatif işaretlenen gözelerde en küçük miktar 26,82 tondur.

14. Döngü içerisinde (+) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar artış, (-) ile işaretlenen

gözelere bu miktar kadar azalış yapılır. Bu durumda yeni oluşan dağıtım planı çizelge

5.13’de verilmiştir.

15. Çizelge 5.13’de verilen dağıtım planı kullanılarak yeniden boş gözelerin gizli

maliyetleri için çevrimler yazılmış ve gizli maliyetler hesaplanmıştır.

d2,1= C2,1-C1,1+C1,27-C2,27 = 26,22

d3,1= C3,1-C1,1+C1,27-C2,27+C2,23-C3,23 = 25,73

d2,2= C2,2-C1,2+C1,27-C2,27 = 28,61

d3,2= C3,2-C1,2+C1,27-C2,27+C2,23-C3,23 = 29,09

d2,3= C2,3-C1,3+C1,27-C2,27 = 29,75

d3,3= C3,3-C1,3+C1,27-C2,27+C2,23-C3,23 = 28,03

d2,4= C2,4-C1,4+C1,27-C2,27 = 24,40

d3,4= C3,4-C1,4+C1,27-C2,27+C2,23-C3,23 = 22,68

d2,5= C2,5-C1,5+C1,27-C2,27 = 29,75

d3,5= C3,5-C1,5+C1,27-C2,27+C2,23-C3,23 = 28,03

d1,6= C1,6-C3,6+C3,23-C2,23+C2,27-C1,27 = 0,04

d2,6= C2,6-C3,6+C3,23-C2,23 = 0,66

d2,7= C2,7-C1,7+C1,27-C2,27 = 20,78

d3,7= C3,7-C1,7+C1,27-C2,27+C2,23-C3,23 = 20,47

d2,8= C2,8-C1,8+C1,27-C2,27 = 18,88

d3,8= C3,8-C1,8+C1,27-C2,27+C2,23-C3,23 = 18,83

d2,9= C2,9-C1,9+C1,27-C2,27 = 13,96

d3,9= C3,9-C1,9+C1,27-C2,27+C2,23-C3,23 = 16,30

d2,10= C2,10-C1,10+C1,27-C2,27 = 19,71

d3,10= C3,10-C1,10+C1,27-C2,27+C2,23-C3,23 = 19,40

d1,11= C1,11-C2,11+C2,27-C1,27 = 39,83

d3,11= C3,11-C2,11+C2,23-C3,23 = 20,37

d1,12= C1,12-C2,12+C2,27-C1,27 = 32,41

d3,12= C3,12-C2,12+C2,23-C3,23 = 20,60

d1,13= C1,13-C2,13+C2,27-C1,27 = 32,51

d3,13= C3,13-C2,13+C2,23-C3,23 = 20,66

d1,14= C1,14-C3,14+C3,23-C2,23+C2,27-C1,27 = 10,97

Çizelge 5.13 Atlama Taşı Yöntemine göre beşinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

45,6 36,72 0,36

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

1,2 39,12 72,72 29,4 189,14 22,22 21,24 88,26

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 91,2 27,6 26,82 43,8

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

79

80

d2,14= C2,14-C3,14+C3,23-C2,23 = 1,59

d1,15= C1,15-C3,15+C3,23-C2,23+C2,27-C1,27 = 18,04

d2,15= C2,15-C3,15+C3,23-C2,23 = 0,09

d1,16= C1,16-C3,16+C3,23-C2,23+C2,27-C1,27 = 18,88

d2,16= C2,16-C3,16+C3,23-C2,23 = 1,28

d1,17= C1,17-C3,17+C3,23-C2,23+C2,27-C1,27 = 6,06

d2,17= C2,17-C3,17+C3,23-C2,23 = 2,79

d1,18= C1,18-C2,18+C2,27-C1,27 = 22,07

d3,18= C3,18-C2,18+C2,23-C3,23 = 4,56

d1,19= C1,19-C2,19+C2,27-C1,27 = 1,51

d3,19= C3,19-C2,19+C2,23-C3,23 = 2,57

d2,20= C2,20-C1,20+C1,27-C2,27 = 10,48

d3,20= C3,20-C1,20+C1,27-C2,27+C2,23-C3,23 = 4,77

d1,21= C1,21-C2,21+C2,27-C1,27 = 19,54

d3,21= C3,21-C2,21+C2,23-C3,23 = 5,12

d1,22= C1,22-C2,22+C2,27-C1,27 = 16,85

d3,22= C3,22-C2,22+C2,23-C3,23 = 5,13

d1,23= C1,23-C2,23+C2,27-C1,27 = 11,33

d1,24= C1,24-C3,24+C3,23-C2,23+C2,27-C1,27 = 11,85

d2,24= C2,24-C3,24+C3,23-C2,23 = 1,99

d1,25= C1,25-C2,25+C2,27-C1,27 = 14,68

d3,25= C3,25-C2,25+C2,23-C3,23 = 5,53

d2,26= C2,26-C1,26+C1,27-C2,27 = 11,19

d3,26= C3,26-C1,26+C1,27-C2,27+C2,23-C3,23 = 10,83

d3,27= C3,27-C2,27+C2,23-C3,23 = 8,53

d1,28= C1,28-C2,28+C2,27-C1,27 = 1,86

d3,28= C3,28-C2,28+C2,23-C3,23 = 9,86

Boş gözelerin gizli maliyet değerleri incelendiğinde negatif değerli gözenin kalmadığı

görülür. Bu durumda bulunan dağıtım planı en iyi çözümdür ve en iyi çözüm,

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

3,6

1,7

1,8

1,9

1,10

83,04

91,56

28,8

4,8

9

116,88

112,92

6

31,8

2, 4

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

2,11

2,12

2,13

3,14

3,15

3,16

3,17

2,18

2,19

1,20

274,82

8, 4

126,48

69

11,7

91,2

27,6

1, 2

39,12

45,6

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

2,21

2,22

2,23

3,23

2,24

2,25

1,26

1,27

2,27

2,28

72,72

29,4

189,14

26,82

43,8

22, 22

36,72

0,36

21,24

88,26

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

şeklindedir.

81

Toplam Taşıma Maliyeti

Amaç Fonksiyonu:

1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,4 1,5 1,5 3,6 3,6

1,7 1,7 1,8 1,8 1,9 1,9 1,10 1,10 2,11 2,11 2,12 2,12

2,13 2,13 3,14 3,14 3,15 3,15 3,16 3,16 3,17 3,17 2,18 2,1

* * * * * *

* * * * * *

* * * * * *

Minz x C x C x C x C x C x C

x C x C x C x C x C x C

x C x C x C x C x C x C

= + + + + + +

+ + + + + +

+ + + + 8

2,19 2,19 1,20 1,20 2,21 2,21 2,22 2,22 2,23 2,23 3,23 3,23

2,24 2,24 2,25 2,25 1,26 1,26 1,27 1,27 2,27 2,27 2,28 2,28

* * * * * *

* * * * * *

x C x C x C x C x C x C

x C x C x C x C x C x C

+

+ + + + + +

+ + + + +

83,04*56,28 91,56*57,87 28,8*55,40 4,8*60,92 9*55,75

116,88*75,43 112,92*63,32 6*68,13 31,8*71,54 2,4*73,13

274,82*63,32 8,4*55,75 126,48*59,28 69*71,14 11,7*67,42

91,2*62,34 27,6*65,43 1,2*79,84

Minz = + + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + 39,12*70,25 45,6*67,60

72,72*63,67 29,4*67,42 189,14*66,49 26,82*56,63 43,8*58,40

22,22*63,84 36,72*67,42 0,36*78,43 21,24*80,29 88,26*0

104.561,84 TL

+ + +

+ + + +

+ + + + +

=

Çözümün temel uygun çözüm olabilmesi için çözüm sonunda (m+n-1= 3+28-1=30)

tane değere dağıtım yapılması gerekmektedir. Atlama Taşı yöntemi sonunda 30 tane

gözeye dağıtım yapılmış ve Temel Uygun Çözüm’e ulaşılmıştır.

82

5.6 MODİ Yönteminin Uygulanması MODİ yönteminde uygulanan adımlar Kesim 3.5.2’de verilmiştir. Bu adımların

probleme uygulanması aşağıdaki şekilde yapılmıştır.

1. Çizelge 5.14’de verilen başlangıç çözümünde dağıtım yapılan dolu gözeler için

gösterge değerleri jiji CVU ,=+ denklemi yardımıyla hesaplanır. Gösterge değerlerini

bulmak için U1=0 kabul edilir. Bulunan değerler aşağıdaki gibidir.

U1=0 kabul edilerek

U1+V1=C1,1 U1+V26=C1,26 U2+V25=C2,25

U1+V2=C1,2 U1+V27=C1,27 U2+V28=C2,28

U1+V3=C1,3 U1+V28=C1,28 U3+V6=C3,6

U1+V4=C1,4 U2+V11=C2,11 U3+V14=C3,14

U1+V5=C1,5 U2+V12=C2,12 U3+V15=C3,15

U1+V7=C1,7 U2+V13=C2,13 U3+V16=C3,16

U1+V8=C1,8 U2+V21=C2,21 U3+V17=C3,17

U1+V9=C1,9 U2+V22=C2,22 U3+V18=C3,18

U1+V10=C1,10 U2+V23=C2,23 U3+V19=C3,19

U1+V20=C1,20 U2+V24=C2,24 U3+V20=C3,20

V1=56,28 V11=63,32 V21=63,67

V2=57,87 V12=55,75 V22=67,42

V3=55,40 V13=59,28 V23=66,49

V4=60,92 V14=74,37 V24=70,25

V5=55,75 V15=70,65 V25=63,84

V6=78,66 V16=65,57 V26=67,42

V7=63,31 V17=68,66 V27=78,43

V8=68,13 V18=77,77 V28=0

V9=71,54 V19=66,19 U2=0

V10=73,13 V20=67,60 U3=-3,23

Çizelge 5.14 Ulaştırma probleminin başlangıç temel çözümü

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

15,3 36,72 21,6 9,06

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

72,72 29,4 215,96 43,8 22,22 79,2

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 30,3

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

83

84

2. Dolu gözelerin gösterge değerleri kullanılarak boş gözeler için gizli maliyet değerleri

jijiij CVUd ,−+= bağıntısı ile hesaplanır. Bunun için yazılan bağıntılar ve hesaplanan

değerler aşağıdaki gibidir.

d2,1= U2+V1-C2,1 = -28,08 d2,14= U2+V14-C2,14 = -8,22

d3,1= U3+V1-C3,1 = -20,96 d1,15= U1+V15-C1,15 = -22,81

d2,2= U2+V2-C2,2 = -30,47 d2,15= U2+V15-C2,15 = -6,72

d3,2= U3+V2-C3,2 = -24,32 d1,16= U1+V16-C1,16 = -23,65

d2,3= U2+V3-C2,3 = -31,61 d2,16= U2+V16-C2,16 = -7,91

d3,3= U3+V3-C3,3 = -23,26 d1,17= U1+V17-C1,17 = -10,83

d2,4= U2+V4-C2,4 = -26,26 d2,17= U2+V17-C2,17 = -9,42

d3,4= U3+V4-C3,4 = -17,91 d1,18= U1+V18-C1,18 = -22,28

d2,5= U2+V5-C2,5 = -31,61 d2,18= U2+V18-C2,18 = -2,07

d3,5= U3+V5-C3,5 = -23,26 d1,19= U1+V19-C1,19 = -3,71

d1,6= U1+V6-C1,6 = -4,81 d2,19= U2+V19-C2,19 = -4,06

d2,6= U2+V6-C2,6 = -7,29 d2,20= U2+V20-C2,20 = -12,34

d2,7= U2+V7-C2,7 = -22,64 d1,21= U1+V21-C1,21 = -17,68

d3,7= U3+V7-C3,7 = -15,70 d3,21= U3+V21-C3,21 = 1,51

d2,8= U2+V8-C2,8 = -20,74 d1,22= U1+V22-C1,22 = -14,99

d3,8= U3+V8-C3,8 = -14,06 d3,22= U3+V22-C3,22 = 1,50

d2,9= U2+V9-C2,9 = -15,82 d1,23= U1+V23-C1,23 = -9,47

d3,9= U3+V9-C3,9 = -11,53 d3,23= U3+V23-C3,23 = 6,63

d2,10= U2+V10-C2,10 = -21,57 d1,24= U1+V24-C1,24 = -8,00

d3,10= U3+V10-C3,10 = -14,63 d3,24= U3+V24-C3,24 = 8,62

d1,11= U1+V11-C1,11 = -37,97 d1,25= U1+V25-C1,25 = -12,82

d3,11= U3+V11-C3,11 = -13,74 d3,25= U3+V25-C3,25 = 1,10

d1,12= U1+V12-C1,12 = -30,55 d2,26= U2+V26-C2,26 = -13,05

d3,12= U3+V12-C3,12 = -13,97 d3,26= U3+V26-C3,26 = -6,06

d1,13= U1+V13-C1,13 = -30,65 d2,27= U2+V27-C2,27 = -1,86

d3,13= U3+V13-C3,13 = -14,03 d3,27= U3+V27-C3,27 = -3,76

d1,14= U1+V14-C1,14 = -15,74 d3,28= U3+V28-C3,28 = -3,23

3. Bütün gizli maliyetler sıfırdan küçük olmadığından dolayı çözüm en iyi değildir. En

iyi çözümü bulmak için pozitif gizli maliyetli gözelerden en büyük olan x3,24 gözesi

seçilir.

4. Atlama taşı yönteminde olduğu gibi bu gözeden başlanarak dolu gözelerde 90

derecelik dönüşler yapılan ve tekrar bu gözeye gelinen kapalı bir çevrim yazılır. x3,24

gözesi için yazılan çevrim x3,24-x2,24+x2,28-x1,28+x1,20-x3,20 şeklindedir.

85

5. Çevrim içerisinde önünde negatif işaret olan gözelerden en küçük miktarlı olan 9,06

tondur.

6. Bu miktar, çevrim içerisinde önünde (+) olan gözelere ilave edilir, (-) olan

gözelerden çıkarılır. Bu düzenleme yapıldıktan sonra elde edilen dağıtım planı çizelge

5.15’de verilmiştir.

7. Çizelge 5.15’de elde edilen yeni dağıtım planına göre yeniden dolu gözeler için

gösterge değerleri hesaplanmıştır.

U1+V1=C1,1 U1+V26=C1,26 U2+V28=C2,28

U1+V2=C1,2 U1+V27=C1,27 U3+V6=C3,6

U1+V3=C1,3 U2+V11=C2,11 U3+V14=C3,14

U1+V4=C1,4 U2+V12=C2,12 U3+V15=C3,15

U1+V5=C1,5 U2+V13=C2,13 U3+V16=C3,16

U1+V7=C1,7 U2+V21=C2,21 U3+V17=C3,17

U1+V8=C1,8 U2+V22=C2,22 U3+V18=C3,18

U1+V9=C1,9 U2+V23=C2,23 U3+V19=C3,19

U1+V10=C1,10 U2+V24=C2,24 U3+V20=C3,20

U1+V20=C1,20 U2+V25=C2,25 U3+V24=C3,24

V1=56,28 V11=54,70 V21=55,05

V2=57,87 V12=47,13 V22=58,8

V3=55,40 V13=50,66 V23=57,87

V4=60,92 V14=74,37 V24=61,63

V5=55,75 V15=70,65 V25=55,22

V6=78,66 V16=65,57 V26=67,42

V7=63,31 V17=68,66 V27=78,43

V8=68,13 V18=77,77 V28=-8,62

V9=71,54 V19=66,19 U2=8,62

V10=73,13 V20=67,60 U3=-3,23

U1=0 kabul edilerek

Çizelge 5.15 MODİ Yöntemine göre ilk yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

24,36 36,72 21,6

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

72,72 29,4 215,96 34,74 22,22 88,26

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 21,24 9,06

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

86

87

8. Dolu gözelerin gösterge değerlerinden yararlanarak boş gözelerin gizli maliyetleri

aşağıdaki gibi bulunmuştur.

d2,1= U2+V1-C2,1 = -19,46 d2,14= U2+V14-C2,14 = 0,40

d3,1= U3+V1-C3,1 = -20,96 d1,15= U1+V15-C1,15 = -22,81

d2,2= U2+V2-C2,2 = -21,85 d2,15= U2+V15-C2,15 = 1,90

d3,2= U3+V2-C3,2 = -24,32 d1,16= U1+V16-C1,16 = -23,65

d2,3= U2+V3-C2,3 = -22,99 d2,16= U2+V16-C2,16 = 0,71

d3,3= U3+V3-C3,3 = -23,26 d1,17= U1+V17-C1,17 = -10,83

d2,4= U2+V4-C2,4 = -17,64 d2,17= U2+V17-C2,17 = -0,80

d3,4= U3+V4-C3,4 = -17,91 d1,18= U1+V18-C1,18 = -22,28

d2,5= U2+V5-C2,5 = -22,99 d2,18= U2+V18-C2,18 = 6,55

d3,5= U3+V5-C3,5 = -23,26 d1,19= U1+V19-C1,19 = -3,71

d1,6= U1+V6-C1,6 = -4,81 d2,19= U2+V19-C2,19 = 4,56

d2,6= U2+V6-C2,6 = 1,33 d2,20= U2+V20-C2,20 = -3,72

d2,7= U2+V7-C2,7 = -14,02 d1,21= U1+V21-C1,21 = -26,3

d3,7= U3+V7-C3,7 = -15,70 d3,21= U3+V21-C3,21 = -7,11

d2,8= U2+V8-C2,8 = -12,12 d1,22= U1+V22-C1,22 = -23,61

d3,8= U3+V8-C3,8 = -14,06 d3,22= U3+V22-C3,22 = -7,12

d2,9= U2+V9-C2,9 = -7,20 d1,23= U1+V23-C1,23 = -18,09

d3,9= U3+V9-C3,9 = -11,53 d3,23= U3+V23-C3,23 = -1,99

d2,10= U2+V10-C2,10 = -12,95 d1,24= U1+V24-C1,24 = -16,62

d3,10= U3+V10-C3,10 = -14,63 d1,25= U1+V25-C1,25 = -21,44

d1,11= U1+V11-C1,11 = -46,59 d3,25= U3+V25-C3,25 = -7,52

d3,11= U3+V11-C3,11 = -22,36 d2,26= U2+V26-C2,26 = -4,43

d1,12= U1+V12-C1,12 = -39,17 d3,26= U3+V26-C3,26 = -6,06

d3,12= U3+V12-C3,12 = -22,59 d2,27= U2+V27-C2,27 = 6,76

d1,13= U1+V13-C1,13 = -39,27 d3,27= U3+V27-C3,27 = -3,76

d3,13= U3+V13-C3,13 = -22,65 d1,28= U1+V28-C1,28 = -8,26

d1,14= U1+V14-C1,14 = -15,74 d3,28= U3+V28-C3,28 = -11,85

9. Gizli maliyetler içerisinde en büyük pozitif göze olan x2,27 gözesi için

x2,27-x1,27+x1,20-x3,20+x3,24-x2,24 kapalı çevrimi yazılır. Çevrimde önünde negatif işaret

bulunan gözeler içerisinde en küçük miktar 21,24 tondur.

10. Bu miktar, önünde (+) bulunan gözelere ilave edilir, (-) bulunan gözelerden

çıkarılarak çizelge 5.16’de verilen yeni dağıtım planı oluşturulur.

Çizelge 5.16 MODİ Yöntemine göre ikinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

45,6 36,72 0,36

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

72,72 29,4 215,96 13,5 22,22 21,24 88,26

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 30,3

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

88

89

11. Çizelge 5.16’de verilen dağıtım planına göre dolu gözeler için gösterge değerleri

hesaplanmıştır.

U1+V1=C1,1 U1+V26=C1,26 U2+V27=C2,27

U1+V2=C1,2 U1+V27=C1,27 U2+V28=C2,28

U1+V3=C1,3 U2+V11=C2,11 U3+V6=C3,6

U1+V4=C1,4 U2+V12=C2,12 U3+V14=C3,14

U1+V5=C1,5 U2+V13=C2,13 U3+V15=C3,15

U1+V7=C1,7 U2+V21=C2,21 U3+V16=C3,16

U1+V8=C1,8 U2+V22=C2,22 U3+V17=C3,17

U1+V9=C1,9 U2+V23=C2,23 U3+V18=C3,18

U1+V10=C1,10 U2+V24=C2,24 U3+V19=C3,19

U1+V20=C1,20 U2+V25=C2,25 U3+V24=C3,24

V1=56,28 V11=61,46 V21=61,81

V2=57,87 V12=53,89 V22=65,56

V3=55,40 V13=57,42 V23=64,63

V4=60,92 V14=81,13 V24=68,39

V5=55,75 V15=77,41 V25=61,98

V6=85,42 V16=72,33 V26=67,42

V7=63,31 V17=75,42 V27=78,43

V8=68,13 V18=84,53 V28=-1,86

V9=71,54 V19=72,95 U2=1,86

V10=73,13 V20=67,60 U3=-9,99

U1=0 kabul edilerek

90

12. Boş gözeler için gizli maliyet değerleri hesaplanmıştır.

d2,1= U2+V1-C2,1 = -26,22 d2,14= U2+V14-C2,14 = 0,40

d3,1= U3+V1-C3,1 = -27,72 d1,15= U1+V15-C1,15 = -16,05

d2,2= U2+V2-C2,2 = -28,61 d2,15= U2+V15-C2,15 = 1,90

d3,2= U3+V2-C3,2 = -31,08 d1,16= U1+V16-C1,16 = -16,89

d2,3= U2+V3-C2,3 = -29,75 d2,16= U2+V16-C2,16 = 0,71

d3,3= U3+V3-C3,3 = -30,02 d1,17= U1+V17-C1,17 = -4,07

d2,4= U2+V4-C2,4 = -24,40 d2,17= U2+V17-C2,17 = -0,80

d3,4= U3+V4-C3,4 = -24,67 d1,18= U1+V18-C1,18 = -15,52

d2,5= U2+V5-C2,5 = -29,75 d2,18= U2+V18-C2,18 = 6,55

d3,5= U3+V5-C3,5 = -30,02 d1,19= U1+V19-C1,19 = 3,05

d1,6= U1+V6-C1,6 = 1,95 d2,19= U2+V19-C2,19 = 4,56

d2,6= U2+V6-C2,6 = 1,33 d2,20= U2+V20-C2,20 = -10,48

d2,7= U2+V7-C2,7 = -20,78 d3,20= U3+V20-C3,20 = -6,76

d3,7= U3+V7-C3,7 = -22,46 d1,21= U1+V21-C1,21 = -19,54

d2,8= U2+V8-C2,8 = -18,88 d3,21= U3+V21-C3,21 = -7,11

d3,8= U3+V8-C3,8 = -20,82 d1,22= U1+V22-C1,22 = -16,85

d2,9= U2+V9-C2,9 = -13,96 d3,22= U3+V22-C3,22 = -7,12

d3,9= U3+V9-C3,9 = -18,29 d1,23= U1+V23-C1,23 = -11,33

d2,10= U2+V10-C2,10 = -19,71 d3,23= U3+V23-C3,23 = -1,99

d3,10= U3+V10-C3,10 = -21,39 d1,24= U1+V24-C1,24 = -9,86

d1,11= U1+V11-C1,11 = -39,83 d1,25= U1+V25-C1,25 = -14,68

d3,11= U3+V11-C3,11 = -22,36 d3,25= U3+V25-C3,25 = -7,52

d1,12= U1+V12-C1,12 = -32,41 d2,26= U2+V26-C2,26 = -11,19

d3,12= U3+V12-C3,12 = -22,59 d3,26= U3+V26-C3,26 = -12,82

d1,13= U1+V13-C1,13 = -32,51 d3,27= U3+V27-C3,27 = -10,52

d3,13= U3+V13-C3,13 = -22,65 d1,28= U1+V28-C1,28 = -1,86

d1,14= U1+V14-C1,14 = -8,98 d3,28= U3+V28-C3,28 = -11,85

13. Gizli maliyetler içerisinde en büyük pozitif göze olan x2,18 gözesi için

x2,18-x3,18+x3,24-x2,24 kapalı çevrimi yazılır. Çevrimde önünde negatif işaret bulunan

gözeler içerisinde en küçük miktar 1,2 tondur.

14. Bu miktar, önünde (+) bulunan gözelere ilave edilir, (-) bulunan gözelerden

çıkarılarak çizelge 5.17’de verilen yeni dağıtım planı oluşturulur.

Çizelge 5.17 MODİ Yöntemine göre üçüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

45,6 36,72 0,36

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

1,2 72,72 29,4 215,96 12,3 22,22 21,24 88,26

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 91,2 27,6 39,12 31,5

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

91

92

15. Çizelge 5.17’de verilen dağıtım planına göre dolu gözeler için gösterge değerleri

hesaplanmıştır.

U1+V1=C1,1 U1+V26=C1,26 U2+V25=C2,25

U1+V2=C1,2 U1+V27=C1,27 U2+V27=C2,27

U1+V3=C1,3 U2+V11=C2,11 U2+V28=C2,28

U1+V4=C1,4 U2+V12=C2,12 U3+V6=C3,6

U1+V5=C1,5 U2+V13=C2,13 U3+V14=C3,14

U1+V7=C1,7 U2+V18=C2,18 U3+V15=C3,15

U1+V8=C1,8 U2+V21=C2,21 U3+V16=C3,16

U1+V9=C1,9 U2+V22=C2,22 U3+V17=C3,17

U1+V10=C1,10 U2+V23=C2,23 U3+V19=C3,19

U1+V20=C1,20 U2+V24=C2,24 U3+V24=C3,24

V1=56,28 V11=61,46 V21=61,81

V2=57,87 V12=53,89 V22=65,56

V3=55,40 V13=57,42 V23=64,63

V4=60,92 V14=81,13 V24=68,39

V5=55,75 V15=77,41 V25=61,98

V6=85,42 V16=72,33 V26=67,42

V7=63,31 V17=75,42 V27=78,43

V8=68,13 V18=77,98 V28=-1,86

V9=71,54 V19=72,95 U2=1,86

V10=73,13 V20=67,60 U3=-9,99

U1=0 kabul edilerek

93

16. Boş gözeler için gizli maliyet değerleri hesaplanmıştır.

d2,1= U2+V1-C2,1 = -26,22 d2,14= U2+V14-C2,14 = 0,40

d3,1= U3+V1-C3,1 = -27,72 d1,15= U1+V15-C1,15 = -16,05

d2,2= U2+V2-C2,2 = -28,61 d2,15= U2+V15-C2,15 = 1,90

d3,2= U3+V2-C3,2 = -31,08 d1,16= U1+V16-C1,16 = -16,89

d2,3= U2+V3-C2,3 = -29,75 d2,16= U2+V16-C2,16 = 0,71

d3,3= U3+V3-C3,3 = -30,02 d1,17= U1+V17-C1,17 = -4,07

d2,4= U2+V4-C2,4 = -24,40 d2,17= U2+V17-C2,17 = -0,80

d3,4= U3+V4-C3,4 = -24,67 d1,18= U1+V18-C1,18 = -22,07

d2,5= U2+V5-C2,5 = -29,75 d3,18= U3+V18-C3,18 = -6,55

d3,5= U3+V5-C3,5 = -30,02 d1,19= U1+V19-C1,19 = 3,05

d1,6= U1+V6-C1,6 = 1,95 d2,19= U2+V19-C2,19 = 4,56

d2,6= U2+V6-C2,6 = 1,33 d2,20= U2+V20-C2,20 = -10,48

d2,7= U2+V7-C2,7 = -20,78 d3,20= U3+V20-C3,20 = -6,76

d3,7= U3+V7-C3,7 = -22,46 d1,21= U1+V21-C1,21 = -19,54

d2,8= U2+V8-C2,8 = -18,88 d3,21= U3+V21-C3,21 = -7,11

d3,8= U3+V8-C3,8 = -20,82 d1,22= U1+V22-C1,22 = -16,85

d2,9= U2+V9-C2,9 = -13,96 d3,22= U3+V22-C3,22 = -7,12

d3,9= U3+V9-C3,9 = -18,29 d1,23= U1+V23-C1,23 = -11,33

d2,10= U2+V10-C2,10 = -19,71 d3,23= U3+V23-C3,23 = -1,99

d3,10= U3+V10-C3,10 = -21,39 d1,24= U1+V24-C1,24 = -9,86

d1,11= U1+V11-C1,11 = -39,83 d1,25= U1+V25-C1,25 = -14,68

d3,11= U3+V11-C3,11 = -22,36 d3,25= U3+V25-C3,25 = -7,52

d1,12= U1+V12-C1,12 = -32,41 d2,26= U2+V26-C2,26 = -11,19

d3,12= U3+V12-C3,12 = -22,59 d3,26= U3+V26-C3,26 = -12,82

d1,13= U1+V13-C1,13 = -32,51 d3,27= U3+V27-C3,27 = -10,52

d3,13= U3+V13-C3,13 = -22,65 d1,28= U1+V28-C1,28 = -1,86

d1,14= U1+V14-C1,14 = -8,98 d3,28= U3+V28-C3,28 = -11,85

17. Gizli maliyetler içerisinde en büyük pozitif göze olan x2,19 gözesi için

x2,19-x3,19+x3,24-x2,24 kapalı çevrimi yazılır. Çevrimde önünde negatif işaret bulunan

gözeler içerisinde en küçük miktar 12,3 tondur.

18. Bu miktar, önünde (+) bulunan gözelere ilave edilir, (-) bulunan gözelerden

çıkarılarak çizelge 5.18’de verilen yeni dağıtım planı oluşturulur.

Çizelge 5.18 MODİ Yöntemine göre dördüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

45,6 36,72 0,36

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

1,2 12,3 72,72 29,4 215,96 22,22 21,24 88,26

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 91,2 27,6 26,82 43,8

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

94

95

19. Çizelge 5.18’de verilen dağıtım planına göre dolu gözeler için gösterge

hesaplanmıştır.

V1=56,28 V11=61,46 V21=61,81

V2=57,87 V12=53,89 V22=65,56

V3=55,40 V13=57,42 V23=64,63

V4=60,92 V14=76,57 V24=63,83

V5=55,75 V15=72,85 V25=61,98

V6=80,66 V16=67,77 V26=67,42

V7=63,31 V17=70,86 V27=78,43

V8=68,13 V18=77,98 V28=-1,86

V9=71,54 V19=68,39 U2=1,86

V10=73,13 V20=67,60 U3=-5,43

U1+V1=C1,1 U1+V26=C1,26 U2+V25=C2,25

U1+V2=C1,2 U1+V27=C1,27 U2+V27=C2,27

U1+V3=C1,3 U2+V11=C2,11 U2+V28=C2,28

U1+V4=C1,4 U2+V12=C2,12 U3+V6=C3,6

U1+V5=C1,5 U2+V13=C2,13 U3+V14=C3,14

U1+V7=C1,7 U2+V18=C2,18 U3+V15=C3,15

U1+V8=C1,8 U2+V19=C2,19 U3+V16=C3,16

U1+V9=C1,9 U2+V21=C2,21 U3+V17=C3,17

U1+V10=C1,10 U2+V22=C2,22 U3+V19=C3,19

U1+V20=C1,20 U2+V23=C2,23 U3+V24=C3,24

U1=0 kabul edilerek

96

20. Boş gözeler için gizli maliyet değerleri hesaplanmıştır.

21. Gizli maliyetler içerisinde en büyük pozitif göze olan x3,23 gözesi için

x3,23-x2,23+x2,19-x3,19 kapalı çevrimi yazılır. Çevrimde önünde negatif işaret bulunan

gözeler içerisinde en küçük miktar 26,82 tondur.

22. Bu miktar, önünde (+) bulunan gözelere ilave edilir, (-) bulunan gözelerden

çıkarılarak çizelge 5.19’de verilen yeni dağıtım planı oluşturulur.

d2,1= U2+V1-C2,1 = -26,22 d2,14= U2+V14-C2,14 = -4,16

d3,1= U3+V1-C3,1 = -23,16 d1,15= U1+V15-C1,15 = -20,61

d2,2= U2+V2-C2,2 = -28,61 d2,15= U2+V15-C2,15 = -2,66

d3,2= U3+V2-C3,2 = -26,52 d1,16= U1+V16-C1,16 = -21,45

d2,3= U2+V3-C2,3 = -29,75 d2,16= U2+V16-C2,16 = -3,85

d3,3= U3+V3-C3,3 = -25,46 d1,17= U1+V17-C1,17 = -8,63

d2,4= U2+V4-C2,4 = -24,40 d2,17= U2+V17-C2,17 = -5,36

d3,4= U3+V4-C3,4 = -20,11 d1,18= U1+V18-C1,18 = -22,07

d2,5= U2+V5-C2,5 = -29,75 d3,18= U3+V18-C3,18 = -1,99

d3,5= U3+V5-C3,5 = -25,46 d1,19= U1+V19-C1,19 = -1,51

d1,6= U1+V6-C1,6 = -2,61 d2,20= U2+V20-C2,20 = -10,48

d2,6= U2+V6-C2,6 = -3,23 d3,20= U3+V20-C3,20 = -2,20

d2,7= U2+V7-C2,7 = -20,78 d1,21= U1+V21-C1,21 = -19,54

d3,7= U3+V7-C3,7 = -17,90 d3,21= U3+V21-C3,21 = -2,55

d2,8= U2+V8-C2,8 = -18,88 d1,22= U1+V22-C1,22 = -16,85

d3,8= U3+V8-C3,8 = -16,26 d3,22= U3+V22-C3,22 = -2,56

d2,9= U2+V9-C2,9 = -13,96 d1,23= U1+V23-C1,23 = -11,33

d3,9= U3+V9-C3,9 = -13,73 d3,23= U3+V23-C3,23 = 2,57

d2,10= U2+V10-C2,10 = -19,71 d1,24= U1+V24-C1,24 = -14,42

d3,10= U3+V10-C3,10 = -16,83 d2,24= U2+V24-C2,24 = -4,56

d1,11= U1+V11-C1,11 = -39,83 d1,25= U1+V25-C1,25 = -14,68

d3,11= U3+V11-C3,11 = -17,80 d3,25= U3+V25-C3,25 = -2,96

d1,12= U1+V12-C1,12 = -32,41 d2,26= U2+V26-C2,26 = -11,19

d3,12= U3+V12-C3,12 = -18,03 d3,26= U3+V26-C3,26 = -8,26

d1,13= U1+V13-C1,13 = -32,51 d3,27= U3+V27-C3,27 = -5,96

d3,13= U3+V13-C3,13 = -18,09 d1,28= U1+V28-C1,28 = -1,86

d1,14= U1+V14-C1,14 = -13,54 d3,28= U3+V28-C3,28 = -7,29

Çizelge 5.19 MODİ Yöntemine göre beşinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14

S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4

S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59

274,82 8,4 126,48

S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14

116,88 69

İSTEM MİKTARI

83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00

İSTEM MERKEZLERİ

SUNUM MERKEZLERİ

D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 SUNUM MİKTARI

S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453

45,6 36,72 0,36

S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873

1,2 39,12 72,72 29,4 189,14 22,22 21,24 88,26

S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387

11,7 91,2 27,6 26,82 43,8

İSTEM MİKTARI

11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 1.713

97

98

23. Çizelge 5.19’de verilen dağıtım planına göre dolu gözeler için gösterge değerleri

hesaplanmıştır.

U1+V1=C1,1 U1+V26=C1,26 U2+V25=C2,25

U1+V2=C1,2 U1+V27=C1,27 U2+V27=C2,27

U1+V3=C1,3 U2+V11=C2,11 U2+V28=C2,28

U1+V4=C1,4 U2+V12=C2,12 U3+V6=C3,6

U1+V5=C1,5 U2+V13=C2,13 U3+V14=C3,14

U1+V7=C1,7 U2+V18=C2,18 U3+V15=C3,15

U1+V8=C1,8 U2+V19=C2,19 U3+V16=C3,16

U1+V9=C1,9 U2+V21=C2,21 U3+V17=C3,17

U1+V10=C1,10 U2+V22=C2,22 U3+V23=C3,23

U1+V20=C1,20 U2+V23=C2,23 U3+V24=C3,24

V1=56,28 V11=61,46 V21=61,81

V2=57,87 V12=53,89 V22=65,56

V3=55,40 V13=57,42 V23=64,63

V4=60,92 V14=79,14 V24=66,4

V5=55,75 V15=75,42 V25=61,98

V6=83,43 V16=70,34 V26=67,42

V7=63,31 V17=73,43 V27=78,43

V8=68,13 V18=77,98 V28=-1,86

V9=71,54 V19=68,39 U2=1,86

V10=73,13 V20=67,60 U3=-8

U1=0 kabul edilerek

99

24. Boş gözeler için gizli maliyet değerleri hesaplanmıştır.

d2,1= U2+V1-C2,1 = -26,22 d2,14= U2+V14-C2,14 = -1,59

d3,1= U3+V1-C3,1 = -25,73 d1,15= U1+V15-C1,15 = -18,04

d2,2= U2+V2-C2,2 = -28,61 d2,15= U2+V15-C2,15 = -0,09

d3,2= U3+V2-C3,2 = -29,09 d1,16= U1+V16-C1,16 = -18,88

d2,3= U2+V3-C2,3 = -29,75 d2,16= U2+V16-C2,16 = -1,28

d3,3= U3+V3-C3,3 = -28,03 d1,17= U1+V17-C1,17 = -6,06

d2,4= U2+V4-C2,4 = -24,40 d2,17= U2+V17-C2,17 = -2,79

d3,4= U3+V4-C3,4 = -22,68 d1,18= U1+V18-C1,18 = -22,07

d2,5= U2+V5-C2,5 = -29,75 d3,18= U3+V18-C3,18 = -4,56

d3,5= U3+V5-C3,5 = -28,03 d1,19= U1+V19-C1,19 = -1,51

d1,6= U1+V6-C1,6 = -0,04 d3,19= U3+V19-C3,19 = -2,57

d2,6= U2+V6-C2,6 = -0,66 d2,20= U2+V20-C2,20 = -10,48

d2,7= U2+V7-C2,7 = -20,78 d3,20= U3+V20-C3,20 = -4,77

d3,7= U3+V7-C3,7 = -20,47 d1,21= U1+V21-C1,21 = -19,54

d2,8= U2+V8-C2,8 = -18,88 d3,21= U3+V21-C3,21 = -5,12

d3,8= U3+V8-C3,8 = -18,83 d1,22= U1+V22-C1,22 = -16,85

d2,9= U2+V9-C2,9 = -13,96 d3,22= U3+V22-C3,22 = -5,13

d3,9= U3+V9-C3,9 = -16,30 d1,23= U1+V23-C1,23 = -11,33

d2,10= U2+V10-C2,10 = -19,71 d1,24= U1+V24-C1,24 = -11,85

d3,10= U3+V10-C3,10 = -19,40 d2,24= U2+V24-C2,24 = -1,99

d1,11= U1+V11-C1,11 = -39,83 d1,25= U1+V25-C1,25 = -14,68

d3,11= U3+V11-C3,11 = -20,37 d3,25= U3+V25-C3,25 = -5,53

d1,12= U1+V12-C1,12 = -32,41 d2,26= U2+V26-C2,26 = -11,19

d3,12= U3+V12-C3,12 = -20,60 d3,26= U3+V26-C3,26 = -10,83

d1,13= U1+V13-C1,13 = -32,51 d3,27= U3+V27-C3,27 = -8,53

d3,13= U3+V13-C3,13 = -20,66 d1,28= U1+V28-C1,28 = -1,86

d1,14= U1+V14-C1,14 = -10,97 d3,28= U3+V28-C3,28 = -9,86

Boş gözelerin gizli maliyet değerleri incelendiğinde pozitif değerli gözenin kalmadığı

görülür. Bu durumda bulunan dağıtım planı en iyi çözüm ve en iyi çözüm,

100

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

3,6

1,7

1,8

1,9

1,10

83,04

91,56

28,8

4,8

9

116,88

112,92

6

31,8

2, 4

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

2,11

2,12

2,13

3,14

3,15

3,16

3,17

2,18

2,19

1,20

274,82

8, 4

126,48

69

11,7

91,2

27,6

1, 2

39,12

45,6

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

2,21

2,22

2,23

3,23

2,24

2,25

1,26

1,27

2,27

2,28

72,72

29,4

189,14

26,82

43,8

22, 22

36,72

0,36

21, 24

88,26

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

şeklindedir.

Toplam Taşıma Maliyeti

Amaç Fonksiyonu:

1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,4 1,5 1,5 3,6 3,6

1,7 1,7 1,8 1,8 1,9 1,9 1,10 1,10 2,11 2,11 2,12 2,12 2,13 2,13

3,14 3,14 3,15 3,15 3,16 3,16 3,17 3,17 2,18 2,1

* * * * * *

* * * * * * *

* * * * *

Minz X C X C X C X C X C X C

X C X C X C X C X C X C X C

X C X C X C X C X C

= + + + + + +

+ + + + + +

+ + + + 8 2,19 2,19

1,20 1,20 2,21 2,21 2,22 2,22 2,23 2,23 3,23 3,23 2,24 2,24

2,25 2,25 1,26 1,26 1,27 1,27 2,27 2,27 2,28 2,28

*

* * * * * *

* * * * *

X C

X C X C X C X C X C X C

X C X C X C X C X C

+ +

+ + + + + +

+ + + +

83,04*56,28 91,56*57,87 28,8*55,40 4,8*60,92 9*55,75 116,88*75,43

112,92*63,32 6*68,13 31,8*71,54 2,4*73,13 274,82*63,32 8,4*55,75

126,48*59,28 69*71,14 11,7*67,42 91,2*62,34 27,6*65,43 1,2*79,84

= + + + + + +

+ + + + + +

+ + + + +

Minz

39,12*70,25 45,6*67,60 72,72*63,67 29,4*67,42 189,14*66,49 26,82*56,63

43,8*58,40 22,22*63,84 36,72*67,42 0,36*78,43 21,24*80,29 88,26*0

104.561,84

+

+ + + + + +

+ + + + +

= TL

Çözümün temel uygun çözüm olabilmesi için çözüm sonunda (m+n-1= 3+28-1=30)

tane değere dağıtım yapılması gerekmektedir. MODİ yöntemi sonunda 30 tane gözeye

dağıtım yapılmış ve Temel Uygun Çözüme ulaşılmıştır.

101

5.7 Ulaştırma Probleminin Bilgisayar Programları ile Çözülmesi Ulaştırma probleminin amaç fonksiyonu ve kısıtlarının değişkenler cinsinden aşağıdaki

şekilde tanımlanmıştır.

Amaç Fonksiyonu:

min 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7

1,8 1,9 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14

1,15 1,16 1,17 1,18

56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31

68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11

93,46 89,22 79,49 100,05 69

z x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x

= + + + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + 1,19 1,20 1,21

1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8

2,9

,90 67,60 81,35

82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0

84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87

87,36 94,70

x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x

x

+ + +

+ + + + + + +

+ + + + + + +

+ + 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15

2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22

2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28

63,32 55,75 59,28 82,59 77,37

73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42

66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0

x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

+ + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + + + 3,1 3,2

3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 3,10

3,11 3,12 3,13 3,14 3,15 3,16 3,17

3,18 3,19

74,01 78,96

75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53

73,83 66,49 70,08 71,14 67,42 62,34 65,43

74,54 62,96

x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x

+

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + 3,20 3,21 3,22 3,23 3,24

3,25 3,26 1,27 3,28

64,37 58,93 62,69 56,63 58,40

59,51 70,25 78,43 0

x x x x x

x x x x

+ + + + +

+ + +

Kısıtlar:

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15

1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1, 27

2,1 ,22 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,

453

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

+ + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + ≤

+ + + + + + + + 9 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15

2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2, 27

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 3,15

3,16

873

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

x

+ + + + + + +

+ + + + + + + + + + + ≤

+ + + + + + + + + + + + + + +

3,17 3,18 3,19 3,20 3,21 3,22 3,23 3,24 3,25 3,26 3, 27 387x x x x x x x x x x x+ + + + + + + + + + + ≤

102

1,1 2,1 3,1 1,2 2,2 3,2

1,3 2,3 3,3 1,4 2,4 3,4

1,5 2,5 3,5 1,6 2,6 3,6

1,7

83,04 91,56

28,80 4,80

9 116,88

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x

+ + ≥ + + ≥

+ + ≥ + + ≥

+ + ≥ + + ≥

+ 2,7 3,7 1,8 2,8 3,8

1,9 2,9 3,9 1,10 2,10 3,10

1,11 2,11 3,11 1,12 2,12 3,12

1,13 2,13 3,1

112,92 6

31,80 2, 40

274,82 8,40

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x

+ ≥ + + ≥

+ + ≥ + + ≥

+ + ≥ + + ≥

+ + 3 1,14 2,14 3,14

1,15 2,15 3,15 1,16 2,16 3,16

1,17 2,17 3,17 1,18 2,18 3,18

1,19 2,19 3,19

126,48 69

11,70 91, 20

27,60 1, 20

39,

x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x

≥ + + ≥

+ + ≥ + + ≥

+ + ≥ + + ≥

+ + ≥ 1,20 2,20 3,20

1,21 2,21 3,21 1,22 2,22 3,22

1,23 2,23 3,23 1,24 2,24 3,24

1,25 2,25 3,25

12 45,60

72,72 29, 40

215,96 43,80

22, 22

x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x

+ + ≥

+ + ≥ + + ≥

+ + ≥ + + ≥

+ + ≥ 1,26 2,26 3,26

1,27 2,27 3,27

,

36,72

21,60

0 ( 1, 2,3) ( 1,2,3....27)i j

x x x

x x x

x i j

+ + ≥

+ + ≥

≥ = =

5.7.1 Problemin Microsoft Excel Çözücü Eklentisi ile çözülmesi Amaç fonksiyonu ve kısıt fonksiyonları Microsoft Excel’e tanımlanarak Çözücü

Eklentisi yardımıyla çözülmeye çalışılmıştır. Kaynak araştırmasında yer alan

çalışmaların Microsoft Excel’in bu özeliği kullanılarak çözülebilmiştir. Ancak bu

çalışmada yer alan ulaştırma probleminin değişken sayısı Excel’in çözebileceği

değişken sayısından çok fazla olmasından dolayı çözüm bulunamamıştır.

103

5.7.2 Problemin Lingo yazılımı ile çözülmesi Problemin çözümünde www.lindo.com adresinden demosu elde edilen Lingo yazılımı

kullanılmıştır. Veriler, program içerisine yazılabildiği gibi ayrıca Microsoft Excelde

oluşturulan tablolardan da farklı bir komut ile okutulabilir. Yazılıma aşağıda verilen

program yazılır. Program verileri Microsoft Excel’den okuyacak şekilde yazılmıştır.

model: !3 DEPO,27 İSTEM MERKEZİ İÇİN ULAŞTIRMA PROBLEMİ; SETS: ! Depo ve Bölgeler Excel'den okunacak; DEPO: KAPASITE; BOLGE: ISTEM; Yollar(DEPO,BOLGE):MALIYET, MIKTAR; ENDSETS MIN =@SUM(Yollar(I,J):MALIYET(I,J)*MIKTAR(I,J)); ! Kapasite aşılmamalı kısıtı; @FOR(DEPO(I): @SUM(BOLGE(J):MIKTAR(I,J))<=KAPASITE(I)); !İstemler karşılanmalı kısıtı; @FOR(BOLGE(J): @SUM(DEPO(I):MIKTAR(I,J))>=ISTEM(J)); DATA: !VERİLERİ EXCEL'DEN OKU; DEPO, BOLGE, KAPASITE, İSTEM, MALIYET=@OLE('F:\optimizasyon\ULASTIRMA TABLOSU2.xls', 'DEPO', 'BOLGE', 'KAPASITE', 'ISTEM', 'MALIYET'); !TAŞINMASI GEREKEN MİKTARLARI EXCELE YAZIDR; @OLE( 'F:\optimizasyon\sonuc1.xls','MIKTAR')=MIKTAR; enddata end

Programın Lingo’ da çözülmesi ile EK 1’de verilen sonuçlar elde edilmiş ve amaç

fonksiyonu 104.561,84 TL olarak bulunmuştur.

104

5.7.3 Problemin MATLAB Optimization Toolbox ile çözülmesi Amaç ve kısıt fonksiyonu katsayıları programa tanıtıldıktan sonra “linprog” komutu

çalıştırılır ve bulunan karar değişkenlerinden toplam taşıma maliyeti hesaplatılır

(Verschelde 2008).

Taşıma maliyeti katsayıları C (1x81) matrisi ile, kısıt fonksiyonları katsayıları A

(111x81) matrisi ile ve sağ taraf sabitleri b (111x1) matrisi ile tanımlandığında; karar

değişkenleri ve amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi bulunmuştur.

x1,1 = 83,04 x2,1 = 0,00 x3,1 = 0,00

x1,2 = 91,56 x2,2 = 0,00 x3,2 = 0,00

x1,3 = 28,80 x2,3 = 0,00 x3,3 = 0,00

x1,4 = 4,80 x2,4 = 0,00 x3,4 = 0,00

x1,5 = 9,00 x2,5 = 0,00 x3,5 = 0,00

x1,6 = 0,00 x2,6 = 0,00 x3,6 = 116,88

x1,7 = 11,29 x2,7 = 0,00 x3,7 = 0,00

x1,8 = 6,00 x2,8 = 0,00 x3,8 = 0,00

x1,9 = 31,80 x2,9 = 0,00 x3,9 = 0,00

x1,10 = 2,40 x2,10 = 0,00 x3,10 = 0,00

x1,11 = 0,00 x2,11 = 274,82 x3,11 = 0,00

x1,12 = 0,00 x2,12 = 8,40 x3,12 = 0,00

x1,13 = 0,00 x2,13 = 126,48 x3,13 = 0,00

x1,14 = 0,00 x2,14 = 0,00 x3,14 = 69,00

x1,15 = 0,00 x2,15 = 0,00 x3,15 = 11,70

x1,16 = 0,00 x2,16 = 0,00 x3,16 = 91,20

x1,17 = 0,00 x2,17 = 0,00 x3,17 = 27,60

x1,18 = 0,00 x2,18 = 1,20 x3,18 = 0,00

x1,19 = 0,00 x2,19 = 39,12 x3,19 = 0,00

x1,20 = 45,60 x2,20 = 0,00 x3,20 = 0,00

x1,21 = 0,00 x2,21 = 72,72 x3,21 = 0,00

x1,22 = 0,00 x2,22 = 29,40 x3,22 = 0,00

x1,23 = 0,00 x2,23 = 189,14 x3,23 = 26,82

x1,24 = 0,00 x2,24 = 0,00 x3,24 = 43,80

x1,25 = 0,00 x2,25 = 22,22 x3,25 = 0,00

x1,26 = 36,72 x2,26 = 0,00 x3,26 = 0,00

x1,27 = 0,36 x2,27 = 21,24 x3,27 = 0,00 z= 1.0456e+005

105

6. TARTIŞMA VE SONUÇ Milli Savunma Bakanlığına bağlı bir başkanlığa ait Türkiye’nin Trakya bölgesinde üç

farklı yerde bulunan depolarından 27 farklı ilçede konuşlu Askeri birliklere benzin

taşıması problemi Doğrusal Programlamanın özel bir durumu olan ulaştırma modeli

yardımıyla çözülmüştür.

Ulaştırma modelleri için kullanılan başlangıç çözüm yöntemlerinden; Kuzey Batı Köşe,

En Düşük Maliyetli Gözeler ve Vogel’in Yaklaşım Yöntemi kullanılmıştır. Bu

yöntemlerden en düşük toplam taşıma maliyetini veren En Düşük Maliyetli Gözeler

Yöntemi (Kolon Yaklaşımı) olmuştur.

Bu yöntem sonucunda elde edilen dağıtım planı kullanılarak Atlama Taşı Yöntemi ve

MODİ Yöntemi ile en iyi çözümü bulma testi yapılmıştır.

Problem Doğrusal Programlama problemi olarak değerlendirilip Lingo Yazılımında ve

MATLAB Optimization Toolbox kullanılarak bilgisayar ortamında çözülmüştür.

Çalışma sonucunda elde edilen değerler çizelge 6.1’de verilmiştir.

Çizelge 6.1 Araştırma bulguları

Başlangıç Çözüm Yöntemi Toplam Taşıma Maliyeti, TL

Kuzey Batı Köşe Yöntemi 107.415,19

En Düşük Maliyetli Hücreler

Satır Yaklaşımı 105.972,33

Sütun Yaklaşımı 104.916,40

Genel Yaklaşım 106.033,74

Vogel'in Yaklaşım Yöntemi (VAM Yöntemi) 105.509,01

106

Çizelge 6.1 Araştırma bulguları (devam)

En iyi çözümü bulma testi

Atlama Taşı Yöntemi 104.561,84

MODİ Yöntemi 104.561,84

Bilgisayar Yazılımı

Microsoft Excel Çözücü Eklentisi Değişken sayısı fazla geldiğinden problemi çözememiştir.

LİNGO 104.561,84

MATLAB Optimization Toolbox 104.561,84 Çizelge 6.1’den de anlaşılacağı gibi başlangıç çözümünde bulunan toplam taşıma

maliyeti 104.916,40 TL iken en iyi çözümü bulma testi sonucunda elde edilen dağıtım

planına göre toplam taşıma maliyeti 104.561,84 TL olarak bulunmuştur.

Başkanlığın mevcut dağıtım planında stok miktarlarında bir kısıtlamaya

gidilmemektedir. Bundan dolayı maliyeti düşük olan yerler arasında taşımalar

yapılmıştır. 2008 yılı için verilen ulaştırma tablosu değerlerine göre toplam taşıma

maliyeti 101.638,62 TL olmuştur. Görüldüğü gibi stoklarda bulunan yakıtın 8 sene

yetmesi için stok miktarlarının sekize bölünmesinden dolayı toplam taşıma maliyeti

yükselmiştir. Mevcut dağıtım planında en düşük maliyetli gözelere tahsisler yapılırken

bu çalışmadaki ulaştırma probleminde sunum miktarlarının yetersiz kalması ile maliyeti

daha yüksek gözelere tahsisler yapılmıştır.

Belirlenen ulaştırma problemi daha önce ulaştırma modelleri ile yapılan problemlerden

daha çok değişken içermesinden dolayı çözüm basamakları karışık ve uzun olmuştur.

Çalışmanın devamı olarak; ulaştırma problemi geliştirilerek farklı kısıtlar modellemenin

içerisine alınabilir. Kurumun dağıtımlarının ihale yoluyla değil de kendi tankerleri ile

benzin dağıtımını yapması durumunda maliyet analizi yapılabilir. Bu durumda

tankerlerin sefer kısıtları ve/veya aktarma durumları da düşünülerek yeni bir model

geliştirilip doğrusal veya doğrusal olmayan programlama ile çözüm yoluna gidilebilir.

107

KAYNAKLAR

Aksoy, C.N. 1999. Ulaştırma Modeli ile İşletmelerde Dağıtım Sistemi Optimizasyonu ve Türkiye Petrol Ofisi Kurumunda Uygulaması. Yüksek Lisans Tezi. Gazi Üniversitesi, 103 s. Ankara

Alan, M.A. ve Yeşilyurt, C. 2004. Doğrusal Programlama Problemlerinin Excel ile Çözümü.C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi,Cilt 5(Sayı 1);151-162.

Anonymous.2009, Lindo Systems Inc. Web Sitesi. www.lindo.com, Erişim Tarihi: 2009

Apaydın, A. 2005. Optimizasyon.389 s.Ankara.

Çakanel, N. 2008.Ulaştırma Modeli ile Maliyet Optimizasyonu ve Bir Uygulama.Yüksek Lisans Tezi. Pamukkale Üniversitesi,146 s., Denizli.

Çetin, E., Tübitak Bilim ve Teknik Dergisi Web Sitesi. http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/kuralim.htm Erişim Tarihi Ekim 2009

Edgar, T.F.,Himmelblau, D.M. and Lasdon, L.S.2001 Optimization of Chemical Processes, SE, McGrawHill.

Ergülen, A. ve Kazan, H. 2007.Taşımacılık Sektörünün İşleyiş Süreci, Bulanık Dağıtım Probleminin Tamsayılı Doğrusal Model Denemesi. ZKÜ Sosyal Bilimler Dergisi, Cilt 3 (Sayı 6);109-125.

Ergülen, A. 2003. Gıda Ürünlerinin Kara Yolu ile Taşınmasında Maliyet Minimizasyonu, Bir Tamsayılı Doğrusal Programlama Uygulaması, Uludağ Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi, Cilt.22 (Sayı 2);203-232

Greig, D.M.1980. Optimisation.Longman,179 s.,New York

Günaydın, D. 2006.Türk Silahlı Kuvvetlerinde Ring Taşımacılık Faaliyetlerinin Maliyet Etkinlik Analizi ve Ulaştırma Modelleri Yardımıyla Güzergah Optimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi. Marmara Üniversitesi, 99 s.,İstanbul

Işık, A.T. ve Ertuğrul, İ. 2008. Bir Gıda İşletmesinde Ulaştırma Modeli ile Yeni Bir Dağıtım Planı Geliştirme, KMU İİBF Dergisi.Sayı 14

Kabak, M. 2000. Kara Kuvvetleri Akaryakıt İkmal Sistemlerinde Ulaştırma Modelleri Yardımıyla Maliyet Optimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi. Marmara Üniversitesi, 156 s.,İstanbul.

Kara, İ.1991, Doğrusal Programlama.Bilim Teknik Yayınevi, 270,Eskişehir.

Kotaman, S. 1998. Silahlı Kuvvetlerde İkmal Sistemlerinin Ulaştırma Modelleri Yardımıyla Maliyet Olarak Minimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi. Marmara Üniversitesi, 165 s., İstanbul.

Özkal, T. 2003.Capacitated Transportation Problems and an Aplication.Yüksek Lisans Tezi. Dokuz Eylül Üniversitesi, 96 s.,İzmir.

Rao, S. S. 1996. Engineering Optimization Theory and Practice.John Wiley &Sons, 922 s.,USA

108

Sakarya, E., Cevger, Y. ve Günlü, A. 1996. Et ve Balık Kurumu Kombinalar Arası Et Taşımasında Ulaştırma Modeli Uygulaması.Ankara Üniversitesi Veterinerlik Fak. Dergisi.Cilt 43; 215-227.

Sipahioğlu, A. ve Saraç, T. 2003. Lingo 6 Kullanım Kılavuzu.

www.baskent.edu.tr/~bkececi/END304/Klavuz.pdf 2009

Tabuk, M. 2006. Tasıma Problemlerinde Çözüm Önerileri, Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüsek Lisans Tezi,121 s. İstanbul.

Taha, H. A. 2002. Yöneylem Araştırması, (Çev. Baray, S. A. ve Esnaf, S.), Literatür Yayıncılık, İstanbul.

Tor, F.O. 1991. Doğrusal Programlama ve Benzin Dağıtımının Ulaştırma Modeli Yardımı ile Optimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi. Gazi Üniversitesi,103 s., Ankara

Verschelde, J. 2008. MATLAB Lecture 9.Linear Programming in MATLAB. http://www.math.uic.edu./~jan/mcs320/matlec9.pdf ,Erişim Tarihi: Ağustos 2009

Winston, W.L. 1994. Operations Research: Applications and Algorithms, Duxbury Pres, California.

109

EK 1 Ulaştırma Probleminin Lingo Yazılımında Elde Edilen Sonuçlar Global optimal solution found. Objective value: 104561.8 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 36 Export Summary Report --------------------- Transfer Method: OLE BASED Workbook: F:\optimizasyon\sonuc1.xls Ranges Specified: 1 MIKTAR Ranges Found: 1 Range Size Mismatches: 0 Values Transferred: 81 Variable Value Reduced Cost KAPASITE( S1) 453.0000 0.000000 KAPASITE( S2) 873.0000 0.000000 KAPASITE( S3) 387.0000 0.000000 TALEP( D1) 83.04000 0.000000 TALEP( D2) 91.56000 0.000000 TALEP( D3) 28.80000 0.000000 TALEP( D4) 4.800000 0.000000 TALEP( D5) 9.000000 0.000000 TALEP( D6) 116.8800 0.000000 TALEP( D7) 112.9200 0.000000 TALEP( D8) 6.000000 0.000000 TALEP( D9) 31.80000 0.000000 TALEP( D10) 2.400000 0.000000 TALEP( D11) 274.8200 0.000000 TALEP( D12) 8.400000 0.000000 TALEP( D13) 126.4800 0.000000 TALEP( D14) 69.00000 0.000000 TALEP( D15) 11.70000 0.000000 TALEP( D16) 91.20000 0.000000 TALEP( D17) 27.60000 0.000000 TALEP( D18) 1.200000 0.000000 TALEP( D19) 39.12000 0.000000 TALEP( D20) 45.60000 0.000000 TALEP( D21) 72.72000 0.000000 TALEP( D22) 29.40000 0.000000 TALEP( D23) 215.9600 0.000000 TALEP( D24) 43.80000 0.000000 TALEP( D25) 22.22000 0.000000 TALEP( D26) 36.72000 0.000000 TALEP( D27) 21.60000 0.000000 MALIYET( S1, D1) 56.28000 0.000000 MALIYET( S1, D2) 57.87000 0.000000 MALIYET( S1, D3) 55.40000 0.000000 MALIYET( S1, D4) 60.92000 0.000000 MALIYET( S1, D5) 55.75000 0.000000 MALIYET( S1, D6) 83.47000 0.000000

110

MALIYET( S1, D7) 63.31000 0.000000 MALIYET( S1, D8) 68.13000 0.000000 MALIYET( S1, D9) 71.54000 0.000000 MALIYET( S1, D10) 73.13000 0.000000 MALIYET( S1, D11) 101.2900 0.000000 MALIYET( S1, D12) 86.30000 0.000000 MALIYET( S1, D13) 89.93000 0.000000 MALIYET( S1, D14) 90.11000 0.000000 MALIYET( S1, D15) 93.46000 0.000000 MALIYET( S1, D16) 89.22000 0.000000 MALIYET( S1, D17) 79.49000 0.000000 MALIYET( S1, D18) 100.0500 0.000000 MALIYET( S1, D19) 69.90000 0.000000 MALIYET( S1, D20) 67.60000 0.000000 MALIYET( S1, D21) 81.35000 0.000000 MALIYET( S1, D22) 82.41000 0.000000 MALIYET( S1, D23) 75.96000 0.000000 MALIYET( S1, D24) 78.25000 0.000000 MALIYET( S1, D25) 76.66000 0.000000 MALIYET( S1, D26) 67.42000 0.000000 MALIYET( S1, D27) 78.43000 0.000000 MALIYET( S2, D1) 84.36000 0.000000 MALIYET( S2, D2) 88.34000 0.000000 MALIYET( S2, D3) 87.01000 0.000000 MALIYET( S2, D4) 87.18000 0.000000 MALIYET( S2, D5) 87.36000 0.000000 MALIYET( S2, D6) 85.95000 0.000000 MALIYET( S2, D7) 85.95000 0.000000 MALIYET( S2, D8) 88.87000 0.000000 MALIYET( S2, D9) 87.36000 0.000000 MALIYET( S2, D10) 94.70000 0.000000 MALIYET( S2, D11) 63.32000 0.000000 MALIYET( S2, D12) 55.75000 0.000000 MALIYET( S2, D13) 59.28000 0.000000 MALIYET( S2, D14) 82.59000 0.000000 MALIYET( S2, D15) 77.37000 0.000000 MALIYET( S2, D16) 73.48000 0.000000 MALIYET( S2, D17) 78.08000 0.000000 MALIYET( S2, D18) 79.84000 0.000000 MALIYET( S2, D19) 70.25000 0.000000 MALIYET( S2, D20) 79.94000 0.000000 MALIYET( S2, D21) 63.67000 0.000000 MALIYET( S2, D22) 67.42000 0.000000 MALIYET( S2, D23) 66.49000 0.000000 MALIYET( S2, D24) 70.25000 0.000000 MALIYET( S2, D25) 63.84000 0.000000 MALIYET( S2, D26) 80.47000 0.000000 MALIYET( S2, D27) 80.29000 0.000000 MALIYET( S3, D1) 74.01000 0.000000 MALIYET( S3, D2) 78.96000 0.000000 MALIYET( S3, D3) 75.43000 0.000000 MALIYET( S3, D4) 75.60000 0.000000 MALIYET( S3, D5) 75.78000 0.000000 MALIYET( S3, D6) 75.43000 0.000000 MALIYET( S3, D7) 75.78000 0.000000 MALIYET( S3, D8) 78.96000 0.000000 MALIYET( S3, D9) 79.84000 0.000000 MALIYET( S3, D10) 84.53000 0.000000 MALIYET( S3, D11) 73.83000 0.000000

111

MALIYET( S3, D12) 66.49000 0.000000 MALIYET( S3, D13) 70.08000 0.000000 MALIYET( S3, D14) 71.14000 0.000000 MALIYET( S3, D15) 67.42000 0.000000 MALIYET( S3, D16) 62.34000 0.000000 MALIYET( S3, D17) 65.43000 0.000000 MALIYET( S3, D18) 74.54000 0.000000 MALIYET( S3, D19) 62.96000 0.000000 MALIYET( S3, D20) 64.37000 0.000000 MALIYET( S3, D21) 58.93000 0.000000 MALIYET( S3, D22) 62.69000 0.000000 MALIYET( S3, D23) 56.63000 0.000000 MALIYET( S3, D24) 58.40000 0.000000 MALIYET( S3, D25) 59.51000 0.000000 MALIYET( S3, D26) 70.25000 0.000000 MALIYET( S3, D27) 78.96000 0.000000 MIKTAR( S1, D1) 83.04000 0.000000 MIKTAR( S1, D2) 91.56000 0.000000 MIKTAR( S1, D3) 28.80000 0.000000 MIKTAR( S1, D4) 4.800000 0.000000 MIKTAR( S1, D5) 9.000000 0.000000 MIKTAR( S1, D6) 0.000000 0.4000000E-01 MIKTAR( S1, D7) 112.9200 0.000000 MIKTAR( S1, D8) 6.000000 0.000000 MIKTAR( S1, D9) 31.80000 0.000000 MIKTAR( S1, D10) 2.400000 0.000000 MIKTAR( S1, D11) 0.000000 39.83000 MIKTAR( S1, D12) 0.000000 32.41000 MIKTAR( S1, D13) 0.000000 32.51000 MIKTAR( S1, D14) 0.000000 10.97000 MIKTAR( S1, D15) 0.000000 18.04000 MIKTAR( S1, D16) 0.000000 18.88000 MIKTAR( S1, D17) 0.000000 6.060000 MIKTAR( S1, D18) 0.000000 22.07000 MIKTAR( S1, D19) 0.000000 1.510000 MIKTAR( S1, D20) 45.60000 0.000000 MIKTAR( S1, D21) 0.000000 19.54000 MIKTAR( S1, D22) 0.000000 16.85000 MIKTAR( S1, D23) 0.000000 11.33000 MIKTAR( S1, D24) 0.000000 11.85000 MIKTAR( S1, D25) 0.000000 14.68000 MIKTAR( S1, D26) 36.72000 0.000000 MIKTAR( S1, D27) 0.3600000 0.000000 MIKTAR( S2, D1) 0.000000 26.22000 MIKTAR( S2, D2) 0.000000 28.61000 MIKTAR( S2, D3) 0.000000 29.75000 MIKTAR( S2, D4) 0.000000 24.40000 MIKTAR( S2, D5) 0.000000 29.75000 MIKTAR( S2, D6) 0.000000 0.6600000 MIKTAR( S2, D7) 0.000000 20.78000 MIKTAR( S2, D8) 0.000000 18.88000 MIKTAR( S2, D9) 0.000000 13.96000 MIKTAR( S2, D10) 0.000000 19.71000 MIKTAR( S2, D11) 274.8200 0.000000 MIKTAR( S2, D12) 8.400000 0.000000 MIKTAR( S2, D13) 126.4800 0.000000 MIKTAR( S2, D14) 0.000000 1.590000 MIKTAR( S2, D15) 0.000000 0.9000000E-01 MIKTAR( S2, D16) 0.000000 1.280000

112

MIKTAR( S2, D17) 0.000000 2.790000 MIKTAR( S2, D18) 1.200000 0.000000 MIKTAR( S2, D19) 39.12000 0.000000 MIKTAR( S2, D20) 0.000000 10.48000 MIKTAR( S2, D21) 72.72000 0.000000 MIKTAR( S2, D22) 29.40000 0.000000 MIKTAR( S2, D23) 189.1400 0.000000 MIKTAR( S2, D24) 0.000000 1.990000 MIKTAR( S2, D25) 22.22000 0.000000 MIKTAR( S2, D26) 0.000000 11.19000 MIKTAR( S2, D27) 21.24000 0.000000 MIKTAR( S3, D1) 0.000000 25.73000 MIKTAR( S3, D2) 0.000000 29.09000 MIKTAR( S3, D3) 0.000000 28.03000 MIKTAR( S3, D4) 0.000000 22.68000 MIKTAR( S3, D5) 0.000000 28.03000 MIKTAR( S3, D6) 116.8800 0.000000 MIKTAR( S3, D7) 0.000000 20.47000 MIKTAR( S3, D8) 0.000000 18.83000 MIKTAR( S3, D9) 0.000000 16.30000 MIKTAR( S3, D10) 0.000000 19.40000 MIKTAR( S3, D11) 0.000000 20.37000 MIKTAR( S3, D12) 0.000000 20.60000 MIKTAR( S3, D13) 0.000000 20.66000 MIKTAR( S3, D14) 69.00000 0.000000 MIKTAR( S3, D15) 11.70000 0.000000 MIKTAR( S3, D16) 91.20000 0.000000 MIKTAR( S3, D17) 27.60000 0.000000 MIKTAR( S3, D18) 0.000000 4.560000 MIKTAR( S3, D19) 0.000000 2.570000 MIKTAR( S3, D20) 0.000000 4.770000 MIKTAR( S3, D21) 0.000000 5.120000 MIKTAR( S3, D22) 0.000000 5.130000 MIKTAR( S3, D23) 26.82000 0.000000 MIKTAR( S3, D24) 43.80000 0.000000 MIKTAR( S3, D25) 0.000000 5.530000 MIKTAR( S3, D26) 0.000000 10.83000 MIKTAR( S3, D27) 0.000000 8.530000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 104561.8 -1.000000 2 0.000000 1.860000 3 88.26000 0.000000 4 0.000000 9.860000 5 0.000000 -58.14000 6 0.000000 -59.73000 7 0.000000 -57.26000 8 0.000000 -62.78000 9 0.000000 -57.61000 10 0.000000 -85.29000 11 0.000000 -65.17000 12 0.000000 -69.99000 13 0.000000 -73.40000 14 0.000000 -74.99000 15 0.000000 -63.32000 16 0.000000 -55.75000 17 0.000000 -59.28000 18 0.000000 -81.00000 19 0.000000 -77.28000

113

20 0.000000 -72.20000 21 0.000000 -75.29000 22 0.000000 -79.84000 23 0.000000 -70.25000 24 0.000000 -69.46000 25 0.000000 -63.67000 26 0.000000 -67.42000 27 0.000000 -66.49000 28 0.000000 -68.26000 29 0.000000 -63.84000 30 0.000000 -69.28000 31 0.000000 -80.29000

114

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı : Mihrican KOCAOĞLU

Doğum Yeri : Kangal/ SİVAS

Doğum Tarihi : 10.01.1981

Medeni Hali : Evli

Yabancı Dili : İngilizce

Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)

Lise : Mamak Tuzluçayır Lisesi, 1998

Lisans : Ankara Üniversitesi Kimya Mühendisliği Bölümü, 2002

Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı, 2003-

2010

Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl

Milli Savunma Bakanlığı Akaryakıt İkmal ve NATO POL Tesisleri İşletme Başkanlığı

Doğu Bölge Müdürlüğü, Malatya, 2005-2006

Milli Savunma Bakanlığı Akaryakıt İkmal ve NATO POL Tesisleri İşletme Başkanlığı,

Ankara, 2006-devam etmektedir.